ÚVOD
HLAVNÍ PRAVIDLO
Jak je možné, že hlavolam, jehož zadání se vejde do jediné věty, zaplní knihu více než šedesáti stranami návodů na řešení? To je na sudoku právě to zvláštní. Navzdory stručnému zadání dokážou totiž být tyto luštěnky extrémně složité. Téměř všechna sudoku, s nimiž se v současné době setkáte, vytvářejí počítače, takže jejich kniha může vzniknout prakticky přes noc. Obvykle tam najdete několik dobrých rad, jak sudoku řešit, ale většinou se věnují jen nejzákladnějším technikám. Zadání v mnoha knihách a sešitech sudoku však vyžadují pokročilejší metody. Sám sudoku vytvářím a rediguji už mnoho desítek let, takže když si moji přátelé a příbuzní s některým nevědí rady, obrátí se na mě. Pokročilejší techniky luštění jsem opakovaně vysvětloval svým blízkým, kteří právě propadli hrátkám se sudoku. Rodiče si schovali rébus, u něhož už nevěděli jak dál, a přinesli ho s sebou, když mě přišli příště navštívit. Naučil jsem je novou strategii, jak se s rébusem vypořádat, a za pár týdnů přišli znovu s obtížnějším zadáním a chtěli pomoc. Už jsem to tak nemohl nechat. Trávili víc času hledáním nových strategií luštění než se svými vnoučaty! Musel jsem něco udělat. Proto jsem vytvořil tuto knihu. Když mě teď někdo požádá o pomoc s luštěním, prostě mu ji podám a v klidu se vrátím k sudoku, na kterém právě pracuji.
Pro luštění sudoku potřebujete znát jediné pravidlo: Do mřížky doplňte čísla 1–9 tak, aby v každém z devíti řádků, v každém z devíti sloupců a v každém z devíti čtverců 3 x 3 byla každá číslice zastoupena právě jednou. Takhle vypadá zadání sudoku a jeho řešení: Zadání sudoku 6 7 4 2 6 8
2 4 7
6 3 2 1
1 9 6 4
5 9 7
3 7 3 8 1 5
Vyřešené sudoku 1 7 4 5 3 2 8 9 6
6 8 3 4 9 1 5 2 7
5 2 9 6 7 8 4 1 3
7 6 8 3 1 9 2 5 4
4 3 1 7 2 5 9 6 8
9 5 2 8 4 6 3 7 1
8 1 6 2 5 4 7 3 9
2 9 7 1 8 3 6 4 5
3 4 5 9 6 7 1 8 2
7
Sudoku_26_(imprimatur).indd 7
6.6.2016 14:59:45
DĚJINY SUDOKU
3 2 9
6 1 5 7
2 6
7 6 8
4 8
3 7 1
4 3
2 4 7 1 9 6 5
2 4 7 1 9 6 5
2 4 7 1 9 6 5
4 3
3 2 9
6 1 5 7
4 3
3 7 1
Obě zadání přes sebe 2 6
3 7 1
4 8
Zadání otočené o 180°
7 6 8
4 8
7 6 8
Proč jsou důležitá další pravidla omezující počet daných čísel na 30 a vyžadující symetričnost herního plánu? V sudoku s 80 danými čísly a jedním prázdným políčkem by toho k luštění příliš mnoho nebylo. (Viděl jsem knížky sudoku pro děti, kde bylo pro začátek vyplněných 72 z celkových 81 buněk!) Někde však musí být hranice a ta vznikla u 30 daných čísel. Luštění sudoku, kde je vyplněna víc než polovina políček, je jen málo zábavné. A co se týká symetrie – prostě to vypadá lépe, když jsou číslice rozmístěny symetricky, a ničemu
4 8
7 6 8
2 6
DALŠÍ PRAVIDLA
3 7 1
2 6
6 1 5 7
jeho webové adresy, sudoku.com, vedle mřížky. V listopadu 2004 Gould dostal svůj rébus do londýnských The Times. Popularita sudoku prudce vzrostla. Dodnes se všechny Gouldovy rébusy v novinách objevují zdarma, ale musí obsahovat odkaz na jeho webovou stránku, kde je možné stáhnout si Gouldův sudoku-program (zkušební verze je zadarmo, plná verze je placená). Gould (na obrázku nahoře) na hlavolamu slušně zbohatl.
