h-8-al-be

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

1. Провідміняй слова: дріб, частка, знаменник.

Дріб – число, що складається з частин одиниці.

Іменник, чоловічий рід, 2 відміна, тверда група

називний дріб

родовий дробу

давальний дробові, дробу

знахідний дріб

орудний дробом

місцевий дробі

кличний дробе

Частка – результат, одержаний при

Іменник, жіночий рід, 1 відміна, тверда група

називний частка

частку

орудний часткою

місцевий частці

кличний частко

Знаменник

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

х+��;

Знаменник: х + 3 ≠ 0

х ≠ -3

Допустимі значення: х ≠ -3 б) ��

х��

Знаменник 1 + с2х2

Оскільки 1 + с2х2 > 0 для всіх х,

знаменник ніколи не дорівнює

нулю.

Допустимі значення: будь-яке х.

(х−у);

Знаменник: х(х – у) ≠ 0 Рівняння х(х – у) = 0 має розв’язки х = 0 або х = у.

Допустимі значення: х ≠ 0, х ≠ у.

г) а а�� −�� .

Знаменник: а2 – 1 ≠ 0

Розкладемо: (а – 1)(а + 1) ≠ 0, тобто а ≠ ±1

Допустимі значення: а ≠ ±1.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

нулю.

а) 3а

а2 −16;

Знаменник: а2 – 16 = 0

Розв’язок:

а2 = 16

а = ± 4 Допустимі

б) 1

х(х2 −9);

Знаменник: х(х2 – 9) = 0

Розв’язок:

х = 0 або х2 – 9 = 0 ⇒ х = ± 3

в) ��

(��−1)(��+4);

Знаменник: (m – 1)(m + 4) = 0

Розв’язок: m – 1 = 0 ⇒ m = 1

m + 4 = 0 ⇒ m = −4

а2 +1 .

Знаменник: а2 + 1 = 0

Розв’язок:

а2 = -1

Оскільки а2 = -1

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

х2 = 1 ⇒ x = ±1

Допустимі

в) 3

4х−х3 ;

Знаменник: 4х – х3 = 0

Розв’язок:

х(4 – х2) = 0

х = 0 або 4 − x2 = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2

1+х2

Знаменник: 1 + х2 = 0

Оскільки

а) 12х3а2 : 2ха2;

Знаменник: 2ха2 = 0

Розв’язок:

х = 0 або а =0

Допустимі значення змінної: х ≠ 0, а ≠ 0.

б) 9,5m7 : 0,5m2x5;

Знаменник: 0,5m2x5 = 0

Розв’язок:

m2 = 0 або х5 = 0

m = 0 або х = 0

Допустимі значення змінної: m ≠ 0, x ≠ 0.

в) 5х7с : (-0,5х5).

Знаменник: -0,5х5 = 0

Розв’язок: х5 = 0 ⇒ x = 0

Допустимі значення змінної: х ≠ 0.

22. Знайди

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

в) -7,2х3у5с3 : (-0,8у3с).

Знаменник: -0,8у3с = 0

Розв’язок:

у3 = 0 або с = 0

y = 0 або с = 0

Допустимі значення змінної: у ≠ 0, с ≠ 0.

23. Запиши дроби, які не мають змісту, якщо:

а) x = 3 → дріб 1 ��−3 не має змісту.

б) y = -1 → дріб 1 ��+1 не має змісту.

в) y = -4 і y = 0 → дроби 1 ��+4, 1 �� не мають змісту.

г) a = 0 і a = 0,5 → дроби 1 �� , 1 ��−0,5 не мають змісту.

д) m = 1 і m = -5 → дроби 1 ��−1, 1 ��+5 не мають змісту.

24. Запиши дроби, які не мають змісту, якщо:

а) x = 5 → дріб 1 ��−5 не має змісту.

б) z = -3 → дріб 1 ��+3 не має змісту.

в) t = 0 → дріб 1 �� не має змісту.

г) x = 0 і x = -3 → дроби 1 �� , 1 ��+3 не мають змісту.

д) x = -2 і x = 2 → дроби 1 ��+2,

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

5 =1

с + 2 = 5

с = 5 – 2 с = 3

2:

=2 с + 2 = 10

с = 10 – 2 с = 8

-3:

4 = 3

3х – 12 = -12

3х = -12 + 12

3х = 0 х = 0

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

+ 2 = 0

= -2

-100:

= 100

+ 2 = -500

= -500 – 2

= -502

0:

=0

– 12 = 0

= 12 х = 4

34. What values of x are acceptable for a fraction?

а) х2 −5х+100 (х2 −4)(х4 −1) : Прирівняємо знаменник

(х2 – 4)(х4 – 1) = 0.

2 – 4 = 0 х2 = 4 х = 0

х = -1

4 – 1 = 0

2 – 1)(х2 – 1) = 0

= 1

+ 2 = -5

= -5 – 2

= -7

= 8

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2х

а)

х(х+7)(х−2) :

Прирівняємо знаменник до нуля:

х(х + 7)(х – 2) = 0.

Рівняння виконується, коли х = 0, х = -7 або х = 2.

Відповідь: допустимі всі значення х, крім -7, 0, 2.

б) 4

(1+2х)(х2 −9) :

Прирівняємо знаменник до нуля: (1 + 2х)(х3 – 9) = 0.

Це рівняння виконується, якщо 1 + 2х = 0 або х2 – 9 = 0.

1 + 2х = 0

2х = -1

х = -0,5

х2 – 9 = 0

х2 – 9

х = 3 або х = -3

Відповідь: допустимі всі значення х, крім -3, -0,5, 3.

в) 5а (а2 +3)(3а2 +2) :

Розглянемо знаменник: (а2 + 3)(3а2 + 2).

Вираз а2 завжди невід’ємний

Аналогічно, 3а2 + 2 завжди буде

Оскільки жоден із множників не може

нулю. Відповідь:

г) ��+12 ��2 −8��+16 :

Прирівняємо знаменник до нуля: m3 – 8m + 16 = 0.

Це є повний квадрат: (m – 4)2 = 0.

Рівняння виконується, коли m – 4 = 0, тобто m = 4.

Відповідь: допустимі всі значення m, крім m = 4. 36. Чи

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2х−х2 −1

Чисельник х2 + 6: оскільки х2 ≥ 0, чисельник

будь-якому значенні.

Відповідь: ні.

37. Доведи, що при будь-якому

дробу (−3)2 −3−х2 від’ємне.

х�� +�� :

Чисельник 5 є додатниим числом.

Знаменник х2 + 3. Вираз х2 для будь-якого х є

значення знаменника – це 0 + 3 = 3. Отже, знаменник завжди є додатним числом.

Оскільки і чисельник, і знаменник завжди додатні, то

Що і треба було довести. (−��)��

−��−х�� :

Чисельник (-3)2 = 9 є додатним числом.

Знаменник -3 – х2. Винесемо мінус за дужки: -(3 + х2). Вираз х2 завжди є невід’ємним (х2 ≥ 0).

(більшим або рівним 3).

Отже, весь знаменник –(3 + х2)

Оскільки чисельник

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

х = 3а+2

а−2

б)

а2х – 3 = ах + а

а2х – ах = а + 3

х(а2 – а) = а + 3

х(а(а – 1)) = а + 3

х = а+3

а(а−1)

Рівняння має корені, якщо

в) 4(а2х – 3) = а + х

4а2х – 12 = а + х

4а2х – х = а + 12

х(4а2 – 1) = а + 12

х = а+12 4а2 −1 Рівняння

а) 3ах – 2а = а2х + 6

3ах – а2х = 2а + 6

х(3а – а2) = 2а + 6

х = 2а+6

3а−а2 Рівняння

б) ах – а = 7х – а

ах – 7 7х = а – 4

х(а – 7) = а – 4

х = а−4

а−7

9х – 5 = а(ах – 2)

9х – 5 = а2х – 2а

9х – а2х = 5 – 2а

х(9 – а2) = 5 – 2а

х = 5−2а 9−а2

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

в) у(у + 2х) – (х + у)2

у(у + 2х) = у2 +2ху

-(х – у)2 = -(х2 + 2ху + у2) = -х2 – 2ху – у2

у2 + 2ху – х2 – 2ху – у2

Відповідь: -х2

45. Розклади на множники вираз.

а) х2 – 16 = (x – 4)(x + 4)

б)

х2 – 9у4 = (x – 3y2)(x + 3y2)

в) х2 – 6х + 9 = (x – 3)2

г) а3 – 4а = a(a – 2)(a + 2)

ґ) 3а2 – 6ab + 3b2 = 3(a – b)2 д) 2х + 2у – ах – ау = (x + y)(2 – a) 46.

г) (b + 4)2 – (b – 3)(b + 3)

(b + 4)2 = b2 + 8b + 16 -(b – 3)(b + 3) = -(b2 – 9) = -b2 + 9

b2 + 8b + 16 – b2 + 9

Відповідь: 8b + 25

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

)2

б) а2 −1 а+1 = а− 1; (а−1)(а+1) а+1 = а− 1; а− 1= а− 1. Тотожність доведено. в) 2(х−1) ху−у2 = 4(х−у) 2у(х−у) ; 2(х−у) у(х−у) = 2(х−у) у(х−у) . Тотожність доведена.

г) 4а2 −х2 2а+х = 2а −х; (2а−х)(2а+х) 2а−х = 2а −х; 2а −х = 2а −х. Тотожність доведено.

ґ) (а+с)3

а+с = (а + с)2 ; (а + с)2 = (а + с)2 . Тотожність доведено.

д) х2 −2х+1 х−1 = х− 1; (х−1)2 х−1 = х− 1; х− 1= х− 1. Тотожність доведено.

74. Доведи тотожність.

х3 −с3 х2 +хс+с2 = х−с; (х−с)(х2 +хс+с2 ) х2 +хс+с2

+с3 х+с = х2 хс

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

= (��− 1)2 . Тотожність доведено.

85. Спрости вираз.

2х+2+3ху−2у

а)

2у−2+3ху−3х = (3х+2)+у(3х+2) 2(у−1)+3х(у−1) = (3х+2)(1+у) (у−1)(2+3х) = у+1 у−1; б) (х+1)(х−1)

х2 +3х+2 = (х+2)(х−1) (х+2)(х+1) = х−1 х+1;

х2 −4х+3

х2 −2х−3 = (х−3)(х−1) (х−3)(х+1) = х−1 х+2 .

86. Спрости вираз. а)

2��2 −18 ��2 +2��−15

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

б) (��4 +��4 )(��3 −��2 ��+��2 ��3 ) ��8 ��8 , якщо а = 12,25, b = 2 1 4 .

а3 – a2b + ab2 – b3 = (a2 + b2)(a – b)

a8 – b8 = (a4 – b4)(a4 + b4) = (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) (��4 +��4 )(��2 +��2 )(��−��)

(��−��)(��+��)(��2 +��2 )(��4 +��4 ) = 1 ��+�� . a + b = 12,25 – 2,25 = 10 = 1 10

Відповідь: 1 10 .

88. Скороти дріб і знайди його значення.

а) ��2 −4�� +4��2 −9 ��−2��−3 , якщо а = 2, b = 1 2 . a2 – 4ab + 4b2 = (a – 2b)2 (��−2��)2 −9 ��−2��−3 = (��−2�� −3)(��−2�� +3) ��−2��−3 = ��− 2�� +3. a – 2b + 3 – 2 – 1 + 3 = 4

Відповідь: 4.

б) ��8 ��8 (��3 +��2 ��+��2 +��3 )(��4 +��4 ), якщо а = -5,25, b = 1 4 . a8 – b8 = (a4 – b4)(a4 + b4) та a4 – b4 = (a – b)(a3 + a2b + ab2 + b3) (��−��)(��3 +��2 ��+��2 +��3 )(��4 +��4 ) (��3 +��2 ��+��2 +��3 )(��4 +��4 ) = ��−��

a – b = -5,25 – (-0,25) = -5

Відповідь: -5. 89. Чи

так,

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

(а – 3)х – а(а – 3) = 0

(а – 3)(х – а) = 0

а – 3 = 0

або х – а = 0

а = 3 а = х

ха2 – х – 2а + 2 = 0

х(а2 – 1) – 2(а – 1) = 0

х(а – 1)(х(а + 1) – 2) = 0

(а – 1)(х(а + 1) – 2) = 0

(а – 1)(ха + х – 2) = 0

а – 1 = 0 або ха + х – 2 = 0

а = 1 а = −х+2 х

97. Для кожного значення а розв’яжи рівняння.

а) (а + 5)х = 2а2 + 10а

(а + 5)х = 2а(а + 5)

(а + 5)х – 2а(а + 5) = 0

(а + 5)(х – 2а) = 0

а + 5 = 0 або х – 2а = 0

а = -5 а = 1 2 х

б) (а2 + 6а)х = а2 – 36

ха2 + 6ха = а2 – 36

ха2 + 6ха – а2 + 36 = 0

ха(а + 6) + 36 – а2 = 0

ха(а + 6) + (6 – а)(6 + а) = 0

(а + 6)(ха + 6 – а) = 0

а + 6 = 0 або ха + 6 – а = 0

= -6 а = 6 х 1

m – маса

10 ≤ 5(або 6)

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

солі = 10%

Якщо норма 5 г: �� 10 =5 →�� = 50 г.

Якщо норма 6 г: �� 10 =6 →�� = 60 г.

Відповідь: за

містять сіль.

103. Розв’яжіть рівняння: 5−2x(3x −2) = x(x + 4)−7x(x −5).

5−2x(3x −2) = x(x + 4)−7x(x −5) = х(х + 4) – 7х(х – 5) 5 – 6х2 + 4х = х2 + 4х – 7х2 + 35х

35х = 5

х = 1 7

104. Складіть

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Відповідь: а) ні; б) ні; в) так (при x=1); г) ні.

123. Solve the equation:

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

течією: швидкість �� +2,5, шлях 7(

+2,5).

течії: швидкість ��− 2,5, шлях 9(��− 2,5).

Маємо рівність: 7(�� +2,5) =9(��− 2,5).

Розкриваємо дужки: 7�� + 17,5=9��− 22,5 ⇒ 40 =2�� ⇒�� = 20.

Відповідь: власна швидкість катера 20 км/год.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Тотожність

доведено.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

б) �� 2 6�� 2 − 4 + �� − 2 =0; �� 2 4= (��− 2)(�� +2); �� (��− 6) (��− 2)(�� +2) + �� (�� +2) (��− 2)(�� +2) =0; �� (��− 6) + �� (�� +2) =0 (��− 2)(�� +2) ≠ 0 ;

�� (2�� 4) = 0 (�� 2)(�� + 2) ≠ 0 ; � 2�� (�� 2) = 0 (�� 2)(�� + 2) ≠ 0; �� = 0 �� ≠ 2 або � �� = 2 �� ≠ 2 ; �� = 0

1 2��− 1 + 6�� 1 8�� 3 =0; 1 8�� 3 = (2��− 1) ⋅

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� 2 8 (�� +2)(�� 2 − 2�� +4) 1 �� +2 =0; ��² 8 ��² + 2�� 4 = 0 (�� + 2)(��² 2�� + 4) ≠ 0 ;

2�� 12 = 0 (�� + 2)(��² 2�� + 4) ≠ 0 ; �� = 6.

205. Розв’яжи рівняння. а) 12�� 4�� 2 9 + 2��− 3 4�� +6 + 2�� +3 6��− 9 =0; (4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3), 4x + 6 = 2(2x + 3), 6x − 9 = 3(2x − 3)); 12�� (2��− 3)(2�� +3) + (2�� 3) 2(2�� + 3) + (2�� + 3) 3(2�� 3) =0; 72�� + 3(2�� 3)² + 2(2�� + 3)² 6(2�� 3)(2�� + 3) =0; �72�� + 3(2�� 3)² + 2(2�� + 3)² = 0 6(2�� 3)(2�� + 3) ≠ 0 ; �72�� + 3(4��² − 12�� + 9) + 2(4��² + 12�� + 9) = 0 6(2�� 3)(2�� + 3) ≠ 0 ;

20�� 2 + 60�� + 45 =0

6(2��− 3)(2�� +3) ≠ 0 ; � 4�� 2 + 12�� +9=0 6(2��− 3)(2�� +3) ≠ 0 ;

(2�� + 3)² = 0 6(2�� 3)(2�� + 3) ≠ 0 ; розв’язків

Отже, �� ділить 3. �� =±1, ±3.

2��2 +3�� +5 �� ; 2��2 +3�� +5

, ��

5. �� =±1, ±5.

число

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Сума чисельників тотожно

в) (��−�� )(�� −�� ) �� (��−�� ) + (��−�� )(�� −�� ) �� (��−�� ) + �� =1.

Приводимо перші два дроби до спільного знаменника (�� (��−�� )): �� (��−�� )(�� −�� ) −��(��−�� )(�� −�� ) �� (��−�� ) + �� (��−�� ) �� (��−�� ).

Чисельник після розкриття дужок спрощується

Отже, �� (��−�� )

�� (��−�� ) =1.

Тотожність доведено.

215. Запиши

Візьмемо:

В = 8 (вісім), Д = 10 (десять), Ч = 4 (чотири), Ш = 6 (шість).

Тоді суми рядків:

8+8+ 10 = 26, 4+ 10 + 10 = 24, 4+6+6= 16;

суми стовпчиків:

8+4+4= 16, 8+ 10 +6= 24, 10 + 10 +6= 26.

Отримані суми збігаються як множини (16, 24, 26), тому вимога виконана.

216. Обчисли.

а) 530 ⋅ 330 (1515 1)(1515 +1);

530 ⋅ 330 = (5 ⋅ 3)30 = 1530 ; (1515 1)(1515 +1) = (1515 )2 1= 1530 1; 1530 (1530 1) =1.

б) 724 ⋅ 824 + (1 − 5612 )(1+ 5612 ); 724 ⋅ 824 = (7 ⋅ 8)24 = 5624 ; (1 5612 )(1+ 5612 ) =1 (5612 )2 =1 5624 ; 5624 +1 5624 =1.

217. Виконай дії.

а) 2+ 8 15 ⋅ 1 9 16 ; 1 9 16 = 25 16 ;

x+15

6(x+15) – 4x = 220.

6x + 90 – 4x = 220, 2x + 90 = 220, 2x = 130, x = 65.

Відповідь: 65 грн.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

3�� 6 = 0

3�� = 6 �� = 2

Відповідь: x = 2 (В).

2.

