h-9-hm-bu

ua

ГДЗ Геометрія 9 клас Бурда 2026

Розділ 1. Узагальнення та систематизація вивченого у 8 класі Чотирикутники

ola .

Розв’язок:

in.

1. Три сторони чотирикутника дорівнюють 10 см, 15 см і 20 см. Чи може периметр чотирикутника дорівнювати: 1) 90 см; 2) 72 см; 3) 115 см?

Кожна сторона чотирикутника менша за суму трьох інших його сторін. Нехай четверта сторона дорівнює 𝑑𝑑, тоді 𝑑𝑑 = 𝑃𝑃 − (10 + 15 + 20) = 𝑃𝑃 − 45.

1) 𝑃𝑃 = 90 см, тоді 𝑑𝑑 = 90 − 45 = 45 (см). Але 10 + 15 + 20 = 45, тобто четверта сторона дорівнює сумі трьох інших. Такого чотирикутника не існує (ламана «випрямляється» у відрізок).

sh k

2) 𝑃𝑃 = 72 см, тоді 𝑑𝑑 = 72 − 45 = 27 (см). Перевіряємо найбільші сторони: 27 < 10 + 15 + 20 = 45 і 20 < 10 + 15 + 27 = 52. Умова виконується, такий чотирикутник існує.

3) 𝑃𝑃 = 115 см, тоді 𝑑𝑑 = 115 − 45 = 70 (см). Але 70 > 45, тобто одна сторона більша за суму трьох інших. Такого чотирикутника не існує. Відповідь:

1) ні; 2) так; 3) ні.

Розв’язок: Сума кутів чотирикутника дорівнює 360∘ .

𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 = 360∘ ; 10𝑥𝑥 = 360∘ ; 𝑥𝑥 = 36∘ .

in.

1) Нехай кути дорівнюють 𝑥𝑥, 2𝑥𝑥, 3𝑥𝑥, 4𝑥𝑥. Тоді:

ua

2. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам: 1) 1, 2, 3 і 4; 2) 4, 6, 12 і 14.

ola .

Кути дорівнюють 36∘ , 72∘ , 108∘ , 144∘ .

2) Нехай кути дорівнюють 4𝑥𝑥, 6𝑥𝑥, 12𝑥𝑥, 14𝑥𝑥. Тоді:

4𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 12𝑥𝑥 + 14𝑥𝑥 = 360∘ ; 36𝑥𝑥 = 360∘ ;

sh k

𝑥𝑥 = 10∘ .

Кути дорівнюють 40∘ , 60∘ , 120∘ , 140∘ . Відповідь:

1) 36∘ , 72∘ , 108∘ , 144∘ ; 2) 40∘ , 60∘ , 120∘ , 140∘ .

ua

3. Знайдіть кути паралелограма, якщо один з його кутів у 3 рази більший за інший. Розв’язок:

in.

Протилежні кути паралелограма рівні, тому кути, які відрізняються втричі, — сусідні (якби вони були протилежними, то з рівності 𝛼𝛼 = 3𝛼𝛼 дістали б 𝛼𝛼 = 0∘ , що неможливо).

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180∘ . Нехай менший кут дорівнює 𝑥𝑥, тоді більший — 3𝑥𝑥: 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 = 180∘ ; 4𝑥𝑥 = 180∘ ;

ola .

𝑥𝑥 = 45∘ , отже 3𝑥𝑥 = 135∘ .

Протилежні кути рівні, тому кути паралелограма дорівнюють 135∘ , 45∘ , 135∘ , 45∘ .

Відповідь:

sh k

135∘ , 45∘ , 135∘ , 45∘ .

ua

4. Доведіть, що бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні.

in.

Розв’язок:

Нехай у паралелограмі 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 проведено бісектрису 𝐴𝐴𝐴𝐴 кута 𝐴𝐴 (точка 𝐾𝐾 лежить на стороні 𝐵𝐵𝐵𝐵) і бісектрису 𝐶𝐶𝐶𝐶 кута 𝐶𝐶 (точка 𝑀𝑀 лежить на стороні 𝐴𝐴𝐴𝐴).

1) ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾, бо 𝐴𝐴𝐴𝐴 — бісектриса кута 𝐴𝐴.

2) ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 як різносторонні кути при паралельних прямих 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐵𝐵𝐵𝐵 та січній 𝐴𝐴𝐴𝐴.

