1.
9. Розв'яжіть рівняння:
1) 2����− 6 ���� +3 =0
2����− 6=0
2���� =6 ���� =3 2) 2 ���� +4 ���� =0
2����− (���� +4) ���� =0
2����−����−
���� = 3
10. Розв'яжіть рівняння:
1) 2���� +4 ����− 2 =0
2���� +4=0
2���� = −4
���� = 2
2) 3 ���� +8 ���� =0
3����− (���� +8) ���� =0
3����−����− 8 ���� =0
2����− 8=0
2���� =8
���� =4
3) ���� ���� +1 = 4 5
5���� =4(���� +1)
5���� =4���� +4
���� =4
4) 2���� 2 +8 ����− 1 =2����
2���� 2 +8=2���� (����− 1)
2���� 2 +8=2���� 2 2����
8= −2����
���� = 4
11. Обчисліть: 1) 9−2 = 1 92 = 1 81
2) ( 4)−3 = 1 (−4)3 = 1 −64 = 1 64
3) ( 1)−7 = 1 ( 1)7 = 1 1 = 1
4) 14−1 = 1 14
5) 29 ⋅ 2−10 =29+(−10) =2−1 = 1 2 =0,5
6) 5 ∶ 5−1 =51 ∶ 5−1 =51−(−1) =52 = 25
7)
12. Обчисліть:
1) 2−3 = 1 23 = 1 8 =0,125
2) ( 5)−2 = 1 ( 5)2 = 1 25 =0,04
4) 15−1 = 1 15
5) 48 ⋅ 4−10 =48+(−10) =4−2 = 1 42 = 1 16 =0,0625 6) 7−1 ∶ 7=7−1 ∶ 71 =7−1−1 =7−2 = 1 72 = 1 49
7) 9−4 9−5 =9−4−(−5) =9−4+5 =91 =9
1) (1,8 ⋅ 10−5 ) ⋅ (3 ⋅
2) (1,7 ⋅ 104 ) ∶ (3,4 ⋅ 10−3 )=(1,7 ∶ 3,4) ⋅ 104−(−3) =0,5 ⋅ 107 =5 ⋅ 106
3) 3,2 ⋅ 10−3 +7 ⋅ 10−3 =(3,2+7) ⋅ 10−3 = 10,2 ⋅ 10−3 =1,02 ⋅ 10−2
4) 5,42 ⋅ 108 4,3 ⋅ 108 =(5,42 4,3) ⋅ 108 =1,12 ⋅ 108 14. Виконайте дії та
1) (5 ⋅ 108 ) ⋅ (2,4 ⋅ 10−3 )=(5 ⋅ 2,4) ⋅ 108+(−3) = 12 ⋅ 105 =1,2 ⋅ 106
2) (7 ⋅ 108 ) ∶ (3,5 ⋅ 10−1 )=(7 ∶ 3,5) ⋅ 108−(−1) =2 ⋅ 109
3) 4,9 ⋅ 104 +2 ⋅ 104 =(4,9+2) ⋅ 104 =6,9 ⋅ 104 4) 4,42
15. Побудуйте графіки функцій:
1) ���� = 8 ���� х
1)
3)
2+ 1 ����− 20 + ����− 18 ����− 20 =0;
2(����− 20)+1+ ����− 18 ����− 20 =0;
2����− 40 +1+ ����− 18 ����− 20 =0;
3����− 57 ����− 20 =0;
3����− 57 =0, при ����− 20 ≠ 0;
3���� = 57; ���� = 19.
2) 4 ���� +1 + 3����− 7 ����− 2 =3;
4(����− 2)+(3����− 7)(���� +1) (���� +1)(����− 2) =3;
4����− 8+3���� 2 +3����− 7����− 7 ���� 2 − 2���� + ����− 2 =3;
3���� 2 15 ���� 2 −����− 2 =3;
3���� 2 − 15 =3(���� 2 −����− 2), при ����≠−1, ����≠ 2;
3���� 2 15 =3���� 2 3����− 6; 15 = 3����− 6;
3���� = 15 − 6;
3���� =9; ���� =3.
3) 100���� + 18���� = 100 ⋅ 19 + 18 ⋅ 3= 1900 + 54 = 1954.
3+ 1 ����− 16 = ����− 13 16 −���� i 5 ���� +1 + 2����− 1 ���� +3 =2
100���� + 19����,
1) 3+ 1 ����− 16 = ����− 13 16 −���� ;
3+ 1 ����− 16 = ����− 13 ����− 16 ;
3+ 1 ����− 16 + ����− 13 ����− 16 =0;
3(����− 16)+1+ ����− 13 ����− 16 =0;
3����− 48 +1+ ����− 13 ����− 16 =0;
4����− 60 ����− 16 =0;
4����− 60 =0, при ����≠ 16;
4���� = 60; ���� = 15.
2) 5 ���� +1 + 2����− 1 ���� +3 =2;
5(���� +3)+(2����− 1)(���� +1) (���� +1)(���� +3) =2; 5���� + 15 +2���� 2 +2����−����− 1 ���� 2 +3���� + ���� +3 =2;
2���� 2 +6���� + 14 ���� 2 +4���� +3 =2; 2���� 2 +6���� + 14 =2(���� 2 +4���� +3), при ����≠−1, ����≠−3; 2���� 2 +6���� + 14 =2���� 2 +8���� +6; 14 6=8����− 6����; 8=2����; ���� =4.
3) 100���� + 19���� = 100 ⋅ 15 + 19 ⋅ 4= 1500 + 76 = 1576.
