Obsah Diferenciální a integrální počet 1. Diferenciální počet Elementární funkce, spojitost funkce
14
Limita funkce
23
Derivace funkce
35
Vlastnosti průběhu funkcí
48
Průběh funkce
62
Užití diferenciálního počtu
76
2. Integrální počet
12
Primitivní funkce
86
Integrační metody
95
Určitý integrál
106
Obsah plochy pod grafem
113
Objem rotačních těles
120
kapitola
1
část
1
Elementární funkce, spojitost funkce Diferenciální a integrální počet
Diferenciální počet
Elementárně o spojitosti V této podkapitole ti blíže popíši pojem spojitost funkce, který ti je určitě znám z dřívějška. Pokud marně vzpomínáš, co to vlastně je, tak nevadí. Všechny vlastnosti, které potřebuješ znát, si nejdřív zopakuješ. Dále se naučíš, které funkce jsou elementární a proč je potřebné je znát. Nezalekni se toho, kolik je tu teorie, ale pokud máš umět látku v následujících podkapitolách, tak je to potřeba pochopit a znát.
A kde se to dá využít? Spojitosti se dá v běžném životě říkat také nepřetržitost. Tento děj se dá popsat funkcí, kterou se šikne umět rozluštit. Pod tímto luštěním si představ schopnost rozhodnout, ve které chvíli funkce přestává být nepřetržitá (spojitá). S tím ti pomůže především graf takovéto funkce, kde je to krásně vidět. V tomto grafu může být například zaznamenávána spotřeba elektřiny v domácnosti. Tento graf je spojitý do chvíle, kdy vypadne proud.
Jaké to má souvislosti v matice? Schopnost určit, jestli je funkce spojitá, či nikoliv, ti velice pomůže v následujících podkapitolách. Například v podkapitole o derivacích zjistíš, že nespojitou funkci nejde v místě přerušení derivovat. Ať už se budeš učit o derivacích nebo integrálech, vždy tam bude spojitost figurovat.
Co je to ta spojitá funkce? Spojitá funkce je taková funkce, jejíž graf je „jedna nepřerušená čára“, neboli dá se nakreslit jedním tahem. Jako například funkce f na obrázku níže. y
f
5 4 3 2 1 0
x 0
1
2
3
Pokud na grafu funkce vybereš jeden bod, tak pro spojitou funkci v tomto bodě platí, že ty body, které jsou na ose x blízko vybraného (vyšetřovaného) bodu a jsou nekonečně blízko u sebe, mají tu vlastnost, že i jejich funkční hodnoty jsou nekonečně blízko u sebe. Aby došlo k lepšímu matematickému vysvětlení spojitosti, potřebuješ znát tzv. okolí bodu. Tímto bodem je myšleno jakékoliv reálné číslo.
14
Cože? Okolí bodu? Okolí bodu a se značí U(a). Většinou se tím rozumí symetrické (úplné) okolí tohoto bodu, tedy otevřený interval (a – δ; a + δ), kde δ (čti: „delta“) je tzv. poloměr okolí a nabývá hodnot libovolného kladného reálného čísla. Jedná se o otevřený interval, uprostřed kterého je střed okolí a tím je právě bod a.
a−δ
a
a+δ
Levé okolí bodu (a – δ; a〉 je pouze levá část od bodu a. Například (2; 5〉 je levé okolí bodu 5 s poloměrem 3. Podobně je to s pravým okolím bodu 〈a; a + δ), které je na pravé straně od bodu a, tj. pro příklad bodu 5 s poloměrem 3 by výsledkem byl interval 〈5; 8).
