Hoofdstuk 10 Cirkels ingevulde versie

Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Hoofdstuk 10 Cirkels

25/03/2018

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.

De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk).

Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken.

Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende.

Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie.

Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Eerste druk: 2017 Versie: 25 maart 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

i

Hoofdstuk

10 qflr

Cirkels

\

v'$fqr-J

In dit hoofdstuk leren we enkele basisbegrippen kennen die in verband staan met een cirkel: mid,delli,jn, koorde, aipothema, boog, midd,elpunts- en omtrekshoek en raakl'ijn. Die begrippen voldoen aan heel wat eigenschappen. Sommige eigenschappen zijn meteen duidelijk. Andere eigenschappen lijken logisch, maar vergen een bewijs.

In wat volgt werken we steeds in het vlak. De verzameling van alle punten van dat vlak noemen we fI. We voorzien het vlak ook van een orthonormaal assenstelsel, hoewel we dat assenstelsel meestal niet zullen tekenen.

10.1 Middelloodlijnen

Q,

In de eerste graad heb je kennis gemaakt rnet de middelloodlij% u&rl een li,jnstuk. Heel wat eigenschappen t?n cirkels berusten op het begrip middelloodlijn. Daarom sta,rten we met een korte herhaling.

O Definities en notaties. Beschouw twee verschillende punten A en B. (1) De afstand tussen A en B is gelijk aan de lengte van [,48]. Die afstand noteren we voortaarr ook met d(A,B).1 In symbolen: d(A, B) : lABl(2) De rniddelloodlijn van [áB] is de rechte die door het midden van lABl gaat en loodrecht op [ÁA] staat. We noteren de middelloodlijn van .

[ABl ils mns,

A

De volgende eigenschap beschrijft de middelloodlijn als een meetkund,'ige plaats: een verzameling van punten waarbij de ligging (of plaats) van die punten be" paald is door een of meerdere voorwaa.rden. Het bewijs is een oefening op congruente driehoeken.

Th1

,4, B twee verschillende punten van het vlak II. Dan is de middelloodlijn van [ÁB] gelijk aan de verzameling van alle punten P van het vlak waarbij de afstand van P tot Á gelijk is aan de afstand van P tot B. In symbolen: 'trlaB : {P e II I d(A, P) : d.(8, P)]

O Eigenschap (herhaling). Zij

Bewijs.

N*r*\

\rd,l t\rL\À.

\oL nro\L^\** LA\11

IF'N-t,E

c.

1c

Nus.

1: LBy\ Lt1\\ =L(f Jr.

hax.x N\f

\*

$

t\0,\*" \6\ noh. Lt1$t =1,t1.u1 b,'r^ N\V1 NKÍ1 (zzz) = \* \^ =\t

teUz\

l\ S 1 L\ \r \\ t- = \\d .^ l\r

s

r=) \r =\t :5d \i l=t !Y L*1,^.\e Nns. t tDe Engelse term voor afstand is d,i,stance, vandaar de keuze voor de letter d in \RR de notatie d(A,B). x-1

"

In het derde jazr ireb je gezien dat in elke driehoek de drie rniddelloodlijnen d.oor één punt gaan. Dit resultaat kun je erg efficiënt aantonen met behulp van de vorige eigenschap. Het idee achter deze redenering zal later nog van pas komen wanneer we eigenschappen van cirkels bewijzen.

Th2

O Gevolg (herhaling). In elke Bewijs.

n(**Q,L\ ul!Ut^l,^y.qr

Ot*X^).

Nrx

driehoek zijn de drie middelloodlijnen concurrent.

\t r BL ;

LÈtt

\R^Nqs

freè

.

,tn.. r |'{\sL.

rrx11À Nar rN. NrU. hn:'.i \te- Ítu.no LLtr.\ =L(n.n1 \1,

}"tn,s\ =[t\xÈ\ n

LO.z Basiseigenschappen van cirkels Punten die op gelijke afstand van twee vaste punten A en B liggen, vormen de middelloodlijn van [ÁB]. Kijken we naar punten die op gelijke afstand van één vast punt M liggen, dan verkrijgen we een cirkel.

Th

3

O Definities en notaties. Beschouw een punt M en een reëel getal r > 0.

(1) De cirkel met middelpunt M en straal r is de verzameling van alle punten P vtur het vlak die op afstand r van punt M liggen. We noteren die cirkel met C(M,r).

