Hvad er matematik? C, opgavebog by Alinea

Hvad er matematik? C Opgavebog Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun & Olav Lyndrup

Indholdsfortegnelse 0. Hvad er matematik? 1. Kan vi bevise det? Om vinkelsummer, trekanter og polyedre . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Kan vi beregne det? Om formler, summer og uendelighed . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. Kan vi tro på det? Om usikkerhed, tilfældighed og sandsynlighed . . . . . . . . . . 9

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner 3. Uafhængig og afhængig variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4. Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5. De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge . . . . . . . . . . . . . 14 6. Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge . 15 7. Lineær regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8. Lineære funktioner y = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 9. Notation (især for B- og A-niveau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Beskrivende statistik 2. Numeriske variable – beskrivelse af et datamateriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3. Numeriske variable – beskrivelse af store datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4. Kategoriske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. Geometri – Konstruktion og beregning 2. Skalering, målestoksforhold og ligedannethed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3. Ensvinklede trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5. Beregning i retvinklede trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6. Geometri – udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Eksponentielle vækstmodeller 2. Eksponentiel vækst og procentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4. Eksponentialfunktionerne y = b · a x og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5. Eksponentiel regression – fra tabel til graf og formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6. Udregning af regneforskrift ud fra to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7. Fordoblings- og halveringskonstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 9. Eksponentielle sammenhænge – udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Lindhardt og Ringhof

5. Potensmodeller 2. Potensfunktioner y = b · xa og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3. Potensregression – fra tabel til graf og formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4. Hvad er karakteristisk for potenssammenhænge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5. Udregning af regneforskrift ud fra to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6. Potenssammenhænge – udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6. Logaritmer 2. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3. Sammenhængen mellem a x og ek·x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4. Sammenhængen mellem log og ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5. Linearisering og anvendelsen af logaritmer i andre fag . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6. Logaritmefunktioner – udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7. Tal og ligninger 1. Andre talsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Regning med tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Talmængder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5. To ligninger med to ubekendte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8. Sider og vinkler i vilkårlige trekanter 2. Enhedscirklen, cosinus og sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3. Sinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4. Cosinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5. Sinus- og cosinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6. Sinusfælden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7. Trigonometri – udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9. Bekræftende statistik 1. Goodness of fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2. Test af uafhængighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3. Skjulte variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Facitliste 0. Hvad er matematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2. Beskrivende statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3. Geometri – Konstruktion og beregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4. Eksponentielle vækstmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5. Potensmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6. Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7. Tal og ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8. Sider og vinkler i vilkårlige trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 9. Bekræftende statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Hvad er matematik?

Kan vi bevise det? Om vinkelsummer, trekanter og polyedre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Kan vi beregne det? Om formler, summer og uendelighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Kan vi tro på det? Om usikkerhed, tilfældighed og sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . 9

0.1 Kan vi bevise det ? De følgende opgaver, hvor du skal udregne en vinkel, skal du både lave med beregninger i hånden, og evt. brug af lommeregner, og med brug af et geometriprogram.

Opgave 0.1 a) I en trekant ABC har vi fået at vide, at vinkel A er 23°, og vinkel B er 81°. Hvor stor er vinkel C?

Opgave 0.2 a) Hvad er en stump vinkel ν, og hvad er en spids vinkel ν?

Opgave 0.3 a) Hvad er en ligesidet trekant, og hvad er en ligebenet trekant?

Opgave 0.4 a) Trekant ABC er en ligesidet trekant. Hvor store er vinklerne?

Opgave 0.5 a) Trekant ABC er en ligebenet trekant, hvor vinkel A og vinkel C er lige store. Vinkel B er 72°. Hvor store er de øvrige vinkler?

Opgave 0.6 a) Trekant ABC er en ligebenet trekant, hvor vinkel A og vinkel C er lige store. Vinkel A er 56°. Hvor store er de øvrige vinkler?

6 Hvad er matematik? C, opgavebog

0. Hvad er matematik?

Opgave 0.7 Der er givet en vilkårlig trekant ABC. a) Hvad er en vinkelhalveringslinje fra A? Hvad er en højde A? Hvad er en median fra A? Hvad er en midtnormal fra a?

Opgave 0.8 B

I trekant ABC er tegnet vinkelhalveringslinjen fra A. Linjen skærer den modstående side i punktet D. Det oplyses, at vinkel A i trekant ABC er 40°, og vinkel C er 64°.

a) Bestem vinklerne i trekanterne ACD og ABD.

Opgave 0.9 I trekant ABC er tegnet vinkelhalveringslinjen fra A. Linjen skærer den modstående side i punktet D. Det oplyses, at vinkel A i trekant ABC er 30°, og vinkel D i trekant ABD er 47°.

a) Bestem vinklerne i trekanterne ACD og ABD. A

Opgave 0.10 I trekant ABC er tegnet højden fra B ned på siden AC (siden b). Det oplyses, at vinkel A er 28°, og vinkel C er 80°.

a) Bestem vinklerne i trekant ABH og trekant BCH.

Opgave 0.11 I trekant ABC er tegnet højden fra B ned på siden AC (siden b). Det oplyses, at vinkel C er 77°, og vinkel B i trekant ABC er 36°. a) Bestem vinklerne i trekant ABH og trekant BCH.

7 Hvad er matematik? C, opgavebog

0.2 Kan vi beregne det ? Opgave 0.12 a) En snor er spændt stramt rundt om Jorden. Den forlænges nu med 1 meter, og vi bliver bedt om at svare på følgende spørgsmål: Hvor højt kan snoren løftes fra jordoverfladen, hvis den løftes lige højt hele vejen rundt?

Opgave 0.13 a) Vi har en sum af de naturlige tal 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 100. Bestem summen. b) Del tallene i summen op i to rækker. 1

100

Hvor mange tal er der i hver række? Hvad er summen af de to tal i hver søjle? Bestem summen igen. c) Brug metoden i b) til at vise 1 + 2 + 3 +  + n =

n ⋅ ( n + 1) 2

Opgave 0.14 a) Udfyld tabellen. Sum

Resultat

Antal led i sum

1+3 1+3+5 1+3+5+7 1+3+5+7+9

Hvilken sammenhæng er der mellem resultatet og antal led i sum? b) Formuler et postulat for summen af de n første ulige tal.

Opgave 0.15 a) Udfyld tabellen. Differens Division med 2 Går divisionen op ? Division med 3 Går divisionen op ? 13 – 1 23 – 2 33 – 3 43 – 4

b) Udtryk differensen med n, og fomuler et postulat for division af differensen med 2 og 3. c) Formuler et postulat for division af differensen med 6.

8 Hvad er matematik? C, opgavebog

0. Hvad er matematik?

0.3 Kan vi tro på det ? Opgave 0.16 Ved hjælp af et værktøjsprogram kan man nemt simulere en enkelt serie på 12 kast med et tetraeder. Gentages simuleringen, kan man få en god fornemmelse af, hvordan serier på 12 eller flere tetraederkast opfører sig. a) Gennemfør selv en sådan simulering af 20 serier på 12 kast. I hvor mange af serierne fik du 0 eller 1 fire? b) Tegn et søjlediagram over antallet af serier med 0, 1, 2, … 12 firere.

Opgave 0.17 Hvad er sandsynligheden for, at der i en klasse med 25 elever er mindst to, som fylder år på samme dag? a) Giv et bud. b) Lav et eksperiment, hvor 25 elever hver for sig tilfældigt vælger et tal mellem 1 og 365. Et sådant tilfældigt tal kan vælges med brug af et it-værktøj, fx et regneark. Har man ikke et it-værktøj, kan man foretage valget ved hjælp af nogle papirlapper. Undersøg hvor mange, der har tal tilfælles. Hvad er dit bud på sandsynligheden for, at mindst to elever har fødselsdag samme dag? c) Gentag eksperimentet 100 gange, og skriv fx resultaterne ind i et fælles regneark. Hvad er gennemsnittet af de 100 eksperimenter? Hvad er dit bud på sandsynligheden for, at mindst to elever har fødselsdag samme dag?

Opgave 0.18 I det klassiske Monty Hall-problem er der tre døre. Vi laver en variant af dette problem ved at udvide med en dør mere: Bag fire lukkede døre på scenen står der fire gevinster, som man kan vinde. Man skal blot vælge, hvilken dør man vil åbne. Bag den ene dør er der en Cadillac. Bag hver af de andre tre står der en sur ged. a) Du vælger en dør. Hvad er sandsynligheden for, at du vælger den dør, der er en bil bag? b) Giv et bud på, om der er større, mindre eller samme sandsynlighed for at vinde bilen, hvis du vælger om, når programværten har vist dig geden bag en af dørene. c) Undersøg ved simulering, hvor stor sandsynligheden er for, at du vinder, hvis du konsekvent skifter dør.

9 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 0.19 I det klassiske Monty Hall-problem er der tre døre. Vi laver en variant af dette problem ved at udvide, så der i alt er 10 døre: Bag 10 lukkede døre på scenen står der 10 gevinster, som man kan vinde. Man skal blot vælge, hvilken dør man vil åbne. Bag den ene dør er der en Cadillac. Bag hver af de andre 9 står der en sur ged. a) Du vælger en dør. Hvad er sandsynligheden for, at du vælger den dør, der er en bil bag? b) Giv et bud på, om der er større, mindre eller samme sandsynlighed for at vinde bilen, hvis du vælger om, når programværten har vist dig geden bag en af dørene. c) Undersøg ved simulering, hvor stor sandsynligheden er for, at du vinder, hvis du konsekvent skifter dør.

10 Hvad er matematik? C, opgavebog

Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Uafhængig og afhængig variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge . . . . 15

Lineær regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Lineære funktioner y = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Notation (især for B- og A-niveau). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3 Uafhængig og afhængig variabel Opgave 1.1 Døgnets temperatur ændres med tidspunktet på døgnet. a) Indfør passende variable, og tegn en grafskitse, der illustrerer sammenhængen mellem den målte temperatur og det tidspunktet på døgnet, hvor temperaturen er målt – se eventuelt www.dmi.dk.

Opgave 1.2 På en hjemmeside for mobilfirmaet CBB står:

a) Indfør passende variable, og tegn en grafskitse, der illustrerer sammenhængen mellem antal sms’er og den samlede pris om måneden.

11 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 1.3 Forestillingen om, at man bliver mere sund af at tage store mængder næringsstoffer om det så er vitaminer, mineraler eller urter - stammer fra den fejlopfattelse, at dosis er ligefrem proportional med den formodede virkning. Eller med andre ord: Mange tror, at jo større mængde man tager, jo bedre virkning opnår man. At det ikke er tilfældet, er ganske tydeligt, hvis man kigger på insulin. I små doser sænker insulin blodsukkerniveauet ved at fremme glucosens transport ind i cellen. Men i store doser vender insulin den anden side til og øger blodsukkerniveauet. Derfor har en højere dosis insulin en farmakologisk i stedet for en fysiologisk virkning. Kilde: www.helsenyt.com a) Indfør passende variable, og skitser de nævnte sammenhænge (kursiveret).

1.4 Koordinatsystemet Opgave 1.4 På figuren ses grafen for en funktion. y

x 1

a) Udfyld tabellen nedenfor ved aflæsning af sammenhørende værdier af x og y på grafen. x y

-5

-2 0

0 2

b) Afgør, om punkterne (-4,-1), (-7,-3), (3,7) og (5,8) ligger på grafen.

12 Hvad er matematik? C, opgavebog

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.5 På figuren ses graferne for to funktioner f og g. y

f g

x 1

a) Aflæs x-koordinaten i de punkter, hvori de to grafer skærer hinanden. b) Aflæs de intervaller af x-værdier, hvor grafen for g (den grønne) ligger over grafen for f (den røde).

Opgave 1.6 På figuren ses grafen for en funktion. y

x 1

a) Aflæs y-værdierne svarende til de fem x-værdier 0, 1, 2, 3 og 4, og beskriv med ord, hvordan y-værdierne ændres, når x-værdien stiger med 1.

13 Hvad er matematik? C, opgavebog

1.5 De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge Opgave 1.7 På Danmarksstatistik under statistikbanken www.statistikbanken.dk kan man finde denne graf.

Adoptioner efter tid. Sydkorea (Antal) 500 450 400 350 300

a) Indfør passende variable, og beskriv med ord betydningen af det grafiske forløb i henhold til udviklingen i antal adoptioner fra Sydkorea i den angivne periode.

250 200 150 100 50 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005

Opgave 1.8 Nøgletal om befolkningen efter tid. Skilsmisse (Antal)

På Danmarksstatistik under statistikbanken www.statistikbanken.dk findes denne graf.

16000 14000

a) Indfør passende variable, og beskriv med ord betydningen af det grafiske forløb i henhold til udviklingen i skilsmisseantallet i den givne periode.

12000 10000 8000 6000 4000 2000 1901 1910 1919 1929 1939 1948 1958 1968 1977 1987 1996 2006

På www.cdc.gov kan man finde denne grafiske repræsentation for udviklingen af influenza over en firårig periode. a) Indfør passende variable, og beskriv med ord betydningen af det grafiske forløb for udviklingen af influenza i perioderne 2007-2008 samt 2008-2009, og sammenlign disse.

% of visits for ILI

Opgave 1.9 7

Flu from 2 years ago

H1N1 Flu

5 4 H1N1 Flu begins

3 2 1

39 Week

2006-7

2007-8

2008-9

14 Hvad er matematik? C, opgavebog

National Baseline

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

1.6 Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge Opgave 1.10 En pose med 8 rosinboller i et supermarked koster 16,95 kr. a) Indfør passende variable, og tegn en grafskitse, der illustrerer sammenhængen mellem antal poser og den samlede pris.

Opgave 1.11 To firmaer ”Straks” og ”UdenForsinkelse” transporterer varer af enhver slags for alle kunder. Prisen afhænger af det antal kilometer, der skal køres under transporten (se graf).

"Straks"

pris

a) Benyt graferne til at bestemme den transportafstand, som de to firmaer udbyder til samme pris. b) Opstil en tabel, der viser prisen for en transport på 10, 20, 30, 40 og 50 km for hvert af de to firmaer.

"UdenForsinkelse"

100 10

c) Undersøg ved hjælp af graferne på hvilke strækninger, det bedst kan betale sig at benytte firmaet ”UdenForsinkelse”.

Opgave 1.12 På figuren ses grafen for en funktion.

a) Afsæt fem punkter på grafen, således at x-værdien stiger med 2 hver gang. Dvs. hvis man vælger at starte med x = –6, så skal næste x-værdi være –4 osv. b) Beskriv med ord, hvordan y-værdien ændres, når xværdien ændres med dette faste tal. 2 5

15 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 1.13 I et koordinatsystem er der givet tre forskellige grafer (se figur).

a) Aflæs for hver af de tre grafer tre punkter på grafen, således at x-værdien stiger med 1 hver gang. Dvs. hvis man vælger at starte med x = –7, så skal næste x-værdi være –6 osv. b) Beskriv med ord, hvordan y-værdien ændres, når x-værdien ændres med 1, og sammenlign ændringen for hver af de tre grafer. 1 x

Opgave 1.14 På www.statistikbanken.dk kan man finde nedenstående tabel.

Banenettet i alt 1000 passagerer

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

160.600

165.700

167.032

165.285

185.989

202.100

207.477

a) Indfør passende variable, og tegn en graf, hvor punkterne forbindes med linjestykker.

Opgave 1.15 Et uddrag af en tabel fra Fiskeridirektoratets hjemmeside viser følgende: Konsumlandinger Landet vægt i ton Årstal

Blåhvilling

Brosme Hvilling

Kuller

Kulmule

Lange

Lyssej

Mørksej

Torsk

Anden torskefisk

2000

122882

248

274

3526

762

780

591

14626

5872

2001

123599

291

294

488

995

900

432

17479

51262

2002

146489

236

352

9647

1113

895

696

26607

40499

2003

287991

239

427

6376

1154

1061

533

26838

33416

2004

273986

177

323

4483

1328

852

364

22605

351

2005

251772

153

591

3698

1279

868

477

21494

37009

2006

183157

168

513

2568

1461

772

350

2079

31714

2007

165429

105

505

2795

1391

591

508

18389

2656

2008

70502

250

2315

1972

649

477

25478

25314

2009

3584

273

2801

2401

761

420

26078

24626

16 Hvad er matematik? C, opgavebog

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

a) Overvej hvilke sammenhænge, tabellen kan give anledning til at undersøge. b) Kopier de data fra tabellen, der er relevante for din undersøgelse, over i et regneark, og tegn de relevante grafer, hvor punkterne forbindes med rette linjer. c) Beskriv med ord, hvad grafen fortæller om den sammenhæng, du ønskede at undersøge.

Opgave 1.16 a) Udfyld en tabel, hvor værdier af kvadratet x2 beregnes for 7 forskellige værdier af x. b) Udfyld en tabel, hvor værdier af produktet 2 · x beregnes for 7 forskellige værdier af x (vælg de samme x-værdier som i tabellen for x2). c) Sammenlign de to tabeller, og kommenter forskellen på, hvordan værdierne for x2 og 2 · x ændrer sig.

Opgave 1.17 a) Udfyld en tabel, hvor værdier af potensen x3 beregnes for 7 forskellige værdier af x. b) Udfyld en tabel, hvor værdier af produktet 3 · x beregnes for 7 forskellige værdier af x (vælg de samme x-værdier som i tabellen for x3 ). c) Sammenlign de to tabeller, og kommenter forskellen på, hvordan værdierne for x3 og 3 · x ændrer sig.

Opgave 1.18 a) Udfyld en tabel, hvor værdier af potensen 2x beregnes for 7 forskellige værdier af x. b) Udfyld en tabel, hvor værdier af produktet 2 · x beregnes for 7 forskellige værdier af x (vælg de samme x-værdier som i tabellen for 2x). c) Sammenlign de to tabeller, og kommenter forskellen på, hvordan værdierne for 2x og 2 · x ændrer sig.

Opgave 1.19 Der er givet tabellen: x

a) Overvej, hvilket mønster tabellen afspejler, og opskriv sammenhængen mellem x og y som en formel.

17 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 1.20 Der er givet tabellen: x

a) Overvej, hvilket mønster tabellen afspejler, og opskriv sammenhængen mellem x og y som en formel.

Opgave 1.21 Der er givet den lineære sammenhæng y = 4x + 17 . a) Fortolk konstanterne i den lineære sammenhæng.

Opgave 1.22 Der er givet den lineære sammenhæng y = x – 8 . a) Fortolk konstanterne i den lineære sammenhæng.

Opgave 1.23 Der er givet den lineære sammenhæng y = –3x + 2 . a) Fortolk konstanterne i den lineære sammenhæng.

Opgave 1.24 En familie får vand fra Vandcenter Syd. De betaler en fast årlig målerafgift på 600 kr. inkl. moms. Prisen pr. m3 er 41,75 kr. inkl. moms. a) Indfør passende variable, og opskriv en sammenhæng mellem familiens årlige vandforbrug og dens samlede udgift til Vandcenter Syd. (stx-A-net eksamen maj 2010)

Opgave 1.25 Antallet af medlemmer i Dansk Tennis Forbund er siden 1999 med god tilnærmelse faldet med 2100 om året. I 1999 var medlemstallet 77688. a) Benyt disse oplysninger til at opstille en lineær model, der beskriver udviklingen i medlemstallet i årene efter 1999. Kilde: Dansk Tennis Forbund. (hf-C eksamen december 2006)

18 Hvad er matematik? C, opgavebog

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.26 Et taxafly koster 500 kr. i startgebyr og 50 kr. pr. minut i luften. a) Opstil en lineær model, der beskriver sammenhængen mellem udgiften til flyveturen og antallet af minutter i luften.

Opgave 1.27 Udbringning af en pakke koster 100 kr. i startgebyr og 5 kr. pr. km. a) Opstil en lineær model, der beskriver sammenhængen mellem udgiften til udbringningen og antallet af kilometer, som pakken skal udbringes.

Opgave 1.28 En sammenhæng mellem to variable x og y er givet ved y =

15 1+ x

a) Udfyld en tabel med sammehørende x- og y-værdier. b) Skitser på baggrund af tabellen en graf. c) Skitser i et værktøj grafen, og sammenlign med den graf, som du skitserede. d) Forklar den grafiske betydning af konstanten 15.

Opgave 1.29 En sammenhæng mellem to variable t og U er givet ved U =

20 + 50 t +1

a) Udfyld en tabel med sammehørende t- og U-værdier. b) Skitser på baggrund af tabellen en graf. c) Skitser i et værktøj grafen, og sammenlign med den graf, som du skitserede. d) Forklar den grafiske betydning af konstanterne 20 og 50.

19 Hvad er matematik? C, opgavebog

1.7 Lineær regression Opgave 1.30 (Opgaven er inspireret af Thomas Vils' Væksthæfte. Data i dette eksempel er taget fra Practical statistics for environmental and biological scientists af John Townsend (Wiley, 2002).) Forsøg har vist, at udklækningstiden for flueæg aftager, når luftfugtigheden øges. Konkret har man i et forsøg foretaget følgende målinger af sammenhængen: Luftfugtighed (%)

100

Udklækningstid (timer)

23.2

22.7

22.0

21.7

20.2

19.6

18.2

18.3

17.4

16.6

a) Udregn for hver forøgelse på 6% af luftfugtigheden (dvs. fra 46% til 52%, fra 52% til 58% osv.) det tilsvarende fald i udklækningstiden, og angiv disse tal i nederste række i skemaet. Hvad kan du konkludere? Luftfugtighed (%)

100

Udklækningstid (timer)

23.2

22.7

22.0

21.7

20.2

19.6

18.2

18.3

17.4

16.6

Fald i udklækningstid (timer)

b) Afsæt målingerne i et koordinatsystem med luftfugtigheden ud ad førsteaksen og udklækningstiden ud ad andenaksen, og tegn den bedste rette linje. c) Vi betegner luftfugtigheden målt i % med L og udklækningstiden målt i timer med U. Bestem to tal a og b, så der med god tilnærmelse gælder: U = a ⋅ L + b . d) Hvilken sammenhæng er der mellem tallet a og de fald i udklækningstiden, som du udregnede i spørgsmål a)? e) Hvilken udklækningstid vil du forvente, når luftfugtigheden er 80%? f) Hvor høj skal luftfugtigheden være, for at udklækningstiden bliver 20 timer?

Opgave 1.31 Forbruget af kartofler har i perioden 1994-2004 udviklet sig som vist i tabellen nedenfor. År

1994

1995

Forbrug af kartof296,2 297,0 ler i mio. kg

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

299,0 300,7 301,4 302,7 303,7 304,5 305,8 306,5 307,3

a) Bestem med regression den lineære model, der med god tilnærmelse beskriver udviklingen i kartoffelforbruget i perioden 1994-2004. b) Hvad beskriver a og b i modellen? c) Hvad vil forbruget af kartofler være i 2010? d) Hvornår vil vi bruge 320 mio. kg kartofler om året? Kilde: Danmarks Statistik

20 Hvad er matematik? C, opgavebog

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.32 En bilist vil undersøge sin bils benzinøkonomi og har derfor lavet et benzinregnskab som det følgende, hvor variablen triptæller angiver, hvor langt bilen har kørt i km, og påfyldt benzin, hvor mange liter benzin, der påfyldes ved hver optankning, idet benzintanken fyldes helt op ved hver påfyldning. a) Udfyld resten af søjlen for benzinforbruget i tabellen.

Triptæller

b) Afbild benzinforbruget som funktion af antal kørte km. c) Tegn en ret linje, der så vidt muligt går gennem datapunkterne på grafen.

400

689

1085

1420

1650

Påfyldt benzin

fuld tank

41,1

29,7

40,7

34,4

23,6

Benzinforbrug

41,1

70,8

Tog 1

Køretid 1

Tog 2

d) Bestem ligningen for den tilhørende rette linje, der beskriver benzinforbruget som funktion af den kørte strækning. e) Hvilken betydning har hældningen?

Opgave 1.33 Nedenstående data stammer fra en DSB-køreplan, hvor variablen strækning måles i km, og variablen køretid måles i minutter. Tog 1 standser ved alle stationer, mens tog 2 kører direkte igennem på strækningen fra Nivå til Klampenborg. a) Udfyld køretiden for tog 1.

Strækning

Station

b) Afbild punktplottet, der viser sammenhørende værdier af strækning og køretid for tog 1.

Helsingør

5.04

6.28

Snekkersten

5.08

6.32

c) Tegn en ret linje, der så vidt muligt går gennem datapunkterne på grafen.

Espergærde

5.12

6.36

Humlebæk

5.17

6.41

Nivå

5.22

6.45

Kokkedal

5.26

–

d) Hvad bliver ligningen for denne rette linje? e) Er det rimeligt på denne måde at beskrive sammenhængen som lineær? f) Hvilken praktisk betydning har hældningen a? g) Afbild på samme måde punktplottet, der viser sammenhørende værdier af strækning og køretid for tog 2 i det samme koordinatsystem. Sammenlign de to grafer.

Rungsted kyst

5.31

–

Vedbæk

5.35

–

Skodsborg

5.40

–

Klampenborg

5.45

7.00

Østerport

5.55

7.10

Nørreport

5.58

7.13

København H.

6.02

7.17

21 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 1.34 For et digitalt kamera kan blænden i F-værdier x og lukketiden i sekunder y ændres, når et billede tages. Følgende data gælder for et digitalkamera: x

1/1000

1/500

1/250

1/125

1/60

1/30

1/15

1/8

2,8

5,6

a) Benyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y. b) Bestem forklaringsgraden for den lineære model. c) Bestem et residualplot, og vurder om punkterne er tilfældigt fordelt, eller der er en systematisk afvigelse. Hvad vil du konkludere ud fra residualplottet om den lineære model? Kilde: De Veaux, Velleman, og Bock, Intro Stats (Pearson Addison Wesley, 2009), side 179.

Opgave 1.35 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y: x

a) Benyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y. b) Bestem et residualplot, og vurder, om punkterne er tilfældigt fordelt, eller der er en systematisk afvigelse. Hvad vil du konkludere ud fra residualplottet om den lineære model?

Opgave 1.36 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y: x

5,9

6,3

7,5

14,8

12,9

15,2

21,5

26,0

22,2

24,5

22 Hvad er matematik? C, opgavebog

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.37 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y x

2,3

2,6

5,7

11,2

15,9

29,6

26,3

22,7

21,2

18,3

Opgave 1.38 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y x

5,4

8,6

7,5

11,9

3,7

27,0

0,9

40,6

55,7

-2,8

1.8 Lineære funktioner y = ax + b Opgave 1.39 På figuren ses graferne for 4 lineære funktioner, som alle har en forskrift af typen y = ax + b.

y n m

a) Opskriv forskrifter for hver af disse lineære funktioner, idet hældningskoefficienten a og konstantleddet b aflæses på figuren.

b) Afgør ud fra forskrifterne om følgende punkter ligger på graferne: (2,5), (30,19), (–10,7), (10,–3), (–4,7) og (2,–15).

1 l

23 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 1.40 Det øverste lag af Jorden kaldes for skorpen. Under skorpen befinder kappen sig. Ved en bestemt målestation er skorpen 40 km tyk. Temperaturen ved jordoverfladen er 20°C, og ved overgangen til kappen er den 500 °C. I en temperaturmodel går man ud fra, at temperaturen i skorpen vokser lineært med dybden. a) Indfør passende variable, og opstil et funktionsudtryk for temperaturen som funktion af dybden. Kilde: www.vandcenter.dk (stx-A-net terminsprøve november 2008)

Opgave 1.41 Den årlige omsætning på spil i Danmark kan for perioden 2000-2004 med tilnærmelse beskrives ved modellen y = 2, 5 x + 10, 5 , hvor y er omsætningen målt i mia. kr., og x er antal år efter 2000. a) Hvad fortæller tallene 2,5 og 10,5 om omsætningen på spil? (hf-C eksamen december 2007)

Opgave 1.42 Prisen på vareudbringning med et transportfirma er givet ved y = 15x + 75, hvor y er prisen angivet i kr. for at transportere varer x km. a) Bestem prisen for at transportere varer 10 km. Beskriv, hvad konstanterne 15 og 75 fortæller om prisen på vareudbringningen. (baseret på stx-B eksamen juni 2010)

Opgave 1.43 Vand løber ind i en beholder, således at sammenhængen mellem tiden t (målt i minutter) og vandhøjden h (målt i cm) kan beskrives ved ligningen h = 2t + 10. a) Bestem vandhøjden, når t = 5, og beskriv hvilken information, konstanterne 2 og 10 giver om vandhøjden i beholderen. (stx-B eksamen august 2009)

Opgave 1.44 For en bestemt væskesøjle er sammenhængen mellem trykket P og dybden d under væskens overflade givet ved P = 0,087 · d + 1,113 , når trykket måles i bar og dybden måles i meter. a) Bestem trykket i dybden 9,0 m, og bestem den dybde, hvor trykket er 2,0 bar. b) Gør rede for, hvad konstanterne i ligningen fortæller om trykket i væskesøjlen. (stx-B december eksamen 2007)

24 Hvad er matematik? C, opgavebog

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.45 Af Folkesundhedsrapporten fra 2007, udgivet af Statens Institut for Folkesundhed, fremgår det, at udviklingen i forbruget af antal sengedage for børn under 16 år på danske hospitaler kan beskrives ved funktionen y = –9959x + 650584, hvor x betegner antal år efter 1978. a) Beskriv hvilken information, funktionen giver om udviklingen i antal sengedage for børn under 16 år på danske hospitaler. (stx-B eksamen december 2008)

Opgave 1.46 I en lineær sammenhæng er stigningstallet 4,5. a) Hvis x-værdien vokser med 1, hvad ændres y-værdien så med? b) Hvis x-værdien vokser med 5, hvad ændres y-værdien så med? I en lineær sammenhæng er stigningstallet a. c) Hvis x-værdien vokser med 1, hvad ændres y-værdien så med? d) Hvis x-værdien vokser med 5, hvad ændres y-værdien så med? e) Hvis x-værdien vokser med k, hvad ændres y-værdien så med?

