Mat 10 Demo

Lennart Børsting, Kenneth Riis Poulsen, Jakob Thomsen og Kaj Østergaard Matematik, der favner alle i 10. klasse MAT 10 er et helt nyt grundsystem til matematik i 10. klasse, der egner sig til elever med stor faglig spredning. Eleverne arbejder undersøgende, samarbejder og giver hinanden feedback – og så udarbejder de løbende redegørelser til prøven.

MAT 10 har: • Lav indgangstærskel • Undersøgende aktiviteter • Samarbejde, diskussion og feedback • Forberedelse til prøveform B

10 kapitler – 10 redegørelser Efter hvert kapitel skal eleverne som forberedelse til prøveform B lave en redegørelse om emnet, mens de har det præsent. Da der er 10 kapitler i bogen, vil de sidst på året stå med 10 redegørelser, de kan vælge 4 ud fra.

MAT 10 består af: • En enkel og overskuelig elevbog • En lærervejledning, der hurtigt klæder dig på til undervisningsformen • En masse digitale ressourcer på systemets website.

MAT10

I MAT 10 ligger vægten på det digitale. Det giver stor fleksibilitet og stærke muligheder for differentiering.

På websitet finder du: • Opgaver til undersøgende matematik • Forslag til klassedialoger • Test til hvert emne for at sikre, at basisviden er på plads • Vejledningsfilm til eleverne • Skriveskabeloner til redegørelser.

MAT 10 - DEMO Se demo-websitet til de to kapitler i denne demoudgave på www.mat10.alinea.dk

Alinea

Demo-udgave 9 788723 548870

alinea.dk

Mat10_omslag_praesentation.indd 1

Matematik · 10. klasse · Elevbog

Alinea

02-03-2020 22:32:59

3. Sammenhænge – funktioner

MAT10 Matematik · 10. klasse · Elevbog

Demo-udgave

Alinea

MAT_10.indd 1

02-03-2020 22:16:34

2

Mat 10 Forfattere: Lennart Børsting, Kenneth Riis Poulsen, Jakob Thomsen og Kaj Østergaard Forlagsredaktion: Susanne Schulian Billedredaktør: Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslag: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design © 2020 Alinea, København 1. udgave 1. oplag 2020 ISBN 97887 2354 887 0 www.alinea.dk

MAT_10.indd 2

02-03-2020 22:16:34

Indhold 1. Tal og regn med tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2. Geometri – Flader og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3. Sammenhænge og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Brøk og procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

34

5. Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6. Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7. Geometrisk konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

8. Algebra og formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9. Geometri – kunst og kultur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

10. Sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

MAT_10.indd 3

02-03-2020 22:16:34

Om MAT 10 4

MAT 10 er dit undervisningsmateriale til matematik i 10. klasse. Herunder kan du læse, hvordan MAT 10 er sat sammen af en grundbog og et website. Det er en god ide at arbejde sammen med en makker eller til tider gå i gruppe.

Grundbogen er opdelt i 10 kapitler. Et kapitel er både et kapitel i bogen og et på websitet.

Hvert kapitel består af en intro, 4-6 faglige aktiviteter, Viden om og Redegørelse.

Alle kapitler i MAT 10 er bygget op på samme måde.

Kapitel start Intro til kapitlet Se billeder og læs i det farvede felt om den undersøgende aktivitet. Sammen med en makker præsenterer I jeres arbejde for klassen.

Efter præsentationen diskuteres i gruppen og den viden og erfaring, som I har fået, bruges til at løse nye problemer.

I Klassesamtalen besvares nøglespørgsmålet.

Til sidst kan man læse om hvad det er, man skal lære om i kapitlet.

Web

Til en hjælp og støtte: Fx billedserier eller film til at introducere selve undersøgelse i aktiviteten Skemaer til besvarelser Illustrationer og lignende, som man kan notere, tegne m.m. på.

Til en hjælp og støtte til aktiviteten: Fx billedserier eller film til at introducere selve aktiviteten samt skemaer til besvarelser.

Faglig aktivitet 1

Opgaver der kan være en hjælp og vejledning til at gå fra hverdagssprog til et matematisk sprog.

Start med at se på billedet og læs i det farvede felt på siden om, hvad du skal undersøge i aktiviteten.

Prøv dig selv er opgaver i basisviden

Produkt – her skal du anvende de matematiske kompetencer.

Vejledningsfilm, der viser og forklarer matematikken i aktiviteten.

Klassesamtalen er kernen i den faglige pointe i aktiviteten.

Udfordring er en opgave, som det ikke er sikkert, at alle kan nå at arbejde med.

Flere opgaver med den samme matematik i forskellige situationer Træning i tekstopgaver Opgave til at øve skriftlighed Opgave til at øve mundtlighed

MAT_10.indd 4

02-03-2020 22:16:34

Faglig aktivitet 2

Web

Faglig aktivitet 3

Web

Faglig aktivitet 4

Web

Faglig aktivitet 5

Web

Faglig aktivitet 6

Web

5

Viden om Opsummerer din og klassens erfaringer til mere formel viden og det faglige sprog præciseres.

Der kan være animation eller lignende til at forklare og uddybe matematiske begreber.