1

3) З пунктів 1 і 2: ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ∠𝐴𝐴.

1

ola .

4) ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 2 ∠𝐶𝐶, бо 𝐶𝐶𝐶𝐶 — бісектриса кута 𝐶𝐶. Оскільки ∠𝐴𝐴 = ∠𝐶𝐶 як протилежні кути 1

паралелограма, то ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 2 ∠𝐴𝐴.

5) Отже, ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀. Це відповідні кути при прямих 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐶𝐶𝐶𝐶 та січній 𝐵𝐵𝐵𝐵. За ознакою паралельності прямих 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∥ 𝐶𝐶𝐶𝐶.

sh k

Що й треба було довести.

ua

5. Чи є чотирикутник паралелограмом, якщо три його кути дорівнюють: 1) 20°, 60°, 110°; 2) 60°, 60°, 120°? Розв’язок:

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360∘ , тому спочатку знаходимо четвертий кут.

1) 360∘ − (20∘ + 60∘ + 110∘ ) = 360∘ − 190∘ = 170∘ .

in.

Кути чотирикутника: 20∘ , 60∘ , 110∘ , 170∘ . У паралелограма протилежні кути рівні, тобто кути утворюють дві пари рівних. Тут усі чотири кути різні, отже це не паралелограм.

2) 360∘ − (60∘ + 60∘ + 120∘ ) = 360∘ − 240∘ = 120∘ .

ola .

Кути чотирикутника: 60∘ , 60∘ , 120∘ , 120∘ . Вони можуть розміститися так, що рівні кути будуть протилежними: 60∘ , 120∘ , 60∘ , 120∘ . Тоді сусідні кути в сумі дають 180∘ , тобто протилежні сторони попарно паралельні. Такий чотирикутник може бути паралелограмом.

Відповідь:

sh k

1) ні; 2) так.

ua

6. Доведіть, що коли в паралелограмі хоча б один кут прямий, то він є прямокутником.

in.

Розв’язок:

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — паралелограм, у якого ∠𝐴𝐴 = 90∘ .

1) ∠𝐵𝐵 = 180∘ − ∠𝐴𝐴 = 180∘ − 90∘ = 90∘ , бо сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180∘ .

2) ∠𝐶𝐶 = ∠𝐴𝐴 = 90∘ і ∠𝐷𝐷 = ∠𝐵𝐵 = 90∘ , бо протилежні кути паралелограма рівні.

ola .

3) Усі чотири кути паралелограма прямі, а паралелограм, у якого всі кути прямі, — прямокутник за означенням.

sh k

Що й треба було довести.

ua

7. Знайдіть кути ромба, якщо його периметр дорівнює 36 см, а висота — 4,5 см.

in.

Розв’язок:

Усі сторони ромба рівні, тому сторона дорівнює: 36

𝑎𝑎 = 4 = 9 (см).

Нехай 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висота ромба 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, проведена з вершини 𝐵𝐵 до сторони 𝐴𝐴𝐴𝐴. У прямокутному трикутнику 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 катет 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4,5 см лежить проти кута 𝐴𝐴, а гіпотенуза 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9 см. Отже: sin𝐴𝐴 =

𝐵𝐵𝐵𝐵 4,5 = = 0,5; 𝐴𝐴𝐴𝐴 9

ola .

∠𝐴𝐴 = 30∘ .

Сусідній кут ромба: 180∘ − 30∘ = 150∘ . Протилежні кути рівні. Відповідь:

sh k

30∘ , 150∘ , 30∘ , 150∘ .

ua

8. Доведіть, що діагоналі ромба ділять його на чотири рівні прямокутні трикутники.

in.

Розв’язок:

Нехай діагоналі ромба 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 перетинаються в точці 𝑂𝑂.

1) Ромб — паралелограм, тому діагоналі точкою перетину діляться навпіл: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑂𝑂𝑂𝑂.

ola .

2) Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні, тому ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 90∘ . Отже, всі чотири трикутники 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 — прямокутні.

3) Ці трикутники рівні за двома катетами: у кожного один катет дорівнює 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑂𝑂𝑂𝑂, а другий — 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑂𝑂𝑂𝑂.

sh k

Отже, діагоналі ділять ромб на чотири рівні прямокутні трикутники. Що й треба було довести.

