Tractatus praeliminaris mathematicarum by FUNDACIÓN JUANELO TURRIANO

I ,.,,

â€¢

•,

·,

TRACTATUS P R /E L I M I N A R IS. MATHEMATICARUM

DISCIPLINARUM ELEMENTA IN USUM PHYSIC.lE CANDIDATORUM. AU -CTORE

R. P.

Ordinis Capuce. Philosophite, & Theologite Profess. FR..dNCISCO A

VILLALPANDO,

3 ~ IJ.)'-T. /

.-.

'{ 2.

MATRITI.

MDCCLXXVIII.

Apud

JoACHIMUlVI IBARRA ,

C. R. M. Typographumâ€¢

.SUPERIORUM PERMIS.SU.

l..

••

•

-MONlTUM. Tametsi in hujusce . Tract. efformatione - ' Elemerítis Mathematicis eorumdem ad ,Physicre Phrenomena applicationem , quorum cognitioni deservitura traduntur, adjungere proposueram, tamen postmodum eadem nuda exhibere congruentius mihi visum es~; tum prolixitatis (ingentis equidem) vitandre gratia: tum etiam quia cum Physicre studium prreire debeant, non modica ex rerum ignotarum admixtione ,confusio oriretur ; tum aliis de causis. Fortasse aliqua·nd'o, Deo fa vente, in nova hujusce tract. editione, notis -, nonnullis ad Physicam per-tinentibus illustrabitur. · . .- \

'"'

PARS

PAR S P R-IMA.

DE ELEMENTIS ARJ.TMETIC/E.

Notiones prcevice.

M A:hematic.a_ ea fac~ltas. vocatur, qure-agit de -~uan.. tztate, cujus nomme 1d omne quod augment1 , -&

diminutionis capax est, significatur. Quantitas, in sensu rnathematico .accepta, in continuam , & discretam divi- · ditur. Illa est, cujus partes perfecte unitre considerantur,v. g. extensio : hrec , cujus partes . divisre consid~rantur, v. g. numerus. De hac tantum Arithmetica pertractat. · I Proinde definitur : scientia . qute circa quantitates, discretas computandas versatur. Ratione notarum, qui-. bus utitur , dividitur in vulgarem, & litteralem. De illa postmodum. De hac autem in prresentiarum acturi , ab unitatis, & numeri declaratione inchoabimus. · z Unitas est quantitas qurelibet , quam pro termino, cui alire ejusdem speciei comparentur , assumimus. Sic• dum parietem ~entum ulnas long~m dicimus, ulna pro• unitate ass.umitur ; quod si pedem assumere libeat, reque poterimus , parietem tune trecentos ped. longum· aJfirmantes. 3 Numerus ad unitatem relationem dicit. Et si-• quidem bree relatio est quasr totius ad partem , integer: si tanquam partis ad totum , fractus; si autem ex utro-.que constet , mixtus vocatur. 4 Vulgaris ar~thmetica sequentibus utitur notis arabicis:• -

- s,

milla unitas ( vulgo cero), un itas, duo, tres, quatuor, quinque, sex, septem, oc to, novem,

usque ad decadem qure ex decem unitatibus formatur: ex decem decadibus centuria &c., qure iisdem ac simplic:s

un1-

Pars l •

.unit~tes · notis designantm". , situ tamen distinguuntur; nam primo loco ( ad dexteram legentis) apponuntur simplices unitates : in sequenti decades : in proximo cen.. turire &c. 5 ltaque ad exprimeñdum quinquaginta duo , quinque nerfipé decades, & duas u'nitates, sctiben,dum ·52, qum;um 2 unitates, 5 · decades exprimat. . 6 ' Cifra o quamvis nihil significet, si tamen ad reliquorum dextram apponatur , eorum valorem decies auget; sic 10 valet decem: 20 viginti &c. Si cifra alia ( ad dexteram) adjiciatur, decades in centurias con ver-· tentur. Sic 100 valet centum: 200 ducenta &c. Hoc est: . netce ecedem, ejusdemque intr.inseci valoris, a situ diversum characterem induunt., fiuntque unitates, decades, óenturice &c.1 · · 7 Problema. Legere quemcunque numerum ex quibuslibet notis compositum. · · Solut. In classes virgula, disjunctas dividatar, qua.. rurn qurelibet trium sit notarum, dextra incipiendo: ab eodem latere sex postmodum assumantur, tanquam va-,. lorum dignitates. In fine prim_re dignitatis I supra ap-. ponatur: in fine secundre 2 &c . .Quo faB:o, lreva lege-, re incipiatur, numerando mil/e ubi sola sit vírgula,; ubi· supra sit númerus fni!iirJ', toties ·repetendus, quot unitat,es io dicto numero sint &e ; áut facilius millionis, billionis, trillionis, &c. vocibus utere,. v.g. 2 3 ,468.539", 1 025, 641 , 728, 028. Sic itaque legetur ~ duo trilliones, quatuorceritum sexagima octo mille , quingenti triginta novem , billiones, v iginti quinque mille , sexcenti, quadra.. ginta & unus milliones , septingenti viginti & octo mille, & viginti & octo.

.A.xio-

[

De Elementis Arith1neticce. Axiomata.

1} partibus 8 Totum una sui parte majus est, & requale omnibus simul sumptis. - 9 JEquales inter se quantitates , quarum utralibet ~qualis est tertire: ac proinde, si ex pluribus quotcunque: quantitatibus prima sit reqyalis secundre , secunda ter-. tire , tertia qurtre _.. ; prima requalis est ultimre. 10 Quantitates requales , post t:equalia incrementa,: aut decrementa requalia , remanent requ-ales. 1 I Quantitates in2:!quales, post requalia incrementa, aat-- decrementa requalia, remanent imequales. I 2 Quantitates requales per incrementa inrequalia. aut _inraqualia decrementa, fiunt inrequales_. -_13 _Duo quicunque numeri aut sunt requales , aut inrequales , ac proinde minor est majoris pars.

Definitione s.

14 Partes .tmmeri aut sunt aliquotce __ , aut aliqucrntce. lllre sunt, qure aliquoties sumptre totum adrequant, v. g. 4 respectu ;:6; hre qure sect;1s ; ut ' 4 ad 18. 15 · Quantitati:s cequales ere dicuntur, qure substituí po sunt , absque eo quod in calculi valore- sit váriatio. -~ I 6 Quantitates similes sunt ere , in quibus eadem es~e debent, per qure discernantur. ~ "- 17 Mensura cujuslibet quantitatis est, id quod se.. mel, aut pluries sumptum , eidem aptatur; sic 1 , 2 ,- 3, . 4, 6, I 2 sunt mensurre num. 12, postremaque maxima esr. : 'I 8 Mensura communis duarum , aut plurium quantitatum est, qure -omnes metitur ; sic 2 est mensura communis 8 ,· & I 2. Etiam 4 eorumdem mensura est , & . quidem maxima. ·-- 19 Quantitates ~ commensurabiles _sun_t_ ere, in . qui... : · .,li. a3 bus

Pars l.

bus aut una aliarum mensura est, aut omnes mensuram communem habent. Incormnensurabiles ver.o, qure nullam habent mensuram •communem. : ~o N umerus rationalis . vocatur ille , qui commen.. surari •valet cum· unitate; qui autem secus, irrationalis, aut surdus. 21 Numerus primus · est , ille, qui .nonnisi unitatem partem aliqúotam habet.

Signa hypothetica. 22 Hoc signum + significat plus:-·- rninus: ==. ·cequale· : x seu ( . ) multiplicatuni per. : ( : ) divisurn per. Et ita, 2 2 ; 3 + 5 == 8 ; 6 2 4 ;-4 x 2 , seu 4. 2 == 8. r:o: 2 == 5. Hoc postremum ita etiam :enuntiari .solet

.L-º5• :i -

De Arithrneticce operationibus. A R ·T I C U :L U S •

l. ·

De Numeris integris•

.23 pundamentales .Arithmeticre operationes sunt ad-

ditio , subtractio , multiplicatio , divisio , qui.: bus qurestiones qmelibet circa numerQs ·resolvuntur. : , . 24 Additio est operatio qua qureritur summa plurium qua,ntitatum . . 25 Probl. Numeras integr-os quoslibet addere. · Sol. Numeras addendos alios aliis subscribito; ita ut omnium unitates sint in eadem columna , .decades in ea-dem altera , centurire in tertia ... Dein , dv.cta lineo/a, collige staüm summam unitatum. Si illa summa minor est' numero 10, scribatur in eadem columna infra lineo.. 1

1am:

De Numeris integris.

1am: Si requalis uni aut pluribus decadibus sine excessu, scribatur o ; si cum excessu , scribatur excessus ; & in utroque casu augeatur summa columnre sequentis totidem unitatibus quod repertre sunt decades. Idem facito successive pro columnis decadum, -centuriarum , chiliadum, &c. Numerus qui - sic infra lineolam scribetur erit s.umma qu~sita; & recta erit additio. E:x;emp. I. Sint- addendi numeri A , .B, C. A .. 8324 ~ Dico 4 +o+ 5 9 ;"-2+4+2::: 8; 3-t, 2+2 == 7; . B. . 240 8+ 1 9· Scribendo successi ve illas summas, , e . .. 12 2 5 9, 8 ~ 7, 9, habeo numerum S, qui.est. summa S . ... 9 789 qures1ta. · Exemp~ II. Sint addendi numeri a, b, c. a .. 96754· Dico 4 + 2 + ·r :::::=7; deinde 5 + 6 + 7== 18. b·•• 85.362 Scribo excessum 8 illius summre supra. unam Ceo -• 50971 decadem & addo I columnre sequenti; 1 + 7 s. 2 3 3087 + 3 + 9 == 20. Cum nullus sit excessus sum: rnre supra decades, scribo o , & addo 2 · columnre. se'-" quenti; 2 + 6 + 5 + ·o== 13. Scribo 3, & addo I colum~ n~ sequentí; 1 + 9 + 8 + .5 == 23 •. Scribo 3, & ·ad lrevam illius 2 , quia nulla, remanet columna cui addi possit. . Additionis probatio nulla alía adstruenda prreter curam in requivocatione qualibet vitanda ,. necnon & operationis repetitionem in omnem sensum. Qurelibet alía probatio ii~dem- ac operatio periculis obnoxia est, 26 Subtractio. est operatio, qua qureritur differen~ tia duarum quantitatum, vel excessus majoris supra mi~ norem. Illa minuenda :. hrec subtrahenda 'lJocaturz : quan!.., titas inventa dicitur residuum.. . · 27 _ Probl. Numeros íntegros subtrahere. . · r Sol. Subscribantur unitates minoris unitatibus majoris-, de~ades decadibus, centurire centuriís &c •. Dein, duct~ a4 li-

•

Pars l. Art. l.

lineola , infra eam successi ve scribantur varii excessus unitatum majoris supra unitates minoris, decadum supra decadcs, centuriarurn ... , si nulla nota superioris minar sit nota correspondente in-(erioris. Verum si qure nota superioris · minar sit nota correspondente inferioris , addatu r nurnerus 1 o notre su periori , & detrahatur una un itas notre numeri superioris ad lrevarn proximre. Denique si nota ista ad lrevarn proxima sit expletiva, addatur, ut antea, nurnerus 10 notre circa quam fit operatio : de• trahatur una unitas. notre positivre ad dexterarn proxirnre; addatur numerus 9 cuilibet notre expletivre positre inter cifram qure aucta fuit, & notam qure fit irnminuta; & fiat rdiqua operatio ut in primo casu. Numerus re .. pertus., qui sic scribitur infra lineolam , erit differentia numerornm propositoru1n. Na~ numerus ille-continebit evidenter excessus uni.... tatum numeri superioris supra unitates inferioris , decadum supra decades ... omniumque partium superioris supra partes corresponderites inferioris. Ergo numerus repertus erit excessus numeri superioris supra inferiorem. Atqui ille excessus est differentia numerorum propositorum ; ergo numerus repertus erit &c. Ex. Subtrahendum sit 19648 e 30539. Hos nume.. 30539 Minuenda ros sic dispono

19648 Subtrabenda 10891 Residuum Et ah unitatibus incipiendo , dico : 9 - 8 _:,, I , quam sub lineola in columna unitatum scribo ; & ad decennas tram:eundo, quoniam e 3 subtrahi nequit 4 , addam pri .. ,nire · notre decem unitates , e sibi proximo 5 desúmptas, 9 , quem sub decennar_um -sicque dicam : 13 - ~4

ca•

De NU1neris integris.

columna scribo. T-tanseo ad centennas; ·cumque 5 in 4 commutetur, nec ex eo 6 subtrahi valeat, aut unitas nota proxima desumi , eo guod sit o , eam sequenti , 3 nempe ' desumam, dicens: 14 - 6 == 8, quem sub lineola colloco. Dein , ( o in 9 converso ) 9 - 9 == o , quem sub columna scribo ; & ad sequentem pergens , -dico denique: 2 - l == I ; sicque subtrahendo 19640 30539, -r esiduum est 10891. 28 Subtractio examinatur colligendo summam ex minore numero , & differentia reperta. Si illa summa sit requalis majori numero , certus manebis de rectitu<line subtractionis. Certum quippe est , quod si quantitati minori addimus excessum majoris supra illam, summa erit requalis quantitati majori. 29 Multiplicatio est o pe ratio; qua datis duo bus numeris , qureritur tertius , qui unum ex datis toties ~on..á, tineat , quoties altero continetur unitas. N umerorum alius multiplicandus, alius multiplicator, quarum vocam significatio per se patet. 30 Probl. Quemlibet numerum integrum multiplicare. · Sol. Primo memoriter sequens tabula addiscatur.

9 · 9 -:- 8 I 7 · 7::::; 49 4 • 4

=6 l

9. 8=72 7.6=4"2 4· 3=12

9.7=637 . .5'=35'4.2= 8 9.6=S4 7.4= 28 3 · 3= 9 9 . .5'~45 7• 3~2• 13. 2= 9.4-367.2-142.2= 4 9.3=:27 6.6=36--9.2=18 6.5=3 0 8 . 8 64 6 . 4 24 8.7=566~3=18 8 . 6 = 48 6 . 2 = ~ 8 • .5' = 40 5 • .5' = 2.5' 8. 4=32 5. 4=2cl 8.3=24r5.3=rs f8 . 2 = 16 5 • 2 = 1 o

•

J J

- ,

Dein-

Pars l. Art. l. ·

Deinde Subscribatur nota muhtiplicans unitatibus numeri multiplicandi. Dehinc , ducta . lineo la , seorsim sumantur producta unitatum , decadum , centuriarum. ~ mulciplicandi per notam multiplicantem , & · scribantur infra lineolam in propriis sedibus ( nernpe productum unitatum in columna unitatum, productura decadum in columna d<:cadum ... )., si singula sint minora numero 10. Verum si aliquod -ex illis productis sit requale uni, plu~ ribusve decadibus absque excessu , aut cum excessu,. scribatur in propria sede , in ptimo casu o, in secundo excessus ; & in utroque, quotquot sunt repertre decades; totidem addantur unitates producto notre ad lrevam pro~ ximre. per· notam multiplicantem. Numerus sic repertus ~rit productum quresitum. Nam ad hoc sufficit quod numeras repertus constet ex productis unitatum , decadum , omniumque partiu~n multiplicandi propositi per .multiplicantem datum; atqui sic res est, ut patet: ergo numerus repertus est · produc ... tum quresitum. E Multiplicandu_s , proponatur xernp. numeras 235 per 43. Scribe 43 235 muttiplir;andus. sub 235; tune ducta lineola, die, 43 multiplicator. 3 in 5 efficiunt 15 , scribe 5 sub 705 product. per 3. numero multiplicante 3, ~ unam 940. product. per 4. decadem sepone adjiciendam 10105 product. totale. facto sequenti ex 3 in 3·, quod est 9; cui si addas 1, habebis unam decadem, & nullas prreterea unitates : scribe igitur o , & facto ex 3 in 2, quod est 6, adjiciens 1 , scribe 7 : rursus die , 4 in 5 efficiunt 20 ; scribe o , ita ut multiplicatori 4 subjaceat, & facto se·quenti 4 in 3 , quod est I 2 , adjiciens z , habebis 14 ; scribe igitur 4, & seponens 1 , die , z in 4 ' effi-

De Nmneris integris.

efficiunt 8 , & adjecto 1 , scribe 9. Demum dücta linea, collige in unam summam hos numeros ita dispositos; eritque 10105 productum quresitum. 3 r Dividere est qurerere quantitatem ( qure quotiens dicitur) exprimentem quoties una ex quantitatibu s datis, divisor mmcupata ,-in alia dividendus dicta, contineatur. 32 Probl. 1. Numerum integrum quernlibet per alium

dividere. ,

Sol. Pro casu , in quo divis0r unica ·nota constat. Primo: Scripta ad dexteram dividendi nota dividente, per istam divide notam, qure prirria est ad lrevam .dividendi, si minor non sit di vidente ; si minor, divide simul primam cum secunda : & scribe qootientem sic repertum sub divisore. Secundo : Multiplica divisorem per notam quotientis · sic repertam , & productum subtrahe ex primo divisionis membro, id est ex prima, vel duabus .p rimis dividendi notis•. Tertio : Ad dexteram residui scribe sequentem dividendi notam. Ex illo residuo cum illa nota fiet alterum divisionis membrum, circa quod operaberis ut antea, & quotientem illius secundi membri per divisorem scribes . ad dexteram quotientis primi membri. Quarto : ·Perge eodem modo operari , usque dum singulre . dividendi .notre successive ,.scriptre fuerint ad dexteram singulorum residuo.m m , & singula divisionis · membra divisa. Quinto : Si contingat residuum aliquod cum sequente dividendi . nota ¡ esse .minus divisore , scr.ibe in quotiente . o , & . novam dividendi notam. adde. ad dexteram primre. Denique-, si post ultimam subtractfone m aliquid supersit, ad ,dexteram quo-. tientis scribetur super lineolam verticalem, ,ac sub ea divisor. . .. ... ..

. ..

·,

•

. f

Ex.

I ·O

Pars' l. Art. J.

Ex. Sit dividendus numerus D per d. Dicd : f== 1;} s~ribo 1 in quotiente. Deinde 3 x 1·:=3; 4-3== r. Ad D . . 43,6 S _3_:_:~ J dexteram istius residui I primi membri, · 3 l 1452 · • Q· 1 scribo sequentem dividendi notam 3. 3 I'.2 Babeo 13 pro secundo divisionis mem1; bro; & si~ pergo, y == 4 _; scribo 4 in 1> quotiente. Deinde dico 3 x 4 == 1 2 ; 13 06 ) ~ I 2 == I, & ve·nit tertium divisioñis 6 0 \Jlemórum 15. ·Dico itaque ·1__f == 5; scribo 5 in quotiente. Deinde 3 x 5 == 1 5, I 5 - I 5 == o, , & venit quartum divisionis membrum 06 , vel 6. DicoJ igitur f == 2 , scribo 2 in quotiente. Denique 3 x 2 == 6,~ 6 - 6 == o. U nde numerus .Q est verus · qt;iotiens qui . qurerebatur. Sol. pro casu 2.º, dum divisor pluribus notis constat.J Primo:· Pro primo divisionis membro, sume totidem~ tantum ac;i lrevam dividendi notas , quot sunt in divisore,, si sic faciendo, haberi possit membrum divisionis sal-1 tem requale divisori ; si secus , sume dividendi notas , .¡~lures una quam sunt in div:isore. ~ - . Secundo : Primam illius membri notam in primo ca-. su, duas primas in secundo. divide per notam, qure pri-., ma est ad lrevam divisoris. Tertio: Quotientem sic repertum ne statim scribas,) sed experire prius utrum illius productum per diviso-, tem integrum , excedat membrum divisionis ; si non ex--} cedat, scribatur quotiens sub divisare ; si excedat, de-; t'fahatur ex illo quptie.nte unitas semel, bis, aut srepius,! usque dum . dictum .pr,óduétum non ~excedat .membrum divisionis. .. _.. ,:1 Quarto : Reperta sic demum prima quotientis no~a, . -1 · eJUS

De Numeris integris.

I I

ejus ¡:,roductum per integrum divisorem subtrahe ex mem:: bro divisionis, & .ad lrevam residui , sctibe notam di_: videndi sequentem. Quinto : Si secundum hocce divisionis membruni pauciores habet notas quam divisor, imo si minus sit divisare , scribatur in quotiente o, & addatur illi mem-:bro nova etiam dividendi nota; si notre numero requales siht in illo membro, & divisore, nec membrum miñus sit divisare, dividatur prima illius nota per primam di..; visoris; ·si notre illius membri sint una piures quam divi.. soris, dividanrur du.c primre illius per primam istius; & in utroque casu attentetur quotiens obvius aniequam scri~1 oatur. Continuetur sic operario , <tl:onec singulre dividendi notre scriptre fuerint ad dexteram variorum residuorum.' E x emp. Sit dividendus D, & diD ,, · ..2; • . •• 1 9 ,J o2S 34 ... • u. visor d. (Si~num > enum~atur m~;us- - -0 -1. 5603 • . Q· 17 quam, & s1gnum < enunt1atur mznus ;5' 2 quam ). Dico \2... 6 ; 6 x 34 2 04 204 > 190-, 5 X 34 ::::C 170 < 190. 102 10 2. Scribo itaque sub divisore 5. Dico 0 deinde 190 - 170 20. Addo sequentem dividendi notam 5 , & fit $ecundum d;visionis membrmn· 205. Dico !::.f 6 ; 6 x 34 204 < 205. ~cribo itaque 6 in quotiente. Deinde dico 205 _- 204 =::: 1. Addo sequehtem dividendi cifram o ; & habeo tertium divisionis membrum 10, quod cum sit minus di~ visore , scribo in quotiente o , & addo novam dividendf notam 2 : atque ita fit ultimum divisionis membrum 102. Dico 3; 3 x 34 102. Scribo itaque in quotiente 3. ' Deinde dico 102 - 102 == o. Unde nÚmerus Q est quotiens qui qua:irebatur. · $3 Quod autem prrefata methodo verus quotiens in- , ve-

~E..==

Par s l. Art•.1.

veniatur, ex eo patet ; quia tune obtinetur verus qu~tiens, quando productum illius per divisorem adrequat dividen- . dum; atqui per prrefatam methodum id obtinetur. Nam producta divisoris per singulas quotientis notas successive subtrahuntur singulis dividendi. partibus; ac pro.. inde productum integri quotientis per divisorem sub~ trahitur ex integro dividendo; & nihil superest: ergo &c. ldque locum habet , seu divisor sit numerus simplex, seu. compositus. 34 Ad divisionem quamlibet examinandam, multiplicetur quotiens repertus per divisorem datum. Recta erit divisio , si productum reperiatur requale dividendo. Si quid residuum fuerit post u1timi membri divisio~ nem , addatur illud residuum prrefato producto. Recta erit divisio si summa illa sit requalis integro dividendo. Nam evidenter recta est divisio , si dictum productum sit requale dividendo , detracto illo residuo. Ergo utrinque addendo illud residuum , recta est divisio, si die~ tum productum addito residuo , fit requale dividendo integro.

ARTICULUS II. De Fractionibus communibus numericis.

Dlximus numerum fractum eum esse ' qui ad unitatem relationein dictt partís ad totum. Sic unitas nobis consideranda tanquam ex pluribus partibus ( minoribus) constans, qure & ipsre unitates (div.ersre licet natura:) habeantur. Hre partes fractionem constituunt,. qure ita ·signatur ¡. · 36 Cüm singulre hre partes nomine speciali distin-. gui debean~, bine numerus sup~rior dicitur numerator, v.

De Fractfonibus com1nunibus, &c.

v. g. 'in ex. apposito 2 , inferior · denominator scilicet 4. Hic exprimit numerurn partium, in quas totum aliquod divisum fingitui;- : ille au~em, quot ejusdel?l partes accipiantur , seu quoties una ex ·illis partibus s.umatqr ·: arµ• bo termini fracti·onis' appellantur. : · 37 Ex hoc sequitur quo4 u~ .legat1:1r numer:us ·fractus , incipiendum numeratore , eique denominator adjungendus ; sié ¼legendum tria · septima ~ seu tres septimtl! partes , significatque ex 7 part. in quas divisa concipitur unitas, tres ~sse desumendas. 38 Item deducitur , eo mag1s fractionis valorem tiriitati accedere, q~o mag1s .1mmerator den~minatori ·· appropinquat ; & siquidem requat , tune ídem unitatis, & fractionis valor: sic f 1. Nam clare patet, quod si ulna in tres partes dividatur , & hre simul. accipiantur , : tota ulna · accipitur. Unde generaüm deducitur, quantitatem per se ipsam divisam requalem esse unitati. , · 39 · Dum ergo numerator est minor denominatore, fractío est ~ minor unitate , mag1s minusve , prout hic excessus fuerit · majar , aut ·minor ; tuncque erit frac .. -tio proprie dicta; si autem ex adverso, fractio erit unítate major, ac proinde impropria. . . · 40 ·Optime itaque poterit_ denominator augeri -, aut rninui , c).bsque variatione valoris . in fractio • e-, _modo -req_ue augeatur, aut·minuatur IlU~erat0~ ;.hoc 'est, non V(I,• •r iatur valor fractionis, eo q·uod ejus termini pér ean.. de·m quantitatem ;multiplicentur, aut .dividantttr. Cedum 9~ippe est : , ·: , ; esse fraétiones requales , cum · earum -~iu~Übet ·dimidium unitátis expri~at : · ergo ~ == --=== .84 • 4 ·Sed seu .: multiplicatis .numeratore , ·& denominatore per eandem quantitatem 2 ·. Item ; séd

e.x

! ==.::,: ,

•

= :·;

Pars l. Art.11. --;-I -_ 4G: 4 , seu T4 d ivisis numeratore ' , & denominatore per eandem: -quantitatem 4 : ergo , &c.

_ 41 Reductio unius quantitatis ad aliam est diversa ejusdem expressio absque ulla variatione in valore. _ . 42 Probl. r. Numerum integrum ad fractwnem determinati denominatoris reducere. _ Sol. Multiplicetur numerus. integer per datum deno,. minátorem : productum erit numerator fractionis prrefa.. t:um denominatorem habentis; sic ut 20 reducatur ad fractionem , qure habeat denominatorem 4 , 20 per 4 multiplicandus, & productum 80 erit numerator fractionis 8 4 habentis denominatorem 4. Et ita 2 o ; ( §. 4 o ). _ 43 Ergo in sensu contrario procedendo, seu divi.. -s o numeratore per denominatorem , dum fieri potest, numeri integri in fractione propria . contenti invenien. 18 == 4 + ¡¡4 • .t ur. S1c · · 6 , 44 Semper numerator fractionis considerari valet ut quantitas in tot partes dividenda , quot unitates in -denominatore continentur , posito . scilicet numeratore ,pro dividendo , & denominatore pro divisore. Sic t con.. siderari valet tanquam tres unitates ínter quinque di. videndre ; idem quippe est quinta pars trium ulnarum, aut tres quintre . partes unius ulnre • . , 45 Ergo facile valor cujuslibet fractionis habebirtur, s-i numerator reducatur ad uoitates speciei minor~s .(; §. 42) ~ ac postmodum per denominatorem dividatur .( §. 43), V. g. ulna in pedes, pes in pollices , &c• .46 Probl. 2. Duas ; pluresve fractiones ad eandem denominationem reducere. ··· Solut. Multiplicentur numeratores singuli seorsim sumpti per denominatores singu~os , pr~r

=•: =

pno

De Numeris integris.

prio excepto denominatore: produB:a singula dabunt denominatores singulos quresitos. Deinde denominatóres singuli in se ipsos ducantur ; habebitur denominator com,.. monis quresitus. Ex. g. reducendre sint ad communem denominationem fraB:iones 7 , f : multiplicetur I per 3, & dabit 3: multiplicetur itidem 2 per z, & dabit 4: multiplicentur deinde per sese . 2 , & 3 : produB:um 6

erit communis denominator , habebÚnusque ·¼ .

-¼ ·,

•

2.3

+== :...:..:. == ¼; cumque operatio fiat per multipli.. 3. 2

cationem duorum terminorum frattionis per -eandem quantitatem, absdubio requalitas servabitur ( §. 40 ): Ut ad eandem denominationem hre fraB:iones reducantur -;:- , } , f , procedendo juxta _prrefatam regulam , habebimus: · ·. . I • 3•5 .!...----~

" -

2.3.5 -

3 •3 • 2

rS .

·=2.3.5 --J -,- 30 !

47 Probl. 3. FraB:ionem adminimam e~pressionem re.. ducere. Sol. Qureratur mensura communis numeratori, ac denominatori , ac per eam singillatim uterque dividattir : quotus resultans erit fraB:io ad .mi.pimam ,ex,.. pressionem reduB:a. Sic ~ - n: 12 ........ 1 ·1 ~ .. 24

24 :

H2 -.-- -;- ,'

q__UI~

1na~

Pars l. Art. II. maxima communis ,mensura duoruin terminorum est; quin ex· eo yalor fraétionis ·immutetur ( · §. 40 ) . . .48. 1 Probl. 4. Maximam cornmunem 'm ensuram duarum quanti~atum invenire. Sol. Major quantitas per minorem dividatur .; & siquidem residuum nullum sit , minor erit mensura. communis maxima ; si autem sit residuu.~,, :minar, qu~ntitas per iHud diviliátur , .sicque.- fiat ~.9.E~c ~ ~~venjatur ad divisorem .exaétum , atque hic maxíina comlnunis nfensura erit; quod si inveniri nequeat , sig_num est quanti;ates propositas non aliam prreter• unitatem mensuram communem habere. · .' ,_ Qu~rit1:1.r ma~hna _mensura communis harum ·quan·• titatum r44, & . 96. Divido 144 per 96. Et quoniam r.~siduum 48 superest, divido 96 per 48 , qure quidem divisio exatta resultat , ac proinde 48 erit mensura communis maxima illarum quantitatum, mensurans scilicet primam per tres , secundam per 2. 49 Pariter frattiones ad minorem expressionem reducuntur , earumderri terminis per 2 divisis , quoties id absque residuo fieri poteJt : ,postmodum per 3 , per 5 , 7, &c. Ultimus quotiens erit frattio ad mínimos ·

96: 2

terminas redaéla. Sic hrec fraélio : 144 - == --==== 144: '.2 72 -4-8: z 24 - 24: z - ~ - n .: '.2 - !!_ - 6: 3 - .:. Ad hu 72: 2 36 - 36: 2 - , l 8 - l ~: 2 - 9 - 9: 3 - 3 • "' jus methodi majorem facilitatem, observatum est omnem numer,um ·parem esse divisibilem per 2 : omnem finitum in -9. per 5 , aut per 10: in 5 per 5. ltidem divisibileni esse per . 3 numerurn., cujus notre alire aliis additre quantitatem, componuht. divisibilem per 3. Sic 564 dividi po.. test per 3 , nam si eJus partes seorsim sumantur 5 + 6 + 4= 15, dividi valet per.3; & certe 564: 3 = 188. ProbL

~17

De Nutnerfs ·integris.

50 Probl. 5. Fraél:i_ones addere, aut subtrahere. Sol. Re~ ducántur ad -communem. denominatorem : ~ddantur , aut subtraharitur noyi numeratoie,s ,~tque.sqmmre, aut iresídeo c~mmunis denominator a.ppematur. Addendre sint v. g: f, f. &f; reduél:is tribus his fraétionibus ( §. 46 ) ad .e andem ha beb"unus -;:· · , - 1 r , 1 -_ ~ o , i, _- 6 ,• ~ du1-J• denomrnat10nelil, 30 30 3 10 iis igitur novis numeratoribus , trium fraétionqm .sum.:.,. . . Ift2P+p ·,· •¡, ,! • , ') ' f rna' et1t = · =: ±.!..::::: r + ..!.:!. ( §. 43 .• . . : '30 30 .¡ 0 ' '

Ex. Subtrahenda sit

+ex f ; faél:a

redu~tione ad communem denomiµatorem , habebimus ¼= 1 } , & f::;: +f ;,. &. 1 sMb~ahen:do, novos nurnetatores " , residüum erit ::::: .!..2.=.!. 1 ·1 1 ' , • 1 • ( r -- ~.z.. ( ,~.. - · r"1I , ·1 • 5í _Probl."6. Fraétiones multiplicare. Sol: Multiplicentur numeratores ínter se,. .& faétum erit numerator produ~i; multiplice.ntur.:· etiam <lenominátores,, ac _i.quanti,-ta.s inde prodiens_.e rit de.nomina~or·,produ.6.ii; V ..g.c§it mul.ti plicandum ·. f · per_ ;,,m1;1ltiplic€tmr 1nul'J¡l.e rator 2 _peí:' numeratorem 1 ; hal;>ebimus 2 pro numeratore pi:o~uél:i ; ll)Ul-tiplicetur etiam denorninator 3 per denorriinatorem 2·; ha.. t

bebi1iías'6 pro de~dtrii~.ito're\;l pf-loJú}l~'ttlt tlt ~f lL r'.~ ~1'~ ·¼

. ·1 ,.1rr

• • 1 ,L · _. ',T.rt

'ur

.G ;,, _g·

1 ~•·)íf L

3 }2?,

.. ,~ 52-•" Ad_-:hoc . :-· pe.rf~éte i ~apienduni ' lprre-sens-.: 'nabeatur, qubd in ,produB:o toties_ unus· , faétor r c0ntineri debet. quot~es in aliQ uni_tas-c:ontinetur (' , § ·,1.29 r1 ~; 1& sio11in., ex.-, adh.ihi:tPJ, Ílil; p. odué}:Q; ~-~ 1 ~"" ''§::-412" d} co11ti;.. n~i.:,j. :debe~ -µnp~ ofaétor3¡s·, 1 dimidia s_VÍ~,, :eu4em ~ni.,9a.:o !.iIJ., ,_ aliofaé.t@re,,1l,· -.cnahn ~J itá. ·rin• .'.::!..f J~ contir~C .. f._u 1.10itas , º ,, ~ s. netur. . , . , . ; ., 53 ProbL 7. Fraétionem per aliam dividere. Sol. Invertantur duo terrnini divisoris, & per divisorem ita inversurn multiplicetur dividendus; produétum erit verus quo~ ,- .,. bz . ~ _.._ ~ t1ens.

. ·.Pars l. ·Art. 11. Ex. Dividendum sic f per t·; invertatur

tiens. divisor 9 hoc módo ¡ ·; & mu>ltiplicetur. divideirrdus per - ; prod'-1't1um resultans,, nempe ;.: erit ·quoiiens hujus\ ·: ¼'-; '- Hoc significat, conformiter ad ·definitionem divisionis

+·

--:- 18 : 6 _1. _ 1 + .!. quod dividendo~l per ±_,, quotiens .!..!.. i:z.-12°6-:z.:z. ' . ~ I J.. 43 . •) (exprimet, divis0rem f c'Ontined sexquialtera in dividendo } ; nam si lll¡!:}ltiplicentur ·duo t~rrnini hujus fraéli-oni'.s per 3 , habebimus , ejus valore immuta, ··-

¼== 32 •• 33 = ¾, nec dubi-:-

to .permanente ( §. 40 ) , quod .

. tari potest quod div.isor 1 est sexquiai,t ern 'minar ; seu · sexquialtera contineri in dividendo % 54 Si-forte occurrat multipliéare , aut di'videre frac·tionem per numerum integrum_, aut viceversa , nulla érit major: difficultas. Na1n omnes numeri integri possunt repr~sentá.ri taqqua,l1If' ifraéH ., eo'" solo quotl pro denominatore I apponatnr , 'quin valor úlla_tenus immute1

)ur,

nam v.g. 4 . == 4 ;

- ·+.-_· _: .

4 ( §.40 ), observatis post-

adhibi i~., ~ , -modgin _regulif pro r~liqu,s, J.raéti9n\bus 11 . 5 5 . ·sr integri fraB:is adju~B:i reperiant~r , niet ó.. dis supra adhibitis , procedL potetit , iñtegris ad peciem suarum, fraB:ionum· reduB:is , ac•· eisdem addttis'. Sic ad multiplicandum 4 & per 2 & ·q uatuor in.. tegri ád dlmidios1 ; &~ afü cdu0r: ad ,terdi>'s-~ ffeaucentur •( §. 42 -J, & pmltiplicandum habefütnus r~14- 7 pé.r. f ..P\ ,, hoc est i per f, & erit produétum 6i ~ 1-0 + ¾( •§. 43 ~ ); ídem ad divisionem fiet. · 1

+~-

._,,.;

u_ s

AR-..

De Fraeiionibus decimalibus.

A R T I C U L U S I I 1~ De FraC!ionibus decimalibus.

56 s1 unitas in

IO dividitur partes, harum qureli-bet erit proculdubio decies minar unitate. Hre igitur sunt ; qure fraC!ionum decimalium nomine veniunt; qme quidem singulre, si in alias. 10 dividantur, qure.; libet ·erit decimre decima pars , ac proinde centesima irnitatis. Idem de centesima in alias 1 o divisa , &c. 57 Decimales igitur sunt fraB:iones unitate minores, · qure per 10 decrescendo progrediuntur; unde & ad unitaturn dexterarn collocantur, ab eisque vírgula ' secer.. nuntur. Sic ad exprimendurn . 5 2 unitates, & 9 decimas, dicimus 5 2, 9. Ad exprimendas 2 unitates , & 4 cente~. simas sic 2 , 04; si autem tres millesimas, o, 003. 5 8 In fraB:ionibus propriis certurn est nurneratorem per denorninatorern dividí non posse , quin prius nume.:. rator reduc.atur ad species inferiores. Ut ad decimales .(quod ad prresens propositum refert) reducatur, rnulti~ plicari debet ( §. 42 ) per 10, aut addendum o: postrnodum dividendus per denominatorern : quotiens ex-. p.rimet numerurn decimarum , cuilibet divisods , aut denominatoris unitati respondentiurn. Si post divisionem supersint aliqure decimre , eo.. dem paéto reducentur ad suas decimas, addito o ; factaque sicut prius divisione , quotiens exprimet centesimas respondentes , qure ad dexteram decimarum simpli... cium apponentur. Idemque curn millesimis &c. fiat. Reducenda exhibeatur v. g. fraB:io ½ ad . decimales. Reduco· in pr_imis .2 ad decimas ( §. 42 ) , habebi.. -musque_ 20 decimas , . qure per 8 divisre , . dabunt pre> b3 quo-

. ~ -

Pdrs -; 1.- Art. 111• .

quotiente· 2 de~ÍI_llas . .Sed cum residuum sit 4 decima.... rum, eas ad suas- decímas·, seu. ad unitatis centesimas reducere oportet. , sícque dabunt 40, qure per 8 divisre quotiens erít ·5 centies. Cumque nil supererit , concludb fractionem-½, ad fraétíones decimale.s reduétam = -;.;';+ < • sed 2. rn º . ergo 1 - 1 º + < - 1 <'

,o- 10 • l.

ioo'

=o, 25. (

lO -

7oo •

s - :ioo . 'ioo. -

1 :0 0 ',

§. 57

) , seu 25 centesim. 59 ldem obtinetur addendo numeratori fraétionis cifras ooo quascunque , :ac postmodum per denomina,torem dividendo; quo casu prior nota, qure ·pro quo.:. tiente exeat, exprimet decimas: secunda centesimas, &e~ 4'ic in exemplo proposito ½addantur 0000, & ita divide~ur 20000 per 8, quotiens erit 2500 decem milles, prrecedenti non -differt , .nam o, qui qqidem :valor

25·

:·

~~ 0 -

>•

100

.100 • 100

=·2100.00 5'º0' =o,'2500. Siautem addendo · ·

numeratori, per denominatorem dividi nequit, o loco de".' cimarum ponetur ; imo duo , vel tres ·; si autem partitio effici nequeat, _etiamsi addantur duo o.o , addetur o locq centesimarum, &c. ( §. 5 8 ) ·; sic i = o, ,008. 60 Decimalis itaque :valor non variatur licet ad ejus dexteram addatur , -vel auferatur unus , -pluresve oo~ 61° Ad pronuntiandum ergo quamlibet fraétionem decimalern., sufficit notas numeratoris pronuntiare , seu eas , qure decimales exprimunt., eo.dem modo ac si iri• tegri .numeri forent , ac postmodum adder.e denominato .. rem unitatum decimalium ultimre speciei , qui semper ,erit -I cum tot ,oo , quot notre sint in ,tota :decimali; .a tque idcirco hre .fra.étiones semper carent denominatore ; obliviscenda tamen non est :vírgula ' :ad .den& 1

1landum sequi Jraétionem decimalem , cui antepo1Ji ,s(jl, let

De Fractionibus decimalibus.

2 I

let o, quando nutneri integri desunt. Sic 3S 4- ,1 0 , scri.. bitur 35, 254; & legitur, 35 unit., & 254 mílles. 62 Si fractio ad decimales reducenda fuerit impropria , extrahentur numeri integri ( §. 43 ) , ac deinceps operario modo solito :fi.et , sicut ( §. 59 ) dict:um est. 63 Quoniam autem omnis quantitas minar est pars majoris ( §. 13 ) , recte tanquam hujus fr-actio considerari poterit ; v. g. pes tanquam fractio ulme, numero . exprimente quotum pedum in ulna contentorum posito pro denominatore , sic pes 1 ulnre :. hora 1 == 1 -14 diei: minutum 1 horre &c. 64 Ergo qurelibet quamitas exprimí potest tanquam fractio decimalis illius unitatis, cujus est fractio communis. · Sic digitus exprimí valet tanquam fractio decimalis · pedís ; est enirri fractio commu nis illius, nempe A . , qure fractio ( §. 59 ) est == o , 08333 pedís. Idem exprimí potest tanquam fractio decimalis ulnre, -cujus itidem est fractio communis, seu 3 •~ , qure ad de .. cimalem reducta ( §. 59 ) , erit == o, 02777 , modica cum di:fferentia. 65 Probl. 1. Decimales -addere. Sol. Alire quantitates sub aliis ponantur, ita ut unitates omnes ejusdem speciei sint in eadem columna: ita positre addantur, eodem modo ac numeri integri (§. 25 ). · Exernpla. 2 ' 042 2 ' 3 o ' 24 . 90' 3212 25' 382 82' 0006 0~ /

== /

== +

28, 4~276 4, 53126 4' 253 Su~m.120, 81596 32, 21326 86, 4936 66 Probl. 2. Decimales subtrahere.

Sol.

P.tr:rs· l.: ~rt-.,fll. ·.

.: , Sol-:_Lpcentur.- ql:!antitatés :si~ut ad- additi@hem (§. 65 ), ac minori sub m~jori posit_a , :fiat id ip~um ..qQod de numeris integris dictum manet ( §. 27 ). Sed , quoniam accidere pote.st ., ut quantitas major in parte, fractionali npp tot hábeat no.tas guot mihor , addentur_ ,oo usque dum requales reddantur: quod quidem erit reduc~r.e e.a~ d~cimales- ad eundem deQ minatorem- ~ §. 60 ·) , eodem manente valore: postmodum fiat _subtracuio. Subtrahenda sit v. g. o, 94052 ex r , 823. Additis duobus oo de.cima'li, ,quantjtatis majoris , facta · subtractione , r~si-,. duum ·ertt- o ,, 88248. • min .... 1, 82300 subs... o, 9405 2 _ resid..o, 88248

Probl. 3.- Decimales multiplicare. ,. Sol. Locetur multiplicandus , _& mqltiplicat9r, ·(vir.. gula' spreta) sicut in numeris integris ( §.jo) : ,,inulti~ plicatio quoque iisdem regulis fiat : ex productp totali ad ejusdem decimales secernantur tot notre , dextra incipje_ndo, quot fuerint in decimalib• -s amborum facto_.. rum ; reliqure numeros íntegros expriment. Multiplicandum sit v. g. 34, 62 , per .4 , 5. Factores ita dispono 3462

· 45 r"7310

-1-3848 r55,79o Et fa~ta multiplicatione, extraho ex producto totali tres notas ad decimales , tot scilicet quot erant in decima• libus amborum factorum; sicque m~ltiplicando 34 , 62 per 4, 5, productum erit r~5, 790 == r55, 79 (§. 60 ). 68 Ad hoc comprobandum , reducantur numeri inte-

De Fractionibus decimalibus.

23.

gri ad speciem minorem suarum decimalium ( §. 42 ), ad modum fractionis communis : habebimus 34, 62 ==: 6 3 & 4, 5 ~¼: multiplicatis duabus bis fractionibus, 5 productum erit ~ ; ; ~, deductisque integris ( §. 5 I ); habebimus ( §. 43 ) '; ~:! º == I 55 + , == I 55, 79, quod ipsum est , quod per regulas prrecedentes deduximus. 69 Verum si quando in producto non tot sint notre quot in decimalibus amborum factorum , tune casus tot addentur ad sinistram oo , quod neccessarii sint ad requandas notas utriusque factoris in suis decimalibus, v. g. multiplicando o , 23 , per o, 4 , productum est o, 92 ; sed quia ad decimales producti debent separar:i tres not~, qure nempe sunt in decimalibus amborum factorum , interponetur o ínter virgulam' & 92 , hoc modo o, 09~, & ita productum o, 23 pero, 4 erit o, 092, seu 92 millesim., sicut apparebit ex dictis ( §. 68 ). 70 Probl. 4. Decimales dividere. Sol. .lEquetur numerus notarum decimalium in dividendo, & divisore, additis ad _ dexteram minus habentis oo necessariis, quo decimalium valor non immu.. tabitur ( §. 60 ). Dividatur deinde unus per alium ( vírgula ' spreta) , tanquam numeri integri ( §. 32 ). Qua .. tiens dabit summam quresitam. Ad dividendum v.g. 155, 79 per 4, 5, quonianí dure sunt notre decimales in dividendo , & una. in divisare, huic -addo o : postmodum dividentur ac si forent numeri integri 15579 per 450, quotiens dabit 34 + ~? ! _ , quorum prior numerus unitates , secundus fractionem communem exprimit , qure ad decimales reducta ( §. 59 ) erit o, 62, ac proinde totus quotiens == 34 + o, ~2·= 34, 62. 71 Ad hujus operationis rectitudinem demon's trandam , reducantur dividendos , & divisor ad speciem mfi1

== ',

: 0

Pars l. Art. 111. fimam suarum decimalium ( §. 42) : habebiml\s 155, · r == J..l. ac dividendo !.5' ºº ~ ~ per -4- s {~9 -- ~ 'ºº ' & 4 'e) 10' 10 ( .§.. 5. 3. ) , quotiens erit == 34 + : H ; qure regulis di. v1s10n1s optnne c_ongruunt. 72 Probl. 5. Fractiones ad integros, & decimales speciei inferioris reducere; hoc est, decimaliurn 'Valorem in ... venire. Sol. Multiplicetur decimalis data per numerum ex.:. primentem quot unitates speciei inferioris unam earum, ad quas superior pertinet, constituunt. Producturn significabit integras , & decimales speciei inferior is, seu valorem decimalis. in unitatibus speciei inferioris. Reducere volo o, 54117 aureos ad argenteos, & argentei decimales, seu illorum in his valorem c0mperire satago. Quoniam 15 arg. aureum cornponunt-, multi.plic0 o, 54117 per 15 ( §. 67): productum est:::::: 8, -1 1755, hoc est 8 arg. +o, I 1755 decim. Ut harum valor capiatur, niultiplicandre per 34 terunt. , scilicet qui argent. componuQt: productum exprimet earum valorem in teruntiis, & decimalibus teruntii. Cum autem decimales sint verre fractiones, & hre computentur ( §. 45) reducendo numeratorem-ad specie~ jnferiores, & postea dividendo per denominatorem , patet quod in decimalibus reductio ad inferiores species sufficiet; cum enim denominator sit 1(§.61) cum tot oo quot notre sint in decimali, exiet semper quotiens requalis producto reductione procedenti. U nde ad transferendam decimalem specie inferiori ad superiorem, sat erit dividere decimalem datam per numerum exprimentem quot unitates speciei propositre componunt unitatem speciei superioris, ad quam facienda est reductio. Sic ad convertendam decimalem o, 08333 ped. in decirnalem ulnarum, posito quod ulna tribus pedibus constet, dividatur ( §. 70 ) \

o, 1

De Fráélionibus"-deci111alibus.

o, ·08333' per 3, & quotiens o, 02777 dabit decimalem quresitam , juxta modo diét:a ( §. 64 ) •

AR T I C U L U S

IV.

De Numeris denominatis complexis. .)

73 ·NUmeri

cont~aét:i ad sp~cies_ particulares, de-:._ nominati d1cuntur, qm qmdem dum comple--· xi sunt , speciali consideratione indigent• .74 Probl. r. Addere numeros complexos. Sol. Locentur numeri alii sub aliis ., ita ut singularum specie..;: rum unitates in singu1is columnis sint; & duét:a infra Ji... neola ., additio ab unitatibus speciei inferioris incipiat. Si summa unitatem spe:ciei .immediate superioris non com~ ponit , sub propria columna scribetur ; verum si componit , non scribetur -ibi nisi excessus unitatum inferio.. ium superiorem componentium, & ·unitas superior a<l: propriam columnam servabitur. ldem cum ,creteris fiet. Addere oporteat v. g. ~ Summa terunt est 60 , nempe r ) aur. arg. terunt. arg. & 26 terunt. Fono itaque 26 sub ) 5°- · • 2. • • • 22 . columna terunt , & servo unum arg. 1 4· · ·· 5· · • • 8 quod aliis addens , invenio sum- .3 2 • • • 1 4· • • • 30 mam 22 arg., ·vel quo.d ídem est, 87.•. 7... . 26 aureum unum , & 7 arg. quod scribo sub columna arg~ & servo I aur. qui -reliquis additus, summam constituit 87 aur. + 7 arg. + 26 ,i Jf.aur. Et ~ta· s.umma totalis est terunt. ~ 75 Probl. 2 • .Numeras complexos subtrahere. Sol~ .Quantitas minor sub majori Iocetur ., sicut ad additio~ .nem ( §. 74 ). Incipiat subtraét:io specie inferiori, & .subscriba.tur. _.r~siduum : . si autem numerus qu;rntitatis .. ~ ..,, m..

·•

Pars l. Art. IV. infer ioris majar foerit superiore ei respondente , unitas . . ' . . e spec1e prox1me maJon sumetur , qure postea compu-. tabit ur , & ad speciem inferiorem reduB:a ( §. 42 ) , nu-. mero superiori addetur, & faB:a postmodum subtraB:io-. ne , residuum ~ub respondente columna locabitur. Idem cum reliquis speciebus fiet. · Q uantitas in- ann. mens. dies. hor. mínut. 2 4• • • IO~ • • 2 5• • • . 4• • • 32 ferior superiori 1 4· • • I I. • • 24. • • 12. • • 30 . subtrahenda. Inci pio in- Resid. 9· . . 1 I. • • o. . • 16.. • .2 feriori, & dico : 32 minut. subtrahendo 30 rema... nent 2 , quem sub lineola pono ; & transeundo ad speciem immed.iatam , cum 4 horis 12 subtrahi nequeant, sumo 1 specie anteceden ti, & 4 horis adjungo 24 horas, nempe diem unum componentes. Hab.ebimus itaque 28 hor. quibus subtrahendo 1 2 , remanent 16 ; a ppono er.... go sub columna hor. 16.: Deinde e 24 dieb., eo jam detraéto, qui assumptus est ut✓ addereretur speciei inferiori, subtraho 24; cumque nullus remaneat, suppono. o. Hinc ad menses transeo , cumque 10 nequeant subtrahi I I , addo I , annum scilicet ad menses redaB:um, & 22 menses ., e quibus ·11 subtrahendo , residuum erit 1 r , quos sub lineola constituo. Denique 23 ann. subtrahendo 14 ( §. 27 ) , r-esicl.uum erit 9 , quod sub lineola in ann. columna positum , residuum totale erit ==9 ann.+1~ mens.+16 hor.+2 min. 76 ProbL 3. Numeras complexos multiplicare. Solut. Reducantur ambo faB:ores ad speciem minorem, quam continent ( .§. 42 ) : Postmodúm unicuique pro denominatore apponatur numerus exprimens quot unitates speciei inferioris componant unam speciei superio... ris ; atqu~ hoc faéto procedetur ad multiplicationem dua.. rum

'¡

. De Numer:i.s denoniinatis, &c.

rum fraél:ionum ( §. 51 ). Qureritur v. g. quotus erit va.. Ior laboris 2 uló. itineris I ped. 3. dig1ti , assignatis pro ~ingulis ulnis .2 aur. 2. denar. 3 terunt. mensuras illas d dígitos r~duco. Habebimus 87 digit. ; & quoniam digitus est 3 ulnre , 8-7 dig. erunt ¾¼ ulnre. Eadem respective fia1 reduétio quoad aureos, denarios , ac teruntios , qua falta erunt 109 1 terunt. ; cumque terunt. sit s+-; aurei, 1091 ter. erunt '/,9 aurei , qure multiplicata per ¾f, produétum erit = ~: ~ ~ ~ aurei, cujus valor inveniri poterit { §§. 43 , & 45 ). 77 Alias complexorum numerorum multiplicandot'Um methodos nimis implexas invenimus , quam ut hic apponantur. . 78 Probl. 4. Numeros complexos dividere-. So1ut. Dividendus & divisor deducantqr ad minorem speciem ( §. 42 ) : falta postmodum partitione, quotiens exptimet quoties divisor in dividendo continetur. Dividendi sunt 10 aur., 2 denar., & 22 terunt. per 2 aur., & 4 denar. Omnes quantitates ad teruntios reduco ( §. 42 ), produétum erit 5190 terunt. ldem facio cum z aur. & 4 denar. divisoris, ex quo prodeunt 1156 ter. Si itaque ~;i90 per 1156 dividatur, quotiens 4+ /.6/6 exprimet quoties divisor in_ dividendo continetur. 79 Regulre allatre limitantur ad casus , in quibus quotiens sit numerus abstraétus, exprimens quoties divisor in dividendo continetur, seu in quibus ut~rque reduci •'varlet ad·· upitates ejusdem speciei. Alii enim caus . satis implexi melius per regulas proportionis reolventur. , 1 -

0 '

AR-

·. Pars l. :Art. V• ....

A _R TIC U L U S

De Potentiis , & radicibus.

· 8.o pRimus _Gr~dus , _vel ~rima Po~entia -cujusliheli · quant1tat1s est 1psa 1lla quanutas. Produétum qüantitatis per se ipsam semel, bis , · ter , quater.•. multiplicatre , dicitur secunda , tertia , quarta., quinta,.•. po.. tentia , vel secundus , tertius , qúartus , quint,us. • ·. gra-:-dus illius quantitatis., . Quantitas qmé per se ipsam multiplicata semel, bis , ter, quater.•• producit · aliam quan~ titatem , dicitur istius radix quadrata , -radix . cubica, radix quarta , quinta .•• ·

3 4 5 . 6 7 ·8 9 10 1 4 9 -16 2·5 36 49 64 81 100 C .... I 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 · N umeri linearum Q ·& C sunt Qu.adrat,a , vel secunR. -~.. Q....

dre potenti::e, & . Cubi ·, v,el.~terti::e potentire nm,n~rorum qui ipsis direéte imminent .fo · linea R : & ·istt sunt ,ra;dices quadratre , & ·tadices cubicre numer_orum ip.sis direéte subscriptorum in lineis Q & C. J 1

•

i...

(". '

! :.J

{

J ·~· '

,- ('

f ,_

n ·e secunda -Potentia ,; '.seu Qúadr-a.t.d,.) a~ i.r, 1r1

'., 1 \

rr.--

"0 '"'.1( t

• J-

\-"· .. ~

mendo quemlibet numerum pro ra'dice-, inv:e-i niemus ( §. 80 ) ejus quadratum .; j.uxta leges multiplicationis ( §.- ,30 ) , gener~ri multiplidandoilunitá'..te.§~ decenas , cet1tenas , per unitates, decena&$; i~_eote1.ü11s-; &~. •2, 8 2 Ergo in quolibet quadrato contineri de.bet·:q.tia-, dratum singularum notarum specificatum radicis : item duplum singulorum produétorum binariorum, qure forman possint notis radicis , earum valore locali cons1-

De Potentiis ,

& radicibus.

siderato, ratione cujus notre specificre nobis vocantur. 83 E.rgo radix unius notre producet quadraturn, ad urnrnum , duarum notarnm ; nam unitates per unitates non possunt nisi unitates, & ad summum decenas producere. Radix duarum notarum nonnisi quatuor producere poterit , saltem autem trium , nam quadratum decenarum ad minus centenas exprirp.ere debet. Radix trium notarum quadratum ad minus quinque , & ad summum sex norarum -producet, quia quadratum centenarum ad minus centenas mill. producere necesse est. Et ita quodlibet quadratum ad sumrpum duplum nota-rum radicis , & ad minus duplum . una excepta continere deber. Omnium exempla ~ccipe: 9. 9==81. 10. 10

== 100.

100 • 100:= 10000.

Ex ~ha-e infertur radicem numeri, unius , aut dua-

rum notarum , unica nota constare : trium, aut quatuor, duabus : quinque , aut sex , tribus. 85 Si ergo quemcunque num.erum in series dividamus, ,quarum~qurelibet duabus notis constet, dextera incipiendo, radix tot notas habebit , quot series ·in illo numero sint., & in qualibet quadratum .i llius notre specificre , qure ei in radice respondeat , continebitur ; hoc e-st', in serie prima ad dexteram quadratum _u nitatum: in secunda decenarum : in tertia centenarum radieis &c. - 86 Verum cum in singulis nume~is non solum contíneantur quadrata notarum specificarum radicis, sed etiam duplum produétorum binariorum notarum illarum (§. 8 2 ), observari opus ·est, quod duplum unitatum per decenas, valorem -decenarum ad minus habebit, nam 1 • 10== 10: duplum unitatum per centenas, valorem . habebit cente-

Pars l. Art. V.

tenarum, 1 • 100:= roo: duplum centenarum per cen:.._ tenas, mille, 10 • 100== 1000 &c. Consequenter duplum unitatum per decenas qmerendum non est ad dexteram quad¡:ati in prima nota , nec duplum centenarum per decenas ad dexteram in tribus notis ejusdem &e·. 87 Cognito igitur loco illorum produétorum binariorum, & uno ex faétoribus invento ( quod facilé erit cuicunque refleétenti , quod in prima serie ad he-vain contfoetur quadratum notre majoris charaéteris in radice) ( §. 85 ) , invenietur & alius, diviso produéto per faétorem inventum. Sed cum produB:a binaria permixta sint ( §. 86 ) quadratis notarum specificarum radicis, necesse erit operationem examinare, subtrahendo produélo summa~ quadrati ,faétoris ultimo inventi, & produsli ejusdem faétoris per duplum radicis anterioris, qualenus jam suo loco sitre. Ex hoc facile solvetur _ 88 Probl. r. Numeri cujuslibet radicem quadratam extrahere. Sol. Incipiendo dextera, dividatur ( §. 85 ) in classes possibiles , etsi in ultima nonnisi unicus ñu- ' merus , seu ·nota, manea t. Sumatur prima•series illius ad· lrevam ; & examínetur quodnam sit -maJus iUius quadratum ~ quod infra ditlam classem locabitur: subtrahatur postrnodum illa serie , & residuum , si quod,_est, , & radix quadrati locabitur ad, dexteram trntneri -propo, siti , lineo la verticali" separatum. Series; immed-iata po-= natur ad cor.1tinu~tionem residui , cui prima nota die-:, tre classis · adjungatur : per duplum radicis inveritre dividatur; quotiens ( §. 87 ) pro secunda nota radicis . adhibebitur, & ad dexteram prirhre ., & divisoris locabitur. , , Per hunc quotientem 'divísor , ita é!Utrus multíplice~ tur , & produétum subtrahatur omni serie, & residuo anteriori. -"

Pro-

De P0ientíis ,. b'.rádicibus.

Prosequ~for ~desce~sus classis séqüeñtis" '.i d ··fat-us secundi residui 5-quod quítletn un.ituni .. p.rimre :hujQs,. -classts notre, per duplum totius ';radicis jam inventre dividatur, & m.ethado~p~~fafa 4sque. a,,q u_l~i!11'\~ .c,l~sfa~I}l. .PX:9.~~~ert do, conclusa inven;i~tu~; tota operatio. .Si for~e _µe~ duplurh radicis partitio fieri neq1¡1e~_t, i!! loco respóndente radici~ appbfietttr o·, '&'c1assem ímme:. diatam demittendo-, juxta methodum prrefatam procedetur•

~a·1~. ·- • ~Ex:1.Slt extrahenda tadix qu~drata:·nurn: 1225 --35' · · . .~,,

.., ~..

•

,. •

n·

"..l'\..ª

·9 -::

.... ' ' ,, ·~ Resid •••• ~. 325 ~5'di.viS: '

. .

•

32 5

•

000 .

•

Divido hunc numerum in · classes duarum riotarum 4extra ad lrevain; & repertis duabcis classibus, -·certtts sum ,radicem duas notas· habituram. 'Primam qure-ro ·, ex-. trahendo I radiceni quadra~am prim~ ad lrevam -classis. Dico itaque: maximum quadr.atum in 12 contentum est ·g, cujus radix== 3. Scribó notam hanc 3 in loco radici dest1nato. Deinde ejus quadratum 9 subtraho ex prima elasf.. _se. Residuum est 3, ctii: ad ·deiteram adjungo s·equentem dassem; & sic babeo ·3 25'·pro· secundo operationis me.ni-:, Bro. Illud (!exclusa ültima nota)': divido per ·6, duplu~ radicis. 3 jam repet'tre. -~rodit ·quodens ·s ; quem scribo tum · in radice , tum ad dexteram · divisoris 6. Hinc fit numerus 65, quem. multiplicp_p~ eundem ipsum quotiert-tem 5. Productum est -325. Quo subtraéto_ ex secundo operatio?is membro 3:25, ~ihil !esiduum est. Et dico 35 esse rad1cem quadratam numen 1225., , · \ t . , ,, ·~

•l

;

Ex..

(

., · ·; 'P.ars l. Art.· V. . , ·,

- · Ex. ·2-: Sit extrahenda Radix. radix· quadrata numeri•••••• 5,47,56 234 44 : :_: : 43 r. divis. .

129 : :

.2. resid. • • • • • • • • • • • • • • • • 185 6 -.. . . ., . ' . 18 6 .· " . 5 g! r.esid. .................. 0000

464

di vis. •

,. J

Sumo primam classem ad lrevam , ~ invenio quod 4 est quadratum majus, quod in 5 continetur. ·Pono itaque 4· infra 5, & faéta subtraB:-ione subscribo residuum 1, & ante líneam verticalem ·apponó ·2 ~ radicem nempe num. 4. lnfra pono 47, ad residui 1 continuationem, quod quidem primre classis notre 4 unitum, dat 14 dividendum per 4, du.P lum scilicet radicis inventre; & dico 4 in 14 ter continetur; pono,it~qae.3 iriradice ad de'xter.am 2,& ad latus divisoris 4. , _ Divisorem ., sic auB:um multiplico per 3 ,-& produc.tum 129 scribo sub num. 147, ac infra, faét:a subtractione, colloco residuum 18 . .-Ad hujus residui latus classem seque~tem trabo, cujus ..prj_rna. qota illi residuo unita dat 185 dividendum per 46, .~l;.lplum radici~ inventre, & dico 4 in' _1 8 qua ter continetur; .4 itaql.le scribo in radice, & ad latus secundi 'divisoris 46. DivJsorem sic auéh1m multiplico per 4 , & scribo produB:um -1856 sub num. 1856., & fáéta sub~traét:ione, ·: CU\Il- ñulJµm maneat residuum, nec alia classis demitten_da, dicam quod num. propositus 54756 est quadratum ,, perfectum num. 234. . ,· 89 , Si numt,rus propositus non fuerit perfeétum qua'ldratum , finita operatiooe ~liquod manebit resjduum, & tune radix inventa erit radix quadrati rnajoris, quod in nume-

De Potentiis, & radicihus.

mero propo'sito ccrntineatur , nec possibile erit omnino exaél:am radicém invenire. Nihilominus mediis decimali... bus ad eam valde approximabitur. Ad hoc, ultimo residuo aliquot classes oo addentur , ac deinceps explicata methodo procedetur, virgula ' adhibita ante notas media additione oo. inventas , ut esse decimales significetur. Sic radix quadrata num. 586 , erit modica cum diffe .. rentia, 24, 207, sicut ex sequenti operatione apparebit. Rad. -num. prop.

5,86 4 186

44 1 divis.

176

1000,00,00 482 2 divis. 964 3606 oo 48407 3 divis. & 4 33 8 849 21151 &c.

. 90

Radix quadrata fraétionis invenitur , extrahendo radicem faétoris , & denominatoris , & ex utraque ra.. dice fraétionem efformando. Sic radix quadrata 6~ erit ½· Nam cum, ut fraétio quadrata :fiat, necesse sit ( §. 80 ) eam multjplicare per se ipsam, bis ut faétorem sump.. tam , patet quod quadratum erit fraétio composita ex produéto numeratoris per se ipsum , & item denomina... toris per se ipsum ( §. 51 ) ; ergo &c. Tamen dum numerator, & denominator fraél:ionis propositre non sunt numeri perfeél:e quadrati , opportunius erit fraétionem communem ad ·decimalem redúcere ( §. 59 ) , ac postmodum extrahere radicem methodo indicata . ( §. 89 ) ,

sup-

· Par s 11. Art. /.

is uppo·sito. quod sermo nobis sit · oiie- fraétion-ibus -pr<,Y---priis ;· ,quo casu radix inventa erit fraétio decimalis.

PARS

SECUNDA. De Ele,nentis Algebrce. N otiones Pr~liminares.

yocatur

Algebr.a, seu Arithmetica litteralís ea

facultª~ , qure, docet aalculum quantitatum in~ determinatarum. Ad hoc utitur litteris, qure cum significatione destitua.ntur, idonere sunt- ad valorem quemlibet indicandúm. Hine oritur generalitas resolutionum, qure per Algebram fiunt. . ~ 92 UtitÚr • etiam sjgnis e.xpHcatis ( §§. 22, 31 ),. & ítem hoc + , quod significat magis, aut minus • . 93 Quantitates affeélre signo + dicuntur positivte; qure autem signo ·- negativte. Ambre sJmt reales , & in hoc distinguuntur, quod positivre expr~munt e::lkcessum supra o usque ad infinitum ; negativre defeéturn similiter o. usq.ue ad ·infinitum. Icleir:c@ quHibet numerus 'quantitatum negativarum destrnit requalem numerum positivarum; sic +a--.-. a::;:::: o; + 2a - a== a ; - 2a +a== - a. ·9-4 Quantitas .algebrica alfa est complexa , alía in;"" comp.Iexa. Lhteris désignatre faciunt expr:ess.i:onem· a/¡,,. gebr.icam. Polynomium, vel expressio complexa illa est qure plures designat quantitates signis + aut ........ junB:as; 9 5 Ilia vero in qua non reperi:tmtur. quanütates ditl;i,s signis junétre, vocatµr. expressio incomplexa, ve-LPl!o¡:¡fJf!l1ium; 96 Partes . polynomii signis + aut ~ j.unétm sunt termini polynomii ; quod dicitur binomium. , trinomium, (j uadrinQ__mitj1n .••• , prout. habet da.os , tres., quatuor. .•

t_er---

De Ele1nentis Algebrce.

terminos. Sic istre expressiones + a , - 2bd , + abé, - 4b cd sunt totidem monomia: ista + ab- 2bcx .e st binomium , ista - a+ b + e est trinomium &c. 97 Terminus dicitur positivus aut negati-vus, prout illi prrefixum est ·s ignum + aut - . Ex instituto Mathe.. maticorum positivum censetur monomium, aut primus po_Iynomii terminus, cui nullum signum prrefix.um est. ' 98 Numerus terminum prrecedens est coefficiens illius termini , & indicat quoties scriptüs subintelligi debeat ille terminus cum eodem signo. Sic + 3ab .:_ + ab 2

+ab+ab; a-2cd==a-cd-cd. 99 Numerus vero supra aliquam litteram positus ad . dexteram est exponens illius litterre , & indicat quoties scripta subintelligi debeat illa littera in eodem termino. Sic a 3 =:.aaa; a 2 b 3 c==.aabbbc. Unitas est coefficiens termini cui nullus prrefixus est coefficiens , & exponens cujuslibet litterre omni exponente scripto carentis. Hinc --:::::- a bc 3 1a b c 3 , & abe-==. 1a •b'c •. 2

De Operationibus algebricis. ARTICULUS

De Operationibus fundamenta!ibus. QPerationes fundamentales algebricre sunt -additio, subtral:tio , multiplicatio, & divisio. Sed priusquam declarentur, sequens vu1gare problema resolvendum. · · 101 Probl. Quantitates algebricas reducere. Sol. Om: nes termini símiles , hoc est ( §. 16 ) qui eisdem litteris cum iisdem exponentibus constant , ad unum reducantur, commune signum retinentem, & cujus coefficiens sit sum~ • 3 ma 100

·pars IL Art; l~ ma omnium coefficientium ( §. 2 5 ) • Sic a+ 2a i:::: 3a, -2a - 4a == ~ 6a. Si terminorum similium diver&..1; sint signa, subtrahentur coefficientes, &. residuuni, simul cum signo majoris erunt coefficiens, & signum teimini reduéti. Sic3a-6a==-3a,4bc-2bc==.2bc( §.93 ). 102 Probl. 1. Addere quantitates algebricas. Sol. · Scribantur junél:im , cum suis qureque signis , , & redigantur ( · §. 101 ·· ) , si:opus est: Habebitur summa .quresita. Sic• harum quantitatum summá 2a + 4b-5c + 2d 3a-2b + 4c + d. · · 2r + b-· e·-· 6f· · . est 2a + 3a + 2r + 4b- 2b + ·b -5c+ 4c- c+2d+d ~

5a + 2r+ 3b- 2c+ 3d,.-6f.

Fraétiones ·algebric.re a4quntur, reducendo eas primum , si opus est , -ad communem denominatorem ( §. 46 . · ) & · postmodum .adhibendo summam omnium· novorum numeratorum ( §. 102 ) tanquam numeratorem unius fraél:ionis, cujus denominator sit numerus 103

mventus; sic adn hdn

cbn

a·

h+ d mbcl

, ad

· ·ad + cb ..bd ;

== .,.bd, + bd == .

adn -

cbn

-P robl.

+ mbd

- - bdn - + --bdn-- - - · bdn 104

b - d + ;; ·== r

Quantitates algebr'icas subtrahcre. So-

lut. S criba_tur statim cum · propriis signis quantitas tn,inuenda, & deinde quantitas subtrahenda mutatis signis. Integra expr~ssio ql.lre sk hqb~tur · est· verum residuum ; sive subtrahendum sit _monomium positivum, .sive monomium negativ't.nn· , sive· polynom_ium. In primo qui~em casu , si e,x a , verbi gratia , subtrahendum sit h , residuum ' est f1, - .- b ·, ut ,sat:is patet. In secundo, ..si ex a subtrahendum sit - rp residuum ·erit a + ·b. Nam.

De Elementis Algebrce.

N am si ex a tolleretur o , residuum foret a. Ergo si ei. a tollatur quantitas - b , qure minor est quam o tato b , residuum debet esse majus toto b quam erat quando tollebatur o ; ac proinde residuum esse debet a+ b. 1o5 In tertio denique casu , si ex a tollere velis b-c residuum erit a - b + c. N am ídem esse debet residuum quando totum simul subtrahitur polynomium, ac . foret , si singuli ejus termini seorsim subtraherentur. Atqui , ex demonstratis , si singuli termini polynornii b - e seorsim ~ubtraherentur ex quantitate a , residuum foret a - li+ c. Ergo quando totum· simul subtrahitur ' polynornium , residuum. est quoque a - b + c. Ergo ha-betur verum residúum sequendo prrefatam legem. Hinc, exempli gratia , si ex 2ab - 3ac subtrahere velis a d -ab-d .. ; scribe statim 2ab-3ac-ad+ab+d & redigendo == 3ab- 3ac ~ad+ d-r.. 106 Ad subtrahendam unam fratl:ionem ab alía, mutantur subtrahendre signa: postrnodum ad eundem denominatorem reducuntur ( §. 46 ) : demum posita summa novorum numeratorurn ( §. 162 ) pro numeratore unius fraél:ionis , cu jus denominator sit numerus inveq.-· 2

tus, habebitur residuum. Sic ad subtrahendum !!_ ex :_ , di-·' cam · ,. -b ex

e 4 -d .b m ¿·

cb bd

ad bd

. cb, ad bd , mb+nr bn

-== - - - == --.

- , P

1cam -

+ -b == t"

Ad subtrahendum 1

•

1 •

Probl. 3. Q ~áqtit~tes algeb~icas multiplicare. Solu t. Hu jus operationis reB:it~do ex 4. sequentibus reJ gulis pendet. l. Pro signis. Positivum sit produetum , si signa fac107

to-

Pars II. Art. l. torum sint similia ; si diversa , negativum. II. Pro coefficientibus. Detur produflo pro coefficiente , produflum coefficientium duorum faflorum. III. Pro litteris propriis. S cribantur in produflo, cum suis quceque exponentibus , litterce proprice , qure scili.. cet reperiuntur in uno tantum faétore. IV. Pro litteris communibus. Scr-ibantur ·semel tan.. tum in produflo litterce communes, cum exponente qui sit summa exponentium, quos babent in faétoribus. Sic ad multiplicandum 2ab 2 .per 3cd 2 produélum erit 6ab 2

cd .

2 ;

3ab 3 • -4a ·- 2

-3d ·

b. -

=- 12a

ad 3 b 4

= 3ad

-2+3

= -_ b

1+4

12a 3

;

=3adb. s

108' Non augetur difficultas ex eo quod quantitates. multiplicandre sint plusquam duo; nam primum·dure multiplicabuntur, ac postmodum produélum illarum per tertiam &e: Sic' a. - b. - e. d -ab. - e . d ==.abe. d abcd. 109 Dum quantitates multiplicandre complexre sunt, faélor unus sub alío scribatur, & lineola infraduéla, multiplicentur successive ( §. 107 ) omnes termini multiplicandi per terminos singulos multiplicatoris ; produc.. ta in una linea posita ( sub lineola) dabunt produélum totale , quod reduci poterit ( 1 o 1 ) si sunt termini -símiles. Multiplicandum sit v. g. A per B ~ falta mul-. iiplicatióne , resultat · produéluíii" C in quo fient reductiones possibiles.

A .......... _........ ........ 2'ab+ be - 3a B. . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . 2b - 4a C. 4ab~ + 2b.. _ c-6a~ b - 8a b -4abc+ 12a 3 2

4,t1/J

+ 2b

e::- 1-4,ail b-.4abc + 1ia 3

Dum

De Elementis Algebrce.

1 ro

Dum solum volurnus indicare multiplicationem quantitatum complexarum , singuli faétores in parenthesi includuntur-, & in medio signum multiplicationis apponitur ( §. 22 ) , aut duo parenthes'es junguntur ; sic (a+ b +e). ( d + f) vel (a+ b +e) ( d + f) , quod significat quantitatem primarn per secundam multiplicad.· Alii lineolam super singulos faétores , curn sig1:m multiplicationis in medio substituunt sic, a+ b + e x d + J. Ad indicandam multiplicationem polynomii per monomium, includitur illud in parenthesi, & ei adjungitur faétor monomii , aut signum multiplicationis interponitur sic ef + qd. m, vel (ef + qd). m. Brevius indicari solet sic,(ef+qa. m). 1I 1 Fraétiones a1gebricre multiplicantur ecd~m modo ac numericre ( §. 51 ) , servatis regulis ad-

· ( § h1.b"1t1s •

)

107

s·

•

•+b ca+cb m+ n - dm+dn eh + er + fh + fr · .. mq-ms + nq-ns

e+f m+n

- - - - - -

-¡; • d == bd , b-q h+r q-s -

dr e bq , d

(e+f)(h+r) (m+n) (q-s) -

_ __ e _

11 2 Ad demonstrandam regulam signorum , quod nempe similia dent + , dissimilia - , multiplicandum detur binomium 2a-a per 3a-2a, cujus produétum ne.. • cessario erit=: a §. 107 ) , cum za-a==. a, 3a-2a :::= a. Hoc supposito , multiplicatio :fiat , omissa lege . signorum, primo termino excepto 6a qui proculdubio erit positivus , cum sit effeétus quantitatum positivarum: · produétum , separatis media stellula singulis terminis, erit 6a * 3a * 4~ * 2a primus terminus 6a est se-- . xíes major . quam a quod quidem est produétum quresitum. Ergo ex terminis , qui supersunt d_ebent_ aliqui es.. 2

(

;

Pars JI. Art. l.

