0327716

Obsah Diferenciální a integrální počet 1. Diferenciální počet Elementární funkce, spojitost funkce

6

Limita funkce

12

Derivace funkce

19

Vlastnosti průběhu funkcí

24

Průběh funkce

33

Užití diferenciálního počtu

51

2. Integrální počet Primitivní funkce

56

Integrační metody

62

Určitý integrál

67

Obsah plochy pod grafem

72

Objem rotačních těles

77

5

kapitola

1

Elementární funkce, spojitost funkce

část

1

Diferenciální a integrální počet

Diferenciální počet

Výpisky Graf spojité funkce vypadá jako jedna „nepřerušená čára“ na daném intervalu.

Okolím bodu a se rozumí symetrické (úplné) okolí tohoto bodu, které se značí jako U(a).

Jde o interval (a − δ; a + δ), kde δ je libovolné kladné reálné číslo, které představuje poloměr tohoto okolí.

Spojitou funkci můžeš popsat tak, že pokud zvolíš libovolné okolí bodu f(a), existuje takové okolí bodu a, že pro všechna x z okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).

Spojitost v bodě může být i jednostranná.

1) Pro spojitost zprava se uvažuje pouze pravé okolí bodu a, tedy interval 〈a; a + δ).

2) Pro spojitost zleva se uvažuje pouze levé okolí bodu, tedy interval (a − δ; a〉.

Funkce je spojitá na uzavřeném intervalu 〈a; b〉, pokud je spojitá ve všech bodech intervalu (a; b), spojitá zprava v bodě a a zleva v bodě b.

Základní elementární funkce představuje souhrnný název pro funkce konstantní, mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické (inverzní ke goniometrickým na intervalech, kde jsou ryze monotónní, např. arcsin x).

Elementární funkce se nazývá každá funkce, která patří buď mezi základní elementární funkce, nebo vznikla jejich konečným počtem algebraických operací, tj. součtem, součinem, rozdílem, podílem nebo vytvořením složených funkcí.

Elementární funkce je spojitá v každém vnitřním bodě svého definičního oboru.

Příklad 1

Postup, jak na to, najdeš v učebnici na straně 17

Urči, zda jsou funkce na zobrazeném intervalu spojité: a) HHH y 9

f

8 7 6 5 4 3 2 1 x

0 –5 –4 –3 –2

–1 –1 0 –2

6

1

2

3

4

5

Poznámky

b) HHH

10

Poznámky

y

g

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –2

–1 –1 0

x 1

2

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

c) HHH

y

h

7 6 5 4 3 2 1 0

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

x 0

1

2

3

4

5

–2 –3 –4 –5 –6 –7

d) HHH 3

y

2

i

1 x

0 –5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

Příklad 2 HHH

Nevíš? Postup najdeš v učebnici na straně 17

Urči všechny body nespojitosti funkce na zobrazeném intervalu.

5

y

4

3

2

f

1 0

–6

–5

–4

–3

Příklad 3

–2

–1

x 0

1

2

3

4

5

Nevíš jak? Mrkni do učebnice na stranu 19

Urči, zda je funkce elementární. Pokud ano, urči, z jakých základních funkcí se skládá: 8 a) f(x) = cos x + sin HHH x

b) g(x) = 22 + x + x HHH

c) h(x) = sin(sgn x) HHH

³ d) i(x) = 9 x + 9x HHH

8

Poznámky

Poznámky

e) j(x) = sgn(sin x) HHH

x

f) k(x) = √4x ⋅ x HHH

g) l(x) = √9x + 4x ⋅

log(x + 5) sin x

HHH

Příklad 4

Máš problém? Mrkni do učebnice na stranu 20

Urči definiční obor následujících funkcí: a) f(x) = √x + 6 HHH

b) g(x) =

96 √x2 + 9

HHH

c) h(x) = sin(x + 1) −

d) i(x) = √x + 6 +

1 x2 + 2x − 15

log(x) ⋅ x 9−x

HHH

HHH

e) j(x) = 3ln x + √x − 6 HHH

9

Státní maturita? Tam ne, ale co školní nebo vejška?

Příklad 5

2 min.

x + x2 Vyber, ze kterých základních funkcí a operací se skládá funkce f(x) = x4 + . x − sin 90° a) exponenciální, goniometrická; sčítání, odčítání, násobení b) exponenciální, konstantní; sčítání, odčítání, skládání c) mocninná, goniometrická; sčítání, odčítání, násobení d) mocninná, konstantní; sčítání, odčítání, skládání

Příklad 6

0,5 min.

Z voltampérové charakteristiky diody vyplívá závislost proudu na napětí v propustném a nepropustném směru. Urči, zda se jedná o spojitou funkci.

I

průrazné napětí

10

f

prahové napětí

U

Poznámky

Poznámky

Výsledky 1

a) je spojitá c) není spojitá

b) je spojitá d) je spojitá

2

nespojitá v x = −5, x = −2 a x = 1, v bodě x = −6 nespojitá pouze zleva, v bodě x = 4 nespojitá pouze zprava

3

a) goniometrická, konstantní, mocninná b) exponenciální, konstantní, mocninná c) funkce není elementární d) exponenciální, konstantní, mocninná e) funkce není elementární f) exponenciální, konstantní, mocninná g) mocninná, konstantní, logaritmická, goniometrická

4

a) D(f ) = ⟨−6; ∞) c) D(h) = (−∞; −5) ∪ (−5; 3) ∪ (3; ∞) e) D(j) = ⟨6; ∞)

5

d)

6

Jedná se o spojitou funkci.

b) D(g) = ℝ d) D(i) = (0; 9) ∪ (9; ∞)

11