Issuu

kl .cz

OBSAH

sna

Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Prostor a čas v klasické mechanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Vznik speciální teorie relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Základní principy speciální teorie relativity . . . . . . . . . . . . . . 18

Relativnost současnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Dilatace času . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Kontrakce délek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Skládání rychlostí ve speciální teorii relativity . . . . . . . . . . . 38

Základní pojmy relativistické dynamiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Vztah mezi energií a hmotností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Životopis Alberta Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

tp s

:// pr om

et he u

Pr om

Doporučená literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

áz ka

tit

ul uN

la d

ví

Rejstřík . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

áz ka

ul uN

tit

ví

la d

Pr om tp s

kl .cz

sna

et he u

:// pr om

1 PROSTOR A ČAS V KLASICKÉ MECHANICE

kl .cz

Pr om

tp s

:// pr om

et he u

sna

Klasická mechanika vznikla v 17. století zejména zásluhou vynikajících badatelů G. Galileiho (1564–1642, obr. 1-1) a I. Newtona (1643–1727, obr. 1-2). Newton shrnul všechny tehdy známé poznatky o pohybu těles do tří zákonů, jejichž význam byl obrovský. Byly základem přesných výpočtů pohybu planet i návrhů různých mechanismů používaných v praxi. Zdálo se, že principy, jimiž se svět řídí, byly již objeveny jednou provždy a že na představách o prostoru a čase použitých při jejich formulaci nebude už třeba nic měnit.

ví

1-1

1-2

áz ka

tit

ul uN

la d

Připomeňme si nyní některé poznatky klasické mechaniky o prostoru a čase. Polohu tělesa v prostoru určujeme vždy vzhledem k okolním tělesům, tj. vzhledem k určité vztažné soustavě. V této soustavě si volíme obvykle pravoúhlou soustavu souřadnic. Polohu bodu v prostoru pak určíme pomocí tří souřadnic x, y, z. Děj, který nastane v určitém místě prostoru v určitém okamžiku, nazýváme bodová událost (stručně událost). Může to být např. záblesk světla, stlačení tlačítka u stopek, dopad částice do určitého místa na stínítku apod. Každou událost charakterizujeme čtveřicí veličin x, y, z, t , z nichž první tři určují místo a čtvrtá souřadnice t čas, v kterém událost nastala. Události, které se odehrály v dané vztažné soustavě na stejném místě, se nazývají soumístné. Jestliže spojíme se vztažnou soustavou soustavu souřadnic, pak v této soustavě mají dvě soumístné události stejné prostorové souřadnice x, y, z. Události, které se odehrály ve zvolené vztažné soustavě ve stejném

1 PROSTOR A ČAS V KLASICKÉ MECHANICE

Úlohy Lze určit polohu bodu v prostoru absolutně? Vysvětlete, jak by se měla z fyzikálního hlediska přesněji formulovat věta „Zítra se sejdeme na témže místě.“

Dotkněte se tužkou určitého bodu na stole a asi po jedné sekundě tento dotyk opakujte. Odehrály se obě události (tj. první i druhý dotyk) na stejném místě? [ Vzhledem k Zemi ano, avšak např. vzhledem k Slunci ne. Odtud vyplývá, že soumístnost událostí je relativní pojem. ]

Auto Záchranné služby vysílá při jízdě ulicemi města světelné záblesky. Jsou tyto záblesky soumístné události?

Ukažte, že trajektorie, po které se pohybuje hmotný bod, je vždy relativní vzhledem k volbě vztažné soustavy.

Těleso A se pohybuje vzhledem k tělesu B stálou rychlostí v. Jakou rychlostí se pohybuje těleso B vzhledem k tělesu A?

Vysvětlete, proč rozjíždějící se vagon nebo vagon projíždějící zatáčkou není inerciální vztažná soustava.

Na střeše posledního vagonu vlaku pohybujícího se rovnoměrně přímočaře stojí střelec, který se pokouší výstřelem z pušky zasáhnout komín parní lokomotivy. Předpokládejme, že rychlost vlaku je stejná jako rychlost střely (rychlost střely byla změřena v laboratoři při výstřelu z klidné pušky). Může tato střela zasáhnout komín jedoucího vlaku? Odpor vzduchu zanedbejte.

