HÅVARD TJORA Tjoras matteskole
Leksehjelp for foreldre og barn
© 2020 Kagge Forlag AS
Omslagsdesign: Terese Moe Leiner
Omslagsfoto: © Billybonkers.no
Layout: Line Monrad-Hansen
Papir: Magno natural 140 g
Boka er satt med Swift 12/15 pkt.
Repro: JK Morris
Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia
ISBN: 978-82-489-2645-0 Kagge Forlag AS Tordenskiolds gate 2
0160 Oslo
www.kagge.no
INNHOLD
Forord………………………………………………………………………………………9
Ordliste………………………………………………………………………………….11
Er det lov én gang, er det lov alltid……………………………………………13
Titallssystemet………………………………………………………………………14
Partall, oddetall og primtall……………………………………………………16
Desimaltall……………………………………………………………………………16
Pluss (addisjon)……………………………………………………………………..18
Med tieroverganger……………………………………………………………….19
Minus (subtraksjon)………………………………………………………………24
Med låning…………………………………………………………………………….25
Den kommutative lov…………………………………………………………….28
Hoderegningsstrategier………………………………………………………...29
Ganging (multiplikasjon)………………………………………………………..31
9-gangen………………………………………………………………………………33
Fingerganging……………………………………………………………………….34
Den visuelle gangetabellen…………………………………………………….35
Multiplikasjon med flere siffer………………………………………………..36
Gangen i ganging………………………………………………………..…………42
Deling (divisjon)………………………………………………………..……………43
Ulike divisjonsstrategier………………………………………………………..45
Divisjon med komma………………………………………………………….…56
Avrunding…………………………………………………………..………………….60
Negative tall………………………………………………………..………………..61
Utvide og forkorte med 10, 100, 1000…………………………………….63
Systematisk løsning gjør jobben lettere………………………………….65
Likhetstegnet………………………………………………………..……………….67
Regnerekkefølge…………………………………………………………..………..68
Brøk……………………………………………………………………………………………72
Faktorisering………………………………………………………………………………..88
Algebra…………………………………………………………………………………………90
Likninger……………………………………………………………………………………102
Flytting og bytting……………………………………………………………………..114
Likninger med to ukjente……………………………………………………………116
Prosent………………………………………………………………………………………124
Finne prosenten av et tall…………………………………………………………..126
Prosentvis avslag og påslag, innføring……………………………………….127
Hvor mye kostet jakka før salget………………………………………………..128
Utregning av hva noe kostet før, hvor mange prosent avslag
noe har, og hva noe koster etter et avslag.………………………………129
Utregning av hva noe kostet før, hvor mange prosent påslag
noe har, og hva noe koster etter et påslag……………………………….132
Prosentregning med penger i banken: renter og rentesrente……134
Rentesrente………………………………………………………………………………138
Potens………………………………………………………………………………………141
Tall på standardform………………………………………………………………….144
Kvadratrot…………………………………………………………………………………145
Koordinatsystemer, funksjoner og grafer……………………………………146
Veien om 1………………………………………………………………………………...154
Regne med tid……………………………………………………………………………156
Omgjøring av tid til titallssystemet………………………………………….158
Vei, fart, tid…………………………………………………………….…………………159
Omgjøring med vei, fart, tid……………………………………………………..160
Geometri…………………………………………………………………………………….164
Noen begreper å ta med seg………………………………………………..……164
Omkrets…………………………………………………………………………………….166
Areal…………………………………………………………………………………………..167
Areal av rektangel, trekant, parallellogram, trapes, rombe……….169
Trekanter……………………………………………………………………………………173
Typer trekanter: stump, spissvinkel, likesidet, likebeint, rettvinklet………………………………………………..……………………………...173
Pytagoras’ setning……………………………………………………………………..174
Pytagoras og trekanter med vinklene 30º, 60º, 90º…………………….177
Sirkler………………………………………………………………………………………..178
Pi…………………………………………………………….………………………….179
