h-9-hm-be

ua

ГДЗ Геометрія 9 клас Бевз 2026 § 1. Синус, косинус і тангенс кута від 0° до 180° 1.

ola .

in.

Розв’язок:

Точка 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) належить одиничному колу, якщо 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 1. Звідси 𝑥𝑥 2 ≤ 1 і 𝑦𝑦 2 ≤ 1, тобто |𝑥𝑥| ≤ 1 і |𝑦𝑦| ≤ 1. Оскільки 2 > 1, ні абсциса, ні ордината точки одиничного кола не можуть дорівнювати 2. Відповідь:

sh k

ні.

Розв’язок:

ua

2. Для будь-якого кута 𝛼𝛼 від 0∘ до 180∘ виконуються нерівності |sin𝛼𝛼| ≤ 1 і |cos𝛼𝛼| ≤ 1. А) sin𝛼𝛼 = 1 — можливо (𝛼𝛼 = 90∘ ).

Б) cos𝛼𝛼 = −1,2 — неможливо, бо | − 1,2| > 1. В) sin𝛼𝛼 = 0,9 — можливо.

Відповідь:

sh k

ola .

Б.

in.

Г) cos𝛼𝛼 = 1 — можливо (𝛼𝛼 = 0∘ ).

3.

ola .

in.

ua

Розв’язок:

Синус кута — це ордината відповідної точки одиничного кола, а косинус — її абсциса. Для кутів від 0∘ до 180∘ ця точка лежить на верхньому півколі, де 𝑦𝑦 ≥ 0. Отже, синус такого кута від’ємним бути не може.

Косинус може: якщо кут тупий (90∘ < 𝛼𝛼 < 180∘ ), точка лежить у другій чверті, де 𝑥𝑥 < 0.

Відповідь:

sh k

синус — ні; косинус — так, для тупих кутів.

Розв’язок: 1

а) sin30∘ = 2; sin90∘ = 1.

1

√2

б) cos45∘ = 2 ; cos60∘ = 2. √3

Відповідь: 1

√2 1

√3

sh k

ola .

а) 2; 1; б) 2 ; 2; в) 3 ; не існує.

in.

в) tg30∘ = 3 ; tg90∘ не існує, бо cos90∘ = 0.

ua

4.

5.

sin𝛼𝛼 . cos𝛼𝛼

in.

tg𝛼𝛼 =

ua

Розв’язок:

ola .

Якщо tg𝛼𝛼 = 1, то sin𝛼𝛼 = cos𝛼𝛼. Для кутів від 0∘ до 180∘ це виконується при 𝛼𝛼 = 45∘ . Якщо tg𝛼𝛼 = −1, то sin𝛼𝛼 = −cos𝛼𝛼, тобто косинус від’ємний, а кут тупий: 𝛼𝛼 = 135∘ . Відповідь:

sh k

45∘ ; 135∘ .

6.

ua

Дано: а) tg𝛼𝛼 = 1; б) tg𝛼𝛼 = −1. Знайти: sin𝛼𝛼, cos𝛼𝛼.

ola .

in.

Розв’язок:

а) tg𝛼𝛼 = 1, отже 𝛼𝛼 = 45∘ : √2

√2

sin45∘ = 2 , cos45∘ = 2 .

б) tg𝛼𝛼 = −1, отже 𝛼𝛼 = 135∘ : √2

√2

sin135∘ = 2 , cos135∘ = − 2 . Відповідь:

√2

√2

√2

√2

sh k

а) sin𝛼𝛼 = 2 , cos𝛼𝛼 = 2 ; б) sin𝛼𝛼 = 2 , cos𝛼𝛼 = − 2 .

7.

in.

ua

Розв’язок:

ola .

Косинус кута дорівнює абсцисі точки одиничного кола. Якщо cos𝛼𝛼 = −0,3 < 0, то абсциса від’ємна, тобто точка лежить у другій чверті. Такому положенню відповідають кути 90∘ < 𝛼𝛼 < 180∘ . Відповідь:

sh k

В (тупий).

8.

ola .

in.

ua

Розв’язок:

Синус кута дорівнює ординаті точки одиничного кола. Пряма 𝑦𝑦 = 0,5 перетинає верхнє півколо у двох точках, тому кутів два: гострий і тупий. sin30∘ = 0,5 і sin150∘ = 0,5. Відповідь:

sh k

Г (30∘ або 150∘ ).

9.

ua

Розв’язок:

Під час пересування повзунка змінюється величина кута 𝛼𝛼, а разом з нею — положення точки на одиничному колі. Якщо вибрано синус, то це ордината точки: коли кут зростає від 0∘ до 90∘ , ордината збільшується від 0 до 1; коли кут зростає від 90∘ до 180∘ , ордината зменшується від 1 до 0. Синус увесь час залишається невід’ємним.

sh k

ola .

in.

Якщо вибрано косинус, то це абсциса точки: коли кут зростає від 0∘ до 90∘ , абсциса зменшується від 1 до 0; коли кут зростає від 90∘ до 180∘ , абсциса зменшується від 0 до −1. Отже, косинус спадає на всьому проміжку і при тупих кутах стає від’ємним.

