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ELASTICIDADE E PLASTICIDADE

Teoria e Prática

José Valdemar Fernandes / Pedro Prates / Marta Oliveira

FCA

Elasticidade e Plasticidade Teoria e Prática

José Valdemar Fernandes | Pedro Prates | Marta Oliveira

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Índice Capítulo 1

Comportamento Elastoplástico de Materiais Metálicos em Tração..........................

Diagrama de tração............................................................................................................................................. Curva convencional de tração............................................................................................................................. Curva real de tração............................................................................................................................................ Comparação das curvas de tração, convencional e real..................................................................................... Deformação elástica e deformação plástica....................................................................................................... Variação de volume durante a deformação........................................................................................................ Condição de início de estrição............................................................................................................................ Modelação do comportamento elastoplástico de materiais metálicos............................................................ 1.8.1 Comportamento elástico.................................................................................................................... 1.8.2 Comportamento plástico................................................................................................................... 1.9 Comportamento real de materiais metálicos..................................................................................................... 1.10 Modo de rotura após estrição.............................................................................................................................

1 5 7 9 11 13 15 16 17 18 20 24

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Capítulo 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

2.8

2.9

Tensor das Tensões .................................................................................................

Conceitos de tensão normal e de corte.............................................................................................................. Definição de estado de tensão num ponto ....................................................................................................... Tensões normal e de corte num plano com orientação arbitrária .................................................................... Mudança de sistema de eixos do tensor das tensões........................................................................................ Tensões principais e sistema de eixos principal................................................................................................. Limites da tensão normal e da tensão de corte................................................................................................. Tensores desviador e hidrostático e tensões octaédricas, normal e de corte.................................................... 2.7.1 Tensores desviador e hidrostático...................................................................................................... 2.7.2 Tensões octaédricas, normal e de corte ............................................................................................ Estado plano de tensão....................................................................................................................................... 2.8.1 Equações das tensões normal e de corte, num plano com orientação arbitrária............................. 2.8.2 Mudança de sistema de eixos............................................................................................................ 2.8.3 Tensões principais e sistema de eixos principal................................................................................. 2.8.4 Tensão de corte máxima.................................................................................................................... Representação gráfica do estado de tensão: Círculos de Mohr......................................................................... 2.9.1 Estados de tensão tridimensionais.................................................................................................... 2.9.2 Estado de plano de tensão.................................................................................................................

25 28 33 36 38 43 44 44 45 47 48 49 50 51 53 53 57

Capítulo 3 3.1 3.2 3.3 3.4

Tensor das Deformações..........................................................................................

Conceitos de deformação linear e de corte........................................................................................................ Generalidades sobre o tensor das deformações................................................................................................. Equações do estado de deformação................................................................................................................... Estado de deformação num ponto..................................................................................................................... 3.4.1 Deformações lineares.........................................................................................................................

61 63 64 70 71

VI Elasticidade e Plasticidade

Capítulo 4 4.1 4.2 4.3

4.4 4.5 4.6

Elasticidade.............................................................................................................

Ensaios simples de tração e de corte.................................................................................................................. Lei de Hooke generalizada em materiais isotrópicos......................................................................................... Lei de Hooke generalizada em materiais ortotrópicos....................................................................................... 4.3.1 Caso geral de ortotropia..................................................................................................................... 4.3.2 Ortotropia com isotropia num plano................................................................................................. 4.3.3 Tração num plano de ortotropia........................................................................................................ 4.3.3.1 Transformação de tensores............................................................................................. 4.3.3.2 Evolução do módulo de elasticidade e do coeficiente de Poisson num plano de simetria ..................................................................................................................... 4.3.3.3 Nota final........................................................................................................................ Lei de Hooke generalizada em anisotropia não ortotrópica.............................................................................. Identificação dos parâmetros de elasticidade.................................................................................................... Energia potencial de deformação elástica..........................................................................................................

79 82 88 88 93 94 95

Capítulo 5 5.1

5.2

72 73 74 74 76

96 100 102 103 104

Plasticidade............................................................................................................

