Skip to main content

h-9-al-ta

Page 1


+5 2����− 1

2����− 1 ≠ 0

2����≠ 1 ����≠ 0,5 ОДЗ: ���� ≠ 0,5

2����−1 —

(���� 2 1) ≠ 0

(����− 1)(���� +1) ≠ 0

0; ���� ≠ 1; ����≠−1

���� ≠ 0; ����≠ 1; ����≠−1 ���� (���� 2 +1)

(����− 1)(���� +1) = ���� 2 +1 ���� 2 1 3) ���� 2 4���� +4 ���� 2 4 ���� 2 − 4 ≠ 0 (����− 2)(���� +2) ≠ 0

2; ���� ≠−2 ОДЗ: ���� ≠ 2; ����≠−2 (����− 2)2

2)(���� +2) = ����− 2 ���� +2 4) ���� 3 +6���� 2 +9���� ���� 4 81

4 81 ≠ 0 (���� 2 9)(���� 2 +9) ≠ 0 (����− 3)(���� +3)(���� 2 +9) ≠ 0 ����≠ 3; ���� ≠−3

����≠ 3;

(���� 2 +6���� +9) (���� 2 9)(���� 2 +9) =

5) ���� 2 7���� + 12 ���� 2 +3����− 18

(���� +3)2 (����− 3)(���� +3)(���� 2 +9) =

(���� +3) (����− 3)(���� 2 +9)

; ���� ≠ 3

З: ���� ≠−6; ���� ≠ 3 (����− 3)(����− 4) (����− 3)(���� +6) = ����− 4 ���� +6 6) (����− 1)(���� 2 5���� +6)

З: ���� ≠ 1; ���� ≠ 2 (����− 1)(����− 2)(����− 3) (����− 1)(����− 2) = ����− 3

3) 3����− 1

3���� 2 + 12����

3���� 2 + 12���� =0

3���� (���� +4)=0

3���� = 0 або ���� +4=0

���� =0 або ���� = 4

Відповідь: 0; 4

4) 4����− 1

���� 2 16

���� 2 − 16 =0

(����− 4)(���� +4)=0

����− 4 =0 або ���� +4=0

���� =4 або ���� = 4

Відповідь: 4; 4

5) ���� +1

���� 3 1

���� 3 1=0

���� 3 =1

���� =1

Відповідь: 1

6) 5���� 5���� 2 125

5���� 2 − 125 =0

5(���� 2 25)=0

5(����− 5)(���� +5)=0

����− 5 =0 або ���� +5=0 ���� =5

���� = 5

5; 5

1 ≠ 0

1=0

∗=1

Якщо

3)

1) 6;2) 8;3) 2 1 3

3) ���� = ���� 2 3���� +2 2����− 2 = (����− 1)(����− 2) 2(����− 1) =0,5����− 1, ����≠ 1 ���� =0,5����− 1

х 0 2

у -1 0

shkola.in.ua

2) ����1 (���� )= 9 ����− 2 , ����2 (���� )= 5 ���� +2

9���� =(����− 2)(5+2���� )

9���� =5���� +2���� 2 10 4���� 2����

3���� =(����− 5)(2����− 8)

1 м3 =1,29 кг = 1290 г

10 м3 = 10 ⋅ 1290 = 12 900 г

12 900 =1,29 ⋅ 104

Відповідь: 1,29 ⋅ 104 г

23.

1) 21,4 ⋅ 10−3 i 27,6 ⋅ 10−3

Сума: (21,4 + 27,6) ⋅ 10−3 = 49 ⋅ 10−3 =4,9 ⋅ 10−2

Добуток: (21,4 ⋅ 10−3 ) ⋅ (27,6 ⋅ 10−3 )= 590,64 ⋅ 10−6 =5,9064 ⋅ 10−4

2) 4,8 ⋅ 102 i 1,2 ⋅ 101

Сума: 480 + 12 = 492 =4,92 ⋅ 102

Добуток: (4,8 ⋅ 102 ) ⋅ (1,2 ⋅ 101 )=5,76 ⋅ 103

1) ����(0;2) ⇒ 2=02 ⇒ 2 ≠ 0

Відповідь: ні

2) ����(0;0) ⇒ 0=02 ⇒ 0=0

Відповідь: так

3) ���� ( 4; 16) ⇒ 16 =( 4)2 ⇒ 16 = 16

Відповідь: так

4) ����(4;8) ⇒ 8=42 ⇒ 8 ≠ 16

Відповідь: ні

27. Чи належить графіку функції ���� = √���� точка:

1) ����( 4;2) ⇒ 2= √ 4

Відповідь: ні (вираз √ 4

2) ����(0;0) ⇒ 0= √0 ⇒ 0=0

Відповідь: так

3) ���� (4;2) ⇒ 2= √4 ⇒ 2=2

Відповідь: так

4) ����(8;4) ⇒ 4= √8 ⇒ 4 ≠ 2√2

Відповідь: ні

28.