In symbolen: C(M,r)

:

{P € lI I d(M,P)

:

C(L'I,r)

"}

(2) Een middellijn van de cirkel is een rechte rn die door het middelpunt

M

van de cirkel gaat.

(3) De diameter d van de cirkel is de afstand tussen de twee snijpunten van de cirkel met een middellitn: d, : 2r. ( ) Een koorde van de cirkel is een lijnstuk [áB] begrensd door twee verschillende punten Á en B van de cirkel.

(5) Het apothema va.n een koorde [ÁB] is het lijnstuk lMVl met M het middelpunt van de cirkel en V het midden van de koorde lÁB]. Hierbij noemen we V het voetpunt van het apothema.

(6) Een (cirkel)boog is een deel van de cirkel begrensd door twee verschillende punten van de cirkel. Elke twee verschillende punten A en B van de cirkel bepalen steeds twee verschillende bogen: G i. a" cirkelboog die hoort bij de verplaatsing van A naa.r B in tegenwijzerzin, fi it d" cirkelboog die hoort bij de verplaatsing van B naar Á in tegenwijzerzin.

Voorbeeld. Hieronder staat een cirkel met middelpunt M en straal r: 3 cm. Daarbij behoren de punten B tot de cirkel. Teken telkens het gevraagde. Gebruik hiervoor verschillende kleuren.

(a) Twee middellijnen rn ert nr'. (b) De koorde bepaald door de punten A en B. (c) Het apothema van de koorde [ÁB]. (d) De bogen fr .ttfr..

K\

x-2

-4 en

In een cirkel voldoen middellijnen, koorden, apothema's en bogen aan heel wat eigenschappen. Somrnige eigenschappen zijn meteen duidelijk: zo is bijvoorbeeld een boog van een cirkel altijd langer dan de bijbehorende koorde. Andere uitspraken zijn minder voor de hand liggend en moeten bewezen worden. Hieronder zullen we enkele eigenschappen onderzoeken en bewijzen. Daarna gebruiken we die kenmerken om constructies uit te voeren.

Construeer een cirkel met middelpant M en straal r verschillende koorden [ÁB] en [CD] van de cirkel die beide 4 cm lang zijn.

O Op ontdekking.

: 2,5 cm. Construeer

daarna twee

(a) Meet met je gradenboog de hoek tussen de koorde [ÁB] en zijn apothema. Wat stel je vast? (b) Meet met je lat de lengte van het apothema van de koorde [ÁB] en de lengte van het apothema van de koorde [CD]. Wat stel je vast?

R À Oploss'ing.

Th4

t^)

\\

(u)

\\tv\= \\1\'\

\\ . 5d \,^

"\[h**

I llu*I,,

L\^\'" o\t\\5*'

\$"

,S^

\,o*

r5'tL

o*1.$"*.t,

c

(h,L)

r

t'c*'\*3"

O Eigenschap 1. Het apothema van een koorde van een cirkel ligt op de middelloodlijn van die koorde.

Lr}.,,uL

Geseuen.

l,iff

l.(s,r)

rn-1

\**\' L$.Sf nrN-rt*^\\r*( N-\ =

Te bewijzen.

Bewi'is'

\s.

=)

lïr.us

tLn:q

Lt \$\ = [( r .rr1 t" \re

Nus

\e-

tNtUr

[tus\ =L[rr) \*

L\"

=) ïtY:

l\nng

.

I Th5

O Eigenschap 2. Twee koorden van een cirkel zijn everr la,ng als en sleclrts Geseaen.

als hun apothema's even lang zijn.

L.,rw\- Ut tt rt-\

\'*[. LN$: hil n-,.\I^V \*I" Ltu] I,rvL rru_\\rwv\ re bewijzen.

Bewiis.

\\t\ :

\ Ln

\

<=r

\o_\)NrL'

\"t1v \ = \

hv,

I

c(np\

\\\\: \rn\ {-AE\\B\ LL

tr{ 6=l

F\

=f

1-1-

tLn\

\NY\= \Ly\\

j$

'\t^$*oraí.\n ) \) -l

q.t-\\\v\t=nl-l\rv,\L x-3 \\r\\= \\\\,\.

u

Tijdens de voorbije jaren heb je al geleerd orn constracies met,'pd,sser en I'ineaal uit te voeren: het exact tekenen van meetkundige figuren in het vlak waarbij enkel een passer en een lat zonder malkeringen worden gebruikt. Zo heb je al geleerd om de middelloodlijn van een lijnstuk met pa,sser en lineaal te construeren. Dankzij de begrippen en eigenschappen die we hierboven gezien hebben, kun je zo'n constructies nu ook verklaren.

