JERARQUÍA DE OPERACIONES
Antes de comenzar con el contenido. Una pregunta.
¿Qué es la jerarquía de operaciones?
La jerarquía de las operaciones, en matemáticas, son las reglas que establecen la secuencia o el orden en el que deben ser resueltas las operaciones combinadas en una expresión matemática.
Por ejemplo, observa la siguiente expresión:
6 + 3 + 4 × 9 – 12 ÷ 3
Reglas de la jerarquía de operaciones básicas:
-Si aparecen paréntesis, éstos se realizarán primero.
-Después se calculan las potencias y las raíces.
-Posteriormente se realizan las multiplicaciones y las divisiones (si van seguidas, se resolverán de izquierda a derecha).
-Por último, se efectúan las sumas y las restas.
NOTA: Siempre debes resolverlo de izquierda a derecha.
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Ejercicios:
En la página:
(https://www.mundoprimaria.com/recursos-matematicas/jerarquia-operaciones)
Recursos informativos:
1_ Video explicativo” jerarquía de operaciones”.
https://www.youtube.com/watch?v=XV5PiV2-91U
Nosotros como docentes debemos de emplear estas herramientas de “videos informativos” En este apartado se recomienda ver el canal de Daniel Carreón.
-Entrando al sitio web (https://www.youtube.com/@danielcarreon/playlists)
-Buscar la lista de reproducciones de “la jerarquía de operaciones” .
-Se van a sacar ejercicios, con ayuda de las calculadoras matemáticas para resolverlos. https://es.calcuworld.com/calculadoras-matematicas/
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Podemos hablar de la regla MDAS, como una forma de recordar la jerarquía de operaciones.
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1)
3_2 x 3 + (81: 9 – 5 + 3 x 2) – (6 x 3 – 24: 2) + 1 = 4_2 + 19 + 23 x 12 – 14: 2 x 3 – 5 x 12 + 8 + 9 x 6 =
1_8 + 2 x 3 + 7 – 6 ÷ 2 = 2_5 x (9 x 12 – 18) – (15:
–
=
2_En prueba T es una plataforma que se utiliza para el uso de actividades matemáticas.
-Primero ver la lección de un video informativo
-Después realizar el ejercicio.
-Es una actividad donde se pone en práctica el reforzamiento del contenido y un ejercicio.
Link:
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/6960d9d7f2f9aff1411d1350b72c4386/14 9299/1-438
Organización:
Para fortalecer la enseñanza de la jerarquía de operaciones se tiene que llevar a cabo los siguientes pasos:
1- El docente debe dar a conocer primero el significado de la jerarquía de operaciones, anotar en el cuaderno lo más importante.
2- Se debe realizar un análisis grupal donde todos los estudiantes identifiquen la pirámide de la jerarquía de operaciones, se puede realizar en equipos.
3- Al final se realizará una actividad de heteroevaluación con todo el grupo.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES POSITIVAS.
¿Qué es una división de fracciones?
La división de fracciones es una operación matemática por medio de la cual se puede hacer una multiplicación para repartir un número. Es una multiplicación entre los numeradores y los denominadores que forman dos fracciones diferentes.
MÉTODOS:
Existen varios métodos por medio de los cuales se puede realizar la división de fracciones. A continuación, se explican los más utilizados:
Método de multiplicar en cruz.
En este método se debe de realizar una multiplicación entre el numerador que pertenece a la primera fracción por el denominador que posee la segunda fracción, este resultado debe de ser colocado en el numerador de la fracción que obtendremos como resultado final. Luego se procede a multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador que tiene la segunda fracción y así es como se obtiene el número que deberá de colocarse en el denominador del resultado de la división.
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Método de multiplicar los números internos y los externos.
En este método se debe de colocar una fracción encima de la otra y luego, se procederá a realizar una multiplicación entre los números externos, el resultado de esta primera operación será el numerador final. Luego, se debe de proceder a multiplicar los números que están ubicados en la parte interna y con ellos se logra obtener el resultado final del denominador.
División de fracciones homogéneas.
Las fracciones homogéneas son aquellas que tienen el mismo denominador, seguir los siguientes pasos:
Se realiza una multiplicación entre el numerador de la primera fracción que nos ha sido dada por el denominador de la segunda. Este resultado deberá de ser colocado en el lugar del numerador en el resultado.
Posteriormente se procede a multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y así obtenemos el resultado final que pertenece al denominador.
División de fracciones heterogéneas.
Una fracción heterogénea es aquella que posee un denominador diferente y para dividirlas se deben de seguir los siguientes pasos:
Lo primero será multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y este resultado se colocará aparte.
Se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el resultado se colocará también aparte.
El siguiente paso será colocar el resultado de la primera operación x el resultado de la segunda en la parte del numerador del resultado.
Los denominadores se colocan debajo del numerador donde se encuentra esta multiplicación y deberán también ser multiplicados.
Se procede a hacer la multiplicación del numerador cuyo resultado también se deberá colocar en esta posición y posteriormente se deben multiplicar los números que habían sido colocados en el denominador.
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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Para multiplicar fracciones solo debes multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Observa, realicemos la multiplicación:
En este caso los numeradores son y los denominadores. Solo se deben realizar los productos mostrados para obtener la respuesta:
Como ves esta operación de fracciones es muy sencilla. Para recordarla, se suele resumir así:
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Ejercicios:
División de fracciones.
Multiplicación de fracciones.
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Recursos tecnológicos:
Divisiones de fracciones:
https://www.youtube.com/watch?v=4Q2lLy3pzrI
Multiplicación de fracciones:
https://www.youtube.com/watch?v=VDTZG1aHiHc
Organización:
- Primero el docente puede realizar una lluvia de ideas sobre cómo resolver la multiplicación y división de fracciones.
- En equipos realizan ejercicios de multiplicación y división de fracciones.