1) ���� = ���� 2 i ���� =4

���� 2 =4 ⇒���� =±2

Точки перетину: (−2;4),(2;4)

(0;0),(1;1) 4) ���� = √���� i ���� =2

(4;2)

2) цілі: 8,0, 4

3)

6) ����� 2 +8���� + 16 = �(���� +4)2 =|���� +4|; так як ���� < 4, то���� +4<0, отже |���� +4|= (���� +4)= −����− 4 35. Спростіть вираз: 1)

11 +2(11 +2√11 +1)= = 15 4√11 + 22 +4√11 +2= 39 7) �(1+ √3)2 + �(1 √3)2 =|1+ √3|+|1 √3|=1+ √3 + √3 1=2√3 8) �(2 √2)2 + �(1 √2)2 =|2 √2|+|1 √2|=2 √2 + √2 1=1

Відповідь: раціональні значення: 2), 4), 6), 8); ірраціональні значення: 1), 3), 5), 7).

36. Розв’яжіть рівняння:

1) ���� 2 = 16;

���� =±√16;

����1 =4, ����2 = 4

2) ���� 2 = 4;

коренів немає, бо ���� 2 ≥ 0

3) 4���� 2 = 100;

���� 2 = 100 ∶ 4;

���� 2 = 25;

���� =±√25;

����1 =5, ����2 = 5

4) ���� 2 =3;

���� =±√3;

����1 = √3, ����2 = √3

5) (���� +1)2 = 25;

���� +1=±√25;

���� +1=5 або ���� +1= 5;

����1 =4, ����2 = 6

6) (����− 9)2 =0;

����− 9=0;

���� =9

37. Розв’яжіть рівняння:

1) √���� =5;

���� =52 ; ���� = 25

2) √���� =1,1;

���� =(1,1)2 ;

���� =1,21

3) √���� +1 +6=0;

√���� +1 = 6;

коренів немає, бо √���� +1 ≥ 0

4) √����− 5 =0;

����− 5=0;

���� =5

38. Спростіть вираз:

1)

рівняння: 1) ���� 2 2����− 8=0;

=(−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8)=4+ 32 = 36;

= 2± √36 2 ⋅ 1 = 2±6 2 ; ����1 = 8 2 =4; ����2 = 4 2 = 2 2) ���� 2 +6����− 7=0; ���� =62 4 ⋅ 1 ⋅ ( 7)= 36 + 28 = 64;

= 6± √64 2 ⋅ 1 = 6±8 2 ; ����1 = 2 2 =1; ����2 = 14 2 = 7 3) 7���� = 24 − 5���� 2 ; 5���� 2 +7����− 24 =0; ���� =72 4 ⋅ 5 ⋅ ( 24)= 49 + 480 = 529;

= −7± √529 2 ⋅ 5 = −7± 23 10 ; ����1 = 16 10 =1,6; ����2 = 30 10 = 3 4) 1 5���� =6���� 2 ; 6���� 2 +5����− 1=0; ���� =52 4 ⋅ 6 ⋅ ( 1)= 25 + 24 = 49; ���� = 5± √49 2 ⋅ 6 = 5±7 12 ; ����1 = 2 12 = 1 6 ; ����2 = −12 12 = 1

рівняння: 1) ���� 2 8���� + 16 =0; (����− 4)2 =0; ����− 4=0; ���� =4

2) ���� 2 + 12���� + 27 =0;

���� = 122 4 ⋅ 1 ⋅ 27 = 144 108 = 36;

���� = 12 ± √36 2 ⋅ 1 = 12 ±6 2 ;

����1 = 6 2 = 3, ����2 = 18 2 = 9

3) 15���� 2 +4=8���� ;

15���� 2 8���� +4=0;

���� =( 8)2 4 ⋅ 15 ⋅ 4= 64 240 = 176;

���� <0; коренів немає

4) 4���� 2 = 37����− 9;

4���� 2 − 37���� +9=0;