O Modelvoorbeeld 1.

Construeer met passer en lineaal de middelloodlijn rnae van het onderstaande lijnstuk

lABi. Ln^[v*&rat"\pr.,, \\

sh-.rÈ\Èr\À'$\a

potloodlaLeustai,r,n.

)

u;\.,r\"1rrr1 )

Hulplijnen met passer in

Oplossi,ng.

(r)

(.4) V'"* orr^tu'.$"'r-> t.1iU51 . (r.1-tuuu""

t3)

-\o\*

th)

c,(È

*)

ttt iq Q.t

t p;

Lf-u,ÍL\ \\ Lt-g g,\ =

\fo t.

(() L(.1S=Lt\,.s) =u -,\ \€rïnuq =t,o =htrc M.*,\\,--\ia,,\B\ I

=t, =r eLqnqr

Snno (

J

í)

ïMe een cirkel met een gegeven koorde, dan volgt uit Eigenschap 1 dat de middelloodlijn van die koorde het apothema bevat, en dus ook het middelpunt van de cirkel. Op die manier kun je van een gegeven cirkel het middelpunt

Beschouwen construeren.

O Modelvoorbeeld 2. Construeer met passer en lineaal het middelpunt M van onderstaande cirkel. Meet de diameter d. Constructiestappequitschrijven! Hulplijnen met passer in potlood laten staan.

Oplossing.

\ * to\o**,*1., ) G\ \o-urw *r.'\*L

t-ooNr-Uu^!**y

(.I)NK*Nffi" r\d\[L\,,.*\ [3)

Tuur,' *^

\r

L*L\À- \.-

K-h

\*\rÀic^\=

1.[.J

daarna

Een vorm in het vlak is soms bepaald door een eirrdig aantal punten die op de vorm ligt. Zo is een rechte bepaald door twee verschillende punten van die rechte. Onderstaand gevolg zegt nu dat elke cirkel bepaald is door drie verschillende punten van die cirkel.2

Th

6

O Gevolg. Door drie niet-collineaire punten A, B enC

ga,at,

precies één cirkel

C(M,r).

Bewijs dat M en r bestaan Omdat de punten A, B en C niet-collineair zijn, vormt, ABC een driehoek. Wegens een eerder gevolg zijn de drie middelloodlijnen concurrent. Noem M het snijpunt van de middelloodlijnen. /ïnng

Welnu,

\4,

trtr"qg Er tr LU,u1=Ltt ,

6 =r Lt g.t\ = [(t ï,] \o*; \.8"t a Lt\t.L\. \\

c- fuu

nd-S'\tiJ (heè

n

è Bewi,js dat M en r un'iek zi,jn. Stel dat er nog een tweede cirkeï nroeterr aantonen dat M : M' en r : r',

'We

Welnu,

\.R.L

ê) :)

e. t_t h,

C(Mt,r')

zou bestaan die door Á,

I tt \\'.$,\ = Q-\ =Ltnt.u1 1.

I tt \t'. s\ -* 'ï-\ = LtYt.L) t

\\t

Ê- r\t.us

Y\* =

=.\

\t

\\ hst

CI.,.

ti:

=

e)

ht e

B en C gaat.

rn,nu

h'á NsL

=1*\ Lttt'r\\.=

\.-ttr

.\) = t

"

Het snijpunt M van de drie middelloodlijnen van een driehoek noemen we middelpunt van de driehoek. De cirkel C(M,r) wordt de omgeschreven cirkel van de driehoek genoernd.

O Modelvoorbeeld 3. Construeer de omgeschreven cirkel van de onderstaande driehoek ABC. Schrijf je structiestappen uit! Hulplijnen met passer in potlood laten staan.

con-

Oplossing.

(,t) Loik*.ací

N

n*l

*(

\ -^ ft.r t-L\t 1r"r.\.{ur. \rOO Vr}e*r\t/ '{a*

t\t

\t)

\,L

gt\1.")

vo.xB

è-aukvu,*í I\,nt

(h) .