9. Ромб, у якого один кут прямий, — квадрат. Доведіть.

in.

ua

Розв’язок:

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — ромб, у якого ∠𝐴𝐴 = 90∘ .

1) Ромб є паралелограмом, а сума його сусідніх кутів дорівнює 180∘ , тому ∠𝐵𝐵 = 180∘ − 90∘ = 90∘ .

ola .

2) Протилежні кути паралелограма рівні, тому ∠𝐶𝐶 = ∠𝐴𝐴 = 90∘ і ∠𝐷𝐷 = ∠𝐵𝐵 = 90∘ . Усі кути ромба прямі.

3) У ромба всі сторони рівні. Чотирикутник, у якого всі сторони рівні й усі кути прямі, — квадрат.

sh k

Що й треба було довести.

Розв’язок:

ua

10. Знайдіть периметр трикутника, якщо його середні лінії дорівнюють: 1) 3 см, 5 см, 6 см; 2) 7 см, 9 см, 12 см. Середня лінія трикутника вдвічі менша за сторону, якій вона паралельна. Отже, кожна сторона вдвічі більша за відповідну середню лінію, і периметр трикутника вдвічі більший за суму його середніх ліній.

in.

1) 𝑃𝑃 = 2 ⋅ (3 + 5 + 6) = 2 ⋅ 14 = 28 (см).

ola .

2) 𝑃𝑃 = 2 ⋅ (7 + 9 + 12) = 2 ⋅ 28 = 56 (см).

Відповідь:

sh k

1) 28 см; 2) 56 см.

ua

11. Гострий кут прямокутної трапеції дорівнює 45°. Знайдіть висоту трапеції, якщо її основи дорівнюють: 1) 6 см і 8 см; 2) 62 мм і 10 см. Розв’язок:

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутна трапеція з основами 𝐵𝐵𝐵𝐵 і 𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝐵𝐵𝐵𝐵 < 𝐴𝐴𝐴𝐴), у якої 𝐴𝐴𝐴𝐴⟂𝐴𝐴𝐴𝐴, а ∠𝐷𝐷 = 45∘ . Проведемо висоту 𝐶𝐶𝐶𝐶 до більшої основи. Чотирикутник 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутник, тому 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 і 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴, а отже:

𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵.

in.

У трикутнику 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶: ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 90∘ , ∠𝐷𝐷 = 45∘ , тому ∠𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 = 45∘ і трикутник рівнобедрений: 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐻𝐻𝐻𝐻. Отже, висота трапеції дорівнює різниці її основ.

ola .

1) 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 8 − 6 = 2 (см).

2) 10 см = 100 мм, тому 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 100 − 62 = 38 (мм).

sh k

Відповідь:

1) 2 см; 2) 38 мм.

12. Чому дорівнює сума кутів: 1) п’ятикутника; 2) дев’ятикутника?

ua

Розв’язок:

Діагоналі, проведені з однієї вершини 𝑛𝑛-кутника, розбивають його на 𝑛𝑛 − 2 трикутники, тому сума кутів 𝑛𝑛-кутника дорівнює (𝑛𝑛 − 2) ⋅ 180∘ .

in.

1) 𝑛𝑛 = 5:

ola .

(5 − 2) ⋅ 180∘ = 3 ⋅ 180∘ = 540∘ .

2) 𝑛𝑛 = 9:

(9 − 2) ⋅ 180∘ = 7 ⋅ 180∘ = 1260∘ .

sh k

Відповідь:

1) 540∘ ; 2) 1260∘ .

ua

13. Знайдіть площу прямокутного трикутника з гострим кутом 45°, якщо один з його катетів дорівнює: 1) 2 см; 2) 0,3 дм.

in.

Розв’язок:

Якщо один гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 45∘ , то другий дорівнює 90∘ − 45∘ = 45∘ . Трикутник рівнобедрений, тому його катети рівні, і 𝑆𝑆 =

𝑎𝑎2 .

2

1) 𝑎𝑎 = 2 см: 22

ola .

𝑆𝑆 = 2 = 2 (см²).

2) 𝑎𝑎 = 0,3 дм = 3 см: 32

𝑆𝑆 = 2 = 4,5 (см²).

