k pohybovým rovnicím hmotné částice (90) a dovedeme aproximaci o něco dál, než jsme to udělali u rovnice (90a) Nejprve uvažujme o γ44 jako o malé veličině prvního řádu. Kvadrát rychlosti tělesa pohybujícího se pod vlivem gravitačního pole je podle rovnice pro energii veličina téhož řádu. Je tedy logické považovat rychlosti jak sledovaných částic, tak i těles, která vytvářejí pole, za malé veličiny řádu √γ44. Rovnice, které vyplývají z pohybových rovnic (90) a z polních rovnic (101), přijmeme ve tvaru, jaký dostaneme, když ve druhém členu (90) ponecháme jen členy lineární v rychlostech. Dále nebudeme pokládat ds a dl za vzájemně rovné, ale v rámci vyšší aproximace položíme γ ds = g44 dl = 1 − 44 dl 2 Z (90) nejprve obdržíme
d dl
dx 1 + γ 44 µ 2 dl
dx = − Γµ dxα β 1 + γ 44 αβ dl dl 2
Ze (101) dostaneme v používané aproximaci σdV dV0 000 κκ dV κ σσ −−γγ11 = −γ 22 == −−γγ 33 ==γγ 44 == ∫∫ 22 = −γ33 33 = γ44 44 = 1111 = −γ22 22 33 44 44ππ rrr dx dx dx dV σσσ αααα dV dV000 iiκ iκκ ds ds ds 0 ∫ γγ44αα4α ==− ∫ − − rrr 222 0 αβ γγγαβ αβ ==00
(116)
(117)
kde α a β označují pouze prostorové indexy. Na pravé straně (116) můžeme nahradit 1 + ½ γ44 jedničkou a –Γμαβ veličinami [αμ β], navíc je snadné uvidět, že v tomto řádu aproximace musí platit 44 ∂γ = − 1 ∂ γ 44 + 4 µ µ ∂x 4 2 ∂xµ α 4 ∂γ = 1 4 µ − ∂ γ 4α µ ∂ x µ 2 ∂ x α α β µ =0 98
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS216144
kde α, β a μ představují prostorové indexy. Ze (116) tedy obdržíme v ob vyklé vektorové notaci
dd ∂∂A A gradσσ ++ ++[ rot rotA A××vv] (11++σσ ) vv == grad dl dl ∂∂ll dV000 κκ σσ dV σσ == ∫ 88ππ rr dx dx σσ ααα dV dV000 κκ dl dl A A == ∫ 22ππ rr
(118)
Tyto pohybové rovnice nyní fakticky ukazují, že 1. Setrvačná hmotnost je úměrná 1 + σ a tudíž roste, když se vážitelné hmoty blíží našemu testovacímu tělesu. 2. Existuje induktivní působení zrychlených hmot na testovací těleso, ∂A které má směr zrychlení. To je člen . ∂l 3. Hmotná částice, která se pohybuje kolmo na osu rotace uvnitř rotujícího dutého tělesa, je odchylována ve směru rotace (Coriolisovo pole). Shora zmíněné odstředivé působení uvnitř rotujícího dutého tělesa rovněž vyplývá z teorie, jak dokázal Thirring.18 Ačkoliv všechny tyto efekty jsou experimentálně nedosažitelné vzhledem k malosti κ, nicméně podle obecné teorie relativity jistě existují. Musíme v tom vidět silnou oporu pro Machovy myšlenky o relativitě všech inerciálních působení. Chceme-li tyto myšlenky konzistentně domyslet, musíme předpokládat, že celá setrvačnost, tj. celé pole gμν je určeno hmotou vesmíru, nikoliv hraničními podmínkami v nekonečnu. Pro uspokojivou představu pole gμν kosmických rozměrů je patrně důležité, že rychlosti hvězd jsou malé ve srovnání s rychlostí světla. Odtud vyplývá, že g44 je při vhodné volbě souřadnic ve vesmíru téměř konstantní, přinejmenším v té části vesmíru, v níž se nachází hmota. Navíc se zdá být 18
Že odstředivé působení musí být neoddělitelně spojeno s existencí Coriolisovy síly, lze rozpoznat i bez výpočtu, ve speciálním případě souřadnicové soustavy, která rotuje rovnoměrně vzhledem k inerciální soustavě; naše obecné kovariantní rovnice jsou přirozeně na tento případ použitelné.
99
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS216144
přirozený předpoklad, že hvězdy se nacházejí všude ve vesmíru, takže můžeme právem předpokládat, že nekonstantnost g44 je podmíněna pouze tím, že hmota není rozložena spojitě, ale je koncentrována v jednotlivých nebeských tělesech či soustavách těles. Rozhodneme-li se ignorovat tyto lokálnější nerovnoměrnosti hustoty hmoty a pole gμν, protože chceme studovat geometrické vlastnosti vesmíru jako celku, zdá se přirozené nahradit skutečné rozložení hmot spojitým rozložením a připsat tomuto rozložení konstantní hustotu σ. V takto pojímaném vesmíru jsou všechny prostorové směry geometricky ekvivalentní; prostor tu bude mít konstantní prostorovou křivost a bude vzhledem k souřadnici x4 cylindrický. Tato možnost se zdá být obzvláště uspokojivá, protože vesmír je prostorově ohraničen a tedy v souhlase s naším předpokladem konstantnosti σ má konstantní křivost a je buď sférický, nebo eliptický; pak hraniční podmínky v nekonečnu, které jsou z hlediska obecné teorie relativity tak nepohodlné, mohou být nahrazeny přirozenějšími podmínkami pro uzavřený prostor. Podle toho, co bylo řečeno, můžeme psát
ds 2 = dx42 − γµν dxµ dxν
(119)
kde indexy μ a ν probíhají pouze hodnoty od 1 do 3. γμν budou takovými funkcemi x1, x2, x3, jak to odpovídá třírozměrnému kontinuu konstantní kladné křivosti. Musíme nyní prozkoumat, zda takový předpoklad vyhovuje polním rovnicím gravitace. Abychom to mohli posoudit, musíme nejprve najít diferenciální podmínky, které splňuje třírozměrná varieta konstantní křivosti. Sférická třírozměrná varieta vnořená do čtyřrozměrného eukleidovského kontinua19 je dána rovnicemi x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = a 2 dx 12 + dx 22 + dx 32 + dx 42 = ds 2 . Po vyloučení x4 dostaneme 19
Užití čtvrté prostorové dimenze nemá přirozeně žádný jiný smysl, než že je to matematický trik.
100
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS216144