Det Tænkende Klasserum i praksis - prøvekapitel

Adrian Rau Bull, Nick Hougaard og Tina Fuglsig Lauridsen

K D

e

Matematik · Håndbog · Web

nd

n æ ke T t e e r u s m s la

Håndbog

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

INDLEDNING

Det Tænkende Klasserum i praksis, 4.-9. klasse/web © Alinea 2023 Forfattere Adrian Rau Bull, Nick Hougaard, Tina Fuglsig Lauridsen Forord ved Peter Liljedahl Redaktion: Susanne Schulian og Erik C. Stenbøg Design: andresen design Omslagsdesign: andresen design Illustrationer/grafik: Gunhild Rød side 7, 14, 44n, 53, 59ø, 60, 61, 62, 104, 106 Eva Sejersbøl Einfeldt(red) side 9, 13, 17, 18, 21, 23, 25, 26, 29, 31, 32, 33, 34, 39, 42, 43, 44ø, 45, 51, 54, 55, 59n, 65, 68, 69, 73, 83, 89, 94, 95, 97, 115 Fotos: Agnes Rau Bull side 119 Forlag side 63, 67, 69, Trykt hos: 1. udgave, 1. oplag 2023 ISBN 9788723566829

FSC©-mærket er din sikkerhed for, at vores papir kommer fra bæredygtigt drevne FSC-certificerede skove og andre ansvarlige kilder.

Webressourcer: DTK.alinea.dk Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node.

Alinea støtter børn og unge Alinea er en del af Egmont, der som Danmarks største mediekoncern har bragt historier til live i mere end 100 år. Egmont er en dansk fond, som hvert år uddeler 100 millioner kroner til børn og unge, der har det svært. alinea.dk

2

INDLEDNING

Forord Af Peter Liljedahl Elevers vanskeligheder med matematik har været et gennemgribende og systemisk problem, siden folkeskolen blev indført – ikke fordi eleverne ikke kan lære matematik, men fordi de i det store hele ikke kan lære det ved at få at vide, hvordan de skal gøre det. I de seneste 25 år har der været en fælles indsats for at ændre denne virkelighed ved at gå over til en mere progressiv og elevcentreret pædagogik. Og der er sket fremskridt. Men der mangler stadig noget. Systemisk set kæmper vi stadig med elever, der fejler og har en begrænset tro på at kunne lære at mestre matematikken.

Så faldt jeg over, hvad det var, vi manglede – tænkning. Elevernes tænkning i matematik. I en undersøgelse fra 2003 af en lang række matematikklasser fandt jeg ud af, at kun en mindre del af vores elever overhovedet tænkte.

Resten af eleverne brugte deres tid på at slappe af, trække tiden ud, simulere og efterligne, som ikke kan regnes for den type tænkning, som vi ved, at eleverne er nødt til at udføre for at få succes og blive ved med at få succes i matematik. Og set i bakspejlet er det ikke nogen stor overraskelse. Vi har bedt dem om at tænke i klasseværelser, der er designet til at skabe konformitet og føjelighed – ikke til at tænke. Vi beder eleverne om at nå vores 21. århundredemål i klasseværelser fra det 19. århundrede.

Indretning af tænkende klasserum (DTK) er en reaktion på denne virkelighed. Det er kulminationen på over 15 års forskning i at finde måder at skabe strukturer på, som ikke bare er befordrende for tænkning, men som opmuntrer til og nødvendiggør tænkning. Ved at arbejde inden for klasseværelsernes eksisterende fire vægge ser DTK på, hvordan vi kan skabe de nødvendige ændringer i vores klasseværelser og pædagogik for at få eleverne til at tænke. I dette udfordrer DTK alt, fra hvor eleverne arbejder, over hvem de arbejder sammen med, til hvad de arbejder med. Det gentænker, hvad det vil sige at starte en opgave, give eleverne hints og udvidelser og konsolidere en aktivitet. Fra noget så simpelt som, hvor eleverne er, når vi giver dem en opgave, til hvordan man laver formativ og summativ vurdering, tilbyder DTK dig måder, hvorpå du mere effektivt kan få eleverne til at tænke på matematik. Og det hjælper til gengæld eleverne med at lære matematik.

DTK er et dybt dyk ned i de ændringer, vi kan gennemføre i vores egne klasseværelser for at få vores elever til at tænke. I denne sammenhæng er DTK en pædagogik. Det er ikke en læseplan. Det er ikke et program. Og det er ikke en lærebog. Det er en pædagogik. Og den er skrevet med fokus på, hvad eleverne gør i vores klasseværelser, og hvordan vi får dem til at være anderledes.

3

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

INDLEDNING

Med et globalt salg på over 250.000 eksemplarer og oversat til 11 forskellige sprog har Building Thinking Classrooms in Mathematics global appel. Selvom forskningen blev udført i Canada, og resultaterne er specifikke for Canada, ser resultaterne ud til at give løsninger på et universelt problem. DTK ser ud til at have svar til elever, der ikke tænker, som folk fra hele verden finder tiltalende. Svarene er dog stadig i høj grad forankret i den nordamerikanske kontekst. Så selvom det tilbyder svar til lærere i Danmark, må disse svar tilpasses. Der må justeringer til, så de passer bedre til det danske uddannelsessystem.

Det er, hvad denne bog tilbyder – justeringer. Den tilbyder skræddersyning for at få DTK’s styrker til at passe perfekt til den unikke situation for danske elever og danske lærere i det danske system. Jeg er begejstret for at være tilknyttet dette projekt og håber, at du vil finde det arbejde, disse sider indeholder, lige så oplysende, som jeg gør.