Відповідь: 1576 рік.
23. Обчисліть, використовуючи властивості степенів:
1) (4−3 )7 ⋅ (((4−2 )3 ))−4 =4−3⋅7 ⋅ (4−2⋅3 )−4 =4−21 ⋅ (4−6 )−4 = =4−21 ⋅ 4−6⋅(−4) =4−21 ⋅ 424 =4−21+24 =43 = 64;
2) 10−5 ⋅ (10−7 )4 (10−11 )3 = 10−5 ⋅ 10−7⋅4 10−11⋅3 = 10−5 ⋅ 10−28 10−33 = 10−5+(−28) 10−33 = = 10−33 10−33 =1;
3) 4−5 ⋅ ( 1 2)−8 =(22 )−5 ⋅ (2−1 )−8 =22⋅(−5) ⋅ 2−1⋅(−8) =2−10 ⋅ 28 =
=2−10+8 =2−2 = 1 22 = 1 4 =0,25;
4) 243−2 ⋅ (3−7 )−2 =(35 )−2 ⋅ 3−7⋅(−2) =35⋅(−2) ⋅ 314 =3−10 ⋅ 314 =
=3−10+14 =34 = 81;
5) ( 5)−4 ⋅ 25−2 (−125)−3 = 5−4 ⋅ (52 )−2 (−(53 ))−3 = 5−4 ⋅ 5−4 −5−9 = 5−8 −5−9 = 5−8−(−9) = = 51 = 5;
6) 0, 01−3 ⋅ 10−8 =(10−2 )−3 ⋅ 10−8 = 10−2⋅(−3) ⋅ 10−8 = 106 ⋅ 10−8 = = 106−8 = 10−2 =0,01.
24. Обчисліть, використовуючи
степенів: 1) (5−2 )5 ⋅ ((5−1 )−3 )3 =5−2⋅5 ⋅ (5−1⋅(−3) )3 =5−10 ⋅ (53 )3 =5−10 ⋅ 59 = =5−10+9 =5−1 = 1 5 =0,2; 2) 7−4 ⋅ (7−2 )5 (73 )−5 = 7−4 ⋅ 7−10 7−15 = 7−14 7−15 =7−14−(−15) =71 =7; 3) ( 1 6)−7 ⋅ 36−4 =(6−1 )−7 ⋅ (62 )−4 =67 ⋅ 6−8 =67−8 =6−1 = 1 6 ; 4) 16−5 ⋅ (2−3 )−7 =(24 )−5 ⋅ 221 =2−20 ⋅ 221 =2−20+21 =21 =2;
���� +4���� ���� +4���� =1.
1>0.
Відповідь: ні, не існує. 27. Обчисліть
(���� +1)3 (1 −���� )(1+ ���� ) ⋅ 3(1 −���� ) (���� +1)2 ; (���� +1)3 ⋅ 3(1 −���� )
(1 −���� )(1+ ���� ) ⋅ (���� +1)2 ;
3(���� +1)3 (���� +1)3 =3.
При ���� = 2026
6(����− 1)3 (���� +1)
(����− 1)3 (���� +1) =6.
При ���� = 2027 значення виразу дорівнює 6.
Відповідь: Валентин Білас посів 6-те місце.
29. 1) Знайдіть цілі корені рівняння 8 |���� | =6 −���� , використовуючи графічний спосіб розв'язування.
2) Спробуйте розв’язати рівняння аналітично та знайти його
1)
:(2;4),(4;2),(8;1),( 2;4),( 4;2),( 8;1).
Точки для ���� =6 −���� :(0;6),(6;0),(2;4),(4;2),( 2;8).
Графіки
Цілі корені: 2;4.
2) Аналітичне розв’язання для ���� <0: 8 −���� =6 −���� ; 8= ���� (6 −���� ); 8=6����−���� 2 ;
3 √17 ≈ 3 4,12 = 1,12(не цілий корінь).
Якщо ���� = 2, то ���� =( 2)2 =4;
Якщо ���� =0, то ���� =02 =0;
Якщо ���� =7, то ���� =72 = 49.
32. Чи має корені рівняння:
1) ���� 2 =4; ���� =±√4; ���� =±2.
Відповідь: так.
2) ���� 2 = −4;
���� 2 ≥ 0 для будь-якого ���� , а 4<0.
Відповідь: ні.
3) ���� 2 =0; ���� =0.
Відповідь: так.
4) ���� 2 = 10; ���� =±√10.
Відповідь: так.
33. Обчисліть:
1) √25 =5;
2) �0,09 =0,3; 3)�1 11 25 = �36 25 = 6 5 =1,2;
8) �2(0,32 +0,41) = �2(0,09 +0,41) = �2 ⋅ 0,5 = √1 =1.
34. Обчисліть:
1) √36 =6;
2) �0,49 =0,7; 3)�2 1 4 = �9 4 = 3 2 =1,5;
4) √100 +5�0,64 = 10 +5 ⋅ 0,8= 10 +4= 14;
5) − 10�0,09 = −10 ⋅ 0,3= −3;
6) 8�3 1 16 =8�49 16 =8 ⋅ 7 4 = 14;
7) �152 92 = √225 81 = √144 = 12;
8) �8(0,42 +0,34) = �8(0,16 +0,34) = �8 ⋅ 0,5 = √4 =2.
35. Знайдіть
≈ 3,6055...
3,61; 3,61 +6,79 = 10,4.
1) √15 +7,383 ≈ 3,873 +7,383 = 11,256; 2) 13 − √26 ≈ 13 − 5,099 =7,901; 3) √3 + √2 ≈ 1,732 +1,414 =3,146.
