TURINYS VII SKYRIUS
PROCENTAI
4
1. Skaičiaus procentinės dalies ir viso skaičiaus apskaičiavimas 2. Pagrindinė proporcijos savybė 3. Procentų uždavinių sprendimas sudarant proporciją 4. Procentinio santykio apskaičiavimas 5. Procentai ir lygtys Pasitikrinkite ir įsivertinkite (VII)
6 8 10 12 14 16
VIII SKYRIUS
STATISTINIS TYRIMAS
18
1. Duomenų rinkimas 2. Dažnių lentelė 3. Duomenų vaizdavimas 4. Imties vidurkis 5. Imties moda ir mediana 6. Ilgalaikio projekto „Mano statistinis tyrimas“ pristatymas Pasitikrinkite ir įsivertinkite (VIII)
20 22 24 26 28 30 32
IX SKYRIUS
PLOKŠČIOSIOS FIGŪROS 1. Lygios atkarpos 2. Tiesių tarpusavio padėtys 3. Atkarpos dalijimas pusiau 4. Lygūs kampai 5. Kampo dalijimas pusiau 6. Tiesių lygiagretumo požymiai Pasitikrinkite ir įsivertinkite (IX)
X SKYRIUS
TRIKAMPIAI 1. Trikampių rūšiavimas 2. Trikampio aukštinės 3. Trikampio pusiaukampinės 4. Trikampio pusiaukraštinės 5. Trikampio kraštinių vidurio statmenys
2
34 36 38 40 42 44 46 48
50 52 54 56 58 60
6. Lygūs trikampiai 7. Trikampių lygumas pagal tris kraštines 8. Trikampių lygumas pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų 9. Trikampių lygumas pagal kraštinę ir du kampus prie jos Pasitikrinkite ir įsivertinkite (X)
XI SKYRIUS
IŠKILIEJI KETURKAMPIAI 1. Keturkampis 2. Trapecija 3. Stačioji ir lygiašonė trapecijos 4. Lygiagretainis 5. Rombas 6. Stačiakampis 7. Kvadratas 8. Projektas „Taisyklingojo penkiakampio braižymas“ Pasitikrinkite ir įsivertinkite (XI)
XII SKYRIUS
62 64 66 68 70
72 74 76 78 80 82 84 86 88 90
PIRAMIDĖS IR PRIZMĖS
92
1. Taisyklingoji piramidė, taisyklingoji prizmė 2. Prizmės paviršiaus plotas 3*. Piramidės paviršiaus plotas 4. Stačiosios prizmės tūris Pasitikrinkite ir įsivertinkite (XII)
94 96 98 100 102
XIII SKYRIUS
7 KLASĖS KURSO KARTOJIMAS Pasitikrinkite ir įsivertinkite (XIII) 1 testas 2 testas 3 testas
104 106 106 108 110
„Pasitikrinkite ir įsivertinkite“ atsakymai 112 Žodynėlis 116
3
Šiame skyriuje mokysimės braižyti trikampio aukštines, pusiaukampines, pusiaukraštines, kraštinių vidurio statmenis, lygius trikampius, išsiaiškinsime trikampių lygumo požymius ir juos taikysime spręsdami uždavinius.
X SKYRIUS
TRIKAMPIAI
❶
TRIKAMPIŲ RŪŠIAVIMAS
Prisiminsime, pagal kokius požymius ir kaip skirstomi trikampiai, ir šias žinias apibendrinsime. Išmoksime taikyti trikampių savybes.
Išsiaiškinsime, kas vadinama trikampio kraštinės vidurio statmeniu. Išmoksime nubrėžti trikampio kraštinių vidurio statmenis. Išmoksime rasti trikampio kraštinių vidurio statmenų sankirtos tašką.
❷
TRIKAMPIO AUKŠTINĖS
❸
IO ĖS AMP PIN TRIK UKAM IA PUS
❻
Išsiaiškinsime, kokie trikampiai vadinami lygiais.
LYGŪS I TRIKAMPIA
Išsiaiškinsime, kaip galima nubraižyti trikampį, kai žinomi jo kraštinių ilgiai. Išmoksime atpažinti lygius trikampius, remdamiesi trikampių lygumo pagal tris kraštines požymiu. Sužinosime, kaip turi būti susiję trikampio kraštinių ilgiai, kad būtų galima nubraižyti trikampį.
❼
❺
TRIKAM P KRAŠT IO INIŲ VID URIO STATM ENYS
❽
Išsiaiškinsime, kas vadinama trikampio aukštine. Išmoksime nubrėžti trikampio aukštines. Išmoksime rasti trikampio aukštinių sankirtos tašką.
