er en gennemgribende revision af KonteXt, hvor indholdet er skrevet ud fra forenklede FÌlles Mül, og tÌnkt ind i en lÌringsmülstyret undervisning. pü mellemtrinnet er et fagligt solidt lÌrebogssystem med en gennemtÌnkt og afprøvet struktur. Elevernes føres fra virkeligheden og et genkendeligt hverdagssprog ind i matematikkens verden af symboler og fagsprog. har øget fokus pü evalueringen af elevprÌstationer gennem EVA-ark og observationer pü tegn pü lÌring og der er øget anvendelse af digitale vÌrktøjer. De afsluttende trÌningsopgaver er suppleret med mere udfordrende opgaver. Den sidste side, Eftertanken, er Ìndret mod mere kompetenceorienterede opgaver. Kernebogen indeholder 8 kapitler, der hver har • En Introduktion med klassesamtale, indledende klasseaktivitet og synliggørelse af de faglige omrüder. • 2-3 scenarier, hvor de matematiske begreber prÌsenteres i en kontekst. • 3-5 aktiviteter hvor eleverne kan bygge, müle, eksperimentere, spille osv. • Viden om-sider, hvor matematikken i scenarierne og aktiviteterne samles op og prÌciseres. • TrÌningsopgaver og udfordrende opgaver. • Eftertanken-siden med fokus pü opgaver indenfor kommunikation, rÌsonnement og problemløsning.
• • • •
MATEMATIK KERNEbog/WEB 6
Der indgür gennem hele mellemtrinnet inddragelse af digitale vÌrktøjer oftest regneark og GeoGebra. Se efter som refererer til filer pü www.kontextplus.dk. Filerne er dels demonstrationsfiler af faglige pointer fx til klassesamtalen, dels øvefiler som supplement til opgaverne i kernebogen og vÌrkstedsfiler, hvor eleverne kan eksperimentere med de faglige begreber og lÌre programmerne at kende. Kernebog/Web er en trykt kernebog og giver lÌrer/elev adgang til www.kontextplus.dk.: 8 �Viden om�-film, der gennemgür det faglige indhold i kapitlet Filer knyttet til GeoGebra, Excel, applets og skÌrmoptagelser HjÌlpeark til opgaver i kernebogen Supplerende arbejdsark
LÌrervejledning/Web er en trykt lÌrervejledning. Den giver lÌreren en udvidet adgang til �SÌrligt for lÌreren� pü www.kontextplus.dk • 8 evalueringssÌt som bestür af EVA-ark med facitliste og kommentarer • Facitliste til kernebogen • HjÌlpeark i en samlet udgave Til 6. klasse hører følgende materialer: • Kontext+ 6, Kernebog/ Web • Kontext+ 6, LÌrervejledning/Web • Flexbog, KonteXt +6 www.kontekstplus.dk er dynamisk og udvikles løbende.
MATEMATIK kernebog/WEB
ISBN 978-87-23514-363
9788723514363_omslag.indd 1
Alinea
Michael Wahl Andersen Bent Lindhardt Rikke Saron DALSGAARD
6 Alinea
13/05/16 10.59
MATEMATIK kernebog/web Michael Wahl Andersen Rikke Saron DALSGAARD bent lindhardt
9788723514363_indhold.indd 1
6 Alinea
13/05/16 11.29
KonteXt+ 6, Kernebog/Web Forfattere: Michael Wahl Andersen, Rikke Saron Dalsgaard, Bent Lindhardt Ekstern redaktør: Bent Lindhardt Forlagsredaktion: Susanne Schulian Grafisk tilrettelægning: Jesper Frederiksen Omslag: Jesper Frederiksen Illustrationer: Jesper Frederiksen Foto: Forside: Artem Egorov/Dreamstime S.4 Colourbox(Grønland by) S.4 Thinkstock , iStock, prospective56(Danmark) S.4 Thinkstock, iStock, AlexanderZam(Grønland relief) S.13ø Thinkstock, Purestock S.13m Thinkstock, Photodisc, Digital Vision S.13n Scanpix, Science Photo Library, Friedrich Saurer S.28 www.temporarytemples.co.uk/Steve Alexander 2013 S.42v Thinkstock, iStock, PauloVilela S.42m Thinkstock, DAJ S.42h Thinkstock, Zoonar RF S.45 Shutterstock S.48 Polfoto 2007, Jesper Nørgaard Sørensen S.63 Thinkstock, iStock, ChrisGorgio S.72 Dragør Luftfoto ApS, Kjeld Madsen S.84 Getty Images, DeAgostini S.87ø Thinkstock, iStock, Panya S.87v Thinkstock, iStock, Panya S.87n Thinkstock, iStock, aarrows
S.96 Thinkstock, iStock, 1MorePhoto S.122 Thinkstock, Stockbyte, JupiterImages S.134 Thinkstock, PhotoObjects.net, Hemera Technologies S.144 Colourbox, Paulo Vitor Martins S.160 1stdibs S.163 Colourbox S.168 Colourbox, somkcr S.171 Antique tile shop 1640 S.172 Colourbox S.177 2.ø Openclipart S.177mf Wikimedia Commons, Rage S.177n Shutterstock, KPG Payless S.178v Thinkstock, iStock, Boonchuay S.178h Thinkstock, iStock, Seb_c_est_bien S.181ø Thinkstock, iStock, VVZann S.181n Thinkstock, iStock, MHgallery S.182 Colourbox, Sergey, Big Albaloo(skilte) S.182 Shutterstock(kort)
Tryk: Livonia Print © 2016 Alinea, København – et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, Egmont 1. udgave, 4. oplag 2017 ISBN: 978 87 23514 363 www.alinea.dk Web-resurserne som videoer, foto og filer til GeoGebra og regneark på www.kontextplus.dk. får du adgang til via Unilogin.