37. Обчисліть:
1) ( √17)2 = 17; 2) 2,9+(√3)2 =2,9+3=5,9;
3) √100 ⋅ 64 = 10 ⋅ 8= 80;
4) √3 ⋅ √27 = √3 ⋅ 27 = √81 =9;
5)�121 169 = 11 13 ; 6) √32 √2 = �32 2 = √16 =4;
7) 3�( 7)2 = 3 ⋅ | 7|= 3 ⋅ 7= 21;
8) �36 =36:2 =33 = 27.
38. Обчисліть:
1) (√19)2 = 19;
2) 3,7 ( √2)2 =3,7 2=1,7;
3) √25 ⋅ 10000 =5 ⋅ 100 = 500;
4) √2 ⋅ √50 = √2 ⋅ 50 = √100 = 10;
5)�64 81 = 8 9 ; 6) √75 √3 = �75 3 = √25 =5;
7) 2�52 = 2 ⋅ 5= 10;
8) �( 11)4 =( 11)4:2 =( 11)2 = 121.
39. Розв'яжіть рівняння:
1) ���� 2 = 49; ���� =±√49;
����1 =7, ����2 = 7.
2) ���� 2 = 49;
3) ���� 2 +0,07 =0,08;
���� 2 =0,08 − 0,07;
���� 2 =0,01;
���� =±�0,01;
����1 =0,1, ����2 = −0,1.
4) 2���� 2 = 12;
���� 2 = 12:2;
���� 2 =6;
���� =±√6;
����1 = √6, ����2 = √6.
5) √���� =3;
���� =32 ;
���� =9.
6) √���� =0;
���� =02 ;
���� =0.
7) √���� +3=8;
√���� =8 − 3;
√���� =5;
���� =52 ;
���� = 25.
8) 1 3 √���� =5;
√���� =5 ∶ ( 1 3);
√���� =5 ⋅ (−3);
√���� = 15;
40. Розв'яжіть рівняння:
1) ���� 2 = 64;
���� =±√64;
����1 =8, ����2 = 8.
2)���� 2 = 64; рівняння не має розв’язків,
3) ���� 2 +5=7;
���� 2 =7 − 5;
���� 2 =2;
���� =±√2;
����1 = √2, ����2 = √2.
4) 1 4 ���� 2 =0;
���� 2 =0: 1 4 ;
���� 2 =0;
���� =0.
5) √���� =1;
���� =12 ;
���� =1.
6) √���� = −8;
7) √���� 2=3;
√���� =3+2;
√���� =5;
���� =52 ;
���� = 25.
8) 4√���� =8;
√���� =8 ∶ 4;
√���� =2; ���� =22 ; ���� =4.
41.
1) √200 = √100 ⋅ 2 = 10√2;
2) √75 = √25 ⋅ 3 =5√3;
3)
1) √20 = √4 ⋅ 5 =2√5;
4) 0,1√200���� = �0,12 ⋅ 200���� = �0,01 ⋅ 200���� = √2����.
45. Розв'яжіть рівняння:
1) 4√���� − 12 =0;
4√���� = 12;
√���� = 12 ∶ 4;
√���� =3;
���� =32 ;
���� =9.
2) 20 √����− 3 = 10;
10 ⋅ √����− 3 = 20;
√����− 3 = 20 ∶ 10;
√����− 3 =2;
����− 3=22 ;
����− 3=4;
���� =4+3;
���� =7.
3) (����− 5)2 = 36;
����− 5=6 або ����− 5= −6;
����1 =6+5, ����2 = 6+5;
����1 = 11, ����2 = 1.
4) (����− 9)2 = −4; рівняння не
розв′язків, бо (���� 9)2 ≥ 0
5) ����− 1 5 = 7 ���� +1 ;
(����− 1)(���� +1)=5 ⋅ 7;
���� 2 1= 35;
���� 2 = 35 +1;
���� 2 = 36;
���� =±√36;
����1 =6, ����2 = −6.
6) (2����− 1)2 +(2���� +1)2 = 18;
4���� 2 − 4���� +1+4���� 2 +4���� +1= 18;
8���� 2 +2= 18;
8���� 2 = 18 2;
8���� 2 = 16;
���� 2 = 16 ∶ 8;
���� 2 =2;
���� =±√2;
����1 = √2, ����2 = √2.
46. Розв'яжіть рівняння:
1) 5√���� + 15 =0;
5√���� = 15;
√���� = −15 ∶ 5;
√���� = 3; рівняння не має розв’язків,
2) 15 √���� +2 =3;
3 ⋅ √���� +2 = 15;
√���� +2 = 15 ∶ 3;
√���� +2 =5;
���� +2=52 ;
���� +2= 25;
���� = 25 2;
���� = 23.
3) (���� +9)2 =0;
���� +9=0;
���� = 9.
4) (����− 3)2 = 49;
����− 3=7 або ����− 3= 7;
����1 =7+3, ����2 = 7+3;
����1 = 10, ����2 = −4.
5) 3 ����− 2 = ���� +2 4 ;
(����− 2)(���� +2)=3 ⋅ 4;
���� 2 4= 12;
���� 2 = 12 +4;
���� 2 = 16;
���� =±√16;
����1 =4, ����2 = 4.
6) (3���� +1)2 +(3����− 1)2 = 56;
9���� 2 +6���� +1+9���� 2 − 6���� +1= 56;
18���� 2 +2= 56;
18���� 2 = 56 − 2;
18���� 2 = 54;
���� 2 = 54 ∶ 18;
���� 2 =3;
���� =±√3;
����1 = √3, ����2 = √3.
