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pรกg. 1
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Nombre del autor: Juan Pablo de León Grado: 3ro básico Sección: “b” Fecha de creación: 29/05/2020
Actividad:
Evaluación de cierre de bimestre
Fecha de entrega: 10/06/2020 Nombre del docente: Luis Marroquín Asignatura: Matemáticas
pág. 2
3
Listado iconográfico Títulos
Subtítulos
Conceptos del libro
Información de internet
Ejemplos del libro Ejemplos de internet Ejemplos creados por mí pág. 3
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Indice 1. Productos notables (reglas)
5
2. Productos notables Aplicación de reglas
6
3. Cocientes notables
12
4. Triangulo de Pascal
14
5. Factorial de un Numero
16
6. Fórmula para calcular el coeficiente de un enésimo termino en el triángulo de pascal
17
7. Casos de factorización de polinomios (Factor común monomio y polinomio) 8. Casos de factorización de binomios (Diferencia de cuadrados)
18 20
9. Casos de factorización de binomios (Suma y diferencia de cubos) 22 10. Casos de factorización de trinomios: Trinomio cuadrado perfecto
23
11. Casos de factorización de trinomios: Trinomio de la forma x2+bx+c
26
12. Casos de factorización de trinomios: Trinomio de la forma x2+bx+c
27
13. Fracciones algebraicas
29
14. Adición de fracciones algebraicas
30
15. Sustracción de fracciones algebraicas
31
pág. 4
5
Productos notables (reglas) Cuadrado de la suma de dos cantidades El primer término al cuadrado más el doble del primero por el segundo más el segundo al cuadrado Cuadrado de la diferencia de dos cantidades El primer término al cuadrado menos el doble del primero por el segundo más el segundo al cuadrado Cubo de una suma de tres cantidades El primer término al cubo más el triple del primero al cuadrado por el segundo más el triple del primero por el segundo al cuadrado más el segundo al cubo Cubo de una diferencia de tres cantidades
pág. 5
6
El primer término al cubo menos el triple del primero al cuadrado por el segundo más el triple del primero por el segundo al cuadrado menos el segundo al cubo Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades El primer término al cuadrado menos el segundo al cuadrado
Productos notables y aplicación de las reglas
Cuadrado de la suma de dos cantidades El primer término al cuadrado más el doble del primero por el segundo más el segundo al cuadrado Formula:(a+b)= a2+2ab+b2 pág. 6
7
Ejemplo con solución hasta el final (7+4)2 El primer término se eleva al cuadrado (7)2 = 49 El doble del primero por el segundo 2(7)(4)=56 El segundo término se eleva al cuadrado (4)2=16 Respuesta: (7+4)2= 49+56+16 Ejemplo con solución hasta el final (8s2+5g3)2 El primer término se eleva al cuadrado 82(s2)2=64s4 El doble del primero por el segundo 2(8s2)(5g3)=80s2g3 El segundo término se eleva al cuadrado 52(g3)2=25g6 Respuesta: (8s2+5g3)2=64s4+80s2g3+25g6 pág. 7
8
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades El primer término al cuadrado menos el doble del primero por el segundo más el segundo al cuadrado Formula: (a-b)=a2-2ab-b2 Ejemplo con solución hasta el final (x-5)2 El primer término se eleva al cuadrado (x)2=x2 El doble del primero por el segundo 2(x)(5)=10x El segundo término se eleva al cuadrado 52=25 Respuesta: (x-5)2= x2-10x-25 Ejemplo con solución hasta el final (5+7e)2 El primer término se eleva al cuadrado 52=25
pág. 8
9
El doble del primero por el segundo 2(5)(7e)=70e El segundo término se eleva al cuadrado 72(e)2=49e2 Respuesta: (5+7e)2=25-70e-49e2 Cubo de una suma de tres cantidades El primer término al cubo más el triple del primero al cuadrado por el segundo más el triple del primero por el segundo al cuadrado más el segundo al cubo Formula (a+b)3 a3+3a2b+3ab2+b3 Ejemplo con solución hasta el final (5+6)3 El primer término se eleva al cubo53= 125 El triple del primero al cuadrado por el segundo 3(5)2(6)=450 pág. 9
