Formelsamling Til folkeskolens matematikundervisning i 7. -10. klasse
Alinea om_9788723041401.indd 1
2/25/13 4:17 PM
Forord
Procent Kære elev
Denne skal du bruge i dit daglige arbejde med matematik, og når du Procentformelsamling = hundrededele. skal til prøve efter 9. klasse eller 10. klasse. Vi håber, at du får glæde af den. 6 6 % = 6 ud af 100 = 100 = 0,06 Du kan slå op i formelsamlingen, når du kommer i tvivl om, hvordan man fx beregner rumfanget af en kegle, finder variationsbredden i en undersøgelse, eller tegner en trekants omskrevne cirkel. Der er vist, hvordan man gør, og der er mange praktiske og teoretiske eksempler. Eksemplerne står i de farvede bokse. Hvor meget er x % af y? x 100
⋅y
Thomas skal køre fra København til Nykøbing F. Der er 128 km. Han har kørt 8 % af strækningen. Hvor mange kilometer svarer det til? 0%
8%
100 %
0 km ?
128 km
8 % af 128 = 0,08 · 128 = 10,24 km Hvor mange procent er x ud af y? x ⋅ 100 y Det er en god ide, at du bruger formelsamlingen til hverdag, så du på forhånd ved, 2 2 Mette 300ogmhvor af sin Grunden er 1.500 mplads stor. til at skrive formlerne hvad du sælger kan finde, dugrund. kan finde det. Der er også Hvor mange harduhun fra? med dine egneprocent ord, eller kansolgt tilføje flere eksempler, egne notater eller nye formler. 0%
?
100%
Du må medbringe formelsamlingen til prøven i matematisk problemløsning efter 9. klasse og til prøven efter 10. klasse, men desværre ikke til prøven i matematiske 0 m2 300 m2 1500 m2 færdigheder. 30 0 1.50 0
= 0 ,2 0 = 20 %
18 01-88_9788723041401.indd 1
24/09/13 10.28
Indhold Tal og algebra Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Intervaller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kvadratrødder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Kubikrødder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Regneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Grafisk ligningsløsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Geometri Cirkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Areal og omkreds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Rumfang og overflade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Flytninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Målestoksforhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Statistik og sandsynlighed Diagrammer til procentfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Enkeltobservationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Grupperede observationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Sammenligninger af observationssæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Analyser af observationssæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 Statistisk sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 Kombinatorisk sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Matematik i anvendelse Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Valuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Massefylde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Fart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Måleenheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3
01-88_9788723041401.indd 3
2/25/13 4:12 PM
Tal og algebra Tal Reelle tal Naturlige tal 1 2 3 4 5 6 Hele tal −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
Rationale tal
− 2
Irrationale tal
Naturlige tal: Hele tal: Rationale tal: Irrationale tal:
−1 2
−2,7
1 5
21 6 2
3
12
5,21
π
Alle hele, positive tal. Alle positive og negative tal samt 0. Alle naturlige tal, alle hele tal og alle brøker. Alle uendelige decimaltal, der ikke ender med en periode.
Primtal Et primtal er et naturligt tal med netop to divisorer, nemlig 1 og tallet selv. De første 15 primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Sammensatte tal Alle naturlige tal, der ikke er primtal, er sammensatte tal. Sammensatte tal kan skrives som et produkt af primtal.
10, 121 og 2.835 er sammensatte tal. 2 · 5 = 10 22 · 3 · 11 = 132
1 er hverken er primtal eller et sammensat tal.
34 · 5 · 7 = 2.835
4
01-88_9788723041401.indd 4
2/25/13 4:12 PM
5
01-88_9788723041401.indd 5
2/25/13 4:12 PM
Intervaller [a;b] eller a q x q b a
b
Det bliver mindst −5 °C og højst 2 °C i morgen. [−5;2] eller −5 q x q 2 Både −5 og 2 er med i intervallet.
Lukket interval fra og med a til og med b.
]a;b[ eller a < x < b a
b
Det bliver mere end −5 °C, men mindre end 2 °C i morgen. ]−5:2[ eller −5 < x < 2 Hverken −5 eller 2 er med i intervallet.
Åbent interval fra a til b.
]a;b] eller a < x q b a
b
Det bliver mere end −5 °C, men højst 2 °C i morgen. ]−5;2] eller −5 < x q 2 −5 er ikke med, men 2 er med i intervallet.
Halvåbent interval fra a til og med b.
]−∞;b] eller x q b b
Det bliver højst 2 °C i morgen. ]−∞;2] eller x q 2 2 er med i intervallet.
Halvåbent interval fra −∞ til og med b.