- Para finalizar hacer una puesta en común sobre lo aprendido.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA
PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es la circunstancia en la que dos magnitudes mantienen entre sí una razón o cociente constante.
Para explicarlo de otro modo, dos variables A y B son proporcionales si un cambio en A va a corresponderse con una variación en B, siempre en la misma proporción.
TIPOS DE PROPORCIONALIDADES
Existen básicamente dos tipos de proporcionalidades, de acuerdo con la relación de las variables en cuestión:
PROPORCIONALIDAD DIRECTA: Significa que, si una variable aumenta, la otra también se incrementará en esa misma proporción. En términos formales, se puede representar la proporcionalidad entre A y B de la siguiente manera, donde x es la constante de proporcionalidad.
A=Xb
Ejercicio resuelto:
1 _ Un auto consume 12 litros de gasolina por cada 90 kilómetros viajados. ¿A qué distancia puede viajar el auto con 4 litros de gasolina?
Ejercicios para resolver:
1 _ Si es que 18 vacas producen 396 litros de leche, ¿cuántas vacas se necesitan para producir 550 litros de leche?
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2_ El sueldo total para 12 personas que trabajan por 6 días es 1800 dólares. ¿Cuál es el sueldo total para 20 personas que trabajan por 5 días?
Recursos tecnológicos:
-NEUROCHISPAS APRENDE INTUITIVAMENTE
https://www.neurochispas.com/wiki/ejercicios-de-proporcionalidad-directa/
-SMARTICK: Se pueden visualizar ejemplos ya resueltos
https://www.smartick.es/blog/matematicas/fracciones/problemas-de-proporcionalidad/
Videos:
https://www.youtube.com/watch?v=ZXHZk5Qynf8
https://www.youtube.com/watch?v=kwlMJA1I_go
PROPORCIONALIDAD INVERSA: Es lo opuesto a la proporcionalidad directa pues implica que, si una variable se incrementa, la otra disminuye y viceversa. En término formales, se puede expresar la proporcionalidad inversa entre A y B de la siguiente forma, donde, de nuevo, x es la constante de proporcionalidad:
ab=x
Ejercicio resuelto:
Si 22 patos tienen comida para 10 días. Si tenemos 5 patos, ¿cuántos días tendrán comida? Patos
Por menos patos, ¿más o menos días?
Proporcionalidad Inversa, por menos patos serán más días.
5/22=10/x
Invertimos, puesto que se verifica que: 22.10 = 5.x
x= 22.10/5= 44
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22 10 5 x
Días
Es decir, como habíamos pensado por menos patos tendremos comida para más días. En este caso, para 5 patos tendremos comida para 44 días.
Ejercicios para resolver:
Si un rectángulo tiene 10 metros de base y 7 metros de altura. Otro rectángulo de igual área tiene 4 metros de base, ¿cuál será la medida de su altura?
Base Altura 10 7 4 x
Si para envasar cierta cantidad de aceite se necesitan 8 barriles de 20 litros de capacidad cada uno, ¿cuántos barriles necesitaremos si los que tenemos son de 5 litros de capacidad?
Barriles Capacidad (litros)
8 20 x 5
Video:
https://www.youtube.com/watch?v=NoF57IVD5uw
Recursos tecnológicos:
-Matesfacil
https://www.matesfacil.com/ESO/proporcionalidad/ejercicios-resueltos-proporcionalidaddirecta-inversa.html
-Problemas y ecuaciones
https://www.problemasyecuaciones.com/proporcionalidad/simple/proporcionalidad-simpledirecta-inversa-regla-tres-ejemplos-problemas-resueltos.html
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Organización:
- El docente tiene que dar los conceptos claves sobre proporcionalidad.
- Mediante un resumen, resaltar los pasos de la proporcionalidad directa e inversa.
-Después de haber entendido el tema el maestro va a relacionar problemas matemáticos de la comunidad para mostrarlos como ejemplos.
- Para finalizar realizar un cuestionario individual con problemas de este tema.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO:
¿Qué es el mínimo común múltiplo (MCM)?
El mínimo común múltiplo (MCM) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números.
Para entender mejor esta definición vamos a ver todos los términos.
Múltiplo común
Un múltiplo común es un número que es múltiplo a la vez de dos o más números, es decir, es un múltiplo común a esos números.
Siguiendo con el ejemplo anterior, vamos a ver los múltiplos comunes de 2 y de 3.
CÓMO CALCULAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Se pueden utilizar dos métodos.
1. El primer método para calcular el MCM es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño.
2. Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el MCM. Lo primero que hay que hacer es descomponer en factores primos cada número. Después tendremos que elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último, tendremos que multiplicar los factores elegidos.
Ejemplo resuelto:
Calculando el MCM de 12 y de 8.
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Vamos a descomponer 12 y 8 en factores primos:
12 = 22 x 3
8 = 23
Ahora elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, por lo tanto, elegimos 23 y el 3.
Y por último los multiplicamos, por lo tanto 23 x 3 = 8 x 3 = 24
Así que el MCM (12, 8) = 24
Video informativo:
https://www.youtube.com/watch?v=qqC9g1bWXJc&t=16s
Ejercicios por resolver:
1_ Calcula el MCD de 56 y 156:
2_ Descompón los siguientes números en factores primos y calcula su mcm.
b) 72, 81 y 126
3_ Escribe múltiplos de los siguientes números y encuentra su mínimo común múltiplo.
1. 8 y 12
2. 3 y 18
3. 9 y 15
4. 9, 12 y 15
5. 20, 24 y 32
6. 18, 12 y 42
Recursos tecnológicos:
LeccionesDeMates.com
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https://www.leccionesdemates.com/blog/ejercicios-mcm-minimo-comun-multiplo/
Test y ejercicios resueltos_Matesfacil.
https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/minimo-comun-multiplo-definicion-ejemplosejercicios-test-problemas-descomposicion-primos.html
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor es el número mayor entre los divisores comunes. Vamos a ver cuál es el máximo común divisor del ejemplo anterior, el MCD (15,20).