Z bodu P , který je ve výšce h = 100 m nad povrchem země, jsou v čase t = 0 současně vržena tři tělesa A, B a C počátečními rychlostmi o velikostech vA = 5 m · s−1 , vB = 10 m · s−1 a vC = 5 m · s−1 (obr. 1-3). Těleso A je vrženo svisle vzhůru, tělesa B a C vodorovně. Čtvrté těleso D začíná v čase t = 0 padat z bodu P volným pádem. Označme události spočívající v dopadu těles A, B, C a D na vodorovný povrch země symboly UA , UB , UC a UD . Které z těchto událostí jsou ve vztažné soustavě Země soumístné a které současné? [ Soumístné jsou události UA a UD ; současné jsou události UB , UC , UD . ]

áz ka

tit

ul uN

la d

ví

Pr om

tp s

:// pr om

et he u

sna

kl .cz

2 V Z N I K S P E C I Á L N Í T E O R I E R E L AT I V I T Y

Pr om

tp s

:// pr om

et he u

sna

Podle mechanického principu relativity nelze žádnými mechanickými pokusy provedenými uvnitř inerciální vztažné soustavy zjistit její rovnoměrný přímočarý pohyb vzhledem k jiné inerciální soustavě. Zůstává však ještě nezodpovězena otázka, zda pozorovatel v inerciální vztažné soustavě může zjistit její rovnoměrný přímočarý pohyb pozorováním nemechanických dějů (např. optických, elektromagnetických apod.).

2-1

2-2

áz ka

tit

ul uN

la d

ví

Druhý problém, na který se soustředila pozornost fyziků, souvisí s určením rychlosti světla. V roce 1675 dánský astronom O. Römer (rémer, 1644–1710, obr. 2-1) z astronomických pozorování zjistil, že světlo se šíří konečnou rychlostí. Přibližnou hodnotu této rychlosti určil však teprve holandský fyzik Ch. Huygens (hajchens, 1629–1695) na základě údajů získaných Römerem. V zemských podmínkách změřil rychlost světla poprvé v r. 1849 francouzský fyzik H. Fizeau (fizó, 1819–1896, obr. 2-2). Od té doby byla provedena řada dalších měření, která potvrdila, že světlo se šíří ve vakuu velmi velkou rychlostí c = 300 000 km · s−1 = 3 · 108 m · s−1 . Přitom však vzniká otázka: V které soustavě má světlo tuto rychlost? Tato otázka je oprávněná, neboť obecně je rychlost veličina relativní. V 19. století, před vznikem speciální teorie relativity, se fyzikové domnívali, že celý svět je zaplněn zvláštním prostředím (tzv. světelným éterem), v němž se světelné vlnění šíří podobně jako např. akustická vlna ve vzduchu nebo vlna na povrchu vody (tj. postupným rozkmitáváním částic nějakého prostředí). Vzhledem k éteru by se světlo šířilo ve všech směrech stejnou rychlostí.

2 VZNIK SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVIT Y

sna

kl .cz

I když k vysvětlení těchto pokusů byla navržena řada hypotéz, nepodařilo se nalézt teorii, která by je uspokojivě vysvětlila z jednotného hlediska. Současně se také v 19. století nepodařilo zjistit, zda princip relativity lze rozšířit na všechny fyzikální děje (např. na děje optické).

Úlohy

V r. 1969 vystoupil americký kosmonaut N. Armstrong jako první člověk na povrch Měsíce. Američtí kosmonauti, kteří vystoupili na Měsíc, udržovali se Zemí rádiové spojení. Vypočtěte, jak dlouho se šířila elektromagnetická vlna z povrchu Měsíce na povrch Země. Střední vzdálenost Měsíce od Země je asi 384 000 km. [ 1;3 s ]

Ze spirální galaxie M 31 v Andromedě dorazí světlo na Zemi za dobu 9 · 105 roků. Jaká je vzdálenost této galaxie od Země? [ 8;5 · 1018 km ]

