Graad 8 - Wiskunde - Handleiding 1/2 - 2026

Senior Fase Graad 8 • Handleiding 1/2

Wiskunde KABV

EK

SE

M

PL

AA

R

Wiskunde

om voorafkennis te toets.

• Hersieningsoefeninge verduidelikings van begrippe en tegnieke.

• Deeglike voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter • Uitgewerkte te verstaan. oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige • Gemengde vaardighede te oefen. en memorandums vir eksamenvoorbereiding.

• Oefenvraestelle en aanvaarde meetkundige redes vir • Formuleblaaie vinnige verwysing. van wiskundige terme.

• Indeks Die fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings • en antwoorde.

• Gebruik in die klaskamer of tuis.

Handleiding 1/2

2608-A-MAM-SG01

8 2608-A-MAM-SG01_Cover.indd 5

25/9/2025 12:00:04

R AA

PL

Besit en gepubliseer deur Optimi, deel van Optimi Central Services (Edms) Bpk. Impalalaan 7, Doringkloof, Centurion, 0157 info@optimi.co.za www.optimi.co.za

M

© Optimi

SE

Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg, mag geen gedeelte van hierdie boek in enige vorm of op enige manier elektronies of meganies, insluitend fotokopiëring, bandopname, of enige inligtingstoring-en-herwinningstelsel, gereproduseer of versend word sonder die uitgewer se skriftelike toestemming nie.

EK

Die uitgewer dra geen verantwoordelikheid vir die voortbestaan of akkuraatheid van URL’e van eksterne webwerwe of webwerwe van derde partye waarna daar in hierdie publikasie verwys word nie, en waarborg nie dat enige inhoud op sulke webwerwe akkuraat of toepaslik is, of sal bly nie.

Daar is gevalle waar ons nie die kopiereghouer kon kontak of opspoor nie. Die uitgewer is bereid om enige foute of weglatings so gou as moontlik reg te stel indien die saak onder ons aandag gebring word.

Reg. No.: 2006/002404/07 ISBN: 9781779841742

2608-A-MAM-SG01_Cover.indd 6

25/9/2025 12:00:04

EK

SE

M PL

Handleiding 1/2 − Graad 8

AA

R

Wiskunde

2608-A-MAM-SG01

Aangepas vir KABV

Prof. C Vermeulen, hoofouteur H Otto M Sherman

INHOUDSOPGAWE

5.

Probleemoplossing met koers ...................................................................13

6.

Probleemoplossing met verhouding..........................................................16

VOORWOORD...............................................................................................ix

6.1

Verhouding...................................................................................................16

6.2

Skryf verhoudings in hulle eenvoudigste vorm............................................16

6.3

Bepaal ’n onbekende hoeveelheid in ’n verhouding.....................................16

AA

TEMA 1............................................................................................................. 1 Inleiding...................................................................................................................1 Eienskappe van telgetalle.............................................................................1

1.1

Die kommutatiewe eienskap ..........................................................................1

1.2

Die assosiatiewe eienskap ..............................................................................1

1.3

Die distributiewe eienskap van vermenigvuldiging ......................................... oor optelling en aftrekking.............................................................................2

2.

Identiteite en inverses...................................................................................3

2.1

Identiteite........................................................................................................3

2.2

Deling deur nul...............................................................................................3

2.3

Inverses...........................................................................................................3

Oefening 5: Verhouding................................................................................17

6.4

Verdeel ’n hoeveelheid in ’n gegewe verhouding.........................................17

6.5

Bepaal die volledige hoeveelheid wanneer ’n deel .......................................... van ’n verhouding gegee word......................................................................18

M PL

1.

R

Oefening 4: Probleemoplossing met koers ..................................................15

6.6

Oefening 6: Probleemoplossing met verhouding..........................................20

Oefening 1: Eienskappe van telgetalle, identiteite en inverses ......................4 Berekeningstegnieke.....................................................................................5

3.1

Bodmas-reël....................................................................................................5

3.2

Afronding........................................................................................................6

7.

Finansies: wins, verlies, afslag en btw.......................................................20

7.1

Wins en verlies ............................................................................................20

7.2

Afslag ...........................................................................................................21

7.3

BTW.............................................................................................................22 Oefening 7: Wins, verlies, afslag en BTW...................................................22

SE

3.

Vermeerder of verminder ’n getal in ’n gegewe verhouding........................18

Oefening 2: Berekeningstegnieke...................................................................8

8.

Finansies: wisselkoers, rente en huurkoop...............................................23

8.1

Wisselkoers...................................................................................................23

8.2

Rente.............................................................................................................24

8.3

Huurkoop......................................................................................................24

Priemgetalle, veelvoude en faktore ............................................................8

4.1

Veelvoude en faktore......................................................................................8

4.2

Deelbaarheidsreëls..........................................................................................9

4.3

Priemfaktorisering..........................................................................................9

4.4

Grootste gemene deler..................................................................................10

4.5

Kleinste gemene veelvoud............................................................................11

TEMA 2: HEELGETALLE................................................................................. 30

Oefening 3: Priemgetalle, veelvoude en faktore...........................................12

Inleiding.................................................................................................................30

EK

4.

©Optimi

Oefening 8: Wisselkoers, rente en huurkoop................................................25 Selfevaluering........................................................................................................25 Opsomming van tema...........................................................................................26 Oefening om die tema af te sluit..........................................................................28

iii

G08– Wiskunde

G08 – Wiskunde – Handleiding 1/2 1.

Heelgetalle...................................................................................................30

1.1

Tel, orden en vergelyk heelgetalle................................................................30

1.2

Derdemagte en derdemagswortels................................................................50 Oefening 17: Derdemagte en derdemagswortels..........................................50

2.

Oefening 9: Tel, orden en vergelyk heelgetalle............................................31

Eksponensiële vorm....................................................................................51 Oefening 18: Skryf getalle in eksponensiële en uitgebreide vorm...............52

Tel heelgetalle op..........................................................................................31

1.3

Trek heelgetalle af........................................................................................32

3.

Eksponentwette...........................................................................................52

Oefening 10: Tel heelgetalle op en trek hulle af...........................................33

3.1

Toepassing van eksponentwette....................................................................52

Vermenigvuldiging en deling van heelgetalle...........................................34

2.1

Vermenigvuldig ’n positiewe heelgetal met ’n negatiewe heelgetal.............34

2.2

Vermenigvuldig ’n negatiewe heelgetal met ’n negatiewe heelgetal............34

2.3

Deel heelgetalle............................................................................................35

AA

2.

Oefening 19: Skryf getalle in eksponensiële en uitgebreide vorm...............54 Oefening 20: Pas die derde en vierde eksponentwet toe..............................56

3.2

M PL

Oefening 22: Pas die eksponentwette toe.....................................................58

Eienskappe van heelgetalle .......................................................................37

4.

Oefening 12: Eienskappe van heelgetalle.....................................................37 Berekeninge met al vier bewerkings .........................................................38

5.

