h-9-ma-is-1 by sloven

ГДЗ Математика 9 клас Істер 2026

Частина 1

ПОВТОРЮЄМО ГЕОМЕТРІЮ ЗА 8 КЛАС Чотирикутники 1. (Усно.) Чи існує чотирикутник з кутами: 1) 80°, 90°, 90° і 110°;

la. in.

2) 70°, 80°, 100° і 110°?

Сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360° (згідно з теоремою про суму кутів чотирикутника). 1) 80° + 90° + 90° + 110° = 370°

Оскільки 370° ≠ 360°, то такого чотирикутника не існує. 2) 70° + 80° + 100° + 110° = 360°

Оскільки сума кутів дорівнює 360°, то такий чотирикутник існує. Відповідь:

1. Не існує; 2. Існує.

2. Чи можна навколо чотирикутника ABCD описати коло, якщо:

1) ∠A = 20°, ∠C = 140°;

2) ∠B = 80°, ∠D = 100°?

Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює 180° (властивість вписаного чотирикутника). 1. ∠A + ∠C = 20° + 140° = 160°

Оскільки 160° ≠ 180°, то коло навколо чотирикутника описати не можна. 2. ∠B + ∠D = 80° + 100° = 180°

Оскільки сума протилежних кутів дорівнює 180°, то коло навколо чотирикутника описати можна. Відповідь:

1. Не можна;

2. Можна. 3. Чи можна навколо чотирикутника KLMN описати коло, якщо:

1) ∠K = 60°, ∠M = 120°; 2) ∠L = 70°, ∠N = 130°?

Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює 180° (властивість вписаного чотирикутника). 1. ∠K + ∠M = 60° + 120° = 180°

la. in.

Оскільки сума протилежних кутів дорівнює 180°, то коло навколо чотирикутника описати можна. 2. ∠L + ∠N = 70° + 130° = 200°

Оскільки 200° ≠ 180°, то коло навколо чотирикутника описати не можна. Відповідь: 1. Можна;

2. Не можна.

4. (Усно.) На малюнку 1: A1A2 = A2A3, A1B1 || A2B2 || A3B3, B1B2 = 4 см. Знайдіть B2B3 і B1B3.

𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 ∥ 𝐴𝐴2 𝐵𝐵2 ∥ 𝐴𝐴3 𝐵𝐵3 (за умовою). Ці паралельні прямі перетинають дві січні, тому відрізки, які вони відтинають на цих січних, пропорційні (за теоремою Фалеса).

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐵𝐵1 𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐵𝐵2 𝐵𝐵3

Оскільки 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 , то

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

Отже, 𝐵𝐵1 𝐵𝐵2 = 𝐵𝐵2 𝐵𝐵3 = 4 см. Знайдемо 𝐵𝐵1 𝐵𝐵3 :

𝐵𝐵 𝐵𝐵

= 1, тоді 1 2 = 1.

𝐵𝐵1 𝐵𝐵3 = 𝐵𝐵1 𝐵𝐵2 + 𝐵𝐵2 𝐵𝐵3 = 4 + 4 = 8 см

𝐵𝐵2 𝐵𝐵3

Відповідь: 𝐵𝐵2 𝐵𝐵3 = 4 см,

𝐵𝐵1 𝐵𝐵3 = 8 см.

5. На малюнку 1: B1B2 = B2B3, A1B1 || A2B2 || A3B3, A1A2 = 7 см. Знайдіть A2A3 і A1A3.

la. in.

𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 ∥ 𝐴𝐴2 𝐵𝐵2 ∥ 𝐴𝐴3 𝐵𝐵3 (за умовою). Ці паралельні прямі перетинають дві січні, тому відрізки, які вони відтинають на цих січних, пропорційні (за теоремою Фалеса). 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐵𝐵1 𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐵𝐵2 𝐵𝐵3

𝐵𝐵 𝐵𝐵

Оскільки 𝐵𝐵1 𝐵𝐵2 = 𝐵𝐵2 𝐵𝐵3 , то 1 2 = 1, тоді 𝐵𝐵2 𝐵𝐵3

Отже, 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 = 7 см

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

Знайдемо 𝐴𝐴1 𝐴𝐴3 :

𝐴𝐴1 𝐴𝐴3 = 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 + 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 = 7 + 7 = 14 см

Відповідь: 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 = 7 см, ; 𝐴𝐴1 𝐴𝐴3 = 14 см.

6. Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, відтак дізнаєтеся, який позивний був у Героя України Дмитра Коцюбайла. Дізнайтеся з інтернету про життєвий шлях захисника України.

У паралелограмі протилежні кути рівні, а сума сусідніх кутів дорівнює 180° (згідно властивості паралелограма).

У паралелограмі ∠𝐴𝐴 = ∠𝐶𝐶, тому ∠𝐴𝐴 + ∠𝐴𝐴 = 140∘

la. in.

2∠𝐴𝐴 = 140∘

1. ∠𝐴𝐴 + ∠𝐶𝐶 = 140∘

∠𝐴𝐴 = 70∘ Тоді

∠𝐵𝐵 = 180∘ − 70∘ = 110∘

За таблицею: 70° → В, 110° → І.

2. Кут A на 80° більший за кут B 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 + 80∘

Оскільки сусідні кути паралелограма доповнюють один одного до 180°, 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 180∘

(𝐵𝐵 + 80∘ ) + 𝐵𝐵 = 180∘

2𝐵𝐵 + 80∘ = 180∘ 2𝐵𝐵 = 100∘ 𝐵𝐵 = 50∘

𝐴𝐴 = 50∘ + 80∘ = 130∘

За таблицею: 130° → Ч, 50° → Д.

3. ∠𝐴𝐴: ∠𝐵𝐵 = 1: 2 Нехай

𝐴𝐴 = 𝑥𝑥, Тоді

𝐵𝐵 = 2𝑥𝑥

𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 = 180∘ 3𝑥𝑥 = 180∘

𝐴𝐴 = 60∘ ,

𝐵𝐵 = 120∘

За таблицею: 60° → А, 120° → Н. Відповідь:

𝑥𝑥 = 60∘

la. in.

50° 60° 70° 110° 120° 130° 110° Д А В І Н Ч І Дмитро Коцюбайло (позивний «Да Вінчі») — український військовий, доброволець і командир батальйону «Вовки Да Вінчі». Народився 1 листопада 1995 року в Івано-Франківській області. У 2014 році, у віці 18 років, він добровільно пішов захищати Україну під час російсько-української війни. Згодом став одним із наймолодших командирів добровольчого підрозділу. У 2021 році Дмитру Коцюбайлу було присвоєно звання Героя України. Загинув 7 березня 2023 року під час боїв за Україну, захищаючи Батьківщину. 7. Знайдіть усі кути паралелограма, якщо: 1) сума двох з них дорівнює 260°;

2) один з них на 20° менший від іншого;

3) один з них утричі більший за інший.

У паралелограмі протилежні кути рівні, а сума сусідніх кутів дорівнює 180° (згідно властивості паралелограма). 1. Сусідні кути не можуть мати суму 260°, бо їх сума дорівнює 180°. Отже, це протилежні кути.

𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 = 260∘

У паралелограмі 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶, тому

𝐴𝐴 + 𝐴𝐴 = 260∘ 2𝐴𝐴 = 260∘

𝐴𝐴 = 130∘

Тоді

𝐵𝐵 = 180∘ − 130∘ = 50∘ 2. Нехай 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 − 20∘

Кути паралелограма: 130∘ , 50∘ , 130∘ , 50∘ .

Оскільки сусідні кути паралелограма доповнюють один одного до 180°, 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 180∘

(𝐵𝐵 − 20∘ ) + 𝐵𝐵 = 180∘ 2𝐵𝐵 − 20∘ = 180∘

la. in.

2𝐵𝐵 = 200∘ 𝐵𝐵 = 100∘

𝐴𝐴 = 100∘ − 20∘ = 80∘

Кути паралелограма: 80∘ , 100∘ , 80∘ , 100∘ . 3. Нехай 𝐴𝐴 = 3𝐵𝐵 Оскільки

𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 180∘

3𝐵𝐵 + 𝐵𝐵 = 180∘ 4𝐵𝐵 = 180∘ 𝐵𝐵 = 45∘

𝐴𝐴 = 135∘

Кути паралелограма: 135∘ , 45∘ , 135∘ , 45∘ .

Відповідь:

1. 30° і 50°;

2. 80° і 100°; 3. 135° і 45°.

8. ABCD – прямокутник (мал. 2). Знайдіть: 1) ∠3, якщо ∠8 = 40°;

2) ∠2, якщо ∠9 = 110°; 3) ∠10, якщо ∠1 = 35°.

ABCD – прямокутник, тому AB ⟂ AD, AB ∥ CD, BC ∥ AD, а всі кути прямокутника дорівнюють 90°. 1. У вершині B:

∠8 + ∠7 = 90° (як частини прямого кута)

la. in.

40° + ∠7 = 90° ∠7 = 50°.

Оскільки BC ∥ AD, то ∠7 = ∠3 (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і січній BD). Отже, ∠3 = 50°.

2. Розглянемо трикутник AOD (O — точка перетину діагоналей).

У прямокутнику діагоналі рівні і діляться точкою перетину навпіл, тому AO = DO.

Отже, трикутник AOD — рівнобедрений, тому ∠2 = ∠3.

Кути ∠2, ∠3 і ∠9 утворюють трикутник AOD, тому

∠2 + ∠3 + ∠9 = 180°.

Підставимо ∠3 = ∠2:

∠2 + ∠2 + 110° = 180° 2∠2 = 70° ∠2 = 35°.

Отже,

∠2 = 35°.

3. Розглянемо трикутник ABO. У прямокутнику діагоналі рівні і діляться точкою перетину навпіл, тому AO = BO.

∠1 = ∠8.

Оскільки ∠1 = 35°, то ∠8 = 35°.

Сума кутів трикутника дорівнює 180°: ∠1 + ∠8 + ∠12 = 180°

35° + 35° + ∠12 = 180°

la. in.

∠12 = 110°.

Отже, трикутник ABO — рівнобедрений, тому кути при основі рівні:

Кути ∠12 і ∠10 — вертикальні, тому ∠10 = 110°. Відповідь:

1. ∠3 = 50°;

2. ∠2 = 35°;

3. ∠10 = 110°.

9. ABCD – прямокутник (мал. 2). Знайдіть: 1) ∠7, якщо ∠4 = 50°;

2) ∠6, якщо ∠11 = 120°;

3) ∠12, якщо ∠5 = 46°.

ABCD – прямокутник, тому AB ∥ CD, BC ∥ AD, а ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.

1. Оскільки AB ∥ CD, то ∠8 = ∠4 (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і січній BD). ∠8 = 50°.

У вершині B:

∠7 + ∠8 = 90° (як частини прямого кута) ∠7 + 50° = 90°

∠7 = 40°.

2. Розглянемо трикутник BCO. OB = OC.

У прямокутнику діагоналі рівні і перетинаються навпіл, тому Отже, трикутник BCO — рівнобедрений, тому ∠7 = ∠6.

Сума кутів трикутника:

la. in.

∠7 + ∠6 + ∠11 = 180°. Підставимо ∠7 = ∠6:

∠6 + ∠6 + 120° = 180° 2∠6 = 60° ∠6 = 30°.

3. Розглянемо трикутник COD.

У прямокутнику діагоналі рівні і перетинаються навпіл, тому CO = DO.

Отже, трикутник COD — рівнобедрений, тому ∠5 = ∠4.

∠4 = 46°.

Сума кутів трикутника COD дорівнює 180°: ∠5 + ∠4 + ∠10 = 180°

46° + 46° + ∠10 = 180° ∠10 = 88°.

Кути ∠10 і ∠12 — вертикальні, тому

∠12 = 88°.

Відповідь:

1) ∠7 = 40°; 2) ∠6 = 30°;

3) ∠12 = 88°.

1) ∠1, якщо ∠2 = 50°; 2) ∠3, якщо ∠1 = 46°.

10. ABCD – ромб (мал. 3). Знайдіть:

la. in.

ABCD – ромб, тому AB = BC = CD = AD, протилежні сторони паралельні, а діагональ BD ділить кути B і D навпіл. 1. Оскільки AB ∥ CD, то ∠ABC + ∠BCD = 180°. ∠B + 50° = 180° ∠B = 130°.

У ромбі діагональ BD ділить кут B навпіл, тому ∠1 = ∠B : 2 = 130° : 2 = 65°. Отже, ∠1 = 65°.

