0038368

D., PaedDr. Jozef Kuzma, Ph á PaedDr. Monika Reiterov

MATEMATIKA

Y L O K ˇ S Í N D A L K Á Z O PR

V KOSTCE

dní školy

oušky na stře Příprava na přijímací zk

001-007 Matematika.indd 1

22/11/16 13:18

OBSAH

PŘEDMLUVA

1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.3.1 1.1.3.2 1.1.3.3 1.1.3.4 1.1.3.5 1.2 1.2.1 1.2.1.1

ARITMETIKA Čísla Základní pojmy Druhy čísel Operace s čísly Absolutní hodnota čísla Sčítání Odčítání Násobení Dělení Číselné obory Přirozená čísla Zaokrouhlování přirozených čísel Sčítání přirozených čísel Odčítání přirozených čísel Násobení přirozených čísel Dělení přirozených čísel Dělitelnost přirozených čísel Dělitel čísla Kritéria dělitelnosti Rozklad na součin prvočísel Největší společný dělitel Společný násobek dvou čísel Nejmenší společný násobek Celá čísla Sčítání celých čísel Odčítání celých čísel Násobení celých čísel Dělení celých čísel Racionální čísla Zlomky Rozšiřování zlomků Krácení zlomků Porovnávání zlomků Sčítání a odčítání zlomků Násobení zlomků Dělení zlomků

1.2.1.2 1.2.1.3 1.2.1.4 1.2.1.5 1.2.1.5.1 1.2.1.5.1.1 1.2.1.5.1.2 1.2.1.5.1.3 1.2.1.5.1.4 1.2.1.5.1.5 1.2.1.5.1.6 1.2.2 1.2.2.1 1.2.2.2 1.2.2.3 1.2.2.4 1.2.3 1.2.3.1 1.2.3.1.1 1.2.3.1.2 1.2.3.1.3 1.2.3.1.4 1.2.3.1.5 1.2.3.1.6

7 9 9 9 10 12 14 14 15 15 17 18 18 18 19 20 20 22 23 23 23 24 25 25 26 26 26 27 27 27 28 28 29 30 30 31 31 32

1.2.3.1.7 1.2.3.2 1.2.3.2.1 1.2.3.2.2 1.2.3.2.3 1.2.3.2.4 1.2.3.3 1.2.3.3.1 1.2.3.3.2 1.2.3.3.3 1.2.3.3.4

1.2.4 1.2.5 1.2.5.1 1.2.5.1.1 1.2.5.1.2 1.2.5.1.3 1.2.5.2 1.3 1.3.1 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.2.1 1.4.2.2 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.6

Složený zlomek Smíšená čísla Sčítání smíšených čísel Odčítání smíšených čísel Násobení smíšených čísel Dělení smíšených čísel Desetinná čísla Sčítání desetinných čísel Odčítání desetinných čísel Násobení desetinných čísel Dělení desetinných čísel (i se zbytkem) Iracionální čísla Reálná čísla Mocniny Druhá mocnina Druhá odmocnina Třetí mocnina Zápis velkých čísel Množiny Intervaly Poměr, úměrnost Poměr Úměrnost Přímá úměrnost Nepřímá úměrnost Procenta Procento Základ Část příslušející počtu procent Počet procent Promile Finanční matematika

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3

ALGEBRA Výrazy a jejich úpravy 51 Číselné výrazy Výrazy s proměnnou Mnohočleny

32 33 33 33 34 34 34 35 36 37 38 39 39 39 39 40 40 41 41 42 43 43 45 45 46 46 46 47 47 48 49 49 51 51 52 52

3 001-007 Matematika.indd 3

22/11/16 13:18

2.1.4

2.1.5

2.2.3.2

2.2.3.3

2.2.3.4

2.3 2.3.1

2.3.2

2.4 2.4.1

Porovnávání, sčítání a odčítání výrazů 53 Násobení a dělení výrazů číslem, vytýkání před závorku 53 Lineární rovnice.

