AN APPLICATION OF SMARANDACHE CURVE

Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:3, Sayı:1, 2013,46-60/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:3, No:1,2013,46-60

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA Süleyman ŞENYURT1* 1

Selin SİVAS1

Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

ÖZET Bu çalışmada, bir  eğrisinin Frenet vektörleri T , N , B ve birim Darboux vektörü C olmak üzere NC -Smarandache eğrisi tanımlanarak bu eğri ile birlikte NB ve TNB -Smarandache eğrilerinin eğrilik ve torsiyonu hesaplanmıştır.

Key words: Smarandache Curves, Mathematics Subject Classification (2010), 53A04.

AN APPLICATION OF SMARANDACHE CURVE

ABSTRACT In this paper, Firstly we define NC-Smarandache curve, then we calculate the curvature and torsion of NB and TNB- Smarandache curves together with NC-Smarandache curve. Here T, N and B are Frenet vectors of a curve α and vector C is unit Darboux vector.

Key words: Smarandache Curves, Mathematics Subject Classification (2010), 53A04.

*

Sorumlu yazar: senyurtsuleyman@hotmail.com

46

Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS

1.GİRİŞ Eğrilerin diferansiyel geometrisi üzerinde birçok çalışmalar mevcuttur. 2008 de M. Turgut ve S. Yılmaz tarafından yapılan Smarandache Curves in Minkowski Space-time isimli çalışmada Smarandache eğrileri tanımlanmıştır, [1]. Daha sonra bu eğriler, farklı uzaylarda farklı çatılar ele alınarak incelenmiş ve yeni sonuçlar elde edilmiştir, [2,3,4,5,6].

2. GENEL BİLGİLER

 : I  IR  E 3 ,   s   1  s  ,  2  s  ,  3  s   regüler birim hızlı bir eğri olsun. 

eğrisinin Frenet 3-ayaklısı

T  s      s      s   N  s     s   B s  T s  N s       

 2.1

dır. Eğrinin eğriliği   s  , torsiyonu   s  ile gösterilirse

  s      s       ,     s    2       

 2.2 

olur. Bu durumda Frenet formülleri

T   s     s  N  s  ,   N   s     s  T  s     s  B  s  ,   B  s     s  N  s  şeklinde verilir, [7].  eğrisinin

T , N , B

 2.3

Frenet çatısına bağlı olarak oluşan W Darboux

vektörünün B binormal vektörü ile yaptığı açı  ile gösterilirse

47

Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama

sin  

 W

,

cos  

 W

 2.4 

olur ve buradan birim Darboux vektörü

 2.5

C  sin T  cos  B şeklinde bulunur.

Tanım 1.1:Konum vektörü, herhangi bir  eğrisinin Frenet çatıları tarafından oluşturulan ve bu vektör tarafından çizilen regüler eğriye Smarandache eğrisi denir,[1].

Tanım1.2:  : I  E 3 birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı T , N , B olsun.

1 T  N  eğrisine TN -Smarandache eğrisi, 2 1  NB  s    N  B  eğrisine NB -Smarandache eğrisi, 2 1 TNB  s   T  N  B  eğrisine TNB -Smarandache eğrisi denir, [2].

3 TN  s  

 2.6   2.7   2.8

TN -Smarandache eğrisinin eğriliği  TN ve torsiyonu  TN gösterilirse 2  2   2  2

 TN 

 TN 

 2

2

 2 

2

 2.9 

,

2  2   2                   

  2 2   2              2   2 3   2    2



2

 2.10 

2  2           2 2   2              2   2 3   2    2

2

bulunur. Burada

48

Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS

   2  2 2   2            2 2 2 3     (2  3             2 2     2     2          3    2  3        3 2        3    3   2 3        2        dır, [2].