GeoGebra-filerne er angivet ved opgaverne med dette symbol Regnearks-filerne er angivet ved opgaverne med dette symbol
9788723514363_indhold.indd 2
11/07/2017 21.12
Indhold 4 Tal pü tal 28 Cirkler 48 Tal og handel 72 Kantede figurer 96 Data og chance 122 Tal og bogstaver 144 Rum og tegning 168 Mønstre og figurer
9788723514363_indhold.indd 3
13/05/16 11.30
Grønland
50
2 166 086
Indbyggere
56 648
Befolkningstæthed pr. km2
0,03
100 km 50
4
Areal km2
100 mi
XXXXXXXX
9788723514363_indhold.indd 4
13/05/16 11.30
Tal på tal Klassesamtalen • • • • •
Hvor mange mennesker bor der i Grønland? Hvor stort er Grønland? Hvordan er man kommet frem til tallet 0,03? Hvor mange vil I sige, der bor i Grønland, hvis I afrunder tallene? Ca. hvor stor en brøkdel af befolkningen i kongeriget Danmark bor i Grønland? (I kongeriget er der ca. 5 600 000 mennesker) • Hvor stor en procentdel svarer det cirka til?
Klasseaktivitet: Affaldet Tilbyd dine forældre, at du vil gå ud med affaldet. Fortæl dem, at du bare skal have en to-krone den første dag, og derefter vil du have dobbelt så meget som dagen før. Hvor lang tid går der, før du er blevet millionær? Gæt og regn. Lav en tabel som nedenstående, der viser, hvordan din indtjening stiger. Dag
Udregning
Skrivemåde
Resultat
Sum
1
2
21
2
2
2
2·2
22
4
2+4=6
3
2·2·2
23
8
6 + 8 = 14
4
2·2·2·2
24
16
14 + 16 = 30
I dette kapitel skal du lære om • • • • • • •
hvordan man sammenligner størrelsen på brøker. decimaltal fra tiendedele til tusindedele. sammenhængen mellem brøktal, decimaltal og procent. hvordan man regner med brøker. hvordan man beskriver forhold mellem to talmængder. tal der skrives som kvadrattal og kvadratrod. at kort gengiver virkeligheden i et bestemt målestoksforhold.
Hvilket tal er størst 6 2 2 eller 6 ? Gæt først og regn så. tal på tal
9788723514363_indhold.indd 5
5
13/05/16 11.30
34
Brutto
Inko
TA L O G S T Ø R R E L S E R T TA AL L O OG G S ST TØ ØR RR RE EL LS SE ER R
34
Brutto Brutto
Inko Inko
Parkering Parkering Parkering Der er åbnet to nye butikker – Brutto og Inko, som sælger discountvarer. Der er åbnet toDer nyeerbutikker Brutto og Inko, sælger åbnet to –nye butikker Bruttosom og Inko. De discountvarer. ligger begge i et De ligger begge i et handelscenter uden for byen, så gode parkeringsforDe ligger beggehandelscenter i et handelscenter uden for byen, så gode parkeringsforuden for byen, så gode parkeringsforhold er vigtige. For hold er vigtige. For at kende forskel har man malet striberne røde til kunhold er vigtige.atFor at kende harmalet manstriberne malet striberne røde til kunkende forskelforskel har man røde til kunderne i Brutto og derne i Brutto og blå til kunderne i Inko. derne i Brutto blå og blå til kunderne i Inko. til kunderne i Inko. Begge butiksbestyrere, Bosen fra Brutto og Ibsen fra Inko, er i tvivl, om
Begge butiksbestyrere, Carlsen fra Brutto og Henningsen fra Inko, er i tvivl, Begge butiksbestyrere, Carlsen og Henningsen fra Inko,tidspunkt er i tvivl,hver der er pladser nok.fra DeBrutto registrerer derfor på et bestemt om der er pladser nok. De registrerer derfor på et bestemt tidspunkt hver om der er pladser registrerer på et bestemt tidspunkt hver dag,nok. hvor De mange biler derderfor er parkeret. dag, hvor mange biler der er parkeret. Til venstre sererdu et eksempel på parkeringen kl. 12 en tirsdag. dag, hvor mange biler der parkeret. Til venstre ser du et eksempel på kl. 12 en tirsdag. Opgave 1 parkeringen Parkering Til venstre ser du et eksempel på parkeringen kl. 12 en tirsdag.