Redegørelse Er en guide til at skrive din redegørelse til den mundtlige prøve.

Skabelon til at skrive redegørelsen i

Næste Kapitel

MAT_10.indd 5

02-03-2020 22:16:34

3.

Sammenhænge – Funktioner

24

Intro – Synsvinkel gennem en kikkert

I skal se på væggen igennem et rør, rullet af et A4-papir.

I skal undersøge sammenhæng mellem afstanden til væggen og længden af synsvidden.

Hent vejledning på web.

Elevroller i gruppen: 1 der måler 1 der noterer

I skal forberede en præsentation af jeres undersøgelse for klassen.

2 der sætter labels 1 der kigger

I præsentationen skal I beskrive sammenhængen mellem afstanden til væggen og synsvidden.

I kan vise jeres præsentationer i Padlet, et digitalt værktøj eller på A3-papir.

Præsentationen må højst tage 1-2 minutter.

Efter præsentationerne diskuteres i gruppen: Sammenlign de andre gruppers beskrivelse af sammenhængen mellem afstanden til væggen og synsvidden med jeres egen. a. Hvilke ligheder er der? b. Hvilke forskelle er der? c. Hvordan kan I forbedre jeres beskrivelse?

MAT_10.indd 24

02-03-2020 22:16:36

3. Sammenhænge – funktioner

Brug din viden Brug jeres beskrivelse af sammenhængen til at beregne: a. Hvor stor er synsvidden, når afstanden til væggen er 0? b. Hvor lang er afstanden til væggen, når synsvidden er 1 m? c. Hvor stor er afstanden til væggen, når synsvidden er 100 m?

Undersøg, om I kan ændre på noget i jeres opstilling, så dette er muligt: d. N år afstanden til væggen bliver dobbelt så lang, bliver synsvidden dobbelt så stor.

25

Klassesamtale Beskriv sammenhængen mellem synsvidde og afstand – gerne på flere forskellige måder.

I dette kapitel skal du …

Lære om sammenhænge mellem to talstørrelser – som vi også kalder variable.

Disse sammenhænge kaldes funktioner.

Du skal beskrive sammenhænge ved hjælp af disse fire repræsentationsformer: Rammefortælling

Forskrift for en funktion f(x) = 2x + 6

Jeg undersøger .... og finder ...

Grafisk afbildning

Tabel

y

x

0

3

f(x)

0

5

7

11

n

x 1

Beskriv de fire repræsentationer med egne ord.

Du kan hente dem på web.

MAT_10.indd 25

02-03-2020 22:16:37

1. Stabling af krus

26

Krus kan stables på flere måder. I får udleveret 10 ens pap/plastik krus, som kan stables.

Højden af stablen er afhængig af antallet af krus og den måde, I vælger at stable krusene på. a. I skal undersøge, hvilken sammenhæng der er mellem antallet af krus og højden på stablen. b. H vordan kan I finde ud af, hvor høj stablen vil blive, hvis I ikke har krus nok til at udføre stablingen?

Produkt Forklar, hvordan man finder højden på din lærer ved hjælp af en stabel krus.

I skal gøre brug af jeres svar fra undersøgelsen.

Forklaringen skal indeholde flere af de repræsentationer, der er vist på side 25, som I kan vise sammenhænge med.

Klassesamtale Forskrifterne f(x) = ax + b og f(x) = ax kan være forskrifter til stablingen af krus.

F(x) = ax + b er en lineær funktion og f(x) = ax er en ligefrem proportionalitet.

Den sidste er et specialtilfælde af den første. I skal forklare og vise forskelle og ligheder mellem de to typer af funktioner. Læs mere på web.

Udfordring Vis og forklar hvilken betydning det får, hvis I bruger krus, der har en højde, der er større end det krus, som I brugte tidligere? Eller halvt så højt?

Prøv at formulere en regel for ligefrem proportionalitet. Fx For ligefrem proportionalitet gælder det, at ...

MAT_10.indd 26

02-03-2020 22:16:38

3. Sammenhænge – funktioner

2. Gå en graf Mie 10 meter

meter

Hans 10 8

8

6

6

4

4

2

2

0

0 0

2

4

6 8 10 sekunder

0

4

6

8 10 sekunder

Peter

10

meter

meter

Anja

2

8

10 8

6

6

4

4

2

2

0

27

0 0

2

4

6

8 10 sekunder

0

2

4

6

8 10 sekunder

Placer 6 kegler med en afstand på 2 meter mellem hver, så der er 10 meter mellem de to kegler, der er længst fra hinanden. I skal desuden bruge et ur (som viser sekunder) og en mobiltelefon til at filme jeres gåtur. Se film på web. a. H ent graferne på web. Gå en tur mellem keglerne, så det passer med beskrivelsen på Graf 1. Når I mener, at jeres gåtur passer med grafen, skal I lave en videooptagelse af gåturen. Fortsæt med de øvrige grafer.

Produkt Giv en forklaring på, hvordan man går en graf.

• Hvornår er grafens hældning størst?

• Hvornår er grafens hældning 0?

Klassesamtale Man siger, at en graf kan være en afbildning af en situation fra den virkelige verden.

