Алгебра 8 клас Бевз 2025 by sloven

Гр и г о р і й Б е в з . В а л е н т и н а Б е в з ,

ОСВІТА В ИДАВНИЧИЙДІМ

Якил°

Д ар и н а В а с и л ь є в а , Н аталія В л а д ш і р о в а

А _= 0, то\

. т п

(а ) = а

тп

УДК

51 2*кл8(075.3) А34

Р е к о м е н д о в а н о М ін іс т е р с т в о м о с в іт и і н а уки У к р а їн и

(наказ Міністерства освіти і науки України від 21.02.2025 № 347) В И Д А Н О З А Р А Х У Н О К Д Е Р Ж А В Н И Х КОШ ТІВ. П Р О Д А Ж З А Б О Р О Н Е Н О П ід р у ч н и к р о з р о б л е н о з а м о д е л ь н о ю н а в ч а л ь н о ю п р о г р а м о ю « А л ге б р а . 7 - 9 кл аси » д л я з а к л а д ів з а г а л ь н о ї с е р е д н ь о ї о с в іт и (авт. Б у р д а М . І., Т а р а с е н к о в а Н. А ., В а с и л ь є в а Д . В .)

У м о вн і позначення £ 0 . — попрацюйте в парах •о — попрацюйте в групах о.,-; ^ — склади розповідь чи задачу і? — завдання для обговорення в парі — завдання дослідницького характеру [] — завдання з використанням ІКТ завдання, рекомендоване для домашньої роботи

(Ж)-

Д о підручника ро зроблен о інтерактивний електронний додаток. Щ об о зн а йом и тись із м атеріалам и додатка, перейдіть за посиланням ІШ рз://«5Є.ее/сиЬсІ

А34

А л ге б р а : підр уч . для 8 к л а с у з а к л а д ів з а г а л ь н о ї с е р е д н ь о ї о с в іт и / Г . П. Б е в з , В. Г. Б е в з , Д . В. В а с и л ь є в а , Н. Г. В л а д ім ір о в а . — К. : В и д а в н и ч и й д ім «О світа», 2 0 2 5 . — 2 7 2 с. : іл. І5ВМ 9 7 8 -9 6 6 -9 8 3 -5 8 3 -3 . У Д К 51 2 *к л 8 (0 7 5 .3 )

І5ВМ 9 7 8 -9 6 6 -9 8 3 -5 8 3 -3

Д о р о гі в о с ь м и к л а с н и к и т а в о с ь м и к л а с н и ц і! Ц ей п ід р у ч н и к м і с т и т ь виклад т еорії', задачі т а впр ави , завдання для с а м о с т ій н о ї р о б о т и , т е с т о в і завдання, т и п о в і завдання до т е м а т и ч н о ї р об от и т ощ о. К о р и с т у ю ч и с ь п і д р у ч н и к о м , ви знач но р о з ш и р и т е сво ї м а т е м а т и ч н і знання й ум ін н я. Я к щ о досі в а м були відом і з алгебри т іл ь к и раціональні числа, цілі вирази і л інійні рівняння, т о у 2 класі ви о п а н уєт е дійсні числа, рац іон ал ьні вирази і кв а д р а т н і рівняння. О т ж е , навчит есь розв’язува т и багато і т а к и х задач, я кі досі розв'язуват и не вм іли. Вивчаючи т е о р е т и ч н и й м а т е р іа л , зв е р т а й т е увагу на слова, надруковані ж и р н и м к у р с и в о м , — це нові алгебраїчні т е р м ін и . Ви повинні у свід о м и т и , що вони озн а ч а ю т ь, і з а п а м 'я т а т и їх. Виділені ж и р н и м ш р и ф т о м речення е основними означеннями, правилами та ін ш и м и важливими мат емат ичними т верд ж енням и. Слід навчит ися їх ф о р м у л ю в а т и ( м о ж н а своїми словам и) т а заст о со в ува т и до розв'язування п р о понова них вправ і задач. П ід р уч н и к м іс т и т ь вправи р ізн и х рівнів складност і: для усного розв'язування т а п и с ь м о в і рівнів А і Ь. У р уб р и ц і « В и к о н а є м о р а з о м !» наведено зразки розв'язань важливих видів задач. К ори сно о з н а й о м и т и с я з н и м и перед ви конанням д о м а ш н іх завдань. Р убрика « Г о т у є м о с я до т е м а т и ч н о г о о ц ін ю в а н н я » д опом ож е я кна йкра щ е п ід г о т у в а т и с я як до т е м а т и ч н о г о оціню вання, т а к і в п о д а л ь ш о м у до зовнішнього незалежного оцінювання чи національного м у л ь т и п р е д м е т н о г о т е с т у .

П ерш ніж працю вати з підручником, перейди за посиланням ІШрзі/уЛ/зе.ее/спл/д та повтори від о м ості за 7 клас

Розділ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

О СТРО ГРАД СЬКИ Й М и х а й л о В а с и ль о в и ч (1 8 0 1 -1 8 6 2 ) — в с е с в іт н ь о в ід о м и й у к р а їн с ь к и й м а т е м а т и к і м е х а н ік . В и д а т н и й у ч е н и й , о р г а н і за то р наукової ш коли п р и к л а д н о ї м атем а ти ки і м е ха н іки , п о п у л я р и з а т о р м а т е м а т и к и , п р о г р е с и в н и й р е ф о р м а т о р м а т е м а т и ч н о ї о с в іт и , ч у д о в и й л е к т о р і т а л а н о в и т и й п е д а г о г -н о в а т о р .

§1 §2 §3 §4 §5 §6

Ділення і дроби О іуізіоп апсі Ргасііоп з

§7

Основна властивість дробу Ргасїіоп з М аіп Ргорегїу

§8

Раціональні вирази ЯаїіопаІ Е хргеззіопз Додавання і віднімання дробів Ргасїіоп з А с Ш іо п апсі ЗиЬІгасІіоп

§9

Перетворення раціональних виразів В аііо паї Ехргеззіопз Т гап зїо гтай о п Раціональні рівняння Ваііопаї Е яи а їіо п з Степені 3 ЦІЛИМИ показниками О едгезз \л/іїіі ІпїедгаІ іпсіісаіогз Стандартний вигляд числа

§10 Зіапсіагсі Р о г т И и т Р е г

Множення дробів Функція у = —

Ргасііоп з М иІіїрІісаїіоп Ділення дробів Ргасііоп з О м з іо п

§11 Рипсїіоп у - — X

Д о с і то б і бул и в ід о м і т іл ь к и цілі а л г е б р а їч н і в и р а зи . А в о н и д а ю т ь м о ж л и в іс т ь р о з в 'я з у в а т и л и ш е п р о с т і за д а ч і. Н а б а г а т о з р у ч н іш о ю і п о т у ж н іш о ю є а л ге б р а , у я к ій в и к о р и с т о в у ю т ь с я не т іл ь к и цілі в и р а зи , а й д р о б о в і. Т акі в и р а з и р а з о м н а з и в а ю т ь раціональними. У ц ь о м у р о з д іл і т и д із н а є ш с я п р о : а л г е б р а їч н і д р о б и т а д ії н а д н и м и ; р а ц іо н а л ь н і в и р а з и , т о т о ж н о с т і т а р ів н я н н я ; с т а н д а р т н и й в и гл я д числа; ф у н к ц ію

у = — т а її в л а с т и в о с т і. X

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і д о б р е засвоїти нову т е м у пригадаєм о!

КЛЮ ЧОВІ СЛ О ВА

" д р іб — їгасііоп чисельник — питегаіог ..знам енник — бепотіпаїог зм ін на — і/агіаЬІез

Ділення двох цілих виразів не завжди можна виконати без остачі. Наприклад, частки сі : а ’, 4ху2: 2уг не можна записати у вигляді цілих виразів. Якщо частка від ділення одного виразу на інший не є цілим вира зом, то її записують у вигляді дробу. Наприклад: г. о 2 3 5 а3 п П1 2 2ах , . ах 2 : 3 =—, а :а =— , 2ах:ЗЬх =-----г-, а х :(а +х) =------- . З а5 3 Ьх2 а +х Дробом називають частку від ділення двох виразів, записану за допомогою дробової риски. Я кі б не були вирази А і В , їх частка — — дріб. В Вирази А і Б — члени цього дробу: А — чисельник, В — знаменник. Ч ислові 5

-3

22 + 3 2

7’

0 ,4 ’

4 2 + 52

Зі з м ін н и м и

аЬ 4 т а-2 Ь х ’ т +1 ’ а +Ь

Звичайний дріб — окремий вид дробу. Це дріб, члени якого — на туральні числа.

Раціональні вирази

Якщо члени дробу — многочлени, його називають раціональним дробом. Дроби зі змінними мають значення (зміст) не при всіх значеннях 2а + 3

2 -5 + 3

змінних. Наприклад, якщо а = 5, то --------=----------=— . а- 5 5 -5 0 Запис — — не число, бо на 0 ділити не можна. Отже, дріб +^ 0 а- 5 при а = 5 не має змісту. При всіх інших значеннях а він має зміст. Говорять, що для даного дробу допустимими є всі значення змінної а, крім а = 5. Для змінних, що входять у знаменник дробу, допустимими є тільки ті значення, які не перетво рюють цей знаменник на нуль. Л 6 . 6(а-3) Розглянемо два дроби: — і ---------- . а а(а-З) Складемо таблицю їх значень для деяких значень а. а 6 а 6(а-3) а(а- 3)

-4

-3

-2

-1

-1,5

-2

-3

-1,5

-2

-3

-6

1,5

1,2

-6

1,5

1,2

7 6 7 6 7

Як видно з таблиці, обидва дроби мають рівні значення при наве дених значеннях змінної а , за винятком 0 і 3. Значення а = 0 недопус тиме для обох розглядуваних дробів, значення а = 3 недопустиме для другого дробу. При всіх допустимих значеннях змінної а всі відповідні значення цих дробів рівні. Два вирази, відповідні значення яких рівні при всіх до пустимих значеннях змінних, називають т о т о ж н о рівними, або т о т о ж н и м и . Це означення від подібного означення для цілих виразів відрізняється тільки словом «допустимих». Говорячи тільки про цілі вирази, це слово раніше ми вилучали, оскільки для них усі значення змінних допустимі. Два тотожних вирази, сполучені знаком рівності, утво рюють т о т о ж н іс т ь . Заміну одного виразу іншим, тотожним йому, називають т о т о ж н и м перетворенням даного виразу.

Ділення і дроби

З 11 1 7 35 149

звичаиних дробів: —, — , -----•;

числових:

а 1 5 п

раціональних: —, —,

2х

Загальне поняття д р о б у д о си ть ш ироке. Крім раціональних, д р о би буваю ть нераціональні, поки що тобі не відомі, наприклад:

7з

СОЗХ V1 -Х 2 1+ІПХ

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Сформулюй означення дробу. Я к називають члени дробу? Я кі види дробів ти знаєш?

О Я кі дроби називають раціональними? Наведи приклади. Що таке допустимі значення змінних? Наведи приклади. Я кі вирази називають тотожними? Сформулюй означення тотожності.

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

Я кі значення змінних допустимі для дробу: Л о а)ч —1 г ї б)Ч -=Х ~а =-? х+7 X а Розв’язання, а) х + 7 = 0, якщо х = - 7 . Це значення х недопустиме для даного дробу. Всі інші значення допустимі, б) х 2 - а г = 0, якщо (х - а)(х + а) = 0, звідси або х = а, або х = - а . Відповідь, а) Допустимі значення змінної х — всі числа, крім числа -7 ; б) допустимі значення змінної х — всі значення, крім а і - а . ^ 5 Доведи, що дріб

має зміст при всіх значеннях т . т т +1

Раціональні вирази

Доведення. При кожному раціональному значенні т число т г невід’ємне, а гп + 1 — додатне. Знаменник даного дробу при кожному значенні т не дорівнює 0. Отже, при кожному значенні т даний дріб має зміст. А це й треба було довести. . Чи тотожні вирази: а ) І ± ^ і 2а 2* 7аЬ

Розв’язання, а) Подамо дріб ^ а ^ - у вигляді частки двох одночле7аЬ 14а Ь 14а л . з,Ь2 :7аЬ п і . =2аЬ. о 2г. нів і виконаємо ділення: ----------= 7аЬ При всіх допустимих значеннях змінних (а Ф 0, Ь Ф 0) перший вираз дорівнює другому, а тому їх відповідні значення рівні. _ 14агЬ2 . 2 Отже, вирази --------- і 2а Ь тотожні. 7аЬ б) Виконаємо дії в кожному виразі, використовуючи властивості ( -а ) ' -а ‘ ( -а ) 6 а6 степенів: -—~~ - —— =-а ; -—?—=— =а. а6

а6

а5

Як бачимо, при всіх допустимих значеннях змінної (а Ф 0) вирази набувають протилежних значень. Отже, вони нетотожні. Відповідь, а) Вирази тотожні; б) вирази нетотожні. ВИКОНАИ УСНО

1. 2.

Провідміняй слова: дріб, ч а ст к а , знаменник. Я кі з наведених нижче виразів — дроби? 2 1 ^ 1 3 „ о А х -— Б - - В —^ х 2 х 0,5 х- 5 Чому дорівнює значення виразу ------- при: х+5 а) х = 0; б) х = -1 ; в) х = 5; Я кі значення змінних допустимі для дробів? \ 1 ч С~Х а) лг+З б) —-----В) 1+с ---- 2“х 2 ’ х ( х -у )7Ї

г) х = -5 ? ч Г) а 2

Який із дробів має зміст при будь-яких значеннях змінної а? А -? 3+а

„1 -а 2 Г 2а

а(а +2)

?± _ а +7

Г і| а

Ділення і дроби

6. 7. ^

Який із виразів не можна записати у вигляді одночлена? А 12х іуг : 0,3дс4у2 Б Зах3 : 9ах2 В х°уіс2 : у2с° Г 6а ‘ху° : За3 Чи тотожні вирази? аЬ Ьа . 4х ■ 2 8т . 7х . 2 їх ; б) т і Зт; в) ^ і х ; а) г) а +Ь а +Ь 4х 5т 1хл

ВИКОНАИ письмово

РІВЕНЬ А

в.

Запиши дріб, у якого: а) чисельник 2с, знаменник Зр; б) чисельник 1, знаменник х - у; в) чисельник знаменник 2 + г2. 9. Утвори дріб, у якого чисельник дорівнює 6т , а знаменник: а) на 5 менший за чисельника; б) на 2 більший за чисельник; в) удвічі менший від чисельника; г) дорівнює квадрату чисельника без одиниці. Запиши у вигляді одночлена частку (10, 11). б) - 9 х ‘ : 9х°; в) 2,5л:7 : (-0,5л:5); Зо- а) - 8х 4 : 2х; г) - 6х 4і/3 : 3х 4у2; ґ) 32а х л : 8ах;2; д) ~1,2хьуіс2: (~0,3у2с). в) 1, 8а7с5 : ( - 0,6а 5с4). б) -4 а 4 : ( -8а4); а ю а) 6а 7 : За5; Знайди значення дробу (12, 13). 36 а +4 12. а) , якщо х = -3 ; б) якщо а = 5; 6а : З х- х2 в)

с2- 9

, якщо с = -4 ;

(Ж) а) х х-12 0 , якщо х = 2; в) 14.

□

с ю

б) г)

2х 2

X -У

, якщо х = -12 і у = 13; , якщо х = 5 і у-

У (х-2 )

Користуючись калькулятором, знайди значення дробу

2х 2 + 3

Зх

якщо: а) х = 2,75; б) х = 21,8. Відповідь округли до десятих. Гра. Один із гравців / одна із гравчинь називає значення для змінної р, а інш ий/інш а — записує дріб зі змінною р, знаменник якого дорівнюватиме 0 за заданого значення змінної. Визнач, при яких значеннях змінних не має змісту дріб (16, 17). Зс- 8 х +р ' б) в) г) а -3 х +4 ’ Зс +8

СІЮ ° -о

2(а +Ь) якщо а = 9 і Ь = -7 ; а -Ь

т г) і—г, якщо т = -5 .

Раціональні вирази

а- 6 Зт 12г в) г) х -5 а +9 2- т Зг-15 Для кожної задачі запиши відповідь у вигляді виразу. Визнач, при яких значеннях змінних не має змісту вираз. а) Протягом х днів учень отримав 200 грн кишенькових грошей від батьків. Яку кількість грошей в середньому учень отримував щодня? б) Подоланий шлях складався з трьох ділянок довжинами а, Ь, с км. Знайди витрачений час на цей шлях, якщо середня швидкість руху становила сі км/год. в) Брусок має масу т г та об’єм V см *. Знайди густину бруска, що має масу на 200 г більшу, а об’єм — на 20 смл менший. Знайди допустимі значення змінної, що входить до виразу (19—22).

( 17. _'| а) 18.

19. . а) С Ю

а)

б)

За а 16

б) б)

х (1 +л:)’

х(х - 9) 1+х 2 х

в)

т а ; г) ( т - 1)(т +4) а +1 З

г)

4х- х

1 -х 2

1+Х 2 *

б) 9 ,5 т 7 0,5 т 2х°; в) 5х ‘с : (-0,5л:0). б) 3,2ал:т : 2ах2; в) -7 ,2 х 3уьс3:(-0 ,8 у 3с). ( 22. ) а) 1 6 * У : 8х*у; Запиши дроби, які не мають змісту, якщо (23, 24): б) і/ = -1 ; в) у = -4 і у 0 ; 23. а ) * = 3 ; г) а = 0 і а = 0,5; ґ) пг = 1 і т = -5 . 21. і а) 12Xіаг : 2ха2;

о°6

С Ю

сю

а) х = 5; б) г = -3 ; в) і = 0; г) х = 0 і х = -3 ; ґ) х = -2 і х = 2. Установи відповідність між дробами, заданими умовами (1-4), та значеннями змінної а, за яких ці дроби не мають змісту (А-Д ). 6а а —8 а —3 2 а(а + 3) а —1 З а2 —25 а |а| -Ь 2 1

А 5; -5 Б -2 В 8 Г -3 ; 0 Д таких значень не існує

Доведи тотожність (26, 27). СЮ »)

2а-ЗЬ а+Ь

даЬ а+Ь

б)

15аУ 5а2Ь

ЗаЬ;

Ділення і дроби

2а +5а _ За +4а в) За +4а 2а +5а ’

г)

За +2а а

б) 15а5 2а5+а5

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

а =3-

(ь3)

I 6а у

27- а) ~Т=а 2 -а; в)

Г2аЬ2]

( т - 1)7 (ти-1)5 ( т - 1)5 ( т - 1)3 (х+г/)2 х+ у

г) х +у

РІВЕНЬ Б

( 28. ) Заповни таблицю. Ділене

а2

ас

Дільник 2а3с

-2 ас3

-12 с2

6а3с4 12а3с5 -6 а4с3х 1,2а3с2 29.

Заповніть таблицю.

•О

-2

-1

2 а -3 2а а2- За Я кі значення а недопустимі для дробу — —? А для дробу ■ ■■?а— ? а -3 а -З а Чи рівні значення цих дробів, коли а = 100? ЗО.

Склади і заповни таблицю значень дробів

2а 2 +а ’ 1+0,5а

2а2

2а +а2

для цілих значень а, |а| <5. Який висновок можна зробити? с +2 При яких значеннях с значення дробу ------ дорівнює: 5 а) 1; г) 2; ґ) - 100? б) 0; в) - 1; З х -1 2 ( 32. ) При яких значеннях х значення дробу дорівнює: 31.

а) 3;

б) 0;

в) 1;

г) З?

Цілі вирази

33.

Я кі значення х допустимі для дробу? \ 1 а) Т 777 ™ ї б) х (х -1 )(х +2) ’

(2х - 1 ) ( х 2 - 1 6 ) ’

(х -3 )2 в )

34.

— \2/

3 -Х

ч гт\2 *

х+ 13 /

(х +1)(2х2 +3)

(2х +1) (х-7 )

. і\ / о

ЛУЬаі уаіиез о£ х аге ассеріаЬІе Гог а Ггасііоп? . л:2-5л;+100 1 а) — . . . -/ Ь) (х -4)(х -1) х 2 - 4 х +4

( 35. ) Укаж и допустимі значення змінної для дробу. . 2х „ 4 . 5 а ч т+ 12 а) —— — — —; б) „ о в) -9 т — ; г) х(х +7)(х-2) (1 +2х)(х - 9) (а +3)(3а +2) т ^ - 8т +16 36.

Чи при будь-якому значенні змінної х значення дробу: ч 9 З* 2 а) додатне; б)—-1— додатне; х +1 4 х -4 х + 1

—х 2 х 2+6 в) —5----- від’ємне; г) 5---- від’ємне? х +15 2х - х -1 ( 37. ) Доведи, що при будь-якому значенні змінної х значення дробу 5 * (-3)2 . , —5---- додатне, а значення дробу --------5- від ємне. л: +3 -3 -х 2 38. Доведи, що для даного дробу допустимими є будь-які значення змінних. ї

Зх

} х 2+1’

} ( х -1 )2 +3’

В) 4х2-4 х+ 3

Розв’яжи рівняння відносно змінної х і вкажи, при яких значен нях а рівняння має корені (39, 40). 39. а) ах - 2 = 2х + За;б) а2х - 3 = ах + а; в) 4 (а2х - 3) = а + х. 40. а) Зад: - 2 а = а 2х + 6;б) ах - а = ї х - 4;в) 9х - 5 = а(ах - 2).

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

41.

Знайди допустимі значення змінних, що входять до виразу. X

Зх +5 а) — Тг 2 —|3лг —1|

—ЗЬ б) 2 , . , , 2; а -5аЬ +6Ь

. у _о в) хд:

Ділення і дроби

42.

Який із дробів: а) найменший; б) найбільший, якщо кожне із чисел а і с більше за 1? а а 2а 2а 3а 3а ~ І ’ с + Г 2с +Ґ 2 с -1 ’ З с + і’ Зс-1

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

43.

44.

45.

46.

Скороти дріб. 5120 693 3366 35 ; «ч 144 ; в)ч а)ч — б) ----г) ґ) 56 441 2520 825 4488 Подай у вигляді многочлена вираз. а) (* - у)(х + у) - х(х - 3); б) (Ь + І )2 + ЗЬ(2Ь - 1); в) у(у + 2х) ~ (х + у)2; г) (Ь + 4)2 - (Ь - 3)(Ь + 3). Розклади на множники вираз. а) х 2 - 16; б) х2 - 9у4; в) х 2 - 6х + 9; г) а 3 - 4а; ґ) 3а2 - 6аЬ + ЗЬ2; д) 2х + 2у - ах - ау. Задай формулами функції, графіки яких зображено на малюнках 1.2 і 1.3. уі о

О' X 1' о' А' 1

■

- і

і> ;5 <І

і>

Мал. 1.3

Мал. 1.2 С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Знаю , що таке раціональний дріб:

А многочлен В ~ многочлен

А — чисельник В — знаменник

Знаю , які значення зм інних є до п усти м и м и для дробу:

— існує, якщо В * 0 Умію наводити приклади різних дробів. Умію визначати д о п усти м і значення дробів:

2х

х +5

, х ^ -5

а +1 2 а - а 2’

а ф0 а* 2 13

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і д о б р е за сво їти нову тему, пригадаєм о: — основн у властивість і правило скорочення звичайних дробів

— ф орм ули скороченого множення (ф орзац 1); — ро зкл а д м ногочленів на множники, а саме: • винесення спільного множ ника за дуж ку 2а° - 6 а3= 2а3(а2- 3); • групування ах - 2а + сх - 2с = а(х - 2) + с(х - 2) = (х - 2)(а + с); • використання ф орм ул скороченого множення 4х2 - 9 = (2х - 3)(2х + 3).

§2. Основна властивість дробу \ч

‘СУ

(

КЛЮ ЧОВІ СЛ О В А

■■осно вн а властивість д р о б у —таіп ргорегіу оі ііїе їгасііоп ..тотожність — ібепіііу

Згадаймо основну властивість звичайного дробу. Якщо чисельник і знаменник звичайного дробу помножити на одне й те саме натуральне число, то дістанемо дріб, який дорівнює даному дробу. Іншими словами: при будь-яких натуральних а, Ь і т : а _ ат Ь Ьт Ц я рівність — тотожність. Доведемо її для будь-яких раціональних а, Ь і т , таких, що Ь ї 0 і т Ф 0. Нехай —=г, де г — деяке раціональне число. За означенням дії діЬ лення а = Ьг. Помноживши обидві частини цієї рівності на відмінне від ат нуля число т , одержимо рівність а т - Ь т - г , звідси ----- = г. Ьт

Основна властивість дробу

„ , „ . ат а Отже, якщо Ь Ф 0 і т Ф 0, то ----------. Ьт Ь Доведена тотожність справедлива для будь-яких дробів. Її називають основною властивістю дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділи ти на один і той самий, відмінний від нуля вираз, то дістанемо дріб, який тотожно дорівнює даному: А А М А -М А

вм’ вм

в'

Тут під «виразом» розуміють вираз зі змінними, який тотожно не дорівнює нулю, або число, відмінне від нуля. Основна властивість дробу дає можливість замінити дріб виду ^ ^ ВМ А тотожно рівним йому дробом —. Таке перетворення називають В скороченням дробу. Наприклад, з с- 2т 3х а 2х 5а Перший із цих дробів скорочено на х°, другий — на 5т . З основної властивості дробу випливають такі наслідки. 1. Значення дробу не зміниться, якщо знаки чисельника і знаменника змінити на протилежні. 2. Значення дробу не зміниться, якщо змінити знак в одного із членів дробу і перед самим дробом: А -А ~Л А А В ~ -В ’ В ~ В ~ -В ’ В ~ - В ~ В' Якщо члени дробу — многочлени, то перед скороченням дробу їх часто доводиться розкладати на множники. Іноді перед скороченням дробу змінюють знак чисельника або знаменника, змінивши відповідно і знак перед дробом. Приклади.

2 а х -4 а

2а(л:-2)

х 2-4

( х - 2 ) ( х + 2)

т - 1_ т

( т - 1)(т+ 1) _ т -1

2а х

т +1 1

т - 1.

Раціональні вирази

Зауваження. Рівність —— —=—т - 1 є правильною тільки для т Ф 1. 1- т Щоб не ускладнювати розв’язування вправ, подібні умови можна не вказувати. Домовимось кожний дріб розглядати тільки при допустимих значеннях його змінних. Використовуючи основну властивість дробу, можна зводити дроби до нового знаменника. Наприклад, зведемо дріб — до знаменника 8х2у'і. 2х Оскільки 8х2у'! = 2х • 4ху3, то чисельник і знаменник даного дробу по. з _ 5у Ьу-4хуг 20ху4 трібно помножити на 4ху . Отримаємо: — =^ = 2~3~. 2х 2х-4ху 8х у ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? С коротити дріб можна діленням чисельника й знам енника на їх спільний діл ь ник, виражений не тільки цілим виразом, а й дробовим. Наприклад, можна писати --5

\х

—

| а

- 5

х а

Ця рівність — тотожність, правильна за умови, що а * 0 і т * 5а. Іноді доводиться мати справу з дробам и, члени яких містять вирази з модуля|а|-с2 а2 ^ „ ми, наприклад: — — -т—р. П ерш ии дріб можна скоротити на с.

|а |

\а\-с2 - = а -с правильна при будь-яких значеннях а і с * 0. с 11 а2 ^ а2 Р ів н іс т ь -р-г= а правильна, якщо а > 0. Якщо а < 0, то -г-г = -а. а а

Рівність — —

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Сформулюй основну властивість дробу. Щ о означає «скоротити дріб»? При яких а, Ь і т значення дробу О

Ьт

існує? А значення дробу —? Ь

Чи можна множити чисельник і знаменник дробу на 0? Сформулюй наслідки з основної властивості дробу.

Основна властивість дробу

ВИКОНАЄМ О РАЗОМ !

О Скороти дріб а +2а Розв'язання. Розкладемо спочатку чисельник і знаменник даного а 2- 4 _ ( а -2 ) ( а +2) _ а - 2 дробу на множники, а потім скоротимо: 2 а 2+2а а(а +2) а

0 Подай дріб -—3 зі знаменником: а) 4х'*; б) 6х(х - 1).

2х Розв’язання, а) Щоб одержати знаменник 4л:3, треба 2х помножити 3-2х 6х2 на 2х2. Отже, — б) Щоб одержати знаменник 6х(л:-1), 2х 2х-2х Ах треба 2х помножити на 3(лг —1). Отже, Відповідь, а)

З _ З -З (л г -І) _ 9 ( * - 1 ) 2л

2 л - 3 ( л ; - і)

6 л: (л: —1)

6л:2 9(лг —1) б) —. 4л: 6л:( л: —1)

0 Зведи до спільного знаменника дроби ах0 2 сх2а

Розв’язання. Спільний знаменник асхл. Тому домножимо чисельник і знаменник першого дробу на сх, а другого дробу — на а. З Зсх Зел 2а 2а-а 2а 2 з з а х2 а х 2-сх асх3 сх сх -а асх з Відповідь.

Зсх асх3

2а асх3

О Побудуй графік функції У х -X Зх Розв’язання. Областю визначення даної функ ції є всі числа, крім х = 0. Запишемо дану х 2- З х _ л:(л:-3) функцію у вигляді ул :- 3 . X X Отже, графіком функції є пряма у = х - 3 за умови, що х ^ О (мал. 2. 1). ^ Для кожного значення параметра а розв’яжи рівняння (а2 - 2а)л: = а2 - 4.

Раціональні вирази

Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді а(а - 2)х = аг - 4. Щоб знайти х, потрібно виконати ділення на вираз а(а - 2). Оскільки ділити на нуль не можна, то розглянемо випадки: • а = 0. Підставивши це значення у рівняння, отримаємо Ох = -4 . Отже, якщо а = 0, то рівняння коренів не має; • а = 2. Отримаємо рівняння Од: = 0, коренем якого є будь-яке число; а -4 (а-2)(а +2) а +2 • а ^0, а ф 2. Тоді а (а- 2) а ( а - 2) Відповідь. Якщо а = 0, то рівняння коренів не має; якщо а = 2, то ■а ^ о коренем є гбудь-яке число; якщо а ^ г0\ 1 2, то х - а +2 а ВИКОНАИ УСНО

Скороти дріб (47—49). ._ . 8 21 . 160 . -21 -6 . 14 . 0,9 47. а) — ; б) — ; в) ; г) ----- ; ґ) — ; д) ----- ;е ) ------- •. 20 21 54 -56 0,15 12 105 ,з

48.

а) — на а , а 2, а:і; б) а 1 2 л:

497) а) 50.

Зх

б)

9ху ’

на х, х 2, х 3, X і , 4х, 2х2, 4х4.

12а2Ь 18аЬ

Проаналізуй і оціни роботу учнів/ учениць 8 класу (мал. 2.2). ^О/рі/О/й/іУі/1 оротьімь дро

2с б)-

х2

= —х .

Мал. 2.2 а2с \ аАс2

51.

На які вирази можна скоротити дріб

52.

Якому з виразів тотожно дорівнює дріб

7^2 4

7а с 42а 4с5

Основна властивість дробу

53.

54.

Зведи до спільного знаменника вирази. , 1 . 2 б) а) — і а с 2х X

ч а . Ь в) — і — . ху уг

Знайди спільний знаменник дробів. ч 1 . За 2 +а . 5 б) — 5- і а) — і — ; 2х ху За Ь 4аЬ

в)

а 2( а - 2)

2а +З а +2

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

Скороти дріб (55—59). 2а ( Ж ) а) ^ з

56.

58.

а)

а'

б)

—6 с

2с5

в)

X X4’

г)

6а 2 12а3’

ґ)

Зс 15с4’

д)

4а а

в)

-X - ха’

г)

7Ь3 14б3’

ґ)

18 9а2х ’

д)

- 2а -а

х ( а - 2) х (Ь+2)’

б)

х(а +Ь)г у(а +Ь) ’

б)

2а(х+3)

(Ж)--» а 2(х+ЗУ ....

б) -

т р (т -р ) т 2р ( т +рУ ( а - х ) 2с ( а - х)2т т 2( т - п )2

2, п [т -п )

в)

27х 2(х +і ) 9д:(х +1) 4 х ( х - у) ^ у (х -у )

2 ‘

6 а ( 2 -х )

За2(2 - х)

60.

Гра. Один з учасників / одна з учасниць записує скоротний дріб зі змінними, а інш ий/інш а скорочує його. Потім учасники / учасниці міняються ролями. Скороти дріб, розклавши, якщо потрібно, чисельник і знаменник дробу на множники (61—64). 01.

а)

а(б-л:) х Ь -х 2 ’

б)

а (4 а - 3) 4а2- За ’

л:2(5лс —1) в) к 2 2 ’ 5ху - у

х с-т с ах -а гп

ґ)

а х 2- х 3 а х -х 2 ’

д)

2 х -х 4 2 у - х 3у'

- 8Ь (ЦЮа) 8а166 ’

б)

ху лг+ху ’

в)

т -п З т - 3п ’

а +1 а 2 +а *

ґ)

а х - ау Ь х - Ьу ’

д)

6а - ЗЬ 6Ь - 12а

б)

7а3+а 4 а3 +7а2 ’

в)

а5- т а 2 а 3Ь2- т Ь 2

г)

г) 63.

а)

5- х ( х —5)2

Раціональні вирази

г ~—-ч <2с2-4 гс - * сс І 64- ^ а) -------- 5 2а - а с 65.

9ШІ/Л Скороти дріб. а2-25Ь2 а) 10Ь+2а ’

б)

Ь о -а -2-; {а ~Ь)

„ т А- т в) . 1 -т

27а36-12аЬ } 9а3&2- 6 а 2Ь2;

а2-4 Ь 2 В) За+6& ‘

Запиши вираз у вигляді дробу і скороти його (66, 67). 66. а) 24р2х : 48рх2; б) - 3 ах : 12а2х 3; в) (а2с + Ьс) : (дса2 + хЬ); г) 16х°у4 : 4ху6; ґ) (а2 - Зас) : (5а - 15с); д) (с2 - п2) : (л - с). Гб7Г) а) 8а2с3 : 4а3с2; б) 5а3х 5 : (25а2х 4); в) (пх2 + т х 2) : ( т + п); г) (а2 - 36) ; (36 - а 2); ґ) (ха2 - х) : (а - 1); д) (пх3 + п4) : (пх + п2). 2 68. Подайте дріб — зі знаменником: а) За1; б) 12а2х; в) 5а2(а -3 ). а 69.

70.

Подай дріб — зі знаменником: а) 6х 3; б) 18х 2у2с°; в) 6х(х + 2). Зх Зведи до спільного знаменника дроби (70, 71). а . Ь 2 .1 а) — і —; б) 1 тгнг; в) - 1 х а’ 2т 3т 2 ’ с а -Ь ’ ч 8 . 7 г) - 1 7------ г;

1 і• — 3 ; ( 71. ) а)ч — т 2п . 17 . 6 г) — 1 —;------т т ( т +п)г;

^ 1 ґ)

. 1 1

;

ч д)

. 2а — 1

*ч — 3 і■—Т 5 ; б) 2х 7х

2 в) -3 і. х х+г/

. 2 . 2 ґ) х— - 3 о 1— х +3о ;

. 5 . 5 д ) х +а 1 т— (х +а)\2 •

Доведи тотожність (72—74). С^ Г ) а ) б ^ =10ху_ XI/ 2у . г) Г 73. ) а)

г)

46(о+6) = 5о(а+6) 12 Ь 15а

4а2- х 2 _ =2а +х; 2а - х

ґ)

26 с

б) Щ ж а - и а+1

в)

(а+с )3 , ,2 ґ) ------- — = а +с) ; а+с 1 ’

х 2-2х+ 1 д ) ---------------=х - 1. х -1

Ьс

4а2- х 2 =2а - х ; 2а+ х

(а +с )2 —=а +с; а +с

а -1 х 2+2х +1 1 д ) ---------------=х +1. х +1 ху~ у

2у ( х -у )

Основна властивість дробу

74.

* 3- с 3 а) —о 2= Х ~С’

б)

Х + Х С +с

х 3+с3 х 2 - х с +с 2 . х+с

Заміни «зірочку» одночленом так, щоб рівність стала тотожністю (75, 76). 75. : а)

5х

(Ж > ) — ху 77.

х 2;

Зп

б) б)

2х у

16т 7 4 т 10 а4х

4х 5а3

Скоротивши дріб, учениця витер ла на класній дошці частину записів (мал. 2.3). Віднови ці записи. Знайди значення дробу (78, 79).

78.

а) 6)

6 а 3с2 З а 2с3 х 2- 9

х+3

в)

8ах

4х 5а

120 (а - Ь) х 4 (а -

- Ь) х

х2- 2х

, якщо а = 8, с = 16; Мал. 2.3 , якщо х = 3,25.

( 7 а ) а) 5 х у 20ху

я к щ о х _ ]_0 у _ 2;

б)

х 2- 4 якщо х = -2 ,7 . х -2 '

Г іо Г ) нмт Спрости вираз. 9 -х 2 25 +10Ь +Ь2 б) а) х +6х + 9 5Ь2+25Ь ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

в)

(2х -3 )2- 9 х

РІВЕНЬ Б

Скороти дріб (81, 82). ВЇ7) а)

ґ)

(Ж) г)

7а2Ь . 21а63’

б)

35x2 7хг5

в)

х -а З х - За х

5х2-5 хи

Г)

а 2-2 а с +с2 'і -с )^ ' (а

(дг +г) Д) -X і +2X2+2 - г - -2

е)

25а х 2 _ 75а8х ’

б)

125с т 50с2т ’

в)

а 2 -/г 2 а 2-2 а п +п2

ґ)

алг +ау-аг^ сх+сі/- С2 ’

а 3- І Д) СІ2 +СІ +1

X -Х2+2 Х 3 + 23

З х с -б х с х 2с - 2хс2

Раціональні вирази

83.

84.

Доведи тотожність. 4 аЬ (а +Ь)2- ( а -Ь ) 2 ~ 5

х +у х -у х 2- у 2 ~ х 2-2 х у +у2

. За2+2а 2(а 'Ч а) в) — =— 5 6 +9а 6 +6а Р гоує іііе ісіепіііу. а2 +Ь2 1 а ) -— т*—.— 79 = «; (а +Ь)2+(а -Ь )2 2 ’

а4-2 а 2 +1 п г) —о 5---------=а +1. а' - а - а +1 , ч а2+аЬ ь) а +Ь

л:3—1

х - 2 х 2+х г

(х +1) - х

х -х

а3- а (а-1)(а +1)’

.. а6- 2а 3+1

--------- о----- = ------- о--------- ;

й) --------------- а*— (а

(а2+а +і)

.л

1) .

Спрости вираз (85, 86).

Зх +2+Зху +2у _ + 2 у -2 + З х у -З х

б)

(л: +2)(л:-і) _ х +2х - х - 2

В)

х 2- 4 х +3 ж х -2 х -3

85.

а)

86.

6а 2+ +15аЬ8а с - 20Ьс . ЛЧ 2а2-1 ч х(у +і)2- у(х +і)2 . оа іоао-оас-/;иос ^а - ю8 а) -----------------;б)—г--; в) . . . 12а -9 а Ь -1 6 а с +126с а + 2а-15 х(у +1 ) - у(х +1) Скороти дріб і знайди його значення (87, 88).

ч 4а2+12аЬ +962-1 1 и2 87- І8) 2а +36 +1 ’ ЯКЩ° а = 2 ’ Ь=~3; Іа * +Ь ^ - Л +а * - * ) а -Ь л „ и , ли2 00 а, 2 -4аЬ +4Ь - 9 І 88. ) а) -------- — —------- , якщо

СІ

а=12>25> , =_ 2 1 4 1 а=2, Ь т - ; 2л

(а8~Ь*) сос ь 1 б) —о о оо— 2 якщо а =-5,25, Ь =- —. (а +а Ь+аЬ +Ь )(а +Ь ) 4 89. Чи зміниться значення дробу, якщо х і у одночасно помножити 0*0. на 10? . х а) у 90.

„ 5х . х - у . х - у х +у ч Юд: .х -5 . х 2 - и2 б) — ;в) — - 2-;г ) ^ ;ґ) — д) —= е ) ---------- є) у у Зх х+ у у х г +уг у +5 х 2+ у 2

Подай дріб, тотожний дробу

X+V Зх

—, за умови, що його знаменник

дорівнює: а) 9х 2у; б) 12ху2; в) З х ( х -у ) ; г) 6х2 - бху. П1 91. 22

Зведи до спільного знаменника дроби (91, 92). 3 . 2 5 . 7 ч а +2 . 1 а) і -------- т-; б) -------- і -------- ; в)—= ■ і —5-------- . а -2 (2 -а ) З х -4 4 -З х а -8 а -2 а

Основна властивість дробу

х +3 б) ’ х [х -Ь )

4г

^ ^ 3 -2

(&—З)3*

х 2- 2 5 ’

а +Ь } а 2( а -Ь )

в)

а +2 а 3-а Ь 2

93. ) Відкрита задача. Скоротіть дріб. 8у - х 6у т 2т б) 2 2 а) X у + т

Побудуй графік функції (94, 95). 94.

а) У

х -9 х +3 ’

б) У-

Зх - 6х х -2 ’

в) У-

х +6х +9 2х - 8 х +3 х- 2

х 2+5х х 2 +2х + 1 2х 2- х — ; б ) у = ---------^ — -1г х х +1 2х Для кожного значення а розв’яжи рівняння (96, 97).

( 95. ) а) у

96.

а) (а - 3)х =а 2- За;

б) (а2- 1)х =2(а - 1).

97.

а) (а +5)х =2а2+ 10а;

б) (а2+ 6а)х= а2- 36.

Спрости вираз (98, 99). 98.

а)

( 99Г ) а )

ас +Ьх +ах+ Ьс ш/+26х +2ах +6і/

б)

х 2- ( а - Ь ) х - а Ь т ]-------- ; х +Ьх +ах+аЬ

в)

(х+а) -( г +с) >- [ ->2 • (х +г) - ( а +с)

X +(2с2- а 2)X +с х - х у +г - гу а 3с - 2 а 2с2+ ас3- аЬ2с ; б) ■; в) 1-3у+ 3у2- у3 х 4+2а х 3+а2х 2- с 4 (а2+с2- Ь 2)2- 4 а 2с2 '

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

100. Віднови втрачені у знаменниках записи. а)

15 (х-г/)2х 2 _ 5х 21( х - ..................-у ) '

101. Знайди значення виразу. 9а - ЗаЬ якщо а) Ь З а 2 -ЬІ 2 1

б)

4 (*2- * ,2) х +у 24... ...X а2-5 а Ь + 2Ь2

б) ------ 2^—— і ,2 а -Ь

, якщо

а + 2Ь 2 а -Ь

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

102. Добова норма споживання солі не має перевищувати 5-6 г (чайна ложка). Цього цілком достатньо для збалансованого харчування. Скільки грамів оселедця можна вжити за один день,

Раціональні вирази

якщо вміст солі в ньому складає 10 %. Врахуй, що інші готові продукти харчування також містять сіль. Запам’ятай це! 103. Розв’яжи рівняння 5 -2 х(З х-2 )= х ( х + 4 )-7 х (х -5 ) . 104. Склади вираз для обчислення площі фігур, зображених на малюнку 2.4 (а, б).

Мал. 2.4

105. Побудуй графік функції: а) у = 2х + 3; б) у = 2х - 1. С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Знаю основну властивість д р о бу і вмію її ф ормулю вати

А В

Умію скорочувати дроби і можу пояснити, як це робити

А -М В-М

А -М

{ у - З)2

у -З у +З

(</-3)(</ + 3) Знаю і вмію використовувати

-А _

ТОТОЖНОСТІ

в м

А _ А А -В В’ В

А В

-А -В

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зрозум іти і до б р е засвоїти нову тему, пригадаємо: — що таке вираз, цілий вираз, раціональний вираз; — які буваю ть вирази;

— види цілих виразів; — що таке рівняння, корінь рівняння, рівносильні рівняння.

А В

-А В

А -В

§3. Раціональні вирази

КЛЮЧОВІ СЛОВА___________________________ раціональні вирази — гаііопаїехргеззіопз цілі вирази — іпіедег ехргеззіопз д р о б о в і вирази — їгасііопаї ехргеззіопз

Вираз, складений із чисел і змінних за допомогою дій до давання, віднімання, множення, ділення або піднесення до степеня, називають раціональним. Приклади раціональних виразів: З,

х,

а - х 2,

т + * -1 х 2 +1

л га+ х +1 х \ 2х а

у Ц ілі вирази — це раціональні вирази, які не містять ділення на змінну. Дробові вирази — це раціональні вирази, які містять ділення на змінну. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ ЗІ ЗМІННИМИ

Ц іл і в и р а з и 2 а +36,

Д р об о ві вирази

а +Ь -с

Дроби

2а ЗЬ

а +2Ь

Інш ґ

Зх +2у хуг

а-

а 1+

1‘ а

‘ С л о во м «інші» ту т позначено д р о б о в і раціональні вирази, які не є д р о бам и . Мал. 3.1

Рівняння називають раціональним, якщо його ліва і права частини — раціональні вирази. Раціональне рівняння називають дробовим, якщо його права або ліва, або обидві частини — дробові вирази.

Раціональні вирази

Приклади дробових рівнянь: 2 х (х -2 ) Л 1 2 _ х 2 п х +1 х +1 — -= 0 ; ----------- =3; —+— =2х; ------=------- . х 5 +х х 2 х х х +2 Щоб розв’язувати такі рівняння, потрібно перш за все знати, як виконують дії з дробовими виразами. Тому в наступних параграфах будемо розглядати додавання, віднімання, множення, ділення і підне сення дробів до степеня. Найпростіші дробові рівняння, а саме рівняння, у яких ліва час тина — це дріб, а права — нуль, розв’язують на основі умови рівності дробу нулю. Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. 0

Приклад. Розв’яжи р ів н я н н я

=0. ІОя Скористаємося умовою рівності дробу нулю і отримаємо систему Г5лг—3 =0, Ґ5х=3, [х =0,6, < Розв яжемо дану систему: < < |10л :* 0 . [ х * 0; 1* * 0. Отже, х = 0,6 — корінь даного рівняння. Зверни увагу! Умова рівності дробу нулю складається з двох частин: 1) чисельник дорівнює нулю; 2) знаменник відмінний від нуля. Кожна з цих частин умови однаково важлива. ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? У наведеній сх е м і (с. 25, мал. 3.1) сл о во м «дроби» названо тільки раціональні д р о б и (час тину раціональних виразів). А буваю ть д р о би не лиш е раціональні, наприклад, 2-Х

8 ІП Х

7з

2 -|х |’ со8х’ 5+Тз Це також д р о б и , але не раціональні. Тому, забігаю чи трохи наперед, співвіднош енн я між різним и видами виразів мож на зо б р ази ти такою діаграм ою (мал. 3.2). Якщо вираз містить змінні під знаком модуля, його не вважають раціональним. Хоча багато таких виразів можна зам інити двом а, тр ьо м а чи більш ою кількістю

х —\х\

раціональних виразів. Наприклад, розглянем о д р іб — 1—1.

2х2

0, якщо х >0, Якщ о х >0, то |х| = х; я к щ о х < 0, то |х| = - х . Т ом у х ~ Н _ !_ якщ о х < о,

2х2

х не існує, якщо х = 0.

Раціональні вирази П ер е й д и за по си л анн ям Уве.ее/сиЬсі та закріпи матеріал параграф а (Тема. Раціональні вирази та рівняння. Урок 4).

ц ПЕРЕВІР СЕБЕ

Я кі вирази називають: а) раціональними; б) цілими; в) дробовими? Чим відрізняються поняття «дріб» і «дробовий вираз»? Я кі рівняння називають: а) раціональними; б) дробовими?

О Сформулюй умови рівності дробу нулю. ВИКОНАЄМ О РАЗОМ !

При яких значеннях змінної х значення дробу

5х- 1 4 - Зх

дорівнює нулю? Розв'язання. Значення дробу дорівнює нулю тільки тоді, коли чи сельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Прирів няємо чисельник до нуля: 5х - 1 = 0, 5х = 1, х = 0,2. Якщо х = 0,2, знаменник 4 - Зх не дорівнює нулю. Отже, Я К Щ О X = 0,2, то дріб

4 - Зх

дорівнює нулю.

Відповідь, х = 0,2. - Чи має корені рівняння —=---- 0? х -9 Розв’язання. Скористаємося умовою рівності дробу нулю. Отримаємо систему: х =З, х —3 =0, х =З, х ф З, ( х - 3)(х+3) Ф 0; х2 ‘ 9 *0 ; х * -3 . х

Відповідь. Рівняння коренів не має.

ВИКОНАИ УСНО

106. Розгадай ребуси.

Раціональні вирази

107. Який із виразів цілий? 7х +3 З х -7 х +7 В х 3+ х З 108. При яких значеннях змінної не має змісту вираз? . х +1 1 ; 1 а) ------ +- 4 в) б) х +-----4 х+1' ' х + 1' ' х(х+ і) 109. При яких значеннях змінної дріб дорівнює нулю? ^ х +5 х -5 х - 25 б) в) г) а) х -5 х -5 5 х -5 110. Яке з рівнянь має коренем число х = З? х Зх Зх х- З Б ^ -^ = 0 0 В 0 х “ -9 х +3 х+3 2х 2 - 6х 111. Чи є значення х = 15 коренем рівняння? х +15 ч ЗО 0 1 1 а) — =2; б) - = 0. в) х х- 8 7 х - 15 ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ А

112. Знайди значення виразу — +— ,якщ о: х 10 а) х = 1; б) х = 2; в) х = 5; г) х = 10. Укаж и , при яких значеннях х не має змісту вираз (113, 114). 9 3 5 8 Ш 0а) б) в) г) х +8 5 -х х 2- 4 ' (Ж )а )

б)

х +3

х -2

в)

х х

г)

х +1 х -3

115. Гра. Один із учасників/ одна із учасниць записує дробовий вираз, другий/друга називає, при яких значеннях змінної вираз не має •О змісту, третій / третя задає значення змінної, а четвертий / четверта знаходить відповідне значення виразу. Потім учасники / учасниці міняються ролями. При яких значеннях х значення дробу дорівнює нулю (116, 117)? х -3 в"” ’

(П 7 > )

х+5 12

б) б)

’

х +5 і "І4 ” ’

х -2

в) в)

16 Зх

36 6х

г) г)

X(* -з)

х 2+2х х ( х - 1) х 2+3х

Раціональні вирази

, 118.^1 Чи може дорівнювати нулю значення дробу? а)

б) и г ' (х -1)^

х +3

в)

х- 1

Х+1

Г ) - 2—

' х * -1

І 119.} Наведи приклади дробів, які дорівнюють нулю, якщо: а) х = 3; б) у - -1; в) л: = 2 і лс: = 5; г) у = 0 і у = -1 . ( 120.) Наведи приклади дробів, які дорівнюють нулю, якщо: а) х = 0; б) т = -4 ; в) г = 3 і г = -4 ; г) у = 0 і у = -2 . 121. Яке із чисел -2 ; -1 ; 0; 1; 2 є коренем рівняння

2 х -х 4 -х 2

122. Розв’ яжи рівняння. х +3 2х -1 0 б) а ) ^ г 0; х +5 ( і 2 3 . ; 8 о ! у є Ше едиаііоп.

г)

сі)

а)

х +2

Ь) - ^ 4 = 0 ; X +4

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

в)

с)

х (л: +1) х 2- 1

дг -2 5 (х +5)2

х- 1

л:2 +1

2х - Ю х х (лс+5)

РІВЕНЬ Б

1124.} Намалюй у зошиті таблицю. Розмісти вирази у відпо відних колонках таблиці. 4а2Ь;

4 +а 2Ь; 4 :а 2Ь; (4 +а 2ь); (4 +а)2 :Ь;

а Ь ~4

ґ а^2

+Ь.

Раціональні вирази цілі

дробові

125. Швидкість човна становить и км/год, а швидкість течії річки — 2 км/год. За який час човен пройшов 100 км: а) за течією; б) про ти течії? ( 126. Ш видкість катера — 50 км/год, а швидкість течії річки — V км/год. За який час човен пройшов 50 км: а) за течією річки; б) проти течії річки? 127. Катруся виготовила 96 вареників за п хв, а її мама — 105 вареників за т хв. Скільки вареників виготовили вони ра зом за 1 год?

Раціональні вирази

128.13 мішали т г 10 % та п г 15 % розчину солі. Якою буде концентрація утвореного розчину? 129. Чи може значення даного дробу бути від’ємним? А дорівнювати нулю? ч

*ч

а) - — 5-; 2 +с

П2+2

б) -— — ; (п-1)+2

в)

(х +у)2 х 2+у4 +2

Визнач, при яких х значення дробу дорівнює нулю (130, 131). 2х +3 х 2- 4 х х 2- 9 х —. 130. а) б) —; в) ------г) х +5 х +3 х-3 х -Зх ГГ^ГЛ ч х +3 ( 131.)а) — — ; 6 -2 х

б)

2у-1 ; у- 1

. х ( х -4 ) в) х -1 6

12т г) ------- 7 . т +т

132. Покажи, що дане рівняння не має розв’язків. ч 5 22+10 х -7 а) ---- - =0; б) — =0; в) =0. х -3 2 -5 х —7х Розв’яжи рівняння (133, 134). 100 2 х -3 133.) а) — =0; 5х

1 5 -Зх б) ------ — =0; х +4

Ч Зх Л (134.) а) =0; х -1

Л б)-----—= 0; х+ 7

х 2 -2х+ 1 в)— 5— =0; 1 -х „2

г»

V X -З х в) - у — ---- - =0; х —6х + 9

г)

2х+2 2 = 0. х —1 А

, „..2

4 -4 х + х г) — -----— =*0. 4 -х

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

135. Знайди значення виразу, розглянувши всі можливі випадки. |а| а |Ь| а) 1+* б) а аГ \ + ои : а\Ь\ . аЬ в) - Ц аЬ И* 136. Пройди через лабіринт так, щоб перетнути дроби, сума яких дорівнює 2. Не можна про ходити двічі один і той самий відрізок шляху або перетинати пройдену лінію (мал. 3.3).

Мал. 3.3

«Н едостатньо лиш е зр о зум іти задачу, необхідно мати баж ання р о зв ’язати її. Б е з сильного бажання р о зв ’язати скл ад н у задачу не можна, але за його наявності таке можливо. Д е є бажання, зн ай деться шлях!»

Д. Пойя

Раціональні вирази

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

137. Виконай дії. 1 1 г ч) 5 1----. 21 35

а) 1- + —; В) 7 - — ; З З 11 138. Зведи дроби до спільного знаменника. а . Ь б) ї і » і 6" а) 4 {а-Ь ) 20 ( а -Ь ) ’ хуг хг‘ л

в)

х +2х +1.

X +Х

139. Розклади на множники. а) 6х2 - 6у2; б) 5 - 5пі2; в) ах;2 - а 3; г) Зх4- 12х2. 140. Катер за 7 год проходить за течією річки такий самий ш лях, як за 9 год проти течії. Знайди власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки — 2,5 км/год. С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь М ож у навести приклади раціонального виразу і раціонального дробу. Розрізняю вирази зі змінними:

СІ І)

• цілі раціональні 2х +3 ху&; 1 - 0,5а; 2с - 1,1с2; -х; ------ ; дробові раціональні

2х 2с-сх 1 2х - у х +5 ’ 7с ’ 5 х-у ’ 3 ху

використовую для р о зв ’язування задач ум ову рівності д р о б у нулю.

А =0, Я к щ о — = 0, то < в ІВ * 0

М ож у складати д р о б и і др обові вирази за вказаними ум овам и. Хочу навчитися виконувати д ії з раціональними д р обам и .

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр озум іти і д о б р е засвоїти нову тему, пригадаємо: — кожне ціле число можна запи сати у вигляді д р о бу зі зн ам енн иком 1 або інш им знам енником

— як виконувати д ії додавання і віднімання зі звичайними дробам и:

а 4 с'ь а-<і±с-Ь Ь~~~сГ~ Ь-4 5ХЗ 7

2 х7 "З

5 - 3 - 2-7 7-3

“

1 5 -1 4

“ 21

§ 4. Додавання і віднімання дробів

КЛЮЧОВІ СЛОВА су м а др о б ів — з и т оїїгасііопз різниця д р о б ів — сіііїегепсе оїїгасііопз

Для натуральних чисел а, Ь, с справджується рівність а Ь а +Ь — + — = . с с с Справджується вона і для довільних раціональних значень а, Ь, с , крім с = 0. Доведемо це. Нехай а , Ь і с Ф 0 — довільні раціональні числа. Тоді — і —— також с с „ а . Ь .... раціональні числа. Якщо —- г і —= р, то, за означенням дії ділення, с с а = сг і Ь =ср. Додавши ліві й праві частини цих рівностей, одержимо: а + Ь = с(г+ р). За означенням дії ділення, з утвореної рівності випливає, що а+Ь „ а Ь а+Ь г+р =------, тобто —+—=-------. с с с с а Ь а —Ь Подібним способом можна довести і т о т о ж н іст ь =------ . с с с Із цих двох тотожностей випливають правила додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками. Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники, а знаменник залишити той самий. Щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти чисельник від’ємника, а знаменник залишити той самий. А В _ А±В С~С~ С „ _ 5 ах 2с 5ах +2с а т а -т Приклади. 1------= ------------- ; -------------------- = ---------. Зт 3т 3т т +х т +х т +х Якщо треба знайти суму або різницю дробів з різними знаменни ками, то спочатку їх зводять до спільного знаменника, як це роблять при додаванні та відніманні звичайних дробів.

Додавання і віднімання дробів

Щоб звести дроби до спільного знаменника, попередньо знаменник кожного дробу розкладають на множники (якщо це можливо). Потім знаходять спільний знаменник і додаткові множники до кожного дробу. П риклади.

І ' 5* 3 а 2а 5х 6а2 1--------- = ---------- ь

2а

5х

10ах

х 2-4

Зх +6

5х+ 6а2

10 ах

10ах

х '3 2 Х~2 ( х -2 ) ( х +2 ) 3(д: + 2)

З х -2 ( х -2 ) 3(х-2){х+ 2)

З х -2 х +4 3(х-2)(х+ 2)

х+4 з(* 2- 4 ) ’

Іноді виникає потреба знайти суму або різницю дробу і цілого вира зу. їх можна додавати або віднімати, як дроби, записавши цілий вираз у вигляді дробу зі знаменником 1. „ _ 2 ху е 2хи 5с 2хи +1 5 с2 Приклад. — - + 5 с = — — + -------- = — - ---------- . Зс

Зс

Подібним способом спрощують вирази, які складаються з трьох або більше дробів, сполучених знаками «плюс» або «мінус». Наприклад, 2с

Зх

За

2х

4ас

бах

бх бах

9а2

бах

4ас +6 л :-9 а 2

бах

ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Д о м о в и в ш и сь розглядати кожну тотож ність тільки при її до п усти м их зн ачен нях змінних, тобто за ум ови, коли її ліва і права частини маю ть зм іст, ми свідом о сп р о щ у єм о задачу. Д овівш и тотожність, ствердж уєм о тільки, що вона правильна на всій області д о п усти м их значень, не зазначаючи, яка це область. Щ об дати вичерпне р о зв ’язання такої вправи, варто не лиш е переконатися, щ о тотож ність правильна на всій області доп усти м их значень, а й указати, якою є ця область. А бо чітко зазначити, які з дійсних чисел не належать цій області. Н априклад, показавш и, що — -—

х -у

— =-.— ^ .

(х-у)х

, баж ано вказати, що д о в е д е н а

рівність правильна, якщ о х * у і х * 0.

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Сформулюй правило додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками. Я к дроби з різними знаменниками: а) додати; б) відняти? Я к знайти суму чи різницю дробу і цілого виразу?

Раціональні вирази

ВИКОНАЄМ О РАЗОМ !

Знайди різницю дробів „

РоЗв язання.

3 -а 2 . З і 2 а2 а

З -а 2 З 3 - а2- 3 -а 2 , 5--------- = ------ 5---- = — — = —1. а а а а

Відповідь. —1. 6

За

, Знайди: а) суму — і —2 й- ; а

а ^-с

б) різницю '

2 а-Ь

. 2 Ь -а

а2- а Ь

а Ь -Ь 2

Розв’язання, а) Спільний знаменник даних дробів а(а2 - с). Домножимо перший дріб на а2 - с, а другий — на а: 6 а2~с | За а _ 6(а2-с ) +3а2 6а2 - 6с +За2 9а2- 6с а а2- с а (а 2- с ) а(а2-с ) а(а2-с )

3(3а2-2с) а(а2-с)

б) Розкладемо знаменник кожного з дробів на множники і знайдемо спільний знаменник: 2а - Ь а2-а Ь

2Ь - а

2а - Ь

2 Ь -а '

Ь (2 а -Ь )~ а (2 Ь -а )

аЬ -Ь 2

а(а-Ь)

Ь(а-Ь)

аЬ(а-Ь)

2аЬ- Ь2- 2аЬ +а 2 а2-Ь 2 аЬ(а-Ь) аЬ(а-Ь)

(а-Ь)(а +Ь) аЬ(а-Ь)

а +Ь аЬ

3( За —2с | а +Ь ---- —; б) Відповідь, а) — аЬ а(а2- с| Виконай дії.

За2 2 а-Ь

а2 - Ь2 Ь -2 а

А А Розв’язання. Оскільки Ь -2 а =- ( 2 а - Ь), то за формулою -— =---—В В За2 а2- Ь 2 За2 а 2- Ь 2 3а 2+а2-Ь 2 отримаємо:-------------------=--------- ь2а - Ь Ь -2 а 2 а -Ь 2 а -Ь 2 а -Ь 4а2- Ь 2 _ (2а-Ь)(2а +Ь) : 2а+ Ь. 2а -Ь 2 а-Ь Відповідь. 2а + Ь. ВИКОНАИ УСНО

1/МТТ " дроби, Я \ ^— і ^—; 141. Додай а) 5 5 34

б) -— і — ; 13 13

в) — , 1 — . і5 — . 14 14 14

Додавання і віднімання дробів

142. Значення якого з виразів дорівнює а + Ь ? 2а а -Ь 2а +Ь а а -+В А а+Ь а+Ь а+Ь а+Ь а+Ь а+Ь а -Ь а -Ь 143. Подай у вигляді дробу вираз. 1 п. х+ т х X +— У; ч _ 1 ______ а)Ч — б) г ) -------------2т За За бх - б х ’ В 9а 9 а ’ 2т 144. Який дріб слід записати у рамку на картці, щоб у сумі з написаним ^ дробом одержати номер картки (мал. 4.1)? ©

а -3

X + -----— У

(З) 1

в)

2х х+2

х+2

в)

2а а- 3

а -3

а -с

Мал. 4.1

ВИКОНАИ письмово

РІВЕНЬ А

145. Додай дроби. . а . З кл 2 с '2 і• 1_с2 а) — і — ; б) ----2х 2х ЗаЬ ЗаЬ 146. Знайди різницю дробів. . 2с г х йч б) -7х — і■ а) Зах 3ах 6аЬ 6аЬ А2 . 4х+1 . лг+З а г) ------ і ґ) ------ і З х -2 З х -2 а -с а 2

Д)

х х+2

х2+ 1

2х

(х -1 )

( ^ “ 1)

Спрости вираз (147, 148). 147. а) ' ----2х 2х 2х . т +с т - с в) —— +2х 2х

2а 4а „ — б) ---- +-----+----- ; 7т 7 т 7 т 2х х -с г) 0,5 а 0,5а 0,5а

З 2 4 5п 2,5 п 0,5 п !— + ------- ; б) бас бас бас ’ З а т 3а т З а т . 2а 2х - а X 2с с х в) ------ +--------г) а +х а +х а +х с -х с -х с -х Подай у вигляді дробу або одночлена вираз (149—153). 2а а За 2а 149. а) б) а -с а -с а -с а -1 а -1 а -1 . Зх +и 2 - 2х 2а - Ь а-2Ь + с В) - 2 - + ------------г) Х+у+2 Х+у+2 а + Ь -с а + Ь -с

( Ж 'а)

Раціональні вирази

2 е3 е3- а 3 а3- с 2 1 1 --------- • б) -а а -с а -с іа - с

чеп 'Іа)ч 1 -аг +-а - 3¥—с - 3г ; 150. 1 -е 1 -е 1 -е ґ —— г \ ч а + Ь -с а -Ь +с Ь -а +с ( 151. а) ----------+---------- +---------- ; ЗаЬс 3аЬс 3аЬс

б)

х +и - г х - и +г и + г -х ----- +-----------+- ---------. х+ у+ г х+ у+ г х+ у+ г

• • .2 4 6-а 2 152. а) — +-------------; За За За

б)

2а +3 2 а - 9 а +1 +------- -+----5Ь 5Ь 5Ь

. х 2 2 х -1 1—л: в) — - +— - + — л: +1 х +1 х +1 153. а)

5х 2у

х+ у 2у

. 2( т - п ) т г) —-----------т -п т -п

2х + у т 2у

. 2а- 5 а -2 а- 4 в) +-------------------; 2 а -3 2 а - 3 2 а -3 Доведи тотожність (154, 155). а с ГТГГ'і л (154. а)\ ------+------- =1; а+с а+с в)

х { і +у )

х -у

УІ 1 + х ) _ 1; х -у

т п 155.) а) — ------- — =1; т -п т -п в) о(1+Ь) + Щ - о ) = 1; а+Ь а+Ь

б)

2а2 аЬ а2 -+а +Ь а +Ь а +Ь

. г)

х3 х 2- 4

п +т -п

х 3- х 2 5---- 5— х 2- 4 х 2-

2а с+а бг\ ) --------- -------=і1; а -с а -с г) а ( Ь - 1 )

а -Ь б)

Ь ( а -і) _ і а- ь

2 а -с а - 2 с - 1а +с а +с х (1 -у ) уіХ-■х ) х х -у х -у

Спрости вираз (156, 157). (^156. і а)

*2 т Л+ 2 а’ т 2- 4 т 2- 4 ’ 2

г. _ о а5а-1 -і о 56-1 о -і ^ 2 і2 2 і2 , а 2- Ь 2 а 2- Ь 2>

. а2-ЗО -+' а - 5 а -5

а іо о а2 16 3 а , а2-2 а 2 а-8 1 -+С157.; а) -— б) - — д--—— в) а-4 а-4 9-а 9-а а-9 а-9 158. Гра. Один учасник /одна учасниця пише дробовий вираз, ін0*°. ший /інша — дробовий вираз з таким самим знаменником, третій / третя — ставить між ними знак + чи - , а четвертий / четверта — виконує дію. Потім учасники/ учасниці по колу міняються ролями. Розв’яжи рівняння (159, 160). х З Л _ 2х 6 Л , 1 х +1 159. а) — —=0; б) -+• -= 0 ; в) — 5 =°х +5 х +5 х+3 х+3 х -х х -х 8 2х 2х 4 5 х - 1 2х +15 160. а) -----+------ =0; б ) ----------------=0; в) +----------=0. 3 +х 3 +х х -2 х -2 2х +5 2х +5

Додавання і віднімання дробів

г)

1 . 3 г 1 “ 7 гт; а +Ь х [а +ь у

а . б) — і с

З- а ; 4с

. 2а +х . х - З а в) і ; 2х Зх -

161. Додай дроби. . 1 . З а) — і — ; х 2х

. а -с . а с -а 2 ґ ) ------ 1—( 7? с с(а -с )’

( 162 Знайди суму дробів. . 2 5 а +Зс с -З а а) ; б) +-------- ; а За с а 163. Знайди різницю дробів. 4 .5 1 . 1 а) -— 2 і -— ; б) - і ; ах ах с а+ с

д)

1 . 5 2а 2Ьхг ЗаЬх4

^ З х -1 3 - 4 х в) — — +— --- . Зх 4х х 2- т . х в) — і —. т { х +т ) т

164. Гіпсі Ше (ННегепсе о£ Іке £гас1іопз. З апаа ^ ; а)л -----а -Ь а +Ь

ил Ь)

х2 {а +х)

апал

Х ; с)\ — Х ^ т. апал а +х ЗаЬс ЬаЬс

( 165 Виконай віднімання дробів. . а +3 7 х+5у и+5х а) — ; б) 2 - ї - ------; а 4а у х

. в)

а Ь2 а +Ь а(а +Ь)

Знайди суму і різницю дробів (166, 167). 166. а) — і Зсх 3с*х

б) - й- 2 і {а-Ь ) а ~ь

в)

(Тбт: а) - і Ь а

б)

в)

Х ~У а +Ь

і - Зух ( х -у ) і

а(а +Ь)

Подай у вигляді дробу вираз (168, 169). ^ а +ь 1 168. а) — 1; Ь . а Ь _ г) —+—+2; Ь а

З с т - 2т б) т +------------ ; т -с

в) 5

о „2 ЗдГ+5а Т ~, а -х

. 1 . ґ) - + 4 а - 4 ; а

^ . х 2 + х+2 д) 1+-------- — . х -1

(Ї69? а) а +^ ~ ; б) 2с - 2с ~С; а с—1 Спрости вираз (170, 171).