Oefening 14: Berekeninge met al vier bewerkings.......................................41 5.

Probleemoplossing met heelgetalle............................................................41

SE

Selfevaluering........................................................................................................44

6.

Opsomming van tema...........................................................................................45 7.

EK

Selfevaluering........................................................................................................67

Inleiding.................................................................................................................48 Kwadrate en vierkantswortels.......................................................................48

Wetenskaplike notasie................................................................................66 Oefening 26: Skryf getalle in wetenskaplike notasie en omgekeerd............66

TEMA 3: EKSPONENTE................................................................................. 48

1.1

Probleemoplossing met getalle in eksponensiële vorm............................64 Oefening 25: Los probleme met getalle in eksponensiële vorm op..............65

Oefening om die tema af te sluit..........................................................................45

Hoofrekene..................................................................................................48

Kwadrate, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels van rasionale getalle...................................................................................61 Oefening 24: Kwadrate, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels van gewone breuke en desimale breuke..........................63

Oefening 15: Probleme met heelgetalle........................................................42

1.

Berekeninge met vierkantswortels en derdemagswortels van heelgetalle.............................................................................................59 Oefening 23: Vierkantswortels en derdemagswortels van heelgetalle met al vier bewerkings.........................................................61

Oefening 13: Eienskappe van heelgetalle.....................................................38 4.

Berekeninge deur eksponentwette te gebruik...............................................56 Oefening 21: Berekeninge deur eksponentwette te gebruik.........................57

Oefening 11: Vermenigvuldig en deel heelgetalle........................................36 3.

R

1.2

Opsomming van tema...........................................................................................68 Oefening om die tema af te sluit..........................................................................68

Oefening 16: Bepaal kwadrate en vierkantswortels......................................49 iv

4.

TEMA 4: NUMERIESE EN MEETKUNDIGE PATRONE.................................... 71

Oefening 33: Vereenvoudig algebraïese uitdrukkings..................................96

3.

Selfevaluering........................................................................................................98

Oefening 27: Ondersoek en brei getalpatrone uit.........................................73

Opsomming van tema...........................................................................................98

Ondersoek en BREI meetkundige patrone UIT......................................73

Oefening om die tema af te sluit..........................................................................99

Oefening 28: Ondersoek en brei meetkundige patrone uit...........................74

R

2.

Ondersoek en brei getalpatrone uit...........................................................71

AA

Inleiding.................................................................................................................71 1.

Vereenvoudig algebraïese uitdrukkings....................................................94

TEMA 7: ALGEBRAÏESE VERGELYKINGS....................................................100

Bepaal die reël wat die waarde van ’n term met die posisie daarvan in die getalpatroon in verband bring.........................................75

Inleiding...............................................................................................................100

Oefening 29: Bepaal die reël wat die waarde van ’n term met die posisie daarvan in die getalpatroon in verband bring.............................79

Wat is ’n vergelyking?..............................................................................100

2.

Los vergelykings deur middel van inspeksie op...............................................................................................101

M PL

Selfevaluering........................................................................................................80

1.

Oefening 34: Los vergelykings deur middel van inspeksie op...................102

Opsomming van tema...........................................................................................80 Oefening om die tema af te sluit..........................................................................81

3.

TEMA 5: FUNKSIES EN VERWANTSKAPPE...................................................83

Selfevaluering......................................................................................................105

Oefening 35: Druk ’n situasie in wiskundige taal uit.................................104

Inleiding.................................................................................................................83 1.

Opsomming van tema.........................................................................................105

Inset- en uitsetwaardes...............................................................................83

Oefening om die tema af te sluit........................................................................105

SE

Oefening 30: Inset- en uitsetwaardes............................................................86

TEMA 8: ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS 2................................................. 107

Selfevaluering........................................................................................................87

Inleiding...............................................................................................................107

Oefening om die tema af te sluit..........................................................................87

1.

EK

Opsomming van tema...........................................................................................87 TEMA 6: ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS..................................................... 89

2.

Oefening 32: Algebraïese uitdrukkings........................................................91

4.

3.

3.

Tel algebraïese uitdrukkings op en trek hulle af....................................110 Oefening 38: Tel algebraïese uitdrukkings op en trek hulle af...................111

Algebraïese taal...........................................................................................90

Eksponentwette.........................................................................................112 Oefening 39: Eksponentwette.....................................................................114

Ekwivalente algebraïese uitdrukkings......................................................92

©Optimi

Vereenvoudig algebraïese uitdrukkings deur gelyksoortige terme op te tel en af te trek........................................................... 108 Oefening 37: Tel gelyksoortige terme op en trek hulle af..........................109

Algebraïese taal...........................................................................................89 Oefening 31: Algebraïese taal......................................................................90

2.

Algebraïese taal.........................................................................................107 Oefening 36: Algebraïese taal....................................................................108

Inleiding.................................................................................................................89 1.

Druk ’n situasie in wiskundige taal uit...................................................103

v

G08– Wiskunde

G08 – Wiskunde – Handleiding 1/2 5.

Vermenigvuldig algebraïese terme..........................................................115

3.

Oefening 40: Vermenigvuldig algebraïese terme.......................................115 6.

Oefening 49: Los vergelykings met behulp van eksponentwette op...........137

Vermenigvuldig algebraïese uitdrukkings..............................................116

4.

Oefening 50: Gebruik vergelykings om probleme op te los.......................140

Deel algebraïese terme..............................................................................118

Selfevaluering......................................................................................................141

Oefening 42: Deel algebraïese terme..........................................................119

Opsomming van tema.........................................................................................141

AA

8.

Deel algebraïese uitdrukkings.................................................................119

Oefening om die tema af te sluit........................................................................141

Oefening 43: Deel algebraïese uitdrukkings...............................................121 9.

Vereenvoudig algebraïese uitdrukkings deur middel van veelvuldige bewerkings.................................................................................................121

TEMA 10: KONSTRUKSIES........................................................................... 143

Inleiding...............................................................................................................143

Oefening 44: Vereenvoudig algebraïese uitdrukkings deur middel van veelvuldige bewerkings............................................................122

1.

Oefening 51: Meet, konstrueer en klassifiseer hoeke.................................145

Kwadrate, derdemagte, vierkantswortels en derdemagswortels..........123

10.1 Kwadrate en derdemagte............................................................................123

Oefening 45: Kwadrate en derdemagte......................................................124

2.

Konstruksie van loodregte lyne...............................................................146

3.

Konstruksie van hoeke sonder om ’n gradeboog te gebruik................148 Oefening 52: Konstruksie van loodregte lyne en hoeke sonder om ’n gradeboog te gebruik............................................................151

10.2 Vierkantswortels en derdemagswortels......................................................125 Oefening 46: Vierkantswortels en derdemagswortels................................126

SE

Selfevaluering......................................................................................................128 Opsomming van tema.........................................................................................128 Oefening om die tema af te sluit........................................................................129

Driehoeke ..................................................................................................152

4.1

Konstruksie van driehoeke ......................................................................152

4.2

Eienskappe van driehoeke wat uit die konstruksie .......................................... van driehoeke afgelei is..............................................................................156

5.

