0036335

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 167

Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo.

Potom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných povětrnostních jevech, natolik významných, že obdržely vlastní jméno. V matematice je tomu podobně.

Rovnice lineární, kvadratické a kubické (tj. třetího stupně) mají své vlastní názvy, protože je na jedné straně často řešíme, na druhé straně tyto rovnice popisují různé geometrické útvary, jako např. přímky, roviny a jiné rovinné či prostorové křivky či plochy.

Bikvadratické rovnice (tj. speciální rovnice 4. stupně) získaly svůj název podle metody výpočtu, která připomíná řešení kvadratických rovnic. Všechny rovnice popsané v této kapitole jsou tzv. algebraické rovnice, tj. rovnice, kde se neznámá vyskytuje pouze jako základ nějaké mocniny s přirozeným exponentem, tj. jako x, x2, x3, x4 atd.

StupeÚ rovnice Jednotlivé algebraické rovnice jsou pojmenovány podle následujícího pravidla: Nejvyšší mocnina x určuje název rovnice. Pokud x vystupuje pouze jako první mocnina, jedná se o rovnici prvního stupně. Je-li nejvyšší mocninou x2, jedná se o rovnici druhého stupně, atd.

Exponent u nejvyšší mocniny neznámé x odpovídá tzv. stupni rovnice, a tím určuje její název.

Lineární rovnice jsou tudíž rovnicemi prvního stupně, rovnice kvadratické rovnicemi stupně druhého, rovnice kubické rovnicemi stupně třetího.

167

I. Aritmetika a algebra

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ

I. Aritmetika a algebra

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 168

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ

KubickÈ rovnice Rovnice třetího stupně neboli kubické rovnice obsahují neznámou x jako třetí mocninu x3, případně i jako nižší mocniny x2 a x.

Kubická rovnice má obecný tvar a3x3 + a2x2 + a1x+ a0 = 0, kde a3 ≠ 0 Tato rovnice má nejvýše tři reálné kořeny. Na následujícím příkladu ukážeme, jak se tyto kořeny dají v některých jednodušších případech stanovit.

P

Uvažujeme kubickou rovnici: x3 – 3x2 – 4x+ 12 = 0 V prvním kroku výpočtu stanovíme jeden kořen na základě dosazování. V následující podkapitole ukážeme, jak se to dělá.

Hled·nÌ ko¯ene kubickÈ rovnice dosazov·nÌm Jedná se o jednoduchou metodu řešení rovnice spočívající v tom, že jednotlivá čísla zvolená v závislosti na koeficientech rovnice dosazujeme do dané rovnice. Pokud dosazené číslo rovnici vyhovuje, kořen rovnice je nalezen.

Je třeba zdůraznit, že uvedeným způsobem lze obvykle dojít k řešení rovnic, jejichž kořeny jsou malá celá čísla. Dosazováním takových čísel do dané rovnice se obvykle začíná.

P

168

Výše uvedenou kubickou rovnici budeme řešit dosazováním. Vyjdeme z absolutního členu (členu neobsahujícího neznámou) rovnajícího se 12. Celočíselné dělitele čísla 12 jsou 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6, –6. Dá se ukázat, že všechny celočíselné kořeny dané rovnice jsou mezi těmito děliteli. Tato čísla postupně dosazujeme do dané rovnice počínaje čísly nejmenšími v absolutní hodnotě (str. 151).

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 169

Nejmenší dělitele v absolutní hodnotě jsou 1 a –1, pokračujeme s čísly 2 a –2 atd. Číslo 1

dosadíme do dané rovnice a dostáváme a odtud

x3 – 3x2 – 4 x+ 12 = 0 13 – 3·12 – 4 ·1+ 12 = 0 6=0

Číslo 1 není kořenem dané rovnice, neboť 6 = 0 je nepravdivým výrokem. Číslo –1 dosadíme do dané rovnice x3 – 3x2 – 4 x+ 12 = 0 3 a dostáváme (–1) – 3· (–1)2 – 4 · (–1)+ 12 = 0 a odtud 12 = 0 Číslo –1 není kořenem dané rovnice, neboť 12 = 0 je nepravdivým výrokem. Číslo 2

dosadíme do dané rovnice a dostáváme a odtud

x3 – 3x2 – 4 x + 12 = 0 23 – 3· 22 – 4 · 2 + 12 = 0 0=0

Číslo 2 je kořenem dané rovnice, neboť 0 = 0 je pravdivým výrokem.

