Tratado de hormigón armado - Parte II

CAPÍTULO V

FLEXIÓN SENCILLA i Estudio general.

42.- Jna pieza prismática, sometida a la única acción de un par de fuerzas, situado en su plano longitudinal de simetría, sufre exclusivamente cargas moleculares paralelas a aquél, iguales dentro de cada línea normal al plano del par y variables desde un máximo positivo basta otro negativo, según dichas líneas se mueven desde la fibra más alta a la más baja de una sección de la pieza, becha por un plano también normal al del par.

Las deformaciones están análogamente distribuidas: hay una línea de fibras, con carga molecular y deformación nulas; a uno y otro lado de esa linea, cargas y deformaciones van creciendo con uno y otro signo hasta los extremos ele la sección de la pieza. En virtud de la simetría respecto al plano longitudinal que contiene el par, basta estudiar las variaciones dentro de ese plano: la sección de la pieza, normal a él, es la recta s^s' (fig. 29); la línea de cargas

Fig, 29,

114:

hormigón

armado

y deformaciones nulas se proyecta en o, fibra neutra, y la línea A ^ A ' r e p r e s e n t a la distribución délas deformaciones, es decir, la posición y figura que la recta s ,.v' toma por efecto de la flexión.

Si el material de la pieza obedece a la ley "de Hoolte, A ,oA' representa también, en una escala E veces menor, la distribución de cargas, n = £A. Si el coeficiente, E, es variable, la línea de cargas es completamente distinta, n'o'1n1.

La hipótesis de Bernouilli, más conocida por el postulado de Navier, consiste en suponer recta la línea A^A': la sección plana se conserva plana durante la deformación.

En los materiales sujetos a l a ley de Hooke, sometidos a flexión sencilla, se verifica esa distribución lineal, siempre que no haya bruscos cambios de anchura en la sección de la pieza. Ea carga de una fibra es proporcional a su brazo de palanca respecto a la fibra neutra.

En los materiales pétreos se realiza también de un modo suficientemente aproximado la conservación de las secciones planas.

Pero la variabilidad de E„ hace que las cargas disten de ser proporcionales al brazo de palanca respecto a o.

El equilibrio resulta de la igualdad en valor absoluto de las resultantes C y T, aplicadas, en general, al centro de gravedad de los sólidos que tuvieran por bases.las áreas parciales OS', 0S1 de la sección de. la pieza y por altura, en cada horizontal H, la carga correspondiente n. Cuando la sección es rectangular, los sólidos son prismas de sección recta os'n', os1n1, y las resultantes pasan por los centros de gravedad c, t, de aquéllas.

El par CX b = T X b equilibra al momento exterior M. Ea igualdad de C y T implica la de las áreas os'n', ospero las cargas máximas n', :n1 difieren mucho en valor absoluto, y la fibra neutra o está más cerca de n' que de n, (salvo el caso en que la sección tenga anchuras mayores en la parte inferior).

Si a un material pétreo se aplica la fórmula usual n = Mv : I, que expresa la proporcionalidad de n a v, con el factor constante v : I e implica la ley rectilínea, resulta, para una-sección rectangular, rí = n x y distintos ambos de sus valores reales.

43.—Armemos asimétricamente esa pieza y sometámosla a

flexión

sencilla

115

pares M, eada vez mayores (fig. 30). Se conocen Eg y la lejr de variación de Eh] medidas en cada estado de carga las deformaciones de la armadura y del hormigón en distintos puntos de una sección, se construyen con exactitud las líneas de distribución de las cargas n y na, representando estas últimas en una escala r veces menor que aquéllas.

Bajo un momento muy moderado, los distintos valores de Eh apenas difieren, y la línea de n n x es prácticamente una recta. En esta primera fase (I), las cargas n', nv na, son pequeñísimas.

Al aumentar M, (II), 'rí crece con rapidez, según tina curva que se aproxima bastante á una recta 011a) n1 crece, rápidamente cerca de o, cada vez menos en puntos más distantes, y su línea representativa concluye por acercarse mucbo a una recta vertical. Eos valores de Eh decrecen poco a poco en la zona comprimida y en un pequeño trozo de la extendida, para seguir en ésta disminuyendo con rapidez, liasta casi anularse en las fibras algo más tensas y permanecer constante, con un valor pequeñísimo, prácticamente nulo, basta la última fibra. El hormigón se deforma plásticamente, como hemos visto, con alargamientos variables, sin desarrollar más que reacciones moleculares constantes.

Ea carga nrj crece y su magnitud representativa corresponde con el segmento limitado por la recta ona, a la que se aproxima mucho la línea orí.

Si M continúa creciendo, persiste la misma fase, (II), mientras los alargamientos de la armadura no llegan al máximo que plásticamente puede alcanzar el hormigón que la rodea. El equilibrio se establece siempre, como en la figura 29, entre la resultante, C, de las nc, de una parte, y de otra, la suma de la tracción Ta desarrollada por la armadura y la resultante T-„ de todas las nt. Esta última permanece prácticamente invariable durante ese período, mientras que Ta y C siguen creciendo a la par que M. Un nuevo incremento de M determina un alargamiento de la armadura, superior al plásticamente soportable por el hormigón, que se rompe (fig. 30), en una parte de os, (III). El equilibrio se establece entre C y la suma de Ta con la pequeña resultante de las nt del hormigón no roto. Eas nc dibujan una curva qué, como en la fase (II), se confunde casi con la recta on,,.

116

hormigón

armado

El paso de (II) a (III) depende, a igualdad de los demás elementos, de la cuantía q. Si ésta es pequeña, la tracción Ta, desarrollada por la armadura, es de valor comparable con la resultante, '/';., de las si q es grande, Th resulta bastante pequeña comparada

con TV Eos incrementos de Ta son, a igualdad de incrementos de M, y desde que Th queda estacionaria, grandes en aquel caso, menores en éste. Eos alargamientos que provocan la rotura del hormigón se producen, pues, más pronto cuanto menor es q.

Dentro de la fase (III) el crecimiento de M determina alargamientos cada vez mayores de la armadura, y avance de la zona de hormigón, ya roto, hacia o. Si q es pequeña, se alcanza pronto el límite elástico de la armadura, y su deslizamiento respecto al hormigón; la rotura de la pieza sobreviene después, cuando la parte inferior se disgrega vertical i neni e según las fisuras, y horizontalmente a lo largo de las barras.

Si q es grande, C y TV crecen a compás, alcanzándose la carga de rotura, H n , del hormigón, antes que llegue a la límite elástica suya la armadura. Da pieza se rompe por desmoronamiento de las fibras comprimidas.

Ante la incertidumbre de la duración de la fase (II), que es la que lógicamente debiera servir de base de cálculo, puesto que dentro de ella se saca todo el partido posible de la resistencia del hormigón, sin que llegue a fisurarse, adoptamos, como umversalmente se hace, el principio de prescindir en absoluto del concurso prestado p.or Th. Esto equivale a suponer anticipadamente roto el hormigón,

fundación juanélo turriano .

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117

como al iniciarse la fase (III), y suponerlo roto en toda la zona os a lo que nunca se llega. Y, sin embargo, los valores máximos de n0 y na no exceden de los correspondientes a (II), es decir, no se producen alargamientos que comprometan la integridad del hormigón.

En resumen, la fase tipo, fundamento del cálculo, es una virtual, (cp), idéntica a la (II), salvo prescindir en absoluto del área de tensiones, Th. Dentro de esta fase, las variaciones de n,„ respecto a las dadas por la ley lineal n'on«, son prácticamente despreciables y como veremos, el error resultante conduce a valores calculados algo mayores que los reales.

Esto, unido al desprecio de Th, cuyo valor no deja de ser una fracción apreciable de T, implica una mayoración efectiva del coeficiente de seguridad. Pero la ventaja mayor de suponer nt = 0, es la de tener en cuenta los defectos de construcción y la posible existencia de fisuras por retracción de fraguado y secado.

Cuando la armadura es disimétrica o simétrica, las barras altas sufren presiones, n'a, muy moderadas, r veces mayores que las n0 correspondientes. El equilibrio se establece entre la resultante, Ch, de las nc¡ compuesta con Ca, compresión desarrollada por aquéllas^ y de otra parte, según la fase, admitida, la. tracción Ta, únicamente. El alivio prestado por las barras comprimidas aminora el área total y el máximo valor de las n, n', aunque, como hemos visto al estudiar la compresión uniforme, no sea económicamente eficaz, y sí sólo un recurso para reducir ese máximo de nc al límite admisible.

44.—Tenemos, en resumen, que la recta n'ona (fig. 31), trazada

Fig. 31.

í V!á

118

hormigon

armado

por la fibra neutra, representará: por sus abscisas na y n'd en una cierta escala, las cargas de las armaduras de tensión y de compresión si la bav; por sus abscisas n c , las cargas del hormigón, que, dentro de los limites usuales y, sobre todo, después de cierto numero de reiteraciones que hayan hecho prácticamente aplicable al hormigón la ley de Hooke, son, con pequeño error y favorable a la seguridad las correspondientes a esa ley rectilínea, salvo un factor de reducción I : r , o, lo que es igual, están representadas en escala r veces mayor que las A. . has relaciones entre na, n a y el máximo de n, que designaremos siempre por n , son puramente geométricas; sólo dependen de la posición de la fibra neutra, o, y del factor de reducción, r.

A su vez la posición de o sólo depende del equilibrio entre los pares Cb = Tb y M, y, en suma, de la igualdad de los volúmenes representativos de C y de T, que, en el caso más corriente, de pieza de sección rectangular, es la igualdad de las áreas representativas de C = (Ch + Ca) y Ta, dentro siempre de la fase admitida (©).

El cálculo se reduce, por tanto, a la más sencilla Geometría, o, si se quiere, Mecánica: la igualdad de momentos de los volúmenes o áreas representativas de c o m p r e s i o n e s y t r a c c i o n e s , determina la fibra neutra v al mismo tiempo el valor, hasta entonces desconocido, de aquéllos (puesto que es la fibra neutra quien los delimita) y el brazo de palanca, b, entre sus centros de acción; la proporcionalidad de n, na y no, conocido r, determina sus respectivos valores, con tal de que Cb = Tb = M. Todo estriba, en suma, en el conocimiento de r. Teóricamente tiene una definición precisa, Ea : Eh. Ea es perfectamente conocido y constante en el acero dulce usual. E h es, como h e m o s visto, sumamente variable con diversas influencias, unas sistemáticas, y, lo que es peor, otras accidentales, imposibles de tener en cuenta.

Se impone adoptar un valor de r, que corresponda lo más exactamente posible, con las condiciones usuales, y para el que aquellas influencias sólo se traduzcan en errores pequeños y, sobre todo, favorables a la seguridad.

45.—Esta determinación de r tiene que ser puramente experimental, y se ha hecho prolija y repetidamente sobre piezas sometífi"' fundacion. 'juánelo. turriano :

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119

das a momento constante y esfuerzos transversales nulos, bajo la acción de dos fuerzas iguales y simétricamente dispuestas.

Resumiremos el detallado estudio becbo por el profesor Moersch, al igual de otros muchos ingenieros y Comisiones de estudio.

Medidas directa y escrupulosamente las deformaciones unita-

Fig. 32.

rias, y comprobada la sensible exactitud de la conservación plana de las secciones, la unión de puntos homólogos da, para cada valor de M, la posición de la fibra neutra o, que se representa en la figura 32, para tres piezas, idénticas salvo las cuantías, respectivamente de 0,004, 0,010 y 0,019.

Lo primero que se observa es que a cada valor de M corresponde una fibra neutra, tanto más alta cuanto mayor es aquél. Esto se explica lógicamente; en la realidad, el área variable, equilibra a la diferencia {~ín-— Ta)', como Td y el máximo rí, de nc, crecen casi a compás, el triángulo curvilíneo tnc debe ir disminuyendo de altura para acomodarse al lento crecimiento del área Ynt. Trazando en cada punto o una abscisa que represente el momento a que corresponde la fibra neutra así deducida, se obtiene una curva de error, A/,.., cuya prolongación hasta la sección da la fibra neutra inicial, o0, la que correspondería a un momento sumamente pequeño. Esta fibra neutra inicial es tanto más baja cuanto mayor es q, cosa perfectamente lógica; viene a coincidir,bastante

I

120

HORMIGÓN ARMADO

bien con la. calculada, según la Instrucción suiza, para r = 20.

Pero este valor sólo corresponde a un estado inicial, de cortísima extensión, durante el que, por la pequeñez de las cargas, el hormigón armado cumple exactamente la ley de Hooke, fase (I). A poco que M crezca, se entra en la fase (II) y o se va elevando.

Bajo momentos considerables, siempre que no se produzcan fisuras, la fibra neutra se aproxima mucho, cualquiera que sea q,

Fig. 33.

a la calculada con r = 15 sobre la hipótesis de la fase (cp). ha fase real es la (II), puesto que el hormigón se conserva íntegro. ha distribución de cargas durante toda la fase (II) hasta iniciarse las fisuras y entrar en la (III) ha sido estudiada minuciosamente, en las mismas piezas.

Medidas directamente las deformaciones en toda la zona comprimida y parte de la extendida del hormigón, así como las de la armadura, y conocidas experimentalmente la ley de variación de Eh, así'como Ea, se han podido trazar las líneas de distribución de cargas, para diversas cuantías, y en cada una para distintos momentos. ha figura 33 las representa en tres estados bastante distintos, para que resalte la marcha del fenómeno; corresponden a piezas de cuantía 0,010.

Se conocen: Ta, directamente; C, por medida del área E#0 y se deduce Th= C — Ta. El brazo de palanca debe ser M : C = b; calculado el centro de gravedad, c, del área se deduce la posición del centro de acción, t, de la tensión total, resultante de Ta y

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121

No siendo posible calcular con exactitud las cargas en gran parte de la zona extendida, las limitadas con línea de puntos han sido racionalmente deducidas con arreglo a estas condiciones: 1> Limitar un área equivalente a T¡, = C—Ta. 2.a Tener su centro de gravedad a la distancia : f „ de la armadura, puesto que T ba de ser resultante de Ta y Th. 3.a Limitar su abscisa máxima, n v a la carga de rotura del mismo hormigón, directamente medida, E r t .

Como se ve, el centro de gravedad de las compresiones, c, ya subiendo lentamente; el de tensiones desarrolladas por el hormigón, t, asciende mucho más de prisa, y el de las tensiones totales, t, sube en .cantidad insignificante. El ascenso de la fibra neutra es casi el misino del centro, T, y el brazo de palanca ox es prácticamente constante.

Mientras que el área sn c aumenta en gran escala, excediendo al final de 3,5. veces su valor primitivo, el área m t sólo llega a doblar. La ayuda prestada por el hormigón extendido resulta, como es lógico, una parte relativamente pequeña del total, bajo fuertes flexiones y, en cambio, bastante importante bajo momentos débiles.

Y a dentro de la fase (III), el hormigón se fisura, pero sólo en algunos planos; y, aun después de apreciadas las primeras grietas, continúa la tensión total del hormigón creciendo, lentamente, en los trozos que todavía conservan su continuidad. En el plano de una fisura Th es prácticamente nula (en realidad, la fisura no al-

'

;/ u—1 «-r-H ; t¡ L

e 1

' z

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1 8

I I

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1 T

1

b a a' b' c' d' e' — ^ ^ — * — 1 — ^ 1 ¡ 1 1 1 1 1 1 p iai r r ' !

8' ,£' 1 i Fig. 34.

1

f

' 1 — S 1 T-» V j

canza a la fibra neutra y Th conserva un pequeño valor); Ta tiene que ser en ese plano mayor que en los anteriores y posteriores, puesto que ella sola debe equilibrar a C. La variación, de valores de Ta hace entrar en juego la adherencia, y, en efecto, basta una corta distancia para que, a partir de ella, de nuevo coopere el hormigón intacto, desarrollando su Th, como antes de agrietarse. El punto a de la armadura (fig. 34), en el mismo plano que los a del hormi-

12:

hormigón

armado

gón antes de Usurarse, queda en el centro de la grieta: aa' diferencia de alargamientos finales en ésta, mide el deslizamiento total de la armadura entre los planos es y eV, donde la adherencia vuelve a impedirlo; y los deslizamientos bb'—• |Bp', cc — -¡7', dd' —88.', medidos entre los planos antes coincidentes, son cada vez menores, hasta anularse para ee' — se' = 0. Desde los planos s hasta otros análogos, cercanos a otra grieta, el trabajo continúa siendo el de la fase (II); el momento resistente sigue aumentando, sin que las deformaciones totales, flechas de la pieza, pierdan la regularidad de su crecimiento. Y es preciso que la tensión de las armaduras se acerque a su carga límite elástica para que, ya con muchas más grietas y más próximas, desaparezca totalmente la ayuda prestada por el hormigón extendido.

Esto demuestra una vez más la conveniencia de aceptar como base del cálculo la fase virtual, (cp), que participa de las (II) y (III), suponiendo anticipadamente nula Th. Así se hace siempre que se trata de determinar o de comprobar las dimensiones y armaduras de piezas cuyas cargas se han de aproximar a las límites admisibles.

Pero en otros casos, en los que se persigue el cálculo de las deformaciones, bien' sea para conocer sus valores concretos, bien para determinar las magnitudes incógnitas en las sustentaciones hiperestáticas, se adopta la fase (I) cuya característica es la constancia del coeficiente de elasticidad E>h lo mismo en la zona tensa que en la comprimida, lo que no discrepa mucho de la verdad, siempre que las cargas sean bastante moderadas. Más adelante veremos con detalle cómo se realiza y cómo se justifica esta hipótesis.

46.—-Da tabla Y (final del texto) contiene los resultados comparativos referentes a tres series de piezas armadas. Das cargas máximas del hormigón, 11', calculadas sobre la base (tp) con el valor r — 15, aparecen junto a las v', medidas; y análogamente las de la armadura n„ y ->a (que 110 corresponden con aquéllas), expresadas todas en kg : cm 2 . Como se vé, los valores calculados, n, son, en general, superiores a los medidos, -/ (salvo cuando éstos aparecen más gruesos). El error cometido es siempre favorable a la seguridad en lo relativo a las armaduras y puede afirmarse que tam-

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123

bién lo es en lo tocante al hormigón, porque en la práctica nunca se llega a las cargas calculadas de 60 ó más kg : cm 2 , a las que corresponden cargas reales más intensas todavía. has discrepancias entre n a y vaf, muchísimo mayores que entre n' y v', dan idea de la importancia que en realidad tiene el trabajo del hormigón extendido, con el cual, sin embargo, no sería prudente contar, ha figura 35 lo hace ver con claridad, al mismo tiempo.

que la trascendental influencia de las fisuras, cuya posible aparición obliga a suponerlas, por prudencia, desde luego existentes, has líneas continuas representan la distribución de las cargas y directamente medidas en una pieza forzada hasta la fi.su ración; las líneas de trazos corresponden a las n calculadas. En la parte central, con gran exageración en la escala de alturas, resulta en evidencia la fibra neutra real, que sube notablemente en las zonas de fisuras y la calculada, que es una recta.

Cuando las cargas quedan dentro de límites muy moderados,

s r.

12'I

hormigón

armado

conduce a menores discrepancias entre el cálculo y la realidad la adopción de valores de r menores que 15.

La adopción de r = 20 da errores más grandes aún respecto a na, favorables a la seguridad y mayores también respecto a rí, y, lo que es peor, desfavorables.

Parece que debiera tomarse r menor que 15, para conseguir mayor aproximación del cálculo a la realidad, hasta hacerlo variable en el mismo sentido que q, a costa de una compbcación tan grande como poco útil. Así se hace en los reglamentos del Estado de Nueva York (r = 12) e italiano [y = 10), mientras que en la mayor parte de las naciones, y a la cabeza de ellas Alemania, Francia y Austria, las tres que de más antiguo vienen construyendo y estudiando, se ha establecido r — 15.

Un valor alto de r implica una exageración de las deformaciones de la armadura, que aparece más cargada que lo está en realidad, mientras que sucede a la inversa con el hormigón extendido.

Fa hipótesis H,¡ = 0, implica, por lo contrario, una mayoración ficticia de las cargas del hormigón comprimido.

Eos valores absolutos de los dos errores cometidos estableciendo r - 15 y H,i =é 0 varían en el mismo sentido, es decir, son mayores ambos en los forjados y piezas poco peraltadas y menores en las tes y piezas más rígidas.

En uno otro caso, como la experimentación demuestra, ambos errores se compensan, por lo menos en lo relativo a «', que es lo más interesante y que para r — 15 concuerda sensiblemente, aunque siempre con error favorable, con la carga real. Para n a el error, también favorable, es bastante mayor, sobre todo con pequeñas q.

I,o más lógico sería hacer variar r con q, en el mismo sentido; pero complicaría muchísimo, sin más utilidad 'práctica que poder escatimar algo las dimensiones.

fundacion juanelo türriano

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II Cálculo deductivo.

47.—Sea una pieza cuyas secciones, de forma cualquiera, están definidas por los anchos variables, a, medidos normalmente al plano principal, a las alturas v sobre la fibra neutra incógnita, cuya profundidad bajo el borde superior llamaremos siempre / (figura 36). Hay una armadura superior a' en la ordenada v' = j — /

Fig. 36.

y otra inferior o principal en la íT= / — c = — (c — /), designando siempre por c el canto o profundidad útil. Si h' es el mayor valor de la carga unitaria producida por un momento M , positivo, el de la correspondiente a la ordenada v es n'(v : /) y la compresión total del hormigón vale J , J f v n r avdv Ch = rí — X a ¿ » = Ia J

f

f

J

ha de la armadura superior resulta C,

f

• X

y el esfuerzo resultante en la principal, Ca

=ri

f ~—c

'

x ya — —

-

c — f

rí

X rá

- T„

HORMIGÓN

126

ARMADO

poniendo de manifiesto el signo menos la oposición de sentido de la tensión T y de las compresiones C. La condición determinativa de la flexión sencilla es la nulidad de la resultante de todas las acciones n dS •N == jn dS = Cu + C'a + C0 = 0 ; o bien, C% -f'C' a = Ta y se traduce prescindiendo del factor (»' : /) por J'v dS = 0, o bien

rf

/ av dv + ra'v' = ra.(c — /)

,

^

o El primer miembro valora el momento estático respecto a la fibra neutra de toda el área comprimida del hormigón, más r veces la de la armadura superior; el segundo miembro es también el momento estático del área r veces mayor que la de la armadura principal extendida. Puesto que ambos momentos son iguales, la fibra neutra contiene el centro de gravedad de la sección del sóhdo virtual homogéneo, formada por la parte comprimida y por r veces todas las armaduras.

El momento flector equivale al de todas las acciones rídS, r n' r w' M=

ndSXv

= — J v°-dS ^ - y

1

El producto de esta igualdad por v, da la conocida expresión n v Mv =

vi = ni,

o bien n = M

1 1 El momento de inercia I es el del sólido virtual homogéneo ya

definido.

Supongamos, más en general, una sección cuya forma no es susceptible de una definición analítica/ como requiere el cálculo de la integral; está dada gráficamente y, supuesto conocido ya su plano principal, la definimos por una serie de rebanadas de área A5 = hk cuyos centros de gravedad están a las profundidades fu- Eas armaduras superiores son varias barras, de sección as y profundidad fs, 'y las inferiores otras varias, análogamente definidas por a. y /;. Si / es la profundidad incógnita de la fibra neutra, el área de hormigón comprimido está medida por Y¡hk, limitando la suma a las rebanadas cuyo borde inferior tenga una profundidad menor o igual que /.

Con igual limitación representa 2f{hf)k el momento estático de dicha área comprimida, respecto al borde superior.

FUNDACIÓN JUANELO..

TÜRRIANO

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127

Cualquiera que sea /, las sumas vus , Sa» y v («./') s , v («/'),• , valúan las áreas y momentos correspondientes a todas las armaduras.

Atribuido un valor provisional, /', a /, el de la expresión Zr(hf)k + 2>(a/), + Sr(g/)<

l/7í

+ S»

_

+ Mi

Y!\hf)k +

Yl'h

rljaf)

+ rW.

" —

que mide la profundidad del centro de gravedad del área de hormigón limitada hasta /' más r veces las de, las armaduras, que, como se ve, no ha lugar a distinguir ahora unas de otras, sólo por azar coincidirá con el supuesto. Habrá que repetir el tanteo, limitando las sumas ¿ en un nuevo valor / " igual, próximamente, al (/') obtenido en el primero. Si el resultante (/") también discrepa de /'", habrá que repetir nuevamente, limitando las sumas en / " ' — (/'")> y asi hasta obtener una concordancia satisfactoria entre la profúndidad supuesta f n ) y la calculada (/(re)).

48.—Sea, como ejemplo, la semisección de un puente (fig. 37) (') formada por un rectángulo de 210 X 18 cm., con 10 barras de 1,2 cm. i

Fig. 37.

(') La fig. 37, que representa la sección de uno de los modelos de puentes de la colección oficial, da idea de la composición de las áreas estimadas, con las ligeras variaciones, respecto al ejemplo, que el lector apreciará.

HORMIGÓN

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ARMADO

a la profundidad 4 cm.; un trapecio de 18 cm. de altura y 120 y 30 de bases; un alma de 30 cm. de espesor, que a la profundidad media 100 contiene 6 barras de 5,0 (lo mismo sería contar tres barras a 95 y otras 3 a 105 cm.). Formemos, para facilitar los tanteos, la tabla siguiente con las áreas, profundidades de centros de gravedad y momentos estáticos, respecto a la cara superior, sean de hormigón o de armadura, por el orden mismo en que van presentándose, subdividido en tres de igual altura el trapecio y cada uno de aquéllos en dos triángulos.

Rectángulo ' Armadura 15 X P r i m e r tra- ( 0,5 pecio. | 0,5

(210 X 18) = 3 780 cm5 (11,31 cm2) 170 (120 X 6) 360 ( 90 X 6) 270

X 9 cm X 4 X (18 + 2) X (18 + 4)

= 34 020 cm3 =• 680 = 7 200 = 5 490

Totales hasta / = 24

4 580 cm2 X 10,35 cm = 47 390 cm3

Segundo tra- ( 0,5 ( 90 XX 6) pecio. | 0,5 ( 60 XX 6) Totales hasta / = 30

270 X (24 + 2) = 7 020 180 X (24 + 4) = 5 040 2 5 030 cm X 11,81 cm = 59 450 cm3

T e r c e r tra- ( 0,5 ( 60 X X 6) pecio.

I 0,5 ( 30 X X 6) Totales hasta / = 36

180 X (30 + 2) = 5 760 90 X (30 +. 4) = 3 060 5 300 cm2 X 12,88 cm = 68 270 cm3

Supongamos /' = 30 cm; el área rZrM (las barras as ya están tenidas en cuenta) es 15 X 117,8 = 1 767 cm 2 y su momento 176 700 cm 2 ; resulta así (59 450 + 176 700)cm3 (/') = — ; ' (5 030 + 1 767)cm2

= 34,7 cm

Hagamos / " = 34' 5, profundidad que comprende los dos primeros trapecios de 6 cm. y un tercero de 4,5. Como la disminución de anchura es (120 — 30) : 18 = 5 por unidad, ese trapecio tiene por bases 60 y (60 — 4,5 X 5 — 35,5) cm. Así, pues, obtenemos ahora Totales hasta /' = 30

.

Trapecio com- 0,5 (60 X 4,5) plementario 0,5 .(37,5 X 4,5) Totales hasta /". = 34^5 (/") = — u '

5 030 135 84

X 11,81 cm = 59 450 cní3 X (30 + 1,5) = X (30 + 3) =

4 252 2 772

5 249 cm2 X 12,66 cm = 66 474 cm3 (66 474 + 176 700) cm3 — (5 249 + 1 767) cm2

= 34,66 cm

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129

ha concordancia con los 34,7.0 supuestos es sobradamente satisfactoria: aun con una discrepancia de un centímetro, el error en la apreciación del área comprimida sería alrededor de.45 ó 50 cm 2 , es decir, un centésimo de la total; el error en el momento estático sería de unos 34 X 37 = 1 258 cm 3 , al que corresponderían unos (1 258 : 5 249) — 0,24 cm en la profundidad del centro de gravedad de t o d a la zona de compresiones.

49.—Cuando la fibra neutra corta la sección dentro de una zona rectangular, el problema se resuelve directamente. Calculados los valores del área y del momento de la párte en que entran trapecios (incluyendo siempre lo relativo a las armaduras en ella comprendidas) que llamaremos ¿(h + ras) y ¿(h + ras)fs, la profundidad resulta, si t es la altura total de aquella parte y a el ancho de la rectangular, como en (47,2) + rás)fs

+ a(f — t) X 0,5(¿ + / ) +

+ ars)

+ a(f — t)

.

r2(af)i

. +,»-2«

~

= /

'

(1)

ecuación de segundo grado que ordenada es 0,5af- + \—at + 2:!h + rds) +r2ai\f+

O.Bat2 —

+ m)/ s — yE(«/)í= 0 (.2)

Por ejemplo, la misma sección de la fig. 37, armada inferiormente con iguales barras, pero a profundidad media de 150 cm., da .

a - 30 cm; rllai t = 36

= 1 767 cm 2 ; rS(af)i

+ m ) - 5 300

= 2.65 050 cm3

j- m ) / s =

67 910

15/2 + 5 987/ — 313 525 = 0 ; / = 46,9 cm

Claro es que se puede expresar algebraicamente la ecuación de momentos estáticos cuando la figura neutra entra en una zona trapezoidal de bases b y b - • k (/ - - fi), (en el caso estudiado, 120 — 5 (/ — 18). = 210 — 5 /), pero resulta de tercer grado y su resolución es más pesada q"ue el tanteo. .:.

En los puentes de alma calada, la cabeza superior se reduce a una serie de trapecios y rectángulos hasta la profundidad t, con o .sin armaduras as: si las inferiores a¿ y §us brazos /¿ son suficientes, / supera a t y, al desaparecer los términos que contienen el, 9

•

130

HORMIGON

ARMADO

ancho a del alma, (2) se reduce a la expresión de primer grado: ^=

2{h + m;A + rlaifi S [h + rós) -i- ySai

_ £ (hf)s + rZ{af) £/i + rSa

(3)

50 . Conocida la profundidad de la fibra neutra, el cálculo del momento de inercia de la sección respecto a aquélla es inmediato y se expresa por 1=1'| ik + hk[f — fk)2 | - I- rl\ia + a{í-fa)-\

(1)

ik designa el momento de inercia propio de la rebanada hk respecto a su centro de gravedad, que, sumado con el producto hk (/ -fk)2 de su área por el cuadrado de la distancia a. la fibr a neutra, valúa la parte del momento que a hk corresponde; i 0 y « se refieren a cualquier armadura situada a la profundidad / a . El momento de inercia propio, i0., es tan pequeño que se desprecia siempre, y muchas veces se hace lo propio con los ik del hormigón.