Å finne omkretsen av en sirkel………………….………………………….179
Arealet av en sirkel………………….…………………………………………..181
Målestokk…………………………………….………………………………………184
Konstruksjon…………………………………….…………………………………185
Konstruere vinkler med 600 og 900……………………………………185
Halvere vinkler…………………………………………………………………..187
Bygging av vinkler………………………………………………..……………188
Å finne midtnormalen………………….………………………………………190
Å nedfelle en normal………………….………………………………………..191
Konstruksjon av en parallell linje………………….………………………192
Formlike figurer…………………………………….…………………………….193
Omgjøring mellom enheter…………………………………….…………….196
Omgjøring i liter………………………………………………..………………200
Omgjøring mellom kvadratenheter……………………………………201
Omgjøring mellom kubikkenheter……………………………………..202
Forholdet mellom kubikk og liter……………………………………….204
Å regne enheter uten skjema…………………………………………….205
Volum av forskjellige figurer…………………………………….…………..208
Massetetthet…………………………………….…………………………………211
Statistikk og sannsynlighetsregning…………………………………….214
Frekvens, frekvenstabell, prosent og diagrammer………………216
Kakediagram/sektordiagram…………………………………………….217
Gjennomsnitt………………….……………………………………………………218
Median, typetall, variasjonsbredden…………………………………..219
Sannsynlighetsregning, del 1………………….…………………………..220
Kombinatorikk………………………………………………..…………………221
Multiplikasjonsregel, fakultet, ordnet utvalg med tilbakelegging, ordnet utvalg uten tilbakelegging, uordnet utvalg uten tilbakelegging………………….………………………………………….221
Sannsynlighetsregning, del 2………………….……………………………226
Multiplikasjonsregelen, addisjonsregelen………………………….226
FASIT på ØV DEG!-oppgaver………………………………………………….229
FORORD
Da jeg for rundt ti år siden jobbet med ungdom som strevde på skolen i TV-serien Blanke ark, var det mange som ville at jeg skulle skrive en mattebok for foreldre der jeg viste hvordan jeg jobbet. Det sa jeg nei til den gangen. Grunnen er at jeg mener at det ikke er foreldrenes jobb å undervise barna i matematikk, det er skolens oppgave. Da jeg innså hvor mange foreldre som likevel sitter med denne oppgaven, valgte jeg til slutt å skrive boka som het Leksehjelp i matematikk for foreldre og elever i 1. til 10. klasse, som kom ut i 2014. Siden den ble gitt ut, har jeg fått mange tilbakemeldinger fra foreldre og elever, som sier at de fikk god hjelp gjennom boka.
Denne boka du nå holder i hendene, er en redigert versjon av Leksehjelp i matematikk. Siden den ble gitt ut, har det kommet ny læreplan, og regningen som denne boka tar for seg, følger denne planen. Boka tar ikke for seg den digitale delen som omhandles i læreplanen, som Excel, Geogebra, samt koding. Det er temaer som dreier seg om å tilegne seg digitale ferdigheter, og ikke den grunnleggende regningen som denne boka tar for seg.
Målet er at denne boka gir dere de grunnleggende ferdighetene som skal til for å møte all matematikken i grunnskolen. Den kan nødvendigvis ikke dekke alle oppgavetyper som dere kan støte på, men den gir verktøyene som skal til for å løse dem.
Da jeg lærte matematikk som barn, var jeg alltid opptatt av hvorfor matematikken var som den var. Hvorfor må vi finne fellesnevnere?
Hvorfor ganger vi side med side for å finne arealet av et rektangel?
Hvorfor flytter og bytter vi i likninger? For meg, og svært mange elever i skolen, var det vanskelig å akseptere at «det bare er sånn». Derfor er all utregning forklart i boka.
Når dere skal lære om et nytt tema, lønner det seg å regne ut eksemplene som står skrevet opp, og lese forklaringen på hvorfor stykket ser ut som det gjør. Til hvert tema er det også egne oppgaver med fasit bakerst, der ikke bare svaret, men hele utregningen står.
