Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen
Lærervejledning / Web
Matematik · 5. klasse · Lærervejledning
9788723530295_omslag.indd 1
07/08/2019 09.03
TOMAS HØJGAARD JENSEN · PER GREGERSEN · HELLE THORBJØRNSEN · LONE KATHRINE PETERSEN
LÆRERVEJLEDNING/WEB
Matematik · 5. klasse · Lærervejledning · Web
9788723530295_indhold.indd 1
07/08/2019 09.10
Matematrix 5, Lærervejledning/Web En titel i serien Matematrix Forfattere: Tomas Højgaard Jensen, Per Gregersen, Lone Katrine Petersen, Helle Thorbjørnsen Redaktion: Peter Lund og Erik C. Stenbøg Billedredaktør: Vibeke Sommer Grafisk tilrettelægning: Lumina Datamatics Illustrationer: mollers.dk ∙ Hans Møller Fotos Forside: Svend Wiig Hansen, Mennesker ved havet, Esbjerg 1995 6 Hero Images/Getty Images 10 Hans Juhl 22 Hans Juhl 34 DaniloAndjus/Getty Images 119 Westend61/GettyImages © Alinea 2. udgave, 1. oplag, 2019 ISBN: 9788723-53029-5 ISBN overnummer: 9788723-54353-0 Trykt hos: Livonia Print
Webressourcer: matematrix.alinea.dk Alinea støtter børn og unge Alinea er en del af Egmont, som er Danmarks største mediekoncern. Egmont har fortalt historier i over 100 år, laver film i Oscarklasse og fortæller historier gennem nyheder, bøger og magasiner. Egmont er en dansk fond, som hvert år giver næsten 100 millioner kroner til børn og unge, der har det svært. alinea.dk Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node. Forlaget har forsøgt at indhente tilladelse hos rettighedshavere til gengivelse af tekst og billeder i denne udgivelse. Rettighedshavere, som mod forventning har krav på honorar, bedes kontakte forlaget.
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 2
07/08/2019 09.10
Indhold
Beskrivelse af materialet 4
Grundtankerne
Grundtankerne bag Matematrix 6 Indhold i Matematrix 5 8 Matematiske kompetencer 10 Matematiske begreber 16 Matematiske færdigheder 22 Fokus på læring 23 Fokus på undervisning 27 Værktøjer 31
Kommentarer til de enkelte kapitler 34
Kommentarer til kapitlerne
Godt i gang 36 Regneregler 40 Vinkelmål 48 Multiplikation 56 Rumfang 64 Brøker 72 Division 80 Procent 88 Statistik 94 Størrelsesforhold 102 Chance og eksperimenter 108
Tag kegler - repetition 116 Kommentarer til undersøgelserne 118
Kommentarer til undersøgelserne
Resurser på matematrix.alinea.dk 128
3
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 3
07/08/2019 09.10
Materialer
Grundbog
Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen
MATEMATRIX 5 · 5. klasse · Grundbog · Web
Matematrix er et katalog af aktiviteter, der både indeholder problemløsning, undersøgende opgaver, færdighedstræning og understøttende aktiviteter. Med sikker hånd føres eleverne ind i 5. kl. Der er stadig plads til intuitiv matematik, leg og spil, men samtidig lægges der vægt på matematisk præcision og strategisk tankegang. Det matematiske kernestof præsenteres i overskuelige og konkrete gennemgange med mange eksempler. Et varieret udbud af øvelser og opgavetyper, giver mulighed for at give eleverne en differentieret undervisning med fokus på mellemtrinnets matematiske begreber og matematikkens praktiske anvendelse. I Matematrix er der helt grundlæggende tænkt i læringsforløb med klare faglige pointer. Hvert kapitel indeholder opslag, der giver mulighed for faglig fordybelse, forundring og tematiske krumspring. Undersøgelsesafsnittet bagerst i bogen lægger i høj grad op til matematisk modellering og tilgodeser fagets mundtlige dimension og forskellige samarbejdsformer.
• • • •
10 faglige kapitler 1 screeningskapitel 5 repetitionskapitler 8 undersøgelser
MATEMATRIX 5 indeholder et screeningskapitel, ti faglige kapitler og otte undersøgelser. Ved køb af et klassesæt gives der adgang til resurser på matematrix.alinea.dk. Det drejer sig blandt andet om arbejdsark, regnearksfiler, GeoGebrafiler, faglige film og lydfiler.
ISBN 978-87-23-53027-1
Har du bog, har du web!
9 788723
530271
alinea.dk
Matematik · 5. klasse · Grundbog · Web
MATEMATRIX 5 · 5. klasse · Arbejdsbog
9788723530271_omslag.indd 1001
06/05/2019 15.17
• 10 faglige kapitler • 1 screeningskapitel • 10 færdigheds- og begrebsevalueringer
Arbejdsbog
ISBN 978-87-23-53028-8
Har du bog, har du web!
9 788723
530288
alinea.dk
Arbejdsbog
Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen
Matematik · 5. klasse · Arbejdsbog
9788723530288_omslag.indd 1001
06/05/2019 15.49
Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen
Lærervejledning • Grundtankerne bag Matematrix • Kommentarer til de enkelte kapitler • Kommentarer til undersøgelserne
Lærervejledning / Web
Matematik · 5. klasse · Lærervejledning
9788723530295_omslag.indd 1
07/08/2019 09.03
Web • To typer arbejdsark – Nummererede ark der er integreret i forløbene – Ark der afgrænser undersøgelserne • Regnearksfiler • GeoGebrafiler • Faglige film • Lydfiler • Evaluering af matematiske kompetencer
4
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 4
07/08/2019 09.10
Arbejdsark til undersøgelser
Nr.
Til hver af de 8 undersøgelser er der to arbejdsark:
7 Vinkelmål Vinkler i figurer 8 Mål vinkler 9 Vinkelsummer 10 Tegn trekanter 11 Drejning 12 Drejning på ternet baggrund 13 Multiplikation 100 gangestykker 14-15 Multiplikationsalgoritme 1-2 16 Encifret gange tocifret 17-21 Træning 1-5 22 Rumfang Tegn kasser 23 Rumfang af kasser 24 Regn med liter 25 Tegn en kasse, der rummer en liter 26 Brøker Tallinjer 27 Brøkstænger 28 Brøkcirkler 29 Forlæng brøker 30-31 Regn med brøker 1-2 32 Skriv selv opgaver 33 Division Talkort med brøker 34 Træning i division 35 Klokkeslæt, timer og minutter 36 Primtal 37 Procent Omskrivning 38 Øvelse 29 og 32 39 Beregn procentdelen 40-41 Procentdiagrammer 1-2 42 Areal og procent 43 Indret et hus 44 Statistik Hyppighedstabel og pindediagram 45 Tegn pindediagrammer 46 Mindste/størsteværdi og variationsbredde 47 Hyppighedstabel og gennemsnit 48 Undersøgelse om at flytte 49 Spørgeskema 50 Størrelsesforhold Model til størrelsesforhold 51 Tegn med størrelsesforhold 52 Find størrelsesforhold 53 Afstande på Jorden 54 Målestoksforhold – ligedannede figurer 55 Målestoksforhold - kort 56 Chance og eksperimenter Simulering i regneark 57 Optælling efter simulering i regneark 58 Hyppighedstabeller 59 Terningkast 60 Opgave 10, 11 og 12 61 Simulering af terningkast 62 Kast med to mønter 63 Ansigter 64-66 Flag 1-3
1.
Tre udfoldninger af undersøgelsen: A, B og C.
2.
Præcisering/afgrænsning af udfoldning A.
Oversigt over regneark Nr. Filnavn 1 Parentesregning 2 Terningspil 3 Parenteshistorier 4 Julie og Mads 5 Hundehvalpen Taiyo 6 Vinkelsum 7 Gangetræning 8 Arealer 9 Gulvtæppe 10 Rumfang 11 Rumfangsenheder 12 Brøker og decimaltal 13 Brøkregning 14 Deling- Division 15 Løb og cykling 16 Skolekomedie 17 Kullen 18 Procentskema 19 Procentmaskinen 20-21 Statistik i regneark 1-2 22 Vejrstatik 23 København og Skagen 24 Marios første uge 25 Marios første år 26 Hyppighedstabel og pindediagram 27 Tegn og zoom 28 Simulering og hyppighedstabel 29 Simulering og tælleformel 30 Simulering
Kommentarer til kapitlerne
1-2 Regneregler Matematikorientering 1-2 3 Regnehierarki 4 Kaniner 5 Gokartbane 6 Regneudtryk
Oversigt over GeoGebra-filer Nr. Filnavn 1 CAS 2-4 Tegn og mål vinkler 1-3 5 Vinkler i trekanter 6 Øvelse 7 7 Vinkler i huse 8-10 Trekantkonstruktion 1-3 11-12 Vinkelsum i trekant 1-2 13-14 Vinkelsum i firkant 1-2 15 Drejning 16 100’ere, 10’ere og 1’ere 17 Gang encifret med tocifret 18 Gang tocifret med tocifret 19 Gang med decimaltal 20 Gang med negative tal 21 Tegn kasser og terninger 22 Nedspringsmåtte Skabelon til opgave 45 23 24 Træning i division 25 Hyppighedstabel 26 Pindediagram 27 Største- og mindsteværdi 28-29 Cirkelforhold 1-2 30 Lykkehjulet
5
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til undersøgelserne
Kapitel Indhold
Grundtankerne
Oversigt over arbejdsark
9788723530295_indhold.indd 5
07/08/2019 09.10
Grundtankerne bag Matematrix 5. KLASSE Introduktion til systemet Matematrix 5 er en del af et matematiksystem, der spænder fra børnehaveklassen til 9. klassetrin. I udarbejdelsen af systemet har der fra start været fokus på tre centrale forhold og relationen imellem dem.
Fokus på undervisning Hvilke resurser skal læreren bruge for at kunne tilrettelægge en undervisning, der tilgodeser elevernes læring, lever op til samfundets krav, og som samtidig giver en række forskellige handlemuligheder?
Matematisk faglighed og indhold Hvilke kompetencer, begrebsforståelser og færdigheder skal eleverne udvikle, og i hvilken rækkefølge? På hvilket klassetrin og i hvilke kapitler skal det matematiske kernestof placeres?