a. Hvor mange biler er der plads til på den røde parkeringsplads? Den blå parkeringsplads? a. Hvor mange biler erb.der plads til påbiler denerrøde parkeringsplads? Den blå Hvor derden på hver de to parkeringspladser? a. Hvor mange biler ermange der plads til på rødeafparkeringsplads? Den blå OPGAVE 1 OPGAVE 1
parkeringsplads? parkeringsplads? b. Hvor mange biler er der på hver af de to parkeringspladser? b. Hvor mange biler er der på hver af de to parkeringspladser?
Bosen påstår, at Bruttos røde parkeringsplads er fyldt mere end Inkos blå. Opgave 2 a. Hvorfor har Bosen ret? b. Hvor mange flere biler skal parkere på den blå parkeringsplads, hvis de begge skal være fyldt lige meget?
6
tal på tal
9788723514363_indhold.indd 6
13/05/16 11.30
01-164_9788779883512.qxd:KonteXt 6 - kernebog_materie
11/06/10
Carlsen påstår, at Bruttos røde parkeringsplads fyldt mere endparkeringsplads Inkos blå. Carlsen påstår, aterBruttos røde er fyldt mere end Inkos blå.
10:31
Side 35
Carlsen påstår, at Bruttos røde parkeringsplads er fyldt mere end Inkos blå.
OPGAVE 2
OPGAVE 2 OPGAVE 2
D E C I M A LTA L , P RO C E N T TA L O G B R Ø K TA L
a. Hvorfor har Carlsen ret? a. Hvorfor har Carlsen ret? b. Hvor mange flere biler skal påhar den Carlsen blå parkeringsplads, hvis de a. parkere Hvorfor ret? b. Hvor mange flere biler skal parkere på den blå parkeringsplads, hvis de begge skal være fyldt lige b. meget? Hvor mange flere biler skal parkere på den blå parkeringsplads, hvis de
begge skal være fyldt lige meget? begge skal være fyldt lige meget? Brutto
Efter et par timer ser situationen sådan ud. Se til højre.
Carlsen påstår, at Bruttos røde parkeringsplads er fyldt mere end Inkos blå. OPGAVE 2
Brutto Brutto a. Hvorfor har Carlsen ret? Efter et par timer ser situationen ud. Se højre. Brutto Efter et sådan par timer sertilsituationen sådan ud. Se til højre. b. Hvor mange flere biler skal parkere på den blå parkeringsplads, hvis de Efter et par timer ser situationen sådan ud. Se til højre. OPGAVE 3 begge skal være fyldt lige meget?
a. Hvilken3parkeringsplads har nu flest3parkerede biler? OPGAVE Opgave OPGAVE 3 Efter et par timer ser situationen sådan ud. Se til højre. b. Hvilken parkeringsplads er fyldt mest op? a. Hvilken parkeringsplads har det største antal parkerede biler? a. Hvilken parkeringsplads har nu flest parkerede biler? c. Begrund dit svar. Du kana. fx bruge tegning, eller beskrive har nu flest parkerede OPGAVE 3 biler? Hvilken parkeringsplads Inko b. dit Beskriv antallet i forhold til antallet af parkeringspladser. b. Hvilken parkeringsplads er fyldtTegn mest op? resultat i brøktal eller b. procenttal. a. Hvilken parkeringsplads har nu flest parkerede biler? Hvilken parkeringsplads er fyldt mest op? skemaerne og og udfyld de b. Hvilken c.detomme Begrund dit svar. Du kan fx bruge tegning, ellerparkeringsplads beskrive er fyldt mest op? d. Tegn skemaerne udfyld tommefelter. felter. Rød parkeringsplads Parkerede biler Tomme pladser Blå parkeringsplads Parkerede biler Tomme pladser
Brøktal
Brutto
Inko tegning, eller beskrive c. Begrund dit svar. Du kan fx bruge tegning, ellerditbeskrive c. Begrund svar. Du kan fx bruge Inko Inko dit resultat i brøktal eller procenttal. dit resultat i brøktal eller procenttal. Decimaltal Procenttal dit resultat i brøktal eller procenttal. d. Tegn skemaerne og udfyld de tomme felter. d. Tegn skemaerne og udfyld de tomme felter. d. Tegn skemaerne og udfyld de tomme felter.