Відповідь:

sh k

1) 2 см²; 2) 4,5 см².

ua

14. Сторони паралелограма дорівнюють 30 см і 50 см, а висота, яку проведено до меншої сторони, дорівнює 25 см. Знайдіть висоту, проведену до більшої сторони.

in.

Розв’язок:

Площу паралелограма можна обчислити через будь-яку сторону та проведену до неї висоту. 𝑆𝑆 = 30 ⋅ 25 = 750 (см²).

Нехай ℎ — висота, проведена до більшої сторони. Тоді: 50ℎ = 750;

ola .

ℎ = 15 (см). Відповідь:

sh k

15 см.

ua

15. Знайдіть площу ромба, якщо його діагоналі дорівнюють: 1) 12 см і 16 см; 2) 1,6 дм і 3 дм.

in.

Розв’язок:

Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей: 1 𝑆𝑆 = 𝑑𝑑1 𝑑𝑑2 .

2 1

1) 𝑆𝑆 = 2 ⋅ 12 ⋅ 16 = 96 (см²).

ola .

1

2) 𝑆𝑆 = 2 ⋅ 1,6 ⋅ 3 = 2,4 (дм²). Відповідь:

sh k

1) 96 см²; 2) 2,4 дм².

ua

16. У трикутнику проведено середню лінію. Яку частину площі даного трикутника становить площа утвореного трикутника?

in.

Розв’язок:

Нехай 𝑀𝑀𝑀𝑀 — середня лінія трикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, яка відтинає трикутник 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵.

1) 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴, тому ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 як відповідні кути. Кут 𝐵𝐵 — спільний, отже △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ∼△ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 за двома кутами. 𝑀𝑀𝑀𝑀

1

ola .

2) Коефіцієнт подібності дорівнює 𝑘𝑘 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2.

3) Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності: 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 1 2 1 2 = 𝑘𝑘 = � � = = 0,25. 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 2 4 Відповідь:

sh k

0,25 площі даного трикутника.

ua

17. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо його висота ділить гіпотенузу на відрізки: 1) 4 см і 9 см; 2) 1 см і 16 см.

in.

Розв’язок:

Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу: ℎ = √𝑚𝑚𝑚𝑚, де 𝑚𝑚 і 𝑛𝑛 — відрізки гіпотенузи.

1) ℎ = √4 ⋅ 9 = 6 (см); гіпотенуза 𝑐𝑐 = 4 + 9 = 13 (см).

1

ola .

𝑆𝑆 = 2 ⋅ 13 ⋅ 6 = 39 (см²).

2) ℎ = √1 ⋅ 16 = 4 (см); гіпотенуза 𝑐𝑐 = 1 + 16 = 17 (см).

1

𝑆𝑆 = 2 ⋅ 17 ⋅ 4 = 34 (см²). Відповідь:

sh k

1) 39 см²; 2) 34 см².

ua

18. Площа трапеції дорівнює S, а її середня лінія — q. Знайдіть висоту трапеції, якщо: 1) S = 60 см², q = 15 см; 2) S = 175 см², q = 35 см.

in.

Розв’язок:

Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту: 𝑆𝑆

𝑆𝑆 = 𝑞𝑞ℎ, звідси ℎ = 𝑞𝑞.

60

1) ℎ = 15 = 4 (см).

175

2) ℎ = 35 = 5 (см).

ola .

Відповідь:

sh k

1) 4 см; 2) 5 см.

ua

19. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють a і 3a, а площа — 2a². Чому дорівнює гострий кут трапеції?

in.

Розв’язок:

1) Середня лінія трапеції: 𝑞𝑞 = 2) З формули площі 𝑆𝑆 = 𝑞𝑞ℎ: 2𝑎𝑎 ⋅ ℎ = 2𝑎𝑎2 ;

ℎ = 𝑎𝑎.

𝑎𝑎+3𝑎𝑎 2

= 2𝑎𝑎.

ola .

3) Проведемо висоту з вершини меншої основи. Оскільки трапеція рівнобічна, проекція бічної сторони на більшу основу дорівнює: 3𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎.

2

4) У прямокутному трикутнику, утвореному висотою, бічною стороною і цією проекцією: tg𝛼𝛼 =

ℎ 𝑎𝑎 = = 1; 𝑎𝑎 𝑎𝑎

𝛼𝛼 = 45∘ .

