FIBONACCI
En av vestens mest berømte matematikere het Leonardo Fibonacci og han levde for rundt 800 år siden. Han plukket opp en tallrekke som var laget av indiske matematikere, og brakte den videre til Europa. Tallrekka fikk dermed hans navn – Fibonaccis tallrekke – en av verdens mest kjente tallrekker.
KANINENE
Historien skal ha det til at tallrekken ble oppdaget ved at man tenkte seg følgende: En gutte- og en jentekanin møtes og blir så forelsket som kaniner kan bli. Etter en måneds svermeri, parer de seg. Jenta blir gravid, og etter enda en måned føder hun et nytt gutte- og jentepar. Dette nye paret blir umiddelbart forelsket i hverandre. Etter en måned parer de seg, og den nye jenta blir gravid. En måned etter det igjen, føder hun et nytt par. Tro det eller ei – en gutt og en jente. Og det samme kommer til å gjenta seg. Gang på gang. I det uendelige. Alle parene som har fått et sett med barn, fortsetter å pare seg hver måned, og etter en måned føder de nye par.
Spørsmålet blir da, om du klarer å tegne opp dette merkelige familietreet? Oppsummert: Ingen dør. Alle nyfødte er gutt og jente. Alle par som har fått barn, fortsetter å føde nye par hver måned. Prøv om du klarer å sette opp familietreet helt til du har fem par.
Bruk plassen på neste side til å tegne familietreet.
Se fasit side 93.
SOSIALE MEDIER
Fra side 62.
Første timen er det bare du som har sett filmen, altsa 2°, som er 1. Dette dobler seg etter andre time: 2¹, og igjen til tredje time 2². Slik fortsetter det til det har gått 24 timer – og du vil ende opp på at 2²³ eller 8 388 608 mennesker har sett den på 24 timer.
AREALET AV EN SIRKEL π r 2
Fra side 63.
Omkretsen av en sirkel er 2π r. Når du legger ut sektorene som beskrevet, så vil lengden på rektangelet ditt være π r. Omkretsen er jo alle «ryggene» på sektorene (2π r), og bredden av rektangelet bare er halvparten av ryggene
2π r = π r 2
Høyden på rektangelet er det samme som radiusen i sirkelen, altså r. Arealet av et rektangel, er «lengde ganger bredde», og vi får: π r • r eller π r2. Formelen til en sirkel er π r².
LOGISK-MATEMATISK PUSLING
GEITA, HAVRESEKKEN OG DEN SYNGENDE BJØRNEN
Fra side 64.
Han må ro over geita først. Så henter han bjørnen. Men når han kommer med bjørnen til geita, må han ta med seg geita tilbake. Når han er tilbake igjen, setter han geita i land, og tar med seg havresekken. Når havresekken og den syngende bjørnen er vel over, ror han siste gang tilbake og henter geita.
FJELLTUREN
Fra side 64.
Svaret er ja – du kan faktisk ikke unngå at det skjer(!). Det finnes flere måter å vise det på, men den tydeligste er å vise det med en kurve.
Her ser du et eksempel på hvordan turen kunne se ut. Du begynte ved foten av fjellet klokken 8.00, og er fremme klokken 16.00. Dagen etter begynner du på toppen klokken 8.00, og er fremme ved foten av fjellet klokken 16.00. Der kurvene krysses, er stedet der du er på samme sted til samme tid.
FAR OG BARN
Fra side 66.
Her lønner det seg å systematisere litt. Min alder er ukjent, den kaller vi X. Min datters alder er også ukjent, den kaller vi Y. Min sønns alder er også ukjent, den kaller vi Z. Men vi vet også at min sønn alltid vil være 6 år yngre enn sin søster, da kan vi si at Z er det samme som Y – 6.