2. У ромбі діагональ BD ділить кут B навпіл, тому ∠B = 2·∠1.

∠B = 2·46° = 92°.

У ромбі (як у паралелограмі) протилежні кути рівні, тому ∠D = ∠B = 92°.

Кут ∠3 — зовнішній до кута D, тому ∠D + ∠3 = 180°. 92° + ∠3 = 180°

∠3 = 88°.

Відповідь:

1) ∠1 = 65°; 2) ∠3 = 88°.

11. ABCD – ромб (мал. 3). Знайдіть:

2) ∠1, якщо ∠3 = 50°.

1) ∠2, якщо ∠1 = 48°;

ABCD – ромб, тому AB = BC = CD = AD, протилежні сторони паралельні, а діагональ BD ділить кути B і D навпіл.

la. in.

1. Знайти ∠2, якщо ∠1 = 48°.

Оскільки BD — бісектриса кута B, то ∠B = 2·∠1 = 2·48° = 96°.

У ромбі (як у паралелограмі) сусідні кути доповнюють один одного до 180°: ∠B + ∠C = 180°

96° + ∠C = 180° ∠C = 84°.

Кут ∠2 — це кут при вершині C, тому ∠2 = 84°.

2. Знайти ∠1, якщо ∠3 = 50°.

Кут ∠3 — зовнішній до кута D, тому ∠D + ∠3 = 180°. ∠D + 50° = 180° ∠D = 130°.

У ромбі протилежні кути рівні, тому ∠B = ∠D = 130°.

BD — бісектриса кута B, тому ∠1 = ∠B : 2 = 130° : 2 = 65°. Відповідь:

1) ∠2 = 84°; 2) ∠1 = 65°.

12. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як: 2) 5 : 8 : 4 : 2?

1) 7 : 4 : 3 : 6; Коло можна вписати в чотирикутник, якщо суми протилежних сторін рівні. 1. Нехай сторони дорівнюють 7x, 4x, 3x, 6x. Перевіримо суми протилежних сторін:

la. in.

7x + 3x = 10x

4x + 6x = 10x.

Оскільки суми протилежних сторін рівні, то коло в такий чотирикутник вписати можна. 2. Нехай сторони дорівнюють 5x, 8x, 4x, 2x.

Перевіримо суми протилежних сторін: 5x + 4x = 9x

8x + 2x = 10x.

Оскільки 9x ≠ 10x, то коло в такий чотирикутник вписати не можна.

Відповідь: 1. Можна;

2. Не можна.

13. Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, відтак дізнаєтеся прізвище братів – Героїв України, котрих було посмертно нагороджено «Золотою Зіркою» 2023 року.

ua la. in.

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ: 𝑚𝑚 =

𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 2

Оскільки 𝑚𝑚 = 20 см, то 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 20 2 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 40

1. 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 4

Маємо систему: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 40 � 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 4

Додаємо рівняння:

2𝐴𝐴𝐴𝐴 = 44 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 22 � � 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 4 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 18

Отже: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 22 см, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 18 см. За таблицею: 22 → С, 18 → Т. 2. 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐶𝐶𝐶𝐶 4

Підставимо в 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 40:

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 32 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 8

Отже: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 8 см, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 32 см. За таблицею: 8 → Б, 32 → Н. Нехай

la. in.

3. 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∶ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 3 ∶ 2

𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 40 4 5𝐶𝐶𝐶𝐶 = 40 4

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3𝑥𝑥,

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2𝑥𝑥

3𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 = 40 5𝑥𝑥 = 40 𝑥𝑥 = 8

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 24,

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 16

Отже: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 24 см, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 16 см. За таблицею: 24 → І, 16 → У. Відповідь:

8 см 16 см 18 см 16 см 22 см 24 см 32 см Б У Т У С І Н Це прізвище братів Олександра та Андрія Бутусіних, українських військових, яких у 2023 році посмертно нагородили званням Герой України з врученням ордена «Золота Зірка».. 14. Середня лінія трапеції дорівнює 14 см. Знайдіть основи цієї трапеції, якщо:

1) одна з них на 4 см більша за другу; 2) одна з них утричі менша від другої; 3) їх відношення дорівнює 3 : 4. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ. 𝑚𝑚 =

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 14 2

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 28

1. Нехай 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 + 4.

(𝑏𝑏 + 4) + 𝑏𝑏 = 28 2𝑏𝑏 = 24 𝑏𝑏 = 12

la. in.

2𝑏𝑏 + 4 = 28

𝑎𝑎 = 12 + 4 = 16

Основи: 12 см і 16 см. 𝑏𝑏

2. Нехай 𝑎𝑎 = .

𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 = 28 3 4𝑏𝑏 = 28 3

𝑏𝑏 = 21 𝑎𝑎 = 7

Основи: 7 см і 21 см.

3. Нехай 𝑎𝑎 = 3𝑥𝑥, 𝑏𝑏 = 4𝑥𝑥. 3𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 = 28 7𝑥𝑥 = 28 𝑥𝑥 = 4

𝑎𝑎 = 12,

Оскільки 𝑚𝑚 = 14 см, то

𝑏𝑏 = 16

Основи: 12 см і 16 см. Відповідь:

1) 12 см і 16 см;

2) 7 см і 21 см;

3) 12 см і 16 см.

ABCD — паралелограм, тому

la. in.

AD ∥ BC, AB ∥ CD.

15. У паралелограмі ABCD бісектриса кута A ділить сторону BC на відрізки BK = 4 см і KC = 6 см. Знайдіть периметр паралелограма.

K — точка перетину бісектриси AK зі стороною BC.

Оскільки AD ∥ BC, то

∠KAD = ∠BKA (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC та січній AK). AK — бісектриса кута A, тому

∠KAD = ∠KAB. Отже

∠BKA = ∠KAB.

Тому трикутник ABK — рівнобедрений, і AB = BK.

BK = 4 см, тому AB = 4 см.

Знайдемо сторону BC: BC = BK + KC

BC = 4 + 6 = 10 см.

У паралелограмі протилежні сторони рівні, тому AD = BC = 10 см.

Периметр паралелограма: P = 2(AB + BC) P = 2(4 + 10) P = 28 см.

Відповідь: 28 см.

la. in.

ABCD — паралелограм, тому

16. У паралелограмі ABCD AB = 4 см, BC = 7 см. Бісектриса кута B перетинає AD у точці M. Знайдіть AM і MD.

AB ∥ CD, BC ∥ AD, AB = CD, BC = AD. BM — бісектриса кута B, тому ∠ABM = ∠MBC.

Оскільки BC ∥ AD, то

∠MBC = ∠BMA (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих BC і AD та січній BM). Отже

∠ABM = ∠BMA.

Тому трикутник ABM — рівнобедрений, і AB = AM.

AB = 4 см, тому AM = 4 см.

Знайдемо AD:

AD = BC = 7 см. MD = AD − AM

MD = 7 − 4 = 3 см.

Відповідь: AM = 4 см, MD = 3 см.

17. Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо цей кут: 1) на 30° менший від кута між діагоналями, що лежить проти меншої сторони;

2) на 70° менший від кута між діагоналями прямокутника, що лежить проти більшої сторони.

la. in.

Нехай ABCD — прямокутник, AC і BD — його діагоналі, O — точка їх перетину. Потрібно знайти кут ∠CAB (кут між меншою стороною AB і діагоналлю AC). Нехай ∠CAB = x. У прямокутнику ∠BAD = 90°. Діагоналі прямокутника рівні і діляться точкою перетину навпіл, тому AO = BO (властивість діагоналей прямокутника). Отже, трикутник AOB — рівнобедрений, тому ∠ABO =∠BAO = x (властивість рівнобедреного трикутника). Тоді

∠AOB = 180° − 2x (сума кутів трикутника). ∠BOC = 180° − ∠AOB (як суміжні). Тому ∠BOC = 2x.

1. Кут між стороною AB і діагоналлю AC на 30° менший від кута між діагоналями, що лежить проти меншої сторони. Це гострий кут між діагоналями (180° − 2x). Тоді

x = (180° − 2x) − 30°. x = 150° − 2x. 3x = 150°.

x = 50°.

2. Кут між стороною AB і діагоналлю AC на 70° менший від кута між діагоналями, що лежить проти більшої сторони. Це тупий кут між діагоналями (2x). Тоді

x = 2x − 70°.

x = 70°.

Відповідь:

1) 50°; 2) 70°.

18. Знайдіть кут між більшою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо цей кут: 1) на 60° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони;

la. in.

2) на 20° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.

Нехай ABCD — прямокутник, AC і BD — його діагоналі, O — точка їх перетину. Потрібно знайти кут ∠CAD (кут між більшою стороною AD і діагоналлю AC). Нехай ∠CAD = x.

У прямокутнику діагоналі рівні і діляться точкою перетину навпіл, тому AO = DO (властивість діагоналей прямокутника). Отже, трикутник AOD — рівнобедрений.

Тому ∠ADO = ∠CAD = x (властивість рівнобедреного трикутника). Тоді ∠AOD = 180° − 2x (сума кутів трикутника).

Кути ∠AOD і ∠AOB — суміжні, тому ∠AOB = 2x.

Отже, один кут між діагоналями дорівнює 2x, а інший — 180° − 2x.

1. Кут між стороною AD і діагоналлю AC на 60° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони. Це тупий кут між діагоналями (180° − 2x). x = (180° − 2x) − 60° x = 120° − 2x 3x = 120° x = 40°.

x = 2x − 20° x = 20°. Відповідь: 1) 40°; 2) 20°.

2. Кут між стороною AD і діагоналлю AC на 20° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони. Це гострий кут між діагоналями (2x).

la. in.

19. Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, різниця яких дорівнює 20°.

ABCD — ромб.

Сторона AB утворює з діагоналями кути ∠BAC і ∠ABD.

Нехай ∠BAC = x, тоді ∠ABD = x + 20° (за умовою). У ромбі діагоналі ділять кути навпіл, тому: ∠A = 2x

∠B = 2(x + 20)

Сусідні кути ромба суміжні: ∠A + ∠B = 180°

2x + 2(x + 20) = 180 2x + 2x + 40 = 180 4x + 40 = 180 4x = 140

x = 35 ∠A = 2 · 35° = 70°

∠B = 2(35° + 20°) = 110°

Отже,

∠A = ∠C = 70°

∠B = ∠D = 110°.

la. in.

Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.

Тоді:

20. Знайдіть кути ромба, сторона якого утворює з діагоналями кути, які відносяться як 1 : 4.

ABCD — ромб.

Сторона AB утворює з діагоналями кути ∠BAC і ∠ABD.

Нехай

∠BAC = x,

∠ABD = 4x (за відношенням 1 : 4).

У ромбі діагоналі ділять кути навпіл, тому:

∠A = 2x

∠B = 2 · 4x = 8x

Сусідні кути ромба суміжні: ∠A + ∠B = 180° 2x + 8x = 180

10x = 180 Тоді: ∠A = 2 · 18° = 36°

∠B = 8 · 18° = 144° Отже,

∠A = ∠C = 36°

la. in.

∠B = ∠D = 144°.

x = 18

Відповідь: 36°, 144°, 36°, 144°.

21. У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює більшій основі й утворює з нею кут 20°. Знайдіть кути цієї трапеції.

△ABD — рівнобедрений (AD = BD за умовою).

∠DAB = ∠DBA = (180° − ∠BDA) : 2 = (180° − 20°) : 2 = 160° : 2 = 80°.

∠CDA = ∠DAB = 80° (як кути при основі рівнобічної трапеції). ∠CBD = ∠CDA − ∠BDA = 80° − 20° = 60°.

∠CBD = ∠BDA = 20° (як внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній BD). У △BCD

∠C = ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 80° + 20° = 100°.

Відповідь: 80°, 100°, 100°, 80°.

22. У рівнобічній трапеції бічна сторона дорівнює меншій основі, а діагональ утворює із цією основою кут 25°. Знайдіть кути трапеції.

ABCD — трапеція, AB = BC = CD, ∠BCA = 25°. △ABC — рівнобедрений за умовою, тоді

la. in.

∠BAC = ∠BCA = 25°.

∠CAD = ∠BCA = 25° (як внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній AC). ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 25° + 25° = 50°. ∠D = ∠BAD = 50° (як кути при основі).

∠B = ∠C = 180° − ∠BAD = 180° − 50° = 130°. Відповідь: 50°, 130°, 130°, 50°.

