Método dos Elementos Finitos - 2ª edição revista

17cm x 24cm

24,8mm

Método dos Elementos Finitos Técnicas de Simulação Numérica em Engenharia

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Para este livro, os autores definiram como objectivo primordial a introdução dos conceitos fundamentais associados ao estudo, à compreensão e à implementação do Método dos Elementos Finitos (MEF). Optou-se pela organização e pela orientação do texto para o perfil de leitor que esteja a ter o seu primeiro contacto com o método e que com este livro pretenda ganhar competências na aplicação do MEF em problemas de engenharia. No entanto, a apresentação dos temas é, tanto quanto possível, genérica e transversal a outras áreas de conhecimento. Entre outros, o livro aborda os seguintes temas: análise numérica de sistemas discretos e meios contínuos, elementos finitos uni-, bi- e tridimensionais, elementos finitos axissimétricos e dos tipos placa e casca degenerados, método das diferenças finitas (MDF) e análise não-linear.

ISBN 978-972-8480-40-0

9 789728 480400

2.ª edição revista

F. Teixeira-Dias J. Pinho-da-Cruz R. A. Fontes Valente R. J. Alves de Sousa

Sendo vasto o público-alvo deste livro, são vários os percursos possíveis para a sua leitura, nomeadamente atendendo ao nível de conhecimento de um leitor principiante ou iniciado. No entanto, este livro pode ainda ser utilizado por um leitor avançado como fonte e referência de informação relacionada com os métodos aproximados em engenharia e, nomeadamente, com o MEF. O conteúdo desta obra pode enquadrar-se nos conteúdos programáticos de disciplinas de primeiro, segundo e terceiro ciclos, incluindo mestrados integrados, de cursos de diferentes áreas de engenharia de universidades e de institutos politécnicos.

www.lidel.pt

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F. Teixeira-Dias J. Pinho-da-Cruz R. A. Fontes Valente R. J. Alves de Sousa

Método dos Elementos Finitos

edição revista

Técnicas de Simulação Numérica em Engenharia

2.ª

17cm x 24cm

2.ª

edição revista

F. Teixeira-Dias J. Pinho-da-Cruz R. A. Fontes Valente R. J. Alves de Sousa

Método dos Elementos Finitos Técnicas de Simulação Numérica em Engenharia

Índice Geral

Parte I Introdução e Noções Fundamentais 1

Enquadramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 A origem do método dos elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Guia de leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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Introdução à simulação numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Simulação numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Método dos elementos finitos: O que é? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 O ponto de vista do utilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Pré-processamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2 Análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.3 Pós-processamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 O ponto de vista do programador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 16 22 27 31 32 32 33 35

3

Vectores e tensores: Conceitos básicos e notação . . . . . . . . . . . . .

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Fundamentos de álgebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Fundamentos de álgebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Notação de Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 40 48 53 56

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Método dos Elementos Finitos

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Abordagem de engenharia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Abordagem de engenharia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 Generalização e definição do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2 Discretização do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.3 Equações de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.4 Assemblagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.5 Condições de fronteira e carregamentos . . . . . . . . . . . . . . . . .

Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 58 58 58 61 63 68 74

Parte II Análise de Sistemas Discretos 5

Análise matricial de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2.1 Análise matricial de estruturas articuladas . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2.2 Estruturas articuladas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2.3 Analogias com outros sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.2.4 Estruturas reticuladas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Parte III Análise de Meios Contínuos 6

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Generalização do método dos elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.2 Problemas unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.2.1 Da formulação forte à formulação fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.2.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.2.3 Generalização das condições de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.2.4 Discretização em elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.3 Problemas bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.3.1 Discretização em elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3.2 Extensão ao caso tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.4 Elasticidade linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

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Índice Geral

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Elementos finitos unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.2 Princípio dos trabalhos virtuais (PTV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.3 Princípio da energia potencial mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.4 Barra sujeita a carregamentos axiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.4.1 Elemento do tipo barra unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.5 Discretização em múltiplos elementos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.6 Formulação matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.6.1 Princípio dos trabalhos virtuais (PTV) . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.7 Elementos unidimensionais de grau superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.8 Integração numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