Jeg vil alltid være 28 år eldre enn min datter. Da kan vi sette opp likningen med ord:
Min datter + 28 år = min alder, med likninger blir det:
Y + 28 = X
Men vi vet også at min alder + datters alder + sønns alder = 58, og da kan vi sette:
X + Y + Z = 58, hvis vi nå dropper Z-en, og heller setter inn Z = Y – 6, så får vi:
X + Y + Y – 6 = 58
Nå har vi to likninger med to ukjente. Her er et løsningsforslag:
Y + 28 = X
X-en er altså det samme som Y + 28. Nå setter jeg dette uttrykket inn i den andre likningen:
X + Y +Y – 6 = 58
Y + 28 + Y + Y – 6 = 58
3Y + 22 = 58
3Y = 58 – 22
3Y = 36
3Y = 36
3 3
Y = 12
Nå vet vi at min datters alder er 12. Da kan vi finne ut min alder også, den var jo 28 + Y = X
28 + Y = X
28 + 12 = 40 Siden min datter er 12, viser det seg at jeg er 40. Himmel og hav som tiden går …
Min sønn er seks år yngre enn sin søster, altså
Y – 6 = Z, da får vi 12 – 6 = 6
HISTORISK DATO
Fra side 67.
Datoen er 9. april. 9. april 1940 ble Norge angrepet av Tyskland under andre verdenskrig.
Måneden: Denne kan forklares gjennom en likning. Du tenkte på et tall, det er et tilfeldig tall, så det kaller vi X. Så multipliserte du tallet med 2 og la til 8, da får vi: 2X + 8
Etterpå skulle dette divideres med 2 2X + 8 = X + 4 2
Så skulle du trekke fra tallet du tenkte på, altså X : X + 4 – X = 4 Du er nødt til å få tallet fire hver gang.
Grunnen til at du kom fram til 9, er at alle tall som multipliseres med 9, får tverrsummen 9.
GÅTER
Fra side 68.
Fasit I: Søsteren er seks år eldre enn broren. Når han er åtte, er hun 14. Svært mange tror svaret er 16 …
Fasit II: Stian vil vinne igjen. Han kommer til å ta igjen Magnus når de har syklet 900 meter, men siden han sykler litt fortere, vil han sykle forbi han og ta ledelsen de siste hundre meterne.
Fasit III: Det finnes mange måter å løse denne oppgaven på. Du kan finne ut hvor langt hver av dem graver for hvert tiende minutt.
Guri graver 2 meter : 6 = 1/3 meter hvert tiende minutt.
Gunnar graver 1 meter : 6 = 1/6 meter på ti minutter. Etter ti minutter har de gravd (1/3 + 1/6) meter = 1/2 meter. (Forts. på neste side.)
Til sammen skal de grave 4 meter, det er åtte ganger så langt som halvmeteren vi så på over, og derfor bruker de åtte ganger så lang tid: 8 • 10 minutter = 80 minutter, eller 1 time og 20 minutter
Den kan også løses som en ligning. For hver time har Guri gravd to meter, og Gunnar en meter. Vi vet ikke hvor mange timer de kommer til å grave, så det kaller vi X. Men vi vet at de til sammen skal grave fire meter, da får vi denne likningen:
X (2 + 1) = 4
X = 4 3
X = 11 3
De graver i 1 time, som er det samme som 1 time og 20 minutter.
Fasit IV:
Det finnes flere løsninger for å vise at tenkemåten i oppgaven er feil, for som du sikkert har skjønt, så er det ingen penger som har forsvunnet.
De tre kronene du har igjen, har du fortsatt lånt. Hvis du tenker at du skal redusere gjelden din ved å betale tilbake vekslepengene, så må du tenke at de tre kronene du fikk igjen, skal deles på to, altså at du gir tilbake 1,50 kr til hver. Isene kostet 37 kroner, og vi skylder nå 20 – 1,5 = 18,5 til hver. Hvis jeg legger sammen gjelda nå, får jeg 18,5 + 18,5 = 37 kroner. 37 kroner + de tre jeg ga tilbake, blir 40.
En annen måte er å tenke at gjeld er negative tall. Jeg skylder hver av gutta 19 kroner + krona jeg har i lomma: -19 + -19 + 1 = -37 -37 er det jeg betalte for isene, altså den gjelden jeg har igjen etter å ha betalt en krone til hver av gutta, og beholdt en selv.
Fasit V:
Først betalte du 100 kroner, så fikk du igjen 200 kroner. Nå har du tjent 100 kroner. Så betaler du 300 kroner, og selger det for 400 kroner, og du har igjen tjent 100 kroner. Du har til sammen tjent 200 kroner.
STOLHEISEN
Fra side 70.