Til sist; å lære seg matematikk, er som å lære seg et språk. De grunnleggende regnemetodene er som grammatikken. Ettersom dere blir tryggere på matematikken, vil dere se at det er de samme prinsippene som går igjen og igjen. Akkurat som en som leser mye engelsk, vil bli god i engelsk, vil en som regner mye, og ser systemene alt bygger på, bli god i matematikk. Det viktigste utgangspunktet for å lære matematikk, er at man legger bort tanken om at man ikke kan lære seg det. Min erfaring etter 20 år i skolen er at alle kan lære seg matematikk. De elevene jeg har måttet jobbe hardest med, er nettopp de som er overbevist om at de ikke kan lære. Da krever det mye jobbing for å bli trygg på at matematikken i skolen ikke er full av unntak og nye formler, men at det er de samme prinsippene som brukes hele tiden. En som er trygg og stoler på det grunnleggende, vil ha et svært godt utgangspunkt for å lykkes.
Lykke til!
Håvard Tjora Juni 2020
Nedenfor følger en liten ordliste over ord og begreper vi møter i matematikken.
ORDLISTE
Addisjon: Å legge sammen. Når vi adderer to tall, legger vi sammen to tall.
Dividend: I et delingsstykke, for eksempel 32 : 16 = 2, er det tallet 32 som er dividend.
Dividere: Å dele.
Divisor: I delingsstykket 32 : 16 = 2 er tallet 16 divisor.
Faktor: Tallene som er med i et gangestykke, kalles faktorer.
2 · 3 er faktor · faktor = produkt.
Kvotient: I delingsstykket 32 : 16 = 2 er tallet 2 kvotient.
Ledd: Tallene som er med i regnestykket når vi legger sammen og trekker fra, kaller vi ledd.
Likning: Et regnestykke med minst en ukjent. Den ukjente er som oftest kalt X.
Multiplikasjon: Ganging.
Origo: Nullpunktet i et koordinatsystem.
Produkt: Svaret i et gangestykke.
Siffer: 321 er et tall som er satt sammen av tre siffer. Sifrene er enkelttall som er med på å bygge opp et annet tall.
Sirkel: Det samme som en runding.
Skjæringspunkt: Punktet der to grafer krysser hverandre, kalles skjæringspunkt.
Subtraksjon: Å trekke fra. Når vi skal trekke fra, sier vi at vi subtraherer.
Sum: Svaret i et pluss- eller minusstykke.
Tiervenner: Tall som sammen gir tallet 10: 3 og 7, 9 og 1 osv.
Vinkelbein: Det ene beinet i en vinkel.
Vinkelsum: Summen av alle vinklene på en figur. Vinkelsummen i en trekant er 180°. Firkanter har vinkelsummen 360°.
ER DET LOV ÉN GANG, ER DET LOV ALLTID
En av hovedutfordringene som mange som misliker matte oppgir rundt matematikken, er at det er så utrolig mange regler å huske på og forholde seg til. Ikke nok med at det er så mange regler, det virker som det er ufattelig mange unntak også. Dette stemmer ikke. I matematikken vi møter i grunnskolen, er det egentlig et ganske lite sett med regler som går igjen hele tiden, og svært mye av matematikken bygger på disse reglene. En av mine store a-ha-opplevelser med matematikk da jeg selv var ungdom, var da jeg skjønte at matematikk ikke er så ustabilt. Tvert imot er matematikk noe av det mest stabile vi har. Har du lært en regel i matematikk, så gjelder denne alltid. Har du skjønt hvordan du ganger ut parenteser, så gjøres det på denne måten alltid. Kan du reglene for flytting og bytting, så gjelder det også alltid, eller utviding, eller hva som skjer når du ganger med –1, for å nevne noen eksempler. Derfor pleier jeg å gjenta for mine elever stort sett hver mattetime, at «er det lov én gang, er det lov alltid» -- det kan være lurt å ha med seg når du eller dere pløyer gjennom temaene dere møter i denne boka.
TITALLSSYSTEMET
Opp gjennom historien har det eksistert mange tallsystemer. Også i dag er det flere forskjellige tallsystemer som er i bruk. Det vanligste, foruten vårt eget, er nok binærsystemet, eller totallssystemet, som brukes til å programmere datamaskiner. Vårt eget tallsystem heter titallssystemet og brukes over hele verden. Det fungerer ved at enere, tiere, hundrere osv. har sin bestemte plass i forhold til hverandre.
