rozptyl s určenou hodnotou, F-test porovnává rozptyly dvou rozdělení a ostatní testy mohou porovnávat rozptyly dvou a více rozdělení. F-test a Bartlettův test vyžadují normalitu všech náhodných výběrů, Levenův test normalitu nevyžaduje. JEDNOVÝBĚROVÝ TEST ROZPTYLU
Situace: máme jeden náhodný výběr z jednoho rozdělení Předpoklady: daný výběr pochází z normálního rozdělení H0: σ 2 = σ 20 (rozptyl daného rozdělení je roven zvolené hodnotě σ 20) HA: σ 2 ≠ σ 20 P Ř Í K L A D 9.7
V lese máme 30 stromů, které jsou připraveny na pokácení. Dejme tomu, že veličina „výška stromu“ má normální rozdělení. Potřebujeme zjistit, zda rozptyl jejich výšek je 1, tj. jestli mají malý rozptyl. Malý rozptyl je potřeba proto, aby zpracovna dřeva mohla předem počítat s tím, že stromy mají podobnou délku.
F-TEST (FISHERŮV TEST)
Situace: máme dva náhodné výběry ze dvou rozdělení a chceme zjistit, zda tato rozdělení mají stejný rozptyl Předpoklady: obě rozdělení jsou normálně rozdělena H0: σ 12 = σ 22 (rozptyl prvního rozdělení je roven rozptylu druhého rozdělení – homogenita rozptylů – homoskedasticita) HA: σ 12 ≠ σ 22 (heterogenita rozptylů – heteroskedasticita) P Ř Í K L A D 9.8
Zjistili jsme, že inteligence mužů i inteligence žen mají normální rozdělení. Testujeme, zda rozptyl (variabilita) inteligence mužů je stejný či jiný než rozptyl inteligence žen. Konečně tedy zjistíme, zda mezi muži je více hlupáků i více géniů a zda ženy jsou spolehlivější částí populace.
98 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS518615
Poznámky: • Pokud není splněna normalita rozdělení, tak test nefunguje ani v případě, že máme hodně pozorování z obou rozdělení (tak, jak je tomu například u dvouvýběrového t-testu). V takovém případě je nutné použít jiné testy zkoumající rovnost rozptylů, které nepožadují normální rozdělení (např. Levenův test). BARTLETTŮV TEST
Situace: máme k ≥ 2 náhodných výběrů z k rozdělení a chceme zjistit, zda tato rozdělení mají stejný rozptyl Předpoklady: všechna rozdělení jsou normálně rozdělena H0: σ 12 = … = σ 2k (rozptyly všech rozdělení se rovnají – homoskedasticita) HA: alespoň jedno rozdělení má odlišný rozptyl – heteroskedasticita P Ř Í K L A D 9.9
Spočítali jsme počet zubů sta českých důchodců, osmdesáti indonéských důchodců a padesáti důchodců z Ugandy. Víme, že rozdělení počtu zubů všech stařeckých skupin jsou normální. Chceme zjistit, zda rozptyl počtu zubů pro všechny tři národy je stejný. Pokud by tomu tak nebylo, tak by to mohlo znamenat například to, že u českých důchodců se počet zubů hodně liší a indonéští důchodci mají počet zubů navzájem velmi podobný.
LEVENŮV TEST
Testuje rovnost rozptylů k ≥ 2 skupin podobně jako Bartlettův test. Na rozdíl od F-testu a Bartlettova testu nevyžaduje normalitu výběrů. Je tedy možné ho použít v mnoha situacích, kdy jsou ostatní testy rozptylů pro aplikaci nevhodné.
99 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS518615
9.4 Neparametrické testy Neparametrickými označujeme ty testy, u kterých není nutné specifikovat typ rozdělení ani parametry. Zde jsou to testy, které nevyžadují normální rozdělení. Je to alternativa parametrických testů pro případ, že jsou předpoklady parametrických testů (zde normalita rozdělení) porušeny. Neparametrické testy se tedy dají použít ve více případech než parametrické testy. Často ovšem mají menší sílu (viz podkapitola 5.7) než parametrické testy. Pokud tedy máme data splňující předpoklady parametrických testů (např. normální rozdělení), tak je výhodnější použít parametrické testy. Pokud máme dostatečný počet pozorování, tak lze často použít testy vyžadující normální rozdělení, i když jejich rozdělení normální není (díky asymptotické normalitě). Neparametrické testy je tedy nutné použít, pokud pozorování nemají normální rozdělení a máme nízký počet pozorování. Z neparametrických testů zde uvádím: • Wilcoxonův jednovýběrový test (1-Sample Wilcoxon Signed-Rank Test) • Mann-Whitney U test (Wilcoxon Rank-Sum Test) • Wilcoxonův párový test (Wilcoxon Signed-Rank Test) • Kruskal-Wallis test (jednosměrná ANOVA na pořadí) • Moodův mediánový test • Chí-kvadrát test nezávislosti • McNemarův test JEDNOVÝBĚROVÝ WILCOXONŮV TEST (1-SAMPLE WILCOXON SIGNED-RANK TEST)
Situace: máme jeden náhodný výběr z jednoho rozdělení. Náhodný výběr nemá normální rozdělení a počet pozorování není dost velký na to, aby součet měl normální rozdělení (není asymptotická normalita). Chceme otestovat, zda se medián našeho rozdělení rovná zvolené hodnotě. Předpoklady: žádné H0: m = m0 (medián našeho rozdělení se rovná zvolené hodnotě m0 ) HA: m ≠ m0
100 Ukázka elektronické knihy