Det finnes flere måter å finne svaret på. En av dem er å tegne opp mulighetene i en tabell. For enkelthets skyld har jeg bare brukt forbokstavene til personene, og satt dem inn i en tabell, rutene representerer setene i stolheisen.
Det finnes 24 måter de kan sitte sammen på. Men det finnes en mye raskere måte å komme frem til dette resultatet på også. Det finnes fire seter der A kan sette seg. For hver gang A velger en plass, er det tre muligheter for for eksempel B. For hver gang B bestemmer seg for en plass, er det bare to muligheter igjen til C, og når C har bestemt seg, er det bare en mulighet igjen for D. Det betyr at det er 4 • 3 • 2 • 1 = 24 muligheter. Dette kan skrives 4!, og uttales «fire fakultet». Hadde det vært plass til fem i heisen, kunne du skrevet 5!, og regnet det ut slik: 5 • 4 • 3 • 2 • 1
TERNINGKASTENE
Fra side 72.
Siden det er seks sider på en terning, er det 1/6 sjanse for at du kaster en sekser. Selv om sekserne ofte er gjevere å få enn firere, er sannsynligheten for å trille en firer akkurat like stor som for å trille en sekser.
KOMBINASJON AV TERNINGKAST
Fra side 72. a)
Dette er alle tilfellene du kan trille med to terninger, og det gir til sammen 36 muligheter.
b)
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
1,4 2,4 3,4 4,4 5,5 6,4
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
Det er bare en av de 36 kombinasjonene som gir to seksere. Altså er det 1/36 sjanse for å klare det. 1/36 = 0,0277 ≈ 2,8 % sjanse
c)
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
Alle de kombinasjonene som er uthevet, har en sekser i seg. Det vil si at du har 11/36 sjanse for å få en sekser, når du kaster med to terninger. 11/36 = 0,3055 ≈ 31%
d) Den terningsummen som dukker opp oftest, er 7.
KULENE I POSEN
Fra side 74.
a) Hver kule har 1/5 sjanse for å bli trukket. Det vil si at det er 1/5 sjanse for at du trekker den blå. Og siden det er fire gule, er det 4/5 sjanse for at du trekker en gul.
b) Det at du trekker to kuler, kan du se på som at du først trekker en kule, så en kule til. På den første kula, har du 1/5 sjanse for å trekke en blå. Nå er det fire kuler igjen – det vil si at det er 1/4 sjanse for at kula nummer to er blå. Til sammen gir det 1/5 + 1/4 = 9/20, eller 45% sjanse for at en av de to kulene er den blå.
HUNDEGÅRDEN
Fra side 74.
Til denne oppgaven finnes det flere måter å tenke på. Den ene kan være å tenke at det nye gjerdet har skapt fire ganger, som alle er en meter brede. Da kan du regne ut arealet av dem, og legge det sammen.
Arealet av to kortsider: (7 • 1) m2 • 2 = 14 m2
Når du skal regne ut arealet av langsidene, må du huske på at du allerede har brukt opp en meter på hver side av dem, se på tegningen.
Da får vi (8 • 1) m2 • 2 = 16 m2
Til sammen er gangene på 30 m2
En annen måte å gjøre det på, er at du finner arealet av hele hundegården fra yttergjerdene, og trekker fra arealet av den indre delen av hundegården.
Arealet av hele hundegården, med yttergjerder: 7 m • 10 m = 70 m2
Arealet av indre hundegård: 8 m • 5 m = 40 m2
Arealet av gangene: 70 m2 – 40 m2 = 30 m2
TALLSYSTEMER
TOTALLSYSTEMET
Fra side 76.
a) 14 inneholder en 8-er, en 4-er, en 2-er, og ingen enere: 1110
b) 51 inneholder en 32, en 16, ingen 8, ingen 4, en 2 og en 1: 110011
c) 328 inneholder en 256, ingen 128, en 64, ingen 32, ingen 16, en 8, ingen 4, ingen 2 og ingen 1: 101001000
d) 1503 inneholder en 1024, ingen 512, en 256, en 128, en 64, ingen 32, en 16, en 8, en 4, en 2 og en 1: 10111011111
e) 462 inneholder en 256, en 128, en 64, ingen 32, ingen 16, en 8, en 4, en 2, og ingen 1: 111001110
FEMTALLSYSTEMET
Fra side 78.