EK

Inleiding...............................................................................................................131 Los vergelykings deur middel van inspeksie op.....................................131

Konstruksie van vierhoeke en die afleiding van sekere eienskappe van vierhoeke.........................................................................158 Oefening 54: Konstrueer vierhoeke en lei hul eienskappe af.....................162

Oefening 47: Los vergelykings deur middel van inspeksie op...................132 2.

4.

Oefening 53: Konstrueer driehoeke en lei hul eienskappe af.....................157

TEMA 9: ALGEBRAÏESE VERGELYKINGS 2..................................................131 1.

Hersiening van graad 7-meetkunde........................................................143

M PL

10.

Gebruik vergelykings om probleme op te los......................................................................................................137

R

Oefening 41: Vermenigvuldig algebraïese uitdrukkings............................117 7.

Los vergelykings met behulp van eksponentwette op............................136

Selfevaluering......................................................................................................164

Los vergelykings met behulp van optellings- en vermenigvuldigingsinverses op................................................................132

Opsomming van tema.........................................................................................164 Oefening om die tema af te sluit........................................................................165

Oefening 48: Los vergelykings met behulp van optellings- en vermenigvuldigingsinverses op..................................................................135 vi

TEMA 12: MEETKUNDE VAN REGUITLYNE.................................................. 196

Inleiding...............................................................................................................167

Inleiding...............................................................................................................196

1.

Driehoeke ..................................................................................................167

1.

Hoeke rondom ’n punt ............................................................................196

1.1.

Klassifikasie van driehoeke op grond van hulle sye...................................167

2.

Basiese hoekverwantskappe.....................................................................197

1.2

Klassifikasie van driehoeke op grond van hulle hoeke..............................168

2.1

Komplementêre en supplementêre hoeke...................................................197

2.

Oefening 62: Komplementêre en supplementêre hoeke.............................198

AA

Oefening 55: Klassifiseer driehoeke op grond van hulle sye en hoeke......169 Eienskappe van driehoeke.......................................................................169

2.2

Oefening 56: Gebruik die eienskappe van diebuite- en binnehoeke van ’n driehoek...........................................................................................170

Vierhoeke...................................................................................................175

3.1

Definisies van vierhoeke.............................................................................175

3.2

Los probleme op deur die eienskappe van vierhoeke te gebruik................177

Loodregte lyne............................................................................................202

2.4

Regoorstaande hoeke..................................................................................203 Oefening 64: Loodregte lyne, regoorstaande hoeke en aangrensende hoeke op ’n reguitlyn....................................................................................24

Oefening 58: Los probleme op deur die eienskappe van verskeie vierhoeke te gebruik.....................................................................178

3.

Ewewydige lyne.........................................................................................206

3.1

Ooreenkomstige hoeke...............................................................................206 Oefening 65: Ooreenkomstige hoeke..........................................................209

3.2

Los probleme op deur die eienskappe van vierhoeke en driehoeke te gebruik...................................................................................179

Verwisselende hoeke..................................................................................211

SE

Oefening 66: Verwisselende hoeke............................................................213

3.3

Oefening 59: Gebruik die eienskappe van driehoeke en vierhoeke om onbekende waardes te bepaal......................................................................180

Ko-binnehoeke............................................................................................215 Oefening 67: Ko-binnehoeke......................................................................217

Kongruensie..............................................................................................182

Oefening 68: Gemengde oefening..............................................................219

Oefening 60: Kongruensie..........................................................................185

Selfevaluering......................................................................................................222

Gelykvormigheid.......................................................................................186

Opsomming van tema.........................................................................................222

Oefening 61: Gelykvormigheid in veelhoeke.............................................189

Oefening om die tema af te sluit........................................................................223

EK

5.

2.3

M PL

3.

4.

Hoeke rondom ’n punt en op reguitlyne.....................................................199 Oefening 63: Hoeke rondom ’n punt en hoeke op ’n reguitlyn..................200

Oefening 57: Bepaal onbekende hoeke deur die eienskappe van driehoeke te gebruik.............................................................................173

3.3

R

TEMA 11: MEETKUNDE VAN 2D VORMS..................................................... 167

Selfevaluering......................................................................................................191 Opsomming van tema.........................................................................................192 Oefening om die tema af te sluit........................................................................192

©Optimi

vii

G08– Wiskunde

G08 – Wiskunde – Handleiding 1/2 JUNIE: VRAESTEL 1 (A)................................................................................226 JUNIE: VRAESTEL 1 (B)................................................................................228

R

JUNIE: VRAESTEL 2 (A).............................................................................. 230

AA

JUNIE: VRAESTEL 2 (B)............................................................................... 234 FORMULES...................................................................................................238

EK

SE

M PL

EUKLIDIESE MEETKUNDE: AANVAARDE REDES....................................... 240

viii

Graad 8 is die tweede jaar van die Algemene Onderwys en Opleiding (AOO)fase, waarin Wiskunde steeds ’n verpligte vak is. Dit is egter die eerste jaar van hoërskool, en baie leerders vind die oorgang van laerskool na hoërskool uitdagend.

Dit is belangrik om te onthou dat graad 8-werk voortbou op graad 7 (en vroeër grade) se werk, eerder as dat dit beskou moet word as heeltemal nuwe werk omdat dit nou hoërskool is. Verder moet in gedagte gehou word dat leerders vanaf graad 10 ’n keuse moet uitoefen tussen Wiskunde en Wiskundige Geletterdheid. Leerders kies soms Wiskundige Geletterdheid om die verkeerde redes. Dit sluit in dat hulle Wiskunde tot graad 9 moeilik vind, en dat Wiskundige Geletterdheid minder uitdagend as Wiskunde in graad 10 tot 12 is. Voordat jy egter hierdie keuse aan die einde van graad 9 maak, moet jy mooi besin oor jou toekomsplanne, veral as jy naskoolse kwalifikasies (universiteit of kollege) wil behaal. Vir baie naskoolse kursusse is Wiskunde (en nie Wiskundige Geletterdheid nie) op graad 12-vlak ’n toelatingsvereiste. Dit is daarom belangrik dat jy in graad 8 hard werk in Wiskunde om ’n goeie grondslag vir graad 9 te lê, sodat jy suksesvol kan voortgaan met Wiskunde in graad 10 tot 12 om latere opsies oop te hou.

Aantal ure

Aantal weke

6

1,5

Telgetalle

9

2

Heelgetalle

9

2

Eksponente

1

Numeriese en meetkundige patrone

3

0,5

Funksies en verwantskappe

4,5

1

Algebraïese uitdrukkings

3

0,5

Algebraïese vergelykings

9

2

Algebraïese uitdrukkings

3

0,5

Algebraïese vergelykings

8

2

Konstruksies

8

2

Meetkunde van 2D vorms

9

2

Meetkunde van 2D vorms

7

1,5

Gewone breuke

6

1,5

Desimale breuke

5

1

Stelling van Pythagoras

5

1

Omtrek en oppervlakte

5

1

Buiteoppervlakte en volume

10,5

2,5

Datahantering

AA

Kwartaal

R

inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek tema 1 tot 12 (kwartaal 1 en 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 13 tot 24 (kwartaal 3 en 4).

