Креативна школа Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић
8
МАТЕМАТИКА Уџбеник за осми разред основне школе
A
8
H
D
C
A D C E
d
a
B
B
8
Креативна школа Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић
МАТЕМАТИКА Уџбеник за осми разред основне школе
A
8
H D C
A D
C
a
d
E
B B
8 1
Водич Кратак тест за проверу претходно усвојених знања
Кључни појмови
Обрада новог градива
Додатна објашњења дефиниција и правила
Решени задаци који помажу у разумевању градива
Тематски садржај Увод у теме
4–5, 34–35, 66–67, 96–97, 124–125, 144–145, 170–171, 192–193
Сличност 4–33 Тачка, права, раван
34–65
Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом
66–95
Призма 96–123 Линеарна функција
124–143
Пирамида 144–169 Системи линеарних једначина са две непознате
170–191
Ваљак, купа, лопта
192–228
Сазнај и ово
31–32, 64, 94, 121–122, 142, 168, 190, 227
Запамти
33, 65, 95, 123, 143, 169, 191, 228
Резултати и упутства
229–241
УВОДНА НАПОМЕНА Подсетимо се начина на који смо у претходним разредима обележавали дуж и њену дужину. Дуж обележавамо тако што означимо њене крајње тачке. На пример, на слици је дуж AB. а
A
B
У даљем тексту за означавање дужине дужи користићемо мало латиничко слово или исти запис као и за дуж. На пример, ако дужина дужи AB износи 3 cm, то записујемо: а = 3 cm или AB = 3 cm. Троугао ABC можемо обележавати употребљавајући ознаке за дужине његових страница, на пример: a, b, c. Тада кажемо да је на слици троугао чије су странице а, b и c. C a
b A
c
B
Висину троугла често означавамо са h, страницу квадрата са а, дијагоналу квадрата са d, полупречник круга са r и тако даље, подразумевајући да су то ознаке за њихове дужине. Када кажемо да треба израчунати странице или висину троугла, дијагоналу квадрата, полупречник круга и томе слично, то значи да треба израчунати њихове дужине.
Сличност U svakodnevnom `ivotu susre}emo se s predmetima istog oblika, a razli~ite veli~ine.
Kada pi{emo, ~esto koristimo slova razli~ite veli~ine.
MATEMATIKA
MATEMATIKA
MATEMATIKA
Ova dva trougla na fasadi Skup{tine Srbije nisu podudarna. Du`ine wihovih stranica su proporcionalne.
Ostava
Terasa
Soba
Terasa
Hodnik
Ostava Soba
Kuhiwa Hodnik
Kupatilo Soba
Plan stana ura|en je u razli~itim razmerama.
Kuhiwa
Kupatilo Soba
Leonardo da Vin~i (1451–1519) italijanski je slikar, arhitekta, pronalaza~, muzi~ar, vajar, pripoveda~, matemati~ar i in`ewer. Prou~avaju}i qudsku figuru, utvrdio je slede}e: • dlan je {irine ~etiri prsta; • visina mu{karca iznosi ~etiri lakta, odnosno 24 dlana; • udaqenost od vrha glave do brade jeste osmina visine mu{karca; • udaqenost brade od nosa jeste tre}ina du`ine lica; • du`ina uva je tre}ina du`ine lica i tako daqe.
4
Ovi trouglovi su sli~ni − jednakostrani~ni trouglovi ~ije su stranice razli~ite du`ine.
Ovi {estouglovi su sli~ni − pravilni {estouglovi ~ije su stranice razli~ite du`ine.
У наредним лекцијама учићеш о: • размери дужи; • подели дужи на једнаке делове; • Талесовој теореми и о томе како да израчунаш одсечке на правама које су пресечене паралелним правама; • сличним троугловима и њиховом коефицијенту сличности; • сличним троугловима и ставовимаа сличности.
1
Izrazi kao koli~nik uzajamno prostih brojeva razmeru 72 : 48.
2
Од којих бројева можеш саставити пропорцију? Заокружи слово испред тачног одговора. a) 1, 3, 2, 9 b) 6, 2, 3, 1 v) 4, 2, 12, 3
3
Odredi nepoznati ~lan proporcije. a) 24 : 16 = 3 : x b) 144 : a = 256 : 6
4
Rastojawe izme|u Beograda i Ni{a iznosi 280 km, a na karti 25 cm. U kojoj je razmeri napravqena karta?
5
Nacrtaj pravougaonik ~ije su stranice 12 cm i 20 cm. Ako svaku stranicu smawimo za 20%, dobijamo drugi pravougaonik. Kolike su wegove stranice? Nacrtaj ga.
v) 15 : 60 = b : 8
5
Размера дужи • размера дужи • пропорционалне дужи • самерљиве и несамерљиве дужи 1
Napi{i razmeru du`i: a) AB i CD b) AB i EF
A
2
B
v) CD i CE
C
g) BC i AD
Koli~nik du`ina dve du`i jeste razmera tih du`i.
d) AF i BE
D
E
F
Za proizvoqnu du` AB nacrtaj: a) tri puta du`u du` CD b) dva puta kra}u du` EF. Napi{i razmere AB : CD i AB : EF.
Razmera du`i Razmera dve du`i, a i b, jednaka je koli~niku wihovih du`ina izra`enih istom jedinicom mere. Razmeru du`i a i b zapisujemo kao a ili a : b, b ≠ 0. b Na primer, razmera du`i a = 5 cm i b = 3 cm je: a : b = 5 cm : 3 cm = 5 : 3.
Kada pi{e{ razmeru dve du`i, izrazi ih u istoj mernoj jedinici.
Razmeru du`i izra`avamo, ako je to mogu}e, kao koli~nik dva uzajamno prosta prirodna broja. Na primer, ako je a = 1,2 cm i b = 0,4 cm, onda je wihova razmera: a : b = 1,2 cm : 0,4 cm = 12 : 4 = 3 : 1.
6
3
Date su du`i: a = 5 cm, b = 4 cm, c = 0,8 cm, d = 30 mm, e = 2 mm. Napi{i razmeru: b) b : d v) e : d g) e : b a) a : c
4
Milena, Marko i Sowa stanuju u istoj zgradi. Rastojawe od wihove zgrade do {kole iznosi 300 metara. Dobili su zadatak da to rastojawe predstave pomo}u du`i odre|ene du`ine i da napi{u razmeru. U kojoj je razmeri svako od wih nacrtao rastojawe od ku}e do {kole ako su nacrtali du`i: Milena: 3 cm Marko: 5 cm Sowa: 12 cm?
Na|i razmeru rastojawa na crte`u i u prirodi. Metre pretvori u centimetre.
5
Steva je kupio zemqi{te oblika pravougaonika dimenzija 200 m × 80 m i prikazao ga crte`om. U kojoj je razmeri nacrtao crte`?
2 cm 5 cm
6
Nacrtaj kvadrate ~ije su stranice a = 2 cm i a1 = 3 cm. Nacrtaj dijagonale tih kvadrata i napi{i wihovu razmeru.
7
Rastojawe izme|u Crkve Svetog Marka na Ta{majdanu i Trga republike na mapi grada iznosi 4 cm. Koliko je stvarno rastojawe izme|u tih objekata ako je mapa ra|ena u razmeri 1 : 20 000?
Jednom centimetru na karti odgovara 20 000 centimetara u prirodi.
Proporcionalne duži Jednakost dveju razmera nazivamo proporcijom i zapisujemo: a : b = c : d, b ≠ 0, d ≠ 0 Za veličine a i b kažemo da su proporcionalne veličinama c i d. Proporciju a : b = c : d možemo zapisati i ovako: a = c , b ≠ 0, d ≠ 0 b d Proporcija ima četiri člana, dva spoqašwa i dva unutrašwa. Spoqa{wi ~lanovi proporcije su a i d, a unutra{wi b i c. Ako za du`i a, b, c i d va`i da je a : b = c : d, ka`emo da su du`i a i b proporcionalne du`ima c i d. Za proporciju a : b = c : d va`e svojstva: 1) Spoqa{wi i unutra{wi ~lanovi date proporcije mogu zameniti mesta. a:c=b:d i d:b=c:a 2) Proizvod spoqa{wih ~lanova jednak je proizvodu unutra{wih ~lanova date proporcije. a⋅d=b⋅c 7
8
Stranice pravougaonika su u razmeri 3 : 4. Ako je du`ina kra}e stranice 18 cm, kolika je du`ina du`e stranice pravougaonika?
Ako su stranice pravougaonika a i b, onda va`i: a:b=3:4 Podseti se odre|ivawa nepoznatog ~lana proporcije. Primeni svojstvo 2 za proporciju.
Obim jednakokrakog trougla iznosi 108 cm, a osnovica i krak odnose se kao 4 : 7. Izra~unaj du`ine osnovice i kraka. Решење Neka je a osnovica, a b krak trougla. Obim trougla ra~unamo po formuli: O = a + 2b Iz proporcije a : b = 4 : 7 sledi: a = 4k, b = 7k 4k + 2 ⋅ 7k = 108 cm 18k = 108 cm k = 6 cm a = 24 cm, b = 42 cm 9
Obim pravougaonika iznosi 120 cm, a stranice a i b odnose se kao 4 : 11. Izra~unaj povr{inu pravougaonika.
Samerqive i nesamerqive du`i Ako je razmera dve du`i jednaka koli~niku dva prirodna uzajamno pro sta broja, ka`emo da su te dve du`i samerqive. Za takve du`i ka`emo da postoji du` koja se sadr`i u obe du`i ceo broj puta, odnosno da te du`i imaju najve}u zajedni~ku meru. Na primer: Izra~unajmo razmeru stranica pravougaonika ~ije su du`ine a = 10 cm i b = 12 cm. a : b = 10 : 12 = 5 : 6 Najve}a zajedni~ka mera stranica tog pravougaonika jeste du` du`ine 2 cm jer je NZD(10, 12) = 2. Razmera dve samerqive du`i jednaka je racionalnom broju. Ako razmera dve du`i ne mo`e da se napi{e kao koli~nik dva prirodna broja, ka`emo da su te dve du`i nesamerqive. Za te dve du`i ka`emo da ne postoji du` koja se u svakoj sadr`i ceo broj puta, odnosno da te du`i nemaju najve}u zajedni~ku meru. Na primer: Izra~unajmo razmeru stranice kvadrata i wegove dijagonale ako je a = 4 cm. a:d=1: 2 Stranica i dijagonala kvadrata jesu nesamerqive du`i. Razmera dve nesamerqive du`i jednaka je iracionalnom broju. 8
МАТЕМАТИКА Уџбеник за осми разред основне школе Прво издање Аутори Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић Илустровао Душан Павлић
Рецензенти
Др Ђорђе Баралић, виши научни сарадник, Математички институт САНУ, Београд Јагода Ранчић, професор математике, ОШ Коста Абрашевић у Београду Драгана Вулетић, професор математике, ОШ Борислав Пекић у Београду Уредник Свјетлана Петровић Лектор Ивана Игњатовић Графичко обликовање Јелена Рељић Цртежи Мирјана Стојсављевић-Радовановић Припрема за штампу Саша Стефановић Издавач Креативни центар Градиштанска 8 Београд Тел./факс: 011 / 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 За издавача Љиљана Маринковић Штампа Графостил, Крагујевац Тираж 3.000 ISBN 978-86-529-0819-6 Copyright © Креативни центар 2020
Министар просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника за математику у осмом разреду основне школе решењем број 650-02-00213/2020-07 од 19. 11. 2020. године
CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2)(076) СТОЈСАВЉЕВИЋ-Радовановић, Мирјана, 1951Математика 8 : уџбеник за осми разред основне школе / Мирјана СтојсављевићРадовановић, Љиљана Вуковић ; [илустровао Душан Павлић] ; [цртежи Мирјана СтојсављевићРадовановић]. - 1. изд. - Београд : Креативни центар, 2020 (Крагујевац : Графостил). - 241 стр. : илустр. ; 30 cm. - (Креативна школа) Тираж 3.000. - Резултати и упутства: стр. 229-240. ISBN 978-86-529-0819-6 1. Вуковић, Љиљана, 1963- [аутор] COBISS.SR-ID 28117001
9 788652 908196