:// pr om

tp s

První měření rychlosti světla v zemských podmínkách provedl francouzský fyzik H. Fizeau v r. 1849 pomocí aparatury, jejíž schéma je znázorněno na obr. 2-4. Svazek světelných paprsků vysílaný zdrojem S se nasměroval pomocí čočky C a polopropustného zrcátka D na obvod ozubeného kola K. Kolo se rychle otáčí a vytváří tak sled krátkých světelných signálů, které po průchodu objektivem O1 dopadají na čočku O2 , která je soustřeďuje na zrcátku Z ve vzdálenosti l od kola K. Po odrazu od zrcadla se paprsky vracejí zpět a jsou pozorovány prostřednictvím okuláru O3 . Princip měření spočívá v tom, že se nastaví frekvence otáčení kola tak, aby světlo dospělo od kola K k zrcátku Z a nazpět za dobu, za kterou se kolo pootočí o šířku zubu. Mezeru mezi zuby vystřídá neprůhledný zub, signál se do okuláru nedostane a pozorovatel za okulárem vidí v tomto případě zorné pole tmavé.

la d

ví

Pr om

et he u

tit

áz ka

ul uN

2-4

kl .cz

4 R E L AT I V N O S T S O U Č A S N O S T I

tp s

:// pr om

et he u

sna

Podle klasické fyziky je současnost událostí absolutní pojem. To znamená, že dvě současné události, které nastaly v různých místech zvolené inerciální vztažné soustavy K′ , jsou současné také v kterékoli jiné inerciální vztažné soustavě K. Z jednoduchého myšlenkového pokusu, založeného na principu stálé rychlosti světla, však vyplývá, že při velké rychlosti v soustavy K′ vzhledem k soustavě K (v → c) tento poznatek klasické fyziky o absolutnosti současnosti již neplatí. Předpokládejme, že soustavou K je přímá trať (obr. 4-1) a soustavou K′ je vagon pohybující se po trati rovnoměrně přímočaře rychlostí v, jejíž velikost je srovnatelná s rychlostí světla (např. v = 100 000 km · s−1 ). Uprostřed vagonu je signální lampa Z a na jeho koncích jsou stěny A a B. V určitém okamžiku signální lampa zableskne. Pozorovatel ve vztažné soustavě K′ (ve vagonu) zjistí, že signál dopadne na obě stěny vagonu A a B současně, neboť světlo proběhlo v obou případech stejné vzdálenosti stejnou rychlostí c. Dvě nesoumístné události, spočívající v dopadu světelného signálu na stěny A a B, jsou z jeho hlediska současné.

Pr om

la d

4-1

ví

áz ka

tit

ul uN

Pozorovatel v soustavě K (pozorovatel na trati) však zjistí, že signály nedopadnou na obě stěny současně. Světlo se šíří v jeho soustavě také rychlostí c (princip stálé rychlosti světla), avšak stěna A se během šíření světelného signálu posunula z místa A do místa A′ (blíže k zdroji), zatímco stěna B se vzdálila do místa B′ (dále od zdroje). Odtud je patrné, že pro pozorovatele na trati světlo dopadne na stěnu A dříve než na stěnu B. Z toho plyne:

Dvě nesoumístné události, které jsou současné vzhledem k soustavě K′ , nejsou současné vzhledem k soustavě K.