Med venlig hilsen Peter Liljedahl, forfatter

Se den engelske udgave på Web. 4

INDLEDNING

Forord • 3

Indholdsfortegnelse Indledning • 7 Værktøjssæt 1 • 11-26 Praksis 1: De tre opgavetyper Praksis 2: Tilfældige grupper Praksis 3: Stående arbejde

Værktøjssæt 2 • 27-56 Praksis 4: Indretning af klasselokalet Praksis 5: Hvordan læreren besvarer spørgsmål Praksis 6: Måden læreren giver opgaver på Praksis 7: Undersøg din forståelse - den nye lektietype Praksis 8: Elevernes selvstændighed

Værktøjssæt 3 • 57-80 Praksis 9: Differentiering med hints og udvidelser Praksis 10: Sådan konsolideres forståelse Praksis 11: Noter i grupper og individuelt

Værktøjssæt 4 • 81-102 Praksis 12: Understøt de personlige og sociale kompetencer Praksis 13: Formativ evaluering med elevinddragelse Praksis 14: Hvordan gives de tre standpunktskarakterer?

Det tænkende klasserum i hverdagen • 103-120

5

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

INDLEDNING

6

INDLEDNING

Indledning Det Tænkende Klasserum i matematik har det formål at understøtte eleverne i at blive mere engagerede i matematikundervisningen og få dem til at tænke matematisk i længere tid. Det handler om at støtte eleverne til at forstå og forholde sig vurderende til matematikken og dens anvendelse samt kvalificere elevernes matematik i de fællesskaber, som de indgår i.

Bogen henvender sig især til dig, der gerne vil have ideer til – og erfaringer med – hvordan man i 4.-9. klasse kan styrke elevers optagethed af matematik og engagement i matematikundervisningen.

Ved at læse denne bog kan du få inspiration til, hvordan man kan afprøve forskellige relevante praksisser i matematikundervisningen. Praksisser der dels kan få eleverne til at engagere sig i matematikken, så de kan opdage dens muligheder, og dels kan få eleverne til at være ansvarsfulde og kreative med matematikken også udenfor matematiktimerne. Dette sker ikke af sig selv.

For de fleste elever sker det heller ikke nødvendigvis ved den måde, matematikundervisningen klassisk er foregået på, nemlig ved at de har regnet en masse matematikopgaver i en bog, på computeren eller foran klassen.

Peter Liljedahls forskning viser, at der findes en særlig tilgang og en dertil knyttet taksonomi, der trinvist kan udbygge elevernes engagement i matematik. Taksonomien starter med, at eleverne gør matematik, hvorefter de begrunder matematik, som de har arbejdet med. Herefter forklarer de matematik, og de underviser de andre elever i matematik. Efterhånden som de gennem matematikundervisningen trinvist kommer igennem disse første fire trin af engagementstrappen, bliver eleverne støttet til at kunne genskabe matematik. Dette betyder, at de bliver i stand til at se, hvordan de kan bruge matematikken i nye situationer, eller at de bliver i stand til selv at skabe nye matematiske udfordringer.

Engagementstrappen er helt central for denne bog, fordi hver praksis i bogen kan bidrage til den trinvise udvikling af elevernes engagement, samarbejde, ansvar og kompetencer i matematik.

7

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

INDLEDNING

Peter Liljedahl opererer med fire værktøjssæt, som i alt indeholder 14 praksisser. Praksisserne støtter læreren i at hjælpe grupperne op ad engagementstrappen. Dermed støtter de altså eleverne i at selv at genskabe matematik, så de kan bruge den i nye situationer i deres hverdag og i deres liv i det hele taget.

VÆRKTØJSSÆT 1 Særligt fokus på elevernes adfærd og vaner Praksis 1

De tre opgavetyper

Praksis 2

Tilfældige grupper

Praksis 3

Stå ved lodrette skriveflader

Det første værktøjssæt indeholder tre praksisser, som danner grundlaget for DTK. Her møder eleverne nok den største forandring i undervisningen. Dette værktøjssæt er både med til at få eleverne hurtigere i gang med at gøre matematik og at støtte eleverne i at komme højere op i engagementsmodellen. Det sker gennem de opgaver, eleverne præsenteres for, gruppesammensætningen i klassen og de vertikale tavler, der tilsammen er med til at sætte eleverne i situationer, hvor de kommer til at begrunde og forklare matematikken for hinanden.

8

VÆRKTØJSSÆT 2 Særligt fokus på lærerens undervisningspraksis Praksis 4

Indretning af klasseværelset

Praksis 5

Hvordan læreren besvarer spørgsmål

Praksis 6

Måden læreren giver opgaver på

Praksis 7

Undersøg din forståelse den nye lektietype

Praksis 8

Elevernes selvstændighed

Det andet værktøjssæt skal yderligere støtte elevernes engagement og matematiske tænkning, og det bygger videre på praksisser fra første værktøjssæt. I dette værktøjssæt har læreren fokus på at ændre sin matematikundervisning gennem fem praksisser. Disse handler blandt andet om, hvordan rummet indrettes til matematisk tænkning, hvordan undervisningen initieres mundtligt, og hvordan læreren besvarer elevernes mange spørgsmål, så de bliver i tænkning. Alle praksisser i værktøjssæt 2 har dermed til formål at støtte elevernes vej endnu højere op ad engagementstrappen.

Det starter med, at eleverne gør matematik, og fortsætter med, at de endnu hurtigere kommer til at begrunde og forklare og i nogle tilfælde undervise andre elever i matematik.