51, como hemos hecho para facilitar los tanteos, tenemos ya evaluados los totales de áreas y momentos estáticos hasta sucesivas profundidades, con las de los centros de gravedad respectivos, la operación se simplifica mucho. Así, en la sección ya estudiada, la zona comprimida, incluso armaduras, hasta f = 34,5 ern, y la armadura inferior dan las dos partes principales 15 X

5 300 cm ! X ( 31,5 — 12,6)2 = 117,8 X (100 — 34,5)2 =

2 541 933 7 580 S72 10 122 805 cm1

Eos momentos parciales ik son: Rectángulo 2 1 0 X 183 : 12 = 102 6 00 . . . , A 120 X 16,53 : 36 =- 14 974 Trapecio total. , 3 7 5 x i 6 ,5 3 : 36 = 4 672 = 122 246 cm1

El momento vale, por tanto,. 10 235 051 cm4, y el error cometido al despreciar %ik sería 0,011 del total.

Conocidos / e I, se deducen inmediatamente las cargas:

»

Mf M{f — fs) n' = —— ; n$ m % ~— I

; ni • r

Mff—fi) —= —

(2)

FUNDACION juanelo turriano

FLEXIÓN

131

SENCILLA

del hormigón en la -fibra superior y de las armaduras af, as. Como f > f s Y / < fi, ns es del mismo signo que mientras que n¡ lo tiene opuesto, es una tensión.

Entre las cargas existen siempre, cualquiera que sea la forma de la sección, las relaciones puramente geométricas, puesto que se derivan de su proporcionalidad a las distancias a la fibra neutra, ni =

r

/ — H n'

; ns ==

f

r

fs

—

n

/

; f = ••

f

rrí

rn —

/»

(3)

m

ns nunca llega a valer rn' y resulta siempre mUy moderada.

En lugar de w¿, carga en la barra de armadura a la profundidad /¡, emplearemos generalmente, prescindiendo del signo, el valor absoluto, na, de la carga en la armadura total principal, cuya profundidad fi es el canto útil c. has relaciones na.

= r

n

c — / f

;

/

rrí

c

nr/ •;• rn

— =

(4)

aparecerán constantemente.

51.—Sea, para estudiar las formas de más sencillez, una sección rectangular, de ancho a y canto útil c cm (fig. 38), armada a esta profundidad con a y a. la /' con a' cm 2 . ha igualdad de mo-

Fig. 38.

rn cutos estáticos, que ahora podemos tomar fácilmente respecto a la misma fibra neutra, determina la profundidad / de ésta: Í — r{a +

+«':(/-/') a') +

=ra{c-f)

V r'2[a +

ct')2 +

(1) 2rá{ ac +

a'f )

HORMIGON

132

ARMADO

El momento de inercia de la sección virtual a f '

I =

-f ra {f — /')2 -jr ra{c — f)2

(3)

se puede expresar, en virtud de la condición (1), por af3

+ ra'(f-f)

• + ra'(f • /')2 + af-(3c-f)

\(c-f) (4).

ra.' (c — /')(/ — /') cm,4

y se deducen las cargas unitarias M cm kg.

M

rí kg : cm.2 =

I • f / - / '

f '

6

f

n,

)

} (•>)

n' (')

Eos valores (2) a (5) son completamente generales, cualquiera que sea la disposición de conjunto de la armadura. Si es asimétrica, es decir, a' — 0, resultan los valores particulares:

/ =

— ra + V r2«2 + 2ra X ac (6)

6M

af (3c - /) A la armadura simétrica, a' = a, corresponden:

/

— 2re. + Vár3a- + 2ra X ¿(c+/') ' M

(7)

a/(3c — /) (c - / ' ) ( / - / ' ) + n/ — 6 / — En el caso más general, la armadura disimétrica se define por ')

En valor absoluto; ya se sabe que es una tensión.

FUNDACION lUANbLO TI RRI.WO

FLEXIÓN

SENCILLA

133

a' = ka, siendo la característica un número k comprendido, entre 0 y 1. La profundidad /' de a' se puede expresar con suficiente aproximación por 0,2 /, promedio que corresponde bastante bien a la práctica, y resultan entonces: af • —— + rka X 0,8/ = ra(c - f) f=

,

n =

~

• t

+ <>,§¿0't + Vr\ 1 + 0,8/%)2a2 -f- Iraca a M

: —s : a/(3c — /) • - + rka X 0,8 (c — 0,2f)

[ \

(8)

I I

En los tres casos subsisten sin alteración las expresiones (47), las cargas de na y rí ¿ en función de la rí en cada uno calculadas.

52.—Eas fórmulas que anteceden dan resuelto el cálculo deductivo directo, utilizando las magnitudes absolutas, datos del problema, a, c, /', a, a' y M. Pero no se prestan, por las innumerables combinaciones de valores a que darían lugar, a la formación de tablas, que, como veremos, no solamente sirven para el cálculo inductivo, sino que facilitan mucho el deductivo aproximado, suficiente la mayor parte de las veces..

Pasemos de las magnitudes absolutas a las relativas, tomando como unidad, para las profundidades, el canto útil c para las áreas la aparente del hormigón, de . / y /' quedan representadas por las profundidades unitarias / : ,c = <p, /' : c = tp' ; a y a' pollas cuantías a : ac = q, a' : ac = q'. Eas expresiones (51, 8), que son las más generales, pues abarcan todos los casos, individualizados por la característica k, se transforman en cp2 + 2rq{ 1. -I- 0 , 8 % jg- 2rq = 0

, \

o = — rq{ 1 + 0,86) + Vr\ 1 - f 0,8k)2q2 + 2rq M = ——X ' ac2

1 ©(3 — <o) —

~

+

0,8

(1) krq (1

—

0,2 ID)

1

134

HORMIGÓN

ARMADO

Eliminando q, mediante la primera ecuación, después de llevarla al denominador del primer quebrado, M

i

r

=

e introduciendo y a el valor r =

15, resulta en forma explícita y

bastante sencilla =

qac2

x

K

— ^

1 5 - 2 0 ® + (5+ 1,6% 2

Abreviamos por M =

M

=

¡I X

Z'A-(O}

(2)

r

M

qacj

, .

—= v.c

W

que llamaremos momento específico, una magnitud de las dimensiones físicas de ñ', una carga, siempre expresada en kilogramos por centímetro cuadrado. Ese nombre es realmente impropio, pero resulta cómodo, como veremos, y se justifica porque puede considerarse ¡i. como el momento resistente de una sección en la que a, armadura principal, y c, canto útil, tuvieran cada uno el valor unidad.

Si en (50) sustituimos n' por su valor en función de na, según (52) resulta c—/ / n„ = r ———- N n ,; M n =— :, f o—f n na

•

r

n — a — '«CI

®

T-,1

%

15(1 —tp)

O.

15(1 — tp)

M

qac'-

l

V

,. s„ = a X F „ (ÍS) 15 — 20ep + (5 + l,6A)(p2 ^ «V

(4

Si disponemos de una tabla con los valores de las funciones

Fh(<q)

=

n V-

n.

y

Fv(<d) =

OY-

(5)

correspondientes a diversas cuantías principales q y a varias características k, cuyas combinaciones hayan dado lugar a las profundidades unitarias k, el cálculo deductivo aproximado de una

FUNDACION JUANEIO. TURKI ANO

FLEXIÓN

SENCILLA

135

sección definida por los datos a, c, a, a', sometida al momento M se hace muy fácil. Deducidos los números a : ac = qy «' : ac = q':, la tabla da directamente rí : ¡J. y nA : \¡., cuyos productos por M : ac son las cargas buscadas rí y na. Nunca interesa rí ó., porque desde luego, según se ha visto, es inferior a 15 rí y siempre muy holgada.

53.—ha tabla VI (final del libro) contiene, además de otros datos que posteriormente aparecerán, los siguientes: Columna 1.a Cuantías principales, q, desde 0,001 5 hasta 0,030.

Columna 2.a Cuantías superiores, q', correspondientes a las características k = 0, k = 0,25,' k = 0,50 y k = 1, en correspondencia con las principales desde q = 0,008 hasta 0,030. Para cada una de éstas, hay, pues, una armadura asimétrica, dos disimétricas y, finalmente, otra simétrica.

Columna 3.a Profundidades unitarias cp de la fibra neutra.

Das cp' de la armadura superior, supuestas siempre iguales a 0,2 cp.

Columna 4.a Relaciones no. : rí = 15 (1 —cp) : cp, válidas para cualquier forma de sección.

Columnas 5.a y 7. a Parámetros numéricos rí : ¡i. y no. : ¡i..

Ejemplos: Una sección de a — 20,. c = 50 cm está*armada solamente con a = 4 ; 5 c m 2 ) a r a z ó n de q = 0,004 5. Ea interpolación en las columnas 5.a y 7.a, da 0,032 77 y 1,113, valores medios de los parámetros correspondientes a q = 0,004 y 0,005.

Si M vale 2 250 m kg, es decir 225 000 cm kg, ac = -225 cm 3 , resulta p. = 1 000 y, por tanto, rí = 32,77, no. ----- 1 113 kg : cm 2 .

A la misma sección, armada con a = 9, c¡ = 0,009, corresponden 0,051 75 y 1,154; ;i. es ahora 500 y rí = 25,87, río. = 577 kilogramos : cm 2 . Si se le agrega una armadura superior a' = 2,25 centímetros 2 , los parámetros son 0,046 y 1,137; si M sigue siendo 225 000 cm kg, resulta p., = . 500 y las cargas bajan a rí = 23,44 y na = 568 kg : cm 2 . Pudiera, dentro de los límites usuales de na, subir M al doble, pero rí resultaría excesiva, 46,87. Si, para rebajarla, se fuerza a hasta 4,5 cm. 2 , lo que lleva k a 0,50, encontramos los.parámetros 0,042 88 y 1,124. A I = 450 000 cm kg corresponden = 1 000 y rí = 42,88, = 1 124 kg : cm 2 , cargas perfectamente admisibles.

HORMIGÓN

136

ARMADO

Si k no tiene ninguno de los valores tipos, 0, 0,25, 0,50, 1,00; adoptados, se interpola entre los que comprenden el valor dado.

Por ejemplo, si en la sección considerada a' es 7. cm. 2 , ó q' = = 0,007, conservándose q = 0,009, obtendremos, puesto que k = 7 : 9 2

rí : ¡j. = 0,036,36 +

- X 0,006 52 = 0,037 81

2 ' n

a

: IJL=1,102 1

'

H

9

X 0,022

= 1,107

con lo que, si M sube hasta 472 500 cm kg n' — 39,70 y n a = 1 162 kg. : cm 2 .

En general, sobre todo si no hace falta ción, el cálculo de secciones rectangulares breve mediante la tabla VI que empleando nitudes absolutas (52).

y ¡i a 1 050, resultan apurar la aproximaresulta mucho más las fórmulas en magJ

54.—Obsérvese, con la tabla a la vista, que en secciones de igual característica, a cuantías crecientes q corresponden profundidades <d y parámetros rí : ¡i. y na : ¡i. también crecientes. Pero mientras este último varía entre límites muy próximos, 1,068 y 1,250 paca k = 0 y q de 0,001 5 a 0,030, el otro lo hace en mucha mayor escala, de 0,016 74 a 0,124 98.

En cambio, para una misma cuantía principal q y 'característica creciente, k de 0 a 1, cp, así como rí : y nr/ : \>. decrecen a un tiempo, siempre con mucha mayor rapidez aquél que éste.

En general, cualquiera que sea la forma de la sección, las cargas rí, na, están ligadas por la ley de proporcionalidad a sus distancias a la fibra neutra. Para determinada posición de ésta, la relación na : rí tiene un cierto valor p (fig. 39) : si la profundidad 2 aumenta, p disminuye, (b) y recíprocamente, si aquélla se aminora, crece, (c). Todo aumento de la armadura principal lleva consigo mayor profundidad de la fibra neutra y, por tanto, menores cargas n a si rí permanece constante o mayores rí si es n a la que se mantiene igual.

Para que p tenga un valor prefijado, es menester que la fibra neutra quede en la profundidad correspondiente, (52, 4). Y si necesitamos forzar la resistencia específica de una sección aumen-

FUNDACIÓN JUANELO .

TURRIANO.

FLEXIÓN

SENCILLA

137

tando su riqueza en armaduras principales, menester será compen-

Fig. 39.

sar este aumento con el de las armaduras superiores si queremos mantener na : rí y para ello cp dentro de los límites convenientes, 55.—ha forma por excelencia de la sección de las piezas de hormigón armado es la de simple te\ la cabeza superior, constituida por un forjado de gran anchura y pequeño espesor, que abarca la zona en que se desarrollan las mayores compresiones, se une por intermedio de un alma, de ancho tan reducido como es posible, a la cabeza inferior, formada por la armadura principal. ha transición del ancho a de la cabeza al mucho menor ax del alma, no debe ser brusca, sino gradual, sobre todo en las piezas de regulares o grandes dimensiones. ha experiencia demuestra que se puede considerar un cierto ancho de cabeza, a, como verdaderamente eficaz, es decir que las cosas pasan como si la. compresión total, C, se distribuyera uniformemente con él, siempre que a no exceda de los límites: siguientes: cuatro veces el peralto o altura total de la pieza, (4 p), u ocho el ancho del alma, (8 a y), o diez y seis veces el espesor del forjado, (16 e).

Con arreglo al criterio fundamental de prescindir de la resistencia del hormigón a las tracciones, el que está por bajo de la

138

HORMIGÓN

ARMADO

fibra neutra en una sección rectangular puede sér suprimido en todo o en parte sin que las condiciones del cálculo se alteren: tanto da que su inexistencia sea virtual en parte como real. Así, pues, si la cuantía se refiere como siempre al rectángulo a c (figura 37), mientras el espesor mínimo del forjado sea superior o igual a la profundidad / = cp c, el cálculo deductivo de la sección en te es el ya expuesto, sin variación alguna.

Corresponden a este caso las pequeñísimas cuantías desde 0,001 5 hasta 0,002 con que principia la tabla VI : las profundidades unitarias correlativas, desde cp = 0,191 hasta 0,319 son inferiores a la relación e : c, del mínimo espesor al canto en muchos casos prácticos.

Así, por ejemplo, para a = 150, c = 42 cm, a — 9,42 cm 3 , (3 barras de 2,0 cm), q vale 0,001 5, al que corresponde cp = 0,191: basta que el espesor del forjado sea 0,191 X 42 = 8,02 cm, como mínimo, para que podamos tratar la sección como rectangular.

Un momento flector de 4 200 m kg ó 420 000 cm kg. da p. = 420 000 : : (9,42 X 42) = 1 061, que para. rí : ;>. = 0,013 26 y ñ a : p. = = 1,056, produce rí = 14,07 y na = 1 120 kg : cm 2 . Pero la limitación del ancho eficaz a a 16 e, obliga, si queremos considerar aquél como 150 cm., a aumentar e hasta 9,37, ó prácticamente, 10 cm. h o mismo podemos hacer aproximadamente mientras la discrepancia entre / j e sea pequeña: el error cometido consiste en atribuir a la zona de altura (/ — e) el ancho a de la cabeza, en lugadel mucho menor a x del alma. Pero como en esa región las cargar unitarias son muy débiles, desde rí (/ — e) : / hasta 0, el valor obtenido para rí resulta inferior al real, aunque poco. En cambio el deducido para n a es algo mayor que el verdadero, porque el centro de presión, más baj o en el cálculo que en la realidad, se acerca al de la armadura, disminuyendo el brazo de palanca y exagerándose el valor de las tensiones total y unitaria.

Cuando la diferencia entre / y e es bastante sensible, no hay sino aplicar el método general, detallado en (48), tanto más cuanto que así no se deja de tener en cuenta la influencia de los cartabones de enlace entre forjado y alma, que,ya se sabe, conviene quesean muy amplios, haciendo muy gradual la transición del ancho a al a x.

FUNDACIÓN JU^NÉLO , .TURRJANÜ, .

FLEXIÓN

SENCILLA

139

56.—En secciones medianas y pequeñas puede aplicarse el método siguiente, aproximado, que se basa en despreciar la compresión del trozo de alma de altura (/ — é), prescindiendo desde luego de los cartabones de enlace. Como, además, en estas piezas las cargas del hormigón son muy holgadas, no hay armaduras superiores y, si las hay, dispuestas con fines especiales (retracción, repartición de sobrecargas concentradas, etc.), se prescinde también de ellas, ha fibra neutra queda determinada (fig. 40) por, ae\

/ - y

: ra(c — /); /

- 2

rae

(1)

2 (ae-

a I

Fig. 40.

El centro de presiones, el de gravedad del trapecio dibujado por las cargas rí y rí (/ — c) : /, está a la profundidad 3/ — 2e e

30(z(3c — 2e) — ae2

2/ — e 3

90GÍ(2C — e)

(2)

y al brazo de palanca, b = c — g, entre las resultantes C y T, corresponden las cargas M (c — g)a na f r c— i

=

90(2c — e)

i

-L

;

M

aes -f- 60a(3c2 — 3ce -j- «2) ' 6(as2 -¡- 30ac) _ M ae' 60a(3c2 — 3ce + e'-) ae

(3)

de expresión bastante complicada para un cálculo aproximado. Es preferible, en todo caso, suponer, pecando por exceso, g = 0,5 e

140

HORMIGON

ARMADO

y calcular tan sólo na = M : a(c —- 0;5 e), valor superior al real, sin ocuparse de rí que es siempre muy moderada.

Por ejemplo, para a = 180 cm, c = 90, .e = 12 y a = 32 cm 2 , con M = 3 000 m kg, 112 320 180 • 144 + 3 0 - 3 2 - 9 0 i — ' " " — ™ — = 21,2 cm ' 2(180 • 1 2 + 15 • 32) 5 280 n = ~ 300 000 cm kg : 32 X 84 cm3 j § 1 116 kg : cm2

-

1 116 X 21 rí = — = = 22,6 15X69

57»—Por extensión, aun cuando en ellas se deroga el principio fundamental de los sólidos heterogéneos, la comunidad de sus planos principales, se aplican los mismos procedimientos de cálculo a las piezas de sección en escuadra, o en te disimétrica, a la que falta la mitad del forjado (fig. 41).

Conforme a los resultados experimentales se admite que el an-

Fig. él.

cho eficaz a puede valer hasta seis veces el espesor, 6 e, o tres el ancho del alma, 3 a, o vez y media la altura total o peralto 1,5 p.

Además, el plano de flexión debe contener el centro de gravedad de las armaduras, aunque manteniéndose normal al del forjado, has cargas varían linealmente, como las ordenadas de un plano, que corta oblicuamente al de la sección según la recta 00', lugar de las fibras neutras. ha resultante de las compresiones del hormigón pasa por el

] FUNDACION JUANELO ITURRIANO

FLEXIÓN

SENCILLA

141

centro de gravedad, g, del tetraedro 0P0', a la distancia a : 4 del paramento OP del nervio y a la profundidad / : 4 bajo el trasdós O'P del forjado. El centro de gravedad de la armadura, y, está igualmente separado a : 4 de OP. Elamando como siempre rí a la mayor carga de compresión, que es ahora la altura del tetraedro representativo de ellas, proyectada según el punto P, la resultante vale lo que el volumen de aquél, C = (rí : 3) X (af : 2) = ríaf : 6 = T = nma

(1)

Eas cargas rí y la media de la armadura nm (a la que, como siempre, corresponde una escala r veces menor) guardan entre sí la relación de sus distancias a la recta neutra oo', es decir, rí-

nm f / ; rí = — ' (2) . nm : y ~¡v \ 4 / y c — 3/: 4 To Sustituido este valor de rí en (1) resulta una ecuación de segundo grado, que da =

PN

=

PO

• /

3 \

=/:¡c

9y a (

i/

~32 ac~\

Inmediatamente quedan determinados el brazo del par formado por las resultantes C y T, éstas y las cargas: ¿ ,_- c — / : 4 ;

T = M : b ; <;= 6T : af ; nm = T : a

(4)

Obtenida la carga media nm en la armadura, se deduce la máxima por la proporcionalidad de las distancias normales u oblicuas (verticales) a la recta neutra, -(o' y yo en la figura.

Si las barras estuvieran repartidas uniformemente según la ho- J rizontal, el ancho eficaz, a, quedaría limitado, como se ha dicho, a 4 (a1 : 2) = 2 a x . Si, por el contrario, se distribuyen de suerte que la distancia, d, entre el paramento del nervio y el plano vertical del centro 7 sea 2 : 3 ó 3 : 4 del ancho del alma, a = (8 : 3) a1 ó 3 a ,.

En la realidad son todavía más complicadas de lo que parecen las condiciones de trabajo de estas piezas en forma de escuadra;.

HORMIGON

142

ARMADO

generalmente, además de la flexión ya estudiada, están sujetas a torsión, como en su lugar veremos.

1X1 cálculo, que no es sino una burda aproximación, sólo merece confianza en cuanto los resultados experimentales lo autorizan, a falta de mejor conocimiento del problema.

58. — En las piezas de sección octogonal regular puede cortar la fibra neutra, según sea la cuantía, a los lados a 45° o a los verticales. En el primer caso (fig. 42, a), la igualdad de momentos

Fig.

42.

respecto a la fibra neutra se expresa, llamando a el área total de la armadura, que obra como si estuviera acumulada en el centro af2 : 2 + p X / : 3

í3v - í:

m{0,5e - f)

y, como a = e (|/'~2— l ) = 0,414 e, resulta la ecuación de tercer grado p -j- 0,621 ef -j- 45 af _ 22,5 aé = O

(1)

y, obtenido / por tanteos, podemos calcular el momento de inercia total, mediante el polar de la armadura, I = af : 3 + 2 / ' : 12 + 0,5 rag- — ra{0,5« — f)-

(2)

El radio g de la circunferencia media de la armadura suele ser ~ 0,80 del de la circunscrita a la sección, o sea ~ 0,433 e; el término en g 2 vale ~ 1,4a e 2 .

En el segundo caso (fig. 42, b) resulta, más sencillamente, ef

ej- : 2 0,5 a"-{f — a: 3 \¿2 ) ra(0,5 e — /) (30 a — 0,172 e3)/ - 15 ^ + 0,016 750 a3 '== O

(3)

I = ep : 3 — a4 : 72 — 0,5 a'-{f — a : 3 \/'2 )"' + ra(0,5 e — ff = '= ep : 3 — 0,000 409 — 0,086 e-(f — 0,097 e)°- — 15 «(0.5 e — f)'

(4)

rUNDACIÓN JUANELO TURRIANO

: \

FLEXIÓN

SENCILLA

143

59.—Sean c, i, m, los radios exterior, interior y medio de una sección tubular de espesor o grueso g = e —- i, relativamente pequeño, con una armadura distribuida en numerosas barras, a = q . 2%mg (fig. 43). El ángulo cu, correspondiente a la fibra neutra,

eos

(e)J

Fig. 43.

está determinado por la igualdad del momento estático respecto a la misma del hormigón comprimido y de toda la armadura condensada en el centro.

El primer momento se expresa, mediante el ángulo auxiliar 6, por ahora único variable, por r tu

2 jomdO-

g-m

(eos 6 — eos tu) = 2 m2g (sen <„ — w eos (u)

y el segundo por ra • m eos cu = 2 izm^g • rq eos cu. Resulta al igualarlos la condición sen tu — tu eos cu = rq- eos OJ; rq-,C = tgio — tu

(1)

que permite determinar por fáciles tanteos el ángulo cu correspondiente a cada cuantía q o, más sencillamente, construir una tabla con la q correlativa a cada valor de cu.

El momento de inercia del hormigón comprimido es cu

/

omd6

' • g • m\eos 6 - eos a,)2 = (,„( I

2 eos3 tú) — 3 sen <u eos.,o)gmi

HORMIGÓN

144

ARMADO

y el de toda la armadura r • 2-zmg • q(m2 : 2

m2 eos2 <o) = rqz(l

2 eos5 uSjgm*.

El total se reduce, puesto que co + rq %' = tgu, a la forma muy sencilla I = gm3tgai sen2 cu; la carga en la fibra superior del hormigón vale así m( 1—eos. t»)

Mv'

»' = — T - = M —

f¿- =

gm'xgw sen2 m

I

M r

X-r

(4)

gm2

y la de la fibra inferior de la armadura es •

m(l-¡-costo)

Mv

na — r —— = rM— = I gm*tgcu sen2 ÜJ

M 2

gm2

X¿

•

(5)

Ea tabla VII (final del libro), da las funciones t])' y c|>, así como sus inversas y sus relaciones, correspondientes a cuantías q de 2 a 60 milésimas, y permite resolver todos los problemas usuales. No figura el ángulo w, que sólo sirve como variable auxiliar para el cálculo de aquellas funciones.

Ejemplos: un tubo de radio medio m = 50 cm con grueso g = 6 y armadura de cuantía? = 0,030 (c, = 56,28 cm 2 ; 28 barras de 1,6) sometido a un momento de 21 000 m kg soporta, puesto que gm2 = 6 X 2 500 = 15 000 cm 3 2 100 000 cmkg — x 0,282 = 39,5 kg : cm2 15 000 cm3 Kk . 140 » X 8,7 = 1 2 1 8 » »' —

Si, a la inversa, queremos determinar una sección capaz de resistir ese momento, pero con las cargas límites A = 1 200 y H = 30, cuya relación es 40, veremos que a este valor de <> ] : <¡»' corresponde la cuantía crítica de 0,018. Así, pues, 30 =

M gm1

di';'

gm2 =

2 100 000 30

X 0,357 = 24 990 cm2

y las condiciones del problema determinarán g o m. Si ,g=5, m = V"5 000 = 70,7 cm; si m = 6 0 , g = 25 000 : 3 600 = 6,94 ó 7 cm; si m = 50, g = 10.

FUNDACION JUANEIO. turKi a n o

FLEXIÓN

SENCILLA

145

Por último, el momento resistente de una sección determinada, cualquiera de esas en que gm 2 .= 25 000 es para la cuantía y carga que se fijen, como q = 0,020 y H = 36 kg : cm 2 M=

gm\- H X

= 25 000 • 36 • 2,92 = 2 628 000 cm kg

mientras que para A = 1 200 kg : cm 2 sólo llega a gm' • A X

1

= 25 000 • 1 200 • 0,077 = 2 310 000

Para que M valiera lo mismo, sería preciso que la carga na pudiera alcanzar a (c|> : f — 38) . (rí — 36) = 1 368 kg : cm 2 .

60.—En las cubiertas de edificios, y también en los fondos de silos, se encuentran frecuentemente las formas de sección representadas en la fig. 44. Ea fibra neutra corta, en general, a las caras

primicia a •• - / x 2 tgcc. Ea condición resulta ahora de tercer grado: 0,5 af (/ : 3) = r0{c — /);

tgcp X / 3 + 45 af — 45 ac = O

(1)

Calculada / se obtienen: I = 2 tgcp X /•' : 12 + ra(c — ¡Y = /^tg® : 6 + 15 a(c - ff

(2)

y como siempre las cargas buscadas. Así, para un canto c = 115 10

HORMIGÓN

146

ARMADO

centímetros y armadura de 30,4 cm 2 (8 barras de 2,2) en pieza de caras inclinadas a 45° (tg cp = 1), resalta

una

f + 45 X 30,4/ — 45 X 30,4 X 115 = 0; / = 45,6 cm.

1 = 45,6 l : 6 + 15 X 30,4 X 69,4 ! = 2 916 000 cm 4

Bajo un momento de 26 240 mkg, las cargas son: n

-

2 624 000

X 45,6 2 916 000 n„ = 15 X 0,9 X 69,4

: 41,0 kg : cm, 876,9

»

61.—Cuando el cálculo se basa en la fase I se simplifica ordinariamente, puesto que sólo difiere del usual de las homogéneas en la multiplicación de las áreas de armadura número r. ha profundidad de la fibra neutra está dada por presión general S(A/),+ fS.(a/) / = E/i + ría

extrapiezas por el la ex(1)

extendidas las sumas de momentos y de áreas de hormigón a toda la sección. a -

r

a' c

/

r-

a

Fig. 45.

En las piezas rectangulares interviene ahora la altura total de la sección, que llamaremos -peralto (fig. 45), resultando: _

af-

: 2 -f-

ra!f' + rae

ap + r(a I = (a : 3)\p* + (p n' = Mf : I;

ni:~

f)3\

+

a)

+ ra' (/ — /') 2 + ra{c - / ) '

M(p - /)•: í ;

na = rM(c-/)

:I

(3) (4)

FUNDACIÓN JÜANELO TURR1ANO

FLEXIÓN SENCILLA

247

« i es la carga máxima del hormigón en la zona tema u ,•„„•„„ q u e h a y mtems en conocer mediantíeste « K g . » y. nv resultan, desde Inego, menores qne las deducidas como siempre conforme a la fase (II) <p En las secciones en te resulta análogamente (fig. 45, b) +

f =

+

+

- a||g:: 12 + (/ _ 0,5e)2J -j- '(«, :

rac

.

+

_ /)3j

+

En las formas octogonales regulares de espesor ¡ / = 0,5c;

I = 0,0548á*+ (0,5r^2 = 'h. 1,4«?)

(7)

y en las tubulares de radios é, i, m (fig. 43) / = «;

/• 0,785(e4 - f'} i-T^m'-

(8)

Procedimiento gráfico.

62.—Sea una pieza de sección simétrica cualquiera (fig 46) con diversos órdenes de barras. Numeremos éstas a partir de las

Fig. 46.

148:

HORMIGÓN

ARMADO

inferiores, y formemos un polígono de fuerzas horizontales 0, 1, 2, 3... que representen las respectivas secciones amplificadas, r , en centímetros cuadrados, por magnitudes lineales, ra : B, con la base de reducción B cm; la distancia polar, A, es arbitraria, pero situada como en el dibujo aparece.

Dividamos el área de hormigón en partes, tanto más numerosas cuanto mayor exactitud se quiera. Por sus centros de gravedad y por los de las armaduras, tiremos horizontales, numerándolas de arriba abajo, 1', 2' 3', 4',..., por el orden en que se presenten, correspondan a hormigón o a armaduras. Formemos otro polígono de fuerzas 0', 1', 2', 3'... con las magnitudes h : B, ra' : B, y con una distancia polar, A' = A, con los primeros lados O, O' coincidentes.

