shkola.in.ua
2) ����1 (���� )= 9 ����− 2 , ����2 (���� )= 5 ���� +2
9���� =(����− 2)(5+2���� )
9���� =5���� +2���� 2 10 4���� 2����
3���� =(����− 5)(2����− 8)
1 м3 =1,29 кг = 1290 г
10 м3 = 10 ⋅ 1290 = 12 900 г
12 900 =1,29 ⋅ 104
Відповідь: 1,29 ⋅ 104 г
23.
1) 21,4 ⋅ 10−3 i 27,6 ⋅ 10−3
Сума: (21,4 + 27,6) ⋅ 10−3 = 49 ⋅ 10−3 =4,9 ⋅ 10−2
Добуток: (21,4 ⋅ 10−3 ) ⋅ (27,6 ⋅ 10−3 )= 590,64 ⋅ 10−6 =5,9064 ⋅ 10−4
2) 4,8 ⋅ 102 i 1,2 ⋅ 101
Сума: 480 + 12 = 492 =4,92 ⋅ 102
Добуток: (4,8 ⋅ 102 ) ⋅ (1,2 ⋅ 101 )=5,76 ⋅ 103
1) ����(0;2) ⇒ 2=02 ⇒ 2 ≠ 0
Відповідь: ні
2) ����(0;0) ⇒ 0=02 ⇒ 0=0
Відповідь: так
3) ���� ( 4; 16) ⇒ 16 =( 4)2 ⇒ 16 = 16
Відповідь: так
4) ����(4;8) ⇒ 8=42 ⇒ 8 ≠ 16
Відповідь: ні
27. Чи належить графіку функції ���� = √���� точка:
1) ����( 4;2) ⇒ 2= √ 4
Відповідь: ні (вираз √ 4
2) ����(0;0) ⇒ 0= √0 ⇒ 0=0
Відповідь: так
3) ���� (4;2) ⇒ 2= √4 ⇒ 2=2
Відповідь: так
4) ����(8;4) ⇒ 4= √8 ⇒ 4 ≠ 2√2
Відповідь: ні
28.
1) ���� = ���� 2 i ���� =4
���� 2 =4 ⇒���� =±2
Точки перетину: (−2;4),(2;4)
(0;0),(1;1) 4) ���� = √���� i ���� =2
(4;2)
2) цілі: 8,0, 4
3)
6) ����� 2 +8���� + 16 = �(���� +4)2 =|���� +4|; так як ���� < 4, то���� +4<0, отже |���� +4|= (���� +4)= −����− 4 35. Спростіть вираз: 1)
11 +2(11 +2√11 +1)= = 15 4√11 + 22 +4√11 +2= 39 7) �(1+ √3)2 + �(1 √3)2 =|1+ √3|+|1 √3|=1+ √3 + √3 1=2√3 8) �(2 √2)2 + �(1 √2)2 =|2 √2|+|1 √2|=2 √2 + √2 1=1
Відповідь: раціональні значення: 2), 4), 6), 8); ірраціональні значення: 1), 3), 5), 7).
36. Розв’яжіть рівняння:
1) ���� 2 = 16;
���� =±√16;
����1 =4, ����2 = 4
2) ���� 2 = 4;
коренів немає, бо ���� 2 ≥ 0
3) 4���� 2 = 100;
���� 2 = 100 ∶ 4;
���� 2 = 25;
���� =±√25;
����1 =5, ����2 = 5
4) ���� 2 =3;
���� =±√3;
����1 = √3, ����2 = √3
5) (���� +1)2 = 25;
���� +1=±√25;
���� +1=5 або ���� +1= 5;
����1 =4, ����2 = 6
6) (����− 9)2 =0;
����− 9=0;
���� =9
37. Розв’яжіть рівняння:
1) √���� =5;
���� =52 ; ���� = 25
2) √���� =1,1;
���� =(1,1)2 ;
���� =1,21
3) √���� +1 +6=0;
√���� +1 = 6;
коренів немає, бо √���� +1 ≥ 0
4) √����− 5 =0;
����− 5=0;
���� =5
38. Спростіть вираз:
1)
рівняння: 1) ���� 2 2����− 8=0;
=(−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8)=4+ 32 = 36;
= 2± √36 2 ⋅ 1 = 2±6 2 ; ����1 = 8 2 =4; ����2 = 4 2 = 2 2) ���� 2 +6����− 7=0; ���� =62 4 ⋅ 1 ⋅ ( 7)= 36 + 28 = 64;
= 6± √64 2 ⋅ 1 = 6±8 2 ; ����1 = 2 2 =1; ����2 = 14 2 = 7 3) 7���� = 24 − 5���� 2 ; 5���� 2 +7����− 24 =0; ���� =72 4 ⋅ 5 ⋅ ( 24)= 49 + 480 = 529;
= −7± √529 2 ⋅ 5 = −7± 23 10 ; ����1 = 16 10 =1,6; ����2 = 30 10 = 3 4) 1 5���� =6���� 2 ; 6���� 2 +5����− 1=0; ���� =52 4 ⋅ 6 ⋅ ( 1)= 25 + 24 = 49; ���� = 5± √49 2 ⋅ 6 = 5±7 12 ; ����1 = 2 12 = 1 6 ; ����2 = −12 12 = 1
рівняння: 1) ���� 2 8���� + 16 =0; (����− 4)2 =0; ����− 4=0; ���� =4
2) ���� 2 + 12���� + 27 =0;
���� = 122 4 ⋅ 1 ⋅ 27 = 144 108 = 36;