INDLEDNING

3

4 5

2

VÆRKTØJSSÆT 4 Særligt fokus på evaluering

VÆRKTØJSSÆT 3 Særligt fokus på elevernes faglige flow Praksis 9

Differentiering med hints og udvidelser

Praksis 12

Understøt de sociale og personlige kompetencer

Praksis 10

Sådan konsolideres forståelse

Praksis 13

Formativ selvevaluering

Praksis 11

Noter i grupper og individuelt

Praksis 14

Hvordan gives de tre standpunktskarakterer?

Det tredje værktøjssæt handler om, hvordan din undervisningspraksis kan støtte klassens flow gennem hints og udvidelser. Der arbejdes med at udvikle elevernes vedholdenhed og tålmodighed ved at støtte og fastholde deres engagement i processen.

Derudover beskrives det, hvordan du kan engagere grupperne yderligere, ved at støtte dem i at flytte sig op ad engagementstrappen.

Et andet opmærksomhedspunkt i dette værktøjssæt er konsolidering, hvor der her arbejdes med udførelse af konsolidering i tre trin: gruppe, klasse og individuelt.

Grupperne vejledes i at bruge konsolideringens indhold til at forme gruppenoter og individuelle noter. De skal opleve, at deres individuelle noter kan blive meningsfulde i forståelse af matematikken.

Det fjerde værktøjssæt handler primært om, hvordan læreren evaluerer og værdsætter det, som bidrager til elevernes tænkning i matematik. Det drejer sig blandt andet om, hvordan læreren styrker de personlige og sociale kompetencer, der har betydning for, om eleverne får adgang til det faglige i matematik.

Desuden er der fokus på, hvordan læreren giver eleverne formativ feedback, så den støtter eleverne til at få overblik over et emne, samtidig med at der skabes forståelighed for emnets kompleksitet. Og endelig er der fokus på, hvordan elever generelt kan vurderes fra 4.kl.-9.kl. i DTK, og hvordan der kan gives standpunktskarakterer til elever i DTK.

9

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

INDLEDNING

En kontrakt mellem læreren og eleverne

Når du bruger denne bog til at skabe DTK i din matematikundervisning, vil du forhåbentlig opdage, at du samtidig ændrer matematikundervisningen, så dine elever bliver mere deltagende og kommer til at tænke mere over matematikken. Måske vil du og dine elever opleve, at der arbejdes efter en ny didaktisk kontrakt. Det tager tid at ændre en didaktisk kontrakt, og det er naturligvis sværest at ændre en didaktisk kontrakt for de elever og måske også de lærere, der er trygge ved at arbejde på en bestemt måde.

Når man bruger DTK i matematikundervisningen, skal læreren helst opleve, at den enkelte elev kommer til at begrunde og forklare mere i hver enkelt time. Ja, måske endda undervise nogle andre elever i noget matematik. Altså at eleverne bevæger sig op ad trinene i engagementstrappen. Det er også hensigten, at læreren kommer til at tale mindre, både fordi introerne til elevernes arbejde bliver kortet ned til et minimum, og fordi læreren skal undgå at besvare de spørgsmål, der ikke hjælper eleverne videre eller måske endda kan stoppe elevernes tænkning. Læreren skal ikke bruge tid på at forklare alle metoder i detaljer, umiddelbart før eleverne skal anvende dem i undervisningen. Læreren skal i højere grad lære at være stille fremfor talende og spørgende fremfor opklarende samt udfordrende fremfor afsluttende.

Liljedahls forskning og vores påstand er, at en sådan didaktisk kontrakt kan bidrage til, at eleverne bliver mere tænkende i matematikundervisningen. Du skal dog hverken tage vores eller Peter Liljedahls ord for pålydende. Du skal selv i gang med at afprøve DTK i din egen matematikundervisning.

Med denne bog vil vi hjælpe dig til at komme godt i gang med DTK i dansk skolesammenhæng.

10

æ

t ø k r j ss æ V

t1 Praksis 1: De tre opgavetyper Praksis 2: Tilfældige grupper Praksis 3: Stående arbejde

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

VÆRKTØJSSÆT 1

Om værktøjssæt 1 I Det Tænkende Klasserum (DTK) gælder det om at være i tænkning. Når vi er i tænkning, lærer vi noget. Spørgsmålet er så: Hvornår kommer vi egentlig i tænkning?

En forudsætning for at komme i tænkning er blandt andet, at være motiveret af noget. Derfor skal eleverne arbejde med opgaver, der lægger op til tænkning. Det har stor betydning, hvilke opgaver læreren præsenterer for eleverne i opstarten af DTK. At indføre ændringer, der skal få elever til at gøre noget andet, end de er vant til, kan være en udfordring. Værktøjssæt 1 inkluderer tre praksisser og danner grundlaget for DTK, og det er her, at eleverne møder de største ændringer. Dette værktøjssæt er med til at få eleverne hurtigere i gang med at gøre matematik, og det er også her, at de oplever værdien i at samarbejde med og om matematik. Eleverne bliver nemlig sat i situationer, hvor de kommer til at begrunde og forklare matematikken for hinanden.

For at komme godt i gang med DTK er det en god idé at læse de første tre praksisser, inden der prøves noget af i undervisningen, og implementere alle tre på én gang for at overkomme udfordringen med at gøre noget nyt.

Ved at indføre ændringen med alle tre praksisser på samme tid kan du ofte undgå den modstand, der kan opstå mod DTK. Eleverne i en klasse vil automatisk beskytte sig mod små ændringer, men hvis ændringerne er tilpas store til, at de ikke kan gennemskue deres nye rolle med ændringerne, så vil eleverne i højere grad være nødt til at tilpasse sig end at prøve at beskytte sig mod ændringerne. Det er naturligvis dig, der kender din klasse bedst, så du implementerer selvfølgelig DTK på den måde, du tænker er den bedste.