(a) \&. rrxii1,,.r\ \q-v*r. \r'us t^ t\,,u\. \i.ry L'lnr'\í v<rt- \ Nn

tl\

rS,, vr*.,

*\i \"*f,r-

\

dL

"yd,h'.-t,

sr

(r)

\u\uv. t-Lon.q

2In de ruimte kennen we het volgend analogon: een vlak is bepaald door drie niet-collineaire punten lam dat vlak en een bol is bepaald door vier verschillende punten van die bol. Dit soort eigenschappen in het vlak en in de ruimte kan op een elegante ma,nier worden bewezen door een orthogonaal assenstelsel in te voeren waarbij elk punt bepaald wordt door zijn coórdinaatgetalien (zie Hoofdstuk Analytische meetkunde). Op die manier kunnen bepaa.lde deelverzamelingen van het vla,k en van de ruimte worden beschreven als oplossingen van v€rgelijkingen. Het aantal wijheidsgraden vz,n zo'n vergelijking is dan precies het aantal punten waardoor zo'n deelverzameiing gekarakteriseerd wordt.

x-5

10.3 Middelpuntshoek

3

en omtrekshoek

ït,:t;

Q,:

C(M,r).nffi een boog van die cirkel.3 (1) De middelpuntshoek op de boog D ir a" hoek AfuB (vlakdeel van Á naar B in tegenwijzerzin), (2) Een omtrekshoek op de boog D ir de binnenhoek Fvan een driehoek ABP waarbij P een punt van de

O Definitie.

Th7

Beschouw een cirkel

cirkel is die niet op de boog AB ligt.

O Op ontdekking. Hiernaast staat een ckkelC(M,r).

C(M,r)

G a*.

(a) Duid de cirkelboog

(b) Duid de middelpuntshoek a op de boog G

aan.

(c) Teken twee willekeurige omtrekshoeken 0t en gz op G. (d) Meet de hoeken a, B1 en B2 in graden. Wat stel je vast? (e) Los bovenstaande vragen ook op voor de cirkelboog

Arls ,.

^

fi.

Oplossi,ng.

tr\

'\

/r\

tL\ À =\\tt, $'\\

=

\r' Th

8

L\v

--

L,-\"L t I tt g1

\\t,\

ï

ro

,1n

IrJ'-\

t'tnP1

\\

I

M li*,

,'$-'

\-'.

op, binnen of buiten AABP.4

K\.t-*^ \ hn1

"h

I

i

^ ^ = $\t1B u'.. Jb\tluhn.\=\'

nir,t"\\^rr1'ur.luu. r I

Bewijs. We onderscheiden drie gevallen:

N- '1

=t\i

De middelpuntshoek op een cirkelboog is dubbel zo groot als elke omtrekshoek op dezelfde boog.

\s Àu o1tv,À,

gtt\

\''=\L.4-3( b.* ,t-'= ?-1\ =L\L

-1("

,),:.9-\:-

O Eigenschap.

Geseuen.

Sl:

"t'=

3e ncv"L

, K Lilu* NAtp\

Otnp\

0(t'p\

I

()lA

L IhB I I I

lg I

i

\\u\,.*\'M-\ \t=\ \0ov,.".\o\.;*o, ,t\ci -.t"

\\\\

=

À\i

=1

o,:L\

I

\t*,fl^

t-e-qvd_

,tr,

+ I

{i

I

=

L\ t-

--

?-

\L

= ?-$\

't

+

l:'r(qtql)

À'=t.q')\ }t='L\

n

3Tot nu toe bedoelden we met een hoek altijd een vlakdeei begrensd door twee snddende rechten, waa.rblj in een figuur een cijfer werd genoteerd om duidelijk te maken over welk vlakdeel het ging, bijvoorbeeld 5r en Sz. Een notatie als ACB of kortweg C verlvees dan steeds naar het vlakdeel met het kleinste maatgetal in graden, bijvoorbeeld bij een binnenhoek van een driehoek- Daa,r we vanaf nu ook de schrijfwijze ÁdB *ill"n hanteren ook al hebben we geen kennis over het maatgetal in graden, is het nodig om het begrip hoek te formaliseren. Dat doen we met behulp van het begrip cirkelboog. Een (niet-georiênteerde) hoek is bij definitie een verzameling van twee halfrechten {4,6} met hetzelfde beginpunt. Noem nu dat beginpunt C, beschouw een willekeurige cirkel met middelpunt C en noem Á en B de respectievelijke snijpunten van de cirkel met d en à. Ou,rr kunnen we met de hoek 1a,61 twuu cirkelbogen associëren: íÈ (uan A naar B in tegerrwijzerzin) en fi (van .B naa.r á in tegenwijzerzin). Zo'n twee cirkelbogen bepalen nu eenduidig twee vlakdelen, die we respectievelijk met AêB en BCA noteren. Spreken we voortaan va.n de hoek A0B d,an bedoelen we eigenlijk het ulaLd,eel bepaalil d.oor d,e boog AB uan een cirkel m.et als midd,elpunt C het snijpunt aan de tuee ha$rechten IAC en lBC. aDe lezer gaat eenvoudig na dat het eerste en het derde geval enkel mogelijk is als de boog kleiner is dan een halve cirkel.