Відповідь: 6�� 2 �� (В) 3.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2(��− 4)2 (��− 4)(�� +4) = 2(��− 4) �� +4

) 5 �� +5 + 5 ��− 5 + 2�� 2 �� 2 25 =0 �� 2 25 = (��− 5)(�� +5) 5(��− 5) +5(�� +5) +2�� 2 (��− 5)(�� +5) =0 5��− 25 +5�� + 25 +2�� 2 (��− 5)(�� +5) =0

2�� 2 + 10�� (��− 5)(�� +5) =0

2�� 2 + 10�� =0 (��− 5)(�� +5) ≠ 0 ; � 2�� (�� +5) =0 (��− 5)(�� +5) ≠ 0 ;

7. Доведи тотожність. �� +5 3�� +9 ��− 10 3��− 9 3�� +5 �� 2 9 =0. �� 2 9= (��− 3)(�� +3)

3�� +9=3(�� +3), 3��− 9=3(��− 3) �� +5 3(�� +3) ��− 10 3(��− 3) 3�� +5 (��− 3)(�� +3) =0

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

239.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2�� 2 +8��− 5= (1+2�� )(�� +3)

2�� 2 +8��− 5=

�� + 3 = 8 + 3 = 11

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

рівняння рівносильне системі: � 4�� 2 16 =0

�� (�� +3)(�� +4) ≠ 0; � 4�� 2 = 16 �� ≠ 0, �� ≠−3, �� ≠−4; � �� 2 =4

�� ≠ 0, �� ≠−3, �� ≠−4; � �� =2 або �� = 2 �� ≠ 0, �� ≠−3, �� ≠−4; Обидва корені �� =2 та �� = 2 задовольняють умови знаменника.

Відповідь: ��1 =2; ��2 = −2. 389. Знайди корені рівняння: а)

7��− 2

4 −�� 2 + 5 2+ �� = 3 2 −��

7��− 2

(2 −�� )(2+ �� ) + 5 2+ �� 3 2 −�� =0

7��− 2

(2 −�� )(2+ �� ) + 5(2 −�� ) (2+ �� )(2 −�� ) 3(2+ �� ) (2 −�� )(2+ �� ) =0

(7��− 2) +5(2 −�� ) 3(2+ �� )

(2 −�� )(2+ �� ) =0

7��− 2+ 10 5��− 6 3��

(2 −�� )(2+ �� ) =0

7��− 5��− 3��− 2+ 10 6

(2 −�� )(2+ �� ) =0 −�� +2

(2 −�� )(2+ �� ) =0

Це рівняння рівносильне системі:

+ 2=0

(2 −�� )(2+ �� ) ≠ 0; � −��

�� = 2 не задовольняє

Відповідь: Рівняння

в) 2��− 4�� 2 1 2��− 1 =5

4�� 2 1 2��− 1 =5 2��

4�� 2 − 1

2��− 1 =2��− 5

4�� 2 − 1= (2��− 5)(2��− 1)

4�� 2 1=4�� 2 2��− 10�� +5

4�� 2 1=4�� 2 12�� +5

4�� 2 4�� 2 + 12�� =5+1

12�� = 6 �� = 6 12 �� = 0.5 Перевірка кореня: 2��− 1=2(0.5) 1=1 1=0

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

4 �� +1 �� +1 ��− 1 + �� 2 3 (��− 1)(�� +1) =0

4(��− 1) (�� +1)(��− 1) (�� +1)(�� +1) (��− 1)(�� +1) + �� 2 3 (��− 1)(�� +1) =0

4(��− 1) − (�� +1)2 +(�� 2 − 3) (��− 1)(�� +1) =0 (4��− 4) (�� 2 +2�� +1)+ �� 2 3 (��− 1)(�� +1) =0

4��− 4 −�� 2 2��− 1+ �� 2 3 (��− 1)(�� +1) =0 2��− 8 (��− 1)(�� +1) =0

Це рівняння рівносильне системі: �2��− 8=0 (��− 1)(�� +1) ≠ 0 ⇒�2�� =8 ��≠ 1 і ��≠−

Відповідь: �� =4.

б) 8+ 24�� 36�� 2

(6��− 1)(6�� +1)

8+ 24��− 6��− 1 12�� +2 (6��− 1)(6�� +1) =0 6�� +9 (6��− 1)(6�� +1) =0

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2 �� +1 5 ��− 1 + 7 −�� 2 (��− 1)(�� +1) =0

2(��− 1) (�� +1)(��− 1) 5(�� +1) (��− 1)(�� +1) + 7 −�� 2 (��− 1)(�� +1) =0

2(��− 1) − 5(�� +1)+(7 −�� 2 ) (��− 1)(�� +1) =0

2��− 2 5��− 5+7 −�� 2 (��− 1)(�� +1) =0 −�� 2 3�� (��− 1)(�� +1) =0

−�� (�� +3) (��− 1)(�� +1) =0

Це рівняння рівносильне системі:

(�� +3)=0 (��− 1)(�� +1) ≠ 0 ⇒�� =0 або �� = 3 ��≠ 1 і ��≠−1

Перевіримо корені:

�� = 3 задовольняє

��1 =0; ��2 = 3

)(1

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� )(1+2�� ) =0

�� =2 задовольняє умови знаменника.

�� =2. б) 2�� 2

1 2��− 3 4 2�� +3 9 −�� 2 (2��− 3)(2�� +3) =0

1 2��− 3 + 4 2�� +3 + 9 −�� 2 (2��− 3)(2�� +3) =0 1 ⋅ (2�� +3)

(2��− 3)(2�� +3) + 4 ⋅ (2��− 3) (2�� +3)(2��− 3) + 9 −�� 2 (2��− 3)(2�� +3) =0 (2�� +3)+4(2��− 3)+(9 −�� 2 )

(2��− 3)(2�� +3) =0 2�� +3+8��− 12 +9 −�� 2 (2��− 3)(2�� +3) =0 −�� 2 + 10��

(2��− 3)(2�� +3) =0 −�� (��− 10)

(2��− 3)(2�� +3) =0

рівняння рівносильне системі: �−�� (��− 10)=0 (2��− 3)(2�� +3) ≠ 0 ⇒�� =0 або �� = 10 2��≠ 3 і 2��≠−3

12

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

(��− 2)(�� +2) = 3(��− 2) −�� − 2

12 (��− 2)(�� +2) = 3�� +6 −�� − 2

12 (��− 2)(�� +2) = 4�� +6 ��− 2

Застосуємо основну

12 ⋅ (��− 2)=( 4�� +6) ⋅ (��− 2)(�� +2)

Поділимо обидві частини на (��− 2), але запам'ятаємо, що ��≠ 2:

12 =( 4�� +6)(�� +2)

12 = 4�� 2 8�� +6�� + 12

12 = 4�� 2 2�� + 12

4�� 2 +2�� + 12 − 12 =0

4

+2

=0 2�� (2�� +1)=0 Звідси

�� +1=0 ⟹�� = 0.5

(��− 2)(�� +2) ≠ 0 та ��− 2 ≠ 0. Корені, що виключаються: x ≠

(5+2�� )2 (1+2�� )2 =0 Розкриємо чисельник:

7(5+2�� )(1+2�� )=7(5+ 10�� +2�� +4��

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

час ��за + ��проти = 20 год. 96 10 + �� + 96 10 −�� = 20

Знаменник: (10 + �� )(10 −�� )= 100 −�� 2 . 96(10 −�� )+ 96(10 + �� )= 20(100 −�� 2 )

960 − 96�� + 960 + 96�� = 2000 − 20�� 2

1920 = 2000 20�� 2

20�� 2 = 2000 1920 20�� 2 = 80 �� 2 =4

Знаходження коренів та перевірка ОДЗ: ��1 =2 або ��2 = 2.

ОДЗ: �� < 10 і �� >0 (швидкість).

��2 = 2 не задовольняє �� >0.

��1 =2 задовольняє �� < 10 і �� >0.

Швидкість течії річки �� =2 км/год.

Відповідь: 2 км/год.

406. Катер

часу, скільки

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Умова: ��−��≠ 0 ⟹��≠�� . Рівняння чисельника: (��− 2)(��− 5)=0. Корені: ��1 =

2, ��2 =5.

1. Якщо ��≠ 2 і ��≠ 5: Корені рівняння: �� =2 та �� =5.

2. Якщо �� =2: Корінь ��1 =2 відкидається (не задовольняє ОДЗ).

Корінь рівняння: �� =5.

3. Якщо �� =5: Корінь ��2 =5 відкидається (не задовольняє ОДЗ).

Корінь рівняння: �� =2.

Значення параметра �� Корені рівняння

2 і �� ≠ 5 �� = 2; �� = 5

= 2

= 5

б) ��−�� (�� +2)(��− 4) =0

= 5

= 2

Умова: (�� +2)(��− 4) ≠ 0 ⟹��≠−2 і ��≠ 4.

Рівняння чисельника: ��−�� =0. Корінь: �� = �� .

1. Якщо ��≠−2 і ��≠ 4: Корінь рівняння: �� = �� .

2. Якщо �� = 2 або �� =4: Корінь �� = �� відкидається (не задовольняє ОДЗ).

Рівняння коренів не має. Значення параметра �� Корені рівняння

≠ −2 і �� ≠ 4 �� = ��

= −2 або �� = 4 Коренів немає

=0 Умова: ��−��≠ 0 ⟹��≠�� . Рівняння чисельника: �� (��− 6)=0. Корені: ��1 =0, ��2 =6.

1. Якщо ��≠ 0 і ��≠ 6: Корені рівняння: �� =0 та �� =6.

2. Якщо �� =0: Корінь ��1 =0

Корінь рівняння: �� =6.

3. Якщо �� =6: Корінь ��2 =6

Корінь рівняння: �� =0.

Значення

а інший — ні.

1. Якщо �� =7: Корінь �� =7 відкидається. Залишається �� = 1. 2. Якщо �� = 1: Корінь �� = 1 відкидається.

�� =0.

5. Якщо корені збігаються (��1 = ��2 ): �� =0. Тоді

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

1. Якщо −��≠ 0 і −��≠ 10 (��≠ 0 і ��≠−10): Корені: ��

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

(�� −�� )+(�� + �� )=2+6 ⟹ 2�� =8 ⟹�� =4

3. Знаходимо споживання Сина та Тата:

�� =6 −�� =6 4=2

�� = 10 −�� = 10 4=6

Річне споживання: Тато — 6, Мама — 4, Син — 2 поросята.

Знаходження часу на 1 порося (у тижнях)

Приймаємо, що 1 рік складається з 48 тижнів. Час на одне порося дорівнює 48,

поділеному на річне споживання:

• Тато: 48/6=8 тижнів.

• Мама: 48/4= 12 тижнів.

• Син: 48/2= 24 тижні.

Відповідь: Тато за 8 тижнів, Мама за 12 тижнів, Син за 24 тижні. 418. Розв’яжи математичні кросворди,

(ℚ) 7, 84,0, 2 9 ,0.5, −8,2 1 3 , −24,9

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2�� 3 : �� 3 = 2�� 3 ⋅ �� 3 �� =2.

Правильна Відповідь: В

7.

Правильна Відповідь: Б

Отже, x = 3 виключається.

Залишається тільки x = 0.

Правильна Відповідь: А

9. Спрости

Правильна Відповідь: А

10.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

1) Чи може вираз дорівнювати 0? 1

1 −�� 2 =0

Дріб дорівнює нулю лише якщо чисельник = 0.

Але чисельник = 1, отже 0 — неможливо.

2) Чи може вираз дорівнювати 1? 1 1 −�� 2 =0

Тоді: 1=1 −�� 2 0= −�� 2 ⇒ c 2 = 0⇒�� = 0 Але при (c = 0) початковий

Отже, 1 — теж неможливо.

3) Чи може вираз бути більшим за 1?

Маємо:

0).

0,35 <1; 23 ≥ 10; 32,4 ≥ 10; 2,5 ∈ [1; 10).

Правильна Відповідь: Г.

480. Укажи запис числа 0,351 у стандартному

0,351 =3,51 ⋅ 10−1 .

Правильна Відповідь: А.

481. Укажи порядок числа.

а) 3,27 ⋅ 107 ⇒ 107 ;

б) 5⋅ 10−8 ⇒ 10−8 ;

в) 3,07 ⋅ 107 ⇒ 107 ;

г) 5,9 ⋅ 108 ⇒ 108 ; ґ) 6,2 ⋅ 10−8 = 10−8 .

482. Укажи порядок числа.

а) 300000 =3 ⋅ 105 ⇒ 105 ;

б) 8320000 =8,32 ⋅ 106 ⇒ 106 ;

в) 0,000008 =8 ⋅ 10−6 ⇒ 10−6 ;

г) 0,000026 =2,6 ⋅ 10−5 ⇒ 10−5 .

483. Обчисли.

а) 2⋅ 104 +3 ⋅ 104 = (2+3) ⋅ 104 =5 ⋅ 104 ; б) 5⋅ 107 − 3 ⋅ 107 = (5 − 3) ⋅ 107 =2 ⋅ 107 ;

в) (2 ⋅ 107 ) ⋅ (3 ⋅ 107 ) =2 ⋅ 3 ⋅ 107+7 =6 ⋅ 1014 ; г) (6 ⋅ 109 ): (3 ⋅ 109 ) = (6:3) ⋅ 109−9 =2 ⋅ 100 =2.

484. Запиши без показника степеня.

а) 7⋅ 105 = 700000; б) 2,3 ⋅ 108 = 230000000;

в) 4,7 ⋅ 1010 = 47000000000;

г) 9,83 ⋅ 10−11 =0,0000000000983;

ґ) 3⋅ 10−9 =0,000000003;

д) 7,8 ⋅ 10−6 =0,0000078.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

485. Запиши без показника степеня.

а) 2,7 ⋅ 105 = 270000;

б) 3⋅ 107 = 30000000;

в) 3,02 ⋅ 1010 = 30200000000;

г) 9⋅ 10−8 =0,00000009;

ґ) 3,5 ⋅ 10−12 =0,0000000000035;

д) 1,95 ⋅ 10−9 =0,00000000195.

486. Запиши у стандартному вигляді число

а) 370000000 =3,7 ⋅ 108 ;

б) 4250000000 =4,25 ⋅ 109 ;

в) 1002000000 =1,002 ⋅ 109 ;

г) 0,000047 =4,7 ⋅ 10−5 ;

ґ) 0,000000365 =3,65 ⋅ 10−7 ;

д) 0,00000000107 =1,07 ⋅ 10−9 . 487. Write the number in scientific notation.

�� ) 290000000 =2,9 ⋅ 108 ;

��) 1070000000000 =1,07 ⋅ 1012 ;

�� ) 130020000000 =1,3002 ⋅ 1011 ;

�� ) 0,00000053 =5,3 ⋅ 10−7 ;

��) 0,00000000027 =2,7 ⋅ 10−10 ;

�� ) 0,000000003405 =3,405 ⋅ 10−9 .

488. Гра. Один

) 7⋅

) (5

5 ⋅ 106 ⇒ 106 ; 8 ⋅ 109 ⇒ 109 ; (5 ⋅ 106 )(8 ⋅ 109 ) =5 ⋅

. Меркурій: 3,26 ⋅ 1023 ⋅ 10−3 =3,26 ⋅ 1020 т;

4,88 ⋅ 1024 ⋅ 10−3 =4,88 ⋅ 1021 т; Марс: 6,43 ⋅ 1023 ⋅ 10−3 =6,43 ⋅ 1020 т; Юпітер: 1,90 ⋅ 1027 ⋅ 10−3 =1,90 ⋅ 1024 т;

5,69 ⋅ 1026 ⋅ 10−3 =5,69 ⋅ 1023 т;

8,69 ⋅ 1025 ⋅ 10−3 =8,69 ⋅ 1022 т;

Нептун: 1,04 ⋅ 1026 ⋅ 10−3 =1,04 ⋅ 1023 т. в) переліч планети в порядку зростання їх

Меркурій (3,26 ⋅ 1020 )

Марс (6,43 ⋅ 1020 )

Нептун (1,04 ⋅ 1023 )

Уран (8,69 ⋅ 1022 ) (виправляємо порядок:

Сатурн (5,69 ⋅ 1023 )

Венера (4,88 ⋅ 1021 ) (ставимо на місце)

Юпітер (1,90 ⋅ 1024 ).

Правильний порядок: Меркурій < Марс < Венера <

1023

3,26 ⋅ 1023 = 1,04 3,26 ≈ 0,32.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Уран:2,38 ⋅ 107 ;

Нептун:2,22 ⋅ 107 ; Уран більший за радіусом.

Маси:

Уран:8,69 ⋅ 1025 ;

Нептун:1,04 ⋅ 1026 ; Нептун масивніший. Висновок:

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

) 1427 ≈ 1430 =1,43 ⋅ 103 ;

) 155,678 ≈ 155,680 =1,5568 ⋅ 105 ;

в) 54,23 ≈ 54 =5,4 ⋅ 101 ;

г) 4911,2 ≈ 4910 =4,91 ⋅ 103 .

507. Округли число

а) 157,415 ≈ 157 =1,57 ⋅ 102 ;

б) 8901,5 ≈ 8902 =8,902 ⋅ 103 ;

в) 18,9 ≈ 19 =1,9 ⋅ 101 ;

г) 315,5 ≈ 316 =3,16 ⋅ 102 .

508. Порівняй числа.

а) 4,2 ⋅ 106 і 3,95 ⋅ 106 :

4,2>3,95 ⇒ 4,2 ⋅ 106 >3,95 ⋅ 106 ; б) 2,1 ⋅ 10−5 і 2 ⋅ 10−5 : 2,1>2 ⇒ 2,1 ⋅ 10−5 >2 ⋅ 10−5 ; в) 5,8 ⋅ 109 і 7,5 ⋅ 108 : 109 > 108 ⇒ 5,8 ⋅ 109 >7,5 ⋅ 108 ;

г) 7,3 ⋅ 10−7 і 6,4 ⋅ 10−6 : 10−7 < 10−6 ⇒ 7,3 ⋅ 10−7 <6,4 ⋅ 10−6 .

509. Порівняй числа.

а) 6,8 ⋅ 1013 і 8,8 ⋅ 1013 :

6,8<8,8 ⇒ 6,8 ⋅ 1013 <8,8 ⋅ 1013 ; б) 3,7 ⋅ 10−8 і 2,7 ⋅ 10−8 : 3,7>2,7 ⇒ 3,7 ⋅ 10−8 >2,7 ⋅ 10−8 ; в) 2,26 ⋅ 1020 і 8,12 ⋅ 1019 : 2,26 ⋅ 1020 = 22,6 ⋅ 1019 ; 22,6>8,12 ⇒ 2,26 ⋅ 1020 >8,12 ⋅ 1019 ; г) 4,71 ⋅ 10−12 і 5 ⋅ 10−13 : 5 ⋅ 10−13 =0,5 ⋅ 10−12 ; 4,71 >0,5 ⇒ 4,71 ⋅ 10−12 >5 ⋅ 10−13 . 510. Порядок числа

а) 1000��: 1000 = 103 ; �� = 10−12 ; 1000�� = 103 ⋅ 10−12 = 10−9 ; Порядок: 9; б) 0,0001��: 0,0001 = 10−4 ; �� = 10−12 ;

-12.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

0,0001�� = 10−4 ⋅ 10−12 = 10−16 ;

Порядок: 16;

в) ��⋅ 1015 : 10−12 ⋅ 1015 = 103 ;

Порядок: 3;

г) ��

10−20 : �� = 10−12 ; 10−12

10−20 = 10−12−(−20) = 108 ;

Порядок: 8.