Tak a teď zpátky ke spojitosti! Spojitou funkci f v bodě a můžeš popsat tak, že pokud zvolíš libovolné okolí bodu f(a), existuje takové okolí bodu a, kdy pro všechna x z okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a). Obrázek níže celou situaci krásně znázorňuje. 5
y
f 4
3
f(a)
2
1
0
x 0
1
a
2
3
4
Obrázek dokazuje, že funkce je spojitá, protože pro hodnoty na ose y v okolí bodu f(a) existuje okolí bodu a na ose x. A všechny funkční hodnoty těchto x patří do okolí bodu f(a). 1 To samé platí například pro funkci f(x) = . x
||
f(x) =
1 x x
15
Grafem této funkce není jedna křivka, jelikož definičním oborem této funkce jsou všechna reálná čísla mimo nulu, a právě v této nule se graf funkce rozděluje na dvě části. Funkce je ale spojitá, protože odpovídá definici podle okolí. Pozor tedy jestli určuješ spojitost na definičním oboru funkce, nebo na určitém intervalu. Funkce na obrázku výše je spojitá na intervalu (–∞; 0) ∪ (0; ∞), ale není spojitá na celé množině všech reálných čísel. Nakonec ještě jedno moudro. Pokud se řekne, že je, či není funkce spojitá, je tím myšleno v množině všech reálných čísel, proto je lepší psát na jakém konkrétním intervalu je, nebo není funkce spojitá.
A jak je to s jednostrannou spojitostí? Jednostranná spojitost funkce znamená, že je funkce z jedné strany spojitá a z druhé strany být nemusí. Záleží na tom, kterou polovinu okolí bodu a si vybereš a se kterou budeš pracovat. y
f
2
f(a)
1
0
x 0
a
2
1
Řekneš tedy, že funkce je spojitá v bodě a zprava, pokud pro libovolné okolí bodu f(a) existuje takové pravé okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto pravého okolí patří hodnoty f(x), tedy hodnoty pro osu y, do zvoleného okolí bodu f(a). Pozor na to, že pravé okolí, tj. interval 〈a; a + δ), tě zajímá jen u bodu a, zatímco u bodu f(a) je stále řeč o okolí symetrickém (úplném). y
f 2
1
f(a)
0 –2
–1
a
x 0
Stejně to funguje u spojitosti v bodě a zleva, kde pracuješ s levým okolím bodu a, tedy s intervalem (a – δ; a〉.
Jak je to se spojitostí na intervalu? Teď už znáš pojem spojité funkce v určitém bodě. Spojitost na intervalu je hodně o tvé představivosti a intuici. Funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu 〈a; b〉, jestliže je spojitá ve všech bodech intervalu (a; b), dále v bodě a je jednostranně spojitá zprava a v bodě b je jednostranně spojitá zleva.
16
spojité zprava od bodu a
spojité zleva od bodu b
x
a
b
Další možností, jak ověřit, že je funkce spojitá, je pomocí tzv. limity funkce, se kterou se seznámíš v následující podkapitole.
Příklad 1 Rozhodni, které funkce jsou na zobrazeném intervalu spojité a které nejsou. a)
b)
y 2
y 2
1
g
1
0
0
x 0
1
2
3
x
4
1
0
2
3
f
c)
d)
y
h 3
y
2
i
2
1
1
0
0
x 0
1
2
x 1
0
2
3
1 2 3
Postup
Tvým úkolem je zjistit, jestli jsou funkce spojité, či ne. Jelikož jsou funkce zadané graficky, stačí se na ně podívat. V případě, že jde o „nepřerušovanou čáru“, jedná se o spojitou funkci. a)
c)
y
h 3
y
2
2
1
1 0
x 0
1
2
3
0
x 0
4
f
1
2
1 2 3
17
Stačí ti pouhý pohled na funkci pro určení toho, zda je funkce spojitá, nebo ne. Spojitá funkce je „nepřerušená čára“. První funkce f a třetí funkce h splňují tuto podmínku pro spojitost. Pokud bychom měli nějakou složitou funkci a neznali její graf, museli bychom na to jít trochu více matematicky. Bylo by třeba, aby platilo, že pro každý bod f(a) existuje okolí bodu a, kdy pro všechny body x v tomto okolí můžeš najít všechny body f(x) v okolí bodu f(a). Což se ale nedá říct o příkladech b) a d). b)
d)
y 2
y
g
1 0
1 0
x 0
1
2
i
2
3
x 0
1
2
3
Tyto funkce jsou od prvního pohledu nespojité, protože jejich graf není „nepřerušovaná čára“. Funkce f a h jsou spojité na svém definičním oboru. Funkce g a i nejsou spojité na svém definičním oboru. Díky tomuto příkladu víš, že se dá spojitost funkce určit na první pohled, pokud znáš graf dané funkce. Pokud se jedná o nepřerušovanou čáru, jde o funkci spojitou. V opačném případě je funkce nespojitá.