Man bruger udtrykket at aflæse en graf. Beskriv med egne ord, hvad det betyder at aflæse en graf.

Udfordring Giv opgaver til hinanden.

• Beskriv med ord en gåtur og lad en kammerat tegne grafen.

• Tegn en graf og lad en kammerat beskrive gåturen.

MAT_10.indd 27

02-03-2020 22:16:39

3. Hvilken telefon lader hurtigst op?

28

I skal sammenligne, hvor hurtigt tre mobiltelefoner lader op. Start med at planlægge, hvordan I vil gennemføre jeres undersøgelse. Mobiltelefonerne skal ikke være helt afladet. a. U ndersøg, hvor mange procentpoint telefonernes ladning stiger, når de oplades i 3 minutter.

Fortsæt opladningen, mens I sammenligner jeres data. b. Foretag endnu en eller to målinger med opladning på 3 minutter.

Produkt Alle grupper fremlægger deres resultat (Padlet, PC eller lign).

I fremlæggelsen kan I vise ved hjælp af en eller flere af de fire repræsentationer:

• Hvordan kan man se i jeres data, at telefonen har ladet op?

• Hvordan kan man se i jeres data, hvilken telefon der er hurtigst til at lade op?

Giv et bud på, om det er muligt at forudsige/beregne, hvornår de tre telefoner vil være opladet 100%.

Klassesamtale Hvordan kan I afgøre, om opladningen er en lineær funktion eller en ikke-lineær funktion?

Udfordring Hvilke data har man brug for, hvis man skal beskrive en mobiltelefons opladning fra 0% til 100%?

MAT_10.indd 28

02-03-2020 22:16:40

3. Sammenhænge – funktioner

4. Hvor svært kan det være at ramme?

29

I skal stille skraldespanden midt i klasselokalet. Bliv ved jeres pladser i lokalet.

I skal hver kaste en papirkugle og forsøge at ramme skraldespanden.

Hvordan skal I kaste papirkuglen? a. Tegn en skitse af papirkuglens bane. b. Diskuter med hinanden om hvad, der har betydning for, hvordan banen ser ud.

Produkt Papirkuglens bane kan beskrives med en andengradsfunktion, fordi den indeholder x2.

I kan tegne forskellige andengradsfunktioner med værktøjet GeoGebra. I skal tegne jeres papirkugles bane i GeoGebra. Se mere om funktionen på web og brug filen til at tegne jeres papirkuglers baner.

Klassesamtale Er papirkuglens bane virkelig en andengradsfunktion?

Giv en begrundelse for jeres svar.

Udfordring I skal undersøge, om der er forskellige kast, der rammer spanden, når afstanden er den samme.

MAT_10.indd 29

02-03-2020 22:16:42

5. Lyt altid til din matematiklærer!

30

Dine forældre vil give dig lommepenge. De vil give dig 500 kr. hver måned.

Din lærer mener, at du skal vælge en anden måde at få lommepenge på.

Din lærer giver dig 5 kr. Dine forældre skal hver måned give dig det samme beløb, som du har. Den første måned bliver det 5 kr. og du har nu 10 kr. Næste måned 10 kr. og du har nu 20 kr. osv. Se filmen om de to muligheder. a. H vilken af de to muligheder vil I vælge?

Gæt og vælg ud fra, hvad I mener, er det bedste valg. b. Udfyld tabeller for 12 måneder og tegn graferne for de to muligheder.

Produkt Brug jeres grafer til at sammenligne de 2 muligheder.

• Hvornår kan det bedst betale sig bruge mulighed 1? Hvornår mulighed 2?

• Er der et tidspunkt, hvor de to muligheder vil være det samme beløb?

Klassesamtale Den første mulighed ligner en lineær funktion, men den anden mulighed er anderledes.

Den er også en funktion og kaldes eksponentiel funktion.

Giv en forklaring på, hvordan den er anderledes.

Udfordring Hvor lang tid vil der gå, til man bliver millionær, hvis man vælger mulighed 2?

Hvad med mulighed 1?

MAT_10.indd 30

02-03-2020 22:16:44

3. Sammenhænge – funktioner

6. Klassens længste guirlande

31

Byens erhvervsliv vil gerne betale for produktion af en 250 m lang guirlande til byens gågade. Simon vil gerne have, at hans klasse byder ind på opgaven. Ikke alle i klassen gider at hjælpe, så han vil prøve at overtale så mange som muligt.

Der er 25 elever i hans klasse. a. O pstil en tabel i et regnark, som viser hvor mange meter, hver elev skal lave alt efter, hvor mange han får overtalt.

Antal elever Antal meter guirlande hver elev skal lave

1

2

3

250 m

125 m

83,33 m

4

10

25

Produkt I skal bruge jeres tabel til at tegne en graf, der viser sammenhængen mellem antal elever og antal meter guirlande, hver elev skal producere.

Forklar ud fra grafen, hvad det vil betyde, hvis guirlanden bliver dobbelt så lang.

Eller halvt så lang.

Klassesamtale Den sammenhæng, som I har arbejdet med, kaldes omvendt proportionalitet.