kl .cz

5 D I L ATAC E Č A S U

ví

Pr om

tp s

:// pr om

et he u

sna

V předcházejícím článku jsme poznali, že princip relativity a princip stálé rychlosti světla nás nutí opustit jednoduchou představu klasické fyziky o současných událostech a přijmout představu složitější, podle níž je současnost událostí pojem závislý na volbě inerciální vztažné soustavy. Oba základní principy speciální teorie relativity však vedou ještě k dalšímu dalekosáhlému zásahu do našich představ o čase; k jevu tzv. dilatace času. Tento jev se projevuje tím, že hodiny, které se pohybují vzhledem k určité inerciální vztažné soustavě K, jdou pomaleji než hodiny, které jsou v soustavě K v klidu. Při úvahách o dilataci času lze používat tzv. světelné hodiny, Z2 jejichž chod v klidu nebo v pohybu vzhledem k pozorovateli lze studovat jen užitím základních principů speciální teorie relativity. Světelné hodiny se skládají ze dvou rovnoběžných zrcadel Z1 a Z2 , od nichž se periodicky odráží světelný signál (obr. 5-1). Vzdálenost mezi zrcadly můžeme rozdělit na menší dílky a podle počtu periodických odrazů od obou zrcadel, popř. podle okamžité polohy světelného signálu můžeme pak usoudit, jaký čas světelné hodiny „ukazují“. Světelné hodiny nejsou ovšem skutečný přístroj, který by se mohl používat v praxi nebo v experimentální fyzice; jde jen o myšlenkový model hodin, Z1 který je pro svou jednoduchost výhodný v některých úvahách o měření času. 5-1

áz ka

tit

ul uN

la d

Světelné hodiny a dilatace času Předpokládejme, že inerciální soustava K′ se pohybuje vzhledem k inerciální soustavě K rychlostí v < c. Do počátku obou soustav umístíme stejné světelné hodiny H′ a H tak, aby jejich osy byly kolmé k vektoru rychlosti v (obr. 5-2a). V obou inerciálních soustavách K′ a K jsou pozorovatelé P ′ a P , kteří uvedou hodiny současně do chodu v okamžiku, kdy osy světelných hodin splývají. Předpokládejme dále, že si pozorovatel v soustavě K zvolí libovolnou dobu t měřenou na svých hodinách H, např. dobu, za kterou světelný paprsek dorazí v hodinách H od dolního zrcátka k hornímu (obr. 5-2b). Za tuto dobu se hodiny H′ posunou rovnoměrným pohybem vpravo a urazí dráhu v t.

sna

kl .cz

Příklad 1 Kuře se vylíhne z vajíčka za 21 dní. Předpokládejme, že líheň je umístěna na kosmické lodi pohybující se vzhledem k Zemi rychlostí 0;994c. Jakou dobu vylíhnutí kuřete zjistí v tomto případu a) kosmonaut na kosmické lodi, b) pozorovatel na Zemi?

et he u

Řešení t0 = 21 dní, v = 0;994c; t =?

tp s

:// pr om

Z principu relativity vyplývá, že kosmonaut na kosmické lodi zjistí stejnou dobu líhnutí kuřete, jaká byla v líhni na Zemi, tj. t0 = 21 dní. Tato doba je vlastní čas uvažovaného děje. Doba vylíhnutí kuřete z vajíčka umístěného na kosmické lodi je pak pro pozemského pozorovatele určena vztahem t0 21 =r dní ≈ 192 dní. t = r 2 v .0;994c/2 1− 2 1− c c2

Pr om

Pro kosmonauta na kosmické lodi je doba vylíhnutí kuřete 21 dní; pro pozorovatele na Zemi 192 dní.

ul uN

la d

ví

Příklad 2 Dvě dvojčata A a B se po oslavě svých dvacátých narozenin rozhodnou, že dvojče A zůstane na Zemi, zatímco dvojče B se vydá na dlouhou kosmickou cestu k hvězdě vzdálené od Země 40 světelných roků; u hvězdy se loď hned obrátí a dvojče B se vrátí zpět na Zem. Předpokládejme, že kosmická loď, na které dvojče B vykonalo svou cestu, se pohybuje k hvězdě i při zpětném návratu na Zemi konstantní rychlostí 0;99c (s výjimkou relativně malého úseku u Země a poblíž hvězdy, kde se loď pohybuje zrychleně nebo zpomaleně). Kolik let bude oběma dvojčatům po návratu kosmické lodi? Řešení

tit

t = 40 roků, v = 0;99c; t0 =?