Trazados los funiculares respectivos O, I, II, III..., O', I', II', III'..., el segmento horizontal, s, comprendido entre la intersección (III III') y el lado común O O', multiplicado por la distancia polar A = A', mide: en el polígono (O... III...) la suma de momentos de las áreas 1, 2, 3..., armaduras inferiores, respecto a la horizontal 5; en el polígono (O'... III'...) la suma de momentos de las fuerzas 1', 2', 3'..., armaduras unas, hormigón otras, respecto a la misma horizontal. Da igualdad de ambos momentos totales exige que s pase por el centro de gravedad del área virtual compuesta por todas las armaduras amplificadas, más el hormigón, pero sólo el comprimido.

Según el método de Mohr, el área total, (O I II III, III' II' I ' O'), envuelta por los dos funiculares y su lado común, es el momento de inercia de la sección virtual considerada, dividido por 2A. Das magnitudes geométricas del dibujo están representadas en una escala 1 : e; las fuerzas corresponden a B cm 2 por cada centímetro lineal; las distancias polares intervienen por sus magnitudes absolutas A — A' cm. Dos segmentos horizontales del funicular, de magnitud s en la figura, multiplicados por e X B A cm 2 , representan los momentos estáticos de las áreas, que son cm 3 .

Al área funicular, 5 cm 2 absolutos en el dibujo, que representan £2 5, corresponde el momento de inercia total I = (e-S) cm 2 X B c m X 2A.cm = 2ê 2 SBA c m 1

En general, no corresponderá la fibra neutra a una de las líneas

FLEXIÓN

SENCILLA

149

de división adoptadas. Si se quiere apurar la exactitud, se modifican la última o últimas partes del hormigón, haciendo coincidir una de esas líneas con dicha fibra: corrigiendo las áreas y centros de gravedad que correspondan, se hace lo mismo con los polígonos superiores de fuerzas y funicular y se obtiene la nueva posición de la fibra neutra.

Si en la parte inferior se procede igual que en la superior, teniendo en cuenta las partes de hormigón para formar los polígonos de fuerzas y funicular, se obtienen la fibra neutra y el momento de inercia relativos a la fase I. Realmente, no hace falta en este caso más que, un solo polígono de fuerzas y otro funicular, pero resultan mejor definidas las magnitudes y se atenúan algo las dificultades prácticas procediendo como queda dicho.

Se tropieza siempre con el inconveniente de ser las áreas r a. mucho menores que las h. Para conseguir alguna precisión, es preciso tantear, al elegir la escala 1 : e, la base de reducción B y la distancia polar A, de modo que las inclinaciones sucesivas de los radios polares, y , por tanto, de los lados funiculares, difieran bastante. Como, por otra parte, hay que calcular numéricamente las áreas parciales h y ra, las fuerzas~h: B y ra : B y los trozos que componen el área funicular, creemos preferible el procedimiento ya expuesto, (48), que, en general, nos ha resultado más rápido y, sobre todo, más exacto.

IV Cálculo inductivo.

63.—El cálculo deductivo supone resuelto el problema fundamental: fij ar la forma y dimensiones de todos los elementos de la sección de una pieza, que ha de cumplir determinados requisitos.

Tratemos ahora este problema, harto más difícil que el de comprobar si las cargas de los materiales no pasan de ciertos limites.

En lugar de dos incógnitas, rí, na, tenemos un número bastante grande de indeterminadas-, aun en el caso más sencillo de la forma rectangular, el canto c, el ancho a, las armaduras a y a',

150:

HORMIGÓN

ARMADO

-eso prescindiendo todavía del detalle ulterior del modo de distribución de esas áreas en las de una o varias secciones de barras...

El problema, susceptible de infinitas soluciones mecánicas, sólo tiene una ingenieril\ la que limita los materiales a lo necesario y suficiente para llenar las condiciones de seguridad apetecidas y al mismo tiempo reduce la mano de obra de tal suerte que el costo, dentro de dichas condiciones, sea el menor posible.

Por desgracia, esa solución ideal sólo es asequible a fuerza de tanteos y nunca de un modo absolutamente seguro. El costo, resultante de tres sumandos, uno directamente proporcional a las cantidades de materiales; otro, el de la mano de obra, en relación muy variable con ellas, y un tercero, los gastos generales, importantísimos en las obras de hormigón armado, es tan complejo que no puede ser formulado de un modo satisfactorio.

En general, las mismas condiciones del problema reducen su indeterminación: la pieza en proyecto, que desde luego no ha de sufrir cargas superiores a límites prefijados, ha de tener forma y proporciones que convengan a su destino; ha de ser, por ejemplo, una losa plana, o una con enervaduras en forma de te, o una pieza rectangular de escasa anchura, etc., condiciones que implican de suyo cierto orden de magnitud en la dimensión predominante...

Se restringe así bastante el campo que han de abarcar los tanteos, pero, si se quiere proyectar bien, no hay más solución que armarse de paciencia y repetir aquéllos hasta llegar a la solución que desde todos puntos de vista parezca más satisfactoria.

En las grandes secciones, como las de puentes, por el estilo de la representada en la fig. 37, fijados por comparación con otras obras análogas, o por las condiciones de la misma que se proyecta, el ancho total del forjado y la distribución de espesores de éste que, juntamente con las armaduras situadas en el plano de la figura, son indispensables para su resistencia a la flexión en tal sentido, se tiene un esbozo de la cabeza superior, que, ligada con la armadura principal por el alma, calada o maciza, ha de constituir una parte alícuota, en general la mitad, del puente. Sobre esta base, un primer cálculo deductivo aproximado indica en qué sentido hay que modificar la armadura principal y su profundidad. .

FLEXIÓN

SENCILLA

151

64.—La imposición de valores determinados a las cargas, — H> máxima del hormigón, y ha = A, de la armadura inferior, fija la posición de la fibra neutra, definida por la profundidad n[

unitaria (49,4)

=

-H

=

A + vH

15g

m W

A + im

que llamaremos crítica. A su vez, la cuantía de la armadura principal, en las secciones rectangulares, toma en este caso un valor crítico, definido, en virtud de (52), por 15 H*

fe* q c

~

2 r j l — íp c (l - f - 0,8 A) ¡ ~

2(A -

\2kH)(A

+ \m)

(2)

y la armadura superior, si existe, tiene la cuantía q'c = kq:.

Análogamente, el momento específico crítico resulta, según (52), =

M

1 5 - 2 0 0c + (5 + 1,6 Ä W i . — =

= H

qac2

A (A + 10H) + 24 kH>- ~ ' ("ON A + im

<oc

K'

Del producto de estas dos magnitudes, qcv-c =

M

=

ac*

15i?ä

A (A + 10H) + 24kR"-

2 (A + 15i?)2

(A —12kH)

K

podemos deducir 2 ( A ~likH) c = A + 15H 1/ l/~ H ' 15A(A 15/7 (A +-i- 101?) i am -fj- 15 í sXv 24 M kH w i1 'r a

(i\

'

(5)

valor del canto útil que necesita la sección de ancbo, a, para que el momento M produzca en ella las cargas fijadas H, A. Das armaduras son qcac = ac y kac = a'c.

Das expresiones que anteceden resuelven el problema del modo más general, cualesquiera que sean H, A, k. En la práctica, haciendo k = 0, resultan, para las secciones de armadura asimétrica, prescindiendo en adelante del subíndice c, pues <o, q y ¡J. van a ser siempre los críticos, -

A + 1BH l / H

l5H°

_ A (A + 10H)

2A (A + 15H)~'

q~

2

'

V 15(A + 10H)

|J"

~

A + 15 H

_

I [ M _ A + 15H l /

I

a"

que desarrollamos en la tabla VIII.

15H

•

'30

1 lM

V A + 10ÍÍ X ~a

1(6)

152

HORMIGON

ARMADO

Obsérvese que : a es de la dimensión (fuerza) i, m i e n tras que j / 3 0 T p T ^ h T 6 # ) e s d e l a (línea) X (fuerza) igual que su producto por el factor numérico (A -f- 15i?) : 15H, producto abreviado con el símbolo £ ; la magnitud Z, ' Y M « es> como debe, una línea. El otro símbolo [3 es sencillamente q'Z, como resulta de hacer a = qac = qa X .Z V~M : a ; y ¡3 X a YM : a es un área.

65.—Impuestos los valores A, H, kg : cm 2 y dado el de M, cm kg, puede tomarse arbitrariamente un ancho a cm : la sección queda determinada por c = t \¡M : a cm;

o. = p a\/W7a cm3

(1)

Si, por condiciones del problema, se determina el canto c que conviene a la sección, los restantes elementos resultan M a = — cm2;

u.c

a ; a = — cm.

qc

... (¿)

Si, por fin, fuera la armadura, a, la previamente fijada, quedan définidas las dimensiones M c = — cm.; (JLCÍ

a a. = — cm. qc

(ó)

Supongamos que, por circunstancias especiales, convienen determinados canto y ancho c y a. El momento resistente que, siempre en el supuesto de tener determinados valores las cargas A , H, puede desarrollar la sección a c no será el dado M, sino otro — a c 2 : £12 el crítico que a aquellas condiciones corresponde y, en general, menor que M, puesto que siempre interesa reducir en lo posible c. A este momento corresponde, con el ancho ya fijado a, una armadura OTI = Pa V'M, : a = Pac:Z

(4)

Para que la sección a c desarrolle el momento resistente que falta, (M — My), es menester introducir una armadura inferior complementaria a2 y una superior a', a una cierta profundidad

] FUNDACION JUANELO ITURRIANO

FLEXION

SENCILLA

153

/' = <p'c. La primera, que ha de soportar la misma carga A impuesta para av queda determinada por M — M,

(5)

A(c-f)

La segunda ha de ser tal que no se alteren las cargas H, A, es decir, que no varíe la profundidad de la fibra neutra, / = ve, para lo cual es menester que los momentos respecto a dicha fibra de las dos armaduras adicionales sean idénticos,, es decir, .«'(/-/') =b,(C-/);

1— c

(6)

La sección de canto c y ancho a resiste el momento dado M, con las cargas impuestas, A, H, si está armada disimétricamente con (a-L + a2) cm 2 en la parte inferior y con a' en la superior.

Ejemplos: Para un momento resistente de 27 000 m kg, = = 2 700 000 cm kg y un ancho de 30 cm, ]/ikf : a = 300; si las cargas impuestas son A = 750, H = 35 kg : cm2, como c — Z YM : a y cc = pa YM:a, c= 0,401 X 300 = 120,3 cm; « = 0,003 8 5 5 X 9 000 —34,69 cm2 y, si fueran^ = 1 200, H = 45, c = 0,374 X 300 = 112,2 cm; a = 0,002 528 X 900 = 22,75 cm2.

Supongamos que se quiere reducir el canto a 100 cm: con los primeros valores de las cargas resultan, puesto que a = M : ¡x c y a = a : qc, 2 700 000 ~~ 647 X 100

41,73

= 41,73 cm2;

0,009 607 X 100

= 43,4 cm.

y con los segundos 2 700 000 1056 X 100

25,57

25,57 cm2; ' '

0,006 750 X 100

= 37,9 cm.

Si es una determinada armadura, 2 barras de 4 cm u 8 de 2, sección 25,13 cm 2 , la que se quiere emplear, obtenemos análogamente, (c = M : ¡j.a y a = a : qc), 2 700 000 647 X 25,13 2 700 000 1056X25,13

= 167,5 cm; = 101,7 cm;

a=

25,13 = 15,6 cm.

0,009 607 X 167,5 25,13 0,006 750 X 101,7

= 36,6 cm.

FUNDACION JUANFLO TURRIANO

154

HORMIGÓN

ARMADO

Supongamos, finalmente, que es preciso reducir la sección a 90 cm de canto y 30 de anchura, con las cargas ^4 = 1 200, H = 45.

El momento resistente de que la pieza de armadura asimétrica es susceptible en tales condiciones vale c2

9 O2

Z-

0,3742

M, — a — = 30 X —

= 1 736 961 cm kg &

y le corresponde, con el ancho 30 cm, puesto que ]/rM1 : a = o : a. = 0,002 528 x 30 1

90 0,374

= 17,48 cm2.

Ea armadura inferior complementaria es 2

M — M,1

~

A(c — /') ~~

2 700 000— 1 736 961 = 9,44 cm2; 1 200 (90 — 5)

si a la profundidad /' = 5 cm, (<o' = 0,055) se coloca una armadura superior, sabiendo por la tabla que co debe" ser 0,360 1 —cd 1 — 0,360 a' = a, — = 9,44 = 19,84cm.2 "<p — <p' 0,3-60 — 0,055 En resumen: la sección de 30 cm de anchura requiere, para resistir 2 700 000 cm kg con cargas A = 1 200 y H = 45 kg : cm 2 , estar armada a la profundidad absoluta impuesta, c = 90 cm, con 17,48 + 9,44 = 26,92 cm 2 y a la /' — 5, con 19,82 cm 2 .

66.—Para las piezas simétricamente armadas, resulta de hacer k = 1 en los valores generales: qc = ——

15ff2 (A + 4H) (A + 6H) ————-——T— ; |lc 1

2 (A — 12H) (A + 15H).

A + 15H

(1)

fórmulas que dan lugar a la tabla I X (final del libro).

Recordemos que en las expresiones generales de q y ¡x, (52),

fundación JUANELO turriànò

FLEXIÓN

SENCILLA

155

de las que proceden, los valores críticos qc y \x0, se supone colocada la armadura superior, de cuantía ahora igual a la inferior, a una profundidad unitaria cp' = 0,2 cp como término medio. Igual valor debe, lógicamente, ofrecer la del borde inferior de la sección respecto de la armadura y el peralto, altura total de la pieza; resulta así c (1 + 0,2 cp) = -p. En casos especiales en que por tratarse de secciones muy grandes pueda resultar excesiva dicha profundidad cp', fácil es deducir las modificaciones, muy poco importantes siempre, que habría que introducir, en las fórmulas generales (64). Si cp' = xcp, hay que sustituir: 0,8 por (1 — x); 12 por 15 (1 — x); 1,6 por 2(1. — x).

El uso de esta tabla es idéntico al déla VIII. No obstante, para hacer resaltar la diferencia entre una y otra clase de armaduras, reproducimos el mismo ejemplo del párrafo anterior.

Para M — 2 700 000. cm kg, a = 30 cm, y ]/M : a — 300, si las cargas son también^ = 750 y H = 35 kg : cm 2 , resultan ahora (c = £ ]¡M : a y a = ¡3a ]¡M : a ). c = 0,261 x 300 = 78,3 cm (cc = 0,005 706 X 9 000 = 51,35 cm2) X 2

y si A =

1 200 , H =

en lugar de » » »

120,3 34,69

en lugar de » » »

112,2 22,75

45 kg : cm2

c = 0,274 X 300 = 82,2 cm («•= 0,003 362 X 9 000 = 30,6 cm2) X 2

Obsérvese, desde luego, que los cantos de las piezas simétricas se reducen bastante, respecto a los de las asimétricas de igual ancho, sobre todo cuando las cargas son moderadas. En cambio, las armaduras, que ahora son de área total 2a, aumentan hasta triplicar casi las de la pieza asimétrica de iguales condiciones elásticas.

Si en lugar del ancho a = 30 imponemos el canto c = 100, con A = 750 y H = 35 kg : cm 2 , resultan (a = M : ¡xc, a = a : qe) {a = v

a =

2 700 000 670 X 100 40,50 0,021 863 X 100

= 40,50 cm 2 X 2

= 18,5 cm

, , en lugar de

».

»

»

41,73 , , 43,4

156:

HORMIGÓN

y para A =

ARMADO

1 200, H — 45 kg : cm 2 , 2 700 000

= 24,95 cm2) X 2

1 082 X 100 24,95 0,012 272 X 100

en lugar de

25,57 37,9

= 20,4 cm

Las piezas simétricas permiten reducir mucho el ancho, a expensas de doblar próximamente las armaduras, relativamente a las asimétricas de igual canto y condiciones de trabajo.

Por último, si es el área de una de las armaduras la que :se impone, a = 25,13 cm 2 , se deducen para A = 750, H — 35 kg : cm 2 , (c = M : ¡.na y a — a : qc) 2 700 000

161,8 cm en lugar de 167,5

670 X 25,13 25,13

7,1 »

0,021 863 X 161,8

y para A

»

»

»

15,6

1 200, H = 45 kg : cm 2 2 700 000

= 99,2 cm en lugar de 101,7

1 082 X 25,13 25,13

= 20,6

0,012 272 X 99,2

»

»

»

»

36,6

Estos valores confirman lo que acabamos de ver: cantos próximamente iguales y anchos mitad, poco más o menos, para un total de armaduras doble en las piezas simétricas.

67.—Para las secciones en te, las fórmulas del párrafo 55, reducidas a magnitudes unitarias, haciendo e = sc, f = cpc, dan, recordando que la relación na : rí, ahora A : H,. que abreviaremos con p, vale siempre •/•( 1 — cp) : cp, (52) y que la carga media en el forjado es rí(f — 0,5 e) : / = «'(2cp — e) : 2 tp, Aa =

H

2©

2(5

T =

(1)

C = [H(2(p — s) : 2<p] ae cp

2cp — s

r ( 1 — cp)

2co

(2cp — e)s

2r(\

— cp)

ac = qac

(2)

FUNDACIO AJANELO tURRIANO -

FLEXIÓN

SENCILLA

157

Por otra parte, el brazo de palanca entre C y T es, (57), í 3© — 2s 3 ) 6(5 — 3s — 3©s + 2a2 L - 1 C= c - f = c l _ - í — =-J ' 2(p —£ 3 1 3(2cp — s)

(3) V '

con lo cual resultan de M — C b y mediante (1) y (2): fe

r

X — i:6(S — 3s 1 + ó + 2£2'|s H 1

[ 6 ( 0 — 3 3 ( 1 + œ) +

~J2<1> — ¿ 2r(l — œ)

2s 2 }

(2a — s)

1/"m-

,

1/ — — C \ M : a ' . a

i í M

(4) •

,

(5) : W1 —-rol " n. expresiones liomólogas de las ya conocidas para las formas rectangulares. Las desarrollamos en la Tabla X , agregando los valores de '

^ — cp) X «C y — = p« S 2r(l

M

M

1

qac1

qa'Q(M :a)

qC2

J M

que, como ya queda dicho, a propósito de Z, (64), es, como debe,, de las dimensiones de una carga unitaria.

Tos espesores relativos, s, tienen por límite las profundidades unitarias cp; al excederlas, la pieza en te trabaja, dentro del supuesto IIrt = 0, lo mismo que una rectangular. Tas cargas 11 sólo llegan a 40 kg : cm 2 , porque estas piezas no se prestan en buenas condiciones prácticas a valores más altos. • El manejo de esta tabla sólo difiere del de sus homologas VIII y I X en la necesidad de tantear, suponiendo valores al espesor relativo s, puesto que ahora hay una indeterminada más, e, (en cambio, suele.estar impuesta la anchura); y en que es menester, además, que se cumplan las condiciones límites características de estas piezas en te, (56).

Por ejemplo, para un momento M - 12 0Ó0 m. kg. y cargas A = 1 200 y H — 40 kg cm 2 , queremos proyectar una te de ancho a = 120 cm: quedan por determinar e, c y a. Supongamos E j t 0,125, corresponden c = 0,511 ] / l 200 000 : 120 = 51,1 y e — 6,4 cm, espesor inaceptable, por ser < a : 16. Para e = 0,15, obtenemos c = 0,481 X 100 = 48,1 y e = 7,2 cm, que tampoco es válido. Para k = 0,175, c = 45,9 y e = 8 cm, ya aceptable: la armadura será a = 0,001 97 X 120 X 100 = 23,64 cm2.

158

HORMIGÓN

ARMADO

Si queremos reducir la altura a 40 cm, por ejemplo, a la que corresponde £ = 40 : 100 = 0,400, vemos que no está contenido en la tabla, porque s debe1 superar a cp = 0,333. Hay que considerar esa te, cuyo espesor de forjado ba de ser mayor que la profundidad de la fibra neutra, como pieza rectangular. Pero si rebajamos la carga A a 1 000 kg : cm2, encontramos para £ = 0,402» s = 0,275, es decir, e = 11 cm, con a = 0,002 81 X 120 X X 100 == 33,72 cm 2 . Claro es que tal pieza resulta más cara, como era de prever al reducir la altura y la carga / / .

68.—En la mayor parte de los casos prácticos, no conviene la imposición de valores prefijados que exacta, o casi exactamente, hayan de tener las cargas rí, na, y si solo la de valores límites que ninguna de las dos deba rebasar. Queda así mayor libertad para amoldar la pieza en proyecto a las condiciones que su destino, su enlace con otras de la misma obra, su facilidad de moldeo, su aspecto, la conveniencia de reducirla con otras a un solo tipo, impongan y que, en general, convienen más, aun desde el punto de vista económico, que la reducción de las cantidades de material a lo más estricto.

Hemos llevado la expresión del momento resistente de una sección rectangular, cualesquiera que sean sus armaduras, a las formas típicas (52, 2 y 4), 71

M = u X qac2 = -^ttv

M

"U'- X

= "PTT

^

Hasta ahora hemos considerado M como una causa que, en la sección (a, c, q, k), cuyas condiciones están resumidas por la profundidad unitaria cp, produce simultáneamente los efectos rí, na.

Pa magnitud ¡1 está exclusivamente definida por la relación entre la causa momento flector M y el producto q ac2 = ac, homólogo de un módulo de resistencia (I :,v). Entre rí y na, existe una relación perfectamente determinada, (rí : na). = (cp,: r [ 1 — cp]).

Invirtamos el orden, considerando como causas independientes una de otra rí • H y na • T A, a cada una de las cuales corresponde como efecto en esa misma sección (a, c, q, k), un momento resistente, M. El correlativo a H, que distinguiremos con Mh,

FUNDACION JUANEIO. TURKI A N O

FLEXIÓN

SENCILLA

159

será, en general, distinto del Ma correspondiente a A, y sólo cuando los valores atribuidos a H y A cumplan la condición antes citada, que existe entre las cargas producidas por un mismo par flector, rí y na, se confundirán en uno solo esos dos valores del par resistente, Ma y M. Tenemos, pues, ahora dos momentos específicos, [U ==

H

15 — 20(0 + (5 + 1,6/¡)B2

•

:

Fh(a) A

— (0

JÉ //

15 — 2 0 < p + ' ( 5 + 1 , 6 % 2 15(1 — (p)

(2) A

cada uno de los cuales, fijados previamente los valores que convengan de H y A, dará, o bien los momentos resistentes Mh = i« X qac2 =

X ac; Mrj- -•• <irJ X ?ac2 = il/^ X c¡c

(3)

O bien, para un momento flector dado, M, los productos V.' , '

,

M

M

(qac- = ac)h = —; :i/»

(qac2 = ac)„ = — ' Jw

w

(£)

correlativos en uno y otro caso a dichos valores de las cargas H y A. Claro es que sólo será válido el menor de los | i o t f y e l may o r de los (ac =

qac2).

En la tabla VI hemos consignado los parámetros numéricos : H y |j. : A en las columnas 6.a y 8.a En las 9.a y 13 aparecen los valores de los respectivos productos por H = 45 ó por A — 1 200 kg : cm 2 , simbolizados por ^ y por H = 40 ó por A = 1 000, (40)

'J' 1 000 ' A la cuantía q = 0,006 75 y profundidad <p = 0,360, señaladas con números gruesos, corresponden ? r( 1 —

^

0,360

3

_

15 X 0,640 ~~ "^(T ~

45 = H 1 200 = A

rí =

y los dos valores \¡.h y ¡j.a son idénticos, 1 056. Para cuantías inferiores, ¡J.(«) excede a ¡»., g00 : si q = 0,004, por ejemplo, aquél valdría 45 x 32,8 = 1 476, mientras que el último sólo alcanza a

160:

HORMIGÓN

ARMADO

1 200 X 0,903 = 1 084. Fijado en 1 200 el valor de la carga na = A, el de rí no puede ser 45, sino bastante menos, que obtenemos en la misma tabla mediante (¡i/ : ¡x) = 0,030 45, cuyo producto por ¡i, 200 = 1 08 4 da rí = 33,01 lcg : cm2. Fa limitación del momento resistente corresponde en esas cuantías a la carga límite de la armadura. Fo contrario sucede cuando q supera a 0,006 75.

A la cuantía 0,007 50 y profundidad 0,375, señaladas también con números gruesos, corresponden análogamente <p _ C,375 r(l — <p) ~~ 15 X 0,625 ~

1 ~

40 = H 1 000 = ^

rí

y los dos valores idénticos ¡J.<40> = a, 000 = 8 7 5. Para cuantías superiores, q = 0,009, por ejemplo, ¡La valdría 866, mientras que \>-¡, no puede pasar de 773, y na sólo alcanza, en lugar de A = 1 000, a (ria : = 1,154) X ( ¡ ^ = 773) = 892 kg : cm2. Fa limitación del momento resistente procede, en las cuantías superiores a las críticas, de las cargas máximas del hormigón.

Fa presencia de armaduras superiores rebaja la profundidad de la fibra neutra, a igualdad de cuantía1 principal. Así, para q = 0,0.08 y q' == 0,004 y 0,008, para q = 0,009 y q' = 0,009, para q g § 0,010 y q' = 0,010 y para q = 0,012 y q' = 0,012 las profundidades & son inferiores a 0,360; los momentos estampados son l o s ¡-"-i 200' limitados por la carga de la armadura. Análogamente, para q = 0,008 y q' = 0,002, 0,004 y 0,008, para q = 0,009 y ? j ¡ ¡ 0,0045 y 0,009, para q = 0,010 y q' = 0,010, para q = 0,012 Y q' — 0,012 y para q = 0,014 y q' 0,014, resultan valores de cp inferiores a 0,375 y los momentos que aparecen con los |jtr 000, también limitados por la carga de la armadura. Todos los demás desde que q > 0,008 son los |j.(41' o ¡j.(á0>, límites respecto a las cargas máximas del hormigón.

Fas columnas 10 y 14 contienen los valores de 1 : cuyos productos por ]/M : a dan en cada caso el canto c que, con la cuantía y característica determinantes del momento específico \l consignado en la tabla, da el momento resistente por unidad de ancho {M-.a), M : qac- = p.;

c = y'l : \>.q \/M : a = C \!M : a

(5)

FLEXIÓN

SENCILLA

161

En los forjados de anchura indefinida, el dato es precisamente el momento por unidad de ancho (M : a).

Las columnas 11 y 12 contienen los valores de las cargas correspondientes a ¡j}iS) n y las 15 y 16 los a ix m 1 200

J

1

1 000

.

V Resumen práctico.

6 9 -—Eas

fórmulas, tablas y ejemplos desarrollados en el epígrafe anterior han puesto bien en evidencia la indeterminación característica del cálculo inductivo que, a nuestro juicio, sólo puede ser salvada mediante tanteos para elegir la solución que mejor cuadre a las condiciones constructivas del problema y al mismo tiempo sea lo más económica posible.

Algunos, partidarios del cálculo llevado al límite, olvidan el - primero de esos requisitos para sólo pensar en el segundo. Formulan el costo de la pieza en proyecto mediante una expresión algebraica cuyo mínimo investigan. Mas, sobre ser bastante inciertos los valores de los parámetros que en la expresión intervienen (costos de las unidades de volumen de hormigón y de armadüra y de superficie de los moldes, relación entre el volumen total de armaduras y el correspondiente al área que se calcula) se obtiene una sola condición. En la generalidad de los casos se necesitan dos, y la indeterminación subsiste; tan sólo en un forjado indefinido queda resuelto el problema.

7 0 . — E n el caso más sencillo, el de un simple forjado con armadura asimétrica, de las cinco magnitudes fundamentales, a, c, a, rí, na, se elimina al primera por cuanto el dato base es el momento M : a, por unidad de ancho. Si fijamos rí = H, na = A, quedan determinadas, como ya se ha visto, c = £]/M : a y a = pa ]/M:a.

Cuando el dato es M , flexión absoluta en una pieza rectangular, a cada valor atribuido al ancho a, o al canto c, o al área de armadura a, corresponden, inmediatamente deducidos, los de las dos magnitudes restantes. Y si la pieza ha de ser en forma de te, ya n

162

HORMIGÓN ARMADO

temos visto que interviene un sexto elemento, el espesor e, que ha de ser valuado provisionalmente al mismo tiempo que uno de los tres a, c, a, (67) a reserva de comprobar después si se cumplen las condiciones prácticas requeridas.

Cuando en lugar de imponer precisamente rí = H, na.•?= A, lo que implica, desde luego, determinados valores de la profundidad de la fibra neutra cp, o lo que es igual, de la cuantía o cuantías q, q', sólo es forzosa una sola de las dos condiciones, rí - < H con ng = A, o bien rí ----- II con nrJ <CA) a las tres magnitudes a, c, a, se agrega dicbo momento ¡x, que no es enteramente arbitrario, sino que debe tener uno de los valores consignados en la tabla VI. Escoger uno de entre ellos equivale a fijar las cuantías, o lo que es igual,, aquellas de las cargas rí, na que 110 estuviera ya determinada, sólo que con un cierto valor desde luego inferior al límite. Por ejemplo. ¡1 = 941 (columna 9.a) implica rí = 45 (porque corresponde a q —• 0,006 75 y n a = 941 X («,, : !'• = U 4 7 ) = — 1 079 kg cm 2 y (columna 13) implica ng == 1 000 (por corresponder a q = 0,002 < 0,007 5 ) y rí = 928(w' : ¡j. = 0,01.9 92) = = 18,5 kg : cm 2 .

FUNDACION JUANEIO. TURKI ANO

CAPITULO

FLEXIÓN

VI

COMPUESTA i

Problema general.

71.—El régimen de flexióri que más frecuentemente se produce en las construcciones corresponde al caso más general: la resultante de todas las causas exteriores, acciones y reacciones, que obran sobre el trozo segregado por una sección, es una fuerza orientada y situada de un modo cualquiera, dentro del plano principal común a todas las secciones de una pieza prismática.

Descompuesta esa fuerza, según los sentidos normal y paralelo a la sección, en las componentes N y T, el estudio de sus efectos se bace por separado basta conocer, para- cualquier punto de la sección, los valores de las cargas por unidad de superficie, n, en sentido normal, t, en sentido tangencial y, por fin, mediante éstas, las cargas principales, las que verdaderamente miden la fatiga del material.

