Geometría: Desigualdad Triangular

Trabajo grupal Boxer, García, Sarawanski

Matemática para 2° año de ESB EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA CONTENIDO: DESIGUALDAD TRIANGULAR Trataremos el contenido seleccionado a partir de una actividad que aborda la posibilidad de construcción de triángulos según sus lados, como posible recorrido para arribar al teorema de la Desigualdad Triangular; mediado por herramientas tecnológicas, específicamente con APPS para celular.

La propuesta didáctica pedagógica desarrollada a continuación, pretende organizarse en torno al concepto de “clase invertida”. Teniendo en cuenta esto, pensamos plantear la participación de los estudiantes en un documento online compartido vía ​Google Drive ​o la consulta en un​ Blog​ creado con fines educativos para el aprendizaje de la Matemática.

A través de las mencionadas plataformas proponemos que se inicie la actividad consultando las actividades planteadas desde la aplicación ​GEOGEBRA: Graficadora​; para luego interactuar en la clase dentro del aula con el problema presentado por la aplicación TRIÁNGULO CALCULADORA. APLICACIÓN “GEOGEBRA: Graficadora” Problema 1: Construir si es posible un triángulo que tenga un lado AB= 4,5 y un lado AC= 3 ¿Se pueden construir dos triángulos distintos? ¿Por qué?

Con este problema la intención es introducir a los estudiantes en la exploración simultánea de la posibilidad de construcción de triángulos -como contenido de la Geometría- y la presentación del software Geogebra -como herramienta didáctica- para realizar conjeturas por parte de los estudiantes; con el objetivo de que puedan ver que este problema admite infinitas soluciones y que a partir de dos lados dependiendo de la amplitud del ángulo que ellos decidan que comparten y esos infinitos puntos de la circunferencia van a admitir los posibles vértices que determinan los triángulos infinitos.

Desarrollo de la actividad: 1. Preparar el área de trabajo PASO 1 Para comenzar la actividad, proponemos a los estudiantes que ingresen desde su celular a la aplicación Geogebra graficadora e indicamos seleccionar el botón “Geometría” (imagen 1).

De esta manera pueden acceder al ​Menú​ que nos permite trabajar con elementos geométricos (imagen 2).

imagen 1

imagen 2

PASO 2 Luego les proponemos trabajar en pantalla lisa, es decir, sin los ejes ni la cuadrícula.

Para ello, seleccionar botón Ajustes (imagen 3). imagen 3

PASO 3 Se abre la siguiente ventana en la que debemos desactivar los botones “Mostrar ejes” y “Mostrar cuadrícula” (imagen 4), quedando la zona de trabajo lisa (imagen 5).

imagen 4

imagen 5

PASO 4 Luego tocamos directamente la pantalla en la sección blanca y estamos listos para trabajar (imagen 6).

​imagen 6

2. Ingresar datos del problema Ahora podemos comenzar a ingresar los datos necesarios para la exploración del problema propuesto. Les recomendamos que pueden consultar la parte de​ ​“Solución de errores”​ ​en los casos que surjan inconvenientes.

PASO 1 Para dibujar un segmento, en el ​Menú ​desplegado desde la sección ​Rectas,​ seleccionar el ícono “Segmento de longitud dada” ​(imagen 7).

Si no aparece dicho icono en la sección, recorrer el Menú hasta el final y seleccionar la palabra ​MÁS.

imagen 7 PASO 2 Luego marcar un punto en cualquier lugar de la pantalla, de esta manera emerge automáticamente una ventana (imagen 8), en la que ingresamos la longitud del segmento que queremos dibujar, en este caso 4.5​ ​de longitud.

Y obtenemos el segmento AB (imagen 9).

imagen 8

imagen 9

PASO 3 Para agregar el segmento AC, apretamos nuevamente sobre el punto A y repetimos la entrada de segmento de longitud dada con la medida correspondiente.