Відповідь:

sh k

45∘ .

ua

20. Ділянка має форму прямокутної трапеції. Як провести пряму, перпендикулярну до її основ, щоб поділити площу ділянки навпіл?

in.

Розв’язок:

Проведемо середню лінію 𝑀𝑀𝑀𝑀 трапеції й позначимо її середину — точку 𝑃𝑃. Шукана пряма проходить через точку 𝑃𝑃 перпендикулярно до основ. Обґрунтування. Пряма, перпендикулярна до основ, ділить трапецію на дві трапеції, у яких висота та сама (це відстань між основами), а середніми лініями є відрізки 𝑀𝑀𝑀𝑀 і 𝑃𝑃𝑃𝑃.

1) Площа лівої частини: 𝑆𝑆1 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 ⋅ ℎ.

ola .

2) Площа правої частини: 𝑆𝑆2 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 ⋅ ℎ.

3) Оскільки 𝑃𝑃 — середина 𝑀𝑀𝑀𝑀, то 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑃𝑃𝑃𝑃, а отже 𝑆𝑆1 = 𝑆𝑆2 .

Тобто ділянка поділена навпіл. Відповідь:

sh k

пряму треба провести перпендикулярно до основ через середину середньої лінії трапеції.

Подібність трикутників

ua

21. Знайдіть сторони рівностороннього трикутника, якщо периметр подібного йому трикутника з коефіцієнтом 4 дорівнює: 1) 36 см; 2) 45 см.

in.

Розв’язок:

Позначимо периметр даного трикутника через 𝑃𝑃, а периметр подібного йому — через 𝑃𝑃1 . Периметри подібних трикутників відносяться як коефіцієнт подібності: 𝑃𝑃

ola .

𝑃𝑃1 = 4𝑃𝑃, звідси 𝑃𝑃 = 41 .

𝑃𝑃

Сторона рівностороннього трикутника дорівнює третині його периметра: 𝑎𝑎 = 3 .

36

9

1) 𝑃𝑃 = 4 = 9 (см); 𝑎𝑎 = 3 = 3 (см).

45

2) 𝑃𝑃 = 4 = 11,25 (см); 𝑎𝑎 = Відповідь:

11,25 3

= 3,75 (см).

sh k

1) 3 см; 2) 3,75 см.

ua

22. Чи подібні прямокутні трикутники, якщо в одному з них гострий кут дорівнює 23°, а в іншому — 67°? Розв’язок:

in.

Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90∘ .

1) У першому трикутнику: 90∘ − 23∘ = 67∘ . Його кути: 90∘ , 23∘ , 67∘ .

2) У другому трикутнику: 90∘ − 67∘ = 23∘ . Його кути: 90∘ , 67∘ , 23∘ .

Кути одного трикутника відповідно дорівнюють кутам другого, тому трикутники подібні за двома кутами. Відповідь:

sh k

ola .

так, подібні.

ua

23. У трапеції ABCD (AB ∥ CD) діагоналі AC і BD перетинаються в точці O. Доведіть, що △AOB ∼ △COD.

in.

Розв’язок:

1) ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 як різносторонні кути при паралельних прямих 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐶𝐶𝐶𝐶 та січній 𝐴𝐴𝐴𝐴.

2) ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 як різносторонні кути при паралельних прямих 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐶𝐶𝐶𝐶 та січній 𝐵𝐵𝐵𝐵.

3) Отже, △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 за двома кутами.

sh k

ola .

Що й треба було довести.

ua

24. Діагоналі AC і BD трапеції ABCD (AB ∥ CD) перетинаються в точці O. Знайдіть довжину основ трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 24 см і CO : AO = 1 : 3.

in.

Розв’язок:

1) За задачею 23 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, причому сторони 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐶𝐶𝐶𝐶 відповідають одна одній, а 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐶𝐶𝐶𝐶 — теж відповідні сторони. Тому: 𝐶𝐶𝐶𝐶

𝐶𝐶𝐶𝐶

1

= 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3, тобто 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 ⋅ 𝐶𝐶𝐶𝐶. 𝐴𝐴𝐴𝐴

2) Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ:

ola .

𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 24; 2

𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 48 (см).