VOORWOORD

4,5

M PL

1

2

SE

Hierdie produk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED Learning™-leermodel gebaseer is om jou en die fasiliteerders te help om suksesvol te wees in jou studie van Wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 8-wiskunde en is in ooreenstemming met die vereistes van die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys.

EK

Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om jou leerproses te ondersteun en te verryk. Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word.

3

Hier onder verduidelik ons hoe die handleiding en fasiliteerdersgids saamgestel is en hoe jy en die fasiliteerders dit kan gebruik om sukses in wiskunde te behaal.

Die handleidings en fasiliteerdersgidse is in 24 temas verdeel. Die temas stem ©Optimi

ix

Tema

Assessering

Toets Werkopdrag

Algebraïese uitdrukkings

Toets Werkopdrag Projek

G08– Wiskunde

G08 – Wiskunde – Handleiding 1/2 Aantal ure

Aantal weke

6

1,5

Funksies en verwantskappe

3

0,5

Algebraïese vergelykings

9

2

Grafieke

6

1,5

Transformasiemeetkunde

7

1,5

Meetkunde van 3D voorwerpe

4,5

1

Waarskynlikheid

Struktuur van temas

Assessering

Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan herroep. Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer.

R

4

Tema

Werkopdrag Ondersoek Jaareind-eksamen

AA

Kwartaal

Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Dit hou verband met die teorie van kognitiewe lading. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik. Jou se kognitiewe kapasiteit word te alle tye in ag geneem.

Tydsindeling

M PL

* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind.

Dit beteken dat verskeie strategieë gebruik word om seker te maak dat jy die beste moontlike kans het om elke deel van die werk te bemeester. Uiteindelik kan ’n mens sê dat leer plaasgevind het wanneer jy nuwe inligting in hulle langtermyngeheue gestoor het en die vermoë het om dit te herroep en te gebruik. Die handleidings se struktuur ondersteun dié proses en help jou om wiskunde te bemeester.

Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskunde-onderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 6 uur (ongeveer 1,5 weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (Telgetalle) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan jou en die fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat jy jou vordering toelaat. As jy stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat jy nog steeds al die werk betyds kan bemeester.

Elke tema het die volgende struktuur:

SE

Inleiding

Let daarop dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, die tyd insluit waartydens jy die kennis en begrippe wat jy geleer het, moet toepas en inoefen. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen, en dek verskillende moeilikheidsgrade. Jy moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgids gegee.

EK

Dit sê kortliks vir jou waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat jy in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee.

SUBTEMAS Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis en hersiening word ook hier behandel soos nodig. x

4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.

5. Whoohoo, dis partytjietyd! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.

Uitgewerkte voorbeelde

R

Uitgewerkte voorbeelde wys jou hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help hulle om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas.

Voltooi nou die volgende tabel:

AA

Onderwerp

Oefeninge Die oefeninge gee jou die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat jy al die oefeninge probeer voltooi. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.

3

4

5

M PL

Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar jy die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.

Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat die betrokke onderwerp volledig behandel en bemeester is nie, selfs al beteken dit dat meer tyd aan ’n sekere tema bestee word as wat die KABV aanbeveel.

SE

Dit is wel belangrik om die betrokke temas af te handel voordat ’n toets of eksamen afgelê word.

In elke tema is daar ’n aktiwiteit waar jy krities moet nadink oor die mate waarin jy sekere begrippe en prosedures bemeester het. Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat:

EK

Opsomming van tema

Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy is met elke onderwerp in die tabel wat volg:

Hier sien jy ’n opsomming van wat jy in die tema moes bemeester het. Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.

1. Alarm! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig.

2. Help! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.

3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.

©Optimi

2

Jou fasiliteerders moet hierdie evaluering gebruik om te bepaal of jy nog hulp met die betrokke tema of subtema nodig het. Indien wel, word aanbeveel dat hersiening of nog oefeninge dadelik gedoen word om seker te maak dat jy die noodsaaklike begrippe en prosedures bemeester. Die selfevaluering kan ook gebruik word om vir verryking te beplan. As jy die werk in die tema of subtema onder die knie het, kan verrykingsoefeninge gedoen word.

Vrae vorder gewoonlik van maklik (om basiese begrippe en prosedures te bemeester en in te oefen) na moeilik (ingewikkelder bewerkings).

Selfevaluering

1

xi

G08– Wiskunde

G08 – Wiskunde – Handleiding 1/2 Voltooi tien formele assesseringstake vir skoolgebaseerde assessering:

Oefening om die tema af te sluit

AA

Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer jy jou werk kan herken, sê jy dikwels “O, ja!” maar jy sukkel om dit te onthou wanneer jy eksamen skryf. Wanneer jy jou werk kan herroep, beteken dit dat jy daardie kennis in jou langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel jou in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit jou langtermyngeheue te herroep.

Toets

1

1

Eksamen

Werkopdrag

SBA

1

1 1

1

Projek

Aantal take per Gewig jaar

3

1

Ondersoek

M PL

Kwartaal 4

Kwartaal 3

1

R

Vorm van Assessering

Kwartaal 2

Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word. Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat jy probeer om al die oefeninge te voltooi. Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgidse.

Kwartaal 1

Minimum vereistes per kwartaal

1

3

1

2

1

40%

1

Wanneer jy dieselfde soort probleem oor en oor oefen, raak jy dikwels lui en dink jy kan nie meer na oor die oefening nie. Jy is daarvan oortuig dat jy presies weet watter soort probleem jy moet oplos. Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie probleme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van jou leerproses, leer jy om ’n probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat jy werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want jy kan die werk herroep en nie net herken nie.

Die twee vraestelle in die middel en aan die einde van die jaar word soos volg saamgestel (volgens KABV):

Assesseringsvereistes

Half jaareksamen:

Totaal

2

3

3

Jaareindeksamen

2

10* 1

60%

SE

*Moet voltooi wees voor die jaareindeksamen

Besoek Impaq se aanlyn platform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens. Die hoeveelheid take, puntetelling en relatiewe gewig is onderhewig aan verandering.