511. Порядок числа a дорівнює 8. Який

а) 100��:

100 = 102 ; �� = 108 ; 100�� = 102 ⋅ 108 = 1010 ;

Порядок: 10;

б) 0,000001��:

0,000001 = 10−6 ; �� = 108 ; 0,000001�� = 10−6 ⋅ 108 = 102 ;

Порядок: 2;

в) ��⋅ 1012 : 108 ⋅ 1012 = 1020 ;

Порядок: 20;

г) �� 1012 : 108 1012 = 108−12 = 10−4 ;

Порядок: 4.

числа?

За даними таблиці: а) запиши

«Ліліпути»:

0,

0,0000375 м

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2�� =5+1

2�� =6 ��1 =3 Випадок 2: 2

Випадок 1: 6 −�� =2

=2 6

= 4 ��1 =4 Випадок 2: 6 −�� = 2

= 2 6

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

542. Чи проходить

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

функції �� = 24 ��

точки A(-6; -4), B(-12; 2), C(8; 3), K(-0,4; 60), E(-0,8; -30)?

��( 6; − 4): �� = 24 6 = 4 так

�� ( 12; 2): �� = 24 12 = 2 ≠ 2 ні

�� (8; 3): �� = 24 8 =3 так

�� ( 0,4; 60): �� = 24 0,4 = 60 ≠ 60 ні

�� ( 0,8; − 30): �� = 24 0,8 = 30 так

543. Побудуй графік функції. �� ) �� = 12 �� ;

) �� = 2 �� ;

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Відповідь: ( 2; 1), (1; 2).

б) �� =6, �� + �� =5.

Відповідь: (2; 3), (3; 2).

561.

а) �� =4, �� = �� +3;

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

(−4; −1), (1; 4).

( 1; 6), (1; 6).

�� ( 1; 2): �� = 2 1 = 2 підходить

8= �� −1 ⇒�� =8

8=8· ( 1) + ��⇒�� =0 б) ��(2; − 2)

2= �� 2 ⇒�� = 4

2= 4·2+ �� ⇒�� =6 566. Побудуй

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� =

4, �� < 6, 12 �� , 6 ≤�� < 2, 6, ��≥−2;

�� = � 8 �� , �� < 2, 4, 2 ≤�� <2, 8 �� , ��≥ 2.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

574.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2 =0,16 �� =±�0,16 �� =±0,4

�� = ( 0,2)2 �� =0,04 Правильна відповідь

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� = ( 3)2 =9

�� = (−1,5)2 =2,25

�� = ( 1)2 =1

�� =02 =0

�� = (0,5)2 =0,25

�� =22 =4

�� = (2,5)2 =6,25

�� = (3,5)2 = 12,25 �� =42 = 16 �� =52 = 25

= ( 2)2 =4

=02 =0

=12 =1

2 ≤ 7

�� = 2, −1, 0, 1, 2 584. Гра. За графіком (мал.

=2

=22 =4

=9

�� 2 ⇒�� =±3 585. Користуючись

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

3600; 81; 1,69; 0,04. 3600 = �� 2 ⇒�� =±√3600 =±60

81 = �� 2 ⇒�� =±√81 =±9

1,69 = �� 2 ⇒�� =±�1,69 =±1,3

0,04 = �� 2 ⇒�� =±�0,04 =±0,2 587. Функцію задано формулою

4; -6; 1,7; -0,8; �� =42 = 16 �� = ( 6)2 = 36 �� = (1,7)2 =2,89

= ( 0,8)2 =0,64

8100; 25; 1,44; 0,09. 8100 = �� 2 ⇒�� =±√8100 =±90 25 = �� 2 ⇒�� =±√25

(5; 25), �� ( 1,1;1,21), �� (5; 25), �� 1

: 52 = 25 ⇒ проходить

: ( 1,1)2 =1,21 ⇒ проходить �� : 52 = 25 ≠−25 ⇒ не проходить

;2 1 4� ?

��(0,1; 0,01), ��(0,2; 0,4),

590.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� 2 2�� =0

�� (��− 2) =0

�� =0, �� =2

��(0) =0, ��(2) =4

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Точки перетину: (0;0) і (2;4)

2 точки

592. У скількох точках перетинаються

а) �� = �� 2 і �� =4��− 3;

�� 2 =4��− 3

�� 2 4�� +3=0 (��− 1) ⋅ (��− 3) =0

�� =1, �� =3

��(1) =12 =1, ��(3) =32 =9

Точки перетину: (1;1) і (3;9)

2 точки

б) �� = �� 2 і �� = 3�� 2 = 3��

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Точки

2 точки

( 1)2 = 1+2, 22 =2+2. Отже, ��1 = 1, ��2 =2. б) �� 2 3�� +2=0;

рівняння у

�� 2 =3��− 2, тобто �� = �� 2 , �� =3��− 2.

точках з абсцисами 1 і 2. Перевірка: 12 =3 ⋅ 1 2, 22 =3 ⋅ 2 2. Отже, ��1 =1, ��2 =2.

-1 і 2.

22 = 8 2 ,4=4.

, �� =2.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

за формулою �� = �� 2 .

Хто така Ірина Володарівна? Ірина Володарівна (Ірина Галицька)

Ростиславича, одного із

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� 2 =6 −�� .

�� 2 + ��− 6=0

(�� +3) ⋅ (��− 2) =0

�� = 3, �� =2

��( 3) = ( 3)2 =9=6 ( 3), ��(2) =22 =4=6 2 601. Дано

а) �� =1; б) �� = 1; в) �� =9; г) �� = 9; ґ) �� = 100; д) �� = 100. Якщо перетинає, то в якій точці? а) �� 2 = 1 �� =±1

Точки: ( 1; 1), (1; 1) б) �� 2 = −1

немає в) �� 2 = 9 �� =±3

( 3; 9), (3; 9) г) �� 2 = 9

( 10; 100), (10; 100) д) �� 2 = 100

602. Дано графік функції

) �� =1; б) �� = 1; в) ��

( 1; 1), (1;

�� 2 = 81

2

=±2

( 2; 4), (2; 4)

603. Порівняй значення

а) �� = 2,1 і �� =1,3

��( 2,1) = ( 2,1)2 =4,41

��(1,3) = (1,3)2 =1,69

4,41 >1,69

б) �� = 2,1 і �� =2,1

��( 2,1) = ( 2,1)2 =4,41

��(2,1) = (2,1)2 =4,41

4,41 =4,41

в) �� = 2,1 і �� =2,3

��( 2,1) = ( 2,1)2 =4,41

��(2,3) = (2,3)2 =5,29

4,41 <5,29

604. Compare the values of the function �� = �� 2 , if:

a) �� = 3,2 and �� =0,7

��( 3,2) = ( 3,2)2 = 10,24

��(0,7) = (0,7)2 =0,49 10,24 >0,49

b) �� = 3,2 and �� =3,2

д) �� 2 = 81 �� 2 = 81

�� =±9

Точки: ( 9; 81), (9; 81)

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

��( 3,2) = ( 3,2)2 = 10,24

��(3,2) = (3,2)2 = 10,24 10,24 = 10,24 c) �� = 3,2 and �� =3,5

��( 3,2) = ( 3,2)2 = 10,24

��(3,5) = (3,5)2 = 12,25 10,24 < 12,25

605. При яких цілих значеннях x значення функції

більші за 10 (запиши 4 таких значення)?

�� 2 < 10

�� = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

�� 2 > 10

�� = 5, −4, 4, 5

606. При яких цілих значеннях x

8 (запиши 4 таких значення)?

�� 2 <8

�� = 2, −1, 0, 1, 2

�� 2 >8

�� = 4, −3, 3, 4

607. Знайди

�� =52

�� = 25, �� = 25

Точка: (5; 25)

�� 2 = 25

�� =±5

Друга точка: (−5; 25)

-2.

�� = ( 2)2

�� =4, �� =4

Точка: ( 2;4)

�� 2 =4

�� =±2

Друга точка: (2;4)

609. Побудуй

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

613.

5=0

=5

б) 12 |2�� +3|

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

§13. Квадратні корені

617. Прочитай вирази. √16 — квадратний корінь із шістнадцяти; √0 — квадратний корінь із нуля; √0,9 — квадратний корінь із нуль цілих

Обчисли. а) √0 =0; √1 =1; √4 =2; √16 =4; √400 = 20; √90000 = 300; б) �0,01 =0,1;

619. Знайди

620. Який із виразів не має змісту?

А) √16; Б) √28; В) √ 25; Г) √0.

√ 25 - не має змісту.

621. Яка з умов хибна?

А) √36 =6; Б) √16 =±4; В) √0 =0; Г) √−25 не існує.

Хибна умова: √16 =±4.

622. Чи правильна рівність? а) √121 = 11 ≠−11; б) �472 = 47; в) �( 12)2 = 12 ≠−12.

623. Чи має зміст вираз?

а) √48 − має; б) √ 49 − немає; в) − √64 = 8 має; г) �( 5)2 =5 має; ґ) �( 4)3 = √ 64 − немає; д) �8 ⋅ ( 4) = √ 32 − немає; е) − √ 17 − немає; є) �( 6) ⋅ ( 12) = √72 − має.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

624. Покажи, що 8

числа 64?

82 = 64; ( 8)2 = 64.

Отже, числа 8 і -8 —

кореня дорівнює 8.

625. Покажи, що:

а) ( 5,4)2 = 29,16; б) ( 0,99)2 =0,9801;

в) �29,16 =5,4; �0,9801 =0,99.

Для √29,16 =5,4:

Число 5,4 невід'ємне (5,4 ≥ 0), 5,42 = 29,16. Отже, рівність правильна.

Для √0,9801 =0,99:

Число 0,99 невід'ємне (0,99 ≥ 0), 0,992 =0,9801. Отже, рівність правильна.

626. Чи є число –37 арифметичним значенням квадратного кореня числа 1369? А число 37? ( 37)2 = 1369, 372 = 1369.

Отже, -37 і 37 — квадратні корені з числа 1369. Але тільки 37 є арифметичним

квадратного кореня, бо -37 < 0. 627. Заповни таблицю.

121 = 11; б) √196 = 14; в) √225 = 15; г) √625 = 25; ґ) √100 = 10; д) √10000 = 100; е) √1600 = 40; є) √2500 = 50.

632. Обчисли

а) √0,04 =0,2; б) √0,09 =0,3; в) √0,16 =0,4; г) √0,64 =0,8; ґ) √1,21 =1,1; д)

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

ґ) 2 ⋅ √49 =2 ⋅ 7= 14; д) 4 ⋅ √64 =4 ⋅ 8= 32; е) 7 ⋅ √100 =7 ⋅ 10 = 70; є) 5 ⋅ √144 =5 ⋅ 12 = 60.

635. Обчисли значення виразу. а) � 1 64 = 1 8 ; б) � 9 25 = 3 5 ; в) �25 36 = 5 6 ; г) � 4 49 = 2 7 ; ґ) 16: √16 = 16:4=4; д) 25: √25 = 25:5=5; е) 90: √81 = 90:9= 10

636. Обчисли значення виразу. а) − 5 ⋅ √36 = −5 ⋅ 6= −30; б) − 4,7 ⋅ √0 = 4,7 ⋅ 0=0; в) 0 ⋅ √47 =0; г) 2 3 ⋅ √81 = 2 3 ⋅ 9=6; ґ) 1 5 ⋅

225 = 1 5 ⋅ 15 =3;

3 4 ⋅ √196 = 3 4 ⋅ 14 = 21 2 = 10,5. 637. Обчисли

√25 + √49 =5+7= 12; б) 8+ √16 =8+4= 12; в)

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

б) − 32,25 ⋅ √0 =0; в) 24 ⋅ √325 ⋅ 0 = 24 ⋅ √0 =0.

644. Обчисли значення виразу.

а) 169: √169 = 169: 13 = 13; б) 576: √576 = 576: 24 = 24; в) 24: √144 = 24: 12 =2.

645. Обчисли значення виразу. а) 2 3 ⋅ √36 = 2 3 ⋅ 6=4; б) 3 4 ⋅ √1600 = 3 4 ⋅ 40 = 30; в) − 2 5 ⋅ √1225 = − 2 5 ⋅ 35 = −14.

646. Користуючись калькулятором,

а) √2 ≈ 1,414 ≈ 1,41; б) √3 ≈ 1,732 ≈ 1,73; в) √5 ≈ 2,236 ≈ 2,24; г) √10 ≈ 3,162 ≈ 3,16.

647. Користуючись

648. Знайди значення виразу. а) √2�� +3, якщо �� = 11; �� = −1; �� = 83:

= 11: √2 ⋅ 11 +3 = √22 +3 = √25 =5;

= 1: �2 ⋅ ( 1) +3 = √ 2+3 = √1 =1;\

= 83: √2 ⋅ 83 +3 = √166 +3 = √169 = 13; б) √�� +2�� , якщо �� =6, �� =5; �� =0, �� =8: �� =6, �� =5: √6+2 ⋅ 5 = √6+ 10 = √16 =4; �� =0, �� =8: √0+2 ⋅ 8 = √16 =4. 649. Знайди значення виразу. а) √14 −��, якщо �� =5; �� = −2; �� = 14:

= 14: √14 14 = √0 =0; б) √2

64 см2 : √64 = 8 см; б) 25 дм2 : 25 дм2 = 25 ⋅ 100 = 2500 см2 , √2500 = 50 см; в) 0,36 дм2 : 0,36 дм2 =0,36 ⋅ 100 = 36 см2 , √36 = 6 см; г) 16 м2 : 16 м2 = 16 ⋅ 10000 = 160000 см2 , √160000 = 400 см; ґ) 0,49 м2 : 0,49 м2 =0,49 ⋅ 10000 = 4900 см2 , √4900 = 70 см. 651. Заповни таблицю.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

а) 48: 482 = 2304; б) 3,7: (3,7)2 = 13,69; в) 0,07: (0,07)2 =0,0049; г) − 0,0004: не існує,

663. Find the number whose square root is equal to:

a) 54: 542 = 2916;

b) 7,3: (7,3)2 = 53,29;

c) 0,06: (0,06)2 =0,0036;

d) − 23,7: не існує. 664. Чи існує

а) √�� =4: �� =42 = 16; б) √�� =0: �� =02 =0;

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

в) √�� = 2: не існує; г) √−�� =7: −�� = 49 ⇒�� = 49.

665. Чи існує значення змінної x, при якому:

а) √�� = 100: �� = 1002 = 10000; б) √3�� =0: 3�� =0 ⇒�� =0; в) 5+ √�� =0: не існує; г) √−�� =2: −�� =4 ⇒�� = 4.

666. Добудуй блок-схему.

Це завдання на логіку розв’язання рівняння √�� = ��.

Суть в тому, що арифметичний квадратний корінь

алгоритм перевіряє знак числа �� .

Ось як потрібно домалювати блок-схему:

1. Гілка «+» (Якщо ��≥ 0)

Якщо умова виконується, то рівняння

квадрату.

2. Гілка «–» (Якщо �� <0)

Якщо умова не виконується (тобто �� від'ємне),

від'ємному числу.

3. Завершення

667. Розв’яжи рівняння.

√�� =7; 72 = �� , �� = 49;

668. Розв’яжи рівняння.

5 ⋅ �� = 10;

=2, 22 = ��, �� = 4;

3 − √�� =0; √�� =3, 32 = �� , �� = 9;

3+ �� =0; �� =3, 32 = ��, �� = 9;

2 ⋅ √�� = 12; √�� =6, 62 = �� , �� = 36.

4 ⋅ √�� =8; √�� =2, 22 = ��, �� =4.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

669. Розв’яжи рівняння.

а) √�� +3 =5;

52 = �� +3, �� +3= 25, �� = 22;

б) �11 −�� =7;

72 = 11 −��, 11 −�� = 49, −�� = 38, �� = 38;

г) √1+2�� =5; 52 =1+2�� , 1+2�� = 25, 2�� = 24, �� = 12; ґ) 12 √�� +2 =3; 3√�� +2 = 12, √�� +2 =4,

42 = �� +2, �� +2= 16, �� = 14;

670. Розв’яжи рівняння.

а) √�� +2 =3;

32 = �� +2, �� +2=9, �� =7; б) √��− 12 =8; 82 = ��− 12, ��− 12 = 64, �� = 76;

г) 15 √��− 3 =3;

3√��− 3 = 15, √��− 3 =5,

52 = ��− 3,

�� = 28;

ґ) √14 +5�� =8;

82 = 14 +5�� , 14 +5�� = 64, 5�� = 50, �� = 10;

671. Розв’яжи кросворд (мал. 13.1).

горизонталі: 4. Давньогрецький математик. 7. Елемент системи координат. 8. Основна думка.

9. Компонент дії додавання.

вертикалі: 1. Квадрат числа 1000. 2. Знак √ . 3. Латинська назва многочлена.

Четверте просте число.

Латинська буква.

в) √5��− 1 =3; 32 =5��− 1, 5��− 1=9, 5�� = 10, �� =2;

д) 28 √�� +5 =7; 7√�� +5 = 28, √�� +5 =4, 42 = �� +5, �� +5= 16, �� = 11.

36 √��− 5 =4; 4√��− 5 = 36, √��− 5 =9, 92 = ��− 5, �� = 86;

1+ √1 −�� =0; √1 −�� = 1 - не існує.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

По горизонталі: 4) Піфагор; 7) вісь; 8) ідея; 9) доданок.

По вертикалі: 1) мільйон; 2) радикал; 3) поліном; 5) сім; 6) зет.

672. Розв’яжи рівняння. а) �√�� +5 =4;

42 = √�� +5, √�� = 11, 112 = �� , �� = 121;

673. Назви порядок числа. а) 2,3 ⋅ 108 → 108 ; порядок =8; б) 7,8 ⋅ 10−12 → 10−12 ; порядок = 12

674.

3 ⋅ 2,8 − 7 ⋅ 2,2=8,4 − 15,4= −7; 7 ⋅ 2,8 3 ⋅ 2,2= 19,6 6,6= 13; (

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

677. Які з чисел 35, 128, �� , √25, √10, √0,04 —

Раціональні числа: 35; 128; √25; √0,04;

Ірраціональні числа: �� ; √10; Дійсні числа: 35; 128; �� ; √25; √10; √0,04

678. Які з тверджень правильні?

Правильні твердження: а)

раціональне (воно ірраціональне).

Неправильні твердження:

ірраціональне (воно раціональне).

679. Укажи правильні

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

г) Множина осіб, які добровільно і безкорисливо підтримують розвиток культури, освіти тощо — меценати.

682. Який із записів правильний?