107

Conceitos fundamentais..................................................................................................................................... 5.1.1 Noção de superfície de plasticidade ou de superfície limite de elasticidade................................... 5.1.2 Equação genérica da superfície de plasticidade................................................................................ 5.1.3 Evolução da superfície de plasticidade durante a deformação......................................................... 5.1.4 Lei de plasticidade associada ou lei da normalidade........................................................................ 5.1.5 Tensão equivalente isotrópica e deformação plástica equivalente .................................................. 5.1.6 Tensão equivalente cinemática e total .............................................................................................. 5.1.7 Significado dos conceitos de tensão e deformação equivalentes..................................................... 5.1.8 Relação entre tensões equivalentes................................................................................................... 5.1.9 Lei de encruamento isotrópico........................................................................................................... 5.1.10 Postulado de Drucker......................................................................................................................... 5.1.11 Convexidade da superfície de plasticidade em materiais com encruamento .................................. 5.1.12 Plasticidade não associada................................................................................................................. 5.1.13 Nota final............................................................................................................................................ Critérios de plasticidade...................................................................................................................................... 5.2.1 Introdução.......................................................................................................................................... 5.2.2 Critérios isotrópicos de Tresca e von Mises......................................................................................... 5.2.2.1 Equações dos critérios..................................................................................................... 5.2.2.2 Tensão e deformação equivalentes segundo von Mises................................................ 5.2.2.3 Relações de Prandtl-Reuss............................................................................................. 5.2.3 Outros critérios isotrópicos................................................................................................................. 5.2.4 Critério anisotrópico de Hill48............................................................................................................

107 107 109 112 116 119 121 124 126 128 129 130 132 133 133 133 134 134 138 140 143 145

3.5

3.4.2 Deformações de corte ....................................................................................................................... Tensores das deformações ................................................................................................................................. 3.5.1 Tensor das deformações infinitesimais de Cauchy............................................................................ 3.5.2 Tensor das deformações de Green-Lagrange.................................................................................... 3.5.3 Comparação das deformações lineares.............................................................................................

Índice VII 5.2.4.1 5.2.4.2 5.2.4.3 5.2.4.4 5.2.4.5 5.2.4.6

Caso geral........................................................................................................................ Estado plano de tensão.................................................................................................. Simetria de propriedades em torno de um eixo de ortotropia...................................... Isotropia esférica ............................................................................................................ Tensão e deformação equivalentes segundo Hill48...................................................... Análise da anisotropia de uma chapa laminada no seu plano ..................................... 5.2.4.6.1 Tensão limite de elasticidade em tração.................................................... 5.2.4.6.2 Tensão limite de elasticidade em corte...................................................... 5.2.4.6.3 Coeficiente de anisotropia.......................................................................... 5.2.4.6.4 Coeficiente de anisotropia biaxial............................................................... 5.2.4.7 Nota final........................................................................................................................ 5.2.5 Outros critérios anisotrópicos............................................................................................................. 5.2.5.1 Critérios que recorrem a transformação linear com seis parâmetros de anisotropia.... 5.2.5.1.1 Critério Yld91............................................................................................... 5.2.5.1.2 Critério KB93............................................................................................... 5.2.5.1.3 Critério Drucker+L...................................................................................... 5.2.5.2 Critério CB2001............................................................................................................... 5.2.5.3 Critério CPB..................................................................................................................... Leis de encruamento........................................................................................................................................... 5.3.1 Introdução.......................................................................................................................................... 5.3.2 Encruamento isotrópico..................................................................................................................... 5.3.3 Encruamento cinemático................................................................................................................... Padronização e equivalência entre conjuntos de parâmetros............................................................................ 5.4.1 Introdução.......................................................................................................................................... 5.4.2 Padronização de parâmetros do critério de plasticidade................................................................... 5.4.3 Equivalência entre conjuntos de parâmetros..................................................................................... 5.4.3.1 Critério de plasticidade + encruamento isotrópico ...................................................... 5.4.3.2 Critério de plasticidade + encruamento cinemático..................................................... Estratégias de identificação de parâmetros........................................................................................................ 5.5.1 Introdução.......................................................................................................................................... 5.5.2 Problema de otimização na identificação de parâmetros................................................................. 5.5.3 Particularidades de alguns ensaios clássicos..................................................................................... 5.5.3.1 Ensaio de tração uniaxial................................................................................................ 5.5.3.2 Ensaio de corte................................................................................................................ 5.5.3.3 Ensaio biaxial sob pressão de um fluido em matriz circular..........................................

146 149 151 153 153 156 156 160 162 168 172 173 174 175 177 179 181 185 191 191 191 195 201 201 202 205 205 209 209 209 211 214 214 220 228

Capítulo 6 Aplicação a Casos Reais de Estampagem de Chapas Metálicas com Recurso ao Método dos Elementos Finitos............................................................................