6
01-88_9788723041401.indd 6
2/25/13 4:12 PM
7
01-88_9788723041401.indd 7
2/25/13 4:12 PM
Brøker
a b
Tæller
Nævner
Forlænge og forkorte Når du skal forlænge eller forkorte en brøk, skal du gange eller dividere tæller og nævner med det samme tal. a a·c = b b·c
2 2·4 8 = = 3 3 · 4 12
ad = a bd b
30 30 : 5 :=530 6= 6: 5 = 6 35 7 :5 7 35 35 : 5 : 57
Regneregler
a + b = a+b c c c
4 + 3 = 4+3= 7 9 9 9 9
a − b = a−b c c c
8 − 3 = 8−3 = 5 11 11 11 11
a · c = a·c a· b = a·b 2· 4 = 2·4 = 8 b d b·d c c 9 9 9
3· 1 = · = 3 7 4 7 · 4 28
a :c = a b b·c
5 :4= 5 = 5 9 9 · 4 36
2: 3 = 2· 4 = 2·4 = 8 4 3 3 3
a:c= a·d b d b c
2 : 3 = 2 · 7 = 2 · 7 = 14 5 7 5 3 5 · 3 15
a: b = a· c c b
8
01-88_9788723041401.indd 8
20/03/15 10.27
9
01-88_9788723041401.indd 9
2/25/13 4:12 PM
Potenser
a
n
Eksponent
En potens er produktet af ens faktorer. an = a · a · a · ... · a
Rod
n faktorer 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
Regneregler a− n = 1n a
1 10−4 = 1 4 = = 0, 0001 10 10 000
a n · a p = a n + p
24 · 25 = 24 + 5 = 29
a0 = 1
50 = 1
an = an − p ap
56 = 56 − 2 = 54 52
(an)p = an · p (32)4 = 32 · 4 = 38 x
x
2 · x2 = 2 · x · x x x2
x2
x
2 · 32 = 2 · 9 = 18
x2
x2
(2 · 3)2 = 62 = 36
x2
x2
2x
(2 · x)2 = (2x) · (2x) = 2 · x · 2 · x = 4x2 2x
Tierpotenser 10n En tierpotens er en potens med roden 10, hvor eksponenten er et helt tal.
105 = 100.000
Tal med mange cifre kan skrives 7,3 · 106 = 7.300.000 kortere ved hjælp af tierpotenser. 1 −4 4, 5 · 10 = 4, 5 · 104 = 0, 00045 10
01-88_9788723041401.indd 10
2/25/13 4:12 PM
11
01-88_9788723041401.indd 11
2/25/13 4:12 PM
Kvadratrødder
a
Radikand
4· 4=4
a · a = a
Regneregler a · b = a · b
16 · 2 = 16 · 2 = 4 2
a= b
4 = 25
a b
2 5
4 25
Kubikrødder Rodeksponent
3
3
a
Radikand
3
3
b · b · b = b
3
8· 8· 8=8
3
3
3
8 · 27 = 8 · 27 = 2 · 3 = 6
Regneregler 3
3
3
a · b = a · b 3
3
a= a 3 b b
3
3
125 = 27
3 3
3
125 = 5 27 3
12
01-88_9788723041401.indd 12
2/25/13 4:12 PM
13
01-88_9788723041401.indd 13
2/25/13 4:12 PM
Regneregler Parentesregler Plusparenteser kan fjernes uden videre (både regnetegnet og parentesen) . a + (b − c + d) = a + b − c + d
6 + (x + 3 − y) = 6 + x + 3 − y = 9 + x − y
Minusparenteser kan fjernes (både regnetegnet og parentesen), hvis man ændrer alle fortegn inde i parentesen . a − (b − c + d) = a − b + c − d
Forteg n: + og −
6 − (x + 3 − y) = 6 − x − 3 + y = 3 − x + y
Multiplikation med flerleddede størrelser a · (b − c + d) = a · b − a · c + a · d
6 · (x − 3 + y) = 6x − 18 + 6y
(a + b) · ( c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
(2 + x) · (7 + y) = 14 + 2y + 7x + xy
c
d
a
a·c
a·d
b
b·c
b·d
(a + b) · (c − d) = a · c − a · d + b · c − b · d
(6 + x) · (3 − y) = 18 − 6y + 3x − xy
14
01-88_9788723041401.indd 14
2/25/13 4:12 PM
15
01-88_9788723041401.indd 15
2/25/13 4:12 PM
Kvadratet på en toleddet størrelse (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + b2 + 2ab a
b
a
a2
a·b
b
b·a
b2
(a − b)2 = (a − b) · (a − b) = a2 + b2 − 2ab
(4 + y)2 = 42 + y2 + 2 · 4 · y = 16 + y2 + 8y
(4 − y)2 = 42 + y2 − 2 · 4 · y = 16 + y2 − 8y
To tals sum gange de samme to tals differens (a + b) · (a − b) = a2 − b2
(4 + x) · (4 − x) = 16 − x2
16
01-88_9788723041401.indd 16
2/25/13 4:12 PM