Kvantová mechanika a elektrodynamika (Ukázka, strana 99)

KAPITOLA 3. ATOM VODÍKU A STRUKTURA JEHO SPEKTRÁLNÍCH ČAR Vlastní hodnota operátoru ˆJ2 tedy musí být rovna buď

15 3 3 j(j + 1) = = +1 , 4 2 2 nebo

3 1 j(j + 1) = = 4 2

1 +1 2

,

jinými slovy, navenek se jedná buď o částici se spinem 32 , nebo 21 . Působením operátoru ˆJz = L ˆz + S ˆz na vlastní vektory operátoru L ˆ·S ˆ snadno zjistíme, že čtyřnásobná degenerace vyšší hladiny je způsobená existencí čtyř stavů se čtyřmi možnými průměty − 23 , − 12 , 21 , 32 celkového momentu hybnosti do osy z. Dvojnásobná degenerace nižší hladiny je způsobená existencí dvou stavů se dvěma možnými průměty − 21 , 12 do osy z. Od tohoto je odvozeno spektroskopické značení těchto čar, 2p3/2 v prvním případě a 2p1/2 v případě druhém. l

Úkol 7: Jemné štěpení

Spočtěte výraz (3.109) pro stavy 2s1/2 a 2p1/2 . V prvním případě vezměte

hr| 2s1/2 = R20 (r)Y00 (n)|+i , v druhém případě "r

hr| 2p1/2 = R21 (r)

3.6

# 2 1 Y11 (n)|−i − √ Y10 (n)|+i .

3 3

Hamiltonián dvou částic s přesností do α4

V tomto oddílu shrneme a doplníme jednotlivé korekce k hamiltoniánu (3.5) uvažované v této kapitole, které přispívají k rozestupu energetických hladin atomů v řádu α4 .

Na příkladu vodíku podobných atomů jsme si ilustrovali fakt, že hrubá struktura atomových spekter je určena nerelativistickým hamiltoniánem sestávajícím ze součtu kinetické energie částic a elektrostatické potenciální energie. Rozestup energetických hladin atomů určený tímto hamiltoniánem je úměrný α2 , viz např. (3.12).

Pro pochopení jemnějších detailů atomových spekter je nutné uvažovat i magnetické působení a efekty relativistické kinematiky, případně další efekty. Příspěvek těchto efektů k rozestupu energetických hladin atomů je potlačen alespoň o faktor α2 vůči nerelativistickému hamiltoniánu. Magnetické efekty pocházející od spinu jádra jsou potlačeny oproti efektům relativistické kinematiky o poměr hmotnosti elektronu a protonu me /mp . Pro složitější atomy, jako např. helium, je ale interakce elektronu se spiny ostatních elektronů stejného řádu jako efekt relativistické kinematiky. Pro 98

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS221411

3.6. HAMILTONIÁN DVOU ČÁSTIC S PŘESNOSTÍ DO α4 složitější atomy je tedy jemná struktura spekter určena jak interakcí spinu elektronů s orbitálními pohyby elektronů, tak spin-spinovou interakcí mezi elektrony. Stálo by proto za to, uvést pro přehlednost všechny členy, které ve dvouelektronových atomech přispívají k rozestupu energetických hladin atomů do řádu α4 . Zobecnění na víceelektronové atomy si laskavý čtenář zvládne provést sám.

Vedle již uvažovaných magnetických interakcí je ale, usilujeme-li o přesnost do řádu α4 , nutné uvažovat i kvantovou obdobu interakce dvou proudů. Abychom to udělali správně, musíme uvažovat přesnější rovnici pro vektorový potenciál než rovnici (3.39) obdrženou v přiblížení stacionárního proudu. Nejprve tedy určíme magnetické pole pohybujícího se náboje, kde zanedbáme efekt zpoždění. Poté uvedeme všechny členy hamiltoniánu přispívající do řádu α4 pro dva elektrony nacházející se vnějším elektrostatickém poli.16 Nakonec budeme uvažovat dva nejzajímavější případy této situace, heliu a vodíku podobné atomy.

3.6.1

Magnetické pole pohybujícího se náboje

Nejprve pojďme přepsat rovnici (3.4) pro vektorový potenciál do výhodnějšího tvaru.

Poissonovu rovnici pro elektrostatický potenciál můžeme formálně vyřešit, ϕ = −∇−2 ρ . Časovou derivaci gradientu potenciálu můžeme díky rovnici kontinuity pro hustotu náboje, ∂ρ + ∇ · j = 0, (3.114) ∂t napsat jako ∂ϕ 1 ∂ρ 1 ∇ = −∇ 2 = ∇ 2∇ · j. ∂t ∇ ∂t ∇ Tuto mysticky vyhlížející sadu trojúhelníčků dosadíme na pravou stranu rovnice (3.3) pro vektorový potenciál

∇∇· −∇2 A(x) = j⊥ (x), j⊥ = 1 − j. ∇2 Poznamenejme, že zapůsobíme-li operací divergence na obě strany poslední rovnice dostaneme na obou stranách automaticky nulu. Na rozdíl od rovnice (3.39), kde zapůsobení operace divergence vedlo na podmínku pro proud (3.45).

Obecné řešení poslední rovnice můžeme vyjádřit pomocí bezčasové Greenovy funkce (3.42) jako, viz (3.41),

Z Z ∇2 ∇2 · 3 3 j(r2 ) . (3.115) A(r1 ) = d r2 G(r1 , r2 )j⊥ (r2 ) = d r2 G(r1 , r2 ) 1 − ∇22 Bezčasovou Greenovu funkci nyní vyjádříme pomocí jejího Fourierova obrazu Z 3 1 1 d k ik·(r1 −r2 ) G(r1 , r2 ) = = e .

(3.116) 4π|r1 − r2 | (2π)3 ω2 16 Zobecnění na případ, kdy je přítomno i vnější magnetické pole si laskavý čtenář zvládne provést sám.

99

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS221411

KAPITOLA 3. ATOM VODÍKU A STRUKTURA JEHO SPEKTRÁLNÍCH ČAR O platnosti této rovnosti je nejsnáze se přesvědčit dosazením poslední rovnice a třírozměrného zobecnění (1.73) Z e−ik·(r1 −r2 ) δ(r1 − r2 ) = d3 k (3.117) (2π)3 do rovnice (3.40).

Pokud nyní dosadíme za proudovou hustotu j její Fourierův rozvoj Z 1 d3 keik·r j(k) j(r) = (2π)3

(3.118)

a druhý tvar Greenovy funkce do rovnice (3.115), dostaneme

Z Z 3 Z 3 d k1 d k2 eik1 ·(r1 −r2 ) k2 k2 · A(r1 ) = d3 r2 1 − j(k2 )eik2 ·r2 .

(2π)3 (2π)3 ω12 ω22 Odsud je zřejmé, že Fourierův obraz mysticky vyhlížející sady trojúhelníčků je příčný projektor.

Z vektorové funkce izoluje jen tu část, která se mění kolmo na směr pohledu; k = 0. Je možné detekovat jen tu část elektromagnetického pole, která je 1 − kk· 2 ω vyvolaná zrychlením náboje v rovině kolmé ke směru, který spojuje polohu náboje s polohou pozorovatele.

Integrace přes r2 dá δ-funkci v hybnostech, viz (3.117), takže

Z d3 k eik·r1 kk· A(r1 ) = 1 − j(k) .

(2π)3 ω 2 ω2 Nechť proud je vytvořený jednou bodovou částicí j(r2 ) = e2 v2 δ(r2 − q2 ) .

Fourierova transformace proudu vytvářeného bodovou částicí je, viz (3.117), j(k) = ev2 e−ik·q2 .

Po jejím dosazení dostaneme pro vektorový potenciál

Z kk· d3 k eik·r12 1 − e2 v 2 .

A(r1 ) = (2π)3 ω 2 ω2

(3.119)

Toto je klasický výsledek pro vektorový potenciál vytvořený pohybující se bodovou částicí se zanedbáním zpoždění.

Tento výsledek ještě upravme; jak vidno, potřebujeme spočítat integrál přes vlnové vektory k: Z 1 d3 k iωrn·η e ηi ηj = (Aδij + Bni nj ) .

(3.120) 3 2 (2π) ω 4πr kde jsme použili přechod ke sférickým souřadnicím r = rn a k = ωη a A a B jsou čísla, jež za okamžik určíme. K této rovnici jsme dospěli následující úvahou: Na levé straně máme objekt se dvěma kartézskými indexy, který je v těchto indexech symetrický. Na 100

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS221411