1) ���� 2 =3���� ;
Точки
(0;0) та (3;9).
у 0 1 2 4
Для ���� =3 0,25���� :
х 0 4 у 3 2
Точка перетину: (4;2).
Відповідь: ���� =4. 52.
1) ���� 2 = 2���� ;
Відповідь: ����1 =0, ����2 = 2.
2) √���� =5 4���� ;
Для ���� = √���� :
shkola.in.ua
59. Випишіть коефіцієнти ���� , ���� і
1) 3���� 2 +4����− 7=0;
���� =3, ���� =4, ���� = 7.
2) 4���� 2 +8=0;
���� =4, ���� =0, ���� =8.
3) 4����−���� 2 +9=0;
���� = 1, ���� =4, ���� =9.
4) 5���� 2 =0;
���� =5, ���� =0, ���� =0.
5) 9����−���� 2 =0;
���� = −1, ���� =9, ���� =0.
6) 9+8����−���� 2 =0;
���� = −1, ���� =8, ���� =9.
60. Знайдіть,
1) ���� 2 +2����− 3=0;
����1 + ����2 = −2; ����1 ⋅����2 = −3.
2) ���� 2 2���� =0;
����1 + ����2 =2; ����1 ⋅����2 =0.
3) −���� 2 +9����− 8=0;
���� 2 9���� +8=0;
����1 + ����2 =9; ����1 ⋅����2 =8.
4) 2���� 2 4����− 7=0;
���� 2 2����− 3,5=0;
����1 + ����2 =2; ����1 ⋅����2 = 3,5.
5) 5���� 2 8���� +1=0;
���� 2 1,6���� +0,2=0;
����1 + ����2 =1,6; ����1 ⋅����2 =0,2.
6) 6���� 2 12 =0;
���� 2 − 2=0;
����1 + ����2 =0; ����1 ⋅����2 = 2.
61. Розв'яжіть
1) 7���� 2 28 =0;
7���� 2 = 28;
���� 2 =4;
���� =±2.
2) 4���� 2 8���� =0;
4���� (����− 2)=0;
����1 =0, ����2 =2.
3) 9���� 2 =0;
���� 2 =0;
���� =0.
4) 2���� 2 + 18 =0;
2���� 2 = 18;
���� 2 = 9;
коренів немає.
5) 4���� 2 2���� =0;
2���� (2���� +1)=0;
����1 =0, ����2 = 0,5.
6) 0,2���� 2 +0,6���� =0;
0,2���� (���� +3)=0;
����1 =0, ����2 = −3.
62. Розв'яжіть неповні квадратні рівняння:
1) 4���� 2 + 12���� =0;
4���� (���� +3)=0;
����1 =0, ����2 = −3.
2) 4���� 2 36 =0;
4���� 2 = 36;
���� 2 =9;
���� =±3.
3) −���� 2 +2���� =0;
−���� (����− 2)=0;
����1 =0, ����2 =2.
4) 7���� 2 =0;
���� 2 =0;
���� =0.
5) 3���� 2 + 27 =0;
3���� 2 = 27;
���� 2 = 9; коренів немає.
6) 0,3���� 2 3���� =0;
0,3���� (����− 10)=0;
����1 =0, ����2 = 10.
63. Розв'яжіть рівняння:
1) ���� 2 4���� +3=0;
���� =(−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3= 16 − 12 =4;
����1 = 4 2 2 =1;
����2 = 4+2 2 =3;
2) 3���� 2 +2����− 5=0;
���� =22 4 ⋅ 3 ⋅ ( 5)=4+ 60 = 64;
����1 = 2 8 6 = −1 2 3 ;
����2 = −2+8 6 =1;
3) ���� 2 − 10���� + 25 =0;
(����− 5)2 =0;
����− 5=0;
���� =5;
4) 2���� 2 =4 7���� ;
2���� 2 +7����− 4=0;
���� =72 4 ⋅ 2 ⋅ ( 4)= 49 + 32 = 81;
����1 = 7 9 4 = 4;
����2 = −7+9 4 =0,5;
5) ���� 2 =5����− 7;
���� 2 5���� +7=0;
���� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ 7= 25 28 = 3;
���� <0;
коренів немає;
6) 2���� = ���� 2 8;
���� 2 − 2����− 8=0;
���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 8)=4+ 32 = 36;
����1 = 2 6 2 = 2;
����2 = 2+6 2 =4.