De tre praksisser i værktøjssæt 1 sætter eleverne i situationer, hvor deres egen tænkning kommer i fokus. Den arbejdsform, der implementeres for eleverne i matematikundervisningen, er særligt velegnet til at understøtte nysgerrighed, fejlmodighed og fagligt selvværd. Når elever kan mærke, at deres meninger og forslag har en ny og mere værdifuld plads i undervisningen, vil de fleste være hurtigere til at acceptere de ændringer, som de måtte opleve.

For dig, der starter med DTK, drejer det sig her i dette værktøjssæt om at skabe plads til, at flere elever får mulighed for at tænke, tænke højt sammen med andre – og tænke i længere tid.

12

PRAKSIS 1

GRUBLER

12 4

SEKVENS

PROBLEM

a+b a+b-b 2a - 3a

KASSER I TRAILER

Praksis 1 • De tre opgavetyper Tænkning kan formentlig være mange ting og være svært at se, men når elever er opslugt af en opgave, er det ofte synligt, at de er i tænkning. Det viser sig at så snart elever har haft succes med deres tænkning, så bliver tænkning en stærk motiverende faktor i sig selv. Tænkning opstår i arbejdet med opgaver, hvor eleverne ikke umiddelbart kan se løsningerne og går i gang med det, vi i matematik kalder problemløsende arbejde. Du skal være opmærksom på dette forhold i udvælgelsen af opgaver. I en god opgave kan eleverne blive så optaget af at finde svaret, at de vedholdende vil arbejde sig frem til en løsning ved hjælp af tænkning. Der er en række praksisser, der kan understøtte selve arbejdet med tænkning i matematik og elevernes selvstændige tænkning.

Vi foreslår, at arbejdet med DTK starter med grublere. Disse opgaver kan bringe eleverne i tænkning uafhængigt af det matematiske emne. Når elever først har mærket følelsen af at være i tænkning og oplevet succes med at være en aktiv del af opgaveløsningen, kan de løse flere typer opgaver, så længe de formuleres og stilles af dig på en bestemt måde.

Pointer om tre typer af opgaver: • Grublere - opgaver der er nemme at starte på, men ikke kan løses hurtigt.

• Omformulerede problemløsende opgaver – opgaver med delvist styret fagligt indhold.

• Sekvenser af opgaver med specifikt fagligt indhold.

13

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

VÆRKTØJSSÆT 1

Grublere

Grublere støder man på mange steder. Fælles for dem er, at de ofte har én løsning og en åben midte. Der findes dog også grublere med flere løsninger.

De er ofte bygget op omkring en slags matematisk ræsonnement. Åben midte betyder, at eleverne ofte kan løse opgaven på mange måder, og nogle gange inddrage mange forskellige emner i matematik. Dette kan være en udfordring, da det kan blive svært at styre, hvilket emne indenfor matematik, alle elever arbejder med på et givent tidspunkt.

Her i starten af DTK er dette heldigvis ikke vigtigt, da det primære fokus er at få eleverne i tænkning og holde dem i tænkning op til 60-75 minutter. Når du har fået eleverne i tænkning, kan der arbejdes med andre typer af opgaver, hvor eleverne også støttes til at komme i tænkning. Da selvstændig tænkning i sig selv er motiverende for elever, bliver de gennem arbejdet med grublere gjort klar til at tænke videre over matematikken i andre opgavetyper. Her følger først et eksempel på en grubler.

Piratens diamant Intro til opgave: Læreren og eleverne står i en rundkreds. Du giver opgaven mundtligt og forklarer undervejs.

En gruppe pirater skal opløse deres gruppe, og de har fået fordelt alt guld mellem sig, men der er én diamant tilbage, der ikke kan deles. Hvem skal have diamanten? Piraterne afgør problemet ved at stille sig i en rundkreds sammen med deres kaptajn. Kaptajnen får lov til at pege på den første pirat, der mister retten til at få diamanten. Dernæst er piraten til venstre for fredet og springes over, hvorefter den næste pirat også mister retten og må forlade rundkredsen osv. Forestil jer, at I danner en rundkreds med det antal, I er i klassen, og prøver eksemplet af. Hvem står tilbage med diamanten?

Der kan dukke spørgsmål op undervejs, og det er vigtigt, at du kun besvarer dem med fokus på, hvad grupperne skal løse og ikke hvordan.

Nu stilles opgaven: Hvem skal kaptajnen pege på som den første for selv at stå alene tilbage med diamanten, hvis de er 9 pirater inkl. kaptajnen? Der trækkes lod, og grupperne går nu ud til deres tavler og starter med en rådslagning om, hvordan de skal gribe problemet an. Næste spørgsmål, der stilles ude ved grupperne, kan være: Hvad hvis der 10 pirater?

Osv.

14

PRAKSIS 1

Omformulerede problemløsende opgaver

I de fleste grundbøger eller andre læremidler, som du måske baserer din undervisning på, er der problemløsende opgavetyper. Med henvisning til fx læseplanen for matematik vil en problemløsende opgave indebære en matematisk undersøgelse. Dermed vil den også underbygge den beskrevne base for tænkning. Disse opgaver kan du starte med at bruge, når du og dine elever er vænnet til at være i tænkning med grublere. Det vil typisk være 1-4 uger efter start, men det kan også være længere tid.

Opgaverne i grundbøgerne har ofte en form, som ikke understøtter de optimale muligheder for at bevæge sig ind i tænkningen i forhold til DTK. Det betyder, at en mindre omformning kan være nødvendig.