áz ka

Při řešení příkladu zvolme za vztažnou soustavu Zemi. Kosmická loď se vzhledem k Zemi pohybuje rychlostí, která je jen o jedno procento menší než rychlost světla, a proto dorazí k hvězdě přibližně za dobu t = = 40 let. Na hodinách umístěných na kosmické lodi uplyne mezitím menší

6 KONTRAKCE DÉLEK

et he u

sna

kl .cz

Tento vztah mezi délkou tyče l0 v klidové soustavě K′ a délkou tyče l v soustavě K, vzhledem k níž se tyč pohybuje rychlostí v < c, nazýváme vztah pro kontrakci délek. Z nerovnosti v < c a ze vztahu pro kontrakci délek vyplývá s v2 0 < 1 − 2 < 1; l < l0 : c

:// pr om

Délka tyče l v soustavě, vzhledem k níž se tyč pohybuje rychlostí v, je tedy vždy menší než délka téže tyče l0 v soustavě klidové. Tento jev se nazývá kontrakce délek.

tp s

Poznámky: 1. Pro v ≪ c ze vztahu pro kontrakci délek dostaneme l ≈ l0 . 2. Lze dokázat, že rozměry tělesa kolmé k vektoru jeho rychlosti se nezkracují.

Příklad 1 Jakou rychlostí se vzdaluje od Země raketa, jestliže pro pozorovatele na Zemi je její délka ve srovnání s délkou klidovou poloviční?

Řešení

l0 , c = 3 · 108 m · s−1 ; v =? 2

Pr om

ví

Podle vztahu pro kontrakci délek platí s v2 l = l0 1 − 2 ; c

tit

ul uN

la d

kde l0 je délka rakety v její klidové vztažné soustavě a l délka rakety l0 vzhledem k Zemi. Poněvadž l = , dostáváme po dosazení 2 s l0 v2 = l0 1 − 2 2 c

áz ka

a odtud

1−

v2 1 = : 2 c 4

kl .cz

8 Z Á K L A D N Í P OJ M Y R E L AT I V I S T I C K É DY N A M I K Y

et he u

sna

Při rychlostech, jejichž velikost je mnohem menší než velikost rychlosti světla ve vakuu (v ≪ c), potvrzují experimenty správnost klasické (Newtonovy) dynamiky. Ve speciální teorii relativity je však třeba obsah základních pojmů a zákonů klasické dynamiky pozměnit, aby vedly ke správným výsledkům i při rychlostech blízkých rychlosti světla.

v2 1− 2 c

m= r

tp s

:// pr om

Relativistická hmotnost Podle klasické fyziky je hmotnost daného tělesa konstantní a nezávislá na jeho rychlosti. A. Einstein však ve své teorii dokázal, že hmotnost každého tělesa se s jeho rostoucí rychlostí zvětšuje, a to podle vztahu

Pr om

Veličina m se nazývá relativistická hmotnost a veličina m0 klidová hmotnost (tj. hmotnost tělesa, které je vzhledem k dané vztažné soustavě v klidu). Závislost relativistické hmotnosti tělesa na jeho rychlosti v vzhledem k dané inerciální vztažné soustavě je znázorněna na obr. 8-1. Z obr. 8-1 vyplývá, že

ví

m kg 5

ul uN

la d

áz ka

tit

2 1

0,2c 8-1

0,4c

0,6c

0,8c

c v

áz ka

tit

ul uN

la d

ví

Pr om

tp s

:// pr om

et he u

sna

kl .cz

při malých rychlostech tělesa v ≪ c je relativistická hmotnost tělesa přibližně rovna jeho hmotnosti klidové. Z obr. 8-1 dále vyplývá, že jestliže se rychlost tělesa bude zvětšovat a přibližovat se rychlosti světla c ve vakuu, poroste hmotnost tělesa nade všechny meze. Rychlost světla ve vakuu je tedy mezní rychlost, která nemůže být žádným hmotným tělesem překročena. Vztah vyjadřující hmotnost jako funkci rychlosti byl ověřen mnoha pokusy s použitím urychlovačů částic (obr. 8-2). V urychlovačích lze částice urychlit tak, že se pohybují rychlostmi blízkými rychlosti světla; hmotnost částic při těchto rychlostech mnohonásobně převyšuje jejich hmotnost klidovou. Např. urychlovač elektronů ve Stanfordu v USA je schopen urychlit elektrony tak, že když z urychlovače vylétávají, mají 40 000krát větší hmotnost, než když

