9 MAGICKÝ ČTVEREC
Nejmenší netriviální magický čtverec má 9 polí. Existuje 9 způsobů, jak pokrýt rovinu pravidelnými mnohoúhelníky tak, aby v každém vrcholu měly totéž uspořádání. Obdélník správných rozměrů může být rozdělen na 9 čtverců různých velikostí. NEJMENŠÍ MAGICKÝ ČTVEREC Magické čtverce jsou čtvercové šachovnice s různým počtem polí, na nichž jsou čísla – obvykle 1, 2, 3, … až do počtu polí – rozmístěna tak, že jsou jejich součty po řádcích, sloupcích i diagonálách stejné. Pro matematiku nemají žádný hlubší význam, ale jejich sestrojování je zábavné. Nejmenší magický čtverec (kromě triviálního případu 1 × 1 s vepsanou 1) je čtverec 3 × 3 s čísly 1 až 9. Nejstarší známý magický čtverec se vyskytuje ve staré čínské legendě o císaři Jü, který kvůli záplavám obětoval bohu řeky Luo-Che. Z řeky se vynořila kouzelná želva a na krunýři nesla podivné matematické obrazce. Byl to Lo Šu, magický čtverec s devíti poli s vepsanými kolečky místo čísly. Když mají podle zadání v magickém čtverci vystupovat čísla 1 až 9 a každé jen jednou (což bývá vždy, pokud není zvlášť dobrý důvod k jinému požadavku), je Lo Šu jediným možným uspořádáním, když nepočítáme jeho
4 9 2 3 5 7 8 1 6 Obr. 50: Vlevo: Lo Šu. Vpravo: Moderní verze.
98
9. MAGICKÝ ČTVEREC
Obr. 51: Vlevo: Tibetské zobrazení Lo Šu. Vpravo: Císař Jü.
rotace a zrcadlení. Magická konstanta – součet čísel po řádcích, sloupcích a diagonálách – je 15. Tento čtverec má i další symetrie, například že sudá čísla jsou v rozích. Rozměru magického čtverce se říká řád; Lo Šu má řád 3 a magický čtverec řádu n má n2 polí, v nichž jsou obvykle rozmístěna čísla od 1 do n2 . O magické čtverce se zajímali i v jiných starých kulturách, například v Persii a Indii. Z Khadžuráha v Indii pochází magická tabulka řádu 4 vzniklá v 10. století. Její magická konstanta, tak jako všech magických čtverců 4. řádu z čísel 1–16, činí 34. 7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9
6 15 4
Obr. 52: Magický čtverec 4. řádu z 10. století.
Různých magických čtverců 4. řádu je mnoho: celkem 880, když nepočítáme ty, které vzniknou pootočením nebo zrcadlením. Počet magických čtverců 5. řádu je ještě mnohem větší: 275 305 224. Celkový počet magických čtverců 6. řádu není přesně znám, ale odhaduje se, že je jich 1,7745 × 1019 . 99
I. MALÁ ČÍSLA
Obr. 53: Vlevo: Albrecht Dürer: Melancholie I. Vpravo: Detail s magickou tabulkou. Všimněme si data uprostřed spodní řádky.
Malíř Albrecht Dürer začlenil magický čtverec 4. řádu do kompozice rytiny jménem Melancholie I, v níž se vyskytuje několik dalších matematických objektů. Čtverec byl vybrán tak, aby se uprostřed posledního řádku objevilo datum 1514. Existují magické čtverce všech řádů od 3 výše (a triviální řádu 1), nikoli
17 24
1
8
15
14 16
16 23
5
7
22
4
6
13 20 22
3
10 12 19 21
3
9
11 18 25
9
2
15 17 24 1 8 Obr. 54: Obecný postup konstrukce magického čtverce lichého řádu. Umístěte 1 doprostřed horního řádku a pak umisťujte čísla 2, 3, 4, … diagonálně ve shodě s šipkami, a když to je nutné, přeskočte na opačnou stranu tabulky shora dolů nebo zprava doleva. Kdykoli by další číslo mělo být v již obsazeném poli, posuňte se o jedno pole níže.
100
Ukázka elektronické knihy