23. Сторони трикутника відносяться як 4 : 2 : 3. Знайдіть ці сторони, якщо периметр трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника, дорівнює 45 см.

Нехай сторони даного трикутника: 4x, 2x, 3x.

Середня лінія трикутника дорівнює половині відповідної сторони, тому сторони трикутника середніх ліній: 2x, x, 1,5x. Периметр цього трикутника: 2x + x + 1,5x = 4,5x. За умовою

4,5x = 45 Тоді сторони даного трикутника: 4x = 40 см 2x = 20 см 3x = 30 см. Відповідь: 20 см, 30 см, 40 см.

x = 10.

la. in.

24. Периметр трикутника дорівнює 32 см. Сторони трикутника, утвореного середніми лініями даного, відносяться як 4 : 7 : 5. Знайдіть сторони заданого трикутника.

Сторони трикутника середніх ліній відносяться як 4 : 7 : 5. Нехай вони дорівнюють: 4x, 7x, 5x.

Кожна середня лінія дорівнює половині відповідної сторони вихідного трикутника, тому сторони даного трикутника: 8x, 14x, 10x. Периметр даного трикутника: 8x + 14x + 10x = 32 32x = 32 x = 1.

Отже сторони трикутника: 8 см, 14 см, 10 см.

Відповідь: 8 см, 14 см, 10 см. 25. Два кути паралелограма відносяться як 4 : 5. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини гострого кута.

ABCD — паралелограм.

la. in.

AE ⟂ BC, AF ⟂ CD — висоти, проведені з вершини гострого кута A. За умовою

∠A : ∠B = 4 : 5.

Нехай x — коефіцієнт пропорційності, тоді ∠A = ∠C = 4x, ∠B = ∠D = 5x.

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°: 4x + 5x = 180° 9x = 180° x = 20.

∠C = 4 · 20° = 80°.

Сума кутів чотирикутника AECF дорівнює 360°: ∠A + ∠E + ∠C + ∠F = 360°

∠A + 90° + 80° + 90° = 360° ∠A + 260° = 360°

∠A = 100°.

Відповідь: 100°.

26. Один з кутів паралелограма на 40° більший за інший. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута.

ABCD — паралелограм.

BK ⟂ AD, BN ⟂ CD — висоти, проведені з вершини тупого кута B. ∠A = x,

la. in.

Нехай

∠B = x + 40°.

Сума сусідніх кутів паралелограма: x + (x + 40°) = 180° 2x + 40° = 180° 2x = 140° x = 70°. Тоді

∠A = 70°,

∠B = 110°,

∠D = 110°.

Розглянемо чотирикутник KBND.

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°: ∠KBN + ∠BND + ∠NDK + ∠BKD = 360° ∠KBN + 90° + 110° + 90° = 360°

∠KBN + 290° = 360° ∠KBN = 70°.

Відповідь: 70°.

27. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) вписано квадрат CKLM так, що прямий кут у них спільний, а точка L належить стороні AB. Катет трикутника дорівнює 4 см. Знайдіть периметр квадрата.

Тоді

la. in.

Нехай сторона квадрата дорівнює x. CK = KL = LM = MC = x. Катети трикутника:

AC = CK + KA = x + KA,

BC = CM + MB = x + MB.

Оскільки трикутник рівнобедрений, то KA = MB. Трикутники AKL і MBL — прямокутні. KL ∥ AC і LM ∥ BC, тому ∠KAL = ∠MBL = 45°.

Отже трикутники AKL і MBL — рівнобедрені прямокутні, тому

KA = KL = x,

MB = LM = x. Тоді

AC = CK + KA = x + x = 2x. За умовою AC = 4, тому

2x = 4, x = 2.

Периметр квадрата: P = 4x = 4 · 2 = 8 см. Відповідь: 8 см.

la. in.

28. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) вписано квадрат KLMN так, що точки K і L належать гіпотенузі трикутника, а точки M і N – катетам. Периметр квадрата дорівнює 20 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Сторона квадрата:

KL = KN = LM = MN = 20 : 4 = 5 см. У △ABC

∠A = ∠B = 45°.

Розглянемо трикутники AKN і BLM.

Вони прямокутні та рівнобедрені, тому AK = KN = 5, BL = LM = 5.

Гіпотенуза трикутника: AB = AK + KL + LB AB = 5 + 5 + 5 AB = 15 см.

Відповідь: 15 см.

29. Основи трапеції дорівнюють 12 см і 20 см. Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три частини. Знайдіть довжини цих частин.

У трапеції ABCD (BC ∥ AD). BC = 12 см, AD = 20 см.

MN — середня лінія, AC і BD — діагоналі; K і P — точки перетину діагоналей із середньою лінією.

la. in.

У △ABC M — середина AB, MK ∥ BC (частина середньої лінії), тому за теоремою Фалеса K — середина AC. Отже, MK — середня лінія △ABC. 1

MK = BC = · 12 = 6 см. 2

Аналогічно у △BCD PN — середня лінія. 1

PN = BC = · 12 = 6 см. 2

MN = (BC + AD) = (12 + 20) = 16 см. 2

KP = MN − (MK + PN) = 16 − (6 + 6) = 4 см.

Відповідь: 6 см, 4 см, 6 см.

Подібність трикутників 30. (Усно.) △ABC ∼ △DKM. Заповніть пропуски:

1) ∠A = …; 2) ∠K = …;

3) ∠C = … .

У подібних трикутниках відповідні кути рівні. З рівності △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 маємо відповідність вершин: 𝐴𝐴 ↔ 𝐷𝐷, 𝐵𝐵 ↔ 𝐾𝐾, 𝐶𝐶 ↔ 𝑀𝑀. Тому:

la. in.

1) ∠𝐴𝐴 = ∠𝐷𝐷

2) ∠𝐾𝐾 = ∠𝐵𝐵

3) ∠𝐶𝐶 = ∠𝑀𝑀

31. Дано: △ABC ∼ △KMN, 1)

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝑀𝑀𝑀𝑀

=…; 2)

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐴𝐴𝐴𝐴

=… .

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐾𝐾𝐾𝐾

= 3. Заповніть пропуски:

У подібних трикутниках відношення всіх відповідних сторін рівні між собою. Відповідність вершин: 𝐴𝐴 ↔ 𝐾𝐾, 𝐵𝐵 ↔ 𝑀𝑀, 𝐶𝐶 ↔ 𝑁𝑁, тому: 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = =3 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐾𝐾𝐾𝐾

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝑀𝑀𝑀𝑀

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐾𝐾𝐾𝐾

= 3 отримуємо

𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐴𝐴𝐴𝐴

2) З рівності

Відповідь: 1) 3; 2) . 3

1 3

32. За яких умов △ABC ∼ △DEF: 1) ∠B = ∠E;

2) ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠D = 40°, ∠E = 70°;

3) AB = 3DE, BC = 3EF;

4) ∠A = ∠D = 50°, ∠B = 40°, ∠F = 90°?

1) Однієї рівності кутів недостатньо — потрібна ще одна пара рівних кутів або ознака за сторонами. Трикутники не обов’язково подібні. 2) Знайдемо треті кути: ∠𝐶𝐶 = 180° − 40° − 70° = 70°, ∠𝐹𝐹 = 180° − 40° − 70° = 70°.

Маємо ∠𝐴𝐴 = ∠𝐷𝐷 = 40°, ∠𝐵𝐵 = ∠𝐸𝐸 = 70°, ∠𝐶𝐶 = ∠𝐹𝐹 = 70° — дві пари рівних кутів. Трикутники подібні (ознака AA). 3) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3𝐷𝐷𝐷𝐷 і 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3𝐸𝐸𝐸𝐸, тобто

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐸𝐸𝐸𝐸

= 3. Дві пари пропорційних сторін є,

але кут між ними (∠𝐵𝐵 і ∠𝐸𝐸) може бути нерівним. Це не покриває ознаку SAS. Трикутники не обов’язково подібні.

4) Знайдемо невідомі кути: ∠𝐶𝐶 = 180° − 50° − 40° = 90°, ∠𝐸𝐸 = 180° − 50° − 90° = 40°. Маємо ∠𝐴𝐴 = ∠𝐷𝐷 = 50°, ∠𝐵𝐵 = ∠𝐸𝐸 = 40°, ∠𝐶𝐶 = ∠𝐹𝐹 = 90° — усі кути відповідають. Трикутники подібні (ознака AA).

la. in.

Відповідь: подібні у випадках 2 і 4.

33. За яких умов △ABC ∼ △MNK: 1) AB = MN = 40 см, BC = NK = 25 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 2) ∠A = ∠M, = ; 𝑀𝑀𝑀𝑀

𝑀𝑀𝑀𝑀

3) ∠A = 90°, ∠B = 50°, ∠M = 90°, ∠N = 30°? 4) ∠C = ∠K, CB = 6, CA = 4, KN = 3, KM = 2?

1) Відомі лише дві пари рівних сторін, а про третю сторону чи про кут між даними сторонами нічого не сказано. Трикутники не обов'язково подібні. 2) Маємо ∠𝐴𝐴 = ∠𝑀𝑀 і

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑀𝑀𝑀𝑀

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑀𝑀𝑀𝑀

, тобто дві сторони одного трикутника

пропорційні двом сторонам другого, а кути між цими сторонами рівні.

За ознакою подібності за двома сторонами і кутом між ними △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀. 3) У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: ∠𝐶𝐶 = 180∘ − 90∘ − 50∘ = 40∘ .

У △ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀: ∠𝐾𝐾 = 180∘ − 90∘ − 30∘ = 60∘.

Відповідні кути не рівні, тому трикутники не подібні. 4) Маємо ∠𝐶𝐶 = ∠𝐾𝐾. 𝐶𝐶𝐶𝐶

𝐶𝐶𝐶𝐶

𝐾𝐾𝐾𝐾

= = 2. 2

𝐾𝐾𝐾𝐾

= = 2;

Отже,

𝐶𝐶𝐶𝐶

𝐾𝐾𝐾𝐾

𝐶𝐶𝐶𝐶

𝐾𝐾𝐾𝐾

За ознакою подібності за двома сторонами і кутом між ними △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀.

34. На малюнку 4 прямі AC і BD паралельні, OA = 2 см, OC = 3 см, AB = 5 см. Знайдіть CD.

Паралельні прямі 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐵𝐵𝐵𝐵 перетинають сторони кута з вершиною 𝑂𝑂. За узагальненою теоремою Фалеса відрізки, відтяті цими прямими на сторонах кута, є пропорційними:

7,5 см.

la. in.

𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑂𝑂𝑂𝑂 5 ⋅ 3 = = 7,5 (см). 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2 𝑂𝑂𝑂𝑂 Відповідь:

35. На малюнку 4 прямі AC і BD паралельні, OC = 3 см, CD = 6 см, AB = 4 см. Знайдіть OA.

Паралельні прямі 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐵𝐵𝐵𝐵 перетинають сторони кута з вершиною 𝑂𝑂. За узагальненою теоремою Фалеса:

𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑂𝑂𝑂𝑂 4 ⋅ 3 𝑂𝑂𝑂𝑂 = = = 2 (см). 𝐶𝐶𝐶𝐶 6 Відповідь: 2 см.

36. O – точка перетину діагоналей трапеції, у якої AB || CD, AB = 20 см, CD = 10 см, DO = 6 см. Знайдіть OB.

Нехай 𝑂𝑂 – точка перетину діагоналей трапеції 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝐴𝐴𝐴𝐴 ∥ 𝐶𝐶𝐶𝐶).

la. in.

△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 за двома кутами (∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 як вертикальні, ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∥ 𝐶𝐶𝐶𝐶 і січній 𝐴𝐴𝐴𝐴). У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ; 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑂𝑂𝑂𝑂 20 ⋅ 6 𝑂𝑂𝑂𝑂 = = = 12 (см). 𝐶𝐶𝐶𝐶 10 Відповідь: 12 см.

37. O – точка перетину діагоналей трапеції (AB || CD) поділяє діагональ BD на відрізки DO = 4 см, OB = 12 см. Знайдіть AB, якщо CD = 5 см.

△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 за двома кутами (∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 як вертикальні, ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∥ 𝐶𝐶𝐶𝐶 і січній 𝐴𝐴𝐴𝐴). Із подібності трикутників: 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ; 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑂𝑂𝑂𝑂

𝐶𝐶𝐶𝐶 ⋅ 𝑂𝑂𝑂𝑂 5 ⋅ 12 = = 15 (см). 𝑂𝑂𝑂𝑂 4 Відповідь: 15 см.