Grundtankerne i denne vejledning er disponeret ud fra disse tre helt centrale forhold, som uddybes på de følgende sider.
Fokus på læring Hvordan skal stoffet præsenteres, så det understøtter elevernes læring bedst muligt? Hvordan kan eleverne tage medansvar for egen læring?
6
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 6
07/08/2019 09.10
I forbindelse med revisionen af Matematrix har vi udviklet en række digitale resurser, som skal understøtte elevernes læring. Der er lagt stor vægt på at gøre det enkelt at integrere it i den daglige undervisning. Samtidigt er elevernes adgang til filer og film blevet betydelig lettere, idet de selv kan hente relevante resurser på matematrix.alinea.dk. Der er flere grunde til, at Matematrix er blevet mere digital i forbindelse med revisionen: • Undervisningsministeriet har generelt fokus på øget digitalisering af grundskolen. Vi vil naturligvis gerne medvirke til denne udvikling, som kommer til udtryk i Fælles Mål. • It giver mulighed for og lægger op til en række aktiviteter, som både kan motivere, støtte og
, Lone Jensen jgaard as Hø n, Tom egerse Per Gr
I det reviderede koncept er bog og web knyttet helt tæt sammen i en løsning, vi kalder, ”Har du bog, har du web”. Ved køb af et klassesæt af grundbøgerne, får eleverne automatisk adgang til sitet.
ørnsen Thorbj Helle rsen og e Pete Kathrin
M AT EM AT R IX bo · G ru nd
Kommentarer til kapitlerne
kl as se 5 · 5. g · Web
older indeh og både æning , der edstr iteter aktiv færdigh og af gaver, katal nde op er et rsøge atrix til unde ds g, Matem pla . løsnin iteter stadig problem tende aktiv Der er der i 5. kl. rstøt gges unde rne ind . idig læ eleve n samt kegang føres spil, me gisk tan r hånd og e ate ke sik nkret k, leg og str Med og ko ision temati er elige iv ma sk præc øvels ersku intuit temati bud af es i ov ret på ma entie enter ret ud vægt differ varie f præs er og ler. Et rne en rnesto eb ve ke mp gr e se sk e ele ske be nge ek at giv temati d ma temati d for Det ma ts ma nge me er mulighe rinne emga giv llemt genn er, me på gavetyp med else. fokus og op med forløb anvend rings rvisning aktiske t i læ unde r giver tænk ens pr g, de ing. atikk ende opsla mspr dlægg matem older ske kru lt grun indeh temati der he pitel op til ix er ert ka ring og grad atr j nd Hv hø sion ru er i inter. e, fo I Matem dimen ybels n lægg lige po tlige rd ge nd fo fag bo i klare ets mu r faglig gerst hed fo eser fag ittet ba mulig tilgod lsesafsn g og ler og rsøge llerin Unde e kapit rmer. mode faglig ejdsfo atisk el, ti marb matem kapit ige sa nings rskell scree og fo et er ehold IX 5 ind på TR ser MA r. sark, resur MATE gelse arbejd ng til dersø r adga det om otte un es de ndt an sæt giv filer. r sig bla klasse og lyd t dreje b af et k. De lige film Ved kø ler, fag alinea.d atrix. ebrafi oG tem ma ler, Ge arksfi regne
udfordre eleverne. På matematrix.alinea.dk drejer det sig blandt andet om filer og film, som eleverne kan bruge til undersøgende læringsprocesser, præsentationer, og når de har brug for tydelige instruktioner og en alternativ og mere direkte tilgang til matematiske forklaringer. Læs mere om indholdet på webben. • Vi vil udnytte, at skolerne generelt har fået bedre it-faciliteter, flere digitale resurser og en forbedret digital infrastruktur.
Grundtankerne
Ny udgave af Matematrix
1
978-
723 9 788
530271
atik ·
Matem
5. klas
eb og · W
undb
se · Gr
027-
3-53
87-2
ISBN
7 19 15.1
06/05/20
k alinea.d
bog, Har du web! har du
Grundbog 1001
Komplette læringsforløb – baseret på timeglasmodellen – se side 24-25.
→ henviser til
Arbejdsark, GeoGebra- og Excelfiler, GeoGebrafilm, lydfiler og faglige film.
Kommentarer til undersøgelserne
slag.indd
30271_om
Den nyreviderede lærervejledning er også blevet en del af ”Har du bog, har du web-løsningen”.
Har du bog, har du web!
Ved køb af en vejledning gives der adgang til en række lærerresurser. Det drejer sig blandt andet om evalueringsværktøjer, understøttende arbejdsark til undersøgelser og facitlister (jf. side 4).
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
7
97887235
Web
9788723530295_indhold.indd 7
07/08/2019 09.10
Indhold i Matematrix 5
Kapitel
Grundbog side
Arbejdsbog
Godt i gang
7-13
Regneregler Intro/Introaktiviteter
14-25 14-17
SIDE 1 SIDE 1 SIDE 2-9 SIDE 2-3
Gennemgang
18-19
SIDE 4
Øvelser
20
SIDE 5
3. Regnehierarki
Opgaver
21-23
SIDE 6
4. Kaniner 5. Gokartbanen 6. Rengeudryk
Faglige og tematiske opslag Evaluering
24-25
SIDE 7
Vinkelmål Intro/Introaktiviteter Gennemgang Øvelser
26-37 26-27 28-29 30
SIDE 10-17 SIDE 10 SIDE 11
7. Vinkler i figurer
Opgaver Faglige og tematiske opslag
31-32 33-37
SIDE 12 SIDE 13-15
8. Mål vinkler 9. Vinkelsummer 10. Tegn trekanter 11. Drejning 12. Drejning på ternet baggrund
Multiplikation Intro/Introaktiviteter Gennemgang
40-51 40-41 42-43
SIDE 18-25 SIDE 18
Øvelser
44-45
SIDE 19-21
Opgaver
46-48
SIDE 22
Faglige og tematiske opslag Evaluering
49-51
SIDE 23
Rumfang Intro/Introaktiviteter Gennemgang Øvelser Opgaver Faglige og tematiske opslag
52-63 52-53 54-55 56-57 58-60 61-63
SIDE 26-33 SIDE 26
Regnearks-filer GeoGebrafiler (GG)
Film og lyd
Lyd - Godt i gang 1-2. Matematik orientering 1-2
Lyd - Regneregler Faglig film Faglige film (2 stk.) Regneark 1. Parentesregning Regneark 2. Terningspil Regneark 3. Parenteshistorier Regneark 4. Julie og Mads Regneark 5. Hundehvalpen Taiyo GG 1. CAS
SIDE 8-9
Evaluering
GG 2-4. Tegn og mål vinkler GG 5. Vinker i trekanter GG 6. Øvelse 7 GG 7. Vinkler i huse GG 8-10. Trekantskonstruktion 1-3 GG 11-12. Vinkelsum i trekant 1-2 Regneark 6. Vinkelsum GG 13-14. Vinkelsum i firekant 1-2 GG 15. Drejning
Lyd - Vinkelmål Faglige film (3 stk.)
Faglige film (2 stk.)
SIDE 16-17 13. 100 gangestykker 14-15. Multiplikationsalgoritme 1-2 16. Encifret gange tocifret 17-18. Træning 1-2
19-21. Træning 3-5
Lyd - Muliplikation Faglige film (2 stk.) Regneark 7. Gangetræning GG 16. 100’ere,10’ere og 1´ere GG 17. Gang encifret med tocifret GG 18. Gang tocifret med tocifret Regneark 8. Arealer Regneark 9. Gulvtæppe GG 19. Gang med decimaltal GG 20. Gang med negative tal
Faglige film (2 stk.)
SIDE 24-25
Evaluering
SIDE 27 SIDE 28-30 SIDE 31
Lyd - Rumfang Faglige film (2 stk.) 22. Tegn kasser 23. Rumfang af kasser 24. Regn med liter 25. Tegn en kasse, der rummer en liter
Regneark 10. Rumfang Regneark 11. Rumfangseheder GG 21. Tegn kasser og terninger GG 22. Nedspingsmåtte GG 23. Skabelon til opg. 45
Faglig film
SIDE 32-33
Brøker Intro/Introaktiviteter
66-77 66-67
SIDE 34-41 SIDE 34-35
Gennemgang Øvelser
68-69 70-72
SIDE 36-38
Opgaver Faglige og tematiske opslag Evaluering
73-76 77
SIDE 39
Division Intro/Introaktiviteter
78-89 78-79
SIDE 42-49 SIDE 42
Gennemgang Øvelser
80-81 82-83
SIDE 43-44 SIDE 45
Opgaver
84-88
SIDE 46-47
Faglige og tematiske opslag Evaluering
89
8
Arbejdsark
26. Tallinjer 27. Brøkstænger 28. Brøkcirkler
Lyd - Brøker Faglige film (3 stk.)
29. Forlæng brøker 30-31. Regn med brøker 1-2 32. Skriv selv opgaver
Regneark 12. Brøker og decimaltal Regneark 13. Brøkregning
Faglig film
SIDE 40-41 33. Talkort med brøker
Lyd - Division Faglige film (4 stk.)
