3.2.
3.3.
ÚVODNÍ INFORMACE
Úvod
Tato učebnice vznikla s jasným cílem: zprostředkovat komplexní přípravu k jednotným přijímacím zkouškám z matematiky na čtyřleté obory středních škol , kterou může každý procházet vlastním tempem z pohodlí domova. Naleznete v ní množství úloh na procvičování , které jsou doplněny podrobným vysvětlením , jež by mělo stačit nejen k pochopení úlohy, ale mnohdy i širšího kontextu.
První část učebnice je rozdělená do tematických okruhů , které odpovídají oblastem jasně stanoveným zadavatelem zkoušek, tj. Centrem pro zjišťování výsledků vzdělávání (Cermat), a jež jsou obsaženy v didaktických testech. Můžete se tedy s každou testovanou oblastí seznámit samostatně, popř. se zaměřit na ty oddíly, které vám dělají problémy, a pořádně je procvičit. Je ale lepší nenechávat nic náhodě a projít si i části, o kterých si myslíte, že vám problémy nedělají. Přinejmenším se tak seznámíte s tím, jak jsou jednotlivé úlohy koncipované.
Ve druhé části učebnice potom naleznete pět cvičných didaktických testů se záznamovými archy, pečlivě sestavených podle struktury testů skutečných, které již řada žáků absolvovala. Můžete si tak simulovat testovací prostředí a zkusit si vyplnit a následně vyhodnotit testy, které by měly svou strukturou a typy úloh odpovídat tomu, se kterým se setkáte u opravdových zkoušek. Pokud si vytvoříte podmínky shodné s těmi, které vás čekají na ostrém testu, už vás nic nepřekvapí. Úlohy odpovídají požadavkům a nárokům kladeným na uchazeče a jsou dostatečně náročné, aby vás vhodně připravily na přijímací zkoušky.
Základní informace
Jak již bylo naznačeno výše, na všechny obory čtyřletých středních škol a gymnázií (a dále také na šesti- a osmiletá gymnázia) se píše tzv. jednotná přijímací zkouška . Tím pádem vám stačí napsat jeden test (resp. dva), ať už se hlásíte na jakýkoli typ školy. Celkem můžete podat až pět přihlášek – tři z nich na „klasické“ maturitní obory (v rámci jedné až tří středních škol) a dvě na obory, které vyžadují talentovou zkoušku . Dopředu si přitom musíte promyslet, které obory v případě přijetí preferujete a podle toho je v přihláškách seřadit. Přijímací zkoušky se konají ve dvou řádných termínech , které vyhlašuje MŠMT (Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy) – probíhají zpravidla v dubnu (náhradní termíny potom obvykle v dubnu nebo květnu). Konkrétní data (včetně mezních termínů pro podávání přihlášek) naleznete na webu MŠMT, Cermatu nebo vás informuje vaše škola. Ať už jste přihlášeni na jakýkoli počet oborů, didaktický test můžete psát v obou vypsaných termínech – započítá se vám pouze ten lepší výsledek . Ty se vyhlašují až po konání náhradních termínů. Dále mohou v případě nezaplněných míst probíhat i další kola přijímacích řízení (zde se však už nekoná další jednotná zkouška).
Přijímací zkoušky na střední školy
12
Televize původně stála 12 000 Kč. Nejprve byla zdražena o 15 %. Poté došlo k dalšímu zdražení, tentokrát o 10 % z nové ceny.
1. Ko lik korun stojí televize nyní?
2. O ko lik procent byla televize celkově zdražena? 13 1 bod
Plechovka energetického nápoje o objemu 0,25 l obsahuje 30 mg kofeinu na 100 ml. Maximální doporučená dávka kofeinu na den je 400 mg.
Kolik procent maximální doporučené denní dávky kofeinu tvoří tento energetický nápoj?
Celkový objem bazénu je 50 000 litrů. V této chvíli je napuštěn 35 000 litry vody.
Z kolika procent je napuštěný?
Původní cena telefonu činila 9 000 Kč. Nejdříve byl zlevněn o 25 %. Poté došlo ke zdražení o 20 % z nové ceny.