Další kořeny stanovíme pomocí dalšího kroku výpočtu uvedeného v následující podkapitole.

DÏlenÌ mnohoËlen˘ Celou rovnici dělíme výrazem (x – x1), kde x1 je první nalezený kořen. V našem příkladu budeme dělit výrazem (x – 2), neboť 2 byl první nalezený kořen.

Uvedená metoda se nazývá dělení mnohočlenu, neboť dělencem je výraz x3 – 3x2 – 4 x + 12, což je tzv. mnohočlen (polynom) třetího stupně.

Podobně výraz ax2 + bx + c, a ≠ 0 je polynom druhého stupně, ax + b, a ≠ 0 je polynom prvního stupně (viz též str. 173).

Při dělení (x3 – 3x2 – 4x+ 12) : (x – 2) dělíme mnohočlen x3 – 3x2 – 4x+ 12 mnohočlenem (x – 2).

169

I. Aritmetika a algebra

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ

I. Aritmetika a algebra

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 170

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ

P

Řádek 1a b

Dělenec

Dělitel

Výsledek

(x3 – 3x2 – 4x + 12) : (x – 2) = x2 – x – 6 –(x3 – 2x2)

Výpočty x3 : x = x2 x2 · (x – 2) = x3 – 2x2

c

–x2 – 4x + 12

(x3 – 3x2 – 4x + 12) – – (x3 – 2x2) = –x2 – 4x + 12

2a

–x2 – 4x + 12

–x2 : x = –x

b

–(–x2 + 2x)

–x · (x – 2) = –x2 + 2x

c

–6x + 12

(–x2 – 4x + 12) – (–x2 + 2x) = = –6x + 12

3a

–6x + 12

–6x : x = –6

b

–(–6x + 12)

c

0

–6 · (x – 2) = –6x + 12 –6x + 12 – (–6x + 12) = 0

Dělení mnohočlenů se v zásadě neliší od dělení čísel. Také zde se každý krok skládá ze tří částí: dělení, násobení a odčítání.

P

Řádek 1a (dělení):

Nejvyšší mocnina v dělenci ( x3 ) se dělí nejvyšší mocninou v děliteli (x) : x3 : x = x2

Řádek 1b (násobení):

Výsledek násobíme celým dělitelem (x – 2): x2 · (x – 2) = x3 – 2x2

Řádek 1c (odčítání):

Od řádku 1a odečteme výraz x3 – 2x2, proto znak minus před závorkou v řádku 1b.

Tyto tři kroky opakujeme ve zbývajících řádcích 2a až 3c.

Smysl dělení polynomu vynikne, pokud převedeme levou stranu původní rovnice na součin:

P

170

x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0

Původní rovnice.

(x3 – 3x2 – 4x + 12) : (x – 2) = x2 – x – 6

Dělení polynomu na levé straně rovnice a jeho výsledek.

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 171

x3 – 3x2 – 4x + 12 ––––––––––––––– = x2 – x – 6 |· (x – 2) x–2

Podíl vyjádřený jako zlomek.

x3 – 3x2 – 4x + 12 = (x2 – x – 6) · (x – 2)

Dělenec vyjádřený jako součin podílu a dělitele.

(x2 – x – 6) · (x – 2) = 0

Nový tvar původní rovnice, kde je levá strana vyjádřena jako součin.

Nová rovnice je ekvivalentní rovnici původní (obě rovnice mají stejnou množinu řešení), ale postup řešení nové rovnice je snazší.

Připomínáme: Součin je rovný nule, právě když alespoň jeden jeho činitel je roven nule. Druhý činitel x – 2 je roven nule pro x = 2. Toto řešení jsme stanovili již v kroku 1.

Další krok výpočtu (stanovení dalších kořenů) vychází z nulovosti prvního činitele (x2 – x – 6).

Hodnoty x, pro které je první činitel roven nule, jsou kořeny kvadratické rovnice x2 – x – 6 = 0.