Det letteste er å forklare det med et eksempel:
Titallssystemet er bygd opp ved at ulike verdier har sin bestemte plass.
La oss si at du skal telle opp hvor mange boller det er i et bakeri. For å lage et bra system legger du ti og ti boller i hver sin pose. Etter å ha telt opp kommer du kanskje fram til at du har tre bolleposer med ti i hver, og i tillegg har du fire boller til overs. I titallssystemet skriver vi det slik: 34. Her ser du at 3-tallet står for hvor mange bolleposer (med ti i hver) du har, og 4-tallet står for hvor mange enkeltboller det er til overs.
Det viktige er at tierne og enerne har hver sin plass. Titallssystemet er derfor et plassverdisystem. Den plassen sifferet står på, bestemmer verdien til sifferet. I tallet 34 ser du at 3-tallet står til venstre for 4tallet. Det vil si at 3-tallet hører til tiergruppa.
3 1 2 3 4
Hvis du er i et bakeri med svært mange boller, la oss si flere hundre, må du utvide titallssystemet. Da teller du først opp i grupper på ti og ti. Etter hvert kommer du til at du har ti bolleposer med ti i hver. Da har du til sammen 100 boller, og du må opp enda en plass – til det vi kaller hundrerplassen. De hundre bollene som ligger i ti poser, legger du kanskje i en eske. Etter at du har lagt bolleposene der, oppdager du at du har to poser til overs, pluss tre enkeltboller som ikke er nok til å fylle en pose. Da har du en eske med hundre, to poser med ti (til sammen tjue) og tre enkeltboller. Vi skriver det slik: 123, ett hundre og tjuetre.
Det finnes uendelig mange tall, og her er en oversikt over titallssystemet et godt stykke på vei:
Hundre millioner Ti millioner Millioner Hundretusenere Titusenere Tusenere Hundrere Tiere Enere
Partall, oddetall og primtall
Når vi teller, for eksempel fra en og oppover, så er annen hvert tall oddetall og partall. Et partall er et tall som kan deles på to, et oddetall kan ikke det. For å vite om du har et partall foran deg, holder det å se på siste sifferet i tallet. Slutter det på et partall, er det et partall. Hvis du har tallet 1354, så vet du at det er et partall, fordi 4 er et partall (delt på to blir det 677). Alle oddetall slutter også på et oddetall.
I tillegg til partall og oddetall, har vi også primtallene. Det er alle tall over 1 som kun kan deles på seg selv og 1. Det første tallet i primtallsrekken er 2, fordi det kun kan deles på seg selv og 1. De første tallene i primtallsrekken er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Å kunne litt om oddetall, partall og primtall kommer godt med når vi jobber med deling. Da vil man nemlig fort kunne se at alle oddetall som deles på partall, vil gi rest, og jobber du med et primtall, så vet du at det kun vil gå opp hvis det deles på seg selv eller 1.
Desimaltall: Desimaltall er tall som skrives med komma, for eksempel 1,45. Tallene bak komma (til høyre for komma), kalles desimaler, i tallet 1,45 er det to desimaler.
tusenplass hundrerplass tierplass enerplass tidelsplass hundredels-plass tusendels-plass 1, 4 5
I tallet 1,45 ser vi at 1 er på enerplassen, 4 er på tidelsplassen og 5 er på hundredelsplassen.
I grunnskolen er det noen absolutter det er greit å være klar over:
Bak alle hele tall kan man skrive komma og uendelig mange nuller. Har du oppgitt tallet 5, kan det med andre ord skrives som 5,000 000 00 osv. Det er kjekt å vite når vi blant annet skal begynne å jobbe med deling.
Når du legger sammen eller trekker fra tall med desimaler, skal tidelsplassen alltid legges sammen eller trekkes fra med tidelsplassen, og hundredelsplassen alltid legges sammen eller trekkes fra med hundredelsplassen.