Дано: 𝑂𝑂(0; 0), 𝐴𝐴(1; 0), 𝐵𝐵(1; 1). Знайти: sin∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, cos∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴.

ola .

in.

Розв’язок:

ua

10.

Промінь 𝑂𝑂𝑂𝑂 напрямлений уздовж додатної півосі 𝑂𝑂𝑂𝑂, а точка 𝐵𝐵(1; 1) рівновіддалена від осей, тому промінь 𝑂𝑂𝑂𝑂 — бісектриса першого координатного кута. Отже, ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 45∘ , і √2

√2

sin∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 , cos∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 . Відповідь:

sh k

√2 √2 ; .

2 2

Дано: 𝐴𝐴(1; 0), 𝑂𝑂(0; 0), 𝐾𝐾(0; 1). Знайти: sin∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, cos∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴.

ola .

in.

Розв’язок:

ua

11.

Промінь 𝑂𝑂𝑂𝑂 лежить на додатній півосі 𝑂𝑂𝑂𝑂, а промінь 𝑂𝑂𝑂𝑂 — на додатній півосі 𝑂𝑂𝑂𝑂. Осі координат перпендикулярні, тому ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘ . sin90∘ = 1, cos90∘ = 0. Відповідь:

sh k

1; 0.

12. Дано: а) ∠𝐶𝐶 = 90∘ , 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶; б) ∠𝐴𝐴 = 30∘ , 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵; в) ∠𝐴𝐴 = 30∘ , ∠𝐶𝐶 = 15∘ . Знайти: sin𝐵𝐵, cos𝐵𝐵, tg𝐵𝐵.

Розв’язок:

in. ua

а) Трикутник 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 прямокутний і рівнобедрений, тому гострі кути рівні:

∠𝐵𝐵 = (180∘ − 90∘ ) : 2 = 45∘ ; √2

√2

sin𝐵𝐵 = 2 , cos𝐵𝐵 = 2 , tg𝐵𝐵 = 1.

la.

б) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵, тому трикутник рівнобедрений з основою 𝐴𝐴𝐴𝐴 і ∠𝐶𝐶 = ∠𝐴𝐴 = 30∘ . Тоді:

∠𝐵𝐵 = 180∘ − 30∘ − 30∘ = 120∘ ; √3

1

ko

sin𝐵𝐵 = 2 , cos𝐵𝐵 = − 2, tg𝐵𝐵 = −√3.

sh

в) За теоремою про суму кутів трикутника:

∠𝐵𝐵 = 180∘ − 30∘ − 15∘ = 135∘ ; √2

√2

sin𝐵𝐵 = 2 , cos𝐵𝐵 = − 2 , tg𝐵𝐵 = −1. Відповідь: √2 √2

√3

1

√2

√2

а) 2 ; 2 ; 1; б) 2 ; − 2; −√3; в) 2 ; − 2 ; −1.

Розв’язок: √2

1

ua

13. √2

√2

√2

а) sin45∘ − cos60∘ ⋅ cos90∘ + cos135∘ = 2 − 2 ⋅ 0 + �− 2 � = 2 − 2 = 0.

1

√3

√2

2

б) sin30∘ ⋅ cos150∘ − sin2 135∘ ⋅ tg120∘ = 2 ⋅ �− 2 � − � 2 � ⋅ �−√3� = √3 1 √3 2√3 √3 + ⋅ √3 = − + = .

4 2 4 4 4

Відповідь: √3

sh k

ola .

а) 0; б) 4 .

in.

=−

Розв’язок:

ua

14.

1

1

1 2

√2

а) sin30∘ ⋅ cos60∘ − cos 2 120∘ + sin135∘ ⋅ cos90∘ = 2 ⋅ 2 − �− 2� + 2 ⋅ 0 =

=

1 1 − + 0 = 0.

4 4

√3

√3

=1−1−

Відповідь:

√3 √3 =− .

2 2

√3

sh k

ola .

а) 0; б) − 2 .

in.

б) tg30∘ ⋅ tg60∘ − tg 2 135∘ + cos150∘ = 3 ⋅ √3 − (−1)2 + �− 2 � =

Розв’язок:

ua

15. Косинус і тангенс гострого кута додатні, а тупого — від’ємні. Синус для всіх кутів від 0∘ до 180∘ додатний, тому за синусом вид кута встановити не можна.

1

11

12

I — гострі кути: cos𝐸𝐸 = 4 > 0; cos𝐿𝐿 = 12 > 0; tg𝑅𝑅 = 11 > 0.

II — тупі кути: cos𝐵𝐵 = −0,8 < 0; tg𝐷𝐷 = −2 < 0.

1

7

Відповідь:

in.

III — вид кута встановити не можна: sin𝐴𝐴 = 0,6; sin𝐶𝐶 = 3; sin𝑂𝑂 = 15.

sh k

ola .

