Sistema de ecuaciones y matrices IST

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNOLOGICO “17 DE JULIO” CARRERA TECNOLOGIA SUPERIOR EN ELECTRICIDAD TEMA: EXAMEN PARCIAL 2 SISTEMA DE ECUACIONES Y MATRICES ALUMNO: Kevin Alexander Maza Malte FACILITADOR: Ing. Jhomaira Burbano ASIGNATURA: MATEMATICA TECNICA NIVEL: 1 ro TSE “A”

Multiplicar un escalar y una matriz 1). RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

0 5 Sea E =[ 4 −2] . Hallar -4 E −3 6

Para hacer esto, multiplicamos cada entrada de E por -4.

(−4)5 (−4)0 0 (−4)(−2)] = [−16 La respuesta es -4 E = [ (−4)4 12 (−4)(−3) (−4)6

2). Sea E = [0 −3 6

4

−20 8 ] −24

1 ] . Hallar -3 D −7

Para hacer esto, multiplicamos cada entrada de D por -3.

La respuesta es -3 D = [

(−3)0 (−3) − 3 (−3)1 0 9 −3 ]=[ ] (−3) − 7 (−3)6 (−3)4 −18 −12 21

Suma o resta de matrices

3). 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = [

−7 6 −4 3 ] 𝑦𝐷= [ ] −6 0 7 −2

Así que para hallar A Y D hacemos la resta con los elementos correspondientes.

Respuesta dada entre A – D = [

−7 − (−4) 6 − 3 −3 3 ]=[ ] 7 − (−6) −2 − 0 13 −2

0 −7 0 7 4). Sea C = [3 4 ] 𝑦 𝐷 = [4 −2] HALLAR -3C + 6D 6 5 2 6

Así que para hallar -3C Y 6D hacemos la resta con los elementos correspondientes.

0 21 0 −3 [ −9 −12] +6 [24 −18 −15 12

42 −12] 36

Luego utilizamos estas matrices para obtener la respuesta.

0 SEA -3C + 6D = [ −9 + 24 −18 + 12

21 + 41 0 63 −12 + (−12)] = [ 15 −24] −6 21 −15 + 36

Cuadrados y productos de matrices 2x2 3 2 1 −1 5). Sea A = [1 0] 𝑦 𝐵 = [−3 2 ]

Hallar cada matriz a continuación. Si una matriz no está definida, haga clic en "No está definida".

AB = [

3 ∗ 1 + 2 ∗ (−3) 1 ∗ 1 + 0 ∗ (−3)

3 ∗ (−1) + 2 ∗ 2 3 + (−6) −3 + 4 −3 1 ]= [ ]= [ ] 1 ∗ (−1) + 0 ∗ 2 1 −1 1+0 −1 + 0

3 + (−1) 1∗2+0 2 2 BA = [ ]= [ ] −7 −6 −3 ∗ 3 + 2 ∗ 1 −3 ∗ 2 + 2 ∗ 0

3 𝐴2 = [ 1

9+2 2 3 2 ][ ]= [ 3+0 0 1 0

−3 𝐴𝐵 = [ 1

6). Sea A = [

6+0 11 ]= [ 2+0 3

1 ] −1

𝐵𝐴 = [

3 −3 6 4 ] 𝑦 𝐵 = [0 5 4 −4 3

6 ] 2

2 2 ] −7 −6

11 𝐴2 = [ 3

6 ] 2

−4 3] 1

Para obtener AB, primero utilizamos la primera fila de A con cada columna de B para obtener la fila de arriba de A B , como se ve a continuación.