3) Підставимо 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3𝐶𝐶𝐶𝐶:

3𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 48; 4𝐶𝐶𝐶𝐶 = 48;

𝐶𝐶𝐶𝐶 = 12 (см), тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 ⋅ 12 = 36 (см). Відповідь:

sh k

12 см і 36 см.

ua

25. Сторони одного трикутника дорівнюють 6 см, 5 см і 9 см. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, якщо його найменша сторона дорівнює 25 см.

in.

Розв’язок:

Найменша сторона даного трикутника дорівнює 5 см, і їй відповідає найменша сторона подібного трикутника — 25 см. Коефіцієнт подібності: 25 = 5.

5

ola .

𝑘𝑘 =

Решта сторін:

6 ⋅ 5 = 30 (см); 9 ⋅ 5 = 45 (см). Відповідь:

sh k

30 см і 45 см (найменша — 25 см).

ua

26. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а бічна сторона — 5 см. Знайдіть периметр подібного йому трикутника, якщо його основа дорівнює 12 см.

1) Коефіцієнт подібності: 𝑘𝑘 =

12 = 1,5.

8

in.

Розв’язок:

2) Периметр даного трикутника:

ola .

𝑃𝑃 = 8 + 5 + 5 = 18 (см).

3) Периметри подібних трикутників відносяться як коефіцієнт подібності: 𝑃𝑃1 = 1,5 ⋅ 18 = 27 (см). Відповідь:

sh k

27 см.

ua

27. Із точки кола проведено перпендикуляр до діаметра. Знайдіть відстань від цієї точки до діаметра, якщо одержані відрізки діаметра дорівнюють: 1) 16 см і 1 см; 2) 0,5 см і 8 см.

in.

Розв’язок:

ola .

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴 — діаметр, 𝐶𝐶 — точка кола, 𝐶𝐶𝐶𝐶⟂𝐴𝐴𝐴𝐴. Кут 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — вписаний і спирається на діаметр, тому ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘ , а 𝐶𝐶𝐶𝐶 — висота прямокутного трикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, проведена до гіпотенузи. Отже: 𝐶𝐶𝐶𝐶 = √𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐻𝐻𝐻𝐻.

1) 𝐶𝐶𝐶𝐶 = √16 ⋅ 1 = 4 (см).

2) 𝐶𝐶𝐶𝐶 = �0,5 ⋅ 8 = √4 = 2 (см). Відповідь:

sh k

1) 4 см; 2) 2 см.

ua

28. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 12 см, а висота, проведена до основи, — 8 см. Знайдіть відстань від основи цієї висоти до бічної сторони трикутника.

in.

Розв’язок:

Нехай у трикутнику 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висота, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8 см. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є й медіаною, тому: 12

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 2 = 6 (см).

ola .

1) З прямокутного трикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 за теоремою Піфагора: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = √𝐴𝐴𝐻𝐻 2 + 𝐵𝐵𝐻𝐻 2 = √62 + 82 = √100 = 10 (см).

2) Нехай 𝐻𝐻𝐻𝐻⟂𝐴𝐴𝐴𝐴 — шукана відстань. Обчислимо площу трикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 двома способами: 1

1

𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ⋅ 6 ⋅ 8 = 24 (см²); 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

1 1 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐻𝐻𝐻𝐻 = ⋅ 10 ⋅ 𝐻𝐻𝐻𝐻.

2 2

3) Прирівняємо:

1 ⋅ 10 ⋅ 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 24; 2

sh k

𝐻𝐻𝐻𝐻 = 4,8 (см). Відповідь: 4,8 см.

ua

29. Знайдіть довжини медіан трикутника, якщо відстані від точки їх перетину до вершин трикутника дорівнюють: 1) 12 см, 16 см і 24 см; 2) 4 см, 4 см і 6 см. Розв’язок:

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них у відношенні 2 : 1, 2 рахуючи від вершини. Отже, відстань від точки перетину до вершини становить 3 медіани, а сама медіана в 1,5 раза більша за цю відстань.

ola .

in.

1) 12 ⋅ 1,5 = 18 (см); 16 ⋅ 1,5 = 24 (см); 24 ⋅ 1,5 = 36 (см).

2) 4 ⋅ 1,5 = 6 (см); 4 ⋅ 1,5 = 6 (см); 6 ⋅ 1,5 = 9 (см).

sh k

Відповідь:

1) 18 см, 24 см, 36 см; 2) 6 см, 6 см, 9 см.

ua

30. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 120 см, а бісектриса прямого кута ділить діагональ у відношенні 3 : 5.

in.