Das cargas n varían de un modo prácticamente lineal, en proporción a sus distancias a la fibra neutra, lugar de los puntos de carga nula, recta normal al plano principal que contiene el esfuerzo N. Dividamos una sección de forma cualquiera y área total 5 en rebanadas dS paralelas a la fibra neutra, definidas por sus ordenadas v, contadas positivamente desde ella en dirección bacia N; y sea / la correspondiente al punto más alto de la sección, de carga rí (fig. 47). Da condición fundamental, equivalencia entre la causa, el esfuerzo N y la suma de todos los efectos, los esfuerzos elementales ndS, da, puesto que n = rív : / N=

JndS — [rí : /)fvdS

(1)

164

HORMIGON ARMADO

La segunda condición fundamental es la equivalencia del momento respecto a cualquier punto de dicho esfuerzo • N y de la suma de los producidos por los ndS. llamando B al brazo de palanca de N, o sea la ordenada de su traza en el plano de la sección, y tomando los momentos respecto a la fibra neutra resulta M = NB = J' (ndS X v) =

(rí : /) Jv'-dS

(2)

vdS mide el momento estático de toda el área 5 respecto a la fibra neutra y lo abreviaremos con ni) vHS valúa el momento de

inercia de la misma, igualmente referido a dicha fibra, I. Da división de las expresiones (2) y (1) elimina las magnitudes rí y / dando M : N = B=(Jv2dS)

es decir que el brazo. de esfuerzo N, está medido estático de la sección 5, fibra.

Pa multiplicación de

: J (vdS) = 1 : m

(3)

palanca, o distancia de la fibra neutra al por la relación de momentos de inercia y ambos tomados respecto a aquella misma (2) por v en los dos miembros da

Mv = v(rí : f)I --- ni ; n -- Mv : 1

(4)

] FUNDACION JUANELO ITURRIANO

FLEXIÓN

COMPUESTA

165

o sea que la carga en cualquier punto está valuada por la misma expresión usual en la flexión sencilla, sin más diferencia que estar referidos los momentos flector M y de inercia I no al centro de gravedad, sino a la fibra neutra de la sección.

En los materiales homogéneos, el área 5 y los momentos m, I, son los de toda la sección y la fórmula (3) resuelve el problema con sencillez. Por ejemplo, en un rectángulo ap, llamando e la excentricidad del esfuerzo N, es decir, la altura de su traza por encima del centro de gravedad y w la distancia de este hasta la fibra neutra incógnita, el brazo de palanca es B - - e -j w y según (3)

12

f ap X W2\ : /

apxw=-

.12w

de donde w = p2 : 12 e. No es necesario calcular explícitamente I, puesto que, en general, n = Mv : I == NBv : I = N(I : m)v : I == Nv : m.

(5)

Para las fibras extremas, v = ± 0,5 p + co = (=t 6pe + p2) : 12e y, como m = apio = ap3 : 12e, las cargas correspondientes son ± 6pe-\-p'! n= N ——— aP3 AT

N

±6e + p —... ap2

,-g\ ( '

iguales a la media N : ap cuando e = O, doble la superior y nula la inferior cuando e = + p : 6, etc., como es sabido.

72.—En la forma usual, referidas las ordenadas z, la excentricidad e y los momentos M0 e I0 al centro de gravedad, la carga, expresada por M0z N N Nez ez 71 — i (1) S S 1 Sp2 -~ — s i 7"

(

se anula para ez = •— p2. El valor particular de z, de ahí deducido, y que hemos llamado w, es de signo contrario al de la excentricidad e : l a fibra neutra y la traza del esfuerzo N están en oposición respecto al centro de gravedad.

El brazo de palanca se expresa, teniendo eso en cuenta, por B = e — w — e + r? : e — (e2 -4- P2) : «

HORMIGÓN ARMADO

166

y multiplicando numerador y denominador por 5, Se2 + Sp2

S'«2+/0

Se

Se

IN

(2)

es decir, por la relación de los momentos de inercia y estático, tomando ambos respecto a la horizontal que pasa por la traza del esfuerzo N. ha única diferencia entre la nueva expresión del brazo de palanca y la antes deducida es la relativa al signo : I e I N , magnitudes de cuarto orden, son esencialmente positivas; m == Sw es de signo contrario a m = Se. Nada importa, porque sólo interesa el valor absoluto de B, suma de los análogos de e y w. De una u otra expresión del brazo de palanca usaremos según los casos.

Si la excentricidad aumenta progresivamente, de igual modo se acerca al centro de gravedad la fibra neutra, al disminuir w .-• • - - p2 : e. En el límite, si el esfuerzo N decrece progresivamente de suerte que el momento Ne, que toma la forma (0 X co) conserve un valor finito, M, la flexión compuesta degenera en la sencilla. Da característica de esta es, pues, B = oo, lo que exige que el momento estático m, respecto a la fibra neutra sea nulo o, lo que es igual, que pase ella por el centro de gravedad. Da fibra neutra y la fibra media se confunden entonces.

73.—Cuando las secciones compuestas por r veces todas las armaduras más, solamente, las zonas de hormigón comprimidas, no tienen formas susceptibles de definición algebraica, no hay otro medio para determinar la fibra neutra que el de tanteo. Resulta más sencillo utilizar la segunda expresión del brazo de palanca, refiriendo momentos de inercia y estáticos a la traza del esfuerzo N. Definamos esta traza por su -profundidad, g, bajo el punto más alto de la sección: si está por encima, g es negativa. Sea / la profundidad incógnita de la fibra neutra: el brazo de palanca es B = f — g. Dividida la sección en fajas de áreas h y llamando como en (47) / las profundidades de sus centros, a¿ y /¿ las relativas a las armaduras, deberá resultar, limitando en / las sumas relativas a las h,

%(h

-

+

*h(fk

- sy

+

+ rrr..

(i)

FUNDACION JIJAN bLO TURRIANO

FLEXIÓN

COMPUESTA

167

Sólo por azar coincidirán los valores de los dos miembros y habrá que-repetir, tomando por límite para las sumas un nuevo valor de./- Eos momentos de inercia Ik, de cada faja hh respecto a su centro de gravedad son generalmente muy pequeños respecto a los hk(fi — g)2 y se puede, por lo menos en los primeros tanteos, prescindir de ellos y con más razón de los 7¿ de las armaduras.

Supongamos que la sección es la misma que sirvió de ejemplo en la flexión sencilla (48) sometida a un esfuerzo que actúa a g = 6 centímetros bajo el trasdós. .Formaremos análogamente la tabla que sigue con las áreas, sus productos por (fk — 6) y los de estos productos nuevamente multiplicados por (fk — 6).

Rectángulo

(210x18)

Armadura 15 x (11,31 cm. 2 ) 0,5 (120 x 6)

Primer ] trapecio, j 0,5 ( 90 x 6) 0,5 ( 90 x 6)

Segundo 1 trapecio. ) 0,5 ( 6 0 x 6 ) Tercer \ 0,5 ( 6 0 x 6 ) trapecio. ) 0,5 ( 3 0 x 6 )

Totales hasta / = S 6 cm.

3 780 cm. 2 170

X (

9 — 6) cm.

=

X (

4 — 6)

=

[340]

11 340 cm.3 X (

=

34 020 cm. 1

=

+ 680 70 560

X ( 20 — 6)

=

5 040

X ( 20 — 6)

=

270

X ( 22 — 6)

=

4 320

X ( 22 — 6)

=

69 120

270

X ( 26 — 6)

=

5 400

X ( 26 — 6)

=

108 000

180

X ( 28 — 6)

=

3 960

X ( 28 — 6)

=

180

X ( 32 — 6)

=

4 680

X ( 32 — 6)

90

X ( 34 — 6)

=

2 520

5 300 cm. 2

36 920 X (100 — 6)

=

166 098

Rectángulo

X ( 56 — 6)

=

60 000

(30x40)

9 — 6) cm.

4 — 6)

360

Armadura 15 X (117,8 cm. 2 ) 1 767

Totales hasta / ' = 76 cm.

X (

1200 8 267 cm. 2

263 018

X ( 34

6)

=

70 560 561 740 cm.«

cm.3 X (100 —•6) X ( 56 —-6) cm. :

87 120 121 680

15 613 212 =

3 000 000 19 174 952 cm.

Para un primer tanteo, suponiendo / = 36 cm, totalizamos los momentos estáticos y de inercia de la cabeza superior; nótese de paso que la armadura del forjado da — 340 cm 3 , que así hemos tenido en cuenta. Añadiendo a esos totales los momentos producidos por la armadura principal, resultan 203 81.0 cm 3 , cuyo producto por (/ — 6) = 30 cm es muy inferior a .16 174 952 cm 4 .

Agregamos un trozo de alma de 40 cm. de altura, cuyo centro está a 36 + ¡ 2 0 == 56 cm., bajo el trasdós. Equivale a suponer / ' = 36 .+ 40 = 76. Ea nueva suma .da 263 020 cm 3 , cuyo producto por / ' — 6 = 70 cnEes 18 411 400 cm 4 , casi igual ya a 19 174 952.

168:

HORMIGÓN ARMADO

Añadimos, suponiendo f" = 80 cm, un nuevo rectángulo de 30 X |4 = 120 cm 2 , cuyo centro está a -76 + 2 = 78 cm: el momento estático aumenta en 120 X (78 — 6) = 8 640 cm 3 y eleva el total a 271 660, cuyo producto por / " — 6 = 74 da 20 102 840 cm 4 .

El momento de inercia se ña incrementado en 8 640 X 72 = 622 080 y sube a 19 797 030 cm 4 . Como el momento propio del trozo de alma es 30 X 443 : 12 = 212 960 y el del forjado y cartabones, valuado ya (66), 112 246, resulta un momento de inercia total de 20 122 230, casi exactamente el producto ya obtenido del momento estático por ( / " — 6). Así, pues, f" = 80 cm es, con sobrada exactitud, la profundidad de la fibra neutra.

El cálculo del momento de inercia respecto a esta fibra se hace con facilidad mediante los datos ya obtenidos, h a profundidad del centro de gravedad es m : S y la parte principal de I vale /

mY ( I 271 660 — — j = 8 387 > 80 - | g —

\]2 = 32,4j| = 19 013 360 cm*

y agregándole los momentos propios que hemos citado resulta el total de 19 338 560. Nótese que es casi doble que el obtenido para la misma sección en régimen de flexión sencilla; basta, para explicarlo, que la profundidad de la fibra neutra, ahora 80 cm., pone en juego un área de hormigón bastante mayor que cuando aquélla sólo alcanza a 34,5 y que al mismo tiempo aumenta el brazo de palanca.

II

Procedimiento gráfico.

74.—Sea (fig. 48) una sección sometida al esfuerzo N, dividida en zonas normales a su eje de simetría, 3, 4, 5., 6, y armada con órdenes de. barras 1, 2. Representemos las áreas elementales h, y , en centímetros cuadrados, por líneas, dividiéndolas por una base de reducción, B centímetros. Numeremos las líneas de acción, empezando por las rv más distantes de N, continuando con ellas, sin h alguna, hasta la más próxima, y prosigamos la numeración por las zonas h desde la más cercana a N hasta la más distante.

FLEXIÓN

COMPUESTA

169

Construido con una distancia polar A centímetros, un polígono de fuerzas 0 1 2, (rj, 3 4 5 6 7 8, (h), tracemos un funicular 0, I,

II,... v, VI. Una horizontal cualquiera, s, determina entre el lado inicial prolongado 0 0 y el lado V, un segmento, a, que, multiplicado por A, mide la suma de momentos de todas las fuerzas 1, 2, 3, 4, 5, respecto a dicha línea s.

El área limitada por o y por el contorno del funicular 0, I...

IV, V, multiplicada por 2 A, mide el momento de inercia respecto a la horizontal, s, del sistema de fuerzas 1, 2... 5.

Si s es la fibra neutra, debe resultar: ü o bien:

1 m

=

2A X área [o OI . . . IV V) AX a

| s X 3 = área {aOI . . . I W )

El primer miembro es el área del triángulo de base a y altura B, formado al unir la intersección de N y O O con la de s y V. Este área y la (a 0 I... V VI) tienen una parte común; para que se igualen, es menester que los respectivos restos, que aparecen rayados, sean equivalentes.

Basta medir la de la izquierda de 0 0 y por el punto [N — 0 0) tirar una recta que determine igual área; problema Sencillísimo.

Por la ordenación particular de las fuerzas representativas de

170

HORMIGON ARMADO

las secciones (armaduras inferiores a superiores, hormigón superior a inferior), en la determinación de a intervienen todas las barras y solamente las zonas de hormigón por encima de la fibra neutra.

El procedimiento es absolutamente general, salvo la restricción, relativa a los sólidos heterogéneos y virtuales, de que exista un eje principal. Cuando las armaduras están dispuestas en distintos órdenes, se puede calcular la carga correspondiente a cada una midiendo la y o z respectiva. Y si las armaduras son de gran sección, caso en el que convendría descomponer ésta en varias zonas para obtener mayor exactitud en el trazado, se puede calcular la carga en los diversos puntos de aquélla.

III Presión variable.

75.—Estudiemos las secciones rectangulares con dos armaduras, formas muy frecuentes en la práctica y a las que se asimilan las en te, como veremos. Sean (fig. 49) a el ancho y p el peralto o altura total, a' y cq las armaduras, a las profundidades /', / i b a j o el trasdós o alas distancias o brazos de palanca b' = 0,5 p — /', b1 jg f1~— 0,5 p, respecto al centro, g , del rectángulo ap. De este mismo centro y hacia arriba, contaremos positivamente la excentricidad, e, del esfuerzo N. Ea profundidad de la fibra neutra por bajo del trasdós, /, pue. -Ia i p

n'

—

b' c f,

—

i ?<

I

\

® « - »

n, /

= oa

la)

f

W

Fig. 49.

FUNDACIÓN ÍJJANELO : > TURRIANO

FLEXIÓN

COMPUESTA

171

de tener valores muy variables. Si N actiia en el centro de gravedad de la sección virtual equivalente a la del hormigón más r veces las armaduras, / es infinita y el régimen es de cargas uniformes, representado por una paralela n' % a la traza 0 ' 0 ± de la sección sobre el plano principal de la pieza (fig. 49, a). Si N actúa por encima de dicho centro g (no indicado en la figura), a una altura z, la fibra neutra está a la distancia w = — e2 : z, es decir, por bajo del mismo, tanto más lejos cuanto más pequeña sea z y fuera de la sección mientras N esté dentro del núcleo central, o, llamando w la distancia entre g y el intradós, mientras z no exceda a + e2 : w . El régimen es el de presiones variables desde rí hasta nv resultando / = p y nx = 0 para z — g2 :w (fig. 23, bjc).

Dejemos para más adelante el régimen de presiones y tensiones correspondiente a f < p, es decir, a cortar la fibra neutra a la sección ap. El valor del brazo de palanca entre el esfuerzo' iV y dicha fibra, mientras / X p que, según la figura, es / — 0,5 p + <-.. lo podemos formular fácilmente, puesto que todo el hormigón está comprimido y sus momentos de inercia y estático respecto de aquélla son los totales, lh = ap3 : 12 + api/ — 0,5p)2 = (ap3 + 3apf — 3ap 2 f) : 3 mh ;¿=¡ ap(f — 0,5p)

B = (»P' + ZaPt* ~Wt) (2apf-ap2)

: 2 +

•

3

= (2apf — ap2) : 2

+

-/T +

^,(/-A)2

n*'(/-/') + r a , ( / - / , )

•

2

De esta ecuación fundamental deducimos, empleando juntas paira simplificar la notación, las magnitudes /', fv b', bv que definen las posiciones de las armaduras, ap3 + 6ap2e + 12rá'(e - b')f + lZra¿(e + b,)f, \2ape + 12rcc'(e — b') + I2rai(e-Irbl)-

(

que valora / cuando es un dato e. y, a la inversa, |H

12ra'(f - f)V - 12ratf - / , ) & , ' ! 2ap¡ —fíap"-•'(/ /') ¡ 12r-/.(/ •/,)

que determina la excentricidad correspondiente a una profundidad dada, igual o mayor que p. Si ésta es precisamente igual a p, obte-

172

HORMIGÓN ARMADO

nemos la ordenada respecto a gh del extremo del núcleo central, o excentricidad crítica, ap3 + 12ra' (p — /') b' -

^

12ra, (p — ft) 5,

6 ap'¡ + 12ra'(p — /') + 12 ra,

(4)

El cálculo deductivo debe empezar por comprobar si la excentricidad de N respecto a gh es igual o inferior a pues, de otro modo, ninguna de las expresiones, deducidas todas en el supuesto f > p (comprimida toda la sección) es válida. Si efectivamente actúa N en el extremo o dentro del núcleo central, hay que calcular / por (2) y entonces obtenemos la mayor carga del hormigón, = (NB)±rI

mi

N±=

m

W

2apf — ap*-\-2ra'(f — f') + 2ra,(/—/,)

V

(5)

'

única que interesa, pues nx es menor, a lo sumo igual a rí y las cargas de las armaduras son inferiores a r veces aquéllas.

76.—Como casos particulares tenemos para la armadura asimétrica colocada en el mismo lado que N, (cq = 0 si, como siempre, suponemos e > 0) e

=

aps + 6 ap°-e + 12 ra'(e — b')f 12ape + 12 ra'{e — b')

ap3+12ra'{p — f')b' 6ap'! + 12 ra'(p — /')

^

Si expresamos ec en magnitudes relativas, con los valores medios prácticos /' = 0,08 p, b' = 0,42 p, resulta _ p

1 + 1 8 0 g ' X 0,92 X 0,42 _ 6

•

1 - j - 3 0 j ' X 0,92

~

1 + 69,5525'' ~6

1 + 27,600q'

^

Así, pues, la ordenada del extremo del núcleo central, p : 6 en el rectángulo homogéneo, se amplifica considerablemente, 1,32 veces para q' = 0,010, y 1,64 para q' = 0,020.

Con dichos valores prácticos resulta __ ap'¿ - j - 6ap-e + l : 4 , 4 a ( « — 0 , 4 2 p ) p ~

12 ape +

180a' (e — 0,42p)

^

Si, por lo contrario, estuviera colocada la única armadura en

fundacion juanelo turriano

FLEXION

COMPUESTA

173

el lado opuesto a N, resultaría reducido dicho núcleo a la altura P 1—6, 6 1 + 2,4005-,

6cl

^

0,917 (p : 6) para q' = 0,010. Claro es, que no suele ponerse tal armadura y que la otra es muy recomendable, pues permite admitir excentricidades relativamente grandes sin que deje de estar comprimida toda la sección.

Si las armaduras son simétricas en magnitud y posición, obtenemos, con b' — by •— b, a' = oq = a, ' lümf, Gap* +12ra(2p-/'-

f)b

ft) ,m :'

12aPe + 12ra X 2«

y como /' + /, = p , /, — /' = 0,84 p , b = 0,42p ap3 + 6ap-

63,504a/>2 -j-

apz + 6ap'-e

^

180ap

'

'

- f 180ap(e - f 0,353£)

12«/)« +

360ae

(5)

ha amplificación de la ordenada del núcleo central, 1+

p

63,504?

6

(6)

30?

no es tan considerable como antes, lo que se comprende bien, dada la simetría, pero vale 1,26 para q = 0,010 y 1,42 para q = 0,002 El valor (5) es, en otra forma, para e = sp, 1 +

f = p.

6s +

180?(s +

12s(l +

0,353)

(?)

30?)

El del momento estático es m — (ap + 2ra) (f —

0,5p)

= (ap +

— ap2 -

1 +

a p * + 180 X

30c)

18Ô X

1 2 ape

+

0,353a/)2 360ae

0,353?

(8)

12s

y la máxima carga resulta fl

, =

JN

•/ m

a/> 3 + =

IV

N ~

ap

-

6«/> 2 á +

180a£(e +

( a / > + 3 0 a ) (a/> 3 + 1 +

(1 +

6s+180?(s 3 0 ? ) (1 +

180 X

0,353/>) 0,353a/>2)

+0,353)

180 X

0,353?)~

(9)

FUNDACION JUANELO TURRIANO.

174

HORMIGÓN ARMADO

ha tabla X I contiene las cargas aparentes N : ap que con diversas excentricidades unitarias y cuantías producen una carga máxima rí de 45 kg : cm2. Mediante una sencilla proporción, da el valor de w' en cálculo deductivo. Por ejemplo, la carga aparente es 31 kg cm" en una sección en la que q = 0,012 y e == 1 : a los que corresponden en l a tabla 38,5. Pa carga rí vale t2 45 X (31 : 38,5) = 36,2 kg : cm" En el caso general, la excentricidad crítica se reduce, con las proporciones concretas ya dichas, a ap +

p

~6

ap

69,552«'— +

6,048a

27,6a' +

(10)

2,4a,

Para a = 20 cm, p = 50, ap = 1 000 cm 2 , si a' = 10 el núcleo central se extiende hasta (1 695 : 1 276 = 1,328) X (p : 6) = = 11,0 cm.

Si a, = 20 cm 2 , e„ = [(1 0 0 0 — 121) : (1 000 + 48) = 0,838] X X (p ; 6) = 7,0 cm.

Si coexisten las dos armaduras, e = [ ( 1 695 — 121) : (1 276 + 48) = 1,189] X (p : (¡) = 9,9 cm. En este último caso, para e = 9 cm, b' = b1 = 21, /' = 4, fl = 46 cm (76) : 1 000 - 2 5 0 0 + ^

y Si N =

6

50 000 - 9 +

1 2 0 0 0 .. 9

+

180 • 1 0 ( - 1 2 ) 4 + 180 . 20 • 30 • 46 180.10(—12)

+

180 •20 • 30

52,

30 000 kg (76), 2 • 30 0 0 0 • 52 2 000 • 52 -

50 0 0 0 + 30 . 10 • 48 +

30 •20 . 6

2120 000 = 43,3 kg :

72 000

cm2

IV Presiones y tensiones.

77.—Cuando el esfuerzo N sale del núcleo central virtual, penetra la fibra neutra en la sección (fig. 50) y el problema se complica, porque las expresiones de los momentos de inercia y estático del hormigón comprimido Ih = a/ 3 : 12 y m = af% : 2 contie-

1 FUNDACION JUANFLO ITUR-RIÁNO

flexión

compuesta

175

nen la incógnita / en forma tal, que, de la ecuación fundamental B — f — 0,5 p e, sólo se puede despejar - 2af + 3apf- + 12ra'(/ - f) b' - 12w, (/ - / , ) & . b a f l - M r a K f f ) ~ - I2Í"/.,(/ /,) La excentricidad crítica, correspondiente al límite f = p, resulta idéntica a la obtenida en el caso anterior (75,4), como debe

e=ep

,

Fig. 50.

ser, puesto que ese valor de e caracteriza el paso de un régimen a otro y es común a los dos.

Resolver numéricamente la ecuación de tercer grado en / es cosa siempre factible. Pero es mucho mejor tenerla resuelta de antemano en forma de gráficos o, mejor aún, de tablas numéricas.

Reduzcamos (1) a magnitudes relativas, llamando e la excentricidad unitaria e : p y cp, ¡3, con los acentos o subíndices que correspondan, las profundidades de las fibras neutra y de armaduras y los brazos de acción de éstas. Resulta así __ — 2cp3 + 3<p2-f-12r?'(cp — <p')P'— 12r</,(o o.)?, "~ 6cp2 + 12^'(cp — cp') + 12rql (IB — cp,)

=

Desde luego, los valores de cp han de ser menores que 1, correspondiente a la excentricidad crítica. Han de ser mayores que

^

-

176

hormigón

armado

un cierto límite <jj, profundidad unitaria en la flexión sencilla, deducido por la condición característica de ésta, s = oo, o sea 6<p2 + I2rq' (co — ©') -f- 12rq1 (á —

= 0

(3)

que en la forma absoluta del denominador de (1) af + 2r(a + «J/ - 2r(a'f + «,/,)' ¡L 0 se identifica con la ecuación fundamental (52,1) af- +

2 r(a' + « ) / — 2 r{af

+ .ac) = 0

Da única diferencia es la de tomar como unidad de altura el peralto p en lugar del canto útil c que abora se llama fv Con las proporciones medias prácticas ya vistas, / x es 0,92 p y la profundidad límite deducida de (S), / : p, fésulta unos 0,90 de la / : c que aparece en las tablas de la flexión sencilla. Aproximada, no exac-, tamente, porque las cuantías, antes a : ac, son ahora a : ap, es decir, aquéllas multiplicadas por 0,92.

Así, pues, dando a cp diversos valores comprendidos entre 1 y el límite <|> podemos formar una tabla con las excentricidades correspondientes, s. Pero se necesitarán tantas tablas como combinaciones de valores de las cuantías q' y qx tengamos que considerar.

78.—Hagamos q' = kqt o, puesto que ya no cabe confusión, kq; con los valores numéricos ya conocidos, resulta — 2cp3 - f 3ia9 — 75,6g(l — % + 6,048^(11,5 — k) 6<p2+ 180?(1 + % — 14,4?(11,5 + k)

(1)

ecuación que representa una colección de familias de curvas de tercer grado. Caracteriza cada familia el parámetro k, al que daremos los cuatro valores tipióos ya usados en la flexión sencilla: k = 0, piezas asimétricas; k = 0,25 y 0,50, disimétricas; k = 1, simétricas. Dentro de cada familia, la cuantía q, de la armadura inferior, opuesta al esfuerzo N, individualiza la curva. • Estudiemos separadamente las tres clases de armaduras. En las asimétricas, k = 0, la ecuación típica • 2®3 + 3(02 — 75,6q<a + 69,552?

6(o" + 180?«;— 165,6?

(2)

FUNDACION JUANELO TURRIANO

flexión

compuesta

177

corresponde a curvas ( ! ) como las representadas en la fig. .51, que, por claridad, reducimos a dos, para q .= 0,001 y 0,050. Todas tienen asíntotas horizontales definidas por cp=.d, = — 1 5 ? + ]/225f + 27,6?

(3)

que hace é = 00 y todas convergen al punto de ordenada es = = H = - 0,92.

Cuando, como ahora, q' = 0, ese valor de © reduce el general (78,2), a s = ( - 2 + 3 cp2) : 6 ^ = 0 , 5 = - ? : 3 = 0,193, cualquiera que sea la cuantía qt cuyo coeficiente (© — se anula.

Este valor de común para todas las cuantías, incluso la nula, q = 0, demuestra que, dentro de las condiciones de trabajo

Fig. 51.

aceptadas, el hormigón sin armar admite una excentricidad unitaria 0,193, algo mayor que la crítica de 1 : 6 = 0,167. Claro es que esto resulta a expensas de reducirse la sección comprimida a lo« 0,E2 de su valor de llegar la carga máxima a 2 : 0,92 = 2,17 veces la media .V : ap y de quedar la parte inferior, de 0,08 del peralto, (') Nos referimos solamente a las ramas de esas curvas obtenidas dando aralos valores ya dichos.

178

hormigón armado

sometida realmente a tensión, aunque muy pequeña ('). La armadura no es realmente útil sino para éxcentricidades superiores a 0,193.

Trazadas las curvas con esmero y en escala bastante grande hemos deducido los valores de c¿ que forman la tabla X I I para q de 0,001 a 0,050 y e de 0,25 a 3,00.

Para k = 0,25 y 0,50, correspondientes a piezas' disimétricas, hemos obtenido análogamente las tablas X I I I y X I V , deducidas de las curvas — 2 c?3 + 3 <p2 — 56,7 ?<p + 68,040 ?

6cp2 + 225 ?íc — 169, 4?

(4)

— 2 (p3 + 3 cj2 — 37,8 qa +. 66,528?

6<p2 + 270 q<s — 172,8?

(5)

y, por último, para k = 1, piezas simétricas, resulta de — 2 b 3 + 3 a 2 + 63,504? ~~~ 6(p2 + 360?(f — 180 ?

(6)

la tabla X V . has curvas de estas familias tienen siempre las asíntotas coO

1,00

2,00

e>0

3,00

0M.

1M. JPig.

52.

(')" l,as instrucciones alemanas la admiten expresamente limitándola a 5 kg : cm 2 .

fundacion juanelo Tl.'RKIANO

flexión

compuesta

179

rr escondientes a.cp' » % llamando como antes «], la raíz respectiva del denominador de s igualado a cero. El punto de convergencia de la familia asimétrica existe ahora, pero está en el infinito donde son tangentes todas las curvas a la asíntota común que e¡ la linea individual correspondiente a q = 0, s = — ( ? ; 3) + 0 5 .

Nótese que las curvas continúan geométricamente más allá de <p = Y pero sm corresponder ya a nuestro problema (fig. 52) Conocido, mediante las tablas, el valor de / = inmediatamente los de las cargas: rí

=N

f

w p, S e

».=»-• -—=ynJI " 4

m

deducen

L m

/

que en forma explícita, son, puesto que m = af : 2 + ! & ' ( / _ 0,08¿) + 15«, (/ - 0,92£) = = ap*\ 0 , 5 < F 2 + 1 5 ? ( l + ¿ ) t p _ . 1,2?(11,5 + ¿) j

n =

2 A/7 ' a/ 2 + 30(á' + « , ) / _ 2,4(o;' + 11,5«,)^

~

2© (f2 + 3o?(i - M o ^ ^ n ^ i j r ^ - "

=

(7)

En particular, para los cuatro tipos de armadura: ,

iV ap

w

2(0 (p2

+ 30 qts — 27,6 q

N

2(o

ap

(p2 + 37,5?(p —- 2 8 , 2 q

N

2(o

ap

tf2

+

45?tp — 28,8 q

N

2(o

ap

a 2 + 60?© — 30,0?

na =

15

0,92 — (o

1 .. ?

(8)

'

, si k = 1

Todo lo expuesto es aplicable a las formas en te, siempre que el espesor del forjado iguale o supere a la profundidad /.

Ejemplo: Para a = 80 y p = 90 cm, con cq = 70 cm2 q = 70 : 7 200 =g 0,009 6. S i i V = 26 000 kg obra con la excentricidad

FUNDACION JÚANHLO .

TURRIAÑO í

180

HORMIGON ARMADO

135 coi., £ — 1,5; la tabla X I da por interpolación <p = 0,467 e y / resulta así 90 . 0,463 == 42 cm, con lo cual _

80 •

422

2 . 2 6 000.42 fekaS = + 30 • 70 • 42 — 27,6 -70 -90

2 184 000

= 39,4 kg : cm2 55 440

79,—Si en las expresiones 2, 4, 5, y 6 anteriores introducimos los valores críticos de cp = / : p rH A + rH

, .

o bien

"

0,92 X 15H

—A + 15H

(1)

que corresponden ahora a imponer valores determinados y simultáneos de las cargas n' = H, na = A, obtenemos los de las excentricidades críticas, sc, límites inferiores de los que debe tener el esfuerzo normal N para que se pueda realizar dicha imposición.

Pero la condición s > ec, aunque necesaria, no es suficiente Los valores de Ec no quedan numéricamente definidos desde luego, sino que son funciones de la cuantía principal q y resulta para ésta otro valor crítico, qc, que ha de ser igualado para obtener las cargas deseadas.