231

5.3

5.4

5.5

6.1 6.2

Simulação numérica pelo Método dos Elementos Finitos................................................................................. Conformação de uma taça cilíndrica.................................................................................................................. 6.2.1 Ferramentas e material...................................................................................................................... 6.2.2 Identificação de parâmetros constitutivos em regime plástico........................................................ 6.2.3 Modelo de elementos finitos.............................................................................................................

231 234 235 236 239

6.2.4

Resultados da simulação numérica................................................................................................... 6.2.4.1 Evolução da força do punção.......................................................................................... 6.2.4.2 Perfil do bordo da taça e respetiva espessura ............................................................... 6.2.4.3 Perfis de espessura......................................................................................................... 6.2.4.4 Distribuição da pressão no cerra-chapas....................................................................... 6.2.4.5 Distribuição das tensões e das trajetórias de deformação na aba................................. Conformação de um perfil em U........................................................................................................................ 6.3.1 Material, ferramentas, e modelo de elementos finitos..................................................................... 6.3.2 Modelo de atrito................................................................................................................................. 6.3.3 Resultados da simulação numérica................................................................................................... 6.3.3.1 Evolução da força do punção e do deslizamento da aba............................................... 6.3.3.2 Análise do retorno elástico............................................................................................. 6.3.3.3 Evolução da pressão de contacto e do coeficiente de atrito.......................................... Conformação de um perfil complexo................................................................................................................. 6.4.1 Geometria e material......................................................................................................................... 6.4.2 Modelo de elementos finitos............................................................................................................. 6.4.3 Resultados da simulação numérica................................................................................................... 6.4.3.1 Evolução da força do punção.......................................................................................... 6.4.3.2 Retorno elástico.............................................................................................................. 6.4.3.3 Enrugamento e influência das condições de fronteira................................................... Considerações finais............................................................................................................................................

240 240 241 242 243 245 248 249 250 251 251 253 255 257 258 260 262 262 263 264 266

Anexo........................................................................................................................................... Bibliografia.................................................................................................................................. Índice Remissivo..........................................................................................................................

269 275 279

6.3

6.4

6.5

VIII Elasticidade e Plasticidade

1 Comportamento Elastoplástico de Materiais Metálicos em Tração Os ensaios mecânicos têm como finalidade principal proceder à caracterização de materiais, permitindo aos produtores e aos utilizadores apreciar as suas capacidades, recorrendo a critérios comuns. Para tal, estes ensaios, que devem ser tão simples quanto possível, estão sujeitos a normas oficiais, idênticas em todos os países industrializados. Os resultados dos ensaios mecânicos são ainda de maior interesse se, além de definirem as principais características do material, permitirem prever o seu comportamento independentemente da utilização, com o auxílio de teorias corretamente estabelecidas. Neste capítulo, descreve-se o ensaio de tração, que possibilita a descrição das principais características do comportamento mecânico de materiais, em particular de materiais metálicos.

1.1 Diagrama de tração Um ensaio simples, designado por ensaio de tração, consiste em aplicar uma força na direção do eixo de um provete, com secção transversal de geometria circular, quadrada ou retangular. O corpo do provete é delimitado por duas cabeças de maior secção, que permitem fixá-lo na máquina de ensaios, como se mostra na Figura 1.1. Nesta figura, são apresentados dois exemplos de geometria do provete de tração, bem como um provete circular seguro nas amarras da máquina, sendo a superior móvel e a inferior fixa. A

Figura 1.1 (A) exemplos da geometria de provetes de tração; (B) provete metálico de secção circular, montado nas amarras da máquina de ensaios de tração

2 Elasticidade e Plasticidade Durante o ensaio, registam-se simultaneamente a força aplicada (F) e o aumento de comprimento do provete ∆l (∆l = l – l0, em que l0 e l são os comprimentos de referência entre duas marcas no corpo do provete, no início e num dado instante do ensaio, respetivamen te), como está indicado na Figura 1.21.