в) - + а - 6. а

170. а)

в)

а +2а

2а -Ь а-2 Ь г) 1 й+~Г~И‘ а 2-а Ь аЬ -Ь 2

б)

^----- — ; а - а а -1

а Ь ґ) аЬ - Г-Ь Т Г2 + а- Ь Г -а — 25-;

Зс-Збс-б

ч с+9 д) 9 с-8 1

9 -З с 9с - с 2 37

Раціональні вирази

(Ж > ) т а в) Г172.)

15 а +5а

16х 4ху +3у

9У

4х +Зху

зно Спрости вираз а +16

а -4 Розв’яжи рівняння (173, 174). 5 5 173. іа) = 0; 2х +1 З х -2 . З х -7 х+3 в) ------- +------- = 0; х -5 5 -х З х -6 2 - х 0; ( Ж ) » ) Зх 2х в)

-+ -

(х +3)2 х +3

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

б)

За - 8 а - З 4 а- 8 2 а - 4

г)

х 2 - 8ху х у -4 у

16у 4у - х

8а а -4

б) г)

1+2х

1 --------

1- х

1+X 1- х 2 х 5 б) З х - З 2 - 2х г)

: 0; 0.

10 +х 2 х+5 х - х

-+■ х -1

0; 0.

РІВЕНЬ Б

Виконай дії (175, 176). 4а а2- 4

б)

Ь2+Ь- 1 8 +6-36 26-3 26-3

г)

с2+1 2с с —1 с —1

б)

За2-2 6 + б2 2Ь2-2 Ь - а2 2а -6 2а -6

г)

4а +5 а —2 а+8 4а +З -+ а2- 4 а 2- 4 а2- 4

б)

2х х +2 •+х -2 2- х ’

х 2+1 2х -+ х —1 1- х ’

г)

а 4а2- 9

( Ж ) а ) ^ ± у .+^ у _ .

б)

За а -5

т 8 т -1 6 -+ т- 4 4-т

г)

2а -1 9а2-1

і 175.) а) в) ( Ж іа )

в)

а2 +4 а 2- 4

Спрости вираз (177—180). 2а+ с 3с 177.) а) + -----а -с с -а в)

х -у

в) 38

у -х

2а - 1 (а -І)2

(а -І)2

2а2- 3 а 2- 9

а +1 4 +7а а2- 9 + а2 - 9'

б2

66-9

(6 - З ) 2

а +З 9 - 4а2’ а -2 0 5 -а а +2 1 -9 а 2

Додавання і віднімання дробів

'179. і а)

а +2а 6 а- 4 ( а - 2)2 (2 - а )2

б)

в)

а2- а а- 1 ( а - І) 3 + (1-а)3 ’

г)

а2

(а -З )2

(3 -а )

(Ж а )

1-Ч1-

зно Спрости вираз

1 0 т -2 5

(т -5 )2

(5 -т)2

а + 26

2 а - 56

(а -6 )3

(6 -а )3'

2 а 6 -6 2 а2 (а -Ь )6 (Ь - а у

б) --------- г-+

Ь(а-Ь)

а(а-Ь)

Знайди значення виразу (182, 183). 182. а)

2а2-2 5 а2+11 а -6 а -6 якщо а = -5 ;

« М атем атику і вла сти в и й їй сти ль м ислення треба, безумовно, розгля дати як істотний елем ент культури суч а сн о ї людини».

а 2+2а +40 1 6 а-9 б) а 2-4 9 +4 9 ^ ’ якщо а = -5 .

Ю. О. Митропольський

362-3 0 2Ь2- 5 , якщо 6 = -5 ; 6 -5 6 -5 5Ь2+Ь 62 - 36-1 б) +, якщо Ь = -1 ,5 . 462 -1 1-4Ь Доведи тотожність (184, 185).

(Ї83?а)

184, ;.) ^ 2 +2 а +Ь

^ =2; а 2+Ь2

б)

^ 2а 2+18 (а +3)2 _ 9 .9_ (а-3) (3-а)

(а -Ь )2 4; аЬ

. 5а- 3 а +9 г) -------- + 2а - 6 6 - 2а

В/ .

(а +Ь) аЬ

ш 2т п п +пг +п т 2- п 2 т - п

і;

(пг+2 )2 ( т - 2 ) 2 1; 8пг 8т . а -ЗаЬ+9Ь а +ЗаЬ+9Ь в) ------------------ +-----------------а-З Ь а +36

( Ї Ж а)

Д)

8 х~-4 X

х 2 *+“ х - 2 х +2

б)

В 5/п-ІО З т -9

т -8 9 -3 т

18а6 а - 96

2а.

Спрости вираз (186, 187). 186. а) ч

г)

а - 39

а- 8

а 2- 9 6 -3 б2 + 36

а -З ’

б)

а -2

а + 12

а +2

а 2- 4

а + 26

б2 - 9

З а -2 6

■ +-

в)

2 -*

а 2+ а ' 6а6 + 462 аЬ +Ь 4 6 2 - 9 а 2 ’ Д а +Ь аг +2аЬ +Ь2 а -1

Раціональні вирази

а -З а -4’

8 а“ -1 6

(Ж )а ) з

в)

б )?

а +2Ь 6аЬ+2Ь2 2 а-Ь 4а2- Ь2

г)

188.)| нмт Спрости вираз

с -2

-+-

2с- 4 2- 4 с + 4'

а +аЬ 2а+Ь (а +Ь)2 а +Ь

Виконай дії (189, 190). 189. а)

а+Ь а -Ь

а -Ь АЬ а +Ь а2- Ь 2

в)

2 х -3 З х -З

З х -1 4х +4

(І90?іа)

б)

а +Ь Ь+с с +а -+-+(& -с)(с-а) ( с -а ) ( а -б ) ( а -Ь ) ( б -с ) ’

6 х -1 4

12х 2-1 2

2 а -З х

2а+3х бах 4а2+6ах+9х2 8а'і -2 7 х'і

2 3 2 а -З х х -З 9х б) х +2а х - 2 а 4а2- х 2' х+4 х 2 - 4 х + 16 х 3 + 64 1 3 ( З а-1 0 ^ ^^ ( ^ -+-+ а - 2 а + 2 а2- 4 ’ ( х - а ) ( х - с ) ( х - а ) ( с - а ) ( с - х ) ( а - с)

191. Установіть відповідність між виразами, заданими умовами (1-3), та тотожно рівними їм виразами (А-Д ). •О

А 1

. а +1 5 а+6 1 — 77 +^ ---а +2 а - 4 а а+2

а +2а

^ а+ 2 +а - 2 а2+12 а - 2 а +2 а2- 4

а +2 а -2 В а +2 а +2 Г а -2 а -2 д а

Знайди значення виразу (192, 193). 2а а +1 а- 1 -+ 192. а) якщо а = 3; 1 - а 2 2а- 2 За +З ’ х х +2 1 і-—------ , якщо х =—; х х - 2 х - ■22х х 5 . 1 х +2и 4х якщо х = 2, у = 3. в) - + — £ х х - 2 ху х - 4 у б)

(Ї93. а)

х+2

х -3 х +3х

х+ 3

х -З х

4х , якщо х = 7; х —9

Додавання і віднімання дробів

б)

х +1 х -1 , якщо х = -2 . х - 1 х +1 х - 1

10а +Ь 4а +2Ь -+б2- 4 а 2 Ь2+4аЬ +4а2 при а = а 2 - от2 а 3- о З зпо К Обчисли значення виразу (195.) а -Ь а 2- Ь1.2 якщо а = 10,2; Ь = -0 ,2 . Доведи, що значення виразу не залежить від значення змінної (196, 197). 5 х -3 А х-2 а 2а -+196. а) б) 4х +4 Зх+З а+2 2 а -4 а 2- 4

(194)! зпо К

З т -2 2 т -2 а +2 а - 2 16 б) -+ 8 +4 т 6 +З т ' ' а - 2 а +2 а2- 4 Доведи, що значення виразу не може бути від’ємним числом (198,199).

197. а)

2Ь 4Ь -+а +2 а +2 а +2

б)

Зт т -+-+(1 - т ) ( т - 1) т - 1

, 12у | 9 199. а) V Х + 1 1+X х+ 1‘

б)

6х+4 4х -+-+(х -2 ) (2 -х ) х -2

198.) а)

200. Доведи, що при кожному допустимому а значення виразу а3+За За2- 1 4 а +16 +2а є додатним числом. а +2 а2 - 4 Виконай дії (201, 202). 201. а)

1 2 -+-+х +3ху 9у - х 2х - б у

3 -Ь 8 ь+з -+Ь -2 2Ь - 8Ь Ь+2 Ь - 4 Розв’яжи рівняння (203—206).

202.) а)

203. а) в) 204.) а) в)

х -2 5 5 х -2 5 х

Зх +5 = 0; 5 х -х

х +2 ( х -2 ) 2__ 2 х - 4

б)

7- х Зх +5 -+■ -+'3- 1 х 2

б)

За +2 9а - 6а +4

За +2

х 2- 6х X = 0; б) —^------+ х -2 х 2-4

г)

6 12+х -+= 0; х 2- 6х 6 х -3 6

б)

х +1 0; ( х - 1)2 1- х

18а 27а6+8

6х ■+• = 0. 2х - 1 1- 8х 3 х+3

х -1

х +8

х +2

= 0;

0. 41

Раціональні вирази

205.1а)

206.) а)

4х - 9

4х+6

б)

6 х -9

-+ +х 2+Зх 9 - х 2 2х2 - бх

б)

х -2

х -2 х +2х+4

3х2+7х+3

5х х' - 8

2 х -1

х+ х+ 1

х -1

Подай дріб у вигляді суми дробів (207, 208). 207.) а) № ■ )

2х +9 х

З а +5 а"

б) б)

4а + 5Ь

аЬ 6а +2Ь аЬ

в) в)

6 а + 3 Ь +аЬ ?

За3+4а2 +2 2а

Подай дріб у вигляді суми цілого і дробового виразів (209, 210). 209.) а)

а + 26

За +2Ь а 211. Доведи тотожність

( 210) а)

а)

б)

а +Ь+Зс а +Ь

в)

За-ЗЬ +Ь а -Ь

б)

2 а -26 +За2 а -Ь

в)

а2 +За +2 а +З

1 1 2 4 + + £•+1- х 1+х 1+х 2 1+х 4

8 1- х 8

1 1 2 4 8 ■ + +-+1 -2 х 1+2х 1+4х2 1+16х4 1 - 256х8 і. 212.) Знайди всі цілі значення п, при яких є цілим числом значення виразу: 5п +3 2п+ Зп+ 5 2 п +2п+6 б) а) в) п п п +1 б)

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

213. Відкрита задача. Доведи, що значення виразу 7х2+4 5х2+3 Зх2+3 2х 2 +2 не залежить від значення х. Запиши суму дробів з двома змінними, яка не залежить від значення цих змінних. 214. Доведи тотожність. а)

х 2- ( у - г ) 2 [ у2- ( х - г ) г | г2 - ( х - у)2 _ ^ (х +г) - у 2 (х +у ) - г 2 ( у + г ) - х

Додавання і віднімання дробів

б)

х -уг

(х -у )(х -г)

2 +Ху

У +Х2

+■ (у +г )(у -х ) (г-х)(г+ у)

(У -Ь )(г-Ь ) | { у - ф - с ) | у г =1 Ь(Ь-с) с(с-Ь ) Ьс ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

215. Запиши замість букв числа, назви яких В в Д починаються на вказані букви, і такі, ч Д Д щоб їх суми в кожному рядку і кожно му стовпчику дорівнювали одна одній ч ш ш (мал. 4.2). М ал. 4.2 216. Обчисли. а) 530-З30 —(і515—і)(і5 15+і); б) 724 824 + (і-5 6 12)(і+5612). 5 8 9 б) 1— •2 +4 1 — +1— 1—; 217. Виконай дії. а) 2-\---- 1— ; 15 16 12 18 9 4 2 7 1 . 1 1 3 9 в) 2— - - 6 - ; г) 2---- 4—1-6-----------6. 11 8 5 10 6 8 20 218. И?ІЯД У кінотеатрі квиток на вечірній сеанс коштує на 15 грн дорожче, ніж на ранковий сеанс. Вартість 4 квитків на ранковий сеанс на 220 грн менша від вартості шести квитків на вечірній сеанс. Скільки гривень коштує один квиток на ранковий сеанс? (На кожному із сеансів квитки на всі місця коштують однаково.) С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь М ож у пояснити, як звести д р о б и до спільного знаменника. Ф ор м ул ю ю і використовую правило додавання і віднімання дробів, у яких знаменники: однакові

А В А +В — +— = с с С

різні — І — = В £>

АО +СВ

В икористовую для перетворення д р о б ів і виконання дій з ними ф орм ули

А -В

В -А

{А - ву = (В - Ау

М ож у подати д р іб у вигляді сум и

А +В

с +с

МА+ N В

МА N В А +А

М+

В£>

Раціональні вирази ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

ВАРІАНТ І

Я кі значення х допустимі для дробу? а)

8х 2с Скороти дріб, а)— 12ахс

2^с Н- 3 Зх-12

б)

7х х 2- 4

5а2-2 0 . х 2-6 х+ 9 б)— ---— ; в) т— -----. 10а+20 х -З х

■ з „ „ За +6 . За - Ь . ■з. Знаиди суму та різницю дробів ------- і с с ,, „ ч а 9 а + 2 8а 4 ^ Спрости вираз, а ) -- т ; б ) ----------т + а+3 а + З а а - 2 а - 4 а+2 В А Р ІА Н ТІ!

0^»_|_0 2зс 1 Я кі значення х допустимі для дробу? а) --------- ; б) —5------ . 5л;-1 0 х -1 6

„ . . . 6а2х 3 ЗЬ2-1 2 х 2- 6 х С. Скороти дріб, а)5-=-; б) ---------- ; в) —5-------------- . 18а х 2у3 96 +18 д:2-1 2 х +36 ■і. Знаиди суму та різницю дробів

2 х -9 и . 2х +9и — і ------- —. 2г 2г

/і &2 1 ;б лч 2 т +1 Ч. оСпрости вираз, ач) -----------------) — •+•------9Ь +27 Ь+3 т +1 т 2- 1 т - 1 ВАРІАНТ

1. Я кі значення х допустимі для дробу? а) 2.

Зха2

.. 4 а 2 - 3 6

-ь 5 б х -1 8

7 ос б) —-----

х -2 5

. дг2 + 1 0 х + 2 5

Скороти дріб, а)— — — ; б) —----- — ; в) --------------. 15ах с 6 а -1 8 х +5х -г —

„ . 2 а + 5Ь . 2а-ЬЬ 3. Знаиди суму та різницю дробів — ---- і — ---- . _ . т 25 „ а+ 3 6 12 а н. Спрости вираз, а ) ------------ 5------- ; б ) ---------1------------=-----. т - 5 т -5т а - 3 а+3 а2- 9

Готуємося до тематичного оцінювання %

ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ

Тестові завдан ня № 1

О При якому значенні х не має змісту дріб З5х--х6 0 Ах=0

Бх=5

В х = 2

Гх=3

2 З Укаж и спільний знаменник дробів — - і ----- . Зх2 2ху А 3х 2у

Б 2ху

В 6х1у

Укаж и пропущений член тотожності А 15х

Б 15х3 2 х Сумою дробів — і — є дріб: х 2

ху

Г бху Зх у

В 5х2

Г 5у2

^ 2х В х +2

„ 4 +х 2 2х

2 +х х +2

„ 2 +х Б 2х

х 2- х х -1 Ах Бх-1 В 1 2х 4 Різниця дробів ------ і ------ дорівнює: х -2 х -2 д 2(*+4) б 2х +і В2 х -2 2 х -4 д З Знайди значення виразу ------ , якщо а = - 1. а +3 А -0 ,5 Б -2 В 0,5

І Я Скороти дріб

^ 5 Скільки коренів має рівняння —^— = 0? х -1 А один Б два В безліч П , . хX 2++2хАх 0 Розв Я Ж И рівняння ---2------=0х 2- 4 А -2 БО В 0 і -2

Гх+1

Г1

Г 2

Г жодного

Г 2 і -2

При якому натуральному значенні п значення дробу П+— є цілим п числом? А - 2 , - 1 ,1 , 2 Б - 1 І 1 В 1і 2 Г-1І2

Раціональні вирази

ТИПОВІ ЗАВДАННЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ № 1

Який із виразів цілий? 2х +у 2х +у Зх 3у Скороти дріб

18агЬ В — Зь

Б — 2Ь

За

2с При яких значеннях змінних не має змісту дріб с 2с А 2 БО В 0і 2 Г-2І2 Установи відповідність між виразами, заданими умовами (1-3), та їх числовими значеннями (А-Д) за умови, що а = 0,3, Ь = -0 ,7 .

2 З

а - Ьа2

А -1 ,7

а +Ь

Б -0 ,4

а2Ь -а Ь 2 а 2- 2аЬ +Ь2

В -0,21 Г 1

а 3- 8

Д 2,3

а + 2а + 4

Виконай дії. . 5х+2 А -7 х а) ---------- ; 3 -* х -3 О

2х +у Зху

2 х +у

12 а 2Ь2

А — 2а

а +4 а - 4 б) ------ + а -4

Розв’яжи рівняння. х 2- 9 0; а) х^ +Зх Доведи Т О ТО Ж Н ІС ТЬ

а +4

16а а - 16

5 5 2д:2 -+ +х+5 х - 5 х 25 а - 10 З а +5 0. За-9 а -9 б)

а +5 З а +9

Для кожного значення параметра а розв’яжи рівняння ( а2 - 25)* = а + 5. Д о д атко ве завдан ня 2+2 т п - п 2 О Обчисли значення виразу 4 т8т.2 +3п2

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і д о б р е засвоїти нову тему, пр игадаєм о , як зі звичайними д р о б а м и виконувати: множення піднесення до степеня

ас Ь сі 2

а-с Ь-сі 9 _

15 10

5Н - 1 0 ,

3 25

Згад ай, у якій посл ід овності виконують д ії з числами 2 (1 1 - —-5 +7 • - ---3 ^3 5/ 4

Правило множення звичайних дробів тобі вже відоме. Для будь-яких натуральних чисел а, Ь, с і сі справджується рівність а с ас Ь сі Ьсі Доведемо, що ця рівність — тотожність, тобто що вона справджується для всіх допустимих значень а , Ь, с, сі {Ь Ф 0 і сі Ф 0). Нехай —=г і —=,р. За означенням дії ділення, а = Ьг і с = сір, звідЬ сі си ас = Ьг • сір = Ьсі - гр. Оскільки Ьсі Ф 0, то з рівності ас - Ьсі • гр, за ... . ас означенням дії ділення, маємо: гр =— , або Ьсі а с _ ас ь а~ьа'

З доведеної тотожності випливає правило множення дробів. 47

Раціональні вирази

Щоб помножити дріб на дріб, треба окремо перемножити їх чисельники й окремо знаменники і перший добуток записати чисельником, а другий — знаменником дробу: А С АС В І) ~ в и ' 2х т Зп 5п

Приклади.

2х - т Зп-Ьп

а 2х а -Ь а +Ь

2х т 15пг

а-2х 2ах (а-Ь)(а +Ь) а 2- Ь 2

Оскільки цілий вираз можна вважати дробом зі знаменником 1, то, за сформульованим правилом, можна множити дроби і цілі вирази. Приклади.

2а о 2а 3т 3т ----тх тх 1 ,2

(с2- 1)-

(с +ІГ

2а-3т тх

бат х

( С - 1)С

(с- 1)(£*ї)с

(с - 1 )с

(с +1)

(с +і г

С +1

Правило множення дробів поширюється на добуток трьох і більше множників, наприклад: а а2-Ь 2 _ а(д^Ь)(дЖЬ) _ 1 а -Ь а +Ь 4а 2 (д^Ь)(д^гЬ)4а2 4а 1

Піднести дріб до п-го степеня означає перемножити п таких дробів: ґа

а а ЬЬ

а _ ааЬ ~ ~ ЬЬ-

■а а ~Ь~~Ь"

Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього сте пеня чисельник та знаменник і перший результат записати у чисельнику, а другий — у знаменнику дробу: Ґ л \п

Ап Вп

Приклад. Піднесемо дріб

ах до п ятого степеня: ~2с

ах 2 ^5 (ах2)5 а5х 10 ~2с / (2с)5 32 с5 48

Множення дробів ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Ти знаєш , що для множення многочленів існ ує обернене перетворення: р о з кладання многочленів на множники. Чи існує о бер нене до множення дробів п е ретворення? Кожний д р іб можна подати у вигляді добутку двох, трьох чи довільної кількос-

а т

ті інш их дробів. Н а п р и к л а д ,—

а с а ------ , — с т т

а п с ---------- . п с т

П еретворення, обер нене д о множення дробів, неоднозначне, невизначене. П ростіш ою є така задача. П одай д р іб — у вигляді добутку двох дробів, один із

п са

»,

а п са п са п

яких дорівню є — . У даном у випадку відповідь неважко підібрати: — ---------- .

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Сформулюй правило множення двох дробів. В

Я к помножити дріб на цілий вираз? А цілий вираз — на дріб? Я к піднести дріб до степеня?

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ ! 2

О Знайди добуток дробів х 2хс- с Розв’язання. Відповідь

X 2 ~С2

2хс

16 ( х - с)

16 (%>^с)(х+ с ) ) ґ6 (х - с ) 2 %хс(х-с)г

8(х+с) хс(х -с)

8(л:+с) х с(х -с)

-і Знайди значення виразу Розв’язання.

х -5

Ґх„ - осЛ4 Ґ х„ - осЛ4 5 -х х -5

Відповідь. При кожному значенні х , крім х = 5, значення даного виразу дорівнює 1. а 7х и Подай у вигляді степеня дробу вираз (а -х ) 21 •

Розв’язання.

а1 -х14 (а - х )21

а -(х2 )\7

((а -х )3)7

ґ ах 2 V ах 2 . Відповідь. (а -х )' ( а -х )

Раціональні вирази

ВИКОНАИ УСНО

219. Помнож дроби. «

5 • 4 •

3 в), 3— . -і — ; -5 4

д) —

2 1 5 а’

чх . т г) - і — ; а 2с

)

аЬ

220. В иконаи множення. 2а т . X 2 а) — б) — — ; Ь п У і ч 3 6ь ґ) ^ т ;

V -1 - -1 1 — . аЬ ас

ах

х3 9 д)

. 11

в)

а х

;

т2 5 ; 10 т

е) —

. 4а х г) Т ' з ;

х 8а 2 25 є ) ----------- . 5 4а

221. Піднеси до квадрата і куба дріб.

а>1; 222. Знайди добуток х +3

х 2- 9 2 2х х - 3 . х -3

х+3 х

х -3 X 1

1 а +1? с (а +Ь)с X X X 1 ооА п 224. Спрости вираз

. - 2а г) — . х

х ; б) — ас

-1 с (<2+сі) (а +й)

Ьс (а +а) 1 т

а(а + Ь)2 2Ь — і знаиди його значення, якщо 2Ь а +Ь

а =2,5, Ь =- 1,5. А 1

Б 10

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ А

Виконай множення (225—230).

В 2,5

Г -1 ,5

Множення дробів

(22(Г)а)

15п -8т

г) 2а х 2

4т 5п х

б)

За 5х -х4 4а

в)

-4с 2сх Зх2

ґ)

7агт 4х 2п; 8хп

-1 Д) 7ГТ~'(-З а )' 2а с

227.) а)

а +Ь Зх2 х 2(а +Ь)'

б)

1 х -у ' х 2 - у2 4ху ’

в)

г)

а 2- аЬ т 2 т 3 а -Ь ’

Ґ)

Зах сх +с2 ах +ас 9х

д)

6т 2 а - 2 а2 - а 9т 2

б)

а - х 16а т 4 т 2 ( а -х ) 2 ’

в)

а 2- с 2 8 2ас (а +с)2 ’

(228?) а)

г)

229.) а) (230?) а)

а -Ь

а"!-& 2’

За-ЗЬ (а +с)2 4а +4с а 2 -Ь1.2 ’

х -а

с+ х

б)

а2- 4 а +2 а2+4 а - 2 ’

б)

(а +Ь)2 Ь (а-Ь)Ь а - Ь

Х -у

За +9 2а - 4 Ґ) а 2- 4 (а +3)2’

( х -у ) 2 у2 (х +у)у Х 2- У 2 ' X 2 - с 2 а +х

3 2

Х -у д) 12 в)

(х+у)г . 3 ’

6 ( х -у ) 2'

х 2- 1 х 2+ Х +1 X +1 х 3- 1 х 2- ху (х+у)2 у(х +у) х 2- у2 '

231.) Заповніть таблицю. -О ■О

-3

-2

-1

х +1 2х х х 2 -1 х 2 - 4 х 2 - 2х х х+ 2

232.) Піднеси до квадрата дріб. . 5а X б) а) з ? а +х

в)

-т 2ас3’

3X2 ' 2а +г

г)

2а Зсх

233.^1 Піднеси до квадрата, куба і четвертого степеня дріб Піднеси до степеня (234, 235). ґ

в)

Л * чс —3^

в)

К2 (ІХ ; 2 >

б)

( 2а

1 ;

Зс

см

Ґа - х ' ча +х .

а„

3 1

(235?)а)

<3л,

б)

т-Н

234?) а)

^2аЬЛ > ч Зс ,

-2х V ЗаЬс / х 2 г) V 2а* г)

Раціональні вирази

236. Гра. Один з учасників /одна з учасниць записує дріб, другий/друО. га — степінь, до якого потрібно піднести дріб, а третій/третя ви О конує піднесення до степеня. Потім учасники / учасниці міняються ролями. 237. Віднови записи. а)

(х +2) 2 а х 2 а

х(х +2) .(х-2 )

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

б)

х - у 2х 2 у. . 2

ху х +у

РІВЕНЬ Б

238. Знайди добуток дробів. а)

4а - 9 6а 3+2а 3 - 2 а ’

б)

1 -9 х 4 х - 1 Зх -1 Зх2+1

Ь)

а6- 1 1+а2 а +1 а +1+а

б)

а3 - х 3 ах+ х 2 а 2 - х 2 а 2 +ах +х 2

б)

х 2+дх +9 х 2 - 4 . 2 х -4 Зх+ 9’

г)

х -1 0 х +25 2ху +у 2 ' б х +3 у 2 5 -х

239. Гіпсі іЬе ргосіисі о£ Ггасііопз. а)

а3+х3 а2 -2ах+ х 2 а -х а2- а х +х 2

(240. Виконай множення дробів. а 4 -2 5 а а) 5 а - 2 5 а+2 Спрости вираз (241—244). 241.1а) в) (242?)а) в) 243.1а)

у2 х +3 ху х 2+дху +9у2 х у -З у 2 ' х 2- 9

2х - б х х+ 2ху+ у

х -у х -З х

х у -2 у 2 х 2+4ху +4у2 х 2+2ху х г-4 у 2

б)

3х2у +3ху ■ 2ху + у

г)

Зс 2 Л

х 2- у 2 Зх +Зх

•12а4Ь6;

б)

V 2а26% в)

ах а -2а+1 5 -5 а 0,2 ах'

х 2-1 2 х +3б

2х 2 - 3 2

2х-8

х - бх

х:3 3-81д: - 81: 2х2+14х х 2 + 1 4 х +49 х 3 - 9 х 2 ( X2 \

2Л

-2У

"-ЇЇ.

г)

2а-1 а- 1

а3 -1 4а -4а+ 1

Множення дробів

(2 4 4 ;а) ( -8х 6у3)

32.4 Л 2х 2у

б)

х 2 - 4х +4 х 2- 4

х +2 х-2 ,

г)

в)

ч3

9Ь4 а

а-с а 3+с3 2 а -а с+ с а 2- с 2 2

Перемнож дроби (245, 246). 245. а) в)

а +3 6 -2 а 5а' 3 -а 10а

б)

-6х4 5у4г7 А 49х гу2Л З6у6г3 42х6 Ґ к О\

г)

5у

( І Ж ) а) у

6х3 у

Зх2

0,2 х -1 Ьх ---------х 2х х +1 а^Зг.2 6 -5а с 166злз с -20с4 24б5 -ЗО а6 '

б)

З 6 а 8а -----. а 4а 96 6

б)

4а 6 6а -З аб 2а6 4а2- б 2 12а363 2 а +6 '

Спрости вираз (247, 248). ( Ж > а> 24 л:

9-лг

(248. а) ( -8а2(а +6))

а 2+62 6- а

б)

а2- б 2 (8а )2

х 2-д:

х 2+2х + 1

2л:+2

х 2+4х

х 2 —16 Здг-З

Знайди значення виразу (249, 250). ах - а аз - х з 249. а) , якщо а = 4, д: = 3; х 2+а х + а 2 4 +4х б)

аЬ-2Ь

4а2+2а6 +36-9

(6- З)2- 4а 2

а 2- 2а

, якщо а =—, 6 = 3. 2

(250. а)

г/2—16л:2 8х 3 -125 , якщо х =—, у = 3; 4д:2+10х +25 4д:-у

б)

л:2—лгг/+2г/—4 х 2+2х , якщо х = 3, у = 2. ху +2у ( х -у ) - 4

Піднеси до степеня дріб (251, 252). 251.) а)

б) V

(252?: а)

а Ч

2а2 Зх2.,3

б)

^ -Зт о 2п ^3 2ас

в)

а-с -2 х 2г

а 15 ■ х„ з о 253. Подай дріб у вигляді степеня, а) [а +х) 15 '

в)

Ґ Ху 22 л4 -2ап4 Зах° ч2 л : — 1

б)

( х - у ) 1и-(х+у) (2х +у)

Раціональні вирази

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

254. Виконавши перетворення дробових виразів, учень витер частину дошки (мал. 5.1). Віднови витерті записи. 255. Розв’яжи рівняння. 2х2 х 2- 9 0; а) х -3 X б)

х - 4 х +4 х+2 х х 2- 4

/(а-Ь) і \2с3 (а2-

а-Ь (а + Ь)с

2х +.

6х + 9

М ал. 5.1

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

256. На яких з малюнків а -г зображено графік функції? Графік якого рівняння зображено на малюнках а, 61

— і— і1 2 3 4 5 6 а

Мал. 5.2

257. Задача Р. Д ек арта (1596-1650). Знайди у. у3 - 8у2 - у + 8 = 0. 258. Виконай дії. 8 3 5 8 8 -+ 3 а) 1— :3 — + 13 13 7 21 8 2 2" . :1 3 ^ 6 ^ Г і“ :2—1 7 5 з] 16 і ) 5

N3 00 1

б)

Рене Д екарт

Ділення дробів С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Ф ор м ул ю ю і використовую правило множення і піднесення до степеня др о б ів

А С В і)

А-С

ГАГ

А"

£■£>

ія і

" Б"

Ум ію множити цілий вираз на дріб і др іб на цілий вираз . В АВ А — =

£ .р . N

М -Р N

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр озум іти і д о б р е засвоїти нову тему, пригадаємо:

а . Ь Ь а

5. 7 7 15 а с — як зі звичайним и д р о б ам и виконувати дію ділення Ь а

— щ о таке взаєм но обернені д р о б и

а а Ь с

а сі Ьс

— як ділять ціле число на дріб і д р іб на ціле число

с ас ай <2 1 <2 1 с

асі с

а Ь

а с а 1 Ь 1 Ьс

а Ьс

§ 6. Ділення дробів КЛЮЧОВІ СЛОВА________________________ і частка дробів — циоііепі оНґіе їгасіїопз Дія ділення дробів обернена до множення:

а с Ь сі

а сі Ь с

Дріб — називають оберненим до —. с сі Щоб поділити один дріб на інший, треба перший дріб помно жити на дріб, обернений до другого: А С_ А Р А Р В ' Р~ В С~ В С

Раціональні вирази

4а 2Ь 2ах 5х ЗЬ2

Приклади.

4а 2Ь ЗЬ2 12а 2Ьг 5х 2ах 10а х 2

1 а а +Ь аг - Ь 2

6аЬг 5х2

1 а2 - Ь 2 (а-Ь)(а+Ь) а +Ь а (а +Ь)а

а -Ь а

Цілий вираз можна подати у вигляді дробу зі знаменником 1: 4ах - о -:2сґ;е 5с

4ах 1 5с 2а х

2Х 5ас

(2а +3):

а 2а - З

2а +3 2а - 3 а

4а2- 9 а

ХОЧЕШ ЗН АТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? П роаналізуєм о, при яких значеннях зм інних а, Ь, с, сі значення частки

— Ь сі

існує. Знам енники дробів не можуть дорівню вати нулю, том у 6 ^ 0 і <і*0. Не може дорівню вати нулю і значення с, бо за цієї умови значення другого д р о б у дорівню є 0, а на 0 ділити не можна. Отже, дана частка м а є значення тільки в то м у випадку, коли виконуються всі три наступні умови: Ь * 0, сі * 0, с ф 0. 6 х + \х\ Розглянем о, при яких значеннях х м ає з м іс т в и р а з ------ г:— 1-І.

х -|х |

Якщ о х >0, то х - |х| = 0; у цьом у випадку знам енник перш ого д р о б у дорівню є 0, і частки не існує. Я к и ц о х < 0 ,т о х + |х| = 0; у цьому випадку значення другого д р о б у дор івн ю є 0, а на нуль ділити не можна. Отже, даний вираз не м а є зм істу при будь-яком у значенні х.

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Який дріб називають оберненим до даного дробу? Сформулюй правило ділення дробів. Як поділити дріб на цілий вираз? А як — цілий вираз на дріб?

О При яких значеннях змінних частка дробів —т п має зміст?

У,

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

Спрости вираз , а Розв язання.1 —

с с а а с2 а-с2 5-= 1--------- =1--------- =1 - с.

Відповідь. 1 - е .

Ділення дробів

(

Знайди частку від ділення дробу

— на а -І а -а

і вкажи, при яких

значеннях змінних частка існує. 2с _ ас2 а2( а - 1) _ ас ас~2 Розв’язання. а 2- 1 а 3- а 2 ( а -і) ( а +1) 2с 2(а +1) Перший із даних дробів не має змісту, якщо а 2- 1 =0, тобто при а = 1 або а = - 1. Другий дріб не має змісту, якщо а2(а-1) =0, тоб то при а = 0 або а = 1. При с = 0 значення другого дробу дорівнює 0, а на 0 ділити не можна. Отже, частка даних дробів існує, якщо а Ф 0, а * 1, а ф -1 і с Ф 0. Відповідь.

а3с ; частка існує при а ф 0, а ф 1, а ф - 1, с ф 0. 2(а +1)

ВИКОНАИ УСНО

259. Обчисли частку. 10: — 20: —; 1 :2 ; І 2 2 3 5 5' 5' З 3 *3’ 5 *3 ’ 260. Виконай ділення . 2а 4а яч а) — : — ; в)ч 1 2 б) 1 а Ь Ь а 2 а а 261. Спрости вираз. т -п т -п т 2- п 2 т +п а) б) т п а а 262. Поділи вираз с3 на: с, с2, с3, с4, с°, с6. 1 1 1 1 263. Поділи дріб — на: х 2, х, —, 2 9 ^, 3 9 4 X X

264. Виконай ділення

8 а-Ь а +Ь 8

1 а2 - Ь 2

64 2 а - ЬіЛ

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

а-Ь а +Ь

2 2 а2 а г) — : —. Ь Ь

в)

■:(т +п). т +п

А2 аг,2 - о 64

РІВЕНЬ А

Виконай ділення (265—267). 4

35 -7

Раціональні вирази г) 266.]а)

5х Ю х %У 6у Зах

ґ)

9а х

б)

За 8Ь2 ' 4Ь2 ’ бх2 1,5х3 У

Д)

4т п

12 т п

в)

14 7х 5х3 2у2 18г3 9г3 ху 2 X 9у

2а 4а Зх 9х

ґ)

18с2 9с3 5ху 15х2

Д)

(267!) а)

34аЬ2 17Ь2 а2 ас 2 ’

б)

Зт 2п3 :9 т п 4 ар

в) Зх2:- Л . 9хг

г)

2аЬ 8а 2Ь2 З ху 9х 2 у..2

ґ)

х 5сг

Д) 1 : ^ . 2Г

г)

15г3

Знайди частку (268—273). 268. а) — 1— *+*/ (х+у)

б)

а +а 11с2

4 а +4

б)

За

6а

(269?)а) і 270.1а)

( Ж ) а)

*-£/ ( х -у ) 4с2 - х 2 >2с +х _ Зсх бсх2

272. а) (а2- 4 с 2):

б)

(а +6)2 _ а +Ь_ Зс 6с 8сх с 2- 2 с

4сх З с-б ’

в)

X х +у х+у X

в)

тс2 Зс т 2 -1 т 3- т 2

х 2- 2х +1 _ (х - 1)2 а +Ь ; в) (а2- 62): а-Ь Зх Зх3

б) 2ас2:

в)

За - с

а-2 с Зас

б)

х 3 - Зх х 2- З х - 4 х +2х

х 2 - у 2г 2 , ч — -:(г/2- х ) . уг+х

273. а) (а - 4х2): ( іб х 4- а2

б) (х2+х +і) :( х 3- і ) .

Ж ) і Н М Т Спрости вираз. х 2- 4ху +4у2 :(2 у - х ) ; а) х-2 у

б) * ~У - :{2х +2у), х-у

г)

і со н «с:

(275.) Спрости вираз. Ґ \ Зх X У > 8а КУ 4а ,

б)

Ґ -2 сх 3 1* 25ас3 ‘ у 5а - 2с3]

X чт 2 т ,

Зх3 т 2’

Г2а 6аЬл 4аЬг [зь 5с2 , 9с2 3 , 2 ^2 Г 2а ) ^ 4а ґ) ут 2С; к3 т с 2у в)

Ділення дробів

276. З іт р М у Ше ехргеззіоп. -5а 4с

а)

ЛЗ -2а сі) у9с X у

а 2а л4 Зсх2

Ь)

-9с2 ( Зс2 а л3 5а 5а с

е)

0,5 ах х 2т 4т2

277. Е П І З Обчисли значення виразу

с)

8т п 6т Зх2Л 2 * 5х 2п 9ах

т а

а - б а б +96 а +АаЬ

5а -156 а +46

при а =0,1, 6 =3,7.

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

Виконай ділення (278—284). ху 278. а) —з— --------2 х +ху х у +ху

( Ж

б)

а 6-46 Заб

а -2аЬ а 26

в)

4х -16х+16 х - 2 х 2- 9 х -3 ’

г)

а +6а+9 а+3 3 6 - а 2 а +6

а)

16ху2- х 3 х 2у -1 6 у г г» X2 - 2ху +у 2 е X2 - у 2

б)

х 2+2ху +у2 х 2- у 2 Л 2у - у З у 2х - 9Лх З 9х

в)

х 2- х у х 2- х у 5х2 - 5г/2 х 3+у3

280.1а) -

2а+1 5 а-5 а - а +1 За +3

1+2а в) (4а2- і ) : у ~2а

х 2- 2ху _ ( х - 2у )2 х 2+4г/2 х 4-1 6 у4 б)

1 - х 2у2 _ х у - 1 1+хі/ ху2+у

г)

3 -х :(х 2- 9). 3+х

(28Г а)

а - 3аЬ : ( 4 а - 126); З6

б) (8х - 12у ) : ^2* - 3^ -. ху

282. а)

х —6х +9 6 -2 х 4х -6 х+ 9 27 +8х

б)

а 2 + ах+ х 2 а Я - х Ч х —1 х -1

(283? а)

2а +16 а —2а +4 а2+За +9 2а3-5 4

б)

64а3- б 3 16а - 8а 6+6

З у -9 х -х у + х-у

г)

^ а - 1л2 а~2- 2а +1 а +1 а +2а +1

в)

ху-3 х+ 2 у-6 X2 - у 2

16а2+4а6+62 16а"

Раціональні вирази

284. а)

а2-2аЬ +а -2 Ь а 2-4 Ь 2 аЬ2+а 2Ь а +аЬ+а+Ь

б)

ґх +г\ 2х

х 2 +г2+2хг 8х4

285. )Знайдіть значення виразу, а)

:(і2-4 ) , я к щ о і = 0,5;

«Ніякі лю дські дослідж ення не можна назвати спр авж н ьою наукою, якщ о вони не пройш ли через математичні доведення».

З(а2- 4Ь2) б) (2а-46): у ’ а +2Ь якщо а = 2,65, Ь = 7,35. 286.! Знайди значення виразу. аЬ+ 4 Ь - 5 а-2 0 2Ь-10 , якщо а = 4, Ь=—; а) Ь+1 4

Леонардо да Вінчі

9 - ( а +х)2 а2+3 а - х 2- З х З 1 б) — :-------- 5------------ , якщо а = —, х =—. 6 а +бх а +ах 287. Заповніть таблицю. •О

-4

х 2-2 х +1

х -1

х +1

(х + 1)2

Зх2-4 8

12+ Зх

х-1

1 -х

-3

-1

_____ з 288. На який вираз треба помножити дріб ------ , щоб одержати: а -2 а -2 _ а+2 б) в) З а(а-2 )? а) За ’ а - 2’ (289. На який вираз треба помножити дріб

а +5 в) 5а(а +5)? а^5’ Поділи многочлен на многочлен, записавши частку у вигляді дробу і скоротивши його (290—294). а)

а +5

Щ°б одержати:

б)

290.)а) (а5- а ) :( а 2- і ) ; в)

(2а +8Ь ):(і6Ь2- а 2

( Ж ) а) (с6- с 2):(с3-с ) ; в) (х3+4х2 +4х):(.г2+2л;);

б) ( / - / ) : ( / - ! ) ; г) [4х2- 4 х у + у2у.[у2- 4 х 2у б) (с4 +с):(с2+с); г) [хА+х ) :( х 2 - х +і).

Ділення дробів

292.) а) (ас+ ах+Ьс +Ьх):(с +х); А (293.)а) (а3- 2 а 2+2 а -4 ) :( а 2+2);

б) (а с - а х +Ьс-Ьх):(а +Ь). б) (а3+2а2- 2 а - 4 ) :( а +2).

294.)а) (2агЬг +ЗаЬс2х - 2 а 2Ь сх -З с3х 2у.(аЬ-сх); б) (32ас2 +Ібсл:2- 48а;е2 - 10с3): [2с2 - Зя2). ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

295. Спрости вираз. а)

а - т _ а +(т+ п)а +т п _ а +{Ь +т ) а +Ьт а2 - Ь 2 - с 2+2Ьс а + Ь -с ; б) Ь2- с 2- а 2-2 а с а +Ь +с а 2- Ь 2 а 2- ( т - Ь ) а - тЬ а 2-( Ь -п ) а - Ь п

296. Проаналізуй послідовність геометричних фі гур. Запиши відповідну числову послідовність і продовж її. ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

297. Розв’яжи систему рівнянь. ^ 8 (2 х-3 у - 3)= 6х(4у-3)~ Зу(8х-5), [3(10;е +3у) =9у(4х+7)-6х(6у +1). 298. Знайди координати точок перетину з осями координат графіка рівняння, а) Зх + 2у = 6; б) х - Ьу = 12. 299. Розклади на множники. а) 6х2 - 6у2; б) 5 - 5 т 2; в) ах2- а 3; г) З х 4- 12х2; ґ) 20а2 - 45Ь2; д) 48х2 - 75у2. С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Ф ор м ул ю ю і використовую правило ділення дробів

А С А АВ В £>~ В С ~ В С Умію ділити цілий вираз на д р іб і дріб на цілий вираз

\ -В

А-С В

ІУ -Р

Н ам агатим уся звертати увагу на те, при яких значеннях змінних вираз м а є зм іст

а * 0, а * 1, ас 2с а3с т =— г; частка існує при 2 7* з у Р а * - 1, с * 0 а -1 а - а 2 2(а +1)

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр озум іти і до б р е засвоїти нову тему, пригадаємо: — правило розкриття дужок; — що таке тотож ність (с. 6); — як виконують тотожні перетворення цілих виразів; — ф орм ули скороченого множення (ф орзац 1); — сп о со б и розкладання многочленів на множники.

КЛЮ ЧОВІ СЛО ВА ^перетворення раціональних виразів —

ігапзїогтаііоп оїгаііопаї ехргеззіопз Будь-який числовий вираз після виконання всіх наявних у ньому дій набуває конкретного значення. Подібно до того, як знаходять зна чення числового виразу, виконують перетворення раціональних виразів. Заданий вираз замінюють іншим — тотожним йому. Такі перетворення називають т о т о ж н и м и перетвореннями. Тотожні перетворення раціональних виразів виконують частинами або «ланцюжком». Якщо вираз містить кілька різних дій, то їх вико нують у такій самій послідовності: 1) дії в дужках; 2) піднесення до степеня; 3) множення, ділення; 4) додавання, віднімання. Кожний раціональний дробовий вираз можна подати у вигляді дро бу, а деякі — навіть у вигляді цілого виразу. Розглянемо, наприклад, 1_ 1 а X V 1 вирази: а —, ----- -------- . 1+і х+ у ху а 62

Перетворення раціональних виразів

Перший із них можна перетворювати так:

„ 1 а +1 а + 1 а2 1) 1 + —=-----; 2) а : ------ =------ ; а а а а +1 а а Отже, а1+ 1 а +1

_ч а2 а 2+а - а 2 а 3) а -------- =--------------=------ . а +1 а +1 а +1

Подібним способом (частинами) можна спростити і другий вираз. А можна перетворювати його і «ланцюжком»: 1

£ і у . . ± = у і £ : і х +у ^ ± =£ 1 у. . ^ . ± =± . ± =о. х+ у ху ху ху ху х +у ху ху ху ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? У м атем атиці часто довод иться не лиш е спрощ увати вирази, наприклад сум у кількох др о б ів запи сати одним виразом, а й робити зворотні операції. Задача (О. Коші). Розклади дріб

х2-1

на су м у двох д р о бів зі знам енникам и

X - 1 і х+ 1. Розв’язання. Нехай

х -1

х+ 1

П еретвори м о праву частину рівності у дріб: А

х -1

х+ 1

_ А ( х +1)+В(х - 1 ) _ А х + А +В х - В _ х ( А + В ) + А - В

( х —1 )(х+ 1)

(х —1)(х+ 1)

П ід ста в и м о цей ви раз у праву части ну (1):

( х —1 )(х+ 1) 2

х(А+ В) +А - В

(х —1)(х +1)

звідси х(А + В) +А - В = 2. П рава частина о стан н ьо ї рівності не м істи ть з м ін н о ї х. Це мож ливо тільки за умови, коли А + В = 0, тобто коли В = -А. З а такої умови А - (-А ) = 2, звідси 2А=2,А= 1, В= -1 . Отже, - А _ = + х -1 х - 1 х+ 1

ПЕРЕВІР СЕБЕ

П ер е й д и за по си л анн ям узе.ее/сиЬсІ та закріпи матеріал параграф а (Тема. Раціональні вирази та рівняння. Урок 5).

Я кі дії можна виконувати з раціональними виразами? Який порядок виконання дій?

Раціональні вирази

ВИКОНАЄМ О РАЗОМ !

Спрости вираз. х +1 1 х" 2 а) х х +2 X

б)

х -у х+ у

у х-у

х 2- Зху х-у

Розв’язання, а) Перетворимо даний вираз частинами: 1 х 2- 4 _ 1 (х -2 )(х +2) _ ( х - 2 ) ( х +2) _ х - 2 ' 1) х+2 х х+2 х х (лг+2)- х х+1 х - 2 х + 1 -х+ 2 З X X X X б) Перетворимо даний вираз «ланцюжком»: 2)

х -у х+ у

х 2- 3 х у _ ( х - у ) - у ( х +у) х ( х -З у ) х-у (х+ у)(х-у) ‘ х - у

У х-у

х 2- 2 ху +у2 - у х - у 2 х-у ( х -у ) ( х +у) х ( х -З у )

х 2 -З х у х-у (х-у )(х+ у ) х ( х -З у )

х ( х - 3 у ) {х -у ) _ 1 ( х -у )(х + у )х ( х -3 у ) х +у' Відповідь, а) —; б) —-—. X х +у 5х +19 п ^ 5 Подай дріб --------- у вигляді т-\------- , д е т і / і — цілі числа. х+3 х+3 Розв'язання.

5х +19 х+3

5(х +3) +4 х +3

5(х+3) 4 +5 +х+3 х +3 х +3

ВИКОНАИ УСНО

Спрости вираз (300—303). \ ґ \ х 300. а) |^а +— а н— су а-с 301. а) 1: а +с 0 ( п —1^1 *( 2 *1■^ 302. а) ( п+ — П ----Г \ п) ^ п ) п) 1 303. а)

—^ :( а 2 +а +і);

п +а б) 1+ ‘ п п. 1+х б) 1: х -1 а а - с а +с б ) ----------. с а +с а з б > і ± і Ц і ■х+х 1+ х '

6 1 Перетворення раціональних виразів 304. Якому числу при всіх допустимих значеннях а дорівнює значення а -І 1 .і ? виразу а- 1 а А -1 Б 0 В 1 Г а

ВИКОНАИ письмово

РІВЕНЬ А

Виконай дії (305, 306). 305. а)

х+2 5л:+10 2 х -1 15 х +3 9 - х 2

б)

(х-у) О т

х+у

У- 4

2т 2 Л т +5- т

5- т г) 5 +т

1 -х 2

х-у

6- у у -4 :

Зу

а)

а2- 4 а - 2 2 9 - а 2 3 +а 3 - а ’

б) х-

в)

аг - Ь 2 а +1 а +Ь 4 а+4 а - Ь 4

г)

2а 6а - З -+1 2 а- 1 4а2- а

б)

а -Ь аЬ

Спрости вираз (307-311). є \ X у ху 307. а) у X х+у \ / „\ - а в) 1+“ ; 1— ; ЬУ І ь) X (308/'а) ~2 У“

в) 310. а)

а а 1 --а-Ь Ь \ х+ у ^ х - у 2(х2+у2) х - у х+у X2 - у 2

х 3- а 3 х +а 2 2 2 х - а а +ах +х 2 а

^За +1 За - 1^ 12а За +1 у 15а- 5

б)

X У

г)

а-Ь Ча+Ь

Х- т 2 і

а-Ь а

Ґ а2 Ь Л ( Ж ) а) ~ --кЬ «у

г)

■

’

309. а)

х 3т 2 ]

а Ь Ь а

г) Ґ— +~) • — - - 1 , ху У, У; ґ а а 2Л V ь б) “ 2^ Vа

\ ( т +1 т +1 1

х -2 х +3 ’

гН і « со

в)

5х дг+З

X х +у

х+у, д:

а+Ь а-Ь у а^,2- ЬА2 ’

2а л3 а 2- 2ал: +л:2 6а / За4 д: л2 б) 1+ а2+я 2- 2ах б)

Раціональні вирази

Доведи тотожність (312, 313). 312.) а)

(2а +і )2 (2а - і ) +8а

=1;

8с

в)

і;

б)

З - сЛ ґ а2 +1 а а +2 2а -1 2

г)

1 - а 1- Ь А а 1+ 1+Ь 1+а 1- а

(2 с + 1 )2 - ( 2 с - 1 ) 2

(2а~ І )2

( З Ї З ? )а)

1 ;

б)

(2а +і)2- 8а в)

8а2+2

1-Ь.

х +у_ х-у 5х

х +у

ах а.2 - х„2 а„2 ^ ^ а +а +1 а +х а-х

г)

і;

(2а +1)2+(2а - 1)2

Ьх

1. 2’

і; а 3- а2.

Доведи, що значення виразу не залежить від значень змінних, які до нього входять (314, 315). 314,! а)

4 х

х 4

4 -х

в)

2 За

За 2

(315?)а)

2а Ь

8Ь а

4 +х

уа +Ь а3- а Ь 2у

За-2

З а +2

с х +х

; г)

а +Ь-

“а + 1“ЬУ с

\ б)

а - 26 а +2Ь г

С +СХ

а-Ь а2 +аЬ

а +аЬ +Ь2 а - Ь

с-х

в)

1 ■+■ ьг

; б)

х2 1 +— V сА- сх2 с +х

(

а +Ь

.2 .. Л

.. 2 .

у -х

а +2Ь у+х

х -с . а+Ь Ґа ЬЛ 1 —х ; г) —аЬг- УЬ а + Ь - а

Виконай дії (316, 317). 316.) а)

х +у

2у

У~х

г в) (зГГ)а)

2ах ( а - х • +— а +х І^а +л: а)

25+10а а- 1

За +4 4а2-2 5

ґ 2 і.2 ^ ^ - - 2 Ь а и

т-"і

в)

а +х-

У~х 2 2 хг +у

2а-5 і^ Ь,

( Ж ) з наиди значення виразу

б)

ґ 2а х - а Л х 2+а2 -+а +х а х +а

г)

У 2у X х+у

б)

г)

ґ х +у

У+

* +У х-у

п 2х \ . Х + у х-у у -х

ґ а 2+За 9а2- 1

1 За +1

9а +3а а +1

1 а — , якщо а = 2,37. а +1 а

6 1 Перетворення раціональних виразів

319. Знайди значення виразу

х +1 2х 1- х , якщо х = -0 ,2 5 . X х - 1 х 2+1

320. Гіпсі іЬе уаіие о£ іЬе ехргеззіоп

ґ а +х а

х -І^ і а 2х х х 4- а 2

і і а = 2,25, х = 3,5.

м н 1

321. Доведи рівності, які Евклід ( I I I с т . до н. е.) довів геометричним способом для додатних а і Ь. ґ 2 2 2^ \2 ( а +ЬЛ (а +Ь А ( а +Ь Л = (а +Ь\ б) а 2+Ь2 =2 + --------Ь а) аЬ + --------Ь 1 2 ^ 1 2 ) ^ V1 2 ^ 1 2 322.)Установіть відповідність між виразами (1-3) та значеннями цих ° виразів (А-Д) за умови, що х = - 2 , у = 2. •О \ 2 2 А -1 X У .Х + у х - у х+у) х 2 +ху Б -0 ,5 \ 2х - у 2х +у) 4 ху В 0,5 2х +у 2х - У) Г 1 х +2у +х - 2 у л Зх +6ху Д 2 х - 2 у х +2у у х 2 +4ау 2 323.) Задача Ейлера (1707-1783). Доведи тотожність ~з\ ' з / - 2дзл +' ,з 2р 3 -д~ г +Я р 3 + д3 р 3 + д3 \ 324. Доведи, що квадрат суми двох взаємно обернених дробів на 2 більший від суми їх квадратів. 325. Доведи, що при будь-якому натуральному п число 1 >[2 (1 • п +п\\ натуральне. ~ + ) { п п +1^ \ ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

Спрости вираз (326-338).

Леонард Ейлер

Раціональні вирази

2 х-3 у 2х+3у

327.) а)

2ху -+- У 4х - 9 у З у -2 х

б)

а +аЬ -+ча 3+а2Ь +аЬ2+Ь3 а2 +Ь2

328. а)

За +6а +3 а +а а- 1 а2 -1 а +1

а-а

4а а1- 8 а2- 4 а +2 а 3+8 4а2- 8 а +16

а +2 16

б)

4аЬ (329^1а) ~Т~2 2 * Ь -а ЗЗО.) а)

б)

(331?)а)

б)

332. Іа)

X х 2

Л (

+2ха +а 2у

с +2 1 -2 с

2с Зс Зс+1+1 -2 с

ху2- Xі

х 2+у 2

(х -у У

4а +16+16а а-2 2л:-1 я +1

6) 1+

; б)

Зс - 3

с +2

х +а

9с +6с +1 5с2+5с л +- У Ґ - У 4 х-у

а 2а - 4

а2 +4 2а2- 8

а+8 а2+2а

дг +1 я +1 х -х + 1 «Розумова праця на уроках м а те м а тики — це пробний камінь мислення».

В. О. Сухомлинський

,2 Л а +с Зх2 2 а -х 2 а

334. а) -2—2-;

3(с +2)

х 2 Л 2х +■ х 2- а 2у х +а

д:

Ь2 +с2- а 2Л а +Ь +с о ---------- +а . 2Ьс 2аЬс

(333?)а)

б)

-+а а +2аЬ +Ь

( 2 X

х +а

а-Ь

2аЬ а 3- а 2Ь +аЬ2- Ьг

2ас

За

X а 2 +ах +х 2 ^ а +х а 3- х 3

а -х

а +& _Ь а б) а Ь Ь а

т/і т -п (335?)а) т тт - п

я-

т +

б)

У-

хг х -г

Перетворення раціональних виразів

336. а) 1+2+

б) п3 +х

п-

п 1- п

л2 а 4 +с 4

( Ж іа ) 4 ^

п +п

1____1 338. а) а +с х а +с - х

X" 1 Є

б)

Г1 п ка Су

, 2х х 2 1 а +а б)

а с

с а

б) Л

V х +К у х /_

в) А г

а-

1- * а 339. Доведіть, щ о вирази А х і А 2 т о т о ж н о рівні. 'О пг2+п2 1^2 ° о а)Л Алг =-— 2 - '1 1; і -^2 тп пг п (пг-п) У_

\а

х)

[у

а +Ь а +Ь

Х -у}

( х+у

х +у ) х ~ У2

[х-у

1 ------КЬ а - Ь ^» -^2

ху 2

а -аЬ+Ь а 2- ЬгЛ

2а +Ь

3а 2 а -Ь

Доведи тотожність (340, 341). 2 а-Ь 1 ( а Ь) 1 аЬ а +Ь \Ь а Ґ 2 х хи +и 2 У У у +ху +у в) х+у х - у кх - х у

340. а)

г АаЬ +а - Ь а-Ь

2 в) ---- + х - х у -

х-и

'X - х у

х у +у у

Х+у

( Ц І ; а)

ху

2Ь а-Ь

б)

2а +2 +а +1 а- 1

а +1

а +1;

ху.

а +Ь; б)

х+у

+1:

х 2+у2 ху

х +у.

а х +15 дорівнює 8, якщо х = 3. При якому зна а ченні х цей дріб дорівнює 18? 7х +9 343. Подай дріб у вигляді а-\----- 7, де а, Ь — цілі числа. х +1 ЛГ+1' 342. Значення дробу

344. При яких цілих значеннях п число 2п +^. є цілим? п+1

Раціональні вирази

345. При яких натуральних значеннях п число

4п -12п+21 є натуп-З

ральним? ( 346. Доведи, що при будь-якому натуральному значенні п число IIі п2 п 1------ 1— є натуральним. 6 2 3 347. Доведи, що при будь-якому значенні а > 1 число 1 1 2 4 8 -Н--------- + -------- - 4 --------- гН--------- — Є В ІД Є М Н И М . 1 - а 1+а 1+а 1+а 1+а (348. Доведи, що при всіх допустимих значеннях х вираз 18д: 1 Зх +2 ------1--------------- ----------- дорівнює нулю. 27л: +8 Зх+2 9х2- 6 х +4 349. Доведи, що при всіх допустимих значеннях х вираз 1 З З V 2* - 1л хне залежить від значення змінної. х+1 х +1 х а +1 х'г - х +1 350. \Задача китайського вченого Дай Ш у. аЬ Ґ1 1 1л Спрости. — +— +— аЬ ас Ьс а2 -(Ь +с)2 351. )Спрости вираз

1 -а

(1 +ах) -( а +х)

х+ х (І- *)

Знайди значення виразу (352, 353). ґ х у _\ ґ 1 1 , якщо х = 3,7, у = —1,3; 352. іа) - + —- 2 кУ х кУ х у ґ а2 Ь и\ 1 1 а_ б) —2+ — , якщо а = 12, 6 = 8. КЬ2 а у а Ь Ь2 \ \ ху х2 У -+■ У С353^а) , якщо х = 5,6, у = -2 ,4 ; х * - у г 2 у -2 х У У б)

х+ у х-у

х-у х+у

п „ т +4 2 т -6 Знаиди значення виразу — т - 6 т +9 т -1 6 т = 4,25.

(Ж > і

зно

2 , якщо т -4

6 1 Перетворення раціональних виразів

Доведи твердження (355, 356). 355. а) Якщо х

а-Ь то а +Ь

ах +Ь

0 ,5 - х _ (а-Ь)2 аЬ то ~ ~ 2 ТУ ’ а +Ь 0,5 +х (а +Ь)2 *

б) якщо х

х 2- а 2 Ь3 а +2Ь й^ то а +Ь х 2- Ь 2 а 3 Ь+2а

356. Якщо х

357. Виконай підстановку і спрости. а . х-а а) г , де х-Ь

в)

ах а+ х

аЬ а +Ь'

б)

Ьх аЬ , ДЄ X Ь -х а +Ь'

г)

а —+х Ь

де X -

а-Ь а +Ь’

ґ х+2Ь х+ 2ал х 4аЬ -+де х: х -2 Ь х - 2 а 2 а +Ь

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

358. Круг з буквами перекресли двома прямими так, щоб із букв у кожній частині круга можна було б скласти алгебраїчний термін (мал. 7.1). 359. Спрости вираз. а)

+ +(а - Ь ) ( Ь - с ) (с -а )(а -Ь ) ( б -с ) ( с -а ) ’

б)

х У -+ +( х - у ) ( х - г ) (у - х ) ( у - г ) ( г - х ) ( г - у ) ‘

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

360. Обчисли. а іл а) 2

б)

1 3 : Н ) +5 2 4

361. Знайди корені рівняння. а)

х+1 2х 6 т =5;

Зх 2(х-1) 111 б) -—•+—^------ -= ----- , 4 5 10 71

Раціональні вирази

362. Стародавня задача. Один чоловік ви пиває барильце квасу за 14 днів, а із жінкою — за 10 днів. За скільки днів таке барильце квасу випиває одна ж ін ка? 363. На діаграмі (мал. 7.2) вказано кіль кість зошитів, альбомів, блокнотів і ручок, проданих крамницею за тиж день. Відомо, що зошитів продали най більше, альбомів — удвічі менше, ніж блокнотів. Скільки чого було продано?

Мал. 7.2

С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Умію виконувати ариф метичні д ії з раціональними дробам и:

А±В

с~ с А С В' Р

А В

С Р

А-С В -Р

Ап Вп

А -Р В -Р

С-В Р -В

А -Р +С-В В-Р

А с В р

А р В с

АР В-С

Знаю порядок виконання дій. Умію р о зв ’язувати вправи, що передбачають тотожні перетворення раціо нальних виразів.

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр озум іти і до б р е засвоїти нову тему, пригадаємо: — означення рівняння і його властивості; — які рівняння називаю ть рівносильними; — що таке раціональне і др обово-рац іонал ьне рівняння (с. 25); — ум ову рівності д р о б у нулю (с. 26); Якщо

0, то

А- -0, В; о

— основну властивість пропорції. „

а с Ь сі

Якщ о — = —, то

а й Ьс

§8. Раціональні рівняння

КЛЮ ЧОВІ СЛ О ВА

г раціональні рівняння — гаііопаїециаііопз Ти вже знаєш, що рівняння називають раціональним, якщо його ліва і права частини — раціональні вирази. Раціональне рівняння називають дробовим, якщо його права, ліва або права і ліва частини — дробові вирази. 1 1 -2 х _ х +1 х - 3 =------- . Наприклад, ------ = 3, х -----------=2, х +5 х х - 2 х+2 Розв’язуючи ціле рівняння, його найчастіше намагаються заміни ти рівносильним. З дробовими рівняннями це можна зробити тільки в окремих випадках. Здебільшого їх заміняють рівняннями-наслідками. Рівняння називають наслідком даного, якщо всі розв’язки даного рівняння задовольняють утворене рівняння. Рівняння-наслідок задовольняють усі корені даного рівняння, але крім них воно може мати і сторонні корені. Розв’язувати дробові раціональні рівняння можна різними спосо бами. Зокрема: 1) заміняти дане рівняння рівносильним йому рівнянням, ліва час тина якого є дробом, а права — нулем; 2) заміняти дане рівняння цілим, яке є наслідком даного. гт я 1. і Розв яжи рівн • ян н я----------------= 2 х +2 -------10 Приклад —-----х - 2 х +3 (х +3)(х-2) Розв’язання. Перенесемо дріб з правої частини в ліву, змінивши знак перед ним на протилежний, і спростимо одержаний дробовий ви2 х +2 10 р а з :------------------7------ гт------ г= 0, х - 2 х +З (х +3)(х-2) 2(х +3)-(д: +2)(д:-2)-10 - х 2+2х -х(х-2 ) (*+ 3)(*-2) ~ ’ (х+3)(х-2)~ ’ (х+3)(х-2)~ Одержане рівняння рівносильне даному. Дріб дорівнює нулю тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Прирівняємо чисельник до нуля: -х ( х - 2) = 0, якщо х = 0 або х - 2 . Якщо х - 0, то знаменник (х + 3) (х - 2) не дорівнює 0. Отже, х = 0 — корінь даного рівняння. Якщо х = 2, то (х + 3)(х - 2) = 0. Отже, х = 2 не задовольняє дане рівняння. Відповідь, х = 0.