Vraestel 1

EK

Onderwerpe

xii

Begrippe

Telgetalle

Eienskappe Berekeninge Veelvoude van telgetalle met telgetalle en faktore

Heelgetalle

Tel, orden en vergelyk heelgetalle

Berekeninge met heelgetalle

Punte

% punt

Probleem7​±​2 oplossing

15​± 2​

Eienskappe Probleemvan 10​±​2 oplossing heelgetalle

23​±​2

Eksponente Numeriese en meetkundige patrone

Begrippe Vergelyk en Berekeninge stel getalle in met getalle in Probleemoplossing eksponensiële eksponensiële vorm voor vorm Ondersoek en brei patrone uit

5​±​2

Funksies en Invoer- en uitvoerwaardes verwantskappe Algebraïese taal

Algebraïese vergelykings

Los vergelykings op

4​±​2

7​±​2

8​±​2

60

100

Vraestel 2

Totaal

©Optimi

SE

Meetkunde van 2D vorms

% Punte punt

Begrippe Verwantskappe van hoeke Klassifiseer 2D vorms

8​±​2 12​±​2

Gelykvormige en kongruente 2D vorms

Probleemoplossing Probleemoplossing

EK

Meetkunde van reguitlyne

11​±​2

Brei uit en vereenvoudig Algebraïese 16​±​2 uitdrukkings

Totaal

Onderwerpe

23​±​2

32​±​2

53​± 2​

28​±​2

47​±​2

60

100

Begrippe

% punt

Eienskappe Berekeninge Veelvoude van telgetalle met telgetalle en faktore

Probleemoplossing

7​±​2

11​± 2​

Heelgetalle

Berekeninge met heelgetalle

Eienskappe van heelgetalle

Probleemoplossing

4​±​2

7​±​2

Gewone breuke

Berekeninge met breuke

Persentasies

Ekwivalente 5​± 2​ vorms

9​±​2

Probleemoplossing

Desimale breuke

Berekeninge Probleemmet desimale oplossing breuke

Ekwivalente vorms

4​±​2

7​±​2

Eksponente

Vergelyk en Berekeninge stel getalle in met getalle in Probleemoplossing eksponensiële eksponensiële vorm voor vorm

7​±​2

11​±​2

Numeriese en meetkundige patrone

Ondersoek en brei patrone uit

3​±​2

6​±​2

Funksies en Invoer- en uitvoerwaardes verwantskappe

Ekwivalente vorms

6​±​2

11​±​2

Algebraïese uitdrukkings

Algebraïese taal

Brei uit en vereenvoudig Algebraïese uitdrukkings

10​±​2

16​±​2

Algebraïese vergelykings

Los vergelykings op

7​±​2

11​±​2

Grafieke

Interpreteer grafieke

7​±​2

11​±​2

60

100

Totaal

xiii

Punte

Telgetalle en heelgetalle

M PL

Algebraïese uitdrukkings

11​±​2

Vraestel 1

Onderwerpe

AA

Onderwerpe

Jaareindeksamen:

% Punte punt

R

Vraestel 1

Teken grafieke

G08– Wiskunde

G08 – Wiskunde – Handleiding 1/2

8​±​2

13​± 2​

Klassifiseer 2D Gelykvormige en vorms kongruente vorms

Meetkunde van reguit lyne

Verwantskappe van hoeke

Probleemoplossing

9​±​2

15​±​2

Transformasiemeetkunde

Transformasies

Vergrotings en verkleinings

6​± 2​

10​±​2

Meetkunde van 3D voorwerpe

Klassifiseer 3D voorwerpe

7​±​2

12​±​2

Stelling van Pythagoras

Gebruik die stelling van Pythagoras

5​±​2

8​±​2

Oppervlakte en omtrek

Oppervlakte en omtrek van reëlmatige en onreëlmatige veelhoeke

Berekeninge en probleemoplossing

5​±​2

8​±​2

Buiteoppervlakte Berekeninge en en volume van 3D Buiteoppervlakte en volume probleemoplossing voorwerpe

5​±​2

8​±​2

10​±​2

18​±​2

5​±​2

8​±​2

60

100

Waarskynlikheid

Waarskynlikheid

Totaal

Interpreteer data

Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleidings gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend: • Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za • die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula.com • Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.

Sakrekenaar

Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nieprogrammeerbare en niegrafiese sakrekenaar is egter geskik.

Wenk: Maak seker dat jy’n geskikte sakrekenaar het.

Analiseer Rapporteer data data

SE

Organiseer Stel en som data data op voor

Aanvullende boeke

M PL

Meetkunde van 2D vorms

Datahantering

Probleemoplossing

% Punt

R

Begrippe

Punte

AA

Vraestel 2

Onderwerpe

EK

Let op: Die samestelling van die eksamens is onderhewig aan verandering. Verwys altyd na die portefeuljeboek en assessseringsplan vir die nuutste inligting oor die samestelling van die eksamens.

xiv

ONTHOU

Getalle, bewerkings en verhoudings (1)

1.1

Die kommutatiewe eienskap

AA

TELGETALLE

R

Die versameling telgetalle ​=​{0; 1; 2; …}

TEMA 1

ONTHOU

Om te kommuteer beteken dat die getalle verwissel kan word.

Inleiding

•

•

•

1.

•

berekeninge met telgetalle met al vier bewerkings verskillende berekeningstegnieke en -strategieë die gebruik van priemfaktorisering van getalle om: ◦ die kleinste gemene veelvoud (KGV) te bepaal ◦ die grootste gemene deler (GGD) te bepaal

Die kommutatiewe eienskap vir vermenigvuldiging Indien ons twee telgetalle vermenigvuldig, kan ons die volgorde van die getalle verander.

Voorbeelde: ​4 × 3 = 12​en 3​ × 4 = 12​

•

Die kommutatiewe eienskap werk nie vir aftrekking of deling nie.

Voorbeelde:

probleemoplossing met: ◦ verhouding ◦ koers probleemoplossing met geld.

SE

• • •

eienskappe van telgetalle: ◦ kommutatiewe, assosiatiewe en distributiewe eienskap ◦ die getalle 0 en 1 as identiteite

1​ 0 − 3 = 7​, maar 3​ − 10 =​’n negatiewe getal. Die antwoorde is nie dieselfde nie. ​24 ÷ 4 = 6​, maar 4​ ÷ 24 =​’n breuk. Die antwoorde is nie dieselfde nie.

1.2

EK

•

Die kommutatiewe eienskap vir optelling Indien ons twee telgetalle bymekaartel, kan ons die volgorde van die getalle verander.

Voorbeelde: ​7 + 3 = 10​en 3​ + 7 = 10 ​

M PL

In hierdie tema hersien en brei ons uit op werk wat in graad 7 gedek is met betrekking tot:

ONTHOU

EIENSKAPPE VAN TELGETALLE

Om met iemand te assosieer beteken om saam of byeen te kom. Die hakies hou die getalle saam.

In hierdie subtema hersien ons kortliks die eienskappe van telgetalle met betrekking tot optelling en vermenigvuldiging.

©Optimi

Die assosiatiewe eienskap

1

G08 – Wiskunde

Tema 1: Telgetalle

G08 – Wiskunde – Handleiding 1/2 •

Die assosiatiewe eienskap vir optelling Indien ons drie telgetalle bymekaartel, kan ons die getalle verskillend groepeer en steeds dieselfde antwoord kry.