34. Træning i division 35. Klokkeslæt, timer og minutter 36. Primtal
GG 24. Træning i division Regneark 14. Deling Regneark 15. Løb og cykling Regneark 16. Skolekomedie Regneark 17. Kullen
Faglig film Faglig film
SIDE 48-49
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 8
07/08/2019 09.10
Arbejdsbog
Procent
92-103
SIDE 50-57
Intro/Introaktiviteter Gennemgang Øvelser
92-93 94-95 96-99
SIDE 50
Opgaver
100-103
SIDE 54-55
Statistik Intro/Introaktiviteter
104-115 104-105
SIDE 58-65 SIDE 58
Gennemgang Øvelser
106-107 108-109
SIDE 59-60
Opgaver
110-113
SIDE 61-63
Faglige og tematiske opslag Evaluering
114-115
Størrelsesforhold Intro/Introaktiviteter
118-129 118-119
Gennemgang
120-121
Øvelser
122
SIDE 67
Opgaver
123-127
SIDE 68-69
Faglige og tematiske opslag
128-129
SIDE 70-71
Chance og eksperimenter Intro/Introaktiviteter
130-141
SIDE 74-80
130-131
SIDE 74
Gennemgang
132-133
Øvelser
134
SIDE 75
Opgaver
135-138
SIDE 76-77
Faglige og tematiske opslag Evaluering
139-141
SIDE 78
Undersøgelser Kæledyr Temperatur Akvarier Kodning Papirflyvere Landkort Trafik Talmønstre
144-159 144-145 146-147 148-149 150-151 152-153 154-155 156-157 158-159
Evaluering
SIDE 51-53
Arbejdsark
Regnearks-filer GeoGebrafiler (GG)
Film og lyd
Lyd - Procent Faglige film (3 stk.) 37. Omskivning 38. Øvelse 29 og 32 39. Beregn procentdelen 40-41. Procentdiagrammer 1-2 42. Areal og procent 43. Indret et hus
Regneark 18. Procentskema Regneark 19. Procentmaksinen
Grundtankerne
Grundbog side
SIDE 56-57 44. Hyppighedstabel og pindediagram
Lyd - Statistik Faglige film (3 stk.)
45. Tegn pindediagrammer 46. Mindste/størsteværdi og variationsbredde 47. Hyppighedstabel og gennemsnit 48. Undersøgelse om at flytte 49. Spørgeskema
Regneark 20-21. Statistik i regneark 1-2 GG 25. Hyppighedstabel GG 26. Pindediagram GG 27. Største- og mindsteværdi
Regneark 22. Vejrstatistik Regneark 23. København og Skagen Regneark 24. Marios første uge Regneark 25. Marios første år Regneark 26. Hyppighedstabel og pindediagram
Faglig film
SIDE 64-65
50. Model til størelsesforhold 51. Tegn med størrelsesforhold 52. Find størrelsesRegneark 27. Tegn og zoom forhold GG 28-29. Cirkelforhold 1-2 53. Afstande på Jorden 54. Målestoksforhold ligedannede igurer 55. Målestoksforhold kort
Lyd - Størrelsesforhold Faglige film (2 stk.) Kommentarer til kapitlerne
Evaluering
SIDE 66-73 SIDE 66
Faglig film
SIDE 72-73
56. Simulering i regneark 57. Optælling efter simulering i regneark 58. Hyppigheds tabeller 59. Terningkast 60. Opgave 10, 11 og 12 61. Simulering af terningkast 62. Kast med to mønter 63. Ansigter 64-66. Flag 1-3
Lyd - Chance og eksperimenter Faglige film (2 stk.)
Regneark 28. Simulering og hyppig Faglig film hedstabel Regneark 29. Simulering og tælleformel Regneark 30. Simulering GG 30. Lykkehjulet Faglig film
Kommentarer til undersøgelserne
Kapitel
SIDE 79-80
9
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 9
07/08/2019 09.10
10
Matematrix 5 ¡ LÌrervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 10
07/08/2019 09.10
Matematiske kompetencer
I komprimeret form kan man sige, at kompetence er en persons indsigtsfulde parathed til at handle på en måde, der lever op til udfordringerne i en given situation. Denne forståelse betyder, at kompetence kan og bør udvikle sig på flere forskellige måder. I Matematrix har vi valgt at arbejde med de tre dimensioner, som er beskrevet i KOM-rapporten.
Kompetencedimension
Kendetegn
Eksempel
Dækningsgrad
Dækningsgraden afspejler de aspekter, som eleverne kan bringe i spil, når en kompetence udfordres. Kompetence udvikles ikke i et spring, men i en glidende proces, hvor man lægger mere og mere til sin ekspertise. Jo flere aspekter af en kompetence, man er blevet fortrolig med, jo dybere er ens kompetencebesiddelse.
Dækningsgraden af hjælpemiddelkompetencen er øget, hvis man ud over at kunne håndtere lommeregner og regneark enkeltvis også er i stand til kritisk at vurdere disse hjælpemidlers styrker og svagheder.
Aktionsradius
Aktionsradius indikerer antallet af forskellige typer situ ationer, som eleverne er kompetente i forhold til. Kompetence udvikles, når man bliver udfordret i konkrete situationer. Jo flere forskellige typer situationer man har lært at håndtere, jo bredere er ens kompetencebesiddelse.
Aktionsradius af modelleringskompetencen er øget, hvis man ud over at kunne bygge helt simple regnestykker også kan gøre det i mere komplekse sammenhænge. Det kan fx være i forbindelse med at anvende matematik i andre fag.
Teknisk niveau
Teknisk niveau vedrører de matematiske begreber og metoder, som eleverne kan trække op af værktøjskassen, når kompetencen udfordres. Kompetence udvikles blandt andet ved, at man forsøger at bringe nye begreber og metoder i spil, når man handler i en situation. Jo mere avancerede begreber og metoder man kan inddrage, jo højere er det tekniske niveau
Det tekniske niveau af symbolbehandlingskompetencen er øget, hvis man ud over at kunne bygge simple regneudtryk med naturlige tal også bliver i stand til at gøre det med negative tal og/eller brøker.
Nogle matematiklærere tænker, at der skal nye begreber og/eller metoder i spil, for at man kan tale om progression i elevernes niveau. En af styrkerne ved at arbejde med kompetencemål i undervisningen er at legitimere, at det også giver rigtig god mening at arbejde med progression i dybden og i bredden. Progressionen behøver altså ikke at være bundet op på et nyt matematisk indhold
Matematiske kompetencemål I Matematrix lægger vi naturligvis op til, at eleverne udvikler alle de matematiske kompetencer, som udgør en central del af Fælles Mål. Lige fra starten har kompetencebegrebet haft en fremtrædende placering i systemet og med en særlig vægt på matematisk modelleringskompetence, som vi anser som den mest centrale kompetence i en almendannende matematikundervisning. Betoningen af modelleringskompetencen viser sig på to måder. For det første er der i alle bøgerne rigtig mange opgaver og undersøgelsesoplæg, der sigter på at udvikle denne kompetence.
Grundtankerne
Progression i kompetenceudvikling
Kommentarer til kapitlerne
Kort formuleret bruger vi ordet kompetence i betydningen ekspertise. At have kompetence betyder både at have viden og færdigheder og at være i stand til at handle på en hensigtsmæssig måde. Desuden skal man have fornemmelse for og kunne vurdere, hvad udfordringerne i en given situation består i med henblik på at kunne træffe den rigtige beslutning. Kompetence indbefatter almindeligvis, at man bevidst kan inddrage sine færdigheder som værktøj i forskellige situationer. Kompetencebegrebet rummer altså mange
aspekter, ligesom når det anvendes i sammenhænge som fx det kompetente barn og den kompetente lærer.
For det andet deler vi modelleringskompetencen op i to kompetencer, som begge bliver beskrevet i denne vejledning. Det drejer sig om produktiv matematisk modelleringskompetence – evnen til selv at kunne anvende matematik ved at bygge og bruge matematiske modeller, og matematisk anvendelseskritisk kompetence, der handler om at kunne forholde sig kritisk til andres anvendelse af matematik. Problembehandlingskompetencen kan også konsekvent udfordres i alle mellemtrinskapitlerne, fordi opgaverne har stigende progression, så der findes passende udfordringer for alle eleverne. Derudover er der i alle bøgerne ofte fokus på symbolbehand lings- og ræsonnementskompetence, jf. kompetencematricen på side 14. Dette skal ses i sammenhæng med, at de største udfordringer i mellemtrinnets matematikundervisning er forståelsesmæssigt at komme ”bag om” symbolske repræsentationer af regnestykker, ligninger, brøker, decimaltal, procentberegninger m.m.
11
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til undersøgelserne
Matematikfaglig kompetence
9788723530295_indhold.indd 11
07/08/2019 09.10
Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer Ekspertise i at kunne…
Generelle spørgemåder
Konkrete eksempler fra Matematrix 5
Problembehandling
Generelle formuleringer giver ikke mening, da spørgemåden afhænger af modtagerens oplevelse af spørgsmålet.
• En mand havde 6 døtre. Hver datter havde en bror. Hvor mange børn var der i familien? (Multiplikation, side 48, nr. 39).
• formulere og løse problemer selv. Det gælder både faglige og anvendelsesorienterede problemer.
• Hvor mange m3 [skrald] indsamler de tre biler i løbet af dagen? (Rumfang, side 60, nr. 29) • Hvor stor en brøkdel af byttet fik Henrik? (Brøker, side 76, nr. 58). • Vælg dobbelt så mange Trøfler som Nøddekugler og Nougatkonfekt tilsammen. (Procent, side 102, nr. 50).
Modellering
−− Hvordan kan man bruge matematik til at undersøge...?
• anvende den matematiske værktøjskasse kritisk og med omtanke. • opstille matematiske udtryk, som bearbejdes og fortolkes.
−− Giver det mening at beskrive ... ved hjælp af...? −− Hvad er det fornuftigt at se bort fra, når man skal undersøge...?
• Byg et regnestykke og find resultatet – sådan cirka: Hvor lang tid vil det tage dig at spare 1.000 kr. sammen? (Division, side 87, nr. 61). • Hvor stor en del af hele Jorden udgør Danmark cirka? (Størrelsesforhold, side 126 nr. 33). • Hvor svært er det at ramme skraldespanden med en papirkugle? (Chance og eksperimenter, side 138, nr. 26). • Hvad koster det at have kæledyr? (Undersøgelse, side 144-145). • Tegn selv et landkort. (Undersøgelse, side 154-155).
Anvendelseskritisk
−− Er matematik brugt fornuftigt her?
• være kritisk i forhold til andres brug af matematik. • vurdere egenskaber ved simple matematiske modeller og resultater stammende herfra.
−− Er ... en god model af..? −− Kan ... bruges som model af..? −− Er der grund til at ændre på modellen som følge af..? −− Er det rimeligt at konkludere ... på baggrund af..? −− Hvor stammer resultatet ... fra?
Ræsonnement • følge, forholde sig til og gennemføre matematiske ræsonnementer.
−− Forklar... −− Hvordan er du nået frem til…? Begrund svaret. −− Er det rigtigt, at..? −− Giver det mening at påstå, at..? −− Hvad er udgangspunktet (præmisserne), når du påstår, at..?