���� = 12 ± √36 2 ⋅ 1 = 12 ±6 2 ;
����1 = 6 2 = 3, ����2 = 18 2 = 9
3) 15���� 2 +4=8���� ;
15���� 2 8���� +4=0;
���� =( 8)2 4 ⋅ 15 ⋅ 4= 64 240 = 176;
���� <0; коренів немає
4) 4���� 2 = 37����− 9;
4���� 2 − 37���� +9=0;
���� =( 37)2 4 ⋅ 4 ⋅ 9= 1369 144 = 1225;
���� = 37 ± √1225 2 ⋅ 4 = 37 ± 35 8 ;
����1 = 72 8 =9, ����2 = 2 8 =0,25
41. Розв’яжіть квадратне рівняння
1) ���� 2 16���� + 15 =0;
����1 + ����2 = 16;
����1 ⋅����2 = 15;
����1 = 15, ����2 =1
2) ���� 2 + 11���� + 10 =0;
����1 + ����2 = 11;
����1 ⋅����2 = 10;
����1 = 10, ����2 = 1
3) ���� 2 2����− 24 =0;
����1 + ����2 =2;
����1 ⋅����2 = 24;
����1 =6, ����2 = 4
4) ���� 2 +2����− 3=0;
����1 + ����2 = 2;
����1 ⋅����2 = 3;
=
1) ���� 2 6���� +8; ���� 2 6���� +8=0; ���� =( 6)2 4 ⋅ 1 ⋅ 8= 36 32 =4; ���� = 6±2 2 ; ����1 =4, ����2 =2;
2 6���� +8=(����− 4)(����− 2)
2) ���� 2 −����− 2;
2 −����− 2=0; ���� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 2)=1+8=9; ���� = 1±3 2 ; ����1 =2, ����2 = 1;
2 −����− 2=(����− 2)(���� +1)
3) 5���� 2 +3����− 2; 5���� 2 +3����− 2=0;
=32 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−2)=9+ 40 = 49;
= 3±7 10 ; ����1 =0,4, ����2 = 1; 5���� 2 +3����− 2=5(����− 0,4)(���� +1)=(5����− 2)(���� +1) 4) 6���� 2 + 14����− 8; 6���� 2 + 14����− 8=0; ���� = 142 − 4 ⋅ (−6) ⋅ (−8)= 196 − 192 =4; ���� = 14 ±2 12 ; ����1 =1, ����2 = 16 12 = 4 3 ; 6���� 2 + 14����− 8= 6(����− 1)(����− 4 3)=(����− 1)( 6���� +8)= 2(����− 1)(3����− 4)
1) ���� 2 4���� +3; ���� 2 − 4���� +3=0; ����1 + ����2 =4, ����1 ⋅����2 =3; ����1 =3, ����2 =1; ���� 2 4���� +3=(����− 3)(����− 1) 2) ���� 2 2����− 8;
���� 2 2����− 8=0;
����1 + ����2 =2, ����1 ⋅����2 = 8;
����1 =4, ����2 = 2;
���� 2 2����− 8=(����− 4)(���� +2)
3) 7���� 2 +5����− 2;
7���� 2 +5����− 2=0; ���� =52 4 ⋅ 7 ⋅ ( 2)= 25 + 56 = 81;
���� = 5±9 14 ; ����1 = 4 14 = 2 7 , ����2 = 1;
7���� 2 +5����− 2=7(����− 2 7)(���� +1)=(7����− 2)(���� +1)
4) 9���� 2 + 12����− 4;
−9���� 2 + 12����− 4=0; ���� = 122 4 ⋅ ( 9) ⋅ ( 4)= 144 144 =0; ���� = 12 18 = 2 3 ; 9���� 2 + 12����− 4= 9(����− 2 3)2 = (3(����− 2 3))2 = (3����− 2)2
44. Скоротіть дріб:
1) ����− 1
2���� 2 +3����− 5 ;
2���� 2 +3����− 5=0; ���� =32 4 ⋅ 2 ⋅ ( 5)=9+ 40 = 49; ���� = 3±7 4 ; ����1 =1, ����2 = −2,5; ����− 1
2(����− 1)(���� +2,5) = ����− 1 (����− 1)(2���� +5) = 1 2���� +5
2) ���� 2 9 ���� 2 +2����− 3 ;
���� 2 +2����− 3=0;
����1 = −3, ����2 =1; (����− 3)(���� +3) (���� +3)(����− 1) = ����− 3 ����− 1
3) ���� 2 2���� +1
3���� 2 4���� +1 ;
3���� 2 4���� +1=0; ���� =( 4)2 4 ⋅ 3 ⋅ 1= 16 12 =4;
���� = 4±2 6 ; ����1 =1, ����2 = 1 3 ; (����− 1)2
3(����− 1)(����− 1 3) = (����− 1)2 (����− 1)(3����− 1) = ����− 1 3����− 1
4) ���� 3 +5���� 2 24���� ���� 3 +2���� 2 15���� = ���� (���� 2 +5����− 24) ���� (���� 2 +2����− 15) =
2 +5����− 24 ���� 2 +2����− 15 ;