I — 𝐸𝐸, 𝐿𝐿, 𝑅𝑅; II — 𝐵𝐵, 𝐷𝐷; III — 𝐴𝐴, 𝐶𝐶, 𝑂𝑂.

16.

ua

Розв’язок:

Визначаємо знак кожного множника: синус додатний завжди, косинус і тангенс — додатні для гострих кутів і від’ємні для тупих. а) sin127∘ > 0, cos27∘ > 0, cos99∘ < 0. Один від’ємний множник — добуток від’ємний. б) cos29∘ > 0, sin108∘ > 0, tg118∘ < 0. Добуток від’ємний.

в) cos30∘ > 0, sin15∘ > 0, cos125∘ < 0, tg35∘ > 0. Добуток від’ємний. Відповідь:

in.

г) sin137∘ > 0, cos150∘ < 0, tg22∘ > 0, cos35∘ > 0. Добуток від’ємний.

sh k

ola .

а) «−»; б) «−»; в) «−»; г) «−».

17.

ua

Розв’язок:

а) cos48∘ > 0, cos96∘ < 0, sin144∘ > 0. Добуток від’ємний. б) sin46∘ > 0, cos146∘ < 0, tg88∘ > 0. Добуток від’ємний.

в) tg143∘ < 0, sin165∘ > 0, tg87∘ > 0, cos126∘ < 0. Два від’ємні множники — добуток додатний. Відповідь:

in.

г) cos32∘ > 0, sin132∘ > 0, tg92∘ < 0. Добуток від’ємний.

sh k

ola .

а) «−»; б) «−»; в) «+»; г) «−».

Розв’язок: √3

𝑎𝑎 = sin120∘ = 2 ≈ 0,87, тобто 𝑎𝑎 > 0.

1

𝑏𝑏 = cos120∘ = − 2, тобто 𝑏𝑏 < 0. Отже, 𝑏𝑏 < 0 < 𝑎𝑎.

sh k

ola .

Д.

in.

Відповідь:

ua

18.

Розв’язок: 𝑎𝑎 = tg36∘ > 0, бо кут 36∘ гострий.

𝑏𝑏 = tg93∘ < 0, бо кут 93∘ тупий. 𝑐𝑐 = tg180∘ = 0.

Отже, у порядку зростання: 𝑏𝑏; 𝑐𝑐; 𝑎𝑎.

sh k

ola .

А.

in.

Відповідь:

ua

19.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, sin𝐴𝐴 = 0,5, cos𝐵𝐵 = −0,5. Знайти: ∠𝐴𝐴, ∠𝐵𝐵, ∠𝐶𝐶.

in.

Розв’язок:

ua

20.

1) cos𝐵𝐵 = −0,5 < 0, тому кут 𝐵𝐵 тупий і ∠𝐵𝐵 = 120∘ .

2) sin𝐴𝐴 = 0,5, тому ∠𝐴𝐴 = 30∘ або ∠𝐴𝐴 = 150∘ . Оскільки ∠𝐵𝐵 = 120∘ , а сума кутів трикутника дорівнює 180∘ , то ∠𝐴𝐴 < 60∘ . Отже, ∠𝐴𝐴 = 30∘ .

3) ∠𝐶𝐶 = 180∘ − 120∘ − 30∘ = 30∘ .

ola .

Відповідь:

sh k

∠𝐴𝐴 = 30∘ , ∠𝐵𝐵 = 120∘ , ∠𝐶𝐶 = 30∘ .

1

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, tg𝐴𝐴 = −1, sin𝐶𝐶 = 2. Знайти: ∠𝐴𝐴, ∠𝐵𝐵, ∠𝐶𝐶.

in.

Розв’язок:

ua

21.

1) tg𝐴𝐴 = −1 < 0, тому кут 𝐴𝐴 тупий і ∠𝐴𝐴 = 135∘ .

1

2) sin𝐶𝐶 = 2, тому ∠𝐶𝐶 = 30∘ або ∠𝐶𝐶 = 150∘ . Оскільки ∠𝐴𝐴 = 135∘ , то ∠𝐶𝐶 < 45∘ . Отже, ∠𝐶𝐶 = 30∘ .

3) ∠𝐵𝐵 = 180∘ − 135∘ − 30∘ = 15∘ .

ola .

Відповідь:

sh k

∠𝐴𝐴 = 135∘ , ∠𝐵𝐵 = 15∘ , ∠𝐶𝐶 = 30∘ .

√3

Дано: ромб 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, cos𝐷𝐷 = − 2 . Знайти: кути ромба.

1) cos𝐷𝐷 = −

in.

Розв’язок:

ua

22.

√3 , отже ∠𝐷𝐷 = 150∘ .

2

2) Ромб — паралелограм, тому протилежні кути рівні: ∠𝐵𝐵 = ∠𝐷𝐷 = 150∘ .

ola .

3) Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180∘ :

∠𝐴𝐴 = ∠𝐶𝐶 = 180∘ − 150∘ = 30∘ . Відповідь:

sh k

∠𝐴𝐴 = 30∘ , ∠𝐵𝐵 = 150∘ , ∠𝐶𝐶 = 30∘ , ∠𝐷𝐷 = 150∘ .