• Undersøg ved hjælp af et spørgeskema, om avisens påstand passer på jeres klasse. I kan bruge denne ”opskrift”... (Statistik, side 114, nr. 40). • Diskuter svarene på opgaverne med en eller flere fra klassen. Kan I forstå hinandens beregninger? Er I enige om svarene? (Størrelsesforhold, side 126, nr. 34). • Hvad koster det at have kæledyr? (Undersøgelse, side 144-145). • Tegn selv et landkort. (Undersøgelse, side 154-155). • Undersøg vinkelsummen i en firkant. (Vinkelmål, side 35, nr.22) • Gennemsnittet af 4 tal er 5. Tre af tallene er 3, 5 og 7. Hvad er det fjerde tal? (Statistik, side 111, nr. 27). • Vælg et program og få det til at udføre nogle bestemte handlinger ved kodning. (Undersøgelse, side 150-151). • Find selv på andre talmønstre og resultater. (Undersøgelse, side 158-159).
Tankegang
− Findes der situationer/regler for...? − Kan matematik bruges til at...?
• vurdere matematikkens ”spilleregler” og strukturelle opbygning. • bruge sin viden om, hvad der er karakteristisk for matematik som fag.
12
− Kan begrebet ... bruges til at…? − Hvordan kan man vide, at...? − Hvad er i matematik det modsatte af at...? − Er det en del af matematik at...?
• Hvad skal man egentlig med parenteser, når man regner? (Regneregler, side 23, nr. 33). • Skriv nogle spørgsmål, hvor du ikke mener, at det vil være smart at bruge division. (Division, side 88, nr. 65). • Find selv på andre talmønstre og resultater. (Undersøgelse, side 158-159).
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 12
07/08/2019 09.10
Generelle spørgemåder
Konkrete eksempler fra Matematrix 5
Repræsentation
−− Hvad er en god måde at vise det på?
• Hvilke historier og brøker passer sammen? (Brøker, side 73, nr. 43).
• arbejde med forskellige repræsentationer i forbindelse med problemløsning: hands on, ikonisk og symbolsk. • skifte repræsentationsform og vælge den mest hensigtsmæssige repræsentation i en given situation.
−− I hvilke typer situationer er det smart at bruge ... til at vise noget med?
• Hvilke af disse kort passer til 75 % eller 50 %? (Procent, side 100, nr. 34).
−− Hvordan kan man vise det ved hjælp af…? −− Hvilke andre måder kan man vise det på?
• Udfyld en hyppighedstabel og et pindediagram. (Chance og eksperimenter, side 134, nr. 6). • Sammenlign tallene for de to byer ved at bruge deskriptorer og præsenter dine resultater. (Statistik, side 111, nr. 25).
Grundtankerne
Matematiske kompetencer Ekspertise i at kunne…
−− Hvorfor vælger du at bruge ... til at vise…? −− Er det ikke mindre smart at bruge ... til at vise...? −− Forklar hvad der udtrykkes med formlen...? −− Oversæt ... til almindeligt sprog. −− Skriv ... ved hjælp af matematiske symboler. −− Byg en formel, der viser ... −− Hvordan kan man skrive ... kortere? −− Omform formlen ... ,så den er nemmere at bruge til at ...
Kommunikation
−− Forklar for hinanden, hvordan I har ...
• udtrykke sig skriftligt og mundtligt om forhold, hvori der indgår matematik. • forstå andres matematikholdige udtryk i såvel skriftlig som mundtlig form.
−− Forbered en god måde at vise jeres arbejde på for de andre. −− Skriv en tekst, der er henvendt til ..., og forklarer om ... −− Forstår du, hvad hun mener?
• Sæt en parentes, så regneudtrykket bliver sandt. (Regneregler, side 20, nr. 15). • Fire elever fra 5. klasse har ganget tal. Forklar hvordan de har regnet. (Multiplikation, side 48, nr. 38). • Skriv med ord, hvad disse brøkdele kan vise om eleverne i 5.c på Brøkvild skole. (Brøker, side 75, nr. 51). • Skriv med almindelige ord, hvad disse regnestykker kunne vise. (Division, side 87, nr. 53).
• Bestem vinklernes størrelse i hver figur på den lettest mulige måde. Forklar hvordan du gjorde, og hvorfor du synes, det er den letteste måde. (Vinkelmål, side 31, nr. 11). • Fire elever fra 5. klasse har ganget tal. Forklar hvordan de har regnet. (Multiplikation, side 48, nr. 38).
−− Prøv at sige det „samme“ på en anden måde.
• Sammenlign tallene for de to byer ved at bruge deskriptorer og præsenter dine resultater. (Statistik, side 111, nr. 25).
−− Er det rigtigt forstået, at du mener, at...?
• Undersøg temperaturerne i Danmark. (Undersøgelse, side 146-147).
Hjælpemiddel
−− Hvad er et godt hjælpemiddel i den her situation?
• Mål vinklerne i figurerne. (Vinkelmål, side 30, nr. 6).
• betjene sig af hjælpemidler på en hensigtsmæssig måde i forbindelse med matematisk virksomhed.
−− I hvilke typer situationer er det smart at bruge ... som hjælpemiddel til at..?
• Skriv nogle gangestykker, hvor du ville bruge lommeregner. (Multiplikation, side 46, nr. 26)
−− Hvad kan man ved hjælp af..?
• Find selv på noget I vil undersøge. Fremlæg jeres resultater ved at bruge deskriptorer. (Statistik, side 115, nr. 41).
−− Hvordan bruger man..? −− Hvilke andre hjælpemidler kan man bruge? −− Hvorfor vælger du at bruge ... til at beregne..?
• Undersøg trafikken omkring jeres skole. (Undersøgelse, side 156-157).
−− Er det ikke usmart at bruge ... til at tegne..?
13
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til kapitlerne
• afkode og arbejde med symbolog formelsprog.
−− Hvad betyder det, når der står...?
Kommentarer til undersøgelserne
Symbolbehandling
9788723530295_indhold.indd 13
07/08/2019 09.10
14
9788723530295_indhold.indd 14
Oversættelse til og afkodning af regneudtryk, der indeholder parenteser.
Arbejde med tallene som en struktur, som der gælder bestemte regler for.
Matematisering af situationer, hvor parenteser naturligt kommer i spil.
Brug af vinkel måler og GeoGebra.
Fokus på vinklers størrelse og betydningen af at bruge samme enhed, fx grader.
Ræsonnementer vedr. forskellige egenskaber knyttet til vinkler i geo metriske figurer.
Vinkelmål
Tabeller som hjælpemiddel til at udregne multiplikationsstykker.
Udnyttelse af titalssystemet og parenteser i forbindelse med multiplikation.
”Hvor mange m3 [skrald] indsamler de tre biler i løbet af dagen?”
”En mand havde 6 døtre. Hver datter havde en bror. Hvor mange børn var der i familien?”
Kommunikation om størrelsen af rumlige former.
Ræsonnementer knyttet til forståelsen af rumfangsformler.
Rumfang
Multiplikation
Regning med brøker.
Brøker som en måde at repræsentere tal på.
”Hvor stor en brøkdel af byttet fik Henrik?”
Brøker
Opstilling, afkodning og udregning af regnestykker med talsymboler og symbolet ( : ).
Forståelse af, at division er den omvendte regningsart af multi plikation.
Modellering af situationer, som har deling som centralt element.
Division
Procentberegninger og omskrivning af procentdele til decimaltal.
Procent som en af flere måder at repræsentere andele af noget på.
”Vælg dobbelt så mange trøfler som nøddekugler og nougatkonfekt tilsammen.”
Procent
Håndtering af ternet papir, regneark eller GeoGebra til små statistiske under søgelser.
Fokus på deskriptorernes værdier som grundlag for konklusioner på undersøgelser.
Ræsonnementer om observationsværdiers betydning for forskellige deskriptorer.
Statistik
Opstilling og afkodning af størrelsesforhold repræsenteret med brøker.
Modellering af situationer der involverer størrelsesforhold, og kritik af andres ditto.
Størrelsesforhold
* Udvikling af modelleringskompetence spiller en central rolle i Matematrix (se side 11f). I hovedparten af undersøgelserne i 5. klasse er der således fokus på denne kompetence. ** Også ræsonnementskompetencen er der et klart fokus på i Matematrix. Flere af undersøgelserne i 5. klasse lægger først og fremmest op til at udvikle denne kompetence. *** Tankegangskompetencen er der til gengæld ikke så meget fokus på i Matematrix på mellemtrinnet, da det nemt ender med temmelig abstrakte fag-overvejelser, som eleverne ikke er parate til.
Hjælpemiddel
Kommunikation
Symbolbehandling
Repræsentation
Tankegang***
Ræsonnement**
Modellering*
Problembehandling
Regneregler
Brøkdele og procentdele som forskellige repræsentationsformer for frekvenser.
Ræsonnementer knyttet til simulering af tilfældigheds prægede fænomener.
Simple simuleringer af situationer, som har sandsynlighed som centralt element.
Chance og eksperimenter
Kompetencematrix
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
07/08/2019 09.10
Kompetenceudvikling er en proces, som aldrig afsluttes. Kompetencer udvikler sig løbende hos den enkelte elev. Tænk blot på udviklingen af nogle af de mere alment menneskelige kompetencer som fx hensyntagen til andre og indlevelsesevne. Karakteristikken af de enkelte kompetencer (jf. skemaet på side 12-13) kan man tænke på som pejlemærker, som man kan lade sig inspirere af og navigere efter i arbejdet med sin undervisning.
Dækningsgraden er både den vigtigste og den vanskeligste af de tre dimensioner at se tegn på. Her udfordres lærere og elever uundgåeligt på deres forståelse af, hvilke aspekter den enkelte kompetence kan siges at bestå af, så man kommer til at arbejde med det, der udgør kompetencens kerne. For at støtte denne proces har vi udviklet et evalueringsark til hver matematisk kompetence, som findes på matematrix.alinea.dk.
At besidde en matematisk kompetence betyder, at man kan handle på en måde, der er karakteristisk for kompetencen, når en situation ”kalder på det”. Hvis man vil evaluere en elevs kompetencebesiddelse, skal man derfor bringe ham/hende i en situation, hvor den kompetente form for handlen er naturlig og hensigtsmæssig.
Af disse ark fremgår det, hvad vi anser for de væsentligste aspekter af kompetencen. Der er også gjort plads til, at læreren kan gøre notater om synlige tegn på læring. I hvilken udstrækning behersker eleven de enkelte aspekter? Helt tilsvarende er der gjort plads til notater vedrørende det tekniske niveau, som normalt er den nemmeste dimension af en kompetence at forholde sig til. Aktionsradius er i sagens natur vanskelig at evaluere med afsæt i en enkelt aktivitet og læringssituation. Det mest hensigtsmæssige er at udfordre den samme kompetence i mange forskellige situationer.
Konkret støtte og eksempler
Kommentarer til undersøgelserne
Som støtte til gennemførelsen af disse evalueringsprocesser samler vi løbende en række resurser og konkrete eksempler på matematrix.alinea.dk. • Aktivitetsoplæg i form af kompetenceorienterede opgaver og undersøgelsesoplæg fra bøgerne. • Videoklip med elever og en lærer der arbejder med udvalgte aktivitetsoplæg. • Interviews med den involverede lærer, der mundtligt evaluerer de viste elevers præstationer i forhold til det valgte kompetencemål. • Udfyldte evalueringsark med en tilsvarende skriftlig evaluering.
Grundtankerne
Tegn på kompetencebesiddelse
Kommentarer til kapitlerne
Evaluering af faglige kompetencer
15
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 15
07/08/2019 09.10
Matematiske begreber Matematiske begreber er ordnet hierarkisk. Det enkelte matematiske begreb skal ses i sammenhæng med den overordnede struktur, det indgår i. Eksempelvis vil begrebet koordinatsystem give ringe mening uden kendskab til tal og tallinjer. De matematiske begreber skal imidlertid bruges i tilknytning til virkelige problemstillinger, der ikke er pænt tilrettelagt og struktureret. Tværtimod! Begreber som fx addition, sum og procent dukker pludselig op i forskellige sammenhænge og kræver handling her og nu. For at blive en kompetent matematikbruger skal matematikundervisningen og -læringen altså både have fokus indad på matematikken og udad på anvendelser. ”Hvordan vedligeholder og videreudvikler man forståelsen og anvendelsen af de matematiske begreber, samtidig med at der løbende inddrages nye begrebsområder?” Problemstillingen kan løses gennem en spiralorganisering af undervisningen. Herved foregår repetition og færdighedstræning af begreber fra tidligere klassetrin parallelt med arbejdet med det nye stof. I Matematrix-systemet holder vi styr på det ved at beskrive samtlige kapitler i den såkaldte begrebsma trix, som man kan finde på matematrix.alinea.dk. Den viser, hvordan vi på hvert klassetrin har valgt at arbejde med en række matematikfaglige begreber (27 i alt), som vi har udpeget som de mest centrale i grundskolens matematikundervisning. Matricen kan tilgås på (mindst) to måder: Årgangs-udgangspunkt: Ved at gå lodret ind i matricen kan man danne sig overblik over, hvilken begrebsmæssig progression hvert kapitel i en given Matematrix-bog indgår i. Eksempelvis kan man se, at procentkapitlet i Matematrix 5 er det første af fire kapitler om procent. Fokuspunkter i kapitlerne: • 5. kl. Selve procentbegrebet og omskrivninger til og fra decimaltal og brøker. • 6. kl. At finde helheden, hvis a svarer til b %. • 7. kl. At regne fleksibelt med procentdele, og at skelne mellem absolutte og relative forskelle. • 8. kl. Fremskrivningsfaktor og opstilling af ligninger til at holde styr på procentberegninger. Begrebs-udgangspunkt: Ved at gå vandret ind i matricen kan man danne sig overblik over, hvordan begrebsprogressionen er tænkt på tværs af de forskellige Matematrix-bøger. Eksempelvis kan man se, at arbejdet med multiplikation indledes med fokus på gentagen addition. Og her efter 5. klasse er det ikke længere en selvstændig kapiteldagsorden men indgår i en række forskellige sammenhænge.
16
Da mængden af stof, der skal repeteres, har en tendens til at blive større og større, kan det være hensigtsmæssigt at afsætte tid til at ”samle trådene”. Det er baggrunden for de kapitler, der omtales som kerneområder og i begrebsmatricen er skrevet med blokbogstaver. For 4.-6. klassetrin drejer det sig om: 4. klasse: Hele tal, brøker og division. 5. klasse: Rumfang, procent og størrelsesforhold. 6. klasse: Ligninger, sammenhæng og symmetri/ flytninger.
Sammenhæng mellem faglige begreber Da de fleste matematiske begreber er forbundet med hinanden, og progressionen af faglige begreber er hierarkisk opbygget, er det vigtigt at have kendskab til begrebernes indbyrdes sammenhæng. Eksempelvis introducerer vi i Matematrix 5 formelt størrelsesforhold som matematisk begreb. Det giver kun mening, fordi der i hele indskolingen og i 4. klasse er blevet arbejdet med en lang række begreber, som danner grundlag for at forstå, hvad et størrelsesforhold er: En grundlæggende talforståelse danner udgangspunkt for arbejdet med addition, derefter multiplikation, så anvendt brøkregning i form af deling og brøkdele og så brøk som en talmæssig repræsentationsform for størrelsesforhold. Med fokus på kapitlerne i bøgerne til hvert klassetrin ser progressionen således ud: 0. klasse
Tallene 0-20.
1. klasse
Addition og subtraktion.
2. klasse
Chance og multiplikation.
3. klasse
Deling og brøkdele.
4. klasse
Brøker, division og decimaltal.
5. klasse
Brøker og størrelsesforhold.
6. klasse
Brøker og procent.
I introduktionen til hvert grundbogskapitel her i lærervejledningen præsenterer vi den begrebsmæssige progression, som kapitlet indgår i.
Faglige opslag Kapitlernes faglige hovedpointer er placeret på gennemgangssiderne, men til de fleste kapitler findes faglige opslag, som forløber over en eller to sider. Disse opslag indeholder relevante underbegreber eller beslægtede begreber til gennemgangsstoffet, fx: • Division: Primtal. • Statistik: Spørgeskemaundersøgelser. Da de faglige opslag indeholder centralt kernestof, bør alle elever arbejde med dem.
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 16
07/08/2019 09.10
Begrebsdannelse
A Grundtankerne
Eleverne i 5. kl. har både hørt om millioner og milliarder. Hvilken opfattelse de har af fx en million er meget individuelt. Elevens viden om en million stammer måske fra udtryk som ”Nej skat, jeg har travlt, jeg skal nå en million ting i dag”. De fleste af os bruger jo ”million” i betydningen ”en masse” eller ”meget” i dagligdagssproget. Også i kontekster som fx huspriser, indbyggertal m.m. kan eleverne have hørt om store tal. Men herfra og til præcist at vide, at en ”million” er heltallet efter 999.999, er der meget langt. I rammen nedenfor er nogle få eksempler på begreber, som voksne forbinder med en million.
Hvert knudepunkt svarer til et begreb, og hver streg til en relation.
17
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til undersøgelserne
Hvert af disse begreber hænger igen sammen med andre begreber. Illustrationen ville derfor meget hurtigt blive uoverskuelig, hvis alt dette skulle med. Og alligevel ville det blot udgøre en brøkdel af det samlede antal mentale begrebslige forbindelser. Børnenes forskellige udviklingstrin og måde at tilegne sig viden på, skyldes i høj grad, at der er så ufatteligt mange mulige mentale forbindelser. Forståelsesgraden af et forhold handler nemlig om, hvor mange forbindelser, der er dannet mellem begrebet og alle de øvrige begreber, man kender. At forstå noget nyt handler altså om at få etableret nogle stærke forbindelser (eller relationer) mellem det nye begreb og de allerede kendte sikre begreber. Eksempelvis har et barn på 10 år måske dannet stærke levedygtige relationer mellem en ”million” og ”meget”. Udfordringen for læreren er at bygge videre på den ”rigtige” relation, således at begrebsforståelsen bliver mere sikkert forankret. I 5. klasse kan man ikke forvente, at eleverne præcist ved, hvad en million er. Ikke desto mindre sidder der faktisk nogle meget velorienterede elever i hver klasse, der har god fornemmelse for ”store tal”.
At lære et nyt begreb er altså at koble det til de eksisterende begreber. Denne kobling sker i forbindelse med elevens faglige aktivitet med det pågældende begreb. I hvilken grad det lykkes, afhænger af en række faktorer: • Begrebet skal være inden for rækkevidde for eleven. Det skal indgå i en naturlig sammenhæng og progression i forhold til barnets øvrige begrebsverden. • Aktiviteterne skal bringe eleven til at tænke i de rette baner. Ideelt set skal de tage udgangspunkt i begreber, som er velkendte for eleverne. Da en del forskning har vist, at også elevens humør og motivation har stor betydning, må vi endvidere stille krav om, at aktiviteterne opleves som vedkommende og spændende. • Der skal være tilstrækkeligt mange aktiviteter, og de skal spredes over tid. Begreber, der ikke arbejdes intensivt med i læringsperioden, kobles ikke med stærke forbindelser og nedbrydes efter kort tid. Som en analogi kan vi tænke på muskeltræning. Trænes der ikke hårdt nok, svarer kroppen ikke igen med at opbygge flere og stærkere muskelfibre.
Kommentarer til kapitlerne
Udfordringen er, at begreberne ikke sådan bare kan sættes ind efter en nærmere tilrettelagt plan. Begreberne opstår som led i elevens ”trial and error” og ”aha-oplevelser”, når de selv er virksomme. Den pædagogiske opgave er derfor at hjælpe hver enkelt elev med selv at bygge/konstruere et arkivsystem (en begrebsstruktur) og få anbragt både de eksisterende og nye hidtil ukendte begreber i det.