Souvisí nějak funkce spojitá s pojmem elementární funkce? Dříve než ti odpovím na tuto otázku, je potřeba si ujasnit, co je to vlastně elementární funkce. Pojem základní elementární funkce představuje souhrnný název pro funkce konstantní, mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické (inverzní ke goniometrickým na intervalech, kde jsou ryze monotónní, např. arcsin x). Elementární funkcí nazveš každou funkci, která patří buď mezi základní elementární funkce, nebo vznikla jejich konečným počtem algebraických operací, tj. součtem, součinem, rozdílem, podílem nebo vytvořením složených funkcí. Níže je jednoduché schéma základních elementárních funkcí, které ti lépe pomůže zařadit jednotlivé druhy funkcí. Základní elementární funkce
Konstantní
y=3
Mocninná
y=x y = x2 y = √x
Exponenciální
Logaritmická
Goniometrická
Cyklometrická
y = 2x
y = In x
y = sin x
y = arcsin x
No ale proč tedy pojem spojitost funkce souvisí s elementární funkcí? Elementární funkce mají jednu důležitou společnou vlastnost, jsou totiž spojité v každém vnitřním bodě svého definičního oboru.
18
A jakže vypadají neelementární funkce? Příkladem může být funkce signum, která je definována jako:
{
1, x > 0 sgn x = 0, x = 0 –1, x < 0 A její graf vypadá takto:
y 2
g: y = sgn x
1 0
x 0
1
2
3
Vzpomínáš si na tento graf? Ano, v prvním příkladu jsme určili, že je funkce nespojitá. A pokud je nespojitá, nemůže být elementární.
Příklad 2 Urči, zda je funkce f(x) =
2ex ⋅ cos(√8 + ln 3x) elementární. 3 + x2
Postup
Tvým úkolem je určit, jestli zadaná funkce splňuje určení elementární funkce. Tedy jestli vznikla složením určitých druhů funkcí s konečným počtem operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání.
2ex 3 + x2 Zadanou funkci nejprve rozdělíš na zlomek a funkci kosinus s odmocninou v argumentu. Tento zlomek je elementární, protože se jedná o podíl exponenciální funkce a součtu konstantní s mocninnou funkcí. cos(√8 + ln 3x) Druhá funkce je také elementární, protože do goniometrické funkce kosinus vkládáš odmocninu, kde pod odmocninou je součet konstanty a logaritmické funkce. f(x) =
2ex ⋅ cos(√8 + ln 3x) 3 + x2
Jelikož je funkce složena ze dvou elementárních funkcí, mezi kterými je součin, je výsledkem tohoto součinu také funkce elementární. Pro určení elementární funkce pamatuj na to, že je potřeba rozebrat funkci na nejzákladnější funkce (elementy) a základní matematické operace. Pokud se ti nepodaří funkci takto rozložit, nejedná se o elementární funkci.
19
Příklad 3 Urči definiční obor zadané funkce f(x) =
6 + √3x – 1 – ln x. 3x – 3
Postup
Tvým úkolem je určit definiční obor zadané funkce. Takže musíš určit, pro jaké hodnoty x má funkce smysl. Pokud se v předpisu funkce jednotlivé výrazy sčítají, tak stačí určit podmínky jen u jednotlivých výrazů.
6 3x – 3
→ 3x – 3 ≠ 0
→
x≠1
U prvního výrazu ověříš, že se jmenovatel nerovná nule. Stačí si výraz ve jmenovateli dát do rovnosti s nulou a spočítat jednoduchou lineární rovnici. √3x – 1
→ 3x – 1 ≥ 0
→
x≥
1 3
V dalším výrazu musíš zajistit, aby výraz pod odmocninou nebyl záporný, tj. byl větší nebo roven nule. Danou nerovnici vypočítáš a dostaneš podmínku, že neznámá x je větší nebo rovna jedné třetině. ln x
→ x>0
Jako poslední je přirozený logaritmus s argumentem x. Zde stačí, aby byl argument logaritmu větší než nula.