x-6

-

Deze eigenschap heeft drie belangrijke gevolgen. Het derde gevolg gaat over een koorclenvierhoek: dat is een vierhoek w&axvan alle zijden koorden zijn van eenzelfde cirkel.s Zo is bijvoorbeeld elke rechthoek een koordenvierhoek, alsook elk gelijkbenig trapezium. We spreken over een niet-gekruiste veelhoek als de zijden van de veelhoek elkaar enkel in de hoekpunten van de veelhoek snijden.o

Th

9

O Gevolg 1.

Twee omtrekshoeken die op eenzelfde cirkelboog staan, zijn

Bew

js,?:':ï"

S.q-*.

rrr í. :-

À

t) fr

,Ïffi:*:r-*ff

L\t

gelijk.

r='t '\.=\tl

i gY\ f,.; L\' J

n Th

10

O Gevolg 2.

Bewijs-

Een omtrekshoek op een halve cirkel is een rechte hoek.

?J)\

{rir" ,\\NNi{^\*L\r

\ o^\Àv*u\}&L ft.

\ L. \*',1

N**'L L rt,*\ÀL1*$'\rur. \n-t.

+': t-\

^ à\

Th

11

O Gevolg 3.

=) \:

L = \'h'J

s$ l

De overstaande hoeken van een niet-gekruiste koordenvierhoek zijn supplementair.T

T.\ h\ L n u,x u.Jt- Srluil\u \otl*xu.\,*r* \r 'tnr"'*x ,L = f_\* Bewiis.

:tÉ-t=

'b\$^ ^ t t-

:

I

$u

M\ÀrÈÊ\'.'*ir+i =alC

Modelvoorbeeld. In de koordenvierhoek ABCD hietnaast ligt het middelpunt M van de orngeschreven cirkel op de diagonaal [BD]. Er is verder g"g"rr"tr {at fr : 34' 4 - 65o. Bereken algebraïsch de hoek CDÁ. AUe tus-

ír^*u"r

'ii;**;*

t) 4*\BÈ-h: À\{ = b,

rbo*à

fi-à ^

+ --ï-:---T ittu = 'L{;n-

"tt senstappen opschrijven!

m"x

C(luI,r)

rfrt.. = fr, r i,.

*!

5o

\ tr- =, tl =<ti -(

(il A*\\r$, 4\ri . Y:r t \)r*r ftu = h* t ht

\íl

L_-,\

i\ *À^t\t"\on'1n&\Y b*^r' \r: -at" j\

t,\ ^ÏtU =) Èl-=tt ;i-*-;

'b

^

-'-i-n

: \f

\

^^"r

^tN\';.""ï-

5Vermeldenswaardigisook<leformu1evanBrahmagupta\,,.voordeoppervIaktevaneenkoordenvie'ho"k.@ o., b, c er d staan voor de lengtes van de zijden en s voor de halve omtrek van de koordenvierhoek. Stellen we hierin d : 0, dan

waarbij

vinden we de formule van Heron terug.

6Een ander voórbeeld van een koordenvierhoek is een zogenaamd antiparallellogram: d,at is een gekruiste vierhoek waarbij de overstaande zijden even iang zijn. Als daa.renboven twee overstaande zijden parallel zijn, dan spreken we van een gekruiste rechthoek. Een gekruiste rechthoek heeft dus de vorm van een strik. Bij een gekruiste koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken niet suppiementair.

TEen niet-gekruiste veelhoek is conuer als voor elke zijde de vierhoek aan één ka,nt van die zijde ligt. Is dat niet het geval, dan zeggen we dat de niet-gekruiste veelhoek concaaf is. Elke niet-gekruiste koordenvierhoek is convex, en in die terminologie geldt ook het omgekeerde van Gevolg 3: een convexe vierhoek is een koordenvierhoek als en slechts als de overstaande hoeken supplementair zijn.

x-7

ri Ln

LO.4 Raaklijn Beschouw een cirkel

C(M,r).