𝐴𝐴𝐴𝐴 =

la. in.

38. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його проєкція на гіпотенузу дорівнює 2 см, а гіпотенуза – 8 см.

Нехай у △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∠𝐶𝐶 = 90∘, 𝐶𝐶𝐶𝐶 – висота, проведена з вершини прямого кута, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 см – проекція катета 𝐴𝐴𝐴𝐴 на гіпотенузу, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 8 см – гіпотенуза. За властивістю середнього пропорційного: катет є середнім пропорційним гіпотенузи та проекції цього катета на гіпотенузу: 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴;

𝐴𝐴𝐶𝐶 2 = 8 ⋅ 2 = 16;

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 (см). Відповідь:

4 см.

39. Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а його проєкція на гіпотенузу – 9 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Нехай у △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∠𝐶𝐶 = 90∘, 𝐶𝐶𝐶𝐶 – висота, проведена з вершини прямого кута, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 см – катет, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9 см – його проекція на гіпотенузу.

𝐴𝐴𝐶𝐶 2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴;

122 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 9;

144 = 16 (см). 9 Відповідь:

𝐴𝐴𝐴𝐴 =

16 см.

За властивістю середнього пропорційного:

la. in.

40. AM – бісектриса трикутника ABC, AB = 6 см, AC = 9 см. Менший з відрізків, на які бісектриса AM ділить сторону BC, дорівнює 3 см. Знайдіть BC.

Оскільки 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐴𝐴𝐴𝐴, то 𝐵𝐵𝐵𝐵 < 𝑀𝑀𝑀𝑀, тому 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3 см. За властивістю бісектриси трикутника:

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 9 ⋅ 3 = = 4,5 (см). 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 6 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 3 + 4,5 = 7,5 (см). Відповідь: 7,5 см.

41. У трикутнику ABC: AB = 9 см, BC = 15 см. Більший з відрізків, на які бісектриса BK ділить сторону AC, дорівнює 5 см. Знайдіть AC.

Оскільки 𝐵𝐵𝐵𝐵 > 𝐴𝐴𝐴𝐴, то 𝐾𝐾𝐾𝐾 > 𝐴𝐴𝐴𝐴, тому 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 5 см. За властивістю бісектриси трикутника:

la. in.

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 9 ⋅ 5 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = = 3 (см). 𝐵𝐵𝐵𝐵 15 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 3 + 5 = 8 (см). Відповідь: 8 см.

42. Січна, що проходить через точку S, перетинає коло в точках A і B, а друга січна, що проходить через точки S і центр кола O, – у точках C і D (мал. 5), SA = 3 см, SB = 8 см, SC = 2 см. Знайдіть радіус кола.

За наслідком з теореми про пропорційність відрізків січної і дотичної (для двох січних, проведених з точки 𝑆𝑆, що лежить поза колом): 𝑆𝑆𝑆𝑆 ⋅ 𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑆𝑆 ⋅ 𝑆𝑆𝑆𝑆;

𝑆𝑆𝑆𝑆 ⋅ 𝑆𝑆𝑆𝑆 3 ⋅ 8 = = 12 (см). 𝑆𝑆𝑆𝑆 2 Оскільки 𝐶𝐶𝐶𝐶 – діаметр кола (січна проходить через центр 𝑂𝑂):

𝑆𝑆𝑆𝑆 =

𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑆𝑆𝑆𝑆 − 𝑆𝑆𝑆𝑆 12 − 2 = = = 5 (см). 2 2 2 Відповідь:

𝑅𝑅 =

5 см.

43. Січна, що проходить через точку S, перетинає коло в точках A і B, а друга січна, що проходить через точки S і центр кола O, – у точках C і D (мал. 5), SA = 5 см, SB = 12 см, SC = 4 см. Знайдіть діаметр кола.

За наслідком з теореми про пропорційність відрізків січної і дотичної (для двох січних, проведених з точки 𝑆𝑆, що лежить поза колом):

la. in.

𝑆𝑆𝑆𝑆 ⋅ 𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑆𝑆 ⋅ 𝑆𝑆𝑆𝑆;

𝑆𝑆𝑆𝑆 ⋅ 𝑆𝑆𝑆𝑆 5 ⋅ 12 = = 15 (см). 4 𝑆𝑆𝑆𝑆 Оскільки 𝐶𝐶𝐶𝐶 – діаметр кола: 𝑆𝑆𝑆𝑆 =

𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑆𝑆𝑆𝑆 − 𝑆𝑆𝑆𝑆 = 15 − 4 = 11 (см).

Відповідь: 11 см.

44. Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, відтак дізнаєтеся ім’я та прізвище першої жінки – Героя України, котрій це звання присвоїли посмертно. Дізнайтеся в інтернеті відомості про неї.

Оскільки 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∶ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ∶ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 3 ∶ 5 ∶ 6, то 𝐴𝐴𝐴𝐴 – менша сторона, 𝐵𝐵𝐵𝐵 – середня, 𝐶𝐶𝐶𝐶 – більша.

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3𝑘𝑘 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 5𝑘𝑘 см, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 6𝑘𝑘 см. 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 ∶ 𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 ∶ 𝐶𝐶1 𝐴𝐴1 = 3 ∶ 5 ∶ 6.

Оскільки △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 , то відповідні сторони пропорційні:

la. in.

Тому 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 – менша сторона, 𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 – середня, 𝐶𝐶1 𝐴𝐴1 – більша.

1) 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 = 6 см.

𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 𝐶𝐶1 𝐴𝐴1 = = ; 3 5 6

= 2 — коефіцієнт подібності;

6 3

𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 = 5 ⋅ 2 = 10 (см);

𝐶𝐶1 𝐴𝐴1 = 6 ⋅ 2 = 12 (см).

ua la. in.

2) 𝐶𝐶1 𝐴𝐴1 − 𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 = 7 см.

Нехай 𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 = 5𝑘𝑘 см, 𝐶𝐶1 𝐴𝐴1 = 6𝑘𝑘 см. Тоді: 6𝑘𝑘 − 5𝑘𝑘 = 7; 𝑘𝑘 = 7.

𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 = 3 ⋅ 7 = 21 (см);

𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 = 5 ⋅ 7 = 35 (см); 𝐶𝐶1 𝐴𝐴1 = 6 ⋅ 7 = 42 (см).

3) Периметр 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 дорівнює 70 см. 3𝑘𝑘 + 5𝑘𝑘 + 6𝑘𝑘 = 70; 14𝑘𝑘 = 70; 𝑘𝑘 = 5.

𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 = 3 ⋅ 5 = 15 (см);

𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 = 5 ⋅ 5 = 25 (см); 𝐶𝐶1 𝐴𝐴1 = 6 ⋅ 5 = 30 (см).

35 см 6 см 6 см 30 см І Н Н А

Д 12 см 15 см 21 см 10 см 42 см 25 см 30 см Д Е Р У С О В А Відповідь: Ім'я та прізвище першої жінки – Героя України, якій це звання присвоїли посмертно: Інна Дерусова.

la. in.

45. Сторони трикутника відносяться як 4 : 7 : 9. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, якщо його: 1) більша сторона дорівнює 18 см; 2) менша сторона на 9 см менша від середньої; 3) периметр дорівнює 100 см.

Оскільки подібні трикутники мають пропорційні сторони з тим самим відношенням, то сторони шуканого трикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 також відносяться як 4 ∶ 7 ∶ 9.

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴 – менша сторона, 𝐵𝐵𝐵𝐵 – середня, 𝐶𝐶𝐶𝐶 – більша. Тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4𝑘𝑘 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 7𝑘𝑘 см, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 9𝑘𝑘 см.

1) 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 18 см. 9𝑘𝑘 = 18; 𝑘𝑘 = 2.

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 2 = 8 (см);

𝐵𝐵𝐵𝐵 = 7 ⋅ 2 = 14 (см).

ua la. in.

2) 𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9 см.

7𝑘𝑘 − 4𝑘𝑘 = 9; 3𝑘𝑘 = 9; 𝑘𝑘 = 3.

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 3 = 12 (см);

𝐵𝐵𝐵𝐵 = 7 ⋅ 3 = 21 (см); 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 9 ⋅ 3 = 27 (см).

3) Периметр трикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 дорівнює 100 см. 4𝑘𝑘 + 7𝑘𝑘 + 9𝑘𝑘 = 100; 20𝑘𝑘 = 100; 𝑘𝑘 = 5.

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 5 = 20 (см);

𝐵𝐵𝐵𝐵 = 7 ⋅ 5 = 35 (см);

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 9 ⋅ 5 = 45 (см). Відповідь:

1) 8 см, 14 см, 18 см;

2) 12 см, 21 см, 27 см; 3) 20 см, 35 см, 45 см.

la. in.

46. Пряма MN паралельна стороні AB трикутника ABC, M ∈ AC, N ∈ BC, AB = 5 см, MN = 2 см, AM = 1 см. Знайдіть довжину сторони AC.

Оскільки 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴, то ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶. Тому △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ∼△ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶.

Отже,

𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐶𝐶𝐶𝐶 = . 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴

Підставимо відомі значення: 2 𝐶𝐶𝐶𝐶 = . 5 𝐶𝐶𝐶𝐶

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥.

Тоді 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑥𝑥 − 1.

Маємо:

𝑥𝑥 − 1 2 = . 𝑥𝑥 5

5(𝑥𝑥 − 1) = 2𝑥𝑥 5𝑥𝑥 − 5 = 2𝑥𝑥 3𝑥𝑥 = 5 𝑥𝑥 =

5 3

Отже, 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

5 3

см.

Відповідь: см. 3

№47

la. in.

47. Пряма KL паралельна стороні BC трикутника ABC, K ∈ AB, L ∈ AC, KB = 3 см, BC = 6 см, KL = 4,5 см. Знайдіть довжину сторони AB.

Оскільки 𝐾𝐾𝐾𝐾 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵, то △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴.

Тоді відповідні сторони пропорційні: 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴

Підставимо дані:

4,5 𝐴𝐴𝐴𝐴 3 = = 𝐴𝐴𝐴𝐴 4 6

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥. Тоді

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑥𝑥 − 3 Отже,

𝑥𝑥 − 3 3 = 4 𝑥𝑥

Розв’яжемо рівняння: 4(𝑥𝑥 − 3) = 3𝑥𝑥 4𝑥𝑥 − 12 = 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 12

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 см

Відповідь: 12 см.

Тому

la. in.

48. AL – бісектриса трикутника ABC, AB = 8 см, AC = 10 см, BC = 9 см. Знайдіть BL і LC.

𝐴𝐴𝐴𝐴 — бісектриса трикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, тому

𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐴𝐴𝐴𝐴

Підставимо дані: 8 4 𝐵𝐵𝐵𝐵 = = 𝐿𝐿𝐿𝐿 10 5

Нехай 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4𝑥𝑥, 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 5𝑥𝑥. Тоді 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 4𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 = 9 9𝑥𝑥 = 9 𝑥𝑥 = 1

Отже,

𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 см,

𝐿𝐿𝐿𝐿 = 5 см

Відповідь: 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 см, 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 5 см.

49. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця довжин яких 2 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві інші його сторони дорівнюють 8 см і 12 см.

ua la. in.

Нехай бісектриса ділить сторону на відрізки 𝑥𝑥 см і 𝑥𝑥 + 2 см. За властивістю бісектриси: 𝑥𝑥 8 = 12 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 2 = 3 𝑥𝑥 + 2

3𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 = 4

Тоді відрізки дорівнюють: 4 см

і 6 см

Отже, третя сторона трикутника: 4 + 6 = 10 см

Периметр трикутника:

𝑃𝑃 = 8 + 12 + 10 = 30 см Відповідь: 30 см.

50. Хорди кола AB і CD перетинаються в точці Q, AQ : QB = 1 : 2, CD = 17 см, CQ = 8 см. Знайдіть AB.

ua la. in.

Хорди 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐶𝐶𝐶𝐶 перетинаються в точці 𝑄𝑄. 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∶ 𝑄𝑄𝑄𝑄 = 1 ∶ 2

Нехай

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥, Тоді

𝑄𝑄𝑄𝑄 = 2𝑥𝑥

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑄𝑄𝑄𝑄 = 3𝑥𝑥 Оскільки

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 17 см,

то

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 8 см,

𝑄𝑄𝑄𝑄 = 17 − 8 = 9 см

За властивістю хорд: 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑄𝑄𝑄𝑄 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 ⋅ 𝑄𝑄𝑄𝑄

𝑥𝑥 ⋅ 2𝑥𝑥 = 8 ⋅ 9

2𝑥𝑥 2 = 72

𝑥𝑥 2 = 36 𝑥𝑥 = 6 Тоді

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3𝑥𝑥 = 18 см Відповідь: 18 см.

la. in.

51. Через точку M, що розміщена всередині кола, проведено дві хорди AB і CD, AM = MB, CM = 8 см, DM : MC = 1 : 4. Знайдіть AB.

Знайдемо 𝐷𝐷𝐷𝐷: 𝐷𝐷𝐷𝐷 =

8 = 2 см 4

За властивістю хорд: 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 ⋅ 𝐷𝐷𝐷𝐷

Оскільки 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀, то 𝐴𝐴𝑀𝑀 2 = 8 ⋅ 2 𝐴𝐴𝑀𝑀2 = 16

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 см Тоді

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 4 + 4 = 8 см Відповідь: 8 см.

52. На стороні AC трикутника ABC позначено точку K так, що ∠ABK = ∠C (мал. 6), AK = 4 см, AB = 6 см. Знайдіть KC.

△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 за двома кутами (∠𝐴𝐴 — спільний, ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 за умовою). У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

la. in.

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴;

𝐴𝐴𝐵𝐵2 62 36 = = = 9 (см). 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 𝐴𝐴𝐴𝐴 4 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9 − 4 = 5 (см). Відповідь: 5 см.

53. Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 6 см і 10 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

Нехай у рівнобічній трапеції 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝐵𝐵𝐵𝐵 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴) 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 10 см, діагональ 𝐵𝐵𝐵𝐵⟂𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висота трапеції.

Розглянемо △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. Оскільки 𝐵𝐵𝐵𝐵⟂𝐴𝐴𝐴𝐴, то ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘, тобто △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутний з гіпотенузою 𝐴𝐴𝐴𝐴, а 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висота, опущена з прямого кута на гіпотенузу. У рівнобічній трапеції проєкції бічних сторін на більшу основу рівні: 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵 10 − 6 = = 2 (см). 2 2 Відрізок 𝐵𝐵𝐵𝐵 ділить гіпотенузу 𝐴𝐴𝐴𝐴 на 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐾𝐾𝐾𝐾: 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 10 − 2 = 8 (см). 𝐵𝐵𝐾𝐾 2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 2 ⋅ 8 = 16;

𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

За властивістю висоти, проведеної з вершини прямого кута на гіпотенузу:

Розв’язування прямокутних трикутників

la. in.

54. Нехай a і b – катети прямокутного трикутника, c – його гіпотенуза. Знайдіть: 1) c, якщо a = 12 см, b = 5 см; 2) a, якщо c = 17 дм, b = 15 дм; 3) b, якщо a = 35 см, c = 37 см.

За теоремою Піфагора 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 .

𝟏𝟏) 𝑐𝑐 = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 = √122 + 52 = √144 + 25 = √169 = 13 (см).

𝟐𝟐) 𝑎𝑎 = √𝑐𝑐 2 − 𝑏𝑏 2 = √172 − 152 = �(17 − 15)(17 + 15) = √2 ⋅ 32 = √64 = 8 (дм).

𝟑𝟑) 𝑏𝑏 = √𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 = √372 − 352 = �(37 − 35)(37 + 35) = √2 ⋅ 72 = √144 = 12 (см). Відповідь: 1) 13 см; 2) 8 дм; 3) 12 см.

55. Нехай a і b – катети прямокутного трикутника, c – його гіпотенуза. Знайдіть: 1) a, якщо b = 6 см, c = 10 см; 2) b, якщо c = 25 дм, a = 7 дм; 3) c, якщо a = 11 см, b = 60 см.

ua la. in.

За теоремою Піфагора 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 .

𝟏𝟏) 𝑎𝑎 = √𝑐𝑐 2 − 𝑏𝑏 2 = √102 − 62 = √100 − 36 = √64 = 8 (см).

𝟐𝟐) 𝑏𝑏 = √𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 = √252 − 72 = �(25 − 7)(25 + 7) = √18 ⋅ 32 = √576 = 24 (дм).

𝟑𝟑) 𝑐𝑐 = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 = √112 + 602 = √121 + 3600 = √3721 = 61 (см). Відповідь: 1) 8 см; 2) 24 дм; 3) 61 см.

56. Довжина перпендикуляра, проведеного з точки до прямої, дорівнює 8 см, а довжина похилої, проведеної із цієї самої точки, – 10 см. Знайдіть проєкцію похилої на цю пряму.

Нехай 𝑃𝑃𝑃𝑃 — перпендикуляр, 𝑃𝑃𝑃𝑃 — похила, 𝐾𝐾𝐾𝐾 — проєкція похилої на пряму. 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 8 см, 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 10 см.

З △ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (∠𝐾𝐾 = 90∘ ) за теоремою Піфагора: Відповідь: 6 см.

𝐾𝐾𝐾𝐾 = �𝑃𝑃𝑀𝑀2 − 𝑃𝑃𝐾𝐾 2 = �102 − 82 = √100 − 64 = √36 = 6 (см).

la. in.

57. Перпендикуляр, проведений з точки до прямої, дорівнює 5 см. Із цієї самої точки до прямої проведено похилу, проєкція якої на пряму дорівнює 12 см. Знайдіть довжину похилої.

Нехай 𝑃𝑃𝑃𝑃 — перпендикуляр, 𝑃𝑃𝑃𝑃 — похила, 𝐾𝐾𝐾𝐾 — проєкція похилої на пряму. 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 5 см, 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 12 см.

З △ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (∠𝐾𝐾 = 90∘ ) за теоремою Піфагора:

𝑃𝑃𝑃𝑃 = �𝑃𝑃𝐾𝐾 2 + 𝐾𝐾𝑀𝑀2 = �52 + 122 = √25 + 144 = √169 = 13 (см). Відповідь: 13 см.

58. Дано: ∆ABC, ∠C = 90° (мал. 7). Знайдіть: 1) sinA; 2) cosB; 3) tgA; 4) cosA; 5) tgB; 6) sinB.

𝐵𝐵𝐵𝐵 5 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 13 5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ; 𝟐𝟐) cos𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 13 5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ; 𝟑𝟑) tg 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 12 𝟏𝟏) sin𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴 12 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 13 𝐴𝐴𝐴𝐴 12 𝟓𝟓) tg 𝐵𝐵 = = ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 5 𝐴𝐴𝐴𝐴 12 𝟔𝟔) sin𝐵𝐵 = = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 13 59. Дано: ∆KMN, ∠N = 90° (мал. 8). Знайдіть: 1) cosK; 2) sinM; 3) tgM; 4) sinK; 5) tgK; 6) cosM.

la. in.

𝟒𝟒) cos𝐴𝐴 =

8 𝐾𝐾𝐾𝐾 = ; 𝐾𝐾𝐾𝐾 17 8 𝐾𝐾𝐾𝐾 = ; 𝟐𝟐) sin𝑀𝑀 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 17 8 𝐾𝐾𝐾𝐾 = ; 𝟑𝟑) tg 𝑀𝑀 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 15 𝑁𝑁𝑁𝑁 15 = ; 𝟒𝟒) sin𝐾𝐾 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 17 𝑁𝑁𝑁𝑁 15 𝟓𝟓) tg 𝐾𝐾 = = ; 𝐾𝐾𝐾𝐾 8 𝑁𝑁𝑁𝑁 15 = . 𝟔𝟔) cos𝑀𝑀 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 17 60. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 17 см, а висота, проведена до основи, – 8 см. Знайдіть основу трикутника.

𝟏𝟏) cos𝐾𝐾 =

Нехай △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівнобедрений, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 17 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висота, проведена до основи 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8 см.

Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є також медіаною, тому 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐻𝐻𝐻𝐻.

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ) за теоремою Піфагора:

𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝐴𝐴𝐵𝐵2 − 𝐵𝐵𝐻𝐻2 = �172 − 82 = �(17 − 8)(17 + 8) = √9 ⋅ 25 = 15 (см). 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 15 = 30 (см). Відповідь: 30 см.

la. in.

61. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 18 см, а висота, проведена до основи, – 40 см. Знайдіть периметр трикутника.

Нехай △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівнобедрений, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 18 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висота, проведена до основи, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 40 см.

Висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника, є також медіаною, 𝐴𝐴𝐴𝐴 тому 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐻𝐻𝐻𝐻 = = 9 см. 2

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ) за теоремою Піфагора:

𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝐴𝐴𝐻𝐻2 + 𝐵𝐵𝐻𝐻2 = �92 + 402 = √81 + 1600 = √1681 = 41 (см). 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 41 см.

𝑃𝑃△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 41 + 41 + 18 = 100 (см).

Відповідь: 100 см.

62. Діагоналі ромба дорівнюють 14 см і 48 см. Знайдіть периметр ромба.

ua la. in.

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — ромб, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 14 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 48 см, 𝑂𝑂 — точка перетину діагоналей.

Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл, 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 24 см. тому ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘ , 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 7 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝑂𝑂 = 90∘ ) за теоремою Піфагора:

𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝐴𝐴𝑂𝑂2 + 𝐵𝐵𝑂𝑂2 = �72 + 242 = √49 + 576 = √625 = 25 (см).

𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 25 = 100 (см). Відповідь: 100 см.

63. Сторона ромба дорівнює 17 см, а одна з діагоналей – 30 см. Знайдіть іншу діагональ ромба.

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — ромб, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 17 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 30 см, 𝑂𝑂 — точка перетину діагоналей.

Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл, 𝐴𝐴𝐴𝐴 тому ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘ , 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 15 см. 2

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝑂𝑂 = 90∘ ) за теоремою Піфагора:

𝐵𝐵𝐵𝐵 = �𝐴𝐴𝐵𝐵2 − 𝐴𝐴𝑂𝑂2 = �172 − 152 = �(17 − 15)(17 + 15) = √2 ⋅ 32 = √64 = 8 (см).

𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ⋅ 8 = 16 (см).

Відповідь: 16 см.

la. in.

64. З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 10 см, а її проєкція – 6 см. Знайдіть проєкцію другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 45°.

Нехай 𝑃𝑃 — точка, 𝑃𝑃𝑃𝑃 — перпендикуляр, проведений з точки 𝑃𝑃 до прямої; 𝑃𝑃𝑃𝑃 і 𝑃𝑃𝑃𝑃 — похилі, 𝐻𝐻𝐻𝐻 і 𝐻𝐻𝐻𝐻 — їхні проєкції. 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 10 см, 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 6 см, ∠𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 45∘ .

З △ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ) за теоремою Піфагора:

𝑃𝑃𝑃𝑃 = �𝑃𝑃𝐴𝐴2 − 𝐻𝐻𝐴𝐴2 = �102 − 62 = √100 − 36 = √64 = 8 (см).

З △ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ):

tg ∠𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 =

𝑃𝑃𝑃𝑃 ; 𝐻𝐻𝐻𝐻

Відповідь: 8 см.

𝐻𝐻𝐻𝐻 =

𝑃𝑃𝑃𝑃 8 = = 8 (см). tg 45∘ 1

65. З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 16 см і утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину іншої похилої, якщо її проєкція на пряму – 6 см.

Нехай 𝑃𝑃 — точка, 𝑃𝑃𝑃𝑃 — перпендикуляр з точки 𝑃𝑃 до прямої; 𝑃𝑃𝑃𝑃 і 𝑃𝑃𝑃𝑃 — похилі, 𝐻𝐻𝐻𝐻 і 𝐻𝐻𝐻𝐻 — їхні проєкції.

la. in.

𝑃𝑃𝑃𝑃 = 16 см, ∠𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 30∘ , 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 6 см.

З △ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ):

1 𝑃𝑃𝑃𝑃 ; 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 ⋅ sin30∘ = 16 ⋅ = 8 (см). 2 𝑃𝑃𝑃𝑃 З △ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ) за теоремою Піфагора: sin∠𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 =

𝑃𝑃𝑃𝑃 = �𝑃𝑃𝐻𝐻2 + 𝐻𝐻𝐵𝐵2 = �82 + 62 = √64 + 36 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см.

66. У ∆ABC: ∠C = 90°. Знайдіть: 2 1) AB, якщо AC = 6 см, cosA = ; 3

2) AC, якщо BC = 8 см, tgB = 0,5; 3) BC, якщо AB = 12 см, ∠A = 60°. 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴𝐴𝐴

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

2) tg ∠𝐵𝐵 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵

3) sin∠𝐴𝐴 =

= 6 : = 6 ⋅ = 9 (см).

cos∠𝐴𝐴

1) cos∠𝐴𝐴 =

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ tg ∠𝐵𝐵 = 8 ⋅ 0,5 = 4 (см).