Розв’язок: Обчислимо значення виразів: 1) sin90∘ = 1; 2) cos30∘ = 1

ua

23.

1 √3 √2 ∘ ; 3) sin150 = ; 4) cos45∘ = 2 .

2 2 √3

√2

Відповідь:

sh k

ola .

1 — Г; 2 — Б; 3 — А; 4 — Д.

in.

А) cos60∘ = 2; Б) sin120∘ = 2 ; В) cos90∘ = 0; Г) cos0∘ = 1; Д) sin135∘ = 2 .

Розв’язок: sin3∘ ≈ 0,0523;

sin56,7∘ ≈ 0,8358;

cos64,25∘ ≈ 0,4350; tg15∘ ≈ 0,2679.

Відповідь:

sh k

ola .

in.

≈ 0,0523; ≈ 0,8358; ≈ 0,4350; ≈ 0,2679.

ua

24.

Розв’язок: sin4,8∘ ≈ 0,0837; cos25∘ ≈ 0,9063;

cos45,8∘ ≈ 0,6972; tg81,1∘ ≈ 6,3859. Відповідь:

sh k

ola .

in.

≈ 0,0837; ≈ 0,9063; ≈ 0,6972; ≈ 6,3859.

ua

25.

Розв’язок: а) За косинусом: cos𝛼𝛼 = 0,325, отже 𝛼𝛼 ≈ 71∘ ;

cos𝛼𝛼 = 0,78, отже 𝛼𝛼 ≈ 38,7∘ ; 2

cos𝛼𝛼 =

√2 , отже 𝛼𝛼 = 45∘ .

2

б) За тангенсом:

tg𝛼𝛼 = 0,726, отже 𝛼𝛼 ≈ 36∘ ; tg𝛼𝛼 = 2,605, отже 𝛼𝛼 ≈ 69∘ ; 1

in.

cos𝛼𝛼 = 3 ≈ 0,667, отже 𝛼𝛼 ≈ 48,2∘ ;

ua

26.

tg𝛼𝛼 = 5 = 0,2, отже 𝛼𝛼 ≈ 11,3∘ ; √3

ola .

tg𝛼𝛼 = 3 , отже 𝛼𝛼 = 30∘ .

Відповідь:

sh k

а) ≈ 71∘ ; ≈ 38,7∘ ; ≈ 48,2∘ ; 45∘ ; б) ≈ 36∘ ; ≈ 69∘ ; ≈ 11,3∘ ; 30∘ .

Розв’язок: а) sin𝛼𝛼 = 0,26, отже 𝛼𝛼 ≈ 15∘ ; 3

б) sin𝛼𝛼 = 7 ≈ 0,4286, отже 𝛼𝛼 ≈ 25,4∘ ; в) sin𝛼𝛼 = 0,685, отже 𝛼𝛼 ≈ 43,2∘ ; √3

Відповідь:

in.

г) sin𝛼𝛼 = 2 , отже 𝛼𝛼 = 60∘ (гострий кут).

ua

27.

sh k

ola .

а) ≈ 15∘ ; б) ≈ 25,4∘ ; в) ≈ 43,2∘ ; г) 60∘ .

28. Дано: 𝐵𝐵𝐵𝐵 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴; а) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶; б) ромб, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2, 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 1; в) ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 90∘ , ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘ , 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶. Знайти: sin, cos, tg кутів 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶, 𝐷𝐷.

Розв’язок:

in. ua

а) У прямокутному трикутнику 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 катети рівні: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3, тому він рівнобедрений і ∠𝐴𝐴 = 45∘ .

Трапеція рівнобічна, тому ∠𝐷𝐷 = ∠𝐴𝐴 = 45∘ , а ∠𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶 = 180∘ − 45∘ = 135∘ . sin𝐴𝐴 = sin𝐷𝐷 =

√2 √2 , cos𝐴𝐴 = cos𝐷𝐷 = 2 , tg𝐴𝐴 = tg𝐷𝐷 = 1; 2

√2

√2

sin𝐵𝐵 = sin𝐶𝐶 = 2 , cos𝐵𝐵 = cos𝐶𝐶 = − 2 , tg𝐵𝐵 = tg𝐶𝐶 = −1.

la.

б) Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні, тому трикутник 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 прямокутний з гіпотенузою 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 і катетом 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 1.

𝑂𝑂𝑂𝑂

1

sin∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2, отже ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 30∘ .

Діагональ 𝐵𝐵𝐵𝐵 — бісектриса кута 𝐵𝐵, тому ∠𝐵𝐵 = 2 ⋅ 30∘ = 60∘ . Тоді ∠𝐷𝐷 = ∠𝐵𝐵 = 60∘ , а ∠𝐴𝐴 = ∠𝐶𝐶 = 180∘ − 60∘ = 120∘ .