Un ejemplo numérico y la representación gráfica aclararán esta importante cuestión. Para H = 45, A = 1 200 kg : cm2, resulta ®c = 0,331, valor que da a la expresión (6) de las piezas simétricas las formas 0,256 + 63,504?

0 , 6 5 8 - 6.0,768? '

••. __ c

0,6588— .0,256 60,768s + 63,504

ec tiene un limite inferior, para q = 0, s'c = 0,256 ': 0,658 — 0,389 y crece hiperbólicamente con q. Si e no alcanza a 0,389, cp es mayor que cpc = 0,331, puesto que varían en sentidos opuestos (72). No es posible entonces obtener simultáneamente las cargas fijadas: a n' == 45 corresponde w E < 1 200 y a n a = 1 200, rí > 45.

Si s = 0,389 es posible obtenerlas, pero de un modo virtual, en una pieza de armaduras nulas. Sólo con E > 0,389 pueden resultar en la sección armada con la cuantía qc deducida de (2) cp = wc - = = 0,331 y al mismo tiempo rí = H = 45, na = A = 1 200 (figura 53 a). Si q no alcanza a qc',<o tampoco llega a cpc; y, recíproca-

FUNDACION JI.AMIO TURRIANO

FLEXIÓN

181

COMPUESTA

mente, si q~>qc, f > cpc (fig. 53, b y c): en ninguno de estos dos casos

Fig. 53.

se logran simultáneamente los valores prefijados de las dos cargas.

Para el Hormigón de 400 kg : m 3 , en el que H = 56 kg J ¡ ¡ cm2, wc sube a 0,379 y resulta para las piezas simétricas 0,322+63,504?

0,861 — 43,560?

_ >

"

j

0,861-- 0,322 43,560+ 63,504

(3)

En general, en la flexión compuesta, cuanto mayor es la excentricidad con que obra un esfuerzo dado, mayores son en valor absoluto la resultante de las presiones Ch + Ca' y la tensión T¿, puesto que sin dejar de mantenerse constante la diferencia Ch + C'a — Ta que equivale a N, ba de ir aumentando la suma de sus momentos, que es igual a N X e. Como a mayores excentricidades van correspondiendo menores profundidades, o lo que es igual, menores áreas de hormigón comprimido, las cargas máximas producidas por esos momentos crecientes aumentan con más rapidez que éstos, a menos que se amplíen las dimensiones absolutas a, p.

80.—Cuando el sentido en que' actúa la componente N se invierte, las cargas, que en una pieza homogénea sólo diferirían de las ya conocidas por el signo, se distribuyen de un modo especial en las piezas heterogéneas, cuando se supone que uno de los materiales nada resiste por tensión.

Conservemos las mismas notaciones y supongamos que el esfuerzo N, de sentido opuesto (fig. 54) al hasta ahora considerado,

182

HORMIGÓN ARMADO

actúa con una excentricidad e, también de signo contrario a la de antes. El par (N x e) conserva el mirmo signo: tendremos así localizadas en la parte contigua al trasdós las cargas de presión, si las hay; junto al intradós, es decir, del mismo lado del centro que el esfuerzo, dominarán siempre las tensiones. Unas y otras estarán

representadas exactamente lo mismo que en los casos estudiados.

El brazo de palanca conserva el valor I: m de siempre, y está abora expresado, teniendo en cuenta el signo propio de e, por — e ,-jjr 0,5 p — /, es decir, el mismo del caso anterior, pero cambiado de signo, B = — ( / — 0,5 p + e). Mas, como el momento estático de la sección cambia también de signo respecto al que antes considerábamos, resulta que nada bay que modificar en las ecuaciones de los párrafos 77 y siguientes.

Ea fibra neutra, siempre en el lado opuesto al esfuerzo N, tiene abora una profundidad esencialmente menor que en la flexión sencilla; se anula cuando N toca al extremo inferior del núcleo central y sigue decreciendo, esto es, aumentando en valor absoluto, pero con signo negativo, indefinidamente, cuando N, ya dentro del núcleo, se acerca y alcanza al centro de gravedad de la sección virtual. Pero, dentro de la base fundamental de prescindir del hormigón tenso, la sección queda reducida a sus armaduras en el momento en que la fibra neutra coincide con el borde superior y desaparece la zona comprimida con el hormigón (fig. 55).

FUNDACION. JllANUU) TI KRIANO

FLEXIÓN

COMPUESTA

183

Los valores de la profundidad unitaria cp' que introducimos en las ecuaciones que dan la excentricidad, son los comprendidos en-

Fig. 55.

tre cero y la raíz positiva del denominador. Las curvas así obtenidas, cuyas e resultan todas negativas, son segundas ramas de las mismas líneas de tercer grado s = F(q) (78,1) con las asíntotas cp = <j comunes a las dos.

En las piezas asimétricas (k=0) a la posición límite de la fibra neutra, cp = 0, corresponde (78,2) i = — 0,42, es decir, que al anularse la zona comprimida y con ella (dentro de la base del cálculo) la resistencia del hormigón, el esfuerzo A" tiene que actuar en el único elemento resistente que subsiste, la armadura.

En ese punto, e = — 0,42, cp = 0, convergen todas las curvas

HORMIGÓN ARMADO

184

de esta familia, que para nuestro objeto terminan allí, aunque geométricamente continúen del lado de las © negativas. Todas tienen tangente común vertical (fig. 56) en aquel punto. De ellas deducimos la tabla X V I .

Es de observar que a mayores valores absolutos de las excentricidades corresponden ahora mayores profundidades de la fibra neutra, lo que se comprende bien, pues aquéllas, por ser siempre negativas, van en realidad decreciendo. A la profundidad <> ] en la flexión sencilla corresponde e = — oo .

En la familia k = 1 relativa a las armaduras simétricas, hay otro punto de convergencia en <p = 0, e = — (63,504 : 180 = 0,353), con otra tangente común, inclinada — 0,706 respecto al eje de las w (figura 57). De esas curvas procede la tabla X V I I .

-2,00

-1.00

-0„,353

0,20 0,40 Fig. 57.

El valor e = — 0,353, o, más en general, haciendo / . = 0 en la expresión típica (78,1), — a ' / ' b' + • ./,(

-

g|/i&!

a'f - i.J,)

;

— 0,42

0,92 a, — 0 , 0 8 AGÍ,

0,92a. j- O.OSÁr/,

— 0,42

11,5 — A

11,5 + A

C1)

define el extremo del núcleo central. Para excentricidades comprendidas entre esa y cero, toda la sección está tensa: como, dentro de nuestro supuesto, se reduce a sus armaduras, las cargas de éstas son en el caso general (a', cq), n'r, — N

br 6 , + 6' a

n„ =N

&, + &' a,

(2).

deducidas por la sencilla condición de ser el esfuerzo normal N

FUNDACION JUANELO Tl'RRIANÓ .

FLEXIÓN

185

COMPUESTA

resultante de los n' 0 a', n . ¿ c o r r e s p o n d i e n t e s a una y otra armadura.

Como el caso presente de ser N una tracción se presenta pocas veces y aun en esas, por condiciones prácticas, las armaduras son, generalmente, simétricas o asimétricas, nos limitamos a consignar las tablas X V I y X V I I , sin calcular las de piezas disimétricas.

Conocida la profundidad / = yp, las fórmulas 7 y 8 del párrafo 78 dan las cargas rí y nrj, esta última la más interesante ahora, en la que predominan las tensiones en Intensidad y en el total T — (C;t + C'a), que equivale a N.

V F o r m a s especiales.

81.—ha forma en te es perfectamente asimilable a la rectangular. hlamemos a' el ancho propio del forjado, es decir, la suma de sus vuelos por fuera del rectángulo ap y sea g su grueso: el área a! g equivale a la ra" de una armadura colocada a b" = 0,5 (p — g) del centro. Su momento de inercia propio es a'.g3 : 12 y el estático a'g x ( / — 0 , 5 g). Introducidos estos valores adicionales en (75,2) resulta, en el caso de presiones variables (/ p) _

ap* + 6ap"-e + a'g* + 6a'g'(e — b") +12ra'[e — &')/' +12ra,(e + 6,)/, 12ape+12a'g(e—b")

12ra,(e+ &,)

+ 12ra'(e— b')

ap* + a'g3 + 12a'g{p - 0,5g)b" + I2ra!\p - f')b' - 12rai[p - /,)&, e ==— : ; \.¿) 6ap'~ + 12 a'g(p - 0,5 g) + 12ra(p - f ) + Mra.ip - ft)

valores de la profundidad de la fibra neutra y de la excentricidad crítica o altura del núcleo central.

En el caso más general en que f <p, sólo se puede despejar en primer grado —2af -F 3apf2a'g312a'g(f—

^ :

ear- + l2a'g(f-0,5g)

0,5g)b" -\-12ra' (f-f')b' + I2ra'(f-f)

+

—12ral(f

/T) 5,

12ra¡(f-ft)

Aun con una sola armadura (a' = 0) se necesitaría una serie de Tablas, correspondientes a las diversas relaciones g : p y a' : a.

186

HORMIGÓN ARMADO

Hay que acudir al procedimiento general, numérico o gráfico, o que resolver por tanteos la ecuación (3), que ordenada es 2af + (ñae—3ap)f

-

12]a'g(b" — e) + ra'(b' - e) — ra{(b, + e)\f + a'g3

+ 6 j a'g"-(b" — e) + 2m'{b' —e)f

— 2ra ¡ (b l + e)ft J = 0

(4)

Es de observar que si se trata de resolverla por el método de Cardano, hay que cambiar de variable para anular el término de segundo grado, haciendo ,

1 / 6a« — 3ap \ =

2a

t>

r) = » - ' + T

-t>

: x = s f

- Í

+

e=B

es decir, tomar como incógnita precisamente el brazo de palanca B entre el esfuerzo y la fibra neutra.

Si se hace g = 0,16 p y a' = 3a, el área a'g = 0,48 ap equivale supuesta a! = 0, a una armadura virtual a" = 0,4:8ap : 15 = = 0,032,ap, colocada a b" = 0,42^) como hemos supuesto siempre, has tablas (simétricas) dan, interpolando para la cuantía 0,032, un valor de tp bastante aproximado, no exacto por la existencia del término a'g3 en (3), que no figura en las expresiones anteriores de e.

Análogamente, a los anchos a' = 4a y 4,5 a corresponden las cuantías virtuales 0,043 y 0,048. Tales proporciones corresponden bastante bien con las de muchos casos prácticos.

El valor del momento estático es en el caso de presiones solas, m = ap(f -0,op) j- a'g'J -0,5g). más los términos relativos a las armaduras, que no varían. Resultan así: 2

n =

Nf

:

1

. -

2f(ap + a'g) — ap2 - a'g°- + 2ra'(f - /') + 2ra, (/ - /,)

na=r

—

rí

•

'

(5)

En el caso de presiones y tensiones, y entonces n

m = af2 : 2+ •— af + 2a'gf -

a'g(f -

0,5g)

2Nf a'g2 •+ 2ra'(/ - /') + 2ra,(/ - /,)

"a-

r

[/~f:'

n'

'

(6)

FUNDACIÓN JUANELO TURR1ANO :

FLEXIÓN

187

COMPUESTA

8 2 — E n la forma tubular de radios exterior e, interior i, medio ni, con grueso g = e — i, pequeño respecto a m (') y armadura total repartida en numerosas barras (fig. 58), a = q . 2 %mg, los momen-

em

F!g.

58.

tos de inercia y estático ya calculados (59) dan, haciendo la excentricidad e = sm: !

I

j.(io + rqx) (1 + 2 eos" u>) — 3 sen <u cosojj

B--

2gm? j (iu + rqn) eos OJ + sen ío |

íml

-m(£—eos

cu) (1)

de donde resulta ;=

B m

1- eos o):

1

o; + rqr^ — sen id eos (o

2 — (o> • ¡ rqr) eos <o + sen oo

(2)

. Esta ecuación transcendente permite establecer una tabla con los valores de É que corresponden a los atribuidos a m. Estos deben ser superiores a los que anulan el denominador haciendo e = oo, caso de la flexión sencilla (59).

Ea profundidad de la fibra neutra por bajo del punto más alto en la circunferencia media es / r— ;«(1 — - eos (u) = 2m sen2 (m : 2) ( ! ) Prácticamente, hasta que m|p 10 g (Cálculo de estructuras, del autor, página 384.) El momento estático lo representamos ahora por [ni].

—

.

11 188

É®

HORMIGÓN ARMADO

• y al punto más bajo en la misma corresponde la ordenada 2m — / = m( 1 -¡- eos oi) —' 2m eos2 (¡o : 2)

Das cargas máximas , en diclia circunferencia son, multiplicando y dividiendo por x para que resulte en el denominador la sección 5 = 2 %mg y prescindiendo del factor común m, n' =

N

na = rN

f [m]

2m—f ].m |

= ='

N 2izmg

N 2 TMg

i

2ic sen2 (m : 2)

;

X

L as = senw — (-tu + rqiz)- eos OJ

f X 2 i eos2 (u¡ : 2)

j ; —X: = sen <o — (OJ + rqiz) cosoi

N 5

N

x

m

v¿ S.

/3n (4)

Das tablas X V I I I y X I X dan los valores de las funciones numéricas ó' y dq, cuyos productos por la carga media aparente N : S. miden rí y 11,y. En realidad, la máxima del hormigón es n" = (e : m)rí, que muy poco difiere de rí.

Ejemplo: Una chimenea de radio medio m = 100 cm. y grueso g = 10, armada con 48 barras de 2,0 ( á = 150 cm 2 , q= 150 : 6 280 = 0,024) está sometida en la base a un peso de 80 toneladas y a un momento flector de 120 mt. Para s = M : Nm = 120 : (80 X 1) = 1,5 encontramos por interpolación: c¡/ = 3,447 y ó x = 57,426; como N : S = 80 000 : 6 280 = 12,74 kg : cm 2 , resultan rí = 12,47 X 3,447 = 43,1; n = 12,47 X 57.,426 = 716 kg : cm 2 .

VI Cálculo inductivo.

83.—Tratemos de determinar, análogamente a lo hecho en el caso de la flexión sencilla, las dimensiones y cuantías que una pieza ha de tener para que la carga máxima del hormigón la de la armadura principal alcancen determinados valores H, A. Son datos del problema el esfuerzo normal N y su excentricidad absoluta e respecto al centro de figura de la sección rectangular incógnita, ap, armada con a' y a, desiguales en general, a las distancias b' y .6, de dicho centro, que prácticamente son idénticas, b = 0,4-2 p.

FUNDACION JUANELO. TURKI ANO

X'X

FLEXIÓN

189

COMPUESTA

Da profundidad de la fibra neutra lia de. ser, referida al canto útil, c = /i = 0,-92 f /=

rH A +rH

c

f : —• = & =

c

'

15 H A

+

1BH

y la carga de la armadura superior rí = rll[i — /') : / = ^4'.

Da condición de equivalencia de momento del esfuerzo normal N y de las resultantes de las cargas en toda la sección, puede expresarse igualando los tomados respecto a los centros ele a' y a (fig 59), que designaremos por M' y Mv M' = N(e + b) =Aa(c - /'S-//

a[

( •' •••/'

Mi^N(Ke+b) = A'a\c-r) + H ^ - ( o - ^

;

' : (2)

Fig. 59.

ha igualdad entre las componentes horizontales se expresa por N = Ch + G0;-Ta

o

r

K

= C,+

CrJ-N

y, puesto que la carga de la armadura principal ha.de ser A, resulta p==-i_c;,+

\Ca;-N)

(3)

ha primera parte de esté valor es la del área de armadura asi-

190

'

HORMIGÓN ARMADO

métrica, que en la sección ac, con las cargas límites H, A, correspondería en flexión sencilla a un cierto momento

Con arreglo a lo ya expuesto (64 ó 65) para las dimensiones a j e fijadas provisionalmente por condiciones del problema, dicho momento y la primera parte de a, que llamaremos («) , son =

(4)

El segundo término de a es (<4 =

A'a' A

A

que, mediante (2), se transforma en

M^HMc-L) U

-

( o - f ) A

(c — f')A

(5)

puesto que el sustraendo del numerador no es sino el momento de las presiones del hormigón respecto a la armadura inferior, es decir, el mismo (M)r El tercer término es sustractivo y de cálculo directo, (H)3 = - ( N

: A)

(6)

Resulta, pues, en resumen: a. =

la

c

N(e 4- b) — ac2 : t2

C

(c — f)A

N (?)

A

Ca.

'"A.

N(e + b) — ac2 : C2

c— f

A'

A'

( o - f ) A

l - f

expresiones completamente generales, válidas aun para la flexión sencilla, caso límite al que se llega (65) cuando a N(e + b) sustituye el momento flector M, anulándose al mismo tiempo el esfuerzo normal N.

FUNDACION JUANELO TURRIANO ,

FLEXIÓN

191

COMPUESTA

Supongamos, por ejemplo, N = 12 000 kg y e = 40 em. Si a la sección, cuyas cargas límites han de ser H = 45, A = 1 200 kg por cm ¿ , le atribuímos provisionalmente p = 50 cm (lo que lleva consigo c = 46, /' = 4 y b = 21) así como a = 30 cm, la tabla VIII da C = 0,374 ; B = 0,002 528 ; / = 0,360c = 16,6 cm 46

„ c 6 — a — 0,002 528 X C

0,374

X 30 == 0,311 X 3 0 = 9,33 cm2

N(e -f b) = 12 000 X 61 = 732 000 cm kg = ilí, ac2 : C2 = 30 X 15 129 — 453 870 cm kg =

(M)l

(c — f')A = 42 X 1 200 = 50 400 kg : cm

con lo que obtenemos a = 933 H- •

732 000 — 453 870

12 000

50 400

1 200

: 5,51

46 — 16,6 16,6 — 4

4,85 cm2

: 5,51 X 2,35 = 12,95 cm

resultado que indica desde luego la escasez del ancho supuesto, 30 cm, compensada con el exceso de armadura superior, que suple la insuficiencia del área comprimida af.

Podemos determinar, a, por la condición de reducir en lo posible esa sección a'. En este caso resulta a\ nulo cuando, según (8) e2

a = N(e + í i ) X -

732 000 15 129

: 48,3 cm

subiendo la entonces única armadura a c a=

C

N — = 0,311 X 48,3 — 10 = 5,02 cm2

A

Si aquel ancho resulta excesivo para las conveniencias de la construcción y hay que limitarlo a 40 cm, por ejemplo, corresponden entonces: a = 0,311 X 40 + a' == 2,51 X 235

732 000 — 40 X 15 129 50 400

10 = 4,95 cm2 = 5,90 cm2

•FUNDACION JÚANELÓ TÜRRIANÓ

'

192

HORMIGÓN ARMADO

Supongamos ahora rebajada a 1 000 kg : cm2 la carga A, manteniéndose H en 45. Ra tabla VIII da c = 0,357 ; P = 0,003 236 ; / = 0,403c = 18,5 cm

para el mismo ancho de 40 cm resultan: 3 — a = 0.416 7 X ® = 16,67 cm ! .

C (c2 : í?)a = 16 589, 4 X a = 663 576 cm kg 732 000 — 663 576 Í 1 42 X 1 000

a = 16,67 -i a = 1,63

46—18,5

12 = 6,30 cm2 ., ' „ , = 3,48 cm2

18,5 — 4

El total 6,30 + 3,48 = 9,78 es menor que el antes obtenido, a igualdad de ancho,. 4 ; 95 + 5,90 = 10,85 cm2.

84.—Dividamos por ap2 las expresiones de M' y Mv cuyos cocientes abreviaremos por v' y vq. Das cuantías q' y q referidas al área ap son, substituyendo en (1) y (2) los valores usuales c = 0,92 p, f = 0,08 p y / = cpc = 0,92 tpp, V + (0,141a) — 0,037):<óff

— '

? =

a' = *

(1)

v, — (0,423 — 0,1.41(D)(DÍÍ 1 1 0,84 A'

—

=

V, — (0,423 — 0,14Í(o)(oJÍ (12,6(0 — l,098)ií : (o ,

(2)

Para cada combinación de cargas límites H, A, a la que corresponde la profundidad tp, las cuantías crecen linealmente con -/ y v r Estos parámetros, homólogos de los momentos específicos ¡J. de la ' flexión sencilla, oscilan entre límites bastante extensos, en especial v'. En efecto • M' 1 v' = — - - — N(e-b) 1 . ap ap-

kg : cm2

(3)

es negativo para excentricidades inferiores al brazo b = 0,42 p de la armadura superior, mientras que Vl

M i = — i - = — - i V ( g + 6 ) k g : cm2 apap-

(4)

fundaciOn juanelo tUrriano ,

FLEXIÓN

193

COMPUESTA

es siempre positivo, dentro de las convenciones ya hechas desde un principio.

Para facilitar los tanteos bastaría una tabla sencilla con los valores de l l y / 7 _ ' ~ 0,84^4 0,84A' ' (12,(¡ _ 1,098;// ?

que son los coeficientes de v' y v x y con los de + -/(0,141(p — 0,0'37)<píf

y

—-/, (0,423 — 0,141(5)^

que permanecen invariables mientras no cambian los límites H, A. Para mayor facilidad formamos las tablas X X y X X I correspondientes a H = 40 y 50 kg : cm 2 combinadas con A = 1200, 1100, 1000, 900 y 750.

Para cada juego de valores de v' y A aparecen los de la cuantía inferior q\ análogamente para los de y A, los de la cuantía superior q'. Dos coeficientes x' y jq sirven para la interpolación de valores de v' y vx, respectivamente.

Ejemplo. Si a — 40 cm, p = 50 cm, ap = 2 000 cm 2 y 2 = 100 000 cm 3 con Mx §f 12 000(40 + 21) = 732 000 y ap M' = 12 000 (40 — 21) = 228 000. cm kg, encontramos, si H = 40 y A — 1 200, interpolando, puesto que no están en la tabla ni a'. — M' : ap2 = 2,28 ni vx = 7,32: Para •/ = 2, q = 0,002 1 y agregándole 0,28 -/.' = 0,28 X X 0,000 99 = 0,000 277, la cuantía inferior es 0,002 377, que da a = 4,75 cm2; Para v, = 7, q' = 0,005 3, que sumada con 0,32 = 0,32 X X 0,00 268 = 0,000 858, da la cuantía superior 0,006 16 y a' = = 12,32 cm2.

Conviene, como ya hemos visto, rebajar A: hagámoslo hasta 750 kg : cm2 y entonces q = 0,004 0 -I- 0.28 X 0,001 59 = 0,004 04 ; a = 8,08 cm2 q' = 0,001 5 + 0,32 X 0,002 44 = 0,002 28 ; a' = 4,56 »

en total 12,64, en lugar de 17,07 cm2.

85.—Si imponemos la condición a' = a de las armaduras simétricas, las ecuaciones (83, 1 y 2) dan, sumadas, M = Ne

A

+A'

'

2 ) (1)

2 13

HORMIGON

194

ARMADO

que equivale, puesto que c-/' C-/ a la expresión, homologa de (84,1), abreviando M : a f 2 = v, c-

f-

OMP ; c+f =P

; / = 0,92 fp ;

v— (1—0,613tp)0,23 cpií

(2)

0,383 A : (1 — tp)

que desarrollamos en combinadas con A = Con los datos del = 480 000 cm kg y y A = 1 200

la tabla X X I I para H = 40 y 50 kg : cm 2 1 200, 1 100, 1 000 y 750. último ejemplo, para M — 12 000 X 40 = . v = M : 100 000 = 4,8 resulta, si H = 40

q = 0,002 2 + 0,8 X 0,001 45 = 0,003 36 ; a = a! = 6,72 cm2

y si A baja a 750 q = 0,002 1 + 0,8 X 0,001 93 = 0,003 64 ; a = a = 7,28 cm2

hos totales 13,44 y 14,56 cm 2 son inferior el primero, superior el segundo a los antes obtenidos con armaduras disimétricas e iguales cargas límites, 12, 64 y 17,07 cm 2 .

Si, por último, queremos que la armadura sea asimétrica, la igualdad de momentos respecto al centro del rectángulo M = Ne = Aa(c —

Q,5p)+H

af I p

(4)

equivale, con las reducciones numéricas de siempre, a v — (1 —0,613 o) 0,23 <oH

i i —•

y da lugar a la tabla X X I I I , homologa de las anteriores.

Con el mismo ejemplo, para v = 4,8 obtenemos q = 0,003 1 + + 0,8 X 0,001 98 = 0,004 68; a = 9,36 cm 2 para H = 40 y A = 1 200. Y si ,4 es sólo 750 kg : cm 2 , q = 0,003 3 + 0,8 X X 0,003 18 = 0,005 84, con « = 11,68.

En resumen, a igualdad de condiciones, las armaduras son:

|

m1 •

i

MKi k-A

(4)

0,42 A

12,32 4,75

4,56 8,08

6,72 6,72

°

7,28 7,28

0,00

9,36

0,00

11,68

:

f§ |lp

fe

fundacion JUANELO TURJRIANO

FLEXIÓN

COMPUESTA

195

lo que hace bien palpable la ventaja de la forma asimétrica, como es general, en el hormigón armado.

86.—En general, se pueden concebir dos piezas idénticas en todo, salvo en sus armaduras inferiores que, una en flexión sencilla, otra en flexión compuesta, soporten las mismas cargas extremas rí = H, na— A, teniendo, por tanto, igual profundidad de fibra neutra.

Mientras que en la flexión sencilla son iguales la resultante de las compresiones y la tensión total de la armadura, Cs = Ts, en la flexión compuesta el esfuerzo normal N equivale a la diferencia C — T. C y Cs son idénticas como resultantes de iguales áreas y cargas; por tanto ('Cs=Ts)=C

; N — C— T =TS — T • T = Ts-N

(1)

ha armadura en la pieza de flexión sencilla, as = Ts : A es forzosamente mayor que en la de flexión compuesta, a = T : A; aparte de esta razón, para que las profundidades f s y / resulten iguales, ya sabemos que la cuantía qs_Jaa. de exceder a la q.

El momento resistente está expresado en la. flexión sencilla por el producto Ms = Csbs de la resultante de las compresiones por su brazo de palanca respecto a la armadura; en la compuesta, por su equivalente, el momento flector, producto del esfuerzo N por su distancia también a la armadura, que es la suma (e + Zq), N(e -|- Zq) = M , como vamos a demostrar. ha equivalencia entre N y (C — T) da, tomando momentos respecto al centro de presiones que es el mismo en los dos casos, N(e

+

bt -

bs) =

Tbs =

(Ts -

N)bs

;

&,) =

Tsbs

=

Ms

Así, pues, con los datos N y e, fijando'prudencialmente la profundidad Zq bajo el centro gh de la sección incógnita, proyectaremos la pieza que, en flexión sencilla, bajo el momento Ms = N(e + Zq) sufre las cargas impuestas rí = H,na = A. Fijar Zq'es tanto como determinar provisionalmente un peralto p = Zq : 0,42 o un canto c = 0,92 Zq : 0,42 - 2,19 b, ó 2,2 Zq. Calculada la armadura as, deduciremos la correspondiente a la flexión compuesta a, por la condición, conforme a (1), (Ts = Aas)

=N

+

(T -

A a);

á = a—N

: A

196

'

HORMIGÓN ARMADO

Repetido el tanteo respecto a bx cuantas veces sea necesario para que las demás dimensiones sean las que cuadren al problema, la pieza deseada será la proyectada, sin más diferencia que la de las armaduras principales (2). El método es completamente general, cualquiera que sea la forma de la sección y la disposición asimétrica o disimétrica (sólo por casualidad podrá resultar simétrica) de sus armaduras. Pero su mejor aplicación es a las formas, en te. ' Por ejemplo, para un esfuerzo N = 110 000 kg con la excentricidad e = 60 cm, en una te cuya cabeza ha de tener un ancho total a = 240, supongamos bx = 42 cm, es decir, c = 92. El momento por unidad de ancho es M : a = 110 000 X 102 : 240 = 46 750 . kg y ]/M: a = 216. En la tabla I X hemos de buscar el parámetro 't = c: YMTa = ,92 : 216 = 0,426. Si la carga H es 20 ó 30 kg : cm2 no vemos sino valores superiores a ese: habría que considerar la te como rectangular, hmitando el espesor a 0,231 ó 0,310 del canto que resultara comprobado.

Si H = 40, con A = 1 000, encontramos 'C = 0,426, intermedio entre los correspondientes a los espesores unitarios s =, e : c de 0,200 y 0,225. Para s = 0,212 resulta un forjado de 0,212 X 92 = = 19,3 ó 20 cm, admisible, puesto que es > 240 : 16 = 15. ha armadura en flexión sencilla es, por interpolación también, 0,002 58 X 24-0 X 216 = 134,7 cm2; la en flexión compuesta resulta esa misma disminuida en 110 cm2, o sea a = 24,7 cm2.

87.—Si la excentricidad es moderada y la sección puede quedar totalmente comprimida gracias a la amplificación del núcleo central que producen las armaduras, la forma simétrica es la más conveniente. ha tabla X , calculada para este caso, contiene las excentricidades relativas en forma fraccionaria, que hace más fácil su manejo. Como siempre, hay que suponer una sección ap, dando a p valores de 4 a 30 veces la excentricidad g, calcular la presión aparente N : ap y . ver la cuantía necesaria para que la carga máxima. n' resulte igual o inferior a 45 kg : cm2.

Por ejemplo, si N = 30 000 kg y e = 15 cm, empecemos por suponer p = 4e = 60 cm: para a ' = 20 y ap — 1 200 cm 2 , N : ap vale 25 kg : cm2. Según la tabla, para e = 1 : 4 y q = 0,008 es

FUNDACION JUANELO TURRIANO ,

FLEXIÓN

COMPUESTA

197

25,1 la carga media que da la máxima de 45. Si ésta ha de ser más moderada, 36, p. ej., basta ampliar la anchura a 20 X 45 :36 = 25 cm Si, por condiciones del problema, conviene exagerar más * hasta 75 cm, encontramos, suponiendo & = 15, una carga media de 26,6, que para s = 1 ; 5 requiere una cuantía poco mayor que 0,006 si rí < 45.

Con las tablas y valores anteriormente calculados se ve la facilidad de resolver los problemas de determinación de la sección tanto en régimen de flexión simple como compuesta.

CAPÍTULO

CARGAS

SÉPTIMO

TANGENCIALES i Estudio general.

88.—Conocidos 3ra los efectos que inmediatamente se derivan de los elementos de cálculo: momento flector M y esfuerzo normal N, que son las cargas, n, normales a las secciones, abordamos el análisis de las cargas tangenciales, t, debidas a los esfuerzos del

Fig. 60.

mismo nombre, T, y que en los sólidos heterogéneos tienen una influencia mucho más transcendental que en los homogéneos.