0^t

Hoeveel snijpunten kan een rechte a met die cirkel hebben?

rechte ligt buiten de cirkel

rechte raakt de cirkel

rechte is verlengde koorde van de cirkel

geen snijpunten

twee snijpunten

C(I.I,r)

C(I,t. r)

C(lrI,r)

Het is eenvoudig om een rechte te tekenen die geen snijpunten of twee snijpunten met een gegeven cirkel heeft. Maar hoe teken je een rechte die precies één snijpunt met een cirkel heeft? En kun je zo'n rechte ook construeren? Daarvoor gaarr \Me eerst op zoek naar een kerrmerkende eigenschap van zo'n rechte. | nI ^

O Op ontdekking.

Gegeven is de nevenstaande

cirkelC{M,r).

(a) Teken door punt Á een willekeurige rechte a die de cirkel ook nog snijdt in een ander punt B. Teken daarna het apothema van de koorde [áB].

-\-

(b) Als

.

we punt

B langs de cirkel laten naderen naa,r punt .4, dan nadert de rechte o naaï een rechte Í. lMat is er bij-

^Í

zonder aan deze rechte l?

(c) Als we punt B langs de cirkel laten naderen naa.r punt á, dan nadert het verlengde apothema van de koorde [ÁB] naar een rechte rn. Wat is er bijzonder aan deze rechte rrr?

Oplossing. À!Àid-

(fj [

\^ t-*a,

i

'*1,.& h, À B-*'fr L.\ Lu),\c- ï\r. *r.ÈL\ |\rÀIti[J- Yo+ Lu-rlÀ , Á, o.-.tr

Th

t

q"*r','b

Àu-,'rr,,&-

L^vft-Nh=nru *:ft

-Ír"

Eigenschap. Beschouw een cirkel C(M,r) samen met een punt Á op de cirkel en een rechte a door punt Á.

Dan geldt: de rechte o raakt de cirkel <+ a L AM

12

Bewi,js.

'ih]- \,k

tiÀk

n- ku,ii'lu\-l-*a-r^\..

,

\\.M\

\n*L LR\x LRfi\\ ?-\w 5',) T,c.t*Í {dLi*J"ín* q'\\tm* {t*Ls$l s'nÁ^\s*\ \\nv to* ru\\*\*I*"\ ,,r' ulr'.\a$È*+''{cn"Q"*hunÀ*

x-8

r

tr

Uit de vorige eigenschap volgt nu dat er in elk punt van een cirkel precies één rechte is die de cirkel raakt in dat punt.

Die rechte noemen we voortaan de raaklijn in een punt aan de cirkels. Elke rechte die de raaklijn in een punt aan de cirkel is, noemen we een raaklijn aan de cirkel. We kunnen de vorige eigenschap nu ook gebruiken om raaklijnen aan een cirkel expliciet te construeren.

O Modelvoorbeeld 1.

Construeer de raaklijn

t in het punt .4 aan de cirkelC(M,r). Schrijf je redenering op!

Oplossing.

t\

fuwn

tL\

Lon^k^r,r,-,r

$r.

\$

rtt,r.'NLi$\a"

t"r,rUul-

''^

n*

f,[n.u1

ttIvJL

\***

\\\

\'\- u\.,

\i$t{ lwrh' \t btr,' \\nl =\N\\ \='rr Ln'Nro*r I n*,:IàJLfi.ri e.D""

t\

..{tu. L\1\4,t1 brr,..,.rr.

t

J

\"\ .. \ =r E^ L ^r^Àq'.,-* \*. *,.- tLn $).

J b.:.\\1 ï-'

O Modelvoorbeeld 2. Construeer alie raaklijnen aan de cirkel C(M,r) die door het punt P gaan.

Redenering

uitschrijven!

Oplossdng.

(r) \twin.

(t)

,,\. tt*nL\,N\-1"

\ ït.

