h-8-hm-bu by sloven

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ГДЗ Геометрія 8 клас Бурда 2025

Вибери номер завдання:

1-50

51-100

101-150

151-200

201-250

251-300

301-350

351-400

401-450

451-500

501-550

551-600

601-650

651-700

701-750

751-800

801-850

851-900

901-950

951-1000

1001-1050 1051-1100 1101-1150 1151-1200

1201-1250 1251-1300 1301-1350 1351-1364  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Розділ 1. Узагальнення та систематизація вивченого в 7 класі 1. Скільки прямих можна провести через: 1) дві точки; 2) три точки; 3) чотири точки? Зробіть малюнки. 1) одну 2) три 3) шість

la. in.

2. Проведіть прямі АВ і СD, що перетинаються в точці О, яка лежить між точками А і В, С і D. Запишіть назви: 1) променів; 2) доповняльних променів. 1) Промені: 𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂 2) Доповняльні: пари (𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂) і (𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂).

3. На прямій a позначили точки K, L і M. Відомо, що точки K і M лежать по один бік від точки L, а точка K не лежить між точками L і M. Розмістіть ці точки на прямій (зробіть малюнок).

4. Три будинки А, В і С розміщені на прямолінійній вулиці. Будинки А і В розташовані по один бік від будинку С, а будинок В не розміщується між будинками А і С. Зробіть малюнок.

5. Чи лежить точка С на відрізку АВ, якщо: 1) АВ = 10 см, АС = 45 мм, ВС = 0,55 дм; 2) ВС = 41 мм, АС = 0,5 дм, АВ = 9,6 см? Перевіримо обидва випадки, перевівши всі довжини в сантиметри: 1) АВ = 10 см АС = 45 мм = 4,5 см ВС = 0,55 дм = 5,5 см Перевірка:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

АС + ВС = 4,5 + 5,5 = 10 см = АВ. Отже, точка С лежить на відрізку АВ. 2) ВС = 41 мм = 4,1 см АС = 0,5 дм = 5 см АВ = 9,6 см Перевірка: АС + ВС = 5 + 4,1 = 9,1 см, а АВ = 9,6 см. Не дорівнює, отже точка С не лежить на відрізку АВ. Відповідь: 1. Так, лежить. 2. Ні, не лежить. 6. Відстань між містами на карті становить 5 см. Скільки кілометрів потрібно пройти туристам, якщо масштаб карти 1 : 300 000? Масштаб 1 : 300 000 означає, що 1 см на карті відповідає 300 000 см у реальності. Знайдемо реальну відстань: 5 ⨯ 300000 = 1500000 см. Переведемо в кілометри: 1500000 см : 100 = 15000 м : 1000 = 15 км. Відповідь: туристам потрібно пройти 15 км. 7. Відрізок завдовжки 12 см поділено на дві нерівні частини. Знайдіть відстань між серединами цих частин.

Нехай відрізок AB = 12 см розділено в точці C на дві частини: AC = x, CB = 12 - x, x ≠ 6. 𝑥𝑥 Середина першої частини M ділить AC навпіл, тобто: AM = . 2 Середина другої частини N ділить CB навпіл, тому від точки A: 𝐶𝐶𝐶𝐶 12−𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 AN = AC + = x + =x+6- =6+ . 2 2 2 2 Тоді відстань між серединами: 𝑥𝑥 𝑥𝑥 MN = AN - AM = �6 + � − = 6 см. 2 2 Відповідь: відстань між серединами 6 см, незалежно від того, як поділили відрізок. 8. Точки А, В і С розміщені на прямій, причому точка С лежить між точками А і В. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо АС = 12 см, а відрізок ВС у два рази більший.

Маємо: АС = 12 см, ВС = 2 ⨯ АС = 24 см. Відрізок АВ дорівнює сумі: АВ = АС + ВС = 12 + 24 = 36 см. Відповідь: АВ = 36 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

9. Як від шматка тканини завдовжки 8 м відрізати, не відмірюючи: 1) 6 м; 2) 5 м? Маємо шматок тканини довжиною 8 м, потрібно відрізати певну довжину без вимірювань. Використовуємо ділення навпіл і складання. 1) Як відрізати 6 м: Скласти шматок навпіл → отримаємо по 4 м. Від половини (4 м) відкласти ще половину від іншого шматка (тобто 2 м). Разом: 4 м + 2 м = 6 м. 2) Як відрізати 5 м: Скласти весь шматок навпіл → 4 м. Залишок — теж 4 м. Цей залишок поділити навпіл → 2 м. Від 4 м додати половину з другого шматка (1 м із 2 м). Отримаємо 4 м + 1 м = 5 м. 10. Зобразіть точками на площині два населені пункти А і В, відстань між якими дорівнює 10 км. Зобразіть між населеними пунктами А і В таке місце С, щоб виконувалась умова АС = 4ВС. Чому дорівнює відстань АС?

Нехай BC = x, тоді AC = 4x. З умови: AC + BC = AB 4x + x = 10 5x = 10. x = 2 км, AC = 4x = 8 км. Відповідь: відстань AC = 8 км, а BC = 2 км. 11. Три аптеки розміщено уздовж прямолінійної вулиці. Відстань між аптеками № 1 і № 2 становить 2 км, а між аптеками № 1 і № 3 — 1 км. Якою може бути відстань між аптеками № 2 і № 3? Нехай аптека № 1 у точці A, аптека № 2 у точці B так, що AB = 2 км, аптека № 3 у точці 𝐶𝐶 так, що 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 км. Оскільки С може лежати між А і В або за А, маємо два випадки: С між А і 𝐵𝐵 ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 − 1 = 1 км; А між C i B ⇒ BC = AB + AC = 2 + 1 = 3 км. Відповідь: 1 км або 3 км. 12. Бібліотека, школа й кінотеатр розташовані на прямолінійній вулиці, причому кінотеатр розміщується між бібліотекою та школою. Знайдіть відстань між бібліотекою та школою, якщо відстань між бібліотекою й кінотеатром дорівнює 600 м, а між кінотеатром і школою — у три рази менша. Позначимо бібліотеку 𝐿𝐿, кінотеатр 𝐶𝐶, школу 𝑆𝑆 на одній прямій так, що 𝐶𝐶 лежить між 𝐿𝐿 і 𝑆𝑆. 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 600 м, а 𝐶𝐶𝐶𝐶 у три рази менше ⇒ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 600 ∶ 3 = 200 м. Тоді відстань між бібліотекою і школою  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 600 + 200 = 800 м. Відповідь: 800 м. 13. OC — бісектриса кута AOB. Знайдіть: 1) ∠АОВ, якщо ∠АОC = 25°; 2) ∠BОC, якщо ∠АОB = 64°. Якщо 𝑂𝑂𝑂𝑂 - бісектриса ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, то вона ділить його навпіл: 1. ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 25∘ ⇒ ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 25∘ = 50∘ . 1 2. При ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 64∘ маємо ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 32∘ . 2 Відповідь: 1. 50∘ ; 2. 32∘ . 14. Чи проходить промінь ОС між сторонами кута АОВ, якщо: 1) ∠АОС = 92°, ∠ВОС = 43°, ∠АОВ = 48°; 2) ∠АОС = 30°, ∠ВОС = 65°, ∠АОВ = 95°? Промінь 𝑂𝑂𝑂𝑂 лежить всередині кута 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 тоді й тільки тоді, коли ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 1. 92∘ + 43∘ ≠ 48∘ ⇒ ні. 2. 30∘ + 65∘ = 95∘ ⇒ так. 15. На скільки градусів повернеться хвилинна стрілка за: 1) 1 хв; 2) 5 хв; 3) 10 хв? Хвилинна стрілка за 60 хв здійснює повний оберт 360∘ ⇒ за 1xв − 360 ∶ 60 = 6∘ . 1xв → 6∘ ; 5xв → 5 ⋅ 6∘ = 30∘ ; 10xв → 10 ⋅ 6∘ = 60∘ . Відповідь: 6∘ , 30∘ , 60∘ . 16. Знайдіть суміжні кути, якщо один із них: 1) на 34° менший від іншого; 2) утричі більший за інший. Для суміжних кутів 𝛼𝛼 і 𝛽𝛽 завжди виконується 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 180∘ . 1. Нехай більший кут 𝛽𝛽, а менший 𝛼𝛼 так, що 𝛽𝛽 − 𝛼𝛼 = 34∘ . 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 180∘ i 𝛽𝛽 − 𝛼𝛼 = 34∘ ⇒ 𝛽𝛽 = 107∘ , 𝛼𝛼 = 73∘ . 2. Нехай один кут 𝛼𝛼, а другий 𝛽𝛽 = 3𝛼𝛼. 𝛼𝛼 + 3𝛼𝛼 = 180∘ ⇒ 4𝛼𝛼 = 180∘ ⇒ 𝛼𝛼 = 45∘ , 𝛽𝛽 = 135∘ . Відповідь: 1. 73∘ i 107∘ ; 2. 45∘ i 135∘ . 17. Один із суміжних кутів удвічі більший за інший. Яка градусна міра цих кутів? Нехай суміжні кути 𝛼𝛼 і 𝛽𝛽, причому 𝛽𝛽 = 2𝛼𝛼 і 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 180∘ . Отже 3𝛼𝛼 = 180∘ ⇒ 𝛼𝛼 = 60∘ , 𝛽𝛽 = 120∘ . Відповідь: 60∘ і 120∘ . 18. Дві прямі перетинаються. Знайдіть градусну міру утворених кутів, якщо: 1) сума двох із них дорівнює 84°; 2) різниця двох із них дорівнює 42°. При перетині двох прямих утворюються чотири кути: дві рівні пари вертикальних кутів та дві пари суміжних кутів, сума яких дорівнює 180∘ .  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. Нехай сума двох вертикальних кутів дорівнює 84∘ . Оскільки вертикальні кути рівні, кожен із них дорівнює 84∘ = 42∘ . 2 Суміжні з ними кути дорівнюють 180∘ − 42∘ = 138∘ . Отже кути: 42∘ , 138∘ , 42∘ , 138∘. 2. Нехай два суміжні кути відрізняються на 42∘ . Позначимо більший кут 𝑥𝑥, менший −𝑦𝑦. 180∘ + 42∘ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 180∘ , ⟹ 𝑥𝑥 = = 111∘ , 𝑦𝑦 = 180∘ − 111∘ = 69∘ � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 42∘ . 2 Вертикальні до них кути теж 111∘ і 69∘ . 19. Знайдіть градусну міру кутів, утворених при перетині двох прямих, якщо сума двох із них дорівнює 90°. При перетині двох прямих утворюються чотири кути: дві пари вертикальних (рівних) i дві пари суміжних (сума яких 180∘ ). Нехай вертикальні кути позначені 𝛼𝛼 і 𝛼𝛼. За умовою 𝛼𝛼 + 𝛼𝛼 = 90∘ ⇒ 𝛼𝛼 = 45∘. Суміжні з ними кути: 180∘ − 45∘ = 135∘. Відповідь: два кути по 45∘ і два кути по 135∘ . 20. За допомогою перегинань аркуша паперу проведіть через дану точку О пряму, перпендикулярну до даної прямої АВ. Для виконання цього завдання без використання лінійки та косинця, можна скористатися наступним методом складання паперу: 1. Перегніть пряму AB саму на себе. Складіть аркуш паперу таким чином, щоб одна частина прямої AB точно співпала з іншою частиною. Лінія згину буде перпендикулярна до прямої AB . 2. Розгорніть аркуш паперу. Ви побачите лінію згину, яка 𝜖𝜖 перпендикулярною до прямої AB. 3. Перегніть аркуш паперу таким чином, щоб точка 0 опинилася на лінії згину. Зробіть новий згин, який проходить через точку 0 і паралельний першому згину (який є перпендикулярним до АВ). 4. Лінія цього другого згину буде прямою, яка проходить через точку 0i𝜖𝜖 перпендикулярною до прямої AB. Таким чином, за допомогою двох послідовних згинів паперу ви зможете побудувати пряму, що проходить через задану точку 0 і 𝜖𝜖 перпендикулярною до заданої прямої АВ. 21. Пряма а перетинає сторони кута А в точках B і C. Чи можуть обидві прямі АB і АC бути перпендикулярними до прямої а? Ні. Якщо б і пряма АВ, і пряма АС були перпендикулярними до прямої а, то за властивістю перпендикулярності вони були б паралельні одна одній. Але АВ і АС проходять через спільну точку A, тому не можуть бути паралельними. Отже обидві не можуть одночасно бути перпендикулярними до а. 22. Прямі а і b — перпендикулярні. Відстані від точок А і В прямої b до прямої а відповідно дорівнюють 8 см і 12 см. Знайдіть: 1) довжину відрізка АВ; 2) відстань від середини відрізка АВ до прямої а. Скільки випадків треба розглянути? На рисунку прямі а (вертикальна) і b (горизонтальна) перетинаються в точці E , точки A i B лежать на b так, що AE = 8 см, BE = 12 см. Точка М − середина відрізка AB.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Випадок 1. А і В по один бік від прямої а 𝐴𝐴𝐴𝐴 = |𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝐴𝐴𝐴𝐴| = |12 − 8| = 4 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 8 + 12 𝐸𝐸𝐸𝐸 = = = 10 см. 2 2

la. in.

Випадок 2. А і В по різні боки від прямої а 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8 + 12 = 20 см; |𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝐴𝐴𝐴𝐴| |12 − 8| = = 2 см. 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 2 2 Всього 2 випадки.

23. Дві паралельні прямі перетинає третя. Скільки при цьому може бути кутів: 1) гострих; 2) тупих; 3) прямих? При перетині двох паралельних прямих 𝑙𝑙1 i 𝑙𝑙2 третьою (трансверсаллю 𝑡𝑡) завжди утворюється вісім кутів. Існують два варіанти розташування: 1. Трансверсаль не перпендикулярна до паралельних - чотири гострі кути (по два на кожній прямій), - чотири тупі кути (по два на кожній прямій), - жодного прямого кута. 2. Трансверсаль перпендикулярна до паралельних - всі вісім кутів прямі, - гострих і тупих кутів немає. Отже: - гострих може бути 4 (або 0, якщо перпендикулярно), - тупих може бути 4 (або 0, якщо перпендикулярно), - прямих може бути 0 (якщо не перпендикулярно) або 8 (якщо перпендикулярно). 24. Знайдіть кути при двох паралельних прямих і січній, якщо один із них становить третину розгорнутого кута. Нехай дві паралельні прямі ℓ1 і ℓ2 перетинає січна 𝑡𝑡, і позначимо при перетині з ℓ1 кут ∠1. 1 За умовою ∠1 = розгорнутого кута, тобто 3 180∘ ∠1 = = 60∘ . 3 Сусідній суміжний кут ∠2 доповнює до 180∘ : ∠2 = 180∘ − 60∘ = 120∘ .  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Усі інші кути, утворені паралельними та січною, за властивістю відповідних і внутрішніх односторонніх кутів рівні одному з цих: - гострі кути - 60∘ , - тупі кути - 120∘ . 25. Знайдіть кути при двох паралельних прямих і січній, якщо один із них становить половину прямого кута. Нехай дві паралельні прямі ℓ1 і ℓ2 перетинає січна 𝑡𝑡, і позначимо в одній із точок перетину кут 𝛼𝛼, де 𝛼𝛼 становить половину прямого кута, тобто 1 𝛼𝛼 = ⋅ 90∘ = 45∘ . 2 Оскільки суміжний із ним кут доповнює до 180∘ , то 𝛽𝛽 = 180∘ − 45∘ = 135∘ . За властивістю паралельних прямих і січної всі гострі кути дорівнюють 𝛼𝛼, а всі тупі — 𝛽𝛽. Відповідь: гострі кути 45∘ , тупі кути 135∘ . 26. Доведіть, що бісектриси внутрішніх односторонніх кутів при двох паралельних прямих і січній перетинаються. Нехай дві паралельні прямі ℓ1 ‖ℓ2 перетинає січна 𝑡𝑡 у точках 𝐴𝐴 ∈ ℓ1 і 𝐵𝐵 ∈ ℓ2 . Позначимо внутрішні односторонні кути при цих перетинах 𝛼𝛼 = ∠(𝑡𝑡, ℓ1 ) в точці 𝐴𝐴, 𝛽𝛽 = ∠(ℓ2 , 𝑡𝑡) в точці 𝐵𝐵. За властивістю односторонніх кутів 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 180∘ Нехай 𝑢𝑢 - бісектриса кута 𝛼𝛼 (в точці 𝐴𝐴 ), а 𝑣𝑣 − 6 ісектриса кута 𝛽𝛽 (в точці 𝐵𝐵). Тоді 1 1 ∠(𝑢𝑢, 𝑡𝑡) = 𝛼𝛼, ∠(𝑡𝑡, 𝑣𝑣) = 𝛽𝛽, 2 2 і тому 1 1 1 ∠(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = ∠(𝑢𝑢, 𝑡𝑡) + ∠(𝑡𝑡, 𝑣𝑣) = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) = 90∘ . 2 2 2 Дві непаралельні прямі, що перетинаються під кутом 90∘ , гарантовано мають єдину точку перетину. Отже бісектриси 𝑢𝑢 і 𝑣𝑣 перетинаються (і 𝜖𝜖 перпендикулярними). 27. Доведіть, що бісектриси двох внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих і січній паралельні. 1. Позначення: Нехай дано дві паралельні прямі 𝐿𝐿1 та 𝐿𝐿2 . Нехай січна 𝑇𝑇 перетинає пряму 𝐿𝐿1 у точці 𝐴𝐴 і пряму 𝐿𝐿2 у точці 𝐵𝐵. Утворилися внутрішні різносторонні кути, наприклад, ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (де 𝐶𝐶 - точка на 𝐿𝐿1 ) та ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (де 𝐷𝐷 - точка на 𝐿𝐿2 ). 2. Властивість паралельних прямих: Оскільки прямі 𝐿𝐿1 та 𝐿𝐿2 паралельні, а 𝑇𝑇 - січна, то внутрішні різносторонні кути рівні. Тобто, ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 3. Бісектриси кутів: Проведемо бісектрису 𝐴𝐴𝐴𝐴 кута ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 та бісектрису 𝐵𝐵𝐵𝐵 кута ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. За означенням бісектриси, вона ділить кут навпіл: 1 ∠𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 2 1 ∠𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 2 4. Рівність половин кутів: Оскільки ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (доведено в пункті 2), то й їхні половини будуть рівні:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 1

la. in.

∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 2 Звідси випливає, що ∠𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = ∠𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹. 5. Паралельність бісектрис: Розглянемо прямі 𝐴𝐴𝐴𝐴 та 𝐵𝐵𝐵𝐵 і січну 𝑇𝑇 (пряма 𝐴𝐴𝐴𝐴 ). Кути ∠𝐸𝐸𝐸𝐸𝐵𝐵 та ∠𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 є внутрішніми різносторонніми кутами для прямих 𝐴𝐴𝐴𝐴 та 𝐵𝐵𝐵𝐵 і січної 𝐴𝐴𝐴𝐴. Оскільки ми довели, що ці кути рівні ( ∠𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = ∠𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹), то за ознакою паралельності прямих, якщо внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні. Таким чином, бісектриси 𝐴𝐴𝐴𝐴 та 𝐵𝐵𝐵𝐵 є паралельними. Що й треба було довести. 28. За допомогою перегинань аркуша паперу проведіть через дану точку О пряму, паралельну даній прямій АВ. Для того щоб провести пряму, паралельну даній прямій AB і яка проходить через дану точку 0, виконайте наступні кроки: 1. Намалюйте дані елементи: На аркуші паперу намалюйте дану пряму AB i поставте дану точку O, яка не лежить на прямій AB . 2. Перше перегинання (Побудова перпендикуляра): - Складіть аркуш паперу таким чином, щоб пряма AB сумістилася сама з собою Це означає, що ви повинні перегнути папір так, щоб одна частина лінії АВ лягла точно на іншу частину цієї ж лінії. - Ретельно пропрасуйте згин, щоб отримати чітку лінію. Цей згин 𝜖𝜖 перпендикуляром до прямої AB. Назвемо його лінією k1 . 3. Друге перегинання (Побудова паралелі): - Розгорніть аркуш паперу. Тепер у вас є лінія АВ, точка О та лінія k1 , яка перпендикулярна до AB. - Складіть аркуш паперу таким чином, щоб лінія k1 сумістилася сама з собою, i при цьому лінія згину проходила точно через точку O. - Знову ретельно пропрасуйте згин. Цей новий згин є шуканою прямою. Назвемо її лінією k2. Пояснення: - При першому перегинанні, лінія k1 є перпендикулярною до прямої AB за властивостями симетрії. - При другому перегинанні, лінія k 2 є перпендикулярною до лінії k1 (оскільки k1 «складається сама на себе» через O). - Оскільки дві прямі (АВ і k 2 ) перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої ( k1 ), то ці дві прямі (АВ і k 2 ) є паралельними. Крім того, лінія k 2 за побудовою проходить через точку 0. Таким чином, пряма k 2 є шуканою прямою, яка проходить через точку O i паралельна прямій AB. 29. Знайдіть кути, що утворилися в результаті перетину двох доріг, якщо: 1) всі ці кути рівні між собою; 2) сума двох із них дорівнює 50°; 3) два із них відносяться, як 1 : 2. При перетині двох доріг утворюються чотири кути, що утворюють дві пари рівних вертикальних кутів і дві пари суміжних (сума яких 180∘ ). 1. Усі кути рівні ⇒ кожний = 360∘ : 4 = 90∘ . 2. Сума двох кутів = 50∘ . Найпростіше взяти дві рівні (вертикальні): 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = 50∘ ⟹ 𝑥𝑥 = 25∘ . Тоді інші (суміжні) = 180∘ − 25∘ = 155∘ . кути: 25∘ , 155∘ , 25∘ , 155∘. 3. Два кути у відношенні 1: 2 (це суміжні кути): 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 = 180∘ ⟹ 𝑥𝑥 = 60∘ , 2𝑥𝑥 = 120∘ . Інші вертикальні кути рівні їм: 60∘ , 120∘ , 60∘ , 120∘ . Відповідь: 1. 90∘ , 90∘ , 90∘ , 90∘ ; 2. 25∘ , 155∘ , 25∘ , 155∘ ; 3. 60∘ , 120∘ , 60∘ , 120∘ . 30. Знайдіть кути, утворені при перетині двох паралельних доріг третьою, якщо: 1) сума двох кутів дорівнює 140°; 2) один із кутів у 8 разів більший за інший. При перетині двох паралельних доріг третьою утворюються чотири гострі кути 𝛼𝛼 і чотири тупі кути 𝛽𝛽, причому 𝛽𝛽 = 180∘ − 𝛼𝛼. 1. Якщо сума двох гострих кутів дорівнює 140∘ : 2𝛼𝛼 = 140∘ ⟹ 𝛼𝛼 = 70∘ , 𝛽𝛽 = 110∘ . 2. Якщо один із кутів у 8 разів більший за інший (тупий у 8 разів більший за гострий): 𝛽𝛽 = 8𝛼𝛼, 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼 = 180∘ ⟹ 8𝛼𝛼 + 𝛼𝛼 = 180∘ ⟹ 𝛼𝛼 = 20∘ , 𝛽𝛽 = 160∘. Відповідь: 1．гострі 70∘ ，тупі 110∘ ; 2．гострі 20∘ ，тупі 160∘ ． 31. Чи можна утворити трикутник із відрізків завдовжки: 1) 3 см, 5 см, 9 см; 2) 5 см, 4 см, 2 см? Для існування трикутника необхідно й достатньо, щоб сума будь－яких двох сторін перевищувала третю． 1. 3 + 5 = 8 ≤ 9 ⇒ ні，неможливо． 2. 5 + 4 = 9 > 2,5 + 2 = 7 > 4,4 + 2 = 6 > 5 ⇒ так, можна． Відповідь: 1) ні; 2) так． 32. Чи існує трикутник зі сторонами: 1) 2 см, 2 см, 4 см; 2) 5 см, 12 см, 13 см? Для існування трикутника сума будь－яких двох сторін повинна перевищувати третю． 1. 2 + 2 = 4 ≤ 4 ⇒ ні． 2. 5 + 12 = 17 > 13, 5 + 13 = 18 > 12, 12 + 13 = 25 > 5 ⇒ так． Відповідь: 1) ні; 2) так． 33. Як зміниться периметр трикутника, якщо всі його сторони: 1) збільшити на 3 см; 2) збільшити у 3 рази; 3) зменшити в 1,5 раза; 4) зменшити на 1,5 см? Нехай 𝑃𝑃 - початковий периметр трикутника. 1. після збільшення кожної сторони на 3 см:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

𝑃𝑃1 = (𝑎𝑎 + 3) + (𝑏𝑏 + 3) + (𝑐𝑐 + 3) = 𝑃𝑃 + 9 ⟹ прибавилось 9 см. 2. після збільшення кожної сторони у 3 рази: 𝑃𝑃2 = 3𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 + 3𝑐𝑐 = 3𝑃𝑃 ⟹ 𝑃𝑃 стало в 3 рази більшим. 3. після зменшення кожної сторони в 1,5 раза: 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑃𝑃 2 + + = = 𝑃𝑃 𝑃𝑃3 = 1.5 1.5 1.5 1.5 3 4. після зменшення кожної сторони на 1,5 см: 𝑃𝑃4 = (𝑎𝑎 − 1.5) + (𝑏𝑏 − 1.5) + (𝑐𝑐 − 1.5) = 𝑃𝑃 − 4.5 ⟹ віднялось 4.5 см. Відповідь: 1. 𝑃𝑃 + 9 (на 9 см більше); 2. 3𝑃𝑃 (у 3 рази більше); 2 3. 𝑃𝑃; 3 4. 𝑃𝑃 − 4.5 (на 4,5 см менше). 34. Як зміниться довжина сторони рівностороннього трикутника, якщо його периметр: 1) зменшити на 12 см; 2) збільшити в 6 разів? 𝑃𝑃 У рівносторонньому трикутнику з початковим периметром 𝑃𝑃 сторона дорівнює 𝑎𝑎 = . 3 ′ 1. Якщо 𝑃𝑃 зменшити на 12 см, отримаємо 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃 − 12 ⇒ 𝑃𝑃′ 𝑃𝑃 − 12 𝑃𝑃 ′ = − 4 = 𝑎𝑎 − 4 𝑎𝑎 = = 3 3 3 Сторона зменшиться на 4 см. 2. Якщо 𝑃𝑃 збільшити в 6 разів, отримаємо 𝑃𝑃′ = 6𝑃𝑃 ⇒ 𝑃𝑃′ 6𝑃𝑃 𝑃𝑃 ′ = 2𝑃𝑃 = 6 � � = 6𝑎𝑎 𝑎𝑎 = = 3 3 3 Сторона збільшиться в 6 разів. 35. У трикутній піраміді всі ребра рівні, і кожне з них дорівнює 6 см. Знайдіть суму довжин усіх ребер піраміди. У трикутній піраміді 6 ребер, кожне завдовжки 6 см ⇒

� ребер = 6 ⋅ 6 = 36 см.

Відповідь: 36 см． 36. У трикутній піраміді всі ребра рівні, а сума їхніх довжин дорівнює 54 см. Знайдіть довжину ребра піраміди. У трикутній піраміді всі ребра рівні, сума їх довжин дорівнює 54 см. Ребер у піраміді 54 6 довжина одного ребра = = 9 см. 6

Відповідь: 9 см． 37. Трикутник, периметр якого дорівнює 25 см, медіана поділяє на два трикутники з периметрами 16 см і 19 см. Яка довжина медіани? a Нехай у △ ABC медіана AD ділить основу BC на BD = DC = . 2 Позначимо AB = c, AC = b, AD = м. a △ ABD: c + м + = 16 2a △ ADC: b + м + = 19 2 Додаючи: b + c + 2 м + a = 35, але a + b + c = 25 ⇒ 2 м = 10 ⇒ м = 5 см. Відповідь: 5 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

38. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см. Медіана, проведена до основи, поділяє його на два трикутники з периметра ми по 12 см. Яка довжина висоти, проведеної до основи? У рівнобедреному △ ABC (AB = AC) з основою BC : 2𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 16 см ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 16 − 2𝐴𝐴𝐴𝐴. Медіана 𝐴𝐴𝐴𝐴 ділить 𝐵𝐵𝐵𝐵 навпіл, 𝐵𝐵𝐵𝐵 тому 𝐵𝐵𝐵𝐵 = = 8 − 𝐴𝐴𝐴𝐴. 2 Периметр △ ABD : 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 − (8 − 𝐴𝐴𝐴𝐴) = 4 см. У рівнобедреному трикутнику медіана до основи є висотою, отже висота = 4 см. Відповідь: 4 см. 39. У рівнобедреному прямокутному трикутнику з вершини прямого кута проведено висоту до гіпотенузи. Яка довжина бісектриси прямого кута цього трикутника, якщо гіпотенуза дорівнює: 1) 12 см; 2) 15 см? У рівнобедреному прямокутному трикутнику (кути 90∘ , 45∘ , 45∘ ) бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу навпіл, тому її довжина дорівнює половині гіпотенузи. Отже: 1. якщо гіпотенуза = 12 см, бісектриса = 6 см; 2. якщо гіпотенуза = 15 см, бісектриса = 7,5 см. Відповідь: 6 см; 7,5 см. 40. Знайдіть висоту даху, крокви якого мають форму рівнобедреного прямокутного трикутника, якщо основа цього трикутника дорівнює 8 м. У рівнобедреному прямокутному △ ABC (∠A = 90∘ , AB = AC) провели висоту AH на гіпотенузу BC. Оскільки в такому трикутнику висота 𝜖𝜖 одночасно медіаною i бісектрисою, то 𝐵𝐵𝐵𝐵 90∘ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐻𝐻𝐻𝐻 = = 4 м, ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 = = 45∘ . 2 2 У △ ABH ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘ , ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 45∘ ⇒△ ABH - прямокутний рівнобедрений ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 м. Відповідь: 4 м. 41. Відрізки AB і CD перетинаються в точці О так, що AO = OB, CO = OD. Знайдіть: 1) відрізок АC, якщо ВD = 10 см; 2) ∠ВАD, якщо ∠АВС = 72°. AB і CD перетинаються в точці O , де AO = OB i CO = OD ⇒ відрізки AB і CD - діагоналі чотирикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, що діляться навпіл ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 - паралелограм. 1. У паралелограмі протилежні сторони рівні ⇒ AC = BD = 10 см. 2. У паралелограмі 𝐴𝐴𝐴𝐴‖𝐵𝐵𝐵𝐵, тому при січній 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 72∘ . Відповідь: AC = 10 см; ∠BAD = 72∘ .

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

42. Відрізки АВ і CD перетинаються в точці О так, що АО = ОВ, ∠CBO = ∠DAO. Яка довжина відрізка АС, якщо ВD = 8 см? Нехай у чотирикутнику 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 діагоналі 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐶𝐶𝐶𝐶 перетинаються в точці 𝑂𝑂. 1. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 і ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷. Вертикальні кути ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 і ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 також рівні. Отже △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ∼△ 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ⇒ з подібності маємо 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑂𝑂𝑂𝑂. 2. Оскільки 𝑂𝑂 - середина і 𝐴𝐴𝐴𝐴, і 𝐶𝐶𝐶𝐶, то діагоналі перетинаються і діляться навпіл ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 паралелограм. 3. У паралелограмі протилежні сторони рівні ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8 см. Відповідь: 8 см.

43. Доведіть, що в рівнобедреному трикутнику: 1) бісектриси кутів при основі — рівні; 2) висоти, проведені до бічних сторін, — рівні; 3) медіани, проведені до бічних сторін, — рівні. Нехай у рівнобедреному △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 виконано 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴. Позначимо: бісектриса кута 𝐵𝐵 перетинає 𝐴𝐴𝐴𝐴 у точці 𝐷𝐷, бісектриса кута 𝐶𝐶 перетинає 𝐴𝐴𝐴𝐴 у точці 𝐸𝐸; висота з 𝐵𝐵 на 𝐴𝐴𝐴𝐴 опускається в 𝐻𝐻(∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 90∘ ), аз 𝐶𝐶 на 𝐴𝐴𝐴𝐴 - в 𝐾𝐾(∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 90∘ ); медіана із 𝐵𝐵 до 𝐴𝐴𝐴𝐴 сходиться в точці 𝑀𝑀(𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀), а із 𝐶𝐶 до 𝐴𝐴𝐴𝐴 - в точці 𝑁𝑁(𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑁𝑁𝑁𝑁). 1. Бісектриси при основі рівні У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 і △ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 маємо 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴, ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (вертикальні). 2 2 За ознакою ∠𝐴𝐴 − ∠𝐵𝐵 − 𝐴𝐴(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅△ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 2. Висоти до бокових сторін рівні У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 та △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 маємо 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴, ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 90∘ , ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (вертикальні). За ознакою ∠𝐴𝐴 − ∠𝐵𝐵 − 𝐴𝐴 ⇒△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅△ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 3. Медіани до бокових сторін рівні У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 та △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 маємо 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀, ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (основні кути). За ознакою C − 𝑆𝑆 − 𝐶𝐶(𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆) △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅△ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 Таким чином доведено всі три твердження. 44. Доведіть, що коли бісектриса зовнішнього кута трикутника паралельна його стороні, то трикутник рівнобедрений. Нехай у трикутнику 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 продовжили сторону 𝐴𝐴𝐴𝐴 за точку 𝐴𝐴 до 𝐷𝐷. Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴 − бісектриса зовнішнього кута при 𝐴𝐴 і 𝐴𝐴𝐴𝐴‖𝐵𝐵𝐵𝐵. 1. Бісектриса зовнішнього кута при 𝐴𝐴 ділить його навпіл, тому  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

180∘ − ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = ∠𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 = . 2 2. Оскільки 𝐴𝐴𝐴𝐴‖𝐵𝐵𝐵𝐵, маємо ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, ∠𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 3. 3 рівності кутів випливає ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ⟹ 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 (у трикутнику рівність двох кутів передбачає рівність протилежних сторін). Отже, △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 рівнобедрений. 45. Знайдіть невідомі кути α, β, γ трикутника АВС, якщо: 1) α = 36°, β = γ; 2) β = 30°, α : γ = 2 : 3. У △ ABC𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾 = 180∘ . Якщо 𝛼𝛼 = 36∘ і 𝛽𝛽 = 𝛾𝛾, то 36∘ + 2𝛽𝛽 = 180∘ ⇒ 𝛽𝛽 = 𝛾𝛾 = 72∘ . Якщо 𝛽𝛽 = 30∘ і 𝛼𝛼: 𝛾𝛾 = 2: 3, то 𝛼𝛼 = 2𝑥𝑥, 𝛾𝛾 = 3𝑥𝑥 i 5𝑥𝑥 + 30∘ = 180∘ ⇒ 𝑥𝑥 = 30∘ ⇒ 𝛼𝛼 = 60∘ , 𝛾𝛾 = 90∘ . Відповідь: 1) 𝛼𝛼 = 36∘ , 𝛽𝛽 = 𝛾𝛾 = 72∘; 2) 𝛼𝛼 = 60∘ , 𝛽𝛽 = 30∘ , 𝛾𝛾 = 90∘ . 46. У трикутнику АВС з кутами α, β і γ знайдіть невідомі кути, якщо = 50°, а кут β на 60° більший за кут α. У △ ABC : 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾 = 180∘ , 𝛾𝛾 = 50∘ , 𝛽𝛽 = 𝛼𝛼 + 60∘ . Підстановка: 𝛼𝛼 + (𝛼𝛼 + 60∘ ) + 50∘ = 180∘ ⟹ 2𝛼𝛼 + 110∘ = 180∘ ⟹ 𝛼𝛼 = 35∘ , 𝛽𝛽 = 95∘ . Відповідь: 𝛼𝛼 = 35∘ , 𝛽𝛽 = 95∘ , 𝛾𝛾 = 50∘ . 47. Чи може кут при основі рівнобедреного трикутника бути: 1) прямим; 2) гострим; 2) тупим? Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 - рівнобедрений трикутник з 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴. Кути при основі 𝐵𝐵 і 𝐶𝐶 рівні, позначимо кожен через 𝛼𝛼. Нехай вершина під кутом ∠𝐴𝐴 = 𝛽𝛽. За сумою кутів трикутника 2𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 180∘ . 1. Прямий кут 𝛼𝛼 = 90∘ : 2 ⋅ 90∘ + 𝛽𝛽 = 180∘ ⟹ 𝛽𝛽 = 0∘ , неможливо. 2. Гострий кут 0 < 𝛼𝛼 < 90∘ : тоді 𝛽𝛽 = 180∘ − 2𝛼𝛼 > 0, можливо. 3. Тупий кут 𝛼𝛼 > 90∘ : 2𝛼𝛼 > 180∘ ⟹ 2𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 > 180∘ , неможливо. Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) ні. 48. У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, удвічі менша від одного з катетів. Знайдіть кути трикутника. Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 - прямокутний трикутник з прямим кутом при 𝐶𝐶, і з вершини 𝐶𝐶 опущено 𝐶𝐶𝐶𝐶 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴. Припустимо, що 1 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴. 2 У прямокутному △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 гіпотенуза 𝐴𝐴𝐴𝐴, катет 𝐶𝐶𝐶𝐶 удвічі менший за неї ⇒ за властивістю «катет напроти 30∘ вдвічі менший за гіпотенузу» маємо ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 30∘ , ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 60∘ . Оскільки △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (обидва прямі й мають спільний гострий кут при 𝐴𝐴 ), то ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 60∘ , ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 30∘ . Відповідь: 30∘ і 60∘ .  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

49. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, удвічі менша від основи. Знайдіть кути трикутника. У рівнобедреному △ ABC(AB = AC) висота AD , проведена до основи BC , одночасно 𝜖𝜖 медіаною й бісектрисою ⇒ D − середина BC ; AD ⊥ BC. y △ ABD : 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 = = 𝐴𝐴𝐴𝐴, ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘ ⇒△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 —прямокутний рівнобедрений ⇒ ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 45∘ . Оскільки AD-бісектриса ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵, маємо ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ⋅ 45∘ = 90∘ . Отже ∠𝐴𝐴 = 90∘ , ∠𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶 = 45∘ . Відповідь: 90∘ , 45∘ , 45∘ . 50. Вам потрібно відпиляти кінець дошки з паралельними краями під кутом 45°. Як ви це зробите? 1. Відмітьте першу точку: Від одного з кутів торця дошки (наприклад, верхнього лівого) відміряйте певну відстань (наприклад, 5 см) вздовж верхнього краю дошки. Поставте позначку. 2. Відмітьте другу точку: Від того ж кута торця відміряйте таку ж відстань (5 см) вздовж торцевої сторони дошки (перпендикулярно до краю). Поставте позначку. 3. 3'єднайте точки: 3'єднайте дві отримані позначки прямою лінією. Ця лінія і буде під кутом 45∘ до країв дошки. 4. Відпиляйте: Відпиляйте дошку по цій лінії. 51. Зовнішній кут трикутника дорівнює 120°. Знайдіть кути трикутника, якщо один із них дорівнює 50°. За властивістю зовнішнього кута його величина дорівнює сумі двох протилежних внутрішніх: ∠𝐵𝐵 + ∠𝐶𝐶 = 120∘ . Нехай ∠𝐵𝐵 = 50∘ . Тоді ∠𝐶𝐶 = 120∘ − 50∘ = 70∘ . Залишковий кут ∠𝐴𝐴 = 180∘ − 120∘ = 60∘ . Відповідь: 60∘ , 50∘ , 70∘ . 52. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 45°. Знайдіть зовнішній кут при вершині трикутника. У рівнобедреному △ ABC (AB = AC) кути при основі В і С дорівнюють 45∘ , тому внутрішній кут при вершині A ∠𝐴𝐴 = 180∘ − 2 ⋅ 45∘ = 90∘ , а зовнішній при A 180∘ − ∠𝐴𝐴 = 180∘ − 90∘ = 90∘ . Відповідь: 90∘ . 53. Рівнобедрений трикутник з кутом при основі 72° називають «золотим». У ньому відношення довжини бічної сторони до довжини основи відповідає «золотому перерізу» і приблизно дорівнює 1,62. Побудуйте такий трикутник. Виміряйте його сторони та знайдіть їх відношення. Побудова "золотого трикутника" "Золотий трикутник" - це рівнобедрений трикутник, у якого кут при основі дорівнює 72∘ . Отже, два кути при основі будуть по 72∘ , а кут при вершині становитиме 180∘ − 72∘ − 72∘ = 36∘ . Для побудови вам знадобляться лінійка, олівець та транспортир.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. Намалюйте основу: - За допомогою лінійки намалюйте відрізок 𝐵𝐵𝐵𝐵 довільної довжини. Для зручності вимірювань виберіть цілу довжину, наприклад, 5 см. Це буде основа вашого трикутника. 2. Побудуйте кути при основі: - Помістіть центр транспортира в точку 𝐵𝐵 (один кінець основи 𝐵𝐵𝐵𝐵 ), вирівнявши нульову позначку транспортира по відрізку 𝐵𝐵𝐵𝐵. - Відмітьте позначку 72∘ на транспортирі. - Проведіть пряму лінію (або промінь) від точки 𝐵𝐵 через відмітку 72∘ . - Повторіть те ж саме для точки 𝐶𝐶. Помістіть центр транспортира в точку 𝐶𝐶, вирівняйте нульову позначку по відрізку 𝐶𝐶𝐶𝐶 (або 𝐵𝐵𝐵𝐵 ), і відмітьте 72∘ . - Проведіть пряму лінію (або промінь) від точки 𝐶𝐶 через відмітку 72∘ . 3. Знайдіть вершину трикутника: Дві лінії, які ви провели з точок 𝐵𝐵 і 𝐶𝐶, перетнуться в одній точці. Позначте цю точку як 𝐴𝐴. Ви щойно побудували рівнобедрений трикутник 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, у якого ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 = 72∘ . 54. Властивості золотого перерізу використовували ще стародавні єгиптяни. Якщо велику піраміду Хеопса перетнути вертикальною площиною, яка проходить через вершину піраміди і середину сторони основи, отримаємо так званий подвійний золотий трикутник. Це — рівнобедрений трикутник, у якого відношення бічної сторони до половини основи дорівнює відношенню «золотого перерізу» (приблизно дорівнює 1,62). У піраміді Хеопса цей трикутник має такі розміри: бічна сторона приблизно дорівнює 186,526 м, а основа — 230,4 м. Перевірте за цими даними, чи справджується відношення «золотого перерізу». Побудуйте трикутник із відношенням сторін, як у трикутнику піраміди Хеопса. Чи правильно, що кут при основі такого трикутника приблизно дорівнює 51°51′? Кут при основі ≈ 51∘ 52′ (дуже близько до 51∘ 51′ ). 55. Діаметр кола більший за його радіус: 1) на 12 см; 2) на 7 см. Знайдіть діаметр кола. Нехай 𝑟𝑟－радіус круга, 𝑑𝑑 = 2𝑟𝑟－його діаметр． 1. 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 + 12 ⇒ 2𝑟𝑟 = 𝑟𝑟 + 12 ⇒ 𝑟𝑟 = 12 см ⇒ 𝑑𝑑 = 2 ⋅ 12 = 24 см． 2. 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 + 7 ⇒ 2𝑟𝑟 = 𝑟𝑟 + 7 ⇒ 𝑟𝑟 = 7 см ⇒ 𝑑𝑑 = 2 ⋅ 7 = 14 см． Відповідь: 1. 24 см; 2. 14 см． 56. Радіус кола менший від його діаметра на 4 см. Знайдіть діаметр кола. Нехай радіус 𝑟𝑟, діаметр 𝑑𝑑 = 2𝑟𝑟. За умовою 𝑑𝑑 − 𝑟𝑟 = 4. Підставимо 𝑑𝑑 = 2𝑟𝑟: 2𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 = 4 ⟹ 𝑟𝑟 = 4 см, 𝑑𝑑 = 2 ⋅ 4 = 8 см. Відповідь: 8 см． 57. Дано коло з центром О та діаметром АВ = 8 см. На діаметрі позначено точку С так, що ОС = 2 см. Знайдіть відстань від точки С до кінців діаметра. На діаметрі 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 8 см центр 𝑂𝑂 ділить його навпіл, тому 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 см．Точка 𝐶𝐶 лежить на діаметрі так，що 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2 см. Оскільки точки 𝐴𝐴, 𝑂𝑂, 𝐶𝐶 колінеарні, маємо 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 4 + 2 = 6 см, а для 𝐶𝐶, 𝐵𝐵, 𝑂𝑂: 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 4 − 2 = 2 см. Відповідь: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6 см，𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 см．  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

58. Найбільша відстань від точки А до точки кола дорівнює m, а най менша — n. Знайдіть радіус кола. Скільки випадків треба розглянути? Позначимо 𝑂𝑂－центр кола，𝑟𝑟－його радіус, 𝑑𝑑 = 𝐴𝐴𝐴𝐴. Для будь－якої точки 𝑋𝑋 на колі маємо мax 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑑𝑑 + 𝑟𝑟 = 𝑚𝑚, мin𝐴𝐴𝐴𝐴 = |𝑑𝑑 − 𝑟𝑟| = 𝑛𝑛. Розглянемо два випадки： 1. 𝐴𝐴 поза колом (𝑑𝑑 > 𝑟𝑟). Тоді мin𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑑𝑑 − 𝑟𝑟 = 𝑛𝑛 i 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 𝑚𝑚 = 𝑑𝑑 + 𝑟𝑟, 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑 − 𝑟𝑟 ⟹ 𝑟𝑟 = . 2 2. 𝐴𝐴 всередині кола (𝑑𝑑 < 𝑟𝑟) Тоді мin𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 − 𝑑𝑑 = 𝑛𝑛 i 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 . 𝑚𝑚 = 𝑑𝑑 + 𝑟𝑟, 𝑛𝑛 = 𝑟𝑟 − 𝑑𝑑 ⟹ 2𝑟𝑟 = 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 ⟹ 𝑟𝑟 = 2 Отже треба розглянути 2 випадки． 59. Діаметр круглої заготовки деталі дорівнює 50 мм, а діаметр виробу — 46 мм. Якої товщини шар металу було знято під час виготовлення деталі? На заготовці діаметр 𝐷𝐷1 = 50 мм ⇒ радіус 𝑟𝑟1 = 25 мм; у виробу 𝐷𝐷2 = 46 мм ⇒ 𝑟𝑟2 = 23 мм. Знята товщина металу: 𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟2 = 25 − 23 = 2мм Відповідь: 2 мм. 60. Хорда кола перетинає діаметр під кутом 30° і ділиться ним на відрізки 8 см і 10 см. Знайдіть відстань від кінців хорди до діаметра. Нехай хорда 𝐴𝐴𝐴𝐴 перетинає діаметр 𝐶𝐶𝐶𝐶 у точці 𝑀𝑀 під кутом 30∘ . Проведемо з 𝐴𝐴 і 𝐵𝐵 перпендикуляри до 𝐶𝐶𝐶𝐶 в точки 𝑁𝑁 і 𝐾𝐾 відповідно. Розглянемо △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 : ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘ , ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 30∘ ⟹△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 прямокутний із кутом 30∘ при 𝑀𝑀. У такому трикутнику катет, протилежний куту 30∘ , дорівнює половині гіпотенузи, тобто 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝑀𝑀 = ⋅ 8 = 4 см 2 2 Аналогічно в △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 : 1 1 ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 90∘ , ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 30∘ ⟹ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ 10 = 5 см. 2 2 Відповідь: відстані від 𝐴𝐴 і 𝐵𝐵 до діаметра 4 см і 5 см. 61. Діаметр АВ перетинає хорду CD під прямим кутом, М — точка їх перетину. Чи завжди правильна рівність: 1) АМ = ВМ; 2) СМ = DМ? Відповідь поясніть. Нехай 𝑂𝑂 - центр кола, а 𝐴𝐴𝐴𝐴 - його діаметр. Діаметр проходить через центр, тому точка 𝑀𝑀 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∩ 𝐶𝐶𝐶𝐶 лежить на прямій 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 1. Чи завжди 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵? Ні. 𝑀𝑀 - не обов'язково центр 𝑂𝑂, а лише точка перетину діаметра з хордою. щоб 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵, потрібно, щоб 𝑀𝑀 лежала саме в центрі кола, але в загальному випадку це не так. 2. Чи завжди 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 ? Так. Через центр 𝑂𝑂 опущено перпендикуляр до хорди 𝐶𝐶𝐶𝐶.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

За властивістю кола така перпендикуляр ділить хору навпіл ⇒ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐷𝐷𝐷𝐷. Відповідь: 1. ні; 2. так. 62. На озері правильної круглої форми розташований маленький острів. Знайдіть найкоротший прямий маршрут катера, який сполучатиме дві точки берега й матиме проміжну пристань біля острова. Нехай 𝑂𝑂 - центр озера, а 𝑃𝑃 - пристань на острові. Серед всіх хорд кола, що проходять через фіксовану точку 𝑃𝑃, найкоротшою є та, яка перпендикулярна до радіуса 𝑂𝑂𝑂𝑂. Побудова: 1. Проведіть радіус 𝑂𝑂𝑂𝑂. 2. Через 𝑃𝑃 проведіть пряму, перпендикулярну до 𝑂𝑂𝑂𝑂; вона перетне берег (коло) в двох точках 𝐴𝐴 та 𝐵𝐵. Тоді хорда 𝐴𝐴𝐴𝐴 - найкоротший прямий маршрут катера, який сполучатиме дві точки берега й проходитиме через пристань 𝑃𝑃. 63. Дано коло з центром О та радіусом R. 1) Яку фігуру утворюють середини всіх його радіусів? 2) Яку фігуру утворюють усі точки Х такі, що ОХ = 2R? 𝑅𝑅 1. Середини всіх радіусів лежать на однаковій відстані від центру 𝑂𝑂, отже вони 𝑅𝑅

утворюють коло з центром 𝑂𝑂 і радіусом . 2 2. Усі точки 𝑋𝑋, такі що 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2𝑅𝑅, лежать на однаковій відстані 2𝑅𝑅 від 𝑂𝑂, отже вони утворюють коло з центром 𝑂𝑂 і радіусом 2𝑅𝑅. 64. Через місто А має проходити автомагістраль так, щоб два населені пункти В і С розташовувались по різні боки від неї на однаковій відстані. Як прокласти автомагістраль? 1. Проведіть через точку 𝐵𝐵 пряму, паралельну 𝐴𝐴𝐴𝐴. 2. Проведіть через точку 𝐶𝐶 пряму, паралельну 𝐴𝐴𝐴𝐴. 3. Нехай ці дві прямі перетнуться в точці 𝐷𝐷. 4. Тоді чотирикутник 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 - паралелограм, а його діагональ 𝐴𝐴𝐴𝐴 проходить через 𝐴𝐴. У будь-якій точці діагоналі паралелограма перпендикулярні відстані до двох протилежних вершин рівні за модулем і з різними знаками (тобто лежать по різні боки). Отже, пряма 𝐴𝐴𝐴𝐴 - шуканий маршрут: обидві відстані 𝑑𝑑(𝐵𝐵, 𝐴𝐴𝐴𝐴) і 𝑑𝑑(𝐶𝐶, 𝐴𝐴𝐴𝐴) рівні, а 𝐵𝐵 і 𝐶𝐶 опиняються по різні боки від 𝐴𝐴𝐴𝐴. 65. Недалеко від залізниці розташовані два села. Знайдіть на лінії залізниці місце для станції, яка була б рівновіддаленою від цих сіл. Зробіть малюнок. 1. Покрокове рішення - Позначте села та залізницю: - Уявіть два села як точки А і В. - Залізничну лінію уявіть як пряму L. 2. 3'єднайте села відрізком: - Проведіть відрізок, що з'єднує точки А і В. 3. Побудуйте серединний перпендикуляр: - Знайдіть середину відрізка АВ. - Проведіть пряму, яка проходить через цю середину і 𝜖𝜖 перпендикулярною до відрізка АВ. Це і буде серединний перпендикуляр. 4. Знайдіть точку перетину:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

- Точка, в якій побудований серединний перпендикуляр перетинає пряму L (залізничну лінію), і буде шуканим місцем для станції. Назвемо цю точку P. Таким чином, місце P на залізничній лінії буде рівновіддаленим від сіл А і В, оскільки РА = РВ. 66. Як повинна проходити магістраль, щоб відстані від неї до трьох населених пунктів були однаковими? Випадок 1: Населені пункти лежать на одній прямій Якщо три населені пункти (точки A, B, C) розташовані на одній прямій, то магістраль повинна проходити паралельно цій прямій. Таких магістралей може бути дві: одна по один бік від лінії, на якій лежать пункти, а інша - по інший бік, на однаковій відстані. Випадок 2: Населені пункти утворюють трикутник Якщо три населені пункти (точки A, B, C) не лежать на одній прямій (тобто утворюють трикутник), то магістраль може проходити одним із трьох способів: Паралельно одній зі сторін трикутника (наприклад, АВ) і проходити через середину висоти, проведеної до цієї сторони з протилежної вершини (C). Аналогічно, магістраль може бути паралельною стороні ВС і проходити через середину висоти, проведеної з вершини А. I, нарешті, магістраль може бути паралельною стороні АС і проходити через середину висоти, проведеної з вершини В. 67. Мешканці трьох дачних будинків А, В і С вирішили побудувати криницю. Як обрати місце для криниці, щоб відстані від неї до будинків були однаковими? Щоб знайти точку 𝑂𝑂, рівновіддалену від вершин 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 і 𝐶𝐶, достатньо побудувати перпендикулярні бісектриси двох сторін трикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: 1. На стороні 𝐴𝐴𝐴𝐴 знайдіть її середину 𝑀𝑀 і побудуйте через 𝑀𝑀 перпендикуляр до 𝐴𝐴𝐴𝐴 - це бісектриса відстаней від 𝐴𝐴 і 𝐵𝐵. 2. Аналогічно на стороні 𝐴𝐴𝐴𝐴 знайдіть середину 𝑁𝑁 і через 𝑁𝑁 проведіть перпендикуляр до 𝐴𝐴𝐴𝐴. 3. Перетин цих двох перпендикулярів - точка 𝑂𝑂. За властивістю перпендикулярної бісектриси будь-яка точка на ній рівновіддалена від кінців відповідного відрізка. Отже 𝑂𝑂 рівновіддалений і від 𝐴𝐴, і від 𝐵𝐵, і від 𝐶𝐶. Висновок. Колодязь слід розташувати в точці 𝑂𝑂 - центрі описаного кола трикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 68. Кут між бічними сторонами рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, висота, проведена до основи, — 9 см. Знайдіть радіус описаного кола. У △ ABC ( AB = AC, ∠BAC = 60∘ ) AD - висота до основи BC. В рівнобедреному трикутнику AD одночасно ∈ медіаною ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 = = . 2 2 У прямокутному △ ADB(∠ADB = 90∘ , ∠BAD = 30∘ ) за властивістю «катет, прилеглий до √3 гіпотенузи» маємо 2

30∘ , дорівнює

2⋅9 √3 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9 ⟹ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 6√3 см 2 √3 Оскільки △ ABC рівносторонній, радіус описаного кола 𝐴𝐴𝐴𝐴 6√3 𝑅𝑅 = = = 6 см √3 √3 Відповідь: 6 см. 69. Кут між бічними сторонами рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, а висота, проведена до основи, — 12 см. Знайдіть радіус вписаного кола. 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. Визначення типу трикутника: Дано рівнобедрений трикутник, у якого кут між бічними сторонами (кут при вершині) дорівнює 60∘ . Оскільки це рівнобедрений трикутник, то кути при основі рівні. Сума кутів у трикутнику становить 180∘ . 180∘ −60∘ 120∘ Отже, кожен з кутів при основі дорівнює = = 60∘ . Якщо всі три кути 2 2 трикутника дорівнюють 60∘ , то цей трикутник є рівностороннім. 2. Використання властивостей рівностороннього трикутника: У рівносторонньому трикутнику всі висоти, медіани та бісектриси рівні. Центр вписаного кола (інцентр) співпадає з центром трикутника, який ділить висоту у відношенні 2 ∶ 1, починаючи від вершини. Це означає, що радіус вписаного кола 𝑟𝑟 становить одну третину висоти ℎ трикутника. 3. Обчислення радіуса вписаного кола: За умовою, висота, проведена до основи (а в рівносторонньому трикутнику - будь-яка висота), дорівнює 12 см. ℎ = 12 см. Радіус вписаного кола 𝑟𝑟 обчислюється як: 1 𝑟𝑟 = ⋅ ℎ; 3 1 𝑟𝑟 = ⋅ 12 см; 3 𝑟𝑟 = 4 см. Відповідь: 4 см. 70. Складіть план побудови: 1) рівнобедреного трикутника за основою а та прилеглим кутом А; 2) прямокутного трикутника за катетом і гіпотенузою. План побудови 1. Рівнобедрений трикутник за основою 𝑎𝑎 та прилеглим кутом 𝐴𝐴: 1. На прямій відкладіть відрізок 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑎𝑎. 2. В точці 𝐵𝐵 побудуйте кут ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴. 3. В точці 𝐶𝐶 побудуйте кут ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴. 4. Проведіть перетин бічних променів із вершин 𝐵𝐵 і 𝐶𝐶; ця точка 𝐴𝐴 завершить трикутник 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 із 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴. 2. Прямокутний трикутник за катетом 𝑏𝑏 і гіпотенузою 𝑐𝑐: 1. На площині відкладіть відрізок 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑐𝑐 - це гіпотенуза. 2. В точці 𝐴𝐴 побудуйте перпендикуляр до 𝐴𝐴𝐴𝐴. 3. На цьому перпендикулярі відкладіть відрізок 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 (катет). 4. Проведіть пряму через 𝐶𝐶, паралельну 𝐴𝐴𝐴𝐴 - вона перетнеться з гіпотенузою 𝐴𝐴𝐴𝐴 в точці 𝐵𝐵. Отримали прямокутний трикутник 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 з прямим кутом при 𝐴𝐴. 71. Складіть план побудови рівнобедреного прямокутного трикутника за його катетом. План побудови рівнобедреного прямокутного трикутника за його катетом Рівнобедрений прямокутний трикутник має дві рівні сторони (катети), які утворюють прямий кут (90∘ ). Кути при гіпотенузі в такому трикутнику становлять по 45∘ . Для побудови вам знадобляться лінійка, олівець та косинець (або транспортир для побудови прямого кута). Дано: Довжина катета (а). План побудови:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. Побудова першого катета: - За допомогою лінійки проведіть пряму лінію. - На цій прямій відкладіть відрізок АС, довжина якого дорівнює заданій довжині катета (а). 2. Побудова прямого кута: - У точці С (один з кінців відрізка АС) побудуйте перпендикуляр до відрізка АС. Для цього можна скористатися косинцем, приклавши його до лінії АС вершиною прямого кута в точці С. Або ж можна використовувати транспортир, відклавши кут 90∘ від АС. 3. Побудова другого катета: - На щойно побудованому перпендикулярі відкладіть відрізок СВ, довжина якого також дорівнює заданій довжині катета (а). Точка В буде вершиною прямого кута. 4. Завершення побудови трикутника: - 3'єднайте точки А і В відрізком. Цей відрізок АВ буде гіпотенузою рівнобедреного прямокутного трикутника. Таким чином, ви отримаєте рівнобедрений прямокутний трикутник ABC з прямим кутом при вершині C та рівними катетами AC = BC = a.

Розділ 2. Чотирикутники § 1. Чотирикутник 72. Чи правильно, що в чотирикутнику: 1) три вершини лежать на одній прямій; 2) жодні три вершини не лежать на одній прямій? 1. Ні, у чотирикутнику не можуть три вершини лежати на одній прямій (інакше фігура вироджується в відрізок із «вилітками»). 2. Так, за означенням чотирикутника жодні три його вершини не лежать на одній прямій. 73. Яка з фігур, зображених на малюнках, є чотирикутником ABCD?

Чотирикутником ABCD є фігура на малюнку 2, бо у фігурі на малюнку 1 відрізки AC і BD перетинаються, а у фігурі на малюнку 3 точки B, C і D лежать на одній прямій. 74. Чи правильно, що зовнішній кут чотирикутника: 1) не суміжний із кутом чотирикутника; 2) суміжний із кутом чотирикутника; 3) вертикальний із кутом чотирикутника? Зовнішній кут при вершині чотирикутника утворюється продовженням одного із боків і є суміжним із відповідним внутрішнім (сума 180∘ ), але не 𝜖𝜖 вертикальним. 1. Ні; 2. так; 3. ні. 75. Яке з наведених тверджень правильне? Периметр чотирикутника — це сума довжин: 1) трьох його сторін; 2) чотирьох сторін; 3) усіх сторін і діагоналей. Правильне твердження 2) чотирьох сторін. 76. Чи правильно вказано градусну міру кутів чотирикутника ABCD на малюнках? Відповідь поясніть.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Для чотирикутника на мал. 1 90∘ + 95∘ + 100∘ + 60∘ = 345∘ < 360∘ , отже, градусну міру кутів вказано неправильно. Для чотирикутника на мал. 2 120∘ + 60∘ + 120∘ + 60∘ = 360∘ , отже, градусну міру кутів вказано правильно. 77. Назвіть зображені на малюнку зовнішні кути чотирикутника MNPK при вершині: 1) N; 2) М; 3) K. Зовнішні кути чотирикутника МNPK при вершині: 1. N ∶ ∠PNF i ∠ENМ; 2. М ∶ ∠AМN i ∠СМK; 3. K : ∠DKМ i ∠BKP.

78. a, b, c, d — сторони чотирикутника, Р — його периметр. Знайдіть невідомі величини за таблицею. a 8 см 10 см 5 см 23 см 14 см b 12 см 25 см 13 см 27 см 16 см c 16 см 30 см 25 см 30 см 20 см d 18 см 25 см 17 см 35 см 24 см P 54 см 90 см 60 см 115 см 74 см 𝑃𝑃 = 8 + 12 + 16 + 18 = 54(см); d = 90 − (10 + 25 + 30) = 90 − 65 = 25(см); c = 60 − (5 + 13 + 17) = 60 − 35 = 25(см); b = 115 − (23 + 30 + 35) = 27(см); a = 74 − (16 + 20 + 24) = 74 − 60 = 14(см). 79. Знайдіть сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 140 см, а одна з його сторін у 9 разів менша від кожної з інших. Нехай менша сторона чотирикутника х см, тоді інші сторони по 9 x см. За умовою x + 9x + 9x + 9x = 140; 28x = 140; x = 140 ∶ 28; x = 5. Отже, менша сторона 5 см, а інші сторони 9 ⋅ 5 = 45 (см). Відповідь: сторони чотирикутника дорівнюють 5 см, 45 см, 45 см, 45 см 80. Периметр чотирикутника дорівнює 210 см, а одна з його сторін у 2 рази менша від кожної з інших. Знайдіть сторони чотирикутника. Нехай менша сторона чотирикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎, а кожна з інших сторін 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 2𝑎𝑎. Периметр: 𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 = 7𝑎𝑎 = 210 ⟹ 𝑎𝑎 = 30 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Отже сторони: 30 см, 60 см, 60 см та 60 см. Відповідь: 30 см, 60 см, 60 см, 60 см. 81. Чи може чотирикутник мати такі сторони: 1) 1 см, 2 см, 3 см, 4 см; 2) 18 см, 6 см, 5 см, 6 см? 1. 4 < 1 + 2 + 3; 4 < 6; так, можуть; 2. 18 > 6 + 5 + 6; ні, не можуть. 82. Чи може чотирикутник мати такі сторони: 2 см, 3 см, 5 см, 10 см? 10 = 2 + 3 + 5; ні, не може. 83. За даними на малюнках визначте невідомі кути чотирикутника ABCD.

На мал. 1 ∠ A = ∠C = ∠D = (360∘ − 60∘ ): 3 = 300∘ : 3 = 100∘ . На мал. 2 ∠ B = ∠D = (360∘ − 90∘ − 70∘ ): 2 = 200∘ : 2 = 100∘. Відповідь: 100∘ ; 100∘ 84. За даними на малюнку визначте невідомий кут чотирикутника ABCD.

∠C = 360∘ − (90∘ ⋅ 2 + 120∘ ) = 360∘ − 300∘ = 60∘ . Відповідь: 60∘ 85. Знайдіть невідомий кут чотирикутника, якщо три його кути дорівнюють: 1) 120°, 80°, 100°; 2) 70°, 130°, 90°. 1. 360∘ − (120∘ + 80∘ + 100∘ ) = 360∘ − 300∘ = 60∘ ; 2. 360∘ − (70∘ + 130∘ + 90∘ ) = 360∘ − 290∘ = 70∘ . Відповідь: 1. 60∘ ; 2. 70∘ 86. Три кути чотирикутника дорівнюють 60°, 100° і 50°. Знайдіть його четвертий кут. 360∘ − (60∘ + 100∘ + 50∘ ) = 360∘ − 210∘ = 150∘ . Відповідь: четвертий кут дорівнює 150∘ 87. Чи можуть кути чотирикутника дорівнювати: 1) 55°, 75°, 100°, 80°; 2) 145°, 85°, 70°, 65°? 1. 55∘ + 75∘ + 100∘ + 80∘ ≠ 360∘ ; Hi; 2. 145∘ + 85∘ + 70∘ + 65∘ ≠ 360∘ ; ні. 88. Чи можуть кути чотирикутника дорівнювати 160°, 95°, 45°, 60°? 160∘ + 95∘ + 45∘ + 60∘ = 360∘ ; так. 89. За даними таблиці знайдіть кути чотирикутника ABCD.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. 𝑛𝑛∘ + 2𝑛𝑛∘ + 3𝑛𝑛∘ + 4𝑛𝑛∘ = 360∘ ; 10𝑛𝑛∘ = 360∘ ; 𝑛𝑛∘ = 360∘ : 10; 𝑛𝑛∘ = 36∘ . Отже ∠A = 36∘ ; ∠B = 2 ⋅ 36∘ = 72∘ ; ∠C = 3 ⋅ 36∘ = 108∘ ; ∠D = 4 ⋅ 36∘ = 144∘ . 2. n∘ − 30∘ + n∘ − 20∘ + n∘ − 10∘ + n∘ = 360∘ ; 4n∘ − 60∘ = 360∘ ; 4n∘ = 420∘ ; n∘ = 105∘. Отже, ∠A = 105∘ − 30∘ = 75∘ ; ∠B = 105∘ − 20∘ = 85∘ ; ∠C = 105∘ − 10∘ = 95∘ , ∠D = 105∘ . 3. n∘ + 10∘ + n∘ + 20∘ + n∘ + 30∘ + n∘ = 360∘ ; 4n∘ + 60∘ = 360∘ ; 4n∘ = 300∘ ; n∘ = 75∘ . Отже, ∠A = 85∘ ; ∠B = 20 + 75∘ = 95∘ ; ∠C = 75∘ + 30∘ = 105∘ ; ∠D = 75∘ . 4. 𝑛𝑛∘ + 2𝑛𝑛∘ + 𝑛𝑛∘ + 5𝑛𝑛∘ = 360∘ ; 9𝑛𝑛∘ = 360∘ ; 𝑛𝑛∘ = 40∘ . Отже, ∠A = 40∘ ; ∠B = 2 ⋅ 40∘ = 80∘ ; ∠D = 40∘ ; ∠C = 5 ⋅ 40∘ = 200∘ . 90. Чи можуть усі кути чотирикутника бути тупими? Відповідь поясніть. Ні, не можуть, бо градусна міра тупого кута більша за 90∘ і сума всіх кутів чотирикутника буде більшою за 360∘ . 91. Усі кути чотирикутника рівні. Знайдіть їх. 360∘ : 4 = 90∘ Відповідь: кути чотирикутника дорівнюють 90∘ 92. Якщо чотирикутник має два прямі кути, то чому дорівнює сума решти його кутів? 360∘ − 90∘ ⋅ 2 = 360∘ − 180∘ = 180∘ Відповідь: сума решти кутів чотирикутника дорівнюють 180∘ 93. Три кути чотирикутника прямі. Доведіть, що й четвертий його кут — прямий. Нехай кути чотирикутника ∠1 = ∠2 = ∠3 = 90∘ . Відомо, що сума його кутів дорівнює 360∘ . Отже, ∠4 = 360∘ − 90∘ ⋅ 3 = 360∘ − 270∘ = 90∘ , четвертий кут також прямий. 94. Знайдіть зовнішній кут при вершині С чотирикутника ABCD, якщо: 1) ∠C = 75°; 2) ∠А = ∠В = ∠D = 90°. 1. Якщо ∠C = 75, то зовнішні = 180∘ − 75∘ = 105∘ ; 2. якщо ∠A = ∠B = ∠D = 90∘; ∠C = 90∘, то зовнішні = 180∘ − 90∘ = 90∘ . 95. Знайдіть зовнішній кут при вершині А чотирикутника ABCD, якщо: 1) ∠А = 80°; 2) ∠А = 120°. 1. Якщо ∠A = 80∘, то зовнішній = 180∘ − 80∘ = 100∘ ; 2. якщо ∠A = 120∘, то зовнішній = 180∘ − 120∘ = 60∘ . 96. Піраміда має п’ять граней, чотири з яких — трикутники. Яким многокутником є її п’ята грань? П’ята грань цієї піраміди є чотирикутником. 97. Основою піраміди є чотирикутник. Скільки граней і ребер має піраміда? Якщо основа піраміди - чотирикутник, то вона має 4 трикутні бічні грані + 1 основа = 5 граней, та 4 ребра основи +4 бічні ребра = 8 ребер. Відповідь: піраміда має 5 граней і 8 ребер 98. Знайдіть сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 66 см, одна його сторона більша за другу на 8 см і на стільки само менша від третьої, а четверта сторона — у три рази більша за другу. Нехай b - друга сторона; a = b + 8, c = b + 16, d = 3b; (b + 8) + b + (b + 16) + 3b = 6b + 24 = 66 ⇒ b = 7, a = 15, c = 23, d = 21. Відповідь: 15 см, 7 см, 23 см, 21 см  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

99. Одна зі сторін чотирикутника дорівнює 9 см, друга — у три рази більша за першу, а третя — на 8 см менша від другої й на 10 см більша за четверту. Знайдіть периметр чотирикутника. Нехай 𝑎𝑎 = 9; 𝑏𝑏 = 3𝑎𝑎 = 27; 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 − 8 = 19; 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐 − 10 = 9; 𝑃𝑃 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = 64. Відповідь: 64 см 100. Три сторони чотирикутника дорівнюють 10 см, 15 см і 20 см. Чи може периметр чотирикутника дорівнювати: 1) 90 см; 2) 72 см; 3) 115 см? Нехай x - четверта сторона; P = 10 + 15 + 20 + x = 45 + x; умова чотирикутника: 𝑥𝑥 < 10 + 15 + 20 = 45 та 𝑥𝑥 > 0 ⇒ 0 < 𝑥𝑥 < 45 ⇒ 45 < 𝑃𝑃 < 90; 𝑃𝑃 = 90 ⇒ 𝑥𝑥 = 45 - ні; 𝑃𝑃 = 72 ⇒ 𝑥𝑥 = 27 - так; 𝑃𝑃 = 115 ⇒ 𝑥𝑥 = 70 - ні. Відповідь: 72 см. 101. Доведіть, що кожна діагональ чотирикутника менша від його півпериметра.

Нехай ABCD — чотирикутник, P = AB + BC + CD + DA. Для діагоналі AC: AC < AB + BC (△ABC), AC < AD + CD (△ACD). Додаємо: 𝑃𝑃 2AC < (AB + BC) + (AD + CD) = P ⇒ AC < . 2 Аналогічно для BD: BD < AB + AD (△ABD), BD < BC + CD (△BCD) 𝑃𝑃 ⇒ 2BD < P ⇒ BD < . 2 Отже, кожна діагональ чотирикутника менша від його півпериметра. 102. Доведіть, що сума діагоналей чотирикутника менша від його периметра.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай ABCD — чотирикутник. З нерівності трикутника маємо: AC < AB + BC (△ABC), BD < AD + CD (△BCD). Додаємо почленно: AC + BD < (AB + BC) + (AD + CD) = AB + BC + CD + DA = P. Отже, сума діагоналей чотирикутника менша від його периметра. 103. У чотирикутнику ABCD діагональ BD ділить кути B і D навпіл. Доведіть, що AB = CB і DA = DC.

∆ABD = ∆CBD (за II ознакою рівності трикутників); BD — спільна стopoнa; ∠ABD = ∠CBD; ∠ADB = ∠CDB (за умовою). З рівності трикутників маємо: AB = СВ і AD = CD. 104. Доведіть, що в чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD — перпендикулярні, якщо AB = CB і DA = DC.

AB = ВС; AD = CD (за умовою). BD — спільна сторона ∆ABD і ∆CBD. Звідси ∆ABD = ∆CBD. З рівності трикутників маємо ∠ABD = ∠CBD. АС і BD перетинаються в т. О. ∆АВО= ∆СВО (І ознака); АВ = СВ (за умовою); ∠ABD = ∠CBO (доведено вище); ВО — спільна сторона. З рівності ∆АВО і ∆СВО: ∠AOB = ∠COB, але ∠AOB + ∠COB = 180° (суміжні кути). Звідси ∠AOB = 90°, ∠COB = 90°. Тобто АС ⊥ BD. 105. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам: 1) 1, 2, 3 і 4; 2) 4, 6, 12 і 14. 1) Нехай кути чотирикутника: х; 2х; 3x; 4х, тоді x + 2x + 3x + 4x = 360°; 10x = 360°; x = 360° : 10;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

x = 36°; ∠1 = 36°; ∠2 = 2 ∙ 36° = 72°; ∠3 = 3 ∙ 36° = 108°; ∠4 = 4 ∙ 36° = 144°; 2) ∠1 = 4х; ∠2 = 6х; ∠3 = 12х; ∠4 = 14x; 4х + 6х + 12х + 14х = 360°; 36x = 360°; x = 360° : 36; x = 10°; ∠1 = 4 ∙ 10° = 40°; ∠2 = 6 ∙ 10°= 60°; ∠3 = 12 ∙ 10° = 120°; ∠4 = 14 ∙ 10° = 140°. 106. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 2, 4 і 5. ∠1 = х; ∠2 = 2х; ∠3 = 4х; ∠4 = 5х; х + 2х + 4х + 5х = 360°; 12х = 360°; x = 360° : 12; х = 30°; ∠1 = 30°; ∠2 = 2 ∙ 30° = 60°; ∠3 = 4 ∙ 30° = 120°; ∠4 = 5 ∙ 30° = 150°. 107. Якою в чотирикутнику може бути найбільша кількість кутів: 1) тупих; 2) прямих; 3) гострих? 1) Найбільша кількість тупих кутів дорівнює 3.

2) Найбільша кількість прямих кутів дорівнює 4.

3) Найбільша кількість гострих кутів дорівнює 3.

 shkola.in.ua

la. in.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

108. Чи можна накреслити чотирикутник, у якому: 1) три кути прямі, а четвертий — тупий; 2) один із кутів дорівнює сумі трьох інших? 1) Не можна, бо сума кутів чотирикутника буде більша, ніж 360°. 2) Один з кутів чотирикутника не може дорівнювати сумі трьох інших, бо тоді цей кут дорівнював би 180°, а це неможливо. 109. Сума двох кутів чотирикутника, прилеглих до однієї з його сторін, дорівнює 180°. Знайдіть кут між бісектрисами цих кутів.

У чотирикутнику ABCD: ∠A + ∠B = 180°; BO — бісектриса ∠B; AO – бісектриca ∠A. 1 1 Тоді ∠OBA = ∠B; ∠OAB = ∠A. 2

Звідси ∠OBA + ∠OAB = ∠B + ∠A = (∠B + ∠A) = ∙ 180° = 90°. 2 2 2 2 У ∆ВOА: ∠BOA = 180° – (∠OBA + ∠OAB) = 180° – 90° = 90°. 110. Знайдіть зовнішні кути чотирикутника, якщо три його кути дорівнюють: 1) 38°, 158° і 44°; 2) 49°, 145° і 91°. 1) 38°; 158°; 44° — три кута чотирикутника, тоді четвертий кут дорівнює 360° – (38° + 158° + 44°) = 120°. Зовнішні кути дорівнюють: 180° – 38° = 142°; 180°– 158° = 22°; 180° – 44° = 136; 180° – 120° = 60°. 2) 49°; 145°; 91° — три кути чотирикутника; 75° — четвертий кут. Зовнішні кути: 131°; 35°; 89°; 105. 111. Три кути чотирикутника дорівнюють 50°, 150° і 65°. Знайдіть його зовнішні кути. Знайдіть його зовнішні кути. 50°; 150°; 65° — три кути чотирикутника; 360° – (50° + 150° + 65°) = 95°. Зовнішні кути дорівнюють: 130°; 30°; 115°: 85°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

112. Доведіть, що сума зовнішніх кутів чотирикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°. ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 — кути чотирикутника; ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°. Зовнішні кути чотирикутника дорівнюють: 180° – ∠1; 180° – ∠2; 180° – ∠3; 180° – ∠4. Сума зовнішніх кутів чотирикутника, взятих по одному біля кожної вершини, дорівнює: 180° – ∠1 + 180° – ∠2 + 180° – ∠3 + 180° – ∠4 = 180° ∙ 4 – (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4) = = 720° – 360° = 360°. 113. Чи існує чотирикутник, зовнішні кути якого дорівнюють: 1) 120°, 80°, 59° і 101°; 2) 49°, 98°, 68° і 125°? 1) 120° + 80° + 59° + 101° = 360°. Отже, такий чотирикутник існує. 2) 49° + 98° + 68° + 125° = 340° ≠ 360°. Отже, такого чотирикутника не існує. 114. Чи існує чотирикутник, зовнішні кути якого дорівнюють: 100°, 55°, 160° і 45°? 100° + 55° + 160° + 45° = 360°. Отже, такий чотирикутник існує. 115. Знайдіть залежність між сумою кутів чотирикутника та сумою його зовнішніх кутів. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Сума всіх зовнішніх кутів чотирикутника дорівнює 720°. Отже, сума зовнішніх кутів чотирикутника удвічі більша за суму всіх кутів чотирикутника. 116. За даними на малюнках знайдіть кут α.

Мал. 25 ∠BAD = 180° – 70° = 110°; ∠CDA = 180° – 60° = 120°; ∠ABC + ∠DCB = 360° – (110° + 120°) = 130°; 1 1 1 1 ∠NBA + ∠NAB = ∠B + ∠A = (∠B + ∠A) = ∙ 180° = 90°. 2 2 2 2 α = ∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB) = 180°– 65° = 115°. Мал. 26 ∠BCD = 180° – 60° = 120°; ∠B + ∠D = 360° – (80° + 120°) = 160°; 1 1 α = 360° – (∠C + (∠B + ∠D)) = 360° – (120° + ∙ 160°) = 360° – 200° = 160°. 2 2 117. За даними на малюнку знайдіть кут α.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Мал. 27 ∠C = (360° – 120°) : 3 = 80°; α = 180° – 80° = 100°. 118. Діагональ чотирикутника поділяє його на два трикутники, периметри яких дорівнюють 30 см і 40 см. Знайдіть довжину діагоналі, якщо периметр чотирикутника дорівнює 50 см.

Нехай ABCD — чотирикутник, а діагональ AC поділяє його на трикутники ABC і ADC. Позначимо AC = x. Тоді периметри трикутників: PABC = AB + BC + AC = 30, PADC = AD + DC + AC = 40. Склавши їх: (AB + BC + AC) + (AD + DC + AC) = 30 + 40 = 70. Але AB + BC + AD + DC — це периметр чотирикутника без діагоналі, тобто P. Тому P + 2AC = 70. За умовою P = 50, підставимо: 50 + 2AC = 70 ⇒ 2AC = 20 ⇒ AC = 10. Відповідь: 10 см. 119. Доведіть, що сума двох протилежних сторін чотирикутника менша від суми його діагоналей.

Нехай діагоналі AC і BD перетинаються в точці O. За нерівністю трикутника: AB < AO + OB, CD < CO + OD.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Додаємо: AB + CD < (AO + OB) + (CO + OD) = (AO + OC) + (BO + OD) = AC + BD. Отже, сума двох протилежних сторін чотирикутника менша від суми його діагоналей. 120. У чотирикутнику ABCD бісектриси кутів А і В перетинаються в точці M, а бісектриси кутів C і D — у точці N. Доведіть, що сума кутів AMB і CND дорівнює 180°.

З ∆АВМ: ∠AMB = 180° – ∠A – ∠B = 180° – (∠A + ∠B). 2 1

З ∆СND: ∠CND = 180° – (∠C + ∠D). 2 121. Бісектриси зовнішніх кутів чотирикутника ABCD, перетинаючись, утворюють чотирикутник MNKP. Доведіть, що сума протилежних кутів чотирикутника MNKP дорівнює 180°.

Зовнішній кут при вершині A дорівнює 180° − ∠A. Зовнішній кут при вершині B дорівнює 180° − ∠B. AN — бісектриса зовнішнього кута при вершині А. BN — бісектриса зовнішнього кута при вершині В. 1 1 1 1 З ∆АNВ: ∠ANB = 180° – (180° – ∠A) – (180° – ∠B) = 180° – 90° + ∠A – 90° + ∠B = 2 1

=180° – 90° + ∠A – 90° + ∠B = ∠A + ∠B. 2

Аналогічно, розглядаючи ∆DCP, маємо: ∠DPC = ∠C + ∠D; 1

∠ANB + ∠DPC = ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = (∠A + ∠B + ∠C + ∠D) = ∙ 360° = 180°. 2 2 2 2 2 2 Отже, ∠N + ∠P = 180°. Аналогічно ∠M + ∠K = 180°. 122. На малюнку зображено земельну ділянку в масштабі 1 : 2000. Межі ділянки потрібно обгородити парканом. Скільки стовпців необхідно для огорожі, якщо відстань між ними має бути 4 м?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Периметр за кресленням: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 см. Масштаб 1 : 2000 ⇒ 1 см =20 м. Отже, реальний периметр 10 ∙ 20 = 200 м. 200 Стовпці через кожні 4 м: = 50. 4 Оскільки довжини сторін 20, 40, 60, 80 м — кратні 4, стовпці можна ставити у вершинах без «зсуву». Але останній стовпець співпадає із першим, отже 50 – 1 = 49 стовпців. Відповідь: 49 стовпців. 123. Потрібно виготовити чотирикутну рамку для повітряного змія. Взяли чотири планки й закріпили їхні кінці. З’ясувалося, що виготовлена рамка нежорстка — змінюється її форма. Як можна укріпити рамку? Чотирикутна рамка «грає», бо в ній кути можна змінювати, не змінюючи довжини сторін. Щоб зробити її жорсткою, потрібно додати діагональ (або обидві). � Якщо натягнути чи закріпити одну діагональ, рамка перетворюється на два трикутники. А трикутник — це жорстка фігура. � Можна для більшої надійності зробити обидві діагоналі (хрест-навхрест), тоді каркас стане ще міцніший. Відповідь: укріпити рамку можна, закріпивши планку-діагональ між протилежними вершинами (або обидві діагоналі). 124. Чотири населені пункти розташовані у вершинах чотирикутника і попарно з’єднані дорогами (відповідні відстані вказано на малюнку). На цій місцевості планують побудувати завод, де зможуть працювати мешканці кожного із цих населених пунктів. На роботу та з роботи працівників возитиме заводський автобус.

1. Чому дорівнює сума відстаней від заводу до даних пунктів, якщо завод побудують в одному із цих населених пунктів? Чи може ця відстань бути найменшою? Якщо завод побудують в пункті А, то 3 + 5 + 4 = 12; якщо в пункті В, то 4 + 5 + 3 = 12; якщо в пункті С, то 3 + 5 + 4 = 12; якщо в пункті D, то 3 + 5 + 4 = 12. Це і є найменша відстань. 2. Чому дорівнює сума відстаней від заводу до даних пунктів, якщо завод побудують посередині між двома із цих чотирьох населених пунктів? Чи може ця відстань бути найменшою? Якщо завод побудувати посередині між пунктами D і C, то 2 + 2 + (3 + 2) + (3 + 2) = 4 + 5 + 5 = 14. Якщо завод побудувати посередині між пунктами B і C, то 1,5 + 1,5 + (4 + 1,5) + (4 + 1,5) = 3 + 5,5 + 5,5 = 14. Якщо завод побудувати в точці O, то  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 = 5 + 5 = 10. 3. У якому місці потрібно побудувати завод, щоб сума відстаней від нього до всіх чотирьох даних пунктів була найменшою? Завод потрібно побудувати в точці O. 4. Розробіть найкоротший маршрут заводського автобуса перед початком робочого дня, якщо він вирушає з території заводу, у кожному населеному пункті забирає робітників на одній зупинці та привозить усіх разом на завод. 2,5 + 4 + 3 + 4 + 2,5 = 5 + 4 + 3 + 4 = 16. 5. Розробіть найкоротший маршрут заводського автобуса після робочого дня, якщо він вирушає з території заводу, у кожному населеному пункті висаджує робітників на одній зупинці й не повертається на завод. 2,5 + 4 + 3 + 4 = 13,5.

la. in.

§ 2. ПАРАЛЕЛОГРАМ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ 125. Чи правильно, що паралелограмом є чотирикутник, у якому: 1) сусідні сторони паралельні; 2) дві протилежні сторони паралельні; 3) протилежні сторони попарно паралельні? 1) Сусідні сторони паралельні — � неправильно. Якщо сусідні сторони паралельні, то чотирикутник не замкнеться (сторони підуть в одному напрямі). 2) Дві протилежні сторони паралельні — � неправильно. Це визначення трапеції, а не паралелограма. 3) Протилежні сторони попарно паралельні — � правильно. Це й є означення паралелограма. 126. Чи правильно, що висотою паралелограма є: 1) пряма; 2) промінь; 3) відрізок? Висота паралелограма — це перпендикуляр, опущений з вершини на пряму, що містить протилежну сторону. Визначенням висоти є саме відрізок, бо ми беремо відрізок між вершиною та основою перпендикуляра. Пряма чи промінь не можуть бути висотою. 127. Чи правильно, що в будь якому паралелограмі: 1) сусідні сторони рівні; 2) протилежні сторони попарно рівні; 3) сусідні кути рівні; 4) протилежні кути попарно рівні? 1) Сусідні сторони рівні — � неправильно. Це властивість ромба (у ромбі всі сторони рівні), але не будь-якого паралелограма. 2) Протилежні сторони попарно рівні — � правильно. Це головна властивість паралелограма. 3) Сусідні кути рівні — � неправильно. У паралелограма сума сусідніх кутів дорівнює 180°, але вони не обов’язково рівні. 4) Протилежні кути попарно рівні — � правильно. Це ще одна основна властивість паралелограма. 128. Чи правильно вказано градусні міри кутів паралелограма на малюнку 37 і довжини сторін на малюнку 38? Відповідь поясніть.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Мал. 37: Градусні міри кутів вказано неправильно, бо протилежні кути у паралелограма рівні, а на малюнку ∠28° ≠ ∠29°. Мал. 38: Довжини сторін вказано неправильно, бо протилежні сторони паралелограма рівні, а на малюнку 5 см ≠ 4 см. 129. У паралелограмі МNРK МN = 1,2 дм, NР = 0,4 дм. Чому дорівнюють сторони РK і МK? Відповідь поясніть.

Протилежні сторони паралелограма рівні, тому PK = MN = 1,2 дм; MK = NP = 0,4 дм. 130. У паралелограмі АВСD АВ = 5 см, ВС = 10 см. Чому дорівнюють сторони АD і DС? Відповідь поясніть.

Протилежні сторони паралелограма рівні, тому AB = CD = 5 cм; BC = AD = 10 см. 131. За даними таблиці знайдіть довжину сторони паралелограма АВСD, яка паралельна заданій його стороні. AB 15 см 1,8 мм BC 2,1 дм 0,33 м CD 15 см 1,8 мм AD 2,1 дм 0,33 м 132. Периметр паралелограма дорівнює 48 см. Знайдіть сторони паралелограма, якщо: 1) одна з його сторін у 7 разів менша від іншої; 2) різниця двох його сторін дорівнює 7 см. 1) Нехай x см — менша сторона, тоді 7х см — більша сторона; (х + 7х) ∙ 2 = 48; 8х = 24; х = 3см; 7x = 7 ∙ 3 = 21 (см). Відповідь: 3 см; 21 см; 3 см; 21 см. 2) Нехай x см — одна сторона, тоді (х + 7) см — друга сторона; (х + x + 7) ∙ 2 = 8; 2х + 7 = 24;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2х = 17; х = 8,5 (см); х + 7 = 8,5 + 7 = 15,5 (см). Відповідь: 8,5 см; 15,5 см; 8,5 см; 15,5 см. 133. Периметр паралелограма дорівнює 32 см. Знайдіть сторони паралелограма, якщо одна з його сторін на 3 см більша за іншу. Нехай x см — одна сторона, тоді (х + 3) см — друга сторона; Р = (х + x + 3) ∙ 2; (2x + 3) ∙ 2 = 32; 2х + З = 16; 2х = 13; х = 6,5 (см); х + 3 = 6,5 + 3 = 9,5 (см). Відповідь: 6,5 см; 9,5 см; 6,5 см; 9,5 см. 134. За даними на малюнках знайдіть сторони паралелограма АВСD.

Мал. 39: З ∆АВК, за властивістю сторони, що знаходиться навпроти кута 30°, знайдемо AB = 2AK = 4 см; CD = АВ = 4 см; AD = AK + КD = 2 + 4 = 6 см; ВC = AD = 6 см. Мал. 40: З ∆ABК, у якому ∠AKB = 90°: ∠ABK = 90° - ∠BAK = 90° - 60° = 30°. За властивістю сторони, що знаходиться навпроти кута 30°: AВ = 2 ∙ AК = 2 ∙ 5 = 10 см; CD = AB = 10 см; AD = AK + KD = 5 + 5 = 10 cм; BC = AD = 10 cм. 135. За даними на малюнку знайдіть сторони паралелограма АВСD. Розглянемо трикутник АВК. За властивістю сторони, що знаходиться навпроти кута 30°: AB = 2BK = 2 ∙ 3 = 6 см. За властивістю паралелограма: DC = AB = 6 см; ∠C = ∠A = 30°. З ∆BDC: ВС = 2 ∙ ВD = 2 ∙ 3,4 = 6,8 (см); AD = ВC = 6,8 (cм). 136. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°. Доведіть. Нехай ABCD — паралелограм, тобто AB∥CD і AD∥BC. Розглянемо кути при стороні AB: ∠DAB і ∠ABC. Пряма AB є січною для паралельних прямих AD і BC. Тоді кути ∠DAB та ∠ABC — внутрішні односторонні при паралельних прямих, а для таких кутів виконується ∠DAB + ∠ABC = 180°. Аналогічно для будь-якої іншої сторони паралелограма (напр., для BC: ∠ABC + ∠BCD = 180°, тощо). Отже, сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

137. У паралелограмі АВСD ∠АВС = α, ∠ВСD = β. Чому дорівнюють кути АDС і ВАD, якщо: 1) α = 120°, β = 60°; 2) α = β = 90°? Відповідь поясніть. Згідно властивості, протилежні кути паралелограма рівні. ∠ADC = ∠ABC = α; ∠BAD = ∠BCD = β. 1) ∠ADC= 120°; ∠BAD=60°; 2) ∠ADC = ∠BAD = 90° (АВСD прямокутник).

la. in.

138. Знайдіть кути АВС і ВСD паралелограма АВСD, якщо ∠ВАD = 45°, ∠АDС = 135°. Відповідь поясніть. Згідно властивості, протилежні кути паралелограма рівні. ∠ADC = ∠ABC = 135°; ∠BAD = ∠BCD = 45°.

139. А, В, С, D — кути паралелограма АВСD. Накресліть у зошиті таблицю і заповніть її. 35° 40° 75° 116° ∠A 145° 140° 105° 64° ∠B 35° 40° 75° 116° ∠C 145° 140° 105° 64° ∠D 140. Чи може паралелограм мати: 1) лише три рівні кути; 2) лише один тупий кут? Відповідь поясніть. 1) Не може. Четвертий кут повинен бути рівний одному з трьох кутів. 2) Не може. Протилежні кути рівні. Якщо один кут тупий, то протилежний йому кут теж тупий. 141. Чи можуть усі кути паралелограма бути гострими? Ні, не можуть. У паралелограма сума кутів при одній стороні дорівнює 180°. Тобто, якщо один кут гострий (< 90°), то сусідній обов’язково тупий (> 90°). Отже, в паралелограма завжди є два гострі й два тупі кути, і всi чотири кути гострими бути не можуть. 142. За даними на малюнках знайдіть кути паралелограма АВСD.

Мал. 42: Розглянемо трикутник ABC. В ньому ∠B = 180° – (25° + 20°) = 135°; Протилежні кути паралелограма рівні: ∠D = ∠B = 135°. Сума любих двох сусідніх кутів паралелограма рівні 180°: ∠A = ∠C = 180° – 135° = 45°. Мал. 43: ∠A = 30° + 20° = 50°; Протилежні кути паралелограма рівні: ∠C = ∠A = 50°; Сума любих двох сусідніх кутів паралелограма рівна 180°: ∠B = ∠D = 180° – 50° = 130°. 143. За даними на малюнку 44 знайдіть кути паралелограма АВСD.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠A = 90° – 30° = 60° (з ∆АВМ); ∠C = ∠A = 60°; ∠B = ∠D = 180° – 60° = 120° (згідно властивостей паралелограма).

la. in.

144. Знайдіть кути паралелограма, якщо: 1) один з його кутів на 50° менший від іншого; 2) сума двох його кутів дорівнює 120°. 1) Мова йде про сусідні кути. Нехай ∠1 = x, тоді ∠2 = x + 50°; Згідно властивості паралелограма про суму сусідніх кутів: х + х + 50° = 180°; 2х = 130°; х = 65°; ∠1 = ∠3 = 65°; ∠2 = ∠4 = 65° + 50° = 115°. 2) Дані кути не сусідні, а протилежні, бо сума сусідніх кутів 180°. Тому ∠1 + ∠3 = 120°; ∠1 = ∠3 = 120° : 2 = 60°. Тоді ∠2 = ∠4 = 180° – 60° = 120°. 145. Знайдіть кути паралелограма, якщо один з його кутів у 3 рази більший за інший. Оскільки кути нерівні, то мова йдеться про сусідні кути. Нехай ∠1 = х, тоді ∠2 = 3х. Згідно властивості паралелограма про суму сусідніх кутів: х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°; ∠1 = ∠3 = 45°; ∠2 = ∠4 = 3 ∙ 45° = 135°. 146. Доведіть, що діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники. ABCD — паралелограм. AC — діагональ, розбиває паралелограм на два трикутники: ∆AВC і ∆CDA. ВС = DA; AB = CD (протилежні сторони паралелограма). АС — спільна сторона. Отже, ∆АВС = ∆CDA (за ІІІ ознакою рівності трикутників).

147. Чи правильно вказано довжини відрізків діагоналей паралелограма на малюнку? Відповідь поясніть.

На мал. 45 довжини відрізків діагоналей паралелограма вказано неправильно, бо діагоналі паралелограма точкою перетину мають діляться навпіл (згідно властивості паралелограма). 148. АВСD — паралелограм.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

За даними на малюнку знайдіть: 1) відрізки ОС і ОD; 2) діагоналі АС і ВD; 3) сторони АD і DС.

la. in.

Для розрахунків застосуємо властивості паралелограма. 1) ОС = АО = 6 см; OD = OB = 3 cм; 2) АС = АО + ОС = 6 + 6 = 12 cм; BD = ВО + DO = 3 + 3 = 6 см; 3) AD = ВС = 8 см; DC = AB = 5 см. 149. Основа піраміди — паралелограм АВСD. Знайдіть кути паралелограма, якщо ∠А = 35°.

Згідно властивості паралелограма, протилежні кути рівні: ∠A = ∠C = 35°. Сума любих двох сусідніх кутів паралелограма рівна 180°: ∠D = ∠B = 180 – 35 = 145° 150. Основа піраміди — паралелограм АВСD. Знайдіть усі сторони паралелограма, якщо АВ = 3 см, ВС = 0,6 дм.

Згідно властивості паралелограма, протилежні сторони рівні: AB = CD = 3 см; BC = AD = 6 см. 151. Доведіть, що бісектриси кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, взаємно перпендикулярні.

ABCD — паралелограм. АK, ВK — бісектриси кутів А і В. Нехай ∠A = α, тоді ∠B = 180° – α.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html α

∠BAK = ; ∠ABK = (180° – α). 2 2 З ∆АВК: α 1 ∠AKB = 180° – (∠BAK + ∠ABK) = 180°– ( + (180° – α) = α

la. in.

= 180° – ( + 90° – ) = 90°. 2 2 Отже, ВК ⊥ АK, тобто бісектриси кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, перпендикулярні. 152. Доведіть, що бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні.

ABCD — паралелограм. АK, ВK — бісектриси кутів А і В. α α АК — бісектриса ∠A, тому ∠KAD = ; СМ — бісектриса ∠C, том ∠МCD = ; ∠D = ∠B = 2 2 180° – α. α α 3 ∆МCD: ∠СМD = 180° – ( + 180 – α) = . α

∠KAD = ∠СМD = , а ці кути — відповідні до прямих AK, СМ і січній AD. Тому АК ∥ 2 СМ, тобто бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні. 153. Бісектриса кута А паралелограма АВСD перетинає сторону ВС в точці K. ВK = а, KС = b. Знайдіть периметр паралелограма, якщо: 1) а = 14 см, b = 7 см; 2) а = 2 см, b = 3 см.

Якщо ВК = а; КС = b, то ВС = ВК + КС = а + b. ∆АВК — рівнобедрений, бо ∠BAK = ∠KAD (АК — бісектриса), а ∠KAD = ∠BKA (внутрішні різносторонні кути при паралельних ВС, АС і січній AK). Звідси ∠BAK = ∠BKA. Оскільки ∆АВК — рівнобедрений, то АВ = ВК = а. Р = (AB + ВС) · 2 = (а + а + b) · 2 = (2а + b) · 2 = 4а + 2b. 1. Якщо а = 14 см, b = 17 см, то Р = 4a + 2b = 4 · 14 + 2 · 7 = 70 (cм); 2. Якщо а = 2 см; b = З см, то Р = 4а + 2b = 4 · 2 + 2 · 3 = 14 (см). 154. У паралелограмі АВСD бісектриса кута А перетинає сторону ВС в точці K. Знайдіть: 1) ВK і KС, якщо АВ = 6 см, АD = 9 см; 2) АD, якщо АВ = 4 см, KС = 11 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

∆АВК — рівнобедрений, бо ∠BAK = ∠KAD (АК — бісектриса), а ∠KAD = ∠BKA (внутрішні різносторонні кути при паралельних ВС, АD і січній AK) 1. AB = 6 см, AD = 9 см. Якщо AB = 6 см, то ВК = 6 см; ВС = AD (протилежні сторони паралелограма); ВС = ВК + КС; 6 + КС = 9; КС = 9 – 6 = З (см). 2. AB = 4 см, тоді ВК = АВ = 4 см. ВС = ВК + КС = 4 + 11 = 15 (см). AD = ВС (протилежні сторони паралелограма). AD = 15 (см). 155. У паралелограмі АВСD бісектриса кута А перетинає сторону ВС в точці K. Знайдіть периметр паралелограма, якщо АD = 14 см, ВK : KС = 3 : 4.

Нехай ВК = 3х; КС = 4х, тоді ВК + КС = ВС, а ВС = AD = 14 см, тому 3х + 4х = 14; 7х = 14; х = 2 (см). Тоді BK = 3 · 2 = 6 (см); КС = 4 · 2 = 8 (см). ∆АВК — рівнобедрений; AB = BK = 6 (см). P = (AB + ВС) · 2 = (6 + 14) · 2 = 40 (см). 156. Із точки М, узятої на основі АС рівнобедреного трикутника АВС, проведено прямі, паралельні бічним сторонам. Доведіть, що периметр утвореного паралелограма МNВK не залежить від положення точки М.

МN ∥ ВС (за умовою); АС — січна. Тому ∠NМA = ∠BCA (відповідні кути). За умовою ∆АВС — рівнобедрений, тому ∠BCA = ∠BAC. Оскільки ∠NМA = ∠BCA, то ∠NМA = ∠BAC. Звідси: ∆ANМ — рівнобедрений, тому AN = NМ. Аналогічно ∆МКС — рівнобедрений, тому МК = КС. PМNBK = МN + NB + ВК + КМ = AN + NB + ВК + КС = АВ + ВС= 2АВ (AB = ВС, оскільки ∆АВС — рівнобедрений). 157. Із точки, узятої на основі АС рівнобедреного трикутника АВС, проведено прямі, паралельні бічним сторонам. Знайдіть периметр паралелограма МNВK, якщо АВ = 15 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

МN ∥ ВС (за умовою); АС — січна. Тому ∠NМA = ∠BCA (відповідні кути). За умовою ∆АВС — рівнобедрений, тому ∠BCA = ∠BAC. Оскільки ∠NМA = ∠BCA, то ∠NМA = ∠BAC. Звідси: ∆ANМ — рівнобедрений, тому AN = NМ. Аналогічно ∆МКС — рівнобедрений, тому МК = КС. PМNBK = МN + NB + ВК + КМ = AN + NB + ВК + КС = АВ + ВС= 2АВ (AB = ВС, оскільки ∆АВС — рівнобедрений). PМNBK = 2АВ = 2 · 15 = 30 (см). 158. У паралелограмі АВСD через точку О перетину діагоналей проведено пряму, яка перетинає сторони ВС та АD в точках Е і F. Доведіть, що: а) OE = OF; б) BE = DF; в) CE = AF.

BO = OD (О — середина діагоналі BD). ∠ВОЕ = ∠DOF (вертикальні). ∠OBE = ∠ODF (внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній BD). Звідси ∆ВОЕ = ∆DOF (II ознака рівності трикутників). З рівності трикутників маємо: а) OE = OF; б) BE = DF. ∆СОЕ= ∆AOF (І ознака рівності трикутників). ОС = ОА (О —середина діагоналі); ОЕ = OF (доведено в пункті а); ∠EOC = ∠FOA (вертикальні). З рівності трикутників: в) СЕ = АF. 159. У паралелограмі АВСD через точку О перетину діагоналей проведено пряму, яка перетинає сторони ВС і АD в точках Е і F. Знайдіть сторони ВС та АD паралелограма, якщо ВЕ = 5 см, АF = 4 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

ОС = ОА (О —середина діагоналі). BO = OD (О — середина діагоналі BD). ∠CОЕ = ∠AOF (як вертикальні). ∠OCE = ∠OAF (як внутрішні різносторонні при BС ∥ AD і січній AC). Звідси ∆CОЕ = ∆AOF (II ознака рівності трикутників). Тому OE = OF, AF = EC. BE = 5 cм; AF = 4 cм, тому EC = 4 см. BC = BE + EC = 5 + 4 = 9 (см). AD = ВС (протилежні сторони паралелограма). Отже, AD = 9 см, ВС = 9 см. 160. Знайдіть кути паралелограма, якщо два його кути відносяться як: 1) 4 : 5; 2) 3 : 7.