Ekvivalentní úpravy rovnic 54 Rovnice s neznámou ve jmenovateli 56 Kontextové úlohy řešené lineární rovnicí 56 Slovní úlohy 58 Jednoduché slovní úlohy o společné práci 58 Jednoduché slovní úlohy o pohybu 60 Jednoduché slovní úlohy o směsích 61 Další jednoduché i náročnější slovní úlohy řešené jednodušším úsudkem, úvahou či případnou zkušeností 62 Lineární nerovnice 62 Zkouška (ověření) při řešení nerovnic 63 Grafické zobrazení řešení jednoduché nerovnice 63 Lineární funkce 64 Některé praktické úlohy 65

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.2.1 3.1.2.2 3.1.2.3 3.1.2.4

3.1.2.5

3.1.2.6 3.1.2.7 3.1.2.8

3.1.2.9

GEOMETRIE Rovinné útvary Bod Čáry a jejich rýsování Druhy čar Čáry podle tloušťky Význam čar v rýsování Přímka, polopřímka, opačné polopřímky, různoběžky Úsečka, délka úsečky, shodné úsečky, přenášení úseček, střed úsečky, osa úsečky Jednotky délky Rovina, polorovina Kolmice, kolmice na danou přímku, pata kolmice Rovnoběžky, totožné přímky

2.2 2.2.1

2.2.2

2.2.3 2.2.3.1

66 66 66 66 66 66 66 67

67 68 69 69 70

3.1.3

3.1.4

3.1.5 3.1.5.1 3.1.5.2 3.1.5.3 3.1.5.4 3.1.5.5 3.1.5.6 3.1.5.7 3.1.5.8

3.1.5.9 3.1.5.10 3.1.5.11 3.1.5.12

3.1.5.13 3.1.5.14

3.1.5.15 3.1.5.16

3.1.5.17

3.1.5.18 3.1.5.19

3.1.6

3.1.6.1

3.1.6.2

3.1.6.3 3.1.6.4 3.1.6.5 3.1.6.6 3.1.6.7 3.1.6.8

Vzdálenost bodu od přímky v rovině 70 Vzdálenost dvou rovnoběžek v rovině 70 Úhel 70 Úhel přímý, ostrý, pravý, tupý 71 Konvexní a nekonvexní úhel 71 Přenášení úhlů a shodné úhly 72 Vrcholové a vedlejší úhly 73 Souhlasné a střídavé úhly 73 Osa úhlu 74 Měření úhlů, jednotky velikosti úhlů, převody jednotek 74 Sčítání a odčítání úhlů, násobení a dělení úhlů dvěma 74 Konstrukce úhlu 90°, 60°, 45°, 30°, ale i dalších úhlů bez úhloměru 76 Kružnice, kruh 77 Ludolfovo číslo π 78 Oblouk kružnice, kruhová výseč, kruhová úseč 78 Délka kružnice 79 Obsah kruhu, soustředné kružnice a obsah mezikruží 79 Jednotky obsahu 81 Vzájemná poloha kružnice a přímky 82 Konstrukce tečny k bodu kružnice, kruhu 82 Tětiva kružnice, kruhu 83 Středový úhel, Thaletova věta, Thaletova kružnice 83 Trojúhelníky, trojúhelníková nerovnost 84 Trojúhelník rovnostranný, rovnoramenný, ostroúhlý, tupoúhlý 85 Pravoúhlý trojúhelník, odvěsny, přepona 86 Pythagorova věta 86 Konstrukce trojúhelníku 87 Shodnost geometrických útvarů 88 Shodné trojúhelníky, věty o shodnosti trojúhelníků 89 Vnitřní a vnější úhly trojúhelníku 90 Výšky trojúhelníku 90

4 001-007 Matematika.indd 4

22/11/16 13:18

3.1.6.9 3.1.7 3.1.7.1 3.1.7.2 3.1.7.3 3.1.7.4 3.1.7.5 3.1.7.6 3.1.7.7

3.1.8 3.1.8.1 3.1.8.2 3.1.8.3

3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.3.1 3.3.2

3.4 3.4.1 3.4.1.1

Obvod a obsah trojúhelníku 91 Mnohoúhelníky 91 Mnohoúhelníky 91 Čtyřúhelníky 91 Vlastnosti čtverce 92 Vlastnosti obdélníku 92 Vlastnosti kosočtverce 93 Vlastnosti kosodélníku 93 Výška rovnoběžníku, obvod a obsah 93 Lichoběžník 94 Obecné vlastnosti lichoběžníků 94 Obvod a konstrukce lichoběžníku 95 Konstrukce rovnoběžníku a lichoběžníku 96 Středová a osová souměrnost 98 Středová souměrnost 98 Osová souměrnost 98 Podobnost 100 Podobnost trojúhelníků 100 Věty o podobnosti trojúhelníků 101 Prostorové útvary – tělesa 102 Hranoly 103 Hranoly a jejich zobrazení ve volném rovnoběžném promítání 103

