Planificació de les missions espacials

TREBALL DE RECERCA PLANIFICACIÓ DE LES MISSIONS ESPACIALS

​(Foto: NASA)

Autor: Sànchez Garcia, Alejandro Tutor: Fernández Peláez, Francisco Assignatura: Física Centre: INS Josep Puig i Cadafalch Grup: 2n de Batxillerat Curs: 2018 - 2019

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

2

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Agraïments En primer lloc, vull agrair la paciència i dedicació del meu tutor del Treball de Recerca, en Patxi, ja que sense ell aquest treball no l’hauria pogut acabar. La seva ajuda pels conceptes físics i matemàtics del treball i la seva orientació per dur-lo a terme han sigut molt importants per fer que cada vegada es millorés el contingut i l’aspecte del treball.

I, en segon lloc, vull agrair l'interès d’alguns professors de l’àrea que han aportat idees i m’han motivat per continuar amb força, de la mateixa manera que els meus pares, que sempre es trobaven disposats a escoltar-me i animar-me.

Moltes gràcies a tots.

3

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Resumen Las misiones espaciales son un hecho actual importante para fomentar, principalmente, el progreso de la exploración espacial. El objetivo de este trabajo, en primer lugar, es entender cómo se llevan a cabo estos vuelos espaciales y enfatizar la importancia de la órbita y las maniobras para desplazarse por el espacio exterior, ya que son la manera más directa para desarrollar el conocimiento del espacio. En segundo lugar, se utilizarán estos datos para calcular una misión espacial hipotética a un planeta del Sistema Solar del cual se duda su existencia, el ​Planet Nine​, calculando las trayectorias, velocidades y duración de la misión. Así también se demostrará la importancia que pueden llegar a tener las misiones espaciales.

Abstract Space missions are an important current fact to develop the progress of space exploration. Firstly, the work’s goal is to understand how spaceflights are carried out and to emphasize the importance of the orbit and the maneuvers to move through space, as they are the most direct way to develop the knowledge of space. Secondly, this information will be used to calculate an hypothetical space mission to a Solar System planet whose existence is in doubt, the ​Planet Nine,​ calculating the trajectories, velocities and the duration of the mission. In addition, it will also show the importance a space mission can have.

4

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

ÍNDEX INTRODUCCIÓ

MARC TEÒRIC. Planificació de les missions espacials.

1. Introducció als viatges espacials 1.1. Tipus de viatges espacials 1.2. Astronàutica 1.3. Definicions bàsiques

2. La nau espacial 2.1. Classificació de les naus espacials 2.2. El disseny 2.2.1. Coet multietapa 2.2.2. SSTO 2.3. El sistema de propulsió 2.3.1. Altres sistemes de propulsió 2.4. Orientació de la nau

3. Fases d’un viatge espacial 3.1. El llançament espacial 3.2. L’òrbita 3.2.1. Tipus d’òrbites 3.2.2. Elements orbitals 3.3. Maniobres orbitals 3.4. Influències gravitatòries 3.5. Ingrés o reingrés atmosfèric, i aterratge

PRÀCTICA. Missió espacial al “​Planet Nine”​.

I. Introducció

II. Objectius i dades

III. Desenvolupament - Situació inicial - Càlcul de trajectòries - Trajectòries el·líptiques - Trajectòries hiperbòliques - Càlcul d’increments de velocitat - Durada de l’abandonament de la influència terrestre - Arribada al ​Planet Nine

CONCLUSIONS GLOSSARI LLISTA DE REFERÈNCIES ANNEX. Mecànica orbital

5

6

9 17 19 19 21 21 22 23 24 25 26 29 31 31 36 38 41 45 50 53

58 59 61 61 62 62 73 78 81 82 84 86 89 93

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

INTRODUCCIÓ Actualment, les missions espacials estan esdevenint cada cop més importants pel que fa al progrés de la recerca científica i de l’espècie humana. D’una o altra manera, són les responsables de la resolució dels misteris més inquietants de l’Univers, i cada vegada permeten que l’ésser humà pugui entendre més el lloc on viu. Per dur a terme això, les ciències i enginyeries han hagut de donar el màxim d’elles, i els avenços han estat tan importants que han sigut capaces de portar éssers humans a un altre cos celeste i de construir un laboratori orbital al voltant de la Terra.

Així doncs, els ​objectius​ d’aquest treball de recerca són els següents: ●

Entendre què és una missió espacial i per què són tan importants, a més de conèixer com són i com funcionen les naus que desenvolupen aquests viatges espacials.

●

Comprendre quines són les fases d’una missió espacial i donar importància al moviment i a les maniobres orbitals, els conceptes clau del desplaçament per l’espai, que s’aprofundirà amb física i matemàtiques.

●

Realitzar els càlculs d’una missió espacial hipotètica al ​Planet Nine,​ un planeta del Sistema Solar del qual es dubta la seva existència. D’aquesta manera, l’objectiu d’aquesta part pràctica també és conscienciar sobre la dificultat que comporta la planificació dels viatges espacials habituals.

Motivacions per realitzar aquest treball: Quan s’havia d’escollir el tema per realitzar el Treball de Recerca, el que més em motivava era l’espai. Tot i així, es tractava d’un concepte massa ampli i molt difícil d’accedir, per la qual cosa s’havia de concretar el tema i fer-lo més proper a les nostres possibilitats. Així, el ràpid progrés de l’empresa espacial privada ​SpaceX,​ com el

llançament del seu coet ​Falcon Heavy,​ l’enlairament de la nova sonda espacial ​InSight de la NASA en direcció a Mart, el de la ​Parker Solar Probe al Sol i el quaranta-novè aniversari de les missions ​Apollo a la Lluna, em van fer pensar d’orientar el treball cap a 6

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

les missions espacials. Algunes alternatives consistien a parlar exclusivament de les missions ​Apollo o de construir un petit coet, a partir del qual s’explicaria el funcionament de les naus espacials. Però, finalment, degut a la meva atracció per la física i a l'interès per l’espai (que compartia amb el meu tutor), vaig acabar decidint realitzar un treball de física que tractés del funcionament de les missions espacials, on la pràctica seria planificar-ne una pròpia i original.

Amb això va sorgir una altra dificultat, i era escollir de què tractaria la missió espacial que s’havia de planificar perquè fos original i, si podia ser, que no estigués pensada per les agències espacials. Per tant, vam començar a realitzar una pluja d’idees, des de les més properes a la ciència ficció fins a les més versemblants.

Finalment, va sorgir la idea de viatjar al ​Planet Nine​, ja que es tracta d’un planeta que s’intentarà descobrir amb telescopis i des de la Terra, però no amb naus. Va ser aquest, aleshores, el punt culminant per decidir dirigir-se al ​Planet Nine i descobrir-lo amb una missió hipotètica.

Desenvolupament i estructura del treball:

Per realitzar el treball, es va començar amb la recerca d’informació sobre els viatges espacials, allò que comporten i les finalitats per a les quals es realitzen, els tipus de viatges segons el destí i la ciència que estudia la planificació de totes les àrees que envolten un vol a l’espai. Més endavant, es va continuar amb la recerca concreta sobre la nau espacial, els tipus que hi ha, la configuració del seu disseny i els avantatges i desavantatges que comporten, així com el funcionament del sistema de propulsió química i d’altres més prometedors pel futur.

Un cop acabats aquests apartats, es va començar a redactar la secció que parla de les fases del viatge, de manera que en arribar a l’explicació de l’òrbita i les maniobres orbitals, es va començar a redactar un annex extens, que es tracta d’un recull de tots els conceptes i fòrmules per desenvolupar els viatges per l’espai, conegut com mecànica orbital, a partir de la recerca i anàlisi de les expressions emprades.

7

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Tot seguit, i un cop acabat el marc teòric, es va començar amb la planificació de la missió espacial al ​Planet Nine​. Es van dur a terme diverses situacions per fer entendre el comportament de les òrbites dels diferents cossos emprats. No obstant, abans d’acabar la missió es va decidir incloure el context històric al marc teòric, per conscienciar, a més, del progrés dels viatges i de l’exploració espacial, que es va dur a terme gràcies a la recerca d’informació i audiovisuals.

Finalment, es va acabar amb la realització dels càlculs de la missió al ​Planet Nine i un anàlisi dels resultats.

Amb tot això, el treball ha quedat estructurat en dos grans blocs, el marc teòric i la missió planificada, a més d’un glossari de diferents conceptes que s’han utilitzat al llarg del redactat i de l’annex de mecànica orbital. Pel que fa al marc teòric, està dividit en tres grans blocs més, que parlen del viatge espacial, de la nau i de les fases del viatge, respectivament.

8

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Marc teòric. Planificació de les missions espacials 1. Introducció als viatges espacials Una missió espacial és aquell viatge que realitza una nau un cop abandonada l’atmosfera terrestre i, per tant, que es troba a l’espai exterior.

L’exploració espacial duta a terme amb aquestes missions és un fet actual i que va començar el segle passat. No obstant, la investigació de l’espai va començar amb les civilitzacions antigues arreu del món (grecs, àrabs, asteques, etc.), però no va ser fins a la ​invenció del telescopi (segle XVII) quan es va iniciar l’​astronomia moderna​, quan l’exploració de l’espai es va impulsar. ​Galileo Galilei (1564 - 1642), l’acceptació del sistema heliocèntric de ​Nicolau Copèrnic (1473 - 1543), les ​Lleis de Kepler del moviment planetari a partir de les observacions astronòmiques de ​Tycho Brahe (1546 1601), l’aplicació del físic ​Isaac Newton (1643 - 1727) i, més tard, la ​Teoria de la Relativitat ​d’​Albert Einstein (1879 - 1955), van revolucionar tots els coneixements de l’Univers.

Cada cop es va anar pronunciant més el desig de l’home de sortir a l’espai exterior i ampliar els seus coneixements. Però fins a inicis del segle XX no es va poder començar a plantejar el possible desenvolupament d’aquest somni, quan la tecnologia necessària començava a ser apta, degut a la construcció dels primers coets i els seus respectius sistemes de propulsió. Les primeres llançadores s’utilitzaven per finalitats militars.

D’aquesta manera, el país que va impulsar la fabricació i la millora d’aquestes

noves

màquines

de

guerra va ser l’Alemanya nazi, entre 1930

i

1940,

l’armament

per

durant

augmentar la

​Segona

Guerra Mundial (1939 - 1945). El projecte

més

exitós va ser la

fabricació dels coets de bombardeig V2​,

un

míssil

paràmetres

més

amb

uns

avançats

dels de

9

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

l’època, dissenyats per l’enginyer aeronàutic ​Wernher von Braun (1912 - 1977). Quan va acabar la Segona Guerra Mundial, els ​Estats Units i l’antiga ​Unió Soviètica ​(​URSS​) van iniciar el conflicte econòmic, polític i social conegut com la ​Guerra Freda (1947 - 1991).

Els EE.UU. van captivar a ​Wernher von Braun​, el dissenyador dels ​V2​, que es va convertir en la figura més important dels coets americans fins als anys 70.

Els dos països ara enfrontats van començar a desenvolupar nous coets militars atòmics.

No obstant, van acabar destinant-los a l’ús científic i tecnològic, bàsicament per por als desperfectes que podien ocasionar i per començar la conquesta de l’espai que fomentaria la seva exploració, el somni iniciat segles enrere.

Així, amb la modificació d’un coet militar, la ​URSS va posar en òrbita el primer satèl·lit artificial, l’​Sputnik 1​, el 4 d’octubre de 1957, des del cosmòdrom de ​Baikonur​. Aquesta fita

va

iniciar

un

enfrontament ​derivat de la

Guerra

Freda,

la

Carrera Espacial entre la URSS i els EE.UU. Pel

que

fa

als

americans, després de nombrosos intents fallits d’enlairaments de coets militars modificats, van aconseguir posar en òrbita el seu primer satèl·lit artificial, l’​Explorer 1 (31 de gener de 1958, des del ​Cap Canaveral​). Aquest satèl·lit va ser el primer a detectar els ​cinturons de radiació ​Van Allen1.

Abans que els EE.UU. poguessin vèncer la Unió Soviètica amb l’objectiu del seu nou Projecte Mercury,​ enviar un ésser humà a l’espai, els soviètics ho van culminar primer,

degut al fet de posar en òrbita a ​Yuri Gagarin,​ el primer ésser humà a sortir a l’espai exterior i orbitar la Terra, a la missió ​Vostok 1​, el 12 d’abril de 1961, a bord d’un coet Vostok.​

1

Els ​cinturons de radiació ​Van Allen​ són uns cinturons de protons i electrons que es mouen en espiral entre els pols magnètics de la Terra, protegint-la de gran part de la radiació solar.

10

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

No obstant, els americans van poder enviar un home a l’espai el 5 de maig de 1961, ​Alan Shepard,​ a bord d’un coet ​Mercury - Redstone de la missió ​Freedom 7​, però realitzant només un vol suborbital de 15 minuts. Per estar al mateix nivell que els soviètics, doncs, el 20 de febrer de 1962 ​John Glenn va orbitar la Terra tres vegades durant la missió Friendship 7,​ aquest cop a bord d’un coet ​Mercury - Atlas​.

A partir de 1965, la ​NASA va iniciar un segon programa espacial, el ​Programa Gemini​, l’objectiu del qual era preparar la tecnologia i els procediments necessaris per viatjar a la Lluna. Una de les missions més importants del programa va ser el primer passeig espacial americà a la ​Gemini IV (3 de juny de 1965), a bord d’un coet ​Titan II,​ realitzat per ​Ed White,​ però el primer passeig espacial ja l’havia realitzat mes i mig abans el cosmonauta de la URSS ​Alexei Leonov a la missió ​Voskhod 2,​ a bord d’un coet Voskhod.​

Paral·lelament als programes ​Mercury i ​Gemini,​ el programa ​Apollo es va iniciar el 1961, amb missions sense tripulació per comprovar els nous coets que portarien l’home a la Lluna, dissenyats per ​Wernher von Braun​. Entre 1961 i 1965 es van comprovar els

primers coets de la família ​Saturn,​ els ​Saturn I​; entre 1966 i 1967, un model millorat de l’anterior, els ​Saturn IB​; i entre 1967 i 1968, els coets més poderosos construïts fins ara,

els ​Saturn V​, capaços d’enviar una astronau a la Lluna. Es tractava d’un coet format per tres etapes, de les quals la primera portava els motors de combustible líquid més potents fins avui dia, els ​F-1​, on cada unitat subministrava 6,77 milions de ​Newtons de força durant l’enlairament. La llançadora mesurava 111 metres d’alçada i tenia una massa màxima de 2,8 milions de quilograms, i era capaç d’enviar 118 tones de càrrega útil a l’òrbita terrestre i 43,5 a la Lluna.

El programa ​Apollo anava a bon ritme fins a l’accident de la tripulació de l’​Apollo 1​, quan van morir els tres astronautes durant la preparació de la missió degut a l’incendi de la nau. No obstant, la ​NASA i el govern dels Estats Units van decidir continuar amb la Carrera Espacial, de manera que, finalment, el desembre de 1968, la tripulació de l’​Apollo 8,​ a bord d’un ​Saturn V​, es va convertir en la primera a arribar a la Lluna, orbitar-la i observar la seva cara oculta. Aquesta fita va fer que els americans poguessin dur la davantera de la Carrera Espacial, a més que el nou programa lunar tripulat de la URSS no va progressar degut al mal desenvolupament dels seus nous coets ​N-1​.

11

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Finalment, el 20 de juliol de 1969, els americans van guanyar la Carrera Espacial contra la URSS, quan la tripulació de l’​Apollo 11

va

arribar

a

la

Lluna

i,

concretament, quan ​Neil Armstrong va trepitjar la superfície lunar, fet que el va convertir en el primer ésser humà a caminar sobre un altre cos celeste. A partir d’aquesta missió, la ​NASA va tornar a la Lluna cinc vegades més2.

Mentrestant,

la

URSS

ja

havia

abandonat el programa lunar i s’havia endinsat d’estacions

en

un

nou

espacials.

projecte Amb

el

llançament d’un nou programa espacial protagonitzat per les noves naus ​Soyuz,​ el 1971

van posar en òrbita la primera estació espacial, la ​Salyut.​ L’any 1973, un cop acabades les missions lunars americanes, la ​NASA va aprofitar un coet ​Saturn V​, que no es va

poder enlairar cap a la Lluna degut a la manca de pressupost, per transformar la seva tercera etapa en un mòdul per donar habitatge a tres astronautes, és a dir, en una estació espacial, la ​Skylab​.

A partir de la dècada del 1980, la col·laboració internacional a l’espai es va accentuar gràcies al desenvolupament d’estacions espacials i al ​Transbordador Espacial de la ​NASA.​ Es tractava de la primera

nau

reutilitzable,

però

parcialment. Era un vehicle orbitador amb forma

d’aeronau,

que

el

permetia

enlairar-se verticalment com un coet,

2

Entre 1969 i 1972, el programa ​Apollo va enviar diverses tripulacions a la Lluna, des de l’​Apollo 11 ja esmentat fins a l’​Apollo 17​. D’aquestes, totes les missions van aterrar a la superfície lunar amb èxit, excepte l’​Apollo 13​, que degut a un problema durant el viatge d’anada, van haver d’avortar la missió i tornar a la Terra.

12

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

orbitar com una nau espacial i aterrar com un avió, per tal de ser reutilitzat. L’enlairament es produïa gràcies als seus tres motors principals que s’alimentaven d’hidrogen i oxigen líquid que subministrava un tanc gegant extern que volava acoblat al transbordador fins arribar a l’òrbita. Encara i així, per obtenir suficient impuls durant els instants inicials de l’enlairament, als costats del tanc s’acoblaven, també, dos coets de combustible sòlid, que es desprenien del conjunt uns minuts després del llançament i queien a l’Atlàntic.

Aquests coets de reforç es reutilitzaven un cop recuperats i restaurats, però el tanc extern no, ja que es desintegrava a l’atmosfera. És per això que el conjunt era reutilitzable parcialment.

El 12 d’abril de 1981 es va enlairar el primer de la família de transbordadors, el Columbia,​ protagonitzant la missió ​STS-1​, amb els astronautes ​John Young i ​Robert

Crippen​. Entre 1983 i 1985 es van posar en òrbita els tres següents transbordadors, el Challenger,​ el ​Discovery i l’​Atlantis,​ respectivament. Però el programa va aturar-se

l’any 1986, quan el transbordador ​Challenger va explotar 73 segons després de l’enlairament i va acabar amb la vida dels set tripulants.

Mentrestant, la URSS va enlairar l’estació espacial ​Mir el 1986, la primera que es va anar

construint

en

òrbita

mitjançant

l’acoblament de diversos mòduls, a més de ser pionera a afavorir la col·laboració internacional.

L’any 1988, la ​NASA ​va tornar a posar en marxa el programa del transbordador, de manera que el 1990, el transbordador espacial ​Discovery va posar en òrbita a 593 km d’altitud el telescopi espacial ​Hubble​,

en honor a l’astrònom ​Edwin Hubble​, descobridor de l’expansió de l’Univers a partir de l’observació de les estrelles i que aquest és més gran que la ​Via Làctia​. Gràcies a l’altitud de l’òrbita, el telescopi pot evitar els fenòmens meteorològics i l’absorció de la radiació de l’atmosfera, fenòmens que empitjoren la qualitat de les imatges. És per això 13

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

que el telescopi és reconegut per la gran nitidesa de les seves fotos. A més, gràcies al transbordador, els astronautes podien realitzar missions pel manteniment del telescopi.

L’any 1992 va volar per primer cop el transbordador espacial ​Endeavour,​ construït per

substituir el ​Challenger​, i va protagonitzar gran part de la construcció de la nova ​Estació Espacial Internacional​, un laboratori i centre d’investigació internacional orbital que es

va començar a construir l’any 1998 amb la posada en òrbita del seu primer mòdul, el Zarya​, gràcies al coet rus ​Proton​, i es va anar completant amb l’acoblament de més mòduls d’altres agències espacials arreu del món. El complex orbital actualment es troba aproximadament a 408 km d’altitud viatjant a 7,66 km/s. Les seves mesures són de 109 metres de longitud i 88 metres d’ample, amb una massa propera a 420 tones. Ha sigut la llar de més de cinquanta expedicions, cadascuna formada per sis astronautes que viuen durant sis mesos a l’estació.

El programa del transbordador va rebre una nova aturada el 2003, aquest cop a causa de la desintegració del ​Columbia durant el reingrés atmosfèric de la missió ​STS-107,​ que també va acabar amb la vida dels set astronautes.

Finalment, entre 2004 i 2005 es va reprendre l’activitat del programa espacial nord-americà i es va plantejar el nou objectiu de tornar a la Lluna i endinsar-se a l’espai interplanetari, començant amb la idea dels viatges tripulats a Mart, tot a partir de la col·laboració internacional.

El programa del transbordador espacial va finalitzar amb la missió ​STS-135 del transbordador ​Atlantis l’any 2011, i des d’aleshores fins a l’actualitat, els astronautes de tot el món han viatjat i continuen viatjant a l’Estació Espacial Internacional a bord dels coets russos ​Soyuz​, operatius des dels anys 70.

Durant els últims anys també han aparegut diverses empreses privades amb l’objectiu d’apropar els viatges espacials al públic. Entre les més exitoses, l’empresa ​SpaceX d’​Elon Musk també ha col·laborat amb la ​NASA,​ proveint coets per enviar provisions a

l’Estació Espacial Internacional. Aquests coets són els ​Falcon 9​, i es caracteritzen per ser els primers coets orbitals multietapa reutilitzables. Per aconseguir-ho, la primera secció de la llançadora, un cop s’ha desprès del cos sencer del coet, és capaç de 14

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

controlar-se per engegar el seu sistema de propulsió i aterrar a un vaixell plataforma a l’oceà o a una plataforma d’aterratge a prop del lloc d’enlairament. Un cop aterrada, pot ser restaurada i reutilitzada per impulsar nous vols espacials. Les característiques del coet i el fet de poder

reutilitzar-se fan que els

enlairaments d’aquestes llançadores siguin

molt

més econòmics en

comparació als coets tradicionals.

Pel que fa a la conquesta de l’espai a partir de missions no tripulades, va ser i continua essent molt més exagerada que la realitzada amb missions tripulades.

Així doncs, cal destacar la gran activitat de missions espacials dirigides a ​Venus i a ​Mart entre els anys 60 i 70, com les sondes conegudes com ​Mariner i ​Viking (EE.UU.), i Venera (URSS). D’aquestes, la sonda ​Mariner 10 (1974) va ser l’única a sobrevolar Mercuri​, i fins al 2008 no va tornar una altra missió a aquest planeta.

També van suposar un gran impuls a l’exploració espacial les sondes americanes Pioneer,​ dirigides a ​Júpiter i a ​Saturn a la dècada del 70, que després del seu sobrevol es van convertir en les primeres sondes en fase d’abandonar el Sistema Solar.

L’any 1977 els americans van enlairar dues missions interplanetàries i interestel·lars, les Voyager 1 ​i ​Voyager 2​. La primera va sobrevolar ​Júpiter i ​Saturn​, i la segona, els dos anteriors, ​Urà i ​Neptú (mitjançant influències gravitatòries). Els sobrevols dels dos gegants gasosos era la missió principal d’ambdues sondes, però, finalment, la missió de la ​Voyager 2 es va estendre al sobrevol dels dos següents planetes i, tot seguit, es van convertir en dues de les naus robòtiques més reconegudes de la història de la conquesta de l’espai, gràcies a alguns dels rècords que van aconseguir, com l’exploració contínua en una única missió dels quatre planetes exteriors (​Voyager 2)​ i la sonda més ràpida

15

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

construïda per l’ésser humà a allunyar-se del Sol i, per tant, d’esdevenir la primera a sortir a l’espai interestel·lar (​Voyager 1)​ .

Després de les ​Voyager​, també va esdevenir important la missió ​Galileo a Júpiter (1989), formada per un orbitador que va investigar el planeta i els seus satèl·lits naturals des de l’òrbita fins al 2003, i una sonda atmosfèrica que va enviar a la Terra dades de l’atmosfera de Júpiter quan hi va ingressar el 1995.

Tot seguit, el 1997 va enlairar-se la sonda ​Cassini-Huygens cap a Saturn, també molt important per l’exploració duta a terme per l’orbitador ​Cassini fins al 2017 i per ser la primera missió espacial que va fer aterrar un mòdul a un satèl·lit natural d’un planeta exterior, concretament l’aterratge del mòdul ​Huygens​ a ​Tità​ (2005).

Per últim, l’any 2006 es va enlairar la missió ​New Horizons per investigar el planeta del Sistema Solar que encara no havia estat visitat per cap nau, ​Plutó​. Mitjançant influències gravitatòries, va arribar a Plutó el 2015 i va realitzar una missió d’investigació durant els sis mesos que va sobrevolar el planeta nan. Actualment i després d’abandonar Plutó, continua allunyant-se del Sistema Solar per esdevenir sonda interestel·lar, però primer realitzarà investigacions del cinturó de ​Kuiper.​ Actualment i degut al desig de viatjar a Mart, l’exploració espacial a aquest

planeta

ha

augmentat.

Durant les últimes dècades s’han dirigit diversos mòduls d’aterratge i, sobretot,

vehicles

mòbils

per

estudiar la superfície del planeta, coneguts com “rovers”. Alguns dels més coneguts són el ​Sojourner (1996), ​Spirit (2003), ​Opportunity (2003) i ​Curiosity​ (2011).

Les disciplines per a les quals són imprescindibles els viatges espacials a l’actualitat són: científica, comunicativa i militar.

16

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Pel que fa a la científica, es tracta d’aquelles naus que s’envien a l’espai per aportar nous coneixements, gràcies a la investigació que ofereixen. D’aquesta manera, l’objectiu és entendre quin és l’origen del Sistema Solar i dels planetes que l’integren, ja sigui mitjançant l’exploració des de l’òrbita o des de la superfície dels astres. Normalment s’investiguen les característiques d’aquests cossos per poder comprendre la seva formació i, així, el seu passat. Un segon objectiu d’aquesta investigació és, si fos possible, dur a terme la colonització d’altres planetes. La informació d’aquests que s’obté gràcies a diferents missions espacials també serveix per intentar adaptar l’espècie humana a ells, però de totes maneres es tracta d’un objectiu molt més llunyà. ​També, gràcies als satèl·lits científics es poden estudiar els fenòmens meteorològics o altres que desenvolupin desperfectes, catàstrofes o situacions irregulars a la superfície terrestre i que poden afectar als individus, com volcans, tsunamis, l’escalfor de l’atmosfera, etc.

