Ejemplos de formas de pago ( vp)

INTRODUCION A MATEMATICAS FINANCIERAS FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • Serie pago unico • Serie uniforme

• Serie gradiente.

• Serie gradiente porcentual.

P 1 2 3

n

0

A A A 1

2

A 3

• Equivalencias para formas de pago.

M.C. e Ing. José Luciano Saucedo Silva Abril-2014

n

PAGO ÚNICO Demostración de la formula de valor futuro, donde: P: préstamo i: tasa de interés n: plazo F: pago único SK: saldo o deuda al final de cualquier período K Total intereses: I = Total pagado-Total prestado I = F-P (1)

PAGO ÚNICO P 1

2

n

0

F

F = P(1+i)n

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE UNIFORME: Se hace un préstamo a una tasa de interés por periodo y se paga en cuotas exactamente iguales.

P

1 2 3 4

n

A A A A

A

0

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE DE PAGOS DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: El préstamo se paga en cuotas periódicas de las cuales el contenido de amortización del principal siempre es igual.

P 1

2

3

n

0

A1

A2

A3

An

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE GRADIENTE: El préstamo de paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un monto uniforme cada periodo (sucesión aritmética).

P 1

2

3

n

0

A1

A2

A3 An

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE GRADIENTE PORCENTUAL: El préstamo se paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un porcentaje cada periodo (sucesión geométrica).

P

1

2

n

0

A1

A2 An

EQUIVALENCIAS PARA FORMAS DE PAGO

PAGO ÚNICO FIN DE PERÍODO

INTERESES DEL PERÍODO

0 1

0 i.P

2

i.P(1+i)

3

IP(1 + i)2

---K ---n

---------

SALDO AL FINAL DEL PERÍODO

P P + iP = P(1. + i) P(1 + i) + iP(1 + i) = p(1 + i)2 P(1 + i)2 + iP(1 + i)2 = P(1 + i)3 ---Sk = P(1 + i)k (2) ---F = P(1 + i)n (3)

PAGO ÚNICO EJEMPLO: Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una entidad que reconoce el 1% efectivo mensual. ¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002?

(F/P, i %, n) F 31/12/2003 =1’000,000 x (1.2447) = $1´244.715,86

PAGO ÚNICO EJEMPLO: Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una entidad que reconoce el 1% efectivo mensual. ¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002?

Valor futuro: Para tablas: F 31/12/2003

F = P(1+i)n (3) F = P(F/P,i,n) (3´) =1’000,000 x (1.2447) = $1´244.715,86

Valor futuro 31/12/2003: 1´000.000(1+0.01)22 = $1´244.715,86 Saldo: Sk = P(1+i)k (2) Saldo 30/06/2002: 1´000.000(1+0.01)4= $1´040.604,01 F 31/12/2003 =1’000,000 x (1.0406) = $1´040.604,01

SERIE UNIFORME P

1

2

3

4

n

A

A

A

A

A

0

A=P*

i (1+i)n (1+i)n -1

SERIE UNIFORME Demostraci贸n de las f贸rmulas para serie uniforme, donde:

A: cuota uniforme. ak: abono o parte de la cuota que amortiza la deuda.

Ik: parte de la cuota que cubre intereses.

Pk: valor presente equivalente a la cuota del periodo k.

SERIE UNIFORME Si usted resta (2*) de (1*), simplifica y despeja A.

A=P*

i (1+i)n

(4)

(1+i)n -1

El factor de P en la formula (4) para uso de tablas se identificará así: (A/P,i,n) Se podrá escribir así: A = P * (A/P,i,n) (4’)

SERIE UNIFORME Saldo o deuda: P

SK

(n-k) PENDIENTES

1

2

3

k

4

k+1

n

0

........

A

A

A

A

K

PAGADAS

...

A

A

A

A

SERIE UNIFORME Si P es el valor presente de todas las cuotas, sk será el valor presente de las (n-k) restantes.

Aplicamos la (4’’) con n = (n-k)

Sk = A

(1+i)n-k -1 i (1+i)n-k

(5)

SERIE UNIFORME Ejemplo: Se hace un préstamo de un millón de pesos al 0.5% de interés mensual efectivo para pagarlo en cuotas iguales de fin de mes.¿Cuál es al valor de la cuota mensual?

Solución: P 1

2

3

A

A

A

24

0

A

A

SERIE UNIFORME 0.005 (1+0.005)24 = $44.320,61 A =1000000 (1+0.005)24 -1 • Resolver el ejemplo anterior si el trabajador paga a principio de mes.

Solución: Se debe transladar el préstamo a un periodo antes con la formula de pago único y luego aplicamos la formula de A.

