Actividad realizada sobre el texto

Actividad 8 grupal: Natalia Charamelo y Jessica Tejera.

9) Teniendo en cuenta el marco teórico presentado realice la planificación de una clase (o las que considere necesarias) cuyo objetivo sea enseñar el concepto de función.

Secuencia: 2 clases de 45 minutos.

Tema: Función

Objetivos:

● Repasar definición de relación y producto cartesiano. ● Definir función. ● Definir función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva ● Trabajar en ejemplos de aplicación de las definiciones estudiadas.

Prerrequisitos:

● Nociones sobre relación y producto cartesiano.

Contenidos a abordar:

● Definición de: 1. Relación 2. Producto Cartesiano 3. Función 4. Función inyectiva 5. Función sobreyectiva 6. Función biyectiva.

Esquema de secuencia:

Clase 1:

❖ Se le dará la bienvenida a los alumnos, se pasará lista y luego se les comentará que en grupos de 3 estudiantes deberán realizar la actividad 1 titulada: “Recordemos” . (10 minutos) ❖ Pasado los 10 minutos se hará la puesta en común, con el fin de recordar las definiciones involucradas en la actividad. (5 minutos) ❖ El docente pasará a formalizar en la pizarra las definiciones de producto cartesiano, relación y función. (10 minutos) ❖ Luego se les propondrá la actividad 2 para consolidar el concepto de función mediante interpretaciones gráficas. (10 minutos) ❖ Luego se pasará a la puesta en común de la actividad 2. (5 minutos) ❖ Como cierre de la clase el docente mencionará que lo abordado en dicha instancia será de utilidad para la próxima clase. (5 minutos)

Clase 2:

❖ Se le dará la bienvenida a los alumnos, se pasará lista y luego se les comentará que en grupos de 3 estudiantes deberán realizar una ficha titulada “Actividades” en la que aparecen dos actividades. (15 minutos) ❖ A continuación se realizará la puesta en común con el fin de formalizar lo observado en las actividades, definiendo función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. (15 minutos) ❖ Se pasará a trabajar en ejemplos de aplicación de los conceptos recién trabajados, para ello se apelará a la participación de los estudiantes. (10 minutos) ❖ Se dará cierre a la clase mencionándoles que se les dejará una tarea con el fin de evaluar lo trabajado. (5 minutos)

Análisis de las actividades:1

Método de resolución:

a) AxB= {(1,a); (1,b); (2,a); (2,b); (3,a); (3,b)} BxA= {(a,1);(a,2); (a,3); (b,1); (b,2); (b,3)} b) Un posible ejemplo: R⊂ AxB / R={(x,y) / x = 1}

Posibles dificultades:

a) No recordar qué era un producto cartesiano. b) No considerar todos los pares ordenados que forman parte del producto cartesiano.

Orientaciones para las posibles dificultades:

c) Se pasará a presentar la definición de producto cartesiano y trabajar en la actividad entre todos. d) ¿Están todos los pares ordenados cuya primer componente sea de un conjunto y la segunda perteneciente al otro conjunto considerado?

1 Las actividades de la ficha: “recordamos” fueron extraída del libro de mareaverde: https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/3A/10 _ Funciones _ 3A.pdf Las actividades de la ficha: “actividades” fueron extraídas del libro: Matemáticas de segundo año de bachillerato: https://issuu.com/ufg2/docs/lt _ segundoabachillerato Los ejemplos 1 y 2 fueron extraídos de la siguiente página: http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/04I.pdf El ejemplo 3 fue extraído de la Actividad 7 de didáctica y modificado.

Método de resolución:

Para que corresponda a una función, el gráfico debe ser tal que si trazamos rectas verticales imaginarias y estas chocan con el dibujo, como mucho en un solo punto, es decir, cada elemento del dominio tiene una única imagen mediante función.

Posible dificultad:

● No recordar el concepto de función.

Orientaciones para las posibles dificultades:

● Se pasará a presentar la definición de función y trabajar en la actividad entre todos.

Posible método de resolución de la actividad 1:

Posible método de resolución de la actividad 2:

Posibles dificultades:

1. Actividad 1:

● No recordar f(3)=4 implica que la imagen de 3 mediante f es 4. ● No comprender que lo que se pide es ver si existe otro valor de x distinto de 3 que tenga como imagen mediante f el 4.

2. Actividad 2:

● No recordar cómo obtener la preimagen mediante f de un elemento del codominio.

Orientaciones para las posibles dificultades: 1. Actividad 1:

● ¿Cómo se obtiene f(3)? ¿Qué resultado me da f(3)?¿f define que al 3 le corresponde el 4? ● ¿Si x=3 ya sabemos que se cumple que f(3)=4? ¿Existirá otro valor para x que pertenezca al dominio de la función y que verifique que f(x)=4?