Prøv ud fra jeres produkt og jeres viden om ligefrem proportionalitet at argumentere for navnet. Hvordan vil I kunne skrive forskriften for f(x), hvis antallet af meter guirlande er a og antallet af elever er x? Vil det give mening om x var 0?

Udfordring I en by i Nordjylland, gik borgerne sammen og lavede en 18 km lang guirlande.

Undersøg, hvor lang tid de har været om at lave den?

MAT_10.indd 31

02-03-2020 22:16:46

Viden om funktioner Definition En funktion er en sammenhæng mellem to variable, der kan beskrives med tal. De to variable hedder den uafhængige variabel, x, og den afhængige variabel, y.

Repræsentationsformer En funktion kan repræsenteres på fire forskellige måder: Ved en tabel, en graf, en forskrift og ved en sproglig beskrivelse.

32 Tabel

Graf Pris i kroner 50 40

x

0

1

2

5

10

f(x)

0

18

36

90

180

30 20 10 Vægt i kg 0

Forskrift f(x) = 18x

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Sproglig beskrivelse Vindruer koster 18 kr./kg. Funktionen f beskriver sammenhængen mellem vægten af vindruer, x, og den samlede pris, f(x).

Lineære funktioner Nogle funktioner er rette linjer, når de tegnes i et koordinatsystem. De kan alle skrives på grundformen , hvor a er linjens hældningskoefficient og b er y-værdien til linjens skæring med y-aksen.

Hældningskoefficient (stigningstal) En lineær funktions hældningskoefficient, a, er y-tilvæksten, når x-tilvæksten er 1.

Skæring med y-aksen En lineær funktion skærer y-aksen i punktet (0,b)

MAT_10.indd 32

02-03-2020 22:16:46

3. Sammenhænge – funktioner

Eksempel y

Funktionen f(x) = 2x + 3 har hældningskoefficienten 2 og f(x) = 2x + 3 6 skærer y-aksen i punktet (0,3) .

5 4

2

(0,3) 3 2 1 –2 –1 –1

x 0 1

2

3 4

–2

33 Eksempler på lineære funktioner Konstant: f(x) = k

Ligefrem proportionalitet: f(x) = a · x y

y f(x) = 3

4

10

3

9

2

8

1

–4 –3 –2 –1 0 1 2

x 3

4

5

7

f(x) = 3x

6 5 4 3 2 1 –2 –1

6

6

5

5

4

4

3

f(x) = –x + 3 x 0 1

3

4

5

2

3

4

f(x) = –x + 3

2

1 –2 –1 –1

2

y

y

2

0 1

 x + 2, for 0 ≤ x ≤ 3 Stykkevis lineær funktion: f(x) = 

for 3 ≤ x ≤ 5  5,

Lineær funktion: f(x) = ax + b

3

x

5

1 –1 –1

x 0 1

2

3

4

5

–2

MAT_10.indd 33

02-03-2020 22:16:46

Ikke lineære funktioner Nogle funktioner er ikke rette linjer, når de tegnes i et koordinatsystem. Det gælder fx eksponentielle funktioner, andengradsfunktioner og omvendt proportionalitet.

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner har grundformen f(x) = b · ax , hvor a og b er positive tal.

En eksponentiel funktion skærer y-aksen i punktet (0,b).

Eksponentielle funktioner, hvor a > 1, er voksende.

Eksponentielle funktioner, hvor a < 1, er aftagende. y

34

Eksempel 4,15 · 1,2 = 4,98

(4,4.15)

4

(0,2)

Funktionen f(x) = 2 · 1,2x skærer y-aksen i punktet (0,2).

Når x-tilvæksten er 1, bliver y-værdien 1,2 gange større.

(5,4.98)

6

(1,2.4)

x

f(x)

2,00 · 1,2 = 2,4

0

1

2

3

4

5

2,00

2,40

2,88

3,46

4,15

4,98

a kaldes fremskrivningsfaktoren. x

–4

0

–2

2

4

6

8

y

Andengradsfunktion

8

f(x) = 2x2 + x – 3

Andengradsfunktionen har grundformen f(x) = ax2 + bx + c Grafen for funktionen vender grenene opad, når a er større end 0, og nedad når a er mindre end 0.

Grafen for en andengradsfunktion kaldes en parabel. x

En andengradsfunktion skærer y-aksen i punktet (0,c).

6 4 2 0

–2

1 2 3 4

Eksempel Et boldkast kan beskrives med en andengradsfunktion.

Grafen for andengradsfunktionen til venstre skærer y-aksen i punktet (0;1,7).

Det betyder, at bolden forlader hånden 1,7 meter over jorden.

Boldkastet på grafen er 26,6 meter langt.

y 10 8 6 4 2 –4

MAT_10.indd 34

–2

(0,1.7) 0 2

(26.6,0) 4

6

8

10 12 14 16

x

18 20 22 24 26 28 30

02-03-2020 22:16:46

3. Sammenhænge og funktioner

Omvendt proportionalitet

Omvendt proportionalitet har grundformen f(x) = xa y

Ved omvendt proportionalitet gælder, at • når x-værdien fordobles, halveres y-værdien, 5 • når x-værdien halveres, fordobles y-værdien, 4 f(x) = x3 • når x-værdien bliver tre gange så stor, bliver y3 værdien en tredjedel gange så stor osv.