3.Smarandache Eğrilerinin Uygulamaları

 : I  E 3 birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı T , N , B olsun. Konum vektörü

 s 

a  s T  s   b  s  N  s   c  s  B  s 

olan

vektörün çizdiği regüler eğriye Smarandache a  sin   s  , b  1 , c  cos   s  alınırsa  3.1 ifadesi

 s 

 3.1

a 2  s   b2  s   c 2  s  eğrisi

denilmektedir.Burada

1  sin   s  T  s   cos   s  B  s   N  s   2

olur.  2.5 bağıntısı burada yerine yazılırsa elde edilen yeni eğri

 NC  s  

1 C  s   N  s  2

 3.2 

olur ve bu eğri NC -Smarandache eğrisi olarak isimlendirilir.  NC eğrisinin yay parametresi

s ile gösterilirse

d  NC ds 1    cos     T      sin   B  ds ds 2

 3.3

49

Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama

olur. Norm alınırsa

ds ds

  



2

W

2

 2  W

bulunur. Buradan  NC eğrisinin teğet

2

vektörü

T NC  s  

  cos     T      sin   B 2 2    W  2  W

 3.4 

şeklinde olur. Bu ifadenin tekrar türevi alınırsa

1   2  cos      cos 2      sin  cos     4 sin    2   2 sin    2   2 sin    2   3 sin  cos   2   3 sin 2       2   2   2   cos   2   sin      cos       2 cos 2       2 sin  cos            sin      sin     3 2 2 3 2 2 2 2      cos   3   cos   3   cos   2    cos   4    sin  cos    2 2 2 3 2 4 2 2 2 2 3 2 2        2   3   sin        3   sin       sin   2    sin          2   2   2   cos    2  sin      sin  cos      sin 2     4 cos   3  2   2 cos    2   2 cos   2   3 cos 2   2   3 sin  cos             cos      cos      sin       2 sin  cos       2 sin 2   olmak üzere

TNC  s  

2 1T   2 N  3 B 

   

2

 W

2

 2  W



2

 3.5 

bulunur.  NC eğrisinin eğriliği   NC ile gösterilirse

  NC 

2 12  2 2  32

   

2

W

2

 2  W



2

 3.6 

50

Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS

olur. Diğer yandan N  NC 

N  NC 

TNC  s  TNC  s 

olduğundan asli normal vektör

1T  2 N  3 B

 3.7 

12  2 2  32

olur. B NC  T NC  N  NC ifadesinden de binormal vektör

B NC 

2   sin     T  1.     sin    3   cos      N   2   cos      B

   

2

W

2

 2  W

 

2 1

  2 2  3 2 

 3.8  şeklinde bulunur.  NC eğrisinin ikinci ve üçüncü türevleri sırasıyla,

  cos     sin     T    cos     sin     2

  NC

2





  2  N       sin      cos  B 2

2

 3.9      cos   3   sin     3 cos       2  cos     sin    3   2  1   2 2 2  2  cos   2    sin   3     cos      sin   2  sin   2    cos   3         3    cos    2        3 sin    2   3     3





olmak üzere

51

Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama

   NC

1T  2 N  3 B

 3.10 

2

olur.  2.2  bağıntısında  3.3 ,  3.9  ve  3.10  ifadeleri yerine yazılırsa  NC eğrisinin   NC torsiyonu

2  11   22   33   12   2 2   32

  NC 

 3.11

şeklinde bulunur. Burada









     2 sin  cos      2 sin    2   2 2  sin    2   3  1   2 2 3   2             cos              sin               2 2 2 2 3 2  3      cos       sin   2       cos     sin      .













Sonuç 3.1:  : I  E 3 eğrisinin Frenet çatısı T , N , B , eğriliği  ve torsiyonu  olsun.

NC -Smarandache eğrisinin   NC eğriliği ve   NC torsiyonu sırasıyla,   NC 

  NC 



2 12   2 2  32

    W 2

2

 2  W



2

,

2  11   22   33   12   2 2   32

şeklinde verilir.