10
El triple del primero por el segundo al cuadrado3(5)(6)2=540 El segundo término se eleva al cubo (6)3=216 Respuesta:(5+6)3=125+450+540+216 Cubo de una diferencia de tres cantidades El primer término al cubo menos el triple del primero al cuadrado por el segundo más el triple del primero por el segundo al cuadrado menos el segundo al cubo Formula (a-b)3 a3-3a2b+3ab2-b3 Ejemplo con solución hasta el final (4x-9)3 El primer término se eleva al cubo43(x)3=64x3
pág. 10
11
El triple del primero al cuadrado por el segundo3(4x)2(9)=432x El triple del primero por el segundo al cuadrado3(4x)(9)2=972x El segundo término se eleva al cubo 93=729 Respuesta:( 4x-9)3=64x3-432x+972x-729 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades El primer término al cuadrado menos el segundo al cuadrado Formula: (a+b)(a-b)= a2-b2 Ejemplo con solución hasta el final (8-9)(8+9)= 8 es la primera cantidad 9 es la segunda cantidad pág. 11
12
ď ™Se eleva la primera cantidad al cuadrado 82 = 64 ď ™Se eleva la segunda cantidad al cuadrado 92 =81 Respuesta:(8-9)(8+9)= 64-81
Cocientes notables Son cocientes especiales que aparecen con frecuencia en algebra. Pueden resolver por simple inspecciĂłn mediante fĂłrmulas que permiten encontrar el resultado sin realizar la divisiĂłn tĂŠrmino a tĂŠrmino Cociente de la forma đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 đ?‘Ž+đ?‘? pĂĄg. 12
13
Ejemplo con soluciĂłn hasta el final đ?‘Ľ 3 +729 đ?‘Ľ+9 đ?‘Ľ 3 +81 đ?‘Ľ+9
=
=
đ?‘Ľ 3 +93 đ?‘Ľ+9
đ?‘Ľ 3 + 93 = đ?‘Ľ 2 + 9đ?‘Ľ + 92 đ?‘Ľ+9
Respuesta
= đ?‘Ľ 2 − 9đ?‘Ľ + 81
Ejemplo con soluciĂłn hasta el final Ăą3 + 125 Ăą+5 Ăą3 + 25 Ăą3 + 53 = Ăą+5 Ăą+5 Ăą3 + 53 = Ăą3 − 5Ăą + 52 Ăą+5
Respuesta= Ăą3 − 5Ăą + 25 Cociente de la forma đ?‘Ž3 − đ?‘? 3 đ?‘Žâˆ’đ?‘? pĂĄg. 13
14
Ejemplo con soluciĂłn hasta el final đ?‘?3 − 27 đ?‘?−3 đ?‘?3 − 27 đ?‘?3 + 33 = đ?‘?−3 đ?‘?−3 đ?‘?3 + 33 = đ?‘?2 + 3đ?‘? + 32 đ?‘?−3 Respuesta đ?‘?2 + 3đ?‘? + 9 Ejemplo con soluciĂłn hasta el final đ?‘Ś3 − 8 đ?‘Śâˆ’2 đ?‘Ś 3 − 8 đ?‘Ś 3 + 23 = đ?‘Śâˆ’2 đ?‘Śâˆ’2 đ?‘Ś 3 + 23 = đ?‘Ś 2 + 2đ?‘Ś + 22 đ?‘Śâˆ’2 Respuesta đ?‘Ś 2 + 2đ?‘Ś + 4
Triangulo dePascal pĂĄg. 14
15
Es un arreglo de números en forma triangular por medio del cual se resuelven expresiones de la forma (a+b)n donde n es un entero positivo. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal Binomio
desarrollo
Coeficientes n
(a+b)0
1
1
(a+b)1
a+b
1 1
(a+b)2
a2+2ab+b2
1 2 1
(a+b)3
a3+3a2b+3ab2+b3
1 3 3 1
(a+b)4
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
1 4 64 1
(a+b)5
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
1 5 10 10 5 1
Ejemplos con solución hasta el final (a+b)10= 252a5b5 (a+b)11= 464a6b5 pág. 15
16
Factorial de un numero El factorial de un número natural, se define como el producto de todos los enteros consecutivos desde 1 hasta el número dado. Se abrevia con el símbolo de admiración (!), si n es el número se
presenta como n!, o 5!, 6! ….., hasta donde se quiera calcular Si
queremos definir el factorial de un número natural en forma general, su
fórmula es n! = n (n - 1) (n - 2).............2. 1 o viceversa empezando desde 1.
Ejemplos con solución hasta el final 4!= 4x3x2x1=24 7!= 7x6x5x4x3x2x1=5.040
Fórmula
para
calcular
el
coeficiente de un enésimo termino en
el triángulo de pascal
pág. 16
17
Los coeficientes son nĂşmeros combinatorios que corresponden a la fila enĂŠsima del triĂĄngulo de Tartaglia (tambiĂŠn conocido como triangulo de Pascal).