4 3
6 1 5 7
3 2 9
Wayne Gould
3 2 9
Zadání sudoku
Donald Cristensen
První sudoku se objevilo v hádankářském časopise Dell Pencil Puzzles & Word Games v květnu roku 1979 pod názvem „Najděte čísla“. Autorem byl pravděpodobně architekt Howard Garns, který zemřel v 80. letech. Původní rébus přetiskujeme na straně 34. Jako mnoho jiných amerických logických rébusů začal být i tento velmi oblíbený v japonských hádankářských časopisech. Vydavatel Nikoli změnil pro japonský trh název na „Suuji wa dokushin ni kagiru“, což zhruba znamená „všechna čísla jsou svobodná“ („svobodná“ ve smyslu „neprovdaná“ – žádné číslo tu nemá svůj protějšek). Název se postupně krátil, ze „suuji“ zbylo jen „su“ a z „dokushin“ jen „doku“, vzniklo „sudoku“ neboli „svobodné číslo“. Navíc stanovil Nikoli ještě dvě další podmínky: na začátku nesmí být dáno více než 30 čísel a daná čísla musí být v mřížce rozmístěná symetricky. Dole na stránce vidíte tři mřížky sudoku. Na první je příklad zadání sudoku z předchozí strany. Na druhé je stejné zadání otočené o 180°. Třetí ukazuje obě zadání položená přes sebe – všimněte si, že prázdná místa jsou ve všech třech mřížkách stejná. Když v roce 1997 odešel novozélandský soudce Wayne Gould do důchodu, vypravil se na dovolenou do Japonska a tam tento hlavolam objevil. Zaujal ho a ve svém volném čase začal vytvářet počítačový program, který by sudoku dokázal generovat. V září 2004 přesvědčil vedení novin The Conway Daily Sun z New Hampshire, aby jeho hlavolam uveřejnili. Měl vynikající nápad – luštěnku věnoval novinám zadarmo, jen výměnou za zveřejnění
2 4 7 1 9 6 5
8
Sudoku_26_(imprimatur).indd 8
6.6.2016 14:59:45
1
METODA JEDNOHO KANDIDÁTA
Nemusíte být Einstein, abyste dokázali doplnit číslo, které patří do tohoto řádku sudoku:
Příklad 1
2 9 8 1 5 4 7 6
Zde jsou už všechna čísla kromě trojky, takže do prázdného políčka zapíšeme 3. Je jednoduché poznat, že tuto metodu můžete použít ve chvíli, kdy je zaplněných osm políček z devíti v řádku, sloupci nebo čtverci, ale můžete ji využít i v jiných situacích. Podívejte se na příklad 1. Které číslo bude v buňce 25? Nemůže to být 1, 2 ani 7, protože už tyto číslice v řádku 2 jsou. Také to nemůže být 3, 4 ani 9, protože ve čtverci 2 už tato čísla máme. Nemůže to být ani 6 nebo 8, protože už tato čísla obsahuje sloupec 5. Nemůže to tedy být 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 ani 9. Musí to být pětka. Toto je podstata metody jednoho kandidáta. Je zapotřebí najít buňku, pro niž přichází v úvahu jen jediná číslice, a tuto číslici do ní napsat.
