Matematik-Tak 9.kl. Lærervejledning, 2.udg.

John Frentz | Jonna Høegh | Mikael Skånstrøm

MATEMAT IK TA K

LÆRERVEJLEDNING 9. KLASSE

9788723037459_omslag.indd 1

| ALINEA |

13/11/13 14.10

John Frentz • Jonna Høegh • Mikael Skånstrøm

MATEMAT IK TA K FOR 9. KLASSE

VEJLEDNING

ALINEA

9788723037459_indhold_01_26.indd 1

13/11/13 14.31

MATEMATIK-TAK for 9. klasse. Vejledning © 2009 Alinea A/S, København Kopiering fra denne bog kun tilladt ifølge aftale med COPY DAN. Det gælder dog ikke sider til fri kopiering.

Grafisk tilrettelægning: Roll Company Omslag: Maria Lundén Fotografier: Hans Juhl Forlagsredaktion (ekstern): Esben Lildholdt Esbensen Tryk: Sangill Grafisk 2. udgave 1. oplag 2010 ISBN 978-87-23-03745-9

9788723037459_indhold_01_26.indd 2

13/11/13 14.31

9788723037459_indhold_01_26.indd 3

13/11/13 14.31

9788723037459_indhold_01_26.indd 4

13/11/13 14.31

Indhold Materialer til 9. klasse 9

ROSKILDE FESTIVAL 81

Festivalpladsen........................................................ 82 Teltet ....................................................................... 84 Regn over Roskilde................................................. 86 Julie og Trine på Festival ........................................ 88

Generelt 13

Fælles mål 2009 ...................................................... 13 Undervisningsvejledningen..................................... 15 Matematik-tak og IT ............................................... 17 Matematik-tak og evaluering .................................. 18 Faglige færdigheder facitliste ................................. 19 Månedens opgave ................................................... 23

Kopisider 92

Isometrisk papir ........................................ kopiside 1 Perspektivtegning .................................. kopiside 2 – 4 Ind- og udfaldsvinkler .......................... kopiside 5 – 6 Lønseddel .................................................. kopiside 7 Stjernelygte ............................................ kopiside 8 – 9

Vejledning til siderne Matematik-tak 9. kl. 29 DESIGN 29

Faglige færdigheder

Mønstre i tæpper ..................................................... 30 Stelton ..................................................................... 32 PH-lamper ............................................................... 35 Lampedesign ........................................................... 37

Design ............................................... kopiside 10 – 12 Ung i arbejde .................................... kopiside 13 – 15 Kommunen ........................................ kopiside 16 – 18 Ekspeditioner .................................... kopiside 19 – 21 Spis ordentligt ................................... kopiside 22 – 24 WWW ............................................... kopiside 25 – 27 Roskilde Festival .............................. kopiside 28 – 30

UNG I ARBEJDE 38

Jesper....................................................................... 39 Kort frokost ............................................................. 41 På arbejde ................................................................ 43 Katrine er et blomsterbarn ...................................... 45

Månedens opgave

August, Kvadrater ................................... kopiside 31 September, Kuber ................................... kopiside 32 Oktober, Kvadrater og rektangler ........... kopiside 33 November, Deling af cirkler ................... kopiside 34 December, Hvor lang tid? ....................... kopiside 35 Januar, Sømbrætdeling ............................ kopiside 36 Februar, En spilleplade ........................... kopiside 37 Marts, Cirkelområder .............................. kopiside 38 April, Kvadrattal ..................................... kopiside 39 Maj, En cykeltur ..................................... kopiside 40

KOMMUNEN 46

Kommunevalg ......................................................... 47 Skolebørn i kommunen .......................................... 49 Lokalplan ................................................................ 51 Bornholms Regionskommune................................. 53 OP MOD JUL 54

Julekalender ............................................................ 55 Stjernelygte ............................................................. 56 EKSPEDITIONER 57

I dybden .................................................................. 58 I højden ................................................................... 60 I rummet .................................................................. 62 Havets udforskning ................................................. 64

Vejledning til EDB for 7.–10. klasse

Bogstavregn ............................................ kopiside 41 Grafer ...................................................... kopiside 42 Model ...................................................... kopiside 44 Mønster 2 ................................................ kopiside 46 Rumgeometri .......................................... kopiside 48 Sandsynlighed ......................................... kopiside 49 Geometri ................................................. kopiside 50 Regningsarterne ...................................... kopiside 52 Sammenhæng .......................................... kopiside 53 Statistik .................................................... kopiside 54

SPIS ORDENTLIGT 65

Varedeklarationer .................................................... 66 Det smager af is ...................................................... 68 På indkøb: Øko eller ej .......................................... 71 Madpakkens dag ..................................................... 73 WWW 74

Mobiltakster ............................................................ 75 Adgangskoder ......................................................... 77 Online rollespil ....................................................... 79 Bøger og blade ........................................................ 80

5 9788723037459_indhold_01_26.indd 5

13/11/13 14.31

9788723037459_indhold_01_26.indd 6

13/11/13 14.31

9788723037459_indhold_01_26.indd 7

13/11/13 14.31

9788723037459_indhold_01_26.indd 8

13/11/13 14.31

MATERIALER

Materialer til 9. klasse Matematik-tak Grundbog

Matematik-tak for 9. klasse Temaer:

Design

side

Ung i arbejde

side 25

Kommunen

side 41

Op mod jul

side 67

Ekspeditioner

side 75

Spis ordentligt

side 101

WWW

side 121

Roskilde Festival

side 143

5

Grundbogen indeholder det stof vi foreslår, alle kan arbejde med jf. Fælles mål 2009 og den vejledende læseplan for matematik.

9 9788723037459_indhold_01_26.indd 9

13/11/13 14.31

MATERIALER

Matematik-tak, TIK-TAK 1 og 2 for niende klasse er supplerende engangshæfter til yderligere træning og differentiering.

Regneark-tak for 8.–10. klasse

er et supplerende materiale til Matematik-tak om brug af regneark tilpasset grundbøgernes emner.

Notater

Matematik-tak, TIK-TAK X 9.

FUNKTIONER Matematik-tak, TIK-TAK X 9.

LIGNINGER Matematik-tak, TIK-TAK X 9.

POTENS – KVADRATROD Matematik-tak, TIK-TAK X 9.

REELLE TAL er supplerende engangshæfter for elever der har behov for træning og fordybelse i de faglige områder.

Matematik-tak edb 7.–10. klasse: CD-ROM med 6 INFA-programmer: BOGSTAVREGN GRAFER MODEL MØNSTER-2 RUMGEOMETRI SANDSYNLIGHED

10 9788723037459_indhold_01_26.indd 10

13/11/13 14.31

9788723037459_indhold_01_26.indd 11

13/11/13 14.31

9788723037459_indhold_01_26.indd 12

13/11/13 14.31

Generelt Fælles mål 2009

opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne bl.a. med henblik på at generalisere resultater (problembehandlingskompetence) • opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af tal, tegning, diagrammer, ligninger, grafer og formler (modelleringskompetence) • udtænke, gennemføre, forstå og vurdere matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence) • afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (repræsentationskompetence) • forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence) • udtrykke sig og indgå i dialog om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (kommunikationskompetence) • kende til forskellige hjælpemidler herunder it og deres muligheder og begrænsninger samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence).