���� =( 37)2 4 ⋅ 4 ⋅ 9= 1369 144 = 1225;

���� = 37 ± √1225 2 ⋅ 4 = 37 ± 35 8 ;

����1 = 72 8 =9, ����2 = 2 8 =0,25

41. Розв’яжіть квадратне рівняння

1) ���� 2 16���� + 15 =0;

����1 + ����2 = 16;

����1 ⋅����2 = 15;

����1 = 15, ����2 =1

2) ���� 2 + 11���� + 10 =0;

����1 + ����2 = 11;

����1 ⋅����2 = 10;

����1 = 10, ����2 = 1

3) ���� 2 2����− 24 =0;

����1 + ����2 =2;

����1 ⋅����2 = 24;

����1 =6, ����2 = 4

4) ���� 2 +2����− 3=0;

����1 + ����2 = 2;

����1 ⋅����2 = 3;

=

1) ���� 2 6���� +8; ���� 2 6���� +8=0; ���� =( 6)2 4 ⋅ 1 ⋅ 8= 36 32 =4; ���� = 6±2 2 ; ����1 =4, ����2 =2;

2 6���� +8=(����− 4)(����− 2)

2) ���� 2 −����− 2;

2 −����− 2=0; ���� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 2)=1+8=9; ���� = 1±3 2 ; ����1 =2, ����2 = 1;

2 −����− 2=(����− 2)(���� +1)

3) 5���� 2 +3����− 2; 5���� 2 +3����− 2=0;

=32 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−2)=9+ 40 = 49;

= 3±7 10 ; ����1 =0,4, ����2 = 1; 5���� 2 +3����− 2=5(����− 0,4)(���� +1)=(5����− 2)(���� +1) 4) 6���� 2 + 14����− 8; 6���� 2 + 14����− 8=0; ���� = 142 − 4 ⋅ (−6) ⋅ (−8)= 196 − 192 =4; ���� = 14 ±2 12 ; ����1 =1, ����2 = 16 12 = 4 3 ; 6���� 2 + 14����− 8= 6(����− 1)(����− 4 3)=(����− 1)( 6���� +8)= 2(����− 1)(3����− 4)

1) ���� 2 4���� +3; ���� 2 − 4���� +3=0; ����1 + ����2 =4, ����1 ⋅����2 =3; ����1 =3, ����2 =1; ���� 2 4���� +3=(����− 3)(����− 1) 2) ���� 2 2����− 8;

���� 2 2����− 8=0;

����1 + ����2 =2, ����1 ⋅����2 = 8;

����1 =4, ����2 = 2;

���� 2 2����− 8=(����− 4)(���� +2)

3) 7���� 2 +5����− 2;

7���� 2 +5����− 2=0; ���� =52 4 ⋅ 7 ⋅ ( 2)= 25 + 56 = 81;

���� = 5±9 14 ; ����1 = 4 14 = 2 7 , ����2 = 1;

7���� 2 +5����− 2=7(����− 2 7)(���� +1)=(7����− 2)(���� +1)

4) 9���� 2 + 12����− 4;

−9���� 2 + 12����− 4=0; ���� = 122 4 ⋅ ( 9) ⋅ ( 4)= 144 144 =0; ���� = 12 18 = 2 3 ; 9���� 2 + 12����− 4= 9(����− 2 3)2 = (3(����− 2 3))2 = (3����− 2)2

44. Скоротіть дріб:

1) ����− 1

2���� 2 +3����− 5 ;

2���� 2 +3����− 5=0; ���� =32 4 ⋅ 2 ⋅ ( 5)=9+ 40 = 49; ���� = 3±7 4 ; ����1 =1, ����2 = −2,5; ����− 1

2(����− 1)(���� +2,5) = ����− 1 (����− 1)(2���� +5) = 1 2���� +5

2) ���� 2 9 ���� 2 +2����− 3 ;

���� 2 +2����− 3=0;

����1 = −3, ����2 =1; (����− 3)(���� +3) (���� +3)(����− 1) = ����− 3 ����− 1

3) ���� 2 2���� +1

3���� 2 4���� +1 ;

3���� 2 4���� +1=0; ���� =( 4)2 4 ⋅ 3 ⋅ 1= 16 12 =4;