Du har lært at det finnes uendelig mange tall, men ikke alle er klar over at mellom hvert naturlige tall, er det også uendelig mange desimaltall. Det er kanskje lettest å vise gjennom en tallinje.
Her ser du at mellom hver desimal er det nye desimaler – dette kan man fortsette å dele opp i det uendelige.
PLUSS
(addisjon)
Når du har forstått hvordan titallssystemet fungerer, kan du legge sammen kjempestore tall. På matematikkspråket heter det å addere. Den letteste måten er å sette tallene under hverandre. Når du legger sammen tall, er det viktig at du alltid passer på å legge enere sammen med enere og tiere med tiere. Greier du å holde tunga rett i munnen og gjøre det, kan du legge sammen veldig store tall, selv om du ikke har regnet så mye før.
Vi kan starte litt forsiktig med 12 + 5. Siden det er lettest å skrive tallene under hverandre, setter vi det opp slik:
Her ser du at 2-tallet i tallet 12 viser to enere og skal stå på enerplassen. 1-tallet i tallet 12 viser en tier og skal derfor stå på tierplassen. Tallet 5 hører til enerne og skal stå på enerplass. Vi får da 7 enere og 1 tier, altså tallet 17.
12 + 5 = 17
Denne måten å legge sammen på gjelder også når vi har veldig store tall. Kan du framgangsmåten, er det enkelt å regne ut for eksempel 1 457 832 + 8 342 156. Når vi setter tallene under hverandre og er nøye med å plassere dem riktig, får vi svaret 9 799 988.
Framgangsmåten fungerer fint så lenge tallene vi legger sammen, ikke blir større enn 9. Blir de større, må du kunne litt mer om addisjon.
Vi forklarer det i neste avsnitt.
Addisjon med tieroverganger
Vi tenker oss at vi teller opp penger etter en bestemt regel. Hver gang du teller opp ti enkroner, skal de veksles til en tikrone. Hvis du har 13 kronestykker, kan du veksle inn ti av kronestykkene og få en tikrone. Tikronen er altså like mye verdt som ti kronestykker. Når du følger denne regelen, blir 13 kronestykker etter veksling lik en tikrone og tre kronestykker. Det ser sånn ut:
Vi tenker oss så at du i tillegg til disse 13 kronene får åtte kronestykker til. Da har vi et addisjonsstykke (eller pluss-stykke) som ser slik ut:
Her ender vi opp med to tiere og ett kronestykke, 21 kroner. Vi har vekslet ti kronestykker til en tier og har nå ett kronestykke til overs. Når vi setter opp dette over hverandre, får vi:
Legg merke til 1-tallet vi har satt over tieren i 13. Det kalles minnetegn eller mente og minner oss på at vi har vekslet ti kronestykker til en tier. Siden det er en tier, setter vi minnetegnet på tierplassen.
Det er ti enkroner i en tikrone. Du har sikkert sett at vi har hundrelapper og tusenlapper også. En hundrelapp er like mye verdt som ti tikroner. Dersom du har en kalkulator, kan du prøve å legge sammen 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10. Du ser at det blir 100. Vekslingsregelen som gjaldt for kronestykker, gjelder også for tikronene. Får du ti tikroner, kan de straks veksles til en hundrelapp. Så hvis du har 15 tikroner, blir det en hundrelapp og fem tikroner:
Her ser du at 15 tikroner er det samme som en hundrelapp og fem tikroner, 150 kroner. 13 + 8 = 21 ¹
I tillegg til hundrelappen og de fem tikronene tenker vi oss nå at du får sju tikroner til. Da ser det slik ut:
Skrevet som et regnestykke får vi:
Legg merke til at vi her fikk mer enn ti tiere, så vi måtte veksle til en hundrelapp. Siden det er en hundrelapp, skal minnetegnet stå på hundrerplassen.
150 + 70 = 220 ¹
Hvilken dag ble du født?
Du vet helt sikkert datoen du ble født, men hvilken ukedag var det? Eller hvilken ukedag var 9. april 1940? Ja, eller hvilken ukedag faller bursdagen din på i 2087? Det kan være greit å vite hvis du liker å planlegge i god tid.
Gjennom hele historien og alle kulturer har man vært opptatt av å si noe om tiden. Man trengte å vite når man skulle så korn, når man skulle høste, når man skulle ofre til gudene, osv. Det har variert gjennom historien og kulturene hva man har vektlagt. I Norge regnet man for eksempel alderen til folk ut fra hvor mange vintre de var. Fødselsdagen var ikke så viktig. Grunnen til det var at vinteren i Norge var den kritiske tiden. Da var det kaldt, det var fare for sult og sykdom. Så kom du deg gjennom vinteren, kunne du krysse av ett år til på alderen.
Mayaene hadde sin egen kalender. Den starter 11. august 3114 f.Kr. og varte frem til 21. desember 2012. Denne kalenderen var overraskende nøyaktig, selv om den er veldig gammel.
I dag bruker de aller fleste den gregorianske kalenderen, som ble innført av pave Gregor 13. i Roma i 1582. Den erstattet den julianske kalenderen, som ble innført av Julius Cæsar i år 46 f.Kr.
Når du skal regne ut hvilken dag en dato var eller er, må du bruke tabellene nedenfor.
Tabell 1, måneder
januar 1 * juli 0
februar 4 * august 3
mars 4 september 6
april 0 oktober 1
mai 2 november 4
juni 5 desember 6
* Hvis det er skuddår, må du sette januar til 0 og februar til 3.
Tabell 2, ukedager
søndag 1 torsdag 5 mandag 2 fredag 6
tirsdag 3 lørdag 7 onsdag 4
Gjør slik
I utregningene du skal gjennomføre her, skal du jobbe med det som heter heltallsdivisjon. Det betyr at vi aldri tar med desimalene (altså tallene etter komma). Så hvis jeg deler 135 på 7 og får 19,285 7…, tar jeg bare med 19. For å finne «resten» i heltallsdivisjon kan jeg gange svaret jeg fikk, med det jeg delte på, og trekke fra differansen. Her blir det 19 • 7 = 133. Differansen mellom utgangspunktet og det jeg fant, er 135 – 133 = 2. Skulle jeg brukt et mer matematisk språk på dette, ville jeg sagt at resten er dividenden minus kvotienten multiplisert med divisoren. Vel, vel, nå finner vi ukedagen!
Først finner du året du skal finne dagen i. Jeg ble født i 1977, så jeg bruker det.
• Jeg tar ut de to siste sifrene i 1977, som er 77.
• De skal jeg dele på 4. Hvis det blir rest, skal jeg ikke ta med den. 77 : 4 = 19,25, jeg sløyfer desimalene og får 19.
• Så finner jeg tallet for måneden i tabell 1.
• Jeg er født 25. mai, så da finner jeg mai, som har nummer 2.
• Dette tallet skal legges til tallet jeg fant i stad, det blir 19 + 2 = 21.
• Så legger jeg til datoen for denne dagen, som var den 25.
• Da ender jeg opp med 21 + 25 = 46.
• Nå skal jeg legge sifrene for årstallet (77) til denne summen: 46 + 77 = 123.
• Denne summen skal deles på 7.
Resten jeg får, forteller hvilken dag jeg ble født på. Husk nå at resten her er heltallet jeg fikk, multiplisert med det jeg delte på (7).
123 : 7 = 17,571 4..., som blir 17. Resten blir da 123 – (17 • 7) = 4. Når jeg ser etter i tabell 2, ser jeg at jeg ble født på en onsdag.
Dette gjelder for oss som er født på 1900-tallet! Fordi vi bare bruker de to siste sifrene i årstallet, og fordi det er unntak når det gjelder skuddår, blir det forskyvninger.
Skal du finne ukedagen for årstall på 1700-tallet, må du legge til 4 før du deler til slutt.
Skal du finne ukedagen for årstall på 1800-tallet, må du legge til 2 før du deler til slutt.
Skal du finne ukedagen for årstall på 2000-tallet, må du legge til 6 før du deler til slutt.
Skal du finne ukedagen for årstall på 2100-tallet, må du legge til 4 før du deler til slutt.