==a

esse negativi, ut produéfom tanüem deveniat sed hoc · verifi.cari nequít , qurecunque sig~orum combina-tiones fiant , nisi ultimus terminus sit positivus , & duo intermedii negativi , hoc modo 6a 3a 4a + 2a ergo hrec erit forma signorum. Sed termini intermedii sunt produét:um quantitatum, qure habent signa dissimilia; extre-, ma au liem quantitatum habentiúm signa, similia: ergo &c. 'I 13 · Probl. 4 .. Quantitates algebricas dividere. Sol. Divisio monomii per monomium juxta quatuor sequentes régulas procedere debet. Lex pro signis : similia in dividendo, & divisore dant +; dissimilia - ; -sic+ : + + ; - : + ; ---..:. + certum quippe est solum hoc paéto posse · requari dividendo produét:um quoi ientis per divisorem ( §"§. 104 ·, 34 ) . - J Lex pro coefficientipus : divi,datur dividendus per· divisorem ( '§. 32 )', &_ quotiens ponatur pro ,coeffi•· - .-~ • • • • • J .l ciente quot1ent1s , qu1 qmentur. ' · , . Lex pro litteri~. _Omnes litterre dividendi ponantur in quotie.i:it~ sup,er unam lineam., & infra eam omnes . litterre divisoris. ., Lex pro exponentibus : Si in dividéndo ,- & .divisore . eadem littera inv eniatur, scribatur tantum semel in quotiente super Iineam, cum unico exponente, qui sit re.stduum ex , subtraétione exponentis dividendi e·exponente div.isoris. Sic dividendo a pe.r cb , quotiens erit 2

;

=- ;

= - ; -2a , a-r

2a 3 -

:-3ba=-b--; 4b :-2b==-2b 2

2-1 -

=-2b. ~

114---- Juxta regulas 'adhibitas habebimus a: a=a•- ,_

·¡¡

•

_. ', . •

=aº= 1 , nam cum s1t a"= - , & ( §. 38 ) - =·1 · a a v

•

ent

etiam ( §. -'} ) aº= 1.; ergo qurelibet quantitas cum

)

ex-

4·1

De Eleinentis Algebrce.

. exponente o erit requalis unitati. Etiarn inveniemus quod

"-4

2 :

a4 =a

¿,

=a·

¿,

I -'.2 az - - , nam s1 a -- a"'·. a• -- a4 -

•

·•

•

'fJ

• I· 1. -

habebimus qt:Jod cum s1t. a4 - -- .;.... - '= a2 . a2 etiam ( § 9 ) a-

. .

=.. 4; : ergo .

•.

· a2 , ent

in frattionibus_ pote--

rit quilibet faéi:or numeratoris , .fieri · faétor denominatoris , & viceversa , eo solo_1 quod ,signum exponentis mutetur , ac proinde sumi numeri integri , pro fraétis, & converso. 115 Regulre prrefatre appl1cari eti.am possunt polynomiis., semper ac in utriusque . terminis sit aliquis fac .. tor ccimmunis. N am curri dividendus & divisor nume .. rato.r, & denominator ·. fraB:ioóis deveniant ( '§. 44. ) patet ( §. 40 ) quod non mutabitur valor quotientis' licet duo termini '.fraªionis , yUm inqic;antes_, 11].ultipl,iZ centur , aut dividantur per eapd~m , quantjtatem : s1c

( ax-zabx):

(ax+ax 4 )=

---- · · ax-1,abx: ax+ax 4 . . .

ox-2abx ==---ax+ax4

( omnibus enim his modis indicad solet divisio unius 1 2b 1 -2.b .. . d) · ax (1 - 2b) po l ynomu per a 1m , == ( ) == aº xº. ~ - == - - : •

r -x3.

,x3

tdem faciendum , ·dum dividendus sit polynomium & di~isor monomium : sic . (.2ab -4tt x + 6ax za~= 2

gx. ) _ b- 2ax + 3x x '· '. , . ' - ' 'lx ,,. J

'.la (b • 20 •

2ax +

r ,.

•

1, ; ,

: •

•

r 11

•

;;-:-.

Licet regulre hucusqúe traditre · gerreraliss1mre smt , & reduétionem facilitent , aliquando extense division~m exequi oportet. :. Unde -sit - · 1 · _, ·117. _Probl_. 5;;; D,ividere .un·um polynómium per aliud. Sol. D.1..v1dendus , ' & divisor· locentur sicut in Afith- . 116

,. · Pars 11. Art. J.

metica ( §. 32 ) , terminos .juxta valorem exponentiurn ejusdem litterre ordinando. Dividatur primus terminus _d ividendi per primum divisoris ( §. 1 r 3 ) , & ·-quotiens sub divisore tanquam pars quotientis quresiti appanatur: ·per eum multiplicetur totus divisor, & produétum e dividendo subtrahatur; ad idque sub eo panetur mutatis signis; & faéta reduétione ( §. 101 ) residuum, si quod est, infra lineolam panetur, ac op·eratia prosequetur, usque duin residuum sit = o. Verum si pluries repetatur operatia, quin residuum possit esse =o, apponitur fraélio una pro ultimo termino quatientis, cum ultimo residuo pro nu.merato-re , ac divisare pro denominatofe.

Exemplum.

Divisor. a-_b

Divid. a 4 -4a 1 h+6 a 1 b -4ab! +b 4 - a4 +a¡ b Quotiens. 1 a -3a'-b+3ab"b• -I. resid. -_-3a 3 b+6 a,..b 1 -J -4ab 1 1+b 4 -+ 3 a 1 b--3 a" b,:· ---2. resid. + 3 a" b'--4ab 3 + b 4 - 3 a,. b 1 + 3ab • 3. resid. -ab 3 +b 4 o +a·b 3 - -- b 4 1

4. resid:

Ordinatis, ut videtur, _dividendo, & divisore, divido primum terminum ·dividendi a 4 per primum divi-soris a , ac prodit quotiens b 3 • S~ribo itaque ·a 3 sub di-visare tanquam partem quotientis: multiplico diviso-rem a - b per hanc partem quatientis a 1 : produétum a 4 - a• b pono sub dividendo, mutatis .. signis hoc mo.. a 4 + a J b , & faéta deinde subtractione , _primum re..

ao -

De Elementis Algebrte.

resi'duum cum reduétione -possibili infra colloco sic -· 3a' b+6a" b"-4ab' + b 4 • . . Divido primum terminum- 3 a' b hujus residui per primum divisoris, & scribo quotientem - 3a 1 b continua.. ad primum: multiplico divisorem a - b per- 3 a-'- b, & posito~ produéto, mutatis signis ·sub dividendo, resul~ ta-t secundum residuum . 3 a" b" -4 a b' + b 4 • Faél:a divisione primi termini hujus residui 3 a2. b2.1 per primum terminum a divisoris resultat quotiens + 3 a b ~, quem scribo c_ontinuate ad duos terrninos anterio-res ; & procedendó eadem methodo in creteris , prodit tertium residuum - a b ' +b 4 • Dividendo primum terminum hujus residui - a b 3! per primum terminum divisoris a , resultat quotiens b 3 , guem scribo continuate ·ad reJiqu3-s partes· quotien~ tis principalis , & faéta multiplicatione , & subtraétione invenio quartum residuum o·; tune ita operor : dividendo a 4 -4 a" b + 6 a2. b :2.--4 a b 3 + b 4 per a-b, quo~ tiens exaétus erit a.3 - 3 a·• b + 3 a b" - b i '. , Hi~, regulis I obse.rvatis inyeniemus .hanc · qper{ltio..;.

nem nt~ faB:am. Di.vid.

4 -

- - a"- -

a' m

.. resid.1. -a', m-m•

a+ m

Quot.

a'-, a"m+t;tm't -_-,n4 1

·, +a',n"4a"m2.

resid.2. + a" m"' - m 4 - a m - a ni 3 re.si·a.3. -.- a m 3 -- 4 + a m' +m4 1

Divfsor.

m '

., '

r-e.r_id. 4. 118 '

L : ·

Divisio unius-,.· polynomii per monomium ad -hoc re-

~ Par s

II. Art~ l.

reducitur, quod scPicet si[,Jguli te_rm,ini dividendi ·dividantur per divisorem , & _quotientes cont,inuatim scribantur , tanquam partes quotientis principalis : sic ••••••••

(a- 2b+ 4r): 2b=

:b -

2 ;

Dum divtsio exaét:e fieri nequit , ac proinde

~ - 119

opus sit quotientem tántum hoc modo indicare ~ .

b+c

§~

uti nihilominus poterimus regulis adhibitis ( ·

& habebimus a : (.b +e) = ¡ ,.

•

ut ,

1 ..

e'-

17 ),

F + ¡i- + b4 + •

&c.

adeo continuata operatione ,-quotiens infinitorum terminorum · inveniatur: primus quidem est dividendus ., per primum terminum divisoris divisus: secundus est productum_primi_per

¡: tertius .produét:um se.cundí per i,&c.Sig. '

pa quo.que ·alternantur, & si quidem secundus terminus diyisoris est negativus, reliqui termini quotientis sunt positivi. I 20 Sic facile inventtur cujnslibet fraét:ionis valor, hú~

jús fórmul~·

!J.: /;

ad qúám:reduc"í ~ot~runt ~urelib~t ~lire; .\ . semper enim numerator potest reprresentari per unum, deno~ ~inato~ aute~ per <,i~os termino~: sic fra~io fa~iencl.6

e-~ -r' +-q ·== m, & ,a t

convertetur

n-z

_e x

:;;~e!± z,, ~'ti; in hanc

, eandem nempe quam pr;:efata formam _

habentem: ergo invento valore ,, : z per me~ho?u°': explica• tam (

§.

& substituendo valores m , - r- + q · §. I 5 ) ·v-a lor ea+b-cx+z

119

habebitur (

) ,

Frac-

De .Elementis_ Algebrce.

.1 21 Fractiones algebricre -dividuntur eodem modo ·ac numericre ( §. 53 ) , divisorem invertendo, & per .eilm ita inversum multiplicando dividendum - ( §. 107 )-: •

Sl~

e•d

b. 7 ¡,

il : -¡- ;;::: l . -;¡

,f .

a •

Tc"", g . -

== -;-• · dh

-;¡ ·-

7. -

cfd.

-¡ -

ge,

D~ Pdt~ntiis ~ f rad~cifJu,r ?1f,ntí~~~.um, ,algebricarun:·- 122 Scimus ( §. 8.o' ) . quamÍibet quantitatem esse 'primam po~en'tÍam sui ipsius, ejusque 'produttum, eadem pro factore assumpta bis, ter &c., esse secundam, tertiam &e-.; sic a. a ::z:::a ·e~p,rimif secundam1potentiam quan_titatis , a. Si!Ilili~er ·, 4;. a .~a a3 , .tertiam ; & generatim a;an-l == an e.,xprimit~ potentiaffi n rqüantitatiS a; & ita fl est exponens · hujus potentire an ; exprimens nempe quo#es radix _pi:o fac~ore. sumitur. , · 123 Erg(?, ad- elevandam quamlibet _potentiam da_:.. tam ad ·aliam exponentis etiam da:ti·, e,xponens potentire .datre toti.es sumetur, ( §. ,107) quot unitates sint in exponente potentire ad quam .sit elevanda, vel quod ídem est, e,cpoAens potentire clatre;..tnultip1icabitur per expo.nenteJTI il_lius ad quam, elevatitt fa~iooda -est., produtlum erit e·xpone:ns _pote~tire · qu:Esit~, servara de cretero signorum lege. Sic secunda poteñtia quantita.tis a est a.a==. a 1 -+- 1 ==. a 1• 2 == a 1 ; tertia potenti_a quantitatis a est a•. a•. él ~ a -+- -+a• ,1~ a 6; & generatim potentia nssima quanJ.itatis . am est (1,m.n a mn. Jdern -obs~rva:bitur, licet ql'lantitas elevanda sit productum diversorum factorum ;· cons.tat enim quod quadratum quantitatis 2a'1 b3 erit 2a b\ .za 1.h"== 4a -+-•b 3--+- 3 == 4a bP == 4a 1 b6; er:go gen·eratim potentia•p quantitatis.,asb, erjt asPb,f ; aliquando congruentius erit operationem iQd.i,care, includendo radicem -i• pa.., 2

1 2 •

ren-

· · ' Pars II. ·Ari.·I. , ,~

renthesi, & superimponendo , ·paulo ad dexteí-am ,- exponentem potentire ad quam facienda elevatio ; sic (cb )"' indi~at cb eleva.tum esse· ad ' potentiam n, ·i ta ut (cb)"= (.,'"b'\ & (a ,dl)"...:._ a,na1n. . : . . - -=- - . . . ·. _; Idem fieri debet dum radix·, cuj~s e_levatione.m.: indi• care volumus , est quantitas complexa. Sic (a +b)• sig,nificat q uantitate!J} a+ b elevatam· ad ,s~cundam potentiam. Idem indicatur posita supra radiéeni lineola , & indice potentire ·ad· dexteram ; <sic (a+b)2 == a+b'l., ac generatim c-d" vel '(c-•d)" indicat quahtitatem e - t! elevatam ad potentiam n. ' 124 Quanritas potehtiam generañs- potest esse au_ t positi-va , aut negativa. In primo casu qurelibh potentia erit quantitas positiva ( §§. 107, 122), quia - multipli.::. ·e atio procedet semper per signa positiva. In secundo, distinctio fieri debet ínter potentias pares , & impares'-, qu'a rum herhpe expOnens par est ', aut impar. ~ · In paribus exprimetur sernper quantitas positiva, quia ad eas inveniendiís multiplrcari debet - per - ; in imi. paribus contra, quia multiplicatio procedere debet per signa dissimilia. Sic a. a =:,a• ; a. a. a == a 3 ; - a~ _:,_· a == á'l. ; - a. -- a. -1-..,a == - a3; ex quo cledúcitur quam· libet poterrtiam n•,--si ·n sit ·num.erus par, generari pósse per quantit-atem, tatn · ·positivam ·a+ b·, quam· negativam - a - b , hasqme expt'essiones (a+b)", & (-a-b)" reque significare quantitatem positivam. ~ 125 Ergo dari nequit quantitas aliqua positiva , aut negativa, cujus potentia par sit quantitas negativa; cón-sequenter expressfo ista - a1. non est potestas quantitatis alicujus, sed solum produ-ctum - apera, se'u - ·1 per a2. 1 126 Sicut ad elevandum ad potentias·proceditur mul.. tiplicando exponentem radicis per indkem potentire ad

quam

;

De Elementis Algebrte.

quam facienda est elevatio ( §. I 2 3 ) , sic ut retrocedatur potentiis ad radicem , opus est dividere exponentem potentire per indicem radicis quresitre. N am si elevatio quantitatis a 1 ad potentiam oétavani indicatur a 1 • 8, . • a· patet quod retrocessus ab as ad a 1 m 1ca61tur a 8s = a 1 , qu~ reipsa est radix oétava a8 ( §. 1 2 2 ) • Pariter ad extrahendam radicem quartam ejusdem quantitatis a 8 , dicendum a = az : ad extrahendam secundam, a ! = a 4 &c.

Quoad signa radicum, duplex casus distinguendus. r. dum quantitas, e qua extrahenda radix, est po• sitiva. z. 0 dum est negativa. Dum quantitas est ,positiva, & index radicis numerus impar, radix signo positivo affici debet ; si autem par , signo uno positivo , & alio negativo ( §. 124 ) . Sic radix secunda quantitat_is a,. erit + a, id est +a, seu - a. Si quantitas fuerit negativa , & index radicis numerus impar , radix erit ne... gativa ; si autem par , radix erit impossibilis, aut imaginaria; talis est radix secunda quantitas -a qure nec ' est a, nec-a ( §. 125 ). 128 Cum exponens quantitatis radicalis semper debeat esse quotiens, ex divisione exponentis potentire per indicerri radicis resultans ( §. 126 ) , patet quod semper ac hic quotiens nequeat esse numerus integer, sicut pluries accidere necesse est , quantitas radicalis habebit exponentem fraétum , unam radicem indicantem. Sic a ; indicat radicem tertiam f?Otentire a 4 ; ac generatim ( a + b) : indicat radicem n poten tire ( a + b) m, & hre communiter potentire imperfectre vocantur. 127

129

;

Ad eas reprresentandas utimur signo (v)' quod d ra~

Pars 11.Art. JI. radica/e vocatur , & eo affeét:re quantitates radicales, aut irrationales : sub eo scribitur quantitas, cujus radix qure.. ritur, ea_m si complexa est , aut requivocationi locus esse potest, parenthesi includendo, indice radicis superposito, n

sic ,..Y a4 idem est ac a;, & V(a+b)m, seu Va+ bm, idem ac (a+b)~ seu a+b : ( §. 1 2 8 ) : dum secunda radix indicanda est, omittitur, ex consuetudine ubique admissa, index alioquin super radicale ponendus. Sic it ah idem est ac radix secunda a b. Radices impossibiles , aut 6 imaginarire hoc modo etiam reprresenta1;tur. Sic indicat radicem quartam quantitatis- a6 • Possunt etiam ·reprresentari hoc modo 1 • a6 , quod quidem nihil est nisi resolvere radical e in suos faét:ores ( §. 12 5 ).

,Y-a

11/--- 11/

AR TICUL US /

II.

De Operationibus circa quantitates irrationales. I 30 Problem. 1. Reducere quantitates irrationales ad eandem denominationem. Sol. Multiplicentur per sese indices omnium radicum : produét:um erit communis denominator , aut index radicalis : multiplicetur etiam expo_nens singularum quantitatum, sub signis .positarum, per produét:um indicum omnium radicalium , cujusque pron

Vat, V

·prio excepto. Sic ad reducendum bm ad ean·dem denominationem, multiplicetur index n per indi. ·cem s , & produB:um ns erit communis denominator; multiplicetur etiam exponens t quantitatis a' per indicem s, n

& exponens m quantitatis bm per n : habebimus Vat

&vb s

•tv

m_-ybmn:, cum s1

a-;t

(f.

De ~lementis Algebrce. ( §. r

9 ) , & .!-. n

!.!... ( §. >

•

4 o ) , erit etiam a n = a n

:;: : Va

(

§.

1 2

49 t

9 ) ; ergo ns

ts 11

Va'= Vat~ (§. 9 ).

Idem

demonstr~bitur respeél:u bmn. , . 131 Probl. 2. Reducere quantitates radicales ad sim .. : pliciorem expressionem. Sol. Hrec reduétio locum habebit semper ac expressip sub signo posita exaéte dividi possit per unam potentiam ·ejusdem cum indice radicali exponentis. Tune fiet dí, visio sc~ibendo quotientem sub signo radicali , & pfo ejus coefficiente ·radicem divisoris. Reducenda sit v. g. 2 · quantitas quoniam a m-divisibilis est per a2, facta di visione, & scribendo quotientem m sub signo , ac pro coefficiente radicem quantitatis a2 habebimus .V a 2 m _:___

Va m:

V-

~ m; etiam 1 V4 am/1x-4 :=x -14/V am, nam 1 V4 amx4= a.., x+-

= 3

xa4

11/ am(§.

V 2; v >

m ___

I -2

== 1,Ya.2 == m

18 = 9-~ = 2-¡;v;; & generari_m

9 ). Similiter

Vad

Vam-+-id_a . ---. bm ~ - b e • _ 132 Ergo prqcedendo ~n- sensu contrario, introducei:e. sub ~igno radicali poterimus. quemlibet, ejus coef-ficientem. Sic a 1,1/b __ -¡;Ya 3b; 21,Y 2 2.23_ 16,

~.& ~generat1m . . -ªm Ve- == •

133

v~- ,

=J7'

bdn • ·

F~cil_e itaque e_rit unam expr~ssion~m introdu-

cere , v. g. ~ in uno radicali ~

:pr· b•

IJ'!

quin ejus valor

va-

Pars 11. Art.1.

5,0

'!'arietur , narn habehirnus ..:_ d quod sit (

§.

)

Vm ;¡- == -::. V -j 'Y-;¡;- h"' eo - - - -, -

b' e"'

V- emh•n = ]/'e·nemh"'h"' ·= J;/

1·.

134

Prqbl. 3. Quantitátes irrationales addere. Sol. Scribantur ornnes · cú·m iisdern signis, qu~ eárum coeftlcientes prrecedunt, in eadem·Iinea; & siquidem termini símiles resultant, seu ejusdem indicis radicalis, ac sub ~o eadern expressio' reducantur (§. I ), & · habebitur summa~

Addendre sint a -,1/qb

., '1/_: .,,,.

. , 1/xm

+ V· 'l d•

)

vnxm- -

erit summa a V ._ c-b + !..

-,1/ X';' & :_:,_:..!. -i·m{cb, ' ~a V V ' e lf , as ' ~ -

..!..

'--

~ '1/-b

cb::::: ªP~' y _e P

~ P.

•

n~·

V 18=:V 4.2-+-V9.2=2V2-+ 3V2== sV2=V2~s .==Vsº• 13 S Probl. 4. Q,uantitates irrationales subtrahere. Sic

Sol•.Qmnia,signa _c oefücientem subtrahen_dre prrecede-nti_a mutentur in sua contraria , & faé:ta summa cum m1nuenda ( §. 134), habebitur residuum , quod reduce.tur postmodum ( §. sí termini símiles . tesultant• . Subtrahenda sit_, y. g. _a Vac -t- 3 -¡;Yacb e 4 Vac rJ;Yacb, scribam sicut dictum 'est 4Vac-fJYacb-

101 )

. _,,

·2

Vac -

iYacb ~

.;:V;==(~ -

- n

Vac""'"'." 617'acb: ita ; V; ;). V= ·== c~/d f •, 2

136 Probl. 5. Multiplicare, aut dividere quantítates :irrationCJles_. Solut. Reducantur ad eandem _d enominati~ nem

De Elementis Algebrce.

nem indices radicales ( §. 130 ) , si diversam habent denominationem: servata lege signorum, multiplicentur, aut dividantúr coefficientia , ac produé:t:o, seu quotienti postponatur signum radicale, cum novo indice , aut cum proprio, si reduél:ione opus non fuit. Multiplicentur denique, aut dividantur expressiones, qure sub signo sunt, & produc.. tum , seu quotiens scribatur sub signo radicali prredié:t:o. n

:··

multiplicandum habebimus L q

ductµm erit !!!_

Exempl. ,

V;~

E xempl. I. Multiplicandum sit : -f pe,r : redué:t:is ambobus radicalibus ad eandem denominationem,

ti"'

am per :

Ólll

~ en -• 411-

e".

bm d"

Divid~ndum sit :

·p--¡._ per : J,7 ; ;fac-

ta reduétione sicut in exemplo anteriori ( §.

videndum erit : ,:::: ~ per : ....-

, pra-

b"'

-,?'e"d"

130 ),

di-

; produébum erit

E:_

,,,

J/amdn. bmcn I 3?' Ergo ad elevandam quantitatem radicalem ad potentiam quamcunque rn sufficiet multiplicare expo-. nentem expressionis, qme sub signo est, per exponentem m potenti~ ad quam radicale est, elevandum ( §. 123 ). n

',.

Vam, (V

•

V =

Sic (Va)"' = a)" · a a ( 1 3 1 ). Ex quo infertur quod ad elevandum radicale ad potenti~m .ejusdem cum signo radicali exponentis, signum ra-d1cale tollere suficiet. Pro..

(

Pars II. Art. II. 38 Procedendo in sensu contrario , modum habebimus extrahendi quamlibet radicem n radicalis dati : Sic 1

Va;-.== Va (

radix n erit §. 1 2 9 ) ; ergo ad extrahendam radicem cujuslibet radicalis , sat erit indicem signi per indicem radicis extrahendre multiplicare. . .ra d.1x -u -ª S1c s b

•

a-;;

-d ent - =... b"

vs / nu

-d •

, ~ 1=:39 Quantitates impossibiles, aut imaginarire adduntur , & s'f:!btrahuntur · sicut reliqure quantitates irrationa.. les. Sic summa v-a'l, & 3 v-a'l erit 4 Y- a 2

;

-11/-.-~,t411/-a,_:_ V-xerit 41/'a-V-x-,Y'-a==3· 11/-~-v-x. Tol-

sum~a

lendo V-az ex 3V-az erit residuum 3 v'-az-\/

~az:=:2 V-a,,. (

§.

101

· 140 -Multiplicatio•., & divisio harum quantitatum errori obnoxia est , ad quem vitandum procedatur sicut in exemplo sequenti. Sit multiplicanda Y-a per ,i -b,

& quoniam v'-, a:=\/a . v'- 1 , & V-b== v' b. v'-1 ( §. 129 ) habebimus V-a. v'-b=V-r. V- r • v'a . v'b == ( §. 1 3 6 ) Vab . v'- 1 . v'- 1; sed V- 1 • v'- 1 =- 1 ( _§. 1 3 7 ) ; ergo v'ab . VI • v-r==---1 v'ab~-Vab, & consequenter V-a. v'-b=- Vab. Dividenda sit V-a per V-b, ac transformatis- dividendo , & divisare , sicut in exemplo 7 ) mu~

De E/ementis ,Algebr(e. mult:iplicationis ' habebimus

·==V;

v=a : v'- b

(§. r 3 6).

53· -

~~·..:t,ª·

AR T I C U L U S I I I. De Potentiis , & radicibus quantitatu.m complexarum QUantitates complexre elevantur ad suas Potentias, sicut incomplexre; & qurecunque de his dicta sunt, & illis applicari possunt: sic: (( a-+-btt=( ,r+-bt"; 141

(a+ bt= (a+ b)-;-( §§. 123,129): etfam erit (a-+-b)2 (a-+-b) (a-+-b); (a-+-b)3= (a-+-b)' (a-+-b) (a-+-b) &c. ( I 2 2 ). 142 Ad praxim itaque r_e ducendo multiplÍcationes,-

habebimus (a+ · b)1- == a1 + 2ab + b2 ; & ita quadratum unius binomii componitur ·ex quadrato primi termini radicis, magis minusve ex duplo producto primi per se' u dum, & etiam ex quadrato secundi, totque term¡nis, uno amplius, quot unitates in exponente potentire sunt: positivis quidem signís, dum signa radicis similia stmt; dum autem dissimilia , semper erit negativum signum dupli producti primi termini radicis per secundum. 143 Cognitis ergo primis duobus terminis unius quadrati , facile complebitur, addito quadrato diinidii fütius coefficientis secundi termini', per quem multipJi.. cata invenitur radix primi termini quadrati incompleti. Sic expressio x + 3ax fiet quadratum completum , · si addatur 9 ª4 quod est quadratum hujus-+- \ª , quod quidem est dimidi~m coefficientis multiplicantis radicem x _pri- . mi t~rmini x & profe~to x ± 3 ax + 9: est quadratum completum hujus x ± \ª ( §. I 4 2 ). 2

;

Ra-

.. Pars II. ~.Ar..t~ lll~

·-~ 144--- ,Radix quad~ata extrahitur eodem . modo., divi-. -sione· in clases excepta , ac radix numeri pluribus notis constantis ( §. 88 ) : Sic ad extrahendam _radicem qua .. dratam hujus a + 2ax + x ita- disponetur quantitas: ·a' -+- 2ax -1- x 2 } ~- ~ ... a-+- x 2

- a2

± ,.2a

o -+- .2ax -1- -xi. ' =¡= º2ax '

·x 2 , ~e- ,

~·'e.e

o o "' Extraho radicem primi termini a"' , qure est + a; eam ad dexte; am · ~oc9 , ~ . s)lbt!°í!~to quadrato a quantitate _proposita, manet residuum ± 2ax + x: , in quo terJ11inus1 + 2ax exprimere qebe_t ( §. 142) .duplum prod~ctum radicis -inventre per alium secundum ~jusdem terrninum. Et .c erte , divid_endo + 2ax per + 2a duplum radicis- inventa!~ qp9~iens + x erit seéundus terminus r~r · dicis_ ( §§. 33, 14i) : in ea igitur pro secundo termino app0no ± -& qt;ioniam subtrahendo ejus productum + 2a , & ulterius ejus quadratum x residuo . + 2~x + x nil superest, constar quod radix hujus a + zax + 2x est ¿- a + x. -; -145 1 Quancto po~t di visione~ ., & u-lfiníam su btractionem aliquod remanet residuum; signum est quod radix plusquam duobus terminis constat ; & tune radix inventa accipietur tanquam unicus, ejusdem termin:us, & ~d alium qui superest inveniendum , ult-imum residuum dividetur per duplum radici~ jam inventre, procedendo in creteris sicut in exemp. antecedenti. 2

Exemp.

De Potentiis, é§ radicibus, &c. Exemp.

., ¡

Extrahenda sit radix quadrata 2

_2bc -t- b -t- c }a-t-b-c . . - a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2a ••• 1 d1v1s. ·: r. resid. o-+- 2ab- 2ac- 2bc·+ b -t- c'l. a

-1-

2:b -

2ac -

-b

- - 2ab 2.

ac - 2 be-+- c2 --+- 2 ac-+- 2bc-. c'I.

resi·d.•••• • -

3. resid . . . . . . . . . o

a+ 2'!,. 2 di vis.

Radix prirni terrnini est a ; subtraho ejus quadratum ~ quantitate proposita, & residuum dividendo per 2a , quotiens + b erit secundus terminus radicis: Subtraho itaque productum per primum divisorem 2a, ítem ejus quadra-tum b• e primo residuo , & divido quod superest per 2a + 2h, duplum nempe radicis inventre; quotiens - e erit tertius terminus radicis. il; Subtraho e secundo residuo productum hujus - ·e per 2a + 2b, secundum scilicet divisorem , ítem ejus ',: quadratum c & rernanet residuum o ; & ita inveniemus radicem quadratam hujus a 1 + 2a~ - 2bc + b1 ~ 2ac + c esse a + b - e. 146 Methodo multiplicationis difficile foret elevare polynomium quodlibet ad suas· potentias gradus superio.. r.is; nec confusione careret extractio radicum potentiarum irnperfectarum ; seu quod ídem est, ipsum ad potentias imperfectas elevare ; idcirco dabimus formulam generé\ .. lem-, qua utrumque faciliter consequi possimus. 147 Cum quodlibet polynomium a+ b - e+ d + &c. 1: reduci possit ad formulam binomii a+ s ; faciendo b c+d +&c.::::: s, patet quod si hoc elevetur ad unam poten tiam· 2

Pars II. Art. 111. tiam quamlibet q, & substituantur valores respondentes speciei s, ejusque potentiis, habebitur potentia q polynomii propositi. Hac ratione dabimus formulam generalem binomii. 148 Juxta dicta ( §. 122) habebimus ( §. 109) (a+b) 1 =a + b

(a±b) 2 =a 2 ±2ab+b" (a±b) 3 =a 3 + 3a 1 b+ 3ab 2 +b 1 (a+l, ) 4 =a+±4a3 b + 6a"b"±4ab3 + b4 ( a+ b) 5 =a 5 + 5a4b + 1 oa 3 b2 + 1oa.,.b 3 + 5ab 4 + h5 (a±b)6 =a 6 +6a 5 b+ 15a4b"+2oa 3 b3 + 15a"1 4 ±6ab5 +b 6 (a±b )1=a 1 + 7a 6 b+ 21a 5 b2 ± 35a4 b3 + 35a 3 b4 ±21a 2 b5 + 7ab"+b1

& accuratim observando omnes potentias prrecedentes, animadvertitur : Primo : Quod signa quorumlibet _terminorum, in quibus aliqua potentia impar secundre partis radicis invenitur, possunt esse positiva, aut negativa. Erunt positiva dum signa radicis sunt positiva ; negativa ~utem , du°:1 sunt dissimilia ; ac signa reliquorum terminorum esse positiva. Secundo: numerum terminorum cujuscunque potentire unitate excedere exponentem ejusdem ; sic numerus termi-n_o rum, quib!-Js constat potentia m unius binomii, erit m+ 1. Tertio : Quemlibet termiq.um esse productum , potentiarum · utriusque partís · radicis ; nam etsi in- primo non advertatur potentia aliqua speciei b, potest tamen considerari b.º== I ( §. I 14 ) ; & idem de ultimo termino respecta poteQ.tire speciei a. Quarto: Exponentem primre partis.quantitatis a binomii in primo termino esse semper eundem cum exponente poten tire quresitre, & in reliquorum terminorum singulis ex ponentem una u ni tate successive, & grada tim diminui, usque dum in ultimo deveniat ==o;- idcirco sémper omit-

ti~

De Potentiis, & radicióus, &c.

titur ( §. 1 r4 ). E converso exponentem secundre partis b radicis , in primo termino esse o ; in secundo 1 ; & in reliquorum singulis unitate crescere, usquedum in ultimo requalis fiat potentire quresitre. Et ita prrescindendo a coefficientibus, ?abebimus (a-+-b) 8 ==.b 0 a 8 -+- a1b1 -ta6b'1, ± a5b3 +a4b4-+- a3b5 -t- a'1,b6 ± a 1 b7 + a0 b 8 == a 8 :±: _a7b + a6b'1, ± a'5b3+ a4b4 ±a3b5-t-a'1,b6 -+--ab'l + b 8 ; & generatirri (a-+-b am ± am-z b + am-1. b'],·-+- am- 3 b3 + am-4 b~-+- am- 5 bS -t-&c. Quinto: Coefficientem primi termini esse semper unitatem : secundi esse constanter requalem ·potentire quresitre : denique singulos terminas habere pro coefficiente produétum coefficientis termini prrecedentis per exponentem, quem prima pars a binomii habet, divisum per numerum indicantem locum quem ínter alios occupat prrefatus ille terminus prrecedens: 8 Sic (a-+-b)9 == a9-+- .2..r a 8b+ 9I."2 · a1b"'± ~ a6 b3 + I.2,3 ~.8.7.<> aSb4-+-9.s.1.6.5 a4bS +· 9.8.7.6.5.4 a3b6 -+- 9.8.1.6.5.4:3 a'1,b 1 -t-

t ==

1.,.3.4

C).s.1.6.5.t3·; 1.2,3.4.5 . . 7.

84a6 b3+

1.1..3.4.5

abs-+I 2

1.1..3.4.5.6

9.8.7.6.5.;_3. 2. 1

89 1.2.3.4.5 .. 7..

1.1..3.4.5.6.7

b9=a9± asb + 6a7b,,.-+9 3 -

6a 5b4-+- 126a4bS +

84a3b 6 -+- 3 6a,,.b7 +

9ab8 ± b9; & generatim (a-+-bt==.am±.!!!..a_m-Ib+ m.-;;;=; I

•

b"'±:·.~· ;

'-am-3 b3-t-&c. usquedum exponensb am m 't E . · ( § ) m-1 ma s1 m. t quomam . I I 4 a == - , a &c. a a• Hos vafores substituendo in formula prrecedenti, habebimus . amb - - am h,,. - - - - amb3 (a-+-br=am±...'.'.:_+m. m-L_._ + m · m - I ~ -+.... ' a ' . a-i z • :z.. 3 a3 . am-

== _

&c.

Pars II. Art. III.

! ==.Q , ha-

&c. Si supponimus cum Newtone a:= P , & --+-

bebimus (a-+-bt== (P+PQt=Pm+!!:PmQ+~p mn 2 + ;<¡

t, , 2

pm :::=. . • • . • • • • • • • • • • • • • •.• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • A °i P'nQ:::= ~- AQ:::::: . ...• ~ . . • • . . • . . . . . . • • • • . . . • . B ~~ I

, 2

PmQz::= m~- I BQ==,...... .. . • .. . . . . . . . . .

en]) &c. habebimus ~ - • • • •· • • • en +~DQ+~ ( P+PQ)m-Pm+'.'!. AO+m-r BQ+~ 3 4 5 "'· m - I . m I

.. '2

PmQ, 3 --

r<.,

;<¡

EQ+&c.

H::ec formul~ deservit ad efformandas quaslibet potentias, tum perfeB:as, tum impetfeB:as ; sic ad inveniendam quintam potentiam quantitatis a.,+ 2x, faciemus (a'+2x)5=::.(P+PQt, ita ut m=::.5, P==a ~hoc est Q=::, & consequenter

2 ,

PQ==.2x, , ...

_ Io_ - · •..••••••.•••.••••.••••• .L"ZA P m_,..a 11,AQ,··_ S _ --5ª 10. 2 x-roax_ . ............ . B

,x 2_ - - BQ -__ -4 , I oa sX,-;:40a 6X - • ,- , •••• e 2 a m-• _ -. 3 - CQ, __ 4 o a6x 2 • 2x __ ,_ 8 o a4x 3 __, •••.• D m-I 2

4 3

DQ,==.2-. 8 oa x • : =::. 8 oa 2 x 4 :::= • •--. ••• E 4 4 " 4 5 ~ EQ == .:.. 8 oa"x • ~ == 3 2a ==· ...... F 5 5 a ~-í

FQ==

60. .

3 2Xí, ~

== º.

,..

•

Sic-

De Potentiis, E5 radicibus, e;tc. Sicque habebimus (a'l

+ 2.x) 5 == a º+ 1oa8 .x + 4oa6.x'l 1

+ 80 a4.x3 + 80-a• .x4 + 32x 5 •

Ad inveniendum valorem ~(a•-"x'), faciemus

1/'(a'l--x

=(a -x3)~=(P+PQ,t; hoc est m=¡, P=a\ 2

3 ) -

Q=-::,

& ita habebimus Pm= a¾ = A ; !!!..l AQ, = 2.. A. - x: = B; 4 • 3 ~2 B n ~-==c-n -D & C, ~ -- _ .l.B 8 ° - ~-C· a ? 3 ~ - 2C-" I • A._& substituendo valores quantitatum A , B , C &c. erit, 2

•,¡¡,/-( 2

3) -

v a-

x -

a - -,, • a-3-.:

. Faciendo ( §. l1oc -est m = - 1 r

·+ 2 l "'

_ _

I I

P 4

x+ x2

1 -

6 3

r_,:_,; 2

• - -7

a ;:

15x 3

384a

V2a:i

"i"

=(P

-t-

PQ,t,

& Q, == ~• == x\ habebimus r. . • I x + & c. s·1 iac1mus ./( ,.) = -v 2ax-x

2 a , ac pro 1et ..,./(2 ax-x "')

• - .,

JzS

?:i/ ;.,-·~= -132a '112.ax

& c.

1 ,

= - a:i.

1-1-x ) -

(2ax - x )-¾==(P+PQ,t, erit m = . . /) -x• -:e . dº I ~

9 7

-1- &c.

2 •

P = 2ax, &

=--= + v

'llaax

4av. 2ax +

2ax

--=

-1- ~

,¡a

·+

+. '

3xs

,¡.Sa•

-~~+&c. 4.S.12al 149 In nuJ11eris ad potentias elevandis, ac radidbus extrahendis, uti poterimus hac formula, am + mam-1b + 11r.m::. 1 am-'1 b' &e, qrne in casu occurrente determinabitur, substítuendo quemlibet numerum 1itterre m. Sic ad ele. vandum 23 ad suam quartam potentiam faciemus m==4, & ita habebimus am-+- rnam-l b -+- m.n~ I a111- 2b?. -+- &c. a4 + 4a 3 b + 6a• b1. + 4ab 3 + b 4 , & faciendo a== 20, & h=3, erit (20+3) 4 == (20)4 + 4 (20) 31 . 3 + 6, ( 20 )1. 3 + 4 . 20 • 33 + 34 === 160000 + 96000 +

21600

Pars II. Art. III.

21 ·600 -1- 2160 -+- "81--:-- 279841. Ad -extrahendam radicem ·cubicam num. 13824, ·utemur eadem formula am+ mam-Ib + &c. qme determinabitur faciendo m 3 , a.e in hanc convertetur a3 + 3a2 b + 3ab• + bl • Numerus propositus dividendus in classes tot notatum, dextra incipiendo , quot unitates in indice radi/ cis sint, 3 v.g. in' casu proposito. Postmodum proce-·datur sicut .in extraétione radicis quadratre ( §. 88 ): Idcirco cum 8 sit cubos majar· , qui in classe prima ad lrevam, continetur, faciemus a 3 == 8 , quem quidem sub 13 apponemus, ac ejus radicem cubicam 2 ad latus ; & ita classe immediata inferius posita, prima nota residuo 13 8 unita, quasi dividendurn contemplabimur, · jux'ta id quod formi¿la indicat, per valorem scilicet 3a ad secundam radicis partem inveniendam , nempe == b; sµbtraétis deinceps numero proveniente primo resi.. · duo , & serie infra posita , produétis, qure formula in-dicat, sicut in ex. apparet; hoc prre oculis habito, quod si continuanda sit operatio ad aliam notam radicis inve.. niendam , nota ja~ inventa. fiet == a ·: póstmodum fiet , divisio per valorem 3a' ad tertiam inveniendam, nem'pe -== b ; & ita deinceps. ·

13,824 ;. r 24 ~ :: : divisO.f ---

5824 5824 0,000

3a"b=48 3ab,,=.96 bl= .. 64 5824

a 3 == 8 a= 2 1ª Not. rád,· a'= 4 3a"=r2 divis. b 4 ~ :2 ª N ot. rad.

3a.,_b =48 b' =r6 3a== 6

3ab'=96 '

Ex-

;

De Pot:entiis,

& radicibus, &c.

ExtraéHo 'radicum numericarum , cullY'sat impleta sit , ad Logarithmos recurrí solet. '

P ARS 1

De Analysi ,

¡,

T E R T I A.

& resolutione cequationum.

ARTICULUS

PRIMUS.

De requatiónibus prirni gradus. 150 1 :,)

¡ ,,

;

A_Nalysis est pars Algebrre , docens methodum resolvendi problémata, mediis requatio

nibus.

151 .lEquatio est ratio requalitatis inter duas quan,t itates, ex cognitis, & incognitis compositas ; exprimiturque signo ( ==) : Sic ax+ q == m significat quantitatem ax + q esse requalem quantitati m. Quantitas ad lrevam signi ==sita, dicitur primum membrum requationis; qure autem ad dextram secundum. . 15 2 Quantitates ~ognitre ( qure etiam datre nominantur) exprimí solent per primas alphabeti litteras , a, b, e &c. : incognitre autem per postremas, z, x, y &c. 153 .lEquationes, in qua unica est incognita, dicuntur determinatre ; si vero piures sint incognitre, indeterminatre. 154 .lEquatio dicitur primi gradus , dum incognita primam potentiam non excedit ; bree v. g. ax+ b x + b n - ex. Si autem incognita elevata sit ad secundam potentiam dicitur secundi gradus: v.g. ax+ ex + n ==.m;

ac generatim xn-t-d xn- -t-q-==.r erit cequatio gradus n.

155

Finis requationum est invenire valorem incognita-

Pars 111. Art. l. tarum , quod quidem obtinetur mediis quibusdam operationibus , quibus illresa requalitate , incognita in uno requa.; tionis mem@ro sola remaneat. Hoc resolv ere problema dicitur , & valor sic inventus radix cequationis, qure qui... dem positiva, negativa, aut imagina-;:ia erit juxta va-lorum naturam. · Hre operationes in axiomatibus fundantur; quod nem.. pe si requalibus requalia addantur, aut substrahantur: si • requalia per requalia multiplicentur, aut dividantur: si ad easdem potentias eleventur, aut ex eis eredem radices extrahantur , aut requalibus substituantur, &c. remanent requalia. 15 6 Quando incognita , qure· segreganda venit , format summam, aut differentiam cum quantitatibus cognitis , substraérione in rº., & additione in 2° casu utendum. Sic si x+b==.d , tollendo b ex utroque membro , erit x+b -b==.d-b; hoc est ( §. 101 ) x-==.d-b similiter, si x - b == m , addendo b singulis membris erit x - b + b ==.m+b, hoc est x==.m+b ( §. 101 ). 157 Ergo quicunque terminus sit in uno membro requationis , poterit transferri ad aliud cum signo contrario , modo ab altero auferatuJ:" ; hanc vocabimus ttanslationem , qua media quilibet terminas -e positivo fieri poterit negativus , & vice versa. 158 Dum i~cognita multiplicatur per unam, aut plu~ _res quantitates, segregatur dividendo duo membra requa-tionís per totum faét:orern , prrediB:am incognitam multi ... . · · b · · mx a-t-1> h oc es t m Plicantem: 1ta s1 rnx ==.a+ , ent e tiam - m· ==-, x a-;::-n. E tiam : si ax -+- bx - x a , erit ( a + b - I )

X ==- a,

a-t-ba-+- b-

a & • X == a -+-b- - I , oc est X ==a -+-l 1 1- -r • reperiatur incognita ranquam faB:or omnibus requa_ tio-

De ./Equationibus primi gradus.

tionis terminis communis inveniatur , simplificabitur dividendo omnes terminos per incognitam : ita si a:;: ax+bx1. ex h b _e, • • 2 -1- b x ex , erit et1am x , ==-;- , oc_est a+ x •

e-a & d enique x -b- • 159 Dum incognita per unam , aut plur~s quanti.. tates dividitur, ah eis liberatur multiplicatis duobus membris . requationis per totum divisor~m incognitre : ita .ettam . ª" ,. s.1.,: -;;- == m, ent -; am, h oc est x = am. Eº t1am, s1. a-+-•

• (a+b),: b =n,ent a+-b =:n ( a+ b) , h oc est x==.na+n. 160 Semper a<; in aliqua requatione occurrant termini fratt:ionales , ab eis liberabitur , multiplicatis ambobus membris per produétum omnium denominatorum. Sic si !:.. - ~=:;!:.; erit rnt.iltiplicetur per mpq ·, mpq:,; - ~ q

m~qb,

hocestmpx-npqx:=mqb, vel (mp-npq)x

== mqb,

& denique _!!!J}:_ ( §.. r 5 8) mp-npq 161 Dum incognita elevatur ad quamlibet potentiam, depuratur media extraétione radicis ejusdem indicis cum exponente potentire; ideoque si hic fuerit numerus par, & signum prrecedens incognitam fuerit negativum , fiet per translationem positivum ( §. r 5 7 ) . Sic si xz== 6 4a3bz, erit

V x1. :=-+-V 64a bz, hoc est x ==~V64ai.abª :::=:-+- 8 ab Va; ac generatim si -x'l"'==c"- a'I erit 3

x 2 m = a "-cri, & x =::: -+-Va-q-=..-=.-c'\ Denique si incognita affeéta fuerit aliquo signo radicali, idipsum obtinetur, si spolietur radicale , ac post• modum elevetur utrumque requationis membrum ad potentiam ejusdem exponentis cum indice radicali: sic si e aq 162

Pars III. Art. l. aq+Vx:=b, erit 1}1/ x ==.b-aq, hoc est x=(b......:..aq)3 =b3- 3bz aq+ 3bazqz-a'3q3. Item, si ax-Vx==q,

fiet ax-q-:=. x, & elevatis ambobus membris ad secun• dam potentiam (ax-qt:=.x, seu x·=azx,,,-2.aqx+qz, & fransferendo a'lx~ -

2aqx -

X= -q"' seux'), ,

(2aa9;

1 )

x-==-a 2•

16 3

Regulre .adhibitre servient etiam pro illis casibus, in quibus plures in requatione incognitre inJeniantur, mo-do tot adhibeantur requationes substantiales, quot fuerint incognitre. N am unam ex requationibus sumendo , atque incognitas omnes, una excepta, tanquam cognitas tractando, hujus valorem inveniemus in quantitatibus , aliis quideni cognitis , aliis autem incognitis, qui quidem si in reliquis substituatur, requationum, & incognitarum nume.. rum unitate minuet ; & ídem cum ~reteris , quoties opus fuerit , exequendo , ad unam requationem tandem perveniemus, in qua unica sit incognita , cujus valorem per regulas adhibitas circa quantitates cognitas , facile inve.. niemus; ac retrocedendo , & substituendo valorem ultimo inventum in creteris requationibus , invenietur valor omnium incognitarum. Sic supponendo x+by==.c'",qy==m-fx,traB:ando 1,mice tanquam incognitam x in prima requatione, habebimus x::=.c -by, cujus valor substitutus in secunda requatione dabit qy==. m -f(c'"-by) ==.m-fc'"+ f by, ubi jam unice incognitam y habemus, cujus valor invenietur si requatio per regulas adhibitas fiat ; ita transferendo, 2

erit qy. fby-:=. m-fcz ; hoc est y -:=. ': ~,,, ; si hic valor y substituatur in · .equatione x-:=.cz, -

by , habebimus x == cz

- b.

De /Equationibus primi gradus.

'1t ,

~- b ~ ~ & ita compertus manet valor utriusque incogaitre. Similiter, supponendo x+z+ y=b, :y;- z -y= e, JG'+z-y==.a, habebimus pro prima requatione x = b - z -y, cujus valor substitutus in secunda requatione dabit b -z-y-z-y=c,hoc est ( §.101 ),b-2z-2y_c, ubi jam solum dure incognitre inveniuntur. Accipiendo itaque y tanquam incognitam , & transpositione utendo habebi... mus b - 2z-c:= 2y, hoc est y b-:t-c, substituendo

in tertia requatione hunc valorem y , & ante inventum x, pro• diet b-z-(b+z-c-:r-c)==a, seu C -f- 2% 2 ;-')

::=a, boc est z==~; si retrocedatur substituendo huné 2 valorem z in requatione .Y b eritJ1 b-a-:-c-c

== .:-:t-c, = = b ª; ~ denique substituendo hos valores JI & z in requatione x == b - Z-JI , habebimus x == b ·- ~ - ~ & • . . 2

1.b-a-+-c-b-+-a

b+c == --;,

Ita orones mcogmtre x , JI , z 2 cognitre manent. _ , I 64 Incognitre etiam depurantur additione , & subs... traél:ione requationum, in quibus inveniuntur. Sic si x + y= a , x - y b , additione habebimus 2x a+ b, hoc est x== substraél:ione autem habebimus 2 JI== a a-l, - b , seuJI Verum si incognitre coefficientes habeant, prima requa... tio multiplicabitur per coefficientem, quem incognita qure disparere debet, habet in secunda requatione ; & hrec per- coefficientem ejusdem incognitre in prima : hinc prodient alire dure requationes , in qui bus media additione , & substractione, una ex incognitis dispare bit : sint v.g. ax +by= e,., mx + ny d, multiplicata prima requatione per m, & secunda per a,erit amx+bmy:=;mc'-, am x+ e2 a

ª-;-1,: == 2

Pars III. Art. l .

·'

a n y:::::: ad , in bis duabus requationibus subtrahendo se... cundam prima habebimus b m y-'a n y==: me" -ad,· hoc est ji ~ ª d-:;: e" ; ut eadem methodo inveniatur valor x, multiplicetur prima requatio per n, & secunda per b, ha.. bebimus n ax+ n by == n e,. , b m x + b-n y == b d , & sub.. trahendo secundam prima , erit n ax - b m x ==: n e"; - b d , hoc est x == ~ b b d. Generatim quando terminj na- m identici resultantes post multiplicationem, habent eadem signa , subtraélione utendum ; si autem díssimilia , additione. Calculus iste , dum plures quam dure incognit~ ~unt , implicatus est.

ARTICULUS

11.

De Resolutione ¡,equationum secundi gradus. 165

21:' Quatiopes secundi gradus vocantur hre, in .In quibus incognita elevara reperitur ad secun-

dam potentiam ( §. 154 ) . Harum alire simplices sunt, alire affeC!te. . 166 Simplices sunt illre , in quibus secunda potentia incognitre unice continetur. Sic e x 1 + d x,. :::::: n erit - ::equatio simplex secundi gradus, cujus resolutio ex regulis n, erit nuper adduétis pendet; ita ut si e x 1 + d x etiam(c-t-d) x?.=:n, x?,.== e-..::_d, & .x n . e -+- ¿• 167 .lEquationes affeC!te sunt ill:.:e , in quibus ultra' secundam continetur etiam prima potentia incognitce. Sic x~ + b x = m erit requatio affeB:a secundi gradus, ad cu.. jus resolutionem sequentia servari debent. 1.º Omnes termini , in quibus incognita reperiatur , transferantur ad unum ::equaúonis m~mbrum , ita ut terminas continens maxi1

·==

= ±V

De Resolutione cequationum, &c. 67 maximam potentiam sit positivus ( §. 157 ). 2.º Maxima potentia incognitre non habeat alium coef:ficientem, quam unitatem ( § §. 15 8 , 159 ) . 3. º Addatur cuilibet membro quod necesse sit , ut illud in quo est incognita, sit quadratum completum ( §. 143 ) . 4.0 Extrahatur radix quadrata uniuscujusque membri, ac postmodum transpositione habebitur valor incognitre. Resolvenda sit requatio a,,, - :: == e -t- x , transfero in primis omnes terminos, in quibus est incognita, ad onicum membrum, ita ut illud in quo est maxima potentia, sit positivum : erit x == az - e , si a maxima poten tia tollatur coefficiens , habebimus x,,, -t- 2 dx

:~-+-

azd - 2 ed , & quoniam membrum , in quo est incognita , non est quadratum completum ( §. 142 ) , com.. plebitur addendo dz , quadratum nempe 22d ( §. r 4 3 ) ; & addendo alterí membro eandem quantitatem d ,. , ut sit requalitas, habebimus xz -t- 2dx -t- dz == 2a,,, d 2ed + dz, & extrahendo radicem, erit x-+- d == ± V(2azd- 2ed+dz), seu x==-d±V(2a -2c+d)d. . ax z bcx l,m S1t -b- - - ex == m , ent et1am x -;; == 7 , com~ plendo quadratum ( §. r 4 3 ) habebimus x,,, b- 2c., bm b' c '2 & h d r d . be -t- - ,. extra en o ra 1cem x - ± 2

== -

4«

•

-V(bm a

•

+ -b4 a

2 :

seu x

2.a

~-+.!... za 2a

V(4abm + b,,_e,,,).

Si xz -t- bx - ex =: a,,, , erit etiam xz + (b-c) x ==a?, complendo habebimus x,,, + (b-c) x + (b e)"' == a'l -1- (b2 e) z , & extrahendo radicem x -1- b2 e== -fV (az + C• :),,_), seu x==- b z c±V(az+ b2- 2!c-+-c2)-• 2

-h-+-c-l-.((4a ' -+-b2~2bc-+ c2) •

AR-

)

Pars III. Art. III. A R T I C U L U S I I J.

· De Resolutione analytica prob!ematum arithmeticorum. . 168

CUM resolvere problema nil aliud sit ( §. 155 ) quam invenire valorem unius , aut plurium

incognitarum , mediis aliis quantitatibus cognitis, necessario respeétus ínter duo bree, quantitates nempe cognitas , & incognitas .adstrui debet. Et ita ornnis opera in co locanda, ut nempe ~xplicentur ornnes conditiones subs~ Jantiales problernatis , mediis requationibus exprimentibus respeét:um, qui datur ínter quantitate~ cognitas, & incog~ nitas. Et ut problema determinetur, opus est ut numerus :.equationum requet numerum incognitarum, cujus valor per regulas allatas invenietur. · 169 Problem. 1. Numerum invenire, · qui requalis sit produéto ejus dimidii per sextam partero. Solut. Sit x numerus qriresitus : erit ejus dimidium ½x, sexta autem pars ¾x ; igitur juxta conditionem problematis , habebimus ½x. fx:::::: x , vel quod ídem est -!a:x• x. Si om.. nem requationem per i-2 multiplicamus, ac per x divi1 2. Ergo hic erit númerus qure .. dimus , habebimus x situs. 170 Problem. 2. ])uos numeras invenire, quorum summa sit == a , & differentia:::::: d. Solut. Sit x numeras majar , z numerus minor. Juxta cónditiones probled. Additione prodiet matis , erit ~ + z :=: a , x -·- z

x ::= a -+- d ; vel x == a-:-d , ac subtrahendo secundam ~ . d , ,ve1 % == a-d e' prima 2 ~ == a - 2- • 2

Ergo ex duabus quantitatibus in~qualibus, major requalis est semisummre , addita semidifferentia : minor <. 171

De Re.solutione analytica, c.5c.

n.or requalis est semisummre , detraB:a semidifferentia. 172 Problem. 3. Eleemosynarius quidam , distri~ue.. re voleos· pauperibus certam nummorum portionem, ani~ madvertit , quod ut singulis 3 denar. tribuat , desunt ei, ~ ; si aútem det 2 , supersunt 4. Qureritur num-erus pauperum , & denariorum. Solut. Sit numerus pauperum ==: x ; & ut problema universalius fiat , sit 3 ==: m, 8 == n , 2 == p , 4 · q ; & quoniam distribuendo sirigu_., lis - denarios m, desunt denarii n, numerus denariorum, quos habebat eleemosynarius , erit mx - n ; verum quia distribuendo singulis denarios p, supersunt q, erit etiam juxta hanc conditionem , numerus denariorum eleemosy~ ñarii px + q : ergo mx - n ==: px + q , & transporiendo "!!;e - px ==: q -t- n , & x == ==: numero pauperum; cumque sit numerus denar. mx - n == px + q , substi• (uendo in utraque expressione valorem x , habebimus numerum denar. == m. m-p q-+-i, n ==: p. m-p q-+-n + q ==pn-+-qm m-p' & itasubstituendo in ambabus formulis valores m,n,p,q, erit numerus pauperum x == == ;--+-! 1 2 , & nu4 merus denar-. :__ pn-+-qm ==: 0; -+-2....:.1 ==: 2 8 • m-p 173 Problem. 4. Cognita velocitate unius cursoris: éognita etiam velocitate alterius , qui illum , post certum tempus, celerius subsequitur, invenire tempus occursus. Solut. Sit spatium primo ( diario v. g.) peréursum -:- a ; a. secundo ==: b ; tempus prrecedens egres. sum secundi ==e, ac tempus ( quod ignoratur) occursus == x ; spatium primo , ante egressum secundi , percursum erit ==: ac; percurrendum autem postmodum, quod ignoratur ==ax; percurrendum autem secundo tempore quod qureritur , erit == bx , ita ut juxta conditionem problematis, dum occm:sus verificabitur, .erit ac + ax==. e4 b:s;

~-+-;

:-+-;

Pars JII.Art. III. bx ; transponendo erit ac • d emque

ac b~a.

=bx - ax = (b-a) x ;

174

Problem. 5. Cognita distantia ínter duos locos, quibus contraria direétione exeunt s¡nguli cursores; cognita ítem utriusque velocitate , invenire tempus occur·sus. Solut. Sit distantia inter duos locos== a, spatium diario primo percursum h, secundo == e, ac tempus ante occursum impendendum M; erit spa.. Hum percursum primo ant~ tempus occur&us == bx: secundo ex ; unde attenta distantia , proculdubio erit a -= bx -;- ex .== (b-t-c). x , & x == b-+-e ~ , atque bree expres.sio manifestat numerum dierum ante occursum; post utriusque egressum , impendendum. 175 Problem. 6. Cognita velocitate (diaria) curso... ris , & distantia ab uno loco ad alium , dies pr.:ecise invenire , quibus alius eum assequetur , ita ut ÍQ termi...: no assignato hoc :fieri debeat , nec non & numerum leucarum , ad boc percurrendarum. Solut. Sit iter diarium primi == a , tempus ante secundi egressum == e , distan-tia in ter duos locos == b , terminus designa tus m , dies secundo impendendi ==y, leuc~ diario ab eodem per.. currendre == x. Erit iter percursum a primo ante egres~um secundi == ac; quod percurrendum superest == b -· ac; quod percurret tempore y== ay; percurrendum secundo tempure y xy ; cumque b sit disfantia ínter duos locos , erit terminus designatus ad occursum b m : Igitur. conditiones problematis sunt xy == b - m; ay ==: b - m - ac , extrahendo valorem y in secunda requatione, erit y == o- ~ ~ qui quidem substitutus in ª• _(b_ _m_i a - - _ a_b- _ n'!!_. pnma, dabit X --- b--m - ac b- m -ac 176 Problem. 7. Duos numeras invenire , quorum ,,._ pro-

== a

De:Resolutione analytica, eje.

produéb, summa , & di:fferentia quadratorum sint requa.. lía. Solut. Sit numerus major x, minor y; erit x +y~ xy ; x" -y" == xy ; dividendo secundam requationem (-"-::~) :1'. hoc est x - y I Per primam ' erit (x-+-y) :.-+-y :r:y ' ' vel x ~ 1 +y, cujus valor substitutus in prima requatione dabit 2y + 1 ==y 2 +y, vel y 2 -y== 1; complendo quadratum ( I 4 3 ) habebimus yz - y+ : 1: + .!... 1, & extrahendo radicem y 2.. ± v' l..4 , 4 4 2

seu y 1

== == -+:_v 5 ; 1

hic valor substitutus in requatione x

+ y · dabi t x == 1 + - : 1/ 5 3--+-:,-" 5 • 177 Problem. 8. Invenire duos numeras x, y, tales 1

ut summa priini , & duplum secundi sit :::::r: 80 , ac differentia, subtrahendo triplo primi quadruplum secun.. di , 24. Sol. Sit , facilitatis ergo, 80 == a , 24 b. Erit x + 2y a, 3x - 4y == b ; multiplicando primam ~quationem per 3 coefficientem x in secunda , & hane ab illa subtrahendo, habebimus 1oy 3a -b, seu 3 :Y == ª10 b , cujus valor ;ubstitutus in requatione x + 2y 6a-2b _ 6a-1b a , d at x + - _ a , hoc est x __ a - - .__ 10 10 8 14 3 • ºza-+-b ; & substituendo valores a & b erit y 5 10 ~ I -¼- 2:.. X ::...:30+.24 3 6 -f- .1.

5•

. 178

Problem. 9. Data summa duarum quantitatum, nec ncin & quadratorum , diétas quantitates invenire. So~ut. Sit summa duarum quantitatum 2a : quadratorum === 2b : quantitas major == x ; erit quantitas minor 2a - x , ac juxta conditionem problematis xi],+ (2a - x / 2b, seu 2x 2 -+- 4a2 4ax 2b; transferendo , & dividendo per 2 , xz- 2ax==b- 2a\ complendo, & extrahendo radicem, erit numerus maJor,

Pars 111. Art.111.

jor", X a-+- v (b - az) , cujus valor subs titutus in expressione 2a - x , nempe numeri minoris , erit hic =::: 2a - a=+= v(b -az) a -1- V(b- a'''); nec miran-· dum signa inferiora , qure radicale prrecedunt , non resolvere problema , quoad id quod est nu merum majorem significare formulam primam , minore m autem secundam. Nam requationes nonnunquam ín ter veros valores dant etiam superfluos;· quod quidem oritur ex complicatione operationum in illis peragendis , in quarum progressu verisimile est tacitas aliquas conditiones mi~ceri, numerum radicum augentes; verum facile superflu::é veris discernentur , si successive locentur omnes valores in cuné:tis requationibus. 179 Diximus ( §. 168 ) ad hoc ut proble ma sit determinatum , requiri numerum requationum substantialium , quibus conditiones proportionantur , requare numerum incognitarum ; hoc est , conditiones debere re ipsa , non specie tenus , ditferre. V. g. Qurerantur duo numeri x , y quorum summa sir 2a , semisumma autem a ; juxta has conditiones habebimus x + y =::: 2 a , == a ; multiplicando . per 2 secundam requationem , resultat x + y 2a , qure eadem est ac prima; ác proinde unica est conditio problematis , Iicet diver.. sre appareant, cum unica sit requatio. · In hoc casu , ac similibus , in quibus mioor est numerus requationum, quam incognitarum , problema vocatur indeterminatum; nunquam enim pervenire poterimus ad reguationem , in qua unica sit incognita ; & ideo unius ex illis valor arbitrarie determinandus , ut reliqure cognoscantur. Qure• runtur v. g. duo numeri x ·, y quorum summa sit 8. Ut qiaxime laboretur, non invenietur nisi bree requatio

s-:-y

x+y

De Resolutione analytica, é§c.

== ==

x +y= 8 , vel x 8 - y ; unde ad inveniendum vaIorem x, determinandus est arbitrarie valor y. Supponamus itaque y 28 ; erit x == - 20 ; & ita resol u-

! tum

manet problema, quod quidem tot solutionum, , quot y valorum capax est. Aliquando horum problematum solutio ad motlica restringitur , dum nempe conditio adhibetur , quod numeri sint integri , & positivi; ob quod semideterminata nuncupantur. Sed h::ec tanquam curiosa potius , quam utilia , consulto pr::etermittimus.

Q U AR T A. De Rationibus , & proportionibus. P AR S

ARTICULUS

PRIMUS.

De Rationibus , & proportionibus in genere.

180 Atio duarum quantitatum est comparatio unius, qure vocatur antecedens , cum altera ejusdem . speciei , qu::e dicitur consequens. Antecedens , & consequens dicuntur termini rationis , & indicant tertiarn aliam quantitatem , qu::e vocatur exponens , aut denominatpr ratio nis. 181 Durn comparatio ordinatur ad qu::erendam differentiam ínter antecedens , & consequens ,. ratio dicitur Arithmetica ; si autem ad investigandam continentiam aB:ivam, aut passivam mutuam antecedentis in consequente , Geometrica. 182 Ergo- ex pone ns ratiorús arithmetic::e , seu di:fferentia ínter duos ejus terminos invenietur subtrahendo terminum minorem e majori ; geometric::e autem. dividendo unum terminum per alium : sic si e - b d,d erit

Pars IV. Art. l.

erit exponens rationis arithmeticre e ad b ; similiter, si e : b q, q erit exponens, seu denominator rationis geometricre e ad b. 183 Dum antecedens requale est consequenti , ratio dicitur r,equalitatis ; si majus est , majoris inr,equalitatis: si minus minoris inr,equalitatis. 184 Si una ratio majoris, aut minoris inrequalitatis , cum alia simili comparatur, illa erit major, cujus exponens major sit ; sed si exponentes sint requales, ra~ tiones etiam erunt requales ; & in ho.c casu duo termi~ ni unius dicuntur esse in eadem ratione cum duobus terminis alterius ; sic si a - b d , & e- f d, erit ( §. 9 ) a -. b ==. e -f, quod indicari solet hoc mo... do , a . b : e . f, legiturque : a est arithmetice ad b, sicut e ad f. Similiter si a : b == d, & e :f ==. d , erit ( §. 9 ) a : b =::. e :f, vel a: b :: e :f. Significatque a esse geometrice ad b , sicut e ad f; & in hoc sensu dicimus quod termini primre rationis sunt direéte sicut ter.. mini secundre , hoc est primum , & secundum antecedens reque se habere ad suum consequens. Sed si comparatur ratio majoris aut minoris inrequa.. litatis cum alía requali, minoris itidem , aut majoris in .. requalitatis, tune termini primre rationis erunt inverse, seu reciproce sicut termini secundre ; hoc est quod primum antecedens est ad suum consequens , sicut secundum consequens ad suum antecedens. 185 Ergo si duo termini unius rationis sint inverut duo termini alterius, cujuslibet ex illis termini invertantur , erunt ~ireéte in eadem ratione. 186 lEqualitas duarum rationum, seu dure rationes requales formant unam proportionern ; arithrneticam quidem , aut geornetricam , prout rati()nes f4erint arithrpeti-

De Rationibus, é§c.

ticre , aut geometricre , & exprimí solet modo indicato ( §. 184 ). Ex quo infertur unam proportionem cons.... , tare quatuor terminis , quorum primus , & ultimus vocantur extrema , secundus , & tertius media. 187 Dum termini unius pro portio nis tales sunt , quod consequens primre rationis est etiam antecedens secundre, dicitur proportio continua ; sic a . b : b . e , & a : b :: b : e sunt proportiones contínure , illa arithmetica , bree geo .... ¡¡ metrica. Mos est primam- sic exprimere -;-- a . b . e : se¡; cundam -:-:- a • b • e ; in utraque secundus terminus h dicitur medium proportionale, in prima quidem arithmeticum , in secunda geometricum. 188 Proportiones continure plusquam trium terminorum efformant progressionem, qure quidem duplex est: Arithmetica nempe, & geometrica. llla est series terminorum ., in quibus eadem est differentia uniuscujusque ad sibi proximum : bree , in qua quilibet eodem modo in sibi immediato continetur. Si rationes componentes progressionem sunt majoris inrequalitatis, progressiones sunt decrescentes ; si autem minoris inrequalitatis, crescentes. :,

ARTICULUS II.

De Rationibus, Proportionibus, & Progressionibus arithmeticis. 1

189

51-rum comparamus duas quantitates a, & b, quadifferentia supponantur & > ha-

d, a b, bebimus ( §. 182 ) ·a - b == d , hoc est b == a - d. Si supponimus b >a, erit b-a ==d, vel b == a +d, & ita b == a + d , hoc est quod consequens unius rationis arithrneti~re est semper requale antecedenti , addito, aut de..:. '

Pars IV. Art.11. detraé:l:o exponente rationis , prout ratio est aut minoris inrequalitatis , & notatur signo +, aut majoris inrequali.. tatis, & notatur signo-. Consequenter omnis ratio arithmetica poterit reprresentari per a . a + d ; ita si quantitas qurelibet exprimatur per b , & ejus differentia , qure.. cunque illa sit , per d , ratio arithmetica inter illas erit b. b

190 Ergo Ofl?.nis pro portio arithmetica generaliter poterit reprresentari pera. a + d : b . b + d. Nam cum dure rationes sint requales ( §. I 86 ) , exponens debet esse idem in u traque ( §. 184 ) ; cumque a , & b reprresentent antecedentia, si d supponatur exponens rationum , a + d , & b + d erunt consequentia ( §. 189 ) : ergo &c. 191 Theor. 1. In omni proportione arithmetica sum.. ma extremorum , & mediorum requales sunt. N am omnis proportio arithmetica generaliter. reprresentatur per a. a+ d: b. b + d ( §. 190 ) ; ergo quidquid in hac ve .. rificatur , ubique verificabitur ; sed in hac summa extre• morum , nempe a+ b+d ==a+ d + b, qure est summa b + c. mediorum : ergo &e : ita si a. b : e • d , erit a_+ d 192 Igitur si proportio est continua, summa e:xtre-morum erit requalis duplo medii. N am si + a . b . e ( ·§. 187 ) ídem est ut a. b: b. e, erit etiam ( §. 191 ) a + e ::::: b + b zb, & dividendo hanc requationem per 2 erit b == "-:-'". Hoc itaque significat , quod medium proportionale arithi:neticum est requale semisum~a? extremorum. 193 Theor. z. Omnis progressio arithmetica potest generaliter reprresentari per + a . a + d . a + 2d . a ± 3d &c. N am cum duo primi termini progressionis arithmeticre sint etiam antecedens ; & consequens rationis · arith-

De Rationibus; é§c.

'·

arithmeticre ( §. 188 ) , posito quod a sit aritecedens, & d sit exponens rationis, consequens erit a+d ( §. I 89 ); & ita differentia ínter primum terminum a , & secun-· dum .a·+ d est + d ; ergo cum eadem interve~ire debeat :, ( §. 1 8 s- ) in ter secundum a + d , & terti um , erit hjc , á + d + d-==. a+ 2d; quartus similiter erit a + 2d -+d-==. · a + 3d & sic de creteris , signo + crescentibus , signo-· decrescentibus inserviente ( §. I 8 8 , I 89 ) . Ex hoc· theoremate deducitur, · 194 Primum : quod in progressione arithmetica quilibet terminus componitur ex primo , addito , vel substracto producto exponentis communis per numerum terminorum prrecedentium. Sic q~artus terminas progressio·, nis propositre est a + 3 d, & generatim terminus n dictre 1, progressionis erit a + n-1 d. 195 Secundum: quod in omni progressione arithmetica summa extremorum requalis est summre quorumlibet duorum aliorum terminorum reque ab illis distantium, aut si termini progressionis sint impares, duplo termini medii. N am si in formula gene·r ali progressionis sumimus v.g. septem primos terminas --=- a. a+-d, a+ 2d. a±3d. a + 4d. a + 5d. a + 6d, habebimus. I ••• Sum. extrem. == a + a + 6d 2 ... Sum. 2. & 6. term. == a+ d + a+5d==. í 2 + 6d S . .. Sum. 3. & 4...term. a+ 2d + a+ 4d::::: E & · .4... D up. ·1 me ¿·.u term. == 2 (a + 3d) == rgo c. 196 Tertium: quod summa omnium terminorum progressionis arithmeticre requalis est producto summre extremorum per dimiq.ium omnium terminorum. Sié multiplicando za+ 6d summam extremorum per {, dimidium nempe numeri terminorum, habebimus (2a + 6d)-".. == a + a ± d + a + 2d + a + 3d + -a + 4,d + a + 5d + a + 6_d == 1

== "),

rª -

Pars VI. Art.11. ,,-

+ 21d ; qure pro prietas, po~ito quod s significet sum.. mam terminorum progressionis , n numerum suorum ter... minorum, a primum terminum, & v postremum , _poterit

generaliter exprimi per s

= (a +v): •

197

Probl. 1. Datis tribus ex quinque, quibus constat una progressio arithmetica , primus terminas = a , ulti~ mus = v , differentia communis = d , numerus terminoru m = n , & omnium summa s , invenire illico unum ex duobus aliis. Supponemus progressionem fore crescentem , cum decrescentes possint fieri crescentes , fa.., ciendo primum terminum :::. v, & ultimum a. Hoc supposito habebimus ( §. 194 ) v =a+ ñt= 1d

a -1- nd - d ; a v nd -1- d ; n ::::::: 1 + " d--3·; etiam habemus ( §. 196 )s=(a+v): =na-:-n", ex qua requatione quatuor alias formulas deducere possumus. Si hac ultima requatione 25 =na+ nv substituimus valorem a , in prima inventum, habebimus 25::::: n(v- nd + d) + nv = 2nrY- dn' + dn, ex quo quatuor alire formulre prodire valent. Substituendo in eadem ~quatione 2 5 = na + nv valorem v inventum in prima, resultabit 25' =na+ n (a+ nd- d) 2na + dn ' r¡d, quatuor ~lire formulre deduci poterunt. Si in eadem requatione 25 =na+ nv substituimus denique valorem

d=: ::

inventum in prima, habebimus 25

= a + v + "'

2 -;

2 ,

unde & quatuor a1ire formulre , qure quidem eum sex.. decim prrecedentibus omnes casus possibiles· problematis propositi comprehendunt. . 1 98 Probl. 2. Intet duos terminos datos adhibere nume~

De Rationibus , &c.

merum m mediorum proportionalium , qure cum illis progressionem arithmeticam efforment. Sol. Dividatur differentia inter duos terminos datos per m + 1 , & quotiens erit differentia , qme in progressione qumsita communis erit. Sic ut introducantur 6 media proportionalia 18 , parinter 4, & 18 , fiat m =: 6 , ac subtrahendo 4 tiemur differentiam 14 per m + 1, seu per 7 & quotiens 2 erit differentia communis progressionis , .qure proinde erit -:- 4.6.8.10.12.14.16.18. Ex ( §. 197 ) habemos v a+ n - 1d, ergo v - a == n - 1d. Hoc est, quod differentia ínter primum , & ultimum terminum progressionis arithmeticre est requalis producto differentire communis per numerum termínorum, qui ultimum prrecedunt: ergo dividendo illud productum ( nempe· differentiam inter primum , & ultimum terminum) per numerum termino.. rum, qure ultimum prrecédere debent ( tot nempe quot media introducenda addito primo termino progressionis) habebitur alius factor , seu differentia communis: ergo si m reprresentat numerum mediorum introducendorum , & a differentiam ínter duos terminas , inter

quos introducenda sunt , erit -;;;-..:,. 1 formula differentia! commums quresitre.

ART I C ULUS

I I I.

•

De .Rationibus , proportionibus , & progressionibus Geo-

metricis.

JEC ingentis usus in Mathematicis sunt ; & idcirco dum ratio , proportío &c. , nullo superaddito , nominatur , Geometrica intelligitur. f Dum.

-80 .

Pars IV. Art. fil.