���� = 4±2 6 ; ����1 =1, ����2 = 1 3 ; (����− 1)2

3(����− 1)(����− 1 3) = (����− 1)2 (����− 1)(3����− 1) = ����− 1 3����− 1

4) ���� 3 +5���� 2 24���� ���� 3 +2���� 2 15���� = ���� (���� 2 +5����− 24) ���� (���� 2 +2����− 15) =

2 +5����− 24 ���� 2 +2����− 15 ;

���� 2 +5����− 24 =0; ����1 = 8, ����2 =3;

���� 2 +2����− 15 =0; ����1 = 5, ����2 =3; (���� +8)(����− 3) (���� +5)(����− 3) = ���� +8 ���� +5

45. Розв'яжіть рівняння:

1) 8���� (����− 5)+5=3(���� 2 10);

8���� 2 40���� +5=3���� 2 30;

5���� 2 40���� + 35 =0;

���� 2 − 8���� +7=0;

����1 =7, ����2 =1

2) (����− 2)(���� +6)=3����− 6;

���� 2 +6����− 2����− 12 3���� +6=0;

���� 2 + ����− 6=0;

����1 = 3, ����2 =2

3) ���� 4 50���� 2 + 49 =0;

Нехай ���� 2 = ���� , ����≥ 0:

���� 2 50���� + 49 =0;

����1 = 49, ����2 =1;

���� 2 = 49 ⇒����1,2 =±7;

���� 2 =1 ⇒����3,4 =±1

4) (3����− 2)4 (3����− 2)2 12 =0;

Нехай (3����− 2)2 = ���� , ����≥ 0:

���� 2 −����− 12 =0;

���� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 12)=1+ 48 = 49;

����1 = 1+7 2 =4, ����2 = 1 7 2 = 3 (не

(3����− 2)2 =4;

3����− 2=2 або 3����− 2= 2;

3���� =4 ⇒����1 = 4 3 =1 1 3 ;

3���� =0 ⇒����2 =0

46. Розв’яжіть рівняння:

1) 4���� (���� +1)+5=4(2���� +1);

4���� 2 +4���� +5=8���� +4;

4���� 2 4���� +1=0;

(2����− 1)2 =0;

2����− 1=0;

2���� =1;

���� =0,5

2) (���� +6)(����− 5)+2=4���� ; ���� 2 5���� +6����− 30 +2 4���� =0; ���� 2 − 3����− 28 =0;

����1 + ����2 =3; ����1 ⋅����2 = −28;

����1 =7, ����2 = −4

3) 9���� 4 + 26���� 2 3=0;

Нехай ���� 2 = ���� , ����≥ 0:

9���� 2 + 26����− 3=0; ���� = 262 4 ⋅ 9 ⋅ ( 3)= 676 + 108 = 784; ���� = 26 ± 28 18 ; ����1 = 2 18 = 1 9 ,

���� 2 = 1 9 ; ����1,2 =± 1 3

4) (���� 2 + ���� +2)(���� 2 + ����− 1)= 40;

Нехай ���� 2 + ���� = ���� :

0);

(���� +2)(����− 1)= 40;

���� 2 −���� +2����− 2 40 =0;

���� 2 + ����− 42 =0;

����1 = 7, ����2 =6;

���� 2 + ���� = 7; ���� 2 + ���� +7=0; ���� =1 28 = 27 <0 (коренів немає);

���� 2 + ���� =6; ���� 2 + ����− 6=0; ����1 = −3, ����2 =2

47. Розв’яжіть рівняння:

1) 1 2���� 3���� +4 = ���� +7 1 −���� ;

(1 − 2���� )(1 −���� )=(���� +7)(3���� +4);

1 −����− 2���� +2���� 2 =3���� 2 +4���� + 21���� + 28;

2���� 2 3���� +1=3���� 2 + 25���� + 28;

���� 2 + 28���� + 27 =0;

����1 = 27, ����2 = 1

2) 4 ����− 0,5 = ���� +3;

4=(���� +3)(����− 0,5);

4= ���� 2 − 0,5���� +3����− 1,5;

���� 2 +2,5����− 5,5=0; 2���� 2 +5����− 11 =0; ���� =52 4 ⋅ 2 ⋅ ( 11)= 25 + 88 = 113; ����1,2 = 5± √113 4

3) 5 ����− 3 8 ���� =3;

5����− 8(����− 3) ���� (����− 3) =3;

5����− 8���� + 24 =3���� (����− 3);

3���� + 24 =3���� 2 9���� ;

3���� 2 − 6����− 24 =0;

���� 2 2����− 8=0;

