Introdução à Matemática - Álgebra, Análise e Otimização

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Ta38 ,CR 2cj3 ICqaR 03cjCN Ac3 nL Uɡ$IC,R 03 njCICy 0Ra3c 03 L j3L jC, . ,RLR InNRc 03 0Cq3acRc ,nacRc 03 ,CćN,C c 3u j c. 03 CN8RaL jC, . 03 3,RNRLC 3 03 <3cjÀRY BcjR CLUIC, nL Ua3A c3Nj ÓÀR 0 L jāaC 0C83a3Nj3 03 nL Ua3c3Nj ÓÀR U a InNRc 0 UaƽUaC L j3L jC, Y i3L 03 j3a nL <a N03 ćN8 c3 NRc ,RN,3CjRc 3 N njCICy ÓÀR 03 j3Ra3L cY Q ja j L3NjR 0 L j3L jC, N3cj3 qRInL3 3Nja $3L N3cj3 3cUŝaCjRY Qc ,RN,3CjRc 3 Rc j3Ra3L c cÀR LUI L3Nj3 ,RL3Nj 0Rc ,RL 3u3LUIRc. , cRc 3cU3,C Cc 3 ,RN0CÓǽ3c. RN03 cÀR q IC0Rc 3 CNq IC0RcY /3cj , Ac3 ,I a3y 0 Ua3c3Nj ÓÀRY 2N\n NjR L j3L jC,R 3cjCq3 NnL 7 ,nI0 03 03 2,RNRLC N ?RI N0 Y M mNCq3acC0 03 03 ĀqRa R83a3,CAL3 U a I3,CRN a L j3L jC, U a 3,RNRLC 3 <3cjÀR. NnL j3Nj jCq 03 8 y3a ncR 0R L$C3Nj3 3,RNƽLC,R RN03 qCqC LnCjRc NRcY /3qC0R R NɡL3aR 03 InNRc 8RC N3,3cc aCR 8RaL a nL 3\nCU 03 0R,3Nj3c. 3 \nC 3Nja a L Hnŝc # N03Ca . 7a N,Cc,R +R3I@R 3 MnNR 7a N,R. Rc njRa3c 0R Ua3c3Nj3 ICqaRY mjCICy LRc R ICqaR ,I ccC,R 03 IU@ +@C N<. N cn ja 0nÓÀR $a cCI3Ca 03 ȒK j3L jC, U a 2,RNRLCcj cȓY +RNjCNnR 8 y3a R 3IR<CR 03cj3 ICqaR. L c @ N3,3ccC0 03 03 j3a L Cc 3u3a,ŝ,CRc U a R UaR,3cc L3NjR 0 L jāaC Y Qc jaćc njRa3c jRL a L CNC,C jCq 03 8RaLnI a 3cj3c 3u3a,ŝ,CRc. 3 jRL N0R <RcjR. CNj3<a a LANRc NnL NRq Ua3c3Nj ÓÀR 0 L jāaC . \n3 8RC I a< 0 © L jāaC a3I3q Nj3 U a c ,CćN,C cY TRa 3u3LUIR. U aj3 0 N ICc3 ,RL L Cc q aC q3Cc ā <Ra $ cj Nj3 $a N<3Nj3. 3 CN,InC NÀR cRL3Nj3 03aCq ÓÀR U a,C I. R 0C83a3N,C I 3 c 8nNÓǽ3c CNq3ac c 3 CLUIŝ,Cj c. E LnCjR ɡjCI U a 3,RNRLC . L c j L$āL Rc CNj3<a Cc LɡIjCUIRcY MRc ɡIjCLRc NRc njCICy3C R j3ujR jn I 3 NRj3C cn njCIC0 03 U a R 3NcCNR URC 0R U3IRc L3CRc CN8RaL jC,Rc 03 @RE3Y TRa 3u3LUIR. 3N\n NjR 3cjCq3 8 y3a 3L URaL3NRa a3cRInA ÓÀR 03 nL 3u3a,ŝ,CR NR \n 0aR. 8RC LnCjR ɡjCI j3a 0CcURNŝq3I. cCLnIj N3 L3Nj3 NR 3,aÀ 0R a3jaRUaRE3jRa. Rc ,RN,3CjRc 3 Rc j3Ra3L c a3I3q Nj3c. N Ua3c3Nj ÓÀR ,I a ,RL ,RN0CÓǽ3c ,RLUI3j c 0R ICqaRY /na Nj3 Rc NRc R L3n 3cj jnjR Ln0Rn 03 a3cURNc q3I 0 0Cc,CUICN U a c3a cn$cjCjnjR ~uR. 3L , cR 03 c $ jC,Rc Rn CLU30CL3NjRc 03 Rnja N jna3y Y T3Nc q - ȒM3q3a ,@ N<3 sCNNCN< j3 LȓY /3 8 ,jR. NRj3C c $R c a3I Óǽ3c 0Rc njRa3c ,RL Rc InNRc. $ c3 0 c NnL ,RL$CN ÓÀR 03 ~aL3y 3 03c,RNja ÓÀR. 3 Rc $RNc a3cnIj 0Rc NRc 3u L3c. \n3 NnN, 8Ra L 8 ,3CcY +I a L3Nj3. R IRN<R 0Rc NRc Rc InNRc Ua3N03a L \n3 L jāaC ā ,3ccŝq3I ,RL nL 3cjn0R cāaCRY tB