Senere i bogen beskrives, hvordan du udvikler din evne til at stille problemløsende opgaver mundtligt, men det er nok for nu at vide hvilke opgaver, der kan benyttes, og hvordan de kan omformes. Du finder problemløsende opgaver i alle grundbøger, og de kan alle bruges til DTK, hvis du omformer dem. I starten er det dog en god idé at lede efter opgaver, der kun skal laves lidt om. Her et eksempel på en omformning.

Et eksempel fra KonteXt+ 5 s. 31. Emnet er brøker.

Du finder og omformer opgaven og samler klassen stående foran en tavle.

I stedet for at udlevere opgaven stilles opgaven mundtligt: 1

Først giver du oplysninger: ”Maja har 2 chokolader, og hun ved, det er 6 af 1 alle chokolader.” På tavlen skrives: ”2 chokolader er 6 ”.

1

1

1

Derefter: ”Louise har 3 , Lisa har 12 , Victor har 4 , og Nina har resten.”

Så ser tavlen sådan ud.

Til sidst stiller du selve opgaven: ”Hvor mange stykker har de hver især?” Der skrives ikke mere på tavlen.

Som afslutning på lektionen går I rundt sammen og ser på gruppernes løsninger. I vil se, at der er flere måder at løse opgaven på. Løsningerne udtrykker også, hvad grupperne har tænkt. Hvis du får brug for flere opgaver, 15

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

VÆRKTØJSSÆT 1

så alle grupper kan arbejde hele timen, forlænges denne opgave blot med nye brøker, eller ved at spørge videre: ”Hvor mange chokolader er der så i alt?”, ”Hvad nu, hvis Nina havde 3 chokolader?” og dertil ”Kan man have halve chokolader?” Osv.

Sekvenser

Sekvenser af opgaver er fagligt emnerettet og holder derfor nemmest undervisningen indenfor ét emne for alle elever. Opgaverne gives på samme måde som den foregående beskrivelse og er lige så motiverende for tænkningen, når eleverne først har vænnet sig til at være i tænkning ved at arbejde med grublere. Se på Web, hvordan sekvenser af opgaver kan bygges.

Når de tre typer opgaver bliver brugt som beskrevet i denne praksis, vil de fleste lærere også opdage, at der er mange måder at styrke elevernes tænkning i den måde, læreren videregiver opgaver til eleverne. Mange lærere kan relatere denne udvikling til modellen herunder.

Før DTK • Læreren udleverer opgaven skriftligt

Med DTK • Du giver opgaven mundtligt → praksis 6

• Læreren viser, hvordan opgaven skal løses

• Du fortæller alene, hvad der skal løses → praksis 6

• Læreren viser, hvilken matematik, der skal bruges

• Du støtter grupperne undervejs i den matematik, de vælger at bruge til løsningen (og leder i emnets retning) → praksis 9

• Læreren besvarer alle spørgsmål undervejs

• Du besvarer spørgsmål på en bestemt måde → praksis 5

Så snart du er i gang med at stille opgaver, kan det være, du undrer dig over, at opgaverne skal stilles mundtligt. Figuren kan give inspiration til nogle af de første ting, du formentlig går i gang med at ændre efter værktøjssæt 1, og hvor du kan finde dem.

Pilen for oven skal illustrere, at du kan befinde dig et sted mellem de to yderpunkter i løbet af den tid, du prøver at ændre din undervisningspraksis.

16

PRAKSIS 2

Praksis 2 • Tilfældige grupper Synlig lodtræk af tilfældige grupper er centralt for DTK. De fleste elever er meget opmærksomme på, hvem de skal arbejde sammen med. Det gælder ikke mindst eleverne i en matematikklasse. I mange tilfælde kan det være problematisk for læreren at danne gode arbejdsomme grupper. Mange elever har nemlig mere fokus på hvilke grupper, de skal være en del af, end hvad gruppearbejdet konkret skal handle om. Når læreren ikke danner grupperne, men lader eleverne selv gøre det, kan det ofte give de samme problemer eller endda flere problemer.

Gruppearbejdet og gruppesammensætningen er afgørende for klassens arbejdsmiljø. Derfor kan det forekomme paradoksalt, at synligt valgte tilfældige grupper kan være en positiv måde at forholde sig til problematikken omkring gruppedannelsen. Over tid viser det sig, at synlige tilfældige grupper er en metode, der kan have stor positiv indvirkning på klassefællesskabet. Dette gælder, hvis grupperne skifter løbende og fungerer tidsbestemt i kortere perioder, som det bliver anbefalet i DTK. Pointer ved gruppedannelse: • Det skal være synligt for eleverne, at gruppedannelsen sker tilfældigt uden lærerens indblanding.

• Grupperne skal være på præcis tre elever på mellemtrinnet og i udskolingen (2 når det ikke går op).

• Grupperne er tidsbestemte for en enkelt opgave og varer højest en dobbeltlektion.

17

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

VÆRKTØJSSÆT 1

Efterhånden som du bliver mere erfaren med DTK, vil du opleve, at de fleste praksisser er opbygget på den måde, at der er en umiddelbar effekt, når du gennemfører dem. Derudover er der også en effekt, som først vil vise sig, når du har arbejdet på en særlig måde med en praksis i et længere stykke tid.