2 1 –8

–6

–4

x 0

–2

–1

2

4

6

8

–2 –3

35

–4 –5

Eksempel Sara har 3 km til skole. Sammenhængen mellem Saras gennemsnitsfart, x, målt i km/t og hvor lang tid det tager Sara at transportere sig til skole, f(x), målt i timer, er omvendt proportional.

Transporttid i timer 7 6 5

x

4

f(x) = x3

3 2

1

0,5

1

5

10

20

25

6

3

0,6

0,3

0,15

0,12

Gennemsnitsfart i km/t 1

MAT_10.indd 35

f(x)

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

02-03-2020 22:16:46

Redegørelse

36

Du skal i samarbejde med en makker skrive en redegørelse på 2-5 sider, som indeholder nogle af de problemstillinger, der er arbejdet med her i kapitlet.

Det er vigtigt, at du kan anvende og bruge indholdet, når du skal fremlægge din redegørelse. Du bliver bedømt på, hvordan du fremlægger indholdet i redegørelsen og ikke hvordan den ser ud.

Temaerne i kapitlet er: Intro – Synsvinkel gennem en kikkert 1. Stabling af kopper 2. Gå en graf 3. Hvilken mobil lader hurtigst op?

4. Hvor svært kan det være at ramme?

5. Lyt til din matematiklærer 6. Klassens længste guirlande

Klassesamtale Sæt ord på: Hvad handlede kapitlet om. Hvilken matematik har I arbejdet med?

Hvilke produkter har I lavet? Skriv noter, tag fotos, vælg vigtige og væsentlige matematiske udtryk, som giver mening for dig. Brug skabelonen på web.

MAT_10.indd 36

02-03-2020 22:16:47

3. Sammenhænge – funktioner

Du skal vise og forklare Vælg to af de temaer, som du har arbejdet med i kapitlet. Tag udgangspunkt i dig selv.

Hvilke to temaer indeholder de undersøgelser, som du gerne vil vise og forklare.

Du skal vise og forklare (10-15 min.)

• Hvordan løste du problemstillingerne?

• Hvilke udregninger, grafer, formler m.m. har du brugt?

• Hvilke og hvordan brugte du hjælpemidlerne (it-programmer m.m.)?

• Hvilken faglig viden brugte du i undersøgelserne (Pointer fra klassesamtalerne)?

Matematik fra din egen hverdag Beskriv et eksempel fra din egen hverdag, hvor du har mødt eller brugt den matematik, som du har arbejdet med i emnet Det kan være i dit brobygningsforløb, på dit job, til sport, derhjemme, på ferie eller lignende.

37

Øvelse

Det sker, at man har mulighed for at vinde et års forbrug af fx • Chips • Sodavand • Tandpasta • Biografbilletter • Rugbrød Hvordan kan du vide, hvad et årsforbrug er?

Du skal vise og forklare, hvordan du kan finde frem til et års forbrug af nogle af de nævnte emner ved hjælp af en forskrift, en graf eller en tabel.

MAT_10.indd 37

02-03-2020 22:16:48

de

,9

,8

,1

,0

4.

,4

,2

,8

,0

,3

,9

,4

,2

Procent – brøk

,3

,3

Intro – Hvor møder I procent og brøk?

Så mange stemte til folketingsvalg Sted

38

Kampe

Bold %

Hjemme

Ude

FC København

20

57,5

57,0

57,9

Brøndby IF

20

56,0

56,9

54,8

FC Nordsjælland

20

55,2

56,6

54,1

AaB

20

53,8

53,5

54,0

FC Midtjylland

20

53,7

55,9

51,4

OB

20

51,1

53,9

48,2

Silkeborg IF

20

49,9

51,1

48,8

Klub

Stemmer i %.

Hele landet

84,5

Hovedstaden

85,1

Sjælland-Syddanmark

83,8

Midtjylland-Nordjylland

84,8

I matematik bruger man procent og brøk til at beskrive et forhold som en talværdi mellem to størrelser. I skal forklare, hvilket forhold, der beskrives med procent i de viste fotos – billederne kan ses på web.

Undersøg, om I kan indsætte brøktal i stedet for procenttallet.

Vil det give en anden betydning?

I skal forklare, hvorfor man har brugt procent og ikke brøk i de viste eksempler i en kort præsentation på max. to minutter.

Efter præsentationerne diskuteres i gruppen: I skal give flere eksempler på anvendelse af procent og brøk i hverdagen.

Giv eksempler på situationer, hvor I vil vælge brøk frem for procent.

MAT_10.indd 38

02-03-2020 22:16:49

4. Brøk og procent

Brug din viden I skal anvende procent- og brøkstrimler, som findes på web.

I skal til hver af strimlerne fortælle en historie, der kan passe til strimlen.

Forklar, hvordan I vil finde de manglende tal på strimlerne.

I kan vælge at indtale historien på web og derefter drøfte jeres historier med hinanden.

Klassesamtale Beskriv sammenhængen mellem procent og brøk. I kan bruge denne strimmel eller en GeoGebra-fil, som I finder på web.

0

? ?

1 2

? ?

0

20%

?%

60%

1 1

100%

11 10

1 = 1 10

?