8-2

Ž I VOTO P I S A L B E R TA E I N S T E I N A

kl .cz

ví

Pr om

tp s

:// pr om

et he u

sna

Albert Einstein je všeobecně považován za největšího fyzika dvacátého století. Do povědomí širší veřejnosti vstoupil především jako tvůrce teorie relativity; ve skutečnosti však významným způsobem zasáhl i do jiných oborů fyziky. Narodil se 14. března 1879 v bavorském městečku Ulmu. Jeho rodina se brzy přestěhovala do Mnichova a tam také Einstein v deseti letech začal studovat na gymnáziu. Měl zálibu především v matematice, fyzice a filozofii, vadil mu však nadbytek neužitečných znalostí v různých předmětech, a zejména kasárenský duch tehdejšího gymnázia, který byl v rozporu s jeho samostatným a nezávislým myšlením.

10-1

áz ka

tit

ul uN

la d

Rok před dokončením studia Einstein gymnázium opustil. Poněvadž měl velmi dobré výsledky v matematice a ve fyzice, pokusil se v šestnácti letech (obr. 10-1) udělat přijímací zkoušku na polytechniku ve švýcarském Curychu. Úspěšně složil zkoušky z matematiky a fyziky, ale neměl dostačující znalosti v cizích jazycích, botanice a zoologii, a proto nebyl na vysokou školu přijat. Rektor techniky mu doporučil, aby nejdříve dokončil středoškolské studium na švýcarské střední škole v Aarau. Na této vynikající škole strávil Einstein více než rok. Ve své třídě byl nejlepší v algebře, geometrii, fyzice a němčině, patřil mezi nejlepší v historii a přírodopisu, byl průměrným žákem v deskriptivní geometrii a chemii a slabým žákem v kreslení, rýsování a ve francouzštině. Na konci roku 1896 složil sedmnáctiletý Einstein s výborným prospěchem maturitu a byl bez zkoušek přijat na curyšskou polytechniku. Zde v r. 1900 složil závěrečné zkoušky a obdržel diplom. Podle šestibodové soustavy měl Ein-

Pr om

tp s

:// pr om

et he u

sna

kl .cz

v astrofyzice (např. černé díry, gravitační vlny, relativistické modely vesmíru apod.).

áz ka

tit

ul uN

la d

ví

10-2

10-4

10-3

čas absolutní, 10

pohyb absolutní, 15 Poincaré, J. H., 52 princip relativity, 18 – – mechanický, 10 – stálé rychlosti světla, 18

D délka předmětu absolutní, 10 dilatace času, 23 doba života mezonů, 25 dynamika relativistická, 42

relativnost současnosti, 21 Römer, O., 14

Einstein, A., 18, 51 energie klidová, 47 – vazební, 48 éter světelný, 14

tp s

skládání rychlostí, 38 současnost událostí absolutní, 10 – – relativní, 22 soustava souřadnic, 9 – vztažná, 10 – – absolutní, 15 – – inerciální, 10 – – neinerciální, 10

FitzGerald, G. F., 52 Fizeau, H., 14

Pr om

Galilei, G., 11

st el at

la d

hmotnost, 10 – klidová, 42 – relativistická, 42 hmotnostní úbytek, 48 hodiny světelné, 23 Huygens, Ch., 14 hybnost, 44 – relativistická, 44

ví

tit

ul uN

klid absolutní, 15 kontrakce délek, 31

áz ka

Lorentz, H., 52

mezon, 26

Newton, I., 9

:// pr om

et he u

sna

kl .cz

REJSTŘÍK

T teorie relativity speciální, 18

U úbytek hmotnostní, 48 událost bodová, 9 události současné, 10 – soumístné, 9

V vztah mezi energií a hmotností, 46 – pro kontrakci délek, 32 – pro skládání rychlostí, 38

Z zákon první pohybový, 10 – skládání rychlostí, 10, 38 – zachování energie, 47 – – hmotnosti, 44 zákony Newtonovy mechaniky, 10