Раціональні вирази

Щоб розв’язати дробове рівняння з використанням рівняння-наслідку, потрібно помножити його обидві частини на спільний знамен ник — цілий вираз. Одержимо ціле рівняння. Треба знайти його корені й випробувати, які з них не задовольняють дане рівняння. Таким чином, перевірка коренів є невід’ємною складовою розв’язання. а+ з ^ Приклад 2. Розв’яжи рівняння ------ +—=1. а- 1 а Розв’язання. Помножимо обидві частини рівняння на а(а - 1) — спільний знаменник дробів. (а +3)-а(а-1) а ( а - 1) , , Г Т ----'+ = д (д -і). а- 1 а а2+3а +а-1 = а2 - а ,

5а =1, а =—=0,2. 5 ^ . 0,2 +3 1 3,2 к . к 1 Перевірка. -------- +-----=-------- 1-5 =-4 +5 =1. 0 ,2 - 1

0,2

- 0,8

Відповідь, х = 0,2. Якщо дробове рівняння має вигляд пропорції або є таким, що його легко подати у вигляді пропорції, то можна скористатися основною влас тивістю пропорції. У цьому випадку також одержують рівняння-наслідок. ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? В ід о м і тобі лінійні рівняння — це о кр е м и й вид раціональних рівнянь. Як пов’язані між со б ою раціональні рівняння, ілю струє малюнок 8.1. Ті раціональні рівняння, які не є цілими, називаю ть дробово-раціональними. Лінійні рівняння Д р об о во -р ац іон ал ьн і рівняння Інші Мал. 8.1 Д р об о во -р ац іон ал ьн и м и буваю ть не тільки рівняння з однією зм інною , а й з двом а, трьом а і більш ою кількістю зм інних та си сте м и таких рівнянь.

Наприклад:

х-1

у+1

Врахуєм о,щ о х - 1 ^ 0 і у + І^ О , тобто х ^ І , г/;*-1.

Д о д а м о ліві й праві частини рівнянь: -— - = 4, або 4 х - 4 = 8, х = 3. х -1 4 Підставивш и це зн ач е н н я х у перш е рівняння, м а т и м е м о :------ =1, з в ід с и у = 3 .

У+1

Відповідь. (3; 3) 74

Раціональні рівняння

8009

ПЕРЕВІР СЕБЕ

П ер е й д и за по си л анн ям Узе.ее/сиЬсі та закріпи матеріал параграф а (Тема. Раціональні вирази та рівняння. Урок 6).

Сформулюй означення рівняння. Я кі рівняння називають раціональними? За якої умови дріб дорівнює нулю? Я к розв’язують рівняння з використанням основної властивості про порції? Сформулюй цю властивість.

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

1 3 Розв яжи рівняння

х+ 3

6( х - 3)

х -3

Розв’язання. І спосіб. Перейдемо до рівносильного рівняння Звідси

х +3 - 6 х -3 0; 6(х-3) 6(х-3)

х +3 6(х-3)

х -3

Це рівняння рівносильне системі

х - 3 =0, х - З ф 0.

Звідси

х= 3, х ф 3.

Отже, рівняння не має коренів. II спосіб. За основною властивістю пропорції: (х + 3)(х - 3) = 6(х - 3); х 2- 9 = 6х - 18; х 2- 6х + 9 = 0; (х - З)2 = 0, звідси х = 3. Але при такому значенні х знаменники дробів, що входять до даного рівняння, дорівнюють 0. Тому це значення х не є коренем рівняння. Відповідь. Рівняння розв’язків не має. Яке число слід додати до членів дробу —, аби одержати дріб, що 5 5 дорівнює Розв’язання. Позначимо шукане число буквою х. Тоді за умовою задачі: ^ +Х =— 18 +6х = 25 + 5 х , звідси х 5 +х 6 „ . 3+7 10 5 Перевірка. ------ =— =—. 5+7 12 6 Відповідь. Шукане число дорівнює 7.

Раціональні вирази ВИКОНАИ УСНО

364. Укаж и , при яких значеннях змінної чисельник дробу дорівнює нулю, при яких — знаменник дорівнює нулю. 2х - 8 _ 16+4у ч 6 х - 18 , 1+За а) б) в) г) X (х+5)’ Зх +15 3 -6 у а(2 - а ) ’ ґ)

У - 25, 4 г/—З

Д)

5х +2 1 6 -х 2

е)

а -2 а +1 2а -1 ’

є)

З у -2 4 +4у+г/2

365. Чи має розв’язки рівняння? а)

х2+ 1

(х +1)"

(х +1) б) Ц - Ч - =0; ' х £+1

„ х -1 Л В) — =0. 1- х

366. Чому не має розв’язків рівняння? а) 367. Розв’яжи рівняння. ч Х-2 а) -------=0; б) ^ = х X

в)

Ґх - Ґ ) 2 к X

X х +2

2 — ; х +2

1 б) х 2+— X

. х2 1 г) — - = — х -1 х -1

368. Знайди корені рівняння А 0; 1

—— = 0. х -1 Б 0; 1; -1 В 0

+1 =0;

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

Г рівняння коренів не має

РІВЕНЬ А

б) 2 х_1 =0; Зх

в)

X 2 =0; х +2

О 5^ = 6; X

д)

Х -2 . х -2

б) - ^ —+2 =0; х +6

в)

со * ї + и о

Розв’яжи рівняння (369—373).

Г) 5- 2Х = 3; X

д)

2х х +3

5х 2+1 „ (З71.)а) ---------=2х; Зх

3^2- 4 = 2х; о б) --------X

г) 2Х +3 3 =0; х -1

ґ) і ^ +6 =0; х+3

х 2-1 в) ------- = 2х; X 4 —Зх 5 =0. д) 1- 2х

(З69.)а) Х +3 - 2 =0; X

(З70.)а)

Н К 1 СЛ 1 м II о

г) Х ~8 -:3; X

г) 3д;- 4 =2; X

Раціональні рівняння

ч 7 х 2+1

г) — 2х

. =4х;

ч А +х 1 (373.) а) :=-; Зх 2

б> ! т г 3;

в>і г і

ч 5 х 2+4

чх 2 + 3 . д)- ^ — =2.

ґ) — „

б)

. Зх2- 4 г) — — -=9х і

ґ)

2л:

=3 х ;

2х

7І --62Хл:

2 С

х +1

- =

х +1

в)

Зх 2+5 = 4;

,х + 5

х -3

9 -4 х 2 Д) ■ —- — -= - л . Зх

х -і

Зл

374. Е Ш И Розв’яжи рівняння ------=0. х -2 Користуючись властивістю пропорції, розв’яжи рівняння (375,376). 1

375. а) — — = -; 2 3 - Зх 2 1 1 х 2+ 4 ~ 4 ’

® а )

б ) — = —---- в) 29

34у-5

2 1 х 2-1 _ 12 ’

0,5

1 4’

_ 5х 1 б) ^7 х - 1 2 =0^,2 ’

_ х +1

З г -1 _ 4

хГ л ~ ~ (Г ’

х+1

5х -1 6 _ х 12х _ 3

1 8 -х 4

. 2 =) х —1

5 х ’

2х 2 + 8 _ 2 х

~ Зг+ 1 ’

6х

~ ~ 3'

377. Установи відповідність між рівняннями (1-3) та кількістю їх ко ренів (А-Д). х 2—9 (лг-З) 2 (х+ 3) х 2- 9 х 2- 9

З —

— =0

х ( х - 9)

378. ШНІММ Розв’яжи рівняння. \ 1 1 а) — =--------------------2х 2 - Зх

А один Б два В три Г безліч тт Д жодного

X 1 б) 1 8 - 2х 4

=—.

379. Яке одне й те саме число треба додати до чисельника і знаменника дробу р р щоб одержати -^?

Раціональні вирази

( 380.1Знаменник даного дробу на 2 більший за чисельник. Якщо його чисельник збільшити в 3 рази, а до знаменника додати 67, то одер жимо —. Знайди даний дріб. 8 381. Чисельник дробу на 5 менший від знаменника. Якщо до чисельника додати 11, а від знаменника відняти 2, то одержимо дріб, обернений до даного. Знайдіть даний дріб. (382. іДля виготовлення українського віночка від атласної стрічки від різали 4 м. Виявилося, що відрізана частина відноситься до решти, як 2 : 7. Якої довжини була стрічка? 1. Познач невідоме за х. 2. Вирази довжину стрічки, що залишилась, через х. 3. Склади рівняння до задачі у вигляді пропорції. 383. Брат старший за сестру на 6 років. По скільки років брату і сестрі, якщо три роки тому їх роки відносились, як 4 : 3? Склади план для розв’язування задачі та розв’яжи її. 1. Познач вік сестри за х. 2. Вирази вік брата через х. 3. Вирази вік кожного з них три роки тому. 4. Склади рівняння до задачі у вигляді пропорції. ( 384. іСума двох чисел дорівнює 50. Якщо більше з них поділити на мен ше, то в частці дістанемо З і в остачі 2. Знайди ці числа. 385. Максимальний вік журавля виражається двоцифровим числом, у якого цифра десятків на 4 більша за цифру одиниць. Якщо це число поділити на суму його цифр, то в частці буде 7 і в остачі 6 . Скільки років може прожити журавель? Розв’яжи рівняння (386, 387). . Зх Зх2-- 5 _. „. 3х +1; 1; 386. а) ---------=Зх х +2 2- х _ 1 ^ Зх2 х +2 ’ .)П_ . 6Х Зх 2-- 4 0 (3 8 7 ?а )— — -=Зх З х - 2; х

6х2+5 6 х 2 + х б) б) ---------■=■ •; Зх+2 Зх+2

. 4 х 2 - х 4л;2- 9 в) --------- =---------- ; 2х+3 2х+3

ч с+1 ґ) ґ)—

ч х 2- 6х +9 . д ) - ? г ^ = 0-

б)

с -5

АХ 2х 2- 63

XX 2х 2+6Х +3х

2х +1

2х + 1

ч. х 2 - 2х в) х +1

х 2- 2 х +1

Раціональні рівняння

РІВЕНЬ Б

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

Знайди корені рівняння (388—391). 12 2 3 _ 2х +4 . 5 - х 388?) а) +—— =—— ; б ) І ^ +1 , 4 ' х - 9 х+3 х - 3 3 -х х+2 . 2х2+8 х - 5 _ ч в ) -----------------2л: =1; х+3

Зх х -4 9 г) —5--------+ —5------=-----------------. х +4х х +3х (х +3)(х +4)

( Ж ) а ) і £ 4 +_ 5 _ = - § _ ; 4 -х 2 +х 2- х

6) Л£ ^ _ £ ± 1 =2; х + 1 х -3

. _ 4х 2-1 _ в) 2 х ---------- =5; 2 х -1

. 2х+2 г)

х 2- х

х 2- 2 х

(х -1 ) ( х - 2 )

( т ) а ) - і — £± 1 =£ ! 4 ; 1+х х - 1 1 - х

б) 1 ± 2 4 £ +. 1 Збх -1 1 -6 х

2 бх +1

_ 2 _____ 5 _ 7 - х 2 _ 1+х х -1 1- х 2’

3 2 1 (х +2)2 + ( х - 2)2

1- 2х 1+2х

_ 2г б) 2г+1

^391?)а)

3 -2 х

1+2х 1 - 2х

16 —; 4х -1

3 +2х

9 -х 2 4х2 - 9

2г+1 1 -2 г

х 2- 4

1 4 2 -1

(х+5)2 ( х - 5 )2 2 5 - х 2

3 9 2 .} Установи відповідність між рівняннями, заданими умовами ( 1 - 3 ) ,

та їх розв’язками (А-Д). і і^ + ^ = -з х 2- 4

о 2+ х х -4

А ' 5

Б 0 або- 2

-2

х +4 _ 0

В -0 ,5 або 0

х+2

Г 2

З х 2+4 х +—5-----=---- — х +2 х - 4 х -2

393. Розв’ яжи рівняння

(394. 8о1ує іЬе ециаііоп

Д рівняння коренів не має

(5+2х)(і +2х)

( І - З 2)2

4 +(5 +2х)2 (і +2х)2 *

( І І + З 2)2

( 1 —З г ) (11 + З 2)"

Раціональні вирази

Розв’яжи рівняння (395, 396). 5 395. а) 4 ' 2 -2 і

5 8 18 ' З і - З

2 +і і - 1’

„ ч6я +5 3/г -7 6-4/г2+30/г -+б)Г+ 4д +3 3-4/г 9 -1 6 п 2

5 6

2+Х' х -4 ’

б)

14 З х -1 2

2 г-1

Зг-1

96 5. 8 -2 х 2+4 4-2 16 397?)Відкрита задача. Заміни праву частину рівнянь 395 а) та 396 а) так, щоб їх коренем було число 0 .

( Ш . а)

398. Яке число слід додати до знаменника дробу —, щоб одержати дріб, З 5 на — менший від даного? 20 ( 399. Яке число слід відняти від знаменника дробу —-, щоб значення 1 12 дробу збільшилося на -— ? 24 Розв’яжи систему рівнянь (400—402). 1 1 3 Г5 2 4 — 2 _- 4„ , 5 +— 4 =51, —+ — - —, •— \— - 2 , —+ — х у 4 х у х У х У б) 400.! а) б) (401?)а) 1 1 іо _ б _ _ і - - - =8; х у х У У 4; * У

402.) а)

х-у

1 х-у

х +у

5 8’

1 х+у

З 8;

-+-

б)

10 -+г - 5 х+2 25 З -+2 -5 х+2

1, 2.

403. Відстань 160 км легковий автомобіль долає на 2 год швидше, ніж автобус. Знайдіть їх швидкості, якщо вони відносяться, як 2 : 1. Доповніть таблицю та розв’яжіть задачу. Легковий автомобіль Автобус

5, км

V, К М / Г О Д

160 160

і , ГОД

(404. Катер пройшов 9 км за течією річки і 5 км проти течії, витративши на весь шлях 2 год. Знайди власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки становить 2 км/год. Доповни таблицю і розв’яжи задачу. 5, км За течією

V, К М / Г О Д

і, го д

х +2

Проти течії

405. Човен пройшов 96 км за течією річки і повернувся назад, витра тивши на весь шлях 20 год. Знайди швидкість течії річки, якщо 80

Раціональні рівняння

власна швидкість човна 10 км/год. Доповни таблицю і розв’яжи задачу. 5, км V, К М / Г О Д 1, год За течією Проти течії

406. Катер пройшов 28 км за течією річки і 25 км — проти течи, ви тративши на весь шлях стільки часу, скільки йому потрібно для проходження 53 км у стоячій воді. Знайди власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки становить 2 км/год. Зроби модель до задачі у вигляді таблиці та розв’яжи задачу. 407. Дві бригади шляховиків, працюючи разом, можуть відремонтува0'°. ти дорогу за 12 днів. За скільки днів виконала б цю саму роботу кожна бригада окремо, якщо відомо, що продуктивність однієї з них у 1,5 рази вища за продуктивність іншої? (40& Під час екологічного заходу «Чисте озеро» дві групи студентів працювали разом над очищенням берегів озера 6 годин. За який час може виконати такий самий обсяг робіт кожна група окремо, якщо відомо, що продуктивність праці першої групи у 1,5 рази вища за продуктивність другої? 409. Сплав міді і цинку вагою 16 кг містить 55% міді. Скільки міді по трібно додати у сплав, щоб одержаний новий сплав містив 60% міді? (410? Є 600 г 20% розчину солі. Скільки солі потрібно додати до розчину, щоб новий розчин містив 25% солі? п і . Басейн наповнюється водою через одну трубу у два рази швидше, ніж через іншу. Якщо відкрити одночасно дві труби, то басейн наповниться водою за 1 год 20 хв. За скільки годин можна напо внити басейн водою через кожну трубу окремо? 412. Два комбайни за 10 год зібрали всю картоплю з поля. Причому комбайн, потужність якого на 25% більша, був змушений через несправність простояти 4 год. За який час може зібрати цей урожай картоплі кожен комбайн, працюючи самостійно? Для кожного значення параметра а розв’яжи рівняння (413, 414). (х-2)(д:-5) х-а х ( х - 6) 413. а) 0; б) 0; в) 0. х-а (я +2)(д; - 4) х-а (414 а)

(* -3 )( * -8 ) х-а

б)

х-а (х-2)(х+ 9)

в)

х ( х - 12) 0. х -а

За яких значень параметра а рівняння має єдиний розв’язок? (415, 416) (дг-7)(л: +1) х ( х - а) х-а 0; 0. 415. а) 0; б) в) х -а х- 6 { х - 1)(д: +3) 81

Раціональні вирази

(416? іа)

(х +2)(х-4) 0; х-а

б)

х-1 0

=0;

в)

х -а (х +6)(х- 7)

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

417. Задача-жарт. Для т а т а з мамою десяток на рік потрібно поросяток, із сином т а т о вісім з’їсть, а мама з сином — тільки шість. За скільки тижнів кожен сам упорався б із поросям? 418. Розв’яжи математичні кросворди, які зображено на малюнках 8.2 і 8.3.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

2 1 419. Я кі з чисел 7, 84, 0, —, 0,5, - 8, 2—, -2 4 , 9 натуральні; 9 З які — цілі; які — раціональні? 420. Доведи, що: а) 1012 +2 ділиться на 3; б) 1 + ІО10 +1011,0 ділиться на 3; в) 101' +8 ділиться на 9; г) ІО 10 - 1ділиться на 9. 421. Спрости вираз. С 2 ( 1 1> а +Ь2 Л '1 1Л (а ь Л а +~ ; б) (а +Ь): —+ -аЬ- —+— 2 а) 2Ь [ь а ) Ь, Vа 7

422. Побудуй графік функції, а) у =3 -2 х ; б) у

6 -х

С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Знаю, що таке рівносильні рівняння і вмію ро зв’язувати рівняння зі змінною в знаменнику, заміню ю чи його рівносильним. Умію переходити від дробового рівняння до цілого рівняння. Знаю , що о б о в ’язково сл ід перевірити, чи задовольнять отримані корені початкове рівняння. Умію розв’язувати рівняння, використовуючи основну властивість пропорції.

Завдання для самостійної роботи

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

ВАРІАН ТІ _

1. Перемнож дроби, а)

2а х 5а х 2

9х и3

— з~; Зха 4ха

х+у

2 2 "----1~‘ х - у * 6у

^ „ ... ч 8аЬ 4аЬ а г - 2 а +1 а Виконаи дії. а)—=-------; б) а -З а З а- 9 а -1 а+1 10 3. Розв’яжи рівняння х-2 х х+2 4 . Спрости вираз, а)

9ах а +х х 2- а 2 6х2

За ; б) 2 х -2 а

п +2 +п

п+1 п. п +2

ВАРІАНТ II

_ т-г ч %ХУ2 9х І. Перемнож дроби, а) — -5---— Зуу3 4у З

.. 5а аг -9 Ь 2 б ) ---------------- ^—. а -З Ь 10 а2

„ „ ... ч 2а 4а2 т +2 т 2- 4 Виконаи ди. а)—^--------■ ; б) ------ ^---------------а -З а а - 3 т т - 4 т +4 з Розв т, ,яжи рівняння-----------=-------. • 9 2 7 •з. X х - 1 х +1 . бас2 а + с За2 **■. Спрости вираз, а) —=— у - ---------------- ; б) а -с 4с 2 а -2 с

а 2а +1

а +1 - а. 2а +1

ВАРІАНТ III

1. Перемнож дроби, а) 2. Виконай дії. а)

За Ь 10аЬ Зху 2х +у ; б) 4х2 +4 ху +у2 ху 5& 6 Ьл

ЗаЬ 6Ь2 „ а +3 а2+6а +9 ; б) 2а аЬ +Ь2 2а +2Ь а2- 9

1 +4 зч. о Розв > яжи рівняння — х х -3 4 . Спрости вираз, а)

8сп2 п +с с2 - п2 4п

х-2 2п2 с-п

(

б)

а +с

2а

а -с

а.

Раціональні вирази ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ

Тестові завдання № 2

2а „ Спрости вираз — : а і знайди його значення, якщо а =-3 . З В 2

Г -2

ґ з \3 а3 Виконай піднесення до степеня ЗЬ2 а ЗЬь

а 9Ь1

^ ; Скільки розв’язків має рівняння А один

9Ь6

а 27Ь

х -3 0? 6-З х В жодного

Г безліч

Б два Зх . (х - 2 ) 2 є дріб: Добутком дробів (х-2) х 2- 4

Зх(х +2) ( х - 2)2

„ б

З х +2

Виконай ділення 1:

а -2 а +2

А а - 2

Б а +2

. 2а А — Ь

2а 2 3Ь

В 2

А - 2^ х +2

^ „ ... 2а За а дії — т -----: —5-. 0 Виконаи ЗЬ2 аЬ Ьг

х(х +2)

х 3 +1 : (х2 - х +1) тотожно дорівнює: х +1 В -1 А 0 Б 1 х - Зх Укажи корені рівняння 0. х 2- 9 А 0 Б З В 0і з Ґа _ 6 Л а - Ь ■ Спрости вираз а / аЬ V Ь

а -2 а+2

а +2 а -2 Г ЗЬ

Вираз

А а +Ь

Б а-Ь

При яких значеннях а рівняння А 5

Б -5

а +Ь аЬ

х а х -5 х -5 В 5 або -5

Г х

Г 3 і -З

аЬ а +Ь 0 не має коренів? Г таких значень а не існує

Типові завдання до тематичного оцінювання

ТИПОВІ ЗАВДАННЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ № 2

Виконай ділення

24аУ :(8 аЬ2). 7т 2 і,4 За 4 Ь 7т 2

192а 41.4 Ь 7т2

Подай у вигляді дробу вираз А — 2*

Зх2 у8 у 6х3

„ 18хь гг.15

8а 27&

х 2у

2*/

2а ЗЬ3

Виконай піднесення до степеня 4а 96

и4 За 4 Ь 7т2

За2 7т2

О Установи відповідність між рів

8а 276®

няннями, заданими умовами (1-3), та кількістю їх коренів (А-Д).

8а° 27 Ье х х- 5 х-2 X'2 4

Знайди значення виразу: х 2- 6 (х-1)2 2х , якщо х = 1,5; х-3 а) х х- 1 За +Ь 2(о±6) + 1 , якщо а =1,5, Ь =- 1—. За +Ь а +Ь а2 - Ь 2 О

Розв’ яжи хрівняння .............

х +7 д:+6 х х+4

А один 0 0

Б два В три Г жодного

х-3

0 Д безліч

8 х +4х

Катер проходить 160 км за течією річки за той самий час, що і 136 км проти течії. Знайди власну швидкість катера, якщо швид кість течії річки дорівнює 2,4 км/год. 2 (х-2 у Доведи тотожність ----- ■ +------- — 1. х +2 х 2- 4 х 2 —4х +4 Додаткове завдання

. а2 +Зах ----------- =0 є 0 При яких значеннях параметра а коренем рівняння 2а число 2?

ВИ К О РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр озум іти і до б р е засвоїти нову тему, пригадаємо: — означення степеня з натуральним показником; — властивості степеня з натуральним показником (ф орзац 1); — квадрати натуральних чисел (ф орзац 4); — степені чисел 2 і 3 (ф орзац 4); — д ії з одночленами.

§ 9. Степені з цілими показниками

КЛЮ ЧОВІ СЛ О ВА

(------------------------------------------------------------------сте п ін ь — рои/ег о сн о в а — Ьазе цілий показник — іпіедег ехропепі Деякі дроби часто записують у вигляді степенів з від’ємними по казниками. Наприклад, замість —, а х

-Дг пишуть а-1, х~2, тгГ°. т

Згадай, як ділять степені з однаковими основами: а т : а п =ат~п. Розглядаючи степені тільки з додатними показниками, наголошують, що остання рівність правильна тільки за умови, що т > п. Знявши це обмеження, приходимо до таких наслідків. 1= а п : а п =а п~п =а 0. Тому й домовилися вважати, що а0 = 1 (коли а Ф 0). 1 : а п = а ° : а п =а°-п = а п. Тому є сенс домовитися, що а~п = ~ . ап Отже, можна розглядати степені з довільними цілими показниками. Коротко зміст цього поняття пояснюється так: п раз

якщо натуральне число п > 1,

а, 1,

якщо п = 1; якщо п = 0 і а Ф 0;

1 —— а "

якщо число п — ціле від ємне і а Ф0 .

. ,

Степені з цілими показниками

Властивості степенів з цілими показниками такі самі, як і степенів з натуральними показниками. Для будь-яких а 0, Ь Ф 0 та цілих т і п виконуються рівності: -* \ „ т

1) а -а_ п =ат + п . ;

г>\

4) (аЬ)п =а пЬп;

£) а ґ

:а~ 71 =а„ т - п .; а\п

о\ ( ~ т\п о) (а І - ат п , ;

а Ьп

Доведемо першу з цих тотожностей (її називають основною власти вістю степенів) для випадку, якщо т і п — цілі від’ємні числа. За цієї умови т = - р і п = -<7, де р, ^ — натуральні числа. Тому ат -а" =а 'р -а' 9 =— •— =— =а {р+я) =а т+п. а р а* а р+СІ Так само можна довести рівність а т -ап =а т+п для випадку, якщо один із показників т і п від’ємний, а другий — додатний або дорівнює 0 . Зверни увагу на степені, в яких основа або показник дорівнюють нулю. Якщо а і п відмінні від нуля, то а = 1 ,0 "= 0. Вираз 0° не має змісту, це не число, як і вираз —. Вирази, що містять степені з цілими показниками, можна перетво рювати двома способами: замінюючи їх дробами або користуючись властивостями степенів. Наприклад, спростимо вираз 9х -3~ х 6. Перший спосіб. 9х~5 -3~2хь = 9-Др-Дрл;6 = х. х З Другий спосіб. 9х~5 ■ 3~2х 6 =З2 -3~2 -х~5 -х6 =32н~2)-х~ь+6 =3°хх =х. ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Зверни увагу на те, як здійсню ється розш ирення поняття степінь. Спочатку тобі були відомі тільки квадрат числа і куб числа. Потім ти д ізн ався/д ізналася про с т е пені чисел і змінних з довільним натуральним показником. Тепер ти ознайомиш ся зі степеням и з довільним и цілими показниками. З го д о м ти д ізн а єш ся також про степені, показники яких — довільні раціональні і навіть нераціональні числа. ПЕРЕВІР СЕБЕ

Щ о таке квадрат числа, куб числа? Сформулюй означення степеня числа з натуральним показником п. О

Щ о розуміють під степенем числа з показником: а) 1; б) 0?

Щ о розуміють під степенем числа з цілим від’ємним показником? Запиши у вигляді формули означення степеня з довільним цілим показником.

Раціональні вирази ВИКОНАЄМ О РАЗОМ !

.Обчисли: а) 100-2 2;

б) 81-(-3)

Розв’язання, а) 1 0 0 ~ =^ ^ = 2 5 ; 2 4

б) 81— — ГН — =1. ( _ 3)4 81

Відповідь, а) 25; б) 1. 1 ^ , Запиши без знаменника вираз — г-. ах Розв’язання. - ? т =2 - і ~ = 2а-1х~2. ах а х Відповідь. 2а Іх 2. {

Спрости вираз ( а -с ) 1-(а-1- с _1). Розв’язання. /( а -с )\- і ■ /а-і - с -і\ =—1 (1 ' / п а— -с а

1^ 1 с —а с а - с ас

ґ а -с Л а -с ас

Відповідь. -•— ас ВИКОНАИ УСНО

423. Об числи. а) 35°; ( - 8)°; ( §

; 1,23°;

4— V Зу

-і б) 2 і; 6 і; Г 1] 9

'з '

; (-5)'1; 0,3 і ; 0.02"1.

424. Я к записати вираз без знаменника? 23 З2 425. Подай у вигляді дробу вираз а ЛЬ гс. а о Ь2с В „ З ї.2 а а о 426. Об числи, а) 31° +2”1;

б) З+З-1;

в) 22+2“2;

427. Подай у вигляді степеня вираз (а3) а н. А аГ23 Б а ~7 В а7

а 3Ь2с г) ( - 1)' Г а6

ас

Степені з цілими показниками

428. Згрупуй степені: а 3; а 2; а х; а; а2; а3 по два так, щоб їх добут ки дорівнювали один одному. 429. і зно Обчисли [ — ІЗ А -9

В -І

Б -І

ВИКОНАИ письмово

Д 9

Г І

РІВЕНЬ А

Заміни степінь з цілим від’ємним показником дробом (430, 431). 430. а) 2"3;

б) 77“ ;

в) Ь~3;

г) (ху)~3;

ґ) ( т - п ) 2.

(Ж) а) З'2;

б) 17~3;

в) с'5;

г) тГ2п 2;

ґ) (а + с)~°.

432. Заміни дріб степенем з цілим від’ємним показником. 1 . 1 а) б) - К г) ґ) 5 аЬ ЗЗ2 т 2+п2 433. Кешгііе іЬе £гасііоп аз а ро\уег луіЙі а пе£аііуе іпіе^ег ехропепі. СІ) с )

;

. 1 е) „з З • а -с

434. Подайте числа: а) 16, 8, 4, 2, 1, —, —, —, — у вигляді степеня з основою 2; 2 4 8 16 б) 125, 25, 1, - , 1 у вигляді степеня з основою 5. 5 ’ 25’ 125’ 625 (435. Подай числа: а) 81, 27, 9, 3, 1, —, —, — , — у вигляді степеня з основою 3; З 9 27 81 б) 1000, 100, 10, 1, — , 1 10 100 з основою 10.

1 1000

1 у вигляді степеня 10000

Обчисли (436, 437). 436 а) 7 і;

б) 3“2;

в) (-2 Г 3;

г)

437. а) 9 і;

б) 7‘2;

в) (-3 У3;

г)

чб,

Ґ) 1І 2,

ЧІЗу

ґ -І л-2 ґ) 1± V Зу 89

Раціональні вирази

438. іЗапиши степені, задані командами в РуїЬюп. а) ргіпі (5**6); б) ргіпі ((-7)**3); в) ргіпі (200**0); г) ргіпі (7**(-4)); ґ) ргіпі ((—2)**—2); д) ргіпі (0.3**-10). Я кі є ще записи степеня в РуЙіоп? Знайди значення виразу (439, 440). 439^ а) 3‘ 4-З2; 7

77 \3,

б) 54 -5“4; -5

(2 > |

-3

;

•

чЗу

(440?)а) 4“5-43; ґ)

ґ3'

в) 0,5”3 0,52;

-6

'3 '

д) і 1] Г1!

;

•

,2 ,

^2,

б) З6 -3“8; 4

;

ҐГ | д) чЗу

г) (-2)

-4

_с

е) з -5- Г1! чЗу

є) і 1)

;

в) 0,7“6 0,76;

г) (-б)-8-(-б)10;

-8

|Т | чЗу

;

-(-2) ;

е) 8-7 •і 1) ,8 ,

;

є)

(ґ\

•5'2.

Спрости вираз (441, 442). 441.) а) а-10 -а8; ґ) а 1 : а °; (442?)а) т ьт і; ґ) а 9 : а 3;

б) х 5-х° ; „1 1

д) а

в) с12 -с-10;

„-1 5 .

З .

:а ;

б) а 12-а0; д)ч а„16 а„-20 .: а -З

г) а3: а 3;

\ / —2 \ 5 / 3 8 -{р ) ; є) (с ) :(с ) -а14 . 12 _5, г) а ‘ : а °; в) р -р ;

е) р

—6

—2 \ —4 .

е) а-4 -(а-3)-2; є) (д:-3)9: (х2)-6-х6.

Подай у вигляді дробу вираз (443, 444). 443. а) Зх“2;

б) а 2с 3;

в) 4а 2х 3;

г) —а2с ьх 3. З

( 444.) а) 5сГ4;

б) т 7/г °;

в) Зх Зу 8;

г) —а 2Ь~гс~ь. 8

Знайди значення виразу (445, 446). 445.] а) 7 14 і; г) Ю :(-5 )”2;

б) -2

-48;

=) н г 3 ф ^зл4

з '" 3

ґ) V

(446.) а) 8-16”1;

б) - 3 - 5 4 ;

в) (-5)

ґ) 100:

Д)

г) 0, 8 : (-0,5)'

: ^

л _ 3

: 0,81.

447. Гра. Один з учнів/одна з учениць записує звичайний дріб, дру0‘ гий / друга записує від’ємний цілий показник степеня, а третій / тре тя має записати дріб, у чисельнику і знаменнику якого будуть степені з натуральним показником.

Степені з цілими показниками

448. Установи відповідність між виразами (1-3) та їх числовими зна ченнями (А-Д). 1 2 і 23

З (2~5)3 • 2° : (25)"2

2 2°: 2

А —

Б — 32

128

В —

г і 4

Д 32

Спрости вираз (449, 450). 449.)а) 6 л:“2с 1,5 л:с “3; г) ( 450.) а)

г)

6х а а ' 36х 6 6х

54 р ХЧ 35 2 У

у “6 3 6 х “ 7

б) 1,6л У 5~ ху; О ґ)

8х 2 2_3 2 16Х

б) 15ас 2: а 2с; ґ)

5 л: гс 9 лгГ)

с'*

в) —а2п 4-8а Зп2; Д)

14с 17 х х -8 7с- 18

в) 3,6х 4ув:ху'°; Д)

г а 2Л {ах , 102* у

Подай степінь у вигляді добутку (451, 452). 451.)а) (0,5дГ3у2) ; г) І ^ гУ~2 (452.)а) [хг 2) ; л2 г) І 1- а % - 2

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

б) (ба2Ь) ;

в) ( -0 ,2 т 2л-4) ;

Ґ) —т 6

д) (-0 ,3 * Зг/)2.

б) (а3!/-2)4;

в) (5а“3Ь) ;

ґ) (-0,1 аЬ)~2;

д) ( - 2т°/г'1) .

РІВЕНЬ Б

Обчисли значення виразу (453—456).

Раціональні вирази

г)

—

б) -7

- г

—

•

(456.) а) 0,00813 0,3“10; «\-2^ г)

г 2 Л“ 9

;

ґ)

(б6)2-36“ >ю ґі —

її і—

З)

в)

0, 87 -0,16~ 0,643 0,4'

в)

9 -27 1005Ю 12

оо

455.]а)0,0642: 0Д63;

6 і — 7 1 17)

* ----------

б)

125 25 -5‘

ґ)

—-4“2 +0,2:5“2

Спрости вираз (457, 458). 457.) а) 0,2*“3-5х 2у3;

б) 3 За хх-81а2х;

в) 0,2с 5х : 5 2с 3х *;

27х~1у2 Бх6 г) 10 9у~

Зл: х 7 у.. - 4 ґ) 4у3г 2 12г 2

ґ х 2у~3 Д) 6г

\2 ( а л6 е) [2а 2х 3| х

'" 1 є) (х^у): V ч2х 2у

( 458.)а) 0,5х~6у2 -4х‘у г)

12х2 14у 9 7у7 Зх~2

е) 4а'с 1

ь -1 . б) 8а Ь 0,25а 5&

ґ)

г ас _ лл_1

16а4Ь6 8Ь6с“6 За'

\ -2

'*У 6 9г

в) 9а6& 2 :(-З а 2Ь 5 Д)

а~3Ь а о

а є)л — 9с

Спрости вираз і знайди його значення (459, 460). 459. а) 8а '5, якщо а = 2; б) 2,2а~нЬ5-5а10Ь~4 при а = - 0 ,2 , Ь = 50; 14а-7 Ь“2 , при а = 1,5, Ь = 45. Ь~3 56а '5 (460. )а) 0,5а °, якщо а = 4, х = 0,5; б) 2, 8х 9у : [ о , 7х 10у ~2 ) при х = 0,125, у = -0 ,2 5 ; в)

ч 21л:15 7х12 Іо 7 Г :І 7 Г

З ПРИ * = 7 ’ " "

П1 з'

461. Доведи, що вираз набуває одного й того самого значення при будьякому цілому п. 52п+і 2”_1 •3"+1 4«+1_ 4 " 2-3" +З”

Степені з цілими показниками

462. Скоротіть дріб (п — ціле число). А п+2 _ 4П лп £Л+1 + ^л+3 3 ” + 1 4"+2 О О а) б) в) 15 26 3~и + 1

Г)

( 463.) Спрости вираз (п — ціле число). . „л 6л л+4 X„ - 2 л + X аЛ3лг.л— о З х У б) в) X X,2 п ..п у +5 ’ а 2пг.п-Ь о ’

6~,! + 6 П

36"+1

г)

а 2п - а~3п а ■2л

г)

Xі +2х 6 + х‘ 2 +х +х~2

г)

х 4+3х5+х 6 х ~4+ЗлГ5+х~{

Спрости вираз (464—469).

Зй)а,

х 2- 2х 1+1 . х7 +х 13 б) — - т — ; в) л:-3 +х3 х 2 -1

(Ж в)£§*

б)

а 2- 4

а 8+а 12

а-2+4а-'+4: В) а‘ 8+а-12

466. іа) (а_1- с -1): — ас

б)

в) ( т 1+п 1|' +[тп 1- п

;

б) (а-3 - Ь~3)~‘ - (а-3 +Ь~3)_1;

в) (а-1+Ь-1)‘ - ( а 1- Ь - 1)‘ ;

г) (р-3+Р3)2- р-в - 2.

, „-ІА-1 Ь~1 Л а^-2 +а о +а~'+Ь~' а 1-Ь~' а~2+Ь~2 1 а— 2- от— 2 а— 1+о . і_ 1 а—

б> а +2 а +2а +1 а +1 а 4 а" - 2 /'„-і 1.-і Л а о 1 а 'Ч г 1 +б) о а

(469?)а)

7 —1

а 3 +х 3

г) (о"2- о 2)2-о " 4+2.

(467.1а) (х-у)~2 (д:2 - у 2)',

468.'а)

а- З - х - з

Ь'1 а

■ь-1’

«Вивчення м атем ати ки , пер ед усім , с п р и я є р о зви тко ві л о гіч н о го м и с лення, вмінню дум ати, аналізувати, а б с тр а гу в а ти , схе м а ти зу в а ти , у з а гальнювати».

Ю. О. Митропольський

—

470. Доведи, що значення виразу а +Ь~ ка +Ь - 2

7 - 2

кЗа у

а уЗЬ;

Л 3(а“1+6- 1) (аЬ)"1

є сталим числом при всіх

допустимих значеннях змінних. Розв’яжи рівняння (471, 472). 471. а) 2х~1-х~1=2; 472.

а) х 1- 4 л: 3 =0;

б) х~2- л:-1 :=0;

в) (2 л: —1)дс 1=х.

б) х 1+х =2.

Раціональні вирази ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

473. На малюнку 9.1 зображено розгортку куба. Перемалюй її у зошит. Напиши на кожній її грані один із виразів а, Ь, с, а-1, б”1, с”1 так, щоб добуток на двох протилежних гранях до рівнював добутку на двох інших протилежних гранях. -2

474. Чи може значення виразу

Мал. 9.1 дорівнювати 0 або 1?

с*-1 Чи може воно бути більшим за 1?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

475. Виконай множення. а) (2х - 3)(у + 1); б) (х - а)(у - Ь); в) ( т + 5)(п - т); г) (6 - а)(2Ь - а). 476. Подай вираз у вигляді добутку трьох множників, а) 16а4- 1; б) 81 - х 12; в) (я2 + ху + у2)2 - х 2у2; г) а 2Ь2 - (а2 + аЬ - Ь2)2. 477. Спрости вираз та знайди його значення. (5а(а-4Ь) +12аЬ)-26 +16аЬ2, якщо а = З, Ь = 1,2. 478. При яких значеннях змінних не має змісту дріб: а)

а +З 2а , ; б) а -5 а 2+2а

С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь М ож у навести приклад степеня з цілим показником. Ф ор м ул ю ю означення степеня з нульовим показником і степеня з цілим ______________________ в ід ’єм н и м показником:

а° =1, а * 0

а п =—п’, а * 0,’ п є N а

М ож у обґрунтувати властивості степеня з цілим показником. Умію розв'язувати вправи, що передбачаю ть перетворення степенів з цілим показником. Умію використовувати формули:

-= к -а п а"

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зу м іти і до б р е за сво їти нову тему, пригадаєм о: — як виконують д ії зі степ ен ям и (властивості степенів) (с. 87); — правила множення і ділення чисел на 10.

КЛЮ ЧОВІ С Л О В А

-с т а н д а р т н и й вигляд ч исла —

зіапсіагсі їогт оїа питЬег/зсіепііїіс поіаііоп Якщо мають справу з дуже великими або дуже малими числами, то такі числа зручно записувати в стандартному вигляді, тобто у вигляді а • 10", де 1 < а < 10 і число п — ціле. Показник степеня п називають порядком числа а • 10". Масу Землі, яка дорівнює 6 000000000000 000 000 000 т, у стан дартному вигляді записують так: 6 • 1021 т. А масу атома Гідрогену 0,0000000000000000000017 г у стандартному вигляді записують так: 1,7 • 10~21 г. Порядок маси Землі дорівнює 21, а маси атома Гідрогену становить —21. Над числами, записаними у стандартному вигляді, математичні дії можна виконувати так само, як їх виконують над одночленами. Але щоб вміти робити це, треба навчитися перетворювати добутки вигляду а • 10" на рівні їм добутки з іншими показниками степенів. Щоб зна чення такого добутку не змінилося, при збільшенні показника степеня п на 1, 2, 3 значення а слід відповідно зменшувати в 10, 100, 1000 разів. І навпаки, зменшуючи л на 1, 2, 3, значення а слід відповідно збіль шувати в 10, 100, 100 разів. Наприклад, 35 • 105 = 3,5 • 106; 0,23 • 108 = 2,3 • 107; 227 • 10' 4 = 2,27 • 10 2; 0,024 • 1014 = 2,4 • 1012. 95

Раціональні вирази

Я к виконувати дії над числами, записаними в стандартному вигляді, покажемо на прикладах. Якщо а = 1,5 • 108, Ь = 2,4 • 10', то: а • Ь = (1,5 •108) • (2,4 • 107) = 1,5 • 2,4 • 108• 107 = 3,6 • 1015; а : Ь = (1,5 •108) : (2,4 • 107) = (15 • 107): (2,4 • 107) = 6,25; а + Ь = 1,5 •108 + 0,24 • 108 = (1,5 + 0,24) • 108 = 1,74 • 108; а - Ь = 1,5 • 108- 0,24 • 108 = (1,5 - 0,24) • 108 = 1,26 • 108. Зверни увагу! Числа, записані у стандартному вигляді, виража ють переважно наближені значення величин. Це пояснюється тим, що у такий спосіб найчастіше записують значення відстаней, площ, мас, об’ємів, швидкостей, температур, які майже завжди є наближеними. Н априклад, маса М ісяця дорівнює 7,35 • 1022 к г, тобто 73 500 000 000 000 000 000 000 кг. Чи є це значення точним? Н і, це набли жене значення. Усі нулі в цьому числі — цифри не точні, а округлені. Значущими є тільки три перші цифри: 7, 3 і 5. А всі нулі поставлено замість невідомих нам точних цифр. Взагалі, якщо значення величин записують у стандартному вигля ді, тобто а • 10", то число а — точне, всі його цифри — значущі. А всі нулі, які одержують від множення а на 10", є результатом округлення. ХОЧЕШ ЗН АТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Як треба розум іти вислів число х більше від у на порядок? Це передбачає, що число х більш е від у приблизно в 10 разів. Наприклад, 2 • 107 і 9 • 107 — числа одного порядку; 2 - Ю 7 більш е за 9 ■106 на порядок, оскільки бо 7 - 6 = 1; 2 - Ю 7 м енш е від 8 - Ю 10 на три порядки, оскільки 1 0 - 7 = 3 .

ПЕРЕВІР СЕБЕ

VЯ

П е р е й д и за п о си л а н н я м Узе.ее/сиЬсі та закріпи м атеріал параграф а (Тема. Раціональні вирази та рівняння. Урок 2).

Щ о таке стандартний вигляд числа?

Наведи приклад числа, записаного в стандартному вигляді. Щ о таке порядок числа?

О Перше число менше від другого у 100 разів. На скільки порядків друге число більше за перше?

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

( „ і Запиши у стандартному вигляді число. " а) 320; б) 0,4; в) 1000 000; г) 0,00000027. Розв’язання, а) 320 = 3,2 • 102; б) 0,4 = 4 • 10 і; в) 1000000 = 1 • 10е; г) 0,00000027 = 2,7 • 10 7.

Стандартний вигляд числа

Знайди добуток, частку, суму, різницю чисел х = 4,5 • 1(Г7 і у = 1,5 • 10Л Розв’язання, ху = (4,5 • 1,5)• 10 7 • 10 *’ =6,75 10 13; х : у = (4,5 : 1,5) • (10~7:10~6) = 3• Ю “7 “ (“6>= З 10 і; х + у = 4,5 • 10 7 + 15 10”7 : 19,5 10 7 = 1,95 • 10 6; х - у = 4,5 • 10 7 - 1,5 10 6 0,45 10 6 - 1,5 10 6 = -1 ,0 5 • 10 ВИКОНАИ УСНО

479. Яке з чисел записано в стандартному вигляді? А 0,35 • 1012 Б 23 • Ю 30 В 32,4 • 108 Г 2,5 • 10 480. Щ Е Я Укажи запис числа 0,351 у стандартному вигляді. А 3,51 • 10 1 Б 3,51 • 10і В 3,51 Ю 2 Г 3,51 Ю 2 Д 3,51 10 Укаж и порядок числа (481, 482). 481. а) 3,27 • 107; б) 5 • 10 8; в)3,07 • 107; г) 108; 5,9 ґ) 6,2 • 10Л 482. а) 300000; 6) 8320 000; в) 0,000008; г) 0,000026. 483. Обчисли, а) 2 • 104 + 3 • 104; б) 5 • 107 - 3 • Ю 7; в) (2 • 107) • (3 • 107); г) (6 • 109) : (З • 109).

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ А

Запиши без показника степеня (484, 485). 484. а) 7 - Ю 5; б) 2,3 • 108; г) 9,83 • 10 п; ґ) 3 • 10 9; (485.) а) 2,7 • 105; б) 3 • 107; г) 9 • 10~8; ґ) 3,5 • 10 12; 486. Запиши у стандартному вигляді число, а) 370 000 000; б) 4 250 000 000; г) 0,000047; ґ) 0,000000365; (487. \¥гііе іЬе питЬег іп зсіепіШ с поіаііоп. а) 290 000 000; Ь) 107000000 000; сі) 0,000000053; е) 0,00000000027;

в) 4,7 ■Ю 10; Д) 7,8 • 10Л в) 3,02 • Ю 10; д) 1,95 • 10Л в) 1002000 000; д) 0,00000000107. с) 130020000 000; £) 0,00000003405.

488. Гра. О д и н і з учасників /одна із учасниць записує десятковий дріб, менший від 0, 01, а другий/друга — записує це число у стандарт ному вигляді. Потім учні/учениці міняються ролями. 489. Запишіть у стандартному вигляді масу: ^ а) Місяця — 73 500 000000 000 000 000 000 т; б) Сонця — 1990000 000000 000 000 000 000 000000 т.

Раціональні вирази

490. Маса Землі дорівнює 5 980 000 000 000 000 000 000000 т, а маса М ісяця — 73 500 000 000 000000000000 т. На скільки тон маса Землі перевищує масу Місяця? 491. На території Києво-Печерської лаври розташовано Музей мікромініатюр знаного в усьому світі укра їнського майстра Миколи Сядристого. Тут експону ються: гілочка троянди, що має товщину 0,05 мм, фігурка чоловічка завтовшки 0,005 мм, найменша у світі книжка «Кобзар» Т. Шевченка розміром 0,6 мм2(товщина букв у середньому 0,0035 мм), най М ікром ініатю ра менший у світі діючий електромотор, об’єм якого М иколи 1/20 ммл. Запиши подані вище числові дані в стан С я д р и сто го дартному вигляді. Подай кожне з них у системі С І. 492. Вирази: а) 2,6 • 10і т у грамах; б) 4,75 • 1012 см у метрах; в) 1,44 • 109 г у тоннах; г) 9,6 • 10 см у кілометрах; ґ) 3,4 • 10 8 т у грамах; Д) 3,2 • 10і м у гектарах. 493. Вирази: а) 2,5 • 10'! м2у см2 і км2; б) 3,7 • 102 м3у см3 і км3. Виконай дії і результати запиши у стандартному вигляді (494, 495). 494. а) 8 • 103 + 4 • 103; б)15 •10 8 - 8 10~8; в) (2 • 107) •ЗО; г)(8 • 10 9) : 400. (495. )а) 7 • 1012 + 6 • 1012; б)17 • 10~5 - 3 • 10~5; в) (5 • 108) •20; г)(6 • 10 8) : 2 0 0 . 496. Знайди добуток чисел 5 • 10і’ і 8 • 109, а також порядок кожного множника та добутку. 497. Знайди квадрат і куб числа, а) 4 • 10 12 б) 1,3 • 10"6. 498. Швидкість світла становить З 10° км/с. Яку відстань світло проходить за: а) 5 с; б) за 1 год? ( 499. Швидкість світла становить 300000 км/с. Яку відстань світло про ходить за: а) 3 с; б) за 20 хв? 500. У таблиці подано маси і радіуси семи планет Сонячної системи. •О О

Планета

т , кг

К, м

М еркурій

3,26 • 1023

2 ,4 2 - 106

Венера

4,88 • 1024

6 , 10- 106

М арс

6,43 • 1023

3 ,3 8 - 106

Ю пітер

1,90 • 1027

7 , 13- 107

Сатурн

5,69 • 1026

6 , 04- 107

Уран

8,69 • 1025

2, 38- 107

Нептун

1,04 ■ 1026

2, 22- 107

Стандартний вигляд числа

За даними таблиці: а) вирази діаметри планет у кілометрах; б) знайди маси планет у тоннах; в) перелічи планети в порядку зростання їх мас; г) обчисли, у скільки разів маса Нептуна більша за масу Меркурія; ґ) порівняй радіуси Урана і Марса. Який із них більший? Обчисли, на скільки метрів; д) порівняй радіуси і маси Урана та Нептуна. Зроби висновок.

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

Виконай дії над числами, записаними в стандартному вигляді (501, 502). 501. а) (2,8 • 105) • (2,5 • 10 7); б) (5,7 • 104) : (3,8 • 10 3); ^ в) 6,2 • 10 2 + 4,8 • 10~2; г) 5,1 • 105 - 2,9 • 106. (502.)а) (5,2 • 109) • (5 • 10 2); б) 8,4 • 106 + 5,6 • 106; в) (9,6 • 10"12) : (3,2 •10~16); г) 9,5 • 10' 4 - 8,6 • 10"5. Знайди суму, різницю, добуток і частку чисел (503, 504). 503.) а) 1,8 • 104 і 6 • 103; б) 8 • 10 5 і 4 • 10Л (504.) а) 6,5 - 107 і 5 * 106; б) 3,2 • 10‘ 5 і 4 • 10 4. 505. Знаючи наближені значення х « З, 7 • 10й і у » 8,5 • Ю 10, обчисли: а) ху; б) х : у; в) х + у; г) х - у. 506. Округли число до десятків і одержаний результат запиши у стан дартному вигляді. а) 1427; 6) 155,678; в) 54,23; г) 4911,2. (507. Округли число до одиниць і одержаний результат запиши у стан дартному вигляді. а) 157,415; б) 8901,5; в) 18,9; г) 315,5. Порівняй числа (508, 509). 508. а) 4,2 • 10е і 3,95 • 106; б) 2,1 • 10‘ 5 і 2 • 10~5; в) 5,8 • 109 і 7,5 • 108; г) 7,3 • 10~7 і 6,4 • 10 6. (509? а) 6,8 • 1013 і 8,8 • 1013; б) 3,7 • 10‘ 8 і 2,7 • 10 8; в) 2,26 • Ю 20 і 8,12 • 1019; г) 4,71 • 10 12і 5 • 10 13. 510. Порядок числа а дорівнює -1 2 . Який порядок числа: а) 1000а;

б) 0, 0001а;

в) а • 1015;

г) ^

(511. Порядок числа а дорівнює 8. Який порядок числа: а) 100а;

б) 0, 000001а;

в) а • 1012;

г) ^ - ?

Раціональні вирази

512. Відомо, що перша космічна швидкість дорівнює 7,9 • 10л м/с, друга — 1,12 • 10і м/с, третя становить 1,667 • 10і м/с. Вирази ці швидкості в кілометрах за секунду і запиши одержані результати числами у стандартному вигляді. 513. Яку відстань у метрах пролетить за 1 год супутник, що має першу космічну швидкість? 514. Маса Юпітера дорівнює 1,90 • 10а' кг, а Землі — 5,98 • 1024 кг. Щ о більше: маса Юпітера чи маса Землі? У скільки разів? На скільки порядків? 515. Густина сталі дорівнює 7,8 • 10'* кг/м *. Знайди масу сталевого листа розміром 1,5 х 8 • 10 і х 2 • 10 ! м. (516? Гу стина алюмінію становить 2,7 • 10 і кг/м'!. Знайдіть масу алюмі нієвого куба, ребро якого дорівнює: а) 0,2 м; б) 10 ! м; в) 2,5 • 10 2 дм. 517. Розглянь таблицю. Числа «ліліпути» і числа «велетні» «Ліліпути»

«Велетні»

0,00000000028 м діам етр молекули води

2 9 9 7 9 2 4 5 8 м /с — ш видкість світла у вакуумі

0,0000000006 м товщ ина плівки м ильної бульбаш ки

696000000 м радіус Сонця

0,00000375 м радіус еритроцита 0,000 0000 0000 0000 0000 017 м г м аса атом а Гідрогену 0,000000000001 с — час існування атом а надважкого Гідрогену

5 1 0 0 8 3 0 0 0 км2 — площ а поверхні Зем лі 384400000 м — відстань від З е м л і до М ісяця 1 4 9 6 0 0 0 0 0 000 м відстань від Зем лі д о Сонця

За даними таблиці: а) запиши наведені значення величин у стандартному вигляді; б) округли значення швидкості світла у вакуумі так, щоб воно мало тільки одну значущу цифру; в) порівняй (приблизно) радіус Сонця і відстань від Землі до Місяця; г) обчисли, на скільки порядків відстань від Землі до Сонця більша за відстань від Землі до Місяця; ґ) обчисли, на скільки порядків діаметр еритроцита більший (чи менший) за діаметр молекули води.

Стандартний вигляд числа

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

518. Швидкість світла V = 3 • 108 м/с. Я ку відстань воно проходить за 1 рік? За скільки секунд світло проходить 10 км? 519. Порядок числа а дорівнює 5, а порядок числа с дорівнює - 6 . Яким може бути порядок значення виразу: а) ас; б) 1000000с + а; в) 0, 0000001а + с? ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

520. Знайди добуток і частку чисел, сума і різниця яких до рівнюють: а) 1,5 і 0,5; б) а і с. 521. Розв’ яжи рівняння. а) |2х-і|= 5; б) |б-*| =2. 522. Подай у вигляді многочлена. а) (хп + І)2; б) (а2т - І)2; в) (ап + а т )2. 523. Біоетанол використовують для створення біопалива. З одного гек тара цукрових буряків урожайністю 60 т/га можна отримати 4,3 т біоетанолу. Якою має бути врожайність буряків, щоб з одного гектара можна було одержати 5 т біоетанолу? С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь М ож у пояснити, що таке стандартний вигляд числа.

а ■10", 1 < а < 10, п — ціле Умію записувати числа в стандартном у вигляді.

273 = 2,73 • 102

0,0003 = 3 ■10 4

Умію р о зв ’язувати вправи, що передбачаю ть запи с числа у стандартном у вигляді. Розумію , що стандартний вигляд числа використовую ть для запи су дуже малих і великих чисел. З м о ж у використовувати ці знання на уроках фізики, хімії, географ ії та під час опрацю вання різних відом остей.

«Алгебру можна розглядати як м ову о со бл и в о ї властивості, якій притаманні певні ід е ї і умовні для їх зобр аж ен ь знаки».

М. В. Остроградський

ВИ К О РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр озум іти і до б р е засвоїти нову тему, пригадаємо: — що таке с и с т е м а координат і координати точки; — що таке функція; — що таке о бласть визначення (2; 3) В ісі з —> 3 і о бласть значень функції; 0 РДІ-інаї 2 — як задаю ть функції; — що таке графік функції; (-3 1) 1 — яку функцію називають: (0; 0) 1 2 3 *Х І - 3 -2 лінійною у =кх +Ь п оча ток В ісь абс;ци к<зор дин ат прям ою пропорційністю у - к х

§11. Функція у

КЛЮЧОВІ С ЛОВ А ґ----------------------------------------------------------------------■о б е р н е н а п р о п о р ц ій н ість — імегзеїу ргорогііопаї Юпсііоп ’ гіп е р бо л а — ґіурегЬоІе

Функція — це відповідність між двома змінними, при якій кож ному значенню однієї змінної відповідає єдине значення другої. Осі координат поділяють координатну площину на чотири координатні кути, їх називають також координат ними чвертями, або квадрантами, і нумерують (мал. 11. 1). Якщо при сталій відстані швидкість руху зменшити у 2 рази, то час руху збільшиться у 2 рази. Таку відповід ність називають оберненою пропорційністю. У загальному випадку при сталій відстані залежність між швидкістю і

у,

І 0

III

Мал. 11.1

часом можна задати формулою і =—.

к Розглянемо у загальному вигляді функцію, задану формулою у =—, х де к — довільне дійсне число, відмінне від нуля; аргумент х може на бувати не тільки додатних, а й від’ємних значень. 0 Розглянемо функцію у - — . Область її визначення — множина всіх чисел, окрім х - 0 (бо на 0 ділити не можна). Складемо таблицю зна чень цієї функції для кількох значень аргументу. 102

Функція У=^

-6

-5

-4

-3

-2

-1

- 1,2

-1,5

-2

-3

-6

—

1,5

1,2

Позначимо на мал. 11.2, а точки, координати яких наведено в та блиці. Коли б на цій самій координатній площині позначили більше 6 точок, координати яких задовольняють рівність у=$—, вони розмісти* лися б, як показано на малюнку 11.2, б. Якщо для кожного значення х , 0 крім х = 0, за формулою у =— обчислити відповідне значення у і нанесл: ти всі точки з одержаними координатами на координатну площину, матимемо графік даної функції (мал. 11.2, в). Таку лінію називають гіперболою. Гіпербола складається з двох віток. 0 Графік функції у =— — гіпербола, симетрична відносно початку координат. Її вітки розміщено в І і III координатних чвертях.

б Мал. 11.2

Якщо таким способом побудувати гра фік функції у =

дістанемо також х гіперболу; тільки її вітки розміщені в II і IV координатних чвертях (мал. 11.3). ^

•

к Графік кожної функції г/=—, де & — л: відмінне від нуля дане число, — це гіпербола. V_________________________________________________1 Якщо к > 0, вітки такої гіперболи розміщено в І і III координатних чвертях, якщо к < 0, — у II і IV.

Мал. 11.3

Раціональні вирази

Вітки гіперболи наближаються до осей координат, але ніколи їх не перетинають. Чому? к Властивості функції у =— для різних значень к можна визначити х за графіками, наведеними, наприклад, на малюнках 11.2, в і 11.3. По дамо їх у вигляді таблиці. Вид функції

Властивості функції

у=~(к> 0)

у =-(к< 0) X

О бласть визначення

Усі числа, крім х= 0

Усі числа, крім х = 0

О бласть значень

Усі числа, крім крім у =0

х <0 х >0

Проміжки спадання

х >0 х <0 х <0 і х > 0

Проміжки зростання

—

х <0 і х >0

Д одатні значення В ід ’єм н і значення

—

Використовуючи степінь з від’ємним показником, функцію у - — х можна записати так: у - кх~х. Іноді ї ї записують і у вигляді: у х - к . Приклад. Чи є оберненою пропорційністю залежність, задана • • к лл к^со рівністю: а)л у - т— б) у =— И

Відповідь, а) Ні; б) ні. ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Функцію, задану ф ормулою у =—, часто

називаю ть оберненою пропорційністю (на відм іну від ф ункції у = кх, яку називаю ть прямою пропорційністю). Раніш е о б е р н е ною пропорційністю ти на зи вав /н а зи в ал а відповідність, при якій зі збільш енням о д нієї зм ін н о ї в кілька разів значення д р у го ї зм енш увалися в стільки са м о разів. Так бу ває тільки у випадку, коли к і х — додатні

к число к у =— х в ід ’ є м н е , то зі зб іл ь ш е н н я м зн а ч е н ь х у кілька разів значення у також збільшуються ч и сл а .

Я кщ о у ф ун к ц ії

у стільки са м о разів. Це видно з м а л . 11.4.

104

Функція

ОЬ ^ ПЕРЕВІР СЕБЕ

П ер е й д и за по си л анн ям Узе.ее/сиЬсІ та закріпи матеріал параграф а (Тема. Раціональні вирази та рівняння. Урок 3).

Щ о називають областю визначення функції? Яка область визначен ня функції у ——, кФ 0 ? Щ о називають областю значень функції? Я ка область значень функції у =—, кФ 0? Я к називають фігуру, яка є графіком оберненої пропорційності? яких чвертях розміщений графік функції у =—, якщо: X а) к > 0; б) к < 0? У

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

О Функцію задано формулою у - —. Знайди значення к, якщо графік функції проходить через точку А(5; 2). Розв’язання. Підставимо значення х = 5 і у = 2 у формулу, якою за дано функцію. Одержимо 2 =—. 5 Отже, к = 10.

У-

0 Розв’яжи графічно рівняння х +2 - —.0 Розв’язання. Побудуємо в одній системі координат графіки ф ункцій у=х+2

2 -

' і і.0

. ;2 і

1 X

/ І N

і у - — (мал. 11.5). Мал. 11.5 д; Ц і графіки перетинаються в точках Р і <3, абсциси яких дорівнюють 1 і - 3 . Перевіряємо, чи це точне значення, чи наближене: 1+2 =- , 3 =3. -3 +2 =— , 1 -З Відповідь. х 1=1, х2 =-3 .

ВИКОНАИ УСНО

524. Я кі із заданих функцій є прямою пропорційністю? 2 А у = 2х Б у - - —х В г/ = 2 Г у = 3 х -1 105

Раціональні вирази

525. Я кі із заданих функцій є оберненою пропорційністю? А у =— Б у =— В у=3х~1 Г у =-3 х х '6 526. Чи правильно, що при рівномірному русі час, який витрачає поїзд на проїзд 10 км, обернено пропорційний швидкості? 527. Укаж и область визначення функції. , 5 \ 1 \ х —3 а) У б) у =— 2; в) у =—— -; г) ух - 2'

х 2- 4

х 2- 9

528. У яких чвертях координатної площини розміщений графік функції? -V у =—8 ; а)V у =12 —; б) в)V у = х -1 . X X 529. Чи перетинає графік функції у - — вісь абсцис; вісь ординат?

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ А

530. іСторони прямокутника дорівнюють х і у, а площа 60 см2. Вирази формулою залежність у від х. (531. Відстань 6 км між двома містечками велосипедистка подолала за 2 год. Як зміниться час перебування в дорозі цієї велосипедистки, якщо її швидкість: а) збільшити вдвічі; б) зменшити вдвічі? Вирази формулою залежність о від і. 532. Відомо, що сила струму І в провіднику пропорційна напрузі на кінцях провідника V і обернено пропорційна його опору К. Запиши цю залежність формулою. 16

533. Функцію задано формулою у - — . Заповни таблицю. х X У

-32

-2 -1

-0,5

8 16

( 534. Функцію задано формулою у =—. Заповни таблицю. л; X 1 4 2 32 8 16 У 535.!Склади таблицю значень функції у -

для цілих значень х,

якщо -6 < х < 6. ( 536.] Склади таблицю значень функції у =— для натуральних значень х х , менших від 13. Запиши кілька пропорцій із чисел цієї таблиці.

Функція

20 53 7. Функцію задано формулою у =— Знайди: л: а) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює - 100; - 10;

ОД; 2; б) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює -1 0 ; -2 0 ; 2; 40; 100. (Ні вГ)ТЬе і п у є г з є ргорогііопаїііу із £ і у є п Ьу ІЬе іогшиїа у = - — . Гіпсі: X a) іЬе уаіие оГ іЬе £ипсііоп і£ Ніе уаіие о£ іЬе аг§итепі із - 1000; - 100; 0,1; 0,02; 50; b ) іЬ.е уаіие о£ Ше аг^ и т еп і \у Ь єп Ніе уаіие о£ Ше £ипсііоп із -100; -4 0 ; 2; 100; 200. 539. На малюнку 11.6 побудовано графік оберненої пропорційності, заданої 4 формулою у - , - —. Знайди за графіх ком: а) значення функції, якщо значен ня аргументу дорівнює -4 ; -1 ; 2; 4; б) значення аргументу, при яко му значення ф ун кції дорів нює -4 ; -2 ; 1. ( 540. Побудуй графік

ф ункції

у = —-

х Користуючись графіком, знайди: а) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює - 6; -3 ; 1; 2; б) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює - 2 ; - 1; 3 . 541. Я кі з точок А ( -8; 1), £(16; 0,5), £>(2; -4 ), £ (-3 2 ; 0,25), £(80; 0,1), С£>

£ (-0 ,0 8 ; 1000) належать графіку функції у - — ? х 24 1542. Чи проходить графік функції у - — через точки А ( - 6; -4 ), д; £(-12; 2), С(8; 3), £ ( -0 ,4 ; 60), £ ( -0 ,8 ; -ЗО)? Побудуй графік функції (543, 544). 543. і а) У

б) у = — ; X

В) У

9 X

Г) у - — • X

107

Раціональні вирази

V 4 «б) у =- — 12 ; в) У =—\ г) У =— • х X х Зі Знайди область визначення функції (545, 546). 0,5 3 5 г) у =~ - 2. 545. )а) у ; б) у = в) у =-----х х +І х-5 X 8 . . 1 6 . 1 (546.)а) у =~; б) у =- ^ - ; в) у =— г) у = 2 - —. х х+4 х-2 х 547. Гра. Один з учнів/одна з учениць записує формулу оберненої про^51 порційності, а інший/ інша має знайти її область визначення. Потім поміняйтеся ролями.

( 544.) а) у =—;

548. При якому значенні к графік функції у =— проходить через точку: °-о а) А(1; 1);

б) В ( -2; 3);

в) С( 1; -3)?

(549. При якому значенні к графік функції у - — проходить через точку: а) А( 1; 3); б) В ( - 3; 5); в) С(4; -2)? 550. Графік якої функції зображено на малюнках 11.7 та 11.8?

-А - 3 - 2 -1 0

Мал. 11.8 551.1Три трактори мають зорати поле за 48 год. За скільки годин зорють це поле чотири таких самих трактори? (552. Двоє робітників виконують деяке замовлення за 12 днів. За скільки днів виконають це замовлення троє робітників, якщо продуктив ність праці не зміниться?

Функція

ВИКОНАЙ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

553. На малюнку 11.9 зображено графік залежності часу, ви траченого на шлях з пункту А в пункт Б , від швидкості руху. Яка відстань між А і Б ? Скіль ки часу потрібно, щоб прибути зА до В, рухаючись зі швидкістю 6 км/год; ЗО км/год; 60 км/год? З якою швидкістю треба руха тися, щоб дістатися з А до Б за 1 год; 5 год; 10 год? 554. Запиши формулою залежність тиску сталої сили Р на площу поверхні Чи є ця залежність Мал. 11.9 оберненою пропорційністю? 555. Зі збільшенням висоти над рівнем моря зменшуР ються атмосферний тиск і температура повітря. Чи кожна з цих залежностей є оберненою пропор ційністю? Спробуй знайти і записати відповідні формули. 556. Мідний і алюмінієвий бруски мають однакову масу. Який із них має більший об’єм і в скільки разів? Густина міді — 8,6 г/см'!, алюмінію — 2,6 г/см3. 557. Побудуй в одній системі координат графіки функцій у =— і у - 5 - х. X За допомогою цих графіків назви корені рівняння ~=5 - х . X Розв’яжи графічно рівняння (558, 559). 558. а) —=2х; X

б) — =х - 4; X

в)

=х - 4.

а) —=х+1; б) - —=х - 6; в) — X X X Розв’яжи графічно систему рівнянь (560, 561). 560.) а) \ХУ- 2’ [у =- х - 1 ;

б) | ЗД =6’ [х+у =5.

ху =4, (561.) а) \ ХУ ’ 4------; , \у= х+ 3;

б)

\ху = 6, р 6*.

т 109

Раціональні вирази

562. Графік функції у =— проходить через точку А(2; 1). Чи проходить *

він через точку: Б( 1; 2), С ( -2; -1 ), К ( - 1; -2)? Узагальни задачу. •О к ( 563.' Графік функції у =— проходить через точку А (-3 ; 3). X Покажи, що він проходить і через точку Б(3; -3). •О

к При яких значеннях к і Ь гіпербола у =— і пряма у = кх + Ь проX ходять через точку (564, 565): (564.) а) К(3; 4); б) Ц 4 ; 6)? б) N(2; - 2)? (565.)а) М ( - 1; - 8); Побудуй графік функції (566, 567). о а Ь. 566. а) У =у-Л б) У =г~г «М атем атику не мож на вчити, с п о \х\

стерігаю чи, як це робить сусід».

(567.) а) г/=Д ;

А. Нівен

б) у-~у~у

\х\

Знайди область визначення функції і побудуй її графік (568, 569). 32 _ 16+ 7х З 568.) а) У «>» х2 х 2+ 4х х+ 4 ( 2 - х)2-(2 + х)2 (569?)а) У

48 (лг-і)* - ( х +1)2

6) V ' ~

Зд:(д: +2) -З д:2-1 8 * (* -3 )

Побудуй графік функції, заданої формулою (570, 571). -х -4 ,

х < -6 ,

12 х

6 < х< -2 ,

570.) а) У б,

(етГіа) У :

110

X б) У

х>2;

б) У

х <—2, - 2 <х <2,

<4,

х> -2 ;

6 х<-2, X 1,5х, -2 < х < 2 , 6 х

Г 8

х> 2.

-х -3 , х< -5 , 10 -5 < х< 0 , > X 10 0 < х < 5, > X х -3 , х >5.

Функція

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

572. Побудуй графік функції у = —у . Перевір розв’язок за □ * допомогою Безшоз Саісиїаіог. { осу —6

має:

у = ах+ 2 а) один розв’язок; б) два розв’язки; в) не має жодного розв’язку. ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

574. Обчисли і порівняй: а) суму кубів чисел 3 і 2 та куб їх суми; б) різницю кубів чисел 5 і 2 та куб їх різниці. 575. Спрости вираз і знайди його значення. а) -4 х ( х 2- х -3 ) +2х^2х2+ х -б ), якщо х = -3 ; б) За(4а2-З а ) -б ( 4 +2аІІ)-5 а (2 -5 а ), якщо а =—. 2

576. Знайди середнє арифметичне чисел 2, 4 і х. С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь

Знаю , щ о граф іком ф ункції у =— (к* 0) є гіпербола, сим етрична

відносно початку координат і розташ ована: у І і III координатних чвертях, якщ о к >0; у II і IV координатних чвертях, якщ о к <0.

Умію будувати графік ф ункції у= — (к* 0). Умію знаходити область визначення ф ункції у =~ (£ * 0 ).

X к Умію описувати властивості ф ункції у =— (к* 0) за графіком. х к Розумію , чому функцію у =—(к* 0) називаю ть оберненою х пропорційністю .

Перейди за посиланнями та • підсумуй головне в розділі 1гМрз://узе.ее/сгасі • ознайомся з історичними відомостями 1ііір5://у8е.ее/сга1;

111

Раціональні вирази

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ ВАРІАНТ І

Обчисли 2

Запиши число у стандартному вигляді та вкажи порядок числа, а) 48 000 000 000; б) 0,00000021. Знайди значення виразу, а) 5 ‘ -5 ; б)

З2 -9“6 ^ _3 .

Розв’яжи графічно рівняння —= х -3 . X В А Р ІА Н ТІ!

Обчисли 2

г 8 Л° ( і ^-2 +

Запиши число у стандартному вигляді та вкажи порядок числа, а) 390000000; б) 0,0000000042. Знайди значення виразу, а) 7 8 :7 6; б)

4“4 -64”2 16'

0 Розв’яжи графічно рівняння —=9 - х. X ВАРІАНТ

Обчисли

•(0,245)°+4‘ 2.

Запиши число у стандартному вигляді та вкажи порядок числа, а) 71000 000 000 000; б) 0,000000043. 26.4_5 Знайди значення виразу, а) б”13-б15; б) --------- . 16 Розв’яжи графічно рівняння

=х - 8 .

Готуємося до тематичного оцінювання

ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ

Тестові завдання № З

Дріб — можна записати у вигляді: 16 В 2 А 24 Б 26

Г 2

Значення виразу (3,75 - 5,75) 2 дорівнює: А 4 Б -4 В 0,5

Г 0,25

Подай у вигляді дробу вираз 4а~2с~г. 4а 2с3 О

а2с3

ас

а“2с“3

Порядок числа 3,07-105дорівнює: АЗ

Б 10

В 7

Яке з чисел записане в стандартному вигляді? А 255 • 102 Б 0,1 • 105 В 3,5 • 1021 ^ 2 Скільки коренів А один

Г 5 Г 35 700

має рівняння х~г - 0? Б два

В жодного

Вираз а~1+Ь~1 тотожно дорівнює виразу: а +Ь В А а +Ь Б -а - Ь аЬ

Г безліч

аЬ а +Ь

Подай вираз (а 5) 3 -а 17 :а 8 у вигляді степеня. А а О

Б а

В а

Г а

Графіком якої з функцій є гіпербола? А у =5

Б у = 5х

В у =х

Графік функції у =— проходить через точку: д: А (0; 2) Б (1; 2) В (2; 2)

Г у= * 5

Г (3; 2)

113

Раціональні вирази ТИПОВІ ЗАВДАННЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ № В

Спрости вираз А 9а8

:а Б -а 3 9

Обчисли значення виразу Б 1— 36

А 37

В 9а

Г —а-7 9

В 1— 36

її б,

0,00000000028 м — діаметр молекули води. Знайди радіус цієї мо лекули. Відповідь подай у стандартному вигляді. А 14 • 109 м Б 14 • 10 11 м В 1,4 • 10 10 м Г 0,14 • 10 9 м

О Установи відповідність між функцією, заданою умовами (1-3), та точкою (А -Д ), через яку проходить графік цієї функції. ґ -------------------------------------------------------------------------------2 у= — X А (1; 5)

Б (-2; -1)

В ( - 6; 1)

з у Л X Г (-2; 2,5)

—

Д (-1; - 6) —

Швидкість світла становить 3 • 10° км/с. Яку відстань світло про ходить за: а) 7 с; б) 5 хв?

О Знайди значення виразу. а) в)

З5-З-3 5° ’ (і

чЗ

б)

•16' 8 -10

-А

-2 •Г 5 ]

1.12]

1 16^

г) 2,8 -Ю-12-4,5-Ю 7.

Розв’яжи графічно рівняння —=6х. X Доведи , що для всіх допустимих значень змінних значення виразу а Ь~1 Ь-1 -+ є сталим. -2 7-2 а а-1 +Ь_1 а -Ь Додаткове завдання

Порядок числа а дорівнює - 9 . Який порядок числа: а) 10000000а; б) 0, 001а? 114

Р а ц іо н а л ь н і числ а, з я к и м и ти о з н а й о м и в с я / о з н а й о м и л а с я в п о п е р е д н іх к л а с а х , — це т іл ь к и н е з н а ч н а ч а с т и н а м н о ж и н и чисел. На ч и с л о в ій п р я м ій к р ім ч и се л р а ц іо н а л ь н и х є щ е б іл ь ш е н е р а ц іо н а л ь н и х чисел . Без з а с в о є н н я і ц и х чисел , б е з у м ін н я в и к о н у в а т и д ії з н и м и н е м о ж л и в о д а л і в и в ч а т и м а т е м а т и к у та ін ш і п р и к л а д н і н а у к и .

Функція у = X і

§12 Рипсііоп у =х

Квадратні корені

§13 Здиаге В о о їз

§15

Квадратний корінь із добутку, дробу, степеня Ргасііоп, Оедгее, ОегК/аІіуе Здиаге В о о і

Перетворення виразів з коренями

§16 Ехр геззіопз \ / ! Васіісаіз л і іі

Т га п зїо гт а їіо п

множини §14 Числові М и тегісаІ 8е1з

Функція У = у[х

§17 Рипсііоп у =у[х

У ц ь о м у розділі т и д із н а є ш с я про: ф у н к ц ії у - х 1 і у=у[х та їх в л а ст и в о сті; к в а д р а т н і к о р е н і та їх в л а ст и в о сті; п е р е т в о р е н н я в и р а з ів з к о р е н я м и .

ВИ К О РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і д о б р е засвоїти нову тему, пригадаєм о: — що таке функція (с. 102); — що таке об л асть визначення і область значень ф ункції (с. 102); — як скл ад аю ть таблицю значень ф ункції (с. 103); — як будують графік ф ун кц ії (с. 103); — як за граф іком визначають властивості функції; — як р о зв ’язую ть рівняння графічно.

§12. Функція у = х 2 V

-У КЛЮ ЧОВІ СЛ О В А "к в а д р а т и ч н а ф ункція —циабгаїіс Іипсііоп ■' п а ра б о л а —рагаЬоІа

Розглянемо функцію, задану формулою у = х г. Область її визначен ня — множина всіх чисел. Складемо таблицю значень функції для деяких значень аргументу х: X

-3

-2 ,5

-2

-1 ,5

-1

1,5

2,5

6,25

2,25

6,25

Позначимо точки (мал. 12.1, а), координати яких подано в цій та блиці. Якщо на координатній площині позначити більше точок з коор динатами х і у, що задовольняють формулу у = х 2, вони розмістились би так, як показано на малюнку 12. 1, б.

б в Мал. 12.1 Якщо для кожного значення х за формулою у = х2 обчислити відпо відне значення у і позначити точки з такими координатами на коорди116

Функція у =х2

натній площині, одержимо неперервну криву лінію, яку називають параболою (мал. 12.1, в). Парабола має дві нескінченні вітки, що плавно сходяться в одній точці — вершині параболи. Для функції у = х 2 вершиною параболи є точка (0; 0). Тобто графік функції у = х2 проходить через початок координат. Оскільки протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції, то її графік симетричний відносно осі у. Побудований графік дає змогу наочно виявити властивості функції У = х 2. Властивості функції у = х 1 О б л асть визначення

Усі числа

О бласть значень

Усі невід’єм ні числа (у >0)

Д одатні значення

х^О

В ід ’єм н і значення

—

Проміжки спадання

х< 0 х >0

Проміжки зростання

З кривими у вигляді парабол мають справу фізики, астрономи, архі тектори та інші фахівці. Графічне зображення траєкторії струменя води або кинутого (не вертикально) предмета — це параболи (мал. 12.2), арки мостів і споруд часто мають форму парабол. У багатьох прожекторів і різ них приймачів радіохвиль осьові перерізи також мають параболічну форму.

б Мал. 12.2

Графіки функцій дають змогу розв’язувати рівняння, які іншими способами розв’язувати або надто важко, або й взагалі не можливо. Скільки розв’язків має рівняння х г= 4? Пря ма, рівняння якої у = 4, перетинає графік функ ції у = х 2 у двох точках (мал. 12.3). їх абсциси х = 2 і х = -2 — розв’язки рівняння. А скільки розв’язків має рівняння х г = 2? Спробуй дати відповідь на це запитання само стійно.

і 2 г х Мал. 12.3

117

Квадратні корені і дійсні числа ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Ф ун кц ія у = х 2 — н а й п р о стіш а із квадратичних функцій. Приклади інш их квадратичних функцій:

у = х2+ 1, у = х2- 3, у= - х 2. Кожне значення функції у =х2+ 1 на одиницю біль ше за відповідне значення ф ункції у =х2. Том у графік ф ункції — така с а м а парабола, тільки зм іщ ен а вгору на 1 одиницю (мал. 12.4). Сп робуй побудувати графіки функцій:

У =х2- 1, у= -х 2, у= 2х2.

ПЕРЕВІР СЕБЕ

П ерейди за посиланням узе.ее/сиЬсі та закріпи матеріал параграф а (Тема. Н айпростіш і функції. Урок 2).

Як називають лінію, що є графіком функції у = х2(? Яка область визначення та область значень функції у = X2? Чи проходить графік функції у - хг через початок координат?

О На яких проміжках функція у = х 2 зростає, на яких — спадає? ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

Побудуй графік залежності площі квадрата 5 від до вжини його сторони а. Розв’язання. Якщо сторона квадрата а , то його площа 8 = а2. Це та сама функція у = х 2, тільки позначена буквами а і 5. Тому такими самими буквами слід позначити і координатні осі. Оскільки довжина сторони квадрата може набувати тільки додатних значень, то область визначення розглядуваної функції — множина додатних чисел. Її графік — на малюнку 12.5. Розв’яжи графічно рівняння х 2 + 2х - 3 = 0. Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді х 2 = 3 - 2х. В одній системі координат побудуємо графіки функцій у = х 2 і у = 3 - 2х (мал. 12.6). Пере тинаються вони в точках, абсциси яких дорів нюють (можливо, наближено) 1 і -3 . Перевірка переконує, що це — точні корені. Відповідь. х х = 1, х 2 = -3 . Мал. 12.6

Функція і

ВИКОНАИ УСНО

577. При яких значеннях аргументу значення функції у = х 2 дорівнює 0,16? А 0,4 Б 0,8 В 0,4 і -0 ,4 Г 0,8 і -0 ,8 578. Знайди значення функції у = х 2, якщо х = -0 ,2 . А 0,4 Б -0 ,4 В -0 ,0 4 Г 0,04 579. Чи при всіх відповідних значеннях аргументу значення функцій у = х 2 і у = (-х ) г рівні? А у = х г і у = - х г1 Чим різняться графіки цих функцій? 580. Чи може функція у = х г набувати від’ємних значень? 581. Як називають криві лінії, що є графіками функцій у = х 2 і у = х 1?

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ А

582. Заповни таблицю для функції у = х 2 ж

-5

-4 ,5

-3

-1 ,5

-1

0,5

2,5

3,5

У 583^ Користуючись графіком ф ункції у х (мал. 12.7), знайди: 7 І а) значення функції, якщо значення аргумен Я и ту дорівнює: - 2; 0; 1; 5 ; б) значення аргументу, при якому значення л 4: функції дорівнює: 4; 0; 1; І 3 в) цілі значення аргументу, при яких значен 2, / ня функції — цілі числа, не більші за 7. 584. Гра. За графіком (мал. 12.7) один із учасни-3 -2 0 12 3 * ^51 ків /одна із учасниць називає значення аргу Мал. 12.7 менту, а інший / інша — відповідне значення функції. Потім учасники / учасниці міняються ролями. (585.) Користуючись графіком функції у = х 2, зображеним на малюнку 12.7, знайди: а) значення функції, якщо значення х дорівнює: -1 ; 2. б) значення х , при яких значення у дорівнює: 1; 0; 4; в) цілі значення х , при яких значення функції менші від 5. 586. Функцію задано формулою у = х 2. Знайди: а) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: 5; - 8; 0,9; -2 ,6 ; б) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 3600; 81; 1,69; 0,04.

Квадратні корені і дійсні числа

( 587. Функцію задано формулою у = х 2. Знайди: а) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 4; - 6;

1,7; -0,8; б) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 8100; 25; 1,44; 0,09. 588. Чи проходить графік функції у - х 1 через точки: ■о ' 1 Л Л ° 0 А(5; 25); £ (-1 ,1 ; 1,21); С(5; -25); Е 1—; 2 2 4 (589. Я кі з точок належать графіку функції у = х 2? 4Л А(0,1; 0,01); В(0,2; 0,4); С(-10; 100); 9 590.1 Заповни таблицю. X -X 2

-3

-2

-1

Побудуй графік функції у = - х 2. У скількох точках перетинаються графіки функцій (591, 592)? 591. іа) у = х 2 і у = х + 2; б) у = х 2 і у = 2х. (592.)а) у = х 2 і у = 4х - 3; б) у = х 2 і у = -Здг. 593. Чи має розв’язки рівняння? Ч4 2 а)\ х 2 - —^ х 1- 1 ; б) х 2= х - 3; в) —=х . З X Розв’яжи графічним способом рівняння (594, 595). 594. а) х2 = х + 2;

б) х2 2 - Зх + 2 = 0;

в) — х 2 =0 . х

(595.)а) х 2= х + 6;

б) х 2 + 2х - 3 = 0;

в) х 2 =—.

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ Б

596. Розглянь картину «Ірина Володарівна» художниР ка Артура Орльонова. Виміряй довжини сторін зображення картини. У скільки разів довжина більша за ширину? Познач ширину за х , а до вжину вирази через х. Запиши формулою, як залежить площа зображення від його меншої сторони. Дізнайся більше про Ірину Володарівну та Артура Орльонова. 597. )Задай формулою функцію, яка виражає залеж ність площі квадратної плитки від її периметра. 120

Функція у =х2

598. Як залежить площа 5 прямокутного рівнобедреного трикутника від довжини його катета а? Заповни таблицю. а 8

599. Установи графічно, при яких значеннях аргументу функції у = х 2 і у = 2х + 3 набувають рівних значень. (600 Установи графічно, при яких значеннях аргументу функції у = х 2 і у = 6 - х набувають рівних значень. 601. Дано графік функції у = х 2. Чи перетинає графік пряма? і^а)у=1; б) г/ = —1; в) у =9; г) у = -9 ; ґ) у — 100; д) у =-100. Якщо перетинає, то в якій точці? (602. Дано графік функції у = - х 2. Чи перетинає графік пряма? а) у = 1; б) у = -1 ; в) у =4; г) у = -4 ; ґ) у = 81; д) у =-8 1 . Якщо перетинає, то в якій точці? 603. Порівняй значення функції у = х \ якщо: а) х = -2 ,1 і х = 1,3; б) х = -2 ,1 і х = 2,1; в) х =-2 ,1 і х = 2,3. (604. Сотраге іЬе уаіиез о£ іЬе Гипсііоп у = х 2, і£: а) х = -3 ,2 і х = 0,7; Ь) х = -3 ,2 і х = 3,2; с) х = -3 ,2 і х = 3,5. 605. При яких цілих значеннях х значення функції у = х 2менші від 10? А при яких — більші за 10 (запиши 4 таких значення)? (606 При яких цілих значеннях х значення функції у = х 2 менші від 8? А при яких більші за 8 (запиши 4 таких значення)? 607. Знайди значення с, при яких графіки функцій у = х 2 і у = с пере тинаються в точці з абсцисою 5. Яка ордината цієї точки? Знайди координати другої точки перетину цих графіків. (608. Знайди значення а, при яких графіки функцій у = х 2 і у = а пере тинаються в точці з абсцисою -2 . Яка ордината цієї точки? Знайди координати другої точки перетину цих графіків. Побудуй графік функції (609, 610). І-2 х , якщо х <0, 609.1 а) у ={ 2 . х , якщо х >0;

х +6, х < -2 , б) у -

, -2<х<2, х , х> 2. 4, х< -2 ,

(610. і а) У

\х2, д;<0, ІЗле, х>0;

б) У

х 2, - 2 <х <2, 8 - 2 л :,

л: > 2 .

121

Квадратні корені і дійсні числа ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

611. Розв’яжи графічно рівняння. а) х

б) X2 =т^т и 612. Склади і розв’яжи графічно рівняння, яке мало б: а) один розв’язок у І чверті та один — у II чверті; б) один розв’язок у І чверті та один — у III чверті; в) один розв’язок у II чверті та один — у IV чверті, які були симетричні відносно початку координат; г) один розв’язок у І чверті та один — у III чверті, які були б симетричні відносно початку координат. \х\;

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

613. Запиши у стандартному вигляді число, а) 47000 000; б) 308 000 000; в) 0,000000039; г) 0,00000407; ґ) 803 • 109; д) 0,067 • 107; е) 3,7 • 1005; є) 0,42 • 10~7; ж) 20005. 614. Спрости вираз. а) 2а2 + 3 - ((а2 - 5аЬ) - (7 - 3аЬ)); б) -(1 - 6ху) + (7 + X і - (4ху + 6 - 2х4)); в) 4а3 + Ь3 - (а3 - 5аЬ + (За3 - (ЗЬ3 + 4аЬ - а3))). 615. Подай многочлен у вигляді степеня. а) а 3 - За2 + За - 1; б) 8у3 - 36у2 + 54у - 27. 616. При якому значенні х: а) значення виразу їх - 5 +9 найменше; б) значення виразу 12-|2х +3| найбільше? С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь

^ ^

вітки

Знаю , що графік ф ункції у =хг — парабола, сим етрична відносно осі ординат. Ум ію будувати графік функції у =х2за точками (0; 0); (1; 1); (2; 4); (3; 9); (-1; 1); (-2; 4); (-3 ; 9)

^ ^ ^

Умію характеризувати властивості ф ункції у =х2 за її графіком. Умію графічно р о з в ’язувати деякі рівняння, щ о м істять х2. Спробую побудувати графіки функцій у =х2- 1 і у -

верш ина

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зрозум іти і д о б р е засвоїти нову тему, пригадаємо: — квадрати натуральних чисел (форзац); — степені числа 2 і 3 (форзац); — розкладання чисел на прості множники; — правило округлення чисел 5,231 ~ 5,2; 17,281 « 17,3; — за п и с числа у стандартн ом у вигляді а ■10", 1 < а < 10, п — ціле число.

§13. Квадратні корені КЛЮЧОВІ СЛОВА

і корінь квадратни й — в^иа^е гооі Рівняння х 2 = 9 має два розв’язки: 3 і -3 . Говорять, що 3 і -3 — квадратні корені з числа 9. Квадратним коренем з числа а називають число, квадрат якого дорівнює а. Приклади. Квадратними коренями з числа: а) 1600 є 40 і -4 0 , тому що 402 = 1600 і (-40)2 = 1600; б) 0,49 є 0,7 і -0 ,7 , тому що 0,72 = 0,49 і (-0 ,7 )2 = 0,49. Оскільки серед відомих тобі чисел немає такого, квадрат якого до рівнював би від’ємному числу, то квадратний корінь з від’ємного числа не існує. Квадратний корінь з числа 0 дорівнює нулю. Квадратний корінь з додатного числа має два значення: одне з них додатне, інше — проти лежне йому від’ємне число. Невід’ємне значення квадратного кореня називають ариф м ети чн и м значенням цього кореня, або ариф м етичним квадратним коренем. \ ____________________________________________________________________________________ У Отже, арифметичним квадратним коренем з числа а називають невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а. Арифметичне значення квадратного кореня з числа а позначають символом у[а . Знак л/~~ називають знаком арифметичного квадратного кореня, або радикалом. Вираз, записаний під знаком кореня, називають підкореневим виразом. Наприклад, л/9 =3 , л/їбОО =40 , ^0,49 =0,7, л/о =0.

Квадратні корені і дійсні числа

Зауваження. Символом у[а позначають тільки арифметичне зна чення квадратного кореня з числа а, хоч і читають його коротше: «ква дратний корінь з числа а». Обчислення арифметичного значення квадратного кореня називають добуванням квадратного кореня. З невеликих чисел, що є точними квадратами натуральних чисел, добувати квадратні корені бажано усно. 4 64 144 а 1 9 16 25 36 49 81 100 121 4 1 2 7 10 11 12 3 5 6 8 9 4а Квадратні корені з більших натуральних чисел можна знаходити, користуючись таблицею квадратів (див. форзац). Наприклад, л/б329 =73, 71000»32.

Користуючись калькулятором, можна добувати квадратні корені 3 більшою точністю. Наприклад, щоб добути квадратний корінь з 1000, на тискаємо « \Г » чи $[х . Отримаємо 31,622776.... Отже, л/і000 » 31,622776. ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Д обувати квадратні корені з натуральних чисел вавилонські вчені вміли ще 4 тис. років тому. Вони склали таблицю квадратів багатьох натуральних чисел і, користую чись нею, знаходили квадратні корені з чисел, які були в тій таблиці. Якщо число т не було точним квадратом натурального числа, то вони шукали найближче наближене значення а квадратного кореня з т , подавали число т у вигляді т = а + Ь і застосовували правило, яке тепер можна запи сати у вигляді ф ормули: ліа2+Ь =а +— . 2а Наприклад, якщ о т= 108, то Т Ї0 8 = 7 і 0 2 + 8 = 10+ ■ ^ = 10,4.

Перевірка. 10,42= 108,16. Таке правило добування квадратних коренів знали і вчені С тародавн ьої Греції. к. ПЕРЕВІР СЕБЕ

^ П ерейди за посиланням Узе.ее/сиЬсі та закріпи матеріал параграф а (Тема. Ірраціональні вирази. Урок 1).

Щ о називають квадратним коренем з числа а? Скільки існує різних квадратних коренів з додатного числа а? А з числа 0? Чи існує квадратний корінь з від’ємного числа?

О Що називають арифметичним значенням квадратного кореня з числа а? Скільки існує арифметичних значень квадратних коренів з додатного числа а? А з числа 0? 124

Квадратні корені

ВИКОНАЄМ О РАЗОМ !

Покажи, що 28 — арифметичне значення квадратного кореня із 784. Розв’язання. 282 = 784 ; 28 — число додатне, тому л/784 =28. Чи є число у квадратним коренем з числа

? А число - у ? Чи є ці

числа арифметичними значеннями квадратного кореня з числа - ^ ? і 49’ 1 ^

гЧ

Розв’язання. Г1]

ними коренями з числа

— . Отже, числа — і— є квадрат49 7 7 1

. Але тільки у є арифметичним зна-

1 , *бо - у1< п0 . ченням квадратного кореня з числа — Відповідь. Числа у і - у — квадратні корені з числа у — арифметичне значення квадратного кореня з числа

. Число .

Обчисли 2,5л/б4 - Зд/0,64 . Розв’язання. л/б4 = 8 , >/0,64 = 0,8 . Тому 2,5л/б4-3 ^0,64 =2 ,5 -8 -3 0,8 =20-2,4= 17,6. Відповідь. 17,6.

О Розв’яжи рівняння, а)

у/Ї0 х + 9

=7 ; б)

^ х2-9

=4 .

Розв’язання, а) За означенням квадратного кореня, I і = Ю х + 9, тоді Ю я + 9 = 49, Ю х = 40, х = 4; б) 42 = х 2 - 9, х 2 - 9 - 16 = 0, х 2 - 25 = 0, (х - 5)(х + 5) = 0, х х = 5, х 2 = -5 . Відповідь, а) х = 4; б) х х = 5, х 2 = -5 . ВИКОНАИ УСНО

617. Прочитай вирази, л/їб ; >/0 ; л/0,9 ; уІа2+Ь2 . 618. Обчисли, а) ТО, л/І, л/4, л/Ї6, >/400, л/90000; б) л/0ДП, л/0,04, л/0,09, л/0Д6, 70,0081; І

/2®

1®

\ 4 ’ V 9 ’ \ 9 ’ \3 6 ’ V 9 ‘ 125

ц-щж— Квадратні корені і дійсні числа

619. Знайди арифметичний квадратний корінь з числа. 9,

100,

400,

- , 4

— , 16

З2, (-4 )2 . » V У

620. Який із виразів не має змісту? А V I6 Б л/28

В 7^25

г То

621. Яка з умов хибна? А л/36 =6 Б л/Ї6 =+4

В л/0 =0

Г уГ 2 5 не існує

622. Чи правильна рівність? а)л/Ї2І= -11;

б) л/472 =47;

- 12 .

в) Т и 2)

623. Чи має зміст вираз? а) л/48;

б) л / ^ ;

в) -л/64;

г) д/(-5)2;

*•) >/ Й ) ї ;

д) л/8-(-4);

е)

є) 7 ( -6)-(-12).

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ А

624. Покажи, що 8 — квадратний корінь із числа 64. Чи існують інші квадратні корені з числа 64? 625. Покажи, що: а) -5 ,4 — квадратний корінь із числа 29,16; б) -0 ,9 9 — квадратний корінь із числа 0,9801; в) л/29,16 = 5,4^0,9801 =0,99. 626. Чи є число -3 7 арифметичним значенням квадратного кореня числа 1369? А число 37? ( 627. Заповни таблицю. X

у[х 628. Заповни таблицю. X

0,01

0,04

0,09

0,16

0,25

0,36

0,49

0,64

0,81

л[х (629.) Гра. Один з учнів /одна з учениць записує число з таблиці квадра т і . тів, а другий/друга — добуває арифметичний квадратний корінь з нього. Потім учні/учениці міняються ролями. Обчисли значення виразу (630—639). 630. а) л/169;

б)^[256;

в)>/324;

г) л/36І;

ґ) л/400;

д)7900;

е)72500;

є) л/3600.

126

Квадратні корені

б) л/Ї96;

в) л/225;

г) 7625;

д) 7Ї 0000

е) 7Ї600;

є) 72500.

б) ^ 0 0 9

в) л/0,16;

г) 7^64;

ґ) л / й і;

Д) л / Ш

е) -\/2,89;

є) 7 ^ 2 4 .

(бЗЗ?)а) 4 о М ;

б) Д 4 9

в) лД?96;

г) ТЇГ69;

ґ) л/4^4;

Д) л/^25

е) ^0,0004;

є) 70,0036.

б)

в)

. /25 Г) V 49

(бзГ)а) 7 Ї2 Ї; ґ) 7Ї 00; 632?)а) ^/0М;

634. а) ґ) 2-749; (Щ ) а )^ Ь

\ іб

V 25

Д) 4-л/б4;

е) 7-л/їоо;

є) 5-ТЇ44.

б)

. /25 В) 4--\36

г)

V 25

ґ) 16: л/їб;

д) 25:725;

е) 90:781.

636. а) -5 л/36;

б) -4,7-ТО;

в) 0-Т Ї7;

ґ) -7 2 2 5 ; 5

д) -^ Т Ї9 6 . 4

б)

в) 7 3 6 -4 ;

г) §^8І; О

637?) а) 725 +749; г) 5-736 +7 Ї6 ;

8 +7 Ї6 ;

ґ )Т І9 -7 -Т 2 5 ;

д) 3 -7 Ї6 -2 -7 3 6 .

(б38?)а) 3-7О 0 і +70?09;

б) 7 ^ 0 4 - 0,5-ТЇ;

в) 7 2 ,2 5 - І Т Ї ^ б ;

г) 270,16+ 71,44.

639. а) 736-725;

49’

б) -70,49-749;

в) 7 8 І-7 2 5 -7 Ї6 ;

г) 764-70,25.

Користуючись таблицею квадратів, обчисли значення виразу (640-645). а) 7529;

б) 7729;

в) 784Ї;

г) 7961.

(641?)а) 71089;

б) 72601;

в) 72916;

г) 73364.

642?)а) -75041;

б) -77396;

в) -78464;

г) 75776.

643. а) -748 400;

б) -32,25-70;

в) 247325 0.

644. а) 169:7169;

б) 576:7576;

в) 24:7144.

(б45?)а) - 7 3 6 ;

б) - 71600; 4

в) --7 1 2 2 5 . 5

640.

Квадратні корені і дійсні числа

Користуючись калькулятором, знайди наближене значення виразу (646, 647). 646.1а) 72;

б) >/§;

в) л/б;

г) V I 0.

б) д/ЗД;

в) ТЗОД;

г) >/54,76.

□ (647?)а) >/37;

Знайди значення виразу (648, 649). 648. іа) V2х +3, якщо л: = 11; д: = -1 ; х = 83; •О І------° .о б) л/а+2с, якщо а = 6 і с = 5 ; а = 0 і с = 8 . (б49.)а) >/і4- т , якщо т = 5; т = -2 ; т = 14; б) л/2а +с, якщо а = 10, с = 5; а = - 4 , с = 24. 650. Знайди сторону квадрата (у сантиметрах), площа якого дорівнює: а) 64 см2; б) 25 дм2; в) 0,36 дм2; г) 16 м2; ґ) 0,49 м2.

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ Б

651.] Заповни таблицю. а

9 1

\[а

144

Обчисли (652, 653). (б52.)а)

І12 1 .

V 64 ’

ґ) л/0,0025; (б53.)а)

б)

ґ) л/0, 0001;

V 81 ’

д) л/0,0081; б)

1225,

;

д) л/0,0169;

в) л/ї^;

г)

V 9 е) ^10,89;

є) л/12,25.

в) ,/б— ; V 25

г) \15~ ; V іб

е) лД0,24;

є) л/98,01.

Обчисли значення виразу (654—656). 654. а) 2^256+Зл/Ї69; в) 0,5 л/і 936 - ОДл/256; Гб55?)а) —л/784- —л/676; 7 4 в)

лУї 156 +17^0,04;

б) 4л/225-З л/Ї69; г) 2,5 л/676 +1,2л/б25. б) - V 3 0 25-29^001; 5 г) -л/7056 -380^0,25.

;

Квадратні корені

656. а) 7 і 296 - 0,272025;

б) 0,4л/І225 +л/256;

г) -л/576 +71^96:0,35. в) 5 ,4 :^ 3 ,2 4 -^ 7 1 4 4 ; 4 З Знайди значення виразу (6 5 7 , 658). 657. а) у[а +Ь, якщо а = 1,21, &=—; 4

б) \Іх2 +2х+1, якщо л: = -2 ,8 .

(658. іа) уІ2х^у, якщо л: =^ , і/ = 2;

б) 7 4 х 2~ 4д: +1, якщо л: = 0,25.

Користуючись калькулятором, знайди наближене значення виразу. Відповідь округли до десятих (659, 660 ). 659. а) 27л/321-15^105;

б) 34:7127+127;

Г'о в) (7879+71125)-0,5; ^•6 660. а) 327635+157483;

г) 1 ,3 7 :7 ^ 2 -7 3 ,8 . б) 8 5:7325-12;

в) 0,24:70,15 +2,4; 661.

г )(7353 - 7 Ї8 7 ):1 2 .

зно Укажи правильну нерівність, якщо а =5у[2, Ь =7, с =751. А Ь<а <с

Б а <Ь<с

В с <а <Ь Г а <с <Ь

Д Ь<с <а

662. Знайди число, квадратний корінь з якого дорівнює: а) 48; б) 3,7; в) 0,07; г) -0,0004. (663. Тіпсі іЬе пишЬег луЬозє зциаге гооі із ециаі іо: а) 54; Ь) 7,3; с) 0,06; сі) -2 3 ,7 . Ч и іс н у є зн ач ен н я з м ін н о ї х (664, 6 6 5 ), п ри я к о м у : 664. а) л[х = 4;

б) 7 х =0;

в) 7 * =-2;

г) 7 і * = 7?

(665. а) 7 * =100;

б) 7 з * =0;

в) 5 +Т^=0;

г )

- х

= 2?

666. Добудуй блок-схему. Розв’яжи рівняння (667—670). (667^ а) 7 * =7;

б)

(668.) а) 57*/= 10;

б)

С бб^ а) ліх +3 =5;

б)

г) 7 і +2х =5;

ґ)

в) 2 -7 * = 12.

в) 7 5 х- 1 = 3; 12

\[х + 2

д)

28 7^+ 5

129

Квадратні корені і дійсні числа

Сб70?;а) у/х +2 = 3; г)

15 л/х - З

36 л/х- 5

б) у і х - 12 =8;

в)

ґ) >/і4 +5х = 8;

д) 1+л/і- х = 0.

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

671. Розв’яжи кросворд (мал. 13.1). П о горизонталі: 4. Давньогрецький математик. 7. Елемент системи коорди нат. 8. Основна думка. 9. Компонент дії додавання. По вертикалі: 1. Квадрат числа 1000. 2. Знак л Г . 3. Латинська назва много члена. 5. Четверте просте число. 6. Ла тинська буква.

4 5

Мал. 13.1

672. Розв’яжи рівняння. а) у] л[ х +5 =4;

б) ^2 +л/з +

—2;

в) -^7 +*\/б—

—3.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

673. Назви порядок числа, а) 2,3 • 108; б) 7,8 674. Обчисли значення виразу. (Зх - 7у)2 - (7х - 3у)2, якщо х = 2,8, у = 2,2. 675. Доведи, що значення виразу не залежить від значення змінної. (х + 5)(х2 - 2х - 3) - (5х + х 2)(х - 2) + 3(х + 5). 676. На малюнку 13.2 зображено графік руху ж ука, Мал. 13.2 який повзе прямолінійно і рівномірно. За який час він подолає відстань 6 дм, рухаючись з тією самою швидкістю? С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь

^ ^ ^

Розум ію , що таке квадратний корінь із числа. Знаю , що існує два різні квадратні корені з додатного числа. Знаю , щ о таке а р и ф м е ти ч н и й квадратний корінь із ч исл а а і як він позначається:

4а =Ь, ^ ^

Ь2=а,

Ь> 0

7о =о

Умію добувати квадратні корені з невід’єм ни х чисел. Умію обчислю вати значення виразів, що містять знак кореня. Умію р о зв ’ язувати деякі види рівнянь, що містять знак кореня.

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і д о б р е засвоїти нову тему, пригадаєм о: — види числових множ ин та їх позначення;

N С 2 СЯ

К Л Ю Ч О В І С Л О В А ___________________________________ м нож ина — зеі, раціональні ч исла — гаііопаї питЬегз, ір рац іон ал ьн і ч исла — іггаііопаї питЬегз

Ти знаєш, що таке набір фломастерів, табун коней, підписники блогера, зграя птахів, футбольна команда. У математиці будь-які сукупності на зивають одним словом — множина. Наприклад, множина точок числової прямої, коренів рівняння, правильних дробів зі знаменником 7, геоме тричних фігур тощо. Говорять також про множину квартир у будинку, учнів та учениць у класі, хімічних елементів у таблиці Менделєєва тощо. Множини позначають великими літерами: А , В , С ,..., М ... і запису ють за допомогою фігурних дужок. Наприклад: С = {□ , О} — множина фігур □ , О ; М = {1, 3, 5, 7, 9} — множина непарних одноцифрових чисел. Об’єкти, які входять до множини, називають її елементами. Вважа ють, що елементи множини різні. Якщо а — елемент множини А , то пишуть: а є А . Якщо с не є елементом множини А , то пишуть: с <£ А . Якщо множина не містить жодного елемента, її називають порожньою множиною і позначають символом 0 . Якщо А частина множини В (мал. 14.1), то її називають підмножиною множини А і записують: А с В . Наприклад, натуральні числа є підмножиною цілих чисел: N с 2 . Відомі тобі досі числа — цілі й дробові, додатні й від’ємні — утворюють множину раціональних чисел. Раціональними їх називають тому, що кожне з них можна записати у вигляді частки, відношення двох цілих чисел, а слово «відношення» латинською мовою — гаііо. 9 7 4 Спробуємо записати раціональні числа —, —, — у вигляді десят8 6 11 кових дробів. Для цього їх чисельники поділимо на знаменники. 131

Квадратні корені і дійсні числа

Отже, -= 1,125, -= 1 ,1 6 6 6 6 ..., — =0,363636... . 8

У двох останніх виразах ділення можна продовжувати без кінця. Утворені частки — нескінченні десяткові дроби, цифри яких періодично повторюються. Це нескінченні періодичні десяткові дроби. Нескінченні періодичні десяткові дроби записують коротше: 0,363636... = 0,(36); 1,166666... = 1,1(6). Цифру або групу цифр, які повторюються, називають періодом пе ріодичного десяткового дробу. 36 — період періодичного десяткового дробу 0,363636... . Будь-який десятковий дріб і навіть ціле число можна подати у ви гляді нескінченного періодичного десяткового дробу, якщо дописати до його дробової частини безліч нулів: 1,125 = 1,125000..., 18 = 18,000..., -3 ,7 = -3,7000... . Можна довести, що: кожне раціональне число можна подати у ви гляді нескінченного періодичного десяткового дробу; кожний нескінчен ний періодичний десятковий дріб зображає деяке раціональне число. Чи існують числа, відмінні від раціональних? Існують. Наприклад, обчислюючи значення >/2, >/Ї0, ті, дістають нескінченні неперіодичні десяткові дроби: л/2 =1,4142135..., \[Ї0 =3,1622776..., 71=3,1415926.... Ц і числа — нераціональні. Числа, які зображають нескінченними неперіодичними десяткови ми дробами, називають ірраціональними. Ірраціональний — значить не раціональний (латинське іг відповідає заперечувальній частці не). Ірраціональні числа разом з раціональними утворюють мно жину дійсних чисел. Множини натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел позначають відповідно буквами ІУ, 2 , (5 і і?. Кожна з цих множин є підмножиною (частиною) наступної множини (мал. 14.2). Кожне натуральне число є водночас і цілим, і раціональним, і дійсним. Кожне ціле число є також раціональним і дійсним.

Мал 14 2

Наприклад, усі числа 12, - 3 , у , л/Ї0 — дійсні, три перших — раціо нальні, два перших — цілі і тільки число 12 — натуральне. Дійсні числа, записані у вигляді нескінченних десяткових дробів, порівнюють за тим самим правилом, що й десяткові дроби. Наприклад, число 3,131313... менше від 4,0111..., і від 3,25, і від їх, але більше за 3,1222..., за -2 , за 0. 132

Числові множини

Дійсні числа можна додавати, віднімати, множити, підносити до степеня і ділити (на числа, відмінні від 0). Для їх додавання і множення справедливі переставний, сполучний і розподільний закони. Наприклад, л/2 +тг=я +л/2, (3+ л)+л/б = З +уп+у/Е^, 7 2 - л/з =л/3-72, (л/5-720)-78 = л/5-(л/20-л/8), ті (1,020202...■+5,12345...) =тт-1,020202... +я-5,12345... . У сі правила дій над виразами зі змінними, доведені раніше для раціональних значень змінних, справедливі і для довільних дійсних значень цих змінних. Зокрема, для будь-яких дійсних чисел правильні відомі тобі властивості пропорцій, дробів, степенів. Розв’язуючи прикладні задачі, ірраціональні числа звичайно окру глюють, відкидаючи їх нескінченні «хвости» десяткових знаків. Н а приклад, якщо треба знайти значення суми чисел п і \І2 з точністю до тисячних, пишуть: 7Г+л/2«3,1416 +1,4 1 4 2 «4 ,5 5 5 8 »4 ,556. ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Ірраціональність числа уі2 можна д о в ести так. П рипустимо, що число л/2 раціональне, тобто дорівню є деяком у нескоротном у звичайному д р о б у — . Тоді:

2 = ^ - , аб о 2 п2=т 2. Т обто число т 2, а отже, і т — парне: т = 2к, к є 2. Тоді, підставивш и т = 2к у рівність 2п2=т 2, одерж им о 2 п2=4к2, п2=2к2, число п також парне. Виходить, що д р іб — можна скоротити на 2. А припускалось, що цей дріб

нескоротний. Отже, припущ ення приводить д о протиріччя, тому число л/2 не є раціональним. Д оведи таким сп о со б о м , що числа л/з і л/б — ірраціональні.

з» *а* ^ П ерейди за посиланням Узе.ее/сиЬсі ья

та закріпи матеріал параграф а (Тема. Ірраціональні вирази. Урок 2).

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Я кі числа називають: а) дійсними; б) раціональними; в) ірраціональ ними? Наведи приклади. Чи бувають ірраціональні числа від’ємними? Чи є число 0: а) цілим; б) раціональним; в) дійсним? О

Я к і дії можна виконувати над ірраціональними числами? А над дійсними числами?

^ 2 Чи завжди сума, різниця, добуток або частка двох ірраціональних чисел є числом ірраціональним?

Квадратні корені і дійсні числа

ВИКОНАЄМ О РАЗОМ !

О Подай у вигляді десяткового дробу: а) —8 ; б) —11 ; в) 13и Розв’язання. Щоб перетворити звичайний дріб у десятковий, по трібно чисельник даного дробу поділити на його знаменник. Маємо: а) |= 0 ,3 7 5; О

б) А = 0,4545...= 0,(45); 11

в) ^ = 2,1666... =2,1(6). Відповідь,

а)0,375;б) 0,(45);в) 2,1(6).

0 Порівняй числа, а) —4і -1 ,3 3 ; б)— 4і -1 ,3 4 ; в) — 4 і -1 ,3 3 3 .... 3

4 Розв’язання, а) Поділивши чисельник даного дробу — на знаменник, З одержимо 1,333.... Число 1,333... більше за 1,33. 4 Тому -1 ,3 33... < -1 ,3 3 , або — < -1 ,3 3 ; З 4 б) 1,333... < 1,34, отже, —1,34; 4 4 в) —=1 ,3 3 3 ..., отже, — = -1 ,3 3 3 .... З З ВИКОНАИ УСНО

677. Я к і з чисел 35, -1 2 8 , я, л/25, л/ЇО, -^/0,04 — раціо нальні, які — ірраціональні, які — дійсні? 678. Я кі з тверджень правильні? ) а) Кожне натуральне число є дійсним; б) не кожне ціле число є дійсним; в) кожне раціональне число є дійсним; г) кожне ірраціональне число є дійсним; ґ) не кожне дійсне число є раціональним; д) кожне дійсне число є ірраціональним. 679. Укаж и правильні твердження. а) 271 — число дійсне; б) -я — число ірраціональне; в) 1+ті — число раціональне; г) я : 2я — число раціональне.

Числові множини

щ 680. Чи правильні схеми на малюнку 14.3? РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА В ід ’є м н і

Д одатні д ій с н і

РАЦІОНАЛЬНІ

-• ІРРАЦІОНАЛЬНІ

числа

Д одатні

В ід ’є м н і

Д одатні

В ід ’є м н і

Мал. 14.3

681. Як називають: а) множину жоржин у вазі; б) множину людей, які вкладають гроші у будівництво з метою їх збереження та при множення; в) множину чотирьох співачок, які виступають разом; г) множину осіб, які добровільно і безкорисливо підтримують роз виток культури, освіти тощо? 682. Який із записів правильний? а) 10,5 є ЛГ;

б) 10,6 є 2;

в) 10,7 є Я;

д) \І4 є2 ;

є) 12 є ф;

є)

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

683. А

13 є і?;

г) 10,8 є і?;

ґ) л/ЗєЛГ;

л/бєф;

з) >/б є К.

ж )

РІВЕНЬ А

Яке з наведених чисел є ірраціональним? ^0,64 Б уІ20 В тт° Г 2,7

684. ЛУЬісЬі о£ Ше питЬегз - 3 ,5 ,

-у[39,

6 , 1,010010001,

—, л/7,

-л/ї024, 5— аге іггаїіопаї? З (685.)Із наведених чисел випиши: а) цілі; б) ірраціональні. 5; - ; - уі4; -32; >/3; 0,7; -л/І9; — ; 0;7—; 2. — ; -1,1111; л З— . 4 3 2 V4 V 16 686. Я кі з наведених чисел є: а) натуральними; б) цілими; в) ірраціо•О. нальним; г) дійсними? Зобразіть діаграму, як на малюнку 14.2, ч о і■позначте на ній кожне з цих чисел. ТЇ7; -у/17,64; 49; -1 ,2 1 ; 1; -2,5у/Ї00; 3; 0; л/ІООО; 4л/3; Зу/4; л/2-; 5 +^2; -0,30033000333; щ -2тг. 9

Квадратні корені і дійсні числа

687. Гра. Один із гравців / одна із гравчинь записує число, а інший / інша визначає, раціональним чи ірраціональним є це число. Потім учні/учениці міняються ролями. 688. 'Установи відповідність між множиною А , заданою умовами (1-3), та числовими множинами (А-Г). 1

множина чисел, протилежних до чисел Т3;л/5;Т7

АN

множина чисел, протилежних до чисел 3; 5; 7

В2

множина чисел, обернених до чисел — 3 5 7

В $

689. Подай у вигляді звичайного дробу. а) 0,7; б) 0,53; в) 3; (690. Подай у вигляді десяткового дробу.

г В

г) 1,25.

ч9 .4 2 ч 13 ч17 а) —; б) - ; в) — ; г)— ; 4 5 25 16 691. Подай у вигляді нескінченного десяткового дробу. ч2 5 ч 16 ч 38 а) —; б) —; в) — ; г) — ; З 6 15 12

ч 1 ґ) 125 ч1 ґ) —. 7

692. Е ь И Запиши число — у вигляді десяткового дробу, округливши З його до десятих. А 2,6 Б 2,66 В 2,67 Г 2,7 Д 8,3 693. Яке з чисел більше? а) 0,3754 чи 1,2; б) 2,0379 чи 2,0401; в) 2,333... чи 2,327; г) 13,777... чи 12,888... Порівняй числа (694—697). 694. а) - і - ; 6 7 695? а) - і 0,66; З

б) — і —; 3 4 п б) - і 0,67; 3

в) - - і 8 9 п в) - і 0,666.... 3

(б9бГ)а) у[2 і 1,41;

б) л/2 і 1,42;

в) ^2 і 1,414141... .

О Г7

697.)а) їх і 3,14;

б) їх і — ;

в) їх і >/Ї0.

6 9 8.)В П И І Установи відповідність між числом (1-4) та множиною, до якої воно належить (А-Д ).

Числові множини

1 -8

А множина парних натуральних чисел

Б множина цілих чисел, що не є натуральними числами

л/І6

В множина раціональних чисел, що не є цілими

1,7

Г множина ірраціональних чисел Д множина простих чисел

ВИКОНАИ письмово

РІВЕНЬ Б

Задай переліком елементів множину (699, 700). 699. і а) Букв, якими записують твоє ім’я та прізвище; б) цифр, якими записують дату народження твоїх батьків або близь ких; в) букв, із яких складається назва множини, що не містить жодного елемента. (700. а) Букв, якими записують ім’я та прізвище твого друга / подруги; б) цифр, якими записують дату твого народження. 701 Користуючись калькулятором, обчисліть з точністю до тисячних. °-0 а) - + Т Ї 5 ; □

б) 4 ,1 3 - 7 Ї0 ;

в) л/23+ ті;

ґ )7 4 5 -7 2 0 ;

д ) т ї : л/5Д .

г) л/35->/Ї0;

(702. Користуючись калькулятором, обчисли з точністю до сотих. І] а) л/І8-7бО; б) >/40 + л/90; в) тг+Т Ї 8 ; г) З -л / З О - ^ ;

ґ) | + 2 л/3;

д) т і- Т Ї о Д

О О і 703. Яке з чисел більше? а) 0,257 чи 0,26; б) -3,0973 чи -3,098; в) 7,666... чи 7,67; г) -0,0222... чи -0 ,0 1 9 . 704.) Записи 0,(6) і 0,(58) означають нескінченні періодичні десяткові дроби 0,666... і 0,585858.... Яке з цих чисел більше? Знайди таке раціональне число, яке менше від одного з них, але більше за друге. 705. Відомо, що числа а і Ь: 1) натуральні; 2) цілі; 3) раціональні. Яким буде в кожному з випадків 1)-3) число: а) а + Ь;

б) а - Ь;

в) аЬ;

г) — (Ь^0)? Ь 706. Раціональне чи ірраціональне число 2,001001001..., якщо група його цифр 001 нескінченно повторюється?

Квадратні корені і дійсні числа

( 707. Раціональне чи ірраціональне число 2,010010001..., якщо після кожної його одиниці на один нуль більше, ніж перед нею? 708. Запишіть у порядку зростання числа. Зл/20; л/37-1,5; 5 ,7 4 -л/74; ТбО-л/ЗО; 2л/ЇЗ +л/3; тг-Т37. (709. Доведи, що сума двох раціональних чисел — число раціональне. 710. Доведи, що добуток двох раціональних чисел — число раціональне. 711. Чи правильно, що різниця двох будь-яких раціональних чисел є раціональним числом? А частка? (712. Чи може сума двох ірраціональних чисел бути числом раціональ ним? Наведи приклад. 713. Наведи приклад двох ірраціональних чисел, добуток яких дорів нює раціональному числу. 714. Доведи, що сума раціонального та ірраціонального чисел завжди є числом ірраціональним. ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

715. Доведи, що ірраціональним є число: а) у[2; б) 73; в) 7 б. 716. Перенеси у зошит малюнок 14.4 і пере став числа так, щоб чотири суми — у двох горизонтальних і двох вер тикальних рядах — стали рівними. Знайди найменшу з таких сум.

«1 1 3

8 10

Х2

■

9 14

хе 1 5

Мал. 14.4 ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

717. Спрости вираз. а) (л: + 4)(2х4 - х 3 + Зя2); б) (а:і + а2 + а + 1)(а - 1); в) (х2 - ху + у2)(х + у); г) (а2 + аЬ - Ь2)(а + Ь). 718. На скільки порядків число 342 000 000 більше за 4 000 000? 719. Вирази: а) 2,4 • 10'* т у грамах; б) 6,23 • 1012 кг у тоннах; в) 5,4 • 10'6 км у міліметрах; г) 3,8 •10~1() см у метрах, 720. Знайди суму, різницю, добуток і частку чисел. а) 8 • 109 і 4 • 109; б) 4,8 • 107 і 4 • 106; в) 6 • 10~5 і 3 • 10“8; г) 4,5 • 10 6 і 1,5 • 10~7. 138

Квадратний корінь з добутку, дробу степеня

ь. С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь М ож у пояснити, що таке множ ина і підмножина.

7, С В ] іу с є

Якщ о А — м нож ина букв українського алфавіту, а О — множ ина букв, щ о позначаю ть голосні звуки, то О С А .

М ож у пояснити, щ о таке раціональне, ірраціональне та дійсне число, і на вести приклади цих чисел.

-50, 5, -10, і і | , 2, 4, 6, 800 сф ;

-3^, -7 з , 0, 7б, 2,5, 77 [ с Д .

Знаю , що кожне раціональне число можна подати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу, а кожне ірраціональне число зображають нескінченним неперіодичним десятковим д р обом . М ож у порівнювати значення виразів, використовуючи правила порівняння десяткових дробів: 7,8654 > 7,85643.

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і до б р е засвоїти нову тему, пригадаєм о: — розкладання ч исла на множники; 84 = 22 • 3 ■ 7;

4 356 = 22 • З 2 • 112

84 42 21 7

2 2 3 7

350 = 2 • 52 • 7;

350 2 • 5 35 7 5 5 1

— квадрати натуральних чисел; — степені числа 2 і 3; — закони ариф м етичних дій; — щ о таке ариф м етичний квадратний корінь із числа а.

4а =Ь, якщ о Ь > 0 і Ь2

§15. Квадратний корінь з добутку, дробу, степеня К Л Ю Ч О В І С Л О В А _____________________________

і вл а сти в ості коренів — ргорегііез оЇ8^иа^е гооіз Арифметичний корінь із а — невід’ємне значення квадратного ко реня з невід’ємного числа а. Тому для будь-якого невід’ємного числа а справджується тотожність (л/а) = а. 139

Квадратні корені і дійсні числа

2 2 і_ 2 Приклади, (л/7) =7, [^/0,3) =0,3, (%/о) =0. Правильні й такі тотожності: 1. 4аЬ =4 а-4 ь — для невід’ємних значень а і Ь; О [а 4а . , . 2. у —=~^==- — для невід ємного а і додатного о; 3. л/а2А = а,! — для невід’ємного а і натурального й. Доведемо ці тотожності. 1. Якщо а і Ь — довільні невід’ємні числа, то числа 4 а , 4Ї>, 4аЬ і 4 а-4 ь також невід’ємні. Крім того, 14 а -4 ь ) = (л/а) \4ь^ =аЬ. Отже, 4~а-4ь — невід’ємне число, квадрат якого дорівнює аЬ, тоб то 4аЬ =4а ■ 4 ь. 2. Якщо а > 0 і Ь > 0, то числа 4 а , . — і —Д невід’ємні, а 4ь — доVЬ

датне. Крім того,

(ҐЛї .П \ 2 2 (4а)2 (Л) а„

> Отже,

у/Ь

ґ 6

— невід’ємне число, квадрат якого дорівнює —, тобто Ь

[а _ 4а ь =4 ь‘ 3. Якщо число а — невід’ємне, а к — натуральне, то числа ак, а2к і уІа2к — невід’ємні. Крім того, (а к)2 = а 211. Отже, а'1— невід’ємний ква дратний корінь з агк, тобто \Іа2Іг = ак. Доведені три теореми коротко можна сформулювати так. 1. Корінь із добутку двох невід’ємних чисел дорівнює добутку коренів із цих чисел (теорема про корінь із добутку). 2. Корінь із дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню з чисельника, поділеному на корінь зі знаменника (теорема про корінь із дробу). 3. Корінь зі степеня агк, в якому числа а — невід’ємне і к — натуральне, дорівнює а к (теорема про корінь зі степеня). Зауваження. Тут під «коренем» розуміють тільки квадратний ариф метичний корінь. 140

Квадратний корінь з добутку, дробу степеня

Теорему про корінь із добутку можна поширити на три і більше множників. Справді, якщо числа а, Ь і с — невід’ємні, то у[аЬс =уІ(аЬ)-с =4аЬ-4с =л]а -у[ь -л/с. Якщо в доведених тотожностях поміняти місцями їх ліві й праві частини,і, одержимо: \[а ■ у[ь =у[аЬ,

= =л —у/Ь \Ь Ц і тотожності показують, як можна множити і ділити корені.

Наприклад, л/20 л/б =^20-5 =л/ЇОО =10, ^ 1 = / ^ =79 =3. л/5 V5 З теореми про корінь із степеня випливає, що л/а^ =а, якщо а >0. Якщо а < 0, то рівність 4 а 2 =а неправильна, оскільки число л/а^ невід’ємне і не може дорівнювати від’ємному числу а. Для будь-якого дійсного числа а виконується рівність л/а^= |а|. Ця рівність правильна при кожному значенні а , оскільки число |а| — невід’ємне і його квадрат дорівнює а 2. Приклади. уі72 =7,

^ (-З )2 =|-3| =3.

ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? У сф орм ульован их вище те о р е м ах ідеться тільки про найпростіш і випадки пер етворення ар иф м етич ни х значень квадратних коренів: коли всі числа під коренями додатні а б о н евід’ємні. Але нерідко доводиться мати справу і з такими виразам и, в яких під знаком кореня — добуток чи частка двох від’ єм ни х чисел. У таких випадках можна користуватися означенням квадратного кореня, а р и ф метичного значення квадратного кореня тощ о. Наприклад,

7(-4)(-9) =Л ^ = Л .^ 9 =2-3=6і ^

=^ = ^ =1 ^ = Л в =4.

З теорем и 3 неважко одерж ати такий наслідок. Якщо натуральне число к — парне, то для будь-яких значень а правиль на тотожність уіагк = а к.

І 2.1?

Якщо к — непарне, то у]а

ак

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Сформулюй теорему про: а) корінь з добутку; б) корінь з дробу; в) корінь зі степеня. При яких значеннях змінної правильні тотожності? у/а2 - а; л/а^ =-а ; \[а2 =|а|; (>/а) =а. 141

Квадратні корені і дійсні числа ВИКОНАЄМ О РАЗОМ !

О Знайди значення виразу. а) 749-25;

б) 79 0,16;

в) 7 з -7 Ї2 ;

7 Ї2 *

Розв’язання, а) 749-25 = >/49 ->/25 =7-5= 35; б) >/9 0,16 =>/9-70,16 = 3-0,4 = 1,2; в) 7 3 -7 Ї2 = 73-12 = 736 =6; г)

7з _ П Г 12 7Ї 2

[Ті 4

Відповідь, а) 35; б) 1,2; в) 6; г) —. 2 о

Спрости вираз ^36й & , якщо а ^ 0, Ь ^ 0. Розв’язання. Оскільки ліа2 =|а|, то л/зба 262 =б|а|-|Ь| =6 -а-(-Ь) =- 6аЬ, бо за умови, що а > 0, Ь < 0, |а| =а, |Ь| =-Ь. Обчисли л](1-у[Е)2 +л](4-7б)2. Розв’язання. ^(1 - уі5)2 +^/(4->/5)2 = 1- >/б| +14- >/б

■1+7 5 + 4 -7 5 = 3 .

ВИКОНАИ УСНО

Знайди значення виразу (721—723). 721. а) 725-36;

б) 7 і 8-2;

в) 7Ю -0Д .

722. а)

б)

7Ї8’

. 64 в) л— ■ ; V 81

г)

723. а)

б) Тз1; л/з1;

в) ^/(-З)2;

г) То.

75 745'

724. В Ехсеї команда 8<ЗКТ дає змогу добути квадратний корінь з числа. Проаналізуй формулу у комірці С І . Яке число має стояти у комірці? б) а) сі /х =5<ЖГ(АГВ1) ’ С І /х =$(ЇКТ(А1)*$СЇКТ(В1) А

ОДбГ

] 725. Знайди добуток чисел. а) 7 зо і 7зо; 1 1

142

0,09

Л\

ІІ

б) 7 Ї 8

В 0,04

72.

Квадратний корінь з добутку, дробу степеня

726. Знайди значення х , якщо х-\І2 = 2. А 1

Б2

В а/2

Г 2 уі2

727. Спрости вираз л/(а-З)2, якщо а < 3. ^ А а-3

Б3- а

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

ВЗ

Г й+З

РІВЕНЬ А

Обчисли значення виразу (728—734). (728.)а) 764-100; г) -у/0,16-49; 729. а) 736-900; г) ^0,01-25;

б) 749-144;

в) 725-121;

ґ) 70,01-0,04;

д) 70,16-0,09.

б) 7121-64;

в) 7900-81;

ґ) л/0,04-144;

д) 70,25-0,01.

(730? а)

16, 25’

б)

121 144’

в)

731. а)

~25~ 144

б)

0,04 0,49’

в)

732. а) 74-9-25; г) ./5-----9; 16

б) 736-225-144; ґ)

733. а) 764-100-9; (734? а) 725-16-81;

'9 ’

б)

12 -

10 —

;

г> ' < 4 -

в) 7144-36-25-9; Д)

16 49 64 25 36 81

9 25 81 4 49 121

в) 7і>69 0,0001-0,16.

2 ^ ІЇХ 9 25 4

в)

4-36-49 25-81-121'

Обчисли значення добутку (735—738). б) 7Ї4 -75 6;

в) 775-73;

г) 7 ЇЇ-7 4 4 ;

ґ) 7І5-760;

д) 7 Ї3 5 -7 Ї5 ;

е) л/200-70, 18;

є) 7Ї2?5 -л/24?5;

ж) 73,2-780.

б) 7 3 - 7 Ї 2 ;

в) 72-7242;

г) 7ЇІ-799;

ґ) 737 -73700;

д) 7 Ї4 4 -7 ЇЇЇ;

е)

є) 740 -762,5;

ж) 70,72-^0,98.

735. а) 72-732;

(736?)а) 750-78;

7120;

б)

і± ч іА ; 16 V 17

в)

2— 16 143

Квадратні корені і дійсні числа

(Ж )а> Л 4 - Л

б) Л /3—-л/1—’ V з V 5

В) лV/3— *л/—2 \7

Обчисли, користуючись таблицею квадратів (739, 740). 739.)а) у/202 500; г) - ^152 100; С740!]а)л/52900;

б) ^4 840 000;

в) ^33,64;

ґ) 2^230400;

д) - ^ 7 290 000.

б) -З л/і 690000;

в) 0,5^57,76.

Знайди значення частки (741, 742). ^7, ®

ч >/32

>/7

ч л/43

, л/2Д

а ) ^ 5о;

б)7 ї ї і ;

в)7 а д ;

’ Ж

,7 ^ 5

^ >/96

ч л/12

ч752

6) Ж

в) 7 Ж ;

г) Т Г з'

г) л/і,24;

( Ж 'а) Ж

;

743. Обчисли значення виразу. а) л/31;

б) л/9752;

в) УІ0,26;

ґ) 5-ТЇ22;

д) 3-^(-2)8;

е) - 0 ,4 ^ ( - 1 0 )6; є) - 0, 1л / ? .

Саісиїаіе Ше уаіие о£ іЬе ехргеззіоп. а) З-л/б2";

Ь) -л/41;

с) 4л/0,14;

сі) - 8^ 0, 24;

Є) 7(-5)2;

« л/(-3)в=

е) - 7 ( - 7)8;

Ь) -2 ^ (-4 )2.

745. Гра. Один з учасників /одна з учасниць записує вираз, що є коренем зі степеня із парним показником, а інш ий/інш а має записати відповідний степінь вже без кореня. Потім учні / учениці міняються ролями. Обчисли найраціональнішим способом (746, 747). (746.)а) л/202-1 6 2; г)

уі252-2 4 2;

(747?)а) л/і002- 9 6 2; г)

уІ6,82- 3 ,2 2;

б) ^292-2 0 2; ґ)

л/412-4 0 2;

б) л/б12-6 0 2; ґ)

л/і»32-0 ,6 6 2;

в) л/і72- 82; д)

л/50,52- 49,52.

в) л/372-1 2 2; д) ^3,732- 2,522.

748. Гіпотенуза і катет прямокутного трикутника дорівнюють с і а. •О Знайдіть другий катет 6, якщо а 2 + б2 = с2 та відомо, що: а) с = 13 см, а = 12 см; б) с = 8,2 м, а = 1,8 м; в) с = 21,8 дм, а = 18,2 дм; г) с = 45,8 км, а = 44,2 км.

144

Квадратний корінь з добутку, дробу степеня

749. Знайди значення виразу: а) ліАт 2, якщо т = - 3;

б) ^ (-4 т ) 2, якщо т = -3 ;

л4 в)

а- 1

якщо а = 2;

г)

\ґ а у --------, якщо а = 2. 1- а

(750. Знайди значення виразу: а) уГс 2, якщо с = 3, с = - 6, с = - 12; б) ху[х2, якщо х = 5, х = - 5 , х = - 7 .

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

Обчисли, розклавши підкореневий вираз на множники (751, 752). 751. а) 7640 000;

б) ^20 736;

в) ^30976;

г) >/104 976;

ґ) >/80-45;

д) >/48-768;

е) ^600-150;

є) л/243-108.

(752.; а) ^/б 250 000;

б) ,/50625;

в) ^86 436;

г) ^213 444;

ґ) л/12-27;

д) >/297-33;

е) >/250-160;

є) >/125-245.

Обчисли значення виразу (753—758). 753. а) >/8-50;

б) л/40-90;

в) >/20-45;

г) >/7-63;

ґ) >/18-98;

д) >/50-18

е) >/2,5-6,4;

є) >/9,8-7,2.

(754? а) >/10-490;

б)>/360-40;

в) >/7-700;

г)>/і2-48;

ґ) >/72-32;

д) >/80-45;

е) >/і,6-90;

є) >/6,4-250.

755. а) >/3->/Ї2 +>/2->/50;

б) л/Ї5-7І35->/24-7б.

756. а)

б) у/2,5->/О9-Т0Д-л/М [ Е .>/Ї2. [ Ї Ц

'757.; а)

V 5

В)

1 ^ . [ її.

І2^Е.

V15 V 8 V 18

з | . 7 ї з - лЛ ; в ) л ю ^ , А . 1І _ . 14 21 При яких значеннях змінної правильна рівність (759, 760)?

® *>Я 759. а)

- М

а =а

б>Я

б) >/а® =а3;

в) >/0^" = а^Іа2.

а;

в) т у їт 2 = т 2.

(760. а) у[х2 =х;

б)

145

Квадратні корені і дійсні числа Заміни вираз тотожно рівним (761, 762). 761.

а) (V*) ;

762.)а) (л/а^Т)2;

б) 5уіа2;

в) Ьл/Ь2;

б) ^ (а-1)2;

в) -^/(а-і)2.

г) - у іт 2.

Спрости вираз (763, 764). 763.1а) \І9п2, якщо /г < 0;

б) х^Гх2, якщо х > 0;

в) -у/о,36а4Ь6, якщо а> 0,Ь<0;

г) -Зсл/ібс10, якщо с<0;

ґ) ^ ( х - і) 2, якщо л: < 1;

д) ^ ( а -Ь )2, якщо а > Ь.

(764?)а) л/ібт2, т < 0;

б) ^ (-х )2, якщо л: > 0;

в) -0,2а\/б4а14, якщо а< 0;

г) л/о,81а6Ь6, якщо а> 0, Ь<0;

ґ) ^ (а-Ь )2, якщо а < Ь;

д) ^(х+5)2, якщо д: > -5 .

765.у Спростіть вираз, якщо а, Ь, с — додатні числа. 0°0 а) л/9а4Ь2с6;

б) у]0,25а 2Ь6с10;

в) -уІ16а4Ь4с6;

г) -^2,25а 2Ь2с*.

(766.) Спрости вираз, якщо х , у, г — від’ємні числа. а) \]х2у2г2;

б) л/х2у2г4;

в) -^ 4 х 2у6г4;

г) -^0,81 л:4/ ^ 1

Спрости вираз (767, 768). 767?а) ^а2 +2аЬ +Ь2;

б) ^|(а +і)2(а2 +і)2.

(768.)а) ^ х 2- 2ху +у2;

б) ^(2гс-1)2(д4 +і) .

Обчисли (769, 770). 769. а) ^(і-л/з )2 +^(л/3-2)2;

б) ^ 2 -л / б )2 - ^(л/б +з)2.

(770? а) л/(>/І7-3) + Л (і2 -Т Ї7 ) ;

б) Л(>/П-4) +І З - л / ї ї ) .

(771.)| з я о І А -2л/з ( 772.)| ЗІІО і А -2 146

Б -4

В -2л/3 +4

иди значення в и р а зу Б 0,5

В 2

Г 4

Д 2л/3 у / З а -у ІЗ Ь

г—

, якщо --------------= >/12. Ь а аЬ Г З Д 6

Квадратний корінь з добутку, дробу степеня

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

773. Обчисли найраціональнішим способом, а) л/б602 +8802 ;

б) л/з332+4442;

в) >/б662 +8882.

774. Побудуй графік функції, а) у=\[х*+х; б) у = ,Х +1. л/х2 ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

775. Заміни «зірочки» одночленом, щоб утворилась тотож ність. б) (Зх - *)2 = 25у2 + * - ЗОху; а) (* + 2а)2 = * + 8аЬ + АЬ2; г) (* - 6Ь)2 = * - 60а‘6 + * в) (4а2 + *)2 = * + * + б6; 776. Розклади на множники, б) 0,36х2 + 25у2 - 6ху; а) -1 + 4а - 4а2; г) 2аЬ - 25а2Ь2 - 0,04. в) 2ху - 0,01 х 2у2 - 100; 777. Подай у вигляді добутку, а) х 2п - 1; б) а ір - 4; в) 9х2 г) а 4 : - 4962 У' 778. В ід к р и т а задача. Добова потреба у вітаміР ні С дорослої людини 70-100 мг, а дити ни — 50-60 мг. Дізнайся про вміст вітаміну С у різних овочах і фруктах і склади план поповнен ня цього вітаміну, доступний для твоєї родини, на тиждень: а) узимку; б) навесні. Врахуй втрати вітаміну під час кулінарної обробки. С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Розум ію та можу сф ормулю вати властивості ариф метичного квадратного ________________________________ кореня:

4аь =4а-у[ь, а>0, Ь>0; - =—7=-, а>0, о>0;

4ь

іа2І''=ак, а> 0. а

а для довільного а

2Н

для довільного а

Умію застосовувати властивості ариф метичного квадратного кореня до обчислення значень виразів та виконання дій.

147

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і д о б р е за сво їти нову тему, пригадаєм о: — означення ариф м етичного квадратного кореня із числа; — властивості ариф м етичного квадратного кореня.

§16. Перетворення виразів, які містять квадратні корені КЛЮ ЧОВІ СЛ О В А в и р а зи з к вадратн и м и кор еням и — гадісаі ехргеззіопз звільнення від ір р а ц іо н ал ьн о сті в зн ам е н н и к у —

гаіїопаїіге а сіепотіпаіог Вирази, що містять квадратні корені, можна додавати, віднімати, множити, підносити до степеня і ділити (на дільник, відмінний від 0). Приклади. 2л/з +5л/3 =7л/3;

12л/б :3л/б =^Ф ~ = 4; Зл/6

4л/б-3^2 =12л/Ї0 ;

(з72)2 =3^2-372 =18 або (3^2)2 =З2-(^2)2 =9-2= 18. Розглянемо ще деякі перетворення виразів з коренями. л/200 =л/іОО-2 =л/ЇОО-уі2 =10а/2. Таке перетворення називають винесенням множника за знак кореня. В останньому прикладі за знак кореня винесено множник 10. Перетворення, обернене до винесення множника за знак кореня, називають внесенням множника під знак кореня. 0,з Т Ї0 =^0,09 л/ЇО =70,09-10 =7(^9. У цьому прикладі під знак кореня внесено множник 0,3. Розглянуті перетворення здійснюються на основі теореми про корінь з добутку. Якщо знак кореня міститься в знаменнику дробу, то такий дріб можна замінити тотожним йому дробом, знаменник якого не містить коренів. Досить домножити члени дробу на відповідно підібраний ви3 3-^2 Зл/2 раз. Наприклад, =^

148

2+л/з

2 +лІЗ

2+уіЗ 2 +^

2-л/з

(2- 7 з)( 2+ 7 з)

22- ( 7 з)2

4“ 3

Перетворення виразів, які містять квадратні корені

Такі перетворення називають звільненням дробу від ірраціональ ності в знаменнику дробу. Наведені перетворення можна виконувати і над виразами зі змін ними. Наприклад, ауІ2-хл/з =алл/2 -л/з =\[бах; л/9а =л/9 -4а =Зл/а;

2ІЇ=І^§=^ ; ~ 3 а ^ “ = ~^9а2 '2а =~^18а3’ х

х(а х\(ач+- л[х Л ) І|

х^а+уіх)

[а-\ [х )[а +4 х ) Зауваження. Виносячи за знак кореня змінну, слід пам’ятати, що рівність уІа2с =ал/с правильна тільки при невід’ємних значеннях а і с. Якщо а < 0, с > 0, то \Іа2с =-а 4 с . Оскільки уіа2 =|а|, то при будь-яких дійсних значеннях а і невід’єм них с правильною є тотожність: \Іа2с = |а|-л/с. Приклад. Винеси множник з-під знака кореня. а) л/іба2сАсіг , а >0, сі >0;

б) -у/бОд:6у , х <0, у >0.

Розв’язання, а) л/і6а2с4сҐ = \І16а2с4<і2сІ =4|а|-с2-\сі\-4сІ =4ас2сі4сІ\ б) -у/бО-Л/ = уІ25х^2у =5^х'^уІ2у =-5 х 3у[2у. Відповідь, а) 4ас2<іуГсІ; б) -5д:3Л/2у. Вносячи змінну під знак кореня, слід пам’ятати, що під корінь можна вносити лише додатні числа. Приклад. Внеси множник під знак кореня. а) 2а\ІЗаЬ2, а> 0;

б) т п 2у/5тп, т < 0 , п<0;

в) а\І-2а.

Розв’язання, а) 2ал/ЗаЬ2 =^(2а )2 -3аЬ2 =44а2-3аЬ2 =л/і2а3Ь2; б) т п 2уІ5тп =- ( - т ) - п 2уІ5тп =- ^ ( -т ) - г с 2) •5 т п = =-\ Іт 2п4 -5тп =-л/бт3^5. в) Даний вираз існує лише за умови, що а< 0. Тоді а^ -2 а =-у]а2 (-2а) =-л/-2а3. Відповідь, а) л/і2а3Ь2 ;

б) - 4 ь т Лп° ;

в) -\І-2а3.

149

Квадратні корені і дійсні числа ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Вживаючи словосполучення «вирази з коренями», в цьом у розділі ми м а єм о на увазі тільки «вирази з ариф м етичним и квадратними коренями». Насправді вирази з коренями в матем атиці мають ш ирш ий зм іст. Бо корені бувають не тіль ки квадратні, а й кубічні четвертого, п’я то го сьо м о го степенів. Корені з числа а таких степенів позначають сим волам и: у/а, у/а, у/а, ...,

у/а.

Вирази, що містять будь-які з таких коренів, називаю ть виразами з коренями, а б о ірраціональними виразами. Вирази з ариф м етичним и квадратними кореня ми — це тільки частина ірраціональних виразів. Р ан іш е знаки коренів у/а, у/а, . . . . , у/а називали радикалами, то м у іноді і д о тепер ірраціональні вирази називаю ть виразам и з радикалами.

ПЕРЕВІР СЕБЕ

П ер ейди з а посиланням Узе.ее/сиЬсІ та закріпи матеріал параграф а (Тема. Ірраціональні вирази. Урок 3).

Я кі дії можна виконувати над виразами з коренями? Чи можна перетворювати вирази з коренями за формулами скоро ченого множення? Наведи приклади винесення множника за знак кореня.

О Як можна позбутися ірраціональності в знаменнику дробу? ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

:.ч

Спрости вираз. а) л/бО- л/Ї8;

б) ( Т Ї7 -і) ( Т Ї7 +і);

в) (75 +2 ^ -4 7 5 .

Розв’язання. а) л/ 5 0 -7 Ї8 = л/2 5-2- л/9^2 =5л/ 2 -З л/2 =2>У2; б) ( 7 Ї7 - і )(7Ї7 +і ) =(ТЇ7)2-1 =17-1 =16; в) (75+2)" - 4^5 = (л/5)2+2л/5-2 +4 -4 7 5 =5 +475 +4 -4 7 5 =9. Відповідь, а) 2уІ2; б) 16; в) 9. Розклади на множники вираз. а) 7 2 8 -7 2 ; б) п +у/п; в) а - 1, якщо а > 1. Розв’язання. а) 728 - 72 =72-14 - 72 =72-714 - 72 = 72(714- і ) ;

б) л+7п=.-7л-7л+7л«'7й(7л+і); в) якщо а — число додатне, то а=(7а| . 150

Перетворення виразів, які містять квадратні корені ,__

Тому а -1 =|л/а) -1 =|л /а-і)|7 а +і). Відповідь, а) л/2(л/І4-і); б) л/п"(\/я+і|; в) (л/а-і)(л/а+ і). V) Звільнися від ірраціональності в знаменнику дробу. 4 ° ^ 4 г; б) л/б л[а +у[ь п , ч 4 4 -Т б 4л/б 2^ 6 Розв язання. а) — Те 7 б -7 б б з б) 2л/б Відповідь, а) ------;

с(л/а-л/ь)

с(Уа-л/ь)

л/а+л/ь

(>/а+>/&)( л/а-л/ь)

с ( 4 а -4 ь )

б)

а -Ь

ВИКОНАИ УСНО

779. Спрости вираз, а) 2л/б+7л/б;

б) 8л/3-4^3;

в) 13л/2а-3л/2а.

780. Знайди суму, різницю, добуток і частку чисел, а) 6л/2 і Зл/2; б) -1(К/3 і 5^3. 781. Знайди квадрат числа. а) л/23; б) 3^2;

в) -> /м .

782. Хто з дітей правильно виніс множник з-під знака кореня? Максим:

л/20 =5л/ї;

Олександра:

л/20 =2л/б;

Дмитро:

>/20 =4л/б;

Катерина: ^20 =2\[Ї0.

783. Винеси множник з-під знака кореня. а) у/Ї2; б) Т І8;

в) л/бОО.

784. Внеси множник під знак кореня. а) 5л/2; б) -Зуі2;

в )

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

7а/Ї0.

РІВЕНЬ А

Винеси множник з-під знака кореня (785, 786). (785?)а) л/8; ґ) л/ї62;

б)л/20;

в) у[32;

г) л/98;

д) л/300;

е) л/0,72;

є) л/Ї7500

Квадратні корені і дійсні числа

(786?!а) л/ї2;

б) уІ27;

в) ^45;

г) ^72;

ґ) л/б40;

д) л/бОО;

е) ^ 4 8 ;

є) л/і 0800.

787. Гра. Один із гравців/одна із гравчинь записує квадратний корінь з деякого числа, а інший / інша має сказати, чи можна винести множник з-під знака кореня, і якщо так, то записати утворений вираз. Потім учні/учениці міняються ролями. Внеси множник під знак кореня (788—791). (788.) а) 2л/3;

б) Зл/Ї0;

в) 12>/2;

г) 2л/2І ;

ґ) 2>/3а;

д) - 6л/2Ь;

е) 0,5л/а2;

є) і , 27о д .

б) 5л/3;

в) -10^7;

г) -37б;

д) -4л/3с;

е) 1,572;

є) 2,5 л/Ї0.

«і - ф

в) і і Д ; 2\33

г) - 2- Е 4V з

(789.) а) 11л/2; ґ) Зу/2а; (Ж )а) (791.) а) ±72;

*> - і

в )

Х І

;

г) - 3 * К 5 V17

792. Дай відповідь на запитання, наведені на малюнку 16.1. С щ зробити узагальнення. Що більше: 16 чи V 16, 400 чи л^400 ?

Що більше: 0,25чи V 0,25, 0,64

Що більше:

Мал. 16.1

Спрости вираз (793—796). 793. а) 2^[а+3у[а-4у[а; в) л/25а - л/б4а +\І9а; (794. а) 5л/с-2л/с +6л/с; в)

л/їба +л/8Іа - л/І69а;

795.)а) 2>/20х-х/б*-л/45х; в)

л/12а - \І75а +л/48а;

б) 2\[х +\[х - Ь у [ х ; г) 9у[р-у[9р +^16р. б) Чл/у-л/у +З^у; г) у[25Ь - уі81Ь +Зл/ь. б) уІЇ8р-уІ8р +уІ8Ї; г) ТбЬ->У54Ь+л/24Ь.

(796?,іа) л/48т-л/300т+л/75т;

б) у/72а-у[50а +2у[Ї8а;

в) л/20с +ч/і25с-л/500с;

г) Зл/28/г +л/бЗ/г -2 ^ 7п .

152

Перетворення виразів, які містять квадратні корені

Порівняй значення виразів (797, 798). 797.) а) 2л/з і >/І5;

Зл/2 і ТЇ7;

в) 2-7г~ 2 У і 3/2^ ;

0,2л/Ї50 і —л/б4. З

(798?)а) Зл/б і бТЗ;

л/26 і Зл/З;

в) —л/Ї08 і -л/75; 3 5 Виконай дії (799—804)

0,5л/Ї2 і - Т Ї 8 .

799.) а) (ТЇ2 +л/75)-л/3;

(л/Ї8 -л/бО)-л/2; (-3>/І8 +л/72)-2л/2.

в) (4>/3->/27)->/Ї2;

(л/бЗ-л/28 )-л/7;

( Ж ) а) (л/20 +7І5)-75;

(бл/Ї2-Зл/з)- 2л/з.

в) (7^24-5^54 )-л/б;

(2-л / з )(б - 2л/з);

801.)а) (^7-2)(Т7 +з); в)

(з+л/5)(3-7б);

(3>/5 +2)(2-3>/5).

(802?)а) (2-л/з)(4 +27з);

(б-3>/2)(2->/2); (4 +Зл/7)(Зл/7-4).

в) (2л/з +і)(2>/3-і);

(зТ2+5л/з)2;

803.)а) (і +л/з)2; в)

(л/5-л/2)2+2л/Ї0;

(7б +і)2-л/20. (2ТЗ-л/б)2;

(804?)а) ( 3 - л/б)2; в) (л/7 +Т2 )2-2л/І4;

( і - 7 з ) 2+ 7 І2 .

805.) зно Установіть відповідність між числовими виразами (1-4) та X®. їх значеннями (А-Д ). и-о

1 (л/з +л/2 ) - 2л/б 2 (л/б-2)(л/б+2)

«М атематика володіє не тільки істот ною, а й найвищ ою красою».

Б 6

Б. Рассел

В 5

3 (Зл/З-л/Ї2)2

4 Т2(л/б0-Т8)

Д 1

Квадратні корені і дійсні числа

806. Винеси множник з-під знака кореня, якщо а > 0. а) \І2а2;

б) 7 і 2а 2;

в) 3л/а^;

г) уі8а4.

(807. Винеси множник з-під знака кореня, якщо х > 0, і/ > 0 . а) л/Зх2;

б) ^7іу4;

г) -^9^ у.

в) 7 2х3;

808. Внеси множник під знак кореня, якщо л: > 0. а) 2x73; б) х^ 2х; в) х 2л[Е;

г) Зх^у/х.

(809. Внеси множник під знак кореня, якщо * > 0, у > 0. а) хуі2; б) у73; в) 2хг4 х; г) 3у 4 х . Звільнися від ірраціональності в знаменнику дробу (810, 811).

ґ)

12 >/65

( Ж ) а )-|; ч 15 Ґ )

, 6 г) 7 з ;

3 б) -т=; у/а

8ЙГ)а)

д) 3 7 2 ’ 1 б) У =~ Г ’ \ІХ

е) ь Л

ч 3

ч 8

В) 7 Г

г) 7 ?

х 2с

3 Є) 2 7 5 ’

ч 12 Д) б Т з ’

ч 6 Є) 5 ^ 2 ’

е)

812. Звільнися від ірраціональності в знаменнику дробу. а) -?=— т=; л/2 -л/з’

б) ■ —г- ; Зл/2 +і ’

в) -:=— т=; л/б - л/2 ’

3 4

г)

1-у[х

, 813. )Каііопа1І2е а сіепотіпаіог о£ ІЬе Ггасііоп. а)

>/7-2’

Ь)

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

Тб +Т з ’

с)

2л/з+і’

сі)

л/а-у/ь

РІВЕНЬ Б

814. Щ о більше? а) 7 5 - 7 2 3 5 - 7 б чи 7 з -л/237 -л/Ї0; б)

л/ О

2 - 7 0 , 0 3 - лУ 0 , 0 0 6

ч и

л/ О ^ З - 7 ^

0 6 -7 ^ 0 0 2 .

815. Щ о більше: сума десяти доданків >/2

+ >/2

>/2 чи добуток

десяти множників УІ2-л/2-УІ2:..-УІ2? Виконай дії (816, 817). 816.1 а) 7б-(750 +732)-1073; в) (л/ 4 2 -7 і 89)-л/ 2 Ї-2 1 л/2;

б) 2л/І0 -(^ 4 5 -7 8 0 (+7200; г) (7 5 6 -7 б З)-7 І4 +7800.

Перетворення виразів, які містять квадратні корені

(817?)а) (л/30 +7 2 4)-7 б -б 7 б ; в) (л/Ї25-2л/б |-л/Ї0 +Т32;

б) (л/бО-2л/І5)-ТЇ5+72700; г )

(7>/з +>/б)->/б-л/800.

Обчисли (818, 819). 818.)а) (Зл/32 +л/ Ї6 2 -2 л/288)-л/2 +15; б) (4л/Ї50-6л/54 +2л/9б)^-20; в) (л/ 4 5 -7 2 0 ):7 5 ; (819?)а) (4 ^ 1 2 -6 ^ 4 8 +5л/27)-л/3-12; в) (л/28 +7бЗ):Т7;

г)

7л/Ї08-л/І2 2^75

б) (2 ^ 3 2 0-7 7 2 0 -7 45 ) +20; г)

ЗТ28+2ТЇ75

2ТЇІ2

820.) Площ а поверхні куба дорівнює 37,5 дм2 (мал. 16.2). Знайди довжину його ребра. 821.) Площа поверхні тіла, складеного із семи рівних кубів (мал. 16.3), дорівнює 480 см2. Знайдіть довжину ребра такого куба. 822.) Винеси множник з-під знака кореня, якщо а < 0, с < 0. а) л/і2а 4;

б) л/зс™;

в) - \І-18а7;

г) -л/32а2■ V ;

д) л/б0а7с9; 120а4 27 а їв е) є) -9с 16сь (823.) Винеси множник з-під знака кореня, якщо х < 0

Мал. 16.2

ґ) л/-48аи с2;

а) уі2 х 2;

б) \І20х4;

в) - —л/х^с;

824.) Внесіть множник під знак кореня, якщо с < 0. -Ь а) Су[а\ б) с2л/а; в) с3у[х;

Мал. 16.3

г) і х 6т .

г) с4у[р.

(825.) Внеси множник під знак кореня, якщо т < 0. а) тл/т2;

б) 2 т \ ~ ; в) т 2 Vт Vт Розклади на множники вираз (826, 827).

826.)а) у[ 3 5 - уі5;

б) 7-лІ7;

ґ) пі1- п, якщо п >0;

в) х ^ - л / х ;

г) 4а2 - 3;

д) х - у, якщо х >0; у> 0;

е) а-2л[аЬ+Ь, якщо а >0; Ь >0;є) х 2+Ах4у+Ау, якщо у >0.

Квадратні корені і дійсні числа

(827.) а) Т 3 5 -Т 7 ;

б) а +7 а ;

в) ау[с-су[а;

г) а2 - 5;

ґ) р - а , якщо р >0; а >0;

д) 9х2 - у , якщо у >0;

е) а +2л/а+1, якщо а >0;

є) х 2- 6ху/с + 9с, якщо с >0.

Скороти дріб (828, 829). у/х-у/г б ) « ^ ;

. а +л/2 в) а -2

7 а +1 г) ~ г— ; л/а +а

7 а +\[х ґ) — 7=— /=> ал/* +ял/а

а, +27а +1 д ) --------- т— ; а +л/а

, * - б Л +9 е) ; * -9 ’

, (^З +і )2 є) -І 2 +л/з ’

ж)

б)

в)

828.) а)

(829?)а)

7а - 1 а-1

“ 1* ; \Іа-л]Ь

у [т - 2 ' т - 2у[т ’ т -4 У / п +4 ’ т -4 ’

х -у

ау/ь +Ьу/й' у[а +у[ь (У б-З)2. Є' 7 - з Т б ’

( ^ 7 - і )2 >/7-4 2а -у }х

а-2л/3а +3 Д а - 73а ( ^ - 2)2 ’ 2>/б-5

Спрости вираз (830, 831). 830.)а) ( 2 -7 3 )2+(2 +73)2; в)

^ 9 - 4 уі 2 - ^ 9 + 4 уі2 ;

( в З р а) (75 +З)2- (7б - З)2; в) 7 іО +2л/2І -710-2721;

б) ( 7 - 2л/Ї0)(л/2 +7б)2; г) (>/б+ 7 2 4 + >/б-7 2 4 Ґ .

б) (14 +6л/5)(3-Т5)2; г) (7 б +720 - л/б-7 2 0 Ґ -

832.1ШИНФЖ Обчисли значення виразу. а) 2 0 7 б -Г -^ + 5 7 з1 ; б) -79 +472. 172 72 Звільнися від ірраціональності у знаменнику дробу (833, 834). 7 2 -1 833.) а) - 7=——; 72 +1 7б +7з (834) а) 7 б -7 з ’

а -1 б) —]=== Г’ 7а +3 — 2 Ь+ 1 б) ° - 1— ■ ; Ть + 5 - 2 ’

ч 7 1 2 -7 8 в ) ^ і- ; 7з +72 ч 720 +7Ї2 в) ^ 7б - 7з ’

г)

7 1 -Л Г-7 1 - 2х ч 4 -а г) 7 а + І-7 2 а -3

Порівняй числа (835, 836). 835?)а) 77+ 7 з і 7Ї9 ;

б) 6 - 7 І 4 і Т 3 7 -Т Ї5 .

(836?)а) 7 з +7 Ї9 і 724;

б) 77 - 75 і Т Ї 7 - Т Ї 5 .

156

Перетворення виразів, які містять квадратні корені

837. Що більше: 72003-^2001 чи л/2004 - 72002? Спрости вираз (838—841). 838. а) л/4-2 л/3;

б)л/т+^Ж;

в) л/21-8л/б.

(839? а) л/і2 +2л/ЇІ;

б)л/б-4л/2;

в) л/бТ+ІЇУІ.

б)

а -4 Та а - 3 7 а \[а +2 л/а-3

840. а)

в) (Ж )а)

в)

2 +а2 у/2-а ґ

2л/2а _ \ І2 -а

1 г+ -

Х+ Х у[у

Х -Х у / у

у[а +>/ь у/х+^у

У- 1

л/а +

; г)

л/а

Та

у/а-уІЬ б)

а -4 а Ь + 2л/ь л/а +л/ь ] л/аЬ л/а+л/&

Зл/а- 6 \ [а-2 9л/а 9а +6л/а +1 Зл/а +1 Зл/а +1

7 х '] х-2 у[ху +у 4у[у + л: у/х-^ІУ уіх +^іу

г+ -

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

842. Доведи рівності індійського математика А . Бхаскара (1114-1185). а) % /б^/І4 =72+^3;

5) ' ^ +'ІК І +'І * ™ +М 5+л/З

=3 ^ +43;

в) 7 ю +л/24 +740 +7 б0 =л/2 +7з +7б. 843. Задача французького м ат ем а т и к а Ж. Л. Ф. Бертрана (1822-1900). 2+Тз 2-л/з Доведи, що л/2. у[2 +уІ2 +у[3 у[2-уІ2-уІЗ ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

844. Знайди квадрат і куб числа: а) 2,1 • 10*’; б) 8,3 • 10 °. 845. Побудуй графік рівняння х 2 - г/ = 0. 846. Розв’яжи систему рівнянь. х+г/ х-г/ +де= 15, +У =4, 'х+і/ =7, б) в) а) Іл: —г/| =5. „ д: - — =9; і/ 3— - А6, 847. Один із кутів трикутника дорівнює 50“, а різниця двох інших 50°. Знайди міри цих кутів. 157

Квадратні корені і дійсні числа С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Умію виконувати д ії з виразам и, що містять квадратні корені. Р о зу м ію , що таке ви несення м нож ника з -п ід зн ака кореня, і вмію р о зв ’язувати вправи, що передбачаю ть такі перетворення. Розумію , щ о таке внесення множника під знак кореня, і вмію р о зв ’язувати вправи, щ о передбачаю ть такі перетворення. Розум ію , що означає звільнити д р іб від ірраціональності в знаменнику.

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і д о б р е за сво їти нову тему, пригадаєм о: — щ о таке функція; — що таке о бласть визначення і о б л асть значень функції; — як скл ад аю ть таблицю значень функції; — як будую ть графік функції; — як за граф іком визначаю ть вл астивості функції; — як р о з в ’язують рівняння графічно.

§17. Функція У = УІХ КЛЮ ЧОВІ СЛОВА

^ вл а сти в ості ф ун кц ії у = у[х —ргорегііез оі іґіе ґипсііоп у =у[х Ти вже знаєш, що площа квадрата є функцією довжини його сто рони: 8 = а 2. У даному параграфі ми з’ясуємо, як залежить довжина сторони квадрата від зміни його площі. Для цього розв’яжемо рівнян ня а 2 = 8 (8 > 0, а > 0), використавши означення арифметичного коре ня. Маємо: а =у/8. Користуючись цією формулою, кожному значенню 5 можемо поставити у відповідність єдине значення а, тобто а є функ цією 5. Існують й інші задачі, розв’язування яких приводить до функцій, де аргумент розміщується під знаком квадратного кореня. Розглянемо 2 такі задачі. Площу круга (5) знаходять за формулою 5 = тхВ2, де В — радіус круга, п » 3,14. Звідси V 71 158

Функція У=4х

Ш лях, що проходить тіло під час вільного падіння, визначають 1 § і 2, де і формулою к =— час, § — прискорення вільного падіння 2 (стала, що приблизно дорівнює 9,8 м/с2). Звідси і

2к

Далі розглянемо властивості функції у =>/х. Область її визначен ня — множина невід’ємних дійсних чисел, оскільки тільки з невід’ємного числа можна добути квадратний корінь. Складемо таблицю значень функції для кількох значень аргументу х. X У

0 0

1 1

2 1,41

3 1,73

4 2

5 2,24

6 2,45

7 2,65

8 2,83

9 3

Дробові значення тут наближені. Точки з координатами, наведени ми у цій таблиці, позначимо на малюнку 17.1, а. Якщо на координат ній площині позначити точки з координатами х і у за умови, що змін на х набуває всіх невід’ємних дійсних значень, то одержимо графік функції у =у[х (мал. 17.1, б). Цей графік — одна вітка параболи, вона виходить з початку координат і розміщена в першому координатному куті. Функція у=у[х зростає на всій області визначення.

Мал. 17.1

Властивості функції у =\[х можна встановити за графіком, зобра женим, наприклад, на малюнку 17.1, б. Подаємо їх у вигляді таблиці. Властивості функції

Вид функції у = \[х

О бласть визначення

Усі невід’єм ні числа (х >0)

О бласть значень

Усі н евід’ємні числа (у >0)

Д одатні значення

Усі числа, крім х= 0

В ід ’єм н і значення Проміжки спадання

— —

Проміжки зростання

х >0

У сучасній математиці графіки функцій використовують досить часто. Зупинимося на графічному розв’язуванні рівнянь. 159

Квадратні корені і дійсні числа

Нехай треба розв’язати рівняння —-у[х =0. X Замінимо дане рівняння рівносильним —= \[х і побудуємо в одній д; системі координат графіки функцій у - — і у -у [х (мал. 17.2). х

Ц і графіки перетинаються в точці з абсцисою х = 4. Підставивши х = 4 у дане рівняння, переконуємося, що 4 — точний корінь рівняння. Інших спільних точок побудовані графіки не мають, отже, дане рівняння має тільки один корінь: х = 4. ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Граф ік ф ункції у= у[х не о б о в ’язково будувати за точками. Виявляється, що цей графік для х > 0 сим етричний графіку функціїг/= х2відносно бісектриси п ер ш ого координатного кута. Адже рівності у=у/х і у2=х при дод атном у х вираж а ють одну і ту са м у залеж ність між зм ін н и м и х і у. Якщо у другій з цих рівностей поміняти х на у, з. у — на х, то це рівнозначно зам іні осі х віссю у і навпаки. Такі функції, як у=4х і у = х2, (х > 0), називаю ть оберненими. Побудуй їх графіки в одній систем і координат і переконайся, що вони симетричні відносно п р я м о ї у= х.

С ц ' ПЕРЕВІР СЕБЕ

^ П ерейди за посиланням 73е.ее/сиЬсі та закріпи матеріал параграф а (Тема. Н айпростіш і функції. Урок 1).

Якою є: а) область визначення; б) область значень функції у =у[х ? Чи має функція у =\[х : а) найменше значення; б) найбільше значення?

О Який графік має функція у = 4 х ? 160

Функція У=у[х

ВИКОНАЄМ О РАЗОМ !

В одній системі координат побудуй графіки функцій у = у[х, у =2\[х та у - -2\[х. Розв’язання. Складемо таблицю відповідних значень х і у. X

0,5

у[х

0,7

1,4

1,7

2,2

2,4

2,6

2,8

2у[х

1,4

2,8

3,4

4,4

4,8

5,2

5,6

-2у[х

-1,4

-2

- 2,8 -3,4

-4

-4,4

-4,8

-5,2

-5,6

-6

Дробові значення тут наближені. Побудуємо в системі координат точ ки, координати яких подано в табли ці. Одержимо графіки відповідних функцій (мал. 17.3). ВИКОНАИ УСНО

848. Знайди значення функ ції у =\ [ х , якщо х = 1 ; 16; 36; 100; 0,04; 1,21. 849. При якому значенні х значення функції у = у [ х дорівнює 8? А 4

Б 8

В 16

Г 64

850. Через яку з точок не проходить графік функції у=у[х? А (4; 2) Б (4; 16) В (9; 3) Г (0,01; 0,1) 851. Розв’ яжи рівняння. а) л[х =0; б)л/х =- 1; в) \[х = 2. 852. Скільки спільних точок мають графіки функцій? -Iі а) у=1 і у=^/х; б) у=у[х і у - - 5. РІВЕНЬ А

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

853. Заповни таблицю для функції у=у[х. X

0,25

2,25

6,25 7,84

12,25

14,44

У Побудуй графік. 161

Квадратні корені і дійсні числа

854. Користуючись графіком функції у=у[х (мал. 17.4), знайди: а) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: 0, 8; 1;1, 2; 2,3; 4; б) значення аргументу, якому відповідає значення функції, що дорівнює: 0; 1,3; 1,7; 2. ( 855. Користуючись графіком функ ції у=у[х (мал. 17.4), знайди: а) значення функції, якщо зна чення аргументу дорівнює: 0; 0,5; 2; 2,5; 3; б) значення аргументу, якому відповідає значення функції, що дорівнює: 0,5; 1; 1,5; 2,2. 856. Функцію задано формулою у =\[х . Знайди значення: а) функції, якщо значення аргументу дорівнює: 4; 64; 121; 0,16; 2500; б) аргументу, якщо значення функції дорівнює: 4; 0,5; 1,1; 13. (857. ~ТИе £ипсііоп із § і у є п Ьу іЬе £огти!а у - 4 х . Гіпсі іЬе уаіие о£: a) іИе £ипсііоп і£ іЬе аг^итепі уаіие із ециаі: 9; 25; 1,21; 0,04; 4900; b ) іЬе аг^итепі і£ ІЇіе £ипсііоп уаіие із ециаі: 1; 0,3; 1,2; 15.

858. Я кі з точок належать графіку функції у =4~х ? ° 0 '.6

А............. і 1; 1); £(0,09; 0,3);

С(0,4; 0,2);

£(16; -4); ґ 7 2Л Е 2т ; і 4 9 З

9’

(859. Ч и п р о ход и ть г р а ф ік ф у н к ц ії у =4 х через т о ч к и :

А(16; 4);

Б(16; -4);

С ( -5; 25);

І Щ 0; л/Ї0 )?

Порівняй числа (860, 861). 860. а) л/32 і л/35;

б) дДдУ і Т Ш " ;

в) лУЖвТв і 7;

г) л/2300 і 20^5. б) 7 ^ 38 і

( 8бГ)а) л/73 і л/72;

г) л/і 800 і 30л/2.

в) >/б5Д і 8;

М іж якими двома послідовними цілими числами міститься число (862, 863)? 862.;а) УІ2;

б) V I 7;

в) л/90;

г) ->/13.

( 8 6 3 І) а ) у[Е;

б) УІ21;

в) л/І05;

г) - Т з з .

Функція У=\[х

864. Гра. Один із учасників/одна із учасниць записує квадратний корінь ^ 9, з деякого числа, другий/друга — ще один квадратний корінь, а тре•О тій/ третя — має їх порівняти. Потім учні/ учениці міняються ролями. (865 Існує 10 точок, які належать графіку функції у=2л[х. їх абсциси містяться у першій таблиці, а ординати — у другій. Правильно установивши відповідність між числами першої таблиці і буквами другої, ти дізнаєшся прізви ще відомого українського математика. Він був учителем М. Г. Крейна, вважав його одним із найкращих математиків України і писав про нього: «Мені дуже приємно вважати його сво їм першим учнем». Портрет цього математика висів на стіні домашнього кабінету Марка Гри горовича. Дізнайся більше про М. Г. Крейна. М. Г. Крейн 1

1,21

100

400

0,09

169

7 Ї6

0 ,6

2 ,2

Розв’яжи графічно рівняння (866, 867). 866. а) у[х =3;

б) у[х = х;

в) у[х +2= 0 .

(867. а) л/х +3 =0;

б) у[х = 0,5х;

в) у[х-2= 0.

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

868. Побудуй в одній системі координат графіки функцій у =у[х і у =х 2, якщо х > 0. Чи симетричні ці графіки? Відносно якої прямої? 869. Дано графік функції у = л[х. Чи перетинає його пряма: а) у = 1; б) у =- 1; в) у = 4; г) у =-4 ; ґ ) у = 100;

д ) у = -1 0 0 ?

Якщо перетинає, то в якій точці? 870. Не виконуючи побудови, знайди координати точки перетину гра фіка функції у =у/х і прямої. а) у = 3; в) у = 144;

б) у =-3 ; г) у = -1 44.

163

Квадратні корені і дійсні числа

На малюнку 17.5, а, б побудовано графіки функцій у - х; у = х 2, у =у[х. Користуючись

графіками, порівняй (871, 872): 871?)а) 0,72 і 0,7;

11 *>

лі

б) 1,3 і лДГз ;

// і V Ч

О 2

=^ Уи=

в) 0,26 і у/0,26 ; (872?)а) 0,22 і ^0^2;

г)

0 і

чб,

2 ї

б) 2 і л/2; У,

в) 0,31 і л]0,31;

г)

і1 '

873. Розмісти числа у порядку зростання. а) 0,32; 0,322; д/0,32 ; б) 1,74; 1,742; л/ЇД4. (874. Розмісти числа у порядку спадання. а) 3,57; 3,572; 73,57; б) 0,2; 0,22; 7 ^ 2Розв’ яжи рівняння графічним способом (875, 876). 875.)а) х + л [ х =6;

б) х 2 - у [ х = 0;

( 876. іа) у[х +2= х;

< ■* /іі

иу \

IX б

Мал. 17.5

в) у [ х ~ — = 0.

б) х 2+у[х = 0;

(877. Чи має розв’язки рівняння? а) у[х =х +3; б) х+у/х +1 =0;

в) у[х +—=0 . X в) \[х =0 ,5 х -4 .

878. Скільки коренів має рівняння? а) 4 х =0,5х+2;

б) у[х =^(х +2);

в) у/х =- —. X

Побудуй графік функції (879, 880). 879. іа) у.

\-2х, якщо х <0, [у[х, якщо х >0;

Зх +4, якщо х <- 1, б) у-

л;2, я к і ц о - 1 < л;< 1 ,

у[х, якщ ох> 1.

З, якщ ох< -3, (8 8 0 .) У

- х , якщо - 3 <х <0, у[х, якщо х > 0 .

881. Побудуй графік функції. а) у=у[х +3; б) у =4х+

в) у =у[х- 3.

Функція у =4х

(882? За допомогою Безтоз Саісиїаіог (ІіМрзі/Уузе.ее/сиЬе1) побудуй гра£ ) фіки функцій в одній системі координат. Щ о ти помітив / помітила? а) у=\Гх і у =-у[х; б) у=у[х і у - 2\[х; в) у =2у[х , у =у[х і у =^у/х. £

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

883. Розв’ яжи графічно рівняння, а) 4 - х =д: +6; б)

=х 2.

884. Побудуй графік функції у =л](х-2)2 - 2х. ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

с й

2а 2 я +1 887. У таблиці представлено результати ви конання учнями та ученицями десяти за вдань діагностувальної роботи. Скільки учнів / учениць одержали більше 7 балів? Скільки це становить відсотків від усіх учнів / учениць класу? в) 1- а +

Уі

Спрости вираз (885, 886). 885. а) 0,2х~2у • 5х 2у 2\ б) (а 1 + Ь х) • (а + Ь) х; 2 -3 ґт 4 п -2 Л ( т 2п-3 Л в) г) , I 9Р ) I 3Р ) X 2х К іл ь к іс т ь К іл ь к іс т ь б) 886. а) б а л і в у ч н ів / у ч е н и ц ь х 2- 4 Зх +б ’ Здг-1 6х -2 х )

[ а

* )

С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Ум ію будувати графік ф ункції у = 4х за точками (0; 0); (1; 1); (4; 2) (9; 3). М ож у встановити, яка з точок належить графіку заданої функції, а яка — ні. Ум ію характеризувати властивості ф ункції у = 4х за її графіком. Умію графічно р о з в ’язувати деякі рівняння, що містять 4х .

1Безшоз Саісиїаіог (1ііір8://\у\¥ ^.с1е8тоз.сот/са1си1аіог?1ап£= ик) Перейди за посиланнями та • підсумуй головне в розділі 1 ііір з:/ / у 8 е.е е / сг а г • ознайомся з історичними відомостями 1 ііір з:// У 8 е .е е /сга и

165

Квадратні корені і дійсні числа

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ ВАРІАНТ І

1. Обчисли. а) 2^81-3^25;

б)л/5-7І5;

в) 7б82-3 2 2.

2. Спрости вираз.

б) (і + ^

а) ( 4 -7 з )(4 + 7 з ); 3. Скороти дріб

- л/20;

в) ТЇ2 + л/75-бТз.

■ . у/а +1

4. Розв’яжи графічно рівняння у[х =0,5х. ВАРІАНТИ

1. Обчисли. а) Зл/ІОО- 2л/36;

6)77-728;

в) л/822-1 8 2.

2. Спрости вираз.

а) (б +>/5)(б-Л/5);

б) (3- ^

+УІ72;

в)л/20 +%/Ї25- 8л/б.

3. Скороти дріб Х бл/х ^ у/х- 6 4. Розв’яжи графічно рівняння у[х =х - 6 . ВАРІАНТ III

1. Обчисли. а) 5л/їб +2>/б4;

б) л/3-л/75;

в) л/582-4 2 2.

2. Спрости вираз. 2

а) (7 4 4 -б )(7 І4 +б); б) (2+л/з) -л/І8; 3. Скороти дріб

л/л +2

4. Розв’яжи графічно рівняння \[х =6 - х .

в) 78+л/б0-б72.

Готуємося до тематичного оцінювання

щ .

ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ

Тестові завдання № 4

■Скільки коренів має рівняння х 2 = 4? А один Б два В безліч

Г жодного

Число л/бі міститься між числами: А 5і 6

Б 6і 7

В7і 8

■Укаж и , яке число є ірраціональним. А л/25 Б -1 ,7 В 3,14

Г 8і 9

О Значення виразу 2л/25-4 дорівнює: А 5

Б 6

Г 2

В4

) Рівність і'Гх) =~х виконується, якщо: Ах>0

Б х =0

В х <0

Г х — будь-яке

^ 2 Графіком якої функції є парабола? А у =у[х

Б у = х2

в УЛ

Г у =5

Знайди корені рівняння у[х =3. А л/3 0

Б З

В 9

Г 9 або -9

В 33

Г 113

Значення 4/11— дорівнює: А її З

Б — 10

Спрости вираз л/27л;2, якщо х < 0. А 9ху[з

Б ЗхуІЗ

В -9х\/з

Г -3х^[3

Графік функції у =4 х проходить через точку: А (2; 4)

Б (1; 2)

В (4; 2)

Г (4; -2)

Квадратні корені і дійсні числа

ТИПОВІ ЗАВДАННЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ № Ц

Знайди значення функції у =уі2х 2 +1, якщо значення аргументу дорівнює -2 . А лрГ Б л/8

В З

Г 3 або -З

Внеси множник під знак кореня 5\/3. А л/8

Б ч/Ї5

В л/75

Г л/І25

О Який знак потрібно поставити замість * у виразі Зл/б * 2л/ЇТ ? А>

Б<

В=

Г н е можна встановити Установи відповідність між виразами (1-3) та їх значеннями (А-Д)

1 л/225-2 л/Ї44

А -9

/2-(732 + 7 8 )

В 5

Б 1

0 л/ббл/ГТ 3

Г 11

Д 12 Розв’яжи графічно рівняння х 2 =\[х. Виконай дії.

а) л/Ї0(л/20-2л/45 +ТІ25)-5>/2;

б) ^ 9 - 6 уі2 +лі9 +6уі2 ) ;

в) і т Ь

г)

- ^

;

Звільнися від ірраціональності в знаменнику дробу. 15 8 б) а) 4б+у[2' 75’ Спрости вираз. а) аЬу]а3Ь - 5а2\ІаЬ3, якщо а > 0; б) аЬ279а6Ь3 - 5 а2ЬуІа4Ь5, якщо а < 0. Додаткове завдання

О Розв’яжи рівняння >/5 +71+л/х =3.

Розділ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ М е н і д о в о д и т ь с я р о з п о д іл я т и с в ій ч а с м іж п о л іт и к о ю і р ів н я н н я м и . А л е р ів н я н н я , на м о ю д у м к у , н а б а г а т о в а ж л и в іш і. А. Ейнш тейн

У п о п е р е д н іх к л а с а х ти в ж е н а в ч и в с я / н а в ч и л а с я с к л а д а т и та р о з в ’я зу в а т и р івн я н н я, але тіл ь к и н а й п р о с т іш і, до я к и х з в о д я т ь ся п о р ів н я н о н е с к л а д н і за д а ч і. Д л я р о з в ’я з у в а н н я с к л а д н іш и х з а д а ч в и к о р и с т о в у ю т ь к в а д р а т н і р ів н я н н я . В и в ч и в ш и ц ю те м у , ти з м о ж е ш р о з в 'я з у в а т и б а г а т о п р и к л а д н и х з а д а ч з р із н и х га л у з е й зн а н ь . Неповні квадратні рівняння

§18 Іп с о т р іе їе Оиасігаїіс

Квадратний тричлен

§21 Оиасігайс ТгіпотіаІ

Едиаііопз

§19

Ф ормула коренів квадратного рівняння Оиасігаїіс Едиаііоп Рогт и іа Я о о їз

Квадратне рівняння як математична м одель п рикпадноїзадачі

§22 О иасігаїіс Е д и аііоп з аз а

М а їН е та й са І Аррііесі Р го Ь Іе т

Теорема Віета

§ 2 0 У іе іа Т ґіе о ге т

У ц ь о м у р о з д іл і т и д із н а є ш с я п р о : н е п о в н і к в а д р а т н і р ів н я н н я ; ф о р м у л у к о р е н ів к в а д р а т н о г о р ів н я н н я ; т е о р е м у В іє т а ; р о з к л а д а н н я к в а д р а т н о г о т р и ч л е н а на м н о ж н и к и .

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і д о б р е за сво їти нову тему, пригадаєм о: — щ о таке рівняння і корінь рівняння; — що означає р о зв ’язати рівняння; — які рівняння називаю ть лінійним и з однією змінною; — які рівняння називаю ть рівняннями перш ого степеня з однією змінною; — скільки коренів м ає рівняння перш ого степеня з однією змінною; — квадрати натуральних чисел; — як добувати квадратні корені з невід’єм н и х чисел.

§18. Неповні квадратні рівняння V.

КЛЮЧОВІ СЛОВА Ґ----------------------------------------------------------------------------------■коеф іц ієнти квадратно го рівняння — соеіїісіепіз оі а циасігаііс ециаґюпз ■ неповне квадратне рівняння — іпсотріеіе циасігаііс ециаііопз Задача. Одне з двох чисел більше за друге на 6, а їх добуток дорів нює 112. Знайди менше число. Розв’язання. Позначимо менше із шуканих чисел буквою х. Тоді більше число дорівнює х + 6. їх добуток — 112. Отже, х(х + 6) = 112, або х 2+ 6 х - 112 = 0. Це рівняння другого степеня з однією змінною. Такі рівняння на зивають також квадратними. Як його розв’язувати, покажемо у на ступному параграфі. К вадратн и м називають рівняння виду а х 2 + Ьх + с = 0, де х — змінна; а, Ь, с — деякі числа, причому а ф 0. Числа а, Ь, с — коефіцієнти квадратного рівняння: а — перший коефіцієнт, Ь — другий, с — вільний член. За означенням перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю. Якщо хоч один коефіцієнт (Ь або с) дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів: 1) ах2 = 0; 2) ах2 + Ьх = 0; 3) ах2 + с = 0. 1. Рівняння виду ах2= 0 рівносильне рівнянню х 2 - 0 і тому завжди має тільки один корінь х - 0. 170

Неповні квадратні рівняння

2. Рівняння виду ах2 + Ьх = 0 рівносильне рівнянню х(ах + Ь) = 0 і завжди має два корені: х х = 0п, х2 =—Ь . а Приклад. Розв’яжи рівняння 5х2 + Ах = 0. Розв’язання. Винесемо змінну х за дужки: х(5х + 4) = 0. Отже, х = 0, або 5х + 4 = 0, звідси х = -0 ,8 . Відповідь. х х = 0, х 2 = -0 ,8 . 3. Квадратне рівняння виду ах2 + с = 0 (с Ф 0) рівносильне рівнянню

І С

х =— . Якщо — >0, то воно має два розв’ язки: Х-, = .— і а а V а

х2 =-.\ — ; якщо - —<0 — жодного розв’язку. V а а Приклад. Розв’яжи рівняння 4л:2 - 3 = 0. З х — чисРозв’язання. Перетворимо дане рівняння: 4х = 3, х.2 =—, 4

3 /З . ло, квадрат якого дорівнює —. Таких чисел є два: . — і 4

/з —.

*/3 уіЗ Відповідь. хх =— , х2 =--— . 2 2 ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Деякі квадратні рівняння (повні) можна р о зв ’язувати, зводячи їх до неповних квадратних рівнянь. Наприклад, користую чись ф орм улою квадрата двочлена, рівняння х2- 2х + 1 =0 можна подати у вигляді (х - І)2=0 і р о з в ’язати його так: (х - І)2дорівню є нулю тоді і тільки тоді, коли х - 1 = 0, тобто X = 1. Таким сп о со б о м можна р о зв ’язати кожне квадратне рівняння, ліву частину якого можна подати у вигляді квадрата двочлена. Наприклад, 4у2+4у +1 =0, (2г/+ і)2 = 0, 2г/ + 1 = 0,

с2- 2 уі2 с +2 = 0,

( с - 7 2 ) 2 = 0,

у =- 0,5.

с - у/2 = 0,

с = 7 2.

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Я кі рівняння називають квадратними? Я кі рівняння називають неповними квадратними? Назви три види неповних квадратних рівнянь. Я к розв’язувати кожний з них?

О Скільки розв’язків може мати неповне квадратне рівняння?

171

Квадратні рівняння

ВИКОНАЄМ О РАЗОМ !

Розв’яжи квадратне рівняння. а) Зх2 - 6х = 0; б) 2у2 - 72 = 0. Розв’язання. а) Зх2 - 6х = 0; б) 2у2- 72 = 0; Зх(х - 2) = 0; 2у2 = 72; Зх = 0 або х - 2 = 0; у2 - 36; х х = 0, х 2 = 2. ух = 6, ,у2 = - 6 . Відповідь, а) х х = 0, х 2 = 2; б) = 6, у2 = -6 . 9 16 ---- 1. 1 х +25 х д\* і0\*+25 +--------- 2 \х'+2Ьх _ 0 Розв’язання, х +25 х Розв’яжи рівняння

9х +1 6 х+ 4 0 0 -х2 25х X (х +25)

4 0 0 -х 2 X (х+25)

0, 4 0 0 -х 2 =0,

звідси х х = -2 0 , х 2 = 20. При цих значеннях х знаменник не перетворюється на нуль. Отже, х г = -2 0 , х 2 = 20 — корені рівняння. Відповідь. х х = -2 0 , х 2 = 20. ВИКОНАИ УСНО

888. Я кі з даних рівнянь є квадратними? а) х 2 =—+3; б) 2х2 - Зх = 0; X г) 2х2 + х л = 0; ґ) 5х2 = 4 - Зх; 889. Я кі з рівнянь є неповними квадратними? а) х 2 + 8 = 0; б) у[2х2 =0; г) х 2+—=0; ґ) л/5х2+тгх= 0; X Розв’яжи рівняння (890-892). 890. а) Зх2 = 0;

б) л/7г/2 = 0;

в) д)

в)

і;

д)

в)

891. а) х 2 - 2х = 0; б) Зг2 - 6г = 0; в) 892. а) у2 - 9 = 0; б) 2х2 - 8 = 0; в) 893. Яке з рівнянь має один корінь? А 2х2 = 8 Б 2х2 = 0 В 2х2 - 8

2= 0. - с2 = 0. 2 + 1 = 0. Г 2х2 - х = 0

Неповні квадратні рівняння

894. Скільки коренів має рівняння 5л:2 + 20 = 0? А один Б два В жодного Г безліч 895. Як потрібно змінити рівняння 8х2 - 32 = 0, щоб воно мало: ^ а) один корінь; б) жодного кореня? ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ А

З наведених нижче рівнянь випиши: а) квадратні рівнян ня; б) неповні квадратні рівняння. Для кожного квадратного рівняння укажи, чому дорівнюють його перший і другий коефіцієнти та вільний член (896, 897). 896. а) х 2 + Зх - 7 = 0;

б) - 2 х 2+л/Зх =4;

в) 6х2 - х А= 0;

г) —х 2+2х =0; З

ґ) лг+—+4 =0; х

д) 9л:2 = 0.

(897. а) х 2 - 2л: + 6 = 0; б) х 3 - 2х2 = 0; в) х 2-2 5 =х. Заміни данерівняння рівнянням виду а х 2 + Ьх + с = 0 та вкажи значення коефіцієнтів а, Ь і с (898, 899). 898. а) 2х(х - 3) = 50; б) (3 - у)у = 5у2 - 4; в) 4г2 = 2г(3,г + 5); г) (1 - х)(3х - 2) = 2х + х 2. (899? а) (х - 1)(х - 2) = 4х; б) 3(х + 5) - 8 = -5 х(х + 2). Розв’яжи рівняння (900, 901). 900. а) Зх2- 27 = 0; б) Зх2 + 27 = 0; в) 0,5у2 + у = 0; г) 2 - 2г2 = 0; ґ) х 2 - 144 = 0; д) 0,16х2 + 100 = 0; е) 16х2 = 25; є) - 4 у2- 0; ж) |л/7-л/з)х2 =0. (901 а) 2х2 - 8х = 0; б) х 2 + Зх = 0; в) 12х = 0,24х2; г) х - х 2 = 0; ґ) -0 ,1 х 2 = 0; д) 9х2 = 0; е) 9х2 = 64; є) - 2 х 2 + 50 = 0; ж) ЮОх2- 225 = 0. 902. ШіііиЖ Розв’яжи рівняння. а) х 2 = 25х. А -5 ; 5 Б 0; 25 В 25 Г -5 ; 0; 5 Д -25; 0 б) 4х2 = 1. А -2 ; 2 Б 2 В 0,25 Г 0,5 Д -0 ,5 ; 0,5 903. Гра. Один із учасників / одна із учасниць записує неповне квадратне рівняння, а другий / друга має його розв’язати. Потім учні/учениці міняються ролями. 904. Розв’ яжи рівняння. а) (х - 1)х + Зх = 0; б) 2у(у + 5) = 6у; в) (2 + 2)(2 - 2) = 0; г) (х + 2)(х - 2) =4; ґ) 5х2 + Зх + 7 = 7(х + 1); д) 2(х2 - 1) = (х - 1)(х + 1). 173

Квадратні рівняння

905. Установіть відповідність між рівняннями (1-3) та кількістю їх П'Ч коренів (А-Д ). •О

___________

1 2х(х + 5) = х 2 + 7х

А один Б два В три Г жодного Д безліч

2 4 л;2 - 2х = х(х - 2)

3 -8 - 6х = 2х(х - 3)

Розв’яжи рівняння (906, 907). 906. а) (907 ї а)

5 -х 2 З

Зх2- 2

х2 1 З 7 4 4'

б) б)

2+1

2х 2+3

в)

2гг _ Зг2+ 1 5

в)

У -2 4

у+2

Я кі значення змінних задовольняють пропорцію (908, 909)? 908. а) (х + 1) : 2 =*4 : (х - 1); б) (х - 4) : 3 = 3 : (х + 4); в) (Зх2 - 4) : 5 = Зх2 : 20; г) (0,2 - х) : 4 = (0,01 + х) : (0,2 + х). (909? а) (Зх - 6) : х = 5х : (Зх +6); б) (2х + 1) : 13 = 3 : (2х - 1). 910. Знайди периметр квадрата,площа якого дорівнює: а) 289 см2; б) 0,81 м2; в) 5. (911. Знайди сторону квадрата, якщо його площа дорівнює: а) 484 м2; б) 8. Користуючись калькулятором, розв’яжи рівняння (912, 913). [] 912. а) 2,324х2 = 93,70949; б) 4,574г2 = 4,8027г. п( 913.)а) 4,022у2 - 9,0495 = 0; б) 7,467х2= 7,84035х. 914.155 га поля квадратної форми засіяли пшеницею, а решту — 89 га — житом. Знайди периметр цього поля.

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ Б

Розв’яжи рівняння (915, 916). 915.)а) ( х - 1)(х- 5) +(х+ З)2 = х 2+18; б) (х -2 )2- ( х +1)(х +4) =х(х +3); в) (х +3)2+(х-1)2 =(х-2)(х+6) +23. ( 9 1 6 ? ) а) (х + 2 ) 2 + (х + 1 0 ) ( х - 2 ) = х ( х + 1 2 ) ;

б) ( х + 6 ) ( х + 1 ) - ( х + 5 ) 2 = х 2 - 1 9 ; в) ( х - 2 ) 2 + ( х + 1)2 =(х +3 )( х - 1 ) + 8 .

«Рівняння — це золотий ключ, що відчиняє усі математичні сезами». С. К о в а л ь

Неповні квадратні рівняння

Не виконуючи побудови, знайди координати точок перетину гра фіків функцій (917, 918). 917.)а) у = х 2і у = 121; б) у = х 2і у = Зх. 918.) а) у = х 2 і у = 2,56; б) у = х2 і у = -2 х . Розв’яжи рівняння (919—922). 919.)а) 3(л; - 5)2 = 0; б) (х - З)2 = 1; в) 3(5 - у)2 = 12; г) х 2 - 6х + 9 = 0; ґ) Зл2 + 36л: =-108. (920.)а) 2(3* - 2)2 = 0; б) (г - 4)2 = 4; в) 2(х - 7)2 = 18; г) х 2 - 10л: + 25 = 0; ґ) 4х2 + 32л: =-6 4 . 921.)а) —^— і— — = 4; ' х+3 х - 3 12 х -р +------ =-3; х -4 х -2

б) ^ + ^ = 3 ^ ; х -2 х + 2 З „ 7(2х +5) 2 г) --------— +-----х -10л:+25 л;-5

(9223а)

б) ^ +^ - =2 2; лг+5 х - 5 З

х -2

х -1

5(л +2) | 1 4 З-4л:2____5__ 3 +л: л:2- 9 л:-3 л:2+ 6л:+9 л: +3 923.^) Знайди довжини катетів прямокутного рівнобедреного трикутника, площа якого дорівнює 0,72 дм2. 924.)Площу круга радіуса г знаходять за формулою 5 =яг2. Знайди радіус круга, площа якого дорівнює: а) 314 см2; б) 8. 925.) Площа кільця дорівнює 942 см2, а радіус його зовнішнього кола — 20 см (мал. 18.1). Знайди радіус його внутрішнього кола. 926. Добуток двох послідовних натуральних чисел на 324 більший за менше з них. Знайди ці числа. (927. Добуток двох послідовних натуральних чисел на 224 більший за більше з них. Знайди ці числа. Мал. 18.1 928.) Сума квадратів трьох послідовних натуральних чисел дорівнює 365. Знайди ці числа. Як слід позначити їх , щоб розв’язання за дачі звелося до неповного квадратного рівняння? 929.) Знайди число, яке менше від квадратного кореня з цього числа в 2,5 раза. 930. Добуток двох чисел на сусідніх кріслах у залі в 1,5 раза більший за квадрат меншого з них. Знайди ці номери крісел. 931.} Знайди периметр прямокутного трикутника, у якого гіпотенуза дорівнює 10 м, а катети відносяться, як 3 : 4.

Квадратні рівняння

932. і Знайди периметр прямокутника, якщо його сторони відносяться, як 5 : 6, а площа дорівнює 120 см2. 933. На станції технічного обслуговування, виконуючи замовлення, май стер і учень працювали разом 2 год. Решту роботи учень закінчив сам за 4 год. За скільки годин майстер зміг би виконати цю роботу самостійно, якщо учню на це знадобилося б на 8 год більше? 934. Одна бригада працювала на ремонті дороги 8 днів, після чого до неї приєдналася друга бригада, і за 4 дні спільної роботи вони за кінчили ремонт. За скільки днів могла б відремонтувати дорогу друга бригада, працюючи самостійно, якщо першій бригаді для цього потрібно на 16 днів більше, ніж другій? (935. Довжина паркану для огорожі однієї квадратної клумби на 8 м менша від довжини паркану іншої квадратної клумби, а їх площі відносяться, як 1 :4 . Знайди довжини парканів кожної клумби. 936. М айстриня виш ивала серветки квадратної форми двох розмірів (мал. 18.2). Сторона однієї серветки на 3 дм довша від сторони іншої, а їх площі відносяться, як 9 : 4. Скільки мережива їй знадобиться для оздоб лення по периметру 2 великих і 6 ма леньких серветок? Мал. 18.2 937. За якої умови дорівнює нулю: а) один корінь квадратного рівняння ах2 + Ьх + с = 0; б) сума коренів рівняння (х - а)(х + а - Ь) = 0? 938. Розв’яжи рівняння, а) х 2-7\х\-0;

б ) 2 * 2- Й - : 0. \х\

(939. 8о1ує іііе ециаііоп. а) х 2+3 |х|-х= 0;

Ь) х 2+

940. іСкладіть неповне квадратне рівняння, яке мало б корені: а) -3 і 3; б) - уі2 і л/2; в) 0 і 7; г) 0 і -4 . ( 941.)Відкрита задача. Доповни вираз 2х2 + х - 8 так, щоб утворилося рівняння, яке мало б корені: а) 0 і -2 ; б) -2 і 2. 942?)Відкрита задача. Доповни вираз х 2 - Зх так, щоб утворилося рів няння, яке мало б корені: а) -3 і 3; б) 0 і -3 .

Неповні квадратні рівняння

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

943. Знайди радіус кола г, якщо площа зафарбованої фігури (мал. 18.3) до рівнює 5 , а сторона квадрата — а. 944. За яких значень а корені рівняння рівні за модулем, але протилежні за знаком? а) Xі + (а2 + 5а)х + 9 + 2а = 0; б) х 2-(\а\-3)х-а2+3а = 0. ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

945. Обчисли.

12 — + 80

1 ' \~ 5

:(-0,8) : (-2).

946. Знайди останню цифру числа, а) 5100; б) б66; в) 4'000; г) 98 947. Спрости вираз і знайди його значення. (х 2 + Злеті/ + 2у2)(х - 3у) + 6у \ х + у), якщо х = 6, у = 5. 948. Опиши властивості функції, заданої графіком (мал. 18.4, 18.5).

Мал. 18.4

Мал. 18.5

С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь М ож у навести приклади квадратних рівнянь. Знаю , що таке неповне квадратне рівняння.

Квадратні рівняння Умію розв’язувати неповні квадратні рівняння.

ах +Ьх= 0 х (ах+ Ь) =0 х =0, або ах +Ь =0 , Ь ах =-Ь, х =— , а

ах2+с =0 ах2=-с X2=—Є , а X, 2 =±./--- , ЯКЩО - —>0

Vа

178

хх=0, х2 = -—

ах2=0 х2 =0 х= 0

Формула коренів квадратного рівняння

Розглянутий спосіб розв’язування квадратного рівняння називають способом виділення квадрата двочлена. Розв’яжемо цим способом рівняння 5х2- 2х - З = 0. Щоб перший його член став квадратом одночлена з цілим коефіці єнтом, помножимо обидві частини даного рівняння на 5: 25х2- 1 0 х -1 5 = 0 , 25х2- 2 - 5 х - 1 + 1 - 1 - 1 5 = 0 , (5х - 1)2= 16. Отже, 5х - 1 = 4, звідси 5х = 5, х = 1; або 5х - 1 = - 4 , звідси 5х = -3 , х = -0 ,6 . Відповідь. х х = 1, х 2 = -0 ,6 . Розв’яжемо таким способом рівняння а х 2 + Ьх+ с = 0. Помножимо обидві частини рівняння на 4а(пам’ятаємо, що а Ф 0): 4а 2х 2 + 4ах ■Ь + 4ас = 0, (2ах)2 + 2 • 2ах • Ь + Ь2 - Ь2 + 4ас =0, (2а х + Ь)2 = Ь2 - 4ас. Вираз Ь1 — 4ас називають дискрим інантом (від лат. сіізсгітіпапз — розрізняючий) даного квадратного рів няння і позначають буквою І). Якщо Б < 0, то дане рівняння не має коренів: не існує такого зна чення х , при якому значення виразу (2ах + Ь)2 було б від’ємним. Якщо І) = 0, то 2ах + Ь = 0, звідси х =-■—-— єдиний корінь. 2а Якщо І) > 0, то дане квадратне рівняння рівносильне рівнянню (2а х +Ь)2 =(л/ї)) , звідси 2ах+Ь=у[Б, х =~~^—~

а^° 2ах +Ь= - Л 5 ,

-ь-4г>

х =----------- . 2а У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються тільки знаками перед л/ї). Коротко записують: х 12 = -

, де І) = Ь2 - 4ас. 2а Це формула коренів квадратного рівняння а х 2, + Ьх + с = 0. Користуючись нею, можна розв’язати будь-яке квадратне рівняння.

179

Квадратні рівняння

Приклад 1. Розв’яжи рівняння. а) Зх2 - 5х + 2 = 0; б) х 2 + 6х + 9 = 0; в) 5л:2 - х + 1 = 0. Розв’язання. а) Б = (-5)2 - 4 • 3 • 2 = 25 - 24 = 1, Б > 0, 2 у 5±л/ї 5±1 « щЛ/Л , Л.« шЛЛЛ Л / .) 4 6 6 і 2 З б) Б = б2 - 4 • 1 • 9 = 36 - 36 = 0. Отже, дане рівняння має один 6+0 0 0 корінь: х = — - — =-3; х =-3; -------------------- --- --------------- •

--------

в) І) = (-1)2 - 4 * 5 1 = 1 - 2 0 = -1 9 , В < 0. Рівняння коренів не має. 2 Відповідь, а) х х = 1, х2 =—; б) х = -3 ; в) рівняння коренів не має. Формулу коренів квадратного рівняння використовують для розв’язування багатьох рівнянь, які зводяться до квадратних. Приклад 2. Розв’яжи рівняння. а) АXі - 9х2 + 5 = 0; б) (Зх2 - х - 3)(3х2 - х + 5) = 9. Розв’язання. Такі рівняння зручно розв’язувати шляхом уведення допоміжної змінної. а) 4х4 - 9х2 + 5 = 0. Нехай х 2 = і, тоді х 4 = і 2, одержимо рівняння відносно змінної і". 4і2- 9і + 5 = 0, Б =(-9)2- 4 •4 • 5 = 81 - 80 = 1, _ 9 +У Г _ 9 +1 *1'2~ 2-4 _ 8 ’ ^1_ Повернемося до змінної х:

£>> 0,

_ 9 -1 8 _ 8 _ 4 ’ ^2_ 8

1) х 2 =1, х х =-1, х2 = 1; 0 . 2 5 75 л/5 2) х = - , х3= -— , хА=— .

Рівняння виду а х 4 + Ьхг + с = 0, де

0, називають біквадратним.

б) (Зх2 - х - 3)(3х2 - х + 5) = 9. Нехай Зх2 - х = і, тоді відносно змінної і одержимо рівняння: (і - 3)(і + 5) = 9, і2+ 2і - 15 = 9, і2+ 2і - 24 = 0, £ =4 - 4 • 1 •(-24) = 4 + 96 = 100, И > 0, 4,2 ~

-2+л/Ї00 -2+10 2 2 ’ ^- ’

Повернемося ДО ЗМІННОЇ X. 1) Зх2 - х = -6 , Зх2- х + 6 = 0, Б = (-1)2- 4 • 3 • 6 = - 7 1 ,1) < 0, отже, це рівняння коренів не має. 180

Формула коренів квадратного рівняння

2) Зх2 - х = 4, Зх2 - х - 4 = 0, х г = - 1 , х2 = 1—. З Відповідь, а) х х = - 1 , х 2= 1, х3 =

х4 =-^~; б) х х = - 1 , х2 =1—. 2 З

ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Ф ор м ул у коренів рівняння ах2+ Ьх + с = 0 можна записати і в таком у вигляді: 1,2

-Ь±^Ь2-4ас 2а

Якщо другий коеф іцієнт рівняння — парне число, тобто рівняння м ає вигляд 2 . -к±уік2- ас ах + 2кх + с = 0, то х12 =------------------• а Виведи ці ф орм ули з о сн о вн ої ф орм ули коренів квадратного рівняння.

ь*

П е р е й д и з а п о си л ан н ям узе.ее/сиЬсі та закріпи матеріал параграф а (Тема. Квадратні рівняння. Уроки 1, 2).

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Я к називають рівняння виду ах2 + Ьх + с = 0, де а Ф 0? Щ о таке дискримінант квадратного рівняння? Скільки коренів має квадратне рівняння залежно від його дискри мінанта?

О Який вигляд має формула коренів квадратного рівняння а х 2 + Ьх + с = 0?

^ ке квадратне рівняння називають біквадратним? ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

і Зведи рівняння (х - 4)(2х + 1) = Зх(х - 1) - 9 до ква дратного та знайди його корені. Розв'язання. (х - 4)(2х + 1) = Зх(х - 1) - 9. Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки: 2х2 + х - 8х - 4 = Зх2 - Зх - 9, Зх2 - 2х2 - З х + 8 л : - л : - 9 + 4 = 0 , х 2 + 4х - 5 = 0. Розв’яжемо отримане квадратне рівняння: В = 42 - 4 ■1 • (-5) = 16 + 20 = 36 = б2, -4 +6 -4 -6 -4 +6 х 1,2 -5, х2 1. Відповідь. х х = - 5 , х 2= 1.

Квадратні рівняння

”

Розв’яжи дробове раціональне рівняння - Х - +--------=— —. х - 2 ( х -2 ) ( х -3 ) х - 3 Розв’язання.

)М X\х - г -+ х - 2 ( х -2 ) ( х -3 )

х ( х -3 ) + 2 -2 ( х -2 ) в ( х -2 ) ( х -3 )

,\* -2

х -3

х 2-5 х + 6

_ 0

( х -2 ) ( х -3 ) х 2 - 5х +6 =0,

Дане рівняння рівносильне системі

х - 2 ^ 0, х -3 ^ 0 .

Розв’яжемо квадратне рівняння: 5 +1 , Хі —2, Х2 —3. £ = 2 5 - 4 - 1 - 6 = 1, х г. х - 2 або х - З, Тоді отримаємо систему

х^2, х^З.

Отже, рівняння коренів не має. Відповідь. Рівняння коренів не має.

ВИКОНАИ УСНО

949. За якої умови квадратне рівняння має один корінь? А Л>0 Б Л< 0 В і) =0 Г н е можна встановити 950. Скільки коренів має рівняння х г - 5х + 6 = 0? А один Б два В безліч Г жодного 951. Обчисли дискримінант і вкажи кількість коренів рівняння. а) х2 - 2х + 1 = 0 б) х 2 + 2х + 1 = 0; в) у2 - 6у + 1 = 0 г) г2 + 6г - 1 = 0; ґ) 2х2 - х + 1 = 0; д) Зх2 - 2х - 1 = 0. 952. Яке з рівнянь не має коренів? А х 2 - 2х + 2 = 0 Б х 2 + 2х —2 = 0 В х2 + 5х + 6 = 0 Г х 2- 6х + 9 = 0 953. Яке з рівнянь має два корені? А х 2 + 2х + 1 = 0 Б 2х“ + Зд; —3 = 0 В 4л:2 + 2х + 3 = 0 Г х 2 + 2х + 3 = 0

182

Формула коренів квадратного рівняння

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ А

954. Гра. Один із учнів/одна з учениць записує повне квадратне рівняння, а другий/друга — знаходить дискри мінант. Потім учні / учениці міняються ролями. 955. Побудуй блок-схему для розв’язування повного квадратного рів няння. Користуючись формулою коренів, розв’яжи рівняння (956—963). (956.) а) х 2 - 7х - 18 = 0; б) х 2 + 7х - 18= 0; ■ оІ в) х + х - 6 = 0; г) х —х - 42 = 0. о

( 957. іа) х 2 + Зх - 4 = 0; б) х 2 - 7х - ЗО 0 ; в) х 2 - х - 12 = 0; г) х 2 + х - 20 = 0. 958. а) Зх2 - 2х - 5 = 0; б) 2г2 - З г - 2 -= 0 ; в) 2у2 - 7у + 3 = 0; г) 5г2 - 8г + 3 = =0. (959? а) 2х2 - 7х - ЗО = 0; б) 4х2 + Зх - 10 0 ; в) Зу2 - 7у + 4 = 0; г) 5х2 + 7х + 2 = 0. (960?)а) - х 2 + 8х - 12 = 0; б) 4х2 - 12х + 9 = 0; в) Зх2 + 2х + 2 = 0; г) х 2 + 2х - 1 = 0; ґ) - х 2 + 4х + 2 = 0; д) 9х2 - Зх - 1 = 0. (96Ї? а) - х 2 + 2х + 15 = 0; б) 9х2 + ЗОх + 25 = 0; в) 5х2 + Зх + 1 = 0; г) х 2 + 4х + 1 = 0; ґ) - х 2 + 2х + 5 = 0; д) Зх2 - 2х - 3 = 0. 962. а) 6х2 - 12,5х + 6 =0 ; б) 8х2 - 8,8х + 2,1 = 0. (963?!а) 10у2 - 0,8у = 1,92; б) 4п2 + 11 п + 7,36 = 0. 964. ШіІіиЖ Розв’яжи рівняння. а) х 2 - 8х + 15 = 0; А 3; 5 Б -3 ; -5 В -3 ; 5 Г 3; -5 б) х 2 - 4х + 3 = 0. А -4 ; З Б 1; З В -3 ; -1 Г -2 ; З Д -1 ; 4 Розв’яжи рівняння, що зводиться до квадратного (965—968). 965. а) 4х(х - 1) = 3; б) 3х(3х - 8) = 20; в) Зх(2х - 5) = 2(х2 + 2); г) 2х(3х + 4) = 4х2+ 5х + 27; ґ) (х + 4)(2х - 3) - (5х - 6)(х - 3) = 10. (966? а) 42 ( 2 - 1) = 15; б) 3у(3у - 4) = 5; в) х(7 - х) = 5х - 8; г) Зх(5х + 3) = 2х(6х + 5) + 2; ґ) (2х - 8)(3х + 1) = (4х - 12)(х - 2) + 8. 967. а) (2х - З)2 = 8х; б) (2х + І)2 = Зх + 4; в) 2(3г + 9) = (Зг +5)2; г)12(3 - х) = (Зх - І)2.

Квадратні рівняння

(968?)а) (х - 5)2 = Зх - 5; б) (х + 4)2 = Зл;2 - 8; в) (р - З)2 = 2(р + 1); г) (Зс - 5)2 = 10с - 19. 969.)Е 2 И Розв’яжи рівняння 2х(х + 2) = 5(х + 2). А -2 ,5 ; 2 Б -2 В 2,5 Г -2 ; 0,4 Д -2 ; 2,5 Розв’яжи рівняння (970, 971). _ л; +3 .. 18 .2 + 2 5г+1 970.) а) х +3 =------ ; б) у =-----в) 2 2+ 1’ х у- З ’ . 5+Зт т +3 х 2-5 х +6 _ -----=------ ґ) -------------------- -— =0; г) 5- т т +1 х -3 15 971?) а) —— = х; х +2 ’ . 2 х -1 4х +1 г) =---------; З-2л: 2л: +3

. 2л:2+5л:+2 „ д) ----- — ----=0. х -4

_ Зс2 „ б) — =с - 2; с —1 ’

. л;-5 в) х +3

3 + 2л;

. х 2+х - 1 2 _ ґ ) --------------- =0; л: +4

. 4л;2-11л:- З л д) ------ 5--------- =0. л:2- 9

1—6л: ’

972. Знайди натуральне число, яке на 132 менше від його квадрата. (973. )Знайди число, яке на 0,16 більше за його квадрат. 974.! Знайди два послідовних натуральних числа, сума квадратів яких дорівнює 545. (975. Добуток двох послідовних натуральних чисел більший за їх суму на 239. Знайди ці числа. Не виконуючи побудови, знайди координати точок перетину гра фіку функції з осями координат (976, 977). 976.?а) у = х 2 + х - 20; б) у = 0,5л:2 - 5л: + 8. (977.)а) у = х 2 + Зх - 28; б) у = - 2 х 2 + Зл: - 1. 978. Розв’яжи біквадратне рівняння. а) X і - 5л:2 + 4 =0 ; б) х4 - 17л:2 + 16 = 0; в) X і - Зх2 - 4 = 0 ; г) X і + л:2 - 6 = 0; ґ) 4л;4 - Зл;2- 1 = 0; д) Зл;4 - 7л:2+ 2 = 0. 979. 8 о 1у є іііе Ьідиасігаііс едиаііоп. а) л:4 - 10л:2 + 9 = 0; Ь) л:4 - 26л;2 + 25 = 0; с) X і + Зл:2 - 4 = 0; сі) л:4 —4л;2 - 5 = 0; е) 9л;4 - 10л;2 + 1 = 0; і) 5л;4 - 11л;2 + 2 = 0 . 980.

рівняння л:4 - х А - 20 = 0. У відповіді запиши добуток усіх його дійсних коренів. Використовуючи метод заміни змінної, розв’яжи рівняння (981,982). Р о зв’я ж и

981.іа) л:-7л/х +12 =0;

б) х - 2 у[ х - 3 = 0;

в) З л :-8л/х +5= 0;

г) 2 х + 3\Іх + 1= 0.

184

Формула коренів квадратного рівняння

(982.) а) х - 8у[х +15= 0;

б) х +3у[х-10 =0;

в) 2х - 5л[х +2 = 0;

г) З х +7 у[ х + 2= 0.

983.)Складіть рівняннявиду (х - а)(х — Ь) = 0, корені якого: а) 2 і 3; б) 1 і 5; в) 3 і -2 ; г) -2 і -6 . (984.)Відкрита задача. Склади рівняння, корені якого: а) 2 і 5; б) 3 і -7 ; в) 0,5 і 4; г) -0 ,2 і -8 . 985. Один корінь квадратного рівняння а х 2 + Ьх + с = 0 дорівнює 1. ^ Чому дорівнює а + Ь + с?

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

Р о з в ’ я ж и р ів н я н н я (9 8 6 -9 9 1 ) . 9 8 б )а ) ( 2 ,5 * - 7 X 2 * + 3) + 3 * + 4 = (4х - 9 )(1 ,5 х + 1);

б) (Зг - 5)(4г + 1) + (22 + 3)(5г - 4) = 62(3 + 2г) - 1 1 ; в) х 2 + 2уі2х + 1 = 0; г ) х 2-З ^ І2 х + 4 = 0 . ( 98 7 .)а) (2і - 3)(5і + 2) + (Зі - 1)(4( + 2)= Ш 2 - 5;

б) (3п - 2)(3п + 2) - (2п - З)2 = 3п(п + 7) - 17; в) уі2Ь2- З Ь + уі2 = 0;

г) с 2 -л/бс + 1,5= 0 .

б)

х+ 1

. І +Зх х - 1 , в) ---------+------- =1; 2+ х 2 -х ч

ґ) — — о=-; 2 -2 2 -3 2

® *»4 ^ ^ . с -7 с+ 4 в) -+ =3; с +5 5 - е

ґ)

______ 3 _ =16. х+ 2

2 -х

х ’

х -4 . 2 у -2 г) у +3

5х- 8 х -4 ’ З у - 5 _ в3-У

Зх +1 6 х - 2 5х2+3 1 — х+5 X2- 25

д) х - 5

х 2- 2 х 5 х-1 2 > х -3 х -3 2х + 3 З х -1 9* г) 2 х -3 х - 1 4л:-2 Зле: — 14 2 х -1 х +4 х -4 х 2-1 6 х+3 2 х -1 З х - 17 б) 2х х 2- Зх 4 х - 12’ сд

X -9 х 2+ х +1 х 3ЦІ* і Я

. 1 г) х - 1

оо

9 9 о 0 а ) ^ +^ - і ^ - = 5 ; 2 * -1 2* +1 4 *2-1 . 2 х -1 5х - 6 6 в) х - 4^----7 х +4 х - 2х= х

Х+ 1

ем я

988?) а)

Квадратні рівняння (—

4------/

( л н - 7

) _

х -1

х —1 х +1

б)

х+1 4х

4 х -1 Зх2- 6 х

х -4 2л;-4 ’

. 9-2л: 4 -х 1 л 4 2х -1 Зхг -1 0. в) —г-------+-=----------+—=0; г) х - З х х -блг+9 х х+1 х 2- х +1 л3+1 Не виконуючи побудови, знайди координати точок перетину гра фіків функцій (992, 993). 6 992.1а) у = 2х2 + 7 х - 2 і у = х 2- 2 х - 16; б) у - — і у = х - 5. х ( 993.) а) у = х 2 + х - 8 і у = - 2 х 2 + 5х - 9;

б) у =- ^ - і у = х + 3. х +1

Знайди корені рівняння (994, 995). 994. а) |х2+5л:-3| =3;

б) І2лг2—Злг—її =1;

в) х 2-10|л|+24 = 0;

г) 6х2 +5|л:| - 1 =0;

ґ) л:|л:|-7л: +10 =0;

д) 6л:2 + 7 х -5 — = 0; х

е) х 2- 4 у[ х 2 - 2 1 = 0;

є) х 2-5|л/х) - 6 =0. б) |2л:2—л: —з| = 3;

(995?)а) |х2+7х +5|=5; в) л;2-8|л| +12 =0;

г) Зл:2-4 |л |-2 0 =0;

ґ) х\х\- 4х+3= 0;

д) 2л:2- 7 л :- 4— =0; х

е) х 2+2УІХ2 - 3 =0;

є) б) х 2+(у[х | -1 2 =0.

Р озв’яж и рівняння, використовуючи метод заміни змінної (996-1001). 996.)а) (х + З)4 + (х + З)2 - 2 = 0; б) (х2 - Зх)2 - 2(х2 - Зх) - 8 = 0; в)

( 2л:+ 1) 1

)

2 -6

^2х+1^ 1

-5;

)

ґ) х 2 + 2х + 2(х + 1) - 23 = 0;

г)

\ ії-і]2 Я -1

12;

д) * 2+5 =2л/х2 +5 +3.

(997))а) (2х - І)4 - 10(2* - І)2 + 9 = 0; б) (х2 + 2)2 - (х2 + 2) - 6 = 0; І— \ ^ І— х л2 X у]Х + 1 л/Л +1 _ 0 42; в) г) х -2 Ґ) 4х2 - 12х + 2(2х - 3) - 6 = 0; д) * 2+7 =Зу/х2 +7 +4. 186

Формула коренів квадратного рівняння

998.

а) (х2 + х)(х2 + х - 7) = 60; б) (2х2 - 5х - 4)(2х2 - 5х) = 21; в) х(х + 1)(х + 2)(х + 3) = 24; г) (х - 1)2(х2- 2х) =12; ґ) (х 2 + 2х + 1)(х2 + 2х + 4) = 10; д) (х - 2)(х + 1)(х + 2)(х + 5) +36 = 0. 999. а) (х2 + 4х)(х2 + 4х + 3) = 40; б) (х2+ Зх + 1)(л:2 + Зх + 3) + 1 = 0; в) (х - 2)2(х2 - 4х) =-3 ; г) (х2 - 5х + 2)(х2 —Ьх —1) =28; ґ) (х +1)(д; + 2)(х + 3)(х + 4) = 120; д) (х + 3)(х + 1)(х - 5)(х - 7) = 192.

1000.) а)

б)

—

3( х + 2) = 2

х - 1 х+3 2 х+2 х 2х+1 х +2 10хи _ Ьх х - 4ч ттигг . 6Л-І-Л. ох л 1001. а) ------ +---------= — ; б ) ----------------=-4 . х+2 2 х + 1 3 х-4 х При яких значеннях т рівняння матиме один корінь (1002, 1003)? 1002. а) х 2 + 4х + т = 0; б) х 2 + т х + 4 = 0; в) т х 2 + 8т х + 1 = 0; г) т х 2 + 20х + т =0. 1003. а) 5х2 - 2х + т = 0; б) х 2 + т х + 9 = 0; в) т х 2 + ( т + 1)х + 1 = 0; г) х 2 + (т + 2)х + 2 т + 1 = 0. 1004. ї ї У к аж и найменше значення а , при якому рівняння х 2- х + а 0 має рівно один корінь. 2х +З 1005. Доведи, що при будь-якому значенні а рівняння має два корені, а) х 2 + ах - 5 = 0; б) х 2 + (2а + 1)х + а2 + а = 0. 1006. При яких значеннях т рівняння матиме три корені? а) (5х2 - 2х - 3)(х2 - т х + 4) = 0; б) (х2 + Зх - 10)(тх2 - 6х + 1) = 0. Розв’яжи рівняння (1007, 1008). 1007. а) х 2 - (а + 3)х + 2а + 2 = 0; б) х 2 + ах + а - 1 = 0. 1008. а) х 2 - (а + 5)х + За + 6 = 0; б) а х 2 - (2а + 1)х + а + 1 = 0.

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

1009. Покажи, що рівняння а х 2 + Ьх + с = 0 навіть за умови, що а = 0, можна розв’ язувати за формулою 2с х 1,2 -ь±■Лї 4ас 1010. Вирази а через Ь, якщо задано співвідношення: 2 ( ба +Ь ) ( 6а+Ь Л -4 а) За2 - 4аЬ + Ь2 = 0; б) 5. у2 а-З Ь ; к2 а-З Ь ; 187

Квадратні рівняння

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1011. Порівняй числа 7,8 • 10’ і 2,4 • 10*’. Знайди різницю їх квадратів. 1012. Доведи, що: а) 420 - 1 ділиться на 5; б) 9(’° + 5 ділиться на 2 ' 1 л 1013. Спрости вираз, а) (2г/+8) З - - у V "2 У

, 1 Л б) 5— а (6а +9). З

1014. За підрахунками екологів одна пальчикова батарейка, яка потрапила у смітник, забруднює 20 м2 землі. Яку частину площі своєї області збережуть від забруднення учні/учениці твоєї школи, якщо віднесуть по одній використаній батарейці у спеціальний бокс для утилізації?

С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Знаю , щ о таке д и скри м інан т квадратного рівняння

ах2+Ьх +с=0, а ^ 0 і мож у запи сати його ф орм улу £> = Ь2 - 4ас М ож у записати ф орм улу коренів квадратного рівняння ах2+ Ьх +с =0 (а * 0)

Умію р о зв ’язувати квадратні рівняння і задачі, що передбачаю ть знахо дження коренів рівнянь, що зводяться д о квадратних. С п робую навчитися р о зв ’язувати квадратні рівняння виду

ах2+ 2кх + с =0 (а ф 0) за допомогою формули хх 2 =---------а

Завдання для самостійної роботи

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

ВАРІАН ТІ

Розв’яжи рівняння. а) Зх2 - 27 = 0;

б) 4г2 + 2 = 0.

2. Знайди корені рівняння. а) у2 - 9у + 14 = 0;

б)

1 5 -2 л 2 х +3

х 2 +4 х

л: +3

3. Розв’яжи біквадратне рівняння х4 - 6х2 + 8 =0 . 4 . Розв’яжи рівняння, використовуючи метод заміни змінної. (х2+ х - 4){х2 + х - 18) = 32. ВАРІАНТ II

1. Розв’яжи рівняння. а) 2х2 - 50 = 0;

б) 9г2 - 2 = 0.

2. Знайди корені рівняння. а) у2 + 2у - 15 = 0;

б)

Зх +х 2 Зх2+1 лг-1 лг-1

3. Розв’яжи біквадратне рівняння X і - 8 л 2 + 7 = 0 . А. Розв’яжи рівняння, використовуючи метод заміни змінної. (х2- 2х - 8)(х2 - 2х - 6) = 63. ВАРІАНТНІ

1. Розв’яжи рівняння. а) 5г2 - 20 = 0;

б) 9л:2 + 4х = 0.

2. Знайди корені рівняння. а) у + у - 12 = 0;

б)

9л: - х 2 л: —2

Зх2+2 лг—2

3. Розв’яжи біквадратне рівняння X і - 11л2 + 18 = 0. 4 . Розв’яжи рівняння, використовуючи метод заміни змінної. (л;2- л - 5)(л:2 - х - 17) = 45.

189

Квадратні рівняння

ГОТУЄМОСЯ ДО ТЄМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ

о і,

Тестові завдання № 5

Укажи квадратне рівняння. А х 2+ 12 = 0 Б 20 - л: = 0

В Зх = 9

Скільки коренів має рівняння х 2 + 2х + 1 = 0? А один Б два В безліч

О Дискримінант рівняння х А + 7х + А 73

Б6

О Яке з рівнянь не має коренів? А х 2 + 12х + 20 = 0 В Зх2 - 2х + 2 = 0

Г х~

Г жодного

6 = 0 дорівнює:

В 25

Г 5

Б х 2 + бх = 0 Г 2Ох2 - 3 = 0

( і: Скільки коренів має рівняння х 4 - Зх2 + 2 = 0 ? А один Б два В чотири

Г жодного

Дискримінант рівняння ахг + Ьх + с = 0 — це вираз: А Ь2- ас Б 2Ь - 4ас В Ь2- 4ас Г -Ь 2- 4ас О

Рівняння а х 2 + Ьх + с = 0 має два корені, якщо: А£>>0 Б І) = 0 В £ ><0 Г£><0 Рівняння х 2 + бх - 7 = 0 має корені: А 1і 7 Б1і 6 В 1 і -7

При якому значенні а рівняння х 2 + 2х + а = 0 має один корінь? А 1 Б -1 В -2 Г такого значення не існує Рівняння ах2 + с = 0 має корені, якщо: А а > 0, с > 0 Б а > 0, с < 0 В а < 0, с < 0 Г а = 0, с ф 0

190

Г-ІІ7

Типові завдання до тематичного оцінювання

ТИПОВІ ЗАВДАННЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ № 5

з рівнянь має два корені? О Яке А 4.x2 = 0 Б 4х2 + 36 = 0 а о

В 4х2 + х = 0 Г 4л:2 - Зх + 10 о Знайди корені рівняння х 2 - 9х = 0. А 9 Б 0; 9 В 0; -9 Г коренів немає ^ „ 3-л; х Вкажи меншин корінь рівняння ------ =—. х 4 А 2 Б6 В -2 Г -6 Установи відповідність між рівняннями (1-3) та кількістю їх коренів (А -Д ).

1 2х2 - 18 = 0 2 4х2 + 4х + 1 = 0 3 х 4 + 5х2 + 4 = 0

А один Б два В три Г чотири Д жодного

VЗнайди корені рівняння.

а) (5х - 7)(8х + 1) = (6* - 5)2 - 19; б)

2х х -З

х+3

х -9

О Розв’яжи рівняння, використовуючи метод заміни змінної.

а о

( 2 х - 1)4-5 (2 д ;-1 )2+ 4 = 0. Одне з двох натуральних чисел на 5 більше за інше. Знайди ці чис ла, якщо їх добуток дорівнює 104. При якому значенні а рівняння х 2- (а + 2)х + а + 5 = 0 має один корінь? Додаткове завдання

О Розв’яжи рівняння л:2-5ід:|-6: 0. «Вся глибина дум ки, яка за кл а д е н а у ф ормулю вання м а те м атичних понять, зго д о м ро зкр ивається тим умінням, з яким ці поняття використовуються».

Е. Вігнер

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ о б зрозум іти і до б р е засвоїти нову тему, пригадаємо: — означення квадратного рівняння (с. 170); — ф орм улу коренів квадратного рівняння (с. 179); — ф орм улу різниці квадратів (а - Ь){а + Ь)= а2- Ь2\ — правила виконання дій з д р о б ам и і коренями.

§ 20. Теорема Вієта ІЩг КЛЮЧОВІ СЛОВА ґ---------------------------------------------------------------------т е о р е м а В ієта — І/іеіа’з іГіеогет -зведене квадратне рівняння —

циасігаііс ериаііоп \л/ііґі іґіе Іеасііпд соеїїісіепі 1 ■ корені рівняння — гооіз оіііїе едиаііоп

Квадратне рівняння називають зведеним, якщо перший його кое фіцієнт дорівнює одиниці. х 2+ рх + д = 0 — загальний вигляд зведеного квадратного рівняння. У таблиці наведено приклади трьох зведених квадратних рівнянь, їх корені, а також суми і добутки коренів. Рівняння

х хі х 2

+ *2

х і •х 2

х'2- 5х + 6 = 0

2і 3

х2- Зх - 4 =0 х2+ 8 х + 15 = 0

-1 і 4

-4

-5 і -3

-8

Порівняй суму коренів кожного зведеного квадратного рівняння з його другим коефіцієнтом, а добуток коренів — з вільним членом. Теорема В іє т а . Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилеж ним знаком, а добуток — вільному члену. Доведення. Якщо рівняння х 2 + рх + д = 0 має корені х х і х 2, то їх можна знайти за формулами: -р -у ІБ . -р + 4 ї) * і= -----^-----1Х2=------ 2----- ’ де і) = р - Асі — дискримінант рівняння. 192

()

Теорема Вієта

Знайдемо суму і добуток цих коренів: -р-уЩ ) -р+у[г> -р-у/15- р+у/15 - 2 р х , +х9 =— ---------- 1-— --------=— —------- =— —=- р; 1

- Р +^ В _ ( - р ) 2- ( ^ о ) 2 _ р 2- ( р 2- 4?)

4д :-Г = 9 1 * 2 2 4 4 4 Отже, х г + х 2 = -р , х х • х 2 = Ц. А це й вимагалось довести. П р и м ітк а. Якщо р2 - 4д = 0, то рівняння х 2 + рх + д = 0 має один корінь х = - Ф о р м у л и (*) у цьому випадку дають хх =--^ і х2 =--^ . Тому часто вважають, що дане рівняння має два рівних корені. Теоре ма Вієта правильна і для цього випадку, оскільки / \ Р Р_ р У =і £ -р, хх-х2 2 _ 4 4 Я' Кожне квадратне рівняння виду ах2 + Ьх + с = 0 (а * 0) рівносильне зведеному квадратному рівнянню х +—х +—=0. Тому якщо таке ріва а Ь . с няння має корені х х і х 2, то хх+х2 =— і ххх2 =—. а а Теорема (обернена до теореми В ієт а). Якщо сума і добуток чисел т і п дорівнюють відповідно —р і д, то т і п — корені рівняння х 2 + рх + ^ = 0. V_______________________________________________________________________________У Доведення. Нехай т + п = - р і т ' п = ц . За цих умов рівняння х 2 + рх + = 0 рівносильне рівнянню х 2- ( т + п)х + т п = 0. Підставимо у це рівняння замість змінної х числа т і п: т 2- ( т + п)т + т п - т 2- пі2- п т + т п = 0, п2- ( т + п)п + т п = п2- т п - п2 + т п = 0. Отже, т і п — корені даного рівняння. А це й треба було довести. З теореми Вієта випливає, що коли р і д — цілі числа, то цілі розв’язки рівняння х 2 + рх + д = 0 є дільниками числа д. Користуючись оберненою теоремою, можна перевіряти, чи є та чи інша пара чисел коренями зведеного квадратного рівняння. Це дає можливість усно розв’язувати такі рівняння. Приклад. Розв’яжи рівняння х 2 + 12х +11 = 0. Розв’язання (усне). Якщо рівняння має цілі корені, то їх добуток дорівнює 11. Це можуть бути числа 1 і 11 або -1 і —11. Сума коренів має дорівнювати -1 2 , тому корені рівняння -1 і —11. Відповідь. Хх = - 1 , х 2 = -1 1 .

Квадратні рівняння ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Т е о р е м а В ієта правильна не тільки для зв е д е н о го квадратного рівняння, а й для рівнянь вищ их степенів. Наприклад, якщо рівняння третього степеня х 3 + ах2+ Ьх + с= 0 м ає корені хг, х2і х3, то

х у+ х2+ х3=-а , х хх2+ х гх3+ х2х3=Ь, хгх2х3=-с. Якщ о таке рівняння з цілими коеф іцієнтами м а є цілі р о зв ’ язки, то вони є д іл ь никами вільного члена.

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Я кі квадратні рівняння називають зведеними? ^

Сформулюй теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння. Сформулюй теорему, обернену до теореми Вієта. Як можна знаходити цілі розв’язки квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами?

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

- Знайди суму і добуток коренів рівняння, а) х 2 + х - 6 = 0; б) х 2 + 2х + 3 = 0. Розв’язання. а) Б = 1 + 24 > 0. Корені існують, тому х х + х 2 = -1 ; х х • х 2 = -6 ; б) £> = 4 - 12 < 0. Корені не існують. Відповідь, а) х г + х 2 = - 1 , х х • х 2 = -6 ; б) корені не існують. При яких значеннях т добуток коренів рівняння х 2+ т х + т - 7 = 0 дорівнює З? Розв’язання. Оскільки для даного рівняння х , • х 2 = т - 7, то т - 7 = 3, т = 10. Але ми не можемо стверджувати, що при т = 10 добуток коренів дорівнює 3, бо не знаємо, чи при т = 10 корені взагалі існують. Тому потрібно знайти дискримінант заданого квадратного рівнян ня (І) = т г - 4( т - 7) = т 2 - 4т + 28) і переконатися, що при т = 10 він додатний, або підставити т = 10 у рівняння і перевірити, чи рівняння має корені. Після підстановки отримаємо рівняння х 2 + Ю х + 3 =0 . Це рівняння має корені, бо І) = 100 — 12 > 0. Відповідь, т = 10.

Теорема Вієта

Не розв’язуючи рівняння хг - 4х + 1 = 0, знайди суму квадратів його коренів. Розв'язання. Б = 16 - 4 > 0. Корені існують. х і + х 2 ~ 4; х х - х2= 1; (х1+х2)2= 16; х 2 + 2 х хх 2 + х '2 = 16;

х 2+ 2-1 + Х 2 = 16; х 2+х2 = 1 6 - 2 ,

х 2 + х і = 14.

Або можна скористатися формулою: х 2+х\ =(л:х +х2)2 - 2 л;хл;2. Тоді х 2+х2 = 4 2- 2 -1= 1 6 - 2 = 14.

, х2 „2 Відповідь. х{2 + - 14. ВИКОНАИ УСНО

1015. Переконайся, що рівняння мають корені, і знайди їх суму і добуток, а) х 1 - ї х + 10 = 0; б) х 2 - 9х + 14 = 0; в) х 2 - 5х - 15 = 0; г) х 2- 4х + 2 = 0. 1016. Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, перевір, чи є дані числа коренями рівняння, а) х 2 - 8х + 7 = 0, 1 і 7; б) х 2 + 8л: + 15 = 0, 3 і 5; в) г2 - 12г - 13 = 0, -1 і 13; г) і2 - 6* + 6 = 0, 3 і 3. 1017. Визнач знаки коренів рівняння (якщо вони є), не розв’язуючи рівняння. а) л:2- 4л; + 3 = 0; б) л2+ 7л + 10 = 0; в) л:2- 6л: - 8 = 0; г) л:2 + 10л: - 21 = 0. 1018. У якого з рівнянь сума коренів дорівнює 4? Ал: 2+ 4 л ; + 3 = 0 Б л:2- 4л + 5 = 0 В л:2- 4л; + 2 = 0 Г Зл;2- 4л; + 3 = 0 1019. Рівняння х 2 + кх + і = 0 має корені -3 і і . Знайди і. А -8 Б -1 В -З Г 1 1020. ШШ Я а) Обчисли добуток коренів рівняння л:2 + 6л: - 55 = 0; А -5 5 Б 55 В -6 Г 6 Д -49 б) обчисли суму коренів рівняння л:2 + Зл: - 4 =0. А -4 Б -З В З Г4 1021. Рівняння л:2 + рл: + д = 0 має корені 0,7 і 10. Знайди його коефі цієнти р і д .

Квадратні рівняння

1022. Соломія хоче розв’язати квадратне рівняння х 2 + сіх + т - 0. Роз^ глянь план, який вона склала. Чи правильний він? 1) Проаналізувати множники числа т . 2) Знайти серед них пару, що в сумі дає сі. 3) Записати, що кожне з цих чисел є коренем рівняння. 1023. Розв’яжи рівняння. а) х 2 - Зх + 2 = 0; в) х 2 - 4х + 3 = 0;

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

б) х 2 - 4х - 5 = 0; г) х 2 - 7х + 12 = 0.

РІВЕНЬ А -І

Знайди коефіцієнти р і д рівняння х 2 + рх + д = 0, якщо його коренями є числа (1024, 1025). 1024.)а) 2 і 3; б ) -2 і 5; в ) -3 і - 7 . (1025.)а) 4 і 1; б ) -3 і 2; в ) -6 і - 5 . Розв’яжи рівняння (1026, 1027). 1026. а) г2 - 5г + 4 = 0; б) 22- Зг - 40 = 0; в) у2 у - 12 = 0; г) х 2+ 2х - 15 = 0; ґ) х 2 + 5х + 6 = 0; д) х 2 + х - 20 = 0. (1027.)а) у2 + 5у - 14 = 0; б) г2- 2г - 15 = 0; в) с2 2с - 8 = 0; г) ї 2+ 9і - 10 = 0. 1028. Знайди значення д, при якому рівняння має рівні корені, а) х 2 - 14х + д = 0; б) х 2 + дх + 25 = 0. ( 1029 Знайди значення д, при якому рівняння має рівні корені, а) х 2 + 12х + д = 0; б) х 2 + дх + 121 = 0. 1030. Один із коренів рівняння х 2 - 5х + с = 0 дорівнює 3. Знайди с. (іОЗІ Один із коренів рівняння х 2 + т х + ЗО = 0 дорівнює 5. Знайди т . 1032. Знайди р і х и якщо: а) х 2 + рх + 35 = 0 і х 2 = 7; б) х 2 + рх + 21 = 0 і х 2 = -3 . ( 1033. Знайди д і х х, якщо: а) х 2 - 11х + д = 0 і х 2 = 6; б) х 2 + 6х + д = 0 і х 2 = 3. 1034. Знайди к і х г, якщо: а) кх2 + 9 х - 2 = 0 і х 2 = -2 ; б) кх2 - 4х - 39 = 0 і х 2 = -3 . Склади зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють (1035, 1036): 1035. а) 2 і 4; (1036. а) 3 і 8; 196

б) -3 і 5;

в) 0,5 і 4;

б ) -4 і 2;

г) і і 7; в) З і 0,6;

ґ) 2 - 7з і 2 +Тз. г) З +л/5 і 3 - у/Е.

Теорема Вієта

1037. Гра. Один із гравців/одна із гравчинь записує одне число, дру•О гий/друга — інше, а третій/третя записує зведене квадратне рів•о няння, коренями якого є записані числа.

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, перевір, чи є дані числа т і п коренями рівняння (1038, 1039). 1038. а) 6х2 - 5х + 1 = 0, т =^ , п ~ ^ б) 4л:2 - Ах - 3 = 0, т =- ~ , п= 1^. ( 1039. а) Зх2 - 8х + 5 = 0, т - -1, п =-1 —; З б) З *2 + Ах + 1 = 0, т =- 1, п =- —. З Склади квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють (1040, 1041). ,-,-1 1040. а) 1 ^ ;

2 . 1 б) — і 1—;

ч3 . 2 в, - і - 1 - ;

ч -2-л/б . -2+л/5

( 1041.,а) 2 і і ; б) - і в ) - і -іі; г) 3~ ^ і 3+' ^ . 4 ' 3 4 3 3 2 2 2 1042. Складіть усі можливі квадратні рівняння, які мали б по одному 0‘ °. спільному кореню з даними рівняннями. а) х 2 - Зх - 28 = 0 і 2х2 + х - 10 = 0; б) 2л;2 + 5х - 3 = 0 і х 2 - 4х + 4 = 0. 1043. Не розв’язуючи дане рівняння, склади нове квадратне рівняння, корені якого менші від відповідних коренів даного рівняння на одиницю. а) х 2 + 11л: - 4 = 0; б) 2л:2 - 6л - 3 = 0. ( 1044.' Не розв’язуючи дане рівняння, склади нове квадратне рівняння, корені якого втричі більші за відповідні корені даного рівняння, а) л2 + 2л - 85 = 0; б) 2л2 - 6л + 3 = 0. 1045. Не розв’язуючи дане рівняння, склади нове квадратне рівняння, корені якого були б обернені до відповідних коренів даного рівняння. а) л:2 - 14л + 5 =0 ; б) 2л2 - 7л: + 6 = 0. 1046. Знайди корені рівняння х х і х 2 (х 2 > лх) та вільний член д, якщо: а) х2 - Юл: + ^= 0і л: 2 - х 1= 14; б) л:2 + 6х + д = 0 і л:2 = 2хх. ( 1047.? Знайди корені рівняння лх і х 2 (х 2 > л:г) і значення к, якщо: а) х 2 + кх + 10 = 0 і х г - х 2 = -3 ; б) л:2 - 8х + к = 0 і лг : х 2 = -0 ,2 . 197

Квадратні рівняння

1048. Різниця коренів рівняння Зл:2 + 6х + <? = 0 дорівнює 8. Знайди його корені та число д. 1049. Різниця коренів рівняння 2л:2 + Зх + с = 0 дорівнює 2,5. Знайди число с. 1050. Знайдіть значення параметра с та корені рівняння х2 - 8х + с = 0, •О якщо: а) один із них у 3 рази більший за другий; б) один із них на 5 менший від другого; в) один із них становить 20 % від другого. 1051. При яких значеннях параметра с рівняння л:2 - 4х + с = 0 має два корені, один із яких: а) у 2 рази більший за другий; б) на 8 більший за другий? 1052., О Е 0 Визнач додатне значення параметра т , за якого один із коренів рівняння х 2 - {2 т - 2)х + 21 =0 на 4 більший за інший. 1053. Не знаходячи корені х г і х 2 рівняння х А - 8л + 6 = 0, обчисли: а) 2х1х2- 3 х 1- 3 х 2;

б) — +— ; х^ х2

в) х\ +х\;

г)х 3+х2.

1054.) Не розв’язуючи рівняння х 2 - 2х - 9 = 0, обчисли: ч

а) х1х2+х1х2;

—V

б) х{ +х2\

в) —

З С с)

Х2

Хі

де х х і х 2 — корені даного рівняння. 1055. \УііЬюиі зо1уіп§ ІЬе едиаііоп Зх2 - 2х + 6 = 0, Нпсі: а) 6 х 1 +6 х 2 - 5 х 1х 2;

Ь) — +— ; |

«V2

с) -у» «V 2

-у»

«V |

шЬеге х х аікі х2 — гооіз о£ Піе ециаііоп. V ф 1056. Не розв’язуючи рівняння х 2 - 2 т х + 2 т 2 - 2 = 0, знайди суму квадратів його коренів. 1057. Доведи, що коли рг - 4д = 0, то х 2 + рх + д — квадрат двочлена. Якого? 1058. Дано рівняння а х г + Ьх + с = 0. За якої умови: а) сума його коренів дорівнює 0; б) добуток його коренів дорівнює 0; в) різниця його коренів дорівнює 0; г) сума квадратів його коренів дорівнює 0? 1059. За якого значення параметра а сума коренів рівняння х 2 - (а2 + 4а - 10)х + За = 0 дорівнює 2? 1060.) За якого значення параметра а добуток коренів рівняння х 2 - 3а х + (а2 + 2а + 3) = 0 дорівнює 6?

( Ж

Теорема Вієта

1061. О Е ЕЗ За якого значення а сума коренів рівняння х 1 + (а - 2)х + 28 - 4а = 0 на 1 більша за їх добуток? ( 1062? За якого значення параметра а сума квадратів коренів рівняння х 2 - (а + 1)х + 2а - 1 = 0 дорівнює 6? 1063. И Ш 01 За якого значення параметра а сума квадратів коренів рівняння х 2 —8.x + 4а - 1 = 0 дорівнює 38? іов4. ш т 33 Визнач додатне значення пг, за якого один із коренів рів няння х - (2пг - 4)х + 16 = 0 на 6 більший за інший. ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

1065. За якого значення параметра а сума квадратів коренів рівняння х 2 - (а + 3)л - а - 7 = 0 найменша? 1066. Не розв’язуючи рівняння х2 - Зх + 1 = 0, знайди: а) різницю його коренів; б) різницю квадратів його коренів. ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1067. Запиши у стандартному вигляді число. а) 375 000 000 000; б) 0,000000038. 1068. Подай у вигляді многочлена. а) (а + Ь2)(а2 + Ь); б) (х2 - Зу)(2х2 +у); в) (5а2 + Ь2)(2аг - ЗЬ2); г) (2 т 2 - п)(2гі2 - пг). 1069. На малюнку 20.1 зображено графіки руху двох велосипедистів. Прокомен туй, як довго кожен із них їхав, з якою швидкістю. 1070. Заміни літери цифрами, щоб викону валась рівність Д И СК + РИМ = ІН А Н Т . С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Знаю, які квадратні рівняння називаю ть зведеними. Ро зум ію і м ож у сф орм улю вати те о р е м у Вієта: Х ц Х 2 — корені рівняння

х2 + рх + д = 0 х г + х2 = ~Р Х іХ 2 = Ч

ах2 + Ьх + с = 0 -Ь Хі + х2= — с а Х\Х2 = — а

Р о зум ію і ф ормулю ю теорем у, о бернену до те о р е м и Вієта. Умію склад ати квадратні рівняння за вказаним и ум овам и.

199

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і д о б р е за сво їти нову тему, пригадаєм о: — що таке многочлен; — що означає розкл асти многочлен на множники; — як скорочую ть дроби.

§21. Квадратний тричлен ґ

КЛЮ ЧОВІ СЛ О ВА

" виділення к ва д р а ту дво чл ена — сотріеііпд іГіе здиаге ••розкл а д а н н я на множ ники к вадратн о го тричлена — їасіогіпд Іґіе диасігаііс ігіпотіаі

Квадратним тричленом називають многочлен виду а х 2 + Ьх + с, де х — змінна, а , Ь, с — деякі числа, причому а -ф- 0. Змінну квадратного тричлена можна позначати будь-якою буквою. Приклади квадратних тричленів: 4х2 -5 х+ 6,

- у2+4у+7,

^ 2 2+2 -1 .

Якщо квадратний тричлен прирівняти до нуля, матимемо квадрат не рівняння. Його корені й дискримінант називають відповідно ко ренями і дискримінантом даного квадратного тричлена. Наприклад, дискримінант і корені квадратного тричлена 5х2 — 7х — 6 дорівню3 ють відповідно 169, 2 і — , бо це дискримінант і корені рівняння 5

5х2 - 7х - 6 = 0. Квадратний тричлен, як і квадратне рівняння, може мати два ко рені, один корінь або не мати коренів. Кількість коренів квадратного тричлена залежить від значення його дискримінанта. Якщо Б > 0, то квадратний тричлен має два різні корені, якщо Б = 0, то один корінь, і якщо Б < 0, то квадратний тричлен коренів не має. Якщо квадратний тричлен має корені, то його можна розкласти на лінійні множники. Правильною є така теорема. Якщо корені квадратного тричлена а х 2 + Ьх + с дорівнюють х х і х 2, то його можна розкласти на лінійні множники: ах2 + Ьх + с = а(х —л:х)(л: —х 2). 200

Квадратний тричлен

2 Ь с Доведення. а х 2 + Ьх + с = а х +—х +— , а т^О. Отже, корені х х і х 2 а а 2 ■ 2 Ь с . тричлена ах + Ьх + с є також коренями рівняння х +—х +—=0. а а ІЬ с За теоремою Вієта, —=-( х ,+ х 2), —=х ,х 2. а а Тому ах2 + Ьх + с= а(х2 - (хг+ х 2) х + х хх 2) = = а(х2- х хх - х 2х + х хх 2) = = а(х(х - х{) - х 2(х - х х)) = а(х - хх)(х - х 2). Приклад. Розклади на множники тричлен: а) х 2 + 4х - 21; б) Зх2 + 5х - 2. Розв’язання. а) Корені рівняння х 2 + 4х - 21 = 0 дорівнюють 3 і -7 . Тому х2 + 4х - 21 = (х - 3)(х + 7). Відповідь. (х - 3)(х + 7). б) Щоб розкласти на множники тричлен Зх2 + 5х - 2, розв’язуємо рівняння Зх2 + 5х - 2 = 0. Його дискримінант І) = 25 + 24 = 49, тому -5+7 1 -5 -7 -2 . Отже, Зх + 5х-2= 3

(х+2).

Відповідь можна записати і так: Зх2 + 5х - 2 = (Зх - 1)(х + 2). Відповідь. (Зх - 1)(х + 2). Розкладати квадратні тричлени на множники доводиться при ско роченні дробів, зведенні їх до спільного знаменника тощо. Наприклад, Зх + 5х-2 щоб скоротити дріб спочатку розкладають його чисельник х 2+х - 2

і знаменник на множники. Оскільки Зх2+ 5х - 2 = (Зх - 1)(х + 2), х 2+ х - 2 = (х - 1)(х + 2), то Зх2 + 5 х-2 _ (З х- і)(х +2) _ З х - 1 х 2+ х - 2

( х - 1 ) ( х + 2)

х -1

Кожний квадратний тричлен ах2 + Ьх + с можна подати у вигляді а(х - к)2 + р, де к і р — деякі числа. Таке перетворення називають ви діленням квадрата двочлена з квадратного тричлена. Щоб виділити з квадратного тричлена 2хг - 12х + 25 квадрат дво члена, спочатку винесемо за дужки множник 2: 2 Л 25 2х -1 2 х +25= 2 х —6х +— 2/ V 201

Квадратні рівняння

Одночлен 6х подамо у вигляді добутку 2 • 3 • х , додамо до нього 9 25 Т і віднімемо 9: [х 2- 2-Зх +9)~9н =(х -3 ) 4— . 2

Остаточно маємо: 2х2 - 12х + 25 = 2(х - З)2 + 7. Виділення квадрата двочлена дає можливість розв’язувати задачі на знаходження найбільшого чи найменшого значення квадратного три члена. Наприклад, щоб знайти, при якому значенні х значення виразу 2хг - 12х + 25 найменше, виділимо з нього квадрат двочлена: 2х2- 12х + 25 = 2(х - З)2+ 7. Другий доданок одержаної суми — число 7, а перший має найменше значення, коли дорівнює 0, тобто якщо х = 3. Отже, тричлен 2х2 - 12х + 25 має найменше значення 7, якщо х = 3. ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Якщ о квадратний тричлен м а є др об ові корені, то в розкладі його на лінійні множники бажано перш ий коеф іцієнт цьоготричлена внести в дужки. Наприклад: Зх

■5х + 2 = 3 ( х - і ) ^ х - - ^ ( х - і ) ( З х - 2 ) .

Юх -17х + 3 = 10І х - | | х - | 1 = ( 2 х - 3 ) ( 5 х - 1 ) .

ПЕРЕВІР СЕБЕ

V ^ П ер ейди за посиланням узе.ее/сиЬсі та закріпи матеріал параграф а (Тема. Квадратні рівняння. Урок 3).

Щ о називають квадратним тричленом?

Скільки коренів може мати квадратний тричлен?

^ 2 Чи можна розкласти на лінійні множники квадратний тричлен, якщо його дискримінант від’ємний? Як розкласти на лінійні множники тричлен виду ах2 + Ьх + с?

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

. . Розклади на множники квадратний тричлен. а) - х 2 + 4х + 45; б) 5х2 - ЗОх + 45; в) х 2 - 2х + 5. Розв’язання, а) Знайдемо корені рівняння - х г + 4х + 45 = 0. х 2 - 4х - 45 = 0, х х = 9, х 2 = - 5 . Тоді - х 2 + 4х + 45 = -(х - 9)(х + 5). б) Розв’яжемо рівняння 5х2 - ЗОх + 45 = 0, х 2 - 6х + 9 = 0. Рівняння має один корінь х = 3, тобто х х = х 2 = 3. Тоді 5х2 - ЗОх + 45 = 5(х - 3)(х - 3) = 5(х - З)2.

Квадратний тричлен

в) Дискримінант квадратного тричлена х2 - 2х + 5 від’ємний (1) = 4 - 20 = -16), тому даний квадратний тричлен не можна роз класти на множники. 2 ^ х _З Знайди значення функції у - ------------- при х - 2026.

2Х+3 2 -1+5 . -1 -5 З Розв'язання. Б = 1 + 24 = 25 Розкладемо = 52;- х гх чисельник -= 1, х.2дробу на множники: 2х2 + х - 3 = 0. ~ л:-1 ) ( лн —З,) =( х - 1)(2л: +3). Тоді 2х + х -3~=2( 2 _ ( х -і) ( 2 х +3) Отримаємо: у =— -= х і . 2х +З Якщо х = 2026, то у = 2026 - 1 = 2025. Відповідь, у = 2025. ВИКОНАИ УСНО

( 1071.) Знайди корені квадратного тричлена, якщо вони існують, а) х 2 - 6х + 5; б) х2 + 2х + 3; в) х 2- 4х + 4; г) х 2 + 2х - 15; ґ) х2 + 6х + 9; д) х 2 + 4х + 6. 1072. Дискримінант квадратного тричлена 2х2 - Зх + 1 дорівнює: А 5 Б1 В -1 Г 17 1073. Який із квадратних тричленів не можна розкласти на множники? ^ А х2 + 2х + 1 Б х2 + 2х - 1 В х2 + 2х + 2 Г х 2 - 2х + 1 1074. Коренями квадратноготричлена Зхг - 7х + 2 єчисла

2і

Розклади даний тричлен на множники. А (х - 2)(х - 1)

Б ( х - 2 ) ( х - —) З Г (х - 2)(3х - 1)

В (Зх + 2)(3х +1)

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ А

Знайди корені квадратного тричлена (1075, 1076). : 1075. а) х 2 + 8д: - 9; б) 2х2 - Ьх - 7; в) 5л:2 + 2х - 3; г) у2 - у - 6; ґ) 4г2 - Ьг + 1; д) 3п2- п - 2. (Т076? а) 4л:2 + Зле — 1; б) 6л:2 + 7л: - 5; в)-л:2 - 4л: + 5; г) 9х2 + 6л: + 1; ґ) -4л:2 + 5л: - 2; д) 0,4л:2+ 0,7л: - З

Квадратні рівняння

1077. ]Склади і запиши план розкладання квадратного тричлена кх + рх + і на множники. 1078. Розклади на множники квадратний тричлен. а) х 2 - 10л: + 21; б) а2 + 2а - 15; в) -2л:2 - 5х + 3; г) с2- 11с - 26; ґ) 9а2 + 24а + 16; д) 4с2 + 25с + 25. (і079. Гасіогіщ? іЬе циасігаііс ігіп о т іаі. а) х2- Зх + 2; Ь) х 2 - 2х 35; с) - х 2 + 5х - 6; сі) х 2 - 7х + 6; е) 9х2 - 12х + 4; Г) у2 + 2у - 8. Скороти дріб (1080, 1081). х -2 х -3 х +1

б)

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ Б

х -4 2 х -1 0 в) х —х —12 х 2- З х - 1 0 х +5 х -3 12 +Зх ( Ж Г іа ) б) в) х +7х+10 х -2 х -3 х +5х +4 Виділи квадрат двочлена з квадратного тричлена (1082, 1083). 1082. а) х 2+ бх - 4; б) х 2 - 4х + 5; в) х 2 - 8х + 15. б) х 2 - бх + 8; (1083.)а) х 2 + 4х - 18; в) х 2 + 8х + 7. 1084. Г р а . Один із гравців / одна із гравчинь записує тричлен виду х 2+ ах + с, а другий / друга має виділити квадрат двочлена. Потім учні /учениці міняються ролями. 1080. а)

Розклади на множники тричлен (1085, 1086). 1085. і а) 0,6а2 + а - 1,6;

б) с2- 7 2 с - 4;

1086. а) 0,2п2 + 0,8п - 12; б)— х 2+1 - х +9; 49 7 Скороти дріб (1087, 1088). 1087.) а) г)

е)

х +2х х 2+7х +10’ Зс2- 5с +2 „2 _

2а2- 5 а +2 За2- 3 ,5 а - 5

в) 1,5у

■ 3у -і— . З

в) т 2 -ЗлІ2т+ 4.

б)

х —4х +З х 9

в)

. х +Зх +2 -----------х +4х+3

ґ)

х + 2х-15 35 +2 х - х 2 ’

-Зх + 5х-2 д) ■ х

є)

а 2+9 а +14 а2+10а +21

ж)

— у

с“2+ ' 75.

■375с +10'

Квадратний тричлен

1088. а)

Зх- 9 2х2 - 5 х - З

б)

а2- 9 2а2 +7я +3

г)

а2 -8 а + 7 2 а -9а+ 14

ґ)

2 - Зс +с2 с2-4 с +4 ’

Д)

є)

х 2-3 х 2-2\ІЗ+З*

ж)

е)

х + 2 х -1 5 х 2+ 4 х - 5

с 2- 8 с - 2 0

с2 -11с +10’ 2х - Зх +1 Зх2-4х+ 1 2с - 5 с - З 2 с 2 +7 с + 3

Обчисли значення дробу (1089, 1090 1090). 1089. а)

•о оо

х 2- З х +2

х 2- х - 2

при х = -1 ,1 ; я = 9; х = 11; х = 99;

а3- 5 а 2+6а її ------ при а = -2 ; а = 3,5; а = 13. а -6 а +9а

б) -ч

( 1090.)

х +х - 6 х 2 +4 х+ 3

при х = -1 ,1 ; х = 9; х = 11; х = 99.

1091. Чим відрізняються графіки функцій? х +7^ + 6^ а) у = х + 6 і у б) у = х + 3 і у х +1 Побудуй графік функції (1092, 1093). 1092. а) у -

х - х -6 х -3 ’

б) У

х —2х —15 х -5

2 х -9 х - 5 5- х

х 2- х - 12 Зх 2- 7 х +2 б) у х -4 2 -х Знайди суму і різницю дробів (1094, 1095). Зш 1 . 3 1 1094. а) б) х г- 2 х - 3 х 2- х - 6 2х + 5 х-3 2х - 7 х +3 2 . 1 б) 1095. а) д:2+3д:-10 л:2—7л: +10 ’ 6а —13а+6 За —11а+6 Розв’яжи рівняння (1096, 1097). х х 5х+ 4 -+1096, а) -+ 0; б) х - 2 л;2 - 7 л:+ 10 х - 5 ’ х +3х +2 х -1 х л-х-2 2х +5 -+■ в) х - 1 д: +9х +18 х + 5 х-6 х 10 х 2 х -5 „ -+(1097/ а) +^ = 0; б) х - 1 х - 2 х -9х+ 14 х - 9 х + 2 х-3 х - 4 х +3 2 х -1 -+в) х -1 х -Зх+2 х -9х+14 (1093.; а) у

Квадратні рівняння

Спрости вираз (1098, 1099). 1098. а) в) (1099. іа) б)

а +4 4а а +2 а -З а - З 2а - З а +1 а - 9 г х

б)

2а - 5 а+2

,х +6х +8 х +Зх +2 х +5х +4 2а2-1 0а а 2+2а-1 5 2а - З 25

а а -З

х 2 +2х х -3

15 а а- 6

а-10 а 2+2 а ’

х -3

а -1 а +1

5 1 ^х^ +7х +12 х^ +5х +6

X (х +2)(х +3) х* +6х+ 8) (х +1)(х +6)

1100. Доведи: якщо в квадратному тричлені а х 2 + Ьх + с = 0 коефіцієнс ти а + Ь + с = 0, то х х = 1, х2 =—. а ( 1101. Доведи: якщо в квадратному тричлені ах2 + Ьх + с = 0 сума коес фіцієнтів а + с = Ь, то х х = -1 , х2 =— . 1102. Доведи, що при будь-якому значенні х набуває додатного значення квадратний тричлен: а) х 2- 4х + 5; б) Зх2- 12х + 17. ( 1103 Доведи, що при будь-якому значенні х набуває від’ємного зна чення квадратний тричлен: а) - х 2 - 8х - 20; б) - 2 х 2 - 12х - 21. И04. При якому значенні означення даного тричлена найменше? Знай ди це значення, а) х 2- 6х + 10; б) 2х2 + 16х + 13. ( 1105. При яких значеннях х значення виразу /(х) найбільше? Обчисли це значення, якщо: а) /(х) = 8 + 4х - х 2; б) /(х) = -З х 2 + 6х + 1. ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

1106. Знайди відстань між найближчими точками осі х і графіка функції у = х 2 - 2х + 7. 1107. Розклади на множники многочлен. а) а 2 - 6аЬ + 8Ь2; б) 2а2 + 7аЬ - 15Ь2; в) 6а2 + аЬ - Ь2.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1108. В таблиці наведено депозити на 12 місяців з фіксованою ставкою. Знайди, скільки грошей отримає вкладниця через рік від кожного банку, якщо вкладе 100 000 грн у кожен банк.

Квадратний тричлен Назва банку

Відсоток річних

П ерш ий банк

4,3 %

Родинний банк

4,6 %

Банк успіш них

4 ,1 5 %

1109. Скороти дріб з натуральними показниками степенів. .2п >3 п п+2 X /і+З а2п - 2 а п+1 З" дч 2 “ " ч а б) — в) — ґ) г) Д) а) лП + 1 п+ І ' о п п . 1 З 8 а х а +1 а П -11 8п 1110. Квадрат цілого числа не може закінчуватися однією з цифр — 2, З, 7 або 8. Чи завжди є цілим числом квадратний корінь із числа, яке закінчується цифрою 5? 1111. Розташуй числа кожної таблиці у порядку зростання — і ти дізна єшся ім’я (а) та прізвище (б) відомого скульптора, автора пам’ятника Нільсу Хенріку Абелю в Осло. а '

„ Я

■

л/0,16

(-2 )3

(0,55)'

( -1 .1 Ґ

256°

Л -2 )2 В

б (Т 8 +л/2)-2

5°

л/і >21

(42 - 52)3

(II (-Г Ґ

(—0,2 )-4

(л/4 + 9)"

У центрі міста Осло — столиці Норвегії — в Королівському парку встановлено бронзовий пам’ятник видатному норвезькому математику Нільсу Хенріку Абелю (1802-1829). Ця споруда має вигляд гранітної глиби, на яку здіймається мо лодий чоловік, переступаючи через двох огидних чудовиськ. Деякі математики жартома говорять, що ці чудовиська символізують рівняння п ’ятого степеня й еліптичні функції, переможені Абелем. С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь М ож у навести приклад квадратного тричлена. М ож у записати і використати ф орм улу розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

ах2+ Ьх + с = а(х - х{)(х - х2), д е х х і х2 — корені. Ум ію р о зв ’язувати вправи, що передбачаю ть розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і д о б р е за сво їти нову тему, пригадаєм о: — щ о таке прикладна за д а ч а та м атем атична модель; — основні етапи розв'язування задач скл ад анн ям рівнянь: 1) вибрати невідом е і позначити його буквою; 2) за д о п о м о го ю ц іє ї букви виразити всі інші невідом і й залежності; 3) скл асти рівняння; 4) р о зв ’язати рівняння; 5) перевірити, чи відп о в іда є ум ові задачі одерж аний р о зв ’язок.

§ 22. Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі КЛЮ ЧОВІ С Л О В А і м атем атич на м о д е л ь — таїїіетаіісаі тосіеі

Значна частина питань життєдіяльності людини зводиться до розв’язування різного роду задач. З 7 класу тобі відомо, що в матема тиці задачі, умови яких містять нематематичні поняття, називають прикладними. Для розв’язування таких задач створюють спеціальні математичні моделі у вигляді рівнянь, нерівностей, схем, таблиць тощо. Розв’язання багатьох прикладних задач можна спростити, якщо по дати модель у вигляді квадратного рівняння. Наведемо приклади. Приклад 1. Клумба площею 54 м2 має форму ромба, середнє ариф метичне діагоналей якого дорівнює 10,5 м (мал. 22.1). Знайди відстані між протилежними вершинами клумби. Розв’язання. Приймемо довжини діагоналей ромба за шукані відстані. Якщо середнє ариф метичне двох чисел дорівнює 10,5, то їх сума вдвічі більша, тобто сума діагоналей ромба до рівнює 21 м. Нехай одна з діагоналей — х м , тоді друга дорівнює (21 - х). 8 = — або М ал. 22.1 2 сІх(І2 = 25. Маємо рівняння: лг(21 - х) = 108, або х2 - 21х + 108 = 0. Розв’яжемо це рівняння: £» = 212 - 4 • 108 = 9,

х12 = 21^р3, Хі = 9, х 2 = 12.

Якщо х = 9, то 21 - х = 12; якщо х = 12, то 21 - х = 9. Отже, шукані відстані 9 м і 12 м. Відповідь. 9 м і 12 м. 208

(Ш

Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі

Приклад 2. Власна швидкість моторного човна — 18 км/год. Від стань 12 км за течією річки він проходить на 9 хв швидше, ніж проти течії. Знайди швидкість течії річки. Розв’язання. 9 хв = 0,15 год. Якщо швидкість течії річки дорівнює х км/год, то швидкість човна за течією становить (18 + х) км/год, а проти течії — (18 - х) км/год. Відстань 12 км за течією він проходить 12 ... 12 год.Маємо рівняння: за -------- год, а проти течи — за 18+х 1 8 -х 12 1 8 -х

12 18 +я

щ к айб о ------------------4 4 =0,05. ЛЛ„ 0,15, 1 8 -х 18 +х

Звідси 4(18 +х ) - 4(18 - * ) - 0 , 05(18-*)(18 +*) (18-*)(18+л*) 72+4л -72+ 4 л -16,2+ 0,05 л:2 р 0,05х2+8 х - 16,2 0. (18-х)(18 +х) “ ’ (18-х)(18 +х) ” ’ 0,05х2 +8 х - 16,2 =0, х Ф 18, х ф - 18.

0,05х2+ 8 х - 16,2= 0; £> = 64 - 4 • 0,05 • (-16,2) = 64 + 3,24 = 67,24 = 8,22; х х = 2, х 2 = -162 (не задовольняє умову задачі). Отже, швидкість течії річки 2 км/год. Відповідь. 2 км/год. ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Ро згл янем о і геом етричну задачу, що можна р о зв ’язати за д о п ом огою ква дратного рівняння. Задача. На площині п точок розм іщ ені так, що жодні три з них не лежать на одній прямій. Якщ о кожну з цих точок сполучити відрізком з у сім а інш ими, то утвориться 351 відрізок. Знайди число п. Розв’язання. З о д н ієї точки виходить п - 1 відрізків, з усіх п даних точок ви ходить п(п - 1) відрізків. При цьому кожен відрізок повторю ється двічі, бо м ає два

. л

. . .

п(п-і)

КІНЦІ. Отже, всього відрізків — — —

п (п -1)

„

М а є м о рівняння: —:к —— ^=351, або п - п - 702 = 0. Р о зв 'я ж е м о це рівняння: £> = 1 + 4 • 702 = 2809, зв ід си пг = 27, п2 = -2 6 . В ід ’єм н и й корінь задачу не задовольняє.

Відповідь. п= 27. 209

Квадратні рівняння

к.

ПЕРЕВІР СЕБЕ

^ П ерейди за посиланням Узе.ее/сиЬсі та закріпи матеріал параграф а (Тема. Квадратні рівняння. Урок 4).

Щ о називають математичною моделлю задачі? Як знайти швидкість тіла: а) за течією річки; б) проти течії річки?

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

О Знайди три послідовних цілих числа, сума квадратів яких дорівнює 509. Розв’язання. Нехай шукані числа; дг-1, х , х +1.

Тоді маємо рівняння: (х - І)2 + х 2 + (х + І)2 = 509. Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: х 2- 2х + 1 + х 2 + х 2+ 2х + 1 - 509 = 0, Зх2 - 507 = 0, звідси х 2 = 169, х г = 13, х 2 = -1 3 . Отже, два інші числа: 12, 14 або -1 2 , -1 4 . Відповідь. 12, 13, 14 або -1 2 , -1 3 , -1 4 . Комунікаційне агентство зобов’язалося виготовити за певний строк 1200 матеріалів для соціальних мереж великого холдингу. Роботу було закінчено на 4 дні раніше, бо план щоденно перевиконувався на 10 одиниць. За скільки днів агентство зобов’язувалося закінчити роботу? Розв’язання. Запишемо дані задачі в таблицю. Робота

Всього випущено

Днів

За планом

1200

Фактично

Щоденний випуск 1200

і 1200

і- 4

1200

На 10 більш е

і-4

Складаємо рівняння, скориставшись даними стовпчика «Щоденний випуск». 1200

1200

„

120

10, а б о -------------- =1. і- 4 і і' - 4І і 120^-120(^-4) 1. Ф -4) Звідси: 120і - 120(і - 4) = і(і - 4) або і2 - 4і - 480 = 0. Корені рівняння: 24 і -2 0 . Задачу задовольняє тільки додатний корінь: і = 24. Відповідь. За 24 дні.

Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі

ВИКОНАИ УСНО

1112. Назви дріб, у якого чисельник на 5 менший від зна менника, якщо: а) чисельник дорівнює х; б) знаменник дорівнює х. 1113. Власна швидкість човна 12 км/год, а швидкість течії річки х км/год. З якою швидкістю рухатиметься: а) човен за течією річ ки; б) човен проти течії річки; в) човен по озеру; г) пліт по річці? 1114. З якою швидкістю і в якому напрямку рухатиметься човен, що ) пливе: а) із власною швидкістю 3 км/год проти течії швидкістю 1 км/год; б) із власною швидкістю 2 км/год проти течії швидкістю 3 км/год; в) із власною швидкістю 2 км/год проти течії швидкістю 2 км за год; г) із власною швидкістю 2 км/год за течією швидкістю 2 км за год? 1115. Знайди сторону квадрата, площа якого 100 см2. 1116. Катети прямокутного трикутника пропорційні числам 3 і 4, а гіпотенуза дорівнює 15 см. Яке з рівнянь відповідає умові задачі? А Зх2 + 4х2 =15 Б Зх2 + 4х2 = 225 В 16х2 - 9 *2 = 225 Г 16х2 + 9х2 = 225 1117. Склади рівняння до задач. а) Одне з чисел на 2 більше за друге, а їх добуток дорівнює 99. Знайди ці числа. б) Одна зі сторін прямокутника на 5 см менша від другої, а його площа дорівнює 24 см2. Знайди сторони прямокутника. 1118.) Скільки розв’язків може мати прикладна задача, якщо рівняння, ^ яке її моделює, має 2 корені?

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ А

І 1119. Знайдіть два числа, якщо: а) їх сума дорівнює 20, а добуток — 91; б) їх різниця дорівнює 15, а сума квадратів 257. ( 1120. Знайди два числа, якщо: а) їх різниця дорівнює 7, а добуток — 198; б) їх сума дорівнює 23, а сума квадратів — 265. х + 20 1121. Знайди довжину і ширину ділянки пря мокутної форми, якщо її площа дорівнює 800 м2, а довжина на 20 м більша за ши 800 рину (мал. 22.2). Мал. 22.2

211

Квадратні рівняння

1122. Знайди дві суміжні сторони прямокутника, якщо: а) їх сума дорівнює 13 м, а площа прямокутника — 40 м2; б) периметр прямокутника дорівнює 60 м, а площа — 221 м2. До кожної задачі зроби відповідний малюнок. ( 1123. Знайди дві суміжні сторони прямокутника, якщо: а) їх різниця дорівнює 5 м, а площа прямокутника — 66 м2; б) їх сума дорівнює 28 см, а довжина діагоналі — 20 см. До кожної задачі зроби відповідний малюнок. 1124. Периметр поля прямокутної форми дорівнює 6 км, а його пло ща — 200 га. Знайди довжину і ширину поля. 11125. Знайди число, яке на: а) 435 менше від його подвоєного квадрата; б) 240 більше за квадратний корінь з цього числа. ( 1126. 'Задача Л. Магніцького. Знайди число, знаючи, що, додавши до його квадрата 108, одержимо число, у 24 рази більше за шукане. 1127. Добуток двох послідовних парних чисел на 41 більший за їх се реднє арифметичне. Знайди ці числа. 1128. Квадрат суми двох послідовних натуральних чисел більший за суму їх квадратів на 264. Знайди ці числа. ( 1129 Знайди три послідовних цілих числа, сума квадратів яких дорів нює 434. 1130. Периметр прямокутника дорівнює 26 см, а сума X площ квадратів, побудованих на двох суміжних У сторонах прямокутника, дорівнює 89 см2. Знайди X сторони цього прямокутника (мал. 22.3). У ( 1131. Периметр прямокутника дорівнює 32 см, а сума Мал. 22.3 площ чотирьох квадратів, побудованих на його сторонах, — 260 см2. Знайди сторони прямокут 32 ника (мал. 22.4). 1132. Дно ящика — прямокутник, довжина якого в З3 Зі 1,5 раза більша за ширину. Висота ящика дорівнює 0,5 м. Знайди об’єм ящика, якщо відомо, що площа 34 його дна на 0,76 м2менша від площі бічних стінок. Мал. 22.4 Розв’яжи задачу, користуючись планом. 1. Познач ширину дна ящика за х. 2. Вирази довжину дна ящика через х. 3. Вирази через х площу меншої, а потім більшої, а потім всіх бічних стінок ящика. 4. Склади рівняння, знаючи, що площа дна ящика на 0,76 м2 менша від площі бічних стінок. 5. Розв’яжи рівняння та знайди виміри ящика. 6. Знайди об’єм ящика.

(Ш

Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі

1133. У кінотеатрі було 320 місць. Коли кількість місць у кожному ряді збільшили на 4 і додали ще один ряд, у залі стало 420 місць. Скільки стало рядів у кінотеатрі? Склади план розв’язування за дачі та розв’яжи її. 1134. Катер пройшов униз річкою 150 км і повернувся назад, затра тивши на весь шлях 5,5 год. Знайди швидкість течії річки, якщо швидкість катера в стоячій воді становить 55 км/год. За таблицею склади рівняння та розв’яжи задачу. 5, км

За течією

150

55 + х

Проти течії

150

55-х

і 150 55+ х 150

55-х

1135. Катер пройшов за течією річки 48 км і стільки само проти течії, затративши на весь шлях 5 год. Знайди власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки становить 4 км/год. Познач власну швидкість катера за х , побудуй таблицю до задачі, а потім склади рівняння і розв’яжи його. ( 1136. А Ьоаі Ігауеіесі 50 кш сіо^пзігеат апсі 45 к т ирзігеат, 1акіп£ 10 Ьоигз іо соїпріеіе Йіе ^оигпеу. Гіпсі іЬе Ьоаі’з о \у п зреесі і£ іііе г і у є г ’ з сиггепі із 2,5 кт/Ь . 'УУ'гііе іЬе Ьоаі’з о \ у п уеіосііу аз х , сгеаіе а іаЬІе £ог Ше ргоЬІет, апсі Иіеп шгіїе апсі з о і у є Йіе ециаііоп. 1137.)Турист проплив моторним човном угору річкою 25 км, а назад спустився плотом. Човном він плив на 10 год менше, ніж плотом. Знайди швидкість течії річки, якщо швидкість човна в стоячій воді — 12 км/год. 1138. Поїзд затримався в дорозі на 4 хв і ліквідував запізнення на перегоні в 20 км, пройшовши його зі швидкістю на 10 км/год більшою, ніж за розкладом. Якою була швидкість поїзда на цьому перегоні? ( і 139 На середині шляху між А і В поїзд затримали на 10 хв. Щоб прибути у Б за розкладом, довелося початкову швидкість поїзда збільшити на 12 км/год. Знайди початкову швидкість поїзда, якщо відстань між А і В дорівнює 120 км. ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

1140. Велосипедист проїхав 96 км на 1,6 год швидше, ніж передбачав. При цьому за кожну годину він проїжджав на 2 км більше, ніж передбачав проїжджати. З якою швидкістю він їхав?

Квадратні рівняння

1141. З А до В , відстань між якими становить 700 км, виїхав автобус. Якби він зменшив швидкість на 10 км/год, то в дорозі був би на 2 1— год довше. Скільки годин їде автобус від А до В? З 1142. Мотоцикліст їхав з одного міста в друге впродовж 4 год. Повер таючись назад, він перші 100 км їхав з тією самою швидкістю, а потім зменшив її на 10 км/год і тому на зворотний шлях затратив на ЗО хв більше. Знайди відстань між містами. 1143. Рибалка вирушив на човні з пункту А проти течії річки. Проплив ши 6 км, він кинув весла, і через 4,5 год після виходу з А течія знову віднесла його до пункту А . Знайди швидкість течії річки, якщо швидкість човна в стоячій воді — 90 м/хв. 1144. З пункту А відправили за течією річки пліт. Через 5 год 20 хв з пункту А слідом за плотом вийшов моторний човен, який наздо гнав пліт, пройшовши 20 км. Знайди швидкість течії річки, якщо човен проходив щогодини на 12 км більше, ніж пліт. 1145. Батько й син пройшли 480 м, причому батько зробив на 200 кро ків менше, ніж син. Знайди довжину кроку кожного з них, якщо крок батька довший від кроку сина на 20 см. 1146. Дві бригади, працюючи разом, закінчили асфальтування дороги за 4 дні. Скільки днів потрібно було б на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо, якщо одна з них могла б закінчити асфаль тування дороги на 6 днів раніше, ніж друга? 1147.^ Водонапірний бак наповнюється за допомогою двох труб за 2 год 55 хв. Перша труба може наповнити його на 2 год швидше, ніж друга. За який час кожна труба окремо може наповнити бак? П48. Два робітники, з яких другий починає роботу на 1,5 дня пізніше від першого, можуть виконати роботу за 7 днів. За скільки днів кожний із них окремо міг би виконати всю роботу, якщо другий робітник може виконати її на 3 дні швидше, ніж перший? 1149. Перша бригада працювала на ремонті дороги 6 днів, після чого до неї приєдналася друга бригада. Через 9 днів спільної роботи виявилося, що відремонтували половину дороги. За скільки днів може відремонтувати цю дорогу кожна бригада, працюючи само стійно, якщо першій бригаді для цього потрібно на 9 днів менше, ніж другій? 1150. Перший робітник може виконати виробниче завдання на 10 год швидше, ніж другий. Коли перший робітник пропрацював 9 год, а потім його змінив другий робітник, який працював 12 год, то виявилося, що було виконано 60 % завдання. За скільки годин може виконати це завдання кожен робітник, працюючи самостійно?

(Ш

Квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі

1151. Стародавня індійська задача (Бхаскара, 1114 р.). А Розділившись на дві зграї, А дванадцять на деревах забавлялись мавпи в гаї. підняли веселий регіт, Одна восьма їх в квадраті що навколо аж гуло, танцювали, вельми раді. Скільки їх всього було? 1152.уНа вишні заквітчаній кілька гілок, на них сіли порівну двісті бджілок. Коли б на п’ять менше гілок розцвіло, на кожній би бджіл на дві більше було б. То ж скільки гілок на цій вишеньці гожій і скільки бджілок працювало на кожній? 1153. Бригада планувала засіяти 200 га до певного терміну, але засівала щодня на 5 га більше, ніж планувала, і тому завершила роботу на 2 дні раніше. За скільки днів бригада закінчила сівбу? 1154.уРобітник мав за певний час виготовити 120 деталей. Але щодня він виготовляв на 2 деталі більше, ніж планував, і тому закінчив роботу на 3 дні раніше терміну. Скільки деталей виготовляв ро бітник щодня? 1155. Бригада мала за певний час прокласти 720 м кабелю. Але щогодини вона прокладала на 18 м більше, ніж планувала, і тому закінчила роботу на 2 години раніше. Скільки годин працювала бригада? 1156. З першої ділянки землі зібрали 4,8 т картоплі. З другої ділянки, площа якої на 0,03 га менша від першої, — 2 т картоплі, причому з однієї сотки цієї ділянки зібрали на 200 кг менше, ніж з однієї сотки першої ділянки. Знайди площу кожної ділянки. 1157, До розчину, що містить 40 г солі, додали 200 г води, після чого його концентрація зменшилася на 10 % . Скільки води містив роз чин і яка була його концентрація? 1158^ 3 розчину, який містив 4 кг кислоти, випарували 4 кг води (мал. 22.5). Після цього концентрація розчину збільшилася на 5 % . Скільки води містив розчин і яка була його концентрація? 1159. Сплав золота зі сріблом, який містив 80 г золота, сплавили зі 100 г чистого золота. В результаті вміст золота в сплаві збільшився на 20 % . Скільки в сплаві срібла? 1160.^ 3 двох кусків металу перший має масу 880 г, а другий — 858 г, причому об’єм першого Мал. 22.5 куска на 10 см'* менший, ніж другого. Знайди густину кожного ме талу, якщо густина першого на 1 г/см3 більша за густину другого.

Квадратні рівняння

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

1161. Родина готувала великодні крашанки і писанки (мал. 22.6). Вони підрахували: жовтих крашанок у стільки разів більше, ніж блакитних, у скільки блакитних більше, ніж писанок. А якщо з однієї жовтої крашанки зробити ще одну писанку, то писанок стане утричі менше, ніж жовтих крашанок. Скільки було крашанок і писанок?

М ал. 22.6

Мал. 22.7

1162. Круговою доріжкою завдовжки 2 км рухаються в одному на прямку Таня і Сергій, які сходяться через кожні 20 хв (мал. 22.7). Знайди швидкість Тетяни і Сергія, якщо Тетяна пробігає коло на 1 хв швидше, ніж Сергій. ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1163. Сума квадратів двох від’ємних чисел дорівнює 74, а різниця їх квадратів — 24. Знайди ці числа. 1164. Розв’яжи рівняння. х +2 х + 4х х +2х х +8 б) а) х +3 х +3 ' х -4 х -4 1165. Відкрита задача. Розв’яжи графічно систему рівнянь у і

\Гх

? , якщо один із її розв’язків (1; 1).

С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь М ож у р о зв ’ язувати вправи, щ о передбачаю ть складання і р о зв ’язування квадратних рівнянь і рівнянь, щ о зводяться до них як математичних м о д е лей прикладних задач.

Перейди за посиланнями та • підсумуй головне в розділі 1іМрз://у8е.ее/сга8 • ознайомся з історичними відомостями ЬМрз://узе.ее/сгау 216

Завдання для самостійної роботи

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

ВАРІАН ТІ

1. Знайди корені квадратного тричлена, а) х 2 + 8х - 9; б) х 2 - 12х + 20. 2. Один із коренів рівняння х 2 - 7х + с = 0 дорівнює 5. Знайди зна чення с і другий корінь рівняння.

, 3. Скороти дріб, а)

х -1 ^ х 2- З х - 1 0 б) -----— —— . х - 4х +З х - 25

4 . Один із катетів прямокутного трикутника на 7 см довший за другий. Знайди периметр трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 13 см. ВАРІАНТ II

1. Знайди корені квадратного тричлена, а) х 2 + 2 х - 15; б) х2 - 5х - 14. 2. Один із коренів рівняння х2 + Ьх - 6 = 0 дорівнює 3. Знайди зна чення Ь і другий корінь рівняння.

0 х 2-6 х+ 8 х 2- 4 х - 5 •з. Скороти дріб, а) --------------; б) ----- 5------- . х -2 х -1 4 . Один із катетів прямокутного трикутника на 2 см менший від дру гого. Знайди периметр трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 10 см. ВАРІАНТНІ

1. Знайди корені квадратного тричлена, а) х 2 - 5х + 4; б) х 2 + 4х - 12. 2. Один із коренів рівняння х 2 - 6х + с = 0 дорівнює 2. Знайди зна чення с і другий корінь рівняння.

3. Скороти дріб, а)

7 -у _і_ 1 9

— — ; б) ------. х -5л:-1 4 л: -1 6

4 . Один із катетів прямокутного трикутника на 3 см менший від дру гого. Знайди периметр трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 15 см.

217

Квадратні рівняння

ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ

Тестові завдання № 6

О Добуток коренів рівняння л;2 + 12л: + 20 = 0 дорівнює: А 12

Б 20

В -2 0

Г -12

( 5 Сума коренів рівняння х 2 + 2х - 15 = 0 дорівнює: А 15 Б 2 В -2 Г -15

О Дискримінант квадратного тричлена Зхг + х - 4 дорівнює: А -4 7

Б 49

В 7

О Знайди корені квадратного тричлена х 2 - 4х - 5. А -1 ; 5

Б -5 ; 1

В 1; 5

Г 7 або - 7

Г коренів немає

Перший коефіцієнт зведеного квадратного рівняння дорівнює: А 1 Б 2 В -1 Г0 Розклади на множники квадратний тричлен 2х2 - 5х - 3. А (х - 3)(х + 0,5) Б (х+ 3)(* - 0,5) В (*+ 3)(2* - 1) Г (л:-3)(2л; + 1)

О Один із коренів рівняння х 2 + т х - 21 = 0 дорівнює 3. Знайди т . А -4

Б 4

В 18

Г -1 8

Один із коренів рівняння 2л:2 - Ю х + п = 0 дорівнює 2. Знайди другий корінь рівняння. АЗ Б -7 В 8 Г -12 Найменше значення виразу х 2 - 6х + 10 дорівнює: А 10 Б 1 В -1 Г 19 Склади квадратне рівняння, корені якого дорівнюють 2 і 5. А х2 + 10л: + 7= 0 Бл:2 + 7 л : - 1 0 = 0 Вл; 2 - 7 л : + 1 0 = 0 Г х 2 - 10л: + 7 = 0 ь «Важкі й складні задачі цікавіш е р о зв ’язувати, ніж прості, і нехай це не видасться парадоксом, — легш е р о зв ’язувати!» Є. О. П а т о н

ш 218

Типові завдання до тематичного оцінювання

ТИПОВІ ЗАВДАННЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ № 6

Знайди суму коренів рівняння Зхг - 9х + 5 = 0. А 9 Б -9 В -З

ГЗ

Знайди корені квадратного тричлена хг - 6х - 27. А 9; З Б -9 ; -З В -3 ; 9 Г -9 ; З Відомо, що х х і х2 — корені рівняння х г - 5х + 3 = 0. Знайди зна чення виразу 2хі + 2хо+ 5 хіх2. А 5 Б 15 В 25 Г -5 а

Установи відповідність між квадратними тричленами (1-3) та їх розкладом на множники (А-Д ). 1 4х2 - 12х + 9 2 4х2 + 5х + 1 3 4х2 - 8х + З

А (4х - 1)(х - 1) Б (4х - З)2 В (4х + 1)(х + 1) Г (2х - 1)(2х - 3) Д (2х - З)2

Різниця коренів рівняння х 2 - 6х + р = 0 дорівнює 2. Знайди корені рівняння і коефіцієнт р. ^ х х +2 Розв яжи рівняння ------ + х - 2 х+1

6 х -х-2

Сервісний центр зобов’язався відремонтувати за певний час 72 гаджети. Роботу було закінчено на 3 дні раніше, бо план щоденно переви конували на 4 одиниці. За скільки днів сервісний центр зобов’язався виконати роботу? За якого значення параметра а сума коренів рівняння х 2 - (а2 - 2 а + 3)х + а + 8 = 0 дорівнює 6? Додаткове завдання

При яких значеннях а рівняння х 2 - (а + 2)х + а + 5 = 0 має один корінь?

Р озділ 4. СТОХАСТИКА "1 К а ж у т ь , щ о ч и с л а п р а в л я т ь с в іт о м . Ні, во н и т іл ь к и п о к а з у ю т ь , я к п р а в л я т ь с в іт о м . Й оган н В о л ь ф га н г Гете

В ж и т т і і в с в о їй п р о ф е с ій н ій д ія л ь н о с т і н а й ч а с т іш е л ю д и в и к о р и с т о в у ю т ь в м ін н я п р а ц ю в а т и з д а н и м и . Р о з в 'я з у в а н н я з а д а ч ц ь о го р о з д і л у д о п о м о ж е п р и г а д а т и , я к с и с т е м а т и з у в а т и д а н і у т а б л и ц і, я к ч и та ти і б у д у в а т и д іа г р а м и , я к р о з в ’я з у в а т и за д а ч і, щ о м іс т я т ь в ід с о т к и , а т а к о ж за д а ч і з к о м б ін а т о р и к и та т е о р ії й м о в ір н о с т е й . Відсотки. Задачі на відсотки. Діаграми Р е гсеп їа д е з. Ре гсеп іа д е р го Ь Іе тз. §23 (Згарїіз апсі с ііа г їз Збирання та систем ати зац ія даних. Частотні таблиці. Діаграми СоІІесїіпд апсі о гд а п іііп д сіаїа. Ргеди еп суїаЬ Іез. С га р іїз апсі с ііа г їз Вибірка. С е р е д н є значення, мода вибірки З а т р іе . З а т р іе т е а п , т о с іе Комбінаторні задачі С о т Ь іп а їо гіа І р го Ь Іе тз П о н я т т я й м о в ір н о с т і

ТИе с о п с е р ї о ї ргоЬаЬіІІІу

У ц ь о м у розділі ти д і з н а є ш с я про: відсотки, д іа г р а м и; з б и р а н н я та с и с т е м а т и з а ц і ю даних, частотні таблиці; вибірку, с е р е д н є а р и ф м е т и ч н е , м о д у вибірки; к о м б і н а т о р н і задачі; п он ят тя й м о в ір н ос ті .

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і до б р е за сво їти нову тему, пригадаєм о: — щ об за п и сати відсотки де ся тко ви м д р о б о м або натуральним числом , потрібно число, яке сто їть перед знаком %, поділити на 100. 45 % = 45 : 100 = 0,45; 200 % = 200 : 100 = 2

§ 23. Відсотки. Задачі на відсотки. Діаграми КЛЮ ЧОВІ СЛ О ВА

ґ--------------------------------------------■відсотки — регсепі і кругова д іа гр а м а — ріе сіїагі ' сто вп часта д іа г р а м а — Ьаг дгарґіз Відсоток — сота частина. Найпростіші задачі на відсотки 1. Задачі на знаходження відсотка від числа Щоб знайти відсоток від числа, треба число помножити на відсоток, що переведений в десятковий дріб. Наприклад, 7 % від числа х становлять 0,07л;. 2. Знаходження числа за значенням його відсотка Щоб знайти число за значенням його відсотка, треба відоме значення поділити на відсоток, що переведений у десятковий дріб. Наприклад, якщо 7 % деякого числа становить х , то саме це чис ло — х : 0,07. 3. Знаходження відсоткового відношення Щоб знайти, скільки відсотків одне число складає від іншого, треба перше число поділити на друге, і результат перевести у відсотки. Наприклад, щоб знайти, який відсоток 7 становить від 10, необхідно 7 : 10 = 0,7= 7 0 % . Складніші задачі розв’язуються на основі цих 3 наведених видів. Задача. Одна зі шкіл змогла зібрати і відправити в районну бібліо теку на 20 % книжок менше, ніж друга. Якби друга школа зібрала на 32 книжки менше, а перша на 12 більше, то кількість зібраних і від правлених книжок обома школами була б однакова. Знайди, скільки книжок зібрала кожна школа. Розв’язання. Задачу зручно розв’язати за допомогою рівняння. Нехай друга школа зібрала х книжок, тоді перша зібрала 80 % від х , тобто 0,8х. 221

Стохастика

За умовою складемо рівняння: х - 32 = 0,8х + 12 х - 0,8 х = 12 + 32 0,2х = 44 х = 220

Отже, друга школа зібрала 220 книж ок, тоді перша зібрала 0,8 • 220 = 176 книжок. Відповідь. 220 книжок та 176 книжок. Відсотки також широко використовують для подання чи аналізу даних. Діаграми — символічний малюнок, який наочно ілюструє співвід ношення між значеннями величин.

Л ін ій н і

Стовпчасті

К р уго ві

С та в к и за гр и в н е в и м д е п о з и т о м

П р и р іс т кіл ь к о сті О С Б Б

Ф а к т о р и в п л и в у на з д о р о в ’я лю д и н и

Б анк А

8 5%

Банк Б Банк В

І С п о с іб ж иття

!), 5 %

•

10%

...

І С т а н н а в к о л и ш н ьо го сер ед ови щ а І С п а д к о в іс т ь

01.01.2016 01.01.2017 0101.2018 01.01.2019

ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? В банківській справі також говорять про складні відсотки. Це сп о сіб нараху вання прибутку, наприклад за депозитним вкладом, за якого нараховані відсотки періодично додаю ться д о тіла вкладу. Є також низка аналогічних терм інів «депо зит з капіталізацією» аб о «реінвестування прибутку».

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Я кі види задач на відсотки ти знаєш? Наведи приклади. Я кі види діаграм ти знаєш? Для чого використовують діаграми?

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

Розв’язати задачі на розчини і сплави зазвичай допо магають 2 моделі: таблиця і рівняння. Є два види молока з масовою часткою жиру 2 % та 5 % . Скільки треба взяти кожного виду молока, щоб отримати 12 кг молока жирністю 4 % ?

Відсотки. Задачі на відсотки. Діаграми

Модель до задачі — таблиця. Загальна маса, кг

% жирності

М олоко 1

2 %

М олоко 1!

Розчин

М аса жиру, кг

4 %

Нехай маса першого виду молока буде х кг, тоді другого — (12 - х) кг. Знаходимо масу жиру для кожного рядка і заповнюємо далі третій стовпчик таблиці. М олоко І М олоко II Розчин

Загальна маса, кг

% жирності

М аса жиру, кг

X 12-х 12

2 %

0 ,0 2 х

0,05(12 - я)

4 %

1 2 -0 ,0 4

Використовуючи дані стовпця «Маса ж иру», складемо ще одну математичну модель — лінійне рівняння: 0,02л + 0,05(12 - х) = 12 • 0,04 0,02я + 0,6 - 0,05;е = 0,48 -0 ,0 3 * = -0 ,1 2 х = 4 (кг) 12 - х = 1 2 - 4 = 8 (кг) Відповідь. 4 кг молока жирністю 2 % та 8 кг молока жирністю 5 % .

ВИКОНАИ УСНО

1166. Зазвичай перукарі змішують фарбу з окислювачем у відношенні 1 : 2 . а) Який відсоток фарби у цій суміші? Округли до одиниць відсотків. б) Який відсоток окислювача у цій суміші? 1167. Під час сушіння в сушарці втрачається 90 % вологи абрикос. Скільки потрібно було взяти свіжих абрикос, щоб отримати 350 г сушених? 1168. Який відсоток становить 18 від 45? А 0,4 % Б 2,5 % В 25 % Г 40 % 1169. Початкова ціна товару становить х грн. Вирази ціну товару, якщо: ^ а) вона становить 85 % початкової ціни; б) вона зросла на 11 %; в) вона стала вдвічі меншою; г) вона стала утричі більшою. 1170. У шкільному електронному опитуванні про сортування сміття взяли участь 500 учнів та учениць, 320 із яких дали стверджувала

Стохастика

ну відповідь, а 110 — заперечну. Яка діаграма відповідає описаній ситуації?

1171. Число 150 у 2 рази більше 20 % числа х . За допомогою якого рівняння можна знайти число х? А 2 х = 150 Б 150 : 2 = 0 ,2 * В 150 - 2 = 20 % х Г 0,5 • 150 = 0,02х 1172. На діаграмі (мал. 23.1) зображено результати (у балах) учнів/учениць класу за тестування з математики. Я кі висновки можна зробити на основі цієї діаграми? ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

М ал. 23.1

РІВЕНЬ А

1173. В Україні рівень урбанізації становить близько 70 %. £ ) Скільки людей проживають в селах України на даний момент? 1174. Гра. Один із учнів/одна з учениць записує ціле число, другий / дру0 °. га — записує відсоток, а третій/третя має знайти відсоток від цього числа. Потім учні / учениці мі ВИ ТРАТИ няються ролями. Продукти 10 000 1175. Розглянь таблицю витрат сімейного М едицина та спорт 2000 місячного бюджету. Транспорт 5000 а) Чому дорівнює місячний бюджет Д о м .тв а р и н и 500 цієї родини? 2200 б) Скільки відсотків бюджету роди Комуналка Борги 800 на витрачає на доброчинність? в) Зазвичай родина інвестує 60 % Навчання 5000 статті «Інші витрати». Яку суму ін Доброчинність 4000 вестує родина? І яка залишається на Інші витрати 10 500 розваги? 1176. Із 72 учнів/учениць, які бажають вивчати математику поглиблено, утворили 3 класи з однаковою кількістю учнів / учениць у кожному. В одному із цих класів 75 % становлять учні/учениці, які також вивчають поглиблено англійську. Скільки учнів/учениць, які ви вчають поглиблено математику й англійську?

Відсотки. Задачі на відсотки. Діаграми

(1177. В компанії є вакантна посада координатора проекту з місячною заробітною платою 45 000 грн за 40 робочих годин на тиждень. Після співбесід компанія вирішила час та заробітну платню коор динатора розбити між двома претендентками — Оленою та Іриною. Олену буде залучено лише на ЗО % часу, а Ірину — на решту часу. Яку зарплатню отримуватиме кожна претендентка? і 1178. Власник магазину хоче закупити 1000 упаковок сметани. Її від вантажують в ящ иках по 50 упаковок у кожному. Ціна однієї упаковки становить 32 грн, але при купівлі кожних 3 ящиків діє знижка 3 % . а) Скільки гривень має заплатити власник ма газину? б) Скільки грошей він виручить за всю сметану, якщо зможе її продати за ціною 40 грн? в) Який відсоток прибутку закладає власник магазину? 1179. У збільшеній акційній пляш ці міститься 750 мл мінеральної води. Який стандартний об’єм води в пляшках цієї фірми? Скільки мі лілітрів води отримує покупець у подарунок, купуючи акційну пляшку? Сі 180.) Після подорожчання на ЗО % велосипед став коштувати 14 352 грн. Яка була його початкова ціна? 1181. АЛег іЬе ргісе о£ Ше Ьіке шепі ир Ьу 20 % , іі созі 15 000 И А Н . \У1іаі шаз ііз огі^іпаї ргісе? ( 1182. Після того як було викуплено 20 % квитків на благодійний репмюзикл «Ти [Романтика]» про «Розстріляне відродження», у про дажі залишилося ще 320 квитків. Яку суму грошей можна виручити за цей концерт, якщо ціна одного квитка становить 500 грн? 1183. Проаналізуйте, яку частку у держбюджеті займали видатки на о оборону та безпеку (у млрд грн) у 2021 та 2022 роках (мал. 23.2). О

1490,3

Оборона

16,4% 443,3

Громадський порядок, безпека, судова влада

Стохастика

а) Чим спричинені такі зміни? б) Знайдіть, скільки мільярдів гривень виділялось на оборону в 2021 році. в) Який відсоток припадав на безпеку у 2021 році? г) Знайдіть, який був державний бюджет України у 2022 році, ґ) Скільки грошей виділялося на оборону в 2022 році? Відповіді округліть до цілих. 1184. і Скільки відсотків становлять 3 з 24 записаних пісень? ( 1185. За перші три дні користування послугою «Шлюб онлайн» в застосунку «Дія» українці зробили 416 133 пропозицій, проте «так» сказали тільки 49 282 дівчат. Який відсоток пропозицій отримав відповідь «так»? Відповідь округли до цілих відсотка. ( 1186.) 5 учнів/учениць проходили тестування, щоб У ч ас Бал визначитися з рівнем їхн іх знань англійської ники мови. У таблиці наведено набрані бали учнів/ уче 1 18 ниць із 20 молоіивих. Знайди відсоток успішності 2 17 кожного учня/кожної учениці. 3 13 1187. Н а уроці 8 учнів/учениць працювали само 4 12 стійно з підручником, 3 виконували практичну 5 20 роботу в групі, 4 працювали з вчителем і ще 10 працювали на онлайн-платформі. Який відсоток учнів / учениць припадає на кожен вид роботи?

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ Б

1188. Н а присадибній ділянці вирощують різні ягоди (мал. 23.3). а) Яку площу ділянки відве дено під ягоди? б) Який відсоток площі д і лянки, відведеної під ягоди, займає кожен із видів ягід? в) На скільки менше відсотків припадає на полуницю, ніж на лохину? г) Яка площа припадає на ви рощування ожини, якщо вся присадибна ділянка має площу 1 га? ( 1189 Трейдер купив скульптуру за 500 $ , а потім продав її за 700 $ . Який відсоток прибутку він отримав?

Відсотки. Задачі на відсотки. Діаграми

( і 190Г Проаналізуй діаграму цін Ціна 125 тарілки борщу у закладах хар чування в Україні (мал. 23.4). 100 а) Знайди, на скільки відсотків зросла ціна тарілки борщу: 75 1) з 2020 року до 2024 року; 2) з 2022 року до 2024 року. 50 64 55 80 100 110 б) Дізнайся про ціну тарілки бор 25 грн грн грн грн грн щу в закладах на даний момент. Як вона змінилася порівняно з 0 2024 роком? 2020 2021 2022 2023 2024 1191.) Ціна книжки в інтернет-магазиМ ал. 23.4 нах коливається від 166 до 220 грн. а) На скільки відсотків максимальна ціна більша за мінімальну? б) На скільки відсотків мінімальна ціна менша від максимальної? Відповіді округліть до цілих відсотків. 1192. У волонтерській організації на даний момент 2 незакритих збори загальною сумою 100 000 грн. 25 % першого збору дорівнює шостій частині другого збору. Яка сума кожного збору? Склади рівняння за планом. 1. Познач суму одного зі зборів за х. 2. Вирази суму другого збору через х. 3. Склади рівняння, знаючи, що 25 % першого збору дорівнює шостій частині другого збору. ( 1193.; Власник галереї купив 2 скульптури за 4500 $ . Продавши ці скульптури, він отримав прибуток у 40 % від вартості. Прибуток від продажу першої скульптури склав 25% її вартості, а від дру гої — 50% її вартості. Знайди початкову ціну кожної скульптури. Склади план розв’язання задачі та розв’яжи її. 1194. На дискотеці дівчат було на 6 більше, ніж хлопців. Якщо кількість дівчат збільшити на 100 % , а кількість хлопців на 150 % , то дівчат і хлопців стане порівну. Постав запитання до задачі та розв’яжи її. ( 1195.; В одному американському бутіку кепка Руслана Багінського ко штує на 150 $ менше, ніж в іншому. Якщо перший бутік підвищить ціну на 20 % , а другий знизить її на 25 % , то кепка коштуватиме однаково. Знайди початкові ціни на цю кепку в обох бутіках. 1196. Для технічних цілей в лабораторії змішали 15 % кислоту та 25 % кислоту й отримали 50 мл 20 % кислоти. Скільки мілілітрів кожної кислоти взяли при цьому? 1197. Сплав міді та цинку масою 16 кг містить 55 % міді. Скільки міді потрібно додати у сплав, щоб новий сплав містив 60 % міді? 227

Стохастика

1198. У якому відношенні треба взяти 10 % та 20 % розчини солі, щоб після їх змішування отримати 16 % розчин солі? А 1: 1 Б 2: З В1:2 ГЗ: 4 1199. ш т З У лабораторії є два сплави міді з оловом: перший масою 50 кг містить 10 % міді, другий масою 100 кг містить 25 % міді. Добери до кожного запитання (1-4) правильну відповідь (А -Д ). 1 Скільки кілограмів міді міститься в першому сплаві? 2 Скільки кілограмів міді міститься у двох сплавах разом? 3 Якщо із даних сплавів утворити новий сплав, то скільки відсотків міді міститиме цей сплав? 4 Скільки кілограмів другого сплаву треба додати до пер шого, щоб утворити сплав, який міститиме 15 % міді?

А Б В Г

5 15 20 25

Д зо

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

1200. У коледжі під час іспиту з мате матики 15% студентів/студенток не розв’ язали жодної задачі, 144 студенти/студентки розв’язали де які задачі з помилками, а кількість тих, хто розв’ язав усі задачі пра вильно, відноситься до кількості тих, хто не розв’язав жодної задачі, як 5 : 3. Скільки студентів/студенток розв’язали хоча б одну задачу? 1201. Розв’яжи ребуси, зображені на ма люнках 23.5, 23.6.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1202. Знайди два числа, якщо їх сума дорівнює 2,5, а різниця квадратів становить -2 ,5 . 1203. Доведи, що: а) 17й’ + 9 ділиться на 10; б) 332>- 3 ділиться на 6; в) 810 - 108 ділиться на 8; г) 2321 + 2423 ділиться на 5. 1204. Чи проходить графік функції у = х 2 + 1 через точку А(3,5; 13,25)? При яких значеннях х значення цієї функції дорівнює 7,25?

Збирання та систематизація даних. Частотні таблиці. Діаграми С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь */

Знаю , що таке відсоток. 1 % - це со та частина, 1% від метра - це сантиметр. Умію р о зв ’язувати різні види задач на відсотки. Задачі на відсотки: — задачі на знаходж ення відсотка від числа; — задачі на знаходж ення числа за значенням його відсотка; — задачі на відсоткове відношення. Розрізняю 3 види діаграм . Діаграми лінійні

стовпчасті

кругові

Вм ію читати різні види діаграм .

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зр о зум іти і д о б р е за сво їти нову тему, пригадаєм о: — для аналізу значної кількості даних зручно їх систем атизувати ; — для наочного зображ ення числових даних використовую ть діаграм и.

§ 24. Збирання та систематизація даних. Частотні таблиці. Діаграми КЛЮ ЧОВІ СЛ О ВА дані — сіаіа частотна таблиця — їгециепсуіаЬІе

На прийомі в офтальмолога були учасники та учасниці спортивної команди. Ось їх фото.

Як бачимо, в команді є хлопці і дівчата. У них різний колір очей. Для зручності ми можемо розкласти ці фото на дві групи.

229

Стохастика

Дівчата

Хлопці

Тепер добре видно, що в команді 6 дівчат і 4 хлопці. Також ми могли розкласти фото за кольором очей. Зелені очі Сірі очі Карі очі

Тепер добре видно, що 2 в команді мають зелені очі, 4 — сірі і 4 — карі. Подати дані ми можемо у вигляді таблиці. Стать

Кількість

Колір очей

Зелені

Сірі

Карі

Дівчата

Кількість

Хлопці

Такі таблиці називають частотними. В них один із рядків чи стовпців вказує на те, як часто зустрічається певна ознака серед всієї команди. Наочно уявити результати частотної таблиці допоможе діаграма {лінійна, сто вп ч аст а чи кругова). Щоб побудувати лінійну чи стовпчасту діаграму, треба побудувати дві взаємно перпендикулярні осі. Потім визначити, на якій із них буде позначено ознаку, а на якій — кількість. На вісі «Кількість» потрібно самостійно обрати зручний одиничний відрізок. Наприклад, Стовпчаста діаграма Лінійна діаграма Колір очей учасників спортивної комади

Колір очей учасників спортивної комади

Зелені Сірі

Карі

Щоб побудувати кругову діаграму, необхідно зрозуміти, скільки градусів припаде на кожну дитину. Якщо у спортивній команді разом 10 учасників та учасниць, то 230

Збирання та систематизація даних. Частотні таблиці. Діаграми

360° : 10 = 36° х = 36 — припадає на одного учасника /одну учасницю команди. Оскільки зеленооких — 2, сірооких — 4, а карооких — 4, то їм відповідатимуть сектори 72°, 144° та 144°. Будуємо круг, проводимо його радіус і відкла даємо послідовно один за одним від цього радіуса кути градусною мірою 72”, 144” та 144“ (мал. 24.1).

Колір очей учасників спортивної комади

Зелені

ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Сірі І

Мал. 24.1

Зручно будувати діаграм и в ЕхсеІ. Для цього по тр іб но: створити в докум енті частотну таблицю;

Колір

Кількість

Зелені

Сірі

Карі

----

виділити її й обрати вид діаграми; Файл

О сновне

В ставлення

□с=з о** З ве д е н а

Р е к о м е н д о в а н і Табл иця

Малю вання

Г0

О]?

Іл ю стр а ц ії

Реком енд овані

т а б л и ц я з в е д е н і таблиці

Ф орм ули

Д ані

л &

Карти

Звед

д іа гр г

й-

д іа г р а м и

Таблиці А1

Макет сторінки

П лоска секторна діаграма

/х

0$> підписати діаграм у. А

А Колір

Зелені

Сірі

Карі

Кількість

О-

К олір очей у ч а с н и ків сп о р ти вн о ї ко м а н д и Обдасть діаграми І

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Зелені

Сірі ■ Карі

Рец

Стохастика ПЕРЕВІР СЕБЕ

Я кі таблиці називають частотними? Як побудувати: а) лінійну; б) стовпчасту; в) кругову діаграму?

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

У власників одноповерхових будинків однієї з вулиць запитали про кількість вікон у їхньому будинку. Отри мали такі дані. 4, 6, 4, 8, 10, 12, 9, 4, 6, 5, 6, 6, 10, 9, 8, 6, 7, 6, 14, 12, 6, 8, 7. Побудуй відповідну частотну таблицю. Розв’я зання. Впорядкуємо вибірку: 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, б, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 12, 12, 14. Полічимо, скільки разів зустрічається кожне з чисел у вибірці, і побудуємо відповідну частотну таблицю. К-сть вікон

Частота

ВИКОНАИ УСНО

1205. В аеропорту на паспортному контролі в базі у прикор донників / прикордонниць формується частотна таблиця громадян / громадянок, що перетинають кордон. Проаналізуй дані таблиці за останню годину і дай відповіді на запитання. а) Скільки українців/українок Громадянство Частота протягом цієї години пройшли Іспанці 32 паспортний контроль? Італійці 45 б) Громадян / громадянок якої країни пройшло через контроль Українці 38 за цю годину: 1) найбільше; 2) най Німці 52 менше? 1206. В результаті опитування виявилося, що 150 користувачів/користувачок комп’ютерної техніки ніколи не встановлювали антивірус на пристрої, яким зараз користуються. Зараз використовують антивірус 130 користувачів / користувачок і ще 80 користувачів / користувачок встановлювали антивірус раніше, але зараз його не активували. Чи правильною є частотна таблиця цієї ситуації? 232

Збирання та систематизація даних. Частотні таблиці. Діаграми Ніколи не встановлювали

Мали, але зараз

М ають зараз активований

антивірус

він не активований

антивірус

150

130

1207. Знайди помилку в частотній таблиці, створеній на основі балів, які отримали учні/учениці за самостійну роботу: 8, 6, 10, 5, 9, 9, 8, 10, 5, 10. Бали

Частота

1208. На основі опитування учнів / учениць класу дізналися, яким тран спортом вони приїжджають до школи. Чи відповідає частотна таблиця побудованій діаграмі (мал. 24.2)? В ид тр а н сп о р ту

Ч астота

Велосипед

Автобус

Трамвай

Електросамокат

5 Мал. 24.2

1209. У частотній таблиці подано масу підручників. Поясни помилку. М аса

В ід 100 г до 200 г

В ід 200 г до 300 г

В ід 300 г до 400 г

Частота

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ А

1210. Розгляньте записи на дошці. Знайдіть кількість од- т ^51 ночленів, двочленів і тричленів та побудуйте в зошиті частотну таблицю. 5+к 0,5л:2 + 1 8- р 9л;6 + х 3

х 2 + 2х - 1 7 - Зх2 - х 56 - х 2 - 1 -0 ,2 к2 - 1 + к

а Ь+с 7а 3

4 -х 4р - 1,21 2с - с3 4 - 0,64/г4

( 1211? Проаналізуй квадратні рівняння, наведені нижче. Знайди кількість повних і неповних квадратних рівнянь та створи частотну таблицю. а2 - 4 = 0 1 6 - с 2 -- 0 5а2 = 3а

х 2 + 2х - 1 =0 - 5 б2 - 106 = 20 і 2 + 20 = 0

р2 + 3р

4б2 + 2Ь = 1 к2 - 12к + 36 = 0

- 1 2 - 4р 2 = 0 233

Стохастика

1212. Частотна таблиця описує кількість відповідних семестрових балів з ма тематики учнів класу. На основі цієї частотної таблиці побудуй в зошиті лінійну діаграму.

(і213.уТЬе Г^е^иепсу іаЬІе сІезсгіЬез Йіе пиіпЬег оГ таїсіїез іп шЬісіі а £іуєп питЬег о£ §оа1з луєгє зсогесі. Изе іЬіз Ггециепсу іаЬІе іо ЬиіМ а Ьаг §гарИ.

Сем естрові бали

Кількість

10 12

9 10 11

8 2

М итЬ ег о ї

М итЬег

доаіз

о ї т а їс Н е з

0 1 2

5 11 7

3 4

3 2 1

1214. Управління охорони здоров’я збирає дані про час, проведений пацієнтами / пацієнтками у терапевта за тиждень. Кількість часу, проведеного у терапевта, подано у частотній таблиці. Час візиту

Частота

Д о 20 хв включно

В ід 20 хв д о ЗО хв включно

В ід ЗО хв д о 40 хв включно

В ід 40 хв д о 50 хв включно

Від 50 хв д о 60 хв включно

В ід 60 хв до 70 хв включно

В ід 70 хв д о 80 хв включно

а) Скільки людей провели у терапевта менше 40 хвилин включно? б) Скільки людей провели у терапевта більше години? в) Кого було більше: пацієнтів /пацієнток, які провели не більше 40 хвилин, чи тих, хто провів від 40 до 60 хвилин? г) Побудуй в зошиті кругову діаграму, а потім діаграму за допо могою Ехсеї. Порівняй час, витрачений на це. В чому переваги і недоліки кожного зі способів? О 1215. На діаграмі (мал. 24.3) зображе *2 но кількість книжок у бібліотеці, -о які брали її відвідувачі / відвіду н о вачки щодня. За лінійною діагра ’2 л с; мою побудуй частотну таблицю. Пн

Рт

Г.п

Мал. 24.3

234

Чт

Пт

Збирання та систематизація даних. Частотні таблиці. Діаграми

( 1216. Усім учням/ученицям 8 кла су запропонували виконати од накове завдання з алгебри. На діаграмі (мал. 24.4) зобра жено кількість часу, протягом якого учні/учениці виконали це завдання. Побудуй за діа грамою частотну таблицю.

15хв 20хв 25хв ЗОхв 35хв 4 0 х в 4 5 х в

Час виконання

М ал. 24.4

ВИКОНАЙ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

1217., Розглянь фігури (мал. 24.5). а) Знайди кількість різносторонніх і рівнобедрених трикутників. Побудуй частотну таблицю. б) Побудуй лінійну діаграму.

Мал. 24.5

(1218? Розглянь гобелен «Великодній спів» руч ного ткання Ольги Пілюгіної (мал. 24.6). а) Знайди кількість: птахів; квітів; гілок дерев; ягід. Побудуй відповідну частотну таблицю. б) Побудуй стовпчасту діаграму. 1219. У різних учнів / учениць гімназії питали ^3^ про тривалість їх останнього короткого відео в соціальних мережах. Отримали такі дані; 25 с, 15 с, 35 с, 20 с,15 с, ЗО с, 20 с, 25 с, 40 с, 25 с,22 с, 20 с. Побудуй в зошиті відповідну частотну та Мал. 24.6 блицю і кругову діаграму. ( 1220? У власників/власниць котів на виставці запитали про кількість кор му, що їдять їх улюбленці протягом одного дня. Отримали такі дані: 65 г, 60 г, 50 г, 50 г,60 г, 65 г,50г,50 г,60г,70 г. Побудуй в зошиті відповідну частотнутаблицюі кругову діаграму.

Стохастика

1221.ІСоціологи, проводячи дослідження, вирішили фіксувати, як чо[] ловіки і жінки використовують телефон, заходячи в мегамаркет. Доповни пропуски в таблиці. а) Знайди приблизний відсоток жінок, які брали участь у цьому Поведінка Чоловік Жінка Разом Селф і 45 18 дослідженні. 5 21 Ф ото б) Який відсоток людей викорис 45 П ерепис ка 130 товували телефон для селфі? 82 Ро зм о ва 240 в) Який відсоток серед всіх людей, <ЗРЗ 5 що вели переписку, становили Зага ло м 165 жінки? г) Побудуй в Ехсеї кругову діаграму, Відвідування гуртків учнями що відображатиме співвідношення чо ловіків і жінок, що розмовляли. 1222. Проаналізуй діаграму відвідування гуртків учнями / ученицями всіх 8 кла сів (мал. 24.7). Виконай завдання. а) Який кут відповідає сектору «Йога» ? 11 б) Скільки учнів / учениць було опита но, якщо відомо, що йогою займаються 11 учнів? в) Побудуй частотну таблицю цього опитування.

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

1223. Мобільний телефон дорожчав двічі. Після другого під вищення ціни він став коштувати у 6 разів більше, ніж до подорожчання. На скільки відсотків збільшили ціну другого разу, якщо відомо, що спочатку вона була збільшена на 50 % ? 1224. Продовж послідовність: а) 8, - 4 , 2, - 1 ,... б) 1, 3, 7, 15, 31,...

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1225. При яких значеннях змінних вираз не матиме змісту? т ч а \ а б) 2 =) а) х п „ а + 1 4х2 1 -а х а2-1 3с 1226. Виконаи множення, а ) -------- ^---- ; б ) -------- ------ ^; в) — а+1 х а -1 Зх 1 - а 4 МЩ 236

Збирання та систематизація даних. Частотні таблиці. Діаграми

1227. У двох різних інтернет-магазинах різні ціни на зошити. Другий магазин надає знижки. Рахунок на оплату № 33 від 11 червня 2024 р. №

Назва товару

О д.

Кількість

Ціна, грн

Сум а, грн

З о ш и т з м інн ої безпеки

шт.

66,50

2 194,50

З о ш и т з ф інансової грам отності

шт.

84,00

2 772,00

З о ш и т з раціонального харчування

шт.

112,00

3 696,00

Зо ш и т 5Т ЕМ

шт.

84,00

2 856,00

З о ш и т з етики

шт.

84,00

2 772,00

Замовлення покупця № 775 від 11 червня 2024 р. Кіль

Ціна, грн

Сума без знижки, грн

Знижка, грн

Сума, грн

120,00

3 840,00

1 536,00

2 304,00

Зо ш и т з м інної безпеки

95,00

3 040,00

1 216,00

1 824,00

З о ш и т з раціональ ного харчування

160,00

5 280,00

2 112,00

3 168,00

З о ш и т ЗТ Е М

120,00

3 960,00

1 584,00

2 376,00

З о ш и т з етики

120,00

3 960,00

1 584,00

2 376,00

№

Товар

З о ш и т з ф інансової грам отності

кість, шт.

а) Який відсоток знижки надає другий магазин? б) Де вигідніше замовити зошити? в) На основі даних з таблиць сформулюй задачу для однокласни ків /однокласниць. С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь

Знаю , щ о таке частотна таблиця. В частотній табл и ц і один із рядків чи сто в п ц ів вказує на те, як часто зустрічаю ться певні дані. У м ію будувати 3 різни х види д іа гр а м від руки і за д о п о м о го ю різних сервісів.

ь.

ВИ КО РИ СТО ВУЮ НАБУТІ К О М П ЕТЕН ТН О СТІ Щ об зрозум іти і до б р е засвоїти нову тему, пригадаємо: — се р е д н є ариф м етичне кількох чисел дорівню є сум і цих чисел, поділеній на їх кількість; се р е д н є ариф м етичне чисел 7, 8 і 12 буде (7 + 8 + 12): 3 = 9; — зібрані числові результати дослідж ень називаю ть вибіркою. Наприклад, вибірка: 7, 8, 12. Н айм енш е значення цієї вибірки 7, а її найбільш е значення — 12.

§ 25. Вибірка. Середнє значення, нода вибірки КЛЮ ЧОВІ СЛ О ВА

(-----------------------------------------------------------" вибірка — затріе и с е р е д н є значення вибірки — затріе теап " м о д а — тосіе Часто в різних сферах життя проводяться різноманітні дослідження і збираються різні дані. Наприклад, можуть проводитися опитування учнівства щодо відвідування ними різних гуртків, можуть опитувати людей про рівень їх доходів чи певні уподобання тощо. Сукупність зібраних даних, на основі яких проводиться досліджен ня, називають вибіркою. Вибірки можуть складатися з числових та нечислових даних. Приклад. В учнівства одного класу запитали про улюблений день тижня і отримали такі відповіді: Нд, Сб, Сб, Пн, Пт, Вт, Сб, Нд, Сб, Сб, Нд. Це приклад вибірки з нечисловими даними. У вчительства гімназії запитали про кількість годин тижневого на вантаження й отримали такі результати: 9, 18, 24, 18, 18, 9, 15, 18, 24, 18, 18. Це приклад вибірки з числовими даними. Щоб було зручніше працювати з числовими вибірками, їх впоряд ковують. Вибірку 9, 18, 24, 18, 18, 9, 15, 18, 24, 18, 18 записують: 9, 9, 15, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 24, 24. Щоб робити певні висновки про дослідження, вибірки часто харак теризують. Наприклад, для вибірки з числовими даними зазначають найбільше значення вибірки, найменше значення вибірки, вказують її середнє значення, моду. Для вибірки 0,2, 1, 2,2, 0,5, 1,7, 0,9, 2 найменшим значенням є 0,2, а найбільшим — 2,2. 238

Вибірка. Середнє значення, мода вибірки

Середнє значення вибірки — середнє арифметичне всіх її значень. Щоб знайти середнє значення вибірки, треба знайти суму всіх зна чень і поділити її на кількість значень. Для вибірки 9, 7, 5, 7, 6 середнє значення дорівнює ( 9 + 7 + 5 + 7 + 6 ) : 5 = 6,8. Модою вибірки називають ті дані, які зустрічаються у вибірці най частіше. Для вибірки 9, 7, 5, 7, 6 модою є число 7, бо воно зустрічається двічі, а всі інші — лише один раз. Якщо таких даних у вибірці кілька, то кожне з них є модою цієї вибірки. У вибірці 0,7, 1, 0,5, 0,7, 1, 0,8 є дві моди. Це 0,7 та 1. Якщо всі дані вибірки мають однакову частоту, то вибірка моди не має. У вибірці 0,7, 1, 0,7, 1, 0,7, 1 моди немає. ХОЧЕШ ЗН АТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Зверни увагу, що се р е д н є значення вибірки можна визначати лиш е для ч и с лових вибірок, на відм іну від моди. П ро ан ал ізуєм о частотну таблицю купівлі напоїв у кав’ ярні продовж д е я к о ї години. Напій

Чай

Кава

Какао

Лимонад

Частота

ЗО

Найчастіш е купували у кав’ярні продовж цієї години каву. Тому са м е кава є м о дою ц ієї вибірки. А от с е р е д н є значення для такої вибірки визначити неможливо. ПЕРЕВІР СЕБЕ

Щ о називають вибіркою? Я кі характеристики вибірки ти вже знаєш? Щ о називають: а) середнім значенням вибірки; б) модою вибірки?

ВИ КО НАЕМ О РАЗОМ !

Учні та учениці класу взяли участь в опитуванні про кількість домашніх улюбленців у їхній родині. Отри мали такі дані:

1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 3, 1, 2, 0, 2, 1, 1, З, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 3. Знайди найменше, найбільше та середнє значення вибірки, а також моду цієї вибірки.

Стохастика

Розв’язання. Упорядкуємо вибірку: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, З, З, З, З, 3.

Найменше значення: 0. Найбільше значення: 3. Мода: 1 і 2, бо ці числа зустрічаються найбільшу кількість разів (10 разів). Середнє значення: (3 • 0 + 10 • 1 + 10 • 2 + 5 • 3) : 28 « 1,6 « 2.

ВИКОНАИ УСНО

1228. Підкидають гральний кубик і щоразу фіксують кількість очок, що випали. Знайди за діаграмою ой (мал. 25.1) моду вибірки. к о с 1229. Знайди моду вибірки: -0 н 17, 19, 12, 23, 17, 25, 19, 17. о '5 А 12 Б 17 В 23 Г 19 _а е;

1230. Знайди моду вибірки. а) 5, 6,3, 5,8,3, 5; 2 3 4 5 6 Кількість очок б) - 3 , - 8 , -9 , - 4 , - 6 , -9 , -3 ; Мал. 25.1 в) 1, 0,2, 2,3,1; г) 1, 8,4, 8,0,0,1, 4; ґ) 7,1, 7,1, 7,1, 7,1. 1231. Ч и відрізняються моди двох вибірок? А середні арифметичні ви бірок? 11, 7, 4, 3, 15, 22, 18, 17, 11, 8 11, 7, 4, 3, 15, 22, 18, 17, 11, 48 1232. Чи може найбільшому числу вибірки дорівнювати: а) середнє ^ арифметичне; б) мода? 1233. Виміряли зріст 5 різних учнів /учениць. За яких умов будуть зна ходити для цієї вибірки: а) середнє арифметичне; б) моду?

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ А

1234. Г р а . Один із учнів / одна з учениць називає число, а інший / інша має записати вибірку, для якої це число є модою. 1235. Знайди моду вибірки. а) 3,1, 8,6, 9,2, 4,4, 6,6, 9,2, 3,1 3,1; б) 5, 3, 6, З, 5, 8, 3, 5.

240

Вибірка. Середнє значення, мода вибірки

1236. Знайди найменше значення, найбільше значення, середнє зна чення та моду вибірки. а) 84, 90, 91, 93, 97, 84, 91, 89; б) 1,18, 1,42, 12,5, 16,1, 16,2, 11,9, 11,1. ( 1237. Знайди найменше значення, найбільше значення, середнє зна чення та моду вибірки. а) ЗО, 116, 114, 112, ЗО, 120; б) 12,4, 14,5, 13,8, 13,6, 12,9, 13,2, 14,1. 1238. | зно ІЛучник здійснив 11 пострілів по мішені і набрав відповідно 6, 5, 7, 9, 6, 9, 10, 8, 7, 9, 10 очок. Знайди моду цього ряду даних. А 5 Б 7 В 8 Г 9 Д10 ' 1239. У частотній таблиці зазначено кількість працівників /працівниць у коворкінгу (спільному просторі для роботи). Знайди за таблицею моду вибірки. День тижня

Пн

Вт

Ср

Чт

Пт

Частота

( Т Ж ) У частотній таблиці зазначено кількість продажів одиниць товару протягом п’яти місяців. Знайди за таблицею моду вибірки. Січень

Лютий

Березень

Квітень

Травень

150

100

150

110

1241. У частотній таблиці зазначено вік лотів на аукціоні. Знайди за таблицею моду вибірки та її середнє значення. Частота

Вік

100

120

150

( 1242. У частотній таблиці зазначено зріст працівників / працівниць одно го з офісів. Знайди за таблицею моду вибірки та її середнє значення. З р іст

165

170

173

175

177

180

Частота

; 1243. Зібрано дані про те, скільки годин спали тридцять студентів /сту денток у ніч перед іспитом: 7, 5, 8, 9, 4, 10, 7, 9, 9, 6, 5, 11, 6, 5, 9, 9, 8, 6, 9, 7, 9, 8, 4, 7, 8, 7, 6, 10, 4, 8. а) Перевір, чи правильно побудовано частотну таблицю і стовп часту діаграму для відображення цієї інформації (мал. 25.2). б) Визнач найменше значення, найбільше значення, середнє ариф метичне та моду вибірки. в) Побудуй в Ехсеї відповідну кругову діаграму.

Стохастика К-ть год

Частота

X а> г5 О

-П н о '2 л е; 2

Кількість годин сну

М ал. 25.2

1244. О п и т а л и г р у п у л ю д е й у с п о р т и в н о м у з а л і щ о д о к і л ь к о с т і с к л я н о к вод и , я к у вони ви п и ваю ть протягом трен уван н я:

0 , 1, 1 , 3 , 1, 1, 0 , 1 , 0 , 1 , 2 , 1, 2 , 3 , 0 , 1, 2 , 2 , 1, 1 . а) Побудуй частотну таблицю. б) Знайди найменше значення, найбільше значення, середнє ариф метичне та моду вибірки. ( 1245у~УУе зигуеуесі іИе їа т іїіе з о£ опе Ьиіїсііпд іп іке сііу аЬоиі іке п итЬег о£ сагз апсі £оі іЬе Гоїіотп^ гезиііз: 4, 3, 2, 0, 3, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 2. a) сопзігисі; а £гедиепсу ІаЬІе; b ) Гіпсі іЬе зтаїїезі уаіие, іЬе Іаг^езі уаіие, іЬе агіїЬітеІіс т е ап , апсі іЬе тосіе о£ ІЇіе затріе.

1246. На діаграмі (мал. 25.3) відображено результати опитування родин щодо к і л ь к о с т і у них дітей. а) С к і л ь к и р о д и н о п и т а л и ?

б) Знайди за діаграмою найменше зна чення, найбільше значення, середнє арифметичне та моду вибірки. ( 1247.; На діаграмі відображено кількість ко мах різної довжини, знайденої учнів ством (мал. 25.4). а) Довжину скількох комах виміря ли? б) Знайди за діаграмою найменше значення, найбільше значення, се реднє арифметичне та моду вибірки.

3 4

4 §Л■З К .У 2 З 1 0

Кількість дітей в родині

Мал. 25.3

І 1 І_ а 0

1 2

Довжина комах, см

Мал. 25.4

Вибірка. Середнє значення, мода вибірки

1248. ш т 0 1 У групі з 20 учнів / учениць 11 класу провели анкетування, щоб з’ясувати, скільки приблизно го £ 5 дин на день кожен із них/кожна з них користується інтернетом. Від повіді учнів /учениць відображено на діаграмі (мал. 25.5). Визнач, ■ 5 2 скільки у середньому часу на день ел; (у год) учні / учениці цієї групи ко 5 1 ристуються інтернетом. І 0 1 2 3 4 5 А 2,9 Б 2,5 В 2 Час користування інтернетом, години Г З Д 3,2

■

Мал. 25.5

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

1249. В Ехсеї було створено частотну таблицю про час ви[] конання домашнього завдання /х =АУЕКАСЕ(В2:В6) учнівством класу. Для знаходжен В7 ня середнього значення вибірки А В С 0 Е використали команду А У Е К А О Е . 1 Час Частота 20 9 Яке число має стояти у виділеній 2 3 25 3 комірці? 4 ЗО 6 35 4 ( 1250.; Продовж ЗО хвилин у банкоматі 5 6 40 1 П було знято наступні суми: 7 | 1 ] 100, 200, 500, 1000, 2000, 100, 2000, 500, 1000, 1000, 2000, 1000, 200, 1000. Побудуй в Ехсеї частотну таблицю та знайди середнє значення вибірки за допомогою команди А У Е К А О Е . 1251. Середня висота дерев на ділянці дорівнює 4 м. Яка висота п’ятого дерева, якщо висота перших чотирьох дерев відповідно 5 м, 3 м, З м та 4 м? ( 1252.; Середній вік жіночого квінтету — 36 років. Вік чотирьох учасниць: 35, 42, 34 і 40 років. Якого віку п’ята учасниця? 1253. У фірмі працюють 9 осіб. Двоє отримають зарплатню 22 000 грн, троє — по 25 000, ще четверо — по 31 000. Місячна зарплатня власника фірми — 58 000 грн. а) Обчисли середнє значення та моду цієї вибірки. б) Який відсоток працівників/працівниць разом з власником мають зарплатню, менше середньої?

Стохастика

( 1254. На виставці котів є 8 представників бен гальської породи. Двоє з них мають до вжину хвоста 37 см, ще двоє — по 36 см, троє — по 38 см і один — 40 см. а) Обчисли середнє значення та моду цієї вибірки. б) Який відсоток котів має хвіст, довший за середнє значення? 1255. ШіііиЖ Андрій у понеділок, вівторок та п ’ятницю витрачав по 16 грн на день, у середу і четвер — по 11 грн на день, у суботу — 35 грн, а в неділю грошей не витрачав. Скільки гривень на день витрачав Андрій цього тижня? 1256. У змішаній волейбольній команді з шести осіб середній вік двох дівчат становить 14 років, а чотирьох хлопців — 17 років. Який середній вік всіх гравців/гравчинь команди? А 14 років Б 15 років В 16 років Г 17 років ( 1257 У класі 12 дівчат і 13 хлопців. Середній зріст дівчат — 161,5 см, хлопців — 176,5 см. Обчисли середній зріст учнівства цього класу. 1258, Середнє арифметичне маси т кавунів становить х кг, а середнє арифметичне маси п динь становить у кг. Знайди середнє арифме тичне маси всіх кавунів і динь. 1259, Середній бал за тематичну роботу 25 учнів/учениць становить 7,8. Який став би середній бал, якби троє осіб, які отримали 4, написали б роботу на 6 балів? 1260, Виробник продав 25 % урожаю вишні по 60 грн за кілограм, 40 % — по 55 грн за кілограм, 5 % — по 40 грн за кілограм і ЗО % — по 35 грн за кілограм. Якою була середня ціна за кілограм врожаю вишні?

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

1261. В офісі працюють вісім осіб. їм платять 12 000 грн, 15 000 грн, 15 000 грн, 14 000 грн, 13 000 грн, 14 000 грн, 13 000 грн, 13 000 грн. Знайди середнє значення і моду цієї вибірки. Я ку б характеристику могли б використати, щоб стверджувати, що загалом співробітники/співробітниці в офісі мають: а) гарну зарплатню; б) погану зарплатню. 1262. Практичне завдання. Знаючи, що маса М Землі у 81,5 раза більша за масу т Місяця і що сила взаємного притягання двох космічних тіл прямо пропорційна добутку їх мас і обернено пропорційна ква драту відстані між ними, знайди на прямій Земля-Місяць точки, у яких сили тяжіння Землі й Місяця зрівноважені.

Комбінаторні задачі

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1263. Розв’яжи рівняння, а) X і - Ю х 2 + 9 = 0 ;

б) (х - І)4 - 5(х - І ) 2 + 4 = 0.

1264. Спрости вираз, а) (>/Ї7 - >/2)(>/Ї7+>/£); б) (>/23-ТЇ9)(ТЇ9 +>/23). 1265. В опитуванні про улюблені жанри книжок взяли участь усі учні/учениці класу. 25% сказали, що їм подобається науковопопулярна література, 20 % — пригодницька, 20 % — історична, ЗО % — детективи і один учень любить автобіографічні книжки. Скільки учнів / учениць у цьому класі? Побудуй частотну таблицю цього опитування. С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Знаю такі характеристики вибірки: найменш е, найбільш е та се р е д н є зн а чення вибірки, м ода вибірки. С е р е д н є значення вибірки — с е р е д н є ариф метичне всіх її значень. Для вибірки 8 ,6 ,4 , 6, 5 середнє значення дорівню є (8 + 6+ 4 + 6 + 5 ) : 5 = 5,8. М одою вибірки називаю ть ті дані, які зустрічаю ться у вибірці найчастіше. Для вибірки 8, 6, 4, 6, 5 м одою є число 6.

КЛЮ ЧОВІ СЛ О В А

і ком бінаторні за д а ч і —сотЬіпаіогіаІ ргоЬІетз Задача 1. Оленка побачила в бібліотеці 3 книжки, що її зацікави ли. Це «Гессі» (Г) Наталії Матолінець, «Вісім крафтових історій» (В) Андрія Бачинського та «Зграя» (3) Анастасії Нікуліної. Але за один 245

Стохастика

раз можна брати лише одну книжку. Скільки є різних послідовностей прочитати ці 3 книжки? Розв’язання. Цю задачу можна розв’язати методом перебору всіх варіантів. Візуалізувати всі варіанти допомагає дерево.

Проаналізувавши дерево, бачимо, що є 6 різних послідовностей (ГВЗ, ГЗВ, ЗГВ, ЗВ Г, ВГЗ, ВЗГ). Такі задачі називають комбінаторними. В них зазвичай запитують про кількість способів, якими можна щось здійснити. В основі розв’язування більшості комбінаторних задач лежать два правила: правило суми та правило добутку. Правило суми. Якщо об’єкт А можна вибрати к способами, а об’єкт В можна вибрати р способами, то вибір «А або В» можна здійснити к + р способами. Задача 2. В магазині є 3 види кулькових ручок і 4 види гелевих. Скільки є варіантів для покупки ручки? Розв'язання. Є 3 різних варіанти придбати кулькову ручку. Є 4 різних варіанти придбати гелеву ручку. Якщо не принципово, який вид ручки купувати, то є 3 + 4 = 7 варіантів покупки. Відповідь. 7 варіантів. Правило добутку. Якщо об’єкт А можна вибрати к способами і після кожного такого вибору об’єкт В можна вибрати р способами, то вибір «А і В» у вказаному порядку можна здійснити к •р способами. О б к л а д и н к и п о д ан о з н ав ч ал ь н о ю м ет о ю .

246

о ж

Комбінаторні задачі

Задача 3. В магазині є 3 види кулькових ручок і 4 види гелевих. Скільки у Діани є варіантів наборів з 1 кулькової та 1 гелевої ручки? Розв’язання. Є 3 різних варіанти придбати кулькову ручку. Є 4 різних варіанти придбати гелеву ручку. Якщо Діана хоче купити набір з 1 кулькової та 1 гелевої ручки, то у неї є 3 • 4 = 12 варіантів покупки. Відповідь. 12 варіантів. В деяких задачах доводиться використовувати і правило суми, і правило добутку (див. «Виконаємо разом!»). ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ? Р о з в ’язування ком бінаторних задач можна унаочнювати схем ам и , які нази вають деревам и. П об удуєм о д е р ево варіантів для з а дачі 3. В пару д о кож н о ї кул ько во ї руч ки мож на обрати 1 із 4 гелевих ручок (мал. 26.1). Т о м у загальну кількість на борів на дереві відображатимуть 12 від різків (мал. 26.2). М ал. 26.1 Мал. 26.2 З д р у го го м ал ю н ка видно, щ о іс нує 12 варіантів для покупки наб о ру з 1 кулькової та 1 гелевої ручки.

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Наведи приклад комбінаторної задачі. За допомогою яких двох правил можна розв’язати найпростіші ком бінаторні задачі? Сформулюй їх.

ВИКОНАЄМ О РАЗОМ !

На гроші, що є в Олі, вона може купити пиріжок і чай або ж лише батончик. Скільки існує варіантів покупки, якщо у їдальні є 4 види пиріжків, 2 види чаю і 5 видів батончиків. Розв’язання. Є 4 різних варіанти придбати в їдальні пиріжок. Є 2 різних варіанти придбати чай. Отже, придбати пиріжок і чай є 4 ■2 = 8 варіантів. Але в Олі є також 5 варіантів придбати один батончик. Тому загалом для покупки пиріжка і чаю або ж лише батончика у неї є 4 • 2 + 5 = 13 варіантів. Відповідь. 13 варіантів. 247

Стохастика

ВИКОНАИ УСНО

1266. Скільки існує варіантів придбати 1 блокнот, якщо в про дажі є 5 видів блокнотів у лінійку і 8 видів блокнотів у клітинку? 1267. У кошику є 4 яблука, 8 груш та 10 персиків. Скільки існує варі антів вибору 1 фрукта? 1268. Г р а . Один із гравців/одна з гравчинь має придумати задачу, що ^51 розв’язується за допомогою правила суми, а другий/друга має її розв’язати. Потім учні/учениці міняються ролями. 1269. Оля, розв’язуючи задачу «У Марійки є 4 спідниці і 6 кофт. Скіль ки існує способів одягнути спідницю і кофту? », отримала відповідь 10. Чи правильна ця відповідь? 1270. Для пошиття сумок є 3 види фетру, кожен із яких у 7 кольорах. Скільки існує варіантів пошиття сумки сталого дизайну з цього матеріалу? 1271. Із 3 учнів потрібно обрати 1 2 3 капітана і його заступника. Капітан Скількома способами можна Ж А \ > ^ це зробити? Чи правильно Заступник 1 2 3 1 2 3 1 2 3 побудовано дерево до задачі Мал. 26.3 (мал. 26.3)?

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ А

1272. Від будинку до озера ведуть 2 стежки через ліс і З стежки через луг. Скількома способами можна діс татися від будинку до озера? Накресли схему до задачі та розв’яжи її. 1273. З населеного пункту А ведуть 3 дороги до населеного пункту Б і 5 доріг з пункту Б до населеного пункту В. Скільки є доріг, щоб дістатися від пункту А до В через Б? Накресли схему до задачі та розв’яжи її. 1274., Скільки двоцифрових чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, З, 4 ,5 , якщо цифри в числі можуть повторюватись? Побудуй дерево можливих варіантів. (Д275уНолу т а п у і \уо-сіі£ і і питЬегз сап Ье Гоппесі £гот Ше сіі^ііз 5, 6, 7, 8, 9 і£ іЬе сІІ£ІІ5 іп іЬе питЬег сап Ье гереаіесі? ВиіМ а ігее о£ роззіЬІе орііопз.

Комбінаторні задачі

1276. У спортивній студії є такий розклад. Напрямок

Час

Зал 1

Зал 2

Рііа їе з

17:00

Олена

М арина

Уода

18:00

Олена

М арина

Іван

З їге с іїіп д

19:00

М арина

Іван

Зал 3

Скільки є способів відвідати: а) одне тренування о 17:00; б) одне тренування о 18:00; в) два тренування поспіль з 17:00 до 19:00; г) три тренування поспіль? ( 1277? В їдальні на обід можна замовити 2 види супу, 3 види основної страви і 2 види напоїв. Скільки є способів придбати обід, що скла дається: а) лише з основної страви; б) із супу та основної страви; в) із супу, основної страви і напою? 1278. Для пошиття взуття є білий, молочний, чорний і сірий кольо ри підошви та білий, молочний, чорний і сірий кольори шкіри. Кожен колір шкіри є в лакованій і замшевій текстурі. Скільки є варіантів для пошиття взуття, у якого колір підошви і шкіри не співпадатимуть? Розв’язання: 4 • 4 • 2 = 32 варіанти. Чи правильно розв’язано задачу? ( 1279? В магазині є 10 різних варіантів подарункових пакетів, футболки білого, зеленого, синього, жовтого, чорного кольорів та акрилова фарба для нанесення зображень на футболку таких самих кольорів. Скільки є варіантів створити подарунковий набір з пакету, фут болки та фарби так, щоб кольори футболки і фарби не співпадали? 1280. Гра. «Обірвалася розмова телефоном, і пан Олексій не встиг записати необхідний йому номер телефону. Скільки варіантів має пере брати пан Олексій, якщо він не встиг записати а останніх цифр?» Один із гравців/одна із гравчинь має задати значення для а, а другий /друга має розв’язати задачу. Потім учні міняються ролями. 1281. Ш Ш Я Скільки всього існує різних двоцифрових чисел, у яких перша цифра є парною, а друга — непарною?

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

1282. Пані Марія хоче зробити ремонт в кухні (поклеїти шпалери та купити стіл) чи коридорі (пофарбувати стіни та замінити тумбу для взуття). Скільки варіантів ремонту в неї є, якщо у магазині є 12 видів шпалер, 3 види столів, 10 видів фарби і 4 види тумби?

Стохастика

( 1283. На гроші, що є в Олі, вона може взяти квитки на літак та посе литися на тиждень в готелі біля моря або зняти будинок в Україні на місяць в горах. Скільки варіантів відпочинку є у неї, якщо є 6 різних варіантів квитків до моря, 20 готелей і 5 будинків для оренди на місяць? ( 1284?)ШтиМ У магазині в продажу є 6 видів тарілок, 8 видів блюдець та 12 видів чашок. Олена збирається купити бабусі в подарунок у цьому магазині або чашку та блюдце, або лише тарілку. Скільки всього є способів у Олени купити бабусі такий подарунок? ( 1285.)Склади за деревом задачу (мал. 26.4).

1286. На полиці стоять 4 різні книжки з алгебри і 2 книжки з геоме трії. Скільки є способів розставити їх на полиці, щоб всі книжки з алгебри стояли разом і всі книжки з геометрії стояли разом? ( 1287. Пані Катерина хоче розставити 4 різні табуретки та 3 різні роз кладні стільці вздовж стіни. Скільки є варіантів їх розставити в ряд, щоб стільці стояли поруч і всі табуретки стояли поруч? ^288. Кілька точок розміщено на площині так, що жодні три з них не лежать на одній прямій. Якщо кожну з них сполучити відрізка ми зі всіма іншими даними точками, то утвориться 153 відрізки. Скільки дано точок? ( 1289. Скільки сторін має опуклий многокутник, якщо у ньому всього 135 діагоналей? 1290. На першості району з футболу зіграно 56 матчів, причому кожна команда грала з кожною по два рази. Скільки команд брало участь У грі? 1291. У шаховому турнірі було зіграно 66 партій. Знайди кількість учас ників турніру, якщо відомо, що кожний учасник зіграв з кожним по одній партії. ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

1292. Три спонсори забезпечили грошову винагороду пере можцям математичних олімпіад. Вклад першого ста новив 25 % всього фонду і 3000 грн, другого — третина суми 250

Комбінаторні задачі

і 2000 грн, а третього — на 16— % менше першого спонсора. Який З був грошовий фонд для винагороди переможцям? 1293. Розв’яжи математичні кросворди (мал. 26.5).

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1294. Спрости вираз. . 4 а 2Ь л а) г+---- :— 1; а-Ь

б)

х х-г

а+ Ь

Зя

2хг

Х+2

X -2

-+-

1295. Обчисли значення виразу. а) ,| і о А ; б)

10— ; в) 25

93 121

1296. На діаграмі (мал. 26.6) зображе но результати тематичної роботи з математики. Оціни істинність наведених нижче тверджень. а) Середній бал становить 8. б) Мода становить 6.

І І

■

11 Бали

Мал. 26.6

С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь В м ію за сто сов ув ати правила додавання і множ ення д о р о з в ’язування комбінаторних задач. Якщ о о б ’єкт А можна вибрати 2 сп о со б ам и , а о б ’єкт Б можна вибрати 5 сп о со б ам и , то вибір «А або Б» можна здійснити 2 + 7 сп о со б ам и . Якщ о о б ’єкт А можна вибрати 2 сп о со б ам и і після кожного такого вибору о б ’єкт Б можна вибрати 5 спо со б ам и , то вибір «А і Б» у вказаному порядку можна здійснити 2 • 5 сп о со б ам и . «М атем атика — сп р ав а не тільки розуму, але й фантазії...»

Ф. Клейн 251

К Л Ю Ч О В І С Л О В А _________________ й м о в ір н ість —ргоЬаЬПііу випадкова подія —ргоЬаЬІу є у є п і нем ож лива подія —ітроззіЬІе ечепі д о сто в ір н а подія —сегіаіп еVепі

Щосекунди навколо нас відбуваються різні події, наприклад, починає дощити, на підвіконня сідає голуб, дзвонить мобільний телефон тощо. Подію, яка при кожному експерименті обов’язково відбувається, називають достовірною. Наприклад, обрати навмання з перших 9 натуральних чисел одноцифрове число є достовірною подією. Подію, що не може відбутися при жодному експерименті, називають неможливою. Наприклад, обрати навмання з перших 9 натуральних чисел дво цифрове число є неможливою подією. Випадковою подією називають подію, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного експерименту. Наприклад, обрати навмання з перших 9 натуральних чисел парне число є випадковою подією. Ступінь упевненості в тому, що подія відбудеться, можна характе ризувати числом. Ймовірністю події називають відношення кількості сприятливих для цієї події результатів до кількості всіх можливих результатів. Ймовірність події А позначають так: Р(А). кількість сприятливих для події А результатів кількість всіх можливих результатів Наприклад, подія А — вибір навмання з перших 9 натуральних чисел парного числа. 252

Поняття ймовірності

2, 4, 6 чи 8 — сприятливі для події А результати. їх 4. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — всі можливі результати. їх 9. ш ) =і.

Ймовірність завжди невід’ємна і не перевищує 1, тобто 0 < Р(А) < 1. Ймовірність неможливої події дорівнює 0, а достовірної події — 1. ХОЧЕШ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Рівноможливіподії — події, кожна з яких не м ає ніяких переваг, щоб з ’являтися частіш е за іншу під час багаторазових випробувань. Наприклад, при підкиданні грального кубика всі ш ість можливих наслідків є рівномож пивими. Сума ймовірностей рівноможпивих подій експерименту дорівнює 1. А — випаде 1 очко. С — випаде 3 очки. Е — випаде 5 очок. В — випаде 2 очки. Б — випаде 4 очки. Р — випаде 6 очок. 1 1 1 1 1 1 6 , 1 1 1 1 1 ———1. Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р ф ) + Р(Е) + Р(Р) 6

ПЕРЕВІР СЕБЕ

Наведи приклад: а) неможливої; б) достовірної; Що називають ймовірністю події?

в) випадкової події.

О Якою може бути ймовірність випадкової події? ВИКОНАИ УСНО

1297. Перелічи всі можливі результати таких подій: ^ а) монету підкидають один раз; б) кубик підкидають один раз; в) з колоди карт 7 кольорів веселки вибирають одну. 1298. В мішечку лежать кульки (мал. 27.1). Навмання обирають одну. а) Я к а кількість сприятливих ре зультатів для події «витягнути жовту кульку »? б) Яка кількість всіх можливих резуль татів? в) Я ка ймовірність витягнути жовту кульку? Мал. 27.1 г) Я к а ймовірність витягнути синю кульку?

Стохастика

1299. ЗБ-принтер надрукував окремі літери для слова С В О Б О Д А . їх склали у мішок. Яка ймовірність дістати навмання з цього мішку літеру: а) О; б) А або Б? 1300. Визнач, якими (достовірними, випадковими чи неможливими) є події: а) дістати навмання серед набору кісточок доміно кісточку з 13 очками; б) дістати навмання серед набору шахових фігур ферзя; в) дістати навмання серед набору шашок білу або чорну шашку.

ВИКОНАИ ПИСЬМОВО

РІВЕНЬ А

1301. Яка ймовірність навмання дістати з коробки з шахо вими фігурами: а) пішака; б) білого пішака? ( 1302 Яка ймовірність навмання витягнути з кишені саме жовту картку з тих, що є на малюнку 27.2?

Мал. 27.2 1303. У Богдана в наплічнику лежать лише зошити. Є зелені зошити, ; а саме 4 зошити у клітинку і 2 в лінійку. Також є жовті зошити, із них 3 в клітинку і 7 в лінійку. Яка ймовірність навмання ви тягнути з наплічника: а) зошити в клітинку; б) червоні зошити; в) зелений зошит в лінійку; г) зошити в клітинку чи лінійку? ( 1304 У фіналі обласного конкурсу талантів беруть участь 3 дівчини і 2 хлопця з Красноградського району та 4 дівчини і 5 хлопців з Лозівського району. Яка ймовірність, що переможцем буде: а) учасник / учасниця з Лозівського району; б) дівчина; в) хлопець з Красно градського району; г) дівчина чи хлопець? 1305. ШНіОМ У коробці є 80 цукерок, з яких 44 — з чорного шоколаду, а решта — з білого. Визнач ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду. 1306. Гральний кубик підкидають двічі. Змоделюй усі можливі резуль тати. ( 1307 Монету підкидають двічі. Змоделюй усі можливі результати. 1308. Одночасно кидають 2 гральних кубики. Яка ймовірність, що на кубиках випаде однакова кількість очок? ( 1309 Підкидають два гральних кубики. Знайди ймовірність того, що сума очок на двох гранях, що випали, дорівнює 7. 254

Поняття ймовірності

ВИКОНАИ ПИСЬМ ОВО

РІВЕНЬ Б

1310. В барабані пральної машини 10 пар шкарпеток, із яких ■ V З пари червоні, 5 пар чорні і 2 пари сірі. Яка ймовір ність витягнути навмання з пральної машини: а) сіру шкарпетку; б) чорну і сіру шкарпетки; в) пару чорних; г) не чорну шкарпетку? 1311. На кожній картці записано по одному з чисел 4, 6, 10, 12, 15 та 24. Витягають одночасно 2 картки. Яка ймовірність того, що: О а) Н СД цих двох чисел 5; б) Н СД цих двох чисел 2; в) НСД цих двох чисел не 7; г) НСД цих двох чисел 10? 1312. У колоді 36 гральних карт. Я ка ймовірність навмання взяти з ко лоди: а) короля або даму; б) карту червоної або чорної масті; в) туза або карту чорної масті? 1313., Яка ймовірність, що при підкиданні грального кубика випаде число: а) кратне 4 або менше 4; б) непарне або більше за 6; в) парне або непарне? 1314. Ймовірність витягнути навмання браковану деталь з партії ста новить 0,2. Скільки бракованих деталей в цій партії з: а) 100 де талей; б) 2300 деталей? Яка ймовірність витягнути навмання не браковану деталь? 1315., В купці 35 листівок. Ймовірність витягнути з цієї купки навмання підписану листівку становить 0,4. Скільки в цій купці підписаних листівок? Яка ймовірність витягнути навмання непідписану листівку? 1316. На фабриці працюють 5 чоловіків і 15 жінок, які виготовляють сумки з двох видів шкіри: А і Б. З кожних 20 сумок 14 виготов ляють зі шкіри А . Є також два різних типи сумок: сумка через плече і сумка в руці. Обидва типи виробляють у рівній кількості. Представниця деякого бренду має відвідати фабрику. Менеджер хоче подарувати їй одну із сумок, але представниця не може ви рішити, яку сумку хотіла б забрати на згадку про свій візит, тому менеджер вибирає сумку навмання. а) Намалюй дерево, яке показує всі можливі варіанти виготовлення сумки (буде виготовлена чоловіком/жінкою зі шкіри типу А/Б і буде сумкою через плече/сумкою в руці). б) Обчисли ймовірність того, що жінка отримає сумку зі шкіри типу А , виготовлену чоловіком. в) Знайди ймовірність того, що вона отримає або сумку через плече, виготовлену чоловіком зі шкіри типу Б , або сумку, виготовлену жінкою зі шкіри типу А . ; 1317. На змаганнях зі стрибків з жердиною є три спроби для того, щоб подолати встановлену висоту. Змоделюй всі можливі результати. 1318. Тричі підкидають симетричну монету. Що ймовірніше: а) випаде тричі герб; б) випаде тричі число; в) випаде один раз герб та двічі число?

Стохастика

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

1319. Під час придбання товару на суму від 600 грн покупець отримує знижку 10 % . На яку найбільшу суму зможе придбати товарів покупець, якщо в нього 594 грн? 1320. Катер пройшов за течією 90 км за певний час. За той самий час він пройшов би проти течії 70 км. Яку відстань за цей час про пливе пліт? ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1 1321. Із 3,2 т руди, що містить 2 32,4 % заліза, відділили шма 3 4 ток 1200 кг, що містить 12 % 5 заліза. На скільки відсотків 6 7 збільшився вміст заліза? 8 9 1322. Розв’яжи кросворд 11 10 (мал. 27.3). -- /-—\ 12 13 ( ) П о горизонталі: 2. Третій степінь. 5. Компонент ділення. 8. Куб чис 14 15 ла. 9. Система штрихів на вимірю 16 вальному приладі. 12. Нахил на бік корабля. 13. Перше натуральне 17 число. 14. Первоначало, найпро стіша неподільна єдність. 15. Те, 18 чим міряють що-небудь. 17. Вираз Мал. 27.3 виду а". 18. Латинська буква. П о вертикалі: 1. Ціле число. 3. Натуральне число, менше від 20. 4. Вираз Ь2 - 4ас для рівняння ах2 + Ьх + с = 0. 6. Рівність із невідомою змінною. 7. Сукупність операцій, яка призводить до розв’язування певного виду задач. 10. Одиниця маси. 11. Податок, сплачуваний за перевезення товарів за кор дон. 16. Німецький математик і астроном, який відкрив закон руху планет. С К А Р Б Н И Ч К А Д О СЯ ГН ЕН Ь Я вмію визначати, достовірною , немож ливою чи випадковою є подія. Я вмію знаходити йм овірність події:

Р(А)

кількість сприятливих для події А результатів кількість всіх можливих результатів

Перейди за посиланнями та • підсумуй головне в розділі 1ііірз://узе.ее/сгші • виконай навчальні проекти 1ііірз://у8е.ее/сгшг 256

Завдання для самостійної роботи

ВАРІАНТІ

1. Підприємець витрачає на виготовлення одиниці своєї продукції 760 грн. Він хоче отримати ЗО % прибутку. За якою ціною він має продавати одиницю свого товару? 2. Дано вибірку: 3, 7, 6, 7, 3, 7, 7, 6, 1, 7, 1. Вкажи найбільше значення, найменше значення, моду і середнє значення цієї вибірки. 3. У магазині є 6 видів зошитів в клітинку, 10 видів зошитів у лінійку і 7 видів загальних зошитів. Андрій хоче купити 1 зошит у клітинку і 1 зошит в лінійку або 1 загальний зошит. Скільки варіантів по купки є в Андрія? У ящику лежить 9 білих кульок, 12 чорних і 7 сірих. Яка ймовірність того, що вибрана навмання 1 кулька буде: а) сірою; б) не білою; в) червоною? ВАРІАНТ II

1. Фермер підрахував, що на вирощення 1 кг картоплі він витратив 18 грн. Він хоче отримати 45 % прибутку. За якою ціною він має продавати 1 кг картоплі? 2. Дано вибірку: 13, 22, 41, 13, 16, 13, 22. Вкажи найбільше значення, найменше значення, моду і середнє значення цієї вибірки. 3. Мама купила 12 слив, 10 персиків і 5 бананів. Галинка хоче взяти персик і сливу або банан. Скільки варіантів вибору є у Галинки? 4 . У ящику лежить 7 зелених карток, 10 жовтих і 5 червоних. Яка ймовірність того, що вибрана навмання 1 картка буде: а) жовтою; б) не зеленою; в) чорною? ВАРІАНТНІ

1. Підприємець витрачає на виготовлення одиниці своєї продукції 950 грн. Він хоче отримати 60 % прибутку. За якою ціною він має продавати одиницю свого товару? 2. Дано вибірку: 12, 36, 12, 4, 52, 12, 4, 36. Вкажи найбільше значення, найменше значення, моду і середнє значення цієї вибірки. 3. У магазині є 8 видів лінійок, 6 видів косинців і 5 видів наборів з лінійки і косинця. Артем хоче купити 1 лінійку і 1 косинець або 1 набір. Скільки варіантів покупки є в Артема? 4 . У ящику лежить 10 синіх кульок, 6 білих і 12 червоних. Яка ймо вірність того, що вибрана навмання 1 кулька буде: а) червоною; б) не білою; в) чорною? 257

Стохастика

ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ

Тестові завдання № 7

На полиці стоїть 8 пакетів яблучного соку і 6 пакетів сливового. Яка ймовірність першим взяти пакет зі сливовим соком?

в»

У кошику лежить 9 яблук і 5 груш. Скільки існує варіантів взяти яблуко і грушу? А 45 Б 14 В 40 Г 16

О Стіл коштує 7000 грн. Скільки буде коштувати стіл, якщо його ціну зменшити на 10 %? А 7700 грн Б 770 грн

В 630 грн

Г 6300 грн

О Знайди моду вибірки: 46, 15, 17, 28, 46, 15, 17, 28, 46. А 17

Б 15

В 46

Г 28,6

Змішали 5 г солі і 95 г води. Якою буде концентрація розчину? А 19 %

Б — % 19

В 5%

Г 5— % 19

О У коробці лежить 5 зелених олівців, 6 жовтих і 7 рожевих. Яка ймовірність взяти зелений олівець? А А

Б — 18

В 1

Г 0

На картках написані числа від 1 до 19. Яка ймовірність витягнути картку з парним числом? а

А 19

“ 19

Г — 19

На тарілці лежить 8 шоколадних цукерок, 7 карамельок і 6 льодя ників. Скількома способами можна взяти 1 карамельку або 1 льо дяник? А 21 Б 13 В 15 Г 42 Знайди середнє значення вибірки: 12, 4, 6, 12, 4, 4. А 42 Б 4 В6 Г7 На виготовлення деталі підприємець витратив 620 грн, а продати її хоче за 868 грн. Який прибуток хоче отримати підприємець? А 20 % Б 40 % В 120 % Г 140 %

Типові завдання до тематичного оцінювання

ТИПОВІ ЗАВДАННЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ № 7

У класі 10 дівчат і 8 хлопців. Скількома способами можна обрати пару (хлопця і дівчину) для участі у тан цювальному конкурсі? А 40 Б 80 В 18 Г 9 Яка з подій випадкова? А наступним днем після В у середу буде вітер понеділка буде четвер Б у тижні 7 днів Г у кожному місяці ЗО днів Фермер привіз на продаж 120 кг огірків і помідорів. Огірки стано вили 60 % привезених овочів. Скільки помідорів привіз фермер? А 72 кг Б 70 кг В 50 кг Г 48 кг На таці лежить 12 пиріжків з м’ ясом, 9 пиріжків з капустою і 6 солодких пиріжків з яблуками. Установи відповідність між по діями (1-3) і ймовірністю виконання цієї події (А -Д ). 1 Взяти пиріжок з капустою 2 Взяти не солодкий пиріжок 3 Взяти пиріжок з маком

2 ^ с)

1 Б з Г 1

ДО

Для замовлення нових костюмів уточнили зріст учасників/учасниць танцювального колективу. Отримали такі дані: 172, 163, 168, 160, 163, 160, 178, 163, 172, 172, 168, 160, 163, 178, 168, 163, 168, 163, 172, 168. За результатами цієї вибірки: а) побудуй частотну таблицю; б) знайди моду і середнє значення; в) побудуй стовпчасту діаграму. Із 1000 деталей 0,4 % — браковані. Яка ймовірність першою взяти не браковану деталь? У пеналі лежить 10 ручок (4 синіх, 3 чорних, 2 зелених і 1 чер вона), 3 олівці (2 чорних і 1 червоний) та дві гумки (прямокутна й овальна). Скількома способами можна вибрати: а) синю ручку і чорний олівець; б) синю ручку, зелену ручку, червоний олівець і прямокутну гумку; в) чорну ручку, червоний олівець і овальну гумку або синю ручку і прямокутну гумку? Змішали 30-відсотковий і 70-відсотковий розчини кислоти та отри мали 500 г 58-відсоткового розчину. Скільки грамів кожного роз чину змішали? Додаткове завдання В один пакет поклали 2 кг цукерок по 240 грн, 3 кг по 280 грн і ще цукерки по 345 грн за кілограм. Середня ціна цукерок у пакеті стано вила 300 грн за кілограм. Скільки було в пакеті цукерок по 345 грн?

Задачі і вправи для повторення ЗАДАЧІ І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

Раціональні вирази Знайди, при яких значеннях змінних не має значення дріб (1323, 1324). 1 1323.) а) — ; а - З’

5 б) — — ; 2 а -б ’

. в)

а +2 1324. іа) — а (З -а )

_ б)

„ х+7 в) 7 ^ г. (х2-4)(л;2-9 )

лг+1 (д:-2)(д: +3)

ас2 х ( х -З )

Виконай ділення (1325—1329). 1325. ]а) 7а3 : а2; б) 8с4: с3; в) 5л:8 : х \ 1326. а) 12а5 : За4; б) 15л12 : 5х7; в) 4с13 : 2с10. 1327.1а) -8 с 10 : 4с5; б) -2 5 х 12: х 12; в) 16л18 : 16. 1328. а) (-2с)6 : 8с5; б) З 6 *13 : (~3х)2; в) 2х4 : (-2*)3. 1329. а) 1,5х5 : (0,5х)3; б) 2,7а7 : (-0,3а)3; в) (-2 ,1 я 2)2 : (0,7л)2. 1330. Знайди значення виразу: а) (3 - хУ : (3 - х)3, якщо л: = 1,4; б) (2а - ЬУ : (2а - Ь)3, якщо а = 2,3 і Ь = 5. 1331. Знайди значення дробу: а +0,5 а) —2— якщо а = 2,5; а2-0 ,2 5 б) —^ я к щ о х = 0,63 і у = 0,37. х -у Скороти дріб (1332—1336). 5а „ Зх 1332 а) ——; б) 4 * 10 х ах 2а 4а2- Ь2 ' в

,—

,а) 9 - 4 а У , 18-12ад:

С Ш а )(а^+х) 4;

_ тп в )^ і Зп

„ в)

8т 2п

г)

ч 7а 14 а

ч сг2 В ) ^ ; 2сг

г)

, 6а2 12а

„ Зсх3- 6 х 2 б )і ? №

ч 8а3г2- 6 а 2г3 в) І б Л * - ! ^ '

б) 15я2га -5 в 8г, ; 15п 2

в) 10а2е + 8 а У 15ас +12ас

б>{2 -х^) ;

в)7 ГТ (3 + с) ;

г)Н г (а _ 1)

Задачі і вправи для повторення

Спрости вираз (1337—1339). 1337.

2х2+7ху - 9у2 11х2- 7 х у - 4 у 2 -+ X 2 - у2 X 2 - у2

1338 х +2у і 2 х ~2У б х -Я у [ Х ~7У 2х - у 2х - у 2х - у 2х - у 1339.

5х2 +20ху +10у2 6 х2-3 0 ху ■ + З х -1 5 у Здг-15 у

10х2~5ху +10у2 З х -1 5 у

1340. Доведи тотожність. . 4 а 20 . а) а - 75-------к ’ а -5

х2 2х2 З ^ х 2—7+— 2 —7+~ ~ 2 +1 х +1 х +—7 1

1341. Доведи, що значення виразу —^-------------+ — не може бути а +1 а +1 а +1 від’ємним числом. Зведи до спільного знаменника вирази (1342—1344). х т . 1 . 5 1342. а) - і — ; б) і —------ в) — і — . а 2а а +х 3(а +д;) 3с 7с 1 3 4 3 .» - V " і - Ц - ; За2х 5а х 3 *

б)

Л ОЛЛ \ а) ч 1344.

б)

ТП і. - 1— п а ~с а -с

1 . 1і в). —---х -1 лг—1

б)

а - х . 1 -х і ; 2 ах 4х

. 1 . З-п в) — і 5-. 2 п 4п

1 а -х

1 т-; і ------( а -х )

1345. Додай дроби. . а . З а) і ; Зт 4т

5&3г

2аг3 ’

1346. Знайди різницю дробів. . х . 1 , . 2 . 0 -2 а) —- і —; б) — і ; 5а а Зс 2с Спрости вираз (1347—1349).

в)

За64г

. х 2+2 . 2 в) ------- і —. Зх З

За

9а

б) —+— ; х 2х

в ) ---- ь5с с

ІШ ) а ) 1

- і

б)

—— — ; 2х х

в) - і —

б)

4т Зр х

в) і

4т

1 2 1349. ») - 4 + - ^ ; Зад: 5аг

1 5т х

4а2Ьг3

0,5с

І.

. 4 3 а 2ас х

1350. При яких значеннях т і п є тотожністю рівність 7 т п

Задачі і вправи для повторення

Виконай множення дробів (1351—1354). 1351. а)

5аЬ Зх

9х 10а2 ’

б)

4а п с3х 5с2х 8апА

в)

7x2 Зас 9ас2 14x2

1352.) а)

-2 х2 6а2 Зас 4х

б)

5а п3 8х3 -4х 10ап

в)

-ах Зт

2а бас2 1 5 т2 1353.) а) — Зс 5 т 4а"

б)

9т -2 х 5 •

6п2 14с3 5п2 7с2 15я 8с 2 *

2 ах с х - х а3+а2 ас - а 1354.) а) б) а с3- с 2 ах +х с2- с х Виконай ділення дробів (1355—1357).

1355.) а)

2ах 4ах2 Зсг 9с

б)

а 3с2 2а 2с3 5ху 3х 2у ’

в)

1 2тп3 З т п 2 5ас2 ' 10а2

1356.) а)

1,5а З а2 2х2 4х3

б)

2ас2 4а2 З т п 15 т3’

в)

4пх Г 4х 2Л| Зас 1 * ? )

2 х-V2 а +х 1357.)а) -„З „З ' 2 а - х а - х 2' Спрости вираз (1358—1362).

б)

2а +2п 6а +6п З а -З п 5 а - 5п

а2Ь-4Ь3 а2Ь ЗаЬ а -2аЬ

б)

4р2-9 д 2 2ар +3ад 2 2 2рд РЯ

2 Ь2 а,4 а (а +Ь)

б)

25 а +5а а -З а а - 9

2 Ь2 За +ЗЬ 1360.) а) (а +Ь)2 4а-4Ь

б)

1358. а)

1359.) а) -

1362.)

1Л 1

1361.) а)

ґа

Ь) 4а,

5 - 5а

1 0 - 10а' З +За

(1 +а) ( а2Ь3)

Га365^ | 1 6с і 1 9° і <5

(а +Ь)2

б)

V(а-Ь )2

т 3- т п 2 ґ п т -2 п -+■ т 2 +п2 \Ш3 - т 2п +т п 2 т 3+п3;

Квадратні корені та дійсні числа Винеси множник з-під знака кореня (1363, 1364). 1363. а) л/50;

б) л/300;

в) ЛІ405.

1364. а) л/ї960;

б) л/2890;

в) л/ї083.

А , 262

Задачі і вправи для повторення

1365. Внеси множник під знак кореня. а) 5л/Ї0; б) 8л/б; в) 10>/Ї3;

г) з о Т Ї Ї .

Обчисли значення виразу (1366—1369). 1366. а) 764-900;

б) л/25 196;

в) л/49-676.

1367.) а) V0,01-121;

б) 70,04 -169

в) ^/0,09-441.

1368. а) л/6-10-15;

б) л/15-21-35

в) >/20-28-35.

1369.; а) ^

10,

15 49!

б)

З _7_ 35 5 36 27

в)

1 ± .2 І . 5 10

Обчисли добуток (1370—1372). 1370. а) 72 >/Ї2 -л/Ї50;

б) л/б-л/ЇО-л/бО.

1371. а) 744Д'л/Ї2Д;

б) ^/28,9-^32,4.

1372? а)

80 135’

V 9 V 73

Спрости вираз (1373—1377). 1373.)а) ( 7 3 -2 ) 2+4л/3;

б) (з +л/б^-бл/б.

1374. а) (2л/ 7 - і )(2Т7 +і );

б) (ЗлЯ І-2 Т 7 ) ( З л/ ЇІ +2л/7).

1 3 7 5 .» 8 -(л/5-Тз) ;

б) 10-(^7 +Тз)2.

1376.) а) (7б+7з):л/3;

б) ( 7 І5 -7 5 ) :7 5 .

1377.)а) (7 -5 ) :(л/7- л/б);

б) (і З - 7 ) :( л/ІЗ +Т7).

1378. Скороти дріб. 2 -^ 2 а) 7 2 -1 '

б)

з+ 7 з л/з

;

в)

V I0 - 5 >/5

1379., Звільни від ірраціональності знаменник дробу. Ю ч 18 б) —т=; в) г) а) 4 г ; Зл/5’ 5 -7 7 ’ 2+ уіЇЕ ' >/§’

Квадратні рівняння 1380. Розв’ яжи рівняння. а) х 2 - Зх + 2 = 0; б) х2 - 8х - 20 = 0; в) 4г2 + 2 - 3 = 0; г) 3у2 - 2у - 8 = 0; ґ) 0,25л:2 - 2х + 3 = 0; д) 2г2 - Зг + 0,75 = 0. 263

Задачі і вправи для повторення

1381. Розклади на множники тричлен. а) х 2- 7х + 10; б) х 2- 9х + 18; в) у2 - 2у - 35; г) у2 - 4у - 60; ґ) а2- а - 56; д) с2- 5с - 24. 1382. іСкороти дріб. . х 2+Зх +2 г2+ г-6 . а2- 5 а +6 а> х . .+4х+3 . б> 22- 2 2 - 1 5 в> Ті" а +3а-10 1383.)Склади квадратне рівняння за його коренями. а) 1 і 3;

б ) -2 і 7;

в) З і - ; З

г) л/2-1 і л/2 +1.

Розв’яжи рівняння (1384—1392). л ч Х ~1 х ~1 о 1384. а ) -+ -= 2; х+5 л - 5 . х -1 _ 1 -х в) 2 =------ ; х +4 х -4

2л:—1 1—2л: - =------- +4; л+2 х - 2 . 2 х -1 1 -2 х _ г) --------=---------+2. 2х +4 2 х -4

б)

, о „ , л 2л +2 х2 + 2х +4 х„,.2 - 2х +4 X - 4 х +2х +4х +8 х - 2 х + 4 х -8 х+10 лг+10 _ 50 б) х 2+ х -1 0 х 2- х - 1 0 х 4-2 1 х 2+100 1386. а) х 4 - 5х2 + 4 = 0; б) х 4 - 10х2 + 9 = 0. 1387. а) Зх4 - 2л;2 - 40 = 0; б) 5у4 + 7у2 -1 2 = 0. 1388. а) х 6 - 9х3 + 8 = 0; б) 26 - 19г3 - 216 = 0.

1385.) а)

1389.1а) х - б Т х +5=0;

б) 2 х-З л /х-9 = 0 .

1390. а) (х2 - х)2 - 11(х2 - х) + 18 = 0 ;б) (Т х -2 )^ б (л / х -2 ) +8 =0. 11391.) а) х +2-13л/х +2 +42= 0;

б) х - 3 +4л/х-3-12 =0.

1392. а) (2х - І)4 - (2х - І)2 -1 2 = 0;

б) (х+3)2-13+ - 36 т =0. (х +3)

Розв’яжи рівняння (1393, 1394). 1393. а) л/х +9 =11;

б )1 2 -Т х =0.

1394. а) 3 +л/х-2 =7;

б) л/х2- 2 х +1=3.

1395. Розв’яжи систему рівнянь. а) |2 х 2- у =2, ї х - і/і=1;

б) \Х +У~8’ їх + г/ =40;

в) |л:2-.У =14, Іу +2=х.

Перейди за посиланнями 1іМ р з://у 8 е.ее/сп у з та розв’яж и задачі і вправи під вищеної складності

Відповіді

33. а) х * 0, х * 1, х * - 2 ; б) х * 0,5, х * 4 , х * -4; в) х ^ -0 ,5 , х * 7 ; г)х— будьяке число. 35. а) х^О , х * - 7 , х^ 2; б) х^ -0 ,5 ; в) а — будь-яке число; ч 2(а +3) Л _ а -4 _ пг, . и+1 1 г) т * 4. 40. а) х= -, а * 0, а * 3; б) х= •, а * 7. 85. а) — ■ ; б) а(3-а) а -7 у -1 х+1 в)

86. а) б) 2(— 3); в) 1 - ху. 87. а) -2 ; б) 0,1. 88. а) 4; б) -5 . х +1 4а-3& а +5 96. а) Якщо а = 3, то х — будь-яке число; якщо а * 3, то х = а. 97. а) Якщо а = -5 , то х — будь-яке число; якщо а * -5 , то х = 2а; б) якщо а = 0, то коренів немає, якщо а = - 6 , то х — будь-яке число; якщо а * 0 і а ф - 6 , я -6 ™ ч х +с х -а . х + а -г -с . х +г х 2+с2- а х то х =------. 98.а)----— ; б) —----- ; в)-------------- . 99. а) ---- —; б) —---------а у +2х х +а х + г -а -с (1-у ) х + а х -с

в)

ас . 133. а) 1,5; в), г) коренів немає. 134. а) 0; б) - 1 , 1; (а +с-Ь)(а +с +Ь)

в) 0; г) коренів немає. 140. 20 км/год. 170. в) і ; 6

г) а +^-; д) -——. аЬ 9с

171. а) —— ; б) —; в) — —— ; г) ——— . 173. а) 3; б) -5; в) коренів немає; а+5 4 ху у

г) 0,5. 174. а) 2; б) -7 ,5 ; в) -2 ; г) 2. 176. а) с - 1; б) 1; в) 2а + Ь; г) За а -2 178. а) 3; в) т - 4; 179. в) - Ц - ; г) а -1 (а-Ь) 189. а)

а +Ь

180. а)

б) 0. 190. а) — ; в) - Ц - ; г) \ х -2 а а+2 ( х - а д х -с )

а -3

б) - Ц - . а -Ь

191. Г, Д, А .

192. а) — ; б) 5; в) -0,25. 193. а) -1 ; б) -4 . 12 201. а) — — -— ; б) 0. 202. а) б) 0. 203. а) -15. 204. а) -6 ; б) в) 0; 2х(х-3у) Ь 5 г) 6. 205. а) Коренів немає; б) 0. 206. а) -1 ; б) в) 2<*-У>; г) х +у 3(5 +х)

242. а) і ; 6) х

( х

6 ) ( х

241. а) —; б) +^)(-г+ ^) . у 6

9 +

4); в) УІХ+У); г) Ш+9). х -у х +7

247. а) 9±^_; б) — ^ —2 . 248. а) - +Ь ; б) (* +1Х *~ 4) 249. а) 2; б) -24. 6х (2а +Ь)2 8 6 ; 9

9 п

250. а) 20; б) -1 ,5 . 275. а) 1,5; б) —V ; в) —т і г) Зтп х ЬЬ2

її

5с

276- а)

г5 2с2 265

Відповіді

25а° 0_ 0 . а +2Ь . 4(х-2) б) — — . 278. а) хн у; б) —— ; в) —— Зс 3 х +3 б) У(х +у) в х ~ху +у х (у -х ) 5(х -у )

. а +3 оггл . х(х +у) г) . 279. а) 6 -а у(у-х)

х(х +2у). 280. а) 3(а ~1); г ) . 281. 5 (х+3)

. а 4ху _ ог, . (3-х)(3 +2х) х +1 000 . .. , а> 7126 ^ б> (2х-3 — ТТ о ’ б>-----у)* 282‘ а> 2 а - х • 283’ а>4<а + 2><а “ 3>; б) -(Ь + 4а); в) - 3(х +^ 284. а) ■(а+1.У—; б) 2х2. 292. а) а + Ь; б) с - х. (х+1)(х +2) аЬ(а +2Ь) 293. а) а - 2; б) а2 - 2. 294. а) 2а2Ь + 3с2х; б) 16а - 5с. 322. В, Г, Д. 327. б)

а -Ь

. 328. а) 1; б ) --- — . 329. а) 2а(а +6); б) 3 а+2 1 -е

330. а) х; б) 1. 331. а) -1 ; б) 3. 332. а) 1; б) а(Ь + с). 333. а) Ь(а +С^- б) -3 . 2ас л ч а +с . тґі х~2 „ . 1Ох +3 1 я 334. а ) . 335. а ) ; б) . 336. а ) . 337. а ) ; б) (а +с)2. а п у -г 7х + 2 п (п -1) 338. а)

б) . 342. 13. 357. а) г) . 359. а) 0; б) 1. 380. 0,6. хас а Ь аЬ 382. 18 м. 383. 27 і 21 рік. 384. 38 і 12. 385. 62 роки. 386. а) -1 ; б) 5; г) -1 , 1; д) коренів немає. 387. а) 2; б) -1 ; в) 1; г) -1 , 1; д) коренів немає. 388. а) Коренів немає; в) 8; г) -2 , 2. 389. а), в) коренів немає; г) -2 . 390. а) 4; в) -3 , 0; г) 10. 391. а) 2; б) -0,25, 0; в) 10, 0; г) -2 ,5 . 392. В, А, Д. 393. -8 ,5 . 394. - - . 395. а) 4; б) 0, — . 396. а) 5; б) 8. 398. 3. 399. 4. З 16 401. а) (0,1; 4); б) (2; 1). 402. а) (5; 3); б) (10; -3). 405. 2 км/год. 406. 35— км/год. 407. 20 днів і ЗО днів. 408. 10 днів і 15 днів. 409. 2 кг. З 410. 40 г. 411. 2 год і 4 год. 414. а) Якщо а = 3, то х = 8, якщо а = 8, то х = 3, якщо а 3, а * 8, то х = 3 або х = 8; б) якщо а = 2 або а = -9 , то рів няння коренів не має, якщо а * -2 і а * -9 , то х = а. 416. а) а = -2 або а = 4; б) а = -10 або а = 0. 454. а) 0,5; б) 0; в) -25; г) 2. 456. а) 0,09; б) 25; в) 300; г) 2,25. 458. а) 2х; в) -3 а4Ь3; г) 8х4у2; є) За4с3. 460. а) 1; б) -0,5; к лак. Аса в)\ 11,5. 465. в)ч а 20 ; г)ч х ю . 466. а \)

467. а)

х + и

х -у

а +с

2 (їїі

+ 7 ї" ) . — — ; г) с4 у') с4 т “п“

б) - . 6; в)— ; г) р\ 468. а) 1; б) Ь. 469. а) 1; б) 26. Ь -а аЬ

471. а) 0,5; б) 1; в) 1. 472. а) -2 , 2; б) 1. 266

2а X ; б) — ^ в ) х "-а ”

Відповіді

559. а) -2 , 1; б) 2, 4; в) 2, 5. 561. а) (-4; -1), (1; 4); б) (1; 6), (-1; -6). 565. а) к = 8, Ь = 0; б) к = -4 , Ь = 6. 655. б) 30,1; в) -13,6; г) -274. 656. а) 27; б) ЗО; в) -1 ; г) 10. 657. а) 1,4; б) 1,8. 658. а) 1,5; б) 0,5. 669. б) -38; д) 11. 670. в) 86; г) 64; д) коренів немає. 762. а) а - 1; б) |а-і|; в) - | а - і| . 764. а) - 4 т ; б) х; в) 1,6а8; г) -0,9а363. 796. а) -л/3т ; г)7у[7п. 801. а) 1+^7; г) -41. 802. а) 2; г) 47. 804. б) 17-4ТІ5; г) 4. 805. В, Д, Г, Б. 816. а) 8л/3; б) 0; в) -63; г) 2 8 -7 2 . 817. а) 12; б) ЗО; в) 1972; г) 72+6. 818. а) 9; б) 580; в) 1; г) 4. 819. а) -15; б) 25; в) 5; г) 2. 827. а) 77(75-1); г) (а-7б)(а +75); д) (Зх-у[у)(Зх +->/у); є) (х -з7 с )2. 829. а) 7а +7&; в) 2а +у[х; є) 2; ж) -2 . 830. а) 14; б) 9; в) 7; г) 12. 831. а) 1275; б) 16; в) 4; г) 4. 832. а) -83; б) 7. 838. а) 7 з -1; б) 7б +1; в) 4 -7 5 . 839. а) 7ЇТ +1; б) 2 -7 2 ; в) 2 +377. 840. а) 7 2 -а ; б) 1; в)

г) 2. 841. а) 7а; б) 3; в) 2.

906. а) -72,72; б) -3 , 3; в) коренів немає. 907. а) -2 ,5 , 2,5; б) коренів немає; в) 0. 908. б) -5 , 5; г) 0, -4 . 909. а) -3 , 3; б) -7 Ї6 ,7 Ї0 . 915. а) -2 , 2; б) -12, 0; в) -1 , 1. 916. а) -4 , 4; б) -3, 0; в) 4, 0. 920. б) 2, 6; в) 4, 10; г) 5. 921. а) -372, 372; б) -4 , 4; в) -0 ,5 , 0; г) 0, 26. 922. а) 0, 3; б) -10, 10; г) -2 , 2. 925. 10 см. 927. 15 і 16. 928. 10, 11, 12. 929. 0,16. 936. 216 см. 938. а) 0, -7 , 7; б) 2. 939. а) 0; б) коренів немає. 972. 12. 973. 0,8 і 0,2. 974. 16 і 17. 975. 16 і 17. 981. б) 9; г) коренів немає. 982. б) 4; г) коренів немає. 986. а) 2, 4; б) 3 ,-0 ,2 ; в) -72 +1, -7 2 -1 ; г) 72, 272. 987. а)-0,25, 1; б) 0,5, 4; в) 72,— ; г) — . 989. а) 4; б) 4; в) -10, 3; г) 2, 0,75; д) 13, 5. 990. а) -1 , | ; б) 2, 7; в) 3, 1^; г) 2, - | . 991. б) 1, § ; в) 2, 4,5; г) -6 , 1. 993. б) (-6; -3), О 0 ( 0 (2; 5). 994. а) -6, -5 , 0, 1; б) -0,5, 2, 0, 1,5; в) -4 , -6 , 4, 6; д) 0,5; е) -7 , 7; є) 6. 995. а) -2 , -5 , -7 , 0; б) -1 ,5 , 2, 0, 0,5; в) -6 , -2 , 2, 6; д) 4; е) -1 , 1; є) 3. 996. а) -2; -4; г) 81; д) -2 , 2. 997. а) -1, 2, 0, 1; б) -1 , 1; г) 4; ґ) -1 , 3; д) -З , 3. 998. а) -4 , 3; в) -4 , 1; г) -1 , 3; д) -4 , 1. 999. а) -5 , 1; б) -1 , -2; в) 1, З, 2 +7з, 2 -Т З ; д) 1, 3, 2 +733, 2 -733 . 1000. б) -3 , -1 . 1001. а) -5 , -0 ,2 ; б) -1 ,2 . 1002. а) 4; б) -4 , 4; г) -10, 10. 1003. а) 0,2; б) -6 , 6; в) 1; г) 0, 4. 1004. -3,75. 1006. а) -4 , 4, 5, - 7 — ; 15 6 З б) 9, - 1 — , 2—. 1007. а) х = 2 або х - а + 1; б) х = -1 або х = 1 - а. 25 4 267

Відповіді

1008. а) х = 3 або х = а + 2; б) якщо а = 0, то х = 1, якщо а т^О, то х = 1 або х= а+1. ЮЗЗ. а) д =30, хг = 5; б) д =-27, хх=-9 . 1034. а) к = 5, х х = 0,2; а б) к =3,хх =4—. 1036. б) х2+ 2х - 8 = 0; г) х2 - 6х + 4 = 0. 1039. а) Ні; б) так. З 1040. а) 2х2 - Зх + 1 = 0; г) 9х2 + 12х - 1 = 0. 1041. а) Зх2 - 7х + 2 = 0; г) 2х2 - 6х + 1 = 0. 1044. а) х 2 + 6х - 765 = 0; б) 2х2 - 18* + 27 = 0. 1045. а) 5х2 - 14х + 1 = 0. 1046. а) х х = -2 , х2 = 12, д = -24. 1047. а) х х = 2, х2 = 5, к = -7 або х х = -5 , х2 = -2 , к = 7; б) х х = -2 , х2 = 10, к = -20. 1049. х г = 0,5, х2 = -2 , с = -2 . 1051. а) 1 0 -; б) -1 2 . 1052. 6. 1053. а) -12; З в) 52; г) 368. 1054. а) -18; б) 22. 1056. 4. 1058. а) Ь = 0; б) с = 0. 1059. а = -6 . 1060. а = -3 . 1061. а = 9. 1062. а = -1 . 1063. а = 3,5. 1064. т = 7. 1085. а) 0,2(а - 1)(3а + 8); б) (с +у[2)(с-2лІ2). 1086. 0,2(п - 6)х х (п + 10); в) (т-л/2)(то-2>/2). 1087. д)

х +1

є) £± 1; ж) — 2^ -. а +3 с —2-у/5

Оу 1 у - /о О т=; ж) -. 1096. а) Коренів немає; б) -0,25; в) 0. 1088. д) ------- ; є) З х -1 х-л/3 с +3 1097. а) Коренів немає; б) —1, 2; в) 0. 1098. а) -1 ; б) а; в) 1. 1099. а) 1;

1104. а) 1 при х = 3; б) -19 при х = -4 . 1105. а) 12 при х = 2; б) 4 при х = 1. 1124. 2 км і 1 км. 1125. б) 256. 1127. 6 і 8. 1128. 11 і 12. 1129. 11, 12, 13. 1131. 7 см і 9 см. 1135. 20 км/год. 1136. 10 км/год. 1137. 2 км/год. 1138. 60 км/год. 1139. 60 км/год. 1140. 12 км/год. 1141. 10 год. 1142. 200 км або 160 км. 1143. 2,4 км/год або 3 км/год. 1144. З км/год. 1145. 60 см і 80 см. 1146. 6 днів і 12 днів. 1147. 5 год і 7 год. 1148. 14 днів і 11 днів. 1149. 45 днів і 54 дні. 1150. ЗО год і 40 год. 1151. 48 або 16. 1152. 25 гілок, 8 бджілок. 1153. 8 днів. 1154. 10 деталей. 1155. 8 год. 1156. 8 а і 5 а або 9 а і 6 а. 1157. 160 г, 20 %. 1158. 16 кг, 20%. 1159. 120 г. 1160. 8,8 г/см3, 7,8 г/см3. 1178. а) 31136 грн; в) 28,5 %. 1180. 11040 грн. 1182. 200000 грн. 1189. 40 %. 1190. а) 100% ; б) 37,5 %. 1192. 40000 грн і 60000 грн. 1193. 1800 грн, 2700 грн. 1195. 250$ і 400$. 1196. 25 мл і 25 мл. 1197. 2 кг. 1198. Б. 1199. А , Д , В, Г. 1252. 29 р. 1257. 169,3 см. 1259. 8,04. 1260. 49,5 грн. 1277. а) 3; б) 6; в) 12. 1279. 200. 1281. 20. 1282. 76. 1283. 125. 1284. 102. 1286. 96. 1287. 288. 1288. 18. 1289. 18. 1290. 8 команд. 1291. 12. 1308. - . 1309. 1310. а) - ; б) — ; в) г) - . 1311. а) — ; б) - ; в) 1; 6 6 5 10 2 2 15 З г) 0. 1312. а)

1316- б) 268

б) 1; в) - . 9

в) Те' 1318‘ а)

1313. а)

б)

в) І*

б) - ; в) 1. 1315. 14, - . 2 5

Відповіді

Задачі та вправи для повторення а +2Ь 1331. а) 0,5; б) 1. 1337. 13. 1338. -1 . 1350. т = 1, п = -1 . 1358. а) З 1360. а) - . 1361. а) 4 а -Ь

1362. -Ц % . 1373. а) 7; б) 14. 1375. а) 2>/Ї5; т +п

б) -2л/2І. 1376. а) >/2+1; б) >/3-1. 1377. а) >/7+Тб; б) 7 ЇЗ -7 7 ? 1378. а) 72; б) >/3+1; в) >/2->/б. 1379. а) 2>/3; в) 5+ >/7. 1384. а) 25; б) 8; в) 16. 1385. а) Коренів немає; б) -5 . 1391. а) 34; 47; б) 7. 1392. а) -0 ,5 , 1,5; б) -5 , -1 , -6 , 0. 1394. а) 18; б) -2 , 4. 1395. а) (1; 0), (-0,5; -1,5); б) (6; 2), (2; 6); в) (4; 2), (-3; -5). Задачі та вправи підвищеної складності 1396. а) — ;в) 1397. а) Ц і числа рівні. 1399. 0,999. 405 1001 і \ +ЙХ + &2 4 2 2 1400. а) ---------------. Розклади на множники чисельник: х +а х +а х +а =х +2а х +а - а х =(х +а ) - а х =(х +а -ах)(х +а +ах); б)

2х+1 ; х(4х +2х +1)

в) а2-2 а +2.

1403. Існують. 1404. Раціональне.

1405. Покажи, що 4 +2>/з =(1 +>/3)2. 1406. 34, 334, 3334. 1407. Перша д різниця більша. 1408. 99. 1410. а) - 1, ~2008 * Розклади на множники ліву частину рівняння; б) -1 , —-—. 1411. а) -6 , -6 +75; б) -1 , 3. 1412. а) 1; 1005 б) + 7 з . 1414. +у[Е. 1415. т =±2. 1416. т =+ 7 з . 1417. 3 при т = 1. 1418. Щоб корені даного рівняння були раціональними, необхідно, щоб виконувалась рівність р2-4д =т 2, де т — ціле непарне число. Покажи, що такого т не існує. 1419. 3 км/год. 1420. 121 км. 1421. 3 км/год. 1422. 5%. 1423. 10,5 бу і 24,5 бу. 1424. 40 або 60 пістолів. 1425. 3,5. 1426. б) -9 , 11. Дане рівняння рівносильне рівнянню (х - 11)(х + 9) х х (х2 + 2х +101) = 0; в) 2, 3, 4. 1427. 37. 1428. 27. 1430. — . 1431. Звер2005 ни увагу на те, що 3(14п + 3) - 2(21 п + 4) =1. 1434. а) 1; б) 4 або —1,2. 1436. а) 1933.

Предметний покажчик Абсциса точки 102 Математична модель 208 Аргумент функції 102 Множина 131 Вершина параболи 117 — дійсних чисел 132 Вибірка 238 — порожня 131 Виділення квадратного тричлена 200 — раціональних чисел 131 Винесення за знак кореня 148 — цілих чисел Вирази дробові 25 Мода вибірки 239 — з коренями 148, 150 Основна властивість дробу 15 — цілі 25 — степеня 87 Відсотки 221 Подія Віднімання дробів 32 — випадкова 252 Властивості — достовірна 252 — степенів 87 — неможлива 252 — функцій 117 Показник степеня 86 Внесення під знак кореня 148 Порядок числа 95 Гіпербола 103 Правило Графік функції 103 — суми 246 Графічне розв’язування рівнянь 160 — добутку 246 Дані 229 Раціональні вирази 25 Дискримінант 179 Рівняння Діаграми — дробово-раціональні 74 — лінійні 222, 230 — квадратні 170, 208 — стовпчасті 222, 230 — зведені 192 — кругові 222, 230 — лінійні 74 Ділення дробів 55 — неповні 170 Добування квадратного кореня 124 — раціональні 73 Додавання дробів 32 Середнє значення вибірки 239 Дроби 5 Скорочення дробів 15 — числові 5 Спосіб виділення квадрата двочлена 179 — зі змінними 5 Стандартний вигляд числа 95 — звичайні 5 Степінь числа 86 — нескінченні періодичні десяткові 132 — з від’ємним показником 86 Елементи множини 131 — з нульовим показником 86 Звільнення дробу від ірраціональності 149 — з цілим показником 86 Знаменник дробу 5 Таблиці частотні 230 Ірраціональні вирази 150 Теорема Вієта 192 Ймовірність 252 Тотожні вирази 6 Квадрат двочлена 201 — перетворення виразів 6, 62 Квадратний тричлен 200 Тотожність 6 Комбінаторні задачі 245 Формула коренів квадратного рівняння 178 Корінь арифметичний Функція 102 — з добутку 140 — у = х 2 116 — з дробу 140 — у = \ [ х 158 — зі степеня 140 Функції обернені 102 — квадратний 123, 139 Чисельник дробу 5

Зміст

ЗМІСТ Розділ 1. Р А Ц ІО Н А Л Ь Н І В И Р А З И ...................................................................4 §1. Ділення і дроби.....................................................................................................5 §2. Основна властивість дробу.........................................................................14 §3. Раціональні вирази......................................................................................... 25 §4. Додавання і віднімання дробів.............................................................. 32 §5. Множення дробів.............................................................................................47 § 6. Ділення дробів....................................................................................................55 § 7. Перетворення раціональних виразів.................................................62 §8. Раціональні рівняння...................................................................................73 § 9. Степені з цілими показниками.............................................................86 § 1 0 . Стандартний вигляд чи сла.......................................................................95 § 11. Функція у = — .................................................................................................102 X Розділ 2. К В А Д Р А Т Н І К О РЕН І І Д ІЙ С Н І Ч И С Л А ..........................114 § 12. Функція у = х 2.................................................................................................116 § 13. Квадратні корені............................................................................................123 § 14. Числові множини.......................................................................................... 131 § 15. Квадратний корінь з добутку, дробу, степеня........................ 139 § 16. Перетворення виразів, які містять квадратні корені 148 § 1 7 . Функція у-у/х ............................................................................................158 Розділ 3. К В А Д Р А Т Н І Р ІВ Н Я Н Н Я ............................................................. 168 § 18. Неповні квадратні рівняння.................................................................170 § 19. Формула коренів квадратного рівняння......................................178 § 2 0 . Теорема В іє т а ...................................................................................................192 § 21. Квадратний тричлен................................................................................... 200 § 22. Квадратне рівняння як математична модель прикладної зад ач і........................................................................................ 208 Розділ 4. С Т О Х А С Т И К А .......................................................................................220 § 23. Відсотки. Задачі на відсотки. Д іаграм и ..................................... 221 § 24. Збирання та систематизація даних. Частотні таблиці. Діаграми.................................................................. 229 § 25. Вибірка. Середнє значення, модавибірки.................................. 238 § 26. Комбінаторні задачі.....................................................................................245 § 2 7 . Поняття ймовірності................................................................................... 252 Задачі і вправи для повторення......................................................................260 Відповіді............................................................................................................................265 Предметний покажчик............................................................................................270

271

Навчальне видання Б Е В З Г р и г о р ій П е т р о в и ч Б Е В З В а л е н т и н а Г р и г о р ів н а В А С И Л Ь Є В А Д а р и н а В о л о д и м и р ів н а В Л А Д І М І Р О В А Н а та л ія Г р и г о р ів н а

АЛГЕБРА П ід р у ч н и к д л я 8 к л а с у з а к л а д ів з а г а л ь н о ї с е р е д н ь о ї о с в іт и

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Підручник відповідає Державним санітарним нормам і правилам «Гігієнічні вимоги до друкованої продукції для дітей»

Редактор Т. П. Єресько Технічний редактор Л. І. Аленіна К о м п ’ютерна верстка Д. Д. Карачов Коректор В. Д. Уреньова Д изайн обкладинки Ю. В. Миргородська Формат 70x100 '/16. Ум. друк. арк. 22,032 + 0,324форзац. Обл.-вид. арк. 18,48 + 0,55 форзац. Наклад 27 862 пр. Зам. У п ід р у ч н и к у використано м а л ю н к и х уд о ж н и к а І. В . Д е н и со в а . зображ ення ©зЬиНегзЬоск т ак и х авторів: Масі Уауиг И а іа іа ОгеепЗкуЗіисІїо Е т і І Тітріаі'и Реор іеїтадез.сот ■Уигі А. ОоХхи СЬосоІаІе ОЬСАКА2ЦМСЛА/ї!КА. АЕгіса Зіисііо ііиіца Заріс Ргозіоск-зіисіїо игее сіегіцп Ьі§ЬіГіе1сІ Зіисііоз

Т О В «ВИ Д А В Н И Ч И Й Д ІМ «ОСВІТА» Свідоцтво «Про внесення суб’єкта видавничої справи до державного реєстру видавців, виготовлювачів і розповсюджувачів видавничої продукції» Серія Д К № 6109 від 27.03.2018 р. Адреса видавництва: 04053, м. Київ, О. Довженка, З

\ллллм.о8Уііа-сІіт.сот.иа

Віддруковано в АТ «ХАРКІВСЬКА КНИЖКОВА ФАБРИКА «ГЛОБУС» 61011, м. Харків, вул. Різдвяна, 11. Свідоцтво Д К № 7032 від 27.12.2019 р. \ллллл/.дІоЬиз-Ьоок.сот

Ч исла

ІУ — н а т у р а л ь н і, І

£ — ц іл і,

Я Ш

З а к о н и д ій

Ф — р а ц іо н а л ь н і,

К — д ій с н і

В л а с т и в о с т і с т е п е н ів

а + Ь = Ь + а,

а„ т ап _—а„ т + п ,

(а + Ь) + с = а + (Ь + с),

а„ т . .: а п _= а„ т —п ,

аЬ = Ьа,

(а" У = атп,

(аЬ)с = а(Ьс),

(аЬ)п = а лЬл,

а(Ь + с) —аЬ + ас

а \п

ап Ь"

Ф о рм ул и ско ро чен о го м но ж ення

(а + б)2 = а 2 + 2 аЬ + Ь2, (а —Ь)2 = а 2 - 2аЬ + Ь2, (а + Ь)3 = а 3 + З а 2Ь + 3 аЬ2 + Ь3, (а - Ь)3 = а 3 - 3 а 2Ь + 3 аЬ2 - Ь3, а 2 - Ь 2 = ( а - Ь)(а + Ь), о3 - Ь3 = (а - Ь)(а2 + аЬ + Ь2), а 3 + Ь3 = (а + Ь)(а2 - а Ь + Ь2),

(а + Ь + с)2 = а 2 + Ь2 + с 2 + 2 аЬ + 2 а с + 2 6 с

В л а с т и в о с т і д р о б ів

В л а с т и в о с т і к о р е н ів

ат Ьт

у іо Ь = уГа Л

а Ь

) ,

Га _ уГа \ь ” 7 Г ’

а Ь а+Ь ± -= тп пі пг

л / ^ Г = |а п

а пг

Ь п

аЬ тп

а т

Ь _ ап п Ьт

(</<Г)2 = а , а

= а

Області допустимих значень цих рівностей указано в тексті підручника

С тан д а ртн и й ви гл яд числа

х = а •10”, де 1 < а < 10, п — порядок числа х

К в а д р а т н і р ів н я н н я

а х + Ь х + с = 0 — рівняння, о

В = Ь —4 ас — дискримінант, -Ь + Л )

-ь -Л ) , *2 =

2а

а х + Ь х + с = а(х — х г)(х — х 2); О

я + р х + д = 0 — зведене рівняння, 2

* 1,2 = — | ±

д — його корені,

— теорема Вієта

Ф у н к ц ії

У=

обернена пропорційність, х Ф 0

П арабола

-3-2

К вадрати н атураль них чисел Де сятки

Одиниці 0

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

900

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

1600

1681

1764

1849

1936

2025

2116

2209

2304

2401

2500

2601

2704

2809

2916

3025

3136

3249

3364

3481

3600

3721

3844

3969

4096

4225

4356

4489

4624

4761

4900

5041

5184

5329

5476

5625

5776

5929

6084

6241

6400

6561

6724

6889

7056

7225

7396

7569

7744

7921

8100

8281

8464

8649

8836

9025

9216

9409

9604

9801

С теп е н і чисел 2 і З

2п 2

128

256

512

1024

Зп 3

243

729

2187

6561

19683

59049