Rød parkeringsplads parkeringsplads Brøktal Rød Decimaltal Procenttal Parkerede biler Parkerede biler Tomme pladser Tomme pladser
Brøktal Brøktal
Decimaltal Decimaltal
Rød parkeringsplads
Brøktal
Decimaltal
Procenttal
Blå parkeringsplads Parkerede biler
Brøktal
Decimaltal
Procenttal
Parkerede biler Procenttal Procenttal Tomme pladser
Inko
Tomme pladser
Blå parkeringsplads Brøktal Decimaltal Procenttal c. Hvilken parkeringsplads, du, erfarver mest antallet fyldt? det. Procenttal Carlsen tegner en procentstrimmel, hvor han af parkerede Blåmener parkeringsplads BrøktalBegrund Decimaltal Carlsen tegner en procentstrimmel, hvor han farver antallet af parkerede
biler.
Parkerede biler Parkerede biler Tomme pladser pladser Bruttos rødeTomme parkeringsplads
biler. Bruttos røde parkeringsplads
0 biler
?
?
?
? ? farver 0 biler tegner ?en procentstrimmel, 40 biler af hvor han farver antallet af parkerede Bosen hvor han antallet Carlsen tegner en procentstrimmel, Carlsen tegner en procentstrimmel, hvor han farver25% antallet af? parkerede? 0% parkerede biler. biler. 0% 25% ? ? 100% biler. OPGAVE 4
Bruttos røde parkeringsplads
40 biler 100%
a. Hvor mange parkerede biler svarer 25% til?
Bruttos røde parkeringsplads OPGAVE 4 Opgave 4 b. Tegn skriv de tal, som mangler ved spørgsmålstegnene. ? ? ? procentstrimlen 0 biler 40ogbiler ? ? tre forskellige 40 a. Hvor Hvor mange biler svarer 25% 25% til?? til? 0 biler biler biler på, at den røde parkeringsplads er fyldt c. Tegn eksempler mangeparkerede parkerede svarer 25%. Brug evt. kopiark. b. Tegn og skriv de tal, mangler ved spørgsmålstegnene. b. Tegnprocentstrimlen procentstrimlen og skriv desom tal,25% som mangler ved? spørgs 0% ?6 - kernebog_materie 100% 11/06/10 10:31 Side 36 01-164_9788779883512.qxd:KonteXt c. Tegn tre forskellige eksempler røde parkeringsplads 0% på, at den 25% ? er fyldt ? 100% målstegnene. 25%. Brug evt. kopiark. OPGAVEpå, 4 at den røde parkeringsplads c. Tegn tre forskellige eksempler OPGAVE 4 36 er fyldt 25%. Brug evt.a.hjælpeark. Hvor mange parkerede biler svarer 25% til? a. Hvor mange parkerede biler svarer 25% til? b. Tegn procentstrimlen og skriv de tal, som mangler ved spørgsmålstegnene. b. Tegn procentstrimlen og skriv de tal, som mangler ved spørgsmålstegnene. Opgave 5 c. Tegn tre forskellige eksempler på, at den røde parkeringsplads er fyldt ? ? 40 biler c. Tegn tre forskellige eksempler på, at den0 biler røde parkeringsplads er fyldt? a. Tegn decimaltalsstrimlen25%. og skriv de evt. tal, der mangler ved Brug kopiark. 25%. Brug evt. kopiark. 0 0,25 ? ? 1 spørgsmålstegnene. Se til højre. ? ? ? 40 biler b. Tegn brøkstrimlen og skriv de tal, der mangler ved spørgsmåls 0 biler 0 ? ? 1 tegnene. Se til højre. TA L O G S T Ø R R E L S E R
_1 4
OPGAVE 5
Inkos parkeringsplads bliver udvidet, så der er plads til 200 biler.
a. Tegn decimaltalstrimlen i dit hæfte og skriv de tal, der mangler ved spørgsmålstegnene. b. Tegn brøkstrimlen i dit hæfte og skriv de tal, der mangler ved spørgsmålstegnene.
Opgave 6 I Inko er de ikke tilfreds med antallet af parkeringspladser, så de beslutter 1 a. Hvor mange biler skal der være parkeret, så parkeringspladsen er at 4 udvide. Der er nu plads til 200 biler på den blå parkeringsplads. fyldt? Hvad svarer det til i procent? OPGAVE 6 b. Hvor mange biler skal der til at fylde den 100% op? a. Hvor mange biler skal der være parkeret, så den er fyldt 25% op? Hvor mange biler skal der til at fylde den 100% op? c. Hvor stor en del af parkeringspladsen er fyldt op, hvis der er 24 b. c. Hvor stor en procentdel af parkeringspladsen er fyldt op, hvis der er 24 biler parkeret? 12 biler? 120 biler? 2 biler? biler parkeret? 12 biler? 120 biler? 2 biler? Skriv svaret både som brøkdel og procentdel. En del af den blå parkeringsplads skal reserveres til særlige formål: ● ● ● ●
9788723514363_indhold.indd 7
5% af pladserne til handicappede 10% til personalet 2% til motorcykler 7% til biler med varekørsel
OPGAVE 7
tal på tal
7
13/05/16 11.30
Reserverede pladser 5% af pladserne til handicappede 10% til personalet 2% til motorcykler 7% til biler med varekørsel
En del af den blå parkeringsplads skal reserveres til særlige formål. Opgave 7 a. Tegn de 200 blå parkeringspladser til Inko eller brug hjælpeark. b. Farv de parkeringspladser, som er reserveret til særlige formål. c. Skriv, hvad pladserne skal bruges til. Opgave 8 a. Undersøg om 2% af 200 parkeringspladser, svarer til at taste 200 · 2 % på lommeregneren. b. Hvorfor får man samme resultat, hvis man taster 200 · 0,02 på lommeregneren? c. Regn de andre procentdele ud på den måde du bedst kan lide.