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Elementos finitos bidimensionais e axissimétricos . . . . . . . . . . . . 191 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.2 Relações entre tensão e deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.3 Estados planos de deformação e de tensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.4 Introdução aos elementos finitos bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.4.1 Elementos finitos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.4.2 Funções de forma: Condições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.4.3 Campo de deformações e de tensões elementares . . . . . . . . . 208 8.4.4 Coordenadas de área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.4.5 Elementos triangulares de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . 212 8.4.6 Elementos finitos rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.5 Elementos isoparamétricos quadriláteros bidimensionais . . . . . . . . . 223 8.5.1 Funções de forma para elementos lagrangianos . . . . . . . . . . . 224 8.6 Integração analítica das matrizes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 8.7 Integração numérica em duas dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 8.8 Escolha da ordem de integração a utilizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 8.9 Determinação da rigidez e das forças nodais equivalentes em elementos bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 8.10 Elementos finitos axissimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 8.10.1 Campos de deslocamentos e de deformações . . . . . . . . . . . . . 251 8.10.2 Campo de tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 8.10.3 Matriz de rigidez e vector de forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 8.10.4 Elementos axissimétricos isoparamétricos . . . . . . . . . . . . . . . 256 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

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Elementos finitos tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 9.2 Campo de deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 9.2.1 Elementos finitos hexaédricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 9.2.2 Elementos finitos tetraédricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 9.3 Campo de deformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 9.4 Campo de tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 9.5 Vector de forças e matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 9.6 Integração Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 9.6.1 Elementos finitos hexaédricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 9.6.2 Elementos finitos tetraédricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Parte IV Tópicos Complementares e Avançados 10 Elementos dos tipos placa e casca degenerados . . . . . . . . . . . . . . . 305 10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 10.2 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 10.2.1 Sistema de coordenadas global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 10.2.2 Sistema de coordenadas curvilíneo natural . . . . . . . . . . . . . . 309 10.2.3 Sistema de coordenadas local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 10.2.4 Sistema de coordenadas local nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 10.3 Cinemática dos elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 10.3.1 Geometria e campo de deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 10.3.2 Campo de deformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 10.4 Método das deformações naturais assumidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 10.4.1 Enquadramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 10.4.2 Formulação de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 10.4.3 Elemento finito do tipo casca linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 10.4.4 Elemento finito do tipo casca quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . 332 10.5 Leis constitutivas e matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 11 Método das diferenças finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 11.2 Diferenças finitas a uma dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 11.3 Método das diferenças finitas a duas dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . 354 xiv

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Índice Geral

11.3.1 Análise térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 11.3.2 Análise estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 12 Introdução à análise não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 12.1 Enquadramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 12.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 12.3 Análise não-linear: Por que razão? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 12.4 Análises não-lineares e não-linearidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 12.4.1 Tipos de não-linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 12.4.2 Não-linearidade material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 12.4.3 Não-linearidade geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 12.4.4 Não-linearidade nas condições de fronteira . . . . . . . . . . . . . . 382 12.4.5 Tipos de análise não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 12.5 Particularidades das não-linearidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 12.5.1 Não-linearidade material estática/quase-estática: Elastoplasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 12.5.2 O modelo da elastoplasticidade infinitesimal . . . . . . . . . . . . . 393 12.5.3 Não-linearidade material dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 12.5.4 Não-linearidade geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 12.5.5 Não-linearidades nas condições de fronteira . . . . . . . . . . . . . 402 12.6 Modelação de análises não-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 12.6.1 Aspectos gerais da análise não-linear: Procedimentos incrementais e iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 12.6.2 Aspectos particulares e procedimentos da análise não-linear404 12.7 Exemplos de modelação não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 12.7.1 Análise quase-estática: Elastoplasticidade infinitesimal . . . . 408 12.7.2 Análise dinâmica: Condução transitória de calor . . . . . . . . . 430 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

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Introdução à simulação numérica

Consequentemente, interessa questionar quais são as tarefas que se exigem a um analista quando este utiliza um programa de simulação pelo método dos elementos finitos. De um modo genérico, é necessário passar por três estágios distintos: (i) a fase de pré-processamento, (ii) a fase de análise e (iii) a fase de pós-processamento. Estes estágios são descritos de forma sucinta nas secções que se seguem.