Išsiaiškinsime, kas vadinama trikampio pusiaukampine. Išmoksime nubrėžti trikampio pusiaukampines. Išmoksime rasti trikampio pusiaukampinių sankirtos tašką.
Išsiaiškinsime, kas vadinama trikampio pusiaukraštine. Išmoksime nubrėžti trikampio pusiaukraštines. Išmoksime rasti trikampio pusiaukraštinių sankirtos tašką.
50
Paskutinis kiekvieno skyrelio uždavinys (įvairių skaičių sudėliojimas iš kinų žaidimo „Tangramas“ geometrinių figūrų) padės lavinti vaizduotę ir ugdyti loginį mąstymą.
❹
ĖS PIO ŠTIN M RA IKA TR IAUK S PU
PIŲ TRIKAM L S PAGA A M LYGU S IR AŠTINE DVI KR Ų TARP J KAMPĄ
Išsiaiškinsime, kaip galima nubraižyti trikampį, žinant vienos kraštinės ilgį ir dviejų kampų prie jos didumus. Išmoksime atpažinti lygius trikampius, remdamiesi lygumo pagal kraštinę ir du kampus prie jos požymiu.
PASITIKR INKITE IR ĮSIVERTIN KITE (X)
PIŲ L TRIKAM S PAGA A M U LYG S E RAŠTIN TRIS K
Išsiaiškinsime, kaip galima nubraižyti trikampį, žinant dviejų jo kraštinių ilgius ir kampo tarp tų kraštinių didumą. Išmoksime atpažinti lygius trikampius, remdamiesi lygumo pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų požymiu.
❾
TRIKAMPIŲ GAL LYGUMAS PA DU KRAŠTINĘ IR JOS IE KAMPUS PR
Spręsdami užduotis išsiaiškinsime, ką gebame ar ko dar reikėtų pasimokyti. Įsivertinsime pasiekimus.
51
UŽDAVINIAI
X SKYRIUS
2. TRIKAMPIO AUKŠTINĖS ŠIAME SKYRELYJE išsiaiškinsime, kas vadinama trikampio aukštine; išmoksime nubrėžti trikampio aukštines; išmoksime rasti trikampio aukštinių sankirtos tašką.
Per projekto „Kuriame kartu“ savaitę septintokai gamino nelanksčią trikampio formos scenos dekoraciją. Kai dekoracija buvo pagaminta, septintokai susimąstė: ar tilps ši dekoracija pro duris?
Trkampio aukštnė Trkampio pãgrindas
Iš trikampio viršūnės nubrėžtas statmuo į priešais esančią kraštinę vadinamas trkampio aukštinè. Trikampio kraštinė, į kurią nubrėžta aukštinė, vadinama trkampio pãgrindu.
Kuriuo atveju raudona atkarpa nėra trikampio aukštinė? A B C
2.
Nubraižykite sąsiuvinyje trikampius, kaip parodyta brėžinyje. Nubrėžkite šių trikampių aukštines į raudonai pažymėtas kraštines. a) b) c)
3.
Nubraižykite statųjį trikampį KLM ir visas tris jo aukštines.
4.
Pavaizduotus trikampius persibraižykite į sąsiuvinį. Parodykite, kad visos trys kiekvieno trikampio aukštinės (arba jų tęsiniai) susikerta viename taške.
a)
D
KLAUSIMAI 1. Ką reikėtų išmatuoti, kad sužinotume, ar pavyks trikampę scenos dekoraciją įnešti pro duris? 2. Kaip galėtume pavadinti atkarpą, kuri rodytų trikampės dekoracijos aukštį? 3. Kuria kraštine ant grindų pastatytos dekoracijos aukštis būtų mažiausias?
Trikampio ABC aukštinė hc (CK) nubrėžta nuo trikampio viršūnės C iki kraštinės (trikampio pagrindo) c (AB). Trikampio aukštinę galima nubrėžti ne tik naudojant kampainį, bet ir skriestuvą su liniuote (kaip parodyta brėžinyje).
Stačiojo trikampio dvi aukštinės sutampa su kraštinėmis – statiniais, o visos trys aukštinės susikerta stačiojo kampo viršūnėje.
Kai trikampis bukasis, iš jo smailiojo kampo viršūnės brėžiamas statmuo yra trikampio išorėje.
Visos trys trikampio aukštinės (arba jų tęsiniai) kertasi viename taške.
Trikampio ABC aukštinės ha, hb ir hc kertasi taške H.