3.4.1.2

3.4.1.3

3.4.3 3.4.3.1

3.4.4 3.4.4.1

3.4.5 3.4.5.1

Stavba těles ze stavebnicových kostek Síť krychle, kvádru a pravidelného čtyřbokého hranolu Povrch tělesa – krychle, kvádru, hranolu Objem tělesa – krychle, kvádru,hranolu Jednotky objemu Rotační válec Povrch a objem rotačního válce Pravidelný čtyřboký jehlan Povrch a objem pravidelného čtyřbokého jehlanu Rotační kužel Povrch a objem rotačního kužele Koule Povrch a objem koule

4

4.1 4.2 4.3

KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Kombinatorika Pravděpodobnost Statistika

114 114 119 121

REJSTŘÍK

124

3.4.1.4 3.4.1.5 3.4.1.6 3.4.2 3.4.2.1

103 105 105 106 108 108 109 110 110 111 111 112 112

5 001-007 Matematika.indd 5

22/11/16 13:18

PŘEDMLUVA Milí žáci, vážení učitelé a vážení rodiče, právě hodláte nahlédnout do publikace, kterou jsme pro vás připravili se záměrem na co nejmenší ploše a pokud možno nejvýstižněji shrnout teoretické i praktické učivo z matematiky na základní škole a v nižších ročnících osmiletého gymnázia. Uvedené učivo patří mezi základní učivo, které byste měli jako absolventi nižšího sekundárního vzdělávání na různé úrovni ovládat. Publikaci doporučujeme žákům od 3. ročníku základní školy.

Zdůrazňujeme, že svým zpracováním nemá tato publikace snahu nahradit školní učebnice ani pracovní sešity či komplexnější sbírky příkladů z matematiky. Klade si za cíl být vhodným organickým doplňkem k novým učebnicím matematiky, a proto obsahuje k jednotlivým složkám z matematiky, tematickým celkům a vybraným tématům stručné zopakování podstatných teoretických poznatků a pojmů, ale také poměrně velký počet řešených i neřešených příkladů, které by vám měly být oporou při osvojování základních vědomostí, dovedností a matematických kompetencí.

Takovouto strukturu publikace jsme zvolili záměrně. Chceme vám umožnit tuto příručku kdykoliv otevřít, najít a zopakovat si učivo, řekněme z předchozích ročníků, využít ji pro přípravu na testy, na přijímací zkoušky na střední školu, a také v počáteční fázi vašeho studia na střední škole.

Obsahem publikace bychom rádi pomohli i vašim učitelům s vámi efektivněji komunikovat a opakovat si již dříve osvojené znalosti, ale i z různých příčin „zapomenutou“ látku.

Rádi bychom pomohli i těm rodičům, kteří chtějí některým z vás pomoci při překonávání překážek v osvojování základních matematických vědomostí, avšak již sami zapomněli jak na to, a právě doma nemáte učebnice z předchozích ročníků, nebo lepší publikaci než je tato.

Pevně doufáme, že se nám podařilo sestavit na srozumitelné a přijatelné úrovni základní přehled matematiky, s jehož pomocí budete v tomto školním předmětu ještě úspěšnější. Přejeme vám pohodlnou práci s touto publikací a navíc hodně trpělivosti, vytrvalosti a také radosti z výsledků, kterých v matematice na základní škole i s využitím této publikace dosáhnete.

Autoři

7 001-007 Matematika.indd 7

22/11/16 13:18

1

ARITMETIKA

1.1 âísla 1.1.1 Základní pojmy Číslo Číslo je jedním ze způsobů vyjádření množství.