 2.7  bağıntısında NB -Smarandache

eğrisinin yay parametresi s ile gösterilirse

52

Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS

d  NB ds 1    T   N   B  ds ds 2 olur ve norm alınırsa

ds



ds

T NB  s  

 3.12 

1  2  2 2 bulunur. Buradan  NB eğrisinin teğet vektörü 2

 T   N   B

 3.13

 2  2 2

şeklinde olur. Bu ifadenin tekrar türev alınırsa ve

1  2 2          2  2     3 2 2 2  2               3  2   2 2 3  3           2     olmak üzere

TNB  s  

2 1T   2 N   3 B 

 2  2 2 

2

 3.14 

bulunur. Eğrilik tanımından  NB eğrisinin   NB eğriliği

  NB 

2  12   2 2   3 2

 2  2 2 

şeklinde olur. Diğer yandan N  NB 

N  NB 

 3.15

2

TNB  s  TNB  s 

1T   2 N   3 B 12   2 2   32

olduğundan asli normal vektör

 3.16 

53

Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama

olur. B NB  T NB  N  NB ifadesinden de binormal vektör

B NB 

  3   2  T  1   3  N    2  1  B

 3.17 

 2  2 2 12   22   32 

şeklinde bulunur.  NB eğrisinin ikinci ve üçüncü türevleri sırasıyla,

   NB

1 2

      T  

2



  2     N      2  B ,

 3.18

1       2    2           2 2    3        3         2 2 3       3      olmak üzere

   NB

1T  2 N  3 B

 3.19 

2

olur.  2.2  bağıntısında  3.12  ,  3.18 ve  3.19  ifadeleri yerine yazılırsa  NB eğrisinin   NB torsiyonu

  NB









2    2 2   2  1         2    2  2 2        3     2 2 2   2 2   2             2  2 2           

 3.20 

şeklinde bulunur.

Sonuç 3.2:  : I  E 3 eğrisinin Frenetçatısı T , N , B , eğriliği  ve torsiyonu  olsun.

NB -Smarandache eğrisinin   NB eğriliği ve   NB torsiyonu sırasıyla,

54

Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS

  NB 

  NB

2  12   2 2   3 2

 2  2 2 



2

,







2    2 2   2  1         2    2  2 2        3     2 2 2 2 2 2 2   2                2           

şeklinde verilir.  2.8 bağıntısında TNB -Smarandache eğrisinin yay parametresi s ile gösterilirse

d TNB ds 1    T      N   B  ds ds 3

6  2   2    olur ve norm alınırsa ds 3 ds

 3.21

bulunur. Buradan  TNB eğrisinin teğet

vektörü

TTNB  s  

 T      N   B 2  2   2  

 3.22 

şeklinde olur. Bu ifadenin tekrar türev alınırsa

1   2  2 2  4 2  4   2        2 2  2    2  2   2 2 2 2 2 2    2  4  2        2  2              2 2 2 2 3  2   2        4  2          2   olmak üzere

TTNB  s  

3 1T  2 N  3 B 4  2   2   2

 3.23

bulunur. Eğrilik tanımından  TNB eğrisinin  TNB eğriliği

55

Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama

2 2 2 3 1  2  3 4  2   2   2

 TNB 

şeklinde olur. Diğer yandan N TNB 

TTNB  s  TTNB  s 

 3.24  olduğundan asli normal vektör

1T  2 N  3 B

N TNB 

 3.25

12  2 2  32

olur. BTNB  TTNB  N TNB ifadesinden de binormal vektör

BTNB 

     

3

 2  T  1  3  N  2      1  B

 2

2

 2  2    2  3 2

2 1

2

2



 3.26 

şeklinde bulunur. TNB eğrisinin ikinci ve üçüncü türevleri alınırsa sırasıyla,

  TNB

1      2    T   2         2  N     2     B  ,  3

 3.27 

 1        3   2    3   2  3 3  2      3                      2 3  3        3     2     olmak üzere

  TNB

1T  2 N  3 B 3

 3.28

bulunur.  2.2  bağıntısında  3.21 ,  3.27  ve  3.28 ifadeleri yerine yazılırsa TNB eğrisinin

 TNB torsiyonu

56

Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS

 TNB 

3 11   2 2  3 3  12   2 2  32

 3.29 

şeklinde bulunur. Burada

1  2            2 3   2        3 2 2 3  2     2  2     .