Pavyzdys
b)
5. Koordinačių sistemoje (vienetinės atkarpos ilgis 0,5 cm) pažymėkite taškus K(2; 2), L(16; 2), M(6; 12) ir juos sujunkite. Nustatykite trikampio KLM aukštinių sankirtos taško H koordinates. 6. Kokie trys bendri bruožai sieja visus keturis paveikslėlyje pavaizduotus trikampius?
PAVYZDYS Koordinačių sistemoje pažymėkime taškus A(–1; 1), B(7; 1), C(5; 7) ir juos sujunkime. Apskaičiuokime trikampio plotą langeliais. Nubrėžę trikampio aukštinę CK, matome, kad ji dalija trikampį ABC į du stačiuosius trikampius, kurių plotų suma lygi pusei stačiakampio ploto. S ABC = (8 ∙ 6) : 2 = 24. Ats. 24.
54
1.
7. Nubraižykite du skirtingus trikampius, kurių kiekvieno plotas 6 cm2, o aukštinės ilgis 2 cm.
a)
b)
8. Pateiktus skaičius persibrai žykite į sąsiuvinį ir pavaiz duokite, kaip juos galima sudėlioti iš „Tangramo“ geometrinių figūrų.
55
PASITIKRINKITE IR ĮSIVERTINKITE (X) us? izduotus trikampi inti visus tris pava ūd ib ap iai a šč lim ra ga ak gi iu dž D Ly 1. Kuriuo vienu žo C Įvairiakraščiai ašoniai gi Ly B ji ie at A St
1 taškas
2 taškai
1 taškas 2 taškai 2 taškai 2 taškai 1 taškas
PAPILDOMA UŽDUOTIS „ATRAS K“ 9. Pateiktą trikampį per sibraižykite į sąsiuvinį ir pavaizduokite, kaip šį trikampį galima sudėlioti iš „Tangramo“ geometrinių figūrų.
1 taškas
2 taškai
1 taškas
cm, KM = 4 cm KLM, kurio KL = 5,5
ir ∠ K = 60°.
onį
tųjį lygiaš e nubraižykite sta lap s iau er pi po e m 5. Languota lio. as lygus 12,5 lange trikampį, kurio plot
2 taškai
ĮSIVERTINKITE
2 taškai
TAŠKAI Pažymys Patarimai
70
1 taškas 1 taškas
8. Remdamiesi brėžinio duo menimis atlikite šias užduotis. 8.1. Užrašykite kampų CAB ir DEB didumus. 8.2. Apskaičiuokite kampų ABC ir ACB didumus. 8.3. Paaiškinkite, kodėl ∠ ABC = ∠ EBD ir ∠ CBE = ∠ DBA. 8.4. Pagrįskite, kodėl ABC = EBD. 8.5. Paaiškinkite, kodėl ∠ ACB = ∠ EDB = 33°.
3 taškai
temoje 3. Koordinačių sis škai: pažymėti šie ta C(1; 7), , 3) 2; B( , 2) ; A(–2 ). K(1; –3), L(5; –2 būti taškas M, tų rė tu r Ku 3.1. C ir kad trikampiai AB B = KL, KLM būtų lygūs (A )? ParaAC = KM, BC = LM dinates. šykite taško M koor yra ta 3.2. Ar taško M vie ra už vienintelė? Jei ne, kio to no šykite dar bent vie s. te taško M1 koordina kampį
1 taškas 1 taškas 1 taškas
7. Pagrįskite, kodėl negalima nubraižyti trikampio, kai: a) a = 10 cm, b = 5 cm, c = 16 cm; b) c = 17 cm, ∠ A = 91°, ∠ B = 89°.
kamvaizduoti keturi tri 2. Paveikslėlyje pa e. uj vid čiakampio piai, esantys sta tykite s ir kraštines nusta pu m 2.1. Pagal ka D rūšį. trikampių BEC ir CE yra šie trikampių o m du 2.2. Kokio di AEB ir ∠ ECD? kampai: ∠ DEA, ∠
4. Nubraižykite tri
6. Remdamiesi brėžinio duo me nimis iš akies nustatykite, kas yra atkarpos AG, BE, CF, ir pab aikite rašyti sakinius: a) atkarpa AG yra trikampio ...; b) atkarpa BE yra trikampio ...; c) atkarpa CF yra trikampio ... .
0–2
3–6
7–9
10–12
13–15
16–18
19–21
22–23
24–25
2
3
4
5
6
7
8
9
10 Galite padėti kitiems!
Kreipkitės pagalbos!
Turėtumėte dar pasimokyti.
Pirmyn!