tBB BNjaR0nÓÀR © K j3L jC,

2cU3aR \n3 R Ua3c3Nj3 j3ujR cCaq LnCjR j3LUR NR 3NcCNR 0 L j3L jC, N c ,CćN,C c. N CN8RaL jC, 3 N 3,RNRLC 3 <3cjÀRY BLL3 q N 03N #3a< TaR83ccRa ccR,C 0R ,RL <a3< ÓÀR 03 K j3L jC, N mNCq3acC0 03 03 ĀqRa

SY 2cU ÓRc p3jRaC Cc SYS BNjaR0nÓÀR Q ,RN,3CjR 03 3cU ÓR q3jRaC I 3cj Ua3c3Nj3 3L jR0 I<3$a ICN3 aY M3cj3 , UŝjnIR $RaA 0 a3LRc 3cc3N,C IL3Nj3 R , cR 0Rc 3cU ÓRc q3jRaC Cc a3 Cc. 3L U ajC,nI a Rc 3cU ÓRc R, R2 , R3 , . . . V,nERc 3I3L3NjRc cÀR Ȓc3\nćN,C c ~NCj cȓ 03 NɡL3aRc a3 Cc. (x1 , . . . , xn )W URaA \n3 3cj3c cÀR. URa nL I 0R. Rc L Cc nc 0Rc N c UIC, Óǽ3c Ua jC, c 3. URa RnjaR. URa\n3 cÀR CNjnCjCq L3Nj3 L Cc ,3ccŝq3CcY MR 3Nj NjR. c 03~NCÓǽ3c 3 c UaRUaC30 03c Ua3c3Nj 0 c \nC UIC, LAc3 \n 0aRc L Cc <3a Cc. ,RLR 3cU ÓRc 03 L jaCy3c Rn 03 8nNÓǽ3c. URa 3u3LUIRY c UaCN,CU Cc NRÓǽ3c a3I ,CRN 0 c ,RL Rc 3cU ÓRc q3jRaC Cc \n3 q LRc 3cjn0 a cÀR Rc cCcj3L c 03 q3jRa3c. c ,RL$CN Óǽ3c ICN3 a3c. Rc cCcj3L c <3a 0Ra3c. CN03U3N0ćN,C ICN3 a. c $ c3c 3 0CL3NcÀRY