a) 14 inneholder to 5-ere og fire 1-ere: 24
b) 51 inneholder to 25-ere, ingen 5-ere, og en 1-er: 201
c) 328 inneholder to 125-ere, tre 25-ere, ingen 5-ere og tre 1-ere: 2303
d) 1503 inneholder to 625-ere, to 125-ere, ingen 25-ere, ingen 5-ere og tre enere: 22003
e) 462 inneholder tre 125-ere, tre 25-ere, to 5-ere og to enere: 3322
DEN VISUELLE GANGETABELLEN
Fra side 85.
1-gangen: 2-gangen:
3-gangen: 4-gangen:
6-gangen: 7-gangen:
8-gangen: 9-gangen:
5-gangen og 10-gangen tok jeg ikke med. Du kan jo prøve dem ut, så kan du jo kanskje tenke deg selv hvorfor …
STIKKORDREGISTER
π r 63, 108
additivt tallsystem 78, 82, 84, 121, 122
arbeid 52–55, 106
areal 63, 102, 105, 119, 120 areal av en sirkel 63, 108 avstand 58, 106 Columbus 48–50, 105 de ni prikkene 65, 110 deling 107
den gylne vinkel 22, 23, 96
den visuelle gangetabellen 85, 123 det gylne snitt 20, 24, 25, 96, 97, 98 egyptisk tallsystem 78, 121 eksponenter 61, 107 ekvator 58, 59, 106 faktorisere 107 fakultet 117
far og barn 66, 112 fart 58, 106
femtallsystemet 78, 120
Fibonacci 15
Fibonacci og den gylne vinkel 22, 96
Fibonacci og det gylne snitt 20, 96
Fibonaccis spiral 18, 20, 94, 95
Fibonaccis tallrekke 15, 18, 20, 94 fjellturen 64, 109 flaggstangen 29, 100 fordobling 61, 107 forholdstall 20, 24, 28, 100 formlike trekanter 100 fot 50, 105 ganging 107 geita, havresekken og den syngende bjørnen 64, 108 gåter 68, 113, 114 historisk dato 67, 113 hundegården 74, 119
hvor gammel? 65, 110 hvor mye veier det? 66, 111 hypotenus 97
Joule 53–55, 106 kaniner 15, 93 katet 24, 97, 100 Kheopspyramiden 24, 97 knop 47–49, 51, 104, 105 kode 10, 12, 13, 90, 92 kodehjul 13, 92 kodeknekk 10, 90 kombinasjon 72, 117, 118 kraft 52–55, 106 kredittkort 25, 97 kube 38
kulene i posen 74, 119 kurve 109
kvadrat 18, 36, 40, 63, 102 kvadratrot 102 logisk-matematisk pusling 64, 108 masse 35, 101 mayaenes tallsystem 82, 122 Michelangelo 26, 99 minus 107
Napoleons kode 13, 92 nautisk mil 47, 104, 105 Newton 53–55, 106 omgjøring av enheter i kvadrat 36, 102
omgjøring mellom enheter 32, 36, 38, 101, 102 omkrets 59, 63, 108
Parthenon 27, 99 pentagram 25, 98 plassverdisystem 76 pluss 107
posisjonsystem 78, 82, 122
Pytagoras` setning 40, 97, 102
radius 108
regn som en romer! 84, 122
romertall 84, 122
sannsynlighet 72, 74, 117, 119
sjøfart 47, 104
slavehandel 50, 105
sosiale medier 62, 108
stolheisen 70, 116
tabell 116
taljer 52, 53, 106
tallmagi 60, 107
tallrekke 18, 45, 46, 70, 94, 103, 115
tallrekker 70, 103, 115
tallsystemer 76, 120
terningkast 72, 117, 118
tid 58, 106
titallsystemet 76, 84, 122
tomme 50, 105
totallsystemet 76, 120
treet 28, 100
trekanttall 41, 44, 45, 103
trinser 52, 54
tverrsum 67
tyngdeakselerasjon 53, 54
vei 52–55, 106
vei, tid og fart 58, 106
vikinger 48
vippestang 14, 93
volum 34, 101, 102
Ekstra side til å regne oppgaver.