Розв’язок:

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутник, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑏𝑏, 𝐴𝐴𝐴𝐴 — бісектриса прямого кута 𝐴𝐴, яка перетинає діагональ 𝐵𝐵𝐵𝐵 у точці 𝐾𝐾.

1) У трикутнику 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 відрізок 𝐴𝐴𝐴𝐴 — бісектриса кута 𝐴𝐴. Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам:

ola .

𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑎𝑎 3 = = = . 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑏𝑏 5 2) З периметра:

2(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 120; 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 60 (см).

3) Нехай 𝑎𝑎 = 3𝑥𝑥, 𝑏𝑏 = 5𝑥𝑥. Тоді: 3𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 = 60; 8𝑥𝑥 = 60; 𝑥𝑥 = 7,5.

sh k

Отже, 𝑎𝑎 = 3 ⋅ 7,5 = 22,5 (см), 𝑏𝑏 = 5 ⋅ 7,5 = 37,5 (см). Відповідь:

22,5 см і 37,5 см.

Розв’язування прямокутних трикутників

ua

31. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза та інший катет відповідно дорівнюють: 1) 13 см і 12 см; 2) 17 м і 15 м.

in.

Розв’язок:

За теоремою Піфагора шуканий катет дорівнює 𝑎𝑎 = √𝑐𝑐 2 − 𝑏𝑏 2 .

1) 𝑎𝑎 = √132 − 122 = √169 − 144 = √25 = 5 (см).

2) 𝑎𝑎 = √172 − 152 = √289 − 225 = √64 = 8 (м).

ola .

Відповідь:

sh k

1) 5 см; 2) 8 м.

ua

32. Сторона ромба дорівнює 10 см, а одна з його діагоналей — 16 см. Знайдіть іншу діагональ ромба.

in.

Розв’язок:

Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні й точкою перетину діляться навпіл. Тому вони утворюють прямокутний трикутник з катетами, що дорівнюють половинам діагоналей, і гіпотенузою — стороною ромба.

16

ola .

1) Половина відомої діагоналі: 2 = 8 (см).

2) За теоремою Піфагора половина шуканої діагоналі: √102 − 82 = √100 − 64 = √36 = 6 (см).

3) Уся діагональ: 2 ⋅ 6 = 12 (см). Відповідь:

sh k

12 см.

ua

33. Знайдіть висоту рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює: 1) √3 см; 2) 10 см.

in.

Розв’язок:

Висота рівностороннього трикутника є й медіаною, тому вона ділить основу навпіл. За теоремою Піфагора:

ola .

𝑎𝑎 2 𝑎𝑎√3 ℎ = �𝑎𝑎2 − � � = .

2 2

1) ℎ =

2) ℎ =

3 √3⋅√3 = 2 = 1,5 (см).

2 10√3 2

Відповідь:

= 5√3 (см).

sh k

1) 1,5 см; 2) 5√3 см.

ua

34. Із точки O до прямої проведено перпендикуляр OB і похилу OC. Знайдіть: 1) похилу OC, якщо її проєкція BC дорівнює 4 см, а перпендикуляр OB — 3 см; 2) проєкцію BC похилої, якщо перпендикуляр OB дорівнює 12 см, а похила OC — 13 см; 3) перпендикуляр OB, якщо похила OC дорівнює 25 см, а її проєкція BC — 7 см.

in.

Розв’язок:

Трикутник 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 прямокутний (∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 90∘ ): 𝑂𝑂𝑂𝑂 і 𝐵𝐵𝐵𝐵 — катети, похила 𝑂𝑂𝑂𝑂 — гіпотенуза.

ola .

1) 𝑂𝑂𝑂𝑂 = √𝑂𝑂𝐵𝐵 2 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 = √32 + 42 = √25 = 5 (см).

2) 𝐵𝐵𝐵𝐵 = √𝑂𝑂𝐶𝐶 2 − 𝑂𝑂𝐵𝐵 2 = √132 − 122 = √25 = 5 (см).