SYl 2cU ÓRc p3jRaC Cc /3~NCÓÀR SYS

bCcj3L 03 p3jRa3c

mL cCcj3L 03 q3jRa3c 03 R ā nL ,RNEnNjR ~NCjR Ra03N 0R 03 3I3L3NjRc 03 Rn Y Qc 3I3L3NjRc 03 nL cCcj3L UR03L R,Raa3a a3U3jC0Rc 3 Ra03L 3L \n3 U a3,3L NR cCcj3L ā CLURaj Nj3Y á HC03I Ģ 20CÓǽ3c iā,NC, c

n

! BNjnCjCq L3Nj3. nL cCcj3L 03 q3jRa3c ā nL ICcj 03 q3jRa3cY / L3cL 8RaL \n3 0CcjCN<nCLRc R q3jRa (1, 2) 03 (2, 1) 3 j L$āL 0R ,RNEnNjR {1, 2}. NRc cCcj3L c 03 q3jRa3c 0 LRc CLURaj N,C © Ra03L 3 L Nj3LRc c a3U3jCÓǽ3c. R ,RNja aCR 03 NRc ,RNEnNjRc. RN03. URa 3u3LUIR. {1, 2} = {2, 1} = {1, 2, 2, 1, 2}Y

k

: BNjaR0nÓÀR © K j3L jC,

2u3LUIR SYS mL cCcj3L 03 q3jRa3c 03 R2 ā. URa 3u3LUIR. ! " S1 = (0, 1) , (2, 3) .

2cj3 cCcj3L j3L 0RCc q3jRa3c- (0, 1) 3 (2, 3)Y QnjaR cCcj3L ,RL 3cj3c 0RCc q3jRa3c ā ! " S2 = (2, 3) , (0, 1) .

2L$Ra 8RaL 0Rc U3IRc L3cLRc q3jRa3c. 3cj3c 0RCc cCcj3L c cÀR 0C83a3Nj3c URa\n3 Rc q3jRa3c R,Raa3L URa Ra03Nc 0C83a3Nj3c- R UaCL3CaR q3jRa 03 S1 ā (0, 1). 3N\n NjR R UaCL3CaR q3jRa 03 S2 ā (2, 3)Y QnjaR cCcj3L 03 R2 ā ! " S3 = (0, 1) , (2, 3) , (1, 2) .

Q cCcj3L S3 ,RCN,C03 ,RL S1 NRc UaCL3CaRc 0RCc q3jRa3c. L c ,RLR S3 j3L jaćc q3jRa3c 3 S1 U3N c 0RCc VCNjnCjCq L3Nj3. Rc cCcj3L c jćL ,RLUaCL3NjRc 0C83a3Nj3cW. j L$āL S3 ̸= S1 Y mL , cR nL URn,R L Cc ,RN8ncR ā CIncja 0R U3IR cCcj3L ! " S4 = (2, 3) , (0, 1) , (0, 1) .

Q \n3 c3 U cc ,RL R q3jRa a3U3jC0R (0, 1)] R$c3aq ÓÀR CLURaj Nj3 \nC ā \n3 Rc cCcA j3L c 03 q3jRa3c NÀR cÀR ,RNEnNjRcY Q cCcj3L S4 ā 8RaL 0R URa jaćc q3jRa3c- R UaCL3CaR ā (2, 3). R c3<nN0R ā (0, 1) 3 R j3a,3CaR ā (0, 1)Y /3~NCÓÀR SYl

+RL$CN ÓÀR HCN3 a

b3E Y = (y1 , . . . , yN ) nL cCcj3L 03 N q3jRa3c 03 Rn 3 a1 , . . . , aN 3c, I a3cY mL ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 03 S ā nL q3jRa x = a 1 y1 + · · · + a N yN =

N #

a i yi .

VSYSW

i=1

2u3LUIR SYl SY Q q3jRa (−2, 1, 3) UR03 c3a R$jC0R ,RLR ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 03 (1, 0, 0), (0, 1, 0) 3 (0, 0, 1)(−2, 1, 3) = −2(1, 0, 0) + (0, 1, 0) + 3(0, 0, 1).

lY Q q3jRa (1, 2, 0, 2) UR03 c3a R$jC0R ,RLR ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0Rc q3jRa3c (1, 0, 0, 0).

(1, 1, 1, 1) 3 (0, 0, 1, 0)(1, 2, 0, 2) = −1(1, 0, 0, 0) + 2(1, 1, 1, 1) − 2(0, 0, 1, 0).