SERIE UNIFORME P

0´

1

2

3

4

23

A

A

A

A

0

A

24

SERIE UNIFORME P

0´

1

2

3

4

23

A

A

A

A

24

0

A

0.005 (1+0.005)23 A = 1000000 = $ 44.100 23 (1+0.005) -1

SERIE UNIFORME • Cuál es la deuda del trabajador en el ejemplo después de haber pagado la cuota 19.

Solución: $1000.000 i:0.5% 1

2

3 A A 19

(24-19) 24

19

0 A A

S19

....... A

PAGADAS

A

A

A

SERIE UNIFORME (1+0.005)24-19 -1 S19 = 44.320,61 0.005 (1+0.005)5 =$218.317,399

• En la cuota 19 ¿qué parte es abono al capiltal y que parte es interés?

Solución: a19 = S18 – S19 (1+0.005)24-18 -1 = $261.331,35 S18 = 44.320,61 6 0.005 (1+0.005)

SERIE UNIFORME a19=$43.013,9 I19 = 261.331,35*0.005 = $1306.66 • Para ese trabajador ¿cuál es el total de intereses pagados?

Solución:

I = total de intereses pagados – total pagado I= n  A-P = $63.644,40

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME F=?

Interés = i 0

1

A A: Ahorro

2

A

3

A

n

......

A

Periodos

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Dados A, i y n se deberá calcular F. F: será el valor futuro en n equivalente al valor presente de la serie uniforme.

F = P (1+i)n Pero: P=

A

aplicando (3) (1+i)n - 1 i (1+i)n

aplicando (4’’)

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Entonces: n-1 (1+i) F=A* i Para el uso de tablas: F = A * (F/A, i, n)

(8) (8´)

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Ejemplo: Un ingeniero ahorra 200.000 pesos al principio de mes en una entidad que le reconoce el 2% efectivo mensual, esto lo hace durante 5 años. ¿ Cual es el valor acumulado al final del ultimo mes?

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME F=?

i = 2% ef. mensual 0´

0

200.000

1

2

59

60 meses

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME

Solución: F59 = valor futuro de los 60 ahorros en el mes 59.

F59 = 200.000 (F/A, 2%, 60) F59 = 200.000 (114.051539) F59 = 22’810.307,8 F = F59 (1.02)1 F = (22’810.307,8) (1.02) F = 23’266.513,96

AMORTIZACIÓN CONSTANTE P

1

2

3

n

0

A1

A2

A3

Ak= i  P 1 - (k - 1) + P n n

An

AMORTIZACIÓN CONSTANTE Demostración de la formulas para amortización constante, donde: Ak: cuota al final del periodo k.

Sk: saldo después de pagar la cuota Ak. Como su nombre lo indica, en esta forma de pago el abono a la deuda es igual, por lo tanto:

a1 = a2 = a3 = ak = an = P/n

(9)

AMORTIZACIÓN CONSTANTE Ak = i  P 1 -(k-1) + P n n

(10)

Sk = P 1 - k n

(11)

Ik = i  P 1 - (k-1) n

(12)

AMORTIZACIÓN CONSTANTE Ejemplo: Se tiene un préstamo de un millón de pesos al 3% mensual sobre saldos. Si se paga en 10 cuotas mensuales de amortización constante,¿cuál es el valor de la primera y tercera cuota? ¿Cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?

AMORTIZACIÓN CONSTANTE Solución:

A1=0.031000000 1 - (1- 1) + 1000000 10 10 A1=130.000 A3= 0.031000000 1 - (3 - 1) + 1000000 10 10 A3=124.000 S3 = 1000000 1 - 3 = 7000000 10

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) P

1

2

3

n

0

A1

A2

A3 An

AK = A1 + (K - 1)*g  i (1  i ) n  1  n A1  P   g    n n ( 1  i )  1 i ( 1  i )  1    

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) La parte gradiente se transforma en una serie equivalente uniforme que se llama Ag, entonces, la serie gradiente original será equivalente a la suma de las dos series uniformes.

P 1

0 A1 + Ag

2

3

n-1

n

... ...

At=A1+Ag

(14)

A1:serie parte uniforme.

Ag:serie uniforme equivalente a parte gradiente.

At :serie uniforme total equivalente a la serie gradiente original.

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Ag se halla aumentos (g, sumandolos, distribuye en obtendría:

llevando cada uno de los 2g, 3g,...) al presente y después esta sumatoria se una serie uniforme y se

1  n Ag  g    n  i (1  i)  1 Por tablas sería: Ag= g(A/g,i,n)

(15) (15’)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) De (14) tenemos: A1= At - Ag

 i(1  i) n  1  n A1  P   g    n n  (1  i)  1  i (1  i)  1

(16)

Por tabla seria: A1 = P(A/P,i,n) - g(A/g,i,n)

(16’)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) P

Sk = ?

1 0

2

3

4 .

k pagados

k .

k-1

n-k Pendiente s .

.

Ak

.

.

Ak + 1 An

Una vez pagada Ak quedan pendientes n-k cuotas, empezando por Ak+1 y terminando en An. Sk será el valor presente en k de esas cuotas pendientes.

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Utilizando (17) con "A1" = Ak+1 Y remplazando en (13) tenemos: Ak + 1 = A1 + (k+1-1)g, de donde "A1" = A1 + kg De lo anterior:

A1  k  g  g ( A / g , i, n  k ) Sk  ( A / P, i , n  k )

(18)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Ejemplo: Se tiene un préstamo de 1.000 pesos, a una tasa de interés anual del 30% para pagarlo en 5 cuotas anuales que se incrementan 200 pesos . Cuàl es el valor de la primera y la ùltima cuota?

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Solución: A1 = 1000(A/P,30%,5) - 200(A/g,30%,5) A1 = 1000(0.41058) - 200(1.49031) A1 =112.519 A5 = A1 + (5 - 1)*$200 A5 =112.519+ 4*$200 A5 = 912.519

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) • Para los datos del ejemplo, calcular el saldo despuès de pagada la tercera cuota.

A1  k  g  g ( A / g , i, n  k ) Sk  ( A / P, i , n  k )

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) • Para los datos del ejemplo, calcular el saldo despuès de pagada la tercera cuota.

Solución: P = 1.000, i = 30%, n = 5 y A1 = 112.519

112.519  3  200  200( A / g ,30%,5  3) S3  ( A / P,30%,5  3) S3 = 1.088,05

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

PARA LA SERIE GRADIENTE DECRECIENTE SE UTILIZAN LAS MISMAS FÓRMULAS QUE EN LA CRECIENTE, PERO SE

REEMPLAZA g POR -g.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) P

1

2

n-1

n

0

A1

A2 An-1 An

Ak = A1 (1+ ig)k-1

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) El saldo (Sk) será el valor presente en k de las cuotas pendientes (n-k).

P

Sk = ? n-k cuotas Pendientes

1

2

k

k+1

n

0 A1

A2

k Pagadas

Ak

Ak+1 An

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Utilizando (20’) con "A1" = Ak+1 y remplazando en (19) tenemos: Ak + 1 = A1 (1+ig)k+1-1, de donde "A1" = A1(1+ig)k De lo anterior: Sk

  1  ig 1    1 i    A1 (1  i g ) k  i  ig   

   

nk

      

(18) iig

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Ejemplo: Se tiene un préstamo de 1.000 pesos a 5 años para pagarlo en 5 cuotas que se van incrementando el 20% anual. Si la tasa de interés anual es del 30%, ¿cuál es el valor de la primera y ultima cuota?.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Solución:   0.3  0.2  A1  1.000 5  1  0.2  1    1  0 .

3    

    $303.19    

A5 = 303.19(1+0.2)5-1 = $628,69

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) • Para el ejemplo anterior ¿cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?  1  i g  n  k  Solución:

Sk

1    1 i       A1 (1  i g ) k  i  ig   

     

ig = 20%, P = 1.000, n = 5, i = 30% y A1 = 303,19 S3

5 3   1  0.2   1    1  0.3   303,19(1  0.2) 3   0.3  0.2   

    $775,018    

Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

AnĂĄlisis de los tres intervalos.

Intervalo I: El saldo es creciente: Sk > Sk-1 > P No hay amortizaciĂłn: ak = 0 La cuota es totalmente intereses: Ak= Ik La cuota es inferior a los intereses generados en el perĂ­odo: Ak = Ik < i. Sk-1

Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Intervalo II: El saldo es decreciente: P< Sk < Sk-1 No hay amortización: ak = 0 La cuota es intereses: Ik = Ak La cuota paga intereses acumulados e intereses del período: Ak = Ik > i  Sk-1

Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Intervalo III: El saldo es decreciente pero inferior a P: P > Sk-1 > Sk Hay amortizaciĂłn: ak > 0; ak = Sk-1 - Sk Los intereses contenidos en la cuota son: Ik = Ak - a k Como no se pagan intereses acumulados, entonces: Ik = i ď&#x201A;´ Sk-1

Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Cuando eventualmente se pase del intervalo II al intervalo III: Sk-1 > P > Sk, entonces, la amortizaci贸n contenida en Ak ser谩: ak = P - Sk Recordemos que se amortiza s贸lo lo que abonamos al principal. As铆 que: Ik = Ak - ak No olvidemos que siempre Ak = ak + Ik