����1 =4, ����2 = 2

4) ����− 1 ���� +3 + ���� +3 2����− 6 = 5 2 ;

3)(����−

+3)(����−

+3)2

4) ����− 1 ���� +3 + ���� +3 2����− 6 = 5 2 ;

����− 1 ���� +3 + ���� +3 2(����− 3) = 5 2 ;

2(����− 3)(����− 1)+(���� +3)2 2(����− 3)(���� +3) = 5 2 ;

2(���� 2 4���� +3)+ ���� 2 +6���� +9 ���� 2 9 =5;

3���� 2 2���� + 15 =5���� 2 45;

2���� 2 +2����− 60 =0; ���� 2 + ����− 30 =0;

����1 = 6, ����2 =5 49. Запишіть

1) обидва корені дорівнюють 0;

���� 2 =0

Відповідь: 4 і 16.

їх різниця дорівнює 30.

⋅���� = 64

����−���� = 30

���� = 30 + ����

(30 + ����)���� = 64

30���� + ���� 2 = 64

���� 2 + 30����− 64 =0

= 302 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−64)= 900 + 256 = 1156

����1 = 30 + 34 2 =2

����2 = 30 34 2 = 32

����1 = 30 +2= 32

����2 = 30 +( 32)= 2

Відповідь: 32 і 2 або -2 і -32.

�����02 +2��������0 +1=0 ����02 + ����0 +2���� =0

Віднімемо від першого рівняння друге: (����02 +2��������0 +1) (����02 + ����0 +2���� )=0

2��������0 −����0 +1 2���� =0

����0 (2����− 1) (2����− 1)=0 (2����− 1)(����0 1)=0 1) 2����− 1=0 ⇒���� =0,5

Перевіримо ���� =0,5:

2 +2 ⋅ 0,5 ⋅���� +1=0 ⇒���� 2 + ���� +1=0 (���� =1 4= 3<0, коренів немає) ���� 2 + ���� +2 ⋅ 0,5=0 ⇒���� 2 + ���� +1=0 Оскільки рівняння

2) ����0 1=0 ⇒����0 =1

250 ⋅ 0,15 = 37,5 (г)

Нехай ���� г —

Складаємо рівняння

37,5

250 + ���� =0,1

37,5=0,1(250 + ���� )

37,5= 25 +0,1����

0,1���� = 37,5 25

0,1���� = 12,5 ���� = 125

Відповідь: 125 г.

250 + ���� (г).

1,5���� +0,75(60

0,75���� = 72 − 45

0,75���� =

= 88 ⋅ 6= 528

����5 = 86 ⋅ 5= 430

���� = 528 430 = 98

Відповідь: 98 балів.

63. Марина проаналізувала

(табл. 1):

1.

середню

Загальна кількість: 50 + 20 + 30 = 100 (шт.)

Загальна вартість: 50 ⋅ 8000 + 20 ⋅ 12000 + 30 ⋅ 10000 = = 400000 + 240000 + 300000 = 940000 (грн)

Середня вартість: 940000 100 = 9400 (грн)

2. Визначте, яка модель була

Найбільша кількість продажів: 50 (модель А-17)

⋅ 100%= 30% Відповідь: 1) 9400 грн; 2) А-17; 3) 30 %.

=0 або ���� 2 18����− 63 =0 ���� =( 18)2 4 ⋅ 1

Кількість

4 ⋅ 3= 12

Кількість

12 ⋅ 2= 24

Відповідь: 12 способів; 24 способи.

1) кратним числу 10; Остання

0.

2 ⋅ 1=2 Відповідь: 2

2)

999 − 100 +1= 900

Відповідь: 900.

2) трицифрових чисел, усі цифри яких різні;

На першому місці — 9 варіантів (крім 0).

На другому місці — 9 варіантів (крім обраної цифри).

На третьому місці — 8 варіантів.

9 ⋅ 9 ⋅ 8= 648

Відповідь: 648.

3) трицифрових чисел, сума цифр яких більша за 25?

Сума 27: (9, 9, 9) — 1 число.

Сума 26: (9, 9, 8), (9, 8, 9), (8, 9, 9) — 3 числа.

1+3=4

Відповідь: 4.

68. Класичне доміно складається

кісточку. Яка ймовірність того, що:

1) вона не є

7: (0;0), (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Кількість

(����)= 21 28 = 3 4

2)

Переведемо

0,72.

70. У функцію ���� = �������� + 18

1)

2)

-яка

2)

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook