INSTITUTO SUPERIOR TÉCNOLOGICO “17 DE JULIO” CARRERA TECNOLOGIA SUPERIOR EN ELECTRICIDAD TEMA: EXAMEN PARCIAL 2 SISTEMA DE ECUACIONES Y MATRICES ALUMNO: Kevin Alexander Maza Malte FACILITADOR: Ing. Jhomaira Burbano ASIGNATURA: MATEMATICA TECNICA NIVEL: 1 ro TSE “A”
Multiplicar un escalar y una matriz 1). RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.
0 5 Sea E =[ 4 −2] . Hallar -4 E −3 6
Para hacer esto, multiplicamos cada entrada de E por -4.
(−4)5 (−4)0 0 (−4)(−2)] = [−16 La respuesta es -4 E = [ (−4)4 12 (−4)(−3) (−4)6
2). Sea E = [0 −3 6
4
−20 8 ] −24
1 ] . Hallar -3 D −7
Para hacer esto, multiplicamos cada entrada de D por -3.
La respuesta es -3 D = [
(−3)0 (−3) − 3 (−3)1 0 9 −3 ]=[ ] (−3) − 7 (−3)6 (−3)4 −18 −12 21
Suma o resta de matrices
3). 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = [
−7 6 −4 3 ] 𝑦𝐷= [ ] −6 0 7 −2
Así que para hallar A Y D hacemos la resta con los elementos correspondientes.
Respuesta dada entre A – D = [
−7 − (−4) 6 − 3 −3 3 ]=[ ] 7 − (−6) −2 − 0 13 −2
0 −7 0 7 4). Sea C = [3 4 ] 𝑦 𝐷 = [4 −2] HALLAR -3C + 6D 6 5 2 6
Así que para hallar -3C Y 6D hacemos la resta con los elementos correspondientes.
0 21 0 −3 [ −9 −12] +6 [24 −18 −15 12
42 −12] 36
Luego utilizamos estas matrices para obtener la respuesta.
0 SEA -3C + 6D = [ −9 + 24 −18 + 12
21 + 41 0 63 −12 + (−12)] = [ 15 −24] −6 21 −15 + 36
Cuadrados y productos de matrices 2x2 3 2 1 −1 5). Sea A = [1 0] 𝑦 𝐵 = [−3 2 ]
Hallar cada matriz a continuación. Si una matriz no está definida, haga clic en "No está definida".
AB = [
3 ∗ 1 + 2 ∗ (−3) 1 ∗ 1 + 0 ∗ (−3)
3 ∗ (−1) + 2 ∗ 2 3 + (−6) −3 + 4 −3 1 ]= [ ]= [ ] 1 ∗ (−1) + 0 ∗ 2 1 −1 1+0 −1 + 0
3 + (−1) 1∗2+0 2 2 BA = [ ]= [ ] −7 −6 −3 ∗ 3 + 2 ∗ 1 −3 ∗ 2 + 2 ∗ 0
3 𝐴2 = [ 1
9+2 2 3 2 ][ ]= [ 3+0 0 1 0
−3 𝐴𝐵 = [ 1
6). Sea A = [
6+0 11 ]= [ 2+0 3
1 ] −1
𝐵𝐴 = [
3 −3 6 4 ] 𝑦 𝐵 = [0 5 4 −4 3
6 ] 2
2 2 ] −7 −6
11 𝐴2 = [ 3
6 ] 2
−4 3] 1
Para obtener AB, primero utilizamos la primera fila de A con cada columna de B para obtener la fila de arriba de A B , como se ve a continuación.
−3 ∗ 3 + 6 ∗ 0 + 4 ∗ 3 5 ∗ 3 + 4 ∗ 0 + (−4) ∗ 3
A+B =[
Respuesta dada entre AB =
[
−3 ∗ (−4) + 6 ∗ 3 + 4 ∗ 1 ] 5 ∗ (−4) + 4 ∗ 3 + (−4) ∗ 1
3 34 ] 3 −12
Multiplicación de matrices: Avanzado 7). Resolver X y Y
−3
Sea = [ 𝑥
[
−12 + 12 4𝑥 + 6𝑦
2 4 ][ 𝑦 6
−6 0 ]= [ −2 −42
14 ] 28
18 − 4 0 ]= [ −6𝑥 − 2𝑦 −42
14 ] 28
[
0 4𝑥 + 6𝑦
14 0 ]= [ −6𝑥 − 2𝑦 −42
14 ] 28
Para que dos matrices sean iguales, sus entradas correspondientes deben ser iguales. Por lo tanto, tenemos las siguientes ecuaciones.
4𝑥 + 6𝑦 = −42 [ ] −6𝑥 − 2𝑦 = 28
La Respuesta es = [
𝑥 = −3 ] 𝑦 = −5
Hallar la inversa de una matriz 2x2 8). Considerar la siguiente matriz.
−5 4 A=[ ] 4 −3 Marcar la descripción correcta
−5 4 1 [ | 4 −3 0
0 ] 1
1 (∗ (− ) ∗ 𝑅1 − 𝑅1) 5 1
− ∗ (−5) ⌈ 5 4
1
1
1
4
1
− 5 ∗ 4 (− ) ∗ 1 − ∗ 0 1 −5 −5 0 | 5 5 ⌉ = [ | ] −3 4 −3 0 1 0 1 (∗ (−4) × 𝑅1 + 𝑅2 − 𝑅2)
1
4 1 − 5 5 | 4 1 (−4) ∗ (− ) + (−3) (−4) ∗ (− ) + 0 5 5 −
[ (−4) ∗ 1 + 4
0 ] (−4) ∗ 0 + 1
4 1 1 − − 0 5| 5 =[ ] 1 4 0 1 5 5 (5 ∗ 𝑅2 − 𝑅2)
1 [
−
4 5 1
− |
1
0
1 ] = [ 5∗1 0
5 4
5 ∗ 0 5 ∗ (5) (5) ∗ (5)
4
1
−5 −5 0 | ] 1 4 5
4 ( ∗ 𝑅2 + 𝑅1 − 𝑅1) 5 4
= [5 ∗ 0 + 1 0
La respuesta es 𝐴−1 = [
4 5
4
4
1
∗ 1 + (− 5) |5 ∗ 4 + (− 5) 1
3 4 ] LA INVERSA 4 5
4
4 5
∗5+0 ] 5
Hallar la inversa de una matriz 3x3 9). Considerar la siguiente matriz
−2 −1 𝐴 = [−1 −1 1 0
−4 1] 4
Marcar la descripción correcta Primero intercambiamos la primera fila con la tercera
−2 −1 −4 1 0 0 A= [−1 −1 1 |0 1 0] 1 0 4 0 0 1 Luego sumamos la primera fila con la segunda fila por 2 y la sumamos a la tercera fila
1 𝐴 = [−1 −2
0 4 0 0 1 −1 1 |0 1 0] −1 −4 1 0 0
2*R1+R3---R3
1 0 4 0 0 1 0 + (−1) 4+1 = [ 1 + (−1) | 0+0 0+1 1+0 ] 2 ∗ 1 + (−2) 2 ∗ 0 + (−1) 2 ∗ 4 + (−4) 2 ∗ 0 + 1 2 ∗ 0 + 0 2 ∗ 1 + 0 1 = [0 0
0 4 0 0 −1 5 |0 1 −1 4 1 0
1 1] 2
− 1 ∗ 𝑅2 − −𝑅2
1 0 4 0 0 1 0 1 −5 0 −1 −1 =[ | ] 0 + 0 1 + (−1) (−5) + 4 0 + 1 (−1) + 0 (−1) + 2
1 0 4 0 = [0 1 −5 |0 0 0 −1 1
0 1 −1 −1] −1 1
− 1 ∗ 𝑅3 − −𝑅3
=[
1 0 4 0 0 1 −5 0 | (−1) ∗ 0 (−1) ∗ 0 (−1)(−1) (−1) ∗ 1 1 = [0 0
0 1 −1 −1 ] (−1)(−1) (−1) ∗ 1
0 4 0 0 1 1 −5 |0 −1 −1] 0 −1 1 −1 1
LUEGO MULTIPLICAMOS LA TERCERA FILA POR -4 Y LA SUMAMOS A LA PRIMERA FILA AL MISMO TIEMPO MULTIPLICAMOS LA TERCERA FILA POR 5 Y LA SUMAMOS A LA SEGUNDA FILA
[−4 ∗ 𝑅3 + 𝑅1 − −𝑅1]
(−4) ∗ 0 + 1 (−4) ∗ 0 + 0 =[ 5∗0+0 5∗0+1 0 0
[5 ∗ 𝑅3 + 𝑅2 − −𝑅2]
(−4) ∗ 1 + 4 (−4)(−1) + 0 (−4) ∗ 1 + 0 (−4)(−1) + 1 5 ∗ 1 + (−5) | 5(−1) + 0 5 ∗ 1 + (−1) 5(−1) + (−1)] 1 −1 1 −1
1 = [0 0
0 0 4 −4 5 1 0 |−5 4 −6] 0 1 −1 1 −1
4 −4 5 La respuesta es 𝐴−1 = [−5 4 −6] −1 1 −1
Determinante de una matriz 2x2 10). Calcular el siguiente determinante
Al emplear la formula
4 −5 [ ] −4 1
= 4 ∗ 1 − (−4) ∗ (−5) = 4 − 20 = −16
La respuesta es = −16
Determinante de una matriz 3x3
11). Evaluar la siguiente determinante
−4 3 0 1 6 1 [1 | − 3| 1 6 ] = −4 | −3 −4 5 5 −3 −4
6 1 | + 0| −4 5
1 | −3
= −4(1 ∗ (−4) − (−3) ∗ 6) − 3(1 ∗ (−4) − 5 ∗ 6) = −4(−4 + 18) − 3(−4 − 30) = −4 ∗ 14 − 3 ∗ (−34) −56 + 102 ( ) = 46 La respuesta es =
46
Completar la eliminación de Gauss-Jordán con una matriz 2x2
12). Matriz aumentada
6𝑥 − 9𝑦 = 2 −8𝑥 + 9𝑦 = 1
6 −9 2 [ | ] −8 9 1
Introducir los coeficientes que faltan en las siguientes operaciones por fila
1 ∗ 𝑅1 − −𝑅1 6
(1)
3 1 [ 1 −2 |3] −8 9 1
3
(2)
(3)
8 ∗ 𝑅1 + 𝑅2 − −𝑅2
[
1 −2 0
−3
1 3 |11 ] 3
1 3 [1 − 2 | 3 ] 11 0 1 − 9
1 − ∗ 𝑅2 − −𝑅2 3
Introducir el coeficiente que falta en la operación por fila, completar las entradas que faltan en la matriz y dar solución.
(4)
3 1 0 [ | 2] 0 1 11 − 9 −
3 ∗ 𝑅2 + 𝑅1 − −𝑅1 2
𝑆𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼𝑂𝑁:
𝑋=−
3 2
𝑌=−
11 9
PROCESO
1
∗6 ∗ 𝑅1 − −𝑅1: [6 6 −8 1
[
1 6
∗9 9
1
|6
3 1
∗ (2) 1 −2 3 ]=[ | ] 1 −8 9 1
3
1
1
−2
8 ∗ (1) + (−8)
8 ∗ 𝑅1 + 𝑅2 − −𝑅2
3
1
1 −2 3 | ]=[ |11] 3 8 ∗ (− 2) + 9 8 ∗ 3 + 1 0 −3 3 3 1
1
− 3 ∗ 𝑅2 − −𝑅2
1
En esta matriz (la de la izquierda), esta entrada es -3 así que multiplicamos la segunda fila por − tal 3 como se muestra a continuación.
1
3
1
−2
1 [ 1 | 13 11] = [ 1 − 3 ∗ (0) (− 3) ∗ −3 − 3 ∗ 3 0
1
3
−2 3 | 11] 1 −9
3 2
∗ 𝑅2 + 𝑅1 − −𝑅1
3 11 1 3 3 3 3 ∗ (− ) + − 9 3] = [1 0 | 2 ] [2 ∗ (0) + 1 2 ∗ (1) + (− 2) |2 11 0 1 11 0 1 − − 9 9 Hemos transformado la matriz aumentada original en una en forma escalonada reducida
3 6 −9 2 1 0 [ | ] −−−−−−−−−−[ | 2] −8 9 1 0 1 11 − 9 −
La respuesta es =
3
𝑥 = −2
𝑦=−
11 9
ELIMINACION DE GAUSS-JORDAN CON UNA MATRIZ 2X2 13). Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
4𝑥 − 12𝑦 = 8 8𝑥 − 29𝑦 = 6
4 −12 8 | ] 8 −29 6
1 ∗ 𝑅1 − −𝑅1 4
(1).
(2).
−8 ∗ 𝑅1 + 𝑅2— 𝑅2
1 − ∗ 𝑅2 − −𝑅2 5
(3) .
(4).
La respuesta es =
[
3 ∗ 𝑅2 + 𝑅1 − −𝑅1
𝑥=8
𝑦=2
[
[
1 −3 2 | ] 8 −29 6
1 −3 2 | ] 0 −5 −10
[
1 −3 2 | ] 0 1 2
1 [ 0
0 8 | ] 1 2
PROCESO
Ya que estamos tratando de que esa entrada sea 1 multiplicamos la primer fila por el reciproco de 4 que 1 es 4
1 1 1 1 −3 2 ∗ (4) ∗ (−12) [4 |4 ∗ (8)] = [ | ] 4 8 −29 6 8 −29 6
1 ∗ 𝑅1 − −𝑅1 4
Ya que estamos tratando de que esa entrada sea 0 elegimos el puesto de 8 que es -8 luego multiplicamos -8 por la primera fila y sumamos el resultado a la segunda fila.
[
1 −3 2 1 −3 2 | ]=⌈ | ⌉ −8 ∗ (1) + 8 −8 ∗ (−3) + (−29) −8 ∗ (2) + 6 0 −5 −10
1 [ 1 − ∗ (0) 5
−3 2 1 −3 2 1 | 1 ]=⌈ | ⌉ − ∗ (−5) − ∗ (−10) 0 1 2 5 5
1 0 8 3 ∗ (0) + 1 3 ∗ (1) + (−3) 3 ∗ (2) + (2) [ | ]=⌈ | ⌉ 0 1 2 0 1 2
La solución es = ⌈
1 0 8 | ⌉ 0 1 2
=
𝑥=8 𝑦=2
− 8 ∗ 𝑅1 + 𝑅2 − −𝑅2
−
1 ∗ 𝑅2 − −𝑅2 5
3 ∗ 𝑅2 + 𝑅1 − −𝑅1
ESCRIBIR SOLUCIONES A LOS SISTEMAS 3X3 DE ECUACIONES LINEALES DE MATRICES AUMENTADAS 14). Selecciones la opción que mejor describe la solución de cada sistema
1 (𝑎) = [0 0
0 0 9 1 0 |9] = 𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 0 0 9
0 = 9 𝑛𝑢𝑛𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑋, 𝑌, 𝑍
1 (𝑏) = [0 0
𝑥+𝑦=1 𝑥 =1−𝑦 1 0 1 | ] = 𝑜 0 1 −3 𝑧 = −3 𝑧 = −3 0 0 0 0=0 0=0
La respuesta es = (1 − 𝑦, 𝑦, −3)
COMPLETAR ELIMINACION DE GAUSS-JORDAN CON UNA MATRIZ 3X3 15). Considere el siguiente sistema de ecuaciones
4𝑥 −2𝑥
−3𝑧 = 36 −4𝑦 +𝑧 = 12 2𝑦 −𝑧 = −10
4 0 −3 36 [−2 −4 1 | 12 ] 0 2 −1 −10
(1).
1 ∗ 𝑅1 − −𝑅1 4
[
1
(3) .
2 ∗ 𝑅1 + 𝑅2 − −𝑅2
1 − ∗ 𝑅2 − −𝑅2 4
0 [0
3 4 9 1 | 30 −4 − −10 2 ] 2 −1 0
0 1
1 0 − 2 ∗ 𝑅2 + 𝑅3 − −𝑅3
0 1 [0 0
(5) .
(6) .
La respuesta es = 𝑋 = 6
4 − ∗ 𝑅3 − −𝑅3 5
1 − ∗ 𝑅3 + 𝑅2 − −𝑅2 8
𝑌 = −7
𝑍 = −4
−
3 9 4 15 1 |− 2 8 −10 ] −1
1 0 −
[0 2
(4) .
−
−2 −4 0 2
1 (2).
3 9 4 | 12 ] 1 −10 −1
0
3 4 9 1 15 |− 8 2 5 5 − ] 2 −
0 1 [0 0
3 9 4 15 1 |− 2 8 −4 ] 1
1 [0 0
0 0 6 1 0 |−7] 0 1 −4
1 0 −
RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES DADA SU MATRIZ AUMENTADA
16). Suponga que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales con una incógnita X,Y y Z
1 0 7 [− 4 1 −4 0
−2 −4 13 |9] 2 8 16
1 0 −2 −4 [0 1 3 |2] −4 0 8 16
1 0 [0 1 0 0
−2 −4 3 |2] 0 0
7
𝑅2 + 4 𝑅1 − −𝑅2
R3+(4)R1—R3
=
𝑋 − 2𝑡 = −4 𝑦 + 3𝑡 = 2 𝑧=𝑡
𝑋 = −4 + 2𝑡 = 𝑦 = 2 − 3𝑡 𝑧=𝑡
Las 2 posibles soluciones son =
𝑋 = −4, 𝑌 = 2, 𝑍 = 0 𝑋 = −2, 𝑌 = −1, 𝑍 = 1
ENCONTRAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2X2
17). Resuelve el sistema de ecuaciones lineales
{
[
−3𝑥 − 2𝑦 = 2 7𝑥 + 4𝑦 = −2
−3 −2 1 | 7 4 0
−3 𝐴=[ 7
0 ] 1
1
− 3 ∗ 𝑅1 − −𝑅1
1 1 1 (−3) (−2) (− ) (− ) (− ∗ ∗ [ 3 | 3) ∗ 1 3 7 4 0
= [1 7
2 3 4
1 [ (−7) ∗ 1 + 7
|−
1
3 0
−2 ] 4
0]
1 (− ) ∗ 0] 3 1
− 7 ∗ 𝑅1 + 𝑅2 − −𝑅2
1
2 3
− |
1 3
0
1 2 (−7) ∗ + 4 (−7) ∗ (− ) + 0 3 3
2 1 1 − 0 3 | 3 =[ ] 2 7 0 − 1 3 3
−
] (−7) ∗ 0 + 1
3 ∗ 𝑅2 − −𝑅2 2
2 3
1 [ 3 (− ) ∗ 0 2
1 =[ 0
3
1
|
|
1 3
3 2 3 7 (− ) ∗ (− ) (− ) ∗ 2 3 2 3
−3
2
−
0
7
3]
1 −2 −2
] 3 (− ) ∗ 1 2
2
− 3 ∗ 𝑅2 + 𝑅1 − −𝑅1
2 7 1 2 2 2 (− ) ∗ ( ) + (− ) 2 3 [(− 3) ∗ 0 + 1 (3) ∗ 1 + 3 | 3 7 0 1 − 2
=[
0
2 3 (− ) ∗ (− ) + 0 3 2 ] 3 − 2
2 1 1 0 7 3] = [ 2 ] | − 0 1 − −2 2 2
Solución del sistema
2 𝑥 [𝑦 ] = [ 7 − 2
1 3] [ 2 ] − −2 2
7 3 = [(− ) ∗ 2 + (− ) ∗ (−2)] 2 2 =[
4 + (−2) ] (−7) + 3
=[
2 ] −4
2 1 𝑥 2 La respuesta es = [𝑦] = [− 7 − 3] ∗ [ ] = −2 2 2
𝑋=2
𝑦 = −4
USAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 3X3
18). Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
3 − 𝑥 5 6 − 5 7 { 5
2 𝑦 5 1 − 𝑦 5 2 𝑦 5
3 2 6 − 5 5 5 𝑥 10 6 1 7 − − − [𝑦] = [−4] 5 5 5 𝑧 8 7 2 9 [ 5 5 5 ]
6 − 𝑧 = 10 5 7 − 𝑧 = −4 5 9 𝑧=8 5
3 2 6 − 5 5 5 1 −6 −4 6 1 7 3 3] − − − =[ 1 5 5 5 −1 4 3 7 2 9 [ 5 5 5 ]
−
−
Entonces, podemos escribir la matriz de solución X como sigue
𝑋 = 𝐴−1 𝐵 𝑋 1 −6 −4 10 [𝑌 ] = [ 1 3 3 ] [−4] 𝑍 −1 4 3 8
1 ∗ 10 + (−6) ∗ (−4) + (−4) ∗ 8 𝑋 2 [𝑌 ] = [ 1 ∗ 10 + 3 ∗ (−4) + 3 ∗ 8 ] = [ 22 ] 𝑍 −2 −1 ∗ 10 + 4 ∗ (−4) + 3 ∗ 8
La respuesta es = 𝑋 = 2, 𝑌 = 22, 𝑍 = −2
USAR REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2X2
19). Necesitamos encontrar la solución al siguiente sistema
−2𝑥 + 3𝑦 = 5 −6𝑥 + 𝑦 = 6
𝐷=|
𝐴=[
−2 3 | = −2 ∗ 1 − (−6) ∗ 3 = 16 −6 1
5 3 𝐷𝑥 = | | = 5 ∗ 1 − 6 ∗ 3 = −13 6 1 −2 5 𝐷𝑦 = | | = −2 ∗ 6 − (−6) ∗ 5 = 18 −6 6
La solución del sistema es la siguiente.
−2 3| = 16 −6 1
𝐷=|
5 3| 13 𝑋= 6 1 =− |
𝐷
16
||−2 5|| 𝑌=
−6 6 𝐷
=
9 8
−2 3 ] −6 1
5 𝐵=[ ] 6
USAR REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 3X3
20). Utilice la regla de Cramer para encontrar el valor de X que satisface el sistema de ecuaciones lineales
2𝑋 + 𝑌 + 5𝑍 = −3 −4𝑋 + 5𝑌 − 2𝑍 = 0 5𝑋 + 𝑌 − 3𝑍 = −3
2 1 𝐷 = [−4 5 5 1
5 −2] = −193. −3
−3 1 5 𝐷𝑥 = [ 0 5 −2] = 120 −3 1 −3
La solución al sistema es.
𝐷𝑥
120
X= 𝐷 = −193
2 1 𝐷 = [−4 5 5 1
5 −2] −3
−3 [0] −3