Правильні записи:

в) 10,7 ∈ℚ; 10,7 — десятковий дріб, отже, раціональне число;

г) 10,8 ∈ℝ; 10,8 — десятковий дріб, отже, дійсне число;

д) √4 ∈ℤ; √4 =2; 2 — ціле число;

е) 12 ∈ℚ; 12 — натуральне (ціле) число, отже, раціональне число; є) 13 ∈ℝ; 13 — натуральне (ціле, раціональне) число, отже, дійсне число;

з) √6 ∈ℝ. √6 — ірраціональне число, отже, дійсне число.

Неправильні записи:

а) 10,5 ∈ℕ; 10,5 не є натуральним числом;

б) 10,6 ∈ℤ; 10,6 не є цілим числом; ґ) √3 ∈ℕ; √3 — ірраціональне число, не є натуральним числом; ж) √5 ∈ℚ; √5 — ірраціональне число, не є раціональним числом.

683. Яке з наведених чисел є ірраціональним?

А √0,64 =0,8 — раціональне число; Б √20 — ірраціональне

число; Г 2,7= 27 10 — раціональне число.

Правильна відповідь

числа: √39; 1,010010001...; √7;

числа: 3,5; 6; 2 3;

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

чисел для гри: √9 — раціональне; √9 =3 √8 — ірраціональне; 0,333... — раціональне; 0,333...= 1 3

0,10110111... — ірраціональне; 5 7 — раціональне; 12 — раціональне. 688. Установи

(А–Г). 1 →Γ; 2 → Б; 3

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

б) 2,0379 <2,0401 в) 2,333...>2,327 г) 13,777...> 12,888...

694. Порівняй числа. а) 5 6 < 6 7 б) 8 3 > 9 4

695. Порівняй числа. а) 2 3 >0,66 б) 2 3 <0,67 в) 2 3 =0,666..

696. Порівняй числа.

а) √2 >1,41

б) √2 <1,42

в) √2 >1,414141..

697. Порівняй числа. а) �� >3,14 б) �� < 27 7

�� < √10 698. ЗНО Установи

(А–Д).

1 → Б; 2 → Д; 3 → А; 4 → В

699. Задай переліком

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

0,(6)>0,(58) 0,(58)<0,6<0,(6) 0,6

705. Відомо,

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

а) (√��− 1)2 = ��− 1 б) �(��− 1)2 =|��− 1| в) �(��− 1)2 = |��− 1|

763. Спрости вираз. а) √9��2 , якщо �� <0: √9��2 = √9 ⋅√��2 =3|��|

12��⋅ (−�� 5 )= 12�� 6 ґ) �(��− 1)2 , якщо �� <1: �(��− 1)2 =|��− 1|

Оскільки �� <1, то ��− 1<0, отже |��− 1|=

�(��−�� )2 , якщо �� > �� : �(��−��)2 =|��−��|

Оскільки �� > �� , то ��−��

.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Враховуємо,

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

мг.

План поповнення вітаміну С узимку

Червоний солодкий перець (≈ 150 мг/100 г сирого): Достатньо

та 1 − 2 ківі на сім'ю щоденно.

Заморожена чорна смородина (≈ 180 мг/100 г): Можна

тривалого кип'ятіння, пам'ятаючи про втрати.

Квашена капуста (≈ 30 мг/100 г): Вживати як салат. б) План поповнення вітаміну С навесні Петрушка (≈ 150 мг/100 г): Щоденне додавання 30 50 г свіжої

(наприклад, салатів чи супів після приготування) покриває

Ківі та Апельсини/Лимони: Продовжувати

гарячу воду, щоб зменшити втрати. Рання білокачанна капуста (≈ 40 мг/100 г):

Головний принцип: Вживати

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

а) (√23)2 = 23

б) (3√2)2 =32 ⋅ (√2)2 =9 ⋅ 2= 18

в) ( �0,4)2 =0,4

782. Хто з

Максим: √20 =5√4 ні;

Дмитро: √20 =4√5 ні;

Олександра: √20 = √4 ⋅ 5 =2√5 так;

Катерина: √20 =2√10 ні.

783. Винеси множник з-під знака кореня.

а) √12 = √4 ⋅ 3 =2√3

б) √18 = √9 ⋅ 2 =3√2

в) √500 = √100 ⋅ 5 = 10√5

а) 5√2 = �52 ⋅ 2 = √25 ⋅

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

г) − 3 2 5 � 5 17 = − 17 5 � 5 17 =

792.

узагальнення.

1) 16 > √16, бо 16 >4; 400 > √400, бо 400 > 20;

2) 0,25 < �0,25, бо 0,25 <0,5; 0,64 < �0,64, бо 0,64 <0,8; 3) Якщо �� >1, то �� > √�� ;

Якщо 0< �� <1, то �� < √�� ;

Якщо �� =0 або �� =1, то �� = √�� .

793. Спрости вираз: а) 2√�� +3√�� 4√�� =(2+3 4)√�� = √�� б) 2√�� + √�� 5√�� =(2+1 5)√�� = 2√�� в) √25�� √64�� + √9�� =5√�� 8√�� +3

=(5 8+3)√�� =0 г) 9�� 9�� +

794. Спрости вираз:

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

0,3 ⋅ 0,06 ⋅ 0,002 = �0,000036 =0,006 0,006 =0,006

Відповідь: вирази рівні.

815. Що більше: сума

множників √2 ⋅ √2 ⋅ √2 ⋅ ... ⋅ √2?

1) Обчислимо суму десяти доданків: 10 ⋅ √2 = 10√2 = √100 ⋅ 2 = √200

2) Обчислимо добуток десяти множників: (√2)10 =((√2)2 )5 =25 = 32

3) Порівняємо

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2√2 + √6 2+(√3 +1) + 2√2 √6 2 (√3 1) = √2

2(2+ √3) 3+ √3 + √2(2 √3) 3 √3 = √2

2(2+ √3)

+4�� = 30

= 45 4��

+4(45 4�� )= 30

+ 180 16�� = 30 15�� = 150

= 10

= 45 4 ⋅ 10 =5 Відповідь: (10;5) б)

2 + �� =4

+2�� =8

3��−�� + �� = 27

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

=7

=1

Відповідь: (7;1) в) �� + �� =7 |��−��|=5 1) �� + �� =7

=5 2�� = 12 ⇒�� =6 6+ �� =7 ⇒�� =1 2) �� + �� =7 ��−�� = 5 2�� =2 ⇒�� =1 1+ �� =7 ⇒�� =6 Відповідь: (6;1),(1;6)

+ �� + 50 = 180

= 50

+ �� = 130

= 50

+ ��)+(��−��)= 130 + 50

2�� = 180

�� = 90

90 −�� = 50

�� = 40

Відповідь: 90∘ , 40∘ § 17. Функція �� = √��

848. Знайди значення функції �� = √�� , якщо �� =1; 16; 36; 100; 0,04; 1,21.

Якщо �� =1, то �� = √1 =1

Якщо �� = 16, то �� = √16 =4

Якщо �� = 36, то �� = √36 =6

Якщо �� = 100, то �� = √100 = 10

Якщо �� =0,04, то �� = �0,04 =0,2

Якщо �� =1,21, то �� = �1,21 =1,1

849. При якому

√�� =8 �� =82 �� = 64

Правильна Відповідь: Г

850. Через яку з точок

��(4;2): √4 =2;2=2 — проходить

Б(4; 16): √4 =2;2 ≠ 16 — не проходить

В(9;3): √9 =3;3=3 — проходить

Г(0,01;0,1): �0,01 =0,1;0,1=0,1

Правильна Відповідь: Б

851. Розв'яжи рівняння.

а) √�� =0

�� =02 �� =0

б) √�� = 1

Значення

8?

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Якщо �� =0,25, то �� = �0,25 =0,5

Якщо �� =1, то �� = √1 =1

Якщо �� =2,25, то �� = �2,25 =1,5

Якщо �� =4, то �� = √4 =2

Якщо �� =6,25, то �� = �6,25 =2,5

Якщо �� =7,84, то �� = �7,84 =2,8

Якщо �� =9, то �� = √9 =3

Якщо �� = 12,25, то �� = �12,25 =3,5

Якщо �� = 14,44, то �� = �14,44 =3,8

Якщо �� = 16, то �� = √16 =4

0

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Якщо �� =1,7, то ��≈ 2,9

Якщо �� =2, то �� =4

855. Користуючись

а) Якщо �� =0, то �� =0

Якщо �� =0,5, то ��≈ 0,7

Якщо �� =2, то ��≈ 1,4

Якщо �� =2,5, то ��≈ 1,6

Якщо �� =3, то ��≈ 1,7

б) Якщо �� =0,5, то �� =0,25

Якщо �� =1, то �� =1

Якщо �� =1,5, то �� =2,25

Якщо �� =2,2, то �� =4,84

856. Функцію задано формулою �� =

якщо

а) Якщо �� =4, то �� = √4 =2

Якщо �� = 64, то �� = √64 =8 Якщо �� = 121, то �� = √121 = 11

Якщо �� =0,16, то �� = �0,16 =0,4

Якщо �� = 2500, то �� = √2500 = 50 б) Якщо �� =4, то √�� =4, �� =42 , �� = 16 Якщо �� =0,5, то √�� =0,5, �� =0,52 , �� =0,25

Якщо �� =1,1, то √�� =1,1, �� =1,12 , �� =1,21

Якщо �� = 13, то √�� = 13, �� = 132 , �� = 169

857. The function is given by the formula �� = √�� . Find the value of:

a) the function if the argument value is equal: 9; 25; 1,21; 0,04; 4900; b) the argument if the function value is equal: 1; 0,3; 1,2; 15. �� ) Якщо �� =9, то �� = √9 =3

�� = 25, то �� = √25 =5 Якщо �� =1,21, то �� = �1,21 =1,1 Якщо �� =0,04, то �� = �0,04 =0,2

Якщо �� = 4900, то �� = √4900 = 70

��) Якщо �� =1, то √�� =1, �� =12 , �� =1 Якщо �� =0,3, то √�� =0,3, �� =0,32 , �� =0,09 Якщо �� =1,2, то √�� =1,2, �� =1,22 , �� =1,44

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Якщо �� = 15, то √�� = 15, �� = 152 , �� = 225 858. Які з точок

��(1;1): √1 =1;1=1 — належить

�� (16; 4): √16 =4;4 ≠−4 — не належить

�� (0,4;0,2): �0,4 ≠ 0,2 (бо 0,22 =0,04) — не належить �� (0,09;0,3): �0,09 =0,3;0,3=0,3 — належить

Відповідь: точки A, D, E. 859. Чи проходить графік функції

��(16;4): √16 =4;4=4 — проходить �� (16; 4): √16 =4;4 ≠−4 — не проходить

�� (−5; 25): √−5 — не існує, �� <0 —

�� (10; √10): √10 = √10 — проходить

860. Порівняй числа:

а) 32 < 35, тому √32 < √35

б) 1,17 >1,07, тому �1,17 > �1,07

в) 7= √49; 48,8< 49, тому �48,8 <7

г) 20√5 = √400 ⋅ 5 = √2000; 2300 > 2000, тому √2300 > 20√5

861. Порівняй числа:

а) 73 > 72, тому √73 > √72

б) 0,38 <0,4, тому �0,38 < �0,4

в) 8= √64; 65,1> 64, тому �65,1 >8

г) 30√2 = √900 ⋅ 2 = √1800; 1800 = 1800, тому √1800 = 30√2 862. Між якими двома

числами міститься число:

а) 1<2<4, тому √1 < √2 < √4,1< √2 <2

б) 16 < 17 < 25, тому √16 < √17 < √25,4< √17 <5

в) 81 < 90 < 100, тому √81 < √90 < √100,9< √90 < 10

г) 9< 13 < 16, тому √9 < √13 < √16,3< √13 <4, 4<

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Учень 3: 12 < 15, тому √12 < √15

Учень 1: �0,7

Учень 2: �0,2

Учень 3: 0,7>0,2, тому �0,7 > �0,2

Учень 1: 4

Учень 2: √17

Учень 3: 4= √16; 16 < 17, тому 4< √17 865. Існує

1) �� = 49, �� =2 ⋅ √49 =2 ⋅ 7= 14 (Ч)

2) �� =1,21, �� =2 ⋅ �1,21 =2 ⋅ 1,1=2,2 (Е)

3) �� = 100, �� =2 ⋅ √100 =2 ⋅ 10 = 20 (Б)

4) �� = 25, �� =2 ⋅ √25 =2 ⋅ 5= 10 (О)

5) �� = 400, �� =2 ⋅ √400 =2 ⋅ 20 = 40 (Т)

6) �� =0,09, �� =2 ⋅ �0,09 =2 ⋅ 0,3=0,6 (А)

7) �� = 169, �� =2 ⋅ √169 =2 ⋅ 13 = 26 (Р)

8) �� =1, �� =2 ⋅ √1 =2 ⋅ 1=2 (Ь)

9) �� =0, �� =2 ⋅ √0 =2 ⋅ 0=0 (О)

10) �� = √16 =4, �� =2 ⋅ √4 =2 ⋅ 2=4 (В)

ЧЕБОТАРЬОВ 866. Розв'яжи графічно рівняння. а) √�� =3

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

868.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

870. Не

прямої.

а) √�� =3, �� =32 , �� =9. Точка (9;3)

б) √�� = 3. Оскільки √�� ≥ 0, точок перетину немає

в) √�� = 144, �� = 1442 , �� = 20736. Точка (20736; 144)

г) √�� = 144. Оскільки √�� ≥ 0, точок перетину немає

871. На малюнку 17.5, а, б

Користуючись графіками, порівняй:

а) На проміжку (0;1) графік �� = ��

0,7 ∈ (0;1), тому 0,72 <0,7 б) На проміжку (1;+∞) графік

1,3>1, тому 1,3> √1,3

в) На проміжку (0;1) графік �� = ��

. 0,26 ∈ (0;1), тому 0,26 < √0,26 г) 4 5 =0,8. Оскільки 0,8 ∈ (0;1), то

872. На малюнку 17.5, а, б побудовано

Користуючись графіками,

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

3�� +4, якщо �� < 1, �� 2 , якщо 1 ≤��≤ 1,

, якщо �� >1.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

1)

4+3+1=8

2)

3)

1. Скільки коренів

2 =4 �� =±√4 ��1 =2; ��2 = 2 Відповідь: Б два

�� 2 =4?

2. Число √51 міститься між числами:

72 = 49

82 = 64

49 < 51 < 64 √49 < √51 < √64

7< √51 <8

Відповідь: В 7 і 8

3. Укажи, яке число є ірраціональним.

) √25 =5 раціональне Б) 1,7 раціональне

) 3,14 раціональне

) √5 ≈ 2,236... ірраціональне

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

г) �� 2 + 2 �� =0 — ні; ґ) √5�� 2 + �� =0 — так; д) 2�� 2 − √�� =0 — ні.

890. Розв'яжіть рівняння:

а) 3�� 2 = 0; �� 2 =0 ∶ 3; �� =0. б) √7�� 2 =0; �� 2 =0: √7; �� =0. в) �� 2 = 0; �� 2 =0; �� =0.

891. Розв'яжіть рівняння: а) �� 2 2�� = 0; �� (��− 2)=0; �� =0 або ��− 2=0; ��1 = 0, ��2 = 2. б) 3�� 2 6�� = 0; 3��(�� 2)=0; 3�� =0 або �� 2=0; ��1 = 0, ��2 = 2. в) 2�� 2 = 0; �� (2 −�� )=0; �� =0 або 2 −�� =0; ��1 = 0, ��2 = 2.

892. Розв'яжіть рівняння:

а) �� 2 9 = 0;

�� 2 =9;

�� =±√9; ��1 =3, ��2 = 3. б) 2�� 2 8 = 0; 2�� 2 =8;

893. Яке з рівнянь має один корінь?

А 2�� 2 =8;

�� 2 =4;

�� =±2 — два корені;

Б 2�� 2 =0;

�� 2 =0;

�� =0 — один корінь;

В 2�� 2 = 8;

�� 2 = 4 — коренів немає;

Г 2�� 2 −�� =0;

�� (2��− 1)=0;

��1 =0, ��2 =0,5 — два корені.

Відповідь: Б.

894. Скільки коренів має рівняння 5�� 2 + 20 =0?

5�� 2 = −20;

�� 2 = 20 ∶ 5; �� 2 = 4;

8�� 2 =0;

2 =0; �� =0 — один корінь. б) 8�� 2 + 32 =0; 8�� 2 = 32;

�� 2 = −4

1) �� 2 +3��− 7=0;

�� =1, �� =3, �� = 7.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2) 2�� 2 + √3��− 4=0; �� = 2, �� = √3, �� = 4.

3) 1 3 �� 2 +2�� =0; �� = 1 3 , �� =2, �� =0.

4) 9�� 2 =0;

�� =9, �� =0, �� =0.

б) Неповні квадратні рівняння: 1) 1 3 �� 2 +2�� =0; �� = 1 3 , �� =2, �� =0.

2) 9�� 2 =0;

�� =9, �� =0, �� =0. 897. З наведених рівнянь

Квадратні рівняння:

1) �� 2 2�� +6=0;

�� =1, �� = 2, �� =6.

2) �� 2 25 = �� ;

�� 2 −��− 25 =0;

�� =1, �� = 1, �� = 25.

б) Неповні квадратні рівняння: серед наведених рівнянь неповних

898. Заміни дане рівняння

коефіцієнтів �� , �� і �� . а) 2�� (��− 3)= 50; 2�� 2 6��− 50 =0; �� =2, �� = 6, �� = 50 б) (3 −�� )�� =5�� 2 4; 3��−�� 2 5�� 2 +4=0; 6�� 2 +3�� +4=0; �� = 6, �� =3, �� =4.

в) 4�� 2 =2��(3�� +5); 4�� 2 =6�� 2 + 10��; 4�� 2 6�� 2 10�� =0; 2�� 2 10�� =0; �� = 2, �� = 10, �� =0. г) (1 −�� )(3��− 2)=2�� + �� 2 ; 3��− 2 3�� 2 +2�� =2�� + �� 2 ; −3�� 2 +5��− 2 − 2��−�� 2 =0; 4�� 2 +3��− 2=0;

�� = 4, �� =3, �� = 2.

коефіцієнтів �� , �� і �� .

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

а) (�� 1)(�� 2) = 4�� ;

�� 2 2��−�� +2=4�� ;

�� 2 3�� +2 4�� =0;

�� 2 − 7�� +2=0;

�� =1, �� = 7, �� =2.

900. Розв'яжіть рівняння:

а) 3�� 2 27 = 0; 3�� 2 = 27;

�� 2 = 27 ∶ 3; �� 2 =9;

��1 =3, ��2 = 3.

в) 0,5�� 2 + �� = 0;

��(0,5�� +1)=0; �� =0 або 0,5�� +1=0; 0,5�� = 1;

�� = 1 ∶ 0,5;

��1 =0, ��2 = 2.