Opgave 1.47 Vi har y = 3x + 4 a) Hvis x vokser med 2, hvad er så ændringen i y? b) Hvis x vokser med 11, hvad er så ændringen i y? c) Hvis x vokser med k, hvad er så ændringen i y?

Opgave 1.48 Vi har y = ax + b a) Hvis x vokser med 2, hvad er så ændringen i y? b) Hvis x vokser med 11, hvad er så ændringen i y? c) Hvis x vokser med k, hvad er så ændringen i y?

Opgave 1.49 Vi har y = 3x + 4 a) Hvis y vokser med 21, hvad er så ændringen i x? b) Hvis y vokser med 50, hvad er så ændringen i x? c) Hvis y vokser med c, hvad er så ændringen i x?

25 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 1.50 Vi har y = ax + b a) Hvis y vokser med 21, hvad er så ændringen i x? b) Hvis y vokser med 50, hvad er så ændringen i x? c) Hvis y vokser med c, hvad er så ændringen i x?

Opgave 1.51 En funktion har forskriften y = 7x + b, hvor b er et tal. Punktet P(3,31) ligger på grafen for funktionen. a) Bestem tallet b. (stx-B eksamen august 2010).

Opgave 1.52 På figuren ses grafen for en lineær funktion y = ax + b. Grafen for funktionen går som vist på figuren gennem punkterne P(2,5) og Q(4,11). y Q(4,11)

P(2,5)

a) Bestem a og b. (stx-B eksamen maj 2010)

Opgave 1.53 Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne P(1,–6) og Q(–2,3). a) Bestem en forskrift for funktionen. b) Bestem koordinatsættet til grafens skæringspunkt med y-aksen. c) Bestem koordinatsættet til grafens skæringspunkt med x-aksen. (stx-A eksamen august 2009)

26 Hvad er matematik? C, opgavebog

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.54 Antallet af spilleautomater i Danmark er i perioden 2003-2006 steget. Figuren viser, at udviklingen med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær funktion y = ax + b, hvor x er antal år efter 2003, og y er antal spilleautomater. Det oplyses, at grafen for denne lineære funktion går gennem punkterne (0,17800) og (3,24500).

Antal spilleautomater

2000

a) Bestem tallet a. b) Hvad fortæller tallet a om udviklingen i antallet af spilleautomater?

1000

c) Bestem antallet af spilleautomater i 2009, hvis udviklingen fortsætter. d) I hvilket år vil antallet af spilleautomater overstige 40000, hvis udviklingen fortsætter?

3 Antal år efter 2003

(hf-C eksamen august 2008)

Opgave 1.55 Hos en bestemt vognmand kan man købe stabilgrus. Nedenstående tabel viser sammenhængen mellem mængden af stabilgrus og den samlede pris inkl. kørsel. Stabilgrus (m3 )

Samlet pris (kr.)

2270

4820

Det oplyses, at sammenhængen mellem prisen og mængden af stabilgrus kan beskrives ved y = ax + b, hvor x er mængden af stabilgrus (m3 ), og y er den samlede pris (kr.). a) Bestem tallene a og b. b) Hvad fortæller tallet a om prisen for stabilgrus? Hos en anden vognmand koster stabilgrus 300 kr. pr. m3. Desuden skal man betale 750 kr. for kørsel. c) Hvor mange m3 stabilgrus skal man købe, før den første vognmand er den billigste? (hf-C eksamen december 2009)

27 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 1.56 Tabellen viser det daglige antal personrejser over Øresundsbroen i årene 2001 og 2005. Antal år efter 2001

Dagligt antal personrejser

35359

50118

Det daglige antal personrejser over Øresundsbroen i perioden 2001-2005 kan med god tilnærmelse beskrives ved modellen y = ax + b, hvor y er det daglige antal personrejser, og x er antal år efter 2001. a) Bestem tallene a og b. b) Kommenter modellen, idet det oplyses, at det daglige antal personrejser over Øresundsbroen i 2007 var 67159. Kilde: www.oresundsbron.com (hf-C eksamen december 2008)

Opgave 1.57

Vi mangler flere og flere socialog sundhedsmedarbejdere

Figuren viser fagforeningen FOA’s skøn over udviklingen i antallet af manglende socialog sundhedsmedarbejdere i perioden 2006-2015.

35 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2006: På landsplan 30 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ mangler vi 8000 SOSU'er

25 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

a) Opstil en lineær model, der beskriver den viste udvikling. (hf-B eksamen august 2008)

20 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2015: På landsplan 15 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ mangler vi 35 000 SOSU'er

10 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5000

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

28 Hvad er matematik? C, opgavebog

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

1.9 Notation (især for B- og A-niveau) Opgave 1.58 To lineære funktioner er givet ved f(x) = 3x + 6 og g(x) = –4x + 8 a) Tegn graferne for f og g. b) Forklar den grafiske betydning af f(0) og f(10). c) Forklar betydningen af g(x) = 32 og g(x) = 0. d) Forklar betydningen af f(x) = g(x).

Opgave 1.59 En lineær funktion er givet ved f(x) = 5x + 19 a) Tegn grafen for f. b) Forklar den grafiske betydning af f(x+1) – f(x). c) Forklar den grafiske betydning af f(x+2) – f(x). d) Forklar den grafiske betydning af f(x+k) – f(x).

Opgave 1.60 Alder (år) Længde (cm)

310

348

386

424

462

500

536

572

610

Tabellen viser sammenhørende værdier af alder og længde for en population af spækhuggere. I en model er sammenhængen mellem længden L (målt i cm) og alderen t (målt i år) en funktion af typen L(t) = at + b a) Bestem tallene a og b ved hjælp af tabellens data. b) Giv en fortolkning af tallene a og b, og benyt modellen til at bestemme alderen af en 700 cm lang spækhugger. Kilde: Duffield, D.A. and K.W. Miller, 1988. Demographic Features of Killer Whales in Oceanaria in the United States and Canada, 1965-1987. Rit Fiskideildar. 11: 297-306. (stx-B eksamen maj 2008)

29 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 1.61 I forbindelse med optagelse på College i USA skal der aflægges en særlig test. Resultatet af testen angives ved et testtal. Følgende tabel angiver testtallene i matematik for nogle udvalgte år: År Testtal

1963

1967

1970

1974

1977

502

492

488

480

470

Sammenhængen mellem testtallene og antal år efter 1963 kan med god tilnærmelse beskrives ved en lineær funktion f . a) Bestem en forskrift for f . I 1980 var testtallet i matematik 466. b) Forklar, hvad de tal, der indgår i forskriften for f, fortæller om udviklingen af testtallene, og kommenter, hvor godt det faktiske testtal i 1980 stemmer overens med det testtal, som kan beregnes ved hjælp af funktionen f. (stx-A eksamen december 2008)

Opgave 1.62 I tabellen er angivet antallet af svært overvægtige voksne danskere over 16 år for perioden 1987-2005. Antal år efter 1987 Antal svært overvægtige

252036

343759

407931

473526

Udviklingen i antallet af svært overvægtige kan beskrives ved en funktion af typen f(x) = a · x + b hvor f(x) er antallet af svært overvægtige danskere over 16 år til tidspunktet x (antal år efter 1987). a) Benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for f. b) Bestem ved hjælp af f antallet af svært overvægtige 25 år efter 1987. Kilde: www.dst.dk (stx-B eksamen august 2010)

30 Hvad er matematik? C, opgavebog

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.63 Tabellen nedenfor viser tiderne for verdensrekorderne i maratonløb (målt i sekunder) for mænd i perioden 1981-2007. År

1981

1984

1985

1988

1998

1999

2002

2003

2007

Tid

7698

7685

7632

7610

7565

7542

7538

7495

7466

Udviklingen i verdensrekorderne for en maraton i perioden 1981-2007 kan beskrives ved en model af typen W(t) = at + b hvor t betegner tiden målt i år efter 1981, og W betegner verdensrekorden målt i sekunder. a) Bestem tallene a og b. b) Forklar betydningen af tallet a, og benyt modellen til at bestemme det år, hvor man kan forvente, at en maraton løbes på under 7200 sekunder, dvs. under 2 timer. Kilde: www.marathonguide.com (stx-B eksamen maj 2009)

Opgave 1.64 To funktioner f og g er givet ved f(x) = 4x + 5 og g(x) = –2x + 12 a) Bestem f(5), og løs ligningen g(x) = 16. b) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem graferne for de to funktioner. (stx-B eksamen maj 2010)

Opgave 1.65 To funktioner er givet ved f(x) = x + 200 og g(x) = –3x + 600 a) Løs ligningen f(x) = g(x), og beskriv den grafiske betydning af resultatet. (stx-B eksamen december 2008)

31 Hvad er matematik? C, opgavebog

Beskrivende statistik

Numeriske variable – beskrivelse af et datamateriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Numeriske variable – beskrivelse af store datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Kategoriske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Numeriske variable - beskrivelse af datamateriale Opgave 2.1 I en by har man over et år målt de gennemsnitlige månedstemperaturer. Et boksplot over disse ser således ud:

a) Hvad fortæller boksplottet om de gennemsnitlige månedstemperaturer?

Opgave 2.2 I en løbeklub er aldersfordelingen 21,21,27,28,28,32,32,32,43,44,45,45,45,45,50,50,50,51,54,54,54,67,67,67. a) Skitser et prikdiagram over data. b) Bestem kvartilsættet og middeltallet. c) Er data jævnt eller skævt fordelt? d) Tegn et boksplot over fordelingen.

32 Hvad er matematik? C, opgavebog

2. Beskrivende statistik

Opgave 2.3 På en skole har man konstateret, at børnene fra et bestemt boligkvarter fordeler sig på klassetrin som angivet i tabellen.

klassetrin

antal

a) Bestem kvartilsættet og middeltal. b) Tegn et boksplot over fordelingen.

Opgave 2.4 Der er givet tre forskellige datasæt A, B og C. Datasæt A: 30,32,32,45,45,66,66,100. Datasæt B: 40,40,40,50,50,60,60. Datasæt C: 10,10,40,50,50,60,60,60. a) Skitser et prikdiagram for hvert datasæt b) Tegn boksplot for ovenstående datasæt, og undersøg, om de er symmetriske, højreskæve eller venstreskæve. c) Er der nogle data i hvert datasæt, som er outliers?

Opgave 2.5 I et datasæt er der givet følgende data 2,3,3,x,7,7. Datasættet har samme median og middeltal. a) Bestem middeltallet. b) Er datasættet symmetrisk?

Opgave 2.6 Tabellen viser nogle statistiske deskriptorer for længden af ål (målt i cm), der en dag blev fanget i Ribe Å. Minimum

Første kvartil

Median

Tredje kvartil

Maksimum

a) Tegn et boksplot for længden af ål i fangsten. (stx-B eksamen juni 2010)

33 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 2.7 En klasse med 20 elever har efter en terminsprøve i matematik ladet duksen indsamle karaktererne. Alle elever undtagen Jens har afleveret deres karakterer. Tabellen nedenfor omfatter derfor kun sammentællingen af 19 elevers karakterer. Karakter Antal elever

–3

Det oplyses, at middeltallet (gennemsnittet) af alle 20 elevers karakterer er 4,7. a) Bestem Jens' karakter. b) Bestem medianen for karaktersættet, og beskriv, hvad medianen fortæller om karakterfordelingen i klassen. (hhx-B eksamen december 2008)

Opgave 2.8 I tabellen nedenfor ses superligaklubbernes spillerbudgetter og deres placeringer i superligaen. Klub

Anslået spillerbudget 2009-10 i millioner kr.

FC København

125

Points 2009-10 68

47.5

Brøndby IF

67.5

Esbjerg fB

27.5

AaB

37.5

FC Midtjylland

37.5

FC Nordsjælland

Silkeborg

Sønderjyske

Randers FC

32.5

AGF

27.5

HB Køge

12.5

a) Konstruer et boksplot for fordelingen af spillerbudgetterne, og kommenter dette med udgangspunkt i reglen om outliers. b) Bestem medianen og middelværdien af fordelingen af spillerbudgetterne, og benyt disse til at beskrive skævheden i fordelingen af spillerbudgetterne. c) Brug regression og sammenlign klubberne spillerbudgetter med deres placering i superligaen.

34 Hvad er matematik? C, opgavebog

2. Beskrivende statistik

Opgave 2.9 (Denne opgave forudsætter forudgående behandling af variabelsammenhænge) I en ”Analyse af tøjbutikker” fra Deloitte finder man denne figur. a) Indfør passende variable, og beskriv med ord forløbet for hver af de tre grafer i henhold til udviklingen i omsætningen blandt de tøjbutikker, der var med i analysen. Kilde: www.deloitte.com

Opgave 2.10 En forbrugergruppe har indsamlet priserne på en bestemt vare i områdets 15 forretninger. Priserne var: 7,55 kr., 7,95 kr., 7,95 kr., 7,95 kr., 7,98 kr., 7,98 kr., 8,05 kr., 8,15 kr., 8,25 kr., 8,55 kr., 8,55 kr., 8,75 kr., 8,95 kr., 8,95 kr. og 9,05 kr. a) Bestem middeltal og median for de 15 priser. Før priskrig

Senere under en priskrig indsamlede forbrugergruppen igen priserne i de 15 forretninger. Resultaterne af de to undersøgelser fremgår af boksplottene på nedenstående figur. b) Gør rede for de virkninger af priskrigen, som man kan aflæse af denne figur.

Under priskrig

(Vejledende eksamensopgaver hf-C) 6

Pris i kr.

Opgave 2.11 Ovenstående figur viser boksplot over antal scorede mål pr. kamp ved EM i herrehåndbold i 2006 og 2008.

EM 2008

a) Bestem mindsteværdien, størsteværdien og kvartilsættet for antal scorede mål pr. kamp ved EM i 2008.

EM 2006

b) Sammenlign de to boksplot. (hf-C eksamen august 2010) 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78

35 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 2.12 To personer skyder med luftgevær mod en skydeskive. De skyder hver en længere serie skud og måler for hvert skud afstanden til centrum af skydeskiven. Resultaterne for person nr. 1 kan beskrives ved følgende deskriptorer:

Deskriptor

Mindste observation

Nedre kvartil

Median

Øvre kvartil

Største observation

Afstand (mm)

Nedenstående figur viser et boksplot for resultaterne for person nr. 2. Person nr. 2

30 Afstand fra centrum (mm)

a) Tegn et boksplot for resultaterne for person nr. 1. b) Sammenlign de to personers resultater. (hf-C eksamen december 2008)

Opgave 2.13 I baseball skal en spiller slå til en bold og løbe så langt som muligt, indtil bolden er tilbage i ”basen”. Hvis en spiller derved når hele banen rundt, kaldes det et homerun. Eddie Murray (kaldet ”Steady Eddie”) er en tidligere professionel amerikansk baseballspiller. Antallet af homeruns pr. sæson for Eddie Murray fra 1977 til 1996 kan beskrives ved følgende boksplot: Eddie Murray Homeruns 1977-96

36 Hvad er matematik? C, opgavebog

2. Beskrivende statistik

Fotoet viser Mark McGwire (kaldet ”Big Mac”), en anden tidligere professionel amerikansk baseballspiller. Antallet af homeruns pr. sæson for Mark McGwire fra 1986 til 2001 fremgår af nedenstående tabel: År

Antal homerun

År

Antal homerun

1986

1994

1987

1995

1988

1996

1989

1997

1990

1998

1991

1999

1992

2000

1993

2001

a) Bestem nedre kvartil, median og øvre kvartil for antal homeruns pr. sæson for Eddie Murray. b) Bestem nedre kvartil, median og øvre kvartil for antal homeruns pr. sæson for Mark McGwire. c) Tegn et boksplot over fordelingen af antal homeruns pr. sæson for Mark McGwire. Sammenlign de to boksplot. Kilde: www.baseball-reference.com (hf-C eksamen december 2006)

Opgave 2.14 Ved en konditionstest har man målt konditallet for 77 personer. I tabellen på næste side findes testresultaterne opdelt efter køn. Overfør tabellen til et regneark. a) Tegn to boksplot, der viser fordelingen af kondital for henholdsvis mænd og kvinder. b) Beskriv forskellen på kvindernes og mændenes testresultater ud fra de to boksplot, idet kvartilsættene inddrages. (stx-A-net terminsprøve april 2009)

37 Hvad er matematik? C, opgavebog

Resultater fra konditionstest 77 personer fordelt efter køn Nr

Kondital

Køn

Kondital

Køn

61,7

mand

49,2

mand

47,0

mand

40,3

mand

41,6

mand

43,1

kvinde

49,2

mand

34,0

kvinde

47,9

mand

32,7

kvinde

48,5

mand

33,2

kvinde

53,5

mand

32,2

kvinde

47,4

mand

27,1

kvinde

52,0

mand

51,4

kvinde

54,9

mand

49,2

kvinde

38,9

mand

40,5

kvinde

37,5

mand

36,7

kvinde

44,2

mand

47,0

kvinde

40,6

mand

46,3

kvinde

54,9

mand

33,2

kvinde

47,0

mand

41,6

kvinde

43,9

mand

33,5

kvinde

41,1

mand

33,2

kvinde

30,9

mand

33,9

kvinde

50,9

mand

31,0

kvinde

56,0

mand

39,7

kvinde

35,2

mand

34,6

kvinde

50,9

mand

41,1

kvinde

50,9

mand

42,4

kvinde

52,3

mand

49,2

kvinde

58,1

mand

34,3

kvinde

55,5

mand

52,6

kvinde

49,9

mand

50,9

kvinde

55,5

mand

43,0

kvinde

53,7

mand

34,3

kvinde

52,0

mand

29,9

kvinde

43,8

mand

43,9

kvinde

50,9

mand

35,8

kvinde

49,9

mand

41,6

kvinde

53,7

mand

41,0

kvinde

49,2

mand

34,6

kvinde

50,0

mand

35,9

kvinde

57,1

mand

27,1

kvinde

41,1

mand

38 Hvad er matematik? C, opgavebog

2. Beskrivende statistik

2.3 Numeriske variable beskrivelse af store datasæt Opgave 2.15 I en klasse er alle højderne blevet målt. Mindsteværdien er 153 cm, størsteværdien er 200 cm, og kvartilsættet er (166,5;175;180). a) Tegn en sumkurve for højdefordelingen i klassen, hvor du vælger en intervalinddeling fra 150 til 200 med intervalbredder på 10.

Opgave 2.16 I en klasse er alle elever blevet spurgt om, hvor meget de ugentligt får i lommepenge. En elev har tegnet følgende kurve. a) Er denne kurve en sumkurve for fordelingen af ugentlige lommepenge?

Opgave 2.17 I en gymnasieklasse har eleverne indsamlet data for alle elevers månedlige indkomst. De har nu tegnet et histogram over elevernes månedlige indkomst: a) Aflæs opdelingen i indkomstintervaller og de tilhørende frekvenser. a) Tegn en sumkurve over indkomstfordelingen.

20 15 10 5

0 200

1000

2000

39 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 2.18 I en gymnasieklasse er alle elevernes højde blevet målt. Det har givet følgende frekvenser: Interval Frekvens

]150;160]

]160;170]

]170;180]

]180;190]

]190;200]

16%

24%

44%

12%

a) Bestem middeltallet for højdefordelingen i klassen. De oprindelige data er 169, 188, 176, 180, 170, 175, 174, 160, 193, 167, 158, 179, 200, 180, 159, 173, 168, 176, 175, 153, 162, 166, 177, 191, 180. b) Bestem middeltallet for højdefordelingen på baggrund af de konkrete højder. c) Sammenlign de to middeltal, og forklar forskellen.

Opgave 2.19 En gartner har i en periode bestemt vægten af hver af de tomater, han plukkede. Nedenstående tabel viser fordelingen af tomaternes vægt. Vægt (gram) Frekvens

40-60

60-80

80-100

100-120

120-140

18 %

39 %

30 %

a) Bestem middeltallet for fordelingen af tomaternes vægt. (hf-C eksamen december 2008)

Opgave 2.20 Danmarks første frimærke udkom i 1851. Brugte eksemplarer bliver solgt bl.a. på internetauktioner. Tabellen viser fordelingen af salgspriserne for 60 brugte eksemplarer af Danmarks første frimærke. Salgspris (kr.) Antal

50-100

100-150

150-200

200-250

250-300

300-350

a) Tegn et histogram over disse salgspriser. b) Bestem middeltallet for disse salgspriser. (hf-C eksamen december 2007)

40 Hvad er matematik? C, opgavebog

2. Beskrivende statistik

Opgave 2.21 I efteråret 2006 steg avisoplaget i Danmark voldsomt. Årsagen var udgivelsen af en række gratisaviser. På et tidspunkt blev 175 personer i et villakvarter spurgt om, hvor mange minutter de brugte på at læse gratisaviser pr. dag. Resultater fra undersøgelsen ses i skemaet herunder. Antal minutter

Intervalfrekvens

0-5

0.17

5-10

0.29

10-15

0.28

15-20

0.26

20-25

0.06

25-30

0.04

I alt

1.00

a) Hvor mange personer brugte mellem 10 og 15 minutter pr. dag på at læse gratisaviser? b) Tegn et histogram over fordelingen af den tid, de bruger på at læse gratisaviser pr. dag. c) Hvor mange minutter pr. dag brugte de 175 adspurgte personer i gennemsnit på at læse gratisaviser? (hhx-A eksamen august 2007)

Opgave 2.22 Ovenstående histogram illustrerer aldersfordelingen i 2006 i Hillerød, der ligger nord for København. Følgende tabel viser aldersfordelingen i 2006 i København:

Hillerød 2006 Procent 40 35

Alder

0-20

20-40

40-60

60-80

80-100

Procent

18,7

43,0

22,8

11,5

4,0

30 25

Note: I begge aldersfordelinger er personer over 100 år medregnet i intervallet 80-100

20 15

a) Tegn et histogram, der illustrerer aldersfordelingen i 2006 i København. Beskriv nogle af de væsentlige forskelle mellem aldersfordelingerne, som fremgår af de to histogrammer. (hf-C eksamen maj 2007)

10 5

100 Alder

41 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 2.23 Viste sumkurve viser aldersfordelingen for deltagerne på diplomlederuddannelsen.

Procent 100 90

a) Bestem medianen, og gør rede for, hvad dette tal betyder.

80 70 60

b) I hvilken af aldersgrupperne 35-40 år, 40-45 år eller 45-50 år er der flest deltagere?

50 40 30

(hf-C eksamen august 2006)

20 10 0 25

Alder

Opgave 2.24 For fødsler i anden halvdel af 2006 viser nedenstående tabel fordelingen af mødrenes alder på fødselstidspunktet. Mors alder på fødselstidspunktet

15-20

20-25

25-30

30-35

35-40

40-45

45-50

1,4

9,8

32,2

38,2

15,6

2,7

0,1

Procentdel

a) Tegn sumkurven, og bestem den procentdel af mødrene, som på fødselstidspunktet var mindst 37 år. Kilde: www.sst.dk (stx-A eksamen maj 2010)

Opgave 2.25 I efteråret 2007 gennemførte alle 1.g-eleverne på et gymnasium en konditionstest, hvor de fik målt deres kondital. Nedenfor ses en sumkurve, der angiver pigernes kondital.

Procent 100 90 80 70

a) Bestem kvartilsættet for pigernes testresultater.

60 50 40

Kvinder i 15-19-årsalderen skal have et kondital på 46 eller derover for at være i god form.

30 20 10 0 15

Kondital

b) Bestem hvor stor en procentdel af pigerne, der er i god form. (stx-A-net terminsprøve april 2009)

42 Hvad er matematik? C, opgavebog

2. Beskrivende statistik

Opgave 2.26 Nedenstående skema viser aldersfordelingen for danskere, der ejer en motorcykel. Alder (år)

18-29

30-39

40-49

50-59

60-69

70-

Frekvens

19 %

22 %

31 %

18 %

a) Bestem de kumulerede frekvenser, og tegn sumkurven for fordelingen. b) Bestem kvartilsættet for fordelingen. Forklar, hvad nedre kvartil fortæller. Kilde: Berlingske Tidende, 17. februar 2007. (hf-C eksamen maj 2008)

Opgave 2.27

Frekvens

I en forstad til en større provinsby er en del af indbyggerne blevet spurgt, hvor mange timer pr. uge, de bruger på transport til og fra arbejde. Fordelingen af svarene er vist i nedenstående søjlediagram. a) Tegn fordelingens sumkurve. 0,1

(hhx-A eksamen august 2008)

Timer

Opgave 2.28 Efter en sommerlejr blev 175 teenagere spurgt, hvor mange penge de havde brugt på sodavand og is. Svarene er vist i skemaet. Kr. Intervalhyppighed

0-40

40-80

80-120

120-160

160-200

I alt 175

Ved renskrivningen af undersøgelsesresultatet blev et af tallene i skemaet glemt. a) Gør skemaet færdigt. b) Hvilken af værdierne median eller gennemsnit er størst? Begrund dit svar. (hhx-A eksamen juni 2007)

43 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 2.29

Procent 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 20

60 70 80 90 100 Hvilepuls (slag pr. minut)

Histogrammet illustrerer fordelingen af hvilepulsen for eleverne i 1.g på et gymnasium.

Hvilepuls (pulsslag pr. minut)

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

80-90

Frekvens (%)

a) Udfyld ved hjælp af histogrammet en tabel som ovenstående. Bestem de kumulerede frekvenser. b) Tegn en sumkurve for fordelingen af elevernes hvilepuls. Hvor mange procent af eleverne har en hvilepuls på 57 eller derunder? (hf-C eksamen august 2010)

Opgave 2.30 Nedenstående tabel viser antallet af virksomhedskonkurser i Danmark i 2009 fordelt efter virksomhedernes alder. Virksomhedens alder i år

Antal

0-5

956

5-10

2539

10-15

1235

15-20

989 I alt 5719

a) Tegn såvel et cirkeldiagram som et søjlediagram, der viser aldersfordelingen af virksomhedskonkurser i 2009. b) Beskriv aldersfordelingen af virksomhedskonkurser ud fra disse to diagrammer. (hhx-A eksamen august 2010)

44 Hvad er matematik? C, opgavebog

2. Beskrivende statistik

2.4 Kategoriske variable Opgave 2.31 Ved Titanics forlis var fordelingen efter køn af de overlevende/omkomne givet ved følgende tabel: Køn\Skæbne

Overlevede

Omkom

Mand

367

1364

Kvinde

344

126

a) Udvid tabellen, så den også omfatter totaler. b) Afbild data i cirkeldiagrammer, der viser skæbnen som funktion af de to køn, og beskriv, hvad diagrammet viser. c) Omsæt tabellen til en procenttabel, der viser procentfordelingen for de to køn.

Opgave 2.32 I april 2007 blev der lavet en undersøgelse om anvendelse af lommeregnere på stx (det almene gymnasium) og hhx (handelsgymnasiet). Eleverne skulle blandt andet svare på følgende spørgsmål: Har din undervisning i matematik C været tilrettelagt efter, at alle i klassen har anvendt samme lommeregnermodel? Nedenfor ses to fordelinger. I den ene fordeling var matematik C (mat C) et fag i studieretningsforløbet, og 55 elever svarede på spørgsmålet. I den anden fordeling var matematik B (mat B) eller matematik A (mat A) et fag i studieretningsforløbet, og 35 elever svarede på spørgsmålet. Har din undervisning i matematik C været tilrettelagt efter, at alle i klassen har anvendt samme lommeregnermodel? stx og hhx mat C

stx og hhx mat B eller mat A

Nej

Har ikke brugt lommeregner

Total

a) Opret cirkeldiagrammer for fordelingerne i mat C og mat B/mat A. Ser det ud, som om det spiller en rolle for brugen af en fælles lommeregner, om man har gået på en ikke-matematisk (mat C) eller en matematisk (mat B/mat A) studieretning? b) Udfyld en tilsvarende tabel for procentfordelingen (søjleprocenter). (hhx-B eksamen august 2008)

45 Hvad er matematik? C, opgavebog

Geometri – Konstruktion og beregning

Skalering, målestoksforhold og ligedannethed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Ensvinklede trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Beregning i retvinklede trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Geometri – udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Skalering, målestoksforhold og ligedannethed Opgave 3.1 På et kort er målestoksforholdet 1:200000. a) På kortet måles afstanden mellem to byer til 15 cm. Bestem afstanden i virkeligheden. b) I virkeligheden er afstanden mellem to byer 100 km. Bestem afstanden mellem de to byer på kortet.