0
D(f) =
1 3
1
2
3
4
5
1 ; 1 ∪ (1; ∞) 3
Posledním krokem je všechny podmínky zakreslit na číselnou osu a určit jejich průnik, tedy ta čísla, která mají společná, čímž vznikne definiční obor zadané funkce. Výsledný definiční obor zadané funkce jsou hodnoty od jedné třetiny včetně do nekonečna bez čísla jedna.
Suma sumárum Graf spojité funkce vypadá jako jedna „nepřerušená čára“ na daném intervalu. Okolím bodu a se rozumí symetrické (úplné) okolí tohoto bodu, které se značí jako U(a). Jde o interval (a – δ; a + δ), kde δ je libovolné kladné reálné číslo, které představuje poloměr tohoto okolí. Spojitou funkci můžeš popsat tak, že pokud zvolíš libovolné okolí bodu f(a), existuje takové okolí bodu a, že pro všechna x z okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).
20
Spojitost v bodě může být i jednostranná. Pro spojitost zprava se uvažuje pouze pravé okolí bodu a, tedy interval 〈a; a + δ). Pro spojitost zleva se uvažuje pouze levé okolí bodu, tedy interval (a – δ; a〉. Funkce je spojitá na uzavřeném intervalu 〈a; b〉, pokud je spojitá ve všech bodech intervalu (a; b), spojitá zprava v bodě a a zleva v bodě b. Základní elementární funkce představuje souhrnný název pro funkce konstantní, mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické (inverzní ke goniometrickým na intervalech, kde jsou ryze monotónní, např. arcsin x). Elementární funkce se nazývá každá funkce, která patří buď mezi základní elementární funkce, nebo vznikla jejich konečným počtem algebraických operací, tj. součtem, součinem, rozdílem, podílem nebo vytvořením složených funkcí. Elementární funkce je spojitá v každém vnitřním bodě svého definičního oboru.
Procvičení 1
Cvičení dělá mistra! Další příklady najdeš v pracovním sešitě na straně 6
Urči, zda je funkce spojitá na zobrazeném intervalu. Pokud ne, urči body nespojitosti. a)
b)
y
y
f
3
g
6 5
2
4
1 0
3
x 0
1
3
2
2
1
1
2
x
0 3
0
c)
1
2
3
y
d) 3
i
y 2 1
1
h
0 1
0
2
3
4
2
x
0
5
x 0
1
2
3
1 2 3
e)
y
j
3 2 1 0
x 0
1
2
3
4
5
21
2
Urči, zda je funkce elementární: cos x + √ln 4 3 b) g(x) = sgn(4x + 2) a) f(x) =
3 x3 3 d) i(x) = √x4 ⋅ ln(16) + sgn(2x + 4) ln 2x
c) h(x) = e
3
⋅
Urči, ze kterých základních elementárních funkcí a operací se skládají následující elementární funkce: esin 2x + tg 4x 4 + x3 b) g(x) = √3 + ln2 5x ⋅ sin(x + 5)
a) f(x) =
2x + 6 3x – 2
c) h(x) =
d) i(x) = √x2 + 2x – 9 + 3log(4x) ⋅ cos
4
3x – 2x5 2
Urči definiční obor následujících funkcí: a) f(x) = ln
5 3x
b) g(x) =
2 – 3x x2
c) h(x) =
–8 x + x – 6 2
d) i(x) = √3x – 5 + ln(2x – 1)
Výsledky 1
Postup řešení najdeš na www.pocitame.si
a) nespojitá v x = 0
b) spojitá
c) spojitá
d) nespojitá v x = 0
e) nespojitá v x = –2 a x = 2, v bodě x = –4 nespojitá jen zleva a v x = 4 zase nespojitá jen zprava 2
a) ano
b) ne
c) ano
d) ne
3
a) konstantní, exponenciální, goniometrická (sinus, tangens), mocninná; sčítání, násobení, dělení, skládání b) konstantní, mocninná, logaritmická, goniometrická (kosinus); sčítání, násobení, skládání c) mocninná, konstantní; sčítání, násobení, odčítání, dělení, skládání d) logaritmická, goniometrická (kosinus), mocninná, konstantní; sčítání, odčítání, násobení, skládání
4
a) D(f) = (0; ∞)
22
b) D(g) = (–∞; 0) U 0;
2 3
c) D(h) = (–3; 2)
d) D(i) =
5 ;∞ 3