Figura 1.2 Representação da região central do corpo de um provete de tração de secção circular, com diâmetro inicial D0 e final D = D0 – ∆D, em que ∆D é a redução de diâmetro

Em geral, o diagrama força (F) – alongamento (∆l) de materiais metálicos tem um aspeto idêntico ao representado na Figura 1.3, que permite constatar a existência de: ■

■

Uma parte retilínea, no início do ensaio, a que se chama domínio elástico. A cessação da força neste domínio faz com que o provete recupere o seu comprimento inicial l0. O fim da linearidade ocorre no ponto designado na Figura 1.3 por limite de elasticidade. A descarga acima deste ponto conduz a uma deformação residual ou permanente, que se denomina deformação plástica; Um domínio de deformação plástica uniforme entre o limite de elasticidade e a carga máxima, durante o qual o provete continua a deformar-se uniformemente ao longo de todo o seu comprimento útil; Um domínio de deformação plástica não uniforme, que se inicia imediatamente após a carga máxima e se acentua progressivamente até à rotura do provete. Neste domínio, a deformação tende a localizar-se numa região cada vez mais restrita, cuja área diminui mais rapidamente do que no resto do corpo do provete – esta ocorrência é designada por estrição (Figura 1.4).

Para registar o aumento de comprimento, ∆l = l – l0, utiliza-se, em geral, um extensómetro mecânico, que se fixa diretamente em dois pontos situados no corpo do provete; para provetes com dimensões como as da Figura 1.1, o comprimento inicial de medição do extensómetro é comummente de 50 mm. Também são usados extensómetros óticos.

4 Elasticidade Em regime elástico, o deslocamento de cada ponto de um corpo sólido é proporcional às forças atuantes, como foi enunciado por Robert Hooke, em 1678. Os sistemas físicos em que se observa proporcionalidade entre deslocamentos e forças obedecem ao princípio da sobreposição dos efeitos. Segundo este princípio, se várias forças são aplicadas a um sistema, os deslocamentos induzidos por cada força podem determinar-se separadamente e o efeito de todas as forças é a soma dos efeitos de cada uma delas. Numa perspetiva idêntica, a lei de Hooke generalizada exprime a dependência linear entre as componentes do estado de tensão e do estado de deformação, num elemento de volume associado a um ponto de um corpo sólido, e pode ser deduzida com base no princípio da sobreposição dos efeitos. Os coeficientes de proporcionalidade representam constantes elásticas (ou parâmetros) do material que não dependem das particularidades geométricas do sistema, ou seja, exprimem a resposta intrínseca do material quando deformado em regime elástico. Neste capítulo, apresenta-se a lei de Hooke generalizada, isto é, descrevem-se as relações entre as seis componentes do tensor das tensões e as seis componentes do tensor das deformações, em regime elástico. Os casos de materiais isotrópicos e ortotrópicos (isto é, anisotrópicos com três planos de simetria de propriedades perpendiculares entre si) são analisados em detalhe.

4.1 Ensaios simples de tração e de corte Na Figura 4.1, mostram-se esquematicamente ensaios de tração (segundo o eixo Ox) e de corte (no plano Oxy) e evidenciam-se as respetivas relações lineares entre a tensão e a deformação, em regime elástico.

80 Elasticidade e Plasticidade A

Figura 4.1 Representação esquemática de ensaios: (A) de tração, segundo o eixo Ox; (B) de corte, no plano Oxy; (C e D) comportamento elástico linear respeitante a cada ensaio: (σxx versus εxx) e (τxy versus γxy)

O módulo de Young, E, define a proporcionalidade entre a tensão de tração, σxx, e a dee formação elástica linear na direção de tração, εxx , sendo também frequentemente designado por módulo de elasticidade (Figura 4.1B). No caso do ensaio de corte, a constante e de proporcionalidade entre a tensão de corte, τxy e a deformação elástica de corte, γxy é denominada módulo de elasticidade em corte, ou módulo de elasticidade transversal, µ (shear modulus; Figura 4.1D). Assumindo um material tracionado na direção do eixo Ox ou submetido a um ensaio de corte no plano Oxy (Figuras 4.1A e 4.1C), a lei de Hooke escreve-se: (em tração e também compressão)

(4.1)

(em corte)

(4.2)

Para um ensaio de tração segundo um eixo qualquer (Ox, Oy ou Oz) ou de corte num plano qualquer (Oxy, Oyz ou Oxz), a lei de Hooke ganha a forma: ) (em tração e também compressão) (4.3)

(ou, simplesmente,

) (em corte)

(4.4)