2cU ÓRc p3jRaC Cc

9

2u3LUIR SYk KRcja3 \n3 R! q3jRa (1, 2, 3) NÀR UR03 c3a $R$jC0R ,RLR ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L 03 " # q3jRa3c S = 1, −1, 1/2 , (1, 0, 1) , (0, 2, 1) Y `3cRInÓÀR

bnURN@ LRc. URa $cna0R. \n3 R q3jRa (1, 2, 3) UR03 c3a 3c,aCjR ,RLR ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L SY BcjR cC<NC~, \n3 j3aC L 03 3uCcjCa 3c, I a3c a, b, c ∈ R j Cc \n3 " # (1, 2, 3) = a 1, −1, 1/2 + b (1, 0, 1) + c (0, 2, 1) .

K c

" # (1, 2, 3) = a 1, −1, 1/2 + b (1, 0, 1) + c (0, 2, 1) " # = a, −a, a/2 + (b, 0, b) + (0, 2c, c) "

= a + b, −a + 2c, a/2 + b + c ⎧ ⎨1 = a+b ⇔ 1 = −a/2 + c ⎩ 3 = a/2 + b + c

#

⎧ ⎨1 ⇔ 2 ⎩3 ⎧ ⎨ ⇔ ⎩1

= a+b = −a + 2c = a/2 + b + c ... , ... = 0

R \n3 ā CLURccŝq3IY +RNc3\n3Nj3L3Nj3. R! q3jRa (1, 2, 3) NÀR UR03 c3a R$jC0R ,RLR ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcA $ " # 1 j3L 03 q3jRa3c S = 1, −1, /2 , (1, 0, 1) , (0, 2, 1) Y

/3~NCÓÀR SYk

2cU ÓR p3jRaC I

á HC03I Ģ 20CÓǽ3c iā,NC, c

mL 3cU ÓR q3jRaC I a3 I ā nL ,RNEnNjR 03 q3jRa3c. E. \n3 q3aC~, c c3<nCNj3c ,RN0CÓǽ3cT a \n Cc\n3a q3jRa3c x, y,z ∈ E 3 3c, I a3c a, b ∈ R-

SY x + y = y + xY lY x + (y + z) = (x + y) + zY kY 2uCcj3 nL ɡNC,R q3jRa. ,@ L 0R q3jRa NnIR 3 03NRj 0R URa 0. j I \n3 0 + x = x U a \n I\n3a xY :Y T a , 0 q3jRa x 3uCcj3 nL ɡNC,R q3jRa −x j I \n3 x + (−x) = 0Y 9Y 1x = xY fY a (bx) = (ab) xY eY (a + b) x = ax + bxY 4Y a (x + y) = ax + ayY

! MRj3Ac3 \n3 R a3cnIj 0R 0 cRL 03 q3jRa3c 3 0 LnIjCUIC, ÓÀR URa nL 3c, I a 03q3L c3a q3jRa3c NR L3cLR 3cU ÓRY mcn IL3Nj3 Rc 3cU ÓRc q3jRaC Cc 3L \n3 ja $ I@ LRc cÀR Rc Rn . 03c,aCjRc c3<nCaY

f BNjaR0nÓÀR © K j3L jC,

2u3LUIR SY:

! " MR ,RNEnNjR R2 = (x, y) : x, y ∈ R 03~N3Ac3 cRL 03 q3jRa3c URa (a, b) + (x, y) = (a + x, b + y)

3 R UaR0njR 3c, I a URa a (x, y) = (ax, ay) . +RL 3cj c 0n c RU3a Óǽ3c R2 ā nL 3cU ÓR q3jRaC I a3 IY K Cc <3a IL3Nj3. NR ,RNEnNjR ! " Rn = (x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ R 03~N3Ac3 cRL URa