Den viser sig altså, når eleverne er blevet vænnet til at arbejde med DTK. Sådan er det også med synlig lodtræk af tilfældige grupper. Derfor er det vigtigt at være tro mod, at grupperne er synligt tilfældige, også set fra elevernes synspunkt. Det er afgørende, at disse grupper kun bliver valgt til korte tidsbestemte opgaver eller undersøgelser. En konsekvens heraf er naturligvis, at du ofte skal foretage synligt lodtræk af tilfældige grupper i undervisningen.

Milos!

2 Du er med os.

Nu er der 3 nye grupper.

4

?

Shallan du er i gruppe 4.

Derfor er det en god ide at have en forholdsvis simpel og hurtig måde at foretage lodtræk på. Du kan enten bruge et digitalt værktøj, hvor grupperne vises og gemmes på pc, eller fx spillekort hvor grupperne først mødes ude ved tavlen. Begge dele har hver deres muligheder og begrænsninger. Du bør afprøve begge dele i din undervisning for at få erfaringer med, hvordan det virker i dine klasser.

Med et digitalt værktøj kan du bedre bevare overblikket over, hvilke grupper de enkelte elever skal være i, og det kan være hensigtsmæssigt, hvis nogle elever vil forsøge at bytte gruppe. Til gengæld kan eleverne tilkendegive med det samme, de ser deres nye gruppe, om de er tilfredse eller utilfredse med deres gruppemedlemmer. Det kan skabe en uempatisk tilgang til samarbejdet, der ikke hjælper elever ind i tænkning. Med spillekort eller andre ana18

PRAKSIS 2

loge værktøjer er der andre muligheder og begrænsninger. Du kan undersøge, hvad der virker, ved at skifte mellem de to måder alt efter hvordan klassen reagerer på lodtræk. Hvis klassen bytter meget rundt efter lodtræk, kan du vælge et digitalt værktøj i en periode. Hvis klassen har for vane at komme med højlydte meninger om deres gruppemedlemmer, kan du skifte til kortspil i en periode. Når det drejer sig om synlig lodtrækning af tilfældige grupper, kan det være hensigtsmæssigt samtidigt at koble grupperne til en tavle. Dette gøres nemt ved fx at skrive numre på tavlerne inden lodtræk.

Den umiddelbare effekt Den umiddelbare effekt opnås ved, at eleverne løbende kommer i nye tilfældige grupper og derved ikke bliver fastlåst i bestemte roller på samme måde, som det ofte sker i et længerevarende gruppearbejde, eller i grupper, der er skabt af eleverne selv. Når eleverne bliver sammensat på nye måder, vil de blive tvunget til at tænke på nye måder for at få gruppen til at fungere.

Mange elever kan godt lide trygheden i at være i den samme gruppe, hvor man typisk arbejder på en bestemt måde, men det er desværre ikke så befordrende for deres selvstændige matematisk tænkning og derved læring.

Når eleverne ikke kan forvente de samme arbejdsmønstre, som de er vant til, får de mere ansvar, og dermed også en lidt mere afsøgende, nysgerrig og empatisk tilgang til at samarbejde om de konkrete opgaver. Eleverne får mulighed for at komme i nye roller, og derved vil nogle opdage, at de kan klare mere, end det de plejede at kunne i det traditionelle gruppearbejde.

Du vil muligvis opdage, at det ikke nødvendigvis er de elever, der tidligere plejede at byde ind først i gruppearbejdet, der nu udvikler sig mest i de synligt tilfældige grupper, selvom disse elever selvfølgelig også stadig kan udvikle sig meget.

Tilvænningseffekten Tilvænningseffekten af synlig lodtræk af tilfældige grupper kommer først, hvis du arbejder på denne måde i en længere periode. Eleverne vil over tid møde hinanden på kryds og tværs i forskellige situationer og med forskellige udfordringer. Dermed får alle elever erfaringer i at samarbejde med andre elever, og de får mulighed for at opdage deres forskellige potentialer og styrker. Det handler ikke bare om, hvor gode de andre elever er til at regne eller til at styre gruppearbejdet. Det kan også handle om deres opfindsomhed, humør, tegneevner, kreativitet osv.

Du vil derfor ofte opleve, at en del sociale barrierer nedbrydes i klasser, hvor der arbejdes med tilfældige grupper. Eleverne vil nu også havde større muligheder for at etablere venskaber på kryds og tværs i klassen – om ikke andet så i faglige sammenhænge. Dette kan være med til at højne lysten til at arbejde sammen med mange forskellige elever og støtte op omkring et godt arbejdsmiljø i klassen, så fokus kan holdes på tænkning, fremfor hvem eleverne gerne vil være sammen med.

19

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

VÆRKTØJSSÆT 1

Gruppedannelse optager eleverne De fleste elever gør sig tanker om, hvordan og hvorfor læreren netop danner de grupper, som de bliver en del af i løbet af deres skoletid. Derfor har de tit en fornemmelse af, at der er en særlig grund til, at de placeres i en bestemt gruppe, og dette vil nogle gange påvirke deres måde at arbejde på i gruppen. Eleverne kan sagtens have ret i deres formodning om, hvilke grunde en lærer har til at danne grupper. Hvis du lader elever selv vælge grupper, er der heri ingen pædagogisk sikring. Det er vores erfaring, at nogle elever altid vil komme i klemme i denne proces. Blandt andet fordi de ikke bliver valgt, eller vælges sidst, og det gælder ofte de samme elever.

Læreren har ofte gode grunde til at vælge grupper ud fra forskellige pædagogiske og didaktiske principper. Problemet er, at elever ikke nødvendigvis har samme forståelse og dermed accept af de tanker, lærere gør sig om gruppedannelse.

Jeg må aldrig være i gruppe med Nick, fordi min lærer tror, vi ikke kan arbejde sammen.