Pel que fa a la disciplina comunicativa, és gràcies als satèl·lits que orbiten la Terra que existeixen xarxes de comunicació a partir de senyals de ràdio i de televisió. Així doncs, permeten formar xarxes de comunicació al voltant de la Terra, transmetre imatges per televisió a través de satèl·lit, fer possible el funcionament del GPS i donar lloc a Internet, entre altres.

I pel que fa a la disciplina militar, les naus robòtiques són capaces de realitzar funcions d’espia i controlar diversos territoris des de l’òrbita mitjançant l’observació terrestre.

Aquests últims, quan no estan destinats a finalitats militars, també serveixen per a la meteorologia abans esmentada i, a més, per a la cartografia.

1.1. Tipus de viatges espacials: Un cop a l’espai exterior, els viatges es classifiquen segons el destí de l’artefacte: Un vol que des del llançament fins a l’aterratge ha superat els 100 km d’alçada (es considera haver sortit a l’espai exterior) i no arriba a circumval·lar la Terra totalment durant el viatge, és un ​vol o viatge suborbital.

Si, en canvi, la trajectòria a l’espai permet, com a mínim, realitzar una revolució completa al voltant de la Terra sense que la nau s’impulsi mentre se situa a més de 100 km d’alçada durant el vol, serà un ​viatge orbital.

17

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Aquest últim és el més comú, i sol ser la fase inicial de qualsevol missió (més endavant s’especificarà aquesta fase), encara que el destí sigui diferent a l’òrbita. De fet, a partir d’aquí es poden derivar dos tipus més de viatges espacials: En primer lloc, i molt més propers a la tecnologia actual i a les limitacions humanes, es troben els ​viatges interplanetaris​. Són aquells viatges considerats de suficient llargada per abandonar l’òrbita terrestre i viatjar cap a altres planetes i/o satèl·lits, però sempre dins del Sistema Solar.

I en segon lloc, es troben aquells viatges propis de la ciència ficció, però difícils de posar en pràctica degut, principalment, a les llargues distàncies implicades (de l’ordre dels anys llum, i es donen fora del Sistema Solar) difícils d’abastar amb la tecnologia actual segons les limitacions humanes. Són els ​viatges interestel·lars (entre estrelles, Sistema Solar Alfa Centauri​, per exemple) i, molt menys factibles degut a les distàncies, els ​viatges intergalàctics ​(entre galàxies, ​Via Làctia​ - Galàxia d’​Andròmeda​, per exemple).

Per acabar, cal dir que els viatges no només es classifiquen segons el seu destí, sinó que també es classifiquen segons si són ​viatges tripulats (amb éssers vius) o ​viatges no tripulats​ (sense éssers vius).

Com l’espai és un ambient molt extrem, en el cas dels viatges tripulats s’han de seguir moltes mesures de seguretat i encara es troba en investigació el fet de realitzar viatges amb éssers humans a altres planetes i que siguin viables per a la salut humana. Per aquest motiu, els viatges tripulats que han arribat més lluny fins a l’actualitat van ser les missions ​Apollo​ a la Lluna.

En canvi, com els viatges no tripulats no transporten éssers vius, no requereixen cap infraestructura necessària per assegurar la vida de cap individu. Aleshores, aquests van ser els primers a sortir a l’espai exterior i són aquells que estan ajudant a la recerca científica, a més d’haver sobrevolat (com a mínim) tots els planetes del Sistema Solar. De fet, també hi ha algunes sondes que es consideren interestel·lars, com les ​Voyager o la New Horizons,​ ja que han obtingut la velocitat necessària per abandonar la influència gravitatòria del Sol i, així, endinsar-se a l’espai interestel·lar.

18

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

1.2. Astronàutica: Igual que el vol d’un avió ha d’estar planificat i estudiat, els vols espacials també ho han d’estar. En aquest cas, la ciència que els estudia s’anomena ​astronàutica (teoria i pràctica de la navegació fora de l’atmosfera terrestre).

Aquesta ciència i/o enginyeria es recolza en una gran quantitat de disciplines (física, astronomia, matemàtiques, química, biologia, etc.) necessàries per estudiar les trajectòries del viatge espacial, la ​navegació de l’artefacte, ​exploració i, en el cas de viatges tripulats, la ​supervivència de l'home​ a l’espai.

A més, aquesta branca engloba grans camps de treball on cooperen les disciplines esmentades anteriorment: -

Disseny dels enginys espacials (des de l’​orbitador fins al ​coet que el posarà en òrbita o l’enviarà a altres cossos).

-

Investigació en els sistemes de propulsió i aplicació de propulsants (pel llançament i navegació de l’artefacte per l’espai).

-

Càlcul de velocitats i trajectòries d’enlairament, navegació, acoblament entre naus i reingrés atmosfèric (sigui a la Terra o a qualsevol altre cos celeste).

-

Supervivència d’éssers humans​ (dins i fora de les naus).

-

Tècniques de comunicació​ (amb la Terra o entre naus).

-

Tècniques d’exploració i colonització de l’espai​.

L’astronàutica, per tant, és una branca complexa degut a les condicions que estableix l’espai exterior, on s’han d’aplicar aquestes tècniques que es treballen.

1.3. Definicions bàsiques: Durant tot el marc teòric es fa referència a diversos conceptes dels quals s’ha d’entendre el significat bàsic per comprendre les situacions que es plantegen. Més endavant es precisaran les definicions, però en aquest apartat s’ofereixen unes definicions breus i clares d’aquests termes: - Òrbita: trajectòria que realitza un cos al voltant d’un altre gràcies a la influència d’una força central (que sorgeix d’un centre), com pot ser la força de la gravetat.

- Apoastre:​ es tracta del punt de l’òrbita més allunyat del cos que s’orbita.

19

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

- Periastre:​ es tracta del punt de l’òrbita més proper del cos que s’orbita.

- Cremada: cadascun dels instants als quals la nau s’impulsa gràcies al consum del seu combustible.

- Tovera: es tracta de la part exterior d’un motor coet, normalment amb forma de campana oberta, on s’acceleren els gasos produïts per la combustió dels combustibles perquè surtin a grans velocitats i puguin impulsar el coet.

- Focus: punt matemàtic d’una corba geomètrica que no pertany a aquesta, però des del qual es mantenen constants certes distàncies amb els punts de la corba, segons el tipus d’aquesta (circumferència, el·lipse, paràbola i hipèrbola).

-

Anomalies:

són

mesures

de

distàncies

angulars, és a dir, d’angles (mesurats en graus o radians), per definir la posició d’una nau a l’òrbita respecte el temps. Hi ha tres tipus que es relacionen entre elles: Anomalia veritable ( ν ): angle que forma el periastre amb la posició del cos orbital, mesurat des del focus de l’òrbita i en sentit antihorari (generalment, el de totes les òrbites).

Anomalia excèntrica (E): angle que forma la projecció del cos orbital sobre una circumferència imaginària (de diàmetre igual a l’eix major de l’òrbita) amb el periastre de l’òrbita, mesurat des del centre de l’el·lipse de l’òrbita (que coincideix amb el de la circumferència imaginària) i, també, en sentit antihorari.

Anomalia mitjana (M): angle que forma un planeta fictici a la circumferència imaginària anterior amb el periastre de l’òrbita. També mesurat des del centre de la circumferència i en sentit antihorari. El planeta fictici és l’equivalent al real, però a l’òrbita circular imaginària. (​Veure fig. 28 de l’annex, pàgina 107)​ .

20

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

2. La nau espacial: Una missió espacial la realitza un artefacte que navega més enllà de l’atmosfera terrestre. Aquest artefacte és la nau espacial, i ha de complir amb una sèrie de característiques i sistemes adequats que el faran resistir el medi espacial, a més de poder moure’s per aquest i estar en contacte, sempre que sigui possible, amb la Terra.

A l’inici de qualsevol missió, la nau està formada pel propi ​vehicle orbitador i, a més, per la ​llançadora​ o ​coet​, responsable d’enviar-lo a l’òrbita o a altres astres.

2.1. Classificació de les naus espacials: Tenint en compte les diferents utilitats que pot tenir una nau espacial, aquestes poden anomenar-se de manera diferent: -

Satèl·lits artificials​: són naus robòtiques (no tripulades) destinades a ​orbitar la Terra o qualsevol altre tipus de cos celeste, ja sigui un planeta, satèl·lit natural o asteroide. Tenen diferents finalitats: satèl·lits de comunicació, meteorològics, de navegació (​GPS)​ , d’observació astronòmica (telescopi ​Hubble​), etc.

-

Sondes espacials: són naus, també robòtiques, la finalitat de les quals és la investigació científica cap a l’espai profund, és a dir, cap a altres cossos celestes del Sistema Solar. La diferència fonamental amb els satèl·lits artificials és que les sondes espacials no estan destinades a orbitar cap astre, sinó que s’envien directament a aquell planeta per investigar-lo, o bé rebre una trajectòria que el porti cap a l’exterior del Sistema Solar.

-

Astronaus: són aquelles que, a diferència de les anteriors, estan dirigides pel mínim d’una persona. A més, el vehicle conté combustible que permet ser manipulat pel tripulant per maniobrar a la seva trajectòria. Uns exemples molt clars serien el Transbordador Espacial i els mòduls de comandament ​Apollo.​

-

Estacions Espacials: són habitacles orbitals que permeten donar cabuda a un nombre elevat de tripulants que el que podria donar una simple astronau. També tenen medis de supervivència que afavoreixen la llarga estància d’astronautes.

21

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Actualment, un cas molt conegut i molt productiu és l’​Estació Espacial Internacional​ (o ​ISS,​ de l’anglès I​ nternational Space Station​).

2.2. El disseny: Cada nau espacial ha de tenir un disseny fidel al ​medi pel qual viatjarà, a la ​utilitat d’aquesta, al ​sistema de propulsió emprat i el tipus de combustible utilitzat i a la ​força pes​ (gravetat) que ha de vèncer la nau, ja sigui respecte la Terra o un altre astre.

Com ja s’ha esmentat, una nau espacial també està formada, durant els instants inicials, pel ​coet​. Aquest té una gran importància, ja que és el responsable de vèncer la ​força pes de la nau sencera (amb el coet inclòs) per tal d’elevar la càrrega útil a l’espai. Però per fer aquest procés necessita un bon ​sistema de propulsió​, que significa que el coet ha de portar al seu interior el combustible que aquest consumirà.

Per tant, el coet ha de tenir un disseny que el permeti suportar el combustible que ha d’emmagatzemar, la nau que ha de transportar i, a més, ha d’elevar-se tot sencer fins a l’espai, a més d’entrar en òrbita.

Per si tot això no fos suficient, s’ha de tenir en compte que la nau que ha de ser transportada a l’espai pot tenir una forma molt diferent a qualsevol altra, de manera que si

22

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

això provoca un ​augment de la massa​, es necessitarà un ​sistema de propulsió més potent​, provocant un ​augment de la massa del coet i, per consegüent, la necessitat d’aquest de ​consumir més combustible per tal de vèncer la força pes total. Aleshores, d’aquesta manera el coet ha d’emmagatzemar molt més combustible, provocant, de nou, un augment de la massa total de la llançadora espacial. I en el cas d’una astronau, com els astronautes han de tornar a la Terra necessiten més combustible que un satèl·lit o sonda, ja que aquests últims poden quedar-se orbitant, escapant el Sistema Solar​, o bé, estavellant-se contra un planeta o satèl·lit natural i, per tant, no necessiten combustible per establir una trajectòria de retorn a la Terra. A més, com les naus robòtiques no transporten tripulants, els viatges poden ser més duradors, de manera que poden guanyar velocitat amb influències gravitatòries d’altres planetes i no haver de consumir combustible.

Per acabar, a l’hora de dissenyar la nau també s’ha de tenir en compte l’atmosfera (el medi​), ja que les velocitats de vol són molt elevades i, per tal d’obtenir-les, el coet s’haurà de moure molt ràpid per l’aire. Això farà que l’impacte de les partícules de l’aire amb la nau es resisteixi al moviment, de manera que frenarà la nau i, a més, podria causar-li danys. Això és el fregament amb l’aire.

2.2.1. Coet multietapa: Degut als desavantatges que genera l’augment de massa en un coet (necessitat de més potència i, per tant, més combustible), durant gairebé tota l’exploració de l’espai s’han dissenyat els coets fent servir la ​multietapa​. Aquest tipus de disseny organitza el combustible del coet en diferents seccions (conegudes com ​etapes​), de manera que cadascuna té el seu propi sistema de propulsió i combustible.

A mesura que el combustible es va esgotant, part dels tancs de combustible del cos del coet van quedant buits i sense utilitat. Per tant, l’únic que fan és afegir massa a la nau sencera i dificulten l’acceleració. La solució a aquest problema és la multietapa. Quan la primera etapa (la inicial) enlaira el coet, aquest es troba sota la massa màxima. Un cop s’ha esgotat el propel·lent d’aquesta secció, se separa de la resta del coet, deixant al descobert els motors de la segona etapa al mateix instant que fa disminuir la massa total del coet, ja que tots els tancs de combustible buits de la primera secció ja no formen part de la llançadora sencera.

23

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

D’aquesta manera, aquesta segona etapa ja començarà a funcionar a una certa altura i velocitat, i amb menys massa que la inicial.

El resultat, doncs, és una optimització del vol mitjançant l’eliminació de massa sense utilitat que va apareixent durant la missió (normalment l’enlairament), per tal d’anar guanyant acceleració de forma eficaç.

Per optimitzar el vol encara més, a les

etapes

superiors

se solen

instal·lar sistemes de propulsió més eficients

quan

treballen

sense

pressió atmosfèrica, ja que quan aquests comencin a funcionar, és probable que ja es trobin a l’espai exterior i només hagin de col·locar la càrrega en òrbita. Això és gràcies a les etapes anteriors, que a

mesura

que

s’han

anat

desprenent del coet, l’han anat col·locant a major alçada i a major velocitat. A més, com les últimes etapes han de fer menys esforç degut perquè es troben al buit (no es presenta fregament) i no han de fer accelerar tanta massa, requereixen menys combustible.

Això es pot reconèixer en el perfil d’un coet, ja que a mesura que ascendeixen les etapes, es van aprimant, provocant una disminució de la massa total considerable.

2.2.2. SSTO: SSTO (de l’anglès ​single-stage-to-orbit,​ que vol dir ​única etapa a l’òrbita​) és un altre tipus de coet dissenyat per arribar a l’òrbita sense fer servir etapes que es desprenen del coet. El mateix cos que s’enlaira, arriba a l’òrbita de l’astre del qual s’ha enlairat, utilitzant el seu propi combustible i sistema de propulsió.

24

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Degut als desavantatges que el ​coet multietapa ​soluciona mitjançant l’eliminació de massa un cop queda sense utilitat, els pocs dissenys de naus SSTO mai han arribat a assolir l’òrbita terrestre.

Normalment, aquest terme es refereix a naus que poden ser reutilitzades, però els mòduls lunars ​de les missions ​Apollo (que es reconeixen com SSTO) no poden ser reutilitzats a causa d’utilitzar-se exclusivament a la Lluna.

El mòdul lunar va ser l’únic SSTO a acomplir l’objectiu d’entrar en òrbita sense l’ús d’etapes, però va ser així perquè el llançament es produïa a la superfície de la Lluna, i gràcies a la seva baixa gravetat (1,62 m/s​2​, en comparació als 9,8 m/s​2 de la Terra) i a l’absència d’atmosfera, va ser més senzill arribar a l’òrbita lunar.

2.3. El sistema de propulsió: Actualment, la propulsió d’un coet per enlairar-se, arribar a l’òrbita i propulsar-se per l’espai cap a altres cossos funciona a partir de combustible químic, és a dir, la combinació d’un ​comburent (aquella substància que afavoreix la combustió d’altres substàncies) amb un ​combustible (substància que reacciona desprenent energia gràcies a la seva combinació amb oxigen). El comburent sol ser ​oxigen líquid​, mentre que de combustible hi ha molts tipus, encara que se sol fer servir l’​hidrogen líquid​. Cada substància s’emmagatzema a diferents tancs dins del cos (o etapa) del coet espacial i, mitjançant uns conductes, els fluids arribaran a posar-se en contacte a una cambra d’ignició a la part inferior del coet. Un cop hagin reaccionat en aquesta cambra, els gasos provocats sortiran per una tovera en sentit contrari a l’orientació vertical del coet. Aleshores, aquí és quan entra en joc la ​tercera llei de Newton​, que afirma: ​“Sempre que un cos exerceix una força sobre un altre, aquest segon cos exerceix una força igual i de sentit contrari sobre el primer”​. Les dues forces resultants, per tant, seran de mòdul i direcció iguals, però de sentit contrari. Es pot expressar matemàticament com:

També es coneix com el ​principi d’acció - reacció, on la força dels gasos que són expulsats per la tovera del coet seria la força acció i, tal com diu la llei, la força de reacció 25

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

ha de tenir el mateix valor (mòdul), trobar-se en la mateixa direcció i en sentit contrari, i dóna com a resultat l’elevació del coet.

La velocitat de la nau, per tant, dependrà de la velocitat d’ejecció dels gasos expulsats.

Aquesta anirà creixent a mesura que la temperatura dels gasos expulsats sigui major (augmentarà la seva energia cinètica) i/o la seva densitat sigui menor.

Per últim, un cop en òrbita (el sistema de propulsió continua funcionant segons la tercera llei de Newton), per viatjar cap a altres astres es ​conserva la ​quantitat de moviment entre la nau i els gasos expulsats per la tovera del motor. ​La ​variació de quantitat de moviment ( ΔP ) és una magnitud que relaciona la ​massa del cos (m) per la seva velocitat (v)​, i aquesta variació en el sistema format per la nau i els gasos expulsats entre dos instants diferents serà 0, és a dir, es conservarà la quantitat de moviment: ΔP = m · Δv

D’aquesta manera s’arriba a la conclusió que a mesura que la nau vagi augmentant la seva velocitat, per tal de mantenir la quantitat de moviment els gasos s’hauran d’expulsar en sentit contrari (si la nau té el sentit positiu, els gasos tindran, doncs, el negatiu). Com la velocitat també depèn de la massa, i aquesta és inferior si és la dels gasos i superior si és la de la nau, també es pot deduir que la velocitat d’expulsió dels gasos serà molt més alta que la velocitat que obtindrà la nau.

2.3.1. Altres sistemes de propulsió: Ja que els sistemes de propulsió actuals constituïts pels combustibles químics permeten curts períodes d’acceleració degut al ràpid esgotament del propel·lent, s’estan plantejant nous sistemes més eficients i d’altres més avançats per obtenir velocitats necessàries per poder realitzar viatges interestel·lars en un futur.

Sistemes en ús: -

Propulsió iònica: Utilitza ​ions (àtoms o molècules amb càrrega elèctrica) per propulsar la nau. El mètode per accelerar-los sol utilitzar un ​camp elèctric que aprofita la ​relació càrrega - massa dels ions. D’aquesta manera, s’obté un elevat ​impuls específic 26

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

(període de temps pel qual l’empeny produït equival a la massa de combustible consumida). A més, la massa de combustible és més petita que la dels combustibles químics, però com a desavantatge, s’ha d’incrementar la potència elèctrica per generar el camp elèctric que requereixen els ions per ser accelerats.

Encara i així, l’impuls específic i el fet de tenir una nau menys pesada fan que el propulsor iònic sigui molt més eficient que qualsevol motor de combustible líquid, encara que l’empeny generat sigui molt baix i, per tant, l’acceleració provocada tindrà un valor molt petit. De fet, una acceleració petita amb un elevat impuls específic farà que aquesta es converteixi en acceleració ​progressiva​, de manera que a la llarga es podran obtenir velocitats elevades amb un ús eficient de combustible, comparat amb el propel·lent químic.

El funcionament general consisteix a ionitzar els àtoms (normalment d’​argó, mercuri o xenó​) amb electrons que provenen d’un ​càtode​. Un cop ionitzats, els electrons descarregats són recollits per l’​ànode​. Els ions s’acceleren mitjançant unes reixes carregades elèctricament, de manera que acaben sortint a l’exterior de la nau.

Per últim, cal mantenir elèctricament neutres els ions que surten de la nau amb la nau en sí. Per fer-ho, s’injecten electrons als ions que ja es troben fora de la nau.

-

Vela solar: És un mètode de propulsió que substitueix els motors, ja que la nau espacial s’alimenta i es propulsa gràcies a una font externa a ella. D’aquesta manera estalvia massa, ja que no cal ni combustible ni motor. El funcionament és similar a un vaixell de vela, on el vent és la font externa que el propulsa.

Si a les veles solars es forma un camp elèctric o magnètic, és capaç d’interceptar el ​plasma (estat de la matèria, similar al gasós, on hi ha partícules carregades elèctricament -ions- sense equilibri electromagnètic) del vent solar, de manera que s’obté impuls. Aquestes veles són les ​de plasma​.

Però si les veles són reflectants i aprofiten la ​pressió lumínica de la radiació solar (pressió que exerceix la radiació sobre qualsevol cos exposat a aquesta), 27

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

aquesta serveix com a impuls. A més, també poden ser impulsades per qualsevol tipus d’ona electromagnètica generada per l’ésser humà, si estan ben dissenyades per a aquesta finalitat. Aquestes veles s’anomenen ​de fotons.

El principal desavantatge de les veles solars és l’escassa potència generada, de manera que l’acceleració té un valor exageradament petit. Encara i així, i a diferència dels sistemes de propulsió convencionals, l’empeny és continu i ininterromput, de manera que a la llarga es poden obtenir grans velocitats.

Cal destacar la sonda ​IKAROS, enlairada el maig de 2010 i que va passar a 80.000 km de Venus el desembre del mateix any. Va ser impulsada parcialment per una vela solar quadrada de 20 metres de costat, i va demostrar la possibilitat d’un ús híbrid de propulsió mitjançant la ​vela solar​ i el ​motor iònic​.

Sistemes en desenvolupament o en fase d’investigació: -

VASIMR:​ El ​motor de magnetoplasma d’impuls específic variable (de l’anglès ​Variable Specific Impulse Magnetoplasma Rocket)​ funciona, com diu el seu nom, a base de plasma. El projecte és la construcció d’un motor d’​ions de plasma​, de manera que serà molt més econòmic i eficient que qualsevol altre motor de combustible químic, similar a la propulsió iònica. S’obtindria un ​impuls específic molt elevat (entre 3000 i 12000 segons) i una velocitat d’escapament dels ions de plasma d’entre 30.000 i 120.000 m/s. Això fa que el ​VASIMR​ sigui molt eficient.

El funcionament consisteix a ionitzar un gas, normalment ​hidrogen​, escalfant-lo utilitzant ones de ràdio. D’aquesta manera, es bombardegen electrons al gas i els seus àtoms s’ionitzen. Així s’obté un plasma “fred”. Variant la quantitat d’energia que es fa servir per ionitzar i la quantitat de gas que s’ionitza, es fa variar tant la velocitat d’escapament del gas com l’impuls específic, de manera que es pot obtenir un comportament de ​baix impuls específic i ​gran acceleració o ​gran impuls específic i ​poca acceleració​. Finalment, el plasma resultant s’escalfa mitjançant ones electromagnètiques a 1.000.000 Kelvin, de manera que després pot ser controlat i accelerat per un camp magnètic per expulsar-lo del motor en sentit contrari al moviment de la nau, útil per accelerar-la.

28

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

-

Bussard ramjet​: Es tracta d’un sistema de propulsió a reacció on la nau recol·lecta l’​hidrogen present a l’espai interestel·lar i, després, obté acceleració gràcies a l’energia alliberada en un procés de ​fusió nuclear de l’hidrogen. Però com a l’espai hi ha molt pocs àtoms d’hidrogen per metre cúbic, caldria un recol·lector excessivament gran, de manera que la ​ionització de l’hidrogen i la seva atracció cap a una reixa làser és la solució al recol·lector i a la fricció que aquest provocaria degut a les seves dimensions.

Amb aquest sistema, la nau podria viatjar a ​velocitats relativistes (10% - 20% la velocitat de la llum), on el combustible seria l’hidrogen i, el residu, l’heli, de manera que no seria perillós pels tripulants.

2.4. Orientació de la nau: Un cop la nau es troba a l’espai, al buit, aquesta no té cap superfície a la qual subjectar-se per mobilitzar-se i orientar-se cap a on vulgui. Aleshores, la solució a aquest problema és un motor que, mitjançant l’​efecte giroscòpic​, mou la nau sencera i l’orienta cap al sentit desitjat. No expel·leix massa i només utilitza, com a energia per generar els impulsos, l’electricitat, l’única font d’energia existent a l’espai exterior.

L’​efecte giroscòpic es dóna a cossos amb simetria de rotació, o sigui que roten simètricament a un eix. Es pot observar a casos tan senzills com quan s’intenta bolcar una baldufa que es troba rotant, de manera que aquesta, per molt que s’inclini, no caurà i continuarà rotant. En primer lloc, això es deu a la ​inèrcia giroscòpica​, que com expressa la primera llei de ​Newton, un cos només canviarà el seu estat inicial de repòs si s’hi apliquen una o més forces, les quals la resultant no sigui nul·la. D’aquesta manera, el giroscopi mantindrà el seu estat inicial de rotació fins que no s’hi apliqui cap força que intenti modificar el pla de rotació inicial del cos. Però, un cop aplicada la força, aquest es desequilibrarà en un instant inicial (quan la baldufa comença a inclinar-se degut a l’intent de bolcar-la), és a dir, canviarà el pla de rotació i, tot seguit, adoptarà un nou estat de gir.

Això es deu a la ​precessió​, una característica dels giroscopis que fa que, un cop aplicada una força per desequilibrar l’objecte del seu pla de rotació inicial, l’eix de rotació d’aquest anirà inclinant-se 90º respecte la posició inicial. Finalment, un cop inclinat 90º, el giroscopi continuarà rotant sobre el seu eix ara inclinat, però també mantindrà un 29

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

moviment circular respecte un eix nou, perpendicular al de rotació del cos (el que s’ha inclinat) i a la direcció de la força aplicada anteriorment. Aquest eix del moviment circular pot coincidir amb l’eix de rotació del cos abans d’haver aplicat la força.