(ou, simplesmente,

5 Plasticidade Os metais apresentam deformação plástica (residual) quando submetidos a esforços relativamente elevados (consultar o Capítulo 1). A teoria da plasticidade compreende habitualmente o estudo matemático das relações entre as tensões e os incrementos de deformação plástica, sem considerar os efeitos do tempo e da temperatura (plasticidade atérmica). Esta teoria assume uma importância considerável na abordagem de casos de estados de tensão biaxial ou triaxial e trajetórias simples (lineares) ou complexas, necessitando, para tal, da generalização do conceito de tensão limite de elasticidade e da sua evolução durante a deformação. Esta análise recorre a equações não lineares, que constituem uma particularidade da teoria da plasticidade. Neste contexto, os parâmetros dos materiais que intervêm nas suas equações são, de modo geral, mais numerosos e de identificação mais complexa do que no caso da elasticidade. Neste capítulo, expõe-se o conceito de superfície limite de elasticidade em isotropia e anisotropia (generalizando o conceito escalar de tensão limite de elasticidade) e são referidas algumas das suas equações, apresentam-se as relações tensão-incremento de deformação plástica (lei de plasticidade associada) e exemplificam-se equações que regem os encruamentos isotrópico e cinemático de materiais metálicos. Salientam-se ainda aspetos como a equivalência entre conjuntos de parâmetros do material e respetivas estratégias para a sua identificação.

5.1 Conceitos fundamentais 5.1.1 Noção de superfície de plasticidade ou de superfície limite de elasticidade Em regime plástico, o comportamento em tração de materiais metálicos pode ser descrito pela curva real tensão versus deformação plástica. No caso geral de solicitação, isto é, em trajetórias de tensão biaxiais ou triaxiais, lineares ou complexas, esta representação não é tão simples de conceber, uma vez que existem duas ou três componentes principais de tensão a representar em função da correspondente componente de deformação plástica (ou seja, duas ou três tensões principais não nulas, às quais geralmente correspondem componentes de deformação plástica também diferentes de zero). A Figura 5.1 contempla exemplos de trajetórias biaxiais, lineares (também designadas por monótonas)

108 Elasticidade e Plasticidade e complexas no sistema de eixos principal de tensão; estas últimas podem ser curvilíneas, quando mudam a cada instante, ou compostas por várias lineares.

Figura 5.1 Trajetórias de tensão biaxiais: OA e OB (trajetórias lineares); OBC e OD (trajetórias complexas, compostas por duas lineares OBC e curvilínea OD)

É possível definir uma superfície que, no espaço das tensões, assinala o início da deformação plástica de materiais metálicos, qualquer que seja a trajetória considerada. A superfície designa-se por superfície limite de elasticidade ou superfície de plasticidade. Pontos desta superfície podem ser determinados experimentalmente através de ensaios mecânicos em diversas trajetórias, além de tração. A superfície de plasticidade é, muitas vezes, representada por uma linha, num espaço bidimensional, correspondente a um corte na superfície. Ela evolui durante a deformação plástica, tal como acontece com a tensão limite de elasticidade em tração.

Após carregamento em regime plástico, pode proceder-se à descarga em regime puramente elástico, como se assinala pelas setas nas linhas a tracejado da Figura 5.2. Em tração (Figura 5.2A), a descarga ocorre paralelamente à reta de carregamento inicial em regime elástico. Para uma solicitação biaxial ou triaxial (Figura 5.2B), a descarga elástica pode ser efetuada segundo uma qualquer trajetória, dσij, direcionada para o interior da superfície. Se, em seguida, ocorrer novo carregamento (também a tracejado na Figura 5.2), a deformação efetua-se em regime elástico até σ*0, no caso da tração (Figura 5.2A), cuja trajetória é bem definida (σ1 crescente com a deformação e σ2 = σ3 = 0). No caso da Figura 5.2B, a recarga elástica pode ser realizada segundo trajetórias distintas, conduzindo até ao mesmo ponto M*0 ou a qualquer outro ponto (por exemplo, M*0*) da superfície Σ*0, após o que um incremento de tensão, dσij, direcionado para o exterior da superfície faz de

A Figura 5.2 representa esquematicamente a curva real de tração de um material metálico (Figura 5.2A) e a respetiva superfície limite de elasticidade no sistema de eixos principal de tensão (σ1, σ2, σ3), no início e num dado momento da deformação plástica (Figura 5.2B). Quando esta ocorre, a tensão de tração aumenta de σ0 até σ*0 (Figura 5.2A) e a superfície de plasticidade altera-se, passando de Σ0, que contém o ponto M0, para Σ*0, que contém os pontos M*0 e M*0* (Figura 5.2B). Se, após σ*0, a tensão continuar a aumentar (Figura 5.2A) ou, após o ponto M*0, o incremento na trajetória de tensão, dσij, permanecer direcionado para o exterior da superfície (Figura 5.2B), como já tinha acontecido em σ0 e no ponto M0, respetivamente, a deformação plástica prossegue.