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐴𝐴

; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin∠𝐴𝐴 = 12 ⋅ sin60° = 12 ⋅

Відповідь: 1) 9 см; 2) 4 см; 3) 6√3 см.

√3 = 6√3 (см). 2

67. У ∆ABC: ∠C = 90°. Знайдіть: 3 1) AB, якщо BC = 12 см, sinA = ; 4

2) BC, якщо AC = 8 см, tgB = 0,25; 3) AC, якщо AB = 16 см, ∠A = 45°. 1) sin∠𝐴𝐴 = 2) tg ∠𝐵𝐵 =

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

; 𝐵𝐵𝐵𝐵 =

𝐵𝐵𝐵𝐵

sin∠𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴

tg ∠𝐵𝐵

= 12 : = 12 ⋅ = 16 (см).

0,25

= 32 (см).

𝐴𝐴𝐴𝐴

3) cos∠𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ cos∠𝐴𝐴 = 16 ⋅ cos45° = 16 ⋅

Відповідь: 1) 16 см; 2) 32 см; 3) 8√2 см.

√2 = 8√2 (см). 2

68. Розв’яжіть прямокутний трикутник ABC, у якого ∠C = 90° (сторони трикутника в задачах 3) і 4) знайдіть з точністю до сотих сантиметра) за двома елементами: 1) AC = 8 см, ∠A = 45°; 2) AB = 12 см, ∠B = 60°; 3) BC = 10 см, ∠A = 27°; 4) AB = 16 см, ∠A = 80°. 1) ∠𝐵𝐵 = 90° − 45° = 45°.

tg ∠𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

16 √2 = = 8√2 (см). 2 √2

la. in.

cos∠𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐴𝐴

cos∠𝐴𝐴

cos45°

=8:

; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ tg ∠𝐴𝐴 = 8 ⋅ tg 45° = 8 ⋅ 1 = 8 (см).

2) ∠𝐴𝐴 = 90° − 60° = 30°.

cos∠𝐵𝐵 = sin∠𝐵𝐵 =

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐴𝐴

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin∠𝐵𝐵 = 12 ⋅ sin60° = 12 ⋅

3) ∠𝐵𝐵 = 90° − 27° = 63°. tg ∠𝐴𝐴 =

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐴𝐴

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐵𝐵𝐵𝐵

sin∠𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ cos∠𝐵𝐵 = 12 ⋅ cos60° = 12 ⋅ = 6 (см).

𝐵𝐵𝐵𝐵

tg ∠𝐴𝐴

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐵𝐵𝐵𝐵

sin∠𝐴𝐴

tg 27°

sin27°

0,5095

≈

√3 = 6√3 (см). 2

≈ 19,63 (см).

0,4540

≈ 22,03 (см).

4) ∠𝐵𝐵 = 90° − 80° = 10°.

≈

𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin∠𝐴𝐴 = 16 ⋅ sin80° ≈ 16 ⋅ 0,9848 ≈ 15,76 (см). 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ cos∠𝐴𝐴 = 16 ⋅ cos80° ≈ 16 ⋅ 0,1736 ≈ 2,78 (см).

69. Розв’яжіть прямокутний трикутник ABC, у якого ∠C = 90° (сторони трикутника в задачах 3) і 4) знайдіть з точністю до сотих сантиметра) за двома елементами: 1) BC = 9 см, ∠B = 30°; 2) AB = 8 см, ∠A = 45°; 3) AC = 12 см, ∠B = 70°; 4) AB = 10 см, ∠B = 35°. 1) ∠𝐴𝐴 = 90° − 30° = 60°.

cos∠𝐵𝐵 = tg ∠𝐵𝐵 =

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐵𝐵𝐵𝐵

cos∠𝐵𝐵

cos30°

=9:

18 √3 = = 6√3 (см). 2 √3

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ tg ∠𝐵𝐵 = 9 ⋅ tg 30° = 9 ⋅

2) ∠𝐵𝐵 = 90° − 45° = 45°.

√3 = 3√3 (см). 3

√2 = 4√2 (см). 2

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ cos∠𝐴𝐴 = 8 ⋅ cos45° = 8 ⋅ 3) ∠𝐴𝐴 = 90° − 70° = 20°.

tg ∠𝐵𝐵 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵

sin∠𝐵𝐵 =

; 𝐵𝐵𝐵𝐵 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

tg ∠𝐵𝐵

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

sin∠𝐵𝐵

tg 70°

4) ∠𝐴𝐴 = 90° − 35° = 55°.

≈

sin70°

√2 = 4√2 (см). 2

2,7475

≈

𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin∠𝐴𝐴 = 8 ⋅ sin45° = 8 ⋅

≈ 4,37 (см).

0,9397

≈ 12,77 (см).

la. in.

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin∠𝐵𝐵 = 10 ⋅ sin35° ≈ 10 ⋅ 0,5736 ≈ 5,74 (см).

𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ cos∠𝐵𝐵 = 10 ⋅ cos35° ≈ 10 ⋅ 0,8192 ≈ 8,19 (см).

70. Знайдіть довжину невідомого відрізка x на малюнках 9–11.

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐵𝐵 = 90°): 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝐴𝐴𝐷𝐷2 − 𝐵𝐵𝐷𝐷2 = �172 − 82 = √289 − 64 = √225 = 15.

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐵𝐵 = 90°): 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝐴𝐴𝐵𝐵2 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 = �152 + 202 = √225 + 400 = √625 = 25.

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐵𝐵 = 90°, катети 1 і 2): 𝐵𝐵𝐷𝐷2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5.

la. in.

З △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (∠𝐶𝐶 = 90°, катет 𝐵𝐵𝐵𝐵, катет 2, гіпотенуза 𝑥𝑥): 𝑥𝑥 = �𝐵𝐵𝐷𝐷2 + 𝐶𝐶𝐷𝐷2 = �5 + 22 = √5 + 4 = √9 = 3.

Проведемо 𝐶𝐶𝐶𝐶⟂𝐴𝐴𝐴𝐴. Тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутник, тому 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 7. 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 15 − 7 = 8.

З △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (∠𝐾𝐾 = 90°): 𝑥𝑥 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = �𝐶𝐶𝐾𝐾 2 + 𝐾𝐾𝐷𝐷2 = �62 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10.

71. З точки, що розміщена на відстані 12 см від прямої, проведено дві похилі завдовжки 13 см і 15 см. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути?

ua la. in.

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐾𝐾 = 90°):

𝐵𝐵𝐵𝐵 = �𝐴𝐴𝐵𝐵2 − 𝐴𝐴𝐾𝐾 2 = �132 − 122 = �(13 − 12)(13 + 12) = √1 ⋅ 25 = 5 (см). З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐾𝐾 = 90°):

𝐾𝐾𝐾𝐾 = �𝐴𝐴𝐶𝐶 2 − 𝐴𝐴𝐾𝐾 2 = �152 − 122 = �(15 − 12)(15 + 12) = √3 ⋅ 27 = √81 = 9 (см).

I випадок. Точки 𝐵𝐵 і 𝐶𝐶 лежать по різні боки від 𝐾𝐾. 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 5 + 9 = 14 (см).

II випадок. Точки 𝐵𝐵 і 𝐶𝐶 лежать по один бік від 𝐾𝐾. 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 − 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 9 − 5 = 4 (см).

Відповідь:

Слід розглянути два випадки. 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 14 см або 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 см.

72. У ∆ABC: ∠C = 90°. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо AC = 12 см, cosB = 0,8.

𝐵𝐵𝐵𝐵 4 𝐵𝐵𝐵𝐵 4 ; cos∠𝐵𝐵 = 0,8 = , тобто = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 5 5 Позначимо 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4𝑥𝑥 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5𝑥𝑥 см. cos∠𝐵𝐵 =

За теоремою Піфагора 𝐴𝐴𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 : (5𝑥𝑥)2 = 122 + (4𝑥𝑥)2 ; 25𝑥𝑥 2 = 144 + 16𝑥𝑥 2 ; 9𝑥𝑥 2 = 144; 𝑥𝑥 2 = 16; 𝑥𝑥 = 4.

Отже, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 ⋅ 4 = 16 (см); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 ⋅ 4 = 20 (см).

la. in.

𝑃𝑃△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 + 16 + 20 = 48 (см).

Відповідь: 48 см.

73. У ∆ABC: ∠C = 90°. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо 8 AB = 34 см, tgA = . 15

8 𝐵𝐵𝐵𝐵 8 𝐵𝐵𝐵𝐵 ; tg ∠𝐴𝐴 = , тобто = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 15 15 𝐴𝐴𝐴𝐴 Позначимо 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8𝑥𝑥 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 15𝑥𝑥 см.

tg ∠𝐴𝐴 =

За теоремою Піфагора 𝐴𝐴𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 : 342 = (15𝑥𝑥)2 + (8𝑥𝑥)2 ; 1156 = 225𝑥𝑥 2 + 64𝑥𝑥 2 ; 289𝑥𝑥 2 = 1156; 𝑥𝑥 2 = 4; 𝑥𝑥 = 2.

Отже, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8 ⋅ 2 = 16 (см); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 15 ⋅ 2 = 30 (см).

𝑃𝑃△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 30 + 16 + 34 = 80 (см). Відповідь: 80 см.

74. Розв’яжіть прямокутний трикутник ABC, у якого ∠C = 90° (невідому сторону знайдіть з точністю до сотих сантиметра, кути – з точністю до градусів) за двома сторонами: 1) AB = 6 см, AC = 5 см; 2) AC = 8 см, BC = 3 см.

1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 — гіпотенуза, 𝐴𝐴𝐴𝐴 — катет.

la. in.

За теоремою Піфагора 𝐴𝐴𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 : 𝐵𝐵𝐵𝐵 = �𝐴𝐴𝐵𝐵2 − 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 = �62 − 52 = √36 − 25 = √11 ≈ 3,32 (см). 𝐴𝐴𝐴𝐴 5 = ≈ 0,8333; ∠𝐴𝐴 ≈ 34°. 𝐴𝐴𝐴𝐴 6 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 ≈ 90° − 34° = 56°.

cos∠𝐴𝐴 =

2) 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐵𝐵𝐵𝐵 — катети.

За теоремою Піфагора: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 = �82 + 32 = √64 + 9 = √73 ≈ 8,54 (см). 𝐵𝐵𝐵𝐵 3 = = 0,375; ∠𝐴𝐴 ≈ 21°. 𝐴𝐴𝐴𝐴 8 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 ≈ 90° − 21° = 69°.

tg ∠𝐴𝐴 =

Відповідь: 1) 𝐵𝐵𝐵𝐵 ≈ 3,32 см, ∠𝐴𝐴 ≈ 34°, ∠𝐵𝐵 ≈ 56°; 2) 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≈ 8,54 см, ∠𝐴𝐴 ≈ 21°, ∠𝐵𝐵 ≈ 69°.

75. Розв’яжіть прямокутний трикутник ABC, у якого ∠C = 90° (невідому сторону знайдіть з точністю до сотих сантиметра, кути – з точністю до градусів) за двома сторонами: 1) BC = 5 см, AB = 9 см; 2) BC = 7 см, AC = 2 см.

1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 — гіпотенуза, 𝐵𝐵𝐵𝐵 — катет.

За теоремою Піфагора: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝐴𝐴𝐵𝐵2 − 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 = �92 − 52 = √81 − 25 = √56 = 2√14 ≈ 7,48 (см).

2) 𝐵𝐵𝐵𝐵 і 𝐴𝐴𝐴𝐴 — катети.

𝐵𝐵𝐵𝐵 5 = ≈ 0,5556; ∠𝐴𝐴 ≈ 34°. 𝐴𝐴𝐴𝐴 9 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 ≈ 90° − 34° = 56°. sin∠𝐴𝐴 =

За теоремою Піфагора: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 = �22 + 72 = √4 + 49 = √53 ≈ 7,28 (см).

la. in.

𝐵𝐵𝐵𝐵 7 = = 3,5; ∠𝐴𝐴 ≈ 74°. 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 ≈ 90° − 74° = 16°.

tg ∠𝐴𝐴 =

Відповідь: 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≈ 7,48 см, ∠𝐴𝐴 ≈ 34°, ∠𝐵𝐵 ≈ 56°; 2) 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≈ 7,28 см, ∠𝐴𝐴 ≈ 74°, ∠𝐵𝐵 ≈ 16°.

76. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 5 см і 13 см завдовжки. Знайдіть периметр трикутника.

У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∠𝐶𝐶 = 90°. 𝐴𝐴𝐴𝐴 — бісектриса кута 𝐴𝐴, 𝐾𝐾 ∈ 𝐵𝐵𝐵𝐵.

За властивістю бісектриси трикутника: 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐾𝐾𝐾𝐾 Оскільки 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐴𝐴𝐴𝐴, то 𝐶𝐶𝐶𝐶 < 𝐾𝐾𝐾𝐾. 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 5 см; 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 13 см; 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 5 + 13 = 18 (см).

5 𝐴𝐴𝐴𝐴 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 13 Позначимо 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5𝑥𝑥 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 13𝑥𝑥 см.

За теоремою Піфагора 𝐴𝐴𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐶𝐶𝐵𝐵2 : (13𝑥𝑥)2 = (5𝑥𝑥)2 + 182 ; 169𝑥𝑥 2 = 25𝑥𝑥 2 + 324; 144𝑥𝑥 2 = 324;

324 9 3 = ; 𝑥𝑥 = = 1,5. 144 4 2 Тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 ⋅ 1,5 = 7,5 (см); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 13 ⋅ 1,5 = 19,5 (см). 𝑥𝑥 2 =

Відповідь: 45 см.

𝑃𝑃△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 7,5 + 18 + 19,5 = 45 (см).

la. in.

77. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 30 см і 40 см завдовжки. Знайдіть периметр трикутника.

У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∠𝐶𝐶 = 90°, 𝐶𝐶𝐶𝐶 — бісектриса кута 𝐶𝐶, 𝐿𝐿 ∈ 𝐴𝐴𝐴𝐴.

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 30 см, 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 40 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 30 + 40 = 70 (см).

За властивістю бісектриси: 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 30 3 = = = . 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿 40 4 Позначимо 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3𝑥𝑥 см, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 4𝑥𝑥 см.

За теоремою Піфагора 𝐴𝐴𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 : 702 = (3𝑥𝑥)2 + (4𝑥𝑥)2 ; 4900 = 9𝑥𝑥 2 + 16𝑥𝑥 2 ; 25𝑥𝑥 2 = 4900; 𝑥𝑥 2 = 196; 𝑥𝑥 = 14.

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 ⋅ 14 = 42 (см); 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 4 ⋅ 14 = 56 (см).

𝑃𝑃△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 42 + 56 + 70 = 168 (см).

Відповідь: 168 см.

78. Сторони прямокутника дорівнюють 12 см і 20 см. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника з точністю до градуса.

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутник, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 20 см, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 12 см. 𝑂𝑂 — точка перетину діагоналей.

la. in.

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90°): 𝐴𝐴𝐴𝐴 20 5 = = ≈ 1,6667. tg ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 12 3 ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≈ 59°.

За властивістю діагоналей прямокутника 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐷𝐷𝐷𝐷, тому △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 — рівнобедрений, і ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≈ 59°. Шуканий гострий кут утворюють ті діагоналі, що дають кут ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 зовні (тупий) і ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 або ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (гострий, з’єднаний з ним до 180°).

Для △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶: ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 180° − 2 ⋅ ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≈ 180° − 2 ⋅ 59° = 180° − 118° = 62°. Відповідь: ≈ 62°.

Многокутники. Площа многокутників

79. Площа паралелограма дорівнює 35 см2, а одна зі сторін – 7 см. Знайдіть висоту паралелограма, проведену до цієї сторони.

Нехай 𝑎𝑎 = 7 см — сторона паралелограма, ℎ — висота, проведена до неї, 𝑆𝑆 = 35 см2 . 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎 ⋅ ℎ. ℎ=

𝑆𝑆 35 = = 5 (см). 𝑎𝑎 7

Відповідь: 5 см.

80. Площа паралелограма – 24 см2, а одна з його висот – 3 см. Знайдіть довжину сторони, до якої проведено цю висоту.

la. in.

Нехай 𝑎𝑎 — шукана сторона, ℎ = 3 см — висота, проведена до неї, 𝑆𝑆 = 24 см2 .

𝑆𝑆 = 𝑎𝑎 ⋅ ℎ.

𝑆𝑆 24 = = 8 (см). ℎ 3 Відповідь: 8 см.

𝑎𝑎 =

81. Нехай a і b – основи трапеції, h – її висота. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1) a = 6 см, b = 3 см, h = 4 см; 2) a = 1 дм, b = 8 см, h = 30 мм.

𝑆𝑆 =

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ ℎ. 2

1) 𝑆𝑆 =

6+3 2

⋅ 4 = ⋅ 4 = 18 (см2 ). 2

2) Зведемо до однакових одиниць: 𝑎𝑎 = 1 дм = 10 см, 𝑏𝑏 = 8 см, ℎ = 30 мм = 3 см. 10+8

⋅3=

⋅ 3 = 9 ⋅ 3 = 27 (см2 ).

𝑆𝑆 =

Відповідь: 1) 18 см2 ; 2) 27 см2 .

82. Нехай a і b – основи трапеції, h – її висота. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1) a = 4 см, b = 9 см, h = 5 см; 2) a = 80 мм, b = 5 см, h = 1 дм.

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ ℎ. 2

1) 𝑆𝑆 =

4+9 2

⋅5=

13 2

⋅ 5 = 32,5 (см2 ).

𝑆𝑆 =

8+5 2

la. in.

2) Зведемо до однакових одиниць: 𝑎𝑎 = 80 мм = 8 см, 𝑏𝑏 = 5 см, ℎ = 1 дм = 10 см. ⋅ 10 =

13 2

⋅ 10 = 65 (см2 ).

Відповідь: 1) 32,5 см2 ; 2) 65 см2 .

83. Обчисліть суму кутів опуклого n кутника, якщо: 1) n = 8; 2) n = 15.

Сума кутів опуклого 𝑛𝑛-кутника обчислюється за формулою: 𝑆𝑆𝑛𝑛 = (𝑛𝑛 − 2) ⋅ 180°. 1) 𝑆𝑆8 = (8 − 2) ⋅ 180° = 6 ⋅ 180° = 1080°.

2) 𝑆𝑆15 = (15 − 2) ⋅ 180° = 13 ⋅ 180° = 2340°. Відповідь: 1) 1080°; 2) 2340°.

84. Обчисліть суму кутів опуклого n кутника, якщо: 1) n = 6; 2) n = 12.

𝑆𝑆𝑛𝑛 = (𝑛𝑛 − 2) ⋅ 180°.

1) 𝑆𝑆6 = (6 − 2) ⋅ 180° = 4 ⋅ 180° = 720°.

2) 𝑆𝑆12 = (12 − 2) ⋅ 180° = 10 ⋅ 180° = 1800°. Відповідь: 1) 720°; 2) 1800°.

85. Квадрат і прямокутник мають однакові площі. Сторони прямокутника дорівнюють 8 см і 2 см. Знайдіть периметр квадрата. Площа прямокутника: 𝑆𝑆 = 8 ⋅ 2 = 16 (см2 ).

Нехай 𝑎𝑎 — сторона квадрата. За умовою 𝑆𝑆кв = 𝑆𝑆прям , тобто 𝑎𝑎2 = 16, звідки 𝑎𝑎 = 4 (см).

𝑃𝑃кв = 4𝑎𝑎 = 4 ⋅ 4 = 16 (см). Відповідь: 16 см.

86. Прямокутник і квадрат мають однакові площі. Сторона квадрата дорівнює 6 см, а одна зі сторін прямокутника – 9 см. Знайдіть периметр прямокутника. Площа квадрата: 𝑆𝑆 = 62 = 36 (см2 ).

la. in.

Нехай 𝑎𝑎 = 9 см — одна сторона прямокутника, 𝑏𝑏 — друга. За умовою 𝑆𝑆прям = 𝑆𝑆кв : 36 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 = 36; 𝑏𝑏 = = 4 (см). 9 𝑃𝑃прям = 2(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 2 ⋅ (9 + 4) = 26 (см). Відповідь: 26 см.

87. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 6 см, а висота, проведена до другої сторони, – 4 см. Знайдіть периметр паралелограма, якщо його площа дорівнює 28 см2.

Нехай 𝑎𝑎 і 𝑏𝑏 — сторони паралелограма, 𝑎𝑎 = 6 см, ℎ𝑏𝑏 = 4 см. 𝑆𝑆 = 𝑏𝑏 ⋅ ℎ𝑏𝑏 = 28 см2 ,

звідси 𝑏𝑏 =

𝑆𝑆

ℎ𝑏𝑏

28 4

= 7 (см).

𝑃𝑃 = 2(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 2 ⋅ (6 + 7) = 26 (см). Відповідь: 26 см.

88. Площа паралелограма дорівнює 40 см2. Одна з його сторін – 10 см, а одна з висот – 5 см. Знайдіть периметр паралелограма.

Нехай 𝑎𝑎 і 𝑏𝑏 — сторони паралелограма.

𝑆𝑆 = 𝑎𝑎 ⋅ ℎ𝑎𝑎 = 40 см2 . За умовою одна з висот ℎ = 5 см. Перевіримо, до якої сторони вона проведена.

la. in.

Якби ℎ10 = 5, то 𝑆𝑆 = 10 ⋅ 5 = 50 см2 ≠ 40 см2 . Отже, висота 5 см проведена до іншої сторони 𝑎𝑎. 𝑎𝑎 ⋅ 5 = 40;

𝑎𝑎 = 8 (см).

Друга сторона 𝑏𝑏 = 10 см.

𝑃𝑃 = 2(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 2 ⋅ (8 + 10) = 36 (см). Відповідь: 36 см.

89. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а висота, проведена до основи, – 6 см. Знайдіть площу трикутника.

У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵⟂𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 см.

Висота 𝐵𝐵𝐵𝐵 у рівнобедреному трикутнику є медіаною, отже, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐷𝐷𝐷𝐷.

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90°): 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝐴𝐴𝐵𝐵2 − 𝐵𝐵𝐷𝐷2 = �102 − 62 = √100 − 36 = √64 = 8 (см).

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 2 ⋅ 8 = 16 (см).

1 1 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ 16 ⋅ 6 = 48 (см2 ). 2 2 2 Відповідь: 48 см . 𝑆𝑆 =

90. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 30 см, а бічна сторона – 17 см. Знайдіть площу трикутника.

У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 17 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 30 см. Проведемо висоту 𝐵𝐵𝐵𝐵⟂𝐴𝐴𝐴𝐴.

la. in.

Висота 𝐵𝐵𝐵𝐵 у рівнобедреному трикутнику є медіаною, отже, 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 30 = 15 (см). 2 2 З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90°): 𝐵𝐵𝐵𝐵 = �𝐴𝐴𝐵𝐵2 − 𝐴𝐴𝐷𝐷2 = �172 − 152 = √289 − 225 = √64 = 8 (см). 1 1 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ 30 ⋅ 8 = 120 (см2 ). 2 2 Відповідь: 120 см2 . 𝑆𝑆 =

91. Площа трапеції дорівнює 24 см2, одна з її основ – 7 см, а висота – 4 см. Знайдіть іншу основу трапеції.

𝑆𝑆 = 24 см2 ; 𝑎𝑎 = 7 см, ℎ = 4 см.

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ ℎ; 2 2𝑆𝑆 ; 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = ℎ 2𝑆𝑆 2 ⋅ 24 𝑏𝑏 = − 𝑎𝑎 = − 7 = 12 − 7 = 5 (см). ℎ 4 Відповідь: 5 см.

𝑆𝑆 =

92. Основи трапеції дорівнюють 11 см і 19 см, а її площа – 45 см2. Знайдіть висоту трапеції.

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ ℎ; 2 2𝑆𝑆 2 ⋅ 45 90 ℎ= = = = 3 (см). 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 11 + 19 30 Відповідь: 3 см.

la. in.

𝑆𝑆 =

𝑎𝑎 = 11 см, 𝑏𝑏 = 19 см, 𝑆𝑆 = 45 см2 .

93. Знайдіть кути опуклого п’ятикутника, якщо градусні міри цих кутів відносяться як 4 : 5 : 6 : 6 : 6. Сума кутів п’ятикутника дорівнює: 180° ⋅ (5 − 2) = 180° ⋅ 3 = 540°.