199 Dum antecedens unius rationis continet exacte consequens, dicitur ratio multiplex ; dupla nempe, tripla, &c. prout bis, ter &c. continet. Sed dum exacte ~ontinetur antecedens in consequenti , dicitur ratio submultiplex; subdupla nempe, subtripla &c. prout bis, ter &c. continetur. _200 · Si termini variarum rationum ordinate multiplicentur, hoc est antecedentia per antecedentia, consequentia per consequentia, producta formant unam ratio-- ª : b nem ,·qure dicitur composita. Sic multiplicando or- e : d e :f . . , tres rat1ones ............... .- •.•.•..• d 1nate resultat ratio composita ace: bdf; & qurelibet ex ~ bdf illis tril;>us dicitur ratio componens. Dum rationes componentes sunt requales , composita dicítur etiam dupla, tripla &c. si componentes sint dure, tres &c.; sic si a: b ==.e: d, ac: bd erit etiam ratio dupla cujuslibet componentibus; si a:b=c: d=e:f,ace:bdferit ratio tripla &c. Supposito ( ut supponi communiter debet, nisi 201 aliud animadvertatur) quod exponens unius rationis directre resultat ex div ísione consequentis per antecedens, habebimus quod omnis ratio geometrica poterit generaliter exprimí per hanc formulam a : aq, seu per b : bq; hoc est quod consequens rationis geometricre semper est requale producto antecedentis per exponentem rationís. Cum enim exponens ra_tionis sit quotiens resultans ex divisione consequentis per antecedens , patet quod con.. sequens , seu dividendum , debet esse requale prod'ucto quotientis ( §. 34) per antecedens, seu divisorem; ergo generatim in omni ratione geometrica, si a sit antecedens, & q exponens rationis, erit aq consequens, & póterímus illa m exprimere per a _:aq, vel per b: bq, si b sit antecede ns, & q denominator rationis. Hoc supposito, dum ratio est ma-

¡,

De Rationibus , E§ c.

majoris inrequalitatis, exponens q erit fractio minor unitate; sed si ratio sit minoris inrequalitatis, q erit numerus, major unitate. Sic in ratione 8: 24, q=3, nam cum sit antecedens a+8, cbnsequens est aq=8.3-=24; sed in ratione 24:8, q=i-, ·: nam cum antecedens sit a=24, consequens est aq=24·i=8. 202 Ergo omnis proportio geometrica poterit fe;'.• prresentari per hanc formulam a: aq:: b: bq. Cum dure rationes requales esse debeant ( §. 186 ) , exponens idern esse debet ( §. 184 ) : ergo si a, & b sunt anteceden. tia , aq , & bq erunt consequentia ( §. 201 ) ; ac · per consequens a : ª11. : : b: bq erit expressio .genei::ica omnis , proportionis geometricre. , 203 Theor. I. Valor unius rationis non alteratur, ' licet duo termini multiplicentur , aut dividantur per ~andem quantitatem. N am una ratio semper est eadem, nisi varietur exponens ( §. 184 ) ; sed in ratione a: aq ·, cujus exponens_ est q , lic.et duo termini multiplicentur per quamlibet quantitatem m, ita ut .sit am: amq, , non variatur exponens_q: ergo am, amq sunt in eadem ratione ac (J,: aq. Similiter probad posset quo~. ; & : sunt id eadem ratione ac a: aq: ergo a: aq = am: qmq = : : ª!, ~c. . 204 Igitur dure qmelibet dure quantitates sunt in eadem ratione ac eorum dupla, tripla, dimidia :, tertia _pars , &c. hoc est , fractiones habentes' eundem denol minatorem , sunt ínter se sicut sui numeratores. Sic a: b • • a b -I b -I = -a,:- : "i"b = ;a : Tb = -;¡a : -;¡b ' & c. igitur q' : q' = aq : q 1 1 ,= a : b , cum sit q- : q- = 1; e converso fractiones habentes eundem numeratorem, ac diversum denominatorem, sunt in ratione inversa suorum denominatorum: ita _?_b : ~e • a : a =~ ac • e : b , cum s1t-¡: 1'ab (, §• 2 o 3 ) ; sed Juxta supra7 f 2 die• 1

Pars IV. Art. III.

dicta ;: : ae : ab == e : b ; ergo &c. 205 Theor. II. U na ratio duplica ta requalis est ratio ni quadratorum terminorum unius ex componentibus; · triplicata autem rationi cuborum terminorum cujuslibet componentibus &c. Sint dure rationes requales compa.. nentes a~ aq , & b : bq , erit ab : abq'l una ratio duplicata ( §. 2 o o ) ; patet autem quod ab: abq 2 = a'l: a'lq'l= b"': b'Jq,,., nam cum sit ( 1 84 ) a: aq: : b: bq, si in composita ab: abq'l substituimús pro b : bq , a : aq resultabit ah : abq,.: : a'l: azq'\ si in eadem substituimus pro a : aq, b : bq, erit ab: abq'J,== b'l: b'1,q2 • Si rationes componentes fuerint tres sequen tes a: aq , b-: bq, e : cq erit abe: abeq3 una ratio triplicata ( §. 2 o o ) , & eadem utendo substitutione ac in anteriori , habebimus abe : abeq3 ==. al: a3q3: : b3: b3q3: : c3: e3q3 , ergo , &c. 206 Theor. 3. In omni proportione geometrica pta.. ductum extremorum . requale est producto mediorum. N am omnis pro portio geometrica generaliter reprresentatur per a : aq : : b : bq ; sed in hac resultat productum extremorum abq == aqb producto mediorum : ergo &c. sic si a : b ==: e : d erit etiam ad == be ; ac consequenter si b _:e, seu si fuerit proportio continua ( §. r 87) erit ad == b hoc est cum pro portio continua est , produc.. tum extremorum requale erit quadrato medii. 207 Ergo quoties habeamcrs duo producta requalia, habebimus proportionem , si considerentur duo factores unius producti tanquam extrema , & duo alterius tanquam media. Sic si mn == rq, erit etiam m: r: : q: n; s1 ab ;::=: c. erit a ; e ; : I : b. Ex

De Rationibus , éJc.

· 83

~08 Ex hac fundamentali proprietate proportionum oritur ,. quod 4 quantitates proportionales a: b: : e : d sub. sistunt ·in proportione , licet terminorum locus varietur, modo sit semper ad== be; sic habebimus, quod cum sit a : b : : e : d , erit etiam. 1. º Alternando .•••••..•• a : e == b:d 2. º Invertendo .. ....... ..... b : a == d: e º C d {(a+b) .: b==.(r:+d):d ( 3. omponen o • • • (a+ b): a==(e + d): e .• D" "d d { (a-b): b==.(e-d): d 4. 1v1 en o. • • • • (a-b): a==(e-d): e 5. º Comp. & divid. (a+b):(a-b)=(e+d): (e-d), &e. nam semper ad == be , séu productum extremorum. _ requale producto mediorum. 209 Theor. 4. Si sint piures rationes tequales-, erit summa omnium . avteeedentium ad summam eonsequentium, sieut quilibet anteeedens ad - suum eonsequentem. Sita: aq:: b: bq:: e: eq, erit (a+b+c): (aq+bq+eq):-: a: aq:: (a+ b): (aq~+ bq); hoc est (a+b+e): (a+b+e) q:: a: aq:: b: bq: :-e: eq:: (a+ b): (a+ b) q; nam cum in omnibus his rationibus idem exponens q communis -sit, necessario erunt requales ( §. 184 ) ; ita si a : ·b: : e : .,, d : : e : f, erit etiam (a+ e+ e): (b + d +.f):: a: b: : e: d:: e :f: : (a+ e): (b + d). · 210 Theor. 5. Si plures proportiones multiplieentur, aut dividantur ordinate , produeta erunt proportionalia. Sic multiplicando pr:oportionem · · · a : aq : : /J : bq per e :_ cp : : d -: dp resultat ae -: acpq : : bd : bdpq quorum producta proculdubio sunt prQportionalfa (§..-189~ f 3 Ctlffi

P 'ars~lV. ·Art. 111: . eum ·utrique c0mmunis sit exponens pq, aliundeque pro. dué:l:u-m extremorum requale sit producto mediorum: Si~. militer di v:idendo· ... , . d : .aq ~ : b : bq } per e: cp : : d ::dp •' resultat -ea : -ea pq : : -db : · d1->pq vera proport:Jo , curn • corprpunis- sit .ídem exponens !l. , & . p itidem produé:l:um. ex-tte.m 0rum-· ·s it requale produéto medforum. ' · _ . . . 2 11 Ergo eredell} poten tire- , & radices · quarumlibet _q u~ntitatum pr:oportionaliu~ ,- erunt · etiam ~proport-ionales. Nam ultra, diqt:a-- ( §.-210_) , si a : b : .: o : d, erit ad===. be , & am dm 7Jmcm ; ergo ( §. 207) am: bm: • · ·

. dm- .-

C'I'. "'"

Similiter cum ·sit a : b ::. : e_: d. ~rü Va7: •n

Vt: Vd;

·ergo ( §.

Vb=

Vb ~ :. I

mi~ . cum sit ad =."he; erlt ánd~-~ b-;;

e-;¡;

, [

· · n

Va:,

) ·ª-;;: b7 : ;: e-;; : d-; , seu _

v~= vOmn?~ S d

: _212· T4"e pr. "6:-~progressio geoinetrfca : poust generaliter reprafsentari per .'hanc·· formulam ·:·: a. aq. aq2·• ~aq3 .'aq4. ·.•. dqn· la , ea verificatur quod eadem sit continentia cujus.. _ i.

•

libet libet hic ergo

termini in sibi immediato ;. naµ1 ' dividendo quemper prre<;edentem ,: resultat ídem exponens q; sed es! caraé;ter _progression~s · geome'tricre ( §. 188 ): &c. · _ _ 2 I 3· Hrec formula erit~ eadem; Hcet exprimatur hoc modo" ·:: :a qº. a,q 1 ·; ·aq'l,. aqC ,.(.-:~a1p- 1, in qua si . fu-

air.

D(Rationibus, &c.

facimus a== 1, convertetur in .:.;;-·q q • • qi . q q q s •. • . q11 - 1 , ubi reprresentatur series potentiarum successivarum perfeél:arum cu juslibet quantitatis : ergo illre potentire sunt in progressione geometrica , & earum exponentes in arithmetica. · - 214 Media formula generali ( §. 212 ) convincitur, primo -: in ;Omni progressione geometrica produB:um duorum aliorum quo .. ~xtremorum esse requale produéto . . . rumlibet terminorum reque distantium ah ipsis / seu quadrato termini medii , si termini progressionis sunt inter se impares. Nam in .:.;;- a. aq. aq ,aq 1 • aq 4 resultat a. aq 4 =aq. aq 3 ==aq 2 • aq 2 • 215 Secundo, quod in qualibet progressione prímus terminus est ad tertium , sicut quadratum primi ad quadratum secundi : ad quartum sicut cubus primi ad cubum secundi , ac generatim primus ad terminum n , sicut potentia n- I primi ad pot~ntiam n- 1 secundi. Nam in -:-:- a. aq. aq,. . aq 1 • • • • aq 11 - 1 certum est a: aq,. :: a1. : a 2 q 2 ; a: aq 1 :: a 3 : a 3 q 1 ; a: aqn-I :: an-I: a,11- 1 q11- 1 , quoniam in his omnibus casibus produétum extremorum requale est produéto mediorum. 2I6 Tertio ' quod in omni progressione quílibet terminus requalis est produéto primi per exponentem communem elevatum ad potentiam requalem numero termiriorurri prrecedentium. Nam in-:-:- a. aq • aq,. . aq 3 • aq 4 • aq s •• _•• aq11- 1 , quintus terminus v. g. aii• .requalis est produéto primi a per exponentem communem q elevatum ad quartam potentiam, quoniam 4 sunt termini quintum prrecedentes. Sic hrec proprietas generaliter exprimetur per x == aq"- 1 , ita ut x denotet quemlibet terrriinum : a primuin -: q exponenteríl rationis, & n locum q uem terminus x occu pare debebit. 0

3 •

•

4 •

(

•

Pro-

86 .. 2i7 'Probl. i._ Datis tribus terminis unius propor~ tionis, quartum · invenire. Sol. Posito quod hic sit x, fiat operario Jocando incognitam in loco respondente. : fiat -po~tea requa.tio. produB:orur~ extremorum , & mediorum,, - in gua segregata incognita , habebitur valor termini su~ p·erstitis.·_Si' qua:ratúr g~ quarta proportionalis ad a, b, e, faciemus a : b :: e : x, erit .xa ==be, & x == ~ : ergo a~b :: e : b; • Ex. Sint a & b duo primi termib-i

pro-:

portionis , & e quartus , ita ut tertius deficiat ; facie-

:e '

mus a -: b .:: x' : e, ' . erit 'ac == bx ' & X == & baberqitur proportio a : _b :: e ; in hoc problemate con.: )inetur celebris regula trium , de qua postea. ·· .~ ~ 2 I 8 Probiem. 2. Invenire summain .S omnium ter"minorurri unius progressionis geon:ietricre , cognitio . primo termino a,,.,- & ultimo , · & exponente -.c ommuni q. Sol u t. ~Quoniarp in una progressione omnes termini_, ultimo ex~cepto, sunt antecedentia, & omnes , ·primo excepto , sunt •Fonsequentia ( §. 188 ), erit ( §. 209 ) S--v: S-a :: aq; est Saq-a'vq _: sa· a. -seu dividendo J>er a ; -sq - 'qv == S - a , & transferendo sq - s ~ ' _vq :__ a , seu denique s ª, ; qure formula inservieE 1 r.etiam ad addendas series decrescentes. ~ Si, nobis prpponamus additionem v. g. seriei decres; .centis -:-;·::d &c. continuatam usque ii:i infinitum ' ul_timus terminus deven.iet == o ; & invertendo seriem ut · ,sit cresceas, habebimus primum terniinum a== q, post_remum v == ½, & expopentem communem q == _2 , & it_a faciendo has substitutiones in _formula g~nerali , havn-a . 2-0 . ·be b1mus. s-==· _, _- ::=, -'·-~2- - == -r1 == r. q --1 -1

ª: : l

•

hoc

= ";

2_19 ~{ --.-

Problem. 3. Datis -tribus

e quatuor re bus

.u ni u_$ pro-

.De Rationibus , e3c.. progressionis geometricre., primo termino

== ~ , ultimo

:,_ v , exponente communi q, & numero termmorurn:::::: n, quartam invenire. Scimus ( .§. 216 ) quod v

-v

n-x

n-I

_ v_

•

n _

V I{

q_ -;;- , 3 q - -;;-, hoc est quod numerus terminorum n requalis est exponenaq

; ergo r

a-==. q~- 1

;

ti habenti denominatorem communem q , qui requalis sit produéto ultimi tem¡ini per diétum denominatorem com.munem , diviso illo produéto per primum terminum a. · Ad facilius inveniendum valorem n recurritur ad Logarithmos ; & licet de illis sermo adhuc nobis non si~ .institutus, formulam deducemus, quí.:E fadle postmodum intelligetur , & applicabitur. Cun:i itaque sit v aqn-i , erit L11 La + n-l Lq , transferendo Lv L Lv-!:,a . La== n-1 q, seu n - I -r.¡,-¡-, & d emque n

Lv- La _J___ - L - - r - I.

Problem. 4. Introducere· unum , aut multa media proportíonalia ínter duos terminas datos a , & b~ Solut. Casus J. Ad introducendum unum medium proportionale, habebimus ( §. 187 ) -:-:-- a. x. b, hoc est a : x :: .x : b ; ergo ( §. 206 ) ab x• , yx Y ab. Casus- 2. Inter a , -& b introducenda media m : ergo terminum b prrecedent m + 1 termini. N am media m ultra terminum a sunt m + 1. Hoc posito , si vocetur x exponens comrnunis inveníendus, habebirnus ( §. ~ ¡6) 220

m+ 1

V! ,

b == axm+i , ex quo denique exit _x . formula generalis exprimens exponentem commünem progressionis quresítre , exprimente m numer.um mediorum introducendorum inter primum , & ultirpum terminum _a &!, ,_,b. mt1

Et ita. habebimus * · a

mtr

m+1 ·

•- ·· -

Vamb ·-Vam-:--rb; -. Vam- b3 2

-va

, Pars IV. Art. III.

88 .m+ t

Vam- 3b4 m

-1- I

&c. usquedum exponens termini b deveniat ::::: quo casu _exponens a erit o , & terminus

,n + t

Vaºb,,.+

= ··b. · · ·: · ~ -2 ·1 Problem. 5. Introducere numerum m tnediorum proportionalium inter términos ünius progressionis geometricre hujus formulre 0 aqº • aq' • aqt ~ aq 3 • áq 4 , &c. Introducatur ( §. 198 ) numerus m mediorum proportionalium arithmeticorum inter exponentes denominatoris communis. In quolibet termino progressionis propositre habebuntur hoc paB:o exponentes respondentes terminis inrroducendis ( §. 213 "). V. g. introducendi sint quatuor . termini inter singulos -progressionis propositre; • O 3 4 l - habeb1mus * aq • aq s • aq s • aq s • aqs • aq • aq s • ~ '1 & c. aq s7 • aq s8 • aqsaq Notandum : quod si dure quántitates a & b sunt hujusmodi , ut incremento , aut decremento quantitatis a respondeat incrementum , aut decrementum quantitatis b, ita ut si a deveniat aq , b ·deveniat ·bq , dicitur a esse 9ireB:e sicut b, & indicatur hoc modo a== h. · Sed si incremento , aut decremento in a , respondeat- decrementum , aut incrementum proportionale in b , ita ut si a deveniat aq , b deveniat : , dicitur quod a est inver-. se sicut b • & ita exprimitur a == :1

+·

AR TICUL U S IV. De Logarithr7!is.

Ermini progressionis arithrneticre respondentes terminis geometricre , dicuntur horum Loga-

De .Logarithmis._·

::·

:it i:

j , ·'

garithmi ; & cum exponentes progressionis geometricre sint semr.er in progressione arithmetica ( §. 213), illi exponentes erunt Logarithmi , singuli suorum terminorum respondentium. Sic in qualibet progtessione geometrica :: aº • am. a1111• a3m. a4111 • asm. a6m &c. exponens o erit Logarithmus unitatis. . . 223 Si in hac progressione multiplicamus v. g. secundum terminum amper quartum a3m, produétum am-+-3m quantitatis am . & quantitatis a3"', == a4m, est quintus terminus progressionis, cujus Logarithmus est 4m, 1:?,oc est summa exponentium faCtorum ( §. 107): ergo Logarith~ ~~s unit~s produéti est ~urnma Logarithmorum faCtorum. S.i in eadem divídatur terrninus sextus asm per tertium a m, quotiens asm-im==a3m est quartus terminus progressio• nis ,cujus Logarithrnus t §. 222) est 3m; hoc est differentia exponentium divisoris, & dividendi ( §. 113 ) : ergo Logarithrnus unius quotientis est differentia resultans subtraétione Logarithrni divisoris Logarithmo dividendi~ • · 224 - Si facimus ·a == 10 , & m == 1; progr-essio é!·n.. · tecedens transforrnabitur in hanc --;:- roº. ·ro 10 103• ·, 104 • .¡os . 106 • 10 7 • &c. qure nempe deservit formationi tabularum Logarithmicarum, & _suí exponentes o; 1 , 2, 3 , &c. sunt re_speétive Logarithrni nurn. 1 , 10·, 100, 1000 &c. nm~. ro dicitur basis _logarithmica; & gene- lratim basis logarithmica dicitur numerus, cujus logarithmus == 1. i 225 Sed cum hi exponentes non offerant nisi Logariq1mos progressionis decuplre --;:- 1 • 10 • 100. 1000; 10000 • &e , ad inveniendos Logarithmos numerorum intumediorum 2 , 3 &c. 1 1 , 12 &c. 1 o r , &c. intro~ duc_ere c9gitarµnt 9999999 media proportiona1ia geometrica inter quemlibet terminum diébe progressionis 2

' ::

I' ,

I,•

1, 1:

•

• •

~10

. Pars IV. Art. IV. --:-:- roº 10 10 ro 1 &e, i-ntroducendo ad hunc effeétum ( § . .221) 9999999 media arithmetica ínter singulos ex ponentes terminorum diétre progressionis invenerunt ( §. 198 ) differentiam communem, progressionis arithmetic~, quam formare debebant diél:i exponentes, esse ~ : 1 ( s 7 ) ; certique de eo , quod 11 00 000 == o, o o o o o o _ cum expon~ntes sunt in progressione arithmetica , va.. lores num.-10 elevati ad potentias per illos indicatas~ 1 necesse est · ( §. 213) quod sint in progressione geoine-trica , ac proinde quod diéti exponentes sint eorum Loga.. rithmi ( §. 222) , transformarunt progressionem antece•·. dentem in hanc * I Q O• I Q 0 ,0000001 I Q o , 0 _0 00002 I Q o,oooooaJ • I O 0,0000004 '&c. == * I O 0 , 0000000 I O o rooooooI • &c. ( §. 6 O), in qua termini tam paulatim crescunt , quod ut ab 1 ad. I o p€rveniatur , decem milliones terminorum necessarii su~t , ita -ut !}ecesse sit quod aliquís eorum coincidat cum valore .num. 2. alius cum 3 , 4 &c. Hac via invenitur quod terminus r oº•3010300 == !2 , I o º•~771211 3, 602 0600 10°, ita ut hi exponentes sint Logarithmi num. 2 , 3 , 4 &c. 226 Hinc infertur -primo: quod omnis Logarithmus constat duabus partibus , quarum una ad lrevam virgulre denotat integros exponentis, & voc;r"'tur charaéJeristica; altera ad dexteram exprimit fraétionem decimalem, & vocari solet mantissa. 2 27 Secundo : quod charaél:eristica Logarithmorum omnium numerorum qui sunt ínter I , & 10, est o: eo • rum autem qui sunt ínter 10, & 100 est 1 : ínter roo, · & 1000 est 2 &c. _Et ita charaél:eristica unius Logarithmi constat semper tot unitatibus, una minus , quot riot~ in numero, cujus est Logarithmus, continentur. ~d.. 1

= 4,

c1r-

De Logarithmis.

;; circo viso Logarithmo, si ejus charaB:eristica est 2, numei::us, cui respondet, ha be bit tres notas , & viceversa , &c. !! 228 Si dicatui L, seu Log. Logarithmus cujuslibet numeri , habebimus ( §. 223 ) Lab L_a +Lb; si fa .. cimus a== b, erit Lab La 2.. ==La + La== 2La; er.. go generatim Lam== mLa , hoc est quod Logarithmus cujuslibet potentire requalis est Logarithmo radicis multiplicato per exponentem illius p.otentire. Sic ut elevetur 6 ad quartam potentiam multiplicabitur Logarithmus 0,778151 per 4, & produB:um 3,112604 erit Logarithmus quartre potentire num. 6; si qureratur igitur in tabulis numerus cui hic logarithmus respondet, invenietur · 129 6, qui quidem re i,psa est q uarta poten tia num. 6.

;r;,

9 Si facimus m == : erit Lam == La-;;- == ~ La; :, hoc est, si dividitur Logarithmus unius quantitatis datre per indicem radicis extrahendre , quotiens erit Logarithmus radicis quresitre. 230 Juxta diéta (§. 223) L: =.La-Lb; boc est , quod Logarithmus unius fraB:jonis requalis est Logarithmo numeratoris , detraéto logarithmo denominatoris. 2 2

A R T I C U L U S V.

De Regula aurea , seu trium. :

23I

yocatur

regula trium ea ' qua media tribus quantitatibus datis deducitur altera, qure cum datis formet proportionem. Nititur in proprietate fundamentali proportionum ( §. 206 ) , ac dividitur in direétam, & indireetam, seu inversam, ac harum qurelibet in simplicem, & compositam. Ut

Pars IV. -Art. v. Út cognoséatur qu_ando bree regula est direaa, aut in_versa , ?ecesse est primo , accura~e distirrguere qurenam sint quántitates respondentes , aut relativre proportionis. Generatim causa!, & effeaus sunt quantitates relativ~. In ha.e qurest. v. g.: si 30 operarii dierum 7 spatio milliare unum itinerjs componunt , 300 quot milliaría eodem temporis spatio perficient"'? patet quod. 30 operarii & unum milliare elaboratum, nec non & 300 operarii , ac milliaria elaboranda sm1t quantitates relativre. Secundo~ sciendum quod ínter quantitates cog... nitas , semper dure sunt homogenere , seu ejusdem spe.. ci~i , alia cum quantitate quresita homogenea. Sic 30, & 300 operarii quantitates homogenere sunt, unum milliare ( elaboratum) , & milliaria ( elaboranda) similiter. 233 Hoc supp(?sito tenendum: Primo, quod regula trium est dire&a semper ac prima quan.titatum homogenearum cognita tanquam antecedenti , & secunda tanquam consequenti, una ratione conflata , quantitas relativa primre efformet cum quantitate relativa secundre eandem rationem majoris , aut minoris inrequalitatis. Hoc est ( §. 184 ) quod si crescit , aut decrescit · secunda ·quantatis homogenea respeétu primre , debet etiam cres-cere , aut decrescere if.l eadem ratione quantitas relativa ad secundam homogeneam respeétu relativre primre quan- , titatis. In hoc casu incognita collocatur ·quarto in loco, ac determinatur dividendo produé:tum mediorum per ,primuni terminum ( §. 217 ) • Secundo : regula trium est inversa semper ac efformata una ratione cum prima duarum quantitatum homogenearum cognitarum tanquam antecedenti , & secunda tanquam consequenti , si bree est rnajoris , aut rninoris inrequalitatis , quantitas relati... va ad prirnam debet formare curn quantitat<:; relativa ad se232

De Regula aurea , seu trium.

s.ecurrdam , eandem rationem , minoris tamen , aut majo.. ris imequalitatis. Hoc est ( · §. 184 ) quod si crescit., aut decrescit secunda quantitas homogenea respeé:l:u primre, in eadem ratione debet crescere , aut decrescere quantitas relativa ad secundam homogeneam respeé:l:u relativre ad primam ; quo in casu incognita lqcatur in tertio loco, ac determinatur dividendo produétum extremorum per secundum terminum ( §. 217 ),. : . 234 Dum mediis tribus tan~um quantitatibus cognitis , qureritur· quarta ad complendam proportionem, regula trium est simplex ; est autem composita, dum ad incognitam inveniendam, plusquam tres dantur quantitat~s. Hoc ex-em plis patefiet. - 235 50 operarii excavationem 3'50 ul'n. certo tempore faciunt. Qureritur quot ulnas 3_2 operarii in eodem tempore perfi.cient '? Sol. Cognitis quantitatibus relativis, necnon & homogeneis ( §. 232 ) ac efformata ex his duabus ( §. 233· ) ratione 5-0 :· 32, quoniam qurestio ta.. lis est indolis, quod in eadem ratione , qua 50 rnajor est 32, etiam 350 uln., _qure est quantitas relativa ad 50, debet. esse majar quantitate relativa ·ad 32 (qure nempe qureritur), ex eo qu0d si 50 operarii faciunt 350 uln., fa.. cient minus in eadem ratior:ie, qua 32 mino'r est 50, dicemus quod regula est direé:l:a ,.sim~lque sirnplex ( §. 234 ). 1

!~circo dicemus (2 3 3. i:-.

=236224

0 )

50~ 3 2. ;.: 3 5.o..:_. X'. =

ú.º;t·

uln., h_reque erunt, quas 32 operarii perfic:ient. Ex. 2. In arce quodam a1imenta sunt pro 3000 militibus , ad sex menses : augetur numerus militurn usque ad 4500. Qureritur quandiu alimenta durabunt '? Sol. Formetur ratio 3000: 4500, & quoniam qmestio talis est ,-quod in .eadt;m ratione qua 3000 minor est 4500, · quan~

· Pars IV. Art. V.

quantitas sex mensium relativa ad 3000 debet esse majar quantitate relativa ad 4500 (qt.11Esira), quoniam si 3000 milites aluntur certa quanritate ciborum per 6 menses, patet quod eadem 4500 tanto minori tempore alentur, quanto 4500 major est 3000; dicemus quod regula est inversa-, sed simplex (234); ita dicetur ( 233. 2.•) 3000: 6 4• 4 5 o o : : x : 6 , seu x 3º:t0 ~ 237 Ex. 3. Si vestis 800 militum valet 300000 denar. , 50000 quot valebit '? Sol. Scribamus 800: 50000:: 30000 3ooooo : x ;~/ºººº 1 8 7 5 o o o o , pretium nempe vestís 50000 militUm. 238 Ex. 4. Matriti diario 42 boves, ponderis 300 libr. consumuntur. Si alii po11deris 450 adducantur, quot consumentur '? Facile agnoscitur quod bree regula est inversa, quoniam numero libr. autro, bovum numerus mi. s·1c erit· 3 o o : 4 5 o : : x : 4 2 , seu x = ~ 42. 3ºº nuitur. 2 8 hoves. 239 Ex. 5. 20 homines ro diebus operis 140 uln. conficiunt: 30 homines 24 diebus,quantumoperis efficient~ Patet ( §. 234 ) quod hrec regula trium composita est. Ut resolvatur, reducetur .qurestio ad varias regulas trium simplices, hoc modo. Si 20 homines cerro tempore ro v. g. diebus , 140 u!n. operis elaborant., 30 homines eodem tempore quot laborabunt ~ Patet quod bree regula est direéta , quoniam incremento horninum responder incrementum ulnarum. Sic faciemus 20 : 30 : : 140 : x

º~ 1.0

2 1

o ulnas.

2.º Si 30 homines faciunt 210 uln. operis ro diebus, iidem 24 diebus quot ef.ficient ~ ltidem bree regula est direél:a, quoniam incremento dierum respondet incrementum

De Regúla aurea, seu trium. .

tum ulnarum. I deo d1cemus ro : 2 4 : : 2 r o : x = - 10 == 504 ulh.-, · & hoc est opus elaborandum respondens 30 hominibus, 20 diebus; ex eo quod 20 hom., 10 dieb. faciunt 140 uln. In omni regula trium composita , ratio int~r quantitatem qmesita.rn, & ejus homogeneam cognitam determinatur prrecise per varias rationes simplices: ergo componenda unam ex; omnibus illis ( §. 200) juxta naturam qurestionis , omnis regula trium composita reducetur ad simplicem. Sic in casu proposito componenda rationes simplices, habebimus 20 : 30 uo.

10: 24

4 O : X = zoo = 5 O 4 uln.; quod reipsa est ídem quod deduximus metbodo anteriori; nam profetto 20 homines laborando 10 diebus, facient idem quod decies 20 homines, seu 200 in una die. Si.. militer 30 homines 24 diebus facient ídem ac. vigesiesquatuor 30, seo 720 homines in una die. Methodo tamen anteriori utemur, quoniam in casibus complicatis clarfos apparet num inversio sit, aut non in rationibus componentibus. 240 Ex. 6. Si 40 Monachi 4 mensibus 60 amphoras vini col1sumunt , . quot mehSibus. 80 Monachi consument 180 1 Reducendo qurestionem ad regulas simplices, dicemus 1º: Si 40 Monachi consumunt 60 amphoras vini 4 mensibus, 80 Monachi ·quanto tempore easdem consumerit 1 Hrec regula est inversa; quoniam'l]_uo majar Monachorum- numerus , eo minori tempore consumen~ eas~em vini amphoras; ideo faciemus 40 :. 80 ; : x : 4. ~ut x = 4 ~~ 4 = 2 menses. 2 .º Si 8 o Religiosi 2 mensibus consmnunt 60 vini amphqra~ .,, ídem Monachi quanto tempore consument 1801 Pa_tet · quod augmentum amphorarum vini re~pondet augmento tempotis consumpg tÍO• , --

200: 720: : I

140.720

Pars IV. Art. VI. tionis ah eodem Monachorum numero , ac proinde regula est direéta. Ideo dicemus 6 o@ : 1 8 o@ :, : 2 · ms : xm• 2 • 1S0 6 meases ; & m . eo dem tempore di cemus quo d == ~

80 Monach1 consument 180 vini amphoras, eodem respeB:u , quo 40 consumunt 60 amphoras 4 mensibus.

ARTICULUS De Hujus regula? applicatione.

~41 REgula trium varíe applicata,ex his rebus,quibus. applicatur, nomen sumit: ideo est regula associationis , lucri, & alligationis. Regula associationis vo-catur, dum agitur de dividendo lucro, aut dam"no inte_r multos socios, secundum proponionem rerum ah unoquoque contributarum. Proinde ad seq_uens problema reducitur. ~42. Pr.obl. Dividere num_erum daJum _--:-- g in qpem.. libet numerum partium , qure sunt ínter se sicut quant.ita- . tes m , p , q &c. ; hoc est quod prima pars sit ad secun- . dam , sicut m ad p ; ad tertiam sicut m ad q &é .. Sol. Si vocetu_r x prima pars , .. ad invenien~am. secundarn , fa.. ciemus Juxta I condidot:ietn pr'oblemati ·m : p : ': -'X ·:· 'pmx = se-~ cundre parti ; item m : q : : x : 9m" tertire parti ; & ·quo!}iam summa <\mnium harum partium debet e,s; e . · a, ~abe-:, bimus x-+- Pm"'· -+-. :,x a._, ~ multipl~cando per rn, ma mx + px +q·xz:.. (m-+-p-+-.q)x,,undee:xitx ==m.:./+ 9 ac sequens analogía m + p + q : m ·: : a : x , hoc est : summa omniµm partium p~bportionalium est ad primam illa~ rum partium , sicut numerus ütvidéndús · ad prirnam par-tium, in quas dividí debet. ·. ~ · Si vocetur A secunda pars, & substituatur valor inven-

De Hujús regulce ·applicatione.

véntus num. X' 'erit A== == m 1-;-+- ~ : ergo m+ p p : : a : A ; hoc est _: summa omnium partium proportio-

nalium estad secundam earum, sicut divídendus ad secun.. dam partium, in quas:dividi debet. Si vocetur B tertia pars, inveniemus eadem methodo ( rn + p + q ) : q : : a : B ; ac generatim _summa omnium partium proportionalium datarum est ad partem nssimam ipsarun:i , sicut dividendus ad nssimam partium, in quás dividf debet. Hoc suppósito-, sit Cás. :i:. ·Supponatur quod A , B, C societatem ineunt. A tribuit 100 denar., B 50, C 320. Ex hac summa provenit lucrum 1800· aur., qui ínter singulos distribuí debent secundum proportionem reru,m éontributarum. Hoc ídem est ac · dividere· numerum 1 800 aur. in tres partes, qure sint ínter se sicut 100, 50; 320: ergo ad inveniendam partem respondent~m A, faciemus 100+ 50

-+- 3. 2

+ !~ mus: 1800

•

=4 7

O : I OO

: :

8OO

aur. ¡\d eam inveniendam , 1

= º~; ºº == 3 8 18

: X

qure

respond~t B , facie-

o o -1- 5 o -+- 3 2 o = 4 7 o : 5· o : : 1 8 o o : x 1 9 1 + .0 aur. Ad tertiam C inveniendam facie~

.47º • ~ IIJU~ { 'o' O . -t-'

4 7

5 O -+- 3 2

_1soo. 310== 1 2 _2 470

== 4 7 O

O ::

8O O

: X

aur. 5 -+- 2r 47

Cas. 2. Supponá~ur quod A, ·& B societatem ineunt. A prrebet 240 atgenteos pro 8 mensibus: B autem 850 pro 6 mens. Cum hac summa damnum incurritur 6 aur. Qurenám damni p.ortio s1ngulis respondet 1 Hre , & símiles vocantur regulre societatis compositce, seu cum tempore, ac resol vuntur eodem modo ac in casu anteriori, ea tamen cum differentia , quod in his portio singulorum multiplicari debet per ternpus pro quo imponitur; nam reip-sa ídem est imponere 240 argent. pro 8 · mens. , ac ocg2 to~

Pars: IV. Art. VI. togies 240 pro uno mense; aut 850 pro 6 mens., ac sexies 850 pro uno ·mense. Hoc- supposito, ad inveniendam 850 ª 6 partem respondentem A, faciemus 240 . 8 60 19 2 º ' I. 6¡ -' 7 020 7 O2 O : 2 4 O • 8 • 1 9 2 O : ; 6O : X. Ad inveniendam partem respondentem B , fa-' arg. -+- ...±! · I 17 7 o 2 o : 5 r o o : : 6 o : x. c iemus r 9 2 o -+- 5 1 o o .e 4' 3 -+- __!J_: arg 60 . p oo --_

==·

, 702 0

I I7

•

Regula lucri vocatur ea qure adhi~etur ad in... v eniendam quantitatem sol vendam pro aliqua nummorum portione , certis conditionibus prrestita. Est l_u crum sim¡ plex, & compositum. Illud est quod pro summa collata· sol~ vitur : hoc , q~od pro s1:3?1ma ,:JlC 'reddit]bll:s proce1e~t,ibus solvitur. Seque,ntia problemata casus frequenti9res circa prresens propositum comprehendent. 244 Probl. r. Data summa , lucro in~e processuro, nec non & tempore post eam ad· lucrum impositam trans~. aéro , inveriire summam sortis , ac redditu)s 'elapsos. t, surnma sortis, ac Sit sors ==a, tempus transaérum lucrum annuum singulis sortis unitatibu~ responlucri pens == r, cujus val9r: facile invenietur, si dicatur: si 19o_ 2 1.rnitates annuatim tántum: prrebent, Üna unitá's- qqid p rre-• bebit '? Hoc supposito , dicemus: si 1 d'ar :_-r lu.c rum annuum, omnis sors a quantum prrebebit '? vel 1 :--a : : r. : x ==ar, lucrum respondens sorti a in uno anno : ergo in :an".: -nis t erit illud lucrum = art, cum sit 1 : t : : ar: x =~art; consequenter, post annos t habebimus s = a + art, unde

243

==s,

sequentes fiormu1ce pro :i eunt

1•

== --+- ; s

== -,

a .

3 .ºt==s "' '\ Supponamus quod quidam mutuo prcebuit 8 6 20 arg., assignato redditu 4 per singulos 100 annuatim. Post 6 ann. exigit sortem, ac red_ditl:ls elapsos. Qureritur guantum

-De Hujus regulce applicatione.

tum recipiet ~ In hoc casu a =8620 arg., t 6 ann., r = o, o 4 , cum sit r o o : r : : 4 : x == 1 ~ 0 o _, o 4 ( §. 5 7 )

ergos =8620 + 8620. o, 04. 6=8620 + 2068, 8 = 10688 , 8; & in quolíbet alio casu ;'mediis formulis su-

perioribus , ac cognitis tribus quatuor quantitatibus s, a , r , t, invenietur quarta. 245 Prob. z. Data pensione annua , & numero annorum , quibus soluta non fuit, & reddituum incremento ex solutionis omissione proveniente per singulos annos, summam pensionis , & reddituum invenire. Sol. Sit pen.. sio annua = p. , _numerus ann. quibus omissa fuit solutio :::: t, lucrum annuum ex qualibet únitate proveniens .:_ r, ac summa quresita = s. Et quoniam pensio solvi non debet nisi post annum completum, patet quod primus annus usuram non prrebet ; ideo bree erit o ; sed in fine secundi a • ni erit pr , cum sit 1 : p : : r : pr ; in fine tertii, 2pr, in fine quarti 3pr, ac 9-enique post annos t erit pr (t-1). Et ita post annos t redditus efformant progressionem Arithmeticam --:- o . pr . zpr . 3pr . 4pr ..•• (t-1) pr , cujus prinius terminus =o, ultimus:::: (t-1) pr , & num. terminorum = t, & per consequens summa ( §. r 9 6 ) er~t == r (, r)_e-; si huic reddituum summre adjicimus pensíonem respo_ndentem ann. t, seu pt, prodiet summa qmesita s == prt <:-r) -+- pt == r ( t -z)-t-2 • pt ; ·t o ,s o u-2¡,t o _ un de pro d1 r. p== r et - 1 )-+- 2 , t ., 2., r=:: pt<-t - z-); 3. t _

V( ~-+- e:.=:) ) +

~ 1.r Supponamus quod thesaurarius pensionem 600 aur. cuidam annue prrebere obligatus , suspensionem solu.. ·tionis per 10 ann. creditore obtinet , eo paéto ut illis transaétis solvere debeat r.e dditus ·omnes ex tata g3 - sum-pr

Pars IV. Art. VI.

100

summa procedentes, quinque nempe per singulos

100.

r o , ex quo Erit p == 6 o o aur. r == o , o 5 , & t 0 05 7 3 5 o aur. , & auxilio I o. 6 o o ' resultat s formularum , cognitis. tribus e. quatuor quantitatibus p, r, t, s , facile agnoscetur quarta. . 246 Prob-. 3. Data sorte , tempore ex quo ad usuram posita est, & annuis redditibus per singulos· 100, ínvenire post illud tempus summam sortis, ac reddituum, lucri nempe compositi.. Sit sors = a , lucrum simplex r , tempus = t , sum~a annuum cujuslibet unitatis. qu resita = s. Erit igitur unitas, addito lucro ab ea pro .. cedente , post unum ann. = 1 + r = q, cujus valor facile invenitur pei:: hanc proportionem : si 100 post ann. fiunt 105, quid fiet 1 '? vel 100: 1:: 105: q = 1, 05 ( §.62 ); & quoniam 1 producit q uno ann., idem q factus jam .sors initio. ann. sequentis , in fine illius producet q eo quod sit 1 : q: : q: q '1;, & ita debitum pro una unitate sortis, & lucro ( composito) ab ea procedente in fine secundi anni erít q in fine tertii q 1 ; ac denique post ann. t, q'; ad invenie.ndam igitur post annos t summam s totius sortis, & reddituum ( ad lucrum compositum), faciemus: si I sortis in annis t devenir qt, tota sors eodem tempore s ; unde prodeunt aq' quo_ deveniet ~ 1 : a : : q' : x

;..::'--!.

;

== ==

Ls-La Ls-La. _ O , L- , 3.o t -_ -s ,. ve1 L q __ 2. q _ a __ -S ,_ q . t a q' Supponamus quod tutor quidam tradit 20000 aur. pupilli ad usuram, 5 v. g. pet 100; post primum ano. solvunt sortem cum lucro respondente , & utrumque rursus eodem modo freneratur , ita ut in secundo ann. sors co.flstat sorte primi ann., & insuper lucro producto in illo anno. 1.

Idem /

De Hujus regulce applicatione.

I o1

Idem fit per 6 ann. spatium. Qureritur quantum tutor pupiIIo post hoc tempus debebiti In hoc casu a= 20000 aur. t = 6 ann.-r =o, o 5 , q = I, o 5 , consequenter debitum tutoris s ~ aq' = 20000. ( 1, 05 )~= 26801, 8 aur; 247 ProbI. 4. Data pensione annua , tempore ex quo solvi desiit , ac redditu assignato per singulos 100, invenire post illud tempus summam pensionis , .ac reddi... tuum, in lucro composito. Sit pensio annua tem... pus ex quo non solvitur :::::: t, redditus annuus cujuslibet unitatis pensionis = r , una unitas cum ejus redditu post ann. :::::: 1 + r::: q, summa quresita:::::: s. J uxta suppositionem, in fine primi anni solum erit debitum =P; in fine secundi debebitur pensio p illius anni, & prreterea illíus usura in uno anno , q ure in venietur dicen do 1 : p : : q: pq, ita ut in fine secundi ann. erit debitum =P + pq; in fine tertii debebitur pensio p illius anni , & usura ex p + pq, qure etiam invenietur , dicendo 1 : p + pq : : q : pq + pq1., cum quo in fine tertii ann. erit debitum p + pq + pq2, ac denique inveniemus quod in fine ann. t debitum erit p -t- pq-+- pq" + pq3•••• -+-_p qt-r, 9-ure est progressio ~eo. q.qr - 1 - I . metnca, ( §. 2 I 2 ), cujus summa ( §. 2 I 8) est - - - .

=P,

q-I

= -.p == == ad summam pensionis, ac reddituum r q-r

in lucro composito post ann. t, unde exit x.ºp= ~--. 2

o t -

L(:!. -t- I) p

•

3 o Lq -

q-I

L( ':!.. -t- I) -~P_ _

Supponamus quod pensio annua sit 2 4 o o aur. , qme solvi desiit spatio 8 ann., facta conventione solvendi 4 pro

100,

Pars IV. Art.VI.

102

o sr;- ad lucrum compositum. Erit p == 2 4 o o , t = 8, ~=o , o 4, q == I , o 4, ac consequenter post octo ann. 1,04)8-1 ~rit , modica curri differentia , de.bitum S_ - (0.,04- . 2400 == 2: 2 1 40 aur. 2.48 V ocatur regula alligationis ea qure adhibetur in consideranda mixtione diversorum , duobusque quasi ramis constat; aut enim. agit de inveniendo pretio medio unius mixtionis , data qu;rntitate , ac pretio singulorum mixtorum , aut de invenienda proportione, qua bree misceri debent , eognita eorum pretio , ac pretio medio , seu mixtionis. · 249 Cas. 1. Datis duobus miscendis , A nempe, cujus pretium est m, & B, cujus pretium est n, invenire pretium mixtionis , ut venditor nec h:tcrom· , nec detrimentum patiatur. Considerando qlilod in mixtione prrecise continetur •súmma duorum miscendorum A + B , ac consequenter eorumdem pretiorum Am + Bn, patet quod s:umma A+ B · iniscendorum debet esse ad summam Am + Bn pretiorum , sicut pars qurelibet mixtionis ad suum pretium; •¿ h oc est A+ B : I : : Am + Bn: x Am-+Bn A-+-B , qure qm em ·1

expressio _manifestat pretium unius partís rµixtionis. Qmeritur quanti vendí debea_t maréus mixtionis ex 4 marc. argenti , pretio 150 arg. pro . singulis , ac 16, pretio 200 argent. conflatre , ut nec lucrum , nec detrimentum sit. In hoc casu A =4, m = 150 ·, B = .16, n.=. -

200 ,

•

consequenter ent marcus x

= 190. .arg.

250 ... Cas.

_ = Am-+,:Bn A -1-lf -

4.150-t-16. 200

-+- 16-

. Datis pretiis miscendorum ,. invenire i • qua

De Hujus regul~ applicatione.

103

qua proportione misceri debeant, ut ad certum pretium vendí queant. Regula. 1.º Scribantur pretia, vel circumstantire miscendorum in una columna , & pretium medium paulo ad lrevam ,, linea verticali separatum. 2.0 Suinatur distantia pretii cujuslibet miscendis pretio medio, & hre differentire reciproce, ex adverso ad pretia scúptre , expriment quota pars illius , cu.jus pretium ex adverso est , mixtionem ingredi debeat .. 25-~ Ex .. 1. Ex vino , pretio- 22 arg. pro amphora, & alío 10 arg., mixtio fi.eri debet, cujus pretium sit 15 ~rg. pro·· a~phor,a. Dispositis pretiis , ut { 22 •••. 5 1 Jacet, sum1tur different1a I 5 ad 10 , quam 5 10 scribo e regione 2.2. Sumo. deinceps diffe...._.12 r-entiam. 15 ad 22, seu 7, eamque reciproce ex adverso ad 10 loco. Et di-cam quod mixtio facta €X 5 amphoris vini, pretio-22 arg., & 7, pretio- 1-0 arg~, resti..

~abitur prre.cise 15 arg., cum.in omni cas-u sit

71 ,..1.z ; 2 •

º =15.

. Notandum-q,uo duo quilibet alii numeri., qui in eadem forent ratfone , in qua est 5 ad 7, ut eorum dupla, tripla &c.,. ( 204 )' similiter· qurestionem solvent.. .25 2 Ex. 2 •. Facienda. sit mixtio ex triplicis generis vino, quorum. unum 16-, aliud 1·1 , aliud 8 arg .. pretium babeat , 1 2 arg. restimanda. In hoc casu , & similibus singula singulorum pretia sepaliatim sumenda , acsi unica forent. , Et dicemu$ quod ex 5 amph. { 16 ... 4 + 1 =: 5 Yini primi generis , 4 secundi , ac 12 11 ... 4 · 4 tertii, mixtio desiderata fiet.. 8 ... 4 · 253 Semperac unum ex pretiis majus sit pretio medio , reliqua autem minora , prrefata methodo ute1nur. Sed si unum minus sit pretio medio, cretera autem ma.. J

104

Pars IV; Art.VI:

majora, in sensum contrarium procedetur , tocando i:egione pretii minoris differentias ~ 8 · · ro+4+ 1 = 1 5 creterorum ad medium, ac re11 2 .. gione creteroi;-um omnium diffe- 10 1 2 r.entiam pretii minoris ad me4·· 20 . . 2 . d·tum. v. g. ... .. ... ..... .. ..... . 254 Ex. 3. Collector quidam habet vina triplicis huius - pretii, 30, r 8, ro arg. pro amphora. Qureritur quantum ex duabus speciebus inferioribus { 30 •. r 2 + 4 =: I 6 misceri debeat cum 10 amphoris .22 18 . . 8 superioris, ut 22 arg. .a?stimetur. 10 . • 8 Procedendo juxta dicta { §. 253 ) habebimus, quod ex mixtione 16 amphor. vini primi generis , cum 8 singu... forum aliorum , fiet mixtio .desiderata. Sed cum collector nolit plusquam .10 amph. vini superioris miscere, patet .qúod eo minori portione aliorum indegebit , quo 1 .0 minus est 16; quod quidem per hanc proportionem determinabitur. Si 16 minuitur usque .dum deveniat ro,

· ·• · · aebet.'2 seu 1 6 ; ·s : quantum .8 a·1mmm

: .10:

x==-;rº

== 5

amphora'S wirii pretii .supremi, seu 18.,actotidem pretii 10. ,_ 255 Ex. 4. Ex saccharo pretii .tr_i- { 10 •• 3 . plicis, ro nempe ,_ 8 , & 4 arg. pro lt8 .. 7 3 bra; 60 libr. pret10 7.a~g- c~mponen: .. r== 4 3 +_ 4 dre sunt. Quantum ex smguhs desum1 _ _. . ., 10 debet '? , -256 Procedendo juxta dicta(§. 253) habemus 10 lib. sacchari, pretio 7 argent. Cumque velimus ut sint 60, necesse erit ut singube portiones augeantur in .eadem ratione , qua augetur 10 usque ad 6oJ Hoc obtin~bitur per hanc proportionem: si 10 augentur usque dum fiant 60, qmelibet portio singillatim quantum augeri debe bit 1 ~ &e

I''

,i Hoc. est

De Hujus regulce applicatione.

== == == == r 8 lib. sacchari,

6º·4 o : 4 : : 6o :x 10 tio 4 argent. I o : 3 : : 6 o : x

I o5 .. h . 4 1·6 1 • sacc an, pre~

6 3 :~

pretio 1 o argent. , & totidem 8 argent. , 257 Probationes omnium operationum circa alliga~ · tiones desumuntur ex dictis in fine ( §. 2 5 1 ).

,,¡

A PP ENDIX

. 1

Aliquali serierum notione.

- ~58 SEries idem est ac polinomium, cujus termi,li Je... gem constantem servant. Tales sunt omnes pro.. gressiones arithmeticre , & geometricce. Dicitur finita,. dum constat determinato nume.r o terminorum ; infinita autem, qure constat infinitis terminis, seu qui in infinitum continuantur. Series illa, in qua valor cujusque tenp.ini rnajor es~ quam antecedentis , dicitur divergens; si autem converso, convergens.. Ex quo infertur series eo. esse magi~ convergentes , aut divergentes, quo valor cujusque ter: mini majar est, aut minor, quam antecedentis. Dum series talis est , ut ad valore1n. cujusque termini inveniendum , necesse sit alicujus, aut alíquoru~ prcecedentibus valorem invenire, dicitur .recur rens ; & quidem primi , secundi , aut tertii gradus &c. prout unius , duorum terminorum &c. valorem invenire o_pus est. .· Series principaliores bumerorum sunt , numerorum figuratorum , seu ordinum dijjerentium ; polygonorum, ,.ac potentiaru,m. · 259 Series numerorum figuratorum procedunt sicut ,in e.x¡em p. sequentibus ..• ,. • ~ .... ..• -~.•.. ....•.•. .•.. ~

Coris.. '.:

106

Pars IV. Art. VI.

Constantes aut primi ordinis r . 1. I . r . r . &c. Naturales, aut secund1 ordinis I. 2 ~ 3. 4. 5. &c •. I. 3. 6. 10. 15. ~c. -~ Triangul., aut tertii ordinis ';:?. Piramid.' aut q_uarti ordinis I • 4. I o. 20. 3 5 . &e: Harum lex ·est, quod quilibet suorum terminorum de.. bet esse · summa terrninorum seriei pr.recedentis us.que ad eum, qui correspondet in loco quem occupant: sic termini secundre seriei forma.ntur per continuam additionem unitatum ; tertire autem per continuam additio3, nem terminorurri seclindre. N árn 1 :::::: 1 , 1 + 2 I + 2 + 3 == 6 , l + 2 + 3 + 4 10 , &c. · 260' N umeri resultantes continua .additione terminorum unius progressiorüs _arithmeticre 1 incípientis, dicuntur polygoni; dicenturque triangulares, quadrati &e! prout differentia iUius progressionis est I , 2 , 3 , &c. , Progres.Arithm. Dif. N um. Pol,ig. 1.2.3. 4. 5. &c... 1 1.3. 6. 10.&c.Triang. :r • 3 . 5 . 7. 9. &c.•. 2 1 • 4 . 9 . 16. &c. Quadrat. r . 4. 7. ro . 1 ·3 . &c... 3 I • 5 .. I 2 • 2 2 • &c. P.entag. 1 • 5 . 9 . 13 . 17 . &c. • . 4 I. 6. r 5 • 2~ • &c. Exag. Observatur qu@d secundre differentire horum numerorum polygonorum sunt constantes; & ídem de :tertiis observaretur , si continua -additione series afüe efforma:rentur , &c. · - 2 61 Vocantur series potentíarum ere qure resultant quadratis , cubis &c. terrninoruin seriei numerorum na-,, turalium 1 , 2 , 3 , &c. ita erit . 1 r . 4. 9 ; 16. 2 5. &c. Series quadratorum} · 2 &e 1. 8. 27. 64. 125. ~c. Series cuborum ex 1. ·.3~ 4 · . t. 262 · Ultra has sunt plurimre alire series numerorum. .Sed in invenienda earum lége , difficültas unice consistit. Ad hoc , si illico cognosci nequit , .scribetur .s.eries . sub die::

De Hujus . regulce applicatione.

I 07

diversa forma ·, qure aliqualem legis , oiuam sequitur, idea~ nobis exhibeat. Sic in h ac serie v. g. .: . ; , . / 5 • - s .· & c. sen"b emus .-x , -J. 3 • ·1- • 3 • 4 • 1- . 3s• 5. 7 • & c. 10 5 . 2

.,,

Ubi apparet quod. numeratores sunt termini unius progressionis geometricre subduplre ( §. 199 ) , & denomi9atores produ.cta primi, duorum , trium primorum &c. · · humerorum impar'ium. ~ 263 Fractiones · legitímre , & radices potentiarutn' i,mperfectarum vidimus qualiter ( §. 148 ) convertuntur in series infinitas. Nihilominus methodum ingeniosam adhibebimus. Com·ertenda sit fractio b ..:&' in ser iem ordi0!1,tam per x. F~ciemi.1s b.;_x==.A-t-Bx~cxz+DK3+&_ c.\ tollendo fraction_. erit a=:(b-t-x) (A+Bx+Cxz-t-&c.):::::; bA + bBx -t- bCx"'-t- bDxLt- &c. )

in qu'a requatione indeterminati manent coefficientes A, B, C, D, &c., sed determinantur· comparando singulum coeff-icientium terminorum seriei secundi membri. cum coeffi..i . ,cienÚbus suorum terminorum bomologorum , seu ejusdem 1 potentire x in primo membro. Et quoniam a¡:= a+ · o,; -;-

oxz+&c. habebimus bA=a, bB+A=o, bC+B==.o,i bD+C=o, &c.hoc est A=: ,B=- :~,C 0,D=- : .. &c. qui quidem valores si .substitu.antm- in prima serie , cui ·

•

requahs facta est fract10 , dabunt ax 3

b4-+-

& C. ·==-¡; a ( I -

·",.

-¡; -t- ¡;. -

b-+-x x

á."'

=-¡; -

b3-!-

& c .. )

al: 2.

-+- b7 -

Ubi observatur quod si x == b , su¡:nma , cujuslibetnumeri paris terminorum est ::::; o ; imparis autem

Pars IV. Art~ VI.

108

::::::: ; , ·qure quidem series dicuntur par-allelce. Si x <. b se~ies erit convergens ( 2 5 8 ) , ac consequenter magis & magis approximabitur vero valori frac~ionis; sed si x > b_ series erit divergens ( 2 5 8 ) , & a: vero valore fractionis magis recedet. Ad extrahendam hac methodo radicem quadratam, y. g. ex a 2 -+- x 2 faciemus

Va + 2

== A+ Bx + 2

Cx4

Dx --i- &c. erit .............. , ................... •···············•······ a1.+ x 2 := A 2 -t- 2ABx 2 -t- B 2 x4+ 2ADx6 -t- &a. -+ 2ACx4-t- 2BC,x6 +⁣& sic comparando -coefficientes terminorum homologorum A 2 12 dB := 1, B"--t- 2AC := o , 2AD-+- 2BC == o &c. -1--

=a"'; '

8:J

hoc est d ==a, B 2 11, e:::;:::: D == 16:S &c. , quor~m valores si substitu~ntur in serie A-t-Bx 2 + Cx4-t-&c': x" x4:,:6 & C. := a d, ant a '2 -;-. X '2.::::= a -t- 'Ta - - 8a3 -ir

( I

- - - -

1645

-i~-~ -t~-&c) 2~,. _Sa4 . r6a6 · · • •

Ex quo observatur qüod si x <a, serjes erit convergens 5 8 )_; sed si x > a erit divergens; & patet quod si loco x substituatur a , & loco a substituatur x , posito quod

(§.:

;tt x > '

a, series

e divergente

convertetur in convérgentem. .

De additione serierum. . 264 Seriem addere idem est ac eius terminos redu. cere ad unicam expressionem finitam. 265 . Ad hoc qureritur methodus addendi aliquo~ series , quarum producta tanquam formulre erunt , ad guas , si fieri potest, series addendre reducantur. Aliquan-

De Hujus regulaJ. applicatione.

109

quanqo resolvitur series in alias, quas addi posse cow noscimus· mediis aliquibus formulis , ac postmodum, juxta serieí constitutionem, adduntur , aut subtrahuntur summre inventre , & ita obtinetur summa totius seriei. Sic inventa .formula ad addendos v .. g. omnes terminos unius progressionis grometricre decrescentis in infinitum, per eamdem addere poterimus omnes series , q_ure 'resol"'I vantur in multas alias , quarum termini sint etiam in progressione geometrica decrescente. Hoc signum c:o significar infinitum • ac proinde : , ; denotant quantitates infinite parvas. 6. 6

s•1t *

b. b<J.

d • 1192

una progressio decrescens , ut necesse est ( 2 5 8 ) , ex eo quod sit-· q > 1 ( §. 2 o 1 ) , "crescentibus enim denominatoribus, decrescet continuare valor cujusque termirii. s.1 sen ' ºb"1mus * bqco d d d d .d • • ••. •• bql -. -¡;¡:;. • hi • --¡; , senes enf:l 2_

bq'i ••••••• .••

bq<I>

crescens ( §. 2 5 8 ) , & applicata formula s == . • : d J ( §. 2 I 8 ) ent a == bqco , v -¡; ••••••. ac· per conse-' 11

d 'I

quens s

== -¡;--¡;;¡;, , ita ut spreta quantitate infinite par q-I

•

va 1,:r.o , erit denique s == bq dq b , formula generalis mamfestans summa~ totius progressionis geometricre , m m- , finitum decrescc_ntis. a a-+-d · 2 67 Hoc supposito , addenda sit senes -¡; , -¡¡--, 4-+-2d a-+-Jd & . . . progress1one . - ¡, -:;:-, ¡;¡¡c. cu1us numeratores srnt m • 9 arithmetica ( 1 9 3 ) , & denominatores ir1 progressi.one geo~ inetrica ( 2 1 2 ). Ad hoc ordinabitur sub hác forma ; , a

Pars VI. Art. VI.

110 ad b q -t- b q '

¡;¡-;.

-f- bq2 -t- bq2 , bqÍ -t- bq3 -t- bqJ -t- bq1 ,

ex qua deduci poterunt series sequentes , qme totidem sunt irogressiones geometricre ( §. 2 1 2 ).

* ; . ~ . b;" • b;l . &c. cujus summa ( §. 2 6 7 ) est = b/ q b d d & c. cuJus . summa ( §. 2 6 7 ) est = bq-b d * Tq • bqd • • bq3. ...b: • • b: J • &c. cujus su·mma ( §. 2 6 7) est = bq "~ bf 1

&c. cujus summa ( §. 2 6 7) est hq l : ~ Omnes hre summre, prima excepta , efformant ( 2 I 2 ) • • d d d & progress10nem geometncam * h(q-x) • bqCg- i ) • bq • (q -r) • c. ) _ · dq . · · ( § _ dq CUJUS summa • 2 6 7 e~t - bq(q-i)-b(q-r) - bq z - 2 bq-+- b & huic addeqdo summam b primee seriei , erit summa ••

3 •

b/9

• • • • ( § aq omms sene1 propo_sltre • 2 6 6 ) == bq,-b + bq"'i:- dq2 bg-+b -mulriplica,tis terminis primre fractionis per q- 1 , , qure formula · inserviet etiam ad -áddendas omnes series fractionum , quarum numeratores· sint in progressione arithmeti,c a, .d~n.0111iQ<1:tores autem in geometrica. , 268 Vocatur terminus generalis unius seriei illa ex.. pressio ex n ( qme quidem denotat numerum terminorum ), omnes terminas seriei producens , eo solo quod in ea successive. substituantur loco n numeri naturalei:¡ 1 , 2, 3 , &c. sic terminu$ generalis seriei 1 • 4. 9 . 16 . 2 5 . &c .. e_st n,.' nam faciendo successive n == I ' == 2 ' == 3 ' &,c. habebimus statim omnes terminas seriei i-. 4. 9. I 6 ; &c. , 269 Summa generalis unius seriei est illa expressio ex n, in qua si substituatur quilibet n_u¡nerus integer, pro• p,ucit summam tot .1 terminorum seriei ' quot. u• ni tates lsunt

:;:=:~;:=:,

in- numero loco , n s,ub:stituto. Sic exp~essio aq, ,-

q-1

est sum-

De Hujus reguite applic'atione.

1: 1 1

surrima génerálís totius progressionis·~ ex qua cogriosci:..mus primum terminum a , numerum terminorum ~ , e~ponentem communem q. , . 270 Probl. r. Data summa generali unius seriei, invenire ejus terminum generalem. Clare pa~et. quod t_erminus generalis T requalis est summre S omnium terminorum seriei, u~que ad terminum. n"'imum inclusive , excepta summa S' omnium terminorum ejusdem ' usque ad terminum n-Iessimum inclusive; & quoniam data summa generali S unius seriei , si in ea substituatur n - I loco n , resultet necesse est summa S' omnium terminorum ejusdem usque ad terminum n=-¡wimum, patet quod hanc illa ·subtrahendo, habe.. bimus terminum generalem quresitum T == S - S'. n aqa . 1 . aqn-1 - a Sit v.g. S erit S -==. - - - - - , & Sq- 1 q-1 1 n '- aq-a ' at- - a aq" a a Sl=--+----q·- 1 q1 q- I q- I q- I aqn aqn-r ·a q"-r(q- I) _ .i aq n-1 .

= ---, - - - ----- = (Jt . = r. -

q-:-I

q-I

q -

271 Probl. 2. Dato termino _generali unius seriet, ' ejus summam generalem invenire. . In hoc problemate solvendo , mirum quantopere tor.. · queantur ingenia. Sequent_i 'tamen methodo ingentis extensionis resolutionem assequemur. Sit T expressio rationalis numeri terminorum n ; hoc est T-==. anm+ bnm-x:+ cnm-z+&c.+ v; supposito quod summa generalis S An-+- 1 + Bnm+ Cnm-i+ Dnm-z -t- &c. -t- R , substituehdo n - 1 loco n , erit h S'=

>;;" .... -

e . ·n . · -

. &C • . .C:m - . I • nm-·2+ . ... ,.. + · D . ,r- _ : &c. ·. ,··., 1 Jtrgo S - ·s , seu -1- hnm-r -1- cnm- -1- dnm- 3 &c. J . . • · - -·- - - - - -·. · A m Am-+-r.m m~I---1- Am-+,- 1.m.m- 1 m-::i. & ~ --:...r;,.m--t- .In--- --i.~ n -.- :---:¡--_-Tn . c.

-t-

·.,;

m-1 .

a,r

;!, .

...

+ B ,"· ;,i, ·,r-I -

•

. - .,;..,.

-Bm. m

\ ,

rr _,

-+-

I i,,m-2

: ~ ~ m-z

e .- m -

.I .~

&c.· .

-•

& C.

¡;

& : comparando termino's h-0m0logos habebimus A ' ....:..:_ m ~ Bx. á. ~ ~ · e_:_ :~ -+ Lb .!... am &c. quoruiri ·va::. --,. Z m ' · m-r 2 12 lores · suhst1tüti in formula. S .:__ A nm~r ... .... - _,_,, ....... .· -- -..+ .. Bnm4-- ·Cnm-x --~ -+- &c. dartt -s ·::::t m-t-r ~- nm-+-r + ;(~ ·+ .!. a) nm + (-e- -tZ m-1 1 ..!. b .!:lt- 2. .am) &e~~ . ': --- · · · · · ·· ,.,-~

'•

. 'lle-

~m-:-- +· ..... -

r.ri

. .. - .

•..

1 Inyenie0d-a -~proponatt;1r summa· · s~riei I ¡ 2 -. 3 --. 4 .. n, cujus terminus ._ge.neralis est n·;_)n hoc .casu a 1; _tn ' 2=;::¡' ·; 'b. -2.~o , e~ o_; ergé.>' s == .·-r·ñ-+ ½ n I _.• ., · · · i · . · ., · .. ?.72 ., .A~d:e n4a ,sit seri~~ I ~ 4. 9. I~. 25 &e , .j cujus ~termrnrts · generali_s est _·n., ( §. 269), eri~ si comparetu.r .~!~. !~rI?,i~us get e-~a!~s· cum propo~ito ad formul~m. ~ene~ rahss1mam a I , b -:-- o , e o , 'f!'J, 2 , qui qmdem -valáres substituti in formula generali t~rmini summatorii, ~da11t n3:j- ½ n"+ ~ _n. _. _ ·- .. __ ~ _· ." . . 2 7 Add.eñéla· sit - -~eries I ~ ! ~2 m • . 3m • . &c. ~ujus

•.

.-~-

S== _; 3.

• .

. - --·

...,. .1 m

•

terminus generalis est .n , ent a ::::;__1 . , m r~

.. ..,

,..

i •

_ o. , & _consequen t'er

e _ ,r ·--

"·.:..- ~ ....~.

s--1m-:f-1 ~~ m-t-i n -t- ~ n ,e-

•--

·•

. :· ., .

...

.. ..

== m , •

.,.

-t-_12 mn

..i

l? _-=..., o , .

.....

•

m-I

.. T

&c.

De Hujus regulte applicatione.

JI 3

,&c. '&- supponendo n ....:__ co ; nm , rr-: 1 &c. erunt quanti- · tates infinite parvre respeétu nm-+-r , idcirco prretermitti po--

= :-+-x == m-+-r

terunt absque errore sensibili , & habebirnus S • I m -1- 2 m -1- 3 m• •••• -1- nm ; sed hre_ c formula solum ha.be bit locum, dum n est quantitas infinita, & positiva; 1. si enim negativa sit, erit finita , nisi dum m

De Methodo inversa serierum.

:e=

Data una requatione, v. g. aym -t- bym+n 3 + cym-+- n -+- dym-+- n -1- &c. Si inveoire volumus valorem ex y in expressionihus ex x , methodo inversa serie• rum utemur , qure explicata man et ( §. 264 ) . Si in requatione proposita supponimus m:=:. n == r, erit x ay + by + cy 3 + dy 4 + &c. Ad inveniendum igirur valorem ex y in expressionibus ex x faciemus JI ;_ Ax -t- Bx'2 -t- Cx 3 + Dx 4 -+- &c. ergo y,z. A,,,x,z.-t-2ABx3-t-B,,,x4-+- &c. -+- 2ACx4 )'3 A3x3+· 3 A,,, Bx4-t- &e~ y4 A4x4 + &c. &c. &c. & consequenter, ) ay == aAx-+- aBx 2 -1- aCx3 + aDx4 -+- &c. 1by'2 bA,z.x,,,+ 2bABx3-t-bB,,,x4 + &c. 2

=·.... = .......... =•........... .... . J

=· ..

.x=I cy3 == · ......... J dy 4 == .......

t. &c.

+2bACx4 c~~x3+3cA,,, Bx4 &c. dA4x4 -1- &c.

, .........

&c.

Un-

, : -. Pars IV. Art. VI. Unde comparando · termii;ios homologos , prodiL Aa==. t,

== o

aB--t- bA~ ~o, aC :;:::::= 2bAB -t- cA3 "A - ~ B - - !._ e- 2 b • ~ D ~St

- ~

a ·' .

al'

.,..-

-:--

&e, hoc 1

5abc-a d-1-5b3 · a7 ,

&c. Si hos valores substituimus in requatione y== Ax ifx'l, -t- &~. ;deducemus y ~a x - .!:_ xz -1- ~ii•-a_ , x .3 + a~ as •

5a/ic - a 2 .l-+-5bl --;-:- -- ¡ , 1 - - ~

-t-

14b4--2Iabc 2 c-+-6a 2 bd-+-3a 2 c 2 -ale a9

-t-

&c.

Formula generalis ad omnes casus hujus.naturre, qure quidem appiicahitur , substituerido in ea valores respon~ / dentes coefficientibus a , b , e ,. d , &c. 1 __

Si x

== ay +

by3 -t- cy 5 + &c. faciemus y

== Ax ~

Bx-3 -;- CxS -+- &e, , & pastea procedetur sicut in casu

anteriori,. Si x==p

+ ay

-1-

by'l,-t- &c. fiet x - p

= z,

qua-

== +

erit ~ ~ -ay -+- by - ; - &c., supponendoque y Az Bz'l, -t- &c. procedetur sicut in casu primo , curando de eo quod substituatur loco z ejus valor x -p.

.!e

275 Probfem. ,1. Invenire seriem exprimeritem Lo.. garithmum cujuslibet numeri. Sit numeras, cujus Logarithmus desideratur 1 + x, faciendo ( I -t- x ~~

m. m 2

, .x 2 +

== Ax-+

1Í,1 - t 2

-t-- mx-+-

+ &c. hoc est z

== mx· ~

. •

m3 -

-1- z , erit • 1 -:+-; z

x'l, -t- ~ - r ~

t ==

~3+ &c.

Si supponimus L ( I -1-x)

Bx-2, -+- Cx3 -+- &c. erit L ( I -i--z) == Az -tBz2 '-t-Cz3+ &c. ·, & cum sit juxta hypothesim ( I-t-x)"' == I -t-z; erit ( §. 2 2 8 ) rnL (r +.x.) ==-L{r-t-z)' seo mAx-+- mHx 2 + mCx3 -t- &cr== Az + Bz 2 .,.-t-.Cz.3 -t- &c.

& .$iquid¿m m hac ~qu-atione substituimus loco z)ejus ¡ ·'va--

De Hujus regulce applicati!!__ne.

valorem inventum in expressionibus ex :x: , habebimus mA(f ·+ mBx 2 -+- mCx3 -+- mDx4 -+- &c. =:..dmx+ A m-m-r - x 'l + A mm - r• •. m-z ~ x 3 -t- & c. 2 -t- Bm-i • x-i -+- Bm-i. • m-I . x3 -t- &c. -+-C. m3 • x 3 -+- &c. , Transferendo terminuvi Am.x , & homologos comparando ( §.

) erlt mB

== A'!:....:_ :-r -+- Bm1. , mC ==

Amm-, . m-z -+- Bm"' m-I -+- Cm3 &c. Unde exeunt 2 • 3

B := A , C := A , D -==. : A , &c. quorum valoribus substitutis in requatione L ( r-t-x) == Ax -+Bx"'-+- Cx3-+- &c. daut L ( 1 +x) == A (x - : x-i.-+- r.¡ --. x3 - : x4 + &c.). 276 Patet quod quantitas A manet indeterminata; ex quo infertur q_uod numerus propositus 1 + .x habere potest infinitos Logarithmos. Hinc varietas systematum Logarithmicorum. Sed brevius illud est, in quo suppo.. nitur A== 1, atqui hi Logarithmi hyperbolici vocantur. 277 Ergo in omnibus systematibus Logarithmus hu.. jus 1 + x reducitur ad produB:um ejus Logarithmi hyperbolici per quantitatem A ; atque hic dicitur rnodulus constans, respeB:u omnium systematum, qure idcirco ad hyperbolicum reduci possunt. 278 Supposito igitur A== I, habebimus L ( r + x) x - :r2,. -+- :r:/ &c. -qure quidem series erit convergens, si x < 1 , & si singulis membris requationis addimus La, pasito quod a reprresentet ( §. 224 ) basim Logarithmicam, resultat La+L (1+.x), seu ( §. 223 ) L (a+ax) La --1- x - xz -t- ~3 - &c.

:i.

I I

Pars IV. Art. VI.

== : , & consequenter L(a+ax) seu L(a+z) == La + : - ;:, + 1:ª\ - &c. , & faciendo ax == - z erit L (a - z) == La _ , l - .J.::. -&e, & L(a -\- z)-, L(a ~z), seu L c:-4--~) == :1:c Si supponimus ax==z , ~rit x

I-+,,

3"{:3

~) "<a ,. -12

quod z

1'.

;a 4

+-½ + 7a

a ut

:-4--~

&c.) in qua expressione necesse est sit quantitas positiva -; et ita series erit

semper convergens. .

:-+-~

79 Ut seriei antecedentis .applicatio fiat, sit == 1 _m_ , erit .la 2m-1- , & L(____!!!_), seu ( 2 2 3 ) Lmm-r m- I L (m- I ) I -tx -1- 5( zm-I)4 x -1- 7 (1m-1)6 i -l2m-1 3 (2m-r)Z 2

== -== -•- ( &c.): ergo Lm == L(m -

r -!- 3 c,m~i}" -1s(,m~iJ+ -t- &c.) hrec series eo erit magis convergens , quo rnajor sit valor m, supposito quod ad inveniendum Logarithmum numeri m , opus sit prius cognoscere Logarith. hujus m - 1. · Ad inveniendum Logarithmum hyperbolicum num.2. r, • & • L2 1 l 1ac1emus m 2 , . ent T2 ( r -!- ~ -t- ~ -1&c.) ó, 6 9 3 r 4 7 9 1. Si facimus m 5 habebimu~ 1 L5 2L2 -t- 2.. (r -1• -1- ~ -t- &c.)== I; 3·9 9 , · 9 ,

== ==

-t-

(

60943791. Hac methodo facile Logarith. omnium primorum num~¡. rum invenientur , ac media additione , ac subtraétione, etiam rnultiplorum, ac submultiplorum ( §. 223 ). Nam

== +

L2 L3; L9 == 2L3; L10 =::L5 +L2 &c. 2~b Ad deterrninandum valorem moduli A, ad aliud systema, v.g. tabularum, in quo a==10 ( §. 224 ) qua:!remus, (in explicito systemate) Logarith. num. 10, addendo L2, L5 , erit L10 2,3058509 , cumque sit in sys-

1 17

De Hujus regulce app_licatione.

systemate tabularum ( §. 2_24) Lro I, eri~ ( §. a76 ) 1==A (2,3025_8509 &c.), seu A==2,3oz5S509 o, 43429448 &c. ( §. 70 ) , & hic est valor rnoduli tabularurn. · 28 r Ergo Logarithrni hyperbolici convertentur ía Logar. tabularurn, si illi rnultiplicentur pero, 434'29448. E converso Logarithrni tabularurn convertentur in hy~ perbolicos , si illi rnultiplicentur per 2, 30258509 L. hyp. de z L tabularurn ex · z x 2,30258509 L. tabularurn ex z == L hyp. ex z x 0,43429448 _ 282 . Probl. · 2. Dato quolibet Logarithmo invenire numerum , cui respondet. Sol. Reducatur Logar. datus ad systerna hyperbolicorurn ( §. 280 ) ; hoc facto sit z Logar. reduétus , & 1 + x num. cui respond~t, quem qurerimus , erit ( §. 2 7 8 ) z == x - "'2 --t- 3 &c. & ita difficultas est invenire valorem ex x in expressioHibus ex z, quod consequemur ( §. 274 ) per me.. dium illius formulre generalis, vel faciendo x == Az --t- Bzz --t- Cz3 --t- Dz4 --t- &c. & ita erit x-i == A 2 zz -1- 2ABz3 -1-B 2 z4--t- &c. -1- 2ACz4 x3 =:.... ; . . . . . . . . . . . A 3;:,3 -1- 3 A 2 Bz4 -1- &c. x4 :::=. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • A 4z4 -1- &c. consequenter ) x == Az -1- Bz-i --t- Cz3 -1- Dz4 -1- &c. _x•1. -__ A•r" - ABz3-..!.._B-iz4-&c 2

tx:

l J

z=~

"'/ == ......

./. -,11"44

;

•

-ACz4 A3z3 -t- A 2 Bz4 + &c • A4z4-&c. h4

=... •.. •... •.- ;

Un ..

Pars IV. Art. VI.

118

_ Unde resultat ( §. 2 64 ) A:=:. 1 ·, B== 7 , C==1;·, 1 D:=:. 2_z_, E== :i.3.4.5 &c.: ergo x :=:.z-t- l: -t--º-1.3.4 2 2.3

1..;4. 4 I

-t- &c. Et quoniam ex hypoth. -t- ~ I -t- L ( I -+-·x) -1- L • (r-+x) -

. numerus qui•i·b generat1m 1 et n L1.-n

•

,¡

z==:.E(r.+x), erit -1-L J (r-+x) -t-

I -1/

::z..3

L n -t-

&e .,. &

L•n Lln 7 -t- ;:-} -;-

+ &c. 283 _lnvenienda proponatur, media- hac serie, basis

:2..3.4

logarithmorum hyperbolicorum , seu illum num. , cujus Logarithm. hyperbolicus sit I Tune ( §. 224 ) Ln I , & consequenter n ==: I + 1 + 2.:i + A + a~• J • 4 -+- &c. == 2, 7 1 8 2 8 1 8 3. • • "

= =

GEO-

119

GEOMETRIJE ELEME.NTA.

Fig.

GEometria est scientia quan~itatum extensar~m , prout terminatarum ; hoc est, lmearum , su perfic1erum , & solidorum. U nde & triplex Geometrire objeétum , tri... ' plexque hujusce traét. divisio.

PARS ~ •

PRIMA-.

De Lineis.

ARTICULUS PRIMUS. De Linearum natura , earumque diversa cons.ideratione in eodem plano. '·

.284 DE:fin. 1. Punétum est, quod undequaque se ipsum terminat, seu quod terminis se distinétis caret. 285 Defin. 2. Linea est id, quod resultat motu I punét:i ex A ad B. 286 Coroll. Ergo bree punéla A, & B sunt termini linere secundum ejus longitudinení ; secundum latí-. tudinem autem , & profunditatem ipsa est sui terminus; vel quod idem est , linea solum est extensa secundum

longitu dinem. 287 Definit. 3. Distantia est linea brevior ínter o. · 288 Definit. 4. Linea recta AB est brevior, qme punét:o A ad punélum B duci potest. 289 Coroll. 1. Ergo linea reét:a est vera mensura dis.. tantire ah uno punéto ad aliud. 290 Coroll. 2. Ergo duo punél:a tantum determinant

po-

120

Pars l. Art. l.