6 Aplicação a Casos Reais de Estampagem de Chapas Metálicas com Recurso ao Método dos Elementos Finitos Os conceitos e as formulações respeitantes ao comportamento mecânico de materiais metálicos, apresentados ao longo dos capítulos anteriores, constituem ferramentas de uso corrente na prática da Engenharia, particularmente na Engenharia Mecânica. Tais fundamentos são essenciais para a análise e a resolução de problemas em elasticidade e/ /ou plasticidade. Este capítulo tem como objetivo recorrer a casos reais para ilustrar e contextualizar os fundamentos físico-matemáticos dos regimes elástico e plástico. Neste sentido, estes fundamentos são contextualizados através de três casos reais de estampagem de chapas metálicas, selecionados com complexidade geométrica crescente e com objetivos pedagógicos distintos. No primeiro caso, evidencia-se o impacto da anisotropia e da seleção do critério de plasticidade na previsão da força do punção, do perfil de orelhas de estampagem e da espessura da chapa. No segundo, aprofunda-se a influência da modelação do atrito/contato e analisa-se o retorno elástico (springback) como resposta global do componente. No terceiro, discute-se a previsão de fenómenos locais de instabilidade (enrugamento) e os limites do uso de condições de simetria em modelos numéricos. A análise apoia-se em simulações numéricas pelo método dos elementos finitos100, incorporando resultados experimentais sempre que disponíveis. Todas as simulações numéricas foram realizadas com o código de elementos finitos DD3IMP (Deep Drawing 3D IMPlicit)101, desenvolvido, designadamente, na Universidade de Coimbra para a simulação de processos de conformação de chapas metálicas. No entanto, importa salientar que existem outros códigos, nomeadamente comerciais, que podem ser utilizados para o mesmo efeito.

6.1 Simulação numérica pelo Método dos Elementos Finitos O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma ferramenta de modelação computacional extremamente poderosa e versátil, capaz de lidar com diferentes níveis de complexidade. Permite analisar comportamentos que vão desde o regime puramente elástico até respostas elastoplásticas dos materiais. Quando aplicado a processos de conformação por deformação plástica, o MEF possibilita a simulação e a análise do comportamento de materiais metálicos durante a conformação em processos, como a laminagem, a estampagem, o forjamento, a extrusão e a trefilagem. 100 101

A este respeito, consultar, por exemplo, Teixeira Dias e colaboradores (2010). Para obter mais informações, consultar Menezes e Teodosiu (2000), e Oliveira (2005).

236 Elasticidade e Plasticidade

Tabela 6.1 Propriedades mecânicas da liga de alumínio AA3104 Orientação de tração uniaxial (α)

r(α)

σ0(α) [MPa]

0°

0.411

268.6

15°

0.419

269.4

30°

0.635

272.6

45°

0.968

272.9

60°

1.098

277.0

75°

1.150

280.2

90°

1.304

282.5

Tração biaxial

rb 0.620

σb [MPa] 310.0

Propriedades elásticas

E [MPa] 68950

v 0.33

A Figura 6.4 mostra o resultado experimental da estampagem da chapa. Constata-se que o bordo superior da taça não é plano, apresentando diversas “orelhas”, associadas a variações na altura da taça. O enrugamento que ocorre na parede vertical é devido ao valor relativamente reduzido da força aplicada pelo cerra-chapas durante o processo de conformação.

Figura 6.4 Perfil de orelhas desenvolvido experimentalmente na taça cilíndrica da liga de alumínio AA3104. Observam-se rugas na parede vertical

6.2.2 Identificação de parâmetros constitutivos em regime plástico Os parâmetros constitutivos em regime plástico, associados aos critérios de plasticidade CB2001 e CPB2x (consultar o Capítulo 5), que são apresentados na Tabela 6.2, foram determinados a partir dos dados do material indicados na Tabela 6.1, recorrendo à equação (5.205). Adaptada à situação em análise, esta equação pode ser expressa da seguinte forma: (6.1) © FCA

