KAPITOLA 3. ATOM VODÍKU A STRUKTURA JEHO SPEKTRÁLNÍCH ČAR −1 Pokud bychom tady za 0 + rA dosadili z (3.106), dostali bychom 4 1 p̂ 1 1 = ψ0 | − A − |ψ0 . σ · p̂A , σ · p̂A , − 8 8 rA
(3.108)
Laskavý čtenář se snadno přesvědčí že v případě obecnějšího elektrostatického potenciálu, než je čistě coulombický, je první oprava k nerelativistické energii dána střední hodnotou operátoru Ĥrel = −
p̂4 1 − [σ · p̂, [σ · p̂, eϕ(r)]] . 3 8m 8m2
(3.109)
První člen bychom dostali i poruchovým řešením Kleinovy-Gordonovy rovnice pro skalární částici ve vnějším elektromagnetickém poli. Tento člen vyjadřuje závislost setrvačné hmoty elektronu na jeho rychlosti. Klasicky je možno ho obdržet rozvojem výrazu p2 + m2 m + p2 /(2m) − p4 /(8m3 ) + . . .. Druhý člen obsahuje efekt spinu a je výhodné ho dále upravit [σ · p̂, [σ · p̂, V (r)]] = σi σj [p̂i , [p̂j , V ]] + [σi , σj ] [p̂j , V ] p̂i = = [p̂i , [p̂i , V ]] + 2i ijk σk [p̂j , V ] p̂i = = −∇2 (V ) − 4iŜ · ([p̂, V ] × p̂) .
V první rovnosti jsme použili identitu
[ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂ , kde  = σ, B̂ = p̂ a Ĉ je zbytek. Ve druhé rovnosti jsme použili identitu pro Pauliho matice (1.25). Ve třetí rovnosti jsme využili rovnice (1.54) a (1.24). Pro Coulombův potenciál máme z předposlední rovnice 1 Ŝ · L̂ σ · p̂, σ · p̂, − = −4πδ(r) − 4 3 , (3.110) r r kde v prvním členu jsme použili rovnice (3.7)–(3.9) a v druhém členu rovnice (3.20) a (3.78). Poslední rovnici dosadíme do (3.107), kam z (3.106) vyčíslíme raději naopak člen s energií než s hybností a dostaneme výraz pro opravu k energii vlivem relativistických efektů 2 1 Ŝ · L̂ 1 + πδ(rA ) + 3 (3.111) |ψ0 . 1 = ψ0 | − 0 + 2 rA rA
3.5.2
Jemné štěpení hladiny n = 2
Při nerelativistickém výpočtu je stav atomu vodíku 2p |n = 2, l = 1, m |± šestkrát degenerovaný – třikrát za projekce orbitálního momentu hybnosti (m = −1, 0, 1) a dvakrát za orientace spinu elektronu. Vliv spinu jádra nyní zanedbejme. První dva členy v Ĥ1 , viz (3.111), působí na všechny tyto degenerované hladiny stejně. Jediný 98