1

√3

sin𝐵𝐵 = sin𝐷𝐷 = 2 , cos𝐵𝐵 = cos𝐷𝐷 = 2, tg𝐵𝐵 = tg𝐷𝐷 = √3;

1 √3 , cos𝐴𝐴 = cos𝐶𝐶 = − 2, tg𝐴𝐴 = tg𝐶𝐶 = −√3.

2

ko

sin𝐴𝐴 = sin𝐶𝐶 =

sh

в) Оскільки ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 90∘ і 𝐵𝐵𝐵𝐵 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴, то ∠𝐷𝐷 = 180∘ − 90∘ = 90∘ .

Трикутник 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 прямокутний і рівнобедрений (𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶), тому ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 45∘ . ∠𝐵𝐵 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 90∘ + 45∘ = 135∘ , а ∠𝐴𝐴 = 180∘ − 135∘ = 45∘ . √2

√2

sin𝐴𝐴 = 2 , cos𝐴𝐴 = 2 , tg𝐴𝐴 = 1;

sin𝐵𝐵 =

√2 √2 , cos𝐵𝐵 = − 2 , tg𝐵𝐵 = −1; 2

sin𝐶𝐶 = sin𝐷𝐷 = 1, cos𝐶𝐶 = cos𝐷𝐷 = 0, tg𝐶𝐶 і tg𝐷𝐷 не існують. Відповідь:

а) ∠𝐴𝐴 = ∠𝐷𝐷 = 45∘ , ∠𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶 = 135∘ ; б) ∠𝐴𝐴 = ∠𝐶𝐶 = 120∘ , ∠𝐵𝐵 = ∠𝐷𝐷 = 60∘ ; в) ∠𝐴𝐴 = 45∘ , ∠𝐵𝐵 = 135∘ , ∠𝐶𝐶 = ∠𝐷𝐷 = 90∘ .

29.

ua

Дано: ромб, 𝑃𝑃 = 16 см, 𝑆𝑆 = 8 см². Знайти: sin, cos, tg кутів ромба.

in.

Розв’язок:

1) Сторона ромба: 16

𝑎𝑎 = 4 = 4 (см).

2) Площа ромба дорівнює добутку квадрата сторони на синус кута: 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎2 sin𝛼𝛼;

ola .

16sin𝛼𝛼 = 8; sin𝛼𝛼 = 0,5.

3) Отже, гострий кут ромба дорівнює 30∘ , а тупий — 180∘ − 30∘ = 150∘ .

1

√3

√3

Для гострого кута: sin30∘ = 2, cos30∘ = 2 , tg30∘ = 3 .

1

√3

√3

Для тупого кута: sin150∘ = 2, cos150∘ = − 2 , tg150∘ = − 3 . Відповідь:

sh k

1 √3 √3 1 √3 √3 ; ; і ;− 2;− 3.

2 2 3 2

30.

ua

√3

Дано: рівнобедрений трикутник, косинус одного з кутів дорівнює − 2 . Знайти: кути трикутника.

1) cos𝛼𝛼 = −

in.

Розв’язок:

√3 , отже 𝛼𝛼 = 150∘ .

2

2) У трикутнику може бути лише один тупий кут, і в рівнобедреному трикутнику він може бути тільки при вершині (кути при основі рівні й гострі).

3) Кути при основі:

ola .

(180∘ − 150∘ ) : 2 = 15∘ .

Відповідь:

sh k

150∘ , 15∘ , 15∘ .

31. Дано: рівнобедрений трикутник, синус одного з кутів дорівнює 0,5. Знайти: кути трикутника; скільки розв’язків має задача.

Розв’язок: Якщо sin𝛼𝛼 = 0,5, то 𝛼𝛼 = 30∘ або 𝛼𝛼 = 150∘ . Розглянемо всі можливості.

la. in. ua

1) Кут 30∘ — при вершині:

(180∘ − 30∘ ) : 2 = 75∘ . Кути: 30∘ , 75∘ , 75∘ .

2) Кут 30∘ — при основі:

180∘ − 2 ⋅ 30∘ = 120∘ . Кути: 30∘ , 30∘ , 120∘ .

ko

3) Кут 150∘ — тупий, тому може бути лише при вершині:

(180∘ − 150∘ ) : 2 = 15∘ . Кути: 150∘ , 15∘ , 15∘ . Відповідь:

sh

30∘ , 75∘ , 75∘ ; або 30∘ , 30∘ , 120∘ ; або 150∘ , 15∘ , 15∘ — три розв’язки.

32.

ua

√2

Дано: прямокутна трапеція, косинус одного з кутів дорівнює − 2 , різниця основ дорівнює 𝑎𝑎. Знайти: бічні сторони.

1) cos𝛼𝛼 = −

in.

Розв’язок:

√2 , отже тупий кут трапеції дорівнює 135∘ , а гострий — 180∘ − 135∘ = 45∘ .

2

ola .

2) Проведемо висоту з вершини меншої основи до більшої. Вона відтинає прямокутний трикутник, у якому катет уздовж більшої основи дорівнює різниці основ, тобто 𝑎𝑎, а гострий кут дорівнює 45∘ .

3) Трикутник рівнобедрений, тому висота трапеції (менша бічна сторона) дорівнює 𝑎𝑎.