Aplicação a Casos Reais de Estampagem de Chapas Metálicas com Recurso ao Método dos Elementos Finitos 237 em que os sobrescritos Prev e Exp designam, respetivamente, as previsões, analíticas ou numéricas, e os resultados experimentais. Já wσ0, wr, wσb e wrb representam os fatores de ponderação atribuídos, respetivamente, às tensões limite de elasticidade e aos coeficientes de anisotropia em tração uniaxial e em tração biaxial simétrica, sendo usados para equilibrar a influência relativa dos diversos tipos de dados experimentais na determinação do conjunto de parâmetros. A seleção destes fatores de ponderação constitui um procedimento manual que depende fortemente da experiência dos utilizadores. A identificação dos parâmetros dos critérios de plasticidade recorreu ao código académico DD3MAT (Deep Drawing 3D MATerials)104, cujo algoritmo permite encontrar o mínimo da função objetivo num espaço multidimensional, garantindo simultaneamente baixo custo computacional. Para o critério CPB2x, os parâmetros C11 e C*11 são assumidos como iguais a 1.0, de modo a minimizar a ocorrência de soluções múltiplas. A curva real de tração até à carga máxima (consultar o Capítulo 1) obtida experimentalmente para a direção α = 0° com DL (que não se apresenta neste texto) foi utilizada para identificar, por ajuste, os parâmetros da lei de encruamento isotrópico (lei de Voce [consultar a equação (5.159)]), também indicados na Tabela 6.2. Assim sendo, os valores de Y0 nas equações dos critérios de plasticidade CB2001 e CPB2x, isto é, nas equações (5.138) e (5.151), podem ser expressos em função da tensão limite de elasticidade, σ0(α = 0°), usando as equações (5.141) e (5.154), respetivamente. Além disto, a evolução da tensão σ(α = 0°) com a deformação plástica nessa direção, εp(α = 0°), representa a lei de encruamento, Y(ε̄ ), quando o critério de plasticidade é formulado de modo análogo ao da equação (5.30), ou seja, isolando Y(ε̄ ) = σ(α = 0°) no segundo membro das equações (5.138) e (5.151). Tabela 6.2 Parâmetros da liga de alumínio AA3104, identificados para os critérios de plasticidade CB2001 e CPB2x, bem como para a lei de encruamento isotrópico de Voce (a5= a6 = b6 = b7 = b8 = b9 = b11 = 1.0 e C11 = C55 = C66 = C*11 = C*55 = C*66 = 1.0) CB2001

CPB2x (a = 12)

1.0880

0.7545

1.1437

0.983174

0.4509

–0.1392

C22

C33

C44

C23

C13

C12

1.0346

1.1889

1.1271

0.2065

0.2911

0.1758

0.0000

* 33

* 23

* 13

* 12

0.7752

–0.9834

0.1332

–0.2791

0.0427

0.0000

1.1488

Voce (isotrópico)

104

Y0 [MPa] 268.25

* 44

–2.0292

b10

4.8059

* 22

0.741261

YSat [MPa] 340.05

Para saber mais, consultar, por exemplo, Alves (2003).

–1.5681

0.6667

CY 18.251

256 Elasticidade e Plasticidade

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Figura 6.25 Isovalores de pressão de contacto na zona de contacto com o cerra-chapas e o punção, a diversos valores de profundidade (20, 40 e 60 mm), durante a simulação de um perfil em U, recorrendo à lei de atrito evolutiva. Nas regiões a cinzento, não há contacto

Na Figura 6.26, apresenta-se a distribuição do coeficiente de atrito obtida para a Lei de atrito evolutiva para três valores de deslocamento do punção (20, 40 e 60 mm). Esta figura evidencia o facto de os nós com valores de pressão de contacto mais pequenos possuírem valores de coeficiente de atrito elevados, em particular nas zonas de contacto plano (consultar também a Figura 6.25). A distribuição do coeficiente de atrito em cada zona é relativamente uniforme ao longo do processo de conformação, pelo que os valores médios característicos de cada zona são aproximadamente constantes. Para a zona de contacto plano, os valores médios previstos na simulação Lei de atrito evolutiva variam entre 0.28 e 0.14, pelo que são ligeiramente superiores aos utilizados nas simulações com o coeficiente de atrito por zonas, para o qual foi definido o valor constante de 0.195 (consultar a Tabela 6.4). Em contrapartida, como prevê a mesma gama de variação para o coeficiente de atrito para a zona de curvatura do punção (0.28 a 0.14), os valores médios previstos pela Lei de atrito evolutiva são, no global, inferiores aos utilizados na simulação com o coeficiente de atrito constante por zonas, que recorre a um valor constante de 0.21. Para a zona correspondente ao raio de curvatura da matriz, a Lei de atrito evolutiva prevê valores na gama de 0.28 a 0.168, superiores ao valor constante de 0.16 da simulação Atrito por zonas.