Divisores de 15: 1, 3, 5 y 15
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20
Los divisores comunes de 15 y 20 son el 1 y el 5, ahora de entre esos dos números (1 y 5) tienes que elegir el número mayor, que es el 5. Por lo que, el máximo común divisor de 15 y 20 es 5.
Cómo hacer el máximo común divisor
Para saber cuál es el máximo común divisor de dos o más números existen varios métodos, vamos a ver dos.
Método 1 para calcular el MCD
Es el que venimos utilizando en los ejemplos de más arriba. Para ello es importante fijarnos muy bien lo que significa máximo común divisor.
• Escribimos todos los divisores de cada número, y de éstos señalamos los divisores comunes.
• El divisor mayor será el MCD de esos números.
El inconveniente de este método es que un número grande puede tener muchos divisores y escribirlos todos puede ser muy pesado.
Método 2 para calcular el MCD
Descomposición de factores o descomposición en números primos.
• Descomponemos cada número en factores primos.
• Después, señalamos los factores comunes.
• A continuación, en cada uno de los comunes, escogemos el factor con menor exponente.
• Y, por último, multiplicamos los factores elegidos.
Ejemplo a resolver:
Calculamos el M.C.D de 8 y 12.
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Video:
https://www.youtube.com/watch?v=WD4rGWCRBYY
Ejercicios:
Escribe todos los divisores de los siguientes números y encuentra su máximo común divisor.
1. 8 y 12
2. 3 y 18
3. 9 y 15
4. 9, 12 y 15
5. 20, 24 y 32
6. 18, 12 y 42
Organización:
-El maestro debe de tomar en cuenta los conceptos básicos para hacer un aprendizaje significativo en los alumnos.
- Se puede plantear la participación del grupo para realizar problemas en el pizarrón.
- Para finalizar, hacer uso de la RULETA DIGITAL. Donde al alumno que le toque debe dar una conclusión de lo aprendido. https://es.piliapp.com/random/wheel/ ALGEBRA.
La palabra ÁLGEBRA proviene del título de un libro Al-jabr w'al-muqabalah, escrito en Bagdad alrededor del año 825 por el matemático y astrónomo Mohammed ibn-Musa alKhwarizmi, que muestra en sus trabajos la primera fórmula general para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.
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El álgebra es una rama de las matemáticas que estudia la combinación de los elementos como números, letras y signos para elaborar diferentes operaciones aritméticas elementales.
El álgebra es muy útil dentro del campo de las matemáticas, pero también posee grandes aplicaciones en la vida cotidiana, por eso permite llevar a cabo presupuestos, facturación cálculos de costos, beneficios y ganancias.
¿Qué nos enseña el álgebra?
El estudio del álgebra nos enseña a razonar con lógica, a hacer analíticos, a deducir e inducir algunas propiedades, permiten generar el conocimiento que antes no se tenía; el lenguaje algebraico permite transmitir ideas y resolver problemas, así como identificar diferentes tipos de patrones para predecir fenómenos.
Elementos de un término algebraico:
• El signo.
• El coeficiente.
• La parte literal.
• El grado.
A continuación, se presentarán los principales 5 temas fundamentales, para la enseñanza aprendizaje de álgebra:
• Lenguaje algebraico.
• Expresiones algebraicas.
• Ecuaciones algebraicas.
• Binomio al cuadrado.
• La ley de los exponentes.
Sin embargo, se presentaron diferentes, ejemplos, actividades, juegos, aplicaciones entre otras para poder resolver problemas.
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Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras del alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.
Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:
• Se usan todas las letras del alfabeto.
• Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.
• Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión algebraica.
Operaciones con lenguaje algebraico
Un número cualquiera se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por
ejemplo:
a = un número cualquiera
b = un número cualquiera
c = un número cualquiera
... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.
La suma de dos números cualesquiera
a+b = la suma de dos números cualesquiera
x+y = la suma de dos números cualesquiera la resta de dos números cualesquiera
a-b = la resta de dos números cualesquiera
m-n = la resta de dos números cualesquiera la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
a-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera el producto de dos números cualesquiera. el producto de dos números cualesquiera el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera).
a/b= el cociente de dos números cualesquiera la semisuma de dos números cualesquiera.
(a+b) /2= la semisuma de dos números cualesquiera el semiproducto de dos números cualesquiera.
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(ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera.
Ejercicios
Los ejercicios que se presentan de la expresión algebraica más usadas, en forma verbal y escrita:
La suma de dos números. a + b
La resta o diferencia de dos números. x – y
El producto de dos números. ab
El cociente de dos números. x/y
El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia. a+b/a-b
El doble de un número. 2x
El doble de la suma de dos números. 2(a+b)
El triple de la diferencia de dos números. 3(x-y)
La mitad de un número. x/2
La mitad de la diferencia de dos números. (x-4)/2
El cuadrado de un número. X2
El cuadrado de la suma de dos números. (x+4)2
El triple del cuadrado de la suma de dos números. 3(x+4)2
La suma de 3 números. a+b+c
La semisuma de dos números. (a+b) /2
Recursos Tecnológicos
https://www.youtube.com/watch?v=UNWFLuUfiX4
https://www.youtube.com/watch?v=DV3C_RawfBg
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Lenguaje_ algebraico/Lenguaje_Algebraico_uo1896292hh
Material Didáctico
Es importante contemplar algún material didáctico, ya que no siempre se cuenta con la tecnología, se presenta la siguiente actividad para el uso de la misma:
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1. Lo primero a realizar es que el docente, les dé a conocer unas expresiones algebraicas ya sea de forma verbal o escrita.
2. Para que después los estudiantes lo respondan en su cuaderno.
3. Finalmente compartan una lluvia de ideas acerca de los resultados obtenidos por los estudiantes.
Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras o letras y números unidos por medio de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, de manera finita. Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc.
Elementos de una expresión algebraica
1. Signo
2. Coeficiente
3. Parte literal
4. Exponente
¿Cómo se hace una expresión algebraica?
Esto consiste en dejar la variable a un lado del igual y un número al otro lado, así: Para lograr resolver una ecuación o despejar una variable, usarás dos pasos, principalmente. Simplificar cada expresión de ambos lados de la ecuación. Usar números opuestos o inversos para cancelar valores.
Se llaman expresiones algebraicas enteras a aquellas que no contienen denominadores algebraicos. Ninguna letra está en el denominador ni afectada por una raíz o por un exponente negativo. Por ejemplo, son expresiones algebraicas 8x-78z, (3x-1) /(9x-2), 3 naranjas + 4 papas.
En líneas generales, las expresiones algebraicas pueden clasificarse en dos:
• Monomios: Una expresión algebraica sola, que posee en sí misma toda la información que se requiere para resolverla. Por ejemplo: 6X2 + 32y4.
• Polinomios: Cadenas de expresiones algebraicas, o sea, cadenas de monomios, que poseen un sentido global y deben resolverse en conjunto. Por ejemplo: 3n5y3+23n5y8z3 – π2 3n – 22 + 26n4.
Recursos Tecnológicos:
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https://www.youtube.com/watch?v=oPdr972cOpY
https://www.youtube.com/watch?v=gKWRx2pgfoM
https://www.youtube.com/watch?v=IN_CIbJF0-s
Aplicaciones:
-Photomath.
-Smartick.
Material Didáctico: Es considerable contar con estrategias y metodologías que se puedan aplicar, muy aparte de la existencia de la tecnología y que sea un trabajo factible para el estudiante:
• Como actividad es realizar un dominó de acuerdo a las expresiones algebraicas con más dificultad del estudiante.
• Para eso el docente les entregará un dominó con dichas expresiones para que sean resueltas.
• Finalmente, con ayuda del material atraer al estudiante para lograr un aprendizaje significativo.
Ecuaciones Algebraicas
Una ecuación es una igualdad algebraica en la cual aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido. El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. Solucionar una ecuación es determinar el valor o valores de las incógnitas que transforme la ecuación en una identidad.
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Tipos de ecuaciones:
• Ecuaciones diferenciales.
• Ecuaciones trigonométricas.
• Ecuaciones logarítmicas.
• Ecuaciones exponenciales.
• Ecuaciones integrales.
Las ecuaciones están formadas por diferentes elementos. Veamos cada uno de ellos. Cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo igual (=).
Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de los monomios.
Los valores de cada monomio de la ecuación pueden ser de diferente tenor. Por ejemplo:
• constantes.
• coeficientes.
• variables.
• funciones.
• vectores.
Las incógnitas, es decir, los valores que se desean encontrar, se representan con letras. Veamos un ejemplo de ecuación.
Ejercicios:
Ecuación Resolveremos:
Escribimos los monomios con incógnita en la izquierda y los que no tienen incógnita en la derecha.
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Cómo 5x está sumando en la derecha, pasa restando a la izquierda. El número 1 de la izquierda está restando, así que pasa sumando al otro lado:
Sumamos los monomios en cada lado:
Es decir, Para despejar la incógnita, debemos pasar el coeficiente de la incógnita a la derecha. Como está multiplicando, pasa dividiendo (con el signo negativo incluido):
Finalmente, simplificamos la fracción:
Por tanto, la solución es x= -3
Comprobamos la solución sustituyendo en la ecuación:
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Recursos Tecnológicos:
https://www.youtube.com/watch?v=IHblqjW8RY8
https://www.youtube.com/watch?v=ZC67c5ar9mA
https://www.youtube.com/watch?v=lolGRSlyY5E
Aplicaciones:
• Math Tricks.
• MalMath.
• OneSecondSolver.
• Photomath.
• MyScript Calculator.
• Algeo Graphing Calculator.
Material Didáctico: Es sumamente valioso el indagar como docente para implementar materiales didácticos que te ayuden para el aprendizaje de las matemáticas.
• Primero se realizan diferentes fichas de colores que funcionan como ayudas visuales y se hacen manipulables, varios pasos de despeje que ayudan a minimizar las instrucciones.
• Sin embargo, es importante el significado del despeje, ejemplos sencillos y analogía de la balanza.
• El material consta de 24 fichas, donde en ellas van integrados los signos de igualdad.
• Es importante que las fichas sean de diversos colores para que se distingan, las partes de las ecuaciones.
Binomio al Cuadrado
Un binomio es una expresión algebraica que consta de dos términos que se suman o se restan. Un binomio al cuadrado es una suma algebraica que se suma por sí misma, es decir, si tenemos el binomio a + b, el cuadrado de ese binomio es (a + b) (a + b) y se expresa como (a + b)2
El resultado de un binomio al cuadrado, siempre es un trinomio cuadrado perfecto. A este tipo de operaciones se les llama productos notables. En los productos notables, el resultado se puede obtener por inspección, es decir, sin hacer todas las operaciones de la ecuación. En el caso del binomio al cuadrado, el resultado se obtiene con las siguientes reglas de la inspección:
1. Escribiremos el cuadrado del primer término.
2. Sumaremos el doble del primero por el segundo término.
3. Sumaremos el cuadrado del segundo término.
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Características
• Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.
• Esto quiere decir que cualquier expresión formada por la suma o la resta de dos términos es un binomio.
• Que también puede conocerse como polinomio (es decir, más de un monomio).
Ejercicios:
Primer Método: El primer método consiste en escribir al binomio dos veces y eliminar el exponente. Luego, multiplicar los binomios usando la propiedad distributiva o cualquier otro método. Finalmente, combinamos términos semejantes para simplificar la expresión resultante.