64. Розв'яжіть рівняння:
1) ���� 2 −����− 2=0;
���� =(−1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−2)=1+8=9;
����1 = 1 3 2 = 1;
����2 = 1+3 2 =2;
2) 2���� 2 3����− 5=0;
���� =( 3)2 4 ⋅ 2 ⋅ ( 5)=9+ 40 = 49;
����1 = 3 7 4 = −1;
����2 = 3+7 4 =2,5;
3) ���� 2 + 12���� + 36 =0;
(���� +6)2 =0;
���� +6=0;
���� = −6;
4) 3���� =5���� 2 2;
5���� 2 − 3����− 2=0;
���� =( 3)2 4 ⋅ 5 ⋅ ( 2)=9+ 40 = 49;
����1 = 3 7 10 = −0,4;
����2 = 3+7 10 =1;
5) ���� 2 +2=3���� ;
���� 2 3���� +2=0;
���� =(−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2=9 − 8=1;
����1 = 3 1 2 =1;
����2 = 3+1 2 =2;
6) 3���� = ���� 2 +7;
���� 2 3���� +7=0;
���� =( 3)2 4 ⋅ 1 ⋅ 7=9 28 = 19;
���� <0;
����⋅ (���� +4)= 96
���� 2 +4����− 96 =0
���� =42 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−96)= 16 + 384 = 400
����1
����⋅ (���� +5)= 300
���� 2 +5����− 300 =0 ���� =52 4 ⋅ 1 ⋅ ( 300)= 25 + 1200 = 1225 ����1 = 5+ √1225 2 = 5+ 35 2 = 30 2 = 15 ����2 = −5 − 35 2 = 20 (не
���� +5= 15 +5= 20 (м) ���� =2 ⋅ (15 + 20)=2 ⋅ 35 = 70 (м) Відповідь: 70 м
2 7���� +6=0
=(−7)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6= 49 − 24 = 25
= 7+5 2 =6; ����2 = 7 5 2 =1
3���� 2 5���� +2= 3(���� +2)(����− 1 3)=(���� +2)(1 3���� )
1) ���� 2 5����− 6 ���� 2 5����− 6=0 ���� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 6)= 25 + 24 = 49
����1 = 5+7 2 =6
����2 = 5 7 2 = 1 ���� 2 5����− 6=(����− 6)(���� +1)
2) 3���� 2 4���� +1
3���� 2 − 4���� +1=0 ���� =( 4)2 4 ⋅ 3 ⋅ 1= 16 12 =4
����1 = 4+2 2 ⋅ 3 = 6 6 =1
����2 = 4 2 6 = 2 6 = 1 3 3���� 2 4���� +1=3(����− 1)(����− 1 3)=(����− 1)(3����− 1)
3) 2���� 2 +7����− 3 −2���� 2 +7����− 3=0 ���� =72 4 ⋅ ( 2) ⋅ ( 3)= 49 24 = 25 ����1 = 7+5 2 ⋅ (−2) = 2 −4 =0,5
����2 = 7 5 4 = 12 4 =3 2���� 2 +7����− 3= 2(����− 0,5)(����− 3)=(1 2���� )(����− 3) 69.
1) ���� 4 8���� 2 9=0
���� 2 = ���� , де ����≥ 0.
���� 2 8����− 9=0
���� =(−8)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−9)= 64 + 36 = 100
����1 = 8+ 10 2 =9
����2 = 8 − 10 2 = 1 (не задовольняє ����≥ 0)
���� 2 =9
����1,2 =±3
Відповідь: −3;3
2) ���� 4 + 10���� 2 +9=0
Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0.
���� 2 + 10���� +9=0
���� = 102 4 ⋅ 1 ⋅ 9= 100 36 = 64
����1 = 10 +8 2 = 1<0
����2 = 10 8 2 = 9<0
Рівняння не має коренів.
Відповідь: коренів немає
3) ���� 4 − 6���� 2 +8=0
Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0.
���� 2 − 6���� +8=0
���� =( 6)2 4 ⋅ 1 ⋅ 8= 36 32 =4
����1 = 6+2 2 =4
����2 = 6 2 2 =2
���� 2 =4 ⇒����1,2 =±2
���� 2 =2
Відповідь: 2;2; √2; √2
1) ���� 4 3���� 2 4=0
Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0
���� 2 3����− 4=0
���� =(−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−4)=9+ 16 = 25
����1 = 3+5 2 =4
����2 = 3 − 5 2 = 1 (не
���� 2 =4
����1,2 =±2
Відповідь: 2;2
2) ���� 4 4���� 2 +3=0
Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0
����≥ 0)
���� 2 4���� +3=0 ���� =( 4)2 4 ⋅ 1 ⋅ 3= 16 12 =4
����1 = 4+2 2 =3 ����2 = 4 2 2 =1
���� 2 =3 ⇒����1,2 =±√3 ���� 2 =1 ⇒����3,4 =±1
Відповідь: −√3; √3; −1;1
3) ���� 4 + 10���� 2 + 25 =0
Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0
���� 2 + 10���� + 25 =0 (���� +5)2 =0 ���� = 5 (не
����≥ 0)
коренів немає 71. Розв'яжіть рівняння:
1)
3 =0 ���� 2 + ����− 2=0
=12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−2)=1+8=9 ����1 = 1+3 2 =1; ����2 = 1 3 2 = 2 ����− 3 ≠ 0 ⇒����≠ 3
Відповідь: 1; 2
2) ���� 2 +4����− 5
1 =0 ���� 2 +4����− 5=0
= 4+6 2 =1; ����2 = 4 6 2 = 5