9788723530295_indhold.indd 17
07/08/2019 09.10
A Der mangler stærke relationer imellem begrebet A og andre begreber. Meget forsimplet kan matematikundervisningen forstås som aktiviteter, der har til formål at skabe forståelse, fasttømre forståelsen og udvide forståelsen for matematiske begreber. Det er vigtigt at påpege, at der næsten altid findes flere grader af forståelse. Eksempelvis har et 4-årigt barn, en 9. klasseelev og en biolog en forskellig forståelse af begrebet insekt. Spørger vi det 4-årige barn, finder det et insekt og siger ”sådan en”! Eleven i 9. klasse nævner måske et par konkrete arter og forklarer om forskellen på et insekt og et pattedyr, mens biologen forklarer, at et insekt er ”en treleddet struktur med seks ben”.
A
A
De forskellige grader af forståelse er et spørgsmål om, hvor mange og hvor stærke relationer, der er mellem det, der skal forstås, og øvrige relevante begreber. At udvide sin forståelse kræver tid til at opleve, tænke og erfare. Nye sammenhænge erkendes ud fra kendte begreber, og pludselig har man fået baggrund og rum til at forstå det, man ikke tidligere forstod.
gør det meget vanskeligt at bruge begrebet i nye sammenhænge. Hvis læreren spørger på en ny måde, kan der opstå store problemer med overhovedet at opfatte spørgsmålet. Eksempler på instrumentel forståelse: • At kunne den lille tabel uden at forstå multiplikation. • At kunne regne 7 · 21 men ikke 21 · 7. • At kunne bruge algoritmer uden at forstå, hvordan de virker. Instrumentelle forståelser virker på kort sigt. Eleven får jo de rigtige facitter. Men den instrumentelle forståelse viser sig utilstrækkelig til at bygge ny viden ovenpå. Desuden tvinges man til at lære mere udenad, end når begrebsstrukturen forstås. Fx er ideen bag navngivningen af polygoner, at man ikke behøver at huske de enkelte figurers navne. På samme måde er princippet bag titalssystemet, at man ved at forstå selve systemet, slipper for at skulle huske alle tallenes forskellige navne. I skolesystemet, hvor læring baseres på tidligere lærte begreber, metoder osv. må instrumentelle forståelser altså ikke være mål i sig selv. I en række af livets øvrige sammenhænge er den instrumentelle forståelse dog ofte tilstrækkelig. Fx har de færreste andet end en instrumentel forståelse af gearkasse og kobling i en bil, eller hvordan der skabes forbindelse til internettet.
A Nye aktiviteter skaber flere relationer mellem begrebet A og andre begreber. Matematikeren og psykologen Richard R. Skemp har beskrevet forskellige måder at forstå begreber på. Han opererer med to typer af forståelse: relationel forståelse og instrumentel forståelse. Førstnævnte er det, som er skitseret ovenfor. Som modpol kan man tale om instrumentel forståelse, hvilket betyder, at man bare ”gør noget”, uden at forstå det og uden at se det som en del af en større sammenhæng. Man kan udføre korrekte regneoperationer, men man har ikke fat i begrebet. Og det er tydeligt, at den usikre forståelse
18
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 18
07/08/2019 09.10
Den russiske psykolog, Lev Semenovich Vygotskij, argumenterede for, at sprog og begreb udvikler sig dialektisk. Det giver eksempelvis ikke mening at lære at lægge brøker sammen uden at få at vide, at det faktisk hedder ”brøk”, ”tæller”, ”nævner”, ”addere/plusse”. Vygotskij har givet udtryk for, at det er en vigtig del af begrebsudviklingen at kunne udtrykke sig sprogligt. Og med sprogligt mente han ikke kun det talte sprog, men alle de sprog, hvormed et menneske kan kommunikere – altså også kropssprog, tegninger osv. Jo mere kommunikation, og jo flere forskellige mennesker, der kommunikeres med, des bedre. Men det er ikke ligegyldigt, hvordan denne kommunikation finder sted. Det handler i høj grad om at være ”på bølgelængde”. Læringsmæssigt er det symbolske sprog (tal-, tegn- og bogstavssymboler) et svært sprog. Årsagen er, at der ikke er nogen intuitiv sammenhæng mellem det, der skal læres (begrebet), og det navn (eller symbol), begrebet har. Det er hverken intuitivt eller logisk, at symmetri netop hedder ”symmetri”, eller at > betyder ”større end”, og + betyder ”lægge sammen”. Vygotskij har skabt nogle begreber, der kan hjælpe med at forstå problemstillingen lidt bedre. Vygotskijs 1. ordens sprog: Man udtrykker sig spontant, hverdagsagtigt og uden at tænke på oversættelse mv. Sproget og begreberne har udviklet sig samtidigt for barnet. Det er uadskilleligt – en del af et hele. Et barn kan fx bede om ”en kvart skummet” uden at tillægge en kvart nogen særlig matematisk betydning. Det drejer sig ganske simpelt om en konkret genstand. Vygotskijs 2. ordens sprog er sprog, som ikke står i direkte kontakt med begrebsindholdet. Derfor er man nødt til at ”oversætte”. Det kan fx være 14 . En fjerdedel refererer ikke nødvendigvis til et bestemt forhold, men betegner måske mere generelt begrebet, 14 . 2. ordens sproget er altså frakoblet de konkrete ting, det omhandler. Når eleverne skal lære det, må man bygge videre på deres eksisterende viden ved at tage
2. ordens sprog, ”niveau 1” Nærmeste udviklingszone for de fleste elever i 5. klasse.
Grundtankerne
2. ordens sprog, ”niveau 2” Ikke nærmeste udviklingszone for de fleste elever i 5. klasse, da der forudsættes mere 1. og 2. ordens sprog (niveau 1) og erfaringer.
a : b = c, fordi c∙b=a
108 : 9 = 12, fordi 12 ∙ 9 = 108
1. ordens sprog. ”108 delt med 9 - Hm, jeg kan tage 9 tolv gange, så det må give 12”
Begrebet, zonen for nærmeste udvikling, handler om over gangen mellem de to sprog.
Zonen for nærmeste udvikling Vygotskij beskriver læring som overgang mellem to zoner. Den aktuelle zone (der hvor man befinder sig inden læringen) beskrives som barnets mentale operationer, som allerede er etableret som resultat af tidligere udviklingsniveau. Den defineres altså ud fra, hvad barnet kan.
Kommentarer til kapitlerne
Evnen til at kommunikere med andre har stor betydning for læringen. Derfor må sproget beherskes. At kunne sætte ord på begreberne gør det let for børnene at præcisere og teste begrebsforståelsen løbende: ”Er det sådan, du mener?”, ”En firkant, kan det også være sådan en her?” Mange forløb i bogen lægger op til samtaler klassevis, gruppevis og to og to.
udgangspunkt i deres naturlige sprog. Udviklingen af 2. ordens sproget forudsætter med andre ord, at man udnytter elevens sprog af 1. orden som en slags oversættelsesled. Derfor må man tage afsæt i dagligdagssproget og elevernes viden og bruge den aktivt som fundament til den nye viden.
Den potentielle eller proximale zone defineres af det, som barnet er på vej mod. Barnet skal strække sig for at forstå det nye begreb, hvilket er muligt med hjælp og støtte fra andre. En god måde at undersøge en elevs aktuelle zone er ved at studere hans/hendes tegninger. I tegningen udtrykker man sig nemlig i sit naturlige 1. ordens sprog. Derved får vi adgang til de mentale forestillinger, som er elevens nuværende forståelse – den aktuelle zone (jf. begrebsevaluering, side 20). Det er så en efterfølgende pædagogisk udfordring at finde de aktiviteter, der kan være oversættelsesled. Altså aktiviteter, som kan få barnet til at ”koble sin eksisterende viden” til den ny viden.
19
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til undersøgelserne
Sproglige forhold
9788723530295_indhold.indd 19
07/08/2019 09.10
Evaluering af begrebsforståelse
Den åbne tilgang
I arbejdsbogen afsluttes hvert kapitel med to evalu eringssider, som sætter fokus på henholdsvis færdigheder og begrebsforståelse. Evalueringens rolle er ikke at fastlægge elevernes indbyrdes eller absolutte niveau. Siderne tager i stedet et formativt udgangs punkt, hvor eleven og læreren undersøger elevens formåen med henblik på den videre udvikling.
Begrebsevaluering i arbejdsbogen
Du kan bruge ordene fra boksen.
brøk
brøkstreg men
brøkdel
lægge sam
helhed trække fra
forhold forlænge
del
hele tal
forkorte
Tegn eller vis hvordan du regner 3 + 1 8 6
Hvad er en fællesnævner? ________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________
BRØKER · EVALUERING
9788723530288_indhold.indd 41
KOPIERING FORBUDT
Begreberne langs rammen af skrivefeltet er tænkt som en støtte for elevernes refleksioner og associationer. Begreberne kan inspirere dem, men de behøver ikke at gøre brug af dem. Der skal således ikke skrives noget på forhånd fastlagt, og der skal ikke nødvendigvis arbejdes systematisk med de enkelte hjælpebegreber. Aktiviteten kan altså præsenteres og sættes i gang på mange måder, som i forskellig grad gør brug af de angivne hjælpebegreber. • I kan indlede med en fælles brainstorm på tavlen/ boardet med tegninger, forklaringer og eksempler fra kapitlet, som eleverne så kan lade sig inspirere af. • Eleverne kan arbejde selvstændigt med aktiviteten med mulighed for at bladre i grundbog, arbejdsbog og kladdehæfte for at finde relevante eksempler m.m. Det er tanken, at de selv kan vælge, om de vil vise tegn på målopfyldelse ved at tegne, give eksempler, lave filmklip og/eller fortælle om begreberne. • Man kan arbejde meget eksplicit med de angivne hjælpebegreber ved at lade eleverne arbejde med begrebskort (se næste side).
Tegn og skriv hvad du ved om brøker.
nævner
Her lægges op til, at eleverne viser eksempler på, hvilke forestillinger de har om kapitlets centrale begreb. I kraft af dette arbejde kan man få et godt billede af, hvilke mentale forbindelser de har fået skabt.
41
06/05/2019 15.51
Overordnet består begrebsevalueringen i arbejds bogen af en meget åben tilgang øverst på siden og en mere konkret tilgang nederst på siden.
Den mere konkrete tilgang Nederst på siden møder eleverne typisk nogle få eksemplariske opgaver, som sætter fokus på de væsent ligste forståelsesområder i kapitlet. I brøkeksemplet skal de helt konkret addere to brøker, der som udgangspunkt ikke har samme nævner. Allernederst udfordres eleverne med et konkret spørgsmål, hvis besvarelse kræver, at de har forstået kernen i kapitlets centrale begreb, som i eksemplet her er fællesnævner. I andre kapitler lægges der op til, at eleverne selv beskriver kapitlets helt centrale begreb, fx i begrebs evalueringen af division (Arbejdsbogen, side 49).
20
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 20
07/08/2019 09.10
Et begrebskort er en skematisk fremstilling af en persons forståelse af et antal begreber beskrevet ud fra en række udsagn om disse begrebers indbyrdes relationer (se illustrationen herunder). Hvert udsagn består af to eller flere navne på begreber forbundet med ord til en semantisk enhed. I sin simpleste form er et begrebskort således blot ét udsagn bestående af to begrebsnavne forbundet med ét ord: ”Bladet er grønt”, ”skolen former hjernen”, ”brøker er tal”, osv.
Hvis man ønsker at arbejde digitalt med begrebskortene, kan mindmaps være et velegnet værktøj. På nettet findes der mange hjemmesider, som indeholder velegnede og frit tilgængelige mindmaps (Søg fx på ”concept maps”).
Brøkdele Tæller
kan vise
består af
Tallinje kan vises på
Addition/ Subtraktion kræver
Fællesnævner
Forlænge kan skabe
Forkorte
Brøker kan man
består af
Nævner
kan være kan være
er altid
Tal
Hele tal kan være
Eksempel på begrebskort fra kapitlet ”Brøker”.
Hvordan man vælger at introducere og bruge begrebskort i undervisningen, er i høj grad et spørgsmål om personlig stil. Et helt centralt fokuspunkt er dog, at eleverne skriver udsagn om forskellige begrebspar som et konkret tegn på deres begrebsforståelse. Processen kan naturligvis både foregå analogt og digitalt. I dette eksempel foregår det på papir: 1. Eleven/gruppen udvælger et antal for kapitlet centrale begreber, bl.a. med inspiration fra hjælpebegreberne i rammen, men gerne også med egne input. Hvert begreb skrives på en lap papir. Alle lapperne placeres på et stort stykke papir eller karton. 2. Eleven/gruppen vælger kapitlets centrale begreb til at være det styrende for sit begrebskort, og placerer denne lap midt på papiret. De øvrige begreber placeres rundt om det styrende begreb.
Tegn på begrebsforståelse Begrebsforståelse handler om at etablere nogle stærke relationer mellem forskellige begreber (jf. omtalen på side 17-18). Evaluering af begrebsforståelse handler derfor om at spejde efter tegn på sådanne relationer. De gode evalueringssituationer er således dem, hvor eleverne bringes til mundtligt og/eller skriftligt at beskrive, hvad de mener forskellige begreber har med hinanden at gøre. En sådan situation har vi som beskrevet tilstræbt at etablere i begrebsevalueringssiderne. Her er der netop fokus på relationer mellem kapitlets centrale begreb og andre beslægtede begreber, som eleverne har arbejdet med.
Kommentarer til kapitlerne
kan sjældent vises på
kan handle om
Saftevand
Eksempelvis lægges der på evalueringssiden i kapitlet Division op til at beskrive forbindelser mellem begreberne division og multiplikation. Hvis en elev fx skriver, ”at dividere er det omvendte af at gange”, er det tegn på god forståelse af både division og multiplikation. Omvendt vil der også være elever, som færdighedsmæssigt kan dividere to tal med hinanden, men som viser manglende tegn på forståelse af divisionsbegrebet, hvis de skal forklare resultatet. Kommentarer til undersøgelserne
Lykkehjul kan handle om
3. Eleven/gruppen tegner pile mellem de begreber, som opfattes som relaterede. Begreber med indbyrdes relationer flyttes, så de er placeret i nær heden af hinanden. 4. Ved hver pil skrives et eller flere ord, som karakteriserer relationen mellem de to begreber i hver ende af pilen. 5. Eleven/gruppen skal nu se på sit begrebskort „lidt fra oven“ og reflektere over resultatet og eventuelt lave dét om, som ikke er tilfredsstillende. Når ændringerne er foretaget, laves en „rentegning“ af begrebskortet.
Grundtankerne
Begrebskort
21
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 21
07/08/2019 09.10
Matematiske færdigheder Begrebet ’færdighed’ kan forstås som evnen til at udføre en given handling, som kan bestemmes helt entydigt.
Evaluering af matematiske færdigheder
1
I Fælles Mål lægges der stor vægt på, at eleverne mestrer en række grundlæggende matematikfærdigheder. Det drejer sig ofte om at kunne udføre bestemte regneoperationer som fx at dividere, afrunde til hele tiere og omskrive fra brøk til decimaltal.
1 2
2
3
____ ____ ____
1 5
b
____ ____ ____
c
3 4
____ ____ ____
Forlæng brøkerne med 3. a
1 2
=
1·3 2·3
c
3 4
=
3· 4·
= =
b
2 3
=
2· 3·
=
d
6 5
=
6· 5·
=
Forkort brøkerne mest muligt. a
I Matematrix er der et særligt fokus på færdighedstræning i øvelserne (jf. Timeglasset side 24-25). Når man virkelig behersker en færdighed, kan man sige, at den er blevet automatiseret.
4 8
_____
4
b
6 9
______
c
8 20
______
5
d
10 4
______
6
a
2 + 4 = 3 __________ 3
a
1 + 5 = 9 6 __________
b
6 – 2 = __________ 5 5
b
4 + 2 = 7 5 __________
c
3 – 3 = __________ 8 8
c
3 + 5 = 8 8 __________
a
2· 3 = 4 __________
b
3· 5 = 6 __________
c
6 7
· 2 = ______ ____
2 5
· 4 = ______ ____
d e
7
Som det er pointeret mange steder i Matematrix kan mestring af færdigheder naturligvis ikke stå alene, men færdighederne udgør en vigtig del af den matematiske værktøjskasse, som man har brug for, når man eksempelvis modellerer eller skal løse et problem. I forbindelse med problemløsning er det en stor fordel at have en vis paratviden og kunne udføre basale beregninger, da det i højere grad gør det muligt at fokusere på selve problemløsningsprocessen. Men selvfølgelig er det vigtigt at gøre sig klart, at kompetence omfatter meget mere en blot summen af en række færdigheder.
Skriv 3 brøker, der er lige store som a
Nana og Simon køber 2 ens pizzaer. Nana spiser
3 4
af sin pizza, og Simon spiser
5 8
8· 3 = 4 __________
af sin.
a Hvem spiser mest? _____________________ b Hvor meget pizza spiser de til sammen?_________ c Hvor meget pizza er der tilbage?______________
40
BRØKER · EVALUERING
9788723530288_indhold.indd 40
KOPIERING FORBUDT
06/05/2019 15.51
Denne side er rettet mod kapitlets centrale faglige færdigheder, som fremgår af de faglige læringsmål til de enkelte kapitler (jf. side 35). Her spørges ind til kernestoffet, så alle øvelseskategorier bliver tilgodeset – ofte suppleret med en lille drejning i retning af opgaverne. Færdighedssiden er altså mere konkret og lukket end begrebsevalueringssiden.
22
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 22
07/08/2019 09.10
Læringsprincipper Læringsprincipper er velegnede at bruge i tilrettelæggelsen af undervisningen. De skal bidrage med at fastholde undervisningen på rette spor. En afgørende forudsætning for læring er, at den lærende skal have mulighed for selv at bygge (konstruere) sin viden,
færdigheder og kompetencer, som jo ikke overføres hurtigt og lige så enkelt, som når man downloader fra nettet. Konstruktionen af viden og færdigheder kræver, at vi er motiverede og fokuserede på at lære, og at vi aktivt prøver os frem. En hovedopgave for læreren er derfor at organisere og tilrettelægge meningsfyldte situationer for eleverne.
Grundtankerne
Fokus på læring
LÆRINGSPRINCIPPER
Man lærer bedst, når man får god feed-back. Man lærer bedst, når man får god feed-back fra en kompetent person (læreren). Feed-backen giver anledning til reflektion, selvevaluering og metakognition. Man lærer bedst, når man er motiveret. Eleverne vil være mere motiverede, hvis de kan se meningen med aktiviteterne og har haft indflydelse på dele af undervisningen. Adgang til it fremmer også motivationen. Motivationen skal drive læringen og gøre læringsprocessen mere fokuseret. Man lærer bedst, når man møder det nye stof ud fra egne forudsætninger. Begrebsmæssigt og kompetencemæssigt vil eleverne i en klasse normalt befinde sig på flere forskellige faglige niveauer. For at motivere og understøtte elevernes læring er det vigtigt at tilgodese elevernes forforståelse.
Man lærer bedst gennem gentagelser. Gentagelser fortæller hjernen, at noget er vigtigt og skal huskes, og i gentagelsen opdages ofte nye sammenhænge. Kommentarer til kapitlerne
Man lærer bedst, når man er virksom. Eleverne skal selv arbejde med stoffet frem for at få det fortalt. Det er vigtigt, at man generelt forholder sig aktivt til omverdenen og dagligdagen (dialog, tegning, skrivning, regning, udvikling af egne strategier, skuespil, tænkning, mimik osv.)
Man lærer bedst, når man oplever fremgang. Giv eleverne succesoplevelser og anerkendelse for deres indsats. Læg op til, at de selv er med til at bedømme kvaliteten af deres arbejde. Derved oplever de også tilfredsstillelsen ved, at en god indsats giver et godt resultatet.
Man lærer bedst, når man er godt forberedt og undgår at komme bagefter. Det er vigtigt, at alle aktørerne omkring eleven understøtter skolens matematikundervisning, så risikoen for, at der opstår kritiske faglige huller hos eleven, bliver mindre. Man lærer bedst, når kroppen er med. Inddrag mange ikke-boglige aktiviteter, tænk i it, repræsentationsformer og læringsstile. Man lærer bedst, når man har mulighed for at tegne, bygge modeller og foretage udregninger på kladdepapir eller i et digitalt medie. Hvis en opgave er problematisk venter mange elever med at skrive noget, indtil de er sikre på, hvad de skal gøre. Det er en misforståelse. Problemløsning handler netop om at turde afprøve forskellige muligheder og strategier.