Le*trxu,,n/\.&- q$*[\n"'

\\' tÍ*n* L1n 1

(ir \*) Luukr*. Lt r{ . t'\ tl*-t

=\H$\

À\& L out- riwl\*".., \,^* *o*O* \t.t

Cunntvirt Lt\bL

$) \* =\i

'so.N \\-*ur,*.

m,\,,uh'nx *q

*^\,i[n.*tnL fi\ ÁÁr- gtH.L)

\" \U'*\ruc\ XnÀ*,,* \B

*Áï

(,tn ^*t'" t [\\".') rrelt\ = \Yt\\\

(3\

óDe Engelse term voor raaklijn is tangent line of kortweg tangent. In de literatuur is het darr ook gebruikelijk on een raakiijn aan eerl cirkel met de letter t te benoemen

x-9

10.5 In

Ingeschreven, omgeschreven en regelmatige veelhoeken

deze laatste paragraaf bekijken we hoe

je met een cirkel bijzondere veelhoeken kan maken.

O Ingeschreven veelhoek. Een ingeschreven veelhoek is een veelhoek waarvan de hoekpunten op eenzelfde cirkel liggen. Bij zo'n om,geschreuen cirkel ligt het middelpunt O even ver van alle hoekpunten van de veelhoek. Dus punt O ligt dan op de middelloodlijn van elke zijde.

Besluit: Een willekeurige veelhoek is ingescheven als en slechts als de middelloodlijnen van de zijden concurrent zijn.

Zozien we in dat elke ingeschreven veelhoek precies één omgeschreven cirkel heeft.

Elke driehoek ABC is een ingeschreven veelhoek: het snijpunt varr de rniddelloodlijnen rnAB er rmBC ligt even ver van Á als van B en even ver van B als van C, dus ook even ver van ,4, als van C. Dat snijpunt ligt dus ook op de middell<lodlijn rn,a6r.

Een vierhoek is een ingeschreven vierhoek als en slechts als alle zijden van die vierhoek koorden zijn van een cirkel (koordenvierhoek). Niet elke vierhoek is ingeschreven in een cirkel (bijvoorbeeld een trapezium die niet gelijkbenig is).e Voorbeeld,./. Teken een ingeschreven driehoek, een ingeschreven vierhoek en een ingeschreven zevenhoek.

(,L Voorbeeld

2. Construeer de omseschreven cirkel van de onderstaande driehoek.

Voorbeeld

3. Construeer

een vierhoek die geen koordenvierhoek is.

9Een convexe vierhoek is een koordenvierhoek als en slechts als de overstaande hoeken supplementair

Anders geformuleerd: een convexe vierhoek is een koordenvierhoek aJs en slechts ats hoekwaarden gelijk is.

x-10

bij elk paar

zijn (zie ook voetnoot 7 hierboven). overstaande hoeken de som van de

l"t

Omgeschreven veelhoek. Een orngeschleven veelhoek is een veelhoek waarvan de verlengde zijden raaklijnen aan eenzelfde cirkel zijn. Het middelpunt 1 van zo'n 'ingeschreuen cirkel ligt dan even ver van alle verlengde zijden. Dus punt I ligt dan op een binnen-of buitenbissectrice van elk hoekpunt.lO Besluit:11 Een willekeurige veelhoek is orngeschreven als en slechts als de bissectrices van de hoekpunten concurrent zijn.

Zo zien we in dat elke omgeschreven veelhoek precies óén ingeschreven cirkel heeft.

Elke driehoek ABC is een omgeschreven veelhoek: het snijpunt van de bissectrices bn en bp ligt even ver van AB alsvan AC en even ver van .B,4 als van BC, en dus ook even vanCA als van CB. Dat snijpunt ligt dus ook op de bissectrice

b6,.

Een onrgeschreven vierhoek noenrt rnen ook wel een raaklijnenvierhoek. Zo zijn bijvoorbeeld een ruit t:n een vierkant raaklijnenvierhoeken.12 Niet elke vierhoek is omgeschreven in een cirkel (bijvoorbeeld een rechthoek die geen vierkant is).i3 Voorbeeld

7. Teken een omgeschreven driehoek, een omgeschreven vierhoek

Voorbeeld

2. Construeer de ingeschreven cirkel van de onderstaande driehoek. Schrijfje redenering

ti)

LoNrturr\,$.Lur"

tty

Lr,Irvrulr \-.r.rv.trir- L o

(j)

s5\'"*,'{o-*\u '.x

\"

op!

\

'tX\t

1.^\-T-

(")

(1 Lnr'k-,re'rWt' urf: \ BL r 'r') LouNv*lt/ tu\

tÀ\d,

I

ttrfÀLrn*.\\ -' ,\h^)r\ tt- ti"\

I I I I

'

L\n'È.