Como se observa en la imagen 10, el nuevo segmento AC aparece apoyado sobre el anterior AB.

imagen 10

PASO 4 Podemos mover dichos segmentos de manera libre utilizando el ícono “Elige y Mueve” y arrastrando cualquier punto (B y/o C) que pertenecen a los extremos no compartidos por los segmentos (imagen 11).

imagen 11 PASO 5 Para trazar el tercer segmento BC, seleccionar el ícono “Segmento” del Menú Rectas (imagen 12) y pulsar sobre los puntos extremos que forman el segmento que necesitamos dibujar para lograr el triángulo (imagen 13).

imagen 12

imagen 13

PASO 6 Ahora con la herramienta “Elige y Mueve” puedes explorar el triángulo logrado y decidir tu respuesta!!!

Nota: Para guardar sus producciones pueden hacer un ​screenshot (capturas de pantalla).

IMPORTANTE: A partir de este momento pueden acceder al apartado de ​Herramientas que pueden ayudarte con la exploración ,el desarrollo y las conjeturas de las actividades ​para enriquecer el uso interactivo de la App Geogebra.

Es posible que luego de haber explorado las distintas herramientas recomendadas, logren concluir que se pueden construir infinitos triángulos dependiendo de las distintas longitudes que adquiere el segmento libre BC. Problema 2: A partir de los segmentos: AB=4 AC=4 BC=3 construir si es posible, un triángulo cuyos lados sean iguales a los segmentos dados: ¿Se pueden construir dos triángulos distintos?¿Por qué?

La intención de este problema es construir el concepto de que a partir de tres segmentos dados y bajo ciertas condiciones, la solución es un único triángulo.

En cuanto a la aplicación de la APPS, es una oportunidad para poner en práctica lo aprendido hasta ahora.

Desarrollo de la actividad: Es posible que los estudiantes logren las siguientes construcciones, concluyendo que con los datos ingresados se puede lograr un único triángulo. (imàgenes 14, 15, 16).

imagen 14

imagen15

imagen 16

Problema 3 Teniendo en cuenta los segmentos: AB=3 AC=4 BC=8 construir si es posible, un triángulo cuyos lados sean iguales a los segmentos dados. ¿Se pueden construir dos triángulos distintos? ¿Por qué?

La intención de este problema es proponer la construcción de un triángulo, utilizando Geogebra para poner en juego que debe existir alguna relación entre las longitudes de sus lados para que se pueda realizar la construcción, abordando la conceptualización del Teorema de la Desigualdad Triangular; ​que establece que ​en todo ​triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. Las medidas de los segmentos propuestas enteras teniendo en cuenta que al momento de argumentar que la suma de dos lados deba ser mayor al tercero, la utilización de números decimales no sea un impedimento para justificar sus argumentos, ya que no tenemos la información cierta de que cuenten con este disponible.

En cuanto a la aplicación de la APPS, nuevamente se pondrá en práctica lo aprendido.

Desarrollo de la actividad: (imágenes 17, 18, 19)

imagen 17

imagen 18

imagen 19

Posiblemente luego de la exploración con la aplicación, lleguen a decidir que con estos datos no se puede construir un triángulo.

Problema 4 Teniendo en cuenta los segmentos: AB=9 AC=5 BC=4 construir si es posible, un triángulo cuyos lados sean iguales a los segmentos dados. ¿Se pueden construir dos triángulos distintos? ¿Por qué?

Desarrollo de la actividad: (imágenes 20, 21, 22)

imagen 20

imagen 21

imagen 22

Herramientas que pueden ayudarte con la exploración ,el desarrollo y las conjeturas de las actividades 3. Solución de errores Durante esta actividad -que representa una primera aproximación a la aplicación utilizada-, es posible que comiencen a surgir ciertos errores como dibujar elementos que no necesitamos ¿cómo eliminar una acción errónea?; veamos un ejemplo:

Es posible que al ingresar los datos en el​ PASO 3​ de la sección​ “Ingresar datos del problema”​, suceda que en vez de originar el segmento AC en el punto A, toquemos en cualquier lugar del área de trabajo y agreguemos un dato indeseado: el punto C por ejemplo (imagen 23).

imagen 23 Herramientas Deshacer y Borrar: Para corregir dicho error, podemos utilizar la herramienta que deshace en forma cronológica las acciones que vamos realizando -con la flecha que se encuentra en la esquina superior izquierda- o seleccionando el ícono “borrar” -tacho de basura- que se encuentra en la sección ​Editar​ del Menú y presionar sobre el elemento que queremos quitar (imagen 24).

De esta manera volvemos a la acción anterior (imagen 25).

imagen 24

imagen 25

4. Colorear los segmentos Una forma de diferenciar los segmentos -para distinguirlos con facilidad-, es ponerle colores de la siguiente manera:

PASO 1 Con la herramienta “Elige y Mueve” seleccionada, presionar sobre el elemento que deseamos colorear, en este caso el segmento AB que forma el triangulo, de esta manera se abre una pequeña ventana que contiene distintos íconos (imagen 26).

imagen 26 PASO 2 Luego seleccionamos el ícono “pintar” (imagen 27) desplegándose una paleta de colores (imagen 28).

imagen 27

imagen 28

PASO 3 Elegimos el color que nos guste y queda coloreado el segmento (imagen 29).

Por último pulsamos sobre el área de trabajo para terminar la acción.

imagen 29 5. Desplazar una figura Con la herramienta ​“Desplaza Vista Gráfica” q ​ ue se encuentra en la sección ​Editar ​del Menú (imagen 30); ​ ​podes mover la figura completa libremente dentro del área de trabajo.

PASO 1 Selecciona el ícono “Desplaza Vista Gráfica (imagen 31) PASO 2 Digita sobre la figura y desliza por la pantalla.

imagen 30

imagen 31

6. Para saber la longitud de un segmento Es posible que conocer la longitud de un segmento sea útil para arribar a algunas conjeturas.

Veamos un ejemplo: cuando logramos construir el triangulo del ​Problema 1​ en el PASO 5, si necesitamos saber la longitud del segmento BC, podemos realizar las siguientes acciones:

PASO 1 Desde la sección ​Medición ​del Menú, seleccionar el ícono “Distancia o Longitud” (imagen 32).

imagen 32 PASO 2 Luego seleccionamos el segmento al que queremos averiguar su longitud y directamente aparece la medida (imagen 33).

PASO 3 Podes deslizar sobre los extremos de dicho segmento y apareceran las distintas medidas que va tomando el mismo (imagen 34).

imagen 33

imagen 34

APLICACIÓN “TRIÁNGULO CALCULADORA” La idea es utilizar esta aplicación como herramienta disparadora de situaciones de exploración y conjeturas a partir de un problema extramatemático, para iniciar un debate sobre el significado y sentido de las soluciones arrojadas por dicha aplicación, pudiendo apoyarse con lo trabajado en el software Geogebra para analizar la posibilidad o no de construcción de los triángulos propuestos y justificar las respuestas obtenidas.

Con este problema se intenta poner en juego la construcción del significado del teorema de Desigualdad Triangular.

Las medidas propuestas fueron pensadas para: ➢ que en el primer caso los estudiantes propongan el tercer lado para que se pueda confeccionar la bandera, pensando en las posibles soluciones que forman un intervalo. ➢ que en el segundo caso, se pueda construir la bandera y debatir bajo qué condiciones particulares se logra. ➢ que en el tercer caso no se pueda construir aunque hay una posibilidad de que si sumo dos lados son mayores que el tercero, sin embargo no se cumple para todas las posibilidades al combinar los pares de lados. ➢ en el cuarto caso la suma de la medida de un par de lados es igual a la medida del tercer lado, por lo tanto no se puede confeccionar la bandera triangular.

Problema Un grupo de cuatro amigos quiere confeccionar una bandera triangular del club de fútbol del que son hinchas, y discuten sobre las medidas que deberá tener su bandera.

A. Gonzalo pensó la medida de dos de sus lados de 4.5m y de 3m pero todavía no se decide de qué medida será el tercer lado.