?

125 %

39

I dette kapitel skal du …

Du skal anvende og regne med procent og brøk. Procentstrimlerne og brøkstrimlerne kan bruges til at ræsonnere sig frem til hvilke regneudtryk, der skal anvendes i en beregning. Strimlerne kan også bruges til at se og vurdere, om resultatet kan passe.

Procentstrimmel

0%

25%

50%

75%

1 2

3 4

100%

125 %

Brøkstrimmel

0

1 4

1 1

1 41

Decimalstrimmel

0

MAT_10.indd 39

0,25

0, 5

0, 75

1

1 ,2 5

02-03-2020 22:16:49

1. Hvad kan bedst betale sig?

For det billigste par fratrækkes 50 kr. og derefter 50% For det dyreste par fratrækkes 50% og derefter 50 kr.

40

En skobutik giver en speciel form for rabat, når man køber to par sko. a. I skal undersøge, om kunden får størst rabat på det billigste eller på det dyreste par sko. I skal begrunde jeres svar.

Produkt Forklar, hvordan en kunde kan købe to par sko og ende med at betale det samme for begge par.

I kan vise det ved at finde, hvad de to par sko oprindeligt kan have kostet og deres rabatpris. Vis, at der er flere løsninger.

Undersøg, om der er et system i jeres løsninger.

Klassesamtale Forklar, hvad forskellen er på at få 50% i rabat og 50 kr. i rabat.

Giv eksempler på situationer, hvor I sparer mest: • ved at få 50% i rabat • ved at få 50 kr. i rabat.

Pr = ( P − 20) ⋅

100 − 20 100

hvor Pr er prisen med rabat, og P er den oprindelige pris.

MAT_10.indd 40

Udfordring En anden skobutik giver den samme form for rabat, men kun 20 kr. og 20%. a. Forklar, hvorfor prisen efter rabat af det billigste par sko kan beregnes med formlen. b. Opstil et lignende udtryk for prisen efter rabatten for det dyreste par sko.

02-03-2020 22:16:50

4. Brøk og procent

2. Hvor meget længere?

41 I har sikkert hørt det før. I skal helst gå 10.000 skridt om dagen. Men du og din makker vil nok ikke gå lige langt. Tag udgangspunkt i hver af jeres egen gennemsnitlige skridtlængde. a. Hvilken distance tilbagelægger I med 10.000 skridt? b. T ag udgangspunkt i hver af jeres skridtlængder og angiv forskellen på distancerne i procent.

Produkt Hvor lange skridt tager I? I skal måle længden af et almindeligt skridt. a. H vor meget længere er det længste skridt end det korteste?

Angiv det i centimeter og i procent. b. Hvor meget kortere er det korteste skridt end det længste?

Angiv det i centimeter og i procent. c. I skal forklare, hvorfor de to resultater i procent ikke er ens.

Klassesamtale To skridtlængder sammenlignes. Forklar hvilken betydning det har, at procenten er over eller under eller lige præcis 100%.

Udfordring Et andet makkerpar har målt, at det længste skridt er 20% længere end det korteste. Giv eksempler på hvilke skridtlængder, de kan have målt.

Hvad kunne skridtlængderne have været, hvis det korteste skridt var 20% kortere end det længste?

MAT_10.indd 41

02-03-2020 22:16:51

3. Procenter og brøker på spil

42

På web finder I de fire hjørnebrikker med kronebeløb og pilekort med procent, brøk og decimaltal. I skal placere pilekort på spillepladen, så det giver mening at læse kronebeløbet fra hjørne til hjørne.

Start med at lægge decimaltal-pilene.

I skal skiftes til at placere et pilekort. Hver gang du placerer et kort, skal du forklare din makker, hvorfor kortet passer netop der, hvor du placerer det. Hvis du er uenig med din makkers placering, skal du gøre opmærksom på dette. I skal herefter afgøre, hvor kortet skal placeres. Det er vigtigt, at I begge forstår matematikken ved hvert kort, I placerer.

Når I har lagt decimaltal-pilene, skal I lægge procent-pilene, så det giver mening at læse kronebeløbet fra hjørne til hjørne.

Når I har lagt procent-pilene, skal I lægge brøk-pilene, så det giver mening at læse kronebeløbet fra hjørne til hjørne.

MAT_10.indd 42

02-03-2020 22:16:52

4. Brøk og procent

Produkt

I skal vise og forklare, hvorfor de to pile kan placeres mellem 100 kr. og 150 kr.

• Undersøg, om pilene passer, hvis I halverer kronebeløbet.

• Undersøg, om pilene passer, hvis I halverer decimaltallene på pilene.

Forklar forskellen i betydningen i ordene ”stiger” og ”falder” og giv eksempler på nye hjørnebrikker.

43

Vis, hvorfor de to brøk-pile vender mod hinanden mellem hjørnebrikkerne 160 kr. og 200 kr. Giv eksempler på andre hjørnebrikker, der passer til de to brøkpile.

Klassesamtale Beskriv de to kronebeløbs størrelser ud fra, at tallet I skal gange med, er større end 1 eller mindre end 1.

Hvad hvis tallet er 1?