Segundo Método: El segundo método consiste en usar una fórmula estándar que nos indica que el cuadrado de un binomio es igual a la suma del cuadrado del primer término, el doble del producto de ambos términos y el cuadrado del último término.
Resuelve el siguiente binomio (2x+4) 2
Método 1: Reescribimos al binomio de la siguiente manera:
(2x+4)2
=(2x+4) (2x+4)
Ahora, podemos multiplicar usando la propiedad distributiva:
2x(2x+4) +4(2x+4)
=4x2+8x+8x+16
Combinamos términos semejantes para simplificar:
=4x2+16x+16
Método 2: Usando la fórmula estándar, tenemos que encontrar el cuadrado del primer término, el doble del producto de ambos términos y el cuadrado del último término:
Simplificando, tenemos:
(2x)2+2(2x) (4) +42
⇒ 4x2+16x+16
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Obtuvimos la misma respuesta con ambos métodos, por lo que ambos métodos son válidos.
Recursos Tecnológicos:
https://www.youtube.com/watch?v=o6PkQJEQql4
https://www.youtube.com/watch?v=O7OZSiqqukg
https://www.youtube.com/watch?v=YdOhSrz58cU
Aplicaciones:
• Matherpower
• Symbolab
Material Didáctico: Para representar el binomio al cuadrado vamos a realizar un rompecabezas de la siguiente manera: Donde vamos a imaginar, cuánto vale cada pieza por ejemplo sería a+a, para después el docente les va dar unas ecuaciones que se resolverán, relacionándolo con el rompecabezas. Finalmente, con el resultado, se irán conformando el rompecabezas con cada pieza del resultado.
La Ley de los Exponentes
Las leyes de los exponentes son las reglas a seguir para realizar operaciones con potencias. La potencia de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo más de una vez. Al número se le llama base, y las veces que se multiplica es el exponente, que se coloca en pequeño arriba y a la derecha de la base.
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¿Qué son los exponentes en las operaciones matemáticas?
Como se dijo anteriormente, los exponentes son una forma abreviada que representa la multiplicación de números por sí mismos varias veces, donde el exponente solo se relaciona con el número de la izquierda. Por ejemplo:
23 = 2*2*2 = 8
En ese caso el número 2 es la base de la potencia, que será multiplicado 3 veces como lo indica el exponente, ubicado en la esquina superior derecha de la base. Existen diferentes formas de leer la expresión: 2 elevado a la 3 o también 2 elevado al cubo. Los exponentes también indican el número de veces que pueden ser divididos, y para diferenciar esta operación de la multiplicación el exponente lleva el signo menos (-) delante de sí (es negativo), lo que significa que el exponente está en el denominador de una fracción. Por ejemplo:
2– 4 = 1/ 2*2*2*2 = 1/16
Esto no debe confundirse con el caso en el que la base es negativa, ya que dependerá de si el exponente es par o impar para determinar si la potencia será positiva o negativa. Así se tiene que:
– Si el exponente es par, la potencia será positiva. Por ejemplo: (-7)2 = -7 * -7 = 49.
– Si el exponente es impar, la potencia será negativa. Por ejemplo: (–2)5 = (-2) *(-2) *(-2) *(-2) *(-2) =-32.
Existe un caso especial en el cual si el exponente es igual a 0 se tiene que la potencia es igual a 1. También existe la posibilidad de que la base sea 0; en ese caso, dependiendo del exponente, la potencia será indeterminada o no.
Para realizar operaciones matemáticas con los exponentes es necesario seguir varias reglas o normas que hacen más simple hallar la solución de esas operaciones.
Tipos de exponentes
• 1) Potencias de base natural y exponente natural.
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• 2) Potencias cuya base es una fracción y su exponente un número natural.
• 3) De base decimal y exponente natural.
• 4) De base entera y exponente natural.
• 5) Potencias de base 10.
Por otro lado, a continuación, se mencionan las 7 principales leyes que existen:
1) Potencia con exponente cero y base diferente de cero.
2) Potencia a la 1.
3) Multiplicación de potencias con la misma base.
4) División de potencias con la misma base.
5) Multiplicación de potencias con el mismo exponente.
6) División de potencias con el mismo exponente.
7) Potencia de una potencia.
Ejercicios 1
Para resolver el exponente negativo, aplicamos la ley de exponentes negativos, la cual nos indica que podemos cambiar un exponente de negativo a positivo al tomar el recíproco de su base:
Ahora, elevamos al 8 al cuadrado para simplificar:
Ejercicio 2
Aquí, aplicamos la ley de la potencia de una potencia, la cual nos indica que tenemos que multiplicar los exponentes:
Nuevamente, aplicamos la ley de exponentes negativos para cambiar el exponente 6 negativo a 6 positivo:
Simplificando, tenemos:
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Recursos Tecnológicos:
https://www.youtube.com/watch?v=JkjgbByFanA
https://www.youtube.com/watch?v=CfbspxOf0lA
https://www.youtube.com/watch?v=6m-Qzh3NDjk
https://e1.portalacademico.cch.unam.mx/alumno/matematicas1/unidad1/OperacionesPoten cias/ejercicio2
Aplicaciones:
https://www.mathgames.com/
https://es.symbolab.com/solver/exponents-calculator
https://lp.smartick.com/matematicas/latam/?utm_source=google&utm_medium=cpc&utm_c ampaign=mx_juegos_matem%C3%A1ticas
Material Didáctico:
• Docente pide a los estudiantes que realice una ruleta, se utilizara materiales como papel de color, cartulina, marcadores etc.
• Para eso se van presentar los resultados de los exponentes lo cual tiene que estar relacionado con la ruleta y los problemas que el docente presenta.
• Finalmente, el objetivo de esto, es que el estudiante se le facilite el aprender este tema, por otro lado, el llamar su atención para aprender matemáticas en general.