En el desarrollo del binomio, los exponentes de van disminuyendo, de uno en uno, de a cero; y los exponentes de van aumentando, de uno en uno, de cero a , de tal manera que la suma de los exponentes de y de en cada tĂŠrmino es igual a. En el caso que uno de los tĂŠrminos del binomio sea negativo, se đ?‘›
alternan los signos positivos y negativos. Formula =
đ?‘›!
đ?‘˜! đ?‘˜!(đ?‘›âˆ’đ?‘˜ )!
pĂĄg. 17
18
Ejemplos con solución hasta el final 7 7! 7*6*5*4*3*2*1 = = 3 3! (7-3)! 3*2*1(4*3*2*1) Se cancelan los términos semejantes 7∗6∗5 3∗2∗1
=
210 6
= 35Se simplifica
Respuesta= 35 8 8! 8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 = = 5 5(8 − 5)! 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1(3 ∗ 2 ∗ 1) Se cancelan los términos semejantes 8∗7∗6∗5∗4 5∗4∗3∗2∗1
=
6.720 120
= 56 Se simplifica
Respuesta=56
Casos de factorización de polinomios (Factor común monomio y polinomio) pág. 18
19
pรกg. 19
20
jemplos con soluciĂłn hasta el final
M (a-b)+ N (a-b) =(a-b) (m-n)
đ?‘š(đ?‘Žâˆ’đ?‘?) (đ?‘Žâˆ’đ?‘?)
=đ?‘š
3x(x-2)-2y(x-2)
đ?‘›(đ?‘Žâˆ’đ?‘?) (đ?‘Žâˆ’đ?‘?)
=đ?‘›
=(x-2) (3x-2y) -m-n + x (m+n) =-(m+n)+ x(m+n) =(m+n)(-1+x)
(đ?‘š + đ?‘› ) − =1 (đ?‘š + đ?‘› ) Respuesta = 1
Casos de factorizaciĂłn binomios Espaciodepara el (Diferencia texto de cuadrados) pĂĄg. 20
21
Cada polinomio que sea una diferencia de cuadrados se puede
factorizar al aplicar la siguiente fórmula:a2−b2=(a+b)(a−b)
En el patrón, a y b pueden ser una expresión algebraica. Por ejemplo, para a=x y b= 2, obtenemos lo siguiente: x2−22=(x+2)(x−2) El polinomio x^2-4x2−4x, squared, minus, 4 hora se express en forma factorizada, (x+2)(x-2)(x+2)(x−2)left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Podemos desarrollar el lado derecho de esta ecuación para justificar la factorización: (x+2) (x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4
jemplos con solución hasta el final m2-1 (m-1)(m+1) Respuesta (m-1)(m+1) 16x+25y= (4x+5y) (4x+5y) Respuesta (4x+5y) (4x+5y)
Casos de factorización de binomios pág. 21
(Suma y diferencia de cubos)
22
Una de las claves para factorizar es encontrar patrones entre el trinomio y los factores del trinomio. Aprender a reconocer algunos tipos de polinomios comunes te hará más fácil factorizarlos. El conocimiento de los patrones característicos de los productos especiales los trinomios que se forman a partir de elevar al cuadrado binomios provee un atajo para encontrar sus factores. Los cuadrados perfectos son números que son el resultado de la multiplicación de un número entero con sí mismo o elevado al
cuadrado. Por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, y 100 son cuadrados perfectos — provienen de elevar al cuadrado cada
número del 1 al 10. Observa que estos cuadrados perfectos también provienen de elevar al cuadrado los números negativos del −1 al −10, como (−1)( −1) = 1, (−2)( −2) = 4, (−3)( −3) = 9, etc.
Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que resulta de la
multiplicación de un binomio por sí mismo o elevado al cuadrado. Por ejemplo, (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 6x + 9. El
trinomio x2 + 6x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a factorizar este trinomio usando los métodos que ya conocemos.
pág. 22
Ejemplo Problema
23 Factorizar x2 + 6x + 9. Reescribe 6x como 3x + 3x, como 3 • 3 = 9, el último x2 + 3x + 3x + 9 término, y 3 + 3 = 6, el término central. (x2 + 3x) + (3x + 9) Agrupa pares de términos. Saca el factor x del primer par, x(x + 3) + 3(x + 3) y el factor 3 del segundo par. (x + 3)(x + 3) Saca el factor x + 3. (x + 3)(x + 3) también puede o 2 (x + 3)2 escribirse como (x + 3) . (x + 3)(x + 3) o (x + 3)2
Respuesta Ejemplo Problema
Factorizar 9x2 – 24x + 16. 9x2 – 12x – 12x + 16 Reescribe −24x como −12x – 12x. (9x2 – 12x) + (-12x + 16) Agrupa pares de términos. (Mantén el signo negativo con el 12.) Saca el factor 3x del primer 3x(3x – 4) – 4(3x – 4) grupo, y el factor −4 del segundo grupo. (3x – 4)(3x – 4) Saca el factor (3x – 4). o (3x – 4)2 (3x – 4)(3x – 4) también puede escribirse como (3x – 4)2. Respuesta
(3x – 4)2
Casos de factorización de trinomios: Trinomio cuadrado perfecto pág. 23
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Una de las claves para factorizar es encontrar patrones entre el trinomio y los factores del trinomio. Aprender a reconocer algunos tipos de polinomios comunes te hará más fácil factorizarlos. El conocimiento de los patrones característicos de los productos especiales los trinomios que se forman a partir de elevar al cuadrado binomios provee un atajo Los cuadrados perfectos son números que son el resultado de la multiplicación de un número entero con sí mismo o elevado al cuadrado. Por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, y 100 son cuadrados perfectos provienen de elevar al cuadrado cada número del 1 al 10. Observa que estos cuadrados perfectos también provienen de elevar al cuadrado los números negativos del −1 al −10, como (−1)( −1) = 1, (−2)( −2) = 4, (−3)( −3) = 9, etc. Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que resulta de la multiplicación de un binomio por sí mismo o elevado al cuadrado. Por ejemplo, (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 6x + 9. El trinomio x2 + 6x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a factorizar este trinomio usando los métodos que ya conocemos..
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Ejemplo Problema Factorizar x2 + 6x + 9. Reescribe 6x como 3x + 3x, como 3 • 3 = 9, el último término, y 3 + 3 = 6, el x2 + 3x + 3x + 9 término central. (x2 + 3x) + (3x + 9) Agrupa pares de términos. Saca el factor x del primer par, y el factor x(x + 3) + 3(x + 3) 3 del segundo par. (x + 3)(x + 3) Saca el factor x + 3. (x + 3)(x + 3) también puede escribirse o 2 como (x + 3)2. (x + 3) Respuesta
(x + 3)(x + 3) o (x + 3)2
Ejemplo Problema Factorizar 9x2 – 24x + 16. 9x2 – 12x – 12x + 16 Reescribe −24x como −12x – 12x. (9x2 – 12x) + (-12x + 16) Agrupa pares de términos. (Mantén el signo negativo con el 12.) Saca el factor 3x del primer grupo, y el 3x(3x – 4) – 4(3x – 4) factor −4 del segundo grupo. (3x – 4)(3x – 4) Saca el factor (3x – 4). o (3x – 4)2 (3x – 4)(3x – 4) también puede escribirse como (3x – 4)2. Respuesta
pág. 25
(3x – 4)2
Casos de factorización de trinomios: Trinomio de la 26
forma x2+bx+c Esta expresión resulta del producto de binomios con término común. Para factorizar se realizan los pasos siguientes: Factorizar la expresión: x2 + 3x + 2 Ejemplo Problema Factorizar 6z2 + 11z + 4
6z2 + 3z + 8z + 4
Para hacer la agrupación más fácil, reescribir el trinomio ax2 + bx + c como ax2 + rx + sx + c. Usar los valores de la tabla anterior: r = 3 y s = 8. En este trinomio, reemplazar 11z con 3z + 8z
(6z2 + 3z) + (8z + 4)
Usar agrupación para considerar los términos en pares
3z(2z + 1) + (8z + 4)
Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor común, 3z, del primer grupo
3z(2z + 1) + 4(2z + 1)
Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor común, 4, del segundo grupo
(2z + 1)(3z + 4)
Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor común,(2z + 1), de los pares El trinomio original queda completamente factorizado
Solución
pág. 26
(2z + 1)(3z + 4)
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Ejemplo Problema Factorizar 6x2 – 26x – 20 2(3x2 – 13x – 10)
Solución 1: Empezar usando la Propiedad Distributiva para sacar el factor común de 2 Reescribir el trinomio en paréntesis en la forma ax2 + rx + sx + c.
2(3x2 – 15x + 2x – 10) Piensa: ¿qué números sumados dan -13 y multiplicados dan -30? -15 y 2 2[(3x2 – 15x) + (2x – 10)]
Solución
Agrupar los pares de términos
2[3x(x – 5) + 2(x – 5)]
Usar la Propiedad Distributiva para sacar los factores comunes de cada grupo
2[(x – 5)(3x + 2)]
Usar la Propiedad Distributiva para sacar los factores comunes (x – 5) de ambos grupos
2(x – 5)(3x + 2)
Casos de factorización de trinomios: Trinomio de la forma ax2+bx+c
Existe un factor común en todos los términos. Los números pueden factorizarse en este caso si existe máximo común divisor (MCD) entre ellos: Hallar el MCD, tomar las letras comunes con el
pág. 27
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menor exponente. Abrir paréntesis y dividir cada término entre el factor común (restando los exponentes).
jemplos con solución hasta el final ax+bx–ay-by = (ax+bx)-(ay+by) x(a+b) - y(a+b) = (a+b)(x-y) ax2 -x+ax-1 = (ax2 -x)+(ax-1) = x( ax-1) +(ax-1) = (ax-1)(x+1) Respuesta (ax-1)(x+1) 2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y) a(m-2)-m+2 a(m-2)-(m-2) = (m-2)(a-1) x(a-b)+a-b x(a-b)+(a-b) = (a-b)(x+1)
pág. 28
Respuesta= (a-b)(x+1)
Fracciones algebraicas 29
Una fracciĂłn algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por donde:
es el numerador
es el denominador, Se debe
cumplir que
jemplos con soluciĂłn hasta el final
đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ+1 = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ Respuesta đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ 7(đ?‘Ľ 2 −1) 7(đ?‘Ľ 3 −1)
pĂĄg. 29
=
7(đ?‘Ľâˆ’1)(đ?‘Ľ+1 (đ?‘Ľâˆ’1)(đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľ+1)
=
đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľ+1
30
Respuesta
đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ + 1
AdiciĂłn de fracciones algebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se tienen dos casos Fracciones homogĂŠneas: se suman o restan los numeradores y se copia el denominador luego se simplifica
pĂĄg. 30
31
Fracciones heterogĂŠneas: se reducen a comĂşn denominador luego se operan las fracciones que se obtienen jemplos con soluciĂłn hasta el final đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ + 2 2 đ?‘Ľ + 4đ?‘Ľ + 3 đ?‘Ľ + 4đ?‘Ľ + 3 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 1) đ?‘Ľ = = 2 đ?‘Ľ + 4đ?‘Ľ + 3 (đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ + 1) đ?‘Ľ + 3 Respuesta
đ?‘Ľ
đ?‘Ľ+3
đ?‘Ś2 đ?‘Ś + 2 2 đ?‘Ś + 4đ?‘Ś + 4 đ?‘Ś + 4đ?‘Ś + 4 đ?‘Ś2 + đ?‘Ś đ?‘Ś(đ?‘Ś + 1) đ?‘Ś = = 2 đ?‘Ś + 4đ?‘Ś + 4 (đ?‘Ś + 2)(đ?‘Ś + 2) đ?‘Ś + 4 Respuesta
đ?‘Ś
đ?‘Ś+4
SustracciĂłn de fracciones algebraicas pĂĄg. 31
32
Para sumar o restar fracciones algebraicas se tienen dos casos Fracciones homogĂŠneas: se suman o restan los numeradores y se copia el denominador luego se simplifica Fracciones heterogĂŠneas: se reducen a comĂşn denominador luego se operan las fracciones que se obtienen jemplos con soluciĂłn hasta el final đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ đ?‘Ľ ∗ (đ?‘Ľ − 3) đ?‘Ľ − 3 = đ?‘Ľ ∗ (đ?‘Ľ + 3) đ?‘Ľ + 3 đ?‘Ľâˆ’3
Respuesta
đ?‘Ľ+3
đ?‘¤ 2 +3 đ?‘¤âˆ—(đ?‘¤+3) đ?‘¤2
pĂĄg. 32
đ?‘¤âˆ—(đ?‘¤âˆ’3)
=
đ?‘¤+3 đ?‘¤âˆ’3
�+3
Respuesta
đ?‘¤âˆ’3
33
Que nos ayuda en el aprendizaje porque la tecnología cada vez está cambiando y por estas circunstancias hemos aprendido mucho por video llamada o videos que nos explican los temas de matemáticas o nos ayudan a comprender más el tema.
pág. 33