1 ≠ 0 ⇒����≠ 1 Відповідь: 5
3)
(����− 2)=0 ����1 =0; ����2 =2
���� =1
����− 3 ≠ 0 ⇒����≠ 3
Відповідь: 1
5) ����− 3 8 = ���� ���� +3
(����− 3)(���� +3)=8����
���� 2 9=8����
���� 2 − 8����− 9=0
���� =( 8)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 9)= 64 + 36 = 100
����1 = 8+ 10 2 =9; ����2 = 8 10 2 = 1
���� +3 ≠ 0 ⇒����≠−3
Відповідь: 9; 1
6) 4 ���� = ���� +3
4= ���� (���� +3)
4= ���� 2 +3����
���� 2 +3����− 4=0
���� =32 4 ⋅ 1 ⋅ ( 4)=9+ 16 = 25
����1 = −3+5 2 =1; ����2 = −3 − 5 2 = 4
����≠ 0
Відповідь: 1; −4
72. Розв'яжіть рівняння:
1) ���� 2 2����− 8 ���� +1 =0 ���� 2 2����− 8=0
���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 8)=4+ 32 = 36
����1 = 2+6 2 =4; ����2 = 2 6 2 = 2
���� +1 ≠ 0 ⇒����≠−1
Відповідь: 4; 2
2) ���� 2 − 3����− 4 ����− 4 =0
���� 2 − 3����− 4=0
���� =( 3)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 4)=9+ 16 = 25
����1 = 3+5 2 =4; ����2 = 3 5 2 = 1
����− 4 ≠ 0 ⇒����≠ 4
Відповідь: 1
3) ���� 2 ���� +4 = 16 ���� +4
���� 2 = 16
����1,2 =±4
���� +4 ≠ 0 ⇒����≠−4
Відповідь: 4
4) ���� 2 3���� ����− 5 = 2 5 −����
���� 2 3���� ����− 5 + 2 ����− 5 =0 ���� 2 3���� +2=0 ���� =(−3)2 − 4
����1 = 3+1 2 =2; ����2 = 3 1 2 =1
����− 5 ≠ 0 ⇒����≠ 5
Відповідь: 2;1
5) ���� +2 ���� = 3 ����− 2
(���� +2)(����− 2)=3����
���� 2 4=3����
���� 2 3����− 4=0
���� =(−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−4)=9+ 16 = 25
����1 = 3+5 2 =4; ����2 = 3 5 2 = 1
����≠ 0; ����− 2 ≠ 0 ⇒����≠ 2
Відповідь: 4; 1
6) 5 ���� =6 −����
5= ���� (6 −���� )
5=6����−���� 2
���� 2 6���� +5=0
���� =( 6)2 4 ⋅ 1 ⋅ 5= 36 20 = 16
����1 = 6+4 2 =5; ����2 = 6 4 2 =1
����≠ 0
Відповідь: 5;1
73. За яких значень
���� ���� 2 + �������� 6=0 ?
⋅ ( 1)2 + ���� ⋅ ( 1) 6=0 ���� ⋅ 32 + ���� ⋅ 3 6=0 ����� ���� =6
9���� +3���� =6 ����� =6+ ���� 9 ⋅ (6+ ����)+3���� =6 54 +9���� +3���� =6 12���� = 48 ���� = −4 ���� =6+( 4)=2 Відповідь: ���� =2, ���� = 4 74.
3���� 2 + �������� + ���� =0 ?
-3
�3
⋅ ( 3)2 + ���� ⋅ ( 3)+ ���� =0
3 ⋅ 22 + ���� ⋅ 2+ ���� =0
�3
⋅ 9 3���� + ���� =0
3 ⋅ 4+2���� + ���� =0
�27
3���� + ���� =0
12 + 2���� + ���� =0
����� =3���� 27
12 + 2���� +(3���� 27)=0
12 +2���� +3���� 27 =0
5���� 15 = 0
5���� = 15
���� =3 ���� =3 ⋅ 3 − 27 =9 − 27 = −18
Відповідь: ���� =3; ���� = 18
75. Розв'яжіть рівняння:
1) (���� +3)(����− 4)= 12
���� 2 4���� +3����− 12 = 12
���� 2 −����− 12 + 12 =0
���� 2 −���� =0
���� (����− 1)=0
����1 =0; ����2 =1
2) (2����− 1)2 =(����− 2)2 4���� 2 4���� +1= ���� 2 4���� +4
3���� 2 − 3=0
3���� 2 =3 ���� 2 =1
����1 =1; ����2 = 1
3) (2����− 3)(2���� +3)=3���� +1
4���� 2 9=3���� +1
4���� 2 3����− 9 1=0
4���� 2 − 3����− 10 =0
���� =( 3)2 4 ⋅ 4 ⋅ ( 10)=9+ 160 = 169
����1 = 3+ 13 2 ⋅ 4 = 16 8 =2
����2 = 3 13 8 = 10 8 = 1,25 4) ���� (����− 3) (���� +2)2 = ���� 2 3���� ���� 2 3����− (���� 2 +4���� +4)= ���� 2 3����
2 4����− 4=0
���� 2 +4���� +4=0 (���� +2)2 =0
���� +2=0
���� = 2
76. Розв'яжіть рівняння:
1) (���� +6)(����− 2)= 12 ���� 2 − 2���� +6����− 12 = −12 ���� 2 +4����− 12 + 12 =0 ���� 2 +4���� =0 ���� (���� +4)=0 ����1 =0; ����2 = 4 2) (3����− 1)2 =(����− 3)2 9���� 2 6���� +1= ���� 2 6���� +9 9���� 2 −���� 2 6���� +6���� +1 9=0
8���� 2 8=0
8���� 2 =8 ���� 2 =1
����1 =1; ����2 = 1
3) (3���� +2)(3����− 2)= ���� +6
9���� 2 4= ���� +6
9���� 2 −����− 4 6=0
���� 2 +2���� +1=0
(���� +1)2 =0
���� +1=0
���� = −1
3���� 2 10���� +8=0
���� =(−10)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 8= 100 − 96 =4
����1 = 10 +2 2 ⋅ 3 = 12 6 =2