Позначимо кути п’ятикутника 4𝑥𝑥, 5𝑥𝑥, 6𝑥𝑥, 6𝑥𝑥, 6𝑥𝑥. 4𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 = 540; 27𝑥𝑥 = 540; 𝑥𝑥 = 20. ∠1 = 4 ⋅ 20° = 80°;

∠2 = 5 ⋅ 20° = 100°;

∠3 = ∠4 = ∠5 = 6 ⋅ 20° = 120°.

Відповідь: 80°, 100°, 120°, 120°, 120°.

94. Знайдіть кути опуклого шестикутника, якщо кожен з них, починаючи з другого, менший від попереднього на 2°. Сума кутів шестикутника дорівнює: 180° ⋅ (6 − 2) = 180° ⋅ 4 = 720°. За умовою:

∠1 = 𝑥𝑥;

∠2 = 𝑥𝑥 − 2;

∠3 = 𝑥𝑥 − 4;

∠4 = 𝑥𝑥 − 6;

∠5 = 𝑥𝑥 − 8;

∠6 = 𝑥𝑥 − 10.

∠1 = 125°;

∠2 = 125° − 2° = 123°;

∠3 = 123° − 2° = 121°;

∠4 = 121° − 2° = 119°;

∠5 = 119° − 2° = 117°;

la. in.

∠6 = 117° − 2° = 115°.

𝑥𝑥 + (𝑥𝑥 − 2) + (𝑥𝑥 − 4) + (𝑥𝑥 − 6) + (𝑥𝑥 − 8) + (𝑥𝑥 − 10) = 720; 6𝑥𝑥 − 30 = 720; 6𝑥𝑥 = 750; 𝑥𝑥 = 125.

Відповідь: 125°, 123°, 121°, 119°, 117°, 115°.

95. Бісектриса AK кута прямокутника ABCD поділяє сторону BC на відрізки BK = 7 см, KC = 3 см. Знайдіть площу прямокутника.

𝐴𝐴𝐴𝐴 — бісектриса кута 𝐴𝐴 прямокутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴.

∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих 𝐵𝐵𝐵𝐵 і 𝐴𝐴𝐴𝐴 та січній 𝐴𝐴𝐴𝐴. Але ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (бо 𝐴𝐴𝐴𝐴 — бісектриса), тоді △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівнобедрений з основою 𝐴𝐴𝐴𝐴, і 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 7 см.

𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 7 + 3 = 10 (см).

𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 7 ⋅ 10 = 70 (см2 ).

Відповідь: 70 см2 .

96. Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 10 см, а його гострий кут – 30°. Знайдіть площу паралелограма.

У паралелограмі 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 8 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 см, ∠𝐴𝐴 = 30∘ . Проведемо 𝐵𝐵𝐵𝐵⟂𝐴𝐴𝐴𝐴 — висоту паралелограма.

la. in.

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐾𝐾 = 90∘ , ∠𝐴𝐴 = 30∘ ): 1 1 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 8 = 4 (см) 2 2 як катет, що лежить проти кута 30∘ .

𝑆𝑆 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 ⋅ 4 = 40 (см2 ). Відповідь: 40 см2 .

97. Периметр ромба дорівнює 40 см, а один з його кутів – 150°. Знайдіть площу ромба.

У ромбі 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴:

𝑃𝑃 40 = = 10 (см). 4 4 ∠𝐵𝐵 = ∠𝐷𝐷 = 150∘ , тоді ∠𝐴𝐴 = ∠𝐶𝐶 = 180∘ − 150∘ = 30∘ .

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

Проведемо 𝐵𝐵𝐵𝐵⟂𝐴𝐴𝐴𝐴 — висоту ромба.

З △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝑃𝑃 = 90∘ , ∠𝐴𝐴 = 30∘ ): 1 1 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 10 = 5 (см) 2 2 як катет, що лежить проти кута 30∘ .

𝑆𝑆 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 ⋅ 5 = 50 (см2 ). Відповідь: 50 см2 .

98. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а інший – на 4 см менший від гіпотенузи. Знайдіть площу трикутника.

У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: ∠𝐶𝐶 = 90∘ . Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 8 см — даний катет, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 см — гіпотенуза, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥 − 4 см — другий катет.

la. in.

За теоремою Піфагора 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 = 𝐴𝐴𝐵𝐵2 : 82 + (𝑥𝑥 − 4)2 = 𝑥𝑥 2 ; 64 + 𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 16 = 𝑥𝑥 2 ; 80 = 8𝑥𝑥; 𝑥𝑥 = 10 (см). Тоді 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 − 4 = 6 (см).

1 1 𝑆𝑆△ = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ 8 ⋅ 6 = 24 (см2 ). 2 2 Відповідь: 24 см2 .

99. Один з катетів прямокутного трикутника на 7 см більший за інший, а гіпотенуза дорівнює 13 см. Знайдіть площу трикутника.

У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: ∠𝐶𝐶 = 90∘ . Нехай 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥 см — менший катет, тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 7) см — більший катет, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 13 см — гіпотенуза.

За теоремою Піфагора 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 + 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 = 𝐴𝐴𝐵𝐵2 : 𝑥𝑥 2 + (𝑥𝑥 + 7)2 = 132 ; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 + 14𝑥𝑥 + 49 = 169; 2𝑥𝑥 2 + 14𝑥𝑥 − 120 = 0; 𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 60 = 0. 𝐷𝐷 = 49 + 240 = 289; √𝐷𝐷 = 17.

−7 + 17 = 5 (𝑥𝑥 > 0). 2 Тоді 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 5 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 + 7 = 12 (см).

𝑥𝑥 =

1 1 𝑆𝑆△ = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 5 ⋅ 12 = 30 (см2 ). 2 2 2 Відповідь: 30 см .

la. in.

100. Площа прямокутної трапеції – 34 см2, її периметр – 26 см, а менша бічна сторона – 4 см. Знайдіть більшу бічну сторону.

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутна трапеція, 𝐴𝐴𝐴𝐴⟂𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 см — менша бічна сторона, 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 34 см2 , 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 26 см. Тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴 — висота трапеції.

𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴; 2 2𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 2 ⋅ 34 = = 17 (см). 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − (𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴) = 26 − (4 + 17) = 5 (см). Відповідь: 5 см.

101. Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 40 см, її бічна сторона – 10 см, а площа – 60 см2. Знайдіть висоту трапеції.

Нехай 𝑎𝑎 і 𝑏𝑏 — основи рівнобічної трапеції, ℎ — її висота, 𝑐𝑐 — бічна сторона, 𝑐𝑐 = 10 см. 𝑃𝑃тр = 2𝑐𝑐 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏;

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑃𝑃тр − 2𝑐𝑐 = 40 − 2 ⋅ 10 = 20 (см). 𝑆𝑆тр =

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ ℎ; 2

2𝑆𝑆тр 2 ⋅ 60 = = 6 (см). 20 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Відповідь: 6 см. ℎ=

la. in.

102. Дві сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 6 см, а сума двох його висот, проведених з однієї вершини, – 8 см. Знайдіть площу паралелограма.

Нехай 𝑎𝑎 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 10 см, 𝑏𝑏 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 6 см. 𝐵𝐵𝐵𝐵⟂𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐵𝐵𝐵𝐵⟂𝐶𝐶𝐶𝐶 — висоти паралелограма, проведені з вершини 𝐵𝐵. Нехай ℎ𝑎𝑎 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥 см, тоді ℎ𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = (8 − 𝑥𝑥) см. 𝑆𝑆1 = 𝑎𝑎 ⋅ ℎ𝑎𝑎 = 10𝑥𝑥 (см2 );

𝑆𝑆2 = 𝑏𝑏 ⋅ ℎ𝑏𝑏 = 6(8 − 𝑥𝑥) (см2 ).

𝑆𝑆1 = 𝑆𝑆2 , тоді 10𝑥𝑥 = 6(8 − 𝑥𝑥); 10𝑥𝑥 = 48 − 6𝑥𝑥; 16𝑥𝑥 = 48; 𝑥𝑥 = 3.

Отже, ℎ𝑎𝑎 = 3 см.

𝑆𝑆 = 10 ⋅ 3 = 30 (см2 ).

Відповідь: 30 см2 .

103. Дві висоти паралелограма дорівнюють 3 см і 4 см, а сума двох суміжних сторін – 14 см. Знайдіть площу паралелограма.

Нехай 𝑎𝑎 і 𝑏𝑏 — суміжні сторони паралелограма, ℎ𝑎𝑎 = 3 см і ℎ𝑏𝑏 = 4 см — відповідні їм висоти, 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 14 см. Нехай 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 см, тоді 𝑏𝑏 = (14 − 𝑥𝑥) см.

𝑆𝑆2 = 𝑏𝑏 ⋅ ℎ𝑏𝑏 = 4(14 − 𝑥𝑥) (см2 ). 𝑆𝑆1 = 𝑆𝑆2 , тоді 3𝑥𝑥 = 4(14 − 𝑥𝑥); 3𝑥𝑥 = 56 − 4𝑥𝑥; 7𝑥𝑥 = 56; 𝑥𝑥 = 8.

Отже, 𝑎𝑎 = 8 см.

𝑆𝑆 = 8 ⋅ 3 = 24 (см2 ).

la. in.

Відповідь: 24 см2 .

𝑆𝑆1 = 𝑎𝑎 ⋅ ℎ𝑎𝑎 = 3𝑥𝑥 (см2 );

104. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 см і 6 см. Знайдіть площу трикутника.

У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘) 𝑁𝑁, 𝑃𝑃, 𝐾𝐾 — точки дотику вписаного кола.

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 см. 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐵𝐵𝐵𝐵 — радіуси вписаного кола. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 см як відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки. 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 — квадрат, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑥𝑥 см.

Тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 4) см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = (𝑥𝑥 + 6) см.

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 4 + 6 = 10 (см).

За теоремою Піфагора: 𝐴𝐴𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 .

102 = (𝑥𝑥 + 4)2 + (𝑥𝑥 + 6)2 ;

100 = 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 16 + 𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 + 36; 2𝑥𝑥 2 + 20𝑥𝑥 − 48 = 0; 𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 24 = 0;

𝑥𝑥1 = 2, 𝑥𝑥2 = −12 — не задовольняє умові 𝑥𝑥 > 0.

Отже, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 + 2 = 6 (см), 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 + 2 = 8 (см). 1 1 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ 6 ⋅ 8 = 24 (см2 ). 2 2 Відповідь: 24 см2 .

𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

la. in.

105. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить катет на відрізки завдовжки 3 см і 9 см. Знайдіть площу трикутника.

У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘) 𝑁𝑁, 𝑃𝑃, 𝐾𝐾 — точки дотику вписаного кола, 𝑁𝑁 ∈ 𝐴𝐴𝐴𝐴. Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9 см, 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 3 см. 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐵𝐵𝐵𝐵 — радіуси вписаного кола.

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 3 см як відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 9 + 3 = 12 (см).

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 — квадрат (паралелограм з прямим кутом і рівними сусідніми сторонами). Нехай 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 см. Тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 9) см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = (𝑥𝑥 + 3) см. За теоремою Піфагора: 𝐴𝐴𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 ;

(𝑥𝑥 + 9)2 = 122 + (𝑥𝑥 + 3)2 ;

𝑥𝑥 2 + 18𝑥𝑥 + 81 = 144 + 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9; 18𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 = 153 − 81; 12𝑥𝑥 = 72; 𝑥𝑥 = 6.

Отже, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3 + 6 = 9 (см).

1 1 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ 12 ⋅ 9 = 54 (см2 ). 2 2 2 Відповідь: 54 см . 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

la. in.

106. Основа трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — трапеція, 𝐵𝐵𝐵𝐵 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 12 см. Діагоналі 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐵𝐵𝐵𝐵 перетинаються в точці 𝑂𝑂. Проведемо 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐵𝐵𝐵𝐵 і 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝑂𝑂 ∈ 𝐾𝐾𝐾𝐾.

𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2 см, 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 3 см, 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 + 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2 + 3 = 5 (см) — висота трапеції.

△ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ∼△ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 за двома кутами (∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 як вертикальні, ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 як внутрішні різносторонні при 𝐵𝐵𝐵𝐵 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴 і січній 𝐵𝐵𝐵𝐵).

Тоді 12

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐴𝐴 2

= ; 3

𝐴𝐴𝐴𝐴 =

12⋅3 2

𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂

;

= 18 (см).

𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 12 + 18 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 = ⋅ 5 = 75 (см2 ). 2 2 Відповідь: 75 см2 .

𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

§ 1. Координатна площина

1.1. Знайдіть координати точок А, В, C, D на малюнку 1.6.

1.2. Знайдіть координати точок K, L, M, N (мал. 1.6).