Sonuç 3.3:  : I  E 3 eğrisinin Frenetçatısı T , N , B , eğriliği  ve torsiyonu  olsun.

TNB -Smarandache eğrisinin  TNB eğriliği ve  TNB torsiyonu sırasıyla,  TNB

2 2 2 3 1  2  3  , 4  2   2   2

 TNB 

3 11   2 2  3 3  12   2 2  32

şeklinde verilir.

1 9 1 6  9  sin16 s  sin 36 s,  cos16 s  cos 36 s, sin10 s  117 208 117 65  208 

Örnek3.1:   s   

eğrisinin Frenet vektörleri ,[2], ve birim Darboux vektörü

 4 9 4 12 9  T  s    13 cos16 s  13 cos 36 s, 13 sin16 s  13 sin 36 s, 13 cos10 s      12 5  12  N  s    cos 26 s, sin 26 s,   13 13    13   B  s     9 sin16 s  4 sin 36 s, 4 cos 36 s  9 cos16 s, 12 sin10 s     13 13 13 13  13   C  s    5 cos 26 s, 5 sin 26 s, 12  ,    13 13   13 şeklinde bulunur ( Şekil 1). Bu eğriye ait NC -Smarandache eğrisi,

57

Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama

 NC  s  

1  17 17 7  cos 26 s, sin 26 s,  13 13  2  13

olur (Şekil 2).

Şekil 1:  eğrisi

Şekil 2:  NC Smarandache eğrisi



Örnek 3.2:   s    cos



s s s  ,sin ,  helis eğrisinin Frenet vektörleri ve birim 2 2 2

Darboux vektörü

58

Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS

 1  s s  , cos ,1 T  s     sin 2 2 2    s s   ,  sin ,0  N  s     cos 2 2     1  s s  B  s   ,  cos ,1  sin  2 2 2   , C  s    0, 0,1 şeklinde bulunur (Şekil 3). TN , NB, TNB ve NC -Smarandache eğrileri sırasıyla,

s 1 s 1 s 1 s 1  1 TN  s     sin  cos , cos  sin , , 2 2 2 2 2 2 2 2  2 s 1 s 1 s 1 s 1  1  NB  s     cos  sin , sin  cos , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 

 1 s 1 s 6 TNB  s     cos , sin ,  , 3 3 2 3 2   s 1 s 1   1  NC  s     cos , sin ,  2 2 2 2 2  olur ( Şekil 4).  1.0 1.0 y

0.5

 0.5

x 0.0 0.5

0.0

1.0

 0.5  1.0

4

3

z 2

1

0

Şekil 3:  eğrisi

59

Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama

Şekil 4: TN ,  NB , TNB ve  NC Smarandache eğrileri KAYNAKLAR [1] Turgut,M.,Yılmaz,S.,2008. Smarandache Curves in Minkowski space-time, International Journal of Mathematical Combinatorics, Vol.3, pp.51-55.

[2] Ali, A. T., 2010. Special Smarandache Curves in the Euclidean Space, International Journal of Mathematical Combinatorics, Vol.2, pp.30-36.

[3] Çetin M., Tuncer Y. and Karacan M. K., 2011. Smarandache Curves According to Bishop Frame in Euclidean 3- Space, arXiv: 1106. 3202 v1 [math. DG].

[4] Bektaş Ö.,Yüce S., 2013. Special Smarandache Curves According to Darboux Frame in Euclidean 3- Space, Romanian Journal of Mathematics and Computer science, vol:3,ıssue:1,pp:48-59.

3

[5] Bayrak N., Bektaş Ö. and Yüce S.,2012. Special Smarandache Curves in E1 , arXiv:1204.566v1 [math.HO].

2

[6] Taşköprü K., Tosun M.,2014. Smarandache Curves on S , Boletim da Sociedade paranaense de Matemtica 3 srie. vol:32, no:1, pp.51-59, ıssn-0 037-8712.

[7] Hacısalioğlu, H.H.,1983. Diferensiyel Geometri. İnönü Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Yayınları, Mat. no.7, Malatya.

60