Kommentarer til undersøgelserne
Man lærer bedst, når man kender målet med undervisningen. Ved at være fortrolig med den faglige dagsorden øges ejerskabet til læringen, og man kan arbejde mere målrettet og fokuseret. Også af den grund er det vigtigt, at eleverne deltager i planlægningen af arbejdsmåder, samarbejdsformer og valg af materialer.
Man lærer bedst, når man er vedholdende. Det er vigtigt at kunne fastholde arbejdet i længere perioder uden at give op, hvis man vil dygtiggøre sig. Vejen til indsigt og kompetence kan være slidsom. Evnen til problemløsning handler i høj grad om at lære at styre sin frustration og hele tiden forsøge at tænke i muligheder.
23
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 23
07/08/2019 09.10
INTRO • fælles snak • skabe interesse
INTRO-AKTIVITETER
TIMEGLASMODELLEN De fagligt organiserede kapitler i Matematrix er opbygget efter en læringsmodel, vi har kaldt „timeglasmodellen“. Timeglasset bruges, når eleverne skal tilegne sig nye og centrale begreber og metoder. Et kapitel tager udgangspunkt i elevernes erfaringsgrundlag og forforståelse. Derefter indsnævres det indholdsmæssige fokus til et præcist og velafgrænset matematisk kerneindhold. Læringsforløbet fortsætter med konsolidering og anvendelse af begreberne i virkelige, relevante og forskelligartede sammenhænge og afsluttes med en evaluering. Timeglasset er en meget vigtig del af læringsværktøjet, fordi det består af seks helt centrale forløbsfaser, som tilsammen og hver for sig indeholder Matematrix’ væsentligste læringsmæssige pointer. Timeglasset er også synliggjort i grundbøgerne men i en enklere version med i alt seks faser. For ikke at gøre modellen for kompliceret for eleverne er opgaver og opslag placeret i den samme fase. Når en sådan forenkling umiddelbart er mulig og giver mening, skyldes det, at de fleste aktiviteter under opslagene har opgavepræg. I timeglasset i grundbogen er evalueringsfasen også vist. Da evalueringsaktiviteterne imidlertid er placeret i arbejdsbogen, er denne fase aldrig farvelagt i grundbogen.
24
• spørge tilbage • skabe nye behov • pege frem
GENNEMGANG • ny viden
ØVELSER • ind på rygraden • træne indtil man mestrer
OPGAVER • løse problemer • anvende • udforske • samarbejde • udfordre
FAGLIGE OG TEMATISKE OPSLAG • møde nye, beslægtede begreber • arbejde i virkelighedsnær kontekst
EVALUERING • udtrykke forståelse • vise færdigheder • nye mål? • vise kompetencer
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 24
07/08/2019 09.10
TIMEGLASMODELLENS SYV FASER
Grundtankerne
Introduktion Ideen med introduktionen er at motivere eleverne for det nye emne og synliggøre dagsordenen. Der lægges op til en samtale med eleverne om, hvorfor det er vigtigt at bruge tid på de aktuelle faglige begreber. Intro-aktiviteter Inden de nye matematiske begreber indføres og forklares, er det vigtigt, at eleverne involveres aktivt, så de kommer til at tænke i de rigtige baner. Der lægges op til, at eleverne enkeltvis eller parvis arbejder med aktiviteter, der genopfrisker tidligere lærte faglige begreber og relevante erfaringer på en måde, så de peger frem mod og skaber behov for en ny gennemgang. Matematisk gennemgang Det er bevidst gjort tydeligt, at der nu foretages et “spring“ ind i matematikkens verden. Der samles op på aktiviteterne, så fælles træk og karakteristika udpeges. Mødet med det abstrakte matematiske begreb tager altså direkte udgangspunkt i de erfaringer (matematiske og dagligdags), som eleverne har fået i introen.
Kommentarer til kapitlerne
Øvelser Her trænes centrale færdigheder i tilknytning til det nye stof. Øvelserne er inddelt i særlige øvelseskategorier, så træningen af fagligt kernestof gøres så synligt og præcist som muligt for eleverne. Der lægges op til mange gentagelser af den samme arbejdsproces. Når en elev behersker en øvelseskategori, er det meningen, at han/hun går videre til næste aktivitet. Opgaver Opgaverne har til formål at forstærke begrebsdannelsen ved at skabe flere relationer mellem de forskellige begreber hos den enkelte. Den simple forståelse, der er etableret gennem arbejdet i øvelsesafsnittet, bliver udfordret i denne fase. I forhold til øvelserne er opgaverne mere varierede og komplekse. Opgavernes forskellige sværhedsgrad gør dem velegnede til differentiering. Det er på ingen måde meningen, at alle elever skal løse samtlige opgaver. De sidste opgaver i hvert kapitel er vanskelige. Faglige og tematiske opslag Efter afslutningen af opgaverne er kapitlets hoveddagsorden færdigbehandlet. Herefter arbejdes med relaterede opslag. I faglige opslag er der fokus på beslægtede begreber eller underbegreber til kernestoffet i gennemgangen. I tematiske opslag lægges op til, at eleverne anvender den nye viden i virkelighedsnære kontekster.
25
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til undersøgelserne
Evaluering Siderne har fokus på evaluering af kompetencer, begrebsforståelse og færdigheder. Evalueringens rolle er først og fremmest at gøre eleverne bevidste om, hvordan det går med at arbejde sig hen mod målene.
9788723530295_indhold.indd 25
07/08/2019 09.10
Undersøgelser og projektarbejde Projektarbejdsformen er med sit fokus på arbejde i komplekse situationer velegnet til mange former for kompetenceudvikling. Desuden lægger arbejdsformen op til differentiering, kreativitet, samarbejde, fordybelse, forskellige læringsstile og kan også munde ud i mange forskellige kommunikationsformer i rapporteringsdelen.
Ved længerevarende projekter kan det være en idé at kræve en kort fremlæggelse af timens/dagens arbejde og fremskridt for læreren og eventuelt resten af klassen. Det kan hjælpe med at holde den åbne arbejdsproces på sporet i forhold til de faglige mål. Samtidig kan det tjene som (ydre) motivation til lige at gøre sig umage, og så er det ofte også værdifuldt for resten af klassen at opleve andre gruppers proces, få gode ideer osv.
I Matematrix lægger vi op til en undervisning, hvor eleverne ind i mellem får mulighed for selv at styre læringsprocessen i et projektarbejde. Bagest i grundbøgerne findes således forslag til otte forskellige undersøgelser på hvert klassetrin. Disse undersøgelser er aktivitetsoplæg, som kan benyttes uafhængigt af bogens kapitler, når det vurderes at være relevant i forhold til de valgte læringsmål for undervisningen.
Fokuser på læringsmålet, og ikke på metoder eller midler. Det er vigtigt, at eleverne oplever meningen med aktiviteten. Undgå at fortælle dem, hvordan arbejdet skal gøres, fortæl dem i stedet om målet for forløbet. Motiver dem – brug tid på at skabe en god stemning og et inspirerende læringsmiljø. Det er den samlede oplevelse, der bærer eleverne igennem undersøgelsen.
I disse forløb kan det anbefales, at læreren er vejleder og giver eleverne mere ansvar end normalt. Først og fremmest handler det om ikke at blande sig i tide og utide i elevernes undersøgelser. Man skal acceptere elevernes omveje og tillade, at de bliver en kende frustrerede. Går det helt galt, kan man gribe ind og gøre undersøgelsen mere overskuelig ved at stille lettere og mere konkrete spørgsmål.
Det ideelle projektarbejde • er åbent, så eleverne tager ejerskab for projektet og har stor reel indflydelse på det færdige resultat. • sigter mod, udfordrer og udvikler de matematiske kompetencer. • trækker på konkrete handlinger (forsøg) eller oplevelser. • udføres i grupper, hvor processen kræver meget faglig kommunikation. • inddrager flere udtryksformer, fx dialog, fremlæggelse, tegninger, tekst, video, billeder og computerfrembringelser i fx GeoGebra. • indeholder informationssøgning – fx konkrete optællinger og/eller søgninger på nettet. • indeholder problemløsning, dvs. situationer, hvor man ikke ved hjælp af kendte metoder umiddelbart kan komme videre og derfor skal styre sin naturlige frustration over at ”sidde fast”. • er sjovt. • egner sig til tværfagligt arbejde.
I forhold til tempo og fremdrift skal man finde en balance mellem at gribe for tidligt ind og at lade eleverne gå helt kolde i undersøgelsesprocessen. En god måde at fastholde processen på er ved at gøre opmærksom på elevernes fremskridt: ”Nu har I klaret den del af undersøgelsen, der handlede om at …” „Nu har I forstået…”. „Nu kan I svare på…“. „Nu har I jo nået det og det delmål“. „Nu kan I gå hjem og fortælle om…“. Lærerens tilbøjelighed til at gribe ind afhænger også af den enkelte elevs situation og fremtoning. Nogle elever er usikre og har et meget stort behov for at føle sig trygge. De vil helt automatisk stille mange opklarende spørgsmål. Og som regel vil læreren da også give dem mere detaljeret hjælp. Andre elever påskønner måske mere udfordringer og kaster sig frivilligt ud i større projekter. De accepterer i højere grad, at arbejdet kan være forbundet med en vis usikkerhed og risiko.
26
Matematrix 5 · Lærervejledning/Web
9788723530295_indhold.indd 26
07/08/2019 09.10
Matematrix 5 ∙ Lærervejledning / Web LÆRERVEJLEDNINGEN indeholder ∙ Grundtankerne bag Matematrix ∙ Kommentarer til de enkelte kapitler
WEBBEN indeholder ∙ Arbejdsark til træning, fordybelse og undersøgelser ∙ Facitlister ∙ Regnearksfiler ∙ GeoGebra-aktiviteter ∙ Faglige film ∙ Lydfiler ∙ Læringsmål og årsplaner
Ved køb af en lærervejledning gives der adgang til indhold og resurser på webben: matematrix.alinea.dk
ISBN 978-87-23-53029-5
9 788723
530295
alinea.dk
9788723530295_omslag.indd 2
07/08/2019 09.03