1) Позначимо кут ∠1 = 4x, тоді ∠2 = 5х; ∠1 і ∠2 — сусідні. 4х + 5х = 180°; 9х = 180°; х = 20°; ∠1 = 4 · 20° = 80°; ∠3 — протилежний ∠1; ∠3 = 80°; ∠2 = 5 · 20° = 100°; ∠4 — протилежний ∠2; ∠4 = 100°. 2) Позначимо кут ∠1 = 3x, тоді ∠2 = 7х; ∠1 і ∠2 — сусідні. 3х + 7x = 180°; 10х = 180°; х = 18°; ∠1 = 3 · 18° = 54°; ∠3 — протилежний ∠1; ∠3 = 54°; ∠2 = 7 · 18° = 126°; ∠4 — протилежний ∠2; ∠4 = 126°. 161. Знайдіть кути паралелограма, якщо: 1) один із них у 4 рази більший за суму двох інших; 2) половина одного кута дорівнює третині іншого. 1) Приймемо, що тупий кут у чотири рази більший за суму двох гострих кутів. Позначимо його черз x°, тоді 4 · (x° + х°) = 8x° – тупий кут.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Сума сусідніх кутів паралелограма рівна 180°: х° + 8x° = 180°, 9x° = 180°, x = 20°; ∠А = ∠С = 20° — гострі кути ∠B = ∠D = 180° – 20° = 160° — тупі кути. 2) Половина гострого кута дорівнює третині тупого кута. Нехай x° – гострий кут, тоді 180° – x° — тупий кут.

За умовою, половина гострого кута рівна третині тупого: 1 1 x = (180° – x); 2 3 3x = 2(180° – x); 3х = 360° – 2x; 5x = 360°, x = 72° — гострі кути паралелограма 180° – 72° = 108° — тупі кути паралелограма. 162. Знайдіть кути паралелограма, якщо: 1) два його кути відносяться як 2 : 3; 2) один з його кутів дорівнює сумі двох інших.

1. Нехай ∠1 = 2x, ∠2 = 3x. ∠1 і ∠2 нерівні, тому вони сусідні. ∠1 + ∠2 = 180°; 2x + 3x = 180°; 5х = 180°; х = 180° : 5; х = 36°; ∠1 = 2 · 36° = 72°; ∠2 = З · 36° = 108°; ∠3 — протилежний ∠1; ∠3 = 72°; ∠4 — протилежний ∠2; ∠4 = 108°. 2. Тупий кут паралелограма дорівнює сумі двох гострих кутів. Нехай х° — гострий кут, тоді 2x° — тупий кут. х° + 2x° = 180°, 2x = 180°, x = 60°,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠А = ∠С = 60°, ∠B = ∠D = 60° · 2 = 120°. 163. На малюнках зображено паралелограми. Знайдіть кут x.

Мал. 1 ∠D = 120°; ∠C = ∠A = 180° – 120° = 60°; ∠B = 120°; ∠CBK = 90° – 60° = 30°; ∠ABN = 90° – 60° = 30°; x = ∠NBK = 120° – (∠ABN + ∠CBK) = 120° – (30° + 30°) = 60°.

la. in.

Мал. 2 ∠CBO = ∠ODA= 30° (внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній BD). З ∆ВОС; ∠BOC = 180° – (30° + 20°) = 130°. x = 180° – 130° = 50° (x і ∠BOC — суміжні). 164. На малюнку зображено паралелограм. Знайдіть кут x.

У чотирикутнику NBKD: ∠B = 60°; ∠N = ∠K = 90°; ∠N + ∠B + ∠K + ∠D = 360°. Тому ∠D = 360° – (∠N + ∠B + ∠K) = 360° – (90° + 60° + 90°) = 120°; x = 120°. 165. Доведіть, що кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює його гострому куту.

ABCD — паралелограм. BK ⊥ AD; BP ⊥ CD. ∠KBP — кут між висотами паралелограма. Нехай ∠A = α — гострий кут паралелограма. Тоді ∠S = 180° – α — тупий кут паралелограма. У чотирикутнику BPDK: ∠K = 90°; ∠P = 90°; ∠D = 180° – α; ∠KBP = 360° – (∠K + ∠P + ∠D) = 360° – (90° + 90° + 180° – α) = = 360° – (360° – α)° = 360° – 360° + α = α. Отже, кут між висотами паралелограма дорівнює гострому куту паралелограма. 166. Із вершини тупого кута паралелограма проведено дві висоти. Кут між ними дорівнює α. Знайдіть кути паралелограма, якщо: 1) α = 35°; 2) α = 45°; 3) α = 89°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

ABCD — паралелограм. ∠B — тупий. BN ⊥ AD; BP ⊥ CD; ∠NBP = α. У чотирикутнику NBPD: ∠N = ∠P = 90°; ∠B = α. ∠N + ∠B + ∠P + ∠D = 360°; ∠D = 360° – (∠N + ∠P + ∠D) = 360° – (90° + 90° + α) = 180° – α. ∠B = ∠D = 180° – α; ∠A = ∠C = 180° – (180° – a) = α. 1) Якщо α = 35°, то ∠B = ∠D = 180° – α = 180° – 35° = 145°; ∠A = ∠C = 35°; 2) Якщо α = 45°, то ∠B = ∠D = 180° – α = 180° – 45° = 135°; ∠A = ∠C = α = 45°; 3) Якщо α = 89°, тo ∠B = ∠D = 180° – α = 180° – 89° = 91°; ∠A = ∠C = α = 89. 167. У паралелограмі АВСD діагональ ВD утворює зі стороною СD кут 68°, ∠АВС = 84°. Знайдіть кути АDВ і ВСD.

∠B = ∠D; ∠D = 84°; ∠D = ∠ADB + ∠BDC; ∠ADB = ∠D – ∠BDC = 84° – 68° = 16°; ∠BCD = ∠C = 180° – ∠B = 180° – 84° = 96°. 168. Знайдіть кути паралелограма, якщо одна з його діагоналей дорівнює стороні паралелограма й перпендикулярна до неї.

ABCD — паралелограм. BD — діагональ; BD = AB; BD ⊥ AD. ∆ABD — прямокутний і рівнобедрений, тому ∠A= 45°, тоді ∠B = 180° – 45° = 135°. ∠C = ∠A = 45°; ∠D = ∠B = 135°. 169. Периметр паралелограма АВСD дорівнює 48 см. Бісектриси кутів А і D ділять сторону ВС на три рівні частини. Знайдіть сторони паралелограма.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

ABCD — паралелограм. ∠A і ∠D — кути, прилеглі до однієї сторони паралелограма. Якщо бісектриси цих кутів ділять сторону ВС на 3 рівні частини, то AB : ВС = 2 : 3. Нехай АВ = 2x, ВС = 3x. Тоді Р = (2х + 3х) · 2; (2х + 3х) · 2 = 48; 10х = 48; x = 4,8; AB = 2 · 4,8 = 9,6 (см); ВС = З · 4,8 = 14,4 (см). CD = AB = 9,6 (см); AD = ВС = 14,4 (см). 170. У паралелограмі гострий кут дорівнює 60°. Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону навпіл. Знайдіть меншу діагональ паралелограма, якщо його периметр дорівнює 24 см.

ABCD — паралелограм; ∠A = 60°; BK ⊥ AD; К — середина AD. У ∆АВК висота ВК є медіаною, тому ∆ABD —рівнобедрений; AB = BD; ∠BAD = ∠BDA = 60°, тоді ∠ABD = 180° – (60° + 60°) = 60°. Отже, ∆АВD — рівносторонній. АВ = AD = BD. У паралелограмі всі сторони рівні. Р = 4АВ; 4АВ = 24; АВ = 24 : 4 = 6 (см); BD = AB = 6 см. 171. Два кути паралелограма відносяться як 1 : 3. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини: 1) тупого кута; 2) гострого кута. Кути відносяться як 1 : 3. Отже, ці кути сусідні, бо нерівні. Нехай ∠A = x, ∠B = 3x. ∠A + ∠B = 180°; х + 3 х = 180°; 4x = 180°; х = 45°; ∠A = 45°; ∠B = 45° · 3 = 135°. 1) ВK ⊥ AD; ВD ⊥ CD; ∠KBD — кут між висотами, проведеними з вершини тупого кута.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

З прямокутного ∆АВК: ∠ВКА = 90°, ∠ВАК = 45°, тому ∠ABK = 45°. ∠C = ∠A = 45°. З прямокутного ∆СDВ: ∠CBD = 45°. ∠KBD = ∠ABC – ∠ABK – ∠CBD = 135 ° – 45° – 45° = 45°. Кут між висотами, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 45°. 2) Висоти, проведені з вершини гострого кута, проведені на продовженні сторін: АР ⊥ ВС, AF ⊥ CD.

∠PAF — кут між висотами, проведеними з вершини гострого кута. ∠PBA = 180° – ∠ABC = 180° – 135° = 45° (як суміжні), тоді: ∠PAB = 90° – 45° = 45° (з прямокутного ∆АРВ). Аналогічно ∠FAD = 45° (з прямокутного ∆AFD). ∠PAF = ∠PAB + ∠BAD + ∠DAF = 45° + 45° + 45° = 135°. 172. Один із кутів паралелограма в три рази більший за інший. Висота, проведена з вершини тупого кута, ділить протилежну сторону на два відрізки, які дорівнюють 2 см і 4 см. Знайдіть висоту паралелограма.

Нехай гострий ∠A = 𝛼𝛼, тоді тупий ∠B = 3𝛼𝛼 і 𝛼𝛼 + 3𝛼𝛼 = 180∘ ⇒ 𝛼𝛼 = 45∘. Проведемо висоту BE ⊥ AD у точці E , де AE = 2 см. У прямокутному △ ABE ∠AEB = 90∘ , ∠BAE = 45∘ ⇒ ∠ABE = 45∘ ⇒ △ ABE рівнобедрений ⇒ BE = AE = 2 cм. Відповідь: ℎ = 2 см. 173. Паралелограм, периметр якого дорівнює 50 см, розбивається діагоналями на чотири трикутники. Знайдіть сторони паралелограма, якщо різниця периметрів двох із цих трикутників дорівнює 5 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

ABCD — паралелограм; PABCD = 50 см. BD і АС розбили паралелограм на 4 трикутника: ∆АОВ; ∆ВОС; ∆COD; ∆AOD. ∆AOB = ∆COD; ∆ВОС = ∆DOA (I ознака). Тому Р∆BOC – P∆AOB = 5 см. P∆BOD = ВО + ОС + BC; P∆AOB = ВO + AO + AB. BO + OC + BC – BO – AO – AB = 5 cм. Оскільки ОС = АО, то ВО + ОС + ВС – ВО – АО – АВ = ВС – АВ; ВС – АВ = 5. Нехай AB = х см, тоді ВС = х + 5 (см). РABCD = (AB + ВС) · 2, тобто (х + х + 5) · 2 = 50; 4x + 10 = 50; 4x = 40; x = 10; АВ = CD = 10 (cм); BC = AD = 10 + 5 = 15 (см). 174. За якої умови точка перетину бісектрис двох кутів паралелограма, що прилягають до однієї сторони, лежить на протилежній стороні?

ABCD — паралелограм. AK — бісектриса ∠A. DK — бісектриса ∠D. К ∈ ВС. ∠BAK = ∠KAD, a ∠KAD = ∠BKA (внутрішні різносторонні при AD ∥ ВС і січній AK). Тому ∠BAK = ∠BKA. ∆ABK — рівнобедрений, AB = BK. Аналогічно ∆KCD — рівнобедрений, тому КС = CD. Оскільки AB = CD, то BK = КС. Оскільки BK = АВ, то ВС = 2ВК = 2АВ. Отже, бісектриси кутів паралелограма, що прилеглі до однієї сторони, перетинаються в точці, що лежить на протилежній стороні за умови, що одна сторона паралелограма вдвічі більша за другу. 175. Периметр паралелограма дорівнює 42 см. Бісектриси кутів, прилеглих до однієї сторони, перетинаються на іншій стороні. Знайдіть сторони паралелограма.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Якщо бісектриси кутів ∠A і ∠D перетинаються в т. К і т. К ∈ ВС, то ВС = 2АВ. Нехай AB = x, тоді ВС = 2х. Р = (х + 2х) · 2 = 6x, а за умовою Р = 42 см. Тому 6x = 42; x = 42 : 6; x = 7 (см). AB = CD = 7 cм; BC = AD = 2 · 7 = 14 (cм). 176. На малюнку зображено два однакові колеса. Стрижень АВ, довжина якого дорівнює відстані CD між центрами коліс, передає рух від одного колеса до іншого.

1. Яким може бути взаємне розміщення стрижня АВ та лінії центрів CD? А. АВ ⊥ CD. Б. АВ || CD. В. АВ і CD лежать на прямих, що не перетинаються. Г. Не можна визначити. 2. Уявіть, що стрижень АВ зламався. Як його відновити? Запропонуйте власний план дій. Крок 1: 𝐴𝐴𝐴𝐴‖𝐶𝐶𝐶𝐶. Крок 2: Зняти зламаний стрижень і виміряти CD. Крок 3: Виготовити новий стрижень із прутка аналогічного перерізу довжини CD. Крок 4: Закріпити новий стрижень на осях коліс і перевірити передачу руху. Відповідь: 1) AB‖CD; 2) виготовити та встановити новий стрижень довжини CD . 177. Для проведення паралельних прямих використовують паралельні лінійки. 1. Поясніть, як виготовити такий прилад. 2. Поясніть, як користуватися цим приладом. 3. На якій властивості ґрунтується будова приладу?

1. Як виготовити? Візьміть дві довгі та дві короткі планки однакової довжини відповідно. 3'єднайте їхні кінці шарнірно (наприклад, заклепками), щоб утворити паралелограм. 2. Як користуватися? Покладіть одну довгу планку на початкову лінію. Тримаючи її, перемістіть іншу довгу планку на потрібну відстань. Проведіть лінію вздовж другої планки – вона буде паралельна першій. 3. На якій властивості ґрунтується? Прилад ґрунтується на властивості паралелограма: його протилежні сторони завжди паралельні. Це гарантує, що обидві робочі планки залишаються паралельними одна одній.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

§ 3. Ознаки паралелограма 178. Чи є паралелограмом чотирикутник, у якому дві протилежні сторони: 1) рівні; 2) паралельні; 3) паралельні й рівні? Відповідь поясніть. 1. Такий чотирикутник не є паралелограмом. Якби сторони були паралельні, то тоді б чотирикутник був би паралелограмом. У чотирикутнику ABCD: ВС = AD, але ABCD — не паралелограм. 2. Не є паралелограмом. 3. Є паралелограмом.

179. Чому чотирикутник на малюнку не є паралелограмом?

ABCD — не паралелограм, бо ВС = AD, але вони не паралельні. Або: ВС = AD, але AB ≠ CD. 180. Накресліть два рівні й паралельні відрізки завдовжки 4 см. Їхні кінці сполучіть відрізками так, щоб вони не перетиналися. Чому утворений чотирикутник є паралелограмом?

ВС ∥ АD; BС = АD = 4 см. ABCD — паралелограм, бо у цього чотирикутника дві протилежні сторони рівні і паралельні. 181. Який із чотирикутників, зображених на малюнках, є паралелограмом? Відповідь поясніть.

На мал. 1 зображений чотирикутник ABCD не є паралелограм, бо діагоналі його перетинаються, але точкою перетину не діляться навпіл. На мал. 2 зображений чотирикутник ABCD — паралелограм, бо його діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. 182. За даними на малюнку доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм. Чим ви скористалися?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

∠BDA = ∠CBD (за умовою). Ці кути є внутрішні різносторонні при прямих ВС, AD і січній BD. Оскільки кути рівні, то ВС ∥ AD. ∠BAC = ∠CDA (за умовою), а ці кути — внутрішні різносторонні при прямих AB, CD і січній АС. Оскільки кути рівні, то AB ∥ CD. У чотирикутнику ABCD: AB ∥ CD; ВС ∥ AD, томy ABCD — паралелограм. 183. За даними на малюнку доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм. Чим ви скористалися?

∠BAC = ∠DCA; ∠BCA = ∠DAC; AC — спільна сторона ∆ABC і ∆CDA. Звідси, ∆ABC = ∆CDA (II ознака рівності трикутників). З рівності трикутників маємо: ВС = DA; AB = CD. Тому ABCD — паралелограм. 184. Дано чотирикутник KLМN. Доповніть дані в таблиці так, щоб наведений висновок був правильним. KL 4 см 5,3 дм 1,5 см 0,3 дм LM

6 см 3 дм 25 мм 5 см

4 см 5,3 дм 1,5 см 0,3 дм

6 см 3 дм 25 мм 5 см

Висновок KLMN – паралелограм Доповнимо таблицю так, щоб у кожному стовпчику KL = МN і LМ = NK: стовпець 1: МN = 4 см, LМ = 6 см, NK = 6 см; стовпець 2: KL = 5,3 дм, NK = 3 дм; стовпець 3: МN = 15 мм, NK = 25 мм; стовпець 4: KL = 3 см, LМ = 5 см. 185. Відомі довжини двох сторін чотирикутника АВСD: 1) АВ = 3 см, АD = 2 см; 2) ВС = 2,5 см, СD = 3,7 см. Які довжини мають бути в інших сторін цього чотирикутника, щоб був правильним висновок: АВСD — паралелограм?

1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 см ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 см, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 см  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2) BC = 2,5 см, CD = 3,7 см ⇒ AD = BC = 2,5 см, AB = CD = 3,7 см Відповідь: BC = 2 см, CD = 3 см; AD = 2,5 см, AB = 3,7 см 186. Доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм, якщо: 1) АВ = 3 см, ВС = 0,4 дм, СD = 30 мм, АD = 40 мм; 0,4дм = 4см, 30мм = 3см, 40мм = 4см ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 3см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4см ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ⟶ паралелограм. 2) АВ + ВС = 7 см, ВС – СD = 3 см, АD = ВС = 5 см; BC = AD = 5 см, CD = BC − 3 = 2 см, AB = 7 − BC = 2 см ⇒ AB = CD = 2 см, BC = AD = 5 см ⇒ ABCD – паралелограм. 3) АВ : ВС : СD : АD = 2 : 1 : 2 : 1. AB ∶ CD = 2 ∶ 2 ⇒ AB = CD, BC ∶ AD = 1 ∶ 1 ⇒ BC = AD ⇒ ABCD – паралелограм. Відповідь: у всіх випадках ABCD – паралелограм. 187. Доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм, якщо: 1) АВ = 0,5 дм, ВС = 2,7 см, СD = 5 см, АD = 27 мм; 0,5 дм = 5 см та 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 5 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2,7 см та 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 27 мм = 2,7 см ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 – паралелограм. 2) АВ – АD = 3 см, СD = 2ВС, АВ = СD = 6 см. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 6 см i 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 см ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 см ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − паралелограм. Відповідь: у обох випадках ABCD – паралелограм. 188. У чотирикутнику АВСD АВ = СD, ВС = АD. Знайдіть: 1) AB, якщо CD = 4 см;

AB = CD і BC = AD ⇒ ABCD – паралелограм ⇒ AB = CD = 4 см. 2) BC, якщо AD = 2 см; У паралелограма протилежні сторони рівні, тому: BC = AD = 2 см; 3) ∠В, якщо ∠D = 120°; У паралелограма протилежні кути рівні, тому: ∠B = ∠D = 120∘ ; 4) ∠А, якщо ∠С = 60°. У паралелограма протилежні кути рівні, тому: ∠𝐴𝐴 = ∠𝐶𝐶 = 60∘ . Відповідь: AB = 4см; BC = 2см; ∠B = 120∘ ; ∠A = 60∘ . 189. У чотирикутнику МNKР протилежні сторони попарно рівні. Знайдіть: 1) кут М, якщо ∠K = 35°;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) МN, якщо KР = 5 см. Якщо у чотирикутнику МNKP протилежні сторони попарно рівні, то МNKP — паралелограм.

6 см

4 см

6 см

la. in.

1) ∠K = 35°, тоді ∠М = 35°, бо ∠М = ∠K (протилежні сторони паралелограма); 2) МN = KP (протилежні сторони паралелограма). Якщо KP = 5 см, то МN = 5 см. 190. У чотирикутнику KLМN дві сторони паралельні. Доповніть дані таблиці так, щоб наведений висновок був правильним. KL 4 см 5,3 дм 1,5 см 0,3 дм 3 дм

25 мм

5 см

5,3 дм

1,5 см

0,3 дм

3 дм

25 мм

5 см

KL∥MN LM∥NK KL∥MN LM∥NK

Висновок KLMN – паралелограм Якщо в чотирикутнику одна пара протилежних сторін рівна і паралельна, то це паралелограм. 191. Відомі довжини двох сторін чотирикутника АВСD: 1) АВ = СD = 2 см; 2) ВС = АD = 7 см. Які сторони цього чотирикутника мають бути паралельними, щоб був правильним висновок: АВСD — паралелограм?

Паралельними мають бути протилежні сторони: AB‖CD та BC∥AD. Відповідь: AB‖CD; BC‖AD. 192. Доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм, якщо: 1) AD ∥ BC, АD = 0,5 дм, ВС = 50 мм; 0,5 дм = 5 см, 50 мм = 5 см ⇒ AD = BC ⇒ ABCD – паралелограм 2) AB ∥ CD, АВ = 2 см, СD = 0,02 м; CD = 0,02 м = 2 см ⇒ AB = CD ⇒ ABCD – паралелограм 3) AB = CD, ∠ВАD = 45°, ∠АDС = 135°. AB = CD, ∠BAD + ∠ADC = 180∘ ⇒ AD‖BC ⇒ одна пара сторін рівна та друга пара паралельна ⇒ ABCD – паралелограм Відповідь: у всіх випадках ABCD – паралелограм. 193. Доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм, якщо: 1) AB ∥ CD, АВ = 3 см, СD = 30 мм;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

АВ і CD — протилежні сторони чотирикутника ABCD. AB ∥ CD; АВ = 3 см; CD = 30 мм. Оскільки 3 см = 30 мм, то АВ = CD. Тоді ABCD — паралелограм, бо протилежні сторони АВ і CD паралельні і рівні. 2) AD = BC, ∠АВС = 120°, ∠ВАD = 60°.

∠АВС і ∠DAB — внутрішні односторонні при прямих AD, ВС і січній АВ. Оскільки ∠ABC + ∠DAB = 120° + 60° = 180°, то AD ∥ ВС, а за умовою АD = ВС, тому ABCD — паралелограм. 194. У чотирикутнику АВСD діагоналі перетинаються в точці О. Доповніть дані таблиці так, щоб наведений висновок був правильним. AO 3 см 2 дм 35 мм 0,6 дм OC

3 см 2 дм 35 мм 0,6 дм

5 см 4,8 дм 2,1 см 6 см

Висновок ABCD — паралелограм

У паралелограма діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Отже: AO = OC, BO = OD. 195. Діагоналі чотирикутника KLМN перетинаються в точці О. Відомі довжини їхніх частин: 1) KO = 2 см, NО = 3 см; 2) LО = 3,5 см, МО = 1,9 см. Які довжини мають бути в інших частин діагоналей цього чотири кутника, щоб був правильним висновок: KLМN — паралелограм?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

У паралелограмі діагоналі перетинаються навпіл ⇒ KO = МO, LO = NO 1) KO = 2 см ⇒ МO = 2 см; NO = 3 см ⇒ LO = 3 см 2) LO = 3,5 см ⇒ NO = 3,5 см; МO = 1,9 см ⇒ KO = 1,9 см Відповідь: 1) МO = 2 см, LO = 3 см; 2) KO = 1,9 см, NO = 3,5 см. 196. Якщо протилежні кути чотирикутника рівні, то такий чотирикутник — паралелограм. Доведіть.

У чотирикутнику ABCD: ∠A = ∠C; ∠B = ∠D. Оскільки ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°, то ∠A + ∠B = ∠C + ∠D = 360° : 2 = 180°. Але ∠A і ∠B — внутрішні односторонні при прямих ВС, AD і січній AB. Звідси ВС ∥ AD. Аналогічно AВ ∥ CD. Тому ABCD — паралелограм. 197. Чи є чотирикутник паралелограмом, якщо три його кути дорівнюють: 1) 20°, 60°, 110°; Чотирикутник, три кути якого 20°, 60° і 110° не є паралелограмом, бо протилежні кути паралелограма рівні, сусідні в сумі дають 180°. З трьох даних кутів ніякі два не є рівними і ніякі два не дають в сумі 180°. 2) 60°, 60°, 120°? Чотирикутник, у якого кути 60°, 60°, 120° — паралелограм, бо є два однакових кути, які можуть бути протилежними (60° = 60°), і є кути, які в сумі дають 180° (60° + 120° = 180°). 198. Чи є чотирикутник паралелограмом, якщо три його кути дорівнюють 35°, 145°, 35°? Відповідь поясніть. Чотирикутник, у якого три кути 35°, 145°, 35° — паралелограм, бо є два однакових кути, які можуть бути протилежними (35° = 35°), і є кути, які в сумі дають 180° (35° + 145° = 180°). 199. На сторонах ВС і АD паралелограма АВСD позначено точки Е і F так, що ЕС = АF. Доведіть, що чотирикутник АЕСF — паралелограм.

Оскільки ABCD — паралелограм, тому AB = CD. ∠B = ∠D; ∠BEA = 180° – ∠AEC; ∠DFC = 180° – ∠AFC. Оскільки ∠AEC = ∠AFC (за умовою), то ∠BEA = ∠DFC.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

∠BAE = 180° – ∠B – ∠BEA; ∠DCF = 180° – ∠D – ∠DFC. Оскільки ∠BEA = ∠DFC, ∠B = ∠D, тo ∠BAE = ∠DCF. ∆ABE = ∆CDF (за II ознакою рівності трикутників). 3 рівності трикутників: AE = CF, BE = DF, EC = BC – BE. AF = AD – FD. Оскільки BC = AD (протилежні сторони паралелограма), BE = FD, то EC = AF. У чотирикутнику AECF протилежні сторони рівні (АЕ = CF, EC = AF), тому AECF — паралелограм. 200. У піраміді SАВСD АВ = 4 см, ВС = 0,7 дм, DС = 40 мм, АD = 70 мм. Доведіть, що основа піраміди — паралелограм.

AB = 4 см, CD = 40 мм = 4 см; BC = 0,7 дм = 7 см, AD = 70 мм = 7 см ⇒ AB = CD і BC = AD ⇒ ABCD – паралелограм. Відповідь: основа SABCD – паралелограм. 201. Доведіть, що основою піраміди SАВСD є паралелограм, якщо АВ ∥ DС, АВ = 65 мм, DС = 6,5 см.

AB ∥ DC, 65 мм = 6,5 см ⇒ AB = DC ⇒ одна пара протилежних сторін рівна та паралельна ⇒ ABCD – паралелограм. Відповідь: основа SABCD – паралелограм. 202. На сторонах АВ, ВС, СD і АD паралелограма АВСD позначено точки E, М, K і N відповідно і так, що BМ = DN, BE = DK. Доведіть, що EМKN — паралелограм.

∆ЕВМ = ∆KDN (за ознакою подібності, оскільки ВЕ = DK; ВМ = DN; ∠B = ∠D). 3 рівності трикутників: ЕМ = KN; МC = BC – BМ. AN = AD – ND. Оскільки ВС = AD і ВМ = ND, то МC = AN, аналогічно CK = AE, ∠A = ∠C. Звідси ∆МCK = ∠NAE. 3 рівності трикутників МК = NE. У чотирикутнику EМKN: EМ = KN, МK = NE, тобто протилежні сторони рівні. Тому EМKN — паралелограм. 203. На сторонах паралелограма АВСD відкладено рівні відрізки AМ, DN, CP, BK, як показано на малюнку. Доведіть, що МNPK — паралелограм.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

ABCD — паралелограм, тому ∠A = ∠C. AB = CD (протилежні сторони). BK = DN — за умовою, тому AB – BK = CD – DN або AK = CN. ∆AKМ = ∆CNP (за I ознакою рівності трикутників). AK = CN, AМ = CO (за умовою). ∠A = ∠C. 3 рівності трикутників: KМ = PN. Аналогічно: ∆KBP = ∆NDМ. Звідси KP = МN. У чотирикутника МNPK протилежні сторони рівні. Тому МNPK — паралелограм. 204. У паралелограмі АВСD точка М — середина сторони АD, а N — середина сторони ВС. Доведіть, що ВNDМ — паралелограм.

ABCD — паралелограм, тому ВС ∥ AD. Оскільки BN лежить на ВС, AМ на AD, то BN ∥ МD. 1 1 BN = BC; МD = AD. 2 2 Оскільки ВС = AD, то BN = МD. BNДМ — паралелограм, бо BN = МD і BN ∥ МD. 205. АВСD — паралелограм, AE = CF. Доведіть, що відрізки CE і AF рівні й паралельні.

АE = CF (за умовою); AE ∥ CF, бо лежать на паралельних АВ і CD, оскільки ABCD паралелограм. Звідси АEСF — паралелограм, тому СE ∥ AF, СЕ = AF (як протилежні сторони паралелограма). 206. АВСD — паралелограм, ОМ = ОN. Доведіть, що МВND — паралелограм.

ABCD — паралелограм, тому BD = OD. ОМ = ON (за умовою). Звідси: МBND — паралелограм, бо діагоналі його перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. 207. МВND — паралелограм, ОА = ОС. Доведіть, що АВСD — паралелограм.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

МBND — паралелограм, тому ВО = OD. За умовою ОА = ОС. Звідси ABCD — паралелограм, оскільки його діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. 208. Медіану ВD трикутника АВС продовжено на відрізок DЕ = ВD. Точку Е сполучено з вершинами А і С трикутника. Доведіть, що чотирикутник АВСЕ — паралелограм.

BD — медіана ∆АВС, тому D — середина AС. За умовою BD = DE. Отже, D — точка перетину діагоналей чотирикутника АВСЕ і серединою діагоналей АС і BE. Звідси АВСE — паралелограм. 209. Бісектриса кута А паралелограма АВСD перетинає сторону ВС в точці М, а бісектриса кута С перетинає сторону АD в точці N. Доведіть, що АМСN — паралелограм.

ABCD — паралелограм. AМ — бісектриса ∠A. CN — бісектриса ∠C. ВС ∥ AD; AМ — січна. Тому ∠BМA = ∠МAN (внутрішні різносторонні, а ∠МAN = ∠МCN (як половини рівних кутів ∠A і ∠C). Тому ∠BМA = ∠МCN, а ∠BМA і ∠МCN — відповідні при прямих МА, CN і січній ВС. Тому AМ ∥ CN, а МC ∥ AN, звідси AМCN — паралелограм. 210. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні, а одна з діагоналей ділить іншу навпіл, то такий чотирикутник — паралелограм. Доведіть.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

У чотирикутника ABCD: ВС ∥ AD. Діагональ AC ділить діагональ BD навпіл, тобто ВО = OD. ВС ∥ AD; BD — січна, тому ∠CBO = ∠ADO як внутрішні різносторонні кути при паралельних ВС, AD і січній BD. BO = OD; ∠BOC = ∠DOA (вертикальні). Звідси ∆ВОС = ∆DOA (II ознака). З рівності трикутників: АО = CO. У чотирикутника ABCD діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Отже, ABCD — паралелограм. 211. АВСD — паралелограм, АМ = KС, BN = РD. Доведіть, що МР = NK і МР ||NK.

ABCD — паралелограм, тому ОА = ОС; OB = OD. За умовою AM = КС; BN = DP. Тоді ОА – АМ = ОС – СК а6о ОМ – OK; OB – BN = OD – DP, aбо ON = OP. У чотирикутнику MNKP діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Отже, MNKP — паралелограм, тому МР ∥ NK і МР = NK (протилежні сторони паралелограма). 212. Діагоналі паралелограма АВСD перетинаються в точці О. Доведіть, що чотирикутник МNPK, вершинами якого є середини відрізків ОА, ОВ, ОС і ОD, — паралелограм.

Оскільки М – середина ОА, то ОМ = АО; K – середина ОС, тому ОK = ОC. 2 2 Оскільки ОА = ОС, то ОМ = ОK. Аналогічно ON = OP (як половини рівних відрізків OB і OD). У чотирикутнику MNKP діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Отже, MNKP — паралелограм. 213. У чотирикутнику ABCD відомо, що AB = CD, ∠А + ∠D = 180°. Доведіть, що AD = BC.

Оскільки ∠DAB + ∠ADC = 180∘ , то прямі AB‖DC при січній AD ( як внутрішні односторонні кути). AB = CD ⇒ одна пара протилежних сторін рівна й паралельна ⇒ ABCD − паралелограм ⇒ AD = BC. Відповідь: AD = BC.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

214. У чотирикутнику АВСD ∠А + ∠В = 180° і ∠В + ∠С = 180°. Доведіть, що протилежні сторони чотирикутника рівні.

la. in.

∠A + ∠B = 180°, а ∠A і ∠B — внутрішні односторонні при прямих ВС, AD і січній АВ, тому ВС ∥ AD; ∠B + ∠C = 180°, тому АВ ∥ CD, оскільки ∠B і ∠C — внутрішні односторонні при прямих АВ, CD і січній ВС. У чотирикутнику ABCD АВ ∥ CD; ВС ∥ AD, тому ABCD — паралелограм. Звідси ВС = AD; АВ = CD. Тобто протилежні сторони рівні. 215. На продовженнях сторін АВ, ВС, СD і DА паралелограма АВСD позначено відповідно точки K, P, М і E так, що AK = BP = СМ = DE. Доведіть, що чотирикутник KPМE — паралелограм.

ABCD — паралелограм. AB = CD; ВС = AD. За умовою AK = СМ, звідси KB = МD. ВР= DE, звідси CP= EA. ∠A = ∠C, звідси ∠KAE = ∠МCP. ∠B = ∠D, звідси ∠KBP = ∠МDE. ∆KBP = ∆МDE (ДМ = KP; DE = BP; ∠EДМ = ∠KBP). 3 рівності трикутників KP = EМ. Аналогічно ∆КАЕ = ∆МСР, тому КЕ = PМ. У чотирикутнику КРМЕ протилежні сторони рівні, тому КРМЕ — паралелограм. 216. На діагоналі АС паралелограма АВСD позначено точки K і М так, що ∠АKВ = ∠СМD. Доведіть, що KВDМ — паралелограм.

AB ∥ CD; АС — січна, тому ∠BAK = ∠DCM, за умовою ∠BKA = ∠CMD. У ∆АВК: ∠ABK = 180° – ∠BAK – ∠BKA. У ∆CDM: ∠CDM – 180° – ∠DCM – ∠CMD.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Оскільки ∠BAK = ∠DCM і ∠BKA = ∠CMD, то ∠ABK = ∠CDM. ∆BAK = ∆DCM, бо AB = CD; ∠BAK = ∠DCM і ∠ABK = ∠CDM. 3 рівності трикутників: BK = MD. ∠BKM = 180° – ∠BKA; ∠DMK = 180° – ∠DMC (суміжні кути). Оскільки ∠BKA = ∠DMC (за умовою), то ∠BKM = ∠DMK, але ∠BKM і ∠DMK — внутрішні різносторонні при прямих BK, DM і січній AC. У чотирикутнику KBMD ВК = MD і ВК ∥ MD, тому KBMD паралелограм. 217. Через точку K внутрішньої області кута АВС проведіть пряму так, щоб її відрізок між сторонами кута цією точкою ділився навпіл.

Точка К — точка внутрішньої області кута ABC. З’єднаємо точки В і К. На продовженні відрізка ВК відкладемо KD = BK. Через точку D проведемо DP ∥ ВС; DM ∥ ВА. Тоді BPDM — паралелог–рам; BD — діагональ; К — середина діагоналі BD. РМ теж діагональ паралелограма BPDM, тому РМ проходить через т. К і KP = KM. РМ — шукана пряма. 218. До сторін паралелограма проведено серединні перпендикуляри, які перетинають протилежні сторони або їх продовження в точках K, L, М і N. Доведіть, що чотирикутник KLМN — паралелограм.

Нехай ABCD — паралелограм. Q, E, F, G — середини відповідно BC, CD, DA, AB. Проведено перпендикуляри: NE ⟂ CD, KF ⟂ AD, LG ⟂ AB, MQ ⟂ BC. Точки перетину з протилежними сторонами (або їх продовженнями) — N, K, L, M. 1. Оскільки AB ∥ CD, маємо NE ∥ LG і NE ⟂ AB, LG ⟂ AB. Разом з AB ∥ CD це дає, що чотирикутник ENGL — прямокутник (сторони NE і LG паралельні, а кожна з них перпендикулярна AB і CD). Тому EL = GN та EN = GL — протилежні сторони прямокутника рівні. 2. Аналогічно, бо BC ∥ AD і KF ⟂ AD, MQ ⟂ BC, маємо FK ∥ MQ, а FQMK — прямокутник. Отже, FM = QK та FQ = MK.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

3. Із середностей: GB = AG = 1/2·AB, DE = CE = 1/2·CD. Але AB = CD у паралелограма, тому GB = DE. 4. З прямокутника ENGL: GN = EL. Тоді NB = GB − GN = GB − EL = DE − EL = DL. Отже, NB = DL. 5. З прямокутника FQMK: QK = FM. Із (3) маємо BQ = DF. Тоді BK = BQ − QK = DF − FM = DM. Отже, BK = DM. 6. У паралелограмі ∠B = ∠D (протилежні кути рівні). Тому трикутники NBK і LDM рівні за двома сторонами і кутом між ними (NB = DL, BK = DM, ∠B = ∠D). Звідси NK = LM. 7. Аналогічно з трикутників KCL та NMA випливає LK = MN (відповідні сторони рівні). В чотирикутника KLMN протилежні сторони попарно рівні (NK = LM і LK = MN), отже KLMN — паралелограм. 219. Якщо вершини протилежних кутів чотирикутника однаково віддалені від відповідних діагоналей, то такий чотирикутник — паралелограм. Доведіть.

ABCD – чотирикутник. BD — діагональ. AМ ⊥ BD; СР ⊥ BD; АМ = СР; ВК ⊥ AC; DZ ⊥ АС; ВК ∥ DZ (як два перпендикуляра до однієї прямої). BD — січна, тому ∠KBO = ∠ZDO (внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВК, DZ і січній BD). ∠BKO = ∠DZO = 90°; BK = DZ (за умовою). Звідси ∆ВКО = ∆DZO. З рівності трикутників: BO = OD. Аналогічно: ∆АМО = ∆СРО. З рівності цих трикутників АО = CO. У чотирикутнику ABCD діагоналі точкою О поділилися навпіл. Отже, ABCD — паралелограм. 220. Поясніть принцип дії: механічної рейс шини мал. 1; терезів мал. 2.

Принцип дії: Механічна рейсшина (мал. 1) Принцип дії ґрунтується на шарнірно– важільному механізмі у формі паралелограма. Він забезпечує, що робочий елемент (наприклад, лінійка) завжди залишається паралельним до базової основи, дозволяючи точно креслити паралельні лінії. Принцип дії: Терези (мал. 2) Терези працюють за принципом рівноваги моментів сил (крутних моментів). Вага зважуваного предмета  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

створює момент з одного боку важеля, а рухомий важок на градуйованій шкалі створює протилежний момент. Вага визначається за положенням важка, при якому терези перебувають у рівновазі. 221. На малюнках зображено шарнірні пристрої для регулювання висоти. 1. Поясніть, як користуватися цими пристроями. 2. Чому за всіх можливих положень сторони СD вісь МN лампи завжди вертикальна, а площина кільця — горизонтальна? 3. Поясніть, як виготовити такі пристрої.

Як користуватися цими пристроями. Просто перемістіть прикріплений об'єкт (лампу чи кільце) в потрібне положення. Шарнірна конструкція дозволяє плавно регулювати висоту та положення. Чому за всіх можливих положень сторони CD вісь МN лампи завжди вертикальна, а площина кільця – горизонтальна? Завдяки паралелограмній конструкції механізму. Якщо одна зі сторін паралелограма (базова) є вертикальною (чи горизонтальною), то протилежна їй сторона (з об'єктом) завжди залишатиметься їй паралельною, тобто зберігатиме свою вертикальну/горизонтальну орієнтацію. Як виготовити такі пристрої. Для виготовлення необхідно чотири планки, з'єднані шарнірами так, щоб вони утворювали паралелограм. До однієї з рухомих паралельних сторін кріпиться об'єкт, а базова сторона кріпиться до нерухомої опори.

§ 4. Прямокутник 222. Чи правильно, що прямокутником є паралелограм, у якому: 1) усі сторони рівні; Ні – усі сторони рівні ⇒ ромб, але не обов'язково прямокутник. 2) усі кути прямі? Так – усі кути прямі ⇒ паралелограм із прямими кутами ⇒ прямокутник. 223. Чи правильно, що прямокутник має всі властивості паралелограма? Відповідь поясніть. Прямокутник – частковий випадок паралелограма, тому має всі його властивості: протилежні сторони рівні й паралельні, діагоналі перетинаються та ділять одна одну навпіл. Відповідь: Так. 224. Назвіть властивість, яку має прямокутник, але якої не має паралелограм, що не є прямокутником. У прямокутника діагоналі рівні, кути прямі. 225. Чи правильно, що діагоналі прямокутника: 1) нерівні; 2) рівні? Діагоналі прямокутника завжди рівні ⇒ твердження «нерівні» – неправильно. «рівні» – правильно. Відповідь: 1) Ні; 2) Так. 226. Чи правильно, що паралелограм є прямокутником, якщо його діагоналі:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) нерівні; Якщо в паралелограмі діагоналі нерівні, він не може бути прямокутником ⇒ неправильно. 2) рівні? Рівні діагоналі в паралелограмі - це прямокутник ⇒ правильно. Відповідь: 1) Ні; 2) Так. 227. ABCD — прямокутник. За даними на малюнку знайдіть: 1) AD і DC; 2) BD; 3) AO, OC, BO і OD.

ABCD — прямокутник; ВС = 16 см; AB = 12 см. 1. AD = ВС; DC = AB (протилежні сторони прямокутника). AD = 16 см; СD = 12 см. 2. BD = AC = 20 см, діагоналі прямокутника рівні. 1 1 3. АО = ОС = АС = 10 см; ВО = 0D = BD = 10 cм; діагоналі прямокутника в точці 2 2 перетину діляться навпіл. 228. ABCD — прямокутник. За даними на малюнку знайдіть кути 1, 2 і 3.

∠2 = ∠4 = 36° (внутрішні різносторонні кути); ВС ∥ AD, АС — січна; ∠1 = ∠3 = 90° – 36° = 54°. Відповідь: 54°; 36°; 54°. 229. Знайдіть діагоналі прямокутника, якщо їх сума дорівнює: 1) 12 см; 2) 6 см; 3) 18 мм. У прямокутника діагоналі рівні. 12 1. d1 = d2 = = 6 (см); 2 6

2. d1 = d2 = = 3 (см); 2 18

3. d1 = d2 = = 9 (см). 2 230. ABCD — прямокутник. За даними на малюнку знайдіть: 1) його діагоналі; 2) суму його діагоналей.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. АО = ОМ = 7 см; АС = BD = 14 см; 2. AC + BD = 14 cм. 231. О — точка перетину діагоналей прямокутника ABCD. Доведіть: 1) трикутники AOD, BOC, AOB і DOC — рівнобедрені; 2) ∆AOB = ∆DOC, ∆BOC = ∆AOD. Нехай ABCD — прямокутник; О — точка перетину діагоналей прямокутника.

la. in.

1. ∆AOD; ∆ВОС; ∆АОВ; ∆DOC — рівнобедрені; АО = OB; ОВ = ОС; ОС = OD; АО = OD, сторони цих трикутників є половинами діагоналей, а діагоналі у прямокутника рівні. 2. ∆АОВ = ∆DOC; ∆BOC = ∆AOD (за трьома сторонами); AB = CD; ВС = AD (протилежні сторони прямокутника); ВО = OD; АО = ОС (діагоналі прямокутника в точці перетину діляться навпіл). 232. На малюнках зображено прямокутники. Знайдіть кути 1, 2 і 3.

1. Нехай ABCD – даний прямокутник. ∠1 = 90∘ − 55∘ = 35∘ . ∠3 = 55∘ як різносторонні кути при прямих AD, BC(AD‖BC) і січній AK . ∠2 = 180∘ − 55∘ = 125∘ як суміжний ∠3. Відповідь: 35∘ ; 125∘ ; 55∘ . 2. Нехай МNРК – даний прямокутник. У △ МPK∠1 = 90∘ − 60∘ = 30∘ ; за властивостями прямокутника OP = OK, тому △ POK–рівнобедрений і ∠PKO = 60∘ . Знайдемо ∠POK = 180∘ − 60∘ ⋅ 2 = 180∘ − 120∘ = 60∘ , тому △ POK – рівносторонній. ∠2 = ∠POK = 60∘ як вертикальні. Аналогічно △ МON – рівносторонній, ∠МNO = 60∘ , тоді ∠3 = 90∘ − 60∘ = 30∘ . Відповідь: 30∘ ; 60∘ ; 30∘ . 233. На малюнку зображено прямокутник. Знайдіть кути 1, 2 і 3.

∠1 = 65°; ∠3 = 90 – 65° = 25°; ∠2 = 180° – (25° + 25°) = 180° – 50° = 130°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

234. Знайдіть градусну міру кута між діагоналями прямокутника

la. in.

1. α + α + 60° = 90°; 2α = 30°; α = 15°; ∆AOD: ∠AOD = 180° – (α + α) = 180° – 30° = 150°; ∠AOB = 180° – 150° = 30°. Відповідь: 30°. 2. ∆NPK: α + 2 α = 90°; 3 α = 90°; α = 30°; ∆NOP: NO = OP; ∆РОК: OP = OK; ∠P = ∠K = 60°; ∠POK = 60°. Відповідь: 60°. 235. Знайдіть градусну міру кута між діагоналями прямокутника.

У ∆EFQ ∠F + ∠Q = 90°; + = 90°; α

α = 90°; = 45°; α = 90°. 2 Відповідь: 90°. 236. а і b — сторони прямокутника, Р — його периметр. Знайдіть невідомі величини за таблицею. a 6 см 4 см 10 см 10 см 9 см b 12 см 12 см 5 см 12 см 7 см P 36 см 32 см 30 см 44 см 32 см 237. Знайдіть периметр прямокутника, якщо: 1) одна його сторона дорівнює 4 см, а інша — утричі більша; 2) одна його сторона дорівнює 10 см, а інша — удвічі менша. 1. АВ = 4 см; АD = 4 · 3 = 12 см;

PABCD = (AB + AD) · 2 = (4 + 12) · 2 = 32 (см); Відповідь: 32 см. 2. AB = 10 см; AD = 10 : 2 = 5 см;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

PABCD = (10 + 5) · 2 = 30 (см). Відповідь: 30 см. 238. Одна сторона прямокутника дорівнює 12 см, а інша — на 4 см більша. Знайдіть периметр прямокутника. AB = 12 см; AD = 12 + 4 = 16 см; PABCD = (12 + 16) · 2 = 56 (см). 239. Чотирикутник KLМN — паралелограм. Доповніть дані таблиці так, щоб наведений висновок був правильним. KM 4 см 3 дм 1,5 дм 2,7 см LN 4 см 3 дм 1,5 дм 2,7 см Висновок KLMN - прямокутник

240. Одна з діагоналей паралелограма АВСD має довжину: 1) АС = 2 см; 2) ВD = 7 см. Якої довжини має бути інша його діагональ, щоб був правильним висновок: АВСD — прямокутник? Оскільки в прямокутнику діагоналі рівні, маємо: AC = 2 см ⇒ BD = 2 см; BD = 7 см ⇒ AC = 7 см. Відповідь: BD = 2 см; AC = 7 см. 241. У паралелограмі KLМN діагоналі утворюють рівні трикутники: 1) KLМ і МNK; 2) LМN і NKL. Доведіть, що KLМN — прямокутник.

У паралелограмі діагоналі перетинаються і діляться навпіл. Якщо трикутники KLM і MNK рівні, то їх відповідні сторони рівні, зокрема частини діагоналей, які входять до складу цих трикутників. Аналогічно, з рівності трикутників LMN і NKL випливає рівність інших частин діагоналей.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Отже, обидві діагоналі паралелограма мають однакову довжину. У паралелограмі, в якому діагоналі рівні, всі кути прямі. А це означає, що фігура є прямокутником. Висновок: KLMN — прямокутник. 242. Діагоналі паралелограма АВСD утворюють рівні трикутники САВ і DВА. Доведіть, що АВСD — прямокутник.

la. in.

Із рівності трикутників CAB і DBA випливає рівність відповідних кутів. Якщо співставити вершини відповідно (C ↔ D, A ↔ B, B ↔ A), то маємо: ∠CBA = ∠DAB. У паралелограмі ABCD сторони AD і CB паралельні. Тому кути ∠CBA і ∠DAB — внутрішні односторонні при перетині паралельних прямих AD і CB січною AB. Отже, ∠CBA + ∠DAB = 180°. Оскільки ці кути рівні, то кожен з них дорівнює 90°. Отже, ∠DAB = 90°. Якщо в паралелограмі є прямий кут, то він є прямокутником. 243. Доведіть, що коли в паралелограмі хоча б один кут прямий, то він є прямокутником.

Дано: ABCD — паралелограм. ∠A = 90°; ∠A + ∠D= 180°; AB ∥ DC; ∠D = 90°; ∠D = ∠B = 90°; ∠A = ∠C = 90° (протилежні кути паралелограма рівні). Отже, у даного паралелограма всі кути прямі, цей паралелограм — прямокутник. 244. Якщо в паралелограмі хоча б один кут прямий, то його діагоналі рівні. Доведіть.

Дано: ABCD — паралелограм. ∠A = 90°; ∠D + ∠A = 180°; AB ∥ DC, тоді ∠D = 90°. CDA = ∆BDA (за II ознакою).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

AD — спільна. DC = АВ; ∠D = ∠A. З рівності трикутників маємо: BD = АС, що й треба було довести. 245. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 8 см, ширина — у 2 рази менша за висоту, а довжина — на 16 см більша за ширину. Знайдіть ширину й довжину прямокутного паралелепіпеда. Оскільки ширина у 2 рази менша за висоту, то: 8 Ширина = = 4 см 2 Довжина = Ширина + 16 = 4 + 16 = 20 см Відповідь: Ширина — 4 см, Довжина — 20 см. 246. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 18 см, ширина — у 3 рази менша за висоту, а довжина — у 4 рази більша за ширину. Знайдіть ширину й довжину прямокутного паралелепіпеда. 18 Ширина = = 6 см 3 Довжина = 6 × 4 = 24 см Відповідь: Ширина — 6 см, Довжина — 24 см. 247. Діагональ прямокутника дорівнює d й утворює зі стороною кут 30°. Знайдіть меншу сторону прямокутника, якщо: 1) d = 4 см; 2) d = 14 мм; 3) d = 0,44 дм.

∆АВС: ВС — катет, що лежить навпроти кута 30°. 1 1. d = 4 см; ВС = АС = 2 см; 2

2. d = 14 мм; ВC = · 14 = 7 мм; 2

3. d = 0,44 дм; ВС = · 0,44 = 0,22 дм. 2 Відповідь: 2 см; 7 см; 0,22 дм. 248. Менша сторона прямокутника дорівнює а. Знайдіть діагоналі прямокутника, якщо вони перетинаються під кутом 60° і: 1) а = 10 см; 2) а = 0,25 дм; 3) а = 7 мм.

1. а = 10 см; ∆АОВ — рівносторонній. OB = OA = AB = a; d = AC = 2a; BD = 20 cм; 2. а = 0,25 дм; d = АС = 2 · 0,25 = 0,5 дм;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3. а = 7 мм; d = АС = 2 · 7 = 14 (мм). Відповідь: 20 мм; 0,5 дм; 14 мм. 249. Доведіть, що коли в прямокутнику сторона дорівнює половині діагоналі, то кут між ними дорівнює 60°.

la. in.

ABCD — прямокутник. ВС = АС. 2 ∆СОВ — рівносторонній, ОС = ОВ = ВС, тому ∠ОСВ = ∠COB = ∠СВО = 60°, що й треба було довести. 250. Перпендикуляр, проведений із вершини кута прямокутника до діагоналі, ділить цей кут у відношенні 2 : 3. Знайдіть: 1) кути, утворені діагоналями зі сторонами прямокутника; 2) кут між проведеним перпендикуляром та іншою діагоналлю.

ABCD — прямокутник. DK ⊥ АС; АС — діагональ; ∠ADK : ∠KDC = 2 : 3. 1. 2x + 3х = 90°; 5х = 90°; х = 18°; ∠ADK = 36°; ∠KDC = 54°. ∆ADK — прямокутний; ∠DAK = 90° – 36° = 54°; ∆DKC — прямокутний. ∠КCD = 90° – 54° = 36°. 2. ∠ACD = ∠BDC = 36°; ∠BDK = 54° – 36° – 18°. 251. Периметр прямокутника дорівнює 48 см. Знайдіть сторони прямокутника, якщо: 1) дві його сторони відносяться як 2 : 3; 2) відстань між серединами двох його протилежних сторін дорівнює 10 см; 3) точка перетину його діагоналей віддалена від його сторони на 4 см. 1. AD : DC = 2 : 3; AD = ВС = 2х; AB = CD = 3х; x — спільна міра відрізків.

(2х + 3х) · 2 = 48; 10х = 48; x = 4,8; AD = ВС = 9,6 см; АВ = CD = 14,4 см. Відповідь: 9,6 см; 14,4 см. 2. МN = 10 см; МN = АВ = CD = 10 см;  shkola.in.ua

P–2AB

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

48–20

la. in.

AB = CD = = = 14 (см); 2 2 Відповідь: 10 см; 14 см. 3. ОК = 4 см; ВС = AD = 2ОК = 2 · 4 = 8 (см). DC = АВ = (48 – 16) : 2 = 16 (см).

Відповідь: 8 см і 16 см. 252. Знайдіть суму відстаней від довільної внутрішньої точки прямокутника до сторін, якщо його периметр дорівнює: 1) 12 см; 2) 8,6 см.

М — довільна внутрішня точка прямокутника. 1) КМ + МN + РМ + МF — сума відстаней від довільної точки М прямокутника до його сторін. 1 1 KN + PF = PABCD = · 12 = 6 (см). 2

2) KN + PF = PABCD = · 8,6 = 4,3 (см). 2 2 Відповідь: 6 см; 4,3 см. 253. Знайдіть периметр прямокутника ABCD, якщо бісектриса кута A ділить сторону BC на відрізки завдовжки: 1) 3 см і 5 см; 2) 0,2 дм і 3 см. ABCD — прямокутник; AK — бісектриса ∠A.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) m = 3 cм; n = 5 cм; ∠1 = ∠2; AK — бісектриса.

∠2 = ∠3, ВС ∥ AD, AК — січна, отже ∠1 = ∠3, тоді ∆ABK — рівнобедрений, AB = ВК = m = 3 cм; AB = CD = 3 cм; BC = AD = m + n = 8 (см). PABCD = (3 + 8) ∙ 2 = 22 (cм). РABCD = 5 + 5 + 8 + 8 = 26 (cм). 2) m = 0,2 дм; n = 3 см; PABCD = 14 см; PABCD = 16 см. Відповідь: 1) 26 см або 22 см; 2) 14 або 16 см. 254. Бісектриса одного з кутів прямокутника ділить сторону, яку вона перетинає, на рівні відрізки. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює: 1) 15 см; 2) 3,8 дм.

AK — бісектриса кута BAD. 1) AB = 15 cм; ∠1 = ∠2; ∠2 = ∠3 ⇒ ∠1 = ∠3. ∆АВК — рівнобедрений. AB = BK = 15 см; ВС = 2ВК = 30 см. РABCD = (15 + 30) · 2 = 90 (cм). 2) PABCD = (3,8 + 7,6) · 2 = 22,8 (дм). Відповідь: 90 см; 22,8 дм. 255. У паралелограмі жодний із кутів не є гострим. Доведіть, що цей паралелограм — прямокутник.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

За умовою жоден з кутів не є гострим, отже, нехай обидва тупі, тоді ∠А + ∠D > 180°, тому вони прямі. ∠A + ∠D = 180°; ∠A = ∠D = ∠C = ∠B = 90°. Отже, цей паралелограм — прямокутник. 256. Якщо в паралелограмі сума двох протилежних кутів дорівнює 180°, то він є прямокутником. Доведіть.

ABCD — паралелограм. ∠A + ∠C = 180°, але ∠A = ∠C, тому ∠A = ∠C = 90°; ∠A + ∠D = 180°; ∠D = 180° – ∠A = 180° – 90° = 90°; ∠D = ∠B = 90°. У паралелограма всі кути прямі, тому цей паралелограм є прямокутником. 257. Якщо всі кути чотирикутника рівні, то він є прямокутником. Доведіть.

∠A = ∠B = ∠C = ∠D. ∠A = ∠C, ∠B = ∠D ⇒ тому цей чотирикутник паралелограм. ∠A + ∠B = 180°; 2∠A = 180°; ∠A = 90°, отже ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°, тому ABCD — прямокутник, що й треба було довести. 258. Доведіть, що коли в паралелограмі кути, прилеглі до однієї сторони, рівні, то він є прямокутником.

ABCD — паралелограм. ∠A = ∠D; ∠A + ∠D = 180°; ∠A = ∠D = 90°; ∠A = ∠C = 180°; ∠D = ∠B = 90°. Протилежні кути паралелограма рівні 90°. Отже, цей паралелограм є прямокутником. 259. Діагоналі паралелограма утворюють рівні кути з його стороною. Доведіть, що цей паралелограм є прямокутником.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

ABCD — паралелограм. ∠OBA = ∠OAB, ∆АОВ — рівнобедрений; ОВ = ОА, тому АС = BD. Якщо у паралелограма діагоналі рівні, то він є прямокутником, що й треба було довести. 260. У основи паралелепіпеда всі кути рівні. Доведіть, що цей паралелепіпед — прямокутний.

Нехай основа 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 – паралелограм і всі ї кути рівні. Оскільки сума кутів чотирикутника 360∘ , отже кожний кут основи 360∘ = 90∘ , 4 тобто 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 – прямокутник. У паралелепіпеді бічні грані – паралелограми, що мають один прямий кут (кут між ребром основи й бічним ребром). Паралелограм із одним прямим кутом прямокутник. Отже всі грані паралелепіпеда – прямокутники ⇒ паралелепіnед прямокутний. Відповідь: цей паралелепіпед – прямокутний. 261. У паралелепіпеда гранями є чотирикутники, у яких усі кути є прямими. Доведіть, що цей паралелепіпед — прямокутний. Паралелепіпед має 6 граней. Кожна грань — паралелограм (за означенням паралелепіпеда). Але за умовою, усі грані мають прямі кути. А паралелограм з прямими кутами — це прямокутник. Отже, усі грані паралелепіпеда — прямокутники. З цього випливає: - Протилежні грані — прямокутники, розташовані паралельно. - Сусідні грані — прямокутники, які перпендикулярні одна одній. Тобто усі ребра, що виходять з однієї вершини, перпендикулярні між собою, а отже, утворюють прямий трійний кут. Це і є ознака прямокутного паралелепіпеда (тобто прямого паралелепіпеда з прямокутними основами). Висновок: якщо всі грані паралелепіпеда мають прямі кути, то ці грані — прямокутники, а отже, цей паралелепіпед — прямокутний. 262. Діагоналі прямокутника ABCD перетинаються в точці О. Периметр трикутника ABD більший за периметр трикутника AOB на 12 см, а периметр прямокутника дорівнює 50,2 см. Знайдіть сторони прямокутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Р∆ABD – Р∆AОВ – P∆AOB = 12 см; Р∆ABD = АD + DO + OB + AB; P∆AOB = АО + OB + AB; P∆BAD – P∆AOB = AD; AD = 12 cм; AD = BC = 12 cм; DC = AB = (50,2 – 24) : 2 = 13,1 (cм). Відповідь: 12 см; 12 см; 13,1 см; 13,1 см. 263. У прямокутнику ABCD зі сторонами AB = a і BC = b проведено бісектриси кутів A і D, які перетинають сторону BC в точках М і N. Знайдіть довжину відрізка МN.

Мал. 1 а) Нехай АВ = DC = а; AD = ВС = b; ∆ABN — рівнобедрений; AB = BN = а; NC = b – с; МN = BN – NC = a – b + a = 2a – b; б) нехай AB = CD = b; BC = AD = a; AB = BN = b; NC = a – b; МN = BN – NC = 2b – a; Мал. 2 B) AB = CD = b; AD = BC = a; BМ = NC = b; AD = 2b або AD = b – 2a. 264. Через середину гіпотенузи прямокутного трикутника, яка дорівнює 6 см, проведено дві прямі, паралельні його катетам. Знайдіть діагоналі утвореного прямокутника.

Нехай дано прямокутний ∆АВС; ∠C = 90°; AB = 6 см; ВМ = МА; NМ ∥ АС; МР ∥ ВС; МNCP — прямокутник; МC — його діагональ; М — середина гіпотенузи, МB = МА = МC; М — центр кола описаного навколо прямокутного трикутника, МB = МА = МC = 3 см (радіуси описаного кола). Відповідь: МC = 3 см. 265. Доведіть, що сума відстаней від точки, яка лежить на основі рівнобедреного трикутника, до його бічних сторін дорівнює висоті, проведеній з вершини основи.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай дано рівнобедрений ∆ABC. AC = ВС. М — точка, яка лежить на основі рівнобедреного трикутника. МК ⊥ AC, відстань від точки М до сторони АС. МР ⊥ ВС, відстань від точки М до сторони ВС. СЕ — висота, проведена з вершини до основи. МF ∥ ВС; ця пряма відтинає від даного трикутника рівнобедрений трикутник, за властивістю висот, проведених до бічних сторін рівнобедреного трикутника МK + МР = СE. 266. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано прямокутник так, що вони мають спільний кут. 1. Доведіть, що периметр прямокутника не залежить від положення його вершини на гіпотенузі. 2. Знайдіть периметр прямокутника, якщо катет трикутника дорівнює 5 см.

1. ∆АВС — прямокутний, рівнобедрений, отже, ∠B = ∠C = 45°. ∆МBN: ∠B = ∠N = 45°; BМ = МN; ∆NKC: ∠C = ∠N = 45°; NK = КС; МNKA — прямокутник. AМ = NK; N = AK. Периметр прямокутника не залежить від положення його вершини на гіпотенузі. 2. KC = NK; AC = AK + KC = 5 cм; P = 2AK + 2NK = 10 (см). Відповідь: 10 см. 267. Доведіть, що коли в чотирикутнику діагоналі рівні й у точці перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник є прямокутником.

ABCD — чотирикутник. AC = BD; АО = ОС; DO = OB. ∆DOC = ∆ВОА; ∆COD = ∆AOD (за двома сторонами і кутом між ними).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

З їх рівності маємо: ∠1 = ∠2, отже DC = AB і DC ∥ AB. ABCD — паралелограм, у якого діагоналі рівні, тому він є прямокутником. 268. У чотирикутнику діагоналі точкою їх перетину діляться навпіл, а один кут — прямий. Доведіть, що цей чотирикутник є прямокутником.

la. in.

ABCD — чотирикутник. DO = OB; AO = OC; ∠A = 90°. Якщо в чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник є паралелограмом. DC ∥ AB; AD ∥ ВС; ∠A + ∠D = 180°; ∠D = 180° – ∠A = 180° – 90° = 90°; ∠D + ∠C = 180°; ∠C = 90°; ∠A = ∠C = 90°; ∠D = ∠B = 90°. Якщо у паралелограма всі кути прямі, то цей паралелограм — чотирикутник. 269. Чотирикутник, у якому протилежні сторони попарно рівні й діагоналі рівні, є прямокутником. Доведіть.

Нехай AD = ВС, DС = AB. АС = BD; ∆ABD = ∆CBD (за трьома сторонами); ∠ACD = ∠CAB (внутрішні різносторонні кути); DC ∥ AB; DC = AB; ABCD — паралелограм, у якого діагоналі рівні, отже, ABCD — прямокутник. 270. Доведіть, що чотирикутник, у якому діагоналі рівні і дві протилежні сторони рівні й паралельні, є прямокутником.

Нехай ABCD — чотирикутник; BC ∥ AD; ВС = AD. За ознакою паралелограма цей чотирикутник є паралелограмом, у якого діагоналі рівні, отже, цей паралелограм є прямокутником. 271. Доведіть, що в прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

∆ABC — прямокутний; ∠BCA = 90°; CO — медіана. 1 Доведемо, що СО = АВ. 2 Проведемо BD ∥ АС; AD ∥ ВС; ABCD — паралелограм. ∠С + ∠A = 180°; ∠A = ∠C = 90°. ABCD — прямокутник, діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл. 1 ОВ = OА = OD = ОС; ОС = АВ, що й треба було довести. 2 272. Щоб виміряти на місцевості відстань між пунктами А і В, між якими не можна пройти, побудували прямі кути BAD і ABC. Потім на сторонах кутів відклали рівні відрізки AD і BC. 1. Поясніть, якою фігурою є чотирикутник АВСD. 2. Як знайти відстань AB?

1. За умовою, ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 90∘ і ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘ . Оскільки це суміжні внутрішні кути при січній AB , і їхня сума становить 90∘ + 90∘ = 180∘ , це означає, що сторони AD та BC паралельні ( 𝐴𝐴𝐴𝐴‖𝐵𝐵𝐵𝐵 ). За умовою також дано, що відрізки AD та BC рівні ( 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ). Чотирикутник, у якого дві сторони паралельні і рівні (одночасно), є паралелограмом. Оскільки в цьому паралелограмі є два прямі кути (а отже, і всі кути по 90∘ ), то чотирикутник ABCD є прямокутником. 2. Оскільки чотирикутник ABCD є прямокутником, його протилежні сторони рівні. Це означає, що довжина сторони AB дорівнює довжині сторони DC. Таким чином, щоб знайти відстань між пунктами А і В, потрібно виміряти відстань DC на місцевості. Це можна зробити, обійшовши перешкоду. 273. Учень виготовляв рамку прямокутної форми. Щоб перевірити правильність виготовлення рамки, він перевірив рівність її діагоналей. 1.Чи достатньо такої перевірки? 2. Чому? 1. Ні, такої перевірки недостатньо. 2. Прямокутник дійсно має рівні діагоналі. Однак, не тільки прямокутник має таку властивість. Наприклад, рівнобічна трапеція також має рівні діагоналі, але при цьому не є прямокутником (її кути не обов'язково дорівнюють 90∘ ). Отже, якщо учень перевірив  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

лише рівність діагоналей, рамка могла виявитися рівнобічною трапецією, а не прямокутником. Для повної впевненості у тому, що рамка має прямокутну форму, необхідно також перевірити, чи діагоналі діляться точкою перетину навпіл (що зробить фігуру паралелограмом), або перевірити, чи всі кути рамки є прямими. 274. Якими способами можна перевірити, що даний чотирикутний предмет має форму прямокутника? Відповідь поясніть. 1–й спосіб. Якщо у чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то він є паралелограмом. Якщо діагоналі цього паралелограма рівні, то він є прямокутником. 2–й спосіб. Якщо у чотирикутнику діагоналі рівні й точкою перетину діляться навпіл, то він є прямокутником. 3–й спосіб. Якщо у паралелограма протилежні сторони попарно рівні і хоча б один кут дорівнює 90∘ , то він є прямокутником. 275. На малюнку зображено прилад для вимірювання діаметра колод. 1. Поясніть, як користуватися цим приладом. 2. Чому відлік на горизонтальній лінійці приладу відповідає діаметру колоди? 3. Якщо відлік на горизонтальній лінійці приладу дорівнює 20 см, то який діаметр колоди? 4. Поясніть, як виготовити такий прилад.

Як користуватися цим приладом? Розмістіть колоду між губками приладу. Зсуньте рухому губку до щільного прилягання. Зчитайте значення на горизонтальній лінійці. Чому відлік на горизонтальній лінійці приладу відповідає діаметру колоди? Прилад побудований так, що його губки завжди паралельні. Відстань між ними (що дорівнює діаметру колоди) прямо відображається на шкалі лінійки. Якщо відлік на горизонтальній лінійці приладу дорівнює 20 см, то який діаметр колоди? Діаметр колоди дорівнює 20 см. Поясніть, як виготовити такий прилад. Виготовляється з довгої планки зі шкалою та двох губок. Одна губка нерухома, інша рухома. Рухома губка має ковзати по планці, зберігаючи паралельність до нерухомої, що забезпечується спеціальними напрямними (наприклад, П–подібними). 276. Провішена на місцевості пряма упирається в будівлю. Поясніть, як продовжити пряму за будівлю.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Щоб продовжити пряму за будівлю, між точками якої не можна пройти, можна використати метод побудови прямокутника або двох допоміжних перпендикулярів. Послідовність дій: Вибір точок перед перешкодою: На початковій прямій, перед будівлею, виберіть дві точки, наприклад, А і В. Побудова першого перпендикуляра: У точці А побудуйте прямий кут (наприклад, за допомогою землемірних інструментів, косинця або «єгипетського трикутника» зі сторонами 3,4,5 одиниць) до початкової прямої. Відкладіть по цьому перпендикуляру відрізок AD такої довжини, щоб він дозволяв обійти будівлю (наприклад, 5 або 10 метрів). Позначте точку 𝐷𝐷. Побудова паралельної лінії: 3 точки D проведіть нову пряму, яка буде паралельна початковій прямій (AB). Для цього можна, наприклад, у точці D побудувати прямий кут до AD і продовжити цю лінію. Ця нова лінія має бути достатньо довгою, щоб повністю обійти будівлю. Вибір точки на паралельній лінії: На цій новій паралельній лінії (що проходить через D) виберіть точку С так, щоб вона знаходилася вже за будівлею. Побудова другого перпендикуляра: 3 точки С опустіть перпендикуляр на уявне продовження початкової прямої, відклавши на ньому відрізок СВ, який буде рівним відрізку AD. Позначте точку B. Продовження прямої: Тепер точки А і В знаходяться на одній прямій. Від точки В можна далі продовжувати початкову пряму в потрібному напрямку. Таким чином, утворюється прямокутник ADCB, де сторона AD паралельна і дорівнює стороні СВ, а сторона AB паралельна і дорівнює стороні DC . Вимірявши довжину DC, можна знайти довжину відсутнього відрізка прямої AB.

§ 5. Ромб. Квадрат 277. Чи правильно, що ромбом є паралелограм, у якому: 1) протилежні сторони попарно рівні; 2) усі сторони рівні? 1. Ні; 2. Так. 278. Чи має ромб усі властивості паралелограма? Відповідь поясніть. Ромб має усі властивості паралелограма, тому що ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. 279. Назвіть властивості, які має ромб, але яких не має паралелограм, що не є ромбом. Діагоналі ромба перпендикулярні, діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. 280. Чи є ромбом будь який паралелограм, у якого діагоналі: 1) рівні; 2) взаємно перпендикулярні; 3) ділять кути ромба навпіл? 1. Ні; 2. Так; 3. Так. 281. Чи правильно, що паралелограм є ромбом, якщо його діагоналі: 1) перетинаються під гострим кутом;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2) взаємно перпендикулярні? 1. Ні; 2. Так. 282. Чи правильно, що квадратом є прямокутник, у якому: 1) дві сусідні сторони нерівні; 2) усі сторони рівні? 1. Ні; 2. Так. 283. Чи має квадрат усі властивості прямокутника? Відповідь поясніть. Так, квадрат має всі властивості прямокутника. Прямокутник – це паралелограм, у якого всі кути прямі (по 90∘ ). Квадрат – це окремий випадок прямокутника, у якого до того ж усі сторони рівні. Оскільки квадрат за означенням є прямокутником (бо має всі прямі кути), він автоматично успадковує всі властивості прямокутника. 284. Чи має квадрат усі властивості ромба? Відповідь поясніть. Так, квадрат має всі властивості ромба. Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Квадрат – це окремий випадок ромба, у якого до того ж усі кути прямі (по 90∘ ). Оскільки квадрат за означенням є ромбом (бо має всі рівні сторони), він автоматично успадковує всі властивості ромба. 285. Чи правильно, що у квадраті: 1) протилежні сторони рівні й паралельні; 2) сусідні сторони рівні та взаємно перпендикулярні; 3) протилежні кути рівні; 4) усі кути рівні? 1. Так; 2. Так; 3. Так; 4. Так. 286. Чи правильно, що діагоналі квадрата: 1) рівні; 2) взаємно перпендикулярні; 3) ділять кути навпіл; 4) точкою перетину діляться навпіл? 1. Так; 2. Так; 3. Так; 4. Так. 287. Чи правильно вказано довжини сторін і градусні міри кутів ромба на малюнку? Відповідь поясніть.

Протилежні сторони ВС і AD не дорівнюють 6 см. У ромба всі сторони рівні. ВС = AD = 6 см: ∠COD = 90°; СО ⊥ OD. 288. ABCD — ромб. За даними на малюнку знайдіть: 1) BC, AD, DC; 2) AC, BD.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. ВC = AВ = 10 см; AD = 10 cм: DC = 10 cм; у ромба всі сторони рівні; 2. АС = 2АО = 16 см; BD = 2ВО = 12 см. 289. ABCD — ромб. За даними на малюнку знайдіть кути 1, 2 і 3.

∠1 = ∠2 = ∠3 = 25°. Діагональ АС є бісектрисою кутів А і С. 290. Знайдіть сторону ромба, якщо його периметр дорівнює: 1) 2,4 дм; 2) 280 мм. Р = 4а; 1) а = 2,4 : 4 = 0,6 (дм); 2) а = 280 : 4 = 70 (мм). 291. Периметр ромба дорівнює 12 см. Знайдіть сторону ромба. 𝑃𝑃 12 У ромбі всі сторони рівні ⇒ 𝑃𝑃 = 4𝑎𝑎 ⇒ 𝑎𝑎 = = = 3 см. 4 4 Відповідь: 3 см. 292. Доведіть, що діагоналі ромба ділять його на чотири рівні прямокутні трикутники.

∆АОВ = ∆ВОС = ∆DOC = ∆AOD (за двома катетами). Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл. 293. Доведіть, що діагональ ромба ділить його на два рівні трикутники.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

∆АВС = ∆АОС (за трьома рівними сторонами). AB = ВС = AD = DC; AC — спільна. 294. ABCD — ромб. За даними на малюнку знайдіть кути 1, 2, 3, 4 і 5.

∠1 = ∠3 = ∠4 = 25°; ∠2 = 65°; ∠5 = 90°. 295. Знайдіть кути, утворені діагоналями ромба з його сторонами, якщо кут ромба дорівнює: 1) 36°; 2) 54°. 1) 18° і 72°; 2) 27° і 63°; 296. Знайдіть кути, утворені діагоналями ромба з його сторонами, якщо кут ромба дорівнює 60°. 30° і 60°. 297. Знайдіть кути ромба, якщо одна з його діагоналей дорівнює стороні.

Нехай ABCD — ромб, AB = ВС – AD = BD. ∆ABD — рівносторонній. Отже, ∠A = ∠ABD = ∠ADB = 60°; ∠A = ∠C = 60°; ∠B = ∠D = 120°. Відповідь: 60°; 60°; 120°; 120°. 298. Знайдіть кути ромба, якщо його висота утворює зі стороною кут: 1) 30°; 2) 15°; 3) 65°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — ромб. BK ⊥ AD; BK — висота ромба. 1. ∠ABК = 30°; ∆ABK; ∠A = 60°; ∠С = ∠A = 60°; ∠B = ∠D = 120°; 2. ∠ABK = 15°; ∠A = 75°; ∠C = 75°; ∠B = ∠D = 105°; 3. ∠ABK = 65°; ∠A = ∠C = 25°; ∠В = ∠D = 155°. Відповідь: 1) 60°; 60°; 120°; 120°; 2) 75°; 105°; 75°; 105°; 3) 25°; 155°; 25°; 155°. 299. За даними на малюнках знайдіть кути ромба.

la. in.

1. α + α + 40° = 180°; 2α = 140°; α = 70°. ∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 110°. 2. α + 4α = 90°; 5 α = 90°; α = 18°; ∠A = ∠C = 36°; ∠B = ∠D = 144°. 300. За даними на малюнку знайдіть кути ромба.

2α + α = 180°; 3α = 180°; α = 60°; ∠B = ∠D = 120°; ∠A = ∠C = 60°. 301. Кут ромба дорівнює 60°, а менша діагональ — d. Знайдіть периметр ромба, якщо: 1) d = 3,2 дм; 2) d = 45 мм. Нехай ABCD — ромб. ∠A = 60°; BD = d.

1. d = 3,2 дм; P = 4 · 3,2 = 12,8 (дм); 2. d = 45 мм; P = 4 · 45 = 180 (мм). Відповідь: 12,8 дм; 180 мм. 302. Кут ромба дорівнює 60°, а менша діагональ — 10 см. Знайдіть периметр ромба.

Нехай ABCD — ромб. ∠A = 60°; BD = d. d = 10 cм; ∆ABD — рівносторонній;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

∠A = ∠D = ∠В = 60°; AB = BD = AD = 10 cм; PABCD = 40 cм. Відповідь: 40 см. 303. У чотирикутнику KLМN протилежні сторони паралельні. Доповніть дані в таблиці так, щоб наведений висновок був правильним. KL 5 см 2 дм 2,5 см 4 см LM 5 см 2 дм 2,5 см 0,4 дм MN 5 см 2 дм 25 мм 4 см NK 5 см 2 дм 2,5 см 4 см KM⊥LN KM⊥LN KM⊥LN KM⊥LN Висновок KLMN - ромб

304. Відомі довжини двох паралельних сторін чотирикутника АВСD: 1) АВ = СD = 3 см; 2) ВС = АD = 4 см. Які елементи цього чотирикутника мають бути перпендикулярними, щоб був правильним висновок: АВСD — ромб? Як відомо, паралелограм із рівними всіма сторонами – ромб, а серед ознак ромба діагоналі, що перетинаються під прямим кутом. У нашому чотирикутнику вже виконані умови паралелограма: 𝐴𝐴𝐴𝐴‖𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 3 см, 𝐵𝐵𝐵𝐵‖𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 см Щоб із цього паралелограма зробити ромб, потрібно додатково, щоб його діагоналі 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐵𝐵𝐵𝐵 були перпендикулярні: 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⊥ 𝐵𝐵𝐵𝐵

Відповідь: діагоналі 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐵𝐵𝐵𝐵 мають бути перпендикулярними. 305. За даними на малюнку знайдіть: 1) інші сторони квадрата; 2) діагоналі квадрата;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3) кути 1, 2, 3 і 4.

la. in.

1. Сторони квадрата AB = ВС = CD = AD = 5 cм; 2. діагоналі квадрата АС = BD = 7 см; 3. ∠1 = ∠4 = ∠3 = 45°, ∠2 = 90°. 306. Знайдіть периметр квадрата, якщо точка пере тину його діагоналей віддалена від сторони на: 1) 8 см; 2) 0,3 дм.

Нехай АВСD — квадрат. ОK ⊥ АВ; ОК = n. 1. n = 8 см; AD = 2n = 16 см; Ркв = 64 см; 2. n = 0,3 дм; а = 2n = 0,6 дм; Ркв = 4а = 2,4 дм. Відповідь: 1) 64 см; 2) 2,4 дм. 307. Знайдіть периметр квадрата, якщо точка перетину його діагоналей віддалена від сторони на 21 мм.

Нехай АВСD — квадрат. ОK ⊥ АВ; ОК = n. а = 21 мм; а = 2n = 42 мм; Ркв = 4а = 42 · 4 = 168 мм. Відповідь: 168 мм. 308. Дано паралелограм KLМN. Доповніть дані в таблиці так, щоб наведений висновок був правильним. KL 5 см 2 дм 2,5 см 4 см LM 5 см 2 дм 2,5 см 0,4 дм MN 5 см 2 дм 25 мм 4 см NK 5 см 2 дм 2,5 см 4 см KM⊥LN KM⊥LN KM⊥LN KM⊥LN Висновок KLMN - квадрат  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

309. Доведіть, що паралелограм ABCD на малюнку — квадрат.

∆ABD = ∆CBD. BC = CD = AD = AB; BD — спільна; ∠ABD = ∠CBD = ∠CDB = ∠ADB = 45°; ∠В = ∠C = ∠D = ∠A = 90°. ABCD — квадрат, що й треба було довести. 310. Накресліть у зошиті таблицю. У таблиці поставте знак «+», якщо геометрична фігура має вказану властивість. № Властивість Паралелограм Прямокутник Ромб Квадрат 1

Протилежні сторони попарно паралельні

Протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні

3 Усі сторони рівні

–

4 Усі кути прямі

–

6 Діагоналі рівні

–

7 Діагоналі взаємно перпендикулярні

–

Діагоналі діляться точкою їх перетину навпіл

8 Діагоналі ділять кути навпіл – – + + 311. Чи може лише одна грань прямокутного паралелепіпеда мати форму квадрата? У прямокутному паралелепіпеді протилежні грані рівні, тому якщо одна грань квадрат, то й протилежна їй теж квадрат ⇒ не може бути лише однієї. Відповідь: Ні. 312. Знайдіть суму площ усіх граней куба, якщо сума довжин ребер однієї грані дорівнює 16 см. 1. Знайдемо довжину ребра куба Оскільки грань куба — це квадрат, він має 4 рівні сторони. Нехай довжина ребра — a см. Тоді сума довжин ребер однієї грані дорівнює: 16 = 4 см 4𝑎𝑎 = 16 ⇒ 𝑎𝑎 = 4  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2. Знайдемо площу однієї грані Площа квадрата зі стороною a = 4 см: 𝑆𝑆1 = 𝑎𝑎2 = 42 = 16 см2 3. Знайдемо суму площ усіх граней У куба — 6 граней: 𝑆𝑆загальна = 6 × 16 = 96 см2 Відповідь: 96 см2 . 313. Знайдіть суму площ усіх граней куба, якщо сума довжин усіх його ребер дорівнює 132 см. У куба всі ребра рівні ⇒ сума довжин ребер 12𝑎𝑎 = 132 см ⇒ 𝑎𝑎 = 11 см. Площа однієї грані 𝑎𝑎2 = 112 = 121см2 ⇒ сумарна площа граней 6 ⋅ 121 = 726см2 . Відповідь: 726 см2 . 314. Доведіть, що чотирикутник, усі сторони якого рівні, є ромбом.

Нехай ABCD — чотирикутник, AB = BC = CD = AD. Проведемо діагональ BD. ∆ABD = ∆CBD (за трьома сторонами (BD — спільна сторона)). Тому ∠1 = ∠2. Отже, DC ∥ АВ. ABCD — паралелограм, у якого всі сторони рівні; ABCD — ромб, що й треба було довести. 315. Паралелограм, діагоналі якого ділять кути навпіл, — ромб. Доведіть.

Нехай ABCD — паралелограм, діагоналі якого ділять кути навпіл. ∆ABD = ∆CBD — рівнобедрені: ∠4 = ∠5; ∠3 = ∠5; DC = ВС; AD = AB. У паралелограма ABCD всі сторони рівні, отже ABCD — ромб, що й треба було довести. 316. Знайдіть кути ромба, якщо його периметр дорівнює 36 см, а висота — 4,5 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай ABCD — ромб. PABCD = 36 см; DK ⊥ AB; DK — висота ромба; а — сторона ромба. Р = 4а; а = 36 : 4 = 9 (см). ∆ADK : AD = 9 cм; DK = 4,5 (cм). 1 DK = AD. Отже, ∠A = 30° (катет, що лежить навпроти кута 30°). 2 ∠A = ∠C = 30°; ∠D = ∠B = 150°. Відповідь: 30°; 30°; 150°; 150°. 317. Доведіть, що висоти ромба рівні.

Нехай ABCD — ромб. ВМ і ВР — висоти; ВМ ⊥ AD; BP ⊥ CD. ∆АВМ = ∆СВР. ∠М = ∠P = 90°; AB = ВС; ∠A = ∠C. 3 рівності трикутників ВМ = BP, що й треба було довести. 318. Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, ділить його сторону навпіл. Знайдіть: 1) кути ромба; 2) периметр ромба, якщо його менша діагональ дорівнює 20 см.

Нехай дано ABCD — ромб, DK ⊥ АВ; АК = ВК. 1) ∆ADB— рівнобедрений; АК = КВ; DK ⊥ AB; ∠A = 60°; ∠ADC= 120°; ∠C = ∠A = 60°; ∠D = ∠B = 120°. 2) BD = 20cм; AD = BD; PABCD = 4AD = 4 · 20 = 80 (cм). Відповідь: 1) 60°; 60°; 120°; 120°; 2) 80 см. 319. Знайдіть кути ромба, якщо кут між його висотою та діагоналлю, проведеними з однієї вершини, дорівнює: 1) 35°; 2) 20°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай АВСD — ромб. ∠BDK — кут між висотою і діагоналлю, проведеними з однієї вершини. 1. ∠BDK = 35°: ∆DBK = 55°; ∠ABC = 110°; ∠ADC = ∠ABC = 110°; ∠A = ∠C = 70°; 2. ∠BDK = 20°; ∠DBK = 70°; ∠ABC = 140°; ∠B = ∠D = 140°; ∠A = ∠C = 40°. Відповідь: 1) 70°; 110°; 70°; 110°; 2) 40°; 140°; 40°; 140°. 320. Знайдіть кути ромба, якщо кут між його висотою та діагоналлю, проведеними з однієї вершини, дорівнює 40°.

Нехай АВСD — ромб. ∠BDK — кут між висотою і діагоналлю, проведеними з однієї вершини. ∠BDK = 40°; ∠DBA = 50°; ∠B = ∠D = 100°; ∠A = ∠C = 80°. Відповідь: 80°; 100°; 80°; 100°. 321. Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, які відносяться як: 1) 2 : 3; 2) 2 : 7.

Нехай ABCD — ромб. 1. ∠1; ∠2 = 2 : 3. ∆АВО — прямокутний, ∠ВОА = 90°; х — спільна міра кутів, тоді ∠1 = 2х; ∠2 = 3х; 2х + 3x = 90°; 5х = 90°; х = 18°. ∠A = 4х = 72°; ∠A = ∠C; ∠B = ∠D = 6х = 108°; 2. ∠1 : ∠2 = 2 : 7; 2х + 7х = 90°; х = 10°, ∠A = ∠C = 40°; ∠B = ∠D = 140°. Відповідь: 1) 72°; 108°; 72°; 108°; 2) 40; 140°; 40°; 140°. 322. Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, які відносяться як 1 : 2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай ABCD — ромб. ∠1 : ∠2 = 1 : 2; х + 2х = 90°; 3х = 90°; х = 30°; ∠A = ∠C = 60°; ∠B = ∠D = 120°. Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°. 323. У рівносторонній трикутник вписано ромб, який має з ним спільний кут. 1. Знайдіть периметр ромба, якщо периметр трикутника дорівнює 24 см. 2. Доведіть, що сторона ромба дорівнює половині сторони трикутника. 3. Знайдіть довжини відрізків, на які вершини ромба ділять сторони трикутника.

1. Нехай у рівносторонній ∆АВС вписано ромб AEFK. ∠A — спільний. Р∆ABC = 24 см; AB = ВС = АС = 8 (см). 1 2. ∆KFC — рівносторонній. FK = КС; АК = · 8 = 4 см; 2 PABCD = 4 х 4 = 16(см). 3. ВE = AE = 4 см; АK = KС = 4 см; BF = FC = 4 cм. 324. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат, який має з ним спільний кут. Знайдіть периметр квадрата, якщо катет трикутника дорівнює: 1) 8 см; 2) 29 мм; 3) 0,41 дм.

1. Нехай у рівнобедрений прямокутний трикутник ABC вписано квадрат AМNK. AB = AC = 8 см; ∠B = ∠C = 45°; ∆BМN — рівнобедрений прямокутний трикутник. BМ = МN; ∆KNC — прямокутний. NK = КС; РAМNK = АВ + АС = 8 + 8 = 16 см. 2. PAМNK = 29 + 29 = 58 мм; 3. PAМNK = 0,41 + 0,41 = 0,82 дм. 325. Ромб, у якого один кут прямий, — квадрат. Доведіть.

Hexaй AВCD — ромб, у якого ∠A = 90°, тоді ∠C = ∠A = 90°. ∠D = ∠B = 180° – 90° = 90°. У ромба всі кути прямі, тому ABCD — квадрат, що й треба було довести. 326. AN — бісектриса прямого кута A трикутника ABC; NМ і NK — перпендикуляри до катетів. Доведіть, що AМNK — квадрат.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай AN — бісектриса прямого кута А ∆АВС; NМ і NK — перпендикуляри до катетів. ∆AМN — прямокутний рівнобедрений; ∠1 = ∠2 = 450; AМ = МN. Отже, AМNK — квадрат, що й треба було довести. 327. Доведіть, що ромб, діагоналі якого рівні, — квадрат.

1. Властивості ромба: - Усі сторони рівні. - Діагоналі перетинаються під прямим кутом. - Діагоналі діляться навпіл і є бісектрисами кутів. 2. За умовою, діагоналі рівні: AC = BD 3. Розглянемо трикутник, утворений половинами діагоналей (наприклад, ∆AOB, де O — точка перетину діагоналей: - AO = BO — бо діагоналі діляться навпіл. - ∠AOB = 90° — бо діагоналі ромба перпендикулярні. AC BD - AO = , BO = ), а оскільки AC = BD, то AO = BO. 2 2 Трикутник ∆AOB — рівнобедрений прямокутний. Це означає, що всі кути ромба по 90°, бо всі чотири прямокутні трикутники всередині фігури однакові. Висновок: якщо діагоналі ромба рівні, то всі кути по 90°, отже, цей ромб — квадрат. 328. На діагоналі BD квадрата ABCD відкладено рівні відрізки BМ = DN. Доведіть, що AМCN — ромб.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай ABCD — квадрат, діагональ – BD. BМ = DN. ∆AND = ∆CND = ∆АМВ = ∆СМВ. 1. BМ = ND; AB = BC = CD = AD; 2. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 45°. З рівності трикутників маємо: AМ = МC = CN = AN. МN ⊥ AC. Отже, AМCN — ромб, що й треба було довести. 329. Чи правильні твердження: 1) паралелограм, діагоналі якого взаємно перпендикулярні й рівні, — квадрат; 2) чотирикутник, усі сторони якого рівні й один із кутів прямий, — квадрат; 3) чотирикутник, діагоналі якого взаємно перпендикулярні й точкою їх перетину діляться навпіл, — квадрат? 1) Ні; 2) так; 3) ні. 330. Доведіть, що діагональ ромба ділить навпіл кут між висотами, проведеними з однієї вершини.

Нехай ABCD — ромб, AМ ⊥ ВС; АР ⊥ DC; AМ і АР — висоти, АС — діагональ. ∆АСМ = ∆АСР. АС — спільна; АМ = АР, отже, ∠МAC = ∠PAC, що й треба було довести. 331. Висоти, проведені з вершини ромба, утворюють кут 30°. Знайдіть кути ромба.

Нехай ABCD — ромб. AМ ⊥ ВС; АР ⊥ DC; ∠МAP = 30°; ∠МAP = ∠ABC = 30°; ∠ABC = ∠ADC = 30°. ∠A + ∠B = 180°; ∠BAD = ∠BCD = 180° – 30° = 150°. Відповідь: 30°; 30°; 150°; 150°. 332. Вершини протилежних кутів ромба сполучено із серединами його сторін так, як  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

показано на малюнку. Доведіть, що утворений чотирикутник МNKL — паралелограм.

la. in.

Нexaй ABCD — ромб. М, N, P, К — середини сторін ромба. Проведемо діагоналі АС і BD. МN — середня лінія ∆АВС. МN ∥ АС; РК — середня лінія ∆АDС, РК ∥ АС ⇒ МN ∥ РК. Аналогічно МР ∥ NK. Отже, МNKP — паралелограм, що й треба було довести. 333. Від двох протилежних вершин ромба на його сторонах відкладено рівні відрізки. Доведіть, що утворений чотирикутник PМNK — прямокутник.

Нехай ABCD — ромб. Від двох протилежних вершин ромба на його сторонах відкладено рівні відрізки AМ = AP; NC = CK. BD і AC — діагоналі ромба; ∠BOD = 90°; NK ∥ BD, тому NK ⊥ AC; NМ ⊥ BD; ∠N = ∠K = ∠P = ∠М = 90°. МNKP — прямокутник. 334. Із точки перетину діагоналей ромба проведено перпендикуляри до його сторін. Доведіть, що основи цих перпендикулярів є вершинами прямокутника.

Нехай дано ромб ABCD. Із точки перетину діагоналей ромба проведено перпендикуляри до його сторін. ON ⊥ DC; OP ⊥ ВС; ОМ ⊥ AB; OK ⊥ AD. Точки К, О, Р лежать на одній прямій; О, N, М — також належать одній прямій. KP ⊥ ВС; МN ⊥ DC; KP ⊥ МN — висоти ромба ABCD. KP = NМ; KP і NМ — діагоналі чотирикутника KNPМ, отже, чотирикутник KNМP є прямокутником. 335. Доведіть, що чотирикутник, вершини якого є серединами сторін прямокутника, — ромб.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — прямокутник. М, N, Р, К — середини сторін прямокутника. Проведемо діагоналі АС і BD; АС = BD. 1 ∆АВС: МN — середня лінія; МN ∥ АС; МN = AC; 1

la. in.

∆ADC: KP – середня лінія; KP ∥ AC; КР = АС. Отже, МN ∥ NP; МN = KP. Аналогічно 2 МК ∥ NP; МК = NP. Якщо АС = BD, тоді МN = КР = МК = NP. Тому МNPK — ромб, що й треба було довести. 336. Сума периметрів чотирьох трикутників, на які квадрат розбивається діагоналями, більша за периметр квадрата на 20 см. Знайдіть діагональ квадрата.

Нехай ABCD — квадрат. P∆AOD = P∆DOC = P∆COD = P∆AOB. 4P∆AOD – Pкв.ABCD = 20 см. P∆AOD = a + d, де а – сторона; d – діагональ. 4P∆AOD = 4a + 4d; Pкв = 4а; 4a + 4d – 4a = 20 см; 4d = 20; d = 5 см. Відповідь: 5 см. 337. Чотирикутник, діагоналі якого рівні та є бісектрисами його кутів, — квадрат. Доведіть.

ABCD — чотирикутник. BD і AC — бісектриси кутів, BD i AC — діагоналі, BD = AC. Якщо в чотирикутнику діагоналі рівні, то він є прямокутником, а якщо діагоналі прямокутника є бісектрисами кутів, то він є квадратом. 338. Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, перетинаючись, утворюють квадрат.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай АВСD — прямокутник. BK, AN, CK, DN — бісектриси кутів; бісектриси двох пар сусідніх кутів прямокутника перетинаються під прямим кутом. ∆CPD — рівнобедрений прямокутник. ∠C = ∠D = 45°. ∠СРD = 90°; ∠NPK = 90°. МNPK – квадрат, NP = РК; МN = МК, що й треба було довести. 339. Швачка викроїла з тканини чотирикутник, який має бути ромбом. Щоб перевірити правильність викрійки, вона перегнула тканину за однією діагоналлю й переконалася, що краї тканини суміщаються. 1. Чи є правильною така перевірка? 2. Якщо ні, то запропонуйте свій спосіб перевірки. 1. Ні, така перевірка недостатня. 2. Згинання по одній діагоналі доводить лише те, що фігура є дельтоїдом, тобто має попарно рівні сусідні сторони. Для ромба ж усі чотири сторони мають бути рівними. Спосіб перевірки: Щоб перевірити, чи викрійка є ромбом, потрібно виміряти довжини всіх чотирьох сторін. Якщо всі сторони рівні, то це ромб. 340. За схемами розсувного кронштейна (мал. 1) і розсувної решітки (мал. 2) поясніть: 1) чому точки A, B, C, D… завжди лежать на одній прямій; 2) як виготовити такі конструкції.

«Розсувний кронштейн» і «решітка» складаються з модулів–паралелограмів (або ромбів) – двох однакових за довжиною стержнів, з’єднаних шарнірами. У кожному паралелограмі дві протилежні вершини лежать на спільній діагоналі, яка є прямою. Послідовно з'єднавши модулі по цій діагоналі, всі точки А, В, С, D... виявляються колінеарними. Виготовлення: виріжте серію стержнів однакової довжини, просвердліть у них отвори на однаковій відстані від кінців (або точно посередині), з'єднайте попарно стержні шарнірами в утворені паралелограми, а паралелограми – між собою шарнірами по діагоналі. Для решітки повторіть той самий модуль уздовж обох напрямків. 341. Яку найменшу кількість разів потрібно перегнути чотирикутний шматок тканини, щоб переконатися в тому, що він має форму квадрата? Як зробити перевірку лише згинанням: 1. З’єднайте вершини A і C (одна діагональ) — залишите згин через її середину M.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2. З’єднайте вершини B і D (друга діагональ) — перевірте, що середина теж у точці M. Це гарантує, що діагоналі перетинаються навпіл (чотирикутник — паралелограм). 3. Зігніть так, щоб A потрапила на B через точку M. Якщо при цьому C співпаде з D, то діагоналі рівні ⇒ паралелограм є прямокутником. 4. Зігніть по діагоналі AC. Якщо при цьому B потрапляє на D, то діагоналі взаємно перпендикулярні ⇒ паралелограм є ромбом. Пункти 3 і 4 разом дають «прямокутник + ромб» ⇒ квадрат. Чому менше не обійдешся: після кроків 1–2 ви маєте лише паралелограм; перевірка лише одного з пунктів 3 або 4 дає або прямокутник (не обов’язково квадрат), або ромб (не обов’язково квадрат). Тож потрібні обидві додаткові перевірки — разом чотири згини. 342. Щоб перевірити, чи має стільниця форму квадрата, столяр виміряв її сторони й переконався, що вони рівні. 1. Чи є правильною така перевірка? 2. Чи достатньо виміряти діагоналі стільниці й переконатися, що вони рівні? 3. Чи матиме стільниця форму квадрата, якщо її сторони рівні й діагоналі рівні? 1. Ні. Перевірка рівності лише сторін підтверджує, що стільниця є ромбом, але не гарантує, що ї кути прямі. 2. Ні. Рівність діагоналей властива не тільки квадрату, але й прямокутнику та рівнобічній трапеції. 3. Так. Якщо у чотирикутника всі сторони рівні (що робить його ромбом) і діагоналі рівні (що робить його прямокутником, оскільки він вже є паралелограмом), то такий чотирикутник є квадратом. 343. Земельна ділянка, яка має форму квадрата, була обнесена парканом. Із часом від паркану залишилося два стовпці у протилежних вершинах квадрата. Як відновити межу ділянки? Нехай два стовпці, що залишилися, знаходяться у протилежних вершинах А і С квадрата. Для відновлення меж ділянки можна використати властивості діагоналей квадрата: вони рівні, взаємно перпендикулярні та діляться точкою перетину навпіл. Кроки для відновлення меж: Знайдіть центр квадрата: Знайдіть середину відрізка АС. Це буде центр квадрата, позначимо його О. Проведіть другу діагональ: Через точку О проведіть пряму, яка буде перпендикулярною до відрізка АС. Ця пряма буде містити другу діагональ квадрата. Визначте довжину сторін: Від точки О відкладіть на цій перпендикулярній прямій відрізки, рівні половині довжини відрізка АС, в обидва боки. Ці кінцеві точки будуть двома іншими вершинами квадрата – B і D. Відновіть межі: З'єднайте послідовно точки A, B, C, D прямими лініями. Ці відрізки утворять межі квадратної ділянки. 344. Наталка вирішила перевірити, чи має серветка форму квадрата. Вона перегнула її за діагоналлю й переконалася, що краї обох половинок серветки сумістилися. Але їй зауважили, що така перевірка є недостатньою. Потрібно перегнути серветку за кожною діагоналлю. Якщо в обох випадках краї серветки сумістяться, то вона має форму квадрата. 1. Чи правильно діяла учениця? 2. Чи правильно їй порадили? Відповідь поясніть. 1. Ні. Перегинання серветки лише за однією діагоналлю і суміщення країв доводить, що фігура є лише дельтоїдом. Дельтоїд не обов'язково є квадратом.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2. Ні. Порада перегнути серветку за кожною діагоналлю і переконатися, що краї суміщаються, доводить, що фігура є ромбом. Ромб має всі рівні сторони, але його кути не обов'язково є прямими. Щоб фігура була квадратом, крім рівних сторін, вона повинна мати ще й прямі кути. Пояснення: Квадрат є ромбом, у якого всі кути прямі. Перевірка симетрії за обома діагоналями лише підтверджує, що всі сторони рівні (тобто це ромб). Щоб переконатися, що це саме квадрат, необхідно додатково перевірити наявність прямого кута (наприклад, сумістивши дві суміжні сторони кута або вимірявши кут).

la. in.

§ 6. Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника 345. Чи правильно, що в теоремі Фалеса йдеться про те, що: 1) сторони кута перетинають будь які прямі; 2) сторони кута перетинають паралельні прямі; 3) усі утворені відрізки дорівнюють один одному; 4) дорівнюють один одному лише відрізки, утворені на одній стороні кута; 5) дорівнюють один одному відрізки, утворені на кожній стороні кута, але два відрізки на різних сторонах кута можуть мати не таку саму довжину? 1. Ні; 2. Так; 3. Ні; 4. Ні; 5. Так. 346. Чи правильно, що середня лінія трикутника сполучає середини: 1) усіх сторін трикутника; 2) двох сторін трикутника? 1. Ні; 2. Так. 347. Чи правильно, що середня лінія трикутника: 1) перетинає третю сторону трикутника; 2) паралельна третій стороні трикутника; 3) дорівнює половині будь якої сторони трикутника; 4) дорівнює половині третьої сторони трикутника? 1. Ні; 2. Так; 3. Ні; 4. Так. 348. За даними на малюнках знайдіть х (a || b).

x = 4 см, x = 3 см. 349. Чи правильно вказано довжини відрізків на малюнку? Відповідь поясніть.

Ні, ≠ . 2 2 350. На малюнку АА1 = А1А2 = А2А3 і А1В1 || A2B2 || A3B3. Знайдіть:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) АВ1, якщо В2В3 = 6 см; 2) В2В3, якщо АВ3 = 12 см.

la. in.

AА1 = А1А2 = А2А3; А1В1 ∥ А2В2 ∥ А3В3. 1. В2В3 = 6 см; AВ1 = 6 см; 2. AB3 = 12 cм; В2В3 = 4 cм. 351. На малюнку АА1 = А1А2 = А2А3 і А1В1 || A2B2 || A3B3. Знайдіть АВ3, якщо В1В2 = 5 см.