DokonËenÌ ¯eöenÌ kubickÈ rovnice ñ ¯eöenÌ dÌlËÌ kvadratickÈ rovnice Připomínáme, že kvadratická rovnice tvaru ax2 + bx+ c = 0 má následující kořeny: 2 –b ± pb & – 4ac x1, 2 = ––––––––––––– 2a

171

I. Aritmetika a algebra

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ

I. Aritmetika a algebra

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 172

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ Dokončíme nyní řešení uvedené kubické rovnice řešením dílčí kvadratické rovnice:

P

x2 – x – 6 = 0

Označíme koeficienty.

a = 1, b = –1, c = –6

Dosadíme do vzorce s diskriminantem.

1 ± p(–1)2 – 4 · 1 · (–6) x2,3 = ––––––––––––––––––––– 2·1

& 1 ± p25 x2,3 = ––––––– 2 1±5 x2,3 = –––– 2 1+5 x2 = –––– = 3 2 1–5 x3 = –––– = –2 2 K = {–2, 2, 3}

Vypočteme výraz pod odmocninou. Poznámka k označení kořenů: Kořen x1 již známe. Nyní počítáme kořeny x2 a x3.

Vypočteme odmocninu.

Rozdělíme výraz pro výpočet obou kořenů x2,3 na dva výrazy pro kořeny x2 a x3.

Kořen obsahující + Kořen obsahující – Množina řešení dané kubické rovnice. Všechna řešení jsou reálná čísla.

Cíle bylo dosaženo. Všechny tři kořeny jsou známy, x1 = 2, x2 = 3, x3 = –2.

AlgebraickÈ rovnice n-tÈho stupnÏ Rovnice pátého stupně má obecný tvar a x5 + b x4 + c x3 + d x2 + e x + f = 0 Předpokládáme, že a ≠ 0 (kdyby a = 0, pak by byl stupeň rovnice nejvýše 4), ostatní koeficienty b, c, d, e, f jsou libovolná reálná čísla (mohou to být i nuly).

172

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 173

Budeme užívat zápisu a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x+ a0 = 0 Toto označení koeficientů lépe určuje polohu koeficientu; index koeficientu (číslo umístěné níže než a) udává, k jaké mocnině neznámé x koeficient přísluší. Například a3 je koeficient před x3. Pokud je a3 = 0, znamená to, že v dané rovnici se mocnina x3 nenachází.

Rovnice n-tého stupně má obecný tvar: an xn + an-1 xn-1 + …+ a3 x3 + a2 x2 + a1 x+ a0 = 0, kde an ≠ 0 Výraz na levé straně uvedené rovnice se nazývá mnohočlen (polynom) n-tého stupně.

Každá algebraická rovnice, tj. rovnice, kde neznámá x vystupuje pouze jako mocnina s celým kladným exponentem, se dá zapsat uvedeným způsobem.

P

Rovnice x4 – 3 = 0 je rovnicí čtvrtého stupně s koeficienty a4 = 1,

a3 = 0,

a2 = 0,

a1 = 0,

a0 = –3

Podrobně se všemi koeficienty a mocninami x můžeme uvedenou rovnici napsat následovně: 1 · x4 + 0 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + (–3) = 0 Z tohoto zápisu je zřejmé, že nepřítomnost mocnin x3, x2 a x v dané rovnici je způsobena tím, že odpovídající koeficienty jsou rovny nule.

V kapitole o kvadratických rovnicích (str. 149) jsme ukázali, že kvadratická rovnice má dvě, jedno nebo žádné reálné řešení. Jinými slovy, kvadratická rovnice, tj. rovnice druhého stupně má nejvýše dvě reálná řešení.

Podobně lineární rovnice, tj. rovnice prvního stupně má jediné reálné řešení.

Pro rovnici n-tého řádu obecně platí: Rovnice n-tého řádu má nejvýše n reálných řešení (kořenů).

173

I. Aritmetika a algebra

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ

I. Aritmetika a algebra

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 174

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ Podobně jako kubické rovnice i rovnice čtvrtého a vyššího stupně řešíme dosazovací metodou v kombinaci s metodou dělení mnohočlenů. Metoda byla popsána v předchozí podkapitole. Zde jen zdůrazníme, že dosazovací metodou nemusíme dospět k cíli, pokud žádný kořen nebude celočíselný. Dá se ukázat, že jiné celočíselné kořeny než dělitele absolutního členu rovnice nemá.

Po každém stanovení kořene (např. x1) dosazovací metodou dělíme rovnici výrazem (x – x1); vzniklá rovnice je stupně o 1 nižšího a opětovné použití dosazovací metody je snazší.

V následující podkapitole uvedeme postup hledání kořenů pro speciální případ rovnice čtvrtého stupně.

Rovnice ËtvrtÈho stupnÏ Rovnice čtvrtého stupně má obecný tvar a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x+ a0 = 0 Rovnice má nejvýše čtyři reálné kořeny, které lze stanovit (pokud jsou celočíselné) za pomoci dosazování a dělení mnohočlenu stejně jako v případě rovnice kubické (viz podkapitolu Kubická rovnice, str. 168 a Dělení mnohočlenů, str. 169).

Jednodušší postup řešení se nabízí v případě, že se jedná o speciální případ rovnice čtvrtého stupně, tzv. rovnici bikvadratickou. Kořeny této rovnice se dají najít pomocí vzorce s diskriminantem pro rovnice kvadratické. Způsob řešení je založen na zajímavé myšlence a není příliš pracný.

Rovnice bikvadratickÈ Rovnice x4 – 13x2 + 36 = 0 je rovnicí čtvrtého stupně vyznačující se tím, že obsahuje pouze sudé mocniny neznámé x. To se ukáže jako rozhodující v následujícím postupu výpočtu, který nevyžaduje dělení mnohočlenů.

Bikvadratickými rovnicemi rozumíme rovnice typu a4x4 + a2x2 + a0 = 0, kde a4 ≠ 0

174

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 175

Ve srovnání s obvyklou kvadratickou rovnicí ax2 + bx+ c = 0 má bikvadratická rovnice a4x4 + a2x2 + a0 = 0 dvojnásobné exponenty u neznámé x. Proto se jí také říká bikvadratická neboli dvoukvadratická.

V následujícím příkladu bude ilustrován postup využívající uvedenou souvislost s kvadratickou rovnicí.

P

Řešme rovnici x4 – 13x2 + 36 = 0.

V uvedené rovnici nahradíme výraz x2 novou neznámou u (a tudíž výraz x4 = (x2)2 nahradíme výrazem u2) a dostáváme kvadratickou rovnici u2 – 13u + 36 = 0.

Nyní již můžeme použít vzorec pro kořeny kvadratické rovnice (str. 154): u2 – 13u + 36 = 0

Stanovíme koeficienty a, b, c.

a = 1, b = – 13, c = 36

Dosadíme je do vzorce pro kořeny kvadratické rovnice.

13 ± p(–13)2 – 4 · 1 · 36 –––––––––––––––– u1,2 = –––––– 2·1

& 13 ± p25 u1,2 = –––––––– – 2

Vzorec s diskriminantem. Řešení označíme u1, u2, protože neznámou v kvadratické rovnici je u. Vypočteme výraz pod odmocninou.

Ve výrazu odmocníme a výraz rozdělíme na dva kořeny.

18 u1 = –– = 9 2

Kořen s +

8 u2 = – = 4 2

Kořen s –

Stanovili jsme dvě řešení kvadratické rovnice: u1 = 9, u2 = 4. Úloha není ještě zcela rozřešena, protože naším cílem je stanovit kořeny bikvadratické rovnice x4 – 13x2 + 36 = 0 . Je třeba se vrátit k původní neznámé x:

P

Uvažujme tedy opět kvadratickou rovnici u2 – 13u + 36 = 0: 1. řešení u=9 u = x2 x2 = 9

výsledek výpočtu dosazení návrat k původní neznámé

2. řešení u=4 u = x2 x2 = 4

175

I. Aritmetika a algebra

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ

I. Aritmetika a algebra

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 176

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ Po návratu k původní neznámé provedeme další výpočty: x2 = 9

odmocníme Pozor: pro každou rovnici dostaneme dvě řešení!

x2 = 4

x1,2 = ± 3

Rozdělíme na kladná a záporná řešení:

x3,4 = ± 2

x1= 3

kladná řešení

x3 = 2

x2= –3

záporná řešení

x4 = –2

Cíle bylo dosaženo: stanovili jsme čtyři kořeny dané bikvadratické rovnice.

Všechna řešení jsou reálná čísla, množinou řešení je K = {–3, –2, 2, 3}.

Uvedeným způsobem lze řešit všechny bikvadratické rovnice.

Metoda „nahrazování neznámých“ se nazývá substituce. Tuto metodu lze použít uvedeným způsobem jen tehdy, jsou-li všechny exponenty u neznámé sudé.

176

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 177

⁄lohy 1. Stanovte množinu řešení pro následující rovnice řešené v oboru reálných čísel: a) x3 – 2x2 – x + 2 = 0 b) x3 + 5x2 – 2x – 24 = 0 c) 2x3 – 10x2 + 12x = 0 2. Stanovte množinu řešení pro následující rovnice. Navrhujeme následující způsob řešení: 1. Dosazením rozhodněte, které z uvedených hodnot jsou kořeny dané rovnice.

2. Dělte mnohočlen odpovídajícím kořenovým činitelem: (x – kořen).

3. Použijte vzorec pro řešení kvadratické rovnice.

4. Rozhodněte, zda nalezené řešení patří do definičního oboru dané rovnice a) D = , x2 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0 možná řešení: –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 b) D = +, x2 + 2x2 – 6x – 16 = 0 možná řešení: 0, 1, 2, 3 3. Ke stanovení množiny řešení daných bikvadratických rovnic navrhujeme následující způsob řešení: 1. Nahraďte určitou mocninu o základu x novou neznámou u tak, aby vznikla kvadratická rovnice tvaru au2 + bu+ c = 0.

2. Podle vzorce s diskriminantem stanovte řešení uvedené kvadratické rovnice o neznámé u.

3. Nahraďte zpětně neznámou u odpovídající mocninou x.

4. Stanovte původní neznámé x. a) x4 – 13x2 + 36 = 0 D= c) x6 + 7x3 – 8 = 0 D=

b) 2x4 + 4x2 – 16 = 0 D= (Tato rovnice je „trojkvadratická“.)

177

I. Aritmetika a algebra

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ

I. Aritmetika a algebra

I. ARITMETIKA A ALGEBRA.qxd

27.7.2004

12:04

StrÆnka 178

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööÌho stupnÏ

ÿeöenÌ 1. a) K = {–1, 1, 2} b) K = {–4, –3, 2} c) K = {0, 2, 3} 2. a) x1 = –2, x2 = 1 x3 = 2, x4 = 3 x2 – 5x + 6 = 0 K = {–2, 1, 2, 3} b) x1 = –2, x2 = 2 x2 – 2x + 4 = 0

Kořeny jsou –2 a 1.

Kořenové činitele jsou (x + 2) a (x – 1).

(Dílčí) kvadratická rovnice.

K = {2}

Kořeny jsou –2 a 2.

Kořenové činitele jsou (x + 2) a (x – 2).

(Dílčí) kvadratická rovnice.

Jiná řešení nejsou, –2 nepatří do definičního oboru!

x1 = –3, x2 = 3 x3 = –2, x4 = 2 K = {–3, –2, 2, 3}

Dosazení u = x2.

Kvadratická rovnice u2 – 13u + 36 = 0. Řešení v neznámé u : u1 = 9, u2 = 4 Návrat k neznámé x: x2 = 9, x2 = 4

3. a)

b) x1 = –%2 &, x2 = %2& K = {–%2 &, %2&} c) x1 = –2, x2 = 1 K = {–2, 1}

178

Z výrazu na levé straně vytkneme x. První řešení je x= 0.

Dosazení u = x2.

Kvadratická rovnice: 2u2 +4u – 16 = 0 Řešení v neznámé u : u1 = 2, u2 = –4 Návrat k neznámé x: x2 = 2, x2 = –4 (tato rovnice nemá reálné řešení) Dosazení u = x2.

Kvadratická rovnice u2 +7u – 8 = 0. Řešení v neznámé u : u1 = –8, u2 = 1 Návrat k neznámé x: x3 = –8, x3 = 1