б) 3(�� + 5) 8 = 5�� (�� + 2); 3�� + 15 8= 5�� 2 10�� ;

3�� +7+5�� 2 + 10�� =0; 5�� 2 + 13�� +7=0; �� =5, �� = 13, �� =7.

б) 3�� 2 + 27 = 0; 3�� 2 = 27; �� 2 = 9; коренів немає.

г) �� 2�� 2 = 0; ��(1 2��)=0; �� =0 або 1 2�� =0; 2�� =1; �� =1 ∶ 2; ��1 =0, ��2 =0,5.

ґ) �� 2 144 = 0; �� 2 = 144; ��1 = 12, ��2 = −12. д) 0,16�� 2 + 100 = 0; 0,16�� 2 = 100; �� 2 = 100 ∶ 0,16;

е) 16�� 2 = 25; �� 2 = 25 ∶ 16; �� 2 = 25 16 ; ��1 = 1,25, ��2 = 1,25. є) 4�� 2 = 0; �� 2 =0; �� =0.

ж) (√7 √3)�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0.

901. Розв'яжіть рівняння: а) 2�� 2 8�� = 0; 2�� (��− 4)=0; 2�� =0 або ��− 4=0; ��1 =0, ��2 =4. б) �� 2 + 3�� = 0; �� (�� +3)=0; �� =0 або �� +3=0; ��1 =0, ��2 = 3.

в) 12�� = 0,24�� 2 ; 0,24�� 2 − 12�� =0; �� (0,24��− 12)=0;

�� =0 або 0,24�� = 12; �� = 12 ∶ 0,24;

��1 = 0, ��2 = 50.

г) �� 2 = 0; �� (1 −�� )=0; �� =0 або 1 −�� =0; ��1 =0, ��2 =1.

ґ) 0,1�� 2 = 0; �� 2 =0; �� =0.

е) 9�� 2 = 64;

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

д) 9�� 2 = 0; �� 2 =0; �� =0.

�� 2 = 64 9 ; �� =±�64 9 ; ��1 =2 2 3 , ��2 = 2 2 3 . є) 2�� 2 + 50 = 0; 2�� 2 = 50; �� 2 = 25; ��1 =5, ��2 = 5.

ж) 100�� 2 225 =0; 100�� 2 = 225;

�� 2 =2,25;

��1 =1,5, ��2 = −1,5.

902. Розв’яжи рівняння.

а) �� 2 = 25�� ;

�� 2 25�� =0;

�� (��− 25)=0;

�� =0 або ��− 25 =0;

��1 =0, ��2 = 25.

Відповідь: Б 0; 25. б) 4�� 2 =1;

�� 2 =1:4;

�� 2 =0,25;

�� =±�0,25;

��1 =0,5, ��2 = −0,5.

Відповідь: Д -0,5; 0,5.

903. Гра. Один із учасників

розв'язати.

Приклад:

Учень 1: Записую рівняння 4�� 2 100 =0.

Учень 2: Розв'язую:

4�� 2 = 100;

�� 2 = 100 ∶ 4;

�� 2 = 25;

��1 =5, ��2 = −5.

904. Розв'яжіть рівняння:

а) (��− 1)�� +3�� =0;

�� 2 −�� +3�� =0;

�� 2 +2�� =0;

�� (�� +2)=0;

�� =0

або �� +2=0;

��1 =0, ��2 = 2.

б) 2��(�� +5)=6��;

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2�� 2 + 10��− 6�� =0;

2�� 2 +4�� =0;

2��(�� +2)=0;

2�� =0 або �� +2=0;

��1 =0, ��2 = 2.

в) (�� +2)(�� − 2)=0;

�� +2=0 або �� 2=0;

��1 = −2, ��2 =2.

г) (�� +2)(��− 2)=4;

�� 2 4=4;

�� 2 =8;

�� =±√8;

��1 =2√2, ��2 = 2√2.

ґ) 5�� 2 +3�� +7=7(�� +1);

5�� 2 +3�� +7=7�� +7;

5�� 2 +3��− 7�� +7 7=0;

5�� 2 4�� =0;

�� (5��− 4)=0;

�� =0 або 5��− 4=0;

5�� =4;

��1 =0, ��2 =0,8.

д) 2(�� 2 1)=(��− 1)(�� +1);

2�� 2 − 2= �� 2 − 1;

2�� 2 −�� 2 =2 1;

�� 2 =1;

��1 =1, ��2 = −1.

905. Установіть

1. 2�� (�� +5)= �� 2 +7�� ;

2�� 2 + 10��−�� 2 7�� =0;

�� 2 +3�� =0;

�� (�� +3)=0;

��1 =0, ��2 = 3 —

2. 4�� 2 2�� = �� (��− 2); 4�� 2 2�� = �� 2 2�� ; 4�� 2 −�� 2 2�� +2�� =0; 3�� 2 =0; �� =0 — один корінь (А).

3. 8 6�� =2�� (��− 3); 8 6�� =2�� 2 6�� ;

2�� 2 6�� +6��− 8=0; 2�� 2 =8; �� 2 = −4 —

кореня (Г).

1 — Б, 2 — А, 3 — Г. 906. Розв'яжіть рівняння: а) 5−�� 2 3 = 3�� 2 −2 4

4(5 −�� 2 )=3(3�� 2 2)

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

а) (�� +1) ∶ 2=4 ∶ (��− 1)

(�� +1)(��− 1)=2 ⋅ 4

2 1=8 �� 2 =8+1

2 =9 ��1 =3; ��2 = 3 б) (��− 4) ∶ 3=3 ∶ (�� +4)

(��− 4)(�� +4)=3 ⋅ 3 �� 2 16 =9 �� 2 =9+ 16

�� 2 = 25

��1 =5; ��2 = 5 в) (3�� 2 4) ∶ 5=3�� 2 ∶ 20 20(3�� 2 4)=5 ⋅ 3�� 2

(0,2 −�� ) ∶ 4=(0,01 + �� ) ∶ (0,2+ �� )

(0,2 −�� )(0,2+ �� )=4(0,01 + �� )

0,04 −�� 2 =0,04 +4�� −�� 2 4�� +0,04 0,04 =0 −�� 2 4�� =0

�� (−��− 4)=0

��1 =0 або −��− 4=0 −�� =4

��2 = 4

909.

а) (3�� − 6) ∶�� = 5��∶ (3�� + 6)

(3��− 6)(3�� +6)= ��⋅ 5�� (3�� )2 − 62 =5�� 2 9�� 2 36 =5�� 2 9�� 2 5�� 2 = 36 4�� 2 = 36

�� 2 = 36 ∶ 4

�� 2 =9

��1 =3; ��2 = 3

б) (2�� + 1) ∶ 13 = 3 ∶ (2�� 1) (2�� +1)(2��− 1)= 13 ⋅ 3 (2�� )2 12 = 39

4�� 2 1= 39

2 = 40,3225 �� =±�40,3225 ��1 =6,35; ��2 = −6,35 б) 4,574�� 2 =4,8027�� 4,574�� 2 4,8027�� =0

��(4,574�� − 4,8027)=0

��1 =0 або 4,574�� 4,8027 =0 4,574�� =4,8027

�� =4,8027 ∶ 4,574 ��2 =1,05

913.

а) 4,022�� 2 9,0495 =0 4,022�� 2 =9,0495

�� 2 =9,0495 ∶ 4,022

�� 2 =2,25

�� =±�2,25

��1 =1,5; ��2 = 1,5 б) 7,467�� 2 =7,84035�� 7,467�� 2 − 7,84035�� =0

�� (7,467��− 7,84035)=0

��1 =0 або 7,467��− 7,84035 =0 7,467�� =7,84035

�� =7,84035 ∶ 7,467

��2 =1,05

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

55

�� = 55 + 89 = 144 (га)

1 га = 10000 м2

�� = 144 ⋅ 10000 = 1440000 (м2 )

�� 2 = 1440000

�� = √1440000

�� = 1200 (м)

�� =4 ⋅��

�� =4 ⋅ 1200 = 4800 (м)

Відповідь: 4800 м (або 4,8 км).

915. Розв'яжіть рівняння:

а) (��− 1)(��− 5)+(

2�� 2 −�� 2 = 18 14

�� 2 =4

��1 =2; ��2 = 2 б) (��− 2)2 (�� +1)(�� +4)= �� (�� +3) �� 2 4�� +4 (�� 2 +4�� + �� +4)= �� 2 +3��

2 4�� +4 −�� 2 5��−

= 12

3(5 ��)2 = 12 (5 −��)2 = 12 ∶ 3 (5 −��)2 =4

−�� =2 або 5 −�� = 2

=2 5

= 3

= 7

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

ґ) 3�� 2 + 36�� = 108

3�� 2 + 36�� + 108 =0

3(�� 2 + 12�� + 36)=0

3(�� +6)2 =0

(�� +6)2 =0 �� +6=0 �� = 6

920. Розв’яжіть рівняння: а) 2(3�� 2)2 = 0 (3��− 2)2 =0 ∶ 2 (3��− 2)2 =0 3��− 2=0 3�� =2 �� = 2 3

(�� 4)2 = 4 �� 4=2 або �� 4= 2 ��1 =2+4 ��1 =6 ��2 = 2+4

=2 в) 2(�� − 7)2 = 18 (��− 7)2 = 18 ∶ 2 (

7)2 =9

7=3 або ��− 7= −3

=3+7

= 10

= 3+7

=4 г)

(4�� +9)=0 ��1 =0 або 4�� +9=0 4�� = 9 ��2 = 2,25

5(��+2) �� 2 +6��+9 + 1 ��+3 =1 5�� + 10 (�� +3)2 + 1 �� +3 =1

2 +6��− 6�� + 13 9=0

2 +4=0

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Відповідь: а) 10 см; б) � �� .

925. Площа

= �� 2 −�� 2

942 =3,14 ⋅ 202 3,14 ⋅�� 2

942 =3,14 ⋅ 400 − 3,14�� 2

942 = 1256 3,14�� 2

3,14�� 2 = 1256 942

3,14�� 2 = 314

�� 2 = 314 ∶ 3,14

�� 2 = 100

= 10 (см)

10 см.

ці числа.

умовою:

��(�� +1) −�� = 324

��2 + ��−�� = 324

��2 = 324

�� = √324 �� = 18

+1= 18 +1= 19 Відповідь: 18 і 19.

числа.

більше

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

3��2 = 363

��2 = 363 ∶ 3

��2 = 121

�� = √121

�� = 11 (оскільки числа натуральні, �� >0)

��− 1= 11 1= 10

�� +1= 11 +1= 12

Відповідь: 10, 11, 12. 929. Знайди число, яке менше

Нехай шукане число — �� .

За умовою: √�� =2,5 ⋅��

Піднесемо обидві частини рівняння

(√�� )2 =(2,5��)2

�� =6,25�� 2

6,25�� 2 −�� =0

�� (6,25��− 1)=0

��1 =0 або 6,25��− 1=0

6,25�� =1

��2 =1 ∶ 6,25

��2 =0,16

Перевірка для

Перевірка для �� =0,16:

√0,16 =0,4;

0,4 ∶ 0,16 =2,5.

Відповідь: 0,16.

930. Добуток

з них. Знайди ці

За умовою:

��(�� +1)=1,5��2

��2 + �� =1,5

=1 ∶ 0,5

=2

+1=2+1=3

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� 2 = 100 ∶ 25

�� 2 =4

�� = √4

�� =2 (оскільки �� >0)

Знайдемо катети:

�� =3 ⋅ 2=6 (м)

�� =4 ⋅ 2=8 (м)

�� = �� + �� + ��

�� =6+8+ 10 = 24 (м)

Відповідь: 24 м.

932. Знайди периметр прямокутника,

дорівнює 120 см². Нехай сторони прямокутника

=5��⋅ 6�� = 30�� 2 30�� 2 = 120 �� 2 = 120 ∶ 30 �� 2 =4 �� = √4

�� =2 (оскільки �� >0)

Знайдемо сторони:

�� =5 ⋅ 2= 10 (см)

�� =6 ⋅ 2= 12 (см)

�� =2(�� + �� )

�� =2(10 + 12)=2 ⋅ 22 = 44 (см)

Відповідь: 44 см.

933. На станції

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

12�� +4(�� + 16)= �� (

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� +3 �� = �9 4

�� +3 �� = 3 2

2(�� +3)=3��

2�� +6=3��

�� =6 (дм) — сторона меншої серветки.

�� +3=6+3=9 (дм) — сторона більшої серветки.

Знайдемо периметри:

��вел =4 ⋅ 9= 36 (дм)

��мал =4 ⋅ 6= 24 (дм)

Загальна кількість мережива:

�� =2 ⋅��вел +6 ⋅��мал

�� =2 ⋅ 36 +6 ⋅ 24 = 72 + 144 = 216 (дм)

Відповідь: 216 дм.

937. За якої умови дорівнює нулю: а) один корінь

б) сума коренів рівняння (��−�� )(�� + ��−��)=0? а)

перетворюється на правильну

в) �� ⋅ (�� 7) = 0 �� 2 7�� =0

941. Відкрита

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� ⋅ (�� ( 4)) = 0

(�� +4)=0 �� 2 +4�� =0

корені: а) 0 і -2; б) -2 і 2. а) Рівняння виду �� 2 + �� + �� =0 має корінь 0, якщо �� =0.

�� =0, до виразу 2�� 2 + ��− 8 треба додати 8:

2�� 2 + ��− 8+8=0

2�� 2 + �� =0

��⋅ (2�� +1)=0 �� =0 або �� = 0,5 (не підходить за умовою)

Змінимо коефіцієнт �� , щоб коренем був -2:

2 ⋅ ( 2)2 + ��⋅ ( 2)=0 8 2�� =0

2�� =8 �� =4

Рівняння: 2�� 2 +4�� =0 б) Рівняння

2�� 2 + ��− 8 коефіцієнт �� =2.

2�� 2 8=0.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� = 1 та �� = 1).

�� = 5

�� 2 (|��| 3)��−�� 2 +3�� =0

�� | − 3=0 |�� |=3 �� =3 або �� = −3

умову �� <0:

�� =3, то �� = (32 )+3 ⋅ 3= 9+9=0 (не підходить, бо корені 0 і 0).

�� = −3, то �� = −(−3)2 +3 ⋅ (−3)= −9 − 9= −18 (підходить, бо �� 2 − 18 =0 має

�� =±√18). Відповідь: �� = 3

Мал. 18.5 (обернена пропорційність):

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

) �� <0 − ні, немає коренів; В) �� =0 так, один корінь;

) не можна встановити ні. 950. Скільки коренів має рівняння �� 2 5�� +6=0?

�� =1, �� = 5, �� =6

�� = �� 2 − 4�� =(−5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6= 25 − 24 =1

�� >0, тому рівняння має два корені.

Відповідь: Б два

951. Обчисли дискримінант і вкажи кількість коренів рівняння:

а) �� 2 2�� +1=0;

�� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ 1=4 4=0;

�� =0, один корінь.

б) �� 2 +2�� +1=0;

�� =22 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1=4 − 4=0;

�� =0, один корінь.

в) �� 2 6�� +1=0;

�� =(−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1= 36 − 4= 32;

�� >0, два корені.

г) �� 2 +6�� 1=0;

�� =62 4 ⋅ 1 ⋅ ( 1)= 36 +4= 40;

�� >0, два корені.

ґ) 2�� 2 −�� +1=0;

�� =(−1)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1=1 − 8= −7;

�� <0, коренів немає.

д) 3�� 2 2��− 1=0;

�� =(−2)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−1)=4+ 12 = 16;

�� >0, два корені.

952. Яке з рівнянь не має коренів?

А) �� 2 2�� +2=0;

�� =(−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2=4 − 8= −4;

�� <0, коренів немає.

Б) �� 2 +2��− 2=0; �� =22 4 ⋅ 1 ⋅ ( 2)=4+8= 12;

�� >0, два корені.

В) �� 2 +5�� +6=0;

�� =52 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6= 25 − 24 =1;

�� >0, два корені.

Г) �� 2 6�� +9=0;

�� =(−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9= 36 − 36 =0;

�� =0, один корінь. Відповідь: А.

953. Яке

А) �� 2 +2�� +1=0;

�� =22 4 ⋅ 1 ⋅ 1=4 4=0;

�� =0, один корінь.

Б) 2�� 2 +3��− 3=0;

�� =32 4 ⋅ 2 ⋅ ( 3)=9+ 24 = 33;

�� >0, два корені.

В) 4�� 2 +2�� +3=0;

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� =22 4 ⋅ 4 ⋅ 3=4 48 = 44;

�� <0, коренів немає.

Г) �� 2 +2�� +3=0;

�� =22 4 ⋅ 1 ⋅ 3=4 12 = 8;

�� <0, коренів немає.

Відповідь: Б.

954. Гра.

Учень 1: 3�� 2 − 5�� +2=0;

Учень 2: �� =( 5)2 4 ⋅ 3 ⋅ 2= 25 24 =1;

=( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 42)=1+ 168 = 169; ��1 = 1+ 13 2 = 14 2 =7;

= 1 − 13 2 = −12 2 = 6.

) �� 2 +3��− 4=0;

=32 4 ⋅ 1 ⋅ ( 4)=9+ 16 = 25;

2 =4; ��2 = 1 7 2 = 6 2 = 3; г) �� 2 + ��− 20 =0; �� =12 4 ⋅ 1 ⋅ ( 20)=1+ 80 = 81; ��1 = 1+ √81 2 ⋅ 1

=( 2)2 4 ⋅ 3 ⋅ ( 5)=4+ 60 = 64;

= 2+ √64 2 ⋅ 3 = 2+8 6 = 10 6 =1 2 3 ;

= 2 8 6 = 6 6 = 1;

) 2�� 2 3�� 2=0;

=(−3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−2)=9+ 16 = 25;

) 2�� 2 7�� +3=0;

=( 7)2 4 ⋅ 2 ⋅ 3= 49 24 = 25;

= 7+ √25 2 ⋅ 2 = 7+5 4 = 12 4 =3;

��2 = 7 5 4 = 2 4 =0,5;

) 5�� 2 − 8�� +3=0; �� =( 8)2 4 ⋅ 5 ⋅ 3= 64 60 =4;

) 2�� 2 7��− 30 =0;

=( 7)2 4 ⋅ 2 ⋅ ( 30)= 49 + 240 = 289;

= 7+ √289 2 ⋅ 2 = 7+ 17 4 = 24 4 =6;

= 7 17 4 = 10 4 = 2,5;

) 4�� 2 +3��− 10 =0; �� =32 4 ⋅ 4 ⋅ ( 10)=9+ 160 = 169; ��1 = 3+ √169 2 ⋅ 4 = 3+ 13 8 = 10 8 =1,25; ��2 = 3 13 8 = 16 8 = 2; в) 3�� 2 7�� +4=0;

5�� 2 +7�� +2=0;

=72 4 ⋅ 5 ⋅ 2= 49 40 =9;

= 7+ √9 2 ⋅ 5 = 7+3 10 = 4 10 = 0,4; ��2 = 7 3 10

��2 = 2 2√6 2 =1 − √6; д) 3�� 2 2��− 3=0; �� =( 2)2 4 ⋅ 3 ⋅ ( 3)=4+ 36 = 40; ��1 = 2+ √40 2 ⋅ 3 = 2+2√10 6 =

) 6�� 2 12,5�� +6=0; �� =( 12,5)2 4 ⋅ 6 ⋅ 6= 156,25 144 = 12,25; ��1 = 12,5+ �12,25 2 ⋅ 6 = 12,5+3,5 12 = 16 12 = 4 3 =1 1 3 ; ��2 = 12,5 3,5 12 = 9 12 =0,75;

б) 8�� 2 8,8�� +2,1=0; �� =(−8,8)2 − 4 ⋅ 8 ⋅ 2,1= 77,44 − 67,2= 10,24; ��1 = 8,8+ √10,24 2 ⋅ 8 = 8,8+3,2 16 = 12 16 =0,75;

��2 = 8,8 3,2 16 = 5,6 16 =0,35. 963. Користуючись формулою

а) 10�� 2 0,8�� =1,92; 10�� 2 0,8

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

��1 = 4+ √4 2 ⋅ 1 = 4+2 2 =3;

��2 = 4 2 2 =1;

Відповідь: Б (1; 3). 965. Розв'яжи рівняння, що зводиться

а) 4��(��− 1)=3; 4�� 2 4��− 3=0;

�� =( 4)2 4 ⋅ 4 ⋅ ( 3)= 16 + 48 = 64;

��1 = 4+8 8 =1,5;

��2 = 4 8 8 = 0,5;

б) 3��(3��− 8)= 20; 9�� 2 24��− 20 =0;

�� =( 24)2 4 ⋅ 9 ⋅ ( 20)= 576 + 720 = 1296;

��1 = 24 + 36 18 = 60 18 =3 1 3 ;

��2 = 24 − 36 18 = −12 18 = 2 3 ;

в) 3��(2��− 5)=2(�� 2 +2);

6�� 2 15�� =2�� 2 +4; 4�� 2 15��− 4=0; �� =( 15)2 4 ⋅ 4 ⋅ ( 4)= 225 + 64 = 289;

��1 = 15 + 17 8 =4;

��2 = 15 17 8 = 0,25;

г) 2��(3�� +4)=4�� 2 +5�� + 27; 6�� 2 +8�� =4�� 2 +5�� + 27; 2�� 2 +3��− 27 =0; �� =32 4 ⋅ 2 ⋅ ( 27)=9+ 216 = 225; ��1 = 3+ 15 4 =3; ��2 = 3 15 4 = −4,5; ґ) (�� +4)(2��− 3) (5��− 6)(��− 3)= 10; 2�� 2 3�� +8��− 12 (5�� 2 15��− 6�� + 18)= 10; 2�� 2 +5��− 12 5�� 2 + 21��− 18 10 =0; −3�� 2 + 26��− 40 =0; 3�� 2 26�� + 40 =0; �� =( 26)2 4 ⋅ 3 ⋅ 40 = 676 480 = 196; ��1 = 26 + 14 6 = 40 6 =6 2 3 ; ��2 = 26 14 6 =2. 966.

а) 4��(�� 1)= 15;

4�� 2 4�� 15 =0; �� =(−4)2 − 4 ⋅ 4 ⋅ (−15)= 16 + 240 = 256;

��1 = 4+ √256 2 ⋅ 4 = 4+ 16 8 = 20 8 =2,5;

��2 = 4 16 8 = 12 8 = 1,5; б) 3��(3��− 4)=5; 9�� 2 12��− 5=0; �� =( 12)2 4 ⋅ 9 ⋅ ( 5)= 144 + 180 = 324;

��1 = 12 + √324 2 ⋅ 9 = 12 + 18 18 = 30 18 =1 2 3 ;

��2 = 12 18 18 = 6 18 = 1 3 ;

в) �� (7 −�� )=5��− 8; 7��−�� 2 5�� +8=0; −�� 2 +2�� +8=0; �� 2 2��− 8=0; �� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 8)=4+ 32 = 36; ��1 = 2+6 2 =4; ��2 = 2 6 2 = 2;

г) 3��(5�� +3)=2�� (6�� +5)+2; 15�� 2 +9�� = 12�� 2 + 10�� +2; 3�� 2 −��− 2=0; �� =(−1)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−2)=1+ 24 = 25;

��1 = 1+5 6 =1;

��2 = 1 5 6 = 4 6 = 2 3 ;

ґ) (2��− 8)(3�� +1)=(4��− 12)(��− 2)+8; 6�� 2 +2��− 24��− 8=4�� 2 8��− 12�� + 24 +8; 6�� 2 22��− 8=4�� 2 20�� + 32; 2�� 2 2��− 40 =0; �� 2 −��− 20 =0; �� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 20)=1+ 80 = 81; ��1 = 1+9 2 =5; ��2 = 1 9 2 = 4. 967.

а) (2��− 3)2 =8�� ; 4�� 2 − 12�� +9 − 8�� =0; 4�� 2 20�� +9=0; �� =( 20)2 4 ⋅ 4 ⋅ 9= 400 144 = 256; ��1 = 20 + √256 2 ⋅ 4 = 20 + 16 8 = 36 8 =4,5;

��2 = 20 16 8 = 4 8 =0,5; б) (2�� +1)2 =3�� +4; 4�� 2 +4�� +1 3��− 4=0; 4�� 2 + ��− 3=0; �� =12 − 4 ⋅ 4 ⋅ (−3)=1+ 48 = 49;

= 1+ √49 2 ⋅ 4 = 1+7 8 = 6 8 =0,75; ��2 = 1 7 8 = 8 8 = 1; в) 2(3�� +9)=(3�� +5)2 ; 6�� + 18 =9�� 2 + 30�� + 25; 9�� 2 + 24�� +7=0; �� = 242 4 ⋅ 9 ⋅ 7= 576 252 = 324;

; г) 12(3 −�� )=(3��− 1)2 ; 36 12�� =9�� 2 6�� +1; 9�� 2 +6��− 35 =0; �� =62 4 ⋅ 9 ⋅ ( 35)= 36 + 1260 = 1296;

��1 = 6+ √1296 2 ⋅ 9 = 6+ 36 18 = 30 18 =1 2 3 ;

а) (��− 5)2 =3��− 5; �� 2 10�� + 25 3�� +5=0; �� 2 13�� + 30 =0; �� =( 13)2 4 ⋅ 1 ⋅ 30 = 169 120 = 49; ��1 = 13 +7 2 = 10; ��2 = 13 7 2 =3;

) (�� +4)2 =3�� 2 8; �� 2 +8�� + 16 3�� 2 +8=0; 2�� 2 +8�� + 24 =0; �� 2 4��− 12 =0; �� =( 4)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 12)= 16 + 48 = 64; ��1 = 4+8 2 =6; ��2 = 4 8 2 = 2;

) (�� − 3)2 =2(�� +1);

2 6�� +9=2�� +2;

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� =( 8)2 4 ⋅ 1 ⋅ 7= 64 28 = 36;

��1 = 8+6 2 =7;

��2 = 8 − 6 2 =1;

г) (3��− 5)2 = 10��− 19;

9�� 2 30�� + 25 10�� + 19 =0; 9�� 2 40�� + 44 =0;

�� =( 40)2 4 ⋅ 9 ⋅ 44 = 1600 1584 = 16;

��1 = 40 +4 18 = 44 18 =2 4 9 ;

��2 = 40 4 18 =2.

969. ЗНО Розв’яжи рівняння 2�� (�� +2)=5(�� +2)

2�� (�� +2) 5(�� +2)=0;

(�� +2)(2��− 5)=0;

�� +2=0 або 2��− 5=0;

��1 = 2; 2�� =5;

��2 =2,5;

Відповідь: Д (-2; 2,5).

970. Розв'яжи рівняння:

а) �� +3= �� +3 �� ;

�� (�� +3)= �� +3, де ��≠ 0;

�� 2 +3��−��− 3=0;

�� 2 +2��− 3=0; �� =22 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)=4+ 12 = 16;

��1 = −2+4 2 =1;

��2 = 2 4 2 = 3;

б) �� = 18 ��− 3 ;

��(��− 3)= 18, де ��≠ 3; �� 2 3��− 18 =0;

�� =( 3)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 18)=9+ 72 = 81;

��1 = 3+9 2 =6;

��2 = 3 − 9 2 = 3;

в) �� +2 �� = 5�� +1 �� +1 ;

(�� +2)(�� +1)= ��(5�� +1), де �� ≠ 0, �� ≠−1;

�� 2 + �� +2�� +2=5�� 2 + ��;

4�� 2 2�� 2=0; 2�� 2 �� 1=0;

�� =( 1)2 4 ⋅ 2 ⋅ ( 1)=1+8=9;

��1 = 1+3 4 =1; ��2 = 1 3 4 = 0,5; г) 5+3�� 5 −�� = �� +3 �� +1 ; (5+3��)(�� +1)=(�� +3)(5 −��), де ��≠ 5, ��≠−1; 5�� +5+3��2 +3�� =5��−��2 + 15 3��; 3��2 +8�� +5= −��2 +2�� + 15; 4��2 +6��− 10 =0; 2��2 +3��− 5=0; �� =32 4 ⋅ 2 ⋅ ( 5)=9+ 40 = 49; ��1 = −3+7 4 =1; ��2 = 3 7 4 = −2,5;

) �� 2 5�� +6 ��− 3 =0;

2 − 5�� +6=0, де ��≠ 3; �� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ 6= 25 24 =1; ��1 = 5+1 2 =3(не

3�� 2 = �� 2 −��− 2�� +2

2�� 2 +3��− 2=0 �� =32 4 ⋅ 2 ⋅ ( 2)=9+ 16 = 25 ��1 = 3+5 4 = 2 4 =0,5 ��2 = 3 5 4 = 8 4 = 2 ��− 1 ≠ 0; ��≠ 1 Відповідь: 0,5; 2 в) ��− 5 �� +3 = 3+2�� 1 6�� (��− 5)(1 − 6�� )=(3+2�� )(�� +3) ��− 6�� 2 5+ 30�� =3�� +9+2�� 2 +6�� 6�� 2 + 31��− 5=2�� 2 +9�� +9 8�� 2 22�� + 14 =0 4�� 2 11�� +7=0

=( 11)2 4 ⋅ 4 ⋅ 7= 121 112 =9

= 11 +3 8 = 14 8 =1,75 ��2 = 11 3 8 = 8 8 =1 �� +3 ≠ 0;1 6

��− 1)(2

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

д) 4�� 2 11��− 3 �� 2 − 9 =0

4�� 2 11��− 3=0 �� =( 11)2 4 ⋅ 4 ⋅ ( 3)= 121 + 48 = 169

��1 = 11 + 13 8 =3

��2 = 11 13 8 = 0,25

�� 2 9 ≠ 0; ��≠ 3; ��≠−3

Відповідь: 0,25

972. Знайди натуральне число, яке на 132

Нехай ��− шукане натуральне число (��∈ℕ). За умовою: �� 2 −�� = 132 �� 2 −��− 132 =0 �� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 132)=1+ 528 = 529

= √529 = 23 ��1 = 1+ 23 2 ⋅ 1 = 24 2 = 12

= 1 23 2 ⋅ 1 = 22 2 = −11

2 + ��− 0,16 =0 | ⋅ (−1)

=0,6

= 1+0,6 2 = 1,6 2 =0,8

= 1

Відповідь: 16 і 17

975. Добуток

числа.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

перше число �� , тоді

(�� +1),

. �� (�� +1) (�� + �� +1)= 239 �� 2 + ��− 2��− 1 239 =0

2 −��− 240 =0 �� =(−1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−240)=1+ 960 = 961

√�� = 31

��1 = 1+ 31 2 = 16

��2 = 1 31 2 = 15 (не є натуральним)

Якщо �� = 16, то �� +1= 17.

Відповідь: 16 і 17 976. Не

координат:

а) 1) З віссю �� (�� =0): �� =02 +0 20 = 20 Точка (0; 20).

2) З віссю �� (�� =0): �� 2 + ��− 20 =0

�� =12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−20)=1+ 80 = 81

��1 = 1+9 2 =4; ��2 = 1 9 2 = −5. Точки (4;0) і (−5;0).

б) 1) З віссю �� (�� =0): �� =0,5 ⋅ 02 5 ⋅ 0+8=8. Точка (0;8).

2) З віссю �� (�� =0): 0,5�� 2 5�� +8=0 | ⋅ 2 �� 2 10�� + 16 =0 �� =( 10)2 4 ⋅ 1 ⋅ 16 = 100 64 = 36 ��1 = 10 +6 2 =8; ��2 = 10 6 2 =2. Точки (8;0) і (2;0).

Відповідь: а) (0; -20), (4; 0), (-5; 0); б) (0; 8), (8; 0), (2; 0) 977. Не виконуючи

координат: а) 1) З віссю

�� =( 3)2 4 ⋅ 2 ⋅ 1=9 8=1 ��1 = 3+1 4 =1; ��2 = 3 1 4 =0,5. Точки (1;0) і (0,5;0). Відповідь: а) (0; -28), (4; 0), (-7; 0); б) (0; -1), (1; 0), (0,5; 0) 978. Розв’яжи біквадратне рівняння. а) �� 4 5�� 2 +4=0. Нехай �� 2 = �� , ��≥ 0. �� 2 5�� +4=0 �� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ 4= 25 16 =9

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

��1 = 5+3 2 =4; ��2 = 5 3 2 =1

�� 2 =4 ⇒�� =±2; �� 2 =1 ⇒�� =±1.

б) �� 4 17�� 2 + 16 =0. Нехай �� 2 = �� , ��≥ 0.

�� 2 17�� + 16 =0

�� =( 17)2 4 ⋅ 1 ⋅ 16 = 289 64 = 225

��1 = 17 + 15 2 = 16; ��2 = 17 − 15 2 =1

�� 2 = 16 ⇒�� =±4; �� 2 =1 ⇒�� =±1. в) �� 4 3�� 2 4=0. Нехай �� 2 = �� , ��≥ 0. �� 2 3��− 4=0

�� =( 3)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 4)=9+ 16 = 25 ��1 = 3+5 2 =4; ��2 = 3 5 2 = 1 (не задовольняє ��≥ 0)

�� 2 =4 ⇒�� =±2. г) �� 4 + �� 2 6=0. Нехай �� 2 = ��, ��≥ 0.

�� 2 + ��− 6=0 �� =12 4 ⋅ 1 ⋅ ( 6)=1+ 24 = 25 ��1 = 1+5 2 =2; ��2 = 1 5 2

�� 2 =1 ⇒�� =±1. д) 3�� 4 7�� 2 +2=0. Нехай ��

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� 2 = 25 ⇒�� =±5; �� 2 =1 ⇒�� =±1. в) �� 4 +3�� 2 − 4=0. Нехай �� 2 = �� , ��≥ 0. �� 2 +3��− 4=0 �� =32 4 ⋅ 1 ⋅ ( 4)=9+ 16 = 25 ��1 = 3+5 2 =1; ��2 = 3 5 2 = 4 (не задовольняє ��≥ 0) �� 2 =1 ⇒�� =±1. г) �� 4 4�� 2 5=0. Нехай �� 2 = �� , ��≥ 0.

2 4��− 5=0 �� =( 4)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 5)= 16 + 20 = 36 ��1 = 4+6 2 =5; ��2 = 4 6 2 = 1 (не задовольняє ��≥

0. 9�� 2 10�� +1=0 �� =( 10)2 4 ⋅ 9 ⋅ 1= 100 36 = 64 ��1 = 10 +8 18 =1; ��2 = 10 8 18 = 2 18 = 1 9 �� 2

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

��1 = 2+4 2 =3; ��2 = 2 4 2 = 1 (не

0) √�� =3 ⇒�� =9. в) 3��− 8√�� +5=0. Нехай √�� = �� , ��≥ 0. 3�� 2 8�� +5=0 �� =(−8)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 5= 64 − 60 =4 ��1 = 8+2 6 = 10 6 = 5 3 ; ��2 = 8 2 6 =1

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

а) (��− 2)(��− 5)=0

�� 2 5��− 2�� + 10 =0

�� 2 7�� + 10 =0

б) (��− 3)(��− ( 7))=0 (��− 3)(�� +7)=0

�� 2 +7��− 3��− 21 =0

�� 2 +4��− 21 =0

в) (��− 0,5)(��− 4)=0

�� 2 4��− 0,5�� +2=0

�� 2 − 4,5�� +2=0

г) (��− ( 0,2))(��− ( 8))=0

(�� +0,2)(�� +8)=0

�� 2 +8�� +0,2�� +1,6=0

�� 2 +8,2�� +1,6=0

985. Один корінь квадратного рівняння

�� + �� + �� ?

Якщо �� =1 є коренем рівняння ��

12 + ��⋅ 1+

4�� 2 + 12��− 6=4�� 2 10�� +6 8�� 2 − 22�� + 12 =0 |:2 4�� 2 11�� +6=0

) 7 �� +2 + 3 ��− 2 = 16 ��

�� (��− 2)+3�� (�� +2)= 16(�� 2 4)

�� 2 14�� +3�� 2 +6�� = 16�� 2 64 10�� 2 8�� = 16�� 2 64 6�� 2 +8��− 64 =0 |:2 3�� 2 +4��− 32 =0

=( 18)2 4 ⋅ 1 ⋅ 65 = 324 260 = 64

= 18 +8 2 = 13;

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

��1 = 5+7 2 =1; ��2 = 5 7 2 = 6

992. Не

а) 2�� 2 +7��− 2= �� 2 2��− 16

�� 2 +9�� + 14 =0

�� =92 4 ⋅ 1 ⋅ 14 = 81 56 = 25

��1 = 9+5 2 = −2; ��2 = 9 5 2 = −7

Якщо ��1 = 2, то ��1 =( 2)2 2 ⋅ ( 2) 16 =4+4 16 = 8

Якщо ��2 = 7, то ��2 =( 7)2 2 ⋅ ( 7) 16 = 49 + 14 16 = 47

Точки перетину: ( 2; 8), ( 7; 47).

б) 6 �� = ��− 5 | ⋅�� , ��≠ 0

6= �� 2 5��

�� 2 5��− 6=0

�� =(−5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−6)= 25 + 24 = 49

��1 = 5+7 2 =6; ��2 = 5 7 2 = 1

Якщо ��1 =6, то ��1 =6 5=1

Якщо ��2 = 1, то ��2 = 1 5= 6

Точки перетину: (6;1), ( 1; 6). 993. Не

=1, то ��1

��1 = 5+7 2 ⋅ 1 =1; ��2 = 5 7 2 ⋅ 1 = 6 2) �� 2 +5�� =0

��⋅ (�� +5)=0

��3 =0; ��4 = −5

|�� |= �� , де ��≥ 0

= 10 +2 2 =6; ��2 = 10 2 2 =4 |�� |=6 ⇒��1 =6, ��2 = 6 |�� |=4 ⇒��3 =4, ��4 = 4

6�� 2 +5|�� | 1=0; 6|�� |2 +5|�� | 1=0 |�� |= �� , ��≥ 0

(�� +7)=0

|2�� 2 −��− 3|=3

�� |�� | 4�� +3=0; 1) ��≥ 0: �� 2 4�� +3=0

= 49 4 ⋅ 2 ⋅ ( 4)= 49 + 32 = 81

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

��1 = 2+ 10 2 =4; ��2 = 2 10 2 = 6

1) �� +1=4 ⇒��1 =3 2) �� +1= −6 ⇒��2 = −7 д) �� 2 +5=2√�� 2 +5 +3; �� 2 +5 2�� 2 +5 3=0

�� 2 +5 = �� , �� >0 �� 2 2��− 3=0 �� =4 4 ⋅ ( 3)= 16 ��1 = 2+4 2 =3; ��2 = 2 − 4 2 = 1(не задовольняє) �� 2 +5 =3 ⇒�� 2 +5=9 ⇒�� 2 =4 ⇒��1 =2, ��2 = 2 997. Розв'яжи рівняння, використовуючи

а) (2��− 1)4 10(2��− 1)2 +9=0;

Нехай (2��− 1)2 = �� , ��≥ 0 �� 2 − 10�� +9=0 �� =( 10)2 4 ⋅ 1 ⋅ 9= 100 36 = 64 ��1 = 10 +8 2 =9; ��2 = 10 − 8 2 =1 1) (2��− 1)2 =9

2��− 1=3 або 2��− 1= 3

2�� =4 ⇒��1 =2; 2�� = 2 ⇒��2 = 1

2) (2��− 1)2 =1

2��− 1=1 або 2��− 1= −1

2�� =2 ⇒��3 =1; 2�� =0 ⇒��4 =0 б) (�� 2 +2)2 (�� 2 +2) 6=0; Нехай �� 2 +2= �� , ��≥ 2 �� 2 −��− 6=0

в) �� (�� +1)(�� +2)(�� +3)= 24; (�� 2 +3�� )(�� 2 +3�� +2)= 24

Нехай �� 2 +3�� = �� (�� +2)= 24 ⇒�� 2 +2��− 24 =0 �� =4 − 4 ⋅ (−24)= 100 ��1 = 2+

1) �� 2 +3�� =4 ⇒�� 2 +3��− 4=0 ⇒��1 =1, ��2 = 4 2) �� 2 +3�� = 6 ⇒�� 2 +3��

(��− 1)2 (�� 2 2�� )= 12; (�� 2 2�� +1)(�� 2 2�� )= 12

�� 2 − 2�� = ��

(�� 2 +2�� +1)(�� 2 +2�� +4)= 10;

�� 2 +2

2

д) (��− 2)(�� +1)(�� +2)(�� +5)+ 36 =0; ((��− 2)(�� +5))((�� +1)(�� +2))+ 36 =0 (�� 2 +3��− 10)(�� 2 +3�� +2)+ 36

ґ) (�� +1)(�� +2)(�� +3)(�� +4)= 120; ((�� +1)(�� +4))((�� +2)(�� +3))= 120 (�� 2 +5�� +4)(�� 2 +5�� +6)= 120 Нехай �� 2

(�� +3)(�� +1)(��− 5)(��− 7)= 192; ((�� +3)(��− 7))((�� +1)(��− 5))= 192 (�� 2 4��− 21)(

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� =4 б) �� 2 + �� +4=0; �� = ��2 4 ⋅ 1 ⋅ 4= ��2 16

��2 16 =0

��2 = 16

��1 =4; ��2 = 4

в) �� 2 +8�� +1=0; 1) �� =0:1=0 — коренів немає

2) ��≠ 0: �� =(8��)2 4 ⋅��⋅ 1= 64��2 4�� 64��2 4�� =0 4��(16��− 1)=0 �� =0 (не задовольняє ��≠ 0); 16�� =1 ⇒�� =0,0625 г) �� 2 + 20�� + �� =0; 1) �� =0: 20�� =0 ⇒�� =0 (один корінь) ⇒�� =0 2) ��≠ 0: �� = 202 − 4 ⋅��⋅�� = 400 − 4

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

1 − 4�� =0 ⇒ 4�� =1 ⇒�� =0,25

Перевірка: �� = ( 1) 2 ⋅ 1 =0,5 (задовольняє ��≠−1,5)

2) Рівняння �� 2 −�� + �� =0 має

1,5: ( 1,5)2 ( 1,5)+ �� =0

2,25 +1,5+ �� =0

3,75 + �� =0 ⇒�� = 3,75

Перевірка для �� = −3,75: �� 2 −��− 3,75 =0 �� =1 4 ⋅ ( 3,75)=1+ 15 = 16 >0 (два корені, один сторонній) �� = 3,75 (менше ніж 0,25)

1005. Доведи, що при будь-якому

а) �� 2 + �� 5=0;

�� = �� 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−5)= �� 2 + 20

2 ≥ 0 при будь-якому ��⇒�� 2 + 20 >0 �� >0 ⇒ рівняння завжди

�� 2 +(2�� +1)�� + �� 2 + �� =0;

=(2�� +1)2 4 ⋅ 1 ⋅ (�� 2 +

2) 0,01

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

��1 = 22 + 18 2 = 20

��2 = 22 18 2 =2

1) �� 2 −�� = 20 �� 2 −��− 20 =0 �� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 20)=1+ 80 = 81

��1 = 1+9 2 =5 ��2 = 1 9 2 = 4 2) �� 2 −�� =2 �� 2 −��− 2=0 �� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 2)=1+8=9 ��3 = 1+3 2 =2 ��4 = 1 − 3 2 = 1

1. Укажи квадратне рівняння. А) �� 2 + 12 =0 — так; Б) 20 −�� =0 — ні; В) 3�� =9 — ні; Г) �� −2 = 100 — ні.

Відповідь: А.

2. Скільки коренів має рівняння �� 2 +2�� +1=0?

�� 2 +2�� +1=0 �� =22 4 ⋅ 1 ⋅ 1=4 4=0

Відповідь: А. один

3. Дискримінант рівняння �� 2 +7�� +6=0 дорівнює:

=1, �� =7, �� =6

= �� 2 4�� =72 4 ⋅ 1 ⋅ 6= 49 24 = 25 Відповідь: В. 25

4. Яке

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

4 3�� 2 +2=0

Нехай �� 2 = �� , де ��≥ 0 �� 2 3�� +2=0 �� =( 3)2 4 ⋅ 1 ⋅ 2=9 8=1 ��1 = 3+1 2 =2 ��2 = 3 1 2 =1

При �� =2: �� 2 =2, ��1,2 =±√2 (2 корені)

При �� =1: �� 2 =1, ��3,4 =±1 (2 корені)

Усього рівняння має 4 корені.

Відповідь: В. чотири

6. Дискримінант рівняння �� 2 + �� + �� =0 — це вираз: �� = �� 2 − 4

Відповідь: А. D > 0 8. Рівняння �� 2 +6��− 7=0 має корені:

4�� 2 = 36

�� 2 = −9 (коренів немає)

В) 4�� 2 + �� =0

��⋅ (4�� +1)=0

��1 =0, ��2 = 0,25 (два корені)

Г) 4�� 2 3�� + 10 =0 �� =( 3)2 4 ⋅ 4 ⋅ 10 =9 160 = 151 <0 (коренів немає)

Відповідь: В. 4�� 2 + �� =0

2. Знайди корені рівняння �� 2 9�� =0.

(��− 9)=0

9=0

=9

Б. 0; 9 3. Вкажи менший корінь

2 =4 ⋅ (3 −�� )

2 = 12 4��

+4

=42 4

6<2 Відповідь: Г. -6 4. Установи

40�� 2 51��− 7= 36�� 2 60�� +6 40�� 2 − 36�� 2 − 51�� + 60��− 7 − 6=0

4�� 2 +9��− 13 =0

=

= 3,25 Відповідь: 1; -3,25 б) 2�� −3 1 ��+3 = 6 �� 2 −9 2�� (�� +3) (��− 3)=6

2�� 2 +6��−�� +3 6=0

2�� 2 +5��− 3=0

при �� = 3 знаменник �� +3=0, тому

Відповідь: 0,5

6. Розв’яжи рівняння, використовуючи

(2��− 1)4 5(2��− 1)2 +4=0

Нехай (2��− 1)2 = �� , де ��≥ 0 �� 2 5�� +4=0 �� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ 4= 25 16 =9

��1 = 5+3

=

1) При �� =4: (2��− 1)2 =4 2��− 1=2 або 2��− 1= 2 2�� =3 або 2�� = 1 ��1 =1,5 або ��2 = 0,5 2) При �� =1: (2��− 1)2 =1 2��− 1=1 або 2��− 1= 1 2�� =2 або

�� =8, то �� +5=8+5= 13 Відповідь: 8 і 13 8. При якому

2 (�� +2)�� + �� +5=0 �� =( (�� +2))2 4 ⋅ 1 ⋅ (�� +5)= �� 2 +4�� +4 4��− 20 = �� 2 16

2 = 16

=4 ��2 = 4

4; -4

Розв’яжи рівняння �� 2 5|�� | 6=0.

Оскільки �� 2 =|�� |2 , маємо |�� |2 5|�� | 6=0

Нехай |�� |= �� , де ��≥ 0 �� 2 − 5��− 6=0

�� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 6)= 25 + 24 = 49

��1 = 5+7 2 =6

��2 = 5 7 2

6; -6

⋅��2 = 10

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

��1 ⋅��2 =1 ⋅ 7=7; �� =7;7=7 − так, є коренями

б) �� 2 +8�� + 15 =0,3 і 5

��1 + ��2 =3+5=8; −�� = 8;8 ≠−8 ні, не є коренями

в) �� 2 − 12�� − 13 =0, −1 і 13

��1 + ��2 = 1+ 13 = 12; −�� = ( 12)= 12; 12 = 12

��1 ⋅ ��2 = −1 ⋅ 13 = −13; �� = −13; −13 = −13 − так, є коренями

г) �� 2 6�� +6=0,3 і 3

��1 + ��2 =3+3=6; −�� = ( 6)=6;6=6

��1 ⋅��2 =3 ⋅ 3=9; �� =6;9 ≠ 6 ні, не є коренями

є),

розв'язуючи рівняння. а) �� 2 4�� +3=0 �� =( 4)2 4 ⋅ 1 ⋅ 3= 16 12

+ ��2 = ( 4)=4>0

) �� 2 +7�� + 10 =0

=72 4 ⋅ 1 ⋅ 10 = 49 40 =9>0

⋅��2 = 10 >0

+ ��2 = 7<0 обидва корені

=( 6)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 8)= 36 + 32 = 68

план: 1) Проаналізувати множники числа ��.

2) Знайти пару, що в сумі дає −�� .

3) Записати корені.

1023. Розв'яжи рівняння.

а) �� 2 3�� +2=0

��1 + ��2 =3

��1 ⋅��2 =2

��1 =1; ��2 =2 б) �� 2 4��− 5=0 ��1 + ��2 =4 ��1 ⋅��2 = 5

��1 = 1; ��2 =5

в) �� 2 4�� +3=0

��1 + ��2 =4

��1 ⋅��2 =3

��1 =1; ��2 =3

г) �� 2 7�� + 12 =0

��1 + ��2 =7

��1 ⋅��2 = 12

��1 =3; ��2 =4

1024. Знайди коефіцієнти

а) 2 і 3

�� = −(��1 + ��2 )= −(2+3)= −5

�� = ��1 ⋅��2 =2 ⋅ 3=6 б) − 2 і 5

�� = (��1 + ��2 )= ( 2+5)= 3

�� = ��1 ⋅��2 = −2 ⋅ 5= −10

в) 3 і 7

�� = −(��1 + ��2 )= −(−3+(−7))= −(−10)= 10

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� = ��1 ⋅��2 = −3 ⋅ (−7)= 21

) 4 і 1

�� = (��1 + ��2 )= (4+1)= 5

�� = ��1 ⋅��2 =4 ⋅ 1=4 б) 3 і 2

�� = (��1 + ��2 )= ( 3+2)= ( 1)=1 �� = ��1 ⋅��2 = 3 ⋅ 2= 6 в) 6 і 5

�� = (��1 + ��2 )= ( 6+( 5))= ( 11)= 11 �� = ��1 ⋅��2 = 6 ⋅ ( 5)= 30 1026. Розв'яжи рівняння.

а) �� 2 5�� + 4 = 0

��1 + ��2 =5 ��1 ⋅ ��2 =4 ��1 =1; ��2 =4 б) �� 2 3�� 40 = 0 ��1 +

) �� 2 �� 12 = 0

+ ��2 =1

⋅��2 = 12

= 3; ��2 =4

ґ) �� 2 + 5�� + 6 = 0

��1 + ��2 = −5

��1 ⋅��2 =6

��1 = 3; ��2 = 2

1027. Розв'яжи рівняння.

) �� 2 + 5�� 14 = 0

+ ��2 = 5

⋅��2 = 14

= 7; ��2 =2

) �� 2 + 2�� 15 = 0

+ ��2 = 2

⋅��2 = 15

= 5; ��2 =3

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� = �� 2 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = �� 2 100

�� 2 − 100 =0

�� 2 = 100

��1 = 10; ��2 = 10

1029. Знайди

а) �� 2 + 12�� + �� =0 Рівняння має рівні корені, якщо �� =0 �� = 122 4 ⋅ 1 ⋅�� = 144 4�� 144 4�� =0

4�� = 144 �� = 144 ∶ 4= 36

б) �� 2 + �� + 121 =0

Рівняння має рівні корені, якщо �� =0 �� = �� 2 −

��1 =3

��1 + ��2 =5 3+ ��2 =5 ��2 =5 3=2

��1 =5 ��1 ⋅��2 = 30 5 ⋅��2 = 30 ��2 = 30 ∶ 5=6

= −(��1 + ��2 ) �� = (5+6)= 11 1032. Знайди �� і ��1 , якщо: а) �� 2 + �� + 35 =0 і ��2 =7 ��1 ⋅��2 = 35 ��1 ⋅ 7= 35 ��1 = 35 ∶ 7=5

�� = (��1 + ��2 )= (5+7)= 12

б) �� 2 + �� + 21 =0 і ��2 = 3

��1 ⋅��2 = 21

��1 ⋅ ( 3)= 21

��1 = 21 ∶ (−3)= −7

�� = (��1 + ��2 )= ( 7+( 3))= ( 10)= 10

1033. Знайди �� і ��1 , якщо: а) �� 2 11�� + �� =0 і ��2 =6

��1 + ��2 = 11

��1 +6= 11

��1 = 11 6=5

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� = ��1 ⋅��2 =5 ⋅ 6= 30

б) �� 2 +6�� + �� =0 і ��2 =3

��1 + ��2 = 6

��1 +3= 6

��1 = 6 3= 9

�� = ��1 ⋅��2 = 9 ⋅ 3= 27

1034. Знайди �� і ��1 , якщо:

а) �� 2 +9��− 2=0 і ��2 = 2

��⋅ ( 2)2 +9 ⋅ ( 2) 2=0

4��− 18 2=0 4�� = 20

�� =5

��1 ⋅��2 = �� = 2 5 = 0,4

��1 ⋅ ( 2)= 0,4

��1 = 0,4 ∶ ( 2)=0,2

б) �� 2 4��− 39 =0 і ��2 = 3

��⋅ ( 3)2 4 ⋅ ( 3) 39 =0

9�� + 12 39 =0

9�� = 27 �� =3

��1 ⋅��2 = �� = 39 3 = 13 ��1 ⋅ ( 3)= 13 ��1 = 13 ∶ ( 3)= 13 3 =4 1 3 1035.

) 2 і 4 �� = (2+4)= 6

=2 ⋅ 4=8 �� 2 6�� +8=0 б) − 3 і 5 �� = ( 3+5)= 2 �� = 3 ⋅ 5= 15 �� 2 2��− 15 =0 в) 0,5 і 4

�� = (0,5+4)= 4,5

�� =0,5 ⋅ 4=2 �� 2 4,5�� +2=0 г) 1 7 і 7

�� = ( 1 7 +7)= 7 1 7 �� = 1 7 ⋅ 7=1

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� = (2 √3 +2+ √3)= 4

�� =(2 √3)(2+ √3)=22 (√3)2 =4 3=1

�� 2 4�� +1=0

1036. Склади

а) 3 і 8

�� = −(3+8)= −11

�� =3 ⋅ 8= 24

�� 2 11�� + 24 =0

б) 4 і 2

�� = ( 4+2)= ( 2)=2

�� = 4 ⋅ 2= 8

�� 2 +2��− 8=0

в) 3 і 0,6

�� = (3+0,6)= 3,6

�� =3 ⋅ 0,6=1,8

�� 2 3,6�� +1,8=0

г) 3+ √5 і 3 √5

�� = −(3+ √5 +3 − √5)= −6

�� =(3+ √5)(3 √5)=32 (√5)2 =9 5=4

�� 2 6�� +4=0

рівняння,

1: ��1 =5

2: ��2 = 2

�� = 3± 11

2 ⇒��1 =7; ��2 = 4

Корені другого рівняння: �� =12 4 ⋅ 2 ⋅ ( 10)=1+ 80 = 81 �� = 1±9 4 ⇒��3 =2; ��4 = 2,5

Рівняння з коренями ��1 =7 та ��3 =2: �� = (7+2)= 9; �� =7 ⋅ 2= 14 ⇒�� 2 9�� + 14 =0

Рівняння з коренями ��1 =7 та ��4 = 2,5:

= −(7 − 2,5)= −4,5; �� =7 ⋅ (−2,5)= −17,5 ⇒�� 2 − 4,5��− 17,5=0

Рівняння з коренями ��2 = 4 та ��3 =2: �� = ( 4+2)=2; �� = 4 ⋅ 2= 8 ⇒�� 2 +2��− 8=0

Рівняння з коренями ��2 = 4 та ��4 = 2,5:

= ( 4 2,5)=6,5; �� = 4 ⋅ ( 2,5)= 10 ⇒�� 2 +6,5�� + 10 =0 б) 2�� 2 +5��− 3=0 і �� 2 − 4�� +4=0

Корені першого рівняння: �� =52 4 ⋅ 2 ⋅ ( 3)= 25 + 24

з коренями ��2 = −3 та ��3 =2: �� = ( 3+2)=1; �� = 3 ⋅ 2=

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

(��2 − 3) ⋅��2 = 10

��22 − 3��2 − 10 =0

�� =( 3)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 10)=9+ 40 = 49

��2 = 3±7 2 ⇒��2(1) =5; ��2(2) = 2

Якщо ��2 =5, то ��1 =5 3=2 (умова 5>2 вірна)

Якщо ��2 = 2, то ��1 = 2 3= 5 (умова 2> 5 вірна)

��1 = (��1 + ��2 )= (2+5)= 7

��2 = (��1 + ��2 )= ( 5 2)=7

б) �� 2 8�� + �� =0 і ��1 : ��2 = 0,2

��1 = 0,2��2

��1 + ��2 =8 0,2��2 + ��2 =8 0,8��2 =8 ��2 = 10

��1 = 0,2 ⋅ 10 = 2

Умова 10 > 2 виконується �� = ��1 ⋅��2 = 2 ⋅ 10 = 20

+3= 2

��1 = −4

��1 = 2

��2 = 2+8=6

�� = 2 ⋅ 6= 12 1052. Визнач

2 (2��− 2)�� + 21 =0 на 4 більший за інший.

��2 = ��1 +4

��1 ⋅��2 = 21

��1 ⋅ (��1 +4)= 21

��12 +4��1 21 =0 �� =42 4 ⋅ 1 ⋅ ( 21)= 16 + 84 = 100 ��1(1) = 4+ 10 2 =3 ⇒��2(1) =3+4=7

��1(2) = 4 10 2 = 7 ⇒��2(2) =

3 ��1 + ��2 =2��− 2 Випадок 1: 3+7=2��− 2 10 =2��− 2 ⇒ 2�� = 12 ⇒�� =6 Випадок

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2 2�� 2 =0 ⇒�� 2 2�� =0

1059.

2 (�� 2 +4��− 10)�� +3�� =0 дорівнює 2? За теоремою Вієта: ��1 + ��2 = �� 2 +4��− 10 �� 2 +4��− 10 =2 �� 2 +4��− 12 =0 �� =42 4 ⋅ 1 ⋅ ( 12)= 16 + 48 = 64

= 4±8 2 ��1 =2; ��2 = 6

Перевірка ��≥ 0 для вихідного рівняння: Якщо �� =2: �� 2 2�� +6=0 ⇒�� =4 24 = 20 <0 (не підходить)

Якщо �� = 6: �� 2 2��− 18 =0 ⇒�� =4+ 72 = 76 >0 (підходить)

Відповідь: �� = 6

1060. За якого значення параметра

2 − 3�� +(�� 2 +2�� +3)=0 дорівнює 6?

2 +2��− 3=0

=22 − 4 ⋅ 1

��1 ⋅��2 =2��− 1 ��12 + ��22 =(��1 + ��2 )2 − 2��1 ��2 (�� +1)2 2(2��− 1)=6

2 +2�� +1 4�� +2=6

=( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)=4+ 12 = 16

= 2±4 2 ⇒��1 =3; ��2 = 1

Якщо �� = 1: �� =( 1)2 6 ⋅ ( 1)+5=1+6+5= 12 >0 (підходить)

Відповідь: �� = 1

1063. За якого значення

�� 2 8�� +4��− 1=0 дорівнює

Відповідь: �� =3,5

1064. Визнач додатне

2 − (2��−

= ��1 +6

⋅��2 = 16

⋅ (��1 +6)=

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� 2 (�� +3)��−��− 7=0

��1 + ��2 = �� +3 ��1 ⋅��2 = −��− 7

теоремою

+

) (��2 −��1 )2 =(��1 + ��2

=3,

⋅��2 =1

а) 375 000 000 000 =3,75 ⋅ 1011

б) 0,000000038 =3,8 ⋅ 10−8 1068. Подай у вигляді

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

1. Рух: ��1 =2 1=1 год, ��1 = 30 12 = 18 км ⇒��1 = 18 ∶ 1= 18 км/год

2. Зупинка: ��2 =3 2=1 год, ��2 =0 км ⇒��2 =0 км/год 3. Рух: ��3 =3,5 3=0,5 год, ��3 = 12 км ⇒��3 = 12 ∶ 0,5= 24 км/год

Весь час: �� =3,5 − 1=2,5 год 1070. Заміни літери цифрами, щоб виконувалася рівність ДИСК + РИМ = ІНАНТ.

Оскільки сума чотирицифрового та трицифрового чисел є п’ятицифровим, то перша цифра суми І =1.

Розглянемо розряд тисяч: Д +0(+1 за розряд)= ІН ⇒Д +(0 або 1)= 10 + Н.

Це можливо лише при Д =9, тоді Н =0 (якщо був перенос).

Підберемо цифри: 9832 + 784 = 10616 (не підходить, однакові літери).

Один із варіантів розв’язання:

Д =9, И =8, С =4, К =7, Р =6, М =5, Н =0, А =3, Т =2

9847 + 685 = 10532

Перевірка літер: Д(9), И(8), С(4), К(7), Р(6), М(5), І(1), Н(0), А(5), Н(3), Т(2)

Буква А не може бути 5, бо М = 5. Змінимо:

9734 + 876 = 10610 (не підходить).

Варіант, де И =5:

9567 + 854 = 10421

Д =9, И =5, С =6, К =7, Р =8, М =4, І =1, Н =0,

Варіант:

9753 + 876 = 10629 (не підходить).

Правильний варіант:

9825 + 786 = 10611 (не підходить).

9876 + 584 = 10460

Д =9, И =8, С =7,

Приклад робочої комбінації:

9754 + 876 = 10630

Д =9, И =7, С =5, К =4,

9582 + 754 = 10336 (не підходить).

Знайдений варіант:

9283 + 724 = 10007 (не підходить).

9835 + 487 = 10322 (не підходить).

9845 + 687 = 10532 Д =9, И =8, С =4, К =5, Р =6,

(Т=Н, не підходить).

=0 (Т=Н, не підходить).

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

−3�� 2 +5��−2 �� 2 −1 = −3(��−1)(��− 2 3) (��−1)(��+1) = 2−3�� +1

2��2 −5��+2

3��2 −3,5��−5 = 2(��−2)(��−0,5) 3(��−2)(��+ 5 6) = 2��−1 3��+2,5

��2 +9��+14

��2 +10��+21 = (��+7)(��+2) (��+7)(��+3) = ��+2 ��+3

�� 2 +√5��−10

�� 2 −3√5��+10 = (��+2√5)(��−√5) (��−2√5)(��−√5) = ��+2√5 ��−2√5

3��−9

2�� 2 −5��−3 = 3(��−3) 2(��−3)(��+0,5) = 3 2��+1

��2 −9

2��2 +7��+3 = (��−3)(��+3) 2(��+3)(��+0,5) = ��−3 2��+1 в)

�� 2 −8��−20

�� 2 −11��+10 = (��−10)(��+2) (��−10)(��−1) = ��+2 ��−1

��2 −8��+7

��2 −9��+14 = (��−7)(��−1) (��−7)(��−2) = ��−1 ��−2

2−3��+�� 2

�� 2 −4��+4 = (��−1)(��−2) (��−2)2 = ��−1 ��−2

2�� 2 −3��+1

3�� 2 −4��+1 = 2(��−1)(��−0,5) 3(��−1)(��− 1 3) = 2��−1 3��−1

�� 2 +2��−15

�� 2 +4��−5 = (��+5)(��−3) (��+5)(��−1) = ��−3 ��−1

�� 2 −3

�� 2 −2√3��+3 = (��−√3)(��+√3) (��−√3)2 = ��+√3 ��−√3

2�� 2 −5��−3

2�� 2 +7��+3 = 2(��−3)(��+0,5) 2(��+3)(��+0,5) = ��−3 ��+3

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� 2 +3��− 10 =(�� +5)(��− 2) �� 2 − 7�� + 10 =(��− 5)(��− 2)

Спільний знаменник: (��− 2)(�� +5)(��− 5)

Сума: 2 (�� +5)(��− 2) + 1 (��− 5)(��− 2) = 2(��− 5) + (�� +5) (��− 2)(�� +5)(��− 5) = = 2��− 10 + �� +5 (��− 2)(�� 2 25) = 3��− 5 (��− 2)(�� 2 25)

Різниця: 2 (�� +5)(��− 2) 1 (��− 5)(��− 2) = 2(��− 5) (�� +5) (��− 2)(�� +5)(��− 5) = = 2��− 10 −��− 5 (��− 2)(�� 2 25) = ��− 15 (��− 2)(�� 2 25) б) 1 6�� 2 13�� +6 і 1 3�� 2 11�� +6 6�� 2 13�� +6=6(��− 2 3)(��− 3 2)=(3��− 2)(2��− 3) 3�� 2 11�� +6=3(��− 3)(��− 2 3)=(��− 3)(3��− 2)

Спільний знаменник: (3��− 2)(2��− 3)(��− 3)

Сума: 1 (3

= 3��− 6 (3��− 2)(2��− 3)(��− 3) = 3(��− 2) (3��− 2)(2��− 3)(��− 3)

Різниця: 1 (3��− 2)(2��− 3) 1 (��− 3)(3��−

3)

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2��− 2 −�� 2 2�� +5�� 2 +5�� +4�� +4=0

4�� 2 +9�� +2=0 �� =92 4 ⋅ 4 ⋅ 2= 81 32 = 49

��1 = 9+7 8 = 0,25; ��2 = 9 7 8 = 2

При �� = 2 знаменник дорівнює 0.

Відповідь: -0,25.

в) 1 ��− 1 + 3 �� 2 +9�� + 18 = 2�� +5 �� 2 +5��− 6 1 ��− 1 + 3 (�� +3)(�� +6) = 2�� +5 (��− 1)(�� +6) (�� +3)(�� +6)+3(��− 1) (2�� +5)(�� +3) (��− 1)(�� +3)(�� +6) =0

�� 2 +9�� + 18 +3��− 3 (2�� 2 +6�� +5�� + 15)=0 �� 2 + 12�� + 15 2�� 2 11��− 15 =0

2 + �� =0

(−�� +1)=0 ��1 =0; ��2 =1 При �� =1 знаменник дорівнює 0.

Відповідь: 0.

1097. Розв'яжи рівняння:

а) 2 ��− 7 = �� − 2 + 10

2 +9��− 14 =0

2 9�� + 14 =0

=(−9)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 14 = 81 − 56 = 25

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

2+1 (��− 1)(��− 2) = 2��− 7 (��− 2)(��− 7) ��− 1 (��− 1)(��− 2) = 2��− 7 (��− 2)(��− 7) 1 ��−2 = 2��−7 (��−2)(��−7), при ��≠ 1 1

2)(��− 7) =0 −��

��− 2)(��− 7) =0

2)

б)2�� 2 + 16�� + 13 =2(�� 2 +8�� )+ 13 =2(�� 2 +8�� + 16 16)+ 13 = =2((�� +4)2 16)+ 13 =2(�� +4)2 32 + 13 =2(

Ґ: ( 2)3 = 8

У: �0,16 =0,4

С: (0,55)1 =0,55

Т: 2560 =1

А: ( 1,1)4 =1,4641

В: �(−2)2 =2

8<0,4<0,55 <1<1,4641 <2

ҐУСТАВ

( 2 3)3 = 8 27 ≈ 0,3 Е: ( 3 2)−2 =( 2 3)2 = 4 9 ≈ 0,44

Л: 50 =1

А: �1,21 =1,1

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Н: (√4 +9)2 =(2+9)2 = 121

Д:

Прізвище:

озеру; г) пліт по річці?

а) 12 + �� (км/год);

б) 12 −�� (км/год);

в) 12 (км/год);

г) �� (км/год).

1114. З якою швидкістю

��⋅ (�� +5)= 24

1118.

2

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

дорівнює 20, а добуток — 91; б) їх різниця дорівнює

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� 2 + 529 46�� + �� 2 265 =0

2�� 2 − 46�� + 264 =0

�� 2 23�� + 132 =0 �� =( 23)2 4 ⋅ 1 ⋅ 132 = 529 528 =1

��1 = 23 +1 2 = 12

��2 = 23 1 2 = 11

Якщо �� = 12, то друге число 23 12 = 11. Якщо �� = 11, то друге число 23 11 = 12. Відповідь: 12 і 11. 1121. Знайди

800 м2 , а довжина на 20 м більша за ширину (мал. 22.2). Нехай ширина ділянки — ��

(�� + 20)= 800 �� 2 + 20��− 800 =0 �� = 202

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

— �� м, тоді

— �� +5 м. ��⋅ (�� +5)= 66 �� 2 +5��− 66 =0 �� =52 − 4 ⋅ 1 ⋅

�� =6 м, то довжина 6+5= 11 м.

Відповідь: 11 м і 6 м.

б) Нехай одна сторона — �� см, тоді друга — 28 −�� см. За теоремою Піфагора: �� 2 +(28 −�� )2 = 202

�� 2 + 784 56�� + �� 2 = 400

2�� 2 56�� + 384 =0

�� 2 28�� + 192 =0

�� =( 28)2 4 ⋅ 1 ⋅

16 см і 12 см.

256.

2�� =2 ⋅ 3=6

2�� +2=6+2=8

Відповідь: 6 і 8. 1128.

(

+(�� +1))2 (��2 +(�� +1)2 )= 264 (2�� +1)2 (��2 + ��2

Якщо �� = 11, то: �� +1= 11 +1= 12

Відповідь: 11 і 12. 1129. Знайди три послідовних цілих числа,

(��− 1)2 + �� 2 +(�� +1)

= 12

Якщо �� = 12, то числа: 11,12,13

Якщо �� = −12, то числа: −13, −12, −11.

Відповідь: 11, 12,

20 км/год. 1136. A boat traveled 50 km downstream and 45 km upstream, taking 10 hours to complete the journey. Find the boat’s own speed if the river’s current is 2,5 km/h. Write the boat’s own velocity as �� , create a table for the problem, and then write and solve the equation.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

95��− 12,5

�� 2 − 6,25 = 10

10(�� 2 6,25)= 95��− 12,5

10�� 2 − 62,5= 95��− 12,5

10�� 2 95��− 50 =0

2�� 2 19��− 10 =0

�� =( 19)2 4 ⋅ 2 ⋅ ( 10)= 361 + 80 = 441

√�� = 21

��1 = 19 + 21 2 ⋅ 2 = 40 4 = 10 ��2 = 19 − 21 4 = 0,5 (not possible, �� >2,5) Відповідь: 10 km/h. 1137.

�� + 10 = 50 + 10 = 60 (км/год)

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

100(��− 10)+ �� (4��− 100) �� (��− 10) =4,5

100��− 1000 +4�� 2 100�� 2 10�� =4,5

4�� 2 1000 =4,5(�� 2 10��)

4�� 2 1000 =4,5�� 2 45��

0,5�� 2 45�� + 1000 =0

�� 2 90�� + 2000 =0 �� =( 90)2 4 ⋅ 1 ⋅ 2000 = 8100 8000 =

√�� = 10

��1 = 90 + 10 2 = 50 ��2 = 90 10 2 = 40

Якщо �� = 50, то �� =4 ⋅ 50 = 200 (км).

Якщо �� = 40, то �� =4 ⋅ 40 = 160 (км).

Відповідь: 200

5,4 −�� + 6 �� =4,5

6�� +6(5,4 −�� ) �� (5,4 −�� ) =4,5

�� + 32,4 − 6�� 5,4

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

1

�� + 1 �� +2 = 12 35

�� +2+ ��

�� (�� +2) = 12 35

2�� +2

�� 2 +2�� = 12 35

12(�� 2 +2�� )= 35(2�� +2)

12�� 2 + 24�� = 70�� + 70

12�� 2 46��− 70 =0 |:2

6�� 2 23��− 35 =0

�� =( 23)2 4 ⋅ 6 ⋅ ( 35)= 529 + 840 = 1369

��1 = 23 √1369 2 ⋅ 6 = 23 37 12 = 14 12 (не підходить)

��2 = 23 + 37 12 = 60 12 =5 (год) — перша труба.

5+2=7 (год) — друга труба.

Відповідь: 5 год, 7 год. 1148. Два робітники,

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

+9)+9��

(�� +9) =0,5

15�� + 135 +9��

�� 2 +9�� =0,5

24�� + 135

�� 2 +9�� =0,5

0,5(�� 2 +9�� )= 24�� + 135 | ⋅ 2

�� 2 +9�� = 48�� + 270

15(�� + 10)+ 20��

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� (�� + 10) =1

15�� + 150 + 20��

�� 2 + 10�� =1

35�� + 150

�� 2 + 10�� =1

�� 2 + 10�� = 35�� + 150

�� 2 − 25��− 150 =0

�� =( 25)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 150)= 625 + 600 = 1225

��1 = 25 √1225 2 = 25 35 2 = 5 (не підходить)

��2 = 25 + √1225 2 = 25 + 35 2 = 30 (год) — перший робітник.

30 + 10 = 40 (год) — другий робітник.

Відповідь: 30 год, 40 год. 1151. Стародавня індійська задача

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� 2 5�� = 500

�� 2 − 5��− 500 =0

�� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 500)= 25 + 2000 = 2025

��1 = 5 √2025 2 = 5 45 2 = 20 (не підходить)

��2 = 5+ √2025 2 = 5+ 45 2 = 25 (гілок).

200 ∶ 25 =8 (бджіл).

Відповідь: 25 гілок, 8 бджілок. 1153. Бригада планувала

більше, ніж планувала,

закінчила сівбу?

Нехай �� — кількість

18�� =2 12960 �� 2 + 18�� =2 2(�� 2 + 18��)= 12960

2 + 18��− 6480 =0

= 182 4 ⋅ 1 ⋅ ( 6480)= 324 + 25920 = 26244

∶ 90 =8 (

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

�� 2 + 260�� + 14400 = 500�� 2 − 240�� + 14400 =0 (��− 120)2 =0 �� = 120 Відповідь:

�� та

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

(

1) Якщо �� =1, тоді �� 2 3=4 ⇒�� 2 =7 (не є цілим).

2) Якщо �� =4, тоді �� 2 3=1 ⇒�� 2 =4 ⇒�� =2.

�� =4 (писанки).

�� =2 ⋅ 4=8 (блакитні крашанки).

�� =22 ⋅ 4= 16 (жовті крашанки).

Перевірка: 16 8 = 8 4 =2; 16 1= 15; 4+1=5; 15:5=3.

Відповідь: 4 писанки, 8 блакитних крашанок, 16

яєць):

крашанок. 1162. Круговою доріжкою завдовжки 2 км рухаються

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

49 + �� 2 = 74

�� 2 = 74 − 49

�� 2 = 25

��1 =5 (не задовольняє умову); ��2 = 5.

Відповідь: -7; -5. 1164. Розв’яжи рівняння:

а) �� 2 +2 �� +3 = �� 2 +4�� +3 ; �� 2 +2= �� 2 +4�� ; (��≠−3)

4�� =2 �� =2 ∶ 4 �� =0,5 б) �� 2 +2�� − 4 = �� 2 +8 ��− 4 ; �� 2 +2�� = �� 2 +8; (��≠ 4) 2�� =8 �� =4

Рівняння не має розв’язків. 1165. Відкрита задача.

https://shkola.in.ua/2397-hdz-alhebra-8-klas-bevz-2016.html

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook