Dodatna nastava - Matematika 5

ДОДАТНА НАСТАВА

МАТЕМАТИКА 5 збирка задатака прво издање

аутори Наталија Јекић, Душанка Ковачевић илустровао Драган Максимовић рецензенти др Зорана Лужанин, ванредни професор, Природно-математички факултет у Новом Саду Мирјана Стојсављевић-Радовановић, ОШ „Борислав Пекић“ у Београду Јагода Ранчић, ОШ „Коста Абрашевић“ у Београду уредник Свјетлана Петровић лектор Ивана Игњатовић графичко обликовање Душан Павлић припрема за штампу Љиљана Павков издавач Креативни центар Градиштанска 8 Београд тел./факс: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.rs

за издавача мр Љиљана Маринковић штампа Графипроф тираж 2.000 copyright © Креативни центар 2010

CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2)(076.1) ЈЕКИЋ, Наталија, 1950– Математика 5 : збирка задатака : додатна настава / Наталија Јекић, Душанка Ковачевић ; [илустровао Драган Максимовић]. – 1. изд. – Београд : Креативни центар, 2010 (Београд : Графипроф). – 80 стр. : илустр. ; 26 cm. – (Креативна школа) Тираж 2.000.

ISBN 978-86-7781-745-9 1. Ковачевић, Душанка, 1958– [аутор] COBISS.SR-ID 172390924

5

Natalija Jeki} i Du{anka Kova~evi}

DODATNA NASTAVA

A MATEMATIKA zbirka zadataka

s C

M O

O1

A

A B

7 8

9

10

Одреди најмањи десетоцифрени број код којег је збир цифара 50.

Напиши седмоцифрени број чије су све цифре различите, чија је цифра стотина 8 и који је: а) највећи паран број б) најмањи непаран број. Одреди: a) највећи десетоцифрени број чији је збир цифара 20 б) најмањи десетоцифрени број чији је производ цифара 20. Уочи правило и допуни низ природних бројева: а) 1, 2, 4, 8, 16, ........, ........, ........

б) 1, 8, 15, 22, 29, ........, ........, ........ в) 2, 5, 11, 23, 47, ........, ........, ........

г) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ........, ........, ........

11

Бројеви су на цртежима распоређени по неком правилу. Откриј правило и упиши број који недостаје. а)

7

13

2

3

6

24

3

21 4

4

........

5

5

6

б)

2

12

5

18

3

10

1

48

8

7

........

6

3

Откриј правило и упиши број који недостаје. а)

1 94

8

4

4 ?

б)

10 22

1 ?

33 67

в)

55 99

3 2

5 17

8 ?

5

Пример а) Израчунај збир првих 100 природних бројева. б) Израчунај збир првих n природних бројева. Решење а)

101

1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100 = 101 ⋅ 50 = 5 050 101 101 Када се саберу 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т ако даље, увек се добија збир 101. Постоји 50 таквих парова и тражени збир је 101 ⋅ 50. б) Збир првих n бројева добија се тако што се саберу први и последњи сабирак, збир се помножи укупним бројем сабирака, а затим се, због парова које смо направили, тај производ подели бројем 2.

1 + 2 + … + n = (1 + n) ⋅ n : 2

NAU^NIK. I MATEMATI^AR I VELIKI JE NEMA^K TIKE US MA GA TE H RI MA A ID IM FR KARL U MNOGIM OBLAST OS IN PR DO AN AJ DAO JE ZNA^ JE I NAUKE. ROVITOST. POZNATA MATEMATI^KU DA O O ZA DA KA ZA PO EQ NO IT RA GAUS JE PRIL IKOM U^ @E DA JE JEDNOM GOVO WE NA 0.

10 DO ANEGDOTA KOJA KA 1 E OD BERU SVE BROJEV SEDAM GODINA, U^EN ICIMA DA SA JI JE TADA IMAO KO , US GA , WE \E OJ 5 050. GAUS JE BR O BI VELIKO IZNENA REZULTAT, A TO JE OJ SV O NE ETHODNOM DO JE ODMAH O POKAZALI U PR NA NA^IN KOJI SM RE[IO ZADATAK U. RE[ENOM PRIMER

13 14

15

KARL FRIDRIH GAUS (1777–1855)

Израчунај збир првих 200 природних бројева. Израчунај збир. а) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 154 + 155 б) 2 + 4 + 6 + . . . + 34 + 36 в) 5 + 7 + . . . + 27 + 29 г) 10 + 15 + 20 + . . . + 105 У сваку фигуру упиши цифру (иста фигура – иста цифра) тако да важе једнакости:

+

+ +

= =

+

+ –

= =1

+

+

+

+

+

=

ZBIR CIFARA UPISANIH U

I

MO@E DA BUDE 1, PA SE U

2 ILI 3,

MO@E

UPISATI CIFRA 3,

6 ILI 9.

ISPROBAJ SVE MOGU]NOSTI.

9

Пример Одреди све просте бројеве p тако да је р + 11 прост број. Решење Kод решавања задатака с простим бројевима најчешће посматрамо два случаја: 1. случај р = 2 (једини паран прост број) ZBIR DVA PARNA 2. случај р ≥ 3 и р је непаран број 1. За р = 2, 2 + 11 = 13 је пр ост број. Збир р + 11 je прост број.

2. За р ≥ 3, збир р + 11 је паран број већи од 2 јер је з бир два непарна броја паран број. Закључујемо да је збир р + 11 сложен број. Једино решење задатка је за р = 2.

12 13

14

Одреди просте бројеве p и q тако да је 3 ⋅ р + 4 ⋅ q = 50. Сретну се два математичара. „Чујем да имаш две ћерке. Колико имају година?“ „Имам близнакиње и број њихових година јесте прост број.“ „То ми ништа не значи!“ „Али кад производ њихових година увећаш за 3, добићеш опет прост број“. „А, да! Сад знам колико имају година!“ Израчунај и ти колико година имају близнакиње. У новинама је објављена следећа вест: Археолози су пронашли камену плочу са уклесаним четвороцифреним бројем чија је посебност у томе што је дељив сваким бројем прве десетице. Реч је о броју 25 120. У овом тексту очигледно постоји грешка. У броју је написана једна цифра више. Која је то цифра?

Пример Одреди непознату цифру a тако да: 3 | (69 + 1a7) Решење Како 3 дели први сабирак, број 69, и збир 69 + 1a7, онда 3 мора да дели и други сабирак, 1a7.

3 | 1a7 3 | (1 + а + 7) 3 | (8 + а) а ∈{1, 4, 7}

16

BROJA JE PARAN BROJ.

ZBIR DVA NEPARNA BROJA JE PARAN BROJ. ZBIR NEPARNOG I PARNOG BROJA JESTE NEPARAN BROJ.

15

Одреди непознату цифру a тако да: а) 4 | 675 ⋅ 5a2 б) 9 | (225 ⋅ 7a7 + 98a ⋅ 13).

16 17

18

19

20

AKO JE SVAKI SABIRAK DEQIV NEKIM BROJEM, ONDA JE I ZBIR DEQIV TIM BROJEM. а | n I a | m, ONDA a | (n + m) AKO JE BAR JEDAN ^INILAC DEQIV NEKIM BROJEM, ONDA JE I PROIZVOD DEQIV TIM BROJEM. a | n ILI a | m, ONDA a | n ⋅ m

Броj n при дељењу бројем 35 даjе остатак 14. Покажи да jе n сложен броj. Архитекта је предао мајсторима скицу за изградњу степеница у једном парку. Предложио је да висина степеница у оба дела приказана на слици буде једнака. Међутим, заборавио је да запише колико износи та висина. Колика је највећа могућа висина степеника?

6 dm

105 cm

Са београдске железничке станице сваког дана креће путнички воз за Нови Сад. Првог марта из Београда заједно су кренули архитекта Милић, новинар Лазић и адвокат Јовић. Милић путује за Нови Сад сваког дванаестог дана, Лазић сваког осмог, а Јовић сваког десетог дана. Ког ће се датума први пут опет наћи заједно у истом возу? Заокружи слово испред тачног одговора. а) 1. јула б) 28. јуна в) 30. јуна При дељењу неког броја са 9, 10 или 12 увек се добија остатак 4. Одреди: а) најмањи такав број б) број шесте стотине који има то својство.

AKO JE q KOLI^NIK BROJEVA a I I OSTATAK JE r, ONDA JE:

b

a=b⋅q+r

После Нове године Ања је скидала украсне кугле с јелке и паковала их. Другарица ју је питала: ,,Колико имаш украса?“ ,,Могу ти рећи само да их имам мање од 100 и, ако бих их паковала по 8 или по 6 у једну кутију, у оба случаја остале би ми 2 кугле. Ако их пакујем по 5 у кутије, не би ми остала ниједна. Израчунај сама колико их имам.“ Колико Ања има кугли?

17

30

31

32 33

Напиши на линији одговарајући број тако да тврђење буде тачно. а) Ако је a једна петина од b, онда је b ............. пута веће од a. б) Ако c износи 2 од d, онда је d ............. од c.

5 в) Ако m износи 1 од n, а n износи 3 од p, онда је m ............. пута мање од p.

3 5 г) Ако је k два пута мање од f, а f је 6 од e, онда је e ............. од k.

7 На jедном атлетском такмичењу учествовао jе известан броj такмичара. После првог дана због повреде jе одустала 1 такмичара. Наредног дана вратио се један учесник и тако 12 jе броj одсутних износио 1 укупног броjа такмичара.

18 Колико jе такмичара било на почетку такмичења?

Нађа је на сајму књига купила 11 књига и тако је своју библиотеку увећала за 1 .

11 За рођендан је од другарица добила још неколико књига и на крају их је имала 140. Колико је књига добила од другарица? Попуни магични квадрат. а)

1,4

1

34

RAZLIKA U BROJU ODSUTNIH TAKMI^ARA PRVOG I DRUGOG DANA JESTE JEDAN TAKMI^AR.

1,8

б)

21 2

2

41 2

KOD MAGI^NOG KVADRATA ZBIR BROJEVA PO HORIZONTALI, VERTIKALI I DIJAGONALAMA MORA BITI ISTI I TO JE KARAKTERISTI^NI ZBIR. KARAKTERISTI^NI BROJ (CENTRALNI ^LAN) TRI PUTA JE MAWI OD KARAKTERISTI^NOG ZBIRA.

Дат је магични квадрат у који су уписани неки бројеви. Одреди број а.

1 2 3 3 4

1 2 a

NA OKLOPU [U PRIKAZAO SE GI^N I KVADRAT LO MA LA I, A[ ND IZ GE E. LE N. A PREM . GODINE P. A^E KOJA JE 2205 KA, NALAZILI ^A TA DU VI U PLEMEN ITE KORW , SE SU E REKE). BROJEVI . U TABL ICU IH IZ REKE LO (@UT RWA^INOG OKLOPA KO A I AK EQ OD T TABL ICI BROJEV J TO UNUTAR DEVE U .

I CAR FU [I MA CI AV JE PRENEO KINESK PR IM SV TAKO DA ZBIR PO IZNOSI 15.

SU RASPORE\EN I I DIJAGONALNO) NO AL IK RT VE , NO RASTE (HORIZONTAL M KOJIH MESEC IZ I BROJ DANA TOKO BROJ 15 UJEDNO JE I OBRNUTO. OD MLADOG U PUN

28

35

Нека је: А = 10 ⋅ 0,00 … 01 10 В = 0,1 + 0,01 + 0,001 + … + 0,00 … 01

BROJ 0,00…01

10 С = 0,1 ⋅ 0,01 ⋅ 0,001 … ⋅ 0,00 … 01

10 IMA 10 DECIMALNIH MESTA – DEVET NULA I JEDNU JEDINICU.

10 Сваком слову придружи тачну вредност одговарајућег израза.

A

36 37 38

B

C

0,00 … 01

0,00 … 01

0,00 … 01

0,11 … 11

55

10

9

10

Одреди све делиоце броја 90 који нису већи од 1 тог броја.

5 Како се уз помоћ два суда, једног у који стаје 0,75 литара течности и другог у који стаје 2 литра, 3 може измерити тачно: а) 5 литара течности б) 5,5 литара течности? За прављење торте потребно jе 500 грама кекса. Кекс чини 1 масе торте, a желе, 2 ораси и сок, редом, 1 , 1 и 3 масе торте, док је остало путер. Колико је грама 20 5 20 путера потребно за ову торту?

Пример У албуму се налазе 72 фотографије, при чему број црнобелих износи 1 фотографија 7 у боји. Колико има црнобелих фотографија? Решење Задатак можемо решити методом дужи. Означимо са x број фотографија у боји, а са 1 х број црнобелих фотографија.

7

72 x

1x 7

Укупан број фотографија је 72 и с астоји се од 8 једнаких делова (сваки је 1 х).

7 7 8 8 х = 72 х = 72 : х = 72 ⋅ х = 63 7 7 8 1 ⋅ 63 = 9 7 У албуму се налази девет црнобелих фотографија.

29