B. Ramiro propone que la confección sea con un lado de 4m, otro lado de 4m y el tercer lado de 3m.

C. Brenda quiere que su bandera tenga un lado de 3m, otro lado de 4m y el tercero de 8m.

D. Valentina por su parte propone que los lados de la bandera sean de las siguientes medidas: 4m, 5m y 9m. ¿Podrá cada uno de los tres amigos confeccionar la bandera con las medidas propuestas? ¿Por qué?

Desarrollo de la actividad:

1. Presentación de la herramienta Una vez presentado el problema, -y habiendo previamente acordado con los estudiantes la instalación de la App en sus celulares-, se propone comenzar con el ítem A para realizar un primer acercamiento al uso de la herramienta.

Problema A PASO 1 Al abrir la aplicación aparece en la pantalla del celular un triángulo en el que se nombran sus lados y ángulos; y dos columnas, una para ingresar medidas de ​Lados y otra para ingresar medidas de ​Ángulos (​ imagen 35).

imagen 35 PASO 2 Para ingresar los datos proporcionados por el ítem A, debemos digitar en las celdas que representan los lados del triángulo, correspondientes a la columna de ​Lados ​y emerge el teclado numérico virtual, (imagen 36).

imagen 36

PASO 3 Se ingresan las medidas y luego se selecciona el icono del signo igual (imagen 37).

La calculadora devuelve una respuesta como resultado (imagen 38), con la leyenda ​“No hay suficiente información”.

La intervención docente será ¿qué significa? para discutir que con dos lados no se puede construir un triángulo sino que es necesario un tercer lado y que en este caso tienen que elegir libremente un valor, pero que debe cumplir con cierta condición.

A partir de allí, una nueva intervención será ¿qué valor podrían proporcionar para el tercer lado? Posiblemente, la acción de los estudiantes será introducir medidas al azar obteniendo distintos resultados.

imagen 37

imagen 38

Si comienzan introduciendo el valor 1 al lado que falta “c”, el resultado arrojado será la leyenda “La suma de dos lados debe ser mayor o igual al tercer lado”​ (imagen 39).

Para ingresar un nuevo valor del lado “c” tendrán que seleccionar el ícono borrar (imagen 40) para ingresar nuevamente todos los datos, con el nuevo c=2 por ejemplo.

Si prueban con el valor 2 o mayor que éste, la calculadora les devolverá las medidas de los ángulos, el área y la altura (imagen 41).

Una posible intervención docente en este caso será proponer ¿Que significa haber obtenido dichos datos? Con la intención de plantear la discusión entre los estudiantes acerca de la posibilidad de construcción del triángulo con los datos propuestos.

imagen 39

imagen 40

imagen 41

Si bien aquí surge la definición del Teorema en cuestión, creemos que lo interesante será proponer que exploren con las representaciones gráficas apoyados en la aplicación Geogebra para arribar a sus conjeturas, con la intención de que los ayude a interpretar dichos resultados y buscar un sentido a las respuestas recibidas de la aplicación.

Nota: El ítem A de este problema está relacionado con el Problema 1 planteado desde la aplicación Geogebra Graficadora.

Problema B En este caso al ingresar los datos de los lados propuestos, la calculadora arroja un resultado (imagen 42).

La intervención docente será ¿que significa que hayan encontrado una respuesta adecuada de inmediato? y se sugiere que pueden explorar con Geogebra​ ​(Problema 2)​.

La intención es que conjeturen que con esos datos la construcción es única y se discuta porque.

imagen 42

Problema C En este caso la calculadora vuelve a responder que “No hay suficiente información” (imagen 43) -como en el caso del ítem A-.

Será interesante establecer las diferencias y similitudes entre ambas actividades para iniciar debates y conjeturas, pudiendo nuevamente realizar exploraciones con Geogebra, ya que este caso está vinculado con el ​Problema 3.

imagen 43

Problema D En este caso, al introducir las medidas propuestas, aparece una nueva leyenda y un nuevo dato en la columna de Ángulos (imagen 44).

El desafío ahora será interpretar dichas respuestas, surgiendo cuestiones como: ¿qué significa la aparición de ese ángulo de 180°? ¿podemos saber qué lados lo forman? ¿por qué?

Nuevamente se sugiere la exploración con Geogebra (Problema 4).​

​imagen 44