98
Pr˚uvodce z´akladn´Ĺmi statistick´ymi metodami p=iexpon(x;2)
y=expon(x;2)
2,0
1,0
1,8 1,6
0,8
1,4 1,2
0,6
1,0 0,8
0,4
0,6 0,4
0,2
0,2 0,0
0,0 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 2,2 2,6 3,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8
0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 2,2 2,6 3,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8
Obr´azek 8.3: Graf hustoty (vlevo) a distribuˇcn´Ĺ funkce (vpravo) exponenci´aln´Ĺho rozloˇzen´Ĺ.
8.9
´ Ĺ rozloˇzen´Ĺ Normaln´
Tato n´ahodn´a veliˇcina vznik´a napˇr. tak, zˇ e ke konstantˇe đ?œ‡ se pˇriˇc´Ĺt´a velk´e mnoˇzstv´Ĺ drobn´ych nez´avisl´ych n´ahodn´ych vlivËšu m´Ĺrnˇe kol´Ĺ(saj´Ĺc´Ĺch ) kolem 0. Promˇenlivost tˇechto vlivËšu je 2 vyj´adˇrena konstantou đ?œŽ > 0. P´Ĺsˇ eme đ?‘‹ âˆź đ?‘ đ?œ‡, đ?œŽ . Hustota đ?‘“ (đ?‘Ľ) =
(đ?‘Ľâˆ’đ?œ‡)2 1 √ đ?‘’− 2đ?œŽ2 . đ?œŽ 2đ?œ‹
Stˇredn´Ĺ hodnota đ??¸ (đ?‘‹) = đ?œ‡, rozptyl đ??ˇ (đ?‘‹) = đ?œŽ 2 .
ˇ Äą funkce v systemu ´ Kreslen´Ĺ grafuËš hustoty a distribucn´ STATISTICA Graf hustoty norm´aln´Ĺho rozloˇzen´Ĺ je Gaussova kˇrivka. Uk´azˇ eme si, jak v syst´emu STATISTICA z´Ĺskat napˇr. graf hustoty a distribuˇcn´Ĺ funkce rozloˇzen´Ĺ đ?‘ (−1, 4): Statistiky – Pravdˇepodobnostn´Ĺ kalkul´ator – Rozdˇelen´Ĺ – norm´aln´Ĺ – prumˇ Ëš er −1, SmOdch 2 – zaˇskrtneme Vytv. graf – V´ypoˇcet. Dostaneme grafy zn´azornˇen´e na obr. 8.4. y=normal(x;-1;2)
0,6
p=inormal(x;-1;2)
1,0 0,9
0,5
0,4
0,8 0,7 0,6
0,3
0,5 0,4
0,2
0,1
0,3 0,2 0,1
0,0 -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0
0,0 -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0
Obr´azek 8.4: Graf hustoty (vlevo) a distribuˇcn´Ĺ funkce (vpravo) norm´aln´Ĺho rozloˇzen´Ĺ.
´ Äą rozloˇzen´Ĺ Standardizovane´ normaln´ Pro đ?œ‡ = 0, đ?œŽ 2 = 1 hovoˇr´Ĺme o standardizovan´em norm´aln´Ĺm rozloˇzen´Ĺ, p´Ĺsˇ eme đ?‘ˆ âˆź đ?‘ (0, 1). Hustotu a distribuˇcn´Ĺ funkci oznaˇcujeme ˇreck´ymi p´Ĺsmeny. Hustota m´a v tomto
UkĂĄzka elektronickĂŠ knihy, UID: KOS186122
99
Vybran´a rozloˇzen´Ĺ diskr´etn´Ĺch a spojit´ych n´ahodn´ych veliˇcin �2
pˇr´Ĺpadˇe tvar đ?œ‘ (đ?‘˘) = √12đ?œ‹ đ?‘’− 2 . Distribuˇcn´Ĺ funkce standardizovan´eho norm´aln´Ĺho rozloˇzen´Ĺ âˆŤđ?‘˘ đ?‘Ą2 ÎŚ (đ?‘˘) = −∞ √12đ?œ‹ đ?‘’− 2 đ?‘‘đ?‘Ą je tabelov´ana pro đ?‘˘ ≼ 0, pro đ?‘˘ < 0 se pouˇz´Ĺv´a pˇrepoˇctov´y vzorec ÎŚ (−đ?‘˘) = 1 − ÎŚ (đ?‘˘).
ˇ jsou norm´alnˇe rozloˇzeny s paraPˇr´Ĺklad 8.7. V´ysledky u pˇrij´Ĺmac´Ĺch zkouˇsek na jistou VS metry đ?œ‡ = 550 bodËšu, đ?œŽ = 100 bodËšu. S jakou pravdˇepodobnost´Ĺ bude m´Ĺt n´ahodnˇe vybran´y uchazeˇc aspoˇn 600 bodËšu? ˇ sen´Ĺ Reˇ 2 N´ahodn´a veliˇcina đ?‘‹ ud´av´a bodov´y zisk n´ahodnˇe vybran´eho uchazeˇce, đ?‘‹ âˆź đ?‘ (550, ( 100 ), ≤ đ?‘ƒ (đ?‘‹ ≼ 600) = 1 − đ?‘ƒ (đ?‘‹ ≤ 600) + đ?‘ƒ (đ?‘‹ = 600) = 1 − đ?‘ƒ (đ?‘‹ ≤ 600) = 1 − đ?‘ƒ đ?‘‹âˆ’đ?œ‡ đ?œŽ ) ( ) 600−đ?œ‡ = 1 − đ?‘ƒ đ?‘ˆ ≤ 600−550 = 1 − ÎŚ (0,5) = 1 − 0,69146 = 0,30854. Ve STATISTICE: đ?œŽ 100 v´ypoˇcet pomoc´Ĺ funkce 1 − đ??źđ?‘ đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Žđ?‘™(600; 550; 100). N´ahodnˇe vybran´y uchazeˇc bude m´Ĺt u zkouˇsek aspoˇn 600 bodËšu s pravdˇepodobnost´Ĺ 0,31. â–Ą ( ) Nˇekter´e vlastnosti norm´ rozloˇzen´Ĺ: Jestliˇze đ?‘‹ âˆź đ?‘ đ?œ‡, đ?œŽ(2 , pak đ?‘ˆ =) đ?‘‹âˆ’đ?œ‡ âˆź đ?œŽ (aln´Ĺho ) 2 2 2 đ?‘ (0, 1). Jestliˇze đ?‘‹ âˆź đ?‘ đ?œ‡, đ?œŽ , a đ?‘Œ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘‹, pak đ?‘Œ âˆź đ?‘ (đ?‘Ž + đ?‘?đ?œ‡,)đ?‘? đ?œŽ . Jestliˇze đ?‘‹1 , . . . , đ?‘‹đ?‘› jsou stochasticky(nez´avisl´e n´ahodn´e )veliˇciny, đ?‘‹đ?‘– âˆź đ?‘ đ?œ‡đ?‘– , đ?œŽđ?‘–2 , đ?‘– = 1, . . . , đ?‘› ∑đ?‘› ∑đ?‘› ∑đ?‘› 2 ađ?‘Œ = đ?‘–=1 đ?‘‹đ?‘– , pak đ?‘Œ âˆź đ?‘ đ?‘–=1 đ?œ‡đ?‘– , đ?‘–=1 đ?œŽđ?‘– . V´yznam norm´aln´Ĺho rozloˇzen´Ĺ je n´asleduj´Ĺc´Ĺ: Norm´aln´Ĺ rozloˇzen´Ĺ hraje v poˇctu pravdˇepodobnosti i v matematick´e statistice u´ stˇredn´Ĺ roli. Jeho v´yznam spoˇc´Ĺv´a jednak v tom, zˇ e norm´aln´Ĺm rozloˇzen´Ĺm se ˇr´Ĺd´Ĺ pravdˇepodobnostn´Ĺ chov´an´Ĺ mnoha n´ahodn´ych veliˇcin a jednak v tom, zˇ e za urˇcit´ych podm´Ĺnek konverguje k norm´aln´Ĺmu rozloˇzen´Ĺ souˇcet nez´avisl´ych stejnˇe rozloˇzen´ych n´ahodn´ych veliˇcin (viz centr´aln´Ĺ limitn´Ĺ vˇeta, kapitola 10).
8.10
ˇ e´ normaln´ ´ Ĺ rozloˇzen´Ĺ Dvourozmern (
) đ?‘‹1 N´ahodn´y vektor vznik´a ve dvourozmˇern´ych situac´Ĺch podobnˇe jako skal´arn´Ĺ norđ?‘‹2 m´aln´Ĺ n´ahodn´a veliˇcina v pˇredeˇsl´em pˇr´Ĺpadˇe. Parametry đ?œ‡1 , đ?œ‡2 jsou stˇredn´Ĺ hodnoty n´ahodn´ych veliˇcin đ?‘‹1 , đ?‘‹2 , parametry đ?œŽ12 , đ?œŽ22 jsou rozptyly n´ahodn´ych veliˇcin đ?‘‹1 , đ?‘‹2 a parametr đ?œŒ je koeficient korelace n´ahodn´ych veliˇcin đ?‘‹1 , đ?‘‹2 . P´Ĺsˇ eme )) ( ) (( ) ( đ?‘‹1 đ?œ‡1 đ?œŽ12 đ?œŒđ?œŽ1 đ?œŽ2 âˆź đ?‘ 2 , . đ?œŒđ?œŽ1 đ?œŽ2 đ?œŽ22 đ?‘‹2 đ?œ‡2 Simult´ann´Ĺ hustota đ?‘“ (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ) = kde 1 đ?‘ž(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ) = 1 − đ?œŒ2
[(
đ?‘Ľ1 − đ?œ‡1 đ?œŽ1
Vektor stˇredn´Ĺch hodnot đ??¸ (đ?‘‹) =
(
đ?‘ž(đ?‘Ľ1 ,đ?‘Ľ2 ) 1 2 √ đ?‘’− , 2đ?œ‹đ?œŽ1 đ?œŽ2 1 − đ?œŒ2
)2
đ?œ‡1 đ?œ‡2
đ?‘Ľ1 − đ?œ‡1 đ?‘Ľ2 − đ?œ‡2 − 2đ?œŒ â‹… â‹… + đ?œŽ1 đ?œŽ2
(
đ?‘Ľ2 − đ?œ‡2 đ?œŽ2
)
(
đ?œŽ12 đ?œŒđ?œŽ1 đ?œŽ2
, varianˇcn´Ĺ matice đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‹ =
)2 ]
.
đ?œŒđ?œŽ1 đ?œŽ2 đ?œŽ22
)
.
UkĂĄzka elektronickĂŠ knihy, UID: KOS186122
100
PrËšuvodce z´akladn´Ĺmi statistick´ymi metodami Pro đ?œ‡1 = 0, đ?œ‡2 = 0, đ?œŽ12(= 1, đ?œŽ)22 = 1, đ?œŒ(( = 0 se e dvourozmˇern´e ) jedn´ ( a o standardizovan´ )) đ?‘ˆ1 0 1 0 norm´aln´Ĺ rozloˇzen´Ĺ. P´Ĺsˇ eme âˆź đ?‘ 2 , . Vektor stˇredn´Ĺch hodnot đ?‘ˆ2 ( ) (0 )0 1 0 1 0 đ??¸ (đ?‘ˆ ) = , varianˇcn´Ĺ matice đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘ˆ = . Na obr. 8.5 vid´Ĺme graf hustoty 0 0 1 a vrstevnice hustoty standardizovan´eho dvourozmˇern´eho norm´aln´Ĺho rozloˇzen´Ĺ. Graf hustoty a vrstevnice hustoty dvourozmˇern´eho norm´aln´Ĺho rozloˇzen´Ĺ s parametry đ?œ‡1 = 0, đ?œ‡2 = 0, đ?œŽ12 = 1, đ?œŽ22 = 1, đ?œŒ = −0, 75 jsou zn´azornˇeny na obr. 8.6. Graf dvourozmerne hustoty
Vrstevnice normalni hustoty 20 18
0.2
16 0.15
14 12
0.1
10 0.05 8 0 4
6 2
4
4
2
0
0
-2
2
-2 -4
2
-4
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Obr´azek 8.5: Graf hustoty (vlevo) a vrstevnice hustoty (vpravo) standardizovan´eho dvourozmˇern´eho norm´aln´Ĺho rozloˇzen´Ĺ.
Vrstevnice dvourozmerne hustoty 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Obr´azek 8.6: Graf hustoty (vlevo) a vrstevnice hustoty (vpravo) dvourozmˇern´eho norm´aln´Ĺho rozloˇzen´Ĺ s parametry đ?œ‡1 = 0, đ?œ‡2 = 0, đ?œŽ12 = 1, đ?œŽ22 = 1, đ?œŒ = −0,75.
Nˇekter´e vlastnosti dvourozmˇern´eho norm´aln´Ĺho rozloˇzen´Ĺ jsou n´asleduj´Ĺc´Ĺ: Jestliˇze (
đ?‘‹1 đ?‘‹2
)
âˆź đ?‘ 2
((
đ?œ‡1 đ?œ‡2
) ( ,
đ?œŽ12 đ?œŒđ?œŽ1 đ?œŽ2
đ?œŒđ?œŽ1 đ?œŽ2 đ?œŽ22
))
,
( ) pak đ?‘‹đ?‘– âˆź đ?‘ đ?œ‡đ?‘– , đ?œŽđ?‘–2 , đ?‘– = 1, 2. Znamen´a to, zˇ e margin´aln´Ĺ rozloˇzen´Ĺ pˇr´Ĺsluˇsn´a k dvourozmˇern´emu (a obecnˇe v´Ĺcerozmˇern´emu) norm´aln´Ĺmu rozloˇzen´Ĺ jsou rovnˇezˇ norm´aln´Ĺ. Jestliˇze ( ) (( ) ( 2 )) đ?‘‹1 đ?œ‡1 đ?œŽ1 0 âˆź đ?‘ 2 , , đ?‘‹2 đ?œ‡2 0 đ?œŽ22
UkĂĄzka elektronickĂŠ knihy, UID: KOS186122