(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) 3 R UaR0njR 3c, I a URa a (x1 , . . . , xn ) = (ax1 , . . . , axn ) . +RL 3cj c 0n c RU3a Óǽ3c R ,RNEnNjR Rn ā nL 3cU ÓR q3jRaC I a3 IY ! U3c a 03 Rc 3cU ÓRc q3jRaC Cc L Cc ,RLnNc c3a3L Rc Rn . 03~NCÓÀR 8RaL I 03 3cA U ÓR q3jRaC I ,3Cj ,RLR Ȓq3jRa3cȓ RnjaRc R$E3jRc IāL 0Rc jnUIRc (x1 , . . . , xN ). 03c03 \n3 3cj3E L 03~NC0 c RU3a Óǽ3c 03 0CÓÀR 3 LnIjCUIC, ÓÀR 3c, I a 03\n 0 cY ! D c3<nCa. NR 3u3LUIR SY9. cÀR CIncja 0Rc 3cU ÓRc q3jRaC Cc 3L \n3 Rc q3jRa3c cÀR L jaCy3c 3 RnjaRc 3L \n3 Rc q3jRa3c cÀR 8nNÓǽ3cY 2u3LUIR SY9 Q ,RNEnNjR 0 c L jaCy3c 0R jCUR n × m. Rn×m . LnNC0R 0 RU3a ÓÀR cRL 03 L jaCy3c 3 UaR0njR 3c, I a 03 nL NɡL3aR a3 I URa nL L jaCy. ā nL 3cU ÓR q3jRaC I a3 IY i L$āL R 3cU ÓR 0 c 8nNÓǽ3c f : [0, 1] → R. ,RL RU3a ÓÀR cRL 0 0 URa (f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x) 3 R UaR0njR 3c, I a 0 0R URa (af )(x) = af (x) , a ∈ R, ā nL 3cU ÓR q3jRaC I a3 IY ! QnjaRc 3u3LUIRc 03 3cU ÓRc q3jRaC Cc cÀR 0 0Rc NRc 3u3a,ŝ,CRc UaRURcjRc. L c Rc 3cU ÓRc 3L \n3 j3LRc L CRa CNj3a3cc3 <Ra cÀR Rc 3cU ÓRc Rn Y

2cU ÓRc p3jRaC Cc

e

! mL 0 c C03C c 8nN0 L3Nj Cc 3L I<3$a ICN3 a ā 03 cn$3cU ÓR q3jRaC I- nL cn$A ,RNEnNjR 03 nL 3cU ÓR q3jRaC I \n3. U3c a 03 ȒL Cc U3\n3NRȓ. CN0 q3aC~, jR0 c c ,RN0CÓǽ3c 0 03~NCÓÀR SYk. CcjR ā. CN0 ā nL 3cU ÓR q3jRaC IY /3~NCÓÀR SY:

bn$3cU ÓR p3jRaC I

b3E E nL 3cU ÓR q3jRaC I 3 F ⊂ E nL cn$,RNEnNjR NÀR q yCR 03 EY Q cn$,RNEnNjR F ā nL cn$3cU ÓR q3jRaC I c3SY T a \n Cc\n3a 0RCc q3jRa3c x ∈ F 3 y ∈ F . cRL x + y ∈ F j L$āL U3aj3N,3 3cc3 cn$,RNEnNjRY lY T a \n I\n3a 3c, I a α 3 \n I\n3a q3jRa x ∈ F . R UaR0njR αx ∈ F j L$āL U3aj3N,3 3cc3 cn$,RNEnNjRY ! TRa Rnja c U I qa c. UR03LRc 0Cy3a \n3 nL cn$3cU ÓR Vq3jRaC IW ā nL cn$,RNEnNjR NÀR q yCR V03 nL 3cU ÓR q3jRaC IW \n3 ,RNjāL jR0 c c ,RL$CN Óǽ3c ICN3 a3c 03 3I3L3NjRc 0R cn$,RNEnNjRY ! c UaRUaC30 03c 0Rc 3cU ÓRc q3jRaC Cc cÀR CN0 c jCc83Cj c 3L , 0 nL 0Rc c3nc cn$A 3cU ÓRc. URaj NjR. \n I\n3a cn$3cU ÓR q3jRaC I ā j L$āL nL 3cU ÓR q3jRaC IY TRa 3u3LUIR. UR03LRc q3aC~, a \n3 R q3jRa NnIR U3aj3N,3 \n I\n3a cn$3cU ÓR- $ cj ,RNcC03a a ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0x = 0 03 nL \n I\n3a q3jRa x 03cc3 cn$3cU ÓRY ! Q L Cc U3\n3NR cn$3cU ÓR q3jRaC I UR03 j3a U3N c nL q3jRa. R q3jRa NnIRY Q L CRa cn$3cU ÓR q3jRaC I URccŝq3I ā R UaƽUaCR 3cU ÓR q3jRaC IY 2u3LUIR SYf +RNcC03a3LRc R 3cU ÓR q3jRaC I a3 I R3 . ,RL c RU3a Óǽ3c cRL 3 UaR0njR 3c, I a ncn CcY Q ,RNEnNjR 03 jR0Rc Rc q3jRa3c 03 R3 ,nE c3<nN0 ,RRa03N 0 ā NnI ā nL cn$3cU ÓR q3jRaC I 03 R3 . URCc 0 0Rc \n Cc\n3a (x1 , 0, x2 ) , (y1 , 0, y2 ) ∈ R3 3 a ∈ R, j3LAc3 (x1 , 0, x2 ) + (y1 , 0, y2 ) = (x1 + y1 , 0, x2 + y2 ) 3

á HC03I Ģ 20CÓǽ3c iā,NC, c

a (y1 , 0, y2 ) = (ay1 , 0, ay2 ) .

BcjR ā. R a3cnIj 0R 0 c RU3a Óǽ3c cÀR q3jRa3c 03 R3 ,RL c3<nN0 ,RRa03N 0 NnI Y ! Qc cn$3cU ÓRc 03 nL 3cU ÓR q3jRaC I cÀR ,RNEnNjRc 03 q3jRa3c 3. ,RLR j I. UR03L c3a ,RL$CN 0Rc 03 q aC c 8RaL c VUR03L c3a. URa 3u3LUIR. CNj3ac3j 0RcWY mL 0 c 8RaL c L Cc ɡj3Cc 03 ,RL$CN a 0RCc cn$3cU ÓRc ā U3I cRL 0Rc q3jRa3c. \n3 03~NCLRc c3<nCa V03~NCÓÀR SY9WY

4 BNjaR0nÓÀR © K j3L jC,

/3~NCÓÀR SY9

bRL c ,RL bn$3cU ÓRc

b3E L E nL 3cU ÓR q3jRaC I. F 3 G 0RCc cn$3cU ÓRc 03 EY cRL 0Rc cn$3cU ÓRc F 3 G ā nL cn$,RNEnNjR 03 E 03~NC0R URa VSYlW

F + G = {w ∈ E : w = u + v, u ∈ F, v ∈ G} . b3 x ∈ E 8Ra nL q3jRa. 3NjÀR

VSYkW

x + F = {w ∈ E : w = x + u, u ∈ F } .

TaRURcCÓÀR SYS

73,@R 0 bRL 03 bn$3cU ÓRc

b3E E nL 3cU ÓR q3jRaC IY cRL 03 cn$3cU ÓRc 03 E ā CN0 nL cn$3cU ÓR 03 EY ! +RLR ,RNc3\nćN,C 03cj UaRURcCÓÀR. R cn$3cU ÓR F + G 0 03~NCÓÀR SY9 ā nL cn$3cU ÓR 03 EY ! R ,RNja aCR 0 cRL 03 cn$3cU ÓRc. cRL 03 nL q3jRa ,RL nL cn$3cU ÓR. 3L <3a I. NÀR ā nL cn$3cU ÓR. ,RLR UR03LRc R$c3aq a N ~<na SYSY 7C<na SYS