L\

b) ènf*urí

I

*

I

\u

I

Vtq

I

I

l\ïbl

(."$

tut')

loBeschouw twee halfrecht en ICA en lC B . De bissectrjqg van AC B is de rechte die door het hoekpunt C gaat en waa,rvoor AC D : DC B (met D f C een willekeurig punt op die rechte). We noteren die bissectrice *"t bo6, of kortweg bc af,s ACB de binnenhoek van een driehoek is. In dat geval noemen we die bissectrice ook wel van de binnenbissectrice van A0B.Is daarentegen a}n > 180" dan noemen ACB (namelijk de hoek die we verkrijgen door bijvoorbeeld lCÁ te vervangen door lCÁ' waarbij A' e CA en At / [dÁ) de buitenbissectrice van A0B. Met behulp van congruente driehoeken kun je eenvoudig aantonen dat de unie varr de birrnen-en buitenbissectrice lan een hoek ÁdB gelijk is aan de verzameling van alle punterr P vari het vlalt waarbij de afstand van P tot CÁ gelijk is aan de afstand van P tot CB. llBij de formulering van dit besluit en de zin daaronder beperken we ons tot convexe veelhoeken 12Een ander voorbeeld van een raaklijnenvierhoek is een vlieger: een vierhoek waarbij de aanliggende zijden twee aan twee gelijk zijn 13Een convexe vierhoek is een raaklijnenvierhoek als en slechts ais ttij elk paar overstaande zijden de som van de lengtes gelijk is. we de bissectrice van de supplementaire hoek van

x-11

Regelmatige veelhoek. Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan de zijden even lang zijn en de binnenhoeken even groot zijn.

Voorbeeld. Construeer een regelrnatige driehoek en een regelmatige vierhoek.la

Y'tíKrH\ *.D (1)

-'\

--

r

tl

(1

Zo blijkt elke regelmatige veelhoek zowel een ingeschreven cirkel als een omgeschreven cirkel te hebben. Hieronder plaatsen we de belangrijkste eigenschappen die je bij het maken van oefeningen kan gebruiken.

O Eigenschap.

J? de

Beschouw een niet-gekruiste regelmatige veelhoek. Noem n het aantal zijden van de veelhoek en straal van de omgeschreven cirkel va,n de veelhoek. Dan gelden de volgende eigenschappen.ls

(1) De mid.delpuntshoek van een zijde iu (2) De som varl de binnenhoeken is 1", (3) Een binnenhoek

',

(n

-

360'.

Zf

iSO".

2) ' 180'.

n

zn:2l'síníry) endelengtevanzijnapothemaiso,-n"".(,80'). ' \n/ \rL/ (5) De omtrek is P, : 2nilsin(#) en de oppervlakte is An: nR2 sin(#)"* (#) (a) Delengtevaneenzijdeis

Bewi,js aoor een regelmatige uijfhoek.

(r) $-i\L\"iv.\*w +-, (- l= rtd

:\ J-: .*=U (tf -

/ A!*r,n .t0,. \.\.,rtÀ*vrr^.

tï ti..t *t :

=

,

<.1{^

*tÀ

( (r,u,J-.11

: i.4ti-H

Lr\

Êu\,-**,\,{eu-

\

(í*,ï.*f*o-**, =

th\

(í)

=) 7( = lauit

tkxw{$\ I \Lll i ,\,*-'

=r 'r'(--

Lt,,t(f\ il t'rrrr r-'t I| ,

=

í. zS = t ,íf... Nví'Ed) \íl

\í= (

=e-K\-(.$*)l =Ku:it+à[

oqr

Nntn

=( z<,t( :-T . L

=(.K-.**iS*(Y] \ ) /

een resultaat va,rr C^rl r'.i"arlJG"*r F (1796) en Pierre Laurent Wantzel yr 11836) volgt dat een regelmatig" rhrlt L" geconstrueerd worden precies_wanneer n gelijk is aarr een macht van twee aI dan niet vermenigvuldigd met een a,antal verschillende priemgetallen van de vorm 22"' + 7 (zogenaamde Ferrnat-priemgetallen, tot op heden zijn de enige bekende Fermat-priemgetallen gelijk aan 3, 5, 17 , 257 en 65 537). Zo kan een regelmatige zevenhoek niet met pa,sser en lineaal geconstrueerd worden. lsEigenschap (2) geldt ook voor niet-gekruiste veelhoeken die onregelmatig zijn. Een bewijs berust op triangulatie.

x-12

1,"'\