−3 ∗ 3 + 6 ∗ 0 + 4 ∗ 3 5 ∗ 3 + 4 ∗ 0 + (−4) ∗ 3

A+B =[

Respuesta dada entre AB =

[

−3 ∗ (−4) + 6 ∗ 3 + 4 ∗ 1 ] 5 ∗ (−4) + 4 ∗ 3 + (−4) ∗ 1

3 34 ] 3 −12

Multiplicación de matrices: Avanzado 7). Resolver X y Y

−3

Sea = [ 𝑥

[

−12 + 12 4𝑥 + 6𝑦

2 4 ][ 𝑦 6

−6 0 ]= [ −2 −42

14 ] 28

18 − 4 0 ]= [ −6𝑥 − 2𝑦 −42

14 ] 28

[

0 4𝑥 + 6𝑦

14 0 ]= [ −6𝑥 − 2𝑦 −42

14 ] 28

Para que dos matrices sean iguales, sus entradas correspondientes deben ser iguales.

Por lo tanto, tenemos las siguientes ecuaciones.

4𝑥 + 6𝑦 = −42 [ ] −6𝑥 − 2𝑦 = 28

La Respuesta es = [

𝑥 = −3 ] 𝑦 = −5

Hallar la inversa de una matriz 2x2 8). Considerar la siguiente matriz.

−5 4 A=[ ] 4 −3 Marcar la descripción correcta

−5 4 1 [ | 4 −3 0

0 ] 1

1 (∗ (− ) ∗ 𝑅1 − 𝑅1) 5 1

− ∗ (−5) ⌈ 5 4

1

1

1

4

1

− 5 ∗ 4 (− ) ∗ 1 − ∗ 0 1 −5 −5 0 | 5 5 ⌉ = [ | ] −3 4 −3 0 1 0 1 (∗ (−4) × 𝑅1 + 𝑅2 − 𝑅2)

1

4 1 − 5 5 | 4 1 (−4) ∗ (− ) + (−3) (−4) ∗ (− ) + 0 5 5 −

[ (−4) ∗ 1 + 4

0 ] (−4) ∗ 0 + 1

4 1 1 − − 0 5| 5 =[ ] 1 4 0 1 5 5 (5 ∗ 𝑅2 − 𝑅2)

1 [

−

4 5 1

− |

1

0

1 ] = [ 5∗1 0

5 4

5 ∗ 0 5 ∗ (5) (5) ∗ (5)

4

1

−5 −5 0 | ] 1 4 5

4 ( ∗ 𝑅2 + 𝑅1 − 𝑅1) 5 4

= [5 ∗ 0 + 1 0

La respuesta es 𝐴−1 = [

4 5

4

4

1

∗ 1 + (− 5) |5 ∗ 4 + (− 5) 1

3 4 ] LA INVERSA 4 5

4

4 5

∗5+0 ] 5

Hallar la inversa de una matriz 3x3 9). Considerar la siguiente matriz

−2 −1 𝐴 = [−1 −1 1 0

−4 1] 4

Marcar la descripción correcta Primero intercambiamos la primera fila con la tercera

−2 −1 −4 1 0 0 A= [−1 −1 1 |0 1 0] 1 0 4 0 0 1 Luego sumamos la primera fila con la segunda fila por 2 y la sumamos a la tercera fila

1 𝐴 = [−1 −2

0 4 0 0 1 −1 1 |0 1 0] −1 −4 1 0 0

2*R1+R3---R3

1 0 4 0 0 1 0 + (−1) 4+1 = [ 1 + (−1) | 0+0 0+1 1+0 ] 2 ∗ 1 + (−2) 2 ∗ 0 + (−1) 2 ∗ 4 + (−4) 2 ∗ 0 + 1 2 ∗ 0 + 0 2 ∗ 1 + 0 1 = [0 0

0 4 0 0 −1 5 |0 1 −1 4 1 0

1 1] 2

− 1 ∗ 𝑅2 − −𝑅2

1 0 4 0 0 1 0 1 −5 0 −1 −1 =[ | ] 0 + 0 1 + (−1) (−5) + 4 0 + 1 (−1) + 0 (−1) + 2

1 0 4 0 = [0 1 −5 |0 0 0 −1 1

0 1 −1 −1] −1 1

− 1 ∗ 𝑅3 − −𝑅3

=[

1 0 4 0 0 1 −5 0 | (−1) ∗ 0 (−1) ∗ 0 (−1)(−1) (−1) ∗ 1 1 = [0 0

0 1 −1 −1 ] (−1)(−1) (−1) ∗ 1

0 4 0 0 1 1 −5 |0 −1 −1] 0 −1 1 −1 1

LUEGO MULTIPLICAMOS LA TERCERA FILA POR -4 Y LA SUMAMOS A LA PRIMERA FILA AL MISMO TIEMPO MULTIPLICAMOS LA TERCERA FILA POR 5 Y LA SUMAMOS A LA SEGUNDA FILA

[−4 ∗ 𝑅3 + 𝑅1 − −𝑅1]

(−4) ∗ 0 + 1 (−4) ∗ 0 + 0 =[ 5∗0+0 5∗0+1 0 0

[5 ∗ 𝑅3 + 𝑅2 − −𝑅2]

(−4) ∗ 1 + 4 (−4)(−1) + 0 (−4) ∗ 1 + 0 (−4)(−1) + 1 5 ∗ 1 + (−5) | 5(−1) + 0 5 ∗ 1 + (−1) 5(−1) + (−1)] 1 −1 1 −1

1 = [0 0

0 0 4 −4 5 1 0 |−5 4 −6] 0 1 −1 1 −1

4 −4 5 La respuesta es 𝐴−1 = [−5 4 −6] −1 1 −1

Determinante de una matriz 2x2 10). Calcular el siguiente determinante

Al emplear la formula

4 −5 [ ] −4 1

= 4 ∗ 1 − (−4) ∗ (−5) = 4 − 20 = −16

La respuesta es = −16

Determinante de una matriz 3x3

11). Evaluar la siguiente determinante

−4 3 0 1 6 1 [1 | − 3| 1 6 ] = −4 | −3 −4 5 5 −3 −4

6 1 | + 0| −4 5

1 | −3

= −4(1 ∗ (−4) − (−3) ∗ 6) − 3(1 ∗ (−4) − 5 ∗ 6) = −4(−4 + 18) − 3(−4 − 30) = −4 ∗ 14 − 3 ∗ (−34) −56 + 102 ( ) = 46 La respuesta es =

46

Completar la eliminación de Gauss-Jordán con una matriz 2x2

12). Matriz aumentada

6𝑥 − 9𝑦 = 2 −8𝑥 + 9𝑦 = 1

6 −9 2 [ | ] −8 9 1

Introducir los coeficientes que faltan en las siguientes operaciones por fila

1 ∗ 𝑅1 − −𝑅1 6

(1)

3 1 [ 1 −2 |3] −8 9 1

3

(2)

(3)

8 ∗ 𝑅1 + 𝑅2 − −𝑅2

[

1 −2 0

−3

1 3 |11 ] 3

1 3 [1 − 2 | 3 ] 11 0 1 − 9

1 − ∗ 𝑅2 − −𝑅2 3

Introducir el coeficiente que falta en la operación por fila, completar las entradas que faltan en la matriz y dar solución.

(4)

3 1 0 [ | 2] 0 1 11 − 9 −

3 ∗ 𝑅2 + 𝑅1 − −𝑅1 2

𝑆𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼𝑂𝑁:

𝑋=−

3 2

𝑌=−

11 9

PROCESO

1

∗6 ∗ 𝑅1 − −𝑅1: [6 6 −8 1

[

1 6

∗9 9

1

|6

3 1

∗ (2) 1 −2 3 ]=[ | ] 1 −8 9 1

3

1

1

−2

8 ∗ (1) + (−8)

8 ∗ 𝑅1 + 𝑅2 − −𝑅2

3

1

1 −2 3 | ]=[ |11] 3 8 ∗ (− 2) + 9 8 ∗ 3 + 1 0 −3 3 3 1

1

− 3 ∗ 𝑅2 − −𝑅2

1

En esta matriz (la de la izquierda), esta entrada es -3 así que multiplicamos la segunda fila por − tal 3 como se muestra a continuación.

1

3

1

−2

1 [ 1 | 13 11] = [ 1 − 3 ∗ (0) (− 3) ∗ −3 − 3 ∗ 3 0

1

3

−2 3 | 11] 1 −9

3 2

∗ 𝑅2 + 𝑅1 − −𝑅1

3 11 1 3 3 3 3 ∗ (− ) + − 9 3] = [1 0 | 2 ] [2 ∗ (0) + 1 2 ∗ (1) + (− 2) |2 11 0 1 11 0 1 − − 9 9 Hemos transformado la matriz aumentada original en una en forma escalonada reducida

3 6 −9 2 1 0 [ | ] −−−−−−−−−−[ | 2] −8 9 1 0 1 11 − 9 −

La respuesta es =

3

𝑥 = −2

𝑦=−

11 9

ELIMINACION DE GAUSS-JORDAN CON UNA MATRIZ 2X2 13). Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales

4𝑥 − 12𝑦 = 8 8𝑥 − 29𝑦 = 6

4 −12 8 | ] 8 −29 6

1 ∗ 𝑅1 − −𝑅1 4

(1).

(2).

−8 ∗ 𝑅1 + 𝑅2— 𝑅2

1 − ∗ 𝑅2 − −𝑅2 5

(3) .

(4).

La respuesta es =

[

3 ∗ 𝑅2 + 𝑅1 − −𝑅1

𝑥=8

𝑦=2

[

[

1 −3 2 | ] 8 −29 6

1 −3 2 | ] 0 −5 −10

[

1 −3 2 | ] 0 1 2

1 [ 0

0 8 | ] 1 2

PROCESO

Ya que estamos tratando de que esa entrada sea 1 multiplicamos la primer fila por el reciproco de 4 que 1 es 4

1 1 1 1 −3 2 ∗ (4) ∗ (−12) [4 |4 ∗ (8)] = [ | ] 4 8 −29 6 8 −29 6

1 ∗ 𝑅1 − −𝑅1 4

Ya que estamos tratando de que esa entrada sea 0 elegimos el puesto de 8 que es -8 luego multiplicamos -8 por la primera fila y sumamos el resultado a la segunda fila.

[

1 −3 2 1 −3 2 | ]=⌈ | ⌉ −8 ∗ (1) + 8 −8 ∗ (−3) + (−29) −8 ∗ (2) + 6 0 −5 −10

1 [ 1 − ∗ (0) 5

−3 2 1 −3 2 1 | 1 ]=⌈ | ⌉ − ∗ (−5) − ∗ (−10) 0 1 2 5 5

1 0 8 3 ∗ (0) + 1 3 ∗ (1) + (−3) 3 ∗ (2) + (2) [ | ]=⌈ | ⌉ 0 1 2 0 1 2

La solución es = ⌈

1 0 8 | ⌉ 0 1 2

=

𝑥=8 𝑦=2

− 8 ∗ 𝑅1 + 𝑅2 − −𝑅2

−

1 ∗ 𝑅2 − −𝑅2 5

3 ∗ 𝑅2 + 𝑅1 − −𝑅1

ESCRIBIR SOLUCIONES A LOS SISTEMAS 3X3 DE ECUACIONES LINEALES DE MATRICES AUMENTADAS 14). Selecciones la opción que mejor describe la solución de cada sistema

1 (𝑎) = [0 0

0 0 9 1 0 |9] = 𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 0 0 9

0 = 9 𝑛𝑢𝑛𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑋, 𝑌, 𝑍

1 (𝑏) = [0 0

𝑥+𝑦=1 𝑥 =1−𝑦 1 0 1 | ] = 𝑜 0 1 −3 𝑧 = −3 𝑧 = −3 0 0 0 0=0 0=0

La respuesta es = (1 − 𝑦, 𝑦, −3)

COMPLETAR ELIMINACION DE GAUSS-JORDAN CON UNA MATRIZ 3X3 15). Considere el siguiente sistema de ecuaciones

4𝑥 −2𝑥

−3𝑧 = 36 −4𝑦 +𝑧 = 12 2𝑦 −𝑧 = −10

4 0 −3 36 [−2 −4 1 | 12 ] 0 2 −1 −10

(1).

1 ∗ 𝑅1 − −𝑅1 4

[

1

(3) .

2 ∗ 𝑅1 + 𝑅2 − −𝑅2

1 − ∗ 𝑅2 − −𝑅2 4

0 [0

3 4 9 1 | 30 −4 − −10 2 ] 2 −1 0

0 1

1 0 − 2 ∗ 𝑅2 + 𝑅3 − −𝑅3

0 1 [0 0

(5) .

(6) .

La respuesta es = 𝑋 = 6

4 − ∗ 𝑅3 − −𝑅3 5

1 − ∗ 𝑅3 + 𝑅2 − −𝑅2 8

𝑌 = −7

𝑍 = −4

−

3 9 4 15 1 |− 2 8 −10 ] −1

1 0 −

[0 2

(4) .

−

−2 −4 0 2

1 (2).

3 9 4 | 12 ] 1 −10 −1

0

3 4 9 1 15 |− 8 2 5 5 − ] 2 −

0 1 [0 0

3 9 4 15 1 |− 2 8 −4 ] 1

1 [0 0

0 0 6 1 0 |−7] 0 1 −4

1 0 −

RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES DADA SU MATRIZ AUMENTADA

16). Suponga que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales con una incógnita X,Y y Z

1 0 7 [− 4 1 −4 0

−2 −4 13 |9] 2 8 16

1 0 −2 −4 [0 1 3 |2] −4 0 8 16

1 0 [0 1 0 0

−2 −4 3 |2] 0 0

7

𝑅2 + 4 𝑅1 − −𝑅2

R3+(4)R1—R3

=

𝑋 − 2𝑡 = −4 𝑦 + 3𝑡 = 2 𝑧=𝑡

𝑋 = −4 + 2𝑡 = 𝑦 = 2 − 3𝑡 𝑧=𝑡

Las 2 posibles soluciones son =

𝑋 = −4, 𝑌 = 2, 𝑍 = 0 𝑋 = −2, 𝑌 = −1, 𝑍 = 1

ENCONTRAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2X2

17). Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

{

[

−3𝑥 − 2𝑦 = 2 7𝑥 + 4𝑦 = −2

−3 −2 1 | 7 4 0

−3 𝐴=[ 7

0 ] 1

1

− 3 ∗ 𝑅1 − −𝑅1

1 1 1 (−3) (−2) (− ) (− ) (− ∗ ∗ [ 3 | 3) ∗ 1 3 7 4 0

= [1 7

2 3 4

1 [ (−7) ∗ 1 + 7

|−

1

3 0

−2 ] 4

0]

1 (− ) ∗ 0] 3 1

− 7 ∗ 𝑅1 + 𝑅2 − −𝑅2

1

2 3

− |

1 3

0

1 2 (−7) ∗ + 4 (−7) ∗ (− ) + 0 3 3

2 1 1 − 0 3 | 3 =[ ] 2 7 0 − 1 3 3

−

] (−7) ∗ 0 + 1

3 ∗ 𝑅2 − −𝑅2 2

2 3

1 [ 3 (− ) ∗ 0 2

1 =[ 0

3

1

|

|

1 3

3 2 3 7 (− ) ∗ (− ) (− ) ∗ 2 3 2 3

−3

2

−

0

7

3]

1 −2 −2

] 3 (− ) ∗ 1 2

2

− 3 ∗ 𝑅2 + 𝑅1 − −𝑅1

2 7 1 2 2 2 (− ) ∗ ( ) + (− ) 2 3 [(− 3) ∗ 0 + 1 (3) ∗ 1 + 3 | 3 7 0 1 − 2

=[

0

2 3 (− ) ∗ (− ) + 0 3 2 ] 3 − 2

2 1 1 0 7 3] = [ 2 ] | − 0 1 − −2 2 2

Solución del sistema

2 𝑥 [𝑦 ] = [ 7 − 2

1 3] [ 2 ] − −2 2

7 3 = [(− ) ∗ 2 + (− ) ∗ (−2)] 2 2 =[

4 + (−2) ] (−7) + 3

=[

2 ] −4

2 1 𝑥 2 La respuesta es = [𝑦] = [− 7 − 3] ∗ [ ] = −2 2 2

𝑋=2

𝑦 = −4

USAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 3X3

18). Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales

3 − 𝑥 5 6 − 5 7 { 5

2 𝑦 5 1 − 𝑦 5 2 𝑦 5

3 2 6 − 5 5 5 𝑥 10 6 1 7 − − − [𝑦] = [−4] 5 5 5 𝑧 8 7 2 9 [ 5 5 5 ]

6 − 𝑧 = 10 5 7 − 𝑧 = −4 5 9 𝑧=8 5

3 2 6 − 5 5 5 1 −6 −4 6 1 7 3 3] − − − =[ 1 5 5 5 −1 4 3 7 2 9 [ 5 5 5 ]

−

−

Entonces, podemos escribir la matriz de solución X como sigue

𝑋 = 𝐴−1 𝐵 𝑋 1 −6 −4 10 [𝑌 ] = [ 1 3 3 ] [−4] 𝑍 −1 4 3 8

1 ∗ 10 + (−6) ∗ (−4) + (−4) ∗ 8 𝑋 2 [𝑌 ] = [ 1 ∗ 10 + 3 ∗ (−4) + 3 ∗ 8 ] = [ 22 ] 𝑍 −2 −1 ∗ 10 + 4 ∗ (−4) + 3 ∗ 8

La respuesta es = 𝑋 = 2, 𝑌 = 22, 𝑍 = −2

USAR REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2X2

19). Necesitamos encontrar la solución al siguiente sistema

−2𝑥 + 3𝑦 = 5 −6𝑥 + 𝑦 = 6

𝐷=|

𝐴=[

−2 3 | = −2 ∗ 1 − (−6) ∗ 3 = 16 −6 1

5 3 𝐷𝑥 = | | = 5 ∗ 1 − 6 ∗ 3 = −13 6 1 −2 5 𝐷𝑦 = | | = −2 ∗ 6 − (−6) ∗ 5 = 18 −6 6

La solución del sistema es la siguiente.

−2 3| = 16 −6 1

𝐷=|

5 3| 13 𝑋= 6 1 =− |

𝐷

16

||−2 5|| 𝑌=

−6 6 𝐷

=

9 8

−2 3 ] −6 1

5 𝐵=[ ] 6

USAR REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 3X3

20). Utilice la regla de Cramer para encontrar el valor de X que satisface el sistema de ecuaciones lineales

2𝑋 + 𝑌 + 5𝑍 = −3 −4𝑋 + 5𝑌 − 2𝑍 = 0 5𝑋 + 𝑌 − 3𝑍 = −3

2 1 𝐷 = [−4 5 5 1

5 −2] = −193. −3

−3 1 5 𝐷𝑥 = [ 0 5 −2] = 120 −3 1 −3

La solución al sistema es.

𝐷𝑥

120

X= 𝐷 = −193

2 1 𝐷 = [−4 5 5 1

5 −2] −3

−3 [0] −3