bRL 03 nL p3jRa ,RL nL bn$3cU ÓR 03 R2 y u

x

bn$3cU ÓR F bRL u + F 2L R2 Rc cn$3cU ÓRc cÀR c ICN@ c a3j c \n3 U cc L N RaC<3L (0, 0) 3 Rc q3jRa3c cÀR Rc URNjRc (x, y) 0R UI NRY M3cj ~<na UR03LRc R$c3aq a \n3 R a3cnIj 0R 03 cRL a nL q3jRa. u. ,RL nL cn$3cU ÓR. F VICN@ ,CNy W. ā nL ICN@ a3j 8 cj 0 0 RaC<3L. u + F VICN@ N3<a W. U a I3I F Y ! c3<nCa. N 03~NCÓÀR SYf. 3cjn0 LRc 3\nCq IćN,C 03 cCcj3L c. \n3 03c,a3q3 3L \n3 ,RN0CÓǽ3c UR03LRc cn$cjCjnCa nL cCcj3L 03 q3jRa3c URa RnjaR. j Iq3y L Cc cCLUI3c.

L c c3L Ij3a a c UaRUaC30 03c I<ā$aC, c \n3 CNj3a3cc LY

2cU ÓRc p3jRaC Cc

/3~NCÓÀR SYf

O

bCcj3L c 2\nCq I3Nj3c

b3E L E nL 3cU ÓR q3jRaC I. X = (x1 , . . . , xN ) 3 Y = (y1 , . . . , yM ) 0RCc cCcj3L c ,RL. a3cU3jCq L3Nj3. N 3 M q3jRa3c 03 EY Qc cCcj3L c X 3 Y cÀR 3\nCq I3Nj3c. 3 3c,a3q3Ac3 X ≈ Y . c3 , 0 q3jRa 03 , 0 cCcj3L 8Ra ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R RnjaR cCcj3L Y BcjR ā. c3SY T a , 0 i = 1, . . . , N . R q3jRa xi ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L Y Y lY T a , 0 j = 1, . . . , M . R q3jRa yj ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L XY 2u3LUIR SYe Qc cCcj3L c 03 q3jRa3c X 3 Y . 0 0Rc $ CuR. cÀR 3\nCq I3Nj3c! " ! " X = (1, 0) , (0, 1) , Y = (1, 1) , (−1, 1) . `3cRInÓÀR

T a UaRq a \n3 X ≈ Y . j3LRc 03 LRcja a \n3 , 0 q3jRa 03 X ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L Y 3 \n3 , 0 q3jRa 03 Y ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L X• p3E LRc c3 , 0 q3jRa 03 X ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L Y Y T a j I. Ua3,Cc LRc 03 03j3aLCN a Rc ,R3~,C3Nj3c \n3 U3aLCj3L 3c,a3q3a , 0 q3jRa 03 X © ,ncj 0Rc q3jRa3c 03 Y # # 1=a−b a = 1/2 (1, 0) = a (1, 1) + b (−1, 1) ⇔ ⇔ 0=a+b b = −1/2 # # 0=a−b a = 1/2 (0, 1) = a (1, 1) + b (−1, 1) ⇔ ⇔ 1=a+b b = 1/2 +RN,InŝLRc 3NjÀR \n3 , 0 q3jRa 03 X ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L Y Y • T a q3aC~, a c3 , 0 q3jRa 03 Y ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 03 X. $ cj R$c3aq a \n3 (1, 1) = 1 (1, 0) + 1 (−1, 1) 3 \n3

á HC03I Ģ 20CÓǽ3c iā,NC, c

(−1, 1) = −1 (1, 0) + 1 (−1, 1) .

TRaj NjR. j L$āL , 0 q3jRa 03 Y ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 0R cCcj3L XY +RNc3\n3Nj3L3Nj3. j3LRc X ≈ Y . CcjR ā. Rc cCcj3L c X 3 Y cÀR 3\nCq I3Nj3cY