����2 = 10 2 6 = 8 6 =1 1 3
2) ���� +3 5 ���� 2 1 10 = 2 5
2(���� +3) (���� 2 1)=2 ⋅ 2
2���� +6 −���� 2 +1=4
−���� 2 +2���� +7 4=0
−���� 2 +2���� +3=0
���� 2 2����− 3=0
���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)=4+ 12 = 16
����1 = 2+4 2 =3
����2 = 2 4 2 = 1
3) ���� =2; ���� =3
600���� +2���� = 600 ⋅ 3+2 ⋅ 2= 1800 +4= 1804
5���� 2 + 25 = 24���� + 30
5���� 2 − 24���� + 25 − 30 =0
5���� 2 24����− 5=0
���� =(−24)2 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−5)= 576 + 100 = 676
����1 = 24 + 26 2 ⋅ 5 = 50 10 =5
����2 = 24 26 10 = 2 10 = 0,2
2) ���� 2 +2 4 + ����− 3 5 = 13 10
5(���� 2 +2)+4(����− 3)= 13 ⋅ 2
5���� 2 + 10 +4����− 12 = 26
5���� 2 +4����− 2 − 26 =0
5���� 2 +4����− 28 =0
���� =42 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−28)= 16 + 560 = 576
����3 = 4+ 24 2 ⋅ 5 = 20 10 =2
����4 = 4 24 10 = 28 10 = 2,8
3) ����1 + ����2 + ����3 + ����4
⋅����2 = −6 2����1 +3����2 =0 2����1 = 3����2 ����1 = 1,5����2 1,5����2 ⋅����2 = 6 1,5����22 = 6
����22 =4
Якщо ����2 =2, то ����1 = −1,5 ⋅ 2= −3
Якщо ����2 = 2, то ����1 = 1,5 ⋅ ( 2)=3
За теоремою Вієта ����1 + ����2 = −����:
1) ����1 = 3; ����2 =2 ⇒−3+2= 1 ⇒���� =1
Перевірка ����: ����1 ⋅����2 = −3 ⋅ 2= −6 (вірно)
2) ����1 =3; ����2 = 2 ⇒ 3+( 2)=1 ⇒���� = 1
Перевірка ����: ����1 ⋅����2 =3 ⋅ ( 2)= 6 (вірно)
Відповідь: ����1 = −3; ����2 =2; ���� =1 або ����1 =3; ����2 = −2; ���� = −1
80. Корені ����1 і ����2 рівняння ���� 2 3���� + ���� =0
умову 2����1 +3����2 =5.
+ ����2 =3 2����1 +3����2 =5 �����1 =3 −����2
2(3 −����2 )+3����2 =5
6 2����2 +3����2 =5
����2 =5 6
����2 = 1
����1 =3 ( 1)=4
За теоремою Вієта: ���� = ����1 ⋅����2 ���� =4 ⋅ ( 1)= 4
Відповідь: ����1 =4; ����2 = 1; ���� = 4
81. Скоротіть дроби: 1) 4����− 12 ���� 2 2����− 3 ���� 2 2����− 3=0 ���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)=4+ 12 = 16
����1 = 2+4 2 =3; ����2 = 2 − 4 2 = 1
4(����− 3)
(����− 3)(���� +1) = 4 ���� +1
2) ���� 2 − 4 2���� 2 5���� +2
2���� 2 5���� +2=0
���� =(−5)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2= 25 − 16 =9
����1 = 5+3 4 =2; ����2 = 5 3 4 =0,5
(����− 2)(���� +2)
2(����− 2)(����− 0,5) = ���� +2 2����− 1
3) 2���� 2 +5����− 3 3����− 2���� 2 1
2���� 2 +5����− 3=0 ���� =52 4 ⋅ 2 ⋅ ( 3)= 25 + 24 = 49
����1 = −5+7 4 =0,5; ����2 = −5 − 7 4 = 3
2���� 2 +3����− 1=0 ���� =32 4 ⋅ ( 2) ⋅ ( 1)=9 8=1 ����3 = 3+1 4
2(����− 0,5)(���� +3) 2(����− 0,5)(����− 1) = ���� +3 (����− 1) = ���� +3 1 −���� 82. Скоротіть дроби: 1) ���� 2 −����− 6 2���� +4 ���� 2 −����− 6=0 ���� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 6)=1+ 24 = 25 ����1 = 1+5 2 =3; ����2 = 1 −
3)(���� +2) 2(���� +2) = ����− 3 2
2) 3���� 2 8����− 3 ���� 2 9
3���� 2 8����− 3=0
���� =(−8)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−3)= 64 + 36 = 100
����1 = 8+ 10 6 =3; ����2 = 8 10 6 = 1 3
3(����− 3)(���� + 1 3)
(����− 3)(���� +3) = 3���� +1 ���� +3
3) 2���� 2 3����− 2 ���� +1 2���� 2
2���� 2 3����− 2=0
���� =(−3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−2)=9+ 16 = 25
����1 = 3+5 4 =2; ����2 = 3 5 4 = 0,5
2���� 2 + ���� +1=0 ���� =12 4 ⋅ ( 2) ⋅ 1=1+8=9 ����3 = 1+3 4 = −0,5; ����4 = 1 3 4 =1
2(����− 2)(���� +0,5) 2(���� +0,5)(����− 1)
Розв'яжіть рівняння: 1) 4���� 2 + 11����− 3 1 4���� =7
4���� 2 + 11����− 3=7(1 − 4���� )
4���� 2 + 11����− 3=7 28���� 4���� 2 + 39����− 10 =0
1)
6���� 2 +5����− 4=2(1 2���� )
6���� 2 +5����− 4=2 − 4����
6���� 2 +9����− 6=0
2���� 2 +3����− 2=0