Fig. positionem unius reétre ; & consequenter ab _uno punéfo ad afiud unica recta duci potest. 291 Coroll. 3. Ergo dure linere reare in unico pune-to concurrere possunt ; nam si in duobus punttis concurrerent , prec essent utrigue communia, ac positionem , unius retire determinarent ( §. 290 ) , contFa stabili-~ tum _: ergo &c. 2 292 Definit~ 5. Linece fr:aéfce voca.nt~r ornnes linea: similes lin. ADB; ccurvce autem similes lin. · ACB. Igitur ab uno punB:o ad· aliud infinitre linere fraétre, & curvre , inter se diversre , duci possunt ; cum con~ verso , unica retta duci queat ( §. 290 ) . 29 3 Schol. Linere reétre in charta describuntur, du... cendo graphium , vel plumbaginem juxta regulam ad punéta data applicatám; & in solo per baculos hinc inde , juxta direétionem, ejusdem radii visualis , positos, seu ereétos. 294 De:finit. 6. Mensurare est sumere quantitatern ali-. quam loco unitatis, ad exprirnendam rationem, quam cum ea habeant alire qurelibet quantitates homogenere. Quantitas qure pro unitate sumitur , dicitur mensura. 295 Schol. Mensura linearurn est recta longitudinis arbitrarire , pro unitate sumpta; súpposito v. g. quod AB reprresentet unitatem , decies , - vigesies, quadragesies, &c. in direé:tione reétre AC locata', habebimus quod AC 40 unitatibus requivalet ; sed mos est omnes decennas suo ordine numeris signare , signando in prima decenna unitates, quibus constat, ac subdividendo, si fie .. ri potest , primam unitatem in partes minores , sicut in figura apparet; ita ut si AB designat ulnam: Ab, be, cB, denotabunt pedes ; A decem ulnas &c. Linea AC voca.. ._ ri solet schala proportionfs.

De-

De Linearum natura, &c.

12 I -, 2 96 Definit. 7. Si reB:a AC circum punétum C mo- Fig. :i bilis, fa_cit integram circum illud punétum revolutionem, _ ejus extre-mitas . A descri?et curvam clausam , seu. re2 Jr,r ·deuntem AEBFDA. Spatmm per hanc curvam termma~H tum , dicitur circulus. Curva terminans peripheria , aut ,::i¡, 1 :c ircumferentia : punétum C centrum circuli. ·2 97 Definit. 8. Linea CA, & qurelibet alia reéta, duéta circumferentia ad centrum C circuli vocatur ,· . radius ; & linea ACP, hoc est radius AC prolo9gatus centro C usque ad peripheriam, dicitur diameter. ' 298 Coroll. 1. Ergo requales sunt omnes radii ejusdem circuli , cum aliud nil sunt , quam' reél:a AC; ·( §. 296 ) & quoniam diameter duobus radiis ( 297 ) constat , diametri omnes requales erunt ; ac proinde om.. nia peripherice puntfa cequaliter a centro C distabunt. :299 Coroll. 2. Diameter AF dividit circulum ; & circumferentiam in duas partes requales. Nam si semidi.a.. meter, aut radius CA omnem circulum, & circumferentiam AEBFDA ( §. 296 ) integra sui revolutione de- 3 scribit , patet quod sua semirevolutione, dum in eadem • secum direétione ponatur , ac diametrum AF formet, ( '§. 297 ) proculdubio describet semicirculum AEBF CA, & semicircumferentiam AEBF; ex quo deducitur, •quod supra rectam quamlibet, prolongatam si opus fue: rit , describi poterit semicirculus apuncto C in ea sumpto. ' 300 Coroll. 3. Circumferentire duorum, aut plt.irium : circulorum concentricorum , qui scilicet centmm in eodem punéto C hab~ant , neque~nt se intersecare , quin .: confundantur. N am si radii sunt requales , orhnia punéta 3 centro circumferentiarum , quas describent, requaliter ; C distabunt ( §. 298 ) , ac proinde in unam coincident. . Si· radii sunt inrequales , circumferentire , quas descfi.:benr,

122

Pars J. Art. J.

Fig. bent, in omnibus punais distabunt centro communi C, · magis minusve pro majori minorive longitudine radiorum ( §. 298 ) . Ergo qure minoribus radiis describen.. tur , cadent omnes intra spatium circuli , qui respondet circumferenti~ , majori radio descríptre , ac consequenter se nunquam poterunt intersecare ; & hoc casu , pars circuli majoris , inter duas circamferentias comprehensa, vocatur corona , seu annulus. 30 I Coroll. 4. Ergo erunt circali excentrici , seu centri diversi quicunque in suis circumferentiis se tangunt. 302 Coroll. 5. Ergo si circulus diametro sua DB infleaitur, dure semicircumferentire DFB, DAB in unarn solam confundentur , & omnia unius punéla cum punélis alterius coincident. 303 Schol. Circulus ·describitur in charta, sumen-do , circino , longitudinem linere , qme pro radio esse 3 debet ( §. 296 ) , uno crure circirri in punél:o, quod cir• culi centrum erit , locato , & tntegram , altero crure, circum illud revolationem faciendo , ita ut descriptas circulas maneat cum sua peripheria; in solo autem chor... da , aut bacalo ejasdem cum radio longitudinis. 304 Def. 9. Qurelibet portio DA, AEB, BF cir::.. cumferentire , dicitur arcus: spatium CAEBC ínter arcum AEB , & radios CA , CB , per ejus extremitates trans~ euntes , contentum , dicitur seCtor. 305 Def. JO. Una reél:a' velut .AB ' quolibet p~néto A circumferentire ad aliud B ejusdem duéta, vo .. catur chorda , vel subtensa; & spatium AEBA ínter ipsam , & arcum AEB contentum , dicitur segmentum. 306 Theor. 1. Chor-da qucelibet AR minor est diame.. tro DB. Nam daét_a CA, r'e sultat ACB> AB ( §. 289); .sed ACB-=. DB, cum sit CA.-=. CD ( §. 298 ) : ergo dia...

De Línearum natura' é;fc.

i r r •

:diameter circuli major est quam qurelibet chorda alía. Fig. 307 Theor. 2. In eodern, aut 'cequalibus circulis, ar- 4 cus cequales AND, ARB subtendunt chordce tequales AD, AB ; & vice versa. Si consideremus arcuum figuram inflexam diametro 'A.E, arcus AND confundetur cum are u ARB ( §.302 ); & cum sit comm'un~ punltum A , & ex hypothesi AND == ARB , punét:um D coincidet cum punlto B ; & ita coincident extre91a ch9rdarum AB_; & AD ; & cum inter duo punlta unica retta duci possit, ( §. 290 ) , patet quod AB :::: AD. . Si supponimus AB =AD, & eodem modo infleéH.. añus figu'ram , coincident extrema arcuum AND , ARE; & omnibus puntl:is intermediis similiter coincidentibus { §. 302 ) prodiet AND = ARB. 308 Coroll. 1. Ergo in uno , aut requalibus circulis; chordre majo res arcus sú btendentes majo res, sunt , quam ·ere qure minores arcus subtendunt , &, vice versa. .. ~ · 309 Schol. 1. Chordá. AB arcus cujuslibet AEB, 3 erit etiam omnis ~esidui ADFB circumferentire ( §. 305 ), sed cum de arcu , quem chorda subtendit, sermo instituitur , communiter de arcu minore intelligitur. · 31 o Schol. 2. Geometrre dividunt circumferentiam cujuslibet circuli in 360 partes requales, quas gradus ·vocant : quilibet gradus subdividitur in 60 minuta : quodlibet minutum in 60 secunda &c. Supra numerum exprimentem gr~dus . apponitur ad dextram signum (o) : sulira exprimenterñ minuta ('); supra numerum secundorum ( ") &c. Sic ad exprimendum 8 grad. , 20 minut~ , •3 secund., 30 tert. Scribitur 8° 20' 3'' 30'". 311 Coroll. 2. Ergo gradus, & minuta non sunt quan.. titates absolutre , & determinat::e , sict1t pes , ulna , &c. ; ) hoc

Pars /. Art. l. Fig. hoc est : gradus unius circumferentire majoris excedunt -g radus alterius circumferentire minoris , & quidem in ea.. dem ratiorie ac una circumferentia major est alia. Nam cum utriusq ue gradus sint ! pars periferire , ( 31 I ) , partes símiles erúnt ( §. 15 ) , & in eadem ratione cum suis totis ( §. 204 ) ; idcirco si peripheria unius circuli sit requalis b, & d peripherire alterius, erit ¡,l : ~0 : : b: d : 3

A R TI C U L U S I l. De 4ngulis, & eorum mensura.

DEf.

, 3r2 1. Angulus p!anus ACD est inclinatio ,_ duarum linearum AC, CD , in eod'em punélo C concurrentium, ita ut prolongatre se intersecarent in eodem. Linere CA, CD vocantur crura, seu latera, diciturque angulum insistere in linea latera terminante : punél:um C vocatur vertex anguli; qui quidem erit reélilineus , cur5 vilineus , aut mixtilineus , prout linere generantes fue_rint reél:re , curvre , aut una reél:a , altera curva. · · 3 r 3 . Schol. Dum exprimendus venit angulus , tribus litteris signatur , una in.... vertice , duabus autem in lateribus , quarum qure in vertice est, semper secundo loco nominatur. Aliquando sola hac littera. anguli exprimuntur:5 _ 314 Def. 2. Mensura anguli ACD erit arcus LK des,criptris radio CL (ad arbitrium duél:o) vertice C inter .crura CA , CD. . 3 r 5 . Coroll. Arcus tantummodo distingui possunt per ,numerum graduum, quibus constant ( §.311 ) : ergo quantitas angülorum restimabitur per numerum graduum, mínutorum, &c .. quibus constat arcus descriptus vertice: ínter latera ; sic dum dicitur quod angulus ACD

tequa-

De Angu1is' 8 eoruni ., merisura.

I 2

s ,·

~qfl4lis ·est arcui KL, intelligi.debet de numer..Ó ,graduum Fig. ~/Jius ar.cus ., non, de longitudine absoluta. .. . · - ' . :, . -s 16 Sebo1. Licet centro C possint . describí innuiperi arcus ínter .latera CA , CD anglilli ACD·, cum omnes e-obstare debeant eodem numero · gr:aduum ( §.311 ) ~o quod_ sint partes símiles suarum circumferentiarum, i.!Jde est quod mensura angulorum semper est jixa", ·.& fQnstans , angulusque idem subsistit,. licet · latera pro. [ongentur, ~ut brevientur. . 317 Probl. Formare angulum ABC a:qualem alteri 6 r . angulo dato abe. '-1. _ Sol.· A puncto B tanquam centro describatur radio ad ~rbiJ:r.ium _dueto.- Bd .arcus indefü;iitus dm ( §. 303 ): sumpto deinde tanquam centro vertice anguli dati abe, e0_cl~m radio descdbatur .arcus tr : sumatur in arcu indefinito ·d m, dq == tr; per puncta q , & B ducatur deniqu_~ _recta ~Bq, ·qure· .cum BC formabit angulum ABC ~quale1n angulo .,abc. . . .Arcus tr mensura anguli abe ( §.314) est requalis -arcui d!J. , mensutre nempe an_guli ABC •( §. 3ó7 ) , cum sint a1;c.us requalium circulorum, subtensi per cho-rdas _requ~les .per construct. ; ergo il.li anguli . sunt requales .( §. 3J 5 ). ·· · ·., 318 Theor. 1. Si duo anguli ABC, abe sunt a:qua-~es, ,&i vertex .b .unius ponitur super verticein B alterius, ita 1ft ,latus be. illius cadat supra latus- BC alterius lai... /us ba prfrni cadet supra latus-BA secundi. ·. Nam si , ba caderet intra , :aut ·e xtra · ang. ABC, v. g~ in Bm, _aut Bn, arcus d'IJ'J, aut dn, mensura ang. abe, -eti~ major , ant .minor ar.cu dq , mensura angul. ABC ( §. 315 ) , ac proinde iJii anguli erunt inrequales con_- tra hypotb;; ~rgo &c. . _ Scho1.

· I

·Pars l. Art.11.

fig.

319 . S~hol. ,Ad mensurán'duni numerum gra·d. quibus constat ang. ACD·, Tptjmur :semi~jrc:mfo exa·c te ·diviso in 180º,centr:um hujus in~trumenti ponitui.- .in vertice C ang. ac ,dirigendo partem interiorem ejus radii in directione uníos ex lateribt1s CD , punctum in quo latus aliud CA ~ecat circunferentiam.instrumenti, signabit: numerum grad. illius .ang;-( §. 3~5 ~). · ' ,, ·, . 5 ,. 3ao .. Defi. 3; Angulus' dividitur in .rectum, acutum, & obtusum. Rectus est, qui pro mensura habet arcum 90°, aut quartam partem drcunfere-ntire, v.,g. ang. ACL Acutus est , qui arcum minorem : obtusus ·qui majorem 9oq pro mensura habef; sic ang. BCd est acutus: ang. A.CD est obtJJsus. Omnes. anguli non recti, dicuntur gener-atim obliqui. 3~1. Coro}l.-Ergo omnes:.. anguli recti.sunt tequales i~.. ter; se. -~ 322 Defi. 4. Vocatur complementum anguli:, aúr atcus , differentia qure resultat ·subtrahendo ang., aut arcu 90º, ~ng. aut arcum propositum. ., . . 323 Coroll. Ergo co'fl'!plementum unius ang. acutí erft positivum ; obtusi .autem negativum. Sic complementum ang., aut arcus 57°, 31.', est ang. aut · areus == 32°; 29'. Complementum ang., aut arcus 118°, 12', 20" est ang. ..aut arcus =: - 2 8º, 12 /, .2.0" • · 324 Defi. 5. Supp!ementum arcus, aut anguli. voc·~.. tur, id quod addi debet ad habendum arcum, aut ªº""' gulum 180°. · Angullls , ·qui alterius supplementum est, vocatur . deinceps , aut · ad continuationem positus. 3 25 Coro 11, 1. Ergo ang. acutus habebit pro d~inceps, ._ aut supplemento angulum obtusum: obtusus acutum: rectus alium rectum. 326 Coroll. 2. Ergo ang., ve! arcus requales habebunt requa-

De Angulis,

& eorum mensura.

'I 27

requalia supplementa ; ~ vicevei:_sa .1 reguales erunt arcus, FJg aut anguli , quorum supplerliefu-a'. sunf~qualia , aut complementa.' .,. ~ ' · ·¡•, .• ,, · '1 _T • ~ 328 Theor. 2. Si úna recta CD super aliam reCfam

.AB cadit , cum hac ·formabit in jiunéto C. duos _an.gu,fr;s 5 ACD, ])CB-tequales duobusureCh:s1;nseu118Gº. Super rec.. tam AB e,punéto1C tanq.uam centro,; deserib~tur seinicir-=-- ·, cumferentia KLH ( .§. 303 ·)-,erit KL +. LH mensura; duorum angul. ACD, DCB ( §. 315 ) ; ·sed KL + LH . i8óº (. .§. 3"10 ) . ergo, ·& c . .J 3-29 · .CowU. 1. Quoniam\ quilibe ~1,1merüs ,. áng. AG-1,, ICD ,, dCB.sq_p€~•. reét:am1_AB in· eodem punB:o C formato-. rum , habent semper pro mensura summam arcuum KI_ + IL + Ld + ·d..H ;' qure nempe est tota semicircumferentia ( §.,299 ·) ,' pat~t ( §. 31ó ) quod .omnes habebunt

pro mensura arcum _1<~ü:º ,~_~uohms re&is, requivalentem·

( §. 320 ) . · 330 Coroll.

•

: ~·

Ergo omnes ang. circum punét:um C formati requalcs sunt . 3 60 º. N am·si consideretur. de·scrip.. tus circulus e , illo pupét:o , erit omnium mensura tota pe..ripheria KLHGK ( §·. 3il4 ) , hoc est 360° ( §. 310 ). 33 r Theor. 3· ·vertice C angu#· ACD, prolongantur crura AC, DC , anguli .AGD -, FCB , qui. 5 vérticales , seu ad ,v erticem . oppositi . dicuntur.. , erunt tequale.s.. ,. ·,,11.',, .,.,\).· •1 · •¡ -¡,,, 1/, ~i ·, . · . Angul~ :A.CD, f?CB· habent pro ~upplemento c@mmuni ang. LCB_: ergo sunt. requales ( §. 326 ). . 2.

s~ e

,•

AR~

·.: Pars l. Art. III.

128

Ft,g• .

(

t) ,...

,•; ~ , ~; ¡. ,¡~ ·~

p. .

,T J ~.U _L _U S

I I l. De Lineis perpendicularibus, & obliquis.

.i'' .

íl

'"'

<, 332 QEñri: 1. 111~ vocantur Enere perpendicylares, ? - " · ·q.uh? fürmant.ang. t:eél:ds in. punéto occursus. Sic. AB es peiripenfücularis ad -DF. ; ·&- vice , versa. Qure

aute1m in punét:o o~cmisus, fori;nanf angulas obliquos ·, di.. cuntur obliquce•. ; .. , · ' 333 . Theor. 1. Si super perpendicula,rem .DF , .duo ftunaa iD , ?& F~•wqae rüistantin;icHpuñcta interseClioni.s e . sumanttir ·, qúvdlibet' linece· AB punétum ceque distabit a punCto D, ·quiam a pun{if;o· F. 1 , Cum radio CD == CE describatur, ceAtro e circum.. fünentfa~ DEPBD , ,aircus ~D.E er,it 90° (. §. 332: ), ac ¡¡>roinde reqµalis.ar,eui .EP{•'.§~ 32,:st ).: ei:go chordre DE,~ & EF.erunt etiam requales ( §. 307. ) ·: ergo punétum 'E re'que . distat punéto D , quam punB:o F ( §. 289 ); cmmque ex hypoth. sit CD== CF, linea A13 habet duo puntla,,E, ,i.quorum, quodlibet req.ue di tata pu,néto D,. quam .a pt,rnéto..F: ergo eadem pro.priet~s in reliquis punctis v~rificabitúr, cum duo ·tantum punéta positionern rectre determinent ( §. 290 } • , 334 , Theor. ..'.2. Liv. ~B in duas partes te.quates CD, CF dividit ·refJam DF , eritque eidem perpendicu'l'aris,, si duo .ejus•punfla· Aj E rceque 'distent a du.obus punfJis D, ~ . & F refJce DF. , Cum ex hypoth. d-µÓ punB:a l~n. AB reque distent punéto D , quam punéto F, reliqua punéta eamdem habebunt proprietatem ( §. 333 ) : ergo CD== CF. Eadem ratione erit ED == EF: ergo arcus ED, EF erunt etiam requales ( §. 307 ) , ac proinde quilibet 90 •

(§.

. De Lineis perpendié_ular:íbus? ~~- ~ ~ ~ ( §. -310 ): ergo reéta AB est perpendicularis adrea'am Fig: DF ( §. 332 ). · _ ~,,.,. 335 Coroll. 1. Ergo si reéta AB pe.i:p-endtcu'laris 'est '~ d reétam DF, -& il~iu,s punB:um .A' e:~ urtoqu.e la,:te're,·req~~ •~¡~_: fe t ab hujus punétis D ; & F; reltqua punéta)in. AB 'ean- 7 de m habebunt pfoprietatem ; alioquin reéta AB , contra hypoth., non esset perpendicularis ad reétam DF 0 t §.333 ). , . - ';o _ ,•.:, ,. ! ' , •' ••~: ·_ 336' Coro'll. · ~- Ergo ' e · punél:o~_E extra lmeat'ri DF, demitti néquit nisi ünica perpendicularis ad illaní lineam. ' . Sit EC perpendicularis ; & quoniam punétum E ei. utroque latere reque distare d,ebet duobqs- punétis rectre DF ( §. 335 "j, si ·hrec· sint D, F; erit FC-: ·CD ( §. 334 ) : ergo FD == 2CD ; supponendo quod EQ sit etiam perpendicularis; erit ob eandem. rationem f'JJ==. QD, ac proinde FD==. 2QD; unde resultat (- §19 ) l2f/b == 2CD, sel! · D-, CD, hQ~ esf, par~ , toti cumque ·hoc s't't ·absurdum ( §. g )'-,_seqmtur &c. ,_ 337 Coroll. 3. Ergo unicum punétum E sufficit ad determinandam positionem perpendicularis EC ad rectam DF. - , ... . 338 The9r. 3· P.erpendicularrs· CD b~evzo~ ~~t- cfud~

"~g_.uali's;

libet óbliquar'um DE , DA , qüce e.,punCto D d-esc"e11der.e possunt ad reétam AB. Prolongetur CD µsqu'e ad ·P _, -ita 'ut ·sit CF .__ CD; tluca·ntur deiride 01Dliq1uce EF:., 1 AF ' eri'P EP-:JJ+ ED 1r.,) D}1 ' ~ ~,¡_ ·.--AJ: ( §. 335 ) ; & habrebirnús--lfCF < 1JE,'fc~ :p)1'F ( §. 288 ) : ergo etiam DC, dimidiunr • DCf, < DE dimidium DEF, & <DA idimidíum 'DAF (14) : ,¡r 339 Cor_oll. 1. Ergo dist~ntij punéti ' ) in~a e·s~~J>~r~ pendic'ulaP.is 5,•si tci'e'mii-tátfiflial:FiiH8 ct'.}f.iarl~ {ijeyf f .. ' i2 Coro11 .. l

•

1)3<1 ')c::i:. p-•' PtirsLArt.III: ,, . Fig. 340 · Coro1¡. ~- Ergo obliqure demissre punélo D ad lineam AB, eo longiores erunt , quo magis recedant perpendiy1:ll<J.ri .DC. Nam recedendó·a breviori via, maill~aj e i é~ifu~ 5{fk1ent. '· ,nec~ssario longiores erunt., ~ _ . 34f Probl. L Lineam datam DC in duas partestZ,quales dividere. 8 - Sol. Sumendo. tanquam centrum C, & .D, describantur eodem , radio· DG ( §. 303 ) duÓ arcus ~irculi sese ~ecantes r in 17untl:is G-, & H: du~a ,per eos reéla GFH, erit DF ::=. FC. N am cum sit HG ::::::: HD, & DG ==:: CG ( §. 2·98 ) , lin. HFG duo habet punéta reque distantia ~_,punéto D, quam a punéto C: ergo FD:::::; FC ( §.334 ). ·_. ~42 ~robl. 2.· 4 puncto G e,:¡¡tra lineam AB demittere per_pendicularem GF ad diétam /in. Sol. Sumpto pro centro G describatur arcus DC, secans lin. AB in punétis C, D : dividatur CD in duas partes • requales in punéto F ( §. 341 ) , & ducendo per punéta ,G ·&. F ~eétam GF, habebitur perpendicularis CÍua::sita. 1 Cum enim · duo ejus t pu.nétá- G , & F reque di,s-, 1 tent , per construét. , punéto .C, quam punéto D ( §. 29-8 )., 1 1[9 erit perpendicuiaris ad AB ( §. 334 ). 343 ProbI. 3. Eriger e perpendicularem FG ad rect__a1m 4,,B t'ff-JJ/fo F j;n .,ea su,n,ipto. ._ _ . . Sol. Po¡S'itq -crure .-uno circini in F , fiat F.D ~ FC: duobus punétis C, & D pro centro sumptis , ducantur eodem_radio CG duo arcus se intersecantes in G ; reéta · <SR , u\Í~ P-~f:'¡mné.ta _G, & F ~rit perpendicularis aq ,AB -m .. _puaqo -F ( -§. 334 ) , · · 344 -'Fheor: 4. A puñcto F sumpto· i~ lineá AB e.rigi nequit j>lusquam unica perpendicularis FG ad iliam

li.&,am." :- :i:~ , 1.o'.

A , r

'. ~3~5 '.gh\JPe,;pee ~,.ct3larj~· if1.4~.ni@rit,!11ietíu_s ~ngt n .

~ ;,

AFG

De Lineis perpendicularibus ;&c. 1;

AFG ( §. 332 ) ; si supponimus quod etiam FQ sit per- Fig. •pendieularis ad AB, erit etiam reB:us ang. AFQ: ergo AFG == AFQ ( §. 321 ) ; sed hoc est absurdum, nam tune casos latos QF ang. AFQ caderet supra latos FG 8 anguli AFG ( §. 3 r 8 ) : ergo , &c. 345 Sehol. Si punB:um F, e quo erigenda est perpendieularis , fuerit in extremitate linere AB, bree prolongabitur , si fieri potest , & procedetur juxta modo diaa.

ARTICULU S

IV.

De Lineis perpendicularibus , in circulo consideratis. 346 THeor. I. Si radius CM perpendicularis est ad chordam FG , dividit in duas partes cequales, 1º chordam FG: 2º arcum FMG ista chorda subten.. 9 _ sum: 3° ang. FCQ ; & vice versa. Cum, ex hypoth., CM sit perpendieularis ad FG, & ejus punB:um C reque distet a F, & a G ( §. 298 ), erit ( §. 335 ) FD == DG : erit etiam ( §. 335 ) MG MF: ergo arcus MLG requalis est areui MIF ( §. 307 ); unde infertur quod ang. FCM requalis est ang. MCG ( §. 3r5 ) · · DF, habebimus ( 298 ) & ex hypoth., Sit DG punéta C , D , reque distantia a punB:o duo in radio CM F , quam a punéto G : ergo est perpendicularis ad FG ( §. 334 ) , & ideo erit etiam juxta demonst., FIM MLG , & ang. FCM requalis ang~ MCG. MF Sit denique arcus FIM == MLG, erit MG ha .. , ) 298 §. ( CG { §. 307 ) ; & cum sit etiam CF== bebimus ( §. 334 ) quod CM erit perpendicularis ad DF. chordam FD, & DG Theor. i3

Pars l. Art. IV.

Fig.

347 Theor. .z . Si recta DM secet in duas partes tequales cbordam FG, & ad ipsam fuerit perpendicula7 ris, illa recta transiet per centrum C, C! dividet arcum _FMG in duas partes tequales. 9 Ex hypoth. punétum D perpendicularis DM reque distat a pun&o F quam a punéto G : ergo in omnibus punétis verificabitur eadem proprietas ( §. 335 ) , ac .consequenter CF==. CG: ergo punétum C est in centro circuli ( §. 2-98 ). Juxta demonst. reéta DM, qure est perpendicularis ad chordam FG , eamque dividit in duas partes requales, transit pér centrum C circuli : ergo CM est radiüs· perpendicularis ad illam chordam, ac proinde arcum FMG ·dividit in duas pa.rtes requales ( '§. 346 ) . · · . 348 Probl. 1. Arcum datum DMC duas -partes ·te quales dividere. · Sol. Ducatur chorda DC: dividatur in duas partes requales in punéto F ~ §. -341 ·)., & in eo eFigatur · perpeñdicularis FG ( §. 343 ) ; bree , si .pro1~on$etur , secabit arcum DMC in .duas partes requa_les 8 ·10- punB:o M ( §. 347 ) • 349 Coroll. Ergo ad dividendum ang. DGC ·in .duas partes requales, describetur e vertice G inter ejus lá.tera, quolibet radio GD, arcus DMC: hic .dividetur· ip .duas partes requales in punéto' M ( §. 348 ) , & ducendo lin. MG , inanebit divisus ang. DGC in · duas · partes 'requales .DGM, MGC ( §. 315 ). , : . 350 Schol. Si eodem ·modo 'dividitúr, ang. DGM in duas _partes requales , habebimus quartam partem ang. ·DGC: eadem methodo habebitur ejus oétava pars , decima sexta, &c.; & ita hac via dividere poter~mus quem:.. libet angulum ., aut arcum juxta prqgressionem , :: · .-.2. 4 • 8 • I Ó. 32. &c. ' , .' ¡ _· ' Probl.

De Lineis perpendicularibus, c,;fc. 133 1

I•

35'1 Probl. 2. Circulum efficere, cujus circurnferen- Fig. tia transeat per tria puncta data A, B, D, quce quidem in eadem recta non sint. Sol. Ducantur lin. reébe AB, AD: dividantur in duas partes requales ( §. 341 ) in F, & G, in quibµs erigentur perpendiculares GI, FL ( §. 343 ) , ac punB:um interseB:ionis C erit centrum cir- 10 culi quresiti. CF est perpendicularis ad AB, eam in duas CB partes requales, per const. , dividens : ergo CA ( §. 335 ) : oh eadem rationem erit etiam CB CD: ergo CA== CB CD ; proindeque punB:um C est cen- 10 trum circuli , cujus circumferentia per tria punB:a data A , D, B transit ( §. 298 ) . , 352 Corn.11. 1. Igitur tria tantum puncta, modo non sint in lin. recta, determinant positionem circuli. Unde & circumferentice duorum circulorum in duobus tantum punctis se intersecare possunt. Si enim in tribus se inter-secarent , ídem centrum haberent , & in una circumferen.. tia confunderentur ; sicque semicircuniferentice in uno so~ lo puncto se intefsecabunt. 353 Coroll. 2. Ergo ad inveniendum centrum cujus.. libet circurnferentire , seu circuli, cujus habebit arcus, sumantur tria qurelibet punB:a in illa circumferentia , seu arcu , eaque uniendo per duas chordas, fiet sicut diB:um ·manet ( §. 351 ).

== ==

AR T l C U L U S V. De Tangentibus. 3S4 DEfinit. Tangens unius circuli vocatur reél:a 9 T M, in unico punB:o M tangens circumferentiam, ita ut si prolongetur, tota extra illum cadet. Punétum M vocatur punétum contactus. i4 Theor. 11

11 11

Pars l. Art. v.-

1 34

Fig.

355 Theor. 1. Radius duflus ad puntfum contatfus M, est perpendicularis ad tangentem TM, & vice versa-. 9 Cum T..M, tangens in punéto' M sit, tantum habebit punétum illud commune cum peripheria circuli, reliqua.. que extra erunt ( §. 354 ) ; unde si qurelibet alía recta CK ducatur, cum sit CM==. CO ( §. 299 ) , semper erit - CM< CO + OK ( §. 12 ) : ergo CM est mensura distantire centro C ad tangentem TM , proindeque & ad ipsam perpendicularis ( §. 339 ) . Sit TM perpendicularis ad exttemitate_m M radii CM, qurelibet alía obliqua CK, qure ducatur centro C ad tangentem TM, major erit radio Cl'11 ( §. 338 ) , ac consequenter ejus punétum extremum K extra peripheriam circuli cadet. ( §. 299 ) . Idem dicendum de crete.. ris punétis tangen.tis TM , punéto M distinétis : ergo TM 1est tangens cir:culi in punéto M. 356 Coroll. Ergo radius duétus ad tangentem per, pendiculariter, determinat .punétum contaélus. 357 Probl. Ducere rectam TM qute tangat circu..

Jum- in · punéto dato M.

Sol. Ducatur ad punétum contaétus M radius CM: erigatur in hoc punB:o TM perpendicularis ad radium CM ( §. 345 ) ; & hrec erit tangens quresita ( §. 355 ). 358 Theor. 2. Si duo, aut piures circuli se _tqng~nt

in eodem punéto , seu interius , seu exterius, linea eorum centra uniens lr;ansiet per punétum contaflus. Sit TM tangens in punB:o contaétus M circulorum: erit etiam perpendicúlaris ad radios CM, & AM( §.355) in eodem punéto M; sed ab uno punB:o M non potest erigí a:d reétam TM nisi unica perpendicularis ( §. 344 ): ergo radii CM, & AM, efformant unicam lineam rectam , centra circulorum unientem , & per punétum con..

tac-

De Tangentibus. taél:us M transeuntem ; eritque semper CA .± AM.

AR TICUL US

1 3S

CMFig. ,/

VI.

De Lineis parallelis. 359 DEfinit.

I. Dure lin. AB, CD, dicuntur pa-:i 12 rallelre , dum in omnibus suis punétis reque una ah alía distat. 3 60 Coroll. 1. Ergo perpendiculares EG , FH duétre ~ punétis E , F unius parallelre AB. ad aliam CD, sunt requales ( § ... 339 ) , _& vice versa , si perpendiculares EG, FH fuérint requales, lin. AB , CD erunt parallelre ( §. 359 ) , cum duo punB:a sola determinent positionem unius reB:re ( §. 290 ). · 361 · Coroll. 2. Ergo linere parallelre nequeunt--se tangen~ , seu .erunt _inr;oncurre'f!,tes ·, tametsi in infinitum pro..J, · longentur. , · 362 Def. 2. Dure lin. AB, CD qure non sunt paraIIe .. lre, dicuntur .convergentes versus illam partero, in qua ,formant cum secante GH -duos angulos AGH, CHG 13 minores duobus reB:is ; & diver<gentes versus illam par-, tem, in qua anguli BGH, DHG majores sunt duobus reB:is. · . 363 Theor. 1. Si linea qucelibet QN _secat parialle-. 12 las AB, DC, anguli AFG, FGD qui dicuntur altern~ interni tequales surtt. E verticibus diB:orum angulorum F, & G describan, tur eodem radio GF ( §. 303 ) duo arcus indefiniti circuli FLM, GKI, & prolongentur perpendiculares GE, HH usque dum occnrrant illis arcubus in punB:is I & M:,_ habebimus EG FH ( .§. 360 ) ; sed El== EG, &-

Pa"rs l. Art. VI. Fig . .ME= FJ.~ ( §.t 346 ) ; ergo ·EG + El= FH + HM ' r30

( §.

hoc est, GI_ . 'Ji!fF_: er~o a~·cus FLM, GKI, eodem radio GF descnpt1; subtendun~ur per requales 12 chordas GI, FM: ergo sunt requales ( §. 307 ) ; & cum sit ( §. 346 ) GK=KI, & FL = LM, erit etíam FLM . - ML = GKI - KI ( §. 10 ) , hoc est FL = GK; , ~ erg<[) merrsura aag. .A.FG reqúalis est .mensurre .ang. FGD ( §;·314.1~:érgó ·sunt reqüales" ( §.'-315 ').' . , 3 64 Coroll. 1. Supposito quod AB est paraffela ad CD 1infértnr 1º, qu'od etiarrt requales ,sunt anguli alterni interni VFB ,' CGF, cum sint suppletnentum .alternorum; . & ·.req_walimn ,AFG ,, FGD (" §§. -324. 326 ) ~ 365 · 2º Angúlo's NFB, NGD, quos vocant corres-pondentes ,-& oppositos, internum, & externu'ffl:, esse similiter requales. Nam cum sit NFB= ./.IFG ( §. 331 ) , & -AFGx:::::. ~N<;D-;( _§. 364 ) , edt ( §. 9 · ) NFB = NG D; & · ideun ' demonstrabitur de reliquis · angulis correspon-dentibus. - 3 66 3º Quod anguli qui vocantur alterni externi , - CGiQ ·, .N FB similiter sunt reqúales' , cum sir ( §. 331 ) ' CG Q = NGD ; sed- NG D 3= NFB juxta demonst. : ergo CG'Q=r: NFB ( §. 19 ). ·Eadem via probabitur quod angulus alternus externus QGD = NFA. 367 4.0 Q~od anguli oppositi interni BFG, .DGF requaies sunb auobus rictis; hoc est BFG;+-DGF= 180º. N am ·..cum sit ", ex· demónst. , DG F NFB , erit etiam ( §. 10) DGF+ BFG==BFG+NFB; sed BFG+NFB := 180 ° ( §. 328): ergo BFG + DGF= 180° ( §. 9 ). · 368 Coroll. 'z. Vidimus ( §. 363) quod proprietas sit indefectibilis parallelarum effm:mare cum recta eas secante requales angu1os alternos internos : ergo reciproce , si una lin. QN secat lin. AB , CD , ita ut anguli al-:10 ) ;_

De Lineis párallelis. 1

:alterni interni AFG, FGD sint requales, illre linere AB, Fig. CD ·erunt parallelre. 369 ·CoroH. 3. Etiam ex dictis ( §§. ant.) constat 1 2 ,.quod si sint requales anguli. alterni interni , requales iti.. dem necessario erunt anguli correspondentes , & alterni externi : nec non & oppositos internos esse requale~ duobus · rectis : ergo reciproce si Jin. QN secat lih._Af3; CD, ut qúre1iqet ex:·his propt:ietátibt1s v.erifidetur·, requa.. les anguli alterni interni resultabunt , ác .conseqtrenter lin. AB, erunt -párallelre·t j. ~68 ). . . ~ .37º · Probl. 1. Per punctum datum G;•ducere paral/e:.. 1am .GD:.ad. ·Jin~ AB. $91... Peri pudctum Gn ducmur Jittea -indefinfra1 G N , ,1.secans >fine·am I AiJ3 · iin,\ ítioi.i1bet pbtictó -f:.For.inetur in·G ang.fi:GH, requalis ang. EFG ( §. 3i8'); ·& habebitur GD parallela ad.4B ( §. 368)~ · 371 Propl, 2. Er-ige.re perp~ndicular.em A'F ad extrémitatem, A r'ecttt AB, qua? prolongar-i •.nequft. · So'l. •la 14 ·quoJibei. punGtO Cerigatur, perperidicialati's.CD (-§. •s~si}: ducatur postmodum per punctum A parallefa AF ad perpendicularem CD ( §. 370); erit ,ang-. FAB:::::: DCB ( §. 365); sed DCB est angulus rectus per construct. ( § .. 332 ) :· ergo. a~g. ·RiJ!LB. ·e-st ;etiam ··-r.ectus''.( §. 9) , & consequenter FA perpendicularis ad AB ( §. 332 ). 372 Cordll.· 1. Ergo si 'dure :rect~ sunt pér'pentiió.1.. lares ad eandem lin. AB, sunt inter,se parallehe. ' 373 ' Coroll. 2 • •Er.go. si recta ,i.AB ~st petpendicüla'tis ad unam duabus parallelis CD, .(frit-similiter ad alianf :AF; & vkeversa ·; .e' duaibus .parallelis CE1, ·. A'F, si .una CD est perpenarcularis ad :A.E-, erit' etiam alía AF, cu'1rt , in utroque casu resultare debeat FAB:::::: DCB (. §. 365 ). · ... 374:1 , CoroU. 3. Anguli ABC ; NRM, qure latera: ·ha~ bent 4B , .,NR , .1& 139.,, ;R_M·,par~llela .; sunt · :;eqúales)' Nam

•

en·

••

Pars J.· Art 'V I. Fig. N am si prolongetur latus NR usque dum occurrat lateri 15 BC in puncto D, erit ( 365) NRM=NDC:=ABC. .. 9 J , 375 ' Theor: 2 •. In circulo arcus FI , GL inter patatlelas FG, IL comprebensi ; sunt te qua/es. Radius CM ductus perpendiculariter super lin. FG ( 342), erit etiam perpendicularis ad lin. IL ( §. 373); & ita habebimus ( §. 346 ); arcum QLM·== MIF, & arcum ML MI: erg9~arcus GLM -::-LM MIF ~ MI ( 10); hoc est arcus GL .= FI. . · 376 Schol. Erederñ proprietates ,qure de duabus pa16 ra,llelis demonstratre manent, verificantur. etiamsi major ~a~um1 , numeras sit. Naµi si. supponatur quod HI est parall~la ad EF ,:·& -q_uod LM: est parallela-ad HI, dui~end?. rec.tam AC, etit ex 1.ª hypoth. e_:_ m ( §. 363 ), & ex secunda m n ( §. 365): ergo c n ( 9); ac eons·equenter LM _erit ..para~lela ad EF ( 368), & ita _ µu~ /t eqtfe ~--qu;:e a,d tcrtiam parátlelte sunt, erunt ,etiam para-llcl~ interse &, iisde_m , ac c(f!terte p1'oprietatibus gaudeb_ún_t. . " · ·

= j

ARTICULUS t

VII.

_ '_ De ~ mensura a~gulor-um in circulo. ,1

•-377 THeor. r. Ang. ·BAD formatus per tangentem 17 · BA , & cbordam AD, vocatur angulus seg11¡1en'ti .; · &. p.abet pro mensura medietatein arcus, quem $iUbten4i·t e.horda. AD. · •'., ,. , · , , Duc·atur per centrum C diameter HCG , parallela ad chordam · AD ( §. 370 ) : ducatur etiam radius CF perpendicularis ad eandem ( §. 342) , & radios CA , ad punctum cqntactus A_. Ang.BAC erit r-ectus (§..35s): ~imiliter ang.-FCG_.( §. 373 .), : ergo C§. 32.2) ang. FCG . . ' ..

---

De Mensura angutorum, &c.

139 .

= BAC = arcui . FAG ( §. 315); sed ( §. 363) ACG Fig. == DAC = arcui AG ( §. 315 ) : ergo ang. BAC ang. DAC ==. arcui FAÓ -

~si ang. BAD

== arcui

~rcu AG ( §. 10) ; hoc 1 ?

arcui · A~D

:= FD ( §. 346 ).

cum sit AF .

378

Theo-r-. 2. Ang. DAE, compreben9us inter duas e hordas. DA , AE, vocatur- angulus inscriptus , seu an... gulus in peripheria, & habet pro mensura medietatem arcus- DE , super quem insistunt ejus crura. Per verticem A ducatur tangens BA (. §. 357); erit

( §. 377) f ng. BAE ==. arcúi A"~E. Ob eandem ration.em erit ang.BA D:::::arcui A:n: ergo.ang. BAE arcui

A FD

A~E -

ang. BAE> ==:

areu -.- ; hoc.· est , ang. DAE hab~t pro

mensura arcum

Z:E ..

379 Coroll. i. Ang. DCE, qui vocatur centralis, seu angulus in centro, habet pre mensura omnem arcum DE ( §. 315 ) ; ergo est dupfom anguli i» peripheria DAE, qui super eundem arcum DE insistit. 3 80 Corolt 2-. Ergo omnes anguii in peripheria, in- 1 g sistentes super eundem arcum, aut super arcus requa.. les ejusdem , aut req:ualium circulorum , eruat requales; & vice versa. 381 Coi-oll. 3. AngHli ,in peripheria D.A C, DBC, 19 quorum crura insistant extremitatibus D , C diametri, qui quidem vocantur anguli in Sf!micirculo, habent pro mensura dimidium semiperipherire ( §. 378); ergo erunt' recti ( §. 321 ). 382 ', Coroll. 4. Ergo anguli in peripheria DFE, quo-- ru,m ¡r 1

1 J

·Pars l. Art..Vl• . . Fig. rum crura insistant in eodem arcu EDABC, qui majar sit semicircumferentia , erunt obtusi ; acuti. autem, . si insistant super arcum minorem. , v• .g. ang. CFA ( §. 320) . . · 383 Probl. Per punctum datum A extra c'irculuni 2 ducere duas tangentes ad ejus circumferentit;1,m. Sol. E puncto dato A ducatur ad centrum C circuli recta AC: dividatut' hrec in duas partes requales i11 puncto B .( §. 341 ) : B tanquam centro describatu J:1 radio CB circumferentia per puncta M, R, jn qu ibus bree .secat peripheriam circuli propositi , & per punc-tum datum A ducantur rectre AM, AR , qure quidem erunt tangentes quresitre. . Nam· ducendo · radios CM, CR, anguli CMA., CRA sunt recti ( §. 38 r ) : ergo linere AM, AR sunt perpendiculares . ad radios CM, CR ( §. 332) , ac conse~ quenter · tangentes circuli in punctis M, R ( §. 3 5 5 ). 384 Theor. 3. Ang. BAD , cujus vertex est intra 2 r circulum , ac extra centrum , <vocatur excentricus , & babet 'pro mensura semisummam arcuum , super quos insistunt ipsi, ejusque verticalis. Prolongentur crura CA, BA anguli dati , ad forman~ , dum ejus vertic<:1,lem: per punctum G, in quo crus B A prolongatum peripherire occurrit, <lucatur GR parallela ad TC ( §. 370); erit ( §. 365 ) ang. BAC =: ang. BGR

= arcui

B/ + c"'R ( §. 3 7 8 ) ; ~ed arcus CR = ·TG (-3 7 _5 ): • Bé TG '! . . . ·· ergo ang. BAC arcm - + -. .

•

.2.

(

385 Theor. 4. Áng. BAD, cujus vertex est ~xtra cir-. culum, & crura BA, DA, quce vocantur secantes circuli , t erminant in parte ejus concava, ,4,iq}t 'f_r. angulus ~ircpmscript~~1,1 aut ,ex.~ra · perj_pl].eria~ . , t cS; _l¡abét , pra men,.

...

t '

&c.

De mensura angulorum,

141

mensura semidifferentiam inter arcum concavum BD super Fig. quem insistit , & convexum CI ínter ejus crura contentum. Ducatur CE parallela aci AD ( §. 3·7,Q) erit ( §. 3 6 5) • BE BE ED ang. BAD BCE 3 7 8 ) arcm -;;-t- 2 ~:; sed arcus ED CI ( §. 3 7 5 ) : ergo_ang. BAD = . • BE ED CI · • BD arcm - -1- -;- - -; ; hoc est , ang. BAD arcw ~ CI - arcu -. 386 Coroll. Ergo si AB separatur , usque dum coincidat cum 4,F, ang. FA}? .formatus . per tangéntem · . . FD F'A , & secantem AD , erit == arcm arcu FCI -;--• 2 Ob eandem rationem , ang. F AM formatus per duas • . tangentes F '.aA , M".aA ent arcm• FEM - arcu FCIM =: FEM.-FCTM · ---2--- ..·; '387 Theor. 5. Ang. AMB formatus per chordam AM, , 23 & prolongationem MB alterius extra circulum, ha~et pro mensura semisummam arcuum, duabus' chordis sub~ t ensorum. Per , verticem M anguli propositi ducatur tan._ gens CMD ( §.357); erit ang. BMC= DME ( 331 ):

= =(

e'rgo ang. AMB

= AMC: + EMD =

arcui

•

ARM-: MSE

( §. 377 ). ARTICULUS

VII l. '

De Figuris planis.

388 DEfinit.

Vocatur figura spatium undique terminatum una , aut pluribus liraeis , qua~ • r um summa · dicitur perimetrum figurre ; linea autem qurelibet latus íigurre , aut per~~etri. I.ª

De-

14~

Pars l. Art.Vlll.

Fig.

389 Defin. 2. Figurre vocantur rectilinete, si peri.... metrum constat soJum lineis rectis : curvi!inece , si cur.. vis : mixtilinece, si u_trisque .. 390 Defin. 3. ·Fig. ACB dicitur inscripta in circulo, 24 si peripheria transit per vertices omnium angulorum; . túncque dicitur quod circl.illus es't •circumscriptus figuree. · - . 391 Defin~ 4. Fig. ABD dicitur círcumscripta ad cir-culum , si quodlibet ejus laterum est tangens circuli ( §. 354) , & tune casus circulus dicitur .inscriptus in. ,figura. ) •

ARTlCULUS IX.

t< ":•

t ..

.. •

1 •

De·. Tr.iangulis•.

392 . D'.Efin.

Triángulum est spatium terfuinatum' · _ per perimetrum trium linearum ; ad eum' designandum utimur signo (6.). . 393 Defin. 2. Si triangulum habet omnia latera requalia , vocatur cequilaterum ; si duo habet requalia, dicitur iso.sceles, seu equicrurum .: si ,omnia habeat in.. ~qualia , vocatur. scalenum. . : 394 Defin. 3. Triangulum habens unum suis an·gulis · rectum , vocatur rectangulum : latus illi angulo ·o ppositum hypothenusa: qure autem angulum rectum com•, . prehendunt , c.athéti: 395 Defin. 4. Triang. habens unum suis angulis obtusmn , dicitur l)btusangulum , acutangulum autem, si habeat omnes acutos. · !. 39'6 Defin.. 5. Latus trianguli, cuilibet: angulo oppq>; situ-m ,. dicitur ,basis iHius . anguli , perpendicularis vero e' illo angulo ad basitn prolongatam ducta·, (si opus est), r dicitur altitudo .trianguli. 1.

ca..

De Triangulis.

1 43

397 Coroll. r. Cum triangulum tribqs tantum la- Fig. teribus constet ( §. 392) , illorum duo lineam fractam necessario efformabunt ( .292 ) : ergo eorum summa ter~ .tío latere major erit ( 288 ). . 398 Coroll. 2. Per tria qurelibet puncta, qure non sint in linea recta , duci potest circumferentia unius circuli ( 35 I ) : .ergo omne triangulum est inscriptibile in circulo ( 390 ). 399 Theor. 1. Summa trium angulorum . unius trian- 24 guti est s_emper tl!quatis duobus rectis , seu 180°. . Considerando triangulum ABC inscriptum in circulo, habebimus qµod ang. ABC == arcui A,,_c ( 3 7 8 ) , & ang. , ·.¡1cB arcui ~A' & ang. BAC:=. arcui ~e: ergo ang. ABC '·• AC RA Be -+.-4CB+BAC:==arcui 2 -f- 2 -f- 2 == 18oº(§.31 o). 400 Coroll. r. Ergo angulus externus FAB , resul-tans ex prolongatione lateris cujuslibet AC triangult, requalis · est summre duorum angulorum internorum opppsitorum ABC, ACB. ·, Nam semper erit ( 328) ang. FAB +BAC== 180"' ang. ABC + ACB + BAC , ( 399), ac proinde ang. FAB == ang. ABC + ACB, subtrahendo utrinque angu .. lum comtnq.nem BAC. J 1 • 40.i. · .Co;oll. 2. Ergo quilibet angulus unius trianguli 24 est supplementum summre duorum aliorum ( 3 24 ) , & ita cognitis duobus angulis triang. , vel eorum summa, .hanc· 180 subtrahendo , tertius in venietur. 402 . Coroll. 3. Ergo in triangulo obtusangulo nQn ·Jni$i unicus angulus potest esse pbt.usus ; reliqui autem _du9 nece$sario _ac-u ti , cum s.int. residuum illa' subtrac.. tione proveniens. 40 3 Coroll. 4! .Eadem .ratione in , triangulo rectan; j k gui

1 '

•

Par s J. Art. IX.

Fig. gulo unicus ang. rectos esse potest : duo alii acuti , & unus complementum alterius ( 322 ). 404 Theor. 2. In quolibet triangulo ABC , latera opposita ad angulos t:equales sunt t:equalia; & v ice ver 5a. · Considerato triangulo inscripto in circulo , hab~b~rnus quod si B C, erit arcus CA== arcui AB ( 380 )'t ergo erunt etiam requales chordre AC, AB eos subtendentes ( 307 ). Similiter si supponimus ?fqualia la.tera AC, AB, erunt etiam requales arcus. subtensi ('307 ); sed horum arcuum medietates sunt mensura angulor-um B, & C ( 378 ) ad latera AC, AB oppositorum: ergo .illi anguli sunt requales _( 380 ~. r , 1 24 405 Coroll. 1 , Erg~ m quohbet triangulo ~A<;, majori lateri opponitur majar angulus;-& ·vice ver~a. Nam majus latus proculdubio majoreni" arcunr ' sustinebit •( 307 ) , cujus medietas erit mensura angrili opp_ositi { 3 78 ) , ac consequenter erit ille angulus reliquis major. 406 Coroll. 2. Triangulum requicrurum habet.:duo 26 latera requalia ( 393): ergo anguli ap. .illa. latera ·_oppositi erunt requales ,'& -vicé versa ( 404); consequenter ,c ognito uno angulo, alii duo illico cognoscentur. · Nam -ponendo quod sit AB BC , erit A C ; & si 'detur cognitus quilibet horum angulorum , erit ·( 40·,1 ) B ·180 º ...:__ 2A ; & si detur . cognit.us ang. B , ei-it A :.::::; C

B 90 o - - ¡ . 407 Coroll. 3. Ergo in ·triangulo isoscele omnes

an-

'guli ' op.positi ad latera · requalia sunt aeuti ; cunt , ~nim '~qua1es esse debeant ( 404); nequeunt esse '6btusi ,~aot ·recti ; alioquin summa ttium · angul. éxcederet valorem duorum rectorum. " '· 408 C gto:l:J.. 4.r.Curn 'in. trfangúlo {equilatero ~qualia sint

De Triangulis.

sint tria latera ( 393 ) , omnes anguli erunt etiam requa- Fig. ,,

les ( 4 o 4): ergo cujuslibet valor erit

¡ == 6 o

(

§. 3 9 9 ).

409 Theor. 3. In triangulo isoscele ABC perpendit~ cularis BF dufla vertice B super basim AC ., te que distat in quolibet 'pG1.nf10 sute extensionis a punflo A quam a punflo C , ac consequenter dividit basim A C in duas partes tequales in punao F : dividit ang. ABC in du9s equales ABF, FBC, & vice versa. 26 Cum sit ABC tríang. isoscele, est AB== BC ( 393' ): ergo BF in punét:o B reque distat punét:o A , & C; ac consequenter habebit eand~m proprietatem in reliquis punctis ( 335 ) , cum sit ex hy-poth. perpendicularis ad .AC : ergo AF FC. ! - ~Si' e--veitice B tanquam centro descríbi~ur arcus radio BJA .¡ lransiet hic per pu-nét:rm1, C ( 298), cum sit BA :..::: B<J l( 393) , & erit ejus éhorda basis AC trianguli: ergo, .radius BF perpendicularis ex hypoth. ad illam basim:; diN"idet ang. ABC in duas partes requales, & ~abebineliquas proprietates ~esígnatªs ( §§. 346. 347 ).

ARTICUL.US X. De .JE,qualitate & similitudine triangulorum.

·41·0 DEfinit. 1. Triangula , qure habent omnes suos ·· - angulos respeét:ive requales , dicuntur similia. Sic si A~ a, · B b, C == e , duo triang. ABC, abe , sunt similia ; cumque duo triangula , qure in se in... vicem confunduntur habere debeant requ-ales omnes sµos angulas. ( §..318 ) , & simil.ia sint necesse est. • 21 41 r Definit. 2. Si duo triangúla sunt similia, latera opposita ad ángulos requa'les , vocantur homologa. Et generatim dicuntur dimensiones homologte duarum fi_gu-k2 .ra~

Pars l. Art. X. Fig. rarum line12 correspondentes , seu eodem modo in una. quam in alía sitre. Sic in duobus circulis · v. sunt di... ~ mensiones homologre radii , diametri , circumferen tire &c. 412 Coroll. 1. Similia sunt duo triangula, qme habent duos angulas respeétive requales; nam eo ipso .:equalem etiam tert~um angulum habebunt ( §. 401 ) . 413 CoroII. 2. Ergo duo triangula reétangula erunt . similia , si unum ex suis angulis acutis habeant requalem ( §. 403 ). 414 CorolJ. 3. Duo triangula, qure h~bent omnia sua latera homologa parallela , habebunt omnes suos · angulos . respeétivos requales ( §. 374 ) ; ac proinde erunt similia. !21{ 4 I 5 Coroll. 4. Si cunéta latera unius trianguli sunt per.p endicularia ad cunéta latera homologa alterius , n.. la triangula erunt similia. N am supponendo · qu_o_p. latera: ab , ac , cb trianguli abe sunt parallela ad latera. homologa AB. , AC, CB triang. ABC, illa triangula ~erunt similia ( §. 4 r 4 ) , & permane.bunt similia in.: quaUbet. a lía positione ( §. 410 ) ; semper enim tres anguli unius permanebunt requales tribus angulis alterius. Considerando itaque quod abe vertitur circum punétum e, ita ut describa t punétis a, & b quadrantem circuli , seu 90°, patet quod singulum Iaterum ca , ab , ·be , fiet perpend~<mlare ad se ipsum ( §§. 320. 332 ) , ac consequenter erunt etiam perpendicul aria ad latera corresponde ntia CA, AB, BC ( §. 373 ) : ergo &c. ~8 416 Theor. 1. Si numerus quilibet parallelarum DF, · IL, AB secant latera anguli ACB, omnia triangula DCF, ICL, ·ACB erunt similio. Omnia triangula resultantia eundem habent angulum c<>mmunem C, .ac ratione parallelarum DF, IL , AB, erit

t 47

De·Triangulis.

Fig. CAB , & ang. CFD ClL erit etiam ang. CDF CLI == CBA ( §. 365 ) : ergo illa triangula erunt similia ( §. 41 o ) . · 417 Theor. 2. Duo triangula ACB, ach quce ha- 28 bent omnia sua latera homologa cequalia, cequalia sunt, & similia ; & vice versa. Sit ab =: AB , ac =: AC, cb =: CB : punél:is A , & 29 B tanquam centris describantu r radiis AC, BC arcus mn, or : consideretur triang. abe positum super triang. ABC, ita ut punétum a cadat super A, & latus ab su-A B; per AB ; punél:um b cadet super B , cum sit ab & cum itidem sit ac:=AC, & bc:=BC, lin. ac habet extremum e in aliquo punél:o arcus mn: & lin. be habebit ex"'! tremum e in aliquo punél:o arcus or; sed punél:um e est commune ambabus lineis ae, be; ergo ae in arcu mn , & be in arcu or habent punél:um commune e; cumque il-. li arcus nequeant habere super unam lineam nisi unum p.unél:um commune C, interseél:ionis videlicet ( §. 352 ), infertur quod punél:um e cadet super punél:um C: ergo triangulum abe confundetur cum triangulo ABC, eritque ei simile , & requale ( §. 410 ) . . Ponamus quod C , & a== A ob similitudinem triangulorum sit e ( §. 410 ) : superponendo triangulum abe triangulo ABC, ita ut e cadat super C, & ca super CA· , ca. det cb super CB ( §. 318 ) : concipiamus étfam ca CI, & eb == CL, erit ba = LI ( §. 290 ) , & L abe ~ CLI, pars nempe 6.ACB contra hypoth. : Patet ergo quod nequit 6 abe esse requale , & simile 6 ABC, nisi sit ca= CA, cb =.CB_, ac consequenter ab = AB ( §. 290 ) : ergo triangula cequa/ia , & similia habent · latera homologa tequalia. 418 Theor. 3. Duo triangula erunt cequ.,a!ia ,_& si-: 28 mi~ 'k 3 -

Pars l. Art. X. Fig. milia, si duo latera unius sint tequalia duobus lat~ribus 29 alterius, angulusque inter ipsos comprehensus sit etiam tequalis. Sit a = A , ab = 'AB , ae = AC; si consideretur triang. abe_positum super ABC, ita ut vertex a cadat super A, & ab super AB , ac cadet super AC ( §. 318 ), & cum sit ab = AB , ac = AC, punél:um b cadet super punél:um B, & e super C: ergo eb confondetur cum CB ( §. 290 ) , & -totum triang. aeb cum toto triang. ACB: ergo &c. ( §. 410 ) • 419 Theor. 4. Duo triangula erunt tequalia , & si ... milia , si unum latus , & anguli adjaeentes in uno , sit -.equale alteri lateri, & angulis adjaeentibus in afio. Sit ab = AB, a= A, b =:. B; superponendo latus ab lateri AB cum sit a= A, & b = B, latus ae cadet super AC, & be super· BC ( §.318 ) ; consequenter ac occurret be in eodem punél:o C, in quo AC occurret Be · (. §. 29 r ) : ergo triangula confundentur, & erunt requa.. lia , & similia. ( §. 410 ) •

ARTICULUS XI. De Quadrilateris. 420

DE.finit. r ~ V ocatur quadrilaterum figura , e~·

jus perimetrum constat quatuor lineis retHs •. 2. Quadrilaterum ABCD non· habens 3° ullum latus parallelum alteri, dicitur trapezoides: trapezion autem quadrilaterum ABCL, duo tantum latera · 3 I AB , LC habens parallela. 422 Definit. 3. Vocatur parallelogramum , quadrilaterum hábens latera opposita parallela ; ac nominari solet

421 : Definit.

11 11

·i 1

.; ··. I! 1

-De Quadrilateris.

1 49

·tet duabus litteris earum , qure in verticibus angulorum F_ig. opposítorum sunt. 423 Definit. 4. Parallelogrammum ABCD, habens reétos, ac proinde requales ( §. 32 r ) omnes suos an- , g ulos, & latera requalia , dicitur quadratum : dum requa- .2 · lía sunt latera, & inrequales anguli, v. g. ACBD, dicitur Rhombus. • 424 Definit. 5. Parallelogrammum ABCD habens 33 reétos, ac proinde requales ( §. 3'21 ) omnes suos angulos , & latera opposita requalia dicitur reétangulum, seu oblongum: durn anguli sunt ina?quales, & latera opposita requalia , v. g. ABDC, dicitur Rhomboides. 34· 425 Definit. 6. Latus inferius AB vncari solet ba-sis quadrilateri; & perpendicularís CL duB:a ad basim; 3~ vel ad ejus prolongationem e latere opposito , altitudo quadrilateri. 426 Theor. r. Summa omnium angulorum quadrilateri est cequalis quatuor· angulis reétis , seu 3 60 º. Ducendo diagonalem AC ~ manebit divisum quadri-laterum in duo t-riangula ~ qme eodem cum quadrilate-: 31 ro angulorum numero constent ; sed anguli trianguli sunt requales duobus reB:is, seu 180° ( §. 399 ) : ergo anguli duorum triangulorum, seu summa omnium angulorum quadrilateri erit requalis quatuor angulis reB:is, seu 360°. 427 Theor. 2. Si in quadrilatero CB fuerint cequalia , & parallela latera opposita AB , CD , erunt etiam cequalia, & para/lela duo alia CA , BD. Ducendo diagonalem AD, erit t = m ( 363 ) , cum- 35 que ex hypoth . .sit AB = CD , triangula ABD , ADC habebunt AB requale lateri DC, & latus commune AD, & angulum ínter illa latera comprehensum requalem: k4 er~

1 50

Pars l. Art. Xl.

Fig. ergo erunt requalia J §. 418 ) , ac consequenter CA -==. D B. Etiam erit n = s : ergo CA est parallela ad DB ( §. 368 ). 35 428 Coroll. r. Ergo rethe unientes requales, & pa rallelas debent esse requales , & parallelre. · . 429 Coroll. 2. Ergo diagonalis AD dividit paral.: lelogrammum ABDC in duo triangula requalia. 430 Coroll. 3.- Parallelre intér parallelas oportet quod semper efforment parallelogrammum ( §. 422 ); ergo parallelre inter parallelas erunt semper requales. 43 I Theor. 3. In omni parallelogrammo ABDC anguli ex diametro oppositi sunt tequales : item tequalia sunt latera opposita ; sed anguli adjacentes ad unum Ja.. tus sunt tequales duobus rectis. Ducantur diagonales AD, CB, erit ( §. 363 ) t=.m, . s == n ; ergo t + s = m + n , hoc est A = D : etiam erit 3(¡ = o ' z = r ; ergo X + z = o + r . ' hoc est· e= B. Ex hypoth. ABDC est parallelogrammum : ergo ejus latera op-. posita sunt parallela ( §. 422 ) ; sed parallelre inter parallelas sunt requales ( §. ant. ) : ergo &c. Anguli oppositi interni inter parallelas contenti , sunl: requales duobus reétis ( · § .. 367 ) : ergo &c. 43 2 Coroll. Ergo in uno parallelogrammo . si unus angulus est reétus , omnes _erunt r.eéti. Cum enim anguli adjacentes ad unum latus sint requales duobus reétis ( §. ant. ) , si unus . est reétus, erit etiam alius ( §. 325 ) & ad latus contiguum transeundo idem verificabitur. s6 433 Prob1. Formare parallelogrammum habens tmum angulum tequalem angulo dato a , ínter duas lineas datas ad , ab comprehensum. Solut. Sumatur AB::;:; ab ; & in punéto A formetur. an-

De~Quaarilater:is.

angulus rBAD ·requalis dato a ( §. 317 )', fiat AD=ad, Fig. & per puné1:um D ducatur DC parallela ad AB ( §. 370 ); ducendo · denique per punfrum B lin. CB parallelam ad AD, patet quod conclusllm manebit parallelogrammum ( §. 422 ) quresitum.

ARTICUL .US

XII.

De Polygonis.

434 DEfinit.

V ocatur Polygonum qurelibet figura,

. cu jus perimetrum plusquam quatuor lateribus constat. Si constet 5 lateribus , vocatur pentagonum: si 6 exagonum : si 7 eptagonum: si 10 aecagonum: si 12 duodecagonum : si 15 pentedecagonum , &c. ~ 435 Definit. 2~ Vocatur Polygonum regulare quod habet omnes angulas ínter se requales , nec non & latera; cretera irregularia dicuntur. 436 De_finit. 3. Anguli v. g. A, B, C, &e, quorum 37 vertex cadit extra figuram , dicuntur anguli prominentes polygoni; illi autem , quorum vertex cadit intra figu- 38 ram, vocantur introcedentes, v.g. CDE. 437 Definit. 4. ReB:re S P , S .Q perpendiculariter duB:re centro S Polygoni super latera , vocantur radii reeti, seu apothemata, & reé1:re SD, SC duB:re 3? S ad angulos Polygoni, radii obliqui. 438 Theor. 1. Summa omnium angulorum interiorum ABC, BCD, CDE &c. cujuslibet Polygoni, non ha .. bentis angulos introcedentes , tot 180 º va/et quot habet 39 latera , demptis duobus. Ducendo quolibet angulo A Polygoni diagonales. AC, AD, prodit polygonum divisum in tot triangula,. . quod

Pars I.Ar.t. XIA Fig. quod habet :1at~ra , demptis dl!lo'h>us 1; , patet fquod, summa omnium ,angulorum istorum...- triangu1drum requalis est summre angulorum .internornm Pol ygoni : ergo illa sum~ rp.a erit ~qualis ( -3 99 ) 180 º , si toties scilicet suminatur , quod latera habet Polygonum· , demptis d_uo~u ~. Hrec proptietas, denotando S summam angulorum Po:lygoni, n numerrim laferu-tri'.; 'exprimetur hac formula S = 180° (n-....2). 38 * Schol. Si Potygonum habeat angulas introcedentes, idem calcuhfS deserviet; intelligatur tamen, quod ad hoc r;ompútanáa sunt tanquam latera Polygoni, ea qute formant angulum , vel angulos introcedentes. N am si punB:o O sumpto intra Polygonum ducantur linere ad omnes angulas introcedentes ,. & prominentes, proculduhio te.sultabunt tot triangula ODE, ODC, OCB &c. , quot latera habeat perimetrum Pol ygoni , & eorurri anguli toties valebunt 186° , quot latera habeat perimetruril figurre ( .§. 399 ) ; sed curp. anguli circum verticem O ómnium trfang. non pettineant ad Polygonum, subtrahi debet ptoduéto ( §. 330 ) 360° == 180 ° X 2: ergo summa omnium angulotum Polygoni est ==180° x per nurnerum laterum , dernptis dubbus. 439 Coroll. 1. Cum. sint requales inter se omnes anguli interni unius Polygoni regularis ( §. 435 ) , patet - quod si omnium summa dividatur per numerum angulorum , quibus constat Polygonum, vel quod idem est, per numerum ejus laterurrt , quotiens exprimet valorem unius ex angulis ; proinde si sit S = 180 º. ( n - 2) ( §. ant. ) , erit expressio generalis unius anguli Polygoni

regularis ~ == 1 8 o O (n-1.) == r 8 o O ( 1 - ..:..) • Sic quilibet" n n . angulas tríanguli requilateri erit =60 º ; quadrati = 90 º; •,pentagoni regularis = 108°; exagoni regularis= 120° &c. · Co1l

.-. De. Polygoni-s.'

153

440

Coroll. 2.:• Ergo omnes anguli-unius Polygoni re- Fig. gularis sunt eo obstusiores , quo major est numerus ~ , ·, _ . . . , ejusdem laterum. • 441 _Th(eor. .2. Summci omnium supplementorum ABF., BCG , €DH , · &c. angulorum internorum unius Polygo- 39 ni , non habentis añgulos introcedentes, aqualis est 360°. Quodlibet supplementu!ll _singil~atim est = 180°, excepto angulo p01ygoni ( §. 3 24 ! ) : ergo •summa omnium ,·erit = 1 80 º x rt - · s'umma omniu.m: angulorum interiorum Polygoni; hoc est 18oq x n - 180° (n-2) = 180° (n-· n+ 2)= 360°. ** Theor. 3. Si Polygonum habeat angulos introceden- 3 8 teS, .summa omnium supplemertoru'm angulorum promi"!, nentium , adaitis ornnibus angulis introcedentibus , erit == 360 ° + 180° , toties sumpta, quot anguli- intrantes sint: in Polygono. Summa omnium supplementorum angulorum prominentium Polygoni ABCEFG ·est == 360° ; si fiat angulus introcedens CDE, sumrna. supplementorum :augetur angulis ECD, CED, hoc est 180° -CDE, ang. s-cilicet .· introcedente ( §. 399 ). Si fiat alius angulus intr·ocedens FHG, jam erit su.m360° + ma supplementorum angulorum prominentium 180° x 2 -CDE----.. FHG: ergo 360° + 180° x2-CDE -FHG+ CDE + FHG ==. 360° + 18.0 ° x 2; hoc est summa omnium supplementorum omnium angulorum prominentium + szimma ·omnium intrdcederitium est 3 60 • + 180. x per-· numerum· angulorum .introcedentium Po-ly goni. 442 Theor. 4. Omne Polygonum regulare est ins.criptibile in circulo , & circumscriptibile ad ipsum. : Dividantur in duas partes ,requales ( §. 349 } an- 40

gu-

·1

Pars l. Art.XII. ·

F,ig. guli A, B, D &c. Polygoni per reétas AC, BC, DC &c.

& cum sit A==.B==D ( §. 435 ) erunt etiam medietates m=x= z=r &c. ( §. 204 ) : ergo triangula ABC, BCD, DCE &c. erunt isoscelia ( §. 406 ) , & consequenter AC= BC= DC, &c., & peripheria circuli descripti e punéto C cum radio CB transiet per omnes vertices angulorum Polygoni ( §. 298 ) : ergo omne Polygonum regulare est it_1scriptibile in circu)o ( §. 390 ). Ex demonst. triangula ABC , BCD , DCE &c. sunt Isoscelia; consequenter ducendo radios reétos CR, CL, CG &c. erit ( §. 409) BR_= BL=DG &e; est prreterea :¡¡==z; ; ergo triangulum reétang. RCB requale est , & simile tría~gulo CBL ( §. 4r3 ), ac consequenter CR==.CL; eadem via probabitur quod CL CG CK &e: ergo peripheria circuli descripti radio CR e centro C trans40 iet per punéta R, L, G, K &c. ( §. 298 ) , in quibus radii CR, CL, CG, &c. sunt perpendiculares ad latera Polygoni ( §. 437 ) , & dividit in duas partes requales ( §. 409 ) : ergo illa latera erunt tangentes circuli ( . § ..355 ) ad quem consequenter erit circumscriptum Polygonum ( §. 39 r ). 443 Coroll. 1. Ergo radii obliqui dividunt in duas panes requales angulas unius Polygoni regularis: requales sunt i~ter se :,determinant centrum C Polygoni, ac dividunt in tot triangula isoscelia requalia , & similia, quot habet latera. ' 444 Corol1. 2. Etiam sunt requales ínter se omnes rad.ii reéti Polygoni regularis : dividunt latera in duas partes requales : determinant punéta in quibus tangentes sunt latera Polygoni regularis ABD , EFH, ad circulum circumscripti. ,. 445 Coroll. 3. Si _consider~tur Polygonum regul~re

== ==

De Polygonis.

155

inscriptum in circulo , ejus latera ómnem circumferen- Fig. tiam circuli subtendent: ergo dividendo 360° per numerum laterum Polygoni, habebimus valorem arcus, qui subtendere debet singulum latus ( §. 310 ) ; sic expressio generalis unius lateris Polygoni regularis in circulo inscripti , est e horda arcus 36: ~enotante n numerum laterum Polygoni. 446 Coroll. 4. Ergo ad inscribendum Polygonum re.. gulare, dato numero laterum, in circulo dato ABDEFHA, qureratur ( §. ant. ) valor arcus , qui subtendere debet singulum polygoni latus, & duéta chorda arcui respon.. dente per omnem circumferentiam circuli , in eo inscrip.. tum relinquet Polygonum _regulare , quresito latero numero constans. Nam summa onfnium arcuum erit = 360º~ '. . 4 4 7 • Coro11. 5 • . Cum sit 36 := 6 o O , angulus ACB oppositus chordre 4B 'e r-it __:_ 60° ( §. 315 ) ; cumque ulterius -sit isoscele tria~g. ABC ( §.443 ) , erit ( §. 406 ): 40 6 ,p == ~ == 9 oº == 6 oº:_- ergo AB == AC == pe, : O. §. 408 ·) ; hoc .est _, Jatus e:¡¡agoni reguJaris semper;_ est t:equale radio circuli , in quo inscribí debet. _, 448 Probl. Circumscribere circulo dato abdefga Polygonum regulqre , cognito n_11mero . laterum. Sol. Inscribatur in circulo dato polygonum regulare, 41 requalis numeri laterum,cum circumscríberi,do ( §. 446 ): centro C demittatur super singulum latus, sicut super AB, ·radius reétus CM ( §. 342 ) , per cujus extremita.. tem M ducetur tangens AMB (· §. ·3s7 ) qure quidem in A & B secabit radios· ol;,Uq:_uos, e.a , cb.., pi:.olohga-tos; erit:1 AB unum ex lateribus polygoni.quresiti, & ídem cum relíquis lateribus BD, DE , &c. faciendo, habebitur po.. lygonum quresitum ABDEFG. _AM, & am, sunt per cons0

li 11

.,..

Pars l. Art.XII. Fig. coastru&. perpendiculares ad CM: ergo &.: Sm;it in ter se parallelre ( §. 37 2 , ) ; & ,6. ABC erit simile 6 abC ( §. 4,16 ) ; idem probabitur-de reliquis triangulis ; cum enim -omnia triang_ula polygoni interioris sint isoscelia, 4r ~ jnter. s~ similia ( §. 44·3 ) , 1 patet qµod etiam ·erun~ · is~sc~li~. ' -& simUja , Ómnia, tric!ngµla ABC, BDC &c. P<?1ygoni exterioris; ideoque erit AC == BC = ·CD ( §.406 ): ergo triangula A{3C, ,BCD ; DCE , &c. sunt isoscelia, :equalia, & similia ( §. 41.,8 ) : Unde infertur rº quod 41!, :;= Bp_--;- I!E ~c. ,(, §. _417 ) : ~rgo 1polygonum est requil_~terum. ?º R_uod anguh¡is~CA~--:- CBA ::::: CBN =: ~DN CDE &c. ( §.406) ; é}-CJconsequenter ang. CBA + CBN ,CDN + CDE, &':.: e~go ppl.ygonum est '7quiangulum. _ _ -3. º.. Q :. H?~ c1mp sin~ PJYI,, C:.1'! peq>fl1dic1tl.ar~s _p ~r r9~s-:¡_ truét:' ad AB , BD·' :.&c. ac +Juxta demonstratum AB 'J !: . ! • ,· f!I . · ( 'fl,J •. (. 1, ÁB

== ==

;

= DE.'&,c.; e'i;it etia,m ·( §. 40~)

... n

AM=' JJM.=~~ ''.2

' .,:_ EN &c.: érgo latera polygorii sunt tangentes 'in pcinc_. iis·, in- quibus a radiJs 'réétis - d1viduntur- in duas· partesreq11_a les ; ·ac' ~onse·quentet polygonum ·e st ipsuin :qüb.q)

449 ) •

.qU.CfÜUf .( , §, _,,_r. .

•

. AR T I C U L U S , XIII. . •

'-~ :\ '

· . 1>e 'Lineis proportionalíbus. · • :, m c.i · ·, ; rj

42 · 449

J 1 ..;

:.,

(' t'

J '\ f .. •

~ .J 1 1 r

• •'

.J 1..1

•

Q~; -!A,and?8 rf_l)in.C, ,1)_<?-~t·sunt 'aat .B ;, ·sic_ut. C aq. L?·, linere -proport10nales mter se,: ,!1, _1.

quib1as'' proinae'T •qptántur1(!ü~cüciqué de p,rdp@rtioniBus in: genere ditla manetit~ '::'ft ¡, '. f. -~ ;;:r.-li-:r 450 Tíieor.- t: _Si súper :lin:.NH; tjiue format cum lín. AO ianguluni - HAO -, sumatur AB.::: BC ::_;:: CD éfc.. ..,.... & 11

'•

De Linels proportionalibus.

& epunCfis B ; C, D- &c•.áucantur versus AOºparallelce Fig. BI, CK , DL &c. , linece Al, IK ,' KL &c. erunt etiam 43 1

tequales in.ter se. ' Per punB:a E, C, D, ducantur 'lifl. BQ , CR, DS &c. p~rallelre ·ad, AO ( §. -3 70 ) ; erit_( :§. 365 ) a·ngui. IAB = QBC = RCD; - etiam erit ratio ne parallelarum B I, CK &c. ang. ABI = BCQ = CDR &c. ac conse.. quent€r l:i ABI= l:i BCQ = l:i CDR &c. ( §. 419 ), ~um sit ex hypoth. :1-B = ·BC-=. cp &c.: ergo A l= BQ = CR = DS &c. ; sed BQ IK, CR = KL &c. ( §. 43 o ) : ergo ( 9 · ) AI = 1K = KL &c. 45 1 Coroll. 1. Ergo si AB est v. g. dimidium Al, J3C, qme ex hypothesi-est = AB erit etiam• dimidiu!J1 A,1 ( §. r 5 ) ; .~ed !,-! , lK: erg<? BC erit etiam dirníL. atbm IK &e ; sic er-1t AB : Al : : BC·: IK : :.CD ~ KL : : J)E: LM, & consequenter C- §. 209 ) AG s?mma omnium antecedentium erit ad AO summam consequentium, sicut unum anteceder.is AB ad suum conseq uens AI, seu sicut AD summa cujuslibet numeti antecederitium ád AL súmmam re·qúalis numei i ctonsequentiurn &c. , · : 45·2 Coroll. ~- ·Ergo·semper 'ac inter latera AC, BC 1:1~ius anguli, ACB inveniantur dure , pluresve parallelre -DE, AB,, ~egmenta AD, EB) & CD; laterum, 44 sun't pro'p0rtionalia ' a·ar · ·~adem late'r a, -AC; BC; hóé, est CA.: OB:: CD: 'CE:·: DA:· EB. · . .. , ·45 3 Theor 2. Triang ula· sirnilia ABC, abe babent omnia sua latera ,bomo/oga proportionalia ; & vice 'v erse$, simil~- ef:unl rf.tinigrila ,"- .n Eáeent· omni~ süa tater-r ,.. J-: .·bo--. mol~ga proportion;qtia. · ·_11 ~- •.. Sit ~ ~ d? "ergo sH_fi~ngulümJabc süpérpotiitúF t ian'g ut: ABC, ita ut cb cadat super CB, ca cadet super CA ( 318 }; sumen.do "itaque in li_n .. CB partem CE requalem . ~':'.