Aplicação a Casos Reais de Estampagem de Chapas Metálicas com Recurso ao Método dos Elementos Finitos 257

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Figura 6.26 Isovalores de coeficiente de atrito, a vários valores de profundidade (20, 40 e 60 mm), durante a simulação de um perfil em U, com recurso à lei de atrito evolutiva. Nas regiões a cinzento, não existe contacto

6.4 Conformação de um perfil complexo111 Nos exemplos descritos nas secções 6.2 e 6.3, analisaram-se processos de estampagem de chapas metálicas com geometrias relativamente simples. O caso presente aborda a conformação de um perfil de chapa metálica com geometria mais complexa, que melhor representa alguns componentes estruturais correntemente utilizados na prática industrial. Este tipo de componente é particularmente propenso ao retorno elástico bidimensional, passível de induzir fenómenos de enrugamento, cuja previsão constitui um desafio relevante no âmbito da modelação numérica.

Neste terceiro caso, pretende-se avaliar, de forma integrada, a influência das propriedades mecânicas do material, das condições de contacto e das opções da modelação por elementos finitos na previsão do comportamento mecânico da chapa durante o processo de conformação. Em particular, o exemplo é usado para discutir o impacto da imposição de condições de simetria nos modelos numéricos, através da comparação entre as previsões obtidas com modelos reduzidos (um quarto da geometria, como nos exemplos das secções 6.2 e 6.3) e as resultantes de modelos que consideram a geometria completa da chapa. Esta comparação permite compreender que a imposição de simetria pode 111

Este caso foi analisado mais exaustivamente no artigo de Neto e colaboradores (2017).

ELASTICIDADE E PLASTICIDAD

DADE E DADE

A elasticidade e a plasticidade são dois a

A ENGENHARIA agora é FCA!

José Valdemar Fernandes materiais metálicos: enquanto a elasticida

Professor Catedrático jubilado da Universidade de Coimbra, à forma original após ser submetido a uma onde concluiu o doutoramento em 1985, tendo realizado a dade de sofrer deformações permanentes componente experimental da tese na Universidade de Metz, em França.Este Investigador do Centro Engenhariaapresentar Mecânica, a livro tem pordeobjetivo Materiais elastoplástico e Processos (CEMMPRE), que cofundou em 1995,Após de materiais metálicos. então designado Centro de Engenharia Mecânica da Unicomportamento mecânico destes materia versidade de Coimbra (CEMUC), e do qual foi Coordenador generalizados alguns conceitos, introduzin Científico durante 15 anos. Foi também Presidente da Sociedas deformações, limite de elas dade Portuguesa de Microscopia.superfícies A sua atividade científica tensão-deformação em regimes elástico centra-se, fundamentalmente, no estudo da deformação isotrópico e cinemático. plástica deencruamento materiais metálicos, abrangendo investigação experimental e modelação. São ainda abordadas outras questões rele parâmetros constitutivos e as respetivas recurso ao método dos elementos finitos chapa, que constituem exemplos práticos tos físico-matemáticos dos regimes elástic

rates / Marta Oliveira

Com uma abordagem didática e atual, aco a compreensão dos conceitos apresentad Pedro Prates a sua apli Professor entre Auxiliarosnafundamentos Universidade deteóricos Aveiro e eMembro Efetivo no Centro de Tecnologia Mecânica e Automação É indicado para estudantes e profissionais (TEMA). A sua investigação centra-se na mecânica aplicada e dam com aprofundar compreensão do do comp computacional, ênfase na amodelação e simulação cos. A linguagem clara e acessível torna comportamento plástico de materiais metálicos. Diretor do est estudos nesteedomínio comodopara Mestrado os emseus Engenharia Mecânica Diretor Adjunto sobre assunto.Mecânica nas áreas de Ensino Departamento de oEngenharia e Investigação. Destacam-se

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Comportamento elastoplástic Tensor Tensor da Ela Marta Oliveira Pla Professora Catedrática da Universidade de aCoimbra, onde de e Aplicação casos reais concluiu o doutoramento em 2005, na área da Mecânica Computacional, com ênfase na simulação numérica do processo de estampagem de chapas metálicas. Coordenadora do Centro de Engenharia Mecânica, Materiais e Processos ENGENHARIA (CEMMPRE). Desempenha também cargos de gestão na The ISBN 978-972-722-955-0 European Scientific Association for material FORMing (ESAFORM) e no The International Deep Drawing Research Group (IDDRG). 9 789727 229550