Opgave 3.2 En person har tre forskellige kort over samme område, hvor det ene kort er tegnet med målestoksforholdet 1:100000. Det andet kort er tegnet med målestoksforholdet 1:50000, og det tredje kort er tegnet med målestoksforholdet 1:25000. a) I området er der 20 km mellem to byer. Bestem afstanden mellem de to byer på de tre kort. b) Hvilket kort vil indeholde flest detaljer?

Opgave 3.3 Et billede, der er 15 cm bredt og 20 cm langt, forstørres i en kopimaskine med 30%. a) Bestem dimensionerne på det forstørrede billede. b) Hvor mange % er billedarealet blevet større?

46 Hvad er matematik? C, opgavebog

3. Geometri – Konstruktion og beregning

Opgave 3.4 For to ensvinklede trekanter A1B1C1 og A2B2C2 gælder det, at

A1B1 A2B2

= 3.

a) Bestem forholdet mellem h1 og h2, hvor h1 er højden fra B1 og h2 er højden fra B2. b) Bestem forholdet mellem arealet af trekant A1B1C1 og trekant A2B2C2.

Opgave 3.5 Forholdet mellem to cirklers areal er

ACirkel 1 64 = . ACirkel 2 25

a) Hvis diameteren af Cirkel2 er 10, hvad er så diameteren af Cirkel1?

Opgave 3.6 Omkredsen af en cirkel er 20. Bestem omkredsen af den cirkel, som har et areal, der er fire gange så stort.

3.3 Ensvinklede trekanter Opgave 3.7

Trekanterne ABC og ADE er ensvinklede. Nogle af trekanternes mål er |AB| = 5, |AD| = 15, |BC| = 6 og |AE| = 12.

a) Bestem skaleringsfaktoren mellem de to ensvinklede trekanter. b) Bestem siderne |AC| og |DE|. D

Opgave 3.8 Trekanterne ABC og A1B1C1 er ensvinklede. Siderne a = 20, b = 60, a1= 1000 og c1= 2500. a) Bestem siderne c og b1.

47 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 3.9

B1 10

B 4,8 A

17,5

Trekanterne ABC og A1B1C1 er ensvinklede. Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren. a) Bestem længden af siden B1C1 og længden af siden AB. (hf-C eksamen august 2006) Q1

Opgave 3.10 19,5

30,6

25,5

Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P1Q1R1 a) Bestem længden af siden P1Q1. (hf-C eksamen maj 2007).

Opgave 3.11

700 m 200 m D

240 m

En afstand over en sø skal bestemmes. a) Bestem afstanden AB, når AB og CD er parallelle.

48 Hvad er matematik? C, opgavebog

3. Geometri – Konstruktion og beregning

Opgave 3.12 I punktet A står der en person, og i punktet B er der en mast. C

H 180 cm A

D 500 cm

B 21,60 m

Fra punktet H kan personen se toppen af masten, dvs. punktet C, bliver reflekteret i en vandpyt i punktet D. a) Bestem højden af masten, dvs. længden af BC.

Opgave 3.13 Lad os antage, at vi skal bevæge os fra punktet A til punktet B. På vejen skal vi hen og røre væggen CD. Dette kan selvfølgelig gøres på rigtig mange forskellige måder.

a) Bestem den korteste afstand fra A til B via CD.

|BD| = 2

|AC| = 3

C |CD| = 5

Opgave 3.14 Breddegrader måles fra Ækvator (0°) til Nordpolen (90°). P er på v° nordlig bredde. (Tilsvarende med sydlig bredde). a) Forklar ud fra illustrationen til højre, hvordan du med hjælp fra Nordstjernen kan bestemme din breddegrad.

Nordstjernen

P v

Horisonten ved P

49 Hvad er matematik? C, opgavebog

3.5 Beregning i retvinklede trekanter Opgave 3.15 I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90°, er a = 6 og b = 11. a) Bestem c.

Opgave 3.16 I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90°, er a = 7 og c = 20. a) Bestem b.

Opgave 3.17 I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90°, er b = 3 og c = 10. a) Bestem a.

Opgave 3.18 A

II)

Vi har to retvinklede trekanter. a) Bestem den ukendte vinkel og de ukendte kateter for de to trekanter.

c = 8,5

B = 30°

c = 6,5

B = 40°

Opgave 3.19 I)

Vi har to retvinklede trekanter.

a) Bestem den ukendte vinkel, b = 5,6

den ukendte katete og den ukendte hypotenuse i begge trekanter.

II) e

B = 50°

D = 25°

d = 2,33

50 Hvad er matematik? C, opgavebog

3. Geometri – Konstruktion og beregning

Opgave 3.20 Vi har to retvinklede trekanter.

II)

a) Bestem den ukendte side og de ukendte vinkler i de to trekanter.

a = 6,8

e d=5

c = 3,9

f=5

Opgave 3.21 Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel C er ret.

a) Bestem |AB| og vinkel A. b) Bestem længden af højden fra C på siden AB.

3,6

(hf-C eksamen maj 2006) A

8,4

Opgave 3.22 I trekant ABC er vinkel C ret, længden af siden AB er 13,7, og vinkel A er 52,0°. a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem længden af siden AC. (hf-C eksamen august 2006)

Opgave 3.23

60 cm

a) Bestem |DE| og |AB|. 170 cm

b) Bestem vinkel C og vinkel D i firkant ABCD. (hf-C eksamen maj 2007)

145 cm

51 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 3.24 C

Figur 2 viser en del af en fodboldbane, hvor en spiller skal sparke frispark fra punktet B.

mål

8m A

7,32 m

a) Bestem |AB| og vinkel B i trekant ABC. 20 m

b) Bestem vinkel B i trekant ABD (dvs. den vinkel, som spilleren ser målet under). (hf-C eksamen august 2007) B

Figur 1

Figur 2

Opgave 3.25 Figur 1 viser en sekskantet drage. På figur 2 er nogle af dragens mål angivet.

B 13 cm A

a) Bestem vinkel C i trekant AHC. Bestem |AH| .

26 cm

30 cm

b) Bestem vinkel A i trekant ABC . C

(hf-C eksamen december 2007) Figur 2

Figur 1

Opgave 3.26 F

166 cm 42,9°

Figur 1

Figur 2

140 cm

Figur 1 viser et telt. Figur 2 viser et længdesnit gennem teltet. Nogle af målene fremgår af figuren. a) Bestem teltets højde BC. Bestem længden af siden AB. b) Bestem vinkel E i trekant DEF. (hf-C eksamen december 2008)

52 Hvad er matematik? C, opgavebog

3. Geometri – Konstruktion og beregning

Opgave 3.27 B

Fotoet på figur 1 viser facaden af Ishavskatedralen i den norske by Tromsø. Figur 2 viser en modeltegning af facaden. Nogle af målene fremgår af figur 2.

38 m

a) Bestem Ishavskatedralens højde BH . b) Bestem arealet af Ishavskatedralens facade. 67°

67°

(hf-C eksamen maj 2009) A

Figur 2

Figur 1

Opgave 3.28 Figuren viser en retvinklet trekant ABC, hvor AD halverer vinkel A. Nogle af målene fremgår af figuren.

a) Bestem vinklen v. b) Bestem arealet af trekant ABC.

5,0

(hf-C eksamen august 2009)

v v A

4,5

Opgave 3.29 Hvis en 1,5 meter høj cyklist befinder sig i området CD, kan chaufføren ikke se cyklisten gennem sideruden (se figur 1 og 2).

E B

Øje

2,5 m

1,5 m

a) Bestem vinkel A i trekant AED.

8,0 m

b) Bestem længden af CD. (hf-C eksamen december 2009)

Opgave 3.30 Figuren viser en bordplade, der har form som et ligebenet trapez, hvor siderne BC og AD er parallelle. Nogle af målene fremgår af figuren. a) Bestem vinkel A i trekant ABE. b) Bestem længden af BE. Bestem arealet af bordpladen.

35 cm

70 cm

(hf-C eksamen juni 2010)

53 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 3.31 På Møns Klint har der gennem tiden været mange nedstyrtninger. På nedenstående geometriske modeller ses et lodret snit gennem klinten før og efter en nedstyrtning. E F

F efter

før

110 m

B 30° A

D C

Møns Klint

Figur 1

20 m

(størrelsesforholdene er ikke korrekte)

Figur 2

I modellen antager man, at materialet inden for rektanglet CDEF styrter ned og danner trekant ABC. Nogle af trekantens mål fremgår af figur 2. a) Bestem højden BC af det nedstyrtede materiale. I modellen antager man desuden, at trekant ABC og rektanglet CDEF har samme areal. Klinten er 110 meter høj. b) Bestem bredden CD af det stykke af klinten, der styrtede ned. (hf-C eksamen august 2010)

Opgave 3.32 P w

200 m

Fra et punkt P på en 200 m høj klippe observeres to skibe på havet. Skibene befinder sig henholdsvis i positionerne A og B. Vinklen mellem vandret og sigtelinjen fra P til A og mellem vandret og sigtelinjen B til P måles til henholdsvis w = 32° og v = 24°. a) Bestem afstanden fra A til B. (stx-B eksamen august 2008)

54 Hvad er matematik? C, opgavebog

3. Geometri – Konstruktion og beregning

3.6 Geometri – udfordrende opgaver Opgave 3.33

Klinten i C er 50 m høj, og skibsmasten i A er 10 m høj. a) Hvor langt er der til horisontens kant fra C, og hvor langt er der til skibet i fugleflugtslinje fra C? (Jordens radius er 6370 km).

Opgave 3.34

Vi har et rektangulært papir med siderne 32 og 40. Vi bøjer et hjørne, så vi får A

a) Bestem arealet af den skraverede trekant ved beregning. b) Bestem arealet ved konstruktion i et geometriprogram.

Kilde: Georg Mohr Opgave 3. 1993.

Opgave 3.35 Figuren viser en cirkel og en retvinklet trekant, hvor B er ret.  har længden 30, og cirklens radius er 25. Buestykket BD C

a) Bestem ∠BCD.

b) Bestem arealet af den skraverede punktmængde. Kilde: Gemt - men ikke glemt – en opgavesamling til matematik, Matematiklærerforeningen i 1991.

55 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 3.36

Højdevinkel Regnmåler 1,5 m

Ved placering af regnmålere forsøger man at mindske vindens indflydelse på regndråbernes baner ved hjælp af passende læforhold. Forsøg har vist, at de bedste læforhold opnås, hvis måleren placeres på steder omgivet af vegetation, således at højdevinklen ( se figur ) regnet fra målerens overkant til toppen af træerne er mellem 15o og 30o. Regnmåleren er monteret på en træpind og er 1,5 m høj. a) I hvilke afstande fra 15 m høje lægivende træer kan en regnmåler placeres, når højdevinklen skal være mellem 15o og 30o. En anden regnmåler er placeret i afstanden 10 m fra lægivende træer, og højdevinklen er målt til 25o. b) Bestem højden af de lægivende træer. Kilde: Gemt - men ikke glemt – en opgavesamling til matematik, Matematiklærerforeningen i 1991.

Opgave 3.37

Figuren viser rørledningen i en såkaldt spidsbunderrørledning. Det oplyses, at radius R i den store cirkel er 40 cm, og at radius r i den lille cirkel er 5 cm. a) Bestem den vinkel, der på figuren er betegnet med v. b) Bestem arealet af røråbningen. Kilde: Gemt - men ikke glemt – en opgavesamling til matematik, Matematiklærerforeningen i 1991.

56 Hvad er matematik? C, opgavebog

3. Geometri – Konstruktion og beregning

Opgave 3.38

Ovenstående figur viser to parabolantenner, der er rettet mod en kommunikationssatellit. Figuren til højre viser en geometrisk model af situationen i det tilfælde, hvor retningen fra antenne til satellit danner en vinkel på 15o med vandret, og hvor satellittens afstand fra jordens centrum er 42200 km. Jordens radius sættes til 6370 km. a) Bestem afstanden mellem satellitten og en af parabolantennerne. b) Bestem afstanden langs jordoverfladen mellem parabolantennerne.

15° 15°

57 Hvad er matematik? C, opgavebog

Eksponentielle vækstmodeller

Eksponentiel vækst og procentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Eksponentialfunktionerne y = b · a

Eksponentiel regression – fra tabel til graf og formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Udregning af regneforskrift ud fra to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Fordoblings- og halveringskonstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Eksponentielle sammenhænge – udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2 Eksponentiel vækst og procentregning Opgave 4.1 Fra fremskrivningsfaktor til ”læg procent til” og omvendt. a) Udfyld tabellen. Et tal ganges med 1,19. Hvor mange % bliver der lagt til?

Et tal ganges med 1,45. Hvor mange % bliver der lagt til?

Et tal ganges med 1,72. Hvor mange % bliver der lagt til?

Der bliver lagt 2 % til tal. Hvad skal der ganges med?

Der bliver lagt 5,95 % til tal Hvad skal der ganges med?

Der bliver lagt 40 % til tal. Hvad skal der ganges med?

b) Beskriv med ord, hvad du gør.

58 Hvad er matematik? C, opgavebog

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.2 Fra fremskrivningsfaktor til ”træk procent fra” og omvendt. a) Udfyld tabellen. Et tal ganges med 0,19. Hvor mange % bliver der trukket fra?

Et tal ganges med 0,45. Hvor mange % bliver der trukket fra?

Et tal ganges med 0,72. Hvor mange % bliver der trukket fra?

Der bliver trukket 2 % fra tal. Hvad skal der ganges med?

Der bliver trukket 5,95 % fra tal. Hvad skal der ganges med?

Der bliver trukket 40 % fra tal. Hvad skal der ganges med?

b) Beskriv med ord, hvad du gør.

Opgave 4.3 I det følgende har vi en ændring i % på r. a) Bestem fremskrivningsfaktor 1 + r. ri%

157

–89

–2

1+r

Opgave 4.4 I det følgende har vi en ændring i % på r. a) Bestem fremskrivningsfaktor 1 + r. ri%

–11

–52

1+r

59 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 4.5 Bente har en konto, hvor renten er 12%. Den løb over 2 år, og slutbeløbet blev 1200 kr. a) Indsæt de beløb, som du kender, i den første formel fra rentesregning, og udregn startbeløbet.

Opgave 4.6 Bente har en konto, hvor renten er 27%. Den løb over 34 år, og slutbeløbet blev 20000 kr. a) Indsæt de beløb, som du kender, i den første formel fra rentesregning, og udregn startbeløbet.

Opgave 4.7 Bente har en konto, hvor startbeløbet var 200 kr. Den løb over 2 år, og slutbeløbet blev 800 kr. a) Indsæt de beløb, som du kender, i den første formel fra rentesregning, og udregn den årlige rente.

Opgave 4.8 Bente har en anden konto, hvor startbeløbet var 1000 kr. Den løb over 10 år, og slutbeløbet blev 5000 kr. a) Indsæt de beløb, som du kender, i den første formel fra rentesregning, og udregn den årlige rente.

Opgave 4.9 Holger har en konto, hvor startbeløbet var 1000 kr., renten var 20 % p.a., og Holger vil spare 2000 kr. op. a) Indsæt de beløb, som du kender, i den første formel fra rentesregning, og udfyld. n

b) Hvad var antallet af år?

Opgave 4.10 Holger har en konto, hvor startbeløbet var 1000 kr., renten var 10 % p.a. og Holger vil spare 3000 kr. op. a) Indsæt de beløb, som du kender, i den første formel fra rentesregning, og udfyld. n

b) Hvad var antallet af år?

60 Hvad er matematik? C, opgavebog

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.11 a) Udfyld tabellen, hvor n = 1. Ann r

500

Peter

Gurli 56%

1250

2000

2224

b) Udfyld tabellen.

n i år

Hansen

Petersen

r ved p.a. K0

1000

2000

Pihl

10 %

1500

20000 30000

Pallesen

Iversen

Jensen

12%

600 15000

1200

Opgave 4.12 I 2005 var bevillingerne til forskning og uddannelse i et bestemt land 20 mia. kr. Det bliver besluttet, at disse bevillinger skal stige med en fast årlig procent, så de i 2020 når op på 60 mia. kr. a) Bestem den årlige procentvise stigning i bevillingerne. (stx-A og -B eksamen maj 2008)

Opgave 4.13 I nedenstående tabel ses bruttonationalproduktet pr. indbygger i USA og Kina for året 2003. Endvidere ses den årlige vækstrate i bruttonationalproduktet pr. indbygger for årene 1990-2003 i de to lande. Bruttonationalproduktet pr. indbygger i 2003 (US$)

Årlig vækstrate 1990-2003

USA

37562

2,1%

Kina

5003

8,5%

I det følgende forudsættes, at bruttonationalproduktet i de to lande vil vokse med uændret årlig vækstrate efter 2003. a) Bestem, hvad bruttonationalproduktet pr. indbygger vil være i Kina i år 2020. b) Bestem, hvornår de to lande vil have samme bruttonationalprodukt pr. indbygger. (stx-A eksamen december 2008)

61 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 4.14 I perioden 1990-2000 var den årlige vækstrate i den udvundne vindenergi på verdensplan 24,6 %. I år 2000 var den udvundne vindenergi 10,4 GW. a) Bestem den udvundne vindenergi i år 2007, når det antages, at den årlige vækstrate efter år 2000 var 24,6 %. Det oplyses, at den udvundne vindenergi i år 2007 faktisk var 94,1 GW. b) Bestem den årlige vækstrate i den udvundne vindenergi i perioden 2000-2007 under forudsætning af, at vækstraten er konstant. Kilde: www.earth-policy.org (stx-A eksamen august 2010)

4.4 Eksponentialfunktionerne y = b · ax og deres grafer Opgave 4.15 På figuren ses graferne for fire forskellige eksponentialfunktioner:

1) y = 2 · 3x

2) y = 2 · 1,8x

3) y = 2 · 0,9x

4) y = 2 · 0,4x

a) Hvilke grafer hører sammen med hvilke funktioner?

1 x

Opgave 4.16 På figuren ses graferne for fire forskellige eksponentialfunktioner:

1) y = 5 · 1,3x

2) y = 0,2 · 1,3x

3) y = 1,3x

4) y = 3 · 1,3x

a) Hvilke grafer hører sammen med hvilke funktioner? 1 1

62 Hvad er matematik? C, opgavebog

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.17 På figuren ses graferne for fire forskellige funktioner.

a) Hvilke to af disse er grafer for eksponentialfunktioner?

1 1

Opgave 4.18 En bakteriekultur har til at begynde med en størrelse på 1000. Antallet af bakterier fordobles hver time. a) Opskriv en sammenhæng mellem antallet af bakterier i bakteriekulturen og tiden. b) Bestem antallet af bakterier i bakteriekulturen efter 3,5 timer. c) Bestem tidspunktet, hvor antallet af bakterier er 10 doblet.

Opgave 4.19 Indbyggertal i år 2000 (mio.)

Årlig vækstrate i perioden 1990-2000

Staten New York

18,98

0,54%

Staten Florida

15,98

2,13%

I tabellen ses indbyggertallene for staten New York og staten Florida i år 2000. Endvidere ses de årlige vækstrater for de to stater i perioden 1990-2000. a) Bestem, hvor mange procent indbyggertallet i alt voksede i Florida i perioden 1990-2000, og bestem indbyggertallet i Florida i 2007, hvis det forudsættes, at væksten efter år 2000 fortsætter på samme måde som i perioden 1990-2000. b) Bestem, hvornår de to stater vil have lige mange indbyggere, hvis det forudsættes, at væksten i de to stater efter år 2000 fortsætter på samme måde som i perioden 1990-2000. Kilde: http://quickfacts.census.gov (stx-B eksamen august 2007)

63 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 4.20 I en prognose for Angolas befolkningstal benytter man modellen y = 14 · 1,023x, hvor y er befolkningstallet i millioner indbyggere, og x er antal år efter 2000. a) Hvad fortæller tallene 14 og 1,023 om udviklingen i Angolas befolkningstal? Kilde: www.globalis.dk (hf-B eksamen august 2008)

Opgave 4.21 Begrund, hvilke af funktionerne g(x) = 0,34 · 1,27x

h(x) = 3,41 · 0,72 x

k(x) = 7,2 · 4,2 x

der er voksende, og bestem en forskrift for den eksponentielt voksende funktion f, der har vækstrate 20 %, og for hvilken f(0) = 10. (stx-B eksamen december 2007)

Opgave 4.22 Der er givet funktionerne f(x) = –7,2x + 34

g(x) = 0,83 · 1,24x

h(x) = 3,9 · 0,58x

a) Begrund i hvert af de tre tilfælde, om funktionen er voksende eller aftagende. (hf-B eksamen december 2008)

Opgave 4.23 På en bestemt fabrik er antallet af producerede enheder siden 2005 faldet med 3% om året. I 2005 producerede fabrikken 126000 enheder. a) Indfør passende betegnelser, og opstil en formel, der beskriver udviklingen i antallet af producerede enheder pr. år i årene efter 2005. (stx-B eksamen juni 2010)

Opgave 4.24 I en model for salget af juice af et bestemt mærke, sælges der i januar måned 5432 stykker. Samme år vokser salget af denne type juice med 9,5% pr. måned. a) Opskriv en model for salget af denne type juice.

Opgave 4.25 I en model for salget af aviser af et bestemt mærke, sælges der i januar måned 20000 stykker. Samme år aftager salget af denne type aviser med 2,3% pr. måned. a) Opskriv en model for salget af denne type aviser.

64 Hvad er matematik? C, opgavebog

4. Eksponentielle vækstmodeller

4.5 Eksponentiel regression – fra tabel til graf og formel Opgave 4.26 Hvert år opgøres de danske bankers samlede nettogebyrindtægt for 1. halvår, her kaldet DHN. Tabellen viser DHN for hvert af årene i perioden 2002-2006. Årstal

2002

2003

2004

2005

2006

DHN (mia. kr.)

6,697

7,160

8,137

8,408

10,538

I en model antages det, at DHN (mia. kr.) som funktion af tiden x (antal år efter 2002) med god tilnærmelse kan beskrives ved en eksponentiel udvikling f. a) Benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for f. b) Benyt modellen til at bestemme DHN for 2007 og til at bestemme fordoblingskonstanten for DHN. Kilde: Politiken, mandag d. 16. oktober 2006. (stx-B eksamen maj 2007)

Opgave 4.27 År Solenergi (MW)

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

11,7

15,6

22,6

32,8

49,4

68,9

116,4

Tabellen viser for hvert af årene 1999-2006 mængden af udvundet solenergi i Spanien. I en model antages det, at den udvundne solenergi P (målt i MW) som funktion af tiden t (målt i år efter 1999) med tilnærmelse kan beskrives ved sammenhængen P = P 0 · at hvor P0 og a er tal. a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene P0 og a. b) Benyt modellen til at forudsige mængden af udvundet solenergi i Spanien i år 2008 samt til at forudsige, hvornår udvindingen af solenergi i Spanien overstiger 400 MW. (stx-A og -B eksamen august 2008)

65 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 4.28 Tabellen viser sammenhørende værdier af Danmarks bruttonationalprodukt (BNP) og tiden. År

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

BNP (mia. kr.)

1090

1124

1156

1193

1219

1250

1294

I en model antages det, at BNP er en funktion P af tiden t (målt i antal år efter 1994) af typen P(T) = P0 · at hvor P0 og a er tal. a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene P0 og a. b) Benyt modellen til at beregne Danmarks bruttonationalprodukt i 2006, og sammenlign med Danmarks faktiske bruttonationalprodukt i 2006, som var 1638 mia. kr. Kilde: Danmarks Statistik. (stx-B eksamen december 2008)

Opgave 4.29 Af tabellen fremgår, hvor mange børn der efter 1997 er blevet behandlet for ADHD, dvs. forstyrrelse af opmærksomhed, aktivitet og impulsivitet. År Antal

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

511

697

954

1305

1525

1921

2490

3284

4452

5804

7180

Det antages, at tabellens data kan beskrives ved en funktion af typen N(t) = N0 · at hvor N(t) er antallet af børn i behandling for ADHD til tiden t (målt i år efter 1997). a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene N0 og a. b) Gør rede for, hvad tallet a fortæller om udviklingen i antallet af børn i behandling for ADHD, og benyt den fundne forskrift til at bestemme det forventede antal børn i behandling for ADHD i 2010. (stx-A og -B eksamen august 2009)

66 Hvad er matematik? C, opgavebog

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.30 Nedenstående tabel viser for nogle af årene 2001-2007 det årlige antal pendlere over Øresund fra Sverige til Danmark. År

2001

2003

2005

2006

2007

Årlige antal pendlere

3751

5683

8783

12251

15742

I en model kan det årlige antal pendlere over Øresund i perioden 2001-2007 beskrives ved en funktion af typen P(t) = P0 · at hvor P(t) betegner det årlige antallet af pendlere over Øresund fra Sverige til Danmark, og t betegner antal år efter 2001. a) Benyt tabellens data til at bestemme de to konstanter P0 og a. b) Gør rede for, hvad tallet a fortæller om udviklingen i det årlige antal pendlere over Øresund fra Sverige til Danmark i perioden 2001-2007, og bestem ved hjælp af modellen det årlige antal pendlere fra Sverige til Danmark over Øresund i 2010. Kilde: www.tendensoresund.org (stx-B eksamen december 2009)

4.6 Udregning af regneforskrift ud fra to punkter Opgave 4.31 Fosforkoncentrationen (målt i µg fosfor pr. liter) i Kruså Sø faldt fra 230 i 1998 til 64 i 2005. I en model går man ud fra, at fosforkoncentrationen som funktion af tiden er eksponentielt aftagende. a) Benyt modellen til at fremsætte en prognose for fosforkoncentrationen i Kruså Sø i 2010. b) Fremsæt en prognose for fosforkoncentrationen i Kruså Sø i 2010, hvis man i stedet for en eksponentiel model benytter en lineær model, og kommenter resultatet. (stx-B eksamen december 2007)

Opgave 4.32 En funktion f er bestemt ved f(x) = b · ax. Grafen for f går gennem punkterne (2,20) og (4,80). a) Bestem tallene a og b. (stx-B eksamen maj 2007)

67 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 4.33 Om en eksponentielt voksende funktion f gælder, at f(3) = 200 og f(5) = 800. a) Bestem en forskrift for f . (stx-B eksamen maj 2008)

Opgave 4.34 Om en eksponentielt voksende funktion f oplyses, at f(4) = 3 og f(6) = 27. a) Bestem forskriften for f . (stx-A eksamen maj 2009)

4.7 Fordoblings- og halveringskonstanter Opgave 4.35 På den viste figur ses graferne for tre forskellige eksponentialfunktioner f, g og h.

a) Hvilken funktion har den største fordoblingskonstant? h

b) Sæt fordoblingskonstanterne i rækkefølge med den mindste først.

f 1 x

Opgave 4.36 På den viste figur ses graferne for tre forskellige eksponentialfunktioner f, g og h.

a) Hvilken funktion har den største halveringskonstant?

f 1

b) Sæt halveringskonstanterne i rækkefølge med den mindste først.

h x

Opgave 4.37 En kapital på 1000 kr indsættes på en konto, hvor renten er 2,9% p.a. a) Hvor lang tid går der, før kapitalen er fordoblet? b) Er fordoblingstiden afhængig af startkapitalen? Begrund dit svar.