·=

Pars l. Art. ~X/11.

15 8

Fig. Iem lateri homologo eb , ac ducehdo ED par~lelam ad 44 AB (- 370 ) , erit ( §. 365 ) ang. CED = B = b ( §.9 ), & 6 CED = 6 ced ( §. 419 ) ; sed CA: CB : : CD: CE ( §. 45 2 ) : ergo CA : CB : : r;a ~ cb; sirniliter proba_pitur quod CA: AJ3:: ca: ab, & quod AB: BC:: ab· be. ' Super latus CB trianguli CBA sumatur pars CE = cb, & duéta ED parallda ad BA ( §. 370 ) , 6 CDE erit simile 6 CAB ( §. 416 ) , & juxta dernonst. CB: CE:: ,CA :--CJJ : : -EA : DE ; sed ex hypoth.- CB : cb : : CA: pa:: BA :_ba, ac per construét. GE= cb: ergo_J CD = ca, & DE= ab; ac corisequenter 6 CDE est requale, & simile 6 abe ( §. 417 ) ; sed 6 CDE est si.:. mile i6. -ABC: ergo erunt etiam sirnilia triangµla ABC:, ' \ . =_&, abc. _ . · .'.4-54 Theo.r. 3; TrjtJngul(Z ABC _, abe ' qua! babe"'c unum angulum a!qualem ínter duo latera proportionalia, sunt simitia. Sit e = C ; & ponamu.s quod cb : ca : : C,B : CA; sq~ ,!Datqr_CE= cb, & duc;atur lin. ED parallela ad J3A _: ha; bebimus ( §. 452 ) CE ,: CD: :,CB: CA: ergo cb: ca_: · CE: CD; sed cb-=: CE per cpnstruét.: ergo ca: CD, ac consequenter 6._ff cb_a est requale , & simile D.. C.DE : ( §·• .418 ) , ccumq e hoc sit simile 6 ABC ( 41-6. ) ;_in~ fertur -qU;o? etiam _surit ,similia triangula ABC, & abe. . 45 5 ' Theor. 4. Lin. ,DA t/,ividens ~n duas pqrtes tequa7 45 les, angulum quemlibet A trianguli ~BC , dividit etiam latus oppositum BC in duo segmenta BD, DC , propor:tiong[ia. /a.tgr.:ibu~?a</jq,_centibt1s ;BA , CA ; ita,ut B:i;:>1 ; DG : -; 1

BA : AC. , . ,l.) \ _ · D1:1een9-_o --per punB:um B parallele a9- l)_Á reB:am 0

.~!! usque

dum occ_urrat lateri CA _pJolongato, erit m = F

( §. 365J, & n _ x .( §. 363i); s~d..e_x 4ypoth, _m,= n_:· L.dt ~r-

De Lineis proportionalibus.

, . i

, 1

IS 9

ergo F=x ( § ..,. 9 1 ) . , & FA .- BA ( §.404); etiam erit Fíg. · ( §. 452 ) BFJ: DC:: FA: CA: ergo si loco FA substituatur BA ei requale, erit. deniqu·e BD: DC: :· BA: AC. 456 Theor. 5. Linea? AD, BC sese secantes inter -parallelas, habent sua segmenta proportionalia. 35 In triangnlis ABO , CDO requales sunt anguli in O ( §. 3 31 ) , ac ratio ne parallelarum CD , A B , erit ( §. 3 6 3 ) z = r , t = m : ergo illa triangula sunt similia ( §. 410), ac consequenter AO: DO:: BO: CO ( §.45 3 ). 45 457 Theor. 6. Si evertice anguli reéti A unius _trian._ guli reétanguli ABC ducatur fin. AD perpendicularis ad bypothenusam BC, 1.º triangula resultantia erun t simiJa .i nter se, & totali. 2.º Perpendicularis AD est media proportionalis inter segmenta BD, DC hypotbenusa?. 3.º Qui'libet catbetus AB, vel AC est medium proportionale inter bypotbenusam , & segmentum adjacens BD , vel DC. Triangulum reélangulum BAD habet unum angulum acutum B commuflem cum triangu,o totali ABC : ergo· ·-sunt similia ( §. 413 ) ; triangulum reB:angulum ADC habet unum angulum acutum C communem cum totali :~BC: ergo sunt sitJ!ilia ( §. 413 ) : ergo triangula ABD ADC sunt similia totali ABC, ac proinde & ínter se., Cum sint ergo similia triangula ABD , ADC, habebi. rnus ( §. 453 ) BD: AD:: AD: DC, seu AD~= BD x DC. Etiam erit ob · similitudinem triangulorum BAD, l3AC, ( §. 453 ) BD: BA:: BA: BC. Ob eandem rationem triangula DAC, BAC dant CD: CA:: CA: BC. 458 Coroll. Cum sit BD: BA:: BA: BC, & CD: .CA:: CA: BC, erit BA,. == BD x BC, & CA%::::: CD x BC ( §. 206 ) : ergo BA + C/r == BD X BC+ CD X BC ==: ( BD + CD ) x BC ==: B C hoc est , quadratum bypotbenuste {equa/e est summa? quadratorum catbeto1¡oum. ¡, AR... •

;

160

Fig.

Parsl.Art.XIV~ j,

ARTICULUS -XIV. De Lineis proportionalibus · in circulo consideratis.

459 THeor. r. Perpendicularis MP demissa e quoli-; · bet ·punéto M eperipheria circuli sumpto ad suam diametrum AB ., est media proportionalis inter ségmenta AP, PB; & chordce AM, vel BM sunt medite proportionales inter omnem diametrum BA , & segmen;tum adjacens AP , 'vel PB.

Chordre MB , MA duétre punél:o M per exttemitat~ diametri AB , faciunt triangulum AMB - reél:angulum _in M ( §. 381 ) : ergo AP: P M:: P M: PB, vel PM,_ --AP xPB ( §. 457 ). . Item constat, ob eandem rationem, quod A M = AP -x AB & quod MB = PB x AB: ergo&c. ~460 Theor. 2. Segmenta duaruni chordarum AC, BD ,.quce se secant in circulo, sunt reciproce proporti(J;18 nalia; hoc est, erit AF: BF:: FD-: FC, ve/ AF x FC = BFxFD. , . Si ducantur chordre- AB , DC , triangula AFB ., ·-& DFC habent angulas in F reguales pro verticalibu-s -( §. 331 ), & angulum ABF= FDC ( §. 380 ) : ergo sunt similia ( §. 412 ) , ac consequenter ( §-. 45 3 -) AP; BF:: ED: FC. 461 Theor. 3. Secantes AB, AC ductce punC!o A extra circumferentiam circuli sumpto, in cujus parte con,i.. 47 : cava terminant, sunt reciproce proportionales ad sua seg... ,menta externa AD·, AE ; hoc-est AB ·: AC: :· AE, AD. Ducendo · chordas B-E , DC , triangula (ABE ,, .A DC habent angulum A cornm'unem; & B -~ C ( §. 380 ) ·' er:. go sunt similia ( §. 41 :2, ) ., ac consequ~nter ( §. 45_3_ )

,::i

AB:

De Lineis proportíonalibus, &c.

' ·

~B : AO :-: :A.E : AD , seu AB x AD = AC x AE. Pig• 462 Theor. 4. Si eeodem p unflo A , extra circulum sumpto , ad illud ducuntur tangens AM , & secans AB, 41 tangens AM erit media proportionalis inter onmem .secan~ tem AB, & ejus partem AD exteriorem circulo. Ducendo chordas DM, BM, triangula AMB, AMD habent urium angulum A communem , & angulum .A.MD = B, cum sit dimidium arcus Dllt[, qui est utrius.. que mensura ( §§. 377. 378) : ergo sunt similia ( §.412. ), & ideo ·( §. 453 ) AB ·: AM:: AM: AD. 463 Probl. 1. Datis tribus lineis a, b, e ,. invenire 4 s quartarn proportionalem. Sol. Ducantur ,reétre AM, AS, efformantes angulum quemlib.et MAS : super AM sumetur AB =: a , & AD = b; sumatur etia_m in AS pars· AC-=. c : ducatur linea RC , & per punétum D lin. DE parall_e la aci BC ( .§. 370. )'; .dico qµod . AE erit quarta proportionalis quresita. .. Triangúla ABC_, ADE sunt similia ( §. 416 ) : ergo ( §. 453 ) AB (ti).: AD (b):: AC (c) ·: AE. 464 Coroll. Ergo ad_inveniendam tertiam proportio.. nalem duabus reétis datis a_, & . b , uti poterimus •eadem methodo , sumendo scil_ic.et 4B a ,.AD ·b, & AC b , & faciendo juxta modo diéta, resultabit AB (a): AD (b):: AG (b) : AE ( §. 453 ) • . 46~ Probl. 2. Invenire medtarn prop.or~ionalem. inter 49 duas ref1as datas a ,aé? b. ! , Sol.-super unam reétam indefinitam AJJ sumatur AP .=: a, P B = b ; ac dividend.o lineam AB in duas partes

requales .in C ( §. 341 ) , describatur radio CA - C B se.

miperipheria AMB ( §. 303 .) ; quo faB:o l2

.e· punéto

diV~

Pars l. Art.. XIV. Fig. visionis P erigatur perpendicularis P M ( §. 343 ) , qme quidem erit media proportionalis qu::esita, cum sit ( §.459) PM,. =APxPB. 466 Coroll. Cum sit in ornni casu AP : P M:: P M: 49 P B, & AP + P B= AB, infertur quod data (sagitta) AP, & d;midio chordre PM, invenietur diameter AB, qurerendo ( §. 464 ) sagittre AP , & medietati MP chordre tertiam proportionak:m P B , qure unita sagittre AP dabit diarnetrum A.B AP + P B. 50 467 Probí. 3. Dividere unam lineam datam in partes babentes inter se rationes datas. Sol. Dividenda sit linea AR in duas partes, qure ha.. beam ínter se rationem 5 ad 3 v.g. ; in hoc casu ducendo per punét:um A lineam indefinitam AM, qure formet cum AR angulum quemlibet MAR, sumentur super AM oc-to partes req uales AB , BC &c. magnitudinis arbitrarire. Per extremitatem Fultimre, & per punfium R linere AR ducetur lin. RF, & postmodum per punél:um D, extremitatem ne(llpe tertim divisionis, ducetur lin. DL parallela ad FR ( §. 370 ) , & ita habebitur lin. RA divisa in punét:o L in duas partes RL , LA, qure erunt ínter se ut 5 ad 3 ; quoníam - ratione parallelarum , LD , RF, ·erit ( §. 452 ) RL :·LA:: FD : DA; sed FD: DA:: 5 : 3 per construét. : ergo RL : LA : : 5 : 3 . 468 Schol. 1. Si lin. AR dividenda foret in majorem numerum partiam proportionalium , v. g. in quatuor par.. tes , qure essent ínter se sicut nuineri 1 , 3 , 7 , 9 , ad~itis his numeris ' súmrna foret -=== I + 3 + 7 + 9 == 20; sumeremus itaque super AM punéto A 20 partes requales , ac per ultimre extremitatem F, & per pune.. tum R lin. AR , duceretur reéta FR ; denique ducendo per extremitates primre, tertire, ~ septima! divisionis linere

De Lineis proportionalibus, &c.

nere AM parallelas ad FR, maneret per eas divisa lin. Fig. AR , sicut desideratur ( 45 2 ) • 469 Schol. 2. Si rationes lineis exhiberentur , locarentur omnes per ordinem , ac continuare in lin. AM, ac procedetur de cretero sicut dié:tum manet. 470 Coroll. Ergo si lin. AR dividenda foret in quemlibet numerum partium requalium, v.g. in 8 , sumí de.. berent super AM oB:o qurelibet partes requales: ducenda per extremitatem F oB:avre divisionis, & per puné:tum R reé:ta FR ; ac ducendo denique e omnibus punB:is di. visionis lin. AM parallelas ad FR ( §. 370 ) , m~nebit linea AR divisa in oB:o partes requales ( §§. 450. 452 ). 471 Probl. 4. Dividere refJam datam AB in mediam, & extremam rationem in F ; hoc est , taliter ut segmentum majus BF sit medium proportionale ínter omnem 51 Jin. AB, & ejus segmentum minus AF. Solut. In extremitate A linere AB erigatur perpen.. dicularis .AC == .A.,,_B ( 3 7 r ) , & fatl:o centro in C, radio CA describatur circulus ( 303 ) : per punéla B, & C ducatur lin. BCD, & punB:o B , radio BL describatur arcus LF, qui secabit AB in puné:to F, ita ut fiat quod qureritur, nempe BA : BF :: BF: AF, seu BF1 =BAxAF. Juxta construét. resultat quod BA est tangens circuli descripti radio CA ( 355 ) ; ideo habebimus ( 462 ) BD : BA :: BA : BL : ergo ( 208 ) BD-BA : BA :: BA-BL: BL; sed BD-BA=BL=BF, cum sit BA =2AC per const., & 2AC= DL ( 298 ) : & similiter BA-BL=BA-BF=AF,cum sit ( 298) BL= BF: ergo substituendo BF: BA :: AF: BF; seu FB =:.

BA xAF. AR-

Pars l. Art. XV. Fig.

A R T I C U L U S X V. De Figuris similibus.

472 DEfinit. Dure figurre , qure habent eundem nu.. merum laterum : angulas angulis respeB:ive ~quales, & latera lateribus homologis proportionalia, dicuntur similes. · 473 Coroll. Ergo sunt similia inter se ornnia poly.. _ gona regularía ejusdem ordinis , seu ejusdem numeri laterum ( 43 5 ) ; consequenter sunt símiles inter se omnes circuli, qui considerari valent tanquam polygona regularía infinitorum laterum , qure ob eorum exiguitatem, cum cifc-qmferentiis confunduntur. 474 Theor. 1. Duce figuree ABCDE , abcde , qute constant eodem numero triangulorum similium, ae eodem modo sitor_um , sunt similes. Cum similia sint ex hypoth. triangula AED , ABC; ADC triangu lis aed , abe , adc , ha be mus ( 41 o ) B = b, E:::: e, EDA =. eda, ADC= adc, ACD = acd , BCA =. bca &c. ergo ang. EDA + ADC · eda + adc , ACD + BCA = acd + bca &c. (. 10 ) ; hoc est , ang. EDC-=. edc, DCB = dcb, BAE = bae : ergo dure figurre sunt inter se requiangulre. Etiam habemus ( 453 ) AB: ab :: BC: be:: AC: ac; sed AC: ac :: CD : cd :: AD : ad ; & AD : ad:: DE: de :: EA: ea; ~rgo AB: ab :: ·Bc: be:: CD: cd :: DE: d.e :: EA : ea ; ergo Polygona proposita sunt requiangula in-1er se,& habent omnia sua latera homologa proportio.. nalia , ac proinde sunt simili~ ( 47.2 . ). . 475 Theor. 2. Diagonales AC, AD, ac, & ad duc~ tce angulis homologis A , & a duarum jigurarum simi...

De Figuris similibus.

165

milium sunt proportionales inter se, & lateribus homo- Fig. , logis ED , ed &c. , & triangula homologa , seu eodem modo tocata , qute formant illte diagonales in singulis ji.. guris , sunt similia inter se. Ratione similitudinis figurarum erit ( 47~ ) E== e, B == b , AE : ae :: ED : ed , AB : ab :: BC .: be : ergo triangula AED, ABC sunt similia triangulis aed , abe, singulum singulo ( 459 ) ; consequenter ( 410 ) ang. 5z EDA == eda, BCA =bca; etiam erit ( 453 ) ED : ed :: DA : da , & BC: be :: CA : ca ; sed ED : ed :: BC : be ( 472 ) : ergo ED: ed :: DA: da:: CA: ca; hoc est, Diagonales sunt proportionales inter se , & lateribus ho-, mologis Polygonorum. Ex modo demonstratis AD : ad :: AC: ae :: CD : ed; ergo triang. ADC est simile triang. ade ( 453 ) ; cumque etiam sint similia , sicut demonstratum manet , trian-gula AED., ABF triangulis aed, abe, infertur quod similia sunt ínter se triangula homologa formata per diagonales homologas ; unde oritur quod figurte similes ba-hent universim proportionales omnes suas dimensiones homologas. 476 Coroll. 1. Ergo si dure figurre ABCDE, abcde sunt similes 'ºearum perimetra erunt inter se in eadem ra.. tione cum suis Iateribus homologis : cum summis cujuslibet numet:i laterum homologorum , seu in eadem ratione cum suis diagonalibus , seu quibuslibet aliis dimen-sionibus homologis. _ Cum semper sit ( §. 472 ) AB: ab :: BC: be:: CD: cd :: DE: de:: EA: ea: ergo ( §. 209 ) , (AB+BC+ CD+DE+EA)==ABCDEA: (ab+bc+cd+de+ea) abcdea :: AB : ab :: ( AB + BC) : ( ab + be) :: AC : ae, cum sit AB : ab :: AC: ac ( §. 475 ) .. t4 Co-

166

Pars l. Art. XV.

477 Coro11. 2. Cum sint similia omnia polygona re.. · gularia ejusdem ordinis ( 473 ) , eorum perimetra erunt 52 in eadem ratione cum quibuslibet dimensionibus homolo-gis { 476 ). 478 Coroll. 3. Ob eandem rationem circumferentire duorum circulorum sunt inter se s_icut radii , sicut diametri , sicut chordre sirniles, vel denique sicut arcus símiles, aut ejusdem numeri graduum ( §.311 )~ 479 Probl. Construere Polygonum simile Polygono dato ABCDE , babens pro latere homologo ad AB '.lineam datam. Solut. Super AB prolongatam , si opus est , suma·tur Ab requalis lateri dato , homologo nempe ad AB, & ducendo postmodum diagonales AC , AD , ducetur per punB:um b linea be parallela ad BC ( §. 370 ) : per puhétum e lin. cd parallela ad CD ; per punB:um d lin. de parallela ad DE; ex quo resultabit polygonum Abcde simile dato ABCDE. Ex construB:. resultat quod omnia triangula polygoni Abcde sunt similia triangulis homologis polygoni ABCDE ( §. 416 ) : ergo surit similia illa polygona ( §. 474 ).

Fig.

P ARS

S E C U N D A.

AR TICUL US

PRIMUS.

De Superficiebus in genere. 480 DEfinit. 1. Vocatur Superficies extensio ·constans duabus dimensionibus , scilicet latitudine , & longitudine , ac considerad potest generata ex motu Jinere parallele ad se ipsam. .

Co-

De Superficiebus. ¡

, 11

48 r Coroll. Ergo termini superficiei, secundum longitudinem , & latitudinem , sunt linere ; secundum profunditatem ipsa est terminus sui ipsius. 482 Schol. In qualibet figura ABCD sunt duo prre"' cipue consideranda, perimetrum nempe ( de quo egimus ), & spatium inte¡ illud comprehensum, & hoc proprie superficies dicitur , seu area , de qua nunc agendum. 483 Definit. 2. Mensura superficierum necessario est una superficies ( §. 294 ) , qu~ sumpta tanquam unitas exprimere valeat rationem , quam cum ea habeant qurelibet alire superficies , quibus proculdubio homogenea est ( 480 ). 484 Schol. Superficies pro unitate sumpta ad men.. surandas superficies est quadratum magnitudinis arbitrarire; nam cum sint requales ejus anguli , & latera ( §. 423 ) , uno dimenso habetur longitudo, & latitudo ( §. 360 ) , quare facilius exprimitur ratio cum quibuslibet aliis superficiebus. U nde quadrare, & mensura... re pro eodem in Geometría habetur. 485 Probl. Invenire superficiem unius quadrati AC. Solut. Videatur quoties in basi AB contineatur ba-sis ab unitatis , ac immerus quotum exprimens in se ipsum ducatur ; produétum declarabit quoties sumenda sit unitas, seu superficies abcd ad habendam superficiem quadrati AC. Super basim AB continebitur unitas , vel quadratum abcd toties, quoties basis ab unitatis; & item m:¡itas abcd super la tus BC, quoties latus unitatis be , toties scilicet quoties basis ab super basim AB, cum-sit AB==.BC, ab == be ( §. 423 ) : ergo si consideretur divisa basis AB, & latus BC in quemlibet numerum partium ::equalium ac, ab, si per punéta cujuslibet divisionis lin. AB ducantur paralle-

Fig.

Par s l. Art. l.

168

Fig. lela~ ad latus BC, & per puntta cujuslibet divisionis lin. BC parallelre ad AB ( §. 370 ) , patet quod quadratum AC manebit divisum in quadrata minora requalia per const. unitati abcd ( §. 433 ) , quorum tot erunt series, quot partes habeat latus AB , & in qualibet serie tot quadratula , quot partes habeat . latus BC , seu ipsi requale AB : ergo numerus horum quadratulorum tequalium unitati abcd, hoc est area quadr__ati AC , invenietur ( §. 29 ) multiplicando per se ipsum numerum exprimentem quot vicibus basis ah unitatis continetur in basi AB quadrati propositi ; vel quod idem est , area unius quadrati tequalis est quadrato unius lateribus; vel AC=AB §. t22 ). · 486 Schol. Expressio hrec, licet exatta non sit, eo -' quod produétum unius lin. per aliam debet esse linea, qure contineat lin. sumptam tanquam multiplicandum .toties quoties lin. sumpta tanquam multiplicator contineat unitatem ( §§. 29. 295 ) , praxi recepta est, eaque dein.. ceps in sensu indicato utemur. 54 487 Coroll. Ergo area reétanguli DB est requalis produéto basis AB per altitudinem BC; hoc est , BD ==AB xBC. N am semper verificabitur quod super basim AB tot erunt series unitatum , quot vicibus basis unitatis confr.. netur in AB , & in qualibet serie tot unitates , quot vicibus latus unitatis contínetur in altitudine BC: ergo . numerus omnium unitatum , seu area rettanguli BD invenietur multiplicando basim AB per . altitudinem BC; hoc est , BD = AB x BC. 488 Theor. 1. Duo parallelogramma ABCD, BCFH formata super eandem basim CB, & inter easdem para/_ lelas CB , DH , sunt tequalia , seu tequalis superficiei.

(

Jux-

De Superficiebus. Juxta hypoth. erit DC = AB , & FC = HB, cum sint Fig. latera opposita parallelogrammorum ( 422): etiam erit m =: n ( 374) : ergo A CDF == A BHA ( 418 ) ; ac consequenter si utroque tollatur triangulum commune AGF , manebit ( 10 ) trapezium AGCD trapezio FGBH, quibus si triangulum commune addatur CGB, parallelo~ parallelogrammum component ABCD grammo BCFH. · 489 Coroll. 1. Parallelogramma formata super eandem basim CB , & inter easdem parallelas CB, DH; habent semper eandem altitudinem ( §§. 425,360): ergo parallelogramma formata super eandem basim , & ejus- 54 dem altitudinis sunt requalia. 490· Coroll. 2. Ergo area unius parallelogrammi cujuslibet HBCF est requalis producto basis CB pei; altitudinem BA : N am cum sit parallelogrammum HBCF ABCD ( §. 489 ) , & ABCD = BC x AB ( §. 487 ) patet quod erit HBCF == CB x AB. 49 I Theor. 2. Triangulum quodlibet CBH est dimidium parallelogrammi BCFHformati super eandem, aut tequalem basim CB , & ejusdem altitudinis , vet inter. easdem para/lelas. Triangulum HCB est semper requale triangulo HCF ( §. 429 ) ; sed A HCB + A HCF == ABCF: ergó A HBC == HBCF.

492 Coroll. 1. Triangula HBC, DBC formata super eandem aut requalem basim , & inter easdem parallelas, seu ejusdem altitudinis, sunt requales. N am semper 8 F =:~e, cum sit AC-= FB ( §, 4 8 9 ); _erit ~ HBC sed .ó. DBC~ ~e ( §. 49 1·· ): ergo &c..

Co-' '

Pars II. Art. l.

170

Fig.

493 Coroll. 2. Ergo area trianguli cujuslibet requa.. lis est producto basis per dimidium altitudinis , seu producto dimidii basis per altitudinem ; sic dividendo aream per dimidium altitudinis , invenietur basis ; & dividendo aream per dimidium basis , invenietur altitudo. 494 Theor. 3. Superficies unius trapezii tequalis est 1 3 producto semisummte suarum basium parallelarum per distantiam AL , quce ínter ipsas est , seu producto unius fin. TQ duetce ad distantias tequales duarum basium parallelarum per omnr:m distantíam AL ínter illas bases. Ducta diagonali AC, triangula ABC, ACL habebunt eandem altitudinem AL ( §. 360), eo quod _sit inter easdem parallelas AB, LC ex supposit. ; consequenter erit superficies trianguli ABC AL x ~B, & superficies trianguli ACL AL x ~e ( §. 4 9 3 ) : ergo A ABC + ~ ACL AL x AB-:_-Lc == ABCL. Juxta hypoth. erit TL =TA, & TfJ parallela lin. LC, & AB ( §§. 359, 376) , & consequenter erunt similia triangula CAL, RAT ( §. 416 ) : ergo AT: LA : : TR : LC : AR : AC ( §. 4 5 3 ) , sed AT ergo TR L~c, & AR= ~e== CR: erit etiam CR: CA:: RQ; : AB ; sed CR Ac per demonst. : ergo R!J A:; eo quo"d habebimus TQ, TR -t- RQ, Lc-:_-AB ; hoc est lin. TQ ducta ad distantias tequales duarum parallelarum AB , LC , tequalis est ejus semisummte : ergo superficies trapezii erit juxta demonstrat. requalis producto istius lin. per distantiam AL inter bases parallelas. 40 495 Theor. 4. Superficies polygoni regularis cujuslibet ABDEFH est tequalis producto radii recti CR per dimidium sui perimetri.

= L/; =

Ra--

De Superficiebus.

171

Radii obliqrii CB, CA &c. resolvunt polygonum · in Fig. tot triangula requalia ACB , BCD &c. , quot habet latera ( §. 443); sed superficies unius ex his triangulis requalis est ( §. 493 ) producto medietatis unius lateribus polygoni per suum radiurn rectum CR requalem 40 in omnibus ( §. 444) : ergo superficies totalis polygoni erit requalis producto · serniperimetri per suum r~dium rectum CR. 496 Coroll. I. Cum peripheria circuli possit considerari tanquam perimetrum polygoni regularis infinito::rum Iaterurn ( §. 473 ) , patet quod radius circuli non distinguetur radio recto; consequenter superficies unius circuli etit a;qualis producto ejus circumferentite per medietatem radii , seu semicircumferentite per radium. 497 Coroll. 2. Ergo superficies unius sectoris cir1 culi est requalis producto radii per medietatem arcus eurn terminantis. 498 Schol. Ad inveniendam superficiem circuli, vel quod ídem est , ad inveniendam quadraturam circuli, necesse foret cognoscere rationem radii ad circumferen.. tiam ; quod quidem hucusque cxacte invenire non potuit; tantum sufficienti approximatione inventa est ratio diaínetri ad circumferentiam, qure est ut 7 ad 2~2 , seu· ut 100 ad 314; seu ut 113 ad 355, vel exactius ut I ad 3, 1415926535897932 cum aliis 111 decimal. 499 Probl. I. Data diametro , seu circumferentia unius circuli , invenire superficiem. Sol. I. Habendo rationem diametri ad peripheriam ( §.498) dato quolibet ex his, invenietur aliud ( §. 217 ). 2. º Multiplicetur circumferentia per quartam partem diametri; productum erít a,rea circuli ( §. 496 ).

Co-

.Pars II. Art. ,J; Fig.

500 Coroll. 1. Si diameter unius circuli sit 100 erit ejus circumferentia == 314 ( §. 498); & superficies 4° == 7850 ( §.499 ) ·; quadratum diametri erit == 10000 c ( §. 80): ergo quadratum diametri unius circuli est ad ejus superficiem proxime ut 10000 ad 7850 , seu ut 1000 ad 785. 501 Coroll. 2. Ergo data area unius circuli, inve-nietur ejús diameter , si qurerendo quartum terminum proportionalem ad 785 , ·1000 , ,& ·ad aream datam ( §. 217), ·extrahamus ejus radicem quadratam. 502 Probl. 2. Data diametro unius circuli, & ra-. tione in gradibus unius arcus ad Circumferentiam , in-'I.Jenire aream sectoris arco correspondentem. Sol. 1.º Qurerattir circumferentia circuli (§§. 498,217). 2. 0 Qureratur quartum proportionale ad 360°, ad ar-cum ·datum , & ad circumferentiam inventam ( 217 ), habebitur longitudo arcus · dati in eadem mensura dia.. metri datre. ' 3:0 Multiplicetur arcus inventus per quartam partem diametri ·datre, & productum erit area sectoris ( 497 ). 503 Pr-obl. 3.0 Data altitudine FA segmenti, & di55 midio FD ebordee illud efformantis, invenire superficiem. Sol. 1. Qureratur diameter AL ( 466), & dimidio CA describatur ( 3 o 3 ) circulus per punetá· B , & D transiturus ( §§. 333 , 298 ). 2. 0 Ducantur radii CB, CD, & comperiatur nu-merlis · gr.aduum arcus DAB ( 319 ~3·º His datis qureratur superficies . sectoris BCADB ( 502 ').' 4.º C:um sit DB _ == 2DF, qure est quamtitas cognita, CA- FA , quantitates itidem cognitre , inve-& CF nietur ai:ea trianguli DCB ( 493 ).0

Sub--

De Superficiebus. ..

5·. Subtrahatur

e~area

sectoris area trianguli , resi:- I:!,ig. rduom erit area segmenti DABFD. 504 Schol. Superficies polygonorum irregularium invenitur. , dividendo ea in diversa triangula ; nam inventis separatim horum superficiebus ( 493) , summa 55 ,omnü.i~ erit superficies p~lygoni irregularis. 0

II.

ARTICULUS

,,D e Comparatiq~e_, reductione, & divisione superficierum~ ( 1

..;

505 THeor. r. _ ~uperficies duorum triangulorum' ~ -· quoru.mlibet sunt inter se in ratione ~com-. posita ba_sium). & altitudinum. --- Reprresentet B basim, H a1titudinem, S supe'rficiem tria'nguli_; b , h--, · s , basif!l , altitudinem , & superficiem. :alterius trianguli ; habebim-us S == B H ; & s = b h \ 4 9 3 )7 2

•

:~rgp -~ -:-s : : 7 _: 7 : : B H : bh ( 2 o 4 ). _ ._ J ... ,-..~-506 , Coroll. r. Si.B=b,erit S:s::H:h;ihoc est,trian- _ gula habentia -eandern , aut cequales bases sunt ínter · Jicut atiitudines. , .507 .Coroll. 2.' Si Fi == h, S .: s: : B: b; hoc est, su,,,. )j)erficies dú0rum triangulorum ba,bentium eandem ~ aut -tequaJem plt~t'f!dine11J ,¡ sunt ínter se sicut bases. . 5q~ Coroll. _3: Si BH == bh, erit S == s , & tune ·casus habebimus B : b : : b : H ( 207 ) , hoc est , trian! '.gula q_uorum superficies sunt cequates, habent reciproce proportionales suas bases, & altitudines; & vice versa, ·érunt cequa!es superficies duorum triangulorµm, si eorum bases, & . altitudines fuerint reciproce proportionales. · ; 509.. Theor~ ,, 2 • .. Superficies duorum triangulorum:, , ., si-. t !;

se.

I' 1,

Par s II. Art. Il• .F_ig. simil{um sunt inter se sicut quadrata suarum dimen.. sionum bomologarum. Ratione similitudinis trianguloruin eritB: b: :H: h (475): aliunde S: s: :BH: bh (§.505): €rgo BH: bh est ratio duplícata ( 200), & consequen-. ter ( §. 205) S: s:: B': b':: H•: h ergo &c. · 5 ro Coroll. Parallelogramma sunt dupla triangu-,. lorum , requalis cum eis basis , & altitudinis ( 49 r ) : ergo ( §. 204) 1.º Duo parallelogramma erunt in ratione composita Ji,asium, & altitudinum ( §. 505 ). 2. º Si bases habent requales, erunt sicut altitudine¡ ( §. 506 ). 3. Si habent requales altitudines, erunt skut bases ( §. 507 ). 4. Si fuerint requalia, habebunt reciproc~ propor• tionales bases, & altitudines, & vice versa ( §. 508 ). . 5. Si fuerint similia, er-unt ínter se ut quadrata suarum dimensionum homologarum ( §. 509 ). 52 511 Theor. 3. Superficies figurarum similfum, tum regutarium , tum irregutarium , sunt inter se ut qua.... ·d rata suarum dimensionum homotogarum. · . Sint símiles fig. ABCDE , abcde ; triangula AED, ADC, & ABC sunt respective similia suis homologis aed, ade f & abe ( §. 475) : ergo ( § . .509) A ABC: A abe:: Be~: be'; AACD: .A aed: : c_n•: ed~; A ADE: ~ A ade:: DE': de•; sed cum sit BC-. be:: CD: cd:: DE: 5 2 de &c. ( §.472 ), est etiam Be•: be.,,:: en•: ed':: ED edº &c. ( §. 2 r 1 ) : ergo 1::::.. :ABC-: 1::::.. abe: : 1::::.. ACD: A aed : : 6 ADE: 6 _ ade; & consequenter ( §. 209) (A ABC + .AACD + AADE) == ABCDE: (A abe+ Aaed + Aade). -;=, abcde: : AABC: A abe ;·; B(;'1.: ¡,~•:: CD'; cd": &e: 2

cum

......

.De Comparatione , reductione, é5e. 175 -

· cum sit juxta ·demonst. t::. ABC: t::. abé: : BC 2 : be 2 : : CD 2 : Fig. cd &c. ergo , &c. 5 12 Coroll. 1. Omnia polygona regulada ejusdem ordinis , sunt figurre similes ( §.-473 ) : ergo eorum superficie_s erunt inter se ut quadrata quarumlibet dimen .. si~num homologarum. 513 Coroll. 2. Cum sint etiam símiles omnes circuli ( §. 473 ) , eorum superficies erunt inter se ut quadrata suorum radiorum , diametrorum , circumferentiarum , ac generatim ut quadrata suarum dimensionum homologarum. ·, 514 Theor. 4. una qucelibet /ig. AFEDC , formata 56 super hypothenusam AC trianguli rectanguli ACB, cequa~ lis est summce q,uarum figurarum ei similium AGHIB, BKLPC efformatarum super duos cathetos. . Cum ·sint figurre símiles, erit ( §. 51 I ) AFEDC: AGHIB: BKLPC:: AC 2 : AB 2 : : BC.,_; ergo AFEDC: 2 AGHIB+BKLPC:: AC 2 : AB 2 +BC 1 ; sed AC ==.AB 2 + BC §.458): ergo AFEDC=.AGHIB +BKLPC. 5 15 Coroll. Ergo semicirculus descriptus ~uper hy-pothenusam, erit requalis summre semicirculorum supet duos cathetos descriptorum ; & idem verificabitur de omnibus figuris regularibus ejusdem numeri laterum, ratione similitudinis ( §. 473 ). 5 16 Probl. I. Invenire quadratum , cujus superficies sit cequalis superficiei parallelogrammi dati. Sol. Qmeratur media proportionalis ínter basim , & altitudinem parallelogrammi dati ( §. 465 ) ; & hrec erit latus quadrati quresiti. Productum basis per altitudinem exprimit aream parallelogrammi ( §. 490); s·e d quadratum linere inven... t.e est requale illi producto ( §. 206 ) : ergo &c. m Pro2

(

Pars II. Art.11.

. 176 5 17

Probl. 2. Datis duabus figuris similibus AGHIB, BKLPC invenire aliam, quce eis sit similis, & . ejus su-, per/icies cequalis summce duarum superficierum datarum. 56 Sol. Disponantur latera homologa AB , BC ita ut forment angulum rectum ( §. 371 ) ; hypothenusa AC erit latus homologum figurre AFEDC qmesitre ( §.514 ), post modum construendre ( §. 479 ). 5 I 8 Probl. 3. Di-videre triangulum ACE in quas vo. . lueris partes cequales , lineis duétis puncto dato D. 57 Sol. Dividatur basis AE in tot partes requales, quot sunt ere, in quas dividí debet triangulum ( §. 470), v.g. in duas partes requales in B. Per hoc punctum ducantur ad ver'ticem C trianguli, & ad punctum datum D rectre BC, BD, & vertice C ducatur CF parallela ad DB ( §. 370) ; ducendo denique puncto dato D rectas DF, DC, manebit divisum triangufum in duas partes . requales FACD, & FBECD. Cum sit AB =BE, per construét., triangula ABC, BCE habentia suos vertices in eodem puncto C, ac consequenter habentia eandem altitudinem ( §. 339 ) , resultabunt requaiia ( §. 492): ob eandem rationem erit ó. CFB== ó. CFD cum habeant eandem basim CF, & sint inter easdem parallelas CF, DB per construct. : ergo ó. CFB- ó. FPC== ACFD-ilFPC( §. 10 ), hoa est, ó.FPB==ó.CPD, ex quo .cesu1tat .& ABC- ó.FPB + ó.CPD= ó.BCE-ó.CP D +AFPB; hoc est, trapezoides F ACD == FBECD. 519 Probl. 4. Dividere para!lelogrammum ABCD 5 8 in duas partes cequales per punctum datum P. Sol. Sumatur AL == PC, '& ducatur recta P L , etit LADP ==·LBCP.·, . Ducatur diagonalis AC, ratione parallelarum DC, AB ( .§. 42~ ) erit m = .n , & t:::: z ( .§. 363 ) ; sed AL

Fig.

,¡

De Comparatione,, reductione, &c. 177 ::::: PC per const.; ,ergo ó.ALF ==. A CPF ( §. 419); & Fig. cum sit etiam b.. ABC = A ACD ( §. 492), patet quod AABC - AALF + ACPF.= AACD - ó.CPF + A ALF ( §. ro ) hoc est trapezium LADP = LBCP. 520 ProbL 5. Dividere unam figuram rectilineam 59 in quotcumque partes cequales. Sol. 1.º Qureratur area figurre ( §. 504), & dividatur in tot partes requales, in quot fig. dividenda sit, v. g. in tres. 2. 0 Area tertire partis ( in nostro casu) , dividatur in duas partes requales. 3.0 Area trianguli AED subtrahatur tertia parte,

& residuum dividatur per

A~ ;

quotiens er¡t ahitud?

trianguli AID ( §. 49 3 ) , qui addetur primo AED , ut sit AEDI tertia pars figurre. · 4.° Cum hujus altitudinis intervallo ducatur pa'" rallela ad ,eandem . AD ( §. 370) , qure ·,determinabit punctum 1 , per quod duci poterit recta ID,' qure secabit tertiam partem fig. DE Al. 1

5. Dir~iidium tertire p~rtis :fig. d}~id~tur per ~ . ~ quotiens erit altitudo trianguli IKD , sexta. pars ngurre ( §. 493 )i. 6.° Cum hujus itaque altitudinis intervallo ducatur parallela · ad eanc;lem ID ( §. 370 ) , ut -habeatur punc0

." ·~ •. . 7. • Dividatur adhue dimidiu_m tertire partís fig. per

tum K. .

R;'

_ad habendam altitudinem trianguff KLD, req?alis

itidem, -sextre partí ·fig. ( §. 493 ·). • 1 . 8:0 ldeirco ·cum hujus , interv-allo d.ucatur ,. denuo m2

pa-

Pars JI. Art. JI-. Fig. parallela ( §. 37~ ) ad _eandem KD , ad determinandum punctum L , secaturum tertiam partem fig. KIDL , ac determinaturum aliam tertiam partem KBCL~

A R_T I C U L U S

I I I.

De Planis.

S21

DE:fin_. Yocatur pla~~m una

~up_erficies requalis, cm per orpnes ·sure extens10ms partes accom.. modari potest linea recta; superficies cui hrec proprietas convenit, vocatur plana , ad distinctionem superficierum conve:x¡_arum, seu con~avarum, v. g. superficies inferior , & exterior' vasis v. g: ·' ., · 522 Theo"r. 1. S{, una · recta qua1libet 'habet duo puncta communia cum plano , rdiqua puncta ejusdem -recta? erttnt in eodem plano. . . .. Duo sola puncta determipant positionem unius rectre ( §. 290 ). :' .aliunde essentia plani' consistit in eo, quod ei undequaque recta accommodari' possit ( §. ant.) : unde patet ,. q uod si in duo pus punqti~ coincidunt, in omqibus coincident, ac proinde semper coincidént , seu co'nfundentúr, licet prolongenlur in iiúinitam: ,. 523 Theor. 2. Recta AB perpendicularis ad pla:.. imm PQ est etiam perpendicularis ad omnes rectas BF, BG, BD &c. positas in eqdem plano, qua?. transeunt per 6 0 extremitatem B ejusdem perpendicularis. . Juxta· ·sµpposit. anguE quos -fo.mrat Iin. :AB .cum plano _P .f2 in pµ~cto B_ , debent .esse recri ; sed linere BF, BG &.é. confunduntur cum eodem plano ( §. 1mt.) & transeunt per punctum B juxta hypoth. ·: ergo erunt recti omnes ang1üi ABL , ABF &c. ,: .ergo,,-AB erit per.. 1

1 79

De Planis.

perpendicularis ad illas rectas ( §. 332 ). Fig. . 5 !24 Theor. .3. E puncto dato A extra planum PQ non potest demitti plusquam una perpendicularis AB; & btec erit distantia a puncto ad -planum. Demittatur , si fieri potest , perpendi<;ularis AF, & per punctum F ducatur recta FB in plano P Q; habebimus ( §. ant.) quod AB, & AF sunt perpendiculares ad eandem rectam FB eodem puncto A; sed hoc est absu~dum ( §. 336 ) : ergo &c. Cum sit rectangulum in B trianguium- ABF, AF ~rit latus _o pposítum majori angulo ( §. 403 ) : ergo erit m¡1jor quam BA ( §. 405 ) ,_& cum idem probari possit de qualibet alia obliqua, sequitur quid perpendicularis est distantia puncto ad planum ( §. 2 87 ). . 525 .The9r. 4. Communis sectio duorum planorum HD ;KF, quce se secant, est /in. recta AB. 61 . Recta AB ducta pér puncta A , & B , communia utrique plano , confunditur cum plano HD , & cum pla_nQ KF ( 52 2-) ; ergo illa ·linea AB esi intersectio comrn-unis , ac consequenter sectio comQ"}unis duorum _plarwrµm. est l~nea recta, cum superficies profunditate careant ( §. 48 1 ). - 526 . Cor9ll. Ergo si una recta AB secat dQas pa~ rallelas CJ3 , EF, erit cum eis in eodem plano. N am 64 sj"~ogcipimqs quod per purícta A, B transeat planurn, secans illud in quo sunt parallelre CB, & EF, erit com;_rp.unis sec.tio -recta AB ( §. ant.) , ac. consequenter erit in eodem plano parallelarum. . _ ' , -Unde patet• rectan1, pos se ess.e in -infinitis pla_nis- di- _. .tper_ sis.: " ' r ' 527 Theor. S· Si recta MN fuerit perpendicular-is fr? r¡d :Plana_)iF, LI, h¡ec plana er:unt pqrailela. .

. .

;

·•

Pars.11. Art.111.

Fig.

Si plana HF, LI non sunt parallela, producta concur... rent in puncto Q, & sit communis ·sectio SR ( §. ~25 ); puncto Z in ea sumpto· duca.ntur in suis cujusque pla~ nis !ectre ZM, ZN, habebimus, ex hypoth. i_n triangulo ZMN duos angulas ZMN, ZNM rectos ( §. 523 ); cumque hoc sit absurdum ( §. 40 3 ) , infertur quod plana HF~ LI sunt inconcurrentia, & proinde parallela. 62 5 2 8 Theor. 6. Tria sola puncta sola A , B , C, quce non sunt in linea recta , determinant positionem unius · · plani cujus{ibet ABC. U niantur tria puncta cum rectis AB, BC, & CD; si -dicatur quod triangulum ACB resultans , non est totu~ 'i n eodem plano, supponatur. quod ejus pars DFA est in uno plano , & pars CDFB in alio : ergo pars FA rectre FB erit etiam in eodem plano , iñ quo est trian-gulum DFA , ac consequenter recta BF producta desinit . esse in plano BFCD; sed hoc est absurdum ( §. 522 ): ergo &c. _. 5 29 Coroll. 1. Ergo tria puncta non possunt esse communia duobus planis diversis, riisi siñt in linea rec.. ' ta ; ac proinde omne triangulum ABC debet esse in eodem plano. 61 530 Coroll. 2. Ergo dure rec-tre CA, DA s~se secante_s sunt in eodem plano P Q, quia tria puncta C, A -, D determinant positionem duarum rectarum 'CA , AD

( §. 290 ).

531 Coroll. 3. Ergo angulus quilibe~ determinat po sitionem unius plani ( 312 ). 532·, Theor. 7. Si recta AB ést perpendicularis ad 60 _d.uas rectas FB , G B in punto B sute inter sectionis , erit · etiam perpendicularis ad ejus planum PQ. Si concipimus quod recta FB revolvitur circum lineam

De Planis.

181

neam immobilem AB, describet· suo motu planum per- Fig. pendiculare ad AB , ex hypoth. ; sed hoc planum' est _ etiam rectarum FB, GB ( §. 530 ) : ergo &c. 533 Theor. 8. Si recta AB sit pe.rpendicularis ad 65 rectas BC , BD, BE in puncto B , in quo concurrunt, illa? tres linea? erunt in eodem plano. Sint , ut supponi potest ( §. 530) rectre BC, BD in plano FC ; recta BE , qure concurrit cum BA in puncto B , sit cum ea, si fieri potest , in eodem plano _AG, & sit BG communis sectio planorum ; cum sit AB perpendicularis , ex supposit. , ad rectas BC, BD , erit etiam perpendicularis ad planum FC ( §. 532) : ergo erit etiam perpendicularis ad communem sectionem BG;, qure transit per punctum B ( §. 525,523); sed ,AB est, ex supposit., ad BE in eodem plano AG, in quo est etia!11 communis sectio BG ( §. 525) ; ergo ang. ABG, ABE sunt recti ( §. 332), ac consequenter ( §. 321 ) ABE == ABG ; hoc est , pars requalis toto; , _cu~que ~oc sit absurdum ( §. 8) : ergo &c. 534 Theor. 9. Si dua? recta? AB , CD fuerint 66 p~rpendiculares ad ídem planum ~F , erunt para/lela? inter se. Ducendo lin. BD in plano EF, anguli ABD, CDB, _erunt , ex hypoth. , recti ( §. 5 2 3 ) : in eodem plano EF ducatur lin. DG perpendicularis ad DB ( §.' 343) , & fiat DG AB; unde resultat quod in triangulis BAD, BGD duo latera AB , BD unius requalia sunt aliis d:uobus lateribus GD, BD alterius , & angulus comprehensus ,rectus; ergo AD= BG ( §. 418) ; & ita latera DG , DA, AG trianguli ADG sunt requalia tribus lateribus AB, BG , AG trianguli BAG : ergo angulus ABG GDA ( §. _4 17) ; sed ABG est recm4 tus

Pars il.-Art. 111.

182

Fig. tus ( §. 523): ergo & GDA e~t etiam' r~ctus; & cum sit itidem reétus , eadem ratione, angulus GDC, infertur quoq QD est perpendicularis ad tres reétas DB, DA·, DC ( §. 332 ) : ergo omnes ill~ sunt in eodem plano ( §. ant. ) , in quo est etiam AB ( §. 529 ) , eo quod sit la tus trianguli ABD : ergo AB , & CD sunt perpendiculares ad eandem reétam BD , qme cum eis est in eodem plano : ergo sunt inter se parallelre ( §. _3 72 ). 535 Th~ot. 10. E punao B sumpto in p!at1ü PQ non 60 pot est erigi nisi unica-perpéndicutaris BA ad illucf. planum. - Erigatur, si 'fieri potest, perpendiculari-s MB: habe ... bimus quod AB , & MB erunt ambre perpendiculares ad idem planum P Q , ac proinde parallelre ínter se ( §. 534 ) ; sed hoc est absurdum { §. 361 ' ), nam supponimus quod concurrunt in eodem punéto B : ergo &c. 536 ·nef. 2. I~clinátio u_nius plani KG-ad aliud planum AD est angulus HFM, quem formant dure reét~ 63 HF, FM perpendiculares ad communem seélionem GE planorum in eodem punéto F, quarum uni. quéatur · in plano'. AB , alia in plano· KG_; ' · - 537 Theor. 11.- Inclinatio unius plani KG ad aliud planum AD e..st eadem in omnibus pun[tis F, f &c. Ducantur perpenciiculariter ad communem seB:ionem EG punétis F, -&f reétre FH, fh in plano AD: ,~ in pla1 ' no· KG reétre FM, fm (· ·§. 343 ) . ' · Sumatur HF == bf, FM == fm; habebirims quod HF erit parallela ad hf~ & FM ad fm ( §. 372 ) : consequenter Hh,. & Mm erunt requales , & parallelre ad 1 ·Ff ( §._42 8 ) , -& Hb requalis , & paralleJá ad Mm ( §§. 9. 376 ) ; unde etiam 'HM, 8f hm erunt ~ter se requa'.les, & parallehe ( §. 428 ) ; unde resultat quod triangu .. la HFM, bfm habeot omnia sua latera homologa ,~qualia, &

De Planis. 1

& parallela·: ergo erunt similia ( §. 417 ) , & angulus Fig. HFM == bfm ( §.410 ) ; sed anguli sunt mensura inclinationis duorum planorum 1'G, & AD ( §. ant.): ergo &c. · · 538 Coroll. 1. Cum unus angulus solus determinet positionem unius plani ( §. 531 ) , considerare possumus quod per angulum HFM transit planum HMF, & per angulum bfm aliud planum bmf; hoc non obstante anguli HFM, ~fm habeates sua crura HF, FM, & bf, fm tespettive parallela , sunt- requales ( §. ant. ) : ergo ang-uli comprebeñsi inter crura respective parallela sunt "tequales , Jicet siti in diver sis planis~ 539 Coroll. 2. Cum una , & eadem sit inclinatio planorum ·in ótnrnibus -suis• punB:is ( §. 537 ) , nec diffe.. rat'· ah indina~ióne perpendicuJarium., e illis duB:arum ad idém púnétum $'eéi:ionis (" §. 536 ) , infertur ~º j unum planum- aJteri occurr~ns forrn:aturum cimi eo duos angu:..:. los, qui juncti. valeant 180° ( §. 328 ) : 2. Omnes an...:. gufos formatos per quemlibet numerum planorum, sese se .. 'Cél-ntium in una linea va/ere 360° ( §. 330 ): 3.0 duobus pMnis sese secantibus, angulos, ad verticem oppositos esse tequales ( 33 I ) : 4. 0 Uno plano secante duo, aut plura plana parallela , cum eis formare angulos alter~ 'l'JOS, internos tequales &c. ( -§. 363 usque ad 369 ) • · ..-540 -.. 'f.heot. 1~- S.i_planum. -~e secaverit alia auo, 6 pturave plana para/lela Ffl, IL ', sectiones AD, BC erunt ? parallelce inter se. · Lir:ieai AD , BC sunt in planis FH, IL ( §. 5 2-s ) : e"rgo confundentur cum illis :( .§. 52 2 ) ; sed plana , :ex -~fpoth., sunt inconcurrentia ·: ergo & inconcárrentes erunt illre seB:iones : ergo &c. ( 361 ) . 541 Theor. 13. Si e·uno pun'Cto quolibet B sumpto in -plano 1 CG per-pendiculari ad planum ·PQ ·ducatur reeta 61 ' BA 0

Par:s·11. Art.111. Fig. BA perpendicularis .ad communem seétionem CF, reeta erit perpendicularis ad planum PQ. · In plano PQ ducatur DA 'perpendicularis ad AC ( §. 343 ) , habebimus quod ang. BAD, quo ·regulari debet duorum planoruqi inclinatio CG, PJJ ( 536 ) debet esse reétus ( 332 ) , eo quod supponatur planum CG perpendiculare ad planum P Q: ergo BA est perpendicularis ad duas reétas CA, DA in punéto sure interseétionis C: ergo est perpendicular:is ad planum P!J ( §. 532 )•. 542 The<?r. 14. Si plana DH, CG sunt perpendicu .. /aria ad ídem planum PQ , ejus communis seéfio BA erit etiam perpendicularis ad ídem planum. . Cum duo plana .DH, CG sint , ex supposit. , perpen.. dicularia ad planum ~p Q , patet erigi posse in quoÍibet illorum perpendicularem ad pl'anum P Q e punéto A communi tribus planis ; sed e uno punéto non potest erigi ad unum planum nisi unica perpendicularis ( §. 535 ) : ergo illa perpendicularis erit eadem in utroque plano ; cumque communis seétio AB est eadem lin. sita in utroque plano puntto A ( §. 525 ) , hrec erit perpendicularis ad pla .. num PQ. . · 68 543 Theor. 15. Si epuncto A ducitur quilibet nume~ rus r:eétarum AdD, AfF &c. . quce transeant. per pta .. na PQ ·; pq paralleJa, 1.0 omnes .reétce se interse_cabunt pro.portionaliter: 2.0 /ig. DFGEH , dfgeh erunt ~símiles. Si consideretur quod per tria punéta A , D , F transit· uhum plánum , interseétiones DF, df cum planis P Q, pq erunt parallelre ( §. 540 ) : ergo triangula AFD, afd ✓ .e runt similia ( §. 416 ) ; & cum idem probari possit 'de relíquis triangulis AFG, afg, AEG, aeg &c., habebimus ( §. 453 ) AD: ad:: DF: df:: AF: af:: FG: fg:: AG : ag &c. : : AB perpendicularis duéta punéto A ad . pla-

}

De Planis.

planum P Q : ab perpendicular-is duél:a eodem punél:o a, Fig. vertice . scilicet omnium triangulorum , ad planum pq ( 475 ) : ergo reare AD , AF, AG &c. se secabunt pro-portionaliter per plana parallela P Q, pq. Ex demonst. constat qti.od latera figurarum DFGEH, 68 dfgeh unt parallela respettive : ergo anguli D, F, .G &c. comprehensi inter latera ptimre figur~, sunt~ requales an_gulis d, f, g co:mprehensis ínter latera parallela secun~ dre ( §. 538 ~) ; aliunde etiam manet ~emonsttatum, quod DF: df:: AF: af:: FG: fg:: AG: ag ~: GE:, ge ·&c. : é'rgó· DF: df:: 'FG .:fg:: GE: ge ·&c. hoc est, latera primre figurre sunt proportionalia ad omnia latera homologa secundre: e~go ill~ figurre sunt símiles ( §.472 ). · . 544 • ·C0r<;>ll. 1. . Ratione similitudinis figurarumi DFGEH, dfgeh, ha:bebimus ( ,5 r 1 ) quod earum supe'fficie~ erunt inter se:: DFi : df~ :: AB2.: A b quadra-· ta distantiarum puntto A ad singula plana P Q , pq; cumque bree sit ratio invariahilis respettu ejusdem puntti .A ·, ·séquitur .quod qNicunque sit reétar'uin nümerus AD, AP &c. sem per su perficies,figuratu m résultantim m D FGtEH; dfgeh erunt inter se, in' ratione constanti ex A B ad ab i ( §. 5 11 ) ; & perimetra erunt in ratione constante ex AB ad ab ( §.. 543 ) . · . . . 545 Coroll. 2. Si linere AdD, AfF &c. fuerint pata!lehe, segmenta Dd ,: Ff.&c. erunt requalia ( §. 430 ) .cum sint inter parallelas ( §. 5'40 ) : ergo df DF; fg FG &c. ( §. 430 ) , ac _consequenter -fig. DFGEH e~it ~qualis , & similis alire figurre dfgeh. · ,. · 2

= -

•

, . P

•• :-'

('" \ ~·, .

1) r..

.. ... • "

PARS

186

, ·p AR S ·TER 'F I A~

Fig.

De Solidis, ac eorum generatione.

ARTICUL US

PRIMUS.

·'

546 DEfin. 1. So!idum, volumen, seu corpus e.st . quantitas composita tribus dimensionibus, s,eu extensum juxta longitQdinem , latitudinem, & profunditatem. ·_ ,. · : . . 69 · 547 Def. 2. Angulus solid,us D est inclinatio plus·quain duarum linearum AD , CD , BD, qme in eodem pµnB:o D concurrunt , _1;1.ec suni in eodem plano; ex quo res:ultat , . quod . angulús solidus D continetur pl.u squam dqobus planis ~DC, C-¡;JB, ~DA ., qure idem non constituunt ( §_: 530 ) , ac proinde quod ad aµgulum so,I-i dum efformandum , sunt ad minus necessarii tres anguli plani. . . 548. D~f. "3. _Men_sura ljniqs anguH soHdir, ·1 est summa angul@tum pla_norium _,. ·iJ.lu.I!l :- efforman.~ium. Sic m~ensur~ anguli .solidi D v. g. est angulus ADC CDB + ADB. · 549 Theor. 1. Si angu/uS, so/idus D continetur tribus angulis planis , duo quilibet tertio sup_er stite majo~ r-es ttt:únt. 1 . .1 ~ __ , _· . · · , ., • , ·. ¡- . Upi'eu~ Cé!SUS it:J cauo,.dµbium esse _p0ji$~t, -~s~ in quo duo a_Qguli ADC, CDB requales ., •aut -imequales in~ ter. s_e , .. m~Jore-$ ,~unt a_ng1,1!Q. EDA ,· illo;um singulis maJore. ,. . l~~\- :,. .. 1. (."1 .. ., 1 ~t... ~ .A" .,..i i. In plano ABD fqrmetur _in vertice D angulus ADR AD{; ( §. 317 ) : sumatur DR ==DC; per pun~um R ducatur eodem plano reB:a AB, secans alias auas DA, DB in punétis A, & E, & 1.rniantur reétre AC, BC in pune' ro

;u~

•t

;.¡

•.:

De Solidis, .ac eorunz, &c.

to C; cum ·sit AD latus commune , ac per , construB-. Fig. DC := DR, & angulus RDA == ADC, habebimus A R = AC ( §. 418 ) ; sed CB + A C> BR+RA ( §. 288 ): ergo CB+AC-AC>BR+RA-RA( 11 ), hoc est CB > BR ; cum sint ergo laterá CD , DB trianguli CDB requalia lateribus DR, DB trianguli RDB, & basis CB primi ma}or basi BR secundi, erit angulus CDB> RDB ( proposit. 25 lib. I. Euclid.): ergo angulus CDB+ CDA > RDB + RDA , hoc est angulus CDB + CDA

>BDA . 550 Coroll. I. Ergo ut anguli solidi sint requales contineri debent angulis planis, numero , & valore requalibus , ac eodem ordine , dispositis. , ; 55 I Coroll. 2~ Si anguli plani, concurrentes in eo.. dem puntto, adrequant summam 360° , erunt ornnes in plano unius circuli ( §. 330 ) , & sic non formabunt an.. gulum solidum ( §.- 547 ) ; ergo summa omnium angulorurn· ; , qui efformare debent . angulum solidum , debet es·se minar 4 rettis , seu 3 60° esse debet. · . · • 552 Def. 4. Si concipimus quod planum ABD mo~ vetur parallele ad se ipsum juxta direti:ionem unius rectrercujuslibet BC ·, generabit solidum EFCBADE, quod prisma dicitur , quod quidem erit rettum, si linea BC. 70 sure dire~,Honis sit perpendicularis ad planum genera:n.s; si autem non sit ad illud planum perpendicularis, pris1n¡a dicetur obliquum. Dicitur speciatim prisma triangu-, lare, quadrangulare &c., juxta numerum laterum plani,, generatoris. , . ·. 5 5.3 ·<:;o rol l. .1. Ergo prisma quodlibet habet duas ba.. ses1DAB, EFC requales, & parallelas, ac circum terrninatur to't parapelogrammis ,· quot sunt latera plani gen-eratoris. Nam EO est requalis, & paraUela· ad BD

( §.

18 8

· . Pars lll. ,Art. l.

_Fig. ( §. ant. ) : ergo ED erit etiam requalis , & parallela ad CB ( §. 428 ) : .ergo BCED est parallelogrammum ( §. 422 ) ; & idem demonstrabitur de reliquis planis· lateralibus. 5 54 _Coroll. 2. Ergo seB:iones prismatis, faB:re paral?'º 1ele ad basim ADB , sunt requales, & similes inter se, & ad planum generans ( §. 545 ) . . •, 555 Def. 5. Linea RP duB:a perpendiculariter puneto unius basis ad aliam, vocatur altitudo prismatis, & linere DE, BC, AF requales ínter se, & parallelre (§.553) arista? vocatur. 5 5 6 Def. 6. Si planum generans fuerit quadratum 71 BD, & arista BC requalis suo lateri BF, & perpendicularis ad planum BD , prisma voeatur cubus. 557 Coroll. Ergo cubus terminatur per sex quadra• tai requalia in ter s~ ( §. 5 53 ) • 72 5 58 Def. 7. Dum planum generans est ·quodlibet pa-rallelogrammum AB , prisma dicitur parallelepipedum. 559 Def. 8. Dum planum generans est circulus, pris• ?'3 ma nominatur cylindrus , reB:us , aut obliquus juxta po... ?'4 sitionem linere motus ( §. 552 ). · 5 60 Def. 9. Si una reB:a , habens unum ex extremis · fümm ir:i D , ali<? pergit per cunél:a latera perimetri fig. ACB ., qure ei pro basi est, solidum generabit, quod Py... 75 ramidem dicimus, triangulare , quadrangulare &c. prout. figura basis fuerit triangulum , quadrilaterum , penta-gonu¡n &c. . . · \ 561 Coroll. 1~ Ergo Pyramis• erit circumterminata. tot triangulis ASC, CS B , BSA, vertices in punél:o S reunientibus , .. quot fuerint latera basis ABC. · 562 Coroll. 2. Seél:iones faB:re in pyramide pairalle~ le ad suam .basim~, sunt huic símiles(.§. 543 ), & inteli se.

Def.

De Solidis,ac eorum, &c.

563 Def. 10. Punét:um S vocatúr vertex, seu cuspis Fig. Pyramidis : perpend. So, duét:a ecuspide ad basim, prolongatam si opus est, altitudo pyramidis ; & reét:a ducta etiam e vertice S ad centrum basis , axis pyramidis. 564 Def. 11. Quando polygonum basis est regulare, & altitudo coincidit cum axe , pyramis vocatur regu~ laris; reliqure irregulares. 5 65 CorolJ. Ergo bases triangulorum lateralium pyramidis regularis erunt omnes ( §. 435 ) requa~es, & earum extremitatis reque distantes ecuspide S pyramidis, aliter perpendicularis So non coincidet cum axi , ac conse- Ji quenter triangula lateralia pyramidis regularis erunt om~ nia isoscelia ( §. 393 ) , requalia & similia ( §. 417 ) , & tune linea SD duét:a perpendiculariter e cuspide S super unum. laterum AC basis , quod in duas partes requales dividet ( §. 409 ) , vocatur apothema , & erit altitudo omnium triangulorum ( §. 396 ) . 5 66 Definit. 12. Dum basis pyramidis est circulus 'BDLT, quem consideramus tanquam polygonum reg_u- 76 lare infinitorum laterum ( §. 473 ) , pyramis vocatur conus; reaus quidem si altitudo coincidir cum axe; obliquus 77 autem, si altitudo S M format cum axe·SC angulum MSC. 5 67 Coro 11. Ergo conus reét:us est pyramis regularis ( §. 564 ) , in qua reét:re-SB, SD, SL, qure dicuntur latera coni, non differunt ab apothemate ( §. 565 ). ?6 568 Definit. 13. Si figura qurelibet ABD versatur circum lineam AD immobilem , describet solidum , quod communiter vocant solidum revolutionis , & linea AD axis vocatur. · 569 Coroll. Ergo singulum punB:um R perimetri figura! describet circumferentiam circuli , cuj11s radius RP est perpendicularis ad axim AD , ac cujus centrum

Pars 111. Art. 1. Fig. P est in ipso axe ( §. 296 ). Consequenter in solidis 73 revolutionis, seé:fiones faé:be per plana perpendicularia ad suum axim , sunt circuli. 76 _. 570 Definit. r4. Si polygonum generans fuerit rec79 tangulum RCLS , quod vertitur circum axim LS, generabit sua revolutione _cylindrum reé:tum, qualis est defi.. nitus ( §. 5 59 ) ; & si fuerit triangulum SCL, reé:tangµlum in C, qui vertitur circum cathetum CS, generabit conum reé:tum ( §. 566 ) ; si autem foerit dimidium po... lygoni magni numeri laterum , producet sphreroidem. 78 · 57r Definit. r5. Dum polygonum generans est semi~ circulus ABD qui vertitur circum diametrum AD , solidum generatum vocatur Sphcera. Centrurn C circuli vocatur, centrum sphrerre : Diameter AD , diameter , seu axis sphrerre, & duo extrema A, D, poli sphcerte. , 572 Coroll. Ergo omnes reé:tre dué:tre superficie sphrerre :usque ad centrum C sunt requales ( §. 298 U nde oritur quod potest sumi pro axe sphrerre qurehbet reéta per ejus centrum transiens , ac consequenter seétiones faétre in sphrera per qurelibet plana , sunt sem.. •I per circuli: Nam si centro e sphrerre ducitur diame... ter perpendicularis ad planum secans , potest bree día.meter considerari tanquam axis revolutionis, ac verificabitur quod sit semper seétio circulus ( §. 569 ) . 573 · Definit. I 6. Circuli seétionum faétarum per plana qure transeunt per centrum C sphrerre , vocantur cir"' culi rnaximi sphcerce , & omnes sunt requales , cum habeant requales suas diametros ( §. 572 ) ; sed circuli, quorum plana non transeunt per centrum C .spha:rre, vocantu'r minores , quia eorum diametri RH sunt chordre circuli generatoris, diametro minores ( §, 306 ). 574 Defin. 17. Plana secantia sphreram, quin transeant

J/'.

-··

l...

·-·,

i•

De Solidis, ac eorwn, c§c.

eant per centrum , eam dívidunt in duás partes inrequa• Fig. les, quarum una vocatur segmentum -majus , alia segmen- 78 ·tum minus sph::erre, & superficies convexa hujus fragmentum ( vulgo casco) spl:uericum. Superficies convexa BNLMRKHS portionis sphrerre comprehensre ínter duo plana paralfela dicitur Zona. 575 Definit. 17. Si planum generans fuerit seétor circuli RCA, qui -vertitur circum radium CA, g~nerabit -solidum quod vocatur seéfor sphcericus. 576 Definit. 18. Si concipimus quod multa plana uniuntur per suos angulas, ita ut concludant aliquod spatium , generabitur solidum , quod communiter vocatur poliedrum , cujus facies sunt plana efformantia , & , eorum anguli solidi resultant concursu angulorum planorum. , . 577 Definit. 19. Poliedrum terminatum per plana regularía, & requalia ínter se, vocatur corpus regulare , seu platonicum , & speciatim vocatur thetraedron, quod continetur quatuor triangulis requilateris, & requa... libus : oéf aedron , quod oéto : icosaedron quod 20 ; quod sex quadratis requalibus continetur , vocatur hexaedron, seu cubus; & dodecaedr-on, quod continetur- duodecim pentagonis regularibus , & requalibus. 578 Theor. 2. Non ultra quinque corpora regularia possibilia sunt. Cum ad minus nécessarii sunt tres anguli plani ad efformandum unum angulum solidum ( §. 547 ) , patet quod duobus triangulis , aut quíbuslibet aliis figuris non potest constituí angulus solidus ( §. 57q ) : ergo ad efformandum angulum solidum corporis regularis debent concurrere saltim tres anguli trianguli requilateri, quadrati &e ( §. 577 ). n Hoc

Parslll. Art.11. Pig.

· Hoc supposito·: 1 º quóniam quilibet angulus triangu,78 li requilateri val~t 60° ( §. 408 ) , summa trium horum angulorum erit == 180 º , summa quatuor - - 240 º , sum~a quinque = 300°, & summa sex 360° ; sed 360° nog possunt formare angulum solidum ·( §. 551 ) : ergo añgulus solidus corporis regularis termioati per triangula tanturri poterif resultare ex 3., 4 , 5 angulis planis trianguli requilateri , qualia sunt thetraedron in primo casu , oltaedron in secundo , & icosaedron in tertio. · · 2." Angulus quadrati est = 90° ( § ..473 ) ; consequenter summa: trium horum angulorum erit == 280° , & summa quatuor == 360° ; ergo ·angulus solidus corporis regularis terminati per quadrata , tantum resultare poterit cbncursu trium angulorum planorum quadrati _ ( §. 551 ) , quale est exaedron, seu cubus ( §. 557 ). , · 3. º Cum angulus . pentagoñi regulari's ~constet 108 • ( §. 439 ) , summa trium horu~ · angulorum 324 º, & summa quatuor == 43 2 º : ergo angulus solidus corpo, ris regularis terminati per pentagona , tantum continer( poterit tribus aAgulis. pentágoni regularis ( §. 5 51 ) , sic~ .ut dodecaedron. ' '· · 4. º Angulus exagoni ·regularis est 120 º ( §. 439 ), & summa trium. horum angulorum == 360° : ergo non poterit· formati ánguiu·s · ~olidus · cum angulis planis e_xa.. gpni regularis ( §. 5 51 ) , ac proinde .impossibile est <:orp.us'· regulare exagonis terminatum ; ac multo minus per polygonos regulares majoris numeri laterum, eo qúod eorum an·guli eo sunt obtusior~s , quo pluribus Ia:teribus · , · constent ( §; 440 ). ( _ , Ergo qúinque tantum cofpora , regularía supradiél:a possibila suht. ·

AR-

De Solidis, ac eorum., &c.

193 Fig.

· ARTICULUS

II.

De Mensura .superficierum solidorum. · '

Superficies prismatis cujuslibet , ejus 70· basibus non computatis , est t.equalis produc... t9 unius arista? BC per perimetrum unius seétionis abd, faétt.e in prismate per planum. perpendiculare ad illam aristam; hoc est == BC ( bd. + ab +ad). _ Cum prisma terminetur per tot parallelogramma late_ralia , quot &unt Jatera plani generantis ( 5 5 3 ) , patet quod superficies lateralis prismatis erit requalis summa: superfiderum omnium parallelogrammorum, illud terminantium. Hoc supposito , cuin sit , ex hypoth , planum abd perpendiculare ad_aristam BC, erit etiam perpendiculare ád reliquas aristas AF, DE , .parallelas, & requales ad BC. ( 555 ) , ac _consequenter erit superficíes parallelogrammi ( 490 ) 'BDEC·== DE x db ==.BC , x bd : parallelogrami AFCB :-- BC x ab; & parallelogra.. _ mi AFED ==. AFx ad= BC x ad ; ergo summa superfi.. cierum omnium parallelogram0rum , hoc est , superfiBC x bd + BC x ab + BC x ad cies lateralis prisqiatis BC (bd + ab+ad). . 580 Coroll. -1. In prismatibu~ reétis seél:io abd perpendicularis ad aristam BC est parallela ad basim ( §§. 552. 527 ) , ac proinde .perimetrum abd-==.ABD· ( 554 ) , & arista BO=altitudini PR: ergo superficieslateralis prismatis reéti est requalis produél:o perirnetri · sure basis ABD per ar-istam BC, aut per altitudinem RP. 581 Coroll. 2. Ergo superficies convexa cylindri r_ec-· ti est requalis produéto circumferentire circuli sure Uasisl 73 . per ej~s altitudinem LS. · ··• 1 n2 / Co-

579 TIIeor.

1 94

Pars·111. Art. 11.

Fig.

582 Coroll._ 3. Etgo ,superficies convexa cylindri obli74 qui BDEF est 'requalis produéto lateris DE per perimetrum b~df seétionis I?erpendicularis aq illud latus ( 579 . ). 583 Theor. 2. Superficies laterális pyramidis cujus.. 75 libet est cequalis -summ'ce · supér/iciermn·triangulorum Jateralium ., eam terminantium. Nam cum omnis pyramis termiqet~r per tot triangu .. la, lateralia ·, quot basis habet latera ( 56 r ) , patet q_u od ejus superficies lateralis non potest differre summa superficierum illorum triangulorum. 584 Coroll. r • .Cum sit in pyramide regulari apoihe~ ma DS altitudo omnium triangµlorum lateralium ACS, BCS , ABS ( 565 ) , superficies cujuslibet bis erit produB:um apothematis per dimidium sure basis ( 49 3 ) : ergo summ;c;l. superficierurn omnium horum triangulorum, seu quod i~~m est superficies lateralis pyramidis regular is est reqmilis produéto apothematis DM per semiperi~ . . .:) metrurn polygoni s_ure basis. 76 5 85 Coroll. 2 •. Ergo superficies convexa coni reéti est requalis produéto semicircumferentire sure basis per suum apothema BS ( 567 ) . 75 586 'fheor. 3. Superficies lateralis truncí pyramidis · reguldris basium parallelarum,qut? vocatur pyramis trun-._ cata, est ceqttalis producto altitudinis trapezii latera lis AC ca per semisummam perimetrorúm duarum basim acb,ACB, seu producto altitudinis frapezii latera/is per perimetrumseflionis factce ad; distantias ceqi¡ales duarum bqsium. , Polygonum acb est simile ACB ( 562 ) : ergo sunt requalia ínter se, & habent requále apothema triéiligula ~be , S ca , -·S ab , qure terminant pyrarnidem S bca ( §§. 564. 565 ) ; unde evidens redditur quod requalia sunt etiam trapezia BCcb , ACca &c. -( 10 ) , quorum la-

De Mensura superficierum, E.5c.

latera parallela sunt latera basium superioris, & inferiorisPíg. pyramidis truncatreJ, quam lateraliter terminant, & qure h'abent requalem altitudinerh , qure est residuum Dd apothematis totalis SD; sed superficies cujuslibet his trapeziis ACca est requalis produéto semisummre basium parallelarum AC, ac per altitudinem Dd , seu producto unius linere rrn duétre ad re.quales distantias basium:parallelarum per eandem altitudinem Dd ( 494 ) : ergo summa superficierum omnium trapeziorum , seu quod idem est , superficies lateralis pyramidis truncatre est 75 requalis produéto semisumtrne perimetrorum suarum basium parallelarum per altitudinem unius trapeziis lateralibus ; seu produéto &c. 587 Coroll. Ergo superficies lateralis unius coni recti truncati est requalis produét:o lateris Bb per semisum- 76 mc!m circumferentiarum duarum basium parallelarum ( 567 ) , seu 1 produéto lateris Bb per circumferentiam unius seét:ionis monr faét:re ad requales distantias basis su perioris , & inferioris. 588 Theor. 4. Superficies sphceroidis cujuslihet est cequalis produ{Jo efus axis per circurnferentiam circu- 79 ii, cui circumscribitur. Si consideremus semipo1ygonum regulare RAG verti circum axim RG , per ejus centrum transeuntem , observabimus quod singulum latus MR, KG polygoni, cum sit immediatum polis R , & G, describit conum reét:um ( 570 ) ; quod latus AE describit cylindrum ; & denique quod latera AM, EK quodlibet describit conum truncatum : ergo superficies cujuslibet istis solidis erit requalis produéto lateris generatoris, v. g. AM, per circumferentiam circuli descripti punéto D , siti in medietate illius !aterís ( §§. 58 r. 585. 587 ) ; nam in n3 cy-

Pars III. Art. II. Fig. cylindto circumf~rentia circuli unius seélionis ad requales~

q.istantias suis bªsibu~ ,-_proculdubio erit requalis circum-basibus ( 5 54 ) ; in cono ferentire circuli · eujuslibe,t autem cirt:umferentia circuli seélionis faélre ad requales cuspide , & circulo sme basis , profeélo distantias ~rit requaUs dimidio circumferentire circuli basis ; sem-, . .t circ, o-+- circ. bas . circ. basis ( 86 ) ' 79 per ~mm en 5 • Hoc suppo.sito, sit CD radios circuli inscripti in polygono dato; demittendo super axim RG perpendicula-res MS , 1JB , A l ( 342 ) , & duét:a lin. MH parallela: ad ·RG ( 370 ) , resultat quod triangula AMH, DBC habent per const. · perpendicularia 01nnia sua latera ho-mologa, ac consequenter sunt similia ( 415 ) : ergo AM! MH==.. SI:: CD: BD ( 453 ) ; cumque, circumferentire circulorum sjnt · pt@portionales ad ·_radios , E_Iuibus· descri-buntur ( 478 ) , erit etiam AM: SI ::·• circumf. CD: circumf. BD ; ergo AM x circu!llf. BD SI:< circumf. CD (- 206 ) ; sed A ·M x circumf. ' BD est expressio superfi.. ciei coni truncati, descripti per AM ( · 587 ) : ergo il~ ~ la superficies est requalis produé1o partís SI axis RG ·per circumferentiam descriptam radio CJJ circuli inscripti-ih pol ygono dato. . · Idem probabitur de superficiebus reliquorum solido.. rum; ac consequenter superficies toti11s sphreroidis erit (RS +SI-rIP+PQ+ QG) x circurrif. CD==RG x cir.. cumf. CD. 589 Coroll. 1. Cúm sphrera considerari possit tan~ quam sphreroides infinitorum laterum ( §§. 473. 571 ) , · infertur quod superficies ~sphrerre est requaHs · produéto 7 8 ejus diametri AD per .circumfér~ntia_ní ÚFlius. ejus cir;:, 1 culis . maximis. · • · 5 90 Coroll. 2 . Ergo sú perp.c-ies fragmenti: sphrerici > pro-

e a

== ·

2- -

== --

:::= .