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GEOMETRÍA.
Recordemos que la geometría es la parte de las matemáticas que estudia la extensión, la forma de medirla, las relaciones entre puntos, líneas, ángulos, planos y figuras, y la manera cómo se miden. En este apartado mencionaremos algunos temas de geometría que se desarrollan en las distintas modalidades de secundaria.
La geometría ha sido considerada como uno de los pilares de formación académica y cultural del individuo, dada su aplicación en diversos contextos; su capacidad formadora del razonamiento lógico y su contribución en el desarrollo de habilidades para visualizar, pensar críticamente, intuir, resolver problemas, conjeturar, razonar deductivamente y argumentar de manera lógica en procesos de prueba o demostración brindan una visión de la geometría como:
• La ciencia del espacio, vista esta como una herramienta para describir y medir figuras, como base para construir y estudiar modelos del mundo físico y fenómenos del mundo real.
• Un método para las representaciones visuales de conceptos y procesos de otras áreas en matemáticas y en otras ciencias; por ejemplo, gráficas y teoría de gráficas, histogramas, entre otros.
• Un punto de encuentro en una matemática teórica y una matemática como fuente de modelos.
• Una manera de pensar y entender.
• Un ejemplo para la enseñanza del razonamiento deductivo.
• Un modelo para la enseñanza del razonamiento deductivo.
• Una herramienta en aplicaciones, tanto tradicionales como innovadoras, como, por ejemplo, gráficas por computadora, procesamiento y manipulación de imágenes, reconocimiento de patrones, robótica, investigación de operaciones.1
Básicamente la enseñanza de la geometría en el nivel de secundaria en sus distintas modalidades, se basa en los siguientes temas:
• Teorema de Pitágoras
• Área y perímetro
• Polígonos
• Trigonometría básica (seno, coseno y tangente)
• Rectas
A continuación, se muestran varios ejemplos donde se aplican metodologías para la solución de problemas aplicando análisis de casos, aprendizaje basado en problemas, aprendizaje basado en retos, aprendizaje por simulación y aprendizaje situado de cómo enseñar a los alumnos los temas que versan la geometría a nivel secundaria.
1 Hernández, V. & Villalba, M. (2001). Perspectivas en la Enseñanza de la geometría para el siglo XXI. Documento de discusión para estudio ICMI. PMME-UNISON. Traducción del documento original. Recuperado el 18 de octubre de 2007 en http://www.euclides.org/menu/ articles/article2.htm
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Para poder desarrollar lo antes mencionado. comenzaremos en el orden que se encuentra en la lista mostrada anteriormente.
Teorema de Pitágoras.
En todo triángulo rectángulo se cumple que, la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de su hipotenusa, es decir, si los lados del triángulo son a, b y c, se cumple que a2 + b2 = c2. Este resultado es conocido como el teorema de Pitágoras.
En el teorema de Pitágoras se utilizan tres fórmulas y son las siguientes:
• a = √ c2 – b2 (a es igual a la raíz cuadrada de c al cuadrado menos b al cuadrado)
• b = √b2 – a2 (b es igual a la raíz cuadrada de c al cuadrado menos a al cuadrado)
• c = √a2 + b2 (c es igual a la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado).
Es importante que expliquemos a los alumnos para que funciona el teorema de Pitágoras. formulando la siguiente pregunta;
¿Dónde se puede aplicar el teorema de Pitágoras?
Dadas dos líneas rectas, el teorema de Pitágoras permite calcular la longitud de la diagonal que las conecta. Esta aplicación se usa con frecuencia en arquitectura, carpintería u otros proyectos de construcción.
Explicándolo de una manera más sencilla podemos observar las siguientes imágenes que nos explica de manera fácil para entender. EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS. observemos entonces la fórmula del teorema de Pitágoras que aparece en la siguiente imagen.
llevando esta fórmula a un ejemplo podemos indicar que;
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La letra C es la hipotenusa. siendo esta la parte más larga del triángulo rectángulo
La letra a es cualquier lado del triángulo rectángulo conocido como cateto.
La letra b es cualquier lado del triángulo rectángulo conocido como cateto.
Para que esto quede más claro vamos a ver una representación del teorema de Pitágoras. con la unión de los lados de los catetos, siempre debe en su interior tener un ángulo de 90 grados. Esto nos ayudará a encontrar el valor de la hipotenusa representado con la letra C aplicando la fórmula y los principios matemáticos podemos llegar que el resultado de la suma de cateto a y cateto b nos arroja el resultado de la hipotenusa.
Para mayor comprensión de lo planteado se recomienda revisar el siguiente video que explica cada uno de los pasos con mayor detalle se puede consultar en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=eTEBvBIz8Ok
Otro recurso tecnológico para poder desarrollar el teorema de Pitágoras es una aplicación llamada MATHEPOWER.
Esta calculadora proporciona de manera rápida y precisa los resultados correctos. Su ventaja está en que es eficiente, fácil de usar, y su desventaja está en que no permite del todo un desarrollo en la apreciación de las matemáticas.
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si no se cuenta con recursos tecnológicos como computadoras celulares internet etc. A continuación, se muestra un ejemplo en el cual se lleva a otro nivel más elevado la aplicación del teorema de Pitágoras. Este ejercicio es extraído del libro de matemáticas 3er grado de telesecundarias. (pág. 83 y 84) en el cual aplicando el teorema de Pitágoras nos permite sacar el área de un cuadrado, esto genera en los alumnos relacionar un tema con otro tema anteriormente visto.
Área y perímetro.
En las siguientes imágenes se explica de manera clara y concisa lo que es el área y perímetro.
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¿Para qué se usa el perímetro en la vida cotidiana?
El cálculo de áreas y perímetros desempeña un papel muy importante en nuestra sociedad. Constantemente debemos calcular áreas: para embaldosar un piso, empapelar una pared, comprar tela para realizar una prenda, lotear un terreno, etc.