AА1 = А1А2 = А2А3; А1В1 ∥ А2В2 ∥ А3В3. В1В2 = 5 cм; AВ3 = 15 cм; 352. За даними на малюнку доведіть, що АВ1 = В1В2 = В2В3

АА1 = А1А2 = А2А3; А1В1 ⊥ k; B2A2 ⊥ k; B3A3 ⊥ k; тоді А1В1 ∥ В2А2 ∥ В3А2. Отже, за теоремою Фалеса АВ1 = В1В2 = B2В3, що й треба було довести. 353. Поділіть даний відрізок на вказану кількість рівних частин: 1) 4; Нехай задано відрізок AB. Проведемо з точки А допоміжний промінь АС, що не лежить на прямій АВ. Відкладемо на промені АС 4 рівних відрізків: АА1, А1А2, А2А3, А3А4. Проведемо пряму А4В. Через точки А1, А2, А3 проведемо прямі, паралельні прямій А4В. За теоремою Фалеса, ці прямі ділять відрізок АВ на чотири рівних частини.

2) 6. Нехай задано відрізок AB. Проведемо з точки А допоміжний промінь АС, що не лежить на прямій АВ.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Відкладемо на промені АС 6 рівних відрізків: АА1, А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6. Проведемо пряму А6В. Через точки А1, А2, А3, А4, А5 проведемо прямі, паралельні прямій А6В. За теоремою Фалеса, ці прямі ділять відрізок АВ на 6 рівних частини.

354. Поділіть даний відрізок на три рівні частини. Нехай задано відрізок AB. Проведемо з точки А допоміжний промінь АС, що не лежить на прямій АВ. Відкладемо на промені АС 3 рівних відрізків: АА1, А1А2, А2А3. Проведемо пряму А3В. Через точки А1, А2 проведемо прямі, паралельні прямій А3В. За теоремою Фалеса, ці прямі ділять відрізок АВ на 3 рівних частини.

355. За даними на малюнках знайдіть х.

Із малюнків видно, MN є середньою лінією трикутників ABC. Згідно теореми про середню лінія трикутника, вона є в 2 рази коротшою за протилежну паралельну сторону трикутника: Із малюнка 1: x = 8 : 2 = 4 см; Із малюнка 2: x = 6 ∙ 2 = 12 см. 356. Чи правильно вказано довжини відрізків на малюнку? Відповідь поясніть.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Із малюнка видно, що точки M і N є серединами сторін AB і BC відповідно, отже MN – середня лінія трикутника ABC. Згідно теореми, середня лінія трикутника має дорівнювати половині протилежної сторони. Отже, довжини відрізків вказано не правильно, оскільки 5 : 2 = 2,5 ≠ 2. 357. DE i EF — середні лінії трикутника АВС, які відповідно паралельні сторонам ВС і АВ. Знайдіть: 1) відрізок FC, якщо DE = 4 см; 2) відрізок BD, якщо EF = 7 см.

Згідно теореми про середню лінію трикутника: 1 1) FC = BC = DE = 4 см; 2 1

2) BD = AB = EF = 7 см. 2 358. Знайдіть середні лінії трикутника, якщо його сторони дорівнюють: 1) 8 см, 5 см, 7 см; 2) 30 мм, 40 мм, 50 мм.

1) Нехай задано трикутник ABC, у якого AB = 5 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Згідно теореми про середню лінію трикутника: 1 1 1 FE = AB = 2,5 см; ED = BC = 3,5 см; DF = AC = 4 см. 2 2 2 2) Нехай задано трикутник ABC, у якого AB = 30 мм, BC = 40 мм, AC = 50 мм. Згідно теореми про середню лінію трикутника: 1 1 1 FE = AB = 15 мм; ED = BC = 20 мм; DF = AC = 25 мм. 2 2 2 359. Сторони трикутника дорівнюють 9 см, 10 см і 14 см. Знайдіть середні лінії трикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай задано трикутник ABC, у якого AB = 9 см, BC = 10 см, AC = 14 см. Згідно теореми про середню лінію трикутника: 1 1 1 FE = AB = 4,5 см; ED = BC = 5 см; DF = AC = 7 см. 2 2 2 360. Доведіть, що в рівносторонньому трикутнику всі середні лінії — рівні. Чи рівні середні лінії в рівнобедреному трикутнику?

Нехай ∆АВС — рівносторонній. АВ = ВС = АС = а; Тоді DE = а; EF = a; DF = а, отже, 2 2 2 DE = EF = DF. В рівнобедреному трикутнику лише дві середні лінії рівні між собою (ті що паралельні рівним ребрам трикутника). 361. Знайдіть середні лінії рівностороннього трикутника, якщо його периметр дорівнює: 1) 24 дм; 2) 48 мм.

У рівносторонньому трикутнику середні лінії між собою рівні (див. завдання 360), тому: 1) DE = EF = DF = P∆DEF : 3 = 24 : 3 = 8 дм. 2) DE = EF = DF = P∆DEF : 3 = 48 : 3 = 16 мм. 362. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть його середні лінії.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

У рівносторонньому трикутнику середні лінії між собою рівні (див. завдання 360) і чисельно дорівнюють половинам протилежних сторін, тому: 1 1 P∆DEF = P∆ABC = ∙ 12 = 6 см. 2 2 DE = EF = DF = P∆DEF : 3 = 6 : 3 = 2 см. 363. Знайдіть периметр рівностороннього трикутника, якщо його середні лінії дорівнюють: 1) 0,8 дм; 2) 100 мм.

У рівносторонньому трикутнику середні лінії між собою рівні (див. завдання 360) і чисельно дорівнюють половинам протилежних сторін, тому: 1) P∆DEF = DE + EF + DF = 0,8 + 0,8 + 0,8 = 2,4 (дм). P∆ABC = P∆DEF ∙ 2 = 2,4 ∙ 2 = 4,8 (дм). 2) P∆DEF = DE + EF + DF = 100 + 100 + 100 = 300 (мм). P∆ABC = P∆DEF ∙ 2 = 300 ∙ 2 = 600 (мм). 364. Середні лінії рівностороннього трикутника дорівнюють 4 см. Знайдіть його периметр. Згідно теореми про середню лінію трикутника, вона рівна половині протилежної сторони трикутника. Нехай сторона трикутника а, тоді а = 4 ∙ 2 = 8 см. У рівносторонньому трикутнику усі сторони рівні, тому: P∆ = 3а = 3 ∙ 8 = 24 см. 365. Знайдіть периметр трикутника, якщо його середні лінії дорівнюють: 1) 3 см, 5 см, 6 см; 2) 7 см, 9 см, 12 см; 3) 8 см, 10 см, 12 см.

Нехай дано ∆АВС; MN, РN, МР — середні лінії. 1) NP = 3 cм, MP = 5 см MN = 6 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

AB = 2NP = 2 ∙ 3 = 6 (cм); ВС = 2МР = 2 ∙ 5 = 10 (см); АС = 2MN = 2 ∙ 6 = 12 (см); Р∆ABC = 6 + 10 + 12 = 28 (см); 2) NP = 7 cм, MP = 9 см MN = 12 см. AB = 2NP = 2 ∙ 7 = 14 (cм); ВС = 2МР = 2 ∙ 9 = 18 (см); АС = 2MN = 2 ∙ 12 = 24 (см); P∆ABC = 14 + 18 + 24 = 56 (см); 3) NP = 8 cм, MP = 10 см MN = 12 см. AB = 2NP = 2 ∙ 8 = 16 (cм); ВС = 2МР = 2 ∙ 10 = 20 (см); АС = 2MN = 2 ∙ 12 = 24 (см); Р∆ABC = 16 + 20 + 24 = 60 (см). Відповідь: 1) 28 см; 2) 56 см; 3) 60 см. 366. Визначте вид трикутника, якщо: 1) усі його середні лінії рівні; 2) дві його середні лінії рівні. 1) Усі середні лінії між собою рівні лише у рівносторонньому трикутнику (див. завдання 360). 2) Дві середні лінії між собою рівні лише у рівнобедреному трикутнику. 367. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо два відрізки, що сполучають середини його сусідніх сторін, дорівнюють: 1) 0,6 дм і 0,9 дм; 2) 100 мм і 14 см.

ABCD — паралелограм; BD і AC — діагоналі, N, M і K – середини сторін BC, AB та AD відповідно. 1) MN = 0,6 дм; MK = 0,9 дм; У ∆ADC: MN — середня лінія; АС = 2MN = 1,2 дм; У ∆ABD: МК — середня лінія; BD = 2МК = 1,8 дм; 2) MN = 100 мм; МК = 14 см; АС = 2MN = 200 мм; BD = 2МК = 28 см. 368. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо два відрізки, які сполучають середини його сусідніх сторін, дорівнюють 5 см і 11 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай ABCD — заданий паралелограм. N, M і K – середини сторін BC, AB та AD відповідно. MN = 5 см; МК = 11 см. Знайти: діагоналі BD і AC. У ∆ADC: MN — середня лінія; АС = 2MN = 10 см; У ∆ABD: МК — середня лінія; BD = 2МК = 22 см. 369. Точки E і F — середини ребер куба. Знайдіть суму довжин діагоналей граней куба, якщо EF = 4 см.

Куб – це фігура у якої всі грані рівні між собою квадрати. Тому нам достатньо знайти діагональ одного квадрата, наприклад AC, і помножити її на 6. Формулюємо спрощене завдання: знайти 6AC. Оскільки точки E і F – середини ребер AD і DC відповідно, то EF – середня лінія трикутника ACD. Згідно теореми про середню лінію трикутника: AC = 2EF = 2 ∙ 4 = 8 см. Тоді, сума довжин діагоналей граней куба: 6AC = 6 ∙ 8 = 48 см. Відповідь: 48 см. 370. У трикутній піраміді всі ребра рівні. Знайдіть суму довжин усіх ребер піраміди, якщо KР = 3 см, де K і Р — середини ребер СS і ВS.

Розглянемо трикутник BSC. У ньому KР – середня лінія, отже BC = 2KP = 6 см (згідно теореми про середню лінію трикутника). Всього в трикутній піраміді 6 ребер і вони всі рівні (згідно умови), тому їх сума: 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 36 см. Відповідь: 36 см. 371. Поділіть даний відрізок на дві частини так, щоб вони відносились як: 1) 3 : 4; 2) 2 : 3. 1) Для того, щоб розділити відрізок у співвідношенні 3 : 4, потрібно розділити його на 3 + 4 = 7 рівних частин. Робимо це так, як описано в завданні 354.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

𝐴𝐴𝐵𝐵3 3 = 𝐵𝐵3 𝐵𝐵 4 2) Для того, щоб розділити відрізок у співвідношенні 2 : 3, потрібно розділити його на 2 + 3 = 5 рівних частин.

𝐴𝐴𝐵𝐵2 2 = 𝐵𝐵2 𝐵𝐵 3 372. Поділіть даний відрізок на дві частини так, щоб вони відносились як 2 : 5. Для того, щоб розділити відрізок у співвідношенні 2 : 5, потрібно розділити його на 2 + 5 = 7 рівних частин. Робимо це так, як описано в завданні 354.

𝐴𝐴𝐵𝐵2 2 = 𝐵𝐵2 𝐵𝐵 5 373. На малюнку АА1 = А1А2 = А2А3 = А3А4 і А1В1 || A2B2 || A3B3 || A4B4. Знайдіть:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) АВ3, якщо різниця довжин відрізків АВ4 і В2В3 дорівнює 9 см; 2) В1В4, якщо різниця довжин відрізків АВ4 і В1В3 дорівнює 8 см; 3) АВ4, якщо різниця довжин відрізків В1В4 і В1В2 дорівнює 10 см.

la. in.

Оскільки АА1 = А1А2 = А2А3 = А3А4 і А1В1 || A2B2 || A3B3 || A4B4, то згідно теореми Фалеса АВ1 = В1B2 = B2B3 = B3B4. 1) Якщо АB4 – B2B3 = 9 cм (довжина 3 відрізків), то AB3 = 9 cм; 2) Якщо AB4 – B1B3 = 8 см (довжина 2 відрізків), то один відрізок рівний 8 : 2 = 4 см, тоді B1B4 = 3 ∙ 4 = 12 см; 3) B1B4 – B1B2 = 10 cм (довжина 2 відрізків), один відрізок рівний 10 : 2 = 5 см, тоді AB4 = 5 ∙ 4 = 20 cм. 374. Сторони трикутника дорівнюють а, b і c. Знайдіть сторони іншого трикутника, вершини якого є серединами сторін даного трикутника, якщо: 1) а = 8 см, b = 10 см, с = 12 см; 2) а = 0,5 дм, b = 12 см, с = 1,3 дм.

Нехай задано трикутник АВС. MN, NP, MP — середні лінії. 1) AB = а = 8 см; BC = b = 10 см; AC = с = 12 см; Згідно теореми про середню лінію трикутника: 1 1 1 PN = AB = 4 см; МР = BC = 5 см; MN = AC = 6 см. 2 2 2 2) AB = а = 0,5 дм; BC = b = 1,2 дм; AC = с = 1,3 дм; Згідно теореми про середню лінію трикутника: 1 1 1 PN = AB = 0,25 дм; МР = BC = 0,6 дм; MN = AC = 0,65 дм. 2 2 2 375. Складіть формулу та обчисліть периметр трикутника АВС, якщо периметр трикутника, утвореного середніми лініями трикутника АВС, дорівнює: 1) 18 см; 2) 2,4 дм; 3) 300 мм.

Нехай △АВС - заданий трикутник. MN, NP, MP — його середні лінії.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Згідно теореми про середню лінію трикутника, вона рівна половині паралельної сторони. Звідси можна зробити висновок, що P△АВС = 2P△MNP. 1) Якщо P△MNP = 18 см, то P△АВС = 2 ∙ 18 = 36 см; 2) Якщо P△MNP = 2,4 дм, то P△АВС = 2 ∙ 2,4 = 4,8 дм; 3) Якщо P△MNP = 300 мм, то P△АВС = 2 ∙ 300 = 600 мм. 376. Середня лінія рівнобедреного трикутника, що паралельна основі, дорівнює 2,5 см, а його периметр — 2,5 дм. Знайдіть сторони трикутника.

la. in.

Нехай △АВС - заданий рівнобедрений трикутник з основою AC. DE — середня лінія, DE = 2,5 см. P△АВС = 25 см. Знайти AB, BC і AC. Згідно теореми про середню лінію трикутника: AC = 2DF = 2 ∙ 2,5 = 5 см. У рівнобедреного трикутника сторони рівні (AB = BC), тому: P△АВС = AB + BC + AC = 2BC + AC 25 = 2BC + 5 ⇒ 2BC = 20 ⇒ BC = 10 см. Відповідь: 5 см, 10 см, 10 см. 377. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника з периметром 40 см, якщо його середня лінія, паралельна основі, дорівнює 5 см.

Нехай △АВС - заданий рівнобедрений трикутник з основою AC. DE — середня лінія, DE = 5 см. P△АВС = 40 см. Знайти AB, BC і AC. Згідно теореми про середню лінію трикутника: AC = 2DF = 2 ∙ 5 = 10 см. У рівнобедреного трикутника сторони рівні (AB = BC), тому: P△АВС = AB + BC + AC = 2BC + AC 40 = 2BC + 10 ⇒ 2BC = 30 ⇒ BC = 15 см. Відповідь: 10 см, 15 см, 15 см. 378. Точки А і В лежать по різні боки від прямої а на відстані 8 см і 4 см від неї. Знайдіть відстань від середини О відрізка АВ до прямої а.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай О — середина відрізка AB. BL ⊥ NM; ML ∥ KP. ML = NB = КР = 4 см. ∆ABL: OP — середня лінія. OP ∥ AL. BO = OA, за теоремою Фалеса ВР = PL. 1 1 ОР = AL = (8 + 4) = 6 (cм); 2 2 ОК = ОР – КР = 6 – 4 = 2 см. Відповідь: 2 см. 379. Сторони трикутника відносяться як 3 : 4 : 5. Знайдіть сторони трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника, якщо периметр даного трикутника дорівнює: 1) 60 см; 2) 4,8 дм.

Нехай дано ∆АВС. АВ : ВС : АС = 3 : 4 : 5. 1) Р∆ABC = 60 см; ∆MNP — трикутник, утворений середніми лініями даного ∆АВС. АВ = 3х; ВС = 4х; АС = 5х; Р∆ABC = 12х; P∆MNP = 6x; 12x = 60; х = 5; АВ = 15 см; ВС = 20 см; АС = 25 см; 1 МN = AС = 12,5 см; 2 1

NP = BC = 10 см; 2 1

МР = АВ = 7,5 см. 2 Відповідь: 7,5 см; 12,5 см; 10 см. 2) P = 4,8 дм = 48 см; 12x = 48; x = 4 см; AB = 12 см; ВС = 16 см; АС = 20 см; 1 MN = AC = 10 см; 2 1

NP = BC = 8 см; 2 1

MP = AB = 6 см. 2 Відповідь: 6 см; 8 см; 10 см. 380. Сторони трикутника відносяться як 7 : 8 : 9. Знайдіть сторони даного трикутника, якщо периметр трикутника, вершинами якого є середини сторін даного трикутника, дорівнює: 1) 48 см; 2) 2,4 дм.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай дано ∆ABC, сторони ∆ABC: AB : ВС : AC = 7 : 8 : 9. ∆MNP — трикутник, утворений середніми лініями. 1) P∆MNP = 48 cм; P∆ABC = 2P∆MNP = 96 см; AB = 7х; ВС = 8x; АС = 9х; 7х + 8х + 9х = 96; 24х = 96; x = 4; AB = 28 см; ВС = 32 см; AС = 36 см; 2) Р = 4,8 дм; АВ = 1,4 дм; ВС = 1,6 дм; AС = 1,8 дм. 381. Доведіть, що периметр даного трикутника вдвічі більший за периметр трикутника, сторони якого є середніми лініями даного трикутника.

Нехай дано ∆АВС; ∆MNP — трикутник, утворений середніми лініями. Р∆ABC = АВ + ВС + АС. 1 1 1 MN = AC; МР = ВС; NP = AB. 2

2 1

Р∆MNP = AB + ВС + АС = (АВ + ВС + АС) = P∆ABC. 2 2 2 2 2 Отже, Р∆ABC = 2Р∆MNP, що й треба було довести. 382. Прямі, проведені через вершини А, В і С трикутника АВС паралельно протилежним сторонам, утворюють трикутник А1В1С1. 1. Доведіть, що сторони трикутника А1В1С1 точками А, В і С діляться навпіл. 2. Знайдіть сторони трикутника А1В1С1, якщо АВ = 6 см, ВС = 12 см, АС = 15 см. 3. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо периметр трикутника А1В1С1 дорівнює 48 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) ВС ∥ B1C1; AB ∥ A1С1; AB ∥ A1В1. AB; ВС; АС — середні лінії ∆A1B1С1. 2) А1В1 = 2АВ = 12 см; B1C1 = 2ВС = 24 см; A1С1 = 2AС = 30 см; 3) Р∆A1B1C1 = 48 см; 1 1 P∆ABC = P∆A1B1C1 = ∙ 48 = 24 (см). 2 2 383. У трикутнику АВС АВ = 12 см, ВС = 18 см. Сторону АС поділено на три рівні частини й через точки поділу проведено прямі, паралельні АВ і ВС. Знайдіть: 1) довжини відрізків, утворених на сторонах АВ і ВС; 2) довжини відрізків паралельних прямих, що містяться між сторонами трикутника.

Згідно теореми Фалеса, якщо AA1 = A1A2 = A2A3, то: 1) AB1 = B1B2 = B2B = AB : 3 = 12 : 3 = 4 см; BC1 = C1C2 = C2C = BC : 3 = 18 : 3 = 6 см; 2) B1A = BC = 6 см; B2A2 = BC2 = 12 см; C2A2 = BB2 = 4 см; C1A1 = BB1 = 8 см. 384. Доведіть, що середні лінії трикутника ділять його на чотири рівні трикутники.

Нехай дано: ∆АВС; АС = b; ВС = а; АВ = с; A1, B1, С1 — середини сторін. 𝑏𝑏 𝑎𝑎 A1C1 = A1A = ; B1C = B1B = ; 2 𝑐𝑐

AC1 = C1B = ; A1B1 = c; 1

B1C1 = b; A1C1 = a. 2

𝑎𝑎

𝑏𝑏

2 𝑎𝑎

2 𝑏𝑏

𝑐𝑐

P∆A1CB1 = + + ; 2 𝑏𝑏

2 𝑐𝑐

2 𝑎𝑎

P∆AA1C1 = + + ; 2 𝑐𝑐

P∆C1B1B = + + ; 2 𝑎𝑎

2 𝑏𝑏

2 𝑐𝑐

P∆A1B1C1 = + + . 2 2 2 У цих трикутників рівні сторони, отже, ∆A1CB1 = ∆B1C1B = ∆A1B1C1 = ∆AА1С1. 385. Точки M і N — середини сторін AD i BC паралелограма ABCD. Доведіть, що прямі AN i CM ділять діагональ BD на три рівні частини.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай дано паралелограм ABCD. Розглянемо кут ∠ADВ: за теоремою Фалеса АМ = MD, отже, DK = KP. Розглянемо кут ∠CBD: за теоремою Фалеса BN = NC, тоді BP = PK. Отже, DK = KP = PB, що й треба було довести. 386. Знайдіть периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін даного чотирикутника, якщо сума діагоналей чотирикутника дорівнює: 1) 25 см; 2) 3,5 дм.

Нехай ABCD — чотирикутник, АС і BD — діагоналі; АС + BD = S. М, N, Р, К — середини сторін даного чотирикутника. РМNРК = MN + NP + KP + KM. 1 ∆ABC; MN — середня лінія, MN = AC; 2 ∆ADC — середня лінія; 1 KP = AC; 2

∆ABD, MK — середня лінія, MK = BD; 1

∆BDC; NP — середня лінія, NP = BD. 1

PMNPC = BD + BD + AC + AC = BD + AC = S. 2 2 2 2 1) S = 25 см; PMNPK = 25 см; 2) S = 3,5 дм; PMNPK = 3,5 дм. Відповідь: 1) 25 см; 2), 3,5 дм. 387. Знайдіть периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін даного чотирикутника, якщо діагоналі чотирикутника дорівнюють: 1) 4 см і 6 см; 2) 24 см і 25 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай дано чотирикутник AВСD. АС і BD — діагоналі. 1) АС = 4 см; ВD = 6 см; MNPK — чотирикутник; М, N, Р, К — середини сторін чотирикутника ABCD. ∆АВС; MN — середня лінія ∆АВС; 1 MN = AC = 2 см; 2 ∆АDС; KP — середня лінія ∆АDС; 1 КР = АС = 2 см; 1

∆BDC: NP = BD = ∙ 6 = 3 см; 2

∆ABD: MK = BD = ∙ 6 = 3 см; 2 2 РMNPK = 2 + 3 + 2 + 3 = 10 (см). 2) АС = 24 см; ВD = 25 см; РMNPK = 12 + 12 + 12,5 + 12,5 = 49 (см). Відповідь: 1) 10 см; 2) 49 см. 388. Знайдіть периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін квадрата, якщо діагональ квадрата дорівнює: 1) 8 см; 2) 1,3 дм.

Нехай ABCD — квадрат. AC — діагональ; AC = d. MNKP — чотирикутник, вершини якого є серединами сторін квадрата. 1 MN = PK = AC; 2 1

NK = MP = BD; 2 AC = BD = d; PMNPK = 2d. 1) Р = 16см; 2) Р = 2,6 дм. 389. Доведіть, що середини сторін прямокутника є вершинами ромба.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — прямокутник; М, N, Р, К — середини його сторін. 1 ∆ADC: MN ∥ AC; MN = AC; 1

la. in.

∆ABC: KP ∥ AC; KP = AC (властивість середньої лінії трикуника). 2 Oтже, MN ∥ KP; MN = KP. Аналогічно NP ∥ MK; NP = MK. Якщо BD = AC, то MN = NP = PK = MK. Отже, MNPK — ромб, що й треба було довести. 390. Доведіть, що середини сторін квадрата є вершинами квадрата.

ABCD — квадрат. М, N, Р, К — середини сторін. 1 MN ∥ BD; MN = BD; 1

PK ∥ BD; PK = BD; 2

MN = PK; PM ∥ AC; РМ = АС; 1

KN ∥ АС: KN = AC; 2 KN = PM; AC = BD. Отже, PM = MN = NK = PK. PMNK – ромб. ∆PDM = ∆NCM. ∠PMD = ∠NMC = 45°; ∠PMN = 90°, отже, ромб PMNK — квадрат. 391. Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямокутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай ABCD — ромб. М, N, Р, К — середини сторін ромба. 1 1 KP = MN = АС; PN = KM = BD; 2 2 KP ∥ AC; MN ∥ AC ⇒ KP ∥ MN; PN ∥ BD; KM ∥ BD ⇒ KM ∥ PN; BD ⊥ AC ⇒ PN ⊥ MN; KP ⊥ KM. Отже, KPNM — прямокутник, що й треба було довести. 392. Як побудувати трикутник за даними серединами його сторін?

Нехай М, N, P — середини сторін шуканого трикутника. Проведемо прямі, що проходять через дані точки паралельно середнім лініям трикутника. ∆АBС — шуканий трикутник. 393. Через точку М, розміщену всередині кута АВС, проведіть пряму так, щоб її відрізок, який відтинають сторони кута, ділився точкою М навпіл. Побудова. Проводимо MN || AB; відкладаємо на стороні ВС кута відрізок NK = BN; проводимо через точки K і М шукану пряму. Доведіть, що наведена побудова є правильною.

MN ∥ AB; BN = NK, за теоремою Фалеса KM = АМ. 394. Точка K — середина медіани АМ трикутника АВС. Пряма ВK перетинає сторону АС в точці D. Доведіть, що AC = 3AD.

Проведемо MN ∥ BD. 1) Оскільки АМ – медіана, то BM = MC. За теоремою Фалеса CN = ND. 2) Оскільки точка K – середина АМ, то AK = KM. За теоремою Фалеса AD = ND. 3) Оскільки CN = ND і AD = ND, то AD = ND = CN ⇒ AC = 3AD.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

395. Доведіть, що точка перетину медіан трикутника ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника.

la. in.

Нехай дано ∆АВС. AM, ВK, CN — медіани трикутника ABC. О — точка перетину медіан трикутника. Проведемо МК ∥ CN. За теоремою Фалеса ВМ = МС. ВК = KN; BF = FO. OB = 2OК. Аналогічно: OK : OB = 1 : 2; АО : ОМ = 2 : 1; СО : ON = 2 : 1, що й треба було довести. 396. Доведіть, що три висоти трикутника перетинаються в одній точці.

Розглянемо довільний трикутник ABC і доведемо, що прямі AA1, BB1, CC1, які містять його висоти, перетинаються в одній точці. Проведемо через кожну вершину трикутника ABC пряму, паралельну протилежній стороні. Дістанемо трикутник A2B2C2. Точки A, B і C є серединами сторін цього трикутника. Справді, AB = A2C і AB = CB2, як протилежні сторони паралелограмів ABA2C і ABCB2, а тому точка C є серединою стороною A2B2. Аналогічно точки A та B є серединами сторін B2C2 та A2C2 відповідно. Крім того, як випливає з побудови, AA1 ⟂ B2C2, BB1 ⟂ A2C2 і CC1 ⟂ A2B2. Таким чином, прямі AA1, BB1, CC1 є серединними перпендикулярами до сторін трикутника A2B2C2, а тому перетинаються в одній точці як серединні перпендикуляри (відомо, що серединні перпендикуляри в довільному трикутнику перетинаються в одній точці).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

397. Кожну зі сторін трикутника АВС поділено на три рівні частини й точки поділу сполучено відрізками. 1. Знайдіть суму довжин усіх відрізків, які сполучають точки поділу, якщо периметр трикутника АВС дорівнює 36 см. 2. Розв’яжіть задачу за умови, що кожну сторону трикутника поділено на чотири рівні частини.

1) P∆ABC = 36 cм; АК = КР = BP; BN = NQ = QC; AM = MD = DC; AP = MN (як протилежні сторони паралелограма APMN) PB = QD (як протилежні сторони паралелограма PBQD) MN + QD = AB Аналогічно PD + KM = BC, PN + KQ = AC Отже, MN + QD + PD + KM + PN + KQ = AB + BC + AC = P∆ABC = 36 см. 2) аналогічно. 398. Через точку М, розміщену всередині кута АВС, проведіть пряму так, щоб її відрізок, який відтинають сторони кута, точкою М ділився у відношенні 1 : 2.

Побудова:* Крок 1. Через точку M провести пряму KM ∥ BC, де K — точка перетину з променем BA. Крок 2. На промені BA за точкою K (у напрямку від B) відкласти відрізок KP, такий що: 1 KP = ⋅ BK 2 Крок 3. Провести пряму через P і M до перетину з BC у точці Q. Пряма PQ — шукана. Доведення:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

У трикутнику PBQ пряма KM ∥ BQ (тобто ∥ BC), де K ∈ PB, M ∈ PQ. За теоремою Фалеса: PK PM = KB MQ 1 За побудовою KP = BK, тобто PK : KB = 1 : 2, тому: 2 PM 1 = MQ 2 Отже, точка M ділить відрізок PQ у відношенні PM : MQ = 1 : 2. 399. Потрібно поділити прямокутну смугу (дошку, кусок жерсті, картону) на п’ять смужок однакової ширини. За малюнком поясніть, як це можна зробити. Чому смуга поділилася прямими на п’ять рівних частин?

Лінійку кладуть навскіс на смугу так, щоб позначка 0 збіглася з одним краєм смуги, а позначка 5 — з іншим. Потім через позначки 1, 2, 3, 4 проводять прямі, паралельні краям смуги. Ці прямі і ділять смугу на 5 рівних частин. Чому це працює — теорема Фалеса: Два краї смуги — це дві паралельні прямі. Лінійка є січною, яка перетинає їх. Паралельні прямі через позначки 1, 2, 3, 4 — ще чотири паралельні прямі між ними. На лінійці відрізки між позначками рівні: |01| = |12| = |23| = |34| = |45| За теоремою Фалеса: якщо паралельні прямі відсікають рівні відрізки на одній січній, то вони відсікають рівні відрізки і на будь-якій іншій січній (зокрема, на краях смуги та на будь-якій вертикальній прямій). Тому ширина кожної смужки однакова. 400. У вас є аркуш зошита з паралельними горизонтальними лініями та циркуль. Потрібно поділити даний відрізок АВ на рівні частини, наприклад на 9 рівних частин. 1 1. Поясніть за малюнком, як це можна зробити. Чому AC = AB? 9 2. Візьміть аркуш зошита з паралельними горизонтальними лініями й поділіть олівець на 5 рівних частин за допомогою цього аркуша.

 shkola.in.ua

la. in.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Кроки побудови: 1. Кладемо AB на рядки так, щоб A і B лежали на сусідніх рядках. 2. Розміщуємо AB під кутом, A — на нижньому рядку, B — на 9-му рядку вище. 3. C — перший перетин AB з рядком зошита. 4. Циркулем відкладаємо AC на відрізок AB 9 разів. Пояснення 1. Чому AC = ¹⁄₉ AB? Кладемо відрізок AB на аркуш під кутом так, щоб A лежала на одному рядку зошита, а B — рівно на 9 рядків вище. Рядки зошита — паралельні прямі з однаковим кроком d. Пряма AB є січною до 10 паралельних рядків. Вони відсікають на ній рівні відрізки (бо відстані між рядками однакові). За теоремою Фалеса: 1 AC = AB 9 де C — перший перетин AB з рядком зошита після A. Потім циркулем відкладаємо AC на горизонтальний відрізок AB рівно 9 разів — отримуємо 9 рівних частин. 2. Поділ олівця на 5 рівних частин Робимо те саме, але кладемо олівець під кутом так, щоб його початок лежав на одному рядку, а кінець — на 5 рядків вище. Перші чотири перетини олівця з рядками зошита і є точками поділу на 5 рівних частин. Ставимо олівцем мітки прямо на поверхні — задача виконана без жодних вимірювань! 401. На малюнку показано, як на місцевості виміряли відстань між пунктами А і В, розділеними перешкодою. Позначили довільну точку С і провісили прямі СА і СВ. Знайшли точки M i N — середини відрізків АС і ВС — та виміряли відстань між точками M i N. Поясніть, чому шукана відстань АВ = 2MN.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

У трикутнику ABC точки M і N — середини сторін AC і BC відповідно: AM = MC, BN = NC За теоремою про середню лінію трикутника: середня лінія трикутника паралельна основі та дорівнює її половині. Відрізок MN є середньою лінією трикутника ABC, що сполучає середини двох його сторін. Тому: 1 MN ∥ AB і MN = AB 2 Звідси: AB = 2 ∙ MN Практичний висновок: щоб знайти AB, не потрібно долати перешкоду — достатньо виміряти доступний відрізок MN і подвоїти результат. 402. Може трапитися так, що провісити пряму між точками M i N, як у задачі 401, неможливо. 1. За малюнком поясніть, як виміряти відстань АВ в цьому випадку. 2. Чому шукана відстань АВ = 4M1N1?

1. Як виміряти AB? Якщо між 𝑀𝑀 і 𝑁𝑁 теж є перешкода, знаходять ще одну пару середин: • 𝑀𝑀1 — середина 𝐶𝐶𝐶𝐶 • 𝑁𝑁1 — середина 𝐶𝐶𝐶𝐶 Відрізок 𝑀𝑀1 𝑁𝑁1 вже доступний для вимірювання. Тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 𝑀𝑀1 𝑁𝑁1 . 2. Чому 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 𝑀𝑀1 𝑁𝑁1 ? Крок 1. 𝑀𝑀 і 𝑁𝑁 — середини 𝐶𝐶𝐶𝐶 і 𝐶𝐶𝐶𝐶 у трикутнику 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. За теоремою про середню лінію трикутника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: 1 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 Крок 2. 𝑀𝑀1 і 𝑁𝑁1 — середини 𝐶𝐶𝐶𝐶 і 𝐶𝐶𝐶𝐶 у трикутнику 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶. За тією ж теоремою для трикутника 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶: 1 𝑀𝑀1 𝑁𝑁1 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 2 Крок 3. Підставляємо: 1 1 1 𝑀𝑀1 𝑁𝑁1 = ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 2 4  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Отже: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 𝑀𝑀1 𝑁𝑁1 403. На малюнку показано, як виміряти відстань між пунктами А і В, якщо до пункту А підійти не можна. 1. Поясніть вимірювання. 2. Чи обов’язково кут В має бути прямим?

la. in.

1. Хід вимірювання Оскільки до пункту A підійти не можна, діють так: Крок 1. Від доступної точки B відкладають вертикально вгору відрізок BC довільної довжини. Крок 2. Знаходять N — середину BC (вимірюють BC і ділять навпіл). Крок 3. Візуванням по лінії CA знаходять точку M — середину CA (для цього з точки C визирають на A і відзначають середину відрізка CA). Крок 4. Вимірюють відрізок MN. Крок 5. Оскільки M і N — середини CA і CB, відрізок MN є середньою лінією трикутника ABC, тому: AB = 2 ∙ MN 2. Чи обов'язково кут B має бути прямим? Ні, не обов'язково. Теорема про середню лінію трикутника справедлива для будь-якого трикутника незалежно від величини його кутів: 1 MN ∥ AB і MN = AB 2 Прямий кут при B використовують лише для зручності — легше відкласти вертикаль від B за допомогою виска або теодоліта. Але геометрично це не є необхідною умовою. 404. Три населені пункти А, В і С розташовані на рівнині й не лежать на одній прямій. Потрібно прокласти дорогу, щоб вона пройшла на однаковій відстані від цих пунктів. 1. Як це зробити? Покажіть на малюнку. 2. Скільки таких доріг можна прокласти?

1. Як це зробити: Щоб дорога була рівновіддаленою від трьох точок A, B і C, вона повинна проходити через середини двох сторін утвореного ними трикутника. Така пряма називається середньою  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

лінією трикутника. Вона паралельна одній зі сторін і проходить на однаковій відстані як від цієї сторони (тобто від двох її вершин), так і від протилежної вершини. 2. Скільки таких доріг можна прокласти: Можна прокласти 3 такі дороги — кожна з них буде паралельною одній зі сторін трикутника (AB, BC або AC).

la. in.

§ 7. ТРАПЕЦІЯ 405. Чи правильно, що трапецією є чотирикутник, у якому: 1) протилежні сторони попарно паралельні; 2) дві сторони паралельні, а дві інші — непаралельні? 1. Неправильно. Чотирикутник із двома парами паралельних сторін — це паралелограм. 2. Правильно. Трапеція — це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші — ні. 406. Чи правильно, що висота трапеції — це перпендикуляр, який проведено: 1) з будь якої точки основи до бічної сторони; 2) з будь якої точки однієї основи до іншої основи або до її продовження? 1. Неправильно. Перпендикуляр з точки основи до бічної сторони не є висотою трапеції. 2. Правильно. Висота трапеції — це перпендикуляр, опущений з будь-якої точки однієї основи на іншу основу або на її продовження. 407. Чи правильно, що в рівнобічній трапеції: 1) основи рівні; 2) усі сторони рівні; 3) бічні сторони рівні?

1. Неправильно. В рівнобічній трапеції рівні не основи, а кути при основах. 2. Неправильно. Усі сторони рівні — це властивість ромба або квадрата, але не трапеції. 3. Правильно. У рівнобічній трапеції рівні саме бічні сторони. 408. Які з наведених тверджень правильні? У прямокутній трапеції: 1) основи перпендикулярні; 2) один із кутів — прямий; 3) бічна сторона перпендикулярна до основи.

1. Неправильно. В прямокутній трапеції основи паралельні, а не перпендикулярні. 2. Правильно. За означенням, у прямокутній трапеції є один (або два) прямі кути. 3. Правильно. Бічна сторона перпендикулярна до основи — це ознака прямокутної трапеції. 409. Чи правильно, що середньою лінією трапеції є: 1) пряма; 2) промінь; 3) відрізок? 1. Неправильно.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2. Неправильно. 3. Правильно. Середня лінія трапеції — це відрізок, що сполучає середини бічних сторін. 410. Чи правильно, що середня лінія трапеції: 1) сполучає її вершини; 2) сполучає середини її сусідніх сторін; 3) сполучає середини її бічніх сторін; 4) паралельна бічним сторонам; 5) паралельна основам? 1. Неправильно. 2. Неправильно. 3. Правильно. Середня лінія трапеції сполучає середини її бічних сторін. 4. Неправильно. 5. Правильно. Середня лінія трапеції паралельна основам. 411. Які з наведених тверджень правильні? Щоб знайти середню лінію трапеції, потрібно: 1) суму бічних сторін поділити на 2; 2) суму основ поділити на 2; 3) різницю основ поділити на 2. 1. Неправильно. 2. Правильно. Довжина середньої лінії дорівнює половині суми основ. 3. Неправильно. 412. На малюнку зображено трапецію ABCD, у якій AD || BC. Назвіть: 1) основи трапеції; 2) бічні сторони трапеції; 3) кути, прилеглі до основи; 4) кути, прилеглі до бічної сторони.

1) AD i BC — основи; 2) АВ і CD — бічні сторони; 3) ∠A і ∠D, ∠ ß і ∠C — кути, прилеглі до основ AD і ВС відповідно; 4) ∠A і ∠B, ∠С і ∠D — кути, прилеглі до бічних сторін АВ і CD відповідно. 413. За малюнками знайдіть: 1) сторону CD рівнобічної трапеції ABCD;

2) кут N трапеції MNKL.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) CD = AB = З CM (за означенням рівнобічної трапеції); 2) ∠N = 180° – ∠M = 180° – 90° = 90° (за властивістю внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих ML і NK та січній MN). Відповідь: 1) З см; 2) 90°. 414. Доведіть, що сума двох кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°.

Нехай ABCD — трапеція (AD ∥ ВС), тоді ∠A + ∠B = 180°, оскільки AD ∥ ВС і кути А і В є внутрішніми односторонніми при паралельних прямих AD і ВС та січній AВ. ∠C + ∠D – 180°, оскільки ∠C і ∠D є внутрішніми односторонніми при паралельних прямих AD і ВС та січній CD. Отже, сума градусних мір двох кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°. 415. За даними на малюнках знайдіть невідомі кути трапеції ABCD.

Мал. 171 ∠B = 180° – ∠A = 180° – 50° = 130°; ∠D = 180° – ∠C = 180° – 140° = 40°. Відповідь: ∠B = 130°; ∠D = 40°. Мал. 172 ∠B = 180° – ∠A = 180° – 90° = 90°; ∠C = 180° – ∠D = 180° – 46° = 134°. Відповідь: ∠B = 90°; ∠C = 134°. Мал. 173 ∠B = 180° – ∠A = 180° – 40° = 140°; ∠C = 180° – ∠D = 180° – 36° = 144°. Відповідь: ∠B = 140°; ∠C = 144°. 416. ABCD — трапеція з основами AD i BC. Знайдіть: 1) ∠A i ∠C, якщо ∠B = 110°, ∠D = 30°; 2) ∠A i ∠D, якщо ∠B = 125°, ∠C = 145°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) ∠A = 180° – ∠B = 180° – 110° = 70°; ∠C = 180° – ∠D = 180° – 30° = 150°; 2) ∠A = 180° – ∠B = 180° – 125° = 55°; ∠D = 180° – ∠C = 180° – 145° = 35°. Відповідь: 1) ∠A = 70°, ∠C = 150; 2) ∠A = 45°, ∠D = 35°. 417. Основою піраміди є трапеція АВСD (АВ || СD). Знайдіть ∠D цієї трапеції, якщо: 1) ∠А = 160°; 2) ∠А = 135°; 3) ∠А = 95°.

418. Трапеція АВСD (АВ || СD) є основою піраміди. Знайдіть ∠А і ∠С трапеції, якщо ∠В = 120°, ∠D = 40°.

419. AD i BC — основи трапеції ABCD. За даними таблиці 20 знайдіть невідомі кути трапеції.

∠А ∠В ∠С

70°

65°

60°

45°

110°

115°

120°

135°

154°

144°

152°

142°

∠D 26° 36° 28° 38° 420. Накресліть гострокутний трикутник KLМ. Проведіть пряму, паралельну стороні KМ трикутника. Позначте точки перетину прямої та сторін KL і LМ трикутника буквами C і D відповідно. Якого виду чотирикутник KCDМ?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Чотирикутник KCDМ – трапеція. 421. Накресліть гострий кут із вершиною О. Проведіть дві паралельні прямі, що перетинають сторони кута. Позначте точки перетину прямих і сторін кута буквами A, B, C і D. Якого виду чотирикутник ABCD? Чотирикутник ABCD — трапеція, тому що AD ∥ ВС, АВ ∦ DC.

Відповідь: ABCD — трапеція. 422. На малюнку ABCD — рівнобічна трапеція з основами AD і BC, CK || AB. Доведіть, що: 1) чотирикутник ABCK — паралелограм; 2) трикутник KCD — рівнобедрений.

1) BC ∥ AD, бо ABCD — трапеція з основами AD і ВС. CK ∥ AB — за умовою. Оскільки ВС ∥ AD, СК ∥ AB, то чотирикутник АВСК — паралелограм. 2) ∠BAD = ∠CKD — як відповідні кути при паралельних прямих AB і CD та січній АК. ∠BAK = ∠CDK — як кути при одній основі рівнобедреної трапеції. Оскільки ∠BAD = ∠CKD і ∠BAK = ∠CDK, то ∠CKD = ∠CDK, тобто ∆KCD — рівнобедрений. 423. MNKL — трапеція з основами ML і NK, NF || KL. Знайдіть: 1) основу ML, якщо MF = 5 см, NK = 2 см; 2) основу NK, якщо ML = 10 см, MF = 7 см.

1) ML = MF + FL = MF + NK = 5 + 2 = 7 cм; 2) NK = FL = ML – MF = 10 – 7 = 3 см Відповідь: 1) 7 см; 2) 3 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

424. BM і CK — висоти рівнобічної трапеції ABCD з основами AD і BC. Доведіть, що DABM = DDCK.

la. in.

∆АВМ = ∆DCK (за гіпотенузою і гострим кутом: AB = CD — як бічні сторони рівнобічної трапеції ABCD, ∠A = ∠D — як кути при основі рівнобічної трапеції). 425. Знайдіть х за даними на малюнках.

Мал.178 х+8 = 6; 2 х + 8 = 12; х = 12 – 8; х = 4 (см). Відповідь: 4 см. Мал.179 4+10 х= ; 2 х = 7 (см). Відповідь: 7 см. Мал.180 х+5 = 10; 5 х + 5 = 20; х = 20 – 5; х = 15 (см). Відповідь: 5 см. 426. Чи правильно вказано довжину середньої лінії трапеції на малюнку? Відповідь поясніть.

Якщо NK = 4 см, ML = 8 см і EF — середня лінія, то NK+ML 4+8 EF = = = 6 (см). 2 2 Отже, на рисунку неправильно вказано довжину середньої лінії трапеції. Відповідь: ні. 427. Основою піраміди SАВСD є трапеція із середньою лінією МK. Знайдіть сторону АD основи піраміди, якщо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) МK = 3 см, ВС = 2 см; 2) МK = 11 см, ВС = 7 см; 3) МK = 14,5 см, ВС = 12 см.

la. in.

428. Трапеція АВСD (АD || BC) — основа піраміди. Точки М і K — середини сторін АВ і СD основи піраміди. Знайдіть МK, якщо АD = 10 см, ВС = 4 см.

429. AD i BC — основи трапеції, MN — її середня лінія. Заповніть таблицю.

10 см

6 см

7 см

13 см

11 см

9 см

5 см

9 см

15 см

MN 8 см 8 см 9 см 10 см 12 см 430. За даними на малюнку знайдіть основи й середню лінію трапеції.

ВС = AD – 2AF = FD – AF = 12 – 4 = 8 (см); AD = AF + FD = 4 + 12 = 16 cм; BC+AD 8+16 MN = = = 12 (см) 2 2 де MN — середня лінія трапеції. Відповідь: 8 см, 16 см, 12 см. 431. Яка довжина основ і середньої лінії трапеції MNKL?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

NK = FE = 4 cм; ML = MF + FE + EL = 2 + 4 + 5 = 11 cм; NK+ML 4+11 х= = = 7,5 (см), де x — середня лінія трапеції. 2 2 Відповідь: 4 см, 11 см, 7,5 см. 432. Знайдіть периметр трапеції з бічними сторонами с і d та середньою лінією m, якщо: 1) с = 8 см, d = 12 см, m = 10 см; 2) с = d = m = 15 см.

BC+AD

PABCD = BC + AD + AB + CD = 2 ∙ + c + d = 2m + c + d. 2 1) PABCD = 2m + c + d = 2 ∙ 10 + 8 + 12 = 40 (см); 2) PABCD = 2m + c + d = 2 ∙ 15 + 15 + 15 = 60 (см); Відповідь: 1) 40 см; 2) 60 см. 433. У рівнобічній трапеції бічна сторона дорівнює 17 см, а середня лінія — 14 см. Знайдіть периметр трапеції.

BC+AD

PABCD = BC + AD + AB + CD = 2 ∙ + c + d = 2m + c + d. 2 PABCD = 2m + c + d = 2 ∙ 14 + 17 + 17 = 28 + 34 = 62 (см). Відповідь: 1) 62 см. 434. Два кути трапеції дорівнюють: 1) 46° і 144°; 2) 35° і 155°. Знайдіть два інші її кути. 1) Дані кути не є прилеглими до бічної сторони, оскільки 46° + 144° ≠ 180°, тоді два інші кути дорівнюють 180° – 46° = 134° і 180° – 144° = 36°. 2) Дані кути не є прилеглими до бічної сторони, оскільки 35° + 155° ≠ 180°, тоді два інші кути дорівнюють 180° – 35° = 145° і 180° – 155° = 25°. Відповідь: 1) 134° і 36°; 2) 145° і 25°. 435. Знайдіть кути трапеції, якщо два інші її кути дорівнюють 52° і 124°. Дані кути не є прилеглими до бічної сторони, оскільки 52° + 124° ≠ 180°, тоді два інші кути дорівнюють 180° – 52° = 128° і 180° – 124° = 56°. Відповідь: 128° і 56°. 436. Гострий кут прямокутної трапеції дорівнює 45°. Знайдіть висоту трапеції, якщо її основи дорівнюють: 1) 6 см і 8 см; 2) 62 мм і 10 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай ∠D = 45°, BC = a, AD = b, CD ⊥ AD, тоді ∆CKD — прямокутний рівнобедрений i CK = KD = AD – AK = AD – BC. 1) СК = 8 – 6 = 2 (см); 2) СК = 10 – 6,2 = 3,8 (см) = 38 (мм). Відповідь: 1) 2 см; 2) 38 мм. 437. Якщо кути при основі трапеції рівні, то трапеція — рівнобічна. Доведіть.

Нехай ∠A = ∠D, проведемо CE ∥ AB, тоді ∠A = ∠CKD — як відповідні кути при паралельних прямих AB і СE та січній АE. Оскільки ∠CED = ∠D , то ∆CED — рівнобедрений і СE = АВ. Оскільки АВСE — паралелограм, то СE = AB. Враховуючи, що AB = СE і СE = AD, то AB = CD, тобто трапеція ABCD — рівнобічна. 438. За даними на малюнках знайдіть кути трапеції ABCD (AD || BC).

Мал. 185 ∠A = 90° – 32° = 58°, ∠B = 90° + 32° = 122°, ∠C = ∠B = 122°, ∠D = ∠A = 58°. Відповідь: 58°, 122°, 122°, 58°. Мал. 186 ∠BCA = ∠CAD = 30° — як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. ∠BAC = ∠BCA = 30° — як кути при основі АС рівнобедреного трикутника AВС. ∠BAC = ∠BAC + ∠CA = 30° + 30° = 60°. ∠D = ∠BAC = 60°; ∠B = ∠BCD = 180° – 60° = 120°. Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°. Мал. 187 ∠D = ∠BAD = 2∠CAD. Оскільки ∠D + ∠CAD = 9° і ∠D = 2∠CAD, то 90° ∙ 2 ∠D = = 60°, 1+2 ∠BCD = 180° – ∠D = 180° – 60° = 120°,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠B = ∠BCD = 120°, ∠BAD = ∠D = 60°. Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°. 439. Доведіть, що в рівнобічній трапеції сума протилежних кутів дорівнює 180°.

la. in.

∠A + ∠C = ∠A + ∠B = 180° (оскільки ∠C = ∠B і ∠A + ∠B = 180°). ∠B + ∠D = ∠B + ∠A = 180° (оскільки ∠D = ∠A i ∠A + ∠B = 180°). Отже, в рівнобічній трапеції сума протилежних кутів дорівнює 180°. 440. Знайдіть кути рівнобічної трапеції, якщо різниця її протилежних кутів дорівнює 40°.

∠С + ∠D = 180°; ∠A = ∠D; ∠C = ∠A + 40°. Тоді ∠С + ∠А = 180°; ∠A + 40° + ∠А = 180°; 2∠А = 180° – 40°; ∠А = 70°; ∠D = 70°. ∠C = ∠A + 40°; ∠В = 180° – ∠А = 180° – 70° = 110°; ∠С = 110°. Відповідь: ∠А = 70°, ∠В = 110°, ∠C = 110°, ∠D = 70°. 441. Протилежні кути рівнобічної трапеції відносяться як 1 : 4. Знайдіть кути трапеції.

Нехай ∠A : ∠C = 1 : 4. Оскільки ∠A + ∠C = 180° і ∠A : ∠C = 1 : 4, тo 180° ∙ 1 ∠A = = 36°, 1+4 180° ∙ 4

∠C = = 144°, 1+4 ∠B = ∠C = 144°, ∠D = ∠A = 36°. Відповідь: 36°, 144°, 144°, 36°. 442. Доведіть, що діагоналі рівнобічної трапеції — рівні.

Нехай AD ∥ BC, AB = CD, тоді ∠A = ∠D — як кути при основі рівнобічної трапеції.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∆ADC = ∆DAB (за двома сторонами і кутом між ними: AD — спільна сторона CD = ВА — за умовою, ∠BAD = ∠CDA). Із рівності цих трикутників випливає що АС = BD. Отже, діагоналі рівнобічної трапеції рівні. 443. ABCD — рівнобічна трапеція, AD || BC, AC i BD — діагоналі, О — точка їх перетину. Доведіть: 1) DBOC i DAOD — рівнобедрені; 2) DAOB = DDOC.

la. in.

1) ∆ABD = ∆DCA — за трьома сторонами: AD — спільна сторона, AB = DC — як бічні сторони рівнобічної трапеції, BD = СА (задача 307). Із рівності цих трикутників маємо ∠BDA = ∠CAD, тоді ∠ODA = ∠OAD. Отже, ∆AOD — рівнобедрений. Аналогічно ∆BOC — рівнобедрений, бо ∆ВСD = ∆СBА (ВС — спільна, CD = BA, BD = СА) і із рівності цих трикутників випливає, що ∠DBC = ∠ACB. 2) ∆AOB = ∆DOC — за трьома сторонами, оскільки AО = DO (бо ∆AOD — рівнобедрений), OB = ОС (оскільки ∆ВОС — рівнобедрений, AB = CD (як бічні сторони рівнобічної трапеції). 444. У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює 10 см, бічна сторона — 4 см, а кут між ними — 60°. Знайдіть меншу основу трапеції.

Нехай у рівнобічній трапеції ABCD (AD ∥ BC), AD = 10 см, АВ = CD = 4 см, ∠A = ∠D = 60°. Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, тоді ∠ABK = ∠DCM = 90° – 60° = 30°. 3a властивістю прямокутного трикутника з кутом 30° маємо: 1 1 АK = AВ = ∙ 4 = 2 (cм), 2 1

2 1

MD = CD = ∙ 4 = 2 (cм), тоді BC = KM = AD – AK – MD = 10 – 2 – 2 = 6 (см). 2 2 Відповідь: 6 см. 445. Гострий кут рівнобічної трапеції дорівнює 60°, а основи — 15 см і 49 см. Знайдіть бічну сторону трапеції.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай у рівнобічній трапеції ABCD (AD ∥ ВС), AD = 49 см, ВС = 15 см, ∠A = ∠D = 60°. Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD. ∆ABK = ∆DCM — за гіпотенузою і гострим кутом (AB = CD, ∠A = ∠D = 60°), тоді AB−BC 49−15 AK = MD = = = 17 (cм). 2 2 Із прямокутного трикутника АВK (∠K = 90°, ∠ABK = 30°) маємо AB = 2АК = 2 ∙ 17 = 34 см. Оскільки трапеція ABCD — рівнобічна, то CD = АВ = 34 см. Відповідь: 34 см. 446. ABCD — рівнобічна трапеція, AD || BC, BK i CM — висоти. Доведіть: 1) AK = MD = (AD – BC) : 2; 2) KD = AM = (AD + BC) : 2.

1) ∆ABK = ∆DCM — за гіпотенузою і гострим кутом (AB = DC — як бічні сторони рівнобічної трапеції, ∠A = ∠D — як кути при основі рівнобічної трапеції), тоді AD−KM AD−BC АК = МD = = . 2 2 2) Оскільки АК = MD, то АК + KD = MD + KM або AM = KD, тоді AD−BC AD−BC+2BC AD+BC AM = KD = AK + KM = + BC = = . 2 2 2 447. Знайдіть основи рівнобічної трапеції, якщо її висота, проведена з вершини тупого кута, ділить основу на відрізки: 1) 4 см і 8 см; 2) 2 см і 7 см.

1) ABCD — рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD), BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, AK = 4 см, KD = 8 см. ∆ABK = ∆DCM, тоді MD = AK = 4 см. AD = AK + KD = 4 + 8 = 12 (см). BC = AD – AK – MD = 12 – 4 – 4 = 4 (cм). Відповідь: 4 см і 12 см. 2) ABCD — рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD), BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, AK = 2 см, KD = 7 см. AD = AK + KD = 2 + 7 = 9 (cм). ∆ABK = ∆DCM, тоді BC = KM = AD – AK – MD = 9 – 2 – 2 = 5 (см). Відповідь: 5 см, 9 см. 448. Доведіть, що коли бічна сторона трапеції дорівнює меншій основі, то діагональ, яка сполучає їхні кінці, є бісектрисою кута, прилеглого до більшої основи.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай у трапеції ABCD (AD ∥ BC) AB = BC, тоді ∠BAC = ∠BCA (як кути при основі рівнобедреного трикутника; ∠BCA = ∠CAD (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АС). Оскільки ∠BAC = ∠BCA і ∠BCA = ∠CAD, то ∠BAC = ∠CAD, тобто АС — бісектриса кута BAD. Отже, якщо бічна сторона трапеції дорівнює меншій основі, то діагональ, яка сполучає їх кінці, є бісектрисою кута, прилеглого до більшої основи. 449. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута. Знайдіть периметр трапеції, якщо її основи дорівнюють: 1) 6 см і 8 см; 2) 62 мм і 10 см.

Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, у якій AB = CD = BC, AD = b, BC = a, тоді ∆ABC — рівнобедрений і PABCD = AB + ВС + CD + AD = a + a + a + b = 3a + b. 1) Якщо а = 6 см, b = 8 см, то PABCD = 3 ∙ 6 + 8 = 26 (см); 2) якщо а = 62 мм = 6,2 см; b = 10 см, то PABCD = 3 ∙ 6,2 + 10 = 18,6 + 10 = 28,6 (см). Відповідь: 1) 26 см; 2) 28,6 см. 450. Доведіть теорему про властивості середньої лінії трапеції, скориставшись малюнками (MN — середня лінія).

Мал.190 За теоремою про середню лінію трикутника маємо 1 1 1 1 BC+AD МЕ = ВС, EN = AD, тодi MN = ME + EN = BC + AD = . 2 2 2 2 2 Мал. 191 Проведемо CF ∥ AB, тоді ABCF — паралелограм, AF = ВС, CE = EF, EN — середня лінія трикутника FCD. 1 1 1 1 1 1 AD+BC MN = ME + EN = BC + FD = BC + (AD – AF) = BC + AD – BC = AD + BC = . 2 2 2 2 2 2 2 Мал.192 Проведемо EF ∥ AB, тоді ABEF — паралелограм, BE = AF. ∆CNE = ∆DNF (за стороною і двома прилеглими кутами: CN = DN — за умовою, ∠CNE = ∠DNF — як вертикальні, ∠ECN = ∠FDN — як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній CD), тоді EN = FN і СЕ = DF.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 1

MN = (ВЕ + AF) = (BC + CE + AD – FD) = (BC + CE + AD – CE) = (BC + AD). 2 2 2 2 451. Основи трапеції відносяться як 7 : 3, а різниця їхніх довжин дорівнює 4,8 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

la. in.

ABCD — трапеція (BC ∥ AD), AD : BC = 7 : 3, AD – BC = 4,8 cм, MN — середня лінія трапеції. Нехай AD = 7x см, ВС = 3х см, тоді 7х – 3х = 4,8; 4x = 4,8; x = 1,2. Отже, AD = 7 ∙ 1,2 = 8,4 (см); ВС = 2 ∙ 1,2 = 3,6 (см), тоді AD+BC 8,4+3,6 12 MN = = = = 6 (см). 2 2 2 Відповідь: 6 см. 452. Середня лінія трапеції дорівнює 10 см. Одна з діагоналей ділить її на два відрізки, різниця довжин яких дорівнює 2 см. Знайдіть основи трапеції.

ABCD — трапеція (ВС ∥ AD), MN — середня лінія трапеції, MN = 10 см, NE – ME = 2 см. Нехай ME = x см, тоді NE = (х + 2) см, ВС = 2МЕ = 2х см, AD = 2NE = 2(х + 2) см. AD+BC 2(x+2)+ 2x Оскільки MN = , то 10 = ; 2 2 10 = x + 2 + x; 2х + 2 = 10; 2x = 10 – 2; 2х = 8; x = 4. Отже, AD = 2(x + 2) = 2 ∙ (4 + 2) = 12 (см); BC = 2x = 2 ∙ 4 = 8 (см). Відповідь: 8 см і 12 см. 453. Доведіть, що відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний основам і дорівнює їх піврізниці.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

ABCD — трапеція (ВС ∥ AD), AK = KC, BL = LD, AD = a, BC = b. Проведемо через точку K пряму KM ∥ АD, пряма KM містить відрізок KL. Тоді МК — середня лінія трикутника ABC, LN — середня лінія трикутника BCD, і AD+BC ВС ВС 𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑎𝑎+𝑏𝑏−𝑏𝑏−𝑏𝑏 𝑎𝑎−𝑏𝑏 KL = MN – MK – LN = – – = – – = = . 2 2 2 2 2 2 2 2 Отже, відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний основам і дорівнює їх піврізниці. 454. Менша основа трапеції дорівнює а, відстань між серединами її діагоналей — с. Знайдіть більшу основу трапеції, якщо: 1) а = 6 см, с = 4 см; 2) а = 50 мм, с = 2 см.

ABCD — трапеція, АК = КС, BL = LD, ВС = а, KL = с. Згідно з результатами задачі 453 маємо: AD−BC AD−a KL = , тоді c = , 2 2 AD – a = 2c; AD = 2с + а. 1) Якщо а = 6 см, с = 4 см, то AD = 2с + а = 2 ∙ 4 + 6 = 14 (см). 2) Якщо a = 50 мм = 5 см, с = 2 см, то AD = 2с + а = 2 ∙ 2 + 5 = 9 (см). Відповідь: 1) 14 см; 2) 9 см. 455. Якщо бісектриси кутів при одній основі трапеції перетинаються на іншій її основі, то інша основа дорівнює сумі бічних сторін трапеції. Доведіть.

ABCD – трапеція (AD ∥ BC), ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Оскільки ∠1 = ∠AFB (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній BF) і ∠1 = ∠2, то ∠AFB = ∠1, тобто ∆АВF — рівнобедрений і AB = АF. Оскільки ∠3 = ∠CFD (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих ВС і AD та січній CF) і ∠3 = ∠4, то ∠CFD = ∠4, тобто ∆CFD— рівнобедрений i CD = FD. Toдi AD = AF + FD = AB + CD. Отже, якщо бісектриси кутів при одній основі трапеції перетинаються на другій її основі, то друга основа дорівнює сумі бічних сторін трапеції. 456. Знайдіть кути рівнобічної трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 24 см, а середня лінія ділиться діагоналлю на відрізки 8 см і 20 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD — трапеція (AD ∥ ВС), АВ = CD = 24 см. MN — середня лінія трапеції, ME = 8 см, EN = 20 см, тоді ВС = 2МЕ = 2 ∙ 8 = 16 (см), AD = 2EN = 2 х 20 = 40 (см). AD−BC 40−16 Проведемо СК ⊥ AD, тоді KD = = = 12 (см). 2

la. in.

Оскільки в прямокутному трикутник CKD KD = CD (12 = ∙ 24), то 2 2 ∠KCD = 30°, а ∠CDK = 60°. Отже, ∠D = ∠A = 60°, ∠B = ∠C = 180° – 60° = 120°. Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°. 457. Якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція — рівнобічна. Доведіть.

ABCD — трапеція (AD ∥ BC), AC = BC. Проведемо BK ⊥ AD і CM ⊥ AD. ∆ACM = ∆DBK (за гіпотенузою і катетом: АС = BD, СМ = ВК), тоді ∠CAM = ∠BDK. ∆ABD= ∆DCA (за двома сторонами і кутом між ними: BD = АС — за умовою, AD — спільна, ∠ADB = ∠DAC — за доведенням), тоді AB = DC, тобто ABCD — рівнобічна трапеція. Отже, якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція рівнобічна. 458. Якщо в трапеції сума протилежних кутів дорівнює 180°, то трапеція — рівнобічна. Доведіть.

Нехай ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°. Оскільки ∠A + ∠C = 180° — за умовою і ∠A + ∠B = 180° (задача 287), то ∠B = ∠C, тоді згідно з задачею 302 маємо AB = CD. Отже, якщо в трапеції сума протилежних кутів дорівнює 180°, то трапеція рівнобічна. 459. Доведіть, що коли діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то середня лінія трапеції дорівнює її висоті.

AВСD — трапеція (ВС ∥ AD), AB = CD, ∠BOC = 90°, LN — середня лінія трапеції. Через точку О проведемо МК, МК ⊥ ВС, тоді MK ⊥ AD. 90° 1 Оскільки ВО = ОС, то ∠OBC = ∠OCB = = 45°, то ОМ = МС = ВМ = ВС. Оскільки AO = OD, то ∠OAD = ∠ODA = 1

Тоді MK = MO + OK = BC + AD = 2

2 90°

2 BC+AD 2

2 1

= 45°, то OK = KD = AK = AD.

= NL.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Отже, якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то середня лінія трапеції дорівнює її висоті. 460. Якщо середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює її висоті, то діагоналі трапеції перпендикулярні. Доведіть.

la. in.

ABCD — трапеція (AD ∥ ВС), AB = CD, MN — середня лінія. Проведемо BK ⊥ AD, CN ⊥ AD, тоді CN = AN і BK = KD (задача 312), звідси ∆ACN і ∆BKD 90° — прямокутні і рівнобедрені, тоді ∠CAN = ∠ACN = ∠KBD = ∠KDB = = 45°. 2 Із трикутника AOD маємо ∠AOD = 180° – ∠OAD – ∠ODA = 180° – 45° – 45° = 90°, отже, AС ⊥ ВD. Таким чином, якщо середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює її висоті, то діагоналі трапеції перпендикулярні. 461. Пряма ділить трапецію на ромб і рівносторонній трикутник. Знайдіть: 1) кут між діагоналями трапеції; 2) основи трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 18 см.

1) ABCD — трапеція (ВС ∥ AD), ABCK — ромб, ∆KCD — рівносторонній. 180°−120° ∠CKD = 60°, ∠AKC = ∠B = 120°, ∠BAC = ∠BCA = = 30°.

180°−120°

∠BCD = 120°, тоді ∠CBD = ∠CDB = = 30°. 2 Із трикутника ВОС маємо ∠BOC = 180° – ∠CBD – ∠ВСА = 180° – 30° – 30° = 120°, тоді ∠COD = 60°. Відповідь: 60°.

2) ABCD — трапеція (ВС ∥ AD), АВСК — ромб, ∆KCD —рівносторонній. Нехай ВС = х cм, тоді AD = 2х см, тоді за властивістю середньої лінії трапеції маємо x+2x = 18, тоді 1,5x = 18; x = 12. 2 Отже, ВС = 12 см, AD = 2 ∙ 12 =24 (см). Відповідь: 12 см і 24 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

462. Прямокутна трапеція ділиться діагоналлю на два трикутники — рівносторонній зі стороною а та прямокутний. Знайдіть середню лінію трапеції.

ABCD — трапеція (ВС ∥ AD), AB ⊥ AD, ∆ACD — рівносторонній, AC = CD = AD = a. а Проведемо CK ⊥ AD, тоді AK = KD = . 2

Оскільки в прямокутнику АВСK протилежні сторони рівні, то ВС = АК = і тоді середня 3а

а +а 2

3а 4

la. in.

лінія дорівнює

BC+AD

Відповідь: . 4 463. З однакових плиток, що мають форму рівнобічної трапеції, потрібно виготовити паркет. Як це зробити? Дві однакові рівнобічні трапеції з'єднують, перевернувши одну, так, щоб їхні основи (довга і коротка) співпали, утворюючи паралелограм , яким потім замощують усю площину за допомогою паралельного перенесення (трансляції).

464. Над входом у дачний будинок є навіс. Згодом виникла потреба поставити підпори до середини краю навісу (точка F на мал.). Як, не вимірюючи, знайти довжину підпори (відрізка EF), якщо відповідні краї навісу віддалені від поверхні землі на 2,5 м і 3,5 м?

Довжина підпори EF є середньою лінією прямокутної трапеції, утвореної навісом, землею та двома крайніми підпорами, тому її довжина дорівнює півсумі довжин основ: 3.5+2.5 6 EF = = = 3 м. 2 2 465. Плитка для даху має форму трапеції (трапеція не рівнобічна). Знайдіть розміри її сторін, якщо: 1) обламано один ріжок плитки;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Оскільки BC ∥ AD (як основи трапеції), тоді достатньо провести BM ∥ CD, щоб утворився паралелограм BCDM. Оскільки в паралелограма протилежні стороні рівні, то BM = CD, a BC = MD. 2) обламано два ріжки плитки (мал. 1, 2).

1. З вершини B проводимо відрізок BM паралельно до залишку сторони CD. Ділимо відрізки AB і BM навпіл. KN – середня лінія трикутника ABM, який належить трапеції, отже KL – середня лінія трапеції ABCD. Утворилося два рівних паралелограми BCLN і NLDM. Оскільки, ми можемо заміряти по одній стороні паралелограма, а протилежні їм рівні, то ми зможемо визначити: BC = MD = NL; BN = CL = NM = LD. 2. Позначимо точку M на залишку сторони BC. З неї проведемо відрізки паралельні бічним сторонам трапеції. Утвориться два паралелограма ABME та FMCD у яких: AB = ME, BM = AE; CD = MF, MC = FD. 466. Знайдіть відстань від кінця транспортера до поверхні землі (яку безпосередньо виміряти не можна), якщо інший його кінець і середина віддалені від поверхні землі відповідно на 0,5 м і 2 м.

Відстань AB є іншою основою трапеції, де висота середини транспортера 2,0 м є середньою лінією, тому за властивістю середньої лінії 0,5+𝐴𝐴𝐴𝐴 2,0 = , звідки 4,0 = 0,5 + AB, і шукана відстань AB = 3,5 м. 2 Відповідь: 3,5 м. 467. Розгляньте малюнок. Будівельникам потрібно виміряти відстань між серединами бічних сторін покрівлі (точки А і В). Їм запропонували такий спосіб: із верхньої вершини покрівлі умовно провісити пряму, перпендикулярну до нижньої основи покрівлі, орієнтуючись, наприклад, на відповідні краї покриття; позначити точку С перетину цих прямих і виміряти відстань CD. Тоді шукана відстань АВ дорівнюватиме CD. Чи є правильним цей спосіб? Чому?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝑎𝑎+𝑏𝑏

la. in.

Так, спосіб правильний, якщо припустити, що покрівля має форму рівнобічної трапеції. Доведемо: Нехай довжина більшої основи трапеції (нижня основа) дорівнює a, а меншої (верхня основа) – b, де a > b. У рівнобічній трапеції: 𝑎𝑎+𝑏𝑏 - середня лінія AB дорівнює половині суми основ: AB = ; 2 - якщо з верхньої вершини опустити перпендикуляр до більшої основи, то ця висота розбиває трапецію на прямокутник і два рівних прямокутних трикутники. На більшій основі утворюються два однакові «зайві» відрізки по обидва боки від проєкції 𝑎𝑎−𝑏𝑏 . меншої основи, кожен з довжиною 2 Тоді відрізок CD (від точки падіння висоти до протилежної вершини основи) має довжину: 𝑎𝑎−𝑏𝑏 𝑎𝑎+𝑏𝑏 CD = a − = . Отже CD = = AB. 2 Тому, вимірявши CD, справді отримаємо шукану відстань між серединами бічних сторін покрівлі. Відповідь: так, спосіб правильний, бо в рівнобічній трапеції CD дорівнює середній лінії AB.

§ 8. ЦЕНТРАЛЬНІ ТА ВПИСАНІ КУТИ 468. Чи правильно, що центральний кут має вершину, що лежить: Центральний кут — це кут, вершина якого у центрі кола. Тому: 1. На колі — ні, це вершина вписаного кута. 2. Поза колом — ні, тоді це зовнішній кут щодо кола. 3. У центрі кола — так, це центральний кут. 469. Чи правильно, що сторони центрального кута: Центральний кут має вершину в центрі, а його сторони — це радіуси. Тому: 1. Не перетинають коло — ні. 2. Перетинають коло — так, у двох точках. 470. Чи правильно, що центральному куту АОВ: 1) не відповідає жодна дуга даного кола із центром О; 2) відповідає лише одна дуга кола з кінцями в точках А і В; 3) відповідають дві дуги кола з кінцями в точках А і В? Центральному куту AOB відповідають дуги з кінцями в точках A і B. Тому: 1) ні; 2) ні; 3) так. 471. Чи правильно, що вписаний кут має вершину, що лежить:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Вписаний кут — це кут, вершина якого лежить на колі. Тому: 1. На колі — так, це вершина вписаного кута. 2. Поза колом — ні. 3. У центрі кола — ні, це центральний кут. 472. Чи правильно, що сторони вписаного кута: Сторони вписаного кута проходять через точку на колі і перетинають коло ще раз. Тому: 1. Не перетинають коло — ні. 2. Перетинають коло — так. 473. Чи правильно, що вписаний кут вимірюється: Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається. Тому: 1. Дугою — ні. 2. Половиною дуги — так. 474. Проведіть коло із центром О та позначте на ньому дві точки А і В. Сполучіть ці точки із центром кола. Назвіть два центральні кути, що утворилися. Назвіть дві дуги, які відповідають цим кутам.

Менший ∠AOB, та більший ∠AOB (неопуклий). ∪AmB і ∪AnB — дві дуги, які відповідають центральному куту АОВ. 475. За даними на малюнках назвіть градусну міру дуги ALB.

Мал.221 ∪ALB = 90°. Відповідь: 90°. Мал.222 ∪ALB = 180°. Відповідь: 180°. 476. Яка градусна міра дуги AМB на малюнку?

∪AMB = 60°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: 60°. 477. Скільки градусів має дуга, що дорівнює: 1 1 2 1) кола; 2) кола; 3) кола? 2 3 3 Яка градусна міра відповідного центрального кута? 1 1) ∙ 360° = 180°;

2 1

2) ∙ 360° = 120°; 3 2

la. in.

3) ∙ 360° = 240°. 3 Відповідь: 1) 180°; 2) 120°; 3) 240°. 478. Один із двох центральних кутів АОВ дорівнює α. Скільки градусів мають дві відповідні дуги, якщо:1) α = 30°; 2) α = 62°; 3) α = 100°? 1) Якщо α = 30°, то ∪АВ = 30° або ∪AB = 360° – 30° = 330°; 2) якщо α = 62°, то ∪AB = 62° або ∪АВ = 360° – 62° = 298°; 3) якщо α = 100°, то ∪AB = 100° або ∪АВ = 360° – 100° = 260°. Відповідь: 1) 30° і 330°; 2) 62° і 298°; 3) 100° і 260°. 479. За даними на малюнках знайдіть градусну міру дуги: 1) АСВ; 2) АМВ.

1) ∪ACB = ∪AC + ∪BC = 25° + 45° = 70°; 2) ∪AMB = ∪AM + ∪MB = 180° + 30° = 210°. Відповідь: 1) 70°; 2) 210°. 480. На півколі з діаметром АВ позначено точки С i D так, що ∪AC = 59°, ∪BD = 61°. Знайдіть хорду CD, якщо радіус кола дорівнює: 1) 12 см; 2) 0,2 дм; 3) 39 мм.

∪CD = 180° – ∪AC – ∪BD = 180° – 59° – 61° = 60°. ∆OCD — рівносторонній, тоді CD = ОС = OD = OA = OB. 1) Якщо АО = 12 cм, то CD = 12 см; 2) якщо АО = 0,2 дм, то CD = 0,2 дм; 3) якщо АО = 39 мм, то CD = 39 мм. Відповідь: 1) 12 см; 2) 0,2 дм; 3) 39 мм. 481. У колі з центром О дуги АВ і CD рівні. Доведіть, що ∠АОС = ∠BOD.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Оскільки ∪AB = ∪CD, тоді ∪AB + ∪ВС = ∪CD + ∪ВС. Звідси ∪AC = ∪BD, тоді ∠AOC = ∠BOD. 482. Дуги АВС і BCD кола з центром О рівні. Доведіть, що ∠АОВ = ∠COD.

Оскільки ∪ABC = ∪BCD, тоді ∪ABC – ∪BC = ∪BCD – ∪BC. Звідси ∪AB = ∪CD, тоді ∠AOB = ∠COD. 483. За даними на малюнках знайдіть градусну міру кута α.

Мал.227 1 1 α = ∪AC = ∙ 120° = 60° 2 2 Відповідь: 60°. Мал.228 ∠AD = 2∠ABD = 2 ∙ 25° = 50°; 1 1 α = ∪AD = ∙ 50° – 25°. 2 2 Відповідь: 25°. Мал.229 1 1 α = ∪AC = ∙ 180° = 90°. 2 2 Відповідь: 90°. 484. За даними на малюнках знайдіть кути, позначені знаком «?».

1) Мал.230 ∪AC = 2∠ABC = 2 ∙ 35° = 70°; 2) Мал.231 ∪AC = ∠AOC = 40°; 1 1 ∠ABC = ∪AC = ∙ 40° = 20°. 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: 1) 70°; 2) 20°. 485. Знайдіть вписаний кут, якщо дуга, на яку він спирається, дорівнює: 1) 52°; 2) 126°; 3) 200°. 1 1) ∙ 52° = 26°; 2 1

2) ∙ 126° = 63°;

2 1

la. in.

3) ∙ 200° = 100°. 2 Відповідь: 1) 26°; 2) 63°; 3) 100°. 486. Знайдіть дугу, на яку спирається вписаний кут, якщо він дорівнює: 1) 16°; 2) 32°; 3) 110°. 1) 16° ∙ 2 = 32°; 2) 32° ∙ 2 = 64°; 3) 110° ∙ 2 = 220°. Відповідь: 1) 32°; 2) 64°; 3) 220°. 487. За даними на малюнках знайдіть х°.

1) ∪AC = 360° – 150° – 70° = 140°; ∠ABC = ∪AC = ∙ 140° = 70°; 2 2 2) ∪MK = 30° ∙ 2 = 60°; x° = 360° – 60° – 160° = 140°; 3) ∪EQ = 60° ∙ 2 = 120°; x° = 360° – 50° – 120° = 190°. Відповідь: 1) 70°; 2) 140°; 3) 190°. 488. Точки А, В і С ділять коло на три дуги. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо градусні міри дуг відносяться як: 1) 1 : 1 : 1; 2) 1 : 2 : 2.

∪AB; ∪BC : AC = m : n : k, тоді 360° ∙ m 360° ∙ n 360° ∙ k ∪AB = ; ∪BC = ; ∪AC = ; m+n+k 180° ∙ n

m+n+k 1

Тоді ∠А = ∪BC = 1

∠B = ∪AC = 2 1

∠C = ∪AB = 2

1) ∠А = ∠B = ∠C =

180° ∙ 1

1+1+1 180° ∙ 1 1+1+1 180° ∙ 1 1+1+1

m+n+k 180° ∙ k

m+n+k 180° ∙ m m+n+k

;

m+n+k

;

= 60°;

= 60°; = 60°;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) ∠А = ∠B =

180° ∙ 2

1+2+2 180° ∙ 2 1+2+2 180° ∙ 1

= 72°;

la. in.

∠C = = 36°; 1+2+2 Відповідь: 1) 60°, 60°, 60°; 2) 72°, 72°, 36°. 489. Точки А, В і С ділять коло на три дуги. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо градусні міри дуг відносяться як 1 : 2 : 3.

∪AB; ∪BC : AC = m : n : k, тоді 360° ∙ m 360° ∙ n 360° ∙ k ∪AB = ; ∪BC = ; ∪AC = ; m+n+k 1

Тоді ∠А = ∪BC = 1

∠B = ∪AC = 2 1

∠C = ∪AB = ∠А = ∠B =

2 180° ∙ 3 1+2+3 180° ∙ 3 1+2+3 180° ∙ 1

m+n+k 180° ∙ n

m+n+k 180° ∙ k

m+n+k 180° ∙ m m+n+k

= 90°;

;

m+n+k

;

∠C = = 30°. 1+2+3 Відповідь: 60°, 90°, 30°. 490. Навколо трикутника АВС описано коло. Знайдіть градусні міри дуг АВ, ВС і АС, якщо: 1) ∠А = 30°, ∠В = 90°; 2) ∠В = 110°, ∠С = 28°.

1) ∠A = 30°, тоді ∪BC = 2 ∙ 30°= 60°; ∠B = 90°, тоді ∪AC = 2 ∙ 90° = 180°; ∪AB = 360° – 60° – 180° = 120°; 2) ∠B = 110°, тоді ∪AC = 2 ∙ 110° = 220°; ∠C = 28°, тоді ∪AB = 2 ∙ 28° = 56°; ∪BC = 360° – 220° – 56° = 84°. Відповідь: 1) 120°, 60°, 180°; 2) 56°, 84°, 220°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

491. Навколо трикутника АВС описано коло. Знайдіть градусні міри дуг АВ, ВС і АС, якщо ∠А = 65°, ∠С = 35°.

la. in.

∠A = 65°, тоді ∪BC = 2 ∙ 65° = 135°; ∠C = 35°, тоді ∪AB = 2 ∙ 35° = 70°; ∪AC = 360° – 130° – 70° = 160°; Відповідь: 1) 70°, 130°, 160°. 492. Знайдіть кути вписаного в коло рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого стягує дугу: 1) 64°; 2) 144°.

AB = BC; ∪AB = ∪BC 1 1 1) ∠A = ∠C = ∪AB = ∙ 64° = 32°; 2 2 ∠B = 180° – 2∠A = 180° – 64° = 116°; 1 1 2) ∠A = ∠C = ∪AB = ∙ 144° = 72°; 2 2 ∠B = 180° – 2∠A = 180° – 144° = 36°. Відповідь: 1) 32°, 32°, 116°; 2) 72°, 72°, 36°. 493. Знайдіть кути вписаного в коло рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого стягує дугу 120°.

AB = BC; ∪AB = ∪BC 1 1 ∠A = ∠C = ∪AB = ∙ 120° = 60°; 2 2 ∠B = 180° – 2∠A = 180° – 120° = 60°; Відповідь: 60°, 60°, 60°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

494. У колі рівні дуги стягуються рівними хордами. Доведіть.

la. in.

Нехай ∪AB = ∪CD, тоді ∠AOB = ∠COD. ∆AOB = ∆COD за двома сторонами і кутом між ними (АО = СО — як радіуси, BО = DO — як радіуси, ∠AOB = ∠COD — як центральні кути, що спираються на рівні дуги). Із рівності трикутників маємо AB = CD. Отже, у колі рівні дуги стягуються рівними хордами. 495. У колі рівні хорди стягують рівні дуги. Доведіть.

Нехай АВ = СD, тоді ∆АОB = ∆COD за трьома сторонами (АО = ВО = СО = DO — як радіуси, AB = CD — за умовою). Із рівності трикутників маємо ∠AOB = ∠COD, тоді ∪AB = ∪CD. Отже, у колі рівні хорди стягують рівні дуги. 496. Доведіть, що діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить дуги, які вона стягує, навпіл.

Нехай CD ⊥ АВ, тоді ∆AOF = ∆BOF за гіпотенузою та катетом (АО = ВО — як радіуси, OF — спільний катет). Із рівності трикутників маємо ∠AOF = ∠BOF, тоді ∪AC = ∪BC і ∪AD = ∪BD = 180° – ∪AC. Отже, діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить дуги, які вона стягує, навпіл. 497. Доведіть, що діаметр, проведений через середину хорди, яка не проходить через центр кола, ділить навпіл дуги, що їх стягує хорда.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай AF = BF, CD — діаметр, OF — медіана рівнобедреного трикутника АОВ, тоді OF — бісектриса трикутника АОВ, отже, ∠AOF = ∠BOF. Оскільки ∠AOF = ∠BOF, то ∪AD = ∪ВD, тоді ∪AC = ∪СВ = 180° – ∪AD. Отже, діаметр, проведений через середину хорди, яка не проходить через центр, ділить навпіл дуги, що їх стягує хорда. 498. Дуги, що лежать між паралельними хордами, — рівні. Доведіть.

Дано: коло з центром O, хорди AB ∥ CD. Довести: ∪AC = ∪BD. Доведення: 1. ∠1 і ∠2 — вписані кути, що спираються на дугу ∪AC. ⇒ ∠1 = ∠2 (вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні). 2. Пряма CB перетинає паралельні хорди AB ∥ CD, тому ∠1 і ∠3 — внутрішні різносторонні ⇒ ∠1 = ∠3. 3. Із ∠1 = ∠2 та ∠1 = ∠3 маємо ⇒ ∠2 = ∠3. 4. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку спирається, тому: ∪AC = 2∠2, ∪BD = 2∠3. 5. Оскільки ∠2 = ∠3, то ∪AC = ∪BD. Висновок: дуги, що лежать між паралельними хордами AB і CD, рівні. 499. Дуги, що лежать між дотичною та паралельною їй хордою, — рівні. Доведіть.

Нехай дано коло з центром O. AB – хорда цього кола, a – дотична, проведена в точці T, причому a ∥ AB. Потрібно довести, що ∪AT = ∪BT. Доведення.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Проведемо радіус OT до точки дотику T. За властивістю дотичної радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної OT ⟂ a. Оскільки a ∥ AB і OT ⟂ a, то OT ⟂ AB (перпендикуляр до однієї з паралельних прямих перпендикулярний і до другої). Якщо радіус перпендикулярний до хорди, то він ділить цю хорду навпіл і ділить навпіл дугу, яку стягує хорда. Отже, OT ділить хорду AB навпіл і ділить дугу ∪ATB навпіл. Це означає, що дуга ∪AT дорівнює дузі ∪BT. Висновок: дуги, що лежать між дотичною та паралельною їй хордою, рівні. 500. Кінці хорди АВ ділять коло на дві дуги АСВ і АDВ. Знайдіть вписані в це коло кути ACB i ADB, якщо: 1) ∪ACB : ∪ADB = 2 : 3; 2) ∪ACB : ∪ADB = 4 : 5.

1) Оскільки ∪ACB : ∪ADВ = 2 : 3, то ∪ACB = ∪ADB =

360° ∙ 3 1

2+3

= 216°, тоді ∠ACB = 1

1 2

360° ∙ 2 2+3

= 144°;

∪ADB = · 216° = 108°; ∠ADB = ∪АСВ = · 144° = 72°. 2

2) Оскільки ∪ACB : ∪ADB = 4 : 5, тo ∪ACB = ∪ADB =

360° · 4

4+5

360° · 4

4+5

= 160°;

= 200°, тоді ∠ACB = ∪ADB = · 200° = 100°; 1

∠ADB = ∪ACB = · 160° = 80°. 2 2 Відповідь: 1) 108° і 72°; 2) 100° і 80°. 501. Точки Р і Т ділять коло на дуги, градусні міри яких відносяться як: 1) 3 : 5; 2) 2 : 7. Знайдіть вписані кути, що спираються на ці дуги.

1) Оскільки ∪РAT : ∪РВТ = 3 : 5, то ∪РAТ = ∪РBТ =

360° · 5 3+5

= 225°.

360° · 3 3+5

 shkola.in.ua

= 135°;

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠PAT = ∪РВT = · 225° = 112°30'. 2

2) Оскільки ∪РAT : ∪РВТ = 2 : 7, то ∪РBТ = 1

∠РАT = ∪РBT = · 280° = 140°; 2 1

2 1

360° · 7 2+7

= 280°, тоді

Тоді ∠РВT = ∪РAT = · 135° = 67°30';

la. in.

∠PBT = ∪РAT = · 80° = 40°. 2 2 Відповідь: 1) 67°30' і 112°30'; 2) 140° і 40°. 502. Доведіть, що коли хорди АВ і ВС утворюють кут 30°, то хорда АС дорівнює радіусу кола.

Нехай ∠ABC = 30°, тоді ∪AC = 60°, ∠AOC = ∪AC = 60°. 180°− ∠AOC 180°− 60° ∆АОС – рівносторонній, оскільки ∠A = ∠C = = = 60°, тоді 2 2 АС = АO = CO. Отже, хорда АС дорівнює радіусу кола. 503. Знайдіть кут, який утворюють хорди АВ і ВС, якщо хорда АС дорівнює радіусу кола. (Розгляньте два випадки.)

І випадок АС = АО = СО, точки в і О лежать по різні боки стосовно хорди АС. Оскільки АС = АО = СО, то ∆АОС — рівносторонній і ∠AOC = 60°, тоді ∪ABC = 60°, 1 1 ∪ADC = 360° – 60°= 300°, отже, ∠ABC = ∪ ADC = · 300° = 150°. 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

II випадок АС = АО = СО, точки В і О лежать по один бік стосовно хорди AC. Оскільки AC = АО = СО, то ∆АОС — рівносторонній і ∠AOC = 60°, тоді ∪ADC = 60° і 1 1 ∠ABC = ∪ADC = · 60° = 30°. 2 2 Відповідь: 150° або 30°. 504. Хорда ділить коло на дві дуги, одна з яких в n разів більша за іншу. Знайдіть вписані кути, що спираються на цю хорду, якщо: 1) n = 3; 2) n = 4.

Нехай ∪ADB = n∪АСВ. 360° · n 360° · 1 Тоді, ∪ADB = ; ∪ACB = ; 1

n+1 1

n+1

; ∠ACB = ∪ADB = ·

∠ADB = ∪ACB = ·

360°

1) Якщо n = 3, то ∠ADB = · 2 1

360°

360° · n

= 45°. ∠ACB = ·

3+1 360° · n

n+1 1 360° · n 2

= 135°.

3+1 1 360° · 4

= 36°; ∠ACB = · = 144°. 2) Якщо n = 4 ,то ∠ADB = · 2 4+1 2 4+1 Відповідь: 1) 45° або 135°; 2) 36° або 144°. 505. Доведіть, що сума вписаних кутів, що спираються на хорду кола й вершини яких лежать по різні боки від неї, дорівнює 180°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 1

∠ACB + ∠ADB = ∪ADB + ∪ACB = (∪ADB + ∪ACB) = · 360° = 180°. Отже, сума 2 2 2 2 вписаних кутів, які спираються на хорду кола і вершини яких лежать по різні боки від неї, дорівнює 180°. 506. За даними на малюнках знайдіть кут α.

la. in.

1) ∪BCA = 160°, тоді ∪AB = 360° – 160° = 200°, α = ∪AB = · 200° = 100°. 2 2 2) ∠MKN = 120°, тоді ∪MN = 2 · ∠MKN = 2 · 120° = 240°, ∪MKN = 360° – ∪MN = 360° – 240° = 120°; α = ∪MKN = 120°. 3) ∠EPF = 35°, тоді ∪ELF = 2∠EPF = 2 · 35° = 70°, ∪EPF = 360° – ∪ELF = 360° – 70° = 1 1 290°; α = ∪EPF = · 290° = 145°. 2 2 Відповідь: 1) 100°; 2) 120°; 3) 145°. 507. Центральний кут на n° більший за вписаний кут, що спирається на ту саму дугу. Знайдіть градусну міру кожного із цих кутів, якщо: 1) n = 35°; 2) n = 45°. ∠AOC = ∠ABC + n°. Оскільки ∠AOC = 2∠ABC, то 2∠ABC = ∠ABC + n°, то ∠ABC = n°, ∠AОС = 2∠ABC = 2n°.

1) Якщо n = 35°, то ∠ABC = 35°, ∠AOC = 2 · 35° = 70°. 2) Якщо n = 45°, то ∠ABC = 45°, ∠AOC = 2 · 45° = 90°. Відповідь: 1) 35° і 70°; 2) 45° і 90°. 508. Доведіть, що центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи.

Якщо ∠ABC = 90°, то ∪ADC = 2∠АВС = 2 · 90° = 180°. Тоді ∠AOC = ∪ADС = 180°. Отже, точки А, О, С лежать на одній прямій і АО = ОС — як радіуси. Отже, центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

509. Доведіть, що медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, розбиває його на два рівнобедрені трикутники.

la. in.

Нехай ∆АВС — прямокутний (∠C = 90°). Опишемо коло навколо цього трикутника, тоді АО = ОС = ОВ, отже, ∆АОС і ∆СОВ — рівнобедрені. Отже, медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, розбиває його на два рівнобедрених трикутника. 510. Кут між дотичною та хордою, що проходить через точку дотику, вимірюється половиною дуги, яка лежить між його сторонами. Доведіть.

Дано: коло з центром O. У точці B проведена дотична BA. BC – хорда. Через точку C проведена хорда CD так, що ∠BCD = ∠ABC. Дуга між сторонами кута ABC – ∪BC. 1 Потрібно довести: ∠ABC = ∪BC. 2 Розв’язання. 1. За умовою ∠ABC = ∠BCD, отже ці кути – внутрішні різносторонні, тому BA ∥ CD. 2. BA – дотична, CD – хорда, паралельна їй. За вже доведеним твердженням (задача 499): дуги, що лежать між дотичною та паралельною їй хордою, рівні, маємо ∪BC = ∪BD. 3. Кут ∠BCD – вписаний, він спирається на дугу ∪BD, отже 1 ∠BCD = ∪BD. 2 4. З умови ∠BCD = ∠ABC та з п.2 (∪BD = ∪BC) дістаємо: 1 ∠ABC = ∪BC. 2 Отже, кут між дотичною і хордою BC, що проходить через точку дотику B, вимірюється половиною дуги ∪BC, яка лежить між його сторонами. 511. Через кінець хорди проведено дотичну. Знайдіть гострий кут між хордою та дотичною, якщо хорда ділить коло у відношенні: 1) 1 : 3; 2) 2 : 7.

 shkola.in.ua

Нехай ∪AMB : ∪ANB = m : n, тоді ∪AMB = 1

∠CAB = ∪AMB = · 2

360° · m 2m+n

180° · m

360° · m m+n

x+n 180° · 1

= 45°.

1) Якщо m = 1, n = 3, тоді ∠CAB =

1+3 180° · 2

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

i, згідно з результатами задачі 510,

la. in.

= 40°. 2) Якщо m = 2, n = 7, тоді ∠CAB = 2+7 Відповідь: 1) 45°; 2) 40°. 512. Доведіть, що кут із вершиною всередині кола вимірюється півсумою дуг, на які спирається даний кут і кут, вертикальний із ним. (Скористайтеся малюнком)

∠ABC = ∠AKC + ∠BCK = ∪AC + ∪DK = (∪AC + ∪DK). 2 2 2 Отже, кут з вершиною в середині кола вимірюється півсумою дуг, на які спирається даний кут і кут, вертикальний з ним. 513. Доведіть, що кут, вершина якого лежить зовні кола, а сторони перетинають коло, вимірюється піврізницею більшої та меншої дуг, що містяться між його сторонами. (Скористайтеся малюнком)

∠ABC = ∠ADC + ∠DCK = ∪AC – ∪DK = (∪AC – ∪DK). 2 2 2 Отже, кут, вершина якого лежить зовні кола, а сторони перетинаються, коло вимірюється піврізницею більшої і меншої дуг, які містяться між його сторонами. 514. За даними на малюнках знайдіть кут АВС.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) ∠ABC = (∪AС – ∪AD) = · (150° – 50°) = · 100° = 50°. 2 1

2) ∠ABC = ((360° – ∪AC) – ∪AC) = ((360° – 100°) – 100°) = 2

la. in.

= · (260° – 100°) = · 160° = 80°. 2 2 Відповідь: 1) 50°, 2) 80°. 515. Коло поділено точками А, В і С на дуги, що відносяться як 11 : 3 : 4. Через точки А, В і С проведено дотичні до їх взаємного перетину. Знайдіть кути утвореного трикутника.

Нехай ∪AC : ∪AB : ∪BC = 11 : 4 : 3. 360° ·11 360° ·4 360° ·3 = 220°; ∪АВ = = 80°; ∪BC = = 60°. Тоді ∪АС = 11+4+3 11+4+3 11+4+3 МA ⊥ ОА, MC ⊥ ОС, NK ⊥ OB. 1 1 1 ∠AMC = (∪АС – ∪ABC) = · (220° – 140°) = · 80° = 40°; 2 1

∠ANB = (∪ВСА – ∪AB) = · (280° – 80°) = 100°; 2 2 ∠MNB = 180° – ∠ANB = 180° – 100° = 80°. ∠MKN = 180° – ∠AMC – ∠MNB = 180° – 40° – 80° = 60°. Відповідь: 40°, 60°, 80°. 516. До двох кіл із центрами О і О1, що дотикаються зовні в точці А, проведено спільну дотичну ВС (В і С — точки дотику). Доведіть, що кут ВАС — прямий.

Оскільки B і C — точки дотику, то OB ⊥ BC, O1С ⊥ ВС, тоді OB ∥ O1С, звідси ∠BOO1 + ∠CO1O = 180° (як сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих ВО і СО1 та січній ОО1). 1 1 1 1 ∠BCA = ∪АС = ∠AO1C; ∠CBA = ∪BA = ∠BOA, 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 1

la. in.

Тоді ∠BAC = 180° – (∠BCA + ∠CBA) = 180° – (∠AO1C + ∠BOA) = 180° – · 180° = 90°. 2 2 Отже, кут ВАС — прямий. 517. Два кола мають внутрішній дотик, причому менше коло проходить через центр більшого. Доведіть, що будь яка хорда більшого кола, що проходить через точку дотику, ділиться меншим колом навпіл.

Нехай А — точка дотику кіл з центрами О і О1, тоді ∠OBA = 90° (як вписаний кут, що спирається на діаметр). Оскільки діаметр великого кола, який містить катет OB, перпендикулярний до хорди АС, то він ділить хорду АС навпіл. Отже, будь–яка хорда більшого кола, яка проходить через точку дотику, ділиться меншим колом навпіл. 518. Знайдіть геометричне місце вершин: 1) прямих кутів, сторони яких проходять через дві дані точки; 2) трикутників зі спільною основою АВ, у яких кут, що лежить проти основи, дорівнює даному куту α.

1) Геометричним місцем вершин прямих кутів, сторони яких проходять через дві дані 1 токи А і В, є коло, радіус якого дорівнює AB і центр якого є середина відрізка AB, за 2 винятком точок А і В. Дійсно, якщо С належить колу, то ∠ACB = 90°, якщо С не належить колу, то ∠ACB ≠ 90°.

2) Геометричним місцем вершин трикутників із спільною основою AB, у яких кут, що лежить навпроти основи, дорівнює даному куту α, є дуга АСВ кола, навколо трикутника зі стороною AB і протилежним кутом, що дорівнює α, за винятком точок А і В. Дійсно,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

якщо точка С належить дузі, то ∠ACB = α, якщо точка С не належить дузі АСВ, то ∠ACB ≠ α. 519. Правильність виготовлення косинця перевірили так. Накреслили коло та його діаметр АВ. Приклали косинець так, щоб його катети проходили через точки А і В. Якщо при цьому вершина прямого кута косинця лежить на колі, то косинець — правильний. Поясніть, чому це так.

Нехай A і B — кінці діаметра кола. За умовою катети косинця проходять через точки A і B, а вершина прямого кута лежить у деякій точці C на колі. Отже, ∠ACB — вписаний кут, що спирається на діаметр AB. За теоремою: вписаний кут, що спирається на діаметр, дорівнює 90°. Тому ∠ACB = 90°. Отже, якщо вершина косинця лежить на колі при таких умовах, то кут між його катетами справді прямий, тобто косинець правильний. 520. У центрі диска, що має форму круга, потрібно просвердлити отвір. Як знайти центр диска за допомогою одного косинця? Побудова центру диска одним косинцем: 1. Приклади косинець так, щоб вершина прямого кута лежала на колі (позначимо цю точку B), а обидва катети заходили всередину диска. 2. Продовж катети, поки вони не перетнуть коло ще раз. Познач ці точки A і C. З’єднай A і C. 3. Потім приклади косинець в іншу точку кола (вершина прямого кута – в точку K), знову продовж катети до перетину з колом — одержиш точки D і E. З’єднай D і E. 4. Гіпотенузи AC і DE перетнуться в деякій точці O. Це і є центр диска.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

§ 9. ВПИСАНІ Й ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ 521. На якому з малюнків зображено чотирикутник, вписаний у коло?

522. На якому з малюнків зображено чотирикутник, описаний навколо кола?

la. in.

523. Чи правильно вказано градусні міри кутів чотирикутника на малюнку? Відповідь поясніть.

Неправильно, оскільки ∠A + ∠C = 70° + 100° = 170° ≠ 180°. 524. Чи правильно вказано довжини сторін чотирикутника на малюнку? Відповідь поясніть.

Неправильно, оскільки 1 см + 5 см ≠ 2 см + 3 см. 525. За даними на малюнку знайдіть: 1) суму сторін AD і BC описаного чотирикутника ABCD; 2) суму кутів M і P вписаного чотирикутника MNPK.

1) AD + BC = AB + CD = 4 + 5 = 9 cм; 2) ∠M + ∠P = 180° (оскільки чотирикутник MNPK — вписаний). Відповідь: 1) 9 см; 2) 180°. 526. За даними на малюнках знайдіть невідомі кути вписаних чотирикутників.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) ∠C = 180° – ∠A = 180° – 95° = 85°; ∠B = 180° – ∠D = 180° – 80° = 100°. 2) ∠N = 180° – ∠P = 180° – 60° = 120°; x + x + 30 = 180; 2x + 30 = 180; 2x = 150; x = 75. Отже, ∠M = 75°, ∠K = 75° + 30° = 105°. 3) ∠F = ∠Q = 90° (оскільки це вписані кути, що спираються на діаметр РЕ). ∠E = 2 · 30° = 60°; ∠P = 180° – ∠E = 180° – 60° = 120°. Відповідь: 1) 85°, 100°; 2) 120°, 75°, 105°; 3) 90°, 120°, 90°, 60°. 527. Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD, якщо кути A, B, C і D відповідно дорівнюють: 1) 90°, 90°, 110°, 120°; 2) 70°, 130°, 110°, 50°? Навколо чотирикутника ABCD коло описати: 1) не можна, бо 90° + 110° ≠ 180°; 2) можна, бо 70° + 110° = 130° + 50° = 180°. Відповідь: 1) ні; 2) так. 528. Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD, якщо кути A, B і C відповідно дорівнюють: 1) 85°, 130°, 95°; 2) 60°, 100°, 119°? Навколо чотирикутника ABCD коло описати: 1) можна, якщо ∠D = 50° і не можна, якщо ∠D ≠ 50°; 2) не можна, бо 60° + 119° ≠ 180°. Відповідь: 1) так, якщо ∠S = 50°; 2) Hi. 529. У трикутнику ABC проведено висоти ВВ1 і СС1, що перетинаються в точці K. Доведіть, що навколо чотирикутника АВ1KС1 можна описати коло. Знайдіть кут В1KС1, якщо кут A дорівнює: 1) 55°; 2) 72°; 3) 60°.

Оскільки ∠AC1K + ∠AB1K = 90° + 90° = 180°, тоді ∠A + ∠C1KB1 = 360° – (∠AC1K + ∠AB1K) = 360° – 180° = 180°. Оскільки суми градусних мір протилежних кутів чотирикутника АВ1KС1 дорівнюють по 180°, то навколо чотирикутника AB1KC1 можна описати коло. 1) ∠B1KC1 = 180° – ∠A = 180° – 55° = 125°; 2) ∠B1KC1 = 180° – ∠A = 180° – 72° = 108°; 3) ∠B1KC1 = 180° – ∠A = 180° – 60° = 120°. Відповідь: 1) 125°; 2) 108°; 3) 120°. 530. Чи можна описати коло навколо довільного:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) прямокутника; 2) квадрата; 3) ромба? Відповідь поясніть. 1) Якщо ABCD — прямокутник, то навколо нього можна описати коло, оскільки ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° і ∠A + ∠C = ∠B + ∠C = 180°.