Udfordring I skal fremstille en plakat, hvor I viser, hvordan man nemt kan • lægge en procent til og trække en procent fra, • lægge en brøk til og trække en brøk fra.

MAT_10.indd 43

02-03-2020 22:16:52

4. Tal på linje

44

I skal tegne en linje eller lægge en snor på gulvet og klippe talkortene ud. Hent kortene på web. Placer talkortene 0 og 1 på linjen og læg de øvrige talkort i en bunke.

I skal placere talkortene 12 og 41 i rigtig rækkefølge mellem 0 og 1. a. Forklar, hvilket af brøktallene, der er størst.

I skal nu skiftes til at trække et kort fra bunken og placere det på linjen. b. S ammenlign rækkefølgen af jeres kort på tallinjen med en anden gruppe.

Er I enige?

Produkt Giv en forklaring på, hvordan I kan finde ud af, om en brøk er større end en anden brøk.

Kan I finde flere forskellige metoder til at se, at en brøk er større end en anden?

Klassesamtale Hvordan kan I se, om en brøk er større end 1, mindre end 1 eller lig med 1?

Udfordring Pelle påstår, at når der er to brøker på linjen, kan man altid finde en brøk, der kan placeres imellem dem ved at lægge deres tællere sammen og lægge deres nævnere sammen.

Se eksempel mellem 12 og 41 .

1+ 1 2 1 = = .

4+2 6 3 1 Så 3 er større end 41 , men mindre end 12 .

Jeg regner

I skal undersøge, om Pelles metode altid virker.

MAT_10.indd 44

02-03-2020 22:16:53

4. Brøk og procent

5. Robotten Knostylte

En robotproducent har fået til opgave at producere små menneskelignende robotter, der kan luge ukrudt. Han skal kunne fremstille dem i forskellige størrelser, men det er vigtigt, at han overholder proportionerne mellem de forskellige dele.

Hans robotudvikler har valgt, at der skal tages udgangspunkt i højden. Han er nået frem til, at de øvrige dele skal være:

45

• Hovedhøjden er 0,11 gange højden.

• Skulderbredden er 32 af højden.

• Livvidden er 61 af højden.

• Fodlængden er 91 af højden.

• Rækkevidden fra ”fingerspids” til ”fingerspids” er 2,5 gange højden.

• Skridtlængden er 0,125 gange højden.

Der skal produceres to robotter, hvor den mindste er 25% af den største. a. Undersøg, om der er ligheder eller forskelle mellem jer og disse robotter.

Produkt Skitser de to robotter. Sæt fx højden til den største robot til 120 cm.

Hvorfor navngav forskerne denne menneskelignende robot Knostylte?

Klassesamtale I skal med eksempler forklare, hvordan I beregner en brøkdel af et tal.

I kan fx forklare, hvordan I har beregnet de forskellige mål på robotterne.

Udfordring I skal beskrive hinanden på samme måde, som de to robotter.

Hvordan ville I se ud, hvis alle forholdstallene på jeres krop var 0,5?

MAT_10.indd 45

02-03-2020 22:16:56

Viden om procent og brøk Procent Procent betyder hundrededele eller ’ud af hundrede’. 20% betyder 20 hundrededele, 20 100 , eller 20 ud af hundrede.

46

Man kan beregne hvor stor en procent en talværdi er af en anden talværdi ved at dividere de to talværdier med hinanden.

12 piger ud af 21 elever i 10. A udgør 12 = 0,57 = 57% 21 Andelen af piger i 10. A er 57%.

Man kan beregne forholdet mellem to talværdier ved at dividere de to talværdier med hinanden.

I 10. A er der 12 piger og 9 drenge.

Forholdet mellem antallet af piger og = 1,33 : 1 drenge i 10. A er 12 9

Man kan lægge en procentdel til en talværdi ved at gange med 1 plus procentsatsen.

En vare koster 125 kr. Prisen stiger med 25%.

Ny pris: 125 kr. · (1 + 0,25) = 156,25 kr.

Man kan trække en procentdel fra en talværdi ved at gange med 1 minus procentsatsen.

En vare koster 125 kr. Prisen falder med 25%.

Ny pris: 125 kr. · (1 – 0,25) = 93,75 kr.

Ved beregning af stigning/fald i procent, skal man dividere forskellen med den ’oprindelige’ talværdi.

En vare er nedsat fra 299 kr. til 249 kr.

Forskellen på de to priser er 299 kr. – 249 kr. = 50 kr.

Den oprindelige pris er 299 kr.

Varen er nedsat: 299 – 249 ≈ 0,17 = 17%.

299

MAT_10.indd 46

02-03-2020 22:16:56

4. Brøk og procent

Når en talværdi vokser med den samme procentsats flere gange, beregnes slutværdien ved at gange med 1 plus procentsatsen flere gange.

På en ø er der ca. 5400 kaniner. Antallet af kaniner vokser med 2% om året.

Efter 4 år er der cirka: 5400 · (1 + 0,02) · (1 + 0,02) · (1 + 0,02) · (1 + 0,02) = 5400 · 1,024 = 5845 kaniner på øen.

Når en talværdi falder med den samme procentsats flere gange, beregnes slutværdien ved at gange med 1 minus procentsatsen flere gange.

På en ø er der ca. 2500 rådyr. Antallet af rådyr falder med 3% om året.

Efter 3 år er der cirka: 2500 · (1 – 0,03) · (1 – 0,03) · (1 – 0,03) = 2500 · 0,973 = 2282 rådyr på øen.

Brøk

Brøkstregen betyder division, så 25 er det samme som 2 : 5.

En brøk er et tal, der kan skrives som et a forhold mellem to hele tal, a og b: b . b skal være forskellig fra 0.

47

Brøker kan bruges på to forskellige måder: 1. Som del af en helhed

3 af figuren er farvet blå.

5

2. Som en tallinje

–1

–

2 5

0

1 3

1 2

3 4

1

5 4

3 2

2

Sammenhæng mellem procent, brøk og decimaltal 38 = 0,38 Eksempel: 38% = 100

MAT_10.indd 47

02-03-2020 22:16:56

Redegørelse

48 Du skal i samarbejde med en makker skrive en redegørelse på 2-5 sider, som indeholder nogle af de problemstillinger, der er arbejdet med her i kapitlet.

Det er vigtigt, at du kan anvende og bruge indholdet, når du skal fremlægge din redegørelse. Du bliver bedømt på, hvordan du fremlægger indholdet i redegørelsen, og ikke hvordan den ser ud.

Temaerne i kapitlet er: Intro – Hvor møder I procent og brøk?

1. Hvad kan bedst betale sig?

2. Hvor meget længere?

3. Procenter og brøker på spil 4. Tal på linje 5. Robotten Knostylte

Klassesamtale Sæt ord på: Hvad handlede kapitlet om. Hvilken matematik har I arbejdet med?

Hvilke produkter har I lavet? Husk også at medtænke de ting, der er på web.

Skriv noter, tag fotos, vælg vigtige og væsentlige matematiske udtryk, som giver mening for dig. Brug skabelonen på web.

MAT_10.indd 48

02-03-2020 22:16:58

4. Brøk og procent

Du skal vise og forklare Vælg to af de temaer, som du har arbejdet med i kapitlet. Tag udgangspunkt i dig selv.

Hvilke to temaer indeholder de undersøgelser, som du gerne vil vise og forklare.

Du skal vise og forklare (10-15 min.)

• Hvordan løste du problemstillingerne?

• Hvilke udregninger, grafer, formler m.m. har du brugt?

• Hvilke og hvordan brugte du hjælpemidlerne (it-programmer m.m.)?

• Hvilken faglig viden brugte du i undersøgelserne (Pointer fra klassesamtalerne)?

Matematik fra din egen hverdag Beskriv et eksempel fra din egen hverdag, hvor du har mødt eller brugt den matematik, som du har arbejdet med i emnet. Det kan være i dit brobygningsforløb, på dit job, til sport, derhjemme, på ferie eller lignende.

49

Øvelse

Du skal vurdere, i hvilke af disse situationer 50% kan være en stigning, et fald eller en andel? Hvis 50% er urealistisk, hvad kunne procentdelen så være?

1. Antallet af elever i en klasse sættes op.

2. De unge ryger mindre end de gjorde for 5 år siden.

3. Der er rabat på et abonnement til fitnesscentret.

4. Fedtindholdet i et rugbrød reduceres.

5. Andel elever med briller i en klasse.

6. Din hunds vægttab.

7. Dit karaktergennemsnit stiger.

MAT_10.indd 49

02-03-2020 22:16:59

Lennart Børsting, Kenneth Riis Poulsen, Jakob Thomsen og Kaj Østergaard Matematik, der favner alle i 10. klasse MAT 10 er et helt nyt grundsystem til matematik i 10. klasse, der egner sig til elever med stor faglig spredning. Eleverne arbejder undersøgende, samarbejder og giver hinanden feedback – og så udarbejder de løbende redegørelser til prøven.

MAT 10 har: • Lav indgangstærskel • Undersøgende aktiviteter • Samarbejde, diskussion og feedback • Forberedelse til prøveform B

10 kapitler – 10 redegørelser Efter hvert kapitel skal eleverne som forberedelse til prøveform B lave en redegørelse om emnet, mens de har det præsent. Da der er 10 kapitler i bogen, vil de sidst på året stå med 10 redegørelser, de kan vælge 4 ud fra.

MAT 10 består af: • En enkel og overskuelig elevbog • En lærervejledning, der hurtigt klæder dig på til undervisningsformen • En masse digitale ressourcer på systemets website.

MAT10

I MAT 10 ligger vægten på det digitale. Det giver stor fleksibilitet og stærke muligheder for differentiering.

På websitet finder du: • Opgaver til undersøgende matematik • Forslag til klassedialoger • Test til hvert emne for at sikre, at basisviden er på plads • Vejledningsfilm til eleverne • Skriveskabeloner til redegørelser.

MAT 10 - DEMO Se demo-websitet til de to kapitler i denne demoudgave på www.mat10.alinea.dk

Demo-udgave

Alinea 9 788723 548870

alinea.dk

Mat10_omslag_praesentation.indd 1

Matematik · 10. klasse · Elevbog

Alinea

02-03-2020 22:32:59