2.4.1 Pré-processamento A fase de pré-processamento diz respeito à construção do modelo geométrico do sistema a estudar e à definição dos carregamentos e das condições a que este será submetido. Os programas comerciais de pré-processamento incluem frequentemente aplicações de tratamento gráfico que facilitam ao utilizador as tarefas de construir o modelo do componente (ou componentes) a analisar, bem como de tratar da sua representação gráfica no monitor do computador para fácil manuseamento. A qualidade global de uma análise pelo método dos elementos finitos depende, em grande medida, do modo como o utilizador aborda esta fase de pré-processamento, incluindo eventuais simplificações a considerar na modelação e na escolha do tipo de elementos finitos e da malha a utilizar. É também nesta primeira fase que todas as propriedades mecânicas e/ou físicas dos materiais a utilizar no modelo são definidas. Para finalizar, definem-se todos os carregamentos e as restrições a que o modelo possa estar submetido. Estas restrições designam-se frequentemente por condições de fronteira.

Toda esta informação sobre o estudo a realizar é introduzida num ou mais ficheiros de dados de entrada. Estes podem ser criados de modo automático pelo próprio pré-processador ou editados directamente pelo utilizador. A estes ficheiros pode, eventualmente, ser necessário adicionar alguma informação sobre o processo, ou seja, definições suplementares e/ou de ordem numérica sobre o modo como a análise deve ser levada a cabo. Por exemplo, pode ser importante definir exactamente quais são os resultados que interessa obter limitando a análise e, consequentemente, poupando tempo de cálculo e recursos. Uma vez completo, o ficheiro de dados de entrada é submetido à fase de análise. Sempre que as análises digam respeito a modelos simples, é, por vezes, possível produzir ou editar o ficheiro de dados de entrada manualmente num editor de texto ou numa consola. Para o caso de problemas mais complexos, é frequente também que o pré-processador aceite a definição geométrica do modelo a analisar directamente a partir de um programa de CAD (Computer Aided Design). c ETEP – Edições Técnicas e Profissionais

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Método dos Elementos Finitos

Pré-processamento Definição do conceito

Modelo

Definir geometria, nós, elementos condições de fronteira, materiais e carregamentos Definir parâmetros de controlo da análise

Análise

Interpretação

Representação de resultados

Pós-processamento

Avaliar resultados: Deslocamentos, forças, tensões, deformações, temperaturas pressões, etc.

Representar resultados: Isovalores, contornos, história da evolução de variáveis no tempo, animações, etc.

Fim

Figura 2.15 Representação esquemática da metodologia de análise típica de um problema recorrendo ao método dos elementos finitos.

Uma vez desenvolvidas as equações do problema, torna-se necessário criar procedimentos para as resolver de forma eficaz, isto é, no mínimo tempo possível.

A estes procedimentos, os programadores dão o nome de algoritmos. Alguns pontos de interesse para o programador (que não serão abordados neste texto) são, por exemplo: A determinação e a optimização dos tempos de cálculo despendidos — tempo de processamento da unidade central de processamento (CPU — Central Processing Unit); A medição do número de operações matemáticas a efectuar; A optimização dos métodos numéricos implementados; A escolha de modelos de comportamento adequados aos problemas a resolver, etc.

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Introdução à simulação numérica

Nos capítulos que se seguem, são introduzidos os conceitos matemáticos que estão na base da compreensão e da implementação de diferentes formulações de elementos finitos.

Referências Bibliográficas 1. Bathe, K.-J. Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Nova Jérsia, Estados Unidos da América, 1996.

2. Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E., Witt, R.J. Concepts and Applications of Finite Element Analysis, 4.a edição, John Wiley & Sons, Nova Iorque, Estados Unidos da América, 2002.

3. Fish, J., Belytschko T. A First Course in Finite Elements, John Wiley & Sons, Chichester, Reino Unido, 2007.

4. Hinton, E, Owen, D.R.J. An Introduction to Finite Element Computations, Pineridge Press, Swansea, Reino Unido, 1980.

5. Hughes, T.J.R. The Finite Element Method — Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, Dover Publications, Nova Iorque, Estados Unidos da América, 2000.

6. Oñate, E. Structural Analysis with the Finite Element Method — Linear Statics: Basis and Solids, Vol. 1, Lecture Notes on Numerical Methods in Engineering and Sciences, Springer-Verlag, Berlim, Alemanha, 2009.

7. Reddy, J.N. An Introduction to the Finite Element Method, 3.a edição, McGraw-Hill, Nova Iorque, Estados Unidos da América, 2005.

8. Zienkiewicz, O.C., Morgan, K. Finite Elements and Approximation, John Wiley & Sons, Nova Iorque, Estados Unidos da América, 1983.

9. Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L. The Finite Element Method — The Basis, Vol. 1, 5.a edição, Butterworth-Heinemann, Oxford, Reino Unido, 2000.

10. Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L. The Finite Element Method — Solid Mechanics, Vol. 2, 5.a edição, Butterworth-Heinemann, Oxford, Reino Unido, 2000.

11. Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., Zhu, J.Z. The Finite Element Method — Its Basis & Fundamentals, 6.a edição, Butterworth-Heinemann, Oxford, Reino Unido, 2005.

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Vectores e tensores: Conceitos básicos e notação

ε através da denominada Lei de Hooke (generalizada), ou seja, σ=D:ε

(3.59)

σij = Dijkl εkl .

(3.60)

ou, ainda,

Na modelação numérica envolvendo fenómenos da mecânica dos meios contínuos é necessário proceder à manipulação algébrica de equações envolvendo tensores, que poderão porventura ser representadas por relações do tipo matricial. Neste contexto, são apresentados na Tabela 3.1 alguns exemplos da notação adoptada para expressões tensoriais em notação quer absoluta quer indicial e para as expressões matriciais correspondentes.

Tabela 3.1 Exemplos de equivalência entre expressões escritas nas notações tensorial absoluta, tensorial indicial e matricial.

Tensorial absoluta

Tensorial indicial

Matricial

α=u·v W=u⊗v v=W·u v=u·W α=u·W·v V=W·B V = W · BT V=W·B·F α=W:V

α = u i vi Wij = ui vj vi = Wij uj vj = ui Wij α = ui Wij vj Vij = Wik Bkj Vij = Wik Bjk Vij = Wik Bkl Flj α = Wij Vij

α = uT v W = uvT v = Wu vT = uT W α = uT Wv V = WB V = WBT V = WBF α = tr(WT V)

3.4 Notação de Voigt Analisando a expressão 3.60, pode constatar-se que a lei de Hooke é definida por 32 equações, contendo cada um dos seus segundos membros 32 parcelas. No entanto, tomando em consideração o facto de os tensores das tensões de Cauchy σ e das deformações ε serem, de um modo geral, tensores (de segunda ordem) simétricos, tem-se que

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Método dos Elementos Finitos

ou, ainda,

σ = σT ε = εT

(3.61)

σij = σji . εkl = εlk

(3.62)

Atendendo a estas propriedades de simetria, tem-se, respectivamente, que

Dijkl = Djikl , (3.63) Dijkl = Dijlk pelo que das 34 componentes do tensor (de quarta ordem) de elasticidade D resultam independentes apenas 36. Neste contexto, a expressão 3.60 pode ser reescrita na seguinte forma: σij = Dij11 ε11 + Dij22 ε22 + Dij33 ε33 + Dij12 (2ε12 ) +Dij13 (2ε13 ) + Dij23 (2ε23 ).