2. Actividad 2:

● Si se debe cumplir que f(x)=1 puedo sustituir f(x) por su expresión ya que es conocida?, ¿Cuánto tiene que valer x para que al sustituirlo en la expresión de f me dé como resultado 1?

Método de resolución del ejemplo 1:

Gráfico de f:

Clasificación de la función: Tabla de valores:

f es inyectiva, es sobreyectiva, por lo tanto también es biyectiva.

Método de resolución del ejemplo 2: Tabla de valores: Gráfico de f:

La función f no es inyectiva, no es sobreyectiva y por tanto tampoco es biyectiva. Para que sea sobreyectiva se le puede modificar el codominio de la función de tal forma que coincida con el rango de la función, si el mismo fuera B={y∈R / y>3} la función será sobreyectiva.

Método de resolución del ejemplo 3:

a) R₁= {(1,1); (3,3)} ; R₂= { (5,1); (6,1) } y R₃= { (1,4); (2,5) (3,6)} b) R₁ es inyectiva, no es sobreyectiva, por lo tanto, no es biyectiva. R₂ no es inyectiva, no es sobreyectiva y tampoco biyectiva. R₃ es inyectiva, es sobreyectiva y por lo tanto, es biyectiva.

Posibles dificultades:

Ejemplo 1 y 2:

● No saber interpretar gráficamente las definiciones trabajadas.

Ejemplo 3:

● No tener en cuenta que el producto interno no cumple con la propiedad conmutativa. ● No comprender cómo están definidas las relaciones.

Orientaciones para las posibles dificultades: Ejemplo 1 y 2:

● Acudir a la definición y a los ejemplos introductorios del tema, mostrando en la pizarra dichas gráficas con las rectas horizontales auxiliares:

Ejemplo 3:

● Acudir a la actividad 1 parte a) y preguntarle a los estudiantes que se había llegado a concluir en esa parte? Para llegar así a que AxC ≠ CxA ● Expresar entre todos la relación R₁ por extensión en la pizarra.

Desarrollo de clase:

La secuencia planificada es para dos clases.

En la primera clase se le pedirá a los estudiantes que realicen una actividad con el fin de repasar las definiciones de relación y producto cartesiano, abordadas en años anteriores, así como también para introducir el concepto de función. Una vez realizada la puesta en común de dicha actividad se pasará a escribir en la pizarra las definiciones formalizadas:

En la segunda clase se introducirán los conceptos de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Antes de darles una definición se les pondrá dos actividades, una referida a función inyectiva y la otra sobre función sobreyectiva, luego se realizará la puesta en común y una vez finalizada se pasará a formalizar las definiciones en la pizarra:

Luego de dadas las definiciones se trabajará con ejemplos, los cuales se realizarán en conjunto entre el docente y los estudiantes.

Evaluación:

Como tarea de evaluación se presentará con el fin de evaluar los contenidos abordados en la secuencia.

Tarea:

Bibliografía:

http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/04I.pdf https://issuu.com/ufg2/docs/lt _ segundoabachillerato https://matematicasiesoja.wordpress.com/analisis-de-funciones/ https://educacion.gob.ec/wp-content/uploads/downloads/2016/08/curriculo/Matematica/Mate matica _ BGU _ 2.pdf

2) Explique por qué, según Vinner, las definiciones crean un serio problema en el aprendizaje de la Matemática.

El problema generado por las definiciones es presentado de la siguiente manera por Vinner: “representan...el conflicto entre la estructura de la matemática, tal como es concebida por los matemáticos profesionales, y el proceso cognitivo de la adquisición de conceptos” . Dado que por un lado los matemáticos profesionales presentan en los libros una secuencia de definiciones, teoremas y demostraciones, el seguir esta modalidad en clase puede ser pedagógicamente erróneo dado que se debería pensar también en el proceso psicológico común en la adquisición de conceptos y razonamientos lógicos. Al momento de presentar un tema a los estudiantes, el docente debe decidir acerca de la pedagogía de la enseñanza de dicho contenido, para ello no solo hay que tener en cuenta la forma en que se espera que los estudiantes adquieran el concepto sino que también pensar en cómo los estudiantes adquieren realmente ese concepto.

3) ¿Qué es la imagen conceptual asociada a un concepto?