Například: 4 hrušky, 49,90 Kč,

2 koláče, –3 °C 5

Desítkovou soustavu tvoří deset prvků, k zápisu těchto prvků tedy potřebujeme deset symbolů (číslice 0 – 9).

Deset prvků nižšího řádu tvoří jednu skupinu vyššího řádu: Deset jednotek je jedna desítka Deset desítek je jedna stovka Deset stovek je jeden tisíc atd. Číslice v čísle vyjadřují zleva doprava počet celých skupin od nejvyššího řádu po nejnižší.

Například:

Číslice K zápisu čísel používáme obvykle symboly – číslice (cifry). Běžně používáme číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Desítková soustava Číselná soustava představuje obecně soustavu symbolů, znaků a pravidel pro zápis čísel a počítání s nimi.

7 259 znamená 7 celých skupin řádu tisíců (číslice řádu tisíců, tj. třetího řádu), 2 celé skupiny řádu stovek (číslice řádu stovek, tj. druhého řádu), 5 celých skupin řádu desítek (číslice řádu desítek, tj. prvního řádu) a 9 prvků základní skupiny (číslice řádu jednotek, tj. nultého řádu).

Nula uprostřed nebo na konci čísla naznačuje, že se v příslušné skupině nenachází žádný prvek (jednotka, desítka, stovka, …).

9 008-050 Matematika.indd 9

22/11/16 13:21

Nula na začátku čísla (úplně vlevo) nemá v matematice žádný význam a zpravidla se u celých čísel nepíše.

-4

-3

-2

-1

3 15 4 4

1 1,5 2

0

Rozvinutý zápis čísla Každé přirozené číslo lze v desítkové soustavě napsat v podobě rozvinutého zápisu.

5

Záporná čísla Záporná čísla jsou ta, jejichž obraz leží na číselné ose vlevo od nuly.

Například: 24 761 = 2 . 10 000 + 4 . 1 000 + 7 . 100 + + 6 . 10 + 1 . 1

Například: 8 –3; – ; –2; –EF2; –1 3

Číslo 24 761 se skládá z 2 desetitisíců, 4 tisíců, 7 stovek, 6 desítek a 1 jednotky.

-3 -

Číselná osa Číselná osa je přímka se zvolenou jednotkovou úsečkou, pomocí které můžeme znázornit vzájemnou polohu (vztah) mezi čísly. Významnou roli hraje na číselné ose nula. Obrazy čísel ležících vpravo představují obrazy kladných čísel, obrazy čísel ležících nalevo od nuly obrazy záporných čísel.

-4,5

-EF 2 -

-3

2 0 3

0,7

2

7 2

1.1.2 Druhy ãísel Podle způsobu, jakým jsou čísla zapsána nebo jaké mají společné vlastnosti, dostávají čísla ještě další názvy: Kladná čísla Kladná čísla jsou ta, jejichž obraz leží na číselné ose vpravo od nuly.

Například: 1,5; 2; 3;

15 4

8 -2 -EF 2 -1 3

0

1

2

3

4

Nekladná čísla Nekladná čísla jsou všechna čísla, která nejsou kladná, tj. všechna záporná čísla a nula.

-5

-4

-3

3 -2 - -1 2

0

1

2

3

4

Nezáporná čísla Nezáporná čísla jsou všechna čísla, která nejsou záporná, tj. všechna kladná čísla a nula.

-5

-4 -3

-2

-1

0 0,4 1

25 3 2

4

5

Opačná čísla Opačná čísla neexistují samostatně, ale ke každému číslu existuje číslo opačné.

Opačné číslo k danému číslu leží na opačné polopřímce číselné osy s počátkem v bodě

10 008-050 Matematika.indd 10

22/11/16 13:21

nula a nachází se ve stejné vzdálenosti od nuly jako dané číslo (obě mají stejnou absolutní hodnotu).

Například: opačné číslo k číslu 64 je -64, opačné číslo k číslu -157 je 157

Například: 97, 569, 853, 1 457, 203, 651 Soudělná čísla Soudělná čísla neexistují samostatně, jde pokaždé nejméně o dvě čísla. Jsou to taková dvě čísla (nebo více čísel), která jsou kromě čísla 1 dělitelná beze zbytku ještě alespoň jedním dalším společným číslem.