​​2 × (​ ​​4 + 6​)​​ = 2 × 4 + 2 × 6 = 8 + 12 = 20​​ Die distributiewe wet werk ook van agter die hakies af. Voorbeeld: ​​​(​​4 + 6​)​​ × 2 = 4 × 2 + 6 × 2 = 8 + 12 = 20​​

Die assosiatiewe eienskap vir vermenigvuldiging Indien ons drie telgetalle vermenigvuldig, kan ons die getalle verskillend groepeer en steeds dieselfde antwoord kry.

Waarom is dit die geval? Dit is as gevolg van die kommutatiewe eienskap, wat maak dat ons die 2 en die hakies kan omruil.

AA

•

R

Voorbeeld: (​​​ ​​5 + 2​)​​​​​+ 3 = 7 + 3 = 10​en ​​5 + (​ ​​2 + 3) = 5 + 5 = 10​​

Indien ons die verskil van twee getalle met ’n ander getal vermenigvuldig, werk die distributiewe eienskap ook. Voorbeeld: 3​ × (​ 7 − 5)​ = 3 × 7 − 3 × 5​

Voorbeeld: (​​​ ​​5 × 2​)​​​​​× 3 = 10 × 3 = 30​en ​​5 × (​ ​​2 × 3​)​​ = 5 × 6 = 30​​ Die assosiatiewe eienskap werk nie vir aftrekking of deling nie.

Voorbeelde:

•

LET WEL

M PL

(​​ 10 − 3)​ − 2 = 7 − 2 = 5​, maar 1 ​ 0 − (​ 3 − 2)​ = 10 − 1 = 9​. Die antwoorde is nie dieselfde nie.

Ons kan hierdie eienskappe gebruik om berekeninge eenvoudiger te maak, veral wanneer ons algebra doen. Die kommutatiewe en assosiatiewe eienskap werk vir optelling en vermenigvuldiging, maar nie vir aftrekking of deling nie. Die distributiewe eienskap werk vir vermenigvuldiging oor optelling of aftrekking.

(​​​ ​​24 ÷ 4​)​​ ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3​​, maar ​​24 ÷ (​ ​​4 ÷ 2​)​​ = 24 ÷ 2 = 12​​. Die antwoorde is nie dieselfde nie.

Die distributiewe eienskap van vermenigvuldiging oor optelling en aftrekking ONTHOU

•

Voltooi die stellings en dui aan watter eienskap jy gebruik het.

Om te distribueer beteken om uit te deel. Die getal vooraan word na elke getal in die hakies gedistribueer.

a)

​173 + 14 = 14 + ___​

b)

(3 × 6) × ___ = 3 × (6 × 11)​

Indien ons die som van twee getalle met ’n ander getal vermenigvuldig; kan ons eers die twee getalle optel en dan die antwoord met die ander getal vermenigvuldig. Voorbeeld:

c)

17 × (32 + 8) = 17 × 32 + ___​

d)

86 × 12 = ___ × 86​

​​2 × (​ ​​4 + 6​)​​ = 2 × 10 = 20​​

e)

17 + (6 + 12) = (17 + ___) + 12​

f)

​(7 − 3) × 8 = 7 × 8 − ___​

EK

•

Uitgewerkte voorbeeld 1: Eienskappe van telgetalle

SE

1.3

Of ons kan elke getal in die hakies met die ander getal vermeningvuldig deur die distributiewe eienskap te gebruik. Voorbeeld: 2

•

Oplossings a)

​173 + 14 = 14 + 173​

b)

(3 × 6) × 11 = 3 × (6 × 11)​

Gebruik die assosiatiewe eienskap vir vermenigvuldiging

c)

17 × (32 + 8) = 17 × 32 + 17 × 8​​

Gebruik die distributiewe eienskap

d)

86 × 12 = 12 × 86​

e)

17 + (6 + 12) = (17 + 6​) + 12​

f)

(​ 7 − 3) × 8 = 7 × 8 − 3 × 8​

2.

IDENTITEITE EN INVERSES

Gebruik die kommutatiewe eienskap vir optelling

Vermenigvuldiging Indien ons enige getal wat nie nul is nie met 1 vermenigvuldig, bly die getal dieselfde.

R

Voorbeeld: ​7 × 1 = 7​

Die vermenigvuldigingsidentiteit is 1.

AA

Ons kan hierdie identiteit ook in omgekeerde volgorde toepas deur te deel: ​ 7 ÷ 1 = 7​.

Gebruik die kommutatiewe eienskap vir vermenigvuldiging Gebruik die assosiatiewe eienskap vir optelling

2.2 Deling deur nul

Deling deur nul is ongedefinieerd.

Gebruik die distributiewe eienskap

M PL

Probeer die volgende op jou sakrekenaar: 4​ ÷ 0​.

Het jy ’n boodskap soos “cannot be done” of “Math error” gekry?

In hierdie subtema werk ons met identiteite en inverses. Ons stel ook ’n nuwe konsep bekend: deling deur nul.

Waarom kan ons nie deur 0 deel nie?

2.1 Identiteite

​120 ÷ 120 = 1; 120 ÷ 60 = 2​; ​120 ÷ 10 = 12; 120 ÷ 6 = 20​;

SE

Kyk na die patroon hier onder. Ons gaan 120 deur al kleiner en kleiner getalle deel en sien wat gebeur met die antwoorde.

Indien ons ’n bewerking met ’n getal uitvoer en dit dieselfde (identies) bly, het ons ’n identiteit gebruik.

Die getalle in blou (delers) verminder, terwyl die getalle in rooi (antwoorde) vermeerder. Indien die getal waardeur jy deel baie klein raak, raak die antwoord baie groot. Ons kan nooit ’n getal bereik wat groot genoeg is om ’n antwoord op​ 120 ÷ 0​te bied nie.

Optelling Indien ons 0 by enige getal bytel, bly die getal dieselfde.

Voorbeeld: ​7 + 0 = 7​

EK

•

​120 ÷ 4 = 30; 120 ÷ 2 = 60​; ​120 ÷ 1 = 120​

Die optellingsidentiteit is 0.

2.3 Inverses

Ons kan hierdie identiteit ook in omgekeerde volgorde toepas deur af te trek: ​ 7 − 0 = 7​.

©Optimi

•

3

Optelling en aftrekking is die inverses van mekaar. Indien jy 3 bytel en dan 3 aftrek, is jy terug waar jy begin het.

Voorbeeld: □ ​ + 3 − 3 = □ + 0 = □​

G08 – Wiskunde

Tema 1: Telgetalle

G08 – Wiskunde – Handleiding 1/2 Vermenigvuldiging en deling is die inverses van mekaar. Indien jy vermenigvuldig met 3 en dan deel deur 3, is jy terug waar jy begin het.

Voorbeeld: ​□ × 3 ÷ 3 = □ × 1 = □ ​ Ons kan inverse bewerkings gebruik om berekeninge te kontroleer.

Optelling is die inverse bewerking van aftrekking: Voorbeeld: ​130 − 80 = 50​

Waar

Aftrekking is die inverse van optelling

f)

Waar

Deling is die inverse van vermenigvuldiging

g)

Vals

Aftrekking is die inverse van optelling, dus is 679 − 554 = 125

h)

Waar

Kontroleer: ​50 + 80 = 130​

AA

Kontroleer: ​30 × 8 = 240​

Alle vrae moet beantwoord word sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.

