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jhua man @stm

Un radical es una expresión en forma de raíz en la que el índice pertenece a N y la cantidad subradical pertenece a R. La racionalización es el proceso de eliminar los radicales o raíces del denominador de una fracción para encontrar otra equivalente.

Javier A. Huamán Angulo Jaha jhuaman@stm.edu.pe


Radicales y Racionalización

El gran matemático Srinivasa Ramanujan nació en el sur de la India en 1887, y desarrolló gran parte de sus estudios matemáticos como autodidacta, pues no tuvo una formación universitaria. A los 25 años escribió una carta al reconocido matemático inglés G. H. Hardy, solicitando su atención a los resultados que él había obtenido sobre varios temas de la Teoría de Números. En su carta de 10 páginas, Ramanujan expuso diversos teoremas descubiertos por él y sorprendió a Hardy por su genial originalidad. Srinivasa Ramanujan

A los 26 años viajó a Inglaterra para trabajar con Hardy, y muchos de sus teoremas fueron publicados más tarde. Escribió cerca de 3.000 teoremas en diversas ramas de las Matemáticas. Ramanujan hacía cálculos mentales con una facilidad extraordinaria, y el haber afirmado que es un número entero, es una muestra de su genialidad. Una anécdota narra que, estando Ramanujan muy enfermo en un hospital de Londres, Hardy lo fue a visitar y le mencionó que había llegado en el taxi número 1.729, número aparentemente banal. Ramanujan le corrigió explicándole por qué este número era en realidad muy interesante: es el menor número que se puede expresar como suma de dos cubos en dos formas distintas, pues y Su estadía en Londres duró 7 años; luego regresó a la India gravemente enfermo y murió al poco tiempo después.

Un radical es una expresión de la forma

, en la cual n

de tal modo que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Mg. Javier A. Huamán A.

y a

;


Radicales y Racionalización Ejemplos:

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radicales equivalentes Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común 1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice 2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

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Extracción de factores fuera del signo radical Se descompone el radicando en factores. Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

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Radicales y Racionalización

Suma de radicales Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Multiplicación de radicales 1- Radicales del mismo índice Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

2- Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

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División de radicales 1- Radicales del mismo índice Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

2- Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se dividen. Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.

Potencia de radicales Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

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Raíz de un radical La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

Antes de trabajar con la racionalización, sería bueno recordar cómo encontrar FRACCIONES EQUIVALENTES.

Las Fracciones Equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes. Estas fracciones son en realidad lo mismo:

1 2 4   2 4 8

¿Por qué son lo mismo? Porque cuando multiplicas o divides a la vez el numerador o denominador por el mismo número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es: ¡Lo que haces en el numerador de la fracción también lo tienes que hacer en el denominador! Mg. Javier A. Huamán A.


Radicales y Racionalización Por eso, estas fracciones son en realidad la misma:

x2

x2

1 2 4   2 4 8 x2

x2

Importante:   

El numerador y denominador de la fracción siempre deben ser números enteros. Las operaciones que podemos hacer son multiplicar y dividir (siempre numerador y denominador a la vez). El número que elijas para dividir a numerador y denominador no debe dejar ningún resto en las divisiones.

Ahora que ya recordamos cómo se obtiene fracciones equivalentes, comencemos a trabajar con la racionalización

Ahora se verá de qué manera se puede encontrar una fracción equivalente a

1 , por ejemplo, que 2

tenga la propiedad de no poseer radicales en el denominador. Se sabe que

2x 2  2  2  2 2  y por lo tanto, al multiplicar numerador y denominador de

Es decir,

 2 1 por 2

2

2 2 2 2

2 , se obtiene:

2 1 es la fracción equivalente a que se buscaba. Este proceso se llama Racionalización, 2 2

entonces: El proceso de racionalización consiste en eliminar los RADICALES (raíces) que se encuentran en el denominador de una fracción, es decir es encontrar otra fracción equivalente pero que no tenga raíces en el denominador. Esto facilitará el cálculo de operaciones como la suma o resta de fracciones. Mg. Javier A. Huamán A.


Radicales y Racionalización Dependiendo de las operaciones involucradas dentro de ese denominador pueden presentarse diversos casos:

CASO 1: Cuando en el Denominador hay una Raíz Cuadrada Para quitar la raíz del denominador basta con multiplicar numerador y denominador por la misma raíz o RADICAL del denominador. Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción numerador y denominador por

multiplicaremos

Otro ejemplo. Racionalizar Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por

para eliminar la raíz del denominador:

También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por

Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos. , como vemos da el mismo resultado.

Caso 2: Cuando en el Denominador hay una Raíz Enésima Para quitar el RADICAL del denominador se multiplica numerador y denominador por la misma raíz enésima pero elevada a un número igual a lo que le falta al exponente de la cantidad subradical para igualar al índice de la raíz. En otras palabras: Se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia de exponente n. Por ejemplo: Factorizamos el radicando del denominador: vamos a multiplicar numerador y denominador por para 5 Mg. Javier A. Huamán A.

, y como , completar la potencia de


Radicales y Racionalización

Otro ejemplo: Para que se elimine la raíz cuarta, la cantidad subradical tiene que estar elevada a 4, luego basta multiplicar por

Caso 3: Cuando en el Denominador hay un Binomio con uno o dos raíces cuadradas En este caso se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador (binomio con el signo cambiado) para poder aprovechar el PRODUCTO NOTABLE: “suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados” y se eliminen las raíces. El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

Por ejemplo, Racionalizar:

. multiplicamos numerador y denominador por

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una expresión del tipo

Otro ejemplo, Racionalizar:

Mg. Javier A. Huamán A.

, ahora multiplicamos numerador y denominador por


Radicales y Racionalización

I.- Caso 1: En los siguientes ejercicios, racionaliza los denominadores: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

5 2 3 5 1 3 3  7 3 2 3 5 2 3

12 6 21x 7 2ab 6a 15mx 2 5m 20a 2b 10a

7.  8. 9. 10. 11.

II.- Caso 2: En los siguientes ejercicios, racionaliza los denominadores: 4ab 3 1. 3 6. 3 ab 5 5m 4 2. 7. 2 4 2a 53 3 m 3a 2 3. 3 8. 4 a 2a 3 3x 4. 9. 3 5 2 m2 x 2x 2a 5. 3 10. 5 2a a3 II.- Caso 3: En los siguientes ejercicios, racionaliza los denominadores: 2 3 2 1. 7. 5 2 11  2 7 5 2 2. 8. 5 3 7 2 4 3. 7 10 9. 7 2 10  3 2 4. 3 10. 7 5 2 3 2 3a 5. 9 11. 2 3 5 2 2 2m 6. 6 2 Mg. Javier A. Huamán A.

2a 2ax 5ax 13. 5x 1 14. 3mx ab 15. ab 12.

11. 12. 13. 14. 15.

3a 5

2a 2 10 36 2 3 a 3 a 2 3a 3 3a 1 2 25 2

3 3 2 2 3 3 2 13. 5 2 3 2 3 14. 2 7 3 2 4 2 15. 3 2 12.


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