La imagen conceptual asociada a un concepto es algo no verbal asociado en nuestra mente con el nombre del concepto. Dicha imagen puede ser una representación visual del mismo o una colección de impresiones o experiencias asociadas al concepto. Por ejemplo, nosotras cuando nos mencionan “función lineal” en nuestra mente asociamos dicho concepto a la representación gráfica de la misma, por lo tanto tenemos presente una

representación visual del mismo. Podemos pensar que dicha representación visual la podemos expresar de forma verbal, pero hay que tener presente que lo que primero que evocó la mente fue una imagen. Otro ejemplo, cuando nos mencionan la palabra “silla” nuestra mente puede evocar la imagen de una silla o también experiencias como el sentarse en ella.

4) ¿Qué valor tienen en la formación de un concepto?

La formación de un concepto va a depender y necesitar de una imagen conceptual asociada al mismo, ya que el estudiar de memoria la definición del concepto no implica el entenderlo. Por lo tanto entender un concepto implica formar una imagen conceptual asociada al mismo, de tal forma que su definición pase a ser prescindible. En la formación de un concepto la imagen conceptual cumple un rol muy importante a tal punto de que la definición puede permanecer inactiva o incluso olvidada cuando la imagen conceptual fue formada correctamente. Aunque en casos más técnicos, saber la definición puede ayudar al estudiante, por ejemplo, en instancias de evaluación.

5) Describa, según Vinner, la estructura cognitiva de un sujeto.

La estructura cognitiva de cada sujeto está constituida por dos “celdas” diferentes, una celda es para la/as definición/es y la otra es para la imagen conceptual. Se pretende que existan interacciones entre ambas celdas, pero puede pasar que una o ambas celdas estén vacías, por ejemplo, en caso de que la celda vacía sea la correspondiente a la imagen conceptual es causa de que la definición fue aprendida de memoria sin entender el significado. Por ejemplo si se introduce por primera vez una definición, será mediante varios ejemplos que la celda correspondiente a la imagen conceptual se irá llenando gradualmente, a medida que se amplían los conocimientos asociados a la definición trabajada, el estudiante puede: 1. Reconstruir la imagen conceptual. 2. No modificar la imagen conceptual, recordando por un corto periodo los conocimientos (se amplía la celda correspondiente a la definición por un corto periodo de tiempo). 3. La celda correspondiente a la definición y la correspondiente a la imagen conceptual se mantienen como están.

6) Describa brevemente qué procesos de pensamiento pueden darse cuando un/a estudiante se enfrenta a la resolución de una tarea.

Proceso de pensamiento 1(Interacción entre definición e imagen): En la estructura cognitiva del sujeto existe una constante interacción entre las definiciones e imágenes conceptuales, por lo tanto cuando se le presenta al estudiante una prueba cognitiva, él mismo la consulta con la celda de definiciones de conceptos ( la cual está en conexión con la de imagen conceptual) para brindar su respuesta.

Proceso de pensamiento 2 (Deducción puramente formal): En la estructura cognitiva del sujeto no se dá una interacción entre las definiciones e imágenes conceptuales, por lo tanto

cuando se le presenta al estudiante una prueba cognitiva, él mismo la relaciona solo con la celda de definiciones de conceptos para brindar su respuesta.

Proceso de pensamiento 3 (Deducción siguiendo el pensamiento intuitivo): Cuando se le presenta al estudiante una prueba, este la relaciona inmediatamente con la imagen conceptual asociada al concepto, luego tiene en cuenta su conexión con la definición del mismo para finalmente brindar una respuesta.

Proceso de pensamiento 4 (Respuesta intuitiva): Cuando se le presenta al estudiante una prueba, este la relaciona únicamente con la imagen conceptual asociada al concepto, para brindar una respuesta. Este proceso puede reflejar que la celda correspondiente a definiciones de conceptos esté vacía, pero en caso de no estarlo, la misma no es consultada por los estudiantes.

Lo que tienen en común los procesos 1, 2 y 3 descritos anteriormente es que cuando se le presenta un problema a un estudiante, se espera que el mismo tenga en cuenta la conexión entre la definición y la imagen conceptual del concepto antes de dar una solución a dicho problema. Pero en la práctica, dicho proceso esperado no se lleva a cabo comúnmente dado que los estudiantes tienden a realizar el proceso de pensamiento 4 descripto, esto puede ser consecuencia de que los estudiantes están acostumbrados a pensar basándose en hábitos cotidianos donde la necesidad de la definición no está presente, pero en contextos más técnicos prescindir de la definición puede llevarlo a cometer errores.

7) Según Vinner, ¿se aprenden los conceptos a través de su definición (en caso de que la tengan)?

El concepto no se adquiere por medio de las definiciones, sino que implica formar una imagen conceptual para él. Cuando la imagen conceptual se ha logrado formar de manera adecuada, será entonces la definición innecesaria. Por ejemplo, si yo tengo una imagen conceptual formada asociada al concepto de función lineal entonces no necesitaré recurrir a la definición en términos formales, así como tampoco recordarla con exactitud para resolver ejercicios o problemas que involucren el concepto. Cabe destacar que existen contextos donde la definición del concepto juega un papel muy importante, dado que permite formar la imagen conceptual y razonar de mejor manera en evaluaciones donde se pone a prueba el conocimiento del estudiante. La imagen conceptual por más abarcativa que pueda llegar a ser, nunca abarca todos los aspectos que, si lo hace la definición del concepto, por lo que se pretende que entre la definición de concepto y la imagen conceptual correspondiente existan interacciones. Cuando enseña un concepto no es lo ideal partir de la definición para luego ver ejemplos,lo más conveniente es partir de ejemplos para luego llegar a una formalización de la definición.

8) Volvamos al estudio de caso realizado en la Actividad 7. Teniendo en cuenta el marco teórico presentado en el artículo de Vinner, responda las siguientes cuestiones: a. ¿Cómo le parece que fueron construidas las definiciones personales de la estudiante? b. ¿Qué consulta la estudiante para resolver las actividades? c. ¿Cómo describiría su imagen conceptual? d. ¿Cómo describiría el proceso de pensamiento seguido por la estudiante para resolver las aplicaciones del escrito, a la luz de las ideas de Vinner? e. ¿Hay coherencia entre la definición personal y las respuestas dadas por la estudiante? f. ¿Considera que Jennifer estudió para esta prueba?

a) A partir de cómo respondió la estudiante en el escrito, consideramos que la misma tiene mayor dominio de las definiciones de función y relación en comparación con las definiciones de función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, esto se puede deber a que los conceptos de función y relación ya fueron abordados en años anteriores o porque fueron construidas de forma diferente. De este modo, creemos que para trabajar las definiciones de relación y función el docente partió de la resolución de problemas para abordar las mismas y luego pasar a mostrar varios ejemplos. En cambio, con lo que respecta a las definiciones de función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, al parecer, el docente partió de las definiciones y luego brindó muy pocos ejemplos lo que impidió que las definiciones personales construidas por la estudiante no fueran correctas. b y d) Teniendo como referencia lo mencionado por Vinner, sobre las dos “celdas” que se encuentran en nuestra estructura cognitiva (imagen conceptual y definiciones) y observando las respuestas dadas por Jennifer, consideramos que la misma al momento de realizar la prueba consultó la celda de definiciones para definir función y relación. En cuanto a los otros contenidos que aparecen en la prueba, pensamos que la estudiante acudió a su imagen conceptual, debido a que al momento de presentar ejemplos, lo hizo de forma correcta. c) A luz de las respuestas dadas por la estudiante, notamos mediante los ejemplos que brinda que su imagen conceptual es muy limitada, esto se puede deber a que la docente mostró ejemplos poco abarcativos. Si bien, tal vez, trabajó la definición formal, la estudiante retuvo la misma por un corto periodo de tiempo lo que le impidió ampliar su imagen conceptual asociada, por lo que en este caso la definición formal no fue interiorizada por la estudiante dada la limitación de ejemplos presentados. e) Consideramos que si existe una coherencia entre las definiciones personales y las respuestas dadas, aunque hay que tener en cuenta que es un momento de evaluación donde los nervios te pueden jugar una mala pasada, por lo que justo la imagen conceptual evocada en dicha instancia no sea la adecuada para abordar los contenidos solicitados. Por lo que, sus errores en el escrito no implica directamente que la estudiante no haya entendido o estudiado.

f) Consideramos que la estudiante si estudio las definiciones que se le preguntaron dado a que algunas de ellas como la definición de relación y de función estuvieron bien. Mientras que respecto a las definiciones restantes muestra que alguna noción tiene, tal vez eso no queda claro en su redacción, pero sí mediante los ejemplos que brinda. Para analizar el actuar de la estudiante hay que tener en cuenta en cómo el docente abordó el tema en clases, porque capaz que trabajó con pocos ejemplos, y los poco que dio podrían haber sido estereotipados causando que la estudiante no tuviera una imagen conceptual más rica. Lo que sí queda claro es que a la estudiante le quedaron ideas confusas, si bien tiene una noción sobre el tema hay cosas que no las logro entender bien, como por ejemplo algunos detalles que hacen que la definición cambie, o también se puede ver en el ejercicio 3, ella considera que una función es biyectiva cuando no es inyectiva y no es sobreyectiva, cuando en realidad es lo inverso.