1.

Lys alle telgetalle in die gegewe versameling. {350; ​2 ​__12 ​; –7; 50; 0,75; 291}

M PL

Uitgewerkte voorbeeld 2: Identiteite en inverses

2.

Dui aan of elke stelling waar of vals is. Verduidelik jou antwoord en gee die korrekte antwoord indien ’n stelling vals is.

Hoofrekenespoedtoets. Verbind die berekening met die letter van die antwoord in die tabel so vinnig as wat jy kan.

2.1 ​8 × 7​

a)

​578 × 0 = 578​

b)

​731 ÷ 0 = 0​

c)

​1 × 439 = 439​

d)

​1 × 0 = 1 ​

e)

​346 + 119 − 119 = 346​

f)

​952 × 621 ÷ 621 = 952 ​

g)

​679 − 125 = 554​, dus is 554 − 679 = 125​

2.6 ​320 ÷ 8​

h)

328 × 2 = 656​, dus is 656 ÷ 328 = 2​

2.7 ​3 × 12​

a)

Vals

b)

Vals

c)

Waar

d)

Vals

2.2 ​72 ÷ 9​ 2.3 ​9 × 6​

SE

2.4 ​144 ÷ 12​ 2.5 ​280 ÷ 40​

EK

Oplossings

Deling is die inverse van vermenigvuldiging

Oefening 1: Eienskappe van telgetalle, identiteite en inverses

Vermenigvuldiging is die inverse bewerking van deling.

Voorbeeld: ​240 ÷ 8 = 30​

e)

R

•

2.8 ​360 ÷ 6​ 2.9 ​360 ÷ 12​

Die vermenigvuldigingsidentiteit is 1, nie 0​nie (578 × 0 = 0​) Deling deur 0 is ongedefinieerd

2.10 ​12 × 7​

1 is die vermenigvuldigingsidentiteit

1 is die vermenigvuldigingsidentiteit slegs van getalle wat nie nul is nie

4

2.11 ​63 ÷ 7​

3.

2.12 ​60 × 4​ C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

7

8

9

12

30

36

40

54

56

60

84

240

3.

In hierdie subtema hersien ons die volgorde van bewerkings en berekeningstegnieke.

R

B

ONTHOU

AA

A

BODMAS-reël vir die volgorde van bewerkings

Voltooi die stellings. Dui aan watter eienskap jy in elke geval gebruik het.

3.1 ​79 + 21 = 21 + ___​

3.4 ​31 × 15 = ___ × 31​ 3.5 ​​20 + (​ ​​3 + 13​)​​ = ​(​​ ___ + 3​)​​ + 13​​ 3.6 ​​(9 − 4)​ × 6 = 9 × 6 − ___​

​173 × 1 ​

4.2 ​468 × 0 ​ 4.3 ​329 ÷ 0​ 4.4 ​1 × 720 ​ 4.5 ​0 + 1 ​ 4.6 ​0 × 1 ​ 4.7 ​528 + 0​ 4.8​

O

(Other/of) Ander bewerkings soos kwadrate, vierkantswortels, derdemagte

D en M

(Division and multiplication) Deling en vermenigvuldiging van links na regs

A en S

(Addition and subtraction) Optelling en aftrekking van links na regs

BODMAS-reël

”Jy onthou waarskynlik die BODMAS-reël wat vir ons die korrekte volgorde van bewerkings gee.

SE

4.1

(Brackets) Hakies

3.1

Kontroleer jou begrip van identiteite. Skryf die antwoorde op die volgende neer:

Hier verwys die woord “bewerking” na aksies met getalle, soos optel, aftrek, vermenigvuldiging, kwadrering.

EK

4.

B

M PL

3.2 ​​​(​​5 × 2​)​​ × ___ = 5 × (​ ​​2 × 7​)​​​​ 3.3 ​​11 × (​ ​​12 + 9​)​​ = 11 × 12 + ___​​

BEREKENINGSTEGNIEKE

528 + 1 ​

©Optimi

5

G08 – Wiskunde

Tema 1: Telgetalle

G08 – Wiskunde – Handleiding 1/2

Uitgewerkte voorbeeld 3: Toepassing van die BODMAS-reël

Uitgewerkte voorbeeld 4: Toepassing van die BODMAS-reël op woorde

2 + 3 × 10 − 6 + 5(3 − 2)​

b)

48 ÷ (4 + 2) − 2 × 2 + 7​

Oplossings a)

b)

70 minder as die produk van 12 en 6.

Die produk van 13 en 10 = 13 × 10​ “Vermeerder met 15” beteken + ​ ​15 Voeg die dele bymekaar: 1​ 3 × 10 + 15​

M PL

​= 2 + 30 − 6 + 5​

Vermenigvuldig

​= 32 − 6 + 5​

​= 130 + 15 = 145​

Tel op en trek af van links na regs

b)

​= 26 + 5​

Vermenigvuldig eers; tel dan op

Die produk van 12 en 6 = 12 × 6​ “70 minder as” beteken ​−​70

​= 31​

Voeg die dele bymekaar: ​12 × 6 − 70 ​

​48 ÷ (4 + 2) − 2 × 2 + 7 ​ ​= 48 ÷ 6 − 2 × 2 + 7​ ​= 8 − 4 + 7 ​

Deel en vermenigvuldig van links na regs

3.2

Vermenigvuldig eers; trek dan af

Afronding

ONTHOU

Tel op en trek af van links na regs

Indien die getal ná die sleutelsyfer 4 of minder is, rond ons ondertoe af. Dit beteken die sleutelsyfer bly dieselfde.

EK

​= 4 + 7​

​= 72 − 70 = 2​

Werk die hakies uit

SE

​= 8 − 2 × 2 + 7​

REMEMBER

Vermeerder die produk van 13 en 10 met 15.

a)

Werk die hakies uit

​= 2 + 3 × 10 − 6 + 5​

​= 11​

a)

Oplossings

​2 + 3 × 10 − 6 + 5(3 − 2)​ ​​= 2 + 3 × 10 − 6 + 5​(​​1​)​​​​

b)

R

a)

Herskryf elke stelling met behulp van wiskundige bewerkings. Bereken dan die waarde van die uitdrukking.

AA

Vereenvoudig die uitdrukkings deur slegs een berekening per stap te doen.

Indien die getal ná die sleutelsyfer meer as 4 is, rond ons boontoe af. Dit beteken die sleutelsyfer vermeerder met 1.

“Vermeerder met”, “die som van” en “meer as” beteken alles optelling.

“Vermeerder met”, “die verskil tussen” en “minder as” beteken alles aftrekking.

“Die produk van” beteken vermenigvuldiging.

6

Oplossings

Uitgewerkte voorbeeld 5: Afronding

a)

6 275 tot die naaste tien

b)

7 249 tot die naaste honderd

3

2

4

8

0

9

1

2

4

b)

6 275: Die sleutelsyfer is die tienesyfer, wat 7 is. Die syfer ná 7 is 5, dus rond ons boontoe af. Die antwoord is 6 280.