Aleshores, si s’aplica aquest efecte i altres mecanismes per subjectar els eixos i cossos a l’interior del satèl·lit o sonda espacial, es pot transmetre la inèrcia del ​giroscopi a la nau sencera, de manera que s’orientarà perquè arribi el millor possible la senyal del satèl·lit a la Terra o per propulsar-lo cap a la direcció desitjada.

En el cas de les astronaus, com normalment són naus espacials més grans que les robòtiques, l’efecte giroscòpic no és suficient. Aleshores, cal instal·lar el ​Sistema de control de reacció (​RCS,​ de l’anglès ​Reaction Control System)​ . Es tracta d’uns petits propulsors amb tovera distribuïts per tota l’astronau per controlar l’actitud (orientació) d’aquesta respecte altres cossos, ja siguin astres o altres satèl·lits i estacions espacials que es trobin al seu voltant. Cada sistema de propulsors està format pels necessaris per tal de controlar la nau en totes les direccions petits

possibles,

impulsos

que

mitjançant ofereixen.

També és capaç de controlar els tres eixos de rotació: ​capcineig (moviment de rotació respecte l’eix transversal),

​balanceig

respecte

l’eix

guinyada

​(rotació

(rotació

longitudinal)

i

respecte l’eix

vertical, eix perpendicular als dos anteriors). Els tres eixos passen pel centre de masses de la nau.

Normalment, el sistema ​RCS se sol utilitzar per ​controlar l’actitud de la nau durant el reingrés atmosfèric​, per ​maniobrar la nau amb precisió durant acoblaments​, per donar un mínim d’impuls inicial a la nau i poder encendre el motor principal (es provoca que a un ambient d’ingravidesa el combustible s’ajunti a la part inferior del tanc per arribar a la cambra d’ignició) i, en cas d’emergència o esgotament del combustible principal, per ​abandonar l’òrbita i retornar a la Terra​.

30

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

3. Fases d’un viatge espacial: En aquest apartat s’han investigat les parts de qualsevol missió espacial amb la tecnologia actual, des de l’inici fins al final, de manera que no només s’ha fet referència a la seva descripció, sinó que també s’ha tractat l’àmbit matemàtic i físic.

3.1. El llançament espacial: Es coneix com llançament el fet de maniobrar la nau espacial des de l’inici de la seva elevació fins atorgar-li la ​velocitat necessària cap a la ​direcció desitjada​. Normalment, l’objectiu que ha d’aconseguir el llançament és arribar a l’​òrbita estable terrestre​.

Abans de produir-se el llançament, els equips electrònics que porta incorporats el coet han d’estar programats amb les trajectòries de la missió prèviament calculades.

D’aquesta manera, durant el llançament els ordinadors del coet l’aniran controlant de manera automàtica, regulant el ​funcionament dels motors​, provocant la ​separació d’etapes del coet i, molt important, ​desviant els raigs dels gasos que surten de la tovera del motor​, per tal de poder modificar la direcció del moviment del coet i, així, dirigir-lo cap a on es desitgi, seguint la trajectòria establerta.

Aquest últim paràmetre se sol combinar amb el ​gir de gravetat (​gravity turn,​ en anglès), que consisteix en una optimització de la trajectòria que es requereix per dirigir-se a l’òrbita (l’optimització afecta en estalvi de combustible). El gir de gravetat fa servir, com el seu nom indica, la ​gravetat del planeta al qual es troba per anar adquirint la direcció de la trajectòria desitjada. D’aquesta manera, els canvis de trajectòria no es realitzen únicament gràcies a l’acceleració del motor, sinó que aquest es dedica plenament a anar guanyant velocitat orbital mentre que la gravetat va modificant la direcció de la trajectòria.

Així s’aconsegueix que l’acceleració del motor no tingui dues funcions, sinó només una, de manera que s’estalvia combustible. Un altre avantatge és que, durant l’ascens, el coet pot mantenir un ​angle d’atac (angle entre ​l’eix longitudinal del coet i la ​direcció de l’aire que aquest travessa) baix o proper a 0º, de manera que es redueix l’estrès aerodinàmic transversal del material de la nau per fregament amb l’aire.

Però, tornant a la trajectòria, s’ha de tenir clar que per tal d’entrar en òrbita es necessita velocitat ​horitzontal al voltant de la Terra, però durant el llançament el coet va guanyant 31

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

velocitat ​vertical ​i ​alçada​. Durant aquests instants, la gravetat afecta directament en contra de l’acceleració del coet, que a la llarga podria significar la pèrdua d’acceleració vertical. Aleshores, per evitar-ho cal realitzar la ​maniobra d’inclinació (​pitch over maneuver)​ , on gràcies a la desviació dels raigs dels gasos expulsats per la tovera, es provoca que la seva força de reacció sigui dirigida cap a un costat del ​centre de massa del coet (el costat contrari al de la direcció que es vol obtenir). Això, per tant, provoca un moviment de torsió​ al coet, de manera que ja no apunta verticalment.

Aquesta maniobra s’ha de realitzar poc després de l’enlairament, ja que la velocitat vertical serà petita i, per tant, el coet no es veurà carregat per forces aerodinàmiques.

Un cop la maniobra d’inclinació s’ha acabat (s’ha adquirit l’angle d’inclinació desitjat), la tovera del motor torna a la seva posició inicial (sentit contrari al moviment del coet i al seu centre de massa).

Tot seguit, la trajectòria de vol ja ​no és completament vertical, de manera que la gravetat comença a inclinar-la de nou cap al sòl, com si d’una pilota llançada que puja i torna a caure es tractés. La diferència amb el coet és que la pilota, un cop llançada, ​no rep més impuls i, per tant, la seva trajectòria només és modificada per la gravetat (sense adquirir ni més velocitat ni alçada gràcies a un sistema de propulsió). Però en canvi, el coet, a mesura que va seguint la seva trajectòria de vol i va apropant-se al punt més alt, ​sí va guanyant velocitat i alçada​.

Com a resultat, doncs, pel moment en què el coet es troba

gairebé

(punt

més

trajectòria),

horitzontal alt

de

gràcies

la al

sistema de propulsió ja es troba a suficient alçada i amb suficient velocitat per entrar en òrbita. És important destacar aquesta maniobra d’inclinació del coet, ja que la idea més popular i general del llançament per arribar a l’espai és la d’ascendir verticalment fins abandonar 32

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

l’atmosfera. En canvi, com s’ha vist en aquest apartat, a mesura que el coet va ascendint tendeix a col·locar-se el més horitzontal possible per obtenir la velocitat ​necessària per mantenir-se en òrbita.

El gir de gravetat es pot realitzar a qualsevol planeta o satèl·lit, però a aquells on hi ha la presència d’una atmosfera espessa (com a la Terra), l’angle que es vol obtenir a la maniobra d’inclinació és relativament petit. El motiu és per obtenir inicialment més velocitat ​vertical que ​horitzontal​, de manera que durant el llançament arribarà abans a les capes altes de l’atmosfera que a viatjar en una trajectòria horitzontal. Així s’assegura que el coet no haurà d’enfrontar-se a grans pressions aerodinàmiques provocades pel fregament amb l’aire mentre va adquirint velocitat horitzontal per arribar a l’òrbita, ja que a les capes altes de l’atmosfera hi ha moltes menys partícules que a les baixes.

Per últim, el ​gravity turn també és molt útil pels ​coets multietapa (els més habituals), ja que des de la separació d’una etapa fins a la ignició dels motors de la següent secció, el coet es troba uns segons volant lliurement per la seva trajectòria (com una pilota llançada). Durant aquests segons, per tant, el coet no pot controlar la seva direcció, i és gràcies a la gravetat que durant aquest petit vol lliure, el coet continua col·locant-se en una trajectòria horitzontal.

Durant un llançament no només s’aprofita el ​gir de gravetat​, sinó que si les característiques de l’òrbita que es vol obtenir ho permeten, també s’aprofita la ​velocitat de rotació de la Terra​. El planeta rota cap a l’est, i a una velocitat a l’equador de ​463,31 m/s (o ​1667,92 km/h​). D’aquesta manera, un cop s’ha produït el llançament, es realitza el gir de gravetat cap a l’est i s’aprofita la velocitat inercial gràcies a la rotació terrestre, a la qual s’hi afegeix l’impuls de la nau. Aquesta és una bona manera, a més, per fer un llançament més eficient (pel que fa al combustible).

A l’instant inicial del llançament, com el coet encara no ha consumit combustible, es troba sota la seva massa màxima. Aleshores, per poder enlairar-se, cal que els seus motors produeixin una acceleració lleugerament superior a la de la gravetat, de tal manera que en aquell precís instant el coet pugui començar a elevar-se.

33

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Es pot fer servir la ​fòrmula bàsica de la força: F =m·a * F: Força (Newtons) * m: Massa (kg) * a: Acceleració (m/s​2​) Aleshores, coneixent la ​massa inicial del coet i la ​força que proporcionen els motors, es pot determinar l’acceleració que subministra. La diferència entre aquesta i els ​9,8 m/s​2 de la gravetat terrestre ha de ser un valor positiu, facilitant l’ascens en el moment d’enlairament.

Exemple 1: Es vol calcular si els motors del coet ​Saturn V de les missions Apollo generen una acceleració positiva respecte la gravetat terrestre per tal d’aixecar el coet sencer a l’instant de l’enlairament.

Se sap que la ​massa del coet sencer ple de combustible és de 2, 9 × 10 6 kg, i que la ​força​ que generen els cinc motors és de 33,4 MN (o 33, 4 × 10 6 N).

Se substitueixen les dades a la fòrmula i s’aïlla l’acceleració: F = m · a → 33, 4 × 10 6 = 2, 9 × 10 6 · a

a=

Es

resol

que

F m

→a=

33,4×10 6 2,9×10 6

≃ 11, 52 m/s 2

l’acceleració generada pels motors és d’​11,52 m/s​2

aproximadament, de manera que si se li resten els 9,81 m/s​2 de l’acceleració gravitatòria terrestre, surt un valor positiu d’​1,71 m/s​2​. Per tant, aquest coet podrà elevar-se sense problemes a l’enlairament.

Un dels punts claus que s’han de tenir en compte durant el llançament és el de ​Max Q (de l’anglès ​maximum dynamic pressure)​ , ​Pressió Dinàmica Màxima​, produïda degut al contrast entre la velocitat que va adquirint el vehicle espacial i la densitat de l’atmosfera. Durant l’enlairament, l’augment de la velocitat del coet es dóna de forma més ràpida que la disminució del valor de la densitat atmosfèrica, a mesura que el coet va 34

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

guanyant alçada. Això vol dir que degut a l’increment de velocitat del coet, aquest anirà patint cada vegada més pressió dinàmica, ja que la densitat atmosfèrica encara no serà suficientment baixa com per no fer patir la nau. Aleshores, hi ha un moment durant l’ascens on ​els dos paràmetres s’igualen​, de manera que degut a la disminució de la densitat atmosfèrica, la pressió a la que se sotmet la nau no pot créixer més i, tot seguit, comença a disminuir. Per tant, aquest punt és on la nau experimenta el valor màxim de pressió dinàmica (abreujat a ​Max Q​, ja que ​q és la representació gràfica de la pressió dinàmica).

En molts dels vols espacials, ​Max Q sol donar-se cap a valors d’alçada més grans de 10 km, normalment 11 km pel Transbordador Espacial i 13 o 14 km pel ​Falcon 9 de ​SpaceX i pel ​Saturn V​ de les missions ​Apollo​.

Finalment, depenent de l’objectiu de qualsevol missió espacial, aquesta disposa d’un interval de temps òptim per enlairar-se, pel qual es realitzaran els càlculs de la missió.

Aquests càlculs, a més, no són independents, sinó que s’han de realitzar a partir d’unes variables astronòmiques ​(com el moviment dels cossos que s’han de tractar) juntament amb valors de la nau. Aquest interval de temps és la ​finestra de llançament​, on normalment formen part els càlculs de trajectòria per realitzar el viatge de la forma més eficient possible, pel que fa al combustible, normalment, i per realitzar un viatge en el mínim de temps possible. Si es perd una finestra de llançament es pot esperar a la següent, però depenent de l’astre destí l’espera pot ser d’anys, ja que sol dependre de la posició relativa entre dos astres. Així, en el cas d’un viatge de la Terra a Mart, la Terra 35

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

torna a situar-se a la mateixa posició respecte Mart cada 780 dies (2,14 anys), i seria el temps que s’hauria d’esperar per tornar a trobar una nova finestra de llançament. Si encara i així s’enlaira la nau sense respectar aquest interval de temps, és probable que quan aquesta arribi a l’òrbita de Mart, aquest astre es trobi molt lluny respecte ella, de manera que la sonda hauria de realitzar diverses maniobres per esperar que Mart s’apropi. Això, per tant, significaria més consum de combustible i un allargament considerable de la durada de la missió.

3.2. L’òrbita: L’òrbita és una trajectòria que descriu un cos al voltant d’un altre, gràcies a la influència d’una força central (o centrípeta) i sense l’aplicació de cap altra força. En astronàutica, el cos que orbita és la nau, que descriu una trajectòria al voltant d’un planeta o satèl·lit (inicialment la Terra) i, la força central o centrípeta que produeix aquest moviment, és la força gravitatòria d’aquell astre. L’òrbita, a més, sol ser una trajectòria ​el·líptica​, no circular.

A un sistema entre orbitador i orbitat, doncs, el centre de masses no se situa just al centre del cos orbitat, sinó que es troba en un dels ​focus de les òrbites que formen els dos cossos (anomenat ​baricentre​), ja que degut a la massa del cos orbitador, l’orbitat també orbita l’altre astre respecte el centre de masses. És el cas del sistema Terra Lluna i Sol - Júpiter. En ambdós casos, els astres més pesats són la Terra i el Sol, respectivament. Però respecte ells, la massa de la Lluna (en el primer cas) i la de Júpiter (en el segon), són comparables a la dels astres que orbiten. D’aquesta manera, la Lluna també atrau la Terra, provocant que la Terra també mantingui una òrbita al voltant del centre de masses format pels dos astres. El mateix passa amb el Sol que, concretament, degut a la massa de Júpiter, orbita un baricentre situat a 1,07 radis solars. De totes maneres, si es tracten naus espacials on la seva massa és molt petita en comparació amb els astres, aquest efecte és insignificant.

Es pot explicar l’òrbita com la ​caiguda d’un objecte cap a un cos gràcies a una força que l’atreu (força gravitatòria), però que es mou lateralment al cos tan ràpidament (té molta velocitat tangencial) que l’evita. És a dir, la velocitat tangencial del cos produeix una acceleració centrípeta igual a la del planeta que s’orbita, cosa que permet la trajectòria circular al voltant d’aquest. Es pot entendre més intuïtivament amb el ​canó de Newton​: 36

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Es disposa d’un canó que dispara boles a diferents velocitats des d’una altura que evita l’atmosfera terrestre i els seus efectes de fricció. Si es llança una bola a una velocitat baixa (A), per culpa de la força de la gravetat la seva trajectòria es corba i cau a la superfície. Si es llança a més velocitat (B), arribarà més lluny i, a més, el sòl s’haurà anat corbant cada vegada més. I si es dispara la bola a una velocitat adequada (C), el sòl s’anirà corbant a mesura que la bola va caient, de manera que aquesta mai l’arribarà a tocar. Els casos anteriors (A i B) també són òrbites, ja que són trajectòries el·líptiques al voltant d’un focus, però deixen de ser-ho just quan impacten el terra. En canvi, a C ja s’ha obtingut una òrbita sense interrupció,

una

òrbita

que

circumnavega

completament l’astre. Després, a mesura que es va augmentat la velocitat tangencial (D), s’aniran obtenint òrbites que s’allunyen més del focus, fins que s’arriba a la ​velocitat d’escapament (E), on la velocitat que s’ha adquirit és tan gran que s’adopta una òrbita de trajectòria parabòlica que permet abandonar la influència gravitatòria de l’astre.

L’òrbita terrestre era l’objectiu del llançament i, gràcies al ​canó de Newton,​ s’ha entès que es necessita una velocitat tangencial suficient per caure al voltant de la Terra a mesura que la seva superfície es va corbant. Aquesta velocitat tangencial és la que s’anava obtenint al final del llançament, quan el coet es trobava gairebé horitzontal gràcies al ​gir de gravetat​. Això es pot determinar a partir de les fòrmules del ​MCU (Moviment Circular Uniforme), ja que la ​velocitat tangencial proporcionarà una ​acceleració centrípeta com la gravitatòria per orbitar en una trajectòria circular i no topar amb la superfície del planeta. Però, abans, també s’haurà de calcular l’acceleració gravitatòria a l’alçada a la que es vol establir l’òrbita, ja que encara que s’estigui a prop de la superfície, el seu valor haurà disminuït una mica respecte els 9,8 m/s​2​. Com la gravetat va variant respecte la distància i, per tant, quan més lluny de la superfície terrestre, menor serà el valor de la gravetat, significa que l’acceleració normal per mantenir-se en òrbita a més alçada serà inferior. Aleshores, com la velocitat tangencial és directament proporcional al quadrat a l’acceleració normal, també disminuirà.

37

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Així doncs, quan l’òrbita tingui més alçada respecte el centre de masses, la velocitat orbital serà més petita. Però això no vol dir que arribar a aquella òrbita que requereix una velocitat tangencial més baixa requereixi menys energia, sinó justament al contrari.

Encara que la velocitat orbital sigui inferior que a la d’alçades més properes a la superfície, es necessitarà molta més energia per poder arribar fins a aquella distància.

Per últim, s’explicarà per què es produeix la ​microgravetat, l’efecte de flotar i no notar la influència d’un camp gravitatori. Realment, això succeeix perquè gràcies a l’òrbita, la situació és de ​caiguda al voltant del planeta, amb la mateixa sensació com si es tallés el cable d’un ascensor i comencés a caure. La diferència és que a l’òrbita es cau a mesura que es corba la superfície de la Terra gràcies a la velocitat tangencial de l’orbitador, de manera que la caiguda és, doncs, permanent.

3.2.1. Tipus d’òrbites: Segons la forma: -

Circulars: ​Són difícils d’obtenir, ja que normalment són artificials. Són aquelles on la distància entre l’objecte que es mou i l’estàtic sempre és la mateixa.

-

El·líptiques: Són les òrbites naturals, les dels planetes. La distància entre els dos cossos no és sempre la mateixa i, a més, l’objecte estàtic no es troba al centre, sinó a un altre punt anomenat focus. També són òrbites que permeten allunyar-se o apropar-se al cos que s’orbita.

-

Parabòliques: Similars a les el·líptiques, però s’estenen fins a l’infinit. Serveixen per allunyar-se indefinidament del cos que s’orbita, de manera que s’abandona la influència de la seva força per orbitar, que serà minúscula a molta distància. La velocitat d’allunyament és la més mínima possible, de manera que a l’infinit serà nul·la.

-

Hiperbòliques: Són aquelles on la trajectòria d’un cos que s’allunya s’apropa cada cop més a una recta (asímptota). Aquesta també serveix per abandonar la influència del cos que s’orbitava, però a més velocitat que a la parabòlica, de manera que a l’infinit la velocitat no serà nul·la.

38

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Segons la distància a la Terra i la finalitat: -

LEO (​Low Earth Orbit)​ : Com indica el seu nom en anglès, es tracta d’una òrbita terrestre a baixa alçada. Es considera que comencen quan els efectes de fregament de l’atmosfera comencen a ser nuls, és a dir, aproximadament cap als 160 km d’alçada, i arriben fins als 2.000 km. Tots els vols tripulats (a excepció de les missions ​Apollo)​ i la gran majoria de satèl·lits es troben en aquestes òrbites, de manera que és on hi ha més deixalla espacial. A més, la LEO és el destí inicial de gairebé tots els llançaments.

-

MEO (​Medium Earth Orbit​): Són les òrbites que es troben per sobre de les ​LEO​.

Aquestes s’estenen des dels 2.000 km d’alçada fins als 35.790 km. Són les òrbites clau pels satèl·lits GPS (es troben aproximadament a 20.000 km).

-

Òrbita síncrona: És aquella òrbita la qual el seu període orbital (temps que triga un cos en recórrer l’òrbita un cop) és el mateix que el període de rotació sideral de l’astre que orbita, és a dir, la velocitat angular del satèl·lit a l’òrbita síncrona és la mateixa que la del astre. En el cas de la Terra es pot anomenar ​òrbita geosíncrona (GSO, ​Geosynchronous Orbit​)​, i el període orbital és de 24 hores.

La seva altitud és de 35.790 km.

Si aquesta òrbita, a més, es troba sempre a sobre de l’​equador (es troba en un pla orbital equatorial), l’òrbita s’anomena ​geoestacionària (GEO, ​Geostationary Orbit​)​, de manera que la seva posició relativa respecte la superfície terrestre sempre és la mateixa. Per entendre-ho, si des de la Terra es pogués veure el satèl·lit, sempre es trobaria quiet a la mateixa posició. I si l’òrbita fos geosíncrona, es veuria la posició del satèl·lit variar de nord a sud i viceversa, però mai d’est a oest.

Aquestes

òrbites

són

excel·lents

pels

satèl·lits

de telecomunicacions i

meteorològics, ja que poden dirigir-se a una part de la superfície terrestre de manera permanent.

Per acabar, un cop s’ha produït el llançament espacial i s’ha arribat a l’òrbita terrestre baixa (LEO), per fer arribar el satèl·lit a l’òrbita GEO se li ha de 39

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

proporcionar energia, de manera que un cop realitzat es trobarà a una ​òrbita de transferència geoestacionària (GTO), caracteritzada per tenir el punt inferior a LEO i el superior a GEO. -

HEO (​High Earth Orbit)​ : Són les òrbites que es troben més enllà de l’òrbita geoestacionària, és a dir, a més de 35.790 km. Degut a la seva distància a la Terra, la velocitat orbital és tan baixa que el període orbital és de més de 24 hores, de manera que un satèl·lit a HEO vist des de la Terra semblaria que retrocedís cap a l’oest.

Una varietat de la HEO és la ​High Elliptic Orbit​, que com el seu nom indica són extremadament el·líptiques. Tenen el punt més baix, normalment, a LEO, i el més alt a HEO, de manera que al punt més llunyà tenen una velocitat reduïda i, en canvi, al més proper, una velocitat molt alta. Aquesta òrbita té unes finalitats semblants a les GEO, però es realitzen si no és rentable utilitzar una òrbita GSO o GEO.

-

Òrbita polar: És aquella òrbita que passa per sobre dels pols del planeta. Dit d’una altra manera, la inclinació de l’òrbita respecte l’equador és de 90º aproximadament. D’aquesta manera i gràcies a la rotació terrestre, cada vegada que el satèl·lit creui l’equador, ho farà per una zona diferent a l’anterior. Així, serà molt fàcil captar imatges per generar mapes, obtenir informació meteorològica al voltant del món, etc.

-

Òrbita d’escapament: És l’òrbita que s’obté quan la velocitat de la nau respecte un astre fa que aquesta deixi de formar una òrbita el·líptica al seu voltant, sinó que haurà obtingut una trajectòria parabòlica de manera que no tornarà cap a l’astre del qual ha sortit, ja que haurà abandonat la seva influència gravitatòria. En el cas de la Terra, la velocitat d’escapament per sortir de la seva influència és d’11,2 km/s, i un cop abandonat el planeta, entrarà en ​òrbita heliocèntrica​.

-

Òrbita heliocèntrica: És aquella que es dóna al voltant del Sol. Tots els planetes del Sistema Solar, asteroides, cometes, etc. es troben al voltant del Sol, és a dir, la seva òrbita és heliocèntrica.

40

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Just després d’abandonar la influència d’un planeta per endinsar-se a un viatge interplanetari, s’haurà de viatjar per aquesta òrbita.

-

Òrbita de captura: És l’òrbita inversa a la d’escapament, és a dir, quan una nau que viatja per una trajectòria des de l’exterior de la influència d’aquell planeta fins que arriba a formar una trajectòria parabòlica al voltant d’aquest.

El punt més baix (periastre) pel qual passarà la nau no es col·loca a l’interior de l’astre destí, ja que això provocaria una col·lisió directa, sinó que es col·loca a l’interior de la seva atmosfera, de manera que el fregament que haurà de resistir la nau al volar pel seu interior provocarà una reducció de la velocitat d’aquesta, transformant l’òrbita parabòlica a el·líptica i, doncs, quedar-se en òrbita al voltant d’aquest nou astre, en comptes d’abandonar-lo. D’aquest concepte prové el nom de captura, ja que la nau ha sigut “capturada” pel planeta destí per tal de no sortir de nou cap a l’espai interplanetari.

3.2.2. Elements orbitals: Abans de començar a descriure els elements d’una òrbita, cal saber que el tipus de corba (forma de l’òrbita) establirà la seva excentricitat, el semieix major, etc., alguns dels elements que es veuran a continuació.

Apoastre: És el punt de l’òrbita que es troba més allunyat del seu centre, a més de ser on la velocitat orbital és mínima. Només existeix l’apoastre en òrbites el·líptiques, ja que a la circumferència la distància orbital sempre és la mateixa (per tant, no hi ha un punt més allunyat) i a la paràbola i hipèrbola només hi ha punts més propers, ja que les corbes són obertes i, a mesura que la nau s’allunya del cos que orbita, no torna.

Periastre: És el punt més proper al cos orbitat, on la velocitat és màxima. Aquest punt, a diferència de l’apoastre, es troba a totes les trajectòries orbitals.

Nota: Depenent de l’astre orbitat, l’apoastre i periastre poden adoptar noms diferents. En el cas del Sol s’anomenen ​afeli i ​periheli​, i en el cas de la Terra s’anomenen ​apogeu​ i ​perigeu​.

41

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Semieix major (a): En una el·lipse, la suma de les distàncies de cada focus fins a un punt de la corba sempre és la mateixa, de manera que el seu valor és la distància més llarga que pot haver-hi en una el·lipse, que es correspon amb l’eix més llarg que uneix dos vèrtexs de l’el·lipse. S’anomena eix major. Per tant, la seva meitat és el semieix major. Aquesta distància s’utilitza com la mitjana a la qual es troba un satèl·lit respecte el cos central.