De Mensura sitperjicierum, c§C. '19'? ·produéH per revolutionem semisegmerÍti RAP ~st requa~ Fzg. ·lis produB:o altitudinis P A fragmenti per circumferen· circulis maximis sphrerre. tiam· uni-us 59 r Coroll. 3. Ergo superficies unius Zonre sphreri- 78 ere produB:re per' revolutionem semizonre eircularis BRPC est requalis produéto ejus altitudinis CP p~r circumfecirculis maxirnis sphrerre. rentiam unius Cum sit superficies unius circ_uli ma4. Coroll. 592 ximi sphrerre requalis prodüB:o quartre !' pai t'is diametri per ejus circumferentiam ( 496 ) , infertur quod superficies sphrerre est quadruplum superficiei unius é circulis maximis ( 589 ) . · S93 Coroll. 5: Superficies -convexa cylindri RBAP 80 circumscripti ad sphrer_á m ENDM est requalis producto circumferentire circuli , cujus diameter est AB::::: MN per a j im ED sphrerre ( 58 r ) ; sed superficies sphre-rre inscriptre est etiam requalis produB:? ex ED per ci_rcirculis m~ximis, seu cujus día-~umferentiam unius meter _est MN ( 589. ) : ergo superficies sphrerre est ( requalis superficiei ~onvexre cylindri circumscripti ( 9 ) • 594 Coroll. 6. Si superficiei convexre cylindri cire-umsc-ripti additur superficies . suarurri duarum basium, idem erit · ac si addatur superficies duorum circulorum maximorum sphrerre; consequenter resultabit superficies totalis cylindri duplum superfieiei sphrerre :· ergo superficies sphrerre erit ad superficiem totalem cylindri circumscripti :: I: r+,½- :: I: ¼ :: 2 ~ 3 ( §. 53 ). · 59 5 Theor. 5. Superficies corpó_ris regularis ctljus-libet est requalis produB:o superficiei unius e· planis illud · terminantibus per numerum illorum planorum. Cum enim requalia sint omnia plana , quibus omne corpus regulare continetur { 577 ) , inventa· superfi~ie unms

.i ¡

! ; i

Pars 111. Art. 111.

Fig. unius illis planis , erit superficies totalis corporis regularis ::equalis produB:o superficiei inventa! per nume-rum superficierum , seu planorµm terniinantium.

AR TICUL US

III.

De Mensura soliditatis solidorum.

596 DEfü;iit~ Mensura solidorum debet esse solidum, ( 294 ) quod __pluries pro unitate sm_ n ptum exprim.ere valeat rationem quam cum eo habeant qu::elibet alia solida. ' 597 · Schol. Soli~um pro unitate s_umendum ad men~ suranda solida , debet ·esse cubus arbi,t rarius ; curn enitn tres cÚinensiones sint, re,quales ( 5 56 ) , & similiter anguli ( 5 50 ) , facilior redditur expressio ejus ratio nis cum quibuslibet soljdis ; unde cubatura in Geometría ídem- ést ac solidita:s. .,... ' 72 , . 598 The.or._r. $o./i4,ita.s prisp1atis cujuslibet ADBNF est tequalis producto numeri unitatum , quibus basis_ abdn· cubi pro unitate sumpti continetur in basi ADBN prisrnatis, per numerurn unitatum , quibus altitúdo ar cubi cqntinetur .in altitufl,i1ie AR_pr-isrnatis. Super basim AB prism<!tis continebitur cu bus adbnf tot vicibus, quot in ea contineatur basis ab ejusdem; simili"'! rer tot vicibus, guot a¡tit_udo qr unitatis contineatur in altitúdine AR prismatis, tot cominebitur unitas in prismate juxt+->ha~c dimensionem : ergo si consideretur , quod per omnia punét:a divisionum altitudinis AR prismatis trans-eat planum parallelum ad suam basim , tot cuborum fragmenta res~ltabunt , requalia unitati , quot foerint di-visiones altitud¡nis AR , & in singulis fr~gmentis tot ~ubi, ~

De Mensura soliditatis, &c. - 199 bi, seu unitates erunt, quot vicibus continetur basis ab Fig. unitatis in basi AB prismatis : ergo pumerus harum unitatum, seu soliditas prismatis invenietur , comperiendo quot vicibus basis adbn unitatis continetur in basi AB prismatis , nec non & quoties altitudo ar illius continetur in altitudine AR hujus , & multiplicando primum nl!merum per . secundum ; qure quidem veritas communiter exprimitur , licet improprie ( 486 ) , dicendo, quo.d soliditas prismatis est r,equalis produao basis per aititudinem. 599 Coroll. t. Dum prisma est reétum, habet pro altitudine ( §§. 5 5 2. 5 24 ) ejus aristam : ergo soliditas prismatis reéti cujuslibet est requalis produéto sure ha- . . per unam . e' anst1s. . . s1s 600 Coroll. 2. Ergo soliditates cuborum, parallefe.. pipedorum, & cylindrorum sunt requales produéto ha~ sium per altitudines. 60 I · Coroll. 3. Ergo sunt requalia ínter se omnia prismata habentia requales bases , & altitudines ; ac consequenter ea qure cum habeant requales bases , sunt .inter eadem plana parallela • . .602 Theor. 2. Si dur,e pyramides SABCDE, OGHK 81 habent altitudines SF , OD r,equales , soliditates sunt in... ter sé sicut bases ABCDE, GHK. · Secando duas pyramides plano parallelo ad planum suarum basium, seétiones abcde , ghk erunt duo polygona requaliter distantia cuspidibus S, O ( §. 10 ) , & habebimus ( 544 ) ABCDE : abcde :: ,sF 2 : S/ 2 & GHK : ghk :: OD Od sed S'F S/ OD Od"' ( §. 211 ) , cum sit ex hypoth. SF=:.OD, &ex supposit. .$f==.Od: ergo ABCDE: GHK :: abcde: ghk: itaut consideratis his seétionibus tanquam altitudinis infi-

;

n1~

200

.· . Pars III. Art.Ilf. .

Fig. nite parvre , erít summa omnium seé:tionum , seu elemen~ torum abcde, seu soliditas pyramidis S ABCDE, ad sum... ma m elementorum ghk, seu ad soliditatem pyi:amidis OGHK, sicut basis. ABCDE illius ad basim GHK hujus. 603 _Coroll. ·Ergo si dure qurelibet p.yramides mqualis altit-udinis , seu ínter eadem plana parallela , habeant etiam requales bases , illre pyramides erunt in soliditate requales. _ · 8~ 604 Theor. 3! Prisma triangulare , dividi potest in

tres pyramides cequales. In prismate triangulari ABCDEF ducantur ~ angulo E in parallelogrammis lateralibus BCDE, BAFE, dia" gonales EC , EA._ Si consideretur .plaJJ.um transire pet illas diagonales , prisma manebit divisum in duas pyramides EABC, EFDCA , quarum -prima est triangularis ( §. 560 ) , ejusque basis ABC eadem ac prismatis, & altitudo, cum habeat verticem E in basi superiori prisma.;.. tis , non differt ab hujus altitudine ( §. 5 24 ) . Si consideretur transire aliud planum per puna-a E, F, C secundre pyramidis EFDCA quadrangufaris , resultabunt . alire dure pyramides triangulares EFAC, EDFC, , I.:; quarum bases FCA, FCD erunt requales ( §. 429 ) , cum:que hre $Ínt in eodem plano , & earum vertices in eodem punB:o E, eandem habebunt altitudinem ( §. 524 ) : ergo erunt ·requales ( §. 603 ). Comparata nunc pyramide EDFC cum pyramide . EABC , inveniemus quod basis EFD uniu·s est requalis basi ABC alterius ; suntque inter eadetri plana parallela ( §. 553 ) : ergo dl!lre hre py82 ramides ~mnt requales inter se ( §. 603 ) ; ac consequen.. ter tres pyramides EABC, EFAC, EDFC sunt omnes requalis soliditatis ( §. 9 ) : ergo prisma triangula.re &c. - 605 . Coroll. 1. Ergo pyramis triangular-is est tertia pars

De Mensura· soliditatis, &c.

201

pars prismatis ejusdem basis , & altitudinis; hoc est , so- Fig. liditas est requalis tertire parti produéti basis per altitu.. dinem ( §. 598 ). · 606 Coroll. 2. Cum dividi possit basis cujuslibet pris.. rnatis multangularis in tot triangula, duobus minus , quot _ ~atera habeat , medijs diagonalibus duétis angulo quolibet , si per harum singulas, ac ei correspondentes in basi opposita planum transire consideretur; patet quod pris~ ma multangulare manebit divisum in tot prismata trian.. gula ria , quot fuerint, duo bus minus , latera basis multangularis. Considerando postmodum, quod per singulam diagona1em · basis ~pyramidis multangularis , ac -per ejus cuspidem transit planum, pyramis multangularis mane.:. bit divisa in tot pyramides triangulares, quot fuerint Ja... tera basis , duobus minus , multangularis ; unde resultat quod cum qurelibet pyramis triangularis sit tertia pars prismatis ejusdem basis , & altitudinis ( §. 605 ) , pyra..!. mis multangularis erit semper requalis tertire partí pris- ~ matis ejusdem cum ea basis, & altitudinis: ergo solidi... tas pyramidis cujuslibet est requalis tertire partí produc~ ti ejus basis per altitudinem ( §. 598 ). · 607 Coroll. 3. Ergo soliditas coni cujuslibet est ,equalis tertire partí cylindri ejusdem basis, & altitudinis, seu tertire parti produéti basis per altitudinem ( §. 566 ). · 608 Probl. 1. Invenire soJiditatem unius pyramidis 8 I t runcatre GHK khg data ejus altitudine Dd. :. - Solut. 1. Qureratur altitudo Od pyramidis · deficientis, faciendo ( §. 543 ) GH: gh:: Od + Dd: Od; erit Od ~

gh X dD . f H-ghº

Qureratur soliditas pyramidis totalis O.G H K ( §. 606 ) , & etiam pyramidis deficientis Ogbk. Sub2 ·.

Pars III. Art. III.

202

Fig.

3.0 Subtrahatur soliditas hujus e 'soliditate illius; quod superest erit solidi~as pyramidis truncatre, cum sit OGHK == Oghk + GHK khg , ac consequenter ( §. 10 ) OGHK- Oghk == GHKkhg. 609 'Probl. 2. Invenire soliditatem coni truncati 76 TBDL ldb, data ejus altitudine Ce, & diametris BL, bl basium. Solut. 1. Qureratur altitudo Se coni Sbdl deficientis, facien<lo ( §. 543 ) BL : bl:: Ce + Se : Se; unde re<'

sultat uc

Ce x = BL _ '

bl bl•

Qureratur soliditas coni totalis SBDL, & etiam coni deficientis S bdl ( 607 ) . 3.º Subtrahatur soliditas hujus e soliditate illius; re.. siduum erit soliditas coni truncati propositi. 610 Theor. 4. Sphcera est cequalis pyramidi habenti pro base superficiem, ae pro altitudine radium sphcerce. 78 Concipiatur superficies sphrerre resoluta in quadrata infinite parva , qure proinde pro planis accipi possint. Si concipiamus quod e centro sphrerre ducantur reébe ad omnes angulos illorum quadratorum, patet quod sphrera constabit innumeris pyramidibus quadrangularibus , quarum vertices in centro reuniantur , & altitudines radiis differant quantitat.e indesignabili , seu nulla ; sed summa omnium basium adrequat superficiem sphrerre : ergo tota sphrera erit reipsa , seu reputari poterit pro py.. ramide , cujus basis est superficies , & cujus altitudo est· radius sphrerre. , 611 Coroll. 1. Ergo soliditas sphrera? est requalis produéto ejus superficiei per tertiam partem radii (§.606). 612 Coroll. z. Si vocetur S superficies unius e cir80 culis ma-ximis sphrerre , & e ejus radius , erit superficies sphre~ 2º

De Mensura solíditatis, &c.

203

sphrerre 4s ( §. 592 ) , ac consequenter ejus solidi- Fig. · 4 tas== ; ' ( §. 6 1 r ) ; sed superficies cylindri circumscripti sphrerre erit 2sc ( §. 600 · ) : ergo soliditas sphrerre est ad eam cylindri circumscripti : : ~ : 2.sc:: 2 : 3 • 1 613 Coroll. 3. Seétor sphrericus RAHC constat ex 78 infinitis pyramidibus , vertic.es in centro C reunentibus, quarumque bases -adrequant superficiem sphrericam ( §§. ciro. ·575 ) : ergo soliditas seétoris sphrerici est :equalis produéto super.ficiei fragmenti sphrerici ARKHS ( f 590 ) per tertiam partem radii sphrerre ( §. 611 ). 614 Coroll. 4. Si soliditate seB:oris sphrerici RAHC ( §. 613) subtrahimus soliditatem coni CRKHS · descripti per triangulum CPR ( §. 607 ) , residuum erit solidiras segmenti sphrerici ARKHS. 615 Theor. 5. Soliditas corporis regularis cujusli-

' ! ¡

bet est tequalis produét_o soliditatis pyramidis, habentis pro base faciem rriñam polyedri , ac pro altit1,1dine radium spbterte, cui possit circumscribi, per _numerum fac_ierum corporis, cujus soliditas quteritur. Si co_n cipimus corpus quodlibet regulare s-phrerre cir-~umscriptum , & hujus _centro duci reB:'as ad angulos omnium facierum corporis cir~umscripti , profeB:o resultabunt tot pyramides , quot sunt illre facies , omnesque pro altitudine habituras radium sphrerre inscriptre ( §§. 563. 572 ) ; sed omnes facies corporis regularis sunt requales ( §. 577 ) : ergo omnes pyramides in quas resol vi potest corpus regul a re , sunt requales · inter se ( §. 6oi ) , ac consequenter inventa soliditate unius pyramidibus ( §. 606 ) _, si bree multiplicetur per numerum facierum corporis ( 577 ) , habebitur tota sua soliditas : ergo &c. ·

AR-

Pars III. Art. IV.

20_4

Fi_g.

IV. De Similitudine solidorum.

AR TI CU L U S

?8 · 6 r6

DEf.

Vocantur corpora similia , qure terminan.. tur per requalem numerum planorum similium , & similiter sitorum. 61 ?' Coroll. 1 • . Cum in planis si mili bus requales sint a_nguli homologi ( §. 472 ) , cumque in corporibus similibus resulte~t anguli solidi homologi ex variorum plano.. rum concurrentia ( §. 547 ) , similium , requalium , & eodem medio sitoru~ ( §. 616 ) , dubium non est quin anguli sbli~i hof!1ologi ~int requales ~n corporibus simili--

bm, · ( §. 55c; ). .

618 Coro 11. 2. Cum sint proportionalia latera .h omologa in planis similibus ( §. 472), patet quod ·in corporibus similibus erunf etiam proportionales linere qurelibet homologre. 619 Corol1. 3• .Corpora regularia terminantur per plana regularia , & eadem numero in singulis ordinibus ( §. 577 ) ; ac proinde similia ( 473 ) : ergo etiam erunt similia omnia corpora regula~ia ejusdem ordinis ( §.616 ). 620 Coroll. 4. Consideratur tota sphrera ut terminata per infinita quadra_ta infinite parva ; sed hrec sunt similia ( §§. 473. 435.423.): ergosunt símiles ínter seomnes sph~-: rre ( 616 ) AR TICUL US V.

De Ratione. superficierum solidorum inter

se.·

THeor. Superficies duorum quorumlibet solidqrum sunt ínter- se in .ratione composita duarum · dimensionum generan[iu m. Cum 621

•

De Ratíone superjicierum, &c.

205 Cum generatim omnis superficies sit ·produB:um dua- Fig. rum dimensionum linearium ·(p. 3. art.2.), si S, s reprresentent duas quaslibet superficies, A , B, faB:ores primre, & a, b, faB:ores secundre, erit semper S == AB, & s _:_ ab : ergo S : s : : AB : ab; hoc est superficies duorum quorumlibet corporum sunt in ratione composita dimensionum producentium. 622 Coroll. 1. Si 4 erit S: s:: B: b; hoc est superficies in quibus sit requalis una ex dimensionibus producentibus , erunt ínter se in eadem ratione , ac alire dure dimensiones superstites. Sic superficies laterales duorum quórumlibet prismatum ejusdem v.g. altitudinis , erunt ínter se ut perimetra sectionum faB:árum perpendiculariter super unam e aristis ( §. 579 ) &c. .62 3 Coroll. 2. Si A : a : : b : B , erit AB ab , .ac consequenter S == s ; hoc est , quod si dimensiones producentes superficies duorum corporum fuerint reciproce proportionales, illre superficies erunt requales,& vice versa" 624 Coroll. 3. Si A: a:: B : b, erit S : s .:: A a: : : B 2 : b2 ; sed in solidis similibus est A : a : : B : b ( §. 618 ) ; ergo superficies quorumlibet corporum similium sunt inter se ut quadrata dimensionum homologarum quarumlibet; sic superficies duarum sphrerarum sunt ínter se ut quadrata diametrorum &c. ·

=a,

ARTICULUS

VI.

De Rationibus solidorum. 1

, 1 1

l ,

625 THeor. Duo qucelibet solida sunt in ratione composita trium dimensionurn, quibus producuntur. .• . -Vi-

Pars 111. Art. VI. Fig.

Vidimus (p.3.art.3.) quod soliditas est produB:um unius superficiei per unam lineam; sed cum superficies sit productum duarum dimensionum linearium, resultat quod soli• ditas est produétum trium dimensionum linearium : ergo si S, s reprresentent duo qmelibet solida: A, B, C, fac .. tares primi ; & a , b , e faétores secundi , erit universaliter S == ABC, & s == abe : ergo S : s : : · ABC: abe, hoc est quod duo qurelibet solida sunt in ratione composita trium dimensionum illa producentium. 626 Corol1. 1. Si A== a, erit S: s:: BC: be; hoc est , quod solida , quibus una ex dimensionibus requalis sit , erunt in ratione composita duarum aliarum dimensionum qure supersunt. 627 Coroll. 2. Si A -: a:: be: BC, erit ABC abe, & S s , hoc est , quod solida in quibus una ex dimensionibus est reciproce proportionalis producto atiarum duarum , erunt tequalia inter se. 628 Coroll. 3. Si A: a::B:b:: C:c,eritS:s:: 3 A3 : a 3 : : B 3 : b3 : : C 3 : e ; sed in solidis similibus est A: a:: B: b:: C: e' (§. 618): ergo solida similia · sunt inter se ut éubi suarum dimensionum homologarum. Sic soliditates duarum sphrerarum v. g. sunt inter se ut cubi radiorum, diametrorum , vel quarumlibet aliarum dimensionum homologarum.

PARS

Fig.

PARS Q_UARTA.

De Algebrte ad Geom-etriam applicatione. ARTICULUS PRIMUS. De Construétione Geometrica cequationum determinatarum primi , & secundi gradus.

DEf.

construere geometrice requationern , est lineis rnediis invenire valorem incognitre. · 630 Probl. 1. Construere cequationem Jinearem, seu primi gradus. Sol. Curn in bis requationibus inveniatur valor ana... lyticus incognitre , media additione , subtraétione , multi, plicatione , aut di visione ( 15 6 ... 15 9 ) ; similiter ejus valor geometricus habebitur , media additione, aut subtr'aétione variarum linearum reétarum ; vel ad summurn, qurerendo tertias , aut quartas lineas proportionales 629

( 464. 463 ). 631 Unde 1. Si x a - b +e, linere a & e in unica reéta uniuntur , & ex earum summa subtrahendo lineam b, ,re.siduum erit valor incognitre x.

2. c1

s·1 x = •7

• • etiam , ent

(

6 o ) ex

= a _;

b ac prom·

~e ( 207 ) e : a : : b : x; ergo x est quarta proportiona.. lis ad lineas e, a, b cognitas, qua quresita ( 463 }',ha.. bebitur valor ipsius x. • abe • •" ~ • d o JUxta • 3.o S1• x df , ent x • e ; ac 1ac1en

= :b =

modo diéla via habebitur.

m , habebimus x

=7 7 , cujus valor eadem ·O

Par s 1v·. Art. unzc. Fig;;.

X:::::;; ..'e..r1t_l,:c == a

4.º Si

(

o'') ~ac consequenter

207 ) . ~: a : : a : x ;

ergo x est tertia proportiona li§_ad lineá·s--a,, & b coghifas, qua qu~sita ( 464 ) , habebitur valor ipsius x. · O • .· 1 .. d'l ~ • ,, • l a't r; ! ~ t' 5. S1 x bc , ent x --¡; ~ 7 -, ac JUx a casum quar~pm ~aciendo_ a~~ m , e~it, x __ •. ~ª, quce . C<?~struétio ··per::--.. tinet ad casum s~cundum. 0 6. Si x =: ab ~ :! erit x (ª=:=e )b, cumauea -t- e rem-.r-n m n . ~rresentet lfneam requal~m suinmre fi_nearum·a &e, & similiter (

tzJ -1- n, si prima appelletur d , secunda e• , · ·erit x :::;:: -db ,, qure r t ,. •••

•

(

•

construél:io pertinet ad casum secundum. .. 7. º Sit x ~~; Ofl?,• is o'iffieult'as , :_srcut prrece-:dentibus constat , consistit in fraétio'ríe ad·· tales · terminos· reducénda· , quod ejus numerator sit p~oduétum duorum faB:orum linearium , a.e denominato r quantitas Iinearis; quo circa frequenter ad subst'itutiorrem r~curritur. Sie in ádhibitó, s'i lo co cd substituatur aiius terminus' reqtfalis, & a_liqup ex faétoribus _alterius termjni _constans , v. · g. a , hicl· casus ·aa- 6.m réducetür: Ad quod facier~ms ( 463) e::, dad quartam próportiona lem, quc1:m m appelfabim~s , erit ( 2 o 6 ) ma cd ; ac cons~qu~~ter·_x _: 11 • ; · qui v'alo ex e asu 6. o in venietllr. , ~' 8. º· Si x ==::: fiet methodo . casus pfrecedends · arn , k v1 ' -;¡;; abe , ---1 e1';,/:' ~ ar· , g l~ ::::::· an· ; h a beb•1m_us X -: -+-amd ar ~

== ª! :_

ex.

a:·

=(be-:_'?

J:~:d;

ª:-:;;

~:-+- ~¡,

& faciendo eade~ methodo drn . bs ·' erit X té~ bs ~ (e-::.:) b ; qure' quidem· co~~truél:io P . erÚnef a:d , can -t- r . n r .s'uni ·sextum. · • •· . · · - · ·: · · l ·• os• -1-b• • r · ... 9. 1 x faciemus methodo casbs '- séptírni

=-~ , a2

a•

De Construf1ione Geometr:íca, &c. ~r ~ ~

z.._

= ~= 'bn+·/

. _'

.== un , ent ~

sus sexti.

' (11:.....b)b

. , .. -- : ',

:209 ,n• '

q4_re est construu10 ca:-

Ftg.

. ,. - ! , s , . · · . · · bn -b• : 7 o. 0 S1 x fac1endo a'l bn , erit x .=:: - -e =.:. e . (n-;) b , & consequent_er e: n b : : b.: ·x ·; Út · 1n cásu sexto': e ,

==" ·

..,

•

·. : 032 - Probl. - 2·: Construere· geometrzce . tequationem quadraia-m-; seu s_ecundi gradus. .· , · -. - '

Hujus problematis_; solutio optime explicabitur con~ . . .. . struétione ~asuum. seguentium. .:. . . · 1.º Sitx==fab,seux•=aó_,erit(207)a: x ::x:bj érgo !I! , seu ~ áb esrinedia proportionalis inter li'rieas a , ·& b cognüas : qua inventa ( 465 ) habebitur valor: x. . 6 2 º Si x b ducetur liq. B"M a , & ejus 4 extremitate M .erigetur ( 343 ). perpendicµlaris .M.A b; 9ucendo reéi;am AB,cum angulus AMJ3 sit reélus (332 .), habebimus ·( 4 5 8 ) ARB M -+- A M . - a' -+- b'.

== Va~+

......

•

ergo

•· .-3'

!;J

=~Va + b == Va + b 2

•

==·x hoc est

X==

AB.

ducetur reéta AB ==a, super quam tanguam diamet·rum sumptam, describetur semicir.. enlus AMB; punéto B ducetur chorda BM & punétis M ,:;A, per reétam .MA unitis, cum angulus in.,M

S.i

2 ,

== b;

~it reétu~ •

(3·8_1) habebimus ( 4~8) AB~ =:=BM

- '- 2

== ,

·-i:t

+AM =_\ 2

--z

yelAM 4B ~BM -:-a -b:..; .ergo YAM a~ -:- b2 :::::; :e,; _h oc ·est _; x::;: AM:.

~· :?,

4: Si X ~Vr ; cd; facíemus -;~ ' . M!_.( _464 ).) e,rit x == Vam + cd.; & qµrerendo _(. 4-.6 5 y duas media~ 0

•

..:

!"'

•

J?~qp.ortional.e s~, urrnm in~~u a .& m ,. quam n -appellabi'"-'. mus, alte ram inter e & d, :flµam y~~_bimus ~ , ,erit x =::::,

Pars IV. Art. unic.

210

Fig.

qure construétio pertinet ad casum secundmn. ab -+- cd~ ) f; • d ( ab s. Slt X == Y ( -¡;...¡--eac1en o 4 6 3 ) b-+e= m, & ¡,:.:_e== n, erit x == bm + dn; quiquidem valor habebitur per casum anterioretn. · 1

;

1 6.º Si x == + b• - c -d'; faciemus (5 1 7) ' b : i :i :i. d:i _ • a -1m,e + _ n'l , er1t x == m - n , qure construétio pertinet ad casum tertium.

== Va V

v2.

7 .º Sit,x + b4 + c4; faciemus ( 4 6 4 ) b: ==e~ ' erit + c4 == d1 + c4 e d 2 ,+ -~ 1. ( J 3 I ) , & faciendo etiam juxt. cas. 2. d2 + == m 4 h c!,be8imus cVd· + c =c-m;ergox=V(a +V(b +c4 ))= c + cm ; qui valor , qurerendo ( 4 6 s ) mediam proportionalei:n inter lineas e & m invenietur per casum secundum. 1

vb4 v•c. 2

c2.

AR TI C U L U S

I I.

De ResQ/utione a!iquorum prob!ematum geometricorum primi , & secundi gradus. 633 pRobl. 1. Data reCta AB quocunque modo divisa in C , eam usque ad E prolongare , taliter ut reC!angulum AE per EB sit tequa!e quadrato CE. 83 ' Solut. Sit AB-:--a, CB==b, & BE== x eo quod hrec sit incognita , in cujus· determinatione solutio pro~ blematis fundatur. Jmxta propositam conditionem,. esse

debet AE x EB _==CE ergo a+x. x == b+x- hoc est áx +x" ::=b" + 2bx + x seu ay¡--- 2bx == b unde X a b• 2b l ergo a 2 b: b :: b : X ; quod indicat incog• i• tam BE x esse tertiam proportionalem ad a - 2b, & b ; unde deducitur sequens 2

;

CoA-

De Resolutione aliquorum, &c.

21 t

Construétio: sumatur CD==b, ut sit AD==a--2b:Fig. C , B erigantur dure parallelre CL , BH ; fiat CL == AD , BH CB , & uniantur punéta L , B cum reéta LB, parallele ad hanc ducatur lin. HE, qure lin. AB seccabit in E , ac determinabit lin. HE quresitarn. N am ratione similitudinis ( 414 ) triangulorum LCB, 83 HBE, erit ( 453 ) CL: CB :: BH: BE; hoc est,

e punétis

T, 2

a-2b: b :: b: BE== ;=ii;•

<; ,

634 Schol. Si b punélum D cadet semper in ter , & C , & habebit locum prc:ecedens construélio. Sed si

== : ,

b punél:um D cadet in .A , & erit AD== o ; ergo etiam CL ==o; quapropter punétum L cadet in C, & LB super CB; consequenter lin. HE parallela ad L_B non concurret cum lin. AB. Denique si b > : , punétum D cadet ultra punétum A , unde resultabit lin. AD negativa , & oh hanc rationem ducenda erit lin. CL ad latus reétre AB , primo oppositum ; ac proinde etiam lin. HE parallela ad LB secabit lin. AB in latere opposito primo (1). 6 35 Proi,l. 2. In triangulo dato ABC inscribere qua-

dratum tale, quod unum ejus lateribus cadat supra ba.. sim BC irianguli. Sit quadratum inscriptum EDFG ; super basim BC o3 de( 1) Si super reébm AO sumitur punélum quodlibet. L tanquam origo linearum LM, LN &c. , LK, LI &e , patet quod illée lin. in punél:o L erunt =o; ac proinde considerando quod reél:a LO , cum sit positiva , minuitur usquedum punél:um O cadat super L , erit tune LO=o; sed si adhuc imminutio prosequatur , lin. LO convertetur in quantitatcm < o , ac consequenter negativam. Sic si punetum O retrocedit usque ad punél:um K, erit LK quantitas negativa. Ergo linere negativre procedunt semper in sensum contrarium , ac positivre.

Pars JlT. Art,. Ji[.,; Fig. demittatur perpendlcularis AH, qure quidem erit quan... titas cognita , ex eo quod cognitum supponatur triangulum; sit BC==a, AH:=.b, HL==.fG==.x. Ob similitudinem triangulorilm ABH, AFL ,,erit AH: AL :: AB : AF. Etiam vi similitudinis triangulorum ABC, AFG erit AB: AF :: BC: FG; ergo. AH: AL :: BC: FG; hoc est, b: b-x :: a: x; seu alternando, b: a:: b-x: x ; & componenda, b + a : a :: b : x : ergo x est qua:rta -proportionalis ad reé"tas cognitas b +a, a, [?. Construétio. Indeffoite prolongata lin. BC, fiat HM ==:BC, & ll!JN=:AH, ut sit HN=: a+b; uniantur 8 4 punéta A , N cum reéta AN, & parallele ad hanc punéto M ducatur reéta ML, qure secabit lin. AH in · punélo L , per quod duci debet reéta FLG parallela ad basim BC, ac demissis postmodum perpendicularibus FD, GE, resultabit quadratum EDFG. Nam ratione harum parallelarum AN, LM, erit ( 452) MN==.AH: AL:: HM == BC : HL. Etiam ob similitud.inem triangulorum ,ABC, AFG ( 4"I6 ) erit ( .453 ) :.AH: AL:: BC: FG; ergo BC: HL :: BC: FG , ac consequenter HL == FG; ergo in quadrilatero EDFG repe.riuntur omnes quadrati proprietates ( 423 ) • - · 6 36 Schol. Si angulus ACB fuerit acutus , 1 e.xaB:a resultabit prrecedens construélio : Si fuerit- reélus , patet quod latus GE quadrati coincidet cum CG; si autem .fuerit _obtusus , pars quadrati EDFG erit extra trian1gulum ABC, in quo I?'roinde non inscribetur.· Idem de angulo B diétum µabeatur. · _ · ·. · 637 . Probl. 3. Invenire 4uas re~as reciproce pr,opor85 tionales ad duas alias datas AC , CB , & quarum dif_ferentia sit tequalis alite recta? data? CS. . Sit AC _:a~ CB := b , CS = ··e , & reciproc."' minor ==:x,

De Resolutione aliquorum, c§c.

=!/:, major erit =c+x: ergo x: a:: b: c+x; conse-Ftg. quenter ab=c:¡¡+xs, ac complendo quadratum :;;2. + ,x+ ~4 e,,,==~4 e,,,-+ ab: ergo c +ab-iZ e• 4 ConstruB:io. Qureratur media proportionalis CD in.. ter Ae == a , CB b ; faciendo CE==½ e , erit DE== c + ab, ex quo subtrahendo EF==. ½e, remanebit

.x==V!_

V-¼

V¼

es + ab - ½e= x. 638 Probl. 4. Dividere rectam datam AB in F media, & extrema ratione, ita ut sit AB : FB :: FB: AF. Sit AB =a, BF==:;;, erit AF== a-x; ergo jux-

' DF==

ta conditioqem problematis a : x :: x : a - x , seu a 5 I . =x2. +ax; complendo, & extrahendo radicem quadra.. tam, erit x-:-V-¼a 2 +as - ½ a. . ConstruB:io : formetur ex AB ==a, & AC= ½a an-gulus reB:us , · & uniendo punB:a C , B , erit CB V-¼as +a 2 ; fiat CL==½ a, & BF==BL, erit BF= a 2 +as - ½a== x ; quod quidem cum demonstratis in geometria congruit. 639 Probl. 5. Triangulum facere tequalem alteri da- 86 to HLI, simulque simile alteri dato NOP. Sit HI=a, LM=b, NP=c, QO=d, basis trianguli quresiti = x , & ejus altitudo = z ; erit juxta primam conditionem xz ab , & consequenter a : x :: z : b ; juxta secundam erit d : e :: z : x , & faciendo d : e :: b : m, erit z : x :: b : m , vel ~lternando z : b :: x : m ; ergo hasis x trianguli quresiti est media proportionalis inter a, & m ; unde hac inventa , & formando in ejus extremi .. tatibus angulos N, P , triangulum resultans erit siinile triang. NO P ( 412 ) • Ulterius juxta diB:a , cu m sit m b:t: á - ~ , , ent x - v am - y abe , & z -- -;¡ - -; v/Obt: 7 --

V-¼

•

4 /

·,

Pars V. Art. l.

214

Fig.

Vª!d:

ergo xz==

v<f:C • va:d==ab"; ac

proinde triangulum

erit requale proposito HLI.

P A R S · Q__U I N T A.

De Elementis Trigonometrir.e planee. AR TICUL US

PRIMUS.

640 DEfin. 1. Trigonometria _p lana est scientia, qua datis tribus partibus trianguli reétilinei (ex, 7 bis quinque duobus angulis, & tribus lateribus), reliqute it'Jvenfuntur. 641 Definit. 2. Perpendicularis DG duéta exttemi_tate D arcus s,uper radium HL, qui traqsit per aliam éjusdem extremitatem L vocatur sinus , seu sinus r_~étus arcus DL, aut _anguli DHL , quem metitur. :.P ars GL radii comprehensa ínter sinum, & extremitatem arcus, dicitur sinus versus ejusdem. Radius EH vocatur sinus totalis , aut sinus quadrantis BDL. 642 Deiin. 3. Pars reétre LC tangéns circuli in puneto L , ac comprehensa inter radium HL duétum ad pune.. tum contaétus , & reétam HC duéta centro H per aliam extremitatem arcus LD , dicitur tangens illius arcus : & reéta HC, vel quod ideµ-i .est , radius ·HD produétus , us-, que dum concurrat in C cum tangente, secans arcus DL. 643 Coroll. 1. Gum arcus BD sit complementtim arcus DL erunt DE, BE, ET, HT sinus, sinus versus, tan.. gens, & secans complementi prrefati arcus DL, qme linere, brevitatis ergo, vocantur cosinus, cosinus versus, cotan-: gens, & cosecans arcus.,D L, vel ang. DHL quem metitur. 644 ·coroll. z. Ergo omnes sinus super eundem radium

De Elementis Trigonometrice planee.

dium insistentes , sunt ínter se paralleli ( 372 ) ; ac Fig. consequenter ED ==. HG , & DG ==. EH ( 430 ) ; hoc 87 est, cos. ED arcus cujuslibet DL est semper requalis parti HG radii HL , inter sin. DG , & centrum H circuli comprehensre. 645 Coroll. 3. Ergo sinus arcus cujuslibet est dimidium chordre arcus dupli. Nam si producatur sin. DG usque ad R , patet quod cum HG sit perpendic. ad DR, érit ( 346 ) DG = dimidio ipsius DR, chordre nempe arcus DLR = 2DL. U nde infertur , quod cum radius sit requalis éhordre 60 º ( 447 ) , sin. 30 º est requalis dimidio radii. 646 Coroll. 4. Si süpponimus DL = BD = 45 º , curn ang. CLH sit reétus , erit ang. HCL ==. 180° - 90° 45°==.45°==.DHL ( 401 ) : ergo CL--.:..HL ( 404 , ); hoc ·est ,' t-angens· 45° e-st requalis radio ; & ídem de cotang. , 1qure similiter est tangens 45°.

ARTICULUS

II.

De Applicatione A!gebrte ad lineas Trigonometricas.

647

;

JNtangposterum utemur litteris initialibus sin. , cos. , cot. , sec., cosec , sin. v , cos. v , ad .ex....

primendum sinum , cosinum , tangentem , cotangentem,, secantem , cosecantem , sinum versum, cosinum versum. Sic vocando z angulum , seu arcum quemlibet , erit sin. z , cos. z , &c. idem ac sinus, cosinus, anguli, vel arcus z, &c. Sinus totalis , seu radius expriinetur litterai- r::·, & 'se_~_ miperipheria circuli littera p. _ • t ~- • 648 Schol. Si attente consideremus naturam ,lineé_!rum trigonometricarum , observabimus quod quando sin.

·Pars V. Art. 11.. ,

Ftg. sin. :DG= d, erit cos. GH=r, ·sec. HC itidem=:r,i ~ tang.- LC == o , sed cose c. HT, & cot. BT infinitre reddentur. Si ex adverso supponimus quod cos. GH decrescit usque dum fiat ~ o ., tune sin. DG, & sec. HC :fient =r, cot. BT == o , tang. & sec. in hoc casu fient infinitre., · · ·649 Coroll. 1. Ergo· 1° supponeñdo arcum LD==.o, habemus sin. DG==.o; & cos. GH==.r. Considerando eundem . arcum positive sumptum >o, & <½P, erunt positivi sin. DG , & cos. GH. Si arcas deveniat =LB == ½p , erit sin.= r , cos. o. Si adhuc crescat usque-dum fiat =LBM, ~rit .sin. MI pos~tivus, & cos: HI ne-gativus. Si fuerit = LBN= p , erit sin.= o ., & cos. == -r. Auét:o arcu usquedum sit > p , sed < ½p sicut 78 LBNS, -tune tam sin. SF quam <¿os. FH sbnt ne.gativ~. Verum si fuerit ½p LBNA -,. sin. ñet-:-& COf• == o. Crescente adhac arcu usquedurp. sit > { .p , ·sed<! 2 p usque dum sit v. g. = LBNAK, sin. KP subsistet negativus , sed cos. P H :fiet positivus. Si arcus fuerit = 2 p sin. rursus erit o , & e.os. r. Denique si consi-

= = =

':l

--·r,

deremus , quod arcus adhuc augetur , usquedum sit 2p denotando z arcum quemlibet , sin. & cos. iidem forent , qui simplici arcui z corresponde·rent. 2°. Si arcus negative sumptus , fuerit < ½p , sicut arcus LK v.g., sin. KP correspondens erit negativos, &. cos. ,P H positivos : ergo sin. 'negativ.us c.um cos. po-

+z ,

sitivo pertinent ad duos arcus di ver sos , quorum unus negativus < ½p , alter positivus > ½p , sed < 2p 3°. Si arcus . negativus fuerit > ½p , & <P, sicut LAS, erunt negativi t1,1m sin. SF, tum cos. FH: ergo sin. & cos. negativi respondent arcui positivo > p, sed ~ ¾p , & atii negativo > ½p , sed <P· 4°. Si -arcus negativus fuerit > p , & ~ ¾p , sicut LANM

De Elemetitis Trigonometrice planee. '. 2 t7 LANM, erít sin. Mipositivus, & cos. lH negativus : · er-·. Fig. go sin. positivus cum cos. negativo respondent arcui posi·tivo >½ p, & <P, & alii negativo> p, & < ½p. 5°. Si arcus negativus sit > ·4 p , & < 2p , -sicút LANBD, erunt pos'i tivi tum sin. DG , tum cos.GH: er- 8? :go sin. & cos. positivi pertinent ad arcum positivum >o, .sed < ½p , & ad alium negativum > ¾p , sed < 2p. :. · 650 CGroH.' 2. Ergo qu::elibet combinatio sin.- & cos. respondét .duobus arcub.us, ·positivo, & negátivo _; á-c proinde si s€mper ac rsin. 'e st positivl!ls suminius arcúm positivum, & negativum, semper ac est negativus ·~ quicumque sit cos., patet quod. ille aréus erit necessario

< 1.80<:i , , ae

adaptabilis angulis erit caleulus -sinuu,J!l. . • · 65 1 · .C oroll. 3.! Si 'atcus LD· positive+ s'umpms fuerit ,, ½·p , ejus tang. LC,. & cot. BT éiunt' aml5re 'pbsit'ivre ·: si fuerit ½p , & < p , sicut LBM, tang. LZ, & cot. B Q , erunt · negativre : si fuerit > p & < ¾ p, sicue LBNS, •tang. & cot. BT cónvertentur- in-po~ siti~as.: si denique fuerit > -} p ., & < 2p :, ·s•i cht LENA~, tang. LZ , & cot. B Q erunt rursus negativre. Si ex adverso sumamus arcus negati ve, sicut .LK ,-s:: ½P, tang. LZ, & co~. IJ Q erunt omnino eredem cum respondentibus arcui positi-vo LBNÁK>.·¾p, ged 2p; & :in eodem ' sensu procedeñdo invéniertnis' i º ·, ·quod tang. LC, & co't. >ET positivre denotant 4 arcus, unum· positivum < ½p, alium iti... de_m positivum > p , & < ½p, alium negativ~rn > ½p, & <;.JJ, , -~l~~m .e!~~~ efega~ivu~,< ½ ,R,. f3l < .2P r. l 2?. Qúod tang. LZ ·' & c'ot;. BQ z:iegat1v~ _~qu~luor alios a-rn•US~ simfüte:r sig-r-iificant , tluos . pos1ti.vos lL'BM, LBNAK -,- & duos negativos LK, LANM. -, - ·.. 652 ~Co~oIL 4. ;E[gP t a_ng. f & cot. po~itiv::e, ta,ng. _& cpt. negativre possunt exprimere arcus. <p.

ne,

· ' ,,

,!.

Co-

P.ars V. Art. 11.

21.·8

653 Coroll. 5. Ergo arcus, cujus tang. +, & cot.-, aut converso , impossibilis habendus est. 654 Coroll. 6. sin. DG , tang. LC & sec. HC pertinent ( 94:a;. 642 ) ad arcum LD, & . ejus supplemen.. .~um NBD; unde resulta_t , vocando z arcum quemlibet, seu angulum, sin. p-x sin. z; sin. -p+z sin.-z =- sin. z; cos. - z = cos. z; cos. Jp-x .::::::. cos. -p+= ~ - cos. z .: etiam est sin. z = cos. ( ½p- z); cos. z = sin. ( ½p - ., z) , qure doétrina , juxta diéta , fac.ile e.x:tenditur ad reliquas lineas trigonometricas. 655 Probl. 1. Datis sin. ve/ cos. unius arcus inve'4 nire ejus tang., sec., c()t., & cosec. Solut. Cum sit reétangulum in G .triang. HGD, erit #D 2 = HGi. +HD .. ,· teu r~ = cos. 2 + sin. 2 hoc est, vi , .bujus .tequationis , dato sinu , facile cognoscitur cos. & dato _cos., sin. , cum radius r sit quantitas constans ; & 87 v,i hujus proprietatis , a~ similitudinis triangulorum rec.tangulorum HGD, HLC, HBT habebimus semper, ad hujus, & aliorum pro&lematum solutionem , analogías, & requationes sequentes :

'Fig.

.ª GH: GD :: LH: LC; seu cos: sin:: r: tang. ==

2.ªGH: HL :: HD: HC; seucos:r::r:sec. ª GD: LC :: HD: HC: seu sin: tanu :: r: sec. ' 3 ' b

r. ,;n. cus.

cos.

== r.w,i. 4 ·ª LC:: LH:: HB: BT; seu tang: r :: r: cot. == ~ stn.

tang.

5.ªLH:HC::BT:TH; seu r:sec::cot:cosec.= co,:m· , 1 6, .ª_ LC: CH:: HB: HT; seu tang: sec :: r: cosec.= r.m. · _ _ tang. • 7;ª GD:GH::HB:BT; seu sin:cos::r: cot. == r.~os. sin. 8.ªHG:HD::BT:HT; seucos:r::cot:cosec.== ~ cos. ·ª GD:HD::HB:HT; seu sin;r::r:cr;sec. .!-' :9

. -{

Slfl,

l'rob.

De Elementis Trigonometrite planee.

656 Prob. .2. Datis sinibus BT, CS, vel cos. TM, Fig. SM ar.cuum AB = y, & BC = z , in·venire sinum CN, & 88 cos. NM arcus ABC = y+ z. Quoniam dato sinu habetur cosinus , & vice versa ( 655 ) ; cum sint similiá. triangula reB:angula eso, ONM, BTM, habebimus cos.y: r :: sin. z: CO · ~~, cos. y . sm.y . :: sm. . z -: u~o == sin.t.sin.y 01~ff cos.y: _.,__--.e..==cos. z Y.1.; ergo cos. y sin. t· sin. y _ cos. t· cos. y-sin.{· sin. y. t· · 88 -y- _--=-----=-----------'"-,e iam en·t r.. sin. OM_ cos. z- -cos. cos. y . _,. 1

•• OM- cos. t· cos. y-sin. {· sin y. ON- cos. {• cos. y. sin. y- sin.,. sin. y

J ••

cos. y

•

ergo CO + ON seu sin. y '

r. cos, y

+ ,,._., = r.COJ.sin..:..3y + cos. t ~ y. si11.COS.y-J siTz . t sin. Y

• ,

-2

-✓ - ..

& cum sit sin. y ==rz - cos. y , substituendo , ac reducendo ad unam denominationem , erit sin. y + ¡; == - - •

Oh similitudinem triangulorum prrefatorum , habebi..

, ... sin. ¡

+ cos. {·

cos. y. sin. y- r 2 • sin. r. cos. y

{'T

sin. {· cos. y

sin. y. co.r. {-+-sin. { cos. y r -2

~, . e s .. ON _ cos. ,. cos. )'· sin. y-sin. t· sin. ,, • MNmus St·n."'. o .y.. -----y - - - . r. cos. --2

~os. {· cos. y. sin y.-sin. ¡. sin. y _ cos. y. cos. {,-sin. )'. sin. ¡ _ --. ------ __ ______ _ r. sw. y

cos.y+z•

657 Probl. 3. Datis sin. CN , BT , seu cosin. NM, TM arcuum CA ==y ' BA = z invenire sinum es' & C()'..' sinum SM arcus BC = y - z. Oh similitudinem triangulorum eso, ONM, BTM, est . z: :- cos.y: ON == co.r. y. sin .¡ • 00 ; ergo cos. z: sm. - - ==sin.ycos. { . . y - ----cos. y . szn, ¡ sm, y cos, { - sw. ¡. cos, y 0 0 == sm. == --'---~ - ; b oc sup. cos. l cos. '{ posito etiam habebimus r: cos.. z ~= CO .=sin.y. COS, i.cos, - sin.\. co.r. y: { J

•

ns- sin.y.cos.¡-sin,{. cos.y _ r -

\,,1

•

szn.

---

y - z.

Oh eandem rationem erit .rin. z: r :: NO== co.r.,,-. sin, t: 88 (OS, { OM =~.:..J. Etiam co.s. z: sin. z :: CS sin. t cos, ,-sin. t, ~ : . eos, { r

T,<,•

I'Z{J,

-Pars V. Art~.' 11.

2.2Q SO _

--•

sÍTl, Y· cos. {, sin. r cos.y. s-en. \ - · r. co s. i ·

o M, seu cos. y-·- ·z

---

2 -~S-

--2,

consequen er SO + . . . --,. \ y -f- -s,n. y. ca~. s,n. \ . - ~ - y . U!!.:.J._; sed ;

• •.•

r _, cos.

_ . ;)

- cos. t-+- sen. y. szn. { 88 Sen . · Z -- r -- _cos.r;. z., ·ergo _ cos •,y - z-..- y..-cos. - r - . - -.- - . _ 65 8 - ~oroll. L Ergo media ad_ditione, & su~traétio•~ ne habeb1mus. . . . --- · . . o e,• -, t sin. y. cos. { ;r. utn, y +, z -1- _sm. y _- - z ..~ .••.. - -r . . ,., 2

..,

.2.

s·zn. - - - nn. . y ...__ ~ -- .• _z cos. y;sin,{ y + z r •

o n

·3 •

\...OS.

+ z -1- COS • y .

- ._- z := • • • •

•

z cos. y • cos. {

'.l.

r • .. sin. y . sen. \ ..

y ---: ,z. - COS. y_+ z :::= • • • • r , 659 Coroll. 2. Si fadmus y ·= : z_; vi requationum prre.. eedentium, &ex eo qúorl sit cos. z cos . .,,. cos. si~.,, sin. t, 4• _

OS.

t-;

bab~bimus sequent_es: .. 1.º s· t sin.y. cos.'j _ zn. 2...Y - • • • • • • • • • r • • · --2 --z • ° Cos. y cas • .,, sen • .,, == cos.,,-+sin. :1. cos • .,, 2 2 -1

n 0 s • y -_ l..,I 3 • °. - ·-

•

vrZ -

~ :

sin.

·r

____

V r_ ' -+r:. . ,os~ _..::...__

, y

•

C"¡n •v~J -~ • ·~• • • • • r. -. 2 J • --4 • O ....,,,, z . Quarurn dure prim~ deserviunt ad inveniendum & cos. arcus dupli', cognito sin. aut cos, arcus sim~ plicis: Tertia & qúarta exprimunt modul'Il . inveniendi sin: ~ cos~ dimidii arcus , cujus sin. v:eI cos. cogn?scitur. • ., 660 Coroll. 3. Per medium formularum 1.ª 2.ª_7.ª .& 9.ª quas invenimus ( §. 655 ) ; & quod jam· probatúm \ §§. 656. 657 ) habemus theor. s~quentia.º . Ta . ··- +- Z __ r. sin. Y_ ::t::i _ r (sin . y. cos. t-+- sJ11. t cps, y) . I. .-.A.•' ng. Jl _ _ _ -~--.-.. .. . cos .• y:::¡:: t cos, y. cos. t -1- sm, y • sm,{ COS,

iin. ,

e'st

___ . -

-+-. - ._ r --=F" 2. uec •. y _ z - . _ C"

e¡ - - _ 3--• · -ot. y ·± z - · O

cos. Y-l'. r. cos. y ::±:: ----.,.. · sin; .Y::±::(

, .) _ _ _ _ r3 _ _ . . • cos. y. cos. t ·--1- szn. y. sin. { { - r (cos. y . cos. t::¡:: sin. y, sin,{) -, -t- . •. · · · sin, y. "u. t . Str} t --; cos. y ·

Co-

De Element. Trigonometr., ,é;fc. eosee. y .

+ .. . . Fig. 661 • 'Coroll. 4. Quoniat? valor fraétionis non alterantur lieet duo ejus termini dividantur per ea,ndem quan~ titatem ; it . ' 4. o

ri_ _ __

cos. y) - r (1.-+- cos. y sin.¡) · - . sin. y cos. t

____

--= -

si11 . y-+- t

szn.y, cos. t--'- szn. t ~os. y

r (sin. y. cos. t-+- sin.

. · ---'_;__..:...__s_in-. y'--.c-o-s.-t--=-- · T,ang. y± z _ - - - cos, y. cos. t :::¡::: sen. y .,e11.

t .-

- ~ - - sin. .- y • cos.. 1'. . - -.

_ _ _ _r_J_ , ··~ ' ~ • ~ cos . .v • cos. t _ cos." ~- cos. t cos. y cos. t-1- sin. y. sm. t ! -1- sm. y sin. { , cos. j ~º~ • - ,. . cos. y·. cos. { . '

e _ ue,y+zc-

· ·

• •

Unde cum sit • • •. ·

- t .cos. y _ . S'e-n. - sen. - -y -+--cos, {

sir. ,os.

tang. • T

C~Sflll,

.. .

&~ = :sec. re.4 ,os.

==-r- •. tang. '

~u.ltant ·sequentia theor.emata: · · . o,

X .· . - - - _

I • ·• ang • J + Z ·. . '

r ( 1 .:+--r_ _ • tang. - tang. y . r _ r_

••

tang. t

tang. y ·.

-+--

1) _

r 2 (tang. y,-+- tang. {)

r2--+- tang. y. tang. t

•

sec. y. ~ :L -1- tang. y' tang.

· --•~

r2 r . uc. y. cos. t · r 2 ;::¡;: cang. y tang. {

r• ;:::¡::: tang. y. tang. {

habebimus. ; ·¡ ::

i·. ó Oor.'-y

== tang.

r~ y -1- t

r• ::C:,cang. y . tang. { tang. y -+- tang. 1'. .

r 2 sec. y . sec. 1'.

2ºCosec,y+vz SJf• y .

tang.;.y

r. sec. y .:±: t

-+- t :=

tang. y _

~f~.

r 2 tca11g.

tang; {

y:±:t~ng. t) -,,.

· • rT-+- tang. Y '- · tang, {

S(C. {

:±:

tang, t '

_F. ·¿·63 Goroll. 6. Si facimus y '= z, etiam habeb_imus . :equa.tiones sequentes: :, .J

a ,,.

r .., 1 1• . ... ang. 2Jl t ' . _, ·•. '. • ~

r' . == r•.....,,.... - ,--=•== ------. y , r -+- . y 2

•

ta11g. y tang;

r2 tang.

e, tang. y r ~

, tang.

Sec.

· Pars V. Art. II. · ·

222

Fig.

== 3 . ª Cot. 2y == , == 4. ª Cosec. 2y ==. ................... ~-L. -·

2.~Sec. 2y=: . ~ '·!__ ,

...

r -

tang. y

-2

~L:_. _ , _ . r-+=.t,mg. y r-tang. y

__ t

,ang. Y tang. y

r-+-taug. Y • r..=:::.ang. ". tang. y 2 -S

tang. y

Theor. Sinus anguli cujustibet est ad · summam

664

radii , & cos., sicut tangens dimidii itlius anguli adra... ·dium ipsum. Si super reétam BG deseribitur semicirculus BDG, & in centro C formarur angulus BCD x ; DF erit sin. , ut CF cos. , & BL tangens; ducendo reétam DG, & parallele ad hanc centro C reétam CO , erit DGB BCO == 7 & ejus tangens erit reéta BO; sed ob simili-tudinem triangulorum DFG, OCB, est DF: FG :: OB: J;IC; ergo sin. x; r + cos. :¡¡ :: tangens ;: r. · 665 Coroll. 1. Cum sint etiam similia triangula BOC, BDF, habebimus DF : FB : : CB : BO : ergo sin. x: r - cos. ;;-:: r tang. : ·; hoc est , sin. anguli cujuslibet est : ad differentiam sin. totalis, & cos., sicut sin. totalis ad tangentem dimidii illius anguli. 666 Coroll. 2. Sci~us ( 65 5 ) quod tang. : r 1: r : cot. ; ergo

e,•

um. x : ,. + cos. x : : r : cot. 7 • :,; : r. • º s·in. x : r cos. x :: cot. -;

· 1.

667 Schol. i.. Sat apertus prrecedentium omnium for.. mularum usus , qure si opportune adhibeantur , plurima alía facilitare poterunt theoremata , qure consulto prreter• mittimus, quia exhibita sufficere nobis videntur. 668 Sch:ol. 2. Efformatre reperiuntur tabulre linearum tri-

De Applicatione Algebrce, c5c.

223

trigonometricarum , minutis & gradibus respondentium, Fig. _ in partibus nempe radii, qui cum supponatur unitati reqúalis, divisus consideratúr in partes 10000000, pluresve; nec non & logarithmi auéti , re~pondentes numeris sinus , tangentes &c. reprresentantibus , logarithmis tabularum logarithmic. conformes.

111. ·

ARTICU LUS

Propositiones aliqute circa theoriam , & resolutionem triangulorum.

669 THeor. 1. In omni triangulo latera sunt ut sinus 24 · ángulorum oppositorum. · Cum omne triangulum sit inscriptibile · in circulo 1( 398 ) , quodlibet e lateribus AB, BC, AC erit chorda arcus correspondentis ; consequenter eorum dimidia erunt sinus medietatum illorum arcuum ( 645 ) ; sed arcuum medietates sunt mensurre angulorum opposito• rum C, BAC, B ( 378 ) : ergo qurelibet medietas Iaterum trianguli est sinus anguli oppositi ; cumque medietates sint in eadem ratione cum suis totis ( 204 ), sequitur quod in omni triang. erit AB: sin. C :: BC: sin. BAC :: AC : sin. B. . 670 Theor. 2. In quolibet triang. si unum latus AB secatur per ejus_ dimidium in L, & angulo C. ducitur /in. 9o CL, erit sin. z: sin. x :: sin. A : sin. B :: CB : CA. . . Habemus ( 669 ) sin. z : sin. A :: AL : CL : ítem sin. x : sin. B :: BL AL : LC ; ergo sin. z : sin. A:: sin. x : sin. B , seu sin. z : sin. x :: sin. A : sin. B :: CB: CA ( 669 ) • . 671 Theor. 3. In quolibet triang. sf ultra reetam CL duétam sicut in theorem. pr1ecedenti, ducitur quce/i.. p bet ,

Pars V. Art. 111. Fig. bet reéta DG , qute secet in K /in. CL, erit GK: KD:: CB X CG : CA X CD. · Patet -( 669 ) quod GK: CK :: sin. z: sin. t; similiter DK: KC:: sin. x: sin. y; dividendo primam pro.:. • • port1onem per· secun dam , ent •

GK DK : I

sin. { -. - :,; s,n.

sin. t

: -s:n.

;

se d

( 670 ) sin. z : sin. x :: CB : AC , & ob eandem ra. . t: sm.y . Gl< CB CD t10nern sm. :: CD : GC : ergo DK =: I :: AC: Ge , ac tollendo fraétiones GK: DK :: CB x CG: AC x CD. · 672 · Theor. 4. In quolibet triang. ACB, summa duo:.. rum laterum CA, CB, estad dijferentiam eorumdem, sic-ut tangens semisummte angulorum oppositorum A, B, ad tangentem .sute semidijferentite. Sit CA .....:.. a , CB b, semisumma angulorum A, i3, m , . semid'ifferentia n; erit angulus majar v! g. B = /n.+ n, & minpr A == m - n; & ita habebimus ( 669 ) !l: b :: 'sin. m+n:sin. m-n:: sin. m. cos: n +sin.n. cos. m.: sin. m.cos.n-sin.n. cos. m;ergoa+b:a-b::2 sin.m. ~ • . sin. m s in. n t . t qs. n: 2 si7?. n. cos. m :: ;;;;-:-;;; : ~:-;, :: ang. m : tang. n. •. 67.3 Theor; 5. Si prolongatúr latus DB cujuslibet 91 angali DBG , ducendo ad libitum reCta'f!1, CL , & parallele ad hanc epunéto ~ reCtam B~, erit sin. x : sin. z :: BL : BC. y Ratione paralle1arum BK, CL , est· z y,x C; ergo sin. X.=sin. z :: sin: e: sin.1. ; s_e d _sin. ·c :· sin. y :: BL : BC ( 669 ) : ergo sin. x : ·sin; z :: BL : BC. 674 Coroll. Hoc theorernate obtinetur modus dividendi anguluI? quemlibet in ratioqe data. N am sumendo ad arbitrium BL , & prolongando lín~ DB usque ad C, ita ut sit BL. : BC in ratione data , ducendo postrno.. dum reél:arri C.L , & parallele ad hanc per puntlum B reétam BK, rnanebit divisos ang. DBG , sicut petitur. Theor. · ·

== ==

Propositiones aliquce, E,!c.

2 25

· 6r5

Theor. 6. Si inter latera BK, BG anguli cujus- Fig. libet KBG ducitur recta LA , & per verticem B para/le1 la BD, erit sin. x: sin. x + z :: BL: BA. Ratio ne parallelarum LA, BD , est x n , & cum sit ( quia externus ) U =:; n + Z , erit etiam U==: X + Z ; er-

go sin. x : sin. x+z :: sin. n: sin. u; sed sin. u==.sin. m ( 6 5 4 ): ergo sin. x: sin; x . + z :: sin. n: sin. m :: BL: BA, cum sit. . ( 669 ) sin. n : sin. m :: BL : BA. 676 Coroll. Hoc theoremate augeri valet ang. quilibet KBG in ratione data , eo solo quod sumatur BL: BA in illa ratione , ac ducatur lin. BD parallela ad LA. . Hrec methodus illis casibus i'nservi~ , in quibus angulus incrementi x habere debet rationem datam ad re-sultantem x + z. Sed si_vo}umus quod ·angulus incrementi x habeat ad angulum propositum z rationem datam , tune casus sunietur BL ad arbitrium, & per punetum L ducetur reéta indefinita LC parallela ad BK , & faciendo BL : BC in ratione data , ·BC vertice B ducetur , usque dum occurrat LC, ac prolongata postmodum versus D , formabit angulum quresitum x ( 673 ) • _ (;,77 Theor. 'l· In quolibet triang. ACB ,. latu; AB 92 estad summam duorum laterum yuperstitum_ AC + CB, 93 ut- dijferentia eorumdem .AC - .CB ad summam, seu ad dijferentiam segmentorum AL -+- LB , quce format perpend. CL demissa -e angulo opposito super latus AB pro4uctum, si opus adhibito sigrio + quando_perpendicularfs cijdi.t extra \riang~ ;· signo -í-.d9,m -~adit intra illµd. E vertice C radio requali late'í·i CB , s.u perstitibus duobus minori, describatur circurnferentia DGB, & pro~ ducatur latus CA usque dum ei occurrat in D ,1 cu~ sit CB ==.CD =.CG ( §. 299 ), erit AD== AC + C-13 ,&

! 1

est,

226

..·

'Pars V. Art. IJJ; ·

Fig. AG AC- CB. Etiam cum sit BL == KL ( §. 346 ), erit AK== AL + LB in primo casu, & secundo casu AK= AL - LB; sed AB :: AD:: AG: AK (. §. 461 ) : ergo AB: A .G +CJJ :: AC-CB: AL:::t::LB - 678 - Theor. 8. In quolibet , triang. ABC , quadratum 11,nius.fateris AC est tequa/e summte quadratorum duorum afiorum laterum -+- duplo produéto basis AB, super quam ptoduétam, si opus est, cadit ·perpend."CL duéta eextremi:.. tqte e la_teris_A~, cujus quddratum SU1nitúr pro ségmento q#jaéen'te anguli illi tateri opposito; adhibito signo+, dum perpend. cadit extra tria(lg., quod quidem accidit quand~ est obtusu& angulus OpPÓ'sit~s lateri, ·cujus quadratum sumipur ; & signo - quando perpend. cadit intra trfang. qu•an~o nempe acutus est angtílus oppositus lateri, cujus: quadratum sunritur. . · · 2 · Scimus, ( .4 5 8 ) quod CAs == CL -1- LAs; CLs ¡ C!-~B• ·-\• • -LBs: 'etiam ~st L:A'l.'...:-AB ± LB ==AB -l-2 AB • • • 1 X J;,B+LB'f _; ergo c ·A ==,CB LB -I-AB ± 2AB

92 x LB -1- LB

== CB

-1-

7.iJ/

2ABxLB •

-1-

.679 f Erob1. I. Datis duobus lateribus CA, CB triang: ; ; iABC, ·: & ·•un&a~gulo _A dpposito uni ex itlis , dúos alios a0gulos- invtfoire· ABC·; ACB, & latos BA. ,. · ·, Sot Fiat ( 669 ) CB: CA:: sifü A: sin. ABC e.A ~~n. A; & ideo si in tabulfa ·qu,rerimus sin. angulf A . éogniti, P~r . CAr m~ltiplicam_~s ,.,, _& , ~~odu~u~'- dividimos per CB, .quotiens erit valor arcus·; vel ang. ABC' corres-' póndenlis; proü:icié -ñ'abebitur etia:m ( 401) angofos 'ACB

= 180· ~ABC. ' . . º Faciéndo sin. A : sin. 'ACB :: CB : BA erit latús BA = ,,n,...·. . _. . . .. _ .. 0

...!_ ·A

· · ·' ,,,

·- ...

.,.

•

(

trB . ii,i. ACB ,,

4 - ··

•

t .

•

r •

, l...

' · •· •

•·- ~-

Schol•

Propositíones aliquce ·, e.§c.

:-· 680 · Schol. ·1. Multo commodius hre operationes me . . Fig. <:lE.s Logarithmis fiunt ; cum enim in eis ?dditio , & subtraétio requivaleat multiplicationi , & divisioni numerorum , quos reprresentant , facilitant supramodum ope ... rationes. 68 1. Schol. _2 .. Si refleétimus super ~riang. ACB, in~ veniemus quod resolutio prrecedens correspondet etiam triang. ACK, in quo cum sit CK = CB ( 298 ) , eadem sunt data ac in triang. ACB, cumqµe ob hanc rationem 93 sit angulus B = CKB , resultat sin. AKC = sin. B ( 654 ), ac consequenter data resolutio convenit duobus triangulis ACB , ACK. Nihilominus cum ídem sin. positive sumptus tantum possit correspondere duobus arcubus, quorum unus minor , alius major sit quadrante , tametsi minor semiéfrcumferentia , qui quidem proinde supplementum sit alterius , si ulterius indicetur num ang. ABC debeat esse acutus, aut obtusus , clare determinabitur triang. ABC in primo casu , & triang. ACK in secundo. 682 Probl. 2. Datis daobus angulis A, B, unius triang. ·ACB, & uno latere BC, invenire duo afia AC, AB. Solu t. Invento ang. ·ACB = 180 ~ ---: B - A ( 40 I ) 90 habebimus ( §. 669 )

;

. A .. S-~n. s·m. A :

. B .. . .rin. B sip. .. BC .• CA -_ Be -;;~.

. ACB :: BC : AB ==~~ Be. .rin. ABC sin. . 683 .P.rq.q. 3. Da~is in ,un.o triang. ~OP duobus.lateri-:- 3 6 bus NO, 0P~ & apg. NOP inter,ea contento, in•venire· aliud

I' 1

latus NP , & angulas N , P cum respondentibus perpendicularióus OQ , NR , segmenta OR, RP , NQ , QP, & aream triang. . . ' . ', . . ' ~ _' Sit JYO ~a, OP =b, & ang. NOP ~ m, habebirtms ( §. 6 6 9 ) r _: sin. m '.: a~-'NR aisi;_. m; r: co's. rn :: a~:

228 F,;ig. OR == ~~ r

Pars V. Art.111. -~~; & ·ar-ea. triang. =:. r

; ergo RP ==. ·b -

&cumsit( "§. 678 ) 'NP :=N0 ?. 2ab cos w b?. OP , ent NP ==:a - - ·r-·-+ ; ergo .

NR:OP==~';·m;

Op x OR + . NP =: az ,ab. c;s- m -t- bz ; qure formula reprresentat basim trianguli , -cujus latera surit a , b , inter •qure éomprehenditur angulus m • . 1 Invento latere NP invenientur ang. P , ONP per se• quentes proportiones • NiQ'P : sin. • p == NO . sin. NOP Np : No :: sin. NP , NOP , ONP B. sin. NOP Np . : Po ::sm. :sm. ==-NP-: 2

•

a. sin. m

Ergo sin. P ::::: 11

a?. _

2ab.

,;s-m-t-.b"'

b. sin. m

Sin. ONP

= ~"'7==-===-==== -+- b?. . V a?.~

_, ab__. c_os._ m

•

Perpendicularis OQ ·ra·cne·inveniri potest , si atted.. datút quod -OQ x NP = ·NR x OP, "unde resultat OJJ. =:=;_ ,

NR x OP

Nr;:===

V r . .

ab. sin. m az _

~cos. m r.

. . Inventa perpend1c. OQ,, .:+- b'!! ..

& sinibus angulorum P.'; /JNÍ), q_uot?,ia:m 'tnediis sinibus !iabe'ntur cosinus ( 6 5 5 ) , in venientur · etfam segmenta N Q , QP per duas próportiones sequentes , r : cos P :: ()p .• ~ n p- oP. cos. P • ONP º. . NO .. NO aNP· r , r . cos. .-., -_'No. cos. r ' • :- 684 · Sc;l1<?l. Hoc proble~a. posset .eti~m r~so~vi 'per theor. 4. ( 672 . ) ; nam cognito aqg. NOP , erit N + P :::: 180º _:_ NOP ; consequenter sumpto dimidio' residui,

' ~

Propositiones aliqute, fic.

229 hac subtraéi:ione prodeuntis , & qurerendo ejus tang. Fig. in tabulis, servando anteriores denominationes , habebi-N-+-P N-P a-b r,ims a+b : a-b :: tang. --¡- : tang .. - z - = a-+-b • tang. N+;P,,_ ; & ita mediis tabulis habebitur ang. .equalis semidifferentire anguloru~ N, P ; & ideo cognita semi-summa, & semidifferen_tia, habebitur ang. major , ille nempe qui majori laterum cognitorum opponatur ( 405 ),addita semisummre semiditferentia ; & subtrahendo semisumma semidifferentiam , ang. minor invenietur { 171 _ ). Denique, cognitis omnibus angulis, & duobus lateribus , tertium invenietur per problema secundum ( 682 ). 685 Probl. 4. Datis tribus lateribus unius triang. 93 ACB , reHquum invenire. . Solut. E quolibet ang. C demittatur super latus ejus oppositum perpendic. CL; & sit CB AB = b, AC= ºt LA d e , & ang. A _ x ; en r : cos. x :: e : = -c. cos.i.: r - , se ( 678 . ) BC,,.=CA -2BAxLA-t-B7l, seu a2.= cor. X b'l. ; ergo cos. r • e'2 - '1.bc, - - r- -tc'+b -as; & ita

=a,

:.=~.

., LB -- b - LA¡,1.-+-a?. - e • . . LAh abeb1mus _ ~!.:=-"~ ,b 2.b ,

& CL

= V cn·-BE = V CB+BLxCB-BL =

Va+b+c . a+b-c . a-b+c . -a+h+:c; & consequenter 2b . area triang. erit =

V a+b+c · a+_b-c • a-b+c • -a+b+c 4

- Va+b+c . a+b-c . a-b+c. -a+b+c

-----------------· 2

;

Cognito cos. A, etiam cognoscetur ejus sin. ( 655 ), p 4

23-0

Pars V/. Art. 1. E§ 11..~

Fig. ac consequenter habebimus· angulo B , BC : CA :: sin. • B __ CA. sin. A A .. Stn. --Bz-.

686 Schol. _Theoremate 7 ( 677 , ) possunt etiam· inveniri segmenta BL, LA, qure format perpendic. CL super basim BA ; ac consequenter resolvendo quodlibet triangulis reétangulis BCL , ALC per probl. 1 ( 679 ) , sol vett1.r etiam triang. to tale ABC.

PAR S

SEXTA.

De Applicatione_ Algebrce ad Geo,n.etriam superzorem curvarum.

ARTICULUS

PR .IMUS.

687 TOtum hujus applicationis fundamentu·m sistit in eo quod , mediis requationibus, exprimantur _leges, juxta quas aéh1m est in curvarum, quarum natura· quceritur, descriptione. Et ita unius éurvre requatio · inventa aut data , tanquam regula erit ad eandem describendam , ejusque proprietates detegendas. .

A R T I C U L U S I 1.

Notiones Prteliminares.

688. o·

Efinit. 1. Quantitas 'constans ea dicitur, qu:;e in tota operationis serie eundem valorem de .. terminatum servat , v. g. radius _quo describitur cir<:_~_.. lus ; has quántitates primis al phabeti litteri~ designabí• mus. Quantita.s variabilis est ea , ·g_ure valorem determinatum ~on habet , sed quoscunque turr1 po'siiivos ·, tum ne-

Notiones Prcelhninares.

231

negativos , tum integres , tum fraél:ionales obtinere va- Fig. let ; imo & rationales , & irrationales , ac ipsius etiam o ; has ultimis alphabeti litteris designabimus. 689 Definit. z. Quantitas maxima est valor major, cujus est capax variabilis, qure quidem natura sua ob-tinere potest valores usque ad certum terminum crescentes, quo cum perventum fuerit , decrescentes alios accipere incipiet. Valor minar, cujus est capax variabilis, quantitas minima vocatur , post eamque incrementum reddit. Illre a utem variabiles qure in crescendo , & decres.. cendo limite carent , carere rnaximo , & mínimo dicuntur. 690 Definit. 3. FunCtio ,est expressio varia bilis , ex una pluribusve variabilibus , & nonnullis constantibus numero superiori faccomposita. Ejus gradus petitur torum variabilium , qui in illius terminis reperitur ; sic a+ bx - cy dicitur funél:i~ primi gradus : bx + cy ª secundí: bxy + ax z tertii &c. · 691 Schol. Idea quantitatum variabilium commode 94 sensibilis reddi potest , media reél:a indefinita RS , in qua ; ut variabili valores omnes , quorum capax est tribuantur , opus est punél:um A eligere , quo succes.. sive portiones ad dextram & sinistram sumi possint ar.. bitrarie, v. g. AP, Ap; eo semper prre oculis habito, quod si ei valores omnes positivi possibiles versus dex... tram tribuantur , illi qui versus srn1stram sumantur, erunt omnes negativi possibiles , quoniam eorum valor in A=:o. 692 Definit. 4. Punél:um A vocatur origo abscissarum: AP, AP abscisste positiva?: Ap, Ap abscisste negativte ; seu vice versa prout videatur. In quacimque hypoth., omnes abscissas positivas exprimemus per x , & negativas per -:- x. Scho1.

232

.·

Pars VI. Art. JI.

693 Schol. 1. Si post desumptos punélo A quos.. libet valores , erigimus in omnibus punélis P , p perpen94 diculares, velut P M, pm, sed ita ut omnes· ínter se requalitatem servent, absdubio si per extrema M, m harum perpendicularium transire concipiamus lineam, bree erit reB:a, & parallela ad RS. Si perpendiculares in punB:ís P , p ereB:re habuerint eandem cum respeB:ivis abscissís ratíonem , lin. per om.. nes earum ·extremitates transiens erít reB:a convergens cum lin. RS; quia deveníet latus unius triang. reB:ilinei, in quo- lineaf AP , AP esse debent ad P M , P M parallelas in· eadem , aut constanti ratione. Sed si perpendiculares ereB:re in punB:is P , & p rationem aliquam ha-beant cum suis abscissis , ex innumeris , qure considera-ri valent, modo nulla sit ex prrefatis, linere per earum ex.. tremitates transeuntes infinítudinem curvarum constituent. 694 Schol. z. Idem resultabit , licet linere ereélre in P, & p non sint perpendiculares ad RS, modo sint ínter se parallelre , & rationes prrefatas· servent. 69 5 Definir. 5. Lin. RS vocatur axis directionis : perpendiculares P M, pm ereétre in punB:is P, p, appticatre, aut ordinatte orthogonales : PT ereB:re oblique ad RS applicatte obliquangulte :- ordinatre P M, pm duB:re parte su periori axis RS ordinatte positfvte : P M' , pm' sitre in parte inferiori ordinatte negativte , aut vice versa. In quacunque hypothesi applicatas positivas exprimemus per y, negativas per-y; ita ut in punétis P y :=o. Abs.. cissre ; & ordinat:e correspondentes· vocantur generatim coordinatte. 696 Coroll. J. Ergo media lin. RS, sicut diélum est considerata , ideam efformabimus cunétarum linearum possibilium , tum reétarum , tum . curvarum , earumque . po-

Fig.

,P,

Notiones Pr~liminareJ.

¡'

pos1t1onis, & proculdubio expressio analytica rationis, Ffg. ~uam coordinatre habeant ínter se , dabit requationem linere correspondentis. 69'7 Coroll. 2. Cmn in omni requatione , seu func-tione in qua dure variabiles reperiantur , exprimatur ratio aliqua ínter illas , quoniam valor unius determina.;.; ~ur per modificationem alterius , profeB:o in qualibet requatione duarum variabilium continebitu,r prrecise linea reB:a , aut curva. Sic si in requatione variabilium x, y., arbitrarie' & successive attribuuntur X omnes valo-res, quos suscipere valet, e+~ usque ad - ~ resultabunt omnes valores correspondentes y , & ita duB:us lin. reétre, aut curvre in requatione reprresentatre habebitur. -: 698 Schol. Ex valor.ibus datis x resultare solent valores impossibiles y , quod indicat lineam non transire 94 infra , aut supra illud punB:um axis; aliquando etiam valor resultans in y transit de positivo in negativum O aut vice versa ; quod indicat lir.ieam axim secasse. - 699 Coroll. Ergo in hoc casu , facíendo y= o in1·-venietur valor x illi punB:o respondens , in quo lin. se~ eat axim. Ex quo infertur quod si faciendo. y= o.resuJtat in reqµatione etiam x == o , signum erit quod in puneto , in quo lin. secat ,, seu tangit axim , ibi est origo A ábscissarum. • '1 .1 ' ' . • · • 700 Schol. 1. Dando itidem valores ,x , resultare so~ lent in y duo : valores ;· quo casu ,. si unus sit positivos, alter negativos, signum est quod lin. transit supra, 8zj infra a~im respeB:u punB:i ejusdem: si ambo sint •nega-, 1 , tivi, áut ambo positivi , sigrmnrer:it quod, lin. bis fraqs,it supra, aut infra:, illud .punB:um :·· si sinu. requales, · imii;_, ~abit quod· curva regreditur , -aut se ipsam s~cat ;· quod quidem per valores immediatos . dete.rminabitur. PunB:a 1a . ;

Pars VI.Art. II.

234

Fig. in quibus var11 unius curvre ram1 concurrunt, vocantur multipla; ac speciatim dupla, tripla, &c. juxta numerum ramorum concurrentium. - 70 I Schol. 2. Accidit quoque quod prrebendo valores x , ~ i:esultant ,primo valores reales in y , postmoduril valores impossibiles , usquedum rursus valores reales in y resultant; quod indicium est curvam habere varias par~ tes discontinuas; semper autem eadem curva manebit, cum Jire partes determinentur per eandem rationem in re<lJ.uatione , aut funélione contentam. Sic . 702 De.finit 6. Curva continua dicitur ea, cujus omnes partes , seu continure , seu discontinure sint , determinantur vi unius solius fonélionis. Verum illa cujus partes , tametsi ínter se unitre , determinantur per va. rías funéliones , aut rationes , vocatur discontinua. 703 Defin. 7. Si prrebendo valores x resultant in y duo valores requales, unus positivas, & alter negativos , tune axis direélionis vocatur axis curva! , si applicatre y sunt ortbogonales; si autem sint obliquangulre , dicetur tantum diameter curva!. Duplum ordinatre, secantis in illa hypoth. axim , seu diametrum curvre in duas partes requa-les , vocatur axis , seu diameter conjugatus curvre , & punélum interseélionis centrum curva!. 704 Coro11. Ergo in hoc casu axis , seu ·diameter cmrvre erit quantitas constans._ . 705 Schol. Quoniam gradus funéHonum distinguuntur per majorem numerum dimensionum , quas in suis terminis habent variabiles ( §. 690 ) , stabilire poterimüs formulas generales , ad guas reducantur (une-. . tiones inriumerre1cajusque gradus. Sic · erunt

a+ bx + cy ==. .. .. . . . . ..... . .......... . . M. primi gr. M *-dw + ey .-J-fxy N. secundi. , 2

=· ........ ,.........

N+

~ 35

Notiones Prteliminares.

_. N+gx'+hy 3 +kx y+lxy 1 == ............ P.tert. Fig. 1 4 3 4 P+mx +ny +px y+qx~y +sxy quarti&c. 2

=····

AR TIC U L U S III.

'JJe Construéf. funéfionum , & resolutione aliquorum aliorum problematum.

706

pRobl. í:. Invenire /in. contentam in cequatione

. nx == cy. Ducatur axis direéHonis RS , & eligatur in eo pune- 94 tum A tanquam origo abscissarum: fiat successive $= ·o,:= 1 ,== 2,=: co , = - 1, = --- 2, =- :co, erit ..-

•

2n _

n. <>:> _

n.! oo

1 - 0,---7, - 7 - - c - - - - 7 , - - 7 , - - - c - . ,

Ergo denotantibus valoribus y longitudinem totidem· aliarum ordinatarum , patet quod lin .. per earum extremi1 tat~s transiens tanget i.n punéto A orig~ne abscissarum , & quoniam crescentibus valoribus positivis , seu negatiVist x, crescurit etiam valores positivi, aut negativi y, infertur quod lin . .reprresentata in requatione , postqu~m 1 axim in origfoe A abscissarum secaverit, .e sta parte pe·riori , &,inferiori divergens ab axi RS , habetque du'os ramos infinitos. . · · ' '' · · · · Si" facimus x erit dm cy ··; ergo a : y· :: e· : m; sed e : in est ratio invaiiabilis , cum e , & m sint quan... tiqit~s _constantes ; ergo g_uic~mque val9r abscissre x _at:-. trib~atur , semper ord_inatre y correspondebit valqr pr!J7 poi:tion~iis, ac consequenter lip. reprresent~ta per requa..._ fionem erit reéta'. ( 69 3 ) • · Si sit x == a , resultat y== "; ; ergo si in e~trem\• 1 tate P abscissre AP x a erigatur ordinat~. ortpog..o-,

su-

=-a·,

na-

Pars VI. Art. III. Fig. nalis P M =Y=•:, retl:a AM dutl:a per punél:a A, M requationi satisfaciet. Similiter eveniet , si in illo puneto P erigatur ordinata obliquangula PT, & ducitur reéta TA. 707 Coroll. Cum omnes funétiones primi grad. reprresentari possint per a+ bx cy , si facimus x m, & a=fm, erit a+bx=fm+bm= cy, seuf+b. m=cy: ergo m : y :: e : f +b ; ex quo infertur quod omnis func .. tio primi gradus reprresentat lineam reétam , cum sit e: f +b ratio inv aria bilis. 708 Probl. 2. Invenire lineam reprtesentatam in tequatione y z == 2ax - x Duéto axi dir:eétionis RS , & eleéto origine abscis9 5 sarum A ,. apparebit quod si x == o , etia~ y o : ergo Iin. quresita transiet pe,: punétum A. _ Faciendo y== o , resultat x 2a ; unde infertur quod si ~ origine A sumimus abscissam x AB 2a, lin. reprresentata in funétione transiet per punétum B. Si facimus x = a =AC habebimus y= + a; Únde colli• gitur quod ordinata y habet duos val?res requales in puneto C, unum positivum CG, & alium negativum CK; & quo... riiam lin .. quresita transire debet per punB:a A, G, B , K, patet quod erit curva in illis punétis reque distans pune... éto C; unde credi .potest quod sit circumferentia circuli. Si ad comprobandum facimus x =e= AE , habebimus-y = 2ac- e~= EM~, & ducendo reB:am CM, erit . 2 __ 2 -2 --2 • CM =EM + EC =y + a-e = 2ac - es+ a zac + e = a ergo CM= a ; hoc est , quod omnia pune.. ta M curvtJ? .qucesitce sunt ceque distantia a punéto C; rjuce quidem est-proprietas charaéteristica circumferentik cireuli. · Prre-

•

= == a

•

De Construci.funéiionum, Ese.

237

Prreterea requatio ~psa y =e. 2a-c dat e: y :: y : FiJI,· a-c, seu AE: EM :: EM: EB: ergo quicunque sit · 2 valor x, applicata orthogonalis y semper est media pro~_ portionalis ínter segmenta AE , & EB diametri AB; ·qure est ·proprietas cirtuli. Si facimus x == - n =AL, erityz 2an 11,'l , & . consequenter y -+2an - n'J, , qui . sunt valores impossibiles. Similiter si x = 2a + d = .A~ + BO, erit y'J,_ 2a. 2a+:d - ( 2a +dl== -· - 2ad - d"'; ergo y == -+- , V-2ad~d qui etiam sunt valores impossibiles ; unde infertur quod curva reprresentata iri requatfone proposita , hoc est circulus , nullam habet par-tem discontinuam. · 709 Probl. 3. Invenire valorem cbordte cujuslibet AM circuli dati AMGB. , t Solctt. Super diametrum AB = 2a demittatur pune.. to Mordinata orthogona~is ME erit AM = AE + E Mi =x +2ax-· x =: 2ax·: ergo x: AM :: AM: 2a; hoc; est, cborda AM es~ media proportionalis ínter omnem 95 diai1!etrum, & ejus segmentum adjacens ; qµre est etiam proprietas demonstrata circuli. 2

== -

== V -

710 Coroll. -Cum ob hanc rationem sit MB ....:. ME +EB = 2ax-x'2+4a -4ax+x = 4q: -2ax, ha.. bebimos AM + MB = 2a.x + 4a 2ax = 4a = AB ergo AB est hypothenusa triang. AME,, ac proinde angulus in semicirculo AMB est reétus, prout demonstratum manet. i' I 1 Probl. 4. Cognitis di'stantiis duarum applicata-· rum a centro , ma1orem znvemre. . Solut. Distet applic. EM = y centro quantitate· EC=.m, & applic. PD = z quantitate CP = n , & sit 2

;

•

·23 Pars VI. Art.111. Fig. rn >n ; ducendo radios CM= CD= a , habebimus a 2

y +m =z +n ; ergoy +m -:z +n ;sedm >n per hipoth.: ergo z > y & consequenter z >y; hoc est, app/icatarum illa est major qute minus distat a centro; & 2

hoc ipsum verificatur de cbordis , quarum applicatte r!ledietates sunt. 712 Def. 1. Parametrum curvte vocat.u r terlia pro.. portiorialis ad suo's axes, seu diametros conjugatas. 713 Coroll. 1. Ergo cum axes , seu diametri inre,qua.. les sint , qmelibet suum habebit parametrum. - 714 Coroll. 2. Ergo in circulo diameter ipse erit pa.. rametrum. 715 Def. 2. Focus curvte dicitur punél:um in ejus axi 'principali existens , ubi applicata est requalis dimidio parametr~ prrediél:i axis ; & reél:a duél:a e foco ad curvam , vocatur radius veCtor. 716 Coroll. Ergo in curva tot erunt foci, quot puneta in ejus axi principali , ubi a_p plicata sit requalis dimidio para!Jletri ; consequenter in circulo unicus est fo-. cus, centrum nempe. 717 De~ 3. Tangens curvte est reél:a GM, qure illam in unico puné:to M tangit , cum cretera extra cadant : lin. 98 DlyI ereé:ta perpendiculariter super tangentem GM in punél:o contaél:us M usque ad concurrendum cum axi in punél:o D, vocatur norma/is, seu perpendicularis ad curvam: parsPD axis, comprehensa inter normalem, & ordinatam PM, vocatur subnormalis: pars PG axis comprehensa inter ordinatam P M, & punél:um G in quo tangens secat axim prolongatum , dicitur subtangens. 7 18 Probl. 5. Invenire lin. contentam in requatione r

y2 95

== a2 -

x-z Sol. Duéto axi direétionis RS , & eleéto punél:o C tan-

De,,Construcl.funclionum, e;?c.

239

tanquam origine abscissarum , si facimus y o , resul- Fig. tat .x -+- a : ergo si sumimus CB = CA -+-a, lin. reprresentata in requatione transiet per punéta B, A reque distantia punéto C. Faciendo etiam .x = o, resultat 95 y = :±: a : ergo si in origine ab_scissarum C eriguntur applicatre orthogonales CG = CK habebimus quod curva transit per quatuor punéta A, .G, B, K reque distantia punéto C; ob quod verisimile apparet quod sit circurnferentia circuli , cujus radius = a , & centrum C. Ad hoc comprobandum, supponamus quod faciendo ,r.; = CE resultat y= EM: si postmodum ducimus origine C reétamCM, habebimu 5 CM .. ==CE .. -t- EM .. :=xs-t-yt=

=:±:a,

x +a 2 - x 2 =a :ergoCM a; &ita omnia punéta M curvre reprresentatre in requatione reque distant apunéto C: ergo &c. 719 Coroll. Ergo arbitraria est eleétio originis abscissarum ad reprresentandam naturam curvarum ; & ex haé varietate prodit etiam varietas requationum , quibus reprresentantur. Sic vidimus eandem curvam per duas requationes diversas reprresentari ; & licet in casibus hucusque propositis axis curvre coinciderit cum axi direétionis , neque hoc necessarium est, sicut in sequenti problemate apparebit. 720 Prob. 6. Invenire !in. repr12sentatam in 12quatione y = 2ax - x a + 2ay. Sol. Dueto axi direB:ionis Hl , & electo origine abscissarum F, si fa·cimus y= o, resultat x =a: ergo sl!lmendo FK lin. transiet per punétum K. Substituendo loco .x hunc valorem .x = a, resultat y == -+-: a + a, hoc est y== 2a , y =o ·: ergo si in punéto K erigatur applicata orthogonalis KG == 2a, lin. transiet per puncta G, K. Si supponimus x = o, erit y :::: a : ergo si in origine q . F 2

=a,

Pars VI. Art. 111. Fig. F abscissarum erigitur applicata orthogonalis FA= a lin. transiet per punéta A , G , K, ac proinde erit curva, Si sumendo K!J = FI{== a, facimus x FQ 2a. resultabit in requatione y = a ; & ideo erigendo in pune-, to Q applicatam orthogonalem QB ..:_a, habebimus pune'"'. ta K, A , G, B , per qure transit curva ; cumque ulterius , FA , QB sint requales , & parallelre , etiam reéta AB erit requalis, & parallela ad reétam FQ; proinde CK erit etiam requalis, & parallela ad FA: unde resultat AC = CB == CK == CG == a : ergo curva transeunte per punéta A, G, B, K, distat reque punéto C; ex quo deducitur , quod est circumferentia circuli, cujus día.meter AB = 2a , centrum C , & axis direétionis HI, : ejus tangens in pun&o K.

= =

A R T I C U L U $· I V. De Seéfionibus Conicis. yocantur generatim sectiones conictf! illre qure res·ultant in cono seéto per quodlibet planum; sic circulus est seétio canica, qure oritur secando conum per planum parallelum ad suam basim. Triang. est etiam seétio conica , qure _oritur secando conum per planum , per ejus verticem, juxta axis direétionem, transiens ; quod quidem idcirco vocatur t rianguluf!J per axim. Tamen speciatim vocantur sectiones conictf! tres quredam seétiones faétre in cono , quarum originem, & proprietates examinabimus. 721

AR-

De Origine, & cequatione, &c. A RT I CU L U S

Fig.

De Origine; & tequatione genera!i sectionum conicar1,m. 722

pRob. Invenire tequationem curvte MDm qute

resultat secando conum rectum ABC per pla- 9 6

num DMP. Sol. Si consideramus quod per verticem B transit planum BAC perpendiculariter ad basim coni, & quod planum secans DMP est itidem perpendiculare ad ídem planum BAC , interseétio duorum planorum erit reéta DF. Consideremus quoque quod per punétum M transit planum LMG parallelum ad basim coni ; profeéto bree seétio erit circulus perpendicularis ad pla. num BAC, & ejus interseétio cum plano D MP erit ( 542. 523. ) reéta P M perpendicularis ad reétas DF, LG~, qure ex hypoth., sunt in plano BAC; ergo P M est ordínata communis ad circulum , & ad seétionem MDm. 96 Hoc supposito sit DP = x, PM =y, BD= d, ang. DBF = B , & ang. BDF = D : habebimus juxta naturam circuli y = LP x PG. Ducendo nunc in plano BAC lin. DE paral. ad CA, & P K paral. ad BC habebimus per triang. BDE, sin. DEB: BD d :: sin. B: DE== sed ( §. 40 6) DEB= 90°-½B; ergo sin. DEB=sin. ( 90º-½ B) =cos.½ B 2

~,:.sZi!;

( §. 6 5 4 ) ; & consequenter DE== d •

si:·:; sed (

,os . ..

(supposito pro · nunc ac postmodum quod sin. totalis

· Bsm. _

· stn.

B cos.

r 2

B ,ergo . DE -_d.

§. 6 9 )

= I)

sin. f .!.BBm. ½B -_ ,os• ..

2d sin.½ B. Etiam virtute triang. DKP habebimus sin. q2 DKP

Pars VI. Art. V. ·

242

Fig. DT< uP : DP K :: x : DK =:

X .

s in. DPK

sin. DKP

;

se d ( §. 3 6 5 ) ang.

D.KP = DEB, DPK=. DFE =. D + B ( §. 400 ) , & sin. DEB = cos. ½ B, juxta demonstratum ; ergo DK x . sin. D -+- B & K D D· -: ,o;. t B consequenter E == PG == E K _ -

d "·n

.,1 •

.!.

B _ · x . sin.

D -+- B • cos. ,:' B

Habemus etiam per triang. DPL ~ sin. DLP: x :: sin. D: LP :;/~f:.,; sed ( §. 6 5 4) sin. DLP=:sin. BLG

·. BGL. BED_- sm. . _ sm. - cos.r zI B·, ergo LP_x.sin.D ,B COS, ;:1

qui valores substituti in, requatione y ~.D - - ,-B2

cos.

-¡¡

•

= LP x PG dant ys==

•

~--

~.D

(2dxsm. z B cos. z B - x sm.D + B)_ en. ;., B2

x sin. D + B). 723 Schol. Tres ca.sus occurrere valent. 1 º Quando D + B =. 180 º , quod quidem accidit , dum planum se~ans DMP est pqrallelum ad latus BC; quo ca.su seétio 2

( d x sin. B -

éonica vocatur pm~abola, & ejus requatio y :

== sin. D • ~in. B

(OS,

_ sin. B_.._ d - d (2 sin. -} B. cos. ';° B).,_ _ d X - --;-Bz• X X , B cos. 2 · cos. 2

sm.-:;:_

B.,_

•

2.º Dum D + B est minor 180°, quoties nempe plarium secanS' DMP produttum secat aliud latus BC; & tune seétio resultans vocatur eliipsis , & . ejus ~quatio

est y

= , sin.

cos. ,; B

(dx • sm. . B .

• x s • sm. D + B) •

Dum

De Origine, e§· t.equatione, &c. 2_43 Dum D + B excedit valorem I 80° , ut accidit Fig.

3. º quando planum secaos DMP produttum secat aliud la~ tus BC etiam produttum versus verticem B coni ; quo casu seél:io conica vocatur hyperbola , cujus requatio esty~::;:::: sin. D - ,COI.

(dx.sm. . B +x sm. n· + B 2

•

8o º) ; nam cum s1t .

D + B .> 180° , ejus sin. debet esse negativus ( 649 ) ~qualis alteri positivo tot grad. quot D + B excedit r 80 º. .,

ARTICULUS

VI.

De Parabola.

2C' Quatio ad hanc curvam est y

724

4dx sin. ; B._, Ln & faciendo quantitatem constantem 4d sifl. ¼B p , erit y px , qua requatione media , figuram, construtt. , & proprietates parabolre comperire sa• tagemus. Ad hoc ducatur axis direttionis R, & eligatur 9? origo A abscissarum. Patet quod faciendo x = o, re~ultat y = o , & vice versa; ergo parabola transit per punctum A , quod vertex parabolte appellatur. Ex eadem requatione resultat x : y :: y : p ; hoc est , omnes O'(dinatce PM sunt medite proportionales inter suas abscissas AP, & quantitatem constantem p: ergo si puntto A suman• tur valores quilibet AP , AP &c. , & inter singulas AP, & p medire proportionales P M, P M &c. qurerantur, ac supra puntta P axis perpendiculariter attollantur, curva transiens per omnia puntta M , & A erit parabola. · Cum sit y _:.. ± --v' px patet quod cuilibet abscissre AP respondent dure applicatre requales , una positiva P M, alía negativa Pm; ergo parabola habet duos ramos, qui q3 e 1

:==

·-Pars VI. Art. VJ.·

24:4 Fig~

e vertice

A procedentes, alius supra, alius infra axim · tendit; & ob eandem rationem RS semper erit axis parabolre. . • · Cum sit y =. px, _crescente x ad infinitum ., usque . creséet similiter y : ergo duo rami cu jus curvre sunt in~ finiti, divergentes inter se, & ab a_xi RS, qui quidern idcirco erit etiam infinitus, ac consequenter ejus punétum· vertiée A : cónsequenter du_; inedium dista:bit infinite plum ordinatre correspo,ndentis erit ejus a](is conj1:1gatus; etiam tnfinitus. . 725 CoroJJ. 1. ~u~ in omni casu _°' sit x: y :: y: p; 97 quantitas p constans erit tertia proportionalis ad abscissam , & applicatam ,.etiam, dum '~re cóordinatre sunt infinitre : ergo p est parametrum axis curvre ; sicque dice_mus quvd in paraóola quadraturn: .ordinat~- est te,quale _reflangulo abscis~a? per parametrum. _. 726 . Corol~ 2. Cum .sit _i~aque y = px_ ,:e-r it respee~. _tu alterius ordinatre =V' & alterius abs,cissre = .z ' V~ -;'"' '..' pz ·; ergo y V~ :: px : pz ::. X: Z; & consequenter J : V -:~ Y x : -v,z.:.; hoc · est , quod in parabqla quadrata ordina"i tarum . sunt : sicut abscissa? : & ordinata? sicut radices ~quadr,at{l! "si1arum abscissarum. . . . . , .727 ProbJ •. r~ Im:enire focum in . parabola. S9lut•.Quoµiam ~pplicata in punéto foci est requalis '.d imidio :.para.rnet~i _, f~ciendo y== ~ , erit y~== P4 == px1 -.consequenter · x ==·L ; · hoc est vertex ' in hac . curva dis.J. , ' . . . . 4, . \' . . .. . :rá,t . d vertice 'A. qugrta parte parametri p ; & . i<!,eo s~. su-: "múnu~, .AF .. -~ : ' .e~it _·F focus parabolce. . . . '; V ·: 7~8 . -Pn;>ol. 2. Determinare in par abola valorem t1rnius . radii peetoris ct!jus!ibet FM , ho_c est distantiam foci F !¡,, .p_unf/tpJJ.t!q#b,et M para_'1ola?. 2

a·

: :

:.. ,

So-

De Parahola. .

·245

Solut. Cum sit AP x, erit FP AF- AP Fig• .L x, seu AP-AF== x - L; FP,. ",z, 4 4 p x + ~: -, cum sit etiam juxta equationem p M ==Y,z, px , habebimus FM F P'-+- pM' ~ xz - P~"' -+- ~:-+x -- x'l-+- px-+r16 '· ergo FM== x + L4 _,· hoc est , in .p -2 parabola radius vector quilibet, ve! quod idem est , dis .. tantia foci ad quolibet punétum parabo!ce est cequalis abscissce respondenti addita quarta parte parametri. 729 Coroll~ Ergo vertex cujuslibet diametri para-bol.e distat a foco F quantitate x -+- : , cumque in hac curva distantia foci ad verticem sit requalis quartre partí 9? parametri ( 731 ) , infertur quod para!netrum cujÜsli-bet diametri parabolre est:::::: 4.x + p ; hoc est ,- requale parametro p axis principalís , addito quadruplo abscissa? ,correspondentis. . 730 .Probl. 3. Pe_r punétum M datum in parabola AM ducere tangentem G M. · Sol. E punéló M demittatur ordinatá orthogonalis P M, _& faciendo PG:::::: 2.x, ducatur GM qme -erit tangens quresita. Consideretur GP crescere, aut minui quanti .. tate , licet minima , Pe== n , & erigendo in punétis e perpendiculares ch,. dicatur pars co == z; erit GP : Ge::

p M : ch , seu

• /-

x : 2x + n :: .Y== v px : ch

·v==

px ., np -+-

sit

quantitas

n::- ;.etiam erit ( ¡-

_V px_;_np

v P"

+ n ::

np ; verurn si ve· n

aut · negativa ,

positiva ,

(is-+- ) · , -

7 3 o ) V x:

V px : z- == ,.¡ P"7 /-±=,e == V px ± -

== ~ == sen:iper

est

n,.:~ ypx ± np; ergo semper ch> co; hoc 4

test , . licet minimus iit .valor

11 ,

ordinata: co aó parabo-

1am

Pars VI. Art. VI. Fig. Iam sunt minores ordinatis ch ad triang. GP M quantitate nec esse requales verificabit-ur nisi dum n:=o; proinde GM tangit in unico puné:to M parabolam reliquis extra eam cadentibus : ergo &c. 731 Coroll. r. Ergo subtangens GP est semper du .. pla abscissre AP, cum in omni casu segmentum externum G A requale sit dié:tre abscissre. . 732_ Coroll. 2. Medio triang. reé:tangulo GMD habebhnus GP: PJt,1:: PM: PD, seu 2x: -Vpx :: Vpx : PD hoc est , quod subnormalis CD est semper cequalis dimidio parametri , ac proinde est quantitas constans. n ~, 4

== : , 97

733

= V 4x

Coro11. 3 . Ergo erit tange ns G M :=

+ px

== _V-;;;JiiiF----:-X

VPn'+PM_.~ vp42 2

V Gp +p 2

; & normalis MD

11,12

+px==VFM. p. , 734 Coroll. 4. Cum sit GD requale summre subtang entis , & subnormalis 2 ~ -+- L , erit GD x -+- .L: 2 2 4

ergo G•D GF FD==FM & punétum F erit focus parabolre, consequenter si hoc puné:to describitur radi<;> FG == FD circulus , ejus circumferentia · transiet per · · puné:tum M. 735 Coroll. -5. Ergo si foco F cum aliquo intervállo ad quodlibet puné:tuin M parabolre describitur semicirculus , ejus semicircumferentia determinabft puné:ta G., D subtangentis & subnormalis, ac proinde tangentem , & · normalem in illo puné:to M. 736 Coroll. 6. Ergo triang. GFM erit semper Isoscele ; ac proinde si per puné:tum M ducitur lin. MKparallela ad axim AD, erit ang. KML MGF=FMG. 737 Probl. 4. Invenire tequationem parabolte respec ...

·tu a~i.s BE perpendicularis ad axim principalem RS in ejus

247

De Parabola.

ejus vertice A, quam vacare solent 12quationem ad pa- Fig. rabolam externam. Solut. Substituatur in requatione y 2 = px loco :y, x, nec non & x loco y; habebitur x = py, qure quidem est requatio quresita' denotante y ordinatas BM' ac X abscissas AB. 738 Probl. 5. Invenire tequationem ad parabolam respeflu ax is MK paralleli ad RS , & ejus applicatas BE p arallelas ad tangentem in vertice M. Solut. Fiat ME== x, BE ==y, AP == AG == a, habebimus M.P V ap , ac appellando q parametrum correspondeos novo axi MK, erit ( §. 7 3 3 ) q == p-t- 4a, & MG Vaq ( §. 7 3 7 ). Hoc pasito, ducendo Ji • . BV perpendicularem ad axim principalem, triang. similia BFV, MGP dabunt MG: BF:: MP: BV, seu V aq: y+ Y aq,:: Vap: BV =SW-+-Vap; etiam erit MG: BF:: GP: FV, seu Vaq: y+ilaq :: 2a: F/7== ..,_/ª'lY -t- 2a·; sed FA==FG-AG== x - a , cum . sit FG == ME ; ergo A/7 F/7 + FA== x -t- a + cumque per naturam parabohe p. AV= BV ,habebimus 2

= 2

;i ;

ap + px + ./~º~l=(Val>~ Y .;_ª ) == ap+ 2J..! +~·vº • aq 'r' ,./ a¡ • qa aq U nde transferendo , & reducendo , deducemus denique y 2 = qx, -ac consequenter y=+- il qx ; hoc est cui- 98 libet abscissre correspondent dure applicatre requales, una positiva , & altera negativa : ergo MK est diameter pa.rabolre. U nde apparet ingentem esse similitudinem inter requationem ad parabolam respeétu cujuslibet diametr.i, & eam ·qure propriam naturam definit . per respeétum ad axim principalem. Probl. 2

Pars VI. Art. VI.

in-

739 Prdbl. 6: Dato axi A V, & pardmetro = p venire diametrum MK , qute cum ejus ordinatis efficiat ang. MEf=a. Solut. Hujus problematis pendet determinatione punéH P , in -quo perpend. MP secat axim. Ad hoc, faciendo AP = x , habebimus medio triangulo· reéi:angu-

Fig.

== PM .::___ Vpx· :: cos. a : sin. a:: r : == - == tang. a== -p"'- , consequenter tang. a = •-: ·. ~ ; ergo x == = cot. a ; ac determmato per 4 4 'lo GPM; GP

'M iG

' sin,

2."t":

,Jp~

cos. a

---•

P -;:-

ta11g. a

hanc cequationem punétó P , perpend. P M detetminabit verticem M diam·e tri MK, cujus parametrum erit == p-+__ ,, c-"+-1) _ p ,os. a _ a _ cos. a 4X . -P--..- • .,.._ p sin. __ ,, -_ - p• , cum si_t cot. _J_

sin. a

·sin. a

::::: 'º"· , & sin. a" -+- cos. a• •

·, SLn.

sin. a

r. - Hint facile cognoscitur ~

hoc problema duas admittere solutiones ; nam determinato ·punéto P , determinare etiam possumus· punéi:um m ·, & a pplicatam Pm = - 1/px &c. • .- 740 Probl. -7. Data diametro MK, cujus vertex est punétum M, ejus _parametro = q ,. & ang. coordinatarum ~a, invenire axim AV, verticem A, & parametrum p. Servando easdem denominationes ac in problemate antecedenti , habebim~s q· == p -1- 4x quenter p

--")

=·q

-.-,. '

szn. a

. ,

,...

. .,.

== .

,r,n. a

J:._!,

;

conse-, ·- : t •

q-:-q sin.«

--;¡---

--•

q ( I - s;,z _ a _ ------ 'J-cos·-4 -a , & P~ ~ :±:: Vpx == ½q sin. a. , 4 · .

cos.

'! ~ : '

•

q sin. :2a ( §. 6 s 9 ) ; &·ita erigendo 'in- M

per-

. ·De Paraba/a. perpendiculariter ad diametrum datam MK lin. MP

== Fig.

--2

'1 'º::_'=- habebitur punél:um P , per quod duc1a .AV para!.

lela ad MK, problema resolutum dabitur.

741 Prob. 8. Dato, seu ad arbitrium electo para~ metro unius parabolre , eam mechanice describere.' Ducatur axis RS , & eleB:o in eo punao A , su,roatur .AF= quart:re parti parametri , ut · liabeatur focus F; in punéto A erigatur EAB perpend. ad RS , & sit lf.lV!B. regula- mobilis, parallela ad AS juxta direB:ionem BE, sumen'do filum -KMF=KM+PA+AF, alligabi- 9'! tµr una ex ejus extremitatibus in foco F, & altera in e~tre_!11itate K regulre BK; hoc faB:o applicetur· regula BK .ad _axim RS , usquedum . punétum B cadat ~uper pune;:~ túm A, ~ .procedatur postmodum discedendo, ducendo semper 'filum bene extentum, & eidem unitum medio frustuló-lapidis delineatoÍ-ii Me punao A ; profeB:o lin~ h9c motu continuo descripta, erit parabola; semper enim 'verificabitur quod sft FM . ÁP A;F __:__X-+- ~ '~me qui~ üem est prop~ietas parabolre ( §. 78~ . ), qure nequideiri in punB:o A deficit , cum in -eo sit x = o. · ··

ARTICULUS - VII. . · De- EJ!ipsi. , ... -' ., -

•'742 ·~

·Quati0 ad ellipSim est

y•=;;;;.·(

dx sin. B-:

sin. D + B) in qu~ appélret cuilibet abscissre .AP ~or"99 respondere duas ordinatas requales, unam positivam P M, & aliam n.~gativam fm ; ·& siqtüdell} fadmus y ~ o re~ -. :, · · sul~-2

Pars VI. Art. VII. Fig.

. . d sin. B d sin. B sultat x=o,x= --::==; sumendoitaqueAB------ - -sin. D

- .rin, fD+ B,

habebuntur punB:a A, & B in quibus ellipsis secat axim direéiionis, determinando ejus axim majorem AB ; quem . z sin. D .rin. B dx faciemus 2 '!, , & erit y

sin. D • .rin. D

co.r.

¾ B.,_

•

- ..... .

n:.sin. D + Bx"- == sin. D • .rin. D + B( ----====-=--2 ax co.r.

¾ B.,_

co.r~

== ½.AB == AC ==

mus x

z) S' ~ . x • 1 1ac1¼B.,_ a , & appellamus b applicatam,

. . . CV . bz aut sem1ax1m mmorem , ent b7

seu ,. ·

+ B dx .rin. D + B

sin. D. sin. B • sin. D

½B,.

co.r. .rin.

+ Bx.,,

co.r.;; B1.

• .rin.D+B = .rin.D ----::==-== ; co.r. ¾ B,.

ergo .Y

== b7

----::=== + B a z

.rin. D • .rin. D to.r. (

ax -

¾B"

, qure

quidem requatio reprresentat naturam ellipsis, numerando abscissas vertice A, ac etiam cum ea axes conjugatos, atque in sequentem analogiam resolvitur y'l : x • 2a - x :: 99 b" :a seu PM~: APxPB :: CD~: CB~; hoc est in ellipsi quadratum unius ordinatte cujuslibet ad axim majorem, est ad ref1angulum segmentorum, qute super illum axim efformat , sicut quadratum axis ·minorii ad quadratum axis majoris. Si fac~m~s; a - x,, hoc est CP x, erity '= (ai-x requatio simpl!cior quam prima , qure manifestat naturam ellipsis, numerando abscissas centro C; obser.. .vatuque dignum est , quód si supponatur b = a , resultat y = a-: --:-- x'l , qure est requatio ad circulum ( 7 IJ3 );

)

un-

De Ellipsi.

unde infertur quod circulus potest considerari sicut ellip- Fig. sis cequilatera , seu axium requalium. • 99 Hrec requatio dat y == -+- : a• - x ergo crescente valore ex x in sensu positivo , seu negativo , decrescit valor ex y , usque dum deveniendo x = -+- a fit y= o; ex quo deducitur, quod ellipsis est curva clausa; qure punéta A, B non pertransit, quoniam si fit x > a, resultant valores impossibiles in y.

74 3

;

== :: (

Coroll. 1 • Cum requatio y a x' ) 2 2 transformetur facile in hanc , x b - y ) habebimus x b - JI . b + y :: a b.,_ , seu Mn CnxnE :: AC _ CD ergo quadrata ordinatarum ad axim minorem ellipsis, sunt ad reéfongula segmentorum , super illum axim efformatorum, sicut quadratum axis. majoris ad quadratum axis minoris. 744 Coroll. 2. Appellando p parametrum axis majo-:ris, erit ( §. 7 1 2 ) 2a: 2b :: 2b: p· == 2 ~~ unde resultat b ::= ½ ap, qui quidem valor substitutus in requationi-

== :: (

;

bus superioribus, daty2 ==:ª(2ax-x ),y ==[ª(a - x

2 );

primam pro iis casibus , in quibus numerantur abscissre e vertice ; secundam dum numerantur e centro. 745 Coroll. 3. Si centro C ellipsis describitur cir-culus radio== AC ==a, & applicata P M producitur usque adN, faciendo P M==y, PN=z, erity (a - x b a sed per naturam circuli z = a• - x ergo y z 2 :: b 2 : a seu y : z :: b : a ; ergo ordinatre ad ellipsirtj sunt ad ordinatas in circulo sui axis majoris per d.iametrum, sicut axis minor ellipsis ad suum axim majorem. Si supponamus quoque quod super axim minorem ellipsis describitur alius circulus , faciendo ordinatam ad ellip-

;

):: 2

Pars VI. Art.VII. Fig. ellipsim =: s, & ordinatam ad circulum =:u, erit s u 99 a'1. : b", vel invertendo u" : ss :: b a" , consequenter u : s :: b : a ; ergo y : z :: u : s ; hoc est , ordinata? in ellipsi respeétu sui axis majoris sunt ad ordinatas in circulo, formato super illum axim per diametrum, in ratione inversa ordinatarum in el!ipsi respectu sui axis minoris, ad ordina.. tas in circulo descripto super bunc axim per diametrum. 746 Prob. I. Invenire focum , aut focos ellipsis. Fíat y , ½p = bª,. , & substituendo hunc valorem in requa2

!ione y

== ::

(a-i -

2 )

== ±Va"-b";

habebimus x

=-+- v

faciendo igitur CF == Cf a~-b'1. , habebuntur' foci F, &f ellipsis ( 715 ) , sic si e extremitate D axis

minoris cum radio = a fiunt decusationes F , f, determinabuntur foci; quia semper excentricitas, ve! distantia a centro ad focu!" CF == Cf == ± b" , signo ± denotante focum unum cadere ad tatus unum centri C, a/ium ad aliud. 7 47 CoroII. 1. Ergo AF:= CA- CF := a V a -b & Af== a -1- V a - b hoc est, quilibet efocis e!tipsis distat a vertice principati A quantitate a?quati dimidio axis majoris, :::¡::: radice dijferentite quadratorum semi axium conjugatorum. 748 Coroll. 2.Etiam eritAF>:,BF==(a-Va'1.-P) ( a -ta 1 -b'1.) == b'1. ==CD"; hoc est, quadratum semiaxis minoris ellipsis est medium proportionale ínter distantias focorum ad duos vertices A & B eltipsis. 749 Prob. 2. Invenire expressionem radiorum veéfofum FM· , fM. Sit CF=:Cf=q==Va 1 ,erit q as -bs ,' con-

Va" -

-b:

De Ellipsi.

consequenter FM-==.

V PM +PF'==VY:. + (q-x) =:.Fig. 2

V(b'-~-1--a -b,.-2qx-t-xs)=Va~-2qx+::ca -b 99 == 2qx + 9 0 :.,, == a - .!E.., Per hanc methodum ª=--a inveniemus/M== VPM:i. + Pf' == ¿-q"T" x ·, == 2

va~ -

)

y.,,~

a+:!!... a

75o

Coroll. Ergo FM -+-f M= a -

== 2a ;

9 :

-t-a -t- 9

hoc est , summa duorum quorumlibet 'radiorum veétorum ellipsis est semper a:qualis axi majori AB. 75 I Prob. 3. Per punétum datum R ducere tangentem R T ad ellipsim. Sol. Ducantur radii veétores FR, fR, ac produtto FR, ita ut RS = RF, ducatur Sf, & dividatur in duas partes requales in O ; reéta KT dutta per puntta O, R, erit tangens quresita. . Fecimus RS = Rf, ergo FS = FR + fR == 2a, etiam fecimus fO == SO ; ergo omnia punéta lin. KT sunt reque distantia punéto f, quam punéto S ( §. 333 ) , & consequenter Kf == KS ; ergo Kf + KS == KF + Kf; sed (KF+ KS) >FS; ergo(KF + Kf)> 2a; consequenter punétum K extra ellipsim cadet; & idem probabitur de quolibet alio punéto linea TK distinéto pun~o R : ergo &c. 752 Coroll:Ergo anguli TRf, KRF, quos format tangens ellipsis cum radiis vettoribus duétis ad punétum contaétus , · sunt ::Equales. N am cum sit RS == RF, & SO = fO, triang. S Rf est isoscele, & tangens TK est perpen-• dicularis ad basim Sf ( §.334); ergo TRf==TRS (§.409), sed TRS == KRF per verticales ; ergo TRf = KRF. 753 Prob. 4 Invenire in ellipsi expres_sionem subnormalis HL. An-

Pars VI. Art. VII.

Fig. Anguli HRK, HRT quos format normalis HR cum 99 tangente KT sunt requales , quia sunt reéti , & cum sit ' KRF= TRf ( §. 75z ) sequitur quod FRH = fRH ( §. 10 ) ; ergo ( §. 455 ) FR: f R :: FH: fH , vel FR + fR : fR :: FH + f H: fH

fR x ; : :

f1j_ =

~;:, sed q x == fL , numerando abscissas centro; ergo fH == fL -+- b'/, & consequenter fH fL . a P"' , cum s1t • ¡,-, --¡,,.a. 2. l!C -_ -'l.a -::-2ap ( §• 7 4 8 ) • HL- _ . a... 754 Prob. 5. Invenire in ellipsi valorem subtangen-

tis LT. Sol. Cum sit reél:angulum in R triang. HRT habébimus ( §. 4 5 7 ) HL : LR :: LR : LT

= LJ;-;

= ~~ =

~ (as x ) a 2 -x'l --b-;¡-;--- -;e-• 2

eoroll.

d~ -l!C 2

r . E rgo CL x LT x . -:e--= a -x : 2 ita appellando S subtangentem LT, erit Sx a - x2 • 7 5 6 Coroll. 2. Ergo CT LT-+- CL = a'- x /!C,, -+X=ª,,", unde resultat x: a:: a: Cl', vel CL _: CB :: CB: CT-cujus requationis vi determinare poterimus punél:um T, ac subsequenter ducere tangentem TR. 757 Theor. Si epunéto contaCfus R, & per centrum

755

100

C ellipsis ducitur recta RCH; & per ídem centrum C r-ecta NV , parallela ad tang. TRZ, & epunétis R , N demittuntur ad axim principalem AB ordinatce- ortbogona--

De Ellipsi.

25.5

,na/es RK, NI , triangula RKCNIC erunt a:qualia ..-Fig. · Sit ClC-=. x , NI-=. u, per similitudinem triangulorum ·NIC,RKT habebimus KR KT :·:Ni': el; sedg]f _:. :: (a x· ) 'KT ==·("-' x 7 5 4)' & e f == ;; (b ·- u ( 7 43): ergo!: (a' - x' ): (ª -;_x~y :: ,/: (a- "; ),& 2

)

(

' (

)

2-" -

=consequenter u ==bax, unde resultar CK:

ljl :: _a: b; eademme-

thodo inveniremus etiam CI: KR :: a: b; ita ut CK: NI:: a: b :: CI: KR; ergo tríang. RKC, NIC sunt requalia ( 508 ). . 7 5 8 Coroll. Ergo Nl == :: . CK == b' -· - RK vei' "Nt -+- RK == b' ., cúm sit CK?, == ~ (b RK') ( §. 7 4 3 ) , "& ob easdem rationes habebimus f C -z KR == a - C K , vel C I -1- CK a • 759 Prob. 6. Invenire · a:quationem ad ellipsim per •respeC-fom ad unum axim principaiem QR, & ordinatas -PM para#élas ad_ tangentem i_n vertice R. . . Sit CP == x, PM=y, RT= t, RK= r,KT = f, .CK:::: z, CR = .m , & ducantur PG , lf!T perp~nd. ad .axim AB, & P L perpen9. ad MF j habebirpus virtute _triangulorum similium RKT ., _MLP (supponendo, ut l.d i.. ,ximus, sin._ totalem == ~) ML == ': ,_P L == FG == s;. ; etiam _habebimus per triang. CPG, CRK similia , , PG == FL == ;; , CG==~ ;. e~go.'CF==CG-FG=:-s:, & FM ·FM= FL -1- LM== '.:..:-+ .2'...; -sedjuxta naturam ·ellipsis, m t , est :: ·• F M~ _ . a C K ergo s'úbstituerido, & ordinanr• - s2) "'Y+ (ª2 r• • :¡2) a . (ª1 d oent -+ y - s; - (ª' -b"l.,2- z s) --+-x b'.Z. t• t mt , b m 1. & • ( S ) a• r .- a , , quomam ~- 7 s .. -¡.:= fl - CK ~ ~s 2

:i -'

-·

= .

2 m2

2,_

== ;: ,

.(§. 7 ·'5·5 )denique habebimus ,::: a2.

•

(ª ~.::.+-~) ,,/-1-(ªb•m~*!.:)xs • 2

b• ,~

,,.

Pars VI. Art. VII. · Fig.

Si in hac requatione facimus x

= CN,

v a•-x•~ -+-b• .r• .,2 ,2-+-

b• s• b• t• ·

o , resultat y

quam ap·pellabimus·'

= n, & · ·

= erit '

"º b . "d . . . ==-;;,-; o servamus 1t1 em quod fac1endo y= o

- ~ a• • •d em ~a• CR resu l tat x m; ergo a• r•b • --4m' ' qm-qm lores substituti in cequatione modo adhibita dantª_. y 2 + ~x:i n2. m

== ;;;-;

a ; ergo dividendo per a , multiplicando per n 2 , & 2 · transferendo' habebimus: y n :1/ == nm•~ (m2 -x 2 ) , m~

':.:

cequatio perfeél:e similis ei quce axibus corresponde_t ; µnde i nfertur, quod CN ·, CR sunt semidiametri conjugatce.

f 6o

'coroll.

Vidimus ( §. 7 5 8

== b~C/ _-+-. CK

quod N/ 2 -f-

+ b == N i J. -+-· • . _. - z -CI + RK +- (Ji( := NC + RC == n + m ; hoc es~, . RK2

== a

)

ergo a' -

summa quadratorum duarum diametrorum conjugatarum est ;emper cequalis summce quadratorum duorum axium. 761 Coro 11. 2. servando easdem denomi"nationes, & ducendo Iin; NR , area triang~ NCR == ½' (NI+ RK ) ·( IC+ CK) - · · ½IC x- IN1·- ½CK~ RK= ½ IC >s· RK · -+- ½· CKx NI==. (§.75 8 )-½ (: . :: (a" - CK + C K• ) =: ½ ab; & ·consequenter area parallelog. NC RZ erit ab, & area pa.r--allelogrammi integri J]"TZS =-4-ab = 2a_-. . 2b; h.oc ,est quod omnia parallelogramma cir,cu_nscripta a4 ellipsim , su11-t ce.quqlia inter se & reC!__a:ngulo duorum axium. · 762 Coroll. 3. Si vocamus p anguiumCPM= NCH, 1 érit ·-area trianguli -NCR =: mn :Í[I-P. ( §. 6 8 3 ) ctim sh sin. ' NC)l ~_s_ in,- -NC~ ( §. 654.)_ e,rgo mn' sín. p__ =:: ab _( §.76a:-). 763 Prob. 7,. Datis duobus semiaxibus a, b ellipsis, in¡_, · ... , · ve-2

)

·. = ....

•

De Ellipsi. v enire duas diametros , cornprehenden tes angulum datum Fig. p = NCH. . 2 S Ha b emus m -+- n a 2 -+- bt. , & mn == -.a.b- ; ergo

& m + n + 2mn ==a ·, -+- b' -+- -.--; s,n. p.

sm. p

--t-

n2 -

2mn

~;consequenterm-+-n==Va•+b"+ ªb; s,n. P. sin. p

=:a' +b" .

2 11 b

== Va"+b"-s,n. -2ª 6p

qme requationes per media

additione '& substraétione dant m

= ·½Va•+b•+

~ab sm. p

+½Va•+b•-stn. ~ab ,~=½Va•+b•+ ~ab -½Va•+b•- ~ab • p sm. p sm. p

Ad determinandam nunc direttionem unius diametris , vel ang. BCR, quem dicemus = C, scire oportet quod ang. NCH = p = CRZ ( §. 365 ) = C + RTC ( 400 ) : ergo RTC = P c.; hoc supposito , ac pr:e oculis habendo, quod sin. CRZ = sin. CRT ( 654 ); medio triangulo RCT ,inveniemus sin. p-é : m :: sin. p: CT-~ (7 5 6) == _;. sin. P - ; ergo CK - az sin .- ¡=.,· &trans. CK

Sltf•

sin. p

·-

eundo ad triang. reétang~ .C RK, habebimus 1 : m ;: cos. e: 42 sin . '. ' ; ergo r,./ cos. e . sin. p a sin. p-c == a' sin. p. m , s,n,p

•

11.1.-m 'Z

•

cos. e - a, sm. ecos. p , ~ -- sin. p,. cos. e== sm. i-. cos. p. 2 - m 1 . ,.__ sin.e cos.p _ t ang. c ( 1:: -6S S ) & d emquc . veI a. - -cos. e . -.-p ::1• , • a~s,n. p _ ta11:, tang.

764

•a 2 - m 1

tang .. p • Coroll. Si attendamus _ad formulas deter;minan.... aZ

•

tes valores ex m, & .n , iuveniemus quod si

:ªb === a

sm. p

-1-- b" ~

evanescit securidum membrum ~ingularum formularum acl conseqtienter erit m == n ==Va + b & ang. p quem com~ 2

;

6 prehendere debent, habebimus sin. p• • a z -tzab ; sed si ~ª > l /1 • s,n. P a + 02 , semidiametra · fiunt imaginaria : ergo impossi-· 2

bi-

Pars VI. Art. VII. Fig .biles s~nt duó diametri-:in ~llipsi , dum ang. compréheri-. ·. 2

--:;t.

sus p habet pro sinu quantitatem minorem, quam " 765 Probl. 8. Datis duabus ·semidiametris m, ri_, & ilng. p , quem diametri form are debent, iñvenire duós, 100 serniaxes a , & b.

Dure requati9nes mn sin. p.== ab·, a~+ b == m + n •, faét:re juxta modum problematis anterioris, da-ñt a==½ Vm• +n + 2mn sin. -p m• + n• 2mn sin. p-, & b, 2

+½V

=½V m• +n• .+2rnn- ~in. P-½ V

m +n -'lmn sÚz. p._ 2

· 766 Probl. 9. Constru-ere rnechanice ellipsim , datis •z.,e/ ad arbitrium sumptis duobus ejus axibus. · lnventis focis f'f ( 746 ) , in eis unia·ntur extremi-t 99 tates- fili FIVff == AB == 2a ; in plicatura introducatur· J

•

frustulum M, quo filum extentum permaneat , quod qui... dem circum focos Ff movendo ' manebit descripta ellipsis AMBEA ( 750 ) ; semper enim Jverificabitur quod'

FM+fM=::;2a.

A ·R T I C U L U S

VI I l.

De Hyperbola.

6"7 .filquar"io-adhanccurvam,esty'2~ ,

sin., D •

cos.

+ x~ sin. 'n + B - i 80 º) . , in qua si facimus f

t esultat x, ,,

== o

x. == -

·d sin , B

(dxsin~B y

= o,

•

· . .D+B-180º . ; faciendo .itaque). Stn.

== --==::;=-==== == sin. _D+B~180º · d. sin. B

.o. A & B, 2a, ha beb'1mus punua

in qua ·_curva ax.im tangit ; un-um quidem in origine A abscissarum ; alium aute¡µ in punét:o in quo x 2a.

De I-Iyperbola.

2 59

In'troducendo in requatione , hanc lineam AB

== Fig.

d sin. sin. D. sin. B dx ______ == 2a, erit yz == --.-B,. -t- ••••• fin. D+B- 180º cos. -. B

sin. D. ;in. D+B-180° x,. _

sin. D. sin. B. sin. D+B-180º dx

- ,:, B. ' cos.

cos. !-~ B º sin. ·D+B-180º

sin. D . sin. D+B-180º

X ,. ----====:::-:----_

cos. ~:,. B ,.

sin. D. sin. v+ B -1 80º(

_____

cos. ½B

== •-

~)-

2ax+x ,

faciendoque x == AC a , si vocamus b applicatam correspondentem punéto C, habebimus b ± ......... .

~ - sin. D. sin. D+ B- 180º ª,.; ergo impossibilis est applicos. ¾- B"

cata ad illud punétum C; nihilom1nus si in eo punB:o C · erigatur perpend. CD sin. D. sin._D + B2 cos. -i- B

1800

== b ,

ita sumpta ut sit

!: ==

& ejus valor introducitur m requa-:

tione prrecedenti , erit requatio . ad hyperbolam y~

== !:

(2ax + x') in qua numerantur abscissre e vertice A. EJt ea patet quod si x tribuantur valores usque ad oo , resultant semper in y duo valores requales , unus positivus , & alter negativus : ergo curva habet duos ramos ~quales, & infinitos AM, Am in sensu positivo, ~ivergentes inter se , & ab áxi AS. Simili_ter faciendo x==- n < 2a, resultat JI==± V-2an+n quan~ titas impossibilis, nam cum sit ~ n < 2a, erit etiam mul-iiplicando per - n n < - 2an. Sed si fit x =-n > 2 a erit JI== -+- : 2an + n quantitas realis , quia cum sit - n > za erit n 2an ; unde infertur , quod

Pa,:s VI~ A_rt. VIII.

Fig. si x est negativa , curva dispa~et , . usque _dum . fir:x - 2a; sed quoniam tribuendo x valores negativos <:2a lilsque ad -co , rursus resultant in y duo valores requales, unus positivus , & alter negativus , patet quod curvi ~a_b et duos alios ramos requales & infinitos BM' , Bm~ in sensu negativo , duobus aliis separatos qu_antitate 2a, qure vocatur axis major , seu transversus, in cu;jús . me·dio' C consideratur · centrum hojus curvre , & .per.; pend. DR == 2CD == 2b , qure dividir axim transversum in duas partes requales vocatur axis minor, seu con-:

jugatu,r. : 7 6 8 Coroll. I . Qudniam yz == :: ( 2ax-+- xz) et,:~! y·s ~ x (2a + x) :: b 2 ·: a 2 , hoc ~st, in hyperbola qu-adrata ordinatarum ad axim principalem sunt ad reCtanguta distantiarum_ ad duos vertices, seu abscissarum per reCtam compositam eiisdem abscissis, &· diametro trans~ versa , si cut quadratum áxis f!Iinoris ad quadratum, · ·_ , majoris. Si supponimus quod sit x == x .- a , hoc est CP::::; b2 . . : . . . $ , erit _,,z == ª (xz az); requatio reprresentans naturam flyperbolre numerando abscissas centro C, qureque fa~ ~i_le transformatur in hanc x.z. · , :: (yz -t-bz) , rep,rresen7 101 :t antem naturam hyperbolre, numerando abscissas CL::::::::. , 'P M ~y in axi conjugato · RD prolongato, & adstantibus ordinatis LM= CP = x. 1 Coroll. 2. Si ·appellamus p parametrum axis · 769 Úansversi, erit ( 7 I 2 ) _2a: 2b :: 2b: p ==. cujus :v alor introduB:u.s in requationibus ad hyperbolam y-2 = (2ax-t- x'l), yz== (xz - a'l) dat yz== / (2ax 2

~'l), :_, .

.Y~==:ª (xz -

!",

4z) ; & .substitutus _in requatione xz :::::;

De Hyperbola. -~ :: . (y?- -+ b'') respeB:iv_a ad -axim- minorem , erit x,,. ==,Fig:. '/ (y,,. -t- b,,.) _~ª (y 2 + ½ap). . . 770 Definit. Quando 2a = 2b , ho_c est , du_m axis

tran·s versus, & conjugatus sunt requales, hyperbola 'dh citur requilatera ; proinde requationes . huic curvre cor_:, i-espo·ndentes erunt y = 2ax + x • ; y• -·x • -- d & eju.s.\ ~g_u_at_io cum resp_eétu ad axim conjugatu!Jl erit x 2 =y•+· a-• ; ubi· in transitu notanda ingens similitudo inter has, requationes ad hyperbolam requilateram, & eas qure cir~' cülo _responderit ( 708. 718 ) . , 'J 771 Probl. 1. Im.1enire focum , g,ut focos · hy-: 2

;

pérbolte. _.;Fiat y

== ½p ==.~: , .&

subs_t_ituend0 liunc valorem'· in _requatione x - a 2 . ) · , habebimus x ..:_-+-; +..h ducendo itaque reB:am DA, cum hrec sit ==· + bi , patet quod si C centro e sumitur ad utrum· · que Iatus CF == Cf==. DA, habebuntur foci Ff. 772 C~roll. Er~t igitur FA x F Jl == ( -a) (Va•+ h• +a) ==.b,,.; hóc est, semiaxis minor est me.:. ·dium proportionale ínter distantias tmius foci a duobus" ver~ ticibus~ . '

.Va va• >

y,,.==:: (

Va•+h•

773 Probl. 2. Invenire expressfonem radiorum ve.e-, _torum FM , fM. ~ :· Sit CF ;__ Cf-::= q +b 2 , erit b1,==.q,,. -a'l ·quo" valore substituto in requatione y 2 == :: (x'2 ·- d'') :dat y 2 ==. q1.:1. - q,,. -- x1, + a2 ; etiam erit FP x~ q' ~ ¡p· == X -t- q; ergo FM VPMz+FP~ ;:::= 1 v.Y•¿-cx--q) == ·q,,.·- ·- •x,,. + + x,,. ..--

== Va•

-v ci::. 1

\ ·, _.- "

ª,,.

2qx

Fig. 2.qx +

Pars VI. Art. VIII. == 9: -·a, & fM == Vy• +(x+q)• ==

q"') -q• _;. +a +x +2qx+qi

Vq::•

== 9:

+ a.

Coroll. Ergo fM - FM== a - 9: + a== 2a , hoc est , dijferentia (i,uorum quorurnlibet ra-

774

9 ~"' -t-

diorum v dlorum hyperbo/ce est sempér cequalis axi transver:so. 775 Probl. 3. Per puncturn datum M ducere tangentem TM ad hyperbolarn. · Duétis radiis veéloribus FM, fM, sumatur MG == MF, & ducendo lin. GF per ejus medium E, & per punétum datum M, du~atur lin . . TM, & bree erit tangens qmesita. Ad hoc probandum ,. eligatur in illa reéta TM pune~ tum aliud quodlibet K, & ducantur reétre Kf, KG, KF; cum sit per const. MF::::=. MG , & FE == GE , patet guod omnia punél:a lin. TMK reque distabunt punétis G , & F ( 3.33 ) , & id{'.o edt KP == KG; hoc supposito, habebimus ( 774) fM-FM fM-MG==fG== 2a , & si punéh1m K posset correspondere hyperbolre, esset ob eandem rationem Kf-KF==Kf-KG fG, -yel Kf ==.fG + KG; sed h9c est absurdum ( 288 ) : ergo punétum K non pertinet ad hyperbo1am ; & ídem probabitur de quolibet alío pIJnéto lin. TK diverso piméto M : ergo &c. 101 776 CorolJ. 1. Ergo sunt requales anguli fMI', TMF, quos format tang. hyperbolre cum suis radiis veétoribus duétis ad punéta m contaétus ; nam cum sit 111G==: MF, & FE-:--GE, triang. GMF est isoscele, & tang. MT erit perpend. ad suam basim GF ( 334): ergo ang.fMT= FMT ( §. 409 ). , .,777 : Coroll. 2 • . Cum sit" fMT::; Fll1T, habebimus

...

( 455)

De Hyperbola.

263

(45 5) fM: FM::fT: FT, vel fM+FM:fM :;fT+FT: Fig. <J" ao:-+-a fT qo:-+-a fT , hoc est ( 7 7 3 -;- : 2q : -s-+ q ; ergo fI' - q cr == unde apparet X : a : a: CT, vel CP : CA:: CA: CT, per medium cujus analo-gire facile est determinare punétum T , ac consequenter clucere tangentem TM ad punél:um N .hyperbolre. 778 Coro 11. 3. · Ergo subtangens erit PT == CP - CT a• ,:i;•-a• . x ac consequenter h abeb"1tur express10 2

)

.,X~

7 -

: :

11 ;

== -"'-.- ;

CJ?xPT= x'l~a-: ita ut vocando subtangentem PT= S, erit s x

= x •-

2 •

. -'1

Coroll. 4. Cum sit ( §. 4 5 7 ) PV== ~~ , subs-

779

(x~-d2) tituendo habebimus valorem subnormalis PV="' .x ~ -a .

X b•,:i;O:

; -1-

quare

ha beb"1tur

etiam

normalis

~ (xz-a-2). .

A R T I C U L U S IX.

D~ hyperbola cum respectu ad suas assymptot,1s, & diametros.

: ·

780 pRobl. 1. Ducendo per verticem A byperbo!d: 102 parallele ad applicatas ortbogonales PlVI, , rectam AL= AG = b semiaxim conjugatum ; ducendo ,postmodum e centro C, & per puncta L, G indefinitas CR , CV , sicut etiam fin. AS parallelam ad CV , A T parallela1?1- ad CR ;· ac demum prolongando app!icatam PM per ambo /aura 1JSque ad puncta_R _, V , dt:termina-

Pars VI. ·Art.·IX. Fig. nare ·r. qUlldraturn e.x CT, hoc est quvd vocant poten~ tia11i . hypr1rboice: 2. Di/ferentiam quadratorum ex MP, ac PR: 3. Vaiorem rec7:anguli faeti lineis RM, MV. Rat"ione parallelismi est AS= CT , ac etiam LA: LG CG LG :: AS: CG; sed AL=:---;-; ergo AS== CT 2 --GT, ac ob eandem rationem TA== CL ==es== SL , & 2 ' 2 ·cum . ~it pra:!terea CG == -+bz == CL , erit etiam _cc=cL ac consequenter CT=AS=TG=TA=CS=SL. ·• · Hoc suppos~to erit GL" (==4bz): ~A"(== bz) :: CGz (=a" _+b"):Cr" (az+bz). · -~ Sirniliter ei hypothesi ~rit CA( a): LA('-b):..:CP (== f): PR=b~x; ergo PR -P M" (xz - az)= bz , • - . . b · Juxta -demóns.tratum erit RM :=· RP - PM _:_ af .. - j,,, & · g_uoniam P R == PV, prout facile demonstrari valetex.. simi.litudine trfang. CLG-;CRV; etiam e·rit MV.;.:. li,; + .Y ; ergo RM X MV == --:-JI) (h,e -i-JI) == b ~ • a. a " "' b2x2 b~ ( z z) h'2 JI - -z - a,:""T" X_ - ....., a _ __ _ . _ .- _ , a 78r Coroll. Ex· requatione MV x 'MR == bz prodit MR .-: );_~, cum_que crescentibus abscissis, necesse·· sit qúod crescat MV, · a_bsdubi~ decrescet vaior ex MR, ac proinde curva magis , ac magis reétam CR appropin,, _ quabit ; tamen.. .nunquam verificabitur , ..quod punétum M curyre concurrat curo punéto correspondente R illius reétre, licet produ~antur in infinitum , ex eo quod sempe-r p R,. .- PM == bz , & ideo illre .linere die un tur assJ1mpto~ ·tte Q.yperbolre, seu cum ea inconcurrentes. - 782 Probl. 2. Invenire tequationem ad hyperbolain

== ==

•

==:

= b::,. -

t:c

.inter suas. ass__ymptotas. Sit

De Hyperbnla cum respec!u, &c. 265 '

· Sit SA

== e ,

erit c 2 ~

(a2 -1- b 2 )

(

-7 8 o ) : du- Fig.

§.

~atur lin. MK parall. ad CV, ac lin. MF parall. ad CK; & denominetur C.B..' ,

== MF == x .

, KM.== CF ==Y ; vir-

tute similitudinis triang. ALS, KMR , MF.V habebimus

RM: LA:: Kffil: SA, MV: LA:: MF: LS==SA, mul·tiplicando erit RM x MV: LA ·.

RM 8A

•

vel

KM x flfF: SA

== LA ( §. 7 8 o ) ; xy == c == : (a -+- b'2'). .

2 ;

x MV

sed l

ergo KM x MF

· 783 Theor. 1. Dure qut:elibet parallelt:e Ff, Gg duc.;.- 1 03 tre per spatium hyperbolicum euna assymptota ad1aliam, _ _ ita se intersecant per quemlibet eramis hyperboJre' ; quod reflangulum segme.ntor·um unius est requale ;reflangulo segmentorum a/terius., boc est FK x Kf ==. GH x Hg. · Ducendq ~ p1_rn#is ¡( , H Iin. MK_m , NHn -.perpen"'! diculares ad axim principalem, resultahunt similia triang.. GHN, FKM, & Hng, Kmf; quare erit ' GH: HN:: FK: KM., .H g : Hn :: Kf: Km , & rnültiplicando GR x Hg~ flN x . Hn :: FK x Kf: KM x Km, sed KM x Km ---- b • =: !JN x Hn ( §. 780 ) ; ergo qHx Hg = FK x ~f ac obeandem rationem gZ X ZG =fX X XF. . -- . . i 784 Coroll. 1. Ergo si supponamus quod punéta K, X coincidunt in unico punéto E , lin. TEt erit tang. in punéto E, & habebirnus FK x Kf= TE x J;Et ,fX x XF ::::: TE xEt: ergo FKxKf=fX·xXF, vel FK (KX+ Kf) -fX (KX + KF),. unde exequendo rnultiplicationem, re~ sultat denigue ·F K ==fX; hoc est , tj_uornodofibet ducatur reéta Ff per spatium hype¡·bolicurn usque ·ad assymptotas, segmenta FK, fX, ínter cur_'vam , &. assymptotas comprehensa , erunt semper. requalia. 78 _5 Coroll. 2. Cum tan_g. Tt sit reéta , cuj1,1s_ seg~ rnen;

Fig.

266 Pars VI. Art: IX. menta TE, Et comprehenduntur ínter punB:um E

curvre, & ejus assyrnptotas, erit TE= Et; & patet quod si il!o punéto E ducatur lío. ED parallela ad assymptotam Ct , vel ordinatam ad CT ~ resulta-bunt similia triang. TED, TtC, ac consequenter TD = DC, unde ut duca~ tur tang. punéto E dato in hyperbola , sat erit duce-re per illud punétum parallelam ad assymptotam Ct, ac postmodum sumere DT = DC , & demum · ducere per punéta T, E tang. TEt quresitam. 786 Prob. 3. Invenire r,equationern ad hyperbolarn per, respeflum ad urium axim CP , & suas ordinatas PF parallelas ad tang. Tt ; qur,e transit per punétum E , in quo. 10 3 axis ille_ secat curvam. · Per' triang. similia CTE , CFP , & CEt , CPf inveniemus , fattis correspondentibus analogiis, quod cum sit TE=Et ( §. 785 ) , ' & ~K=fX ( 784 ) erit etiam P K :...."P.X. · .· · Hoc su pposito sit CE ::: m , CI ET::: n , CP x, l' K ~ y ; per similítudinem triangulorum CET , CP F habebimus m: n ::· x: P F == ~; prreterea est TE x Et== . m TE~:= FK x /(f-:::::::::. (FP - P K) (FP + P K) : ergo substituendo habebimus n,,. (";-y)= -+-y)= -y,,.; consequenter .,.,,,. := :;: (x,,. - mQ,) , requatio simillima requationi axium, qua media patet quod CE, & CI sunt semidiarnetri conjugatre. 787 Coroll. EX' prrecedenti requatione deducitur se.. quens .x-2 == :: (Y,,. -+- n12 ) , reprresentans naturam hyperbolre numerando abscissas CL = P K = y in secunda día.. metro BI produél:a , & adstantibus LK =: CP = x ordinatis. · Theor.

...J

•

n:~~

De Hypet bola 'cum respe'flu, é§c. ~ ~7 788 'Theor:

Si l e.xtremitatibus D, L diametro- ~ig. rum conjugatarum CD , CL , demittuntur /.in. DH , LPS I 04 f!erpendicutares ad· axim principalem CA , resultaburit t:e,qualia triang. -CDH::;- CLP. _ .~ . • . .... Ducatur extrei:nitate T tangentis Tt alia perpendic. 'fK ad axim prJncipalem, & parallele ad ipsum reét~ TS, LE; patet quod triang. CHD, LTE, LSt habeni s.ua -latera homologa .parallela; quare cum .prreterea s1i _ c;n Lt ( 785 ) , illa ' friang. eruht 'requ~lif-, & similia ( 419 ) , ac proinde CH-=. LE=::. St, DH-=.TE ::::: LS. Hoc supposito sit CP = .u , P L = z , CH= LE = St ::;:_r Dflz TE= LS :::::s, CL CD== TL -=.Lt:::: n , CA= á , AF ...=_ b , erit TK-_ z + s , CK = u + r, & na·bebimus per similitudinem triangulorum CTK, CFA, i"+s : u+ r :: b : a ; ergo az + as :::: 8u + br. · · Erit- ·eti-ffrrL.• p~F , simi'litudif!em trié\ngulorum TEL, LPG, s: r :: z: .PG==.:l. ;. -sed ( 7 7 8 ) P.G:= u•-a~== u ~ (zz -t- bz)- az b•, ( 7 68 )-~r:.. 1:-!! - b u ' ergo PG-ª - b• u - s' 2.

='LT=

=m,

•

unde resultat_ f-

== ::•~ , cujus

valor substifutus,in requatio-·

ne, az +as== bu+. br dat ·(bu-as) ( bu-az) ==·o; sed bu- az esse nequit == o , quia in hoc casu esset z u• :: b a quod absurdum est ( §. 768 ) ; ergo ne~ cesse erit b,u - ms == o , yel bu== a.s ; ~c. consequen_ter ~ a:;quatione dit1a resulta bit az == br , guare habebimus s :=:1b; J, r == ªbl , & analogiia:S · ~equentes a: b :: cP: HD :: CH: P L ; ergo triang. CDH, CLP habent reci.. proce proportionales suas base~, altitudinesque·, ac pro,. • . ind~ ·requalia sunt ( 5b8 ) . , , . ?89 Coroll. 1; 'Ducendo lin. LD , erit · CDH -oLD 2

'Pars VI. Art. I:X.~

208

oLD - HoC= CLP + oLD + Ho,C, hoc est tdang. DLC, vel ½CpTL==.ad trapeziumHDLP=(HD+LP)

Fig. -

§•··494 ) --

FH ( ~

-: ;-; u -

,:¡;

(

S+z •~-::-;-\...1..----2. u - r - su-+-ll{-sr~r{ su-r{ • - <# 2 ) b2u•-a•tz a b• ( . ) r 2 3 2 d ; 2 ab '

_== ---;;;·- •--:

(

)

U_n~

de inferl.ur quod omne fárallelog. TT constructum super diametros conjugatas hyperbolce cequate est ret1angut. ,. axium. , ., 7 9.q CoroU. ?-· · Qu~·nÍa~ , a ': h i: cp·: Hb _::'CH: · 2 §."7 8 8 ) • 'erit HD== / CP , 1 HD% - "!: , sed ·cp• =;:(Pi/ -t- bz) ( §. 7 6 8); ergo ÍlD == bz + ·

·cp

PL (

vel HD•· _..::_ p L 2

· ' É;it et~iam

== :: (CP

bz.

·_

CH==._; PL , ',CH

2 1

-az); ergo CHs -:=.CP

r r" '){ .

;:·pz/ _, -sed LPª

2 --

a,,_, vel CP

2 -

CH ==az. 2

, . Unde patet' a'l 1-bZ-.:_cps -t-·P L'1.

:::::: C L

2 -

CD'

;

CH·,.·-

HD.

hoc ~ est ; in hyperbóla · differentia qua ...

dratorum duaru.m diarne!t"orum conjugatarum cequa!is est

~if-•

ferentice quadratorum d_uorum axium. 104

· 791 - Coton: 3. ·s ¡ vocamus p ang.·-DCL compre_.. hensum ·per dua-s diametros conjugatas , habebimus quod area triang. CDL erit :=

mn s:n, P

(

§. 6 8 3 )

=ª..

b (

§. 7 8 9 -):

ergo mn. sin. p =: ab. · · 792 Probl. ~-- Datis duobus axibus a, b / invénire· • r .J , -duas ll

....

( 1) Cum sit úz sr ,. posito quod uz repr.Eseotat duplum · triang. CLP & sr duplum triang. CDH, qure quidem sunt ¡equalia ( §. 788 ). (2.) Cum sit s== bau, & r

= :{ (§. 788 ).

. valorem ª" (3) Substituendo lo<;o u" .eJus /Ja <"( z" '

+ f,") (

§. 768

De Hyperbola cum respeclu, &c. 269 duas diametros , qute faciant i.nter se angulum daturn p. Fig. ab Ha b emus• m,2 -:::::::n 2 + a "j··-:b". , & .mn-::;:::i-. -; ergo m" - n 2 + s,n.p b"' -+-, uh,{__-1 2mn v ---r a - . - m -n -2mnv-11

= m .,

a" -

"ªb1/Slfi.p

b" - ·-

sin. p

Sln,

V V .

V- l

tione , & substradione, dant tlJ, _!_ 2 b"-t- 1,,b,.¡-1 --1- y Z a - . • SÍJI, p - , - 2 _!_ z a --- b .. + · 2alsin. _. / -p I - -ZI n

& extrahendo rádicem quadratam,

V~ I == -b + "" 64(-• l' mp --_____.. 1.:b1/-1,. qure quidem requationes • sm. p

2 a -b 2 '

•

:::::

, media addi-

Va"_ b• Va" - b" ,1

¡ -

1ab,./-L

--;;;;:-¡;--

-'.'--=__________________.. . ___ _ 1

•ab,.¡-1

sm. p

,.¡-1

Quadrándo singu~as has . formulas , & extrahendo post..

.,.

•~

•

ea radicem quadratam habebimus

I~-v-

' '1 /-ª_,,~,; .. +.. - , ·ea". b .. ) "+~ m==V-~ Z sin. J' ·¡

V-½(a

-b

, '

2 )

-1-

•

½ V(a -b 2

)

+4~ \ b~ s,n. p

Ad cteterll}iriandam qunc direél:ipnem únius diametris, vel ang. LCP, quem dicemus fac1emus medio trian[•.· f}P L ,, 1 : m : : sin. e : P L ::::_m sin. e ; consequenter CH PL( 790) == am . ~in. e, unde virtute triapg. DCH

=_é,~

:=:

•

am • si n. e

•

TeSU1tat 1 : n : : cos. p+c: - - b -- - : ergo -r,:; szn. e== cos. p+c :::z •.,. \ • -, am _ cos. p. cos. e : ' l COS. p. COS." sm. p. Stn. C, T , ; - -s;-;:--¡- Stn. p, ve •"' . p _ ,os. p • cos. P • - + szn - lJoc est am .¡...bnón ,in. p -- - • ergo ¡, n • • tang. e ' tang. e • bn • cos. p & • t b . . a -~b _ ; cum s1 . a mn sm. p , ent t ang. e == 11m-+- nsm.p . ·

~ b • • d. ' bn cos, p =-.-, cnJus va1or .su sutut.• .at, tang. e,__ m'-nmz.p+nszn.p . b . , . •

• - mn sin. ;

• •

• ,1

t.i

• •

.......

Pars VI. Art.1X. Fig -

• cos. p

b' .

,. .

+- 0 ) ;¡;;;; - m~-+- b "- aot. P~ . . ; . - 793· - ·Pmb. <JS·, Daüs semicliametri-s c..o.njttgatis m., n, & ang. p • inter eas contento·, i,n_venire duos axes _a , b. • ~ (m•

. p : ergo H a bemus m s - n,. == a ,. - b" , ab == mn sin. ,. b" -+- 2 a b·v / - .r == m , _-_-n_ , + 2 mn _sin,. . p__y • / -. r , q , , {l, .. / b / " ·: . . b, 2 a \ 1 - I -:-- m n --. 2 mn ..sin. p. v . - . t , 8; exequendo easdem operatioñes ac iñ problemate antecedenti, erit denique · a; ½.(~/ - n" ) -+:.½v:::=-7=(m=,.=_=_:.:n:::;•==),.:::-4-=+:::;::=m=,.=~=•:;¡;s;;-::in =;.=p=-z -

•

,.,.

.v ·

V . ½(m •~n• ) .+

½ V(m" -n•)•4~n•n·• si;p_,.

794 Prob. ,6 . Construere mechanice byperbolam, da-4 tis, seu ad arbitrium SU!11P.lfs d1!-_pbus axibus conjug~-tis 2a 2b. . • ' - ·- . - - ·- c..... - J - - . ·' - L·-. .

'101 _

Eligatur axis direél:ionisfS: sumatur 4B 2a, _& determinando focos F, f ( 771 ) , figatur in quotibet ex illis regula f MO mobilis circum illud- punttgm. .. , . 'f!.oc falto sumatur filum FMO, requale regul::e f MO 1 .::.._ 24 ' ligata _uqá. eI: eJu~ ext're1:1iratiqu~ irí .foc~' F' ~ alia in extremo O regulre. · 1 Denique in plicatura fili introducatur frustulum plum.. baginis , ac primum applicata regula axi , Sf, circum" v.oveatur' filo Semper extento; profeB:o describet ram.um ~yp~rb9lre AM ( 774 ) , cum sit semper fM-1 FM== 2a~ 795 . Schol. i. Si in , cunB:is formulis . exprimentibus proprietates hyperbolre ,. facimus a == b , · habebuntur exa-B:e proprietates ·hyperbolre req~ilaterre. 796 Schol. 2. Ultra ha's curvas sunt alire innume-r::e, -quarum nonriullre ce1ebres habentur, veluti cyclo-is, spiralis ,- quadratrix, cysois , logarithmica , sinuum &c.

gua...

De Hyperbola cum respeélu, &c.

271

quarum alire sunt geometricre, & algebric~ , ali~ trans- Fig. cendentes , seu mechanicre : illre vocantur , quarum abscissre, & applicatre sunt linere reél:re, quarum ratio geo.. níetrice determinad . valet ; hre autem sunt vel arcus ~irculi' , vel reél:re sinibus , logarithmis &c. requales. De his agere certe non vacat.

APPENDIX · De Analysi quantitatum infinitarum. ARTICULUS I

797

o· i

PRIMUS.

• De Calculo dijferentíali.

Ef. 1. Omnis quantitas certis. limitibus c~ntenta , seu magnitudinis assignabilis ., dicitur ji.. nita,; qure concipitur supra omnem limitem assignabilem ;i_u éta , vocátur infinita : qure vero ultra quoscunque limites imminuta consideratur , in/initesima•• - 798 . Coroll. Ergo infinitesima . continebitur infinities in1 quantitate finita , hrecque infinities in quantitate in.. finitá. ·Consequentér · considerari · poterit infinitesima tan.. ' guam quotiens quantitatis finit~ cuius!ibet , per aliam infinitam . divisre hoc modo, ; , reptresentando:;; quamlibet ' quantitatem finitam. Si supponimus quod divisor sit realiter infinitus, quotiens exprimens quot vicibus divisor continetur in divi-dendo, necessario erit ~, 0"

= e0;

·o ; unde resultat ..!:-.

x: co :: o :

1 ;

hoc est,

1 .