4) Похила бічна сторона — гіпотенуза цього трикутника:

𝑐𝑐 =

𝑎𝑎 = 𝑎𝑎√2. cos45∘

Відповідь:

sh k

𝑎𝑎 і 𝑎𝑎√2.

33.

ola .

in.

ua

Розв’язок:

1 √3 �, а куту 120∘ — 2

Точка одиничного кола, що відповідає куту 60∘ , має координати �2 ; 1 √3

координати �− 2 ; 2 � (ці точки симетричні відносно осі ординат). Абсциса точки — це косинус кута, ордината — синус: √3

1

√3

1

sin60∘ = 2 , cos60∘ = 2, sin120∘ = 2 , cos120∘ = − 2. Відповідь:

sh k

1 √3 1 √3 ; ; ; − 2.

2 2 2

34.

in.

ua

Розв’язок:

√2 √2

ola .

Точка одиничного кола для кута 45∘ має координати � 2 ; 2 �, а для кута 150∘ — координати √3 1

�− 2 ; 2�.

√2

√2

1

√3

sin45∘ = 2 , cos45∘ = 2 , sin150∘ = 2, cos150∘ = − 2 . Відповідь:

sh k

√2 √2 1 √3 ; ; ; − .

2 2 2 2

35.

in.

ua

Розв’язок:

ola .

Куту 45∘ відповідає точка 𝑀𝑀 одиничного кола, яка лежить на бісектрисі першого координатного кута.

Кожна точка цієї бісектриси рівновіддалена від осей координат, тому її абсциса дорівнює ординаті: 𝑥𝑥𝑀𝑀 = 𝑦𝑦𝑀𝑀 . Але cos45∘ = 𝑥𝑥𝑀𝑀 , а sin45∘ = 𝑦𝑦𝑀𝑀 , отже sin45∘ = cos45∘ .

sh k

Що й треба було довести.

Розв’язок:

ua

36. Зі зростанням кута від 0∘ до 180∘ косинус увесь час зменшується, а синус зростає від 0 до 1 на проміжку від 0∘ до 90∘ . а) 5∘ < 7∘ , тому cos5∘ > cos7∘ .

б) Кути 82∘ і 79∘ гострі, 82∘ > 79∘ , тому sin82∘ > sin79∘ . Відповідь:

sh k

ola .

а) >; б) >; в) >.

in.

в) tg29∘ > 0, бо кут гострий, а tg132∘ < 0, бо кут тупий, тому tg29∘ > tg132∘ .

37.

ua

Розв’язок:

а) 113∘ < 115∘ , а косинус зі зростанням кута зменшується, тому cos113∘ > cos115∘ .

б) sin178∘ = sin2∘ ≈ 0,03, а sin108∘ = sin72∘ ≈ 0,95, тому sin178∘ < sin108∘ . в) tg97∘ < 0, бо кут тупий, а tg17∘ > 0, бо кут гострий, тому tg97∘ < tg17∘ .

sh k

ola .

а) >; б) <; в) <.

in.

Відповідь:

38.

3

Дано: а) cos𝛼𝛼 = 4; б) cos𝛼𝛼 = −0,5. Знайти: sin𝛼𝛼, tg𝛼𝛼; побудувати кут.

Розв’язок:

3

in. ua

а) На осі абсцис відкладаємо 𝑥𝑥 = 4 і проводимо перпендикуляр до перетину з одиничним колом у точці 𝑀𝑀. Кут між променем 𝑂𝑂𝑂𝑂 і додатною піввіссю 𝑂𝑂𝑂𝑂 — шуканий.

За основною тригонометричною тотожністю: sin2 𝛼𝛼 = 1 − cos 2 𝛼𝛼 = 1 −

sin𝛼𝛼 =

√7 (синус кута від 0∘ до 180∘ невід’ємний); 4

sin𝛼𝛼 √7 3 √7 = : = . cos𝛼𝛼 4 4 3

la.

tg𝛼𝛼 =

9 7 = ; 16 16

sh

ko

б) Так само відкладаємо 𝑥𝑥 = −0,5; перпендикуляр перетинає коло у другій чверті, тому кут тупий.

cos𝛼𝛼 = −0,5, отже 𝛼𝛼 = 120∘ ;

sin120∘ =

√3 ; 2

tg120∘ = −√3. Відповідь:

√7

√7

√3

а) sin𝛼𝛼 = 4 , tg𝛼𝛼 = 3 ; б) sin𝛼𝛼 = 2 , tg𝛼𝛼 = −√3.

39.

ua

Дано: sin𝛼𝛼 = 0,75.

Знайти: побудувати кут; скільки розв’язків має задача.

ola .

in.

Розв’язок:

На осі ординат відкладаємо 𝑦𝑦 = 0,75 і проводимо пряму, паралельну осі абсцис. Вона перетинає верхнє півколо у двох точках, симетричних відносно осі ординат.

Одній точці відповідає гострий кут, другій — тупий, причому ці кути доповнюють один одного до 180∘ . Відповідь:

sh k

два розв’язки (гострий кут і тупий).