Jeg skal altid være sammen med Anhil, fordi min lærer tror, at han kan hjælpe mig med matematikken, men han laver det, uden at det hjælper mig…

Vores lærer vælger altid grupper med to piger og to drenge.

Vi er ikke så mange drenge i vores klasse, så vi kommer altid i hver vores gruppe - det er faktisk lidt skørt Vi skal altid arbejde i grupper på 5-6 stykker, fordi det er den måde vores borde står på, men gruppen opdeles næsten altid af sig selv i to mindre grupper.

Synligt tilfældige gruppe er derfor lettere at acceptere for eleverne, fordi de hverken skal forholde sig til, hvem de gerne vil være i gruppe med, eller hvilke tanker læreren har gjort sig om, hvordan grupperne skal dannes.

20

PRAKSIS 3

3

4

2

5

Praksis 3 • Stående gruppearbejde Stående grupper ved Vertikale Sletbare Flader er nok den mest centrale praksis i DTK. Ofte vil en vertikal sletbar flade være et whiteboard, men andre flader kan også bruges fx kridttavler eller vinduer. I dette kapitel vil vi omtale vertikale sletbare flader som tavler. Det er muligvis også den største ændring i de fleste klasselokaler, fordi mange skoler ofte kun har en enkelt tavle eller få tavler i klasserummet, som i mange tilfælde primært bliver brugt af læreren. Det er der imidlertid nemme løsninger på.

Nogle lærere vælger at bruge mindre flytbare tavler, og nogle bruger selvklistrende ark. Løsninger, der kræver lidt mere organisering, er fx indretning af et permanent rum på skolen med tavler eller etablering af nye tavler, hvor det er muligt i klasserummet. Hvis du vil afprøve DTK, er der ingen vej uden om at bruge tavler. Uden dem får du slet ikke de samme muligheder for at få elever i tænkning.

Pointer når der arbejdes ved tavler: • At der præcis er én tusch per gruppe.

• At alle grupperne er placeret, så de kan se hinandens tavler.

• At grupperne arbejder stående ved tavler.

21

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

VÆRKTØJSSÆT 1

Hvorfor giver der mening at bruge tavler?

Allerede før vores kendskab til DTK, har vi oplevet elever, der selv har valgt at stille sig ved tavlen, når de skulle vise, hvordan de havde arbejdet med matematikken eller skulle kommunikere om matematiske argumenter og forklaringer. Det er interessant at se elever arbejde foran en tavle, fordi det inviterer til et bredt samarbejde om at forstå det, der står på tavlen.

Der sker noget i hovedet på eleverne, når de engagerer sig sammen med kammeraterne i matematik på en tavle. Ofte vil du opleve, at tuschen skifter hænder fra den elev, der er i gang med at forklare, til en af tilhørerne, der fx vil sætte fokus på et særligt sted i en visuel argumentation. Det kan føre til, at der bliver slettet eller ændret noget i den igangværende visualisering af argumentationen efter en kort debat om det aktuelle fokuspunkt. Med tiden lærer eleverne, at det er god stil ikke at slette hinandens arbejde uden at spørge først. Dette forhold gælder især læreren. I stedet for at slette, skriver de fleste elever bare videre for senere i fællesskab i gruppen at vurdere, hvad der skal slettes, og hvad der skal bevares.

Vi har nogle få gange oplevet det samme, når eleverne har brugt et smartboard eller en computer. I disse situationer har der ofte kun været to elever involveret, og her har vi ikke iagttaget, at tilhøreren gik ind og ændrede i det skrevne/tegnede. Det kan muligvis være af frygt for at komme til at slette alt, eller fordi der ofte er begrænset plads foran en computer.

Tavler har desværre trange kår i mange klasserum. Nogle steder er de helt fjernet, og andre steder er der blevet opsat en skærm midt på den eneste tavle i klasselokalet. Så der kun er en lille smule skriveplads tilbage på hver side. Hvis vi vil have eleverne til at tænke mere i matematiktimerne, så er det helt centralt at få tavler tilbage, og vi skal have flere end tidligere, så der er skriveplads nok til alle grupper.

Præcis én tusch per gruppe

Når du har placeret dine elever i grupper foran en tavle, kan du styrke deres samarbejde på mange måder. Det er fx en god ide at sørge for, at hver gruppe kun har én enkelt sletbar tusch. Skriblerierne med denne tusch understøtter samarbejdet i gruppen, fordi det bidrager med at samle fokusset for gruppen. Dette understøttes også af, at kun en elev kan notere enten sine egne eller andres tanker ad gangen. Det sikrer dog ikke, at alle i gruppen er med i den tænkning, der skrives op. Derfor er det godt at minde grupperne om, at det er et fælles ansvar at sørge for, at alle er med i tænkningen i en gruppe. Samtidigt er det mindre sårbart at skrive noget med en sletbar tusch i en mindre gruppe, fordi det altid er muligt at slette det igen, hvis eleven fortryder eller rette det til, når der opstår nye ideer.

22

PRAKSIS 3

De mest etablerede og motiverede elever vil typisk være dem, der bruger tuschen mest. Dermed kan du blive opmærksom på, hvem der tager hovedansvaret i gruppen. Samtidig kan du også bruge dine iagttagelser til at differentiere arbejdet i gruppen eller til at styrke samarbejdet i gruppen.

Ved at spørge nogle af de andre medlemmer af gruppen om deres tanker vedrørende elementer på tavlen eller ved at få en af de andre elever til at overtage tuschen, får de også mulighed for at bidrage. Du kan få tuschen til at skifte hænder på forskellige måder.