Je možné vyřešit celé sudoku jen technikou jednoho kandidáta? Někdy ano. Obvykle bychom tímto způsobem nepostupovali, ale pojďme to nyní ze cvičných důvodů zkusit. Podívejte se na buňky 13, 41 a 97 v příkladu 2 na následující straně. Všechny lze vyplnit technikou jednoho kandidáta. Do buňky 13 napište 8, do buňky 41 napište 4 a čtyřku doplňte i do buňky 97. Toto byly jediné tři buňky, které jsme mohli metodou jednoho kandidáta vyplnit. Teď už však máme číslice ve více buňkách, tak můžeme tuto techniku aplikovat i na další. Buňky 23, 33, 48 a 87 musí obsahovat (v uvedeném pořadí) 3, 6, 6 a 1. Budeme pokračovat s těmito čtyřmi nově vyplněnými buňkami a už jsme schopni vyluštit dalších pět buněk: 17, 42, 77, 89 a 93. Do nich patří (v uvedeném pořadí)
3 7 5 2 9 1 6 8 Pokud umíte počítat od jedné do devíti, zjistíte, že chybějícím číslem je čtyřka. Moje dcera chodí do školky a neměla problém s tím, najít odpověď. Stejně snadné je určit chybějící číslo ve čtverci, kde už máte vyplněných osm buněk:
4 1 7 2 9 3 8
6
13
Sudoku_26_(imprimatur).indd 13
6.6.2016 14:59:46
5, 2, 6, 9 a 5. Když je zapíšeme, můžeme do buňky 19 dopsat 1, do buňky 46 zapíšeme 9, do buňky 49 doplníme pětku, čtyřku do buněk 73 a 84 a trojku do buňky 98. Příklad 2
2 5 7 6
7 4 5
7 9 1
3 8 6
6 5 7 2
4 5 1
3 7 9
1 2 5
5 3 7 9 6 1 4
6 1 2 5 3
6 3
8 7
Příklad 2-1
2 5 4 7 6
7 4 2 5
8 3 6 7 9 1 4 5
3 8 4 6
6 5 7 2
4 9 5 1
2 1 5 4 7 6
9 7 4 2 5 1 8
8 3 6 7 9 1 4 2 5
3 8 2 7 4 6
6 5 1 9 7 2
4 9 6 5 3 8 1
5 3 7 9 6 1 4
7 6 1 2 5 3
1 6 3 5 4 8 9 7
Mřížku projdeme ještě dvakrát, než budeme hotoví. Do buňky 24 napište 9, do buňky 26 patří 2, 8 do 35, 3 do 55, 8 do 68, 2 do 69, 5 do 74, 3 do 82 a 9 do 91. Teď zůstalo prázdných už jen deset buněk, pro každou z nich existuje jen jedna možnost. Buňka 27 je 8, 28 je 4, 34 je 1, 36 je 7, 37 je 2, 38 je 9, 51 je 8, 61 je 3, 62 je 6 a 65 je 4. Tradá! Tabulka je vyplněná a stačila nám k tomu jen metoda jednoho kandidáta.
Nyní jsme v této situaci:
Příklad 2-2
1 6 3 5
Příklad 2, řešení
8 9 7
Pokračujeme dál, devítku vepíšeme do buňky 12, jedničku do buňky 45, dvojku do buňky 54, trojku do buňky 76 a dvojku do buňky 83. Když umístíme těchto pět číslic, už víme, že v buňce 18 bude číslice 7, buňka 21 bude 1, buňka 56 bude 6, buňka 59 bude 4, buňka 64 bude 7, buňka 72 bude 1, buňka 75 bude 9, buňka 86 bude 8 a buňka 92 je také 8. Blížíme se do cílové rovinky a tabulka teď vypadá takto:
2 1 5 4 8 3 7 6 9
9 7 4 2 5 6 1 3 8
8 3 6 7 9 1 4 2 5
3 9 1 8 2 7 5 4 6
6 5 8 1 3 4 9 7 2
4 2 7 9 6 5 3 8 1
5 8 2 3 7 9 6 1 4
7 4 9 6 1 8 2 5 3
1 6 3 5 4 2 8 9 7
NEVÝHODY V předchozím příkladu jsem vám radil, na kterou buňku se metodou jednoho kandidáta podívat. Když však nevíte, na které buňky se
14
Sudoku_26_(imprimatur).indd 14
6.6.2016 14:59:46