���� 2 +5����− 24 =0; ����1 = 8, ����2 =3;
���� 2 +2����− 15 =0; ����1 = 5, ����2 =3; (���� +8)(����− 3) (���� +5)(����− 3) = ���� +8 ���� +5
45. Розв'яжіть рівняння:
1) 8���� (����− 5)+5=3(���� 2 10);
8���� 2 40���� +5=3���� 2 30;
5���� 2 40���� + 35 =0;
���� 2 − 8���� +7=0;
����1 =7, ����2 =1
2) (����− 2)(���� +6)=3����− 6;
���� 2 +6����− 2����− 12 3���� +6=0;
���� 2 + ����− 6=0;
����1 = 3, ����2 =2
3) ���� 4 50���� 2 + 49 =0;
Нехай ���� 2 = ���� , ����≥ 0:
���� 2 50���� + 49 =0;
����1 = 49, ����2 =1;
���� 2 = 49 ⇒����1,2 =±7;
���� 2 =1 ⇒����3,4 =±1
4) (3����− 2)4 (3����− 2)2 12 =0;
Нехай (3����− 2)2 = ���� , ����≥ 0:
���� 2 −����− 12 =0;
���� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 12)=1+ 48 = 49;
����1 = 1+7 2 =4, ����2 = 1 7 2 = 3 (не
(3����− 2)2 =4;
3����− 2=2 або 3����− 2= 2;
3���� =4 ⇒����1 = 4 3 =1 1 3 ;
3���� =0 ⇒����2 =0
46. Розв’яжіть рівняння:
1) 4���� (���� +1)+5=4(2���� +1);
4���� 2 +4���� +5=8���� +4;
4���� 2 4���� +1=0;
(2����− 1)2 =0;
2����− 1=0;
2���� =1;
���� =0,5
2) (���� +6)(����− 5)+2=4���� ; ���� 2 5���� +6����− 30 +2 4���� =0; ���� 2 − 3����− 28 =0;
����1 + ����2 =3; ����1 ⋅����2 = −28;
����1 =7, ����2 = −4
3) 9���� 4 + 26���� 2 3=0;
Нехай ���� 2 = ���� , ����≥ 0:
9���� 2 + 26����− 3=0; ���� = 262 4 ⋅ 9 ⋅ ( 3)= 676 + 108 = 784; ���� = 26 ± 28 18 ; ����1 = 2 18 = 1 9 ,
���� 2 = 1 9 ; ����1,2 =± 1 3
4) (���� 2 + ���� +2)(���� 2 + ����− 1)= 40;
Нехай ���� 2 + ���� = ���� :
0);
(���� +2)(����− 1)= 40;
���� 2 −���� +2����− 2 40 =0;
���� 2 + ����− 42 =0;
����1 = 7, ����2 =6;
���� 2 + ���� = 7; ���� 2 + ���� +7=0; ���� =1 28 = 27 <0 (коренів немає);
���� 2 + ���� =6; ���� 2 + ����− 6=0; ����1 = −3, ����2 =2
47. Розв’яжіть рівняння:
1) 1 2���� 3���� +4 = ���� +7 1 −���� ;
(1 − 2���� )(1 −���� )=(���� +7)(3���� +4);
1 −����− 2���� +2���� 2 =3���� 2 +4���� + 21���� + 28;
2���� 2 3���� +1=3���� 2 + 25���� + 28;
���� 2 + 28���� + 27 =0;
����1 = 27, ����2 = 1
2) 4 ����− 0,5 = ���� +3;
4=(���� +3)(����− 0,5);
4= ���� 2 − 0,5���� +3����− 1,5;
���� 2 +2,5����− 5,5=0; 2���� 2 +5����− 11 =0; ���� =52 4 ⋅ 2 ⋅ ( 11)= 25 + 88 = 113; ����1,2 = 5± √113 4
3) 5 ����− 3 8 ���� =3;
5����− 8(����− 3) ���� (����− 3) =3;
5����− 8���� + 24 =3���� (����− 3);
3���� + 24 =3���� 2 9���� ;
3���� 2 − 6����− 24 =0;
���� 2 2����− 8=0;
����1 =4, ����2 = 2
4) ����− 1 ���� +3 + ���� +3 2����− 6 = 5 2 ;
3)(����−
+3)(����−
+3)2
4) ����− 1 ���� +3 + ���� +3 2����− 6 = 5 2 ;
����− 1 ���� +3 + ���� +3 2(����− 3) = 5 2 ;
2(����− 3)(����− 1)+(���� +3)2 2(����− 3)(���� +3) = 5 2 ;
2(���� 2 4���� +3)+ ���� 2 +6���� +9 ���� 2 9 =5;
3���� 2 2���� + 15 =5���� 2 45;
2���� 2 +2����− 60 =0; ���� 2 + ����− 30 =0;
����1 = 6, ����2 =5 49. Запишіть
1) обидва корені дорівнюють 0;
���� 2 =0
Відповідь: 4 і 16.