���� 2 2����− 4���� +8 (���� 2 +2���� +4���� +8)=
���� 2 6���� +8 −���� 2 6����− 8= 24
12���� = 24
���� = 2
360 ���� 360 ���� + 10 =0,5
360(���� + 10) 360���� ���� (���� + 10) =0,5
360���� + 3600 360���� ���� 2 + 10���� =0,5
3600 =0,5(���� 2 + 10���� )
7200 = ���� 2 + 10���� ���� 2 + 10����− 7200 =0 ���� = 102 4 ⋅ 1 ⋅ ( 7200)= 100 + 28800 =
30 хв =0,5 год 24 ���� 24 ���� +4 =0,5
24(���� +4) 24���� ���� (���� +4) =0,5
24���� + 96 24���� ���� 2 +4���� =0,5 96 =0,5(���� 2 +4���� )
192 = ���� 2 +4���� ���� 2 +4����−
���� +4= 12 +4= 16
Відповідь: 12 км/год; 16 км/год 87. Розв'яжіть рівняння:
тоді (���� +4) км/год
����2 = 2 2√3 2 =1 − √3
2) (√���� 3)(���� 2 +2����− 3)=0
√���� 3=0 або ���� 2 +2����− 3=0
√���� =3 ⇒����1 =9
���� 2 +2����− 3=0
���� =22 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)= 16
���� = 2±4 2 ⇒����2 =1; ����3 = −3 Перевірка: √ 3
����1 =9; ����2 =1
3) ���� |���� | 3����− 4=0
���� =4 ⇒ 4 ⋅ |4| 3 ⋅ 4 4= 16 12 4=0 (так) ���� = 1 ⇒−1 ⋅ | 1| 3 ⋅ ( 1) 4= 1+3 4= 2 ≠ 0 (ні) ���� =4 88. Розв'яжіть рівняння:
1) (3���� +1)(9���� 2 3���� +1)=3���� (3����− 1)(3���� +1)+ ����−���� 2
27���� 3 +1=3���� (9���� 2 1)+ ����−���� 2
27���� 3 +1= 27���� 3 3���� + ����−���� 2
1= −2����−���� 2 ���� 2 +2���� +1=0
(���� +1)2 =0
���� = 1
2) (√���� 2)(2���� 2 +3����− 5)=0
√���� 2=0 або 2���� 2 +3����− 5=0
√���� =2 ⇒����1 =4
2���� 2 +3����− 5=0 ���� =32 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−5)=9+ 40 = 49
Перевірка: �−2,5 не має змісту
����1 =4; ����2 =1
3) ���� |���� |+5����− 6=0
1+ 16���� =0
16���� = 1
���� = 0,0625
2) �������� 2 8����− 4=0
а) Якщо ���� =0, то: 8����− 4=0
−8���� =4 ���� = 0,5 (один корінь)
+ 16���� =0
16���� = 64 ���� = −4 ���� =0; ���� = 4
1) ���� 2 + �������� +4=0;
2) ���� ���� 2 +6����− 1=0 ?
1) ���� 2 + �������� +4=0
Рівняння має
���� 2 16 =0
���� 2 = 16
����1 =4; ����2 = 4
2) �������� 2 +6����− 1=0
а) Якщо ���� =0, то:
6����− 1=0
6���� =1 ���� = 1 6 (один корінь) б) Якщо ���� ≠ 0, то
36 + 4���� =0
4���� = −36 ���� = 9
���� =0; ���� = 9
Розв'яжіть рівняння: 1) (���� +1)4 − 3(���� +1)2 − 4=0;
+1)2 =4
���� +1=2 ⟹����1 =1
���� +1= 2 ⟹����2 = 3
Відповідь: 1; 3.
2) (���� 2 + ���� )2 4���� 2 4����− 12 =0; (���� 2 + ���� )2 − 4(���� 2 + ���� ) − 12 =0
Нехай ���� 2 + ���� = ���� . ���� 2 − 4����− 12 =0 ���� =( 4)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 12)= 16 + 48 = 64
����1 = 4+8 2 =6
����2 = 4 8 2 = 2
���� 2 + ���� =6 ⟹���� 2 + ����− 6=0 ���� =12 4 ⋅ 1 ⋅ ( 6)= 25
���� = 1±5 2 ⟹����1 =2, ����2 = −3
���� 2 + ���� = 2 ⟹���� 2 + ���� +2=0 ���� =12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2= −7<0 ⟹
Відповідь: 2; 3.
92. Розв'яжіть рівняння:
1) (����− 2)4 +4(����− 2)2 5=0;
Нехай (����− 2)2 = ���� , де ����≥ 0. ���� 2 +4����− 5=0
=42 4 ⋅ 1 ⋅ ( 5)= 16 + 20 = 36 ����1 = 4+6 2 =1 ����2 = 4 6 2 = −5 ⟹ не
(����− 2)2 =1
����− 2=1 ⟹����1 =3
0
����− 2= 1 ⟹����2 =1
Відповідь: 3;1.
2) (���� 2 −���� )2 − 5���� 2 +5���� +6=0;
(���� 2 −���� )2 5(���� 2 −���� )+6=0
Нехай ���� 2 −���� = ���� .
���� 2 5���� +6=0
���� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ 6= 25 24 =1
����1 = 5+1 2 =3
����2 = 5 1 2 =2
���� 2 −���� =3 ⟹���� 2 −����− 3=0
���� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)= 13
���� = 1± √13 2 ⟹����1 = 1+ √13 2 , ����2 = 1 √13 2
���� 2 −���� =2 ⟹���� 2 −����− 2=0 ���� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 2)=9 ���� = 1±3 2 ⟹����3 =2, ����4 = 1
Відповідь: 1±√13 2 ;2; 1.