L’eix més petit que es pot traçar a l’el·lipse uneix dos vèrtexs més i, en aquest cas, s’anomena eix menor. La seva meitat, doncs, és el semieix menor.

Els dos eixos són perpendiculars entre ells.

Excentricitat ( ε ): És la mesura que expressa quant circular és l’òrbita. Si el seu valor és 0, l’òrbita és circular. Si el valor es troba entre 0 i 1, és el·líptica. Si, en canvi, és 1, l’òrbita serà parabòlica. I, per últim, si el valor de l’excentricitat és més que 1, l’òrbita serà hiperbòlica. Es calcula dividint la distància entre els focus (F1F2) per la distància de l’eix major, o el que és el mateix, dues vegades el semieix major (a): ε =

F 1F 2 2a

El cos que s’orbita es troba en un dels focus de la corba, i la distància del centre de l’el·lipse a qualsevol dels dos focus és la mateixa. A més, també hi ha una segona fòrmula per calcular l’excentricitat. Es basa en dividir la semidistància focal (c, distància del centre al focus) pel semieix major (a): ε =

c a

Per treure el valor de c (semidistància focal), es pot fer servir el ​Teorema de Pitàgores​: a2 =b2+c2

Per tant, aïllant c del teorema matemàtic i coneixent el semieix major (a) i el semieix menor (b), es pot esbrinar el seu resultat a la següent equació: 42

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

c = √a 2 − b 2

Exemple 2: ​Es calcularà l’excentricitat d’una òrbita GTO (de transferència geoestacionària) tenint en compte que el periastre es troba a 300 km de la superfície terrestre (l’apoastre, en aquest cas, serà de 35.790 km). Es pot començar a deduir que l’el·lipse estarà molt aixafada i, per tant, la seva excentricitat serà molt elevada (tindrà un valor proper a 1).

S’utilitzarà l’equació que divideix la distància entre els focus per l’eix major.

Però, abans de tot, s’ha de calcular quant mesura l’eix. Per fer-ho, s’ha de sumar l’apoastre (que és de 35.790 km), el periastre (que és de 300 km) i el diàmetre de la Terra (12.742 km). En total, l’eix major de l’òrbita és de ​48.832 km​. Ara, per calcular la distància entre focus, s’ha de restar a l’eix major dues vegades la distància del vèrtex de l’el·lipse al focus més proper (que equival a la suma del periastre més el radi de la Terra → 300 + 6.371 = 6.671 km):

F 1F 2 = 48.832 − (2 · 6.671) = 35.490 km

Per tant, ara només queda dividir la distància entre focus per l’eix major, i s’obtindrà el valor de l’excentricitat ε :

ε=

35.490 48.832

= 0, 7268

Com es va deduir, el valor de l’excentricitat és molt elevat, ja que l’el·lipse està molt aixafada.

Inclinació (i): És la distància angular (mesurada en graus o radians) entre el pla de l’òrbita i el pla que s’agafa com a referència. Si es tracta un pla orbital al voltant d’un planeta o satèl·lit natural, la inclinació es mesurarà respecte el pla equatorial d’aquell astre. En canvi, si l’òrbita és heliocèntrica es mesurarà la inclinació respecte l’​eclíptica​, el pla orbital de la Terra al voltant del Sol. De fet, totes les òrbites dels planetes del Sistema Solar estan contingudes a l’eclíptica o molt 43

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

properes a aquesta, és a dir, formen una inclinació de molt pocs graus.

Tornant a la inclinació de l’òrbita, si és de 0º vol dir que el pla orbital es troba contingut al pla de referència i, per tant, s’orbita en el mateix sentit de la rotació del planeta o de l’òrbita heliocèntrica de la Terra (​òrbita equatorial directa​). Si la inclinació, en canvi, és de 90º o 270º, significa un pla orbital perpendicular al de referència i, per tant, es pot anomenar ​òrbita polar​. I si la inclinació és de 180º, vol dir que l’òrbita està continguda al pla orbital de referència, però a diferència de la inclinació de 0º, en aquest cas es troba en sentit contrari a la rotació del planeta o al sentit orbital de la Terra al voltant del Sol. En aquest cas, es tracta d’una òrbita equatorial retrògrada​.

Nodes: Són els punts on una òrbita creua un pla, com per exemple els punts on un satèl·lit qualsevol creua el pla equatorial de la Terra.

Si el creua mentre es dirigeix de sud a nord, es tracta del ​Node Ascendent (N1).

Si el creua mentre es dirigeix de nord a sud, es tracta del ​Node Descendent​ (N2).

A partir dels nodes, es poden establir dos valors més: - ​Argument del periastre ( ω ), distància angular entre el Node Ascendent i el punt del periastre (amb vèrtex al cos orbitat).

- ​Longitud del Node Ascendent (​LAN o Ω ), distància angular des d’un punt de referència fins al Node Ascendent. El punt de referència pot tractar-se del ​Primer Punt d'Àries (punt on l’eclíptica i el pla equatorial terrestre es tallen en una línea recta, donant lloc a l’equinocci de primavera) en òrbites geocèntriques o heliocèntriques.

Tant l’argument del periastre com la longitud del Node Ascendent es mesuren en sentit antihorari, vist des del pol nord.

Període orbital (P): ​És el temps que necessita un cos per completar la seva òrbita. El període orbital de la Terra al voltant del Sol és de 365 dies.

44

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Anomalia veritable ( ν ): És l’angle que forma el segment del focus de l’el·lipse al periastre amb el segment del focus de l’el·lipse a la posició actual del cos orbital.

Dit d’una altra manera, és la distància angular entre el periastre i el cos que orbita, també mesurada en sentit antihorari.

3.3. Maniobres orbitals: Durant un vol espacial, és necessari anar variant les característiques de l’òrbita per tal d’anar obtenint la trajectòria desitjada. El fet de modificar els elements orbitals, s’acaba expressant com el canvi d’òrbita. Els casos més utilitzats consisteixen a modificar l’alçada de l’òrbita i/o el seu pla. Per fer-ho, doncs, consisteix en la modificació del vector velocitat en magnitud o direcció, mitjançant un canvi impulsiu. Aleshores, es pot expressar que es modifica la velocitat a una posició fixa, és a dir, que s’ha de modificar quan l’òrbita actual i la nova es creuen. D’aquí neix un element molt útil en maniobres orbitals, el ΔV (variació de velocitat).

Canvi d’òrbita coplanària (en el mateix pla): Quan d’una òrbita es vol passar a una altra utilitzant només una cremada de combustible, s’ha de donar la situació anterior, que l’òrbita actual creui la final. En aquest punt exacte s’haurà d’obtenir un canvi en la direcció i valor de la velocitat actual per tal d’obtenir-ne els de l’òrbita desitjada. Aleshores, es pot calcular la variació de velocitat necessària amb la següent fòrmula: ΔV =

√V

f

2

+V

i

2

−2V

f

V i cos (α)

On ΔV és la variació de velocitat (en m/s), V​f​ és la velocitat de l’òrbita final (m/s), V​i​, la de la inicial (m/s), i α és l’angle que formen les dues òrbites al punt on coincideixen (en graus sexagesimals).

En el cas que les dues òrbites no es creuin, s’haurà de crear una òrbita intermitja (de transferència) que creui les òrbites inicial i final, arribant a la trajectòria desitjada utilitzant, com a mínim, dues cremades de combustible.

45

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Transferència de ​Hohmann: Es disposa de dues òrbites, la inicial (blau) i la final (vermell). Com les òrbites no es creuen, s’ha de crear una tangent a les altres dues (negre), coneguda com l’òrbita de transferència

(és

per

això

que

aquesta transferència orbital és la més eficient, a més de ser la més lenta per a distàncies llargues). Amb aquesta nova trajectòria es modifica l’energia i el tamany de l’òrbita, per tal de, normalment, arribar més lluny.

Les dues cremades de combustible per passar d’una òrbita a l’altra corresponen a les dues aplicacions de Δv que incrementaran l’energia orbital. En el primer cas (marcat en blau com V’a), es guanya energia per tal de fer arribar la nau a una distància més llunyana (d’A a B). I en el segon cas (la nau ja situada a B, marcat en vermell com Vb), es torna a incrementar l’energia per augmentar la velocitat orbital que permetrà mantenir l’òrbita circular desitjada (vermella), ja que si no, la velocitat seria insuficient i es tornaria a descendir.

Com en conclusió es tracta de dues òrbites circulars (inicial i final) i una òrbita el·líptica (la de transferència), es poden aplicar els càlculs per trobar les velocitats segons el tipus de trajectòria, utilitzant les fòrmules 8 i 27 de l’annex de mecànica orbital. Per tant, coneixent només R​a (radi de l’òrbita inicial) i R​b (radi de l’òrbita final), es pot calcular la variació de velocitat necessària per passar d’una òrbita a l’altra.

En primer lloc, s’ha de calcular el semieix major (a) de l’òrbita transferència, que en aquest cas és: a=

R a +R b 2

En segon lloc cal calcular les velocitats inicial i final, és a dir, la velocitat a l’òrbita circular primera (V​i​) abans de realitzar l’increment d’energia i la velocitat orbital a l’òrbita circular

46

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

final (V​f​), un cop acabades totes les maniobres. Els càlculs es fan utilitzant la fòrmula de la velocitat a l’òrbita circular (expressió 8 de l’annex):

V i=

√

GM ra

V

f

=

√

GM rb

A continuació, es pot passar a calcular les velocitats a l’òrbita de transferència just després del primer increment d’energia (V​A​) i just abans del segon (V​B​). Com es tracta d’una òrbita el·líptica, es fa servir l’expressió 27 de l’annex, utilitzant el semieix major (a) calculat anteriorment:

V

A

=

√2GM (

1 ra

−

1 2a )

V

B

=

√2GM (

1 rb

−

1 2a )

Per últim, es pot concloure amb tres fòrmules que indiquen el ΔV en tres situacions diferents. El Δv 1 (increment de velocitat de l’òrbita inicial a la de transferència), el Δv 2 (increment de velocitat de l’òrbita de transferència a l’òrbita final) i el Δv T (suma dels dos increments de velocitat anteriors): ΔV

1

=V

A

−V

ΔV

i

2

=V

f

−V

B

ΔV

T

= Δv 1 + Δv 2

Transferència ​Burn One - Tangent: Si es desitja realitzar una transferència coplanar que permeti més rapidesa que la de Hohmann realitzar

a les

l’hora

de

maniobres

(però, en aquest cas, es perd en eficàcia respecte el combustible), es faria servir aquesta transferència ​Burn One-Tangent (de l’anglès, Cremada

amb

una

tangent), on en aplicar el primer Δv es fa tangent a l’òrbita inicial i, a l’hora d’aplicar el segon, es fa formant un angle amb la intersecció de l’òrbita final (la desitjada). A l’instant que es realitza la primera cremada de combustible ( ΔV

A

), s’haurà de crear una òrbita el·líptica amb un 47

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

semieix major més gran que la meitat de la suma del radi orbital inicial (A) i final (B).

D’aquesta manera s’obtindrà la intersecció amb l’òrbita desitjada (veure fig. 17), ja que si el semieix major tingués el mateix valor que la meitat de la suma del radi orbital inicial i final, l’òrbita el·líptica amb la final seria tangent (transferència de ​Hohmann)​ .

Un cop es coneix el valor del semieix major (a), ja es pot calcular l’excentricitat orbital (e) a partir de la següent expressió: e=1−

rA a

On r​a​ és el radi de l’òrbita circular inicial.

I coneixent l’excentricitat (e), el semieix major (a) i el radi orbital de la trajectòria desitjada (r​b​), es pot trobar l’anomalia veritable ( ν ) de l’instant quan s’haurà d’aplicar el segon ΔV : 2

ν = arccos (

) ( a (1−e −1) r b

e

)

I l’última informació abans de conèixer el ΔV necessari és l’angle ( Φ ) que es formarà entre el vector velocitat de l’òrbita el·líptica (V​B​) i el vector velocitat de l’òrbita desitjada (V​f​), just a la intersecció entre ambdues trajectòries: Φ = arctan ( 1 +e esincos(ν)(ν) ) On e és l’excentricitat i ν l’anomalia veritable.

Finalment, ja es pot calcular el ΔV necessari per passar de l’òrbita el·líptica a la final al punt B ( ΔV

B

), utilitzant V​B​ i V​f​ esmentades anteriorment:

ΔV

B

=

√V

B

2

+V

f

2

− 2V

B

V

f

cos (Φ)

Aquest increment de velocitat no es realitza en la mateixa direcció de l’òrbita final (B), com en el cas de la transferència de ​Hohmann​, sinó que es realitza en una direcció que forma un angle específic amb l’òrbita de transferència a l’instant de la cremada, per tal de

48

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

no només modificar la magnitud de la velocitat, sinó també la direcció del vector i, així, establir el vector velocitat a la direcció de l’òrbita final. Gràficament, aquest angle, un cop es coneguin els valors de ΔV B , V​B i V​f​, pot ser calculat amb el Teorema del Cosinus. A la pràctica, per dur a terme la cremada, la nau també ha de proporcionar l’impuls durant un interval de temps que, gràcies a una tovera mòbil o el sistema ​RCS,​ haurà de modificar la direcció d’expulsió dels gasos formant un angle equivalent a Θ, definit anteriorment.

Nota: Per calcular el ΔV inicial ( ΔV

A

) es calcula exactament igual que el Δv 1 de

l’apartat anterior (​Hohmann)​ . I per calcular V​B i V​f d’aquest apartat, s’utilitzen les fòrmules

de velocitat segons el tipus d’òrbita (com també s’ha fet a la transferència de ​Hohmann,​ amb les expressions 8 i 27 de l’annex).

Canvi d’òrbita no coplanària (canvi de pla orbital): No totes les maniobres orbitals consisteixen en un canvi de velocitat i d’altura com a les anteriors transferències, sinó que a vegades cal modificar, a més, la inclinació de l’òrbita.

Un cas on es dóna aquest canvi és, per exemple, quan un coet ha enlairat un satèl·lit des d’una latitud diferent a la de l’equador i s’ha d’establir en una òrbita geoestacionària. En aquest cas, quan arribi a l’apoastre de la primera òrbita de transferència GTO, haurà d’incrementar la seva velocitat fins a la necessària per quedar-se en òrbita circular però, a més, haurà de modificar la seva inclinació fins a 0, per tal d’obtenir una trajectòria per sobre de l’equador (per fer-ho en un sol impuls, l’increment de velocitat s’hauria d’aplicar en el node ascendent o descendent).

En aquestes situacions, i a diferència de les dels apartats anteriors, es modificarà la direcció del vector velocitat en una direcció totalment aliena al pla actual. Si només interessa modificar la inclinació orbital (i, per tant, mantenir la velocitat orbital), es pot trobar la variació de velocitat ( ΔV ) necessària només coneixent la velocitat (V) i l’angle d’inclinació que es vol modificar ( Θ ):

ΔV = 2 V sin ( Θ2 )

49

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Però si a més de modificar la inclinació ( Θ ) també es vol modificar l’alçada de l’òrbita i, per tant, la velocitat, es podria fer mitjançant una transferència de ​Hohmann inicial per modificar la velocitat i, a continuació, el canvi de pla. Per estalviar combustible, aquests dos passos es poden simplificar en una única maniobra i impuls de ΔV , que consisteix en una cremada tangencial a l’òrbita desitjada final, a més de fer-ho amb una certa inclinació per anar obtenint el nou pla orbital. L’expressió que permet trobar el ΔV necessari (en m/s) és la següent, on V​i és la velocitat inicial (en m/s), V​f​, la final, i Θ és l’angle que es vol modificar (en graus sexagesimals):

ΔV =

√V

i

2

+V

f

2

−2V i V

f

cos (Θ)

Aquests dos últims increments de velocitat també es realitzen en direccions diferents a la de l’òrbita final, de nou per modificar la direcció del vector de velocitat cap a la nova òrbita, de forma similar a l’increment de velocitat de la transferència ​Burn One - Tangent.

A la pràctica, la nau també s’ha d’ajudar del sistema ​RCS o d’una tovera mòbil per desviar els gasos expulsats formant l’angle adequat.

Per reduir considerablement el valor del ΔV , les naus solen realitzar el canvi de pla orbital quan la velocitat és mínima, o sigui, a l’apoastre. D’aquesta manera, l’increment de velocitat necessari per realitzar el canvi d’inclinació serà molt més petit que si es realitzés al periastre, on la velocitat és màxima.

3.4. Influències gravitatòries: A vegades, per realitzar un viatge espacial a objectius molt llunyans utilitzant el mínim de combustible possible, la manera més eficient per obtenir energia que proporcioni velocitat és utilitzant altres planetes. Aquesta tècnica es coneix com ​slingshot (de l’anglès, efecte tirador), o com estirada gravitatòria, ja que hi ha un aprofitament de la velocitat orbital del planeta per impulsar-se (per això, influència gravitatòria).

Depenent de la trajectòria i el viatge desitjat, no només serveix per estalviar en combustible, sinó que també es pot fer servir per adquirir velocitat per impulsar-se més ràpidament cap a la zona desitjada, per canviar la direcció de la trajectòria o, en cas d’anar-se apropant al Sol, per reduir la velocitat orbital i entrar en òrbita circular on es 50

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

desitgi.

Hi ha tres tipus de trajectòries (normalment hiperbòliques o parabòliques) o situacions possibles que es poden fer servir segons la modificació de la velocitat desitjada (fig. 18):

A la situació A, si el periastre de la trajectòria es troba a la part posterior del planeta (prenent com a part davantera el sentit del moviment de l’astre), la velocitat resultant augmentarà i, per tant, s’obtindrà més energia per fer arribar l’òrbita heliocèntrica més enllà del que estava previst abans de la influència gravitatòria.

A la situació C, si el periastre es col·loca davant del cos celeste, és a dir, al contrari que a la situació anterior, s’obtindrà una reducció de la velocitat i, per tant, una disminució de l’energia per mantenir l’afeli més baix que aquest mateix abans d’haver realitzat la influència gravitatòria.

I a la situació B, si es col·loca el periastre al mig entre el periastre de la situació A i el de la B, no s’obtindrà variació del valor de la velocitat, però sí de la seva direcció. Aquest últim cas és molt útil per modificar la inclinació d’una òrbita heliocèntrica de forma eficient, ja que modificar la velocitat al voltant del Sol és un procés molt costós. De fet, ja ho és a l’hora de modificar la inclinació en una òrbita geocèntrica baixa, ja que es tracten velocitats orbitals properes als 8 km/s. Però en el cas de l’òrbita heliocèntrica, a una distància del Sol igual que la de la Terra - Sol, es tracten velocitats properes a 30 km/s i, aleshores, és molt més costós.

51

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Aquest tipus d’influència gravitatòria va ser utilitzat per la sonda espacial ​Ulysses,​ una missió que tenia com a objectiu observar els pols del Sol. Per fer això, doncs, necessitava obtenir una inclinació respecte l’eclíptica propera als 90º, però com s’ha explicat, és massa costós. Aleshores, després del llançament es va dirigir a Júpiter utilitzant influències gravitatòries del tipus A i, un cop en aquest astre, degut al seu immens camp gravitatori, va poder realitzar exitosament un ​slingshot del tipus B, que li va proporcionar una inclinació de 80,2º respecte el pla de l’eclíptica.

Però, tornant a les situacions anteriors, es parlava de guanyar i perdre energia per tal de modificar una òrbita, però sabent que l’​energia es conserva​, no semblen molt convincents els enunciats anteriors. La realitat, doncs, és que aquesta variació d’energia s’obté gràcies al planeta, ja que proporciona una petita part d’aquesta que, per a ell, com és un cos tan massiu en comparació amb la nau espacial, la diferència és insignificant (disminuiria o augmentaria la velocitat orbital del planeta). En canvi, com la nau és tan petita en comparació amb el planeta, la diminuta variació d’energia es nota molt en un augment de velocitat, reducció o canvi de direcció.

Pel que fa als càlculs, si es coneixen la velocitat de translació del planeta (V​P​) i la velocitat de la nau a l’instant d’entrar a l’esfera d’influència gravitatòria de l’astre (V​1​), mitjançant una resta vectorial es pot obtenir el valor de la velocitat de la nau respecte el cos celeste (V​J​):

Un cop s’ha obtingut V​J​, la suma vectorial d’aquesta i de la velocitat de translació del planeta (V​P​) donarà la velocitat de sortida de la nau (V​2​), respecte l’òrbita heliocèntrica:

52

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Per últim, cal recordar que l’esfera d’influència gravitatòria d’un planeta és infinita, simplement que a la pràctica hi ha un punt on la gravetat predominant que afecta a la nau no és la de l’astre, sinó la del Sol. Això és degut a la disminució del valor de la gravetat del cos que s’orbitava, de manera que en aquest instant deixarà de seguir òrbites al voltant d’aquell cos per realitzar-les al voltant del Sol o, en el cas de trobar-se inicialment a un satèl·lit natural, al voltant del planeta principal. Per descriure aquesta àrea predominant de la gravetat d’un planeta mitjançant el radi de l’esfera d’influència (R​SOI​, Sphere of influence)​ , s’utilitza la següent expressió: m ) 2/5 R SOI = a ( M

On ​a​ és el semieix major de l’òrbita de l’astre menor (per exemple, la Terra) al voltant del major (per exemple, el Sol), ​m​ és la massa del cos menor i ​M,​ la massa del major.

3.5. Ingrés o reingrés atmosfèric, i aterratge: S’arriba al final de la missió espacial i poden donar-se dues situacions. En primer lloc, s’ha arribat a l’astre destí i la nau s’ha de preparar per ​ingressar a l’atmosfera (si en té) i, tot seguit, ​aterrar a la seva superfície. Si es tracta d’un cos sense atmosfera, tan sols caldrà col·locar la nau en trajectòria suborbital i continuar disminuint la velocitat per, finalment, tocar terra suaument. I en segon lloc, si es tracta d’una missió tripulada, s’ha de tornar a la Terra. Per fer-ho, es realitzen uns passos similars als de la situació anterior.

En comptes d’un ingrés atmosfèric, es realitza el ​reingrés​, ja que es torna a entrar a l’atmosfera terrestre des que va ser abandonada per col·locar-se en òrbita. Tot seguit i per acabar la missió, es realitza l’​aterratge (si es toca el terra) o l’​amaratge (si es toca el mar).

Aterratge (astre sense atmosfera):

53

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Quan una nau es troba en òrbita circular al voltant de l’astre destí, si aquest no té atmosfera no es podrà aprofitar del seu fregament per reduir la seva velocitat. Aleshores, un cop a l’òrbita i a l’instant desitjat, es realitzarà un petit impuls en sentit contrari al moviment (impuls retrògrad) per fer disminuir el periastre de l’òrbita fins gairebé tocar la superfície del cos celeste. Aquesta fase s’anomena ​De-orbit Burn,​ que traduït de l’anglès vol dir “​cremada per abandonar l’òrbita​”.

A mesura que la nau es vagi apropant al periastre, s'anirà modificant l’angle d’atac a 0º, de manera que quan s’engeguin de nou els motors, aquests generin l’impuls en sentit contrari al moviment (per formar una trajectòria suborbital). Aquesta fase es realitzarà abans d’arribar al periastre, per tal de no arribar a la superfície i fregar-la a velocitat orbital (ja que acabaria en una col·lisió). Aleshores, just abans d’arribar-hi es posaran en marxa els motors per tal d’anar reduint la velocitat, que a l’instant inicial el seu vector serà gairebé paral·lel a la superfície (transició de trajectòria orbital a suborbital). Però a mesura que la velocitat horitzontal vagi disminuint, la gravetat de l’astre farà que augmenti la velocitat vertical, de manera que la nau haurà de realitzar un ​gravity turn similar al del llançament, però en aquest cas per generar un impuls contrari tant a la velocitat horitzontal com a la velocitat vertical. ​Gràcies al gir de gravetat es començarà a solucionar aquest augment de velocitat vertical descontrolat produït durant la transició de

trajectòria

suborbital a descens

vertical, de manera que es podrà tocar la

superfície

de

l’astre a velocitat

horitzontal nul·la i a velocitat vertical molt baixa. Aquest mètode, doncs, permet descendir a la ​superfície verticalment durant els últims ​metres, on gràcies al gir de gravetat, la velocitat vertical tindrà un valor baix i només s’haurà d’anul·lar per aterrar suaument.

Degut a les irregularitats del planeta o als petits marges d’error de la nau, segurament la velocitat horitzontal no serà 0 durant el descens vertical. És per això que la nau disposa d’un motor amb tovera mòbil que permetrà modificar l’angle d’atac durant el descens i, així, anul·lar també la velocitat horitzontal.

54

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Ingrés i aterratge (astre amb atmosfera): Aquesta situació es dóna quan l’astre destí sí que disposa d’atmosfera i, aleshores, serà molt útil per disminuir la velocitat i aterrar (exactament igual que a l’apartat anterior) estalviant combustible.

L’inici d’aquesta situació és el mateix que el de la situació anterior: en òrbita circular al voltant del cos celeste destí i, tot seguit, es realitza el ​De-orbit burn disminuint l’alçada del periastre. Però en aquest cas es farà servir menys combustible, ja que no interessarà col·locar el periastre gairebé a la superfície del planeta, sinó col·locar-lo a les capes altes de la seva atmosfera (es necessitarà menys impuls, doncs).

A mesura que la nau es va apropant al periastre, a més d’anar augmentat la seva velocitat, començarà a patir els efectes de fregament

amb

l’atmosfera​.

L’efecte

principal és l’augment de calor que es pateix durant l’ingrés, ​que pot provocar pèrdues i el desgast del material de la nau, ja que s’arriba a ​temperatures més altes que la de la superfície del Sol (5.500 ºC aproximadament),

temperatures

que

generen plasma al voltant de la nau mitjançant l’escalfament del gas que l’envolta durant l’ingrés. Per tant, cal saber com tractar aquests problemes per garantir la supervivència de la nau durant aquesta fase.

Per això cal un ​escut tèrmic​, ja que aquests estan formats per materials aïllants que generen capes absorbents de la calor generada durant l’entrada atmosfèrica, i que aïllen la nau de tota aquesta escalfor produïda. Per tant, amb un escut tèrmic adequat i un angle d’atac que garanteixi ​que aquest escut està de cara al sentit del moviment i que, per tant, rebrà tot el fregament de l’atmosfera, es podrà realitzar una ​entrada atmosfèrica​ controlada.