¿Dónde o para qué se utiliza el área?
Es decir, el área es la medición de una superficie. El área nos puede servir, en la práctica, para trabajar sobre ciertos espacios, por ejemplo, una hectárea de tierra agrícola. Sabiendo su área, sabremos cuánto podemos cosechar y, por ejemplo, cuánto requerirá de agua y fertilizante.
Como podemos ver si es de gran utilidad el comprender la diferencia y utilidad de estos dos conceptos geométricos matemáticos. A continuación, te mostramos un video en el cual explica a grandes rasgos lo que es área y perímetro https://www.youtube.com/watch?v=wYNvY_bOGdc
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Para poder lograr obtener los resultados de áreas y perímetros se aplican fórmulas especiales para su desarrollo, en la siguiente imagen se muestran algunas de las fórmulas más utilizadas para obtener áreas y perímetro
Por lo tanto, llevaremos el uso de las fórmulas a la aplicación de ejercicios en esta ocasión un ejercicio sustraído del libro de matemáticas de primer grado de telesecundaria (pág.73.)
Con las fórmulas anteriormente mencionadas podremos buscar el resultado tanto del perímetro que es lo que nos solicita el ejercicio incluso el área. podemos incluso hacernos valer de un recurso tecnológico llamado.
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Esta calculadora de áreas y perímetros la puedes encontrar en la siguiente liga de internet
https://ediresaapps.com/calculadora-areas-y-perimetros/
Es importante poder echar mano de todas las herramientas que nos proporciona la tecnología, pero recordemos que el uso exclusivo y excesivo genera en los alumnos que no comprenda de una manera real las matemáticas. por lo cual se sugiere utilizar varios métodos para su comprensión.
Polígonos.
En geometría, un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices.
¿Para qué sirven los polígonos?
Los polígonos están presentes en nuestra vida diaria, formando parte de diversos diseños arquitectónicos que dan origen a los poliedros (edificios) y a su vez también formando mosaicos y teselados, además algunos elementos naturales (hojas, accidentes geográficos, frutos y verduras) también tienen formas geométricas de los polígonos.
A continuación, te mostramos un recurso audiovisual que te puede ayudar a entender de mejor manera lo que es un polígono y sus características y así podrás identificarlos y resolver ejercicios relacionados con el tema.
https://www.youtube.com/watch?v=gFge7ZMxtKc
https://www.youtube.com/watch?v=-suHvhrijfA
Otro recurso tecnológico para trabajar en clase son los polígonos y sus clasificaciones. conocido como Superport en el cual encontrarás ejercicios interactivos de polígono
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/ejerciciosinteractivos-de-poligonos.html
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Los polígonos tienen su importancia en todas las figuras que vemos día con día. en el libro de matemáticas de 2do de telesecundaria. (pág.66 al 73) nos muestra varios ejercicios y excelentes explicaciones del uso de los polígonos en la vida diaria.
Trigonometría básica (seno, coseno y tangente)
Una función trigonométrica es una función de un ángulo que describe la relación entre dos lados de un triángulo rectángulo.
Ejemplos de funciones trigonométricas son seno, coseno y tangente.
Seno: Razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno: Razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Tangente: Razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
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¿Para qué sirve la trigonometría?
La trigonometría ha sido muy importante en el desarrollo de la humanidad porque con ella se han logrado calcular distancias, como por ejemplo, la del sol a la tierra sin la necesidad de recorrerla y se establecen por medio de triángulos, circunferencias, también, da mucha utilidad en la ingeniería civil, para el cálculo preciso de distancias, ángulos de inclinación o de peralte en una carretera, en el campo de la ciencia ha sido de gran ayuda para la elaboración de métodos numéricos por parte de matemáticos para realizar una ecuación diferencial o resolver una integral que no se pueda trabajar con los métodos convencionales, aplicaciones en la física (mecánica clásica), electricidad o electrónica, entre otros.2
Para entender de mejor manera las funciones de la trigonometría básica y lo referente a seno, coseno y tangente. recomendamos mirar el siguiente recurso audiovisual. en la siguiente liga
https://www.youtube.com/watch?v=8zVW0U2jn8U
También se recomienda revisar la siguiente aplicación la cual nos permite realizar de manera práctica la resolución de ejercicios de trigonometría, en este tipo de ejercicios de mayor dificultad es importante el uso de la calculadora. por lo cual si se recomienda que los alumnos utilicen esta aplicación.
https://m.apkpure.com/es/trigonometry-calculator/com.mozama.trigonometria
Rectas.
En geometría la recta es una línea de puntos, sin curvas ni ángulos, que no tiene principio ni fin. Es cada una de las dos partes en que un punto divide una recta. Una recta es la unión
https://issuu.com/maria.ramos2470/docs/segundo_proceso_de_matem_ticas__3_/s/11932755#:~:text=La%20trigono metr%C3%ADa%20ha%20sido%20muy,la%20ingenier%C3%ADa%20civil%2C%20para%20el
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de infinitos puntos alineados en la misma dirección. Se nombra usando una letra minúscula. Según su dirección una recta puede ser HORIZONTAL, VERTICAL o INCLINADA. Según su posición relativa, dos rectas pueden ser PARALELAS si no se cortan o SECANTES si se cortan.
Para entender de mejor manera las funciones, aplicaciones y conceptos básicos de la recta recomendamos mirar el siguiente recurso audiovisual. en la siguiente liga
https://www.youtube.com/watch?v=LIrHcJAmplo
A continuación, se recomienda este recurso tecnológico llamado liveworksheets donde podemos trabajar con los alumnos varios ejercicios relacionados con la recta en geometría.
https://es.liveworksheets.com/vd1820172ll
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Geometr%C3%ADa/Pos ici%C3%B3n_de_una_recta_respecto_a_una_circunferencia_if1458681rh
Recordemos que todo recurso tecnológico y no tecnológico debe de lograr su finalidad la cual es que el alumno o quien estudia la geometría pueda entender claramente para qué sirve cada uno de los temas escogidos y planteados en este manual.