zaměřit, bývá tato metoda pomalá. Snadno odhalíte řádek, sloupec nebo čtverec, ve kterých už je vyplněných osm číslic, ale najít buňku, kterou můžete vyplnit jediným číslem, když dalších osm čísel je rozmístěno v jejím řádku, sloupci a čtverci, to zabere hodně času. Jak si ukážeme v další kapitole, existují lepší metody pro vyplňování políček. Ale když se při řešení sudoku zaseknete a nevíte, jak pokračovat, často pomůže projít každou buňku a zkoušet, nelze‑li použít metodu jednoho kandidáta. Nejjednodušším způsobem jak zjistit, které buňky je možné vyplnit touto metodou, je vpisovat si do každé buňky ty číslice, které pro ni přicházejí v úvahu. Těm všem říkáme kandidáti. Na každou buňku, do které jsme zapsali jen jedno číslíčko, aplikujeme metodu jednoho kandidáta. Když nějaké číslo umístíte, odstraňte ho z kandidátů ve všech buňkách ve stejném řádku, sloupci a čtverci (tj. ze všech sousedů). Až se naučíte všechny další metody luštění, uvidíte, že tato metoda zdaleka nepatří k těm nejefektivnějším při řešení snadných úloh, ale u těžších sudoku je velmi důležité pracovat s metodou jednoho kandidáta, a proto je dobré se s ní seznámit raději hned na začátku. Příklad 2-3 ukazuje úlohu, kterou jsme právě řešili, tentokrát se všemi vepsanými kandidáty. Příklad 2-3
18900 80000
15800 78900 15900
2 3 6 4 7 5 6 5 4 3 7 8 3 5 9 7 1 1 5 9 7 2 8 6 7 5 6 2 1 7
13890
38000 12900
28900 12480 48900
lých osmiček z buněk 12, 17, 18, 21, 23, 33, 83 a 93. Obdobně zapište velkou čtyřku do buněk 41 a 97 a ze sousedů těchto buněk odstraňte všechny malé čtyřky. Tedy takto: Příklad 2-4
19000
15000 79000 15900
2 8 3 6 4 7 5 6 5 4 3 4 7 8 3 5 9 7 1 1 5 9 7 2 8 6 7 5 6 2 1 4 7
13900
30000 12900
60000 12790 18900 27890 12800 78900
26000
19000 26900
60000 25000
38000
24000 34000 23600
24000
38000 23680
24700 34000
14900 26900
46000 24500
34800
24000 34000 23600
24000
34800 23680
24700 34000
46800 24000
13900 34500 45900 34900 39000 14600 12389 23480 49000
34890 38900 34580
38900 14000
14900
40000 34900
Buňky 13, 41 a 97 obsahují jen jednu číslici, na ně tedy můžeme použít metodu jednoho kandidáta. Do buňky 13 vepište velkou 8, z kandidátů v sousedech buňky 13 odstraňte všechny další osmičky. Takže se zbavíme ma-
46800 24000
13900 34500 45900 34900 39000 16000 12389 23400 49000
38900 10000
38900 38900 35000
19000
39000
Jakmile v každém dalším kroku objevíte buňku jen s jediným kandidátem, malou číslici nahraďte velkou a tuto číslici odstraňte ze všech sousedů buňky. V následujících sedmi tabulkách uvidíte, jak se mřížka po každém kroku zaplňuje. Projděte si je postupně tabulku po tabulce. Stejným způsobem jsme sudoku vyplňovali na začátku této kapitoly, ale teď máme do tabulek vepsané všechny kandidáty, takže je lépe vidíte. Jakmile této metodě porozumíte, můžete přejít k další, které říkáme skenování.