L’objectiu és fer la transició d’òrbita a trajectòria suborbital fent servir el mínim de combustible possible. Es vol perdre, doncs, energia cinètica, però s’ha de transformar en algun altre tipus d’energia, degut al fet que es conserva. La resposta és l’energia 55

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

calorífica produïda pel fregament amb l’atmosfera, que a mesura que augmenta, disminueix l’energia cinètica. Finalment, s’ha perdut tanta velocitat que la situació és la mateixa de l’apartat anterior: descens vertical. L’única diferència és que, en aquest cas, l’ús de combustible ha estat mínim, gràcies a l’atmosfera.

Com a última dada i utilitzant els gasos de l’aire del planeta, si l’atmosfera és suficientment densa també es podrien utilitzar uns paracaigudes per acabar de frenar la nau gairebé del tot, encara que calgui un petit impuls final a partir del combustible de la nau per tocar el terra a velocitat vertical nul·la.

Reingrés i retorn a la Terra: Aquesta situació és exactament igual a l’anterior, simplement que sempre succeeix exclusivament a l’atmosfera terrestre. La fase inicial pot ser, com a les situacions anteriors, una òrbita geocèntrica circular, el·líptica de gran excentricitat (procedent, per exemple, de la Lluna) o una òrbita de captura (procedent de l’espai interplanetari). Als tres casos i igual que a la situació anterior, l’energia cinètica es transforma en calor, de manera que es perd velocitat, però s’ha de vigilar que l’escut tèrmic suporti les grans temperatures (de nou, més altes que la de la superfície del Sol). Com es tracta la fricció amb l’aire, tornen a aparèixer els conceptes d'estrès o pressió aerodinàmica i, per tant, per assegurar que la nau aguantarà les pressions que es generen, s’han de tenir en compte dos paràmetres: -

L’angle d’entrada​. Si aquest és molt gran, les pressions aerodinàmiques seran excessives i, probablement, causaran una destrucció total de la nau, ja que s’hauran superat els seus límits mecànics. De la mateixa manera, les temperatures podrien pujar massa (ja que a mesura que es va endinsant a l’atmosfera, la fricció és més gran) i fondre el material de la nau.

Per altra banda, si l’angle és massa petit no es generarà suficient fregament i, aleshores, la nau sortirà de nou cap a l’espai, ja que no haurà disminuït suficient la seva velocitat per trobar-se a una trajectòria suborbital.

-

Acceleracions. Aquest paràmetre depèn de l’anterior. Quan l’angle d’entrada sigui més gran i, doncs, les pressions aerodinàmiques creixin, l’acceleració de frenada que comportarà la disminució de velocitat creixerà. Fins i tot, el seu valor 56

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

podria arribar a ser uns quants múltiples del valor de la gravetat, de manera que acabarien en la destrucció de la nau per haver superat la seva resistència.

Aleshores, sempre s’ha de vigilar que l’acceleració de frenada no tingui uns valors molt elevats per tal de no destruir la nau o fer perdre la consciència als astronautes. Per tant, l’acceleració normalment es troba delimitada per dos valors.

Aquests s’expressen amb la nomenclatura de la ​Força g​, una mesura de l’acceleració que expressa que ​1g = 9,806 m/s​2​, és a dir, la mateixa acceleració de la gravetat a la superfície terrestre. Per tant, 0g és un ambient de microgravetat (com a l’òrbita) i, 2g, per exemple, és un ambient on s’experimenta una acceleració el doble de la de la gravetat a nivell superficial. Pel que fa als astronautes

que

retornen

a

la

Terra,

experimenten

acceleracions

d’aproximadament 4,5g en situacions normals, i en cas d’emergència poden arribar a experimentar un màxim de 9g, és a dir, nou vegades el valor de la gravetat terrestre a la superfície.

Pel que fa referència al contacte via ràdio amb la Terra, degut a la capa ionitzada formada pel plasma durant el reingrés, les comunicacions se solen perdre durant els minuts que es mantingui aquesta esfera de plasma.

I, finalment, després del reingrés atmosfèric, s’arriba al final de la missió espacial. Igual que a les situacions anteriors, es pot realitzar un aterratge propulsat i utilitzant combustible de la nau durant el descens vertical o, gràcies a la densitat de l’atmosfera terrestre, utilitzar paracaigudes que, en aquest cas, faran tocar terra (aterratge) o mar (amaratge) a velocitats petites per impactar la superfície suaument.

57

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Pràctica. Missió espacial al “​Planet Nine”: I. Introducció: Des de ja fa uns anys, els astrònoms ​Konstantin Batygin i​ ​Michael E. Brown ​s’han estat plantejant l’existència d’un novè planeta al Sistema Solar, el ​Planet Nine (Planeta Nou).

Es tracta d’un planeta hipotètic amb una massa deu vegades superior a la de la Terra (es classifica com a ​Super-Earth​; ​Súper-Terra​) i amb una òrbita estirada que arriba fins aproximadament a una distància de vint vegades la del Sol a Neptú. Es tracta d’un planeta suposadament gasós, que orbita les regions gelades distants del Sistema Solar, de manera que una òrbita al Sol la pot realitzar entre 10.000 i 20.000 anys.

El ​Cinturó de Kuiper és una àmplia regió del Sistema Solar extern (més enllà de Neptú i fins a l’espai interestel·lar) ple d’objectes nans gelats. Es poden trobar des d’objectes de 100 a 1.000 km de diàmetre, i es creu que és la font de cometes de curt període orbital.

Durant aquests últims anys, els astrònoms que estudiaven els objectes “​Kuiperians” s’han anat adonant que alguns patien canvis a la seva òrbita i, a més, alguns d’ells coincideixen en la direcció orbital i la inclinació respecte el pla de l’eclíptica. Aquestes evidències van fer sospitar l’existència d’un planeta llunyà que, gràcies al seu potencial gravitatori, fos el responsable de la modificació de l’òrbita dels objectes del ​Cinturó de Kuiper​. De fet, gràcies a les simulacions dutes a terme i als càlculs matemàtics realitzats, ara és més 58

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

difícil imaginar-se el Sistema Solar sense l’existència del ​Planet Nine,​ que ha arribat a ser el protagonista hipotètic de la misteriosa inclinació del pla orbital dels planetes coneguts (6º respecte l’equador del Sol).

Per comprovar l’existència del ​Planet Nine,​ els investigadors utilitzaran els telescopis més potents construïts, però la distància tan gran a la que es troba l’astre farà molt difícil la seva detecció a causa de la dèbil reflexió de la llum solar.

En aquest apartat es faran els càlculs d’una hipotètica missió espacial per trobar directament si el ​Planet Nine​ existeix o no.

II. Objectius i dades: L’objectiu de la part pràctica serà planificar una missió espacial utilitzant totes les dades investigades al marc teòric per viatjar a l’hipotètic ​Planet Nine​. Un cop la nau espacial arribi a la zona d’influència del planeta, si aquesta es comporta com si entrés en trajectòria al voltant d’un altre cos, es podrà concloure que sí existeix l’astre, de la mateixa manera que si la nau continua en la seva òrbita interplanetària o heliocèntrica i mai rep la influència gravitatòria de cap altre astre en les condicions del ​Planet Nine​, doncs es podrà deduir que el cos celeste és inexistent.

59

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Per dur a terme la missió caldrà esbrinar el ​temps que trigaria la nau en arribar al seu destí, igual que la ​variació de velocitat ( ΔV ) necessària i, lògicament, la trajectòria de la nau. Cal recordar que aquesta està pensada a partir de la tecnologia actual i, per tant, de propulsió química. Encara i així, es farà referència a sistemes de propulsió més desenvolupats per reduir el temps de viatge, si és necessari.

Tot seguit es desenvoluparan les dades conegudes i les estimades del ​Planet Nine que serviran per desenvolupar els càlculs matemàtics.

Dades i valors universals: N ·m 2 kg 2

-

Constant de gravitació universal → G = 6, 674 · 10 11

-

Massa de la Terra → M

-

Radi mitjà terrestre → R T = 6.371 km

-

Velocitat d’escapament de la Terra → V

-

Massa del Sol → M

-

Radi mitjà del Sol → R S = 695.508 km

-

Semieix major òrbita terrestre → a = 150.293.770 km

-

Distància mitjana Sol - Terra → R ST = 1U A = 149.597.870, 7 km

-

Període orbital terrestre → T

-

Excentricitat orbital terrestre → ε = 0, 0167

-

Apoastre terrestre → R A = 152.098.233 km

-

Periastre terrestre → R P = 147.098.291 km

S

T

= 5, 972 · 10 24 kg

esc

= 11, 186 km/s

= 1, 989 · 10 30 kg

T

= 365, 256 dies = 31.558.118, 4 segons

Dades i valors estimats relacionats amb el ​Planet Nine: = 6 · 10 25 kg

-

Massa → M

-

Radi mitjà → R P 9 = 13.000 km a 26.000 km. S ′utilitzarà el valor de 19.500 km

-

Velocitat d’escapament → V

-

Semieix major orbital → a = 700 U A = 104.718, 51 · 10 6 km

-

Període orbital → T

-

Excentricitat orbital → ε = 0, 6

-

Apoastre → R A = 1, 6755 · 10 11 km ≈ 1120 U A

-

Periastre → R P = 4, 1886 · 10 10 km ≈ 280 U A

P9

P9

esc

= 20, 266 km/s

= 18.531, 2 anys terrestres = 5, 844 · 10 11 segons

60

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

-

Inclinació orbital respecte l’eclíptica → i = 30º

-

Moviment mig orbital del ​Planet Nine​ → n = 1, 07515 · 10 −11 rad/s

III. Desenvolupament: ● Situació inicial: Es començaran a desenvolupar les dades de la missió a partir de l’òrbita baixa terrestre (LEO). Pel que fa al viatge en sí, com es desconeix la posició actual del ​Planet Nine,​ es farà una aproximació a partir de les últimes recerques realitzades pels investigadors on han exclòs algunes possibles zones de la seva òrbita: En aquesta imatge es pot veure que l’astre no es troba ni a la zona del periheli ni entre els 100 i 120º d’anomalia veritable respecte el Sol. Sí és més possible que

es

trobi

per

i

encara

l’apoastre,

la zona de molt

més

probable que es trobi entre els 240º i 260º aproximadament. Per tant, s’agafarà el valor aproximat de 250º d’​anomalia

veritable

( ν = 250º ).

Ara, segons la fòrmula 28 de l’annex de mecànica orbital, es pot esbrinar a quina distància (r) del centre del Sol es troba el ​Planet Nine en aquest precís moment, coneixent el semieix major (a), l’excentricitat orbital (e) i l’anomalia veritable ( ν ): r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos (ν)

=

104718,51·10 9 · (1−0,6 2 ) 1 + 0,6 cos (250º)

= 8, 43242 · 10 13 m

Aquesta és la distància a la que es troba inicialment el ​Planet Nine,​ que equival a 84,3242 milers de milions de quilòmetres (o 8, 43242 · 10 10 km ) respecte el centre del Sol. Respecte la superfície d’aquest, doncs, la distància correspon a 8, 43235·10 13 m.

Tot seguit, s’ha de calcular una trajectòria orbital amb periastre la distància de la Terra al Sol (perquè la Terra és el punt inicial) que talli amb el ​Planet Nine​, tenint en compte que 61

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

aquest va avançant lentament a mesura que es va apropant al seu periastre.

A diferència de missions espacials més habituals on l’òrbita inicial (la de la Terra) i la final (la de Mart, per exemple) es poden considerar circulars degut a la seva baixa excentricitat, l’òrbita del ​Planet Nine s’ha de considerar el·líptica, ja que el valor de l’excentricitat és de 0,6. Aleshores, això significa que els càlculs no seran tant directes com a la missió d’exemple, on seria molt més fàcil arribar al resultat exacte, sinó que s’hauran de realitzar aproximacions, mitjançant un mètode numèric iteratiu, fins arribar a un resultat prou convincent i exacte, que consisteix a trobar el ​Planet Nine a l’instant que la nau arribi al seu apoastre (fig. 24).

● Càlcul de trajectòries: Trajectòries el·líptiques​ (expressions 28, 36, 37, 38 i 39 de l’annex)​: Pas 1: ​En primer lloc es començarà realitzant una trajectòria amb periastre la distància Terra - Sol i l’apoastre la posició actual del ​Planet Nine​, simplement per entendre com es comporten els períodes orbitals i distàncies. L’òrbita de la nau serà, doncs: -

Periastre: 149.597.870.700 m

62

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

-

Apoastre: 8, 43235 · 10 13 m

-

Semieix major (a): 4, 22372 · 10 13 m

-

Excentricitat ( ε ):

(2·a) − 2·(P e + R SOL ) 2·a

=

(2·4,22372·10 13 ) −2·(149.597.870.700 + 695.508.000) 2·4,22372·10 13

= 0, 99644

El temps de viatge de la nau en aquesta òrbita per arribar al ​Planet Nine serà la meitat del seu període orbital. Dit d’una altra manera, s’ha de calcular el temps de viatge per quan l’increment de l’anomalia veritable és de π radians, la meitat d’una òrbita sencera.

De fet, quan l’anomalia veritable ( ν ) és de π radians, també ho és a les anomalies excèntrica (E) i mitjana (M): (ν) 0,99644 + cos (π) E = arccos ( 1e++ecos cos (ν) ) = arccos ( 1 + 0,99644 cos (π) ) = π rad

M = E − e sin (E) = π − 0, 99644 sin (π) = π rad

Coneixent el valor de l’anomalia mitjana (M), es pot calcular el temps ( Δt ) que triga la nau en recórrer π radians si es calcula el moviment mig d’aquesta (n):

n=

√

GM SOL a3

=

√

ΔM = n · Δt → Δt =

G·1,989·10 30 (4,22372·10 13 ) 3

ΔM n

=

= 4, 1972 · 10 −11 rad/s

π 4,1972·10 −11

= 7, 48497 · 10 10 segons

El temps de viatge de la nau és de 7, 48497 · 10 10 s , que equival a 2373,469 anys.

A continuació, es calcularà la posició final del ​Planet Nine en aquest increment de temps, és a dir, quan la nau hagi arribat al seu apoastre. Per fer-ho, primer es calcularà l’anomalia mitjana (M) coneixent l’increment de temps ( Δt ) i el moviment mig del ​Planet Nine​ (n):

M = n · Δt = (1, 07515 · 10 −11 ) · (7, 48497 · 10 10 ) = 0, 80475 rad

Tot seguit, es trobaran les anomalies excèntrica i veritable: M = E − e sin (E) → 0, 80475 = E − 0, 6 sin (E) D′on E = 1, 39556 rad

63

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

cos (E) =

e + cos (ν) 1 + e cos (ν)

→ cos (1, 39556) =

0,6 + cos (ν) 1 + 0,6 cos (ν)

D′on ν = 2, 0662 rad Aquest és l’avanç del ​Planet Nine desde la seva posició inicial. Si es suma a l’angle inicial ( ν = 250º = 4, 36 rad ), s’obté que el planeta es troba finalment a 0, 14634 rad , o el què és el mateix, a 8, 38454º , això sí, després d’haver passat pel periastre. Per últim, es pot calcular a quina distància del centre del Sol es troba coneixent l’anomalia veritable ( ν ), amb la següent expressió:

r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos (ν)

=

(104.718,51·10 9 )·(1−0,6 2 ) 1 + 0,6 cos (8,38454º)

= 4, 2056 · 10 13 m

En aquest primer pas, s’ha pogut observar que si la nau viatgés cap a la posició actual del ​Planet Nine​, trigaria en arribar aproximadament 2373 anys. A més, durant tot aquest temps, el planeta destí s’hauria mogut fins a una posició final propera al seu periastre, concretament a uns 8,4º d’anomalia veritable, passat el periastre. Per tant, es pot catalogar aquesta situació com inviable per trobar-se amb el cos celeste.

Pas 2: Es realitzarà una segona missió per veure si la distància entre l’astre i la nau comença a disminuir en comparació amb l’anterior. L’apoastre de l’òrbita del viatge interplanetari serà el periastre de l’òrbita del ​Planet Nine​.

Així doncs, els paràmetres de l’òrbita seran els següents: -

Periastre: 149.597.870.700 m

-

Apoastre: 4, 1886 · 10 13 m

-

Semieix major (a): 2, 10185 · 10 13 m

-

Excentricitat ( ε ): 0,99285

En primer lloc, cal calcular el moviment mig (n) de la nau en aquesta òrbita:

n=

√

GM SOL a3

=

√

G·1,989·10 30 (2,10185·10 13 ) 3

64

= 1, 195646 · 10 −10 rad/s

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Tot seguit, el temps de viatge serà, de nou, la meitat del període orbital, és a dir, quan l’anomalia veritable és de π radians. En aquest cas, les anomalies excèntrica i mitjana també seran de π radians. Per tant, es calcula directament el temps del viatge ( Δt ): M = n · Δt → Δt =

M n

=

π 1,195646·10 −10

= 2, 62753 · 10 10 segons

El temps de viatge en aquesta òrbita és de 2, 62753 · 10 10 segons, que equival a 833,183 anys.

A continuació, es calcula l’avanç del planeta durant aquesta variació de temps, primer calculant l’anomalia mitjana (M), després l’excèntrica (E) i, per acabar, la veritable ( ν ): M = n · Δt = (1, 07515 · 10 −11 ) · (2, 62753 · 10 10 ) = 0, 2825 rad

M = E − e sin (E) → 0, 2825 = E − 0, 6 sin (E) D′on E = 0, 64157 rad

cos (E) =

e + cos (ν) 1 + e cos (ν)

→ cos (0, 64157) =

0,6 + cos (ν) 1 + 0,6 cos (ν)

D′on ν = 1, 17303 rad

Si a aquesta anomalia veritable li és sumada la posició inicial del planeta, s’obté que la seva posició final és de ν = 5, 5364 rad = 317, 21º . A partir d’aquí, es pot deduir la distància respecte el centre del Sol a la que es troba el ​Planet Nine:​ r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos (ν)

=

(104.718,51·10 9 )·(1−0,6 2 ) 1 + 0,6 cos (317,21º)

= 4, 65316 · 10 13 m

En conclusió, en aquesta missió la distància entre la nau i el planeta s’ha escurçat, però encara i així no és suficient, ja que la diferència de la posició entre ambdós és bastant gran. Quan la nau arribi al periastre de l’òrbita de l’astre, aquest encara es trobarà a uns 40º aproximadament per sobre.

Pas 3: Per entendre amb més detall el comportament orbital del planeta, la següent òrbita es realitzarà amb un apoastre que correspon a la distància final del ​Planet Nine a l’apartat anterior. Cal recordar que, com es parla de l’apoastre, cal restar al valor anterior 65

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

el radi del Sol. Per tant, les dades de la nova òrbita seran:

-

Periastre: 149.597.870.700 m

-

Apoastre: 4, 65309 · 10 13 m

-

Semieix major (a): 2, 3341 · 10 13 m

-

Excentricitat ( ε ): 0, 99356

Tot seguit es procedirà de la mateixa manera que als dos casos anteriors. Primer es calcularà el moviment mig (n) de la nau en aquesta òrbita i, tornant al principi que quan l’anomalia veritable ( ν ) és de π radians també ho són les anomalies mitjana (M) i excèntrica (E), es calcularà el temps ( Δt ) que triga la nau en viatjar per mitja òrbita:

n=

√

GM SOL a3

M = n · Δt → Δt =

M n

=

=

√

G·(1,989·10 30 ) (2,3341·10 13 ) 3

π 1,02171·10 −10

= 1, 02171 · 10 −10 rad/s

= 3, 07484 · 10 10 segons = 975, 025 anys

Tot seguit i de la mateixa manera que als casos anteriors, es calcularà l’avanç del ​Planet Nine​ utilitzant les tres anomalies del moviment orbital: M = n · Δt = (1, 07515 · 10 −11 ) · (3, 07484 · 10 10 ) = 0, 3306 rad

M = E − e sin (E) → 0, 3306 = E − 0, 6 sin (E) D′on E = 0, 731305 rad

cos (E) =

e + cos (ν) 1 + e cos (ν)

→ cos (0, 731305) =

0,6 + cos (ν) 1 + 0,6 cos (ν)

D′on ν = 1, 307 rad

Si ara se suma l’angle de l’anomalia veritable inicial del planeta a l’increment d’anomalia obtingut a les equacions, s’obtindrà que la posició final del ​Planet Nine és de ν = 5, 67 rad = 324, 8856º . Amb l’equació de la distància respecte el Sol (r), s’obté:

66

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos (ν)

=

(104.718,51·10 9 )·(1−0,6 2 ) 1 + 0,6 cos (324,8856º)

= 4, 4956 · 10 13 m

La conclusió d’aquesta tercera situació és que l’òrbita cada cop s’apropa més per trobar-se amb el planeta destí. Concretament, quan la nau es trobi a 4, 65309 · 10 13 m de la superfície del Sol, el ​Planet Nine s’hi trobarà a una distància de 4, 49553 · 10 13 m (aquest valor s’ha trobat restant el radi del Sol a la distància “r” final del cos celeste calculada anteriorment). Per tant, encara cal perfeccionar els càlculs per obtenir una trajectòria més perfecta, però aquesta tercera és bastant propera.

Pas 4: Tot seguit, la quarta trajectòria es calcularà diferent a les anteriors. S’establirà un valor directe del temps de viatge ( Δt ) que correspon a la mitjana entre el temps del cas anterior ( Δt′ = 3, 07484 · 10 10 s ) i el temps del cas 2 ( Δt′′ = 2, 62753 · 10 10 s ). Aquest valor, doncs, és de Δt = 2, 8512 · 10 10 s = 904, 105 anys.

En primer lloc, es calcularà la posició final del ​Planet Nine tenint en compte aquest temps i utilitzant les anomalies mitjana i excèntrica per trobar la veritable: M = n · Δt = (1, 07515 · 10 −11 ) · (2, 8512 · 10 10 ) = 0, 30655 rad

M = E − e sin (E) → 0, 30655 = E − 0, 6 sin (E) D′on E = 0, 687154 rad

cos (E) =

e + cos (ν) 1 + e cos (ν)

→ cos (0, 687154) =

0,6 + cos (ν) 1 + 0,6 cos (ν)

D′on ν = 1, 24215 rad

S’arriba a la conclusió que durant aquest increment de temps, l’astre avança 1,24215 radians. Si se li suma aquest increment a la posició inicial (250º o 4,363 rad), s’obté la posició final, que és de ν = 5, 6055 rad = 321, 17º. Tot seguit, amb aquesta anomalia veritable es pot esbrinar la distància a la que es troba el cos del centre del Sol:

r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos (ν)

=

(104.718,51·10 9 )·(1−0,6 2 ) 1 + 0,6 cos (321,17º)

67

= 4, 56723 · 10 13 m

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

La distància a la que es troba el ​Planet Nine del Sol és de 4, 56723 · 10 13 m, que correspon a 4, 56716 · 10 13 m sobre la seva superfície.

L’òrbita del viatge espacial, doncs, tindrà com a apoastre aquesta última distància esmentada. Les dades són: -

Apoastre: 4, 56716 · 10 13 m

-

Periastre: 149.597.870.700 m

-

Semieix major: 2, 29113 · 10 13 m

A partir d’aquesta òrbita, es calcularà el temps que triga la nau en arribar a l’apoastre des del periastre, és a dir, en recórrer π radians de la seva òrbita. Com les anomalies veritable, excèntrica i mitjana són iguals quan l’angle és de π radians, s’utilitzarà la fòrmula per esbrinar el temps a partir de l’anomalia mitjana. Per això, primer s’ha de calcular el moviment mig orbital (n):

n=

√

GM SOL a3

=

√

G·(1,989·10 30 ) (2,29113·10 13 ) 3

= 1, 050584 · 10 −10 rad/s

A continuació, amb l’anomalia mitjana i el moviment mig s’obté el temps de viatge:

M = n · Δt → Δt =

M n

=

π 1,050584·10 −10

= 2, 99033 · 10 10 s

La diferència entre aquest temps de viatge i el que es va calcular a l’inici d’aquest apartat, equival al temps amb retard que arriba la nau. Aquest temps de retard equival a 1, 3913 · 10 9 segons, o 44,12 anys. Comparat amb el temps mitjà de viatge, que es tracta d’uns 900 anys aproximadament, es pot considerar aquest viatge bastant proper per trobar-se amb el ​Planet Nine​ al moment ideal.

Pas 5: Per últim, es realitzarà una òrbita calculant la posició intermitja del ​Planet Nine entre dos situacions diferents per apropar-se encara més a aquest. La primera es tracta de la posició final de l’astre calculada al cas anterior, quan Δt = 2, 8512 · 10 10 s i, doncs, l’anomalia veritable final del planeta era de ν = 321, 17º. En aquest cas, la nau a l’òrbita que es va calcular posteriorment es trobava a 44,12 anys d’arribar al seu apoastre. I, la

68

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

segona situació, es calcularà tot seguit emprant el temps de viatge de la nau a l’òrbita del cas anterior, que correspon a Δt = 2, 99033 · 10 10 s. Amb això i les expressions de les anomalies, s’esbrina l’anomalia veritable final durant aquest increment de temps: M = n · Δt = (1, 07515 · 10 −11 ) · (2, 99033 · 10 10 ) = 0, 32151 rad

M = E − e sin (E) → 0, 32151 = E − 0, 6 sin (E) D′on E = 0, 71478 rad

cos (E) =

e + cos (ν) 1 + e cos (ν)

→ cos (0, 71478) =

0,6 + cos (ν) 1 + 0,6 cos (ν)

D′on ν = 1, 282967 rad

A aquest últim increment d’anomalia veritable, se li suma la posició inicial (250º = 4,363 rad), i s’obté que la posició final és de ν = 5, 6463 rad = 323, 5086º.

Amb les posicions finals a les dues situacions, es calcula la mitjana i s’obté que ν=

321,17º + 323,5086º 2

= 322, 3393º.

La distància respecte el Sol és, doncs:

r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos (ν)

=

(104.718,51·10 9 )·(1−0,6 2 ) 1 + 0,6 cos (322,3393º)

= 4, 543765 · 10 13 m

Si se li resta el radi del Sol, s’obté la distància respecte la superfície de l’estrella, que equival a r = 4, 543695 · 10 13 m. Aquesta última distància serà l’apoastre d’una nova òrbita del viatge interplanetari, a partir de la qual es calcularà el temps que triga la nau en anar del periastre a l’apoastre. Les dades són: -

Apoastre: 4, 543695 · 10 13 m

-

Periastre: 149.597.870.700 m

-

Semieix major: 2, 2794 · 10 13 m

69

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Per anar del periastre a l’apoastre, les anomalies s’igualen totes a π radians. Per tant, primer es calcularà el moviment mig orbital en aquesta òrbita (n) per, tot seguit, esbrinar el temps de viatge utilitzant l’anomalia mitjana (M): n=

√

GM SOL a3

M = n · Δt → Δt =

=

M n

=

√

G·(1,989·10 30 ) (2,2794·10 13 ) 3

π 1,058704·10 −10

= 1, 058704 · 10 −10 rad/s

= 2, 967395 · 10 10 s = 940, 95 anys.

Aleshores, ara es calcularà la posició final del ​Planet Nine segons el temps de viatge de l’òrbita anterior, per poder veure, finalment, si les distàncies entre ambdós cossos és suficientment petita per rebre la influència gravitatòria del ​Planet Nine​: M = n · Δt = (1, 07515 · 10 −11 ) · (2, 967395 · 10 10 ) = 0, 31904 rad

M = E − e sin (E) → 0, 31904 = E − 0, 6 sin (E) D′on E = 0, 710257 rad

cos (E) =

e + cos (ν) 1 + e cos (ν)

→ cos (0, 710257) =

0,6 + cos (ν) 1 + 0,6 cos (ν)

D′on ν = 1, 27634 rad

Se suma l’anomalia veritable inicial (250º = 4,363 rad) a aquesta anomalia veritable calculada per trobar la posició final, i s’obté que ν = 5, 63934 rad = 323, 1104º. Amb l’expressió de la distància, es troba que r…

r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos (ν)

=

(104.718,51·10 9 )·(1−0,6 2 ) 1 + 0,6 cos (323,1104º)

= 4, 52839 · 10 13 m

Si se li resta el radi del Sol, la distància sobre la superfície d’aquest és de r = 4, 528322 · 10 13 m.

En conclusió, en un temps de viatge de 940,95 anys o 2, 967395 · 10 10 segons, la nau haurà arribat a una distància de r 1 = 4, 543765 · 10 13 m sobre el centre del Sol desde la Terra (que correspon a ν 1 = 322, 3393º ) i el ​Planet Nine haurà avançat fins trobar-se a una distància sobre el centre del Sol de r 2 = 4, 52839 · 10 13 m ( ν 2 = 323, 1104º ). Per 70

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

definir si aquesta òrbita és vàlida, s’haurà de comprovar que la distància entre els dos cossos (r) és més petita que el radi de l’esfera d’influència gravitatòria (R​SOI​) del ​Planet Nine.​ La distància (r) entre ambdós cossos es pot calcular utilitzant el Teorema del Cosinus, coneixent la distància respecte el centre del Sol de la nau (r​1​), del ​Planet Nine (r​2​), i la variació d’angle entre les dues posicions finals ( Δν ):

r=

√r

Distància, r =

√(4, 543765 · 10

2 1

+ r 22 − 2 r 1 r 2 cos Δν

13 2

13 2

13

13

) + (4, 52839 · 10 ) − 2 (4, 543765 · 10 ) (4, 52839 · 10 ) cos (323, 1104º − 322, 3393º)

r = 6, 29534 · 10 11 metres

-

m P9

R SOI = a ( M

25

SOL

2/5 6·10 ) 2/5 = (104.718, 51 · 10 9 ) · ( 1,989·10 = 1, 628659 · 10 12 metres.

30 )

Com la distància entre els cossos és més petita que el radi de l’esfera d’influència gravitatòria del ​Planet Nine,​ es pot considerar aquesta trajectòria i missió espacial com l’adequada per viatjar cap a l’astre i trobar-se amb ell a l’instant adequat. De totes maneres, per molt que aquesta trajectòria el·líptica sigui la més eficient en combustible (es tracta d’una transferència de ​Hohmann)​ , la duració de la missió és inviable, ja que és d’aproximadament ​940 anys​. Per reduir aquest valor, doncs, caldrà realitzar una transferència ​Burn One - Tangent​, realitzant la cremada tangent a l’òrbita de la Terra al voltant del Sol fins obtenir una trajectòria hiperbòlica que talli la trajectòria orbital del Planet

Nine

(fig.

25).

Per

descriure aquest tipus d’òrbita, primer és necessari conèixer la velocitat

(v)

a

una

certa

distància (r), per poder esbrinar el valor del semieix major (a).

Com

l’objectiu

temps

de

és reduir el

viatge

el

màxim

possible, s’haurà d’obtenir la velocitat

màxima

possible.

Tenint en compte els avenços tecnològics i el sistema de propulsió iònica, es pot arribar a 71

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

la conclusió que “les naus espacials propulsades per aquests motors poden arribar a velocitats de fins a 90.000 m/s”3. Si es considera que aquesta velocitat de 90.000 m/s és la de la nau al periastre de l’òrbita hiperbòlica (que serà la distància Sol - Terra), es podrà esbrinar el semieix major. Les dades, són: -

Velocitat al periastre: 90.000 m/s

-

Periastre (des del centre del Sol), o R​p​: 1, 503 · 10 11 m

Substituint a la fòrmula de la velocitat de l’òrbita hiperbòlica (la 31 de l’annex), es troba el semieix major (a):

v=

√GM

SOL

( 2r − a1 ) → 90.000 =

√G · (1, 989 · 10

30

)·(

2 1,503·10 11

− a1 )

D′on a = − 2, 09583 · 10 10 m

Tot seguit s’esbrinarà l’excentricitat orbital (e), coneixent el periastre (R​p​) i el semieix major (a), amb l’expressió 14 de l’annex: R p = a (1 − e) → 1, 503 · 10 11 = (− 2, 09583 · 10 10 ) · (1 − e) D′on e = 8, 1714

I, per últim, també es podrà calcular el moviment mig hiperbòlic d’aquesta òrbita (expressió 47 de l’annex):

n=

√

GM SOL |a| 3

=

√

G·(1,989·10 30 ) (2,09583·10 10 ) 3

= 3, 79726 · 10 −6 º/s

Amb això, es pot completar la taula de valors d’aquesta trajectòria hiperbòlica:

3

-

Velocitat al periastre: 90.000 m/s

-

Periastre: 1, 503 · 10 11 m

-

Semieix major: − 2, 09583 · 10 10 m

-

Excentricitat: 8,1714

​Zona, Kathleen. ​Ion Propulsion: Farther, Faster, Cheaper​ (2004).

72

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

-

Moviment mig hiperbòlic: 3, 79726 · 10 −6 º/s

A partir d’aquí, s’hauran de tornar a realitzar diverses situacions per aproximar la nau al Planet Nine​, tenint en compte que aquest també es mou.

Trajectòries hiperbòliques​ (expressions 28, 36, 38, 39, 48, 49 i 50 de l’annex): Pas 1: En primer lloc, es calcularà una missió per arribar a la posició actual del ​Planet

Nine,​ és a dir, quan r = 8, 43242 · 10 13 m (respecte el centre del Sol, ν = 250º ). Per poder esbrinar el temps de vol, caldrà trobar les anomalies veritable ( ν ) i excèntrica hiperbòlica (F) per definir la mitjana (M). Per tant:

r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos (ν)

→ 8, 43242 · 10 13 =

(−2,09583·10 10 )·(1−8,1714 2 ) 1 + 8,1714 cos (ν)

D′on ν = 96, 9139º = 1, 691467 rad

Un cop ja es disposa de l’anomalia veritable, es troba l’anomalia excèntrica hiperbòlica (F): cosh (F ) =

e + cos ν 1 + e cos ν

8,1714 + cos (96,9139º) ν → F = arccosh ( 1e++ecos cos ν ) = arccosh ( 1 + 8,1714 cos (96,9139º) )

F = 6, 892903º

Tot seguit, es troba l’anomalia mitjana (M): M = e sinh (F ) − F = 8, 1714 sinh (6, 892903) − 6, 892903 M = 4018, 569º

Coneixent l’anomalia mitjana i el moviment mig hiperbòlic de la trajectòria hiperbòlica, es pot trobar el temps de viatge:

ΔM = n · Δt → Δt =

ΔM n

=

4018,569 3,79726·10 −6

= 1058, 28 · 10 6 segons = 33, 558 anys

Tot seguit, es calcularà l’avanç del ​Planet Nine en aquest període de temps, per veure si quan es trobi a la posició final, la distància entre planeta i nau serà suficient per rebre la influència gravitatòria. Coneixent el temps de viatge ( Δt ) i el moviment mig orbital del Planet Nine (n), es podrà trobar l’anomalia mitjana (M) i, a continuació, les anomalies

73

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

excèntrica (E) i veritable ( ν ), per trobar la distància final del ​Planet Nine respecte el centre del Sol (r): ΔM = n · Δt = (1, 07515 · 10 −11 ) · (1058, 28 · 10 6 ) = 0, 0113781 rad

M = E − e sin (E) → 0, 0113781 = E − 0, 6 sin (E) D′on E = 0, 0284395 rad = 1, 62946º

cos (E) =

e + cos ν 1 + e cos ν

→ cos (1, 62946º) =

0,6 + cos ν 1 + 0,6 cos ν

D′on ν = Δν = 3, 2583º Si a aquest últim increment d’anomalia veritable se li suma la posició inicial del ​Planet Nine ( ν = 250º ), s’obté que la posició final d’aquest és de ν = 250º + 3, 2583º = 253, 2583º.

Coneixent aquest valor, es pot obtenir la distància final del ​Planet Nine respecte el centre del Sol: r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos ν

=

(104.718,51·10 9 )·(1−0,6 2 ) 1 + 0,6 cos (253,2583º)

= 8, 1023506 · 10 13 m

Per decidir si aquesta trajectòria es adequada o no, la distància final entre la nau i el Planet Nine hauria de ser inferior a l’esfera d’influència gravitatòria del planeta, calculada al

final

del

​Pas

5

de

les

trajectòries

el·líptiques,

amb

un

valor

de

R SOI = 1, 628659 · 10 12 m. La distància entre nau i planeta es pot calcular, de nou, amb el Teorema del Cosinus, coneixent la distància del centre del Sol a la nau (en aquest cas, aquesta és la mateixa que la posició inicial del ​Planet Nine,​ i s’anomenarà r​1​), a la posició final del ​Planet Nine (r​2​, l’última calculada), i la variació d’angle entre les posicions finals d’ambdós cossos (que corresponen a v 1 = 250º i ν 2 = 253, 2583º ). Per tant:

Distància, r = r=

√(8, 43242 · 10

√r

2 1

+ r 22 − 2 r 1 r 2 cos Δν

13 2

) + (8, 1023506 · 10 13 ) 2 − 2 (8, 43242 · 10 13 ) (8, 1023506 · 10 13 ) cos (253, 2583º − 250º)

r = 5, 7431645 · 10 12 metres

Amb aquest resultat es pot deduir que la distància entre cossos és superior al radi de l’esfera d’influència del ​Planet Nine i, per tant, la nau no notarà la influència gravitatòria de l’astre. Cal realitzar, doncs, un segon pas.

74

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Pas 2: En aquesta situació, la nau haurà d’arribar a una posició intermitja de l’òrbita del planeta, que correspon al punt mig entre la posició inicial del ​Planet Nine i la posició final del cas anterior ( ν = 253,2583º). Per tant, serà quan ν =

253,2583º + 250º 2

= 251, 62915º. La

distància (r) en aquest instant és de:

r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos ν

=

(104.718,51·10 9 )·(1−0,6 2 ) 1 + 0,6 cos (251,62915º)

= 8, 26487 · 10 13 m

Seguint el mateix procediment del pas anterior, primer es calcularan les anomalies veritable, excèntrica hiperbòlica i mitjana per poder determinar el temps de vol:

r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos ν

→ 8, 26487 · 10 13 =

(−2,09583·10 10 )·(1−8,1714 2 ) 1 + 8,1714 cos ν

D′on ν = 96, 91155º = 1, 691426 rad 8,1714 + cos (1,691426) ν F = arccosh ( 1e++ecos cos ν ) = arccosh ( 1 + 8,1714 cos (1,691426) )

F = 6, 872762 M = e sinh (F ) − F = 8, 1714 sinh (6, 872762) − 6, 872762 M = 3938, 3236

ΔM = n · Δt → Δt =

ΔM n

=

3938,3236 3,79726·10 −6

= 1037, 1488 · 10 6 segons = 32, 8878 anys

Coneixent el temps de viatge en aquesta situació, es tornarà a calcular l’avanç del ​Planet Nine per determinar la seva posició final, mitjançant les anomalies mitjana, excèntrica i veritable: ΔM = n · Δt = (1, 07515 · 10 −11 ) · (1037, 1488 · 10 6 ) = 0, 011151 rad

M = E − e sin (E) → 0, 011151 = E − 0, 6 sin (E) D′on E = 0, 0278721 rad

cos (E) =

e + cos (ν) 1 + e cos (ν)

→ cos (0, 0278721) =

0,6 + cos ν 1 + 0,6 cos ν

D′on ν = Δν = 0, 055733 rad = 3, 19329º

75

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

De la mateixa manera que al pas anterior, si a aquest increment d’anomalia veritable se li suma l’anomalia veritable inicial, s’obtindrà la final: ν = 3, 19329º + 250º = 253, 19329º. I amb aquesta anomalia veritable, es pot esbrinar la posició final del ​Planet Nine respecte el centre del Sol (r):

r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos (ν)

=

(104.718,51·10 9 )·(1−0,6 2 ) 1 + 0,6 cos (253,19329º)

= 8, 1087404 · 10 13 m

Tot seguit, es calcularà la distància entre nau i planeta per determinar si la trajectòria d’aquesta situació és vàlida i, per tant, que la distància és inferior al radi de l’esfera d’influència gravitatòria. Si la posició final de la nau és de r 1 = 8, 26487 · 10 13 m (quan ν = 251, 62915º ) i la posició final del ​Planet Nine és l’última distància calculada (que s’anomenarà r​2​, quan ν = 253, 19329º ), la distància entre cossos (r) és de:

Distància, r = r=

√(8, 26487 · 10

√r

2 1

+ r 22 − 2 r 1 r 2 cos Δν

13 2

) + (8, 1087404 · 10 13 ) 2 − 2 (8, 26487 · 10 13 ) (8, 1087404 · 10 13 ) cos (253, 19329º − 251, 62915º)

r = 2, 72615 · 10 12 metres

En aquest pas, la distància entre nau i planeta torna a ser superior al radi de l’esfera d’influència del Planet Nine ( R SOI = 1, 628659 · 10 12 ) i, per tant, no es pot considerar aquesta situació com vàlida. Per tant, es calcularà un tercer pas per intentar apropar la nau encara més al planeta.

Pas 3: En aquesta situació, la nau es dirigirà a l’òrbita del ​Planet Nine a

r = 8, 18735 · 10 13 m, que correspon a una anomalia veritable d’aquesta òrbita de ν = 252, 4º, més avançat que al cas anterior.

A continuació es determinarà, de nou, el temps de vol, de la mateixa manera que als casos anteriors, amb les anomalies veritable, excèntrica hiperbòlica i mitjana:

r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos ν

→ 8, 18735 · 10 13 =

(−2,09583·10 10 )·(1−8,1714 2 ) 1 + 8,1714 cos ν

D′on ν = 96, 91043º = 1, 6914061 rad

76

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

8,1714 + cos (96,91043º) ν F = arccosh ( 1e++ecos cos ν ) = arccosh ( 1 + 8,1714 cos (96,91043º) )

F = 6, 863122

M = e sinh (F ) − F = 8, 1714 sinh (6, 863122) − 6, 863122 M = 3900, 48416

ΔM = n · Δt → Δt =

ΔM n

=

3900,48416 3,79726·10 −6

= 1027, 184 · 10 6 segons = 32, 572 anys

Amb aquest temps definit, es calcularà l’avanç del ​Planet Nine per determinar, finalment, la distància entre nau i planeta: ΔM = n · Δt = (1, 07515 · 10 −11 ) · (1027, 184 · 10 6 ) = 0, 0110438 rad

M = E − e sin (E) → 0, 0110438 = E − 0, 6 sin (E) D′on E = 0, 027604 rad

cos (E) =

e + cos (ν) 1 + e cos (ν)

→ cos (0, 027604) =

0,6 + cos (ν) 1 + 0,6 cos (ν)

D′on ν = Δν = 0, 0551975 rad = 3, 1625822º La posició final del ​Planet Nine serà la suma de l’anomalia veritable inicial i l’últim increment d’anomalia veritable calculat: ν = 250º + 3, 1625822º = 253, 1625822º

A aquesta anomalia veritable li correspon una distància des del centre del Sol (r):

r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos ν

=

(104.718,51·10 9 )·(1−0,6 2 ) 1 + 0,6 cos (253,1625822º)

= 8, 1117614 · 10 13 m

Finalment, la distància (r) entre la posició final de la nau ( r 1 = 8, 18735 · 10 13 m ) i l’última distància calculada (que correspon a la posició final del ​Planet Nine des del centre del Sol i s’anomenarà r​2​), serà de: Distància, r =

√r

2 1

+ r 22 − 2 r 1 r 2 cos Δν

77

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

r=

√(8, 18735 · 10

13 2

) + (8, 1117614 · 10 13 ) 2 − 2 (8, 18735 · 10 13 ) (8, 1117614 · 10 13 ) cos (253, 1625822º − 252, 4º)

r = 1, 32206 · 10 12 m

En conclusió, la distància final entre cossos d’aquesta situació és inferior al radi de l’esfera d’influència gravitatòria del ​Planet Nine.​ Per tant, amb una duració de ​32,572 anys​, la nau arribarà a tallar l’òrbita del ​Planet Nine quan es trobi a 1, 32206 · 10 12 metres d’aquest, dins de la seva esfera d’influència.

● Càlcul d’increments de velocitat: Per acabar amb les dades necessàries per dur a terme la missió espacial, cal esmentar l’​increment de velocitat ( Δv ) necessari que haurà d’aportar una nau per arribar al Planet Nine des de l’enlairament, ja sigui per la trajectòria el·líptica definitiva o per la hiperbòlica.

En primer lloc, es calcularà l’increment de velocitat comú, o sigui, aquell que haurà de realitzar la nau independentment de la trajectòria final que adopti.

Fase comuna: El Δv 1 serà el necessari per enlairar la nau i portar-la a l’òrbita baixa terrestre (LEO), a una altitud d’aproximadament 180 km, i correspon al valor que les llançadores espacials han d’assegurar per establir la velocitat orbital de 7,8 km/s aproximadament i vèncer el fregament amb l’atmosfera, responsable que aquest increment de velocitat sigui més gran del necessari. Aquest valor s’estableix a uns 9,4 km/s, o ​9.400 m/s​ ( Δv 1 ).

Tot seguit, el Δv 2 serà el necessari perquè la nau pugui abandonar la influència gravitatòria de la Terra. El seu valor correspon a la diferència entre la velocitat d’escapament de la Terra a l’alçada orbital de 180 km (V​esc.

) i la velocitat de l’òrbita

orb.​

circular de 180 km d’altura, que ja s’ha especificat que és de 7,8 km/s. Primer, cal calcular el valor de la velocitat d’escapament amb l’expressió 30 de l’annex de mecànica orbital i, tot seguit, calcular Δv 2 :

-

V

esc. orb.

=

√

2GM (r+h)

→ On M és la massa terrestre, r el radi terrestre i h, l’altura de

l’òrbita: 78

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

V

-

esc.orb.

=

√

2G·(5,972·10 24 ) (6.371.000 + 180.000)

= 11.030, 85 m/s

V 1 = 7.800 m/s Δv 2 = 11.030, 85 − 7.800 = 3230, 85 m/s

Des de la LEO, caldrà aplicar un Δv 2 de ​3.230,85 m/s​.

En tercer i últim lloc de la fase comuna, un cop a l’òrbita heliocèntrica, la nau haurà de realitzar un tercer impuls ( Δv 3 ), aquest cop per establir la inclinació orbital de 30º respecte l’eclíptica, per fer la seva òrbita i la del ​Planet Nine coplanàries. Com durant aquest primer impuls l’alçada orbital no es modifica, és necessari conèixer la velocitat que es manté. Considerant l’òrbita heliocèntrica circular amb la distància Sol - Terra, r = 1, 503 · 10 11 (distància de 149.597.870.700 m més el radi del Sol), es pot calcular la velocitat orbital (V) amb l’expressió 8 de l’annex, on ara M és la massa del Sol:

v=

√

GM r

=

√

G·(1,989·10 30 ) 1,503·10 11

= 29.718, 43 m/s

Tot seguit, coneixent aquesta velocitat (V) i la inclinació que correspon a un angle de Θ = 30º, es pot calcular Δv 3 : Δv 3 = 2V sin ( Θ2 ) = 2 · 29.718, 43 · sin ( 30 ) = 15.383, 4 m/s 2 Per poder realitzar el canvi de pla orbital, cal aplicar un Δv 3 de ​15.383,4 m/s​.

El ΔV total de la fase comuna equival, doncs, a Δv 1 + Δv 2 + Δv 3 , que serà: ΔV = 9.400 + 3.230, 85 + 15.383, 4 = 28.014, 25 m/s

A la fase comuna, l’increment de velocitat total serà de ​28.014,25 m/s​.

79

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Fase no comuna: A més de la variació de velocitat comuna, ara la nau haurà d’aplicar una quarta i última cremada de combustible per obtenir o bé la trajectòria el·líptica final o bé, la hiperbòlica. A ambdós casos, la velocitat inicial serà la de l’òrbita heliocèntrica circular ja calculada, V i = 29.718, 43 m/s.

-

Trajectòria el·líptica:

Com la trajectòria definitiva que la nau ha d’aconseguir s’ha d’obtenir mitjançant una cremada a l’òrbita circular inicial, es podrà calcular la velocitat final coneixent el periastre de l’òrbita el·líptica (que coincideix amb l’alçada de l’òrbita circular, r = 1, 503 · 10 11 m ) i el seu semieix major ( a = 2, 2794 · 10 13 m ), utilitzant la fòrmula 27 de l’annex:

V

f

=

√2GM

SOL

( 1r −

1 2a )

=

√2G · (1, 989 · 10

30

)·(

1 1,503·10 11

−

1 ) 2·(2,2794·10 13 )

= 41.958, 86 m/s

Per tant, l’increment de velocitat en aquest cas ( Δv A ) serà la diferència entre la velocitat que s’ha d’obtenir per formar la trajectòria el·líptica (V​f​) i la de l’òrbita circular (V​i​): Δv A = V

f

− V i = 41.958, 86 − 29.718, 43 = 12.240, 43 m/s

L’increment de velocitat addicional al comú per arribar al ​Planet Nine per l’òrbita el·líptica és de ​12.240,43 m/s​.

-

Trajectòria hiperbòlica:

En aquest cas, la velocitat al periastre de la trajectòria hiperbòlica es va establir a 90.000 m/s (V​f​), mentre que la inicial (V​i​) tornen a ser els 29.718,43 m/s de l’òrbita circular. Per tant, la variació de velocitat ( Δv B ) en aquest cas correspon a la diferència entre les dues velocitats esmentades anteriorment: Δv B = V

f

− V i = 90.000 − 29.718, 43 = 60.281, 57 m/s

L’increment de velocitat addicional al comú per arribar al ​Planet Nine per la trajectòria hiperbòlica és de ​60.281,57 m/s​.

80

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

● Durada de l’abandonament de la influència terrestre: Una dada important pel que fa al temps de la missió és calcular quant de temps triga la nau a abandonar la influència gravitatòria de la Terra mentre viatja per la trajectòria parabòlica gràcies a la velocitat d’escapament. Aquesta òrbita ve definida per un periastre de 6.551.000 m (respecte el centre de la Terra).

En primer lloc, s’ha de calcular el moviment mig parabòlic de la nau a l’òrbita, amb l’expressió 41 de l’annex de mecànica orbital:

n=

√

GM T ERRA 2R 3p

=

√

G·(5,972·10 24 ) 2·6.551.0003

= 8, 4192 · 10 −4 º/s

Tot seguit, s’ha de calcular l’anomalia mitjana per quan la nau hagi abandonat la influència gravitatòria terrestre, per així determinar el temps amb l’expressió 42 de l’annex. Però, primer de tot, es necessiten els valors de les anomalies veritable i excèntrica parabòlica (equacions 43 i 44 de l’annex) per poder esbrinar l’anomalia mitjana (M). Per esbrinar l’anomalia veritable, s’ha de saber a quina distància del centre de la Terra la nau abandonarà la seva influència gravitatòria, i aquesta distància correspon al radi de l’esfera d’influència de la Terra (R​SOI​), que es pot calcular coneixent el semieix major (a) de l’òrbita de la Terra, la seva massa (m​TERRA​) i la del Sol (M​SOL​):

R SOI = a (

m T ERRA 2/5 M SOL )

24

5,972·10 2/5 = (150.293.770.000) · ( 1,989·10 = 928.827.328, 3 metres 30 )

Tot seguit, es troba l’anomalia veritable amb l’expressió 46 de l’annex:

r=

2R p 1 + cos ν

→ 928.827.328, 3 =

2·6.551.000 1 + cos ν

D′on ν = 170, 365021º

Tot seguit, ja es pot calcular el temps de viatge mitjançant el càlcul de les anomalies excèntrica parabòlica (D) i mitjana (M): D = tan ( 2ν ) = tan ( 170,365021º ) = 11, 865246 2

81

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

M =D+

1 3

D 3 = 11, 865246 + 31 · 11, 865246 3 = 568, 6777

ΔM = n · Δt → Δt =

ΔM n

=

568,6777 8,4192·10 −4

= 675.453, 37 segons

El temps que triga la nau a abandonar la influència gravitatòria terrestre fins que arriba a l’òrbita heliocèntrica és de ​675.453,37​ ​segons​, que equival a ​7,818 dies​.

● Arribada al ​Planet Nine​: Aquest fet succeeix al final de la missió, quan la nau entri a l’esfera d’influència gravitatòria del ​Planet Nine.​ Aleshores, depenent del què passi a continuació, es podrà determinar si l’astre existeix o no.

Des que la nau es va impulsar per establir la seva trajectòria definitiva cap al ​Planet Nine,​ aquesta ha anat perdent velocitat a mesura que s’anava allunyant del Sol. Per tant, si des de l’instant que teòricament entra a l’esfera d'influència del cos celeste destí ​la seva velocitat no augmenta​, sinó que ​continua disminuint i, a sobre, ​la direcció del seu vector velocitat no es modifica de manera inusual​, sinó que ​continua a la trajectòria orbital interplanetària​, significarà que la nau no s’haurà trobat amb cap astre que hagi modificat la seva trajectòria gràcies al seu camp gravitatori. Per tant, es podrà determinar que el ​Planet Nine no existeix (o bé, que es troba per qualsevol altre posició de la seva òrbita).

En canvi, en el cas que la nau, a mesura que vagi endinsant-se a l’esfera d’influència del planeta, la seva ​velocitat vagi augmentat​, la direcció del vector velocitat de la nau comenci a desviar-se de la trajectòria interplanetària inicial i, com a conseqüència, en sortir de l’esfera d’influència, hagi obtingut un ​increment de velocitat ​respecte 82

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

la seva trajectòria inicial i ​es dirigeixi cap a una altra zona de l’espai seguint una trajectòria interplanetària diferent a l’inicial​, significarà que sí hi havia la presència d’un planeta, responsable d’aquests canvis i, doncs, es podrà determinar que el ​Planet Nine​ sí que existeix​.

83

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

CONCLUSIONS: Els objectius que es van plantejar a l’inici del treball, tenint en compte la informació que s’ha investigat, a més dels càlculs de la missió que s’han realitzat, es poden donar per satisfets.

En primer lloc, s’ha entès que una missió espacial és aquell viatge que es realitza a l’espai amb una nau, enviada per un coet, normalment ​multietapa​, i que pot desenvolupar activitats científiques, telecomunicatives i militars. Per enlairar-se, cal utilitzar un sistema de propulsió que funcioni mitjançant la tercera llei de ​Newton (​tota acció té una reacció​), i que es basa en el principi de ​conservació de la quantitat de moviment​, on els gasos expulsats a certa velocitat fan que el coet s’elevi en sentit contrari a ells, també a una altra velocitat.

Es pot deduir que el ​llançament és una de les fases més complexes i exigents de la missió, ja que és quan la nau s’ha d’aprofitar del seu impuls i de la gravetat (​gir de gravetat​) per elevar-se i anar obtenint una trajectòria cada cop més horitzontal cap als límits de l’atmosfera per arribar a l’òrbita, i també és quan la nau pateix el màxim de la pressió aerodinàmica per fregament amb l’aire (​Max Q​).

També es pot deduir que l’​òrbita és la fase més important de tot vol espacial, ja que a mesura que la nau arriba a l’espai, aquesta sempre es trobarà en òrbita, o sigui, en una trajectòria circular gràcies a la força gravitatòria de l’astre que orbita, que s’obté amb una velocitat tangencial que produeix una ​acceleració centrípeta igual a l’acceleració gravitatòria. A partir d’aquí, i per desplaçar-se cap a altres zones de l’espai, cal realitzar maniobres orbitals​, ja sigui amb transferències entre trajectòries o amb el canvi de la inclinació d’aquestes.

També s’ha vist que és molt important estalviar combustible a una missió espacial. Per això, la gran majoria de sondes robòtiques reben ​influències gravitatòries de planetes, ja sigui per impulsar-se a més velocitat, reduir-la o inclinar la seva òrbita, sense consumir combustible.

84

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Per últim, i que també es pot considerar com una de les fases més perilloses del viatge espacial, s’ha d’​aterrar o ​ingresar a l’atmosfera​. S’ha vist que una nau ha d’enfrontar-se a diverses transicions orbitals, per poder acabar en un ​descens vertical​. Depenent de l’atmosfera de l’astre (si en té o no en té), es pot deduir que aquesta última fase serà més eficient si el ​fregament amb l’atmosfera ​ajuda a frenar la nau durant l’​ingrés atmosfèric​.

Personalment, la recerca d’aquesta informació també m’ha obert portes per adquirir més coneixement d’altres àrees relacionades amb el tema, com de química, tecnologia i matemàtiques. A més, m’ha servit per aclarar coneixements que ja tenia, però que no estaven del tot clars i, gràcies a aquest treball, els he pogut completar i redactar millor el marc teòric. Alguns d’aquests conceptes són les funcions hiperbòliques emprades a l’annex de mecànica orbital, el fet d’entendre la formació del plasma i la seva estructura (com es va explicar amb el sistema de propulsió ​VASIMR o amb el plasma del reingrés), la naturalesa de les corbes geomètriques (el·lipse, paràbola i hipèrbola), etc.

I, en referència a la pràctica, s’ha pogut demostrar la ​dificultat que comporta realitzar una missió a un altre planeta. En aquest cas, a més, també ha servit per considerar les grans ​distàncies implicades (desenes de milers de milions de quilòmetres), només dins del Sistema Solar, i la ​durada exagerada d’algunes missions tenint en compte els diferents tipus de trajectòria que es poden obtenir (de 2300 anys a 30, aproximadament).

Per últim, un fet molt impactant són les grans ​velocitats orbitals utilitzades (prop dels 8 km/s a l’òrbita terrestre i dels 30 a 90 km/s a l’òrbita heliocèntrica), algunes d’aquestes obtingudes per missions reals, que són molt difícils d’imaginar, ja que s’allunyen molt del nostre món quotidià.

Finalment, també cal dir que alguns conceptes que estaven pensats introduir-se al treball no han pogut ser inclosos, degut a les limitacions de l’àmbit del treball. Un exemple era introduir dades sobre el combustible, de manera que a la pràctica s’hauria especificat, a més, la quantitat necessària per desenvolupar la missió. Tot i així, es va decidir no incloure-ho, ja que l’àrea tenia més relació amb química que amb física.

85

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

GLOSSARI Camp elèctric: És una regió de l’espai on interactuen cossos amb naturalesa elèctrica.

Es descriu com una regió on les seves propietats han estat modificades per una càrrega elèctrica, i que si s’insereix una altra, aquesta experimentarà una força.

Camp magnètic: ​És una regió de l’espai on les forces magnètiques d’alguns objectes (com els imants) interactuen. De fet, el corrent elèctric també genera magnetisme, quan hi ha més càrrega i a més moviment, per exemple, i es pot relacionar amb aquest camp.

Camp electromagnètic: És una regió de l’espai on elements carregats elèctricament produeixen forces sobre partícules amb càrrega elèctrica, ja sigui d’atracció o repulsió. Es pot considerar que una part és elèctrica i, l’altra, magnètica.

Càrrega útil: És la part d’una nau espacial dissenyada per realitzar una sèrie d’activitats per tal de satisfer uns objectius. Aleshores, la càrrega útil d’un coet és aquell satèl·lit, sonda, astronau, etc. que ha d’arribar al seu destí per tal de complir la seva finalitat, ja sigui investigació, experiments durant una missió tripulada, fotografiar un planeta, etc.

Equilibri electromagnètic: És un estat excitat de les partícules on tenen major energia, probablement perquè tenen càrrega elèctrica. Per això responen fàcilment a interaccions electromagnètiques.

Espai exterior: Tota aquella regió de l’Univers buida, és a dir, fora de les atmosferes on s’observa l’espai aeri i les zones terrestres. Es reconeix com un medi buit (antigament es pensava que estava ple d’una substància anomenada èter), i es coneix que conté una baixa densitat de gas hidrogen (element químic més lleuger de la taula periòdica, inflamable, incolor i inodor) i radiació electromagnètica (camps elèctrics i magnètics que transporten energia d’un lloc a un altre a la velocitat de la llum).

Espai interplanetari: Com diu el nom, és la regió de l’espai que es troba entre els planetes del Sistema Solar, plena de vent solar i dels cometes i asteroides que orbiten el Sol.

86

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Espai interestel·lar: És la regió de l’espai que es troba entre estrelles. Depenent de l’activitat de la zona, es trobarà més o menys pols còsmic (pols de l’espai compost per partícules de menys de 100 μm ), encara que sempre es troba amb una densitat molt baixa.

Fusió nuclear: ​És una de les dues reaccions nuclears conegudes (fissió i fusió nuclear).

En aquest cas, la fusió és un procés on dos nuclis d’àtoms lleugers s’uneixen, de manera que formen un nucli estable però amb una massa lleugerament inferior a la suma de les masses dels dos nuclis que s’han unit. Aquesta petita diferència de massa, doncs, es manifesta expulsant molta energia. De fet, l’energia expulsada pot ser calculada mitjançant la fòrmula E = m · c 2 , on E és l’energia alliberada (en Joules), m és la petita diferència de massa entre la suma dels dos nuclis inicials i la massa final (en kg) i, c, la velocitat de la llum (en m/s).

Curiositats: L’energia produïda pel Sol és degut a un procés de fusió nuclear mitjançant els elements que reaccionen al seu interior. Allà, i a diferència de la Terra, es generen unes pressions gravitatòries tan fortes que vencen la repulsió que generen els dos nuclis lleugers que s’han d’unir degut al valor positiu de la càrrega d’aquests, ja que dos càrregues iguals es repel·leixen. És per això que desenvolupar la fusió nuclear per proporcionar energia és un procés encara experimental, de manera que totes les centrals nuclears encara no treballen amb la fusió nuclear, sinó amb fissió nuclear (un procés on, en comptes d’unir dos nuclis lleugers, d’un pesat en surten dos, a més d’alliberar energia).

Galàxia: És un conjunt massiu d’estrelles, núvols de gas, pols i planetes, entre altres.

Tots aquests elements interaccionen entre ells gràcies a les forces gravitatòries i, a més, tots orbiten un centre comú, que normalment es tracta d’un forat negre supermassiu.

Curiositats: Es calcula que a l’Univers hi ha uns 10 bilions de galàxies, totes de diferents formes (el·líptiques, espirals, irregulars...) i amb uns possibles 100 mil milions d’estrelles per galàxia (nombre d’estrelles que es creu que hi ha a la nostra galàxia, la Via Làctia).

Influència gravitatòria: Tota força gravitatòria té un abast infinit, és a dir, per molt allunyats que es trobin dos cossos, experimentaran les seves forces gravitatòries. De 87

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

totes maneres, a mesura que un objecte s’allunya del cos, la força d’atracció serà menor, i a mesura que s’apropa, serà major. Per això, quan “s’abandona la influència gravitatòria d’un planeta”, no vol dir que ja no es noti la seva força gravitatòria, sinó que l’atracció provocada és gairebé insignificant, de manera que no modifica la trajectòria de la nau cap a altres cossos celestes.

Ionitzar: És el procés de generar ions, és a dir, fer que un àtom disposi de càrrega elèctrica mitjançant eliminant-li electrons o proporcionant-li’n.

Mòdul de comandament: ​També conegut com mòdul de comandament i servei, és un vehicle capaç de transportar els astronautes de la missió i servir com a llar durant aquesta, a més de poder maniobrar les òrbites a l’espai. Està format per una càpsula, normalment cònica per travessar l’atmosfera durant el llançament per la punta i per frenar durant el reingrés gràcies a la gran superfície del costat contrari, on hi ha l’escut tèrmic.

Aquesta càpsula és on els astronautes poden comandar la missió i viure-hi gràcies a la protecció contra l’ambient espacial que els ofereix. A més, normalment és l’única part d’un coet que retorna a la Terra, capaç d’aterrar amb paracaigudes o motors.

Posterior a la càpsula s’enganxa el mòdul de servei, el cos del mòdul sencer que transporta el combustible, provisions per la nau, antenes i els instruments i sistemes de propulsió. A diferència del mòdul de comandament, no serveix per allotjar els astronautes, a més que es desintegra a l’atmosfera un cop separat de la càpsula.

Orbitador: és el nom de qualsevol part d’una llançadora espacial destinada a l’òrbita de la Terra o d’un altre planeta o satèl·lit per estudiar-lo a distància, sense aterrar-hi.

Vent solar: Es tracta de l’expulsió a grans velocitats de matèria amb molta energia des de la corona solar, part exterior del Sol (atmosfera) que, degut a les altíssimes temperatures (un milió de graus Celsius), les seves partícules s’ionitzen i donen lloc al plasma. Aquestes molècules ionitzades són les que s’expulsen cap a l’exterior del Sistema Solar degut a alteracions del camp magnètic del Sol, que provoquen el moviment de la corona, conegut com ​vent solar.​

88

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

LLISTA DE REFERÈNCIES Llibres: ➢ Casado, Javier (2011). ​Rumbo al cosmos. Los secretos de la astronáutica.

Madrid: Javier Casado. ISBN 978-84-614-7382-3. Informació extreta de la pàgina 120 a la 131. ➢ Fernández Peláez, Francisco (2018). ​Cerca de las estrellas.​ Barcelona: Círculo Rojo. ISBN 978-84-9194-118-7. Informació extreta de les pàgines 70 i 71.

Audiovisuals: ➢ Dale, Richard (2008). ​When We Left Earth: The NASA Missions.​ Estats Units: Discovery Channel.

Enllaços web: ➢ Alriga. ​Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas​ (2017). La web de física.

[Consulta: agost de 2018] <​https://forum.lawebdefisica.com/entries/618-C%C3%A1lculo-de-la-velocidad-en%C3%B3rbitas-el%C3%ADpticas​>

➢ Anexo: Misiones espaciales​. Wikipedia. [Consulta: desembre de 2018] <​https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Misiones_espaciales​>

➢ Atmospheric entry.​ Wikipedia. [Consulta: octubre de 2018] <​https://en.wikipedia.org/wiki/Atmospheric_entry​> ➢ Bogan, Larry. ​Equations for Elliptical, Parabolic, Hyperbolic Orbits​ (2004).

Bogan.ca. [Consulta: setembre de 2018] <​http://www.bogan.ca/orbits/kepler/orbteqtn.html​> ➢ Braeunig, Robert A. ​Orbital Mechanics​ (1997). Rocket & Space Technology.

[Consulta: juliol de 2018] <​http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm​>

➢ Bussard ramjet​. Wikipedia. [Consulta: juliol de 2018] <​https://es.wikipedia.org/wiki/Bussard_ramjet​>

89

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

➢ Características físicas de los planetas​ (2013). Astronoo. [Consulta: octubre de 2018] <​http://www.astronoo.com/es/articulos/caracteristicas-de-los-planetas.html​>

➢ Cohete multietapa​. Wikipedia. [Consulta: juliol de 2018] <​https://es.wikipedia.org/wiki/Cohete_multietapa​>

➢ Cómo eran los primeros cohetes.​ CurioSfera. [Consulta: desembre de 2018] <​https://www.curiosfera.com/como-eran-los-primeros-cohetes/​>

➢ Cronología de la exploración espacial​ (2009). BBC Mundo. [Consulta: desembre de 2018] <​https://www.bbc.com/mundo/ciencia_tecnologia/2009/07/090714_luna_timeline_ mes​>

➢ Exploración espacial.​ Wikipedia. [Consulta: desembre de 2018] <​https://es.wikipedia.org/wiki/Exploraci%C3%B3n_espacial​> ➢ Franco García, Ángel. ​Órbita de transferencia de Hohmann​ (2008). Física con ordenador. [Consulta: setembre de 2018] <​http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler3/kepler3.html​> ➢ Gallastegi, Joseba. ​El Tirón Gravitacional​ (2000). [Consulta: setembre de 2018] <​https://telesforo.aranzadi-zientziak.org/astronomia/mayo2000/articulos/triron_gra vitacional.htm​>

➢ Giróscopo​. Wikipedia. [Consulta: juliol de 2018] <​https://es.wikipedia.org/wiki/Gir%C3%B3scopo​>

➢ Gravity turn​. Wikipedia. [Consulta: juliol de 2018] <​https://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_turn​>

➢ Hohmann Transfer & Plane Changes​ (1995). Liftoff to space exploration.

[Consulta: setembre de 2018] <​https://web.archive.org/web/20070715042552/http://liftoff.msfc.nasa.gov/academ y/rocket_sci/satellites/hohmann.html​> ➢ Hypothetical Planet X​ (2018). NASA Science, Solar System Exploration.

[Consulta: octubre de 2018] <​https://solarsystem.nasa.gov/planets/hypothetical-planet-x/in-depth/​> ➢ King, Bob. ​Search Narrows For Planet Nine​ (2016). Universe Today. [Consulta: novembre de 2018] <​https://www.universetoday.com/127570/search-narrows-for-planet-nine/​>

90

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

➢ La mejor información sobre astronáutica (2017). PROGRAMA ESPACIAL, CIENCIA

Y

TECNOLOGÍA.

[Consulta:

juliol

de

2018]

<​http://www.programaespacial.com/astronautica.html​> ➢ Leyes de Kepler​ (2017). Astronomía Sur. [Consulta: setembre de 2018] <​http://www.astrosurf.com/astronosur/planetas1.htm​>

➢ Low Earth orbit. Orbital characteristics​. Wikipedia. [Consulta: desembre de 2018] <​https://en.wikipedia.org/wiki/Low_Earth_orbit#Orbital_characteristics​>

➢ Max q​. Wikipedia. [Consulta: juliol de 2018] <​https://en.wikipedia.org/wiki/Max_q​> ➢ Motor de magnetoplasma de impulso específico variable.​ Wikipedia. [Consulta: juliol de 2018] <​https://es.wikipedia.org/wiki/Motor_de_magnetoplasma_de_impulso_espec%C3 %ADfico_variable​>

➢ Órbita​. Wikipedia. [Consulta: juliol de 2018] <​https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbita​>

➢ Propulsor iónico.​ Wikipedia. [Consulta: juliol de 2018] <​https://es.wikipedia.org/wiki/Propulsor_i%C3%B3nico​> ➢ Sheldon. ​Ponerse en órbita​ (2010). Átomos y bits. [Consulta: juliol de 2018] <​http://atomosybits.com/ponerse-en-orbita/​>

➢ SSTO.​ Wikipedia. [Consulta: juliol de 2018] <​https://es.wikipedia.org/wiki/SSTO​>

➢ Técnicamente, Júpiter no orbita alrededor del Sol​ (2016). Sophimania. [Consulta: desembre de 2018] <​https://sophimania.pe/espacio-y-cosmos/astronomia/tecnicamente-japiter-no-orbi ta-alrededor-del-sol/​>

➢ Tipos de órbitas​ (2016). Demo E-Ducativa Catedu. [Consulta: agost de 2018] <​http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/3000/3227/html/2 5_tipos_de_rbitas.html​> ➢ Ursula Price, Margery. ​Celestial Mechanics II​ (2016). SlidePlayer. [Consulta: setembre de 2018] <​https://slideplayer.com/slide/10426324/​>

➢ Vela solar.​ Wikipedia. [Consulta: juliol de 2018] <​https://es.wikipedia.org/wiki/Vela_solar​> ➢ Wall, Mike. ​When Will We Find Planet Nine?​ (2018). Space.com. [Consulta: novembre de 2018] <​https://www.space.com/42177-when-will-we-find-planet-nine.html​>

91

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

➢ What Was the Saturn V?​ (2018). NASA Science, Solar System Exploration.

[Consulta: agost de 2018] <​https://solarsystem.nasa.gov/news/337/what-was-the-saturn-v/​>

➢ Wild, Flint. ​What Was the Apollo Program? (2018). NASA. [Consulta: agost de 2018] <​https://www.nasa.gov/audience/forstudents/5-8/features/nasa-knows/what-was-a pollo-program-58.html​> ➢ Zona, Kathleen. ​Ion Propulsion: Farther, Faster, Cheaper​ (2004). NASA Glenn Research Center. [Consulta: desembre de 2018] <​https://www.nasa.gov/centers/glenn/technology/Ion_Propulsion1.html​>

92

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

ANNEX. Mecànica orbital En aquest annex s’estudien tots els conceptes i totes les fòrmules necessàries per anar desenvolupant les dades sobre un vol espacial.

1- Lleis de Newton (moviment i gravitació universal): La segona llei de Newton diu que si s’aplica una força a un cos, aquest patirà un canvi en velocitat, és a dir, rebrà una acceleració: (1)

F = ma

Després, la llei de la gravitació universal afirma que dues partícules amb massa (m​1 i m​2​) separades una distància (r) s’atrauen amb forces iguals (F), en sentit oposat a la direcció de la línia que uneix les partícules. El valor de la força es pot esbrinar a partir de la següent fòrmula, on G és la constant de gravitació universal:

F =G(

m 1m 2 ) r2

(2)

A partir d’aquí i relacionant les dues equacions anteriors, es pot esbrinar l’acceleració amb la que es veu afectat un objecte que es deixa caure sobre l’altre (el que es deixa caure és un satèl·lit -m- i l’altre cos és la Terra -M-). Per tant, ja que F = ma , se substitueix l’equació 1 a la 2: ma = G ( Mr m2 )

(3)

A partir d’aquí, es pot aïllar a (acceleració), de manera que es conclou amb la fòrmula que serveix per esbrinar el valor de la gravetat a certa distància (de fet, la gravetat no és res més que una acceleració): a=g=

GM r2

(4)

Com es pot veure, queda el producte GM, que és la constant de la gravitació universal per la massa de la partícula gran (per exemple, la Terra). Aquest producte sencer es pot representar com μ .

93

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

2- MCU (Moviment Circular Uniforme): A l’apartat anterior s’ha vist que una acceleració és la responsable de produir canvis a la velocitat, variant el seu valor. Ara es veurà que una acceleració també pot produir canvis a la velocitat sense variar el seu valor, sinó variant la seva direcció. Això succeeix a les òrbites circulars, ja que es disposa d’un MCU. En primer lloc, hi ha un objecte que viatja a velocitat constant, però descrivint una circumferència. L’acceleració responsable de produir aquest canvi de direcció per mantenir la circumferència és la centrípeta, que es pot descriure com:

a=

v2 r

(5)

On v és la velocitat del cos i r el radi de la circumferència.

Com és una acceleració, vol dir que és producte d’una força que s’aplica sobre un cos amb massa. Aquesta força és la centrípeta, i a partir de la fòrmula de la segona llei de Newton (1), es pot descriure com:

F =

mv 2 r

(6)

On m és massa, v la velocitat del cos i r, el radi de curvatura.

La direcció d’aquesta força és la mateixa que la de l’acceleració centrípeta.

Aleshores, si un cos en òrbita només es veu afectat per forces gravitatòries, l’acceleració que fa que aquell orbiti en una trajectòria circular és la de la gravetat d’aquell planeta. Per tant, l’acceleració centrípeta que afecta a la nau és g =

GM r2

. Però g també serà

l’acceleració centrípeta per utilitzar les fòrmules del MCU ( a = g =

v2 r

) i esbrinar la

velocitat del cos per mantenir una trajectòria circular. Per tant, per resoldre aquest problema, només cal igualar les equacions 4 i 5: GM r2

=

v2 r

(7)

94

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Per últim, cal aïllar la velocitat per saber el seu valor per tal de mantenir-se en òrbita segons el planeta i la distància a la que es troba un objecte d’ell: v2=

GM r r2

(7.1)

v2=

GM r

(7.2)

v=

√

GM r

(8)

Si la massa és la d’un planeta conegut → v =

√

μ r

(8.1)

Amb aquests passos s’ha obtingut una breu equació per esbrinar la velocitat orbital necessària per mantenir-se en òrbita seguint una trajectòria circular.

També es podria haver arribat a les solucions seguint els passos de forma separada.

Exemple 3: ​Velocitat orbital de l’​ISS​.

Primer s’ha de calcular la gravetat a l’alçada de l’òrbita (h ≃ 400 km) de l’​ISS​, coneixent la massa de la Terra (M​t​) i la constant de gravitació universal (G). Per tant, se substitueixen els valors a la fòrmula 4 de la gravitació universal (sempre en unitats del Sistema Internacional), on a l’alçada orbital li és sumada el radi terrestre:

g=

GM t r2

=

(6,674×10 −11 )·(5,972×10 24 ) (6371000+400000) 2

≃ 8, 694 m/s 2

Ara que ja es coneix el valor de l’acceleració gravitatòria a l’alçada orbital, se substitueix a la fòrmula 5 del MCU:

a=

v2 r

→ 8, 694 =

v2 (6371000+400000)

Només queda aïllar la velocitat per tal d’obtenir-la:

v = √ar = √8, 694 · (6371000 + 400000) ≃ 7672, 5 m/s Finalment, s’arriba a la conclusió que la velocitat orbital de l’​ISS és de ​7672,5 m/s (aproximadament).

95

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Ara es comprovarà amb l’equació breu (8), utilitzant només G, M​t i r (radi terrestre més alçada orbital): v=

√

GM r

t

=

√

(6,674×10 −11 )·(5,972×10 24 ) (6371000+400000)

= 7672, 23 m/s

Efectivament, el resultat és correcte (varia per petites aproximacions als càlculs anteriors).

3- Lleis de Kepler i moviment planetari: Ara que es coneix el moviment orbital artificial, es començarà amb el natural.

A partir de moltes observacions del moviment dels planetes per l’astrònom ​Johannes Kepler i ​Tycho Brahe​, ​Kepler va formular les tres lleis que porten el seu nom, on va definir relacions que es donen al moviment planetari. Més endavant, ​Isaac Newton va utilitzar aquestes lleis per formular la seva teoria gravitacional.

1a Llei - Òrbites el·líptiques: Com indica el seu nom, ​Kepler va ser el primer d’adonar-se que les òrbites dels planetes no eren circulars, sinó el·líptiques, i que tal com s’ha explicat anteriorment, el Sol es troba a un dels focus de la corba. Per tant, es va introduir el concepte d’excentricitat per definir les òrbites dels planetes del Sistema Solar, que, de totes maneres, presenten uns valors petits (0,017 l’òrbita terrestre i, la més gran, que és de Plutó, té un valor de 0,248).

2a Llei - Llei de les àrees: Aquesta llei expressa que qualsevol línia (radi vector) que uneix el Sol amb un planeta escombra àrees iguals en temps iguals, és a dir, que en una òrbita el·líptica la velocitat del planeta va variant de forma inversa a la distància a la que es troba del Sol. Per

tant,

a

major distància de

l’estrella, menor velocitat, i a menor distància, major velocitat.