Der skal også laves reserverede pladser på Bruttos 40 parkeringspladser. Man regner med de samme procenter som hos Inko. Opgave 9 a. Hvordan har Bosen regnet, når han skriver, at 1% af pladserne hos Brutto svarer til 0,4 parkeringspladser? b. Regn ud, hvad de andre procentdele svarer til i parkeringspladser.
Bosen klør sig lidt i håret, fordi nogle af tallene er “lidt skæve”. Det bliver ikke hele parkeringspladser, så han skal træffe nogle valg. Han beslutter, at afrunde de 2% = 0,8 til nærmeste hele tal, tallet 1. Opgave 10 a. Afrund alle de andre tal fra opgave 9 til hele tal. b. Tegn de 40 røde parkeringspladser eller brug hjælpeark. c. Farv de reserverede parkeringspladser og skriv, hvad de skal bruges til.
Udfordringen Tegn og ”indret” din egen parkeringsplads. Beslut, hvor mange parkeringspladser den skal rumme. Afgør hvilke særlige formål og hvor stor en procentdel af pladsen, der skal være reserverede pladser til fx handicappede, motorcykler, elbiler. Tegn parkeringspladsen og marker med forskellige farver de reserverede pladser.
8
tal på tal
9788723514363_indhold.indd 8
20/09/2016 12.40
30
TA L O G S T Ø R R E L S E R
DM i Street dance
DM i street dance
I den sidste måned har der været trænet ekstra meget i danseklubberne rundt i Danmark. Det er tid for DM i Street dance.
I den sidste måned har der været trænet ekstra meget i danse Jane er konkurrencens første deltager. Du kan se på tegningen, hvor mange klubberne rundt i Danmark. Det er nemlig tid for DM i street dance.
point dommerne har givet hende. Det højeste, man kan få, er 10,0 point.
Jane er konkurrencens første deltager. Du kan se på tegningen, hvor OPGAVE 1 mange point, dommerne har givet hende. a.point. Hvor mange point har hun fået i alt? Man kan højest få 10,0
b. Forklar, hvorfor man kan sige, at hun har fået 7,825 i gennemsnit? c. Forklar, Street dance hvorfor Janes point - afrundet til 2 decimaler - svarer til 7,83.
Opgave 1 a. Hvor mange point har Jane fået i alt? Dekan næste disse resultater. b. Forklar, hvorfor man sige,deltagere at hun harfår fået 7,825 i gennemsnit. c. Forklar, hvorfor Janes point - afrundet til 2 decimaler- svarer til 7,83.
FREDERIK KAREN ALEXANDER
6,1 8,8 8,1
7,7 7,4 6,9
6,3 8,1 7,3
5,9 7,7 7,0
tal på tal
9788723514363_indhold.indd 9
9
20/09/2016 12.40
Frederik
6,1
7,7
6,3
5,9
Karen
8,8
7,4
8,1
7,7
Alexander
8,1
6,9
7,3
7,0
DANSERE
GENNEMSNITSPOINT (2 decimaler)
Jane
7,83
Frederik
6,50
Karen
8,00
Alexander
7,33
Ida
6,86
Josephine
9,60
Lia
De næste 3 deltagere får disse resultater. Opgave 2 a. Beregn gennemsnitspointene for hver deltager. b. Skriv resultaterne med 2 decimaler.
I tabellen til venstre kan man se navnene på dette års dansere og deres point fra første runde. For at gøre pointene mere overskuelige vælger overdommeren at runde tallene af. Street dance Opgave 3 a. Afrund tallene fra tabellen til 1 decimal. Brug evt. hjælpeark eller regneark. b. Hvilke deltagere får det samme pointtal? c. Afrund tallene fra tabellen til hele tal. d. Hvilke deltagere får nu det samme pointtal?
7,11
Jonas
8,10
Mustafa
6,66
Emilie
7,47
Kristine
8,00
Sebastian
6,85
Anna
7,02
Pernille
8,36
Caroline
7,43
Asta
6,97
Martin
8,95
Marie
7,27
Karens onkel og tante er inviteret til at se dansen, men kommer for sent. De kan se på resultattavlen, at hun har fået 8,00 point og taler om, hvad hver dommer har givet hende. Opgave 4 a. Hvad har dommerne stemt, hvis de har givet det samme pointtal? b. Giv tre eksempler, hvor gennemsnittet er 8,00.