40.

ua

Розв’язок:

а) Точці, що відповідає куту 10∘ , на одиничному колі відповідає велика абсциса і мала ордината: sin10∘ ≈ 0,17, а cos10∘ ≈ 0,98. Отже, cos10∘ > sin10∘ . Відповідь:

sh k

ola .

а) cos10∘ ; б) рівні.

√2 (див. задачу 35), тобто вони рівні.

2

in.

б) cos45∘ = sin45∘ =

41.

ua

Розв’язок:

а) Зі зростанням кута косинус зменшується, тому більшому косинусу відповідає менший кут.

2 3

1

> 2, отже cos𝛽𝛽 > cos𝛼𝛼 і 𝛽𝛽 < 𝛼𝛼. Більший кут — 𝛼𝛼.

б) Для гострих кутів синус зростає разом з кутом.

0,93 > 0,75, отже sin𝛽𝛽 > sin𝛼𝛼 і 𝛽𝛽 > 𝛼𝛼. Більший кут — 𝛽𝛽.

sh k

ola .

а) 𝛼𝛼; б) 𝛽𝛽.

in.

Відповідь:

Розв’язок:

ua

42. Для тупих кутів синус зменшується зі зростанням кута (від 1 при 90∘ до 0 при 180∘ ), тому меншому синусу відповідає більший кут.

1 2

< 0,75, отже sin𝛽𝛽 < sin𝛼𝛼 і 𝛽𝛽 > 𝛼𝛼.

sh k

ola .

𝛽𝛽.

in.

Відповідь:

43.

ua

Дано: sin𝛼𝛼 = 2cos𝛼𝛼.

Знайти: побудувати кут 𝛼𝛼.

in.

Розв’язок:

З рівності sin𝛼𝛼 = 2cos𝛼𝛼 дістаємо: sin𝛼𝛼 = 2. cos𝛼𝛼

ola .

tg𝛼𝛼 =

Отже, треба побудувати прямокутний трикутник, у якого протилежний катет удвічі більший за прилеглий: відкладаємо катети 1 і 2 і проводимо гіпотенузу. Шуканий кут — між гіпотенузою та меншим катетом. 𝛼𝛼 ≈ 63∘ .

Відповідь:

sh k

tg𝛼𝛼 = 2, 𝛼𝛼 ≈ 63∘ .

44.

ua

Дано: cos𝛼𝛼 = 3sin𝛼𝛼.

Знайти: побудувати кут 𝛼𝛼.

in.

Розв’язок:

З рівності cos𝛼𝛼 = 3sin𝛼𝛼 дістаємо:

1 tg𝛼𝛼 = .

3

ola .

Будуємо прямокутний трикутник з катетами 3 (прилеглий) і 1 (протилежний); шуканий кут — між гіпотенузою та більшим катетом. 𝛼𝛼 ≈ 18∘ .

Відповідь: 1

sh k

tg𝛼𝛼 = 3, 𝛼𝛼 ≈ 18∘ .

45.

1

ua

Дано: sin𝛼𝛼 = 5 cos𝛼𝛼. Знайти: tg𝛼𝛼.

in.

Розв’язок:

Оскільки синус у 5 разів менший за косинус, то 5sin𝛼𝛼 = cos𝛼𝛼, звідки: tg𝛼𝛼 =

sin𝛼𝛼 1 = = 0,2. cos𝛼𝛼 5

Відповідь:

sh k

ola .

0,2.

46.

ua

Розв’язок:

Вид трикутника визначають за знаком косинуса кута 𝐵𝐵:

1) якщо cos𝐵𝐵 < 0, то кут 𝐵𝐵 тупий і трикутник тупокутний;

2) якщо cos𝐵𝐵 = 0, то ∠𝐵𝐵 = 90∘ і трикутник прямокутний;

3) якщо cos𝐵𝐵 > 0, то кут 𝐵𝐵 гострий, але вид трикутника встановити не можна: інші два кути невідомі, тому трикутник може бути гострокутним, прямокутним або тупокутним.

sh k

ola .

in.

Отже, однозначну відповідь дає лише випадок cos𝐵𝐵 ≤ 0.

Розв’язок:

ua

47. а) sin106∘ = sin(180∘ − 106∘ ) = sin74∘ . Кути 72∘ і 74∘ гострі, а для гострих кутів синус зростає, тому sin72∘ < sin74∘ , тобто sin72∘ < sin106∘ . б) cos127∘ ≈ −0,6, а −0,5 > −0,6, тому −0,5 > cos127∘ . Відповідь:

sh k

ola .

in.

а) sin72∘ < sin106∘ ; б) −0,5 > cos127∘ .

48.

ua

Дано: 𝐻𝐻 — точка перетину висот △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, sin∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0,5. Знайти: cos∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴.

in.

Розв’язок:

ola .

1) Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴1 і 𝐶𝐶𝐶𝐶1 — висоти трикутника. У чотирикутнику 𝐻𝐻𝐴𝐴1 𝐵𝐵𝐶𝐶1 два кути прямі: ∠𝐻𝐻𝐴𝐴1 𝐵𝐵 = ∠𝐻𝐻𝐶𝐶1 𝐵𝐵 = 90∘ .

2) Сума кутів чотирикутника дорівнює 360∘ , тому:

∠𝐴𝐴1 𝐻𝐻𝐶𝐶1 = 360∘ − 90∘ − 90∘ − ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 180∘ − ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴.

3) Кут 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 вертикальний до кута 𝐴𝐴1 𝐻𝐻𝐶𝐶1 , тому ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 180∘ − ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, а отже:

cos∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = −cos∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴.

4) sin∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0,5, тому ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 30∘ або ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 150∘ . √3

Якщо ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 30∘ , то cos∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = −cos30∘ = − 2 . √3

Якщо ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 150∘ , то cos∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = −cos150∘ = 2 .

sh k

Відповідь: √3

√3

− 2 або 2 .

49.

in.

ua

Розв’язок:

Будуємо півколо радіуса 100 мм і транспортиром ділимо його на 18 рівних частин — по 10∘ кожна. Для точки, що відповідає куту 𝛼𝛼, вимірюємо ординату (це 100sin𝛼𝛼) і абсцису (це 100cos𝛼𝛼), а результат ділимо на 100.

ola .

а) Коли кут зростає від 0∘ до 90∘ , точка піднімається від крайньої правої до найвищої, і її ордината збільшується від 0 до 100 мм, тобто синус зростає від 0 до 1. Коли кут зростає від 90∘ до 180∘ , точка опускається до крайньої лівої, і ордината зменшується від 100 мм до 0, тобто синус спадає від 1 до 0.

б) Абсциса точки при цьому весь час зменшується: від 100 мм до 0 (косинус спадає від 1 до 0), а потім від 0 до −100 мм (косинус спадає від 0 до −1). в) Таблиця наближених значень: 𝛼𝛼

0∘

sin𝛼𝛼

0

—

—

cos𝛼𝛼 𝛼𝛼

100

∘

0,98

0,17 0,98 110

—

∘

0,94

20∘

0,34 0,94 120 —

∘

0,87

sh k

sin𝛼𝛼

1

10∘

cos𝛼𝛼

−0,17

−0,34

−0,50

30∘

0,50 0,87 130 —

∘

0,77

−0,64

40∘

0,64

0,77

140 —

∘

0,64

−0,77

50∘

0,77

0,64 150 —

∘

0,50

−0,87

60∘

0,87

0,50 160 —

∘

0,34

−0,94

70∘

0,94

0,34 170 —

∘

0,17

−0,98

80∘

0,98 0,17 180

— 0

−1

∘

90∘ 1 0

50.

ua

Дано: прямокутний трикутник, катети пропорційні числам 2 і 3, гіпотенуза 4√13 см. Знайти: катети.

in.

Розв’язок:

Нехай катети дорівнюють 2𝑥𝑥 см і 3𝑥𝑥 см. За теоремою Піфагора: 2

(2𝑥𝑥)2 + (3𝑥𝑥)2 = �4√13� ;

ola .

4𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 2 = 208; 13𝑥𝑥 2 = 208;

𝑥𝑥 2 = 16;

𝑥𝑥 = 4 (довжина додатна).

Отже, катети дорівнюють 2 ⋅ 4 = 8 (см) і 3 ⋅ 4 = 12 (см). Відповідь:

sh k

8 см і 12 см.

51.

ua

Дано: рівносторонній трикутник, 𝑆𝑆 = 16√3 см². Знайти: 𝑃𝑃.

in.

Розв’язок:

Площа рівностороннього трикутника зі стороною 𝑎𝑎: 𝑎𝑎2 √3 ; 4

ola .

𝑆𝑆 =

𝑎𝑎2 √3 = 16√3; 4 𝑎𝑎2 = 64;

𝑎𝑎 = 8 (см). Периметр:

𝑃𝑃 = 3 ⋅ 8 = 24 (см). Відповідь:

sh k

24 см.

Дано: коло, 𝐴𝐴𝐴𝐴⟂𝐶𝐶𝐶𝐶 — діаметри, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚. Знайти: 𝑅𝑅.

ola .

in.

Розв’язок:

ua

52.

1) Точки 𝐴𝐴 і 𝐶𝐶 лежать на колі, а 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑅𝑅 — радіуси.

2) Діаметри перпендикулярні, тому ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘ , і трикутник 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 прямокутний та рівнобедрений.

3) За теоремою Піфагора: 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 = 𝑂𝑂𝐴𝐴2 + 𝑂𝑂𝐶𝐶 2 ;

𝑚𝑚2 = 𝑅𝑅 2 + 𝑅𝑅 2 = 2𝑅𝑅 2 ; 𝑅𝑅 2 =

𝑚𝑚

√2

=

𝑚𝑚√2 .

2

sh k

𝑅𝑅 =

𝑚𝑚2 ; 2

Відповідь: 𝑚𝑚√2 .

2