Hvis du vil fjerne fokus på selve tuschskiftet, kan du spørge om, du må låne tuschen, for at tilføje eller markere noget på tavlen, og derefter give tuschen videre til en ny i gruppen. Dette vil ofte føre til interessante nye formuleringer og til yderligere inddragelse af de mindre aktive elever i gruppen. Efter nogle få timers arbejde ved tavler vil rigtig mange elever mene, at de både kan bidrage til løsninger i en gruppe og sige deres idéer højt og skrive dem op.

Nu må du skrive de andres idéer.

1 + 49 = 50 2 + 48 = 50 3 +47 = 50 25 +25

24?

23

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

VÆRKTØJSSÆT 1

TAVLE betyder stående grupper ved Vertikale Sletbare Flader

Det er vigtigt at holde fast i denne praksis. Vi oplever, at selv meget små fravigelser kan være afgørende for elevernes mulighed for at skabe DTK.

Ja, ja men nogle elever kan vel godt sætte sig på et bord eller en stol lige i nærheden af gruppens VSF eller hente et bord hen og sidde på.

Hvis en elev i en gruppe uden en særlig grund sætter sig på et bord, vil denne elev automatisk melde sig en smule ud af gruppens arbejde foran tavlen. Det vil også være mere besværligt for denne elev at rejse sig for at bidrage til gruppens arbejde på tavlen. Signalet til de andre elever er, at eleven ikke er så interesseret i det, der foregår. Derfor er det en god ide at afværge sådanne situationer, som hurtigt kan sprede sig. Ofte kan du invitere eleven tilbage ved at overdrage tuschen til vedkommende.

Der er mange tegn på, at elever tænker endnu bedre, når de står foran tavlen fremfor at sidde med deres hoveder nedad mod en bog eller et hæfte.

Hvis dine elever ikke opretholder deres grupper foran tavlen, udvikles mange af de grundlæggende elementer ikke hos eleverne. Derfor er det ikke hensigtsmæssigt, at fladerne er horisontale.

Mine elever er gode til at finde deres egne gruppekonstellationer. Derfor tænker jeg, at det er okay, at de bytter rundt eller samler sig ved en tavle.

Når elever er i selvvalgte konstellationer, bliver de ofte fastlåst i de samme roller.

Og som vi beskrev i praksis 2, får dette en uheldig betydning for deres tænkning i matematik. Meningen med DTK er, at grupperne i højere og højere grad skal komme til at samarbejde.

De sletbare flader har den effekt, at det er mindre sårbart at skrive, fordi noter og skitser hurtigt kan fjernes eller ændres. Hvis du ikke bruger sletbare flader, vil du opleve, at det kan være meget sværere for nogle af dine elever at bidrage, fordi de simpelthen er bange for at skrive noget forkert.

24

Jamen jeg synes faktisk, at arbejdet fungerer godt, når fladerne bare ligger på bordene.

Vi bruger flipover-blokke, der ikke er sletbare, men elever kan flippe, så der er vel plads nok til at skrive noget nyt.

PRAKSIS 3

Fra grupper foran tavler til en klasse med tavler

At bruge en enkelt tavle i klasselokalet har været et godt værktøj for læreren i mange år. Kunsten er imidlertid at ændre denne praksis til et klasselokale, hvor eleverne kan hente inspiration fra mange tavler i samme klasselokale.

Dette vil vi illustrere i den følgende opgave:

Læreren: ”Jeg har en reol, der er 2 m høj, 1 m bred og 40 cm dyb. Nu er jeg flyttet et sted hen, hvor der er et firkantet indhak, der har de samme mål som reolen. Reolen kan kun stå på en måde.

Jeg har også et andet indhak, der er 2 m høj, 2 m bred og 40 cm dyb. På hvor mange måder kan to reoler stå i dette indhak?”

Elev: ”På to måder, på den ene led og på den anden led”.

Læreren: ”Ja, men jeg har faktisk også et tredje indhak, hvor der lige præcis kan stå tre reoler ved siden af hinanden Og så har jeg også et fjerde indhak, hvor der kan stå fire reoler. På hvor mange måder kan henholdsvis tre og fire reoler stå på? ... Ja, faktisk har jeg mange flere indhak, men det venter vi lige med, til I har vist skitser af de måder, de tre- og fire reoler kan stå på i indhakkene”.

25

DET TÆNKENDE KLASSERUM I PRAKSIS

VÆRKTØJSSÆT 1

Indhak på 1 m

Indhak på 2 m

Indhak på 3 m

Indhak på 4 m

I denne opgave skal eleverne gerne kunne finde løsninger på indhak, der er meget bredere end 5, 6 og 7 reoler. Hvis grupperne hver især udelukkende fokuserer på deres egen tavle, kan de komme til at sidde fast i nogle uhensigtsmæssige dele af opgaven. Nogle elever kommer til at bruge lang tid på at tegne reoler, frem for at bruge tiden på at undersøge de måder, som reolerne kan stå på.

En hensigtsmæssig arbejdsform er, når eleverne altid har et øje på, hvordan de andre grupper arbejder med opgaven. Når en enkelt gruppe går i gang med at tegne rektangler, så skulle denne idé helst sprede sig til de andre grupper. Læreren kan naturligvis altid hjælpe denne spredning på vej, ved at få de grupper, der sidder fast, til at kigge ned til grupper, der arbejder videre med en ide. Med tiden skal ideerne dog helst sprede sig i lokalet af sig selv. Nogle grupper kan let komme til at overse en af de måder, som de fire reoler kan stå på. Dette kan også blive opfanget undervejs, hvis eleverne er opmærksomme på de andre gruppers arbejde.

26