(3.64)

De acordo com as propriedades de simetria, cada uma das grandezas tensoriais σ e ε passam a ser representadas por apenas 6 componentes independentes.

Assim, procedendo de um modo puramente algébrico, é possível não só agrupar as componentes dos tensores σ e ε em dois vectores (matrizes colunas) de dimensão 6 × 1 mas também dispor as 36 componentes do tensor D numa matriz de dimensão 6 × 6, pelo que a expressão 3.64 corresponde, neste contexto, a      σ11  ε11  D1111 D1122 D1133 D1112 D1113 D1123              D2211 D2222 D2233 D2212 D2213 D2223    σ ε     22 22             σ33 D D D D D D ε 3311 3322 3333 3312 3313 3323  33  =  2ε12  . (3.65) σ12       D1211 D1222 D1233 D1212 D1213 D1223          D1311 D1322 D1333 D1312 D1313 D1323       σ13  2ε13          σ23 D2311 D2322 D2333 D2312 D2313 D2323 2ε23

Realce-se o facto de a expressão anterior não corresponder a uma representação matricial (equivalente) da relação tensorial 3.64. Na realidade, esta expressão é apenas uma representação puramente algébrica adoptada para representar matricialmente uma relação entre grandezas tensoriais simétricas. σ e ε não correspondem a vectores (tensores de primeira ordem) com 6 componentes, mas sim a matrizes (tensores de segunda ordem) com 32 componentes. D também 54

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Análise matricial de sistemas discretos e keij = (Re )T k e ij R .

(5.69)

A operação de multiplicação simultânea à esquerda pela matriz (Re )T e à direita pela matriz (Re ) corresponde à aplicação de uma rotação no plano do elemento à submatriz k e ij . Efectuando esta operação de rotação, indicada na equação 5.69, a matriz de rigidez elementar no sistema de eixos global pode ser reescrita, de forma extensa, como 

A

  B   C  ke =   −A    −B C

em que

B D E −B

−D E

C −A −B C

e

 E −B −D E   F −C −E G    , −C A B −C    −E B D −E  G −C −E F

 EA 12EI   A= cos2 α + 3 sin2 α     l l   EA 12EI   B= sin α cos α − 3    l l     6EI   C = − 2 sin α    l  EA 2 12EI D= sin α + 3 cos2 α .   l l    6EI    E = l2 cos α     4EI   F =   l     2EI  G = l

(5.70)

(5.71)

Note-se que, mais uma vez, o procedimento de assemblagem dos sistemas de equações elementares para formar o sistema de equações global é em tudo idêntico ao descrito na Secção 4.2.

Exercício 5.4. A estrutura reticulada plana representada na Figura 5.13 é constituída por dois elementos do tipo viga-barra em perfil IPN 120, montados na posição mais resistente (momento de inércia I = 328 cm4 e área c ETEP – Edições Técnicas e Profissionais

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Método dos Elementos Finitos

de secção transversal A =14,2 cm2 ). Todas as peças da estrutura são de aço com módulo de elasticidade E = 200 GPa. Considere que L = 2000 mm, F = 10 kN e que o efeito do peso próprio da estrutura não é relevante. Determine os valores desconhecidos de deslocamento e de rotação nos pontos A, B e C, e calcule os esforços de reacção nos apoios.

y

1

1

2

x B

A

F L 2

3 C L Figura 5.13 Estrutura reticulada plana, constituída por dois elementos do tipo viga-barra e correspondente malha de elementos finitos, para o Exercício 5.4.

Resolução A conectividade e as características da estrutura reticulada são as que se indicam na Tabela 5.4.

Recorrendo à expressão 5.70 e aos dados indicados na Tabela 5.4 podem construir-se as matrizes de rigidez elementares dos dois elementos da estrutura, obtendo-se 108

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Análise matricial de sistemas discretos

Tabela 5.4 Conectividade e características da estrutura reticulada plana para o Exercício 5.4.