1. Ko lik korun stojí mobilní telefon po těchto dvou úpravách cen?
2. O ko lik procent byl mobilní telefon celkově zlevněn?
Letenka původně stála 8 000 Kč. Zákazník nejdříve uplatnil kupón na slevu v hodnotě 500 Kč. Poté dostal navíc slevu 5 % z původní ceny za platbu kartou. Kolik korun nakonec zákazník zaplatil za letenku?
17
Tereza si vzala půjčku ve výši 1 500 000 Kč na koupi bytu. Půjčené peníze vrátí za dva roky, navíc se k nim přidá úrok ve výši 10 % z vypůjčené částky.
Kolik korun celkem Tereza vrátí bance?
1
Dva litry barvy chceme zředit s vodou v poměru 4 : 3.
Kolik mililitrů vody použijeme?
2
Jeden litr šťávy chceme rozdělit do modrého, žlutého a zeleného kelímku v poměru 1 : 4 : 3.
Kolik mililitrů šťávy bude v zeleném kelímku?
3
Šimon rozstříhal lano na tři části v poměru 2 : 3 : 4. Nejdelší část měří 13 metrů.
Kolik metrů lano původně měřilo?
Máme dvě bedny s ovocem, jejichž váhy jsou v poměru 2 : 5. Bedna s menším množstvím ovoce obsahuje 3 kg ovoce.
Kolik kilogramů ovoce je v druhé bedně?
5
Červenou a jasmínovou rýži, potřebujeme smíchat v poměru 4 : 1. Poté se tato směs zaleje vodou v poměru 1 : 1,5. Červené rýže použijeme 250 gramů.
Kolik gramů vody budeme potřebovat?
6
Průměrné rychlosti dvou aut jsou v poměru 5 : 6. Pomalejší auto ujede 380 kilometrů za čtyři hodiny.
Kolik kilometrů ujede rychlejší auto za 6 hodin?
7
Na farmě jsou dva traktory, které orají pole. Jejich výkony jsou v poměru 2 : 5. Méně výkonný traktor zorá 8 ha pole za tři hodiny.
Kolik hektarů pole zorá výkonnější traktor za 6 hodin?
10
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 10
V restauraci se prodávají čtyři různé pokrmy. Během jednoho dne zaměstnanci evidovali, počet prodaných porcí, průměrný čas přípravy a celkovou tržbu u každého pokrmu. Získané údaje zapsali do tabulky:
Pokrm Počet prodaných porcíPrůměrný čas přípravy jedné porce (min) Celkem (Kč)
Určete u každého z následujících tvrzení (1.–3.), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
1. Ar itmetický průměr průměrných časů přípravy jedné porce u všech čtyř pokrmů byl kratší než 10 minut.
2. Př ípravou burgerů zaměstnanci strávili 150 minut.
3. Za j ednu porci svíčkové a dva burgery zákazník zaplatí 720 Kč.
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 11
Tři týmy (Lvi, Tygři a Orli) se zúčastnily soutěže ve stavění lega. Každý tým měl za úkol postavit co nejrychleji tři modely (hrad, auto a robota). V tabulce je uvedena doba, kterou každý tým potřeboval na sestavení jednotlivých modelů:
Orli ? ? ?
Přiřaďte ke každé úloze (1.–3.) správnou odpověď (A–F).
1. Or li postavili hrad o 10 % rychleji než Lvi.
Ko lik minut potřebovali Orli na postavení modelu hradu?
2. Or li postavili auto o 20 % pomaleji než Tygři.
Ko lik minut potřebovali Orli na postavení modelu auta?
3. Or li postavili robota o 15 % rychleji než Lvi.
Ko lik minut potřebovali Orli na postavení modelu robota?
A) 27 minut
B) 42 minut
C) 48 minut
D) 55 minut
E) 60 minut
F) Jiný v ýsledek
Řešení
1. a 780 cm, 841 cm
Nejprve určíme délku strany jednoho čtverce čtvercové sítě. Ze zadání víme, že každé další patro má základnu o 2 cm delší a zároveň na obrázku vidíme, že se s každým patrem základna zvětší o dvě strany čtverce, tudíž délka jedné strany čtverce musí být 1 cm.
Nyní spočítejme obsah stromku. Pro zjednodušení úlohy si představme, že vezmeme levou stranu stromu a vhodně ji přesuneme k části pravé, viz obrázek. Tím získáme
o něco příjemnější tvar k počítání obsahu.
Obsah stromku se třemi patry je polovina obsahu obdélníku 3 × 4 cm: ²
Obsah stromku se čtyřmi patry je ² .