3) 𝑂𝑂𝑂𝑂 = √𝑂𝑂𝐶𝐶 2 − 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 = √252 − 72 = √625 − 49 = √576 = 24 (см). Відповідь:

sh k

1) 5 см; 2) 5 см; 3) 24 см.

ua

35. У рівнобічну трапецію з основами a і b вписано коло радіусом r. Знайдіть бічну сторону трапеції, якщо: 1) a = 2 см, b = 18 см, r = 3 см; 2) a = 32 см, b = 18 см, r = 12 см.

in.

Розв’язок:

У чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні. Для трапеції з основами 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 і бічними сторонами 𝑐𝑐 (у рівнобічної вони рівні): 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 2𝑐𝑐, звідси 𝑐𝑐 = 2+18 2

= 10 (см).

2

.

ola .

1) 𝑐𝑐 =

𝑎𝑎+𝑏𝑏

2) 𝑐𝑐 =

32+18 2

= 25 (см).

Перевірка за радіусом: висота трапеції дорівнює діаметру вписаного кола, тобто 2𝑟𝑟. У першому випадку 2𝑟𝑟 = 6 см, і з прямокутного трикутника, утвореного бічною стороною, 18−2 висотою та проекцією 2 = 8 (см), дістаємо √102 − 82 = 6 (см) — збігається. У другому: проекція

32−18

Відповідь:

2

= 7 (см), √252 − 72 = 24 (см) = 2 ⋅ 12 — теж збігається.

sh k

1) 10 см; 2) 25 см.

Розв’язок: 1

ua

36. Знайдіть значення виразу: 1) 8 sin 30° cos 60°; 2) 2 cos 45° − 2 sin 30°.

1

√2

Скористаємося значеннями: sin30∘ = 2, cos60∘ = 2, cos45∘ = 2 .

1

1

1) 8sin30∘ cos60∘ = 8 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2. √2

1

Відповідь:

sh k

ola .

1) 2; 2) √2 − 1.

in.

2) 2cos45∘ − 2sin30∘ = 2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 = √2 − 1.

ua

37. Знайдіть катет b прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза c і косинус прилеглого до нього кута A дорівнюють: 1) c = 6 см, cos A = 1/3; 2) c = 14 см, cos A = 2/7.

in.

Розв’язок:

Косинус гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи: 𝑏𝑏

cos𝐴𝐴 = 𝑐𝑐 , звідси 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐cos𝐴𝐴.

1

ola .

1) 𝑏𝑏 = 6 ⋅ 3 = 2 (см).

2

2) 𝑏𝑏 = 14 ⋅ 7 = 4 (см). Відповідь:

sh k

1) 2 см; 2) 4 см.

ua

38. Знайдіть кут підйому шосейної дороги, якщо на відстані 200 м висота підйому становить 8 м.

in.

Розв’язок:

Ділянка дороги, висота підйому та горизонталь утворюють прямокутний трикутник, у якому кут підйому 𝛼𝛼 лежить проти висоти підйому. sin𝛼𝛼 =

8 = 0,04.

200

За таблицями (або калькулятором) 𝛼𝛼 ≈ 2∘ . Відповідь:

sh k

ola .

≈ 2∘ .

ua

39. Сторони прямокутника дорівнюють 7 см і 14 см. Знайдіть кут між його діагоналлю й більшою стороною.

in.

Розв’язок:

Діагональ прямокутника й дві його сторони утворюють прямокутний трикутник. Для шуканого кута 𝛼𝛼 сторона 7 см є протилежним катетом, а сторона 14 см — прилеглим:

tg𝛼𝛼 =

7 = 0,5; 14

ola .

𝛼𝛼 ≈ 26∘ 34′ .

Відповідь:

sh k

≈ 26∘ 34′ .

ua

40. Через точку B до кола радіусом 30 см проведено дотичні BM і BC. Знайдіть кут, утворений дотичними, якщо BM = 30 см.

in.

Розв’язок:

Нехай 𝑂𝑂 — центр кола, 𝑀𝑀 і 𝐶𝐶 — точки дотику.

1) Радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної, тому ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 90∘ .

ola .

2) У прямокутному трикутнику 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 катети 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 30 см і 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 30 см рівні, отже трикутник рівнобедрений і

∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 45∘ .

3) Центр кола лежить на бісектрисі кута між дотичними, проведеними з однієї точки (трикутники 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 і 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 рівні за гіпотенузою і катетом), тому: ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 2 ⋅ ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 2 ⋅ 45∘ = 90∘ . Відповідь:

sh k

90∘ .