SUGERENCIAS DE ACTIVIDADES Y APLICACIONES QUE SE PUEDEN USAR COMO OPCIONES DE
EXÁMENES.
En este apartado se proporciona una gama de varios ejercicios y exámenes que el lector puede aplicar para el desarrollo personal o mejora de sus clases.
ARITMETICA.
EXÁMENES ARITMÉTICA
JERARQUÍA DE OPERACIONES
-Se plantea la realización de un examen en línea en la aplicación: https://cibertest.com/
- LIVERWORKSHEETS.
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https://es.liveworksheets.com/hr830963gv
- SUPERPROF
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/racionales/ejerciciosinteractivos-de-multiplicacion-y-division-de-fracciones.html
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES POSITIVAS.
LIVEWORKSHEETS
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Operaciones_co n_fracciones/Multiplicaci%C3%B3n_y_Divisi%C3%B3n_de_Fracciones_(Postivas_y _Negativas)_df1713533pu
PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA.
-DIRECTA: LIVERWORKSHEETS.
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/matem%C3%A1ticas/Proporcionalidad
-INVERSA: CIBERTEST
https://cibertest.com/examen-online/801/proporcion-directa-e-inversa
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR.
-EDUCAPLAY
https://es.educaplay.com/recursos-educativos/3692113minimo_comun_multiplo_y_maximo_comun_divisor.html
ALGEBRA
https://www.youtube.com/watch?v=UNWFLuUfiX4
https://www.youtube.com/watch?v=DV3C_RawfBg
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Lenguaje_algebraico/Le nguaje_Algebraico_uo1896292hh
https://www.youtube.com/watch?v=oPdr972cOpY
https://www.youtube.com/watch?v=gKWRx2pgfoM
https://www.youtube.com/watch?v=IN_CIbJF0-s
GEOMETRÍA
Teorema de Pitágoras.
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Teorema_de_Pit%C3% A1goras/Problemas_teorema_de_pitagoras_bo889805il
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https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Teorema_de_Pit%C3% A1goras/Secuencia_8._Teorema_de_Pitagoras_cg2664223xx
Áreas y Perímetros.
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/%C3%81reas_y_per% C3%ADmetros/%C3%81rea_y_Per%C3%ADmetro_gg2702855fs
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/%C3%81reas_y_per%C 3%ADmetros/%C3%81reas_y_per%C3%ADmetros_rv619348rr
Polígonos.
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Pol%C3%ADgonos/Los _pol%C3%ADgonos_ne737942yd
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/El_per%C3%ADmetro/E l_per%C3%ADmetro_de_los_pol%C3%ADgonos_xj2342777tp
Trigonometría básica (seno, coseno y tangente)
https://es.liveworksheets.com/nr1160096xs
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Razones_trigonom%C3 %A9tricas/Razones_Trigonom%C3%A9tricas_ps1708006at
Rectas.
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Geometr%C3%ADa/Tip os_de_rectas*_aralelas,_secantes_y_perpendiculares_df238137ly
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Geometr%C3%ADa/Tip os_de_rectas_nf1698929dx
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CONCLUSIÓN
Como conclusión se puede llegar que la aritmética es muy importante en nivel secundaria, ya que gracias a ella los estudiantes entienden de manera básica los temas relacionados a esta rama de las matemáticas, las operaciones básicas son multiplicación, división, suma y resta, estas operaciones son indispensables para la vida diaria por que las llevamos a la práctica día a día, por ejemplo, para ir a comprar cualquier producto, en el trabajo o para realzar cuentas del hogar.
En los temas que abordamos en este manual, fueron las más importantes a nuestro criterio, ya que cada uno tiene un impacto en el estudiante y son muy necesarios, por ejemplo:
-Jerarquía de operaciones: Emplear la jerarquía de operaciones ayuda a facilitar el proceso para la resolución de problemas básicos, llevando los pasos anteriormente señalados, la solución de cualquier ejercicio será correcta. En los estudiantes impacta en el ámbito estudiantil, conocer este tema será de gran ayuda para que en un futuro pueda emplearlo en su vida profesional.
-Multiplicación y división de fracciones: Esta ayuda a realizar de manera acertada las operaciones de fracciones ya que son útiles para diferentes ámbitos, por ejemplo, al pesar más de dos productos y querer tener una solución concisa.
- Proporcionalidad directa e inversa: La proporcionalidad es una secuencia que sigue un numero o cantidad, ponerlo en practico con jóvenes de telesecundaria resultaría de manera beneficiosa, ya que, al relacionarlo con problemas de la vida diaria perimirán tener más criterio matemático a la cualquier situación que se presente cotidianamente.
- Mínimo común múltiplo y máximo común divisor: El realizar problemas relacionados a este tema, se podrá tener un criterio más amplio de cómo se lleva a cabo una proporcionalidad de cualquier número.
El objetivo de este trabajo es para conocer diferentes estrategias, herramientas y recursos que nos ayuden al desarrollo del estudiante para si lograr una enseñanza en el alumnado. Por otro lado, la importancia del algebra es el aprender a razonar simbólicamente, y con consecuencia aumenta la complejidad y el tipo de educación en el problema que se puede resolver Como cabe mencionar el lenguaje algebraico permite trasmitir ideas y resolver problemas
La importancia de la geometría contribuye a resolver problemas prácticos como la medición de longitudes, áreas y volúmenes o el trazo de linderos en la tierra, además desempeña un papel importante para el desarrollo de la geometría. Es considerable el conocer recursos tecnológicos y material didáctico que nos ayuda que la enseñanza sea un poco mas factible para el estudiante
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