Obsah stromku s pěti patry je ² .
Takto malá čísla můžeme ještě ověřit náčrtkem. Číslo v zadání je ovšem příliš velké, než abychom si takový stromek kreslili a jednotlivé čtverečky sčítali. Je třeba tedy vypozorovat na zmíněných příkladech vzorec, podle kterého budeme schopni určit obsah jakkoli velkého stromku: č č
Obsah stromku s 39 patry tedy vypočítáme takto: ² .
Při počítání obsahu pouze modrých pater opět využijeme náš schodovitý tvar. Nejprve nakreslíme opět několik nejmenších stromků (bez šedých pater) a pokusíme se najít vzorec pro výpočet:
3 nebo 4 patra:
5 nebo 6 pater:
6. a 2 řešení
Tuto úlohu je opět vhodné začít náčrtkem. Načrtneme rovnostranný trojúhelník, kde bod S AB je středem strany AB a přímka p je osou úsečky BC . Doplníme zbývající středy stran trojúhelníku. Spojíme-li všechny středy stran do nového rovnostranného trojúhelníku, pro velikosti vzniklých úhlů platí, že jsou rovny 60°. Pomocí nich sestrojíme hledaná ramena a vrcholy obou trojúhelníků ABC .
Podrobný postup konstrukce:
1. Vytyčíme kolmici k přímce p procházející bodem S AB . Střed S AC je osově souměrný podle přímky p s bodem S AB
2. Na kolmici sestrojíme bod S AC
3. Sestrojíme pomocné trojúhelníky S AB S BC S AC tak, že vezmeme do kružítka vzdálenost | S AB S AC | a naneseme ji z bodu S AB nebo S AC . V průnicích s přímkou p leží možné středy příslušných stran BC , které označíme S BC a S′ BC
4. Sestrojíme v bodě S AC oba úhly o velikosti 60° k úsečce S AB S AC .
5. Ramena těchto úhlů protnou přímku p v bodech A a A′ .
6. Body C a C′ nalezneme jako obrazy bodů A a A′ ve středové souměrnosti se středem S AC
7. Z bodů A a A′ vedeme přímky bodem S AB . Body B a B′ jsou středově souměrné s body A a A′ podle bodu S AB .
8. Sestrojíme trojúhelníky ABC a A′B′C′
Přijímací zkoušky na střední školy
Kvádr má tedy rozměry 20 dm × 10 dm × 5 dm, odtud vypočítáme jeho povrch:
S = 2 · (20 · 10 + 10 · 5 + 20 · 5) = 700 dm2 .
Původní krychle má povrch
S = 6 · 100 = 600 dm2 .
Nakonec určíme rozdíl povrchů jako
700 – 600 = 100 dm2 .
5. a 1 944 cm 2
Tato úloha již vyžaduje prostorovou představivost. Pro začátek je tedy vhodné si rozmyslet, jak bude vypadat celý dílek, který byl z krychle odebrán. Kreslit si jej ale nemusíme. Stačí jen, když určíme, kolik stran malých krychliček se bude dotýkat útvaru z velké krychle uvnitř (ty po doplnění dílkem neuvidíme) a kolik stran malých krychliček je na dílku vidět z venku. Z obrázku je vidět, že vnitřních stran je právě 12. Pokud si představíme již doplněnou krychli, lehce spočítáme, že venkovních dílků je také 12, celkem jich je tedy 24. Nyní určíme obsah jedné této krychličky. Jestliže má celá strana krychle hranu o délce 27 cm a dělíme ji na tři dílky, pak má jedna krychlička hranu o délce
Obsah její strany je potom
27 : 3 = 9 cm
9 · 9 = 81 cm2 .
Povrch chybějící části se skládá z 24 takových stran, rovná se tedy
81 · 24 cm = 1 944 cm2
Útvar, který doplňuje krychli, vypadá následovně:
Cvičný test I
(16 úloh; 50 bodů)
1
Zjednodušte na zlomek v základním tvaru.
Upravte výrazy.
1. Zj ednodušte tak, aby výraz neobsahoval závorky. (4 y + 3)2
2. Upr avte a rozložte na součin pomocí vzorce. (z 2 – 56) + 200
3. Zj ednodušte a upravte na součin vytknutím.
Určete hodnotu x