Dommerne har bemærket, at drengene er i mindretal. Opgave 5 a. Hvor mange deltager i årets konkurrence? b. Hvor stor en procentdel af deltagerne er drenge? Opgave 6 a. Hvorfor kan man beskrive brøkdelen af piger som 23 ? b. Hvordan vil du udregne procentdelen af piger på lommeregner? c. Hvordan vil du beskrive brøkdelen af drenge? Opgave 7 a. Tegn en figur, der viser fordelingen mellem drenge og piger. b. Skriv både procentdel og brøkdel på figuren.
10
tal på tal
9788723514363_indhold.indd 10
20/09/2016 12.41
Efter første runde går deltagerne med over 7,5 point videre til semifinalen. Opgave 8 a. Hvor mange går videre til semifinalen? b. Hvor stor en procentdel går videre? c. Hvor stor en procentdel må forlade konkurrencen? d. Hvor stor en procentdel udgør pigerne nu?
Martin er den femte på scenen i semifinalen. Dommerne giver ham et samlet pointtal, der er halvvejs mellem Pernilles og Janes. Kristine forringer sit resultat med 0,1. Josephine er ude for mange uheld, så det går rigtig skidt for hende. Hendes resultat bliver halveret i forhold til det forrige resultat som var 9,60. Opgave 9 Hvor mange point får Martin? Kristine? Josephine?
DANSERE
POINT
Jonas
9,05
Jane
9,4
Karen
8,74
Pernille
9,30
Martin Kristine Josephine
De fire bedste dansere fra semifinalen går videre til finalen. Opgave 10 a. Hvem deltager i finalen? b. Hvor stor forskel er der fra den dårligste til den bedste?
Til finalen er dommerne meget imponerede over finalisterne. Opgave 11 a. Beregn Jonas og Martins gennemsnitspoint. Hvem får flest point af de to? b. Giv eksempler på ændringer af pointtallene, så Martin og Jonas får lige mange point i gennemsnit.
Jonas
9,5
9,6
9,3
9,7
Martin
9,1
9,7
9,7
9,5
Udfordringen Pernille får i gennemsnit 9,9 point. Jane er den sidste. Hun får bedre karakterer end Pernille og vinder konkurrencen, men hun får ikke 10 i gennemsnit. a. Hvilke mulige point kan dommerne have givet Pernille? b. Hvilke mulige point kan dommerne have givet Jane? tal på tal
9788723514363_indhold.indd 11
11
13/05/16 11.30
På opdagelse i rummet Aske og Max har en stor fælles interesse – rummet. De drømmer begge om at blive astronauter ligesom den verdenskendte Neil Armstrong. Han betrådte, som det første menneske, Månen i 1969. Armstrong rejste med Apollo 11 de 380 000 km fra Jorden til Månen på 3 døgn og 4 timer. Tid (timer) 0
10
50000 0 Afstand (km)
20
?
40
?
?
70
76
?
?
?
?
?
?
380000
Opgave 1 a. Beskriv, hvad den dobbelte tallinje viser. b. Tegn den dobbelte tallinje og erstat spørgsmålstegnene med de rigtige tal. c. Hvor mange kilometer flyver Armstrong for hver 10 timer? d. Hvor mange kilometer har Apollo 11 fløjet i timen? Opgave 2 a. Hvor mange gange hurtigere flyver raketten end en bil, som kører 100 km i timen? b. Tegn en dobbelt tallinje, som beskriver, hvor langt bilen og raketten bevæger sig i forhold til hinanden.
12
tal på tal
9788723514363_indhold.indd 12
13/05/16 11.30
På Månen er tyngdekraften 61 af tyngdekraften på Jorden. En genstand, som vejer 24 kg på Jorden, vil opleves, som en genstand, der vejer 4 kg på Månen. Opgave 3 Vægt på månen a. Hvor meget vil en person, som vejer 102 kg på Jorden, opleve, at han vejer på Månen? b. Hvis en sten vejer 75 kg på Månen, hvor meget vil den så veje på Jorden? c. Hvor stor forskel er der på vægten af en mand, der vejer 88 kg på Jorden og en mand, der på Månen vejer 21 kg? Jorden
Ofte undersøges og sammenlignes planeten Mars med Jorden. Dette skyldes, at Mars er det næste mål, man forestiller sig at lande en rumraket på. Opgave 4 a. Hvor stor er Jordens diameter på tegningen og i virkeligheden? Brug målestokken og fotografiet. b. Passer det, at målestoksforholdet på fotografiet svarer til, at 1 cm er 200 000 000 cm i virkeligheden? Opgave 5 a. Tegn Jorden og Mars ved siden af hinanden i et størrelsesforhold, så Jordens diameter er 10 cm. Brug en passer. b. Tegn Jorden og Mars ved siden af hinanden i et størrelsesforhold, så 1 cm svarer til 4000 km.
0
2000 km
Diameter
Månens diameter er ca. 41 af Jordens. Opgave 6 a. Tegn Jorden, Mars og Månen ved siden af hinanden, så 1 cm svarer til 100 000 000 cm. (Målestoksforholdet er 1 : 100 000 000). b. Hvor stor er Månens diameter i virkeligheden?
Mars
Udfordringen Tegningen af raketten til højre er vist i målestoksforholdet 1 : 2000. a. Tegn raketten i målestoksforholdet 1 : 1000. b. Vil raketten blive tegnet større eller mindre, hvis målestoksforholdet var 1 : 500? Hvorfor? tal på tal
9788723514363_indhold.indd 13
13
20/09/2016 11.49
Cykelturen Viggo, Kari og Amanda træner til det årlige cykelløb. De kører hver deres tur. De kører i intervaller, hvor de skifter mellem hurtig og langsom kørsel. De har et ur med som bipper, når de skal skifte. • Viggo cykler tre intervaller i timen. • Kari cykler fire intervaller i timen. • Amanda cykler fem intervaller i timen. Opgave 1 a. Beskriv intervallerne, som brøkdele af en time. b. Tegn tre tallinjer, som viser intervallerne som brøkdele for hver af de tre cykelryttere. Opgave 2 a. Hvor lang tid er der gået, hvis Viggo har cyklet 6 intervaller? b. Hvor lang tid er der gået for Kari og Amanda, hvis de begge har cyklet 6 intervaller? Beskriv det med brøker.
14
tal på tal
9788723514363_indhold.indd 14
13/05/16 11.30
Opgave 3 a. Hvorfor kan man skrive løsningen på opgave 2a som 6 · 31 ? Tegn eller skriv med egne ord. b. Skriv regneudtrykket for løsningen af opgave 2b. c. Beskriv tiden for en træningstur, som passer til regneudtrykket 8 · 51 . De har denne søndag aftalt, at de alle tre vil cykle i 2 timer. Opgave 4 a. Hvor mange intervaller vil Viggo have på 2 timer? b. Hvorfor kan regneudtrykket på opgave a være 2 : 31 ? c. Vis med en tegning fx en tallinje, hvorfor 2 : 31 giver 6. d. Vis med en tegning og et regneudtryk, hvordan man kan finde antallet af intervaller for de to andre. En søndag har Amanda bestemt, at hun vil have intervaller på 25 time. Hun undersøger, hvor lang tid det tager med denne tabel. Intervaller
1
2
Brøker (Timer)
2 5
4 5
Blandede tal (Timer)
2 5
4 5
3
4
5
6
7
11
5
Opgave 5 a. Tegn tabellen og udfyld felterne. b. Udfyld en tabel for Viggo i intervaller på 23 time. Opgave 6 a. Hvor stor er forskellen i tid mellem Viggo og Amanda efter 5 intervaller? Skriv det med brøker. 30 b. Hvorfor kan man beskrive løsningen af opgave a som 50 15 – 15 ? c. Undersøg, hvor mange af de nye intervaller Viggo skal have kørt for at have kørt i lige så lang tid som Amanda.
UdfordringEN Viggo ændrer sine intervaller, så det kun tager den halve tid, inden han skifter fart. a. Hvorfor kan det skrives som 31 · 21 = 61 . Vis det med en tegning. b. Hvad får man at vide, når resultatet er 61 ? c. Skriv regneudtrykkene for en halvering af de to andres intervaller.
tal på tal
9788723514363_indhold.indd 15
15
13/05/16 11.30
Noahs gartneri A
B
C
D
E
16
I Noahs gartneri er man i gang med at lave stiklinger til de nye sommerblomster. Noah planter hver stikling i en urtepotte, der er kvadratisk. Hver urtepotte har et ydre mål på 1 dm2. Disse urtepotter sættes i forskellige kvadratiske kasser, man kan købe hos ham. Man kan vælge mellem fem forskellige typer: A) 2 x 2 B) 3 x 3 C) 4 x 4 D) 5 x 5
E) 6 x 6.
Opgave 1 a. Hvad betyder det, at en urtepotte har et ydre mål på 1 dm2? b. Hvor mange urtepotter er der i hver af de fem kasser? c. Hvorfor kan man skrive kasse E som 62? d. Hvor mange urtepotter vil der være i en kasse med 112 urtepotter? Opgave 2 a. Hvilken kvadratisk kasse vil passe til 81 urtepotter? 144 urtepotter? b. Hvorfor kan man ikke få kasser med 90 urtepotter i Noahs gartneri?
tal på tal
9788723514363_indhold.indd 16
13/05/16 11.30
Noah har et område, hvor kunderne kan se hans sommerblomster. Han planter derfor sine stiklinger ud og har fundet på, at de skal stå på en særlig måde, som du kan se på tegningen. Han laver en skitse af det på ternet papir. Hver farve er forskellige typer af blomster. Opgave 3 Kvadratrod a. Hvor lang er siden af det grønne kvadrat? b. Hvor lang er siden i det blå kvadrat? c. Hvorfor er det mere besværligt at finde sidelængden i det røde og det gule kvadrat? Opgave 4 a. Hvordan kan man tælle sig til arealet af det grønne kvadrat? b. Hvordan kan man regne sig til arealet af det grønne kvadrat? c. Hvorfor er arealet af det røde kvadrat 8? Opgave 5 a. Prøv med lommeregner at finde en passende sidelængde til et areal på 8. Find et tal med 2 decimaler, som passer bedst muligt. b. Find på samme måde en passende sidelængde på det gule kvadrat. Opgave 6 a. Sammenlign din undersøgelse med at tage kvadratroden af 8 på lommeregneren. b. Er det muligt at finde et præcist tal for sidelængderne i det gule og det røde kvadrat?
Kvadratrod a4 = 2 fordi 22 = 4. a2 ≈ 1,4142
”Nå”, tænker Noah, der er åbenbart nogle arealer, som ikke giver ”pæne” sider. Areal
9
Sidelængde
3
10
11
12
13
14
15
16 4
Opgave 7 Kvadrattal a. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter. Afrund til 2 decimaler. b. Hvilke ”pæne” kvadrattal er der mellem 1 og 100?
UdfordringEN Noah har fået en ordre på at plante 150 små planter hos en kunde. Kunden vil gerne have dem til at stå i rad og række, så de danner et kvadrat. Er det muligt? Hvordan vil du løse opgaven?
tal på tal
9788723514363_indhold.indd 17
17
20/09/2016 12.42
R E T E T I V I T AK Pyramidetal Materialer: Kvadrater
Pyramide med
1 række
2 rækker
3 rækker
Kvadrater i alt
1
4
9
4 rækker
…
n rækker
1
a. Tegn skemaet. Tegn flere kolonner, så der er plads til pyramider på op til ti rækker. b. Start med at lægge en pyramide med tre rækker. c. Kontroller, om tallene i skemaet passer til pyramiderne på 1, 2 og 3 rækker.
1 1+3=4 4+5=9
2
a. Hvor mange kvadrater skal I bruge i alt til en pyramide, der er på 4 rækker? b. Hvor mange kvadrater skal I bruge i alt til en pyramide på 5 rækker? 6 rækker? 10 rækker? c. Beskriv eller tegn en pyramide med 49 kvadrater. d. Kan I finde et mønster?
De skæve kvadratrødder 1
Det er muligt at give et ret præcist overslag på ”skæve” kvadratrødder, uden at bruge lommeregner. Prøv med a 98. • • • • • • •
a98 ligger mellem a81 der er 9 og a 100 der er 10 a98 ligger tættere på a100 end på a81 .
Forskellen mellem 81 og 100 er 19. a98 ligger 17 fra a81 og kun 2 fra a100. 19 19 17 : 19 er ca. 0,9. Tallet ligger altså ca. 0,9 fra 9. Et overslag kunne derfor være, at a98 er ca. 9,9. Med lommeregner fås, at 9,9 · 9,9 = 98,01, hvilket er tæt på 98.
b. Undersøg på samme måde a2, a35 og a123. 2
Gå sammen to og to. Giv hinanden skæve kvadratrødder. Kontroller på lommeregneren.
18
17
a98
a81
2
a100
9
10 9,9
tal på tal
9788723514363_indhold.indd 18
13/05/16 11.30
Brøker på kryds og tværs Materialer: En clips og hjælpeark med spinnerplade samt resultatskema Deltagere: 2-4 personer
1
Gør spillet klart. • Klip spinnerpladen ud fra hjælpeark. • Skaf en clips, som kan dreje om en blyant. • Skaf en resultatplade til hver deltager fra et hjælpeark. 2
Lad clipsen dreje indtil den lander på et brøktal. Skriv brøktallet i et ledigt felt på resultatskemaet. Når hver deltager har fået fyldt deres resultatskema, skal man gøre skemaet op for at finde en vinder. Læg de fire brøktal sammen for hver af de fire rækker og kolonner samt en enkelt diagonal. Det er nemmest, hvis I omsætter de fire brøker til tolvte-dele. Se eksempel.
1 2
1 4
1 2
1 2
19
1 3
1 3
1 4
1 4
19
1 3
1 2
1 2
1 3
16
1 4
1 2
1 2
1 2
19
15
17
19
17
1 10
12
12
12
12
12 12 12
12 12
• Hvis et resultat forekommer mere end en gang, skal de streges ud. I eksemplet her er det 1 127 , 1 129 . • Læg de tal der bliver tilbage sammen. Det er det samlede resultat.
tal på tal
9788723514363_indhold.indd 19
19
13/05/16 11.30