Matemáticas discretas
Wilmer Alfonso Andrade Eguis
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería – ECBTI
Ingeniería de Sistemas.
Barranquilla
2020
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Introducción Así como en nuestra cotidianidad establecemos e identificamos relaciones con mucho con lo que interactuamos en nuestro entorno; así mismo en las matemáticas se pueden realizar relaciones entre diferentes elementos. En el desarrollo de esta actividad aprenderemos a identificar las diferentes relaciones y funciones, sus propiedades, así como las diferentes formas de representarlas gráficamente, todo ello a partir de conjuntos.
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Objetivos Objetivos generales: Comprender y revolver las diferentes relaciones y funciones Objetivos específicos: •
Establecer cardinal del conjunto.
•
Identificar dominio y codominio.
•
Realizar relaciones binarias.
•
Realizar la representación de las relaciones mediante tablas, diagrama sagital, matriz, dígrafos y diagrama cartesiano.
•
Identificar relaciones equivalentes.
•
Identificar las diferentes propiedades de las relaciones.
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1.
Con los conjuntos de la tabla dados a continuación:
a.
Escriba el cardinal de cada conjunto
b.
Realice los productos cartesianos (por ejemplo, si realiza UxV, el otro
producto es VxU) y compruebe si el producto cartesiano es conmutativo. Ejercicio A
A = {1, 2, 3, 4} y B = {m, n}
Cardinal Card (A) = 4 Card (B) = 2 Productos cartesianos A x B {(1,m), (1,n), (2,m), (2,n), (3,m), (3,n), (4,m), (4,n)} B x A {(m,1), (m,2), (m,3), (m,4), (n,1), (n,2), (n,3), (n,4)} El producto cartesiano no es conmutativo debido a que A x B ≠ B x A
2.
Con los conjuntos de la tabla dados a continuación:
a.
Escriba el dominio de la relación
b.
Escriba el codominio de la relación
c.
Realice la representación de la relación mediante una tabla
d.
Realice la representación gráfica mediante un diagrama
e.
Realice la representación de la relación mediante una matriz
Ejercicios A
A = {1, 2, 3}; B = {m, n, r} y R = {(1, m), (1, n), (2, m), (3, n), (3, r)}
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Dominio: { 1, 2, 3} Codominio: {m, n, r} Representación mediante tabla A 1 1 2 3 3
B m n m n r
Representación mediante diagrama
•1
•m
•2
•n
•3
•r
Representación en matriz 1
2
3
1
1
0
m
1
0
1
n
0
0
1
r
R=
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3.
Con el conjunto y la relación en la tabla a continuación:
c.
Escriba la relación binaria
d.
Represente la relación mediante un dígrafo
e.
Represente la relación mediante un diagrama cartesiano
Ejercicios A
A = {1, 2, 3} y R = {(a, b) / a ≤ b}
A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3} A x B = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} Relación binaria R = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)} Representación mediante dígrafo
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Representación mediante diagrama cartesiano
4.
Con base a las relaciones dadas a continuación determine lo solicitado
en la tabla: R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1, 1), (1, 2), (2,1)} R3 = {(1, 1), (1,2), (1, 4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} R6 = {(2,3)} Ejercicios A
Para cada relación determine qué relaciones son simétricas y transitivas y las otras porque no lo son.
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R2 y R3 son simétricas; debido a que en cada relación tenemos el par ordenado en forma (a, b) así como en forma (b, a) R4 y R5 son transitivas; debido a que tenemos que se encuentran relacionados “a” con “b” , “b” relacionado con “c” y entramos también que “a” tiene relación con “c”. Las relaciones R1 y R6 no cumplen con ninguna de las dos condiciones expuestas anteriormente.
5. Ejercicios A
Determine si R es o no relación de equivalencia para el conjunto dado. A = {1, 2, 3}; R = {(1, 1), (1, 3), (3,1), (3,3)}
No es equivalente, por lo que no cumple con las tres propiedades requeridas (debe contener obligatoriamente las 3) para ser catalogada como equivalente, las cuales son: reflexiva, simétrica y transitiva. La propiedad reflexiva: nos dice que aRa, es decir, que los pares sean iguales o se relacionan con ellos mismos, lo cual evidencia en los pares (1,1) y (3,3), pero en la relación no se encuentra el par (2,2), debido a esto la relación No es reflexiva, y al no cumplir con esta propiedad, el conjunto dado ya no puede ser equivalente. La propiedad simétrica: nos dice que aRb entonces bRa, es decir, que al tener el par ordenado (a,b) también debemos tener en la relación el par (b,a) lo cual los pares, (1,3), (3,1). Los pares (1,1) y (3,3) también son simétricos debido a que al invertir los valores obtenemos el mismo resultado.
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La propiedad transitiva: debido a que se cumple aRb y bRc entonces bRc, es decir, que tenemos el par (a,b) y el par (b,c) entonces en la relaciĂłn tambiĂŠn debemos tener el par (a,c) lo cual se evidencia en los pares: (1,1), (3,1), (1,3), (3,3). Al tener al par (1,1) y (3,1) debemos tener el par (1,3) formado por los dos extremos de los pares antes mencionados {(1,1), (3,1)}. Y al tener el par (3,1) y (1,3) debemos tener el par (3,3) el cual es formado por los extremos de los pares antes mencionados {(3,1), (1,3)}.
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Conclusiones Con el desarrollo de esta unidad aprendimos identificar y clasificar en matemáticas correctamente las relaciones y sus propiedades, así como realizar su representación correctamente en los diferentes diagramas; y evidenciamos que, así como realizamos relaciones en nuestro diario vivir (muchas veces sin percatarnos), también las podemos realizar en matemáticas.
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Referencias bibliográficas. Virtual Preparatoria. (09 de septiembre de 2019). Dominio y rango de una relación video 1 | Cálculo Diferencial – Virtual [Archivo de Video]. https://www.youtube.com/watch?v=eSIU9sF5vzg Franco Bernal Valdés. (16 de abril de 2020). Función representada por diagrama sagital (concepto, dominio, codominio, rango y representación) [Archivo de Video]. https://www.youtube.com/watch?v=eJbXY8R18V8 Matemáticas discretas (23 de noviembre d 2017). Médium.com https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/cap%C3%ADtulo-8-relaciones19a0432cf7e1 Academia internet. (06 de octubre de 2018). Relaciones binarias [Archivo de Video]. https://www.youtube.com/watch?v=qA1v4iv3OXs Cátedra de Matemática. (16 de octubre de 2018). Tipos de relaciones (Sesión 3) [Archivo de Video]. https://www.youtube.com/watch?v=CWBz004a3WU https://graphonline.ru/es/ No todo es matemáticas. (18 de octubre de 2017). Relaciones de equivalencia: definición y ejemplo [Archivo de Video]. https://www.youtube.com/watch?v=DcTP8ouyjCk Cátedra de Matemática. (19 de junio de 2018). Relaciones de equivalencia [Archivo de Video]. https://www.youtube.com/watch?v=0X0SThhVYRc&list=RDCMUChs9W2YMYlNIMwUHIvYbyw&index=24
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