Fælles Mål 2009 adskiller sig på væsentlige punkter fra Fælles Mål (I). For det første er der kommet et nyt formål, og så er der konstrueret en ny 4-punkts oversigt i relation til faget: • Matematiske emner • Arbejde med tal og algebra • Arbejde med geometri • Arbejde med statistik og sandsynlighedsregning • Matematik i anvendelse • Matematiske arbejdsmåder • Matematiske kompetencer.

Formålet for matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Stk. 2 Undervisningen tilrettelægges, så eleverne selvstændigt og gennem dialog og samarbejde med andre kan erfare, at arbejdet med matematik fordrer og fremmer kreativ virksomhed, og at matematik rummer redskaber til problemløsning, argumentation og kommunikation.

Kommentar: Kompetencer var nævnt i Fælles Mål I, men på en langt mindre fremtrædende plads end i de nye Fælles Mål 2009. Måden, som Matematik-tak for niende er bygget op på, gør det muligt for læreren at medtænke kompetencebegreberne: • I arbejdet med de sorte sider, som er indledningen til alle afsnittene vil de tre første kompetencer – tankegangskompetencen, problembehandlingskompetencen og modelleringskompetencen – nemt kunne sættes i spil i samtalerne og arbejdet med de mere åbne problemstillinger og spørgsmål.

• I arbejdet med de faglige opgaver kommer andre tre kompetencer i fokus: repræsentationskompetencen, symbolbehandlingskompetencen og hjælpemiddelkompetencen.

• De to sidste kompetencer – ræsonnementskompetencen og kommunikationskompetencen – må fortrinsvis søges arbejdet med i det nødvendige supplerende arbejde, som det fx er beskrevet med forslagene til andre aktiviteter her i lærervejledningen.

• Et særligt problem udgør kommunikationskompetencen – i forhold til at den mundtlige prøve i matematik i 9. klasse blev afskaffet fra og med sommeren 2007.

Stk. 3 Undervisningen skal medvirke til, at eleverne oplever og erkender matematikkens rolle i en kulturel og samfundsmæssig sammenhæng, og at eleverne kan forholde sig vurderende til matematikkens anvendelse med henblik på at tage ansvar og øve indflydelse i et demokratisk fællesskab.

Matematiske kompetencer – trinmål 9. klasse Med udgangspunkt i den matematikopfattelse, der er beskrevet i Uddannelsestyrelsens temahæfteserie nr.18 – 2002: Kompetencer og matematiklæring, indledes Fælles Mål 2009 med en konkretisering af kompetencerne.

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at •

G E N E R E LT

•

skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (tankegangskompetence)

13 9788723037459_indhold_01_26.indd 13

13/11/13 14.31

Det var jo netop i denne kommunikative situation at kompetencen kom i spil. Danmarks Matematiklærerforening og andre har i øvrigt gjort opmærksom på det forhold, at det ikke er muligt at opfylde Fælles Mål 2009, når den mundtlige prøve ikke er til stede.

•

i arbejdet med statistik og sandsynligheder • anvende statistiske begreber til beskrivelse, analyse og fortolkning af data • tilrettelægge og gennemføre enkle statistiske undersøgelser • læse, forstå og vurdere anvendelsen af statistik og sandsynlighed i forskellige medier • udføre og tolke eksperimenter, hvori tilfældighed og chance indgår • forbinde sandsynligheder med tal vha. det statistiske og det kombinatoriske sandsynlighedsbegreb.

Matematiske emner – trinmål 9. klasse G E N E R E LT

gengive algebraiske sammenhænge i geometrisk repræsentation.

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med tal og algebra • kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge • arbejde med talfølger og ”forandringer” med henblik på at undersøge, systematisere og generalisere • regne med brøker, bl.a. i forbindelse med løsning af ligninger og algebraiske problemer • forstå og anvende procentbegrebet • kende regningsarternes hierarki samt begrunde og anvende regneregler • forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable • anvende funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer • arbejde med funktioner i forskellige repræsentationer • løse ligninger og enkle ligningssystemer og ved inspektion løse enkle uligheder • bestemme løsninger til ligninger og ligningssystemer grafisk.

Kommentar: I afsnittet med de matematiske emner har ’Statistik og sandsynligheder’ fået sin tidligere position tilbage som et selvstændigt matematisk område. Der skal lægges vægt på dels at anvende de statiske begreber og dels at forstå og anvende statistik og sandsynligheder i anvendelsesøjemed, som det fx er beskrevet i formålet, stk. 3.

Det er værd at bemærke, der er sket en faglig skærpelse i formuleringerne.

Hvor eleverne på flere punkter i Fælles Mål I, som her skulle ”benytte formler, bl.a. i forbindelse med beregning af rente og rumfang” er den tilsvarende formulering i Fælles Mål 2009: ”forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable”. ”Benytte” er altså blevet til ”forstå og anvende”.

I geometriområdet er der foretaget et par justeringer. Tilbage i midten af 1990’erne blev forskellige tegneformer introduceret og både perspektivtegning og isometritegning kom i læseplanen. Det er her tonet ned til ’sammenhænge mellem model og tegning’. Til gengæld er der trigonometrien så genopstået: ”arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og anvende det til beregning af sider og vinkler”.

Matematik-tak for niende lever op til kravene om de matematiske emner. På www. Alinea.dk kan man finde eksempler på andre opgaver, der lægger op til undersøgende arbejde med enkel geometri.

i arbejdet med geometri • kende og anvende forskellige geometriske figurers egenskaber • fremstille skitser og tegninger efter givne forudsætninger • benytte grundlæggende geometriske begreber, herunder størrelsesforhold og linjers indbyrdes beliggenhed • undersøge, beskrive og vurdere sammenhænge mellem tegning (model) og tegnet objekt • kende og anvende målestoksforhold, ligedannethed og kongruens • kende og anvende målingsbegrebet, herunder måling og beregning i forbindelse med omkreds, flade og rum • udføre enkle geometriske beregninger, bl.a. ved hjælp af Pythagoras’ sætning • arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og anvende det til beregning af sider og vinkler • arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser • bruge it til tegning, undersøgelser, beregninger og ræsonnementer vedrørende geometriske figurer • arbejde med koordinatsystemet og forstå sammenhængen mellem tal og geometri

Matematik i anvendelse – trinmål 9. klasse Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at • arbejde med problemstillinger vedrørende dagligdagen, bl.a. i forbindelse med privatøkonomi, bolig og transport • behandle eksempler på problemstillinger knyttet til den samfundsmæssige udvikling, hvori bl.a. økonomi, teknologi og miljø indgår

14 9788723037459_indhold_01_26.indd 14

13/11/13 14.31

Undervisningsvejledningen

anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemer • udføre simuleringer, bl.a. ved hjælp af it • erkende matematikkens muligheder og begrænsninger som beskrivelsesmiddel og beslutningsgrundlag.

•

I undervisningsvejledningen, som den så ud i Fælles Mål I, var der beskrevet fem undervisningsforløb:

Kommentar: I Fælles Mål I, som jo var skabt med Folkeskoleloven fra 1993 som grund, var anvendelsesaspektet det fremherskende i matematikundervisningen. Det er vel i nogen grad nedtonet, men er dog stadig en af fire overskrifter. I Fælles Mål 2009 er der sket en del redaktionelt arbejde, men vigtigheden af at kunne anvende matematikken er fortsat et af fagets bedst motiverede begrundelser.

Den problemstilling eller det emne som man ønsker at undersøge og belyse er af almen karakter, dvs. ikke bestemt af faget matematik. Matematik vil i sådant tilfælde blive inddraget når den kan bidrage til at give indsigt i emnet. Eleverne kan vælge at inddrage eller undlade matematik, men det er som i al anden undervisning lærerens opgave at vurdere kvaliteten af arbejdet. Denne undervisning har ofte karakter af projektarbejde. Kvaliteten ligger i om matematikken har været vel anvendt, og om den er anvendt hvor den burde være det.

Det tilgodeses i høj grad af Matematik-tak for niende klasse, der som indledning til alle afsnit har anvendelsen af fagligheden som udgangspunkt.

G E N E R E LT

Undervisningsforløb nummer 1

Det er vel ikke muligt at lave et undervisningsmateriale til matematik, der alene lader sig gennemføre som projektarbejde. Det vil i sig selv være i strid med selve arbejdsformens natur. Men både ”I kan også …”, der afslutter fællessiderne og forslagene her i Vejledningen, lægger op til at foretage aktiviteter, undersøgelser og vurderinger som ikke i sig selv behøver at have noget direkte med faget at gøre.

I forbindelse med den obligatoriske projektopgave i 9. og 10. klasse kan eleverne tænkes at bruge faget som beskrivelsesmiddel.

Matematiske arbejdsmåder – trinmål 9. klasse Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at • deltage i udvikling af strategier og metoder med støtte – i bl.a. it • undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere • veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser ved løsningen af matematiske problemstillinger • læse faglige tekster samt forstå og forholde sig til informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk • forberede og gennemføre præsentationer af eget arbejde med matematik, bl.a. med inddragelse af it • samarbejde med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb • arbejde individuelt med problemløsning, bl.a. i skriftligt arbejde • give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt.

Her vil det være afgørende at foretage en kvalitetsundersøgelse af udbyttet på to måder: Er matematikken anvendt, hvor den burde være det?

Det kræver et indgående kendskab til matematik for at eleverne også skal have øje for faget i et projektarbejde som projektopgaven. Det kræver også et godt kendskab til matematikkens forskellige områder. ”Man kan vel altid lave noget statistik”, er et almindeligt udsagn. Men det er vel ikke nok til at sikre en succes i den forbindelse? Øvelser undervejs i hele skoleforløbet med arbejde med matematik i anvendelse bliver en betingelse for at eleverne husker og anvender faget, når de laver projektopgave.

Og i den sidste ende er det elevens eget valg og opgavens karakter der afgør, hvor vidt der tages matematik i anvendelse i den sammenhæng.

Anvendes der så matematik i den forbindelse, er det op til læreren at vurdere om matematikken er vel anvendt.

Har det overhovedet haft nogen mening at inddrage faget som beskrivelsesmiddel, eller er der bare foretaget ligegyldige beregninger og sammenligninger?

Hvilke begrundelser ligger der til grund for valget, og er det brugt både fagligt korrekt og korrekt i forhold til elevernes emne?

Kommentar: Matematiske arbejdsmåder er en ny overskrift, der introduceres i Fælles Mål 2009. Afsnittet erstatter i nogen grad ’Kommunikation og problemløsning’.

Brug af it pointeres nu flere steder, og der beskrives andre arbejdsmåder end den traditionelle, der alene tager udgangspunkt i opgaveparadigmet. Det er i dette afsnit, at både kravet om faglig læsning og ’samarbejde med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb’, slås fast.

15 9788723037459_indhold_01_26.indd 15

13/11/13 14.31

G E N E R E LT

Undervisningsforløb nummer 2

stor udstrækning som det er rimeligt, også at lade de enkelte opgaver i afsnittet relatere til emnet.

Kvaliteten af elevernes arbejde med opgaverne i afsnittene bedømmes i overvejende grad ud fra den opnåede matematiske indsigt, men samtidig har eleverne gode muligheder for også at lære noget om de forhold som matematikken beskriver.

Afsnittene ”Kommunen” og ”Ekspeditioner” er eksempler som bør give en ekstra emnemæssig viden som sidegevinst til det matematiske arbejde.

Et udvalgt område ønskes belyst, bl.a. ved hjælp af matematik. Det kan være et særligt samfundsforhold, et økonomisk forhold eller et kulturforhold. Området kan være valgt af læreren fordi sider af matematikken er særligt oplagte at inddrage i behandlingen af netop dette emne. Arbejdet med emnet og med matematikken har ligeværdige hensigter. Kvaliteten i arbejdet er derfor til stede hvis eleven forøger sin viden og kunnen inden for både fag og emne.

Undervisningsforløb nummer 4

I denne beskrivelse af en undervisningssituation er fag og emne ligestillet. Kvaliteten er altså afhængig af om eleverne både bliver bedre til matematik og klogere i forhold til det emne, matematikken er blevet brugt til at belyse.

Langt de fleste matematiklærere har deltaget i tværfaglige forløb. Med meget forskelligt udbytte.

Et almindeligt udsagn har været at matematiklæreren ikke syntes, der var givet valuta for den tid der var investeret. At man kunne have lavet mere matematik, hvis der bare havde stået matematik på skemaet og ikke tværfaglige forløb som for eksempel Cirkus, Ung i Danmark, Rejsen til … eller en form for produktionsvirksomhed.

Der er ofte to årsager til frustrationen: Det er ikke matematiklærerens ønske og behov, der har været udgangspunkt for samarbejdet, og indholdet og udbyttet sammenlignes direkte med den matematik der er i en matematikbog, og som jo ofte har en hel anden karakter end den eleverne skal arbejde med i de tværfaglige forløb.

Temaerne i Matematik-tak for niende giver mulighed for at tage initiativ til tværfagligt samarbejde.

Lærervejledningen og fællessiderne indeholder ideer og forslag til tværfagligt samarbejde og aktiviteter både i og udenfor klassen.

Udgangspunktet er at behandle rene matematiske emner som eksempelvis subtraktion, vinkler eller sandsynlighedsbegrebet. Anvendelsessiden benyttes, f.eks. i form af tekstopgaver, udelukkende til illustration af det faglige emne. Dette kan være en støtte for elevernes tankegang. Men ofte vil eleverne glemme anvendelserne og søge at trække oplysningerne – ofte tallene – ud af sammenhængen og udføre de forventede regneoperationer eller tegne de krævede diagrammer. Kvaliteten vil blive bedømt på rigtigheden af resultatet eller tegningen. Refleksioner i forhold til anvendelsessiden vil sjældent være meningsfulde. ”Hvad skal jeg bruge det til”, er et ofte hørt elevudsagn. Måske ikke sagt med så stor styrke i matematik som i så mange andre fag. Dertil har faget indtil nu haft en stor autoritet og høj prestige hos både elever og forældre – og alle andre, for den sags skyld: ”Det er vigtigt at kunne matematik”.

Og den med at man skal kunne regne ellers bliver man snydt hos købmanden, er vist ved at være lidt slidt. Den matematik som før var tydelig i hverdagen, er nu gemt væk på harddiske og bag stregkoder.

Men matematik bliver stadig mere brugt som argument for mange af de beslutninger, der bliver taget i samfundet. Problemet er bare at den matematik der her bliver anvendt oftest er for svær gennemskuelig for almindelige mennesker – herunder også lærere og elever. Hvordan kontrollerer man fx modellen for fremskrivningen af antallet af skoleelever i en kommune de næste 20 år?

Men grundlaget for de matematiske modeller er kendskab til de rent matematikfaglige emner. Man kan altså ikke isoleret svare på hvad eleverne skal bruge det til, når de for eksempel arbejder med eksponentiel vækst i kapitlet om Kommunen.

Matematik-tak for niende forsøger dog at knytte mange af de matematikfaglige emner til en situation fra elevernes hverdag. Og refleksionerne i forhold til anvendelsessiden kan jo diskuteres på fællessiden – samtalesiden. Man behøver vel ikke have en fremtid som økonom for at kunne se en idé i at undersøge vækst.

Undervisningsforløb nummer 3 Et matematikfagligt emne søges belyst. Arbejdet med faget er den centrale hensigt, og kun de sider af praksis som belyser den matematikfaglige hensigt, inddrages. Emnet kan for eksempel være vækstfunktion. Biologiske sammenhænge kan være valgt til eksemplificering, men de biologiske forhold berøres kun i det omfang de støtter matematikken. Kvaliteten bedømmes i overvejende grad ud fra den opnåede matematikfaglige indsigt.

Mange af afsnittene i hvert kapitel i Matematik-tak for niende klasse lægger op til en undervisningssituation, der befinder sig et sted mellem de to sidst beskrevne. De kombinerer et matematikfagligt emne med et område der har sit indhold udenfor faget.

Hvert afsnit tager udgangspunkt i et forhold der har relation til kapitlets titel, og vi har forsøgt, i så

16 9788723037459_indhold_01_26.indd 16

13/11/13 14.31

Arbejdet med edb kan gøres lettere med adgang til en interaktiv tavle, fx når det handler om introduktion af programmer og begreber, men også i det daglige arbejde med fx visualiseringer kan en interaktiv tavle være en fordel. I side-til-side vejledningen er der ideer til anvendelse af en interaktiv tavle ud over deciderede regne- og matematik-programmer.

På grundbogens fællessider har vi som det sidste punkt i ’I kan også …’ foreslået et eller flere ord til brug ved søgning på internettet efter yderligere materiale om det pågældende emne. I de fleste tilfælde vil relevante sider dukke op som nogle af de første i en ofte lang liste. Det kan anbefales at checke de pågældende søgeord i forvejen og evt. vælge de mest brugbare hits ud, så eleverne ikke bruger tid på irrelevant eller alt for svært stof.

Fagets anvendelse er helt udeladt. Hensigten er alene at udvikle forhold som vedrører matematikken.

Også ren træning af matematiske færdigheder kan indgå. Indirekte kan eleverne dog gennem den samlede undervisning have opnået forståelse for at man må arbejde med at lære at beherske nye faglige områder for at blive bedre til at benytte matematik til løsning af praktiske problemer. Kvaliteten kan vedrøre alle faglige aspekter: kundskaber, færdigheder, arbejdsmetoder og udtryksformer.

Resultatet af regnestykket 2 + 3 · 4 vil i en typisk dansk 9. klasse give anledning til diskussion om to forskellige forslag til facit mellem de elever der regner i den rækkefølge der står, og de elever der bruger reglerne om tallenes hierarki.

I kapitlet “Spis ordentligt” tages formler op i afsnittet om varedeklarationer til belysning af forholdet.

I de to supplerende hæfter TIK-TAK 1 og 2 for niende klasse findes også opgaver af træningsmæssig karakter.

De fem situationer kan ikke eksistere uden hinanden, og det gælder om at finde en passende fordeling imellem dem. Elevgruppens sammensætning, lærerens person og lærebogsmaterialet er meget afgørende faktorer der er meget afhængige af hinanden. De forskellige eksisterende lærebogssystemer har hovedvægten placeret omkring en af de fem situationer.

Den undervisningsform som brugen af Matematik-tak for niende oftest lægger op til er placeret et sted mellem den anden og tredje beskrivelse.

G E N E R E LT

Undervisningsforløb nummer 5

Matematik-tak edb 7. – 10. klasse Kopiside 41 – 51 er vejledning til programmerne som du kan kopiere til brug for eleverne.

BOGSTAVREGN

Et program til at løse reduktionsopgaver og ligninger som man selv skriver ind og reducerer. Man kan skrive reduktionsopgaver i form af heltals-, decimaltals-, brøk og bogstavregning. Ligninger skrives i sædvanlig notation under brug af regnetegn, parenteser, brøk- og potensnotation. Hver gang man foretager en reduktion som et skridt på vejen til løsningen svarer programmet om reduktionen er korrekt. En registreringsfunktion kan slås til, så man bagefter kan se hvad der er arbejdet med. Lærerne kan på forhånd indlægge opgaver som skrives i almindelig tekstbehandling.

Matematik-tak og IT Da brug af computere efterhånden er almindelig udbredt i folkeskolens ældre klasser har vi de steder hvor det forekommer hensigtsmæssigt vist udsnit af et regneark, hvordan det er indrettet og en af formlerne bag. I side-til-side vejledningen er der derudover forslag til yderligere anvendelse af regneark.

Regneark kan bruges både til opstilling, til udregning og til grafisk fremstilling på et niveau som de fleste elever kan være med på. Der findes desuden andre mere målrettede programmer til brug i folkeskolen som fx MathCad, MatematiKan, SmartSketch og GeoMeter. MATEMATIKTAK edb for 7.–10. klasse omfatter værktøjsprogrammer, simuleringsprogrammer og træningsprogrammer, som omtales nedenfor.

Vi kan anbefale at I bruger edb-programmer sideløbende med bogens andre aktiviteter. Det kan i mange tilfælde være en fordel også at belyse et fagligt område med edb, ligesom det er tilladt at benytte computer til de skriftlige matematikprøver, men det er ikke en forudsætning for at kunne arbejde med MATEMATIK-TAK at særlige programmer er til rådighed.

GRAFER

Programmet tegner grafer i et koordinatsystem for de funktioner der indskrives. Funktionerne skrives på formen f(x)= … Man kan få udskrevet en tabel for funktionen. Skæringspunkter, nulpunkter, største- og mindsteværdier kan aflæses. Man kan zoome ind på udsnit af grafen.

MODEL

Et program der kan opstille tabeller og tegne grafer for modeller som beskriver, hvordan et fænomen ændres med tiden som uafhængig variabel. Fx opsparing med renters rente. I et felt skrives modellens parametre, dvs. konstanter. Fx at rentefoden (rf) er 5 % og at man årligt indsætter (ydelse) 1000 kr. I et andet felt, Fremskrivningsfeltet, skrives formlen for modellen under brug af konstanterne. Fx at Rente er saldo · rf.

De indskrevne modeller kan vises både grafisk og i tabelform.

17 9788723037459_indhold_01_26.indd 17

13/11/13 14.31

G E N E R E LT

MØNSTER-2

SAMMENHÆNG

Et værktøjsprogram til tegning af plane figurer og mønstre ved hjælp af et enkelt programmeringssprog.

Programmet er en videreudbygning af MØNSTER i edb for 4. – 6. klasse. Ved hjælp af ordrer som ”frem(50)” (der tegnes en ret linje på 50 enheder og ”hdrej (45)” (der drejes 45 grader til højre), kan der tegnes figurer og mønstre. Ordrerne kan skrives så man ser den udført efter hvert trin, eller man kan skrive et program bestående af flere ordrer som først udføres når hele programmet er skrevet.

Et program der giver mulighed for at observere, eksperimentere og kontrollere sammenhængen mellem 2 eller 3 variable. Vælger man sværhedsgraden med 2 variable og ”observer” udskriver programmet 3 tal. To variable og resultatet af de to variable indsat i forskriften. Fx vises 2, 3 og 5 eller 7, 3 og 10 hvis forskriften er x + y. Vælges ”kontroller” kan man løse 5 opgaver efter forskriften, og vælges ”eksperimenter” kan man indskrive den ene værdi hvorefter programmet vælger den anden og skriver resultatet. 3 variable har en passende sværhedsgrad for 9. KlASSE

RUMGEOMETRI

Et værktøjsprogram til tegning af rumlige figurer ved hjælp af enkel programmering. I et tredimensionalt koordinatsystem kan man definere punkter, linjer og flader, og ved hjælp heraf ”bygge” en rumlig figur.

Figurerne kan navngives, farves og belægges med skygger. Man kan dreje figurerne så de kan betragtes fra alle vinkler.

STATISTIK

Et baseprogram til opsamling af enkeltobservationer eller grupperede talobservationer. Det kan være resultater af undersøgelser, fx elevernes højder, vægt og præstationer eller resultater af spil. Når observationerne er indtastet kan programmet vise beskrivelser af datasættet i tabeller med deskriptorer og som grafer eller diagrammer.

SANDSYNLIGHED

Et program til simulering af sandsynligheder. Man kan vælge mellem faste eksperimenter, Mønt, Terning, Binomial, Vente, Udtag et nummer og To terninger. Eller man kan selv definere sit eksperiment fx ved at sammensætte to faste eksperimenter. Udfaldet af en simulering kan vises grafisk som pinde og trappediagram.

I 7. – 10. klasse henvises desuden fra MATEMATIKTAK edb 4. – 6. klasse

Matematik-tak og evaluering I Matematik-tak præsenteres to forskellige typer opgavesæt – TIK-TAK-TJEK og Faglige færdigheder – som kan bruges til evaluering af den daglige undervisning. De to forskellige typer af opgavesæt supplerer hinanden, den ene træner problemløsningsopgaver og den anden faglige færdigheder. Begge opgavetyper kan desuden bruges til evaluering af elevernes faglige kompetencer.

Efter hvert kapitel i grundbogen findes et sæt TIKTAK-TJEK som repeterer kapitlets faglige begreber.

Eleverne får tjekket deres færdigheder i nogle af de matematiske områder, der er arbejdet med i kapitlet.

TIK-TAK-TJEK kan også bruges som øvelser i at arbejde med tematiske opgavesæt som de ser ud til den skriftlige prøve i matematik. Eleverne kan individuelt løse opgaverne eventuelt på klassen eller som hjemmeopgaver til aflevering. Facit til TIK-TAK-TJEK findes i lærervejledningen.

Faglige færdighedssæt med hver ca. 50 opgaver af typer som kendes fra Folkeskolens Afgangsprøve findes i lærervejledningen på kopiside 10 – 30. Foruden opgaver af generel karakter indeholder hvert sæt opgaver som refererer til et kapitel i Matematik-tak for syvende. Facit findes i lærervejledningen. Ideen er at eleverne kan holde færdighedstræningen ved lige i sammenhæng med arbejdet i bogen. Men sættene kan også bruges til evaluering af elevernes matematikfaglige færdigheder. Opgaverne løses individuelt uden brug af lommeregner eller computer. Du får som lærer et overblik over den enkelte elevs formåen samt faglige huller. Du kan efter endt tjek af opgaverne

Matematik-tak edb 4. – 6. klasse Fra cd-rommen til 4. – 6 klasse kan følgende programmer også anvendes i 9. Klasse.

GEOMETRI

Et værktøjsprogram med mange muligheder til supplement af aktiviteterne med konkrete materialer og på papir. Figurer kan tegnes frit eller konstrueres ved hjælp af fastlagte punkter, linjer og vinkler.

Rette linjer og andre grafer kan tegnes udfra forskrifter, og programmet kan foretage beregninger af længder mv. Et koordinatsystem kan slås til eller fra.

På 9. klassetrin er der brug for et udsnit af de mange muligheder.

REGNINGSARTERNE

Et program til arbejde med talfærdighed og talforståelse. Opgaven går ud på at ”ramme” et givet tal ved hjælp af 6 andre tal som kun må bruges en gang. Udregningerne stilles op i en tabel hvor der regnes med to tal ad gangen. Ud over de ledige af de 6 givne kan man operere med tidligere facit. Der opereres med de fire regningsarter. Det er ikke altid muligt at ramme plet. Tre sværhedsgrader hvoraf det andet og tredje er velegnet til de fleste på 9. klassetrin.

18 9788723037459_indhold_01_26.indd 18

13/11/13 14.31

henvise eleverne til ekstra træning af særlige faglige delemner som fx procent, brøk, ligninger og regningsarterne i X-serien for 9. Klasse.

Anvendelse af de to typer opgavesæt kan sammen med den daglige løbende evaluering være med til at give dig et fingerpeg om elevens faglige formåen og således inddrages når elevplanerne skal beskrives.

42 43 44 45 46 47 48 49

Faglige færdigheder facitliste

kopiside 13 – 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

kopiside 10 – 12

94 timer 435 kr.

795 kr.

Børn 3 gange 6,52 8,47 408 cm 15250 cm 0,53 1,35 14,5 4000 kr.

1 4 3 5

= 60 % 7 600 kr. o 55 15 cm2 (-2,1) 9 cm2 18 = 4,2 cm 2152 628 3 64 5 12 34,50 kr.

3000 kr.

48 000 4608 o 35 o o o 180 –35 = 145 3 cm 40 cm2 –20 0

1359 225 4221 57 5300 g 254 cm 5 cm 942 cm3 o 45 132 cm2 9 cm2 61% 40 % 51 min.

21 16 64 49,07 20,05 50 437 38,40 m 1800 kr.

25% 250 %

G E N E R E LT

FAGLIGE FÆRDIGHEDER UNG I ARBEJDE

FAGLIGE FÆRDIGHEDER DESIGN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

1

X=52 X = 2 23 12 14 -22 1500 cm 125 000 m2

1 4

2262 kr.

500 euro 17 cm 15 cm2 6,5 cm 0,75 1,75 32 54 x=6 x = 19 3a – 3 5x + 8 1 12 1 2

82 kr.

50 %

19 9788723037459_indhold_01_26.indd 19

13/11/13 14.31

47 48 49 50

9420 cm3 (1,4) 48

FAGLIGE FÆRDIGHEDER EKSPEDITIONER

kopiside 19 – 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

FAGLIGE FÆRDIGHEDER KOMMUNEN

G E N E R E LT

kopiside 16 – 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

84,10 33,4 1431 357 80 % 8,7 cm 750 cm 78,5 19,3 467,50 kr.

0,6 1,5 68 % 70 % 4,2 m2 302 kr.

– o 80 6,5 cm2 50 % – 5200 MW Kl.5 2500 MW Kl. 2 og kl. 8 1700 MW 36,50 kr.

280 kr.

6400 kr.

25 100 kr.

8040 4 b2 – 5 4100 km2 44 000 6 000 2. kvartal 2006 x = 25 x = 1,5 64 2,2 3 101 760 kr.

90 km /timen –13,4 –25 453,6 46 –1, 0, 1 56

12166 cm3 2484 cm3 14784 cm3 1203 cm3 23,5 7,5 59 46 616 9 3 4,514 km 2080 m 0,65 0,48 2,5 (0,–10) y = 2,5x – 10 40 –14 21 % 5939 8836 · 100 x=3 x = 2,5 (–3,–2) x = –3 65 92000 1980 og 1990 136 4a + 3 16 3000 94 7 cm2 9g 3 cm 54 cm2 18 ≈ 4,2 cm

FAGLIGE FÆRDIGHEDER SPIS ORDENLIGT

kopiside 22 – 24 1 2 3 4 5 6 7

2694 181 5628 521 (0,–1) o 37 12 cm2

20 9788723037459_indhold_01_26.indd 20

13/11/13 14.31

spidsvinklet og ligebenet 5400 g 4,020 kg 19 14 13 + 15 m 64 min 7,56 6 13 17 20 375 1984 eller 1988 60 m 120 m2 18,9 m 6,40 m 0,08 7,75 1521 kJ 80 % o 52 330 min 3 12 min 3x – 5y 4x – 8 256 cm3 192 cm2 7 7 40 kr.

3,52 – 19 – 32 – 3 π 0 15 · 1015 17 500 x=5 x = 12 6–3–2 -

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

1 18 1 10

62 % 75 % 11 25

12cm3 6 cm (1,3) (5,1½) 10 225 kr.

1300 NOK 50 kr.

62,5 120 3 5

x=4 x = 14 a + 5b 3y + 2 x>y + 1 x + 2y = 10 -

FAGLIGE FÆRDIGHEDER ROSKILDE FESTIVAL

kopiside 28 – 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

FAGLIGE FÆRDIGHEDER WWW

kopiside 25 – 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

19 28 600 kr.

82 kr.

18 -1 23 99 86,15 27,15 1,0 0,15

G E N E R E LT

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

848 kr.

150 kr.

474 kr.

169 kr.

17,085 kg 11850 g 1920 3230 8870 -

2939 391 2040 142 547 cm 8,03 m 8,560 kg 7900 g 8,50 kr.

120 kr.

97,2 233 7,5 cm 33 kr.

(–1,1) o 81 10,5 cm

21 9788723037459_indhold_01_26.indd 21

13/11/13 14.31

G E N E R E LT

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0,64 liter 600 kr.

50 kr.

10% 2000 og 2005 40 kr.

510 kr.

36% 25% 63 km 184,4 8,162 97 13 20 729 4000 x=5 x=4 129 9a – 6 5,04 m2 1,26 m2 1/5 = 20 % 4/5 = 80 % 23 34 5323 81

Notater

1 2

-

Notater

22 9788723037459_indhold_01_26.indd 22

13/11/13 14.31

1 3 2

Månedens opgave

2

1

4

3

4

Hvis man klipper diagonalt i kvadraterne.

4

3

2

4 3

2

1

1

Eleverne kan tegne deres kvadrater på kvadratpapir og klippe kvadraterne i forskellige størrelser. Kombinatoriske overvejelser kan bringes på banen hos nogle elever. Hvis siden i det største kvadrat ikke ændres, hvilke ekstra længde skal så bruges for at få en side på 10 tern? Andre elever kan blot prøve sig frem, men vil måske efterhånden begynde at overveje de forskellige muligheder.

Overvejelser over om snittene skal være vinkelrette på eller om man må klippe diagonalt kan berøres.

Hvad giver det af muligheder?

G E N E R E LT

Månedens opgaver på kopiside 31 – 40 er tænkt som et supplement til den daglige undervisning.

Det er såkaldt åbne opgaver med muligheder for løsninger på mange niveauer. Opgaverne lægger op til en eksperimenterende arbejdsform. Nogle giver anledning til flere løsninger afhængig af hvilke forudsætninger der lægges ind i overvejelserne om opgaverne. Arbejdet med Månedens opgave kan være et led i forberedelsen til en evt. mundtlig prøve.

Der er mange måder at arbejde med månedens opgave på. Individuelt eller i små grupper.

Elever, der synes det er sjovt og udfordrende at beskæftige sig med opgaven, kan arbejde videre med den derhjemme. Giv dem lejlighed til kort at præsentere hvordan opgaven skal forstås og vise løsningsforslag.

Eller I kan, når du ved månedens begyndelse hænger en ny opgave op på opslagstavlen, snakke om den i fællesskab så eleverne har mulighed for at orientere sig og snakke sammen indbyrdes. Eller giv fx eleverne 10 min til at orientere sig i opgaven før den fælles snak om hvilke strategier de vil anlægge. I løbet af måneden kan eleverne hænge resultater af deres undersøgelse op på opslagstavlen rundt om opgaven.

Nogle gange er det en god idé at I snakker om de forudsætninger eleverne opstiller. ”Hvad mon der sker hvis vi ændrer på det tal...” ”Hvad nu hvis figuren ser anderledes ud...” Som afslutning kan I opsummere hvad I fandt frem til, om I fandt alle løsninger, om I fandt systemer eller mønstre i besvarelsen, og om nogle af disse systemer omskrives til en regel eller en formel.

SEPTEMBEROPGAVEN

Kuber

Facitliste og kommentarer AUGUSTOPGAVEN

Kvadrater

4 2

1

3 3

4

1 2

1

4

3 2

1

4

3

1

2

2

1

3 2

4

3

Problemet for eleverne er at sortere gengangerne fra.

Hvornår er to klodser ens. Spejling, symmetri og drejning skal anvendes.

4

Hvis man klipper diagonalt i kvadraterne.

4

3

2

4 3

2

23

1

1

9788723037459_indhold_01_26.indd 23

13/11/13 14.31

G E N E R E LT

Eleverne kan når de skal bygge en kasse gøre sig overvejelser over hvilke mulige længder, bredder og højder kassen kan have, når rumfanget er 32 cm3.

Eleverne kan når de skal finde de 31 forskellige 5-kubefigurer lade dem stå fremme i klassen eller tegne deres løsning på isometrisk papir, så man kan se hvilke der er fundet. Det kan måske være en fælles klasseopgave at finde alle de 31 kombinationer. Vær opmærksom på at der skal anvendes mange centicubes hvis mange elever selv løser opgaven. Hver elev skal bruge 155 centicubes.

Lykkes det ikke for klassen at finde de 31 kombinationer, kan du evt. kopiere facitlisten og så lade eleverne undersøge hvilke de har bygget og hvilke de mangler. Det kræver mange gode spejlings-, drejnings- og symmetriøvelser.

opløse tallene i primfaktorer og lave de forskellige kombinationer ud fra disse faktorer. Ethvert naturligt tal kan på netop én måde – på nær rækkefølgen – skrives som et produkt af primtal.

Fx 40 = 2 · 2 · 2 · 5 hvilket giver forskellige kombinationer (2 · 2) · (2 · 5) = 4 · 10 (2 · 2 · 2) · 5 = 8 · 5 2 · (2 · 2 · 5) = 2 · 20 1 · (2 · 2 · 2 · 5) = 1 · 40 Få eleverne til at beskrive primtallene fra 1– 40. Et primtal er et tal, som netop to tal går op i, nemlig 1 og tallet selv.

NOVEMBEROPGAVEN

Deling af en cirkel

OKTOBEROPGAVEN

Kvadrater og rektangler Areal

Forskellige løsninger

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

1·3 1 · 4, 2 · 2 1·5 1 · 6, 2 · 3 1·7 1 · 8, 2 · 4 1 · 9, 3 · 3 1 · 10, 2 · 5 1 · 11 1 · 12, 2 · 6, 3 · 4 1 · 13 1 · 14, 2 · 7 1 · 15, 3 · 5 1 · 16, 2 · 8, 4 · 4 1 · 17 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6 1 · 19 1 · 20, 2 · 10, 4 · 5 1 · 21, 3 · 7 1 · 22, 2 · 11 1 · 23 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 1 · 25, 5 · 5 1 · 26, 2 · 13 1 · 27, 3 · 9 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7 1 · 29 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6 1 · 31 1 · 32, 2 · 16, 4 · 8 1 · 33, 3 · 11 1 · 34, 2 · 17 1 · 35, 5 · 7 1 · 36, 2 · 18, 4 · 9, 6 · 6 1 · 37 1 · 38, 2 · 19 1 · 39, 3 · 13 1 · 40, 2 · 20, 4 · 10, 5 · 8

punkter

1

2

3

4

skæringspunkter

0

0

0

1

linier

områder

0

1

1

2

3

4

5

6

7

8

n

5

15 35 70 n(n-1)(n-2) (n-3):24

6

10 15 21 28 n(n-1):2

8

16 31 57 99 linier + sk. pkt. + 1

Gør eleverne opmærksomme på at det er det størst mulige antal der skal noteres ned. Vær opmærksom på elever som kun tegner og tæller til og med 5 punkter – så kan den tredje talfølge godt snyde.

Talfølgen 0-1-3-6-10-15-21- (+1, +2, +3, +4, ...) er forholdsvis nem at fortsætte. Hjælp eleverne til at finde formlen ved at stille spørgsmål som: hvordan ser den dobbelte talfølge ud? (0-2-6-12-2030-) • hvordan kan disse tal skrives som et produkt af tal fra den øverste talfølge?

(0 · 1, 1 · 2, 2 · 3, 3 · 4, ...)

• hvordan kan den oprindelige talfølge så skrives?

(0 · 1:2, 1 · 2:2, 2 · 3:2, 3 · 4:2, ...)

• hvordan hænger disse tal sammen med antal punkter?

•

Talfølgen 0-0-0-1-5-15-35-70- er ikke helt så let at fortsætte.

Nogle elever vil muligvis prøve med metoden fra den første talfølge, og skal så blot opmuntres til at fortsætte et godt stykke vej, idet det først er ved en 24-dobling der fremkommer en nogenlunde gennemskuelige talfølge.

(0-0-0-24-120-360-840- ... = 0 · 0 · 0 · 1, 0 · 0 · 1 · 2, 0 · 1 · 2 · 3, 1 · 2 · 3 · 4, 2 · 3 · 4 · 5, 3 · 4 · 5 · 6, 4 · 5 · 6 · 7, ...)

Opgaven kan løses ved at eleverne tegner de forskellige rektangler på kvadreret papir eller bygger dem med centicubes.

Andre elever kan løse opgaven teoretisk. Når den ene faktor fordobles skal den anden faktor halveres.

Kun kvadrattallene har to ens faktorer. Andre kan

En anden angrebsvinkel er at bede eleverne finde differencerne mellem de enkelte led gentagne gange indtil de kommer til en gennemskuelig talfølge, som de kan fortsætte:

24 9788723037459_indhold_01_26.indd 24

13/11/13 14.31

0

0

0

35 ...

20 ...

0 1 3 6 10 ...

1 2 3 4 ...

0

0

1

1

4

5

10

15

Elever der har brugt den sidstnævnte metode kan opfordres til at anvende den igen på talfølgen 1-2-48-16-31-57-.

1 2 4 8 16 31 57 ...

1 2 4 8 15 26 ...

1 2 4 7 11 ...

1 2 3 4 ...

Opgaven kan løses på sømbræt, sømbrætpapir eller almindeligt kvadreret papir.

Hjælp evt. eleverne til en systematisk opstilling, fx som ovenfor. Det er forudsat at delelinier ikke berører kanten eller allerede tegnede linier, idet området da deles i flere end to dele.

Antallet af delinger på et 5 [x] 5 sømbræt er meget stort og kræver ligeledes systematisk opstilling for at få alle med.

Bed evt. eleverne sammenligne de tre talfølger for derigennem at opdage sammenhængen mellem antal linier, antal skæringspunkter og antal områder.

DECEMBEROPGAVEN

Hvor lang tid?

Eleverne kan starte med at undersøge hvor mange bogstaver der i gennemsnit er på en linie og dernæst på en side. Eleverne bliver nødt til at finde ud af hvor mange bogstaver de kan tælle i gennemsnit, fx pr. minut. Klassens gennemsnit kan evt. findes og bruges som udgangspunkt.

Eleverne kan evt. beskrive deres overvejelser i løbet af deres undersøgelse og hænge den op på opslagstavlen.

G E N E R E LT

Denne metode leder dog ikke frem til nogen formel.

FEBRUAROPGAVEN

En spilleplade

To tal på en plade med 8 tal

8.7 2.1

= 28

. .

tre tal på en plade med 8 tal: 83.72.61 = 56 8.7.6.5

fire tal på en plade med 8 tal: 4.3.2.1 = 70

JANUAROPGAVEN

Sømbrætdeling

. . . .

fem tal på en plade med 8 tal: 85.74.63.52.41 = 56 . . . . .

seks tal på en plade med 8 tal: 86.75.64.53.42.31 = 28 . . . . . .

syv tal på en plade med 8 tal: 87.76.65.54.43.32.21 = 8 Det elever skal gøre er at tage en uordnet 2-udvalg fra mængden (1,2,3,4,5,6,7,8). Eleverne kan starte med at tage en ordnet udtagelse af et 2-udvalg. Antallet af forløb findes ved at undersøge hvor mange muligheder der er for det første valg. Der er 8 muligheder.

Dernæst findes hvor mange muligheder der er for det andet valg af tal i en 8-mængde. Der er nu 7 muligheder. I alt findes der altså 8 · 7 muligheder. Men da rækkefølgen for valget af tal på spillepladen ikke har nogen betydning for løsningen på opgaven (fx er 2-3 identisk med 3-2), skal man dele med 2 for at finde det rigtige antal muligheder.

Skal der krydses tre tal ud på pladen har man først 8 valgmuligheder, dernæst 7 valgmuligheder og endelig 6 valgmuligheder af tal. Men da tre tal kan kombineres på 6 forskellige måder som vi opfatter som identiske idet rækkefølgen af tal er underordnet.