2) Навколо квадрата ABCD можна описати коло, оскільки ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° і ∠A + ∠B = ∠C + ∠D = 180°.

3) Навколо ромба ABCD, відмінного від квадрата, не можна описати коло, оскільки ∠A + ∠B ≠ ∠C + ∠D ≠ 180°.

Відповідь: 1) так; 2) так; 3) ні. 531. Доведіть, що центр кола, описаного навколо прямокутника, є точкою перетину його діагоналей.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай ABCD — прямокутник, О – точка перетину діагоналей. Оскільки АС = BD — як діагоналі прямокутника і ВО = OD, АО = СО (оскільки діагоналі прямокутника діляться точкою перетину навпіл), то АО = ВО = СО = DO, тобто точка О — центр кола, описаного навколо прямокутника. Отже, центр кола, описаного навколо прямокутника, є точкою перетину діагоналей. 532. АD і ВC — діаметри кола. 1. Доведіть, що чотирикутник ABDC — прямокутник. 2. Визначте, за якої умови прямокутник ABDC є квадратом.

1) Нехай AD і ВС — діаметри кола з центром в точці О, тоді ∠CAB = ∠ABD = ∠BDC = ∠DСА = 90° — як вписані кути, які спираються на діаметр. Оскільки ABDC — паралелограм (бо діагоналі його точкою перетину діляться навпіл) і кути його прямі, тo ABDC — прямокутник. 2) Прямокутник ABDC буде квадратом за умови, якщо AD ⊥ ВС. 533. За даними на малюнках знайдіть невідомі сторони описаних чотирикутників.

1) x = AD = (AB + CD) – BC = = (7 + 8) – 5 = 10 (cм). 2) х + x + 4 = 5 + 5; 2x + 4 = 10; 2х = 6; x = 3, тоді EF = 3 см, PQ = 3 + 4 = 7 см. 3) х + 2х = 5 + 5; 1 Зх = 10; х = 3 , 1

Тоді LM = 3 см; 1

KN = 3 · 2 = 6 см. 3

Відповідь: 1) 10 см; 2) 3 см і 7 см; 3) 3 см, 6 см. 3 3 534. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого, взяті послідовно, дорівнюють: 1) 2 см, 3 см, 5 см, 4 см; 2) 7 см, 4 см, 3 см, 5 см? 1) Оскільки 2 см + 5 см = 3 см + 4 см, то в даний чотирикутник можна вписати коло. 2) Оскільки 7 см + 3 см ≠ 4 см + 5 см, то в даний чотирикутник не можна вписати коло.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Відповідь: 1) так; 2) ні. 535. Знайдіть периметр чотирикутника, описаного навколо кола, якщо сума двох протилежних його сторін дорівнює: 1) 20 см; 2) 3,2 дм. Оскільки сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнює подвоєній сумі двох протилежних сторін. 1) Р = 2 · 20 см = 40 см; 2) P = 2 · 3,2 дм = 6,4 дм. Відповідь: 1) 40 см; 2) 6,4 дм. 536. Знайдіть периметр описаного чотирикутника, три сторони якого, взяті послідовно, дорівнюють: 1) 12 см, 16 см, 28 см; 2) 10 см, 14 см, 16 см. Оскільки периметр Р описаного чотирикутника дорівнює подвоєній сумі двох протилежних сторін, то: 1) P = 2 · (12 + 28) = 80 cм; 2) Р = 2 · (10 + 16) = 52 см. Відповідь: 1) 80 см; 2) 52 см. 537. Доведіть, що центром кола, вписаного в ромб, є точка перетину його діагоналей.

Розв’язання: Нехай ABCD — ромб, діагоналі AC і BD перетинаються в точці O. 1. У ромбі діагоналі є бісектрисами кутів (властивість ромба). Отже, AC — бісектриса ∠A, а BD — бісектриса ∠B. Тому O — точка перетину бісектрис двох кутів ромба. 2. Центр вписаного кола в чотирикутник (якщо коло можна вписати) — це точка перетину бісектрис його кутів (властивість: центр вписаного кола рівновіддалений від усіх сторін і лежить на бісектрисі кожного кута). Отже, точка O, як перетин бісектрис кутів ромба, і є центром кола, вписаного в ромб. Висновок: центром вписаного кола ромба є точка перетину його діагоналей. 538. Чи можна вписати коло в довільний: 1) прямокутник; 2) квадрат; 3) ромб? Відповідь поясніть. 1) У довільний прямокутник, відмінний від квадрата, коло вписати неможливо, оскільки AB + CD ≠ АD + ВС.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) У квадрат ABCD можна вписати коло, оскільки AB + CD = AD + ВС. Центр вписаного кола — точка перетину діагоналей.

la. in.

3) У ромб ABCD можна вписати коло, оскільки AB + CD = AD + ВС. Центр вписаного кола — точка перетину діагоналей.

Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) так. 539. Знайдіть кут D чотирикутника ABCD, вписаного в коло, якщо його кути A, B і C відносяться як: 1) 2 : 3 : 4; 2) 1 : 2 : 2. Нехай ∠A = mx°, ∠B = nх°, ∠C = kx°. Враховуючи, що ∠A + ∠C = ∠B + ∠D, маємо ∠D = ∠A + ∠C – ∠B = mmх° + kx° – nх° = (m + k – n)х°. Оскільки ∠A + ∠C = 180°, то mx° + nx° = 180°, 180° 180° 180°(m+k−n) тоді х° = і ∠D = (m + k – n) · = . m+k

m+k m+k 180°·(2+4−3)

1) Якщо m = 2, n = 3, k = 4, то ∠D =

2+4 180°·(1+2−2)

180° · 3

180°

= 90°.

= = 60°. 2) Якщо m = 1, n = k = 2, то ∠D = 1+2 3 Відповідь: 1) 90°; 2) 60°. 540. Кут між діагоналями прямокутника дорівнює 60°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює: 1) 10 см; 2) 2,3 дм.

Оскільки АО = BO і ∠AOB = 60°, то ∆AОВ — рівносторонній, тоді АО = ВО = AB = b. Оскільки радіус R описаного кола навколо прямокутника дорівнює половині діагоналі, то R = b. 1) Якщо b = 10 см, то R = 10 см. 2) Якщо b = 2,3 дм, то R = 2,3 дм. Відповідь: 1) 10 см; 2) 2,3 дм.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

541. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, кути якого, взяті послідовно, відносяться як: 1) 2 : 4 : 5 : 3; 2) 5 : 7 : 8 : 9? Відповідь поясніть. 1) Нехай ∠A = 2x°, ∠B = 4x°, ∠C = 5х°, ∠D = 3x°, тоді ∠A + ∠C = 7x° = ∠B + ∠D, отже, навколо чотирикутника можна описати коло. 2) Нехай ∠A = 5х°, ∠B = 7х°, ∠C = 8x°, ∠D = 9х°, тоді ∠A + ∠C = 5х° + 8x° = 13x°, ∠B + ∠D = 7х° + 9х° = 16х° і ∠A + ∠C ≠ ∠B + ∠D, то навколо даного чотирикутника не можна описати коло. Відповідь: 1) так; 2) ні. 542. Доведіть: 1) будь-яка трапеція, вписана в коло, —рівнобічна; 2) будь-який паралелограм, вписаний у коло, — прямокутник.

1) Нехай ABCD — трапеція, вписана в коло. Оскільки ВС ∥ AD, то ∪AB = ∪CD, тоді AB = CD. Отже, трапеція ABCD — рівнобічна.

2) Нехай ABCD — паралелограм, вписаний в коло. Оскільки ∠A + ∠C = 180° і ∠A = ∠C, 180° то ∠A = ∠C = = 90°. 2

180°

Аналогічно ∠B = ∠D = = 90°. 2 Отже, ABCD — прямокутник. 543. Доведіть, що будь який ромб, вписаний у коло, — квадрат.

 shkola.in.ua

Нехай ABCD — ромб, вписаний в коло. Оскільки ∠A + ∠C = 180° і ∠A = ∠C, 180° то ∠A = ∠C = = 90°. 2

180°

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Аналогічно ∠B = ∠D = = 90°. 2 Отже, ABCD — квадрат. 544. Доведіть, що кут A вписаного чотирикутника ABCD дорівнює зовнішньому куту при вершині С.

Нехай ABCD — вписаний чотирикутник, тоді ∠A + ∠C = 180°. Звідси ∠A = 180° – ∠C. З іншого боку, ∠DCF + ∠C = 180° (за властивістю суміжних кутів). Тоді ∠DCF = 180° – ∠C. Отже, ∠A = ∠DCF. 545. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого, взяті послідовно, пропорційні числам: 1) 2, 2, 3, 3; 2) 2, 5, 3, 4? 1) Нехай довжини сторін, які взято послідовно, дорівнюють 2х; 2х; 3х; 3х. Тоді 2х + 3х = 2х + 3х. Оскільки суми протилежних сторін рівні, то в чотирикутник можна вписати коло. 2) Нехай довжини сторін, які взято послідовно, дорівнюють 2х; 5х; 3х; 4х. Тоді 2х + 3х ≠ 5х + 4х. Оскільки суми протилежних сторін різні, то в чотирикутник не можна вписати коло. Відповідь: 1) так; 3) ні. 546. Два рівнобедрені трикутники мають спільну основу, а їхні вершини лежать по різні боки від неї. Чи можна в утворений чотирикутник вписати коло?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай АС = ВС, AD = BD, тоді АС + BD = BC + AD. Оскільки суми протилежних сторін чотирикутника ACBD рівні, то в нього можна вписати коло. Відповідь: так. 547. Як потрібно розмістити два рівні різносторонні трикутники, щоб в утворений ними чотирикутник можна було вписати коло?

Нехай ∆АВС = ∆ADB, тоді AB + CD = AD + ВС і, отже, в чотирикутник ABCD можна вписати коло. Таким чином, трикутники слід розмістити так, щоб сусідні сторони трикутників були рівними. 548. Три сторони описаної трапеції, взяті послідовно, відносяться як 2 : 7 : 12. Знайдіть сторони трапеції, якщо її периметр дорівнює: 1) 42 мм; 2) 56 см.

Нехай ABCD — трапеція. ВС : АВ : AD = 2 : 7 : 12, тоді ВС = 2х, АВ = 7x, AD = 12x. Оскільки трапеція описана, то ВС + AD = АВ + CD, тоді CD = ВС + AD – AB = 2х + 12х – 7х = 7х. 1) За умовою 2х + 12x + 7х + 7х = 42, 42 тоді 28x = 42; х = ; х = 1,5. 28 Отже, AB = 7 · 1,5 = 10,5 (мм); ВС = 2 · 1,5 = 3 (мм);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

CD = 7 · 1,5 = 10,5 (мм); AD = 12 · 1,5 = 18 (мм). 2) За умовою 2х + 12х + 7х + 7х = 56, тоді 28x = 56; x = 2. Отже, АВ = 7 · 2 = 14 (см); BС = 2 · 2 = 4 (см); CD = 7 · 2 = 14 (см); AD = 12 · 2 = 24 (см). Відповідь: 1) 10,5 мм; 3 мм; 10,5 мм; 18 мм; 2) 14 см; 4 см; 14 см; 24 см. 549. Складіть формулу та знайдіть середню лінію описаної трапеції, якщо її периметр дорівнює: 1) 16 см; 2) 200 мм.

ABCD — трапеція, MN — середня лінія трапеції. PABCD = P, Р = АВ + BC + CD + AD; AD+ BC = MN, AD + BC = 2MN. 2 Оскільки трапеція описана, то AD + ВС = AB + CD, тоді P = AD + BC + AD + ВС = 2(AD + ВС); P Р = 2 · 2MN; Р = 5МN, тоді MN = . 1) Якщо Р = 16 см, то MN =

= 4 (см);

4 200

= 50 (мм). 2) Якщо Р = 200мм, то MN = 4 Відповідь: 1) 4 см; 2) 50 мм. 550. Кут описаної рівнобічної трапеції дорівнює 150°, її середня лінія — 40 см. Знайдіть висоту трапеції.

ABCD — трапеція, ∠ABC = 150°, MN — середня лінія, MN = 40 см. Проведемо BK ⊥ AD, тоді ∠ABK = 150° – 90° = 60°, ∠BAK = 30°. Із прямокутного трикутника ABK маємо AB = 2ВК.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Оскільки трапеція рівнобедрена і вписана, то 2АВ = ВС + AD; 4ВК = ВС + AD; BC+ AD 2BK = ; 2BK = MN; MN

la. in.

BK = = = 20 (см). 2 2 Відповідь: 20 см. 551. Кут описаної рівнобічної трапеції дорівнює 30°, її середня лінія — 20 см. Знайдіть радіус вписаного кола.

ABCD — трапеція, ∠ВАК = 30°, MN — середня лінія, MN = 20 см. Проведемо BK ⊥ AD, ∠BAK = 30°. Із прямокутного трикутника ABK маємо AB = 2ВК. Оскільки трапеція рівнобедрена і вписана, то 2АВ = ВС + AD; 4ВК = ВС + AD; BC+ AD 2BK = ; 2BK = MN; BK =

MN 2

20 2

= 10 (см).

Оскільки r = BK i BK = 10 cм, 1

тo r = · 10 = 5 (см). 2 Відповідь: 5 см. 552. Як побудувати квадрат: 1) вписаний у коло; 2) описаний навколо кола?

1) Нехай дано коло з центром О. Побудуємо довільний діаметр AB, проведемо діаметр CD такий, що AB ⊥ CD. Тоді ACBD — квадрат, вписаний в коло.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) Нехай дано коло з центром О. Побудуємо довільний діаметр AB, проведемо діаметр CD такий, що АВ ⊥ CD. Проведемо через точки А, В, С і D прямі, які перпендикулярні до діаметрів і перетинаються в точках М, N, К і L. Тоді MNKL — квадрат, описаний навколо кола. 553. Доведіть, що бісектриси кутів чотирикутника, перетинаючись, утворюють чотирикутник, навколо якого можна описати коло.

Оскільки ∠AND + ∠BPC = (180° – ∠NAD – ∠NDA) + (180° – ∠PBC – ∠PCB) = 1 1 1 1 = 180° – ∠BAD – ADC + 180° – ∠ABC – ∠BCD = 2

la. in.

2 1

= 360° – (∠BAD + ∠ADC + ∠ABC + ∠BCD) = 360° – · 360° = 360° – 180° = 180° 2 2 Тоді ∠NMP + ∠NKP = 360° – (∠AND + ∠BPC) = 360° – 180° = 180°. Оскільки суми протилежних кутів чотирикутника MNKP дорівнюють по 180°, то навколо нього можна описати коло. 554. Доведіть, що бісектриси кутів трапеції ABCD, перетинаючись, утворюють чотирикутник MNKL, навколо якого можна описати коло.

Оскільки ∠AKD + ∠BMC = (180° – ∠KAD – ∠KDA) + (180° – ∠MBC – ∠MCB) = 1 1 1 1 = 180° – ∠BAD – ADC + 180° – ∠ABC – ∠BCD = 2 1

= 360° – (∠BAD + ∠ADC + ∠ABC + ∠BCD) = 360° – · 360° = 360° – 180° = 180° 2 2 Тоді ∠KNM + ∠KLM = 360° – (∠AKD + ∠BMC) = 360° – 180° = 180°. Оскільки суми протилежних кутів чотирикутника MNKL дорівнюють по 180°, то навколо нього можна описати коло. 555. Доведіть, що у вписаному чотирикутнику ABCD бісектриса кута А перетинається з бісектрисою зовнішнього кута при верши ні С в точці, що лежить на колі, описаному навколо чотирикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

∠DCK — зовнішній кут до кута С, ∠DCM = ∠MCK, ∠BAM = ∠DAM. Оскільки ∠A + ∠C = 180°, тоді ∠C = 180° – ∠A, ∠DCK= 180° – (180° – ∠A) = ∠A. Розглянемо чотирикутник ABCN. 1 1 У нього ∠BAM + ∠BCM = ∠A + ∠BCD + ∠A = ∠A + ∠BCD = 180°, 2 2 тоді ∠ABC + ∠AMC = 360° – 180° = 180°. Чотирикутник ABCM — вписаний у коло, отже, точка М належить колу. 556. Із точки Р перетину взаємно перпендикулярних діагоналей чотирикутника ABCD провели перпендикуляри РK, PL, PM і PN до сторін, причому точки K, L, M і N лежать на сторонах АВ, ВС, CD, DA відповідно. Доведіть, що чотирикутник KLMN — вписаний у коло.

Чотирикутник KBLP — вписаний у коло (бо ∠K + ∠L = ∠B + ∠P = 180°), тоді ∠KBP = ∠KLP (як вписані кути, що спираються на одну дугу). Аналогічно чотирикутник PLCM — вписаний у коло і ∠PLC = ∠PCM; чотирикутник PMDN — вписаний у коло і ∠PDM = ∠PNM; чотирикутник АKPN — вписаний у коло і ∠KAP = ∠KNP. Розглянемо чотирикутник KLMN. ∠KLM + ∠KNM = ∠KLP + ∠PDC = (∠ABP + ∠PAB) + (∠PCD + ∠PDC) = 90° + 90° = 180°. Оскільки ∠KLM + ∠KNM = 180°, тоді ∠NKL + ∠NML = 180°. Отже, чотирикутник KLMN — вписаний в коло. 557. Пряма, паралельна бічній стороні рівнобедреного трикутника, відтинає від нього трапецію, бічна сторона якої є частиною основи даного трикутника й удвічі довша за її меншу основу. Чи можна вписати коло в таку трапецію?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 1

АВ = ВС, КМ ∥ АВ, АM = KM. 1

la. in.

Оскільки AM = КМ, тоді AM < KM, BK < AB (бо ВК — частина ВС, а ВС = AB). 2 Оскільки AM < KM, BK < AB, то AM + BK < KM + AB. Оскільки суми протилежних сторін не рівні, то в трапецію не можна вписати коло. Відповідь: не можна. 558. Якщо навколо трапеції можна описати коло й у цю саму трапецію можна вписати коло, то кожна бічна сторона трапеції дорівнює її середній лінії. Доведіть.

ABCD — трапеція, навколо якої можна описати коло і в неї можна вписати коло. MN — середня лінія. Доведемо, що MN = АВ. Оскільки трапеція вписана в коло, то AB = CD, тобто ABCD — рівнобічна. Оскільки трапеція описана навколо кола, то AD + ВС = АВ + CD, або AD + ВС = 2АВ, AD+ BC тоді AB = = MN. 2 559. Потрібно висвердлити чотири отвори уздовж країв круглого диска на однаковій відстані один від одного, а також один отвір — у центрі. Накресліть малюнок і поясніть, як це зробити.

Побудова: 1. Накресліть коло — це контур диска. 2. Знайдіть центр кола (перетин серединних перпендикулярів до двох довільних хорд або за допомогою циркуля). 3. Через центр проведіть один діаметр. 4. Через той самий центр проведіть другий діаметр, перпендикулярний до першого. Точки перетину діаметрів із колом ділять коло на чотири рівні дуги, отже, ці чотири точки на краю диска розташовані на однаковій відстані одна від одної.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Якщо відомо на якій відстані від центру кола мають бути центри отворів, то можна побудувати ще одне коло. 5. У кожній із цих чотирьох точок висвердліть отвори вздовж краю диска. 6. У центрі кола висвердліть п’ятий отвір. Таким способом отримуємо чотири рівновіддалені отвори по краю і один — точно в центрі. 560. Поясніть, як із листа жерсті прямокутної форми вирізати круг найбільшого радіуса.

Нехай маємо прямокутний лист жерсті. 1. Проведіть діагоналі прямокутника. 2. Точка їх перетину є центром прямокутника. 3. Від цієї точки опустіть перпендикуляр на будь-яку довшу сторону прямокутника. Довжина цього перпендикуляра дорівнює половині меншої сторони прямокутника. 4. Візьміть цю відстань за радіус і накресліть коло з центром у точці перетину діагоналей. Оскільки діаметр кола дорівнює меншій стороні прямокутника, це коло повністю вміщується в прямокутнику і має найбільший можливий радіус. Після цього виріжте накреслене коло. 561. З аркуша картону круглої форми потрібно вирізати квадрат, діагональ якого дорівнює діаметру круга. Поясніть, як це зробити.

Пояснення: 1. Накресліть коло — це заданий аркуш картону. 2. Знайдіть центр кола (як описано в задачі 559). 3. Через центр проведіть будь-який діаметр кола. Цей діаметр і буде діагоналлю шуканого квадрата. 4. Через центр проведіть другий діаметр, перпендикулярний до першого. 5. Чотири кінці цих двох діаметрів лежать на колі та є вершинами квадрата. З’єднайте ці чотири точки послідовно — отримаєте квадрат, діагональ якого дорівнює діаметру круга. Після цього квадрат можна вирізати.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

562. Мешканці чотирьох дачних будинків вирішили знайти таке місце для криниці, щоб відстані від неї до будинків були однаковими. Зробіть малюнок і знайдіть місце для криниці, якщо будинки розташовані: 1) у вершинах прямокутника; 2) у вершинах рівнобічної трапеції. 1) Місце, що однаково віддалене від усіх 4 вершин, — це центр кола, описаного навколо прямокутника (центр рівновіддалений від усіх вершин). Як знайти: - Проведіть діагоналі AC і BD. - Точка їх перетину O і є шукане місце для криниці (властивість прямокутника: діагоналі перетинаються і діляться навпіл; ця точка рівновіддалена від A, B, C, D).

Висновок: криниця — у точці перетину діагоналей прямокутника. 2) У рівнобічну трапецію можна вписати коло, що проходить через усі 4 вершини (властивість: рівнобічна трапеція є вписаним чотирикутником), тому існує точка, однаково віддалена від усіх вершин — це центр описаного кола. Як знайти: - Проведіть серединні перпендикуляри до двох будь-яких сторін (наприклад, до AB і CD) або до діагоналей AC і BD. - Точка їх перетину O — центр кола, описаного навколо трапеції. - Ця точка і є шукане місце для криниці (OA = OB = OC = OD).

Висновок: криниця — у точці перетину серединних перпендикулярів (центр описаного кола рівнобічної трапеції).

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ (сторінка 106) №1 1. Знайдіть тупий кут паралелограма, якщо його гострий кут дорівнює 30°. Розв’язання: У паралелограмі сусідні кути є суміжними (властивість паралелограма), тобто їх сума дорівнює 180°. Отже, якщо гострий кут дорівнює 30°, то тупий кут: 180° − 30° = 150°. Відповідь: В. 150°. 2. За якої з наведених умов чотирикутник є паралелограмом?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Розв’язання: Чотирикутник є паралелограмом, якщо **його діагоналі діляться точкою перетину навпіл** (ознака паралелограма). Відповідь: Г. 3. Діагональ прямокутника дорівнює 10 см й утворює зі стороною кут 30°. Знайдіть меншу сторону прямокутника. Розв’язання: Розглянемо прямокутний трикутник, утворений діагоналлю прямокутника та його сторонами. Діагональ є гіпотенузою і дорівнює 10 см, а кут між нею і стороною дорівнює 30°. У прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи (властивість прямокутного трикутника). Отже, менша сторона прямокутника дорівнює 10 : 2 = 5 см. Відповідь: Б. 5 см. 4. Знайдіть гострий кут ромба, якщо його периметр дорівнює 24 см, а висота — 3 см. Розв’язання: Периметр ромба P = 4a (властивість ромба: усі сторони рівні), тому a = 24 : 4 = 6 см. Опустимо висоту ромба на сторону. Отримаємо прямокутний трикутник, у якому гіпотенуза дорівнює стороні ромба 6 см, а катет (висота) дорівнює 3 см. Оскільки катет дорівнює половині гіпотенузи (3 = 6 : 2), то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30° (властивість прямокутного трикутника). Отже, гострий кут ромба дорівнює 30°. Відповідь: В. 30°. 5. Бісектриса кута А паралелограма АВСD перетинає сторону ВС в точці K. Знайдіть периметр паралелограма, якщо ВK = 12 см, KС = 8 см.

Розв’язання: BC = BK + KC = 12 см + 8 см = 20 см. AK — бісектриса кута A, тому ∠BAK = ∠KAD (визначення бісектриси). Оскільки AD ∥ BC (властивість паралелограма) і K належить BC, то ∠KAD = ∠AKB (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих). Отже, ∠BAK = ∠AKB, тому △ABK рівнобедрений і AB = BK = 12 см (властивість рівнобедреного трикутника). Периметр паралелограма: P = 2(AB + BC) = 2(12 + 20) = 64 см. Відповідь: Г. 64 см. №2 1. Знайдіть вписаний кут, якщо дуга, на яку він спирається, дорівнює 150°. Розв’язання: Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається (властивість вписаного кута). Отже, 150° : 2 = 75°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: Б. 75°. 2. Точки М і N — середини сторін АВ і ВС трикутника АВС. Знайдіть сторону АС трикутника, якщо МN = 4 см.

la. in.

Розв’язання: Оскільки M і N — середини сторін AB і BC, то MN — середня лінія трикутника ABC (означення середньої лінії). 1 Тоді MN ∥ AC і MN = AC (властивість середньої лінії трикутника). 2 Отже, AC = 2MN = 2 · 4 = 8 см. Відповідь: А. 8 см. 3. Сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнює 10 см. Знайдіть периметр чотирикутника. Розв’язання: В описаному чотирикутнику суми довжин протилежних сторін рівні (властивість описаного чотирикутника). Отже, якщо сума двох протилежних сторін дорівнює 10 см, то сума двох інших протилежних сторін також дорівнює 10 см. Тому периметр чотирикутника: 10 + 10 = 20 см. Відповідь: Б. 20 см. 4. Кути А, В і С вписаного чотирикутника АВСD відносяться як 1 : 2 : 3. Знайдіть кут D. Розв’язання: У вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180° (властивість вписаного чотирикутника). Нехай ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3, тоді ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x. Оскільки ∠A і ∠C — протилежні, маємо ∠A + ∠C = 180° ⇒ x + 3x = 180° ⇒ 4x = 180° ⇒ x = 45°. Тоді ∠B = 2x = 90°. Кути B і D — протилежні, тому ∠B + ∠D = 180° ⇒ 90° + ∠D = 180° ⇒ ∠D = 90°. Відповідь: Г. 90°. 5. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою гострого кута, а основи дорівнюють 5 см і 12 см. Знайдіть периметр трапеції.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Розв’язання: Дано: ABCD — рівнобічна трапеція, BC ∥ AD, BC = 5 см, AD = 12 см, AB = CD. Діагональ AC — бісектриса кута A, тобто ∠BAC = ∠CAD (визначення бісектриси). Оскільки BC ∥ AD, то ∠CAD = ∠BCA (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і січній AC). Тоді з ∠BAC = ∠CAD маємо ∠BAC = ∠BCA. Отже, △ABC рівнобедрений, тому AB = BC (властивість рівнобедреного трикутника). Звідси AB = 5 см. Але трапеція рівнобічна, тому AB = CD (властивість рівнобічної трапеції), отже CD = 5 см. Периметр: P = AD + BC + AB + CD = 12 + 5 + 5 + 5 = 27 см. Відповідь: Г. 27 см.

Розділ 3. ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ § 10. ПОДІБНІ ТРИКУТНИКИ 563. Чи правильно, що в подібних трикутниках: 1) усі кути рівні; Ні, у подібних трикутниках не всі кути рівні між собою. 2) відповідні кути рівні; Так, відповідні кути рівні. 3) усі сторони рівні; Ні, усі сторони не обов’язково рівні. 4) відповідні сторони рівні; Ні, відповідні сторони рівні лише при k = 1. 5) відповідні сторони пропорційні? Так, відповідні сторони пропорційні. 564. Чи правильно зроблено висновок із запису △АВС ∼ △KLM: 1) ∠А = ∠M; Ні 2) ∠А = ∠K; Так 3) ∠В = ∠L; Так 4) ∠С = ∠K; Ні 5) ∠С = ∠M? Так 565. Відомо, що в подібних трикутниках ∠А = ∠M, ∠В = ∠L і ∠С = ∠K. Чи є правильним запис:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

5 6

la. in.

Дано відповідність кутів: ∠A = ∠M, ∠B = ∠L, ∠C = ∠K, отже відповідність вершин: A ↔ M, B ↔ L, C ↔ K. 1) △АВС ∼ △KLM; △ABC ∼ △KLM — ні (тут A ↔ K, а має бути A ↔ M). 2) △АВС ∼ △LKM; △ABC ∼ △LKM — ні (тут A ↔ L, а має бути A ↔ M). 3) △АВС ∼ △MLK? △ABC ∼ △MLK — так (тут A ↔ M, B ↔ L, C ↔ K). 566. Чи правильно зроблено висновок із запису △АВС ∼ △KLM: Для запису △ABC ∼ △KLM відповідність вершин така: A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M, тому відповідні сторони: AB ↔ KL, BC ↔ LM, AC ↔ KM. AB BC AC 1) = = ; KM KL LM Ні AB BC AC 2) = = ? KL LM KM Так 567. Чи може коефіцієнт подібності двох трикутників дорівнювати: 1. –2 — ні (k > 0). 2. 0 — ні (k ≠ 0). 3. 3 — так. 4. 1 — так. 1 5. — так.

6. — так. 5 568. На малюнках зображено подібні трикутники. Назвіть їх. Запишіть: 1) їхні відповідні кути; 2) їхні відповідні сторони.

Мал.1 ∆АСВ – ∆LKM; їх відповідні кути ∠A і ∠L; ∠C і ∠K ; ∠B і ∠M. Мал.2 ∆АВС – ∆PTQ; їх відповідні сторони AВ і РТ; BC i TQ; AC i PQ. 569. Дано подібні трикутники: 1) АВС і KLM;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2) АВС і MKC.

Знайдіть відношення їхніх відповідних сторін. Мал.1 ∆ABC – ∆KLM; AB B𝐶𝐶 AC = = ; KL 9

6,75

LM 10

7,5

KM 17

7,5 12,75 10 100 4

= k;

= ; 3

Мал.2 ∆ABC – ∆MKC; AB B𝐶𝐶 AC = = ;

MK KC MC 4 5 6 2

2,5 4

= = k; 3

k = = 2; k = 2. 2 570. На малюнку △АВС ∼ △KDС. Доберіть пари відрізків так, щоб із них можна було утворити праву частину пропорції: K𝐷𝐷 1) = …; AB AC KC BC

= …;

3) = …? DC Скільки таких пар відрізків можна дібрати?

1) 2)

K𝐷𝐷 AB AC KC

CA BC

;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html BC

1,2

1,3

2,2

la. in.

3) = . DC KD Можна дібрати дві такі пари. 571. Чи можуть бути подібними трикутники: 1) гострокутний і тупокутний; Гострокутний і тупокутний трикутники не можуть бути подібними; 2) прямокутний і тупокутний; прямокутний і тупокутний трикутники не можуть бути подібними; 3) рівнобедрений і рівносторонній? рівнобедрений і рівносторонній трикутники не можуть бути подібними. 572. △АВС ∼ △А1В1С1. Знайдіть невідомі кути трикутників, якщо: 1) ∠А = 30°, ∠В1 = 60°; ∠A1 = ∠A = 30°; ∠B = ∠B1 = 60°; ∠C = 180° – (30° + 60°) = 90°; ∠C = ∠C1 = 90°; 2) ∠В = 110°, ∠С1 = 25°. ∠B1 = ∠B = 110°; ∠C = ∠C1 = 25°; ∠A = 180° – (∠B + ∠C) = 180° – (110° + 25°) = 45°; ∠A1 = ∠A = 45°. 573. ΔАВС ∼ А1В1С1. Знайдіть невідомі кути трикутників, якщо ∠С = ∠В1 = 50°. ∠C = ∠B1 = 50°; ∠C1 = ∠C = 50°; ∠B = ∠B1 = 50°; ∠A = 180° – (50° + 50°) = 80°; ∠A1 = ∠A = 80°. 574. Чи можуть сторони двох подібних трикутників мати довжину: 1) 1,2 см, 1,3 см, 2,2 см і 24 мм, 26 мм, 44 мм; Так. 24 мм = 2,4 см; 26 мм = 2,6 см; 44 мм = 4,4 см. 2,4 2,6 4,4 = 2; = 2; = 2, отже сторони пропорційні.

2) 5 мм, 50 см, 50 см і 5 см, 50 мм, 50 мм? Ні. 5 мм = 0,5 см, тому перший набір: 0,5 см, 50 см, 50 см, а другий: 5 см, 5 см, 5 см. Спільного коефіцієнта подібності для всіх трьох сторін немає. 575. Чи можуть сторони двох подібних трикутників мати довжину: 3 дм, 4 дм, 5 дм і 9 м, 12 м, 15 м? 9 м = 90 дм; 12 м = 120 дм; 15 м = 150 дм. 90 120 150 = = . 3 4 3 Отже, сторони двох подібних трикутників можуть мати довжину З дм; 4 дм; 5 дм і 9 м; 12 м; 15 м. 576. △АВС ∼ △А1В1С1. Знайдіть сторони АС і В1С1, якщо: 1) АВ = 8 см, ВС = 10 см, А1В1 = 56 мм, А1С1 = 42 мм; A1 B1 B1 C1 = ; AB BC A B ·BC 56·100 = 7 мм = 7 см; В1С1 = 1 1 = AB 80 A1 B1 A1 C1 = ; AB AC AB· A1 C1 80·42 = = 60 м = 6 см; АС = A1 B1

2) АВ = 40 мм, ВС = 37 мм, А1В1 = 20 см, А1С1 = 6,5 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

BC AB = ; A1 B1 B1 C1 AC AB = ; A1 B1 A1 C1 A B ·BC 200·37 В1С1 = 1 1 = = 18 (см); A1 B1

40 40·65 200

АС =

AB AB·A1 C1

= 13 (см).

la. in.

577. △АВС ∼ △А1В1С1. Знайдіть сторони АВ і А1С1, якщо: ВС = 13 см, АС = 14 см, В1С1 = 4,5 дм, А1В1 = 3,9 дм. B1C1 = 4,5 дм = 45 см, A1B1 = 3,9 дм = 39 см (переведення одиниць) За подібністю трикутників: BC AB = A1 B1 B1 C1 A1 B1 ⋅ BC 39 ⋅ 13 169 AB = = = см 45 15 B1 C1 Також: BC AC = A1 C1 B1 C1 AC ⋅ B1 C1 14 ⋅ 45 630 A1 C1 = = = см 13 13 BC 169 630 Відповідь: AB = см, A1C1 = см. 15 13 578. Пряма, що перетинає дві сторони трикутника й відтинає від нього подібний трикутник, паралельна третій стороні трикутника. Доведіть.

B1C1 перетинає сторони ∆ABC. ∆AB1C1 ∼ ∆ABC. З подібності трикутників ∠AB1C1= ∠ABC, але ∠AB1C1 і ∠ABC — відповідні при прямих B1C1; ВС і січній AB, оскільки відповідні кути рівні, то В1С1 ∥ ВС. 579. Пряма перетинає дві сторони трикутника АВС в точках М і N і відтинає від нього подібний трикутник. Назвіть паралельні прямі, які утворилися при цьому, якщо: 1) М ∈ АВ і N ∈ ВС; 2) М ∈ АС і N ∈ ВС. 1) МN ∥ АС;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2) MN ∥ AB.

580. Пряма перетинає дві сторони трикутника АВС в точках М і N і відтинає від нього подібний трикутник. Назвіть паралельні прямі, які утворилися при цьому, якщо М ∈ АС і N ∈ АВ.

MN ∥ СВ. 581. Побудуйте за клітинками спочатку трикутник KLM, а потім △KВС ∼ △KLM, якщо: 2 1) k = 2; 2) k = . 3 1) ∆KBC ∼ ∆KLM (k = 2); KB = 2KL; КС = 2КМ;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 2

2) ∆КВС ∼ ∆KLM (k = ); KB = KL; КС = КМ. 3

582. Побудуйте за клітинками спочатку трикутник KLM, а потім △KВС ∼ △KLM, якщо k 1 = .

la. in.

∆KBC ∼ ∆KLM (k = ); 2 В — середина KL; С — середина КМ. 583. Обчисліть периметри подібних трикутників, зображених на малюнках: Знайдіть відношення периметрів подібних трикутників.

1) P∆ABC = 6 + 4 + 7,1 = 17,1; Р∆LKM = 7,2 + 4,8 + 8,52 = 20,52; P∆KLM : P∆ABC = 20,52 : 17,1 = 1,2.

2). P∆ABC = 7 + 5 + 5,9 = 17,9; P∆TQP = 4,72 + 5,6 + 4 = 14,32; P∆TQP : P∆ABC = 14,32 : 17,9 = 0.8.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

3) Р∆ABC = 4 + 5 + 6 = 15; Р∆MKC = 2 + 2 ,5 + 3 = 7,5; Р∆ABC : Р∆MKC = 15 : 6,5 = 2. 584. Обчисліть периметри подібних трикутників, зображених на малюнку. Чому дорівнює відношення периметрів цих трикутників?

Р∆ABC = 9 + 10 + 17 = 36; P∆KLM = 12,75 + 6,75 + 7,5 = 27; Р∆KLM : P∆ABC = 27 : 36 = 0,75. 585. a, b, c — сторони трикутника з периметром Р. Він подібний із коефіцієнтом k іншому трикутнику, периметр якого дорівнює Р1. Знайдіть невідомі величини за таблицею. a 12 см 20 см 8 см 9 см b 16 см 21 см 15 см 8 см c 18 см 29 см 17 см 14 см P 46 см 70 см 40 см 31 см P1 23 см 140 см 100 см 12,4 см 1 2 5 k 2 2 5 2 586. Знайдіть сторони рівностороннього трикутника, якщо периметр подібного йому трикутника з коефіцієнтом 4 дорівнює: 1) 36 см; 2) 45 см; 3) 72 см. 1) 36 : 4 = 9 (см) — периметр трикутника; 9 : 3 = 3 (см) — сторона рівностороннього трикутника; 2) 45 : 4 = 11,25 (см) — периметр трикутника; 11,25 : 3 = 3,75 (см) — сторони трикутника; 3) 72 : 4 = 18 (см) — периметр трикутника; 18 : 3 = 6 (см) — сторони трикутника. 587. Сторони трикутника відносяться як 3 : 5 : 7. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, у якого менша сторона дорівнює 5 см. Нехай сторони подібного трикутника 3х; 5х; 7х. 5 За умовою 3х = 5; х = . 5

5х = 5 · = 3

25 3

= 8 (см); 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 5

𝑎𝑎 𝑎𝑎+5

𝑏𝑏 𝑏𝑏+5

la. in.

7x = 7 · = = 11 (см). 3 3 3 Отже, сторони подібного трикутника: 1 2 5 см; 8 см; 11 см. 3 3 588. Сторони трикутника відносяться як 2 : 3 : 4. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, у якого більша сторона дорівнює 12 см. Нехай сторони подібного трикутника дорівнюють 2k, 3k, 4k. Найбільша сторона 4k = 12, отже k = 3. Тоді сторони: 6 см, 9 см, 12 см. Відповідь: 6 см, 9 см, 12 см. 589. Якщо трикутник А1В1С1 подібний трикутнику АВС і трикутник А2В2С2 подібний трикутнику АВС, то трикутники А1В1С1 і А2В2С2 — подібні. Доведіть. ∆A1B1C1 – ∆АВС, тому ∠A1 = ∠A; ∠B1 = ∠B; ∠C1 = ∠C. ∆АВС – ∆A2B2C2, тому ∠A = ∠A2; ∠B = ∠B2; ∠C = ∠C2. Звідки ∠A1 = ∠A2; ∠B1 = ∠B2; ∠C1 = ∠C2. Отже, ∆А1В1С1 – ∆A2B2C2. 590. Кожну сторону трикутника збільшено на: 1) 2 см; 2) 5 см. З утворених відрізків побудовано новий трикутник. Чи може він бути подібним даному? 1) Нехай а, b, с — сторони трикутника. Якщо кожну сторону збільшити на 2 см, то а + 2; b + 2; с + 2 — сторони нового трикутника. 𝑎𝑎+2 𝑏𝑏+2 𝑐𝑐+2 Оскільки ≠ ± , то новий трикутник не подібний даному. 𝑎𝑎 2 𝑐𝑐 2) а + 5; b + 5; с + 5 — сторони нового трикутника. 𝑎𝑎+5 𝑏𝑏+5 𝑐𝑐+5 ≠ ≠ . 𝑐𝑐

( = , бо ab + 5b ≠ ab + 5а, оскільки за умовою не сказано, що а = b). 𝑎𝑎 𝑏𝑏 Отже, новий трикутник не подібний даному. 591. Кожну сторону трикутника збільшено на: 1) третину її довжини; 2) 25 % її довжини. Чи можна з утворених відрізків побудувати трикутник? Чи може він бути подібним даному? 1) а, b, с — сторони даного трикутника. 1

4 𝑎𝑎 3

4 𝑏𝑏 3

4 𝑐𝑐 3

а + а = а; b + b = b; с + с = с — сторони нового трикутника. = = . 3 3 3 3 3 3 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 Отже, новий трикутник подібний даному. 1 5 5 5 2) а + 0,25а = а + а = а; b + 0,25b = b; с + 0,25b = с. 4 4 4 4 5 5 5 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 4 =4 =4 . 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 Отже, сторони нового трикутника пропорційні сторонам даного трикутника. Тому ці трикутники подібні. 592. △АВС ∼ △МОР (k1 = 3) і △АВС ∼ △ТЕН (k2 = 2). Чи подібні трикутники МОР і ТЕН? З яким коефіцієнтом подібності? ∆ABC – ∆MОР (k1 = 3); ∆ABC – ∆TEH (k2 = 2); 𝑘𝑘 2 ∆MOP – ∆TEH, 𝑘𝑘 = 2 = . 𝑘𝑘1

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 1

593. △АВС ∼ △МОР (k1 = 4) і △МОР ∼ △ТЕН (k2 = ) Чи подібні трикутники АВС і 2 ТЕН? З яким коефіцієнтом подібності? ∆АВС – ∆МОР (k1 = 4); 1 ∆МОР – ∆TEN (k2 = ); 2

la. in.

∆ABC – ∆TEH, k = k1 · k2 = 4 · = 2. 2 594. Два рівнобедрені трикутники подібні з коефіцієнтом k = 0,5. В одного з них дві сторони дорівнюють 12 см і 5 см. Знайдіть третю сторону іншого трикутника. а = 12 см — бічна сторона; b = 5 см — основа. 5 см — не може бути бічною стороною, бо трикутника зі сторонами 5 см, 5 см і 12 см — не існує. Сторони подібного трикутника з k = 0,5 дорівнюють 6 см; 2,5 см; 6 см. Отже, третя сторона дорівнює 6 см. 595. Два рівнобедрені трикутники подібні з коефіцієнтом k = 2,5. В одного з них дві сторони дорівнюють 6 см і 15 см. Знайдіть третю сторону іншого трикутника. a = 6 см — основа; b = 15 см — бічна сторона. 6 см — не може бути бічною, бо трикутника із сторонами 6 см; 6 см і 15 см не існує. Тому третя сторона даного трикутника 15 см, а третя сторона подібного трикутника з коефіцієнтом k = 2,5 дорівнює 15 · 2,5 = 37,5 см. 596. Визначте периметри двох подібних трикутників, якщо їхні відповідні сторони відносяться як 7 : 4, а різниця їхніх периметрів дорівнює 48 см. 7 Якщо 7 : 4, то коефіцієнт подібності трикутників дорівнює . а; b; с — сторони другого трикутника.

4 7

(a + b + c) – (a + b + c) = 48;

4 3 4

(а + b + с) = 48; 3

а + b + с = 48 : ; 4 a + b + с = 64 (см) — периметр одного трикутника; 7 · 64 = 112 (см) – периметр другого трикутника. 4 597. Різниця периметрів двох подібних трикутників дорівнює 15 см, а їхні відповідні сто рони відносяться як 2 : 3. Чому дорівнюють периметри цих трикутників?

Р — периметр одного трикутника; 2 Р — периметр другого трикутника. 3

Р – Р = 15; Р = 5; Р = 45 (см) – периметр одного трикутника; 2 3

· 45 = 30 (см) — периметр другого трикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

598. У трапеції з основами a і b одну з бічних сторін, що дорівнює c, продовжено до перетину з продовженням іншої бічної сторони. Утворилися два подібні трикутники зі спільною вершиною О. На яку відстань продовжено першу бічну сторону, якщо: 1) a = 4 см, b = 6 см, c = 6 см; 2) a = 8 см, b = 5 см, c = 6 см?

1) Нехай продовжено бічну сторону на x см, тоді ВО = х; АО = 6 + х. ∆AOD – ∆BOC. AO AD = ; BO 6+ x

BC 6

= ; 4 6х = 24 + 4х; 2x = 24; x = 12 (см).

BO BC 6+ x 8

;

= ; 5 8x = 30 + 5х; 3х = 30; х = 10 (см). 599. Відповідні сторони двох подібних трикутників попарно додано і з трьох утворених відрізків побудовано новий трикутник. Чи подібний цей трикутник даним трикутникам? Нехай a1; b1; с1 і а2; b2; c2 — сторони двох подібних трикутників, тоді 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 = 2 = 2 і 1 = 1 = 1.

𝑎𝑎1

𝑏𝑏1

𝑐𝑐1

𝑎𝑎2

𝑏𝑏2

𝑐𝑐2

a1 + a2; b1 + b2; c1 + c2 – сторони нового трикутника. 𝑎𝑎1 +𝑎𝑎2 𝑎𝑎 𝑏𝑏 +𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑐𝑐 +𝑐𝑐 𝑐𝑐 = 1+ 2; 1 2 = 1+ 2; 1 2 = 1+ 2; 𝑎𝑎1

𝑎𝑎1

𝑏𝑏1

𝑐𝑐1

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 𝑎𝑎

𝑏𝑏

𝑐𝑐

𝑎𝑎

𝑏𝑏

𝑐𝑐

Оскільки 2 = 2 = 2, то 1 + 2 = 1 + 2 = 1 + 2. Тобто

𝑎𝑎1 𝑎𝑎1 +𝑎𝑎2 𝑎𝑎1

𝑏𝑏1 𝑐𝑐1 𝑏𝑏1 +𝑏𝑏2 𝑐𝑐1 +𝑐𝑐2

𝑏𝑏1

𝑐𝑐1

𝑎𝑎1

𝑏𝑏1

𝑐𝑐1

la. in.

Отже, сторони нового трикутника пропорційні сторонам першого трикутника, тому ці трикутники подібні. 𝑎𝑎 +𝑎𝑎 𝑏𝑏 +𝑏𝑏 𝑐𝑐 +𝑐𝑐 Аналогічно 1 2 = 1 2 = 1 2 . 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 𝑏𝑏1 𝑐𝑐1 𝑎𝑎1 + 1 = + 1 = + 1. 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 Тобто новий трикутник подібний другому з даних трикутників. 600. Чи існують подібні трикутники, у яких відношення двох сторін одного трикутника дорівнює відношенню квадратів відповідних сторін іншого?

Дані трикутника подібні: k — коефіцієнт подібності. a1 = ka; b1 = kb. 𝑏𝑏

3a умовою = 𝑎𝑎

(𝑘𝑘𝑘𝑘)2

(𝑘𝑘𝑘𝑘)

= 2

𝑘𝑘 2 𝑏𝑏2

= 2 2

𝑘𝑘 𝑎𝑎

𝑏𝑏2

𝑎𝑎2

;

𝑛𝑛

𝑏𝑏 𝑏𝑏 2 𝑏𝑏 2 = =� � ; 𝑎𝑎 𝑎𝑎2 𝑎𝑎 𝑏𝑏 Ця умова виконується лише коли а = b, тобто = 1, бо 1 = 12. 𝑎𝑎 Отже, умова виконується для рівнобедреного трикутника. 601. Сторони рівностороннього трикутника спочатку збільшено в n разів, а потім зменшено в n разів. Чи одержано трикутник, подібний даному? Який коефіцієнт подібності першого і третього трикутників? Після збільшення сторін в n разів одержимо подібні трикутники з k = n. Після зменшення сторін нового трикутника в n разів одержимо подібні трикутники з k = 1 . 1

Перший і третій трикутники подібні k = n · = 1. 𝑛𝑛 Тобто перший і третій трикутники рівні. 602. Два подібні прямокутні трикутники мають гострий кут 30°. Гіпотенуза одного з них дорівнює меншому катету другого. Визначте коефіцієнт подібності цих трикутників. ∆АВС – ∆А1B1C1; ∠A = ∠A1 = 30°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

У ∆А1В1С1 катет B1C1 — менший, бо лежить навпроти меншого гострого кута. AB = C1B1. Нехай AВ = x, тоді С1В1 = хk. A1B1 = 2B1C1 = 2х (катет, що лежить навпроти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи). AB x 1 k= = = . A1 B1 2x 2 603. У рівнобедреному трикутнику основа в n разів менша від бічної сторони, а периметр дорівнює Р. Знайдіть сторони подібного йому трикутника з коефіцієнтом k, якщо: 1) n = 2, Р = 50 см, k = 1,5; 2) n = 3, Р = 35 см, k = 0,75.

1) Нехай АС = x см, тоді АВ = ВС = 2х. x + 2x + 2x = 50; 5х = 50; x = 10; АС = 10 см; AB = BC = 20 см. ∆А1В1С1 – ∆АВС, k = 1,5; А1В1 = В1С1 = 20 · 1,5 = 30 (см); A1С1 = 10 · 1,5 = 15 (см).

2) Нехай AС = х см; АВ = ВС = х см. х + 3х + 3х = 35; 7х = 35; х = 5 (см). AС = 5 см; АВ = ВС = З · 5 = 15 (см). ∆А1В1С1 – ∆АВС, k = 0,75; A1С1 = 0,75 x АС = 0,75 · 5 = 3,75 (см); А1В1 = В1С1 = 0,75 · АВ = 0,75 · 15 = 11,25 (см). 604. Найбільші сторони двох подібних трикутників дорівнюють відповідно а1 і а2, а 𝑚𝑚𝑚𝑚1 𝑚𝑚𝑚𝑚2 різниця їхніх периметрів Р2 – Р1 = m. Доведіть, що Р1 = і Р2 = .

За умовою P2 – Р1 = m; P2 = P1 + m; P1 = P2 – m. a P a P +𝑀𝑀 Оскільки трикутники подібні, то 2 = 2 або 2 = 1 ; a1

a2P1 = P1a1 + ma1; a2P1 – P1a1 = ma1; 𝑚𝑚𝑚𝑚1 a2 P ; = 2, або P1(a2 – a1) = ma1; Р1 = 𝑎𝑎2 –𝑎𝑎1 a1 P1 P2 a2 = ; a1 P2 − 𝑚𝑚 a1P2 = a2P2 – a2m; a1P2 – a2P2 = –a2m; −𝑎𝑎2 𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚2 = Р2 = 𝑎𝑎1 – 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 – 𝑎𝑎1

 shkola.in.ua

𝑎𝑎2 –𝑎𝑎1

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

605. Доведіть, що радіус кола, що проходить через середини сторін трикутника, дорівнює половині радіуса кола, описаного навколо цього трикутника.

Нехай у △ABC точки M, N, P — середини сторін AB, BC, CA відповідно. Позначимо R — радіус кола, описаного навколо △ABC, r — радіус кола, що проходить через точки M, N, P. MN ∥ AC, NP ∥ AB, PM ∥ BC, тому MN, NP, PM — середні лінії трикутника. Звідси: AC A𝐵𝐵 BC MN = , NP = , PM = . 2 2 2 P△MNP = MN + NP + PM A𝐵𝐵+𝐵𝐵𝐵𝐵+𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑃𝑃 P△MNP = = △ABC. 2 2 За властивістю периметрів подібних трикутників відношення периметрів дорівнює коефіцієнту подібності, отже 𝑃𝑃△MNP 1 𝑘𝑘 = = 𝑃𝑃△ABC 2 Усі лінійні розміри подібних фігур змінюються в k разів, зокрема й радіуси описаних кіл, тому 𝑅𝑅 𝑟𝑟 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 2 Відповідь: радіус кола, що проходить через середини сторін трикутника, дорівнює половині радіуса кола, описаного навколо цього трикутника. 606. Рівносторонній трикутник зі стороною 0,1 мм розглядають під мікроскопом, який дає збільшення в 40 разів. Чи збільшаться кути трикутника? Під мікроскопом усі лінійні розміри фігури збільшуються в однакову кількість разів (у 40 разів). Отже, отриманий трикутник є подібним до даного. У подібних трикутниках відповідні кути рівні, тому кути трикутника не змінюються. Відповідь: кути трикутника не збільшаться. 607. Зробіть необхідні вимірювання та з’ясуйте, чи подібні внутрішній і зовнішній трикутники в косинці. Зробіть так: 1. Виміряйте сторони внутрішнього трикутника косинця (усі три). 2. Виміряйте відповідні сторони зовнішнього трикутника. 3. Порівняйте відношення відповідних сторін. Під час вимірювань виявиться, що відношення відповідних сторін однакові, а відповідні кути рівні (бо сторони паралельні). Отже, внутрішній і зовнішній трикутники косинця подібні.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Висновок: так, внутрішній і зовнішній трикутники в косинці є подібними. 608. На географічній карті три населені пункти віддалені один від одного на 6 см, 5 см і 4 см. На місцевості найбільша відстань між ними дорівнює 15 км. 1. Який масштаб цієї карти? Найбільша відстань на карті 6 см відповідає 15 км. 15 км = 1 500 000 см. Масштаб: 6 см : 1 500 000 см = 1 : 250 000. 2. Яка найменша відстань між населеними пунктами? Найменша відстань на карті 4 см. 4 см · 250 000 = 1 000 000 см = 10 км. 3. Яка відстань між іншими населеними пунктами? Інша відстань на карті 5 см. 5 см · 250 000 = 1 250 000 см = 12,5 км. Відповідь: 1) 1 : 250 000; 2) 10 км; 3) 12,5 км. 609. Якщо до листа сталі, що має форму трапеції з основами 15 см і 25 см та бічними сторонами 18 см і 20 см, прикладемо сталевий лист у формі трикутника з основою 15 см, то одержимо сталевий лист трикутної форми. Які розміри утвореного листа?

Відомо: у трикутнику AED відрізок BC ∥ AD, причому BC = 15 см, AD = 25 см, AB = 18 см, CD = 20 см. Оскільки BC ∥ AD, то △EBC і △EAD подібні, тому BC : AD = EB : EA = EC : ED. Маємо BC : AD = 15 : 25 = 3 : 5, отже 3 EB : EA = 3 : 5, тобто EB = EA. 5 Тоді 3 2 AB = EA − EB = EA − EA = EA, 5 5 звідси 5 5 EA = AB = ·18 = 45 см. 2 2 Аналогічно 3 EC : ED = 3 : 5, тобто EC = ED, 5 тоді 3 2 CD = ED − EC = ED − ED = ED, 5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

звідси 5 5 ED = CD = ·20 = 50 см. 2 2 Отже, утворений лист має форму трикутника зі сторонами: AD = 25 см, AE = 45 см, DE = 50 см. Відповідь: 25 см, 45 см, 50 см. 610. Триярусну ялинку з тасьми утворюють три подібні рівносторонні трикутники. У них відповідні сторони паралельні, а висоти до горизонтальних сторін лежать на одній прямій. 1. Чи вистачить 2,5 м тасьми для такої ялинки, якщо її основа дорівнює 40 см, а 1 трикутники подібні з коефіцієнтом ? 2 2. Проведіть необхідні вимірювання та з’ясуйте, скільки метрів тасьми знадобиться, щоб прикрасити такими ялинками штори на вікнах вашої класної кімнати. 1. Основа найбільшого рівностороннього трикутника 40 см, отже його периметр 3 · 40 = 120 см. 1 Коефіцієнт подібності , тому сторони наступного трикутника: 20 см, периметр 60 см. 2 Ще меншого: 10 см, периметр 30 см. Усього тасьми: 120 + 60 + 30 = 210 см = 2,1 м. 2,5 м > 2,1 м, отже вистачить. Відповідь: так, 2,5 м вистачить (потрібно 2,1 м). 2. Потрібно: (кількість ялинок) · 2,1 м. Кількість ялинок визначте вимірюванням довжини штор і кроку розміщення ялинок (або ширини однієї ялинки 40 см з проміжками).

§ 11. УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ФАЛЕСА 611. Чи правильно, що в узагальненій теоремі Фалеса йдеться про те, що: 1) сторони кута перетинають будь які прямі; Ні — не будь-які прямі, а лише паралельні. 2) сторони кута перетинають паралельні прямі; Так — сторони кута перетинають паралельні прямі. 3) відрізки, утворені на одній стороні кута, дорівнюють один одному; Ні — відрізки не обов’язково рівні. 4) відрізки, утворені на одній стороні кута, пропорційні будь яким відрізкам на іншій стороні кута; Ні — не з будь-якими, а з відповідними. 5) відрізки, утворені на одній стороні кута, пропорційні відповідним відрізкам на іншій стороні кута? Так — відрізки на одній стороні кута пропорційні відповідним на іншій. 612. Чи правильно, що від даного трикутника подібний трикутник відтинає: 1) будь яка пряма; Ні, будь-яка пряма не обов’язково відтинає подібний трикутник. 2) пряма, що проходить через вершину трикутника; Ні, пряма через вершину трикутника не гарантує подібність. 3) пряма, що перетинає дві сторони трикутника; Ні, пряма, що просто перетинає дві сторони трикутника, може не утворювати подібний трикутник. 4) пряма, що перетинає дві сторони трикутника й паралельна третій його стороні?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Так, пряма, що перетинає дві сторони трикутника і паралельна третій стороні, відтинає трикутник, подібний до даного. 613. У якому відношенні точка О ділить відрізок АВ?

1) АО : ОВ = 3 : 5.

la. in.

2) AО : ОВ = 4 : 2. 614. Запишіть відношення, у якому точка О ділить відрізок АВ.

𝑂𝑂𝑂𝑂

;

7𝑎𝑎

– правильно. Довжини відрізків вказано правильно.

AО : ОВ = 4 : 3. 615. Точка М ділить відрізок РН у певному від ношенні. Який із відрізків довший — РМ чи МН, якщо: 1) РМ : МН = 5 : 2; РМ > МН. 2) РМ : МН = 3 : 7? МН > РМ. 616. Точка Н ділить відрізок РМ у відношенні 4 : 3. Який із відрізків довший — РН чи НМ? PN : NM = 4 : 3. Оскільки 4 > 3, то довший відрізок — PN. Відповідь: довший відрізок PN. 617. На малюнках АВ || СD. Чи правильно вказано довжини відрізків? Відповідь поясніть.

𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂

12 8

3𝑎𝑎 8𝑎𝑎

= ; = – неправильно. Довжини відрізків вказано неправильно. 2) 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂 5 3𝑎𝑎 618. На стороні ВА кута АВС відкладіть відрізки ВМ і МА завдовжки: 1) 2 см і 3 см; 2) 5 см і 1 см. Через точки А і М проведіть паралельні прямі АС і МН. Як відносяться відрізки ВН і НС? 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 5 𝐵𝐵𝐵𝐵 AC ∥ MH; = ; = . 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 2 𝐵𝐵𝐵𝐵 BC = 5x; BH = 2x; тоді HC = 3x.  shkola.in.ua

𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐻𝐻𝐻𝐻

∶

2 3

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

= 2 : 3; 𝐵𝐵𝐵𝐵

la. in.

2) ВM = 5 см, МА = 1 см; = = 5 : 1. 𝐻𝐻𝐻𝐻 1 619. На стороні ВС кута АВС відкладіть відрізки ВD і DС завдовжки 4 см і 2 см. Через точки С і D проведіть паралельні прямі СА і DМ. Як відносяться відрізки ВМ і МА?

CA ∥ DM (за умовою) Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на них пропорційні відрізки (узагальнена теорема Фалеса) Отже, BM : MA = BD : DC (відповідні відрізки) BM : MA = 4 : 2 = 2 : 1 Відповідь: BM : MA = 2 : 1. 620. Яку кількість відрізків потрібно знати, щоб з’ясувати, чи пропорційні вони? Треба знати чотири відрізка. 621. Чи подібні трикутники АВС і МNС на малюнку? Відповідь поясніть.

∆АВС – ∆MNC (за двома кутами: ∠C — спільний; ∠ABC = ∠MNC (відповідні при AB ∥ MN і січній ВС)). 622. Чи подібні трикутники АВС і DНС на малюнку? Відповідь поясніть.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

∆АВС – ∆DHC (за двома кутами: ∠C — спільний, ∠Н = ∠B). 623. Відрізок АВ завдовжки d точка М ділить у відношенні m : n. Знайдіть довжини відрізків АМ і ВМ, якщо: 1) d = 10 см, m = 2, n = 3; 2) d = 16 см, m = 3, n = 1. AB : BM = m : n; AB = d.

1) 10 : (2 + 3 )= 2 (см) — довжина 1 частини; AM = 2 · 2 = 4 (cм); MB = 2 · 3 = 6 (см); 2) 16 : (3 + 1) = 4 (см) — довжина 1 частини; CH = 3 · 4 = 12 (см); HD = 4 · 4 = 16 (см). 624. Відрізок СD завдовжки 14 см точка Н ділить у відношенні 3 : 4. Знайдіть довжини відрізків СН і НD. 14 : (3 + 4) = 2 (см) — довжина 1 частини; AM = 2 · 3 = 6 (см); MB = 2 · 4 = 8 (см). 625. Побудуйте відрізок АВ завдовжки 12 клітинок зошита. Поділіть його за клітинками у відношенні: 1) 1 : 2; 2) 5 : 7. 1) AM = 4 клітинки; MB = 8 клітинок; AM; MB = 1 : 2;

2) AM = 5 клітинок; MB = 7 клітинок; AM : MB = 5 : 7.

626. Побудуйте відрізок МN завдовжки 10 клітинок зошита. Поділіть його за клітинками у відношенні 2 : 3.

ML = 4 клітинки; LN = 6 клітинки; ML : LN = 2 : 3. 627. Поділіть даний відрізок AB у відношенні 3 : 4. За малюнком складіть план побудови.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Проведемо з т. А промінь. На промені, починаючи з т. А послідовно відкладемо 7 відрізків. Кінець третього позначимо т. D, кінець сьомого т. С. З’єднаємо т. С і т. В. Через т. D проведемо DK ∥ СВ. АК : КВ = 3 : 4. 628. Побудуйте відрізок ВС довільної довжини й поділіть його у відношенні: 1) 2 : 3; 2) 1 : 4. 1) Проведемо промінь BN. На промені BN від т. В послідовно відкладемо п’ять відрізків однакової довжини. Кінець п’ятого (К) з’єднаємо з т. С. Через кінець другого відрізка проведемо пряму, паралельну СК. Ця пряма розіб’є відрізок ВС на відрізки ВМ і NC. ВМ : MC = 2 : 3.

2) Проведемо промінь BN, на ньому послідовно від т. В відкладемо п’ять рівних відрізків. Кінець п’ятого з’єднаємо з т. С. Через кінець першого проведемо пряму, паралельну СК. Ця пряма перетне ВС в т. М. ВМ : МС = 1 : 4.

629. Побудуйте відрізок АС довільної довжини й поділіть його у відношенні 1 : 2.

Побудова: 1. Проведіть відрізок AC довільної довжини. 2. З точки A побудуйте промінь AX, що не лежить на прямій AC.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝑎𝑎

𝑏𝑏

la. in.

3. На промені AX відкладіть три рівні відрізки: AA1 = A1A2 = A2A3. 4. З’єднайте точки A3 і C. 5. Через точку A1 проведіть пряму, паралельну A3C. Нехай вона перетне AC у точці B. Пояснення: За узагальненою теоремою Фалеса AB : BC = AA1 : A1A3 = 1 : 2, бо AA1 — один із трьох рівних відрізків, а A1A3 складається з двох. Відповідь: точка B ділить AC у відношенні 1 : 2 (AB : BC = 1 : 2). 630. Визначте, чи пропорційні відрізки а, b, c і d, довжини яких відповідно дорівнюють: 1) 5 см, 6 см, 10 см і 18,5 см; Перевіримо пропорційність: a:b=c:d 5 : 6 = 10 : 18,5 Перевірка через добутки: 5 · 18,5 = 92,5 6 · 10 = 60 Оскільки 92,5 ≠ 60, пропорція не виконується. Відповідь: відрізки не є пропорційними. 2) 7 см, 4 см, 2,1 см і 1,1 см. Перевіримо пропорційність: 7 : 4 = 2,1 : 1,1 Перевірка через добутки: 7 · 1,1 = 7,7 4 · 2,1 = 8,4 Оскільки 7,7 ≠ 8,4, пропорція не виконується. Відповідь: відрізки не є пропорційними. 631. Чи є пропорційними чотири відрізки, довжини яких дорівнюють 8 см, 3 см, 24 см і 9 см? 8 3 = .

Отже, = ; відрізки пропорційні. 𝑐𝑐 𝑑𝑑 632. До трьох даних відрізків а, b і с доберіть четвертий відрізок d так, щоб вони були пропорційними, якщо дані відрізки мають довжини відповідно: 1) 1, 2, 3; 1 3 = ⇒ 𝑑𝑑 = 6 2 𝑑𝑑 3 2 1 = ⇒ d= 2 3 d 2 1 𝑑𝑑 = ⇒ 𝑑𝑑 = 3 3 2 2) 6, 3, 4; 6 4 = ⇒ 𝑑𝑑 = 2 3 𝑑𝑑 6 𝑑𝑑 = ⇒ 𝑑𝑑 = 8 3 4 9 6 𝑑𝑑 = ⇒ 𝑑𝑑 = 2 4 3 3) 3, 5, 7.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) РЕ ∥ QF;

la. in.

21 3 𝑑𝑑 = ⇒ 𝑑𝑑 = 5 5 7 35 3 7 = ⇒ 𝑑𝑑 = 3 5 𝑑𝑑 15 3 𝑑𝑑 = ⇒ 𝑑𝑑 = 7 7 5 Скільки розв’язків має задача? Кожен пункт має по 3 розв’язки, отже в сумі 9. 633. На сторонах кута АВС розміщено чотири точки: P і Q — на стороні ВА, E і F — на стороні ВС. Чи паралельні прямі PE і QF, якщо: 1) ВР = РQ і ВЕ = ЕF; 3) ВР = РQ і ВF = FЕ; 2) ВQ = QР і ВF = FЕ; 4) ВQ = QР і ВЕ = ЕF? Зробіть малюнки та поясніть відповідь. 1) РЕ ∥ QF;

3) РЕ не паралельна QF;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

4) РЕ і QF не паралельні.

634. Чи подібні трикутники ABC і AMN, якщо MN — середня лінія трикутника ABC?

MN — середня лінія ∆ABC; MN ∥ ВС, тоді ∠ANM = ∠ACB (відповідні при MN ∥ ВС і січній AC), ∠A — спільний. Отже, ∆AMN – ∆АВС (за двома кутами). 635. Як найпростіше побудувати трикутник, подібний даному? Щоб побудувати трикутник, подібний даному, достатньо провести пряму, паралельну одній із сторін трикутника. Ця пряма відітне трикутник, подібний даному. 636. Паралельно стороні АВ рівностороннього трикутника АВС проведено дві прямі, які 3 1 перетинають АС в точках М і Е, а ВС — в точках N і F. MN = AB, EF = AB. Накресліть 4 2 у зошиті таблицю та заповніть її. P∆ABC = 3a; 3 9 P∆MNC = 3 · a = a; 4 1

4 3

P∆EFC = 3 · a = a. 2

 shkola.in.ua

4 см

АВ = m + n;

𝑎𝑎

8 см

6 см

4 см

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

4 см

m+ n

la. in.

6 см 3 MN 3 см 6 см 4,5 см 3 см 3 см 6 см EF 2 см 4 см 3 см 2 см 2 см 3 1 см 3 P∆ABC 12 см 24 см 18 см 12 см 12 см 20 см P∆MNC 9 см 18 см 13,5 см 9 см 9 см 15 см P∆EFC 6 см 12 см 9 см 6 см 6 см 10 см 637. Відрізок АВ завдовжки а точка С ділить на відрізки АС і СВ, відношення яких дорівнює m : n. Виразіть довжини відрізків АC і СВ через числа а, m і n. АВ = а; АС : СВ = m : n.

– довжина одиничного відрізка. 𝑎𝑎𝑎𝑎

AC = m + n; CB = . m+ n 638. Відрізок завдовжки d дві його внутрішні точки ділять на відрізки, що відносяться як а : b : с. Знайдіть довжини цих відрізків, якщо: 2 3 1) d = 78 см, a = , b = 0,8, c = ; 5

2) d = 50 см, а = 0,25, b = , с = 0,4. 1) 2 5

1,95 78 1,95

+0,8+

3 4

· = 5

1,95

· 0,4 = 16 (см);

· 0,8 = 32 (см);

· 0,75 = 30 (см).

Шукані відрізки 16 см; 32 см; 30 см. 50 50 50 2) = = = 40. 3 0,25+0,6+0,4

1,25

0,25+ +0,4 5

40 · 0,25 = 10 см; 3 40 · = 24 см; 5 40 · 0,4 = 16 см. Шукані відрізки 10 см; 24 см; 16 см. 639. На продовженні відрізка АВ завдовжки d взято точку N так, що АN : ВN = m : n. Знайдіть довжини відрізків АN і ВN, якщо: 1) d = 5 см, m = 3, n = 2; 2) d = 16 см, m = 5, n = 1. AN : BN = m : n.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

m− n 5

· m — довжина відрізка AN; · n — довжина відрізка BN.

3− 2

· 3 = 15 см — довжина AN;

𝑑𝑑

m− n 𝑑𝑑

· 2 = 10 см — довжина BN;

2) АN =

5−1 16

· 5 = 20 см;

la. in.

BN = · 1= 4 см. 5−1 640. На малюнку AB || DC || KL, AD : DK : KF = 2 : 3 : 2. Знайдіть довжини відрізків BC, СL, LF, DС і KL, якщо: 1) AB = 70 мм, FС = 40 мм; 2) AB = 21 см, FС = 15 см.

𝐶𝐶𝐶𝐶

1) AD : DK : KF = 2 : 3 : 2. Тоді BC : CL : LF = 2 : 3 : 2. BC = 2x; CL = 3x; LF = 2x; FC = CL + LF = 3x + 2x = 5x; FC = 40 мм; 5x = 40; x = 8 (мм). Тоді ВС = 2 · 8 = 16 (мм); CL = 3 · 8 = 24 (мм); LF = 2 · 8 = 16 (мм). BF = 2x + 3x + 2х = 7x = 7 · 8 = 56 (мм); CF = CL + LF = 24 + 16 = 40 (мм). 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 70 56 = ; = ; 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 70 · 40

CD = 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾

56 𝐶𝐶𝐶𝐶 50

;

𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐾𝐾𝐾𝐾 50 · 16

40 100

2 40 16

;

= 50 (см);

KL = ; 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 20 (мм). 40 2) BC = 2x; CL = 3x; LF = 2x; FC = 15 cм (за умовою); FC = FL + LC = 5x; 5x = 15; x = 3 (cм). ВC = 2 · 3 = 6 (cм); CL = 3 · 3 = 9 (cм); LF = 2 · 3 = 6 (cм); ВF = 6 + 9 + 6 = 21 (cм). 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ; 𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐶𝐶𝐶𝐶

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

DC = 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾

𝐴𝐴𝐴𝐴 · CF

𝐶𝐶𝐶𝐶

;

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶𝐶𝐶 · LF

21 · 15

= 15 (см);

15 · 6

NK =

𝑀𝑀𝑀𝑀

𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑀𝑀

NK =

· b= · c=

𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑀𝑀

2) MN =

𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑀𝑀

· а=

12,5

2,5+4+2 12,5

· 2,5 =

· 4 =

125

· 2,5 =

· 4 =

100

(см);

la. in.

1) MN =

K𝐿𝐿 = = = 6 (см). 𝐶𝐶𝐶𝐶 15 641. На малюнку AМ || BN || CK || DP. Знайдіть довжини відрізків MN, NK і KP, якщо: 1) a = 2,5 см, b = 4 см, c = 2 см, MP = 12,5 см; 2) a = 10 см, b = 16 см, c = 8 см, MP = 50 см.

2,5+4+2 12,5

· а=

· b=

· 2 =

2,5+4+2 50

10+16+8 50

17 25 17

· 2 =

· 10 =

· 16 =

34 50

50 34

17 50 17

(см).

· 10 =

· 16 =

250

400

200

(см);

NK = · c= · 8 = · 8 = (см). 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐 10+16+8 34 17 642. Сторони кута А перетинають дві паралель ні прямі ВС і ОН, причому точка В лежить між точками А і О. Знайдіть: 1) АН, якщо АВ = 8 см, АО = 12 см, АС = 10 см; 3 2) АО, якщо AC : AH = : 0,6, ВО = 12 дм. 1)

𝐴𝐴𝐴𝐴

2) 𝐴𝐴𝐴𝐴

;

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 · AC 𝐴𝐴𝐴𝐴

12 · 10 8

= 15 (см);

AH =

𝐴𝐴𝐴𝐴

= 3

𝐴𝐴𝐴𝐴

;

3·5

= : 0,6 = : = = ; 11 11 10 11·3 11 AB = x; AO = AB + BO = x + 12; 𝑥𝑥 5 = ; 𝑥𝑥+12 11 11x = 5x + 60; 6x = 60; x = 10; AB = 10 дм; AO = 10 + 12 = 22 (дм). 643. На стороні МО трикутника МОN позначено точку А на відстані а від вершини О. Знайдіть довжини відрізків, на які ділить сторону ОN пряма, що проходить через точку А паралельно МN, якщо: 1) МО = 6 см, ОN = 9 см, а = 2 см; 2) МО = 10 см, ОN = 14 см, а = 4 см.

𝐴𝐴𝐴𝐴

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) Якщо AD ∥ MN, то MA : AO = ND : DO. MO = 6 cм; ОA = a = 2см; MAт = 6 – 2 = 4 см. Отже, ND : DO = 4 : 2 = 2 : 1; ND = 2x; OD = x; 2x + x = 9; 3x = 9; x = 9 : 3; x = 3 (см); DN = 2 · 3 = 6 (см). 2) MA : AO = ND : DO; MO = 10 см; AO = а = 4 cм; MA = 10 – 4 = 6 (см); DN : DO = 6 : 4 = 3 : 2; DN = 3x; DO = 2x; 3x + 2x = 14; 5x = 14; x = 2,8. Тоді DN = 3 · 2,8 = 8,4 (cм); DO = 2 · 2,8 = 5,6 (см). 644. Через точку Р на стороні АВ трикутника АВС паралельно стороні АС проведено пряму. Вона перетинає сторону ВС в точці О. Знайдіть довжину відрізка ВО, якщо: 1) АР : РВ = 5 : 6, ВС = 22 см; 2) АР : РВ = 4 : 3, ВС = 2,8 дм. РО ∥ АС, тому АР : РВ = СО : ВО.

1) CO : BO = AP : PB = 5 : 6; CO = 5x; BO = 6x; BC = 5x + 6x = 11х; 11x = 22; x = 22 : 11; x = 2. Тоді CO = 5 · 2 = 10 (см); BO = 6 · 2 = 12 (см). 2) CO : BO = AP : PB = 4 : 3; CO = 4х; ВО = 3х; СО + ВО = СВ;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

5 4

5 5

4х + 3х = 2,8; 7x = 2,8; х = 0,4; СО = 4 · 0,4 = 1,6 (дм); ВО = З · 0,4 = 1,2 (дм) = 12 (см). 645. Точка ділить сторону трикутника у відношенні х : у. Знайдіть від ношення кожного з утворених відрізків до всієї сторони, якщо: 1) х = 1, у = 2; 2) х = 2, у = 3; 3) х = 4, у = 5. 𝑥𝑥 𝑦𝑦 Відношення кожного з відрізків до всієї сторони дорівнює і . 𝑥𝑥+𝑦𝑦

1) ; ; 3 2

3 3

2) ; ;

𝑥𝑥+𝑦𝑦

la. in.

3) ; . 9 9 646. У трикутнику АВС три точки ділять сторону ВС на чотири рівні частини. Через ці точки проведено прямі, паралельні стороні АС. Знайдіть довжини відрізків цих прямих, які мають кінці на сторонах трикутника, якщо: 1) АС = 1,6 дм; 2) АС = 124 мм.

BD = DP = PK = КС. Тоді BD : BP : BK : BC = FD : EP : MK : AC = 1 : 2 : 3 : 4; 1 2 1 3 FD = AC; EP = AC = AC; MK = AC. 4

1) FD = · 1,6 = 0,4 (дм) = 4 (см); 1

EР = · 1,6 = 0,8 (дм) = 8 (см); 2

MK = · 1,6 = 1,2 (дм) = 12 (см); 4

2) FD = 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 3

124

124 2

= 31 (мм) = 3,1 (см);

= 62 (мм) = 6,2 (см);

ЕР =

𝐴𝐴𝐴𝐴

MK = · 124 = 93 (мм) = 9,3 (см). 4 647. Як провести пряму, паралельну одній зі сторін даного трикутника, щоб відношення периметрів утворених подібних трикутників дорівнювало: 1 2 1) ; 2) ? 2 3 Пряма, паралельна одній із сторін даного трикутника, відтинає від нього трикутник, подібний даному. Відношення периметрів цих трикутників дорівнює відношенню відповідних сторін. 1 1) Поділимо сторону AB на 2 рівні частини точкою К; проведемо КМ ∥ АС. КВ : АВ = ,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

тому P∆KBM : P∆ABC = 1 : 2.

la. in.

2) Поділимо сторону AB на З рівних частини. Відрахуємо від вершини В 2 відрізки, позначимо т. К. Через т. К проведемо KP ∥ АС; ВК : ВА = 2 : З, тому P∆KBP = Р∆ABC = 2 : 3.

648. Через вершину В паралелограма АВСD проведено пряму, яка перетинає продовження сторони АD в точці М, а сторону СD — у точці N. Знайдіть довжину відрізка DМ, якщо: 1) АD = 5, ВN : МN = 3 : 2; 2) АD = 3, ВN : МN = 0,2 : 0,3.

AB ∥ CD, тому на сторонах кута ВМА ці прямі AB і CD на сторонах цього кута відтикають пропорційні відрізки, тобто BN: NM = AD : DM або 𝐴𝐴𝐴𝐴 3 5 3 1) = ; = ; 𝐷𝐷𝐷𝐷 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 10 ; 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 3 ; 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 3 3 𝐴𝐴𝐴𝐴 0,2 3 0,2 = ; = ; 2) 𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐷𝐷𝐷𝐷 =

0,3 𝐷𝐷𝐷𝐷 3 · 0,3 0,2

0,3

; 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 4,5.

649. Побудуйте два кола, що дотикаються зовні, якщо їхні радіуси відносяться як 2 : 3.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Проведемо пряму n, позначимо на ній т. А. від т. А на прямій n в одну сторону відкладемо відрізок AО1 = 2а, в другу сторону — відрізок АО2 = 3а (а — довільний відрізок). О1 — центр одного кола, R1 = O1A; O2 — центр другого кола, R2 = О2А; А — точка дотику кіл. R1 : R2 = 2 : 3. 650. Побудуйте два кола, що дотикаються внутрішньо, якщо їхні радіуси відносяться як 3 : 4.

Будуємо пряму n, т. А ∈ n. Від т. А в одну сторону відкладемо відрізок AО1 = За, в іншу сторону — відрізок АО2 = 4a (а — довільний відрізок). O1 — центр одного кола, R2 = О2A; A — центр другого кола, R2 = О2A; А — точка дотику кіл, R1 : R2 = 3 : 4. 651. На відрізку АВ позначено дві точки О і Н (АО < АН). Утворені три частини відрізка АВ, починаючи від точки А, мають довжини а, b і с. Знайдіть, які частини відрізка АВ становлять відрізки АО, ОН, НВ, АН і ОВ. AB = AO + OH + HB = a + b + c.

a ; a+b+c b ; OH = a+b+c c HB = ; a+b+c a+b ; A𝐻𝐻 = a+b+c b+c OB = . c+b+c 652. Відрізок АВ має довжину а. Точки М і Т розміщені на прямій АВ так, що точка М лежить на відрізку АВ і АМ : МВ = 2 : 3, точка Т не належить відрізку АВ і АТ : ТВ = 4 : 3. Знайдіть відстань між точками М і Т, якщо:

AO =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) а = 6 см; 2) а = 10 см. 6 AM = · 2 = 2,4 (см); 5 6 5

la. in.

1) Нехай ВТ = х (см), тоді АТ = 6 + x (см). 𝐴𝐴𝐴𝐴 4 6+𝑥𝑥 4 = ; = ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 3 𝑥𝑥 3 4х = 3х + 18; х = 18. ВТ = 18 (см); МТ = МВ + ВT = 3,6 + 18 = 21,6 (см). 10 2) АМ = · 2 = 4 (см);

МВ = · 3 = 3,6 (см).

МВ = · 3 = 6 (см). 5 ВТ = x см; АТ = 10 + x; 10+𝑥𝑥 4 = ; 𝑥𝑥 3 4x = 3x + 30; x = 30 (см); МТ = МВ + ВТ = 6 + 30 = 36 (см). 653. За даними на малюнку доведіть: 1) а : с = b : d; 2) а : с = (а + b) : (с + d); 3) c : a = (b – a) : (d – c).

Нехай паралельні прямі перетинають дві січні (верхню і нижню), утворюючи відповідні відрізки: на нижній — a і b, на верхній — c і d. За узагальненою теоремою Фалеса: a : c = b : d. (відповідні відрізки) 1. a : c = b : d. (за узагальненою теоремою Фалеса) 2. (a + b) : (c + d) = a : c. (властивість пропорції: додавання відповідних членів) 3. (b − a) : (d − c) = a : c. (властивість пропорції: віднімання відповідних членів) Отже, c : a = (d − c) : (b − a). (обернена пропорція) Тобто з рисунка випливає пропорція c : a = (d − c) : (b − a); ймовірно в умові помилка. 654. На малюнку AB || CD. 1. Застосувавши теорему про пропорційні відрізки, доведіть, що AO : OD = OB : OC. 2. Знайдіть АО і ОD, якщо АD = 10 см, ОВ = 5 см, ОС = 3 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) ∆АОВ ∼ ∆DOC (за двома кутами); ∠AOB = ∠DOC (вертикальні); ∠BAO = ∠CDO (внутрішні різносторонні при BA ∥ CD і січній AD). З подібності трикутників: АО : OD = ОВ : ОС. 2) Нехай AО = x см, тоді OD = 10 – х (см). 𝑥𝑥 5 Тоді = = ; 10 – 𝑥𝑥 3 3х = 50 – 5x; 8x = 50; x = 6,25; AO = 6,25 (см); OD = 10 – 6,25 = 3,75 (см). 655. Відрізок MN має кінці на сторонах AB і AC трикутника ABC і паралельний стороні ВС. Доведіть, що медіана АА1 ділить цей відрізок навпіл.

∆АМО ∼ ∆ABA1 (за двома кутами); ∠MAO = ∠BAA1 (спільний кут); ∠AMO = ∠ABA1 (відповідні при MN ∥ ВС і січній АB). З подібності трикутників: АА1 : АО = BA1 : МО. Аналогічно: ∆АА1С ∼ ∆AON, звідси АА1 : АО = А1С : ON. Оскільки АА1 : АО = ВА1 : МО і АА1 : АО = А1С : ON, 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑀𝑀𝑀𝑀 то 1 = 1 або 1 = . 𝑀𝑀𝑀𝑀

𝑂𝑂𝑂𝑂

𝐴𝐴1 𝐶𝐶

𝑂𝑂𝑂𝑂

За умовою ВА1 = А1С, тоді МО = ON, тобто т. О ділить відрізок MN навпіл. 656. Пряма, паралельна основам трапеції АВСD, перетинає її бічні сторони в точках М і Р, а діагоналі — у точках О і Н. 1. Чи рівні відрізки МО і НР? 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑂𝑂𝑂𝑂 2. Чи для кожної трапеції виконується співвідношення: + = 1?

1) MO, MP; 2) ∆MOA ∼ ∆DCA, 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 тому = = . 𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑂𝑂𝑂𝑂

𝐶𝐶𝐶𝐶

𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐴𝐴𝐴𝐴

∆COP ∼ ∆CAB, тому = = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 + = + = + ; 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 + = = 1. 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 + = 1 у тому випадку, якщо AD = CB, тобто трапеція рівнобічна. 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐶𝐶𝐶𝐶

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

657. Основи трапеції дорівнюють а і b. Одну з її бічних сторін поділено на три рівні відрізки й через точки поділу проведено прямі, паралельні основам трапеції. Знайдіть довжини відрізків цих прямих, що мають кінці на бічних сторонах трапеції, якщо: 1) а = 7 см, b = 10 см; 2) а = 10 см, b = 14 см. Проведемо PO ∥ MN. Тоді MNPO — паралелограм.

∆OPZ — трикутник; 1 2 QB = OZ; FK = OZ; 3 3 OZ = MZ – NP = b – a. 1 2 AQ = CF = a; AB = a + (b – a); СК = а + (b – а). 3

3 1

1) Якщо а = 7 см, b = 10 см, то AB = 7 + · (10 –7) = 8 (см); 2

CK = 7 + · (10 – 7) = 9 (см). 3

2) Якщо а = 10 см; b = 14 см, то АВ = 10 + (14 – 10) = 10 + 1 = 11 (см); 2

CK = 10 + · (14 – 10) = 10 + 2 = 12 (см). 3 3 3 658. Основи трапеції дорівнюють а і b (а > b). На одній із бічних сторін позначено n точок, які ділять її на рівні частини. Через ці точки проведено прямі, паралельні основам трапеції. Складіть формулу для обчислення довжин відрізків цих прямих, що мають кінці на бічних сторонах трапеції, якщо: 1) n = 2; 2) n = 3. 1 1 1 1 2 1) KP = b + (a – b) = b + a – b = a + b; 2

OZ = b + (a – b) = b + a – b = a + b; 3

2) OP = b + (a – b) = a + b; 2

MN = b + (a – b) = b + a – b = a + b; 4 3

QF = b + (a – b) = b + a – b = b + a. 4

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

659. Для зменшення або збільшення відрізка за певним відношенням застосовують пропорційний циркуль. Поясніть, на чому ґрунтується спосіб його використання.

Спосіб використання пропорційного циркуля ґрунтується на узагальненій теоремі Фалеса і подібності трикутників. Ніжки циркуля утворюють кут, а відповідні відстані між точками на ніжках лежать на його сторонах. Коли циркуль розкривають або зсувають, точки на обох ніжках рухаються вздовж сторін цього кута. Прямі, що відповідають положенням ніжок, є паралельними, тому відрізки, які відкладаються на сторонах кута, залишаються пропорційними. Отже, якщо на одній парі точок циркуля задано певне відношення, то на іншій парі воно зберігається. Саме завдяки цьому можна зменшувати або збільшувати відрізок у наперед заданому відношенні. 660. Вулиці Садова та Квітнева беруть свій початок біля Ботанічного саду. Їх перетинають паралельні вулиці Трояндова й Вишнева. Відстань між Садовою та Квітневою за Трояндовою вулицею дорівнює 750 м, а за Вишневою — 1 км 250 м. Трамвай рухається Садовою вулицею й долає шлях від Ботанічного саду до Трояндової вулиці за 15 хв. Скільки часу йому знадобиться, щоб дістатися Вишневої вулиці, не змінюючи швидкості? Відомо: відстань між Садовою та Квітневою на Трояндовій — 750 м відстань між Садовою та Квітневою на Вишневій — 1250 м час руху трамвая від Ботанічного саду до Трояндової — 15 хв Знайти — час руху трамвая від Трояндової до Вишневої Розв’язання: За узагальненою теоремою Фалеса відстані від початку вулиць до паралельних вулиць уздовж Садової пропорційні відстаням між Садовою та Квітневою на цих паралельних вулицях. 750 : 1250 = 3 : 5 (Ботсад → Трояндова) : (Ботсад → Вишнева) = 3 : 5 15 : t = 3 : 5 t = 15 · 5 : 3 = 25 хв Час руху від Трояндової до Вишневої:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

25 − 15 = 10 хв Відповідь: 10 хв. 661. Знайдіть відстань між двома садибами (позначимо їх А і В), які розташовані на протилежних берегах річки, якщо АМ || ВN і СА = 4 м, СМ = 5 м, МN = 35 м.

la. in.

Дано: AM ∥ BN, CA = 4 м, CM = 5 м, MN = 35 м. 1. CN = CM + MN = 5 м + 35 м = 40 м. 2. △CAM ∼ △CBN (за двома кутами: ∠ACM = ∠BCN (спільний кут), ∠AMC = ∠BNC (як відповідні при AM ∥ BN)). 3. CA : CB = CM : CN (відповідні сторони подібних трикутників). 4. 4 : CB = 5 : 40 ⇒ CB = 4 · 40 : 5 = 32 м. 5. AB = CB − CA = 32 м − 4 м = 28 м. Відповідь: 28 м. 662. Тінь від башти дорівнює 24 м, а вертикальний шест завдовжки 1,2 м в ту саму пору дня має тінь завдовжки 80 см. Яка висота башти? Відомо: тінь башти 24 м висота шеста 1,2 м тінь шеста 80 см = 0,8 м Знайти - висоту башти Розв’язання: h : 24 = 1,2 : 0,8 h = 24 · 1,2 : 0,8 = 36 м Відповідь: 36 м.

§ 12. ПЕРША ОЗНАКА ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ 663. Чи правильно, що в першій ознаці подібності трикутників ідеться про: 1) сторони даних трикутників; Ні 2) кути даних трикутників; Так 3) рівність двох кутів трикутника; Ні 4) рівність двох кутів даних трикутників; Ні 5) рівність двох відповідних кутів даних три кутників? Так 664. Чи правильно, що рівносторонні трикутники: 1) рівні; Ні 2) подібні?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Так 665. За даними на малюнку назвіть дві пари відповідно рівних кутів трикутників. Чи подібні дані трикутники? За якою ознакою? Зробіть відповідні записи.

la. in.

∠D = ∠A; ∠E = ∠B, тoмy ∆DEF ∼ ∆ABC — за I ознакою (за двома кутами). 666. На малюнку задано елементи трикутників DFE i ABC. Чи подібні дані трикутники?

∆EDF ∼ ∆САВ (за двома кутами): ∠E = ∠C; ∠D = ∠A. 667. Накресліть два рівнобедрені трикутники, що є подібними.

∆АВС і ∆NMP — рівнобедрені; ∆АВС і ∆MNP —є подібними. 668. Накресліть два прямокутні трикутники, що є подібними. ∆АВС і ∆MPN — прямокутні; ∆АВС і ∆MNP — є подібними.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

669. На малюнку знайдіть подібні трикутники. Поясніть, чому вони подібні.

la. in.

∆CRQ ∼ ∆САВ (∠C — спільний, ∠Q = ∠B). ∆CRQ ∼ ∆QPB (∠RCQ = ∠PQB; ∠CQR = ∠QBP). ∆ACB ∼ ∆PQB (∠B — спільний, ∠A = ∠P). 670. На малюнку знайдіть подібні трикутники. Поясніть, чому вони подібні.

∠1 = ∠2, тому MN ∥ AB (∠1 і ∠2 — внутрішні різносторонні при MN; AB і січній АС). Звідси ∠CMN = ∠CAB; ∠C — спільний; ∆CMN ∼ ∆CAB. 671. У трикутниках KLM і РОН є кути, що дорівнюють α і β. Накресліть у зошиті таблицю та заповніть її за зразком, наведеним у першому стовпчику. α β α β α β α β ∠K ∠P

∠L ∠O

∠K ∠O

∆KLM ∼ ∆HOP за двома кутами

∠M ∠P

∠K ∠H

∆MKL ∼ ∆PHO за двома кутами

∆KLM ∼ ∆POH за двома кутами

∠L ∠H

∠L ∠P

∠M ∠O

∆LMK ∼ ∆POH за двома кутами

672. Два кути трикутника АВС і два кути трикутника МНТ відповідно дорівнюють: 1) 23° і 77° та 77° і 23°; Подібні за двома кутами; 2) 30° і 90° та 30° і 60°; Треті кути: 180° − (30° + 90°) = 60°, 180° − (30° + 60°) = 90°. Є кути 30° і 60° в обох трикутниках. Подібні за двома кутами; 3) 52° і 28° та 28° і 100°; Треті кути: 180° − (52° + 28°) = 100°, 180° − (28° + 100°) = 52°. Є кути 52° і 28° в обох трикутниках. Подібні за двома кутами. 4) 45° і 100° та 90° і 45°. Чи подібні ці трикутники? Треті кути: 180° − (45° + 100°) = 35°, 180° − (90° + 45°) = 45°. Пари двох рівних кутів немає. Не подібні.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

673. Два кути трикутника МНТ і два кути трикутника АВС відповідно дорівнюють 105° і 15° та 15° і 105°. Чи подібні ці трикутники? Подібні за двома кутами. 674. Відношення двох кутів одного трикутника дорівнює відношенню двох кутів іншого трикутника. Чому не можна стверджувати, що такі трикутники подібні? Щоб стверджувати, що трикутники подібні, треба довести рівність двох відповідних кутів трикутників. Якщо відношення двох кутів одного трикутника дорівнює відношенню двох кутів другого трикутника, то це не означає, що ці відповідні кути рівні. 675. △АВС ∼ △А1В1С1. Знайдіть невідомі сторони й невідомі кути трикутників, якщо: 1) ∠А = ∠В1 = 60°, АВ = 2 см, А1С1 = 6 см; ∠A = ∠A1 (з подібності трикутників); ∠A = ∠B1 (за умовою). Звідси ∠A1 = ∠B1 = 60°, тому ∠C1 = 60°. Отже, ∠A = ∠B = ∠C = 60°. Трикутники рівносторонні. AB = ВС = AC = 2 см; A1В1 = В1C1 = A1С1 = 6 см. 2) ∠B = ∠C = 60°, А1В1 = 2 см, АС = 4 см. ∠B = ∠C = 60°, тому ∠A = 60°. Звідси ∠A1 = ∠B1 = ∠С1. Трикутники рівносторонні. А1В1 = В1С1 = А1С1 = 2 см; AВ = ВС = АС = 4 см. 676. △АВС ∼ △А1В1С1. Знайдіть невідомі сторони й невідомі кути трикутників, якщо ∠B = ∠C = 60°, ВС = 9 см, А1В1 = 3 см. ∠В = ∠C = 60°, тому ∠A = 60°. ∆АВС — рівносторонній, тому ∆A1B1C1 — рівносторонній. AB = ВС = AC = 9 см; A1B1 = B1C1 = A1C1 = 3 cм. 677. Рівнобедрені трикутники подібні, якщо вони мають по рівному куту: 1) при основі; 2) при вершині. Доведіть. 1) ∆АВС і ∆A1B1C1 — рівнобедрені, ∠A = ∠A1. За властивістю рівнобедреного трикутника ∠A = ∠C; ∠A1 = ∠C1. Оскільки ∠A = ∠A1, то ∠C = ∠C1. Звідси ∆АВС ∼ ∆А1В1С1 (за двома кутами).

2) ∆АВС і ∆А1В1С1 — рівнобедрені, ∠B = ∠B1.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

З ∆АВС: ∠А =

180°− ∠В

З ∆А1В1С1: ∠А1 =

2 180°− ∠В1 2

= 90° – ∠B. 2

= 90° – ∠B1. 1

Оскільки ∠B = ∠B1, то 90° – ∠B = 90° – ∠B1. 2 2 Тобто ∠А = ∠А1. Отже, ∆АВС ∼ ∆А1В1С1 (за двома кутами).

la. in.

678. Чи подібні рівнобедрені трикутники, в одному з яких кут між бічними сторонами дорівнює a, а в іншому — кут при основі дорівнює b, якщо: 1) α = 43°, β = 68°30′; 2) α = 105°, β = 38°30′? 1) У рівнобедреного трикутника кут при вершині 43°, тоді кути при основі 180° − 43° = 68°30′. 2 У другого рівнобедреного трикутника кути при основі 68°30'. Отже, ці трикутник подібні за двома кутами. 2) У рівнобедреного трикутника кут між бічними сторонами 105°, тому кути при основі 180°−105° дорівнюють = 37°30′. 2 У другого рівнобедреного трикутника кути при основі 38°30', тоді кут при вершині 103°. Отже, ці трикутники не є подібними. 679. Чи подібні рівнобедрені трикутники, в одному з яких кут між бічними сторонами дорівнює 52°, а в іншому — кут при основі дорівнює 64°? Якщо кут між бічними сторонами 52°, то кути при основі дорівнюють 180° − 52° 128° = = 64°. 2 2 У другого рівнобедреного трикутника кути при основі дорівнюють 64°. Тому ці трикутники подібні. 680. Прямокутні трикутники з рівним гострим кутом — подібні. Доведіть. Якщо трикутники прямокутні і мають рівний гострий кут, то ці трикутники подібні за двома кутами (прямий кут 90° і гострий кут). 681. Доведіть, що вказані прямокутні трикутники подібні: 1) △АВС і △KВА;

∆АВС ∼ ∆КВА (∠B — спільний гострий кут; трикутники прямокутні). 2) △ОKА і △ВАС.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

∆ОКА – ∆BAC (трикутники прямокутні, у яких ∠OAK = ∠BCA). 682. Доведіть подібність прямокутних трикутників АMN і CАВ.

∆AMN – ∆CAB (трикутники прямокутні, у яких ∠ANM = ∠CBA). 683. Чи подібні прямокутні трикутники, в одному з яких гострий кут дорівнює α, а в іншому — β, якщо: 1) α = 42°, β = 48°; 2) α = 35°30′, β = 54°30′? 1) Якщо один гострий кут прямокутного трикутника 42°, то другий кут дорівнює 90° – 42° = 48°. У другого прямокутного трикутника гострий кут 48°. Отже, ці трикутники подібні. 2) 35°30' і 90° – 35°30'= 54°30' — гострі кути одного прямокутного трикутника. У другого прямокутного трикутника гострий кут 54°30'. Ці трикутники подібні. 684. Чи подібні прямокутні трикутники, в одному з яких гострий кут дорівнює 23°, а в іншому — 77°? Якщо один гострий кут прямокутного трикутник 23°, то другий — 67°. У другого прямокутного трикутника гострі кути 77° і 13°. Ці трикутники не є подібними. 685. Рівнобедрені прямокутні трикутники — подібні. Доведіть. У рівнобедрених прямокутних трикутників гострі кути по 45°. Отже, рівнобедрені прямокутні трикутники подібні за двома кутами. 686. За основами а і b трапеції визначте відношення, у якому її діагоналі ділять одна одну.

ABCD — трапеція; BС = а; AD = b; ВС ∥ AD; BD — січна, тому ∠CBO = ∠ADO; ∠BOC = ∠DOA (вертикальні). ∆BOC ∼ ∆DOA (за двома кутами).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

BC BO CO a = = = . AD DO AO b BO CO b = = . Якщо BC = b; AD = a, то DO AO a 687. У рівнобічній трапеції АВСD основи ВС і АD дорівнюють а і b. Діагоналі АС і ВD дорівнюють с й перетинаються в точці О. Знайдіть периметри трикутників ВСО і АDО, якщо: 1) а = 32 мм, b = 64 мм, с = 51 мм; 2) а = 0,3 дм, b = 0,5 дм, с = 0,8 дм.

У трапеції ABCD маємо BC ∥ AD, діагоналі перетинаються в O. 1) ∠BCO = ∠DAO (як внутрішні різносторонні при BC ∥ AD) ∠BOC = ∠AOD (як вертикальні) △BCO ∼ △ADO (за двома кутами) Звідси відношення відповідних сторін: BC BO CO a = = = AD DO AO b CO a Оскільки AC = c, то AO + CO = c, а також = , тому AO b a ∙ AO a a ∙ AO ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 + = 𝑐𝑐 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 �1 + � = 𝑐𝑐 ⇒ CO = 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 b ∙ 𝑐𝑐 𝐴𝐴𝐴𝐴 = a+b тоді 𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐 CO = a+b Оскільки трапеція рівнобічна, то c c ⋅ a, DO = AO = ⋅b BO = CO = a+b a+b c P△BOC = BC + BO + CO = a + 2 ⋅ ⋅a a+b c P△AOD = AD + AO + DO = b + 2 ⋅ ⋅b a+b Підставимо значення: 51 51 ⋅ 32 = ⋅ 32 = 17 мм CO = 96 32 + 64 AO = 51 − 17 = 34 мм P△BOC = 32 + 17 + 17 = 66 мм P△AOD = 64 + 34 + 34 = 132 мм Відповідь: 66 мм; 132 мм. 2) 𝑎𝑎 0,3 0,24 CO = ∙ 𝑐𝑐 = ∙ 0,8 = = 0,3 дм a+b 0,3 + 0,5 0,8 AO = AC − OC = 0,8 − 0,3 = 0,5 дм P△BOC = 0,3 + 0,3 + 0,3 = 0,9 дм  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

P△AOD = 0,5 + 0,5 + 0,5 = 1,5 дм Відповідь: 0,9 дм; 1,5 дм. 688. У рівнобічній трапеції АВСD основи ВС і АD дорівнюють 3 см і 8 см, а діагоналі — по 7 см. О — точка перетину діагоналей. Знайдіть периметри трикутників ВСО і АDО.

3+8

P∆BOC = 3 + 1

10 11

la. in.

∆ВОС ∼ ∆DОА (за двома кутами). ∆BOC ∼ ∆DOA. CO BC 3 = = ; AO AD 8 AC 7 21 10 CO = · 3 = · 3 = = 1 (см); +1

10 11

AO = AC – OC = 7 – 1 1

11 20

10 11

11 9

(см);

P∆AOD = 8 + 5 + 5 = 18 (см). 11 11 11 689. Бічні сторони АD і ВС трапеції АВСD продовжено до їх перетину в точці О. 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 Доведіть, що = = . 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐷𝐷𝐷𝐷

∆OAB ∼ ∆ODC (за двома кутами). DO CO DC = = . AO BO AB DA BC За узагальненою теоремою Фалеса: = . AO BO 690. Пряма KP перетинає ребра SB і SС піраміди й відтинає від грані трапецію BKPC. Обґрунтуйте подібність трикутників BSС і KSP.

Оскільки в грані відтинається трапеція BKPC, то BK ∥ PC, а отже в трикутнику SBC маємо KP ∥ BC. Тоді: ∠KSP = ∠BSC (спільна вершина), ∠KPS = ∠BCS (як відповідні при KP ∥ BC і січній SC),  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Отже, △BSC ∼ △KSP за двома кутами. 691. Кожне ребро піраміди SАВС дорівнює m. Відрізок KP грані BSС відтинає від неї трапецію BKPC. Знайдіть: 1) сторону KP трикутника KSP, якщо його периметр дорівнює р; 2) меншу сторону трапеції BKPC, якщо її периметр дорівнює Р.

la. in.

△BSC ∼ △KSP за двома кутами (див. задачу 690). 1) У трикутнику BSC: SB = SC = BC = m ⇒ PBSC = 3m. Для подібних трикутників: KP PKSP = . BC PBSC Підставляємо: p p KP = ⇒ KP = . 3 m 3m 2) Сторони трапеції: BK, KP, PC, CB. З подібності: p SK KP = = . SB BC 3m Тоді: p p = , SK = m ⋅ 3m 3 p BK = SB − SK = m − . 3 Так само: p PC = m − . 3 Периметр трапеції: P = BK + KP + PC + BC = p p p p = �m − � + + �m − � + m = 3m − . 3 3 3 3 Звідси: p = 3m − P ⇒ p = 3(3m − P). 3 Менша сторона трапеції — це KP, отже: p KP = = 3m − P. 3 Відповідь: 𝑝𝑝 1. KP = ; 3 2. менша сторона трапеції (KP = 3m - P). 692. За даними, наведеними на малюнках, доведіть подібність зображених трикутників.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) ∆AСВ ∼ ∆MCN (за двома кутами). ∠C — спільний, ∠A = ∠M — за умовою. ∆AСВ ∼ ∆МКВ (за двома кутами); ∠A = ∠M — за умовою; ∠B —спільний. 2) ∆AСВ ∼ ∆AMN (за двома кутами); ∠A — спільний; ∠C = ∠M — за умовою. 693. Доведіть подібність трикутників, зображених на малюнку.

∆АСB ∼ ∆NCM (за двома кутами); ∠C — спільний, ∠B = ∠М — за умовою. 694. Доведіть, що трикутники з відповідно паралельними сторонами — подібні.

AB ∥ A1В1; AС ∥ A1С1; ВС ∥ В1С1. Відкладемо на стороні A1B1 від т. А1 відрізок А1K рівний AB, a на стороні A1C1 від т. А1 відрізок А1D = AC. Тоді ∆A1КD = ∆АВС. KD ∥ В1С1. ∆A1KD – ∆A1B1C1 (за двома кутами), ∠A1 — спільний, ∠A1KD = ∠A1B1C1 відповідні при KD ∥ В1С1 і січній A1B1. Оскільки ∆A1KD = ∆АВС і ∆A1KD – ∆A1B1C1, то ∆АВС ∼ ∆A1B1С1. 695. У трикутниках АВС і KLM: ∠А = ∠K, ∠В = ∠L, АВ = c, ВС = c + 2, АС = c – 2, KL = nс. Знайдіть сторони трикутників, якщо: 1) с = 5 см, n = 3; 3 2) с = 6 см, n = . 4 1) ∠A = ∠K; ∠B = ∠L, тому ∆АВС ∼ ∆KLM. AВ = 5 см; ВС = 7 см; АС = 3 см; KL = 15 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html KL

KM 15

AC 6 4,5·8

= 6 см;

AC 16 6 · 10

Звідси LM = 4·4,5

= = ; = = . AB BC AC 5 7 3 Звідси LM = 21 см; КМ = 9 см. 2) ∆АВС ∼ ∆KLM. AВ = 6 см; ВС = 8 см; АС = 4 см; KL = 4,5 см. KL LM KM 4,5 LM KM = = ; = = .

КM = = 3 (см). 6 696. У трикутниках KLM і АВС: ∠K = ∠А, ∠В = ∠L, KL = m, LM = m + 2, KM = m – 2, АВ = nm. Знайдіть сторони трикутників, якщо m = 8 см, n = 2. ∆АВС ∼ ∆KLM. KL = 8 см; LM = 10 см; KM = 6 см; AB = 16 см. KL LM KM 8 10 6 = = ; = = . BC

Звідси BC = 16 · 6

la. in.

= 20 см;

AC = = 12 (см). 8 697. Висоти АЕ і СD трикутника АВС перетинаються в точці Н. Знайдіть ці висоти, якщо їхня сума дорівнює 18 см, АН = 8 см, СН = 4 см.

AE + CD = 18 см; АН = 8 см; СH = 4 см. ∆CEH ∼ ∆ADH (за двома кутами); ∠CEH = ∠АDH = 90°. ∠EHC = ∠DHA (вертикальнi). З подібності трикутників: CH EH 4 EH = ; = . AH HD 8 HD Нехай EH = х, тоді HD = 2х. ЕА = х + 8 (cм); CD = 4 + 2х (см). За умовою ЕА + CD = 18 см. Отже x + 8 + 4 + 2x = 18; Зх = 6; х = 2. EH = 2 см; HD = 2 · 2 = 4 см; АE = AH + EH = 8 + 2 = 10 cм; CD = СH + HD = 4 + 4 = 8 см. 698. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює Р. Через точку перетину його медіан проведено пряму, паралельну стороні. Доведіть, що довжину відрізка d цієї прямої 2𝑃𝑃 з кінцями на сторонах трикутника можна обчислити за формулою: d = .  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Звідси КО = 1

2· Р 6

la. in.

∆АВС — рівносторонній; Р — периметр ∆АВС; О — точка перетину медіан ∆АВС; О ∈ KP; KP ∥ АС. Медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. BO 2 BN 3 Тоді = ,а = ; ON 1 BO 2 ∆KBO ∼ ∆ABN; 1 1 P 1 AN = АС = · = Р. 2 2 3 6 З подібності ∆КВО і ∆ABN: 1 AN BN 6 Р 3 = ; = . KO BO KO 1 2 P

= . 9

КО = КР, тоді КО = 2КО = 2 · = . 2 9 9 699. У трикутнику зі сторонами а, b і c пряма перетинає кут А й відтинає від нього трапецію з периметром Р. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо: 1) а = 30 см, b = 20 см, c = 15 см, Р = 63 см; 2) а = b = c = 18 см, Р = 50 см. 1) BKMC —трапеція; KM ∥ BC, тоді ∆АКМ ∼ ∆АСВ. AC AB CB 15 20 30 = = ; = = , або

AM 3

KM AK 4 6

Нехай AK = x, тоді AM =

4AK 3

= 1 x; KM = 2x. 3 1

Звідси CK = 15 – x; MB = 20 – 1 x. 1

PCKMB = 2x + 15 – x + 20 – 1 x + 30, а за умовою 63 см. 1

Отже, 2x + 15 – x + 20 – 1 x + 30 = 63; 1

– x = –2; x = 6. 3 Тоді KM = 2 · 6 = 12 (см).

 shkola.in.ua

la. in.

2) ∆AKM ∼ ∆ACB. 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐾𝐾𝐾𝐾 Оскільки AC = AB = CB, то AK = AM = KM. Нехай AK = AM = KМ = x, тоді CK = 18 – x; MB = 18 –x. PCKMB = 50 см; то 18 – х + х + 18 – x + 18 = 50; –x = –4; x = 4. Отже, KM = 4 см.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

700. Доведіть, що через вершину більшого кута різностороннього трикутника завжди можна провести пряму так, щоб вона відтинала від даного трикутника подібний йому трикутник.

У ∆АВС ∠В — найбільший. Через вершину В проведемо пряму, таку, що ∠CBN = ∠ВAC (точки А i N — в одній півплощині стосовно прямої ВС). Тоді ∆CBN ∼ ∆САВ (за двома кутами: ∠C — спільний; ∠CBN = ∠CAB (за побудовою)). 701. Через точку М на стороні трикутника АВС проведено пряму, що відтинає від нього подібний трикутник. Скільки розв’язків має задача? Розгляньте випадки, коли △АВС: 1) різносторонній; 2) рівнобедрений; 3) рівносторонній. 1) ∆АВС — різносторонній. М ∈ AB. а) Проведемо МК таким чином, щоб ∠AMК = ∠С; К ∈ АС. Тоді ∆АМК ∼ ∆АСВ (за двома кутами: ∠AMK = ∠ACB; ∠A — спільний). б) Проведемо MN таким чином, що ∠BMN = ∠C; N ∈ ВС. Тоді ∆ВМК ∼ ∆ВСА (за двома кутами: ∠B — спільний, ∠BMN = ∠BCA).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

в) МР ∥ АС; ∆ВМР ∼ ∆BAC (за двома кутами: ∠BMP = ∠BAC, ∠B — спільний). г) MZ ∥ ВС; ∆AMZ ∼ ∆АВС (за двома кутами: ∠A — спільний, ∠AZM = ∠ACB). Отже, задача має 4 розв’язки.

la. in.

2) ∆АВС — рівнобедрений, М ∈ AB. а) Проведемо MN ∥ АС; ∆BMN ∼ ∆BAC (за двома кутами: ∠B — спільний, ∠BMN = ∠BAC). б) Проведемо MD ∥ ВС. ∆AMD ∼ ∆АВС (за двома кутами: ∠A — спільний, ∠ADM = ∠ACB). в) Проведемо МР таким чином, щоб ∠AMP = ∠C ( P ∈ АС). ∆АМР ∼ ∆АСВ (за двома кутами: ∠A — спільний, ∠AMP = ∠ACB). Отже, задача має 3 розв’язки.

3) ∆АВС — рівносторонній. М ∈ AB. а) Проведемо MN ∥ AC. ∆BMN ∼ ∆BAC (за двома кутами: ∠B — спільний, ∠BMN = ∠BAC). б) Проведемо МК ∥ ВС. ∆АМК ∼ ∆AВС (за двома кутами: ∠A — спільний, ∠AMK = ∠ABC). Отже, задача має 2 розв’язки.

702. У рівнобедрений трикутник з основою а й бічною стороною b вписано коло. Знайдіть відстань між точками дотику кола до бічних сторін трикутника, якщо: 1) а = 6 см, b = 10 см; 2) а = 10 см, b = 13 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

∆АВС — рівнобедрений, ВК ⊥ AC; К — середина АС; 1 1 АК = АС = а. 2 2 ∆АОK = ∆AOM (прямокутні); АО — спільна гіпотенуза; ОМ = OK — катети (як радіуси одного кола). a Звідси AM = , a

2b− a

тоді МВ = AB – AM = b – = . 2 2 MN — відстань між точками дотику кола до бічних сторін ∆АВС. ВК перетинає MN в т. Р. Р — середина MN; MN ∥ AC. d MP = ; ∆MВР ∼ ∆АВК. AK

2 AB

, або

a 2

= 2b− a .

Звідси MP · b = · MP =

a(2b− a) d

4b 2a(2b− a)

; = 2

2b− a

;

2 a(2b− a)

4b a(2b− a)

;

d= ;d= . 4b 2b 1) a = 6 cм; b = 10 см. 6·(2·10− 6) 6 · 14 d= = = 4,2 (см). 2·10 2·10 2) a = 10 cм; b = 13 cм. 10·(2·13−10) 10 · 16 2 d= = = 6 (см). 2·13 26 13 703. Доведіть, що відстань d між точками дотику вписаного кола до бічних сторін b 𝑎𝑎(2𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) рівнобедреного трикутника з основою а можна обчислити за формулою: d = . 2𝑏𝑏 Доведення подане в задачі 702. 704. У рівнобедрений трикутник з основою а й бічною стороною b вписано коло із центром О. Знайдіть відношення відрізків висоти, проведеної до основи трикутника, на які вона ділиться точкою О (починаючи від вершини), якщо: 1) а = 12 см, b = 10 см; 2) а = 10 см, b = 13 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) ∆АВС — рівнобедрений; АС = 12 см; AB = 10 см; ВК ⊥ АС; К — середина АС; О — центр вписаного кола. OK = ON = r; ON ⊥ AB. ∆АВК і ∆OBN — прямокутні. ∠B – спільний, тому ∆АВК ∼ ∆OBN. AK AB OB AB 10 5 = , або = = = . ON OB ON AK 6 3 Висота ВК поділилась т. О у відношенні 5 : З (починаючи з вершини). 2) АС = 10 см; AB = 13 см. OB AB 13 Аналогічно: = = . ON AK 5 Точка О поділила висоту у відношенні 13 : 5. 705. Доведіть, що в подібних трикутниках відповідні висоти відносяться як сторони, до яких вони проведені.

∆АВС ∼ ∆A1В1С1, тоді ∠А = ∠А1. Проведемо BD ⊥ AC і B1D1 ⊥ A1С1. ∆ABD і ∆A1B1D1 — прямокутні, у яких ∠A = ∠A1, тоді ∆ABD ∼ ∆A1B1D1 (за двома кутами: ∠А = ∠А1 і ∠D = ∠D1 = 90°). BD AD З подібності трикутників ∆ABD і ∆А1В1D1 маємо: = ;

за умовою ∆ABC ∼ ∆A1B1C1, AB AC тому = .

Тоді

A1 B1 BD

B1 D1

A1 C1 AC

A1 C1

A1 B1

706. Два подібні трикутники мають по висоті, що дорівнюють одна одній. Чому не можна стверджувати, що дані трикутники рівні? Два подібних трикутники були б рівні, якщо б відповідні висоти дорівнювали одна одній. Оскільки за умовою не сказано, що висоти відповідні, то ці рівні висоти можуть бути не відповідними, а тому не можна стверджувати, що ці трикутники рівні.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

707. Доведіть, що в подібних трикутниках відповідні бісектриси відносяться як сторони, до яких вони проведені.

Але

B1 K1 AB

A1 B1 AC

,а

B1 K1

(з подібності ∆АВС і ∆A1В1С1).

A1 C1 A1 C1 BK AB AB

B1 K1

Звідси

A1 B1 BK

la. in.

∆АВС ∼ ∆А1В1С1. ВK i В1К1, – відповідні бісектриси. 1 1 Оскільки ∠B = ∠B1, то ∠B = ∠В1. 2 2 Тобто ∠ABK = ∠A1B1K1; ∠A = ∠A1 (з подібності ∆АВС і ∆А1В1С1). Звідси ∆АВК – ∆A1B1K1 (за двома кутами). BK AB Тоді = . A1 C1 AC

A1 C1

, тобто відповідні бісектриси відносяться як сторони, до яких вони

проведені. 708. Трикутники А1В1С1 і АВС подібні (k = 1,5). Знайдіть довжини бісектрис кутів С1 і С даних трикутників, якщо їхня різниця дорівнює 4 см. С1М1 і CM — бісектриси даних кутів. CM СМ = С1М1 + 4; = 1,5; C1 M1 4 C1 M1 + 4 = 1,5; = 0,5; C1 M1 C1 M1 С1М1 = 4 : 0,5; С1М1 = 8 (см), тоді CM = С1М1 + 4 = 8 + 4 = 12 см. 709. Діагоналі АС і ВD трапеції АВСD перетинаються в точці О. Знайдіть довжини основ трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 24 см і СО : АО = 1 : 3.

ABCD — трапеція; n — середня лінія; ВС + AD = 2n = 2 · 24 = 48 см. CO BC = (з подібності ∆BOC і ∆DOA – за двома кутами). AO

Отже

AD CO

;

ВС = 48 – AD;

48 – AD AD

= ; 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 48

– 1= ; 144

= ; 3

AD = = 36 (см); 4 ВС = 48 – 36 = 12 (см). 710. Діагоналі АС і ВD трапеції АВСD перетинаються в точці О. Знайдіть довжини основ трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 24 см і ВО : DО = 3 : 5.

AD 48

5 3

=1+ ; 3

la. in.

ABCD — трапеція; n — середня лінія; ВС + AD = 2n = 2 · 24 = 48 см. BO BC 3 = = ; OD AD 5 ВС = 48 – АD; 48− AD 3 = ;

= ; AD = 30 см; 5 ВС = 48 – 30 = 18 см. 711. У чотирикутнику АВСD з прямими кутами В і D проведено діагональ АС, а з її довільної точки М — прямі МL і МN, які відповідно перпендикулярні до прямих ВС і ML MN АD. Доведіть, що = = 1.

∆CLM ∼ ∆CBA (∠B = ∠L = 90°, ∠C – спільний). ML CM = . (І) З подібності трикутників: AN AC ∆AMN ∼ ∆ACD (∠N = ∠D = 90°, ∠A — спільний). MN AM = . (II). З подібності трикутників: CD AC Додомо почлено рівності (І) і (II): ML MN CM AM CM + AM AC + = + = = = 1. AC AC AC AC AB CD 712. Два кола з радіусами R1 = 4 см і R2 = 6 см дотикаються зовні. Їхня спільна зовнішня дотична перетинає лінію центрів у точці М. Знайдіть відстані від центрів цих кіл до точки М.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

NO2 KO2

O2 M O2 M

або

R2 R1

R2 +2R1 +AM R1 +AM

O1K ⊥ MN; O2N ⊥ MN. ∆МКО1 ∼ ∆MNO2 (∠M — спільний, ∠K = ∠N = 90°).

;

R1R2 + R2AM = R1R2 + 2R12 + R1AM; R1AM = 2R12; AM =

2R1 2

;

R2 – R1 2R1 2

R2 – R1

;

la. in.

O1M = R1 + AM = R1 +

O1M = R2 + 2R1 + AM = R2 + 2R1 + R1 = 4 см; R2 = 6 см; О1М = 4 +

2 · 42 6–4

= 20 (см);

2R1 2

R2 – R1

;

2 · 42

О2М = 6 + 2 · 4 + = 30 (см). 6–4 713. Два кола з радіусами R1 = 3 см і R2 = 6 см дотикаються зовні. Їхня спільна зовнішня дотична перетинає лінію центрів у точці K. Знайдіть відстані від центрів цих кіл до точки K. O1K ⊥ MN; O2N ⊥ MN. ∆МКО1 ∼ ∆MNO2 (∠M — спільний, ∠K = ∠N = 90°).

NO2 KO2

O2 M O2 M

або

R2 R1

R2 +2R1 +AM R1 +AM

;

R1R2 + R2AM = R1R2 + 2R12 + R1AM; R1AM = 2R12; AM =

2R1 2

;

R2 – R1 2R1 2

R2 – R1

;

O1M = R1 + AM = R1 +

O1M = R2 + 2R1 + AM = R2 + 2R1 + R1 = 3 см; R2 = 6 см; О1М = 3 +

2 · 32 6–3

= 9 (см);

2R1 2

R2 – R1

;

2 · 32

О2М = 6 + 2 · 3 + = 18 (см). 6–3 714. Доведіть, що трикутники з відповідно перпендикулярними сторонами — подібні. Нехай дано два трикутники: △ABC і △A1B1C1 такі, що AB ⟂ A1B1, AC ⟂ A1C1, BC ⟂ B1C1, тобто відповідні сторони цих трикутників взаємно перпендикулярні.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Розв’язання: Кут ∠A утворений сторонами AB і AC. Кут ∠A1 утворений сторонами A1B1 і A1C1. Оскільки AB ⟂ A1B1 і AC ⟂ A1C1, то кут між AB і AC дорівнює куту між A1B1 і A1C1. Отже, ∠A = ∠A1. Аналогічно: ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1. Маємо рівність трьох відповідних кутів у трикутниках. За першою ознакою подібності трикутників (за двома кутами): △ABC ∼ △A1B1C1. Висновок: трикутники з відповідно перпендикулярними сторонами є подібними. 715. Доведіть, що відстані від точки перетину медіан трикутника до його сторін утричі менші від довжин відповідних висот трикутника.

∆ABC — довільний трикутник, О — точка перетину медіан. CD — медіана, OK ⊥ AB; CN ⊥ AB. CN — висота до сторони AD. ∆ODK – ∆CDN (∠D — спільний, ∠K = ∠N = 90°). OK OD 3 подібності трикутників маємо = . CN CD Оскільки медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1 (починаючи з вершини), то СО : DO = 2 : 1, тоді OD : CD = 1 : 3. OK OD 1 Звідси = = . CN CD 3 Тобто відстань від т. О до сторони AB утричі менша, ніж висота, проведена до сторони AB.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

716. У рівнобедреному трикутнику з основою АВ через середину висоти СD проведено прямі АK і ВL (K ∈ ВС, L ∈ АС). Знайдіть довжину відрізка KL, якщо: 1) АВ = 3 см; 2) АВ = 4 см; 3) АВ = 5 см.

∆AOB ∼ KOL (k = 4); LK = AB = a. 4

1) a = 3 см; LK = (см); 4 1

2) а = 4 см; LK = · 4 = 1 (см); 4 1

3) а = 5 см; LK = · 5 = = 1 (см). 4 4 4 717. Доведіть, що висоти трикутника обернено пропорційні сторонам, до яких вони проведені.

AK ⊥ BC; AK = ha : BH ⊥ AC; BH = hb. ∆AKC ∼ ∆BHC (прямокутні, ∠С – спільний). AN AC ha b = ; = , Тоді BC hb 1 1

або ha : hb = ∶ . a

Аналогічно: ha : hc = ∶ . 1

Отже, ha : hb : hc = ∶ ∶ . a b c 718. Знайдіть відповідні висоти двох подібних трикутників з коефіцієнтом подібності k, якщо: 1) сума цих висот дорівнює 36, k = 2; 2 2) різниця цих висот дорівнює 10, k = . 3 Відношення відповідних висот трикутника дорівнює коефіцієнту. 1) Нехай x — одна висота, тоді 36 – x — друга висота. 36−x 36 = 2; − 1 = 2; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 36 = 3; 𝑥𝑥 х = 12 — висота одного трикутника;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

36 – 12 = 24 — висота другого трикутника. 2) x; x + 10 — висоти. x 2 = ; 𝑥𝑥+10 3 3x = 2x + 20; x = 20 — одна з висот; 20 + 10 = 30 — друга з висот. 719. У коло з радіусом R вписано трикутник АВС зі сторонами ВС = а і АВ = с. Доведіть, 𝑎𝑎𝑎𝑎 що висоту hb до третьої сторони трикутника можна обчислити за формулою: hb = .

la. in.

2𝑅𝑅

Проведемо діаметр BD. ∠ВАС = ∠BDC (вписані кути, спираються на одну хорду BC). ∠BMA = 90° (ВМ ⊥ АС). ∠BCD = 90° (вписаний, спирається на діаметр). ∆АВМ ∼ ∆DBC (за двома кутами). AB BM Тоді = aбо BD BC hb c = . 2R a ac Звідси hb = . 2R 720. На колі з центром О й радіусом R, у якому проведено два взаємно перпендикулярні діаметри АB і СD, узято точку K. Хорда АK перетинає діаметр СD в точці М, а пряма ВK — його продовження в точці N. Доведіть, що ОМ · ОN = R2.

∠АКВ = 90° (вписаний, спирається на діаметр), тоді ∠NKM = 90° (суміжний з ∠AKB). ∆АОМ ∼ ∆NKM (прямокутні трикутники, у яких ∠AMO = ∠NMK — як вертикальні). AO OM = . (І) Звідси NK KM ∆BON ∼ ∆ВКА (прямокутні, ∠B — спільний). BO ON Звідси = . (II) BK KA ∆ВАК ∼ ∆MKN (прямокутні, ∠BAK = ∠MNK). BK KA Звідси = . (III) MK

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

З рівності (І): ОМ =

AO·KM

NK BO·KA

. З рівності (IІ): ОN = BK З рівності (IIІ): BK · KN = MK · KA. AO·KM BO·KA KM·KA OM · ON = · = AO · BO · . NK

NK·BK KM·KA

la. in.

= 1. Оскільки BK · KN = MK · KA, то NK·BK Отже, OM · ON = AO · OB · 1 = R · R = R2. Тобто OM · ON = R2. 721. У трикутник АВС зі сторонами АС = b і ВС = а вписано ромб CKLM так, що K ∈ АС, L ∈ АВ, M ∈ ВС. Доведіть, що сторону х ромба можна обчислити за формулою x = 𝑎𝑎𝑎𝑎 . 𝑎𝑎+𝑏𝑏 У ∆АВС : АС = b; ВС = а. CKLM — ромб, тому LK ∥ MC; LK ∥ ВС.

Тоді ∆АВС ∼ ∆ALK (∠B = ∠C — відповідні при ВС ∥ LK і січній АВ; ∠A — спільний). BC AC BC AC З подібності: = , або = . LK AK LK AC–KC Нехай x — сторона ромба, тоді LK = КС = х; ВС = а; АС = b. a b Звідси = ; ab – ax = bx; x b−x bx + ax = аb; х(b + а) = аb; ab х= . a+b

. Отже, сторона ромба може бути обчислена за формулою х = a+b 722. У трикутнику АВС з тупим кутом В проведено висоти ВD і СM. Доведіть, що трикутники АВС і АDM подібні. У ∆АВС: ∠B — тупий; BD ⊥ АС; CM ⊥ АВ (М — на продовженні сторони AВ).

Розглянемо чотирикутник DBMC. ∠D + ∠B + ∠M + ∠C = 360°, оскільки ∠BDC + ∠CMB = 90° + 90° = 180°, то ∠MBD + ∠MCD = 360° – 180° = 180°. ∠BDC + ∠CMD = ∠MBD + ∠MCD. ∠BDC і ∠CMD; ∠MBD і ∠MCD — npoтилежні кути чотирикутника DBMC.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Оскільки суми протилежних кутів рівні між собою, то навколо чотирикутника DBMC можна описати коло. 723. Основи трапеції АВСD дорівнюють a і b ( a > b), ∠АDC — тупий. Знайдіть квадрат довжини діагоналі AC, яка ділить трапецію на два подібні трикутники.

la. in.

Якщо AС ділить трапецію на два подібних трикутники і ∠DCA = ∠CAB (внутрішні різносторонні при DC ∥ AB і cічній AС), то ∆DСА ∼ ∆САВ. DC CA = . З подібності трикутників: CA AB 2 Звідси АС = ВС · АВ = аb. 724. Проведемо три прямі через сторони трикутника та ще три прямі — через його вершини паралельно протилежним сторонам. Цими прямими площина трикутника розбивається на 16 областей. Пряма, яка перетинає дві сторони трикутника й паралельна третій його стороні, відтинає від нього подібний трикутник. Дослідіть, якій з областей належать точки, через які: 1) не можна провести жодної такої прямої; області з позначкою 0; 2) можна провести тільки одну таку пряму; області з позначкою 1; 3) можна провести тільки дві такі прямі; області з позначкою 2; 4) можна провести три такі прямі. область з позначкою 3 (центральна).

725. Триповерховий будинок на світлині має висоту 8 мм. Знаючи, що його справжня висота дорівнює 13 м, а глибина камери фотоапарата — 12 см, визначте, на якій відстані від будинку був розміщений фотоапарат. Використаємо подібність (масштаб зображення в камері): ℎ 𝑓𝑓 = , 𝐻𝐻 𝐿𝐿 де h = 8 мм = 0,8 см, H = 13 м = 1300 см, f = 12 см, L — відстань до будинку. Тоді  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

12 12 ∙ 1300 0,8 = ⇒ 𝐿𝐿 = = 19500 см = 195 м 𝐿𝐿 0,8 1300 Відповідь: 195 м. 726. У трикутнику АВС всі вершини недоступні. Як визначити довжини всіх його сторін?

На стороні AC позначаю довільну точку M. Через M проводжу пряму MN, паралельну AB; вона перетинає BC у точці N. Через точку N проводжу пряму NK, паралельну AC. Через точку M проводжу пряму MK, паралельну BC. Прямі NK і MK перетинаються в точці K. Тоді: MN ∥ AB, MK ∥ BC, NK ∥ AC. Отже, у трикутників MNK і ABC відповідні сторони паралельні, тому відповідні кути рівні. За першою ознакою подібності: △MNK ∼ △ABC. Вимірюю сторони MN, MK, NK побудованого трикутника MNK. Через довільну точку провожу пряму, що перетинає кожну пару відповідних паралельних прямих (AB і MN, BC і MK, AC і NK). За узагальненою теоремою Фалеса відрізки, що відтинаються на цій прямій, пропорційні, тому знаходжу коефіцієнт подібності k. Після цього обчислюю сторони даного трикутника: AB = k·MN, BC = k·MK, AC = k·NK. Таким чином, довжини всіх сторін трикутника ABC визначено. 727. На ділянці шляху завдовжки 320 м підйом однаковий. На кінцях ділянки стоять позначки 186,5 м і 194,9 м. 1. Яка позначка відповідає початку ділянки? 2. Яка позначка стоїть наприкінці ділянки? 3. Якою має бути позначка, що відповідає середині ділянки? 4. Яка позначка має бути на відстані 120 м від початку підйому? Розв’язання: Оскільки підйом однаковий, висота змінюється рівномірно. Різниця позначок: 194,9 − 186,5 = 8,4 м. 1. Початок ділянки має меншу позначку: 186,5 м. 2. Кінець ділянки має більшу позначку: 194,9 м. Підйом на 1 м шляху: 8,4 / 320 = 0,02625 м.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

3. Середина ділянки: 160 м від початку. Підйом там: 160 · 0,02625 = 4,2 м. Позначка: 186,5 + 4,2 = 190,7 м. 4. На відстані 120 м від початку підйому: підйом 120 · 0,02625 = 3,15 м. Позначка: 186,5 + 3,15 = 189,65 м. 728. Із селища виходять три дороги в напрямках: 1) південно західному; 2) південному; 3) південно східному. Якою б дорогою не йшов пішохід із селища, відношення його відстаней до двох інших доріг залишається сталим. Поясніть, чому це так.

Нехай з точки O виходять три промені: OА — південно-західний, OB — південний, OC — південно-східний. Візьмемо на одному промені, наприклад на OB, дві довільні точки P і Q. Із точки P опустимо перпендикуляри: PH ⟂ OA, PK ⟂ OC. Із точки Q опустимо перпендикуляри: QH1 ⟂ OA, QK1 ⟂ OC. Розглянемо прямокутні трикутники: △OPH і △OQH1. У них: - по одному прямому куту; - ∠POA = ∠QOA (це той самий кут між променями OB і OA). Отже, ці трикутники подібні (за двома кутами). Тому: 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑄𝑄𝐻𝐻1 𝑂𝑂𝑂𝑂 Аналогічно розглянемо прямокутні трикутники: △OPK і △OQK1. Вони теж подібні, бо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

- мають прямі кути; - мають рівні кути між OB і OC. Звідси: 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑄𝑄𝐾𝐾1 𝑂𝑂𝑂𝑂 Тепер порівняємо відношення відстаней до двох інших доріг: 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑄𝑄𝐻𝐻1 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑄𝑄𝐾𝐾1 Отже, відношення відстаней від пішохода до двох інших доріг не залежить від того, на якій відстані він перебуває від селища, а залишається сталим. Це відбувається тому, що південна дорога є бісектрисою кута між південно-західною та південно-східною дорогами. Із будь-якої точки на цій дорозі перпендикуляри до двох інших доріг утворюють прямокутні трикутники з рівними гострими кутами. Такі трикутники подібні, а в подібних трикутниках відношення відповідних сторін є сталим. Тому, якою б дорогою не йшов пішохід із селища, відношення його відстаней до двох інших доріг залишається незмінним.

§ 13. ДРУГА І ТРЕТЯ ОЗНАКИ ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ 729. Чи правильно, що в другій ознаці подібності трикутників ідеться про: 1) дві сторони та два кути даних трикутників; � Ні — не йдеться про дві сторони та два кути. 2) дві сторони й кут даних трикутників; � Ні — сказано «дві сторони й кут», але без уточнення про пропорційність сторін. 3) рівність двох відповідних сторін даних трикутників; � Ні — рівність двох сторін недостатня для подібності. 4) рівність відповідних кутів даних трикутників; � Ні — рівність кутів сама по собі не є другою ознакою. 5) рівність двох відповідних сторін і кутів між ними даних трикутників; � Ні — тут ідеться про рівність сторін, а не про пропорційність. 6) пропорційність двох відповідних сторін і рівність кутів між ними даних трикутників? � Так — пропорційність двох відповідних сторін і рівність кутів між ними. 730. Чи правильно, що прямокутні трикутники з відповідно пропорційними катетами: 1) рівні; � Ні — з пропорційності катетів не випливає рівність трикутників (рівність вимагає однакових розмірів, а не лише пропорцій). 2) подібні? � Так — якщо катети відповідно пропорційні, то прямокутні трикутники подібні (це наслідок другої ознаки подібності: дві сторони пропорційні й кут між ними рівний; кут між катетами — 90°). 731. Чи правильно, що в третій ознаці подібності трикутників ідеться про: 1) кути даних трикутників; � Ні — про кути не йдеться. 2) сторони й кути даних трикутників; � Ні — кути взагалі не використовуються. 3) рівність сторін даних трикутників; � Ні — потрібна не рівність, а пропорційність сторін.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝐾𝐾𝐾𝐾

𝐿𝐿𝐿𝐿

7,5

4) пропорційність відповідних сторін даних трикутників? � Так — саме пропорційність відповідних сторін. 732. За даними на малюнку назвіть відповідно рівні кути та відповідно пропорційні сторони трикутників. Чи подібні дані трикутники? За якою ознакою? Зробіть відповідні записи.

la. in.

= = . ∠L = ∠B. 𝐵𝐵𝐵𝐵 3 Отже, ∆MLK ∼ ∆СВА (за двома сторонами і кутом між ними). 733. На малюнку задано елементи три кутників DEF i ACB. Чи подібні дані трикутники? 𝐴𝐴𝐴𝐴

≠ , тому трикутники ∆BАС i ∆FDE не є подібними. 7 5 734. Трикутник має сторони 5 см і 8 см. Кут між ними дорівнює 50°. Які виміри може мати подібний йому трикутник? Подібний трикутник може мати відповідні сторони, пропорційні 5 см і 8 см, а кут між ними такий самий 50°. Тобто для будь-якого k > 0: - сторони: 5k см і 8k см, - кут між ними: 50°. Приклади: - k = 2 → 10 см і 16 см, кут 50°; - k = 0,5 → 2,5 см і 4 см, кут 50°; - k = 3 → 15 см і 24 см, кут 50°. 735. На малюнку знайдіть подібні трикутники. Поясніть, чому вони подібні.

∆MCN ∼ ∆АСВ (за двома сторонами і кутом між ними). 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 3 = = ; ∠C — спільний. 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑁𝑁𝑁𝑁 2 736. На малюнку знайдіть подібні трикутники. Поясніть, чому вони подібні.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

∠K ∠P

a = KL ka = PO

la. in.

Подібні трикутники тут такі: △CMN і △CAB. Чому вони подібні: 1. Точки M і N лежать відповідно на сторонах CA і CB. 2. Позначки на бокових сторонах показують, що точки P і Q ділять сторони на рівні частини, а точка M — ще на одну таку саму частину нижче від P (і так само N нижче від Q). Отже, точка M і точка N взяті на сторонах CA і CB на однаковій частці від вершини C, тобто CM : CA = CN : CB. 3. Якщо на двох сторонах трикутника від вершини відкладені пропорційні відрізки, то відрізок, що сполучає кінці цих відрізків, паралельний третій стороні. Тому MN ∥ AB. 4. Тоді ∠CMN = ∠CAB (як відповідні при MN ∥ AB) і ∠CNM = ∠CBA (як відповідні при MN ∥ AB), а кут при вершині C спільний: ∠MCN = ∠ACB. 5. Отже, △CMN і △CAB подібні за двома кутами. Відповідь: △CMN ∼ △CAB, бо MN ∥ AB, тому відповідні кути рівні. 737. У трикутниках KLM і РОН один із кутів дорівнює a. Які дві сторони в них мають бути відповідно пропорційними, щоб трикутники були подібними? Накресліть у зошиті таблицю та заповніть її за зразком, наведеним у першому стовпчику. α 2 сторони α 2 сторони α 2 сторони b = KM

kb = PH

∠L

∠H

a = KL

b = LM

ka = PH

kb = HO

∠M ∠P

a = KM

b = LM

ka = PH

kb = PO

ΔKLM ∼ ΔPOH ΔKLM ∼ ΔPHO ΔKLM ∼ ΔHOP за двома сторонами та кутом за двома сторонами та кутом за двома сторонами та кутом між ними між ними між ними 738. У першому трикутнику дві сторони дорівнюють 5 см і 8 см; у другому — 6 см і 12 см; у третьому — 10 см і 16 см. Кути, утворені цими сторонами, — рівні. Які з трикутників подібні? Відповідь поясніть. Подібні перший трикутник (зі сторонами 5 см і 8 см) і третій (зі сторонами 10 см і 16 см), 5 8 бо = кути між відповідними сторонами рівні за умовою. 10 16 739. У трикутнику АВС на сторонах АВ і АС взято точки D і E. Чи подібні трикутники АВС і АDЕ, якщо: 1) АВ = 12 см, АС = 15 см, ВD = 2 см, СЕ = 7 см; 2) АВ = 15 см, АС = 18 см, ВD = 3 см, СЕ = 8 см; 3) АВ = 20 см, АС = 21 см, ВD = 10 см, СЕ = 10,5 см?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AC AB = ; AB − BD AC − CE ∠A – спільний, якщо ∆ABC ∼ ∆ADE. 12 15 ≠ . Отже, ∆АВС не подібний ∆ADE. 1) 3)

15 − 3 20

20− 10

≠

15 − 7 18

. Отже, ∆АВС не подібний ∆ADE.

18 − 8 21

la. in.

12 − 2 15

. Отже, ∆АВС ∼ ∆ADE.

21− 10,5

740. У трикутнику ВАС на сторонах ВА і ВС взято точки М і Р. Чи подібні трикутники ВАС і ВМР, якщо: 1) ВА = 10 см, ВС = 12 см, АМ = 5 см, СР = 6 см;

BM = BA − AM = 10 − 5 = 5 см BP = BC − CP = 12 − 6 = 6 см BM : BA = 5 : 10 = 1 : 2 BP : BC = 6 : 12 = 1 : 2 Отже, BM : BA = BP : BC ⇒ MP ∥ AC ⇒ △BMP ∼ △BAC. Відповідь: так, подібні. 2) ВА = 22 см, ВС = 16 см, АМ = 11 см, СР = 10 см? BM = BA − AM = 22 − 11 = 11 см BP = BC − CP = 16 − 10 = 6 см BM : BA = 11 : 22 = 1 : 2 BP : BC = 6 : 16 = 3 : 8 1 : 2 ≠ 3 : 8 ⇒ MP не ∥ AC ⇒ △BMP і △BAC не подібні. Відповідь: 1) так; 2) ні. 741. За даними на малюнку назвіть відповідно пропорційні сторони трикутників. Чи подібні дані трикутники? За якою ознакою? Зробіть відповідний запис.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝑂𝑂𝑂𝑂

la. in.

MO ON NM = = = 𝑘𝑘. CA AB BC Отже, ∆OMN ∼ ∆BAC (за трьома сторонами). 742. На малюнку задано сторони трикутників MON i ABC. Чи подібні дані трикутники?

= ≠ , тобто = ≠ . CB CA AB 3 4 5 Отже, ∆MON не подібний ∆ВСА. 743. Трикутник має сторони 5 см, 6 см і 9 см. Які сторони може мати подібний йому трикутник? У подібному трикутнику всі сторони мають бути помножені на одне й те саме число k (k > 0): 5k см, 6k см, 9k см. Приклади: k = 2 → 10 см, 12 см, 18 см k = 0,5 → 2,5 см, 3 см, 4,5 см k = 3 → 15 см, 18 см, 27 см 744. Які з трьох трикутників подібні, якщо їхні сторони дорівнюють: 8 см, 10 см, 14 см; 12 см, 15 см, 21 см; 16 см, 20 см, 30 см? 12 15 21 = = . 10 14 8 Отже, перший і другий трикутники подібні. 745. Сторони одного трикутника дорівнюють а, b і с. У подібному трикутнику найменша сторона дорівнює d. Знайдіть його сторони, якщо: 1) а = 7 см, b = 9 см, с = 12 см, d = 21 см; 2) а = 17 см, b = 8 см, с = 15 см, d = 56 см. d 𝑚𝑚 n 1) = = . 21

𝑚𝑚

= = , 9 12 звідси m = 27 см; n = 36 см. d 𝑚𝑚 n 2) = = . 7

56 8

𝑚𝑚

c n

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

звідси m = 56·15

56·17 8

= 119 (см);

la. in.

n= = 105 (см). 8 746. Сторони одного трикутника дорівнюють 6 см, 5 см і 9 см. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, якщо його найменша сторона дорівнює 25 см. d 𝑚𝑚 n = = . b a c 25 𝑚𝑚 n = = , 6 9 5 звідси m = 30 см; n = 45 см. 747. Чи подібні два рівнобедрені трикутники, якщо бічна сторона й основа одного з них пропорційні бічній стороні й основі іншого? Оскільки бічні сторони рівнобедреного трикутника рівні між собою, то маємо: три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника. Отже, трикутники подібні. 748. Які з трьох прямокутних трикутників подібні, якщо їхні катети дорівнюють: 3 см і 4 см; 5 см і 12 см; 45 мм і 6 см? 4,5 6 = 4 3 Отже, подібні перший і третій прямокутні трикутники. 749. Які з трьох прямокутних трикутників подібні, якщо їхні катети дорівнюють: 1 см і 24 см; 5 см і 12 см; 25 мм і 0,6 дм? Переведемо в однакові одиниці: 3) 25 мм = 2,5 см, 0,6 дм = 6 см Порівняємо відношення катетів (менший до більшого): 1. 1 : 24 2. 5 : 12 3. 2,5 : 6 = 5 : 12 Отже, подібні трикутники 2) і 3). Відповідь: подібні трикутники з катетами 5 см і 12 см та 25 мм і 0,6 дм. 750. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює b, а бічна сторона — а. У подібному трикутнику основа дорівнює с. Знайдіть його периметр, якщо: 1) а = 18 см, b = 12 см, с = 6 см; 2) а = 25 см, b = 14 см, с = 28 см. 1) n – бічна сторона подібного трикутника. c 𝑛𝑛 6 𝑛𝑛 Тоді = ; = ; звідси n = 9 (см); b a 12 18 Р = 6 + 9 + 9 = 24 (см). c 𝑛𝑛 28 𝑛𝑛 2) = ; = ; n = 50 (см); b a 14 25 P = 50 + 50 + 28 = 128 (см). 751. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а бічна сторона — 5 см. Знайдіть периметр подібного йому трикутника, якщо його основа дорівнює 12 см. c 𝑛𝑛 12 𝑛𝑛 = ; = ; b

a 60

n = = 7,5 (см); 8 P = 7,5 + 7,5 + 12 = 27 (см). 752. Периметри двох тупокутних трикутників відносяться як m : n. У першому трикутнику більша сторона дорівнює а. Знайдіть більшу сторону другого трикутника, якщо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) а = 24 мм, m = 2, n = 3; 2) а = 1,5 дм, m = 5, n = 3. b — бічна сторона другого трикутника. 24 2 1) а : b = m : n; = ; b = 36 (мм). b 1,5

3 5

la. in.

2) а : b = m : n; = , звідси b = 0,9 (дм). b 3 753. Периметри двох тупокутних трикутників відносяться як 3 : 4. У першому трикутнику більша сторона дорівнює 12 см. Знайдіть більшу сторону другого трикутника. а : b = m : n; 12 3 = ; b = 1 (см). b 4 754. У прямокутнику АВСD точки Р і Т ділять діагональ АС на три рівні частини. Із цих точок проведено перпендикуляри до сторони АВ. Знайдіть периметри всіх прямокутних трикутників, які при цьому утворилися, якщо: 1) АВ = 16 см, ВС = 63 см, АС = 65 см; 2) АВ = 7 см, ВС = 24 см, АС = 25 см.

ТМ ⊥ АВ; РК ⊥ АВ; СВ ⊥ АВ ⇒ ВС ∥ ТМ ∥ РК. 1) Р∆АВС = 16 + 63 + 65 = 144 (см). ∆АКР ∼ ∆АВС: 1 1 P∆AKP = P∆ABC = · (16 + 63 + 65) = 48 (см). 3 3 ∆АМТ ∼ ∆АВС: 2 2 P∆AMT = P∆ABC = · (16 + 63 + 65) = 96 (см). 3 3 2) P∆ABC = 7 + 24 + 25 = 56 (см). 1 1 2 P∆AKP = P∆ABC = · 56 = 18 (cм). 3 2

3 2

3 1

P∆AMT = P∆АВС = · 56 = 37 (cм). 3 3 3 755. У прямокутнику МОРТ точки А і В ділять діагональ МР на три рівні частини. Із цих точок проведено перпендикуляри до сторони МО. Знайдіть периметри всіх прямокутних трикутників, які при цьому утворилися, якщо МО = 8 см, ОР = 15 см, МР = 17 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB ⊥ MO; CD ⊥ MO; PO ⊥ MO ⇒ OP ∥ DC ∥ AB. P∆MOP = 8 + 15 + 17 = 40 (см). 1 1 1 P∆MBA = P∆MOP = · 40 = 13 (см). 3 2

3 2

la. in.

P∆MDC = P∆MOP = · 40 = 26 (см). 3 3 3 756. У рівнобічній трапеції АВСD діагоналі АС і ВD дорівнюють с і точкою О їх перетину діляться у відношенні m : n. АD – ВC = 4 см. Знайдіть основи трапеції та периметри трикутників ВСО і АDО, якщо: 1) с = 42 мм, m = 8, n = 13; 2) с = 0,8 дм, m = 5, n = 3. Ймовірно в умові помилка. Для того, щоб відповіді співпали з відповідями вкінці підручника, потрібно взяти АD – ВC = 4 мм а не см!

Розглянемо трикутники BCO і DOA. ∠BOC = ∠DOA (вертикальні). ∠BCO = ∠DAO (відповідні при AD ∥ BC). Отже, △BCO ∼ △DOA), тому AD AO DO = = . BC OC OB 1) З подібності: AD 13 = . 8 BC Нехай BC = 𝑥𝑥, тоді AD = 𝑥𝑥 + 4. Маємо: 𝑥𝑥 + 4 13 = , 8 𝑥𝑥 13𝑥𝑥 = 8𝑥𝑥 + 32, 5𝑥𝑥 = 32, 𝑥𝑥 = 6,4 мм. Отже, BC = 6,4 мм, AD = 10,4 мм. Оскільки AO : OC = 13 : 8 і AO + OC = 42, 42 ⋅ 8 = 16 мм, OC = 13 + 8

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

42 ⋅ 13 = 26 мм. 13 + 8 Аналогічно: OB = 16 мм, DO = 26 мм. Периметри: P△BCO = 6,4 + 16 + 16 = 38,4 мм, P△AOD = 10,4 + 26 + 26 = 62,4 мм. 2) AD 5 = . BC 3 Нехай BC = 3𝑥𝑥, AD = 5𝑥𝑥. Тоді: 5𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 = 4, 𝑥𝑥 = 2. Отже, BC = 6 см, AD = 10 см. AO : OC = 5 : 3, AO + OC = 8: AO = 5 см, OC = 3 см; DO = 5 см, OB = 3 см. Периметри: P△BCO = 6 + 3 + 3 = 12 см, P△AOD = 10 + 5 + 5 = 20 см. Відповідь: 1. 6,4 мм, 10,4 мм, 38,4 мм, 62,4 мм; 2. 6 см, 10 см, 12 см, 20 см. 757. У рівнобічній трапеції МОРТ діагоналі МР і ОТ дорівнюють 7 см і точкою С їх перетину діляться у відношенні 2 : 5. Сторона МТ на 4 см довша за сторону ОР. Знайдіть основи трапеції та периметри трикутників ОРС і МТС.

la. in.

AO =

У трапеції точка перетину діагоналей ділить їх у відношенні довжин основ: MT MC TC = = . CP CO OP Оскільки MT > OP, беремо MC : CP = TC : CO = 5 : 2. Тоді з MP = 7: 5 ⋅ 7 = 5 см, MC = 5+2 2 CP = ⋅ 7 = 2 см. 7 З OT = 7: TC = 5 см, CO = 2 см. Нехай OP = x, тоді MT = x + 4. Маємо 8 2 𝑥𝑥 + 4 5 = ⇒ 2𝑥𝑥 + 8 = 5𝑥𝑥 ⇒ 𝑥𝑥 = = 2 см. 2 3 3 𝑥𝑥 Отже,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2 см, 3 Периметри: OP = 2

MT = 6

2 см. 3

8 20 2 +2+2= = 6 см, 3 3 3 20 50 2 +5+5= = 16 см. P△MTC = MT + MC + TC = 3 3 3 2 2 2 2 Відповідь: OP = 2 см, MT = 6 см; P△OPC = 6 см, P△MTC = 16 см. 3 3 3 3 758. У трикутниках АВС і А1В1С1 : ∠А = ∠А1; АВ · А1В1 = АС · А1С1. Доведіть, що △АВС ∼ △А1В1С1. ∠A = ∠A1; AB · A1B1 = АС · A1С1. 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 Звідси = . 𝐴𝐴1 𝐶𝐶1

𝐴𝐴1 𝐵𝐵1

P△OPC = OP + OC + RP =

4 3

LM = 8 · = 6 см;

la. in.

Отже, ∆АВС ∼ ∆А1С1В1. 759. У трикутниках АВС і KLM: ∠А = ∠K, АВ = c, ВС = c + 2, АС = c – 2, KL = nс, KM = nс – 2n. Знайдіть сторони трикутників, якщо: 1) с = 5 см, n = 3; 3 2) с = 6 см, n = . 4 KL nc = = n; c AB KM nc − 2n = = n; c−2 AC ∆KLM ∼ ∆ABC (k = n). 1) AB = 5 cм; BC = 7 cм; AC = 3 см. KL = 5 · 3 = 15 см; LM = ВС · 3 = 7 · 3 = 21 см; KM = АС · 3 = 3 · 3 = 9 см. 2) АВ = 6 см; ВС = 8 см; АС = 4 см. 3 KL = 6 · = 4,5 см; 4 3

КМ = 4 · = 3 см. 4 760. У трикутниках ТОМ і ВСЕ: ∠Т = ∠В, ТО = 8 см, ОМ = а + 2, ТМ = а – 2, ВС = ра, ВЕ = ра – 2р. Знайдіть сторони трикутників, якщо р = 2. BC pa = = p; a TO BE pa − 2p = = p; a−2 TM ∠Т = ∠М. ∆ВСЕ ∼ ∆ТОМ (k = а). ТО = 8 см; ОМ = 8 + 2 = 10 см; ТМ = 6 см. ВС = 8 · 2 = 16 см; ВЕ = 8 · 2 – 2 · 2 = 12 см. 761. Доведіть, що в подібних трикутниках відповідні медіани відносяться як сторони, до яких вони проведені.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай △ ABC ∼△ KLM (відповідність вершин: (A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M). Нехай BD і LN — медіани, проведені відповідно до сторін AC і KM (тобто D — середина AC, N — середина KM). Оскільки трикутники подібні, існує коефіцієнт подібності ) такий, що AC AB BC = = = k, KL LM KM ∠A = ∠K, ∠C = ∠M. AC KM 1. Бо D — середина AC, маємо AD = . Аналогічно N — середина KM, тому KN = . 2 2 Отже, AC AD AC/2 = = = k. KN KM/2 KM 2. Розглянемо трикутники ABD і KLN. Маємо: ∠BAD = ∠K (бо D ∈ AC), а також AD AB = k, = k. KN KL Отже, за другою ознакою подібності (дві сторони пропорційні і кут між ними рівний) △ ABD ∼△ KLN. Звідси BD AB = = k. LN KL 3. Аналогічно, розглянувши △ CBD і △ MLN, отримаємо, що BD BC = = k. LN LM AC BD Тепер з = k та = k маємо KM LN BD AC = . LN KM Отже, у подібних трикутниках відповідні медіани відносяться як сторони, до яких вони проведені: AC mAC = . mKM KM Доведено. 762. Два подібні трикутники мають по медіані, що дорівнюють одна одній. Чому не можна стверджувати, що дані трикутники рівні?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Не можна стверджувати, що дані трикутники рівні, бо рівні медіани можуть бути не відповідними. 763. Сторони кута А одна пряма перетинає в точках K i L, а інша — в точках M i N 1 відповідно, причому KL : MN = : 0,25, KМ = 3 см. Якої довжини повинен бути відрізок 5 АK, щоб дані прямі були паралельними?

la. in.

Якщо KL ∥ MN, тo ∆AKL ∼ ∆AMN, AK KL тоді = .

Нехай AK = x, тоді

x+3

1 5

0,25

;

0,25x = 0,2x + 0,6; 0,05x = 0,6; x = 12. Отже, щоб KL ∥ MN треба, щоб AK = 12 см. 764. Висота трикутника ділить основу у відношенні m : n. У якому відношенні серединний перпендикуляр до основи ділить бічну сторону, якщо: 1) m = 5, n = 9; 2) m = 3, n = 5?

1) BK ⊥ AC; AK : КС = 5 : 9; М — середина AC; MP ⊥ AC; P ∈ ВС. ∆BKC ∼ ∆РМС (за двома кутами). KC BC = ; Тоді MC 1

MC = (AK + KC); 9

PC KC

, тоді BP : PC = 2 : 7. =

MC 5 BC

BC PC

;

= ;, тоді BP : PC = 1 : 4. PC 765. У гострокутному трикутнику АВС проведено висоти ВН і СМ. Доведіть, що △АВС ∼ △АМН. 4

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Центром кола, описаного навколо ∆CMB є середина ВС, т. Н лежить на цьому ж колі, бо ∆СВМ і ∆ВСН прямокутні із спільною гіпотенузою ВС. ∠BCM = ∠BHM (вписані кути, що спираються на спільну хорду ВМ; ∠BOC = ∠МОН — вертикальні). Отже, ∆МОН ∼ ∆ВОС. Нехай ∠ВСМ = ∠BHM = х, тоді ∠MBC = 90° – x (з ∆МВС), але ∠ABC = ∠MBC. ∠BHA = 90° (ВH ⊥ AС; ∠BHM = х), тоді ∠AHM = 90° – x. У ∆АВС і ∆АНМ: ∠A — спільний; ∠ABC = ∠AHM; ∠ABC = ∠AHM. Тоді ∆АВС ∼ ∆АНМ. 766. Медіана АА1 трикутника ABC утворює кут АА1С, який дорівнює кутові ВАС. Чому дорівнює відношення квадратів сторін ВС і АС цього трикутника?

У ∆АВС і ∆A1AC ∠C — спільний; ∠CAB = ∠CA1A. Тому ∆АВС ∼ ∆А1AС. AB BC AC Звідси = = . A1 A

A1 C

Звідси АС = ВС · А1С = ВС · ВС = ВС2; 2

ВС : АС = ВС : ( BC ) = 2. 2 767. Точка Е — середина сторони ВС паралелограма АВСD. Відрізок АЕ перетинає діагональ ВD в точці K. Знайдіть відношення відрізків: 1) АK і KЕ; 2) ВK і KD. 2

ABCD — паралелограм: ВС ∥ AD; АЕ — січна, тому ∠BEK = ∠KAD. ∆ВКЕ ∼ ∆DKA (∠BEK = ∠KAD; ∠BKE = ∠DKA — вертикальні). З подібності трикутників маємо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html BE

= (за умовою Е — середина ВС). 2

Звідси АК : КЕ = 2; BK : KD = . 2 768. Висота ВМ рівнобічної трапеції АВСD ділить діагональ АС у від ношенні m : n. У якому відношенні вона ділить сторону АD, якщо: 1) m = 1, n = 2; 2) m = 1, n = 1?

la. in.

CK ⊥ AD. ∆ABM = ∆DCK. Тоді АM = DK, ВС = МК. ∆АОМ ∼ ∆СОВ (за двома кутами: ∠AOM = ∠COB — вертикальні; ∠CBO = ∠AMO = 90°). Тоді AM : ВС = AО : ОС = m : n. 1) АМ : ВС = 1 : 2; AM = 1x; BC = 2x. Тоді MD = 2х + х = Зх; AM : MD = 1x : 3x = 1 : 3. 2) АМ : ВС = 1 : 1; AM = 1x; ВС = 1x. 769. Чи будуть подібними два прямокутні трикутники, якщо в них: 1) відношення гіпотенуз дорівнює відношенню радіусів описаних кіл; 2) відношення двох катетів дорівнює відношенню радіусів описаних кіл; 3) відношення гіпотенуз дорівнює відношенню радіусів вписаних кіл?

1) Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи. Тому відношення гіпотенуз до радіусів кіл, описаних навколо прямокутних трикутників, завжди рівні. Стверджувати про подібність таких трикутників не можна. a R 2) = . a1

Оскільки СО = R, C1O1 = R1, то ∆СВО ∼ ∆С1B1O1 (за трьома сторонами). Звідси ∠B = ∠B1, тоді ∆СВА ∼ ∆C1B1A1 (за двома сторонами і кутом між ними: ∠B – ∠B1; a R = ). a1

3) Трикутники будуть подібними. 770. Прямокутні трикутники з відповідно пропорційними катетом і гіпотенузою — подібні. Доведіть.  shkola.in.ua

A1 C1

A1 B1

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

A1 C1 AP

A1 B1 2AC

la. in.

На продовженні сторони АС відкладемо СР = СА. З’єднаємо Р і В. На продовженні сторони A1C1 відкладемо С1Р1 = С1A. Тоді ∆АСB = ∆РСВ і AB = ВР. Аналогічно ∆А1С1В1 = ∆Р1С1В1 і А1В1 = Р1В1. AC AB Нехай = = k,

тоді = = k; A1 P1 2A1 C1 PB AB = = k. A1 B1 P1 B1 Тоді ∆РАВ ∼ ∆Р1А1В1 (за трьома сторонами). Звідси ∠A = ∠A1, AC AB тоді ∆САВ ∼ ∆C1A1В1 (за двома сторонами = і кутом між ними ∠A = ∠A1). A1 C1

A1 B1

771. За стороною а трикутника визначте відстань між точками, які ділять дві інші сторони у відношенні 1 : m, починаючи від сторони а.

Якщо т. Р і т. K ділять сторони AB і ВС в однаковому відношенні, то ∆ВРК ∼ ∆BAC. AC AB Звідси = . PK PB АС = а; АВ = 1х + mх (АР = 1х; РВ = mх); 1x + mx 1 + m a = = . mx ma m PK Звідси РК = . 1+m 772. У рівнобедрений трикутник вписано прямокутник так, що його діагоналі відповідно паралельні бічним сторонам трикутника. Знайдіть відношення, у якому вершини прямокутника ділять бічні сторони трикутника, починаючи від вершин основи.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

КN ∥ АВ; МР ∥ ВС. 1 Звідси МВNО — паралелограм, тому MB = NO = d (d — діагональ прямокутника). 2 AM ∥ KN; MN ∥ AC, тому AMNK — паралелограм. Звідси AM = d. 1 AM : MB = d : d = 2 : 1. 2 Аналогічно CN : NB = 2 : 1. 773. З вершини тупого кута ромба проведено дві висоти. Відстань між кінцями висот дорівнює половині більшої діагоналі. Знайдіть кути ромба.

∆ACD ∼ ∆KHD. Звідси

= 2.

Тоді АК = KD; AK = AD; AD = AB; АК = АВ. 2 2 У ∆АВК : АК — катет; AB — гіпотенуза. 1 Оскільки АК = АВ, тоді ∠ABK = 30°; ∠BAK = 60°. 2 У ромбі ABCD: ∠A = ∠C = 60°; ∠B = ∠D = 120°. 774. За основами а і b трапеції (а > b) визначте: 1) відстань між точками, які ділять бічні сторони у відношенні 1 : m, починаючи від меншої основи; 2) довжину відрізка, що проходить паралельно основам через точку перетину діагоналей; 3) довжину відрізка, що проходить паралельно основам через точку перетину продовжених бічних сторін і має кінці на продовженнях діагоналей. 1) K і P — точки, які ділять бічні сторони у відношенні 1 : m. Нехай ВК = 1х; КА = mх. Проведемо BN ∥ CD. BCDN — паралелограм, ОР = ND = ВС = b. ∆BKO ∼ ∆BAN; BA = mx + 1x. KO BK = . AN BA  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Звідси КО =

AN· BK BA

a− b

;

1x+ mx 1+ m a− b a− b+ b+ bm

+b=

1+ m

a+ bm 1+ m

KP = KO + OP =

(a− b)·1x

la. in.

2) O — точка перетину діагоналей, MN ∥ AD; О ∈ MN. ∆ВОС ∼ ∆DOA (за двома кутами). BO b CO Звідси = = . OD a AO Нехай ВО = bx; OD = ах; BD = bx + ax; CO = bx; OA = ax. ∆BMO ∼ ∆BAD. MO BO = ; AD BD BO· AD bx· a ba MO = = = ; bx+ ax CO

∆CNO ∼ ∆CDA. ON =

MN =

CO· AD CA 2ba

b+ a

CA bx· a

bx+ ax

b+ a ON

;

AD ba

b+ a

;

3) ABCD — трапеція. О — точка перетину продовження AB і DC. а ∥ AD; О ∈ а. Р — точка перетину а з DB; К — точка перетину а з АС. ∆ОВА ∼ ∆OAD. OD AD OD a = ; = . OC BC OC b Нехай ОD = ах; OС = bх. Тоді CD = ax – bx = (а – b)x. ∆ОСK ∼ ∆DСА. OK OC = . Звідси AD

Тоді ОК =

CD AD · OC CD

Аналогічно РО = Тоді РК =

2ab

a−b

a · bx

(a−b)x ab

a−b

;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

775. Відрізок із кінцями на бічних сторонах трапеції проходить через точку перетину діагоналей і паралельний основам. Доведіть, що цей відрізок точкою перетину діагоналей ділиться навпіл.

∆COP ∼ ∆CAD. AD AC AO+OC AO Звідси = = = + 1; OP OC OC OC AD OP = . AO +1 OC ∆BOK ∼ ∆BDA. AD BD BO+OD OD Звідси = = = + 1; KO BO BO BO AD . OK = OD +1 BO AO OD = (з подібності ∆AOD i ∆COB), то OP = OK. Оскільки OC BO Тобто О – середина КР. 776. Основи трапеції відносяться як m : n. Середину О однієї з основ сполучено відрізками з кінцями іншої основи. Проведені відрізки перетинають діагоналі трапеції в точках М і N. Знайдіть відстань між цими точками, якщо: 1) точка О належить меншій основі трапеції, m = 1, n = 4; 2) точка О належить більшій основі трапеції, m = 2, n = 3. 1) ABCD — трапеція. ВС : AD = m : n. ON OC m ∆OCN ∼ ∆DAN, тоді = = . DA ON

DN MN

= . ∆OMN ∼ ∆AOD, тоді AD OD m mn MN = ; MN = . 2n + m 2n + m n 1·4 1 = . Якщо m = 1, n = 4, то MN = 2 · 4+1

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) ABCD — трапеція. BC : AD = m : n. ON n = . ∆ODN ∼ ∆CBN. Тоді CN MN

2m ON

2 · 2+3

la. in.

= . ∆OMN ∼ ∆OBC. Тоді BC OC n nm MN = ; MN = . n + 2m 2m + n m Якщо m = 2, n = 3, 2·3 6 то MN = = . 7

777. Два кола перетинаються в точках А і В. Дотичні до кіл у точці А перетинають кола в точках М і N. Доведіть, що середини хорд АМ і АN, а також точки А і В лежать на одному колі.

Дано: кола з центрами O і O1 перетинаються в точках A і B, AM і AN — дотичні до кіл, точки F та H — середини хорд AM та AN; Довести: A, F, B, H лежать на одному колі; Доведення: 1) за властивістю кута між дотичною та хордою ∠MAB = ∠ANB (для кола з центром O1) та ∠NAB = ∠AMB (для кола з центром O), отже △ MAB ∼△ ABN за двома кутами; 2) оскільки BF та BH — медіани до відповідних сторін у подібних трикутниках, то  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

△ ABF ∼△ NBH, звідки ∠ABF = ∠NBH; 3) тоді кут ∠FBH = ∠ABF + ∠ABH = ∠NBH + ∠ABH = ∠ABN; 4) сума протилежних кутів чотирикутника AFBH дорівнює ∠FBH + ∠FAH = ∠ABN + (∠MAB + ∠BAN) = ∠ABN + ∠ANB + ∠BAN = 180∘ (як сума кутів △ ABN); 5) оскільки сума протилежних кутів становить 180°, точки A, F, B, H лежать на одному колі. 778. Висота ВН трикутника АВС ділить медіану АМ у відношенні 3 : 1, починаючи від вершини А. У якому відношенні точка Н ділить сторону АС?

ВН ⊥ АС; ВМ = МС. АК : КМ = 3 : 1. Проведемо MF ⊥ AC, тоді ∆BHC ∼ ∆MFC, BC HC HC звідси = ; 2= ; MC FC FC HC = 2FC; HF = FC. ∆AMF ∼ ∆AKH, AK AH 3 AH звідси = ; = ; AH = 3FH. KM AH

HF 1 HF 3FH 3

= = . Звідси HC 2FH 2 779. Медіана ВМ ділить висоту АН трикутника АВС у відношенні 3 : 1, починаючи від вершини. У якому відношенні ця висота ділить медіану ВМ?

AH ⊥ BC; AM = MC; AK : KH = 3 : 1. Проведемо HF ∥ BM, AM AK 3 тоді = = ; AM = 3MF. MF KH 1 Тоді FC = 2MF. ∆CFH ∼ ∆CMB. CH CF 2MF = = = 2. Звідси BH MF MF Отже, CH = 2BH. Проведемо MG ⊥ BC. Тоді HG = GC = BH, ∆BKH ∼ ∆BMG. BK BH Звідси = = 1. KM HG 780. На малюнку ви бачите дачний столик у поперечному розрізі. АD і ВС — дві з чотирьох його ніжок. АО = ВО = 52 см, ОС = ОD = 88 см, ЕF — розріз горизонтальної  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

поверхні стола, GH — лінія підлоги. Поясніть, чому за такої будови столика прямі ЕF і GH — паралельні.

la. in.

1) Розглянемо △ AOB і △ DOC, у яких ∠AOB = ∠COD як вертикальні кути; 2) Оскільки AO = BO = 52 см і OD = OC = 88 см, то відношення відповідних сторін рівне: AO BO 52 13 = = = ; OD OC 88 22 3) Отже, △ AOB ∼△ DOC за другою ознакою (за двома сторонами та кутом між ними); 4) Із подібності трикутників випливає рівність відповідних кутів: ∠OAB = ∠ODC; 5) Ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих AB і CD та січній AD, а оскільки вони рівні, то за ознакою паралельності AB ∥ CD, а отже і EF ∥ GH. 781. Як знайти відстань між двома пунктами А і В, між якими не можна пройти? Для знаходження відстані AB потрібно обрати доступну точку C (вершину), виміряти відстані AC та BC, а також кут ∠C між ними, після чого на папері побудувати трикутник A1B1C1, у якого C1 = C та сторони A1C1 і B1C1 пропорційні виміряним, тоді за другою AC ознакою △ABC ∼ △A1B1C1, а шукану відстань знаходять за формулою AB = A1B1 ∙ . A1 C1

782. У певний момент часу тінь від двометрової віхи мала довжину 1,4 м, а тінь від дерева (якщо міряти від стовбура) — 6,3 м. Визначте висоту дерева, знаючи, що діаметр стовбура біля землі дорівнює 1,2 м. Для визначення висоти дерева h спочатку обчислимо повну довжину його тіні L, додавши до відстані від стовбура (6,3 м) радіус стовбура (1,2 : 2 = 0,6 м), що дає L = 6,9 м, а потім із подібності прямокутних трикутників за двома кутами (спільний кут падіння сонячних h 6,9 променів та прямі кути) складемо пропорцію = , звідки висота дерева h=

2⋅6,9 1,4

≈ 9,86 м.

1,4

783. Чому вдень за тінню можна визначити висоту дерева, а вночі за тінню від ліхтаря — ні? Вдень сонячні промені вважаються паралельними через величезну відстань до Сонця, що створює подібні трикутники для предмета і його тіні, тоді як вночі промені від близького ліхтаря розходяться під кутом, через що довжина тіні залежить не лише від висоти дерева, а й від його відстані до джерела світла. 784. Щоб поділити відрізок АВ на три рівні частини, діяли так. На промені АD, що не збігається з АВ, відклали рівні відрізки АЕ і ЕK. Потім на промені KВ побудували точку Т так, щоб KВ = ВТ. Пряма ТЕ поділила відрізок АВ у відношенні 2 : 1. Отже, одержали, що менший з утворених відрізків дорівнює третині АВ. Більший з утворених відрізків поділили навпіл. Обґрунтуйте таку побудову.

 shkola.in.ua

la. in.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай пряма TE перетинає AB у точці P. Треба довести, що AP : PB = 2 : 1, а тоді менший 1 відрізок справді дорівнює AB, і другу частину можна поділити навпіл. 3 1. Маємо AE = EK, отже E — середина відрізка AK. 2. Побудовано T на промені KB так, що KB = BT. Отже B — середина відрізка KT. 3. У трикутнику AKT точки E і B — середини двох сторін AK і KT. Тому відрізок EB є середньою лінією трикутника AKT, звідси EB ∥ AT. 4. Розглянемо трикутники △PBE і △PAT. ∠PBE = ∠PAT (як внутрішні різносторонні при EB ∥ AT і січній AB), ∠PEB = ∠PTA) (як внутрішні різносторонні при EB ∥ AT і січній ET). Отже, △PBE ∼ △PAT (за двома кутами). З подібності: PB BE = . PA AT 1 5. В трикутнику AKT відрізок EB — середня лінія, тому BE = AT (згідно властивості 2 середньої лінії трикутника). Тоді PB 1 = ⇒ AP ∶ PB = 2 ∶ 1. PA 2 1 2 Отже, PB = AB, AP = AB. Менший із відрізків справді дорівнює третині AB. А більший 3 3 AP ділять навпіл і отримують ще одну точку поділу, тобто AB поділено на три рівні частини.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

§ 14. ЗАСТОСУВАННЯ ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ 785. У трикутнику KLM проведено медіани KK1, LL1, MM1, які перетинаються в точці О.

1) 2)

la. in.

Чи правильно, що: 1) KО : ОK1 = 2 : 1; Так. Точка O лежить на медіані KK1 і ділить її так, що відрізок від вершини K до O удвічі більший за відрізок від O до середини сторони K1. 2) L1О : LО = 2 : 1; Ні. На медіані LL1 правильне відношення таке: LO : OL1 = 2 : 1. Тому у записі L1O : LO отримаємо 1 : 2, а не 2 : 1. 3) ОM : M1О = 2 : 1? Так. На медіані MM1 відрізок від вершини M до точки O у два рази більший, ніж відрізок від O до середини сторони M1. 786. Запишіть, чому дорівнює відношення відрізків, на які бісектриса трикутника ділить протилежну сторону.

LB DL

LT NL

CB DK

KT MN

3) = . LO MO 787. Чи правильно записано співвідношення для трикутника АСВ:

1) CH = АС · ВС; — ні 2) CH2 = АВ · ВH; — ні 3) CH2 = АH · ВH; — так 4) АC = АH · ВH; — ні 5) АC2 = ВС · АВ; — ні 6) АC2 = АH · АВ; — так

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

медіана 12 см — на 12 ∙ = 8 см і 12 ∙ = 4 см, 3 2

медіана 15 см — на 15 ∙ = 10 см і 15 ∙ = 5 см. 3

la. in.

7) ВC = ВА · АH; — ні 8) ВC2 = АС · ВА; — ні 9) ВC2 = ВH · ВА? — так 788. Медіани трикутника дорівнюють: 1) 9 см, 12 см і 15 см; 2) 6 см, 6 см і 3 см; 3) 45 см, 45 см і 45 см. Знайдіть довжини частин, на які вони діляться точкою їх перетину. За властивістю медіан трикутника, точка їх перетину ділить кожну медіану у відношенні 2:1, рахуючи від вершини, тому: 2 1 1) медіана 9 см ділиться на 9 ∙ = 6 см і 9 ∙ = 3 см, 2

2) медіани завдовжки 6 см діляться на 6 ⋅ = 4 см і 6 ⋅ = 2 см, 2

медіана 3 см — на 3 ⋅ = 2 см і 3 ⋅ = 1 см. 3 3 3) оскільки всі три медіани дорівнюють 45 см, кожна з них ділиться на частини 2 1 45 ⋅ = 30 см та 45 ⋅ = 15 см. 3 3 789. Медіани трикутника дорівнюють 18 см, 18 см і 27 см. Знайдіть довжини частин, на які вони діляться точкою їх перетину. Медіани завдовжки 18 см діляться точкою перетину на відрізки 12 см і 6 см: 2 1 18 ⋅ = 12 та 18 ⋅ = 6, 3 3 а медіана 27 см — на 18 см і 9 см, бо : 2 1 27 ⋅ = 18 та 27 ⋅ = 9. 3 3 790. Знайдіть довжини медіан трикутника, якщо відстані від точки їх перетину до вершин трикутника дорівнюють: 1) 12 см, 16 см і 24 см; 2) 4 см, 4 см і 6 см; 3) 8 см, 8 см і 8 см. Точка перетину медіан ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1 від вершини, тобто 2 3 відстань = медіани, тому медіана = = 1,5 цієї відстані. 3 2 1) 12 ∙ 1,5 = 18 см, 16 ∙ 1,5 = 24 см та 24 ∙ 1,5 = 36 см; 2) 4 ∙ 1,5 = 6 см, 4 ∙ 1,5 = 6 см та 6 ∙ 1,5 = 9 см; 3) 8 ∙ 1,5 = 12 см. 791. Знайдіть довжини медіан трикутника, якщо відстані від точки їх перетину до вершин трикутника дорівнюють 6 см, 10 см і 14 см. Точка перетину медіан ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1 від вершини, тобто 2 3 відстань = медіани, тому медіана = = 1,5 цієї відстані. 3 2 6 ∙ 1,5 = 9 см; 10 ∙ 1,5 = 15 см; 14 ∙ 1,5 = 21 см; 792. У трикутнику АВС проведено бісектрису ВD, яка ділить сторону АС на відрізки АD i DC. AB 10 см 21 см 3 см 5 см BC 15 см 18 см 5 см 15 см AC 20 см 26 см 4 см 12 см  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

AD 12 см 14 см 1,5 см 3 см DC 8 см 12 см 2,5 см 9 см 20−x 10 1) CD = x; AD = 20 – х; = ; x 15 10x = 300 – 15х; 15х = 300; x = 12; CD = 12 (см); AD = 20 – 12 = 8 (см). AB AD BC · AD 18 · 14 2) = ⇒ DC = = = 12 см. BC DC BC 21 AC = AD + DC = 14 + 12 = 26 (cм). 793. Із вершини В трикутника АВС (АВ > ВС) проведено бісектрису ВL і медіану ВM. Яка з двох точок (L чи M) розміщена ближче до вершини С? Висновок поясніть.

У ∆АВС AB > BC. BL — бісектриса; BM — медіана. AB AL За властивістю бісектриси трикутника: = . BC LC Оскільки AB > ВС, то AL > LC. За властивістю медіани: AM = МС. Отже, до вершини С знаходиться ближче точка L. 794. Із вершини В трикутника АВС (ВС > АВ) проведено медіану ВM і висоту ВН. Яка з двох точок (M чи Н) розміщена ближче до вершини А? Висновок поясніть.

ВН — висота, ВН ⊥ АС. ВA і ВС — похилі, ВС > ВА, тому СН > АН. ВМ — медіана; т. М ділить АС навпіл. АН < АМ. Отже, до вершини А ближче розміщена т. Н. 795. За даними на малюнках знайдіть: 1) гіпотенузу; 2) катети; 3) висоту, проведену до гіпотенузи.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Мал.1: 1) AB = 16 + 9 = 25; 2) AC = √16 · 25 = 4 · 5 = 20; CB = √9 · 25 = 3 · 5 = 15; 3) CK = √16 · 9 = 4 · 3 = 12. Мал.2: 1) KN = 25 + 144 = 169; 2) KM = √25 · 169 = 5 · 13 = 65; NM = √144 · 169 = 12 · 13 = 156; 3) MH = √25 · 144 = 5 · 12 = 60. 796. У трикутнику PRQ знайдіть: 1) гіпотенузу; 2) катети; 3) висоту, проведену до гіпотенузи.

1) PQ = 225 + 64 = 289; 2) RP = √225 · 289 = 15 · 17 = 255; RQ = √64 · 289 = 8 · 17 = 136; 3) RT = √225 · 64 = 15 · 8 = 120. 797. За даними на малюнках визначте довжину відрізка х (АВ — діаметр кола).

Мал. 1. ΔАСВ — прямокутний (∠АСВ = 90° — вписаний, спирається на діаметр). x = CM = R = 2. Мал. 2. ΔАСВ — прямокутний (аналогічно). 𝑥𝑥 = √4 ⋅ 1 = 2. Мал. 3. ΔАСВ — прямокутний, 𝑥𝑥 = √4 ⋅ 9 = 6. 798. Із точки кола проведено перпендикуляр до діаметра. Знайдіть відстань від цієї точки до діаметра, якщо одержані відрізки діаметра дорівнюють: 1) 16 см і 1 см; 2) 0,5 см і 8 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB — діаметр, C — точка кола, CK ⟂ AB 1) AK = 1 см; KB = 16 см.

la. in.

ΔACB — прямокутний. CK = √AK ⋅ KB = √1 ⋅ 16 = 4 (см). 2) AK = 0,5 см; KB = 8 см; CK = �0,5 ⋅ 8 = 2 (см). 799. Перпендикуляр, проведений з точки кола до діаметра, ділить діаметр на відрізки 9 см і 4 см. Знайдіть відстань від цієї точки до діаметра. AB — діаметр, C — точка кола, CK ⟂ AB, AK = 4 см; KB = 9 см;

CK = √AK ⋅ KB = √4 ⋅ 9 = 6 (см). 800. Через точку перетину медіан трикутника проведено пряму, паралельну одній зі сторін. У якому відношенні ця пряма ділить інші сторони трикутника?

Нехай у △ABC точка O — перетин медіан. Проведемо через O пряму, паралельну стороні BC. Нехай вона перетинає сторони AB і AC у точках M і N. Відомо: AO : OA1 = 2 : 1, де A1 — середина BC (властивість медіан). Оскільки MN ∥ BC, то: △AMN ∼ △ABC (за двома кутами). Тоді:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

12 · = 8 см 3 2

18 · = 12 см 3 2

la. in.

AM : AB = AO : AA1. Але AO : AA1 = 2 : 3 (бо AO = 2 частини, OA1 = 1 частина, разом AA1 = 3 частини). Отже: AM : AB = 2 : 3. Тобто M ділить AB у відношенні: AM : MB = 2 : 1. Аналогічно: AN : NC = 2 : 1. Відповідь: пряма ділить обидві сторони трикутника у відношенні 2 : 1 (рахуючи від вершини). 801. У трикутнику зі сторонами 12 см, 18 см і 24 см через точку перетину медіан проведено пряму, паралельну одній зі сторін. Знайдіть сторони утвореного трикутника. Розв’язання: 1. Точка перетину медіан ділить кожну медіану у відношенні 2:1 (від вершини). 2. Пряма через цю точку, проведена ∥ одній зі сторін, відтинає від трикутника менший 2 трикутник, подібний до даного, з коефіцієнтом подібності (бо від вершини до цієї 3 прямої відкладається 2 частини з 3 по відповідній медіані). 2 3. Отже, сторони утвореного трикутника дорівнюють відповідних сторін даного: 3

24 · = 16 см 3 Відповідь: 8 см, 12 см, 16 см. 802. Одна зі сторін паралелограма є середньою лінією трикутника, а інші вершини паралелограма лежать на відповідних медіанах трикутника. У якому відношенні ці вершини паралелограма ділять медіани трикутника, рахуючи від відповідних вершин трикутника? Дано: △ABC; M, N, P — середини сторін; MN — середня лінія △ABC, MN ∥ AC і MN — сторона паралелограма; D і E — інші вершини паралелограма, причому D лежить на медіані CM, а E лежить на медіані AN.

Розв’язання: Нехай O — точка перетину медіан △ABC. 1. Оскільки MN — середня лінія, то: 1 MN ∥ AC і MN = AC. 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2. У паралелограмі MNDE маємо: DE ∥ MN і DE = MN. 1 Отже, DE ∥ AC і DE = AC. 2 3. Розглянемо трикутники ODE і OAC. Вони подібні за двома кутами (бо DE ∥ AC). DE 1 Коефіцієнт подібності: k = = . AC 2 4. З подібності маємо: 𝑂𝑂E 1 1 = , тобто OE = OA. OA 2 2 Отже: OE — одна частина, OA — дві частини. 5. Але відомо, що точка O ділить медіану AN у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини A, тобто: AO : ON = 2 : 1. 1 Оскільки OE = OA, то точка E відсікає рівно одну з цих двох частин. 2 Тому: AE : EN = 1 : 2. 6. Аналогічно доводиться, що: CD : DM = 1 : 2. Відповідь: точки E і D ділять відповідні медіани у відношенні 1 : 2, рахуючи від вершин трикутника. 803. Чи правильно, що АK є бісектрисою трикутника АВС, якщо: 1) АВ = 12 см, AC = 16 см, ВK = 6 см, СK = 8 см; 2) АВ = 5 см, AC =15 см, ВK = 4 см, СK = 16 см? Розв’язання: AK — бісектриса ⇔ BK : CK = AB : AC. 1) BK : CK = 6 : 8 = 3 : 4, а AB : AC = 12 : 16 = 3 : 4 ⇒ так, AK — бісектриса. 2) BK : CK = 4 : 16 = 1 : 4, а AB : AC = 5 : 15 = 1 : 3 ⇒ не рівні ⇒ ні, AK — не бісектриса. Відповідь: 1) так; 2) ні. 804. Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 12 см, 15 см. Знайдіть відрізки, на які бісектриса трикутника ділить його найбільшу сторону. Розв’язання: Найбільша сторона — 15 см. Бісектриса, проведена до цієї сторони, ділить її у відношенні прилеглих сторін: 8 : 12 = 2 : 3. Нехай шукані відрізки дорівнюють 2x і 3x. Тоді: 2x + 3x = 15 5x = 15 x = 3. Отже, відрізки: 2x = 6 см, 3x = 9 см. Відповідь: 6 см і 9 см. 805. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 120 см, а бісектриса прямого кута ділить діагональ у відношенні 3 : 5. Розв’язання: Нехай сторони прямокутника дорівнюють a і b. Тоді: 2(a + b) = 120 ⇒ a + b = 60.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Розглянемо прямокутний трикутник, утворений сторонами прямокутника і його діагоналлю. Бісектриса прямого кута ділить протилежну сторону (діагональ) у відношенні прилеглих сторін: a : b = 3 : 5. Нехай a = 3x, b = 5x. Тоді: a + b = 3x + 5x = 8x = 60 ⇒ x = 7,5. Отже: a = 3x = 22,5 см, b = 5x = 37,5 см. Відповідь: 22,5 см і 37,5 см. 806. Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть відрізки, на які бісектриса кута прямокутника ділить його діагональ, що дорівнює 10 см. Розв’язання:

У прямокутнику з сторонами 6 і 8 візьмемо △ABC, де: ∠A = 90° (кут прямокутника), AB = 6, AC = 8, BC = 10 (діагональ). Нехай AK — бісектриса ∠A і вона перетинає діагональ BC у точці K. За властивістю бісектриси трикутника: BK : KC = AB : AC = 6 : 8 = 3 : 4. Тоді діагональ BC = 10 ділиться у відношенні 3 : 4, тобто: 10 · 3 30 2 BK = = = 4 см, =

7 40

7 5

= 5 см.

KC =

3+4 10 · 4 3+4

7 2

7 5

Відповідь: 4 см і 5 см. 7 7 807. У рівнобічній трапеції ABCD з основами 6 см і 12 см діагональ АС є бісектрисою гострого кута А. Сума бічних сторін трапеції на 1 см більша за її середню лінію. У якому відношенні діагональ AC ділить висоту BK трапеції.

Розв’язання: 1. EF = (BC + AD) / 2 = (6 + 12) / 2 = 9 см. (середня лінія трапеції) 2. AB + CD = EF + 1 = 10 см, а AB = CD (рівнобічна трапеція) ⇒ AB = CD = 5 см. (рівні бічні сторони) 3. Опустимо висоту BK на AD. AK = (AD − BC) / 2 = (12 − 6) / 2 = 3. (рівні проєкції бічних сторін на основу)  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

4. Розглянемо трикутник ABK. Він прямокутний (BK ⟂ AD). Промінь AC є бісектрисою ∠A трапеції, тому в △ABK відрізок AO (частина AC) є бісектрисою ∠BAK. (за означенням) 5. За властивістю бісектриси у △ABK: BO : OK = AB : AK = 5 : 3. Відповідь: BO : OK = 5 : 3. 808. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 12 см, бічна сторона — 10 см, а висота, проведена до основи, — 8 см. Знайдіть від стань від основи цієї висоти трикутника до його бічної сторони. ΔABC — рівнобедрений, BK ⟂ AC.

ΔBKC — прямокутний, KC = AC = ; 2 2 KM ⟂ BC. ΔKMC ∼ ΔBKC (∠C — спільний, ∠KMC = ∠BKC = 90°). KM KC З подібності трикутників: = ; BK BC a KM 2 ac = ; KM = . c 2b b 12 ⋅8 KM = = 4,8 (см). 2⋅10 809. Чому дорівнює відстань від основи висоти рівнобедреного трикутника до його бічної сторони, якщо його основа дорівнює 14 см, бічна сторона — 25 см, а висота, проведена до основи, — 24 см? 14 ⋅24 KM = = 6,72 (см). 2⋅25 810. Діагоналі ромба зі стороною а дорівнюють d1 і d2. Визначте висоту ромба, якщо: 1) а = 25 см, d1 = 30 см, d2 = 40 см; 2) а = 169 мм, d1 = 130 мм, d2 = 312 мм. ABCD — ромб. AK — висота ромба. MN проходить через т. O. MN ⟂ AK; MN = AK. 1 1 ON = MN; ON = h; h = 2ON. 2

У ΔBOC — прямокутному: ON — висота, проведена до гіпотенузи. ΔONC ∼ ΔBOC.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html ON

BO⋅OC

2⋅25 130⋅312

; ON = . BO BC BC 1 1 d1 ⋅ d2 d1 d2 2 = ; ON = 2 a 4a d1 d2 h = 2ON = 2a 30⋅40 30⋅40 120 1. h = = = = 24 (см); =

50 5 10⋅312 10⋅24

la. in.

2. h = = = = 120 (мм). 2⋅169 2⋅13 2 811. За даними на малюнках доведіть, що вказані трикутники — подібні: 1) △АСM і △DВM;

ΔACM ∼ ΔDBM (за двома кутами: ∠AMC = ∠DMB — вертикальні; ∠ACM = ∠DBM — вписані кути, що спираються на одну дугу AD). 2) △ADM і △СВM;

ΔADM ∼ ΔCBM (за двома кутами: ∠M — спільний, ∠A = ∠C — вписані, що спираються на одну дугу BD). 3) △АBC і △АCM.

ΔABC ∼ ΔACM (за двома кутами: ∠ABC = ∠ACM = 90°; ∠A — спільний кут). 812. Якщо хорди АВ і СD кола перетинаються в точці М, то АМ · ВМ = СМ · DМ. Доведіть.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

∠ACD = ∠ABD (вписані кути, що спираються на спільну дугу); ∠AMC = ∠DMB (вертикальні). AM MC ΔAMC ∼ ΔDMB. Звідси = або AM · MB = CM · DM. DM MB 813. Якщо з точки М поза колом проведено дві січні, що перетинають коло відповідно в точках А, В, С і D, то АМ · ВМ = СМ · DМ. Доведіть.

ΔBCM ∼ ΔDAM (за двома кутами: ∠M — спільний, ∠MBC = ∠MDA — вписані кути, що спираються на одну дугу). BM CM З подібності трикутників = . DM AM Звідси BM · AM = CM · DM. 814. Якщо з точки М поза колом проведено січну, що перетинає коло в точках А і В, та дотичну, що дотикається до кола в точці K, то АМ · ВМ = KМ2. Доведіть.

Доведення: 1. З’єднаємо точки K з A і K з B. (побудова) 2. Розглянемо трикутники △AKM і △KBM. 3. ∠AMK = ∠KMB. 4. ∠AKM = ∠KBM. (кут між дотичною MK і хордою KA дорівнює вписаному куту, що спирається на ту саму хорду) 5. Із (3) і (4) маємо △AKM ∼ △KBM. (за двома кутами) 6. Із подібності:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

KM : BM = AM : KM. 7. Звідси: KM2 = AM · BM. Доведено. 815. Доведіть, що бісектриси кутів А і С прямокутника АВСD ділять діагональ ВD на три рівні частини.

Це твердження справедливе за умови, що одна сторона прямокутника вдвічі більша за іншу (AD = 2AB): за властивістю бісектриси у △ABD точка її перетину з діагоналлю P 1 ділить BD у відношенні BP : PD = AB : AD = 1 : 2, звідки BP = BD; аналогічно для кута 3 C у △BCD точка перетину Q ділить діагональ як DQ : QB = CD : CB = 1 : 2, звідки DQ = 1 1 1 1 BD; отже, середня частина PQ = BD - BD - BD = BD, що й доводить їхню рівність. 3 3 3 3 816. Доведіть, що квадрат добутку катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату добутку його гіпотенузи на висоту, проведену до гіпотенузи.

Дано: △ABC прямокутний, ∠C = 90°, AC = b, BC = a, AB = c. CH ⟂ AB, CH = h (H — основа висоти). Довести: (ab)2 = (ch)2. Доведення: 1. △ACH ∼ △ABC (за двома кутами: ∠AHC = 90° = ∠ACB, ∠CAH = ∠CAB). Звідси: AC : AB = CH : BC, тобто b : c = h : a ⇒ ah = bc. 2. △BCH ∼ △ABC (за двома кутами: ∠BHC = 90° = ∠ACB, ∠CBH = ∠CBA). Звідси: BC : AB = CH : AC, тобто a : c = h : b ⇒ bh = ac. 3. Із будь-якої з рівностей (наприклад, ah = bc) маємо: ab = ch. Піднесемо обидві частини до квадрата: (ab)2 = (ch)2. Доведено. 817. Сума кутів при одній з основ трапеції дорівнює 90°. Доведіть, що висота трапеції є середнім пропорційним між проєкціями її бічних сторін на основу.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

У трапеції ABCD ∠A + ∠D = 90°. З т. B проведемо BN ∥ CD. BCDN — паралелограм. CD = BN; ΔBKM = ΔCMD. Тоді у ΔABM: ∠A + ∠N = 90°. Звідси ∠ABN = 90°. ΔABN — прямокутний, BK — висота, проведена до гіпотенузи, тоді BK2 = AK · KN (висота — середнє пропорційне між проекціями катетів на гіпотенузу). Оскільки KN = MD (з рівності ΔBKN і ΔCMD), то BK2 = AK · MD або висота трапеції — середнє пропорційне між проекціями бічних сторін на основу. 818. У гострий кут вписано три кола, причому середнє коло дотикається до двох інших. До ведіть, що радіус середнього кола є середнім пропорційним між радіусами крайніх кіл.

O1A ⟂ AC; O2B ⟂ AC; O3C ⟂ AC; O1A = r; O2B = x; O3C = R. Проведемо O1D ⟂ O2B; O2F ⟂ O3C. ΔO1O2D ∼ ΔO2O3F. Тоді O1 O2 O2 D = ; O2 O3 O3 F r+x x − r = ; R+x R − x rR + Rx − rx − x2 = Rx − Rr + x2 − xr; 2Rr = 2x2; x2 = Rr; x = √R ⋅ r. Отже, радіус середнього кола — середнє пропорційне між радіусами крайніх кіл. 819. Спираючись на малюнок, доведіть, що:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) △АDВ ∼ △АСВ; 2) △ВАС ∼ △ВDС; 3) △АDK ∼ △АСВ; 4) АС · ВD = АВ · DС + АD · ВС.

la. in.

1) Довести: △ADB ∼ △ACB ∠ADB і ∠ACB спираються на одну хорду AB ⇒ ∠ADB = ∠ACB. ∠ABD і ∠ADС спираються на одну хорду AD ⇒ ∠ABD = ∠ACD. Отже, у △ADB і △ACB є дві пари рівних кутів ⇒ △ADB ∼ △ACB (за двома кутами). 2) Довести: △BAC ∼ △BDC ∠BAC і ∠BDC спираються на одну хорду BC ⇒ ∠BAC = ∠BDC. ∠BCA і ∠BDA спираються на одну хорду BA ⇒ ∠BCA = ∠BDA. Отже, у △BAC і △BDC є дві пари рівних кутів ⇒ △BAC ∼ △BDC (за двома кутами). 3) ΔADK ∼ ΔACB (за двома кутами). ∠DAK = ∠CBA (за умовою). ∠ADB = ∠ACB (спираються на одну дугу AB), тому ∠ADK = ∠ABC. AC BC 4) ΔACB ∼ ΔADK, тоді = . AD DK Звідси AC · DK = BC · AD. (I) AB KB З подібності ΔAKB і ΔADC: = . AC DC Звідси AC · KB = AB · DC. (II) Додамо почленно рівності (I) і (II). Маємо: AC · DK + AC · KB = BC · AD + AB · DC; AC · (DK + KB) = BC · AD + AB · DC; AC · BD = AB · DC + BC · AD. 820. Спираючись на властивість проєкцій катетів на гіпотенузу, можна будувати висоту до гіпотенузи прямокутного трикутника без використання транспортира чи косинця. Поясніть, як це можна зробити. У прямокутному трикутнику висота до гіпотенузи є середнім пропорційним між проєкціями катетів на гіпотенузу, тобто h c2 = ac ∙ bc. Умова: нехай задано проекції катетів AK = ac та KB = bc. Побудувати hc (CK⊥AB). Побудова: 1. Будую довільну пряму m. На ній ставлю точку A і циркулем відкладаю дугу радіусом ac. На перетині цієї дуги з прямою m отримаю точку K. Далі з цієї точки так само відкладаю відрізок KB = bc. AB - гіпотенуза. 2. Будую півколо діаметром AB. Для цього спершу знаходжу центр кола (точку O). 3. Через точку K будую перпендикуляр до AB; він перетне півколо у точці C. 4. З’єдную C з A і C з B. Тоді △ABC — прямокутний (∠ACB = 90°), а CK ⟂ AB. Доведення правильності: 1. Оскільки C лежить на колі з діаметром AB, то ∠ACB = 90° (кут, що спирається на діаметр).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2. У прямокутному △ABC висота CK до гіпотенузи AB ділить її на відрізки AK і KB, які є проєкціями катетів. 3. За властивістю проєкцій катетів маємо CK2 = AK · KB = ac · bc, отже CK = hc. Відповідь: побудований відрізок CK є шуканою висотою hc.

821. Поясніть, як позначити дванадцять точок у вузлах сітки на папері в клітинку, щоб ці точки лежали на колі радіусом 5 клітинок. Оскільки діаметр дорівнює 10 клітинкам, його поділ у відношенні 1:9 дає відрізки довжиною 1 та 9 клітинок, тоді висота до гіпотенузи становить ℎ = √1 ⋅ 9 = 3 клітинки, що дозволяє знайти 8 точок, відступивши від кожного краю горизонтального та вертикального діаметрів по 1 клітинці всередину та по 3 клітинки перпендикулярно, що разом із 4 кінцями діаметрів дає 12 точок.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

822. Із пункту В до перетину доріг АС і АD потрібно прокласти трасу. Поясніть за малюнком, як це можна зробити, якщо пункт А — недоступний.

la. in.

Оскільки за побудовою C1B1 ∥ CB та C1D1 ∥ CD, то за двома кутами △AC1B1 ∼ △ACB та AC AB △AC1D1 ∼ △ACD, що дає рівність відношень 1 = 1, а це доводить, що точка B1 AC AB лежить на відрізку AB, отже пряма, проведена через доступні точки B та B1, обов'язково пройде через недоступний пункт A. 823. На малюнку показано, як можна виміряти висоту дерева, користуючись однією віхою. Поясніть вимірювання.

Біля дерева в точці M (на землі) ставлять вертикальну віху MN відомої довжини. Відстань від дерева до віхи по землі AM = c (її вимірюють кроками/рулеткою). Відходять у точку O так, щоб, дивлячись з O, верхівка віхи N закривала верхівку дерева B, тобто точки O, N, B лежали на одній прямій. Через око в точці O беруть “лінію горизонту” OC. Вона паралельна землі, тобто OC ∥ AM. Вимірюють: OK = a (від ока до віхи по горизонталі), NK = b (наскільки верхівка віхи вище “лінії очей”), висоту очей над землею h. Далі, з подібності трикутників △ONK і △OBC (подібні за двома кутами), визначають висоту дерева над рівнем очей: 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑁𝑁𝑁𝑁 ∙ 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑏𝑏 ∙ (𝑐𝑐 + 𝑎𝑎) = ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = = 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑎𝑎 Залишається додати висоту очей і отримаємо загальну висоту дерева над землею: 𝑏𝑏 ∙ (𝑐𝑐 + 𝑎𝑎) +ℎ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ (сторінка 159) 1. △А1В1С1 ∼ △АВС. Кут А дорівнює 60°, а кут В на 20° менший від кута А. Знайдіть кут С1. ∠A = 60°, ∠B на 20° менший, тобто ∠B = 60° − 20° = 40°. Знайдемо ∠C у △ABC: ∠C = 180° − (∠A + ∠B) = 180° − (60° + 40°) = 80°. Оскільки △A1B1C1 ∼ △ABC, то відповідні кути рівні, отже: ∠C1 = ∠C = 80°. Відповідь: Б. 80°. 2. У трикутниках KLM і DEF: ∠K = ∠D = 90°, ∠M = ∠F = 30°, DF = 5KM. Чому дорівнює DE, якщо KL = 10 см?

1. △KLM ∼ △DEF (за двома кутами). Відповідність вершин: K ↔ D, M ↔ F, L ↔ E. Тоді відповідні сторони: KM ↔ DF, KL ↔ DE. 2. Коефіцієнт подібності: DF : KM = 5 : 1 ⇒ k = 5. 3. Тоді: DE = k·KL = 5·10 = 50 см. Відповідь: Г. 50 см. 3. У трикутнику зі сторонами 7 см, 15 см і 20 см проведено бісектрису меншого кута. На які відрізки бісектриса поділила протилежну сторону? Найменшому куту протилежна найменша сторона 7 см, отже бісектриса проведена саме до сторони 7 см. За властивістю бісектриси: бісектриса ділить протилежну сторону у відношенні прилеглих сторін. Тобто ця сторона 7 см ділиться у відношенні: 15 : 20 = 3 : 4. Нехай відрізки дорівнюють 3x і 4x. Тоді: 3x + 4x = 7 7x = 7 x = 1. Отже, відрізки: 3 см і 4 см. Відповідь: Г. 3 см і 4 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

4. Діагоналі АС і ВD трапеції АВСD перетинаються в точці О. АD : ВС = 3 : 2, АС = 30 см. Знайдіть довжини відрізків АО і ОС.

la. in.

У трапеції (AD ∥ BC) точка перетину діагоналей ділить кожну діагональ у відношенні основ: AO : OC = AD : BC. Тому: AO : OC = 3 : 2, а AO + OC = AC = 30. Нехай AO = 3x, OC = 2x. Тоді: 3x + 2x = 30 5x = 30 x = 6. Отже: AO = 18 см, OC = 12 см. Відповідь: Г. 18 см і 12 см. 5. У трикутнику АВС висота АН завдовжки 12 см проведена до сторони ВС і відтинає на ній відрізок ВН = 9 см. Знайдіть відстань від точки Н до сторони АВ завдовжки 15 см.

З точки H опустимо перпендикуляр HD ⟂ AB. HD – це й буде відстань, яку потрібно знайти. 1. Розглянемо трикутники △AHB і △HDB. ∠AHB = 90° (бо AH ⟂ BC) ∠HDB = 90° (бо HD ⟂ AB) ∠ABH = ∠HBD (спільний) Отже: △AHB ∼ △HDB (за двома кутами). 2. Із подібності маємо відношення відповідних сторін: HD HB = AH AB 3. Підставляємо числа: 9 HD = 12 15 9 = 7,2 см HD = 12 ∙ 15 Відповідь: Б. 7,2 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Розділ 4. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ § 15. Теорема піфагора. Перпендикуляр і похила 824. Яке з наведених тверджень є правильним? У прямокутному трикутнику: 1) квадрат гіпотенузи дорівнює різниці квадратів катетів; 2) гіпотенуза дорівнює сумі квадратів катетів; 3) квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Правильним є твердження 3. 825. Чи правильно вказано довжини сторін прямокутних трикутників на малюнках? Відповідь поясніть.

Правильно, бо 32 + 42 = 52. Неправильно, бо 32 + 42 ≠ 62. 826. На малюнку AD і DC — проєкції похилих AB і BC. Відомо, що AD < DC. Яке із співвідношень є правильним: 1) AB = BC; — неправильно; 2) AB > BC; — неправильно; 3) AB < BC? — правильно.

827. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють: 1) 12 см і 5 см; 2) 9 м і 12 м; 3) 8 см і 8 3 см.

𝑐𝑐 = �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 1. Якщо a = 12 см, b = 5 см, то 𝑐𝑐 = √122 + 52 = 13 (см). 2. Якщо a = 9 см, b = 12 см, то

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝑐𝑐 = √92 + 122 = 15 (см). 3. Якщо a = 8 см, b = 8√3 см, то

𝑐𝑐 = �82 + (8√3)2 = 16 (см).

la. in.

828. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза та інший катет відповідно дорівнюють: 1) 13 см і 12 см; 2) 17 м і 15 м; 3) 15a і 9a.

𝑎𝑎 = �𝑐𝑐 2 − 𝑏𝑏 2 1. Якщо c = 13 см, b = 12 см, то 𝑎𝑎 = √132 − 122 = 5 (см). 2. Якщо c = 17 м, b = 15 м, то 𝑎𝑎 = √172 − 152 = 8 (м). 3. Якщо c = 15d, b = 9d, то 𝑎𝑎 = �(15𝑑𝑑)2 − (9𝑑𝑑)2 = 12𝑑𝑑. 829. a, b — катети прямокутного трикутника, c — його гіпотенуза. Знайдіть невідомі величини за таблицею. a 5 см 12 см 8a b 12 см 16 см 6a c 13 см 20 см 10a 𝑐𝑐 = �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 ; 𝑎𝑎 = �𝑐𝑐 2 − 𝑏𝑏 2 ; 𝑏𝑏 = �𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 . 830. a, b — сторони прямокутника, d — його діагональ. Знайдіть невідомі величини за таблицею 30. a 24 см 10 см 12a b 7 см 24 см 9a c 25 см 26 см 15a 𝑑𝑑 = �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 ; 𝑎𝑎 = �𝑑𝑑 2 − 𝑏𝑏 2 ; 𝑏𝑏 = �𝑑𝑑 2 − 𝑎𝑎2 . 831. Доведіть, що квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів двох його суміжних сторін.

ABCD — прямокутник, AB = a, AD = b, BD = d. ΔABD — прямокутний, тому за теоремою Піфагора маємо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

a2 + b2 = d2. Отже, квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів двох його суміжних сторін. 832. Знайдіть діагональ квадрата, якщо його сторона дорівнює 2√2 см.

la. in.

AB = BC = CD = AD = 2√2 см.

AC = √AB2 + BC2 = √2AB2 = �2 · (2√2)2 = √2 · 8 = 4 (см)

833. Знайдіть гіпотенузу рівнобедреного прямокутного трикутника, якщо його катет дорівнює: 1) 1 см; 2) 4√2 см; 3) a.

AC = BC, тоді AB = �AC2 + BC2 = �2AC 2 1. Якщо AC = 1 см, то AB = √2 · 1 = √2 (см). 2. Якщо AC = 4√2 см, то AB = �2 · (4√2)2 = 8 (см).

3. Якщо AC = a, то AB = √2a2 = a√2 (см). 834. Знайдіть катети рівнобедреного прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює: 1) 2 см; 2) 8 см; 3) m.

AC = BC, тоді AB2 = AC2 + BC2 або AB2 = 2AC2, тоді AB 2 AB 2 ; AC = . AC = 2 √2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. Якщо AB = √2 см, то AC =

√2 = 1 (см). √2

2. Якщо AB = 8 см, то AC =

√2

8 √2 2

= 4√2 (см).

la. in.

3. Якщо AB = m, то m m√2 AC = = . 2 √2 835. Знайдіть висоту рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює: 1) √3 см; 2) 10 см; 3) a.

AB = BC = AC, BD ⟂ AC, тоді

BD = �AB 2 −AD2 = �AB2 − � 1. Якщо AB = √3 см, то √3·√3

= 1,5 (см). BD = 2 2. Якщо AB = 10 см, то 10√3

AB 2 AB 2 4AB2 − AB 2 3AB 2 AB√3 2 � � � = = = . � = AB − 4 4 4 2 2

BD = = 5√3 (см). 2 3. Якщо AB = a, то a√3 BD = 2 836. Знайдіть висоту рівнобедреного трикутника, проведену до основи, якщо його бічна сторона та основа відповідно дорівнюють: 1) 26 см і 20 см; 2) 17 см і 16 см; 3) 13 см і 10 см.

 shkola.in.ua

AB = BC, BD ⟂ AC, тоді AD = DC і з ΔABD

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AC 2 � . 2 1. Якщо AB = 26 см, AC = 20 см, то BD = √262 −102 = 24 (см). 2. Якщо AB = 17 см, AC = 16 см, то BD = √172 −82 = 15 (см). 3. Якщо AB = 13 см, AC = 10 см, то BD = √132 −52 = 12 (см). 837. Через точку A до кола з центром О про ведено дотичну AB, де B — точка дотику. Знайдіть: 1) радіус кола, якщо відрізок дотичної AB дорівнює 8 см, а відстань від точки A до центра кола — 17 см; 2) відстань від точки A до центра кола, якщо радіус кола дорівнює 12 см, а відрізок дотичної AB — 16 см.

la. in.

BD = �AB 2 −AD2 = �AB2 − �

1. OB = √AO2 −AB 2 = √172 −82 = 15 (см). 2. AO = √OB 2 +BA2 = √122 +162 = 20 (см). 838. Знайдіть сторону ромба, якщо його діагоналі дорівнюють: 1. AC = 6 см, BD = 8 см, 1 тоді AO = · 6 = 3 (см); 1

BO = · 8 = 4 (см); 2

AB = √AO2 +BO2 = √32 +42 = 5 (см). 2. AC = 18 см, BD = 24 см, тоді 1 AO = · 18 = 9 (см); 2 1

BO = · 24 = 12 (см); 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AB = √AO2 +BO2 = √92 +122 = 15 (см). 3. AC = 12 см, BD = 16 см, тоді 1 AO = · 12 = 6 (см); 2 1

BO = · 16 = 8 (см); 2

𝑑𝑑

AO2 + BO2 = AB2 або � 1� + � 2� = a2 ;

𝑑𝑑1 2

= a2 ; 𝑑𝑑1

2 2 2 + 𝑑𝑑2 = 4a2 .

la. in.

𝑑𝑑2 2

AB = √AO2 +BO2 = √62 +82 = 10 (см). 839. Доведіть, що коли a — сторона ромба, d1 і d2 — його діагоналі, то 4a2 = d21 + d22. Нехай AC = d1; BD = d2; AB = a, тоді

840. Доведіть, що квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів: d2 = а2 + b2 + с2.

Доведення. Розглянемо прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1. 1. У прямокутному трикутнику ∠ABC = 90° (сторони a і b — взаємно перпендикулярні), тому за теоремою Піфагора: AC2 = a2 + b2. 2. Розглянемо прямокутний трикутник ∠AA1C = 90° (AA1 ⟂ площині ABCD, отже AA1 ⟂ AC). За теоремою Піфагора: d2 = AC2 + c2. 3. Підставляємо AC2 = a2 + b2: d2 = a2 + b2 + c2. Доведено.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

841. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 13 см, а його довжина і ширина — відповідно 4 см і 3 см. Знайдіть висоту прямокутного паралелепіпеда. Дано:діагональ d = 13 см, довжина a = 4 см, ширина b = 3 см. Знайти: висоту c. Розв’язання: Для прямокутного паралелепіпеда (див. задачу 840): d2 = a2 + b2 + c2. Підставимо значення: 132 = 42 + 32 + c2 169 = 16 + 9 + c2 169 = 25 + c2 c2 = 144 c = 12 (см). Відповідь: 12 см. 842. Основою піраміди SАВСD, бічні ребра якої рівні, є квадрат зі стороною 16 см. Знайдіть бічне ребро піраміди, якщо висота SМ її грані дорівнює 15 см.

Оскільки основа — квадрат, то в грані SBC трикутник рівнобедрений: SB = SC, а SM — висота цієї грані, отже M — середина BC. Тоді: BM = BC : 2 = 16 : 2 = 8 (см). Розглянемо прямокутний трикутник SMB (∠SMB = 90°). За теоремою Піфагора: SB2 = SM2 + BM2 SB2 = 152 + 82 SB2 = 225 + 64 SB2 = 289 SB = 17 (см). Відповідь: 17 см. 843. Кожне ребро трикутної піраміди дорівнює m. Знайдіть висоту грані піраміди. Оскільки всі ребра піраміди рівні, то кожна її грань — рівносторонній трикутник зі стороною m.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Розглянемо одну грань. Нехай у трикутнику ABC: AB = BC = CA = m, AM — висота (M — середина BC). Тоді: BM = BC : 2 = m : 2. Розглянемо прямокутний трикутник ∠AMB = 90°. За теоремою Піфагора: m2 3m2 m 2 2 2 2 2 2 = . AM = AB − BM = m − � � = m − 4 4 2 3m2 m√3 AM = � = . 4 2 𝑚𝑚√3

Відповідь: . 2 844. Із точки A до прямої проведено перпендикуляр AB і похилу AC. Знайдіть: 1) похилу AC, якщо її проєкція BC дорівнює 24 см, a перпендикуляр AB — 10 см; 2) проєкцію BC похилої, якщо перпендикуляр AB дорівнює 8√3 см, а похила AC — 16 см; 3) перпендикуляр AB, якщо похила AC дорівнює 17 см, а її проєкція BC — 8 см.

1. BC = 24 см, AB = 10 см, тоді AC = √AB 2 +BC 2 = √242 +102 = 26 (см); 2. AB = 8√3 см, AC = 16 см, тоді

BC = √AC 2 −AB2 = �62 −(8√3)2 = 8 (см);

3. AC = 17 см, BC = 8 см, тоді AB = √AC 2 −BC 2 = √172 −82 = 15 (см). 845. Із точки О до прямої проведено перпендикуляр ОB і похилу ОC. Знайдіть: 1) похилу ОC, якщо її проєкція BC дорівнює 4 см, a перпендикуляр ОB — 3 см; 2) проєкцію BC похилої, якщо перпендикуляр ОB дорівнює 12 см, а похила ОC — 13 см; 3) перпендикуляр ОB, якщо похила ОC дорівнює 25 см, а її проєкція BC — 7 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

У трикутнику △OBC маємо ∠OBC = 90°, тому: OC2 = OB2 + BC2. 1) OC = √OB 2 + BC 2 = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5 (см). 2) BC = √OC 2 − OB 2 = √132 − 122 = √169 − 144 = √25 = 5 (см). 3) OB = √OC 2 − BC 2 = √252 − 72 = √625 − 49 = √576 = 24 (см). 846. За даними на малюнках знайдіть невідомий відрізок x.

1. Δ1: c1 = �𝑎𝑎1 2 + 𝑏𝑏1 2 ;

Δ2: x = �𝑐𝑐1 2 + 𝑏𝑏1 2 = ��𝑎𝑎1 2 + 𝑏𝑏1 2 + 𝑏𝑏2 2 = �√62 + 102 + 152 = 17 (см).

2. x = √2𝑎𝑎2 = �2√102 + 82 = 6√2 (см). 847. За даними на малюнку знайдіть невідомий відрізок x.

x = √122 +52 = 13 (см). 848. Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює b, а інший — менший від гіпотенузи на 1 см. Знайдіть сторони трикутника, якщо: 1) b = 5 см; 2) b = 7 см. c2 = (c − 1)2 + b2; c2 = c2 − 2c + 1 + b2;

2c = b2 + 1; c =

1. b = 5 см; c =

b2 +1 2 26 2

= 13 см;

a = √c 2 −b 2 = 12 (см). 2. b = 7 см; c = 25 см; a = 24 см. 849. Катети прямокутного трикутника відносяться як 3 : 4. Знайдіть катети трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює: 1) 25 см; 2) 20 см.

 shkola.in.ua

AB = 3x; AC = 4x; BC = c. За теоремою Піфагора AB2 + AC2 = BC2; (3x)2 + (4x)2 = c2; 9x2 + 16x2 = c2; 25x2 = c2.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

c2 c x =� = . 25 5 1. c = 25 см; x = 5; AB = 15 см, AC = 20 см. 2. c = 20 см, x = 4, AB = 12 см, AC = 16 см. 850. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 36 см, а катети від носяться як 3 : 4. Знайдіть сторони трикутника.

AB : AC = m : n; AB = mx; AC = nx; BC = �(mx)2 +(nx)2 = �m2 (m2 +n2 ) = 𝑥𝑥�(m2 +n2 ); P = AB + BC + AC = mx + nx + 𝑥𝑥�(m2 +n2 ). P = 36 см, m = 3, n = 4, 3x + 4x + 5x = 36; x = 3; AB = 9 см, AC = 12 см, BC = 15 см. 851. Знайдіть сторони прямокутного трикутника, якщо його периметр дорівнює 80 см, а катети відносяться як 15 : 8. Нехай катети дорівнюють: a = 15x, b = 8x. Тоді гіпотенуза: c = �a2 + b 2 = �(15x)2 + (8x)2 = �225x 2 + 64x 2 = �289x 2 = 17x. Периметр: P = a + b + c = 15x + 8x + 17x = 40x. За умовою: 40x = 80 ⇒ x = 2. Тоді: a = 15 ∙ 2 = 30 см, b = 8 ∙ 2 = 16 см, c = 17 ∙ 2 = 34 см. Відповідь: 16 см, 30 см, 34 см. 852. Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи як m : n, а висота, проведена до основи, дорівнює h. Знайдіть основу та бічну сторону трикутника, якщо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) m = 5, n = 6, h = 12 см; 2) m = 17, n = 16, h = 15 см.

la. in.

AB = BC; AB : AC = m : n; BD = h; BD ⟂ AC; AB = mx; AC = nx; AC n = 𝑥𝑥. AD = 2 2 Розглянемо ΔABD: ∠ADB = 90°; AB2 = AD2 + BD2; n2

m2 x 2 = x 2 + h2 + hnx. 4 1. m = 5; n = 6; h = 12 см; 36 25x 2 = x 2 + 144 + 72x; 4 x = 8; AB = 40 см; AC = 48 см. 2. m = 17; n = 16; h = 15 см; 289x2 = 64x2 + 225; x = 1; AB = 17 см; AC = 16 см. 853. Одна з діагоналей паралелограма перпендикулярна до сторони. Знайдіть довжину діагоналей, якщо сторони паралелограма дорівнюють: 1) 15 см і 9 см; 2) 7 см і 25 см.

ABCD — паралелограм, AB ⟂ BD. 1. AD = 15 см, AB = 9 см; BD = √AD2 −AB 2 = √152 −92 = 12 (см); 1 1 BO = BD = · 12 = 6 (см). 2 2 Із ΔABO: AO = √AB2 +BO2 = √92 +62 = √117 = 3√13 (см) Тоді AC = 2AO = 6√13 (см). 2. AD = 25 см; AB = 7 см. Із ΔABD: BD = √AD2 −AB 2 = √252 −72 = 24 (см), 1 1 Тоді BO = BD = · 24 = 12 (см). 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Із ΔABO: AO = √72 +122 = √193 (см), тоді AC = 2√193 (см). 854. Основи прямокутної трапеції дорівнюють а і b, а висота — h. Знайдіть більшу бічну сторону, якщо: 1) а = 4 см, b = 12 см, h = 6 см; 2) а = 35 см, b = 15 см, h = 21 см.

AD ∥ BC; AB ⟂ AD; CH ⟂ AD, тоді DH = AD − BC; CK = h. 1. BC = 4 см; AD = 12 см; CK = 6 см. Із ΔCHD: CD = �(AD − BC)2 +CH 2 = �(12 − 4)2 +62 = √82 +62 = 10 (см) 2. BC = 15 см; AD = 35 см; CK = 21 см. Із ΔCHD: CD = �(AD − BC)2 +CH 2 = �(35 − 15)2 +212 = 29 (см) 855. Доведіть, що в прямокутній трапеції різниця квадратів діагоналей дорівнює різниці квадратів основ.

Розглянемо ΔABD — прямокутний (∠BAD = 90°). BD2 = AB2 + AD2. Розглянемо прямокутний ΔABC: ∠ABC = 90°; AC2 = AB2 + BC2. AC і BD — діагоналі трапеції ABCD. BD2 − AC2 = (AB2 + AD2) − (AB2 + BC2) = AB2 + AD2 − AB2 − BC2 = AD2 − BC2, що й треба було довести. 856. За даними на малюнках знайдіть невідомий елемент x рівнобічної трапеції ABCD.

1. AB = CD = 10 см; AD = BC + 2AK = 24 см; BC = 12 см ⇒ AK = 6 см. x = √AB 2 −AK 2 = √100 − 36 = 8 (см). AD − BC 14 − 8 = = 3 (см); 2. KD = 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

CK = 4 см. x = √KC 2 +KD2 = √9 + 16 = 5 (см). 857. За даними на малюнку 388 знайдіть невідомий елемент x рівнобічної трапеції ABCD.

la. in.

AK = √AB 2 −BK 2 = √152 −122 = 9 (см). x = BC = AD − 2AK = 32 – 2 · 9 = 14 (см). 858. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють а і b, а висота — h. Знайдіть діагональ трапеції, якщо: 1) а = 6 см, b = 18 см, h = 16 см; 2) а = 16 см, b = 8 см, h = 5 см.

AB = CD; BC ∥ AD; b−a ; AD = BC + 2AK = q + 2AK = b; AK = AK = �h2 +KD2 = �h2 + �b −

1. a = 6 см; b = 18 см; h = 16 см;

b − a 2 � . 2

18 − 6 2

BD = �25 − �18 −

� = √400 = 20 (см)

� = √25 + 144 = 13 (см)

2. b = 16 см; a = 18 см; h = 5 см;

BD = �25 + �16 −

16 − 8 2

859. У рівнобічну трапецію з основами а і b вписано коло радіусом r. Знайдіть бічну сторону трапеції, якщо: 1) а = 2 см, b = 18 см, r = 3 см; 2) а = 32 см, b = 18 см, r = 12 см.

AB = CD. h = 2r = d;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AN =

AD − BC 2

b−a 2

;

b − a 2 � + (2r)2 . 2 1. a = 2 см; b = 18 см; r = 3 см; 18 − 2 2

AB = �AN2 +BN2 = ��

AB = ��

� + (2 · 3)2 = √64 + 36 = 10 (см)

� + (2 · 12)2 = √49 + 576 = 25 (см)

2. b = 32 см; a = 18 см; r = 12 см; 32 − 18 2

la. in.

860. Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону на відрізки b і с, рахуючи від вершини гострого кута. Знайдіть радіус кола, вписаного в ромб, якщо:

ABCD — ромб, BH ⟂ AD, AH = b, HD = c, тоді AB = b + c. Із ΔABH: BH = �AB 2 −AH2 = �(b + c)2 −b 2 . 1. Якщо b = 6 см, c = 4 см, то BH = √102 −62 = 8 (см), 1 1 тоді r = BH = · 8 = 4 (см). 2 2 2. Якщо b = 5 см, c = 8 см, то BH = √132 −52 = 12 (см), 1 1 тоді r = BH = · 12 = 6 (см). 2 2 861. У колі радіусом r проведено паралельні хорди завдовжки а і b. Знайдіть відстань між хордами, якщо: OB = OD = r, AB ∥ CD, KL ⟂ AB, KL ⟂ CD.

1. r = 25 см, AB = 48 см, CD = 40 см. Із ΔOBK: OK = √OB2 −KB 2 = √252 −242 = 7 (см). Із ΔOLD: OL = √OD2 −LD2 = √252 −202 = 15 (см).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Тоді: 1 випадок — KL = OL − OK = 15 − 7 = 8 (см); 2 випадок — KL = OL + OK = 15 + 7 = 22 (см).

la. in.

2. r = 65 см, AB = 120 см, CD = 32 см. Із ΔOBK: O𝐾𝐾 = √OB 2 −KB 2 = √652 −602 = 25 (см). Із ΔOLD: O𝐿𝐿 = √OD2 −LD2 = √652 −162 = 63 (см). Тоді: 1 випадок — KL = OL − OK = 63 − 25 = 38 (см); 2 випадок — KL = OL + OK = 63 + 25 = 88 (см). 862. Два кола радіусами 2 см і 8 см дотикаються зовнішньо. Знайдіть довжину відрізка їхньої зовнішньої спільної дотичної, що лежить між точками дотику.

OO1 = B1B; OB1BO1 — паралелограм, OA ⟂ AB; O1B ⟂ AB; OA ∥ O1B; O1B = OB1 = 2 см; OO1 = R1 + R2 = OA + O1B = 8 + 2 = 10 (см); B1B = 10 см; B1A = OA − O1B = 8 − 2 = 6 см. ΔAB1B: AB = �𝐵𝐵1 B 2 −𝐵𝐵1 A2 = √102 −62 = 8 (см). 863. Із точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 13 см, а її проєкція — 12 см. Знайдіть довжину іншої похилої, якщо вона утворює з прямою кут: 1) 30°; 2) 45°. ΔABD: AD = √𝐴𝐴B2 − DB 2 = √25 = 5 (см).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. ∠ACD = 30°, тоді AC = 2AD = 2 · 5 = 10 (см). 2. ∠ACD = 45° ⇒ ∠CAD = 45° і ΔCAD — рівнобедрений. C𝐴𝐴 = √𝐴𝐴D2 + CD2 = √52 +52 = √25 · 2 = 5√2 (см). 864. Із точки, що лежить на відстані 12 см від прямої, проведено дві похилі завдовжки 13 см і 20 см. Знайдіть відстань між основами цих похилих. Скільки розв’язків має задача?

CB = √132 − 122 = √169 − 144 = 5 (см) DB = √202 − 122 = √200 − 144 = 16 (см).

1. CD = CB + BD = 5 + 16 = 21 (см); 2. CD = BD − BC = 21 − 5 = 16 (см). Задача має два розв’язки. 865. Із точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 10 см і 17 см. Їхні проєкції відносяться як 2 : 5. Знайдіть: 1) проєкції похилих; 2) відстань від точки до прямої.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

AB = 10 см, BC = 17 см, AD : DC = 2 : 5. Нехай AD = 2x см; DC = 5x см, тоді 102 − (2x)2 = 172 − (5x)2; 100 − 4x2 = 289 − 25x2; 21x2 = 189; x2 = 9; x = 3. 1. Тоді AD = 2 ·3 = 6; DC = 5 · 3 = 15 (см). 2. B𝐷𝐷 = √𝐴𝐴𝐴𝐴2 − AD2 = √102 − 62 = 8 (см). 866. Якщо дві похилі, проведені до прямої з однієї точки, мають рівні проєкції, то вони рівні між собою. Доведіть. ΔABD = ΔACD (AD — спільна, BD = DC, ∠BDA = ∠CDA = 90°), BA = CA. Отже, якщо похилі, проведені до прямої з однієї точки, мають рівні проекції, то вони рівні між собою.

867. Якщо з однієї точки до прямої проведено дві похилі, то більша похила має й більшу проєкцію на цю пряму. Доведіть. Нехай AC > AD, тоді AC2 > AD2, звідси AC2 − AB2 > AD2 − AB2; CB2 > BD2; CB > BD. Отже, якщо з однієї точки проведено до прямої дві похилі, то більша похила має й більшу проекцію на цю пряму.

868. У прямокутному трикутнику медіана й висота, проведені з вершини прямого кута, дорівнюють m і n. Знайдіть периметр трикутника, якщо: 1) m = 25 см, n = 24 см; 2) m = 17 см, n = 15 см. ∠ACB = 90°; CH ⟂ AB; AM = MB;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

CH = n; CM = m, тоді AB = 2CM = 2m; HM = √CM 2 − CH 2 = √m2 − n2 .

la. in.

1. Якщо m = 25 см, n = 24 см, тоді AB = 2 · 25 = 50 (см); HM = √252 − 242 = 7 (см). Із ΔACH AC = √HC 2 + AH 2 = �242 +(25 − 7)2 = 30 (см) BC = √AB 2 − AC 2 = √502 − 302 = 40 (см). P = 30 + 40 + 50 = 120 (см). 2. Якщо m = 17 см, n = 15 см, тоді AB = 2 · 17 = 34 (см); HM = √172 − 152 = 8 (см). Тоді AH = 17 − 8 = 9 (см); HB = 8 + 17 = 25 (см). Із ΔACH: AC = √92 + 152 = √306 = 3√34 (см). Із ΔBCH: BC = √152 + 252 = √850 = 5√34 (см). P = 34 + 5√34 + 3√34 = 34 + 8√34 (см). 869. У прямокутному трикутнику один катет дорівнює b см, а сума гіпотенузи та іншого катета на n см більша. Знайдіть гіпотенузу й інший катет, якщо: 1) b = 60, n = 12; 2) b = 35, n = 14. AC = b; AB + BC = AC + n; AB + BC = b + n.

1. Якщо b = 60, n = 12, тоді AB + BC = 72, BC = 72 − AB. AB2 = AC2 + BC2, AB2 = 602 + (72 − AB)2; AB2 = 3600 + 5184 − 144AB + AB2; 144AB = 8784; AB = 61. BC = 72 − 61 = 11. 2. Якщо b = 35, n = 14, тоді AB + BC = 49, BC = 49 − AB; AB2 = AC2 + BC2, AB2 = 352 + (49 − AB)2; AB2 = 1225 + 2401 − 98AB + AB2; 98AB = 3626; AB = 37. BC = 49 − 37 = 12.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

870. Висота й медіана, проведені до сторони с трикутника, дорівнюють h і m. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо: 1) с = 60 см, h = 12 см, m = 13 см; 2) с = 42 см, h = 12 см, m = 13 см. CH ⟂ AB, CH = h, AM = MB, c CM = m, AM = MB = .

la. in.

Із ΔCHM: MH = √CM 2 − CH 2 = √m2 − h2 ; c AH = AM + MH = + √n2 − h2 ; c

− √m2 − h2 .

BH = 2 Із ΔACH:

2 c 2 2 2 2 � � � AC = AH + CH = � + m − h � + h2 . 2 1. Якщо c = 60 см, h = 12 см, m = 13 см, то 2

AC = ��30 + √132 − 122 � + 122 = √352 + 122 = 37 (см). 2

BC = �� − √m2 − h2 � + h2 = ��30 − √132 − 122 � + 122 = √252 + 144 = √769 (см) 2

2. Якщо c = 42 см, h = 12 см, m = 13 см, тоді

2 2 c AC = �� + �m2 − h2 � + h2 = ��21 + �132 − 122 � + 122 = 2

= √262 + 122 = √820 = 2√205 (см) 2

c BC = �� − √m2 − h2 � + h2 = √162 + 122 = 20 (см) 2

871. Знайдіть висоти трикутника, якщо його сторони дорівнюють: 1) 10 см, 10 см, 12 см; 2) 7 см, 15 см, 20 см. 1. AB = BC = 10 см, AC = 12 см, BD ⟂ AC, AK ⟂ BC, 1 1 AD = DC = AC = ·12 = 6 (см). 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Із ΔABD: BD = √AB 2 − AD2 = √102 − 62 = 8 (см). Нехай BK = x, тоді 102 − x2 = 122 − (10 − x)2; 100 − x2 = 144 − 100 + 20x − x2; 20x = 56; x = 2,8. AK = √AB 2 − BK 2 = √100 − 7,84 = √92,16 = 9,6 (см). CL = AK = 9,6 см. 2. BC = 7 см, AB = 15 см, AC = 20 см.

AK = x, KC = 20 − x, тоді AB2 − AK2 = BC2 − KC2; 152 − x2 = 72 − (20 − x)2; 225 − x2 = 49 − 400 + 40x − x2; 40x = 576; x = 14,4. BK = √AB2 − AK 2 = �152 − 14,42 = 4,2 (см) BH = y; тоді HC = 7 − y; AB2 − BH2 = AC2 − HC2; 152 − y2 = 202 − (7 − y)2; 225 − y2 = 400 − 49 + 14y − y2; 14y = −126; y = −9; AH = √AB2 − BH 2 = √152 − 92 = √225 − 81 = 12 (см) BL = z, тоді AL = 15 − z; BC2 − BL2 = AC2 − AL2; 72 − z2 = 202 − (15 − z)2; 49 − z2 = 400 − 225 + 30z − z2; 30z = −126; z = −4,2; LC = √BC 2 − BL2 = �72 − 4,22 = 5,6 (см) 872. Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін. CM = BN; AN = DM.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

ΔNBD: BD2 = BN2 + ND2 = BN2 + (AD − AN)2. ΔACM: AC2 = CM2 + AM2 = BN2 + (AD + AN)2. BN2 = AB2 − AN2; AC2 + BD2 = BN2 + (AD + AN)2 + BN2 + (AD − AN)2 = = AB2 − AN2 + AD2 + 2AD · AN + AN2 + AB2 − AN2 + AD2 − 2AD · AN + AN2 = = AB2 + AD2 + AB2 + AD2 = 2AB2 + 2AD2, що й треба було довести. 873. Доведіть, що коли d1 і d2 — діагоналі трапеції, а і b — її основи, c і d — бічні сторони, то d21 + d22 = c2 + d2 + 2ab. ΔKBD: BD2 = BK2 + KD2 = (AB2 + AK2) = (AD − AK)2 + d12.

ΔACL: AC2 = AL2 + CL2 = (AD − LD)2 + (CD2 − LD)2 = d22. d12 + d22 = (c2 − AK2 + b2 − 2b·AK + AK2) + ((b2 − 2b · LD + LD2 + d2 − LD2) = = c2 + b2 − 2b · AK + b2 − 2b · LD + d2 = c2 + d2 − 2b(AL + LD) + 2b2 = = c2 + d2 − 2b(b − a) + 2b2 = c2 + d2 − 2b2 + 2ab + 2b2 = c2 + d2 + 2ab. 874. Доведіть, що в колі: 1) рівні хорди рівновіддалені від центра; 2) із двох нерівних хорд більша хорда ближча до центра. Вказівка: скористайтеся теоремою Піфагора. 875. Два кола дотикаються зовнішньо. Доведіть, що відрізок їхньої зовнішньої спільної дотичної, що лежить між точками дотику, — середнє пропорційне між діаметрами кіл.

Нехай дані кола дотикаються зовнішньо у точці D. AB — відрізок спільної зовнішньої дотичної.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

OA ⊥ AB, O1B ⊥ AB за властивістю дотичної. OA = r, O1B = R. Проведемо OC ∥ AB, AВСО — прямокутник OC = AB, CB = OA = r, тоді O1C = R – r. У ∆OCO1 (∠C = 90°) OC2 = OO21 – O1C2, OO1 = OD + DO1 = r + R. Тоді OC2 = (r + R)2 – (R – r)2 = r2 + 2rR + R2 – R2 + 2rR – r2 = = 4rR = 2r · 2R = 2OA · 2O1B= d1d2, де d1 — діаметр кола радіуса OA, d2 — діаметр кола радіуса O1B. Отже, AB2 = d1d2, тобто відрізок зовнішньої спільної дотичної двох кіл, що лежить між точками дотику, – середнє пропорційне між діаметрами цих кіл. 876. Відстань між центрами кіл радіусами 6 см і 2 см дорівнює 10 см. Знайдіть довжину відрізка AB спільної внутрішньої дотичної.

Дано: кола K1(O; 10 см), K2(O1; 2 см); OO1 = 10 см. Знайти: AB. Розв’язання: △OCA ~ △O1CB (за двома кутами); OA 6 = = 3. k= O1 B

Нехай OC = x см, тоді CO1 = (10 − x) см. 𝑥𝑥 𝑥𝑥 OC = ; = 3; 𝐶𝐶O1 10 − 𝑥𝑥 10 − 𝑥𝑥 x = 30 − 3x x + 3x = 30 4x = 30 x = 7,5 Отже, OC = 7,5 см, CO1 = 10 − 7,5 = 2,5 см. У △OAB (∠A = 90°): OC2 = OA2 + AC2 AC = √𝑂𝑂𝑂𝑂 2 − 𝑂𝑂𝑂𝑂2 = �7,52 − 62 = �56,25 − 36 = �20,25 = 4,5 (см). 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3, отже CB = AC : 3 = 4,5 : 3 = 1,5 (см). 𝐶𝐶𝐶𝐶 AB = AC + CB = 4,5 + 1,5 = 6 (см). Відповідь: 6 см. 877. (Задача Архімеда) Дві хорди, які перетинаються, — взаємно перпендикулярні. Доведіть, що сума квадратів відрізків цих хорд дорівнює квадрату діаметра.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

DC ⟂ AB. Проведемо BE ∥ CD ⇒ BE ⟂ AB. ∠ABE = 90° і є вписаним кутом, тому AE — діаметр кола. ΔAEC: ∠ACE = 90°, бо спирається на діаметр. AE2 = AC2 + CE2. ◡BD = ◡EC (як розташовані між BE ∥ CD) ⇒ DB = EC. ΔDBM: ∠DMB = 90°; DB2 = DM2 + MB2. ΔAMC: ∠AMC = 90°; AC2 = AM2 + MC2. Тоді DB2 + AC2 = MD2 + MB2 + MA2 + MC2 = EC2 + AC2 = AE2 = d2. 878. На малюнку показано, як застосували теорему Піфагора, щоб виміряти відстань між пунктами A і B, розділеними перешкодою. Поясніть вимірювання.

За умовою AC ⊥ BC, отже, ∆ACB — прямокутний. Виміряємо катети AC і CB. За теоремою Піфагора AB2 = AC2 + CB2. 879. Між двома фабричними будівлями потрібно побудувати похилий жолоб для транспортування матеріалів. Кінці жолоба мають бути розташовані на висоті 7 м і 3 м над землею. Якою має бути довжина жолоба, якщо відстань між будівлями дорівнює 15 м?

Дано: AM = 7 м, BN = 3 м, CB = 15 м. Знайти: AB. Розв’язання: AC = AM − CM = 7 − 3 = 4 (м). △ABC (∠C = 90°): AB2 = AC2 + CB2 AB = �𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐶𝐶𝐶𝐶2 = �42 + 152 = √241 ≈ 15,5(м). Відповідь: 15,5 м.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

880. Діагональ прямокутної ділянки землі дорівнює 116 м, а одна зі сторін — 84 м. Який периметр цієї ділянки?

la. in.

Дано: ABCD прямокутник; AC = 116 м, AD = 84 м. Знайти: PABCD. Розв’язання: △ADC (∠D = 90°): AC2 = AD2 + CD2 CD = �𝐴𝐴𝐶𝐶 2 − 𝐴𝐴𝐴𝐴2 = �1162 − 842 = √13456 − 7056 = √6400 = 80(м). PABCD = 2(AD + CD) = 2(84 + 80) = 2 · 164 = 328 (м). Відповідь: 328 м. 881. 1. Якої довжини має бути драбина, щоб її можна було приставити до вікна, розташованого на висоті 6 м, якщо відстань від нижнього кінця драбини до будинку має дорівнювати 2,5 м? 2. На яку відстань від стіни будинку потрібно відсунути нижній кінець драбини завдовжки 9 м, щоб верхній її кінець був на висоті 6 м?

Дано: △ABC (∠C = 90°); BC = 6 м. Знайти: 1. AB, якщо AC = 2,5 м; 2. AC, якщо AB = 9 м. Розв’язання: 1. △ABC (∠C = 90°): AB 2 = BC2 + AC 2 AB = �BC2 + AC 2 = �62 + 2,52 = �36 + 6,25 = �42,25 = 6,5(м). 2. △ABC (∠C = 90°): AB 2 = BC2 + AC 2 AC = �AB 2 − BC2 = �92 − 62 = √81 − 36 = √45 ≈ 6,7(м). Відповідь: 1) 6,5 м; 2) 6,7 м. 882. (Задача давньокитайського вченого Цзінь Кіу–Чау, 1250 р. до н. е.) У центрі копанки, що має форму квадрата зі стороною 10 футів, росте очеретина, висота якої над поверхнею води — 1 фут (1 фут ≈ 30 см). Якщо нахилити її до берега (до середини сторони копанки), то вона дістає своєю верхівкою берега. Яка глибина копанки?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: АВ = 10 футів; ОD = ОD1; CD = 1 фут. Знайти: OC. Розв’язання: 1 1 D1C = AO = AB = ∙ 10 = 5 футів. 2 2 Нехай глибина копанки OC = х футів, тоді довжина очеретини OD = OC + CD = (x + 1) футів. D1O = (x + 1) футів. ∆D1CO (∠C = 90°): D1O2 = OC2 + D1C2; (x + 1)2 = x2 + 52; x2 + 2x + 1 = x2 + 25; 2x = 24; x = 12 (футів) – глибина копанки. Відповідь: 12 футів.

§ 16. СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ СТОРОНАМИ І КУТАМИ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА 883. 1. За даними на малюнку назвіть: катет, прилеглий до кута α; катет, протилежний куту α. 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎𝑎 2. Прочитайте записи , і , вживаючи слова «відношення», «протилежний катет», 𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑏𝑏 «прилеглий катет», «гіпотенуза».

1. Катет, прилеглий до кута α — b; катет, протилежний куту α — a. 𝑎𝑎 2. — відношення протилежного катета до гіпотенузи; 𝑐𝑐

sh 𝑏𝑏

𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏

— відношення прилеглого катета до гіпотенузи;

— відношення протилежного катета до прилеглого. 𝑎𝑎

𝑏𝑏

𝑎𝑎

3. = sin α; = cos α; = tg α. 𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑏𝑏 884. Назвіть правильну відповідь. 1) tg β дорівнює: 5 12 5 а) ; б) ; в) ; 15 5 13 2) cos β дорівнює:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 12

1. tg β =

(б);

2. cos β =

13 12

(в);

𝑎𝑎

1. = sin α (а); 𝑐𝑐 𝑏𝑏

2. = cos β (б); 𝑐𝑐 𝑏𝑏

la. in.

3. sin β = (б). 13 885. За малюнком назвіть правильну відповідь: 𝑎𝑎 1) для кута α відношення є: 𝑐𝑐 а) sin α; б) cos α; в) tg α; 𝑎𝑎 2) для кута β відношення є: 𝑐𝑐 а) sin β; б) cos β; в) tg β; 𝑏𝑏 3) для кута β відношення є: 𝑎𝑎 а) sin β; б) cos β; в) tg β.

а) ; б) ; в) ; 13 5 13 3) sin β дорівнює: 5 12 13 а) ; б) ; в) .

3. = tg β (в). 𝑎𝑎 886. Чи правильно, що при збільшенні гострого кута: 1) синус кута зменшується; 2) синус кута збільшується; 3) косинус кута зменшується; 4) косинус кута збільшується; 5) тангенс кута зменшується; 6) тангенс кута збільшується? 1) Ні; 2) так; 3) так; 4) ні; 5) ні; 6) так.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

887. Чи є правильною рівність: 1) sin 30° = 4) sin 45° =

√3 √3 √3 ; 2) cos 30° = ; 3) tg 30° = ; 2 2 2 √2 √2 √2 2 1

; 5) cos 45° =

; 6) tg 45° = 1

;

cos α =

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵

;

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵

;

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵

la. in.

sin α =

7) sin 60° = ; 8) cos 60° = ; 9) tg 60° = ? 2 2 2 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) так; 5) так; 6) ні. 888. Накресліть у зошиті таблицю. Поставте «+» у тій клітинці, де відношення сторін трикутника відповідає його позначенню. Позначення Відношення sin α cos α sin β cos β tg α tg β 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 𝑏𝑏 + + 𝑐𝑐 𝑎𝑎 + + 𝑐𝑐 889. На малюнку ∠ABC = ∠ADB = 90°. Виразіть sin α, cos α і tg α через сторони трикутників ABC і BDA.

tg α = = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 890. Чи можуть синус гострого кута, косинус гострого кута прямокутного трикутника дорівнювати: 1) 1; 2) 0,9; 3) 2? Відповідь поясніть. 1. так; 2. так; 3. ні. 891. Чи може тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівнювати: 1) 1; 2) 4; 3) 0,8? 1. так; 2. так; 3. так. 892. Знайдіть значення виразу: 1) 2 sin 30°; 2) 4 cos 60°; 3) √3 tg 30°; 4) 6 sin 45°; 5) 2 cos 30°; 6) 8 tg 45°. 1 1. 2 sin 30° = 2 · = 1;

2. 4 cos 60° = 4 ·

2 1

3. √3 tg 30° = √3 ·

= 2;

√3

= 1.

893. Знайдіть значення виразу: 1) 4 sin 60°; 2) 2 cos 45°; 3) 3tg 60°.  shkola.in.ua

1) 2 √3; 2) √2; 3) 3. 894. Знайдіть значення виразу: 1) tg 30° · tg 60°; 2) √2 cos 45° ⋅ tg 45°; 3) 2sin 30° + √3 cos 30°; 4) 6cos 60° − √3 tg 30°. 1 · √3 =1; 1. tg 30° · tg 60° = √3

2. 8 cos 60° · sin 30° = 8 · · = 2; 2

3. 2 sin 30° + √3 cos 30° = 2 · + √3 · 2 1

4. 6 cos 60° − √3tg30 = −6 · − √3 · ∘

√3 = 1 + 1,5 = 2,5; 2 1

√3

= 3 − 1 = 2.

la. in.

895. Знайдіть значення виразу: 1) 8 sin 30° · cos 60°; 2) √2 cos 45° − 2 sin 30°. 1) 2; 2) 0. 896. Яка градусна міра кута a, якщо:

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) sin α = ; 2) cos α =

√2 ; 3) tg α = √3; 2 1

2 √3 4) sin α = ; 5) cos α = ; 6) tg α = 1? 2 2 1 ∘ 1. sin 𝛼𝛼 = , 𝛼𝛼 = 30 ; 2 √2 2. cos 𝛼𝛼 = , 𝛼𝛼 = 45∘ ; 2 ∘

3. tg𝛼𝛼 = √3, 𝛼𝛼 = 60 . 897. Яка градусна міра кута a, якщо: √2

√3

1) sin α = ; 2) cos α = ; 3) tg α = . 2 2 3 1) 45°; 2) 30°; 3) 30°. 898. Запишіть у порядку збільшення: 1) sin 15°, sin 46°, sin 75°, sin 10°, sin 11°; 2) tg 37°, tg 87°, tg 66°, tg 17°, tg 48°. 1. sin 10°; sin 11°; sin 15°; sin 46°; sin 75° 2. tg 17°; tg 37°; tg 48°; tg 66°; tg 87°. 899. Запишіть у порядку збільшення: cos 50°, cos 34°, cos 20°, cos 72°, cos 25°. cos 72°; cos 50°; cos 34°; cos 25°; cos 20°; 900. За даними, наведеними на малюнках, знайдіть х.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 1

𝑥𝑥 = 4sin 30∘ = 4 · = 2 (см) ∘

2 1

𝑥𝑥 = 8cos 60 = 8 · = 4 (см)

2 5√3 5√3·2 𝑥𝑥 = = = 10 (см). sin 60∘ √3

𝑥𝑥 =

tg45∘

la. in.

6√3 6√3·2 = = 12 (см) ∘ cos 30 √3 10·2 √2 = 10 (см) 𝑥𝑥 = 10√2sin 45∘ = 10√2 · = 2 2 7 7

𝑥𝑥 =

901. За даними, наведеними на малюнках, знайдіть х.

= = 7 (см) 1

902. У трикутнику АВС (∠C = 90°) кут А дорівнює 30°. Знайдіть: 1) ВС, якщо АВ = 4 см; 2) АС, якщо BC = 2√3 см; 3) АВ, якщо AC = 4√3 см.

Розв’язання: BC 1 ⇒ BC = AB · sin30° = 4 · = 2 (см). 𝟏𝟏. sin30° = AB 2 BC 2 √3 BC ⇒ AC = = = 2√3 · √3 = 6 (см). 𝟐𝟐. tg30° = tg30° 1/√3 AC AC AC 4 √3 4 √3 · 2 𝟑𝟑. cos30° = ⇒ AB = = = = 8 (см). AB cos30° √3/2 √3 Відповідь: 1) 2 см; 2) 6 см; 3) 8 см. 903. У трикутнику MNK (∠K = 90°) кут M дорівнює 60°. Знайдіть: 1) MN, якщо MK = 3 см; 2) NK, якщо MK = 2√3 см; 3) MK, якщо NK = 7√3 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

MK 3 MK ⇒ MN = = = 3 · 2 = 6 (см). cos60° 1/2 MN NK 𝟐𝟐. tg60° = ⇒ NK = MK · tg60° = 2√3 · √3 = 2 · 3 = 6 (см). MK NK 7 √3 NK ⇒ MK = = = 7 (см). 𝟑𝟑. tg60° = tg60° MK √3 Відповідь: 1) 6 см; 2) 6 см; 3) 7 см. 904. Кут А трикутника АВС (∠C = 90°) дорівнює 45°. Знайдіть: 1) АВ, якщо AC = √2 см; 2) ВС, якщо AB = 5√2 см; 3) АС, якщо ВС = 9 см.

1. AB =

cos45

la. in.

𝟏𝟏. cos60° =

√2

= 1 = 2 (см); ∘ √2

2. BC = AB ∙ sin45∘ = 5√2 · BC

tg45∘

= = 9 (см).

3. AC =

√2 = 5 (см); 2

905. Скориставшись формулами cos α = sin (90° – α), sin α = cos (90° – α), замініть: 1) косинуси даних кутів на синуси: cos 20°, cos 35°, cos 50°; 2) синуси даних кутів на косинуси: sin 10°, sin 65°, sin 85°. 1) cos20° = sin(90° – 20°) = sin70°; cos35° = sin(90° – 35°) = sin55°; cos50° = sin(90° – 50°) = sin40°; 2) sin10° = cos(90° – 10°) = cos80°; sin65° = cos(90° – 65°) = cos25°; sin85° = cos(90° – 85°) = cos5°. 906. Скориставшись формулами cos α = sin (90° – α), sin α = cos (90° – α), замініть: 1) косинуси даних кутів на синуси: cos 40°, cos 74°; 2) синуси даних кутів на косинуси: sin 55°, sin 25°. 1) cos40° = sin(90° – 40°) = sin50°; cos74° = sin(90° – 74°) = sin16°. 2) sin55° = cos(90° – 10°) = cos80°; sin25° = cos(90° – 25°) = cos35°. 907. Спростіть вираз:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) 2 cos (90° – α) – sin α; 2) sin α + cos (90° – α); 3) 3 cos α – 2 sin (90° – α); 4) 3 sin (90° – α) – 4 cos α. 1. 2 cos(90° − α) − sin α = 2 sin α − sin α = sin α; 2. sin α + cos(90° − α) = sin α + sin α = 2 sin α; 3. 3 cos α − 2 sin(90° − α) = 3 cos α − 2 cos α = cos α. 908. Спростіть вираз: 1) sin (90° – α) – cos α; 2) cos α – 2 sin (90° – α). 1) sin(90° – α) – cosα = cosα – cosα = 0. 2) cosα – 2sin(90° – α) = cosα – 2cosα = –cosα. 909. Побудуйте кут: 3 1) синус якого дорівнює: а) ; б) 0,3; 5

2) косинус якого дорівнює: а) ; б) 0,6; 6

3) тангенс якого дорівнює: а) 2; б) . 3

1. а) sin ∠A = . 5

Обираємо одиничний відрізок 0,5 см. Будуємо прямокутний трикутник, катет BC якого дорівнює 3 одиничним відрізкам, а гіпотенуза AB = 5. Кут A, який лежить навпроти катета BC, — шуканий, бо sin ∠A = BC 3 = . AB

б) sin ∠A = 0,3 =

Будуємо прямокутний трикутник, катет BC якого дорівнює 3 одиничним відрізкам, а гіпотенуза AB = 10. Кут A, який лежить навпроти катета BC, — шуканий, бо sin ∠A = BC 3 = .

2. а) cos ∠B = . 6

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Обираємо одиничний відрізок 0,5 см. Будуємо прямокутний трикутник, катет BC якого дорівнює 5 одиничним відрізкам, а гіпотенуза — 6. Кут B, прилеглий до катета BC, BC 5 шуканий, оскільки cos ∠B = = . AB

б) cos ∠B = 0,6 = .

la. in.

Обираємо одиничний відрізок 0,5 см. Будуємо прямокутний трикутник, катет BC якого дорівнює 3 одиничним відрізкам, а гіпотенуза — 5. Кут B, прилеглий до катета BC, BC 3 шуканий, оскільки cos cos ∠B = = . AB

3. а) t𝑔𝑔 ∠A = 2 = . 1

Обираємо одиничний відрізок 1 см. Будуємо прямокутний трикутник, катет BC якого дорівнює 2 одиничним відрізкам, а катет AC — 1. Кут A, який лежить навпроти катета BC 2 BC, — шуканий, оскільки t𝑔𝑔 ∠A = = = 2. CA

б) t𝑔𝑔 ∠A = .

Обираємо одиничний відрізок 0,5 см. Будуємо прямокутний трикутник, катет BC якого дорівнює 4 одиничним відрізкам, а катет AC — 7. Кут A, який лежить навпроти катета BC 4 BC, — шуканий, оскільки t𝑔𝑔 ∠A = = . CA 7 910. Побудуйте кут: 1) синус якого дорівнює 0,5; 5 2) косинус якого дорівнює ; 12

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3) тангенс якого дорівнює 1. 𝑏𝑏 1 2 1) sin α = 0,5; = = ;

𝑎𝑎

; =

12 𝑐𝑐

𝑏𝑏

2) cos β =

;

la. in.

𝑐𝑐

3) tg γ = 1; = 1 = . 𝑎𝑎

911. За даними, наведеними на малюнках, знайдіть x.

x = c cos α. x = c sin α. x = b tg α. 912. За даними, наведеними на малюнках, знайдіть x.

a . tg α a x= . sin α a x= . cos α 913. Знайдіть катет а прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза с і синус протилежного йому кута А дорівнюють: x=

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 1

1) с = 12 см, sin A = ; 4 2

2) с = 20 см, sin A = ; 5 2

3) с = 18 см, sin A = ; 3

1. a = c sin ∠A = 12 ·

= 3 (см);

la. in.

4 2

4) с = 8 см, sin A = .

2. a = c sin ∠A = 20 · 3. a = c sin ∠A = 18 ·

5 2 3

= 8 (см);

= 12 (см);

4. a = c sin ∠A = 8 · = 6 (см). 4 914. Знайдіть катет b прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза с і косинус прилеглого до нього кута А дорівнюють: 1 1) с = 6 см, cos A = ; 3

2) с = 14 см, cos A = .

1. b = c cos ∠A = 6 ·

1 3

= 2 (см);

2. b = c cos ∠A = 14 · = 4 (см). 7 915. Знайдіть гіпотенузу АВ прямокутного трикутника АВС (∠C = 90°), якщо: 1 1) ВС = 16 см, cos B = ; 8 3

2) ВС = 12 см, cos B = ; 4 3) ВС = 5 см, cos B = 0,5; 4) ВС = 7 см, cos A = 0,7.

 shkola.in.ua

1. AB =

= 16 ∶

tg ∠A

0,7

cos ∠B BC

1 8 3

· = 128.

1 1 12·4

la. in.

= 12 ∶ = = 16. 2. AB = cos ∠B 4 3 3. AC = BC tg ∠B = 5 · 0,5 = 2,5. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; 5√5 AB = �25 + 6,25 = �31,25 = 2,5√5 = . 2 BC 7 4. AC = = = 10 (см).

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

916. Знайдіть гіпотенузу АВ прямокутного трикутника АВС (∠C = 90°), якщо: 3 1) ВС = 24 см, sin A = ; 8 1

2) ВС = 10 см, sin A = .

1. AB =

sin ∠A BC

= 24 ∶

3 8 1

24·8 3 10·5

= 64 (см).

2. AB = = 10 ∶ = = 50 (см). sin ∠A 5 1 917. Знайдіть катет ВС прямокутного трикутника АВС (∠C = 90°), якщо: 1) АС = 8 см, tg A = 0,6; 2) AC = 12 см, tg A = 4; 3) AC = 11 см, tg A = 1,5.

1. BC = AC tg ∠A = 8 · 0,6 = 4,8;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2. BC = AC tg ∠A = 12 · 4 = 48; 3. BC = AC tg ∠A = 11 · 1,5 = 16,5. 918. Знайдіть невідомі сторони прямокутного трикутника АВС (∠C = 90°), якщо: 1) AB = c, ∠B = β; 2) BC = a, ∠A = α; 3) AC = b, ∠B = β.

1. У ΔABC ∠C = 90°; AC = c sin β; BC = c cos β. a a 2. У ΔABC ∠C = 90°; BA = ; AC = .

3. У ΔABC ∠C = 90°; AB =

sin α b sin β

; BC =

tg α b

tg β

919. Скориставшись калькулятором, знайдіть: 1) sin α, cos α, tg α, якщо α дорівнює: 43°; 22°; 35°; 58°20′; 64°13′; 2) кут α, якщо: sin α дорівнює: 0,642; 0,771; 0,910; 0,640; 0,712; cos α дорівнює: 0,342; 0,962; 0,087; 0,914; 0,809; tg α дорівнює: 0,178; 0,269; 0,035; 0,447; 0,532. 1. sin 43° 6′ ≈ 0,683; sin 22° 25′ ≈ 0,381; sin 35° 48′ = 0,585; sin 58° 20′ = 0,851; cos 43° 6′ = 0,730; cos 22° 25′ = 0,925; cos 35° 48′ = 0,811; cos 58° 20′ ≈ 0,525; tg 43° 6′ ≈ 0,936; tg 22° 25′ = 0,412; tg 35° 48′ = 0,721; tg 58° 20′ ≈ 1,619; sin 64° 13′ ≈ 0,900; sin 39° 21′ = 0,634; sin 54° 12′ = 0,811; sin 83° 18′ ≈ 0,993; cos 64° 13′ ≈ 0,435; cos 39° 21′ = 0,773; cos 54° 12′ = 0,585; cos 83° 18′ = 0,117; tg 64° 13′ = 2,069; tg 39° 21′ = 0,820; tg 54° 12′ = 1,387; tg 83° 18′ = 8,513; 2. sin α = 0,642, α = 39,9°; sin α = 0,771, α = 50,4°; sin α = 0,910, α = 65,5°; sin α = 0,640, α = 39,8°; sin α = 0,712, α = 45,4°; sin α = 0,750, α ≈ 48,6°; sin α = 0,515, α = 31°; sin α = 0,892, α = 63,1°; cos α = 0,342, α = 70°;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

cos α = 0,962, α = 15,8°; cos α = 0,087, α = 85°; cos α = 0,914, α = 23,8°; cos α = 0,809, α = 36°; cos α = 0,602, α = 53°; cos α = 0,915, α = 23,8°; cos α = 0,839, α = 33°; tg α = 0,178, α = 10,1°; tg α = 0,269, α = 15,1°; tg α = 0,035, α = 2°; tg α = 0,447, α ≈ 24,1°; tg α = 0,532, α = 28°; tg α = 0,934, α = 43°; tg α = 0,781, α = 38°; tg α = 0,578, α = 30°. 920. Скориставшись калькулятором, знайдіть: 1) sin α, cos α, tg α, якщо a дорівнює: 39°; 54°12′; 2) кут α, якщо: sin α дорівнює: 0,750; 0,515; cos α дорівнює: 0,602; 0,915; tg α дорівнює: 0,934; 0,781. 1) Якщо α = 39°, то: sin α = 0,629; cos α = 0,777; tg α = 0,809; Якщо α = 54°12′, то: sin α = 0,811; cos α = 0,585; tg α = 1,387; 2) Якщо sin α = 0,750, то α = 48°35′; Якщо sin α = 0,515, то α = 31°; Якщо cos α = 0,602, то α = 52°59′; Якщо cos α = 0,915, то α = 23°48′; Якщо tg α = 0,934, то α = 43°3′; Якщо tg α = 0,781, то α = 37°59′. 921. За таблицями (додатки 1, 2) знайдіть: 1) sin 20°, sin 75°, sin 33°, sin 85°; 2) cos 6°, cos 67°, cos 51°, cos 24°; 3) tg 65°, tg 1°, tg 73°, tg 19°. 1) 0,342; 0,966; 0,545; 0,996; 2) 0,994; 0,391; 0,629; 0,913; 3) 2,14; 0,017; 3,27; 0,344. 922. За таблицями (додатки 1, 2) знайдіть: 1) sin 53°, sin 2°; 2) cos 62°, cos 13°; 3) tg 10°, tg 16°. 1) 0,799; 0,035; 2) 0,469; 0,974; 3) 0,176; 0,287. 923. За таблицями (додатки 1, 2) знайдіть кут α, якщо: 1) sin α = 0,999; sin α = 0,017; sin α = 0,574; 2) cos α = 0,766; cos α = 0,966; cos α = 0,225; 3) tg α = 0,900; tg α = 0,344; tg α = 0,781.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. sin ∠A =

tg ∠A =

cos ∠A =

AB 30 AC 18

AB 30 BC 24

2. sin ∠β =

cos ∠β =

la. in.

1) 88°, 1°, 35°; 2) 40°, 15°, 77°; 3) 42°, 19°, 38°. 924. За таблицями (додатки 1, 2) знайдіть кут α, якщо: 1) sin α = 0,588; 2) cos α = 0,731; 3) tg α = 0,839. 1) 36°; 2) 43°; 3) 40°. 925. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) AC = 18 мм, BC = 24 мм. Знайдіть: 1) sin A, cos A, tg A; 2) sin B, cos B, tg B. AC = 18 мм, BC = 24 мм, AB = √AC 2 + BC2 = √182 + 242 = 30 (мм).

= 0,6;

= 1,3;

18 AC 18

AB 30 BC 24

= 0,8;

AB 30 AC 18

= 0,6;

= 0,8;

tg ∠β = = = 0,75; BC 24 926. Із точки A до прямої проведено похилу AB = 15 см і перпендикуляр AC = 9 см. Знайдіть синус і косинус: 1) кута A; 2) кута B. У ΔABC ∠C = 90°. За теоремою Піфагора BC2 = AB2 − AC2; BC = √225 − 81 = √144 = 12 (см).

1. cos ∠A = 2. sin ∠B =

A𝐶𝐶

AB A𝐶𝐶

15 9

= = 0,6; 5 3

= = 0,6;

AB 15 5 B𝐶𝐶 12 4

cos ∠B = = = = 0,8. AB 15 5 927. У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 24 см і 7 см. Знайдіть: 1) косинус гострого кута, який лежить проти меншого катета; 2) синус гострого кута, який лежить проти більшого катета;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3) тангенс гострого кута, який лежить проти більшого катета.

У прямокутному трикутнику a = 24 см, b = 7 см, тоді c2 = a2 + b2, c = √576 + 49 = √625 = 25 (см). a 24 1. sin ∠B = = = 0,96; 2. cos ∠A = = a

25 24

la. in.

c a

25 24

= 0,96; 3

3. tg ∠A = = = 3 . b 7 7 928. Знайдіть значення виразу: 1) 2cos 60° · tg 45° · tg 60°; 2) 3tg2 60° – 4cos2 30°. 1 1. 2 cos 60° tg 45° tg 60° = 2 · · 1 · √3 = √3 2

2. 8 tg2 60° − 4 cos2 30° = 3 · (√3)2 − 4 · (√3) · 22 = 3 · 3 − 4 · = 9 − 3 = 6; 4 929. Знайдіть значення виразу: cos 30° · tg 30° + sin 60° · tg 60°. √3

√3

cos 30° tg 30° + sin 60° tg 60° = · + · √3 = + = + = = 2. 6 2 2 2 2 2 2 2 930. У прямокутному трикутнику катет дорівнює 8 см, а протилежний йому кут — 60°. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

У △ABC ∠C = 90°; ∠B = 60°, тоді ∠A = 90° − 60° = 30°. У △ADC ∠D = 90°; CD ⟂ AB; 1 DC = AC sin 30° = 8 · = 4 (см). 2

931. Катет прямокутного трикутника дорівнює 9√3 см, а прилеглий до нього кут — 60°. Знайдіть бісектрису цього кута.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: △ABC (∠C = 90°), BC = 9√3 см, ∠B = 60°, BK — бісектриса. Знайти: BK. Розв’язання: 1 1 ∠KBC = ∠B = · 60° = 30°. 2 2 У △KBC (∠C = 90°): BC cos∠KBC = BK 9 √3 9 √3 9 √3 · 2 BC = = = = 18 (см). BK = cos∠KBC cos30° √3/2 3 √ Відповідь: 18 см. 932. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а кут при основі — 30°. Знайдіть: 1) основу трикутника; 2) висоту, проведену до основи; 3) висоту, проведену до бічної сторони.

Дано: △ABC; ∠A = 30°; AB = BC = 10 см. Знайти: 1. AC; 2. BD; 3. DM. Розв’язання: 1. △ADB (∠D = 90°): AD cosA = AB √3 = 5√3(см); AD = AB · cosA = 10 · cos30° = 10 · 2 AC = 2 · AD = 2 · 5√3 = 10√3(см). 2. △ADB (∠D = 90°): BD sinA = AB 1 BD = AB · sinA = 10 · sin30° = 10 · = 5(см). 2 3. △ADM (∠M = 90°): DM sinA = AD  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1 = 2,5√3(см). 2 Відповідь: 1) 10√3 см; 2) 5 см; 3) 2,5√3 см. 933. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 8 см, а кут трикутника: 1) 30°; 2) 45°.

DM = AD · sinA = 5√3 · sin30° = 5√3 ·

la. in.

У △ABC ∠C = 90°, CM – медіана, яка проведена до гіпотенузи, CM = 8 см. Медіана CM дорівнює половині гіпотенузи, тому AB = 2CM, AB = 2 · 8 = 16 (см). У △ABC ∠C = 90°; AC = ABcos 30∘ = 16 ·

√3 = 8√3 (см); 2 1

BC = ABsin 30∘ = 16 · = 8 (см). 2 934. За даними, наведеними на малюнках, знайдіть довжини відрізків AD і CD.

1. У △ABC ∠A = 90°; AC = 4 tg 60° = 4√3 (см). У △ACD ∠D = 90°; 1 AD = AC sin 30∘ = 4√3 · = 2√3 (см); 2 √3 CD = ACcos 30∘ = 4√3 · = 6 (см). 2

2. У прямокутній трапеції BK ⟂ DC, тому ABKD – прямокутник, у якого AB = DK = 6 см, BK = AD. У △BKC ∠K = 30°; BC = 8 см, тоді 1 KC = BC ∙ cos60∘ = 8 · = 4 (см); 2 CD = DK + KC = 6 + 4 = 10 (см). 935. За даними, наведеними на малюнку, знайдіть довжини відрізків AD і CD.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

У △DCB ∠C = 90°; 1 DC = DB ∙ sin30° = 4√3 · = 2√3 (см). 2 У △ABD ∠D = 90°; √3

la. in.

AD = BD ∙ tg30∘ = 4√3 · = 4 (см). 3 936. Сторона ромба дорівнює 4 см, а один із його кутів — 60°. Знайдіть діагоналі ромба. У △BAO ∠O = 90°, бо діагоналі ромба перпендикулярні, тобто BD ⟂ AC.

∠BAO = 60° : 2 = 30°, бо діагональ AC — бісектриса ∠A, 1 BO = ABsin 30∘ = 4 · = 2 (см); 2 √3 AO = ABsin 30∘ = 4 · = 2√3 (см). 2

Діагоналі AC і BD в точці O діляться навпіл, тому BD = 2BO = 2 · 2 = 4 (см). AC = 2AO = 2 · 2√3 = 4√3 (см). 937. Більша діагональ ромба дорівнює 12√3 см, а один із його кутів — 120°. Знайдіть сторону й меншу діагональ ромба.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

За властивостями діагоналей ромба AC ⟂ BD; AO = OC = BO = OD. AC і BD — бісектриси кутів ромба. Тому в △ABO ∠O = 90°; AO = OC = 6√3 (см); ∠ABO = 60°. AB =

BO =

sin 60∘ AO

tg60∘

6√3·2 = 12 (см); √3 6√3

√3 1

= 6 (см).

la. in.

Оскільки BO = BD, то BD = 2BO = 2 · 6 = 12 (см). 2 938. Діагональ паралелограма дорівнює 12 см і перпендикулярна до його сторони. Знайдіть сторони паралелограма, якщо один із його кутів дорівнює: 1) 30°; 2) 45°.

1) У △ACD ∠C = 90°, бо AC ⟂ CD за умовою. AC 12·2 = = 24 (см); AD = ∘ CD =

si n 30 AC

= ∘

tg30

1 12·3 √3

12(√3)2 √3

= 12√3 (см);

AB = CD = 12√3 (см) AD = BC = 24 (см). 2) △ACD (∠C = 90°): ∠DAC = 90° − ∠D = 90° − 45° = 45°. ∠D = ∠CAD, тоді △ACD — рівнобедрений, AC = CD = 12 (см). AC 12 12 · 2 24 24√2 AD = = = = = = 12√2 (см). sin45° √2/2 2 √2 √2 Відповідь: 1) 12√3 см і 24 см; 2) 12 см і 12√2 см. 939. Знайдіть радіус r кола, вписаного в рівносторонній трикутник, і радіус R кола, описаного навколо цього трикутника, якщо сторона трикутника дорівнює а. O — центр вписаного у △ABC кола і центр описаного навколо △ABC кола. △ABC — правильний, тому точка O лежить на висоті BD, яка є медіаною і бісектрисою.

AO = R — радіус описаного кола; r = OD — радіус вписаного кола. Розглянемо △AOD: ∠D = 90°, бо OD ⟂ AC, D — точка дотику. ∠OAD = 60° : 2 = 30°, бо AO — бісектриса ∠A. 𝑎𝑎 AD = , бо BD — медіана. 2

R = AO =

AD a·2 a a√3 = = = cos 30∘ 2√3 √3 3

r = OD = ADtg30∘ =

a√ 3 2·3

a√ 3 6

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

940. Знайдіть радіус кола, вписаного в ромб, якщо його сторона дорівнює 16 см, а гострий кут: 1) 30°; 2) 60°.

la. in.

Якщо в ромб вписано коло, то діаметр кола дорівнює висоті ромба. Знайдемо висоту ромба. BF ⟂ AD. У △ABF ∠F = 90°; 1) Якщо гострий кут дорівнює 30°, то: 1 BF = AB sin 30° = 16 · = 8 (см). 2 Якщо BF = 8 см, то діаметр вписаного кола буде теж дорівнювати 8 см, звідки r = 8 : 2 = 4 (см). 2) Якщо гострий кут дорівнює 60°, то: BF = AB sin 60° = 16 ·

√3 = 8√3 (см). 2

Якщо BF = 8√3 см, то діаметр вписаного кола буде теж дорівнювати 8 см, звідки r = 8√3 : 2 = 4√3 (см). Відповідь: 1) 4 см; 2) 4√3 см. 941. Знайдіть відношення діаметрів кіл, вписаного в квадрат й описаного навколо цього квадрата.

Якщо коло вписано у квадрат, то діаметр кола дорівнює стороні квадрата. Нехай сторона квадрата дорівнює a, тобто AB = BC = CD = DA = a, тоді d = a. BD — діаметр кола, описаного навколо квадрата ABCD. Знайдемо його з △ABD, в якому ∠A = 90°, ∠B = ∠D = 45°. AD a·2 = = a√2; Тому BD = ∘ sin 45

√2 a

BD = d = a√2, тоді = d

a√ 2

√2

942. Із точки, що розташована на відстані 5 см від прямої, проведено дві похилі, які утворюють із прямою кути 45° і 30°. Знайдіть:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) похилі; 2) проєкції похилих на пряму. Проведемо AB ⟂ CD, AB — відстань від точки A до прямої CD, з умовою задачі AB = 5 см. AC — похила, CB — її проекція на CD · AD — похила, BD — її проекція на пряму CD.

1) У △ABC ∠B = 90°; AB 5·2 = = 5√2 (см); AC = ∘ ∘

√2

la. in.

sin 45

CB = ABtg45 = = 5 (см). 1 2) У △ABD ∠B = 90°; AB 5·2 = = 10 (см); AD = ∘ BD =

sin 30 AB

tg30∘

1 5·3 √3

= 5√3 (см).

943. Із точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють із прямоюкути по 45°. Знайдіть довжину кожної похилої, якщо відстань між їхніми основами дорівнює 10 см.

З точки A повели дві похилі AB і AC, де B — основа похилої AB, C — основа похилої AC. У △ABC за умовою задачі ∠B = ∠C = 45°, бо ∠A = 180° − (45° + 45°) = 90°, тобто △ABC — рівнобедрений прямокутний з гіпотенузою 10 см. Тоді √2

AB = AC · sin 45° = 10 · = 5√2 (см) 2 944. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) AC = 18 мм, BC = 24 мм. Знайдіть: 1) sin A, cos A, tg A; 2) sin B, cos B, tg B. AC = 18 мм, BC = 24 мм, AB = √AC 2 + BC2 = √182 + 242 = 30 (мм).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html BC

tg ∠A =

cos ∠A =

AB 30 AC 18

AB 30 BC 24

2. sin ∠β =

cos ∠β =

= 0,6;

= 1,3;

18 AC 18

AB 30 BC 24

= 0,8;

AB 30 AC 18

= 0,6;

1. sin ∠A =

= 0,8;

tg ∠β = = = 0,75; BC 24 945. Побудуйте прямокутний трикутник ACB (∠C = 90°), у якому: 1) sin A = 0,4; 1 2) tg A = . 3

1. sin ∠A = 0,4 = .

la. in.

Обираєм одиничний відрізок 0,5 см. Будуємо прямий кут. На одній стороні відкладаємо відрізок CB, довжина якого дорівнює 2 одиничним відрізкам. З точки B за допомогою циркуля відкладаємо відрізок AB, довжина якого дорівнює 5 одиничним відрізкам. ΔABC BC 2 — шуканий, оскільки ∠C = 90°, sin ∠A = = = 0,4. AB

2. t𝑔𝑔 ∠A = .

Обираємо одиничний відрізок 1 см. Будуємо прямий кут. На одній стороні відкладаємо відрізок CB, довжина якого дорівнює 1 одиничному відрізку, а на другій − відрізок AС, довжина якого дорівнює 3 одиничним відрізкам. ΔABC − шуканий, оскільки ∠C = 90°; BC 1 t𝑔𝑔 ∠A = = . AC

946. Побудуйте прямокутний трикутник МТО (∠Т = 90°), у якому cos M = . 7

Обираємо одиничний відрізок 0,5 см. Будуємо прямий кут. На одній стороні відкладаємо відрізок MT, довжина якого дорівнює 2 одиничним відрізкам. З точки T за допомогою

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

циркуля відкладаємо відрізок TO, довжина якого дорівнює 7 одиничним відрізкам. ΔMTO 𝑀𝑀𝑀𝑀 2 — шуканий, оскільки ∠T = 90°; cos ∠M = = . 𝑇𝑇𝑇𝑇 7 947. У прямокутному трикутнику катет дорівнює b, а прилеглий до нього кут — α. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

la. in.

NC ⟂ AB, NC — висота. У ΔAMC ∠N = 90°; BC = b sin α. 948. Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює α, а бісектриса цього кута — l. Знайдіть катет, прилеглий до кута α.

У ΔAMC ∠C = 90°; ∠A α ∠MAC = = , бо AM — бісектриса ∠A. 2

∠A

Тоді AC = AM cos = l cos . 2 2 949. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює b, а кут при основі — α. Знайдіть: 1) основу трикутника; 2) висоту, проведену до основи.

У рівнобедреному ΔABC проведемо висоту BD, BD ⟂ AC. BD — висота і медіана, тому AD = DC. У ΔABD ∠D = 90°, AD = b sin α; AC = 2AD = 2b cos α; BD = b sin α. Відповідь: 1) 2b ∙ cos α; 2) b ∙ sin α. 950. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює h, а кут при основі — α. Знайдіть: 1) бічну сторону трикутника; 2) основу трикутника.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Відповідь: 1.

sin α

la. in.

У рівнобедреному ΔABC проведемо висоту BD, BD ⟂ AC. Оскільки висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною, то AD = DC. У ΔABD ∠D = 90°, h BD = ; AB = sin α sin α h BD = ; AB = tg α tg α 2h тоді AC = 2AD = . tg α 2h

; 2.

tg α

951. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, а кут між бічними сторонами — α. Знайдіть: 1) висоту, проведену до основи; 2) бічну сторону трикутника.

У ΔABC AB = BC, AC = a. Проведемо до основи AC висоту BD, яка буде також медіаною, і бісектрисою. α α Тому AD = DC = ; ∠ABD = ∠CBD = ; 2

У ΔABD ∠D = 90°; BD =

α 2

AD a = α α. sin 2sin 2 2 a Відповідь: 1. α ; 2.

AB =

2tg

α 2

;

α 2

2sin

952. За даними, наведеними на малюнках, знайдіть відрізки AD і CD.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Мал. 1 У ΔABC ∠A = 90°; AC = AB + tg α = a tg α. AC a tg α = ; У ΔACD ∠C = 90°; AD = sin β sin β AC a tg α CD = = . tg β tg β Мал. 2 У ΔABC ∠B = 90°; a cos β . AD = AC cos β = sin α a sin β . DC = AC sin β = sin α 953. Знайдіть відрізки AD і CD за даними на малюнку.

1. ΔABC ∠C = 90°; AC = BC tg α; ∠CAB = 90° − α. 2. У ΔADC ∠D = 90°; ∠CAD = ∠A − ∠CAB; ∠CAD = 90° − (90° − α) = 90° − 90° + α = α. sin α Тоді AD = AC cos ∠CAD = a tg α cos α = a cos α = a sin α; cos α DC = AC sin ∠CAD = a tg α sin α. 954. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює m, а гострий кут трикутника — α. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи. Звідси AB = 2MC = 2m.

Тоді AC = AB cos α = 2m cos α; BC = AB sin α = 2m sin α. 955. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, якщо його катет дорівнює b, а гострий кут — α.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

У ΔABC ∠C = 90°; b AC = . AB = cos α cos α

la. in.

Центр кола, описаного навколо прамокутного трикутника, знаходиться в b . точці O — середині гіпотенузи AB, тобто AO = OB = R = 2 cos α 956. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює α, а радіус вписаного кола — r. Знайдіть: 1) основу трикутника; 2) бічну сторону трикутника. Центр кола, вписаного у трикутник, лежить у точці перетину бісектрис. Тому центр кола — точка O — лежить на бісектрисі BD. Якщо BD — бісектриса, проведена до основи рівнобедреного ΔABC, то BD — медіана і висота, тобто BD ⟂ AC, AD = DC, OD ⟂ AC, OD = r — радіус вписаного кола.

1) У ΔAOD ∠D = 90°, ∠OAD = , бо AO — бісектриса ∠A, тоді AD =

𝑡𝑡𝑡𝑡

α 2

𝑡𝑡𝑡𝑡

α 2

і AC = 2AD =

2 2R 𝑡𝑡𝑡𝑡

α 2

2) У ΔABD ∠D = 90°; ∠A = α; R AD = α . BA = cos α 𝑡𝑡𝑡𝑡 cos α 2 957. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює h, а кут при основі — α. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник. Центр кола, вписаного у трикутник, лежить у точці перетину бісектрис, тобто на бісектрисі BD. Оскільки ΔABC — рівнобедрений, то бісектриса BD — висота і медіана. OD ⟂ AC; OD = R — радіус вписаного кола.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

У ΔABD ∠D = 90°; h . AC = BD tg α = tg α α У ΔAOD ∠D = 90°; ∠OAD = , бо AO — бісектриса ∠A. 2 α α 𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑡𝑡 2 . OD = R = AD ∙ 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 2 tg α 958. Сторона АD прямокутника ABCD дорівнює а й утворює з діагоналлю АС кут α. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутника. Центр кола, описаного навколо прямокутника ABCD, знаходиться в точці O — точці перетину діагоналей AC і BD, тобто AO = BO = CO = DO = R.

Шукаємо AC. У ΔACD ∠D = 90°; AD a = , звідки A𝐶𝐶 = cos α cos α a AC = . AO = BO = CO = DO = R = 2 cos α 2 a . Відповідь: 2 cos α 959. Гострий кут між діагоналями прямокутника дорівнює α, а сторона, що лежить проти цього кута, — а. Знайдіть: 1) іншу сторону прямокутника; 2) діагональ прямокутника. ΔAOD — рівнобедрений, де в прямокутнику діагоналі рівні, і в точці перетину діляться навпіл, тобто AO = OB = OC = OD, тому ∠OAD = ∠ADO. ∠COD — зовнішній кут ΔAOD. ∠COD = ∠OAD + ∠ODA — властивість зовнішнього кута.

Оскільки ∠OAD = ∠ODA, то α ∠OAD = ∠ODA = . 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

У ΔCAD ∠D = 90°; α ∠CAD = ; 2) AC =

α tg 2

α sin 2

α 2

sin

1) AD =

2 CD

960. Більша діагональ ромба дорівнює d, а його гострий кут — α. Знайдіть: 1) сторону ромба; 2) меншу діагональ ромба. Проведемо діагональ BD. Діагоналі ромба в точці дотику O ділиться навпіл і BD ⟂ AC, а α також відомо, що діагоналі ромба — бісектриси кутів, тому ∠DAO = ∠BAO = .

la. in.

У ΔAOD: ∠AOD = 90°; AO A𝐷𝐷 = α, де AO =

cos 2 AC d 2

= , тому AD = 2

2 cos α

α; 2 cos 2 α d tg α d 2; OD = AO tg = = α 2 2 tg 2 2 α d tg 2 = d tg α. BD = 2OD = 2 · 2 2 961. Визначте знак різниці: 1) tg 64° – tg 58°; 2) sin 21° – sin 36°. 1. tg 60° − tg 58° > 0; 2. sin 21° − sin 35° < 0; cos 51° − cos 41° < 0. 962. Визначте знак різниці: cos 51° – cos 41°. Оскільки cos 51° < cos 41°, то cos 51° – cos 41° < 0. 963. Дві висоти паралелограма, проведені з вершини тупого кута, дорівнюють 12 см і 18 см, а кут між ними — 30°. Знайдіть сторони паралелограма.

AB = BC = CD = DA =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

BF — висота паралелограма, проведена до більшої сторони, а BN — висота, яка проведена до меншої сторони. Оскільки AD > DC, то BF < BN і тому BF = 12 см, BN = 18 см. Якщо BF ⟂ AD, то BF ⟂ BC, тому ∠FBC = 90°, звідки ∠NBC = 90° − 30° = 60°. У △BCN ∠N = 90°; BN 18·2 BC = ; BC = = 36 (см); ∘ cos 60 1 AD = BC = 36 см; ∠C = 90° − 60° = 30°; У △ABF ∠F = 90°; ∠A = ∠C = 30° — протилежні кути паралелограма, тому BF 12·2 AB = ; AB = = 24(см); sin 30∘ 1 AB = CD = 24 см. 964. Дві висоти паралелограма, проведені з вершини гострого кута, дорівнюють 5 см і 12 см, а кут між ними — 150°. Знайдіть сторони паралелограма.

AN ⟂ BC і AD ⟂ DC. Оскільки BC = CD, то AN < AF і AN = 5 см, AF = 12 см. У чотирикутнику ANCF сума кутів дорівнює 360°, тому ∠C = 360° − ∠N − ∠F − ∠A; ∠C = 360° − 90° − 90° − 150° = 30°. ∠C = ∠A = 30° — протилежні кути паралелограма ABCD, а ∠B = ∠D = 120°. У △ANB ∠N = 90°; ∠NBA = 180° − 150° = 30° — за властивістю суміжних кутів, тому AN 5·2 AB = ; AB = = 10 (см), ∘ sin 30 1 У △ADF ∠F = 90°; ∠ADF = 30° = ∠BCD, як відповідні кути при BC ∥ AD і січній CF, тому AF 12·2 ; AD = = 24. AD = ∘ sin 30 1 965. Знайдіть сторони трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює r, а кути трикутника дорівнюють α, β, γ.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: △ABC — описаний навколо кола; ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ; OK = OM = OP = r. Знайти: AB, BC, AC. Розв’язання: Центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис трикутника. 1 𝛼𝛼 △AOK (∠K = 90°): ∠OAK = ∠A = . 2

tg∠OAK = , тому AK OK r r AK = = ; AP = AK = . tg∠OAK tg(α/2) tg(α/2) △BKO (∠K = 90°): r r KB = ; BM = KB = . tg(β/2) tg(β/2) △CMO (∠M = 90°): r r MC = ; PC = MC = . tg(γ/2) tg(γ/2) r 1 r 1 + = r� + AB = AK + KB = �. tg(α/2) tg(β/2) tg(α/2) tg(β/2) r r 1 1 BC = BM + MC = + = r� + �. tg(β/2) tg(γ/2) tg(β/2) tg(γ/2) r 1 r 1 + = r� + AC = AP + PC = �. tg(α/2) tg(γ/2) tg(α/2) tg(γ/2) 1

Відповідь: 𝑟𝑟 � α + tg

β tg 2

� , 𝑟𝑟 � β + tg

γ tg 2

� , 𝑟𝑟 � α + tg

γ 2

�.

966. У рівнобічній трапеції менша основа дорівнює b, а бічна сторона, завдовжки с, утворює з висотою кут a. Знайдіть більшу основу трапеції. У рівнобічній трапеції проведемо дві висоти BF ⟂ AD і CN ⟂ AD. Тоді BCNF — прямокутник, у якого BC = FN = b.

ΔABF = ΔDCN, звідки AF = NF. У ΔABF ∠F = 90°; AF = AB sin α = c sin α. Тоді AD = AF + FN + ND = FN + 2AF;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

AD = b + 2c sin α. 967. У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює а, а бічна сторона, завдовжки с, утворює з висотою кут α. Знайдіть меншу основу трапеції. Проведемо висоти BF і CN, які розбивають трапецію на прямокутник BCNF, у якого BC = FN, і два рівні прямокутні трикутники.

la. in.

ΔABF = ΔDCN, у яких AF = ND. У ΔABF ∠F = 90°; AF = AB sin α = c sin α. Оскільки AD = NM = c sin α, AD = a; FN = BC = AD − 2AF; BC = FN = a − 2c sin α. 968. У рівнобічній трапеції висота h утворює з бічною стороною кут α, а менша основа дорівнює b. Знайдіть: 1) бічну сторону трапеції; 2) більшу основу трапеції. У рівнобічній трапеції ABCD проведемо висоти BK і CL. BK = CL = h.

У прямокутнику BCLK BC = b = KL. ΔABK = ΔDCL і AK = LD. У ΔABK ∠K = 90°; AK = BK tg α = h tg α; BK h 1) AB = = . cos α cos α 2) AD = AK + KL + LD = 2AK + KL; AD = 2h tg α + b. 969. У будівництві часто замість градусної міри кута використовують його тангенс. Наприклад, під час будівництва будинку майстрові замість градусної міри кута a нахилу даху дають відношення довжин сторін BC і AC, тобто tg α. Нехай потрібно побудувати дах, довжина затяжки AD якого дорівнює 20 м, а тангенс кута нахилу даху — 0,8. Скільки метрів буде висота BC кроквяної системи даху?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: AD = 20 м; tg А = 0,8. Знайти: BC. Розв’язання ∆ABD – рівнобедрений, тоді BC є медіаною і висотою. 1 1 АС = AD = ∙ 20 = 10 (м). BC

∆АСВ (∠C = 90°): tgA = . AC BC = AC ∙ tg A = 10 ∙ 0,8 = 8 (м). Відповідь: 8 м. 970. Ширина верхньої частини насипу шосейної дороги, поперечний переріз якого — рівнобічна трапеція, дорівнює 60 м. Яка ширина основи насипу, якщо його висота дорівнює 10 м, а кут укосу — 60°?

У рівнобічній трапеції ABCD проведемо висоти BF ⟂ AD і CN ⟂ AD, BF = CN = 10 м. Маємо: BC = FN = 60 м, AF = ND. BF ; У △ABF ∠F = 90°; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∘

AF =

√3

tg60

(м);

AF = ND =

√3

(м).

2·10 √3

+ 60 =

Тоді AD = 2AF + FN =

20√3 + 60 ≈ 71,5 (м) 3

971. Довжина тіні від фабричної труби заввишки 40 м дорівнює 50 м. Виразіть у градусах висоту Сонця над горизонтом, дотримуючись такого плану: 1) знайдіть тангенс кута a; 2) за знайденим значенням тангенса побудуйте ∠A = α; 3) виміряйте транспортиром ∠A.

 shkola.in.ua

tg α =

;

la. in.

1. У ΔABC ∠C = 90°; BC = 40 м, AC = 50 м.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

40 4 = ; 50 5 4 2. Побудуємо кут, tg α = . Одержимо одиничний відрізок 0,5 см. Будуємо прямокутний 5 трикутник, катети якого дорівнюють 4 і 5 одиничним відрізкам. Кут A, який лежить навпроти катета в 4 одиничних відрізках, — шуканий. ∠A = 40°. 972. Спостерігачеві, який стоїть на висоті 50 м, видно автомобіль під кутом 30° до горизонту. Як знайти відстань від спостерігача до автомобіля?

tg α =

Спостерігач A знаходиться на висоті 50 м, тобто AC ⟂ BC і AC = 50 м. ∠ABC = 30° — кут до горизонту. AC Тому у △ABC ∠C = 90°; AB = ; ∘ P

sin 30

= 100 (м) — відстань від спостерігача A до автомобіля B.

AB =

50·2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

§ 17. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ 973. Чи правильно, що для розв’язування прямокутного трикутника достатньо знати: 1) одну сторону; 2) дві сторони; 3) один гострий кут; 4) одну сторону і прямий кут; 5) одну сторону і гострий кут? 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так. 974. Чи правильно названо вид задачі, у якій вимагається розв’язати прямокутний трикутник: 1) за кутами; 2) за катетами; 3) за гіпотенузою; 4) за гіпотенузою і катетом; 5) за гіпотенузою та прямим кутом; 6) за гіпотенузою й гострим кутом; 7) за катетом і прямим кутом; 8) за катетом і гострим кутом? 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) так; 5) ні; 6) так; 7) ні; 8) так. 975. За даними, наведеними на малюнках, знайдіть х і y.

1) x = 7 cos 40° = 7 · 0,766 = 5,362 (см); y = 7 sin 40° = 7 · 0,643 = 4,501 (см). 2) x = 9 tg 56° ≈ 9 · 1,483 = 13,347 (см); 9 9 𝑦𝑦 = ≈ ≈ 16,1 (см). ∘ cos 56

0,559

976. За даними, наведеними на малюнках, знайдіть кути α і β.

cos α = = 0,625, 8 α = 51°, тоді β = 90° − 51° = 39°. 8 cos β = = 0,8, 10 β = 37°, тоді α = 90° − 37° = 53°. 977. У прямокутному трикутнику АВС (∠С = 90°) знайдіть: 1) ВС, якщо АВ = 5 см, ∠А = 55°; 2) АВ, якщо АC = 7 см, ∠В = 41°;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3) АС, якщо ВС = 6 см, ∠В = 38°.

1. BC = AB sin ∠A = 5 sin 55° ≈ 5 · 0,819 ≈ BC = 4,095 (см); AC 7 7 2. AB = = ≈ ≈ 10,67(см) ∘ sin ∠B

sin 41

0,656

la. in.

3. AC = BC tg ∠B = 6 tg 38° = 6 · 0,781 = 4,686 (см). 978. Знайдіть невідомі сторони прямокутного трикутника, якщо: 1) катет дорівнює 9 см, а протилежний йому кут — 38°; 2) катет дорівнює 10 см, а прилеглий до нього кут — 54°.

1. AB = 9 см, ∠C = 38°. AB 9 9 AC = ≈ ≈ ≈ 11,52 (см); ∘ ∘ tg38 tg38 0,781 9 9 AB = = = 14,6 BC = sin ∠C sin 38∘ 0,616 2. AB = 10 см, ∠B = 54°. AB 10 10 BC = = = = 17 (см); ∘ cos ∠B

∘

cos 54

0,588

AC = ABtg54 = 10 · 1,376 = 13,76 (см). 979. У прямокутному трикутнику з гіпотенузою 14 см і кутом 65° знайдіть: 1) катет, прилеглий до цього кута; 2) катет, протилежний цьому куту.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90°); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 14 см; ∠𝐵𝐵 = 65°. Знайти: 1) 𝐵𝐵𝐵𝐵; 2) 𝐴𝐴𝐴𝐴. Розв'язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 1) cos𝐵𝐵 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ cos𝐵𝐵 = 14 ⋅ cos65° = 14 ⋅ 0,423 = 5,92 (см)  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 𝐴𝐴𝐴𝐴

la. in.

2) sin𝐵𝐵 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin𝐵𝐵 = 14 ⋅ sin65° = 14 ⋅ 0,906 = 12,68 (см) Відповідь: 1) 5,92 см; 2) 12,68 см. 980. Знайдіть кут А прямокутного трикутника АВС (∠С = 90°), якщо: 1) АВ = 12 см, ВС = 9 см; 2) АВ = 10 см, АС = 6 см; 3) АС = 8 см, ВС = 16 см.

Дано: ∆АВС (∠C = 90°). Знайти: ∠А. Розв’язання 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 см; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 9 см. 𝐵𝐵𝐵𝐵 9 3 sin𝐴𝐴 = = = = 0,75; ∠𝐴𝐴 = 48°36′ 𝐴𝐴𝐴𝐴 12 4 2) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 10 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6 см. 6 3 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = = 0,6; ∠𝐴𝐴 = 53°6′ cos𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 10 5 3) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 8 см; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 16 см. 𝐵𝐵𝐵𝐵 16 = = 2; ∠𝐴𝐴 = 64° tg𝐴𝐴 = 8 𝐴𝐴𝐴𝐴 Відповідь: 1) 48°36′; 2) 53°6′; 64°. 981. У прямокутному трикутнику з гіпотенузою 20 см і катетом 14 см знайдіть: 1) кут, прилеглий до цього катета; 2) кут, протилежний цьому катету.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90°); 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 14 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 20 см. Знайти: 1) ∠𝐵𝐵; 2) ∠𝐴𝐴. Розв'язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 14 7 1) cos𝐵𝐵 = = = = 0,7; ∠𝐵𝐵 = 45°34′ 𝐴𝐴𝐴𝐴 20 10  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝐵𝐵𝐵𝐵 14 7 = = = 0,7; ∠𝐴𝐴 = 44°26′ 𝐴𝐴𝐴𝐴 20 10 Відповідь: 45°34′ ; 44°26′. 982. У прямокутному трикутнику катет становить 0,2 гіпотенузи. Знайдіть гострі кути трикутника. sin𝐴𝐴 =

la. in.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90°); 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0,2𝐴𝐴𝐴𝐴. Знайти: ∠𝐴𝐴; ∠𝐵𝐵. Розв'язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 0,2𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 0,2; ∠𝐴𝐴 = 11°32′ sin𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 0,2𝐴𝐴𝐴𝐴 cos𝐵𝐵 = = = 0,2; ∠𝐵𝐵 = 78°28′ 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 Відповідь: 11°32′ ; 78°28′. 983. Знайдіть кут між діагоналлю й більшою стороною прямокутника, якщо його сторони дорівнюють: 1) 6 см і 8 см; 2) 18 см і 20 см.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутник; 𝐴𝐴𝐴𝐴 — діагональ. Знайти: ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶. Розв'язання 1) 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 6 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 8 см. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90°): 𝐶𝐶𝐶𝐶 6 3 = = = 0,75; ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 36°54′ tg∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 8 4 2) 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 18 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 20 см. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90°): 18 9 tg∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = = = 0,9; ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 41°59′ 20 10 Відповідь: 1) 36°54′; 2) 41°59′ . 984. Сторони прямокутника дорівнюють 7 см і 14 см. Знайдіть кут між його діагоналлю й більшою стороною.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутник; 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 7 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 14 см. Знайти: ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶. Розв'язання △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90°): 𝐶𝐶𝐶𝐶 7 1 tg∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = = = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 14 2 ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 26°36′ Відповідь: 26°36′ . 985. Через точку А до кола радіусом 45 см проведено дотичні АВ і АС. Знайдіть кут, утворений дотичними, якщо: 1) АВ = 60 см; 2) АВ = 50 см.

Дано: коло 𝐾𝐾(𝑂𝑂; 𝑅𝑅 = 45 см); 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐴𝐴𝐴𝐴 — дотичні; 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 60 см; 2) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 50 см. Знайти: ∠𝐴𝐴. Розв'язання 1) △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐵𝐵 = 90°): 𝑂𝑂𝑂𝑂 45 3 tg∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = = = = 0,75; 𝐴𝐴𝐴𝐴 60 4 ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 36°52′ ∠𝐴𝐴 = 2 ⋅ ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ⋅ 36°52′ = 73°44′ 2) △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐵𝐵 = 90°): 9 𝑂𝑂𝑂𝑂 45 = = = 0,9; ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 41°59′ tg∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 50 10 ∠𝐴𝐴 = 2 ⋅ ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ⋅ 41°59′ = 83°58′ Відповідь: 1) 73°44′; 2) 83°58′ . 986. Через точку В до кола радіусом 30 см проведено дотичні ВМ і ВС. Знайдіть кут, утворений дотичними, якщо ВМ = 30 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: коло 𝐾𝐾(𝑂𝑂; 𝑅𝑅 = 30 см); 𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝐵𝐵𝐵𝐵 — дотичні; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 30 см. Знайти: ∠𝐵𝐵. Розв'язання За властивістю дотичної: 𝐵𝐵𝐵𝐵⟂𝑂𝑂𝑂𝑂. △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (∠𝑀𝑀 = 90°). 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 30 см, тоді △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 — рівнобедрений; 90° ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = = 45° 2 ∠𝐵𝐵 = 2 ⋅ ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2 ⋅ 45° = 90° Відповідь: 90°. 987. Знайдіть невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за такими даними: 1) за двома катетами: а) а = 20, b = 21; б) а = 9, b = 12; в) а = 24, b = 18; г) а = 23,5, b = 40,2; 1) за двома катетами.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90°); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑏𝑏, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑎𝑎. Знайти: 𝐴𝐴𝐴𝐴; ∠𝐴𝐴; ∠𝐵𝐵. а) 𝑎𝑎 = 20, 𝑏𝑏 = 21. Розв'язання 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 = �202 + 212 = √400 + 441 = √841 = 29 𝑎𝑎 20 = 0,9524; ∠𝐴𝐴 = 43°36′ tg𝐴𝐴 = = 𝑏𝑏 21 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 43°36′ = 46°24′ Відповідь: 𝑐𝑐 = 29; 𝛼𝛼 = 43°36′; 𝛽𝛽 = 46°24′ . б) 𝑎𝑎 = 9, 𝑏𝑏 = 12. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — єгипетський з коефіцієнтом 3, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 ⋅ 3 = 15.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝑎𝑎 9 3 = = ; ∠𝐴𝐴 = 36°52′ 𝑏𝑏 12 4 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 36°52′ = 53°8′ Відповідь: 𝑐𝑐 = 15; 𝛼𝛼 = 36°52′; 𝛽𝛽 = 53°8′. в) 𝑎𝑎 = 24, 𝑏𝑏 = 18. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — єгипетський з коефіцієнтом 6; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 ⋅ 6 = 30. 𝑎𝑎 24 4 tg𝐴𝐴 = = = ≈ 1,333; ∠𝐴𝐴 = 53°4′ 𝑏𝑏 18 3 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 53°4′ = 36°56′ Відповідь: 𝑐𝑐 = 30; 𝛼𝛼 = 53°4′ ; 𝛽𝛽 = 36°56′. г) 𝑎𝑎 = 23,5, 𝑏𝑏 = 40,2. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 = �23, 52 + 40, 22 = �552,25 + 1616,04 = �2168,29 ≈ 46,56 𝑎𝑎 23,5 tg𝐴𝐴 = = = 0,5846; ∠𝐴𝐴 = 30°19′ 𝑏𝑏 40,2 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 30°19′ = 59°41′ Відповідь: 𝑐𝑐 = 46,46; 𝛼𝛼 = 30°19′; 𝛽𝛽 = 59°41′. 2) за гіпотенузою та катетом: а) с = 17, а = 15; б) с = 20, а = 16; в) с = 65, а = 56; г) с = 2,93, b = 2,85. 2) за гіпотенузою та катетом

la. in.

tg𝐴𝐴 =

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90°); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑐𝑐; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑎𝑎. Знайти: 𝐴𝐴𝐴𝐴; ∠𝐴𝐴; ∠𝐵𝐵. а) 𝑐𝑐 = 17, 𝑎𝑎 = 15. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 = �172 − 152 = �(17 − 15)(17 + 15) = √2 ⋅ 32 = √64 = 8 𝑎𝑎 15 = 0,8824; ∠𝐴𝐴 = 61°56′ sin𝐴𝐴 = = 𝑐𝑐 17 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 61°56′ = 28°4′ Відповідь: 𝑏𝑏 = 8; 𝛼𝛼 = 61°56′ ; 𝛽𝛽 = 28°4′. б) 𝑐𝑐 = 20, 𝑎𝑎 = 16. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — єгипетський з коефіцієнтом 4; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 ⋅ 4 = 12. 𝑎𝑎 16 4 = = 0,8; ∠𝐴𝐴 = 53°8′ sin𝐴𝐴 = = 𝑐𝑐 20 5 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 53°8′ = 36°52′ Відповідь: 𝑏𝑏 = 12; 𝛼𝛼 = 53°8′ ; 𝛽𝛽 = 36°52′. в) 𝑐𝑐 = 65, 𝑎𝑎 = 56.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 = �652 − 562 = √4225 − 3136 = √1089 = 33 𝑎𝑎 56 = 0,8615; ∠𝐴𝐴 = 59°29′ sin𝐴𝐴 = = 𝑐𝑐 65 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 59°29′ = 30°31′ Відповідь: 𝑏𝑏 = 33; 𝛼𝛼 = 59°29′; 𝛽𝛽 = 30°31′ . г) 𝑐𝑐 = 2,93, 𝑏𝑏 = 2,85. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝑐𝑐 2 − 𝑏𝑏 2 = �2, 932 − 2, 852 = �8,5849 − 8,1225 = �0,4624 ≈ 0,68 𝑏𝑏 2,85 ≈ 0,9727; ∠𝐴𝐴 = 13°25′ cos𝐴𝐴 = = 𝑐𝑐 2,93 ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 13°25′ = 76°35′ Відповідь: 𝑏𝑏 = 0,68; 𝛼𝛼 = 13°25′ ; 𝛽𝛽 = 76°35′ . 988. Знайдіть невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за такими даними: 1) за гіпотенузою та гострим кутом: а) с = 8, ∠А = 70°; б) с = 82, ∠А = 42°; в) с = 18,2, ∠А = 32°; г) с = 4,67, ∠А = 65°; 1) за гіпотенузою та гострим кутом.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90°); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑐𝑐; ∠𝐴𝐴 = 𝛼𝛼. Знайти: 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐵𝐵, ∠𝐵𝐵. Розв'язання а) 𝑐𝑐 = 8; ∠𝐴𝐴 = 70°. ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 70° = 20° 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑐𝑐 ⋅ cos𝐴𝐴 = 8 ⋅ cos70° = 8 ⋅ 0,342 = 2,74 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑐𝑐 ⋅ sin𝐴𝐴 = 8 ⋅ sin70° = 8 ⋅ 0,940 = 7,52 Відповідь: 𝑏𝑏 = 2,74; 𝑎𝑎 = 7,52; 𝛽𝛽 = 20°. б) 𝑐𝑐 = 82; ∠𝐴𝐴 = 42°. ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 42° = 48° 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑐𝑐 ⋅ cos𝐴𝐴 = 82 ⋅ cos42° = 82 ⋅ 0,743 = 60,93 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑐𝑐 ⋅ sin𝐴𝐴 = 82 ⋅ sin42° = 82 ⋅ 0,669 = 54,86 Відповідь: 𝑏𝑏 = 60,93; 𝑎𝑎 = 54,86; 𝛽𝛽 = 48°. в) 𝑐𝑐 = 18,2; ∠𝐴𝐴 = 32°. ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 32° = 58° 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑐𝑐 ⋅ cos𝐴𝐴 = 18,2 ⋅ cos32° = 18,2 ⋅ 0,848 = 15,43 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑐𝑐 ⋅ sin𝐴𝐴 = 18,2 ⋅ sin32° = 18,2 ⋅ 0,530 = 9,65 Відповідь: 𝑏𝑏 = 15,43; 𝑎𝑎 = 9,65; 𝛽𝛽 = 58°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

г) 𝑐𝑐 = 4,67; ∠𝐴𝐴 = 65°. ∠𝐵𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐴 = 90° − 65° = 25° 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑐𝑐 ⋅ cos𝐴𝐴 = 4,67 ⋅ cos65° = 4,67 ⋅ 0,423 = 1,98 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑐𝑐 ⋅ sin𝐴𝐴 = 4,67 ⋅ sin65° = 4,67 ⋅ 0,906 = 4,23 Відповідь: 𝑏𝑏 = 1,98; 𝑎𝑎 = 4,23; 𝛽𝛽 = 25°. 2) за катетом і прилеглим кутом: а) а = 12, ∠А = 32°; б) а = 18, ∠А = 17°; в) а = 12, ∠А = 53°; г) а = 3,71, ∠А = 19°. 2) за катетом і прилеглим кутом.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90°); 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑎𝑎; ∠𝐵𝐵 = 𝛽𝛽. Знайти: 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴, ∠𝐴𝐴. Розв'язання а) 𝑎𝑎 = 12; ∠𝐵𝐵 = 32°. ∠𝐴𝐴 = 90° − ∠𝐵𝐵 = 90° − 32° = 58° 12 12 𝑎𝑎 = = = 14,15 𝐴𝐴𝐴𝐴 = cos𝐵𝐵 cos32° 0,848 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 ⋅ tg𝐵𝐵 = 12 ⋅ tg32° = 12 ⋅ 0,625 = 7,5 Відповідь: 𝑐𝑐 = 14,15; 𝑏𝑏 = 7,5; 𝛼𝛼 = 58°. б) 𝑎𝑎 = 18; ∠𝐵𝐵 = 17°. ∠𝐴𝐴 = 90° − ∠𝐵𝐵 = 90° − 17° = 73° 18 18 𝑎𝑎 = = = 18,83 𝐴𝐴𝐴𝐴 = cos𝐵𝐵 cos17° 0,956 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 ⋅ tg𝐵𝐵 = 18 ⋅ tg17° = 18 ⋅ 0,306 = 5,5 Відповідь: 𝑐𝑐 = 18,83; 𝑏𝑏 = 5,5; 𝛼𝛼 = 73°. в) 𝑎𝑎 = 12; ∠𝐵𝐵 = 53°. ∠𝐴𝐴 = 90° − ∠𝐵𝐵 = 90° − 53° = 37° 12 12 𝑎𝑎 = = = 19,94 𝐴𝐴𝐴𝐴 = cos𝐵𝐵 cos53° 0,602 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 ⋅ tg𝐵𝐵 = 12 ⋅ tg53° = 12 ⋅ 1,33 = 15,96 Відповідь: 𝑐𝑐 = 19,94; 𝑏𝑏 = 15,96; 𝛼𝛼 = 37°. г) 𝑎𝑎 = 3,71; ∠𝐵𝐵 = 19°. ∠𝐴𝐴 = 90° − ∠𝐵𝐵 = 90° − 19° = 71° 3,71 3,71 𝑎𝑎 = = = 3,92 𝐴𝐴𝐴𝐴 = cos𝐵𝐵 cos19° 0,946 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 ⋅ tg𝐵𝐵 = 3,71 ⋅ tg19° = 3,71 ⋅ 0,344 = 1,28 Відповідь: 𝑐𝑐 = 3,92; 𝑏𝑏 = 1,28; 𝛼𝛼 = 71°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

989. Діагональ прямокутника дорівнює 25 см й утворює зі стороною кут 36°. Знайдіть сторони прямокутника.

la. in.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутник; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 25 см; ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 36∘. Знайти: 𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐶𝐶𝐶𝐶. Розв'язання 𝐴𝐴𝐴𝐴 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): cos∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ cos∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 25 ⋅ cos36∘ = 25 ⋅ 0,809 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 20,23 (см); 𝐶𝐶𝐶𝐶 sin∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = . 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 25 ⋅ sin36∘ = 25 ⋅ 0,588 = 14,7 (см). 𝐴𝐴𝐴𝐴 Відповідь: 20,23 см; 14,7 см. 990. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см, а кут при основі — 75°. Знайдіть: 1) основу трикутника; 2) висоту, проведену до основи.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴; ∠𝐴𝐴 = 75∘ ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 12 см. Знайти: 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴; 2) 𝐵𝐵𝐵𝐵. Розв’язання 𝐴𝐴𝐴𝐴 1. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): cos𝐴𝐴 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ cos𝐴𝐴 = 12 ⋅ cos75∘ = 12 ⋅ 0,259 = 3,11 (см). 𝐴𝐴𝐴𝐴 Висота 𝐵𝐵𝐵𝐵 також є медіаною: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 3,11 = 6,22 (см); 𝐵𝐵𝐵𝐵 2. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): sin∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 12 ⋅ sin75∘ = 12 ⋅ 0,966 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 11,59 (см). Відповідь: 1) 6,22 см; 2) 11,59 см. 991. У коло радіусом 5 см вписано рівнобедрений трикутник із кутом між бічними сторонами 70°. Знайдіть: 1) висоту, проведену до основи; 2) бічну сторону трикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — вписаний в коло; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵, ∠𝐵𝐵 = 70∘ ; 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 5 см. Знайти: 1) 𝐵𝐵𝐵𝐵; 2) 𝐴𝐴𝐴𝐴. Розв’язання 1 1 1. У рівнобедреному △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 є медіаною, висотою і бісектрисою. ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ ∠𝐵𝐵 = ⋅ 2 2 ∘ ∘ 70 = 35 . За властивістю вписаного кута: ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 35∘ = 70∘ ; △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): 𝐴𝐴𝐴𝐴 sin∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⋅ sin∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 ⋅ sin70∘ = 5 ⋅ 0,940 = 4,7 (см); 𝐴𝐴𝐴𝐴

△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): tg ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵

2. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): sin∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴𝐴𝐴

tg ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

4,7

tg 35∘

sin∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

4,7

4,7 0,7

sin35∘

= 6,71 (см);

4,7

0,574

= 8,19 (см).

Відповідь: 1) 6,71 см; 2) 8,19 см. 992. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 25 см, а висота, проведена до бічної сторони, — 21 см. Знайдіть: 1) бічну сторону трикутника; 2) кут між бічними сторонами трикутника.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 25 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 21 см — висота. Знайти: 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴; 2) ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. Розв’язання 𝐴𝐴𝐴𝐴 21 = = 0,84. ∠𝐶𝐶 = 57∘ 8′ . ∠𝐴𝐴 = ∠𝐶𝐶 = 57∘ 8′. ∠𝐵𝐵 = 180∘ − △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐾𝐾 = 90∘ ): sin∠𝐶𝐶 = sin𝐵𝐵

sin65∘ 44 ′

0,9116

∘ ′

𝐴𝐴𝐴𝐴

25 ∘ ′

(∠𝐴𝐴 + ∠𝐶𝐶) = 180 − (57 8 + 57 8 ) = 65∘ 44′ . △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐾𝐾 = 90∘ ): sin𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴

∘

= 23,04 (см).

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

Відповідь: 1) 23,04 см; 2) 65∘ 44′. 993. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) ∠A = 27°, BC = 21 см. Знайдіть: 1) невідомий катет;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2) гіпотенузу; 3) проєкцію кожного катета на гіпотенузу.

la. in.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ); ∠𝐴𝐴 = 27∘ ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 21 см; 𝐶𝐶𝐶𝐶 — висота. Знайти: 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴; 2) 𝐴𝐴𝐴𝐴; 3) 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐵𝐵. Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 21 21 = = = 41,22 (см); 1. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘): tg 𝐴𝐴 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∘ 2. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘): sin𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵

. 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴

tg 27 21

tg 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵

sin𝐴𝐴

sin27∘

0,5095 21

0,454

= 46,26 (см);

3. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐾𝐾 = 90∘ ): cos𝐴𝐴 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ cos𝐴𝐴 = 41,22 ⋅ cos27∘ = 41,22 ⋅ 0,891 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 36,73 (см); 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 46,26 − 36,73 = 9,53 (см). Відповідь: 1) 41,22 см; 2) 46,26 см; 3) 36,73 см і 9,53 см. 994. Із точки, що розміщена на відстані 15 см від прямої, проведено дві похилі, які утворюють із прямою кути 24° і 61°. Знайдіть: 1) довжину похилих; 2) проєкції похилих на пряму.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 15 см — перпендикуляр; 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴 — похилі; ∠𝐵𝐵 = 24∘ ; ∠𝐶𝐶 = 61∘ . Знайти: 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐴𝐴𝐴𝐴; 2) 𝐵𝐵𝐵𝐵 і 𝐷𝐷𝐷𝐷. Розв’язання 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 15 15 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): sin𝐵𝐵 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = = = 36,88 (см); ∘ ∘

△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90 ): sin𝐶𝐶 =

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴

△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): tg 𝐵𝐵 = △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): tg 𝐶𝐶 =

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐷𝐷𝐷𝐷

. 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

. 𝐵𝐵𝐵𝐵 =

. 𝐷𝐷𝐷𝐷 =

sin𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴

sin𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴

tg 𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴

tg 𝐶𝐶

sin24 15

sin61∘ 15

tg 24 ∘ 15

tg 61∘

0,4067 15

0,8746 15

0,4452 15

1,804

= 17,15 (см);

= 33,69 (см);

= 8,31 (см).

Відповідь: 1) 36,88 см і 17,15 см; 2) 33,69 і 8,31 см. 995. Знайдіть висоту ромба, якщо його сторона дорівнює 7,5 см, а гострий кут — 22°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — ромб; ∠𝐴𝐴 = 22∘ ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 7,5 см; 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висота. Знайти: 𝐵𝐵𝐵𝐵. Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ): sin𝐴𝐴 = . 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin𝐴𝐴 = 7,5 ⋅ sin22∘ = 7,5 ⋅ 0,3746 = 2,81 (см). 𝐴𝐴𝐴𝐴 Відповідь: 2,81 см. 996. Сторони паралелограма дорівнюють 5 см і 8 см, а гострий кут — 36°. Знайдіть висоти паралелограма.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — паралелограм; 𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висоти; ∠𝐴𝐴 = 36∘ ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 см; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8 см. Знайти: 𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝐵𝐵𝐵𝐵. Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ): sin𝐴𝐴 = . 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin𝐴𝐴 = 5 ⋅ sin36∘ = 5 ⋅ 0,5878 = 2,94 (см); 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵

△ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (∠𝑀𝑀 = 90 ): ∠𝐶𝐶 = ∠𝐴𝐴 = 36∘; sin𝐶𝐶 = ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ sin𝐶𝐶 = 8 ⋅ sin36∘ = 8 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 0,5878 = 4,7 (см). Відповідь: 2,94; 4,7 см. 997. Сторона ромба дорівнює 64,5 см, а гострий кут — 28°. Знайдіть діагоналі ромба.

∘

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — ромб; ∠𝐴𝐴 = 28∘ ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 64,5 см. Знайти: 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐵𝐵. Розв’язання 1 1 За властивістю ромба: ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ ∠𝐴𝐴 = ⋅ 28∘ = 14∘ . ∘

2 𝐴𝐴𝐴𝐴

△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝑂𝑂 = 90 ): cos∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ cos∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 64,5 ⋅ cos14∘ = 64,5 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 0,9703 = 62,59 (см); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 62,59 = 125,18 (см);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 𝐵𝐵𝐵𝐵

sin∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = . 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 64,5 ⋅ sin14∘ = 64,5 ⋅ 0,2419 = 15,6 (см); 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ⋅ 15,6 = 31,2 (см). Відповідь: 125,18 см; 31,2 см. 998. У трапеції кути при більшій основі дорівнюють 16° і 54°, висота трапеції — 24 см, а менша основа — 18 см. Знайдіть більшу основу трапеції.

la. in.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — трапеція; ∠𝐴𝐴 = 16∘ , ∠𝐷𝐷 = 54∘ , 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 18 см. 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 24 см. Знайти: 𝐴𝐴𝐴𝐴 Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 24 24 = = = 83,71 (см); △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐾𝐾 = 90∘ ): tg 𝐴𝐴 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∘ ∘

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶

△ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (∠𝑀𝑀 = 90 ): tg 𝐷𝐷 =

𝑀𝑀𝑀𝑀

tg 𝐴𝐴 tg 16 𝐶𝐶𝐶𝐶 24

. 𝑀𝑀𝑀𝑀 =

tg 𝐷𝐷

tg 54 ∘

0,2867 24

1,3764

= 17,44 (см);

𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 18 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 + 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 83,71 + 18 + 17,44 = 119,15 (см). Відповідь: 119,15 см. 999. Основи трапеції дорівнюють 15 см і 20 см, а бічна сторона, яка дорівнює 10 см, утворює з більшою основою кут 48°. Знайдіть висоту трапеції.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — трапеція; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 15 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 20 см; ∠𝐴𝐴 = 48∘ ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 10 см. Знайти: 𝐵𝐵𝐵𝐵. Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 Проведемо висоту 𝐵𝐵𝐵𝐵. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐾𝐾 = 90∘ ): sin𝐴𝐴 = ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin𝐴𝐴 = 10 ⋅ sin48∘ = 𝐴𝐴𝐴𝐴 10 ⋅ 0,7431 = 7,43 (см). Відповідь: 7,43 см. 1000. У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює 8 см, кут при основі — 41°, висота трапеції — 2 см. Знайдіть меншу основу трапеції.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — трапеція; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 8 см; ∠𝐴𝐴 = 41∘ ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 см — висота. Знайти: 𝐵𝐵𝐵𝐵.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐾𝐾 = 90∘ ): tg 𝐴𝐴 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐵𝐵𝐵𝐵

tg 𝐴𝐴

𝐵𝐵𝐵𝐵

tg 41∘

0,8693

𝐴𝐴𝐴𝐴

= 2,3 (см);

la. in.

𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2,3 (см); 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − (𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑀𝑀𝑀𝑀) = 8 − (2,3 + 2,3) = 3,4 (см); 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 3,4 (см). Відповідь: 3,4 см. 1001. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, якщо кут при основі дорівнює 49°54′, а основа більша за бічну сторону на 10,8 см.

Дано: △ABC; AB = BC; ∠A = ∠C = 49°54'; AC − AB = 10,8 см Знайти: PABC В рівнобедреному △ABC відрізок BD є медіаною, висотою і бісектрисою, тому: 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 1 Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 см, тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 10,8) см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 10,8) см. 2 У прямокутному △ADB (∠D = 90°): 𝐴𝐴𝐴𝐴 cos𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑥𝑥 + 10,8 cos49°54′ = 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 10,8 0,6441 = 2𝑥𝑥 1,2882𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 10,8 1,2882𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 10,8 0,2882𝑥𝑥 = 10,8 𝑥𝑥 = 37,47 Отже, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 37,47 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 37,47 + 10,8 = 48,27 см. 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 37,47 + 37,47 + 48,27 = 123,21 (см) Відповідь: 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≈ 123,21 см. 1002. Тінь від стовпа, висота якого дорівнює 9 м, становить 5 м. Виразіть у градусах висоту Сонця над горизонтом.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ); 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 9 м; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 м. Знайти: ∠𝐵𝐵. Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 9 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ): tg 𝐴𝐴 = = = 1,8; ∠𝐴𝐴 = 61∘ . 𝐴𝐴𝐴𝐴 5 Відповідь: 61∘ . 1003. Гірська залізниця на одному з перегонів підіймається на 1 м на кожні 60 м шляху. Знайдіть кут підйому дороги на цій ділянці.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ); 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 1 м; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 60 м. Знайти: ∠𝐴𝐴. Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 1 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ): tg 𝐴𝐴 = = = 0,0167; ∠𝐴𝐴 = 0∘ 57′ . 𝐴𝐴𝐴𝐴 60 Відповідь: 0∘ 57′. 1004. На яку висоту h піднявся пішохід, який пройшов n км прямою дорогою, що підіймається під кутом a до горизонту? Обчисліть h, якщо: 1) n = 1,5 км, α = 4°30′; 2) n = 3 км, α = 8°18′.

Знайти ℎ, якщо: ℎ 1. 𝑛𝑛 = 1,5 км; 𝛼𝛼 = 4∘ 30′ . tg 𝛼𝛼 = ; ℎ = 𝑛𝑛 ⋅ tg 𝛼𝛼 = 1,5 ⋅ tg 4∘ 30′ = 1,5 ⋅ 0,0787 = 0,118 𝑛𝑛 (км); ℎ 2. 𝑛𝑛 = 3 км; 𝛼𝛼 = 8∘ 18′ . tg 𝛼𝛼 = ; ℎ = 𝑛𝑛 ⋅ tg 𝛼𝛼 = 3 ⋅ tg 8∘ 18′ = 3 ⋅ 0,1459 = 0,438 (км). 𝑛𝑛 Відповідь: 1) 0,118 км; 2) 0,438 км. 1005. Вертикальний промінь прожектора перетинає хмару. Яка висота нижньої межі хмари, якщо спостерігач, який стоїть на відстані 600 м від прожектора, бачить місце перетину променя прожектора і хмари під кутом 75°?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 600 м; ∠𝐴𝐴 = 75∘ . Знайти: 𝐵𝐵𝐵𝐵. Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ): tg 𝐴𝐴 = . 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ tg 𝐴𝐴 = 600 ⋅ tg 75∘ = 600 ⋅ 3,732 = 2239,2 (м). 𝐴𝐴𝐴𝐴 Відповідь: 2239,2. 1006. Знайдіть відстань між пунктами A і B (до пункту B підійти не можна), якщо AC = 60 м, ∠BAC = 41°, ∠ACB = 90°.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 60 м; ∠𝐴𝐴 = 41∘ . Знайти: 𝐴𝐴𝐴𝐴. Розв’язання 𝐴𝐴𝐴𝐴 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ): cos𝐴𝐴 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

cos𝐴𝐴

cos41∘

0,7547

𝐴𝐴𝐴𝐴

= 79,5 (м).

Відповідь: 79,5 м. 1007. Санаторій розташований на вершині гори. Пряма дорога до санаторію завдовжки 1500 м має кут підйому 5°. На якій висоті від підніжжя гори розташований санаторій?

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1500 м; ∠𝐴𝐴 = 5∘ . Знайти: 𝐵𝐵𝐵𝐵. Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ): sin𝐴𝐴 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin𝐴𝐴 = 1500 ⋅ sin5∘ = 1500 ⋅ 0,0872 = 130,8 (м). Відповідь: 130,8 м. 1008. Щогла закріплена трьома однаковими тросами, що нахилені до землі під кутом 64°. Нижні кінці тросів віддалені від щогли на 35 м. На якій висоті закріплені на щоглі верхні кінці тросів?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 35 м; ∠𝐴𝐴 = 64∘ . Знайти: 𝐵𝐵𝐵𝐵. Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ): tg 𝐴𝐴 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ tg 𝐴𝐴 = 35 ⋅ tg 64∘ = 35 ⋅ 2,050 = 71,75 (м). Відповідь: 71,75 м. 1009. За вісімсот метрів від місця підйому літака ростуть дерева заввишки 20 м. Під яким кутом має підійматися літак, щоб не зачепити дерева?

У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∠𝐶𝐶 = 90∘ ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 20 tg 𝛼𝛼 = ; tg 𝛼𝛼 = = 0,025; 𝛼𝛼 = 1∘ 26′ . 𝐴𝐴𝐴𝐴 800 1010. Знайдіть кут підйому вулиці, на якій розташована школа, якщо довжина фундаменту школи — 40 м, а його висота на початку і в кінці будівлі дорівнює 180 см і 90 см.

Кут підйому вулиці — ∠𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, то 𝐹𝐹𝐹𝐹 ∥ 𝐶𝐶𝐶𝐶. 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутна трапеція. Проведемо 𝐷𝐷𝐷𝐷⟂𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутник, у якого 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 40 м = 400 см; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90 см, звідки 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 190 − 90 = 90 (м). 𝐹𝐹𝐹𝐹 90 У △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ∠𝐹𝐹 = 90∘ ; tg 𝛼𝛼 = ; tg 𝛼𝛼 = = 0,0225; 𝛼𝛼 = 1∘ 17′ . 𝐹𝐹𝐹𝐹 4000 1011. Щоб знайти, на якій висоті CK летить літак, два спостерігачі в пунктах M і N установили кутомірні прилади й виміряли відстань MN = а. У той момент, коли точки A, B і C лежали в одній вертикальній площині, виміряли одночасно кути α і β. Знаючи відстань a, кути α і β, висоту h приладів, визначили шукану висоту CK. Поясніть спосіб знаходження висоти. Знайдіть висоту, на якій перебував літак, якщо результати вимірювання такі: a = 80 м, h = 1,5 м, α = 39°, β = 44°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

A і B — рівні приладів, C — літак, D — проєкція C на горизонталь AD. Кут ∠CAD = α, кут ∠CBD = β, AB = a = 80 м. Нехай 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑥𝑥 (висота літака над рівнем приладів), тоді: 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑥𝑥 У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠D = 90°): 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = У △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (∠D = 90°): 𝐵𝐵𝐵𝐵 =

tan𝛼𝛼 𝐶𝐶𝐶𝐶

tan𝛽𝛽

tan𝛼𝛼 𝑥𝑥

tan𝛽𝛽

la. in.

Оскільки 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑎𝑎: 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − = 𝑎𝑎 tan𝛼𝛼 tan𝛽𝛽 1 1 𝑥𝑥 � − � = 𝑎𝑎 tan𝛼𝛼 tan𝛽𝛽 𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 1 1 − tan α tan β Підставляємо числа 𝑎𝑎 = 80 м, 𝛼𝛼 = 39°, 𝛽𝛽 = 44° tan39° ≈ 0,8098, tan44° ≈ 0,9657 1 1 ≈ 1,2349, ≈ 1,0355 tan44° tan39° 80 80 𝑥𝑥 = = ≈ 401,2 м 1,2349 − 1,0355 0,1994 Це висота 𝐶𝐶𝐶𝐶 — від рівня приладів до літака. Додаємо висоту приладів ℎ = 1,5 м: 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑥𝑥 + ℎ = 401,2 + 1,5 ≈ 402,7 ≈ 403 м Відповідь: висота літака 𝐶𝐶𝐶𝐶 ≈ 403 м. 1012. З башти маяка заввишки 75 м над рівнем моря видно корабель під кутом зниження 2°. Знайдіть відстань від маяка до корабля.

За умовою задачі ∠DBA = 90°; ∠DBC = 2°, тоді ∠CBA = 90° – 2° = 88° У ΔABC ∠A = 90°; AC = AB tg 88°; AC = 75 • 28,64 = 2148 (м). 1013. На малюнку схематично зображено спосіб вимірювання недоступної відстані АВ. Поясніть вимірювання. Знайдіть відстань АВ, якщо СD = 200 м, ∠KCB = 28°, ∠KCA = 39°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

За рисунком 𝐶𝐶𝐶𝐶 ∥ 𝐹𝐹𝐹𝐹, тоді ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 28∘ . ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 39∘ , тому це внутрішні різносторонні кути при 𝐶𝐶𝐶𝐶 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵 і січних 𝐶𝐶𝐶𝐶 і 𝐶𝐶𝐶𝐶 відповідно. 𝐶𝐶𝐶𝐶 200 У △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): 𝐷𝐷𝐷𝐷 = ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = = 376,1 (м). ∘ ∘

У △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (∠𝐷𝐷 = 90 ): 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

tg 28 𝐶𝐶𝐶𝐶

tg 39∘

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

0,532 200

0,81

= 247 (м).

Оскільки 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝐷𝐷𝐷𝐷, то 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 376,1 − 247 = 129,1 (м). Відповідь: 129,1 м.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ (сторінка 200) 1. Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, якщо його основа дорівнює 10 см, а висота — 12 см. А. 22 см. Б. 14 см. В. 13 см. Г. 15 см. В рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, ділить її навпіл: 𝑎𝑎 10 = = 5 см 2 2 За теоремою Піфагора: 𝑎𝑎 2 2 𝑏𝑏 = � � + ℎ2 2 𝑏𝑏 2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 𝑏𝑏 = √169 = 13 см Відповідь: В. 13 см 2. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо катет дорівнює 8 см, а прилеглий до нього кут — 60°. А. 10 см. Б. 48 см. В. 14 см. Г. 16 см. У прямокутному трикутнику: 𝑎𝑎 cos60° = 𝑐𝑐 де 𝑎𝑎 = 8 см — катет, 𝑐𝑐 — гіпотенуза.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝑎𝑎 8 = = 16 см cos60° 0,5 Відповідь: Г. 16 см 3. Діагональ прямокутника дорівнює 2 см й утворює зі стороною кут 30°. Знайдіть сторони прямокутника. А. 1 см і √3 см. Б. 2 см і 1 см. В. 2 см і √3 см. Г. 3 см і 1 см. Нехай 𝑑𝑑 = 2 см — діагональ, кут між діагоналлю і стороною = 30°. √3 𝑎𝑎 = 𝑑𝑑 ⋅ cos30° = 2 ⋅ = √3 см 2 1 𝑏𝑏 = 𝑑𝑑 ⋅ sin30° = 2 ⋅ = 1 см 2 Відповідь: А. √3 см і 1 см 4. Знайдіть основу рівнобедреного трикутника, якщо висота, проведена до основи, дорівнює h, а кут між бічними сторонами — a. А. h · sin α. Б. h · cos α. В. 2h · tg α. α Г. 2h · tg . 2 Висота в рівнобедреному трикутнику ділить кут між бічними сторонами навпіл, тому кут 𝛼𝛼 між висотою і бічною стороною дорівнює . 2 У прямокутному трикутнику: 𝛼𝛼 𝑎𝑎/2 tan = ℎ 2 𝛼𝛼 𝑎𝑎 = ℎ ⋅ tan 2 2 𝛼𝛼 𝑎𝑎 = 2ℎ ⋅ tan 2 𝛼𝛼 Відповідь: Г. 2ℎ ⋅ tan 2 5. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 5 см і 14 см, а більша бічна сторона — 15 см. Знайдіть меншу діагональ трапеції. А. 12 см. Б. 13 см. В. 22 см. Г. 20 см. Опустимо висоту з вершини меншої основи на більшу. Тоді: ℎ2 = 152 − (14 − 5)2 = 225 − 81 = 144 ℎ = 12 см Менша діагональ з'єднує кут прямої кута з протилежною вершиною. У прямокутній трапеції менша діагональ 𝑑𝑑: 𝑑𝑑 2 = ℎ2 + 𝑎𝑎2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 𝑑𝑑 = 13 см Відповідь: Б. 13 см

la. in.

𝑐𝑐 =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Розділ 5. МНОГОКУТНИКИ . ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ § 18. МНОГОКУТНИК ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ 1014. Чи правильно, що на малюнках зображено n кутник? Якщо так, то назвіть його вершини, сторони й кути. Як по іншому можна назвати цей n кутник?

la. in.

Мал.464 А, В, С, D, E, F, G — вершини; AB, ВС, CD, DE, EF, FG, AG — сторони; ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E, ∠F, ∠G — кути. Мал.465 A1, A2, A3, A4, A5 — вершини; A1A2, A2А3, А3A4, A4A5 — сторони; ∠A1, ∠A2, ∠A3, ∠A4, ∠A5 — кути. 1015. Чи правильно, що на малюнку зображено опуклий многокутник? Відповідь поясніть.

Ні, тому що пряма яка проходить через одну з сторін многокутника, перетинає іншу його сторону. 1016. Чи правильно, що периметр многокутника — це сума його: 1) кутів; 2) сторін? 1) Ні; 2) так. 1017. Чи правильно, що діагональ многокутника сполучає: 1) дві сусідні його вершини; 2) дві несусідні його вершини? 1) Ні; 2) так. 1018. Чи правильно записано формулу для обчислення суми кутів n кутника: 1) 90°(n – 1); 2) 180°(n + 2); 3) 180°(n – 2)? 1) Ні; 2) ні; 3) так. 1019. Назвіть зображені на малюнку зовнішні кути п’ятикутника KLMNP при вершині: 1) L; 2) P; 3) K.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) ∠KLN і ∠MLT; 2) ∠APK і ∠APC; 3) ∠OKF і ∠OKP. 1020. Чи правильно, що у многокутника, вписа ного в коло, на колі лежать: 1) середини всіх його сторін; 2) усі вершини? 1) Ні; 2) так. 1021. Чи правильно, що у многокутника, описаного навколо кола, до кола дотикаються: 1) усі його діагоналі; 2) усі його сторони? 1) Ні; 2) так. 1022. Знайдіть периметр n кутника, якщо в ньому всі сторони дорівнюють по 2 см і: 1) n = 7; 2) n = 10; 3) n = 9. 1) 14 см; 2) 20 см; 3) 18 см. 1023. Які діагоналі можна провести в n кутнику ABCDEF з вершини: 1) A; 2) C; 3) F?

1. AC, AB, AE; 2. CA, CE, CF; 3. FB, FC, FD. 1024. Накресліть семикутник ABCDЕОТ і проведіть його діагоналі з вершини: 1) B; 2) О. Скільки трикутників утворилося при даній вершині?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) 5; 2) 5. 1025. Чому дорівнює сума кутів: 1) п’ятикутника; 2) дев’ятикутника? 1) n = 5; 180° ∙ (n – 2) = 180° ∙ 3 = 540°; 2) n = 9; 180° ∙ (n – 2) = 180° ∙ 7 = 1260°. 1026. Чому дорівнює сума кутів сімнадцятикутника? n = 17; 180° ∙ (n – 2) = 180° ∙ 15 = 2700°. 1027. Скільки вершин у n кутника, якщо сума його кутів дорівнює: 1) 1440°; 2) 1080°? 1) 1440° = 180°(n – 2); 1440° = 180°n – 360°; n = 10; 2) 1080° = 180°(n – 2); 1080° = 180°n – 360°; n = 8. 1028. Скільки вершин у n кутника, якщо сума його кутів дорівнює 1620°? 1620° = 180°(n – 2); 1620° = 180°n – 360°; n = 11. 1029. Скільки вершин у n кутника, якщо кожний його кут дорівнює: 1) 90°; 2) 144°? 1) 90° ∙ n = 180°(n – 2); 90° ∙ n = 180° ∙ n – 360°; n = 4; 2) 144° ∙ n = 180°(n – 2); 36° ∙ n = 360°; n = 10. 1030. Скільки вершин у n кутника, якщо кожний його кут дорівнює 156°? 156° ∙ n = 180°(n – 2); 24° ∙ n = 360°; n = 15. 1031. За даними таблиці знайдіть кути п’ятикутника ABCDМ.

1) n° + 2n° + 4n° + 5n° + 6n° = 540°; 18n = 540°; n = 30°; ∠A = 30°; ∠B = 60°; ∠C = 120°; ∠D = 150°; ∠M = 180. 2) n° – 30° + n° – 10° + n° + n° + n° + 30° = 540°; 5n° = 540° + 10°; n = 110°; ∠A = 80°; ∠B = 100°; ∠C = 110°; ∠D = 110°; ∠M = 140°. 3) n° – 20° + n° – 10° + n° + n° – 30° + n° = 540°; 5n° = 600°; n = 120°; ∠A = 100°; ∠B = 110°; ∠C = 120°; D = 90°; ∠M = 120°. 4) n° + 5n° + 7n° + 9n° + 5n° = 540°; 27n° = 540°; n = 20°; ∠A = 20°; ∠B = 100°; ∠C = 140°; ∠D = 180°; ∠M = 100°. 1032. Знайдіть зовнішній кут при вершині n кутника, якщо кожний його кут дорівнює: 1) 90°; 2) 156°. 1) 180° – 90° = 90°; 2) 180° – 156° = 24°. 1033. Знайдіть зовнішній кут при вершині n кутника, якщо кожний його кут дорівнює 144°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

180° – 144° = 36°. 1034. Накресліть коло й позначте на ньому вісім точок — від A1 до A8. Послідовно сполучіть ці точки відрізками. Який n кутник одержали? Восьмикутник.

la. in.

1035. Накресліть коло й позначте на ньому сім точок — від A1 до A7. Послідовно сполучіть ці точки відрізками. Який n кутник одержали? Семикутник.

1036. Із центра кола провели радіуси так, що утворилося 7 центральних кутів. Одержані на колі точки сполучили відрізками. Який многокутник утворився? Семикутник. 1037. Навколо кола опишіть: 1) шестикутник; 2) п’ятикутник. Позначте точки їх дотику до кола. Виміряйте утворені на сторонах відрізки. Чи справджується властивість відрізків дотичних? Як можна знайти периметр многокутника?

Так, властивість виконується.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1038. Накресліть коло та проведіть п’ять дотичних до кола так, щоб утворився описаний п’ятикутник. Виміряйте відрізки сторін п’ятикутника від його вершин до точок дотику з колом. Позначте на малюнку рівні відрізки. MB = BF; FC = CP; PD = DN; EN = EK; AK = AM.

1039. Периметр п’ятикутника дорівнює 136,4 см. Довжини чотирьох сторін відносяться як 6 : 7 : 8 : 11. Знайдіть довжину п’ятої сторони п’ятикутника, якщо вона на 15,6 коротша від найменшої з чотирьох інших сторін. 6 : 7 : 8 : 11. Р = 136,4 см. П’ята сторона (6х – 15,6). 6x + 7x + 8x + 11х + (6х – 15,6) = 136,4; 32х + 6х – 15,6 = 136,4; 38x = 152; х = 4. 6 ∙ 4 – 15,6 = 8,4 см. 1040. Доведіть, що кожна сторона многокутника менша від його півпериметра. PABCDEF = AB + BC + CD + DE + EF + AF.

AB < АС + ВС, нерівність трикутника. АС < AD + DC; AB < АЕ + ED; АЕ < AD + FE; 1 AB < PANCEF. 2 1041. Скільки діагоналей у n–кутнику? 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) . 2 1042. Знайдіть кількість діагоналей у: 1) десятикутнику;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

10 ∙(10−3)

17 ∙(17−3)

la. in.

= 35; n = 10; 2 2) сімнадцятикутнику.

= 119; n = 17; 2 1043. Чи існує п’ятикутник, у якого кути дорівнюють: 1) 100°, 90°, 120°, 116°, 113°; 2) 110°, 100°, 118°, 112°, 101°? 1) 100° + 90° + 120° + 116° + 113° ≠ 180° ∙ (5 – 2). Ні, не існує. 2) 110° + 100° + 118° + 112° + 101° ≠ 540°. Нi, не існує. 1044. Чи можна побудувати многокутник, крім трикутника, у якому всі кути гострі? Ні, не можна. 1045. Три кути многокутника дорівнюють: 1) по 80°; 2) по 90°. Усі інші кути дорівнюють по 150°. Яка кількість вершин у многокутнику? 1) 240° + 150°(n – 3) = 180°(n – 2); 240° + 150°n – 450° = 180° – 360°; 30n = 150°; n = 5; 2) 270° + 150°(n – 3) = 180°(n – 2); 270° + 150°n – 450° = 180°n – 360°; n – 6. 1046. Три кути многокутника дорівнюють по 100°. Усі інші кути дорівнюють по 120°. Яка кількість вершин у многокутнику? Дано: n – кутник; три кути по 100°; інші кути по 120°. Знайти: n. Розв’язання Сума кутів n–кутника: S = (n – 2) ∙ 180°; За умовою: S = 3 ∙ 100° + (n – 3) ∙ 120°; Складаємо рівняння: (n – 2) ∙ 180 = 3 ∙ 100 + (n – 3) ∙ 120; 180n – 360 = 300 + 120n – 360; 180n – 120n = 300; 60n = 300; n = 5. Відповідь: 5. 1047. Зовнішні кути п’ятикутника відносяться як: 1) 3 : 4 : 5 : 7 : 8; 2) 1 : 2 : 4 : 5 : 6.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Як відносяться його внутрішні кути? Сума зовнішнього і внутрішнього кутів при кожній вершині дорівнює 180°. 1) 6 : 5 : 4 : 2 : 1; 2) 8 : 7 : 5 : 4 : 3. 1048. Доведіть, що сума всіх внутрішніх і всіх зовнішніх кутів n–кутника пропорційна кількості його вершин. Сума зовнішнього і внутрішнього кутів многокутника 180°, в всіх — 180° ∙ n, n — кількість вершин. 1049. Скільки вершин у вписаному многокутнику, якщо кожний центральний кут, що спирається на його сторону, дорівнює: 1) 60°; 2) 40°? 1) 360° : 60° = 6; 2) 360° : 40° = 9. 1050. За якою формулою можна обчислити центральний кут, що спирається на сторону вписаного многокутника, у якого всі сторони рівні? 360° n – число сторін. 𝑛𝑛 1051. У рівносторонній трикутник зі стороною 6 см вписано коло. Знайдіть діагональ квадрата, вписаного в дане коло.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівносторонній, описаний навколо кола; 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 — квадрат, вписаний в коло; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6 см. Знайти: 𝑁𝑁𝑁𝑁 (на фото в розв'язанні знаходять сторону квадрата 𝑀𝑀𝑀𝑀). Розв’язання ∠𝐴𝐴 = ∠𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶 = 60∘ ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐿𝐿 = 90∘ ): sin𝐴𝐴 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∘

√3

𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin𝐴𝐴 = 6 ⋅ sin60 = 6 ⋅ = 3√3 (см); 2 Центр кола 𝑂𝑂 є точкою перетину медіан. 1 1 За властивістю медіан 𝐵𝐵𝐵𝐵: 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2: 1. 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ 3√3 = √3 (см); 3

Оскільки 𝑂𝑂𝑂𝑂 — радіус вписаного кола, а сторона вписаного квадрата 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑟𝑟√2 (або через діагональ): 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 2 ⋅ 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2√3 (см). Відповідь: 2√3 см. 1052. Доведіть, що кожний кут многокутника менший від 180°. Довести, що кожний кут многокутника менший від 180°. Доведення 𝑆𝑆 = 180∘ ⋅ (𝑛𝑛 − 2). Середнє арифметичне всіх внутрішніх кутів: 𝑆𝑆 180∘ (𝑛𝑛−2) 360∘ = = 180∘ − ; 𝑛𝑛

∘

180 −

𝑛𝑛 360∘ 𝑛𝑛

∘

< 180 .

𝑛𝑛

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Отже, кожний кут многокутника менший за 180∘ . 1053. У кожному з двох многокутників усі кути рівні. Кут першого многокутника: 1) удвічі менший від кута другого многокутника; 2) дорівнює зовнішньому куту другого многокутника. Яку кількість вершин має кожний многокутник? 1) 3 і 6; 2) 6 і 3; 4 і 4. 1054. Доведіть, що вписаний многокутник, у якому всі сторони рівні, має: 1) рівні кути; 2) рівні зовнішні кути. 1) Вказівка: проведіть радіуси до вершин многокутника та розгляньте утворені трикутники. 1055. Скільки вершин у вписаному многокутнику з рівними сторонами, якщо його кут: 1) дорівнює зовнішньому куту; 2) удвічі більший за зовнішній кут; 3) відноситься до зовнішнього кута як 5 : 2? 1) Якщо внутрішній кут дорівнює зовнішньому куту, то у многокутника 4 вершини. 2) Кут многокутника вдвічі більший за зовнішній кут. 60° і 120°, 6 вершин. 3) 5x + 2x = 180°; 7 вершин. 1056. Доведіть, що у вписаному n кутнику з рівними сторонами при n > 4 кут многокутника більший за його зовнішній кут. AB — сторона многокутника, O — центр описаного кола.

Якщо 𝑛𝑛 = 4, то внутрішній кут — 90∘ , зовнішній — 90∘ ; 𝑛𝑛 = 5, внутрішній — 180∘ ⋅ (5 − 2) = 540∘ , 108∘ ; 𝑛𝑛 = 6, внутрішній — 180∘ ⋅ (6 − 2) = 720∘ , 120∘ ; 𝑛𝑛 = 5, зовнішній — 72∘ ; 𝑛𝑛 = 6, зовнішній — 60∘ . Отже, у вписаному 𝑛𝑛-кутнику з рівними сторонами при 𝑛𝑛 > 4 кут многокутника більший за його зовнішній кут. 1057. Рівнобічну трапецію з кутом при основі 54° вписано в коло. Кут між діагоналями трапеції, який лежить проти бічної сторони, дорівнює 36°. Де розташований центр кола, вписаного в дану трапецію?

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівнобічна трапеція, вписана в коло; ∠𝐴𝐴 = 54∘ ; ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 36∘ . Де розташований центр кола, вписаного в трапецію? Розв’язання  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Центр кола, вписаного в рівнобічну трапецію, є серединою висоти трапеції 𝐾𝐾𝐾𝐾 при умові, що 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶. 1058. Найпростіше мансардне покриття утворює у вертикальному розрізі половину восьмикутника, у якому всі сторони рівній усі кути рівні. Знайдіть ширину перекриття ВD, сторону восьмикутника та висоту мансардної кімнати АВDЕ, якщо АЕ = 6 м.

la. in.

Дано: правильний восьмикутник; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 м; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐷𝐷𝐷𝐷; ∠𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶 = ∠𝐷𝐷 Знайти: 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 12 O — центр кола, тому 𝑅𝑅 = = = 6 м. 2 2 Кут правильного восьмикутника: 180°(8 − 2) 1080° = = 135° 𝛼𝛼 = 8 8 360° Оскільки ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = = 45°, то: 8 ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 45° + 45° = 90° Отже, △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 — прямокутний, 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑅𝑅 = 6 м: 𝐵𝐵𝐵𝐵 = �𝑂𝑂𝐵𝐵2 + 𝑂𝑂𝐷𝐷2 = �62 + 62 = √72 = 6√2 м Висота мансардної кімнати: 1 6√2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = = 3√2 м 2 2 135° = 67,5°: У прямокутному △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, де ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2

3√2 3√2 ⋅ 2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ≈ ≈ 4,6 м sin67,5° 0,9239 1,8478 Відповідь: 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6√2 м; 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≈ 4,6 м; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3√2 м.

𝐴𝐴𝐴𝐴 =

§ 19. ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ. ПЛОЩА ПРЯМОКУТНИКА 1059. Чи правильно, що площа — це: 1) фігура; 2) величина, що характеризує фігуру? 1) Ні; 2) так. 1060. Чи правильно, що фігури на малюнках: 1) рівновеликі; 2) рівноскладені? Відповідь поясніть.

1) ні; площі нерівні. 2) ні; не можна розкласти на одне й те саме число попарно рівних многокутників.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2 1

la. in.

1061. Чи правильно записано формулу площі квадрата зі стороною а: 1) S = 2а; 2) S = а + 2; 3) S = а : 2; 4) S = а2? 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 1062. Чи правильно записано формулу площі прямо кутника зі сторонами а і b: 1) S = 2(а + b); 2) S = 2аb; 3) S = а2b2; 4) S = аb? 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 1063. Чи правильно записано формулу площі прямокутного трикутника з катетами а і b: 1) S = а + b; 2) S = аb; 1 3) S = a2b2; 4) S = ab? 2 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 1064. Знайдіть наближені значення площ фігур, зображених на малюнку:

2) (одиниця площі — 1 клітинка). мал.1. 1) S = 6 кв. од.; 2) S = 6 кв. од.; 3) S = 6 кв. од.; 4) S = 6 кв. од.; мал.2. 1) S = 9 кв. од.; 2) S = 9 кв. од.; 3) S = 9 кв. од.; 4) S = 9 кв. од.; 1065. Знайдіть наближені значення площ фігур, зображених на малюнку (одиниця площі — 1 клітинка).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

SKLM ≈ 22,5 кв. од. SKNML ≈ 30 кв. од. 1066. Доведіть, що висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, ділить його на рівновеликі трикутники.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висота. Довести: △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 і △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 — рівновеликі. Доведення За властивістю рівнобедреного трикутника 𝐵𝐵𝐵𝐵 є висотою і медіаною. 1 1 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ 𝐷𝐷𝐷𝐷 ⇒ 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 . 2 2 Отже, △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 і △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 — рівновеликі. 1067. Доведіть, що діагональ прямокутника ділить його на рівновеликі трикутники.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 – прямокутник; 𝐴𝐴𝐴𝐴 – діагональ Довести: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 і △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 – рівновеликі. Доведення 1 1 За умовою 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇒ 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 . 2 2 Отже, △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 і △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 – рівновеликі. 1068. Точку всередині трикутника сполучено відрізками з його вершинами. Знайдіть площу трикутника, якщо утворені частини мають площу 12 см2, 39 см2 і 45 см2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

S∆ABC = 12 + 39 + 45 = 96 (см2). 1069. Точку всередині трикутника сполучено відрізками з його вершинами. Утворені частини трикутника мають площу 90 см2, 25 см2 і 45 см2. Знайдіть площу трикутника.

S∆ABC = 90 + 25 + 45 = 160 (см2). 1070. Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа дорівнює: 1) 16 см2; 2) 9 см2; 3) 121 см2. 1) 4 см; 2) 3 см; 3) 11 см. 1071. Яка довжина сторони квадрата, площа якого дорівнює: 1) 25 см2; 2) 49 см2? 1) 5 см; 2) 7 см. 1072. За даними на малюнках обчисліть площу прямокутника АВСD.

1) 2 ∙ 2 = 4 (см2); 2) 2 ∙ 4 = 8 (см2). 1073. Яку площу має прямокутник АВСD на малюнку?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1,5 см

11 см

la. in.

2 ∙ 1 = 2 (см2). 1074. Як зміниться площа прямокутника, якщо одну з його сторін: 1) збільшити у 3 рази; 2) зменшити в 4 рази; 3) збільшити на 50 %? 1) Збільшиться у 3 рази; 2) зменшиться в 4 рази; 3) збільшиться у 1,5 рази. 1075. Як зміниться площа прямокутника, якщо кожну з його сторін: 1) збільшити у 3 рази; 2) зменшити в 4 рази; 3) збільшити на 50 %? 1) Збільшиться в 9 разів; 2) зменшиться в 16 разів; 3) збільшиться в 2,25 раза. 1076. Периметр прямокутника зі сторонами a і b дорівнює Р, а його площа — S. Знайдіть невідомі величини за таблицею. a 4 см 0,5 см 3,5 см 8 см 12 см

7 см

0,5 см

25 см

21 см

17 см

S 6 см2 6 см2 24,5 см2 4 см2 1077. Прямокутники АВСD і МТОН мають рівні площі. У прямокутнику АВСD сторони дорівнюють 10 см і 60 см. Знайдіть сторони прямокутника МТОН, якщо вони відносяться як: 1) 2 : 3; 2) 3 : 8; 3) 0,3 : 0,5. 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 10 ⋅ 60 = 600 (см2 ). 1. 2𝑥𝑥 ⋅ 3𝑥𝑥 = 600; 6𝑥𝑥 2 = 600; 𝑥𝑥 2 = 100; 𝑥𝑥 = 10. Сторони 20 см і 30 см. 2. 3𝑥𝑥 ⋅ 8𝑥𝑥 = 600; 24𝑥𝑥 2 = 600; 𝑥𝑥 2 = 25; 𝑥𝑥 = 5. Сторони 15 см і 40 см. 3. 0,3𝑥𝑥 ⋅ 0,5𝑥𝑥 = 600; 0,15𝑥𝑥 2 = 600; 𝑥𝑥 2 = 4000; 𝑥𝑥 = 20√10; 0,3 ⋅ 20√10 і 0,5 ⋅ 20√10; 6√10 см і 10√10 см. 1078. Прямокутники АВСD і KLMN мають рівні площі. У прямокутнику KLMN сторони дорівнюють 2 см і 9 см. Знайдіть сторони прямокутника АВСD, якщо вони відносяться як 1 : 2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 ; 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 2 см; 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 9 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1: 2. Знайти: 𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑆𝑆𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐿𝐿𝐿𝐿 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 2 ⋅ 9 = 18 (см2 ); Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2𝑥𝑥 см. 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑥𝑥 ⋅ 2𝑥𝑥 = 18; 2𝑥𝑥 2 = 18; 𝑥𝑥 2 = 9; 𝑥𝑥 = 3; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 3 = 6 (см). Відповідь: 3 см; 6 см. 1079. Чому дорівнює площа прямокутного трикутника з катетами: 1) 3 см і 5 см; 2) 2 см і 5 см; 3) 10 см і 4,5 см?

1. 𝑆𝑆 =

2. 𝑆𝑆 =

5⋅3 2 2⋅5

= 7,5 (см2 ); = 5 (см2 );

2 10⋅4,5

3. 𝑆𝑆 = = 22,5 (см2 ). 2 1080. Яка площа прямокутного трикутника з катетами 4 см і 9 см?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ); 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9 см. Знайти: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . 1 Розв'язання 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 2

la. in.

𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 9 ⋅ 4 = 18 (см2 ). 2 Відповідь: 18 см2 . 1081. Знайдіть площу прямокутного трикутника з гострим кутом 45°, якщо один з його катетів дорівнює: 1) 2 см; 2) 0,3 дм; 3) 0,05 м.

△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутний. 𝐵𝐵𝐵𝐵⋅𝐴𝐴𝐴𝐴 2⋅2 = = 2 (см2 ); а) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 см; 𝑆𝑆 = б) 𝑆𝑆 =

0,3⋅0,3

= 4,5 (см );

2 0,05 м⋅0,05 м

= (см2 ). в) 𝑆𝑆 = 2 2 1082. Знайдіть площу рівнобедреного прямокутного трикутника, катет якого дорівнює 6 см.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 см. Знайти: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . 1 Розв'язання 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 2

sh 1

𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 6 ⋅ 6 = 18 (см2 ). 2 Відповідь: 18 см2 . 1083. Квадрат зі стороною а та прямокутник зі сторонами b і c мають рівні площі. Знайдіть периметр кожного чотирикутника, якщо: 1) а = 6 см, b = 9 см; 2) а = 6 см, с = 2 см. Який із двох чотирикутників має менший периметр? 𝑆𝑆1 = 𝑎𝑎2 ; 𝑆𝑆2 = 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐; 𝑆𝑆1 = 𝑆𝑆2 .  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. 𝑎𝑎 = 6 см; 𝑏𝑏 = 9 см; 𝑆𝑆 = 36 см2 ; 𝑐𝑐 = 36: 9 = 4 см; 𝑃𝑃кв. = 6 ⋅ 4 = 24 (см); 𝑃𝑃пр. = (4 + 9) ⋅ 2 = 26 (см). 2. 𝑎𝑎 = 6 см; 𝑐𝑐 = 2 см; 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎2 = 36 см2 ; 𝑏𝑏 = 36: 2 = 18 см; 𝑃𝑃кв. = 24 см; 𝑃𝑃пр. = (18 + 2) ⋅ 2 = 40 (см). Відповідь: 1) 24 см і 26 см; 2) 24 см і 40 см. 1084. Квадрат зі стороною 10 см має таку саму площу, як і прямокутник, у якого одна зі сторін дорівнює 20 см. Знайдіть периметр кожного чотирикутника. Який із двох чотирикутників має менший периметр? 𝑆𝑆1 = 𝑎𝑎2 ; 𝑆𝑆2 = 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐; 𝑆𝑆1 = 𝑆𝑆2 .

𝑎𝑎 = 10 см; 𝑐𝑐 = 20 см; 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎2 = 100 см2 ; 𝑏𝑏 = 100: 20 = 5 (см); 𝑃𝑃кв. = 10 ⋅ 4 = 40 (см); 𝑃𝑃пр. = (20 + 5) ⋅ 2 = 50 (см). Відповідь: 40 см і 50 см. 1085. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює d, а сторони основи — а і b. Знайдіть площу поверхні паралелепіпеда, якщо: 1) а = 4 см, b = 3 см, d =13 см; 2) а = 8 см, b = 6 см, d = 15 см.

Дано: прямокутний паралелепіпед: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑏𝑏; 𝐵𝐵1 𝐷𝐷 = 𝑑𝑑. Знайти: 𝑆𝑆п.п. Розв’язання 1. 𝑎𝑎 = 4 см; 𝑏𝑏 = 3 см; 𝑑𝑑 = 13 см. △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (∠𝐴𝐴 = 90∘ ) — єгипетський, тоді 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 5 см. △ 𝐵𝐵1 𝐵𝐵𝐵𝐵 (∠𝐵𝐵 = 90∘ ). 𝐵𝐵1 𝐵𝐵 = �𝐵𝐵1 𝐷𝐷2 − 𝐵𝐵𝐷𝐷2 = √132 − 52 = √169 − 25 = √144 = 12 (см). 𝑐𝑐 = 12 см; 𝑆𝑆п.п. = 2(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑎𝑎); 𝑆𝑆п.п. = 2(4 ⋅ 3 + 3 ⋅ 12 + 4 ⋅ 12) = 2(12 + 36 + 48) = 2 ⋅ 96 = 192 (см2 );  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2. 𝑎𝑎 = 8 см; 𝑏𝑏 = 6 см; 𝑑𝑑 = 15 см; △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (∠𝐴𝐴 = 90∘ ) — єгипетський з коефіцієнтом 2, тоді 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 5 ⋅ 2 = 10 (см). △ 𝐵𝐵1 𝐵𝐵𝐵𝐵 (∠𝐵𝐵 = 90∘ ): 𝐵𝐵1 𝐵𝐵 = �𝐵𝐵1 𝐷𝐷2 − 𝐵𝐵𝐷𝐷2 = √152 − 102 = √225 − 100 = √125 = 5√5 (см). 𝑐𝑐 = 5√5 см; 𝑆𝑆п.п. = 2(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑎𝑎); 𝑆𝑆п.п. = 2(8 ⋅ 6 + 6 ⋅ 5√5 + 8 ⋅ 5√5) = 2(48 + 30√5 + 40√5) = 2 ⋅ (48 + 70√5). Відповідь: 1) 192 см2 ; 2) 2 ⋅ (48 + 70√5) см2 . 1086. Діагональ куба дорівнює d. Знайдіть площу його поверхні, якщо: 1) d = 9 см; 2) d = 6 см.

Дано: куб 𝐵𝐵1 𝐷𝐷 = 𝑑𝑑 Знайти: 𝑆𝑆п.п. , якщо Розв’язання 1. 𝑑𝑑 = 9 см; Нехай ребро куба дорівнює 𝑥𝑥 см, тоді 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥√2 см. △ 𝐵𝐵1 𝐵𝐵𝐵𝐵 (∠𝐵𝐵 = 90∘ ): 𝐵𝐵1 𝐵𝐵2 + 𝐵𝐵𝐷𝐷2 = 𝐵𝐵1 𝐷𝐷2 ; 𝑥𝑥 2 + (𝑥𝑥√2)2 = 92 ; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 2 = 81; 3𝑥𝑥 2 = 81; 𝑥𝑥 2 = 27; 𝑥𝑥 = √27. 𝑆𝑆п.п. = 6𝑎𝑎2 𝑆𝑆п.п. = 6 ⋅ (√27)2 = 6 ⋅ 27 = 162 (см2 ). 2. 𝑑𝑑 = 6 см. Нехай ребро куба дорівнює 𝑥𝑥 см, тоді 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥√2 см. △ 𝐵𝐵1 𝐵𝐵𝐵𝐵 (∠𝐵𝐵 = 90∘ ): 𝐵𝐵1 𝐵𝐵2 + 𝐵𝐵𝐷𝐷2 = 𝐵𝐵1 𝐷𝐷2 ; 𝑥𝑥 2 + (𝑥𝑥√2)2 = 62 ; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 2 = 36; 3𝑥𝑥 2 = 36; 𝑥𝑥 2 = 12; 𝑥𝑥 = √12; 𝑆𝑆п.п. = 6𝑎𝑎2 ; 𝑆𝑆п.п. = 6 ⋅ (√12)2 = 6 ⋅ 12 = 72 (см2 ). 1087. Кожну сторону квадрата завдовжки а поділе но на три рівні частини й одержані точки сполучено так, як показано на малюнку. Знайдіть площу зафарбованої фігури.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

𝑎𝑎 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎2 𝑆𝑆△ = ⋅ ⋅ = ; 3 3 2 18 𝑎𝑎2 2𝑎𝑎2 7𝑎𝑎2 2 𝑆𝑆ф. = 𝑆𝑆кв. − 4 ⋅ = 𝑎𝑎 − = . 18 9 9 7𝑎𝑎2 Відповідь: . 9 1088. Кожну сторону квадрата завдовжки а поділе но на три рівні частини й одержані точки сполучено так, як показано на малюнку. Знайдіть площу зафарбованої фігури.

𝑎𝑎 2𝑎𝑎 1 𝑎𝑎2 ⋅ = ; 𝑆𝑆△ = ⋅ 3 3 2 9 2 4 × 𝑎𝑎 5𝑎𝑎2 2 𝑆𝑆ф. = 𝑎𝑎 − = . 9 9 5𝑎𝑎2 Відповідь: . 9 1089. Різниця периметрів двох квадратів дорівнює с, а різниця їхніх площ — d. Знайдіть площі квадратів, якщо: 1) с = 16 см, d = 56 см2; 2) с = 12 см, d = 105 см2. 1) с = 16 cм; d = 56 см2; a — сторона I квадрата; (a + 4) — сторона II квадрата. (a + 4)2 – a2 = 56; a2 + 8a + 16 – a2 = 56; 8a = 56 – 16; 8а = 40; a = 5; 5 + 4 = 9. S1кв. = a2 = 52 = 25 (см2); S2кв. = 92 = 18 (см2). 2) c = 12 cм; d = 105 cм2; a — сторона I квадрата; (a + 3) — сторона II квадрата. (a + 3)2 – а2 = 105; a2 + 6а + 9 – a2 = 105; 6a = 96; а = 16; 16 + 3 = 19. S1кв. = 162 = 256 (см2); S2кв. = 192 = 361 (см2). 1090. Ширина прямокутної рамки дорівнює с, а її площа — S. Знайдіть периметри зовнішнього та внутрішнього контура рамки, якщо: 1) с = 2 см, S = 96 см2; 2) с = 3 см, S = 564 см2.

1) с = 2 см; S = 96 см2; OK = 2 см; DC = AB = y + 4; МК = NP = х + 4; (х + 4)(y + 4 ) – ху = 96; ху + 4у + 4x + 16 – ху = 96; 4х + 4у = 80; х + у = 20;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

PABCD = 56 см; РMNPK = 40 см. 2) с = 3 см; S = 564 см2; PABCD = 200 см; PMNPK = 176 см. 1091. Площа прямокутника дорівнює S. Складіть вирази для знаходження сторін прямокутника, якщо сторони відносяться як m : n. 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛

𝑛𝑛𝑛𝑛

;� .

a : b = m : n; �

𝑚𝑚

la. in.

1092. Периметр прямокутника дорівнює Р. Складіть вирази для знаходження сторін прямокутника, якщо сторони відносяться як m : n. 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛𝑛𝑛 ; . 2(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) 2(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) 1093. Який геометричний зміст для a > 0, b > 0, c > 0 мають формули: 1) (a + b)c = ac + bc; 2) (a – b)c = ac – bc; 3) (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd? а > 0; b > 0; c > 0. 1) (a + b) ∙ с = ac + bc. Площа прямокутника зі сторонами b + а і с дорівнює сумі площ прямокутників зі сторонами а і с та b і с; 2) (a – b) ∙ c = ac – bc; площа прямокутника зі сторонами а – b і с дорівнює різниці площ прямокутників зі сторонами а і с та b і с. 3) (а + b)(с + d) = ac + bc + ad + bd. Площа прямокутника зі сторонами а і b тa с і d дорівнює сумі площ прямокутників зі сторонами а і с; b і c; а і d; b і d. 1094. Катети прямокутного трикутника дорівнюють а і b. Точка О розміщена на відстані d від кожного катета. Знайдіть відстань від цієї точки до гіпотенузи, якщо: 1) а = 3 см, b = 4 см, d = 1 см; 2) а = 6 см, b = 8 см, d = 2 см.

1) а = 3 см; b = 4 см; d = 1 см; OK = OM = OP = d = 1 см; 2) a = 6 см; b = 8 см; d = 2 см; OK = ОМ = OP = d = 2 cм. 1095. Будь–які два рівноскладені многокутники є рівновеликими. Доведіть. Означення: Два многокутники називають рівноскладеними, якщо їх можна розкласти на одне й те саме число попарно рівних многокутників. Нехай многокутники 𝐹𝐹1 і 𝐹𝐹2 є рівноскладеними. Тоді за означенням їх можна розбити на однакову кількість частин: 𝐹𝐹1 = 𝑃𝑃1 ∪ 𝑃𝑃2 ∪ … ∪ 𝑃𝑃𝑛𝑛 𝐹𝐹2 = 𝑃𝑃1′ ∪ 𝑃𝑃2′ ∪ … ∪ 𝑃𝑃𝑛𝑛′ де 𝑃𝑃𝑖𝑖 і 𝑃𝑃𝑖𝑖 ′ — попарно рівні многокутники, тобто 𝑃𝑃𝑖𝑖 ≅ 𝑃𝑃𝑖𝑖 ′ для кожного 𝑖𝑖.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Оскільки рівні фігури мають рівні площі (властивість площі), то: 𝑆𝑆(𝑃𝑃𝑖𝑖 ) = 𝑆𝑆(𝑃𝑃𝑖𝑖 ′ ) для кожного 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 Оскільки площа фігури дорівнює сумі площ частин, з яких вона складається (властивість площі), то: 𝑆𝑆(𝐹𝐹1 ) = 𝑆𝑆(𝑃𝑃1 ) + 𝑆𝑆(𝑃𝑃2 ) + ⋯ + 𝑆𝑆(𝑃𝑃𝑛𝑛 ) 𝑆𝑆(𝐹𝐹2 ) = 𝑆𝑆(𝑃𝑃1′ ) + 𝑆𝑆(𝑃𝑃2′ ) + ⋯ + 𝑆𝑆(𝑃𝑃𝑛𝑛′ ) Оскільки відповідні доданки рівні, то 𝑆𝑆(𝐹𝐹1 ) = 𝑆𝑆(𝐹𝐹2 ), тобто 𝐹𝐹1 і 𝐹𝐹2 є рівновеликими. 1096. Точка М ділить відрізок АВ навпіл, а точка N — на нерівні частини. Доведіть, що площа прямокутника зі сторонами АN і NВ дорівнює різниці площ квадратів зі сторонами МВ і МN.

4⋅4

la. in.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀; 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≠ 𝑁𝑁𝑁𝑁. Довести: 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑀𝑀𝐵𝐵2 − 𝑀𝑀𝑁𝑁 2 . Доведення Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑥𝑥 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎, 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑏𝑏, тоді 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 2𝑥𝑥. 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑥𝑥, 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎. 𝑀𝑀𝐵𝐵2 − 𝑀𝑀𝑁𝑁 2 = 𝑥𝑥 2 − (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)2 = 𝑥𝑥 2 − (𝑥𝑥 2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 ) = 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎(2𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎. 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑎𝑎𝑎𝑎; 𝑀𝑀𝐵𝐵2 − 𝑀𝑀𝑁𝑁 2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑀𝑀𝐵𝐵2 − 𝑀𝑀𝑁𝑁 2 . 1097. У прямокутнику зі сторонами 4 см і 6 см проведено бісектриси кутів при його більшій стороні. Знайдіть площі частин, на які поділено прямокутник. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутний; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 4 см; ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = ∠𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 45∘ .

𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

2 1

= 8 (см2 ); 𝑆𝑆△𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 8 (см2 );

𝑆𝑆△𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 ⋅ 𝑃𝑃𝑃𝑃; ∠𝑀𝑀 = ∠𝑁𝑁 = 45∘ ; 2 ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 90∘ ; 𝑀𝑀𝑃𝑃2 + 𝑃𝑃𝑁𝑁 2 = 𝑀𝑀𝑁𝑁 2; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 = 4; 2𝑥𝑥 2 = 4; 𝑥𝑥 2 = 2; 𝑥𝑥 = √2; √2⋅√2

𝑆𝑆△𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = = 1 (см2 ); 2 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 7 см2 ; 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9 см2 . Відповідь: 1 см2 ; 7 см2 ; 7 см2 ; 9 см2 . 1098. Кут між діагоналями прямокутника дорівнює 46°, а його площа — 545 см2. Знайдіть сторони прямокутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутник; ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 46∘; 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 545 см2 . Знайти: 𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝐶𝐶𝐶𝐶. Розв’язання 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂, тоді △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 — рівнобедрений. ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = (180∘ − 46∘ ): 2 = 67∘ . 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ 𝐶𝐶𝐶𝐶. 𝑆𝑆 545 Нехай 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥 см, тоді 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = (см). 𝑥𝑥 𝑥𝑥⋅𝑥𝑥

𝑥𝑥 2

la. in.

𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵

∘

△ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (∠𝐶𝐶 = 90 ): tg ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = = = . 𝐶𝐶𝐶𝐶 545 545 2 ∘ 𝑥𝑥 = 545 ⋅ tg ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 545 ⋅ tg 67 = 545 ⋅ 2,36 = 1286,2; 𝑥𝑥 = √1286,2 ≈ 35,9 (см); 545 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 35,9 см; 𝐶𝐶𝐶𝐶 = ≈ 15,2 см. 35,9

Відповідь: 35,9 см; 15,2 см. 1099. Якщо точки А, В і С лежать на одній прямій, то виконується рівність АВ2 + ВС2 = АС2 – 2АВ · ВС. Чи правильне це твердження? Сума площ квадратів зі стороною AB і ВС дорівнює площі квадрата зі стороною AC без подвоєної площі прямокутника зі сторонами AB і ВС. АВ2 + ВС2 = АС2 – 2АВ ∙ ВС. 1100. Доведіть, що площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку гіпотенузи та висоти, проведеної до гіпотенузи.

Нехай дано △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, ∠𝐶𝐶 = 90∘ . Довести: 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐶𝐶𝐶𝐶. 1

𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆△𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐶𝐶𝐶𝐶(𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴) = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐶𝐶𝐶𝐶, що й 2 2 2 2 треба було довести. 1101. Доведіть, що площі трикутників, на які розбиває прямокутний трикутник висота, проведена до гіпотенузи, відносяться як проєкції катетів на гіпотенузу.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝑆𝑆△𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑎𝑎𝑐𝑐 ⋅ ℎ; 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑏𝑏𝑐𝑐 ⋅ ℎ. 𝑆𝑆△𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

1 𝑎𝑎 ⋅ℎ 2 𝑐𝑐 1 𝑏𝑏 ⋅ℎ 2 𝑐𝑐

𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑏𝑏𝑐𝑐

, де 𝑎𝑎𝑐𝑐 і 𝑏𝑏𝑐𝑐 — проекції катетів на гіпотенузу.

la. in.

1102. За картою України (див. QR код) з’ясуйте: з яких частин складається площа України; яка частина має найменшу площу, найбільшу площу. Яку частину площі України становить площа області, у якій ви мешкаєте? Україна має 24 області. Найменша площа: S = 8097 км2 – Чернівецька область. Найбільша площа: S = 33310 км2 – Одеська область. 1103. Побудуйте: 1) коло радіусом 2 см; 2) будь який многокутник. Із прозорої плівки виготовте палетку та визначте наближені значення площ зображених фігур.

На малюнку зображено дві фігури з накладеною палеткою (сіткою): Коло (r = 2 см) — точна площа πr² ≈ 12,57 см². Палеткою: підраховуємо сині (повні) клітинки + жовтогарячі (крайові) ділимо навпіл. Шестикутник (a = 2,5 см) — для різноманітності обрано правильний шестикутник. Формула підрахунку палеткою: 𝑛𝑛крайових 𝑆𝑆 ≈ �𝑛𝑛повних + � ⋅ 𝑆𝑆клітинки 2 Можна змінити розмір клітинки у списку вгорі — чим менша клітинка, тим точніший результат. 1104. Площа ділянки дорівнює 6 а. Чому дорівнює площа цієї ділянки у квадратних метрах; у гектарах? 6а = 600 м2; 6а = 0,06 га. 1105. Ділянка прямокутної форми на плані в масштабі 1 : 100 має сторони 10 см і 25 см. Яка площа цієї ділянки? а = 10 см; b = 25 см; Масштаб – 1 : 100; Sд. – ? Розв’язання S□ = ab; S□ = 10 ∙ 25 = 250 (см2);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Sд. = 1000 ∙ 2500 = 2500000 (см2) = 250 м2. Відповідь: 250 м2. 1106. Прямокутний шматок лінолеуму має розмір 9 ∙ 4 м. Чи вистачить його для покриття підлоги у двох кімнатах розмірами 2 ∙ 8 м і 4 ∙ 5 м? a = 9 м; b = 4 м. Розміри підлоги – 2 х 8 м; 4 х 5 м. Чи вистачить лінолеуму? Розв’язання S = ab; S = 9 ∙ 4 = 36 (м2) – лінолеуму; S1 = 2 ∙ 8 = 16 (м2) – у І кімнаті; S2 = 4 ∙ 5 = 20 (м2) – у ІІ кімнаті; S1 + S2 = 16 + 20 = 36 (м2). Відповідь: так. 1107. Проведіть необхідні вимірювання та розрахуйте, яку кількість рулонів шпалер (без підгонки малюнка) необхідно придбати для ремонту кімнати у вас удома, якщо рулон має довжину 10,5 м і ширину 0,6 м. Моя кімната має розміри: довжина — 4 м, ширина — 3 м, висота — 2,5 м. Також у кімнаті є вікно — 1,2 ∙ 1,5 м та двері — 0,9 ∙ 2,05 м. Тоді: 1. 14 ∙ 2,5 = 35 (м2) — площа стін 2. 1,2 ∙ 1,5 = 1,8 (м2) — площа вікна 3. 2,05 ∙ 0,9 = 1,845 (м2) — площа дверей 4. 35 – (1,8 + 1,845) = 31,355 (м2) — загальна площа під шпалери 5. 10,5 ∙ 0,6 = 6,3 (м2) — площа одного рулону шпалер 6. 31,355 : 6,3 ≈ 4,98 ≈ 5 (рулонів) Відповідь: 5 рулонів. 1108. Проведіть необхідні вимірювання та розрахуйте, яку кількість кахельної плитки розмірами 20 ∙ 30 см необхідно придбати для ремонту ванної кімнати у вас удома. Виконаємо розрахунки для ванни кімнати 1,6 · 1,8 · 2,5. Тоді: 1. (1,6 · 2 + 1,8 · 2) · 2,5 = 17 (м2) — площа стін; 2. 0,2 · 0,3 = 0,06 (м2) — площа однієї плитки; 3. 17 : 0,06 = 283,3 ≈ 284 (плитки) Відповідь: 284 плитки 1109. Проведіть необхідні вимірювання та розрахуйте, яку кількість паркетних дощечок прямокутної форми розмірами 30 ∙ 5 см необхідно придбати для настилання паркету в кімнаті у вас удома. Якщо розміри підлоги кімнати 3 ∙ 4 м, то: 1. 3 · 4 = 12 (м2) — площа підлоги 2. 0,3 · 0,05 = 0,015 (м2) — площа паркетної дощечки 3. 12 : 0,015 = 800 (дощечок) Відповідь: 800 дощечок 1110. Проведіть необхідні вимірювання та розрахуйте, яку кількість ламінату прямокутної форми розмірами 138 ∙ 19,5 см необхідно придбати для його настилання в кімнаті у вас удома. Якщо розміри підлоги кімнати 3 ∙ 4 м, то: 1. 3 · 4 = 12 (м2) — площа підлоги 2. 1,38 · 0,195 = 0,2691 (м2) — площа однієї дощечки 3. 12 : 0,2691 ≈ 44,59 ≈ 45 (дощечок) Відповідь: 45 дощечок  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1111. Площу фігури можна визначити способом зважування. Для цього фігуру креслять на аркуші цупкого паперу або картону та вирізають за контуром. З того самого матеріалу вирізають квадрат певних розмірів. Потім порівнюють масу обох фігур. Поясніть, на чому ґрунтується такий спосіб. Цей спосіб ґрунтується на таких властивостях площі та матеріалу: 1. Однорідність матеріалу. Якщо папір або картон однорідний, то маса будь-якого його шматка прямо пропорційна площі цього шматка. Тобто чим більша площа вирізаної фігури, тим більша її маса. 2. Пряма пропорційність. Оскільки товщина і щільність матеріалу скрізь однакова, можна записати: 𝑚𝑚фігури 𝑆𝑆фігури = 𝑆𝑆квадрата 𝑚𝑚квадрата Звідси: 𝑚𝑚фігури 𝑆𝑆фігури = 𝑆𝑆квадрата ⋅ 𝑚𝑚квадрата 3. Застосування. Площу квадрата зі стороною $a$ легко обчислити за формулою 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎2 . Масу обох фігур вимірюють на терезах. Підставляють у формулу — і отримують площу довільної фігури. Висновок. Спосіб ґрунтується на тому, що для однорідного матеріалу площа фігури пропорційна її масі, а площа квадрата відома точно. Це дозволяє замінити складне геометричне вимірювання простим зважуванням.

§ 20. ПЛОЩА ПАРАЛЕЛОГРАМА 1112. За даними на малюнках з’ясуйте, чи є правильною наведена рівність для обчислення площі паралелограма. Відповідь поясніть.

Ні (мал. 1); так (мал. 2). 1113. Чи є правильною формула площі ромба за його діагоналями d1 і d2: 1) S = d1 + d2; 2) S = d1d2; 3) S = 2d1d2; 1 4) S = d1d2? 2 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 1114. Чи є правильною формула площі квадрата за його діагоналлю d: 1) S = 2d; 2) S = d2; 3) S = 2d2;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 1

4) S = d2? 2 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 1115. За даними на малюнку знайдіть площу паралелограма ABCD.

la. in.

Sпар.ABCD = DH · BC = 5 · 9 = 45 (см2); 1116. За даними на малюнку знайдіть площу паралелограма ABCD.

Sпар.ABCD = DH · AD = 6 · 7 = 42 (см2). 1117. У паралелограмі ABCD проведено висоту ВН до сторони CD. Знайдіть площу паралелограма, якщо: 1) CD = 60 см, ВН = 50 см; 2) CD = 25 см, ВН = 40 см. 1) Sпар. = CD · ВН = 60 · 50 = 3000 (см2); 2) Sпар = 25 · 100 = 2500 (см2). 1118. У паралелограмі ABCD проведено висоту СМ до сторони AB. Знайдіть площу паралелограма, якщо AB = 25 см, СМ = 100 см. Sпар = 25 · 40 = 1000 (см2). 1119. До сторони a паралелограма проведено висоту hа. Знайдіть його площу, якщо: 1) a = 10 см, hа = 0,8a; 2) a = 2 дм, hа = 0,75a. 1) Sпар.ABCD = аha = 10 · 8 = 80 (см2);

2) Sпар.ABCD = аha = 2 · 0,75 · 2 = 300 (см2). 1120. Знайдіть площу паралелограма, у якому проведено висоту hb = 5 см до сторони b = 1,2hb.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. ℎ =

2. ℎ =

= 4 (см);

15 175 35 75

𝑎𝑎

la. in.

Sпар.ABCD = аha = 5 · 1,2 · 5 = 30 (см2). 1121. Площа паралелограма дорівнює S, а одна з його сторін — a. Знайдіть висоту, проведену до цієї сторони, якщо: 1) S = 60 см2, a = 15 см; 2) S = 175 см2, a = 35 см; 3) S = 75 см2, a = 25 см; 4) S = 96 см2, a = 12 см. 𝑆𝑆 𝑆𝑆пар. = 𝑎𝑎ℎ; ℎ = . = 5 (см);

3. ℎ = = 3 (см). 25 Відповідь: 1) 4 см; 2) 5 см; 3) 3 см. 1122. Площа паралелограма дорівнює 180 см2, а одна з його сторін — 15 см. Знайдіть висоту, проведену до цієї сторони.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — паралелограм; 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 180 см2 ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 15 см. Знайти: 𝐵𝐵𝐵𝐵. 𝑆𝑆 180 Розв’язання 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵. 𝐵𝐵𝐵𝐵 = = = 12 см. 𝐴𝐴𝐴𝐴 15 Відповідь: 12 см. 1123. Знайдіть висоти паралелограма зі сторонами a і b та площею S за таблицею. a 5 см 8,5 см 14 см 16 см 10 см

17 см

21 см

10 см

41 см2 34 см2

63 см2

64 см2

8,2 см

4 см

4,5 см

4 см

4,1 см

2 см

3 см

6,4 см

𝑆𝑆

S = aha; ha = ; S = bhb; hb = . 𝑎𝑎 𝑏𝑏 1124. Площа паралелограма дорівнює S. Знайдіть відстань між його сторонами, що мають довжину n, якщо: 1) S = 56 см2, n = 7 см; 2) S = 90 см2, n = 18 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 𝑆𝑆

la. in.

S = dh; h = . 𝑑𝑑 1) h = 56 : 7 = 8 (см); 2) h = 90 : 18 = 5 (см). 1125. Площа паралелограма дорівнює 24 см2. Знайдіть відстань між його сторонами завдовжки 6 см. 𝑆𝑆 S = dh; h = . 𝑑𝑑 h = 24 : 6 = 4 (см). 1126. Сторони паралелограма дорівнюють a і b, а висота, проведена до сторони a, дорівнює hа. Знайдіть висоту, проведену до сторони b, якщо: 1) a = 6 см, b = 3,6 см, hа = 2,4 см; 2) a = 18 мм, b = 9 мм, hа = 6 мм.

S = aha : S = bhb. 1) S = 6 ∙ 2,4 = 14, (cм2); hb = 14,4 : 3,5 = 4 (см); 2) S = 18 ∙ 6 = 108 (мм2); hb = 108 : 9 = 12 (мм). 1127. Сторони паралелограма дорівнюють 30 см і 50 см, а висота, яку проведено до меншої сторони, дорівнює 25 см. Знайдіть висоту, проведену до більшої сторони. S = aha : S = bhb.

S = 30 ∙ 25 = 750 (см2); hb = 750 : 50 = 15 (см). 1128. Доведіть, що діагоналі паралелограма розбивають його на чотири трикутники з рівними площами. Нехай дано АВСD — паралелограм, AС і BD — його діагоналі.

Проведемо MN ∥ AB, РК ∥ AD через точку O. Одержимо 8 рівних трикутників, які мають рівні площі.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝐵𝐵𝐵𝐵⋅𝐴𝐴𝐴𝐴

la. in.

Отже, діагоналі паралелограма розбивають його на чотири трикутники з рівними площами. 1129. Через точку перетину діагоналей паралелограма проведено довільну пряму. Чи рівні площі частин, на які вона ділить паралелограм? Площі частин паралелограма рівні. 1130. Чому дорівнює площа ромба ABCD на малюнку?

3⋅4

𝑆𝑆р.𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = = = 6. 2 2 1131. Чому дорівнює площа ромба KLMN на малюнку?

𝐾𝐾𝐾𝐾⋅𝑁𝑁𝑁𝑁

6⋅8

𝑆𝑆р.𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = = = 24. 2 2 1132. Знайдіть площу ромба, якщо його діагоналі дорівнюють: 1) 12 см і 16 см; 2) 1,6 дм і 3 дм. 𝑑𝑑1 ⋅ 𝑑𝑑2 ; 𝑆𝑆𝑝𝑝 . = 2 12 ⋅ 16 𝑆𝑆𝑝𝑝 . = = 96 (см2 ); 2 1,6 ⋅ 3 𝑆𝑆𝑝𝑝 . = = 2,4 (дм2 ). 2 1133. Знайдіть площу ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 40 мм і 42 мм. 𝑑𝑑 ⋅𝑑𝑑 𝑆𝑆𝑝𝑝 . = 1 2 ; 2 40 ⋅ 42 = 840 (мм2 ). 𝑆𝑆𝑝𝑝 . = 2 1134. Доведіть, що діагоналі ромба розбивають його на чотири прямокутні трикутники з рівними площами.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — ромб. 𝑆𝑆𝑝𝑝 . = 𝑆𝑆 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑆𝑆 △𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑆𝑆 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑆𝑆 △𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 . 𝐵𝐵𝐵𝐵⟂𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑂𝑂𝑂𝑂; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑂𝑂𝑂𝑂. 1 1 1 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑆𝑆 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆 △𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑆𝑆 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆 △𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = ⋅ 𝑑𝑑1 ⋅ 𝑑𝑑2 = 1 2. 2 2 2 8 1135. У ромбі KLMN діагоналі перетинаються в точці О. Знайдіть площу ромба, якщо площа прямокутного трикутника KОL дорівнює: 1) 25 см2; 2) 30 см2. KLMN — ромб; S∆KOL = S; Sромба = 4S. 1) Sp. = 100 см2; 2) Sp. = 120 см2. 1136. У ромбі АВСD діагоналі перетинаються в точці О. Площа прямокутного трикутника АОВ дорівнює 18 см2. Знайдіть площу ромба. ABCD — ромб; S∆AOB = S; Sромба = 4S.

Sp. = 72 см2. 1137. Знайдіть площу квадрата АВСD, якщо його діагональ АС дорівнює: 1) 4 см; 2) 0,3 дм.

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — квадрат; 𝐴𝐴𝐴𝐴 — діагональ.

1. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑥𝑥; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 = 𝑑𝑑 2 ; 2𝑥𝑥 2 = 𝑑𝑑 2; 𝑥𝑥 2 =

2. 𝑆𝑆кв. = 3. 𝑆𝑆кв. =

= 8 (см2 );

2 0,32 2

= 4,5 (см2 ).

𝑑𝑑 2 2

; 𝑆𝑆кв. = 𝑥𝑥 2 .

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1138. Знайдіть площу квадрата KLMN, якщо його діагональ KM дорівнює 1,2 м. 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 — квадрат; 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑑𝑑 — діагональ. 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑥𝑥; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 = 𝑑𝑑 2 ;

2𝑥𝑥 2 = 𝑑𝑑 2 ; 𝑥𝑥 2 =

𝑑𝑑 2

;

2 1,22

la. in.

𝑆𝑆кв. = 𝑥𝑥 2 . 𝑆𝑆кв. = = 0,72 (см2 ). 2 1139. Висота паралелограма, проведена до більшої сторони, утворює з меншою стороною кут 30°. Знайдіть площу паралелограма, якщо його сторони дорівнюють: 1) 10 мм і 15 мм; 2) 20 мм і 25 мм.

1. 𝑎𝑎 = 10 мм; 𝑏𝑏 = 15 мм; 𝑆𝑆пар. = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin∠𝐴𝐴; ∠𝐴𝐴 = 60∘ ; √3

𝑆𝑆пар. = 10 ⋅ 15 ⋅ = 75√3 (мм2 ). 2 2. 𝑎𝑎 = 20 мм; 𝑏𝑏 = 25 мм; √3

𝑆𝑆пар. = 20 ⋅ 25 ⋅ = 250√3 (мм2 ). 2 1140. Паралелограм має гострий кут 30°. Знайдіть площу паралелограма, якщо його сторони дорівнюють: 1) 15 см і 10 см; 2) 25 см і 20 см.

𝑆𝑆пар. = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ sin30∘ 1

1. 𝑆𝑆пар. = 15 ⋅ 10 ⋅ = 75 (см2 ); 2 1

2. 𝑆𝑆пар. = 25 ⋅ 20 ⋅ = 250 (см2 ). 2 1141. Дві смуги завширшки m і n, перетинаючись, утворюють паралелограм із площею S. Знайдіть сторони паралелограма, якщо: 1) m = 9 см, n = 24 см, S = 72 см2; 2) m = 4 дм, n = 1 дм, S = 6 дм2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 9 см; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 24 см; 𝑆𝑆 = 72 см2 ; 𝑆𝑆п. = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴; 72 72 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 8 (см); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 3 (см). 9 24 6 6 2. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 1,5 (дм); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 6 (дм). 4 1 1142. Площа паралелограма дорівнює S. Відстані від точки перетину його діагоналей до сторін відповідно дорівнюють m і n. Знайдіть периметр паралелограма, якщо: 1) S = 56 см2, m = 4 см, n = 3,5 см; 2) S = 36 см2, m = 2 см, n = 3 см.

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — паралелограм. 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆; 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑚𝑚; 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐶𝐶𝐶𝐶; 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑛𝑛; ℎ1 = 2𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2𝑚𝑚; ℎ2 = 2𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2𝑛𝑛. 𝑆𝑆 56 = 7 (см); 1. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 2⋅4

= 8 (см);

𝐴𝐴𝐴𝐴 =

ℎ1 56

2⋅3,5

𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = (7 + 8) ⋅ 2 = 30 (см). 36 36 = 9 (см); 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 6 (см); 2. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2⋅2 2⋅3 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = (9 + 6) ⋅ 2 = 30 (см). 1143. У паралелограмі з периметром Р точка перетину діагоналей віддалена від його сторін на відстань m і n. Знайдіть площу паралелограма, якщо: 1) Р = 64 см, m = n = 4 см; 2) Р = 63 см, m = 4 см, n = 5 см.

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — паралелограм.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑃𝑃; 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑚𝑚; 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑛𝑛; ℎ1 = 2𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2 ⋅ 4 = 8 см; ℎ2 = 2𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2 ⋅ 4 = 8 см; 𝑆𝑆пар. = ℎ1 ⋅ 𝑎𝑎 = ℎ2 ⋅ 𝑏𝑏; 1. 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥; 𝑏𝑏 = 32 − 𝑥𝑥; 8𝑥𝑥 = (32 − 𝑥𝑥) ⋅ 8; 8𝑥𝑥 = 256 − 8𝑥𝑥; 16𝑥𝑥 = 256; 𝑥𝑥 = 16 см; 𝑆𝑆пар. = 8 ⋅ 16 = 128 (см2 ). 63

la. in.

2. 𝑃𝑃 = 63 см; 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = ; 2 ℎ1 = 8 см; ℎ2 = 10 см; 63 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥; 𝑏𝑏 = − 𝑥𝑥;

8𝑥𝑥 = ( − 𝑥𝑥) ⋅ 10; 2 8𝑥𝑥 = 315 − 10𝑥𝑥; 18𝑥𝑥 = 315; 𝑥𝑥 = 17,5; 𝑆𝑆пар. = 8 ⋅ 17,5 = 140 (см2 ). 1144. Через довільну точку діагоналі паралелограма проведено дві прямі, паралельні його сторонам. Доведіть, що утворені чотирикутники, які лежать по різні боки від діагоналі, мають рівні площі. ABCD — паралелограм. РК ∥ CD; MN ∥ DC.

Якщо від трикутників, що мають рівні площі відрізати трикутники, що мають рівні площі, то дістанемо фігури з рівними площами. 1145. Знайдіть площу ромба з тупим кутом 150°, якщо його сторона дорівнює: 1) 1 дм; 2) 2,6 см.

Нехай дано ромб 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. ∠𝐴𝐴 = 30∘ . 1. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 = 1 дм; 𝑆𝑆𝑝𝑝 . = 𝑎𝑎2 sin∠𝐴𝐴; 𝑆𝑆𝑝𝑝 . = 1 ⋅ 1 ⋅ sin30∘ =

2. 𝑆𝑆𝑝𝑝 . =

2,6⋅2,6 2

1 2

(дм2 );

= 3,38 (см2 ).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1146. Площа ромба дорівнює 36 см2. Знайдіть його діагоналі, якщо вони відносяться як: 1) 3 : 4; 2) 2 : 3; 3) 1 : 1. Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — ромб. 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐵𝐵𝐵𝐵 — діагоналі. 𝑆𝑆р. = 36 см2 .

1. 𝐵𝐵𝐵𝐵: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3: 4; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3𝑥𝑥; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4𝑥𝑥; 1 3𝑥𝑥⋅4𝑥𝑥 ; 36 = 6𝑥𝑥 2 ; 𝑆𝑆р. = 𝑑𝑑1 𝑑𝑑2 ; 36 = 2

𝑥𝑥 = 6; 𝑥𝑥 = √6; 𝑑𝑑1 = 3√6 см; 𝑑𝑑2 = 4√6 см. 2. 𝑑𝑑1 : 𝑑𝑑2 = 2: 3; 𝑑𝑑1 = 2𝑥𝑥; 𝑑𝑑2 = 3𝑥𝑥; 2𝑥𝑥⋅3𝑥𝑥 ; 36 = 3𝑥𝑥 2 ; 36 = 2

𝑥𝑥 = 12; 𝑥𝑥 = 2√3; 𝑑𝑑1 = 4√3 см; 𝑑𝑑2 = 6√3 см. 𝑥𝑥⋅𝑥𝑥 3. 𝑑𝑑1 : 𝑑𝑑2 = 1: 1; 𝑑𝑑1 = 𝑥𝑥; 𝑑𝑑2 = 𝑥𝑥; 36 = ; 2

𝑥𝑥 2 = 72; 𝑥𝑥 = 6√2 см. 𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑2 = 6√2 см. 1147. Площа ромба удвічі менша від площі квадрата із таким самим периметром. Знайдіть гострий кут ромба.

ABCD — ромб. MNPK — квадрат. PABCD = PMNPK. 1 Sp. = Sкв. х — сторона квадрата; 4х — периметр квадрата і ромба. 2 х2 = S — площа квадрата; x2sinα — площа ромба. 1 1 x2 ∙ = x2sinα; sinα = ; α = 30°. 2 2 Відповідь: 30°. 1148. Два квадрати мають діагоналі відповідно 5 см і 3 см. Яка довжина діагоналі квадрата, площа якого дорівнює різниці площ даних квадратів? 𝑆𝑆кв. =

𝑑𝑑 2 2

; 𝑆𝑆1 =

2 25

(см2 ); 𝑆𝑆2 = 9

2 2

(см2 );

𝑆𝑆 = 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆2 = − = 8 (см ); 2 2 𝑑𝑑 2 = 16; 𝑑𝑑 = 4 (см). Відповідь: 4 см. 1149. У скільки разів площа квадрата, вписаного в коло, менша від площі квадрата, описаного навколо цього кола?  shkola.in.ua

ABCD — квадрат, описаний навколо кола. AB = ВС = CD = AD = x; S1 = x2. MNPK – квадрат, вписаний в коло; МP — діагональ. MP = x; 𝑥𝑥 2

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

S2 = ; S2 : S1 = : 1 = 1 : 2. 2 2 Відповідь: 1 : 2. 1150. Висоти паралелограма відносяться як 2 : 3, його периметр дорівнює 40 см, а гострий кут — 30°. Знайдіть площу паралелограма. Нехай ABCD — паралелограм; BK і BF — висоти; BK : BF = 2 : 3; PABCD = 40 см. ∆АВК; AB = 4x; ∠A = 30°; BK = 3x; BF = 2x; ∠A = 30°; AB = DC = 6x; BC = AD = (40 – 12x) : 2 = 20 = 6x.

Рівняння: 6x ∙ 2х = Зх(20 – 6х); 12х = 60 – 18x; 30x = 60; x = 2; BK = 3 ∙ 2 = 6 (см); AD = 20 – 6 = 12 (см); Sпар. = 6 ∙ 12 = 48 (см2). Відповідь: 48 см2. 1151. Кут між висотами ромба дорівнює 60°. Доведіть, що площа ромба удвічі більша за площу трикутника, побудованого на даних висотах ромба.

Нехай дано ромб ABCD. DK ⊥ AB; DF ⊥ ВС. ∠KDF = 60°. Довести: Sp. = 2S∆DKF.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Діагональ ромба розбиває його на 2 рівносторонніх трикутники. Sp. = AB ∙ DK; ∆DKF — рівносторонній. 𝐷𝐷𝐷𝐷 2 √3

. S∆DKF = 4 Площа ромба удвічі більша за площу трикутника. 1152. За даними на малюнку доведіть, що площа паралелограма АВСD дорівнює 0,2 площі чотирикутника KLMN.

la. in.

ΔM1NM = ΔK1KL. ΔKNN1 = AL1ML. 1 SABCD = SKLMN ∙ SABCD = SCMK1B + SBK1L = SAKN1 + SABL1N1 = SKM1DA + SM1ND = SMDCL + SCL1M. 2 SABCD = S1 + S2 + S3 + S4; S1 = S2 = S3 = S4 = SKLMN = 5SABCD. Відповідь: 1 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 0,2. 𝑆𝑆KLMN 5 1153. Довільну точку М всередині паралелограма АВСD сполучено відрізками з його вершинами. Доведіть, що сума площ трикутників АМD і ВМС дорівнює сумі площ трикутників АМВ і СМD. Нехай дано ABCD — паралелограм. М — довільна точка.

1) МК ⊥ AD; MF ⊥ DC; S∆AMD = S∆AMK + S∆MKD. 2) MP ⊥ ВС; MN ⊥ AB; S∆MDC = S∆MFC + S∆MFD; S∆MBC = S∆BMC + S∆MPC; S∆ABM + S∆NMA. 3) S∆AMD + S∆BMC = S∆AMB + S∆CMD. 1154. У паралелограмі діагональ перпендикулярна до сторони. За яких умов площа даного паралелограма дорівнюватиме квадрату цієї діагоналі? Діагональ дорівнює стороні, до якої ця діагональ перпендикулярна.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

ABCD — паралелограм. BD ⊥ AB. BD = AB = a; Sпaр. = AB ∙ BD = a2. 1155. Радіус кола, вписаного в ромб, ділить його сторону на відрізки завдовжки m і n. Знайдіть площу ромба, якщо: 1) m = 1,8 см, n = 3,2 см; 2) m = 4 см, n = 9 см.

1. Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — ромб. 𝑂𝑂𝑂𝑂⟂𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑟𝑟 — радіус кола, вписаного в ромб. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑛𝑛. а) △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутний. 𝑂𝑂𝐾𝐾 2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 1,8 ⋅ 3,2; 𝑂𝑂𝑂𝑂 = √1,8 ⋅ 3,2 = 2,4; ℎ = 2𝑂𝑂𝑂𝑂 = 4,8; 𝐷𝐷𝐷𝐷⟂𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐷𝐷𝐷𝐷 = ℎ; б) 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 ⋅ ℎ = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐹𝐹𝐹𝐹; 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = (1,8 + 3,2) ⋅ 4,8 = 24 (см2 ). 2. 𝑂𝑂𝑂𝑂 = √4 ⋅ 9 = √36 = 6 (см); ℎ = 12 см; 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = (4 + 9) ⋅ 12 = 156 (см2 ). Відповідь: 1) 24 см2 ; 2) 156 см2 . 1156. Знайдіть геометричне місце вершин паралелограмів зі спільною стороною, у яких площа дорівнює площі даного паралелограма. Геометричним місцем вершин паралелограма зі спільною стороною, у яких площа дорівнює площі даного паралелограма є дві прямі, які паралельні даній стороні 𝑆𝑆 паралелограма і належать від неї на відстані . ℎ 1157. На кожній стороні паралелограма взято по точці. Площа чотирикутника з вершинами в цих точках дорівнює половині площі паралелограма. Доведіть, що хоча б одна з діагоналей чотирикутника паралельна стороні паралелограма.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай ABCD — даний паралелограм, M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ CD, K ∈ AD. Якщо MP — діагональ чотирикутника MPNK, MPǁAD, то 1 SMNPK = SABCD 2 1158. Поле має форму паралелограма зі стороною 250 м і висотою, проведеною до цієї сторони, завдовжки 100 м. Через поле проходить путівець завширшки 5 м, який перетинає краї поля завдовжки 250 м і перпендикулярний до них. Яку площу поля можна засіяти?

la. in.

Дано: ABCD – паралелограм; AD = 250 м; ВН = 100 м; b = 5 м – ширина путівця. Знайти: S засіяного поля Розв’язання Sполя = a ∙ h = 250 ∙ 100 = 25000 (м2); Sпутівця = 5 ∙ 100 = 500 (м2); Sзас.поля = 25000 – 500 = 24500 (м2). Відповідь: 24500 м2. 1159. Ділянку, що має форму паралелограма, потрібно поділити на 3 частини однакової площі. Як провести межі?

Як поділити паралелограм на 3 частини? Розв’язання Потрібно поділити сторону AD на три рівні відрізки і через точки поділу провести прямі, паралельні стороні АВ. 1160. Проведіть необхідні вимірювання та розрахуйте, скільки кахельної плитки розміром 33 ⨯ 33 см потрібно придбати, щоб змостити підлогу коридору у вашому домі у спосіб «за діагоналлю», коли краї плитки не паралельні стінам.

ABCD — квадрат, AB = BC = CD = DA = 33 см. У ∆BCD ∠C = 90° за теоремою Піфагора. BD = √332 + 332 ≈ 46,6 (см). Розміри коридора у моєму домі 3,2 ∙ 1,85 м. Щоб замостити підлогу коридора таким кахелем, його потрібно 28 штук. Відповідь: 28.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

§ 21. ПЛОЩА ТРИКУТНИКА 1161. За даними на малюнках назвіть сторони трикутника ABC та проведені до них висоти.

la. in.

1. AO — висота до сторони BC; CH ⟂ AB; BK ⟂ AC; 2. BM ⟂ AC; CL ⟂ AB; AK ⟂ BC; 3. AH ⟂ BC; AC ⟂ AB; AB ⟂ AC. 1162. Чи є правильною рівність для обчислення площі трикутника: 1 1) SΔABC = AB ⋅ AM;

2) SΔABC = AC ⋅ BK;

3) SΔABC = BM ⋅ AK;

4) SΔABC = AB · CL;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

5) SΔABC = AB · AC;

6) SΔABC = BC ⋅ AC? 2

Відповідь поясніть. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) ні; 6) ні. 1163. У трикутнику ABC проведено висоту ВН. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1) АC = 6 см, ВН = 5 cм; 2) АC = 25 см, ВН = 100 см.

1) АС = 6 см; BH = 5 см; 1 1 S∆ABC = AC ∙ BH = ∙ 6 ∙ 5 = 15 (см2); 2

2) S∆ABC = ∙ 25 ∙ 100 = 1250 (см2). 2 1164. У трикутнику ABC проведено висоту ВН завдовжки 4 дм. Знайдіть площу трикутника, якщо АC = 2,5 дм.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 1

la. in.

S∆ABC = ∙ 2,5 ∙ 4 = 5 (дм2); 2 1165. За даними на малюнках знайдіть площу трикутника ABC.

1) S∆ABC = ∙ 5 ∙ 4 = 10 (кв. од.); 2 1

2) S∆ABC = ∙ 20 ∙ 21 = 210 (кв. од.). 2 1166. За даними на малюнку знайдіть площу трикутника ABC.

S∆ABC = ∙ 5 ∙ (12 + 5) = 42,5 (кв. од.). 2 1167. До сторони a трикутника проведено висоту hа. Знайдіть його площу, якщо: 1) a = 10 см, hа = 0,8a; 2) hа = 12 мм, a = 1,5hа. 1 S∆ = aha. 2

1) S∆ = ∙ 10 ∙ 0,8 ∙ 10 = 40 (см2); 2 1

2) S∆ = ∙ 12 ∙ 1,5 ∙ 12 = 108 (мм2). 2 1168. До сторони a = 2 дм трикутника проведено висоту hа = 0,75a. Знайдіть площу трикутника. 1 S∆ = ∙ 2 ∙ 2 ∙ 0,75 = 1,5 (дм2); 2 1169. Площа трикутника дорівнює S, а одна з його висот — h. Знайдіть сторону, до якої проведено цю висоту, якщо: 1) S = 72 см2, h = 12 см; 2) S = 155 см2, h = 10 см;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

3) S = 75 см2, h = 7,5 см. 1 2𝑆𝑆 S = ah; a = .

1) a =

2) a = 3) a =

ℎ

2 ∙ 72

= 12 (см);

10 2 ∙ 75

= 20 (см).

12 2 ∙ 155 7,5

= 31 (см);

la. in.

1170. Площа трикутника дорівнює 75 см2, а одна з його висот — 7,5 см. Знайдіть сторону, до якої проведено цю висоту.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 75 см2 ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 7,5 см. Знайти: 𝐴𝐴𝐴𝐴. 1 Розв’язання 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 2𝑆𝑆 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =

2𝑆𝑆

𝐵𝐵𝐵𝐵

2⋅75 7,5

2 2⋅750 75

= 20 (см).

Відповідь: 20 см. 1171. Знайдіть висоти трикутника зі сторонами a, b і с та площею S за таблицею. a 13 см 13 см 7 см 9 см b 14 см 20 см 15 см 10 см c 15 см 21 см 20 см 17 см S 84 см² 126 см² 42 см² 36 см² 168 252 12 8 ha 13 13 42 hb 12 12,6 7,2 15 168 72 hc 12 2,1 15 17 2𝑆𝑆△ 𝑎𝑎ℎ𝑎𝑎 𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏 𝑐𝑐ℎ 2𝑆𝑆 2𝑆𝑆 ℎ𝑎𝑎 = ; 𝑆𝑆△ = ; 𝑆𝑆△ = ; 𝑆𝑆△ = 𝑐𝑐 ; ℎ𝑏𝑏 = △; ℎ𝑐𝑐 = △ . 1. ha =

13 252

см, hb = 12 см, hc =

168 15

см;

𝑏𝑏

𝑐𝑐

см, hb = 12,6 см, hc = 12 см;

2. ha =

𝑎𝑎 168

3. ha = 12 см, hb =

42 15

см, hc = 2,1 см; 72

4. ha = 8 см, hb = 7,2 см, hc = см. 17 1172. Як зміниться площа даного трикутника, якщо: 1) одну з його сторін збільшити у 2 рази, а висоту, проведену до цієї сторони, зменшити у 2 рази; 2) одну з його сторін зменшити у 2 рази, а висоту, проведену до цієї сторони, збільшити в 4 рази? 1) Не зміниться;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1) 𝑆𝑆△ =

2) 𝑆𝑆△ =

𝑎𝑎2 √3

; 𝑆𝑆△ =

4 1,22 √3 4

la. in.

2) збільшиться у 2 рази. 1173. Як зміниться площа даного трикутника, якщо одну з його сторін збільшити в 4 рази, а висоту, проведену до цієї сторони, зменшити у 2 рази? Збільшиться у 2 рази. 1174. Знайдіть площу рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює: 1) 8 см; 2) 1,2 дм; 3) 2 м; 4) 2√3 см; 5) √6 дм.

82 √3 4

= 16√3 (см2 );

= 0,36√3 (см2 ).

3) √3 м2; 4) 3√3 см2; 5) 3√32 дм2. 1175. Знайдіть площу рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює: 1) 10 см; 2) √3 дм.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівносторонній зі стороною 𝑎𝑎. Знайти: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . Розв’язання 1. 𝑎𝑎 = 10 см. 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

102 √3 4

𝑎𝑎2 √3

4 100√3

= 25√3 (см2 ).

4 𝑎𝑎2 √3

2. 𝑎𝑎 = √3 дм. 𝑆𝑆 =

4 (√3)2 √3 3√3 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = = (дм2 ). 4 4 3√3 Відповідь: 1) 25√3 см2; 2) дм2 . 4

1176. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона та основа відповідно дорівнюють: 1) 26 см і 20 см; 2) 17 см і 16 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵. Знайти: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . Розв’язання 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 26 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 20 см. 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висота і медіана △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 20 = 10 (см). 2 2 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): 𝐵𝐵𝐵𝐵 = √𝐴𝐴𝐵𝐵2 − 𝐴𝐴𝐷𝐷2 = √262 − 102 = √676 − 100 = √576 = 24 (см). 1 1 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 20 ⋅ 24 = 240 (см2 ). 2 2 2) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 17 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 16 см. 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висота і медіана △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 16 = 8 (см). 2 2 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): 𝐵𝐵𝐵𝐵 = √𝐴𝐴𝐵𝐵2 − 𝐴𝐴𝐷𝐷2 = √172 − 82 = �(17 − 8)(17 + 8) = √9 ⋅ 25 = 3 ⋅ 5 = 15 (см). 1 1 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 16 ⋅ 15 = 120 (см2 ). 2 2 Відповідь: 1) 240 см2 ; 2) 120 см2 . 1177. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона та основа відповідно дорівнюють 13 см і 10 см.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 13 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 10 см. Знайти: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . Розв’язання 𝐵𝐵𝐵𝐵 — висота і медіана △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 10 = 5 (см). 2 2 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐷𝐷 = 90∘ ): 𝐵𝐵𝐵𝐵 = √𝐴𝐴𝐵𝐵2 − 𝐴𝐴𝐷𝐷2 = √132 − 52 = √169 − 25 = √144 = 12 (см). 1 1 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ 10 ⋅ 12 = 60 (см2 ). 2 2 Відповідь: 60 см2 .  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1178. За даними на малюнках доведіть, що трикутники АМС і ВМС мають рівні площі.

Проведемо СК ⊥ АВ; 1 S∆AMC = AM ∙ CK; 2 1

la. in.

S∆MBC = MB ∙ CK, але MB = AN, тому S∆AMC = S∆MBC. 2 1179. Доведіть, що трикутники АМС і ВМС на малюнку мають рівні площі.

Дано: ВМ = МА. Довести: SAMC = SBMC. Доведення 1 Проведемо висоту CD. SAMC = AM ∙ CD; 1

SBMC = BM ∙ CD; ⇒ SAMC = SBMC. AM = BM – за умовою. 2 1180. У трикутнику проведено медіану. У якому відношенні поділилась його площа? Відповідь обґрунтуйте. Нехай дано: ∆АВС; ВМ — медіана; AМ = MC.

Проведемо висоту BF ⊥ АС. 1 S∆ABM = BF ∙ AM; 2 1

S∆BMC = BF ∙ MC; АМ = МС. 2 Отже, S∆ABM = S∆BMC. 1181. У трикутнику проведено середню лінію. Яку частину площі даного трикутника становить площа утвореного трикутника?  shkola.in.ua

Нехай дано △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑀𝑀𝑀𝑀 — середня лінія; 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑁𝑁𝑁𝑁; 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝐵𝐵𝐵𝐵 1 = , тому що △ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ∼△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 𝑆𝑆△𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

= . 4

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Відповідь: = 0,25. 4 1182. Середня лінія трикутника відтинає від нього трикутник із площею S. Чому дорівнює площа даного трикутника, якщо: 1) S = 52,5 см2; 2) S = 105 см2?

Нехай дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑀𝑀𝑀𝑀 — середня лінія △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑆𝑆 1 𝑆𝑆△𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑆𝑆 ⋅ △𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = . 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

1. 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 52,5 = 210 (см2 ); 2. 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 105 = 420 (см2 ). 1183. Середня лінія трикутника відтинає від нього трикутник із площею 21 см2. Чому дорівнює площа даного трикутника?

Нехай дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑀𝑀𝑀𝑀 — середня лінія △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑆𝑆△𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 1 = . 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 21 ⋅ 4 = 84 (см2 ); 1184. Площа трикутника дорівнює добутку півпериметра на радіус вписаного кола. Доведіть.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2 1

∆АОB: OM = r – висота. SAOB = AB ∙ r. 2 1

∆BОС: OF = r – висота. SBOC = BC ∙ r. 1

Дано: ∆АВС – описаний навколо кола. 1 Довести: SABC = Пр. 2 Доведення 1 ∆АОС: OK = r – висота. SAOC = AC ∙ r.

SABC = SAOC + SAOB + SBOC = AC ∙ r + AB ∙ r + BC ∙ r = r(AC + AB + BC) = Pr. 2

r 5 см

la. in.

SABC = Pr. 2 1185. У трикутнику зі сторонами a, b і с радіус вписаного кола дорівнює r, а площа — S. Знайдіть невідомі величини за таблицею. a 17 см 13 см 7 см 13 см b 28 см 20 см 15 см 37 см c 39 см 21 см 20 см 40 см p 42 27 21 46 см 2 см 3

16 3

см

S 210 126 42 240 1 Р = а + b + c; S = P ∙ r. 2 1) р = 42 см, S = 210 см2; 2) р = 27 см, S = 126 см2; 3) р = 21 см, S = 42 см2; 4) р = 45 см, S = 240 см2. 1186. У прямокутному трикутнику з катетами 3 см і 4 см знайдіть радіус вписаного кола.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); АС = 4 см; ВС = 3 см. Знайти: r. Розв’язання ∆АВС – єгипетський, тоді АВ = 5 см. 1 1 SABC = AC ∙ BC = ∙ 4 ∙ 3 = 6 (см2). 2 2 PABC = AB + BC + AC = 5 + 3 + 4 = 12 (см). 1 2𝑆𝑆 2 ∙ 6 12 SABC = P ∙ r; 2S = Pr; r = = = = 1 (см). 𝑃𝑃 2 12 12 Відповідь: 1 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1187. Основа піраміди — квадрат, а її бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники, у яких бічна сторона 15 см, а висота, проведена до основи, — 12 см. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь піраміди.

la. in.

Дано: SABCD – піраміда; ABCD – квадрат; SB = 15 см; SM = 12 см. Знайти: Sб.n.; Sn.n. Розв’язання SM є висотою і медіаною ∆BSC. ∆SMB (∠M = 90°) – єгипетський з коефіцієнтом 3. ВМ = 3 ∙ 3 = 9 (см). ВС = 2 ∙ ВМ = 2 ∙ 9 = 18 (см). 1 1 SBSC = BC ∙ SM = ∙ 18 ∙ 12 = 108 (см2). 2 2 Sб.n. = 4 ∙ SBSC = 4 ∙ 108 = 432 (см2). SABCD = BC2 = 182 = 324 (см2); Sn.n. = Sб.n. + SABCD. Sn.n. = 432 + 324 = 756 (см2). Відповідь: 756 см2. 1188. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь піраміди, у якої всі грані — рівносторонні трикутники зі стороною 12 см.

Дано: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — піраміда з рівними ребрами; 𝑎𝑎 = 12 см. Знайти: 𝑆𝑆б.п. ; 𝑆𝑆п.п. Розв’язання 𝑎𝑎2 √3 122 √3 144√3 𝑆𝑆грані = = = = 36√3 (см2 ); 4 4 4 𝑆𝑆б.п. = 3 ⋅ 36√3 = 108√3 (см2 ); 𝑆𝑆п.п. = 4 ⋅ 36√3 = 144√3 (см2 ). Відповідь: 108√3 см2 ; 144√3 см2 .

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1189. Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи як m : n, а висота, проведена до основи, дорівнює h. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1) m = 5, n = 6, h = 12 см; 2) m = 17, n = 16, h = 15 см.

la. in.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС. АВ : АС = m : n; BD = h. Знайти: SABC. Розв’язання 1) m = 5; n = 6; h = 12 см; AB : AC = 5 : 6; BD = 12 см. Нехай АВ = 5х см, тоді АС = 6х см. BD – висота і медіана ∆АВС. 1 1 AD = AC = ∙ 6x = 3x (см); 2 2 ∆ADB (∠D = 90°): AB2 = BD2 + AD2; (5x)2 = 122 + (3x)2; 25x2 – 9x2 = 144; 16x2 = 144; x2 = 9; x = 3; AC = 6 ∙ 3 = 18 (см). 1 1 SABC = AC ∙ BD = ∙ 18 ∙ 12 = 108 (см2). 2 2 2) m = 17; n = 16; h = 15 см. АВ : АС = 17 : 16; BD = 15 см. Нехай АВ = 17 х см, тоді АС = 16х см. BD – висота і медіана ∆АВС. 1 1 AD = AC = ∙ 16x = 8x (см). 2 2 ∆ADB (∠D = 90°): AB2 = BD2 + AD2; (17x)2 = 152 + (8x)2; 289x2 = 225 + 64x2; 289x2 – 64x2 = 225; 225x2 = 225; x2 = 1; x = 1; AC = 16 ∙ 16 (см). 1 1 SABC = AC ∙ BD = ∙ 16 ∙ 15 = 120 (см2). 2 2 Відповідь: 1) 108 см2; 2) 120 см2. 1190. У рівнобедреному трикутнику основа відноситься до бічної сторони, як 10 : 13, а висота, проведена до основи, дорівнює 24 см. Знайдіть площу трикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС; АС : АВ = 10 : 13; BD = 25 cм. Знайти: SABC. Розв’язання Нехай АС = 10х см, тоді АВ = 13х см. 1 1 BD = АС = ∙ 10х = 5х (см). 2 2 ∆ADB (∠D = 90°): AB2 = BD2 + AD2; (13x)2 = 242 + (5x)2; 169x2 – 25x2 = 576; 144x2 – 576; x2 = 4; x = 2; AC = 10 ∙ 2 = 20 (см). 1 1 SABC = AC ∙ BD = ∙ 20 ∙ 24 = 240 (см2). 2 2 Відповідь: 240 см2. 1191. Середня лінія трикутника дорівнює q, а висота, перпендикулярна до неї, дорівнює h. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1) q + h = 12,5 см, q – h = 0,5 см; 2) q + h = 23 см, h – q = 17 см.

Нехай дано △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝑀𝑀𝑀𝑀 — середня лінія; 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑞𝑞; 𝐶𝐶𝐶𝐶⟂𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐶𝐶𝐶𝐶⟂𝑀𝑀𝑀𝑀; 𝐶𝐶𝐶𝐶 = ℎ; 𝑞𝑞 + ℎ = 12,5; 1) � 𝑞𝑞 − ℎ = 0,5; 2𝑞𝑞 = 13; 𝑞𝑞 = 6,5; ℎ = 12,5 − 6,5 = 6. 1 1 1 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 ⋅ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = ℎ ⋅ 𝑞𝑞 = 6,5 ⋅ 6 = 39 (см2 ). 2 2 2 𝑞𝑞 + ℎ = 23; 2) � 𝑞𝑞 − ℎ = 17; 2ℎ = 40; ℎ = 20; 𝑞𝑞 = 23 − 20; 𝑞𝑞 = 3; 1 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 40 ⋅ 3 = 60 (см2 ). 2 Відповідь: 1) 39 см2 ; 2) 60 см2 .  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1192. Доведіть, що два трикутники мають рівні площі, якщо в них рівні відповідні середні лінії та висоти, які перпендикулярні до середніх ліній. BK ⊥ MN; B1K1 ⊥ M1N1; MN = M1N1 = m; BK = B1K1 = h.

S∆ABC = AC ∙ BK = MN ∙ AC = m ∙ h; 2

la. in.

S∆A1B1C1 = A1C1 ∙ B1K1 = M1N1 ∙ A1C1 = m ∙ h. 2 Отже, S∆ABC = S∆A1B1C1, що й треба було довести. 1193. Знайдіть площу прямокутного трикутника за його гіпотенузою та відношенням катетів: 1) 25 см, 3 : 4; 3) 25,5 см, 8 : 15; 2) 5 см, 7 : 24; 4) 82 см, 9 : 40.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°). Знайти: SABC. Розв’язання 1) АВ = 25 см; АС : ВС = 3 : 4. Нехай АС = 3х см, тоді ВС = 4х см. ∆АВС (∠С = 90°): АВ2 = АС2 + ВС2; 252 = (3х)2 + (4х)2; 9х2 + 16х2 = 625; 25х2 = 625; х2 = 25; х = 5; АС = 3 ∙ 5 = 15 см; ВС = 4 ∙ 5 = 20 (см). 1 1 SABC = AC ∙ BC = ∙ 15 ∙ 20 = 150 (cм2). 2 2 2) АВ = 5 см; АС : ВС = 7 : 24. Нехай АС = 7х см, тоді ВС = 24х см. ∆АВС (∠С = 90°): АВ2 = АС2 + ВС2; 52 = (7х)2 + (24х)2; 49х2 + 576х2 = 25; 625х2 = 25;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

x2 =

;x= .

5 7

AC = 7 ∙ = (см); 5

ВС = 24 ∙ = 1

24 5

(см). 1

168

la. in.

= 3,36 (см2). SABC = AC ∙ BC = ∙ ∙ = 2 2 5 5 50 3) АВ = 25,5 см; АС : ВС = 8 : 15 Нехай АС = 8х см, тоді ВС = 15х см. ∆АВС (∠С = 90°): АВ2 = АС2 + ВС2; 25,52 = (8х)2 + (15х)2; 64х2 + 225х2 = 650,25; 289х2 = 650,25; х2 = 2,25; х = 1,5. АС = 8 ∙ 1,5 = 12 (см); ВС = 15 ∙ 1,5 = 22,5 (см). 1 1 SABC = AC ∙ BC = ∙ 12 ∙ 22,5 = 135 (см2). 2 2 4) АВ = 82 см; АС : ВС = 9 : 40. Нехай АС = 9х см, тоді ВС = 40х см. ∆АВС (∠С = 90°): АВ2 = АС2 + ВС2; 822 = (9х)2 + (40х)2; 81х2 + 1600х2 = 6724; 1681х2 = 6724; х2 = 4; х = 2. АС = 9 ∙ 2 = 18 (см); ВС = 40 ∙ 2 = 80 (см). 1 1 SABC = AC ∙ BC = ∙ 18 ∙ 80 = 720 (см2). 2 2 Відповідь: 1) 150 см2; 2) 3,36 см2; 3) 135 см2; 4) 720 см2. 1194. Катети прямокутного трикутника відносяться як 5 : 12. Знайдіть площу трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює: 1) 39 см; 2) 26 см.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); АС : ВС = 5 : 12. Знайти: SABC. Розв’язання 1) АВ = 39 см. Нехай АС = 5х см, тоді ВС = 12х см. ∆АВС (∠С = 90°): АВ2 = АС2 + ВС2; 392 = (5х)2 + (12х)2; 25х2 + 144х2 = 1521; 169х2 = 1521;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

х2 = 9; х = 3. АС = 5 ∙ 3 = 15 (см); ВС = 12 ∙ 3 = 36 (см). 1 1 SABC = AC ∙ DC = ∙ 15 ∙ 36 = 270 (см2). 2 2 2) АВ = 26 см. Нехай АС = 5х см, тоді ВС = 12х см. ∆АВС (∠С = 90°): АВ2 = АС2 + ВС2; 262 = (5х)2 + (12х)2; 25х2 + 144х2 = 676; 169х2 = 676; х2 = 4; х = 2. АС = 5 ∙ 2 = 10 (см); ВС = 12 ∙ 2 = 24 (см). 1 1 SABC = AC ∙ BC = ∙ 10 ∙ 24 = 120 (cм2). 2 2 Відповідь: 1) 270 см2; 2) 120 см2. 1195. Площа прямокутного трикутника дорівнює S, а його катети відносяться як m : n. Знайдіть катети, якщо: 1) S = 720 см2, m = 9, n = 40; 2) S = 1320 см2, m = 11, n = 9,6.

Нехай дано прямокутний ∆АВС. ВС : АС = m : n. 1) S = 720 см2; m = 9; n = 40; ВС = 9х; n = 40х; AC ∙ BC 9𝑥𝑥 ∙ 40x S∆ = ; S∆ = ; 2 2 9х ∙ 20х = 720; х2 = 4; х = 2; ВС = 18 см; n = 80 см. 2) ВС = 11х; АС = 9,6x; 11𝑥𝑥 ∙ 9,6x = 1320; 2 x2 = 25; x = 5; ВС = 55 см; АС = 48 см. 1196. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо його висота ділить гіпотенузу на відрізки: 1) 4 см і 9 см; 2) 1 см і 16 см. Нехай ∆АВС — прямокутний. CK ⊥ AB.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) CK2 = BK ∙ AK; CK2 = 4 ∙ 9 = 36; CK = 6 cм; 1 1 S∆ABC = CK ∙ AB = ∙ 6 ∙ (4 + 9 ) = 39 (см2). 2 2 2 2) CK = 1 ∙ 16 = 16; СК = 4 см; 1 S∆ABC = ∙ 4 ∙ (1 + 16) = 34 (см2). 2 1197. Знайдіть площу прямокутного трикутника з гострим кутом 30°, якщо його гіпотенуза дорівнює: 1) 8 см; 2) 12 см.

1) Нехай дано ∆АВС, АВ = 8 см; ВС = AВ = 4 (см); 2

АС2 = АВ2 – ВС2 = 64 – 16 = 48; АС = 4√3 см; 1 1 S∆ABC = ВС ∙ АС = ∙ 4 ∙ 4√3 = 8√3 (см2). 2

2) АВ = 12 см; ВС = АВ = 6 (см); 2

АС = 144 – 36 = 108; АС = 6√3; 1 1 S∆ABC = BC ∙ AC = ∙ 6 ∙ 6√3 = 18 (cм2). 2

Відповідь: 1) 83 см2; 2) 18√3 см2. 1198. Знайдіть площу прямокутного трикутника за півсумою t його катетів та радіусами r і R вписаного й описаного кіл, якщо: 1) t = 7 см, r = 2 см, R = 5 см; 2) t = 17 см, r = 4 см, R = 13 см. 𝐵𝐵𝐵𝐵+𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑡𝑡; 𝑟𝑟 — радіус вписаного кола; 𝑅𝑅 — радіус описаного кола. 2

 shkola.in.ua

1) 𝑡𝑡 = 7 см; 𝑟𝑟 = 2 см; 𝑅𝑅 = 5 см; 𝑅𝑅 = 𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑎𝑎+𝑏𝑏−𝑐𝑐

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 14 − 𝑥𝑥; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 10 см; 𝑟𝑟 = 2 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 14 (см); 𝑥𝑥 2 + (14 − 𝑥𝑥)2 = 100; 𝑥𝑥 2 + 196 − 28𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 = 100; 𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 + 48 = 0; 𝑥𝑥1 = 6; 𝑥𝑥2 = 8; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6 см; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8 см; 1 1 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 6 ⋅ 8 = 24 (см2 ). 2 2 2) 𝑡𝑡 = 17 см; 𝑟𝑟 = 4 см; 𝑅𝑅 = 13 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 26 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 34 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 34 − 𝑥𝑥; 𝑥𝑥 2 + (34 − 𝑥𝑥)2 = 676; 𝑥𝑥 2 + 1156 − 68𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 − 676 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 68𝑥𝑥 + 480 = 0; 𝑥𝑥 2 − 34𝑥𝑥 + 240 = 0; 𝑥𝑥1 = 24; 𝑥𝑥2 = 10; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 24 см; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 см; 1 1 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120 (см2 ). 2 2 Відповідь: 1) 24 см2 ; 2) 120 см2 . 1199. Трикутник має сторони a, b і c, причому a < b < c. Складіть нерівність для висот трикутника hа, hb і hс. Відповідь обґрунтуйте. 1 1 S∆ABC = a ∙ hc; S∆ABC = b ∙ hb; 2

S∆ABC = c ∙ hc. Якщо a < b < c, тo hc < hb < hа. 2 1200. Доведіть, що площа трикутника з вершиною в точці перетину медіан даного трикутника та спільною з ним стороною становить третину площі даного трикутника.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Медіани трикутника точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини, 1 отже 𝑆𝑆∆AOB = 𝑆𝑆∆ABC 3 1201. Відома площа одного з двох подібних трикутників. Які вимірювання та обчислення треба виконати, щоб знайти площу іншого трикутника? Необхідно виміряти відповідні сторони подібних трикутників. 𝑎𝑎1 𝑆𝑆 = 𝑘𝑘; 1 = 𝑘𝑘 2 . 𝑎𝑎 𝑆𝑆 1202. У паралелограмі АВСD вершина D розміщується на відстані 4 см від діагоналі АС, що дорівнює 16 см. АВ = 12 см. Знайдіть відстань: 1) від точки D до прямої АВ; 2) між прямими АВ і СD; 3) від середини діагоналі до сторони СD паралелограма. Нехай AВСD — паралелограм. DK ⊥ АС, DK = 4 cм; AC = 16 см; AB = 12 см.

1) DF ⊥ AB; DF — відстань від т. D до прямої AB. 1 1 S∆DAC = KD ∙ AC = ∙ 16 ∙ 4 = 32 (см2); 2

SABCD = 64 cм ; Sпар. = AB ∙ FD; FD = 2

64 12

2) Відстань між прямими AB і CD є FD = 1

3) ОM ⊥ CD; OM = FD = (см). 2

(см).

3 16 3

(см).

Відповідь: 1) см; 2) см; 3) см; 3 3 3 1203. Доведіть, що площу прямокутного трикутника АВС (∠C = 90°) обчислюють за формулою: 1 1 S = b ⋅ c ⋅ sin A = a ⋅ c ⋅ sin B. 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑎𝑎𝑎𝑎 = . 2 2 У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∠𝐶𝐶 = 90∘ ; 𝑎𝑎 = 𝑐𝑐sin∠𝐴𝐴; 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐sin∠𝐵𝐵, 𝑐𝑐sin∠𝐴𝐴⋅𝑏𝑏 1 тоді 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 𝑏𝑏𝑏𝑏sin∠𝐴𝐴; 2 2 𝑎𝑎𝑎𝑎sin∠𝐵𝐵 1 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 𝑎𝑎𝑎𝑎sin∠𝐵𝐵. 2 2 1204. Доведіть, що площу гострокутного трикутника АВС обчислюють за формулою: 1 1 1 S = b ⋅ c ⋅ sin A = a ⋅ c ⋅ sin B = a ⋅ b ⋅ sin C. 2

𝑎𝑎ℎ

la. in.

𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎, де ℎ𝑎𝑎 — висота, проведена до сторони 𝑎𝑎. Проведемо висоти 𝐵𝐵𝐵𝐵⟂𝐴𝐴𝐴𝐴, 2 𝐴𝐴𝐴𝐴⟂𝐵𝐵𝐵𝐵. У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∠𝐷𝐷 = 90∘ ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑐𝑐sin∠𝐴𝐴, тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴⋅𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑏𝑏𝑏𝑏sin∠𝐴𝐴 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = = . 2 2 У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∠𝐹𝐹 = 90∘ ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴sin∠𝐵𝐵 = 𝑐𝑐sin∠𝐵𝐵, тоді 𝐵𝐵𝐵𝐵⋅𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑎𝑎𝑎𝑎sin∠𝐵𝐵 = . 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 2 У △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ∠𝐷𝐷 = 90∘ ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵sin∠𝐶𝐶 = 𝑎𝑎sin∠𝐶𝐶, тоді 𝐴𝐴𝐴𝐴⋅𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑏𝑏𝑏𝑏sin∠𝐶𝐶 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = = . 2 2 1205. Доведіть, що сума відстаней від будь–якої точки, що лежить всередині рівностороннього трикутника, до його сторін дорівнює висоті трикутника. Нехай дано рівносторонній ∆ABC. АВ = ВС = АС = а.

MK = h1; MP = h2; MN = h3. S∆ABC = ah; 1

S∆AMB + S∆MBC + S∆AMC = ah1 + ah2 + ah3 = a(h1 + h2 + h3); 1

S∆ABC = a(h1 + h2 + h3), тому h1 + h2 + h3 = h, що й треба було довести. 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1206. Кожний трикутник рівноскладений з прямокутником, у якого одна зі сторін дорівнює стороні трикутника, а інша дорівнює половині відповідної висоти трикутника. Доведіть.

la. in.

Дано: ∆АВС; MPSK – прямокутник; 1 PS = AC; PM = BD; 2 Доведення SBLP = SARP; SBLO = SCXO; ⇒ ∆ABC і MPSK – рівноскладені. SARXC = SMPSK. 1207. Кожний трикутник рівноскладений з паралелограмом, який має однакову з трикутником основу і висоту, що дорівнює половині висоти трикутника. Доведіть.

Дано: ∆АВС, □MPSK, MK = AC; PH = BD. 2 Довести: ∆АВС і □MPSK – рівноскладені. Доведення SLBO = SROC; SALRC = SMPSK ⇒ ABC і MPSK – рівноскладені. 1208. Доведіть, що в трикутнику з висотами hа, hb і hс та радіусом вписаного кола r має 1 1 1 1 місце рівність: + + = . ℎ𝑏𝑏

ℎ𝑐𝑐

𝑟𝑟

ℎ𝑎𝑎

1 1 1 1 + + = . ℎ𝑎𝑎 ℎ𝑏𝑏 ℎ𝑐𝑐 𝑟𝑟

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1 1 𝑆𝑆△ = 𝑃𝑃 ⋅ 𝑟𝑟 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) ⋅ 𝑟𝑟; 2 2 1 1 1 𝑆𝑆△ = 𝑎𝑎ℎ𝑎𝑎 ; 𝑆𝑆△ = 𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏 ; 𝑆𝑆△ = 𝑐𝑐ℎ𝑐𝑐 . 2 2 2 1 1 1 1 Звідси: = + + . 𝑟𝑟

ℎ𝑎𝑎

ℎ𝑏𝑏

ℎ𝑐𝑐

la. in.

1209. Сторони трикутника продовжено (рухаючись за стрілкою годинника) на їхню власну довжину. Одержані точки сполучено відрізками. Яка площа утвореного трикутника? Нехай S — площа даного трикутника ABC. S∆A1B1C1 = 7S.

1210. У якому відношенні, рахуючи від вершини, потрібно поділити бічну сторону трикутника двома прямими, паралельними основі, щоб площа трикутника була поділена на три рівні частини? Нехай дано ∆АВС. MN ∥ АС; РК ∥ АС;

1211. Висота трикутника дорівнює 4 см. На якій відстані від вершини трикутника потрібно провести пряму, що перетинає ці дві сторони та паралельна третій його стороні, щоб площа трикутника поділилась у відношенні m : n, рахуючи від вершини?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2 1

∆АВС; BD ⊥ АС; BD = 4 см; MN ∥ АС. Щоб площа трикутника поділилась у відношенні m : n, рахуючи від вершини, пряму MN треба провести на відстані 𝑚𝑚 4� 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 1212. Доведіть, що коло, вписане в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на відрізки, добуток яких дорівнює площі цього трикутника. 1 SΔABC = (x + r) (r + y); 1

SΔABC = (x + y)r + (y + r)r + (x + r)r. 2

la. in.

Звідси xy = SΔABC. 1213. За допомогою паперових моделей трикутників проілюструйте рівності: 𝑎𝑎ℎ 𝑎𝑎 ℎ S= = ⋅h=a⋅ . 2

1214. Площу трикутника можна визначити за допомогою лінійки. Для цього потрібно прикласти лінійку до трикутника АВС так, як показано на малюнку 536, і через точку В провести ВМ || АС. Поясніть, як обчислити шукану площу, знаючи ширину лінійки та довжину відрізка АМ.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано: ∆АВС; ВМ ∥ АС, d – ширина лінійки. Знайти: SABC. Розв’язання 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∙ 𝑑𝑑 SABC = SACM = ; 2 AM – відрізок, який відлічується вздовж лінійки. 1215. Як потрібно нанести поділки на лінійку, щоб точка М відразу вказала значення площі трикутника АВС?

𝑑𝑑

la. in.

Площа прямо пропорційна довжині АС. Нехай точці А відповідає число 0. 𝑑𝑑 Кожну поділку на відстані x від точки А підпишемо значенням x. 2

AM = 1; S∆ = . 2 AM = 2; S∆ = d. 3𝑑𝑑 AM = 3; S∆ = . 2 1216. Виготовлено серію деталей трикутної форми, у яких найбільша сторона має ту саму довжину, а відстані до цієї сторони від протилежної вершини дорівнюють одна одній. Задайте форму й розміри контейнера, у якому найзручніше транспортувати всі ці деталі одночасно.

ABС1, ABС2, ABС3, … — деталі трикутної форми, AB — найбільша сторона, h — висота ∆ABС1, ∆ABС2, ∆ABС3, … Тоді контейнер — прямокутник із довжиною AB, шириною h. 1217. Повітря тисне із силою 1,03 кг на кожний квадратний сантиметр. Який тиск повітря на трикутний тент над вікном, якщо одна сторона тенту — 1,8 м, а відстань від його протилежної вершини до цієї сторони дорівнює 0,5 м?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: ∆АВС; АС = 1,8 м; BD = 0,5 м; Р = 1,03 кг/см2. Знайти: F. Розв'язання 1 1 SABC = AC ∙ BD = ∙ 1,8 ∙ 0,5 = 0,45 (м2) = 4500 см2. 2 2 F = P ∙ S = 1,03 ∙ 4500 = 4635 (кг). Відповідь: 4635 кг. 1218. На луці трикутної форми потрібно провести межу так, щоб одержати дві частини з рівними площами. Як це зробити за допомогою віх і польового циркуля?

Як провести пряму, щоб одержати дві частини з рівними площами? Розв'язання Медіана трикутника ділить його площу навпіл. Потрібно встановити віхи у вершинах А і С. Знайти середину відрізка AC (точку М) польовим циркулем. З'єднати віхами вершину В з точкою М. Тоді SABM = SMBC. § 22. ПЛОЩА ТРАПЕЦІЇ 1219. Чи є правильною рівність для обчислення площі трапеції: 1 1) SABCD = AB ⋅ DH;

2) SABCD = (AB + DH);

3) SKLMN = (KL + NM) ⋅ TL; 2

 shkola.in.ua

MH 2

;

la. in.

4) SKLMN = (KL + LM) ⋅

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

5) SPQНT = PQ · PT;

HT + PQ 2

⋅PT?

6) SPQНT =

1) Ні; 2) так; 3) так; 4) ні; 5) ні; 6) так. 1220. За даними на малюнках знайдіть площу трапеції ABCD.

1) Sтр.ABCD = Sтр.ABCD =

𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐴𝐴𝐴𝐴

2 12 + 28

∙ DK;

∙ 15 = 300 (кв. од.);

2 10 + 15

2) Sтр.ABCD = ∙ 12 = 150 (кв. од.). 2 1221. За даними на малюнку знайдіть площу трапеції ABCD.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 8 + 14

∙ CK;

SABCD =

la. in.

SABCD = ∙ 4 = 44 (кв.од). 2 Відповідь: 44 кв.од 1222. У трапеції ABCD з основами AB і CD проведено висоту СН. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1) АВ = 60 см, CD = 36 см, СН = 50 см; 2) АВ = 25 см, CD = 55 см, СН = 100 см.

Дано: ABCD – трапеція, СН – висота. Знайти: SABCD. Розв'язання 1) АВ = 60 см, CD = 36 см, СН = 50 см. 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 SABCD = ∙ CH; 2 36 + 60

SABCD = ∙ 50 = 2400 (см2). 2 2) AB = 25 см, CD = 55 см, СН = 100 см. 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 SABCD = ∙ CH; 2 25 + 55

SABCD = ∙ 100 = 4000 (см2). 2 Відповідь: 1) 2400 см2; 2) 4000 см2. 1223. У трапеції ABCD з основами AB = 25 см і CD = 45 см проведено висоту СН = 40 см. Знайдіть площу трапеції.

Дано: ABCD – трапеція, АВ = 25 см; CD = 45 см; СН = 40 см – висота. Знайти: SABCD. Розв'язання 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 SABCD = ∙ CH; 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html 25 + 45

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

∙ h.

2 10 + 0,8 ∙ 10

1) S =

2 2 + 0,75 ∙ 2

∙ 10 = 90 (см2);

la. in.

SABCD = ∙ 40 = 1400 (см2). 2 Відповідь: 1400 см2. 1224. Основи трапеції дорівнюють a і b, а висота — h. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1) a = 10 см, b = 0,8a, h = a; 2) a = 2 дм, b = 0,75a, h = 0,5a.

2) S = ∙ 0,5 ∙ 2 = 1,75 (см2). 2 1225. Основи трапеції дорівнюють a і b, а висота — h. Знайдіть площу трапеції, якщо b = 5 см, a = 1,2b, h = a.

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

∙ h.

2 5 + 1,2 ∙ 5

S= ∙ 1,2 ∙ 5 = 33 (см2). 2 1226. Площа трапеції дорівнює S, а її висота — h. Знайдіть суму основ трапеції, якщо: 1) S = 60 см2, h = 12 см; 2) S = 150 см2, h = 25 см.

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

∙ h; a + b =

2𝑆𝑆

Sтр =

1) a + b =

20 ∙ 60

12 2 ∙ 150

ℎ

= 10 (см);

2) a + b = = 12 (см). 25 1227. Площа трапеції дорівнює 90 см2, а її висота — 15 см. Знайдіть суму основ трапеції.

 shkola.in.ua

Sтр =

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

∙ h; a + b =

2 2 ∙ 90

2𝑆𝑆 ℎ

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

a+b= = 12 (см). 15 1228. Площа трапеції дорівнює S, а її середня лінія — q. Знайдіть висоту трапеції, якщо: 1) S = 60 см2, q = 15 см; 2) S = 175 см2, q = 35 см.

1) Sтp. = 60 cм2; q = 15 cм; Sтр. = q ∙ h; q – середня лінія; 𝑆𝑆тр 60 h = ; h = = 4 (см); 𝑞𝑞

175

2) h = = 5 (см) 35 1229. Площа трапеції дорівнює 75 см2, а її середня лінія — 25 см. Знайдіть висоту трапеції.

Sтр. = q ∙ h; q – середня лінія; 𝑆𝑆тр 75 h = ; h = = 3 (см). 𝑞𝑞

14 см

27 см

22 см

9 см

12 см

25 см

21 см

16 см

7 см

5 см

10 см

11 см

84 см2

125 см2

210 см2

176 см2

1230. Основи трапеції дорівнюють a і b, середня лінія — q, висота — h, а площа — S. Знайдіть невідомі величини за таблицею. a 10 см 23 см 20 см 23 см

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2

a+b=

∙ h; h =

2𝑆𝑆 ℎ

𝑆𝑆

2𝑆𝑆

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

; S = q x h; 𝑆𝑆

;q= ;h= . ℎ

𝑞𝑞

1231. Як зміниться площа трапеції, якщо: 1) обидві її основи зменшити у 2 рази, а висоту — збільшити у 2 рази; 2) середню лінію збільшити у 2 рази?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) Не зміниться; 2) збільшиться у 2 рази. 1232. Як зміниться площа трапеції, якщо обидві її основи збільшити у 2 рази, а висоту — зменшити у 2 рази? Не зміниться. 1233. Площа трапеції дорівнює S, висота — h, а її основи відносяться як m : n. Знайдіть основи трапеції, якщо: 1) S = 36 см2, h = 2 см, m = 4, n = 5; 2) S = 150 см2, h = 5 см, m = 2, n = 3. 1) S = 36 см2; h = 2 см; m : n = 4 : 5; m = 4x; n = 5x; 4𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 36 = ∙ 2; 2 36 = 9x; x = 4; m = 16 см; n = 20 см; 2) m = 2х; n = Зx; 1 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 50 = ∙ 5; 2 60 = 5х; x = 12; m = 36 см; n = 24 см. 1234. Площа трапеції дорівнює 90 см2, висота — 6 см, а її основи відносяться як 1 : 2. Знайдіть основи трапеції. 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 m : n = 1 : 2; 90 = ∙ 6; 2 30 = 3х; х = 10; n = 20 см; m = 10 см. 1235. У трапеції з основами a і b проведено діагоналі. Чому дорівнює відношення площ трикутників, що прилягають до основ?

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — трапеція; △ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ∼△ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵. 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑎𝑎 = ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑏𝑏 𝑆𝑆△𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎2 = � � = 2. 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑎𝑎2

Відповідь: 𝑏𝑏2 .

1236. За даними основами a і b та бічною стороною с рівнобічної трапеції знайдіть її площу, якщо: 1) а = 24 см, b = 12 см, с = 10 см; 2) а = 14 см, b = 8 см, с = 5 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівнобічна трапеція з основами 𝑎𝑎 і 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 — бічна сторона. Знайти: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . Розв’язання 1) 𝑎𝑎 = 24 см; 𝑏𝑏 = 12 см; 𝑐𝑐 = 10 см. 1 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵) = (24 − 12) = ⋅ 12 = 6 (см). 2 2 2 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ) — єгипетський з коефіцієнтом 2. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 10 см, тоді 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 ⋅ 2 = 8 (см). 12 + 24 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 8 = 144 (см2 ). 2 2 2) 𝑎𝑎 = 14 см; 𝑏𝑏 = 8 см; 𝑐𝑐 = 5 см. 1 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵) = (14 − 8) = ⋅ 6 = 3 (см). 2 2 2 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ) — єгипетський. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 см, тоді 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 см. 8 + 14 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 4 = 44 (см2 ). 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 2 Відповідь: 1) 144 см2 ; 2) 44 см2 . 1237. У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 32 см і 14 см, а бічна сторона — 15 см. Знайдіть площу трапеції.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівнобічна трапеція; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 14 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 32 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 15 см. Знайти: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . Розв’язання 1 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵) = (32 − 14) = ⋅ 18 = 9 (см). 2 2 2 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ) — єгипетський з коефіцієнтом 3. 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 ⋅ 3 = 12 (см). 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 2 14 + 32 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 12 = 276 (см2 ). 2 Відповідь: 276 см2 . 1238. Периметр трапеції дорівнює Р, її бічні сторони дорівнюють с і d, а висота — h. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1) Р = 120 см, с = d = 17 см, h = 15 см; 2) Р = 58 см, с = 15 см, d = 13 см, h = 12 см. Нехай дано 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — трапеція. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑐𝑐; 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑑𝑑; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ℎ; 𝑃𝑃тр. = 𝑃𝑃.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) 𝑐𝑐 = 𝑑𝑑 = 17; ℎ = 15; △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =△ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝐹𝐹; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = √172 − 152 = √64 = 8; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑥𝑥; 17 + 𝑥𝑥 + 17 + 8 + 8 + 𝑥𝑥 = 120; 2𝑥𝑥 = 120 − 34 − 16; 2𝑥𝑥 = 70; 𝑥𝑥 = 35; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 35 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 51 см; 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆тр. = ⋅ ℎ (см2 ). 2 35 + 51 ⋅ 15 = 645 (см2 ). 𝑆𝑆тр. = 2 2) 𝑃𝑃 = 58 см; 𝑐𝑐 = 15 см; 𝑑𝑑 = 13 см; ℎ = 12 см. △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = √225 − 144 = √81 = 9 (см); △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶: 𝐹𝐹𝐹𝐹 = √169 − 144 = √25 = 5 (см). 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑥𝑥; 2𝑥𝑥 + 15 + 13 + 9 + 5 = 58; 2𝑥𝑥 = 58 − 28 − 14; 2𝑥𝑥 = 16; 𝑥𝑥 = 8; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9 + 5 + 8 = 22 см; 8 + 22 𝑆𝑆тр. = ⋅ 12 = 180 (см2 ). 2 Відповідь: 1) 645 см2 ; 2) 180 см2 . 1239. Бічні сторони трапеції утворюють з її основою кути 45° і 30°. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює висоті завдовжки 6 см.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — трапеція; ∠𝐴𝐴 = 45∘ ; ∠𝐷𝐷 = 30∘ ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 см. Знайти: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . Розв’язання △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ): ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90∘ − ∠𝐴𝐴 = 90∘ − 45∘ = 45∘ . Тоді △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівнобедрений і 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 см. △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (∠𝑀𝑀 = 90∘ ): 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 см. 𝐶𝐶𝐶𝐶 6 6 6⋅3 𝐶𝐶𝐶𝐶 tan𝐷𝐷 = ⇒ 𝑀𝑀𝑀𝑀 = = = = = 6√3 (см). 𝑀𝑀𝑀𝑀 tan𝐷𝐷 tan30∘ √3 √3 3  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Оскільки 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 см, то: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐻𝐻𝐻𝐻 + 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 6 + 6 + 6√3 = 12 + 6√3 (см). 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 2 6 + 12 + 6√3 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 6 = (18 + 6√3) ⋅ 3 = 54 + 18√3 = 18(3 + √3) (см2 ). 2 Відповідь: 18(3 + √3) см2 . 1240. У прямокутній трапеції основи дорівнюють a і b. Її більша бічна сторона утворює з основою кут 45°. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1) a = 2 см, b = 5 см; 2) a = 5 см, b = 3 см. Нехай АВСD — прямокутна трапеція; AB ⊥ AD; AB ⊥ ВС; ∠CDA = 45°.

1) а = 2 см; b = 5 см. Проведемо CK ⊥ AD. KD = AD – BC = 5 – 2 = 3 (см). ∆CKD — прямокутний, ∠KDC = ∠KCD = 45°; CK = KD = 3 (cм); 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 2+5 Sтр. = ∙ CK = ∙ 3 = 10,5 (см2). 2 2 2) а = 5 cм; b = 3 см; KD = 5 – 3 = 2 (см); CK = KD = 2 (см); 5+3 Sтр. = ∙ 2 = 8 (см2). 2 1241. У прямокутній трапеції дві найменші сторони мають довжину a. Найбільший кут трапеції дорівнює 135°. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1) a = 2 см; 2) a = 3 см. Нехай дано прямокутну трапецію. AD = DC = 2cм; ∠DCB = 135°.

1) Проведемо СК ⊥ AB; ∆СКВ — рівнобедрений, ∠KCB = ∠КВС = 45°; СК = DA = 2 см; AB = АК + KB = 2 + 2 = 4 (см); 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 2+4 Sтр. = ∙ CK = ∙ 2 = 6 (cм2). 2 2 2) AD = DC = 3 cм; ∆CBK; KB = 3 cм; AB = 3 + 3 = 6 (cм); 3+6 Sтр. = ∙ 3 = 13,5 (cм2). 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Sтр. = 2a2; Sтр. = 2𝑆𝑆

4𝑎𝑎2

𝑎𝑎 + 3𝑎𝑎 2

1242. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють a і 3a, а площа — 2a2. Чому дорівнює гострий кут трапеції? Нехай дано рівнобічну трапецію ABCD. AB = CD; ВС = а; AD = За;

∙ h;

la. in.

h= = = a; 𝑎𝑎 + 3𝑎𝑎 4𝑎𝑎 CK = KD = a; ∆CKD — прямокутний рівнобедрений, отже, ∠KDC = 90°. Відповідь: 45°. 1243. У трапеції менша діагональ d перпендикулярна до її основ a і b. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1) a + 2b = 3,3 см, a – b = 1,8 см, d = 4 см; 2) 3a + 2b = 44 см, a – 2b = 4 см, d = 12 см.

Нехай дано 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — трапеція; 𝐴𝐴𝐴𝐴 — менша діагональ; 𝐴𝐴𝐴𝐴⟂𝐷𝐷𝐷𝐷; 𝐴𝐴𝐴𝐴⟂𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑎𝑎; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑏𝑏. 1) 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 = 3,3 см; 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 1,8 см; 𝑑𝑑 = 4 см; 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 = 3,3; � 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 1,8; 3𝑏𝑏 = 1,5; 𝑏𝑏 = 0,5; 𝑎𝑎 = 1,8 + 0,5 = 2,3; 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ ℎ; (см2 ). 𝑆𝑆тр. = 2 2,3 + 0,5 ⋅ 4 = 5,6 (см2 ). 𝑆𝑆тр. = 2 2) 3𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 = 44 см; 𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏 = 4 см; 𝑑𝑑 = 12 см; 4𝑎𝑎 = 48; 𝑎𝑎 = 12 (см); 12 − 2𝑏𝑏 = 4; 2𝑏𝑏 = 12 − 4; 2𝑏𝑏 = 8; 𝑏𝑏 = 4; 12 + 4 ⋅ 12 = 96 (см2 ). 𝑆𝑆тр. = 2 Відповідь: 1) 5,6 см2 ; 2) 96 см2 . 1244. Відрізок, проведений з вершини тупого кута трапеції паралельно її бічній стороні, ділить основу у відношенні 1 : 2. Знайдіть основи трапеції, якщо площа утвореного трикутника дорівнює 6 см2, а висота трапеції — 3 см. Скільки випадків потрібно розглянути?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) Нехай ABCD — трапеція; CM ∥ A B; AM : MD = 1 : 2. AM = x; MD = 2x; CK ⊥ MD; CK = З cм; 1 1 S∆MCD = MD ∙ CK; 6 = ∙ 2x ∙ 3; 12 = 6x; x = 2; 2 2 AM = 2 см; MD = 4 cм; AD = AM + MD = 6 cм; BC = AM = 2 см.

2) CM ∥ AB; AM : MD = 2 : 1. AM = 2x; MD = x; 1 1 S∆MCD = MD ∙ CK; 6 = x ∙ 3; x = 4; 2 2 AM = 8 cм; MD = 5 см; AD = 12 cм; BC = AM = 8 см. Відповідь: 1) 6 см і 2 см; 2) 12 см і 8 см. 1245. Менша основа трапеції дорівнює 4 см. Пряма а розбиває трапецію на паралелограм і трикутник з рівними площами. Знайдіть більшу основу трапеції.

Нехай дано ABCD — трапеція. ВС = 4 см; СМ ∥ AB; Sпар.АBCM = S∆MCD; ВС = AM = 4 см; Sпар. = h ∙ 4; h ∙ MD MD S∆CMD = ;h∙4= ∙ h; MD = 8 см; 2 2 AD = AM + MD = 4 + 8 = 12 (см). Відповідь: AD = 12 см. 1246. Доведіть, що площа трапеції, описаної навколо кола, дорівнює добутку півсуми її бічних сторін на висоту.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Нехай дано трапещю ABCD, описану навколо кола. MN = h — висота трапеції. Якщо трапеція описана навколо кола, то AB + CD = ВС + AD. B𝐶𝐶 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 AB + 𝐶𝐶𝐶𝐶 Sтр. = ∙ MN = ∙ MN, що й треба було довести. 2 2 1247. Трапеція, описана навколо кола, має периметр Р і площу S. Знайдіть радіус кола.

Нехай ABCD — трапеція, описана навколо кола, P тоді AB + CD = BC + AD = ; MN = h; 2

la. in.

Sтр. = (BC + AD)h; S=

2 Ph 4

;h= 1

4𝑆𝑆 𝑃𝑃

;

OM = r = h = 2

2𝑆𝑆

4𝑆𝑆

2𝑃𝑃

2𝑆𝑆 𝑃𝑃

Відповідь: 𝑃𝑃 1248. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. Одна з діагоналей дорівнює 8 см, а площа трапеції — 40 см2. Знайдіть іншу діагональ.

Нехай дано ABCD — трапеція, діагоналі якої BD і АС; BD ⊥ AC; 1 Sтр. = BD ∙ АС; BD = 8 cм; 2 1

40 = ∙ 8АС; АС = 10 см. 2 Відповідь: 10 см. 1249. Основи трапеції дорівнюють 15 см і 20 см, а бічна сторона, яка дорівнює 10 см, утворює з більшою основою кут 48°. Знайдіть площу трапеції.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — трапеція; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 15 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 20 см; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 10 см; ∠𝐴𝐴 = 48∘ . Знайти: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . Розв’язання  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ): 𝐴𝐴𝐴𝐴 cos𝐴𝐴 = ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ cos𝐴𝐴 = 10 ⋅ cos48∘ = 10 ⋅ 0,669 = 6,69 (см). sin𝐴𝐴 =

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵

⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ sin𝐴𝐴 = 10 ⋅ sin48∘ = 10 ⋅ 0,743 = 7,43 (см).

𝐴𝐴𝐴𝐴 1

la. in.

𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ 6,69 ⋅ 7,43 = 24,85335 (см2 ). 2 2 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 20 − 6,69 = 13,31 (см). 𝐵𝐵𝐵𝐵+𝐻𝐻𝐻𝐻 15+13,31 𝑆𝑆𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 = ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = ⋅ 7,43 = 105,17165 (см2 ). 2 2 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑆𝑆𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 = 24,85335 + 105,17165 = 130,025 ≈ 130,3 (см2 ). Відповідь: 130,3 см2 . 1250. У прямокутній трапеції більша бічна сторона дорівнює 16 см. Менша діагональ є бісектрисою тупого кута, який дорівнює 120°. Знайдіть площу трапеції.

Дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — прямокутна трапеція; 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 16 см; 𝐶𝐶𝐶𝐶 — бісектриса; ∠𝐶𝐶 = 120∘ . Знайти: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . Розв’язання Проведемо висоту 𝐶𝐶𝐶𝐶. ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 180∘ − ∠𝐶𝐶 = 180∘ − 120∘ = 60∘ . △ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (∠𝐻𝐻 = 90∘ ): 𝐻𝐻𝐻𝐻 1 cos𝐷𝐷 = ⇒ 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 ⋅ cos𝐷𝐷 = 16 ⋅ cos60∘ = 16 ⋅ = 8 (см); 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶

∘

2 √3 = 16 ⋅ = 8√3 (см). 2

sin𝐷𝐷 = ⇒ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 ⋅ sin𝐷𝐷 = 16 ⋅ sin60 𝐶𝐶𝐶𝐶 △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐵𝐵 = 90∘ ): 1 1 Оскільки 𝐶𝐶𝐶𝐶 — бісектриса, ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶 = ⋅ 120∘ = 60∘ . 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 8√3 см.

tan∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 =

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵

⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 =

𝐴𝐴𝐴𝐴

tan∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵

8 √3 8√3 = = 8 (см). tan60∘ √3

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 8 + 8 = 16 (см). 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐶𝐶𝐶𝐶; 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 8+16 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 8√3 = 12 ⋅ 8√3 = 96√3 см2 . 2

Відповідь: 96√3 см2 . 1251. Доведіть, що існує безліч нерівних трапецій, які мають із трапецією АВСD спільну середню лінію та однакову з нею площу. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. MN = ; 2

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

Sтр = ∙ h = MN ∙ h. 2 Sтр = MN ∙ h, отже, існує безліч нерівних трапецій, які мають з трапецією ABCD спільну середню лінію й однакову з нею площу.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1252. У яких межах може змінюватися площа трапеції, більша основа якої дорівнює 16 см, а висота — 2 см? 𝑥𝑥 + 16 Sтр = ∙ 2 = x + 16; x — менша основа, 2 0 < x < 16; 16 < S < 32. Відповідь: від 16 до 32 см. 1253. Відрізок, паралельний основам a і b трапеції, ділить її на дві фігури із рівними площами. Яка довжина цього відрізка?

Нехай дано ABCD — трапеція; ВС = a; AD = b; MN ∥ BC; MN ∥ AD. SMBCN = SAMND. 2𝑎𝑎𝑎𝑎 MN = . 𝑎𝑎+𝑏𝑏

2𝑎𝑎𝑎𝑎

Відповідь: 𝑎𝑎+𝑏𝑏 1254. Діагоналі трапеції АВСD з основами АВ і СD перетинаються в точці О. Доведіть, що площа трикутника ВОС є середнім пропорційним між площами трикутників АОВ і СОD.

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — трапеція. 𝐷𝐷𝐷𝐷 і 𝐴𝐴𝐴𝐴 — основи. 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐵𝐵𝐵𝐵 — діагоналі перетинаються в точці 𝑂𝑂. △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ∼△ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷; △ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ∼△ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵. 𝑆𝑆△𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = ; 𝑆𝑆△𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑆𝑆△𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 2 𝑆𝑆△𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑆𝑆△𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ⋅ 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 , що й треба було довести. 1255. Основи трапеції відносяться як m : n. Знайдіть відношення площ чотирьох частин трапеції, на які її розбивають діагоналі.

Нехай ABCD — трапеція, DC : AB = m : n.

S∆DOC : S∆AOD : S∆COB : S∆AOB = 1:

𝑚𝑚 𝑛𝑛

∶

𝑚𝑚 𝑛𝑛

𝑚𝑚 2

∙� � 𝑛𝑛

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1256. Висота рівнобічної трапеції дорівнює h, а її площа — h2. Під яким кутом перетинаються діагоналі трапеції?

la. in.

Нехай дано: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — трапеція; 𝐷𝐷𝐷𝐷 = ℎ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝑆𝑆тр. = ℎ2 ; 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆тр. = ⋅ ℎ; 2 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 ℎ2 = ⋅ ℎ; 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2ℎ; 2 2ℎ 𝑑𝑑1 𝑑𝑑2 = ℎ; 𝑆𝑆тр. = ; 𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑2 ; 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 2 2 𝑑𝑑 2 𝑑𝑑 2 ; = ℎ2 ; 𝑑𝑑 2 = 2ℎ2 ; 𝑑𝑑 = ℎ√2. 𝑆𝑆тр. = 2 2 Діагоналі перпендикулярні. Відповідь: 90∘ . 1257. Знайдіть площу рівнобічної трапеції з бічною стороною с і перпендикулярною до неї діагоналлю d, якщо основи трапеції відносяться як 3 : 5.

Нехай 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівнобічна трапеція; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑐𝑐; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑑𝑑; 𝐴𝐴𝐴𝐴⟂𝐶𝐶𝐶𝐶; 𝐵𝐵𝐵𝐵: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3: 5. Розв’язання У △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (∠𝐶𝐶 = 90∘ ) за теоремою Піфагора: 𝐴𝐴𝐷𝐷2 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 + 𝐶𝐶𝐷𝐷2 ⇒ 𝐴𝐴𝐷𝐷2 = 𝑑𝑑 2 + 𝑐𝑐 2 ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = √𝑑𝑑 2 + 𝑐𝑐 2 . 3√𝑐𝑐 2 +𝑑𝑑 2

З відношення 𝐵𝐵𝐵𝐵: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3: 5 маємо: 𝐵𝐵𝐵𝐵 = . 5 Проведемо висоту 𝐶𝐶𝐶𝐶⟂𝐴𝐴𝐴𝐴. У прямокутному △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 за метричними співвідношеннями:

𝑐𝑐 2

𝐶𝐶𝐷𝐷2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 ⇒ 𝑐𝑐 2 = √𝑐𝑐 2 + 𝑑𝑑 2 ⋅ 𝑥𝑥 (де 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑥𝑥); 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑥𝑥 = Знайдемо квадрат висоти 𝐶𝐶𝐾𝐾 2 = ℎ2 : 𝑐𝑐 4

𝑐𝑐 4 +𝑐𝑐 2 𝑑𝑑 2 −𝑐𝑐 4

ℎ2 = 𝑐𝑐 2 − 𝑥𝑥 2 = 𝑐𝑐 2 − 2 2 = 𝑐𝑐 +𝑑𝑑 𝑐𝑐 2 +𝑑𝑑 2 Обчислимо площу трапеції (𝑆𝑆тр. ): 𝑆𝑆тр. =

𝐵𝐵𝐵𝐵+𝐴𝐴𝐴𝐴 2

Відповідь:

⋅ 𝐶𝐶𝐶𝐶 =

4𝑐𝑐𝑐𝑐 5

3�𝑐𝑐2 +𝑑𝑑2 +√𝑐𝑐 2 +𝑑𝑑 2 5

⋅

𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑐𝑐 2 𝑑𝑑 2

= 2

𝑐𝑐 +𝑑𝑑

√𝑐𝑐 2 +𝑑𝑑 2

3 5

; 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2

( +1)𝑐𝑐𝑐𝑐 2

 shkola.in.ua

√𝑐𝑐 2 +𝑑𝑑 2

𝑐𝑐𝑐𝑐

4𝑐𝑐𝑐𝑐

√𝑐𝑐 2 +𝑑𝑑 2

8 𝑐𝑐𝑐𝑐 5

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1258. У трапеції із взаємно перпендикулярними діагоналями відрізок, що сполучає середини основ, дорівнює середній лінії трапеції. Доведіть.

Нехай дано трапецію ABCD, BD ⊥ AC; MK — відрізок, що сполучає середини основ. PN — середня лінія трапеції. Доведемо, що МК = PN. 1 ∆ВОС — прямокутний, МО — медіана; ВМ = МС = МО; МО = ВС. 1

la. in.

∆AOD — прямокутний; OK = AK = KD; OK = AD;

MO + OK = (BC + AD); MK = (BC + AD); PN = (BC + AD). 2 2 2 Отже, MK = PN, що й треба було довести. 1259. Якщо у трапеції середину бічної сторони з’єднати відрізками з кінцями іншої бічної сторони, то утворений трикутник має площу, удвічі меншу від площі трапеції. Доведіть.

Нехай дано трапецію 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑀𝑀 — середина сторони 𝐴𝐴𝐴𝐴. Проведемо 𝑃𝑃𝑃𝑃⟂𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑃𝑃𝑃𝑃⟂𝐷𝐷𝐷𝐷; 1 1 𝑆𝑆△𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴; 2 2 1 1 1 1 1 1 1 𝑆𝑆△𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 + 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑀𝑀𝑀𝑀 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ ℎ ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 + ⋅ ℎ ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ℎ(𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴); 2 2 2 2 2 2 4 1 𝑆𝑆тр. = ℎ(𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴); 2 1 1 1 𝑆𝑆△𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑆𝑆тр. − (𝑆𝑆△𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 + 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ) = ℎ(𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴) − ℎ(𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴) = ℎ(𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴), що й 2 4 4 треба було довести. 1260. У трикутнику через точку перетину медіан проведено три відрізки, кожний з яких паралельний одній зі сторін трикутника. Доведіть, що три утворені трапеції, які складають трикутник, мають рівні площі.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

2 2

la. in.

Дано: △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝑀𝑀 — точка перетину медіан; 𝑇𝑇𝑇𝑇 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵; 𝐿𝐿𝐿𝐿 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴. Довести: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . Доведення 𝑇𝑇𝑇𝑇 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴, тоді △ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ∼△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. Відношення висот цих трикутників, проведених до паралельних сторін, дорівнює відношенню, в якому медіана 𝐵𝐵𝐵𝐵 ділиться точкою 𝑀𝑀. 2 2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵, тоді ℎм.тр. = ℎб.тр. (де ℎ — висота). 3 4

𝑆𝑆△𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = � � ⋅ 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . 3

𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑆𝑆△𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . 9 9 Аналогічно, для відрізків, паралельним сторонам 𝐴𝐴𝐴𝐴 і 𝐵𝐵𝐵𝐵, утворюються трапеції, площі 5 яких становлять 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . 9 Отже, 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . 1261. На малюнку зображено план ділянки в масштабі 1 : 1000. Яка площа цієї ділянки?

Масштаб – 1 : 1000. 1 8 + 12 1 1 1 Sф. = SEMD + SNMDC + SBNC + SAHB + SAHE = ∙ 5 ∙ 12 + ∙ 12 + ∙ 8 ∙ 6 + ∙ 15 ∙ 15 + ∙ 8 ∙ 2 2 2 2 2 15 = 30 + 120 + 24 + 112,5 + 60 = 346,5 (кв.од). Sд. = 346,5 ∙ 1000 = 346500 кв.од. Відповідь: 346500 кв.од. 1262. Як за планом на малюнку знайти площу ділянки, якщо план виконано в масштабі 1 : 1000?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. Розбити многокутник на прості фігури Намалюємо допоміжні лінії, розбивши фігуру на трикутники, площу яких легко обчислити. 2. Виміряти розміри на плані (лінійкою в мм або см) і обчислити площу кожної частини 1 за формулою трикутника 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎ℎ. 2 3. Перевести в реальні розміри Масштаб 1:1000 означає, що 1 см на плані = 10 м у реальності. Тому: 𝑆𝑆реальна = 𝑆𝑆план ⋅ 𝑘𝑘 2 де k = 1000 — знаменник масштабу. Якщо площа на плані виміряна в см², то: 1 см2 на плані = 10002 см2 = 100 м2 у реальності 4. Підсумувати 𝑆𝑆ділянки = (𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆2 + 𝑆𝑆3 ) ⋅ 100 м2 /см2 Також можна використати палетку — накласти на план і підрахувати клітинки, що покриті фігурою, а потім перемножити на масштаб. 1263. Ділянка має форму прямокутної трапеції. Як провести перпендикулярну пряму до її основ, щоб поділити площу ділянки навпіл?

Як провести перпендикулярну пряму до її основ, щоб поділити площу ділянки навпіл? Розв'язання Проведемо середню лінію MN. K – середина MN. Через точку К проведемо лінію паралельну до бічної сторони AB. SABEP = BE ∙ AB = MK ∙ AB; E𝐶𝐶 + 𝑃𝑃𝑃𝑃 SPECD = ∙ EP = KN ∙ AB; ⇒ SABEP = SPECD; MK = KN. 2 1264. У ліхтаря скляні вставки мають форму трапеції, у якій паралельні сторони дорівнюють 20 см і 16 см, а відстань між ними — 10 см. Чи вистачить скла прямокутної форми розмірами 30 ∙ 24 см, щоб вирізати чотири вставки для ліхтаря? Відповідь поясніть.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція; ВС = 20 см; AD = 16 см; DH = 10 см; скло – 30 × 24 см. Чи вистачить скла? Розв'язання B𝐶𝐶 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 SABCD = ∙ DH; 2 20 + 16

la. in.

SABCD = ∙ 10 = 180 (см2). 2 4 ∙ 180 = 720 (см2) – площа 4–х вставок. S□ = 30 ∙ 24 = 720 (см2). Відповідь: не вистачить, оскільки не можна розмістити всі чотири вставки на склі даних розмірів.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ (сторінка 249) 1. Знайдіть суму кутів шестикутника. А. 60°. Б. 120°. В. 540°. Г. 720°. S = 180° · (n − 2); S = 180° · (6 − 2) = 180° · 4 = 720°. Відповідь: Г. 2. Квадрат і прямокутник мають рівні площі. Периметр квадрата дорівнює 24 см, а одна зі сторін прямокутника — 4 см. Знайдіть іншу сторону прямокутника. А. 6 см. Б. 9 см. В. 20 см. Г. 36 см. 24 Pкв = 24 см; aкв = = 6 см; 4 Sкв = 62 = 36 см2; Sпр = Sкв; Sпр = 36; 36 a · b = 36; a = 4; b = = 9 (см). 4 Відповідь: Б. 3. Площа рівнобедреного трикутника АВС з основою АС дорівнює 4800 см2. Знайдіть висоти, проведені до бічних сторін трикутника, якщо АВ = 100 см. А. 24 см і 48 см. Б. 48 см і 48 см. В. 48 см і 96 см. Г. 96 см і 96 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

AB = BC; SΔ = 4800 см2; AB = 100 см; AK і CF — висоти; 1 2𝑆𝑆 4800 SΔABC = ah; h = = = 48 (см); 2 𝑎𝑎 100 FC = AK = 48 см. Відповідь: Б. 4. У трапеції АВСD менша основа СD і висота відповідно дорівнюють 7 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції, якщо площа трикутника АВС дорівнює 60 см2. А. 45 см2. Б. 56 см2. В. 75 см2. Г. 88 см2. ABCD — трапеція. CD = 7 см; DK ⟂ AB; DK = 8 см; SΔABC = 60 см2. Sтр.ABCD = SΔADC + SΔABC. 1 7·8 SΔADC = DC · DK = = 28 (см2). 2 2 Sтр.ABCD = 60 + 28 = 88 (см2).

Відповідь: Г. 5. У ромбі АВСD діагоналі дорівнюють 9 см і 40 см. Більшу діагональ АС точка K ділить у відношенні 3 : 2, рахуючи від вершини А. Знайдіть площу трикутника АKВ. А. 90 см2. Б. 135 см2. В. 180 см2. Г. 54 см2. Нехай дано ромб ABCD. AC і BD — діагоналі, AC ⟂ BD; AC = 40 см; BD = 9 см; AK : KC = 3 : 2.  shkola.in.ua

la. in.

AK = 3x; KC = 2x; 3x + 2x = 40; 5x = 40; x = 8. AK = 24 см; KC = 16 см; 1 1 BO = BD = · 9 = 4,5 (см);

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

SΔABK = AK · BO = · 16 · 4,5 = 54 (см2). 2 2 2 Відповідь: 54 см .

ПОВТОРЕННЯ ВИВЧЕНОГО 1283. Точки E і F — середини протилежних сторін AB і CD паралелограма — сполучено з вершинами B і D. Доведіть, що: 1) ΔADE = ΔCBF; 2) DE || FB. Нехай ABCD — паралелограм, BE = AE; CF = FD.

1) ΔADE = ΔCBF — за двома сторонами і кутом між ними. ∠C = ∠A; BC = AD; EB = CF. 2) BEFD — паралелограм, BE ∥ FD; BE = FD. Отже, BF ∥ DE, що й треба було довести. 1284. Якщо сполучити точки E і F, задані в попередній задачі, то паралелограм розіб’ється на чотири рівні трикутники. Доведіть. Паралелограм BEFC = паралелограму AEFD. Отже, ΔBCF = ΔFEB = ΔEFC = ΔDEA, що й треба було довести.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1285. Сторони паралелограма дорівнюють 3 см і 5 см. Бісектриси кутів, прилеглих до меншої сторони, перетинають продовження протилежної їй сторони в точках M і N. Знайдіть довжину відрізка MN.

ABCD — паралелограм. AB = 3 см, BC = 5 см. AM і BN — бісектриси. DC ∥ AB; ∠1 = ∠2. ΔADM — рівнобедрений, AD = DM = 5 см; CM = DM – DC = 5 − 3 = 2 (см). ΔBCN — рівнобедрений, BC = CN = 5 см; DN = CN − CD = 5 − 3 = 2 (см). MN = MC + CD + DN = 2 + 3 + 2 = 7 (см). Відповідь: 7 см. 1286. Діагоналі паралелограма дорівнюють d1 і d2. Через вершини паралелограма проведено прямі, паралельні діагоналям, до взаємного їх перетину. Якого виду утворений чотирикутник? Знайдіть його периметр.

Нехай дано паралелограм ABCD, діагоналі якого d1 і d2. MN ∥ AC і KP; NP ∥ DB ∥ MK. MNPK — паралелограм. PMNPK = 2d1 + 2d2. Відповідь: 2d1 + 2d2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1287. У паралелограмі бісектриса тупого кута, що дорівнює 120°, ділить сторону на відрізки 24 см і 16 см, починаючи від вершини гострого кута. Знайдіть відрізки, на які ця бісектриса ділить більшу діагональ паралелограма.

la. in.

Нехай дано паралелограм ABCD. ∠B = 120°. BK — бісектриса, AK = 24 см, KD = 16 см. ΔABK — рівнобедрений, ∠1 = ∠3; AB = AK = 24 см; BC = AD = 24 + 16 = 40 (см). За властивістю бісектриси трикутника AF : FC = AB : BC = 24 : 40 = 3 : 5. Відповідь: 3 : 5. 1288. Через середини сторін паралелограма проведено перпендикулярні до них прямі. Якого виду чотирикутник, утворений цими прямими? Якщо через середини сторін паралелограма провести перпендикулярні до них прямі, то одержимо паралелограм, кути якого дорівнюють кутам даного паралелограма. 1289. Сторони паралелограма відносяться як 7 : 11, а діагоналі дорівнюють 24 см і 28 см. Знайдіть периметр паралелограма.

Нехай ABCD — паралелограм. AB : AD = 7 : 11. BD = 24 см, AC = 28 см. AB = 7x; AD = 11x; ((7x)2 + (11x)2) · 2 = 242 + 282; 340x2 = 576 + 784; 340x2 = 1360; x2 = 4; x = 2. AB = 14 см; AD = 11 см. PABCD = (14 + 22) · 2 = 72 (см). Відповідь: 72 см. 1290. Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 15 см, а різниця їхніх діагоналей — 2 см. Знайдіть діагоналі паралелограма.

Нехай ABCD — паралелограм. AB = CD = 10 см; BC = AD = 15 см; AC − BD = 2 см; BD = x; AC = x + 2; x2 + (x + 2)2 = 102 · 2 + 152 · 2; x2 + x2 + 4x + 4 − 200 − 450 = 0; 2x2 + 4x − 646 = 0; D = 1296;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

x1 = 17; x2 = −19. BD = 17 см, AC = 19 см. Відповідь: 17 см і 19 см. 1291. У прямокутнику діагональ ділить кут у відношенні 2 : 3. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника.

la. in.

Нехай дано: ABCD — прямокутник. ∠DAC : ∠CAB = 2 : 3. 2x + 3x = 90°; 5x = 90°; x = 18°. ∠DAC = 36°; ∠BAC = 54°. ΔABO — рівнобедрений, AO = BO; ∠A = ∠B = 54°. ∠AOB = 180° − (54° + 54°) = 180° − 108° = 72°. Відповідь: 72°. 1292. Знайдіть висоту ромба, якщо його сторона дорівнює a, а кут — 150°.

Нехай ABCD — ромб. 1

Sр = a2 sin150° = a2 · = 2

2 𝑎𝑎

= ah; h = . 2

;

Sр = ah;

𝑎𝑎3

𝑎𝑎2

𝑎𝑎

Відповідь: . 2 1293. Доведіть, що висоти ромба рівні.

ABCD — ромб; BF і BK — висоти; ΔABK = ΔBFC (за гіпотенузою і гострим кутом). Отже, BK = BF, що й треба було довести. 1294. Знайдіть гострий кут ромба, якщо його периметр дорівнює 16 см, а висота — 2 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

ABCD — ромб; PABCD = 16 см; BK ⟂ AB; BK = 2 см. AB — сторона ромба; AB = 16 : 4 = 4 (см). BK 2 1 = = ; ∠A = 30°. ΔABK: sin∠A = AB 4 2 Відповідь: 30°. 1295. Діагональ ромба розбиває його на два трикутники. Знайдіть довжину цієї діагоналі, якщо сума периметрів обох трикутників на 15 см більша за периметр ромба.

ABCD — ромб, AC — діагональ. PΔADC + PΔABC = PABCD + 15. 2x + d + 2x + d = 4x + 15; 2d = 15; d = 7,5. Відповідь: 7,5 см. 1296. Сума периметрів чотирьох трикутників, на які розбивається квадрат його діагоналями, більша за периметр квадрата на 20 см. Чому дорівнює діагональ квадрата?

2 (DO + OC + OB + OA) + AD + DC + BC + AB = 20 = AD + DC + BC + AB. 4d = 20; d = 5 (см). Відповідь: 5 см. 1297. Доведіть, що в рівнобічній трапеції квадрат діагоналі дорівнює квадрату бічної сторони, доданому до добутку основ.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

Нехай ABCD — рівнобічна трапеція. AC — діагональ. Доведемо, що AC2 = AD2 + DC ∙ AB. Нехай CK = h; DC = x; FK = y; AF = KB = x. ΔACK — прямокутний. За теоремою Піфагора: AC2 = CK2 + AK2 = = h2 + (x + y)2 = h2 + x2 + 2xy + y2 = h2 + x2 + 2xy + y2 = = BC2 + y(2x + y) = BC2 + DC ∙ AB, що й треба було довести. 1298. Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть кути трапеції. Нехай ABCD — трапеція. BC = AB = CD; AC ⟂ CD; ∠BAC = ∠BCA = x. ΔABC — рівнобедрений. ∠CAD = ∠ACB = x.

ΔACD: x + 2x = 90°; 3x = 90°; x = 30°. ∠A = ∠D = 90°; ∠B = ∠C = 120°. Відповідь: 60°; 60°; 120°; 120°. 1299. У трапеції ABCD з основами AD і BC кут A гострий, а кут D — тупий. Доведіть, що різниця проєкцій бічних сторін трапеції на основу дорівнює різниці основ.

Нехай ABCD — дана трапеція, AD і BC — основи, ∠DAB — гострий, ∠ADC — тупий. BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, AK і DM — проекції бічних сторін AB і DC на основу. Проведемо AN ⊥ BC, AK = NB (ANBK — прямокутник) NC ⊥ AM; NA ⊥ CN, CM ⊥ AD, тоді NСMA — прямокутник. NC = AM — як протилежні сторони. NC = NB + BC = AK + BC, AM = AD + DM, отже, AK + BC = AD + DM або BC − AD = DM − BC, тобто різниця проекцій бічних сторін трапеції на основу дорівнює різниці основ. 1300. Поділ відрізка на два відрізки, більший з яких відноситься до меншого як весь відрізок до більшої його частини, має назву золотий переріз. Це відношення наближено дорівнює 1,62. Щоб одержати такий поділ відрізка АВ, побудуйте на ньому, як на катеті, прямокутний трикутник АВС (ВС < АВ). На гіпотенузі АС від вершини С відкладіть відрізок СМ = ВС, а на катеті АВ від вершини А — відрізок АО = СМ. Точка О ділить відрізок АВ у відношенні золотого перерізу. Виконайте побудову, виміряйте одержані відрізки й перевірте, чи справджується відношення золотого перерізу.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Для побудованої таким чином точки O відношення «золотого перерізу» не справджується. Побудову потрібно виконати так: щоб одержати точку поділу відрізка AB, побудуйте на 1 ньому, як на катеті, прямокутний ∆ABC, у якому BC = AB. На гіпотенузі AC від 2 вершини C відкладіть CM = BC, а на катеті AB від вершини A — відрізок AO = AM. Точка O ділить AB у відношенні золотого перерізу.

la. in.

AB = 4 см, тоді BC = AB 2 BC = 2 см, CM = BC = 2 см, AO = AM, AO AB = ; OB AO AO 2,5 = = 1,62. OB 1,5 1301. Відношення золотого перерізу в пропорціях тіла дорослої людини з прадавніх часів вважають основою краси й гармонії людської статури. У такому відношенні перебувають відстані від підошви ступні до кінця середнього пальця опущеної руки та від нього до верхівки голови; відстань від ліктьового згину до кисті та довжина кисті; відстані від передпліччя до ліктьового згину та від ліктьового згину до кінця кисті та ін. Виміряйте на собі ці відстані та знайдіть їхні відношення. Виміряйте на собі ці відстані та знайдіть їхні відношення. 1302. Прямокутник зі сторонами 10 і 16 називають золотим. Якщо від нього відрізати квадрат зі стороною 10, одержимо також золотий прямокутник. Квадрат з якою довжиною сторони потрібно відрізати від цього другого прямокутника, щоб знову одержати золотий прямокутник? Сформулюйте узагальнене правило. Сторона квадрата повинна дорівнювати меншій стороні прямокутника. 1303. У прямокутному трикутнику один із катетів продовжено за вершину прямого кута на деякий відрізок. Із побудованої точки про ведено перпендикуляр до гіпотенузи трикутника. Які з утворених при цьому трикутників подібні даному трикутнику?

Нехай дано прямокутний ΔABC. Катет AC продовжили на відрізок CM; MK ⟂ AB. ΔNKB ~ ΔACB. ΔNCM ~ ΔACB.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1304. Через вершини трикутника зовні нього проведено прямі, послідовно перпендикулярні до кожної його сторони. Від перетину цих прямих утворився трикутник. Чи подібний він даному трикутнику? Відповідь поясніть.

la. in.

ΔMNP ~ ΔABC (за двома кутами). 1305. Бісектриси зовнішніх кутів трикутника утворюють трикутник. Чи подібний він даному трикутнику? Відповідь поясніть. Якщо даний трикутник рівносторонній, тоді він подібний даному трикутнику. 1306. ABCK і MKTP — рівні квадрати зі спільною вершиною K. Сторони СK і KТ взаємно перпендикулярні. Знайдіть площу чотирикутника АСТМ, якщо АВ = 6 см.

AB = 6 см. ΔABC; AB = BC = 6 см; AC = √62 + 62 = √72 = 6√2. MTCA — квадрат зі стороною 6√2. SMTCA = (6√2)2 = 72 (см2). Відповідь: 72 см2. 1307. З вершин гострих кутів паралелограма проведено висоти. Чи подібні утворені при цьому трикутники? Відповідь поясніть.

Нехай ABCD — паралелограм. Якщо з вершин гострих кутів паралелограма проведемо висоти, то утворюються подібні трикутники.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1308. Теорема Птолемея. Доведіть, що у вписаному чотирикутнику добуток діагоналей дорівнює сумі добутків його протилежних сторін.

la. in.

Нехай ABCD — чотирикутник, вписаний у коло. На діагоналі BD візьмемо точку K так, щоб ∠BAC = ∠KAD. З подібності трикутників маємо: BD · AC = BC · AD + AB · CD. 1309. З точки М, що лежить поза колом радіуса 6 см, проведено до нього дві дотичні. Знайдіть відстань між точками дотику, якщо відстань від точки М до центра кола дорівнює 10 см.

AB і AC — дотичні, OB = OC = 6 см; AO = 10 см; OB ⟂ AB; AO2 = AB2 + OB2; AB2 = 100 − 36; AB2 = 64; AB = 8 см. ΔABO. 36 BO2 = AO · FO; FO = = 3,6 (см). 10 ΔBFO: BF2 = BO2 − FO2 = 36 − 12,96 = 23,04; BF = 4,8 (см). BC = BF + FC = 4,8 ∙ 2 = 9,6 (см). Відповідь: 9,6 см. 1310. Трикутник АВС вписаний у коло. Бісектрису його кута С продовжено до перетину з колом, а одержану на колі точку сполучено з вершиною А. Знайдіть усі подібні трикутники, які при цьому утворилися.

Нехай дано ΔABC, вписаний у коло. CF — бісектриса кута C. 1. ΔFAO ~ ΔBCO; 2. CO2 = a · b = AO · OB, CO — бісектриса кута C.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1311. Знайдіть діагоналі рівнобічної трапеції з основами 3 см і 5 см та бічною стороною 7 см.

la. in.

Нехай ABCD — рівнобічна трапеція. AD = BC; DC = 3 см; AB = 5 см; AD = BC = 7 см. DF ⟂ AB; CK ⟂ AB. З ΔDCBK: CK2 = 72 − 12 = 49 − 1 = 48; CK = √48. З ΔACK: AC2 = CK2 + AK2 = 48 + 16 = 64; AC = 8 (см). Відповідь: 8 см. 1312. Довжини катетів прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 24 см. Знайдіть значення синуса й косинуса гострого кута між гіпотенузою та проведеною до неї медіаною.

AC = 7 см; BC = 24 см; CM — медіана, проведена до гіпотенузи. AB2 = BC2 + AC2 = 576 + 49 = 625; AB = 25; sin ∠CMA = 0,53; cos ∠CMA = 0,84; BM = MA = CM = 12,5 (см). 1313. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 9 см і 21 см, а бічна сторона — 10 см. Знайдіть синуси кутів: 1) при більшій основі; 2) між діагоналлю й середньою лінією трапеції.

Нехай ABCD — рівнобічна трапеція.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝐵𝐵𝐵𝐵

AB = CD = 10 см; BC = 9 см; AD = 21 см; BK і CF — висоти. AK = FD = (21 − 9) : 2 = 6 (см); BK2 = AB2 − AK2 = 64; BK = 8 см. 𝐵𝐵𝐵𝐵 1. sin ∠BAK = = 0,8; 𝐴𝐴𝐴𝐴 2. MN — середня лінія, BD — діагональ; ∠BPM — кут між діагоналлю і середньою лінією; 8 sin ∠BPM = .

la. in.

ΔBKD : ∠BPM = ∠BDA; sin ∠BPM = . 𝐵𝐵𝐵𝐵 KD = 9 + 6 = 15 (см). ΔBKD: BD2 = BK2 + KD2 = 64 + 225 = 289; BD = 17; 8 sin ∠BPM = . 17 1314. Знайдіть значення синуса й косинуса найменшого кута прямокутного трикутника, якщо: 1) a – b = 17 см, c = 25 см; 2) c – a = 1 см, c – b = 50 см; 3) c + a = 49 см, c + b = 50 см.

1. a − b = 17 см; c = 25 см; b = x; a = x + 17; c = 25; x2 + (x + 17)2 = 625; x2 + x2 + 34x + 289 − 625 = 0; 2x2 + 34x − 336 = 0; x2 + 17x − 168 = 0; x = 7; b = 7 см; a = 24 см; 𝑏𝑏 sin ∠B = ; sin ∠B = 0,28; cos ∠B = 0,96; 𝑐𝑐 𝑎𝑎

cos ∠B = ; 𝑐𝑐 2. c − a = 1; c = 50; c = x; a = x − 1; b = x − 50; c2 = a2 + b2; x2 = x2 − 2x + 1 + x2 − 100x + 2500; x2 − 102x + 2501 = 0; D = 10 404 − 10 004 = 400; 102 + 20 102 − 20 x1 = = 61; x2 = = 41; 2 2 c = 61 см; a = 60 см; b = 11 см; 11 60 sin ∠B = ; cos ∠B = ; 61 61 3. c + a = 49 см; c + b = 50 см; c = x; a = 49 − x; b = 50 − x; c2 = a2 + b2; x2 = 2401 − 98x + x2 + 2500 − 100x + x2; x2 − 198x + 4901 = 0; D = 39 204 − 19 604 = 19 600; 198 + 140 198 − 140 x1 = = 169; x2 = = 29; 2 2 c = 29 см; a = 20 см; b = 21 см; 20 1 sin ∠A = ; cos ∠A = . 29

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1315. Точка A лежить на відстані 2 см від кола радіусом 3 см. Знайдіть косинус кута між дотичними, проведеними з точки A до цього кола.

la. in.

BO = 3 см; AB = 2 см; AK і AF — дотичні до кола; OK ⟂ AK; OF ⟂ AF; OK = OF = 3 см; AO = AB + OB = 2 + 3 = 5 (см). AK = AF = 4 см. AK 4 cos ∠KAO = = ; 5 𝐴𝐴𝐴𝐴 cos ∠KAF = 0,28. 1316. Радіус кола дорівнює R. Знайдіть довжину хорди цього кола, яка стягує дугу n°.

AO = OB = R; ∠AOB = n°. n° ΔAOB — рівнобедрений. OK ⟂ AB; AK = KB; ∠AOK = . 2 ΔAOK: n° AK = R sin ; 2

n°

AB = 2AK = 2R sin . 2 1317. a і b — катети прямокутного трикутника, c — гіпотенуза, A і B — гострі кути. Заповніть таблицю. Елемент 1 2 3 4 5 6 7 8 трикутника a 8,64 0,21 47,2 10,2 17 96 12,7 8,94 b

10,4 0,13 20,04 13,54 10,54

13,5 0,25 45,87 16,95

∠A

40°

58°

67°

37°

50°

32°

23°

53°

∠B

13,4

120,96 18,46

58°13′

52°

43°

48°

31°47′

38°

47°

42°

c2 = a2 + b2; a b sin ∠A = ; cos ∠A = ; 𝑐𝑐 b

sin ∠B = ; 𝑐𝑐

𝑐𝑐 a

cos ∠B = . 𝑐𝑐

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1318. Діагональ прямокутника дорівнює 32,5 см і ділить його кут у відношенні 4 : 11. Знайдіть периметр прямокутника.

la. in.

Прямокутник ABCD; AC — діагональ; AC = 32,5 см; ∠BAC : ∠CAD = 4 : 11. 4x + 11x = 90°; 15x = 90°; x = 6°. ∠BAC = 24°; ∠CAD = 66°. ΔABC: AB = AC cos 24°; AB = 32,5 · 0,9135 = 29,6 (см). ΔACD: AD = AC cos 66°; AD = 32,5 · 0,4067 = 13,2 (см). PABCD = (AB + AD) · 2 = (29,6 + 13,2) · 2 = 85,6 (см). 1319. Дві взаємно перпендикулярні хорди AB і AC дорівнюють 38,5 см і 21,3 см. Під якими кутами вони нахилені до діаметра AM?

AB ⟂ AC; AB = 38,5 см; AC = 21,3 см; AM — діаметр. BC2 = AB2 + AC2; BC2 = 1935,94; BC = 43,9 см; AM = BC. ΔBAM — прямокутний; 38,5 ; ∠BAM = 61°. cos ∠BAM =

cos ∠MAC =

43,9 21,3 43,9

; ∠MAC = 29°.

Відповідь: 29°; 61°. 1320. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо кут між бічними сторонами дорівнює 47°12′, а сума основи й бічної сторони — 59,4 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ΔABC — рівнобедрений. ∠ABC = 47°12′. AB + AC = 59,4 см; AK = C = x; AB = 59,4 − 2x; ∠ABK = 23°42′. A𝐾𝐾 x sin ∠ABK = = ; 0,4019 =

AB x

59,4 − 2x

;

59,4 − 2x

la. in.

0,4019 · (59,4 − 2x) = x; x = 13,2 см. Відповідь: AC = 26,4 см; AB = BC = 33 см. 1321. Два кола радіусами 3 см і 12 см дотикаються зовнішньо. Знайдіть кут між спільними зовнішніми дотичними цих кіл.

O2B = R1 = 12 см; O1D = R2 = 3 см; O2B ⟂ AB; O1D ⟂ AB. ΔADO1 ~ ΔABO2; AO1 = x; O1O2 = 15 см; AO2 = x + 15. AO1 AO x x+15 = 2; = ; x = 5. O1 D

O2 B 3

sin ∠DAO1 =

12 DO1 3 AO1

= = 0,6; 5

∠DAO1 = 36°52′; ∠BAC = 73°44′. Відповідь: 73°44′. 1322. Раніше циркуль називали «шестернею». Така назва пов’язана з тим, що коли розхил циркуля дорівнює радіусу кола, то це коло можна поділити на 6 рівних частин. Перевірте це практично.

∆AOB = ∆BOC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOF за двома сторонами і кутом між ними (AO = BO = CO = DO = EO = FO = R, ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE = ∠EOF = 60°), отже, S∆AOB = S∆BOC = S∆COD = S∆DOE = S∆EOF. 1323. У шестикутнику є три пари рівних кутів. Відомо, що один кут дорівнює 120°, а два інші відносяться як 7 : 9. Знайдіть кути шестикутника. Сума кутів шестикутника 180° (6 – 2) = 180° ∙ 4 = 720°. Нехай два кути дорівнюють 7x і 9x, тоді: 2 ∙ (120° + 7x + 9x) = 720°; 2 ∙ (120° + 16x) = 720°; 32x = 480°; x = 15°. Отже, 7·15° = 105°, 9·15° = 135°. Відповідь: 105°, 105°, 135°, 135°, 120°, 120°  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1324. Сторони прямокутника відносяться як 8 : 15, а його діагональ дорівнює 34 см. Знайдіть площу прямокутника.

la. in.

Нехай ABCD — прямокутник. AB : AD = 8 : 15; AC = 34 см; AC2 = AB2 + AD2; (8x)2 + (15x)2 = 342; 64x2 + 225x2 = 1156; 289x2 = 1156; x2 = 4; x = 2; AB = 16 см; AD = 30 см; SABCD = 16 · 30 = 480 (см2). Відповідь: 480 см2. 1325. У паралелограмі одна зі сторін дорівнює 10 см, а один із кутів — 30°. Знайдіть площу паралелограма, якщо його периметр дорівнює 56 см.

Нехай ABCD — паралелограм. AB = CD = 10 см; ∠A = 30°; PABCD = 56 см. BC = AD = (56 − 20) : 2 = 36 : 2 = 18 (см). Sпар.ABCD = AB · AD · sin 30°. 1 Sпар.ABCD = 10 · 18 · = 90 (см2). 2 Відповідь: 90 см2. 1326. Знайдіть площу ромба зі стороною 4 см, якщо радіус вписаного кола дорівнює 1,5 см.

Нехай ABCD — ромб. AB = BC = CD = AD = 4 см; r = 1,5 см; BK = h = 2r = 2 · 1,5 = 3 (см); Sр = AD · BK = 4 · 3 = 12 (см2). Відповідь: 12 см2. 1327. Висота трикутника дорівнює 4 см. Вона ділить сторону, до якої проведена, у відношенні 1 : 8. Знайдіть довжину відрізка з кінцями на сторонах трикутника, який паралельний висоті й ділить трикутник на частини з рівними площами.

 shkola.in.ua

ΔABC; BK ⟂ AC; BK = 4 см; AK : KC = 1 : 8. AK = x; KC = 8x; 4·x = 2x; SΔABK = 2

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

SΔPDC = SΔABC = 9x. 2 SΔABC = 18x; SΔKBPD = 9x − 2x = 7x; SΔBKC = 7x + 9x = 16x; PD ∥ BK ⇒ ΔPDC ~ ΔBKC. 𝑆𝑆ΔPDC = 𝑘𝑘 2 ; 𝑆𝑆ΔBKC 𝑆𝑆ΔPDC 16 = ; 9 𝑆𝑆ΔBKC 𝐵𝐵𝐵𝐵 4 = ⇒ PD = 3 (см). 𝑃𝑃𝑃𝑃 3 Відповідь: 3 см. 1328. Довжини найбільшої та найменшої сторін трикутника дорівнюють 6 см і 13 см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо потроєний квадрат його найменшої висоти дорівнює добутку двох інших висот трикутника.

Найбільша сторона ΔABC — BC; BC = 13 см, отже, висота, проведена до неї, найменша. 1 1 1 SΔABC = · 6h1 = · 13h2 = · xh3; 2

6h1 = 13h2 = xh3; h1 = 3h2 = 3=

13ℎ2 ·13𝑥𝑥 2

169 6𝑥𝑥 169

6𝑥𝑥

;

13ℎ2 6

; h3 =

13ℎ2 𝑥𝑥

; 18x = 169;

x= (см). 18 1329. Висота трапеції втричі більша за одну з її основ, але вдвічі менша від її другої основи. Знайдіть основи трапеції, якщо її площа дорівнює 168 см2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ABCD — трапеція; BC ∥ AD; BC = x; BK = 3x; AD = 6x; BC + AD · BK. Sтр = 2 x + 6x

21𝑥𝑥 2

la. in.

168 = · 3x; = 168; 2 2 x2 = 16; x = 4; BC = 4 см; AD = 24 см. Відповідь: 4 см і 24 см. 1330. У трапеції ABCD через середину O діагоналі AC проведено пряму MN паралельно діагоналі BD (M ∈ AB, N ∈ AD). Чи поділить навпіл площу трапеції відрізок: 1) DM; 2) BN? Відповідь поясніть.

1. Відрізок DM поділить навпіл площу трапеції. 2. Відрізок BN поділить навпіл площу трапеції. 1331. Двоє сходів мають однакові основи m (довжина за горизонталлю) й однакові висоти h (довжина за вертикаллю від основи до верхньої площадки). Чи однакової довжини знадобляться килимові доріжки, щоб покрити ці сходи, якщо одні сходи складаються з 9 сходинок, а другі — із 12 сходинок?

AE = x. Довжина перших сходів 9x, а других — 12x. Для перших сходів необхідно килимову доріжку довжиною 9xh, а для других — 12xh.

Для тих, хто хоче знати більше 1332. На малюнку побудовано чотирикутник ABCD за чотирма його сторонами a, b, c, d і діагоналлю d1. Складіть план побудови.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Щоб побудувати чотирикутник, побудуйте два допоміжні трикутники, з яких складається чотирикутник. Наприклад, спочатку побудуйте ∆ABD, а потім — ∆BCD. Для побудови ∆ABD потрібно знати три його елементи, а для побудови ∆BCD — лише два, бо сторона BD вже побудована. 1333. Побудуйте чотирикутник за чотирма його сторонами a, b, c, d і кутом α.

la. in.

Кут чотирикутника і дві його сторони утворюють трикутник.

1. Побудуємо кут ∠ α. 2. На одній його стороні відкладаємо відрізок с, на другій — d. 3. З кінця с, як із центра побудуємо коло радіуса b, а з кінця відрізка d, як із центра — коло радіуса a. Отримали точку С. ABCD — шуканий чотирикутник. 1334. Побудуйте чотирикутник за його сторонами a, b, c та діагоналями d1 і d2.

1. Будуємо трикутник за трьома сторонами a, b і d1. 2. Будуємо трикутник за сторонами b, c, d2. ABCD — шуканий чотирикутник.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1335. Складіть план побудови паралелограма: 1) за сторонами а, b і кутом α a;

la. in.

2) за стороною а та діагоналями d1 і d2.

1. Будуємо кут α. 2. На його сторонах відкладаємо a і b, AD = a, AB = b. 3. З точки B проводимо ВС ∥ AD, з точки D — DC ∥ AB, отримуємо точку С. ABCD — шуканий паралелограм.

𝑑𝑑

1. Будуємо ∆AOD за трьома сторонами: AD = a, AO = 1, DO = 𝑑𝑑2 . 2 2 2. Будуємо ОС = ОА, OB = OD. ABCD — шуканий паралелограм.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1336. Побудуйте паралелограм: 1) за сторонами а і b та діагоналлю d; 2) за діагоналями d1 і d2 та кутом α між ними; 3) за стороною а, діагоналлю d і кутом α, який лежить проти цієї діагоналі; 4) за стороною а, діагоналлю d і кутом α між ними.

1. Будуємо ∆ACD за трьома сторонами a, b і d. 2. Будуємо точку O — середину AC. 3. Будуємо DO і OB = DO. ABCD — шуканий паралелограм.

1. Будуємо кут α. 1 1 2. На одній стороні кута α відкладаємо d1, на другій — d2. 2

3. На додаткових променях до сторін кута відкладаємо d1, d2. 2 2 ABCD — шуканий паралелограм.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. Будуємо кут α. 2. На одній його стороні відкладаємо AB = a. 3. З центром в точці B будуємо коло радіуса d. Знаходимо точку перетину кола з іншою стороною кута α — точка D. 4. Будуємо BC ∥ AD, BC = AD. Отримаємо вершину C. ABCD — шуканий паралелограм.

1. Будуємо кут α. 2. Відкладаємо на одній його стороні BA = a, на другій — BD. 3. Ділимо BD навпіл. 4. Будуємо AO і CO = OA. ABCD — шуканий паралелограм. 1337. Побудуйте ромб: 1) за діагоналями d1 і d2; 2) за стороною a й діагоналлю d; 3) за стороною a й кутом α.

1. Будуємо допоміжний прямокутний трикутник за діагоналями 𝑑𝑑1 𝑑𝑑2 і – ∆AOB. 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2. Будуємо OD = OB, OC = AO. ABCD — шуканий ромб.

Будуємо допоміжний трикутник за сторонами a, a, d. ABCD — шуканий ромб.

Будуємо допоміжний рівнобедрений трикутник за бічними сторонами a і кутом α між ними. 1338. Побудуйте ромб за гострим кутом α й діагоналлю d, яка виходить із вершини цього кута.

Будуємо рівнобедрений трикутник за основою d і кутом при основі 2 ABCD — шуканий ромб.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1339. Побудуйте паралелограм за двома його висотами h1 і h2, проведеними з однієї вершини, і кутом α між ними. Дано:

la. in.

Побудувати: паралелограм ABCD так, щоб BH = h1, BM = h2, ∠(h1; h2) = α. Аналіз:

Якщо висоти h1 та h2 виходять з однієї вершини В, то вони перпендикулярні до сторін AD та CD. Побудова

Будуємо: 1) точку В Проведемо через неї дві прямі, що перетинаються під заданим кутом α. На цих прямих відкладемо відрізки BH = h1 і BM = h2. 2) через точку Н пряму l1 ⊥ BH. 3) через точку Н пряму l2 ⊥ BM. 4) l1 ∙ l2 = D; 5) через точку в пряму l3 ∥ l1. 6) через точку в пряму l4 ∥ l2. 7) l1 ∙ l4 = А; l2 ∙ l3 = С. ABCD – шуканий паралелограм. Доведення: BH ⊥ AD, BM ⊥ DC, ∠HBM = α. 1340. Побудуйте ромб за його периметром 2p і висотою h.

 shkola.in.ua

la. in.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

𝑝𝑝

Необхідно побудувати прямокутний трикутник за катетом b і гіпотенузою . 2 ΔBOC = ΔDOC = ΔDOA = ΔBOA. ABCD — шуканий ромб. 1341. За малюнком складіть план побудови прямокутника за стороною a й діагоналлю d.

Щоб побудувати прямокутник, як і паралелограм, спочатку побудуйте допоміжний трикутник, а потім добудуйте його до прямокутника. Допоміжним може бути: або прямокутний трикутник (мал. 1), або рівнобедрений трикутник (мал. 2).

1342. Побудуйте прямокутник: 1) за діагоналлю d і кутом α між діагоналлю та стороною; 2) за діагоналлю d і кутом α між діагоналями.

 shkola.in.ua

la. in.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1. Будуємо допоміжний прямокутний трикутник за гіпотенузою d та кутом α — ∆ABD. 2. Будуємо BC ∥ AD, BC = AD. ABCD — шуканий прямокутник.

α d

1. Будуємо допоміжний трикутник за сторонами , та кутом α між ними — ∆COD. 2 2 2. Будуємо на продовженні СО: AO = СО, на продовженні DO: BO = DO. ABCD — шуканий прямокутник. 1343. Побудуйте квадрат: 1) за стороною а; 2) за діагоналлю d.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1. Будуємо допоміжний рівнобедрений прямокутний трикутник за катетом a — ∆ABC. 2. Будуємо BC ∥ AD, BC = AD. ABCD — шуканий квадрат.

Будуємо допоміжний рівнобедрений прямокутний трикутник за катетом . 2 ABCD — шуканий квадрат. 1344. Побудуйте прямокутник: 1) за діагоналлю d і сумою s двох нерівних сторін; 2) за діагоналлю d і різницею m двох сторін.

Будуємо допоміжний прямокутний трикутник за гіпотенузою d — ∆ABD. ABCD — шуканий прямокутник. 1345. Побудуйте квадрат: 1) за сумою s діагоналі та сторони; 2) за різницею m діагоналі та сторони. 1. Будуємо допоміжний прямокутний трикутник за катетом s та прилеглим кутом 22,5°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1346. За малюнком складіть план побудови трапеції ABCD за основами a i b (a > b) та бічними сторонами c i d.

la. in.

Щоб побудувати трапецію, як і паралелограм, спочатку побудуйте допоміжний трикутник (наприклад, ∆KCD), а потім добудуйте його до трапеції. 1347. Побудуйте трапецію за основами a i b (a > b) та діагоналями d1 i d2. Дано:

Побудувати: трапецію ABCD так, щоб AD = a, BC = b, AC = d1, BD = d2. Аналіз

В трапеції ABCD AD = a, BC = b. Проведемо через вершину С пряму, паралельну діагоналі BD. Вона перетинає продовження основи AD у т. Е. У ∆АСЕ: AC = d1; СЕ = BD = d2. АЕ = AD + DE = a + b. Побудова

Будуємо: 1) на довільній прямій відрізок AE = a + b, точку D так, щоб AD = а. 2) ∆АСЕ за трьома сторонами: АЕ = a + b; АС = d1; CE = d2. K1(A; d1) X K2(E; d2) = C. 3) через точку С пряму, паралельну АЕ. Від точки С на цій прямій відкладаємо відрізок CB = b (у напрямку до вершини А) 4) з'єднуємо точки A і B, C і D. ABCD – шукана трапеція. Доведення: У трапеції ABCD: AD = a, BC = b, AC = d1, BD = d2. 1348. Побудуйте трапецію за основою a, висотою h і двома діагоналями d1 i d2. Дано:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Побудувати: трапецію ABCD так, щоб AD = a – нижня основа; BH = h, AC = d1, BD = d2. Аналіз

la. in.

Оскільки відома висота h, то вершини B і C лежать на прямій, яка паралельна основі AD і віддалена від неї на відстань h. Вершини C і D можна знайти як точки перетину паралельної прямої з дугами кіл радіусів d1 і d2. Побудова

Будуємо: 1) довільну пряму l1 і позначимо на ній точку A. 2) на відстані h від прямої l1 проведемо пряму l2 ∥ l1. 3) від точки А на прямій l1 відкладемо відрізок AD = a 4) K1(A; d1) X l2 = C; коло K2(D; d2) X l2 = B 5) з'єднуємо точки A і B, C і D. ABCD – шукана трапеція. Доведення: У трапеції ABCD: AD = a, BH = h, AC = d1, BD = d2. 1349. Побудуйте чотирикутник за радіусом R описаного кола та сторонами a, b, c.

Побудуємо коло з центром О і радіусом R. Вибираємо довільну точку А і відкладаємо хорду AB таку, що AB = а; потім від точки В відкладаємо хорду BC, BC = b; від точки c відкладаємо хорду CD, CD = c. ABCD – шуканий чотирикутник вписаний у коло. 1350. Побудуйте прямокутник за радіусом R описаного навколо нього кола і: 1) стороною а; 2) кутом α між діагоналями.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1) Будуємо коло радіуса R і проводимо хорду, довжина якої а (АВ = а). Через точки А і В проводимо прямі ВС і AD, перпендикулярні до АВ і які перетинають коло в точках С і D. Тоді ABCD — шуканий прямокутник.

2) Будуємо коло радіуса R і будуємо центральний кут АОВ такий, що ∠AOB = α. Проводимо діаметри АС і BD. Тоді АВСD — шуканий прямокутник. 1351. Побудуйте трикутник за двома кутами й бісектрисою. Скільки випадків слід розглянути?

α, β — кути трикутника; l — бісектриса. l — бісектриса одного з даних кутів або l — бісектриса третього кута (невідомого). Побудуємо кут α (∠MAK). Від променя КА в одну півплощину з променем AM відкладемо β. У ∆АМК: ∠A = α, ∠K = β. Побудуємо бісектрису ∠A. На цій бісектрисі від т. А відкладемо відрізок AD = l. Через т. D проведемо ВС ∥ МК; В ∈ АМ; С ∈ АК. ∆АВС — шуканий: ∠A = α, ∠C = β, АD = l.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

1352. Побудуйте трикутник за його периметром Р та двома гострими кутами a і b. 1. Побудуємо довільний трикутник з кутами α і β. 2. Знайдемо периметр даного трикутника та коефіцієнт його подібності із даним трикутником. 3. Побудуємо шуканий трикутник. 1353. Побудуйте трикутник за відношенням сторін та: 1) найбільшою медіаною; 2) найменшою висотою. 1. АВ : ВС : АС = p : n : k

1) Побудуємо довільний ∆АВ1С1 за даним відношенням сторін. Найбільша медіана буде проведена до найменшої сторони. 2) Проведемо медіану до В1С1 (АК1). На медіані АК1 відкладаємо АК = m. 3) Через точку K проведемо ВС ∥ B1C1. ∆АВС — шуканий.

2. 1) Аналогічно побудуємо довільний ∆А1В1С1 за даним відношенням сторін. Найменша висота проведена до найбільшої сторони. Проведемо B1H1 ⊥ A1C1. 2) На B1H1 від B1 відкладаємо BH = L. 3) Через H проводимо AC ∥ A1C1. ∆АВС — шуканий. 1354. Побудуйте рівнобедрений трикутник за: 1) кутом при вершині та сумою основи й висоти; 2) відношенням двох нерівних сторін та висотою, проведеною до бічної сторони.

 shkola.in.ua

la. in.

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

ВК = ВК + АС, де ВК — висота, АС — основа ∆АВС. 1. Побудуємо довільний рівнобедрений трикутник ∆А1В1С1 із даним ∠B. 2. Проведемо бісектрису ∠В (вона ж є і висотою). 3. На бісектрисі від т. В відкладаємо ВH1 = ВК1 + А1С1. Побудуємо H1A1 і H1C1. На бісектрисі ВH1 від точки В відкладаємо ВH, що дано. Через точку H проводимо пряму, паралельно А1H1, яка перетинає ВA1 в точці А, а пряму ВС1 — в точці С. ∆АВС — шуканий. 1355. У дане коло впишіть трикутник: 1) подібний даному трикутнику; 2) сторони якого паралельні сторонам даного трикутника.

1. Побудуємо ∠A1OC1 = 2∠B; ∠A1OB1 = 2∠C, тоді ∆A1B1C1 — шуканий. ∆A1B1C1 ∼ ∆ABC за двома кутами.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

la. in.

2) Навколо ∆АВС опишемо коло. О — центр кола. Через т. О проведемо О1А1 ∥ ОА. О1В1 ∥ OB; О1С1 ∥ ОС. ∆A1B1C1 — вписаний трикутник. ∆А1В1С1 ~ ∆АВС. ∆A1B1C1 — шуканий. 1356. Побудуйте трикутник за двома кутами та найбільшою висотою. Побудуємо ∆AC1B1, у якого ∠C1AB1 = ∠A, ∠C1B1A = ∠B.

Найбільша висота — це висота, проведена до найменшої сторони. Найменша сторона — сторона, що лежить навпроти найменшого кута, ∠A — найменший. Проведемо з т. А, АК ⊥ В1С1. Відкладемо від т. А на відрізку АК : AM = h. Через т. М проведемо ВС ∥ В1С1 (В ∈ AB1; С ∈ АС1). ∆АВС — шуканий. 1357. Побудуйте трикутник за двома кутами та найменшою медіаною.

Побудуємо допоміжний трикутник з даними кутами. Найменша медіана проведена до найбільшої сторони. Виберемо найбільшу сторону (AB). Проведемо медіану до сторони AB. СК — медіана до сторони AB. Від т. С на відрізку СК відкладемо СР = m. Через т. Р  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

проведемо пряму, паралельну AB. Ця пряма перетинає сторони СА і СВ в точках D і F. ∆CDF — шуканий (∠D = ∠A; ∠F = ∠B; СР = m — медіана). 1358. Побудуйте трикутник за відношенням двох сторін, кутом між ними та бісектрисою цього кута. АВ : АС = m : n

la. in.

Побудуємо ∠A. На одній стороні ∠А відкладемо відрізок m, на другій — n; одержимо допоміжний ∆AB1C1. Проведемо бісектрису ∠A і на ній від т. А відкладемо AK = la. Через т. К проведемо ВС ∥ B1C1. ∆АВС — шуканий. 1359. Побудуйте трикутник за серединами відрізків, які сполучають центр вписаного кола з вершинами. М, N, K — середини відрізків ОА, OB, ОС, де О — центр вписаного кола в ∆АВС.

Побудуємо ∆MNK і впишемо в нього коло, центр якого т. O (т. O — точка перетину бісектрис ∠M, ∠N і ∠K). На промені ОМ відкладемо МА = ОМ; на промені ON : BN = ОМ; на промені ОК : КС = OK. ∆АВС — шуканий. 1360. Як побудувати відрізок, що є середнім пропорційним між двома даними відрізками а і b?

CK2 = AK · AB. CK — висота прямокутного трикутника є середнім пропорційним між відрізками AK і BK.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

1361. Побудуйте прямокутний трикутник за найменшою висотою та відношенням проєкцій катетів на гіпотенузу. ∆АВС — прямокутний.

la. in.

Найменша висота — висота, проведена до гіпотенузи. ВН ⊥ АС. АH : HС = h; BH = h. Побудуємо допоміжний прямокутний трикутник, у якого А1H1 : H1С1 = k. На висоті ВH1 від т. В відкладемо BH = h. Через т. H проведемо пряму АС ∥ А1С1. 1362. Впишіть у трикутник ABC квадрат так, щоб дві його вершини лежали на більшій стороні трикутника, а дві інші вершини — на двох інших його сторонах.

Проведемо висоту до більшої сторони трикутника, потім з подібності трикутників визначимо сторону квадрата. Нехай AC — більша сторона ΔABC. BK — висота. 1363. Впишіть у трикутник ABC такий трикутник, сторони якого відповідно перпендикулярні до сторін трикутника АВС.

У ∆АВС необхідно вписати трикутник, сторони якого відповідно пер перпендикулярні до сторін ∆АВС. Побудуємо допоміжний трикутник MKN; М ∈ АС; М — довільна точка, МК ⊥ АС; К ∈ AB; KN ⊥ АВ; MN ⊥ ВС. Проведемо промінь AN до перетину зі стороною ВС (т. Р).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3333-hdz-heometriia-8-klas-burda.html

Проведемо PD ∥ NK; РО ∥ NM. ∆POD ~ ∆NMK. ∆POD — шуканий. 1364. Впишіть у трикутник ABC прямокутник, у якому основа втричі більша за висоту й лежить на основі трикутника, а дві вершини лежать на його бічних сторонах.

la. in.

Побудуємо допоміжний прямокутник MNPK: з будь–якої т. М побудуємо перпендикуляр до АС. Цей перпендикуляр перетне AB в т. N. Від т. М на промені MC відкладемо МК = 3MN. З т. К проведемо KP ∥ MN; з т. N проведемо NP ∥ МК. У прямокутника MNKP: МК втричі більша за MN. Проведемо АР до перетину зі стороною ВС. АР перетне ВС в точці Z. Побудуємо ZO ⊥ AC i ZD ∥ AC (D ∈ AВ). Проведемо DE ⊥ AC. EDZO — шуканий прямокутник.

 shkola.in.ua