Sz BNjaR0nÓÀR © K j3L jC,

! q3aC~, ÓÀR \n3 0RCc cCcj3L c cÀR 3\nCq I3Nj3c UR03 c3a LnCjR ja $ I@Rc Y b3 jCq3aLRc nL cCcj3L ,RL 03y q3jRa3c 3 RnjaR ,RL c3j3. UR03LRc j3a 03 03c,R$aCa 03y cc3j3 ,RLA $CN Óǽ3c ICN3 a3c. , 0 nL ,RL LnCj c CN,ƽ<NCj cY T a ICqC a 3cj j a38 . UR03LRc nc a I<nL c UaRUaC30 03c 0 3\nCq IćN,C 03 cCcj3L c 03 q3jRa3c. \n3 a30ny3L <a N03L3Nj3 c ,RNj c N3,3cc aC cY TaRURcCÓÀR SYl

TaRUaC30 03c 0 2\nCq IćN,C 03 bCcj3L c 03 p3jRa3c

b3E L X. Y 3 Z cCcj3L c 03 q3jRa3c 03 nL 3cU ÓR q3jRaC ISY lY kY :Y

[n I\n3a cCcj3L 03 q3jRa3c ā 3\nCq I3Nj3 cC UaƽUaCR VCcjR ā. X ≈ XWY b3 X ≈ Y 3NjÀR Y ≈ XY b3 X ≈ Y 3 Y ≈ Z 3NjÀR X ≈ ZY b3 LnIjCUIC, aLRc \n I\n3a q3jRa 03 nL cCcj3L URa nL 3c, I a 0C83a3Nj3 03 y3aR ! " R NRqR cCcj3L ā 3\nCq I3Nj3 R UaCL3CaRY BcjR ā. c3 X = x1 , . . . , xi , . . . , xn 3 a ∈ R \ {0} 3NjÀR

! " X ≈ x1 , . . . , axi , . . . , xn .

9Y b3 cn$cjCjnCaLRc nL q3jRa 03 nL cCcj3L U3I cRL 03cc3 q3jRa ,RL R UaR0njR 03 nL 3c, I a URa nL c3<nN0R q3jRa 0R cCcj3L . R NRqR cCcj3L ā 3\nCq I3Nj3 R ! " UaCL3CaRY BcjR ā. c3 X = x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xn 3 a ∈ R 3NjÀR ! " X ≈ x1 , . . . , xi , . . . , xj + axi , . . . ,xn .

fY b3 jaR, aLRc 03 Ra03L 0RCc cCcj3L ā 3\nCq I3Nj3 ! q3jRa3c 03 nL cCcj3L . R NRqR " R UaCL3CaRY BcjR ā. c3 X = x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xn 3NjÀR ! " X ≈ x1 , . . . , x j , . . . , x i , . . . , x n .

! Q ,RNEnNjR 03 jR0 c c ,RL$CN Óǽ3c ICN3 a3c 03 nL cCcj3L 03 q3jRa3c V03~NCÓÀR SYeW ā nL 0 c UaRUaC30 03c I<ā$aC, c. a383aC0 c ,CL . \n3 CNj3a3cc L U a R NRccR 3cjn0RY /3~NCÓÀR SYe

bCcj3L ;3a 0Ra. 2cU ÓR ;3a 0R

b3E X nL cCcj3L 03 q3jRa3c 0R 3cU ÓR q3jRaC I EY Q 3cU ÓR <3a 0R URa X ā ⟨X⟩ = {v ∈ E : v ā ,RL$CN ÓÀR ICN3 a 03 X}

VSY:W

M3cj3 , cR. R cCcj3L X ā nL <3a 0Ra 0R 3cU ÓR ⟨X⟩Y ! TR03LRc R$c3aq a \n3. 3L <3a I. 3uCcj3L CN~NCj c ,RL$CN Óǽ3c ICN3 a3c 03 nL cCcj3L 03 q3jRa3cY K c nL cCcj3L S 03 n q3jRa3c j3L U3N c 3cc3c n q3jRa3cY TRaj NjR. nL cCcj3L 03 q3jRa3c ā nL 8RaL 03 a383aCa nL ,RNEnNjR CN~NCjR. R 3cU ÓR <3a 0R ⟨S⟩. ,RL $ c3 U3N c NnL NɡL3aR ~NCjR 03 q3jRa3c. Rc 3I3L3NjRc 0R <3a 0Ra SY