Recordemos primero lo relativo a éstos. En dos secciones consecutivas de una pieza prismática, separadas por el intervalo di (fig. 60) actúan, en la primera los elementos M y T, en la segunda los mismos aumentados (algebraicamente) en sus incremen-

200

HORMIGÓN ARMADO

tos parciales, o sean M + dM y T + dT. Si dentro de la rebanada di no actúan más causas exteriores que las normales a la pieza, s di, debidas a una sobrecarga unitaria, s, constante ó variable, el esfuerza normal N es el mismo en las dos secciones.

Expresando los efectos producidos en la segunda sección por medio de los actuantes en la primera y en el intervalo di, resulta: di T + dT = T — s di] M + dM == Tdl — (sdl) —

M

(1)

o bien, prescindiendo de las magnitudes de segundo orden, i^Jls; : = ']' di

di

(2)

Es decir, las derivadas del esfuerzo tangencial y del momento flector respecto a la abscisa o, de otro modo, los incrementos de esas magnitudes referidos a la unidad de longitud, son iguales a la sobrecarga unitaria el primero (1), al esfuerzo tangencial el segundo.

Si en el intervalo di actúa una Sobrecarga finita concentrada, T y M ofrecen discontinuidad dentro de aquél, pero las expresiones (2) siguen siendo válidas inmediatamente antes y después del punto de acción de aquella sobrecarga.

El incremento dM = Tdl que sufre el par M al pasar de una sección a la inmediata,-, puede expresarse en otra forma. Si & es el brazo de palanca entre las resultantes Rc y Rt de los esfuerzos producidos por las cargas normales, M — Rcb = Rtb. Mientras b sea constante, el incremento dM vale b . dRt y b • dRt= 1

Tdl•

dRt ~~~ di

T

= — b

(3)

es decir( que el incremento de la tensión total Rt referido a la unidad de longitud iguala al esfuerzo tangencial dividido por el brazo de palanca.

Cortemos el elemento de ancho a y longitud di por el plano de la fibra neutra (fig. 61), y sea t0 la carga unitaria tangencial así (') I/a diferencia de signo corresponde a la oposición de los sentidos positivos de T (ascendente) y d e s (descendente).

FUNDACIÓN JUANELO TURR1ANO :

CARGAS

201

TANGENCIALES

desarrollada. Da parte superior ejerce sobre la inferior la acción total toádl, equivalente al incremento de la resultante de las compresiones, dRc, y de igual valor absoluto que el homólogo de la de las tensiones, dRt. En virtud de (3) se deduce

89.—En el paralelepípedo elemental de longitud finita a (ancho de la pieza a la altura v sobre la fibra neutra) y de dimensi 0 -

F i g . 61.

nes di, dv paralela y normalmente a la misma (fig. 62), sometido a las cargas 11, t, nv, tv en las caras 1 y 2 y a las — (n H

dn <it di), — í-1 ífZ), 31 31 -

F i g . 62.

dn-0 , ¡)v

, dtv , , — (¿0+—-ífo) Jv

202

HORMIGÓN ARMADO

en las 3 y i , las condiciones de equilibrio dan ( l ): tv = t,

3(at)

d(ari)

3v

31

= U;

3{at) 31

¡

3{anv) 3v

= (J

y

1 '

La primera de estas ecuaciones define la conocida igualdad de las cargas tangenciales en dos caras a escuadra: las direcciones convergen o divergen ambas respecto a la arista de intersección.

La segunda, sustituido el valor n — Mv : I, da, una vez integrada, (at) =

\ '

3M

I" av dv Jv

31

I

„Mío = T

(2)

I

abreviando con mv el momento estático respecto a su base de lá parte de sección por encima del plano de ordenada v. La carga por unidad de longitud en el sentido l, (at), varía proporcionalmente a mv puesto que T e I son constantes para una misma sección: nula en las fibras extremas, (v = v' = + /, v = — íq), es máxima, (at)a, para v = 0, en la fibra neutra. La carga por unidad 1 superficial,, t, sufre sobre esa variación la medida por la razón inversa de la anchura a.

Estrictamente, sólo es exacta la expresión (2) cuando la sección es rectangular (a constante) o está compuesta por diversos rectángulos, (a variable por incrementos bruscos).

Mediante (2), la tercera de las expresiones (1) da: 3(anv) dv

3(aí) ~

W

3-M =

~

mv

3V- X~T~

3T sT

mv X~T

mv =

+

s~f

de la que resulta por integración: s \ ff fv ) . (anv) — — '¡vi av dv + I av-dv) I ( J ;¿ Jo

m

(4)

valor general de la carga vertical por unidad de longitud en el sentido l, deduciéndose la arbitraria f(v) de las condiciones de aplicación de la sobrecarga s, según actúe en el trasdós, intradós o en la parte intermedia de la pieza. La carga por unidad superficial, «-„., varía inversamente a la anchura a.

Véase cualquier Mecánica (Granda, Föppl, etc).

CARGAS

TANGENCIALES

203

90—-Conocidas para cualquier punto de una pieza, de abscisa l y ordenada v, donde la anchura de la sección es a, las tres cargas n, nv y t, se obtienen las dos frincifiales (n'v,

ri'v)

= 0 , 5 ( n + nv) ± \ / o , 2 5 ( n — nv) 3 + t¡i

(1)

en las direcciones a escuadra definidas por los ángulos to con la de la carga n 21 i ti( 21 r 0o "i) (

tg

n — nv

+

ic : 2

(2)

En la práctica se prescinde siempre (para las piezas prismáticas por lo menos) de las cargas verticales, o, más propiamente, normales al eje de la pieza, ^/reduciéndose entonces las principales y su orientación a la forma ( 2f - r ° i) tg — + o (3) ( n % ;2 Se comete al hacer esto un error, por lo general favorable' a la seguridad. Según (3), como el radical es por esencia de mayor valor absoluto que 0,5 n, una de las cargas principales, resulta por fuerza de signo opuesto al de la otra, cuando, en realidad, con los mismos valores de n y de t pueden, ser las dos del mismo carácter que n, al tener en cuenta la carga nv omitida.

Por ejemplo, si n = 45 y t = 10 kg : cni2, las cargas principales son, según (3), 22,5 ± 24,6, o sean 47,1 y — 2,1. Basta que nv alcance a 3 kg : cm 2 para que, según (1), valgan aquéllas 24 ± 23,2, es decir 47,2 y 0,8, ambas de igual signo.

Ea carga nv es una presión cuando, como es general en construcciones de hormigón armado, las sobrecargas actúan sobre el trasdós de las piezas; sólo en los puentes de piso inferior es nv una tensión. Eos valores absolutos resultan muy pequeños comparados con los de n: los 3 kg : cm 2 supuestos equivalen, en una viga de 36 cm de anchura, a 108 kg : cm, es decir 10 800 kg por metro lineal, sobrecarga bastante grande. En general, nv no pasa de 1,5 ó 2 kg : cm 2 ('), que son cifras harto moderadas. ('np''n"p)

=

± \/0,25w2 +

t"-;

-<o

(') Hemos construido eñ mi depósito de mineral vigas sometidas a la sobrecarga de 70 000 kgs : m, en las que nv alcanza a 14 kg : cm'2.

¡®p % fcví, :

HORMIGÓN ARMADO

204

91.—Demostrada la equivalencia del sólido virtual homogéneo y del real heterogéneo para lo relativo a las cargas normales, lógico es admitirla en lo tocante a las tangenciales, puesto que, según las condiciones intrínsecas de equilibrio (89,1) de aquéllas dependen éstas. Pero, más que el razonamiento, la experimentación es la que, no sólo autoriza a proceder así, sino que dilucida lo que el cálculo deja sin resolver en lo tocante a las zonas tensas donde la relación de coeficientes de elasticidad de los dos materiales discrepa enormemente del valor normal en las zonas comprimidas.

Apliquemos lo recordado en párrafos anteriores, a reserva de comparar después los resultados teóricos con los experimentales, hos momentos de inercia y estáticos que en (89,2 y 4) figuran son, desde ahora, los de las áreas comprimidas, más r veces los de las armaduras. ha resultante de las compresiones en una sección definida por el ancho a, a la altura v sobre la fibra neutra, con armaduras superiores, a', a la altura v' es, llamando, como siempre, rí la mayor carga en el trasdós, (u = + /), igual en valor absoluto a la tensión de la armadura principal t

/

rí

'rí

rí (1)

— vXadv t del° centro

+ 2—v' f presión

Xra

=—

(c — /} X ra

f y la altura de es, tomando momentos respecto a la fibra neutra y prescindiendo del factor común rí : /,

M

J'g vXadv XV + rlv" Xa' >< v'

¡[adv

' v~ +

' v'~

Ve •

M<=~

f)

"

ra(c-f)

(2)

Si a esa ordenada, cuyo valor es la relación de los momentos de inercia parciales lu -f- rl.'rj del hormigón y armaduras comprimidas al momento estático de la armadura principal, todos . ellos respecto a la fibra neutra, sumamos la distancia de esta fibra a dicha armadura, obtenemos: Ve H- (c — f),—

I» + rra

+ ra(c-fy-

ra(c — f)

j m0

=

b

/JN

valor del brazo de palanca del par resultante de todas las fuerzas desarrolladas en la sección.

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CARGAS

205

TANGENCIALES

Así, pues, las máximas cargas tangenciales por unidad de longitud y de superficie son , , ™ m° (at)0 = T 1

T = —, b

T t0 — — a0b

(4)

correspondiendo esta última a repartirse uniformemente cualquiera que sea la forma de la sección, el esfuerzo tangencial T en el rectángulo imaginario ele ancho igual al de la sección en la fibra neutra y de alto el brazo de palanca.

Como ya hemos visto, (88,3), el quebrado T : b mide el incremento por unidad de longitud dRt : di de la resultante de todas las tensiones, que iguala a la carga tangencial (at)0 al nivel'de-la fibra neutra. El esfuerzo total (at)0 X di ejercido a esa altura por una dé las partes de la rebanada de la viga sobre otra es precisamente el incremento dRt = dRc de dichas resultantes.

Al calcular la posición de la fibra neutra y el momento de inercia respecto a la misma, se obtiene siempre como elemento auxiliar' el momento estático (48,49) y el brazo de palanca se deduce inmediatamente.

En particular, en las secciones rectangulares, con armaduras de característica k, (52,53), I

«/"!: 3 : n " j

]')'• i n.{c- - / ) -

rto\á — /)

m0

cp3 + 3^(0,8 (?y-kq + ' 3 r ( l — o)3q 3r{l—w)q

que, eliminando q, conduce a

b=

45 — 60(o

f = cp X [f = 2rq)l — (1 + 0 , 8 % ( ] (15 + 4 ,8£)ffi2 15 — 2.0a> + (5 + 1,6¿)<s2

'

!— C =

45(1 — cp)

—^:

15(1 —

c=

ffi)

a

X c (5)

na

resultado este último que era <^Le prever, puesto que (M = \iqac2 = |wc) = {T^b = naa&).;

6 = c\>.: n a

pero que hemos querido deducir del valor general geométrico, que de todos modos era preciso calcular. Eos coeficientes numéricos |j. : n a , ya evaluados con otro objeto, figuran en la tabla V I en la forma ¡l : A.

206

HORMIGÓN ARMADO

92.—En una pieza homogénea rectangular, el momento estático m-, y la carga tangencial t •= (T : al)m„ relativos a la altura v, varían parabólicamente desde cero hasta cero, mv = a(f2 •— vz) : 2, pasando por los máximos af2 \ 2 = ap2 : 8 T y 3 : 2 ap al nivel de la fibra neutra (fig. 63, a). Si la sección tiene forma de te, supo1 1

/

•

\

I 0

at\

0

0

a

jo

/ /

-

a

r

at

'~

a,t

/

A

(a)

/

(bj

Fig. 63.

niendo por sencillez que el forjado llega hasta dicha fibra, mv varía según dos parábolas tangentes, (fig. 63 b) con- el máximo, af2 : 2 = a-J^ : 2; t sufre allí una discontinuidad al cambiar bruscamente el ancho, presentando los dos valores af = T 1L. 2a I 21'

T

11 = t 21

/,f 2

=

t-

(1)

En la pieza heterogénea con armadura asimétrica, el valor de la carga tangencial t alcanzado al nivel de la fibra neutra permanece constante, dentro de la hipótesis de prescindir del hormigón tenso. Para que esas cargas t sufran variación al pasar de un nivel a otro, es menester que intervengan cargas normales n, tensiones que reduzcan el esfuerzo t . a di en la cara superior de un elemento (a X di X dv) a t . a di — n . adv en la inferior y tales tensiones las suponemos absolutamente nulas en el hormigón. Pero, al llegar al nivel superior de las barras de la armadura, aparecen dichas cargas n, y entonces disminuyen rápidamente las tangenciales t hasta anularse por completo al nivel inferior de aquélla, como estudiaremos con detalle más adelante.

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CARGAS TANGENCIALES

207

En la realidad sólo sucede esto en una sección que coincida con una fisura que alcance hasta la fibra neutra. Euera de tal caso, el hormigón sufre tensiones que rebajan las cargas t de los valores

F i g . 64.

teóricos (fig. 64), cuyo contorno se indica con línea de puntos, a los efectivos del marcado con línea continua, deducido experimentalmente. , En una sección con armaduras comprimidas, el momento estático, mv, sufre incrementos rápidos (bruscos si se reducen-las barras a sus ejes), al sumar ra'(va — v) a jf^avdv, incrementos que afectan proporcionalmente a la carga t (fig. 65). ha variación

F i g . 65.

gradual o brusca del ancho a, influye en la del momento m y, más marcadamente, en la de la carga t.

208

HORMIGÓN ARMADO

9 3 — E n una pieza homogénea, las isostáticas cortan a 45° a la fibra neutra (') y prosiguen de uno y otro lado" encorvándose gradualmente hasta incidir a escuadra en las caras superior e inferior. En la pieza heterogénea, la inclinación de 45° se mantiene

Fig. 66.

en toda la zona entre la. fibra neutra y la armadura principal, puesto que la carga n se conserva nula allí dentro del supuesto Un = 0; el volteo se desarrolla en la escasa altura de las barras (fig. 42, b). En la realidad, al no ser nulas las tensiones n, ni constantes las cargas t, las isostáticas toman una forma intermedia (fig. 66, c). En las zonas centrales, a los pequeños valores de los esfuerzos I y a los grandes de los momentos M corresponden cargas t muy débiles y, por lo contrario, cargas ti intensas: las isostáticas difieren muy poco de las de piezas homogéneas. A la inversa, en las regiones de grandes T y pequeñas M, el predominio de las cargas t sobre las insignificantes 11 da a las isostáticas formas muy próximas a las descritas para el caso límite n = 0 y t = constante.

Eas proporciones de forma geométrica de las secciones influyen de un modo análogo. En los forjados piezas de escaso pefalte, el valor de la máxima carga t0 = T : ae b resulta muy moderado, aun en las zonas de mayores T, predominando siempre las cargas n. Por lo contrario, en las piezas bastante o muy peraltadas, y, sobre todo, en as en forma de te, con ancho del alma reducido, las cargas tangenciales t0 alcanzan grandes valores y ejercen una (') Aproximadamente, cuando se desprecia no, y al ser n = 0 resulta tg2<o = 00. Exactamente, esa inclinación corresponde a las paralelas a la fibra neutra, en las que sea n = «».

CARGAS

TANGENCIALES

209

influencia decisiva, mayor que la de las normales n. Ea forma de las isostáticas refleja en cada caso la tendencia hacia uno u otro límite.

Eas roturas se producen siempre a lo largo de las isostáticas de presión, normalmente a las cuales reinan las cargas principales de tensión. Dentro de la zona en que dominan éstas, o sea por bajo de la fibra neutra, el material se va exfoliando en trozos limitados por superficies cilindricas de generatrices normales al plano principal de la pieza y cuyas trazas sobre el mismo son dichas isostáticas envolventes de las presiones (fig. 67). El orden de apa-

Fig. 67.

rición de las diversas roturas debe corresponder a los valores más o menos intensos de las cargas principales.

Si se supone 11n = 0, dichas cargas, desde la fibra neutra hasta la armadura, son, puesto que n = 0, n'P §§ t0, n"P = — ta, es decir, una presión y una tensión de valor absoluto común igual a la máxima carga tangencial. El régimen elástico^doble de un elemento así solicitado, equivale al régimen sencillo, ideal, que produciría una sola tensión, de valor n'" = — t0{ I + 1 : k), siendo k el coeficiente transversal.

En la realidad, la resistencia Hrt no es nula y las cargas principales son, poniendo de manifiesto el signo de n, n'p = — 0,5n + \/0,25«- + i- y

n" = — 0,5n — y/0,25ril + P

n va creciendo negativamente y t decreciendo desde los valores 0 y t0 que tienen en la fibra neutra; n'p es, desde luego, una presión menor que antes; n" P una tensión también menor, porque la

210

HORMIGÓN ARMADO

disminución de t respecto a t0 compensa con creces el pequeño aumento .de valor absoluto de n. Da carga única equivalente en régimen sencillo al real, sería la tensión

inferior también, por las mismas razones, al valor máximo que alcanza en la fibra neutra cuando se suponen nulas las cargas », — (1 + 1 : k)t0.

94.—Da experimentación confirma plenamente lo basta abora deducido de consideraciones racionales. En los forjados y piezas poco peraltadas y sin armaduras secundarias, las grietas producidas al forzar las sobrecargas se. manifiestan primero en el centro del vano, dirigidas verticalmente: son las ya estudiadas, debidas tan sólo al agotamiento de resistencia del hormigón extendido bajo la acción de las cargas n, en esa zona máximas. En nada, prácticamente, influyen las cargas /.„, allí mínimas.

Por el contrario, en una te bastante peraltada y de alma estrecha, y a menos que existan armaduras secundarias bien calculadas y distribuidas, antes, a veces, de alcanzar el momento M el valor del cálculo, se producen en las zonas extremas grietas inclinadas a 45°, dirigidas hacia el centro y hacia arriba. Al ir forzando las sobrecargas, aparecen nuevas fisuras, análogas a las anteriores, en zonas más próximas al centro y en dirección menos inclinada, y, al mismo tiempo, las primeras se ensanchan y se prolongan en dos I

Fig. 68.

direcciones horizontales (fig. 68), una al nivel de la armadura, otra al del intradós. Independientemente de estos fenómenos, debidos a las cargas .principales de tensión, t„, se producen los eorrespon-

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CARGAS

TANGENCIALES

211

dientes a las cargas n, extendiéndose del centro hacia los apoyos, pero, generalmente, después de los antes descritos y con menor intensidad.

Producida una de tales grietas, gg' (fig. 69), por haber superado la carga principal, t0, a la resistencia por tracción //,-, el trozo comprendido entre aquélla y el apoyo está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas siguientes: 1.°, la reacción R; 2.o, las sobre/? -ep p

cargas y peso muerto EP, relativas al trozo; 3.°, la compresión total C ejercida sobre el forjado o zona comprimida; la tracción total Ta desarrollada sobre la armadura. El sistema (R, VP) tiene una resultante Rt = R — EP = T, valor del esfuerzo' tangencial en la grieta, y su línea de acción es tanto más próxima al apoyo cuanto más cercana esté la fisura y menor sea SP. El equilibrio exige que C y Ta se corten en un punto'de Rt; ambas fuerzas son forzosamente oblicuas, más Ta que C, porqué el ensanche de la grieta se hace (fig. 70) girando los dos trozos de viga, cada uno alrededor de su apoyo y el derecho, de mayor longitud, tiende a descender más que el izquierdo.

Ea tracción TV tiende a despegar la armadura del hormigón (fig. 69); de ahí que la grieta prosiga horizontalmente hacia el

212

HORMIGÓN ARMADO

apoyo según gh. Las acciones del trozo izquierdo sobre el derecho son iguales y opuestas a Ta y C; la antagonista de esta última tiende a despegar el forjado del alma, prolongándose la fisura según g'h' al nivel del intradós de aquél y en dirección al centro de la pieza, hos dos efectos, debidos a la oblicuidad de C y Ta, son tanto más marcados cuanto más próximos estén al apoyo la grieta y, por tanto, el resultante Rt. • Si en el trozo no actúan sobrecargas, y se prescinde del peso muerto, Rt se confunde con la reacción del apoyo, R, (fig. 71):

Ta queda horizontal, y la oblicuidad de C es más acentuada; no se produce el corrimiento de la grieta a lo largo de la armadura, pero si, y con más intensidad, el superior entre el alma y el intradós del forjado.

Como se ve, pese a la rutina con que suele se conceder realidad objetiva a lo que no es sino mero elemento de cálculo, los esfuerzos llamados cortantes, y creer que los efectos descritos son consecuencias directas de los mismos, nada hay más lejos de la realidad. Sólo coindicen aproximadamente las direcciones de las roturas y de los esfuerzos tangenciales donde éstos tienen valores nulos o ínfimos: al exagerar las sobrecargas y crecer esos valores, las roturas se ensanchan normalmente a la dirección común. Donde los esfuerzos alcanzan gran intensidad, las roturas aparecen oblicuamente a ellos a 45° y se van ensanchando, también a escuadra, con la grieta.

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CARGAS

TANGENCIALES

213

II Ancho y perímetro mínimos.

95.—Establecidos experimentalmente los límites prácticos admisibles que vamos a estudiar, se refieren todos al valor ± t0 deducido pora las dos cargas principales en el supuesto Hrt = 0.

Por tal razón, aparte de la incertidumbre que reina en la materia, se prescinde por completo de lo que racionalmente es más lógico, de considerar el régimen elástico simple bajo la carga única rí" = 4 ( 1 + 1 ; k), cuyo efecto equivale al de las dos a escuadra n'p = + t0, n" = — 4 que simultáneamente obran.

El regimen que, exagerando favorablemente a la seguridad df

como ya hemos visto, consideramos desde ahora en adelante, (salvo casos especiales), es el representado en la fig. 72. El trozode pieza comprendido entre la fibra neutra, dos isostáticas de compresión y ' e l intradós, está en equilibrio bajo las siguientes fuerzas: 1.a, la acción tangencial de la parte por encima de la fibra neutra, t0a0dl; 2.a, las tensiones Ta y Ta + (dTa = t0a0dl) en uno y otro extremo del trozo de armadura; 3.a, la resultante

214

HORMIGÓN ARMADO

R" = t0a0(c — /) ]/2, efecto de las cargas de tensión n"p sobre la superficie de área a0(c — /) \/2 de la primera'isostática; 4. a , otra resultante i?", de idéntico valor absoluto al de R", correspondiente a la segunda isostática. Se ve, desde luego, que las componentes horizontales y verticales de esas cuatro fuerzas se equilibran. has i0a0 di y dTa dan un par negativo, con el brazo de palanca (c -— /); las R" y R", separadas di : s 2 dan otro par positivo t0a0(c — /) \/ 2 X (di : v'2) que neutraliza a aquél. ha acción tangencial t0adl, equivalente al efecto de las cargas principales ríp = t0 y n"p = — t0 sobre los retallos a 45° del ancho a0d2l \ 2 que se quieran considerar en la longitud di, se transmite sin alteración de valor hasta llegar al nivel de la armaduray se ejerce sobre ésta repartiéndose en la superficie de contacto con el hormigón. has tensiones unitarias de valor absoluto t0 = T : a0b requieren, dentro de la hipótesis Hrt = 0 la existencia de armaduras especiales que en la cantidad, situación y dirección más apropiadas resistan por sí solas sus efectos dondequiera que se presenten/ quedando el hormigón en absoluto libre de ellos. Mas, no es posible esto último, y, por fuertes y numerosas que sean las armaduras, el conglomerado participa inevitablemente en la resistencia.

Y lo peor es que tal participación no resulta equitativa, proporcionada a su escasa aptitud para soportar tensiones; las armaduras apenas trabajan al principio, van entrando en juego poco a poco y sólo colaboran de un modo verdaderamente_ eficaz cuando el <• hormigón ha sufrido dilataciones que apuran su capacidad, cuando está a punto de romperse.

De aquí resulta, como en las piezas sujetas a tensión hemos visto, la necesidad de fijar un mínimo para la sección ficticia a0b, cuya carga aparente, T : a0b, mide la principal t0. Tanto el brazo b entre la armadura tensa y el centro de presiones como a0, ancho al nivel de la fibra neutra, o el menor que por bajo de esta fibra presente la sección, quedan ligados por la condición t0 Hm, es decir a0b X T : Hm. Esta máxima carga aparente, Hm, se fijaba hace años en 4,5 kg : cm2, igual a la de adherencia. Hoy día se acepta el límite

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CARGAS

TANGENCIALES

215

de 4, en general, rebajándolo a 3;5en los puentes carreteros y a 3 en los de ferrocarril (instrucciones alemana y suiza), admitiéndose que cuando t0 no supera a estos límites no hay necesidad de armadura, bastando el hormigón solo para soportar dichas cargas t0.

Como se ve, constituye ésto una derogación de la hipótesis fundamental Hrt — 0, imputando al hormigón, sin armadura alguna, tensiones hasta de 4 kg : cm2. Ea experiencia ha demostrado que, aun así, el coeficiente de seguridad respecto a la aparición de fisuras es 3.

Un segundo valor de //,„, el de 14 kg : cm2, es el verdadero límite, del que, por fuertes y abundantes que sean las armaduras especiales, no pueden pasar las cargas t0, debiendo proporcionar las dimensiones a y b a cuanto se requiera para conseguirlo.

En las secciones rectangulares, y en particular en las tes, puede tomarse con gran aproximación, en la mayoría de los casos, b = (7 : 8)c y, por tanto, M expresión fácil de recordar, que da el mínimo del rectángulo a0c.

No debe parecer exagerado el límite //,„ = 14. Con hormigones especiales (J) y armaduras muy bien distribuidas, resultó, de los estudios experimentales hechos en los Estados Unidos, la adopción del límite //,„ = 35 kg : cm2 para fijar los espesores de los costados en los grandes buques de hormigón armado. Ea práctica sancionó después tal atrevimiento.

96.—El esfuerzo por unidad de longitud (at)0, desarrollado por las cargas tangenciales por bajo de la fibra neutra, tiene que ser equilibrado por la armadura y a ella transmitido por la superficie de contacto con el hormigón, la qué en dicha longitud unidad está medida por la suma, de perímetros de las barras. Ea carga en esa superficie, a0t0 : E-p = ia, debe ser resistida holgadamente por la adherencia y para ello no debe exceder del límite práctico Ha — 4,5 kg2 : cm2. (') Se refieren estos hormigones a dosificaciones de arenas y grayiílas que den el máximo de compacidad y fuerte cantidad de cemento.

216

HORMIGÓN ARMADO

Esta condición fundamental establece un límite superior del diámetro de las barras de armadura. En efecto, cualesquiera que sean la forma de sustentación y la de distribución de sobrecargas en una pieza que salva una luz l, se puede expresar el mayor esfuerzo tangencial '/',„ en función del máximo momento flector Mm, en la forma Tm = yMm : caracterizando el coeficiente numérico x la influencia de aquellas formas. Para la sobrecarga uniforme s y la sustentación isostática, por ejemplo, Tm = si : 2, Mm = si2: 8 y x = 4; para el doble empotramiento Mm = —: si2: 12 y x = — 6; y así de las demás.

El área de la armadura está determinada en función de Mm, el perímetro en la de Tm, aunque Mm y Tm corresponden a puntos esencialmente distintos de la pieza. Por lo general, como inmediatamente veremos, sólo una parte de las barras exigidas por Mm alcanza a las secciones en que reina Tm. Sea $> esa fracción y v el número de aquéllas, de diámetro d\ las condiciones M r n —- |ic!C =

¡j. x

Kd1

——

..,, . , „ doto d )2P = <¡>(^d) = —— g

4

C =-

ITm y.

Tm — —; biirj

;

V7Td

=

d b -— l = 4® C

4

lTm

y.

¡j.de

H-o.

1 x —

(1)

determinan el máximo admisible de la relación d : 1. Ea razón b : c del brazo al canto útil oscila (tabla V) entre 0,936 y 0,800 y correlativamente el momento específico p. entre 1 123 y 450 kg : cm 2 .

Con los valores más frecuentes en la práctica y el de HrJ = 4,5 kg : cm 2 , resulta: d

—

i

=

4 x

0,875 x

4,5

íooo

x

4> — =

-/.

<1> 0,016—

•/.

(2)

y.\

De atenerse estrictamente a tal condición, en un vano de un metro, salvado isostáticamente, (x = 4) las barras no deben pasar del diámetro de 0,4 centímetros, y eso encorvándolas todas (<l> = 1) en los apoyos. En una luz de 10 m, si sólo llega a los extremos la tercera parte de las barras calculadas para el centro, el diámetro no deberá exceder de 1,33 cm, y si ese vano corresponde a una pieza empotrada, (x = — 6, 1 : 3), d ¿ 0,89 cm.

CARGAS

TANGENCIALES

217

Es posible, sin embargo, y en gran número de casos prácticos se realiza, dar mayores diámetros a las barras, a condición de anclar bien sus extremos en el conglomerado, como vamos a estudiar. Pero, sin perjuicio de aquello, es recomendable que se cumpla, siempre que sea posible, la condición (2) (1).

97.—El limite superior del diámetro de las barras, o, más en general, el límite inferior de la suma de perímetros de la armadura tensa, <&S/> X (at)0 : Ha, ba sido formulado respecto al valor de L0 correspondiente al mayor esfuerzo tangencial Tm. Si ®Sp no alcanza a este límite, la carga ta resulta excesiva, con coeficiente de seguridad escaso, y puede éste bajar tanto que llegue a producirse por fin el deslizamiento de la armadura respecto al hormigón, lo que lleva consigo inevitablemente la fractura de éste.

Entre dos secciones consecutivas, la fuerza t0a0dl desarrollada por toda la zona comprimida al nivel de la fibra neutra, o su igual ta$'2¡p X di ejercida según la superficie de contacto entre hormigón y armadura sobre ésta, iguala en valor absoluto al incremento que en ese intervalo sufre la resultante de las tensiones, dRt o dTa [ut)0dl = . . ® 2 p • tadl. = dRt =

clM

Tdl

b

b

—-— = —-—;

T

t == ———

b<í>2p

(1)

En la zona de las. mayores flexiones M, los incrementos dM son, como los esfuerzos tangenciales T, pequeños-, y el perímetro total Sp, correspondiente a todas las barras, (<£ = 1), grande: la carga ta, nula en la sección donde M es máximo y T = 0, resulta muy moderada. A medida que decrece M , se suele, como veremos, disminuir el número de barras en la armadura principal, levantándolas sucesivamente: el perímetro se va reduciendo a una parte $ 2 p del primitivo, al mismo tiempo que T va aumentando y por ambas causas a la vez crece rápidamente la carga ta- Si la insuficiencia del perímetro conservado (DEp hace que ta. exceda, no ya del límite práctico Ha, sino de la resistencia al desliza(') Los valores de x en otras formas de sustentación son: semiempotramiento, — 5; dos tramos continuos, — 10; tres id._ id., — 11; cuatro o más id. id., — 11,3; voladizo, 2. Claro es que el signo de -/. en nada influye.