96

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Respecte el fet d’escombrar àrees iguals, es pot explicar que la línia que uneix el Sol amb el planeta en un cert instant i la mateixa línia un instant després (quan el planeta es troba una mica avançat), entre les dues formen una àrea. Aquesta s’ha format durant un interval de temps, i segons aquesta llei de ​Kepler​, s’han d’escombrar les mateixes àrees durant els mateixos intervals de temps. Per tant, quan més proper al Sol es trobi el planeta, els radis vectors que generen l’àrea seran més petits, i aleshores es necessitarà més recorregut de l’òrbita per completar aquesta àrea durant el mateix interval de temps que l’anterior. Per això l’augment de velocitat a menys distància del Sol. 3a Llei - Llei harmònica: En aquesta llei, ​Kepler explica que el quadrat dels períodes orbitals siderals (temps que triga un planeta en donar una volta completa al Sol per la seva òrbita) són proporcionals als cubs de les seves distàncies mitges al Sol. Matemàticament, s’expressa com: T1 2 T2 2

=

d1 3 d2 3

(9)

On T1 i T2 són els períodes orbitals i d1 i d2, les distàncies mitjanes al Sol. No obstant, aquesta última fòrmula només serveix quan la massa dels cossos que orbiten és despreciable en comparació a la de l’astre central. Si no és així, es pot fer servir la següent equació: T 1 2 (M + m1) T 2 2 (M + m2)

=

d1 3 d2 3

(9.1)

T1, T2, d1 i d2 continuen tenint el mateix significat que abans. En aquest cas, M és la massa del cos central i m1 i m2 les masses dels cossos orbitals.

Aplicació de les Lleis de ​Newton​: Kepler va dir que el moviment dels planetes era el·líptic, però encara i així es pot tractar amb molta exactitud a partir de les òrbites en moviment circular.

Entre dos astres de masses M i m, els dos orbiten en trajectòria circular un centre de masses (C) que tenen en comú. Aquest centre es troba a la línia que uneix els dos planetes. Per tant, l’astre de massa M orbita amb radi constant R el centre C, i l’altre astre

97

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

de massa m orbita amb radi constant r, també el centre C. Per tant, s’ha de donar que mr = M R . Ambdós cossos tenen la mateixa velocitat angular ω , cosa que vol dir que perquè sigui així, la força gravitatòria (F) que es dóna entre els planetes ha de proporcionar l’acceleració centrípeta (a) necessària per mantenir aquesta propietat (ha d’equivaler a la força centrípeta necessària). Per tant, si a = ω 2 r i F = ma = mω 2 r i també F =

GM m (R + r) 2

, es conclou: GM m (R + r) 2

= mω 2 r

(10)

Aleshores, si m és insignificant en comparació amb M (com un planeta amb el Sol o un satèl·lit amb la Terra), R també serà insignificant en comparació amb r. Per tant, l’expressió anterior queda: GM r2

= ω 2r

(10.1)

GM = ω 2 r 3

(10.2)

I a partir d’aquí, com la velocitat angular ( ω , en radians per segon) equival al nombre de revolucions que es donen (en radians) en un determinat període de temps (T, en segons), o dit d’una altra manera, ω =

2π T

, es pot obtenir el període orbital d’un planeta substituint

aquesta equació a 10.2: GM = T

2

T =

=

4π 2 T2

r3

4π 2 r 3 GM

√

(11) (11.1)

4π 2 r 3 GM

(11.2)

Però no sempre m és insignificant en comparació amb M. En aquest cas, tampoc s’hauria d’oblidar el valor de R, ja que sí tindria un valor important. Aleshores, a partir de la fòrmula 10…

GM m (R + r) 2

= mω 2 r

(10)

Sense suprimir R, es pot simplificar l’equació a: GM (R + r) 2

= ω 2r

(12)

I substituint de nou la velocitat angular per l’expressió ω = 98

2π t

:

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

GM (R + r) 2

T

2

=

=

4π 2 T2

r

4π 2 r (R + r) 2 GM

(12.1) (12.2)

Aquesta última expressió s’utilitza més amb el semieix major de l’òrbita (a), que es considera com la distància mitjana del cos central a l’orbital:

T

2

=

4π 2 a 3 G (M + m)

T =

√

4π 2 a 3 G (M + m)

(12.3)

(12.4)

Per altra banda, ​Newton també va aconseguir una equació per definir l’excentricitat de l’òrbita (e) utilitzant la massa del cos central (M), la constant de gravitació universal (G), la velocitat al periastre (V​p​) i la distància del centre del cos orbitat al periastre (R​p​):

e=

RpV p2 GM

−1

(13)

A més, també es poden definir les distàncies al periastre (R​p​) i a l’apoastre (R​a​) coneixent només l’excentricitat (e) i el semieix major (a): R p = a (1 − e)

(14)

R a = a (1 + e)

(15)

R p + R a = 2a

(16)

4- Velocitat en òrbites no circulars: Quan es disposa d’una òrbita no circular, la velocitat de la nau va variant respecte la seva posició a la trajectòria. Com s’ha vist anteriorment, a l’apoastre serà mínima i, al periastre, màxima. Per tant, si la nau es troba a un punt entre l’apoastre i el periastre, la velocitat tindrà un valor intermedi a la que es trobarà en aquests punts. L’objectiu serà trobar ​v​, la velocitat instantània d’un cos (​m​) en òrbita al voltant d’un astre (​M​), tenint en compte la distància entre ambdós (​r​).

Conservació de l’energia:

99

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Quan una nau es troba en òrbita, es troba sota la influència de forces gravitatòries.

Aquestes forces són conservatives, és a dir, el treball que realitzen sobre un cos no depèn del camí que recorre, sinó només dels punts inicial i final. Per tant, l’energia mecànica total (E) de la nau es manté, es conserva, a qualsevol punt de l’òrbita, equivalent a la suma de l’energia cinètica (E​c​) i de l’energia potencial gravitatòria (E​p​): (17)

E = E c + E p = constant

Com l’energia cinètica és igual a la meitat de la massa del cos (m) per la seva velocitat (v) al quadrat i que l’energia potencial gravitatòria equival a la massa del cos (m) per la gravetat a una concreta alçada orbital ( g =

GM r2

) i per l’alçada a la que es troba (r), es

poden expressar les següents equacions: E c = 21 mv 2

(18)

Ep = − m ·

GM r2

E = 21 mv 2 −

Finalment, s’arriba a la següent conclusió:

·r = −

GM m r

GM m r

(19)

(20)

Un altre concepte bastant útil és l’energia orbital específica ( ε ), que es defineix com l’energia (E) per unitat de massa (m), i és també constant a tots els punts de l’òrbita:

ε=

E m

→ε=

v2 2

−

GM r

(21)

Aquesta fòrmula es modificarà per tal d’entendre si fa referència al periastre o a l’apoastre, de manera que quedarà:

Periastre → ε =

vp2 2

−

GM rp

(21.1)

Apoastre → ε =

va2 2

−

GM ra

(21.2)

Conservació del moment angular: Com a l’espai exterior no existeixen moments de forces exteriors, el moment angular (moment de la quantitat de moviment d’un cos → L ) es conserva. Per tant, a dos punts qualsevols de l’òrbita (A i B), el producte de la distància del focus de l’el·lipse al cos (r) per la quantitat de moviment en aquell moment ( P = mv ), és el mateix: L = r A × mv A = r B × mv B 100

(22)

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Si aquesta equació es concreta als punts d’apoastre (a) i periastre (p), aquells on el vector de la distància del focus al cos (r) és perpendicular al vector de la velocitat del cos (v), queda: L = r a × mv a × sin( π2 ) = r p × mv p × sin( π2 )

(22.1)

I d’aquí:

va=

rp ra

(22.2)

×vp

o

vp=

ra rp

(22.3)

×va

Per tant, tornant a les fòrmules de l’energia orbital específica, a la de l’apoastre (21.2) se li resta la del periastre (21.1): 2

( v 2a −

GM ) ra

−(

vp2 2

−

GM ) rp

=0 →

va2 2

−

vp2 2

=

GM ra

−

GM rp

(23)

Tot seguit s’hi substitueix l’expressió 22.3: ra2 2rp2

va2 2

−

va2 2

= ( GM ra −

va2 2

= GM

×va 2 = GM ) rp

×

GM ra

−

GM rp

rp2 r p 2− r a 2

rp r a (r p +r a )

(23.1) (23.2) (23.3)

Ara, coneixent que a → semieix major:

(16)

r p + r a = 2a

(16.1)

r p = 2a − r a ↓ va2 2

= GM

va2 2

= GM

2a − r a r a (2a − r a + r a ) 2a − r a r a 2a

(23.4) (23.5)

Per trobar l’​energia orbital específica​, se substitueix l’equació 23.5 a la 21.2:

101

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

2a − r a r a 2a

ε = GM

−

GM ra

(24)

↓ ε=

−GM 2a

(24.1)

I per trobar el valor de l’​energia mecànica​, es multiplica la massa a l’expressió anterior: −GM m 2a

E=

(25)

Es pot veure que en el cas de l’òrbita ​el·líptica (i també la ​circular​) l’energia serà sempre negativa​.

Finalment, per obtenir la velocitat a qualsevol punt de l’òrbita el·líptica, s’igualen 21 i 24.1: v2 2

−

GM r

=

−GM 2a

(26)

↓ S’aïlla la velocitat ↓

v=

√2GM (

1 r

−

1 2a )

(27)

Si es desitja aquesta última fòrmula respecte l’anomalia veritable ( ν ), s’ha de substituir r per: r=

a (1−e 2 ) 1 + e cosν

(28)

On e és l’excentricitat i ν , l’angle de l’anomalia veritable.

v=

√2GM (

1+e cosν a (1−e 2 )

−

1 2a )

Exemple 4:

102

(27.1)

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

S’utilitzarà l’òrbita de transferència geoestacionària (GTO) que es va fer servir a l’exemple 2, però afegint informació. Es tracta d’un satèl·lit de 850 kg (m) el que es troba en aquesta òrbita. L’apoastre era de 35.790 km, el periastre era de 300 km i el semieix major, de 24.416 km. Es farà servir la massa de la Terra ( M = 5, 972 × 10 24 kg ).

Primer es calcularà l’energia orbital específica i l’energia mecànica de l’òrbita, que com s’ha esmentat, serà negativa i és constant a qualsevol punt d’aquesta: -

Energia orbital específica: ε=

-

−GM 2a

=

−(6,674×10 −11 )×(5,972×10 24 ) 2×24.416.000

= − 8, 162

MJ kg

Energia mecànica: E=

−GM m 2a

=

−(6,674×10 −11 )×(5,972×10 24 )×850 2×24.416.000

= − 6.938 M J

I ara es calcularà la velocitat a l’apoastre, periastre i a un punt intermedi (concretament quan r = 15.000 km). En aquests càlculs no es mostraran els valors de G i de la massa terrestre, simplement per estalviar espai, ja que sempre són els mateixos valors: -

Apoastre (r = 35.790.000 m + radi terrestre): v=

-

√2GM (

−

1 2·24.416.000 )

= 1.607, 13 m/s

Periastre (r = 300.000 m + radi terrestre): v=

-

1 35.790.000 + 6.371.000

√2GM (

1 300.000+6.371.000

−

1 2·24.416.000 )

= 10.157, 12 m/s

Punt intermedi (r = 15.000.000 m + radi terrestre): v=

√2GM (

1 15.000.000+6.371.000

−

1 2·24.416.000 )

= 4.579, 90 m/s

A partir de la fòrmula de la velocitat a l’òrbita el·líptica i coneixent que 2a = R p + R a , es poden establir dues equacions per trobar el valor de la velocitat a l’apoastre (V​a​) i al periastre (V​p​), sabent només el valor de la distància a l’apoastre (R​a​) i al periastre (R​p​):

V

p

=

√

2GM R a R p (R a + R p )

103

(27.2)

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

V

a

=

√

2GM R p R a (R a + R p )

(27.3)

De fet, a partir d’aquestes fòrmules s’obtenen dues més per obtenir els valors de R​a i R​p​, ara a partir de les velocitats V​p​ i V​a​: Ra=

(

Rp 2GM −1) RpV p2

(29 a)

Rp=

(

Ra 2GM −1) RaV a2

(29 b)

Velocitat en òrbites parabòliques: Es pot entendre l’òrbita parabòlica com una el·líptica on el semieix major es fa molt gran, infinit. Per tant, a la fòrmula per calcular la velocitat a l’òrbita el·líptica (27), on hi ha se substitueix el semieix major (a) pel nombre infinit, el resultat de la divisió

1 2×∞

1 2a

, si

tendeix a

0. Per aquest motiu, l’expressió resultant és:

v=

√2GM (

1 r

− 0)

↓ v=

√

2GM r

(30)

A partir d’aquesta fòrmula es pot calcular quina és la velocitat d’escapament del planeta origen. En el cas de la Terra, seria la velocitat necessària per abandonar la seva influència gravitatòria i endinsar-se a l’espai interplanetari.

En aquest tipus d’òrbita, el valor de l’energia mecànica i de l’específica orbital és 0.

Exemple 5: Es calcularà quina seria la velocitat que s’hauria d’obtenir a certes alçades per abandonar la influència de la Terra.

En primer lloc es calcularà a nivell del mar (quan r = radi terrestre). Aquesta velocitat es considera “velocitat d’escapament”. M continua sent el valor de la massa terrestre: 104

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

v=

√

2GM r

=

√

2GM 6.371.000

= 11.185, 6 m/s

Efectivament. La velocitat d’escapament de la Terra és d’aproximadament 11,2 km/s.

I ara es calcularà la velocitat per obtenir l’òrbita parabòlica quan la nau ja es troba en òrbita, concretament a 260 km d’altura:

v=

√

2GM r

=

√

2GM 260.000 + 6.371.000

= 10.964, 12 m/s

En aquest cas la velocitat és més baixa, bàsicament perquè la nau es troba més lluny del planeta. Però de totes maneres, orbitant a aquesta altura s’haurà d’impulsar fins a obtenir 10,96 km/s des de la seva velocitat inicial orbital, per tal d’obtenir la trajectòria parabòlica que la portarà a l’espai interplanetari.

Velocitat en òrbites hiperbòliques: Les característiques d’aquest tipus d’òrbita són exactament contràries a les de l’òrbita el·líptica. El valor de l’energia (mecànica i específica orbital) és positiu i, el del semieix major, negatiu. La resolució per obtenir l’expressió per calcular la velocitat en aquesta òrbita és exactament igual a la de l’òrbita el·líptica, simplement que es presenten variacions entre els signes per les característiques explicades. L’expressió equivalent per calcular la velocitat és: v=

√GM (

2 r

− a1 )

(31)

Aquesta òrbita es dóna quan la nau espacial ha superat la velocitat d’escapament i, aleshores, viatjarà en una trajectòria hiperbòlica respecte aquell planeta. La diferència amb la parabòlica és que en el seu cas, la velocitat de la nau és mínima i, a l’infinit, 0, per això la seva energia és 0. Però en el cas de la trajectòria hiperbòlica, la seva velocitat continuaria sent positiva a l’infinit, per això l’energia també ho és.

Aquest és el tipus d’òrbita dels asteroides que entren al Sistema Solar i tornen a sortir sense quedar-se atrapats al camp gravitatori del Sol.

105

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

5- Posició i període orbital: Aquestes són dues de les dades més importants d’una òrbita. S’ha de conèixer quina és la posició a l’òrbita quan interessi i, a més, quin és el seu període orbital. Òrbita circular: Aquest cas és senzill, ja que a partir de les fòrmules del Moviment Circular Uniforme es poden esbrinar tant el període orbital com la posició de la nau quan es desitgi.

Primer cal calcular el perímetre (Cir.) de la circumferència orbital, només coneixent el seu radi (r): (32)

C ir = 2πr

Ara que ja es coneix tota la distància que ha de recórrer la nau, si li és dividida la velocitat d’aquesta (v) s’obtindrà el temps (període, T) que triga en fer una revolució, en segons: T =

cir v

=

2πr v

(33)

Recordant l’expressió per obtenir la velocitat orbital a la trajectòria circular (8), l’equació anterior quedaria tal com: T =

2πr

√

GM r

=

2π √GM

r

3 2

(33.1)

Per últim, si es desitja calcular la posició recorreguda per la nau durant un determinat temps, com la velocitat de la nau és constant, es pot fer de la manera següent. A partir de calcular el període d’una òrbita circular (T) i coneixent el temps (t) que es vol mantenir l’òrbita, si es divideix aquest temps (t) entre el període orbital (T), sortirà el nombre d’òrbites (N​orb​) que s’hauran recorregut: N

orb

=

t T

(34)

Si, en canvi, es volen les dades en metres, només caldrà fer servir la fòrmula del Moviment Rectilini Uniforme, on multiplicant el temps en òrbita (t) per la velocitat orbital (v), s’obtindrà la posició recorreguda en metres (x):

106

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

(35)

x=v·t

Òrbita el·líptica: En el cas de les òrbites el·líptiques, és més complex determinar la posició d’una nau, degut a la variació que pateix la distància d’aquesta fins al focus de l’el·lipse i, a més, de la variació de velocitat al voltant d’aquesta. Per tant, a partir del temps transcorregut, es desenvolupen unes fòrmules per trobar la posició en òrbita després d’un període específic de temps o per saber quant de temps transcorre des que la nau es trobava en una posició fins arribar a una altra. La posició se sol tractar amb distàncies angulars, tenint en compte l’​anomalia veritable ( ν o v)​. I a partir d’aquí es pot esbrinar la distància del focus de l’òrbita a la nau en aquest precís moment. Per arribar a aquestes conclusions, també s’utilitzen les ​anomalies mitjana (M)​ i ​excèntrica (E)​.

L’​anomalia mitjana és la fracció d’un període orbital que ha transcorregut des del periastre, mesurada com un angle

amb

vèrtex

al

centre

de

l’el·lipse. També és l’angle que forma un planeta fictici que es troba en una trajectòria circular uniforme amb l’eix principal de l’el·lipse que mesura igual que el diàmetre de la circumferència imaginària.

I l’​anomalia excèntrica és l’angle que forma, des del centre de l’el·lipse, l’eix d’aquesta amb la projecció del planeta sobre la​ ​circumferència imaginària.

Les expressions que permeten relacionar els conceptes anteriors per determinar la posició de la nau respecte el temps són les següents (​Nota: les unitats que es fan servir en aquestes expressions normalment són radians pels angles i segons pel temps)​ :

107

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

A partir de la variació de les anomalies mitjanes (M - M​0​) respecte dos instants diferents (inicial i final, o t​0 i t), s’obté la següent fòrmula utilitzant el moviment mig del cos orbital (n), és a dir, la seva velocitat angular mitjana: M −M

0

= n (t − t 0 )

(36)

Per determinar el moviment mig del cos orbital (n), es pot esbrinar coneixent el semieix major de l’òrbita (a) i la massa de l’astre (M) que s’orbita:

n=

√

GM a3

(37)

L’anomalia mitjana expressava una fracció de període orbital respecte una circumferència imaginària semblant a l’el·lipse real. Per tant, cal relacionar l’expressió 36 amb l’anomalia excèntrica mitjançant una fòrmula anomenada “​Equació de Kepler​”, on M és l’anomalia mitjana, E, l’excèntrica i, e, l’excentricitat de l’el·lipse: M = E − e sin (E)

(38)

Per últim, només cal passar de l’anomalia excèntrica (E) a la veritable ( ν ), per tal d’obtenir un valor basat en una trajectòria el·líptica i no circular. Es disposa de dues fòrmules, una general (39 a) i una per obtenir grans aproximacions si es fan servir excentricitats molt petites (39 b). E és l’anomalia excèntrica, e, l’excentricitat de l’el·lipse, ν és l’anomalia veritable i, M, l’anomalia mitjana:

cos (E) =

e + cos (ν) 1 + e cos (ν)

(39 a)

ν ≈ M + 2e sin (M ) + 1, 25e 2 sin (2M )

(39 b)

Per finalitzar, si es vol esbrinar la distància a la qual es troba la nau del focus de l’òrbita en un precís moment, utilitzant l’anomalia veritable es pot calcular la distància (r) a partir de l’expressió 28, que és: r=

a (1−e 2 ) 1 + e cos(ν)

Exemple 6:

108

(28)

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Es vol calcular quant de temps triga un satèl·lit a viatjar des del periastre de l’òrbita GTO de l’exemple 2 fins a l’apoastre. Les dades d’aquesta òrbita eren: * R​p​ (periastre): 300.000 m * R​a​ (apoastre): 35.790.000 m * a (semieix major): 24.416.000 m * e (excentricitat): 0,7268 Si la posició inicial (t​0 = 0) és el periastre, significa que l’anomalia veritable inicial ( ν 0 ) és de 0º, o el que és el mateix, 0 rad. I si el destí és l’apoastre (t = ?), l’anomalia veritable ( ν ) serà de 180º, o dit en radians, π rad.

Com l’excentricitat té un valor elevat, per esbrinar l’anomalia excèntrica (E) a l’apoastre es farà servir l’equació “39 a”: cos (E) =

e + cos (ν) 1 + e cos (ν)

↓ S’aïlla E ↓ (ν) E = arccos ( 1e++ecos cos (ν) )

+ cos (π) E = arccos ( 10,7268 + 0,7268 cos (π) ) = π rad

Lògicament, el valor d’E és el mateix que el de ν , ja que tant a la circumferència imaginària de l’òrbita com a l’el·lipse real, s’ha arribat a l’altre extrem de l’eix principal.

Ara s’haurà d’obtenir el valor de l’anomalia mitjana (M), que també hauria de resultar π rad. Per fer-ho, es farà servir l’expressió matemàtica 38, l’​“Equació de Kepler”​: M = E − e sin (E)

M = π − 0, 7268 sin (π) = π rad Ara que ja es coneix el valor de M, abans d’utilitzar l’expressió 36, s’utilitzarà la 37 per esbrinar n: n=

√

GM a3

109

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

n=

√

GM 24.416.000 3

= 0, 0001655 rad/s

I ara sí s’utilitza l’expressió 36, coneixent el valor de M i n i on s’haurà d’esbrinar el valor de t. En aquest cas, com t​0 = 0 i M​0 = 0 perquè el punt inicial és el periastre, ​ aquests paràmetres es poden eliminar de l’equació, de tal manera que queda: M =n·t

↓ S’aïlla t ↓

t=

M n

=

π 0,0001655

= 18.982, 43 segons

S’arriba a la conclusió que des que la nau comença al periastre a 300 km sobre la superfície de la Terra fins que arriba a l’apoastre on la seva distància a la superfície terrestre

és

l’alçada

geoestacionària,

triga

18.982,43

segons,

que

equival

aproximadament a 5 hores, 16 minuts i 22,2 segons.

Abans de finalitzar l’apartat de l’òrbita el·líptica, s’introduirà una fòrmula per obtenir el període (T, en segons) d’aquesta òrbita. A partir del semieix major (a), la constant de gravitació universal (G) i la massa del planeta origen (M), es calcula T segons:

T = 2π

√

a3 GM

(40)

Òrbita parabòlica: Per calcular la posició respecte el temps en una òrbita parabòlica no es disposa de centre, sinó només d’un focus. D’aquesta manera, les anomalies excèntrica i mitjana que es van tractar s’expressaran matemàticament de manera diferent.

En aquest cas, el moviment mig del cos orbital (n) s’anomena moviment mig parabòlic, també representat per ​n:​ n=

√

GM 2R p 3

(41) 110

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

On G és la constant gravitacional, M la massa del planeta i, R​p​, la distància del focus de l’òrbita al periastre.

Un cop es té n, s’ha d’obtenir el valor de l’anomalia mitjana parabòlica (M), a partir de la següent fòrmula, on t és el temps final i, t​0​, l’inicial: M− M

0

= n (t − t 0 )

(42)

A continuació s’ha d’obtenir el valor de l’anomalia excèntrica parabòlica (D), però en comptes de fer-ho amb l’​“Equació de Kepler”,​ en aquest cas es farà amb una similar que funciona amb òrbites parabòliques, anomenada ​“Equació de Barker”​: M =D+

1 3

D3

(43)

I, per acabar, només queda relacionar l’anomalia excèntrica parabòlica (D) amb l’anomalia veritable ( ν ), ja que aquesta última és la que expressa amb més precisió la posició del cos respecte l’astre central: D = tan ( 2ν )

(44)

L’​”Equació de Barker” també es pot reconèixer com una simplificació general de totes les fòrmules anteriors, on finalment es relaciona el temps de vol amb D:

t−t0 =

√

2Rp3 GM (D

+

1 3

D 3)

(45)

És important saber que per esbrinar la distància d’un cos (r) coneixent l’anomalia veritable ( ν ) a l’òrbita parabòlica, s’ha d’utilitzar la següent expressió:

r=

2R p 1 + cos (ν)

(46)

On R​p​ és l’alçada del periastre.

111

Sànchez Garcia, Alejandro

Planificació de les missions espacials

Òrbita hiperbòlica: Aquest cas és similar al de l’el·lipse. Encara i així, hi ha alguna diferència de símbols pel que fa a la representació gràfica de les anomalies.

En primer lloc, i igual que a tots els tipus d’òrbites, es necessita calcular ​n​, en aquest cas anomenat moviment mig hiperbòlic. Es pot calcular a partir de la següent equació, on G i M són la constant de gravitació universal i la massa del planeta origen, respectivament, i |a| és el valor del semieix major de la hipèrbola, però en valor absolut:

n=

√

GM |a| 3

(47)

Ara que ja es disposa del valor de n, es pot calcular l’anomalia mitjana hiperbòlica, a partir de la següent fòrmula, on M és l’anomalia mitjana, t el temps final i, t​0​, el temps inicial: M −M

0

= n (t − t 0 )

(48)

I a partir de l’anomalia mitjana (M), es pot calcular l’anomalia excèntrica hiperbòlica (F), a partir de: M = e sinh (F ) − F

(49)

On e és l’excentricitat.

I per acabar, només cal trobar l’anomalia veritable ( ν ), utilitzant una equació similar a la de l’el·lipse: cosh (F ) =

e + cos (ν) 1 + e cos (ν)

112

(50)