Elemento Nós

Comprimento Orientação sin α

cos α

sin2 α cos2 α

1 2

L √

α = 0◦ 0√ ◦ α = −135 − 22

1√ − 22

0 1/2

1, 2 2, 3

2L 

    E  k1 =  L   

e 

A 2

+

3I L2

  A 3I   2 − L2  3I E   L k2 = √   A 2L  − − 3I2 L  2  − A + 3I  2 L2  3I L

A

0

0

0

12I L2 6I L

6I L

4I

0

0

− 12I L2 6I L

− 6I L

−

3I L2

3I L

+

3I L2

− 3I L

0 −A 0

0

A 2 A 2

− 3I L

−A

0

0

− 6I L

A

2I

0

12I L2 − 6I L

0 0



0

0 − 12I L2

   2I    0    − 6I L  4I 6I L

− A2 −

3I L2

− A2 +

3I L2

− A2

3I L2

− A2

3I L2

+

− 3I L

− 3I L

4I

− A2 +

3I L2

− 3I L

A 2

+

3I L2

A 2

−

3I L2

− A2 −

3I L2

3I L

A 2

−

3I L2

A 2

+

3I L2

− 3I L

2I

− 3I L

1 1/2

3I L

3I L



     2I   .

3I  −L    3I  L  4I − 3I L

Note-se que, uma vez que a orientação do sistema de eixos local do elemento 1 é a mesma do sistema de eixos global, a matriz de rigidez daquele elemento resulta precisamente igual à matriz de rigidez genérica do sistema de equações 5.53.

Uma vez construídos os sistemas de equações elementares, procede-se à assemblagem do sistema global de equações f = Ka de acordo com a conectividade da malha indicada na Tabela 5.4. A estrutura tem nove graus de liberdade — duas componentes de deslocamento e uma componente de rotação por nó. Consequentemente, a matriz do sistema global de equações tem dimensão (9 × 9).

Introduzindo as condições de fronteira do problema, o vector dos deslocamentos e das rotações nodais — os graus de liberdade do sistema — resulta em c ETEP – Edições Técnicas e Profissionais

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17cm x 24cm

24,8mm

Método dos Elementos Finitos Técnicas de Simulação Numérica em Engenharia

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

Para este livro, os autores definiram como objectivo primordial a introdução dos conceitos fundamentais associados ao estudo, à compreensão e à implementação do Método dos Elementos Finitos (MEF). Optou-se pela organização e pela orientação do texto para o perfil de leitor que esteja a ter o seu primeiro contacto com o método e que com este livro pretenda ganhar competências na aplicação do MEF em problemas de engenharia. No entanto, a apresentação dos temas é, tanto quanto possível, genérica e transversal a outras áreas de conhecimento. Entre outros, o livro aborda os seguintes temas: análise numérica de sistemas discretos e meios contínuos, elementos finitos uni-, bi- e tridimensionais, elementos finitos axissimétricos e dos tipos placa e casca degenerados, método das diferenças finitas (MDF) e análise não-linear.

ISBN 978-972-8480-40-0

9 789728 480400

2.ª edição revista

F. Teixeira-Dias J. Pinho-da-Cruz R. A. Fontes Valente R. J. Alves de Sousa

Sendo vasto o público-alvo deste livro, são vários os percursos possíveis para a sua leitura, nomeadamente atendendo ao nível de conhecimento de um leitor principiante ou iniciado. No entanto, este livro pode ainda ser utilizado por um leitor avançado como fonte e referência de informação relacionada com os métodos aproximados em engenharia e, nomeadamente, com o MEF. O conteúdo desta obra pode enquadrar-se nos conteúdos programáticos de disciplinas de primeiro, segundo e terceiro ciclos, incluindo mestrados integrados, de cursos de diferentes áreas de engenharia de universidades e de institutos politécnicos.

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2.ª

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F. Teixeira-Dias J. Pinho-da-Cruz R. A. Fontes Valente R. J. Alves de Sousa

Método dos Elementos Finitos Técnicas de Simulação Numérica em Engenharia