= = o ,x

o•

. 1·1catum o mu 1t1p

per quantitatem infinitam posse esse requale cuilibet quan.. titati finitre , & vice versa. 2° Quamlibet quantitatem fil o~

:Appendix. Art. l. Fi'g. nitam div1sam pero posse esse requalem infinito. 3° Omnem · quantitatem finitam posse reputari .tanquam o respeétu quantitatis infinitre. . . -, - 799 ., Schol. 1. Cum sit éo = co. ;Q:j, procpldubJo in ,oo. c9ntinebitur infiniües intinitum , boc est , Q:j est . infi"." nitum infinities sumptum , seú infinitum s,e cundi ordinis. 06 eandem ·rationem oo 3 = oo oo est infinitum secundi ordinis infinities s-umptum,., seu ·infióitum tertii ordinis; ac generatim oo m est -·infinitum ordinis ~ it.a infin_itorum gradus~·- aistin.g uuntur · per riumerum uñit.J,trim su'or4m exponentium. Hinc prodit quod cum infinitum ordinis in-ferioris in alio. ordinís ímmed1ate superioris infinities contineatur , poterit hoc considerari tanquam infinitum pri---mi ordinis respeélu illius ( 798 ) , & omne infinitum orcl,in1s inferioris · taoquam finitum respeB:u infiniti ordin~nis immediate su perioris. 1. 1 eUffi ' Slt• etiam • o:,z· == rn-:,. • .00I , p-at ét • 8OO f -SC'ruO ·• 2 ·. quod \ 'estinfinitesima: per irifinitesiqi~m multiplica ta, vel 1n+ 2

•

m~;-

•

• -

finitesima secunai orainis ~ ct1mque ex eadem requation,e pro..:

~eat :~ · ; : ,eo , evidens redditur;- quod in°!Jnit_!:!sim~se;-: cundi ordinis contínetur infinities in infinitesjma, primi !tfr~ ai:~is : item quod ~ ~ eo ; aé proinde ·4u~ oindis in~ finitesima ordinis inferioris po'test cofisiderari tanquam quantitas finita respeél:u infinitesimre· · ordinis imm~diatí? super-ioris , hrecque tanquam infinitesima ·,Primi · o=ruin,is respeB:u illius. Oh eandem rationem· quarítitas'fi_n ita qurel libet ·co1;1siderari valet tanquam .infinita, r.espe·B:u rinfinite!.,¡ ~imre primi or~inis, qure· infinite major .est i~la ( 79 8_j)• 8 o _r . _Coroll. Quoniam 1 - 1 - . - 1 -1- 1 o, &_ ~.--:-•·• · · •· · s ·!lt • e · "X • _ - -1 ce ., ·ent -_ --:- ==------::::: co. ;. . •sed---:-:;::: x-;x + ,~ J'. .- . , ¡ ~ .l.-¼-I _ l'7'":" ,l _ _, __ ,_ . 00

= . OC).

....

. ... •

.....

.J...-J . , , -

27 3

De Cakulo differentia/i. ~

.. •

•

¡=._-; ' =I-+-1 -. f& . ,( ~- - - - . ergo co X -1- X -t- X -1• ~• •. -1-+-I '

-r-- • •' • • • • ' • • •

_,,_ o:,

X -

== -

- x -+- Fig. . · .

X -

;

·x.-+- co ·== oo ; boc est ·, non variatur valor quantitc.tis in- • fi.~itce per· .additionem , aU,t subtraCtionem quarumlibet quantitatum · finitc¡.rum , qull! proinde omitti poterunt . w c,.c1-lcúlo , dum quantitati, infinit•re a·d duntur, out sub-·

trahuntur .; sic e:¡;-+ I co - 100 co - a+ b ::: CO e l . 802 Def. ~- His p.ositis , ·si .considerarnus · quod in-. crem,enta , a1:1t decrementa qure in quantitates variabiles· cad~re possúñt ,, fitmt per partes fofinitesirnas , -c um ji;i_..· t~r .ctu.antitat.em quamlibet, & ejus in.c rementum aut diminutionem, seu eander.n auttarn aut imminutam verifica.., ri_, debéat differentia in~remento, aut decremento ::equalis, ~inc.-est guod .pars illa an.a lysis ,qure media ,cognitio-; ne quantitatum , ducit •ad cognitionem ,. in_cremeniorum, aut decr!!mento.rum , rationisque qure inter eadem _est; vocatur calcu)us •dijferentialis , illaque. incrementa, a~t ~crementa infinitesima , dijferefl_tite• , . au,t .differe.ntiali,,,_ qu~qti¡atrím variabiliurn., qu~ _qu:idein !frequenter -tan.. q.uam e/erf!ep.tfl-. qu.antitatum finit,ar:·1ltJt ,consid~rantur. : Sic v. g. si goqdpimus quod.ljn. ·pm ~4citur p~ralle~í\ ~ infinite proxima ad' or.dinatam p M, & punéto M du- IOS citur itidem lin. MR patalleit ,a-d :A.P,, p~ocuidul;llo. ~br scissa AP degeneraóit in. .,(1.P • :..ordioa,i:a -.P M .i,o Pm: é\rcus AM in Am: ~ · ~rei} APM ÍB .Apvi; 11nd~ resultai Pp == MR incrementum nempe ab.scissre AP; Rm incr~m~n::. \1:1~,ordinatre ,P M; Mm arcus AM; & P Mmp arere AP M. · 8.03 ·Coro~I., ~Ufll non, augeathlr, 1aµt rninuatur vªlq¡ <JH~qtitatum : 00,lilStanti,utl} i, ¡ ut · q1axime immutetu.r, valor Y.~ri~bilium-, infortl_.lr :quod d.Hferentiale quar.UJ])libet quan, ~tatum.,cq,n§.·ta~ti,tJ.IJl =:¡:_.o~, ,, . ·;, .. , : S2 Schol.

• -

... l..

,Appendi X:· Art. l. Fig. 804 . Schol. Ad designandumdifferentiale.cujuslibet varia..: bilis anteponitur littera d; qure littera solummodo reprresentat differentiale illius quantitátis, quam immediate prrecedit ; sic d.x significat · differentiale varia bilis .x; dyax · denotat sofüm differentiale varia bilis y, multi_plicatre per a.x. Idcirco dum composita est quant,itas, ·cujus differentiale indicandum venit, v.g. hre x xy, 3x + 2x, il a=.x &c., di.. cetur d (x 2 ) , d(xy), d (3x 2 +2.x), d (il a-x); bree expressio dx eadem est ac bree dx . dx , ac denotat quadratum dif~ ferentialis d.x; proinde valde differt ab hac d (x & simi-lib.us , qme indicant differentiale quadrati variabilis x. · ..- ,805 Prob. 1. Invenire differentiatia quantitatum rz,,a.. riabitium , signis +, vel - copu!atarum. Sol. Sumatur differentiale singularum váriabilium, immutatis signis; omnium aggregatum erit differeotiale quresitum. . · Nam si" quantitatibus · variabilibus earumque incre.. mento , aut decremento infinitesimo , subtrahimus variahiles , absque tali in.crernent~ , aut' decremento considetatas restduum exprimet necessario incrementum illud, aut -decrementum , hoc· est, differentiale variabilis' propositre; erít enim d ( x + a ..-y)~ x + dJtJ f: a -,y--, dy-·x - a +y=dx-dy;. ergo &c• . 2

~ Exempl. d (' x ·+ z + y) = ,dx + dz .+ dy • P 1 ~o , ~ •• d ( a.2 X + b ) = ·- ·.dx 3° .... d (a+ be - x + y 1) = :- dx + dy , · 4º ..... d(a+b - é )= ·0 806 Prob. z. In·v~nire dijferentialia expressionum, in quibus variabiles copulap,tur per multiplicationetñ. ·.

1º ....

r · Sol. Sumantur differentialiá - variabiliutn 'singíjlatim/ qure nempe in pn>duéto contine~tu~ : singula p'e r pro~'lk_.l tum reliquorum faétorum mult1phcentur •t tum · vanab1w t lium,

De Caló,lo differentiali.

27 5

lium, tum invariabilium; singulorum produétorum aggre- Fig. · gatum erit differemiale quresitum. Nam omnes hujus generis expressiones reprresentare possumus per axy , in qua quantitas a tanquam constans nullum habet differentiale; variabiJis x per (ncrementmn , fiet x+dx, & variabilis y fiet y+dy; ergo axy per incrementum infinitesimum fiet a (x+dx) (y+dy) axy + axdy + aydx + adxdy; ac cunsequenter differentiale expressionis ax y erit axdy + aydx + axy - axy + adxdy; sed adxdy est infinitesima mulriplicata per aliam infinitesimam, seu in-finiresima .secundi ordinis , qure proinde cont.emni poterit respeB:u reliquarum ( 80 r ) : ergo d( axy) =: axdy + aydx. · · 807 Coroll. 1. Cum sit ax 2 = axx, erit d (ax d (a.xx):::::::: axdx + axdx = 2axdx:::: 2ax 1 dx: ob eandem ratiouem erit d (ax _3 ) = d -(axx-x ')= ax 2 dx + ax 2 dx + ax 2 dx 3ax 1 dx:::: 3ax 3 - 1 dx ; ergo ad differentian- . dam quamlibet potentiam variabilis, hac regula ute~ur: multiplicare per exponentem patentice eandem potentiarn, ejus exponente una unitate imminuto : postmodum produfJum multiplicare per dijferentiale radicis; ideo gene-_ratim erit d ( axm ) = maxm-I dx. 808 Coroll. 2. Si ponatur m = - n, erit axm ::':: ax---"; ergo d-(axm) = d (axsed d "(axm) :_ maxm-r dx; ·e r• , go d (ax-n):::::::: - nax-n-r dx. . t Supponendo etiam m =: ; , érit d (axm) d (ax") ;

)::::::::

,: 1

)

;

== == ; ax--;;--• dx; t.

sed d (axm) ==._mtJ,x"'--r dx; ergo d (a,-c-;;) hoc est, qu ce libet potentia uniu s variabilis, seu perfefJa, ,s'eu imperfef:ta , ·cum exponente positivo , aut n·ega~ivo, dijferent iari semper debet , juxta reguíam modo stabili~ tam ( 807 ). 809 Coroll. 3. Si facirnus x--y +ay, erit d (ax"' ) s3

_~ ~76 Fig.

Appendix. Art. l.

= d (a (y+ ay)'11) a~ pr?inde d (a (y+ ay )'11) == ma

(y + ayT~ (dy + ady) ; ergo qucelibet potentia , seu ejus radix complexa sit_, seu incomplexa , semper dijferentiatur juxta regulam datam ( 8 o 7 ) . · '8 I o Coroll. 4. Quoniam denominator fraB:ionis sumi potest tanquam faB:or sui numeratoris, regulre hucusque exhibitre circa variabiles copulatas per multiplicationem, extendí poterunt ad copulatas per, divisionem : sic d (~) == d . (xy- 1 ) :=y_1 · dx + xd (y- 1 ) ; sed ct(y- 1 ) == y 1 - y - 1 _- -dy ( §. 8 o 8); ergo d (;) == d (xy- 1 )' y -1 xy-2 dy :!!_ == ydx, y.• rxd. Y ,· hoc est , diRe• .dx y ~ xd! y• ;/J < rentiale unius fraéJionis est cequale di.fferentiali numera.. 1

toris , multiplicato per~denominatorem , dernpto differentiali denorninatoris rnultiplicato .per numeratorem, ac diviso .omni hoc per qua,draturn denominatoris. Regulis prrecedentibus accurate observatis , facile •n-venientur differentialia in exem pl. sequentibus. I •o

d (..;._) x

== _

,dx • _ __ xz

== d((aj, +,l• )¾) =½(tt.Y-1-J's )~ ~

' 2 ~.o ·d(Vay+y•)

=vÚ

(V (ay+ by +cy n

- ·3__-_º d

a + y) _ay+y-z.

. s) , d (ay-1-y .

----

1 •

, ,

)m )==d ((llJ' -t-bys +cy3 Y-;,-)

=: _(ay+ by 1 +. cy 5 );¡;--z• (ady+ 2bydy+ 3cys dy).

4.º

('y '~

. · ):= d ((x+xs )-1)=-:-:--½ (x+xtt

x+x

(dx -t- zxdx) , ·

==- d:-+·

,>.

' "dx

3l7(x+x

2 )-\

.Schol.

De Calculo dijferentiali.

277

8 I I Schol. 1. Cognito respeĂŠtu inter variabiles x,_Fig. y , pluries accidit quod crescente variabili x , decrescit in eadem ratione altera variabilis y; hoc notatur i11 calculo , anteposito signo - differentiali variabilis decrescentis. 8 I 2 Schol. 2. Differentialia quantitatum' variabilium aut permanent semper eadem, licet mutentur variabiles ex quibus proeedunt, aut ' crescunt, vel decrescunt. Primo casu habebuntur pro constantibus ; in secundo autem r eputabuntur tanquam variabiles , hreque differentire ha-bebunt suas differemias , qure _dijferentice secunr],ce dicentur ; & siquidem hre suas quoque habeant , dicentur tertice &c., calculusque easdem computans dijferentio differentialis nuncupatur; hoc semper prre oculis habito, quod regulre exhibitre ad qqrerendas differentias _quantit-atum variabilium , deserviunt etiam ad habendas differentias differentiarum earumdem quantitarum, sumendo tanquam constantes eas, qure non h ':l.b~nt variationem, aut novas differentias; sicd (adx- bdy) =ad x-bd y; 2

etiam

d, ( dxdy)

==- dxd

y-dyi,. x; d (

:~:}==

adcd ~

yb-;;,."ĂĄyd,1

~&c.

8 I 3 Coroll. Ergo ad inveniendas. secundas , ter-. tias &c. differentias quantitatis - variabilis , qurerentu.r prima? differentire, qure differentiatre exhibebunt secundas differentias quantitatis propositre &c. Sic dd (xy) ::::::: d (ydx+ xdy) = yd x + :,;d y+ 2dxdy, &c. . 814 Theor. 1. Differentiale logarithmi hyperbolici quantitatis cujuslibet est cequalis dijferentiali ejusdem quantitatis diviso per quantitatem ipsam. Âˇ Proponatur differentiandus logarithmus hyperbolicus variabilis :xf, quem hoc modo exprimemus lx, & facien-do lx = z, erit z + dz = I (x+dx); ergo dz, vel d (tx) 2

Appendix. Art. l. l (x-t-dx)-:· ¡ X == l x-::+-d:; == l ( I -1- ".X\ %J . & "'1: ( '§ 8 ' ) & c.== . . o 1 ; ergo c. -

Fig. -

d.tl

3"' 3

dx X

~ -i-

2.x2.

:,:

815

Coroll. r_. ~rg_o respeétu system~tis, cujus mo"". dulus sit == m, ent Jllxta naturam loganthmorum d (tx) "'-!x , & sic qurecunque de logari thmorum hyperbolicorum differentialibus dicantur , facile eis creterorum systema-llJm applicab-1;mtur , sicut apparebit in ex. sequentibus.

--.i-¡ ( µ,

.d l(xy) .

; ; al

dl ~- _ .=-dx . dlxn- nx - I dx __ nd,r: .

_!:_ .

) _

a+X -

a--+-x '

a--+-x -

a--+-x,

___,

X 11

........

'\'.

= d' (lx+ly)=d"' -+-dy=ydx-+-x'7 · dl !!__ .== d (!x-ly)d$._ Je .

'·

Va+x~ )P == dl (a+x")° ~ = m

:,;

n-1

p nx "dx. m(ax . )

Et quoad potentias logarithmorum habebimus etiam d ((Zxt) == m (lxt- 1 • ~x; d (xm (lx) n) == m (lxf xm-i dx-+- nxm- 1(txy-r dx==.xm-r dx(m(l.xl-r lx+n (lx.t- 1 ) xm-r dx (lx) n - I ( mlx-t-n) •

d;,

Coroll. 2. Supposito quod d (lx) == erit dx . 8I 6 xd (lx); ergo differentiale cujuslibet quantitatis ~aria bilis est requale produB:o "illius quantitatis per differentiale sui logarithmi. Sic d (xm) == xm dlxm == xm. m:x == mxm-I dx' &c. · 8.17 . Coroll. 3. Hac methodo facillime differentiari possunt quantitates , quas vocant exponentiales , qure n_em pe pro ex ponente habent quantitatem variabilem, v.g.

ax , x · ~ x\ , &c. ; a\ x'Y- sunt exponentiales primi ordinis: x\ 1 secund_i: &c. Nam transformando quantitates illas expónentia~es in logarithmicas , habebirnus ( §. 816 ) d ( ax ) a" d/a" =: ax _d (:.d a)= a"' dxla; ergo si a est basis lo-

gaI

De Calculo differentiali. garithmica, cujus logarithmus = 1 , erit. d (ax)= ax dx, & utendo eodem artificio , erit etiam d (xY) xYd/xY xY _d (ylx) == xY (dylx ....+- y;x), &c.

818 Theor. 2. Differentiale sinus unius arcus cujuslibet est cequale produCto differ~ntialis illius arcus per ejus cosinum ; & dijferentiale cosinus cuju.slibet arcus est cequale produtJo differentialis negative sumpti. illius arcus per t:.jus. sinum._ Sit sin. x == y , erit y + dy == sin. ( x + dx) =: sin. x~ cos. dx + sin. dx. cos. x ; sed dx arcus est infioit~ parvus' , ac consequenter resultare debet .sin. dx==dx-, & cos. dx=:. 1; ergo y+dy, vel sin. (x+dy) == sin. x + dx cos. y , & deniql)e dy , vel d sin. x:::: dx cos. x. . Quoniam dx cos. x = d sin. x, si facimus x ~ 90° -:f, erit dx = - dy , cum sit 90 º quantitas constans , cuJus valores substituti in requatione superiori dant -dy cos. (90° -y)= d sin. (90° -y) ; sed ( 654 ) cos .. (90º-y)= sin. y, & sin. (90º -y)= cos. y; ergo- dy ~in. y= d cos. y. . 819 Coroll. 1 • Cum sit tang. x == sin . x , erit etiam cos. X dx e---;;-:;,+ dx sin. x 2

d tang. x:::: - - - - - - - ~a.

sin.~

;

dx == ===, x COI,

•

cum s-1t cos. -t-

ergo dijferentlale tangentis arcus cequale est

di./ferentiali ejusdem diviso per quadratum cos. eJus.

Cum itidem sit cot: x - d x ~2 - d x ~ 2

-dx

== ===-; ún, "'""

,~s-" •"' erit d cot • x --

sin. 1'

etiam d sec.

X== a s-, n. == 1

Appendix. Art. l. Fig.

dx sin. x

,~·

---==-- == cos."' -

tang. x. Et demque d fOSec. x=: d SIR, -. r_,.

CDI • X s

-dx cor. x sin. x

= - :- ".cot. x. d

sm. •"'

82 o Coroll. 2. Ergo reprresentando x arcum quemlibet , erit juxta requationes anteriores , ejus differentialé dx

== -,~s."' == - .-- == c0s. x,,. d tang. x == -_-_-_x" == el sin . .,.

_ ¿ ,os. ,.

,s-:n.

======-s =I +tang. d tang. x

d tang.

stc.

d cot.

__ X

sin. X,,.

-d cot. x

== -- == ==-==-. +c11t. cosec. xs

A R T I·C U L U S

I l.

De .appliéatióne· calculi dijfer(!ntialis ad theoriam curvarum.

pRob.

I. Invenire formulas generales. subtan• gentibus, subnormalibu_s &c. in qualibet c.u r.. va aigebrica. Solut. Reprresentet AMN quamlibet curvam algebricam , · Ap _:_, x abscissam·, P M = y · ordinatam , MT 10 5 tangentem in pµnB:o M, & MQ normalem in eodem punB:o ; erit J!T subtangens , P .Q subnormalis, AT seg.. mentum ~xternum , & AE portio tangentis ad vertice~; quas· quidem expressiones comperiendas habemus. Et quoniam pm est infinite proxima , & parallela ad P M, !st, MR parallela ad AP , resultabunt similia triangula TMP , MRm , TMQ , MP J2 , T AE ; quare habebimus 1 .º Rm : RM :: MP: PT, vel dJJ: dx :: y: PT == expressio omnis subtang .

821

Y:; ;

De Applicatione calculi, &c.

81 d

2.-0

y;,.

RM: Rm :: MP: PQ,, vel dx: dy :: y: PQ, := ~;; L'tg.

expressio totius subnormalis in genere. . . PT -_--;¡¡, ydx • TA ydx y dx-.:dy • 3. o e um Slt erit - --;¡¡- x dy , exp ressio gene ralis segmenti externi. . etiam . PT : MP :: T'.,o4 .: AE , ve1 d.Y:y:: 'Jld" yJ,e-:rd,e 4 .º E nt d:, : 1 AE ydx h "ª , expressio generalis portionis tang. ad

verticem. 5 .º Curn sit reétang. in P triang. TMP , erit TM ==

TP. --t- PM2 --

y2dydx~ • -+- '-'~,-:i

J'_ dy

105

Vdx'}, -+- d4,"' 'J

exptessio g,enerica -ornnis tangentis.

6. O Erit etiam MQ,

=J,,, V

=v--• MP -+- PQ, = v.y -s

y2 Jys

-+- ~

dxz -+- dyz , expressio generica · omnis '-tior.ma1is. 822 Probl. 2. Invenire in qualibet curva · algebrica, data ejus tequatione, subtangentém, subnormalem, &c. Solut. Differ✓entietur requatio data curvre : Segregetur valor quantitatis dx , seu dy , ac etiarn dx • , si opus sit , seu dy • ; hi válores inventi substituentur in formula . generali correspondente ; produétum da bit quantitatem . quresitam. . Ex. In parabola , cujus requatio est y 2 px , erit .. · ~ydy pdx ; ergo qx •~Y , multiplicando per j,, & divi- ' dendo per dy erit 2X == PT subtang. e- 7 3 I ) . · Ergo segmentum externum AT == TP - AP =: 2s

y:;·== == 2 ;

-:-X=::.X (

.§. 731 ).

Igitur curn sit 2ydy

'ª" dx -

.!. 2

== pdx ,

p~ - PQ, subnorrnalis ( •

Quoniam

~Y == dx ,

· erit ydy =: p:..: ; ergo

732

erit d~ 2

) •

== 4Y;:Y. ;

ergo dx"' -+dJ • 1 -'

_ Appendix. Art. JI.· dl)I ?.

4y •Jy1-+,p1Jy2 ji v d z d ?. - - - y v4y•dy • -+-p 2dy• - -p - - , -dy _ _ X_ -t- '11 - - ·J -dt p ·•

! p1 == V - 1r x 1p-:-p Jx == V

4xz -t- px == TM tangent. ( 733 ) , &c. . Eodem modo procedetur in qualibet alia curva ; ac profeéto determinata , hac methodo , subtangente , habebimus semper duo punéta , ex quibus tangens duc possit. AR TICUL US III. =:y

4y 1

De usu calculi differentiafis in methodo de .maximis, & rninimis.

8_23

cognita fünétione teprresentante naturam curvre

fa,cile dignoscetur num fruatur aut non maxi mis, & minimis. Nam si incremento abscissatum respondet incrementum in ordinatis usque ad infinitum, curva ca.. re bit maxima a pplicata. Si crescentibús absdssis , decres·cunt ordinatre us-que ad o, ·c urva ·carebit mínima ordinata. Si ortlinatre ctescant usque in infinitum , & non decres-cant usque ad ·o , corva habebit unam, aut plures mínimas , nullam autem maximam. E converso , si ordinatre decrescant usque ad o , nec crescant usque in in• _iinitum, necesse est quod curva habeat unam , aut plures maximas, sed nullam minimam. Denique si ordina-t::e ñec crescant usque in infinitum , nec decrescant usque ad ó, proculdubici curva habebit aliquam maximam, & aliquam minimam. Hoc supposito cum per reétam indefinitam significari possit qurelibet quantitas variabilis ( 691 ) , sequitur quod qurelibet quantitas - maxima , aut mi.mma , repnesentari possit per applicatam curvre; ex

De usu·calculi dijferentialis, Eje.

2 83

ex quo methodus de . maximis, & minimis generalissima Fig. fit ad comperiendas quantitates quaslibet maximas, aut minimas , seu in lineis , areis , solidis , horum superficiebus, peripheriis curvarum, perimetris reél:ilineis, seu etiam in viribus potentiis , motibus , velocitatibus , temp9ribus , spatiis &c. Sed ut perfeB:ius hrec methodus agnoscatur , sit . - 824 Lemma. Nulla quantitas variabilis transire po.. test de positiva in negativam , & viceversa , quin transeat per o, aut per o:>; boc est, quin destruatur, aut fiat inftnite magna. Sit Lm quantitas variabilis positiva, incrementa, aut io6 decrementa habens per gyrum reB:re AB circ-um pune-. tum C; patet quod ut quantitas positiva Lm fiat nega.. tiva LM, reéta AB esse debet in positione P J2 ; sed hanc positionem acquirere nequit, nisi moveatur versus S , & fiat prius parallela ad Lm in positione HK; aut moveatur versus R , & ponatur in situ CL , in quibus omnibus casibus Lm debet fieri infinita , aut destrui priusquam positionem LM obtineat : ergo &c. 825 CorolJ. His intelletlis, si consideretur MT· ut tangens curvre AMO in qtiolibet punéto M, & quod ordinata correspondeos MP moveatur semper parallele ad IO'/ se ipsam usquedum coincidat cum CO, absdubio subtangens FT, positiva ex hypoth. , crescit aut minuitur usquedum ordinata -M P perveniat ad punB:um C, maximre _ ordinatre CO correspondens; verum si illa ordinata suum prosequitur motum , subtangens PT transiet de positiva in negativam ; & idem probabitur de axi Ap , & ordihatis Mp , dum deveniant ad coincidendum cum mínima cO in punóto-c,; ergo _subtangens in punétis C, e, aut ífo infinita , aut destruitur. .. - ,_ Hoc

·;tppendix~_Art. 111.·.·. Hoc posito, cum per expressioném subtangentis:-ha~ be~mlls_fT: MP :: dx: dy ( .821 h si ·supponimus PT == ·oo, erit oo: MP :: dx: dy; sed in hoc casu , MP=o respeélu PT ( 798 )_: ergo etiam dy = o respeB:u dx. _ -Si supponimus PT= o, erit ob .eandem rationem o: MP :: d:x;, : dy ; .sed t_unc MP co. . respe·au PT·: erg~ etiam dy == oo respeB:u dx. ,; -·, Uhde infertur quod in casu maxímre , aut minirnre applic.atre , differentiale dy aut fit infinitum , aut . des-: tJu.itur .;.:.ac . ._c;onsequen~er habebitut tanquam fundamen~ tum -methodi de ma.xiinis , & minimi_s sequeos .• · . ., . Regula : Differentietur expressio quantitatis variabilis, ·· · cpjus maximum, aut minimum qureritur, & faciendo dif~ ferentiale =: o , seu = ex, , deducetur, si fieri potest , va-· {or quantitatis .x, qui quidem determinabit _locum maximre , ut minimre ordinatre , ac repr~sen~abit maximam, ~ut minimam quantir¡item variabilem ·¡u~us speciei , d~ qua in• problemate agitur ; hoc bene perspetlo, quod ad inveniéndu_m. postmodum verum valorem maximi, aut minirni correspondentis ,. introducendus est in expressibn~ principali v'a lor inventus qüantitatis :,;.. . ,• . 826 Schol. Methodo exhibita in prrecedenti .regula; evidens fit últimam resolutionem non ,sufficere ad com~ p.e~iendum , num quantitas inventa sit determinate maxi~ ma ., aut , minima. ldcirco ut dubium hoc auferatur, a~ qu,odlibet aliud prrecaveatur, augebitur, & minuetur va.. lpr abscissre x correspondentis maximo, aut mi~imo; quo) (aB:o si utroque casu valor ordinatre y creverit, bree re-. prresentabit minimum; si autem decreverit , maximum; -yerum si cieverit versus unam partero , & decreverit y.er~-qs aliam _,_ n~,que rnaximum , neque rninimum, re~ prreseniabít. · . .. . .

Ac-

DeUsu· cálculi dijferentialis, é§c.

-2

__ . Accidere potest quod ~ugmento, aut decreme'n to va~ Figr loris abscissre x maximo,-aut· minimo correspondentis, res- ' p.ondeant duo, aut plures valores in ordinata y; .quo C?ªs~ inspiciendum num majores sJnt quam valor ordinatre in illo punéto; tune quippe reprresentabit minimum; si autem minores sint , maximum; ni autem fuerint unus major, ~lter minor , ·n eque maximum erit , n~que . mínimum. : · ~ . Ex. Investigandum est nurµ in hac expressione x -1- ~ aliquod maximum , aut minimum contineatur. Differentfanqo , & requando ' cum o · ba.bebimus · dx == o;. multiplicando per x_ & dividendo per d~.!J . r_esult~t ~ie-ñique x = a , cujus_ valor substitutus in expressione pro ..· posita aat a+ a= -:i,a = y , .maximum scilicet ' ~aút minitnum quresitum : ad qurerendtim modo num reipsa· sit ma:... ~i~um J _au~ . m~ni.!Dum 1 augebi~us _valorem ab~cissre .. ~ quantitatis m, & habepitur a + m , _cujus. valor substi:-:, tutus pro x in expressiorie principali, ·dat a+m . a-+-m 2 2 2 2 ª,.-+-a-+-m ~-+-m == ~"~ ) -1- ~ .~ ª~quantitas procul11-+-m a--+-m a-+-m dubio > 2a ; minuendo étiain valórem , abscissre a ejusdem 9:uantitatis . m , fiet- a_-·-1}1-, -cujus ~~l~r.~u~stj~utus pro x in expressione principali dat'a - m-+- ~ 2a-+a-m ª ,,,.,_m' quantit:as etiam ~2a ~ ergO: ordinátáy. ~ . 2a reprresentat minimum. :· 827 ri~h. 1. Dato triang._ABC tleter;,.,inare 108 lpgrammum majus, quod in eo possft inscribi, ita ut hujuspasis HB cadat supra basim AB triang. : .. Sit .¿B =_a, DC = b, ~ J)F, altitu~o parallelográi;n-; rp1 mscnbench = x; cum Juxta hypoth~ KG debeat eise parallela ad AB , habebimus DC: . 4.B :: CF: KG , . vel'. b: a ·:: b-x: KG 'al> ax· , ac ·consequenter· area par,¡Jle-· 11

ª: :$

+ ~ -=:::

par~lle-

t,i l

J : ..

' ..

lo-

·2

86 ..... ·

'Ap'pendix: Art. III. ~

== ab-;

lrig. logramrni q~resiti erit KG x DF as'-, cujus exp ressio differentiata , faciendoque differentiale = o , dat x = ½b ; cu jus valor manifestat , quod majus pa'rallelo-~ grammu m quod iQscribi potest in triang. formad debet sume ndo dimidium altitudinis triang. pro altitudine pa.. rallelogrammi. 828 Prob. 2. In omnibus triangulis reCtangulis ejus.:.. dem arete , Ulud invenire in quo altitudo cathetorum AB + BC minor sit, quam /ieri possit. Sit area triang. == a , latus AB == x , erit BC ";

= =

:ª ;

( .4 9 3 ) , ac proinde AB + BC x +differentian~ 4o hanc expressionem, & requando differentiale .ad o erit dx o ; unde resultat $ 4 H == V 2 a , & BC:.2 a ; ergo cathetorum unus debet esse alteri ~qüalis , ut hab.,~atur quód qureritur. .

~;~,e

= :" == v

s E e TI o Ir. De Calculo integrali, seu su1nmator~o• .ART I

e.u L u s

p R I Mu s.

829 slcut elementa infinitesima quantitatum variabi. · · Iium sunt earum differentialia , sic ex eis cóa-. lescerttes quantitates variabiles , vocantur integrales;' parsque illa analysis eas investigans ca/culus integra/is, ant summaiorius, qui docet modum inveniendi , mediis differentialibus datis ; variabiles ipsas unde dimanarunt; idcirco appellatur etiam methodus inversa calculi infi-nitesimalis. Schol.

De Calculo integrali _; c5c.

. r830 Schul. Ad . denotandam integralem cujuslibet Fi[? differentialis , ;anteponitur littera S. ; sic sd.x denotat integralem differentialis d.x., S. ( adx - 2.xdx ) significat integralem co~respondentem differentiali adx - 2xd;,;;; idcirco litterarum' d ; S. usus in calculo infinitesimali ~quivocationibus locum prreberet posset. · J,

ARTICULUS

11.

De Integrafione . guantitatum differentialiutn.

831 pRobl. Invenire regulam fundamentalem ad in.. ·. tegr andas ·"quantitates dijferentiales. " Posito quod differentiale ·quantitatis cujuslibet_ variabilis est productum ejus exponentis per eandem quantitatem, diminuto exponente fo una un~tate , multiplicato hoc producto per differ.entiale radicis ( 807 ) , & quod calculus integralis es~ inversus respectu differentialis, patet quod ad integrandam quantitatem quamlibet differentialem, observari debet sequens Regula : Augeatur una unitate exponens quantitatis differentialis , & dividatur postmodum tota expressio differentialis per differentiale radicis multiplicatre per exponentem ita auetum. 832 Coroll. Cum omittantur, quando differentiatur aliqua quantitas, quantitates constantes qure in expres.. siorre inveniuntur segregatre variabilibus, eo quod ejus cijfferentiale sit.== o ( 803 ) , infertur quod etiam dum integratur expressio differentialis per regulam anteriorem , asseri nequit quod quantitas inde provenieos sit integralis completa; idcirco integr_a li per· illam regulam re~ultanti necesse est semper addere quantitatem indeter. t m~

,._

Appenqix. ·, Art.11.

.Fig. mina-ta·mc, ou~U:$.'. V'álo.r . invenietur juxta .naturam qu'res• tionis per· sequ.ent:em . regularh. · la ·:in~egrali ~inventa fi'at variabilis (x _:.__ o -, &,· siquiaem: destruitur· fotái ex.pressio, signum- erit · guod integralis exacta · est ,, & resulta bit C. ==:.o .;-sed si: 'méinet ·aliqu0d res{duul!l, 1ho.c ~ p o; & sic residuum~jlt;ud¡ currrl• igna, ~o-nt~ar-i'cn· e.r~L proc"u!~ dubio valor quantitatis C; quod prresens ad omri.es casus particulares halJebitur ;n1i:ec enim praxis , confusionis vitandre gratia , omittitur. Exemp: .expressiouum ,.~qure' per negui~m. furrdamen-talem integrantur. · ·

-· •

·•

1 •

•

S.dx

= t·

x· O-f'1"I,.¡

= x.

'uX

S.xºdx

== - -.-

·-·

dx · .· · · . · l r, . :L.)~ · '2dx · - ' º" -d i _.- x: ~ . i ··~ =-" ..... · r: ul:lr. r--_.º. ,

1r,

2. o . X X - - - - - 2 X.

'2dx

. ,,. 0 i)•

p·,r

~ ~~ ·axm-+-zdx ax~-+-1 axmdx . . · u. ------r, ( m-t- l ~dx ~ · m + í;_

b "

- ~~

. .!!!.. -+- I

"b X 4 •e u.

.m n ,J

bx n

bnx · n

uX --,. -:-;;:;,- , - - - -n -t- I

x.:..;_mdx

---

m-+-n

:x:-m-+-I

5 o S - S r• . • axm - , • . a-.- ~ ~I---m) -

mdX

-X

m-nd ; X

Xm -,-- n. -f- I

s.----= s. ___:_= a2 xn-b xn 2

a2 -

·ax_m . 1 (_1__. mf

K::.i • l

--.

(a -b (m-n+1) ., . 2

)

== -

•

l_;

bx43c•y2 7.o S. ( 2ax2dx - bx 3dx-+- 3c y dy ) ' 2ax3- 1 - - -:¡--+ - 2 ~. 4 8 .º s. (ax •+- x_ )2dx - S. (a x dx-+- 2ax3dx-+- -x dx) == ' -á 3 -+- -a -r.-f -+- -5 • &c. 2

X l

Schol.1.

De Calculo iniegrqli, .c§c.

8 3 3 • · Schol. 1 • Si in hac expressione differentiali xmdx F/g. supponjmus quod sit m == - ¡ ,. .& uti~ur regula fun,·d'amentali , · r.esultat S. ;mdx == :,:º := oo , cujus valor nil o ps odest i ;, sed ·tuni differ_entiale .xmd~ reducatur J1oc casu ad qme ,.expres~io ., ut constar ( 8 I 4 ) , est differentiale logarit!1mi 'hyperbolici ex x , proculdubio ejus _inteh9c e,st nS, ~:,:~ ::::::: -Jx ;• l19c innuit ,. quod g-r.ale ~rit

d;,

lx:·,r

integra/e fractionis, cujus numerator eot differentia!e denominatoris, tequa!e est logarithmo sui denominatoris. . 834 Scliol. 2. Frequenter occurr~nt expressíones d¡if~repJial~s:,· qure sunt proqtilctum r functionis ' ex x ,, & dx myltiplicarie , pet .quaotitatem ré;ldicale~ quamlibet; ~

tun~ ~d .. eam integrandam recurd solet ad substitution~m., Ad hoc expressio sub radieali posita fit requa'I" lis -unj Vi:!riabili , z v. g. ; _ac differentiando postmodum seqqation_ern , ..deducuntur ,valores : ex x, dx, &c. in , valqres 1.~~1 z , -dz •,, &c;·1 factaque -intégratione . per regulam fundamentalem , rursus substimuntur pro ~, ejusque po~ent!is valores correspondentes in expressionibus ex x, & ita habetur ,integrat~ _quresitum. · Integrabda sít -éxpressio xdx aad ~-- Ex.

4 / _, -

•¡•,

11/ x ;

•

hoc faciemus a-:x;_:z~ erit a-x==z4 , x==a-z4, dx == - 4z3dz, consequentes xdx t l a - x (a-z 4). - .4~3dz. z == 4z8dz 4a~ 4dz; ergo S.xdx ~a - x 8 -· , . 4 t 4 t in cuJ·us 4r 5 • t _ 4t 9 _ 4 ªt S. (4z dz- 4a24'dz) 9 _ s-9 s' integrali restitutis valoribus ex z in expressionibus ex x resul.:.at' deniqu_e S.xdx J/a-=-. x (a - x)2(a - x)¼ -

== l

- ·-

== ;

4 _:_- / ~

(a -

:;) (a -

x){ '_

-1 9

(a t

x)i -

(a -

x)f. Ex. 2.

Appendix. Art. II. Fig.

Ex.

Integranda . proponatur

2. n

pxm-i

expressio n

.•

•

dz ; . ergo. pxm-I dx (xm -1- am) X ' n.

!: :z n _dz·; consequenter S. (pxm-x dx fxm4 a!') ~ ) : S.~: z7 ~ ,,_r -tI

dz == mr -+pr mn

,- ·

== m__r rP-(xm mn

-n

am) (x:":-i- am) r res... -+titutis jam valoribus ex z in expiessionibus ,ex x , &c. 8 3 5 Schot 3. Dum expressiones differenti~les- inte~ grationis exactre · capaces rron .sun,t:, requrritur -qO · a-p pro ... xiinationem , ad hoc, reduc.entur qriantitatd ~· p'er quas multiplicatum est differentiale variabilis , ia series infi·nitas juxta1 formulam Newtoniané!-m, aliamv:e, ac postea exequendo multiplicationem per differentiale: , ·resultabit series terminorum·, qui omnes integrad per regulam ·fun.. damentalem . poterunt. ,, ' . u,. d ,, d . . E x . .r. I ntegran d a s1t expressm "-+-{ x a-+-:x: , a quod resol vemus fractfonem a -+-,,X in seri~m 'i~ñilitam .!!_a _::_:. Í,:,c • b:x:2b:x: i -1- & ;t · hdx bdt1: b:x: d:,;-1- bx'-,b - -1- -a 3 -a 4c. ' en , .a-:-¼-x -- == ---. --a 3 { a a'·• Z

t1 .

•

-:-t-

-t- &c. ; ergo

btlx -

b-x ·

T,,: 2 2a 2

s. ~" ==-;;- -

/i,r;- 3

-1- ~ -

1i ~4 4a 4

-1- &c.

Va,.=

Ex. ~ ~ Integranda sit expressio ' nidx x,.; 2 ·aq ho~ resolvetur radica!e ' :X..' in seriem infi' • • . ,,,2 - ,r4 x6 · & · . .d mtam a - ;;; - Sa J. ~ - · C. , ent m X a -X · d mxztf-,, mx 4 dx mx ~dx & . . ma x - _ _:._ - - - - --, - c. , ac conse-

Val,

,.,

., .·

8a 3

. ·.q uenter

s•mdx Va

• t

( l.

··

r oas

= max -

'--

v-,-.,--,,

~3.2a ..:.. ~ s;8a3 ~

•

&c. • _

.:!!!:..!._ -

7.16a5 ·-

(

AR-.

De Integratione differentialium, f!c. 29 I ARTICULUS -111.

De Integratione differentialium l-ogari.tbmicorum, & ex;.. ·

, 836 1

· .· pone~t(~Jium.

integratione differentialium logarithmicorum, Fig. specialem locum obtinet substitutio. Integran-

da v. g. prop.onattir expressio :: , ac faciendo l.x •

d .

dx -

a, .

d:e -

== y,

s• dy _:_, -

erlt -; _ y 1 erg-o ~tx _--;, ac consequenter "'· -¡;¡; 1 ly , in qua expressione substituendo loco JI rjus valorem Jx' erit denique s XdlxX == llx. , 1 Itidem integr-.anda sit expressio ·m (l~t-z ~ -, faciemus , • dx • d (l )m ,,x y , ent -¡; == u, , x JIm, (lx )m-l == y m - r , ac , , CT r (..7 )m-ddx ,cr m-ld¡y • :ym e·¡.x)"" su b S"'consequenter .u.m ,ix -;- ' o.my

= = tituto jam loco ejus v.alore (lxt. 8-3 7 Cum sit d ( a") == axd ( xla) = ax dx ( 8 r 7 ,), ax dx axdx . necessario resultab1t S.a dx = a = _ = --. It1dem d(xla) dla,. ' J'm

•

= xYd (:ylx) = x''(dylx Y,:); ergo ' dyl.x .xY (d:ylx -+ Y!") x" ; sed xY = == dylx + "/ - - - - - - , cum sit d:ylx-;= d(ylx) == dlx;. xY "' observatur quod d (x'')

-+-

-f-

ydx

)

·xy(dylx-+- y!x)

ydx

ergo integra/e unius expressionis dijferentialis exponentialis tequale est illte expressioni dijferentiali diviste per differentiale logaritbmi quarttitatis exponentiaiis, in ex:. pressionem ingredientis. ARf.3

Appendix._Art. JV. ' Fig.

.--

A R. T 1 C U L U S

I V ..

De Jntegratione differerí.tialfum , in qut:e ingrediuntur simu ·,; &1oosin'us• ~

838

.¡

..,.

•

i .'

'~ ' ,.

X eo quocl · dz. cos.

z == ·d sin. z

quod - dz sin. z d cos. z (.§. 8 r 8 ) neces~e est ut resultet S.dz~~cos. z == sin. z, ac S.dz sin. z == •-~os. z:

•

=: -

, ac

•

proinde gen,eratim e~it S.dz cos.n.z S.ndz·cos.nz f '.,,., I & itidem S. dz sin. nz cos. nz.• n t

== - .,

= :sin.nz: i

ART ICULUS

De Application_e ca!culi integralis ad JJ.11..adraturam curvarurn. .

839 THeor. Formula generalis exprimens differentiale, aut elementum infinite,simurn superficiei

'unius curvé' est 105

===-,,ax.··

Diximus ( 8 o 2 ) quod .spatium P Mmp ~st incrementum infinitesimum arece AP M ; sed ( 4 9 4 ) P Mmp 2 ;:::: PM-:-pm XPp Y.:;:dy dx ~ ·ydx ,+ 1:dy =:ydx (ij O l) r

ergo &c. I ' ,.. 840 Co.roll. CJ.Im sit spatium infinitesimui:n P Mmp ydx , differentiale arere AP M erit etiam sydx APM. Un.de rnsultat (lUOd _µ,t· applicetur ·bree formula generalis· areis,, particularibus, sumí debet requatio cutvre, cujus area qureritur, ad per eam deducendo va- . lorem ex y , hunc .in illa expressione substituere ; ex quo

De Applicati~ne, &c. 1q uo resultab¡t quantitas, in quam sofom ingrediantur x, Fig. & dx, qua! integrata dabit aream quresitam , addendo ( quod semper prre oculis habere debet) constan~em C Patet enim , quod spatium infinitesimum P Mmp non 10 5 solum est differentiale quantitatis AlltfP, sed eriam hu~ jus CLP M ; consequenter integrale quantitatis P IVImp denotabit utrainque aream: ergo necesse erit addere in~ tegrali invento unam constantem , indicantem differentiam inter aream quresitam ; ·& eam qua! ex calculo resulq.t , supponendo semper quod ang. coordinatarum est rectus. 841 · Prob. 1. Invenire aream triang. cujuslibet ABC. 10 8 Sol. Sit basis AB ==b ·, altitudo DC ==a; ac ducendo 1in. KG parallefam ad basim , sit CF ==. x, Ka---==y; o~ rationem basium parallelarum ,- erit b : a : : y : x ; ergo ·ay

== bx, y==--;;-, y d x = == b:: ; qme expressio

Cl(Cl_fit ·

= . --;;-

S /1:,cdx -;, ac consequenter S .yd x reprresentat quamlibet · portionem are.e triang. ABC; ergo r si x ob suum incrernent~m a , erit ,,;ª• == b,ªa.,_ -:- ½ba , & b.abebitur are<!- totius b ,e

bxdx

triang~conformiter ad dicta in elem. Geomet. ( 4 9 3 ). 842 Prob. 2. Invenire aream parabolce. J • • • Sol.Cum sit requatio ad hanc curvamyz=px, erit y_pix~, 3

ydx

= p.:xzdx ; ergo S.ydx = S.p.:x •

== 3 2

xy ; hoc

•

== -- == 3 p¡ x X;;

r 1

:.e

est -~' area parabolce est cequalis duobus tertiis rectanguli abcisste per ordinatam. y

Prob. 3. lnvenire aream circuli. Sol.Hujus requatio, numerando abscissas

.8 43

-~ ,

e centro, & da-

Appe~dix. Art. V.

294

== a , est y a-:== dx Va•- .x

Fig. dato quod ejus radius sit

Va x• , ydx S. dx V a -x::::::: ax ==

•

x 2 ; ergo

:::::::

xs 2.4.5al

;

S.ydx

& c.

J. 3 .%7

-2.-·--- 2.4.6.7a - -- 5 3a .qure expressio reprcesentat aream cujuslibet spatii circularis CP NG , cum sit CP x. Quare si consideramús & hic valor substítuitur in expressione ·quod fü -prec ed ente , p10 • d uctum · ,rz I. 3a 1. 3. 5a & C1 _ __ a1. :- 2-1 .•_ ·

x=a..,

4 5

4 7

rr epr~sentabit aream. quad-i:_amis _CGNA , cujus quadmplum . J erlt area circu li integri , aut tota ejus quadratur_a . 844 Prob. 4. ·ln·venire qre~m elipsis~ · Sol. In hac curva numerando abscissas e centro, cum sjt 'cp i , semiaxis: minor b· ,. . & majar a.,, est y .d . bd.% . 2 a'- x-z. ;. ergo y x == -;; a --:- x• , s .yd x --: 7 2 . s. /,: X == portioni spatii eliptici cujuslibet '

== ',; V

==-

V . ==

2 CP MD ' & cuin sit 8 4 3 ) S.dit ~x• == spatio , -· . . ' 6 circulari CGNP; patet quod erit CP MD: CGNP : : -;- ~ Jl ':~ b: a, hoc est, spatium elipticum inter. duas ordinatas ·c~ntentum, estad spatium eorrespondens cireuli circunzscripti ad elipsim ,. sicut ,zxis mi,nor elipsis·· ad , suum ax if11' majorem ; ac r;onseque1;1ter tota .elipsis, babet cum toto rci,:culfJ eandem rationem • 1

. r

. ARTlCULUS VI. ·,. .

. Rec.tificatione,_ curvar::Um. 1: . De . ; r . •

845 TH~or. Formula gen era-Ji~· ~exp~im~rrs diffe~en.:i t1ale , seu elementum mfimtes1mum arcus cujuslibet . curvre est l" dx" + .dj, ~. - · _, ,.(

Vi•• •"t'

De .Rectificatione curvarum.

29 5

Vidimus ( 802 ) quod arcus Mm est elementum Fig. infinitesirnum arcus AM; sed ille arcus ob suam exigui- 105 tatení necessario confundi debet cum portione M m tang. TM , ac proinde erit hypothenusa triang. MRm rectanguli in R , datis Mm == 1( dx dy ergo &c. · 846 Coroll. Cum sit arcus infinitesimus Mm Y dx +tl..0 differentiale arcus AM , necessario erit S. Y dx + dy == AM. Sic ad rectificandam quamlibet curvam , differentiabitur ejus requatio , deducetur valor ex dx seu dy qui substituetur in formula .generali, ac postea 'mtegrando habebitur cu:rva ad rectam reducta. 847 Prob. 1. Rectificare arcum quemlibet DM parabolce. Sol. JE.quatio ad hanc curvam , cum sit parameter 97 ~ p , . & A P == x , est y == px , qure difieren tia ta dat 2ydy · pdx ; ergo dx :=::: z vt1y , dx == 4:Y ':Y'" , cujus valor p p 2

;

substitutus

ay • dyi.

-¡. -+ ¡y

s.vdx2-+-

áyv

in formula generali dat 2

== -¡;-

dy?.=:S. d y

Y: f7 4

dx 1 + dy2

ac consequenter VP2-+- 4.Y .. ==.Y·-+- , yJ _ · 2y_ -+p -+- 4.Y

;

3P 2

5e+

&c. expressio significans quemlibet arcum AM parabolre jam rectificatum. 848 Prob. 2. Rectificare quemlibet arcmn GM circuli. Sol. Numerando abscissas e centro., & cums.it radius=a 95 -xdx · est in hac curva y == a x ergo dy == -:-:==:::: ,

dy -::=.

ª·;·¿,,;, ; cujus

;

Va 2 - x 2

valor substitutus in formula genera.Ii

adx .,. ac cons~q_uenter • • •. Va - ·,.x.,_ 2

Appendix. Art. VI. Fig. ___ adx ·+ d z - C"I _ ,rl S . .Vd x _ y _ t J . ..-:-:===- x+ 2--,-;--t/ .,a

I. J.j.%'7

2.4. 6 ,7a 6 -t-

& e~

· va - x in qua expressione reprresentatur valor arcus cujuslihet circularis G M rectifica ti , & facjendo in ea x == a ha.'.. bebitur rectificatio quadrantis _G MA, cujus quadruplum exprimet rectificationem totius peripherire circularis. 2

ARTICULUS

VII.

)

De Cubicatione , seu men~ura ·solidorum.

849

....

THeor.

Formula generdlis exprimens dffferen7 tia/e, aut element-µm infinitesirnum unius so.. lidi , produét_i per· revolutionem curva? drcum suum axim, est PY::x reprtesentando y ordinatas, x ab~cissas, & r: p rationem radii ad peripher:iam. Considerando quod curva AM gyrat c1rcum suum 10 5 axim AQ, absdubio ·generabit solidum, in quo qmelib~t secdo perpendicularis ad axim erit circulus habens pro radio ordinatam y curvre ; consequenter circumferentia singulis his sectionibus. -correspondens erit == & ejus a rea n2X 4 9 6 -). ,

(

P; ( 4 9 9

), ·1

· Hoc supposito, si consideremus · omne solidum re .. volutionis conflatum ex sectionibus infinite parvis, & ad axim perpendicularibus , differentia ínter duas h.is superficies planas cujuslibet nulla erit. , cum sit infinite parva; quare contemplari singulre poterunt tanquam cilinder, cujus basis est superficies circu1i descripti radio ty , & altitudo differentiale d~ ; ergo cujuslibet soliditas n >dx_ ( fro o ). infinitesima. 2r • Cum

De Cubicatione , ci'c. - 8 5o

Cum sit itaque

PY 'rdx 2

elementum infinitesimum Fig.

~olidorum revolutionis , • habeJ?imus quod S. py

•:x ·exprimet

omne solidum. Sic ut illa formula ·a d casus speciales contrahatur , deducetur ex requatione p1ani generatoris valor ex y 2 in expressionibus ex x: substituetur in formula generali, ac postmodum integrando, resultabit va~ lor, aut mensura soliditatis totius solidi revolutionis. ' 8 5 1 Schol.· Licet solida non sint revolutionis , pos.. sunt consi'derari tanquam · composita ex fragmentulis, aut sectionibus infinite parvis , & ínter se parallelis. Quare appellando t unam e superficiebus cujuslibet sectionis , & x quamlibet portionem linere ad eas perpendicularis , erit solíditas singu1arum tdx; ac consequenter S.tdx exprimet soliditatem totius solidi ; & ita ¿id hoc ut hrec forma applicabilis reddatur, nil superest nisi ut in casibus specialibus inveniatur valor ex t" in expressionibus ex· x. · Ex. Proponatur invenienda hoc medio sol_iditas py- 8 I ramidís OGHK; ad hoé supponemus •ejus basim GHK :.:__ c2 , altitudinem DO== a, & appellando x portionem dO, distantiam cujuslibet sectionis, cujus superficies est ghk t, ad verticem O, habebimus ( 544 ) c 2 : t: : a1 : c• x d c x • dx S d c'-x >dx c • 2

0 ergo t ::= -¡-;- , t X== ~ ; .t X::= i.J, ----;;,:- == ª 3 qme quidem expressi~ reprresent~t soliditatem unius po,r-: tionis pyramidalis -cujuslibet Oghk; & si supponimus x a, 8 1 1 expressio ';:,. convertetur in hanc c'l.a , in qua reprresentatur soliditas "totius pyramidis OGHK, sicut in prihcipiis Geornetrire ( 6 o 6 ).

2 ,r 3

· 852

Prob.

;

Invenire soliditatem coni GEL, gene- 76 ra- -

Appendix. Art. VII~ Fig. rati per rotationem triang. rectanguli SCL circum cathetum CS. Sol. Sit CS==. b, CL==.a, & ducendo lin. et parallelam ad CL, sit cS::::: x ; & el == y, habebimus b : a : : x : y; consequenter ax == by, requatio plani generatoris coni, & ejus virtute habebimus == cujus va-

y==ª; , y' ª~:• ,

lor substitutus in _ formula generali so!idi infenitesimi dai: ptt. x dx S py • c!.x _ S pa • x•dx _ pa"xl • • ·

p y•dx _

-,- ..,. r

b 'Z

• - 2r-

CUJUS express10 ·

,--b , , . -i . r •

• -2r b ,- -

reprresentat soliditatem unius portionis conicre cujuslibe~ blS ; & siquidem supponimus x == b , convertetur .in

~::! == :ªr" . ; b in

qua reprresentatur soliditas totius coni

SB L ( §. 6 o 7 ) •

.853 Prob. 2. Invenire soliditatem conoidis parab()/ici. Sol. V ocatur generatim conois omne solidum formatum per revolutionem cujuslibet e tribus sectionibus conicis circum suum axim , suam applicatam, au_t suam tangent_em. Et speciatim, si sectio generatrix est semiparabola, solidum resultans dicitur conois parabolic_a , aut para: boloides : si semihyperbola , conois hyperbolica, aut hyperboloides: si semielipsis, conois eliptica , aut elipsoides; tamen si semielipsis gyrat circa suum axim majorem, solidum dicitur elipsoides prolongata ; si autem circum ., · áxim minorem , contracta. Hoc supposito , vocando a parametrum parabolre, erit ejus requatio y a:,; , cujus valor substitutus in 2

c. 1a 1,ormu

. 1·1s dat genera1·1 so 1·a· 1 1 dºffi 1 erent1a

py•dx

pt!xdx

, ªC:

consequenter - = -z. 2r = - r . -2 x:=::. - r • -2 X ' expressio manifestans soliditatem cujuslibet conoidis parae, P.'v • dx e, pa x dx iJ. ✓ -=u. 2 r -i r

pax

pa:,: 2

py 2

bo-

,De Cu.bicat-ione, cJ.c. bolicre esse requalem producto sure basis

P;;

per

½x

di- Fig.

midium sure altitudinis. 8. 5 4 Coroll. Ergo cylinder , paraboloides , & conus • l

•

requalium basium & altitudinum sunt inter se sicut x, : x, I . :l I • 6 x , h oc est, s1cut 1 , -;- , 3 , seu s1cut , 3 , 2. 3 8 5 5 Prob. 3. lnvenire soliditatem elipsoides prolongatce. ' ·s ot Supponendo quod axis major elipsis est 2 a, & mi~

== 2b ,: habebimus

·no"r

== ~: (2ax -

2 ),

cujus valor

::a•• (2axdx substitu~us in formula generali , da t pv•:x 2 x_ dx)'; ac consequenter S. r,i2r '- dx S. 2rpba 2axdx- x dx) .

::ª\

+·

.,_

(

x 3) qure expressio significat soliditatem cujuslibet portionis elipsoidicre ; & supponendo quod deveniat •11 • • 2pb a pb,.a 2 x 2 a, 1 a express10 convertetur rn Tr -r- • 3 , qure explicat soliditatem totius elipsoidis • . 856 Coroll. Cum sit circulus descriptus semiaxi conjugato tanquam radio == ~\ soliditas unius cylindri 2a, axis major elipsis , . erit hujus basis , & alr_itudinis pb"- ; 2 a == ph' ª ; ergo solidi tas · elipsoidis est ad e ami r r (ax,.....:..:.

cylindri qui circumscribi potest : : 1_ : : 2 : 3 ; & cum sit sphrera elipsoides axium conjugatorum requalium, infertur quod etiam sphrera erit ad cylindrum qui & drc.u mscribi potest : : 2 : 3 ; hoc est, elipsoides , & etiam

sphcera est tequalis duobus tertiis cylinári circum... scripti.

AR-

Appendix. Art. VIII.

300

Fig.

A RT I C U L U S

•

VI I l.

De Superficie curvarum sol~dor-um revo!utionis. 857 THeor. Formula genera/is e_xprimens differentia/e , aut elementum infinitesimum superfi-

P; V ?x ;X

cierum curvarum in solidis revolutionis est + qy reprtesentando y ordinatas, X __ flbfcissar ,· _r: p ,ratione~ radii ad peripheriam. ' .. Prout curva AM in sua revolutione descri~it super 1 05 áxim A.Q superficiem• ·curvam totius sol¡di, árcus infi~l . nitesim11s Mm describet absdubio ·súpérfi.ciem -coni trun~ cati , qure erit differentiale, aut elementum iñfinitesimuni superficiei solidi revolutionis, & ejus expres~io erit pro~ ductum ex .Mm per circumferentiam circuli descripti radio dueto perpendiculariter dimidio Mm super axiili AJ] .( 587), qui in nihilo differt PM _:_y ( 801 ); 2 sed Mm == d:J,ii. dy ( 8 4 5 ) & == peripherire ci.r~ culi , cujus radius == y : ergo reipsa ipa ,superficies , aut elementu~ infinitesimum erit == P:f tiy 8 58 Coroil·. Cum sit dx + áy'l formula ge- · neralis exprimens e,lementum infi nitesimum_ ·superficieru·m curvarum in solidis revolutionis , s. py dy·-z ex-·

Vd~+

P; V

•

Vdx-; ·+.

primet totam superfic.jem curvam cujuslibet .

a P:

e illis

solidis; .•

sic ad applicanoam formulam illam ad casus speciales, sumetur requatio curvre generatricis, deducetur valor ex y in expressionibus x, ac differentiando quantitatern resultantém , deducetur etiam valor ex dy 2 in requati~-

De Superficze curvarum, &c.

301

.ni~us x:, & -dx , quorum valores substituti in formu·la Fig. .g~ner.ali, ac . inJegr~ndo postmodum, dabunt su perficiem quresitam. . 8 5 9 Prob. I. Inveniré superficiem curvam coni recti SBL. 6 7 •

•

Sol. Cum hic formetur per revolutionem triang. rectan• . r -gúli SLC circum cathetum CS b, si supponimus CL ::::: a , cS x , & el== y, requatio linere generatricis erit

== by

( 7o7

);

ergo y ~ cujus requatio differend "2. a>J:x;z ; d o h_os va1ores == -¡; [Y ::r::: ----t;:- ; su bst1tuen ~~- y,' & ex dy in formula generali elementi superficialis, ' P'Y a ?. dx• h'a.beb•1mus . x -t- dl.Y'Z. __pax ¡;: x 'Z.-t- -¡,_ ..• 7 llx

·t ·1ata · d at dü'

adx

!!.:::x V

s. paxdx Vb· b' r

'Z, .

P; Vd~ + dy• ==

ac ':onsequenter S. + ·a2 paxz , + a2 zrb • ;

Vb·

•

qure expressio re-

presentar SlJ.,p_ co. erficiem . co.nvexam cujuslibet portionis . nicre Sbl; ac si supponimus x := b substituendo habebimus lf:, + a?b• a éxpressio nianifestans tbtam superficiem curvam éoni ; & quoniam b2 + ª'l. r~prresentat latus 'SL coni ~ & ~: semiperipheriam · c!rcul~ su~ basis , sequitur quod superficies convex.a · unius. _conJ requalis •est producto semiperipherire circuli sure basis pe!" sÜµm latus SL:

{;;;,V

= ·~: V ·+

86o

Probl.

2 • . In-venire

·,

superficiern spherte cujus -dia-

meter== 2a. Sol. JEquatio cúrvre generatrids , veÍ cÚculi'° e~t y 2 2

ax -

2 ;

ergo y ;:::::

2ax -

2 ,

adx - xdx == V2ax-x -~--- ---=--= 2

302

Appendix. Art.iTJfl.

. d 2 _ - 42J!fe2-2axdx2--1-x:J:,;2. • b • •·• F:zg. ¡y 2ax-=--- xz , qm valores su st1tut1 in for ... mula elementi superficialis dat E!_/ dx 2+ dy 2 ªP/"'; a<? consequenter s. P.Y Vdx z- + dy == s. apd:x apx ap • x, r r r r qure expressio manifestat superficiem convexam fragmenti sphrerici cujuslibet ; ac faciendo x == a , expressio pr~ cedens convertetur fo a , qure reprresentabit super-:-ficiem convexam semisphrerre , & ejus duplum ª/ . 2 a superficiem totius sphrerre. Hoc s!g• ificat , quod superficie~

= = =

ª: .

curva cujuslibet portionis sphrericre est semper. requalis producto. unius circuli maximi spbrerce per altitÚdinem correspondentem singulis illis portíonibus. ·

A R T I C U L U S. I X.

De 86 I

Methodo inversa tangentium. ·

HUcogmt10nem cus~u_e , mediis . requationibus cu~varum, aper_!.l1mus earum propnetatum,

· subtang. , tang. , subnorm. , norm. , arearum , &c. Nunc, media harum proprietatum cujuslibet cognitione , investigabimus requationem , & naturam curvre cui correspondet ; quod quidem nil est quam exequi , seu ad praxim reducere methodum inversam tangentium. Modus igitur huc aptandi calculum integralem , pend{t ex circunstantiis , quas duo sequentes casus comprehendunt. 1.0 Dum nobis dentur expressiones subtangentium, tangentium, ac cujuslibet illis quantitatibus, qure medio calculo differentiali inveniuntur , eas requabimus formulis generalibus quantitatum , quas reprresentant, · hanc-

De M ethodo inversa tangentium. -hancque requationem pqstmodum integrando:; resultabit Fig. requatio curvre , qure desideratur. _ 0 2. Si detur expressio alicuJ!.1s arcus ,_arere ~ solidi revolutionis , aut horuriP superficiei; aiffe•r-entiabitut illa expressio, cujus differentiale ·requale fie't: formulre~ne .. _r.ali , dato respondenti , ac postea integrando illam _~quationem , dum opus es~, r,esultabit ~quatio r.curva: correspondentis. _.., ._, · ' ·"1 - - • , i · 8 6 2 Prob. Jn·venir~ · _cürvamJ, su!Ji.iingm1

sit _

c~/rn'

:i.y2

••

- . p

Sol. Fiat 2.,,P grata dat

J •

. ytJd · 1r,

== px ,

erit 2ydy::= pdx, qure requati:o inte. •

requatio.

a·plta80lam ', étfju~ - palléÍ1

meter p. 863 Prob. 2. I,nvenire cu~vam , cujus sit tertia proportionalis ad a - >t , & ad y.

subtangens

Juxta conditionem erit a ~ x: .Y: : .Y : -~~" ; ergo adx - xdx ydy , ac integrando ax - ½x%:= ½y\ vel 2 ax x requatio ad circulum cujus diameter

.,,. ==

2a.

864 sit

Prob. 3. Invenire curvam, in qua sulmormalis

== a.

Sol. Faciemus 2 ~s,. =ax, veI y rameter 2 a.

~? = a; ergo ydy = adx, integrando erit:

ax, requatio ad parabolam cujus pa-

865 Prob. 4. lnvenire curvam, cu1us area sit ::::::: --3 p1 • 'J Sol.Di:fferentiando hanc expressionem, & _requando di:ffe-rentiale ad formulam generalem elementi infinitesimi arearum ,.

'l)

:,;

_g:9'4

n•.

: Fig. ~:-x -~ ., }di ~ vel --x':

. nam , cujus parameter

z¡ ·

r•

~ r.,~ 16;

vl.ppendi:f(.~·Art: 1-.X•.

-e

== p.

'"i

._.

py , requatio -'"' ! .

parábolam exter,-

P¡,_~~.. tS ~. · r,,7?enire c~rpqm . ge11eratr~cem , _solitf-i

•- e~r;eS:si per S. (pxdx -

px:;" );

Differentiando , & requando cum formula generali sd'lidí elerrientalis in{ ·solidó · revó1utioni's ; 'e'fi-t pxdx - px ' 'd:,:

= ... ~

ld P~ ~ ~ , , 2 r,

- x\

..#

vel• 2 rpxdx -.~ - .l px_...,.if,X. ,~ , , ·• 4 1

.. :;

.1..;1.1

11.....

py\f.x ; ergo y"== ~~ • .,11

.~}'J · xx

qure qÚidem·· requatio manif@stac , quod ~urva gen~--

·- ~a tri~ ·est per~pheria _<:i.rculi , . cu~us di~meter

...s._p~r~, 8~}i~q,qi tJ?JO.Pf itHI?·ni:- .up,. . :-:.

-- •

x , ac ~1t·

•¡

F I N I S. .. .4 '

m.:.l(¡o i J iLI!O')

•

ER-

ERRATA CORRIGENDA.

P ag. 5. /in.

.305

-8. illa , leg. ali~ : ibid . . bree , leg. & alia. .1 • ,' l 'i ._ ,.. . Pag. 7. lirt ·tertius, ádde, 4ictus produttnm: ibid /in. 2 8. nota &c. leg. multiplicator. · 2

7. '

P?g. r .3 . lin .. r 7_-; Totile , leg~ generatim ,: ibid:- lin. reque · leg. in eodem ' respe~tu : ib.iq. /in. 29. } l l 4 ·+ eg. ;- ' -;¡ , s· -· Pag. r s. lin. ~. nominatores , leg. numeratores. Pag. I 8. /in~ 1. sic , leg. sit. . - ~

¡-},

Pag. 2 o. !in. 4. centies, leg. centes : ibid. /in. , r 1. I:o.ra 2\ , 7 h ora 1 .= ;-¡: I . I l . l ,eg. 1"b"d 1 • mmutam : 60 , eg. mmutum r 60 ibid. /in. r 7. tolle , leg. immo, duo ve/ tres. Pag. 2 9. /in. 2 9. illarurn , leg. ejus. . Pag. 3.0. liñ. ,2.: mtlle !I ad.ele , nam _: i_!:>id. /in. r o. radice ( §. 8 5) leg. radice ( §. 8 s ) & consequenter inveni ri poterit suqima cum facilitate : ibid. lin. 2 3. & residuum, Jeg. & ·subscribatur residuum: ibid. lin. 2 7. ~ adjungatur: per, leg. adjungatur, atque per. Pag. 3 3. /in. r. contineatur, leg. continetur: ibid. lin. 2 o. factoris , leg. numeratoris.

Pag. 3 9. lin. r 2. ef+ qd. m, leg. ef + qd. m: ibid. brevius, leg. etiam. · _ 3 3 Pag. 4 2. fin. 2 4. b • leg. a • ibid. /in. ult. deinde, leg. hoc modo. Pag. 4 7. /in. r 8. quantitas , leg. quantitatis. , . l

Pag. 5 1. lin. r

• ' J.

Vd: , leg. V

V 2

en: ibid. /in. I 4. prodn duc-

-óo

•' 'J / - ~L i.:.Íd ·¡•'' :~ • , ·

_..

- -

a. -

f""t

'< "_.:.

J~ • 't'~ m. 6 • rau1x. --

1u1 • ~-

•'ll

qu~ntitatis Pag. 5 7. lin\ Pag. 5 8. !in.

.Jv ~L.. . .,~1 tl

•

1 "'10,..,

•a

:J y y(-; _· y ''.·, ¡:•~eg.· t a··¿•lX . - .,"

, r, (

•

fdJ .. .,.( ..)

..!-_

•

..,.

!,,1-r: ...

·u<._,

• ..:.

exponeq~ l,, leg. expérnens speciei !,. ,. :±: leg. ;; q : i'bid. lin! z o •. 3 2 . a\ .

2 · 2; 1.

_ .. ~/egrj2' x5..·

'-'~icii~-~1,,,

p¡g, 7 r. lin. 2. x ', -leg: x ·: ibid. ,i,', leg. =J'• Pag. ,7 8. lin. I 'j'. 2 5 ,1., /eg. 2 5"8: ·•ibid. ·• •. ~ .L·r·x Pag. 8 1. lin. 4. a+ 8' ; leg. a == 8. 1 . r · ·, . :1: ~ ,e

Pág. 87. li,i. . . ·v m ·+r -;;-b .

O:. yx·== ,'·leg. s& I -;;- -.

a , leg. :; a •.

vm +

.tl: b.

...

.,,

=: . .

,~füid. #ñ. ult.

* a.

I':'

Pag. 8 8. lin., 2 · é-x:ponens a ; 'leg. .éx·pone'ns · spedei a. Pag. 9 3. lin. :.t-'• erescere .; aut decrescere., leg. decrescere · - aut-,cresceré: ibid. lin. 1 4. 2 3 ·5. 5 o, leg. 2 3 5. Ex. 1.º. So. Pag. 97. lin. _24. 6 ,_!eg_. 60. ' P'á g. ·g- 8. Jin.' i 5 ; s-umma, l.{g. ,sor te

.. r

.•

1 , ·. •

Pag. 9 .9. lin~ 2 5. 2 5, leg. 2 5. Pag-. . I () 6. Jin. 2 3. additione ' ( supple) .eoruin. Pag. 1 1 6. lin. 2 1. numerum , leg. numerorum. Pag. 1 1 9. lin.· i 6 •. ·, o , teg. ~duo. ·r¡,

.•

.' .,

t •

L '"'-

IN-

INDEX TRACTATUS PRJELIMINARIS. PAR S

PRIMA.

. De Elementis Arithmeticte. Pag. 1~ Ani-. l. De Numeris integr.is. 4· ART. II. De Fraf1ionibus communibus numericis. 12. A'R III.. D.J FrafJionibus decimalibus~ 19. ARr.JV. De Numeris denvmz'natis c,mpkxis~ !25. ART. V. De J>otentiis , & radicibus. 28. De Se cunda Potentia seu quadrattt. ibid.

P A R S S E CUNDA.

De Etementis Algebrte• Notiones p,rreHminares. ART. l. De Operatifmz'bus fundamentalihus. De Potentiis. ,. & radicibus quantitatum. algebricarum. ARTJI. DeOperationihus circa quantitatesirrationales. ART.. 111. De Potentiis, ·& ra·dicibus. quantitatum complexarum.

3S• 45. 48. 53·

P A R S T" E :R T I A.

De Analysi, & resolutione tequationum..

AR T. I. De·.JE,quationz'bus ·primi gradus. II. D~ Resolutione cequationum secundi gradus. ART. IfI. De Resolutione anal:ytica problematuni aritbmeticorum.

. AR'll'-.

6 r. . 66._· 68.

P A R S Q U A R T A•

. De Rationibus , & proportionibus. AR'F. J. De Rationibus & pro-portionibus· in genere. ART. 11. Di Rationih1ts_, proporti011ibus, & p rogressianibus arithmeticis..

7g._ 75. ART.

308

INDEX. AR T. III. De Ratiónibus ' proportionibus ' & prog-r:~ s sionibus Geometricis. ART. IV. De Logarithmis. ART. V. De Regula aurea, seu trium. ART. VI. De Hujus .regul«! applicatione; APPE ·NDIX De aliquali serierum notione. De .-.additione ~ subtraCtione &c. serierum. GEOMETRIJE ELEMENT A.

79. 88. 91. 90. 105. 108.

PAR S PRIMA.

, '

De Lineis. ART. I. De Linearum natura, earumque diversa considetatione ·in eodern plano. ART. II. ])e Angulis' & eorum mensura. A .RT. lll. De Lineis perpendicularibus, & oblitJuis• . ART. IV. De Lineis perpendicularibus, in circulo consideratis. ArtT, V. De Tange-ntibus. ART. VI. De Lineis parallelis. AR.T. VII. De Mensura angulorum in circulo. ART. VIII. De Figuris planis. ART. IX.. De Triangulis. ART. X. De ~qualitate, & similitttdine triangulorum. ART. XI. De Quadritateris. ART. XII. De Polygonis• . ART. XIII. De Lineis proportionalibus. ART. XIV. De Lineis proportionalibus in circulo consideratis. ART. XV. De Figuris similibus. .

ART.

_ PAR S

131. 1 33•' · 1 35· 138. 14r. 142. 1 45· 148. I

5 I. 56.

160.

164.

SE CU N DA.

I. De Superficiebus in -genere.

166. ART.

I"NDE'X. AR T. II. · De Comparatione , r·eduéfioné, éf divi-· sione superficierum. ART. III. De Planis. P A R S T E R T I A:

I -

ART. l. De Solidis, ac eorum generatione. ART. IL De Mensura superficierum solidorum. ART. III. De J!,1ensura soliditatis solidorum. ART. IV. De Similitudine solidorum. · ART. V. De Ratione superficierutr} solidorum ínter se. ART. VI. ·1)~ Rationibus solidorum. . P ARS

204.

ibid. .205.

Q U A R T A.

De Algebrce ad Geometriam applicatione_. .A:itT. l. De Construtlione Geometrica cequationum determinatarum primi, & secundi gradus. ART. II. De Resolutione aliquorum próblernatum Geometricorum primi, & secundi _g raqus. PAR S

186. 193. 198.

210,

QUINTA. ;,

De Elementis Trigonometrice planee. .

ART. I. ART. II. De Applicatione Algebrce ad lineas tri. :gonofné.tricas: . A-1:tT. III. P1~opositiones aliquce circa tbeoriam, & resolutioném triangulorum. .

PAR S

x·T

' .

215. 223

De Applicatione Algebrce ad Geometriam superiorerJ1, curvarum.

ART. l. II. Notiones prceliminares. ART. III. De Constructione funtlionum ' & resolutione aliquorum aiiorum problúnatiim. .AR.T' .JV. De SetJionibus · conic'is. , ART.

2 ·2

35· 44·

ART.

INDEX. · ART. V: De Origine, & cequatione generali seéfio, 310

num conicarum. .A!lT. VI. De Parabola. ART. VII. De Ellipsi. .ART. VIII. De ·Hyperbota. ART. IX. :De Hyperbola cum respectu ad assymptotas, & diametros.

241 •

247. 253 . 258. SUllS

,26 3.

AP PEN DIX De Analysi quantitatum infinitarum. P A RS

...

PRIMA.

I. D_e Calculo dijferentiali.

_. ART. Il. De Appticati<me -calcuti dijferentiafis 'adtheoriam curvarum. ~T. III. De usu calculi dijferentiatis in metbodo de maximis , & rnirdmis• ART.

P AR S

S E C U N D A.

De Calculo integraU , seu summatorio. . . ART. I. ART. II. De Integratione quantitatum differentialium. ART.lll. De Integratione dijferentialium logarithmicorum; & exponentiaaum. ART. IV. De Integratione dijferentialium, in qua! !292. ingrediuntur sinus, & cosinus. ART. V. De Applicatione calculi integralis ad ibid. quadraturam curvarum. 2 94· J\RT. VI. De Rectificatione curvarum. 296. ART. VII. De Cubicatione, seu mensura solidorum. ART. VIII. De Superficie curvarum solidorum re300 • . volutionis. . • J, 302.. ART. IX. De Methodo inversa tangentium.

~EA

/,,.,,.-:;;;

..A:

.13.

le e

T F~A

.14 . Â½.

_l/

M Q

T~ B

)\ a~h 27 .&

CJ~:10

3o.

34 .

4'2 .

~AP

-~x·

.A~ B Q

- ª-

48 .::M.

~ ~---.D

:<321 e~

C 64 ./A

. B

D F

~-rr--t-----_J

.,,

4 ]'

RI--""_ ___/

~~ D~~

JJH

(

A4~

Iuยง__;

â€˘

A A

lo~\

1og, B