їх різниця дорівнює 30.
⋅���� = 64
����−���� = 30
���� = 30 + ����
(30 + ����)���� = 64
30���� + ���� 2 = 64
���� 2 + 30����− 64 =0
= 302 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−64)= 900 + 256 = 1156
����1 = 30 + 34 2 =2
����2 = 30 34 2 = 32
����1 = 30 +2= 32
����2 = 30 +( 32)= 2
Відповідь: 32 і 2 або -2 і -32.
�����02 +2��������0 +1=0 ����02 + ����0 +2���� =0
Віднімемо від першого рівняння друге: (����02 +2��������0 +1) (����02 + ����0 +2���� )=0
2��������0 −����0 +1 2���� =0
����0 (2����− 1) (2����− 1)=0 (2����− 1)(����0 1)=0 1) 2����− 1=0 ⇒���� =0,5
Перевіримо ���� =0,5:
2 +2 ⋅ 0,5 ⋅���� +1=0 ⇒���� 2 + ���� +1=0 (���� =1 4= 3<0, коренів немає) ���� 2 + ���� +2 ⋅ 0,5=0 ⇒���� 2 + ���� +1=0 Оскільки рівняння
2) ����0 1=0 ⇒����0 =1
250 ⋅ 0,15 = 37,5 (г)
Нехай ���� г —
Складаємо рівняння
37,5
250 + ���� =0,1
37,5=0,1(250 + ���� )
37,5= 25 +0,1����
0,1���� = 37,5 25
0,1���� = 12,5 ���� = 125
Відповідь: 125 г.
250 + ���� (г).
1,5���� +0,75(60
0,75���� = 72 − 45
0,75���� =
= 88 ⋅ 6= 528
����5 = 86 ⋅ 5= 430
���� = 528 430 = 98
Відповідь: 98 балів.
63. Марина проаналізувала
(табл. 1):
1.
середню
Загальна кількість: 50 + 20 + 30 = 100 (шт.)
Загальна вартість: 50 ⋅ 8000 + 20 ⋅ 12000 + 30 ⋅ 10000 = = 400000 + 240000 + 300000 = 940000 (грн)
Середня вартість: 940000 100 = 9400 (грн)
2. Визначте, яка модель була
Найбільша кількість продажів: 50 (модель А-17)
⋅ 100%= 30% Відповідь: 1) 9400 грн; 2) А-17; 3) 30 %.
=0 або ���� 2 18����− 63 =0 ���� =( 18)2 4 ⋅ 1
Кількість
4 ⋅ 3= 12
Кількість
12 ⋅ 2= 24
Відповідь: 12 способів; 24 способи.
1) кратним числу 10; Остання
0.
2 ⋅ 1=2 Відповідь: 2
2)
999 − 100 +1= 900
Відповідь: 900.
2) трицифрових чисел, усі цифри яких різні;
На першому місці — 9 варіантів (крім 0).
На другому місці — 9 варіантів (крім обраної цифри).
На третьому місці — 8 варіантів.
9 ⋅ 9 ⋅ 8= 648
Відповідь: 648.
3) трицифрових чисел, сума цифр яких більша за 25?
Сума 27: (9, 9, 9) — 1 число.
Сума 26: (9, 9, 8), (9, 8, 9), (8, 9, 9) — 3 числа.
1+3=4
Відповідь: 4.
68. Класичне доміно складається
кісточку. Яка ймовірність того, що:
1) вона не є
7: (0;0), (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Кількість
(����)= 21 28 = 3 4
2)
Переведемо
0,72.
70. У функцію ���� = �������� + 18
1)
2)
-яка
2)