68 Hvad er matematik? C, opgavebog

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.38 Udviklingen i verdensbefolkningen følger i tidsrummet 1960 til 1995 en eksponentiel sammenhæng, hvor der i 1960 er 3 milliarder og i 1995 er 5,6 milliarder. a) Bestem konstanterne a og b i sammenhængen. b) Bestem den gennemsnitlige årlige vækstrate. c) Under antagelse af at modellen holder, bestem da tidspunktet, hvor antallet af verdensbefolkningen er 15 milliarder. d) Bestem den tid, der går, før verdensbefolkningen er fordoblet. e) Opskriv sammenhængen på formen y = b · ekx

Opgave 4.39 Om en eksponentielt aftagende funktion f oplyses, at grafen for f går gennem punktet P(3,100), og at halveringskonstanten er 47. a) Bestem en forskrift for f. (stx-B eksamen december 2007)

Opgave 4.40 I perioden 1980-2000 kan antallet af retspsykiatriske patienter under tilsyn beskrives ved modellen f(t) = 297 · 1,0679t, 0 ≤ t ≤ 20 hvor f(t) er antallet af retspsykiatriske patienter under tilsyn til tidspunktet t (målt i år efter 1980). a) Bestem fordoblingstiden for f(t). b) Gør rede for, hvad konstanterne i modellen fortæller om udviklingen i antallet af retspsykiatriske patienter under tilsyn i perioden 1980-2000. (stx-B eksamen august 2008)

Opgave 4.41 Massen af en klump af den radioaktive isotop Ni-63 er bestemt ved f(t) = 2e

–0,007534t

hvor t er tiden (målt i år), og f(t) er massen af klumpen (målt i gram). a) Bestem halveringstiden, og bestem, hvor mange år der går, før massen af klumpen er 0,5 g. (stx-B eksamen december 2008)

69 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 4.42 I 1996 var der ifølge Sundhedsstyrelsen 113570 diabetikere i Danmark. Efter 1996 er antallet af diabetikere i Danmark steget med 7,1% pr. år. a) Opstil en model, der beskriver udviklingen i antallet af diabetikere i Danmark efter 1996. b) Bestem fordoblingstiden for antal diabetikere i Danmark. (stx-B eksamen maj 2009)

Opgave 4.43 Om en bestemt population gælder, at der til et bestemt tidspunkt er 25000 individer i populationen. Endvidere gælder, at populationen vokser med 2,1% pr. år. a) Opstil en model, der beskriver sammenhængen mellem tiden (målt i år) og antallet af individer i populationen. b) Bestem fordoblingskonstanten. (stx-B eksamen august 2009)

Opgave 4.44 Om en bestemt population gælder, at der til et bestemt tidspunkt er 35000 individer i populationen. Endvidere gælder, at populationen vokser med 1,9% pr. år. a) Opskriv en funktion, der beskriver sammenhængen mellem tiden (målt i år) og antallet af individer i populationen. b) Bestem fordoblingskonstanten. (stx-B eksamen december 2009)

Opgave 4.45 Verdens totale årlige IP-trafik måles i pentabytes. Tabellen viser verdens totale årlige IP-trafik for årene 2006-2008. År

2006

2007

2008

IP-trafik

50808

78924

128964

I en model antages det, at den årlige IP-trafik P (målt i pentabytes) som funktion af tiden t (målt i år efter 2006) med tilnærmelse kan beskrives ved sammenhængen P = P 0 · at hvor P0 og a er tal. Benyt tabellens data til at bestemme tallene P0 og a.

70 Hvad er matematik? C, opgavebog

4. Eksponentielle vækstmodeller

I 2006 udgjorde den private årlige IP-trafik 31692 pentabytes. Det forventes, at den private årlige IP-trafik vil vokse med 49% pr. år. a) Opstil en funktion, der beskriver udviklingen i den private årlige IP-trafik efter 2006, og bestem fordoblingstiden for den private årlige IP-trafik. (stx-A eksamen december 2009)

Opgave 4.46 Når en person indtager 150 mg af et bestemt antidepressivt stof, er mængden af stof i blodet en funktion af tiden bestemt ved f(t) = 150 · 0,9779t hvor f(t) er mængden af stof (målt i mg) i blodet t timer efter indtagelse af stoffet. a) Bestem halveringstiden for mængden af stof i blodet. b) Bestem, hvor mange mg af stoffet der er i blodet 24 timer efter indtagelse af stoffet. c) Hvad fortæller tallet 0,9779 om mængden af det antidepressive stof i blodet? (stx-B eksamen august 2010)

Opgave 4.47 Om en eksponentielt voksende funktion f oplyses, at f(3) = 864 og f(6) = 1493. a) Bestem en forskrift for f. b) Bestem fordoblingskonstanten for f. (stx-A eksamen august 2010)

Opgave 4.48 Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende funktion. a) Bestem halveringskonstanten. (stx-B eksamen maj 2009)

14 12 10 8 6 4 2 0

9 10

71 Hvad er matematik? C, opgavebog

4.8 Eksponentielle sammenhænge – udfordrende opgaver Opgave 4.49 Vi har y = 10 · 1,3x a) Når vi har en ændring i x på 2, hvad er så ændringen i y? b) Når vi har en ændring i x på 11, hvad er så ændringen i y? c) Når vi har en ændring i x på k, hvad er så ændringen i y?

Opgave 4.50 Vi har y = b · a x a) Når vi har en ændring i x på 2, hvad er så ændringen i y? b) Når vi har en ændring i x på 11, hvad er så ændringen i y? c) Når vi har en ændring i x på k, hvad er så ændringen i y?

Opgave 4.51 Vi har y = 10 · 1,3x a) Når vi har en ændring i y på 50%, hvad er så ændringen i x? b) Når vi har en ændring i y på 121%, hvad er så ændringen i x? c) Når vi har en ændring i y på p%, hvad er så ændringen i x?

Opgave 4.52 Vi har y = b · a x a) Når vi har en ændring i y på 50%, hvad er så ændringen i x? b) Når vi har en ændring i y på 121%, hvad er så ændringen i x? c) Når vi har en ændring i y på p%, hvad er så ændringen i x?

72 Hvad er matematik? C, opgavebog

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.53 Ved stegning af en bestemt steg kan temperaturen i stegens indre beskrives ved funktionen y = 200 (1 – 0,9 · 0,9909x ) hvor y er temperaturen i stegens indre (målt i °C), og hvor x angiver tiden efter, at stegen er sat i ovnen (målt i minutter). a) Tegn grafen, der viser sammenhængen mellem temperaturen i stegens indre (målt i °C) som funktion af tiden efter, at stegen er sat i ovnen (målt i minutter), og bestem temperaturen i stegen 20 minutter efter, at stegen er sat i ovnen. (stx-A eksamen august 2008)

Opgave 4.54 Afkølingen af en bestemt kop te kan beskrives ved funktionen y = 18 + 69 · 0,952t hvor t angiver antal minutter efter, at teen er blevet stillet til afkøling, og y er teens temperatur (målt i °C) til tiden t. a) Tegn grafen for funktionen, og bestem ved aflæsning, hvor mange minutter, der går, før teens temperatur er 60 °C. b) Benyt grafen til at beskrive betydningen af tallet 18. (stx-B eksamen august 2008)

Opgave 4.55 I en model for afkøling af en bestemt væske kan væskens temperatur T (målt i ºC) som funktion af tiden t (målt i timer) beskrives ved følgende sammenhæng T = 21 + 59 · e

–1,066t

a) Bestem væskens temperatur efter 1 time, og beskriv betydningen af tallet 21. b) Bestem, hvor lang tid der går, før væskens temperatur er 30 ºC. (stx-B eksamen maj 2007)

Opgave 4.56 I en model for væksten af en bestemt population er antallet af individer i populationen y som funktion af tiden t (målt i døgn) givet ved 2000 y= 1 + 39 ⋅ 0, 905t a) Tegn grafen i intervallet [0;100], og bestem ved aflæsning det tidspunkt, hvor antallet af individer er 1000. (stx-B eksamen august 2007)

73 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 4.57 For femten år siden dækkede en skov et areal på 8000 m2. Uden skovning dækker skoven nu 10000 m2. Det antages, at udviklingen i skovarealet er eksponentielt. a) Bestem konstanterne i den eksponentielle model. b) Bestem den gennemsnitlige årlige vækstrate. c) Bestem den tid, der går, før skovarealet er fordoblet. d) 2000 m2 af skoven fældes efter de 15 år. Hvor lang tid går der, før skoven er oppe på samme areal før skovningen?

Opgave 4.58 En lysstråle sendes lodret igennem vand, og for hver meter, lysstrålen kommer ned i vandet, bliver styrken af lysstrålen 15% svagere. a) Opstil en sammenhæng mellem lysstyrken og vanddybden. b) Bestem lysstyrken i 20 meters vanddybde. c) Bestem vanddybden, hvor lysstyrken er 30% af den oprindelige værdi.

Opgave 4.59 Isotopen 14C har en halveringstid på ca. 5730 år. Til at starte med er der 100% af isotopen. a) Opstil en sammenhæng mellem andelen af isotopen og tiden. b) Opskriv sammenhængen på formen y = b · ekx. c) I et fossil er indholdet af Bestem fossilets alder.

C 8% af den oprindelige mængde.

Opgave 4.60 Udfyld tabellen. Halveringstid Radium

Tidspunkt, hvor der er 1% tilbage

-0,0231 /år

Fosfor 32

Polonium 218

Henfald pr. tidsenhed i %

1620 år

Caesium 137

Jod 131

-0,0484 /dag 8 dage 20 % pr. minut

74 Hvad er matematik? C, opgavebog

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.61 En population af dyr er på 7 år vokset fra 300 til 400. Det antages, at populationen vokser eksponentielt. a) Bestem en sammenhæng mellem antallet af dyr i populationen og tiden. b) Bestem vækstraten. c) Hvor lang tid går der, før antallet af dyr i populationen er fordoblet? d) Hvor lang tid går der, før antallet af dyr i populationen er seksdoblet?

Opgave 4.62 I praksis er ubegrænset vækst ikke mulig. Hvis antallet af dyr i en population er begrænset, så kan udviklingen beskrives ved P(t) = M – (M – B) · ekt hvor M er den øvre grænse for populationen, og B er startværdien af populationen. I en population er startværdien 200 dyr, og efter 10 år er der 600 dyr. Den øvre grænse i populationen er 1200 dyr. a) Bestem en sammenhæng mellem antallet af dyr og tiden på formen P(t) = M – (M – B) · ekt b) Bestem tiden, der går, før populationen er fordoblet.

Opgave 4.63 En kop kogende kaffe (100 oC) afkøles ved stuetemperatur (19 oC) på 10 minutter 30 oC. Sammenhængen mellem kaffens temperatur i koppen og tiden kan beskrives ved T(t) = 19 + (T0 – 19) · ekt a) Bestem en sammenhæng mellem kaffens temperatur og tiden på formen T(t) = 19 + (T0 – 19) · ekt b) Bestem temperaturen af kaffen efter 20 minutter. c) Bestem tidspunktet, hvor kaffen er afkølet til 30 oC.

75 Hvad er matematik? C, opgavebog

Potensmodeller

Potensfunktioner y = b · x a og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Potensregression – fra tabel til graf og formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Hvad er karakteristisk for potenssammenhænge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Udregning af regneforskrift ud fra to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Potenssammenhænge – udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 Potensfunktioner y = b · x a og deres grafer Opgave 5.1 Angiv værdien af a og b for følgende potensfunktioner 1) y = 10x4,5

2) y = 0,01x

3) y = 2x–4

4) y = x–5

5) y = x6 · 19

6) y = 4

Opgave 5.2 Til venstre er en række grafer for potensfunktioner a y=b·x

a) Hvad kan du sige om værdien af a ud fra graferne?

h i

g f

1 1

Opgave 5.3 Ovenfor er en række grafer for potensfunktioner y = b · xa a) Hvad kan du sige om værdien af b ud fra graferne?

76 Hvad er matematik? C, opgavebog

5. Potensmodeller

Opgave 5.4 En havvindmølles energiproduktion er ligefrem proportional med vindens hastighed opløftet i tredje potens. a) Indfør passende variable, og opstil en model for en havvindmølles energiproduktion som funktion af vindens hastighed. Kilde: Vindformation, nr. 7, 1. april 1997, Vindmølleindustrien. (stx-B eksamen maj 2008)

Opgave 5.5 For kæmpefuglen Titanis Walleris gælder det, at vægten er proportional med længden af lårbenet i tredje potens. a) Indfør passende variable, og opstil en model for vægten af Titinas Walleris som funktion af længden af lårbenet.

Opgave 5.6 Tiden, det tager at tilbagelægge en bestemt afstand, er omvendt proportional med farten. a) Indfør passende variable, og opstil en model for tiden, det tager at tilbagelægge en bestemt afstand, som funktion af farten.

5.3 Potensregression – fra tabel til graf og formel Opgave 5.7 Tabellen viser sammenhængen mellem tætheden af fiskebiomasse M (målt i kg pr. ha) og fosforkoncentration x (målt i µg fosfor pr. liter) i en bestemt sø.

Fosforkoncentration (µg fosfor pr. liter) Tæthed af fiskebiomasse (kg pr. ha)

200

219

247

272

288

300

Det oplyses, at denne sammenhæng kan beskrives ved M = b · x a a) Bestem tallene a og b. b) Bestem, hvor mange procent M vokser med, når x vokser med 50%. (stx-B eksamen december 2007)

77 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 5.8 Nedenstående tabel viser sammenhørende værdier af længden l (målt i mm) og tørvægten m (målt i mg) for nogle torskelarver. l

5,1

5,5

6,0

6,2

6,4

6,7

7,2

0,14

0,18

0,24

0,27

0,30

0,35

0,45

I en model kan sammenhængen mellem l og m beskrives ved m = b · la hvor a og b er tal. a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene a og b. b) Benyt modellen til at bestemme tørvægten af en 7,5 mm lang torskelarve, og benyt modellen til at bestemme længden af en torskelarve, som har en tørvægt på 0,60 mg. (stx-A eksamen maj 2009)

Opgave 5.9 Tabellen viser sammenhørende værdier af løbedistance og den tid, det tager en kondiløber at løbe distancen. Løbedistance (km) Løberens tid på distancen (sekunder)

1024

2136

3282

4453

I en model antages det, at kondiløberens tid som funktion af distancen er af typen f(x) = b · xa hvor x er distancen (målt i km), og f(x) er kondiløberens tid (målt i sekunder). a) Bestem tallene a og b. b) Bestem ved hjælp af f kondiløberens tid på en maraton, som er 42,195 km. (stx-B eksamen maj 2010)

78 Hvad er matematik? C, opgavebog

5. Potensmodeller

5.4 Hvad er karakteristisk for potenssammenhænge? Opgave 5.10 Givet f(x) = 5 · x7 Udfyld tabellen, når x ændrer sig 35%. x

f(x) % ændring i f(x)

Opgave 5.11 Givet f(x) = 9 · x1,5 Udfyld tabellen. % ændring i x

10 %

17%

34,5%

118%

% ændring i f(x)

Opgave 5.12 Udfyld tabellen. f % ændring i x

f(x) = 3 · x –0,5

f(x) = 2 · x –2

f(x) = 3 · x 5

f(x) = 3 · x 1,78

f(x) = 3 · x 9

11%

78%

89 %

3,05%

% ændring i f(x)

Opgave 5.13 Givet f(x) = 5 · x7 Udfyld tabellen, når f(x) ændrer sig 55%. x f(x)

640

% ændring i x

Opgave 5.14 Givet f(x) = 11 · x 3,5 Udfyld tabellen. % ændring i x % ændring i f(x)

34%

67%

101%

167%

79 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 5.15 Udfyld tabellen. f

f(x) = 3 · x –0,5

f(x) = 2 · x –2

f(x) = 3 · x 5

f(x) = 3 · x 1,78

f(x) = 3 · x 9

45%

60%

59%

111%

% ændring i x % ændring i f(x)

Opgave 5.16 Vi har y = 2,5 · x 4,2 a) Når vi har en ændring i x på 2%, hvad er så ændringen i y? b) Når vi har en ændring i x på 11%, hvad er så ændringen i y? c) Når vi har en ændring i x på px %, hvad er så ændringen i y?

Opgave 5.17 Vi har y = b · x a a) Når vi har en ændring i x på 2%, hvad er så ændringen i y? b) Når vi har en ændring i x på 11%, hvad er så ændringen i y? c) Når vi har en ændring i x på px %, hvad er så ændringen i y?

Opgave 5.18 Vi har y = 2,5 · x 4,2 a) Når vi har en ændring i y på 50%, hvad er så ændringen i x? b) Når vi har en ændring i y på 121%, hvad er så ændringen i x? c) Når vi har en ændring i y på py %, hvad er så ændringen i x?

Opgave 5.19 Vi har y = b · x a a) Når vi har en ændring i y på 50%, hvad er så ændringen i x? b) Når vi har en ændring i y på 121%, hvad er så ændringen i x? c) Når vi har en ændring i y på py %, hvad er så ændringen i x?

80 Hvad er matematik? C, opgavebog

5. Potensmodeller

5.5 Udregning af regneforskrift ud fra to punkter Opgave 5.20 En funktion f er af typen f(x) = b · x a, og der gælder, at f(2) = 4 og f(4) = 64. a) Bestem tallene a og b. (stx-B eksamen august 2007)

Opgave 5.21 Funktionen f(x) = b · x a opfylder, at f(2) = 2 og f(4) = 16. a) Bestem tallene a og b. (stx-B og -A eksamen august 2008)

Opgave 5.22 I en model for vægten af aborrer i Gurre Sø antages det, at vægten W (målt i gram) af aborrer som funktion af længden L (målt i cm) er af typen W(L) = b · La a) Bestem en forskrift for W, når det oplyses, at W(7,1) = 5,5 og W(14,3) = 58,4. b) Hvilken længde vil en aborre ifølge modellen have, når dens vægt er 100 g? Kilde: www.cbvand.dk (stx-B eksamen maj 2007)

Opgave 5.23 Sammenhængen mellem fugleungers alder T, når de er flyvefærdige, og deres vægt M, når de er flyvefærdige, kan beskrives ved formlen T = 45M 0,25, 0,1≤ M ≤ 5 hvor T måles i døgn, og M måles i kg. a) Bestem alderen på en fugleunge, der er flyvefærdig, når den vejer 0,1 kg, og bestem vægten af en fugleunge, der er flyvefærdig, når dens alder er 27 døgn. Kilde: Kaj Sand-Jensen: Økologi og biodiversitet, s. 174, Gads Forlag, 2000. (stx-B eksamen december 2008)

81 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 5.24 Funktionen f(x) = b · x a opfylder, at f(2) = 12 og f(4) = 96. a) Bestem tallene a og b. (stx-B eksamen maj 2009)

Opgave 5.25 Sammenhængen mellem antal fuglearter og størrelsen af den sø, de lever ved, kan beskrives ved funktionen f(x) = b · x 0,25, 1000 ≤ x ≤ 64000 hvor f(x) er antallet af fuglearter ved søen, og x er søens overfladeareal (målt i m2). a) Bestem tallet b, når det oplyses, at der er 3 fuglearter ved en sø med overfladeareal 1650 m2, og bestem overfladearealet af en sø med 6 fuglearter. Kilde: Kaj Sand-Jensen: Søer – en beskyttet naturtype, Gads Forlag, 2000. (stx-B eksamen august 2009)

Opgave 5.26 I en model antages det, at sammenhængen mellem en hundestejles vægt og længde er givet ved f(x) = 0,023x 2,777 hvor x angiver længden (målt i mm), og f(x) angiver vægten (målt i mg). a) Bestem vægten af en 30 mm lang hundestejle. b) Bestem længden af en hundestejle, der vejer 1000 mg. Kilde: www.havforsker.dk (stx-B eksamen maj 2010)

Opgave 5.27 Funktionen f(x) = b · x a opfylder, at f(32) = 402 og f(243) = 603. a) Bestem tallene a og b. (stx-A eksamen maj 2010)

82 Hvad er matematik? C, opgavebog

5. Potensmodeller

5.6 Potenssammenhænge – udfordrende opgaver Opgave 5.28 Ifølge teoribogen til køreprøven gælder følgende to ting om en bils bremslængde: • En fordobling af hastigheden medfører en firedobling af bremselængden. • Bremselængden ved 30 km/t. må højst være 6 meter. a) Bestem en model for bremselængden som funktion af hastigheden.

Opgave 5.29 Bestyrelsen for en fodboldklub iværksætter en markedsundersøgelse, der viser, at en 20% forhøjelse af entréprisen medfører en nedgang i tilskuerantallet på 10%. Hvis entréprisen er 50 kr., så er tilskuerantallet 580. a) Bestem en model for tilskuerantallet som funktion af entreprisen.

Opgave 5.30 I det følgende betragtes en model for en bestemt type af bevoksninger af ensartede planter. I modellen betegner w (målt i g) vægten af tørstoffet i den del af en plante, der er over jorden, d betegner antallet af planter pr. m2 i den bevoksning, som planten tilhører, og h (målt i cm) betegner højden af planten. I modellen gælder w = 9670d –1,49 og h = 970d –0,443 a) Bestem w, når d = 4. b) Benyt modellen til at bestemme vægten af tørstoffet i en plante, der er 100 cm høj. Kilde: Shoot height, weight and standing crop in relation to density of monospecific plant stands, Nature, vol. 279, 10 May 1979. (stx-B eksamen maj 2008)

83 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 5.31 Sammenhængen mellem antal fuglearter og størrelsen af den sø, de lever ved, kan beskrives ved funktionen f(x) = b · x 0,25 , 1000 ≤ x ≤ 64000 hvor f(x) er antallet af fuglearter ved søen, og x er søens overfladeareal (målt i m2). a) Bestem tallet b, når det oplyses, at der er 3 fuglearter ved en sø med overfladeareal 1650 m2. Bestem overfladearealet af en sø med 6 fuglearter. Om to søer S1og S2 gælder, at x2 = 10 · x1 , hvor x1 er overfladearealet af S1 og x2 er overfaldearealet af S2. Endvidere gælder, at f(x2) = k · f(x1). b) Bestem k, og beskriv, hvad dette tal fortæller om antallet af fuglearter ved de to søer. Kilde: Kaj Sand-Jensen: Søer – en beskyttet naturtype, Gads Forlag, 2000. (stx-A eksamen august 2009)

Opgave 5.32 Når vi får et lod i hånden, så er spørgsmålet, hvor meget mere masse vi skal have i hånden for, at man registrerer en ændring. I 1860 arbejdede to tyske doktorer ved navn Ernst Heinrich Weber og Gustav Fechner med eksperimenter for at undersøge dette. Hvis vi kalder styrken af stimulering S og ændringen i stimulering for ∆S, så fandt de ligningen S = k (Weber Fenchers lov). Hvis vi eksempelvis har et lod på 10 g og har S fundet, at vi skal have et lod på 1g mere for at registrere en ændring, så vil vi få k = 1 = 0,1 10 a) Forklar, hvad ∆S og S står for, når det er lodder, som vi får i hænderne, og opskriv en ligning for ∆S og S. b) Hvis vi har et lod på 1 kg i hænderne, hvor stort et lod skal vi så yderligere have i hænderne for at registrere en ændring? Kilde http://en.wikipedia.org

84 Hvad er matematik? C, opgavebog

Logaritmer

Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Sammenhængen mellem a x og ek·x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Sammenhængen mellem log og ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Linearisering og anvendelsen af logaritmer i andre fag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Logaritmefunktioner – udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.2 Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner Opgave 6.1 a) Vælg et tal, tag kvadratroden af tallet, og opløft det nye tal i anden. Hvad får du? b) Generaliser dette, så du vælger et tal x, og udtryk ovenstående med matematiske symboler. c) Vælg et tal, opløft tallet i anden, og tag kvadratroden af tallet. Hvad får du? d) Generaliser dette, så du vælger x, og udtryk ovenstående med matematiske symboler. e) Hvad gælder der om i anden og kvadratrod som funktioner?

Opgave 6.2 a) Vælg et tal, udregn en potens, hvor grundtallet er 10, og det tal, som du valgte, er eksponent, og tag logaritmen til det nye tal. Hvad får du? b) Generaliser dette, så du vælger et tal x, og udtryk ovenstående med matematiske symboler. c) Vælg et tal, tag logaritmen til tallet, udregn en potens, hvor 10 er grundtallet, og det nye tal er eksponent. Hvad får du? d) Generaliser dette, så du vælger x,og udtryk ovenstående med matematiske symboler. e) Hvad er gælder der om potens med grundtal 10 og logaritme som funktioner?

85 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 6.3 Uden værktøjsprogram skal du a) bestemme log(200) – log(40). b) bestemme log(32) – log(8) + log(10). c) bestemme log(25 ) + log(29 ) – log(210 ). d) kontrollere resultatet i dit værktøjsprogram.

Opgave 6.4 Uden værktøjsprogram skal du a) bestemme log(1000) – log(40). b) bestemme log(300) – log(10) + log(4). c) bestemme log(82) – log(25 ). d) kontrollere resultatet i dit værktøjsprogram.

Opgave 6.5 Uden værktøjsprogram skal du a) bestemme log(x12) – log(x3 ). b) bestemme log(x7) + log(x4 ) – log(x10 ). c) bestemme log(2x5 ) + log(32x7) – log(8x10 ). d) kontrollere resultatet i dit værktøjsprogram.

Opgave 6.6 Vi har funktionen f(x) = 10x a) Udfyld tabellen. 1 2

9 10

3,5

f(x)

Opgave 6.7 Vi har funktionen f(x) = 10x a) Udfyld tabellen. x f(x)

0,01

86 Hvad er matematik? C, opgavebog

6. Logaritmer

Opgave 6.8 a) Bestem med et værktøjsprogram e1. b) Er e = e1 ? c) Hvad giver ln(ex )? d) Hvad giver eln(x)? e) Hvad kan du sige om ex og ln(x)?

Opgave 6.9 a) Udfyld tabellerne. x

0,00000001

0,0000001

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

log10 (x) x log10 (x)

–1 · 109

–2 · 108

–1 · 107

–3 · 106

–1 · 105

–1 · 104

–1 ·103

–1 · 101

b) Hvad fortæller tabellerne om grafen for log10 (x)?

Grafen viser et plot af sammenhørende værdier af dykkedybden x (målt i m) og varigheden y (målt i min) af et dyk for nogle grønlandske pukkelhvaler. I en model kan sammenhængen mellem varigheden af et dyk og dykkedybden beskrives ved

Dykkevarighed (min)

Opgave 6.10

y = 2,4657 · ln(x) – 6,2434 a) Benyt modellen til at bestemme varigheden af et dyk på 300 m.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

100

125

150

b) Bestem dykkedybden for en hval, hvis dyk har en varighed på 8 min, og benyt modellen til at opskrive dykkedybden x som funktion af varigheden y af et dyk.

175

200 225 250 Dykkedybden (m)

Kilde: Satellite tracking of Humpback whales in West Greenland, National Environmental Research Institute Ministry of the Environment. Denmark. (stx-B eksamen december 2008)

87 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 6.11 Af en rapport fra sundhedsstyrelsen fremgår det, at sammenhængen mellem husradonkoncentrationen og stueradonkoncentrationen i enfamiliehuse er givet ved udtrykket log(H) = 0,227 + 0,922 · log(S) hvor H er husradonkoncentrationen (målt i Bq/m3 ), og S er stueradonkoncentrationen (målt i Bq/m3 ). a) Bestem husradonkoncentrationen som funktion af stueradonkoncentrationen, og bestem, hvor mange procent husradonkoncentrationen stiger med, når stueradonkoncentrationen stiger med 20%. Kilde: Radon i danske boliger - Kortlægning af lands-, amts- og kommuneværdier, Sundhedsstyrelsen, Statens Institut for Strålehygiejne, Januar 2001. (stx-A eksamen december 2008)

Opgave 6.12 Sammenhængen mellem maksimal relativ væksthastighed V (målt i døgn-1) og kropsmasse M (målt i gram) for flercellede vekselvarme dyr er givet ved log(V) = –1,64 – 0,27log(M) a) Bestem V, når M = 3000. b) Bestem V som funktion af M. Kilde: Kaj Sand-Jensen: Økologi og biodiversitet, Gads forlag, 2000. (stx-A eksamen maj 2010)

6.3 Sammenhængen mellem ax og ekx Opgave 6.13 Du har en eksponentiel udvikling g(x) = 5 · 1,2365x a) Er g voksende eller aftagende? Forklar. b) Omskriv g, så grundtallet i fremskrivningsfaktoren er e.

Opgave 6.14 Du har en eksponentiel udvikling h(x) = 7 · e –0,56x a) Er h voksende eller aftagende? Forklar. b) Omskriv g, så grundtallet i fremskrivningsfaktoren er uden e. c) Bestem halveringskonstanten.

88 Hvad er matematik? C, opgavebog

6. Logaritmer

6.4 Sammenhængen mellem log og ln Opgave 6.15 a) Vælg selv relevante x-værdier, og udfyld tabellen med seks decimaler.

log10 (x) ln(x) ln(x) log10 (x)

b) Hvad viser tabellen om ln(x) og log10 (x)? c) Udtryk dette i en ligning.

Opgave 6.16 Totalslogaritmen log2 (x) er den omvendte til 2 x. a) Udfyld tabellen. x

256

512

1024

log2 (x)

b) Bestem en ligning mellem log2 (x) og log10 (x). c) Bestem en ligning mellem log2 (x) og ln(x). d) Undersøg på http://en.wikipedia.org anvendelser af log2 (x). Søg på "binary logarithm".

89 Hvad er matematik? C, opgavebog

6.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmer i andre fag Opgave 6.17 For en række dyr gælder der følgende om hjerterytmen og vægten: Dyr

Gennemsnitlig hjerterytme (slag per minut)

Menneske

Gennemsnitlig vægt (gram)

90000

Kat

150

2000

Lille hund

100

2000

Mellemstor hund

5000

Stor hund

8000

Hamster

450

Nyudklækket kylling

400

Kylling

275

1500

Abe

192

5000

Hest

1200000

800000

Gris

150000

Kanin

205

1000

Elefant

5000000

Giraf

900000

Store hvaler

120000000

I en model antager vi, at sammenhængen mellem den gennemsnitlige hjerterytme y a og den gennemsnitlige vægt x kan beskrives ved en potensfunktion y = b · x a) Bestem a og b i modellen ved potensregression. b) Bestem logaritmeværdierne til x og y. c) Udfør lineærregression på log(x) og log(y). d) Sammenlign resultatet fra den lineære regression med resultat fra potensregressionen. Kilde: Scaling Laws in Biology af Bader AL-dabaan og Professor Ron Smith, Birkbech College, University of London.

90 Hvad er matematik? C, opgavebog

6. Logaritmer

Opgave 6.18 Decibel er en enhed til at måle intensiteten af lydbølger. For forskellige aktiviteter findes der følgende data: Intensiteten (W/m2 )

Lydtypen

Decibel Niveau (dB)

Raslende blad

1 · 10 –11

Stille bibliotek

1 · 10 –8

Normal tale

1 · 10 –6

Støvsuger

1 · 10 –5

Lastbil (10 meter væk)

1 · 10 –3

Vuvuzela

130

Fly (50 meter væk)

100

140

I en model antager vi, at sammenhængen mellem intensiteten y og decibelniveauet x kan beskrives ved en eksponentialfunktion y = b · a x. a) Bestem a og b i modellen ved eksponentielregression. b) Bestem logaritmeværdierne til y. c) Udfør lineærregression på x og log(y). d) Sammenlign resultatet fra den lineære regression med resultatet fra den eksponentielle regression.

Opgave 6.19 Størrelsen af et jordskælv angives typisk med tal fra richterskalaen. Richterskalaen viser mængden af energi, der bliver udløst ved jordskælvet, og højden af bølgen, der optages ved jordrystelsen. For seks forskellige jordskælv er der følgende data: Richterskala

Energi (1021erg)

San Francisco, USA, 1906

8,25

1500

Yugoslavien, 1963

6,0

0,63

Alaska, 1964

8,6

5000

Peru, 1970

7,8

320

Italien, 1976

6,5

3,5

Loma Prieta, USA, 1989

7,1

I en model antager vi, at sammenhængen mellem energien y og richterskalaen x kan beskrives ved en eksponentialfunktion y = b · a x

91 Hvad er matematik? C, opgavebog

a) Bestem a og b i modellen ved eksponentielregression. b) Bestem logaritmeværdierne til y. c) Udfør lineærregression på x og log(y). d) Sammenlign resultatet fra den lineære regression med resultatet fra den eksponentielle regression.

Opgave 6.20 For en række dværgplaneter gælder følgende data om gennemsnitlig afstand til Solen og omløbstiden: Gennemsnitlig afstand til Solen (AU) Ceres

Omløbstid (år)

2,8

4,6

Makemake

45,3

305,3

Pluto

39,5

247,9

Haumea

43,0

281,9

Eris

68,0

561,4

I en model antager vi, at sammenhængen mellem den gennemsnitlige afstand til Solen y og omløbstiden x kan beskrives ved en potensfunktion y = b · x a a) Bestem a og b i modellen ved potensregression. b) Bestem logaritmeværdierne til x og y. c) Udfør lineærregression på log(x) og log(y). d) Sammenlign resultatet fra den lineære regression med resultat fra potensregressionen. Kilde: http://solarsystem.nasa.gov/planets

Opgave 6.21 Planeten Uranus har 27 måner. For en række af disse måner gælder følgende: Gennemsnitlig afstand til Uranus (km)

Omløbstid (dage)

Cordelia

49800

0,335

Juliet

64400

0,493

Cupid

74295

Stephano

8007400

Margaret

14146700

0,613 677,47 1661

92 Hvad er matematik? C, opgavebog

6. Logaritmer

I en model antager vi, at sammenhængen mellem den gennemsnitlige afstand til Uranus y og omløbstiden x kan beskrives ved en potensfunktion y = b · xa a) Bestem a og b i modellen ved potensregression. b) Bestem logaritmeværdierne til x og y. c) Udfør lineærregression på log(x) og log(y). d) Sammenlign resultatet fra den lineære regression med resultat fra potensregressionen. Kilde: http://solarsystem.nasa.gov/planets

6.6 Logaritmefunktioner – udfordrende opgaver Opgave 6.22 a) Løs ligningerne log(10x + 19) = 2 og 12 log(x + 4) = 30 b) Kontroller resultatet i dit værktøjsprogram.

Opgave 6.23 a) Løs ligningerne log(x + 2) + log(x + 1) = 2 og log(x + 4) + log(x) = 3 b) Kontroller resultatet i dit værktøjsprogram.

Opgave 6.24 a) Løs ligningerne log(x + 1) – log(x) = 2 og log(x + 4) – log(x + 1) = 3 b) Kontroller resultatet i dit værktøjsprogram.

Opgave 6.25 a) Løs ligningerne 2log(x + 1) + log(x) = 2 og log(x + 1) + 2log(x – 1) = 1 b) Kontroller resultatet i dit værktøjsprogram.

Opgave 6.26 Logaritmen med grundtal a log a (x) er den omvendte til a x. På samme måde er logaritmen med grundtal b logb (x) den omvendte til bx. a) Vis ligningen logb ( x ) = b) Vis ligningen

loga ( x ) – dette kaldes Eulers gyldne regel for logaritmer. loga ( b)

logb ( y ) loga ( y ) , og oversæt ligningen til ord. = logb ( x ) loga ( x )

93 Hvad er matematik? C, opgavebog

Tal og ligninger

Andre talsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Regning med tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Talmængder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

To ligninger med to ubekendte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.1 Andre talsystemer Opgave 7.1 At læse, skrive og regne med ægyptiske tal a) Opskriv følgende tal med ægyptiske hieroglyffer: 1) 1492

2) 1999

3) 12321

4) 70807

5)123456

6) 3040279

b) Oversæt følgende ægyptiske tal til vores talsystem: 1)

c) Udfør følgende regnestykker, og skriv dem med hieroglyffer: 1) Adder

2) Adder

og og

94 Hvad er matematik? C, opgavebog

7. Tal og ligninger

3) Træk

4) Træk

fra

d) Vælg nogle af ovenstående ægyptiske tal, og gang dem med 10, og skriv resultatet med hieroglyffer. Er der en simpel regel?

Opgave 7.2 At læse, skrive og regne med mayaernes tal Mayaernes talsystem var grundlæggende et 20-talssystem, hvor de første 19 tal blev skrevet med brug af to symboler, en prik for 1 og en streg for 5. Mayaernes talsystem tjente især til at holde styr på kalenderen. De havde inddelt deres år i 18 måneder med hver 20 dage og anvendte så de overskydende normalt 5 dage som særlige helligdage, der fik antallet af dage til at gå op med årets længde. Et normalt 20-talssystem ville være opbygget med potenserne 1, 20, 400, 8000 osv. svarende til 10-talssystemet, der er opbygget med potenserne 1, 10, 100, 1000 osv. Men mayaerne lod kalenderen bestemme og anvendte derfor følgende grundtal i deres talsystem: 1, 20, 360, 7200, 144000, … (2 · 144.000) De skrev tallene lodret, med de største øverst, og de anvendte et særligt symbol, som er en slags nul, til at angive, at der fx ikke er nogen 20’ere. Tallet, der er skrevet til højre, repræsenterer derfor følgende tal i vores talsystem:

(0 · 7200) (16 · 360) (7 · 20)

2 · 144.000 + 0 · 7200 + 16 · 360 + 7 · 20 + 11 = 290.311

(11 · 1)

a) Opskriv følgende tal med mayaernes talsymboler: 1) 1492

2) 1999

3) 1066

4) 57942

5)123456

6) 3040279

b) Oversæt følgende maya-tal til vores talsystem: 1)

95 Hvad er matematik? C, opgavebog

c) Udfør følgende regnestykker, og skriv dem med mayaernes tal: 1)

d) Vælg nogle af ovenstående maya-tal, og gang dem med 20, og skriv resultatet med maya-tal. Er der en simpel regel?

Opgave 7.3 At læse og skrive med klassiske kinesiske tegn De klassiske kinesiske tegn blev normalt skrevet lodret, således at 400 blev skrevet med tegnet for 4 placeret over tegnet med 100. (5 · 10.000)

Tallet, der er skrevet til venstre, repræsenterer derfor følgende tal i vores talsystem:

(2 · 1000)

5 · 10.000 + 2 · 1000 + 100 + 7 · 10 + 4 = 52.174

(100) (7 · 10) (4)

a) Opskriv følgende tal med kinesiske tegn: 1) 236 4) 1066

2) 1492 5) 57942

3) 1999 6) 123456

b) Oversæt følgende kinesiske tegn til vores talsystem: 1)

Opgave 7.4 At læse, skrive og regne med romertal Romertallene var meget stabile og blev anvendt gennem næsten 2000 år. Man kan stadig finde dem anvendt på urskiver eller til angivelse af årstal i fx bøger. På et tidligt tidspunkt indførte de et par ekstra regler, der kunne forkorte opskrivningen lidt, nemlig at et mindre foranstillet tegn kunne trækkes fra: IV = 5 – 1 = 4 , IX = 10 – 1 = 9, XL = 50 – 10 = 40, CD = 500 – 100 = 400.

96 Hvad er matematik? C, opgavebog

7. Tal og ligninger

Der var bestemte regler: • I må kun foranstilles V og X. • X må kun foranstilles L og C. • C må kun foranstilles D og M. Endvidere indførte de på et tidspunkt, at hvis de satte en streg over et tal, betød det, at tallet skulle ganges med 1000, mens to streger betød at tallet skulle ganges med 1000000: XV = 15000 og XV = 15000000 a) Opskriv følgende tal med romertal: 1) 1492 2) 1066 4) 74802 5) 123456

3) 1999 6) 3040279

b) Oversæt følgende romertal til vores talsystem: 1) CCXXIV 2) MDLXI 3) MDCCXLVIII 4) DCCLXXXVII 5) CDXCV 6) XC c) Udfør følgende regnestykker, og skriv dem med romertal: 1) CM + XIX 2) MMCLXI + MDCXX 3) XXIV + XLVI 4) XXX – XXIII 5)CCLII – CLXI 6) XVI · XXXIV

7.2 Regning med tal Opgave 7.5 Udregn og forklar i ord, hvordan følgende udtryk udregnes: a) 20 – 5 · 4

b) 11 + 5 · 3

c) 22 · 5 + 44

d) 15 · 3 + 4 · 23

e) 3 · 5 · 8 + 10

f) 5 · 4 – 20 + 7 · 9

g) 100 : 20 – 1

h) 68 – 20 : 10

Opgave 7.6 Udregn og forklar i ord, hvordan følgende udtryk udregnes: a)

20 ⋅ 100 5

b) 100 ⋅

20 5

200 ⋅ 35 7 ⋅ 20

Opgave 7.7 Udregn og forklar i ord, hvordan følgende udtryk udregnes: c) 10 (5 + x + 11) + 4(3x)

a) 2(x + 5) + 12

b) 24 + 3 (x + 5)

d) x(2 + 5) + 8 (x + 20 )

e) (4 + 9) · (3 + 7x) + (3x + 6) · 6

97 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 7.8 Udregn og forklar i ord, hvordan følgende udtryk udregnes: a) x · x + 2(x + 5)

b) 2x ·(x + 5)

Opgave 7.9 Omskriv følgende til et kvadrat på en toleddet størrelse: a) x2 + 6x + 9

b) x2 + 14x + 49

c) 25 + 10x + x2

d) 9x2 + 30x + 25

e) 16x2 + 56x + 49

f) 10x2 + 20x + 10

Opgave 7.10 Marker følgende tal på en tallinje a)

0,01

1 2

2,1

0,33

2,01

0,11

1,9

0,09

1,99

0,9

1,01

2 1

1 3

0,5

1,95

0,10

0,5

3 2

2 3

0,67

2,11

1 1

3 7

0,35

Opgave 7.11 Skriv følgende heltal som brøk: a) 3

b) 56

c) 23

d) -34

e) -210

Opgave 7.12 Omskriv og bestem følgende udtryk, så de to led har samme nævner: a)

17 +4 3

45 12 + 4 5

c) b +

c 4

d) b +

c 4a

Opgave 7.13 Udregn følgende udtryk: 5 15 ⋅7 a) 4 ⋅ b) 12 6 3 x e) x ⋅ f) x ⋅ x 3

c) 6 ⋅

5 21 + 11 11

g) x ⋅

x+5 3

98 Hvad er matematik? C, opgavebog

12 8 9 x + 21 h) x ⋅ 3 d) 3 + 7 ⋅

7. Tal og ligninger

7.3 Talmængder Opgave 7.14 De lige tal er alle hele tal, som 2 går op i: …,-4,-2,0,2,4,… Et lige tal kan skrives på formen 2n, hvor n er et helt tal. a) Skriv tallene 20 og 30 på denne form.

Opgave 7.15 De ulige tal er …,-3,-1,1,3,… Et ulige tal kan skrives på formen 2n + 1, hvor n er et helt tal. a) Skriv tallene 29 og 41 på denne form.

Opgave 7.16 Argumenter for følgende sætninger: a) Summen af to lige tal er et lige tal. b) Summen af to ulige tal er et ulige tal. c) Produktet af to lige tal er et lige tal. (Hjælp: Har du svært ved at løse et matematisk problem, der er formuleret helt generelt, kan du prøve at starte med taleksempler og se, om du kan finde et mønster heri. Dette mønster kan du bruge i det generelle argument.)

Opgave 7.17 Formuler selv følgende sætninger, og bevis dem: a) Produktet af to ulige tal er … b) Produktet af et lige og et ulige tal er … c) Summen af et lige og et ulige tal er …

Opgave 7.18 De naturlige tal er tallene 1,2,3,4,… a) Udfyld følgende tabel: Naturlige tal

b) Hvor mange naturlige tal er der mindre end 100? c) Udfyld følgende tabel: Lige tal

d) Hvor mange lige tal er der mindre end 100? e) Er antallet af lige tal mindre end 100 lig antallet af naturlige tal mindre end 100?

99 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 7.19 De naturlige tal er tallene 1,2,3,4,… a) Udfyld følgende tabel: Naturlige tal

…

Lige tal

…

b) Skriv en generel sammenhæng mellem hvert naturligt tal og hvert lige tal. c) Hvad fortæller sammenhængen om antallet af naturlige tal og antallet af lige tal?

Opgave 7.20 Kvadrattallene er 2,4,9,25,… a) Udfyld følgende tabel: Naturlige tal

…

Kvadrattal

…

b) Skriv en generel sammenhæng mellem hvert naturligt tal og hvert kvadrattal. c) Hvad fortæller sammenhængen om antallet af naturlige tal og antallet kvadrattal?

7.4 Ligninger Opgave 7.21 En løsning til ligningen x + 5 = 2 findes gennem følgende trin: x+5=2 x=2+5 x=7 a) Undersøg, om løsningen er korrekt eller forkert. b) Find det trin, hvor løsningsmetoden er forkert, og ret trinnet. c) Bestem den korrekte løsning.

Opgave 7.22 En løsning til ligningen 3x + 5 = 2 findes gennem følgende trin: 3x + 5 = 2 x+5= x=

2 3

2 −5 3

100 Hvad er matematik? C, opgavebog

7. Tal og ligninger

a) Undersøg, om løsningen er korrekt eller forkert. b) Find det trin, hvor løsningsmetoden er forkert, og ret trinnet. c) Bestem den korrekte løsning.

Opgave 7.23 En løsning til ligningen 5 · cos(A) = 9 findes gennem følgende trin: 9 · cos(A) = 5 A = cos –1(9 · 5) a) Undersøg, om løsningen er korrekt eller forkert. b) Forklar, hvad der er forkert i løsningsmetoden. c) Bestem den korrekte løsning.

Opgave 7.24 En løsning til ligningen cos( 30o ) = cos( 30o ) =

4 findes gennem følgende trin: c

4 c

cos( 30 o ) =c 4 0, 2165 = c a) Undersøg, om løsningen er korrekt eller forkert. b) Forklar, hvad der er forkert i løsningsmetoden. c) Bestem den korrekte løsning.

Opgave 7.25 5

En løsning til ligningen x = 56 findes gennem følgende trin: x 5 = 56 x = 5 ⋅ 56 x = 37, 4165 a) Undersøg, om løsningen er korrekt eller forkert. b) Forklar, hvad der er forkert i løsningsmetoden. c) Bestem den korrekte løsning.

101 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 7.26 3

En løsning til ligningen 7x = 210 findes gennem følgende trin: 7 x 3 = 210 7 x = 3 210 7 x = 5, 9439 5, 9439 x= 7 x = 0, 8491 a) Undersøg, om løsningen er korrekt eller forkert. b) Forklar, hvad der er forkert i løsningsmetoden. c) Bestem den korrekte løsning.

Opgave 7.27 7

En løsning til ligningen x + 45 = 1000 findes gennem følgende trin: x 7 + 45 = 1000 x + 7 45 = 7 1000 x + 1, 7226 = 2, 6827 x = 2, 6827 − 1, 7226 x = 0, 9601 a) Undersøg, om løsningen er korrekt eller forkert. b) Forklar, hvad der er forkert i løsningsmetoden. c) Bestem den korrekte løsning.

Opgave 7.28 2

En løsning til ligningen a + 3 = 7 findes gennem følgende trin: a 2 + 32 = 72 a 2 = 72 − 32 a = 7−3 a=4 a) Undersøg, om løsningen er korrekt eller forkert. b) Forklar, hvad der er forkert i løsningsmetoden. c) Bestem den korrekte løsning.

Opgave 7.29 Der er givet sammenhængen y = 5x + 3. a) Bestem y grafisk og ved formelregning, når x = 12.

102

b) Løs ligningen y = 10 0 grafisk og ved formelregning. Hvad er matematik? C, opgavebog

7. Tal og ligninger

Opgave 7.30 Der er givet sammenhængen y = 5 · 1,5

a) Bestem y grafisk, når x = 9. b) Løs ligningen y = 30 0 grafisk og ved formelregning.

Opgave 7.31 –1

Der er givet sammenhængen y = 5 · x a) Bestem y grafisk, når x = 0,1.

b) Løs ligningen y = 20 grafisk og ved formelregning.

Opgave 7.32 Der er givet sammenhængen y = 14 ⋅ x + 5 a) Bestem y grafisk, når x = 10. b) Løs ligningen y = 10 0 grafisk og ved formelregning.

Opgave 7.33 Der er givet sammenhængen y =

20 2x + 3

a) Bestem y grafisk, når x = 3. b) Løs ligningen y = 12 grafisk og ved formelregning.

Opgave 7.34 Simple ligninger, hvor fx de specielle funktioner som a x, xa, ln og cos indgår, kan normalt løses ved at anvende de modsatte operationer. Men indgår den ubekendte flere steder, kan sådanne ligninger være svære at håndtere og ofte umulige at løse i hånden, dvs. vi kan ikke opskrive et udtryk for løsningen. Fx kan ligningen: 3 e x − 0, 5 x − 10 = 0 ikke løses i hånden. Man kan normalt løse sådanne ligninger ved hjælp af et værktøj. Det giver os én eller flere såkaldte numeriske løsninger, hvilket betyder, at værktøjet har indbygget nogle metoder til at finde en tilnærmet værdi. Den eksakte løsning kan vi ikke finde. At kunne løse ligningen: 3 e x − 0, 5 x − 10 = 0 svarer til at finde nulpunkter for funktionen y = 3 e x − 0, 5 x − 10 . a) Skriv funktionen y = 3 e x − 0, 5 x − 10 ind i et værktøjsprogram. b) Tegn grafen i et passende koordinatsystem, dvs. grafvinduet vælges, så man kan se et passende udsnit af grafen. c) Løs ligningen 3 e x − 0, 5 x − 10 = 0 grafisk. d) Løs ligningen 3 e x − 0, 5 x − 10 = 0 ved brug af en solve-kommando.

103 Hvad er matematik? C, opgavebog

e) Er der overensstemmelse mellem de to løsninger? Ellers var grafvinduet måske ikke passende. Se på en funktionstabel for at få en klar fornemmelse af, hvordan vinduet bør indrettes. Er du nu sikker på, du har fundet løsningerne? En grafisk løsning foregår altid inden for det grafvindue, vi har valgt. Det er en meget begrænset del af verden, og der kunne udmærket ske interessante ting uden for dette vindue. Hvordan får vi overblik over det? På B- og A-niveau under emnet 'Differentialregning' vil vi få redskaber hertil. Indtil man lærer det, må man prøve sig frem på sit CAS-værktøj.

Opgave 7.35 a) Undersøg, om der er løsninger til følgende ligninger: x ( x − 1)( x − 2)( x − 3) =0 240 ( x + 10 )( x − 20 )( x + 30 )( x − 40 ) =0 1000

7.5 To ligninger med to ubekendte Opgave 7.36 Løs følgende ligningssystemer med substitutionsmetoden: a) x + y = 1 2x + y = 2

b) 2 x − y = 1 7 x+y =2

Opgave 7.37 Løs følgende ligningssystemer med lige store koefficienters metode: a) 8 x + 2 y = 600 2 x − 12 y = 100

b) 4 x − y = −4 − x + 5 y = 20

Opgave 7.38 Løs følgende ligningssystemer med lige store koefficienters metode: a) 10 x + 7 y = −8 15 x + 3 y = 9

b) −13 x + 9 y = 2 17 x − 11y = −2

Opgave 7.39 Løs følgende ligningssystemer grafisk: a) x + y = 12 −2 x + y = 8

b) 2 x + 8 y = 100 4 x − 4 y = 20

104 Hvad er matematik? C, opgavebog

7. Tal og ligninger

Opgave 7.40 Løs følgende ligningssystemer grafisk: a) y = −3 x + 30 y = 5 x + 12

b) 34 + 5 x = y 10 − 2 x = y

Opgave 7.41 Peter holder åbent hus med gratis morgenmad til kammeraterne. Han har sendt lillebror til bageren efter 12 rundstykker og 8 basser. De kostede 150 kr. Der dukker imidlertid flere op end forventet, så lillebror må af sted igen, denne gang efter 12 basser og 6 rundstykker. Det kostede 147 kr. a) Hvad kostede i grunden et rundstykke og en basse?

Opgave 7.42 Ved et ridestævne var der i alt, hvor vi tæller både mennesker og heste, 190 ben og 68 hoveder. a) Hvor mange heste og hvor mange mennesker var der?

Opgave 7.43 I en regnebog fra 1608 står følgende opgave: Hvis jeg giver 7 cent til hver af tiggerne uden for døren, vil jeg have 2 cent tilbage til mig selv. Jeg mangler 32 cent for at kunne give tiggerne 9 cent hver. a) Hvor mange tiggere er der, og hvor mange cent har jeg?

Opgave 7.44 I Fibonaccis regnebog (Liber Abaci) fra 1202 findes følgende opgave: "Tre mænd fandt en pung indeholdende 23 dinarer. Den første mand sagde til den anden: Hvis jeg tager denne pung, har jeg dobbelt så mange penge, som du har. Den anden mand sagde til den tredje: Hvis jeg tager denne pung, vil jeg have tre gange så mange penge, som du har. Den tredje mand sagde til den første: Hvis jeg tager denne pung, vil jeg have fire gange så meget, som du har." a) Hvor mange penge havde hver af dem?

105 Hvad er matematik? C, opgavebog

Sider og vinkler i vilkårlige trekanter

Enhedscirklen, cosinus og sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Sinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Cosinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Sinus- og cosinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Sinusfælden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Trigonometri – udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.2 Enhedscirklen, cosinus og sinus Opgave 8.1 a) Tegn enhedscirklen. b) Afsæt en vinkel v, der er mindre 90°. c) Marker den tilhørende retvinklede trekant. d) Hvad er siderne i denne trekant I? e) Afsæt en vinkel 90° – v. f) Marker den tilhørende retvinklede trekant. g) Hvad er siderne i denne trekant II? h) Hvad gælder der om trekant I og II? i) Argumenter for cos(90° – v) = sin(v) og sin(90° – v) = cos(v).

Opgave 8.2 a) Tegn enhedscirklen. b) Afsæt en vinkel v, der er større end 90° og mindre end 180°. c) Marker den tilhørende retvinklede trekant. d) Hvad er siderne i denne trekant I? e) Afsæt en vinkel 180° – v. f) Marker den tilhørende retvinklede trekant. g) Hvad er siderne i denne trekant II? h) Hvad gælder der om trekant I og II? i) Argumenter for sin(180° – v) = sin(v) og cos(180° – v) = –cos(v).

106 Hvad er matematik? C, opgavebog

8. Sider og vinkler i vilkårlige trekanter

8.2 Sinusrelationerne C

Opgave 8.3 I en trekant ABC kendes a) Bestem siden b.

a=7

b) Bestem vinkel C. c) Bestem siden c.

A = 68,71°

B = 41,72° c

d) Bestem arealet af trekant ABC.

Opgave 8.4

I en trekant ABC kendes a=7

b=5

a) Bestem vinkel A. b) Bestem vinkel C.

B = 27,93°

c) Bestem siden c. d) Bestem arealet af trekant ABC.

B = 22°

Opgave 8.5 I en trekant ABC kendes a) Bestem den ukendte vinkel og sider. a = 5,57

b) Bestem arealet af trekant ABC.

A = 50°

Opgave 8.6 I en trekant er der givet en vinkel på 10° og en anden vinkel på 40°. Den mellemliggende side er 23. a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og forklar udførligt konstruktionstrinene. b) Bestem vha. det dynamiske geometriprogram de ukendte sider og den ukendte vinkel.

107 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 8.7 I en trekant er der givet en vinkel på 34° og en anden vinkel på 50°. En ikke-mellemliggende side er 19. a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og forklar udførligt konstruktionstrinene. b) Bestem vha. det dynamiske geometriprogram de ukendte sider og den ukendte vinkel.

8.3 Cosinusrelationerne C

Opgave 8.8 I en trekant ABC kendes

b = 10

a = 3,47

a) Bestem vinkel A. b) Bestem vinklerne B og C.

a) Bestem siden a.

Opgave 8.9 I en trekant ABC kendes

c = 10

b = 1,88

A = 52°

c=8

b) Bestem vinklerne B og C.

Opgave 8.10 I trekant er der givet siderne 8, 12 og 15. a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og forklar udførligt konstruktionstrinene. b) Bestem vha. det dynamiske geometriprogram de ukendte vinkler.

Opgave 8.11 I trekant er der givet siderne 9, 10 og en mellemliggende vinkel på 35°. a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og forklar udførligt konstruktionstrinene. b) Bestem vha. det dynamiske geometriprogram den side og de ukendte vinkler.

108 Hvad er matematik? C, opgavebog

8. Sider og vinkler i vilkårlige trekanter

Opgave 8.12 I trekant ABC er ∠A = 72°, b = 4,1 og c = 3,8. a) Tegn en model af trekanten, og beregn længden af siden a. b) Beregn længden af højden på siden b. (stx-B eksamen maj 2007)

Opgave 8.13 C

Til højre ses en skitse af trekant CDH og firkant ABCD.

a) Bestem ∠D i trekant CDH.

(stx-B eksamen maj 2008)

b) Bestem |BD og |AC i firkant ABCD.

Opgave 8.14 B

I trekant ABC er a = 10, b = 15 og c = 21. a) Bestem ∠A, og bestem arealet af trekant ABC.

b) Bestem længden af medianen mb.

(stx-B og -A eksamen december 2008 opgaven på stx-A er uden en tegning)

Opgave 8.15

I trekant ABC er a = 8, b = 20 og c = 16.

a) Bestem ∠A. b) Bestem arealet af trekant ABC.

(stx-B eksamen maj 2010)

109 Hvad er matematik? C, opgavebog

8.4 Sinus- og cosinusrelationerne Opgave 8.16 Der kendes tre længder: a

Tilfælde 1

Tilfælde 2

a) Undersøg, om det er muligt at konstruere en trekant ABC. b) Bestem de ukendte vinkler, hvis det er muligt at konstruere en trekant ABC.

Opgave 8.17 Der kendes tre vinkler: a

30o

80o

70o

a) Undersøg, om det er muligt at konstruere en trekant ABC eller flere. b) Bestem de ukendte sider, hvis det er muligt at konstruere en trekant ABC.

Opgave 8.18 Der kendes to sider og en vinkel: a

Tilfælde 1

Tilfælde 2

Tilfælde 3

Tilfælde 4

A 50

50o 50o 120o

a) Undersøg, om det er muligt at konstruere en trekant ABC. b) Bestem den ukendte side og den ukendte vinkel, hvis det er muligt at konstruere en eller flere trekant ABC.

110 Hvad er matematik? C, opgavebog

8. Sider og vinkler i vilkårlige trekanter

Opgave 8.19 Der kendes en side og to vinkler: a

B o

Tilfælde 1

Tilfælde 2

30o

Tilfælde 3

C o

70o 80o

70o

a) Undersøg, om det er muligt at konstruere en trekant ABC. b) Bestem den ukendte side og den ukendte vinkel, hvis det er muligt at konstruere en eller flere trekant ABC.

Opgave 8.20

4,0

130,2°

13,5°

1,6

1,5 38,1°

En gymnasieklasse løber orienteringsløb i en skov. Alle mødes ved post A, og pigerne løber ruten ABCA, mens drengene løber ruten ADEA. På figuren er angivet nogle vinkler og afstande (målt i km) for de to løberuter. a) Hvor langt løber pigerne? b) Hvor meget længere løber pigerne end drengene? (stx-B eksamen august 2007)

Opgave 8.21 I en trekant ABC er a = 6,7, ∠A = 56° og ∠B = 43°. a) Bestem c samt arealet af trekanten. b) Bestem længden af medianen ma. (stx-B eksamen december 2007)

111 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 8.22 I trekant ABC betegnes skæringspunktet mellem siden a og vinkelhalveringslinjen vA med D. Det oplyses, at ∠A = 66°, c = 4,7 og vA = 3,9. a) Tegn en model af trekanten, og bestem |BD. b) Bestem ∠B og ∠C. (stx-A eksamen august 2008)

Opgave 8.23

I trekant ABC er |AB= 5 , |AC= 7 og ∠A = 114°. a) Bestem |BC og ∠A.

b) Bestem højden hb, og bestem arealet af trekant ABC.

5 114° C

(stx-B og -A eksamen maj 2009 - opgaven på stx-A er uden en tegning)

Opgave 8.24 B

I trekant ABC er a = 7, b = 12 og c = 17. a) Bestem ∠C.

Punktet D er placeret på BC, således at vinkel D i trekant ADC er 45° (se figuren). A

b) Bestem |AD.

45°

(stx-B og -A eksamen august 2009)

Opgave 8.25 På figuren ses en skitse af en stålkonstruktion bestående af fire stålstænger. I trekant ABC er ∠A = 58° og |AB= 10 m. Stålstangen BC danner en vinkel på 80° med AB.

a) Bestem længden af BC. Stålstangen BD er fastgjort i D, således at afstanden fra A til D er 3 m. D

b) Bestem længden af BD.

(stx-B og -A eksamen december 2009)

112 Hvad er matematik? C, opgavebog

80°

58°

10 m

8. Sider og vinkler i vilkårlige trekanter

Opgave 8.26 B

I trekant ABC er a = 13, c = 10 og ∠C = 23°. Det oplyses, at ∠A er spids.

a) Bestem ∠A.

23° A

b) Bestem b.

Opgave 8.27 I trekant ABC er D skæringspunktet mellem vinkelhalveringslinjen for vinkel B og siden AC. Det oplyses, at ∠A = 70° og |AB = |BD= 5. a) Tegn en skitse af trekant ABC, og bestem ∠ADB samt |AD. b) Bestem |BC. (stx-A eksamen maj 2010)

Opgave 8.28

På figuren ses fire byer A, B, C og D. På figuren er angivet nogle vinkler og afstande. Det oplyses, at ∠B i trekant BCD er spids. a) Bestem afstanden mellem B og C. b) Bestem ∠B i trekant BCD. 8,93 km

(stx-B eksamen august 2010)

82,7°

Opgave 8.29 77,7°

I trekant ABC er a = 7,1 , b = 8,5 og c = 5,9.

5,20 km

A 2,51 km C

a) Bestem ∠A og ∠B. b) Bestem længden af vinkelhalveringslinjen vA. (stx-A eksamen august 2010)

8.6 Sinusfælden Opgave 8.30 I en trekant ABC er vinkel A = 25°, b = 9 og a = 5. a) Bestem ved beregning sider og vinkler i den spidsvinklede løsning. b) Bestem ved beregning sider og vinkler i den stumpvinklede løsning. c) Bestem ved konstruktion sider og vinkler i den spidsvinklede løsning. d) Bestem ved konstruktion sider og vinkler i den stumpvinklede løsning.

113 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 8.31 I en trekant er der givet to sider på henholdsvis 7 og 6. En ikke-mellemliggende vinkel er 60°. a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og forklar udførligt konstruktionstrinene. b) Bestem vha. det dynamiske geometriprogram den ukendte side og de ukendte vinkler.

8.7 Trigonometri – udfordrende opgaver Opgave 8.32 Gennemgå beviset for en af cosinusrelationerne med powerpointen på http://mathit.eg-gym.dk/cosrel.ppt.

Opgave 8.33 I en trekant ABC er vinkel A = 30°, b = 9 og a = 6. a) Opstil vha. en af cosinusrelationerne en ligning for siden c. b) Hvilken type ligning er det? c) Løs ligningen ved hjælp af et it-værktøj.

Opgave 8.34 Tegn en vilkårlig trekant i et dynamisk geometriprogram. a) Vælg to af hjørnerne i trekanten, og tegn den rette linje igennem hvert hjørne og parallel med den modstående side. b) Hvad danner de to linjer? c) Argumenter for, at denne figur er identisk med trekanten, som vi startede med.

Opgave 8.35 I en trekant ABC er siderne a = 5 og b = 7 og c = 9. a) Bestem vinklerne i trekant ABC. b) Bestem vinklerne i trekant ABC, når længden af alle tre sider fordobles. c) Bestem vinklerne i trekant ABC, når længden af alle tre sider tredobles. d) Bestem vinklerne i trekant ABC, når længden af alle tre sider multipliceres med k.

114 Hvad er matematik? C, opgavebog

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 8.36 Linjestykkerne a = 5 og b = 2 og c = 9 er givet. a) Kan der konstrueres en trekant ud fra de tre stykker ? b) Hvilken længde kan linjestykket b have, når længden af de to andre stykker holdes fast, og de tre stykker skal danne en trekant? c) Hvilken længde kan linjestykket b have, når længden af de to andre stykker holdes fast, og de tre stykker skal danne en retvinklet trekant? d) Hvilken længde kan linjestykket b have, når længden af de to andre stykker holdes fast, og de tre stykker skal danne en spidsvinklet trekant? e) Hvilken længde kan linjestykket b have, når længden af de to andre stykker holdes fast, og de tre stykker skal danne en stumpvinklet trekant?

Opgave 8.37 I en trekant ABC er AB = x , BC =

x 3x og AC = 3 4

a) Bestem ∠A. b) Bestem x, når arealet af trekanten er 13. (stx-B eksamen august 2007)

Opgave 8.38 Der er givet en spidsvinklet trekant, hvor der er nedfældet en af højderne. I de to retvinklede trekanter navngives nogle af vinklerne og siderne – se figuren. a) Benyt arealformlen til at opstille en ligning, da arealet af den store trekant er lig med summen af arealerne for de to mindre trekanter.

A B

x b) Divider ligningen igennem med 1 r ⋅ p 2 h c) I den nye ligning indgår p . Hvad er det lig med i en af de mindre trekanter?

h d) I den nye ligning indgår r . Hvad er det lig med i en af de mindre trekanter? e) Ligningen kan nu skrives som sin(A +B) = cos(B) · sin(A) + cos(A) · sin(B). f) Undersøg på nettet, hvad denne ligning hedder.

115 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 8.39 A B

Der er givet en spidsvinklet trekant, hvor der er nedfældet en af højderne. I de to retvinklede trekanter navngives nogle af vinklerne og siderne – se figuren.

a) Opskriv cosinusrelationen, hvor vinklen A + B indgår. b) Udregn (x + y) 2. x

c) Opskriv Pythagoras i hver af de to mindre trekanter. d) Substituer q2 og p2 med udtrykkene fra c). Nu er cosinusrelationen fra a) i en eller anden form omskrevet til 2xy = 2h2 – 2qp · cos(A + B) e) Argumenter for, at dette svarer til

x y h h ⋅ = ⋅ − cos( A + B ) p q p q

f) Udtryk sin(A), cos(A), sin(B) og cos(B) med siderne i de to retvinklede trekanter, og substituer dette i ligningen fra f). g) Argumenter for, at dette svarer til cos(A +B) = cos(A) · cos(B) – sin(A) · sin(B)

Opgave 8.40 a) Forklar ligningssystemet

i n(15) ⋅ cos(15) sin( 30 ) = 2 ⋅ ssin cos( 30 ) = (cos(15)) − ( ssin i n(15)) 2

3 1 i n( 30 ) = og ssin indsættes. 2 2 b) Løs ligningssystemet, og bestem de eksakte værdier for cos(15) og sin(15).

De eksakte værdier cos( 30 ) =

Opgave 8.41 På linje med cosinus- og sinusrelationerne findes der tangensrelationer. I en trekant ABC kan en version af tangensrelationerne udtrykkes ved:  A − B tan   2  a − b =  A + B a + b tan   2  a) I en trekant ABC er A = 30°, B = 70° og a = 8. Bestem med tangensrelationen siden b. b) I en trekant ABC kan tangensrelationerne udtrykkes på to andre måder. Formuler disse to. c) I hvilke trekantstilfælde kan tangensrelationerne anvendes? d) Kan tangensrelationerne bruges i trekantstilfælde, hvor cosinus- og sinusrelationerne ikke kan anvendes? e) Udform et bevis for en af tangensrelationerne.

116 Hvad er matematik? C, opgavebog

Bekræftende statistik

Goodness of fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Test af uafhængighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Skjulte variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.1 Goodness of fit Opgave 9.1 En bryllupsplanlægger har på baggrund af egne data lavet en tilfældig stikprøve af bryllupper. Fordelt på de forskellige ugedage er bryllupperne: Måned Antal

Januar

Februar

Marts

April

Maj

Juni

Juli

August

September

Oktober

November

December

a) Undersøg påstanden om, at antallet af bryllupper sker i de forskellige måneder med samme hyppighed. b) Hvad sker der med χ2 -teststørrelsen, hvis antallet af bryllupper i januar i stedet for 5 er 50? Beskriv ændringen som effekten af en outlier. Kilde: Elementary Statistics Using Excel, Mario F. Triola.

Opgave 9.2 En stikprøve med tilfældigt valgte fødsler er foretaget, og fødslerne er inddelt efter, hvilke ugedag den er sket. Stikprøven er baseret på National Center for Health Statistics. Dag Antal

Mandag

Tirsdag

Onsdag

Torsdag

Fredag

Lørdag

Søndag

110

124

122

120

123

a) Undersøg påstanden om, at fødsler sker i de forskellige ugedage med samme hyppighed med et signifikansniveau på 5%. b) Undersøg påstanden om, at fødsler sker i de forskellige ugedage med samme hyppighed med et signifikansniveau på 1%. Kilde: Elementary Statistics Using Excel, Mario F. Triola.

117 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 9.3 En stikprøve med tilfældigt valgte kriminelle overfald er udtaget på baggrund af data fra FBI. Fordelt på de forskellige måneder er: Måned

Januar

Februar

Marts

April

Maj

Juni

Juli

August

September

Oktober

November

December

Antal

786

704

835

826

900

868

920

901

856

862

783

797

a) Undersøg påstanden om, at kriminelle overfald sker i de forskellige måneder med samme hyppighed med et signifikansniveau på 5%. b) Undersøg påstanden om, at kriminelle overfald sker i de forskellige måneder med samme hyppighed med et signifikansniveau på 1%. Kilde: Elementary Statistics Using Excel, Mario F. Triola.

Opgave 9.4 Forskere har i USA undersøgt, om etnisk tilhørsforhold og medvirken i kliniske forsøg er fordelt efter samme fordeling. Baseret på en undersøgelse "Deltagelse i kliniske kræft forsøg" af Murthy, Krumholz and Gross i tidsskriftet Journal of the American Medical Association, vol. 291, no. 22 er antallet af deltagere i kliniske lungekræftforsøg sammen med den amerikanske befolkningsfordeling efter etnisk tilhørsforhold: Etnisk tilhørsforhold Andel af befolkningen Antal i kliniske lungekræft forsøg

Hvide ikke spanske

Spanske

Sorte

Asiater

Amerikanske indianere

75,6%

9,1%

10,8%

3,8%

0,7%

3855

316

a) Undersøg påstanden om, at fordelingen af deltagere i de kliniske lungekræftforsøg følger fordelingen af befolkningen efter etnisk tilhørsforhold med et signifikansniveau på 1%. b) Er der en etnisk gruppe, som er meget underrepræsenteret i de kliniske lungekræftforsøg? Kilde: Elementary Statistics Using Excel, Mario F. Triola.

Opgave 9.5 Der fødes erfaringsmæssigt lidt flere kvinder end mænd. I Danmark synes der således i gennemsnit at fødes 51 kvinder, for hver gang der fødes 49 mænd. I forbindelse med en statistisk undersøgelse over en bestemt periode, hvor der blev født 186 børn på en bestemt fødeafdeling, viste det sig, at de 107 var piger, og de resterende 79 var drenge. a) Er fødslerne på denne fødeafdeling i statistisk overensstemmelse med den generelle danske befolkning?

118 Hvad er matematik? C, opgavebog

9. Bekræftende statistik

Opgave 9.6 Du har en mistanke om, at en af dine venner har en "falsk" terning. Derfor har du i al hemmelighed noteret udfaldet af alle vedkommendes kast med terningen gennem en hel aftens spil. Dine optegnelser viser, at terningen er endt på "1" i alt 5 gange, "2" i alt 4 gange, "3" i alt 5 gange, "4" i alt 6 gange, "5" i alt 5 gange og "6" i alt 13 gange. a) Giver dine observationer anledning til, at din mistanke bestyrkes? Du forventes at argumentere ud fra statistiske hypoteser og test med anvendelse af begreber som signifikans og/eller p-værdi. b) Desuden forventes du at kommentere, hvilke konsekvenser du vil lade den statistiske analyse få i den konkrete problemstilling.

Opgave 9.7 En mindre restaurant med et menukort bestående af 5 forskellige, men faste menuer plejer at have følgende ordrefordeling på disse: menu 1: 30%, menu 2: 25%, menu 3: 20%, menu 4: 15% og menu 5: 10%. Restauranten foretager sine indkøb for at imødegå en efterspørgsel, der følger dette mønster. Imidlertid er man flere gange i den seneste tid løbet tør for menu 5, og man ønsker at afgøre, om det er en tilfældighed, eller om man skal revidere indkøbsplanerne. I den seneste uge har man haft 543 gæster. Af disse bestilte 152 menu 1, 101 bestilte menu 2, 110 bestilte menu 3, 91 bestilte menu 4 og 89 bestilte menu 5. a) Skal man revidere indkøbsplanerne?

Opgave 9.8 Når man fremstiller almindelige M&M-slikpiller, blander man de forskellige farver tilfældigt efter det følgende skema: Almindelige M&M: Farve

Rød

Gul

Grøn

Orange

Brun

Blå

Generel andel

20 %

10 %

30 %

10 %

For at undersøge, om den samme fordeling holder for M&M-piller med peanut, blev der udtaget en tilfældig stikprøve på 75 peanut-piller, der fordelte sig således efter farve: Peanut-M&M: Farve Observeret antal

Rød

Gul

Grøn

Orange

Brun

Blå

119 Hvad er matematik? C, opgavebog

a) Fremstil en passende graf, der sammenligner frekvenserne for almindelig M&M og peanut-M&M. Kommenter grafen med brug af begrebet stikprøve. b) Formuler hypoteserne for en statistisk test hørende til den ovenstående undersøgelse. c) Udregn de forventede antal under antagelse af nulhypotesen H0 : Farve

Rød

Gul

Grøn

Orange

Brun

Blå

Forventet antal

d) Udregn χ2 -teststørrelsen, og find p-værdien. e) Er forskellen mellem de observerede og forventede antal signifikant på 5%niveau? På 1%-niveau? Hvad er din konklusion?

Opgave 9.9 For en bestemt storproducent af legetøjsbolde gælder, at diameteren af legetøjsboldene opfylder: Mindre end 20 cm

Mellem 20 cm og 22 cm

Over 22 cm

10 %

85%

En forsendelse på 200 legetøjsbolde stoppes i tolden. Fordelingen af diameteren af disse legetøjsbolde er: Mindre end 20 cm

Mellem 20 cm og 22 cm

Over 22 cm

28 stk

160 stk

12 stk

a) Gennemfør en hypotesetest for at undersøge, om forsendelsen kan stamme fra storproducenten. (Vejledende eksamensopgaver i chi-i-anden-fordeling)

Opgave 9.10 I et eksperiment krydser en studerende lyserøde blomster med hinanden. Ifølge arvelighedslovene skulle det forventede resultat være 25% røde, 50% lyserøde og 25% hvide. Resultatet af eksperimentet blev 236 blomster, der fordelte sig på farverne som vist i følgende tabel: Eksperimentets fordeling af 236 blomster på tre farver Farve Hyppighed

Rød

Lyserød

Hvid

115

120 Hvad er matematik? C, opgavebog

9. Bekræftende statistik

a) Beregn ud fra arvelighedsloven de forventede hyppigheder for de tre farver. b) Bestem χ2 -teststørrelsen for den hypotese, at forsøget er i overensstemmelse med arvelighedsloven. Skriv et forslag til hvilken konklusion, den studerende kan skrive i sin rapport, når der anvendes et signifikansniveau på 5%. (Vejledende eksamensopgaver i chi-i-anden-fordeling)

Opgave 9.11 I klageafdelingen i et firma modtager man klager pr. telefon. Firmaet har erfaring med, at klagebehandlingstiden pr. klage fordeler sig som angivet i nedenstående tabel. Antal minutter Andel af det samlede antal klager

0-5

5-10

10-15

>15

I alt

30 %

40 %

20 %

10 %

100 %

Ved en kontroloptælling i en bestemt måned viste det sig, at klagebehandlingstiden pr. klage fordelte sig som vist i tabellen nedenfor. Klagebehandlingstid

0-5

5-10

10-15

>15

I alt

Observeret

120

a) Hjælp firmaet med at opstille en nulhypotese, der kan testes. Undersøg dernæst, om man på et 5% signifikansniveau kan sige, at mønstret i klagebehandlingstiden har ændret sig. Kilde: www.business.aau.dk (Vejledende eksamensopgaver i chi-i-anden-fordeling)

Opgave 9.12 Ved folketingsvalget i 2007 fordelte stemmerne sig således: Parti Stemmer i %

Rad

Kons

Lib. All.

Kr. Dem.

25,5

5,1

10,4

13,0

13,8

26,3

2,2

2,8

0,9

Ved en meningsmåling med 968 respondenter foretaget af Greens Analyseinstitut 1/2 3/2 fordelte stemmerne sig således: Parti Stemmer i %

Rad

Kons

Lib. All.

Kr. Dem.

26,3

5,4

9,6

16,9

14,2

24,0

2,1

1,1

0,5

121 Hvad er matematik? C, opgavebog

a) Hvad er populationen, og hvad er stikprøven? Lav en tabel over de observerede antal stemmer og de forventede antal stemmer under nulhypotesen. b) Bestem teststørrelsen, der tester, om hypotesen skal accepteres eller forkastes, og afgør på et 5% signifikansniveau, om man kan sige, at stemmefordelingen har ændret sig. c) Det ser ud som om, at partiet SF har haft betydelig fremgang. Opstil en tabel inddelt efter SF og øvrige partier for såvel de observerede som de forventede værdier, og afgør med statistiske metoder, om SF’s fremgang er signifikant på 5% niveau. (Tillempet fra de Vejledende eksamensopgaver i chi-i-anden-fordeling)

9.2 Test af uafhængighed Opgave 9.13 I en større japansk undersøgelse af 11815 børn fokuserede man på en mulig sammenhæng mellem fædrenes rygevaner og børnenes køn (idet japanske kvinder stort set ikke ryger, er det kun mændene, der er interessante). Mændene blev opdelt i tre kategorier: ikke-ryger, ryger (under 20 cigaretter om dagen) og storryger (mindst 20 cigaretter om dagen). Man fandt da den følgende krydstabel: Fædres rygevaner/barnets køn

Dreng

Pige

Ikke-ryger

1975

1627

Ryger

577

559

Stor-ryger

2864

2911

a) Udvid tabellen, så den også omfatter totaler. Hvor mange mødre ryger i undersøgelsen? b) Konstruer cirkeldiagrammer og søjlediagrammer, der illustrerer fordelingen af de to køn som funktion af faderens rygevaner. Synes der at være en sammenhæng mellem faderens rygevaner og barnets køn? c) Undersøg påstanden om, at der er uafhængighed mellem fædres rygevaner og barnets køn med signifikansniveau på 5%. Kilde: Aksel Bertelsen: Statistik med matematik.

122 Hvad er matematik? C, opgavebog

9. Bekræftende statistik

Opgave 9.14 Echinacea menes at kunne stimulere immumforsvaret. I et eksperiment med Echinacea blev nogle testpersoner behandlet med placebo, andre med Echinacea i 20% ethanol og en tredje gruppe med Echinacea i 60% ethanol. Alle blev herefter udsat for rhinovirus. Følgende resultater blev registreret: Placebo

Echinacea 20 %

Echinacea 60 %

Forkølet

Ikke forkølet

a) Undersøg påstanden om, at det at få en forkølelse er uafhængigt af behandlingen med et signifikansniveau på 5%. Kilde: Elementary Statistics Using Excel, Mario F. Triola.

Opgave 9.15 I tidsskriftet Journal of the American Medical Association, vol. 295, no. 15 er der en artikel "Neuropsykologiske and renal effects of Dental Amalgam in Children", der beskriver et forsøg, hvor nogle fik en tandbehandling med amalgam og andre en med et kompositmateriale uden kviksølv. For alle blev det undersøgt, om de oplevede overfølsomhed i tænderne. Amalgam

Kompositmateriale

Oplevede overfølsomhed

Ingen overfølsomhed

231

239

a) Undersøg påstanden om uafhængighed mellem typen af tandbehandling og overfølsomhed i tænderne med signifikansniveau på 5%. Kilde: Elementary Statistics Using Excel, Mario F. Triola.

Opgave 9.16 I en undersøgelse blev en række tilfældigt udvalgte personer spurgt om årsagen til global opvarmning. Opdelt efter køn faldt svarene som: Menneskelig aktivitet

Naturlige årsager

Vidste ikke eller nægtede at svare

Mænd

314

146

Kvinder

308

162

123 Hvad er matematik? C, opgavebog

a) Undersøg påstanden om uafhængighed mellem køn og årsagen til global opvarmning med et signifikansniveau på 5%. b) Undersøg påstanden om uafhængighed mellem køn og årsagen til global opvarmning med et signifikansniveau på 1%. Kilde: Elementary Statistics Using Excel, Mario F. Triola.

Opgave 9.17 I artiklen "What Kinds of People Do Not Use Seat Belts?" af Helsing og Comstock fra tidsskiftet American Journal of Public Health, vol. 67, no. 11 er en række tilfældigt udvalgte personer blevet spurgt, om de bruger sikkerhedssele, og hvor meget de ryger. Antal cigaretter pr. dag 0

1-14

15-34

35 og over

Bruger sikkerhedssele

175

Bruger ikke sikkerhedssele

149

a) Undersøg påstanden om uafhængighed mellem brug af sikkerhedssele og cigaretforbruget med et signifikansniveau på 1%. Kilde: Elementary Statistics Using Excel, Mario F. Triola.

Opgave 9.18 I dagens politik spiller skattenedsættelser en stor rolle. Et stort antal lønarbejdere udspørges via et telefoninterview om deres holdning til en lønnedgang, der kompenseres med en skattenedsættelse: "Vil du acceptere en lønnedsættelse, hvis den kompenseres med en skattenedsættelse, således at reallønnen (købekraften) er uændret?" Svarene fordeler sig således på køn: Køn

Holdning

Observeret Kvinde

Mand

187

159

Nej

105

a) Fremstil tabellen grafisk i et passende diagram, og kommenter fordelingen for holdningen som funktion af kønnet.

124 Hvad er matematik? C, opgavebog

9. Bekræftende statistik

Observeret

Holdning

b) Færdigudfyld den følgende tabel:

c) Udregn tabellen for de forventede antal:

Køn Kvinde

Mand

187

159

Nej

105

I alt

Forventet

Køn Kvinde

Holdning

I alt

Mand

Ja Nej I alt

d) Udregn χ2 -teststørrelsen, og find p-værdien. e) Er forskellen mellem de observerede og forventede svar signifikant på 5% niveau? På 1% niveau?

Opgave 9.19 I en Gallupundersøgelse blev 234 kvinder og 257 mænd spurgt, om de var tilfredse med deres udseende i den forstand, at de anså sig selv som fysisk tiltrækkende for det modsatte køn. Hertil svarede (i afrundede procenttal) 71% af kvinderne, at de var tilfredse med deres udseende, mens 81% af mændene svarede, at de var tilfredse med deres udseende. a) Færdigudfyld det følgende skema: Selvopfattelse

Køn Kvinde

Mand

234

257

I alt

Tilfreds Utilfreds I alt

b) Fremstil tabellen grafisk i et passende diagram, og kommenter fordelingen af selvopfattelsen som funktion af kønnet. c) Hvor stor en andel af samtlige adspurgte er tilfredse? Utilfredse? d) Udregn χ2 -teststørrelsen og p-værdien. Er forskellen mellem de observerede og forventede svar signifikant på 5% niveau? På 1% niveau?

125 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 9.20 En forretningskæde vil undersøge, om farven på indpakningen af nye kartofler påvirker salget. Butikken sælger derfor i en periode poser med samme slags kartofler, alle med 2.5 kg/pose og til samme pris, men i poser med forskellig farve. Der bliver i alt sendt 600 poser kartofler ud i butikkerne, hvoraf 520 poser bliver solgt. Af de solgte poser er de 375 gule, og der er 55 gule poser tilbage. De øvrige poser er blå. a) Undersøg, om der er grundlag for at påstå, at farven på posen påvirker salget af kartofler. Du skal formulere de relevante hypoteser, kommentere på begreber som signifikansniveau og/eller p-værdi og forklare den anvendte metode.

Opgave 9.21 Antag, at en dyrlæge har fået en mistanke om, at hunde af racen labrador har en større tendens til at udvikle allergi end andre hunderacer. Gennem det sidste år er der i klinikken blevet registret følgende undersøgelser og resultater af allergi hos hunde: (Bemærk: Tallene er fiktive!)

Allergi

Race Labrador

Schæfer

Puddel

Andet

Ingen allergi

Mild allergi

Allergi

a) Opstil den relevante nulhypotese for at undersøge, om der er uafhængighed mellem hunderace og udvikling af allergi. b) Udregn tabellen med de forventede værdier. c) Vil det være rimeligt at bruge en χ2-fordeling til at vurdere teststørrelsen her? Hvis ikke, hvordan kan man så komme videre med undersøgelsen? d) Giver stikprøven grundlag for at sige, at der er forskel på risiko for at udvikle allergi for forskellige hunderacer?

Opgave 9.22 I en opinionsundersøgelse i X-købing er 500 personer blevet spurgt, om man er for eller imod de ændrede åbningstider i svømmehallen. For

Imod

Ved ikke

Sum

Kvinder

151

264

Mænd

115

236

Sum

266

149

500

126 Hvad er matematik? C, opgavebog

9. Bekræftende statistik

Det oplyses, at man har en hypotese om, at de to køn har samme indstilling. a) Udfyld, under antagelse af at hypotesen er sand, nedenstående tabel over den forventede fordeling. For

Imod

Ved ikke

Sum

Kvinder

264

Mænd

236

Sum

266

149

500

b) Bestem χ2 -teststørrelsen for den nævnte hypotese, bestem den tilsvarende pværdi, og kommenter resultatet. (Vejledende eksamensopgaver i chi-i-anden-fordeling)

Opgave 9.23 I en klinisk afprøvning af en bestemt type medicin på en bestemt alvorlig sygdom har man opdelt de lige behandlingskrævende patienter i to grupper A og B. Gruppe A får medicinen, mens gruppe B er kontrolgruppe, som derfor får placebo (fx kalktabletter). Ingen af grupperne ved, hvilken type behandling de får. Efter 6 måneders behandling undersøger man virkningen af behandlingen i hver af de to grupper, og resultatet af denne undersøgelse ses i tabellen nedenfor. Status efter 6 mdr.

Gruppe A

Gruppe B

I alt

Død

Overlevende

123

I alt

148

I det følgende antages, at der ikke er nogen sammenhæng mellem medicineringen og patienternes overlevelseschancer. a) Opstil en tabel over de forventede værdier for "Død" og "Overlevende" i de to grupper A og B. b) Undersøg, om medicineringen kan siges at have betydning for patienternes overlevelseschancer, når signifikansniveauet fastlægges til 5%? (Vejledende eksamensopgaver i chi-i-anden-fordeling)

127 Hvad er matematik? C, opgavebog

9.3 Skjulte variable Opgave 9.24 På et amerikansk universitet har man spurgt tilfældigt udvalgte studerende, om de har besluttet sig for deres hovedfag og om deres boligsituation. Bor på Campus

Bor ikke på Campus

Besluttet hovedfag

124

Ikke besluttet hovedfag

129

a) Undersøg påstanden om, at der er uafhængighed mellem beslutningen om hovedfag og boligsituationen med et signifikansniveau på 1%. De studerende kan deles op efter, om de er 1. delsstuderende eller 2. delsstuderende. For de 1. delsstuderende er fordelingen: Bor på Campus

Bor ikke på Campus

Besluttet hovedfag

117

Ikke besluttet hovedfag

b) Undersøg påstanden om, at der er uafhængighed mellem beslutningen om hovedfag og boligsitutionen med en signifikansniveau på 1%. For 2. delsstuderende er fordelingen: Bor på Campus

Bor ikke på Campus

Besluttet hovedfag

Ikke besluttet hovedfag

c) Undersøg påstanden om, at der er uafhængighed mellem beslutningen om hovedfag og boligsitutionen med en signifikansniveau på 1%. d) Hvad siger de to test fra b) og c) om testen fra a)?