218

HORMIGÓN ARMADO

miento, Hrd, se producirá éste, a menos que el extremo de la armadura pueda resistir por sí solo el esfuerzo total, diferencia en-

Fig. 73.

tre la suma de los incrementos dTa = Tdl : b de la tensión 3' la de las resistencias en la superficie de contacto, //,,,• x < E . di, T

Hrd X <s>lp\dl

(2)

con el oportuno coeficiente de seguridad. Está representado por el área rayada en la fig. 7-3.

Experimentalmente, resulta que la terminación ele una barra en la forma de gancho definida en la fig'. 74 (a) permite someterla

-i 3d

fc)

(d)

6d

3,5d

Fig. 74.

a una carga igual a la límite elástica sin que el hormigón padezca ni se inicie deslizamiento alguno. Puede admitirse que el diámetro

FUNDACION .

JUANELO 7 T.URRIANO

CARGAS

219

TANGENCIALES

interior del gancho, D, baje de 5 d hasta la mitad, 2,5 d (1); pero si las dimensiones de la pieza y el espacio ocupado por las barras superiores lo permiten, conviene mantener 5 d, y, sobre todo con barras gruesas, llegar hasta 7 d o 9 d.

Cuando el diámetro D es pequeño, se mejoran las condiciones del anclaje reforzando con un zunchado de alambre el hormigón (fig. 74 d), que así puede resistir sin'inconveniente la localización de presiones más elevadas. ha resistencia de tales anclajes, evaluada prácticamente a razón de 1 200 kg : cm 2 , equivale a la producida por la adherencia usual Ha = 4,5 en una longitud (1 200n¿ 2 : 4) : 4,5 xd . = 66 diámetros, ha tensión total de la barra queda equilibrada por dicha resistencia, aun sin contar para nada con la debida a la transmisión, gradual al hormigón.

Como veremos después, las barras de la armadura principal, levantadas a 45° hasta anclarse en la zona comprimida', influyen notablemente, reduciendo el valor de la carga superficial hasta la mitad de lo formulado en (1), • ta = T : 2b<¡>Ip 98.—Para que la transmisión de esfuerzos se haga en buenas condiciones, el espaciamiento entre dos barras de una misma armadura debe superar cierto límite. Según algunos, la carga en el plano diametral (fig. 75 a) debe ser la misma ta, lo que requiere que e — d —• r.d : 2 y, por tanto, e = (1 + x : 2) d == 2,57 d. (a)

(b) -i. d

fcj

"4d = e

F i g . 75.

Pero esa condición implica que antes de llegar a la armadura, la (')

Para d < 2,6 cm. (Instrucciones alemanas).

220

HORMIGÓN ARMADO

carga tangencial del hormigón no pase de ta{% : 2) : (1 -f~ ®: 2) = = 0,611 ta, lo que es absurdo, pues se admite siempre t„ i> ta.

Hay una inevitable correlación entre ta y t0. Parece lógico que si el esfuerzo por unidad de longitud en el ancho, d, se transmite a la mitad superior de la barra que le corresponde, dando así ta. = t0d : (IR : 2) = t0{2 : TÍ) = 0,636í0, suceda lo mismo para la mitad inferior, lo que exige que la clara entre dos barras sea e — d = d, o e = 2 d. Ea misma consideración daría para dos órdenes de barras e = 4 d en cada uno, disponiéndolas a tresbolillo (fig. 75, c).

III 99.—Consideremos, no a punto de romperse, sino ya realmente roto el hormigón desde la fibra neutra abajo, según dos grietas a 45° separadas di (fig. 76). Pas armaduras secundarias, cercos o estribos metálicos verticales que desde la armadura principal suben T"?

4 o.ed/

|| À

TXVYVXY / A / v A o A^Ax/y^

y i T*

5

, S

B

T«

+

Fig. 76.

a la zona de compresiones, desarrollan, en tal supuesto, toda su resistencia, sin que el hormigón les ayude en nada. El equilibrio del trozo resulta, análogamente a lo ya visto, entre el par formado por las resultantes ahora verticales, R v , de las tensiones de dichos

FUNDACIÓN JUANELO TURRIANQ

CARGAS

221

TANGENCIALES

estribos y el que siempre desarrollan la acción total t0a0 di al nivel de la fibra neutra y su igual en valor dTa, incremento de la tensión de la armadura principal. Así, pues, Rvdl = t0a0dl{c — /);

Rv = t0a0{c — f) = T

c—f —

(1)

Si en la distancia horizontal (c — /) hay n estribos, cada uno de sección total (entré las dos ramas) e, separados entre ejes s — (c. — /) : n, el esfuerzo y carga medios que les corresponden son E =

Rv

n

s = T~r;

. b>

A=

E T s — = ——

e

S b

_

(2)

Y en otra forma, la separación o distancia eficazmente protegida por la armadura del área s bajo la carga unitaria A, es * -b

Ar

(3)

El valor del esfuerzo tangencial T que entra en estas fórmulas debe ser el medio de los variables correspondientes al intervalo (c — /) o, más exactamente, el de los relativos a la separación s, sustituyendo j'^3 Tdl al producto Ts. Elegido el valor de s que prácticamente convenga, como luego veremos, su producto por la carga A. da una resistencia constante Aekg, a la que corresponde en cada punto de la pieza una separación, s, variable con T. Como puede, con pequeñísimo error, suponerse que. el brazo b es invariable, obtendremos las sucesivas distancias, s, dividiendo en partes iguales a (A&b)mkg el área total j'Tdl. 100.—Cualquiera que sea el contorno representativo de los esfuerzos T, hay ün método general para efectuar esa división: calcular o construir la línea integral del contorno y dividir en partes iguales la diferencia de las ordenadas extremas. En muchos casos, dicha línea está dada desde luego: es sencillamente la representativa de los momentos, puesto que T == dM : di y Af ¡Tdl. Otras veces no puede utilizarse esta propiedad, porque los contornos de

222

'

HORMIGÓN ARMADO

T y de M no corresponden a la misma causa, a una determinada sobrecarga o combinación de éstas, sino a distintas agrupaciones, que dan separadamente para cada perfil los mayores T, no correlativos con los mayores M. Si, del modo más general, sólo tiene definición gráfica la línea de T, para construir su integral basta dividir la base del contorno

Q

7¡

, r

•h

7

p « álA-AL^Ai-r

P i g . 77.

en partes iguales M (fig. 77) y trazar por los puntos medios las ordenadas 1, 2, 3... Proyectados estos puntos en a, b, c... y unidos con un polo o, en la misma base horizontal, se traza el funicular

FUNDACION JUANELO .

IVRRIA.NO

CARGAS

223

TANGENCIALES

A, B, C..., correlativo al polígono de fuerzas 0 a, b, c... y resulta, por el paralelismo de los lados respectivos, M2 — M¡

h

__ T, IT

_ "

"

'

A Mi _ Ti M k '

T

._

A Mi

k '

M

luego las ordenadas T representan los productos de la distancia k por las derivadas de las M y, a su vez, las ordenadas M miden las áreas (/" Tdl -j- C) divididas por k\ la constante C corresponde al valor arbitrario dado a Mx ai empezar el trazado. Dividida la diferencia de ordenadas Mk — M1 en el mismo número de partes que la base de T y proyectados los puntos en a, las verticales de éstos dividen en áreas iguales la total del contorno T. En general, 110 hay necesidad de recurrir a ésto, y es preferible, sin apurar tanto , la exactitud, sustituir el contorno de T por una o varias rectas que lo envuelvan por exceso.

A <V Fig. 78.

101.—El problema se reduce entonces a dividir en partes iguales un área trapecial. Sean (fig. 78) a„b0 = T0 y anbn = T» los

-T

HORMIGÓN ARMADO

224

W

segmentos paralelos que con la base o separación total 5 = a0an determinan el área y ax, a2, a3... los puntos de división buscados.

I,os lados bb y aa convergen al polo 0, en muchos casos fuera de los limites del dibujo, pero su distancia ~0ao z0 está dada por zd

To

Zn

T-n

To

¿o = — — {zn —Zo) = -S Tn — To

(1)

en función del número que puede ser muy grande, y de la separación S. has áreas de los triángulos de bases T„, Tv.. Tn y alturas z0, Zy,... zn, tienen todas el mismo factor de proporcionalidad, puesto que para cualquiera, el de subíndice p, (oab)p = | ~

zT =

- i tg-f X

=

ctg-f X

T- '

ha altura zp corresponde al triángulo formado por la suma del oa0b0 con p de las n partes iguales del trapecio y resulta, llamando, en general, v la relación p : n, zp- _ TpZo'1 To-

(oab)p (oab)0

'1V' -f ''(Tn- — T0-) T0-

puesto que el factor 0,5 ctg© lo mismo afecta a las áreas trapeciales, diferencias entre dos triangulares, que a éstas. Así, pues, Zo , ... ... ^To1 -h v(r„'-' - To¡) io o, en otra forma, y en virtud de que

(3)

zp =

To

Zo

Tn +

Tn — To

S

Tn — To

5 4' =

'y

/—— Tjr-

To

"•'

+ v(Tn* -

S

2z0 S

= 2- + 1

• T02)

= S / t 2 + v(2x +

(4)

' 1)

(5)

i 11 — J. o expresión bien sencilla, en la que v debe recibir los valores sucesiv o s ' l : n, 2 : n,... (n — 1) : n. vSi el polo O está algo alejado o fuera del dibujo, hay que contar las distancias desde a¿. (zp -

zo).=

S (v/-2 + v(2- + i). - 4

•

<6)

FUNDACIÓN JUANELO TURR1ANO :

CARGAS

TANGENCIALES

225

En el caso más sencillo de reducirse el trapecio a triángulo, T0 = 0 y -c = 0 dan zp — sp = S V -j Ea expresión (5) transformada como se indica zp =

sW

+

V~(2T + 1) + V - v2 =

\/S2(T+

V)2 + S"(l-V)v

(7)

da la conocida solución geométrica del problema: dividida la base S en n partes y trazadas las normales a ella oq 1, a2 2,... basta la circunferencia de aquél diámetro, resultan, proyectado O en O', o'ap = o'a0 + a.oo.p = (t + v)S;

app = a.0ai X o.pan = v(l — v)S2

y las hipotenusas o'p son idénticas a zp. Basta proyectar circularmente desde el polo O' los puntos 1, 2... sobre el diámetro para obtener en a\, a\... los puntos de división buscados.

Ea línea integral de la recta bj) n es la parábola B0Bn cuyo eje 0' 0 pasa por el polo o. El problema, que muchas veces se presenta, de dividir en partes iguales la diferencia de ordenadas A0B0 y AnBn del arco de parábola no trazado B0B„, es idéntico al de dividir el área trapecial a0b0anbn. El vértice desconocido debe estar en la prolongación de la base A0An, a la distancia definida por zo-

M0 Mn

Zo —

VM-o

=(Zn

Y Mn—VM o-

— Zo)='S

(8)

y la ordenada del punto cuya abscisa es M0 más v = (p : n) veces la diferencia ( M „ — M0) corresponde a zp2

V(Mn — M0) .

MM0 + '/(Mn — M„) • zp = S = = M ° M n — ]/M0 Como, en virtud de (8), —

M0

VMn 4- 1/M7 yMn — ]ÍM7

(9)

2zo + S — = 2x + 1 s

se puede reducir (9) a un solo radical, en la forma zp — S

+ v (|/'m7 - "|/M7)(]/M7 +

Vm7)

(i[m~k — y^Mo y = S |/x2 + v(2r + 1)

(10) 15

226

HORMIGÓN ARMADO

idéntica a (5), cual tenia que ser. Las distancias (zp — z0) contadas desde A 0 y valuadas por la expresión (6) dan la solución más práctica del problema cuando el vértice O se sale del dibujo.

1 0 2 — Cualquiera que sea la sección total e de un estribo, la separación entre dos subsiguientes no debe alcanzar el límite c — ./': de no ser así, podría imaginarse un plano de rotura intermedio, desprovisto de armadura protectora. Si los valores calculados para s igualan o superan a c — / en alguna parte (donde los esfuerzos T son más pequeños) ñay que prescindir de ellos y mantener constante en todo ese trozo una separación s' algo inferior a dicho límite.

En la mayoría de los casos, la armadura principal se compone de dos o más barras o grupos de éstas. Eos estribos pueden disponerse de varios modos (fig. 79): (a) independientes, uno para cada

w n\

(cj

(d).

n

F i g : 79.

barra; (b) y (c) independientes también, uno para cada dos (o tres) barras; (d) dobles, uno solo para cuatro barras. Son preferibles las tres primeras formas, porque sé prestan a distribuir de un modo más uniforme que en la cuarta la favorable influencia de esas armaduras.

Con los dos órdenes de estribos de las formas (a) y (b), el área s debe ser la de cuatro secciones ele la barra; calculadas así las separaciones s, en lugar de colocar los dos estribos en un plano, conviene promediarlos, adelantando uno y retrasando otro. Análogamente, con los tres órdenes de (c), comprende s seis seccio-

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CARGAS

TANGENCIALES

227

nes: uno de los estribos se coloca en el' perfil calculado y los otros dos, uno antes y otro después. Claro es que,, tomando s igual a las dos secciones de un solo estribo, se pueden calcular con más exactitud las separaciones s que corresponden a dos consecutivas en lugar de las relativas a dos grupos; pero no es necesaria tanta prolijidad.

103. Hemos supuesto conocido el número de partes, n. en que hay que dividir el área de'los esfuerzos T. Él producto de As kg

por el brazo b cm, da la medida del trozo del área correspondiente a un ancho igual a la separación mínima sm cm que por razones prácticas sea admisible y a los mayores esfuerzos T, es decir J'*"' Tdl o, más sencillamente, y por exceso Tn X sm cm kg. Como siempre, necesitamos tantear, modificando ligeramente s,„ de suerte que e corresponda a dos (o cuatro, seis, etc.) secciones de una barra, o a la inversa, elegir entre los diversos diámetros de modo que sm

228

HORMIGÓN ARMADO

tenga el valor conveniente. Hecho esto y medida el área total Q = J' Tdl cm kg, o si está envuelta en un trapecio 0,5 (T 0 - f Tn)S, el número de partes será el entero inmediatamente superior a Q : Aeb. Es más práctico y exacto calcular, no los puntos de división en trozos iguales, sino los de subdivisión de esos mismos trozos en dos mitades y colocar allí los estribos. Para ello basta duplicar el número n, dando a v los valores impares sucesivos 1 : 2n, 3 : 2n, 5 : 2 n , ... (2n — 1) : 2n.

Operando gráficamente, hay que llevar desde el extremo de 5 (figura 80) hacia el polo la mitad de la separación mínima, 0,5 sm = a2nan_proyectar circularmente a 2 ( t J| en 2 » — 1 sobre la semicircunferencia y horizontalmente 2n — 1 en a 2 „ _ i sobre el diámetro. Elevando cuantas veces se pueda el doble de azn«2» — i se obtienen los puntos a 2 n _ 3 , a 2 ) í _ 5 ,... a 3 , cq en el diámetro, los 2n — 3, 2n — 5,... 3,1 en la circunferencia y por proyección circular los « 2 „ _ 3 , « 2 „, ... as, av Sólo por azar resultará «i«o = a2»a2)í —i) correspondiendo, salvo en ese caso, menor área al estribo 1 que a los demás.

104.—Eos valores prácticos a que hemos aludido son los siguientes: por facilidad de manejo y de conformación, las barras para cercos o estribos no conviene que pasen de 8, a lo sumo 10 mm de diámetro; generalmente no bajan de 5, y nunca de 4,5 (grueso del alambre telegráfico), ha separación mínima no debe ser inferior a 10 cm, para no dificultar el afirmado. No conviene tampoco que haya más de 30, a lo sumo 36 cm entre dos estribos en las piezas rectangulares. En las en forma de te, esos límites se reducen a 20, cuando más a 25 cm, porque tales armaduras no responden solamente a las condiciones ya expuestas, sino que desempeñan un importante papel constructivo como elementos de misión directa de la cabeza con el alma.

Ea experimentación demuestra que mientras el trabajo es moderado y las cargas principales t0 no exceden de unos 4 kg : cm 2 , las armaduras secundarias apenas si entran en juego, resistiendo por sí solo el hormigón casi lo mismo que cuando aquéllas no existen. A medida que dichas cargas van creciendo y aproximándose

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CARGAS TANGENCIALES

229

a la de rotura por tensión, las dilataciones cada vez mayores del h o r m ó n , de las que participan los estribos, van haciendo a éstos colaborar en el trabajo. Su energía resistente, potencial puede decirse en la primera fase, va apareciendo con rapidez, hasta manifestarse en toda su plenitud al sobrevenir el agrietamiento del hormigon.

Eos estribos retrasan la aparición de las grietas, pero no la impiden, m modifican las formas ya descritas (fig. 68). Constituyen una defensa eficacísima contra la rotura total de la pieza que sólo llega a producirse en los experimentos llevados hasta el límite cuando las. barras sufren tensiones superiores a la límite de elasticidad y se alargan plásticamente. Por desgracia, la influencia en la aparición de las primeras grietas, aunque marcada, no es tan intensa como fuera de desear; la ayuda prestada al hormigón resulta un poco tardía. De ahí la necesidad de limitar las cargas principales prescindiendo aparentemente de la existencia de las armaduras.

Da inevitable participación del conglomerado en la resistencia a las cargas t0 es tenida en cuenta en algunos reglamentos. En unos se atribuye al hormigón una parte proporcional- en otros una parte constante de las cargas i 0 . Es decir, que se calculan las armaduras secundarias sustituyendo los. esfuerzos tangenciales T por 0,66 T a 0,75 T, según los primeros, y por T— (3 a A)a b, conforme a los segundos. Más racional parece esto último, por la forma ya descrita en que colabora el hormigón, casi exclusivamente solo al principio.

Pero creemos mejor todavía, y más conforme al criterio general del cálculo del hormigón armado, tener en cuenta solamente, como en las instrucciones alemana y suiza, la resistencia de la¡ armaduras metálicas secundarias, sin rebajar nada los esfuerzos T. 105.—Para que los estribos sean verdaderamente eficaces, necesitan poder soportar de un modo real las tensiones que según el cálculo les corresponden. Ea parte inferior, alrededor de las barras principales, queda perfectamente sujeta: es menester que la parte superior, dentro de la zona comprimida, quede a su vez firmemente anclada. Nada mejor para lograr ésto que el. volteo de las

230

HORMIGON ARMADO

dos ramas, bien formando un cerco cerrado, mejor haciendo un gancho en cada una (fig. 79). La presencia de armaduras superiores lo facilita.

En tales condiciones, la carga A aplicable a la sección total s puede ser muy bien 1 200 kg : cm2; la experimentación demuestra que la realmente sufrida por el estribo es bastante menor y que sólo alcanza el valor del cálculo cuando se han producido grietas no iniciadas, sino bien marcadas, con separación muy apreciable entre los bordes.

Creen-algunos que los estribos son eficaces por su resistencia transversal a la carga t0 desarrollada tangencialmente en el plano de la fibra neutra ('). 1/as fórmulas deducidas en tal supuesto para la separación, s, correspondiente a un área metálica, s, son idénticas a las (97, 1 y 2), pero el supuesto es por completo erró-

taxae 1

dz.

I—

2

ta x edz.

!

1 %,^-dz o. 2

Pig. 81.

neo. En efecto, el equilibrio de una rebanada de altura dz de una barra rectangular ae (fig. 81), anegada en el hormigón, se debe a las fuerzas horizontales resistentes desarrolladas en las secciones as, ta X ae] a las verticales producidas por la adherencia, en las caras normales a la figura, trJXedz, y e n las paralelas ±taxadz : 2, (*) Eli la circular francesa de 1906 se consigna así. M. Mesn.ager liareconocido el error en su Curso de hormigón armado, 1921.

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CARGAS TANGENCIALES

231'

que forman clos pares. La igualdad de momentos respecto al punto A exige que añz

ta X ae X dz = ta X « dz X «

>

a X

2'

í„ 1

es decir, que la carga transversal, ta, de la barra es poco mayor que la de adherencia, trj_, entre ella y el hormigón, 1,5 veces si a = & (barra cuadrada).y 6 veces si a = 10 e (fleje). No ya en condiciones de seguridad que implican tg = 4,5 kg : cm2, sino en las extremas, suponiendo una adherencia trj = 18, podría desarrollar la barra metálica una resistencia transversal ta de 27 a 108 kg : cm2 solamente y nunca la usual de 0,8 X 1 200 = 960 que, según el supuesto, habría de sufrir en condiciones normales.

Por otra parte, las cargas tangenciales no existen nunca solas, sino en dos direcciones a escuadra. Aun admitiendo que los estribos resistan bien las horizontales, quedarían las verticales, para las que no se prevé armadura alguna. El error es uno de tantos producidos por la confusión entre esfuerzos y cargas tangenciales y cortantes.

Los estribos resisten únicamente por tracción, a manera de montantes de una celosía en forma de N, sencilla o múltiple (fig. 82),

Fig. 82.

a cuyas diagonales comprimidas pueden asimilarse por completo las bandas de hormigón comprendidas entre grietas consecutivas.

232

HORMIGÓN ARMADO,

Armaduras principales levantadas.

• 106.—El modo más eficaz de contrarrestar en las posibles superficies de rotura, que exageradamente consideramos siempre (salvo casos especiales) como planos a 45° con la fibra neutra, las

F i g . 83.

tensiones principales, también exageradas, t0, es el de oponerles armaduras bien distribuidas y en la misma dirección de las cargas n" (fig. 83).

Ea resultante de éstas en el trozo de ancho a y longitud di es dB = t a di eos 45° = Tdl : ¿> |/ 2 ; entre dos perfiles con la separación finita s = Z2 — l v yale i

h

dB =

—-

f

|/ 2 •

—di 1

=

B

i

^

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CARGAS

TANGENCIALES

233

El esfuerzo tangencial T es desde luego variable con la abscisa l; puede serlo también, en general, el brazo de palanca b. Eo más comente, dada la pequeña influencia de la variación de cuantía es considerar b constante, cometiendo, si acaso, error muy pequeño. Dentro de ese supuesto, como T = dM : di y Trj == M : b, 2

dM

M2 — M{

bV 2 q u e e l t o t a l de esfuerzos iguales principales a la proyección de la diferencia de las tensiones de la armadura principal en los extremos' del trozo que se considere, sobre la dirección de aquéllos.

Así, pues, si cq y «2 son las áreas que estrictamente permiten resistir dichas tensiones en los perfiles 2 y 1, basta, para contrarrestar el total de esfuerzos, B * , la fracción 1. : |/ 2 0,707 del área sobrante (a2 — cq), dirigidas a 45° las barras a que corresponda.

Con el área total, am, calculada para los perfiles en que el momento alcance valores absolutos máximos,. Mm, hay con creces la necesaria para resistir los esfuerzos debidos a las cargas principales, sin necesidad de armadura adicional ninguna.

Mas no basta con disponer de la cantidad de área metálica necesaria: es menester que esté bien distribuida. Desde luego, y como en todos los casos análogos, es preferible que corresponda a muchas barras poco distantes y no a pocas muy separadas. Pero hay además un límite superior de la separación: es preciso que ninguna grieta virtual (fig. 84, a) pueda quedar sin armadura que, equilibrando por sí sola todo el efecto de las cargas t0, la proteja. Ese es; d e c i r

Fig, 84.

234

HORMIGON ARMADO

límite es el doble de la distancia entre la fibra neutra y la armadura principal, 2 (c — /): la separación horizontal s conviene que sea algo menor, para que la grieta a 45° imaginada por el punto medio de s, gg', corte a las dos barras, ya que lo hace en puntos próximos a sus extremos.

Pueden admitirse, sin embargo, mayores separaciones en las zonas próximas a los máximos momentos M„,, en las que las superficies de roturas más se acercan realmente a planos verticales que a los a 45°, dirigiendo entonces las barras más próximas a la horizontal (fig. 84, b). Si el plano de rotura tiene la inclinación i con la fibra neutra, el límite de la separación es o para

s' = ad-\-dc={c

— f) (tg i + cot i) — (c — f) : sen i cos í

'¿==60° ó 67°30',

's —2,3 ó 3,5 X (c — f)

Como veremos, las barras penetran en la zona comprimida: admitiendo exageradamente que dentro de ésta subsista una carga igual a ¿o107—Volvamos a las expresiones anteriores, suponiendo constante el brazo b, 1 M, — M. Tdl — (1) bV~2

J

'

bV2

Si dividimos en n partes iguales el área representada por la inte

Fig. 8o.

gral, o la diferencia de valores de M, tendremos (fig. 85) los perfiles en los que se pueden ir levantando 1, 2, 3... de las m barras que

• 'i

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CARGAS

TANGENCIALES

235

requiere el máximo Mm y el valor B ¡jg¡ : « del esfuerzo principal que a cada una corresponde resistir.

Si, como representa la figura, T y M son los debidos a una determinada distribución de sobrecargas, los puntos de división son los mismos para las áreas del contorno T y para las ordenadas del M-, puesto que una línea es, por esencia, la integral de la otra, (dM = Tdl, M = j Tdl -j- C).

Pero, en la práctica, los contornos T y M suelen no corresponder a una misma sobrecarga, sino separadamente a las distintas combinaciones que dan para cada perfil los mayores T o los mayores M. El problema implica entonces dos distintos: uno es determinar en qué perfiles va disminuyendo M en 1, 2, 3... emésimas partes Mm : m del máximo. En cada uno de ellos va quedando disponible una barra que se puede levantar allí mismo, pero que a veces se levanta más lejos del perfil m, en lo que, claro es, no hay inconveniente alguno. Una vez fijados los puntos de levante efectivo, el segundo problema, medir el trozo de área de las T para deducir el esfuerzo B que a cada barra incumbe, puede decirse que resulta innecesario, puesto que ya hemos visto que basta para el total de las B con 0,707 de las barras disponibles.

Sólo cuando por conveniencias de trazado o de despiezo se haya modificado la distribución de las separaciones, ampliando alguna de ellas, es cuando se debe comprobar si el á r e a correspondiente a la barra alcanza a (!•: 0,707 = 1,414) veces la normal: en este caso (muy raro), la carga producida por el esfuerzo B igualaría a la debida a las tensiones Ta en la armadura principal.

Ea carga que realmente sufre una de las barras es, atribuyéndole los efectos correspondientes a una distancia horizontal sm media de las separaciones s anterior y posterior, y al esfuerzo T el medio también entre los correlativos a esa zona, A

B

2 mS¡n i

P

,,j/2

X X

-ir.

P

y, por lo ya dicho, resulta siempre muy moderada.

Así como se envuelve el contorno de T por una o varias rectas, puede sustituirse el ele M por parábolas (fig. 86), bastando en ge-

236

HORMIGÓN ARMADO

neral una . sola. Conocida gráfica o analíticamente la distancia D entre los puntos de flexión nula M = Oy máxima Mm, las distancias contadas desde éste hacia aquél, correspondientes a " "

Fig. 86.

ciones sucesivas v = 1, 2, 3... emésimas partes de Mm son las fracciones j / 7 de D. Para los valores más corrientes del número total de barras, m, consignamos en la tabla X X I V los de 8 = ] / 7 y las diferencias sucesivas o = cuyos productos, por D dan las separaciones s entre barras subsiguientes.

108.—Desde el punto de levante, la barra debe dirigirse a 45°, hasta alcanzar la altura del centro de presión cuando menos, mejor todavía hasta muy cerca del trasdós de la pieza, y prolongarse desde allí en horizontal lo necesario para quedar firmemente anclada. Esto puede obtenerse con una longitud de 45 a 50 diámetros, porque la carga de la barra es bastante inferior a la de la armadura y la máxima posible, 1 200, ya hemos visto que requiere 66 d para transmitirse en buenas condiciones por adherencia al hormigón. Pero es mucho mejor el anclaje con gancho de tipo ya conocido.

Eos ángulos de 135° entre la parte inclinada y las horizonta-

FUNDACIÓN JUANELÖ II RRI ANO

CARGAS "TANGENCIALES

237

les (fig. 87), que algunos constructores dejan sin más redondeo que el inevitable al acodar la barra, (a), deben ser suavizados, encorvándola según arcos de un radio de 10 a 15 diámetros (b) En la primera forma se desarrolla un esfuerzo de valor C = B sen 45° : sen 67°30' = 0,765 B, según la bisectriz del codo, localizado en una pequeña zona del Hormigón, en el que produce una carga muy intensa. Puede formarse idea de su orden de magnitud, esti-

mando la superficie de dicha zona en unos 3 d x 3 d = 3d2 y como B vale hasta (0,707 X 1 200) kg : cm2 X %d2 : 4 = 666¿2 kg, resulta aquélla alrededor de 0,765 X 222 = 172 kg : cm2. ha práctica demuestra efectivamente que dichos codos son peligrosos, acompañándoles casi siempre dos grietas que encuadran la zona de grandes presiones.

En la forma (b) se desarrolla una presión unitaria centrípeta p que, estimando como antes que sólo interese un ancho igual al diámetro de la barra, resulta ftdr = 0,707 X 1 200«¿2 : 4; p = &%Qd:r y alcanza 44 k g c m 2 para r = 15 d a 67 para r — 10 d. ha zona de hormigón afectada lo es de un modo gradual y moderado en lugar del brusco e intenso producido por el codo. Ea experiencia sanciona la bondad de esa forma, con los resultados que después veremos.

El esfuerzo B en la parte central a 45° encuentra su antagonista al otro extremo del arco inferior, en la tensión propia de la

238

HORMIGÓN ARMADO-

barra en la parte horizontal: la presión p puede considerarse como constante. En el arco superior varían las condiciones: el esfuerzo antagonista, tensión en el arranque de la parte horizontal, parece lógicamente que debe ser bastante menor que B, efecto de la disminución rápida, exponencial, característica del enrollamiento sobre formas curvas y, por tanto, la presión p debe ir decreciendo.

Eo que importa más es que la tensión del anclaje no sólo sea bien resistida, sino, sobre todo, que se transmita gradual y moderadamente al hormigón, lo que se logra del modo más satisfactorio con la terminación en gancho. Se suele dejar entre las verticales v y V un trozo recto de 3 a 6d de longitud, pero no hay inconveniente, dada las condiciones de resistencia de aquella forma terminal, en suprimir ese trozo si falta espacio; mas, si se puede, es preferible conservarlo, y hasta ampliarlo.

Es de notar que los redondeos con radio de 10 a 15 diámetros se obtienen con facilidad al conformar en frío las barras.

109.—Con él radio r ¡ p § 15 d, la distancia entre el vértice de trazado w y el punto de tangencia t es rtg 22°30' = 11,2 d, y la separación vertical entre w y el arco 1,4 d. Si llevamos los vértices w a los perfiles en que se puede levantar una barra, resulta que ésta comienza a elevarse un poco antes: no hay inconveniente alguno, pues el momento flector no varía de un modo brusco, sino gradual, y en el perfil w no se suprime de pronto, como estrictamente pudiera hacerse, una barra, sino que se conserva sin más que disminuir su brazo de palanca propio en 1,4 d. En realidad, pudiera correrse más w hacia la zona de menores esfuerzos tangenciales T, empezando el levante gradual a la distancia rtg 45° = 15 d de perfil teórico; la disminución del brazo de palanca de la barra encorvada es entonces 4,4 d. Si sólo queda por levantar una barra, el brazo total de las dos disminuye la mitad, 2,2 d, lo cual puede ser de importancia si d es grande y la pieza tiene poco canto. Pero si queda todavía más de una barra recta, la reducción de b a b— 1,5 d o b — 1,1 ¿...es insignificante y muy admisible, sobre todo por ser, como siempre, gradual y no brusca.

En piezas muy peraltadas resulta lo que indica la fig. 88: las últimas barras levantadas tienen que terminar sobre el apoyo, en

FUNDACIÓN JUANÉLO,.

IIKRIA.NO

CARGAS "TANGENCIALES

239

lo que no hay inconveniente alguno. El anclaje dentro de esa zona, en la que hay cargas verticales, nv, muy importantes, que

Fig. 88.

comprimen el hormigón, se verifica en perfectas ^condiciones mediante los ganchos.

Por faltar esa compresión resultan inadmisibles las Jornias (figura 89) algunas veces propuestas, empleando, a falta dejbarras prin-

cipales que levantar, bien alguna de ellas, después de contorneado el extremo, bien una adicional. El anclaje superior es perfecto, pero el inferior provoca una tensión adicional en el hormigón que envuelve las armaduras y que se acusa por fuertes grietas tangentes al gancho.

En las piezas muy altas se puede también dar a las barras direcciones más cercanas a la vertical, resultando entonces una ar-

240-

HORMIGON

ARMADO

madura intermedia entre las dos típicas de estribos verticales y de barras a 45°. , 110.—De un modo general puede asimilarse el alma de las piezas de hormigón armado a una celosía de diagonales comprimirlas a 45° y elementos metálicos tensos, bien a escuadra con aquéllas, bien con inclinaciones menores hasta alcanzar la de 45° de los estribos (fig. 90). Cuando, al forzar el trabajo de la pieza, aparecen las grietas inclinadas, sejmaterializa la división, hasta entonces

Fig. 90.

virtual, del alma en bandas diagonales, comprimidas por las cargas n'p — t0. Como éstas son muy pequeñas respecto a la resistencia a la compresión del conglomerado, puede muy bien reducirse efectivamente el ancho de las bandas y materializarse entonces una celosía real y verdadera.

Hemos deducido para la tensión total de un estribo el valor E — T (s : b) y para la de una barra levantada a 45°, B = = T (1 : |/2) (s : b)] y si s = b, resultan E = T y B = T : ]/2, los mismos valores que corresponden a la celosía sencilla en los casos extremos. En el intermedio, con barras inclinadas i respecto a la horizontal, la descomposición del esfuerzo T da el valor general B{ = T sen 45° : sen (45° + i) que comprende los casos límites: para i = 45°, BÍS = T : j/ 2 y para i = 90°, B,)0 = T = E. Si los elementos metálicos están separados por distancias-, s, menores que el brazo b, la asimilación a la celosía múltiple, del orden (b : s), es igualmente lógica y las tensiones E, B y son (s : b) veces las anteriores, obteniendo así los valores ya deducidos por otras consideraciones.

Ea tensión T a del. último trozo de armadura inferior, prescindiendo de las sobrecargas que existan entre el apoyo y el primer vértice en una celosía sencilla, a 45° (fig. 91, a) está dada por el

FUNDACIÓN JUANEELO TURRIANO

CARGAS

"TANGENCIALES

241

momento M = Rb = T b, dividido por el brazo de palanca b, es decir, Trj = Tm. En tina celosía doble (fig. 91 fe), resulta, tomando el momento respectó a la vertical del cruce, Ta =

(Tmb : 2 ):b — Tm: 2 y, en general, en la celosía de orden (b : s), vale Ta -—-• Tm s : b. Esa tensión extrema puede estar equilibrada simplemente por los ganchos terminales de las barras rectas que subsisten en ese trozo y puede, sin necesidad de gancho, transmitirse al hormigón por la adherencia en esa longitud, que es 2 b en la celosía, sencilla, b en la doble y en general 2 b : (b : s) = 2 s en la de ordeii (fe : s). Cualquiera que sea este grado, el. valor déla carga tangencial media resulta ta = r,„: (2b x <\>lp) .;' (1) que es la mitad del deducido, T : fe<I>E/>.

Aunque por sencillez nos hemos referido a ese último trozo, el valor de trJ es aplicable a cualquiera otro (sustituyendo Tm por T), siempre que sean las barras levantadas a 45° las que por sí solas formen las armaduras del alma. Recordemos que el esfuerzo .en una cualquiera; de ellas es la diferencia, en el trozo de longitud s, de las tensiones Ta de la armadura principal, dividida por \ ' 2 ; la componente horizontal de ese esfuerzo es la misma diferencia dividida por ] / 2 '|/~2, es decir, la. mitad. Ea adherencia con el hormigón sólo tiene que transmitir la otra mitad del incremento de Ta, y la carga ta debe efectivamente ser la mitad de la valuada ( cuando la armadura, como sucede con los estribos, nada ayuda a dicha transmisión.

Mientras el diámetro de las barras no exceda a 26 mm, se sabe experimentalmente que los ganchos terminales pueden suplir en perfectas condiciones de seguridad todo lo qué por escasez de perímetro y excesivo valor de t0 falte de adherencia. Cuando las 1.6

HORMIGÓN

242

ARMADO

barras son más gruesas, los ganchos no alcanzan a tanto (a menos que se les dé abertura de,7 a 9 diámetros), y conviene, aun contando con ellos como elemento de reserva, limitar ta a 4,5 kg : cm2, calculando sus valores por la expresión (1) si se levantan las barras, y por la general, que da el doble de la anterior, si se emplean estribos solamente.

111.—Puede admitirse la coexistencia de elementos metálicos de dos de las tres clases (fig. 92), como armaduras que se comple-

h

ALseni

r

Fig. 9 .

mentan unas a otras. Obligados a mantenerse unidos el extremo inferior de un estribo y el vértice de una barra doblada, si ésta sufre un alargamiento absoluto, Al, aquél experimenta otro, Al sen i.

Como las longitudes son respectivamente b :.sen¿ y b, los alargamientos unitarios, resultan iguales ambos a Al sen i : b. has dos armaduras sufren, por tanto, la misma carga unitaria, cualquiera que sea la relación de sus secciones; y los esfuerzos totales, que guardan 'proporción con éstas, se complementan, supliendo cada uno aquello a que el otro no alcanza. ha cantidad de metal requerida por uno y otro tipo de armadura es teóricamente la misma. En una distancia s, el estribo, de longitud b, exige un volumen b X (Ts : b) : A = Ts : A cm3, o T : A por centímetro lineal de pieza. En la separación s', la barra a 45° de longitud bY%, implica bV~2 X

(TV : ¿ V T ) : A =

Ts' : A c m 3

ó

T:

A

por igual unidad.

FUNDACIÓN .

JUANELO Tl.RklANO

CARGAS "TANGENCIALES

243

Eos volúmenes necesarios para anclar los extremos de una otra clase de barras parece que deben ser algo menores con las levantadas que con los estribos. Estos constituyen una segunda armadura, por completo independiente de la principal, y pueden ser distribuidos del modo que más convenga, subdividiendo la misma cantidad de metal en partes numerosas y de separación .proporcionada. Ea prolongación y levante de las barras principales más allá de los puntos en que la minoración de momentos lo permite, es forzosa dentro de ciertos límites: la terminación brusca, el escalonado análogo al de los palastros en la cabeza de una te metálica es absolutamente inadmisible (1). De aquí que la prolongación y levante hasta el anclaje en la zona comprimida no impliquen como gasto adicional sino una parte del volumen de metal correspondiente, la mitad o poco más. En suma, resultan más económicos que los estribos las barras levantadas. Su inconveniente mayor radica en su número, relativamente pequeño en general, que lleva consigo separaciones bastante grandes, que pueden resultar excesivas en las zonas en que por variar poco los momentos flectores no queda disponible ninguna barra. Se puede evitar ese inconveniente forzando algo el número total de barras o sustituyendo algunas de ellas por otras de menor diámetro y en mayor número. Así, por ejemplo, con 4 barras hemos visto que sólo se puede empezar a levantar una a 0,500 D del perfil de Mm distante D del de M = 0. Si una de esas barras, de diámetro d, se sustituye por dos, de diámetro d : j/~2, con lo que el área total es la misma, ya es posible levantar una de ellas a (]/1 : 8 = 0,354) D y la otra a 0,500 D. Si se sustituye por cuatro, de diámetro 0,5 d, se pueden ir levantando a (|/l : 1 6 = 0,250)Z), (j/~2 : 16 = 0,354) D ¡ (Y 3 : 160,433) D, y 0,500/). Aunque las áreas de esas barras sean pequeñas, ya sabemos que siempre resultan suficientes para resistir las cargas principales que dentro de su distancia protegida actúan.

Pero no es esta la solución más recomendable en la práctica, sino la de aunar los dos medios, barras levantadas y estribos. Estos, cuya importante función como elemento constructivo hemos (')

Cuando

se h a c e

así, a u n

cuando

m i n e e n g a n c h o , s u a v i z a n d o así e l salto,

cada

barra

no

se f o r m a allí u n a

levantada fisura.

se ter-

244-

hormigon

armado

señalado, conviene que existan en toda la longitud de la pieza, con una separación uniforme: dándoles un área adecuada, ellos solos bastan para proteger toda la zona de mayores flexiones, donde no hay barras disponibles; y en el resto su acción, que por sí sola sería insuficiente por no variar su equidistancia, se suma a la de las barras levantadas, quedando, en suma, un conjunto de armaduras perfectamente armónico y de cargas moderadas, de gran seguridad. Por economía, puede y conviene, dentro de la zona de las barras, reducir el área de los estribos, ya que se mantiene invariable su separación y que aquéllas trabajan muy holgadas aunque la ayuda sea pequeña.

IV Altura o anchura variables. .112.—Hasta ahora hemos supuesto constante el canto c de la pieza: las variaciones que por consecuencia de la disminución de cuantía, al levantar una o más barras de la armadura principal, sufre el brazo b del par resistente son en la práctica despreciables.

Si se quisieran tener en cuenta, fácil sería sustituir en cada perfil .la magnitud T kg por T : b kg : cm, resultando así para un estribo. y para una barra, con la separación s, E

VJJ

b.l

V2

y operando sobre las áreas encerradas en el contorno de (T : b). í Cuando es variable el canto c, una de las carás superior o inferior se conserva plana y horizontal; la otra ofrece" pendiente, pollo general constante, has secciones Verticales dejan de'ser perpendiculares a la fibra media y a las cargas' principales junto á la cara inclinada, pero es preferible. seguir refiriéndose a ellas: de otro 'modo, las acciones exteriores, pesos casi siempre, les-serían oblicuas y el problema se complicaría por resultar de flexión compuesta y no sencilla. " Supuestos siempre crecientes él canto y el valor absoluto de la

FUNDACIÓN JUANEELO TURRIANO

CARGAS "TANGENCIALES

245

ñexión, pueden presentarse cuatro casos. En los dos primeros, , es

horizontal la armadura (fig. 93), y, con uno y otro signo de T y de M = Ta X b, resulta dM = Tdl — Tadb -)- b dTa;

dTa

=

/ • - d b \ 1 ~ To X y

(!)

El incremento de Ta por unidad de longitud es ahora proporcional, no a T, sino a éste disminuido en el producto de Ta = M : b por (db : di), positiva por ser b creciente. Como T y M son del mismo signo, la disminución de valor absoluto es real y efectiva: el crecimiento de la tensión Trj es menos rápido que cuando el brazo • es constante.

Ea resultante de las presiones puede considerarse como paralela a la cara inclinada, C' = M : b eos i •• •• ('• : eos i. Como es sabido, la carga principal en el extremo de la sección vertical es paralela a la cara inclinada, puesto que a lo largo de ésta es necesariamente nula i. Dicha carga np está determinada en función de la máxima aparente horizontal n', por (fig. 91) n' de =

(np de

• e o s i) e o s i;

np =

n' : e o s 2 i

(2)

3r la carga tangencial, t', que acompaña a n', por t' de • eos i — rí de • sen i - •• (tp

o);

t' — n' tg i

Para i — 1 : 3 , inclinación que es frecuente, la carga t' en el

(3)

246 ,

HORMIGÓN

ARMADO

extremo de la sección vertical es rí : 3 y la presión principal oblicua nP = 1,11 n'.

A medida que se consideran puntos más bajos, la dirección de nP se va aproximando a la de 45° con la horizontal y puede admitirse que a la altura de la fibra neutra (en dicha sección vertical) el régimen difiere muy poco del ordinario. De todos modos, la componente horizontal de la resultante de las presiones, C = O eos i — M : b ha de igualar a la tensión de la armadura Ta, y la carga unitaria desarrollada por la acción de la parte comprimida sobre la tensa está dada, en virtud de (1), por t0a di — dTa;

/ M t0 — \T — — \ b

db\ di /

1 X —r ab

(4)

que es esencialmente menor que t i : ab.

Cuándo la armadura corresponde a la cara inclinada (fig. 94), M<

Fig. 94.

su tensión verdadera es Ta .= M : b eos i — C : eos i, que sobre el plano de la fibra neutra da la misma componente horizontal C de la resultante de las presiones. En lugar de (1) tenemos ahora, análogamente, dM=Tdl

=

Cdb +

bdC;

dC di

y, en consecuencia, t„adl=dC;

to =

I . \T \

=

M , b

I db\ 1 T — C X — \ di l b db\ „ X al ]

1 , ab

(5)

(4')

FUNDACION JUANELO TURKI A N O

CARGAS "TANGENCIALES

247

lo mismo que antes. Si ¡i es la relación numérica b : c, que, en general, difiere muy poco de 0,875 = 7 : 8 , db

^

7

de

= p-=ptg¿o~-t

g

, = <> l

(6).

que para i — 1 : 3 vale 0,292, es la fracción de la resultante C o Ta que se resta del valor absoluto del esfuerzo tangencial T. La minoración de las cargas t0 y de todos los elementos que de su valor dependen, puede resultar muy considerable.

Los cuatro casos considerados implican valores absolutos de M crecientes, que llevan consigo, como es lógico, cantos c y brazos b crecientes también. Los casos recíprocos, momentos y dimensiones que van aminorando, son esos mismos, sin más que invertir el sentido en que se cuentan las abscisas l. Claro es que resultan T y M de signos antagónicos, pero como db : di es ahora negativa, el binomio (T — M db : b di) de las expresiones (4 y 4') que subsisten sin variación, representa siempre un valor absoluto menor que T. 113.—En las piezas en forma de te, el incremento unitario de la resultante de las presiones, dRc : di = a0tu, que el alma de ancho a0, sufre al nivel de la fibra neutra, afecta a toda la cabeza superior.

Aunque desde luego se comprende que la zona central colabora con más intensidad que las laterales y que el predominio de aquélla es tanto más marcado cuanto mayor es la extensión relativa de las otras, la experiencia autoriza a considerar el trabajo como uniformemente repartido en un ancho total, a, que no exceda del menor de los límites: 16e, 8a0, ifi. Dentro de ese supuesto, la zona central, de un ancho as al que se pasa gradualmente desde el a¿ por medio de cartabones de enlace ('), queda afectada por la fracción a1 : a y cada una de las laterales por la (a — a,) : 2 a del incremento de Rc. La transmisión de esa parte se efectúa mediante las cargas tangenciales x, que én las secciones de altura e dan ~e = (')

a — a, : 2a

a —a, (doto) = —^-r

A l g u n o s constructores los

Se debe,

por lo

contrario, evitar

brusco de anchura,

2a

dRc TT', di

a - - a, a.0 \' . a

suprimen, a u n en siempre

el

ángulo

hasta en las piezas d e p e q u e ñ a s

piezas de

2e importancia.

entrante y dimensiones.

el

cambio

248

HORMIGÓN ARMADO-

Con las proporciones usuales, e 7 : 0,5ao, y .- resulta desde luego inferior a t„, tanto más cuanto más amplios sean los cartabones: aun reducidos éstos a tener de base e, lo que equivale a hacer a¡. — ~ 0,25 a,x' = ~ 0,75' t0 y si, lo que es recomendable, «i = 3 a 0 = ~ 3a : 8, - = ~ 0,625¿ o .

Estas cargas x, varían en el sentido longitudinal de la pieza a compás de las t0, dependiendo como ellas de la intensidad y distribución de las sobrecargas y" del modo de sustentación de la pieza. Sus efectos sobre las bandas laterales del forjado son idénticos a los de las cargas t0 en el alma:, las cargas principales a 45° con el plano de transmisión. Pero, a medida que se consideran planos más distantes del alma, las cargas t son menores, puesto qúe el esfuerzo unitario, re, vá correspondiendo a fracciones más pequeñas de dichas bandas: en los extremos del ancho útil, a, son nulas.

En el sentido de la altura es lógico presumir que la variación dé las cargas - sigue la misma ley de proporcionalidad que para las n, puesto que aquéllas son el vehículo de transmisión que da lugar a que actúen éstas sobre las bandas del forjado..

114.—ha experimentación demuestra que existe, en la cabeza de la te un sistema de trayectorias de tensión y de presión, acusadas estas últimas por las fisuras, crecientes en número e. importancia, que se dibujan al ir forzando las sobrecargas, ha discontinuidad se refleja en la forma. angulosa de las. iso.státicas.

El fenómeno de, la flexión en estas piezas es sumamente complejo. Se acusa un alabeo del forjado que se puede atribuir al decrecimiento de las dilataciones transversales en las fibras del forjado desde el trasdós al intradós, correlativo con la disminución de las cargas longitudinales de compresión n, que les corresponden.

En todas las formas de sobrecarga resultan las trayectorias de tensión con direcciones no muy lejanas de la normal al eje de la pieza: las armaduras dispuestas transversalmente, y de preferencia en la zona alta del forjado, están en las mejores condiciones para contrarrestar dichas cargas principales.

Si la del alma, t0, no excede del límite práctico 4 kg : cm a , no llegan a: tanto las x en el forj ado, que estrictamente pueden pásar sin armadura especial. Pero, aun en este ..caso, conviene ponerla,

CARGAS "TANGENCIALES

249

para solidarizar las bandas laterales con la Central y favorecer la colaboración de todo el ancho útil del forjado. Las instrucciones alemanas exigen como mínimo 8 barras de 7 mm de diámetro en cada metro lineal de pieza. Si la te no está aislada, sino que forma parte de un piso, las armaduras propias del forjado, al salvar los vanos entie nervios, suplen sobradamente lo requerido por las cargas t.

V

Torsión.

115.—Se admite, én general, qué las causas actuantes sobré una pieza prismática o están condensadas en el plano principal de ésta o tienen una resultante contenida en él. En la mayor parte de los casos sucede1 esto último, aunque sólo de un modo aproximado: hay en cada perfil un momento de torsión, producto de la intensidad de dicha resultante por su distancia al plano principal, de valor muy escáso relativamente a la rigidez transversal de la pieza .

Tal sucede en los puentes ordinarios cuando la sobrecarga se acumula en una parte del ancho, en los de ferrocarril de doble vía o cuando está en curva, etc.

Esta torsión de conjunto, que afecta, no a una pieza, sino a una estructura completa, púéde alcanzar importancia cuando el momento es bastante intenso y la obra de dimensiones reducidas.

Ambas cosas se suman en un embarcadero que construímos en el Guadalquivir (fig. 95), cuya sección en forma de II, de 5,30 m. de ancho y 1,20-de alto, sustentadas por parejas de pilotes, distancia das 5,50, soporta una vía central de ferrocarril y otra por la que circula una grúa de 10 toneladas de potencia con brazo de 12 m.

Puesta la grúa de través, da un momento aparente de 120 000 mkg., que se reduce a los dos tercios por el contrapesado; pero resultan siempre pares transversales efectivos sobre la estructura de 80 000 mkg 'cuando la grúa está cargada y de 40 000 en sentido contrario cuando queda vacía.

Aparte de casos extremos como éste (sobre el cual volveremos), se presenta alguna vez el de piezas - de entramado sometidas a

E-

250

HORMIGÓN ARMADO-

franca torsión por servir de base a ménsulas o voladizos que soportan sobrecargas descentradas, cojinetes de árboles de transmisión, balcones, y otros 116.—La experimentación, bastante prolija, realizada basta el día, ba esclarecido suficientemente el problema, cuya solución teórica es, aun en los materiales homogéneos, muy imperfecta, fuera del caso de las piezas de sección circular.

Tengan o no armadura, los prismas cuadrados o rectangulares y los cilindros de hormigón se rompen todos en la misma forma.

Se dibujan en las superficies fisuras, inclinadas a 45° con las aristas, formando hélices de planta poligonal o circular cuando la carga máxima alcanza unos 30 kg : cm2. has armaduras impiden, si están bien dispuestas, que sobrevenga rápida y bruscamente la fragmentación total, pero no evitan que salte la envolvente exterior. Después de multiplicarse en número e importancia las fisuras, el prisma continúa resistiendo, sólo en gracia al esqueleto metálico, hasta que éste comienza a deformarse plásticamente: la fragmentación, que mientras tanto ha ido progresando dentro del núcleo, se hace entonces total, cuando la carga aparente sobre el hormigón sólo alcanza hasta 80 ó 90 kg : cm2.

131 proceso es análogo al del alma de las piezas en flexión. En un principio, las armaduras nada o muy poco ayudan, y sólo empiezan a colaborar francamente cuando la resistencia del hormigón está a punto de agotarse.

Tas barras longitudinales solas, lo mismo que las transversales en forma de cercos o arcos aislados, de nada sirven prácticamente; juntan las dos formas, sí, pero con mucha menos eficacia que las barras dispuestas según hélices a 45°, normales a las fisuras.

En todos los casos se manifiesta claramente la existencia de cargas principales, una de presión, otra de tensión, de igual intensidad que las aparentes tangenciales, con las que forman ángulos de 45°. Eas superficies de rotura son a manera de helicóídes, envolventes de, las líneas de presiones, normalmente a las cuales la materia se dilata hasta fragmentarse.

117.—En una sección circular, la carga tangencial producida

fundación Jl.AMÜ.O .

TURRI ANO

251

CARGAS "TANGENCIALES

por un par de torsión, M, es nula en el centro y alcanza en el contorno un máximo 0,5 d 16 1 Md im = M-l— = -M _ = _ _ —

IP

-¡id*

i

I

(1)

I p es el momento de inercia polar, 'nd-y : 64, doble del ordinario I. El primer valor tiene la forma general Mv : Ip, que sólo es exacta en este caso:, es preferible la última, homologa de las que siguen.

En la sección rectangular ae. (a > e), no sólo es nula x en el centro, sino también en los vértices, y máxima en los centros de los lados .mayores, a, donde, llamando I el menor de los momentos de inercia, vale 3

Me

3

8

I

8

Me aes:

M - = 4 , 5 — 12

(2)

y, más exactamente, según la mayor o menor esbeltez a : e, sustituye al número 4,5 el coeficiente ¿=,3-iT

1

2'6

0,45

(3)

-\-a:e

que vale 4,79 para a = e y desciende hasta 3,25 para a = 10 e.

Eas formas tubulares resultan, marcando el subíndice las dimensiones interiores, 1 6

M d

'

% = 4,5 —

M e

W

En formas como la de II de la estructura (fig. 95), sólo cabe obtener una burda aproximación del modo siguiente: las dos almas se consideran rápidamente unidas por el forjado, de una parte, y de otra por las riostras que las ligan: la carga tangencial media en cada una de ellas da un esfuerzo total x . ae y con la separación s entre sus planos medios un momento que equilibra al de torsión, dando así t = M : aes. Equivale, como se ve, al cálculo aproximado de la carga normal en las cabezas de una doble te bajo la acción de un par flector.

Aplicado al caso en cuestión, para a = 110 cm, e = 36 y s == 330, el promedio correspondiente a M = 40 000 m kg —

252

HORMIGÓN

ARMADO,

= 4 000 000 cm.kg, es t = M : (110. 36 . 330 = 1 306 800 cm?) J § = 3,06 kg : cm2. M es la mitad del par debido a la grúa porque

Fig. 95.'

las reacciones-pares producidas por las palizadas del tramo en que aquélla está son-forzosamente iguales.

118.—Determinado por las fórmulas que acabamos de recapitular, en unos casos el valor bastante aproximado, en otros por lo menos el orden de magnitud, de las máximas cargas aparentes a las que igualan las principales de torsión, procede, si ese valor t excede a 4 kg ; cm2, disponer armaduras especiales. De todos modos, si se quiere evitar la fisuración, x no debe sobrepujar el límite de 14 kg : cm2.

Consideremos primero un tubo circular, cuya sección es la figura 58, pero con un número v de barras helicoidales a 45°. ha tensión B de una de ellas tiene una componente horizontal B \ ]/2 , cuyo momento respecto al eje vale Bd : 2]/2. Suponemos, con arreglo al principio de siempre, que esa tensión absoluta B es la correspondiente al hormigón del filete helicoidal cuya línea media es la barra, hélice de diámetro d. ha compresión C del filete homólogo,. octogonal, y su momento tienen valores respectivamente

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CARGAS "TANGENCIALES

idénticos. El momento de torsión estará equilibrado por la suma ' de los 2 v pares iguales, . Mr -. 2;(lid:'¿\: 2);

(B = A$) = ]/2 : Mvd •

¿1)

Ea carga A puede muy bien ser la máxima usual de 1 200 kg : cm.

Entre la sección de una barra |3 cm2 y el número de ellas v hay que hacer, como siempre, un tanteo, hasta decidir la • descomposición más práctica de la cantidad total (vf¡) cm2 = 1,414 M : Ad. • Experimentalmente resulta que se puede , aplicar lo dicho al cilindro macizo: el núcleo interior a las hélices apenas influye en la resistencia y, en todo caso, Se exagera en favor de la seguridad al prescindir de él. Conviene', evidentemente, que las barras estén lo más cerca que en la práctica se puede admitir de la superficie exterior del tubo o cilindro.

Si suponemos el mismo número de barras, ahora rectas, cada una puede equilibrar la componente según el eje de la compresión, total de un filete; la otra componente, de .igual valor, neutraliza con el brazo de palanca 0,5d la fracción 1 : v del momento. Asi, pues, la tensión es B = (I : v) (M : 0,5 Pero los filetes comprimidos encuentran también a los anillos, haciéndoles trabajar por tensión. A la unidad de longitud de su contorno corresponde una componente horizontal de la Compresión de los filetes, C:í : [/2; el total en el.anillo %d X C1 |/2 equilibra actuando con el brazo constante 0,5 d, al'momento M y resulta por 'unidad de dicho contorno (Ct : ]/2) = M : 0,5nd2. A un arco de longitud igual a la separación entre anillos, s, corresponde la tensión(C ± : p ) X s = Ms : 0,5*<¿2, total que sufre cada uno.

Si, como es lógico, dada la inclinación de 45° de las líneas de compresiones, se da a las barras, longitudinales y a los anillos igual ' separación, s, el número v es tid : S y las tensiones absolutas de uno y otro elemento de .armadura son iguales ambas a Ms : 0,5rJ2.

Prácticamente, hay que tantear para fijar v, que ha de ser un número entero y deducir la separación conveniente, s, ni interior a 10 cm ni superior en general a 25. En resumen, tendremos s = xd:v;

{Bi=Ba

= A$} = Ms:0,5T.d¡i

— M:0,5vd

(2)

Ea armadura de un cilindro o tubo de longitud igual a la unidad, requiere: con hélicés, v barras de longitud 1 • ]/ 2 y sección

Bis r'»

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HORMIGÓN ARMADO-

]/2 M : vAd, en suma 2M : A d] las v barras rectas dan análogamente 2 M : Ad y los 1 . v : %d anillos, de longitud rd cada uno otra parte igual, 2 M : Ad. El volumen de la armadura helicoidal es, pues, la mitad del de la compuesta por barras rectas y anillos.

Iva experimentación demuestra que, a igualdad ele material empleado, es mucho más eficaz la primera que la en cuadrícula: esta última sólo ofrece la ventaja de servir cualquiera que sea el signo de M, mientras que aquélla tiene que ser reproducida simétricamente si se invierte el sentido de la torsión.

119.—En un prisma rectangular armado con hélices equidistantes, resultan éstas sometidas a iguales tensiones, lo mismo en unas caras que otras. El equilibrio en los sentidos vertical y horizontal de la barra oblicua que voltea el. ángulo ciñéndose a la barra longitudinal (indispensable como en el hormigón zunchado) y del filete comprimido, ortogonal a aquélla, lo exigen así.

Si v es el número de hélices, corresponden a los lados mayor y menor las fracciones a : 2 (a + e) y e : 2 (a + e) del mismo, ha tensión B de cada barra da una componente horizontal B : ]¡2 y un momento igual al producto por e : 2 ó por a : 2. El equilibrio del par M con esa suma de momentos, más otra idéntica, correspondiente a los de las compresiones de los filetes, da Mr.

• X

2y

B

2(a + e)

{B =

2

2(a + e) M

a+ e

2/ j.

(1)

v'[ ' 2

Así, pues, fijada (en general, por otro orden de consideraciones) la sección ae, el área de armadora vp = 0,707 M (a - f e) : Aae es mínima para la forma cuadrada a = e, v|3 = 1,414 M : Ae y conviene apartarse lo menos posible de ella. Eas barras rectas de los ángulos no ejercen teóricamente acción ninguna sobre el núcleo, o, en todo caso, una presión según la bisectriz de los lados: su papel es meramente constructivo, para fijar bien el volteo de las barras oblicuas y basta pará éso un diámetro de 10 a 12 mrn FIN

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