Rond af: 50 × 20 = 1 000​

Die antwoord (912) is taamlik naby aan 1​ 000​, dus kan ons hieride skatting aanvaar.

7 249: Die sleutelsyfer is die honderdesyfer, wat 2 is. Die syfer ná 2 is 4, dus rond ons ondertoe af. Die antwoord is 7 200.

c)

Beskou die volgende: ​48 × 19​

b)

Kontroleer jou antwoord met behulp van skatting.

c)

Kontroleer jou antwoord met behulp van afronding en kompensasie.

d)

Watter antwoord is die minste akkuraat?

Gebruik die distributiewe eienskap

​= 912​

d)

SE

Bereken die antwoord met behulp van die kolommetode.

Rond 19 af en kompenseer dan deur 1 af te trek

​= 960 − 48​

Om te kompenseer beteken om vir ’n verandering op te maak.

a)

48 × 19 = 48 × (20 − 1)​ ​= 48 × 20 − 48 × 1 ​

Uitgewerkte voorbeeld 6: Afronding en kompensasie met vermenigvuldiging

Die antwoord op b) is die minste akkuraat. Afronding bied ons slegs ’n ruwe kontrole.

Uitgewerkte voorbeeld 7: Afronding en kompensasie met optelling en aftrekking Gebruik afronding en kompensasie om die volgende te bereken:

EK ©Optimi

9

M PL

b)

1

×

Oplossings a)

8

AA

a)

47

R

Rond die volgende getalle af:

7

a)

​380 + 513 ​

b)

​7 930 − 5 675​

G08 – Wiskunde

Tema 1: Telgetalle

G08 – Wiskunde – Handleiding 1/2

a)

​380 + 513​ ​= ​(380 + 20)​+ ​(513 − 13)​− 7​ ​= 400 + 500 − 7​

Rond af deur 20 by die eerste getal by te tel en 13 van die tweede getal af te trek. Dit is dieselfde as om 7 by te tel.

Kompenseer dus deur 7 af te trek.

​= 900 − 7​ ​7 930 − 5 675

c)

= (7 930 + 25) − (5 675 + 25)​ ​= 7 955 − 5 700 ​ ​= 2 255​

Tel 25 by die tweede getal by en kompenseer deur 25 ook by die eerste getal by te tel. Ons kies 25 om die berekening makliker te maak: ​75 + 25 = 100​

Oefening 2: Berekeningstegnieke 1.

3.1

Bepaal die som van 15 vermeerder met 200 en die produk van 12 en 70.

3.2

Verdubbel die verskil tussen 30 en 77.

4.

PRIEMGETALLE, VEELVOUDE EN FAKTORE

In hierdie subtema hersien ons priemgetalle, skryf ons ’n getal as ’n produk van priemfaktore, en leer om die GGD en KGV van verskeie getalle te bepaal.

4.1 Veelvoude en faktore

M PL

b)

Herskryf elke stelling met behulp van wiskundige bewerkings. Bereken dan die waarde van die uitdrukking.

AA

​= 893​

3.

​680 × 72​

1.3

​272 + 614​

1.4

​3 857 − 2 190​

2.

Bereken die volgende met behulp van die kolommetode. Kontroleer jou antwoorde met behulp van ’n sakrekenaar.

EK

SE

1.2

2.1 ​74 + 103 + 96 + 250​ 2.2 ​47 × 56​

8

’n Getal het min faktore maar baie veelvoude.

•

’n Veelvoud van ’n getal is ’n getal wat in die gegewe getal kan indeel sonder om ’n res te laat.

Veelvoude van 6 is {6; 12; 18; 24; 30; ...}.

•

’n Faktor van ’n getal is ’n getal wat in daardie getal kan indeel sonder om ’n res te laat. Ons kan ook sê dat faktore getalle is wat met mekaar vermenigvuldig word om ’n produk te lewer: ​3 × 4 = 12​ Al die faktore van 12 is {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

•

Indien ’n getal slegs twee faktore het (die getal self en 1), word dit ’n priemgetal genoem. Let wel: 1 is nie ’n priemgetal nie.

Voorbeelde van priemgetalle: {2; 3; 19; 53}

•

Getalle met meer as twee faktore, byvoorbeeld 18, word saamgestelde getalle genoem.

Gebruik afronding en kompensasie om die volgende berekeninge te doen:

1.1 ​74 × 59​

R

Oplossings

4.2 Deelbaarheidsreëls Indien die laaste syfer ’n ewe getal is

Deelbaar deur 3

Indien die som van die individuele syfers ’n veelvoud van 3 is

a)

Bepaal al die faktore van 24.

Deelbaar deur 4

Indien die laaste twee syfers ’n veelvoud van 4 vorm

b)

Bepaal die eerste drie veelvoude van 24.

Deelbaar deur 5

Indien die laaste syfer 0 of 5 is

Deelbaar deur 6

Indien die getal deur 2 en 3 deelbaar is

Deelbaar deur 8

Indien die laaste drie syfers ’n veelvoud van 8 vorm

Deelbaar deur 9

Indien die som van die individuele syfers ’n veelvoud van 9 is

Deelbaar deur 10

Indien die laaste syfer 0 is

Oplossings

b)

1 × 24 = 24; 2 × 24 = 48; 3 × 24 = 72

4.3

Priemfaktorisering

Dui aan of elk van die volgende getalle in 4 164 kan indeel. Bied redes vir jou antwoorde.

4

c)

8

d)

9

Oplossings a)

3: Ja

b)

4: Ja

c)

8: Nee

d)

9: Nee

©Optimi

Skryf 120 as ’n produk van priemfaktore. Gebruik die volgende metodes:

SE

b)

Uitgewerkte voorbeeld 10: Skryf ’n getal as ’n produk van priemfaktore

EK

3

1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. Begin met 1 × 24, dan 2 × 12, en so meer. Op hierdie manier sal jy al die faktore kan bepaal sonder om enige faktore uit te laat.

M PL

a)

Uitgewerkte voorbeeld 8: Deelbaarheid

a)

R

Deelbaar deur 2

AA

Uitgewerkte voorbeeld 9: Bepaal die faktore en veelvoude van ’n getal

a)

Die leermetode

b)

Die takkemetode

c)

Die = -metode

Oplossings

4 + 1 + 6 + 4 = 15​, wat ’n veelvoud van 3 is

a)

Die laaste twee syfers (64) vorm ’n veelvoud van 4

Die laaste drie syfers (164) vorm nie ’n veelvoud van 8 nie

Die som van die syfers is 15, wat nie ’n veelvoud van 9 is nie

9

Deel deur die kleinste moontlike priemfaktor. Herhaal dit soveel kere as moontlik. Deel dan deur die volgende kleinste priemfaktor. Gaan op hierdie manier voort tot die antwoord 1 is.

G08 – Wiskunde