(1,2,3) = (1,3,2) = (2,3,1) = (2,1,3) = (3,2,1) = (3,1,2) hvorfor der skal divideres med 6.

Overvej hvor megen teori du vil knytte til opgaven, når I evt. diskuterer løsningerne. Du kan sikkert

25 9788723037459_indhold_01_26.indd 25

13/11/13 14.31

G E N E R E LT

komme langt med elevernes »sunde fornuft« i jeres argumentation af antal muligheder.

Kopiér evt. mange spilleplader til eleverne så de kan prøve at lave deres afkrydsninger. Få eleverne til at overveje om det er sværest at vinde hvis der skal krydses to tal ud eller hvis der skal krydses 6 tal ud.

Vær opmærksom på symmetrien i facitlisten.

Klassen kan lave lotto med deres spilleplade. Først med to tal, så med fire tal. Kan eleverne konkludere noget om vinderchancer på baggrund af jeres lotto?

multipliceret med et ulige tal vil give et ulige tal som resultat. Da det kun drejer sig om firecifrede kvadrattal der skal undersøges er det tallene fra 322 til 992 de skal undersøge, og kun de lige kvadrattal. Det drejer sig altså kun om 34 tal. Andre elever vil måske ikke så systematisk gå i gang med deres undersøgelser.

Snak evt. med dem om deres overvejelser.

Når eleverne skal finde antallet af firecifrede kvadrattal, hvor de 2 første og de to sidste cifre er indbyrdes lige store, kan de også her bruge deres lommeregner.

Vælger de at undersøge de firecifrede tal ved hjælp af kvadratrodsknappen på lommeregneren skal de undersøge 90 tal: fx. 1100, 1111, 1122, 1133, 1144, ...

9988, 9999 for at finde et kvadrattal.

Vælger de at bruge x2 knappen på lommeregneren skal de undersøge 68 tal, nemlig 322, 332, ... 992 for at finde det ene tal det drejer sig om. 882 = 7744.

MARTSOPGAVEN

Cirkelområder Antal cirkler

Antal områder

2

4

1 3

2 8

4

14

5

22

6

De elever der finder frem til de rigtige løsninger kan forklare deres overvejelser for klassen.

32

n

n(n-1) + 2

MAJOPGAVEN

En cykeltur

Med et lille antal cirkler kan der tegnes på fri hånd og tælles op. Den næste cirkel kan tegnes på kalkepapir eller transparent-folie og flyttes til den giver det maksimale antal områder. Evt. tegnes alle cirkler på kalkepapir/folie.

En hjælp til at få tegnet et større antal cirkler symmetrisk: Læg centrene i hjørnerne af regulære polygoner – kvadrat, femkant, sekskant, ...

Talfølgen 2-4-8-14-22-32- kan fortsættes ved at se på differencerne: +2, +4, +6, +8, +10, ...

Afstanden fra Skagen til Gedser afhænger selvfølgelig af ruten: – over Århus – Kalundborg ca. 375 km – over Grenå – Hundested ca. 425 km – over Ebeltoft – Sjællands Odde ca. 440 km – over Spodsbjerg – Tårs ca. 495 km og – over Nyborg – Korsør (cykelbus over Storebælt) ca. 510 km.

Distancen der køres for en pedalomgang afhænger både af hjulstørrelse og gearing. Et normalt 27” (hjuldiameter incl. dæk) cykeldæk vil have en omkreds på � · 27 · 2,54 cm = ca. 215 cm. Med 19 tænder på bageste tandhjul og 34 på forreste bliver distancen for en pedalomgang 215 · 34/19 cm = ca. 3,85 m.

Eleverne kan også direkte måle sig frem – og evt. prøve sig frem til, hvilket gear de gennemsnitligt kører i. Desuden træder man ikke rundt hele tiden – ofte køres i friløb ned ad bakke mv.

Hjælp evt. til at finde formlen ved at stille spørgsmål som • hvordan

ser talfølgen ud hvis vi trækker 2 fra alle tallene?

(0-2-6-12-20-30 ...)

• hvordan kan disse tal skrives som et produkt af to tal lige efter hinanden?

(0 · 1, 1 · 2, 2 · 3, 3 · 4, ...)

• hvordan hænger disse faktorer sammen med antallet af cirkler?

APRILOPGAVEN

Hjælp eleverne til at få alle aspekter med i besvarelsen ved at stille spørgsmål som

Kvadrattal 682 = 4624 782 = 6084 802 = 6400 922 = 8464

• hvilke

muligheder er der for at komme fra Jylland – Fyn til Sjælland?

• hvilke hjulstørrelser findes der?

• hvad sker der når I skifter gear?

• hvornår træder man ikke rundt?

882 = 7744 Eleverne kan anvende lommeregneren når de løser opgaven. Der findes flere overvejelser de kan gøre sig for at forenkle deres undersøgelse. Et lige tal multipliceret med et lige tal vil give et lige tal. Et ulige tal

Sidste del af opgaven lægger op til praktisk afprøvning – måske ikke hele vejen, men over et overskueligt stykke, hvor antal pedalomgange tælles og vejlængden måles.

26 9788723037459_indhold_01_26.indd 26

13/11/13 14.31

9788723037459_indhold_27_89.indd 27

13/11/13 14.40

9788723037459_indhold_27_89.indd 28

13/11/13 14.40

Design • undersøg

kendte

hvilke danske designere der er verdens-

design i forskellige tidsaldre i klassen en »Top 10« over de bedste design og beskriv form og funktion.

• lav

Faglige områder MØNSTRE I TÆPPER side 6 – 11 flytning i et koordinatsystem ved spejling, drejning om et punkt og parallelforskydning, sammensatte flytninger.

STELTON side 12 – 16 arbejdstegning og tegning på isometrisk papir, perspektivtegning, frontperspektiv, kantperspektiv, horisontlinje, frøperspektiv, fugleperspektiv, forsvindingspunkter, omsætning fra rum til plan og fra plan til rum.

VEJLEDNING TIL MATEMATIK-TAK

• undersøg

PH LAMPER side 17 – 22 konstruktion af vinkler, centervinkler, periferivinkler, nabovinkler, topvinkler, ensliggende vinkler, bevis for vinkelsummen i en trekant, indfaldsvinkel og udfaldsvinkel.

Faglige færdigheder: Design kopiside 10 – 12 Månedens opgaver: August og september kopiside 31 – 32

Temaer Rødt tema side 6: MØNSTRE I TÆPPER – om mønstre i forskellige tæpper og tekstiler.

Notater

Blåt tema side 12: STELTON – om at iagttage brugsting fra forskellige synsvinkler.

Gult tema side 17: PH LAMPER – om at undersøge formers betydning for lyset fra lamper.

Tik-Tak-Tjek side 23: LAMPEDESIGN – en lampes udsmykning, emballering og pris.

Forslag til optakt Snak med eleverne om design ud fra fotografiet og spørgsmålene på side 5: • hvad er godt design?

• er der forskellige retninger inden for design?

• undersøg dansk design i 30-erne og 50-erne

29 9788723037459_indhold_27_89.indd 29

13/11/13 14.40

ISBN 978-87-23-03745-9

www.alinea.dk

9788723037459_omslag.indd 2

13/11/13 14.10