71
„PASITIKRINKITE IR ĮSIVERTINKITE“
IX SKYRIUS
4. 66°. 5. Pavyzdžiui,
ATSAKYMAI VII SKYRIUS
VIII SKYRIUS
1. D. 2. a) B; b) A. 3.
6. Ne. Šie kampai yra kry žminiai, kiekvieno jų did umas 45°. Tada kitų kam yra po 135°. pų didumai 7. Pavyzdžiui,
c) 5 %. 1. a) 11,1; b) 110; taip. 2. a) taip; b) ne; c) okių atsakymų. 3. a) 3; b) 72. : 95. Gali būti ir kit 19 = 55 : 11 b) ; 4. a) 2 : 14 = 9 : 63 ; e) 83,3 %. c) 16,7 %; d) 20 % ; % ,3 83 b) ; 0° 15 5. a) 0,83 Eur. 6. a) 140; b) 180. Eur ≈ 4,13 Eur. 7.4. 25 4,1 3. 7. r. Eu 7.1. 33 Eur. 7.2. 3,3 3,10 Eur. 7.5. 3,0975 Eur ≈ 8.2. 66,7 %. 8.1. 72 merginos. lymu. siū 9. („Atrask“) 2 pa ir daugiau. daugiau b) 6 ir km 4 m . 1. a) Nuo 0 iki 1 k ėlyną. 2.4. 17,14 % . 2.2. Juoda. 2.3. M kų to in pt se 0 14 2.1.
8. Pavyzdžiui,
9. Pavyzdžiui,
2.5.
3.1. Literatūros rūšis Mokinių skaičius (dažnis)
Nuotykių 12
a astinė Istorinė Kit Detektyvinė Fant 4 2 13 15
3.2.
6
ė. 3.5. 23. kai. 3.4. Detektyvin
3.3. 46 septinto 6; d) 16; e) 8. 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9; c) 6, 6, 4, 4, 3, 3, 1, 1, 4. a) 6; b) 1 3 5.4. 54 = 18 . 2. 3. 5. 2. 2. 5. . kų 5.1. 10 septinto ės darbuotojai rkis rodo, kad kavin du Vi ą. m ra ag di ę lin . Moda rodo, kad 6. („Atrask“) Stulpe 67 tuščias pakuotes ai išk in ut vid ti irb rd ios pakuotės. Mekasdien atiduoda pe irbti 57 arba 64 tušč rd pe os m da uo id i at omenų, mažesnių kasdien dažniausia ažiau kaip pusė du m ne a yr je ty im d , ka snių už 64. diana, lygi 64, rodo pusė duomenų, dide ip ka iau ug da ne ir už 64,
112
10. x + (x – 40) = 180°; ∠ 1 = 70°, ∠ 2 = 110°. 11. Taip. Nes ∠ 1 ir ∠ 2 yra lygūs atitinkamieji kam pai, o ∠ 2 ir ∠ 3 – lygūs pri kampai (brėžinyje šie kam ešiniai pai pažymėti vienodais lankeliais). Todėl visos try duotos kolonos yra lygiag s pavaizrečios. 12. x = 64°.
X SKYRIUS
1. B. 2.1. BEC yra bukasis įva iriakraštis, CED – status is įvairiakraštis. 2.2. ∠ D ∠ AEB = 105°, ∠ ECD = 60 EA = 53°, °. 3.1. M(4; 2). 3.2. Taško M vieta yra ne vienintelė; M 1(6; –6). 4. 5.
6. a) atkarpa AG yra trik ampio pusiaukampinė; b) atkarpa BE yra trikam c) atkarpa CF yra trikam pio aukštinė; pio pusiaukraštinė. 7. a) pagal trikampio ne lygybę ilgiausios kraštin ės ilgis turi būti mažesnis kraštinių ilgių sumą, o šiu už kitų dviejų o atveju 16 > 10 + 5; b) trik ampio kampų didumų sum todėl kampo C didumas a lygi 180°, turėtų būti 0°, o tokiu atv eju trikampio nubraižyti 8.1. ∠ CAB = 90°, ∠ DEB ne ga lim = 90°. 8.2. ∠ ABC = 57°, ∠ A a. CB = 33°. 8.3. ∠ ABC = ∠ E kryžminiai, ∠ CBE = ∠ DBA BD, nes jie yra , nes jie yra kryžminiai. 8.4 . ABC = EBD pagal kra kampus prie jos, nes AB štinę ir du = EB (duota), ∠ CAB = ∠ B ED (duota), ∠ ABC = ∠ EBD 8.5. ∠ ACB = 180° – 90° – (kr yžminiai). 57° = 33°; kadangi AB C = EBD, tai jų atitinkam kampai ACB ir EDB yra lyg i ūs, taigi ∠ ACB = ∠ EDB = 33°.