Převrácená čísla Převrácená čísla neexistují samostatně, ke každému číslu (kromě nuly) lze najít převrácené číslo.

Každé číslo a můžeme zapsat ve tvaru a a = a pro každé nenulové číslo existuje 1 1 převrácené číslo . a

Například: čísla 27 a 18 jsou soudělná, protože 27 = 9 . 3 18 = 6 . 3 jejich společným dělitelem je číslo 3 (kromě 1) Nesoudělná čísla

Například: 1 převrácené číslo k číslu 8 je , 8 3 2 převrácené číslo k číslu je 2 3

Sudá čísla

Nesoudělná čísla jsou minimálně dvojice čísel, která nejsou soudělná. Neexistuje žádné společné číslo, kterým by byla obě čísla (nebo více čísel) dělitelná beze zbytku (kromě 1).

Například:

Sudá čísla jsou všechna celá čísla, která mají na místě jednotek číslici 0, 2, 4, 6, 8 (jsou dělitelná dvěma).

čísla 27 a 28 jsou nesoudělná, protože číslo 27 má dělitele (vyjma 1) čísla 3, 9 a 27 číslo 28 má dělitele 2, 4, 7, 14, 28

Například:

Složená čísla

154, 986, 1 578, 52 654, 101 112

Složená čísla jsou všechna přirozená čísla, která lze napsat jako součin alespoň dvou činitelů různých od 1.

Lichá čísla Lichá čísla jsou všechna celá čísla, která mají na místě jednotek číslici 1, 3, 5, 7, 9 (nejsou dělitelná dvěma).

Například: 12 (12 = 2 . 2 . 3), 54 (54 = 2 . 3 . 3 . 3)

11 008-050 Matematika.indd 11

22/11/16 13:21

Prvočísla

Například:

Prvočísla jsou přirozená čísla, která mají jen dva dělitele – číslo 1 a sebe sama. Číslo 1 tedy prvočíslem není.

2,34 (čteme dvě celé třicet čtyři setin); –50,012 (čteme minus padesát celých dvanáct tisícin); 4,7 (čteme čtyři celé sedm periodických; 0,59 (čteme žádná celá padesát devět setin)

Například: 19, 43, 71

1.1.3 Operace s ãísly

Zlomky

Rovnost čísel

Zlomek je forma zápisu racionálních čísel vyjádřených jako podíl dvou celých čísel (znaménko : nahrazujeme zlomkovou čárou).

Pokud jsou si čísla a, b rovna, zapisujeme a = b (čteme „a se rovná b“). Říkáme tomu rovnost čísel, symbol = se nazývá znak rovnosti neboli rovnítko.

Například:

Nerovnost čísel

4 6 , 5 11

Pokud jsou čísla a, b různá, tedy si nejsou rovna, zapisujeme a ≠ b (čteme „a se nerovná b“). Říkáme tomu nerovnost čísel.

Smíšená čísla

U různých čísel nastane vždy jeden z případů: a je menší než b, zapisujeme a < b a je větší než b, zapisujeme a > b

Smíšené číslo představuje jeden ze způsobů zápisu zlomků větších než jedna (nepravých zlomků). Celky jsou vyjádřeny celým číslem, části celků jsou vyjádřeny zlomkem.

Například: 4 3 (čteme tři a čtyři pětiny) 5 1 –8 (čteme minus osm a jedna polovina) 2 Desetinná čísla Desetinné číslo představuje formu zápisu racionálních čísel. Celky jsou vyjádřeny celým číslem, desetinné části celků desetinným rozvojem, který je oddělen desetinnou čárkou.

Zápis a ≤ b znamená, že platí a < b nebo a = b, tedy a je menší nebo rovno b.

Zápis a ≥ b znamená, že platí a > b nebo a = b, tedy a je větší nebo rovno b.

Symboly <, >, ≤, ≥ nazýváme znaky nerovnosti. znak nerovnosti

k němu opačný znak nerovnosti

<

≥

>

≤

≤

>

≥

<

Pro libovolná čísla a, b nastává právě jedna z možností a > b, a = b, a < b (odborně se toto nazývá trichotomie).