128 Hvad er matematik? C, opgavebog

9. Bekræftende statistik

Opgave 9.25 I nedenstående tabel ses resultaterne af samtlige hjerteklapoperationer i 2007-08 ved Odense Universitetshospital (OUH) sammenlignet med resultaterne ved landets øvrige hjertecentre. Død inden for 30 dage efter operation

Overlevet de første 30 dage

OUH

206

De øvrige hjertecentre

1374

a) Undersøg på 5%-signifikansniveau, om dødelighed inden for 30 dage efter en hjerteklapoperation er ens ved OUH og de øvrige hjertecentre. b) Hvad ville resultatet være blevet, hvis vi havde valgt et signifikansniveau på 1%? Inddrag det statistiske begreb skjulte variable i din kommentar til resultatet. Kilde: www.si-folkesundhed.dk (Vejledende eksamensopgaver i chi-i-anden-fordeling)

Opgave 9.26 En klasse vil undersøge, om drikkevaner er uafhængige af køn. Drikkevanerne inddeles i tre grupper: drikker ofte, drikker en gang i mellem, drikker aldrig. Resultatet af elevernes undersøgelser fremgår af følgende tabel: 335 elevers fordeling på drikkevaner Drikker ofte

Drikker af og til

Drikker ikke

Pige

Dreng

180

264

218

335

a) Giver resultatet belæg for at antage, at drikkevaner er uafhængige af køn, når der vælges et signifikansniveau på 5%? b) Undersøgelsen kritiseres for, at inddelingen mellem "drikker ofte" og "drikker af og til" er uklar. Optil selv ud fra tallene en ny tabel over de 335 elever, hvor du kun anvender to inddelingskriterier, og undersøg, om man når til samme konklusion nu, som man gjorde i spørgsmål a). (Tillempet fra de Vejledende eksamensopgaver i chi-i-anden-fordeling)

129 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste Kapitel 0 0.1 Kan vi bevise det ?

Opgave 0.11 I trekant ABH er A = 67˚ og B = 23˚ I trekant BCH er B = 13˚

Opgave 0.1 C = 76˚

0.2 Kan vi beregne det ?

Opgave 0.2

Opgave 0.12

v kaldes stump, hvis vinklen er over 90˚. v kaldes spids, hvis vinklen er under 90˚.

Opgave 0.3 En trekant kaldes ligesidet, hvis alle tre sider er lige lange. En trekant kaldes ligebenet, hvis to af siderne er lige lange.

Opgave 0.4 Alle tre vinkler 60˚

Opgave 0.5

1 Rebet kan løftes 2⋅ π meter.

Opgave 0.13 a) 5050 b) Der er 100 tal i hver række. Summen af de to tal i hver søjle er 101, og summen er dermed 100 ⋅ 101 = 5050 2 c) Der er n tal i hver række. Summen af de to tal i hver søjle er n + 1, og summen er dermed n ⋅ ( n + 1) 2

Opgave 0.14

A = C = 54˚

Opgave 0.6 C = 56˚ og B = 68˚

Opgave 0.7 En vinkelhalveringslinje til en vinkel A er en linje gennem punktet A, som halverer vinklen. En højde er en linje gennem A, som står vinkelret på den modstående side til vinkel A.

Opgave 0.8 I trekant ACD er A = 20˚ og D = 96˚ I trekant ABD er A = 20˚, B = 76˚ og D = 84˚

Opgave 0.9

Vi kalder resultatet s og antal led for n. a) Vi ser, at s = n2. b) Vi postulerer, at 1 + 3 + . . . + (2n – 1) = n2, hvor n er et naturligt tal.

Opgave 0.15 a) Man ser, at både 2 og 3 er divisorer i n3 – n, når n er 2,3 eller 4. b) Resultatet ovenfor kan generaliseres til, at 2 og 3 er divisorer i n3 – n, hvor n er et naturligt tal.

Kapitel 1

I trekant ACD er A = 15˚, C = 32˚ og D = 133˚ I trekant ABD er A = 15˚ og B = 118˚

1.3 Uafhængig og afhængig variabel

Opgave 0.10

Opgave 1.2

I trekant ABH er B = 62˚ I trekant BCH er B = 10˚

Sæt x = antal SMS'er på en måned og y = pris i kroner for en måned. Så er y = 0,01x + 49.

130 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste

1.4 Koordinatsystemet Opgave 1.4 b) Ved indsættelse ses, at punkterne (–4,–1) og (5,8) ligger på grafen.

Opgave 1.5 a) x-koordinaten til skæringspunkterne er –5,1 og 3. b) Grafen for g ligger over grafen for f i intervallerne ] − ∞, −4[ og ]1, 3[

Opgave 1.11 a) Det aflæses, at prisen er den samme for de to transportfirmaer ved 40 km. c) Det kan bedst betale sig at bruge Straks, hvis transportafstanden er mindre end 40 km, og UdenForsinkelse, hvis transportafstanden er mere end 40 km.

Opgave 1.12 b) y-værdien ændres med 3, hver gang x-værdien ændres med 2.

Opgave 1.6

Opgave 1.13

y-værdierne svarende til de fem x-værdier aflæses til 1,2,4,8 og 16. Det ses, at y-værdierne fordobles, hver gang x-værdien stiger med 1.

b) Det ses, at y ændres med henholdsvis –1,0 og 2, når x ændres med 1.

Opgave 1.7

Antal passagerer i 1000

1.5 De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge

Opgave 1.14 250000 Serie 2

200000 150000 100000 50000

Serie 1

Sæt x = år efter 1985 og y = antal adoptioner fra Sydkorea. Det ses, at y-værdierne stiger i intervallet [0,1] og antager deres maksimale værdi på 465. Herefter falder y-værdierne til en værdi på 25 med undtagelse af en lille stigning omkring x = 10

Opgave 1.16

Opgave 1.8

Opgave 1.18

Sæt x = år efter 1901 og y = antal skilsmisser om året. Det ses, at y-værdierne stiger i intervallet [0,44], hvorefter y med god tilnærmelse er konstant i intervallet [44,67]. y-værdierne vokser så igen i intervallet [67,72]. Herefter svinger yværdierne tiden ud.

c) Man ser, at når x vokser med en, fordobles 2 x, mens 2x vokser med 2.

1.6 Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge

Man opdager den lineære sammenhæng y = –4x + 29

Opgave 1.10 Sæt x = antal poser rosinboller og y = antal kroner brugt på rosinboller. Så er y = 16,95x

5 6 7 År efter 1999

c) Man ser, at når x vokser med en, vokser x2 med 2x + 1, mens 2x vokser med 2.

Opgave 1.19 Man opdager proportionaliteten y = 4x

Opgave 1.20

Opgave 1.24 Sæt x = månedligt vandforbrug i kubikmeter og y = samlede udgifter til Vandcenter syd. Så er y = 41,75x + 600

131 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 1.25 Sæt x = år efter 1999 og y = antal medlemmer af Dansk Tennisforbund. Så er y = –2100x + 77688

1.7 Lineær regression Udklækningstid i timer

Opgave 1.30 25 20

f) Da punkterne med god tilnærmelse ligger på en ret linje, kan sammenhængen ovenfor beskrives ved en lineær model. g) Hældningen viser, at toget i gennemsnit bruger 1,31 minut på at køre én kilometer. h) For det andet tog bliver den tilsvarende sammenhæng y = 1,06x – 0,3. Det andet tog bruger 1,06 minut pr. kørt kilometer og derfor ikke overraskende kører hurtigere end det tog, der stopper ved alle stationer.

Opgave 1.34

15 10 5

100 150 Luftfugtughed i procent

c) Det aflæses, at U = –0,1274L + 29,29 d) Man kan forvente en udklækningstid på 19,1 time ved en luftfugtighed på 80%. e) Luftfugtigheden skal være 72,9%, for at udklækningstiden bliver 20 timer.

Opgave 1.31 a) Sæt x = år efter 1994 og y = forbrug i mio. kg. Så er y = 1,125x + 296,6. b) b-værdien fortæller os, at forbruget af kartofler var 296,6 mio. kg i 1994, mens a-værdien fortæller os, at forbruget er vokset med 1,13 mio. kg om året i perioden 1994-2004. c) Forbruget vil være 314,6 mio. kg i 2010. d) Forbruget af kartofler vil være på 320 mio. kg i år 2015.

Opgave 1.32 d) Sæt x = antal kørte km og y = benzinforbrug i l. Så er y = 0,1027x + 0,0215 e) Hældningen viser, at man bruger 0,1027 liter benzin pr. kørt kilometer. Det fortæller os, at bilen kører 9,7 km på literen.

a) y = 227,5x + 5,38 b) r 2 = 0,96 c) Punkterne beskrives godt med en lineær sammenhæng.

Opgave 1.35 a) y = 9,92x – 21,0 b) r 2 = 0,88 c) Punkterne beskrives nogenlunde med en lineær sammenhæng.

Opgave 1.36 a) y = 2,10x 5,41 b) r 2 = 0,92 c) Punkterne beskrives nogenlunde med en lineær sammenhæng.

Opgave 1.37 a) y = 2,16x + 4,99 b) Punkterne beskrives dårligt med en lineær sammenhæng.

Opgave 1.38 a) y = 2,17x + 5,19 b) Punkterne beskrives dårligt med en lineær sammenhæng.

Opgave 1.33 e) Sæt x = tilbagelagt strækning målt i km og y = køretid i minutter. Så er y = 1,31x – 0,3

132 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste

1.8 Lineære funktioner y = ax + b

Opgave 1.47

Opgave 1.39

a) 6 b) 33 c) 3k

a) Linjen k er givet ved y = -3x-5, linjen l er givet ved y = –0,5x + 2, linjen m er givet ved 3 y = x − 1, og linjen n er givet ved y = 2x + 1 4

Opgave 1.48

b) Punktet (2,5) ligger på grafen for n, og punktet (–10,7) ligger på l.

a) 2a b) 11a c) ka

Opgave 1.40

Opgave 1.49

a) Sæt x = dybde i km under jorden og y = temperatur x km under skorpen. Så er y = 12x + 20, hvor 0 ≤ x ≤ 40

a) 7 b) 50 3 c)

Opgave 1.41 a) If. modellen var omsætningen på 105 mia. kr. i 2000 og voksede med 2,5 mia. kr. om året hvert år indtil 2004.

l 3

Opgave 1.50 a)

21 a

50 a

Efter fem minutter er vandhøjden 20 cm. Sammenhængen fortæller os, at vandhøjden til at begynde med er 10 cm og derefter vokser med 2 cm i minuttet.

l a

Opgave 1.44

Opgave 1.52

a) I ni meters dybde er trykket 1,896 bar. Trykket er 2 bar i 10,2 meters dybde. b) Sammenhængen giver, at trykket ved overfladen er 1,113 bar og øges med 0,087 bar for hver meter under overfladen.

a = 3 og b = –1

Opgave 1.43

Opgave 1.45 a) Funktionen giver os, at der var 650584 sengedage i 1978 og derefter er faldet med 9959 sengedage om året.

b = 10

Opgave 1.53 a) y = –3x – 3 b) Grafen skærer y-aksen i punktet (0,–3). c) Grafen skærer x-aksen i punktet (–1,0).

Opgave 1.54 a)

6700 = 2233, 3 3

b) Dette fortæller, at antallet af spilleautomater er vokset med 2233,3 maskiner om året i perioden 2003-2006. c) Der vil være 31200 spilleautomater i Danmark i 2009. d) Der vil være mere end 40.000 spilleautomater i Danmark i 2013.

Opgave 1.46 a) b) c) d) e)

Opgave 1.51

4,5 22,5 a 5a ka

133 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 1.55

Opgave 1.61

a) a = 255 og b = 1250. b) a-værdien fortæller, at det foruden startgebyret koster 255 kr. pr. kubikmeter stabilgrus. c) Man skal købe mere end 11,1 ton stabilgrus, før den første vognmand er billigst.

a) Sæt x = år efter 1963 og f(x) = testtal. Så er f(x) = –2,169x + 502,0 b) Af regneforskriften fremgår, at testtallet i 1963 var 502 og derefter er faldet med 2,17 point om året. Ifølge modellen burde testtallet i 1980 være 465. Det faktiske tal var 466, og dermed stemmer modellen godt overens.

Opgave 1.56 a) a = 3689,75 og b = 35359. b) Ifølge modellen vil der være 57497 daglige antal personrejser i 2007. Det virkelige tal på er 67159 er væsentligt højere, hvorfor modellen ikke passer godt så langt ude i fremtiden.

Opgave 1.57 Sæt x = år efter 2006 og y = antal manglende SOSU. Så er y = 3000x + 8000

1.9 Notation Opgave 1.58 a) f(0) og f(10) giver os y-koordinaterne til punkterne på grafen med x-koordinat 0 og 10. b) g(x) = 32 og g(x) = 0 giver os x-koordinaterne til punkterne på grafen med y-koordinat 32 og 0. c) f(x) = g(x) giver os x-koordinaten til skæringspunktet mellem graferne for f(x) og g(x).

Opgave 1.59 b) f(x + 1) – f(x) = 5 giver os, at y-koordinaten vokser med 5, når x vokser med 1. c) f(x + 2) – f(x) = 10 giver os, at y-koordinaten vokser med 10, når x vokser med 2. d) f(x + k) – f(x) = 5k giver os, at y-koordinaten vokser med 5k, når x vokser med k.

Opgave 1.60 a) Sæt t = alder i år og L(t) = længde i cm. Så er L(t) = 37,47t + 273,56 b) Modellen giver, at en spækhugger, når den fødes, er 273,56 cm lang og vokser med 37,47 cm om året. En spækhugger skal være 12 år gammel, før den bliver 7 m lang.

Opgave 1.62 a) Sæt x = år efter 1987 og f(x) = antal svært overvægtige. Så er f(x) = 12149,1x + 253896. b) Ifølge modellen vil der være 557624 overvægtige i 2012.

Opgave 1.63 a) Sæt t = år efter 1981 og W(t) = Verdensrekord i sekunder. Så er W(t) = -8,188t + 7688 b) Modellen viser, at verdensrekorden siden 1981 hvert år er blevet forbedret med 8,2 sekunder. Man kan, hvis denne udvikling holder, forvente, at man løber under to timer i 2041.

Opgave 1.64 a) f(5) = 25, og ligningen har løsning x = –2  7 29  b) Graferne skærer i punktet  ,  6 3 

Opgave 1.65 a) Ligningen har løsningen x = 300. Dette betyder, at x-koordinaten til skæringspunktet mellem de to linjer er 300.

Kapitel 2 2.2 Numeriske variable – beskrivelse af datamateriale Opgave 2.1 Den mindste værdi i datasættet er 9, og den største er 18. 25% af observationerne er 11,5 eller mindre. 50% af observationerne er 13,5 eller mindre. 75% af observationerne er 17 eller mindre.

134 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste

Opgave 2.2

Opgave 2.9

b) Kvartilsæt (32;45;52,5) og middeltal 43,8. c) Da medianen ligger tæt på middeltallet, er der tale om en jævn fordeling.

a) Udvidede kvartilsæt til hver er (30,32,45,66,100), (40,40,50,60,60) og (10,25,50,60,60). b) Der er ikke outliers i nogen af de tre datasæt. c) Datasættet B er symmetrisk. d) Datasættene A og C er venstreskæve.

Sæt μ = gennemsnit, Q1 = nedre kvartil og Q3 = øvre kvartil. Heraf ses, at μ er vokset fra 1350 kr. i 2002 til 1550 kr. i 2005, hvorefter den er faldet til 1400 kr. i 2008. Q1 er konstant 2002-2004 og vokser herefter omkring 1250 kr., men vokser 2004-2006 til 1450 kr. Q3 er vokset støt fra 800-900 kr. i perioden 2002-2006. Heraf ses, at der har været en mere effektiv brug af personalet i perioden 2002-2005, hvorefter der har været et fald. Da både Q1 og Q3 er steget i perioden, betyder det, at nogle butikker, som solgte meget godt eller meget skidt, har klaret sig værre i perioden 2005-2006, så gennemsnittet er faldet trods vækst i de almindelige butikker.

Opgave 2.5

Opgave 2.10

Opgave 2.7

a) Middeltallet er 8,31 kr., og medianen er 8,15 kr. b) Priskrigen viser, at kvartilsbredden er faldet fra lidt over 4 til lidt over 2. Dvs. priserne er blevet mere ensartede. Desuden ses, at 75% af butikkerne har sænket prisen til under den laveste pris før priskrigen. Tingene er altså blevet noget billigere.

Opgave 2.3 a) Udvidede kvartilsæt er (1,3,5,6,10) og middeltal er 4,9

Opgave 2.4

19 a) Middeltallet er 4 b) Datasættet er ikke symmetrisk.

a) Jens fik 02 b) Medianen er 4, hvilket betyder, at 50% af eleverne fik 4 eller mindre, og 50% af eleverne fik 4 eller mere.

Opgave 2.8 a) Man ser, at FCK er en afvigende observation. b) Medianen er 30 millioner, hvilket fortæller, at 6 af klubberne brugte 30 mio. eller mindre, og 6 klubber brugte 30 mio. eller mere på spillere.Middeltallet er 39,5, hvilket viser, at fordelingen er højreskæv. c) Hvis x = spillerbudget i mio. og y = antal point, giver lineær regression, at y = 0,3060x + 33,58. Tegner man punkter og tendenslinjen (gør det), kan man se, at HB Køge underpræsterer markant, mens OB fik flere point, end man kunne forvente.

Opgave 2.11 a) Det udvidede kvartilsæt er (44,50,56,62,64). b) De to boksplot viser, at alle tal i fempunktsopsummeringen er faldet fra 2006 til 2008. Dog ikke mere, end at de ikke stadig ligger under den forrige deskriptor fra boksplottet fra 2006. For kvartilsættet er faldet ca. 3, mens maksimum og minimum er faldet hhv. 8 og 6 mål. Antal scorede mål pr. kamp er generelt lavere til EM 2008 end til EM 2006.

Opgave 2.12 b) De to nedre kvartiler viser, at skytterne er under 14 mm i 25% af de to skud, til gengæld er medianen for person 1 = Øvre kvartil for person 2. Dette viser, at hvor person 2 er 24 mm eller derunder i 75% af skud, er person 2 24 mm eller mere væk fra centrum i 50% af

135 Hvad er matematik? C, opgavebog

tilfældene. Man må derfor konkludere, at person 2 er en mere stabil skytte – også selv om minima viser, at person 1 har haft det bedste enkeltskud.

Opgave 2.13 a) Kvartilsættet er (20,5;26,5;29,5). b) Kvartilsættet er (25,5;36;50,5). c) Kvartilsbredderne på 9 og 25 viser, at McGwire har mere svingende resultater. Sammenlignes nedre kvartil med medianen ses det, at Mcgwire i 75% af sæsonerne har scoret mindst 25,5 homeruns, mens Murray i 50% af sæsonerne højst har scoret 26,5 homeruns. Samtidig ses, at McGwires median på 36 ligger over Murrays maksimum, hvilket viser, at McGWire i mindst halvdelen af sæsonerne har været bedre end Murray, da han var på toppen. Selv om han ikke er helt stabil, må man derfor konkludere, at McGwire er den bedste baseballspiller.

2.3 Numeriske variable - beskrivelse af store datasæt Opgave 2.18 a) 172,2 b) 173,96

nelse og arbejde, hvorefter de har sparet nok sammen til at kunne flytte til Nordsjælland.

Opgave 2.23 a) Medianen er 43,2, hvilket viser, at halvdelen af deltagerne på diplomlederuddannelsen er 43,2 år eller derunder. b) Der er flest (28%) deltagere i aldersgruppen 40-45.

Opgave 2.24 12,16% af mødrene var fyldt 37.

Opgave 2.25 a) Kvartilsættet er (32,37,42). b) 11% af pigerne var i god form.

Opgave 2.26 b) Kvartilsættet er (32,7;42,9;51,67). Nedre kvartil viser, at 25% af motorcykelejerne var 32 år eller derunder.

Opgave 2.28 a) Der var 14, som brugte mellem 160 og 200 kr. b) Gennemsnittet er 84,7, og medianen ligger under 80, dvs. gennemsnittet er størst.

Opgave 2.29 b) 42% havde en hvilepuls på 57 eller derunder.

Opgave 2.19 a) Middeltallet er 91,2 g.

Opgave 2.20 b) Middeltallet er 150 kr.

Opgave 2.21 a) 49 personer brugte 10-15 minutter pr. dag på at læse gratisaviser. c) De adspurgte brugte i gennemsnit 13,1 minut om dagen.

Kapitel 3 3.2 Skalering, målestoksforhold og ligedannethed Opgave 3.1 a) 30 km b) 50 cm

Opgave 3.2 a) Afstanden er 20, 40 og 80 cm. b) Kortet med 1:100000 giver flest detaljer.

Opgave 2.22 Det ses, at der er klart flere i alderen 20-40, som bor i København. For de andre aldersgrupper er andelen større i Hillerød. Dette viser vel, at folk bor i København, mens de fokuserer på uddan-

Opgave 3.3 a) 18x26 cm b) 69%

136 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste

Opgave 3.4 a)

h2 =3 h1

TABC =9 TA1B1C1

Opgave 3.17 a = 9,5

Opgave 3.18 I) ∠A = 60º, a = 7,4 og b = 4,25 II) ∠A = 50º, a = 5,0 og b = 4,2

Opgave 3.5 Diameteren i cirkel 2 er 16.

Opgave 3.19

Opgave 3.6

I) ∠A = 40º, a = 7,3 og b = 4,7 II) ∠F = 65º, e = 5,5 og f = 5,0

Omkredsen er 40.

Opgave 3.20

3.3 Ensvinklede trekanter

I) ∠B = 55º, ∠C = 35º og b = 5,6 II) ∠D = 45º, ∠F = 45º og e = 7,1

Opgave 3.7

Opgave 3.21

a) k = 3 b) AC = 4 og DE = 18

a) AB = 9,1 og A = 23,2° b) hc = 3,3

Opgave 3.8

Opgave 3.22

c = 50 og b1 = 3000

AC = 8,4

Opgave 3.9

Opgave 3.23

B1C1 = 12 og AB = 4

a) AB = 147,2 cm og DE = 85 cm b) C =120º, D = 60º

Opgave 3.10

Opgave 3.24

P1Q1 = 23,4

a) AB = 21,5 m og B = 21,8º b) B = 15,7º

Opgave 3.11 AB = 840 m

Opgave 3.25

Opgave 3.12 BC = 7,78 m

a) C =29,9º og AH = 15,0 b) A =101,1º

Opgave 3.13

Opgave 3.26

3.5 Beregning i retvinklede trekanter Opgave 3.15 c = 12,5

a) BC = 130,1 cm og AB = 191,1 cm b) E =51,6º

Opgave 3.27 a) BH = 35,0 m b) Arealet er 519,4 m2

Opgave 3.28

Opgave 3.16

a) v =25,8º b) TABC = 12,8

b = 18,7

137 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 3.29

Opgave 4.3

a) A = 17,4º b) CD = 3,2 m

a) Fremskrivningsfaktorerne er 1,11;1,52;1,89;2,57.

Opgave 3.30

Opgave 4.4

a) A = 60º b) BE = 60,6 cm og arealet af bordpladen er 6365,3 cm2

a) Fremskrivningsfaktorerne er 0,89;0,48;0,11;0,98

Opgave 4.5

Opgave 3.31

Startbeløbet var 956,63 kr.

a) BC = 11,5 m b) CD = 1,05 m

Opgave 4.6 Startbeløbet var 5,91 kr.

Opgave 3.32

Opgave 4.7

AB = 129,1 m

Den årlige rente var 100%

3.6 Geometri – udfordrende opgaver

Opgave 4.8

Opgave 3.33

Opgave 4.9

Der er 11,3 km til horisonten og 36,5 km fra skibet til klinten.

Det ses, at K3 = 1728 og K4 = 2073,6. Det tager derfor 4 år at spare de 2000 kr. op.

Opgave 3.34

Opgave 4.10

Arealet af trekanten er 400.

Det ses, at K11 = 2853,1 og K12 = 3138,4. Det tager derfor 12 år at spare de 3000 kr. op.

Kapitel 4

Opgave 4.11

4.2 Eksponentiel vækst og procentregning

Den årlige rente var 17,46%

a) Slutprisen var 545, r = 60%, K0 giver i kroner 1425,60. b) r = 9,05%, n = 4,25, K0 = 8352,6 og K12 = 3018,3, K3 = 843,0, K0 = 644,9

Opgave 4.1

Opgave 4.12

a) 19,45,72, 1,02;1,0595;1,4. p% b) p% = (a – 1) · 100% og a = (1 + ) , hvor a 100 er tallet, der skal ganges med.

Den årlige procentvise stigning i bevillingerne var 7,60 %

Opgave 4.2 a) 81,55,28, 0,98;0,945;0,6. b) p% = (1 – a) · 100%, hvor a er tallet, der skal p% ) , hvor a er ganges med, og a = (1 − 100 tallet, der skal ganges med.

Opgave 4.13 a) I Kina vil BNP pr. indbygger være på 20023 $ i 2020. b) USA og Kina vil have samme BNP pr. indbygger i 2037.

138 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste

Opgave 4.14

Opgave 4.24

c) Ifølge modellen er den udvundne vindenergi på 48,5 GW i 2007. d) Den årlige vækstrate i 2000-2007 er 36,98%.

x = måned siden januar og y = salg af stykker juice. Så er y = 5432 · 1,095x, hvor 0 ≤ x ≤ 12

4.4 Eksponentialfunktionerne y = b · ax og deres grafer

x = måned siden januar og y = salg af aviser. Så er y = 20000 · 0,977x, hvor 0 ≤ x ≤ 12

Opgave 4.15

4.5 Eksponentiel regression fra tabel til graf og formel

1) lilla 3) gul

2) blå 4) rød

Opgave 4.18 a) x = tid i timer og y = antal bakterier. x Så er y = 1000 ⋅ 2 b) Der er 3363 bakterier efter 3,5 time. c) Det tager 6,64 time, før antallet af bakterier er tidoblet.

Opgave 4.19 a) Befolkningen i Florida vokser med 23,46% i perioden 1990-2000. Hvis væksten fortsætter, vil befolkningstallet være 18,52 mio. i 2007. b) New York og Florida vil have samme antal indbyggere i 2011.

Opgave 4.25

Opgave 4.26 a) f(x) = 6,532 · 1,113 x b) DHN vil være 11,138 mia. i 2007 og T2 = 6,5 år.

Opgave 4.27 a) P0 = 7,26 og a = 1,4702 b) I 2008 vil der blive udvundet 223,0 MW solenergi i Spanien. Man vil udvinde 400 MW i 2010.

Opgave 4.28

Opgave 4.20

a) P0 = 1092,3 og a = 1,0283 b) BNP vil jævnføre modellen være 1526,1. Det faktiske tal på 1638 er noget over, dvs. væksten er blevet kraftigere efter 2000, end modellen forudså.

a) Angola havde en befolkning på 14 mio. i 2000, som vil vokse med 2,3% om året.

Opgave 4.29

Opgave 4.21 g og k er voksende funktioner, da deres fremskrivningsfaktorer er større end 1. f(x) = 10 · 1,20x

Opgave 4.22 f er aftagende, da hældningskoefficienten er negativ. g er voksende, da fremskrivningsfaktoren er større end 1, og h er aftagende, da fremskrivningsfaktoren er mindre end 1.

Opgave 4.23

a) N0 = 542,0 og a = 1,2975 b) a fortæller, at antal børn behandlet for ADHD er vokset med 29,75% om året i perioden 1997-2007. Der vil ifølge modellen være 16009 børn, som skal behandles for ADHD i 2010.

Opgave 4.30 a) P0 = 3615,5 og a = 1,2704 b) Antallet af pendlere er vokset med 27,04% i perioden 2001-2007. Ifølge modellen vil 31153 pendle i 2010.

x = år siden 2005 og y = antal producerede enheder. Så er y = 126000 · 0,97x

139 Hvad er matematik? C, opgavebog

4.6 Udregning af regneforskrift ud fra to punkter Opgave 4.31 a) Der vil i en eksponentielt aftagende model være en fosforkoncentration på 25,7 i 2010. b) Der vil i en lineært aftagende model være en fosforkoncentration på –54,6 i 2010. Dette giver ikke mening, da en koncentration aldrig er et negativt tal.