68000 12790 18900 27890 12800 78900
40000 26000
28900 12800 48900
Příklad 2-5
19000
50000 79000 15900
2 8 3 6 4 7 3 5 6 5 4 6 3 4 7 8 3 6 5 9 7 1 1 5 9 7 2 8 6 7 1 5 6 2 1 4 7
19000
12900
28900 28000 48900
12790 18900 27890 28000 78900
20000
19000 29000
25000
38000
24000 34000 23600
24000
38000 23680
24700 34000
48000 24000
13900 45000 45900 34900 39000 60000 23890 24000 49000
38900 38900 50000
38900
90000
39000
15
Sudoku_26_(imprimatur).indd 15
6.6.2016 14:59:47
2
SKENOVÁNÍ
Každý řádek v sudoku obsahuje číslice od 1 do 9. Z toho vyplývá, že každý super-řádek, zabírající tři řádky, obsahuje číselnou řadu od 1 do 9 třikrát. Pokud najdete super-řádek, ve kterém se určité číslo objevuje dvakrát, pak se dokážete zaměřit na buňky, v nichž se musí vyskytovat toto číslo potřetí. Této metodě říkáme skenování. Podívejte se na příklad:
třetí výskyt této číslice na tři buňky. Číslice bude v tom řádku, který ještě ani jednu z těchto dvou číslic neobsahuje, a zároveň v tom čtverci, který rovněž ještě ani jednu z těchto dvou číslic neobsahuje. Průsečík jednoho řádku a jednoho čtverce je vždy tvořen třemi buňkami. V kroužcích jsou příklady možného umístění třetí číslice v super-řádku:
8 8
1 1
V super-řádku máme dvě osmičky. Kde asi bude třetí? Nebude v horní řadě, v té už jedna je. Nebude ani ve druhé, ta už osmičku také obsahuje. Tak patří do třetí řady. Ale kam? Nebude ani v levém čtverci, tam už jedna osmička je. Stejně tak není možné, že by byla v prostředním, tam také jedna je. Tímto způsobem jsme zjistili, že osmička bude v jedné ze tří buněk ve třetí řadě pravého čtverce. Poslední osmička tohoto super-řádku bude v jedné z těchto zakroužkovaných buněk:
2 2 3 3
8 8
4 4
Když najdete super-řádek obsahující dvě stejné číslice, dokážete už zúžit prostor pro 19
Sudoku_26_(imprimatur).indd 19
6.6.2016 14:59:47
Teď se podívejte, co se stane, když přidáme několik dalších čísel. Řekněme, že máme takovýto super-řádek:
5 4 1 5 Vylučováním zjistíme, že třetí pětka musí být v prostředním řádku prostředního čtverce, tedy zde:
5 4 1 5 Ale ve dvou ze třech zakroužkovaných buněk už jsou jiná čísla, takže pětce zbývá jediná pozice, a to v šesté buňce řádku 2.
5 4 1 5 5 LUŠTĚNÍ POMOCÍ SKENOVÁNÍ Podívejme se na následující zadání: Příklad 3
3 2 9
1 3 6 2
9 2 8 7 1
4
5 1 6 8
2
1 6 8 4 5
2 7 8 3 1 5 9
A teď rychle, které tři buňky vyplníte metodou jednoho kandidáta? Bude trvat velmi dlouho, než zjistíte, že buňka 24 musí být 3, buňka 37 musí být 9 a buňka 98 musí být 6, takže si řekněme, že jste si jich nevšimli. Místo toho pátrejte po super-řádku nebo super-sloupci, který obsahuje jedno číslo přesně dvakrát. (Ve všech předchozích příkladech jsme mluvili o super-řádcích, ale totéž platí i pro super-sloupce obsahující právě dvě stejné číslice.) Podívejte se na super-sloupec 1. Obsahuje dvě trojky, a sice v buňce 31 a 62. Poslední trojka v tomto super-sloupci bude tedy ve třetím sloupci, někde ve čtverci 7, jinými slovy bude v buňkách 73, 83 nebo 93. Jenže buňky 83 a 93 už čísla obsahují, takže trojka bude v buňce 73. Nyní se podívejme na super-sloupec 3. Obsahuje dvě jedničky. Třetí jednička musí být v buňkách 78, 88 nebo 98. Poznáte, ve které z nich? Všechny jsou ještě prázdné, ale když se podíváme na celý super-řádek 3, vidíme, že devátý řádek už číslici 1 obsahuje. Proto políčko 98 nepřipadá v úvahu a zbývají nám buňky 78 a 88. Bohužel, dál už se nám výběr zúžit nepodaří. Co s tím? Máte zkusit hádat? Mou odpovědí je důrazné „ne“! Při luštění sudoku nesmíte nikdy hádat. Pokud si nejste jistí, kam číslo patří, nepište ho. Luštěte dál a snažte se umístit jiné číslo. Pořád se díváme na super-sloupec 3. Obsahuje už dvě pětky, takže tu poslední musíme umístit do buněk 19, 29 nebo 39. V buňce 29 už je číslice 8, takže toto místo nepřichází v úvahu. Zbývají buňky 19 a 39. Když se podíváme na celý první a celý třetí řádek, vidíme, že v prvním řádku už pětka je, v buňce 15. Proto pětka nemůže být v buňce 19 a zapíšeme ji do buňky 39. Metodu skenování můžete použít i tehdy, když se určitá číslice vyskytuje v super-řádku nebo super-sloupci jen jednou. Podívejte se na číslici 3 v buňce 31. Když si prohlédnete třetí řádek, zjistíte, že trojku nemůžete napsat do buňky 37, 38 ani 39 (do 39 už jsme napsali pětku, ale i kdyby ne, stejně by tam nemohla být trojka). Protože buňky 17, 18, 27, 28 a 29 jsou už zaplněné, trojka v buňce 31 stačí, abychom určili, že v buňce 19 musí být také číslice 3. Kdykoli zapíšu číslici zjištěnou metodou horizontálního skenování, vždy se hned dívám vertikálním směrem, jestli jsem získal dost in-
20
Sudoku_26_(imprimatur).indd 20
6.6.2016 14:59:48
formací, abych mohl umístit další číslo vertikálním skenováním. Příklad 3-1
3 2 9
1 3 6 2
9 2 8 3 7 1
4
5 1 6 8
2
1 6 8 4 5
2 7 3 5
3 8 5 1
9
Když do buňky 19 zapíšeme číslo 3, budou nyní v super-sloupci 3 dvě trojky. Skenováním zjistíme, že poslední trojka musí být v buňce 97. Protože jsme se k této trojce dostali vertikálním skenováním, nyní budeme skenovat horizontálně, od buňky 97, abychom zjistili, jestli máme dost informací k umístění další trojky. Super-řádek 3 nyní obsahuje také dvě trojky (v buňkách 73 a 97), ale z toho vyčteme jen to, že poslední trojka bude muset být buď v buňce 85, nebo 86. Protože si nejsme jistí, nebudeme nic vpisovat. Místo toho se podíváme po dalších možnostech skenování. Nejjednodušší cestou, jak neopomenout žádnou skenovací příležitost, je začít číslicí 1 a postupně se propracovat až k číslici 9. V super-řádku 1 jsou dvě jedničky. Třetí jednička musí být v buňce 21, protože buňka 23 je už zaplněná a buňka 22 nepřipadá v úvahu, protože 1 je už v řádku 52. Zapište tedy 1 do buňky 21. Další jedničku umístit nedokážeme, tak se přesuňme ke dvojkám. Skenováním dvojek získáme informace o čtverci 9. Dvojka v buňce 92 eliminuje umístění dvojky v buňkách 98 a 99 (v buňce 97 už je 3). Protože dvojku máme v buňce 18, nemohou být dvojky v buňkách 78, 88 a 98. Tyto dvě dvojky znamenají, že jediné místo ve čtverci 9, kde může být dvojka, je buňka 89. Napište tam tedy číslici 2. Teď když máme v buňce 89 dvojku, můžeme skenovat celý super-řádek 3
a zjistíme, že poslední dvojka tohoto super-řádku musí být v buňce 74; nemůže být v buňce 76, protože tento sloupec už dvojku má – v buňce 26. Dvojky teď už musíme umístit jen ve dvou zbývajících čtvercích (5 a 6), ale jejich přesné místo ještě nevíme. Sudoku nyní vypadá takto: Příklad 3-2
1 3 2 9
1 3 6 2
9 2 8 3 7 1
2 4
5 1 6 8
2
1 6 8 4 5 3
2 7 3 5
3 8 5 1
9 2
S trojkami se nikam nedostaneme, takže se přesuneme ke čtyřkám. Mřížka nyní obsahuje jen dvě čtyřky (buňky 77 a 84), ale to nám stačí, abychom zjistili, kde budou další dvě. Skenování super-řádku 3 prozradí, že třetí čtyřka musí být v buňce 91, skenování super-sloupce 3 eliminuje tu z buňky 37, což znamená, že číslice 4 bude v buňce 38. Dostali jsme se do následujícího stadia: Příklad 3-3
1 3 2 9 4
1 3 6 2
9 2 8 3 7 1
2 4
5 1 6 8
2
1 6 8 4 5 3
2 7 4 3 5
3 8 5 1
9 2
21
Sudoku_26_(imprimatur).indd 21
6.6.2016 14:59:48
Teď jsme sice dělali samé skenování, ale to neznamená, že jsme zapomněli na metodu jednoho kandidáta. Ve čtverci 3 máme osm čísel, takže v poslední prázdné buňce bude 9. Vrátíme se ke skenování, došli jsme k pětkám. V super-řádku 1 máme pětky v buňkách 15 a 39, což znamená, že třetí pětka musí být v buňce 22. Protože jsme se k této pětce dostali horizontálním skenováním, budeme teď od ní hledat vertikálně, abychom zjistili, jestli nám někde nepomohla. A podívejme – pomohla! Skenováním dolů od pětky v buňce 22 zjistíme, že číslovka 5 nemůže být v buňce 72, takže bude v buňce 71. Napíšeme ji tam. Teď tedy máme ve čtverci 7 vyplněná všechna čísla až na jedno, takže v poslední prázdné buňce (72) musí být číslice 8. Když jsme zapsali do buňky 71 další pětku, umístili jsme tím druhou pětku do super-sloupce 1, což stačí k tomu, abychom skenováním zjistili, že v buňce 63 bude také číslice 5, protože pětka v buňce 58 nám brání zapsat pětku do buňky 53. Nyní sudoku vypadá takto: Příklad 3-4
1 3 2 5 9 4
5 1 3 8 6 2
9 2 8 5 3 7 1
2 4
5 1 6 8
2
1 6 9 8 4 5 3
2 7 4 3 5
3 8 5 1
9 2
Skenování šestek nám vůbec nepomůže, takže přejdeme rovnou k číslu 7. Sedmička v buňce 28 eliminuje sedmičky z buněk ve sloupci 8 čtverce 9. Takže zbývá jen buňka 99. Zapíšeme tam sedmičku. Nyní skenujeme celý super-řádek 3, čímž zjistíme, že další sedmička bude v buňce 76. Tato sedmička je osmým číslem v tomto řádku, takže metodou jednoho kandidáta zjistíme, že v buňce 78 je
číslice 1. Protože jsme přidali jedničku, podíváme se, jestli nám pomůže v dalším skenování. Při pohledu na super-řádek 3 vidíme, že číslice 1 musí být v buňce 86. Takže už máme v celém sudoku umístěných 8 jedniček. Máme osm řádků s číslicí 1, osm sloupců s číslicí 1 a osm čtverců s jedničkou. Jakmile už máte nějakou číslici rozmístěnou na osmi pozicích, prostě najděte řádek a sloupec, kde toto číslo chybí, a dopište ho. Bude to určitě ve čtverci, kde tato číslice chybí. V tomto případě je to buňka 64, kam dopíšeme poslední jedničku. Už jsme umístili všech devět jedniček a v tomto sudoku už se jimi nebudeme zabývat. Já si nad herní plán obvykle napíšu čísla od 1 do 9 a když zapíšu poslední výskyt určité číslice, odškrtnu si ji, abych se nezdržoval dalším přemýšlením o číslici, která už je vyřešená. Teď se nacházíme v tomto bodu: Příklad 3-5
1 3 2 5 9 4
5 1 3 8 6 2
9 2 8 5 3 7 1
1 2 4
5 1 6 8
2 7 1
1 6 9 8 4 5 3
2 7 4 3 5 1
3 8 5 1
9 2 7
Zpět ke skenování. Došli jsme už k osmičkám. V super-řádku 3 musí být poslední osmička v buňce 88. Teď nám ve čtverci 9 chybí poslední číslo. Je to šestka. Napíšeme ji do buňky 98. Ve sloupci 8 chybí už jen poslední číslice, takže do buňky 68 napíšeme chybějící devítku. Do buňky 88 jsme napsali osmičku, takže osmý řádek je téměř hotový. Chybí pouze trojka, kterou dopíšeme do buňky 85. Dále skenujeme osmičky, prohlížíme super‑slou pec 1 a osmičku napíšeme do buňky 11. S osmičkami už dál nepokročíme, tak se přesuneme k devítkám. Skenujeme super-sloupec 1 a vidíme, že devítka musí být v buňce 42.
22
Sudoku_26_(imprimatur).indd 22
6.6.2016 14:59:48
1|3
4 8 6
1 9 8
1 4 3
3 2 8
3 4 2 9
1|4
9 4 8
9 6 1
7 8 3 9 3 5
5 9
9 6 3 2
2 3 5 1
4 2
1|5
5 2 7
1 9 7
8 6 1
3 1 9 8
9 6 3
1 3 9
6 9 4
5 8 3 4
7 8 9 5
4 7
1 3 9 5
3 4 8 8 9 3
4 6 1
3 6 7 2
1 9 3 4 8 9
4 5 8 7
1 6 5 2
6 4 5 7 6 8
1|6
5 4 2 9
2 8 3
8 5 2 9 7 6
8 3 5
1 3 7
5 9 6 4
9 8 4
1|7
8 3
3 5 8 6 9 9 4 8 1|8
6 7 3 1
3 6 1
6 9 4 4 3
1 9 2
8 6 2
2 7 1 8
6 2 3 1
8 3
25
Sudoku_26_(imprimatur).indd 25
6.6.2016 14:59:48
1|9
6 5 3 1
3 4 5
9 4
5 1 3 4
1 2 7
2|0
2 4 3 8
5 9
4 8 1
6 3 7 4
9 3 4
2
6
1 5 7
7 1 8
2|1
3 6 5
1 9 2 3
3 4
3 8 2 4
1 4 9
1 7 8 6
3 2 4
5 6 3
9 4 5
7 5 1
7
5 7 2 3
4 1 9 2
2 6 2 1 3
9 7
4 8 3
7 4 1 5 1 8
5
6 8 3
2|2
7 6 2 4
1 2
4 7 5 8 7 2 6
8 1 5
3 2
1 5 9 3
9 6 2 4
2|3
6 5
3 1 7 9 2 5 8 2|4
1 4 7
1 7 3 4
5 3 8 3 9
9 4 5
9 7 6
8 5 4
9 1
2 5 6 4
26
Sudoku_26_(imprimatur).indd 26
6.6.2016 14:59:48
3
ELIMINACE
Už jsme se seznámili se dvěma ze tří základních strategií luštění sudoku: s metodou jednoho kandidáta a skenováním. Zbývá nám naučit se ještě třetí základní strategii, eliminaci. Podívejme se na následující zadání.
Když jsme do buňky 33 zapsali číslici 1, vznikl další jediný kandidát: Buňka 73 může být pouze trojka. Tímto způsobem jsme se dostali k dalším buňkám, které vyplníme metodou jednoho kandidáta: Buňka 53 musí být pětka. Buňka 77 musí být jednička. Buňka 13 musí být devítka. A skenováním jedniček v super-řádku 1 zjistíme, že jednička bude v buňce 28. A co teď? Procházením buňky po buňce zjistíte, že už metodou jednoho kandidáta nemůžete vyplnit žádnou další. A také ať budete skenovat sebevíc, nepodaří se vám umístit už žádné další číslice. Abyste mohli sudoku úspěšně vyřešit, potřebujete eliminační metodu. V tuto chvíli vypadá herní plán takto:
Příklad 4
9 4 6
4
8 6 7 2
1 8 9 3
3 5
2 9 4 1
2 8 5 7
5 6 1 5
Příklad 4-1
Sudoku začneme řešit skenováním: Skenujeme dvojky v super-řádku 3 a super-sloupci 2, dvojka musí být v buňce 85. Skenujeme čtyřky v super-sloupci 1 a super-řádku 3, čtyřka musí být v buňce 83. Skenujeme čtyřky v super-řádku 1 a super-sloupci 2, čtyřka musí být v buňce 15. Dál už nám skenování nepomůže, takže se musíme pokusit použít metodu jednoho kandidáta. Tímto způsobem ale doplníme jen jednu buňku: Buňka 33 může být pouze jednička.
9 4 6
4
9 8 1 6 5 7 3 4 2
1 8 9 3
4 3 5 2
2 9 4 1
2 8 5 1 7
1 5 6 1 5
27
Sudoku_26_(imprimatur).indd 27
6.6.2016 14:59:48