12 008-050 Matematika.indd 12

22/11/16 13:21

Jestliže a < b a b < c, pak a < c (odborně tranzitivita).

Jestliže a < b a c je libovolné číslo z množiny reálných čísel, pak a + c < b + c (odborně tomu říkáme monotonie sčítání).

Jestliže a < b a c > 0, pak a . c < b . c.

Jestliže a < b a c < 0, pak a . c > b . c (odborně tomu říkáme monotonie násobení).

Příklad 1 čky populárních Jana a Katka sbíraly karti rtiček, Katka zpěváků. Jana měla 54 ka ještě 63 kartiček. Tibor dal Janě la pak mě k íve 15 kartiček. Která z d více kartiček?

Číselná osa (porovnávání čísel) Při porovnávání čísel bereme v úvahu: – p orovnáváme-li kladné a záporné číslo, kladné číslo je vždy větší Například: 5 > -45; -123,25 < 46,5; 8 - 15 > ; 7 7 -1 < 1 2 4 – p orovnáváme-li dvě kladná celá čísla s různým počtem číslic, větší je to, které má vyšší počet číslic Například: 45 < 123; 4 891 > 891

– p orovnáváme-li dvě záporná celá čísla s různým počtem číslic, větší je to, které má nižší počet číslic Například: -53 < -9; -576 > -14 892 – p orovnáváme-li dvě záporná čísla, větší je to, které má menší absolutní hodnotu Například: -254 a -245 |-254| = 254 |-245| = 245 254 > 245, proto -254 < -245 – p orovnáváme-li dvě čísla se stejným počtem číslic, porovnáváme postupně počty desetitisíců (v případě pěticiferných čísel), tisíců, stovek … postupujeme zleva doprava Například: porovnáváme čísla 25 789 a 25 798: počet desetitisíců je stejný, počet tisíců je rovněž stejný, počet stovek je stejný, počet desítek: porovnáváme 8 < 9, proto 25 789 < 25 798 porovnáváme čísla 65,786 a 65,768: počet desítek je stejný, počet jednotek je stejný, počet desetin je stejný, počet setin porovnáváme 8 > 6, proto 65,786 > 65,768

13 008-050 Matematika.indd 13

22/11/16 13:21

– p orovnáváme-li čísla na číselné ose, obraz většího čísla leží vždy vpravo

-4 - 7 -3 2

-2 -1,7 -1

-

1 0 3

1

2

3

10 3

4 4,2

– 7 < –1,7 2 1 –1 < – 3 10 2< 3 4 < 4,2

1.1.3.1 Absolutní hodnota ãísla

Monotonie sčítání

Vzdálenost obrazu daného čísla od čísla nula (vyjádřená v násobcích jednotkové úsečky) se nazývá absolutní hodnota čísla a značíme ji |a|.

Pro všechna a, b platí:

Jestliže a > 0, pak |a| = a Jestliže a = 0, pak |a| = 0 Jestliže a < 0, pak |–a| = a

pokud a = b, pak také a + c = b + c Například:

4=4 4+7=4+7 11 = 11

|+3|= 3

Komutativita sčítání –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

|–4|= 4

Například: |+5|= 5 |–3|= 3

–5 = 5 9 9 |+2,4|= 2,4

| |

Pro všechna čísla a, b platí: a + b = b + a Změníme-li pořadí sčítanců, součet se nezmění, sčítání je komutativní.

Například:

6+7=7+6 levá strana rovnosti 6 + 7 = 13 pravá strana rovnosti 7 + 6 = 13

1.1.3.2 Sãítání Sčítání je jednou ze základních matematických operací. Výsledkem sčítání čísel je součet čísel. Čísla, která sčítáme, se nazývají sčítance.

18 + 36 = 54 sčítanec sčítanec součet

Asociativita sčítání Pro všechna čísla a, b, c platí: a + (b + c) = (a + b) + c Sčítance můžeme libovolně sdružovat do skupin a součet se nezmění, sčítání je asociativní.

14 008-050 Matematika.indd 14

22/11/16 13:21