Opgave 4.32

Opgave 4.33

Opgave 4.41 T2 = 92,0 år, og der vil gå 184,0 år, før massen af klumpen er 0,5 g.

Opgave 4.42

Opgave 4.43

f(x) = 25 · 2 x

a) x = år efter startåret og y = population. Så er y = 25000 · 1,021x b) T2 = 33,35 år.

Opgave 4.34 1 x ⋅3 27

4.7 Fordoblings- og halveringskonstanter Opgave 4.37 a) T2 = 25 år. b) Fordoblingskonstanten afhænger kun af fremskrivningsfaktoren og er derfor uafhængig af startkapitalen, som svarer til begyndelsesværdien.

Opgave 4.38 a) b) c) d) e)

a) T2 = 10,55 år. b) Der blev ført tilsyn med 297 retspsykiatriske patienter i 1980. Herefter er antallet vokset med 6,79% om året.

a) x = år efter 1996 og y = antal diabetikere i Danmark. Så er y = 113570 · 1,071x b) T2 = 10,11 år.

f(x) = 5 · 2 x

f( x) =

Opgave 4.40

Opgave 4.44 a) x = år efter startåret og y = population. Så er y = 35000 · 1,019x b) T2 = 36,83 år.

Opgave 4.45 P0 = 50381,2 og a = 1,5932. t = år efter 2006 og P = IT-trafik pentabytes. Så er P(t) = 31692 · 1,49t og T2 = 1,74 år.

Opgave 4.46 a)

b= 3 og a = 1,0180 Den gennemsnitlige årlige vækstrate var 1,80%. Verdens befolkning er på 15 mia. i 2051. Verdens befolkning fordobles på 38,9 år. f(x) = 3 · e0,018x

Opgave 4.39

T1 = 31, 02 timer. 2

b) Efter 24 timer er der 87,73 mg antidepressivt stof i blodet. c) a = 0,9779 fortæller, at mængden af antidepressivt stof i blodet falder med 2,1% i timen.

Opgave 4.47

f(x) = 104,5 · 0,9854

a) f(x) = 500,0 · 1,2000x b) T2 = 3,80

Opgave 4.48 T2 = 3

140 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste

4.8 Eksponentielle sammenhænge – udfordrende opgaver Opgave 4.49 a) y vokser med 69% b) y vokser med 1692,2% c) y vokser med (1,3k – 1) · 100%

Opgave 4.50 a) y vokser med (a2 – 1) · 100% b) y vokser med (a11 – 1) · 100% c) y vokser med (ak – 1) · 100%

Opgave 4.51 a) Der er lagt 1,55 til x. b) Der er lagt 3,02 til x. 1+ p c) Der er lagt ln( ) til x, hvor p er omskrevet 1, 3 til decimaltal.

Opgave 4.52 1, 5 a) Der er lagt ln( a ) til x. 2, 21 ) til x. b) Der er lagt ln( a 1+ p ) til x. c) Der er lagt ln( a

Opgave 4.57 a) b) c) d)

b = 8000 a =1,0150 Den årlige vækstrate er 1,50% Skovarealet fordobles på 46,59 år. 15 år.

Opgave 4.58 a) x = meter lysstrålen kommer ned i vandet, I0 = oprindelig intensitet, I = Intensitet x meter nede. I = I0 · 0,85x b) Lysstyrken er 3,88% af den oprindelige intensitet 20 meter nede. c) Lysstyrken er 30% af den oprindelige intensitet 7,4 meter nede.

Opgave 4.59 a) t = år efter starttidspunkt I = procentdel af den isotopen I = 100 · 0,9999t b) Sæt x = t og y = I så y = 100 · e –0,000121t c) Fossilet er 20879 år gammelt.

Opgave 4.60

a) Efter 20 minutter er stegens indre 50,1ºC.

Halveringstider er 30,0 år, 14,3 dag og 3,1 dag. k er –0,0004281/år, -0,0866/dag og –0,2231/min. Henfald er 0,04%, 2,28%, 4,72% og 8,30%. Tidspunkt, hvor der er 1% tilbage: 11511 år, 200 år, 96 dage, 54 dage og 21 minutter.

Opgave 4.54

Opgave 4.61

a) Der går 10,1 minutter før teen er 60 ºC. b) Temperaturen af teen falder eksponentielt, til den rammer 18ºC, hvorefter den flader ud og stabiliserer sig omkring stuetemperaturen.

a) x = år efter starttidspunkt og y = antal dyr. Så er I = 300 · 1,0420x b) Vækstraten er 4,20% om året. c) Der går 16,87 år, før populationen er fordoblet. d) Der går 43,60 år før populationen er seksdoblet.

Opgave 4.53

Opgave 4.55 a) Væsken er 41,3ºC efter 1 en time. Det er en konstant plus en eksponentielt aftagende funktion, dvs. T nærmer sig 21, når t bliver stor. 21 er altså den temperatur, væsken vil nærme sig efterhånden, som den afkøles. b) Der vil gå 1,76 time, før væsken er 30 ºC.

Opgave 4.56 a) Der er 1000 individer efter 37 døgn.

Opgave 4.62 a) P(t) = 1200 – 1000 · e –0,0511t b) Kan ikke besvares generelt.

Opgave 4.63 a) T(t) = 19 + 81 · e –0,1997t b) Kaffen er 20,5ºC efter 20,0 minutter. c) Kaffen er afkølet til 30ºC efter 10,0 minutter.

141 Hvad er matematik? C, opgavebog

Kapitel 5 5.2 Potensfunktioner y = b · xa og deres grafer

Opgave 5.9 a) b = 185,90 og a = 1,0602 b) Vores kondiløbers tid på en maraton er 2 timer, 43 minutter og 47 sekunder.

Opgave 5.1 1) 2) 3) 4) 5) 6)

b = 10 og a = 4,5 b= 0,01 og a = 1, 3 b = 2 og a = -4, 4 b=1 og a = -5 b = 19 og a = 6 b=4 og a = 0

Opgave 5.2

5.4 Hvad er karakteristisk for potenssammenhænge? Opgave 5.10 f(x) vokser med 717,2%

Opgave 5.11

f: a < 0, g: 0 < a < 1, h: a > 1 og i: a = 1

De procentvise ændringer er 154,;12,2;26,6;56,0 og 221,9

Opgave 5.3

Opgave 5.12

Aflæses som y-koordinat til punktet (1,f(1)) osv.

De procentvise ændringer er –5,1;–15,8; 1686,9, 210,5 og 31,05

Opgave 5.4 E = energiproduktion og v = vindens hastighed. Så er E = k · v3, hvor k er en konstant.

Opgave 5.13 f(x) vokser med 2049,4%

Opgave 5.5

Opgave 5.14

Variable: M: vægt, l: længde af lårben. Model: M = k · l3

De procentvise ændringer er 8,72;2,5;15,8;22,1 og 32,4

Opgave 5.6

Opgave 5.15

Variable: t: tid, f: fart. Model: t = k · f –1

De procentvise ændringer er –8,5;–22,1;9,9;29,8;8,7

5.3 Potensregression – fra tabel til graf og formel Opgave 5.7 a) b = 31,62 og a = 0,5000 b) M vokser med 22,47% når x vokser med 50%

Opgave 5.8 a) b = 0,000564 og a = 3,382 b) En torskelarve på 7,5 mm vejer 0,51 mg, og en torskelarve med en vægt på 0,60 mg er 7,85 mm lang.

Opgave 5.16 a) y vokser med 8,67% b) y vokser med 55,0% p   c) y vokser med  (1 + x )4,2 − 1 ⋅ 100%   100

Opgave 5.17 2 a   a) y vokser med  (1 + ) − 1 ⋅ 100%   100 11 a  b) y vokser med  (1 + ) − 1 ⋅ 100%   100 p   c) y vokser med  (1 + x )a − 1 ⋅ 100%   100

142 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste

a) x vokser med 10,1 %

5.6 Potenssammenhænge – udfordrende opgaver

b) x vokser med 20,8 %

Opgave 5.28

Opgave 5.18

  p c) x vokser med  4,2 1 + y − 1 ⋅ 100% 100  

Opgave 5.19 



a) x vokser med  a 1 + − 1 ⋅ 100% 100 

    121 b) x vokser med  a 1 + − 1 ⋅ 100% 100     py c) x vokser med  a 1 + − 1 ⋅ 100% 100  

5.5 Udregning af regneforskrift ud fra to punkter Opgave 5.20 a = 4 og b = 0,25

Opgave 5.21

Variable: v: hastighed, l: bremselængde. Model: l = 0,0067 · v2

Opgave 5.29 Variable: p: entrepris, A: tilskuerantal. Model: A = 5562,0355 · p–0,5799

Opgave 5.30 a) w = 1225,6 g. b) w = 4,64 g.

Opgave 5.31 a) b = 0,47, og overfladearealet af en sø med seks fuglearter er 26400 m2. b) k = 1,78. Dette betyder, at når overfladearealet tidobles, vil antallet af fuglearter vokse med 216%.

a = 3 og b = 0,25

Opgave 5.22 a) W(L) = 0,00738 · L3,37 b) En aborre på 100 g er 16,8 cm lang.

Kapitel 6

Opgave 5.23

6.2 Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

En flyvefærdig unge på 0,1 kg er 26 døgn gammel. En unge som er 27 døgn gammel vejer 0,13 kg.

Opgave 6.1 b)

Opgave 5.24

a = 3 og b = 1,5

( x)

= x for x ≥ 0

x 2 =| x |

Opgave 5.25

e) f(x) = x2 og g( x ) = for x ≥ 0

b = 0,47, og overfladearealet af en sø med seks fuglearter er 26400 m2

Opgave 6.2

x er inverse funktioner

a) En 30 mm lang hundestejle vejer 290,9 mg. b) En hundestejle på 1000 mg er 46,8 mm lang.

b) log(10x ) = x d) 10log(x) = x for x > 0 e) f(x) = 10x og g(x) = log(x) er inverse funktioner for x > 0

Opgave 5.27

Opgave 6.3

a = 0,2 og b = 201

a) log(5) b) log(40) c) 4log(2)

Opgave 5.26

143 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 6.4

6.3 Sammenhængen mellem ax og ekx

a) 5log(5) b) log(120) c) 11log(2)

Opgave 6.13

Opgave 6.5

a) g er voksende, da a > 1 b) g(x) = 5 · e0,2123x

a) 9log(x) b) log(x) c) 3log2 + 2logx

Opgave 6.14

Opgave 6.6 Funktionsværdierne er 10 , 10 109 , 10, 1000 og 100000

a) g er aftagende, da fremskrivningsfaktoren e –0,56 er mindre end 1. b) h(x) = 7 · 0,5712 x c) T1 = 1, 24 2

x-værdierne er –2, log(2), log(3,5), 1 og log(20).

6.4 Sammenhængen mellem log og ln

Opgave 6.8

Opgave 6.15

b) c) d) e)

Man opdager, at

Opgave 6.7

Ja. eln(x) = x for x > 0 ln(ex ) = x f(x) = ex og g(x) = ln(x) er inverse funktioner for x > 0

Opgave 6.9 a) log-værdierne er –8 til –1, og x-værdierne er 10 –90, 10 –80, 10 –70, 10 –60ln(3), 10 –50, 10 –40, 10 –30 og 10 –20 b) Viser, at log-værdierne går mod minus uendelig, når x-værdierne går mod 0.

Opgave 6.10 a) En pukkelhval bruger 7,77 minutter, når den dykker 300 meter. b) En varighed på 8 minutter svarer til et dyb på 329,6 meter, da x = 12,5799 · 1,5001y

Opgave 6.11 H = 1,892 · S0,922 Husradonkoncentrationen stiger med 18,3%, når stueradonkoncentrationen stiger med 20%.

Opgave 6.12

ln( x ) 1 = for alle x > 0 log( x ) log( e)

Opgave 6.16 a) log2-værdierne er 3,4,6,8,9 og 10. b)

log2 ( x ) 1 = log( x ) log( 2)

log2 ( x ) 1 = ln( x ) ln( 2)

6.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmer i andre fag Opgave 6.17 a) y = 1, 37 ⋅ 1013 ⋅ x −4,37 c) log y = −4, 37 ⋅ log x + 13,14 d) Man ser, at a = a og b = log(b) ved lineariseringen.

Opgave 6.18 −12 x a) y = 10 ⋅ 1, 26 c) log y = −0,1x − 12 d) Man ser a = log(a) og b = log(b) ved lineariseringen.

a) V = 0,00264 b) H = 0,0229 · M–0,27

144 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste

Opgave 6.19 a) y = 6,12 ⋅ 10 ⋅ 31, 7 c) log y = 1, 5 x + 11, 8 d) Man ser, at a = log(a) og b = log(b) ved lineariseringen. x

Opgave 6.20 0,6638 a) y = 1, 027 ⋅ x c) log y = 0, 6638 ⋅ log x + 0, 0072 d) Man ser, at a = a og b = log(b) ved lineariseringen.

c) d) e) f) g) h)

154 137 130 63 4 66

Opgave 7.6 a) 400 b) 400 c) 50

Opgave 6.21

Opgave 7.7

0,50357 a) y = 94862, 9 ⋅ x c) log y = 0, 6655 ⋅ log x + 5, 01

a) b) c) d) e)

6.6 Logaritmefunktioner – udfordrende opgaver

2x + 2z 3x + 19 22x + 160 15x + 160 148x + 36

Opgave 7.8

Opgave 6.22

a) x2 + 2x + 10 b) 2x2 + 10x

x = 8,1 x = −4 + 100 ⋅ 10

Opgave 7.9

Opgave 6.23 −

3 1 + 401 og −2 + 2 251 2 2

Opgave 6.24 1 332 og − 99 333

a) b) c) d) e) f)

(x + 3) 2 (x + 7) 2 (x + 5) 2 (3x + 5) 2 (4x + 7) 2 10 x + 10

(

)

Opgave 7.10

Opgave 6.25 4 og 2,6542

Kapitel 7

a) b) c) d)

Opgave 7.11

7.2 Regning med tal a)

Opgave 7.5

4-6-5-1-3-2-7 1-4-2-6-7-3-5 2-1-6-3-5-4 1-5-2-7-6-3-4

3 1

56 1

23 1

−23 1

−210 1

a) 0 b) 26

145 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 7.12

Opgave 7.17

29 x= a) 3 273 x= b) 20 4b + c x= c) 4 d) x=

a) Da (2n + 1)(2m + 1) = 2(2nm + n + m)+1, er produktet af to ulige tal et ulige tal. b) Da 2n · (2m + 1) = 2 · (2mn + n), er produktet af et lige og et ulige tal et lige tal. c) Da 2n + (2m + 1) = 2 (n + m) + 1, er summen af et lige og et ulige tal et ulige tal.

4 ab + c 4a

Opgave 7.18 b) Der er 99 naturlige tal under 100. d) Der er 49 lige tal under 100. e) Der er færre lige tal end naturlige tal under 100.

Opgave 7.13 5 3 35 x= b) 2 x= a)

Opgave 7.19

51 c) x= 11 27 d) x= 2 x2 x= e) 3

b) Hvis n er et naturligt tal, er 2n et lige tal. c) Da hvert naturligt tal giver anledning til hvert sit lige tal, er der ligeså mange lige tal, som der er naturlige tal.

Opgave 7.20 b) Hvis n er et naturligt tal, er n2 et kvadrattal. c) Da hvert naturligt tal giver anledning til hvert sit kvadrattal, er der ligeså mange kvadrattal, som der er naturlige tal.

x=3 f) xg)=

x2 + 5x 3

xh)= 3 x 2 + 7 x

7.3 Talmængder Opgave 7.14 20 = 2 · 10 og 30 = 2 · 15

Opgave 7.15

7.4 Ligninger Opgave 7.21 a) Forkert. b) Man skal trække 5 fra på begge sider af lighedstegnet for at isolere x. c) x = –3

29 = 2 · 14 + 1 og 41 = 20 · 2 + 1

Opgave 7.16

Opgave 7.22

I de to næste opgaver er n og m naturlige tal. a) Da 2n + 2m = 2 (n + m), er summen af to lige tal lige. b) Da (2n + 1) + (2m + 1) = 2(n + m + 1), er summen af to ulige tal et lige tal. c) Da 2n · 2m = 2(2mn), er produktet af to lige tal et lige tal.

a) Forkert. b) Man skal dele alle led på begge sider af lighedstegnet, når man deler på begge sider. c) x = –1

146 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste

Opgave 7.23

Opgave 7.31

a) Forkert. b) Man skal dele med 9, før man tager den inverse til cosinus.  5 c) A = cos −1    9

a) y = 50 b) x = 0,25

Opgave 7.24 a) Forkert. b) Man skal gange med c og dele med 4 for at isolere c. 4 c) c = cos( 30 )

Opgave 7.32 a) y = 54,2 b) x = 46,0

Opgave 7.33 20 9 −2 b) x = 3 a) y =

Opgave 7.25

Opgave 7.35

a) Forkert. b) Man skal tage den femte rod for at ophæve den femte potens. c) x = 5 56

Ligning 1:

Opgave 7.26

x = 0 ∨ x = 1∨ x = 2 ∨ x = 3 Ligning 2:

−10∨∨xxx===−−30 20 30∨∨xx==−20 40 −20 10 30 ∨ x = 40 10 ∨∨ xx == 40 30 ∨ x = −40 x = −10 ∨ x = 20

a) Forkert. b) Man skal dele med 7, før man tager kubikroden. c) x = 3 30

7.5 To ligninger med to ubekendte

Opgave 7.27

Opgave 7.36

a) Løsningen er forkert. b) Man må ikke tagende den syvende rod, som det bliver gjort i opgaven. c) x = 7 955

a) Har løsning x = 1 og y = 0 b) Har løsning x = 3 og y = –1

Opgave 7.37 a) Har løsning x = 74 og y = 4 b) Har løsning x = 0 og y = 4

Opgave 7.28 a) Løsningen er forkert. b) Man må tage kvadratroden af en differens ved at tage kvadratroden af hvert led og derefter subtrahere. c) x = 40

Opgave 7.38

−14 29 og y = 5 25 2 4 b) Har løsning x = og y = 5 5 a) Har løsning x =

Opgave 7.29

Opgave 7.39

a) y = 63 b) x = 19,5

a) Har løsning x =

4 32 og y = 3 3

b) Har løsning x = 14 og y = 9

Opgave 7.30 a) y = 192,2 b) x = 10,1

147 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 7.40 93 9 a) Har løsning x = og y = 4 4 −24 118 b) Har løsning x = og y = 7 7

8.4 Cosinusrelationerne Opgave 8.8 a) A = 19,98º b) B = C = 80,01º

Opgave 7.41

Opgave 8.9

Rundstykker koster 6,50 kr. og basser 8 kr.

a) a = 7,00 b) B = 63,78º og C = 64,22º

Opgave 7.42 Der er 27 heste og 31 mennesker.

Opgave 8.12

Opgave 7.43

a) a = 4,65 b) hc = 3,61

Der var 17 tiggere, og jeg har 121 cent.

Opgave 7.44 Den første mand havde 9, den anden mand havde 16, og den sidste mand havde 13 dinarer.

Kapitel 8

Opgave 8.13 a) D = 56,4º b) | BD |= 8, 6 og | AC |= 6, 2

Opgave 8.14 a) A = 26,0º og TABC = 69, 2 b) ma = 14,6

8.3 Sinusrelationerne

Opgave 8.15

Opgave 8.3

a) A = 22,3º b) TABC = 60, 79

a) b) c) d)

b = 5,00 C = 69,57º c = 7,04 TABC = 16, 4

8.5 Sinus- og cosinusrelationerne

Opgave 8.4 a) b) c) d)

Opgave 8.16

A = 40,98º C = 111,09º c = 9,96 TABC = 16, 33

a) Man kan konstruere tilfælde 1. b) A = 39,4º, B = 46,5º og C = 94,1º

Opgave 8.17

Opgave 8.5 a) C = 108º, b = 2,72 og c = 6,92 b) TABC = 7, 21

a) Det er ikke muligt at konstruere en entydigt bestemt trekant ABC. Der er uendeligt mange muligheder, hvor alle er proportionale. b) Sættes a = 1 fås at b = 1,97 og c = 1,88. Alle øvrige trekanter med vinkelmålene fås ved at gange disse sider med en konstant.

148 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste

Opgave 8.18

Opgave 8.28

a) b) c) d)

a) BC = 8,79 b) B = 36,14º

Man kan konstruere tilfælde 2, 3 og 4. I tilfælde 2 er c = 9,1 A = 33,2º og C = 96,8º I tilfælde 3 er c = 5,4, A = 45,3º og B = 84,7º I tilfælde 3 er c = 3, A = 38,2º og C = 21,8º

Opgave 8.29 a) A = 55,6º og B = 81,1º b) va = 6,2

Opgave 8.19 a) De tre tilfælde er ens og kan konstrueres. b) Alle tre vinkler er 30-80-70 og b = 9,85 og c = 9,40

8.6 Sinusfælden

Opgave 8.20

Opgave 8.30

a) Pigerne løber 11,20 km. b) Pigerne løber 0,60 km længere end drengene.

a) B = 49,5º, C = 105,5º og c = 11,4 b) B = 130,5º C = 24,5º og c = 4,9

Opgave 8.21 a) c = 8,0 og TABC = 22,17 b) ma = 6,0

8.7 Trigonometri – udfordrende opgaver

Opgave 8.22

Opgave 8.33

a) BD = 22,56 b) B = 57,0 og C = 57,0 (men de er ikke identiske)

a) c2 − 9 ⋅ 3 ⋅ c + 45 = 0 b) En andengradsligning 9 3 ± 63 c) c = 2

Opgave 8.23 a) BC = 10,1 og B = 39,2º b) hb = 4,57 TABC = 15,99

Opgave 8.24 a) C = 124,8º b) AD = 13,9

Opgave 8.36 a) b) c) d)

Nej. 4 < b < 14 b = 56 eller b = 106 Hvis B er spids, kan b ligge i intervallet ]4, 106[

e) Hvis B er stump, kan b ligge i intervallet

Opgave 8.25

] 106 ,14[

a) BC = 12,7 b) BD = 8,79

Opgave 8.37

Opgave 8.26

a) A = 18,4º b) x = 10,5

a) A = 30,5º b) b = 20,6

Opgave 8.40

Opgave 8.27

a) Opstår ved at sætte A = B = 15º og indsætte i additionsformlerne for cosinus og sinus.

a) ∠ADB = 70 og AD = 3,4 b) BC = 9,4

b) cos(15 ) =

6+ 2 og sin(15 ) = 4

6− 2 4

149 Hvad er matematik? C, opgavebog

Opgave 8.41

Opgave 9.6

a) b = 15,03 c) og d) Cosinus og sinus kan løse alt. Eneste fordel ved tangensrelationen er, at den modsat cosinusrelation er multiplikativ, dvs. egner sig godt til brug ved logaritmetabeller.

a) Med et signifikansniveau på 5% accepteres H0 -hypotensen om, at de seks forskellige sider på terningen kommer i overensstemmelse med en ”sand” terning. b) Din mistanke bortfalder.

Kapitel 9 9.1 Goodness of fit Opgave 9.1 a) Antallet af bryllupper er uafhængige af den givne måned. b) Hvis januar var 50, kommer man frem til, at der er afhængighed mellem måned og antallet af bryllupper. En sådan observation kaldes en betydelig observation.

Opgave 9.2 Hypotesen om, at fødsler er uafhængige af ugedagen, forkastes med både et signifikansniveau på 5% og på 1%.

Opgave 9.7 Ja, indkøbsplanerne skal revideres.

Opgave 9.8 b) H0 : antallet af farverne i Peanut-M&M er i overensstemmelse med almindelige M&M. c) Farve Forventet antal

Rød

Gul

Grøn

Orange

Brun

Blå

7,5

22,5

7,5

d) Teststørrelsen er 8,73 og p-værdien er 0,0028. e) Forskellen mellem de observerede og forventede antal er signifikant på både 5% og 1%. Dvs. stikprøven ikke er i overensstemmelse med almindelige M&M.

Opgave 9.9

Opgave 9.3

Man kan ikke afvise hypotesen om, at forsendelsen stammer fra storproducenten.

Hypotesen om, at kriminalitet er jævnt fordelt hele året, forkastes med både et signifikansniveau på 5% og på 1%.

Opgave 9.10

Opgave 9.4 a) Hypotesen om, at deltagere i kliniske kræftforsøg følger befolkningens etniske fordeling, forkastes. b) Spansktalende er specielt underrepræsenterede.

Opgave 9.5 Ja. Med et signifikansniveau på 5% accepteres H0 -hypotesen om, at fordelingen af fødte mænd og kvinder er i overensstemmelse med fordelingen i den danske befolkning.

a) De forventede hyppigheder er 59,118 og 59. b) χ2-teststtørelsen er 1,18. Man kan ikke afvise, at blomsterne følger arvelighedslovene.

Opgave 9.11 H0 : Der er overensstemmelse med den forventede klagebehandlingstid og den klagebehandlingstid, der var i en bestemt måned. Med en p-værdi på 0,197 må H0 hypotesen accepteres.

Opgave 9.12 a) Population er den stemmeberettigede del af den danske befolkning. Stikprøven er de 968 adspurgte.

150 Hvad er matematik? C, opgavebog

Facitliste

b) χ2-teststtørelsen er 26,4, og p-værdien er 0,9%. Dette viser, at stemmefordelingen har ændret sig i forhold til valget. c) SF’s fremgang kan ikke forklares ved statistisk varians.

Opgave 9.20 H0 : Der er uafhængighed mellem farven af indpakning og salget af kartofler. Teststørrelsen er 0,39, og p-værdien er 0,534, dvs. H0 -hypotesen accepteres.

Opgave 9.21

9.2 Test af uafhængighed Opgave 9.13 c) Der er en sammenhæng mellem fædrenes rygevaner og barnets køn.

Opgave 9.14 Sandsynligheden for at få forkølelse er uafhængig af behandlingen.

Opgave 9.15 Overfølsomhed i tænderne er uafhængig af typen af tandbehandling.

Opgave 9.16 Der er uafhængighed mellem køn og global opvarmning på både et signifikansniveau på 1% og 5%.

Opgave 9.17 Der er uafhængighed af mellem cigaretforbrug og brug af sikkerhedssele ved et signifikansniveau på 1%.

Opgave 9.18 d) Teststørrelsen er 5,61, og p-værdien er 0,018. På et 5% signifikansniveau forkastes H0 hypotesen om uafhængighed mellem køn og holdning. På et 1% signifikansniveau accepteres H0 hypotesen.

Opgave 9.19 d) Teststørrelsen er 6,76, og p-værdien er 0,009, dvs. H0 -hypotesen om uafhængighed mellem køen og selvopfattelse forkastes på begge signifikansniveauer.

Hvad er matematik? C, opgavebog

a) H0 : Der er uafhængighed mellem hunderace og type af allergi. d) Teststørrelsen er 6,05, og p-værdien er 0,1954, dvs. H0 -hypotesen accepteres.

Opgave 9.22 b) χ2-teststtørelsen er 7,27, og p-værdien er 2,6%. Hypotesen om, at der en sammenhæng mellem køn og holdningen til ændrede åbningstider i svømmehallen afvises derfor ved et signifikansniveau på 1% og afvises ikke ved et signifikansniveau på 5%.

Opgave 9.23 b) Der er en sammenhæng mellem medicinering og patientens overlevelseschancer.

9.3 Skjulte variable Opgave 9.24 a) Der er en sammenhæng mellem beslutningen om hovedfag og det at bo på Campus. b) Der er en ingen sammenhæng mellem beslutningen om hovedfag og det at bo på Campus for førsteårsstuderende. c) Der er en ingen sammenhæng mellem beslutningen om hovedfag og det at bo på Campus for hovedfagsstuderende. d) At man skal passe meget på, hvordan man spørger. Således at man spørger om, hvor langt de er i deres studium.

Opgave 9.25 a) Der er mindre dødelighed ved OUH end på de øvrige hjertecentre ved et signifikansniveau på 5%. b) Havde vi valgt et signifikansniveau på 1%, kunne man ikke have set nogen forskel på de forskellige centre, da p-værdien er 1,7%. © 2011 L&R Uddannelse, København

151

Hvad er matematik? C, Opgavebog Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun, Olav Lyndrup © 2011 L&R Uddannelse, København - et forlag under Lindhardt og Ringhof Forlag A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Jan Krogh Larsen Billedredaktion: Nina Jensen Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Tryk: Livonia Print 1. udgave 3. oplag 2014 ISBN 978 87 7066 518 6 www.lru.dk

Denne opgavebog findes også som i-bog på hjemmesiden web.lru.dk Her er alle links aktive, og der er adgang til kilder og autentiske data.

Bogens illustrationer: Segui Vilar: 28 Polfoto: 37 John Cordes/Icon SMI/Corbis Post & Tele Museum/Postens Frimærkecenter: 40 Google Earth: 48 Fodboldbutikken: 51 Røed: 52ø T. Hansen Gruppen: 52n Kadellar: 53 Chad K: 54 ACCIONA Energy: 65